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Notas de Geometr´ıa diferencial clasica ´

Luis J. Garay con la colaboraci´on de

Alejandro Manjavacas y David Yllanes

Madrid, 12 de julio de 2005 Universidad Complutense de Madrid

Facultad de C iencias F´isicas ´ Departamento D e F´isica Teorica II Avda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, Espana ˜ Luis J. Garay luis.garay@fis.ucm.es Tel.: + 34 913944552, Fax: + 34 913944557 [email protected]

Prefacio Estas notas no son otra cosa que mis apuntes personales, que he ido elaborando con el unico objeto de que me sean utiles en la ense nanza de la asignatura de ´ ´ ˜ Geometr´ıa diferencial cl a´ sica. Aunque probablemente estas notas os sean utiles ´ tambi´en a vosotros, no deb e´ is olvidar que, en ning un ´ caso, pueden sustituir a la bibliograf´ıa de la asignatura. Adem a´ s, como pod e´ is ver, son en buena parte un resumen de los contenidos del libro de Costa, Gamboa y Porto, con una notable p´erdida de rigor y calidad. En este sentido, es necesario hacer algunas advertencias: Estas notas no son, ni pretenden ser, un libro ni un manual. Son, una vez m´as, mis apuntes personales. No me hago responsable de los errores que puedan contener estas notas ni del uso que hag´ais de las mismas. La bibliograf´ıa pertinente es, sin duda, el medio m a´ s adecuado para obtener los conocimientos necesarios. Son una notas incompletas cuyo contenido no va m´ as all´a de los temas tratados en la asignatura de Geometr´ıa diferencial cl´asica, grupo A, durante el ano ˜ acad´emico 2004–05. Agradecer´ıa que me comunicaseis cualquier errata que pudieseis encontrar. Sin duda alguna, ser´an muchas. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

Quiero agradecer a Alejandro Manjavacas y a David Yllanes su colaboraci o´ n en la redacci on ´ de estas notas. Ambos han contribuido a mejorar notablemente el contenido y la exposici o´ n de las mismas. Recibid un saludo de mi parte,

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0–3

Bibliograf´ıa [1] A.F. Costa, M. Gamboa, A.M. Porto, Notas de geometr ´ıa diferencial de curvas y superficies (Sanz y Torres, 1997) [2] A.F. Costa, M. Gamboa, A.M. Porto, Ejercicios de geometr´ıa diferencial de curvas y superficies (Sanz y Torres, 1997) [3] Dirk J. Struik, Geometr´ıa diferencial cl´asica, Aguilar, Madrid ( 1955) (Tambi´en en ingl´es en Dover) [4] Erwin Kreyszig , Differential Geometry, Dover ( 1991). Hay otra edici on, ´ m a´ s completa: Introduction to Differential Geometry and Riemaniann Geometry, Toronto University Press (1968). En realidad cualquiera de las dos incluye lo relevante para este curso. [5] Sebasti´an Montiel y Antonio Ros , Curvas y superficies, Proyecto Sur, Granada (1997) [6] A. L´opez de la Rica, A. de la Villa Cuenca , Curvas y superficies, Proyecto Sur, Granada ( 1997)

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[7] Martin M. Lipschutz , Teor´ıa y problemas de geometr ´ıa diferencial, Schaum, Mcgraw Hill, Madrid ( 1990). Hay tambi e´ n una edici on ´ llamada Geometr ´ıa diferencial (serie Schaum, Mcgraw Hill, 1970) [8] Manfredo do Carmo, Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies, Alianza Universidad, Madrid (1994) [9] A. S. Fedenko , Problemas de geometr´ıa diferencial, Mir, Moscu´ y Rubi˜nos, Madrid ( 1991) [10] David C. Kay Teor´ıa y problemas de c´alculo tensorial, McGraw-Hill, serie Schaum, Madrid ( 1989) notas gdc (v. 2005/2/23)

