Geometria Diferencial de Curvas y Superficies

GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES GRUPO F ¤ Curso 03 - 04

Índice General 1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 7 1.1 PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAL . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Estructura vectorial de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Estructura afín de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Espacio vectorial tangente en un punto de Rn . . . . . 9 1.1.4 Estructura euclídea de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 CURVAS Y CAMPOS A LO LARGO DE CURVAS . . . . . . 14 1.2.1 Funciones diferenciables de variable real. Curvas . . . . 14 1.2.2 Campos a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Velocidad y aceleraciones de una curva . . . . . . . . . 17 1.2.4 Vectores tangentes y velocidades de curvas . . . . . . . 18 1.3 PARAMETRIZACIONES DE CURVAS REGULARES . . . . 18 1.3.1 Parámetro de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Curva regular. Parametrización por la longitud de arco 20 1.4 REFERENCIA MOVIL DE FRENET . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 Referencia móvil. Curva alabeada . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2 Referencia de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.3 Fórmulas de Frenet. Curvaturas . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.4 Teorema fundamental de la teoría de curvas . . . . . . 25 1.5 CURVAS ALABEADAS PLANAS . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 Diedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura . . . . . . . . 29 1.6 CURVAS ALABEADAS EN EL ESPACIO . . . . . . . . . . . 29 1.6.1 Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura y la torsión . 31 ¤

Estos apuntes son reelaboración de unas notas de Javier Lafuente

1

ÍNDICE GENERAL

2

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 32 2.1 PRELIMINARES DE ANÁLISIS . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Aplicaciones diferenciables en Rn. Matriz Jacobiana . . 32 2.1.2 Vectores tangentes y derivaciones . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Diferencial y regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.4 Difeomor…smos. Teoremas de la función inversa e implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.5 Integración. Teoremas de Fubini y del cambio de variable 39 2.2 SUPERFICIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.1 Parametrizaciones locales de subconjuntos de Rn . . . 42 2.2.2 Super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3 Cartas en super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 APLICACIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES. PLANO TANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.1 Aplicaciones diferenciables entre subconjuntos del espacio afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.2 Plano tangente a una super…cie en un punto . . . . . . 49 2.3.3 Diferencial y regla de la cadena para aplicaciones entre subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.4 Representación local de aplicaciones entre super…cies . 53 2.3.5 Difeomor…smos entre super…cies. Teorema de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4 CAMPOS DE VECTORES SOBRE SUPERFICIES . . . . . . 58 2.4.1 Campos de vectores sobre subconjuntos del espacio afín 58 2.4.2 Campos de vectores tangentes a super…cies . . . . . . . 59 2.4.3 Derivación natural en el espacio afín . . . . . . . . . . 62 3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO 3.1 PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Estructura euclídea de los espacios tangentes a E3 . . . 3.1.2 Formas bilineales sobre super…cies . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Longitudes de curvas en super…cies . . . . . . . . . . . 3.1.5 Áreas en entornos coordenados . . . . . . . . . . . . . 3.2 SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Orientación de super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Curvatura normal de curvas en super…cies orientadas . 3.2.3 Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Una interpretación geométrica de la segunda forma fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 APLICACIÓN DE (GAUSS-)WEINGARTEN . . . . . . . . . 3.3.1 Aplicación de Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Curvaturas de super…cies orientadas. Bases adaptadas

65 65 65 67 69 71 71 74 74 75 77 79 80 80 82

3

ÍNDICE GENERAL 3.3.3 3.3.4 3.3.5

3.4

Aplicación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expresión local de super…cies como grá…cas de funciones Clasi…cación de los puntos de una super…cie. Direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Fórmula de Euler. Direcciones asintóticas . . . . . . . 3.3.7 Líneas de curvatura y líneas asintóticas. Geodésicas . . ISOMETRÍAS Y CONGRUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Isometrías entre super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Super…cies localmente homogéneas . . . . . . . . . . . 3.4.3 Congruencias entre super…cies. Rigidez . . . . . . . . .

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES 4.1 DERIVACION COVARIANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Las proyecciones tangente y normal . . . . . . . . . . . 4.1.2 Derivada covariante en una super…cie . . . . . . . . . . 4.1.3 Expresión local de la derivada covariante. Símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Carácter intrínseco de la derivación covariante y de la curvatura de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 TRANSPORTE PARALELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Transporte paralelo. Carácter intrínseco . . . . . . . . 4.2.2 Transporte paralelo, geodésicas e isometrías . . . . . . 4.2.3 Transporte paralelo y curvatura de Gauss . . . . . . . 4.3 CURVATURA Y TOPOLOGIA* . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Triangulaciones e integración en super…cies . . . . . . . 4.3.2 Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Super…cies topológicas de R3 . . . . . . . . . . . . . . .

84 86 87 88 90 92 92 95 97

99 100 100 100 102 104 106 106 108 112 120 120 121 125

5 APÉNDICES 126 5.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO126 5.1.1 Aplicaciones en un espacio euclídeo. Demostración de la Proposición 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.1.2 Invariancia de las curvaturas de una curva alabeada. Demostración de la Proposición 1.22 . . . . . . . . . . 127 5.1.3 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales* . . . . . 129 5.1.4 Curvas alabeadas en el espacio. Demostración del Teorema 1.29 (teorema fundamental)* . . . . . . . . . . . 130 5.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN . . . . . . . . . . . . 131 5.2.1 Diferenciabilidad de las componentes locales de un campo tangente. Demostración del Lema 2.32 . . . . . . . 131 5.2.2 Curvas integrales de un campo* . . . . . . . . . . . . . 132 5.3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO . . . . . . . . . 133

ÍNDICE GENERAL 5.3.1

5.4

Coordenadas ortogonales. Demostración de la Proposición 3.7* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Aplicaciones autoadjuntas. Demostración de la Proposición 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Indicatriz de Dupin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Rigidez de la esfera. Demostración del Teorema 3.33 (Hilbert-Liebmann)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES . 5.4.1 Carácter intrínseco de la derivación covariante. Demostración de la Proposición 4.4* . . . . . . . . . . . 5.4.2 Carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Demostración del Teorema 4.7* . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Super…cies en el espacio euclídeo. Ecuaciones de compatibilidad* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. 133 . 134 . 135 . 137 . 138 . 138 . 139 . 139

6 EJERCICIOS 142 6.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO142 6.1.1 (Curvatura y recta / Curvatura y circunferencia) . . . 142 6.1.2 (Hélices 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.1.3 (Determinación diferenciable del ángulo) . . . . . . . . 143 6.1.4 (Torsión y curva plana / Normales y circunferencia) . . 143 6.1.5 (Tangentes y recta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.6 (Evolutas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.7 (Catenarias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.1.8 (Cicloides) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.1.9 (Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión bidimensional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.1.10 (Diferenciabilidad, regularidad, alabeo) . . . . . . . . . 144 6.1.11 (Ángulo polar como parámetro) . . . . . . . . . . . . . 145 6.1.12 (Curvas sobre esferas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.1.13 (Máximos de la distancia de un punto a una curva) . . 145 6.1.14 (Tangente, normal y binormal) . . . . . . . . . . . . . 146 6.1.15 (Hélices 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.1.16 (Plano osculador) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.1.17 (Plano osculador y círculo osculador) . . . . . . . . . . 147 6.1.18 (Proyección sobre el plano osculador) . . . . . . . . . . 147 6.1.19 (Aceleraciones de una curva) . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.1.20 (Modelos 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.1.21 (Modelos 2, cicloide) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.1.22 (Frenet frente a reparametrizaciones y movimientos) . . 149 6.1.23 (Curvas planas ”en implícitas”) . . . . . . . . . . . . . 150 6.1.24 (”El ocho”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN . . . . . . . . . . . . 151

5

ÍNDICE GENERAL

6.3

6.4

6.2.1 (Super…cies que son conjuntos de nivel) . . . . . . . . 6.2.2 (Plano tangente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 (¿Super…cies?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 (Cilindros) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 (”El ocho” en super…cies) . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.6 (Ejemplo de helicoide) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.7 (Super…cies de revolución) . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.8 (Planos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.9 (Proyección estereográ…ca) . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.10 (Banda de Moebius) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.11 (Campos tangentes a super…cies 1) . . . . . . . . . . 6.2.12 (Campos tangentes a super…cies 2) . . . . . . . . . . SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO . . . . . . . . 6.3.1 (Gradientes de funciones en el espacio euclídeo) . . . 6.3.2 (Normales y esfera) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 (PFF de la esfera en proyección estereográ…ca) . . . . 6.3.4 (PFF de la esfera en polares) . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 (PFF de super…cies de revolución en coordenadas) . . 6.3.6 (Gradiente de funciones sobre super…cies) . . . . . . . 6.3.7 (Super…cies no orientables) . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.8 (Diferenciabilidad de las curvaturas principales) . . . 6.3.9 (SFF de super…cies de revolución en coordenadas) . . 6.3.10 (Curvatura de Gauss sin parametrización) . . . . . . 6.3.11 (Tangencia, extremos y curvaturas principales) . . . . 6.3.12 (Direcciones asintóticas y líneas asintóticas) . . . . . 6.3.13 (Líneas de curvatura y líneas asintóticas) . . . . . . . 6.3.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 1) . . . . . 6.3.15 (Puntos no umbílicos) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.16 (Meridianos y paralelos en super…cies de revolución) . 6.3.17 (Geodésicas, curvas planas y líneas de curvatura) . . 6.3.18 (Super…cie de binormales de una curva alabeada) . . 6.3.19 (Geodésicas planas y esferas o planos) . . . . . . . . 6.3.20 (Isometrías e isometrías locales 1) . . . . . . . . . . . 6.3.21 (Ejemplo de super…cie de revolución 1) . . . . . . . . 6.3.22 (Ejemplo de super…cie de revolución 2) . . . . . . . . 6.3.23 (De todo un poco 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.24 (De todo un poco 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES. VARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas) . . . . 6.4.2 (Super…cie de bisectrices recti…cantes de una curva alabeada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 (Geodésicas en el plano, cilindro y esfera) . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151 152 152 152 153 153 154 154 154 155 155 156 156 156 156 157 157 157 157 158 158 159 159 160 160 160 161 161 161 162 162 162 162 163 163 164 164

. 165 . 165 . 165 . 165

ÍNDICE GENERAL 6.4.4 6.4.5 6.4.6 6.4.7 6.4.8 6.4.9 6.4.10 6.4.11 6.4.12

6

(Reparametrización de geodésicas) . . . . . . . . . . . 166 (Super…cies geodésicamente completas) . . . . . . . . . 166 (Transporte paralelo en el plano) . . . . . . . . . . . . 167 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en la esfera)167 (Transporte paralelo a lo largo de curvas de tangencia) 167 (Transporte paralelo y reparametrizaciones) . . . . . . 168 (Isometrías e isometrías locales 2) . . . . . . . . . . . . 168 (Super…cies simétricas respecto de un plano) . . . . . . 169 (Curvatura, geodésicas y transporte paralelo en un paraboloide de revolución) . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.4.13 (Super…cie tangente a un plano a lo largo de una curva) 170 6.4.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 2) . . . . . . 170 6.4.15 (Super…cie de Schwarzschild) . . . . . . . . . . . . . . . 171

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

1

7

TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

Prerrequisitos académicos del curso: Algebra lineal. Cálculo diferencial en varias variables reales, incluyendo los teoremas de la función inversa e implícita. Cálculo integral en varias variables, incluyendo el teorema del cambio de variable.

1.1 1.1.1

PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAL Estructura vectorial de Rn

Como es habitual, Rn representa el cuerpo de los números reales. Los elementos del conjunto Rn de n-tuplas ordenadas de números reales pueden ser considerados como vectores de un espacio vectorial euclídeo o como puntos de un espacio afín. Trataremos de precisar aquí este asunto. Rn tiene estructura natural de espacio vectorial sobre R. Denotamos por (~e1; :::; ~en) a la base ordenada natural o canónica, es decir, ~ei := (0; :::; 1(i ; :::; 0); con i = 1; :::; n; de forma que se tiene la identidad: ~» = (»1 ; : : : ; »n ) =

n X i=1

»i~ei , para todo (» 1; : : : ; »n ) 2 Rn

Observación 1.1 También podría pensarse que Rn es un espacio vectorial abstracto de dimensión n, en donde se ha destacado una base (~e1; :::; ~en ) que Pn permite identi…car cada vector ~» = e i 2 Rn con sus coordenadas i=1 » i~ (»1 ; : : : ; »n ). Es bien conocido el isomor…smo canónico que existe entre el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de Rn en Rm y el espacio vectorial R(m; n) de las matrices de m …las y n columnas con coe…cientes reales. La composición de aplicaciones lineales corresponde al producto de matrices. Una matriz A de m …las y n columnas con coe…cientes reales del tipo 0 1 a11 : : : a1n B .. C A = @ ... . . . . A am1 : : : amn

puede escribirse como el conjunto de sus vectores columna 0 1 a1i B C A = (~a1; : : : ; ~a n) ; con ~ai = @ ... A 2 Rm (i = 1; :::; n) : a mi

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

8

Interpretada ahora como aplicación: A : Rn 3 ~» 7! A~» 2 Rm (donde A~» denota el producto matricial de A por la matriz columna ~» 2 Rn ), la matriz A representa la única aplicación lineal de Rn en Rm que transforma la base canónica (~e1; :::; ~en) de Rn en el sistema ordenado (~a1; : : : ; ~a n) de vectores de Rm . Todo ello nos permite escribir: A = (|{z} A~e1 ; :::; |{z} A~en ) 2 R(m; n) ~a1

~an

y, si B 2 R(p; m), se tiene:

AB = (B(A~e1); :::; B(A~en)) 2 R(p; n) : En el caso particular m = n, la condición necesaria y su…ciente para que la matriz A = (~a1; : : : ; ~an ) sea isomor…smo lineal de Rn es que el conjunto (~a1; : : : ; ~a n) sea base, esto es, det(A) 6= 0. Si det(A) > 0 , se dice que la base (~a1; : : : ; ~a n) es(tá) positiva(mente orientada), o también que A : Rn 3 ~» 7! A~» 2 Rn preserva la orientación. En particular, la base canónica (~e1; :::; ~en) es positiva. 1.1.2

Estructura afín de Rn

Los elementos p = (p1; :::; pn ) de Rn también pueden pensarse como puntos de un espacio afín Rn sobre el espacio vectorial Rn . Si ~» = (» 1; : : : ; »n ) 2 Rn , denotamos por ¿ ~» la traslación de vector ~» : ¿ ~» : Rn 3 p 7! p + ~» 2 Rn : Si p, q 2 Rn , de…nimos el vector ¡ ! : = q ¡ p 2 Rn ; pq !. y se veri…ca la identidad q = p + ¡ pq Llamaremos o ´ (0; :::; 0) 2 Rn : Obsérvese que, si p = (p1; :::; pn ) es un ! = (p ; :::; p ) es un vector de Rn . punto de Rn; entonces ¡ op 1 n Observación 1.2 También podría pensarse que Rn es un espacio afín abstracto (sobre un espacio vectorial de dimensión n), en donde se ha destacado una P referencia afín (o; ~e1; :::; ~en ) que permite identi…car cada punto p = o + ni=1 pi~ei 2 Rn con sus coordenadas (p1 ; :::; pn ):

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 1.1.3

9

Espacio vectorial tangente en un punto de Rn

Si p 2 Rn, ~» 2 Rn, denominaremos vector tangente en p correspondiente a ~» al par (p; ~» ). Emplearemos la notación » ´ ~» p ´ (p; ~» ) (el uso de la negrita » irá aumentando a medida que nos vayamos familiarizando con el concepto de vector tangente). Geométricamente, ~» p se representa por el vector ~» ”apoyado” en el punto p. Se denomina a ~» la parte vectorial de ~» p: El conjunto Tp Rn := f~» p j ~» 2 Rn g tiene estructura natural de espacio vectorial; para ello, basta con declarar que la biyección natural Rn 3 ~» 7! ~»p 2 Tp Rn sea un isomor…smo lineal, es decir: (¸~» + ¹~´)p = ¸~»p + ¹~´ p ; 8¸; ¹ 2 R y 8~»; ~´ 2 Rn : El conjunto ((~e1)p ; :::; (~en )p) constituye una base de T pRn, que denominaP remos canónica. Obviamente se tiene: ~» p = ni=1 » i (~ei)p . El espacio Tp Rn se denomina espacio (vectorial) tangente en p 2 Rn . 1.1.4

Estructura euclídea de Rn

En el espacio vectorial Rn se de…ne el producto escalar canónico por: < ~»; ~´ > : =

n X k=1

»k ´k , 8~» ´ (»1 ; : : : ; »n ); ~´ ´ (´1 ; : : : ´n) 2 Rn

Fijada cualquier base b ´ (~a1; : : : ; ~an ), la no-degeneración de la forma bilineal simétrica es equivalente (!) a que 0 1 < ~a1 ; ~a1 > : : : < ~a1; ~a n > A 6= 0 ; det b ´ det @ ::: ::: ::: < ~a n; ~a1 > : : : < ~an ; ~an > mientras que el carácter de…nido positivo de implica (pero, salvo para n = 2, no es equivalente a) que ½ < ~ai ; ~ai > > 0 ; i = 1; :::; n : det b > 0 En efecto: Como se sabe, al ser una forma bilineal simétrica, existen bases ¹b en las que la matriz de productos escalares ¹b es diagonal. La no-degeneración de es entonces equivalente a que, en dichas bases ¹b, todos los elementos de la diagonal principal de ¹b

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

10

sean no nulos. Pero es bien conocido (ver la Observación 3.6) que, al cambiar de base (b = ¹bA), se veri…ca b = AT ¹b A. Se sigue que la no-degeneración de es equivalente a que det b 6= 0.

Por otra parte, el carácter de…nido positivo de , aparte de implicar que < ~ai; ~a i > > 0 (i = 1; :::; n), es obviamente equivalente a que, en cualquier base ¹b que haga diagonal a ¹b, todos los elementos de la diagonal principal sean positivos, lo que a su vez implica (mismo argumento que antes) que det b > 0

En (Rn; ) existen bases ortonormales. Dado ~» 2 Rn y dada cualquier base ortonormal (~a1 ; : : : ; ~an), se tiene la identidad ~» =

n X

< ~»; ~ai > ~a i :

i=1

q ~ ~ La norma de » es j » j:= + < ~»; ~» > y el coseno del ángulo (no orientado) ](~»; ~´) 2 [0; ¼] determinado por los vectores no nulos ~» y ~´ viene de…nido por < ~»; ~´ > cos ](~»; ~´ ) := (1) j ~» jj ~´ j

Cuando consideramos Rn con esta estructura natural de espacio vectorial euclídeo, lo denotaremos por En . En el caso particular de E3 , se de…ne el producto vectorial por: 0 1 ~e1 ~e2 ~e3 ~» £ ~´ : = det @ » 1 »2 »3 A ; 8~»; ~´ 2 E3 ´1 ´2 ´ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ Observación 1.3 1. El módulo ¯~» £ ~´¯ representa el área del paralelogramo determinado por ~» y ~´, esto es: v à ! ¯ ¯ u ~»; ~» > < ~»; ~´ > < (1) ¯~ ¯ u = j ~» j j ~´ j j sen] (~»; ~´) j : ¯» £ ~´¯ = tdet ~ |{z} | {z } < ~´; » > < ~´; ~´ > base

altura

(2)

En efecto (ver [5], 1.4): Introduciendo el símbolo (con i; j; k 2 f1; 2; 3g) 8 < +1 , si fijkg es una permutación par de f123g "ijk := ¡1 , si fijkg es una permutación impar de f123g ; : 0 , si dos índices son iguales

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO es inmediato comprobar que (8i; j) : ~ e i £ ~ej = De donde se sigue:

=

3 X

m=1

!

P3

11

em . m=1 " ij m~

" ijm" mkl = ±ik ± jl ¡± il ±j k= det

µ

< ~ei; ~ek > < ~ei ; ~el > < ~ej ; ~ek > < ~ej ; ~el >

¶

y, por la (cuatri)linealidad de ambos miembros, se obtiene:

¯ ¯2 ¯~ ¯ ¯» £ ~´¯ == det

Ã

< ~»; ~» > < ~»; ~´ > < ~´; ~» > < ~´; ~´ >

!

2. Sean ~»; ~´; ~Â 2 E3. Entonces se veri…ca: < ~» £ ~´; ~Â >= det (~»; ~´; ~Â)

y

(~» £ ~´) £ ~Â =< ~»; ~Â > ~´ ¡ < ~´; ~Â > ~» (3)

En efecto (ver [5], 1.4): La primera expresión se deduce inmediatamente de la de…nición de producto vectorial (de hecho, es equivalente a ésta). Para la segunda (que pone de mani…esto que el producto vectorial no es asociativo), basta tener en cuenta que:

(~ei £~ej)£~ek =

3 X

l;m=1

3 X "ijm "mkl ~el = (±ik ±j l ¡± il ±jk )~el =< ~ei ; ~ek > ~ej ¡ < ~ej ; ~ek > ~ei !

l=1

y, por la (tri)linealidad de ambos miembros, se obtiene el resultado deseado 0 0 3. Sean ~»; ~´; ~» ; ~´ 0 2 E3 tales que ~» y ~´ son linealmente dependientes de ~» 0 y ~´0 , esto es, (~»; ~´) = (~» ; ~´0 )A; con A una matriz 2 £ 2. Entonces se veri…ca: ~» £ ~´ = (det A) (~»0 £ ~´0 ) (4)

En efecto: Para todo ~Â, se tiene: µ µ ¶¶ 0 0 (3) A 0 ~ ~ ~ < » £ ~´; ~ > = det(»; ~´; ~Â) = det (» ; ~´ ; ~Â) = 0 1 0 0 (3) = det A det(~» ; ~´0 ; ~Â) = det A < ~» £ ~´0 ; ~ > ; 0 y, al ser ~» £ ~´ y ~» £~´ 0 colineales, el resultado se sigue

Dada una matriz A = (~a1; : : : ; ~a n) 2 R(n; n), la condición para que el conjunto (~a1 ; : : : ; ~an) constituya una base ortonormal es que AT A = I (basta comprobar que AT A no es sino la matriz de productos escalares de los

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

12

elementos de (~a 1; : : : ; ~an)). En este caso la transformación (o la matriz) A se dice ortogonal (también se dice que A es una isometría lineal). El conjunto O(n) de transformaciones ortogonales tiene estructura natural de grupo. Es inmediato ver (!) que A 2 O(n) si y sólo si A preserva el producto escalar, es decir: < A~»; A~´ >=< ~»; ~´ > ; 8~»; ~´ 2 En Si A 2 O(n) , es 1 = det(I) = det(AT A) = (detA)2 , con lo que detA = §1. Si detA = 1, se dice que A es ortogonal positiva, o también que la base (~a1; : : : ; ~a n) es ortonormal positiva. El conjunto SO(n) := fA 2 O(n) j det A = 1g es un subgrupo de O(n) cuyos elementos se llaman rotaciones. En el caso de E3, es fácil ver que A 2 SO(3) si y sólo si A preserva el producto escalar y el vectorial, es decir: < A~»; A~´ >=< ~»; ~´ > y (A~») £ (A~´) = A(~» £ ~´)

, 8~»; ~´ 2 E3

Observación 1.4 También podría pensarse que En es un espacio vectorial euclídeo abstracto de dimensión n, en donde se ha destacado una base ortonormal positiva (~e1; :::; ~en ) que permite identi…car los vectores con sus coordenadas. El producto escalar quedaría de…nido como antes, independientemente de la base ortonormal elegida; y lo propio ocurriría, si n = 3, con el producto vectorial, independientemente de la base ortonormal positiva elegida. Por lo visto en 1.1.2, En posee una estructura canónica de espacio afín ! euclídeo. Si p; q 2 En, la distancia entre p y q es d(p; q) :=j ¡ pq j. Proposición 1.5 Sea à : En ! En una aplicación arbitraria. Considérense las siguientes a…rmaciones: (i) à es lineal, (ii) à es inyectiva, (iii) à preserva normas de vectores, (iv) à preserva distancias entre puntos, (v) à preserva productos escalares de vectores. Entonces se tienen las siguientes implicaciones: 1. (i) + (iii) , (v) 2. (i) + (iii) ) (iv) 3. (i) + (iv) ) (iii) 4. (iv) ) (ii) 5. (v) ) (i) + (ii) 6. (iii) + (iv) ) (v) Demostración. Ver Apéndice 5.1.1

13

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO Observación 1.6 Se sigue de lo anterior: 1. (v) ) (i) + (ii) + (iii) + (iv)

2. (iv) ) (ii). Además: (iv) + (i) ) (iii) + (iv). Pero: (iv) ; (i) ¡ ! (Ejemplo: Ã(~») = ~» + cte) ~ 3. (iii) ¯ ¯ + (i) ) (ii) + (iv) + (v). Pero: (iii) ; (i) (Ejemplo: Ã(») = (¯¯~» ¯¯ ; 0; :::0))

Un movimiento en En es una aplicación A : En ! En que preserva distancias entre puntos, es decir, d(A(p); A(q)) = d(p; q); 8p; q 2 En. Se sigue de la Proposición 1.5(4) que los movimientos son inyectivos. Por otra parte, se prueba fácilmente que A : En ! En es un movimiento si y sólo si puede expresarse en la forma: ! + ~» ; A(p) = A(¡ op)

(5)

donde A 2 O(n) y ~» 2 En. En efecto (ver por ejemplo [8], Cap.22, Teorema 1): La condición su…ciente es inmediata, puesto que tanto las traslaciones (obvio) como las isometrías lineales (Proposición 1.5(1) y (2)) preservan distancias. Probemos la condición necesaria. Sea ~» ´ A(o). La aplicación B : En 3 p 7! A(p) ¡ ~» 2 En preserva obviamente distancias; además, preserva normas de vectores, ya que se tiene

¯ ¯ ¯ ¡ ¯ B(o)=o ¡ ! ! ! ~ jB( op)j ´ ¯B( op) ¡ 0¯ = jB(p) ¡ B(o)j ´ d(B(p); B(o)) = d(p; o) ´ j ¡ opj : Por la Proposición 1.5(6), B preserva productos escalares; y, por la !, Proposición 1.5(1), B es lineal. De donde se sigue: B(p) = A(¡ op) con A 2 O(n).

De lo anterior se concluye que: (1) Los movimientos son biyectivos; la inversa A¡1 de A viene dada por ! A¡1 : En 3 p 7! A¡1(¡ op) ¡ A¡1~» 2 En : (2) Se veri…ca

¡¡¡¡¡¡! !) ; 8p; q 2 En : A(p)A(q) = A(¡ pq

(6)

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

14

Un movimiento se dice directo si la parte ortogonal A del mismo es una rotación, esto es, si A 2 SO(n). Para cada p 2 En , el espacio TpEn tiene estructura natural (o canónica) de espacio vectorial euclídeo, de…niendo, para todo ~» p; ~´p 2 Tp En ; < ~»p; ~´ p> := < ~»; ~´ > 2 R ;

(7)

si, además, n = 3, se de…ne: ~» p£~´p := (~» £ ~´)p 2 Tp E3 :

(8)

Observación 1.7 A partir de aquí, se puede trabajar en el nivel de abstracción sugerido en las observaciones 1.1, 1.2 y 1.4, y suponer que En es un espacio a…n euclídeo abstracto (sobre un espacio vectorial euclídeo de dimensión n), en donde se ha destacado una referencia afín euclídea (o; ~e1; :::; ~en ) que permite identi…car los puntos y vectores con sus coordenadas.

1.2 1.2.1

CURVAS Y CAMPOS A LO LARGO DE CURVAS Funciones diferenciables de variable real. Curvas

Sea I un intervalo abierto de R . Una función f : I ! R se dirá diferenciable si posee derivadas continuas de todos los órdenes (esto es, si es de d2 f dk f clase C 1). Se denotarán por df dt ; dt2 ; : : : ; dtk ; : : : sus derivadas sucesivas. Si el intervalo I no es abierto, se dirá que f : I ! R es diferenciable si existen un intervalo abierto I~ ¾ I y una extensión f~ de f a I~ (esto es, una función f~ : I~ ! R tal que f~ jI = f ) diferenciable. El conjunto F(I) de funciones diferenciables f : I ! R tiene estructura natural de anillo (pero no de cuerpo: las funciones que se anulan en algún punto no poseen inversa). Una aplicación ® : I 3 t 7! (®1(t); : : : ; ®n(t)) 2 Rn se dirá diferenciable si cada componente ®i : I ! R (i = 1; :::; n) es una función diferenciable. 1 n La derivada de ® es la aplicación d® : I 3 t 7! ( d® (t); : : : ; d® (t)) 2 Rn . dt dt dt 2 k Se denotarán por ddt®2 ; : : : ; ddt®k ; : : : las derivadas sucesivas de ®: Cuando una aplicación diferenciable ® : I ! Rn se considera aplicación sobre Rn como espacio afín se llama curva. Cuando se considera aplicación sobre Rn como espacio vectorial, se denota por ~® : I ! Rn y se denomina curva vectorial. La variable en I se denomina parámetro de la curva. Ejemplo 1.8 Curvas: (a) ® : R 3 t 7! (t; 0) 2 R2 (imagen, recta); (b) ® : R 3 t 7! (p1 + r cos t; p2 + rsent) 2 R2 (no inyectiva; imagen, circunferencia de radio r); (c) ® : R 3 t 7! (t3 ; t2 ) 2 R2 (imagen con ”pico”); (d)

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

15

® : [¡2¼; 2¼] 3 t 7! (p1 + t cos t; p2 + tsent) 2 R2 (no inyectiva; imagen, ”cardioide”); (e) la aplicación ® : R 3 t 7! (t; jtj) 2 R2 no es una curva; (f ) ® : (¡¼; ¼) 3 t 7! (sent; sen2t) 2 R2 (inyectiva; imagen, ”el ocho”). Observación 1.9 De…nimos pues las curvas como aplicaciones; la imagen de una curva (subconjunto de Rn ) es sólo uno de los ”ingredientes” de ésta. A veces, no obstante, se denomina a una curva por su imagen (recta, circunferencia, catenaria, cicloide,...); se trata de un abuso de lenguaje. En el Ejercicio 6.1.23d se propone una de…nición alternativa de curva plana, a saber: subconjunto de R2 que admite una ”parametrizacón (local, 1-dimensional)” en torno a cada uno de sus puntos (en cuanto a la terminología, ver 2.2.1). Esta de…nición sería análoga a la que más adelante (2.2.2) daremos para super…cies de R3. Sin embargo, adoptar aquí esta de…nición de curva supondría dejar fuera de consideración subconjuntos con ”picos”, o con ”autointersecciones”, o del tipo ”el ocho” (Ejercicio 6.1.24), lo que no parece razonable. Después de todo, el estudio de muchas curvas tiene su origen en la mecánica, donde el parámetro es el tiempo, las curvas están ”para ser recorridas” (Ejercicios 6.1.20 y 6.1.21) y las citadas peculiaridades no son en absoluto rechazables. El conjunto de todas las curvas vectoriales de…nidas sobre el intervalo I tiene estructura natural de R-espacio vectorial y de F(I)-módulo. ~ : I ! Rn dos curvas vectoriales con el mismo parámetro y Sean V~ ; W sea f : I ! R una función diferenciable. Entonces se veri…ca: d ~ ~)= dV ~ + dW ~ ; d (f V ~ ) = df V ~ +f dV ~ : (V + W dt dt dt dt dt dt

(9)

Si consideramos Rn como espacio euclídeo (esto es, En ), se veri…ca también: d ~;W ~ >=< d V~ ; W ~ >+; 2 R ; < V; W > (t) :=< V y si, además, n = 3, se de…ne: 3 ~ (t) £ W(t)) ~ (V £ W)(t) : = (V ®(t) 2 T®(t) E :

De…niendo …nalmente la derivada de V como el campo V0 2 X ® tal que à ! ~ d V V0 (t) : = (t) , 8t 2 I ; dt ®(t)

resulta inmediato ver que las reglas formales análogas a las establecidas en ~ yW ~ siguen siendo válidas ahora cuando V; W son campos (a lo (9) para V largo de ®) df V + fV0 ; dt siéndolo también la análoga a (10) si consideramos Rn como espacio euclídeo (esto es, En ) (V + W)0 = V0 + W0 ; (f V) 0 =

d < V; W >=< V0 ; W > + < V; W0 > ; dt así como la análoga a (11) si n = 3 (V £ W)0 = V0 £ W + V £ W0 :

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 1.2.3

17

Velocidad y aceleraciones de una curva

Se de…ne la velocidad de una curva ® : I ! Rn como el campo ®0 2 X ® determinado por la derivada d® de la curva ®, esto es, dt µ ¶ d® 0 0 ® : I 3 t 7! ® (t) := (t) 2 T®(t)Rn : dt ®(t) Nótese que, al ser ¡¡¡¡¡¡¡¡¡! d® ®(t)®(t + ¢t) (t) = lim ; ¢t!0 dt ¢t esta derivada es ya una curva vectorial

Así, la parte vectorial de ®0 (t) es 0

® (t) =

d® (t) dt

n X d®i i=1

dt

y se tiene:

(t)(~ei )®(t) :

El campo ®00 := (®0 )0 2 X® se denomina la aceleración de la curva ®. En general, el campo ®(k) := (®(k¡1))0 2 X ®, que veri…ca µ k ¶ d ® (k) ® (t) = (t) , 8t 2 I ; dtk ®(t) se denomina (k ¡ 1)-ésima aceleración de la curva ®. Ejemplo 1.11 (conviene hacer un dibujo) (a) Sea la curva ®(t) := (t3 ; t2 ) 2 R2 ; el campo de velocidades es ®0 (t) = (3t2 ; 2t)®(t), con parte vectorial d® (t) = dt (3t2 ; 2t); el campo de aceleraciones es ®00 (t) = (6t; 2)®(t), con parte vectorial d2 ® (t) = (6t; 2). (b) Sea la curva ®(t) := (p1 + cos t; p2 + sent) 2 R2; el dt2 campo de velocidades es ®0 (t) = (¡sent; cos t)®(t), con parte vectorial d® (t) = dt 00 (¡sent; cos t); el campo de aceleraciones es ® (t) = ¡(cos t; sent)®(t) (normal 2 unitaria ”interior” a la circunferencia Im ®), con parte vectorial ddt®2 (t) = ¡(cos t; sent). Proposición 1.12 Sea ® : I ! Rn una curva. Consideremos Rn como espacio euclídeo (esto es, En ) y sea A : En ! En un movimiento con aplicación ortogonal A : En ! En , como en (5). En tal caso, la curva A ± ® : I ! En se denomina congruente con ® y se veri…ca: µ k ¶ dk (A ± ®) d ® (t) = A (t) ; 8t 2 I; 8k = 1; 2; ::: dtk dtk

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

18

¡¡! Demostración. Al ser A(®(t)) = A( o®(t)) + ~» ; 8t 2 I (y para cierto ~» 2 En); se tiene:

¡¡¡¡¡¡¡! ¡¡! ! d(A ± ®) d(A(¡ o®)) A(o®(t + ¢t)) ¡ A(o®(t)) (t) = (t) = lim = ¢t!0 dt dt ¢t ¡¡¡¡¡¡¡¡¡! ®(t)®(t + ¢t) d® = A( lim ) = A (t) ; ¢t!0 ¢t dt

y así sucesivamente

1.2.4

Vectores tangentes y velocidades de curvas

Sea ® : I ! Rn una curva tal que 0 2 I y ®(0) = p . Se dice entonces que ® es una curva por (el punto) p 2 Rn . Si S es un subconjunto de Rn tal que p 2 S, una curva por p en S es una curva por p cuya imagen (y la de alguna extensión diferenciable a un intervalo abierto, si el dominio de la curva no lo es) está contenida en S. Denotaremos por C (p; S) a la familia de dichas curvas. Fijemos p 2 Rn . Si ® 2 C(p; Rn); el vector ®0 (0) pertenece a T pRn y se 1:2:3 Pn d® i veri…ca: ®0(0) = e i)p . Además, para cada ~» p 2 TpRn; la curva i=1 dt (0)(~ ® : R 3 t 7! p + t~» 2 Rn veri…ca ®0 (0) = ~»p . De donde se concluye: Tp Rn = f®0 (0) j ® 2 C (p; Rn )g : Este es el primer paso para hacer de los vectores tangentes algo ”analíticamente útil” (ver luego, apartado 2.1.2).

1.3 1.3.1

PARAMETRIZACIONES DE CURVAS REGULARES Parámetro de una curva

Sea ® : I ! Rn una curva. Como ya dijimos antes, la variable t de I se denomina parámetro de ®. Un difeomor…smo f : J 3 s 7! t = f (s) 2 I entre intervalos de R se dice que preserva la orientación si df (s) > 0 ; 8s 2 J. Si df (s) < 0 ; ds ds 8s 2 J ; se dice que invierte la orientación. Por ejemplo, el difeomor…smo f : (¡b; ¡a) 3 s 7! t = ¡s 2 (a; b) invierte la orientación. Aplicando la bien conocida regla de la cadena (2.1.3) a la composición de f funciones de la forma J ! I ! Rn ; resulta: Proposición 1.13 Sea ® : I ! Rn una curva y sea f : J 3 s 7! t = f (s) 2 I un difeomor…smo entre intervalos. Entonces:

19

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 1. Se veri…ca: (® ± f)0 =

df 0 (® ± f) : ds

2. Dado V 2 X ® , se veri…ca: (V ± f)0 =

df 0 (V ± f ) : ds

Demostración: para todo s 2 J , se tiene: µ ¶ µ ¶ d(® ± f ) df d® 1:2:3 1:2:3 df 0 (®±f) (s) = (s) = (s) (f(s)) = (s) ®0 (f (s)) ds ds dt ds (®±f)(s) ®(f (s)) y también 1:2:2

(V±f)0 (s) =

Ã

! ~ ± f) d(V (s) ds

= (®±f)(s)

Ã

! ~ df dV (s) (f (s)) ds dt

1:2:2

=

®(f (s))

df (s) V0(f (s)) ds

Un difeomor…smo f : J ! I, que permite pasar de ® a ® ± f , se denomina un cambio de parámetro de ®; la nueva curva ®± f : J ! Rn se denomina una reparametrización de ®. Tanto la relación de ”ser reparametrización” como la de ”ser reparametrización con la misma orientación” son de equivalencia sobre la familia de curvas y de…nen, por paso al cociente, los conceptos de trayectoria (imagen de la curva) y de trayectoria orientada (imagen dotada de un sentido de recorrido). Ejemplo 1.14 Las curvas ® : R 3 t 7! (t; 0) 2 R2 y ¯ : R 3 t 7! (t3 ; 0) 2 R2 poseen la misma trayectoria pero no son reparametrización una de la otra (sí lo serían si el dominio de ambas fuera R+ ). 1.3.2

Longitud de una curva

Consideremos Rn como espacio euclídeo (esto es, En). Sea ® : I = [a; b] ! En una curva. Se llama longitud de ® a la integral (ver 2.1.5) Z b

L(®) :=

a

j ®0 (t) j dt

Observación 1.15 1. Si el intervalo de de…nición es abierto R x por algún lado, p.e. I = [a; b), se de…ne obviamente L(®) := limx!b a j ®0 (t) j dt (suponiendo que el límite exista; por ejemplo, la curva ® : (0; 1] 3 t 7! (3; ln t) 2 R2 posee longitud in…nita).

20

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

2. Una curva continua ® : I = [a; b] ! En se dice recti…cable si existe un número a > 0 que acota superiormente la longitud de cualquier poligonal inscrita en ella (ver [2], De…nición 8.24). Condición necesaria y su…ciente para que ® sea recti…cable es ([2], Teorema 8.25) que cada componente ®i : I = [a; b] ! E1 (i = 1; :::; n) sea de variación acotada. i Para ello es a su vez su…ciente ([2], Teorema 8.6) que cada d® dt exista y esté acotada en (a; b). Así pues, nuestras curvas (diferenciables) son todas recti…cables. Para convencerse de que nuestra de…nición de longitud coincide con la habitual para curvas continuas recti…cables (esto es, el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas), ver [5], 1.3, Ejercicio 8, [1], 2.3, Teorema 13. Proposición 1.16 Sea ® : I = [a; b] ! En una curva y f : J = [c; d] ! [a; b] un cambio de parámetro de ®. Entonces L(® ± f) = L(®) : Demostración. Es consecuencia directa de la Proposición 1.13(1) y de la fórmula del cambio de variable en integrales de Riemann cuando la derivada del cambio de variable no se anula nunca (Teorema 2.11 en 2.1.5):

L(®±f) := 1.3.3

Z

d c

0

j (®±f) (s) j ds =

Z

c

d

df j ® (f(s)) j j (s) j ds = ds 0

Z

b a

j ®0(t) j dt

Curva regular. Parametrización por la longitud de arco

Una curva ® : I ! Rn se dice regular en t0 2 I si ®0 (t0 ) 6= ~0®(t0 ) . Se dice que ® es regular si es regular en todo t 2 I. Se sigue de la Proposición 1.13(1) que, si ® : I ! Rn es regular y f : J ! I es un cambio de parámetro de ®, entonces ® ± f es también regular. Conviene distinguir, de entre las entidades matemáticas asociadas a una curva regular, las que dependen sólo de la trayectoria y las que dependen de la parametrización regular concreta. Así, por ejemplo, el campo ®0 depende obviamente de la parametrización, mientras que el campo ®0 = j ®0 j depende sólo de la trayectoria orientada, y el conjunto de rectas a…nes tangentes a ® depende sólo de la trayectoria. Se dice que una curva regular ® : I ! En está parametrizada por la longitud de arco si veri…ca la condición j ®0 (s) j= 1; 8s 2 I. En tal caso se tiene L(® j[a;b] ) = b ¡ a ; 8a; b 2 I ; a < b Intuitivamente, si una curva ® está parametrizada por la longitud de arco y …jamos un punto x0 = ®(s 0), cualquier otro punto x de la imagen de ®

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

21

queda determinado por la distancia (con signo) que hay que recorrer sobre la curva para llegar desde x0 hasta x. Obsérvese que, si j ®0 j= 1, se tiene: < ®0 ; ®00 >= 0 (esto es, velocidad y aceleración son ortogonales). Proposición 1.17 Sea ® : I ! En una curva regular y t0 2 I. La aplicación Z t g : I 3 t 7! s ´ g(t) := j ®0(t) j dt 2 g (I ) ´ J t0

0 ¡1 veri…ca dg : J ! I es un cambio de dt (t) =j ® (t) j> 0 y su inversa f = g ¡1 parámetro de ®. Además, la curva ® ± g : J ! En está parametrizada por la longitud de arco.

Demostración: ¡1 0

Pr op. 1.13(1)

j (®±g ) (s) j

=

dg ¡1 1 j (s) j j ® 0(g ¡1(s)) j= j ®0 (t) j= 1 0 ds j ® (t) j

Ejemplo 1.18 Lapcurva (hélice) ® : (0; 1) 3 t 7! (3 cos 2t ; 3sen t2 ; 5t) 2 E3 p R veri…ca j®0 (t)j = 109 . Haciendo s ´ g(t) := tt0 j ®0 (t) j dt = 109 t, se 2 2 2s obtiene: t = p109 ; la reparametrización de ® por la longitud de arco es la p

s s curva ® ± g ¡1 : (0; 109 ) 3 s 7! (3 cos p109 ; 3sen p109 ; p10s ) 2 E3 . En general, 2 109 la di…cultad en reparametrizar una curva regular por su longitud de arco no está tanto en hallar el nuevo intervalo J o en encontrar la función g : I ! J (lo que supone calcular una integral), sino en invertir g.

1.4

REFERENCIA MOVIL DE FRENET

Comenzamos con algunas de…niciones básicas: 1.4.1

Referencia móvil. Curva alabeada

Una referencia móvil (a lo largo) de una curva ® : I ! En es un sistema ordenado (E1 ; :::; En ) de campos Ei a lo largo de ® de forma que, para cada t 2 I, el sistema (E1 (t); :::; En (t)) es una base de T ®(t)En . Si para cada t 2 I esta base es ortonormal positiva, entonces se dice que (E1 ; :::; En ) es una referencia móvil euclídea de ®. Obsérvese que, de acuerdo con lo dicho en 1.2.2, para cada t 2 I se tiene ~ i(t)) ´ (®(t); E ~ i (t)) ; Ei (t) = (E ®(t) ~ i : I ! En es cierta curva vectorial (i = 1; :::; n). donde E

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

22

El que la base (E1(t); :::; En(t)) de T®(t)En sea ortonormal positiva equivale (recordar 1.1.4) a que, escribiendo los Ei (t) en la base ((~e1)®(t); :::; (~en )®(t)), la matriz A(t) ´ (E1(t) ; :::; En (t)) veri…que

AT (t)A(t) = In

y

det A(t) = 1 :

Una curva ® : I ! En (n ¸ 2) se dice alabeada en t0 2 I si el conjunto de n ¡ 1 vectores (®0 (t0 ); : : : ; ®(n¡1)(t0 )) de T®(t0)En es linealmente independiente. Se dice ® es alabeada si es alabeada en todo t 2 I. Toda curva alabeada es regular. Aplicando repetidamente la regla de la cadena se comprueba que el concepto de ”ser alabeada” depende sólo de la trayectoria y no de la parametrización regular concreta. En efecto: Sea f : J ! I un cambio de parámetro de ® (por tanto df ds

no se anula nunca). Se tiene:

8 P rop: 1:13(1) df 0 > (® ± f)0 = > ds (® ± f ) > > > < ¡ df 0 ¢ 0 d2f 0 00 0 0 (® ± f) = (® ± f) = ds 2 (® ± f) + df > ds ds (® ± f) > > > > : 2 2 00 = ddsf2 (®0 ± f ) + ( df ds ) (® ± f) ;

Prop: 1:13(2)

=

con lo que ((® ± f )0 ; (® ± f )00) son linealmente independientes si y sólo si lo son (®0 ± f; ®00 ± f). Y así sucesivamente

1.4.2

Referencia de Frenet

Una referencia de Frenet de una curva ® : I ! En es una referencia móvil euclídea (E1 ; :::; En ) de ® que veri…ca, para cada t 2 I , la propiedad: Span(E1(t); :::; Ek (t)) = Span(®0 (t); : : : ; ®(k)(t)) ; para k = 1; : : : n ¡ 1 : El resultado fundamental es el siguiente: Teorema 1.19 Sea ® : I ! En una curva. Entonces se tiene: 1. Si ® admite una referencia de Frenet, entonces necesariamente ® es alabeada. 2. Si ® es alabeada, entonces ® admite una referencia de Frenet, que puede de…nirse inductivamente de la siguiente forma:

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

23

(a) Se de…ne el campo E1 2 X ® como " E1 := 1 , con "1 := ®0 j "1 j (b) Supuesto que se han de…nido (E1 ; :::; Ek¡1 ), con k = 2; :::; n ¡ 1 , se de…ne X "k , con "k := ®(k) ¡ < ®(k); Ei > Ei j "k j i=1 k¡1

Ek :=

(c) Supuesto que se han de…nido (E1; :::; En¡1); queda determinado un único En tal que (E1; :::; En) es una referencia de Frenet de ®. 3. La referencia de Frenet de ® construída en el apartado 2 es la única que veri…ca además la siguiente propiedad: < ®(k); Ek > > 0

;

k = 1; : : : ; n ¡ 1 :

(12)

Demostración. Los apartados 1 y 2 son inmediatos. Probemos 3: Obviamente la referencia (E1 ; :::; En ) de Frenet de ® construída en 2 veri…ca (12), ya que, para k = 1; : : : ; n ¡ 1, se tiene:

< ®(k); Ek >=<

Ã

j " k j Ek +

k¡1 X i=1

< ®(k); Ei > Ei

!

; Ek >=j " k j> 0 :

Sea (F1; :::; Fn ) otra referencia de Frenet de ® que veri…ca (12). Entonces necesariamente E1 = F1. Fijemos k = 2; :::; n ¡ 1 y supongamos que Ei = Fi , para i = 1; : : : k ¡ 1; de la de…nición de referencia de Frenet se tiene:

½

P P (k) (k) ®(k) = ki=1 < ®(k); Ei > Ei ´ k¡1 i=1 < ® ; Ei > Ei + < ® ; Ek > Ek P P k k¡1 ®(k) = i=1 < ®(k); F i > Fi = i=1 < ®(k); Ei > Ei+ < ®(k); Fk > Fk ) < ®(k); Ek > Ek =< ®(k); Fk > Fk ;

al ser, por (12), < ®(k) ; Ek >; < ®(k) ; Fk > positivos y Ek ; Fk unitarios, se deduce que Ek = Fk . Finalmente, supongamos que Ei = Fi , para i = 1; : : : n ¡ 1; se concluye que En = Fn

Observación 1.20 1. Por lo que respecta al subconjunto (E1; :::; En¡1), el método de construcción dado en el apartado 2 no es sino el método de ortonormalización de Schmidt aplicado a (®0; : : : ; ®(n¡1)). 2. Denominaremos a la única referencia de Frenet de ® que veri…ca la propiedad (12) la referencia de Frenet de ®: En lo sucesivo, no se considerarán otras referencias de Frenet.