0–5

Bibliograf ´ia Como se ha advertido en el Prefacio, el uso de libros es muy necesario. A continuacion ´ daremos algunas sugerencias, aunque siempre es conveniente que cada uno pruebe y elija los libros que m´as le convengan. En el primer tema las notas siguen bastante la referencia [ 1], libro muy claro y completo, pero que puede tener un tratamiento demasiado riguroso de algunos temas. La estructura es algo distinta, pues empieza por un cap ´ıtulo dedicado exclusivamente a curvas planas, para luego continuar con las curvas en el espacio, donde cubre todos los contenidos tratados en esta asignatura. Para la teor´ıa de este tema, tambi´en es recomendable al libro [ 4], m´as resumido que el anterior y que no se detiene tanto en algunos detalles t´ecnicos. La notaci´on de [ 4] se acerca m´as a la de estas notas que la de [ 1]. Otro libro de teor´ıa adecuado para el Tema 1 es [8]. En general cualquiera de los tres se adapta a lo explicado en clase. El tema de superficies est a´ tambi e´ n tratado en el libro [ 1] aunque, de nuevo, el enfoque puede resultar demasiado lento si no se tiene demasiado tiempo. Es bastante claro el libro [4], que introduce los conceptos relevantes con m´as rapidez. Para la parte de geometr´ıa intr´ınseca (Tema 3 ), la notaci´on y estructura de clase resultan muy distintos ya a la mayor´ıa de los libros aqu´ı recomendados, que no utilizan el formalismo tensorial. La referencia [ 4] se acerca m a´ s y puede resultar interesante para quien tenga dificultades con estos conceptos. Incluye un tema dedicado a una introducci´on al c a´ lculo tensorial. Otra referencia interesante para practicar con los tensores es [ 10].

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Es muy importante completar los ejercicios de clase con libros. Uno de los m´ as recomendables es [ 2], que incluye muchos problemas, todos resueltos, muy claros y muy detallados. No todos los ejercicios de este libro se ajustan al nivel de la asignatura: hay bastantes muy largos y otros que, sin ser especialmente dif ´ıciles, se dedican a temas que no se tratan aqu ´ı. Tambi´en es interesante el libro [ 6], con problemas muy variados, en general m a´ s sencillos que los de [ 2], y con una estructura muy clara y manejable. Hay tambi´en muchos ejercici os en la referencia [ 7]. Finalmente, el libro [9] incluye una cantidad enorme de problemas, de muy variada dificultad, aunque no tan explicados como en los anteriores (muchas veces se limita a proporcionar el resultado). Es especialmente interesante para problemas de parametrizacion ´ de curvas (y tambi e´ n de superficies) puesto que es necesaria una cierta soltura con este aspecto para abordar algunos ejercicios. En general, cualquier libro citado en la teor ´ıa incluye problemas. Finalmente, queremos recomendar la p´agina web mathworld.wolfram.com, un recurso muy u ´ til con much´ısima informacion ´ sobre todo tipo de temas matem´aticos. Para esta asignatura, se pueden encontrar all ´ı definiciones y teoremas, junto con 0–6

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Bibliograf´ıa p´aginas dedicadas a superficies concretas, de las que suele incluir la primera y segunda formas fundamentales, geod´esicas, dibujos, etc.

Alejandro Manjavacas y David Yllanes, 2005

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0–7

´ Indice Introduccion ´

0–13

1. Curvas en el espacio

1–1

1.1. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1–3

1.1.1. Parametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1–3

1.1.2. Recta tangente y plano osculador . . . . . . . . . . .

.....

1–5

1.1.3. Orientaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Parametrizaci on ´ por la longitud de arco

1–7

..... ......

.

1.2. Curvatura y torsi on ´ ............ ....... ...... .... 1.2.1. Sistema de referencia m ovil .......... ...... .... ´

1–7 1–9 1–9

1.2.2. Curvatura y torsi on ´ ........................

1–10

1.2.3. Caracterizaci o ´ n de curvas mediante las funciones curvatura y

torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Contactos . . . . . .

.......

1–14

......

.......

......

1.3.1. Ejemplos concretos . . . . . . .

......

.......

...

1–15

.....

1–15

1.3.2. Teor´ıa general de contactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — 5 0 0 2

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1–19

1.4. Curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1–22

1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1–23

2. Superficies en el espacio

2–1

2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables . . . . . . . . . 2.2. Plano tangente . . . . . . .

......

......

.......

...... ......

..

2–3 2–8

2.2.1. Curvas en una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–8

2.2.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–10

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0–9

´Indice 2.3. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. De una superficie en 2.3.2.

Entre superficies de

2.4. Orientabilidad . . . . . . . .

3 R 3 R

......

2–14

......

.......

......

...

2–14

......

.......

......

...

2–15

.......

......

.....

2–17

2.5. La primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–19

2.6. Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. La segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–23

2.8. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–27

2–25

2.8.1.

Curvatura normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–27

2.8.2.

L´ıneas de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–29

2.8.3.

Curvatura de una superficie . . . . . . . . . . .

......

..

2–32

2.8.4. Clasificaci o´ n local de las superficies . . . . . . . . . . . . . . .

2–33

2.9. L´ıneas asintoticas .............................. ´

2–35

2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–37

3. Geometr ´ıa intr ´ınseca de superficies

3–1

3.1. Isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ecuaciones de compatibilidad . . . . . . . . . . . .

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3–3

......

.....

3–5

3.2.1.

Formulas ´ de Gauss-Codazzi y de Weingarten . . . . . .

3.2.2.

S´ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3.

Formula ´ de Mainardi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3–9

3.2.4.

Formula ´ y teorema egregio de Gauss . . . . . . . . . . . . . .

3–10

3.2.5.

Formula de Mainardi-Codazzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´

3–11

3.2.6.

Condiciones de compatibilidad . . . . . . .

3–11

......

...

3–5 3–7

.....

3.3. Transporte paralelo. Derivaci o´ n covariante . . . . . . . . . . . . . . .

3–12

3.4. Geod e´ sicas y curvatura geod e´ sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3–14

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3–19

A. Tensores

A–1

A.1. Vectores y formas lineales . . . . . . . . . . A.2. Cambios de base . . . . . . . . . . . 0–10

......

......

...

A–

..... ......

......

. . A–

3 3

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´ Indice A.3. Tensor m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A–

A.4. Tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5. Tensores cartesianos . . . . . . . . . . .

...... ......

.....

5

A–

6

A–

9

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0–11

´ Introduccion Ubi materia, ibi geometria J. Kepler La geometr´ıa como estudio de las curvas y superficies m´as sencillas es una disciplina muy antigua, practicada por todas las civilizaciones cl a´ sicas. Como ejemplo cabe mencionar a los egipcios, cuya civilizaci o´ n se desarrollo, ´ como es bien sabido, en torno al Nilo y depend ´ıa totalmente de la crecida y posterior retirada de este r´ıo, que dejaba a la tierra muy f e´ rtil. Era, por lo tanto, muy importante para ellos la medida de tierras con cierta precisi on, ´ para poder repartir las zonas inundadas de acuerdo con la propiedad de cada uno. En Grecia, la geometr ´ıa entr o´ con fuerza: al primero de los Siete Sabios, Tales de Mileto, ya se le atribuyen teoremas (como el que demuestra la igualdad de los a´ ngulos que se forman al cortar dos paralelas con una l ´ınea com un). En los siglos ´ VI y V a.C., el protagonismo en esta a´ rea recay o´ sobre Pit a´ goras y sus seguidores, entre los que destacan Filolao y Arquitas. Pero, aunque ya en esta e´ poca se conoc´ıan varios teoremas y propiedades de figuras, solamente se trataban aqu´ellas limitadas por rectas y circunferencias; hasta el siglo IV a.C. no se ampliaron estos horizontes. Fue entonces cuando Menecmo introdujo la idea de secciones c´ onicas, que fue desarrollada m a´ s tarde por Apolonio. Un poco antes, apareci o´ el que es probablemente el primer libro de texto de Geometr´ıa, debido a Hip o´ crates de Qu ´ıo. — 5 0 0 2

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Mucho m´as importantes fueron los Elementos de Euclides, escritos en el siglo III a.C. Este libro se convirti´o en la referencia b´asica, casi en la ´unica. En ´el, se bas´o todo el desarrollo de la geometr´ıa y, en gran parte al menos, de la ciencia durante muchos siglos, como veremos a continuaci´on. De la misma escuela alejandrina que Euclides, apareci o´ Arqu´ımedes, el m a´ s importante matem´atico de la antig uedad. A e´ l, se deben las soluciones a muchos ¨ problemas, tanto f ´ısicos como geom e´ tricos. Entre los ultimos, destacan su estudio ´ de las espirales, de la relaci´ on entre la esfera y el cilindro, la cuadratura de la par´abola, la demostraci´on de que la cuadratura del c´ırculo es imposible, etc. notas gdc (v. 1.0)