; )

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 1.4.3

24

Fórmulas de Frenet. Curvaturas

Sea ® : I ! En una curva alabeada y sea (E1; :::; En ) su referencia de Frenet. Si V es un campo a lo largo de ® podemos escribir la identidad: V=

n X

< V; Ei > Ei ;

i=1

en particular, escribiremos (para todo j = 1; :::; n): E0j

=

n X

!ij Ei ;

con !ij :=< Ei ; E0j > :

i=1

(

Ahora bien, se tiene (para j = 1; :::; n ¡ 1): Ej 2 Span(®0 ; : : : ; ®(j )) ; ) E0j 2 Span(®0 ; : : : ; ®(j+1)) ; ) !ij = 0; si i > j + 1 < Ei; Ej >= cte; para todo i ; ) 0 =

d dt

(10)

< Ei ; Ej > = !ji + !ij ; para todo i

Se deduce que las anteriores expresiones de las E0j (j = 1; :::; n) pueden escribirse en forma matricial: 0 1 0 ¡! 21 ¢¢¢ 0 .. B ... C 0 . B ! 21 C 0 0 (E1; :::; En ) = (E1; :::; En) B . (13) C . @ .. .. 0 ¡!n;n¡1 A 0 ¢ ¢ ¢ !n;n¡1 0 y se conocen por el nombre de fórmulas de Frenet.

Observación 1.21 Se veri…ca: !i+1;i > 0 ; i = 1; :::; n ¡ 2. Unicamente !n;n¡1 puede tener cualquier signo. En efecto: Por de…nición, cualquier referencia de Frenet (E1 ; :::; En) de ® veri…ca (para todo i = 1; :::; n ): ®

(i)

=

i¡1 X j=1

< ®(i); Ej > Ej + < ®(i); Ei > Ei ´ Vi¡1+'iEi

con Vi¡1 2 Span(®0; : : : ; ®(i¡1) ); de donde se deduce que 0 ®(i+1) = Vi¡1 +

d' i E + 'i E0i ´ Wi + 'iE0i dt i

con Wi 2 Span(®0 ; : : : ; ®(i) ):

(¤¤) ;

(¤ ) ;

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

25

Sea ahora i = 1; :::; n ¡ 1. Se tiene: (¤¤ )

! i+1;i :=< Ei+1 ; E0i > = < Ei+1 ;

1 (i+1) (¤ ) ' i+1 ® >= : 'i 'i

Pero, si (E1; :::; En) es la referencia de Frenet de ®, se veri…ca (para (12)

i = 1; :::; n ¡ 1): ' i > 0. Se sigue de lo anterior que (para i = 1; :::; n ¡ 2): ! i+1;i > 0 Sea ® : I ! En una curva alabeada y sea (E1; :::; En ) su referencia de Frenet. Con las notaciones del apartado anterior, se denomina curvatura i-ésima (i = 1; :::; n ¡ 1) a la función diferenciable ·i :=

!i+1;i :I!R ; j®0 j

se sigue de la Observación 1.21 que (para i = 1; :::; n ¡ 2): ·i > 0: 1.4.4

Teorema fundamental de la teoría de curvas

El interés de las curvaturas (de una curva alabeada) está en que son objetos sólo dependientes de la trayectoria orientada (Proposición 1.22(1)) y en que determinan, salvo movimientos directos, la curva (Teorema 1.24): Proposición 1.22 (Invariancia de las curvaturas) Sea ® : I ! En (n ¸ 2) una curva alabeada con curvaturas ·i : I ! R (i = 1; :::; n ¡ 1): 1. Sea f : J ! I un cambio de parámetro de ® que preserva orientación y consideremos la curva ® ~ := ® ± f :J ! En: Entonces, si · ~i : J ! R (i = 1; :::; n ¡ 1) son las curvaturas de ® ~ ; se tiene · ~i = ·i ± f (i = 1; :::; n ¡ 1) 2. Sea A : En ! En un movimiento directo y consideremos la curva ® ~ := A ± ® : I ! En. Entonces, si ~·i : I ! R (i = 1; :::; n ¡ 1) son las curvaturas de ® ~ , se tiene · ~i = ·i (i = 1; :::; n ¡ 1) Demostración. Ver Apéndice 5.1.2 Observación 1.23 Si el cambio de parámetro en el apartado 1 no preservara orientación, se tendría (ver Ejercicio 6.1.22a) ½ ~·1 = ¡·1 ± f (para n = 2) : ~·1 = ·1 ± f y ~·2 = ·2 ± f (para n = 3)

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

26

Por otra parte, si el movimiento en el apartado 2 no fuera directo, se tendría (ver Ejercicio 6.1.22b) ½ ~·i = ¡·1 (para n = 2) : ~·1 = ·1 y · ~2 = ¡·2 (para n = 3) Teorema 1.24 (Teorema fundamental de la teoría de curvas) Dadas ·i : I 3 s 7! ·i(s) 2 R funciones diferenciables (i = 1; :::; n ¡ 1); con ·i > 0 para i = 1; :::; n ¡ 2; existe una única (salvo movimientos directos) curva alabeada ® : I 3 s 7! ®(s) 2 En parametrizada por la longitud de arco y con curvaturas ·i (i = 1; :::; n ¡ 1): Demostración. La versión bidimensional de este teorema es fácil (Ejercicio 6.1.9) de demostrar. La versión tridimensional (Teorema 1.29), esencialmente análoga a la versión general, exige para su demostración ciertas nociones de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales (ver Apéndice 5.1.3*) y se demuestra en el Apéndice 5.1.4*

1.5 1.5.1

CURVAS ALABEADAS PLANAS Diedro de Frenet

En el caso de una curva plana ® : I ! E2, resulta lo mismo decir regular que decir alabeada. Si ® es regular, su única curvatura ·1 := !j®210 j se denota por · y se denomina curvatura de ®. Si (E1; E2) es la referencia de Frenet (o diedro de Frenet) de ®, es habitual llamar: T ´ E1 campo tangente y N ´ E2 campo normal : Las fórmulas de Frenet (13) se reducen entonces a: µ ¶ 0 ¡ j®0 j · 0 0 (T ; N ) = (T; N) ; j®0 j · 0

con

· :=

(14)

1 < N; T 0 > : j®0j

Observación 1.25 Sea ® : I ! E2 una curva plana regular. 1. Nótese que, si bien ® ”proporciona” la tangente T de Frenet, es el espacio euclídeo E2 el que induce la normal N. Fijado t0 2 I, y escribiendo para la parte vectorial de la tangente T~ (t0) ´ (cos µ 0; sen µ0 ), con µ0 2 ~ (t0 ) = (¡sen µ 0; cos µ 0). R, la parte vectorial de la normal resulta ser N

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

27

2. En realidad, existe (pero esto es algo que hay que demostrar, ver Ejercicio 6.1.3a) una función diferenciable µ : I ! R tal que T~ = (cos µ; sen µ). 0 Además esta función µ veri…ca (Ejercicio 6.1.3b): dµ dt =j ® j ·. ~ : I ! E2 que asocia, a cada punto 3. Consideremos la curva vectorial N de I, la parte vectorial de la normal de Frenet. Nótese que, en realidad, ~ toma sus valores en la circunferencia unidad centrada en el origen. N Sea un subintervalo I ½ I y sea t 2 I . Entonces se tiene: ~ jI ) L(N = j ·(t) j : I!ftg L(® j I ) ¯ R ¯ R ¯ ¯ ~ j I ) = ¯¯ dN~ (t)¯¯ dt (14) En efecto: L(N = I j·(t)j ¯ d® (t)¯ dt, y I dt dt lim

el resultado se sigue

Cotéjese esta expresión en los casos sencillos (Ejercicio 6.1.1) de la curva (de curvatura · = 0 y con imagen una recta) ~» ~ ~ jI ) = 0 ®(t) = p + t~» ; ) T~ (t) = ¯¯ ¯¯ ; ) N(t) = cte ; ) L(N ~ ¯» ¯

y de la curva (de curvatura · =

1 r

y con imagen una circunferencia)

®(t) = p + r(cos t; sen t) ; ) T~ (t) = (¡sen t; cos t) ; ) ~ ~ j I ) = 1 L(® j I ) : ) N(t) = (¡ cos t; ¡sen t) ; ) L( N r Las fórmulas (14) son especialmente signi…cativas en el caso de que la curva esté parametrizada por la longitud de arco s (es decir, si j ®0 j= 1). Si tomamos una referencia afín euclídea con origen el punto ® (0) ´ (0; 0) y ~ con base ortonormal la dada por (T~ (0); N(0)), la curva tiene unas coordenadas ® (s) = (x (s) ; y (s)) cuyo desarrollo en serie de Taylor en s = 0 resulta determinado, en este caso, por los valores de la curvatura y¡ sus sucesivas¢ dy derivadas en el 0: En efecto, teniendo en cuenta que T~ (s) = dx ds (s) ; ds (s) y las fórmulas (14), podemos expresar las derivadas de cualquier orden de ~ , con unos coe…cientes que resultan ser comT~ en función de la base (T~ ; N) binaciones de las sucesivas derivadas de la curvatura. El proceso comienza así: 8 ~ > dT > ~ ; > = ·N > > ds > < 2~ ~ d T d ³ ~ ´ d· ~ dN d· ~ 2~ = · N = N + · = ¡· T + N ; > ds2 ds ds µ ds ¶ ds > µ ¶ > 3 2 > d T~ d· ~ d · ~ > 3 > : = ¡3· T + ¡· + N ; etc. ds3 ds ds2

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

28

Al ser ®(s) = ®(0)+

d® 1 d 2® 1 d 3® 1 d 4® 2 3 (0) s + (0) s + (0) s + (0) s 4 + ::: ; 2 3 4 ds 2 ds 3! ds 4! ds | {z } | {z } | {z } | {z } T~(0)

dT~ ds (0)

~ d2T ds 2

(0)

~ d3T ds 3

(0)

obtenemos …nalmente: 8 µ ¶ 1 1 d· > > ¡3· (0) (0) s4 + : : : < x (s) = s ¡ ·2 (0) s 3 + 3! 4! ds µ ¶ 1 1 d· 1 d2· > 2 3 3 > (0) s + ¡· (0) + 2 (0) s4 + : : : : y (s) = · (0) s + 2 3! ds 4! ds

En el caso de que la curva plana sea analítica, las expresiones anteriores son válidas para todo s 2 I y constituyen la expresión explícita de lo predicho por el Teorema 1.24 para esta clase de curvas, a saber, que quedan determinadas, salvo movimientos directos, por los valores de la curvatura y sus sucesivas derivadas en un punto. Observación 1.26 De lo anterior se desprenden muchas otras propiedades geométricas interesantes. Por ejemplo, se ve que 2y (s) ; s!0 s 2

· (0) = lim

esta expresión (no intrínseca) permite intuir tanto el signo de · como el hecho de que la curvatura cambia de signo cuando cambia el sentido de recorrido. Por otra parte, tomando módulos y teniendo en cuenta que la curva está parametrizada por la longitud de arco, se ve que 2d (s) ; s!0 L(® j[0;s] )2

j · (0) j = lim

donde d (s) es la distancia entre el punto ®(s) y la recta afín que pasa por ®(0) y tiene por dirección T~ (0); esta expresión (intrínseca) permite intuir que el módulo de la curvatura no depende de la parametrización. Sea ® : I ! E2 una curva alabeada y sea (T; N) su diedro de Frenet. Para cada t 2 I, las rectas a…nes que pasan por ®(t) y tiene por direccio~ (t) se denominan recta tangente y recta normal de ® en nes T~ (t) y N t, respectivamente. Intuitivamente, la curvatura mide cuánto se desvía la imagen de la curva de estar contenida en su recta tangente (Ejercicio 6.1.1a). Por otra parte, la propiedad de que la distancia de la curva a un punto …jo tuviera un máximo local para algún valor (interior al dominio) del parámetro acotaría inferiormente la curvatura en dicho valor del parámetro (Ejercicio 6.1.13).

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 1.5.2

29

Algoritmo para el cálculo de la curvatura

Proposición 1.27 Sea ® : I ! E2 una curva regular y sea · su curvatura. Entonces se veri…ca: det(® 0; ®00 ) ·= : (15) j®0 j 3 Se sigue que:

signo(·) = signo(< ®00 ; N >) :

Además, si j®0 j = 1, se deduce: j·j = j®00 j . Demostración. Recordar que, por ser (T; N) una referencia móvil euclídea, es det(T; N) = 1. Se tiene: ( µ 0 ¶ 0j ®0 =: j®0 j T j® j dj® 0 00 dt ; ) (® ; ® ) = (T; N) ; ) (14) 0 j®0 j 2 · T0 = j®0 j ·N 0

00

) det(® ; ® ) =det(T; N) det | {z } 1

µ

0

j j®0 j dj® dt 0 j®0 j2 ·

¶

3

= j®0 j · :

Se sigue que el signo de · es el signo del determinante de la matriz que transforma la base (T; N) en la base (®0 ; ®00). Pero, al ser T y ®0 colineales y con el mismo sentido, este signo resulta ser igual al signo del producto escalar < ®00; N >. Finalmente, si j®0 j = 1, es ®00 = ·N; de donde se sigue j·j = j®00 j

1.6 1.6.1

CURVAS ALABEADAS EN EL ESPACIO Triedro de Frenet

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Sus curvaturas ·1 := !j®210 j > 0 y ·2 := !j®320 j reciben ahora los nombres de curvatura · y torsión ¿ de ®, respectivamente . Si (E1 ; E2 ; E3) es la referencia de Frenet (o triedro de Frenet) de ®, es habitual llamar T ´ E1 campo tangente ; N ´ E2 c. normal principal y B ´ E3 c. binormal ; por ser (T; N; B) una referencia ortonormal positiva, resulta de (3) T£N =B : Las fórmulas de Frenet (13) quedan en la forma: 0 1 0 ¡ j®0 j · 0 (T 0 ; N0; B0 ) = (T; N; B) @ j®0 j · 0 ¡ j®0 j ¿ A ; 0 j®0 j ¿ 0

(16)

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

30

con

1 1 < N; T 0 > y ¿ := 0 < B; N0 > : 0 j® j j® j De forma análoga a como se hizo en el caso de las curvas planas, se puede calcular el desarrollo de Taylor (en el parámetro) de la curva, expresada ésta en la referencia afín euclídea con origen el punto ® (0) y con base ortonormal ~ (0); N(0); ~ ~ la dada por (T B(0)) . Los primeros términos de dicho desarrollo, cuando ® está parametrizada por la longitud de arco s (es decir, cuando j ®0 j= 1), son 8 1 1 d· > > x (s) = s ¡ ·2 (0) s 3 + (¡3·(0) (0))s4 + : : : > > 3! 4! ds < 1 1 d· 1 d2· 2 3 3 y (s) = · (0) s + (0) s + (¡· (0) + (0) ¡ ·(0)¿ 2 (0))s4 + : : : 2 > 2 3! ds 4! ds > > > : z (s) = 1 · (0) ¿ (0) s3 + 1 (2 d· (0) ¿(0) + ·(0) d¿ (0))s4 + : : : 3! 4! ds ds · :=

Observación 1.28 De nuevo se deducen de lo anterior propiedades de la geometría de la curva. Por ejemplo, se ve que ¿ (0) = lim

s!0

3!z (s) ; ·(0)s3

esta expresión (no intrínseca) permite intuir tanto el signo de ¿ como el hecho de que la torsión no cambia de signo cuando cambia el sentido de recorrido (recordar que la curvatura · es siempre positiva). Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea (T; N; B) su triedro de Frenet. Para cada t 2 I, las rectas a…nes que pasan por ®(t) y tienen por ~ ~ direcciones T~ (t); N(t) y B(t) se denominan recta tangente, recta normal principal y recta binormal de ® en t, respectivamente. Y los planos a…nes que pasan por ®(t) y tienen por planos (vectoriales) directores ~ ~ ~ ~ Span(T~ (t); N(t)); Span( N(t); B(t)) y Span(T~ (t); B(t)) se denominan plano osculador, plano normal y plano recti…cante de ® en t, respectivamente. Intuitivamente, la curvatura mide cuánto se desvía la imagen de la curva de estar contenida en su recta tangente y la torsión mide cuánto se desvía de estar contenida en su plano osculador (Ejercicio 6.1.4a). Teorema 1.29 (Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión tridimensional) Sean ·; ¿ : I ! R funciones diferenciables, con · > 0 (sin pérdida de generalidad, supondremos que 0 2 I). Sea p 2 E3 y sea (³ ´ ~³ p; ´ ´ ~´p; Â ´ ~Âp) una base ortonormal positiva de TpE3. Existe una única curva alabeada ® : I ! E3; parametrizada por la longitud de arco, con curvatura · y torsión ¿ , y veri…cando ®(0) = p; T(0) = ³; N(0) = ´ y B(0) = Â.

1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

31

Demostración. Ver Apéndice 5.1.4* (exige ciertas nociones de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, que pueden encontrarse en el Apéndice 5.1.3*)

1.6.2

Algoritmo para el cálculo de la curvatura y la torsión

Proposición 1.30 Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sean · y ¿ su curvatura y torsión, respectivamente. Entonces se veri…ca: ·=

j®0 £ ® 00j j®0 j 3

y

¿=

det(®0; ®00 ; ®000 ) : j®0 £ ®00 j2

(17)

Además, si j®0 j = 1, se deduce: · = j®00 j

y

¿=

det(®0; ®00 ; ®000 ) : j®00 j 2

Demostración. Recordar que, por ser (T; N; B) una referencia móvil euclídea, es det(T; N; B) = 1. Se tiene: 8 0 j®0 j T > < ® =: (16) T 0 = j®0 j ·N > : 0 (16) N = ¡ j®0j ·T+ j®0 j ¿B

; )

0

)

8 > > > > > > < > > > > > > :

1 0j j®0 j dj® ¤ dt A ; ) ) (®0 ; ®00; ®000) = (T; N; B) @ 0 j®0 j2 · ¤ 0 3 0 0 j® j ·¿ ¯ µ 0 ¶¯ 0j ¯ (4) ¯ j® j dj® dt ¯ jT £ Nj= j®0 j3 · j® 0 £ ®00 j = ¯¯ det 0 2 0 j® j · ¯ | {z } 0 10 1 0j j® j dj® ¤ dt A = j®0 j6 ·2 ¿ det(®0 ; ®00; ®000) =det(T; N; B) det @ 0 j®0j 2 · ¤ | {z } 0 0 j®0 j 3 ·¿ 1

Finalmente, si j®0 j = 1, es

8 0 0 1 T > 1 0 ¡·2 : 0 (16) 0 0 ·¿ N = ¡·T+¿ B )

· = j®00 j

y ¿=

det(®0 ; ®00 ; ®000 ) j®00 j2

:

32

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

2

SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

Se estudian aquí las super…cies del espacio afín R3, sin usar aún la estructura euclídea. Conviene recordar lo dicho en los apartados 1.1.1 al 1.1.3. Comenzamos reinterpretando algunas nociones preliminares y resultados del análisis de funciones de varias variables.

2.1

PRELIMINARES DE ANÁLISIS

En lo que sigue, consideraremos el espacio afín Rn con su topología usual. Hay que advertir que, aunque dicha topología es la inducida por la distancia euclídea estándar (1.1.4), todas las nociones de distancia en Rn que provienen de una norma inducen la misma topología, por lo que ésta no presupone una distancia concreta. Hasta el apartado 2.1.5, no será necesario por tanto considerar un producto escalar concreto en Rn . 2.1.1

Aplicaciones diferenciables en Rn . Matriz Jacobiana

Sean (x1; :::; xn ) las coordenadas canónicas de Rn , esto es, tales que: xi : Rn 3 (a 1; :::; an ) 7! ai 2 R

(proyección i-ésima):

Denotaremos por (y1; :::; ym ) las coordenadas análogas en Rm : Sea U un abierto de Rn . Una aplicación F : U ! Rm se determina por sus componentes Fj ´ yj ± F : U ! R . Decimos entonces que yj = F j(x1 ; :::; xn )

(j = 1; :::; m)

son las ecuaciones de F . Sea U un abierto de Rn. Una función f : U ! R se dirá diferenciable si posee derivadas parciales continuas de todos los órdenes (esto es, si es de clase C 1). Recordemos aquí la de…nición de derivada parcial (de 1er orden) de f con respecto a xi (i = 1; :::; n) en p 2 Rn : @f d (p) := (f ± ®)(0) ; @xi dt n siendo ® : I! R la curva ®(t) = p + t~ei (en la Observación 2.2(2) veremos que, de hecho, podríamos tomar aquí como curva ® cualquiera que veri…cara ®0 (0) = (~ei)p ). Una aplicación F : U ! Rm se dirá diferenciable si todas sus componentes Fj : U ! R (j = 1; :::; m) son funciones diferenciables.

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

33

Sea F : U ! Rm una aplicación diferenciable. La Jacobiana de F en p 2 U es la matriz (m £ n) dada por: 0 1 @F1 =@x1 ¢ ¢ ¢ @F 1=@xn µ ¶ @(F1; : : : ; F m) B C .. .. DF (p) := (p) ´ @ A (p) : . . @(x1; :::; xn) @Fm =@x1 ¢ ¢ ¢ @Fm =@xn 2.1.2

Vectores tangentes y derivaciones

Sean p 2 Rn y ~» p 2 Tp Rn . Resulta útil considerar el vector tangente ~» p bajo el punto de vista de una ”derivación de funciones”: dada una función diferenciable f : U ! R de…nida sobre un abierto U de Rn que contiene a p, se de…ne la derivada direccional de f según ~» p como el número real ~» p(f ) := Df(p)(~») =

n X @f (p)» i : @xi i=1

Esto signi…ca, para los elementos de la base canónica (recordar 1.1.3) ((~e1) p; :::; (~en )p) de Tp Rn : (~ei)p (f) =

@f (p) (i = 1; :::; n) ; @xi

lo que justi…ca introducir la notación µ ¶ @ ´ (~ei )p (i = 1; :::; n) : @xi p Con esta notación estamos de hecho reinterpretando el vector tangente (~ei)p , que pasa, de ser (recordar 1.2.4) la velocidad ®0 (0) de la curva ®(t) := p + t~ei, a ser el ”operador” que asocia, a cada función f de…nida en un entorno de p, su derivada parcial @f =@xi en p. Este es el segundo paso para hacer de los vectores tangentes algo ”analíticamente útil”

Así, la base canónica de TpRn se escribirá õ ¶ µ ¶ ! @ @ ;:::; @ x1 p @xn p y la velocidad de una curva ® : I ! Rn en ¿ 2 I tendrá la expresión: µ ¶ n X d®i @ 1:2:3 0 ® (¿ ) = (¿ ) : dt @x i ®(¿) i=1

34

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 2.1.3

Diferencial y regla de la cadena

Sea F : U ! Rm una aplicación diferenciable de…nida sobre un abierto U de Rn . Se llama diferencial de F en p 2 U a la aplicación lineal dF jp : T pRn 3 ~» p 7! (DF (p)(~»))F(p) 2 TF (p)Rm ; es decir, se trata de la aplicación lineal que tiene por matriz, respecto de las bases canónicas de TpRn y de TF (p)Rm, la matriz jacobiana DF (p) . Se tiene así: dF j p

µ

@ @xi

¶

= p

m X @F j j=1

@xi

(p)

µ

@ @yj

¶

(i = 1; :::; n)

(18)

F (p)

Observación 2.1 En particular, se tiene: 1. Si ® : I ! Rn es una curva y ¿ 2 I: µ ¶ µ ¶ n d (18) X d®i @ 2:1:2 0 d® j ¿ = (¿) = ® (¿ ) : dt ¿ dt @xi ®(¿) i=1 2. Si f : U ! R es una función diferenciable, p 2 U y ~» p 2 TpRn, se tiene: Ã n ! ³ ´ X @f 2:1:2 ~ ~ df jp »p = (p)»i = »p (f) : @xi f(p) i=1 f (p)

Es frecuente (y muy útil en desarrollos³posteriores de la geometría dife´ rencial) identi…car el vector tangente ~» p(f ) 2 Tf(p) R con su parte f (p)

vectorial, esto es, con el número ~» p(f ) 2 R. Si se hace esta identi…caP Pn @f @f ~ ción, se encuentra: df j p ~» p = ni=1 @x (p) » = i i=1 @xi (p) (dxi jp » p); i y, al ser ~» p 2 T pRn arbitrario, se obtiene la expresión n X @f df jp = (p) dxi jp ; @xi i=1

que resultará familiar del curso de cálculo diferencial. Sean U ½ Rn, V ½ Rm abiertos y F y G aplicaciones diferenciables: F

G

U ! V ! Rl ; entonces G ± F : U ! Rl es una aplicación diferenciable, y se veri…ca para todo p 2 U d(G ± F ) jp = dG j F (p) ± dF j p : (19)

35

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

Esta es exactamente la versión geométrica de la clásica regla de la cadena, que establece, en términos de matrices jacobianas, la igualdad: D(G ± F )(p) = DG(F (p))DF (p) y que, en coordenadas, se escribe: m X @ (zk ± G ± F ) @(z k ± G) @(yj ± F ) (p) = (F (p)) (p) (k = 1; :::; l ; i = 1; :::; n) ; @xi @y @x j i j=1

en donde se han tomado coordenadas (xi ) en Rn , (yj ) en Rm , (zk ) en Rl y se supone que yj = Fj (x1 ; :::; xn) (j = 1; :::; m) y z k = Gk (y1; :::; ym) (k = 1; :::; l) son las ecuaciones de F y G respectivamente. Observación 2.2 : 1. Si F : (Rn ¾)U ! Rm es una aplicación diferenciable y ® : I ! U es una curva, se tiene para todo ¿ 2 I : (F ± ®) 0(¿ )

Obs:2:1(1)

=

d(F ± ®) j¿

= (dF j®(¿) ± d® j ¿ )

¡d¢

dt ¿

¡d ¢

(19)

=

dt ¿

Obs:2:1(1)

=

(20) dF j®(¿) ®0 (¿ ) :

Surge así la siguiente interpretación geométrica de la diferencial: Dados p 2 U; » 2 Tp Rn y cualquier curva diferenciable ® por p (1.2.4) tal que ®0 (0) = », se tiene: dF j p » = (F ± ®)0 (0) : 2. Si f : U ! R es una función diferenciable, p 2 U, ~»p 2 Tp Rn y ® : I ! Rn es cualquier curva por p tal que ®0 (0) = ~»p , se tiene: ~» p(f ) Obs:=2:1(2) P arte vect: de

³

df j p ~» p

´ (20) d(f ± ®) = (0) : dt

(21)

En particular, la curva ® por p utilizada para de…nir (2.1.1) la deri@f vada parcial @x (p) podría haber sido cualquiera que veri…cara ®0 (0) = i ³ ´ @ . @xi p

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 2.1.4

36

Difeomor…smos. Teoremas de la función inversa e implícita

Sean U y V abiertos de Rn . Una aplicación diferenciable F : U ! V se llama difeomor…smo si es biyectiva y si su inversa F ¡1 : V ! U es también diferenciable. La composición de difeomor…smos es un difeomor…smo. Si F : U ! V es un difeomor…smo, se tiene (8p 2 U): (19)

IdTpRn = d IdU jp = d(F ¡1 ± F ) jp = d(F ¡1 ) jF (p) ± dF jp : Se concluye que dF jp : Tp Rn ! T F(p)Rn es un isomor…smo lineal y que (dF jp )¡1 = d(F ¡1 ) jF (p) : El recíproco es también (localmente) cierto y constituye el Teorema 2.3 (función inversa) Sea F : (Rn ¾)U ! Rn una aplicación diferenciable de…nida sobre un abierto U y sea p 2 U. Supóngase que la matriz (DF )(p) es no singular. Existen entonces entornos A( ½ U) de p y B( ½ Rn ) de F (p) tales que F (A) = B y F jA : A ! B es un difeomor…smo. Demostración. Ver [2], Teorema 7.5 Sea F : (Rn ¾)U ! Rr (con n > r) una aplicación diferenciable de…nida sobre un abierto U (cuando r = 1, a la imagen inversa de cada valor de F se le llama un conjunto de nivel de F ). Se dice que p 2 U es un punto regular para F si la matriz jacobiana DF (p) es de rango (máximo) r. Se sigue que, si p 2 U es un punto regular para F , entonces p posee un entorno en U de puntos regulares para F . Se dice que S ½ U es un conjunto regular para F si todos los puntos de S son puntos regulares para F . El teorema general de la función implícita a…rma que: si p 2 U es un punto regular para F : (Rn ¾)U ! Rr , entonces la imagen inversa F ¡1 (F (p)) puede expresarse localmente (en torno a p) como la grá…ca de una cierta función diferenciable & : (Rn¡r ¾)- ! Rr . Vamos a ver la demostración de este teorema en el caso particular n = 3; r = 1, que aplicaremos a super…cies de R3 (el caso n = 2; r = 1, aplicable a curvas planas y que se usa en el Ejercicio 6.1.23, es similar y más sencillo). Teorema 2.4 (función implícita) Sea f : (R3 ¾)U ! R una función diferenciable de…nida sobre un abierto U (s.p.d.g., 0 2 f (U)). Supongamos que p es un punto regular para f perteneciente al conjunto de nivel f ¡1(0)(½ U) (s.p.d.g. y eligiendo adecuadamente las coordenadas cartesianas (x; y; z) en R3, se tendrá (@f=@z) (p) 6= 0). Escribiremos p ´ (a; b; c). Entonces existen: 8 ¾ < un entorno (R2xy ¾) - de (a; b) con - £ J ½ U un entorno (Rz ¾) J de c : una función diferenciable & : - ! J

37

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN tales que f(x; y; z) 2 - £ J j f(x; y; z) = 0g = f(x; y; &(x; y)) j (x; y) 2 -g ; esto es, tales que f ¡1 (0) \ (- £ J) = gr¶afica de & Demostración (ver [2], Teorema 7.6, [5], 2.2, Proposición 2 y [8], Teorema 15.1). Sea © : (R3 ¾)U ! R3 ; (x; y; z) 7! (x; y; f (x; y; z)) , con lo que se tendrá: det(D©(p)) = (@f=@z) (p) 6= 0. Por el Teorema 2.3 existen entornos A(½ U ) de p y B( ½ R3 ) de ©(p) tales que ©(A) = B y © j A: A ! B es un difeomor…smo. Para la aplicación (© j A)¡1 : B ! A escribamos (© jA)¡1(x; y; t) ´ (x; y; Ã(x; y; t)). Denotemos por ¼ 12 y ¼3 las proyecciones

½

¼ 12 : R3 3 (x; y; z) 7! (x; y) 2 R2xy ¼ 3 : R3 3 (x; y; z) 7! z 2 Rz

:

Sean

8 ¾ < el entorno (!) (R2xy ¾) - := ¼ 12 (A) de (a; b) ; s.p.d.g. A = - £ J : el entorno (!) (Rz ¾) J := ¼3(A) de c : la función diferenciable & : - 3 (x; y) 7! Ã(x; y; 0) 2 J Al ser ©(f ¡1(0) \ A) = B \ ft = 0g, se concluye que:

f ¡1(0) \ (- £ J ) = (© j A)¡1(B \ ft = 0g) = gr¶afica de & Observación 2.5 El teorema de la función implícita responde a la siguiente idea intuitiva: de la ecuación f (x; y; z) = 0 puede despejarse localmente z en torno a cualquier punto p en el que (@f =@z) (p) 6= 0. Naturalmente el teorema admite un enunciado análogo si se supone que es (@ f=@x) (p) 6= 0, o que es (@f=@y)(p) 6= 0 . Sea U un abierto de Rn . Un cambio de coordenadas en U es un difeomor…smo à : (Rn ¾)U ! U. Sean xi (i = 1; :::; n) las coordenadas canónicas en U y llamemos x¹i (i = 1; :::; n) a las coordenadas canónicas en U. Estrictamente hablando, correspondería escribir á1 (p) = ((¹ x1 ± à ¡1 )(p); :::; (¹ xn ± à ¡1)(p)) ; para p 2 U. No obstante, y presuponiendo que se ha …jado de antemano el difeomor…smo Ã, las funciones (¹ x1; :::; x¹n ) se considerarán indistintamente

38

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

funciones de…nidas sobre U = à ¡1(U) o sobre el propio U; por lo que valdrán las identi…caciones x¹i ´ x¹i ± á1 (i = 1; :::; n); escribiremos p = (¹ x1(p); :::; x¹n(p)) ´ ( x¹1(à ¡1(p)); :::; (¹ xn (á1(p)) ) y diremos que (¹ x1(p); :::; x¹n(p)) son las nuevas coordenadas de p. Las correspondientes ecuaciones x¹i = x¹i (x1; :::xn) ´ (¹ xi ± à ¡1)(x1; :::xn )

(i = 1; :::; n)

se llaman ecuaciones del cambio de coordenadas. Observación 2.6 Sea à : U ! U un cambio de coordenadas. Se tiene (8p 2 U): µ ¶ µ ¶ µ ¶ n @ @ @ Notaci¶ on (18) X @(xj ± Ã) ¡1 ´ dà já1 (p) = (à (p)) @ x¹i p @ x¹i á1 (p) @ x¹i {z j =1 | } @xj p N otaci¶ on

´

@x j =@¹ xi (p)

(22) y también (haciendo la identi…cación de vectores tangentes a R con sus partes vectoriales, recordar la Observación 2.1(2)): d¹ xi j p

Notaci¶ on

´

d(¹ xi ± Ã ¡1) j p

Obs: 2:1(2)

=

n X @(¹ xi ± á1 ) (p) dxj j p : @x j j=1 | {z }

(23)

N otaci¶ on

´

@¹ xi =@x j (p)

Por lo demás, si à : U ! U no es afín, las nuevas coordenadas de U no serán a…nes, esto es, no existirá ninguna referencia afín (¹o; f~1; :::; f~n) de Rn P tal que p = ¹o + ni=1 x¹i(p)f~i (8p 2 U).

Ejemplo 2.7 Considérese el cambio à : U ! U de cartesianas a polares en R3 , de…nido por 8 > U = R3 ¡ f(x; y; z) 2 R3 j x · 0; y = 0g > > > > U = (0; 1) £ (0; ¼) £ (¡¼; ¼) > > > > Ã(r ´ x¹; # ´ y¹; Á ´ z¹) = (x = rsen# cos Á; y = rsen#senÁ; z = r cos #) ; ) > > < ) à ¡1(x; y; z) = ( r = px2 + y 2 + z 2 ; # = arccos p z ; x2 +y2 +z2 : 8 x > > p arccos ; si y > 0 (0;¼) > > > < x2 +y2 > > > > Á= 0 ; si y = 0 ) > > > > : ¡ arccos(0;¼) p x : ; si y < 0 2 2 x +y

Este cambio no la ´expresión de la Jacobiana ³ ´ es afín. Escribir en detalle ³ @(x;y;z) @(r;#;Á) ¡1 DÃ ´ @(r;#;Á) y de su inversa DÃ ´ @(x;y;z) .

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 2.1.5

39

Integración. Teoremas de Fubini y del cambio de variable

Consideremos Rn como espacio euclídeo (esto es, En ). Los preliminares contenidos en este apartado (ver p.ej. [6], Cap. 8) se usarán básicamente en los Capítulos 3 y 4. Dados dos subconjuntos A; B ½ En y una función ½ f : A ! R, denotaref (x) ; si x 2 A mos f B : B ! R a la función dada por f B (x) := (esto 0 ; si x 2 =A es, f B coincide con f en la intersección A \ B y se anula en BnA). Dado un subconjunto A ½ En , se llama función½característica de A a la función n 1 ; si x 2 A (1EA =)1A : En ! R, dada por 1A(x) := . 0 ; si x 2 =A Si A = [~a; ~b] ´ [a1 ; b1 ] £ ::: £ [an ; bn] (intervalo n-dimensional cerrado) y f : A ! R es acotada, se dice que f es integrable (-Riemann) si los números ( inffU(P; f) j P partición de [~a; ~b]g supfL(P; f) j P partición de [~a; ~b]g (que están bien de…nidos, siendo el primero mayor o igual que el segundo, y donde U(P; f) y L(P; f) son las sumas de Riemann superior e inferior, respectivamente) toman el mismo valor. En tal caso, se llama integral de R f; [~a;~b] f ; a dicho valor común. Si A ½ En es acotado y f : A ! R es acotada, se dice que f que es ~ integrable (-Riemann) si lo es f [~a;b] , siendo [~a; ~b](½ En ) algún (y, por tanto, cualquiera) intervalo n-dimensional cerrado que contenga a A. En tal R R ~ caso, se llama integral de f; A f ; a la integral [~a;~b] f [~a;b] (para cualquiera tal [~a; ~b]). Esta de…nición se extiende sin di…cultad, sucesivamente (ver [6], 8.7), a los casos: (1) A arbitrario R y f(¸ 0) nacotada: f se dice integrable si existe el límite lim a!1 [¡a;a]n f [¡a;a] , siendo [¡a; a] n ´ [¡a; a] £ ::: £ [¡a; a]; lo que R n obviamente requiere que exista la integral [¡a;a]n f [¡a;a] para cualquier R cubo [¡a; a] n. En tal caso, se llama integral de f; A f ; al citado límite. R (2) A arbitrario y f ¸ 0 : f se dice integrable si existe½el límite limM!1 A fM , f(x) ; si f (x) · M siendo fM : A ! R la función dada por fM (x) := ; R 0 ; si f(x) > M lo que obviamente requiere que exista la integral R A fM para cualquier M > 0. En tal caso, se llama integral de f; A f ; al citado límite. R (3) AR arbitrario y f arbitraria: f se dice integrable si existen A f + y f ¡ , siendo f § : En ! R las funciones dadas por f + (x) := A

40

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN ½

½ f (x) ; si f(x) ¸ 0 ¡f(x) ; si f(x) · 0 ¡ y f (x) := . En tal ca0 ; si f (x) < 0 0 ; si f(x) >R0 R R so, se llama integral de f; A f ; a la diferencia A f + ¡ A f ¡.

Este proceso de de…niciones sucesivas pone de mani…esto que, dados un subconjunto A ½ En y una función f : A ! R, la integrabilidad de f es una cuestión que tiene una parte ”delicada” (la integrabilidad de ciertas funciones acotadas de…nidas en subconjuntos acotados) y una parte de ”cálculo” (la eventual existencia de límites de las integrales anteriores). Si A es un subconjunto de En, se dice que A es medible(-Jordan) si su función característica 1A : En ! R es integrable. En tal caso, R se llama contenido(-Jordan ndimensional) de A al número cA := A 1A (¸ 0). El contenido de A se llama longitud si n = 1, área si n = 2 y volumen si n = 3 (cualquier intervalo [~a; ~b] es medible y c[~a;~b] = (b1 ¡ a1) ¢ ::: ¢ (bn ¡ an )). Si A ½ En es acotado y f : A ! R es acotada, la integrabilidad de f queda determinada por el Teorema de Lebesgue (ver [2], Teorema 10.19, [6], Teorema 8.3) que a…rma: f es integrable

,

m ¹ Disc(f En ) = 0 ;

siendo Disc(f E ) el conjunto (acotado) de discontinuidades de f E y siendo m ¹ Disc(f En ) la ”medida” (exterior de Lebesgue) de dicho conjunto. Se sigue que A es medible si y sólo si m ¹ @A = 0, siendo @A la frontera de A (en En ). Cuando tratemos con subconjuntos acotados A ½ En (n ¸ 2), nos restringiremos a aquéllos cuya frontera @A pueda expresarse como unión …nita de grá…cas de funciones continuas; se demuestra que, en tal caso, m ¹ @A = 0, con lo que los subconjuntos A resultarán medibles. Cuando tratemos con funciones acotadas f : A ! R de…nidas en estos subconjuntos, nos restrinn giremos a aquéllas que sean continuas; así, Disc(f E ) ½ @A, con lo que las funciones f resultarán integrables. Es importante disponer de métodos de evaluación de integrales que eviten tener que aplicar la de…nición de integral como límite de una suma. En el caso n = 1, ello viene dado por el Teorema fundamental del cálculo, que a…rma que, si f : [a; b] ! R es una función continua (por tanto, integrable), entonces f posee una antiderivada g (esto es, una función g : [a; b] ! R continua, diferenciable en (a; b) y con derivada primera igual a f j (a;b)) y se Rb R tiene: a f(x)dx ´ [a;b] f = g(b) ¡ g(a) (para cualquier tal g). El análogo para n = 2 (el caso n arbitrario es similar) lo constituye el teorema de Fubini, que reduce la integral a dos integraciones sucesivas en dimensión 1: Teorema 2.8 (Fubini) Sea [~a; ~b] ´ [a1; b1] £ [a2; b2] ½ E2 un intervalo 2dimensional cerrado y sea f : [~a; ~b] ! R una función continua (por tanto, integrable). Entonces se tiene: Z Z b2 Z b1 Z b1 Z b2 f = ( f(x; y)dx)dy = ( f (x; y)dy)dx ; n

[~a;~b]

a2

a1

n

a1

a2

41

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN donde la variable y se mantiene constante en el integrando de Rb (y la x en el de a22 f(x; y)dy).

R b1 a1

f (x; y)dx

Demostración. Ver [2], Teorema 10.20, [6], Teorema 9.1

Una aplicación del Teorema de Fubini la constituye el Teorema de Green, que se usará en el Teorema 4.20. El teorema de Green tiene una primera versión para rectángulos (o para discos), que es fácil de demostrar. Necesitaremos una versión algo más general (Corolario 2.10). Un camino en En (n ¸ 2) es una aplicación continua ® : [a; b] ! En que veri…ca la siguiente propiedad (diferenciabilidad a trozos): existe una partición a = t0 < t1 < ¢ ¢ ¢ < tk = b de forma que cada ®i ´ ® j[ti¡1;ti ] (i = 1; :::; k) es una curva (diferenciable). Por lo dicho antes, m ¹ Im ® = 0. Se dice que ® une ®(a) y ®(b). El camino ® se dice cerrado si ®(a) = ®(b); y se dice simple si la aplicación ® j[a;b) es inyectiva. Observación 2.9 * Una curva continua ® : I = [a; b] ! En se dice de Jordan si ®(a) = ®(b) y si la aplicación ® j[a;b) es inyectiva. Así pues, nuestros caminos cerrados y simples son curvas de Jordan diferenciables a trozos. Mencionamos a continuación (sin demostración) dos propiedades globales de las curvas de Jordan en E2. Usaremos la primera en la formulación del Corolario 2.10 (Green) y la segunda (sólo incidentalmente) en el Ejemplo 4.23. El teorema de la curva de Jordan (ver [2], Teorema 8.40, sin demostración, y [5], 5.7, Teorema 1, demostración en el caso de que ® sea, no sólo diferenciable a trozos, sino diferenciable) a…rma que, si ® es una curva de Jordan en E2, entonces E2 ¡ Im ® está constituido por dos abiertos conexos disjuntos, uno de ellos acotado, con Im ® como frontera común; además, la unión R del abierto acotado y su frontera es homeomorfa a un disco cerrado. Y el teorema de rotación de tangentes (ver [5], 5.7, Teorema 2) a…rma que, si ® es una curva de Jordan diferenciable y regular en E2 , entonces (sobreentendiendo elegida una referencia afín euclídea en E2) la función diferenciable µ : [a; b] ! R de…nida por (Ejercicio 6.1.3a) T~ =: (cos µ; senµ) veri…ca µ(b) ¡ µ(a) = §2¼. Corolario 2.10 (Green) Sea ® : I = [a; b] ! E2 un camino cerrado y simple. Sea R la unión del abierto acotado de E2 ¡ Im ® y su frontera Im ® (por lo dicho antes, R es medible). Supongamos que ® está recorrido en sentido ”positivo” (esto es, de manera que el compacto R quede siempre a la izquierda; ver [2], De…nición 8.23). Sea U ½ E2 un abierto que contenga a R y sean P; Q : U !R funciones con derivadas parciales primeras continuas. Entonces se tiene: Z µ ¶ Z bµ ¶ @Q @P d®1 d®2 ¡ = (P ± ®) + (Q ± ®) dt : @x2 dt dt R @x1 a

42

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN Demostración. Ver [2], Teorema 10.39 (versión para rectángulos) y [2], Teorema 10.43 (versión general)

Recordemos por último la siguiente versión del teorema del cambio de variable: Teorema 2.11 (cambio de variable) Sean U; U abiertos de En y sea à : U ! U un cambio de coordenadas en U (esto es, un difeomor…smo). Sea R(½ U) un subconjunto acotado y medible y sea f : R ! R una función acotada y continua (por tanto, integrable). Entonces se tiene: Z Z f= (f ± Ã) jdet DÃj : à ¡1 (R)

R

Demostración Ver [2], Teorema 10.30 y [6], Teorema 9.3

2.2 2.2.1

SUPERFICIES Parametrizaciones locales de subconjuntos de Rn

Sea S un subconjunto de Rn y sea r < n. Una parametrización (local, r-dimensional) de S es un homeomor…smo ' : (Rr ¾)U ! U , donde U es un abierto de Rr y U es un abierto de S en la topología relativa (esto es, U es intersección de S con un abierto de Rn ), que además posee la siguiente propiedad de regularidad: considerada como aplicación de U en Rn , ' es diferenciable y veri…ca rg(D'(u1; :::; ur )) = r; para todo (u1; :::; ur ) 2 U. Con las notaciones que venimos utilizando se tiene '(u1; :::; ur ) = ((x1 ± ') (u1; :::; ur ); :::::; (xn ± ') (u1; :::; ur )) ; | {z } | {z } '1

'n

para (u1 ; :::; ur ) 2 U . Diremos entonces que

xi = 'i (u1; :::; ur ) (i = 1; :::::; n) son las ecuaciones de '. 2.2.2

Super…cies

Un subconjunto M de R3 se llama super…cie si, para cada punto p 2 M , existe una parametrización (local, 2-dimensional) ' :(R2 ¾)U ! U de M con p 2 U. En adelante mantendremos una doble notación para las coordenadas, a saber: si tomamos coordenadas (x; y; z) en R3 , implícitamente las estaremos identi…cando con (x1; x2 ; x3 ) según la regla x ´ x1 , y ´ x2 , z ´ x3 . Coordenadas (u; v) en R2 se identi…carán con (u1; u2 ) según u ´ u1 , v ´ u2

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

43

Observación 2.12 1. De…nimos pues las super…cies como subconjuntos 3 de R , de los que las parametrizaciones son sólo descripciones locales. Si un subconjunto de R3 es localmente una super…cie, es una super…cie. Cualquier abierto de una super…cie es también una super…cie. 2. No deseamos que las super…cies tengan ”autointersecciones” ni ”bordes”, a …n de que pueda de…nirse sin ambigüedad el plano tangente en cada punto. Pues bien, la inyectividad de las parametrizaciones ' : U !R3 evita algunos tipos de autointersecciones (piénsese en la aplicación ' : (R2 ¾)(¡¼ ¡ "; ") £ R 3 (u; v) 7! (sen u; sen 2u; v)2 R3 ; que es diferenciable pero no es inyectiva). Por otra parte, la continuidad de las inversas '¡1 : U ! U evita otros tipos de autointersecciones (piénsese en la aplicación ' : (R2 ¾)(¡¼; ¼) £ R 3 (u; v) 7! (sen u; sen 2u; v)2 R3 ; que es diferenciable y biyectiva sobre su magen, pero cuya inversa '¡1 no es continua) y garantiza que los cambios de carta serán difeomor…smos (ver Observación 2.18(1)). El que las parametrizaciones ' sean diferenciables con rg(D') = 2, junto con la inyectividad de ' y la continuidad de '¡1, garantizará la existencia de un plano tangente en cada punto de una super…cie (Proposición 2.20). Teorema 2.13 Dado un subconjunto S de R3, considérense las siguientes a…rmaciones: (i) S es una super…cie, (ii) S es un conjunto de nivel regular para una función diferenciable, (iii) S es la grá…ca de una función diferenciable. Entonces se veri…ca: (iii) ) (ii) ) (i) y las tres a…rmaciones son localmente equivalentes. Demostración. Hay que tener en cuenta que las a…rmaciones (ii) y (iii) son de naturaleza ”global”, mientras que (i) es ”local”. Se tiene: loc:

1. (ii) ) (iii) . Teorema 2.4 (contraejemplo a que la implicación sea global, la esfera).

2. (iii) ) (i) . En efecto (ver [5], 2.2): si & : (R2 ¾)- ! R es una función diferenciable, la aplicación

' : - 3 (x; y) 7! (x; y; &(x; y)) 2 R3 tiene por imagen la grá…ca de & , es continua, es inyectiva, posee inversa '¡1 = ¼ 12 jgr¶af ica de & continua, es diferenciable y veri…ca rg(D'(x; y)) = 2; así ' resulta ser una parametrización global de la grá…ca de & .

44

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 3. (ii) ) (i) . Consecuencia de 1 y 2: loc:

4. (i) ) (iii) . En efecto (ver [5], 2.2, Proposición 3, p,74): Sea ' : U ! U una parametrización de M con p 2 U ; s.p.d.g. podemos suponer que se veri…ca det(@ ('1; '2 )=@(u; v)) (' ¡1 (p)) 6= 0. Consideremos la aplicación diferenciable

h := ¼12 ± ' : (R2 ¾)U ! R2 ;

que veri…ca:

0

1

0 1 Bµ C @'1 =@u @'1=@v B 1 0 0¶ C B C ¡1 ¡1 @ A det(Dh(' (p))) = det B @'2 =@u @'2=@v (' (p))C = B 0 1 0 C @'3 =@u @'3=@v @ A | {z } D'('¡1(p))

= det

³

@('1 ;'2 ) @(u;v)

´

('¡1(p)) 6= 0 :

Por el Teorema 2.3 existen entornos A(½ U ) de '¡1(p) y -(½ R2 ) de h('¡1(p)) = ¼ 12 (p) tales que h(A) = - y la aplicación h j A: A ! - es un difeomor…smo. Se sigue que la función diferenciable

& := '3 ± (h jA )¡1 : (R2 ¾) - ! R veri…ca

'(A) ´ f('1 (u; v); '2(u; v); ' 3(u; v)) j (u; v) 2 Ag = f(x; y; &(x; y)) j (x; y) 2 -g ; que es la grá…ca de & . Pero, por ser ' una parametrización de M , '(A) es un abierto de M y el resultado se sigue (contraejemplo a que la implicación sea global, la banda de Moebius o, en general, toda super…cie no orientable; ver más adelante 3.2.1).

5. (iii) ) (ii) . En efecto: si M es la grá…ca de & : (R2 ¾)- 3 (x; y) 7! &(x; y) 2 R ; entonces resulta M = f ¡1(0), con

f : (R3 ¾)- £ R 3 (x; y; z) 7! &(x; y) ¡ z 2 R ; ¡ @& ¢ (p) @& (p) ¡1 y se veri…ca (8p 2 - £ R): rg(Df (p)) = rg @x = 1: @y loc:

6. (i) ) (ii) . Consecuencia de 4 y 5

45

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

Se sigue de lo anterior que una super…cie siempre puede expresarse localmente como conjunto de nivel regular para alguna función diferenciable f : (R3 ¾)U ! R; se dice entonces que la super…cie está dada ”en implícitas”. También se sigue de lo anterior que una super…cie puede expresarse localmente incluso como la grá…ca de alguna función diferenciable & : (R2 ¾)- ! R; concretaremos esto más adelante (3.3.4) para super…cies en el espacio euclídeo. Ejemplo 2.14 Determinar, para cada valor de r ¸ 0, si el subconjunto p 3 2 Mr := f(x; y; z) 2 R j x + y 2 ¡ z 2 = rg es o no una super…cie. ¡1 3 p En primer lugar, se tiene: Mr = f (r), con f : R 33 (x; y; z) 7! 2 2 2 x + y ¡ z 2 R, que es diferenciable en el abierto U ´ R ¡ f(0; 0; 0)g, en el cual se tiene: x

D(f jU)(x; y; z) = ( p

x2 + y 2 ¡ z 2

y

p

x2 + y 2 ¡ z 2

p

¡z

x2 + y 2 ¡ z 2

):

Si r > 0, el ”hiperboloide de 1 hoja” Mr es (globalmente) un conjunto de nivel de la función diferenciable f j U. Puesto que rg(D(f j U)) = 1, Mr es (globalmente) un conjunto de nivel regular de una función diferenciable y, por el Teorema 2.13, M r es una super…cie. Si r = 0, el ”cono” M0 contiene al punto (0; 0; 0), en el que f no es diferenciable. Ahora bien, M0 = g ¡1(0), con g : R3 3 (x; y; z) 7! x2+y 2¡z2 2 R, que sí es diferenciable (en todo R3 ). Pero Dg(x; y; z) = (2x 2y 2z), cuyo rango es 0 en el punto (0; 0; 0). Podemos pues asegurar que M0 ¡ f(0; 0; 0)g es una super…cie. En cuanto al conjunto completo M0, podríamos intentar buscar un entorno (R3 ¾)V de (0; 0; 0) y una función diferenciable h : V ! R tal que M0 \ V fuera un conjunto de nivel regular para h; en tal caso, el conjunto M0 sería (localmente) un conjunto de nivel regular de una función diferenciable y, por el Teorema 2.13, sería una super…cie. Pero la tarea está condenada al fracaso: porque, si ello fuera posible, M0 debería poder expresarse (también por el Teorema 2.13), localmente, como la grá…ca de función diferenciable, del tipo x = &(y; z)

ó

y = &(x; z)

ó

z = &(x; y) ;

y esto es imposible (ya que las proyecciones de M0 sobre los planos coordenados yz ; xz y xy no son inyectivas en el entorno de (0; 0; 0)). Se concluye que M0 no es una super…cie. Incluso el ”semicono superior” M0 \ fz ¸ 0g tampoco es una super…cie (aunque la proyección de M0 \ fz p¸ 0g sobre el plano coordenado xy sí es inyectiva, la función &(x; y) = x2 + y2, cuya grá…ca es el conjunto M0 \ fz ¸ 0g, no es C 1 en (0; 0); ver [5], Ejemplo 5, p.76).

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 2.2.3

46

Cartas en super…cies

Si ' : (R2¾) U ! U es una parametrización de una super…cie M y denotamos por '¡1 = (u; v) : U !U la aplicación inversa, se denomina carta de M al par (U; '¡1). Diremos que U es un entorno coordenado de M . Con las notaciones que venimos utilizando correspondería escribir '¡1(p) = ((u ± '¡1)(p); (v ± '¡1)(p)) ; para p 2 U. No obstante, y presuponiendo que se ha …jado de antemano la carta '¡1, las funciones (u; v) se considerarán indistintamente funciones de…nidas sobre U = '¡1 ( U ) o sobre el propio U; por lo que valdrán las identi…caciones u ´ u ± '¡1; v ´ v ± '¡1; escribiremos p = (u(p); v(p)) ´ ( u('¡1 (p)); v('¡1(p)) ) y diremos que (u(p); v(p)) son las coordenadas de p con respecto a la carta (U; '¡1). Ejemplo 2.15 (carta polar en la esfera) La esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r 2 > 0g admite la parametrización local ' : (R2 ¾)U ! U(½ M ) de…nida por 8 > U = (0; ¼) £ (¡¼; ¼) > > > > '(# ´ u; Á ´ v) = (x = rsen# cos Á; y = rsen#senÁ; z = r cos #) ; ) > > 8 > < arccos (0;¼) p x2 2 ; si y > 0 > < x +y : ¡1(x; y; z) = (# = arccos z ; Á = ) ' 0 ; si y = 0 ) > > r > > > : ¡ arccos (0;¼) p x > ; si y < 0 > x 2+y2 > > : U = M ¡ f(x; y; z) 2 M j x · 0; y = 0g 8 > < cos #1 = cos #2 #i2(0;¼) ) #1 = #2 ¾ En efecto: (1) ' es inyectiva, ya que: ; cos Á = cos Á Ái 2(¡¼;¼) 1 2 > ) Á1 = Á 2 : senÁ = senÁ 1 0 1 2 µ ¶ r cos # cos Á ¡r sen # sen Á a21 a22 @ A (2) rg(D') = rg r cos # sen Á r sen # cos Á = 2, ya que: det = a31 a32 ¡r sen # 0 r2 sen# cos Á 6= 0 ; y …nalmente (3) '¡1 es continua, ya que: limy!0¡;x>0 Á = 0 = limy!0+ ;x>0 Á . La carta (U ; '¡1) se denomina (una) carta polar de la esfera M y las coordenadas # y Á se llaman colatitud y azimut, respectivamente. La carta polar en la esfera puede obviamente obtenerse también a partir del cambio a coordenadas polares en R3 (recordar el Ejemplo 2.7), tomando las restricciones Uaqu¶{ = Uall¶{ \ fr = cte:g; ' aqu¶{ = Ãall¶{ j Uall¶{ \fr=cte:g y Uaqu¶{ = Uall¶{ \ M .

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

2.3 2.3.1

47

APLICACIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES. PLANO TANGENTE Aplicaciones diferenciables entre subconjuntos del espacio afín

Este apartado generaliza 2.1.1. Sean S un subconjunto de Rn , S¹ un subconjunto de Rm y F : S ! S¹ una aplicación. Obsérvese que, para S genérico, la misma noción de ”derivadas parciales” de F en un punto de S carece de sentido. La aplicación F : S ! S¹ se dirá diferenciable si, para cada punto p 2 S, existen un entorno U(½ Rn ) de p y una extensión F~ de F jU\S a U (esto es, una aplicación F~ : U ! Rm tal que F~ j U\S = F j U\S ) diferenciable. En particular, si F es diferenciable, es continua. Ejemplo 2.16 Si S un subconjunto de Rn y p 2 Rn , la función S 3 q 7! pPn 2 R es diferenciable si y sólo si p 2 = S. Por otra i=1 (xi (q) ¡ xi(p)) 2 P parte, la función S 3 q 7! ni=1 (xi(q) ¡ xi(p))2 2 R siempre es diferenciable.

El conjunto F(S) de funciones diferenciables f : S ! R tiene estructura de anillo. Resulta inmediato que la composición de aplicaciones diferenciables entre subconjuntos del espacio afín es también diferenciable. Una aplicación diferenciable F : S ! S¹ se dirá que es un difeomor…smo si es biyectiva y si su inversa F ¡1 : S¹ ! S es también diferenciable. Concentrémonos en el caso de un subconjunto de R3 que sea una super…cie. Utilizando el teorema de la función inversa (Teorema 2.3) se demuestra inmediatamente el siguiente Lema 2.17 Sea ' : (R2 ¾)U ! U una parametrización de una super…cie M . Entonces: 1. Existe una ”extensión” diferenciable © de ' a U £ R(½ R3) de manera que, para cada p 2 U , existen entornos A( ½ U £ R) de ('¡1(p); 0) y B(½ R3) de p tales que ©(A) = B y © j A: A ! B es un difeomor…smo. 2. La aplicación diferenciable ' : U ! U es un difeomor…smo cuya inversa es la carta '¡1 : U ! U. Demostración. Probemos 1. Supongamos s.p.d.g. que det (@('1 ; '2)=@(u; v)) ('¡1(p)) 6= 0 : Consideremos la siguiente extensión diferenciable de '

© : U £ R 3 (u; v; w) 7! ('1(u; v); ' 2(u; v); '3 (u; v) + w) 2 R3

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

48

(identi…caremos U ½ R2 con U £ f0g ½ R3), que veri…ca

¯ 1 ¯ 0 ¯ ¡1 ¡1 ¡1 @ D©(' (p); 0) = D©(' (p); 0) = D'(' (p)) ¯¯ 0 A ; ) | {z }¯ 1 3£2 0

) det(D©)('¡1(p); 0) = det (@(' 1; '2)=@(u; v)) (' ¡1 (p)) 6= 0 :

Sea p 2 U . Por el Teorema de la función inversa (Teorema 2.3), existen entornos A(½ U £ R ) de ('¡1(p); 0) y B(½ R3) de p tales que ©(A) = B y © jA : A ! B es un difeomor…smo. Y probemos 2. Sea p 2 U . Por el resultado anterior y por ser '¡1 continua, podremos encontrar un entorno V(½ U \ B) de p tal que '¡1(V) ½ (U £ f0g) \ A. Lo que implica, al ser © jU£f0g = ', que

'¡1 jV ´ (© j A)¡1 ± © jA ±'¡1 jV = (© j A)¡1 j V ; y esta última es una aplicación diferenciable (cuidado con lo que pasaría si '¡1 no fuera continua!). Al ser p arbitrario, la aplicación '¡1 : U ! U resulta ser una aplicación diferenciable

Observación 2.18 1. Por la identi…cación de U ½ R2 con U £ f0g ½ R3 , el propio dominio U de la parametrización puede considerarse una super…cie en R3. En este sentido, cualquier parametrización de una super…cie es un difeomor…smo entre super…cies cuya inversa es la carta asociada. 2. Sea M una super…cie y sea f : M ! R una función. El apartado 1 implica que f será diferenciable en p 2 M si y sólo si, para alguna (y, por tanto, para cualquiera) parametrización local ' : (R2 ¾)U ! U ½ M en torno a p, la función compuesta f ± ' : (R2 ¾)U ! R es diferenciable en '¡1(p). 3. Sea M una super…cie y sea ® : I ! M una curva (por tanto, diferenciable) por p 2 M . El apartado 1 también implica que, dada cualquier parametrización ': U ! U de M en torno a p, la aplicación ('¡1 ± ®) : I ! U es también diferenciable y, por tanto, es una curva, que denominaremos expresión local de ® en la carta (U ; '¡1). Si (U ; '¡1 : U ! U), (U; ' ¹ ¡1 : U ! U) son dos cartas de una super…cie M , con U \ U no vacío, resulta inmediato del lema anterior que la aplicación cambio de carta ' ¹ ¡1 ± ' : (U ¾) '¡1 (U \ U) ! ' ¹ ¡1(U \ U ) (½ U)

(24)

49

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN es un difeomor…smo. Las correspondientes ecuaciones: ½ u¹ = u¹(u; v) ´ (¹ u±' ¹ ¡1 ± ') (u; v) v¹ = ¹v(u; v) ´ (¹ v ±' ¹ ¡1 ± ') (u; v)

;

abreviadamente u¹i = u¹i(u; v) (i = 1; 2); se llaman ecuaciones del cambio de carta. La matriz Jacobiana del cambio de carta ' ¹ ¡1 ± ' está de…nida en ¡1 ' (U \ U )(½ U) y se escribe µ ¶ µ ¶ @(¹ u; v¹) @ u¹=@u @ u¹=@v ¡1 D(¹ ' ± ') = ´ : @¹v=@u @¹v=@v @(u; v) Ejemplo 2.19 El paraboloide hiperbólico M := f(x; y; z) 2 R3 j z = x2 ¡y 2g admite las parametrizaciones locales (comprobar que lo son!) ' : (R2 ¾)U ! U(½ M ) y ' ¹ : (R2 ¾)U ! U (½ M ), de…nidas por 8 < U = R2 ; U = M '(u; v) = (x = u + v; y = u ¡ v; z = 4uv) ; ) : ) '¡1(x; y; z) = (u = x+y ; v = x¡y ) y 2 2 8 u; v¹) 2 R2 j u¹ 6= 0g ; U = M \ fz > 0g < U = f(¹ ' ¹ (¹ u; v¹) = (x = u¹ cosh ¹v; y = u¹ senh¹ v; z =pu¹2 ) ; ) : : y ¡1 ) ' ¹ (x; y; z) = (¹ u = (signo x) z; ¹v = arc tanh x ) Entonces las ecuaciones del cambio de carta

' ¹ ¡1 ± ' : (U ¾) f(u; v) 2 R2 j uv > 0g ! f(¹ u; ¹v) 2 R2 j u¹ 6= 0g (= U) son

2.3.2

½

p u¹ = u¹(u; v) = signo(u + v) 2 uv v¹ = v¹(u; v) = arc tanh u¡v u+v

:

Plano tangente a una super…cie en un punto

Sea S un subconjunto de Rn y p 2 S. Generalizando la expresión hallada en 1.2.4 para el espacio tangente Tp Rn , denominamos conjunto tangente a S en p al conjunto TpS := f®0 (0) j ® 2 C(p; S)g ½ Tp Rn ; donde C(p; S) es la familia de curvas por p en S. Obsérvese que, cuando U es abierto de S (en la topología relativa) y p 2 U, el conjunto TpU coincide con el conjunto Tp S; en particular, TpU = Tp Rn cuando U es abierto de Rn yp2U. Como sabemos (1.1.3), TpRn tiene estructura natural de espacio vectorial. Pues bien, el conjunto Tp S no tiene por qué (!) ser un subespacio vectorial de T pRn ; sin embargo, como vamos a ver, sí lo es cuando S es una super…cie de R3:

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

50

Proposición 2.20 Sea M una super…cie, sea p 2 M y sea TpM el conjunto tangente a M en p. Entonces: 1. Si ' : U ! U es cualquier parametrización (local) de M en torno a p, entonces se veri…ca: Tp M = Im(d' j'¡1 (p) ) : 2. El conjunto Tp M es un espacio vectorial de dimensión 2, denominado plano tangente a M en p. 3. Si V(½ M ) es un entorno de p de la forma V = f ¡1(0), donde f es una cierta función diferenciable (de…nida en un abierto de R3 y valuada en R) con rg(Df) jV = 1 (recordar el Teorema 2.13), entonces se veri…ca: TpM = ker(df jp ) : Demostración. Probemos 1 (ver [5], 2.4, Proposición 1): Por de…nición, si » 2 TpM , existe una curva ® 2 C(p; U) tal que ®0 (0) = »; entonces su expresión local (Observación 2.18(3)) '¡1±® 2 C('¡1(p); U) ¡ ¢ (20) veri…ca: d' j'¡1 (p) ('¡1 ±®)0(0) = » , con lo que T pM ½ Im d' j '¡1(p) . Viceversa: si ´ 2 T'¡1(p) R2, existe una curva ¯ 2 C('¡1(p); U) tal que ¯0 (0) = ´; se sigue que la curva ' ± ¯ 2 C (p; U) veri…ca (20)

(' ± ¯)0 (0) = d' j '¡1(p) ´, con lo que Im(d' j '¡1(p) ) ½ Tp M .

El apartado 2 es consecuencia inmediata de 1 y de que la aplicación lineal d' j '¡1(p) :T'¡1 (p) R2 ! TpR3 tiene (2.2.1) rango 2. Probemos 3. Si » 2 TpM , existe una curva ® 2 C(p; f ¡1 (0)) tal que ®0 (0) = »; se sigue: (20)

df j p » = (f ± ®)0(0) = 0f (p) ; con lo que TpM ½ ker(df j p ). Por otra parte, puesto que

dim ker(df jp ) = dim TpR3 ¡ dim Im(df jp ) = 2 = dim TpM

(la segunda igualdad, al ser rg(Df(p)) = 1), se sigue: ker(df jp) =

TpM

Observación 2.21 Dada una super…cie M y un punto p 2 M, hemos optado (siguiendo a [5], 2.4) por dar una de…nición ”intrínseca” de TpM , quedando luego la tarea de probar que T pM = Im(d' j'¡1 (p) ), para cualquier parametrización local ' de M en torno a p. Otros textos (por ejemplo, [1], 3.32) pre…eren de…nir TpM := Im(d' j '¡1(p) ), para cierta parametrización local ' de M en torno a p, quedando luego la tarea de probar que esta de…ción no depende de la ' empleada. En cualquier caso, lo que queda por probar siempre requiere saber que las parametrizaciones ' son difeomor…smos.

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

51

Ejemplo 2.22 Calculemos el plano tangente a la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = 1g en el punto p ´ (1; 0; 0). Considerando la parametrización local de M (inversa de una carta polar, Ejemplo 2.15) ' : U ´ (0; ¼) £ (¡¼; ¼) 3 (#; Á) 7! (sen # cos Á; sen # sen Á; cos #) 2 U ; 0 1 cos # cos Á ¡ sen # sen Á sen # cos Á A, se tendrá, en el punto con jacobiana D' = @ cos # sen Á ¡ sen # 0 p = '(# = ¼2 ; Á = 0): µ ¶ ³ ´ ¼ Prop. 2.20(1) ¸ TpM = Im d' j(#= ¼2 ;Á=0) = f D'(# = ; Á = 0)( ) j ¸; ¹ 2 Rg = ¹ 2 p = f(0; ¹; ¡¸)p j ¸; ¹ 2 Rg :

Por otra parte, considerando que M es (globalmente) el conjunto de nivel regular M = f ¡1 (0) para la función diferenciable f : R3 3 (x; y; z) 7! x2 + ¡ ¢ y2 + z 2 ¡ 1 2 R, con jacobiana Df ((x; y; z)) = 2x 2y 2z , obtenemos el mismo (faltaría más!) resultado. En efecto, se tendrá: TpM

Prop. 2.20(3)

=

ker(df j p) = f~» p j Df((1; 0; 0))(~») = 0g =

= f~»p j » 1 = 0g = f(0; » 2; » 3)p j » 2; »3 2 Rg : Sea M una super…cie y sea '¡1 : U ! U una carta de M con parametrización local asociada ' : U ³3 (u; v) 7! (x; y; z) 2 U . Se sigue del lema ´ ¡@¢ ¡@¢ anterior que, para todo p 2 U , d' j '¡1(p) @u ; d' j ¡1 ' (p) @v '¡1(p) '¡1(p) constituye una base del espacio vectorial tangente TpM . Introducimos ahora la notación µ ¶ µ ¶ µ ¶ 3 @ Notaci¶ on @ @ (18) X @' j ¡1 ´ d' j'¡1 (p) = (' (p)) (i = 1; 2) ; @ui p @ ui '¡1 (p) @ui @xj p j=1 (25) @ @ así, (( @u )p; ( @v )p) constituye una base de TpM , que denominaremos base inducida por la carta (U ; '¡1). Observación 2.23 Con esta notación, la velocidad de una curva ® : I ! U en ¿ 2 I se escribe: (20)

®0 (¿) = d' j'¡1 (®(¿)) ('¡1 ± ®)0(¿) 2:1:2 = Ã 2 ! µ ¶ µ ¶ 2 X d(ui ± ®) X @ d(ui ± ®) @ = d' j '¡1(®(¿)) (¿) ´ (¿ ) ; dt @ui '¡1 (®(¿)) dt @ui ®(¿) i=1 i=1 siendo ('¡1 ± ®)(t) ´ ((u ± ®)(t); (v ± ®)(t)) la correspondiente expresión local (Observación 2.18(3)) de ®.

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 2.3.3

52

Diferencial y regla de la cadena para aplicaciones entre subconjuntos

Este apartado generaliza 2.1.2 y 2.1.3. Sean S un subconjunto de Rn y sean p 2 S y » 2 Tp S. Dada una función diferenciable (2.3.1) f : S ! R, se de…ne la derivada direccional de f según » como el número real »(f) := »(f~) 2 R ;

siendo f~ : U(½ Rn ) ! R cualquier extensión (local) diferenciable de f . La expresión (21) garantiza que este número está bien de…nido (esto es, no depende de la extensión f~ local elegida). Observación 2.24 Sean M una super…cie, (U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M y p 2 U . Sea f : U ! R una función diferenciable (y sea f~ cualquier extensión (local) diferenciable de f ). Entonces se tiene: µ ¶ µ ¶ µ ¶ 3 @ @ @ (25) X @'j ¡1 ~ = ~ 2:1:2 (f) := (f) (' (p)) (f) = @ui p @ui p @ui @xj p j=1 =

3 X ~ @(xj ± ') ¡1 @ f~ @(f ± ') ¡1 2:1:3 @(f ± ') (' (p)) (p) = ('¡1(p)) = (' (p)) : @u @x @u @u i j i i j=1

Sean S un subconjunto de Rn , S¹ un subconjunto de Rm y p 2 S. Dada ¹ se de…ne la diferencial de una aplicación diferenciable (2.3.1) F : S ! S, F en p como la aplicación (no necesariamente lineal, en la medida en que el conjunto TpS no tiene por que ser un subespacio vectorial de TpRn) dF jp : TpS 3 » 7! d F~ j p » 2TF (p)S¹ ; siendo F~ : U(½ Rn ) ! Rm cualquier extensión (local) diferenciable de F . La expresión (20) garantiza que esta aplicación está bien de…nida (esto es, no depende de la extensión F~ local elegida y su imagen pertenece efectivamente ¹ En el caso de una función (diferenciable) f : S ! S¹ ½ R, se a T F(p)S). deduce de la Observación 2.1(2): df jp » = (»(f)) f(p). Naturalmente, la diferencial dF jp que acabamos de de…nir es la restricción a TpS de la aplicación lineal dF~ jp : Tp Rn ! TF (p)Rm. Cuando Tp S sea subespacio vectorial, dF j p será a su vez una aplicación lineal; este será el caso cuando S sea un abierto de Rn o una super…cie (Proposición 2.20(2)). Si F : S ! S 0 ; G : S 0 ! S 00 son aplicaciones diferenciables entre subconjuntos del espacio afín, también lo es la aplicación G ± F : S ! S 00 y se veri…ca para cada p 2 S: (19)

d(G ± F ) jp = dG jF (p) ± dF j p ;

(26)

53

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN además, si ® : I ! S es una curva, se tiene (para todo ¿ 2 I): (20)

(F ± ®)0 (¿) = dF j®(¿) ®0(¿) : 2.3.4

(27)

Representación local de aplicaciones entre super…cies

¹ una aplicación continua (entre super…cies). Entonces, para Sea F : M ! M ¹ , existe otra cada punto p 2 M y cada carta (U; ' ¹ ¡1 ) en torno a F (p) 2 M ¡1 carta (U; ' ) en torno a p de manera que F (U ) ½ U y la aplicación F '¹' := ' ¹ ¡1 ± F ± ' : '¡1(U ) ! ' ¹ ¡1(U ) resulta ser una aplicación continua entre abiertos de R2 . Se denomina a F ''¹ representación local de F en ('; ' ¹ ) y a las correspondientes ecuaciones 8 u¹ ± F jU = (¹ u ± F )(u; v) ´ (¹ u ±' ¹ ¡1 ± F ± ') (u; v) > > | {z } > < F1'¹' ¡1

v¹ ± F jU = (¹v ± F )(u; v) ´ (¹v ± ' ¹ ± F ± ') (u; v) > > | {z } > : '' ¹

(28)

F2

ecuaciones locales de F en ('; ' ¹ ).

¹ una aplicación continua (entre super…cies). Lema 2.25 Sea F : M ! M Entonces: 1. F es diferenciable si (y sólo si) admite una representación local (en torno a cada punto p 2 M ) diferenciable. 2. Si F es diferenciable, cualquier representación local de F lo es. 3. Si F es diferenciable, p 2 M y F '¹' es una representación local de F en torno a p, se tiene: µ ¶ µ ¶ 2 X @ Fj'¹' ¡1 @ @ dF jp = (' (p)) (i = 1; 2) (29) @ui p j=1 @ui @ u¹j F (p) Demostración. Los apartados 1 y 2 son inmediatos, por la Observación 2.18(2). Probemos 3. Teniendo en cuenta la de…nición de F ''¹ , se deduce, 8p 2 U (i = 1; 2) : Ã ! µ ¶ µ ¶ (25) @ @ (26) dF j p ´ dF jp d' j '¡1(p) = @ui p @ui '¡1 (p) Ã ! µ ¶ @ (18) = d' ¹ jF '¹' ('¡1 (p)) dF '¹' j '¡1(p) = @ui '¡1 (p)

54

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

= d¹ ' j'¹¡1 (F (p)) ´

à 2 ! µ ¶ X @Fj'¹' (25) @ ('¡1(p)) ´ @u @ u ¹ i j ' ¡1 (F (p)) ¹ j=1

2 X @Fj'¹' j=1

@ui

¡1

(' (p))

µ

@ @ u¹j

¶

F(p)

Ejemplo 2.26 Sean las super…cies (comprobar que lo son!) M := f(x; y; z) 2 ¹ := f(x; y; z) 2 R3 j 4z = y2 ¡ x2g. Considérese la aplicaR3 j z = xyg y M ción R3 3 (x; y; z) 7! (x ¡ y; x + y; z) 2 R3 , que es diferenciable y lleva M en ¹ . Así, la aplicación F : M ! M ¹ ”correspondiente” (esto es, de…nida por M la misma expresión que que la de partida) resulta ser una aplicación diferen¹ (globalmente) grá…cas de funciones ciable entre super…cies. Por ser M y M 2 diferenciables de la forma & : (R ¾)- 3 (x; y) 7! &(x; y) 2 R, admiten cartas naturales (globales) ' ¡1 y ' ¹ ¡1 , dadas por las respectivas proyecciones sobre el plano xy. La representación local de F en ('; ') ¹ será: '

F

' ¹ ¡1

F '¹' := ' ¹ ¡1 ± F ± ' : (u; v) 7! (u; v; uv) 7! (u ¡v; u + v; uv) 7! (u ¡ v; u + v) ; esto es, F

'¹ '

(u; v) = (u ¡ v}; u + v}) ; que tiene por Jacobiana DF | {z | {z u ¹

'' ¹

=

v ¹

µ

1 ¡1 1 1

¶

;

con lo que, para cualquier punto p ´ (x; y; z) 2 M , se tendrá: ( ¡@¢ ¡@ ¢ @ dF j(u;v) @u = + ¡ @ ¢ (u;v) ¡ @ u¹ @ @¹v @ (¹u¢=u¡v;¹v=u+v) : dF j(u;v) @v = ¡ @¹u + @¹v (¹u=u¡v;¹v=u+v) (u;v)

Observación 2.27 1. (Coherencia de la notación) Sea (U; ' ¡1 ) una carta de una super…cie M y sea p 2 U . Tomando como F la propia '¡1 : U ! U y, como cartas, '¡1 en U y la canónica idU en U, se tiene: F ' idU = idU. De donde se sigue: µ ¶ µ ¶ @ @ (29) ¡1 d' jp = (i = 1; 2) ; @ ui p @ui '¡1(p) lo que es coherente con la notación introducida en (25). 2. (Cambio de carta) Sean (U; '¡1), (U ; ' ¹ ¡1) dos cartas de una super…cie M y sea p 2 U \ U . Tomando como F la identidad en M , se tiene: F '¹' = ' ¹ ¡1 ± ' (la aplicación cambio de carta, 2.3.1). De donde se sigue: µ ¶ µ ¶ 2 @ ¹j ¡1 @ (29) X @ u = (' (p)) (i = 1; 2) @ui p @u @ u ¹ i j p j=1

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

55

(con u¹ = u¹(u; v) ; ¹v = ¹v(u; v) las ecuaciones del cambio de carta) o, en otras palabras, µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ @ @ @ @ @(¹u; v¹) ( ; )=( ; ) ('¡1(p)) ; @u p @v p @ u¹ p @ v¹ p @(u; v) con 2.3.5

³

@(¹ u;¹ v) @(u;v)

´

la matriz Jacobiana del cambio de carta.

Difeomor…smos entre super…cies. Teorema de la función inversa

Este apartado generaliza 2.1.4. ¹ super…cies. Recordemos (2.3.1) que una aplicación diferenSean M y M ¹ se llama difeomor…smo si es biyectiva y si su inversa ciable F : M ! M ¡1 ¹ F : M ! M es también diferenciable. ¹ , las super…cies M y M ¹ se dicen Si existe un difeomor…smo F : M ! M difeomorfas. Como la identidad, la inversa de un difeomor…smo y la composición de difeomor…smos son difeomor…smos, se concluye que la relación ”ser difeomorfas” es de equivalencia. Sabemos (Observación 2.18(1)) que, dada cualquier carta (U; ' ¡1 ) de una super…cie M , la aplicación ' ¡1 : U ! U es un difeomor…smo con inversa ': U ! U . Puesto que las bolas (euclídeas) abiertas constituyen una base de la topología de R2 y son todas difeomorfas, se deduce (de la de…nición de super…cie) que, localmente, todas las super…cies son difeomorfas. ¹ es un difeomor…smo, se tiene (8p 2 M ): Si F : M ! M (26)

IdTpM = d IdM jp = d(F ¡1 ± F ) jp = d(F ¡1) jF (p) ± dF j p ; ¹ es un isomor…smo lineal y que se concluye que dF j p: TpM ! TF (p)M (dF jp )¡1 = d(F ¡1 ) jF (p) : El recíproco es también (localmente) cierto y constituye el ¹ una Teorema 2.28 (función inversa para super…cies) Sea F : M ! M aplicación diferenciable entre super…cies y sea p 2 M . Si dF j p: TpM ! ¹ es un isomor…smo lineal, existe un abierto U de M , con p 2 U , tal TF (p)M ¹ y F jU : U !F (U) es un difeomor…smo. que F (U ) es abierto de M Demostración. Vamos a demostrar este resultado para F aplicando el teorema de la función inversa (Teorema 2.3) a su representación local F '¹' . Sean cartas (U ; '¡1) en torno a p 2 M y (U; ' ¹ ¡1 ) en torno

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

56

¹ tales que F (U ) ½ U . Entonces resulta (Lema 2.25(2)) a F (p) 2 M '¹ ' que F : (R2 ¾)U ! U(½ R2) es diferenciable y veri…ca ¡ ¢ (26) ¡ ¡1 ¢ rg dF '¹' j'¡1 (p) = rg d¹ ' j F (p) ± dF jp ± d' j'¡1 (p) = 2 ;

la última igualdad por ser ' y ' ¹ difeomor…smos entre super…cies y por veri…carse rg(dF jp) = 2 .

Se deduce del Teorema 2.3 que F ''¹ es localmente un difeomor…smo y s.p.d.g. (restringiendo adecuadamente los abiertos U y U) que F ''¹ es un difeomor…smo. Al ser ' y ' ¹ difeomor…smos, se concluye que

F jU = ' ¹ ± F '¹' ± '¡1 : U ! F (U) = U es un difeomor…smo

¹ super…cies. Una aplicación diferenciable F : M ! M ¹ se Sean M y M llama difeomor…smo local si, en cada punto p 2 M , su diferencial dF jp : ¹ es un isomor…smo lineal. Obviamente, todo difeomor…smo TpM ! T F(p)M es un difeomor…smo local. ¹ super…cies y sea F : M ! M ¹ una aplicación Lema 2.29 Sean M y M diferenciable. Entonces: 1. F es un difeomor…smo local si y sólo si F es localmente un difeomor…smo. 2. F es inyectiva y un difeomor…smo local si y sólo si F es un difeomor…smo sobre su imagen. 3. F es un difeomor…smo local si y sólo si, para cada punto p 2 M , existen ¹ en cartas (U ; '¡1 = (u; v)) de M en torno a p y (U; ' ¹ ¡1 = (¹ u; ¹v)) de M '¹ ' torno a F (p), con F (U ) ½ U , tales que F = idU o, en otras palabras, tales que las ecuaciones locales (28) de F en ('; ' ¹ ) son u¹k ± F j U = uk

(k = 1; 2) ;

estas cartas se llaman adaptadas al difeomor…smo local F . Demostración. Probemos 1. Condición su…ciente, obvia. Condición necesaria: Teorema 2.28. Probemos 2. Condición su…ciente, obvia. Condición necesaria: basta¹ y que F ¡1 : F (M) ! M es rá probar que F (M ) es abierto en M diferenciable. Sea p 2 F (M ). Por el apartado 1, existe un abierto ¹ y F jU : U de M , con F ¡1 (p) 2 U , tal que F (U ) es abierto de M

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

57

U !F (U ) es un difeomor…smo. Se sigue que F ¡1 jF (U)= (F j U )¡1 , que es diferenciable. La arbitrariedad en la elección de p prueba que ¹ y que F ¡1 es diferenciable F (M ) es abierto en M Y probemos 3. Condición necesaria: sea (U; '¡1 ) una carta tal que F jU : U :! F (U ) sea un difeomor…smo. Si ' : U ! U es la parametrización local asociada, tómese

' ¹ := F ± ' : U ! F (U ) ; con lo que resulta U = F (U ) y ' ¹ ¡1 = '¡1 ± (F jU )¡1 . Trivialmente entonces F '¹' = idU. Condición su…ciente: el que, para cada p 2 M , ¹ en existan cartas (U; '¡1 ) de M en torno a p y (U ; ' ¹ ¡1) de M '¹ ' torno a F (p), con F (U ) ½ U , tales que F = idU, prueba que ¡1 F jU = ' ¹ ± ' ; que es un difeomor…smo. Y el resultado se sigue por el apartado 1

Observación 2.30 En 2.2.1 se dio la de…nición de parametrización de un subconjunto de R3. Cuando ya se sabe que el subconjunto M es una super…cie, para concluir que una aplicación diferenciable ' : (R2 ¾)U ! M es de hecho una parametrización de M basta probar que ' es inyectiva y que rg(D'(q)) = 2 ; 8q 2 U (y no es necesario comprobar que '¡1 : '(U)! U es continua). En efecto (ver [5], 2.2, Proposición 4, p.75; aquí damos otra demostración, aprovechando que disponemos ya de un teorema de la función inversa para super…cies) Para todo q 2 U, la aplicación lineal d' jq : Tq U ! T'(q) R3 tiene (por hipótesis) rango 2 y, puesto que su imagen Im(d' jq ) está contenida (!) en T'(q) M (que es un plano vectorial), da lugar a un isomor…smo lineal T q U ! T'(q) M . Al ser ' : U ! M una aplicación diferenciable entre super…cies (por la identi…cación del dominio U ½ R2 con la super…cie U £ f0g en R3 ), ' resulta ser un difeomor…smo local y, al ser inyectiva, resulta ser (Lema 2.29(2)) un difeomor…smo sobre su imagen. En particular, '(U) es abierto en M y '¡1 : '(U)! U es continua. De donde se sigue que ' es una parametrización de M

Ejemplo 2.31 Sea r > 0. Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco, con curvatura ·(< 1=r) y torsión ¿ constantes, y sea (T; N; B) su triedro de Frenet. Considérese el conjunto M := Im ©, siendo ~ ~ © : I £ R 3 (u; v) 7! ®(u) + r cos v N(u) + rsen v B(u) 2 E3 : El conjunto M es un ”tubo” de radio r centrado en Im ® (en el caso ¿ 6= 0, Im ® es una hélice; recordar el Ejercicio 6.1.15a). Supongamos que M

58

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

constituye una super…cie. Vamos a ver que © induce, por restricción, una parametrización local ' : U ! U en torno a cada punto de M . La aplicación © es suprayectiva, continua, diferenciable y veri…ca (8(u; v) 2 I £ R): ³ h i (16) ~ ~ rg (D©(u; v)) = rg (1 ¡ ·r cos v) T~ (u) + ¿ r ¡senv N(u) + cos vB(u) h i´ ~ ~ r ¡senv N(u) + cos vB(u) =2:

A partir de aquí, podemos seguir dos caminos: Primer camino. La aplicación © admite la siguiente ”extensión” diferenciable: h i ~ ~ ~ © : I£R£R 3 (u; v; w) 7! ®(u)+(1 + w) r cos v N(u) + rsen v B(u) 2 E3 :

~ 0 ; v0 ; 0) : Puesto que Sea p 2 M ; ) 9u0 2 I y 9v0 2 R tales que p = ©(u ³ ´ ³ h i ~ 0; v0; 0) = rg (1 ¡ ·r cos v0) T~ (u0 ) + ¿r ¡senv0 N(u ~ 0) + cos v0 B(u ~ 0) rg D ©(u h i ~ ~ r ¡senv0 N(u0) + cos v0B(u0)

h i ´ ~ ~ r cos v0 N(u0 ) + rsen v0 B(u0) =3 ;

~ es, localmente en torno a (u0; v0; 0), un difeose sigue (Teorema 2.3) que © mor…smo; por tanto, © es, localmente en torno a (u0 ; v0), inyectiva. Puesto que hemos supuesto que M es una super…cie, se sigue de la Observación 2.30 que existe un entorno U(½ I £ R) de (u0 ; v0) tal que ' := © j U: U ! U ½ M es una parametrización local de M en torno a ©(u0; v0) = p. Segundo camino. Una vez que sabemos que rg (D©(u; v)) = 2 ; 8(u; v) 2 I £ R; se sigue del Teorema de la función inversa para super…cies (Teorema 2.28) que: 8p 2 M ; 9U ½ I £ R tal que U ´ ©(U) es abierto de M (con p 2 U ) y © j U: U ! U es un difeomor…smo. Con lo que ' := © jU será una parametrización local de M en torno a p.

2.4 2.4.1

CAMPOS DE VECTORES SOBRE SUPERFICIES Campos de vectores sobre subconjuntos del espacio afín

Un campo (diferenciable) de vectores X sobre un subconjunto S de ~ ´ (X1; :::; Xn) : Rn viene determinado por una aplicación diferenciable X n S ! R , y se de…ne como la aplicación ³ ´ ~ X : S 3 p 7! X(p) := X(p) 2 Tp Rn : p

59

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

~ la parte vectorial de X. Sean (x1; :::xn ) las coordeSe denomina a X nadas canónicas de Rn. Obviamente se tiene, para todo p 2 S: µ ¶ n X @ X(p) = Xi (p) ; @x i p i=1 y las funciones diferenciables Xi : S ! R reciben el nombre de componentes ~ ( y de X). de X Lo anterior permite introducir (para cada i = 1; :::; n) el campo de vectores sobre S @ jS ; @xi que hace corresponder a cada p 2 S el vector (no necesariamente tangente a S ) (@=@xi)p 2 Tp Rn . Obsérvese que la parte vectorial del campo @=@xi jS es el vector constante ~ei := (0; : : : ; 1i); ; : : : ; 0) . La familia XS de los campos de vectores sobre un subconjunto S de Rn tiene estructura natural de R-espacio vectorial. Además es un F(S)-módulo, donde F(S) es el anillo de las funciones diferenciables f : S ! R. Puesto que, dado un campo X 2 X S , existen funciones Xi 2 F(S) tales que µ ¶ n X @ X= Xi jS ; @x i i=1 se concluye que el conjunto (@=@x1 jS ; : : : ; @ =@xn jS ) constituye una base (esto es, un sistema generador F(S)-linealmente independiente), llamada canónica, del F(S)-módulo X S . 2.4.2

Campos de vectores tangentes a super…cies

Un campo de vectores X 2 X S sobre un subconjunto S de R se dice tangente a S si, para todo p 2 S , se veri…ca X(p) 2 TpS . Se denota por X(S) al conjunto de los campos tangentes a S. Obviamente se tiene: X(S) ½ XS . En general, X(S) no es un F(S)-submódulo de X S (en la misma medida en que, dado p 2 S, el conjunto tangente Tp S no tiene por qué ser un subespacio vectorial de TpRn, recordar 2.3.2). Obsérvese que: (1) Si U es un abierto de Rn , entonces X(U) = X U . En particular, X(U) es un F(U)-módulo. En efecto: 8p 2 U; f®0 (0) j ® 2 C (p; U)g = f®0 (0) j ® 2 C(p; Rn )g (2) Si M es una super…cie de R3, entonces X(M) está estrictamente contenido en X M y constituye un F(M )-submódulo de X M .

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

60

(3) Si U es un abierto de una super…cie M y V 2 X(M ), entonces V j U 2 X(U ). Sea M una super…cie y sea (U; ' ¡1 ) es una carta de M. Entonces la asignación (para cada i = 1; 2) @ ; @ui que hace corresponder a cada p 2 U el vector tangente (@=@ui )p 2 TpM (recordar (25)), veri…ca: µ ¶ 3 X @'j @ @ ¡1 = ( ±' ) jU (i = 1; 2) ; @ui @u @x i j j=1

(30)

@ por tener componentes diferenciables, @u constituye un campo de vectores i tangente a U , que denominaremos i-ésimo campo coordenado (correspondiente a la carta (U ; '¡1)). Si (U ; ' ¹ ¡1 = (¹ u; v¹)) es otra carta de M , con ' ¹ : U ! U la parametrización local asociada, se deduce de la Observación 2.27(2) que, en U \ U, se tiene: µ ¶ @ @ @ @ @(¹ u; v¹) ( ; )=( ; )( ± '¡1) ; (31) @ u @v @ u¹ @ v¹ @(u; v) ³ ´ @(¹ u;¹ v) con @(u;v) la matriz Jacobiana del cambio de carta. ³ ´ P3 @ Sea ahora V = V j 2 X(M ) un campo tangente a una j=1 j @xj M super…cie M y sea (U; ' ¡1 ) una carta de M: Puesto que, para cada p 2 U , el conjunto (( @u@ 1 ) p; ( @u@ 2 )p) constituye (2.3.2) una base de TpM , es claro que existirán funciones V1'; V2' : U ! R (no necesariamente diferenciables, por el momento) tales que se podrá escribir

V jU =

2 X i=1

Vi'

@ ; @ui

(32)

esta expresión se denomina expresión local de V en la carta (U ; '¡1) y las Vi' (i = 1; 2) son las componentes locales de V en la carta (U; '¡1). Ahora bien, las funciones Vj 2 F(M ) (j = 1; 2; 3) restringen a funciones diferenciables Vj jU 2 F(U) y entre éstas y las Vi' (i = 1; 2) existen, como consecuencia de (30), las siguientes relaciones: Vj jU =

2 X i=1

Vi' (

@' j ± '¡1) (j = 1; 2; 3) ; @ui

en base a estas relaciones es posible demostrar el siguiente

(33)

61

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

Lema 2.32 Sean M una super…cie, V 2 X(M ) un campo tangente y V j U = P2 ' @ ¡1 i=1 Vi @ui su expresión local en una cierta carta (U; ' ) de M . Entonces las componentes locales Vi' : U ! R son funciones diferenciables. Demostración: ver Apéndice 5.2.1

Se concluye que la pareja (@=@ u; @ =@v) de campos coordenados constituye una base (esto es, un sistema generador F(U)-linealmente independiente) del F(U)-módulo X(U ). Ejemplo 2.33 Sea la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 g y @ @ considérese el campo (diferenciable) de vectores X := (¡y @x +x @y ) j M 2 XM , ~ = (¡y j M ; x j M ; 0). Puesto que M = f ¡1(0), con con parte vectorial X f : R3 3 (x; y; z) 7! x2 + y2 + z 2 ¡ r2 2 R ; se tendrá (8p 2 M): T pM

Prop. 2.20(3)

=

ker(df j p) = f~» p j Df(p)(~») = 0g = f~»p j

P3

3 X

2xi (p)»i = 0g :

i=1

Al ser i=1 (xi Xi) jM = (¡xy + yx) jM = 0, se concluye que X es tangente a M . Con lo que, en la carta polar (U; '¡1) de la esfera M (Ejemplo 2.15) 0 1

A ' : U ´ (0; ¼)£(¡¼; ¼) 3 (#; Á) 7! @rsen# cos Á ; rsen#senÁ ; r| cos {z #} 2 U ; | {z } | {z } ´'1

´'2

´'3

@ @ se veri…cará: X jU = X1' @# + X2' @Á 2 X(U), para ciertas funciones (”componentes locales” de X en la carta (U; ' ¡1 )) X1'; X2' 2 F(U ). Para determinarlas, escribamos µ ¶ @ @ @ @ X j U = ¡y +x jU = ¡rsen#senÁ j U +rsen# cos Á jU ; @x @y @x @y y, puesto que 8 P3 @'j < @ (30) ¡1 @ @ @ = j=1( @# ± ' ) @xj j U = r cos # cos Á @x jU +r cos #senÁ @y j U ¡rsen# @# P3 @'j : @ (30) = ( ± '¡1) @ j U = ¡rsen#senÁ @ j U +rsen# cos Á @ j U @Á

j=1

@Á

@xj

@x

@y

se deduce el siguiente sistema de ecuaciones de 3 ecuaciones para las 2 funciones X1'; X2' (no olvidar que ya sabemos que el sistema tiene que tener solución única!) 8 ' ' < ¡rsen#senÁ = X1 (r cos # cos Á) + X2 (¡rsen#senÁ) ' ' rsen# cos Á = X1 (r cos #senÁ) + X2 (rsen# cos Á) ; : 0 = X1'(¡rsen#) cuya solución es: X1' = 0 ; X2' = 1. Con lo que, …nalmente queda: X jU =

@ : @Á

@ j @z U

;

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 2.4.3

62

Derivación natural en el espacio afín

Recogemos aquí la formalización de las operaciones de derivación habitual en abiertos de Rn , extendiéndolas al caso de super…cies de R3. Interesa reunir ahora las propiedades más relevantes de esta derivación habitual, para compararlas más adelante con las de la llamada ”derivación covariante” sobre super…cies de E3 . Sea S un subconjunto dado de Rn . Nos interesa restringirnos al caso en que TpS sea un subespacio vectorial de TpRn, para todo p 2 S; de esta forma se garantiza que el conjunto X(S) de los campos de vectores tangentes a S forma un submódulo del F(S)-módulo XS de campos sobre S. Ciertamente, los únicos ejemplos que nos interesan son aquéllos en los que S es un abierto de Rn o una super…cie (de R3 ). Consideramos en Rn las coordenadas canónicas (x1; :::; xn): Dada una función diferenciable (2.3.1) f 2 F(S), ya sabemos (2.3.3) cómo de…nir la derivada direccional de f según » 2 TpS, a saber, como el número real ~ ; »(f ) := »(f) (34) siendo f~ : U(½ Rn ) ! R cualquier extensión (local) diferenciable de f. Es inmediato comprobar que la aplicación TpS £ F(S) 3 (»; f) 7! »(f) 2 R resulta ser R-lineal en ambas entradas y veri…ca una regla de Leibnitz para productos en la segunda, esto es, »(fg) = »(f )g(p) + f(p)»(g). Además, si S = U es un abierto de Rn , se tiene (2.1.2): µ ¶ @ @f (f) = (p) (i = 1; :::; n) ; @xi p @xi por otra parte, si S = M es una super…cie y (U ; '¡1) es una carta de M , se tiene (Observación 2.24): µ ¶ @ @(f ± ') ¡1 (f ) = (' (p)) (i = 1; 2) : @ ui p @ui En base a lo anterior, resulta natural de…nir la derivada de f 2 F(S) con respecto a un campo tangente V 2 X(S) como la función V(f) 2 F(S) tal que: (V(f))(p) := V(p)(f ) , para todo p 2 S : (35) Se deduce inmediatamente de las propiedades de (34) que la aplicación X(S) £ F(S) 3 (V; f ) 7! V(f ) 2 F(S)

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN

63

resulta ser R-lineal en ambas entradas, F(S)-lineal en la primera y veri…ca una regla de Leibnitz para productos en la segunda, esto es, V(fg) = V(f)g+ fV(g). Además, si S = U es un abierto de Rn , se tiene: µ ¶ @ @f (f ) = (i = 1; :::; n) ; @xi @ xi mientras que, si S = M es una super…cie y (U ; '¡1) es una carta de M, se tiene: µ ¶ @ @(f ± ') (f) = ± ' ¡1 (i = 1; 2) : (36) @ui @ui Vamos ahora a de…nir la ley de derivación ”natural” de campos de´vectores ³ Pn @ sobre S. Dado un campo de vectores (2.4.1) X = i=1 Xi @xi jS 2 XS , de…nimos la derivada direccional de X según » 2 Tp S como el vector (no necesariamente tangente a S ) µ ¶ n X @ D» X : = »(Xi ) 2 T pRn : (37) @x i p i=1 Así pues, en esta de…nición ”natural” de derivación de un campo de vectores, el vector derivador » actúa exclusivamente sobre las componentes (o parte vectorial) del campo X (sin afectar en absoluto a los campos de la base canónica (@=@x1 jS ; : : : ; @=@xn jS ) de XS ). De nuevo se deduce inmediatamente de las propiedades de (34) que la aplicación TpS £ X S 3 (»; X) 7! D»X 2 Tp Rn es R-lineal en ambas entradas y no es F(S)-lineal en la segunda, sino que se veri…ca: D»(f X) = »(f)X(p) + f (p)D»X. Es conveniente en este momento intercalar aquí una ley que ³ de derivación ´ Pn @ ya conocemos. Dado un campo de vectores V = i=1 Vi @xi ± ® 2 X ® a lo largo de una curva ® : I ! S, ya sabemos (1.2.2) cómo de…nir la derivada de V, a saber, como el campo (atención al cambio de notación, que en 1.2.2 era V0 ) µ ¶ n X DV dVi @ := ± ® 2 X® : (38) dt dt @ xi i=1

Se obtenía así una aplicación D=dt : X ® ! X® , que era R-lineal, pero no F(I)-lineal, sino que veri…caba: D(fV)=dt = (df=dt)V + f DV=dt. El motivo de recordar aquí esta ley de derivación es que se tiene la siguiente (importantísima) propiedad que la relaciona con (37): si X 2 X S , entonces D(X ± ®) (t) = D® 0(t)X ; 8t 2 I ; dt

64

2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN o, en otros términos (de…niendo (D®0 X)(t) := D®0 (t)X , para todo t 2 I ): D(X ± ®) = D®0 X : dt ³ ´ P En efecto: Sea X = ni=1 Xi @x@ i jS ; entonces se tiene: D(X ± ®) D (t) = dt dt

à n X

µ

@ (Xi ± ®) ±® @xi i=1

¶!

(39)

(t) =

µ ¶ µ ¶ n n X d(Xi ± ®) @ (34) X 0 @ (37) = (t) = ® (t)(Xi) = D®0(t)X dt @x @x i i ®(t) ®(t) i=1 i=1 Finalmente de…nimos la derivada de X 2 X S con respecto a V 2 X(S) como el campo DVX 2X S tal que: (DV X)(p) := DV(p)X , para todo p 2 S :

(40)

Se deduce inmediatamente de las propiedades de (37) que la aplicación X(S) £ X S 3 (V; X) 7! DVX 2 X S es R-lineal en ambas entradas y es F(S)-lineal en la primera pero no en la segunda, sino que se veri…ca: DV(f X) = V(f )X+f DVX. Además, si S = U es un abierto de Rn, entonces XS = X(S) y se tiene: µ ¶ n X @Xj @ D @x@ X = jS (i = 1; :::; n) ; i @ x @x i j j=1

³ ´ en particular, D @x@ @x@ j j S = 0 (los campos de la base canónica (@=@x1 j S i ; : : : ; @=@xn j S ) de XS poseen derivada nula). Por otra parte, si S = M es una super…cie y (U; '¡1 ) es una carta de M , se tiene: µ ¶ 3 @ (30) X @ 2'k @ (30) @ ¡1 D@=@ui = ( ±' ) jU = D@=@uj @uj @ui@uj @xk @ui k=1

(i = 1; 2) ; (41)

es decir, D@=@ui @u@ j es el elemento de X U cuya parte vectorial es: µ

@ 2'1 @ 2'2 @ 2'3 ± '¡1; ± '¡1; ± ' ¡1 @ui@uj @ui@uj @ ui @uj

¶

´

@ 2' ± '¡1 : @ui @uj

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

3

65

SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

En este epígrafe se estudiarán aquellos aspectos y propiedades de las super…cies del espacio E3 que tienen que ver con la estructura euclídea canónica de éste.

3.1 3.1.1

PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL Estructura euclídea de los espacios tangentes a E3

Recordar µ el apartado 1.1.4; en ¶ particular que, en cada punto p 2 En , la base ³ ´ ³ ´ @ canónica ; : : : ; @x@n de T pEn es ortonormal. @x 1 p

p

Sea S un subconjunto de En tal que TpS es subespacio vectorial de TpEn , para todo p 2 S (usualmente, S es un abierto U o una super…cie M de E3). Si X; Y 2 XS , se de…ne: < X; Y > : S 3 p 7!< X(p); Y(p) > 2 R ; que resulta ser una función diferenciable, ya que se tiene: µ ¶ µ ¶ n n n X X X @ @ < X; Y > = Xi Yi , para X ´ Xi jS , Y ´ Yi jS @x @x i i i=1 i=1 i=1 En el caso particular n = 3 , se de…ne: X £ Y : S 3 p 7! X(p) £ Y(p) 2 Tp E3 ; que resulta ser un campo de vectores (diferenciable) sobre S, ya que se tiene: 0 @ 1 @ @ @x jS @y j S @z jS X £ Y = det @ X1 X2 X3 A : Y1 Y2 Y3 En cuanto a derivaciones de productos escalares de campos, se tiene el siguiente resultado: Proposición 3.1 Sea S un subconjunto de En tal que Tp S es subespacio vectorial de Tp En , para todo p 2 S. 1. Sean X; Y 2 X S y sea » 2 TpS. Entonces se tiene (recordar (37)): » < X; Y > = < D»X; Y(p)> + < X(p); D» Y > 2 R :

:

66

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

2. Sea ® : I ! S una curva y sean X; Y 2 X ® . Entonces la función < X; Y >: I 3 t ! < X(t); Y(t) > 2 R es diferenciable y se tiene (recordar (38)): d < X; Y > DX DY =< ; Y > + < X; > 2 F(S) : dt dt dt 3. Sean X; Y 2 X S y sea V 2 X(S). Entonces se tiene (recordar (40)): V(< X; Y >) = < DVX; Y > + < X; DV Y > 2 F(S) : ³ ´ P Demostración. Probemos 1. Escribiendo X ´ ni=1 Xi @x@ i jS , ³ ´ P Y ´ ni=1 Y i @x@ i jS , con Xi; Yi 2 F(S) (i = 1; :::; n), se tiene: » < X; Y >= »

Ã

n X

XiYi

i=1

!

(34)

=

n X

(37)

(»(Xi) Yi(p) + Xi (p) »(Yi)) =

i=1

=< D» X; Y(p)> + < X(p); D» Y > El apartado 2 es similar (de hecho, sólo supone un cambio de notación respecto de lo que ya se vio en 1.2.2). Probemos 3. Escribiendo nuevamente X ´

Pn

i=1 Yi

³

@ @x i jS

´

, se tiene:

V(< X; Y >) = V

à n X

Xi Yi

i=1

!

(35)

=

n X

Pn

i=1 Xi

³

@ @xi

´

jS , Y ´

(40)

(V(Xi ) Yi + Xi V(Yi)) =

i=1

=< DV X; Y > + < X; DVY > La estructura euclídea de E3 permite de…nir, para cada función diferenciable f : (E3 ¾)U ! R, su gradiente, denotado grad f 2 X(U), como el único campo de vectores sobre U que veri…ca, para todo p 2 U y todo » 2 TpU: 3 X @f ~ < (grad f)(p); » >: = Df (p)(») = (p)»i ; @xi i=1 de donde inmediatamente se sigue:

µ ¶ 3 X @f @ grad f = jU : @xi @xi i=1

67

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

Sea M una super…cie en el espacio euclídeo E3 , sea V ½ M un abierto (en la topología relativa) de la forma V = f ¡1 (0), donde f es una cierta función diferenciable (de…nida en un abierto de E3 y valuada en R) con rg(Df jV ) = 1 (recordar el Teorema 2.13). Sea p 2 V. Entonces, de la caracterización del plano tangente T pM como el núcleo de la aplicación df j p (recordar la Proposición 2.20(3)) se deduce inmediatamente que: (42)

< (grad f)(p); Tp M > = 0 :

Ejemplo 3.2 La función f : E3 3 p 7!j p j22 R tiene por P3 diferenciable gradiente grad f = i=1 2xi @x@ i 2 X(E3). Dado el punto p ´ (1; 0; 0) de la esfera M := f ¡1 (1), resulta ser Tp M = f~»p j< ~»; (1; 0; 0) >= 0g (simple reelaboración del Ejemplo 2.22). ³ ´ P3 @f @ Observación 3.3 La expresión (grad f )(p) = no se i=1 @xi (p) @xi p

mantiene bajo cualquier cambio lineal de coordenadas, mucho menos bajo un cambio arbitrario (Ejercicio 6.3.1a); por el contrario,síP se mantiene bajo @f un cambio arbitrario de coordenadas la expresión df j p= 3i=1 @x (p) dxi j p i (ver el Ejercicio 6.3.1b, donde se explica el contexto de dicha expresión).

3.1.2

Formas bilineales sobre super…cies

Una forma bilineal sobre una super…cie M del espacio afín R3 es una correspondencia B que asocia, a cada punto p 2 M , una forma bilineal Bp : TpM £TpM ! R veri…cando la siguiente propiedad de diferenciabilidad: para todo par de campos V; W 2 X(U) de…nidos sobre un abierto U de M; la función: B(V; W) : U 3 p 7! Bp (V(p); W(p)) 2 R es una función diferenciable. La forma bilineal B induce una aplicación (denotada por la misma letra) B : X(U ) £ X(U) 3 (V; W) 7! B(V; W) 2 F(U ) que es F(U )-bilineal, es decir, que veri…ca, para todo U; V; W 2X(U) y todo f; g 2 F(U ); las propiedades: (1) B(fU + gV; W) = fB(U; W) + gB(V; W) (2) B(U ; fV + gW) = fB(U ; V) + gB(U; W) :

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

68

Además, si V es abierto contenido en U , se veri…ca: B(V jV ; W jV ) = B(V; W) jV : Si (U ; '¡1 = (u; v)) es una carta de M y ' : U ! U la parametrización local asociada, las funciones: @ @ ; ) 2 F(U) (i; j = 1; 2) @ui @uj P determinan completamente B en U ; ya que, si V = 2i=1 Vi' @u@ i 2 X(U) y P W = 2i=1 Wi' @u@ i 2 X(U ) , se tiene: bij := B(

B(V; W) =

2 X

bij Vi'Wj' :

i;j=1

Las funciones bij : U ! R se denominan componentes de B en la carta (U ; '¡1). Observación 3.4 Se deduce de la última expresión que una forma bilineal B sobre una super…cie M es diferenciable si y sólo si sus componentes bij en cualquier carta de M son funciones diferenciables. Proposición 3.5 Sea B una forma bilineal sobre M , sean (U ; '¡1), (U ; ' ¹ ¡1) dos cartas de M y sean bij ; ¹bij las correspondientes componentes de B. Si la aplicación cambio de carta (24) ' ¹ ¡1 ± ' : '¡1(U \ U) ! ' ¹ ¡1(U \ U) tiene por ecuaciones u¹ = u¹(u; v); ¹v = v¹(u; v), entonces se veri…ca: bij =

2 X

¹bkl ( @ u¹k ± '¡1)( @ ¹ul ± '¡1) (i; j = 1; 2) ; @ui @uj k;l=1

donde se entiende que ¹bij (¹ u; v¹) = ¹bij (¹ u(u; v); v¹(u; v)) Demostración. En efecto: P P2 @ u¹l (31) uk ¡1 @ ¡1 @ bij := B( @u@ i ; @u@ j ) = B( 2k=1( @¹ l=1( @uj ± ' ) @¹ @ui ± ' ) @¹ uk ; ul ) = =

P2

¹ @ u¹k k;l=1 bkl ( @ui

@¹ ul ± '¡1)( @u ± '¡1) j

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

69

Observación 3.6 Sea V un espacio vectorial con una forma bilineal simétrica B. Sea b = (e 1; :::; en ) una base cualquiera Pn de V y escribamos ¹ B(v; w) = vbT Bbwb para simbolizar B(v; w) = i;j=1 vi Bijw j. Sea b = (¹e1; :::; e¹n) otra base,PA la matriz que las relaciona y escribamos b = ¹bA para P simbolizar ei = nj=1 ¹ej Aj i (de donde se deduce v¹b = Avb, que simboliza ¹vi = nj=1 Aij vj). Entonces se tiene: vbT Bbwb = v¹bT B¹bw¹b = vbT AT B¹b Awb ; 8v; w ; ) Bb = AT B¹bA :

Este es el contenido algebraico de la proposición anterior. 3.1.3

Primera forma fundamental

Si M es una super…cie de E3 y p 2 M , entonces TpM es un subespacio vectorial 2-dimensional de TpE3 y, por tanto, es un plano euclídeo. En estas condiciones, se tiene: Dada una super…cie M de E3, se denomina primera forma fundamental de M a la forma bilineal G sobre M que asocia, a cada punto p 2 M, la forma bilineal G p : Tp M £ TpM ! R dada por G p(»; ´) :=< »; ´ > . Dados V; W 2X(U), usualmente escribiremos < V; W > en lugar de G(V; W). Para comprobar que la de…nición dada de G corresponde a la de una forma bilineal tener en ³cuenta´que, escribiendo ³ sobre ´ M basta P P3 3 @ @ V ´ , W ´ i=1 Vi @xi j U i=1 Wi @xi j U , con Vi; Wi 2 F(U) (i = 1; 2; 3), resulta G(V; W) =

3 X

V iW i ;

i=1

que es una función diferenciable

Obviamente G es simétrica. Sea M una super…cie de E3. Presuponiendo que se ha …jado de antemano una carta (U ; ' ¡1 = (u; v)) de M , las componentes gij de la primera forma fundamental G se escriben: 3

g ij :=<

@ @ @' (30) X @ 'k ; >= ( ± ' ¡1 )( k ± '¡1) : @ui @uj @ui @ uj k=1

70

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

Introducimos las siguientes notaciones (que son estándar en la bibliografía) para los coe…cientes gij : 8 P3 @' < E ´ g 11 = Pk=1( @uk ± '¡1 )2 ¡1 @'k ¡1 k : (43) F ´ g 12 = 3k=1 ( @' @u ± ' )( @v ± ' ) P3 @' : ¡1 2 k G ´ g 22 = k=1 ( @v ± ' )

que se denominan coe…cientes de la primera forma fundamental de M en la carta (U ; '¡1) (no confundir el coe…ciente F ´ g12 con alguna ¹ aplicación entre super…cies F : M ! M). P P2 ' @ @ Si V ´ 2i=1 Vi' @u ; W ´ i=1 Wi @ui 2 X(U ) , se tiene: i < V; W > =

2 X

i;j=1

'

gij Vi Wj'

=

(V1'; V2')

µ

E F F G

¶µ

W1' W2'

¶

;

en particular, jVj 2 = E(V1')2 + 2F V1'V2' + G(V2')2 :

Hay que hacer notar que, al ser el producto escalar euclídeo de…nido positivo, se veri…ca (recordar 1.1.4): E > 0 ; G > 0 y EG ¡ F 2 > 0 : Se dice que una carta (U ; ' ¡1 ) de M es ortogonal (o también, que es @ un sistema de coordenadas ortogonales) si los campos coordenados @u y @ @v son mutuamente ortogonales en cada punto de U ; con las notaciones que acabamos de introducir, ello es así si y sólo si F = 0. Proposición 3.7 Sea una super…cie M de E3: Existe un sistema de coordenadas ortogonales en el entorno de cada punto de M. Demostración* ([5], 3.4, Corolario 2): ver Apéndice 5.3.1 Ejemplo 3.8 Considérese la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g y la carta polar (U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15. De la expresión '(# ´ u; Á ´ v) = (x = rsen# cos Á; y = rsen#senÁ; z = r cos #) se deduce: ½ @' (#; Á) = (r cos # cos Á ; r cos # senÁ ; ¡r sen#) @# : @' (#; Á) = (¡r sen# senÁ ; r sen# cos Á ; 0) @Á Entonces, los coe…cientes (43) de la primera forma fundamental de M en dicha carta vienen dados por (con las identi…caciones ui ´ ui ± '¡1, recordar 2.2.3): E = r2 ; F = 0 ; G = r2 sen 2# :

71

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

Ejemplo 3.9 Considérese la super…cie M dada en el Ejemplo 2.31 y la carta (U; ' ¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo. De la expresión '(u; v) = ®(u) + ~ ~ r cos v N(u) + rsen v B(u) se deduce: 8 ³ ´ < @' (u; v) = (1 ¡ ·r cos v) T~ (u) + ¿r ¡senv N(u) ~ ~ + cos v B(u) @u ³ ´ : : @' (u; v) = r ¡senv N(u) ~ ~ + cos v B(u) @v Entonces, los coe…cientes (43) de la primera forma fundamental de M en dicha carta vienen dados por: E = (1 ¡ ·r cos v)2 + ¿ 2r 2 ; F = ¿ r2 ; G = r 2 : 3.1.4

Longitudes de curvas en super…cies

Sea M una super…cie de E3 y sea ® : I = [a; b] ! M una curva. En el R apartado 1.3.2 se de…nió la longitud de ® como la integral L(®) := ab j ® 0(t) j dt. Vamos a ver la expresión que toma esta integral cuando la imagen de ® está contenida en un entorno coordenado (cuando no, siempre puede hacerse una partición de [a; b] tal que la imagen de cada segmento esté contenida en un entorno coordenado; la integral total será la suma de las correspondientes a los distintos tramos). Sea (U; '¡1 = (u; v)) una carta de una super…cie M de E3, sea ® : [a; b] ! U una curva y sea (' ¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local en la carta (U; ' ¡1 ) (Observación 2.18(3)). Entonces se tiene la siguiente expresión para la longitud de ®: Z

1:3:2

L(®) : =

=

3.1.5

a

0

j ® (t) j dt

Z br a

´

b

Z br

(E ± ®)(

E(u; v)(

a

Obs: 2:23

=

Z

b a

j

2 X dui i=1

dt

(t)

µ

@ @ui

¶

(43)

®(t)

j dt =

du 2 du dv dv ) + 2(F ± ®) + (G ± ®)( ) 2 (t) dt ´ dt dt dt dt

du 2 du dv dv ) + 2F (u; v) + G(u; v)( )2 (t) dt dt dt dt dt

:

Áreas en entornos coordenados

Sea (U ; '¡1 = (u; v)) una carta de una super…cie M de E3, con ' : U ! U la parametrización local asociada. Se tiene: ¯ ¯ q p ¯@ ¯ (2) @ ¯ ¯ = det(gij ) = EG ¡ F 2 2 F(U): £ (44) ¯ @u @v ¯

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

72

Una función f : U ! R se dice integrable(-Riemann) si lo es f ± ' : U ! R; en tal caso, se llama integral de f en M al número real: ¯ ¯ Z Z Z p ¯ @ ¯ @ (44) ¯ ¯ f := (f ± ') ( ¯ £ ± ') = (f ± ') ( EG ¡ F 2 ± ') ´ @u @v ¯ M U U Z p ´ f(u; v) E(u; v)G(u; v) ¡ F (u; v)2 : U

Un subconjunto R ½ U se dice medible(-Jordan) si lo es '¡1 (R ) ½ R2 ; o, en otras palabras, si '¡1(R ) posee área. Por lo visto en 2.1.5, todo subconjunto acotado de U cuya frontera (en M ) sea la imagen de un camino ® : [a; b] ! M(½ E3) cerrado y simple es medible. Si R ½ U es un subconjunto medible, se de…ne el área de R como la integral de su función característica: Z Z Z p p 2 A(R ) := 1R = ( EG ¡ F ±') ´ E(u; v)G(u; v) ¡ F (u; v)2 ; ' ¡1 (R )

M

'¡1(R )

(45) (no confundir con el área de '¡1(R )). Si f : U ! R es integrable y R ½ U es medible, se llama integral de f en R al número real: Z Z Z p f := f 1R = (f ± ')( EG ¡ F 2 ± ') ´ R

'¡1(R )

M

´

Z

f(u; v) '¡1(R )

p

E(u; v)G(u; v) ¡ F (u; v)2 :

Observación 3.10 1. En este curso sólo integraremos funciones cuyos dominios puedan incluirse (salvo subconjuntos de medida nula) en algún entorno coordenado (ver no obstante el apartado 4.3.1). 2. Se demuestra que, tanto la medibilidad y el área de un subconjunto como la integrabilidad y la integral de una función, no dependen de la parametrización ' utilizada. Veamos en detalle esto último: Sean (U; ' ¡1 = (u; v)) y (U ; ' ¹ ¡1 = (¹ u; v¹)) dos cartas de una super…cie M de E3, con U \ U 6= ;; sean ' : U ! U y ' ¹ : U ! U las parametrizaciones locales asociadas y sea à ´ ' ¹ ¡1 ±' :³U ! U ´ la aplicación cambio @(¹ u;¹ v) de carta (24). Si denotamos Dà ´ @(u;v) la matriz Jacobiana de à , resulta que, en U \ U , se tiene:

(

@ @ (31) @ @ (4) ; ) = ( ; ) (DÃ ± ' ¡1 ) ; ) @u @v @ u¹ @¹v

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO )

73

@ @ @ @ £ = (det DÃ ± '¡1) ( £ ): @u @ v @ u¹ @ v¹

Sea ahora R(½ U \ U ) un subconjunto (acotado) cuya frontera (en U ) sea la imagen de un camino cerrado y simple (R es por tanto medible) y sea f : R ! R una función acotada y continua (f es por tanto integrable). Llamando

¯ ¯ ¯ @ @ ¯¯ ¯ g ´ (f ± ') ¹ (¯ £ ±' ¹) : U ! R y S ´ ' ¹ ¡1(R) ½ U ; @ u¹ @ v¹ ¯

y usando el Teorema 2.11 (del cambio de variable, esto es, del cambio de coordenadas en integrales de Riemann), se obtiene

¯ ¯ ¯ @ @ ¯¯ ¯ (f ± ')( ¯ £ ± ') = @u @v ¯ ' ¡1 (R) ¯ ¯ Z Z ¯@ @ ¯¯ T eor: 2:11 ¯ = (f ±')( ¯ £ ¯±') jdet DÃj ´ (g±Ã) jdet DÃj = @ u¹ @ v¹ '¡1(R) á1 (S) ¯ ¯ Z Z ¯ @ @ ¯¯ = g´ (f ± ' ¹ )( ¯¯ £ ±' ¹) @ u¹ @¹v ¯ S ' ¹¡1 (R) Z

3. Acerca de la de…nición (45) de área de un subconjunto medible R (½ M ) contenido en un entorno coordenado U (ver [5], 2.8 y [8], Cap.17, …g.17.1): tener en cuenta (1.1.4) que las áreas de los rectángulos generados por las bases 8 ³¡ ¢ ´ ¡@¢ @ < ; en T'¡1 (p)R2 y @v '¡1(p) ³¡ @u ¢'¡1¡(p) ¢ ´ @ : ; @ en TpM @u p

son

@v p

¯¡ ¢ ¯ ¡@¢ ¯ @ ¯ ¯ @u '¡1(p) £ @v '¡1 (p)¯ =j ~e1 £ ~e2 j= 1 y ¯ ¯ ; p : ¯¯¡ @ ¢ £ ¡ @ ¢ ¯¯ (44) 2(p) = EG ¡ F @u p @v p 8 <

respectivamente; por lo que, si bien es (obviamente) A('¡1R ) := R ¡1 ' ¡1 (R ) 1' (R ) , la expresión de A(R) ”deberá ser” la dada en (45). Todo ello es similar a lo que ocurre con la de…nición de longitud (1.3.2) de una curva ® : I ! U, donde j®¡0 (t)j ¢ puede verse como el ”factor de magni…cación” entre la norma de dtd t 2 TtR (que es igual a 1) y la de ®0 (t) 2 T®(t)M . A partir de la de…nición (45), resulta inmediato ”recuperar” la expresión del Teorema de Pappus para el área de una super…cie (acotada) de revolución (ver Ejercicio 6.3.5).

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

3.2 3.2.1

74

SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL Orientación de super…cies

Recordar el apartado 1.1.4. Sea p 2 E3 y sea ¦ un plano (vectorial) de Tp E3 . Un vector ~º p 2 Tp E3 se dice que es normal unitaria a ¦ si veri…ca: < ~ºp ; ~º p >= 1 y < ~º p; ¦ >= 0 . Existen exactamente dos normales unitarias (§~º p) a ¦, y cada una de ellas de…ne una orientación de ¦ en el siguiente sentido: una base (~» p; ~´p ) de ¦ se dice que es(tá) positiva(mente orientada) con respecto a ~º p si el vector ~» p £~´p tiene el mismo sentido que ~º p , es decir, si < ~» p £~´p;~ºp > es positivo, lo cual equivale a decir, teniendo en cuenta (3), que det(~»; ~´; ~º ) > 0. En caso contrario, se dice que (~»p ; ~´p) es(tá) negativa(mente orientada) con respecto a ~º p . Sea M una super…cie M de E3. Un campo º 2 XM se dice que es normal unitaria a M si º (p) es normal unitaria a TpM , para todo p 2 M . No siempre existe una normal unitaria º 2 X M a una super…cie M pero, cuando existe, se dice que M es orientable y º de…ne una orientación en M: Así, dar una orientación en M supone establecer una orientación sobre cada espacio tangente TpM y que esta orientación varíe diferenciablemente al mover el punto p sobre la super…cie. Si la super…cie M es conexa y orientable, admite exactamente dos orientaciones. Si una super…cie M resulta ser (globalmente) un conjunto de nivel regular para una función diferenciable, esto es, M = f ¡1 (0), siendo f : ( E3 ¾)D ! R una función diferenciable tal que Df(p) es de rango 1, para todo p 2 M , entonces, habida cuenta de (42), se podrá tomar como normal unitaria º:=

(grad f ) jM 2 XM ; j(grad f ) jM j

por lo que M resultará orientable. Se sigue de ello y del Teorema 2.13 que toda super…cie es localmente orientable. En particular, una carta (U; ' ¡1 = (u; v)) de M induce una orientación sobre U, que es la de…nida por la normal unitaria º ': =

@=@u £ @=@v (44) @=@u £ @=@v = p 2 XU : j@=@u £ @=@vj EG ¡ F 2

Se dice que dos cartas (U ; '¡1) y (U; ' ¹ ¡1) de…nen la misma orientación si, o bien º ' jU\U = º '¹ jU\U cuando U \U 6= ;; o bien U \U = ;. En caso contrario, esto es, si U \U 6= ; y º ' j U\U = ¡º '¹ j U\U , se dice que de…nen orientaciones opuestas. Dos cartas tales como (U ; (u; v)) y (U; (¹ u = ¡u; ¹v = v)) de…nen orientaciones opuestas, ya que por (31) se obtiene: @=@ u¹ = ¡@=@u y @=@ v¹ = @=@v. Finalmente, si (M; º ) es una super…cie

75

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

orientada de E3, se dice que una carta (U; '¡1 ) de M es positiva respecto de º si º jU = º '. Se tiene entonces el siguiente resultado: Proposición 3.11 Sea M una super…cie. 1. Dos cartas (U; ' ¡1 ) y (U ; ' ¹ ¡1), con U \U 6= ;; de…nen la misma orientación si y sólo si la Jacobiana del cambio de carta (24) tiene determinante positivo: µ ¶ @(¹ u;¹v) det ± '¡1 j U\U > 0 @(u; v) 2. M es orientable si y sólo si admite un sistema de cartas que recubren M y de…nen la misma orientación. Demostración. El apartado 1 es consecuencia de que, en U \ U , se tiene:

³ ´ (4) @(¹ u;¹ v) @ @ (31) @ @ ( @u ; @v ) = ( @¹u ; @¹ ) ( ± '¡1) ; ) v @(u;v) )

@ @u

@ £ @v = (det

³

@( u ¹;¹ v) @(u;v)

´

± '¡1)

¡

@ @u ¹

@ £ @¹ v

¢

:

El apartado 2 (ver [5], 2.6, Proposición 1) es consecuencia: (a) de la de…nición de orientabilidad, (b) del hecho de que una super…cie puede ser recubierta por abiertos que son dominios de cartas, y …nalmente (c) del hecho de que, si º es una orientación de M y (U ; '¡1) es cualquier carta, debe veri…carse º jU = §º '

Una condición su…ciente para garantizar que una super…cie no es orientable se trata en el Ejercicio 6.3.7a. La banda de Moebius (Ejercicio 6.2.10) resulta así no-orientable (Ejercicio 6.3.7b) y, por lo dicho anteriormente, no podrá expresarse globalmente como conjunto de nivel regular para una función diferenciable (lo que ya se mencionó en la demostración del Teorema 2.13). 3.2.2

Curvatura normal de curvas en super…cies orientadas

Sea ® : I ! M una curva regular y sea T 2X® su campo (unitario) tangente. Se llama curvatura normal de ® en (M; º) a la función diferenciable ·®º :=

1 DT < ; º ± ® > 2 F(I) : 0 j® j dt

76

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO En el caso de que la curva ® fuera además alabeada, su curvatura · veri…caría DT (16) 0 = j ® j ·N ; dt siendo (T; N; B) el triedro de Frenet de ®. Denotando en tal caso por # : I ! [0; ¼] el ángulo (no orientado) determinado por N y º±®, se tendría:

·®º = · < N; º±® > = · cos # ;

(46)

obsérvese que, en los puntos t 2 I en los que fuera N(t) = §º(®(t)), se tendría ·® º (t) = §·(t)

Puesto que < T; º ± ® >= 0, se veri…ca: ·®º

P rop: 3:1(2)

=

¡1 D (º ± ®) (39) ¡1 ¡1 < T; >= < D® 0 º; T >= < D®0 º; ®0 > : 0 0 j® j dt j® j j ®0 j 2

Como consecuencia se obtiene el siguiente: Teorema 3.12 (Meusnier) : 1. Todas las curvas regulares en (M; º) que tienen en un punto dado de su dominio la misma recta tangente tienen en dicho punto la misma curvatura normal. 2. Todas las curvas alabeadas en (M; º ) que tienen en un punto dado de su dominio el mismo plano osculador tienen en dicho punto la misma curvatura normal. Demostración. Sean ® : I ! M y ¯ : I ! M curvas regulares tales que ®(t0) = ¯(t0 ), para algún t0 2 I .

Probemos 1. Supongamos que ®0 (t0) = ¸¯ 0 (t0 ), con ¸ 6= 0. Entonces:

ᨼ (t0 ) =

j

¡1 ¡1 < D®0 (t0 )º; ®0 (t0 ) >= < D¯0(t 0)º; ¯ 0 (t0) >= ·¯º (t0) : 0 2 2 j ¯ (t0) j 0) j

®0 (t

Probemos 2. Supongamos que ® y ¯ son alabeadas y poseen en algún t0 2 I el mismo plano osculador ¦. Si ¦ 6= T®(t0 )M , entonces debe ser ®0 (t0) = ¸¯0 (t0), con ¸ 6= 0, y el apartado 1 conduce a que ·®º (t0 ) = ·¯º (t0). Si ¦ = T®(t0 )M , entonces las normales N® (t0) y N¯(t0) son ortogonales a º(®(t0)) = º(¯(t0)), y de (46) se sigue que

·®º (t0 ) = 0 = ·¯º (t0 )

77

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

El teorema de Meusnier revela que la noción de ”curvatura normal” (en una super…cie orientada) no es tanto una noción relativa a curvas (regulares) en la super…cie como a direcciones tangentes a la misma. Como consecuencia de ello, dados p 2 M y »(6= ~0p) 2 TpM , se llama curvatura normal de (M; º) en la dirección de » al número real ·º (») :=

¡1 < D»º ; » > ; j » j2

(47)

la terminología ”en la dirección de” es intencional, en el sentido de que este número real depende, no ya del vector tangente (no nulo) propiamente dicho, sino de su clase proyectiva en TpM . Observación 3.13 Dados p 2 M y »(6= ~0p) 2 TpM , consideremos el plano afín euclídeo ¦ que pasa por p y tiene por vectores directores ~» y ~º (p). La intersección M \ ¦ puede vere como la imagen de una cierta curva regular en ¦. La curvatura · de esta curva plana veri…ca entonces · = §·º (») : 3.2.3

Segunda forma fundamental

Sea (M; º) una super…cie orientada de E3 . Se denomina segunda forma fundamental de la super…cie orientada (M; º ) a la forma bilineal H sobre M que asocia, a cada punto p 2 M, la forma bilineal H p : TpM £ TpM ! R dada por (48)

H p(»; ´) := ¡ < D»º ; ´ > : (40)

Se sigue que, dados V; W 2X(U), se tiene: H(V; W) = ¡ < DVº ; W >. Para comprobar que la de…nición dada de H corresponde a la de una forma bilineal³sobre ´M basta tener en ³cuenta ´que, escriP3 P3 @ @ biendo V = ,W = y º jU = i=1 Vi @x i jU i=1 Wi @xi jU ³ ´ P3 @ i=1 º i @xi j U , con Vi; Wi ; ºi 2 F(U ) (i = 1; 2; 3), resulta: H(V; W) = ¡

3 X

i;j =1

(DV º)j Wj = ¡

3 X

i;j=1

Vi

@º j W ; @xi j

que es una función diferenciable

De la expresión que acabamos de obtener se deduce que H es simétrica.

78

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO Observación 3.14 ción 3.1(1):

1. Si p 2 M y »; ´ 2 TpM , se deduce de la ProposiHp(»; ´) =< D» W; º(p) >;

donde W es cualquier campo tangente a M , de…nido en un entorno de p y veri…cando W(p) = ´. 2. Si p 2 M y »( 6= ~0p ) 2 Tp M , se deduce de (47): ·º (») =

Hp(»; ») Gp(»; »)

(49)

Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3. Presuponiendo que se ha …jado de antemano una carta (U ; '¡1 = (u; v)) de M , las componentes hij de la segunda forma fundamental H se escriben: 3

2 @ @ (41) X @ 'k hij := ¡ < D @u@ (º jU ); >=< D @u@ ; º jU > = ( ±'¡1) (º k jU ) : i @uj i @ uj @ui @uj k=1

Introducimos las siguientes notaciones (que son estándar en la bibliografía) para los coe…cientes hij : 8 P3 @ 2' ¡1 > < e ´ h11 = Pk=1( @u2 2k ± ' ) (º k jU ) 'k ; (50) f ´ h12 = 3k=1( @@u@v ± ' ¡1 ) (º k j U ) > P 2 : 3 @ 'k ¡1 g ´ h22 = k=1( @v2 ± ' ) (º k jU )

que se denominan coe…cientes de la segunda forma fundamental de (M; º) en la carta (U ; '¡1). P P2 ' @ @ Si V ´ 2i=1 Vi' @u ; W ´ i=1 Wi @ui 2 X(U ) , se tiene: i H(V; W) =

2 X

i;j=1

'

hij Vi Wj'

=

(V1'; V2')

µ

e f f g

¶µ

W1' W2'

¶

;

en particular, H(V; V) = e(V1')2 + 2f V1'V2' + g(V2')2 : Ejemplo 3.15 Considérese la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g y la carta polar (U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15. De la expresión '(# ´ u; Á ´ v) = (x = rsen# cos Á; y = rsen#senÁ; z = r cos #) se deduce: 8 @2 ' > < @#22 (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; ¡r cos #) @ ' (#; Á) = (¡r cos # senÁ ; r cos # cos Á ; 0) : @#@Á > : @2 ' (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; 0) @Á2

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

79

Por otra parte, es inmediato convencerse de que la normal unitaria º ' := j

@ £ @ @# @Á @ @ @# £ @Á

(44)

j

=

@ £ @ p@# @Á EG¡F 2

2 X U es ”exterior” a la esfera, por lo que deberá ser:

¡¡¡¡¡! o'(#; Á) º '(#; Á) = ( )'(#;Á) = (sen# cos Á ; sen# senÁ ; cos #)'(#;Á) : r

Se deduce de lo anterior que los coe…cientes de la segunda forma fundamental de (M; º ') en la carta (U ; '¡1) serán (con las identi…caciones ui ´ ui ± '¡1, recordar 2.2.3): e = ¡r ; f = 0 ; g = ¡rsen 2# : Ejemplo 3.16 Considérese la super…cie M dada en el Ejemplo 2.31 y la carta (U ; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo. Resulta inmediato comprobar ~ ~ que el campo º 2 XU con parte vectorial ~º(u; v) := cos vN(u) + senv B(u) es normal a M ; para convencerse de ello, basta veri…car (habida cuenta de @' las expresiones de @' @u y @v halladas en el Ejemplo 3.9, donde se calculaban los coe…cientes de la primera forma fundamental de M ) que, efectivamente, @ @ < º ; @u >= 0 =< º; @v >. Pero también puede deducirse directamente que @

£

@

@v º = ¡º ' = ¡ p@u ; basta efectuar el producto vectorial del numerador, EG¡F 2 ~ = B. ~ teniendo en cuenta que T~ £ N Y, puesto que se tiene: 8 @ 2' 2 2 2 ~ ~ ~ > < @u22 (u; v) = ·¿ rsenv T (u) + (· ¡ (· + ¿ ) r cos v)N(u) ¡ ¿ rsenv B(u) @ ' ~ ~ (u; v) = ·rsenv T~ (u) ¡ ¿ r cos v N(u) ; @u@v ³ ´ ¡ ¿rsenv B(u) > 2 : @ ' (u; v) = ¡r cos vN(u) ~ ~ + senv B(u) 2

@v

se deduce de lo anterior que los coe…cientes de la segunda forma fundamental de (M; º) en la carta (U ; '¡1 = (u; v)) serán (con las identi…caciones ui ´ ui ± '¡1 , recordar 2.2.3): e = · cos v(1 ¡ ·r cos v) ¡ ¿ 2r ; f = ¡¿r ; g = ¡r : 3.2.4

Una interpretación geométrica de la segunda forma fundamental.

Sea (M; º) una super…cie orientada de E3 y sea p un punto de M. De…nimos la aplicación altura sobre p (respecto de la normal º(p)) por: ! hp : E3 3 q 7! < ¡ pq; º~ (p) > 2 R : Así, los puntos q 2 M para los que hp(q) sea positivo estarán situados a un lado del plano afín tangente a M en p; y los q 2 M para los que hp (q) sea

80

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

negativo, al otro. La función hp : E3 ! R es diferenciable (atención, que la función : E3 3 q 7!j q ¡ p j2 R no es diferenciable en p, Ejemplo 2.16) Pues bien, es inmediato ver que es precisamente la segunda forma fundamental H p la que proporciona (hasta el ”segundo orden”) la información sobre la función (diferenciable) hp jM 2 F(M ) en las proximidades de p: En efecto: Sea » 2 T pM y sea ® : I ! M una curva tal que ®(0) = p y ®0 (0) = » . Estudiemos el comportamiento, en torno al 0 2 I , de la función hp ± ® : I ! R. Se tiene: 8 (hp ± ®)(0) = 0 > > > ¡¡¡! > < d(hp ±®) (0) = d (0) =< d® (0) ; ~º (p) >=< ®0 (0) ; º(p) >= 0 dt dt dt ¡¡ ¡! 2 0 Pr op. 3.1(2) d2 (hp ±®) d2 > (0) = (0) =< ddt®2 (0) ; ~º (p) >=< D® (0) ; º(p) > = > dt2 dt2 dt > > (39) : D(º±®) 0 0 = ¡ < ® (0); (0) > = ¡ < ® (0);D 0 º >=: H (»; ») dt

® (0)

p

Lo anterior nos permite concluir que, efectivamente, H p controla (hasta el ”segundo orden”) el comportamiento de ® en las proximidades de p: Si, por ejemplo, fuera H p(»; ») 6= 0, entonces hp ± ® presentaría un extremo local estricto en 0 2 I y ello nos permitiría concluir que, para I pequeño, ®(I ) estaría situada a un solo lado del plano afín tangente a M en p

De esta interpretación pueden sacarse interesantes propiedades geométricas sobre cómo es la super…cie. Por ejemplo, si la segunda forma fundamental es de…nida en el punto p, la super…cie debe estar, en un entorno de dicho punto, a un solo lado del correspondiente espacio afín tangente; y si es no-degenerada y no de…nida en p, entonces deben existir dos rectas en el correspondiente espacio afín tangente que dividen a éste en cuatro sectores, estando la super…cie por encima o por debajo de ellos alternativamente (ver más detalles en 3.3.4).

3.3 3.3.1

APLICACIÓN DE (GAUSS-)WEINGARTEN Aplicación de Weingarten

Sea E un espacio vectorial euclídeo y denotemos por su producto escalar. Dada una aplicación lineal L : E ! E , se de…ne la forma bilineal B asociada a L por B(v; w) :=< Lv; w > ; 8v; w 2 E: Se dice que L es autoadjunta si < Lv; w >=< v; Lw>, para todo v; w 2 E. Se sigue que B es simétrica si y sólo si L es autoadjunta. La siguiente proposición contiene resultados conocidos del álgebra lineal euclídea:

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

81

Proposición 3.17 Sea L : E ! E una aplicación lineal en un espacio vectorial euclídeo E (de dimensión n) y sea B su forma bilineal asociada. 1. L es autoadjunta si y sólo si tiene, respecto de alguna (y toda) base ortonormal de E, una matriz representativa simétrica. 2. L es autoadjunta si y sólo si, respecto de alguna (y toda) base b de E, las matrices Lb , b y Bb , representativas de L , y B en dicha base, respectivamente, veri…can Lb = ¡1 b Bb. En particular, L es autoadjunta si y sólo si, respecto de alguna (y toda) base ortonormal de E, las matrices de L y de su forma bilineal asociada B coinciden. 3. L es autoadjunta si y sólo si existe una base ortonormal formada por autovectores de L (las direcciones de esta base son únicas si y sólo si los autovalores son todos distintos). Esto signi…ca que, respecto de dicha base, la representación matricial de L (y de B) es una matriz diagonal: 0 1 ¸1 B C . .. @ A: ¸n

4. Por otra parte, si B : E £ E ! R es una forma bilineal simétrica, existe una única aplicación lineal autoadjunta L : E ! E que tiene a B por forma bilineal asociada Demostración: Ver Apéndice 5.3.2 Sea M una super…cie de E3 . La primera forma fundamental de…ne, en cada espacio tangente Tp M, una forma bilineal simétrica; la aplicación lineal autoadjunta asociada (Proposición 3.17(4)) es la aplicación identidad. Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3. La segunda forma fundamental de…ne, en cada espacio tangente TpM , una forma bilineal simétrica, a la que corresponde (Proposición 3.17(4)) una aplicación lineal autoadjunta Lp : TpM !Tp M, llamada aplicación de Weingarten de (M; º) en el punto p, que viene dada por Lp» : = ¡D»º ; 8 » 2 TpM ;

(51)

y que obviamente veri…ca: (48)

< Lp»; ´ > = Hp (»; ´) ; 8 »; ´ 2 TpM : Hay que comprobar que, en efecto, D» º 2TpM . Pero ello es inmediato ya que se tiene:

Pr op. 3.1(1)

< D»º ; º (p) >

=

1 » < º ; º >= 0 2

(52)

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

82

Se llama aplicación de Weingarten de (M; º) a la correspondencia L que asocia, a cada punto p 2 M , la aplicación de Weingarten Lp en dicho punto. Para cada abierto U de M , la aplicación de Weingarten L induce una aplicación (denotada por la misma letra) L : X(U ) 3 V 7! ¡ DV º 2 X(U), que es F(U )-lineal. Si (U; ' ¡1 = (u; v)) es una carta de M y consideramos la base (@=@u; @=@v) del F(U )-módulo X(U ), necesariamente existirán funciones diferenciables lij 2 F(U) (i; j = 1; 2), llamadas coe…cientes de la aplicación de Weingarten de (M; º) en la carta (U ; '¡1), que veri…carán ½ @ @ @ L( @u ) = l11 @u + l21 @v (53) @ @ @ L( @v ) = l12 @u + l22 @v Es fácil ver que los coe…cientes lij se obtienen a partir de los coe…cientes gij y hij de las dos formas fundamentales; en efecto, se veri…ca la siguiente importante igualdad entre matrices de funciones (de…nidas en U): (lij )

P rop: 3:17(2)

=

(gij )¡1(hij ) ;

(54)

o de forma más explícita: µ ¶ µ ¶µ ¶ 1 l11 l12 G ¡F e f = l21 l22 f g EG ¡ F 2 ¡F E 3.3.2

Curvaturas de super…cies orientadas. Bases adaptadas

Fijado un punto p de una super…cie orientada (M; º ) de E3 , los invariantes geométricos (traza, determinante, autovalores, etc.) de la aplicación de Weingarten Lp determinan invariantes geométricos de la super…cie, que a su vez nos permiten determinar el aspecto geométrico de ésta en las proximidades del punto p. Se llaman: (1) Curvaturas principales k1(p); k2(p) de (M; º ) en p a los autovalores de Lp: (2) Curvatura de Gauss K (p) de (M; º) en p al determinante de Lp. (3) Curvatura media H(p) de (M; º) en p a la mitad de la traza de Lp . Obsérvese que la curvatura de Gauss no depende de la orientación (local o global) de la super…cie, ya que det(Lp) = det(¡Lp ). Aplicando la Proposición 3.17(3), se concluye que existe una base ortonormal (» 1; » 2) de TpM , positiva respecto de º (p) y formada por autovectores de Lp. Según la de…nición anterior, se tiene:

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

Lp »1 = k 1(p) » 1 ;

83

Lp» 2 = k2(p) »2 ;

k1(p) + k 2(p) ; 2 cualquier base (»1 ; »2 ) como la que acabamos de construir se llama base adaptada a (M; º ) en p. En el dominio U de una carta se tiene la siguiente fórmula local, que pone de mani…esto que la curvatura de Gauss K : M ! R de una super…cie de E3 es una función diferenciable (recordar que EG ¡ F 2 > 0): K (p) = k1(p)k2(p) ; H(p) =

(54)

K j U := det L jU =

eg ¡ f 2 2 F(U ) ; EG ¡ F 2

en cuanto a la diferenciabilidad de las curvaturas principales k1; k2 : M ! R (cuando hablamos de las funciones, elegimos la notación de forma que sea k1 ¸ k 2), ver el Ejercicio 6.3.8. Ejemplo 3.18 El cálculo de las curvaturas principales de planos y esferas no requiere coordenadas. Todo plano M en E3 veri…ca M = f ¡1(0), siendo f : E3 3 x 7!< x ¡ q; ~´ >2 R, con q; ~´ 2 E3. ³Eligiendo como normal unitaria º a M la dada P3 ´ i @ ´ ´p ~ por º(p) := j~´j = i=1 j~´j @xi , se tiene (para todo ~» p 2 TpM ): Lp~»p: = p

(37)

¡D~» p º = 0. Con lo que k1 = k2 = 0 y K = 0. Por otra parte, toda esfera M en E3 veri…ca M = f ¡1(0), siendo f : E3 3 x 7!< x ¡ q; x ¡ q > ¡r2 2 R, con q 2 E3 ; r > 0. Eligiendo como P3 pi¡qi ³ @ ´ (p¡q)p normal unitaria º a M la dada por º (p) := r = i=1 r , se @xi p ³ ´ P3 ~ (37) @ tiene (para todo ~» p 2 TpM ): Lp~» p: = ¡D~»p º = ¡1 = i=1 » p(xi) @xi r p ³ ´ P 3 ~ ¡1 @ ~» . Con lo que k1 = k2 = ¡1 y K = 12 . = ¡1 i=1 » i @xi r r p r r p

Ejemplo 3.19 Sea una carta (U ; '¡1) de una super…cie orientada (M; º). Una vez calculados los coe…cientes gij y hij de las dos formas fundamentales en dicha carta, resulta inmediato calcular las curvaturas prinicipales, media y de Gauss en U utilizando la expresión (54). Así, en la esfera de radio r y en la carta polar del Ejemplo 2.15, puede aplicarse obtenido µ lo ¶ en los Ejemplos 3.8 y 3.15 para llegar a la expresión ¡1 0 r (lij ) = ; de donde se concluye lo que ya sabíamos, esto es, que 0 ¡1 r las curvaturas principales son k1 = k2 = ¡1 y la curvatura de Gauss es r 1 K = r2 .

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

84

Análogamente, en la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta (U ; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo, la matriz de la aplicación de Weingarten resulta en ¶cuenta los resultados de los Ejemplos 3.9 y 3.16): (lij ) = µ (teniendo · cos v 0 1¡·r cos v (¿cómo es que no sale simétrica?); de donde se concluye ¡1 ¤ r · cos v ¡1 (!) que las curvaturas principales son k1 jU = 1¡·r cos v y k2 jU = r y la ¡· cos v curvatura de Gauss es K j U = r(1¡·r : cos v) 3.3.3

Aplicación de Gauss

Sea (M; º) una super…cie orientada de E3. Se denomina aplicación de Gauss de (M; º ) a la aplicación ~º : M ! S2 (donde S2 es la esfera unitaria de E3 centrada en el origen) que asocia, a cada punto de M , la parte vectorial de la normal unitaria en dicho punto. Nótese que, por ser las componentes º i (i = 1; 2; 3) funciones diferenciables (recordar que esto implica que admiten extensiones locales ~ºi diferenciables en torno a cada punto de M ½ E3 ), la aplicación de Gauss es una aplicación diferenciable entre super…cies. Por otra parte, para cada p 2 M , y puesto que los espacios tangentes a M en p y a S2 en ~º (p) veri…can Tp M = ~ ~º (p) 2 T~º(p)R3 j< ~»; ~º (p) >= 0g, f~»p 2 TpR3 j< ~»; ~º (p) >= 0g³y T~º´(p)S2 = ³ f»´ la correspondencia canónica

@ @xi

p

$

@ @x i

º(p) ~

identi…ca TpM con T~º (p)S2

(ambos espacios tangentes tienen la misma ”parte vectorial”). La siguiente proposición identi…ca (salvo el signo) la aplicación de Weingarten en el punto p con la diferencial en p de la aplicación de Gauss y proporciona una interesante interpretación geométrica (del valor absoluto) de la curvatura de Gauss jK(p)j: Proposición 3.20 1. Sea (M; º) una super…cie orientada de E3 y sea 2 ~º : M ! S la aplicación de Gauss. Sea p 2 M. Utilizando la identi…identif: cación T pM ´ T~º (p)S2 anterior, se tiene: ¡Lp = d~º jp 2. Sea (U; ' ¡1 ) una carta de M . Sea R(½ U) un subconjunto medible de M y sea p 2 R. Entonces, se tiene: A(~º (R)) = jK(p)j ; R!fpg A(R) lim

donde A(R) y A(~º(R)) son las áreas de los subconjuntos R de M y ~º (R) de S2 , respectivamente.

85

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO Demostración: Probemos 1. Se veri…ca (8~» p 2 T pM ): µ

3 X

~»p(ºj ) @ ¡Lp~»p := D~»p º = @xj j=1 (37)

3 X

@ º~j ´ »i (p) @x i i;j=1

µ

@ @xj

¶

(18)

=

º(p) ~

¶

3 X i=1

p

3 X

@ º~j = »i (p) @xi i;j=1

» i d~º jp

µ

@ @xi

¶

p

µ

@ @xj

¶

identif: p

´

= d~º jp ~» p :

Y probemos 2 (ver [5], 3.3, Proposición 2): El área del recinto R ½ M es (45)

A(R) : =

Z

' ¡1 (R )

¯ ¯ Z ¯ @ ¯ @ (30) ( ¯¯ £ ¯ ± ') = @u @v ¯ '¡1(R )

¯ ¯ ¯ @' @' ¯ ¯ ¯ ¯ @ u £ @v ¯ ;

y análogamente, el área del recinto ~º(R) ½ S2 vendrá dada por

¯ ¯ ¯ @(~º ± ') @(~º ± ') ¯ ¯ ¯ : A(~º (R)) = ¯ @u £ @v ¯ '¡1(R) ³ ´ P @ De la expresión º = 3j=1 º j @x j U se deduce: j Z

¶ µ ¶ µ ¶ 3 µ 3 X @ @ (36) X @(º j ± ') @ ¡1 D@ º = (º j ) j = ( ±' ) j ; ) @ui @ui @xj U @ui @xj U j =1 j=1 (40)

¯ ¯ ¯¯ @(~º ± ') @(~º ± ') ¯¯ ¯ ¯ ¯ ± '¡1 ) ¯D @ º £D @ º ¯ = ¯¯ £ @u @v @u @v ¯

(¤) ;

y por otra parte, se tiene:

µ ¶ @ @ @ @ l11 l12 (D @ º ; D @ º ) = : (¡L ; ¡L ) = ( ; ) ; ) @u @v l21 l22 @u @v @u @v ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (4) ¯ @ ¯ @' @' ¯ ¡1 @ ¯¯ (30) ¯ ¯ ¤¤ ¯ ¯ ¯ ) ¯D @u @ º£D @ º ¯ = jKj ¯ @u £ @v ¯ = jK j (¯ @u £ @v ¯±' ) ( ) : @v (51)

Se sigue de (¤) y (¤¤) que:

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ @(~º ± ') @ (~º ± ') ¯ ¯ @' @' ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; £ = (jK j ± ') ¯ £ ¯ @u @v ¯ @u @v ¯

y …nalmente se concluye:

A(~º (R)) lim = lim R!fpg A(R) R!p

R

¯ (jK j ± ') ¯ @' £ ¯ @' @u@' ¯ R ¯ £ ¯ ¡1

' ¡1 (R) '

(R)

@u

@v

¯

@' ¯ @v

= jK(p)j

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

86

El resultado de la Proposición 3.20(2) representa el análogo en super…cies de la expresión para curvas planas (Observación 1.25(3)): ~ jI ) L(N = j ·(t) j : I!ftg L(® jI ) lim

Esta es la de…nición original de curvatura dada por Gauss. Es quizá la más natural de todas. Hace evidente, por ejemplo, que un plano o un cilindro tienen curvatura K = 0, mientras que una esfera de radio r tiene curvatura constante K = 1=r2 . 3.3.4

Expresión local de super…cies como grá…cas de funciones

Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3, sea p un punto de M y sea (» 1; »2 ) una base de TpM adaptada a (M; º) en p (esto es, ortonormal, positiva respecto de º(p) y formada por autovectores de Lp; ver 3.3.2). Elijamos como coordenadas (x; y; z) en E3 las dadas por la referencia cartesiana con origen p = (0; 0; 0) y con base ortonormal (~» 1; ~»2 ; ~º(p)); es decir, para todo q 2 E3 , se tiene: 8 ! pq; ~» 1 > < x(q) :=< ¡ ¡ !; ~» > pq 2 : y(q) :=< ¡ ! ~º (p) >´ h (q) z(q) :=< pq; p (la aplicación hp 2 F(E3 ), altura sobre p, fue introducida en 3.2.4).

Obsérvese que la proyección ortogonal (respecto de ~º (p)) de M sobre el plano afín euclídeo fz = 0g ½ E3 es la aplicación: M 3 q 7! p + x(q)~» 1 + y(q)~» 2 2 fz = 0g Es inmediato comprobar que se obtiene así, en torno a p, una carta (U; ' ¡1 = (x; y)) de M , que llamaremos carta (en torno a p) adaptada a (» 1; » 2; º(p)). En efecto: el que la aplicación ¼12 j M : M ! fz = 0g induce de hecho un difeomor…smo entre un cierto entorno (abierto) U de p ´ (0; 0; 0) 2 M y un entorno U de (0; 0; 0) 2 fz = 0g es inmediata consecuencia de que d¼ 12 jp : T(0;0;0) fz = 0g ´ T(0;0;0) M ! T(0;0;0)fz = 0g es la aplicación identidad y del Teorema de la función inversa para super…cies (Teorema 2.28).

Resulta así obvio que la parametrización asociada ' : U ! U tiene por ecuaciones: '(x; y) = (x; y; z = (hp± (¼12 jU )¡1)(x; y)) ; | {z } '

87

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

ello concreta lo que a…rmaba en general el Teorema 2.13, a saber, que toda 2 super…cie es localmente la grá…ca de una función diferenciable & : (R ³ ´¾)U ! ¡@¢ @ R (aquí, & = hp ± '). Por otra parte, y puesto que @x p = »1 ; @y = » 2 y » 1 £ » 2 = º (p), resulta claro que º jU = º ' := j necesariamente debía ser º jU = §º ').

@ @ @x £ @y @ £ @ @x @y

p

j (piénsese que

Introduzcamos las siguientes notaciones (que son clásicas en la bibliografía): ( p ±') p ±') p ´ @(h@x ± '¡1 ; q ´ @(h@y ± '¡1 ; 2 2 2 ; (hp ±') p ±') p ±') r ´ @ (h ± '¡1 ; s ´ @ @x@y ± '¡1 ; t ´ @ (h ± '¡1 @x2 @y2 (obsérvese que p(p) = 0 = q(p), puesto que la función hp j M posee un extremo en p). Con ellas, los coe…cientes (43) y (50) de las dos formas fundamentales de M en la carta (U; '¡1 ) vienen dados por: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 E F 1 + p2 pq e f r s = ; =p ; F G pq 1 + q2 f g 1 + p2 + q2 s t p p tener en cuenta que EG ¡ F 2 = 1 + p2 + q2 . Atención: (U ; '¡1) no es, en general, una carta ortogonal. En el punto p, se obtiene: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ E F 1 0 e f r(p) s(p) k1 (p) 0 (p) = ; (p) = = ; F G 0 1 f g s(p) t(p) 0 k2(p) tener en cuenta que (gij )¡1(hij ) = (lij ) y que (lij)(p) debe ser diagonal, por ser (» 1; » 2) base tangente adaptada a (M; º ) en p. 3.3.5

Clasi…cación de los puntos de una super…cie. Direcciones principales

Sea M una super…cie de E3 y sea p un punto de M . Sea K la curvatura de Gauss de M y sean k1(p) y k2(p) las curvaturas principales (3.3.2) de M en p (respecto de alguna normal unitaria de…nida en torno a p). Se dice que p es (la adscripción de p a alguno o algunos de los siguientes casos constituye su carácter): (1) hiperbólico si K(p) < 0. (2) parabólico si K(p) = 0 y k1(p); k2(p) no son ambas nulas. (3) elíptico si K(p) > 0.

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

88

(4) plano si k1(p) = k2(p) = 0. (5) umbílico si k1(p) = k2(p). Puesto que estas de…niciones involucran la curvatura de Gauss y/o la anulación de (alguna de) las curvaturas principales, la clasi…cación de los puntos de una super…cie por su carácter es independiente de la orientación (local o global) elegida en ésta. La clasi…cación de los puntos de una super…cie en: hiperbólicos, parabólicos, elípticos y planos, es exhaustiva y excluyente. Umbílicos son todos los puntos planos y (eventualmente) algunos de los elípticos. Sea p un punto de una super…cie M de E3. Se dice que un vector tangente (no nulo) » 2 TpM de…ne una dirección principal si » es autovector de Lp. Al igual que en el apartado anterior, la noción de dirección principal es independiente de la orientación (local o global) elegida en la super…cie. El punto p resulta ser: (1) no umbílico si y sólo si TpM posee exactamente dos direcciones principales distintas; en tal caso, éstas son mutuamente ortogonales y están de…nidas por los vectores »1 y » 2 de una base adaptada. (2) umbílico si y sólo si todas las direcciones en Tp M son principales. En efecto: el que Lp posea sólo dos direcciones principales está ligado al hecho de que los dos autovalores de Lp sean distintos (recordar la Proposición 3.17(3))

3.3.6

Fórmula de Euler. Direcciones asintóticas

Sea p un punto de una super…cie orientada (M; º ) de E3. Sea (»1 ; »2 ) una base de Tp M adaptada a (M; º) en p (esto es, ortonormal, positiva respecto de º(p) y formada por autovectores de Lp; ver 3.3.2) y sean k1 (p) y k 2(p) las curvaturas principales en p, esto es, Lp(» i) = ki (p)»i (i = 1; 2). Elegimos la notación de forma que se tenga: k 1(p) ¸ k2 (p). Un vector genérico » 2 Tp M se puede escribir: » =j » j (cos µ » 1 + sen µ » 2) ; para cierto µ 2 [0; 2¼). Entonces la curvatura normal (3.2.2) de (M; º) en la dirección de » veri…ca: (47)

·º (») :=

¡1 1 < D» º; » > =: < Lp »; » >= k1(p) cos2 µ + k2 (p) sen2 µ: 2 j»j j » j2 (55)

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

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La fórmula que acabamos de obtener (llamada fórmula de Euler) muestra que los valores de la curvatura normal de (M; º) en p son una combinación afín y ”convexa” (ya que cos2 µ ¸ 0 ; sen2 µ ¸ 0 y su suma es uno) de las curvaturas principales k1(p) y k2(p) en p. Al variar µ entre 0 y 2¼, obtenemos todos los valores del intervalo [k2(p); k1 (p)]; en particular k1 (p) para µ = 0 (y ¼) y k2(p) para µ = ¼=2 (y 3¼=2). De esta forma concluimos que las curvaturas principales k1(p) y k 2(p) son los valores máximo y mínimo, respectivamente, de la curvatura normal de (M; º) en p. La curvatura de Gauss K(p) = k 1(p)k2(p) resulta ser (salvo quizás el signo) el cuadrado de la media geométrica de los (módulos de los) dos valores extremos, mientras que la curvatura media H(p) es la media aritmética de estos extremos. Es decir, otra forma de interpretar la curvaturas de Gauss y media en un punto es como las medias geométrica y aritmética de los valores extremos de la curvatura normal en dicho punto. Sea p un punto de una super…cie M de E3. Se dice que un vector tangente (no nulo) » 2 TpM de…ne una dirección asintótica si < Lp »; » >= 0, lo que equivale a decir que la curvatura normal ·º (») de (M; º) en la dirección de » es nula. Entonces el punto p es: (1) hiperbólico si y sólo si Tp M posee exactamente dos direcciones asintóticas distintas. (2) parabólico si y sólo si TpM posee una única dirección asintótica. (3) elíptico si y sólo si T pM no posee direcciones asintóticas. (4) plano si y sólo si todas las direcciones de TpM son asintóticas. En efecto: si º es una orientación (local) de M en torno a p y (»1 ; »2 ) es una base adaptada a (M; º) en p, sabemos (55) que ·º (») = k1(p) cos2 µ + k2(p) sen 2 µ ; siendo » ´j » j (cos µ » 1 + sen µ » 2) , para cierto µ 2 [0; 2¼). El número de direcciones asintóticas (dos, una, ninguna o in…nitas) de TpM está pues ligado a que los dos autovalores de Lp sean distintos o no y a su signo. En el caso de que k1 (p) > 0 > k2(p) , las dos direcciones asintóticas corresponden a los valores µ0 y 2¼ ¡µ 0 , donde

µ 0 = arctg

p

¡k1(p)=k2 (p) ;

en el caso de que k1 (p) > 0 = k2 (p) , la dirección asintótica corresponde al valor µ 0 = ¼2

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

90

Ejemplo 3.21 Se sigue del Ejemplo 3.18 que cualquier punto de un plano es plano y cualquier punto de una esfera es elíptico y umbílico. Cualquier dirección tangente a un plano es principal y asintótica. Cualquier dirección tangente a una esfera es principal y ninguna es asintótica. En la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta (U; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo, se obtiene (teniendo en cuenta el resultado del Ejemplo 3.19) que los puntos de U son hiperbólicos, parabólicos o elípticos según que su coordenada v veri…que cos v > 0; cos v = 0 ó cos v < 0 (esto es, v 2 (¡ ¼2 ; ¼2 ); v = § ¼2 ó v 2 ( ¼2 ; 3 ¼2 ), módulo 2¼), respectivamente. Una construcción interesante, que codi…ca el carácter de un punto de una super…cie, es la indicatriz de Dupin, que se describe en el Apéndice 5.3.3*. 3.3.7

Líneas de curvatura y líneas asintóticas. Geodésicas

Sea M una super…cie de E3 : Se dice que una curva regular ® : I ! M de…ne una línea de curvatura de M (respectivamente, una línea asintótica de M ) si, para cada t 2 I, el vector ®0(t) de…ne una dirección principal (respectivamente, una dirección asintótica) de TpM . Es importante observar que en ambos casos se trata de propiedades de las trayectorias (”líneas”) de las curvas y no de las curvas (regulares) mismas. Una consecuencia inmediata (recordar (38)) de la de…nición algebraica que hemos dado de dirección principal es que una curva regular ® : I ! M de…ne una línea de curvatura si y sólo si, para cualquier elección (no necesariamente global) de normal unitaria º , se veri…ca el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de 1er. orden en las componentes de la velocidad de ®: d (~º ± ®) d® = ¡k ; dt dt donde la función k : I ! R da lugar, en cada t 2 I, a un autovalor (curvatura principal) de L®(t) . Este resultado se conoce como teorema de OlindeRodrigues (ver [5], 3.2, Proposición 3). Similarmente, es inmediato ver (recordar (38)) que una curva regular ® : I ! M de…ne una línea asintótica si y sólo si, para cualquier elección (no necesariamente global) de normal unitaria º, se veri…ca la siguiente ecuación diferencial de 1er. orden en las componentes de la velocidad de ®: <

d (~º ± ®) d® ; >= 0 : dt dt

Se dice que una curva ® : I ! M es una geodésica de M si su aceleración 0 ® ´ D® es normal a M . Si ® : I ! M es una geodésica de M , entonces se dt tiene: 00

d < ®0 ; ®0 > dt

P rop: 3:1(2)

=

2<

D®0 0 ; ® >= 0 ; dt

91

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

por lo que j ®0 j: I ! R es una función constante. Por tanto, si j ®0 (0) j= 1; entonces ® está necesariamente parametrizada por la longitud de arco. Observación 3.22 Sea ® : I ! M es una curva con j ®0 j constante. Si ® no es una geodésica de M , ninguna reparametrización (1.3.1) de ® puede serlo. En efecto: para que ® ± f : J ! M sea geodésica de M , debe ser: j (® ± f)0 j= cte: ;

P rop: 1:13(1)

)

df d2f = cte: ; ) =0 : ds ds2

Pero entonces se tiene: 1:4:1

(® ± f)00 =

d2f df 2 00 df 2 00 0 (® ± f) + ( ) (® ± f) = ( ) (® ± f) ; ds2 ds ds

con lo que, si ®00 no es paralela a º ± ®, tampoco (® ± f)00 puede ser paralela a º ± ® ± f

Ejemplo 3.23 Cualquier curva regular en un plano de…ne una línea de curvatura y asintótica. Cualquier curva regular en una esfera de…ne una línea de curvatura; la esfera no posee líneas asintóticas. Todas las curvas con velocidad constante cuyas imágenes son rectas en el plano, hélices (también rectas o circunferencias) en el cilindro o círculos máximos en la esfera son geodésicas (Ejercicio 6.4.3a-c); probar que todas las geodésicas en estas tres super…cies son de esa forma (Ejercicio 6.4.3d) requiere esperar (hasta el apartado 4.2.2). En la super…cie M del Ejemplo 2.31 y en la carta (U ; '¡1 = (u; v)) de…nida en el mismo, se obtiene (teniendo en cuenta la expresión de la normal obtenida en el Ejemplo 3.16) que, para cada u 2 I, la curva ¯ u : R 3 t 7! ~ ~ ®(u) + r cos t N(u) + rsen t B(u) 2 M veri…ca (8t 2 R): ³ ´ 0 ~ ~ ¯ u(t) = ¡r sen t N (u) ¡ cos t B(u) ; ) ¯ u(t)

³ ´ ~ ~ ) ¯00u(t) = ¡r cos t N(u) + sen t B(u)

¯ u(t)

= ¡r (º ± ¯u ) (t) ;

con lo que ¯ u es geodésica de M. Por otra parte: L¯u(t) (¯ 0u(t))

³ ´ ¡D(º ± ¯ u) ¡1 0 ~ ~ := ¡D¯u(t)º = (t) = sen t N(u) ¡ cos t B(u) = ¯ (t) ; dt ¯ u(t) r u

con lo que ¯ u de…ne una línea de curvatura de M .

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

3.4 3.4.1

92

ISOMETRÍAS Y CONGRUENCIAS Isometrías entre super…cies

¹ super…cies de E3. Una aplicación diferenciable F : M ! M ¹ Sean M y M se llama isometría si es biyectiva y si, para cada p 2 M , su diferencial ¹ es una isometría lineal, es decir: dF jp: Tp M ! TF (p)M < dF j p » ; dF jp ´ >=< »; ´ > ; 8»; ´ 2TpM :

(56)

Por la regla de la cadena (2.3.3) se concluye que la composición de isometrías es una isometría. ¹ es una isometría, la condición (56) implica (Proposición Si F : M ! M 1.5(5)) que dF j p es un isomor…smo lineal para todo p 2 M . Se sigue (2.3.5) que: toda isometría es un difeomor…smo. Observación 3.24 No existe, para las isometrías, un ”análogo” a lo que el teorema de la función inversa (Teorema 2.28) es para los difeomor…smos ¹ es una aplicación diferenentre super…cies. Concretamente: si F : M ! M ¹ es una isometría ciable (entre super…cies de E3 ) y si dF jp: T pM ! T F(p)M lineal para cierto p 2 M , no existe en general un abierto U de M, con p 2 U, tal que F j U : U !F (U) sea una isometría. La razón de esta diferencia es que la condición de que dF j p sea un isomor…smo lineal es ”abierta”, mientras que la de que sea una isometría lineal es ”cerrada”. ¹ super…cies de E3 . Una aplicación diferenciable F : M ! M ¹ Sean M y M se llama isometría local si, en cada punto p 2 M, su diferencial dF jp : ¹ es una isometría lineal. Resulta así: TpM ! TF (p)M (1) (del concepto de difeomor…smo local, ver 2.3.5) Toda isometría local es un difeomor…smo local y, por tanto, localmente una isometría. (2) (directamente de las de…niciones) Una aplicación diferenciable es una isometría si y sólo si es una biyección y una isometría local. El siguiente resultado proporciona la caracterización en coordenadas de la isometrías locales: ¹ super…cies de E3. Una aplicación diferenProposición 3.25 Sean M y M ¹ es una isometría local si y sólo si, para cada punto p 2 M , ciable F : M ! M ¹ existen cartas (U; ' ¡1 = (u; v)) de M en torno a p y (U ; ' ¹ ¡1 = (¹ u; ¹v)) de M en torno a F (p), con F (U) ½ U , tales que u¹k ± F j U = uk

(k = 1; 2)

(¤ ) ;

y, además, en algún (y en todo) par de cartas de este tipo se veri…ca ¹gij ± F jU = gij

(i; j = 1; 2)

(¤¤ ) :

93

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO Demostración: Comencemos con un cálculo previo. Sean (U; ' ¡1 ) ¹ , respectivamente, con y (U; ' ¹ ¡1 ) dos cartas cualesquiera de M y M F (U ) ½ U . Sea p 2 M . Habida cuenta de dF jp

µ

@ @ui

¶

µ ¶ 2 X @Fk'¹' ¡1 @ = (' (p)) (i = 1; 2) ; @u @ u ¹ i k F (p) k=1

(29) p

resulta inmediato que dF j p será una isometría lineal si y sólo si se veri…ca (8i; j = 1; 2): 2 X

@Fk'¹' ¡1 @Fl''¹ ¡1 gij (p) = ¹gkl (F (p)) (' (p)) (' (p)) : @ui @uj k;l=1

(57)

Probemos ahora el Teorema. Por lo dicho antes, F será una isometría local si y sólo si F es un difeomor…smo local cuya diferencial en cada punto es una isometría lineal. Pero sabemos (Lema 2.29 en 2.3.5) que F será un difeomor…smo local si y sólo si, para cada punto p 2 M , ¹ en torno a existen cartas (U ; '¡1) de M en torno a p y (U ; ' ¹ ¡1) de M ¤ F (p), con F (U ) ½ U , tales que se veri…que ( ). Pues bien, insertando esta condición en la ecuación (57), se obtiene (¤¤ )

¹ , las super…cies M y M ¹ se dicen isoSi existe una isometría F : M ! M métricas. Como la identidad, la inversa de una isometría y la composición de isometrías son isometrías, se concluye que la relación ”ser isométricas” es de equivalencia. Las isometrías locales veri…can: ¹ super…cies de E3 y sea F : M ! M ¹ una Proposición 3.26 Sean M y M isometría local. Entonces: 1. F preserva la longitud, es decir: para toda curva ® : I ! M , se tiene L(F ± ®) = L(®) ¹ (p)) = K(p) 2. F preserva la curvatura de Gauss: K(F (teorema egregio de Gauss)

;

8p 2 M

Demostración. Probemos 1. Escribiendo I ´ [a; b] , se tiene: Z b Z b 2:3:3 0 L(F ± ®) := j (F ± ®) (t) j dt = j (dF j ®(t) ®0 (t)) j dt = a

a

=

Z

b a

j ®0 (t) j dt =: L(®) :

94

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO Veamos 2. El punto difícil de la demostración de 2 consiste en probar que, aunque la curvatura de Gauss de una super…cie depende en principio de las dos formas fundamentales sobre ésta (ver 3.3.2), en realidad sólo depende de la primera (esto es, constituye lo que se denomina un objeto geométrico ”intrínseco” de la super…cie). Pospondremos la demostración de este punto hasta el Teorema 4.7, después de introducir la noción de ”derivación covariante” en super…cies. Una vez probada la citada a…rmación, se sigue que, si (U ; '¡1) y ¹ (U; ' ¹ ¡1 ) son cartas cualesquiera en torno a p 2 M y F (p) 2 M (respectivamente), con gij y g¹ij (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la primera forma fundamental en dichas cartas, se tendrá:

¹ jU = f (¹gij ) K j U = f(g ij ) y K

(¤)

;

donde la notación indica que f es una cierta función diferenciable (la misma en ambos casos!) de los coe…cientes de la primera forma fundamental. Ahora bien, si F es una isometría local, sabemos (Proposición 3.25) que, para cualquier p 2 M , existen cartas (U ; '¡1) en torno a ¹ en las que se veri…ca: p 2 M y (U; ' ¹ ¡1 ) en torno a F (p) 2 M ( ¤)

g¹ij ± F j U = g ij (i; j = 1; 2) ; )

¹ ± F jU = K jU ; K

¹ ±F =K y, por la arbitrariedad de p, resulta K Observación 3.27 También puede probarse que las isometrías locales preservan las geodésicas. Sin embargo, esperaremos a formalizar este resultado (a diferencia de lo que hemos hecho respecto de la preservación de la curvatura de Gauss) hasta que estemos en condiciones de probarlo por completo (Proposición 4.14(2) en 4.2.2), después de introducir la noción de ”transporte paralelo” en super…cies. Ejemplo 3.28 Vamos a probar, utilizando coordenadas polares (½; Á) en el plano, que el semiplano M := f(x1; x2; 0) 2 E3 j x2 > 0g es isométrico al ¹ := f(x1; x2; x3) 2 E3 j 3x21 + 3x22 ¡ x23 = 0 ; x3 > 0g privado de cono M una generatriz (ver [5], 4.2, Ejemplo 3, p.226; ver [8], Ch. 23, Example 4, p.222). Para empezar, ambas super…cies poseen curvatura de Gauss nula (Ejemplo 3.18 y Ejercicio 6.3.10b), con lo que la Proposición 3.26(2) no supone ninguna obstrucción. Sean las parametrizaciones ½ ' : U ´ (0; 1) £ (0; ¼) 3 (½; v) 7! (½ cos v ; ½ senv ; 0) 2 M p ½ ½ 3 ¹ : ' ¹ : U ´ (0; 1) £ (0; ¼) 3 (½; v) 7! ( 2 cos 2v ; 2 sen2v ; 2 ½) 2 M La aplicación ' es la parametrización polar ”obvia” del semiplano M , y es global. Por otra parte, ' ¹ se parece (pero no es igual) a la parametrización

95

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

p ¹ como obvia (0; 1) £ (0; 2¼) 3 (u; Á) 7! (u cos Á; usenÁ; 3u) del cono M super…ciepde revolución (generada por la curva plana ® : (0; 1) 3 u 7! (x1 = u; x3 = 3u) al girar en torno al eje x3; recordar el Ejercicio 6.2.7b); la ¹ ¡ f(x1 ; x2; x3) 2 M ¹ j x1 > 0; x2 = 0g, esto es, M ¹ imagen de ' ¹ es U = M privado de una generatriz. De…niendo la aplicación f := ' ¹ ±'¡1 : M ! U (utilizamos la f minúscula para no confundir la aplicación con el coe…ciente F de la primera forma fundamental), automáticamente resulta f '¹' = id jU . Pues bien, un sencillo cálculo nos da los siguientes coe…cientes para la PFF del semiplano M en la ¹ en la parametrización local ': parametrización global ' y del cono M ¹ ¹ v) = 1 ; F¹(½; v) = 0 ; G(½; ¹ v) = ½2 ; E(½; v) = 1 ; F (½; v) = 0 ; G(½; v) = ½2 y E(½; respectivamente. Se sigue que g¹ij (½; v) = g ij(½; v), o también, ¹gij ± f = gij (i; j = 1; 2). Al ser f biyectiva por construcción, f resulta ser (Proposición 3.25) una isometría entre M y U. Y hemos terminado. El proceso que establece la isometría entre U y M es el ”cortar” el cono ¹ por la generatriz y ”desarrollarlo” sobre el plano. Es este proceso (imporM tante para la fabricación de pantallas de lámpara) el que hace ”natural” a la ¹ (y no a la obvia de M ¹ como super…cie de revoluparametrización ' ¹:U!M ción). En efecto, al desarrollar un sector (abierto) de generatriz ½ y amplitud ¢Á(= 2¼) de un cono de ”abertura” a, lo que resulta es un sector circular plano (abierto) de radio ½ y amplitud p 2 2¢v = ¢Á sena(= 2¼ sena). Como la ¹ veri…ca: tan a = x1+x2 = p1 ; ) sena = 1 , se concluye que abertura de M x3

3

2 ¢Á 2 =

la amplitud del sector circular plano resultante es ¢v = ¼. Así, el p desarrollo del abierto U del cono asocia, al punto original (u cos Á; usenÁ; 3u), el radio ½ = 2u y el ángulo polar v = Á2 . 3.4.2

Super…cies localmente homogéneas

Una super…cie M de E3 se dice localmente homogénea si, para cada par de puntos p; q 2 M , existen entornos U de p y V de q y una isometría F : U ! V con F (p) = q. Naturalmente, por la proposición anterior se ve que una super…cie localmente homogénea tiene necesariamente curvatura de Gauss constante. Pero también el recíproco es cierto: ¹ super…cies de E3 con la misma Teorema 3.29 (Minding) Sean M y M curvatura de Gauss constante. Entonces, dados dos puntos cualesquiera p 2 ¹ existen entornos U de p y U de p¹ isométricos. M y p¹ 2 M, Demostración* (Ver [5], 4.6, Teorema, p. 290). En efecto: para cualquier super…cie M de E3, es posible probar, en un cierto tipo de coordenadas (½; #) (llamadas ”geodésicas polares” y que existen en el entorno de cualquier punto), que los coe…cientes de la primera forma

96

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO 2

p

p

fundamental veri…can : E = 1 ; F = 0 y @@½2G + K G = 0. Si K = c (constante), se sigue que G = fc(½), donde fc es cierta función diferenciable (la misma para todas las super…cies con K = c). Sea ¹ otra super…cie con curvatura de Gauss K ¹ = c y sean dos ahora M ¹ . Utilicemos cartas geodésicas puntos cualesquiera p 2 M; p¹ 2 M ¡1 ¹ en torno a p¹ polares (U ; ' ) de M en torno a p y (U ; ' ¹ ¡1) de M 2 ¡1 con la misma imagen U ½ R . Denotando à ´ ' ¹ ±' : U ! U (con ¹ ± à = 1 = E ; F¹ ± à = 0 = lo que à '¹' = id j U), se sigue que: E ¹ ± Ã)(½; #) = fc(½) = G(½; #). Se concluye que à : U ! U F ; (G es una isometría

¹ super…cies de E3 y supongamos que exista un Ejemplo 3.30 Sean M y M ¹ que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien, difeomor…smo F : M ! M F no tiene por qué ser una isometría (no existe un ”recíproco” del teorema egregio de Gauss). Veamos un ejemplo: Sea r > 0, sean ®,¹ ® : I ! E3 curvas alabeadas parametrizadas por la longitud de arco, con curvaturas · = ¹·(< 1=r) y torsiones ¿ 6= ¿¹ constantes, y sean (T; N; B) y (T; N; B) sus respectivos triedros de Frenet. Considérense los conjuntos M := Im © y ¹ := Im ©, ¹ siendo M ( ~ ~ © : I £ R 3 (u; v) 7! ®(u) + r cos v N(u) + rsen v B(u) 2 E3 ¡ ! ¡ ! ¹ : I £ R 3 (u; v) 7! ®(u) ¹ (u) + rsen v B¹ (u) 2 E3 © ¹ + r cos v N ¹ son ”tubos” de radio r centrados en Im ® y Im ® (M y M ¹ , respectivamente) y supongamos que ambos son super…cies. Sabemos (Ejemplo 2.31) que cada ¹ inducen, punto (u; v) 2 I £R posee un entorno U(½ I £R) sobre el que © y © ¹, por restricción, parametrizaciones locales ' : U ! U y ' ¹ : U ! U de M y M ¡1 respectivamente. De…niendo la aplicación f := '±' ¹ : U ! U (utilizamos la f minúscula para no confundir la aplicación con el coe…ciente F de la primera forma fundamental), automáticamente resulta f '¹' = id jU . Pues bien, en el Ejemplo 3.9, obteníamos las siguientes expresiones para los coe…cientes de la ¹ en la parametrización ': PFF de M en la parametrización ' y de M ¹ 8 ¹ v) < E(u; v) = (1 ¡ ·r cos v)2 + ¿ 2r 2 6= (1 ¡ ·r cos v)2 + ¹¿ 2r 2 = E(u; 2 2 F (u; v) = ¿ r 6= ¿¹r = F¹ (u; v) ; : 2 ¹ G(u; v) = r = G(u; v)

de donde se concluye (Proposición 3.25) que el difeomor…smo f : U ! U no es una isometría. Y sin embargo, en el Ejemplo 3.9 obteníamos las siguientes expresiones para las curvaturas de Gauss de M en la parametrización ' y de ¹ en la parametrización ' M ¹: K (u; v) =

¡· cos v ¹ (u; v) ; =K r (1 ¡ ·r cos v)

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

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con lo que el difeomor…smo f : U ! U sí preserva la curvatura de Gauss. ¹ super…cies y supongamos que exista un difeomorDe nuevo, sean M y M ¹ …smo f : M ! M que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien, incluso ¹ tienen curvatura de Gauss constante, no sólo f no tiene por qué si M y M ¹ ser una isometría, sino que no tiene por qué existir una isometría M ! M ¹ y ni tan siquiera una isometría local M ! M; un ejemplo de todo esto puede verse en el Ejercicio 6.4.10b (cuya resolución más directa utiliza el resultado de que las isometrías locales preservan las geodésicas, lo que se probará en el apartado 4.2.2). En este sentido, el resultado del Teorema de Minding debe ser leído con sumo cuidado. 3.4.3

Congruencias entre super…cies. Rigidez

Sea A un movimiento en E3, esto es (1.1.4), una biyección de la forma ! A : E3 3 p 7! A(¡ op) + ~» 2 E3 ; donde A 2 O(n) y ~» 2 E3. Ya vimos que la inversa ! ¡ A¡1~» 2 E3 A¡1 : E3 3 p 7! A¡1(¡ op) es otro movimiento. Como los movimientos son diferenciables, resultan ser difeomor…smos de E3. Sea M una super…cie de E3. De lo anterior y de la propia de…nición de super…cie (existencia de parametrizaciones locales en torno a cada punto) se deduce inmediatamente que, si A : E3 ! E3 es un movimiento, A(M ) es una super…cie de E3 . ¹ super…cies de E3. Una aplicación F : M ! M ¹ se llama Sean M y M 3 3 congruencia si existe un movimiento A : E ! E de forma que F = A jM ¹ = A(M ). En tal caso, las super…cies M y M ¹ se dicen congruentes. yM 3 Como los movimientos en E son difeomor…smos, también lo son las congruencias entre super…cies. ¡ ! ~ Más aún: escribiendo ³ ´de nuevo A(p) = A( op) + », para cada p 2 M , se i sigue que: DA(p) ´ @A (p) = A. Por tanto, la diferencial dA j p veri…ca: @xj dA jp: Tp E3 3 ~´p 7! (A~´)A(p) 2 TA(p)E3

y, por ser A 2 O(n), resulta ser una isometría lineal. Teniendo en cuenta que ¹ es (2.3.3) la restricción a Tp M de la diferencial dA jp , dF jp: Tp M ! TF (p)M se concluye que, para cada p 2 M, la diferencial dF j pes una isometría lineal. Así pues, toda congruencia entre super…cies es también una isometría. Puesto que, evidentemente, la identidad, la inversa de una congruencia y la composición de congruencias son congruencias, se tiene:

3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

98

Proposición 3.31 La relación de congruencia entre super…cies es de equivalencia. Además, dos super…cies congruentes son isométricas Como un ejemplo de lo que acabamos de ver sobre congruencias, ver el Ejercicio 6.3.21c. Una excelente caracterización de las congruencias viene dada por el siguiente: ¹ super…cies de E3. Un difeomor…smo F : M ! Teorema 3.32 Sean M y M ¹ es una congruencia si y sólo si, para cada p 2 M, la diferencial dF jp : M ¹ preserva la primera y la segunda (para ciertas elecciones de TpM ! TF (p)M orientación local) formas fundamentales. Demostración*. La condición necesaria es relativamente sencilla de probar (ver [8], Cap. 22, Teorema 2). Probar la condición su…ciente es algo más difícil (ver [8], Cap. 22, Teorema 3). La condición su…ciente está relacionada con el Teorema de Bonnet (Teorema 5.1, en el Apéndice 5.4.3*): éste es un resultado local, pero incluye, además de la unicidad, una a…rmación de existencia (lo que implica resolver un sistema de ecuaciones en derivadas parciales), mientras que nuestra condición su…ciente es global, si bien sólo incluye una a…rmación de unicidad

El recíproco de la Proposición 3.31, esto es, el que dos super…cies isométricas tengan que ser congruentes, es falso; pero si, …jada M , la implicación es ¹ se dice que M es rígida; es decir, una super…cie es rígida cierta para todo M, si toda super…cie isométrica a ella es congruente con ella. Intuitivamente hablando, una super…cie rígida es aquélla que no puede cambiar de forma sin ”estiramientos”. Así, por ejemplo, de la experiencia común se deduce que una hoja de papel no es rígida; otro ejemplo de super…cie no-rígida puede verse en [5], 5.2. Un ejemplo de super…cie rígida es la esfera; para probar la rigidez de la esfera es su…ciente demostrar el siguiente: Teorema 3.33 (Hilbert-Liebmann) Si M es una super…cie de E3 conexa, compacta y con curvatura de Gauss constante K, entonces M es necesariamente una esfera. Demostración*: ver el Apéndice 5.3.4

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

4

99

GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

Imaginemos unos hipotéticos seres bidimensionales (pero con sentido de la distancia euclídea), que habitaran sobre una super…cie del espacio euclídeo E3 ignorantes del espacio ambiente que les rodea. Los elementos geométricos de esta super…cie (longitudes, áreas, etc.) capaces de ser observados o medidos por estos seres constituyen lo que se denomina ”geometría intrínseca” de la super…cie. Nos ocuparemos aquí de observadores locales, cuya vista sólo alcanza un entorno coordenado. Precisando un poco más los conceptos: diremos que un cierto objeto geométrico (local) sobre una super…cie M de E3 es intrínseco si puede expresarse exclusivamente en función de la primera forma fundamental de M . Que es razonable adoptar esta de…nición lo prueba el que la primera forma fundamental codi…ca equivalentemente las longitudes de curvas sobre M . En efecto: es claro que el conocimiento de la primera forma fundamental permite calcular longitudes de curvas (recordar 3.1.4). Recíprocamente, el conocimiento de las longitudes de curvas arbitrarias sobre M permite calcular los coe…cientes gij (i; j = 1; 2) de la primera forma fundamental en cualquier carta (U ; '¡1 = (u; v)) de M ; ya que, para todo p 2 U y designando como ®; ¯ y ° curvas en U tales que 0

® (0) =

µ

@ @u

¶

0

; ¯ (0) = p

µ

@ @v

¶

0

y ° (0) = p

µ

@ @u

¶

µ ¶ @ + ; @v p p

se obtiene:

E(p) = (

dL(®) 2 dL(¯) 2 dL(°) 2 j0 ) ; G(p) = ( j 0) y (E+G+2F )(p) = ( j 0) dt dt dt

Puesto que las isometrías locales entre super…cies vienen caracterizadas (56) como aquéllas aplicaciones diferenciables que preservan la primera forma fundamental, podemos a…rmar que los objetos geométricos (locales) intrínsecos serán precisamente aquéllos que se preserven bajo las isometrías locales; recordar a este respecto la Proposición 3.26, referida a la ”longitud de curvas” y a la ”curvatura de Gauss” (aunque el carácter intrínseco de ésta se probará en el Teorema 4.7 de este Capítulo).

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

4.1

100

DERIVACION COVARIANTE

En el apartado 2.4.3 habíamos recordado (o introducido) las nociones habituales de derivación de campos de…nidos sobre subconjuntos S de Rn (sobreentendiendo que Tp S fuera subespacio vectorial de TpRn; 8p 2 S). Usaremos aquí estos conceptos para mostrar que, cuando S es una super…cie M del espacio euclídeo E3; aparece una noción intrínseca de derivación de campos tangentes a M, que denominaremos ”derivación covariante”. 4.1.1

Las proyecciones tangente y normal

Sea M una super…cie de E3 . Fijado p 2 M, cada vector tangente » 2 T pE3 se descompone de forma única en suma » = » T an + » Nor ; donde la parte normal » Nor :=< »; º(p) > º(p) es ortogonal a T pM y la parte tangente »T an := » ¡ »Nor pertenece a TpM: Las proyecciones Nor : TpE3 3 » 7! »N or 2 Tp E3 y T an : TpE3 3 » 7! » T an 2 TpM son homomor…smos de espacios vectoriales. Sea U un abierto de M. Un campo X 2 XU puede pues descomponerse en X = XT an + XNor ; donde la parte normal XNor viene de…nida por XNor (p) := X(p)Nor y la parte tangente XT an por XT an (p) := X(p)T an ; 8p 2 U . Evidentemente se veri…ca: XNor =< X; º > º 2 X U y XT an = X ¡ XNor 2 X(U). Las correspondientes aplicaciones Nor : XU ! X U y T an : XU ! X(U ) son homomor…smos de F(U)-módulos. 4.1.2

Derivada covariante en una super…cie

Dado un campo de vectores tangente V 2 X(M ), de…nimos la derivada covariante direccional de V según » 2TpM como el vector (tangente a M) r» V : = (D» V)T an 2 TpM (58) Se deduce inmediatamente de las propiedades de (37) que la aplicación Tp M £ X(M ) 3 (»; V) 7! r» V 2 Tp M es R-lineal en ambas entradas y no es F(M )-lineal en la segunda, sino que cumple: r» (fV) = »(f)V(p)+f (p)r» V. Además, se deduce inmediatamente de la Proposición 3.1(1) que se veri…ca: » < V; W >=< r »V; W(p) > + < V(p); r» W >. Si ® : I ! M es una curva, un campo V a lo largo de ® (recuérdese la notación: V 2 X ® de 1.2.2) se dice tangente a M si V(t) 2 T®(t)M; 8t 2 I .

101

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

El conjunto X ® (M ) de campos a lo largo de ® que son tangentes a M constituye un R-espacio vectorial y un F(I)¡módulo. Obviamente ®0 2 X ® (M). Dado un campo de vectores V 2 X ® (M ), se de…ne la derivada covariante de V como el campo µ ¶ rV DV T an := 2 X® (M ) : (59) dt dt Se deduce inmediatamente de las propiedades de (38) que la aplicación r=dt : X ®(M) ! X® (M ) es R-lineal, pero no F(I)-lineal, sino que cumple: r(f V)=dt = (df=dt)V + frV=dt; y también que, si U 2 X(M), entonces: r(U ± ®) (t) = r®0 (t) U ; 8t 2 I ; dt

(60)

o, en otros términos (de…niendo (r® 0 U)(t) := r®0 (t)U , para todo t 2 I): r(U ± ®) = r ®0 U : dt Además, se deduce inmediatamente de la Proposición 3.1(2) que se verid rW …ca: dt < V; W >=< rV dt ; W > + < V; dt >. Finalmente, sean dos campos tangentes V; W 2 X(M ) . Se de…ne la derivada covariante de W con respecto a V como el campo rV W : = (DV W)T an 2 X(M ) ;

(61)

obsérvese que se veri…ca la expresión (que podría tomarse como de…nición alternativa de rV W): (rV W)(p) = rV(p)W , para todo p 2 M : En efecto: (40)

(rV W)(p) := (DV W)T an(p) = (DV W)(p)¡ < (DV W)(p); º (p) > º(p) = ¡ ¢T an (58) = DV(p)W¡ º (p) = DV(p)W =: rV(p)W

Se deduce inmediatamente de las propiedades de (61) que la aplicación X(M ) £ X(M ) 3 (V; W) 7! rV W 2 X(M ) es R-lineal en ambas entradas, es F(S)-lineal en la primera y cumple: rU (fV) = U(f)V + f rU V. Además, se deduce inmediatamente de la Propos. 3.1(3) que se veri…ca: U < V; W >=< rUV; W > + < V; rU W >. Por otra parte, de la de…nición de la segunda forma fundamental (3.2.3) y de la aplicación de Weingarten (3.3.1) se obtiene la siguiente:

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

102

Proposición 4.1 Sea M una super…cie de E3 . Para todo V; W 2 X(M ), se veri…ca (ecuación de Gauss): (62)

rV W = DV W¡ H(V; W)º ; | {z }

donde º es cualquier normal unitaria (o necesariamente global) a M. Demostración. En efecto: rVW :=DV W¡ < DVW; º > º =

= DV W+ < DV º; W > º =:DV W ¡ H(V; W)º . Obsérvese que la elección de ¡º como normal unitaria invierte a su vez H(V; W) Ejemplo 4.2 Antes de ver la expresión que toma en coordenadas la derivación covariante en una super…cie arbitraria, resulta interesante explorar directamente su aspecto en un caso bien conocido, como es el de la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y 2 + z 2 = r2 > 0g en la carta polar (U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15. De la ecuación de Gauss (62) se deduce, para los campos @ @ coordenados ( @u@ 1 ´ @# ; @u@ 2 ´ @Á ), la expresión: r @u@ @u@ j = D @u@ @u@ j ¡ hij º ', i i siendo hij (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la segunda forma fundamental respecto de la normal unitaria (exterior) º ' :=

@ @ @# £ @Á @ @ @# £ @Á

2 X U . Y de la expresión j j '(#; Á) = (rsen# cos Á; rsen#senÁ; r cos #) se deduce (Ejemplo 3.15): 8 @ D @# @ > @# (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; ¡r cos #)(#;Á) > > @ > > @ (#; Á) = (¡r cos # senÁ ; r cos # cos Á ; 0)(#;Á) < D @Á @# @ ; D @Á @ @Á (#; Á) = (¡r sen# cos Á ; ¡r sen# senÁ ; 0)(#;Á) > > > > > º '(#; Á) = (sen# cos Á ; sen# sen Á ; cos #)'(#;Á) : e ´ h11 = ¡r ; f ´ h12 = 0 ; g ´ h22 = ¡rsen 2# con todo lo cual se obtiene …nalmente (conviene pensar despacio en el resultado): 8 r @ @ (#; Á) = ~0(#;Á) > > ³ ´ < @# @# @ @ @ r @ @# (#; Á) = cot # @Á ( ) r @ @# j(¼=2;Á)= ~0(¼=2;Á) ) : @Á @Á (#;Á) > ¡ ¢ > : r @ @ (#; Á) = ¡sen# cos # @ ( ) r @ @ j(¼=2;Á)= ~0(¼=2;Á) ) @Á

4.1.3

@Á

@# (#;Á)

@Á

@Á

Expresión local de la derivada covariante. Símbolos de Christo¤el

Sea M una super…cie de E3 y sea r el operador de derivación covariante en M . Sea (U; '¡1 = (u; v)) una carta de M . El campo r @u@ @u@ j 2 X(U) se i

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

103

podrá escribir en la forma: 2

X @ @ r @ =: ¡kij ; @ui @u @u j k k=1

(63)

para ciertas funciones ¡kij ´ ¡kij (u; v) 2 F (U ) (i; j; k = 1; 2), llamadas símbolos de Christo¤el de M en la carta (U; ' ¡1 ). Los símbolos de Christo¤el son simétricos en los índices inferiores, ya que se tiene (para todo i; j; k = 1; 2): D

@ @ui

@ (40) @ @ @ = D @ ; ) r @ =r @ ; ; ) ¡kij = ¡kji @u @u @u @ uj j @ui i @ uj j @ ui

Los símbolos de Christo¤el determinan completamente la derivación covariante dentro del dominio U . En efecto, recordemos que la pareja (@=@u; @=@v) de campos coordenados constituye (Lema 2.32) una base del F(U)-módulo X(U lo que cualquier campo U 2 X(U) podrá escribirse como U = P2 ); por ' @ ' U i=1 i @ui ; con U i 2 F(U ) (i = 1; 2) y cualquier campo (a lo largo de ® U y tangente a M ) V 2 X ®(M) podrá escribirse como V = P2: I ! ' @ ' V ( i=1 i @ui ± ®); con Vi 2 F(I) (i = 1; 2). Usando las propiedades de (59) y (61), se concluye: Proposición 4.3 Sea M una super…cie de E3 y sea (U; '¡1 = (u; v)) una carta de M . 1. Sea ® : I ! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local Sea un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) V ´ P2 asociada. ' @ V ( ± ®) 2 X ®(M); con Vi' 2 F(I) (i = 1; 2): Se tiene: i=1 i @ui 2 rV X = dt k=1

Ã

!µ ¶ 2 X dVk' dui ' k @ + Vj (¡ij ± ®) ±® dt dt @u k i;j=1

(64)

P2 P2 ' @ ' @ 2. Sean los campos U ´ i=1 U i @ui ; W ´ i=1 Wi @ui 2 X(U); con Ui'; Wj' 2 F(U ) (i; j = 1; 2). Se tiene: rUW =

à 2 2 X X k=1

2 ' X ' @Wk Ui + Ui'Wj'¡kij @u i i=1 i;j=1

!

@ @uk

(65)

Demostración. Probemos 1: Ã 2 ! ¶ 2 µ dVj' @ rV r X ' @ (59) X @ (60) ' = Vj ( ± ®) = ( ± ®) + Vj (r ®0 ) = dt dt j=1 @uj dt @uj @uj j=1

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

104

! 2 X dVj' @ dui ' @ (63) = ( ± ®) + Vj (r @ ± ®) = @ui @uj dt @uj dt j=1 i=1 Ã ! 2 2 X dVk' X dui ' k @ = + Vj (¡ij ± ®) ( ± ®) : dt dt @uk k=1 i;j=1 2 X

Ã

Y probemos 2:

rU W =

r(P2i=1 Ui' @ ) @u

=

i

à 2 2 X X k=1

4.1.4

i=1

Ã

2 X

@ Wj' @uj j=1

!

(61)

=

2 X

i;j=1

2 @Wk' X ' ' k Ui' + Ui Wj ¡ij @ui i;j=1

Ui'

!

µ

¶ @ Wj' @ @ (63) ' + Wj (r @ ) = @ui @u @ui @uj j

@ @uk

Carácter intrínseco de la derivación covariante y de la curvatura de Gauss.

Como la derivación covariante depende (localmente) de los símbolos de Christo¤el, para demostrar que tiene carácter intrínseco será su…ciente demostrar que, en una carta arbitraria (U ; '¡1 = (u; v)), los símbolos ¡kij (i; j; k = 1; 2) pueden ponerse en función de los coe…cientes g ij ´< @u@ i ; @u@ j > (i; j = 1; 2) de la primera forma fundamental. En efecto, ello es así y se tiene: Proposición 4.4 Sea M una super…cie de E3 y sea (U; '¡1 = (u; v)) una carta de M . Sean gij 2 F(U) (i; j = 1; 2) y ¡kij 2 F(U ) (i; j; k = 1; 2) los coe…cientes de la primera forma fundamental y los símbolos de Christo¤el, respectivamente, de M en la carta (U ; '¡1). Entonces se veri…ca (8i; j; h = 1; 2): µ ¶ 2 1 X kh @(gik ± ') @(g jk ± ') @(g ij ± ') h ¡1 ¡1 ¡1 ¡ij = g ±' + ±' ¡ ±' ; 2 k=1 @uj @ui @ uk (66) kh siendo (g ) la matriz inversa de la matriz (g ij ). Demostración*: ver el Apéndice 5.4.1 Observación 4.5 Con los coe…cientes E; F; G 2 F(U ) de la primera forij abuso ma fundamental introducidos en (43), con los abusos de notación @g ´ @uk µ ¶ G ¡F @(g ij ±') 1 ±' ¡1 : U ! R, y teniendo en cuenta que (g kh) = EG¡F 2 , @uk ¡F E las fórmulas (66) se escriben: 8 @E @G @G G @E ¡2 F @F G @E 2 G @F ¡G @G 1 @u +F @v @v ¡F @u @u ¡F @v > ; ¡112= 2 (EG¡F ¡122= @v2 (EG¡F ; 2) 2) ; 2) < ¡11 = @u2 (EG¡F ; > @F ¡E @E @E +E @G @F +F @G +E @G : 2 ¡F @E +2 E ¡F ¡2 F 2 2 @u @v @v @u @v @u @v ¡11 = @u2 (EG¡F ; ¡12= 2 (EG¡F ; ¡22 = : 2) 2) 2 (EG¡F 2 )

105

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

en particular, si (U ; '¡1 = (u; v)) es un sistema de coordenadas ortogonales (esto es, si F = 0), se concluye: ¡111

=

@E @u

2E

;

¡112

=

@E @v

2E

;

¡122

=¡

@G @u

2E

;

¡211

=¡

@E @v

2G

;

¡212

=

@G @u

2G

;

¡222

=

@G @v

2G (67)

Ejemplo 4.6 En el caso de la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g en la carta polar (U; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15 (para la que se veri…ca: E = r2 ; F = 0 y G = r 2sen 2 #, ver Ejemplo 3.8), de la expresión (67) se obtiene ¡111 = 0 ; ¡112 = 0 ; ¡122 = ¡sen# cos # ; ¡211 = 0 ; ¡212 = cot # ; ¡222 = 0 ;

lo que puede usarse en (63) para deducir rápidamente la expresión de las derivadas covariantes r @ @u@ j , hallada ”a mano” en el Ejemplo 4.2. @ui

El siguiente teorema (uno de los más importantes en la geometría local de super…cies) a…rma que la curvatura de Gauss de una super…cie de E3 es un objeto geométrico intrínseco, esto es, depende sólo de la primera forma fundamental. Teorema 4.7 Sean M una super…cie de E3 y K 2 F(M) su curvatura de Gauss. Sea (U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M . Sean gij 2 F(U ) (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la primera forma fundamental en dicha carta y r el opera@ @ dor de derivación covariante en M . Entonces, denotando U ´ @u ; V ´ @v 2 X(U ), se tiene: < ¡rU rV U + rV rU U ; V > K jU = ; (68) det(g ij) con lo que la curvatura de Gauss resulta ser un objeto geométrico intrínseco. Demostración*: Para la demostración de la expresión (68), ver el Apéndice 5.4.2. Como la derivación covariante r es (por la Proposición 4.4) intrínseca, el primer miembro de (68) también lo es

Observación 4.8 Sea (U; ' ¡1 = (u; v)) un sistema de coordenadas ortogoij abuso nales (esto es, con F = 0). Entonces, con los abusos de notación @g ´ @uk @(g ij ±') @uk

± '¡1 : U ! R, se puede ahora demostrar (!), a partir de (67) y (68), que se veri…ca: µ µ ¶ µ ¶¶ ¡1 @ @E=@v @ @G=@u p p K jU = p + : (69) @u 2 EG @ v EG EG

El resultado (Teorema 4.7) de que la curvatura de Gauss, concepto de…nido a partir de las dos formas fundamentales sobre una super…cie, depende sólo de la primera de ellas hace sospechar que, entre ambas formas deben existir ciertas relaciones de compatibilidad ; esta cuestión se trata en el Apéndice 5.4.3*.

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

4.2

106

TRANSPORTE PARALELO

En cada punto p 2 Rn habíamos construido (recordar 1.1.3) el espacio vectorial tangente T pRn := f» ´~»p j ~» 2 Rn g de los vectores ”apoyados” en p. Hay un ”transporte paralelo natural” para llevar vectores que se apoyan en un punto p 2 Rn hasta otro punto q 2 Rn , que viene de…nido por el isomor…smo lineal Tp Rn 3 ~» p 7! ~»q 2 Tq Rn. Se dice por ello que los espacios tangentes de Rn están canónicamente conectados. Otra manera de ver esto es la siguiente: Sea ® : [a; b] 7! Rn una curva que une los puntos p = ®(a) y q = ®(b). Dado un vector ~»p 2 Tp Rn ; existe un único campo (a lo largo de ®) V 2 X ® tal que V(a) = ~» p y DV = 0. En efecto, la segunda condición implica, dt Pn @ i escribiendo V ´ i=1 V i( @xi ± ®) , que se debe veri…car dV = 0 (i = 1; :::; n), dt es decir, las funciones V i son todas constantes; y la primera condición obliga a que V i = » i (i = 1; :::; n) . Si se de…ne el ”transporte paralelo natural” del vector ~»p de p a q como el resultado de evaluar el campo V en el valor b del parámetro, se obtiene el vector tangente V(b) = ~»q (independientemente de la curva ® sobre la que se hace el transporte). Sea M una super…cie de E3 y sean p; q 2 M . Resulta evidente (pensar un ejemplo trivial!) que los espacios tangentes TpM y Tq M no están (en general) canónicamente conectados. Sin embargo, vamos a ver que el punto de vista expuesto en el anterior párrafo sobre la conexión canónica en Rn permite extender la idea de ”transporte paralelo” a los vectores tangentes a M. 4.2.1

Transporte paralelo. Carácter intrínseco

Sea ® : I ! M una curva en una super…cie M de E3 y sea V 2 X ® (M ) un campo de vectores a lo largo de ® y tangente a M . Se dice que V es paralelo (habría que decir ”r-paralelo”) si rV dt = 0. jj Si denotamos por X® (M ) al conjunto de campos (a lo largo de ® y tangentes a M ) paralelos, de las propiedades de rV en (59) se concluye que Xjj® (M ) dt constituye un R-espacio vectorial (cuidado: no constituye un F(I)-módulo!) y que, para cualesquiera V; W 2 Xjj® (M ), el producto escalar < V; W > es constante a lo largo de ®. Teorema 4.9 Sea ( U; ' ¡1 = (u; v)) una carta de M . Sea ® : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. P 1. Sea el campo (a lo largo de ® y tangente a M ) V ´ 2i=1 Vi'( @u@ i ± ®) 2 X® (M ); con Vi' 2 F(I) (i = 1; 2): Entonces: V es paralelo si y sólo si las funciones Vi' satisfacen el sistema lineal de ecuaciones diferenciales

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

107

de 1er. orden: Ã 2 ! 2 X X dui + (¡kij ± ®) Vj' = 0 dt dt j=1 i=1

dV k'

(k = 1; 2) :

(70)

2. Fijado cualquier t0 2 I , la aplicación X jj®(M) 3 V 7! V(t0) 2 T®(¿)M es un isomor…smo lineal. Como consecuencia, el R-espacio vectorial Xjj® (M ) posee dimensión 2. Denotaremos por T®(t0 )M 3 » 7! V» 2X jj® (M ) al isomor…smo lineal inverso del anterior. Nótese que se veri…ca V» (t0) = ». 3. Si a; b 2 I , la aplicación jj®a;b: T®(a)M 3 » 7! V» (b) 2T®(b)M es un isomor…smo lineal, que se denomina transporte paralelo de p = ®(a) a q = ®(b) a lo largo de ®. Además jj ®a;b es una isometría lineal y, si ¿ 2 (a; b); se veri…ca: jj®a;b = jj®¿;b ± jj ®a;¿ . Demostración. El apartado 1 es consecuencia inmediata de la Proposición 4.3(1). El apartado 2 es consecuencia inmediata del resultado mencionado en el Apéndice 5.1.3* sobre existencia y unicidad de solución global del sistema lineal (70) de ecuaciones diferenciales de 1er orden, para cualquier condición inicial (V1'(t0 ); V2'(t0)). Probemos 3. La aplicación jj ® a;b es, por el apartado 2, la composición jj

de dos isomor…smos. Además, si V; W 2 X® (M ), se tiene:

d rV rW (59) < V; W > = < ; W > + < V; >= 0 ; dt dt dt y jj® a;b resulta ser una isometría lineal

Puesto que las nociones de ”campo paralelo” y de ”transporte paralelo” se expresan via las ecuaciones (70), que son intrínsecas debido a las ecuaciones (66), se concluye que tanto la noción de campo paralelo como la de transporte paralelo son intrínsecas. Observación 4.10 Recordemos (2.1.5) que un camino en En (n ¸ 2) es una aplicación continua ® : [a; b] ! En que es diferenciable a trozos. Si ® : [a; b] ! M (½ E3) es un camino, es posible encontrar una partición a = t0 < t1 < ¢ ¢ ¢ < tk = b de [a; b] de manera que cada imagen ®([ti¡1; ti])

108

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

esté contenida en el dominio de una carta. Resulta entonces posible de…nir sin ambigüedad la aplicación jj®a;b := jj®tr¡1;b ± ¢ ¢ ¢ ± jj®a;t 1 : T®(a)M ! T®(b)M ; que es una isometría lineal. Ejemplo 4.11 En una super…cie, la noción de transporte paralelo entre dos puntos a lo largo de una cierta curva regular es invariante frente a reparametrizaciones de ésta (Ejercicio 6.4.9). El transporte paralelo en un plano afín ¦ ½ E3 coincide con el ”transporte paralelo natural” inducido en ¦ ¼ R2 vía cualquier referencia afín (Ejercicio 6.4.6). Cuando dos super…cies se cortan a lo largo de una curva, las dos nociones de paralelismo (para campos de vectores a lo largo de ésta que sean tangentes a ambas) no tienen por qué coincidir; sí lo hacen cuando las super…cies son mutuamente tangentes a lo largo de ® (Ejercicios 6.4.8 y 6.4.13c). Si ® : I ! M es una curva en una super…cie M de E3 y V 2 X® (M ) es un campo (a lo largo de ® y tangente a M ), el criterio de paralelismo para V dado en el Teorema 4.9(1) requiere coordenadas (y es molesto). Cuando ® es geodésica de M, hay un criterio sin coordenadas (ver el Ejercicio 6.4.1), mucho más cómodo de manejar y que se aplica con frecuencia. 4.2.2

Transporte paralelo, geodésicas e isometrías

Sea ° : I ! M una curva en una super…cie M de E3 y sea r el operador de derivación covariante en M . En 3.3.7 de…nimos ° como si su ³ geodésica ´ aceleración ° 00 ´

D° 0 dt

era normal a M . Puesto que

r° 0 dt

:=

D° 0 dt

T an

, resulta

r° 0

que ° es geodésica si y sólo si dt = 0, esto es, si y sólo si su campo de velocidades es paralelo. Se dice que la geodésica ° : I ! M es una geodésica por » 2 T pM , si 0 2 I y ° 0(0) = » (obviamente, en tal caso °(0) = p). Y se dice que ° es maximal, si no existe ninguna geodésica °~ : I~ 7! M que ”extienda” a ° (esto es, tal que I~ contenga estrictamente a I y se veri…que ~° jI = °). Ya vimos en 3.3.7 que, si ° : I ! M es geodésica, j ° 0 j: I ! R es una función constante. Además se tiene: Proposición 4.12 Sea M una super…cie de E3. 1. Sea ( U; ' ¡1 = (u; v)) una carta de M , sea ° : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. Entonces ° es una geodésica si y sólo si las funciones u1(t) ´ u(t); u2(t) ´ v(t)

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

109

veri…can el sistema (en general, no lineal!) de ecuaciones diferenciales de segundo orden: 2 X d2uk dui duj k + (¡ ± °) = 0 2 dt dt dt ij i;j=1

(k = 1; 2)

(71)

2. Para cada p 2 M y cada » 2 Tp M, existe una geodésica ° : I ! M por » (esto es, tal que °0 (0) = »). 3. Dos geodésicas por » 2 Tp M coinciden en la intersección de sus dominios. 4. Para cada p 2 M y cada » 2 Tp M, existe una única geodésica maximal por », que denotaremos ° » : I» ! M . 5. Fijados » 2 T pM y s 2 R , se veri…ca: ½ st 2 I» , t 2 Is» y ° »(st) = ° s»(t) Demostración. Probemos 1. El sistema (71) es directa consecuencia del sistema (70), que da la expresión analítica (local) de la condición de paralelismo, y del hecho de que (Observación 2.23) (° 0 )'k = dudtk (k = 1; 2). Probemos 2, 3 y 4. Escribamos

½

uk (p)P´ a k (k = 1; 2) : » ´ 2k=1 » k (@=@uk )p

El apartado 2 (respectivamente, los apartados 3 y 4) es directa consecuencia de que el sistema de dos ecuaciones diferenciales de 2 o orden (71) es equivalente al sistema de cuatro ecuaciones diferenciables de 1er orden

½

duk dt dfk dt

¡P fk = 0 + 2i;j=1 fifj (¡kij ± °) = 0

(k = 1; 2)

y del resultado mencionado en el Apéndice 5.1.3* sobre existencia (respectivamente, sobre unicidad) de solución maximal de este último sistema para la condición inicial

½

uk (0) = ak fk (0) = »k

(k = 1; 2) ;

esto es, para (°(0) = p ; ° 0(0) = »):

(72)

110

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES Probemos 5 ¤. Fijados » 2 Tp M y s 2 R , la curva ® : t 7! ° » (st) es (hasta donde pueda de…nirse) una geodésica (ya que sus coordenadas satisfacen (71)) con velocidad inicial ®0 (0) = s° 0» (0) = s» . De los apartados 3 y 4 se deduce que ® = ° s» jDom ® . Y por tanto se sigue: st 2 I» , t 2 Is» , veri…cándose ° »(st) = ° s»(t)

Observación 4.13 Se puede demostrar (pero no lo haremos en este curso) que, si una curva entre dos puntos de una super…cie posee longitud mínima (entre todas las que unen dichos puntos), necesariamente es una geodésica (ver p.ej. [8], Cap.19, Teorema 1); y que, si dos puntos de una super…cie están ”su…cientemente próximos”, existe entre ellos una geodésica de longitud mínima (ver [8], Cap.19, Teorema 3). Ya hemos dicho al comienzo de este Capítulo que, puesto que las isometrías locales entre super…cies (3.4.1) venían caracterizadas (56) por preservar la primera forma fundamental, preservarían todos los objetos geométricos (locales) intrínsecos de las super…cies. Ya hemos comprobado (Proposición 3.26 y Teorema 4.7) que así ocurre con las longitudes de curvas y con la curvatura de Gauss. Vamos a continuación a comprobar que lo mismo sucede con el transporte paralelo y con las geodésicas. ¹ super…cies de E3 y sea F : M ! M ¹ una Proposición 4.14 Sean M y M isometría local. Entonces: 1. F preserva el transporte paralelo, es decir: para toda curva ® : I ! M ¹ , siendo y para todo V 2 X jj® (M ), se veri…ca (dF j ® V) 2 XjjF ±® (M) (dF j® V) (t) := dF j®(t) (V(t)). 2. F preserva las geodésicas: si ° : I ! M es geodésica, también lo es ¹ F ±° :I ! M Demostración. Probemos 1. Usaremos cartas (U ; '¡1) en M y ¹ como las construídas en la Proposición 3.25, esto es, (U; ' ¹ ¡1 ) en M tales que:

8 ³ ´ ³ ´ < u¹k ± F j U = uk ; (29) ) dF j p @u@ k = @¹@uk :

p

(66)

¹gij ± F jU = g ij ; )

¹kij ± F jU = ¡kij ¡

F (p)

dF j ® V =

i=1

Vi'

µ

@ ±F ± ® @ u¹i

¶

(k = 1; 2)

(i; j; k = 1; 2)

Suponiendo s.p.d.g. que ®(I) ½ U y escribiendo V ´ se ve inmediatamente que 2 X

; 8p 2 U

P2

i=1 Vi

¹) : 2 X F ±® (M

'

³

@ @ui

´

±® ,

:

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

111

'

Entonces se tiene, para las componentes Vi de dF j ® V:

à 2 ! 2 ¢ dVk' X X d(¹ ui ± F ± °) ¡ ¹ k + ¡ij ± F ± ° Vj' = dt dt j=1 i=1 à 2 ! 2 ¢ dVk' X X d(ui ± °) ¡ k (70) = + ¡ij ± ° Vj' = 0 ; dt dt j=1 i=1 jj

¹ ): del Teorema 4.9(1) se sigue que (dF j ® V) 2 X F±® (M

¹ como Probemos 2. Usando cartas (U ; '¡1) en M y (U; ' ¹ ¡1 ) en M en el apartado 1 y suponiendo s.p.d.g. que (localmente) °(I) ½ U , se tiene: 2 ¢ d2(¹ uk ± F ± °) X d(¹ ui ± F ± °) d(¹ uj ± F ± °) ¡ ¹ k + ¡ ± F ± ° = ij dt2 dt dt i;j=1

=

2 ¢ (71) d2(uk ± °) X d(ui ± °) d(uj ± °) ¡ k + ¡ij ± ° = 0 ; 2 dt dt dt i;j=1 jj

¹ ): de la Proposición 4.12(1) se sigue que (F ± °)0 2 XF ±° (M

En realidad, se puede dar una demostración más elegante (sin coordenadas) de este apartado 2. Basta, en efecto, aplicar el resultado del jj apartado 1 al campo ° 0 2 X ° (M ) y se obtiene: (27)

(F ± °)0 = dF j ° ° 0

Aptdo:1

2

¹) XjjF ±° (M

Ejemplo 4.15 En una super…cie, la noción de geodésica es invariante frente a reparametrizaciones a…nes (Ejercicio 6.4.4). Ya sabemos (Ejemplo 3.23) que todas las curvas con velocidad constante cuyas imágenes son rectas en el plano, hélices (también rectas o circunferencias) en el cilindro o círculos máximos en la esfera son geodésicas. Podemos ahora probar que todas las geodésicas en estas tres super…cies son de esa forma (Ejercicio 6.4.3d). En cuanto a que las isometrías preserven las geodésicas (Proposición 4.14(2)), retomamos aquí una cuestión que dejamos a medias al …nal del ¹ super…cies y supongamos que exista un difeoEjemplo 3.30. Sean M y M ¹ mor…smo f : M ! M que preserva la curvatura de Gauss. Pues bien, incluso ¹ tienen curvatura de Gauss constante, no sólo f no tiene por qué si M y M ¹ ser una isometría, sino que no tiene por qué existir una isometría M ! M ¹ (Ejercicio 6.4.10b). y ni tan siquiera una isometría local M ! M

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES 4.2.3

112

Transporte paralelo y curvatura de Gauss

Estudiaremos aquí la relación que existe entre la curvatura de Gauss de una super…cie M de E3 y el ángulo que giran los vectores tangentes a M cuando los transportamos paralelamente a lo largo de un camino en M cerrado, simple y su…cientemente pequeño. Entre otras aplicaciones, esta relación será fundamental para poder establecer en 4.3.2 el teorema de Gauss-Bonnet (Teorema 4.27). Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada (M; º) de E3 y sea V 2 X ® (M) un campo de vectores (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario, es decir j V j= 1. Sea r el operador de derivación covariante en M . Entonces se tiene: 0=

d (59) rV < V; V > = 2 < ;V > ; dt dt

rV como, por otra parte, es < rV dt ; º ± ®> = 0 , resulta que dt debe ser proporcional a (º ± ®) £ V . Por tanto, existirá una función diferenciable · ¸ rV :I !R; dt

denominada valor algebraico de rV dt , tal que: · ¸ rV rV =: (º ± ®) £ V ; ) dt dt · ¸ rV rV DV ) =< ; (º ± ®) £ V >=< ; (º ± ®) £ V > : dt dt dt

(73)

Observación 4.16 Supongamos que ® es regular y está parametrizada por la longitud de arco, es decir, j®0 j = 1. En tal caso, se de…ne la curvatura geodésica ·®g de ® como el valor algebraico de la derivada covariante de su velocidad · ¸ r®0 ® ·g := :I!R ds (donde s es el parámetro de ®, esto es, su longitud de arco), y resulta: (73)

(3)

·®g = < ®00 ; (º ± ®) £ ®0 > = det (®00 ; (º ± ®) ; ®0 ) :

(74)

Por supuesto, si la curva unitaria ® es una geodésica, su curvatura geodésica es nula. Por otra parte, se veri…ca: ®00 ´

D®0 r®0 D®0 = +< ; º ± ®> º ± ® = ·®g ((º ± ®) £ ®0) + ·®º (º ± ®) ; ds ds ds

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

113

siendo ·®º la curvatura normal de ® en (M; º) (recordar 3.2.2). Puesto que (º ± ®) £ ®0 es tangente a M y º ± ® es normal a M , ·®g representa (salvo quizás el signo) la longitud de la proyección tangente a M de la aceleración de ®. Si la curva unitaria ® es alabeada, y recordando que su curvatura ·® veri…ca (Proposición 1.30) ·® = j®00 j, se obtiene la igualdad: (·® )2 = (·®g )2 + (·®º )2 Comenzamos probando el siguiente Lema 4.17 Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada (M; º ) de E3 y sean U; V 2 X ® (M) campos de vectores (a lo largo de ® y tangentes a M ) unitarios. Entonces: 1. Existe una función diferenciable µ : I ! R , tal que: ~ ; V = cos µ U + senµ U ~ ´ (º ± ®) £ U . La función µ, determinada salvo donde denotamos U una constante aditiva múltiplo entero de 2¼, se denomina una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V) 2. Si µ es una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V), se veri…ca: · ¸ · ¸ rV rU dµ = + ; dt dt dt donde r denota la derivación covariante en M . Demostración. Probemos 1 (ver [5], 4.4, Lema 1): Obviamente se ~ , con f1; f2 2 F(I ) y f12 + f22 = 1. tiene: V = f1U + f2U Si existiera una tal función diferenciable µ, debería veri…carse

½

df1 dt df2 dt

= ¡senµ dµ dt = cos µ dµ dt

; )

dµ df df = ¡f2 1 + f1 2 dt dt dt

(¤) :

Este criterio necesario da la ”pista” para demostrar la existencia de la función deseada. Fijemos t0 2 I y sea µ 0 2 R tal que f1(t0) = cos µ0 y f2(t0) = senµ0 . De…niendo ahora la función diferenciable

µ : I 3 t 7!

Z

t

(f1 t0

df2 df ¡ f2 1 )(t) dt + µ 0 2 R ( ) µ(t0) = µ 0) ; dt dt

probaremos que f1 = cos µ y f2 = senµ o, equivalentemente, que (f1 ¡ cos µ)2 + (f2 ¡ senµ)2 = 0.

114

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES Ahora bien, teniendo en cuenta que

½

(f1 ¡ cos µ) 2 + (f2 ¡ senµ)2 = 2 ¡ 2(f1 cos µ + f2senµ) (f1 cos µ + f2senµ)(t0 ) = cos2 µ 0 + sen 2µ 0 = 1

;

bastará probar que f1 cos µ + f2 senµ = cte: Y en efecto:

d df df dµ (¤ ) (f1 cos µ+f2 sen µ) = 1 cos µ+ 2 sen µ+(¡f1 sen µ+f2 cos µ) = dt dt dt dt df1 df2 df1 df2 cos µ(1¡f22)+ sen µ(1¡f12)+f1 f2 sen µ +f1f2 cos µ dt dt dt dt df1 df2 f 1 dt +f2 dt =0 df df df df = f1(f1 1 +f2 2 ) cos µ+f2(f1 1 +f2 2 )sen µ = 0 : dt dt dt dt =

f 12+f 22=1

=

Probemos 2 (ver [5], 4.4, Lema 2): Se tiene:

(º ± ®) £ V | {z }

Aptdo:1

=

e ´V

e ´U

Por otra parte:

rU dt

(3) e : (º±®)£(cos µ U+senµ (º ± ®) £ U) = ¡senµ U+cos µ U | {z }

jUj=cte:

»

Con lo cual se tiene:

· =< ¡senµ

=

rV dt

e U

¸

y

(73)

=<

e rU dt

e jUj=cte:

»

e e (3) U = ¡U :

rV e Aptdo. 1 ; V> = dt

e dµ rU dµ e rU e U+cos µ + cos µ U+senµ ; ¡senµ U+ cos µ U>= dt dt dt dt |{z} |{z} »U

e »U

e dµ rU e rU + cos2 µ < ; U > ¡sen2 µ < ; U >= dt dt | dt{z } e ¡< rU dt ;U>

· ¸ dµ rU e (73) dµ rU = +< ;U > = + dt dt dt dt

Observación 4.18 Sea ® : I ! M una curva en una super…cie orientada (M; º) de E3 y sean U; V 2 X ® (M) campos de vectores (a lo largo de ® y tangentes a M) unitarios. El apartado 1 del Lema nos asegura que existe una ~ Consideremos función diferenciable µ : I ! R tal que V = cos µ U+senµ U.

115

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

la función continua ¹µ : I ! [0; ¼] dada por cos ¹µ :=< U; V > (ángulo no orientado de…nido por el producto escalar). Es inmediato ver que se tiene: ¹µ = jµ ¡ 2k¼j ; si µ 2 [(2k ¡ 1)¼; (2k + 1)¼] (k entero) : Ahora bien: ya sabemos (Teorema 4.9(3)) que, si ambos campos U y V son paralelos, ¹µ tiene que ser constante, lo que implica dµ dt = 0. El apartado 2 del Lema nos añade pues la información de que, si uno de los campos U ó V es paralelo, la derivada dµ es independiente de la elección de dicho campo. dt En particular, si U = ®0 (ello presupone que ® está parametrizada por la ® longitud de arco) y V es paralelo, entonces ¡dµ dt = ·g , la curvatura geodésica de ® (Observación 4.16). Proposición 4.19 Sea (M; º ) una super…cie orientada de E3 y sea (U ; '¡1= (u; v)) una carta ortogonal (esto es, F = 0; recordar la Proposición 3.7) positiva (esto es, º jU = º ') de M. Sea ® : I ¡! U una curva y sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) su expresión local asociada. Sea el campo (a lo p largo de ® y tangente a M ) unitario U ´ @=@u ± ® 2 X ® (M) y sea r el E operador de derivación covariante en M. Abusaremos de la notación y esij abuso @(g ij ±') cribiremos @g ´ ± ' ¡1 : U ! R. Entonces: @uk @uk 1. Se tiene: ·

¸ rU @E=@v du @G=@u dv = ¡( p ± ®) +( p ± ®) : dt dt dt 2 EG 2 EG

2. Sea V 2 X ® (M) otro campo (a lo largo de ® y tangente a M) unitario. Sea µ una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; V). Si V es paralelo, entonces se tiene: dµ @E=@v du @ G=@u dv =( p ± ®) ¡( p ± ®) : dt dt dt 2 EG 2 EG Demostración. Probemos 1 (ver [5], 4.4, Proposición 3): En primer lugar, se veri…ca:

@=@u £ @=@v @=@u (3) @=@v e ´ (º '±®)£U 3:2:1 p U = ( £ p )±® = p ±® EG E G Por otra parte:

2 r @ @ (64) X dui ( ± ®) = (¡kil ± ®)( ± ®) dt @ul dt @u k k;i=1

(¤¤) :

(¤) :

116

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES Con lo cual se tiene:

·

rU dt

¸

(73)

=<

rU e (¤ ) r @=@u @ =@v F =0 ; U> =< ( p ± ®); p ± ® > = dt dt E G

1 r @ @ ( ¤¤ ) = (p ± ®) < ( ± ®); ( ± ®) > = dt @u @v EG 2 X 1 dui 2 @ @ p =( ± ®) < (¡i1 ± ®)( ± ®); ( ± ®) >= dt @v @v EG i=1 r 2 X G dui 2 (67) @E=@v du @ G=@u dv =( ±®) (¡i1±®) = ¡( p ±®) +( p ±®) : E dt dt 2 EG dt 2 EG i=1 El apartado 2 es inmediata consecuencia del apartado 1 y del Lema 4.17(2)

Recordando el Corolario 2.10 (Green), se obtiene el siguiente: Teorema 4.20 Sea (M; º) una super…cie orientada de E3 y sea (U ; '¡1= (u; v)) una carta ortogonal (esto es, F = 0; recordar la Proposición 3.7) positiva (esto es, º j U = º ') de M . Sea R ½ U un subconjunto cerrado y acotado, cuya frontera topológica @R(½ R) en U sea la imagen de un camino ® : [a; b] ! U ½ E3 cerrado y simple. Elijamos ® de forma que el sentido de recorrido sea positivo respecto de º (esto es, de forma que (º ± ®) £ ®0 apunte, allí donde esté de…nido y no sea nulo, hacia el interior de R). Sea V 2 X ® (M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario y sea µ : [a; b] ! R una determinación diferenciable del ángulo (orientado) p ](U ´ @=@u ± ®; V). Si V es paralelo, entonces se tiene: E Z µ(b) ¡ µ(a) = K : R

Demostración. Sea ('¡1 ± ®)(t) ´ (u(t); v(t)) la expresión local de ® en la carta (U; ' ¡1 ). Se tiene: Z Z p (69) 3:1:5 K = K (u; v) E(u; v)G(u; v) = R

Z

=

'¡1 (R)

0

1

B @ µ ¡@E=@v ¶ @ µ ¡@G=@u ¶C B C = p + p B C @ @v @u A 2 EG 2 EG '¡1(R) | {z } | {z }

Z bµ a

´¡P

Cor: 2:10

=

´Q

@E=@v du ¡@G=@u dv ( p ± ®) + ( p ± ®) dt dt 2 EG 2 EG

¶

dt

Prop: 4:19(2)

=

Z

b a

dµ dt = µ(b)¡µ(a) dt

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

117

Observación 4.21 El Teorema 4.20 nos dice que: p 1. El incremento µ(b) ¡ µ(a) del ángulo orientado de U ´ @=@u ±® a V E (paralelo) resulta independiente de la elección del V y sólo depende del comportamiento de la curvatura en la región R.

En realidad, el resultado mantiene su validez (ver [8], Teorema 21.1) sin hacer mención alguna de la carta ortogonal positiva (U ; '¡1= (u; v)), simplemente exigiendo que la región cerrada R esté contenida en el dominio (abierto) de algún campo X (tangente a M ) unitario y tomando U ´ X ± ®.

2. Si el área de R es su…cientemente ”pequeña”, la determinación £ 2 (¡¼; ¼] del ángulo orientado de V(a) a V(b) (en el punto ®(a) = ®(b)) resulta ser igual a µ(b) ¡ µ(a) y es, por tanto, independiente de la elección del V. En efecto: por la de…nición de £, e V(b) = cos £ V(a) + sen £ V(a)

(¤ ) ;

e ´ (º ± ®) £ V. Por otra parte, por la de…nición de µ donde V (y para todo t 2 I ), e V(t) = cos µ(t) U(t) + sen µ(t) U(t) ;

(3)

)

e e ) V(t) = cos µ(t) U(t) ¡ sen µ(t) U(t) :

Se sigue:

¤

( ) e cos µ(b) U(b) +sen µ(b) U(b) = V(b) = | {z } | {z } U(a)

e U(a)

³ ´ e = cos £ cos µ(a) U(a) + senµ(a) U(a) + ³ ´ e +sen£ cos µ(a) U(a) ¡ senµ(a) U(a) =

e = cos(£ + µ(a)) U(a) + sen(£ + µ(a)) U(a) ; ) µZ ¶ T eor:4:20 ) K = µ(b) ¡ µ(a) = £ + 2k¼ ; k entero : R

Pero £ 2¯R(¡¼;¯ ¼]. Si el área de R es su…cientemente ”pequeña”, p.ej. si ¯ R K ¯ < ¼, entonces debe ser k = 0 y resulta: £ = R R

K

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

118

En otras palabras, si el área de R es su…cientemente pequeña, el transporte paralelo jj ®a;b: TpM ! TpM de p = ®(a) a p = ®(b) a lo largo R de ® corresponde a una rotación en Tp M de ángulo orientado £ = R K .

Ejemplo 4.22 En el caso de la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g, la integral de la curvatura de Gauss K (= r12 , ver el Ejemplo 3.18) en un ”triángulo” (ver 4.3.1 para una de…nición rigurosa de este concepto) T (½ M ) que tiene un vértice en el polo norte y dos en el ecuador y por lados dos arcos de meridiano y un arco de ecuador de amplitud ¢Á 2 (0; 2¼], es (ayudándonos de la carta polar (U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15, que veri…ca T ½ U salvo un conjunto de medida nula y en la que sabemos que se tiene E = r2 ; F = 0 y G = r2 sen2 #): Z

3:1:5

K: = T

Z

1p T eor: 2:8 1 EG = 2 r2 '¡1(T ) r

Z

|0

¢Á

Z (

¼=2 0

r2sen# d#)dÁ = ¢Á : {z }

A(T )

Sea ahora º 2 XM la normal unitaria exterior a la esfera y sea ® : [a; b] ! M ½ E3 un camino cerrado, simple, positivo respecto de º y tal que Im ® = @T (la frontera de T en M ). Sea V 2 X ® (M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario y paralelo (el hecho de que ® no sea diferenciable, sino sólo ”diferenciable en tres trozos”, no plantea mayor problema para que V sea diferenciable); es muy fácil seleccionar un tal V (por ejemplo, con el criterio dado en el Ejercicio 6.4.1) y es inmediato (!) comprobar que la determinación £ 2 (¡¼; ¼] del ángulo orientado de V(a) a V(b) (en el polo norte ®(a) = ®(b)) resulta ser ½ £ = ¢Á ; si 0 · ¢Á · ¼ : £ = ¢Á ¡ 2¼ ; si ¼ < ¢Á · 2¼ 2 Resulta por tanto claro que, si A(T ) · R ¼r , se cumple lo a…rmado en la Observación 4.21(2), a saber, que £ = T K. El Teorema 4.20 a…rma además que, si eligiéramos una carta ortogonal positiva de M cuyo dominio (abierto) contuviera al recinto T (cerrado) de integración (una tal carta existe; por ejemplo, la dada por la proyección estereográ…ca desde el polo R sur sobre el plano ecuatorial, ver el Ejercicio 6.3.3), entonces se tendría T K = µ(b) ¡ µ(a), siendo µ : [a; b] ! R una determinap ± ®; V). Atención: para ción diferenciable del ángulo (orientado) ](U ´ @=@u E la comprobación del valor de µ(b) ¡ µ(a) no podremos utilizarR la carta polar (U; ' ¡1 = (#; Á)) que nos ha servido para calcular la integral T K: el que el polo norte ®(a) = ®(b) no pertenezca a U ”no tiene remedio” (y, de hecho, p el cálculo en dicha carta arroja el resultado: ](U ´ @=@# ± ®; V) j (a;b)= cte:). E

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

119

Ejemplo 4.23 De nuevo en el caso de la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2 > 0g, la integral de la curvatura de Gauss K (= r12 , ver el Ejemplo 3.18) en un ”casquete esférico” R(½ M ) centrado en el polo norte y de amplitud ¢# 2 (0; ¼2 ] es (ayudándonos de la carta polar (U ; '¡1 = (#; Á)) del Ejemplo 2.15, que veri…ca R ½ U salvo un conjunto de medida nula y en la que sabemos que se tiene E = r2; F = 0 y G = r2sen2 #): Z Z Z 2¼ Z ¢# 1p 3:1:5 T eor: 2:8 1 K: = EG = ( r 2sen# d#)dÁ= 2¼(1¡cos ¢#) : 2 2 r 0 R '¡1(R) r 0 | {z } A(R)

Sea ahora º 2 XM la normal unitaria exterior a la esfera y sea ® : [a; b] ! M ½ E3 un camino cerrado, simple, positivo respecto de º y tal que Im ® = @R (la frontera de R en M ). Sea V 2 X ® (M ) un campo (a lo largo de ® y tangente a M ) unitario y r-paralelo. Obsérvese que, a menos que sea ¢# = 2¼, ya no es tan fácil como en el ejemplo anterior determinar un tal V. ¹ al cono que es tangente a M a lo largo de Sin embargo, si denotamos por M ¹ ¹ ®, el campo V 2 X® (M ) resultará ser también (Ejercicio 6.4.8b) r-paralelo. Ahora bien, un sector (abierto) de generatriz ½ y amplitud ¢Á(= 2¼) de un cono de ”abertura” a(= ¼2 ¡ ¢#) es isométrico (Ejemplo 3.28) a un sector circular plano (abierto) de radio ½ y amplitud ¢v = ¢Á sena(= 2¼ cos ¢#), donde los campos paralelos ”no giran” (Ejercicio 6.4.6). Es entonces inmediato (!) comprobar que la determinación £ 2 (¡¼; ¼] del ángulo orientado de V(a) a V(b) (en el polo norte ®(a) = ®(b)) resulta ser ½ £ = ¡¢v + 2¼ = 2¼(1 ¡ cos ¢#) ; si 0 < ¢# · ¼3 : £ = ¡¢v = ¡2¼ cos ¢# ; si ¼3 < ¢# · ¼2 2 Resulta por tanto claro que, si A(R) · R ¼r , se cumple lo a…rmado en la Observación 4.21(2), a saber, que £ = T K. El Teorema 4.20 a…rma además que, si eligiéramos una carta ortogonal positiva de M cuyo dominio (abierto) contuviera al recinto R (cerrado) de R integración, entonces se tendría R K = µ(b)¡µ(a), siendo µ : [a; b] ! R una p determinación diferenciable del ángulo (orientado) ]( @=@u ± ®; V). Para la E comprobación del valor de µ(b) ¡µ(a) (al igual que en el ejemplo anterior, no podemos utilizar la carta polar (U; '¡1)) elijamos el camino ® diferenciable y unitario (podemos hacerlo, ya que Im ® es la frontera de un casquete esférico), s s esto es, ®(s) := (rsen¢# cos rsen¢# ; rsen¢#sen rsen¢# ; r cos ¢#), con a ´ 0; b ´ 2¼rsen¢#; con ello, podremos escribir: µ = µ 1 + µ2 , donde µ1 : [a; b] ! R y µ 2 : [a; b] ! R son determinaciones diferenciables de los ángulos p ± ®; ®0 ) y ](®0 ; V), respectivamente. El cálculo de µ1 (b) ¡ orientados ]( @=@u E µ 1(a) puede hacerse, equivalentemente, en el dominio euclídeo de la carta positiva (respecto de º ) elegida; aceptando sin entrar en detalles que dicha

120

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

carta lleva caminos positivos (respecto de º) en caminos positivos en E2, el teorema de rotación de tangentes (Observación 2.9*) permite concluir que µ 1(b) ¡ µ 1(a) = 2¼ : En cuanto al cálculo de µ 2(b) ¡ µ 2(a), teniendo en cuenta que º (®(s)) := 1 (®(s))®(s), se obtiene: r ¸ Z 2¼rsen¢# Z 2¼rsen¢# · dµ Lema 4:17(2) r~ ®0 (74) µ 2(b) ¡ µ 2(a) = ds = =¡ ds = ds ds 0 0 Z 2¼rsen¢# Z 2¼rsen¢# ds (!) 00 0 =¡ det (® ; (º ± ®); ® ) ds = ¡ = ¡2¼ cos ¢# : r tan ¢# 0 0 De lo anterior se deduce que, efectivamente: Z µ(b) ¡ µ(a) = µ 1(b) ¡ µ1 (a) + µ 2(b) ¡ µ2 (a) = 2¼(1 ¡ cos ¢#) = K: R

4.3

CURVATURA Y TOPOLOGIA*

Estamos ahora en condiciones de abordar algunos resultados que muestran la estrecha relación que existe entre la curvatura de una super…cie y su topología. Conocemos el signi…cado y sabemos calcular (recordar 3.1.5) la integral de una función (integrable) en un subconjunto (medible) de una super…cie, siempre que el subconjunto esté contenido en un entorno coordenado. En el caso de que la super…cie sea compacta, es posible de…nir la integral en subconjuntos (medibles) arbitrarios y, en particular, en toda la super…cie: la idea consiste en establecer una partición de la región su…cientemente …na, de forma que cada parte esté incluida en un entorno coordenado, y en sumar todas las integrales parciales. Uno de los resultados más profundos y paradigmáticos de la teoría global intrínseca de super…cies lo constituye el teorema de Gauss-Bonnet, que relaciona la integral de la curvatura de Gauss sobre una super…cie compacta con el ”género” (topológico) g de la super…cie. 4.3.1

Triangulaciones e integración en super…cies

Un triángulo en una super…cie M de E3 es un subconjunto T ½ M conexo, cerrado, acotado y cuya frontera topológica @T (½ T ) en M es la imagen de un camino ° : [t0 ; t3 ] ! M

diferenciable en tres trozos (respecto de una partición t0 < t1 < t2 < t3), cerrado y simple. Por lo visto en 3.1.5, todo triángulo contenido en el dominio de una carta es medible.

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

121

Los puntos pi ´ °(ti ) (i = 1; 2; 3) son los vértices de T y los ”segmentos” °([ti¡1 ; ti ]) (i = 1; 2; 3) los lados de T . El triángulo T se dirá geodésico si sus tres lados son imágenes de geodésicas (de M ). Una triangulación de una super…cie M de E3 es una familia …nita T = fT1; :::; Tn g de triángulos tal que: (1) [ni=1Ti = M (2) Si Ti \ Tj 6= ; , entonces, o bien T i \ Tj es un único vértice, o bien es exactamente un lado común (con sus dos vértices incluidos) Puede probarse (!) que, en estas condiciones, se veri…ca además la propiedad: (3) Cada lado de T es exactamente intersección de dos triángulos distintos de T . Denotaremos por n v y nl , respectivamente, el número de vértices y lados de T . Consecuencia inmediata de (3) es que: 2nl = 3n. Se denomina característica de Euler de la super…cie M respecto de la triangulación T = fT 1; :::; Tn g al entero (ver [7], 1.8): ÂT (M ) := n + nv ¡ nl Cuando disponemos, en una super…cie M , de una triangulación T = fT1; :::; Tn g cuyos triángulos están contenidos en entornos coordenados, podemos de…nir la integral de una función continua f : M ! R por: Z n Z X f := f ; M

i=1

Ti

donde las integrales sobre los triángulos Ti fueron ya de…nidas en 3.1.5. Se demuestra (!) que el valor de esta integral es independiente de la triangulación T elegida; en particular, es independiente de que los triángulos sean o no geodésicos. 4.3.2

Teorema de Gauss-Bonnet

Sea (M; º) una super…cie orientada de E3. Dado un triángulo T en M , elijamos un camino regular en tres trozos ° que parametrice su borde @T . En estas condiciones, se denominan ángulos externos a los ángulos (orientados por la normal º y dentro de la determinación (¡¼; ¼]): " i := ](° 0i (ti ); ° 0i+1 (ti )) 2 (¡¼; ¼] (i = 1; 2; 3 ; ° 4 ´ ° 1) ; y se denominan ángulos internos a los ángulos (no orientados):

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

122

¶i := ¼ ¡ "i 2 [0; 2¼) (i = 1; 2; 3) : En la geometría del plano euclídeo, la suma de los ángulos internos de un triángulo vale ¼ radianes. En una super…cie arbitraria, es intuitivo (y fácil de probar rigurosamente) que, si tomamos el triángulo su…cientemente pequeño, podemos conseguir que la suma de sus ángulos internos no sea muy distinta de ¼ radianes, lo que motiva la siguiente De…nición 4.24 Sea M una super…cie de E3 con curvatura de Gauss K. Diremos que un triángulo T en M es pequeño si está contenido en el dominio de un sistema de coordenadas ortogonales y si se veri…ca: ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ K¯ < ¼ y j¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼j < ¼ . ¯ ¯ T

Vamos a ver que la suma de los ángulos internos de un triángulo geodésico pequeño excede a ¼ radianes en un valor que coincide con la integral de la curvatura de Gauss sobre la super…cie del triángulo:

Teorema 4.25 (Gauss) Sea M una super…cie de E3 con curvatura de Gauss K y sea T un triángulo geodésico pequeño en M . Se tiene: Z K = ¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼ T

Demostración. Sea T un triángulo geodésico pequeño en M . Así, T estará contenido en el dominio U de un sistema de coordenadas ortogonales (U; '¡1 ´ (u; v)). Elijamos como normal unitaria (que

determina la elección del sentido positivo en la medición de ángulos) p º ': = @=@u£@=@v 2 XU y como sentido de recorrido (para el camino EG regular a trozos ° que parametriza el borde @ T de T en M ) el positivo respecto de º ' (esto es, tal que (º ' ± ° i) £ ° 0i apunte hacia el interior de T , para cada i = 1; 2; 3). Tomaremos cada ° i ´ ° j [ti¡1 ;ti] (i = 1; 2; 3) geodésica y parametrizada por la longitud de arco. jj

Sea V 2 X° (M ) cualquier campo (a lo largo de ° y tangente a M ) unitario y paralelo y sea µ V : [t0; t3 ] ! R una determinación @=@u diferenciable del ángulo (orientado) ](U ´ pE ± °; V) (recordar Lema 4.17(1)). Para cada i = 1; 2; 3, consideremos el campo (a lo largo de ° i y jj tangente a M ) unitario y paralelo ° 0i 2 X° i (M ) y sea µ °0i : [ti¡1; ti] ! R una determinación diferenciable del ángulo (orientado) ](U; ° 0i) , de

123

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES forma que, una vez elegida la determinación de µ °01 sin restricciones, µ °02 y µ° 03 veri…quen:

½

µ °01 (t1) = µ °02 (t1 ) ¡ "1 (en el vértice p1) µ °02 (t2) = µ °03 (t2 ) ¡ "2 (en el vértice p2)

;

como no podemos predeterminar lo que ocurrirá en el vértice p3 , nos limitaremos a escribir

µ °03 (t3 ) = µ° 01 (t0) ¡ "3 + 2k¼ ; para cierto k entero . Se sigue de la Proposición 4.19(2) que (para cada i = 1; 2; 3):

dµ °0i dµV = dt dt

)

;

(¤) ;

µ V (ti )¡µ V (ti¡1) = µ ° 0i(ti )¡µ °0i (ti¡1 )

con lo cual resulta:

Z

K

T eor: 4:20

=

T

µ V(t3) ¡ µ V(t0) ´

¡

3 X i=1

(¤ )

(µ V (ti ) ¡ µV (ti¡1 )) =

¢ ¡ ¢ ¡ ¢ = µ° 03 (t3) ¡ µ° 03 (t2) + µ° 02 (t2) ¡ µ ° 02 (t1) + µ ° 01 (t1 ) ¡ µ °01 (t0 ) ´ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ´ µ °01 (t1) ¡ µ° 02 (t1) + µ° 02 (t2) ¡ µ° 03 (t2) + µ° 03 (t3) ¡ µ° 01 (t0) = | {z } | {z } | {z } ¡"1

¡"2

¡"3 +2k¼

= ¡"1 ¡"2 ¡"3 +2k¼ = ¶1+¶2 +¶3 ¡¼+2(k¡1)¼ ; con k entero .

En principio, ¶ 1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼ 2 [¡¼; 5¼). Pero, al haberse supuesto T pequeño, debe veri…carse

¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ K¯ < ¼ ¯ ¯

y

T

j¶1 + ¶2 + ¶3 ¡ ¼j < ¼ ;

se sigue que debe ser k = 1 y así resulta:

R

T

K = ¶1 + ¶2 + ¶3 ¡¼

Usaremos ahora sin demostración el siguiente resultado: Proposición 4.26 Sobre una super…cie M de E3 compacta existe siempre alguna triangulación T formada por triángulos geodésicos pequeños Estamos ya en condiciones de probar el resultado fundamental de esta sección: Teorema 4.27 (Gauss-Bonnet) Sea M una super…cie de E3 compacta y sea T una triangulación de M formada por triángulos geodésicos pequeños. Se tiene entonces: Z K = 2¼ÂT (M ) ; M

siendo K : M ! R la curvatura de Gauss de M y ÂT la característica de Euler de M respecto de T .

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES

124

Demostración. Si ®i , ¯i , ° i son los ángulos internos del triángulo Ti de T = fT 1; :::; Tn g, del Teorema 4.25 se sigue: Z

K := M

n Z X i=1

K= Ti

n X (®i + ¯ i + ° i ) ¡ n¼ : i=1

Pero es evidente que se veri…ca n X (®i + ¯ i + ° i) = 2¼n v ; i=1

además se tiene (por la propiedad (3) de las triangulaciones): 2n l = 3n. Con todo lo cual se concluye:

Z

M

K = 2n v¼ ¡ n¼ = (2n + 2nv ¡ 2n l )¼ =: 2¼ÂT (M )

Observación 4.28 La condición de que los triángulos de T (supuesto que todos ellos estén contenidos en entornos coordenados, par poder de…nir las integrales) sean geodésicos y pequeños no es necesaria para la validez del teorema. Para convencerse de ello, basta: (a) observar (por consideraciones elementales) que un re…namiento T 0 de T (en donde cada Ti 2 T se subdivide en triángulos Tj0 2 T 0) da la misma característica de Euler para la super…cie compacta R M. (b) recordar (apartado 4.3.1) que la integral M K no depende de la triangulación elegida para calcularla. De lo anterior, se deduce: Corolario 4.29 Sea M una super…cie de E3 compacta. La característica de Euler ÂT (M ) no depende de la triangulación T que se utilice para calcularla Ejemplo 4.30 Resulta inmediato comprobar en la esfera M (de radio r) la validez de los Teoremas 4.25 y 4.27, utilizando por ejemplo una triangulación T = fT1; :::; T8g de M por R triángulos octantes geodésicos. En efecto, se tiene (para cada i = 1; :::; 8): Ti K = r12 A(Ti) = ¼2 y ®i + ¯ i + ° i ¡ ¼ = ¼2 ; por otra parte, ÂT (M) := (n + nv ¡ nl ) = 8 + 6 ¡ 12 = 2.

4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES 4.3.3

125

Super…cies topológicas de R3

La característica de Euler Â(M ) puede de…nirse a nivel topológico y es de hecho invariante por homeomor…smos. Recordaremos ahora algunos resultados sobre clasi…cación de super…cies topológicas, que ponen de relieve el alcance del Teorema 4.27. Una super…cie topológica de R3 es un subconjunto M de R3 con la propiedad de que, por cada punto p 2 M , existen abiertos U de R2 y U de M (con p 2 U ) y existe una aplicación ' :U ! U, llamada ”parametrización local”, a la que sólo se le exige ser un homeomor…smo. Pueden de…nirse entonces, a este nivel, los conceptos de triángulo T , triangulación T y característica ÂT (M ). El resultado fundamental es el siguiente: Teorema 4.31 Una super…cie topológica M de R3 compacta siempre admite una triangulación T . Además se tiene: 1. Si T y T 0 son dos triangulaciones de M, entonces ÂT (M ) = ÂT 0 (M ); este número entero, denotado por Â(M ), se denomina característica de Euler de M . 2. Existe un entero no negativo g(M), llamado género (topológico) de M , de forma que Â(M ) = 2 ¡ 2g(M). Intuitivamente, el género es el número de ”agujeros” de M, entendiendo que la esfera no tiene agujeros, el toro tiene un agujero, etc. ¹ de R3 conexas y compactas son 3. Dos super…cies topológicas M y M homeomorfas si y sólo si tienen la misma característica de Euler El resultado del Corolario 4.29 es entonces inmediata consecuencia del apartado 1 de este teorema. Y de los apartados 2 y 3 se deduce, por ejemplo: Corolario 4.32 Si M es una super…cie (diferenciable) de E3 conexa, compacta y con curvatura de Gauss K ¸ 0, entonces M es homeomorfa a una esfera. Demostración. Puede probarse (ver Ejercicio 6.3.11c) que, por ser compacta, M posee (al menos) un punto elíptico, con lo que K no es idénticamente nula. Entonces se tiene:

0<

Z

) Â(M ) = 2 ;

K

T eor: 4:27

=

M T eor: 4:31(3)

)

2¼Â(M) ;

T eor: 4:31(2)

)

M es homeomorfa a una esfera

126

5 APÉNDICES

5

APÉNDICES

5.1

TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

5.1.1

Aplicaciones en un espacio euclídeo. Demostración de la Proposición 1.5

(Ver por ejemplo [8], Cap. 22): Dentro del apartado 1, probemos (v) ) (i): Si à preserva productos escalares, entonces, 8~» 1; ~» 2 2 En y 8¸ 1; ¸2 2 R, se tiene (usando cualquier base ortonormal (~a1 ; : : : ; ~an)): (v) =

=< ¸1~»1 + ¸2~» 2 ; ~ai > ¡¸1 < ~» 1; ~ai > ¡¸2 < ~»2 ; ~ai >= 0

(i = 1; :::n) ;

ahora bien, puesto que n vectores unitarios que no generen todo En no pueden ser mutuamente ortogonales, se deduce que (Ã (~a1) ; : : : ; Ã (~an)) también es una base ortonormal; y de ahí se concluye: Ã(¸ 1~»1 + ¸2~» 2) ¡ ¸1 Ã(~» 1) ¡ ¸2 Ã(~»2) = 0 : Y probemos (i) + (iii) ) (v) :

´ (i)+(iii) 1³ j Ã(~» 1) + Ã(~» 2) j 2 ¡ j Ã(~» 1) j 2 ¡ j Ã(~» 2) j 2 = 2 ´ 1³ ~ 2 2 2 ~ ~ ~ = j » 1 + » 2 j ¡ j »1 j ¡ j »2 j ´< ~»1 ; ~»2 > ; 8~»1 ; ~»2 2 En : 2 Los apartados 2 y 4 son inmediatos. Probemos 3:

< Ã(~» 1); Ã(~»2 ) >´

(i) (iv) j Ã(~») j = j Ã(~») ¡ Ã(~0) j=: d(Ã(0); Ã(»)) = d(0; ») :=j ~» j

El apartado 5 (si la aplicación à preserva productos escalares, entonces es lineal e inyectiva y, por tanto, un isomor…smo) es simplemente la unión de 1, 2 y 4. Finalmente probemos 6: ´ (iv)+(iii) 1³ < Ã(~»1 ); Ã(~»2 ) >´ ¡ j Ã(~»1 ) ¡ Ã(~»2 ) j 2 + j Ã(~»1 ) j2 + j Ã(~» 2) j2 = 2 ´ 1³ 2 2 2 ~ ~ ~ ~ = ¡ j » 1 ¡ »2 j + j »1 j + j » 2 j ´< ~» 1; ~» 2 > 2

127

5 APÉNDICES 5.1.2

Invariancia de las curvaturas de una curva alabeada. Demostración de la Proposición 1.22

Probemos 1. Sea s el parámetro de ®~ = ® ± f :J ! En . (a) Vamos a ver primero que, si (E1; :::; En) es la referencia de Frenet de e 1; :::; E e n) de ® ®, entonces la referencia de Frenet (E ~ veri…ca: e i = Ei ± f E

(i = 1; :::; n) :

Haremos la demostración para los casos n = 2 y n = 3 (la demostración para n arbitrario sigue las mismas pautas, aunque resulta algo más tediosa): (Caso n = 2. Introduzcamos las notaciones T ´ E1 y N ´ E2). En efecto, se tiene: df >0 df 0 df e = (T ± f) ; (® ± f) = (" 1 ± f ) ; ds) T ds ds e = T ± f; N) e bases ortonormales positivas, se sigue: al ser (T; N) y (T ³ ´ ³ ´ e e e e = (N ± f ) : det (T ± f; N ± f )=det T; N = det T ± f; N ; ) N | {z } | {z } 1

e"1 := ® ~0

P rop: 1:13(1)

=

1

(Caso n = 3. Introduzcamos las notaciones T ´ E1; N ´ E2 y B ´ E3). En efecto, se tiene: df >0 df 0 df e = (T ± f) ; ) (® ± f) = ("1 ± f) ; ds) T ds ds µ ¶ P rop: 1:13(2) df 2 00 d2 f 0 00 00 e e ) e"2 := ® ~ ¡ T = ( ) (® ± f) + 2 (® ± f ) ¡ ds ds µ ¶ df d2 f ® 02Span(E1) ¡ < ( )2 (®00 ± f) + 2 (®0 ± f ) ; T ± f > T ± f = ds ds df df df e = (N ± f ) ; = ( )2 (®00 ± f) ¡ < ( )2 (®00 ± f ) ; T±f > T±f =: ( )2 (" 2 ± f) ; ) N ds ds ds e = T ± f; N e = N ± f; B) e bases ortonormales positivas, al ser (T; N; B) y (T se sigue: ³ ´ ³ ´ e e e e e = (B ± f ) : det (T ± f; N ± f; B ± f)=det T; N; B = det T ± f; N ± f; B ; ) B | {z } | {z } 1

"1 := ® e ~0

P rop: 1:13(1)

=

1

e i = Ei ± f (i = 1; :::; n), se deduce (8i = (b) Una vez probado que E 1; :::; n ¡ 1): e i+1 ; E e 0i >=< Ei+1 ± f; (Ei ± f)0 >P rop:=1:13(2) ! ~ i+1;i :=< E

128

5 APÉNDICES df df < Ei+1 ± f; E0i ± f >=: (! i+1;i ± f) ; ) ds ds df ! ~ P rop: 1:13(1) ds (!i+1;i ± f) ¯ df ¯ ) ~·i := i+1;i = = ·i ± f : ¯ ¯ j®0 ± f j j~ ®0 j ds =

Probemos 2. Sea t el parámetro de ® ~ := A ± ® : I ! En y sea A la parte lineal (ortogonal) del movimiento directo A (ver 1.1.4). (a) Vamos a ver primero que, si (E1; :::; En) es la referencia de Frenet de e 1; :::; E e n) de ® ®; entonces la referencia de Frenet (E ~ veri…ca: e i (t) = (AE ~ i(t))®~(t) E

(i = 1; :::; n) :

Haremos la demostración para los casos n = 2 y n = 3 (la demostración para n arbitrario sigue las mismas pautas, aunque resulta algo más tediosa): (Caso n = 2 Como antes, introduzcamos las notaciones T ´ E1 y N ´ E2). En efecto, se tiene: ¡ ! P rop: 1:12 ~" 1 := d®=dt ~ = A (d®=dt) ;

A2O(n)

)

¡ ! T~ = AT~ ;

¡ ! ¡ ! ~ ; N) ~ y ( T~ = AT~ ; N ~ ) bases ortonormales positivas, se sigue: al ser (T µ ³ ´ ¡ !¶ ¡ ! ¡ ! ~ = det AT~ ; N ~ =det A ¢ det(T~ ; A¡1 N ~) ; ) N ~ = AN ~ : det T~ ; N | {z } | {z } 1 | {z } 1

1

(Caso n = 3. Como antes, introduzcamos las notaciones T ´ E1; N ´ E2 y B ´ E3). En efecto, se tiene:

¡ ! T~ = AT~ ; ) ¶ µ 2 ¶ ! ¡ ! P rop: 1:12 d2®~ d2®~ ¡ d2® d ® ¡ ! ~ ~ ) ~" 2 := 2 ¡ < 2 ; T > T = =A ¡ AT~ = 2 dt dt dt dt2 µ 2 ¶ ¡ ! d® d2® ~ A2O(n) ~ ~ = AN ~ ; = A ¡ < ; T > T =: A (~ " ) ; ) N 2 dt2 dt2 ¡ ! ¡ ! ¡ ! ~ ; N; ~ B) ~ y ( T~ = AT~ ; N~ = AN ~ ; B~ ) bases ortonormales positivas, al ser (T se sigue: µ ³ ´ ¡ !¶ ¡ ! ¡ ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ ; N; ~ A¡1 B~ ) ; ) B~ = AB: ~ det T ; N; B =det AT ; AN; B~ =det A ¢ det( T | {z } | {z } | 1 {z } ¡ ! Prop: 1:12 ~" 1 := d~ ®=dt = A (d®=dt) ;

1

1

A2O(n)

) µ

129

5 APÉNDICES e i (t) = (AE ~ i(t))®~(t) (b) Una vez probado que E (para i = 1; :::; n ¡ 1):

(i = 1; :::; n), se deduce

¡ ! ! d¡ e i+1 ; E e 0i >1:2:2 ~ i+1 ; d (AE ~ i) >A2O(n) !~ i+1;i :=< E = < E~ i+1; E~ i >=< AE = dt dt

5.1.3

~ i+1; d E ~ >1:2:2 =< E = < Ei+1; E0i >=: !i+1;i ; ) dt i ! ~ ! ! ¯ = i+1;i ) · ~i := i+1;i = ¯¯ i+1;i = ·i 0 d® j~ ®j j®0 j A( dt )¯

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales*

Sea A = (Aij ) una matriz cuadrada cuyas entradas Aij : I ! R son funciones diferenciables, de…nidas en un intervalo abierto I de R. Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales (de 1er. orden): 0 d'1 1 0 1 (t) '1 (t) dt @ ¢ ¢ ¢ A = A(t) @ ¢ ¢ ¢ A . (75) d'n ' (t) (t) n dt

Estos sistemas de ecuaciones diferenciales se llaman lineales porque, en la intersección de los dominios de dos soluciones, cualquier combinación lineal de éstas con coe…cientes reales es también solución. La teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales (ver Apéndice 5.2.2*) asegura que, para cada t0 2 I y cada ~» 2 Rn , existe una solución ~' ´ (' 1; : : : 'n ) : J ! Rn de (75), tal que t0 2 J (abierto ½ I) y ~' (t0 ) = ~» (”condición inicial”). Por otra parte, si ~à es cualquier solución de (75) ~ coinciden en veri…cando la misma condición inicial ~Ã(t0) = ~», entonces ~' y à la intersección de sus dominios. Esto último conduce a la noción de solución maximal (para la citada condición inicial), que es única. Este resultado se usa en el apartado 4.2.2 al hablar de geodésicas en super…cies. Ahora bien, la teoría de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales asegura además que el dominio de cualquier solución maximal de (75) es todo el intervalo I (esto se expresa también diciendo que ”cualquier solución maximal es global”). Resulta de ello que el conjunto © de soluciones maximales del sistema (75) es un R-espacio vectorial. Por otra parte, …jado cualquier t0 2 I , y como consecuencia de esta unicidad y (respectivamente) existencia de solución global del sistema lineal (75) de ecuaciones diferenciales de 1er. orden (para cualquier condición inicial ~'(t0)), la aplicación lineal: © 3 ~' 7! ~' (t0 ) 2 Rn resulta ser inyectiva y (respectivamente) suprayectiva, esto es, resulta ser un isomor…smo lineal. Como consecuencia, el R-espacio vectorial © posee

130

5 APÉNDICES

dimensión n. Este resultado se usa en la demostración (Apéndice 5.1.4*) del teorema fundamental de la teoría de curvas en E3 y también en el apartado 4.2.1 al hablar del transporte paralelo en super…cies. 5.1.4

Curvas alabeadas en el espacio. Demostración del Teorema 1.29 (teorema fundamental)*

(ver por ejemplo [5], 1.5 y 4.Apéndice): Con la notación: 8 < T~ ´ (' 1; '2 ; '3) ~ ´ (' 4; '5; ' 6) ; N : ~ B ´ ('7; ' 8; '9)

la parte vectorial de las fórmulas de Frenet (para curvas parametrizadas por la longitud de arco) 8 ~ ~ ·N < dT =ds = ~ =ds = ¡·T~ ~ (76) dN +¿ B : ~ ~ dB=ds = ¡¿ N constituye un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de la forma 0 1 0 1 d'1=ds '1 @ ¢¢¢ A = A@ ¢¢¢ A ; d'9=ds '9

donde los coe…cientes de la matriz A dependen diferenciablemente del parámetro s 2 I y son conocidos a partir de las funciones · y ¿ . Usando el resultado del Apéndice 5.1.3 se concluye que, al …jar ~a ´ (³ 1; ³ 2 ; ³ 3; ´1 ; ´2; ´3 ; Â1; Â2; Â3) 2 R9 ; existe una única solución maximal ~'~a : I ! R9 de dicho sistema lineal y tal ~;N ~ ; que ~'~a (0) = ~a , lo que signi…ca que existen curvas vectoriales únicas T 3 ~ : I ! E que veri…can las ecuaciones de Frenet (76) y tales que B ³ ´ ~ ~ T~ (0); N(0); B(0) = (~³; ~´ ; ~Â) : ~; N ~ , B) ~ constituye una base ortonormal móvil del Veamos que la tripleta (T espacio vectorial euclídeo E3. Para ello, consideremos las derivadas de sus

131

5 APÉNDICES

productos escalares que, de acuerdo nuevamente con (76), deben veri…car 8 D E D E d > ~ ; T~ = 2· T ~;N ~ T > > ds D > E D E D E D E > > d > ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ > ds T ; N = · N; N ¡ · T ; T + ¿ T ; B > > D E D E D E > > < d T~ ; B ~ = · T~ ; B ~ ¡ ¿ T~ ; N ~ ds D E D E D E ; d > ~ ~ ~ ~ ~ ~ N; N = ¡2· T ; N + 2¿ N; B > > ds D > E D E D E D E > > d > ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ N; B = ¡· T ; B + ¿ B; B ¡ ¿ N; N > > ds D > E D E > > : d B; ~ B ~ = ¡2¿ N; ~ B ~ ds

ello da lugar, escribiendo D E D E D E D E D E D E ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T ; T ´ Á1 ; T ; N ´ Á 2; T ; B ´ Á3 ; N; N ´ Á4 ; N; B ´ Á5 y B; B ´ Á6; a un nuevo sistema lineal de ecuaciones diferenciales de la forma 0 1 0 1 dÁ1=ds Á1 @ ¢¢¢ A = B@ ¢¢¢ A ; dÁ6=ds Á6

para el que (Á1 ´ 1 ; Á 2 ´ 0 ; Á3 ´ 0 ; Á4 ´ 1 ; Á5 ´ 0 ; Á6 ´ 1) es solución maximal (Apéndice 5.1.3) con condición inicial (1; 0; 0; 1; 0; 1) y, por la uni~ , B) ~ es cidad de la solución maximal, la tripleta de curvas vectoriales (T~ ; N ortonormal. Una vez determinada T~ : I ! E3 , sólo queda calcular su integral. Así, la curva Z s ®(s) = p + T~ (s)ds 0

es la única curva alabeada I ! E ; parametrizada por la longitud de arco, con curvatura · y torsión ¿, y veri…cando ®(0) = p; T(0) = ³; N(0) = ´ y B(0) = Â 3

5.2 5.2.1

SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN Diferenciabilidad de las componentes locales de un campo tangente. Demostración del Lema 2.32

Veamos que, en efecto, las funciones Vi' (i = 1; 2), de…nidas por (32) y cuyo cálculo, en cada caso concreto, se efectúa resolviendo directamente el sistema lineal (33), son diferenciables: Sea p 2 U . Sean la extensión diferenciable © : (R3 ¾)U £ R ! R3 de ' y los entornos A( ½ U £ R) de ('¡1(p); 0) y B(½ R3) de p construidos en el Lema 2.17(1).

132

5 APÉNDICES

Para cada i = 1; 2; 3, denotemos µ ¶ µ ¶ µ ¶ 3 @ @ @ (18) X @©j ¡1 ´ d© j('¡1(p);0) = (' (p); 0) ; @ui p @ui ('¡1 (p);0) @u @ x i j p j =1

debido a que © j U£f0g= ' , esta notación coincide, para i = 1; 2, con la que venimos usando desde (25). Al ser © jA: A ! B un difeomor…smo, se tiene: µ ¶ µ ¶ 3 X @ @ ©¡1 @ i = (p) (j = 1; 2; 3) : @xj p @xj @ui p i=1 Pues bien, de las igualdades en p µ ¶ µ ¶ 3 2 X @ (32) X ' @ Vi (p) = V(p) = Vi (p) @xj p @ui p j=1 i=1

se deduce inmediatamente Vi'(p)

3 X @©¡1 i = (p) Vj (p) (i = 1; 2) ; @x j j=1

y de la arbitrariedad del punto p 2 U resulta: '

Vi =

3 X @©¡1 i

j=1

@xj

Vj jU (i = 1; 2) ;

de donde se deduce que las Vi' (i = 1; 2) son de hecho diferenciables 5.2.2

Curvas integrales de un campo*

Sea X 2 X(U) un campo de vectores sobre un abierto U de Rn. Una curva ® : J ! U se dice curva integral de X si X(®(t)) = ®0 (t) para todo t 2 J. Tomando en Rn coordenadas (x1; :::; xn ) y escribiendo ®(t) ´ (®1(t); :::; ®n (t)) ~ ´ (X1; :::; Xn), la condición necesaria y su…ciente para que ® sea curva yX integral de X es que las funciones ®i(t) veri…quen el sistema de ecuaciones diferenciales (de 1er. orden) d®i (t) = Xi(®1(t); :::; ®n (t)) (i = 1; :::; n) : dt La teoría general de los sistemas de ecuaciones diferenciales asegura que (”existencia y unicidad de solución maximal”), para cada t0 2 R y cada p 2 U, existe una curva integral ® : J ! U de X tal que t0 2 J y ®(t0) = p (”condición inicial”). Por otra parte, si ¯ es cualquier curva integral de X veri…cando la misma condición inicial ¯(t0) = p, entonces ® y ¯ coinciden en la intersección de sus dominios. Esto último conduce a la noción de curva integral maximal (para la citada condición inicial), que es única.

133

5 APÉNDICES Más aún: se puede demostrar (”dependencia diferenciable de la solución respecto de las condiciones iniciales”) que, para cada t0 2 R y cada p 2 U , existen

8 < un entorno J(½ R) de t0 un entorno V(½ U) de p : una función diferenciable à : V £ J ! U

tales que, 8q 2 V, la función Ã(q; ¢) : J ! U es una curva integral de X con Ã(q; t0) = q: Pero no lo usaremos en este curso.

Si el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal, esto es (Apéndice 5.1.3), es de la forma Xi (®1(t); :::; ®n (t)) =

n X

Aij(t)®j (t)

(i = 1; :::; n) ;

j=1

con Aij 2 F(I) (i; j = 1; :::; n), para cierto I ½ Rn, se obtiene J = I . Para el caso lineal, ya hemos usado este resultado en el Apéndice 5.1.4 y volveremos a usarlo en el apartado 4.2.1 al hablar del transporte paralelo en super…cies. En el caso general, lo usaremos en el apartado 4.2.2 al hablar de geodésicas en super…cies.

5.3 5.3.1

SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO Coordenadas ortogonales. Demostración de la Proposición 3.7*

Sea (U ; '¡1 = (u; v)) una carta de M en torno a p. Sean E; F; G los coe…cientes de la primera forma fundamental de M en esta carta. Consideremos @ @ @ los campos U1 := @u ; U2 := ¡F E @u + @v 2 X(U ), que son linealmente independientes y ortogonales en todo U. Vamos a probar que existe una carta (U; ' ¹ ¡1 = (¹ u; ¹v)) de M en torno a p de foma que U1 j U es proporcional a @ @=@ u¹ y U2 j U es proporcional a @=@¹v (con lo que se tendrá: < @@u¹ ; @¹ >= 0). v Y en efecto (ver [5], 3.4, Teorema): Utilizaremos el resultado del Apéndice 5.2.2 sobre dependencia diferenciable (respecto de las condiciones iniciales) de las curvas integrales de un campo. Para cada i = 1; 2, y al ser Ui(p) 6= ~0p , puede probarse (ver [5], 3.4, Lema) que existen ½ un entorno Di (½ U) de p una función diferenciable fi : Di ! R tales que ½

para todo q 2 '¡1(Di) , rg(D(fi ± ')(q)) = 1 para toda curva integral ®i de Ui j Di , fi ± ®i = cte:

134

5 APÉNDICES

(se llama a fi una ”integral primera” del campo Ui jDi ). Además, al ser U1(p) y U2(p) linealmente independientes, se ve inmediatamente que la aplicación f := (f1 ; f2) j D1\D2 : D 1 \ D2 ! R2 veri…ca det(D(f ± ')('¡1 (p))) 6= 0. Por el Teorema de la función inversa (Teorema 2.3), existen entornos A(½ '¡1(D1 \ D2 )) de '¡1 (p) y B(½ R2 ) de f(p) tales que (f ± ')(A) = B y (f ± ') jA: A ! B es un difeomor…smo. Por tanto, f j '(A): '(A)! B es un difeomor…smo. Sea U := '(A) ½ D 1 \ D2 y sean u¹ := f2 jU ; ¹v := f1 jU . Se sigue que (U; ' ¹ ¡1 := (¹ u; v¹)) es una carta en torno a p y que se veri…ca: ½ para toda curva integral ®1 de U1 jU , v¹ ± ®1 = cte: ; para toda curva integral ®2 de U2 jU , u¹ ± ®2 = cte: lo que signi…ca que U1(¹ v) = 0 y U2(¹ u) = 0; escribiendo U1 jU y U2 jU como combinaciones F(U)-lineales de @=@ u¹ y @=@ v¹ , se deduce que, en realidad, U1 j U es proporcional a @=@ u¹ y U2 jU es proporcional a @=@ v¹ 5.3.2

Aplicaciones autoadjuntas. Demostración de la Proposición 3.17

Sea b = (e1 ; :::; en) una base cualquiera de E y escribamos 8 < L(b) = bLb ; ) (Lv)b = Lb vb < Lv; w >= vTb LTb b wb ; : B(v; w) = vbT Bb wb

para simbolizar 8 Pn P ej Lji ; ) (Lv)i = nj=1 Lij vj < L(ei ) = j=1P n < Lv; w >= Pn i;j;k=1 viLji < e j; e k > w k : B(v; w) = i;j=1 vi Bijw j

;

respectivamente. Que B sea la forma bilineal asociada a L equivale por tanto a que se veri…que: Bb = LTb b ;

para alguna (y toda) base b de E

( ¤) ;

por otra parte, que L sea autoadjunta equivale a que se veri…que LTb b=b Lb ; para alguna (y toda) base b de E

(¤¤) :

Probemos 1. Se deduce de (¤¤) que la autoadjuntía de L es equivalente a que se veri…que:

135

5 APÉNDICES

LTb = Lb ; para alguna (y toda) base ortonormal b de E : Probemos 2. Se deduce de (¤) y (¤¤) que la autoadjuntía de L es equivalente a que se veri…que: Bb = b Lb ; para alguna (y toda) base b de E : Probemos 3. De < Lv; w >=< v; Lw >; 8v; w 2 E, se deduce: (1) que el subespacio ortogonal a un subespacio L-invariante es también L-invariante (inmediato); y también (2) que L posee un autovector (no nulo). Veamos esto último: se puede ver en tres fases: (a) Un vector v 2 E se dice que es L-maximal si es unitario y si jLvj ¸ jLwj, para todo w unitario. Al ser el conjunto de vectores unitarios compacto y la aplicación E 3 v 7! jLvj 2 R continua, existen (teorema del máximo) vectores que son L-maximales. (b) Se de…ne jLj := jLvj, para cualquier v L-maximal. Si v 2 E es L-maximal, se tiene: ¯ ¯ Schwartz ¯ ¯ w ¯¯ w´Lv ¯ L autoadjunta 2 2 2 ¯ ¯ ¯ jLj :=< Lv; Lv > = < L v; v > · L v jvj ´ ¯L jwj |{z} jwj ¯

v es L¡max:

1

¯ ¯ · jLvj 2 =: jLj 2 ; ) < L2v; v >= ¯L2v¯ ;

Schwartz

)

L2v = jLj 2 v :

(c) Tomando v 2 E que sea L-maximal, se tiene: ½ (b) o bien Lv ¡ jLj v es L-autovector L(Lv¡jLj v) = ¡ jLj (Lv¡jLj v) ; ) : o bien v es L-autovector De donde se sigue inmediatamente la conclusión. Probemos 4. De acuerdo con (¤), basta tomar Lb := BbT (= Bb ), para toda base ortonormal b de E 5.3.3

Indicatriz de Dupin*

Sea p un punto de una super…cie orientada (M; º ) de E3. Sean k1(p) y k 2(p) las curvaturas principales en p. Sea (» 1; » 2) una base ortonormal de Tp M . Un vector genérico » 2 Tp M se puede escribir: » = ¸1 »1 + ¸2» 2, para ciertos números ¸1; ¸2 2 R . El conjunto

Dp := f» 2 Tp M j H p(»; ») = §1g = f¸1» 1+¸2 »2 j k1 (p) ¸21 + k2(p) ¸22 = §1g se denomina indicatriz de Dupin de (M; º) en p. Se deduce de (49) que, si » 2Dp , se veri…ca: ·º (») = § 1= j » j 2 : La indicatriz de Dupin D p codi…ca el carácter (3.3.5) del punto p, ya que p resulta ser:

·

136

5 APÉNDICES

(1) hiperbólico si y sólo si Dp consiste en un par de hipérbolas. En tal caso, las asíntotas tienen direcciones ¸1» 1 + ¸2» 2 2 Tp M de…nidas por la ecuación k 1(p) ¸ 21 + k 2(p) ¸ 22 = 0. (2) parabólico si y sólo si Dp consiste en un par de rectas distintas. (3) elíptico si y sólo si D p es una elipse. (4) plano si y sólo si D p es vacío. (5) umbílico (y no plano) si y sólo si D p es una circunferencia. En efecto: 1. En este caso, K (p) < 0 ; , k1(p) > 0 > k2(p). Entonces:

Dp = f¸1» 1 + ¸2 »2 j

¸21 ¸ 22 ¡ = §1g : 1=k1(p) 1= j k2(p) j

2. En este caso, K(p) = 0 y (s.p.d.g.) k1 (p) 6= 0 ; , k1(p) > 0 = k2(p). Entonces:

D p = f¸1» 1 + ¸2» 2 j k1 (p)¸21 = 1g : 3. En este caso, K(p) > 0 ; , (s.p.d.g.) Entonces:

D p = f¸1» 1 + ¸2» 2 j

k1(p) ¸ k 2(p) > 0.

¸21 ¸22 + = 1g : 1=k 1(p) 1=k2(p)

4. En este caso, k1 (p) = k2(p) = 0. Entonces D p es vacío.

5. En este caso k1(p) = k2 (p) 6= 0 y (s.p.d.g.) k1 (p) = k2(p) > 0. Entonces:

D p = f¸1 »1 + ¸2» 2 j ¸21 + ¸22 = 1=k1(p)g Supongamos que la base ortonormal (»1 ; »2) de Tp M está además adaptada a (M; º ) en p (esto es, es además positiva respecto de º y está formada por autovectores de Lp ; ver 3.3.2). Elijamos como coordenadas (x; y; z) en E3 las dadas por la referencia cartesiana con origen p = (0; 0; 0) y con base ortonormal (~» 1; ~» 2; ~º (p)) y consideremos la carta (U ; '¡1 = (u; v)) inducida (3.3.4) en torno a p por la tripleta (»1 ; »2 ; º(p)). Dado un número " > 0 , consideremos el conjunto (que puede ser vacío) C" := U \ fz = §"2 g = f(u; v) 2 U j hp(u; v) = §"2g ;

137

5 APÉNDICES

resulta evidente la importancia del conjunto C" (para " pequeño) a …n de obtener información sobre la forma de la super…cie M alrededor del punto p. Pues bien: supuesto que el punto p no sea plano, y para cada valor de " su…cientemente pequeño, el p conjunto C" resulta ser (hasta el segundo orden) homotético (con factor 1= 2") a la indicatriz de Dupin. En efecto: consideremos el desarrollo de Taylor truncado de la función hp en un punto (u; v) 2 U cercano a p = (0; 0) (notaciones como en 3.3.4):

0

1

0

1

1B C hp(u; v) =hp(p) + @p(p) u+ q(p) vA+ @ r(p) u2 + 2 s(p) uv+ t(p) v 2A+::: = | {z } |{z} |{z} |{z} |{z} 2 |{z} 0

0

0

k1 (p)

0

k2(p)

1 1 = (k1(p)u2 + k2(p)v2) + ::: = Hp(»u;v; » u;v) + ::: ; 2 2 donde »u;v ´ u»1 + v»2 2 Tp M . Se sigue que C" = f(u; v) 2 U j Hp (»u;v; » u;v) + ::: = §2"2g :

Comparando con la de…nición de la indicatriz de Dupin Dp se concluye que: a menos de términos de orden 3 (y superior) en las coordenadas u; v (y supuesto que los términos de orden 2 no se anulen, esto es, supuesto que p no sea plano), el conjunto C" es homotético (con factor p 1= 2") a la indicatriz de Dupin

5.3.4

Rigidez de la esfera. Demostración del Teorema 3.33 (HilbertLiebmann)*

La demostración depende de tres resultados preliminares, el segundo de los cuales es de tipo técnico y el tercero es una importante caracterización de la esfera. Resultado 1: Toda super…cie de E3 compacta posee (al menos) un punto elíptico (Ejercicio 6.3.11c). Resultado 2 (Hilbert): Sea M una super…cie de E3 y sea p 2 M un punto en el que la curvatura de Gauss K es positiva y en el que las (funciones) curvaturas principales ki : M ! R (i = 1; 2), de…nidas por ½ k1 (x) = maxfcurvaturas principales en xg ; 8x 2 M k2 (x) = minfcurvaturas principales en xg (así pues, k1 ¸ k2), poseen un máximo (local) y un mínimo (local), respectivamente. Entonces p es un punto umbílico de M (ver [5], 5.2, Lema 1; ver también [4], 5.6, Lema 6.2)

138

5 APÉNDICES

Resultado 3. La esfera es la única super…cie conexa y compacta que tiene todos sus puntos umbílicos (ver [5], 3.2, Proposición 4; ver también [4], 5.6, Proposición 6.1). Probemos el Teorema. Por ser M compacta, posee (Resultado 1) un punto elíptico; y, por ser K constante, debe ser K > 0: Las funciones k1 y k 2 son continuas (ver Ejercicio 6.3.8). Por ser M compacta y ser K = k1k2 constante, existe un punto p 2 M en el que k 1 alcanza su valor máximo y, simultáneamente, k 2 su mínimo. Por ser K(p) > 0 y por el Resultado 2, el punto p es umbílico y se tiene, para todo x 2 M: k1(x) · k1(p) = k2(p) · k2(x) ; al ser k1 ¸ k2 , M tiene todos sus puntospumbílicos y, por el Resultado 3, es una esfera (obviamente, de radio R = 1= K )

5.4

GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES

5.4.1

Carácter intrínseco de la derivación covariante. Demostración de la Proposición 4.4*

Comenzamos calculando las derivadas parciales de las gij : @(gij ±') @uk

(36) ± '¡1 =

= < r @u@

k

³

@ @uk

@ @ @ui ; @uj

´

@ @ (61) < ; > = @ui @uj | {z } g ij

>+<

@ @ @ui ; r @u@ @uj k

(63)

> = ¡kij + ¡

kji

;

donde se usa la notación ¡ijk ´

2 X

¡hij gkh (i; j; k = 1; 2) :

(77)

h=1

Teniendo en cuenta ahora que ¡kij = ¡ikj ; se concluye inmediatamente que (8i; j; k = 1; 2): ¡ijk ´

1 ((¡ijk + ¡kj i) + (¡ijk + ¡kij ) ¡ (¡kij + ¡kji )) = 2

1 ((¡jik + ¡jki ) + (¡ijk + ¡ikj ) ¡ (¡kij + ¡kji )) = 2 µ ¶ 1 @(g ik ± ') @(gjk ± ') @(gij ± ') ¡1 ¡1 ¡1 = ±' + ±' ¡ ±' : 2 @uj @ui @uk =

(78)

139

5 APÉNDICES

De lo anterior se concluye que es posible despejar los ¡hij en función de los gij , obteniéndose (8i; j; h = 1; 2): Ã 2 ! 2 2 2 X X X (77) X kh (78) h l h l kh ¡ij = ¡ij ±l = ¡ij g gkl = g ¡ijk = l=1

2

1 X kh = g 2 k=1 5.4.2

µ

l=1

k=1

k=1

@(g ik ± ') @(gjk ± ') @ (gij ± ') ± '¡1 + ± '¡1 ¡ ± '¡1 @uj @ui @uk

¶

Carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Demostración del Teorema 4.7*

Probaremos la expresión (68). Sea º 2 X M cualquier normal unitaria local y sean hij 2 F(U) (i; j = 1; 2) los coe…cientes de la segunda forma fundamental de (M; º) en la carta (U; '¡1). Se tiene (denotando por D el operador de derivación natural en R3): ³ ´ (40) P 2' (41) k DU DV U = DU ( 3k=1( @@v@u ± ' ¡1 ) @x@k jU ) = =

P3

@ 2' k k=1 U( @v@u

¡1

±' )

Con lo cual se tiene:

³

@ j @xk U

´ (36) P ³ ´ 3 @ 3'k ¡1 @ = j = DV DUU k=1 ( @u@v@u ± ' ) @xk U

(¤) :

(62)

¡rU rV U+rV rU U = ¡rU (DVU¡ < LV; U > º)+r V (DU U¡ < LU; U > º ) = (¤ )

= (¡DUDV U + DU (< LV; U > º))T an +(DV DUU ¡ DV(< LU; U > º ))T an =

=< LV; U >(DUº )T an ¡ < LU; U >(DV º)T an = ¡ < LV; U > LU+ < LU; U > LV ; ) | {z } | {z } =DU º

=DV º

) < ¡rU rV U+rV rU U; V >= det

µ

< LU; U > < LU; V > < LV; U > < LV; V >

¶

(52)

= det(hij ) :

De la igualdad matricial (54) en 3.3.1 se sigue que K jU = det(g ij)¡1 det(hij ) y, …nalmente, se concluye: K jU = 5.4.3

< ¡r Ur VU + r Vr UU ; V > det(gij )

Super…cies en el espacio euclídeo. Ecuaciones de compatibilidad*

Sea M una super…cie de E3. Fijada una carta (U; '¡1 = (u; v)), es claro que @ @ el conjunto de campos locales ( @u ; @v ; º ') , donde º ' es la normal unitaria

140

5 APÉNDICES

inducida por la carta (recordar 3.2.1), constituye una base del módulo X U . @ @ Las derivadas naturales (40) con respecto a @u y @v de los tres campos de esta base local se podrán a su vez escribir como combinaciones lineales de estos mismos campos; de hecho, conocemos ya todos los coe…cientes de estas combinaciones lineales: son los símbolos de Christo¤el, los coe…cientes de la segunda forma fundamental y los del operador de Weingarten. En efecto, la ecuación (62) da en particular: 2

@ @ (63) X k @ D @u@ = r @u@ + hij º ' = ¡ij + hij º ' i @uj i @uj @uk k=1

(i; j = 1; 2) ;

mientras que la de…nición del operador de Weingarten (53) da: ¡D

@ @ui

º' =

2 X

lj i

j=1

@ (i = 1; 2) ; @uj

utilizando los coe…cientes (50) de la segunda forma fundamental podemos reescribir estos dos conjuntos de ecuaciones como: 8 @ 1 @ 2 @ D @u @ > @u = ¡11 @u + ¡11 @v + eº ' > > @ 1 @ 2 @ > > < D @u@ @v = ¡12 @u + ¡12 @v + fº ' @ @ @ D @ @v = ¡122 @u + ¡222 @v + gº ' : (79) @v > @ @ > > ¡D @ º ' = l11 @u + l21 @v > > @u : @ @ ¡D @ º ' = l12 @u + l22 @v @v

Es importante observar ahora que todos los coe…cientes que aquí aparecen se obtienen a partir de los de las dos formas fundamentales (gij ) y (hij ). En efecto:

(1) los símbolos de Christo¤el ¡kij dependen sólo (Proposición 4.4) de los coe…cientes g ij de la primera forma fundamental. (2) los coe…cientes (lij ) veri…can (54) la igualdad matricial (lij ) = (g ij) ¡1 (hij). La consistencia de las igualdades (79) exige la existencia de relaciones entre las (g ij ) y las (hij ) . Ya en el Teorema 4.7 se vio que la condición (DUDV U)T an = (DVDU U )T an implica cierta relación (68) que hace patente el carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Si ahora introducimos las @ notaciones Ui ´ @u y Kijkl ´< ¡rUi r Uj Uk +rUj rUi Uk; Ul > (i; j; k; l = i 1; 2) , esta relación (68) equivale a K 1212 = det(hij) ; que se denomina fórmula de Gauss.

(80)

141

5 APÉNDICES

@ @ Por otra parte, volviendo a la notación U ´ @u ; V ´ @v y teniendo en cuenta (79), se encuentra: 8 ³ ´ ¡ ¡ ¢¢ < (DUDV U)Nor = DU ¡112 @ + ¡212 @ + fº Nor = ¡112e + ¡212f + @(f±') ± '¡1 º @u @v @u ´ ¡ ¡ 1 @ ¢¢Nor ³ 1 Nor @(e±') 2 @ 2 : (DVDU U) = DV ¡11 + ¡11 + eº = ¡11f + ¡11g + ± ' ¡1 º @u

@v

@v

y análogamente (intercambiando los papeles de u y v) 8 ³ ´ ¡ ¡ ¢¢ < (DVDU V)Nor = DV ¡112 @ + ¡212 @ + fº Nor = ¡112f + ¡212 g + @(f ±') ± '¡1 º @u @v @v ´ ¡ ¡ 1 @ ¢¢Nor ³ 1 Nor @(g±') 2 @ 2 ¡1 : (DUDV V) = DU ¡22 @u + ¡22 @v + gº = ¡22e + ¡22f + @u ± ' º Así, de la condición (DU DVU)Nor = (DVDU U)Nor y de su análoga (intercambiando los papeles de u y v) (DV DUV)Nor = (DU DVV)Nor se obtienen: ( @(e±') ± '¡1 ¡ @(f@u±') ± '¡1 = ¡112 e + (¡212 ¡ ¡111)f ¡ ¡211g @v ; (81) @(g±') @(f ±') ¡1 ¡1 2 1 2 1 ± ' ¡ ± ' = ¡ g + (¡ ¡ ¡ )f ¡ ¡ e 12 12 22 22 @u @v que se denominan ecuaciones de Mainardi-Codazzi. Las ecuaciones (80) y (81) se denominan ecuaciones de compatibilidad. Es importante recalcar que no existen otras relaciones de compatibilidad entre la primera y la segunda forma fundamentales; concretamente, se veri…ca el siguiente resultado, que es una especie de análogo al teorema fundamental de la teoría de curvas: Teorema 5.1 (Bonnet) Sean E; F; G; e; f; g : U ! R funciones diferenciables de…nidas sobre un abierto U de R2 (con coordenadas (u; v)), siendo E > 0; G > 0; EG ¡ F 2 > 0, y veri…cando formalmente las igualdades (80) y (81), con las ¡kij dadas por las ecuaciones (66). Existe entonces una parametrización global ' : U ! U de una super…cie U en E3 para la que las funciones E; F; G; e; f; g son los coe…cientes de sus formas fundamentales. Además la super…cie U está determinada salvo movimientos. Demostración. Ver [5], 4.3, Teorema, con demostración en el Apéndice al Capítulo 4

6 EJERCICIOS

6

142

EJERCICIOS

Los enunciados de los ejercicios que siguen proporcionan muchos ejemplos para el desarrollo de la teoría. Intentar resolverlos (y lograrlo en bastantes casos) constituye una parte fundamental del curso. Repensarlos una vez resueltos ilustra en muchos casos sobre el ”puesto” que ocupa cada ejercicio en el desarrollo de la teoría. Se ha renunciado deliberadamente a dar indicaciones sobre el grado de di…cultad de cada ejercicio (eventuales ”pistas” pueden surgir en las clases prácticas o en las tutorías). Para colecciones de problemas resueltos, ver por ejemplo [3] (cuyos convenios y notaciones son los de [4]); en todo caso, téngase en cuenta que no es ni mucho menos lo mismo intentar resolver problemas que ”estudiar” problemas resueltos.

6.1 6.1.1

TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO (Curvatura y recta / Curvatura y circunferencia)

Sea ® : I ! E2 una curva regular y sea · su curvatura. Probar que: (a) La trayectoria de ® es un segmento de recta si y sólo si ·(t) = 0 (constante): (b) La trayectoria de ® es un arco de circunferencia de radio r > 0 si y sólo si j ·(t) j= 1=r (constante). 6.1.2

(Hélices 1)

Sean a; nulos. Considérese la curva ® : R 3 s 7! ¡ ¡ sb;¢ c 2 R ¡, s con ¢ sa¢ y c no 3 a cos c ; a sen c ; b c 2 E . Si b 6= 0, se dice que la trayectoria de ® es una hélice. (a) ¿Es el parámetro s la longitud de arco? (b) Determinar la curvatura y la torsión de ®. (c) Demostrar que la recta (afín) normal principal de ® en s corta al eje z bajo un ángulo igual a ¼=2 (independiente de s). (d) Demostrar que las rectas (a…nes) tangentes de ® forman un ángulo constante con el eje z. (e) Suponiendo c2 = a2 + b2, hallar el plano (afín) osculador de ®.

6 EJERCICIOS 6.1.3

143

(Determinación diferenciable del ángulo)

Sea ® : I ! E2 una curva plana, regular y sea T 2X® su campo (unitario) tangente. (a) Probar que existe una función diferenciable µ : I ! R de forma que T~ = (cos µ; sen µ). (b) Probar que se veri…ca: dµ =j ®0 j · , siendo · la curvatura de ®. dt 6.1.4

(Torsión y curva plana / Normales y circunferencia)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea ¿ su torsión. Probar que: (a) La trayectoria de ® está sobre un plano (esto es, la curva es plana) si y sólo si ¿ (t) = 0 (constante). (b) La trayectoria de ® está sobre una circunferencia si y sólo si las rectas (a…nes) normales principales de ® pasan todas por un punto …jo. 6.1.5

(Tangentes y recta)

Sea ® : I ! E3 una curva regular. (a) Probar que la trayectoria de ® está sobre una recta si y sólo si las rectas (a…nes) tangentes de ® pasan todas por un punto …jo. (b) ¿Se satisface todavía la conclusión de (a) si ® no es regular? 6.1.6

(Evolutas)

Sea ® : I ! E2 una curva regular, con curvatura ·(t) 6= 0 para todo t 2 I . Sea N 2X ® su campo (unitario) normal. La curva 1 ~ ¯(t) := ®(t) + N (t) ; t 2 I ·(t) se denomina la evoluta de ® (su imagen es el lugar geométrico de los ”centros de curvatura” de ®). (a) Demuéstrese que, si d· dt (t) 6= 0, la recta (afín) normal de ® en t es tangente a ¯ en t. (b) Considérense las rectas normales de ® en dos valores próximos (pero distintos) t1 y t2 del parámetro: Aproxímese t1 a t2 y demuéstrese que el punto de intersección de ambas rectas converge hacia un punto de la trayectoria de la evoluta de ®.

6 EJERCICIOS 6.1.7

144

(Catenarias)

La trayectoria de…nida por la curva plana ® : R 3 t 7! (t; cosh t) 2 E2 se denomina catenaria. (a) Hallar la curvatura de ®. (b) Hallar la evoluta de ®. 6.1.8

(Cicloides)

La curva ® : [0; 2¼] ! E2 de ecuaciones x = rt ¡ rsen t; y = r ¡ r cos t describe el movimiento de un punto …jo de una circunferencia C de radio r cuando ésta rueda apoyada sobre el eje x. La trayectoria de ® se denomina cicloide. (a) ¿Es ® una curva regular?. Hallar su longitud. Reparametrizar ® por la longitud de arco. (b) Hallar la curvatura de ®. (c) Demostrar que la trayectoria de la evoluta de ® es otra cicloide. 6.1.9

(Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión bidimensional)

Dada una función diferenciable f : I ! R , demuéstrese que existe una única (salvo movimientos directos) curva regular ® : I ! E2 parametrizada por la longitud de arco y con curvatura f. 6.1.10

(Diferenciabilidad, regularidad, alabeo)

Considérese la aplicación ® : R ! E3 dada por 8 2 < (t ; e¡1=t ; 0) si t < 0 ®(t) := (0; 0; 0) si t = 0 : 2 (t ; 0 ; e¡1=t ) si t > 0

(a) Estudiar si ® es una curva (esto es, si es diferenciable). (b) Estudiar si ® es regular, si es alabeada y qué ocurre con su curvatura. (c) Probar que el límite de los planos osculadores de ® cuando t ! 0¡ es el plano z = 0, pero que dicho límite es el plano y = 0 cuando t ! 0+ : (d) Demostrar que la torsión de ® es nula en todos los puntos en los que está de…nida.

145

6 EJERCICIOS 6.1.11

(Ángulo polar como parámetro)

Sea la curva plana ® : [a; b] 3 Á 7! (radio = ½(Á); ¶angulo = Á) 2 E2 ¡ forigeng, con ½ : [a; b] ! R+ cierta función diferenciable. La curva está pues dada en coordenadas polares y con el propio ángulo como parámetro. (a) Demostrar que la longitud de ® veri…ca: Z bs d½ L(®) = ( )2 + ½ 2 dÁ dÁ a (b) Demostrar que, si ® es regular, su curvatura · veri…ca: 2

·=

d ½ 2 2 2( d½ dÁ ) ¡ ½ dÁ2 + ½ d½ 2 (( dÁ ) + ½2 )3=2

(c) Calcular la longitud y la curvatura de la curva (cuya imagen es una espiral logarítmica) ® : [0; 1) 3 Á 7! (½(Á); Á) 2 E2 , donde ½(Á) = ae¡bÁ (con a; b 2 R+ ). Reparametrizar ® por la longitud de arco. 6.1.12

(Curvas sobre esferas)

Sea una curva alabeada ® : I ! E3 parametrizada por la longitud de arco y sean · y ¿ su curvatura y torsión, respectivamente. (a) Probar que una condición necesaria para que la trayectoria de ® se encuentre sobre una esfera de radio r es que se veri…que: p d· §¿ r2 ¡ ·¡2 = ·¡2 : ds (b) Probar que, si su…ciente. 6.1.13

p 2 r ¡ ·¡2 6= 0, la condición de (a) es también

(Máximos de la distancia de un punto a una curva)

Sea ® : I = (a; b) ! E2 una curva regular. Supóngase que existen q 2 E2 y t0 2 I tales que la distancia j ®(t) ¡ q j de q a la trayectoria de ® tenga un máximo local en t0 . Demostrar que la curvatura · de ® veri…ca j ·(t0) j¸ 1= j ®(t0 ) ¡ q j :

6 EJERCICIOS 6.1.14

146

(Tangente, normal y binormal)

Sea una curva alabeada ® : I ! E3; parametrizada por la longitud de arco y cuya torsión nunca es nula. (a) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial T~ (t) asociada al campo tangente de ® determina la curvatura y la torsión de ®. ~ (b) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial B(t) asociada al campo binormal de ® determina la curvatura y el valor absoluto de la torsión de ®, pero deja indeterminado el signo de la torsión. Poner un ejemplo de esta indeterminación. ~ (t) aso(c) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial N ciada al campo normal principal de ® deja indeterminadas la curvatura y la torsión de ®. Poner un ejemplo de esta indeterminación. (d) Probar que, si existe ~» 2 E3 tal que se veri…ca una de las dos condiciones siguientes ( < T~ (t); ~» >= 0 ; para todo t 2 I ~ ~» >= 0 ; para todo t 2 I ; < B(t); entonces necesariamente es ~» = ~0. No ocurre lo propio con la condición ~» >= 0 ; para todo t 2 I ; ~ < N(t); poner un ejemplo. 6.1.15

(Hélices 2)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada cuya torsión nunca se anula. En general, se dice que Im ® es una hélice si las rectas (a…nes) tangentes de ® forman un ángulo constante con alguna dirección …ja. Pruébese que: (a) Im ® es una hélice si y sólo si ·=¿ = cte. (b) Im ® es una hélice si y sólo si las rectas (a…nes) normales principales de ® son paralelas a algún plano …jo. (c) Im ® es una hélice si y sólo si las rectas (a…nes) binormales de ® forman un ángulo constante con alguna dirección …ja. (d) Si a; b; c 2 R, los tres no nulos, y µ : I ! R es una función diferenciable con derivada la curva ® : I 3 ¡a R R nunca nula,b entonces ¢ a 3 s 7! c senµ(s)ds ; c cos µ(s)ds ; c s 2 E tiene por imagen una hélice.

6 EJERCICIOS 6.1.16

147

(Plano osculador)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco. Sea P un plano afín que satisface las siguientes condiciones: i. Existe s0 2 I tal que P contiene a la recta (afín) tangente de ® en s 0. ii. Dado cualquier entorno J ½ I de s0, existen puntos de ®(J) a ambos lados de P . Pruébese que P es el plano osculador de ® en s0. 6.1.17

(Plano osculador y círculo osculador)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco. Demuéstrese que: (a) La posición límite de los planos a…nes que pasan por los puntos ®(s); ®(s+ h1) y ®(s+h2), cuando h1; h2 ! 0, es el plano osculador de ® en s. (b) La posición límite de los círculos que pasan por los puntos ®(s); ®(s+ h1) y ®(s + h2), cuando h1; h2 ! 0, es aquel círculo del plano osculador de ® en s cuyo centro está sobre la recta normal principal de ® en s y cuyo radio es 1=·(s) . Este círculo se llama círculo osculador de ® en s. 6.1.18

(Proyección sobre el plano osculador)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Pruébese que, para cada t 2 I, la curvatura ·(t) es el valor absoluto de la curvatura en t de la curva plana ¼t ± ®, siendo ¼t la proyección normal de E3 sobre el plano (afín) osculador de ® en t. 6.1.19

(Aceleraciones de una curva)

Dada una curva alabeada ® : I ! E3 parametrizada por la longitud de arco, probar que se veri…ca d· < ®0; ®0000 >= ¡3· ; ds siendo · la curvatura de ®.

148

6 EJERCICIOS 6.1.20

(Modelos 1)

Considérense dos partículas puntuales que se muevan diferenciablemente en E3 . Probar que la distancia entre ellas (no nula) se mantiene constante si y sólo si las proyecciones de sus velocidades sobre la dirección de la recta que las une son iguales. 6.1.21

(Modelos 2, cicloide)

Considérese la curva plana ® : [0; 2¼] 3 t 7! (rt ¡ rsent ; r + r cos t) 2 E2 , cuya trayectoria es una cicloide ”invertida” (ver Ejercicio 6.1.8). (a) Dados t0 2 (0; ¼) y g 2 R+, reparametrícese ® j [t0;¼] por un cambio de parámetro f : [0; ¿ f ] 3 ¿ 7! t 2 [t0; ¼] tal que se veri…que 1 dL(® ± f ) 2 ( ) = g(®2(t0) ¡ ®2 ± f ) 2 d¿

(¤) :

Probar que ¿ f no depende de t0. Observación: lo anterior puede reformularse así: si una bolita cae sin rozamiento siguiendo la trayectoria de una cicloide invertida dada, el tiempo que tarda (en llegar abajo) es independiente de la altura de partida (se dice en este sentido que la cicloide es ”tautócrona”). El ”tiempo” es el nuevo parámetro ¿ y la condición (¤ ) expresa la ”conservación de la energía” (no rozamiento) en el campo de aceleraciones (supuesto uniforme y de módulo g) en el que tiene lugar la caída. (b) Considérese la evoluta ¯ : [0; 2¼] 3 t 7! ¯(t) 2 E2 de ®. Por el Ejercicio 6.1.8c, su trayectoria será otra cicloide invertida, ”adelantada” ¼ unidades (del parámetro común t) y ”elevada” 2r unidades de ordenada (altura) con respecto a ®. Probar que, para todo t 2 [0; ¼], se veri…ca: j¯(t) ¡ ®(t)j + L(¯ j[t;¼]) = 4r

(independiente de t) :

Observación: lo anterior constituye el fundamento del llamado ”péndulo de Huygens”, en el que se basaron los primeros cronómetros: un péndulo inextensible de longitud 4r, tendido desde el vértice de una cicloide invertida de altura 2r e impedido de sobrepasar la trayectoria de ésta, describirá al oscilar otra cicloide

149

6 EJERCICIOS

(Parte b) y, bajo la in‡uencia sólo de la gravedad, mantendrá su período independientemente de la amplitud de la oscilación (Parte a). Ello mejora el comportamiento de un péndulo simple, cuyo período sólo es independiente de la amplitud si ésta es pequeña. 6.1.22

(Frenet frente a reparametrizaciones y movimientos)

Sea ® : I ! En (n ¸ 2) una curva alabeada y sea (E1; :::; En ) su referencia de Frenet. (a) Sea f : J ! I un cambio de parámetro de ® que invierte orientación y consideremos la curva ® ~ = ® ± f :J ! En : Entonces la e 1 ; :::; E e n ) de ® referencia de Frenet (E ~ veri…ca: e i = (¡1)i (Ei ± f ) E

e n = (¡1) n(n¡1)=2 (En ± f) ; (i = 1; :::n¡1) ; E

de donde se obtiene: ½ ! ~ i+1;i = ¡ df ds (!i+1;i ± f) (i = 1; :::; n ¡ 2) ! ~ n;n¡1 = ¡(¡1)n(n+1)=2 df ds (! n;n¡1 ± f)

;

y, …nalmente, ½

~ i = ·i ± f (i = 1; :::; n ¡ 2) · ~·n¡1 = (¡1)n(n+1)=2 (·n¡1 ± f )

:

(b) Sea A : En ! En un movimiento no directo y consideremos la curva ® ~ = A ± ® : I ! En. Entonces la referencia de Frenet e 1; :::; E e n ) de ® (E ~ veri…ca (8t 2 I): e i(t) = (AE ~ i(t))®~(t) E

e n(t) = ¡(AE ~ n(t))®~ (t) ; (i = 1; :::n¡1) ; E

de donde se obtiene: ½ !~ i+1;i = !i+1;i (i = 1; :::; n ¡ 2) !~ n;n¡1 = ¡!n;n¡1 y, …nalmente, ½

~ i = ·i (i = 1; :::; n ¡ 2) · ~·n¡1 = ¡·n¡1

Probar las expresiones anteriores para n = 2 y n = 3.

:

;

150

6 EJERCICIOS 6.1.23

(Curvas planas ”en implícitas”)

Sea g : (R2 ¾)U ! R una función diferenciable de…nida sobre un abierto U (s.p.d.g., 0 2 g(U)). Supongamos que p 2 g ¡1(0)(½ U) es un punto ”regular” para g; esto es, se veri…ca rg(Dg(p)) = 1, donde Dg es la matriz Jacobiana de g (s.p.d.g., y eligiendo adecuadamente las coordenadas cartesianas (x; y) en R2, (@g=@y)(p) 6= 0; y escribiremos p ´ (a; b)). (a) Probar que g ¡1(0) admite una ”parametrización (local, 1-dimensional)” en torno a p, esto es (2.2.1), que existen un abierto U (3 p) de g ¡1(0) en la topología relativa y una curva regular e inyectiva ® : I ! R2 tales que ®(I) = U y la aplicación inversa ®¡1 : U ! I es continua. Indicación: utilizar el teorema de la función implícita (Teorema 2.4), que garantiza la existencia de 8 ¾ < un entorno (Rx ¾) - de a con - £ J ½ U un entorno (Ry ¾) J de b : una función diferenciable & : - ! J tales que

f(x; y) 2 - £ J j g(x; y) = 0g = f(x; &(x)) j x 2 -g ; esto es, tales que g ¡1(0) \ (- £ J ) = gr¶af ica de & .

(b) Probar que la curvatura · de ® veri…ca ³ ´h 2 @ g @g 2 @ 2g @g @g ¡sgn @g ( ) ¡ 2 @x@y + @y @x2 @y @x @y ·= @g 2 2 3=2 [( @x ) + ( @g @y ) ]

@ 2g @g 2 ( ) @y2 @x

i

±®:

(c) Concretar lo anterior para la función g : R2 3 (x; y) 7! x2 + y2 ¡ r 2 2 R (con r > 0) en torno al punto p ´ (0; 1) 2 R2.

(d) Supongamos la siguiente de…nición alternativa de ”curva plana”: subconjunto de R2 que admite una parametrización (local, 1dimensional) en torno a cada uno de sus puntos. Aceptada esta de…nición, probar que: todo punto de una ”curva plana” está contenido en un abierto de la misma (en la topología relativa) que es la grá…ca de una función diferenciable & : (R ¾) - ! R, con abierto.

151

6 EJERCICIOS 6.1.24

(”El ocho”)

Sea la curva (regular e inyectiva) ® : (R ¾)I ´ (¡¼; ¼) 3 t 7! (sen t; sen 2t) 2 E2 , cuya trayectoria denominaremos ”el ocho”. (a) Probar que existe una función diferenciable g : R2 ! R tal que ®(I) = g ¡1 (0). (b) Probar que cualquier función diferenciable g¹ : R2 ! R tal que ¡ ¢ ®(I) = g¹¡1(0) veri…ca: D¹g (0; 0) = 0 0 (ninguna función ¹g que tenga a ®(I ) por conjunto de nivel puede ser regular en ®(0)). (c) Comprobar que la aplicación ® ¡1 : (E2 ¾)®(I) ! I(½ R) no es continua en ®(0).

(d) Sea la curva (regular e inyectiva) ¯ : (R ¾)(0; 2¼) 3 s 7! (sen s; sen 2s) 2 E2, cuya trayectoria es también el ocho. Comprobar que la aplicación ®¡1 ± ¯ : (R ¾)(0; 2¼) ! (¡¼; ¼)(½ R) no es diferenciable (y, por tanto, ®¡1 ± ¯ no es un cambio de parámetro de ®, la curva ¯ no es una reparametrización de ® y la aplicación ®¡1 ± ¯ no es una curva en R).

6.2 6.2.1

SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN (Super…cies que son conjuntos de nivel)

Determinar los valores de v para los que es una super…cie el conjunto de nivel f ¡1(v) 2 R3, donde: (a) f (x; y; z) :=

x2 a2

+

y2 b2

+

(b) f (x; y; z) :=

x2 a2

+

y2 b2

(c) f (x; y; z) :=

x2 a2

+

y2 b2

¡ zc2

(d) f (x; y; z) :=

x2

¡

y2

a2

b2

(e) f (x; y; z) := xyz ¡ 1 (con a; b; c > 0).

z2 c2 2

¡z ¡z

152

6 EJERCICIOS 6.2.2

(Plano tangente)

Considérense las super…cies (cuádricas) M de R3 de…nidas por las ecuaciones: +

y2 b2

(b)

x2 a2

+

y2

(c)

x2 a2

+

(d)

x2 a2

(a)

x2 a2

¡

b2 y2 b2 y2 b2

+

z2 c2

= 1 (elipsoide)

¡

z2

= 1 (hiperboloide de 1 hoja)

c2

¡ z = 0 (paraboloide elíptico) ¡ z = 0 (paraboloide hiperbólico)

(con a; b; c > 0). Determinar el plano tangente a cada una de ellas en el punto p de coordenadas x(p) = a ; y(p) = 0. 6.2.3

(¿Super…cies?)

Determinar si son super…cies los siguientes conjuntos: (a) f(x; y; z) 2 R3 j z = 0 ; x2 + y2 < 1g (b) f(x; y; z) 2 R3 j z = 0 ; x2 + y2 · 1g (c) f ¡1 (0) , siendo f(x; y; z) := z 2 .

6.2.4

(Cilindros)

Sea ® : I ! R2 una curva plana cuya trayectoria pueda expresarse como un conjunto de nivel regular para alguna función diferenciable de (un abierto de) R2 en R. (a) Probar que el conjunto M ´ ®(I ) £ R (½ R3) es una super…cie (denominada cilindro sobre ®(I )) (b) Sea un abierto J ½ I tal que ® jJ : J ! R2 es regular e inyectiva. Probar que la aplicación ' : R2 ¾ J £ R 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2 (u); v) 2 M es una parametrización local de M

153

6 EJERCICIOS 6.2.5

(”El ocho” en super…cies)

Sea la curva (inyectiva y regular) ® : (R ¾)I ´ (¡¼; ¼) 3 t 7! (sen t; sen 2t) 2 R2 , cuya trayectoria es ”el ocho” (recordar Ejercicio 6.1.24). (a) Probar que i. El conjunto S ´ ®(I) £ R(½ R3) puede expresarse como conjunto de nivel f ¡1(0) para cierta función diferenciable f : R3 ! R. ii. El conjunto S ¡ f(0; 0; z) j z 2 Rg es una super…cie. (b) Considérese la aplicación diferenciable ' : (R2 ¾)U ´ I £ R 3 (u; v) 7! (sen u; sen 2u; v) 2 S(½ R3) :

i. Probar que ' no es una parametrización de S. ii. Sea la curva ¯ : (R ¾)(0; 2¼) 3 s 7! (sens; sen2s; 0) 2 S. Probar que la aplicación '¡1 ± ¯ : (R ¾)(0; 2¼) ! U(½ R2 )

no es una curva. iii. Sea la extensión diferenciable © de ' dada por

© : (R3 ¾)U £ R 3 (u; v; w) 7! (sen u; sen 2u + w; v) 2 R3 :

(resulta © j U£f0g = '). Probar que existen entornos A( ½ U £ R) de (0; 0; 0) y B(½ R3) de ©(0; 0; 0) = (0; 0; 0) tales que ©(A) = B y © jA: A ! B es un difeomor…smo. Probar sin embargo que: (© jA) ¡1 jS\B 6= '¡1 jS\B :

(c) Probar que el conjunto S no es una super…cie. 6.2.6

(Ejemplo de helicoide)

Sea la hélice ®(s) := (cos s; sens; s). El subconjunto M de R3 constituido por las rectas (a…nes) normales principales de ® se denomina helicoide. (a) Probar que la aplicación ' : R2 3 (s; t) 7! (t cos s; t sens; s) 2 R3

constituye una parametrización global de M (y, por tanto, M resulta ser una super…cie). (b) Encontrar una función diferenciable f : R3 ! R tal que f ¡1(0) = M y rg(Df(p)) = 1, para todo p 2 M . (c) Determinar Tp M para los puntos p de la forma (0; 0; z).

6 EJERCICIOS 6.2.7

154

(Super…cies de revolución)

Sea ® : I ! R2 una curva plana cuya trayectoria pueda expresarse localmente como un conjunto de nivel regular para alguna función función diferenciable de (un abierto de) R2 en R. (a) Probar que el subconjunto M de R3 obtenido al girar la imagen ®(I) (supuesta en el plano x1x2 de R3 y con ®2 > 0) en torno al eje x1 es una super…cie (denominada super…cie de revolución generada por ®(I) al girar en torno al eje x1). (b) Sea un abierto J ½ I tal que ® jJ : J ! R2 es regular e inyectiva. Probar que la aplicación ' : (R2 ¾)J£(¡¼; ¼) 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2(u) cos v; ®2(u)sen v) 2 M es una parametrización local de M . (c) Dibujar y encontrar parametrizaciones para las super…cies de revolución generadas por ®(I) al girar en torno al eje x1 en los casos siguientes: i. ® : R 3 t 7! (t; 1) 2 R2 . La super…cie es un cilindro (Ver Ejercicio 6.2.4). ii. ® : R 3 t 7! (t; cosh t) 2 R2. La super…cie es un catenoide. iii. ® : [¡¼; ¼] 3 t 7! (b cos t; a + b sen t) 2 R2 ; a > b > 0. La super…cie es un toro. 6.2.8

(Planos)

Sea L : R2 ! R3 una aplicación lineal de rango 2, sea p 2 R3 y consideremos ! la aplicación ' : R2 3 q 7! L(¡ oq) + p 2 R3 . (a) ¿Qué clase de conjunto es '(R2)? (b) Sean q0; ~v0 2 R2. Dada la curva ® : I 3 t 7! q0 + t~v0 2 R2, ¿cuál es la velocidad (' ± ®)0 (0)? 6.2.9

(Proyección estereográ…ca)

Sea la esfera M := f(x1; x2; x3) 2 R3 j x21 +x22 +x23 = r 2g y sea p+ ´ (0; 0; r) 2 M su ”polo norte”. Considérese la aplicación ' : R2 ´ R2 £ f0g ! M que hace corresponder, a cada q = (q1 ; q2; 0), el punto (distinto de p+ ) donde la recta que pasa por q y p+ corta a M:

6 EJERCICIOS

155

(a) Determinar las ecuaciones de ' y probar que ' es una parametrización (local) de M. (b) Determinar las ecuaciones de la carta '¡1 (denominada proyección estereográ…ca de M desde el polo norte sobre el plano ecuatorial). (c) Determinar las ecuaciones del cambio de carta entre ' ¡1 y la proyección estereográ…ca ' ¹ ¡1 desde el ”polo sur” p¡ ´ (0; 0; ¡r) 2 M: 6.2.10

(Banda de Moebius)

Sean r; l 2 R con r > l > 0. Sea la circunferencia C := f(x; y; 0) 2 R3 j x2 + y2 = r2g y sea el segmento abierto S := f(0; r; z) 2 R3 jj z j< lg, cuyo punto medio m pertenece a C. Movamos S de manera que, mientras el punto m recorre sobre C un ángulo u, el segmento S gira (en torno a m y manteniéndose ortogonal a C) un ángulo ¡u=2. El subconjunto M := fSu j u 2 [0; 2¼]g de R3, constituído por las sucesivas posiciones Su del segmento S, se denomina banda de Moebius. (a) Probar que la aplicación ' : (0; 2¼) £ (¡l; l) 3 (u; v) 7! 7! (¡(r + v sen u2 ) sen u ; (r + v sen u2 ) cos u ; v cos u2 ) 2 R3 constituye una parametrización local de M (b) Probar que M es una super…cie. 6.2.11

(Campos tangentes a super…cies 1)

Sea el campo X 2 X(R3) con parte vectorial ~ : R3 3 (x; y; z) 7! (¡zx; ¡zy; r 2 ¡ z 2) 2 R3: X (a) Demostrar que la restricción de X a la esfera M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 + z 2 = r2g es tangente a ésta.

(b) Determinar la expresión analítica local de la restricción X j M 2 X(M) en las coordenadas (u; v) de la proyección estereográ…ca (Ejercicio 6.2.9) de M desde el polo norte (0; 0; r) sobre el plano ecuatorial.

156

6 EJERCICIOS 6.2.12

(Campos tangentes a super…cies 2)

@ @ @ Sea el campo de vectores X := xz @x + yz @y + (1 + z 2) @z 2 X(R3):

(a) Demostrar que la restricción de X al hiperboloide de 1 hoja M := f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 ¡ z 2 = 1g es tangente a éste. (b) Demostrar que la aplicación

' : R£(¡¼; ¼) 3 (t; #) 7! (cosh t cos # ; cosh t sen # ; senh t) 2 R3 es una parametrización local de M . (c) Determinar la expresión analítica local de la restricción X jM 2 X(M) en las coordenadas (t; #).

6.3 6.3.1

SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO (Gradientes de funciones en el espacio euclídeo)

Sea f : E3 ! R una función diferenciable. Considérese el cambio à : U ! U de coordenadas cartesianas a polares dado en el Ejemplo 2.7 y sea p 2 U. Teniendo en cuenta las identi…caciones r ´ r ± á1; # ´ # ± à ¡1; Á ´ Á ± à ¡1 (2.1.4): (a) Probar que la expresión (recordar la Observación 2.1(2), donde se identi…caba el vector tangente df j p ~»p 2 TpR con su parte vectorial ~» p(f ) 2 R, para todo ~»p 2 Tp E3 ) df jp = P3i=1 @f (p) dxi jp se @x i mantiene bajo el cambio Ã, esto es, se veri…ca : df j p =

@f @f @f (p) dr jp + (p) d# j p + (p) dÁ j p : @r @# @Á

(b) Probar que la expresión (3.1.1) (grad f)(p) =

P3

@f i=1 @xi (p)

³

@ @x i

´

p

no se mantiene bajo el cambio Ã, sino que se obtiene: µ ¶ µ ¶ µ ¶ @f @ 1 @f @ 1 @f @ (grad f )(p) = (p) + 2 (p) + 2 (p) : 2 @r @r p r @# @# p r sen # @Á @Á p

6.3.2

(Normales y esfera)

Sea M una super…cie conexa de E3 . Probar que las rectas (a…nes) normales a M pasan todas por un punto …jo si y sólo si M está sobre una esfera. ¿Qué ocurre si M no es conexa?

157

6 EJERCICIOS 6.3.3

(PFF de la esfera en proyección estereográ…ca)

Obtener los coe…cientes de la primera forma fundamental de la esfera de radio r en la carta de la proyección estereográ…ca (Ejercicio 6.2.9) desde el polo norte sobre el plano ecuatorial. 6.3.4

(PFF de la esfera en polares)

Sea M ½ E3 una esfera de radio r. Sean # (colatitud) y Á (azimut) coordenadas polares en M . Considérese la curva en M con expresión local asociada (Observación 2.18(3)) ½ #(t) = ¼2 ¡ ¡ t ¼ t ¢ ; t 2 [0; ¼ ) : Á(t) = ln cot( 4 ¡ 2 ) 2 Determinar su longitud y comprobar que forma un ángulo  constante con los paralelos # = cte (la trayectoria de ® se llama loxodroma). 6.3.5

(PFF de super…cies de revolución en coordenadas)

Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en el Ejercicio 6.2.7. (a) Suponiendo que I es acotado y que la curva generadora ® : I ! E2 es regular e inyectiva y está parametrizada por la longitud de arco, probar que el área A(M) de la super…cie M viene dada por la expresión Z A(M ) = 2¼ ½(s) ds ; I

siendo ½(s) la distancia de ®(s) al eje de rotación (teorema de Pappus). (b) Aplicar lo anterior para calcular el área del toro de…nido por la ecuación q ( x21 + x22 ¡ a)2 + x23 ¡ b2 = 0 ; donde a > b > 0.

6.3.6

(Gradiente de funciones sobre super…cies)

Sea M una super…cie de E3 y sean f : M ! R una función diferenciable y (U; ' ¡1 ) una carta de M . Se de…ne el gradiente de f como el campo de vectores grad f 2 X(M ) que veri…ca (8p 2 M y 8» 2 TpM ) < (grad f )(p) ; » >:= »(f ) :

158

6 EJERCICIOS

Probar que se tiene: ¡@¢ ¡@¢ ¡@¢ ¡@¢ G ¢ @u (f) ¡ F ¢ @v (f ) @ E ¢ @v (f ) ¡ F ¢ @u (f) @ grad f jU = + ; EG ¡ F 2 @u EG ¡ F 2 @v donde E; F; G son los coe…cientes la primera forma fundamental de M en ³ ´ de(36) ¡1 @ la carta (U ; ' ) y donde @ui (f) = @(f±') ± '¡1 ; i = 1; 2. @ui 6.3.7

(Super…cies no orientables)

Supóngase que una super…cie M puede ser recubierta por los dominios conexos de dos cartas (U ; '¡1) y (U ; ' ¹ ¡1), de forma que la intersección U \ U sea la unión de dos componentes conexas (disjuntas), V1 y V2 , y se veri…que: µ ¶ µ ¶ @(¹ u; v¹) @(¹ u; v¹) det j > 0 y det j 0 (cono) ii.

iii. iv.

x21 a2 x21 a2 x21 a2 x21 a2

+ +

¡

x 22 b2 x 22 b2 x22 b2 x22 b2

¡

x23 c2

= 1 (hiperboloide de 1 hoja)

¡ x3 = 0 (paraboloide elíptico)

¡ x3 = 0 (paraboloide hiperbólico)

v. ¡ = 1 (cilindro hiperbólico) (con a; b; c > 0).

6 EJERCICIOS 6.3.11

160

(Tangencia, extremos y curvaturas principales)

Sea M una super…cie de E3. (a) Probar que, si N es otra super…cie de E3 que corta a M en un único punto, entonces M y N son necesariamente tangentes en dicho punto. (b) Probar que, si un plano afín de E3 que corta a M en un único punto, entonces la curvatura de Gauss de M en dicho punto es no-negativa. (c) Supóngase que M es compacta. Probar que M posee (al menos) un punto elíptico. (d) Supóngase que M es compacta y conexa. Probar que la curvatura de Gauss de M es no nula en todo punto si y sólo si todos los puntos de M son elípticos. 6.3.12

(Direcciones asintóticas y líneas asintóticas)

Sea M una super…cie de E3. (a) Probar que, si M posee curvatura media igual a cero en un punto, entonces en ese punto hay (al menos) dos direcciones asintóticas mutuamente ortogonales. (b) Sea ® : I ! M una curva regular con trayectoria rectilínea. Probar que ® de…ne una línea asintótica. (c) Sea ® : I ! M una curva alabeada. Probar que ® de…ne una línea asintótica si y sólo si su plano osculador en cada punto coincide con el plano tangente a M en dicho punto. (d) Sea p 2 M . Estudiar qué relaciones existen entre las siguientes a…rmaciones: i. Hay dos direcciones asintóticas en Tp M mutuamente ortogonales. ii. La curvatura media de M en p es nula. iii. La curvatura de Gauss de M en p es no-positiva. iv. Por p pasan dos rectas (o segmentos de recta) mutuamente ortogonales contenidas en M . 6.3.13

(Líneas de curvatura y líneas asintóticas)

Hallar las líneas de curvatura y las líneas asintóticas del hiperboloide de 1 hoja M de…nido por la ecuación x21 + x22 ¡ x23 = r2 :

161

6 EJERCICIOS 6.3.14

(Carácter de los puntos de una super…cie 1)

Sea M una super…cie de E3. (a) Estudiar el carácter (hiperbólico, parabólico, elíptico o plano) de los puntos de M cuando ésta es una de las super…cies de revolución del Ejercicio 6.2.7c (cilindro, catenoide y toro). (b) Supóngase que, en un punto p 2 M , la aplicación de Weingarten Lp : TpM ! TpM es una isometría lineal.

i. Probar que p no puede ser plano ni parabólico. ii. Probar que, si p es elíptico, entonces es umbílico. iii. Probar que, si p es hiperbólico, entonces la curvatura media de M en p es nula.

6.3.15

(Puntos no umbílicos)

Sea (M; º) una super…cie orientada de E3 y sea p 2 M . Probar que p es no umbílico si y sólo si, en cualquier carta (U ; '¡1) de M en torno a p, se veri…ca: µ ¶ 1 fE ¡ eF (gE ¡ eG) 2 det 1 (p) < 0 ; gF ¡ fG 2 (gE ¡ eG) siendo E; F; G y e; f; g; los coe…cientes de las dos formas fundamentales de (M; º) en dicha carta. 6.3.16

(Meridianos y paralelos en super…cies de revolución)

Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en el Ejercicio 6.2.7. Supóngase que la curva generadora ® : I ! E2 está en el plano x1x2 de E3, con ®2 > 0 y es regular. Considérese, para cada v 2 (¡¼; ¼), la curva (con trayectoria llamada meridiano) ®v : I ! M dada por ® v : I 3 u 7! (®1(u); ®2(u) cos v; ®2(u) sen v) 2 M (obsérvese que ®0 = ®) y asimismo, para cada u 2 I, la curva (con trayectoria llamada paralelo) ¯ u : (¡¼; ¼) ! M dada por ¯ u : (¡¼; ¼) 3 v 7! (®1(u); ® 2(u) cos v; ®2(u) sen v) 2 M : (a) Probar que meridianos y paralelos se cortan siempre ortogonalmente. (b) Probar que la curva ®v es geodésica de M si y sólo si j®0 j = cte: (c) Probar que la curva ¯u es geodésica de M si y sólo si

d® 2 (u) du

= 0:

6 EJERCICIOS 6.3.17

162

(Geodésicas, curvas planas y líneas de curvatura)

Sea M una super…cie de E3 y sea ® : I ! M una curva alabeada. Demostrar las siguientes a…rmaciones, si se piensa que son ciertas, o dar contraejemplos, si se piensa que son falsas. ¿Qué ocurriría en cada caso si Im ® fuera rectilínea (con lo que ® no sería alabeada)? (a) Si ® es geodésica y de…ne una línea de curvatura, entonces es plana. (b) Si ® es plana y de…ne una línea de curvatura, entonces es geodésica. (c) Si ® es geodésica y plana, entonces de…ne una línea de curvatura. (d) Si ® es geodésica, la norma de su aceleración es constante. 6.3.18

(Super…cie de binormales de una curva alabeada)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Supóngase que el conjunto M , unión de todas las rectas a…nes binormales de ®, es una super…cie de E3 . (a) Encontrar una parametrización local en torno a cada punto de M . (b) Calcular la curvatura de Gauss de M y comprobar que sólo depende de la torsión de ®. (c) Estudiar si ® es geodésica de M . 6.3.19

(Geodésicas planas y esferas o planos)

Probar que, si todas las geodésicas de una super…cie conexa son curvas planas, entonces la super…cie está contenida en una esfera o en un plano. Indicación: puede utilizarse libremente, sin necesidad de demostrarlo, el siguiente resultado: si todos los puntos de una super…cie conexa son umbílicos, entonces la super…cie está contenida en una esfera o en un plano. 6.3.20

(Isometrías e isometrías locales 1)

¹ := f(x1 ; x2 ; x3) 2 E3 j x21 + x22 = (a) Sean M el plano x1 x2 de E3 y M 2 r g un cilindro sobre una circunferencia. Probar que la aplicación ¹ es una isometría F : M 3 (x1; x2; 0) 7! (r cos xr1 ; r sen xr1 ; x2) 2 M local. Encontrar un abierto U de M tal que F j U : U ! F (U) sea una isometría.

6 EJERCICIOS

163

p ¹ := f(x1 ; x2; x3) 2 E3 j ( x21 + x22¡ (b) Sean M el plano x1 x2 de E3 y M a)2 + x23 = b2 ; a > b > 0g un toro. Probar que la aplicación F : M 3 (x1 ; x2; 0) 7! ((a+b cos x1) cos x2; (a+b cos x1) senx2; b senx1 ) 2 ¹ no es una isometría local. ¿Era esperable que no lo fuera? M (c) Sean M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x1sen x3 p = x2 cos x3 g un helicoide ¹ := f(x1 ; x2; x3) 2 E3 j cosh x3 = x21 + x22g un catenoide. y M ¹ que son isométricos. Probar que existen abiertos U de M y U de M ¹. Probar que existe una isometría local F : M ! M 6.3.21

(Ejemplo de super…cie de revolución 1)

Sea f : R ! R una función diferenciable con f(0) = 0. (a) Demostrar que el conjunto M ½ E3, obtenido al hacer girar la grá…ca (supuesta en el plano xz de E3 ) de la función z = f(x2 ) en torno al eje z, es una super…cie. (b) Demostrar que el punto p = (0; 0; 0) es un punto umbílico de M y probar que la curvatura de Gauss de M en dicho punto K(p) sólo depende de la derivada de f en 0. (c) Fijado ½0(> 0) 2 R, probar que la curvatura de Gauss de M es constante en los puntos de la curva 8 < x(t) = ½0 cos t y(t) = ½ 0sen t ; 0 · t · 2¼ : : z(t) = f (½20) 6.3.22

(Ejemplo de super…cie de revolución 2)

Sea el conjunto M = f(x; y; z) 2 R3 j 4z = x4 + y4 + 2x2y2g y sea p = (0; 0; 0) Se pide: (a) Probar que M es una super…cie de revolución. (b) Probar que p es un punto plano de M . (c) Encontrar todos los puntos umbílicos de M . (d) Demostrar que el valor depla curvatura de Gauss en los puntos umbílicos (excluído p) es 13 3 4.

6 EJERCICIOS 6.3.23

164

(De todo un poco 1)

Sea M una super…cie de E3. Demostrar las siguientes a…rmaciones si se piensa que son ciertas, o dar contraejemplos si se piensa que son falsas: (a) En todo punto no umbílico de M hay exactamente dos direcciones principales. (b) Todo punto de M con una única dirección asintótica es necesariamente parabólico. (c) Toda curva plana en M que de…na una línea de curvatura y esté parametrizada por la longitud de arco es necesariamente geodésica de M . (d) Si M es de revolución, las trayectorias de sus geodésicas son siempre meridianos o paralelos. (e) Toda isometría de M transforma puntos elípticos en puntos elípticos. (f) Si M es la esfera unitaria, existen curvas alabeadas ® : I ! M con curvatura menor que dos tercios. 6.3.24

(De todo un poco 2)

Sea M una super…cie de E3. Demostrar las siguientes a…rmaciones si se piensa que son ciertas, o dar contraejemplos si se piensa que son falsas: (a) En todo punto no umbílico de M hay exactamente dos direcciones asintóticas. (b) Toda geodésica de M que de…na una línea asintótica tiene imagen rectilínea. (c) En cada punto no plano de M , dos direcciones asintóticas son siempre mutuamente ortogonales. (d) Toda isometría de M transforma puntos planos en puntos planos. (e) Toda recta contenida en M de…ne una línea de curvatura. (f) (esta a…rmación no tiene obviamente nada que ver con M ) Hay curvas alabeadas en E3 con curvatura constante cuya trayectoria no está sobre una circunferencia

6 EJERCICIOS

6.4 6.4.1

165

GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES. VARIOS (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas)

Sean M una super…cie de E3, ® : I ! M una geodésica no trivial de M y V un campo de vectores a lo largo de ® y tangente a M. Probar que V es paralelo a lo largo de ® si y sólo si la norma j V j y el ángulo que forma V con ®0 son constantes a lo largo de ®. 6.4.2

(Super…cie de bisectrices recti…cantes de una curva alabeada)

Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea (T; N; B) su triedro de Frenet. Para cada t 2 I , llamemos bisectriz recti…cante de ® en t a la recta afín que ~ pasa por ®(t) y tiene por dirección la del vector T~ (t)+ B(t). Supongamos que el conjunto M , unión de todas las bisectrices recti…cantes de ®, constituye una super…cie M de E3. (a) Dar una parametrización local en torno a cada punto de M . (b) Calcular la curvatura de Gauss de M y comprobar que sólo depende de la curvatura y de la torsión de ®. (c) Demostrar que la curva ® es plana si y sólo si la curvatura media de M en los puntos de la imagen de ® es nula. (d) Estudiar si ® es geodésica de M . (e) Estudiar si ® de…ne una línea de curvatura de M. (f) Probar que, si las funciones curvatura y torsión de ® coinciden, entonces cualquier recta afín contenida en M y que corte a la imagen de ® es una bisectriz recti…cante de ®. (g) Estudiar si el campo T + B, tangente a M , es paralelo a lo largo de ®. 6.4.3

(Geodésicas en el plano, cilindro y esfera)

Probar que las siguientes curvas ® : I ! M son geodésicas de las siguientes super…cies M de E3 : (a) ®(t) := p + t~» (con p 2 M , ~» 2 E3) y M un plano que contenga (de hecho, M podría ser cualquier super…cie que contuviera) a la imagen de ®.

166

6 EJERCICIOS

(b) ®(t) := (r cos(at+b); r sen(at+b); ct+d) (con a; b; c; d; r(> 0) 2 R) y M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r2g (cilindro). (c) ®(t) := r(cos at)~» + r(sen at)~´ (con a; r(> 0) 2 R y ~»; ~´ 2 E3 ortonormales) y M := f(x1 ; x2 ; x3) 2 E3 j x21 + x22 + x23 = r 2g (esfera). (d) Probar que, en los tres casos (plano, cilindro y esfera), todas las geodésicas de M son de esa forma. 6.4.4

(Reparametrización de geodésicas)

Sea ° : I ! M una geodésica de una super…cie M de E3 : (a) Supongamos que ° es no trivial y sea f : J ! I un cambio de parámetro de °. Probar que ° ± f : J ! M es geodésica de M si y sólo si existen a; b 2 R tales que f (s) = as + b ; 8s 2 J : (b) Sean p ´ °(t0); » ´ ° 0 (t0 ) , para cierto t0 2 I. Sea ° » la geodésica maximal por ». Probar que °(t) = ° » (t ¡ t0 ) ; 8t 2 I:

(c) Supóngase que °(t0) = °(t1); ° 0 (t0) = ° 0 (t1 ); para ciertos t0; t1 2 I . Probar que ° es periódica, de período t1 ¡ t0.

6.4.5

(Super…cies geodésicamente completas)

Una super…cie M de E3 se dice geodésicamente completa si toda geodésica maximal de M tiene por dominio R. ¿Cuáles de las siguientes super…cies son geodésicamente completas?: (a) La esfera M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 + x23 = r 2g:

(b) La esfera exceptuado el polo norte M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 + x23 = r 2; x3 6= rg: (c) El cono M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 ¡ x23 = 0; x3 > 0g:

(d) El cilindro M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r2g:

(e) El cilindro exceptuada una generatriz M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r2 ; x1 6= rg:

6 EJERCICIOS 6.4.6

167

(Transporte paralelo en el plano)

Sea M un plano afín de E3. Dados dos puntos p; q 2 M y un vector tangente ~»p 2 Tp M, probar que, para cualquier curva ® : [a; b] ! M que una p y q, la imagen de ~» p por el transporte paralelo hasta q a lo largo de ® es ~» q . 6.4.7

(Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en la esfera)

Sea la esfera M := f(x; y; z) 2 E3 j x2 + y2 + z 2 = r2g y sea p ´ (0; 0; r) su ”polo norte”. (a) Consideremos la curva (cuya trayectoria es un semimeridiano de azimut Á 2 R) ®Á : [0; ¼] 3 t 7! (r sen t cos Á; r sen t sen Á; r cos t) 2 M : i. Dado » =(1; 0; 0)p 2 T pM , hallar V» 2 X k®Á (M). Hallar el transporte paralelo de » de p = ®Á (0) a ® Á(¼) a lo largo de ®Á : ii. Dado ´ =(v1 ; v2; 0)p 2 TpM , hallar el transporte paralelo de ´ de p = ®0 (0) a ®0(¼) a lo largo de ®0: (b) Sean »; ´ 2 Tp M tales que j » j= j ´ j. Probar que existe un camino cerrado ® : [a; b] ! M con ®(a) = ®(b) = p tal que la imagen de » por el transporte paralelo hasta p a lo largo de ® es ´: 6.4.8

(Transporte paralelo a lo largo de curvas de tangencia)

Sean M1 y M2 dos super…cies de E3 (con derivadas covariantes r1 y r 2) y sea ® : I ! E3 una curva tal que ®(I ) ½ M1 \ M 2. Supongamos V 2 X® tal que sea tangente a ambas super…cies a lo largo de ®. (a) Probar con un ejemplo que V puede ser r1 -paralelo (a lo largo de ®) y a la vez no ser r2 -paralelo (a lo largo de ®).

(b) Probar que, si M1 y M2 son tangentes a lo largo de ®, entonces V es r1-paralelo si y sólo si es r 2-paralelo. En particular, ® es geodésica de M1 si y sólo si es geodésica de M2.

6 EJERCICIOS 6.4.9

168

(Transporte paralelo y reparametrizaciones)

Sea M una super…cie de E3, sea ® : I ! M una curva regular y sea f : J ! I un cambio de parámetro de ®. Probar que: (a) Un campo de vectores V 2 X ®(M) es paralelo a lo largo de ® si y sólo si V ± f 2 X®±f (M) es paralelo a lo largo de ® ± f. (b) Dados dos puntos p; q 2 M , el transporte paralelo de p a q a lo largo de una curva ® que los une es el mismo que a lo largo de cualquier reparametrización de ® que preserve la orientación. (c) Dados dos puntos p; q 2 M , el transporte paralelo de p a q a lo largo de una curva ® que los une es el inverso del transporte paralelo de q a p a lo largo de cualquier reparametrización de ® que invierta la orientación. 6.4.10

(Isometrías e isometrías locales 2)

(a) ¿Cuáles de las siguientes aplicaciones à son isometrías locales?: i. F : S2(1) 3 p 7! 2p 2 S2 (2), donde S2 (r) es la esfera de radio r de E3 centrada en el origen. ii. F : S2(r) 3 p 7! ¡p 2 S2 (r) . iii. F : M 3 (x1; x2; x3 ) 7! ((a+ b xr1 ) cos x3; (a +b xr1 )senx3; b xr2 ) 2 ¹ ; siendo M ½ 2 2 2 M := f(x1; x2; x3 ) 2 E3 j xp 1 + x2 = r g (cilindro) ¹ := f(x1; x2; x3 ) 2 E3 j ( x21 + x22 ¡ a)2 + x23 = b2 ; a > b > 0g (toro) M

(b) Sean los cilindros de E3 ½ M := f(x1 ; x2 ; x3) 2 E3 j x21 + x22 = r 2g ¹ := f(x1 ; x2 ; x3) 2 E3 j x21 + x22 = ¸2 r2 ; ¸ > 0g : M

¹ , probar que i. Dada una aplicación diferenciable F : M ! M 1 F no puede ser una isometría local si ¸ 6= n ; con n 2 Z+. ¹ no pueden ser isométricos si ¸ 6= 1. ii. Probar que M y M iii. Probar que, para todo ¸ > 0, existen abiertos U de M y U de ¹ que son isométricos (recordar el Teorema de Minding). M (c) Sean M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x1sen x3 = x2 cos x3 g un helicoide ¹ la super…cie de revolución de E3 generada (Ejercicio 6.2.6) y M (notaciones como en el Ejercicio 6.2.7) por Im ® (supuesta en el plano x1x3) al girar en torno al eje x3, siendo ® : (0; 1) ! E2 la curva dada por ®(t) := (t; log t). Encontrar un difeomor…smo

169

6 EJERCICIOS

¹ que preserva la curvatura de Gauss pero entre abiertos de M y M que no es una isometría. Concluir que el ”recíproco” del teorema egregio de Gauss (Proposición 3.26(2)) no es cierto. 6.4.11

(Super…cies simétricas respecto de un plano)

Sea M una super…cie de E3 que es simétrica por re‡exión respecto de un plano afín ¦. (a) Probar que toda geodésica de M que pase por un punto de ¦ y tenga allí una velocidad tangente a ¦ está necesariamente contenida en ¦. A partir de ahora, supóngase que la intersección ¦ \ M es la imagen de una curva regular ° : [0; L] ! M tal que °(0) = °(L) (puede utilizarse, sin necesidad de demostración, que, en estas condiciones, ¦ no es nunca tangente a M ). (b) Sea º cualquier elección de normal unitaria (local) a M . Probar que º ± ° es tangente a ¦. (c) Probar que ° de…ne una línea de curvatura. A partir de ahora, supóngase que j°0 j = cte:

(d) Probar que ° es geodésica. (e) Probar que ° 0 (0) = ° 0 (L). 6.4.12

(Curvatura, geodésicas y transporte paralelo en un paraboloide de revolución)

Considérese el paraboloide (elíptico) de revolución M de E3 de…nido por la ecuación 2z = x2 + y2 . Sea la curva ® : [0; 2¼] 3 t 7! (½0 cos t; ½0 sent;

½20 )2M ; 2

donde ½0 > 0 es una constante. (a) ¿Puede alguna reparametrización de ® ser geodésica de M ? (b) Calcular la curvatura de Gauss de M . (c) Determinar todas las geodésicas de M que pasan por el origen o = (0; 0; 0).

6 EJERCICIOS

170

(d) Demostrar que toda isometría F : M ! M veri…ca F (Im ®) = Im ® y, en particular, deja …jo el punto o. (e) Denótese p = ®(0) = ®(2¼). Hallar el ángulo £ 2 (¡¼; ¼] que forma cualquier vector tangente a M en p con su transportado paralelo de nuevo hasta p a lo largo de ®. 6.4.13

(Super…cie tangente a un plano a lo largo de una curva)

Sean M una super…cie y P un plano de E3 . Supóngase que M \ P = Im ®, donde ® : [0; 1] ! E3 es una curva regular, parametrizada por la longitud de arco y tal que ®(0) = ®(1). Supóngase además que M y P son tangentes a lo largo de ®. (a) Probar que ® de…ne una línea de curvatura y asintótica de M . (b) Probar que los puntos de Im ® son puntos parabólicos o planos de M. (c) Denótese p = ®(0) = ®(1). Hallar el ángulo £ 2 (¡¼; ¼] que forma cualquier vector tangente a M en p con su transportado paralelo de nuevo hasta p a lo largo de ®. (d) ¿Es posible que ® sea geodésica de M ? (e) Poner un ejemplo concreto de M , P y ®. 6.4.14

(Carácter de los puntos de una super…cie 2)

Sea p un punto de una super…cie M de E3. Estudiar las implicaciones lógicas que existen entre las siguientes a…rmaciones, dando una demostración (si se piensa que la posible implicación es cierta) o un contraejemplo (si se piensa que es falsa): (a) El punto p es un punto plano de M . (b) Por p pasan tres (segmentos de) rectas distintas contenidas en M . (c) Todas las geodésicas de M que pasan por p son no-alabeadas a su paso por p. (d) La curvatura de Gauss de M en p es nula.

6 EJERCICIOS 6.4.15

171

(Super…cie de Schwarzschild)

Sea ¹ un Considérese la curva plana ® : (2¹; 1) 3 p número real positivo. 2 ½ 7! (2 2¹(½ ¡ 2¹); ½) 2 E . (a) Calcular la curvatura ·® de ®.

(b) Probar que el subconjunto M de E3 obtenido al girar la imagen de ® en torno al eje x1 es una super…cie. Encontrar una parametrización local en torno a cada punto de M . (c) Calcular los coe…cientes de la primera forma fundamental de M en la carta asociada a la parametrización anterior. (d) Calcular la curvatura de Gauss de M y clasi…car los puntos de M . (e) Estudiar si ® es geodésica de M , si de…ne una línea de curvatura de M y si de…ne una línea asintótica de M . (f) Encontrar una base de campos (a lo largo de ® y tangentes a M ) paralelos (respecto de la derivada covariante en M ). La super…cie ”de Schwarzschild” M es la versión 2-dimensional de ciertos conjuntos de simultaneidad en la descripción relativista del sistema solar; el parámetro ¹ representa una longitud característica relacionada con la masa del sol.

REFERENCIAS

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Referencias [1] A. M. Amores. Curso básico de curvas y super…cies. Sanz y Torres, 2001. [2] T. M. Apostol. Análisis matemático. Reverté, 1979. [3] A. F. Costa, M. Gamboa, and A. Porto. Ejercicios de Geometría Diferencial de Curvas y super…cies. Sanz y Torres, 1998. [4] A. F. Costa, M. Gamboa, and A. Porto. Notas de Geometría Diferencial de Curvas y super…cies. Sanz y Torres, 2001. [5] M. P. do Carmo. Geometría diferencial de curvas y super…cies. Alhambra, 1990. [6] J. E. Marsden. Elementary classical analysis. Freeman, 1974. [7] W. S. Massey. Introducción a la topología algebraica. Reverté, 1972. [8] J. A. Thorpe. Elementary Topics in Di¤erential Geometry. Springer, 1979.