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´ Introduccion A partir de aqu ´ı, la geometr ´ıa gui o´ toda la g e´ nesis de la f ´ısica. Con simples razonamientos geom´etricos, Eratostenes lleg o´ a dar una estimaci o´ n muy acertada ´ de la circunferencia de la Tierra y la geometr´ıa fue tambi ´en el lenguaje utilizado por Tolomeo en su Gran s´ıntesis astron´omica (m´as conocida por su nombre ´ arabe, Almagesto), donde expuso su modelo astron´ omico y donde introdujo el estudio de las cuerdas en circunferencias (equivalente, por supuesto, a un estudio de los senos). No fue Tolomeo el ultimo en exponer sus ideas de esta manera y, as ´ı, tenemos ´ que, en la ´epoca de la Revoluci´on Cient´ıfica, Kepler escribio´ La geometr´ıa es el arquetipo de la belleza del mundo .  

 

Todo este desarrollo se llevo´ a cabo con la geometr ´ıa como una rama totalmente desligada de los avances algebraicos. Fue necesario esperar al siglo XVI, cuando la Matem´atica universal de Descartes integr o´ la s´ıntesis (geometr´ıa) y el an´alisis (´algebra). Pero esta uni´on no lleg o´ a los corazones de todos los cient ´ıficos. El propio Newton escribi´o todos sus Principios Matem´aticos de la Filosof´ıa Natural con razonamientos puramente geom e´ tricos; el ´algebra era para ´el de segunda categor´ıa. En otras palabras, en todo este tiempo, los m ´etodos matem a´ ticos utilizados por la geometr´ıa fueron bastante elementales y las figuras estudiadas se limitaban a las m a´ s sencillas. En estas condiciones, no estaba claro cu a´ les ser´ıan las propiedades generales que habr ´ıa que investigar al dar el salto hacia curvas y superficies arbitrarias. No obstante, tal investigaci´on era completamente natural y necesaria. Esto se ve al considerar ejemplos naturales que se aproximan al concepto de curva o superficie matem´atica: la trayectoria de un barco, la forma de un muelle en espiral, las ´orbitas de los planetas, el perfil de un ala de avi´on, etc.

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A la vista de esto, hay que buscar la raz o´ n de que este estudio general se haya retrasado tanto en la Historia, en contraste con el inter e´ s que, como hemos visto, despert´o la geometr´ıa elemental desde el principio. Y la encontramos en el hecho de que, para poder hablar de una teor ´ıa de curvas y superficies, es totalmente imprescindible la existencia del c´alculo infinitesimal. De este modo, fue solo a partir del siglo XVIII cuando se pudo desarrollar este trabajo. Con el paso del tiempo, los problemas tratados rebasaron el marco de una simple aplicaci o´ n del an a´ lisis a la geometr´ıa y condujeron a la formaci on ´ de una teor ´ıa independiente. Algunos de los m a´ s importantes contribuidores en las primeras etapas fueron Clairaut, Euler o Monge. Por supuesto, todo este trabajo estaba motivado principalmente por necesidades pr a´ cticas, de la tecnolog ´ıa e industria, para las que los resultados de la geometr´ıa elemental resultaban totalmente insuficientes. Un ejemplo importante de motivaci´on es el problema de la confecci´on de mapas, es decir, hallar una represen-

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Introducci´on tacio´ n lo m a´ s exacta posible de partes de la superficie de la Tierra sobre un plano. Como se vera´ en el Tema 2 , una representacio´ n completamente exacta es imposible, pues las distancias entre puntos correspondientes est´ an necesariamente distorsionadas. A ´este y otros aspecto s se dedic´o Gauss, cuyo trabajo en teor´ıa de superficies condujo a la creaci´on de una rama independiente de las matem´ aticas. Es, de hecho, a un resultado geom e´ trico, que se estudiar a´ en el Tema 3, al que se reserva el t´ıtulo Teorema egregio, deDe entre muchos por gran matem alleva ´ tico. En susde propias palabras: estelos modo, la f obtenidos o´ rmula del arteste precedente ´ıculo por s ´ı misma al destacable teorema. Si una superficie curva es desarrollada en otra cualquiera, la medida de la curvatura en puntos correspondientes permanece invariada . Veremos en el Tema 3 la expresi´on moderna de esta afirmaci´ on, en la que el desarrollo de Gauss se convertir´a en una aplicaci´on isom´etrica.  

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En resumen, hacia la segunda mitad del siglo XIX, la teor ´ıa de curvas y superficies qued o´ ya establecida en sus rasgos b a´ sicos y es e´ sta la parte de la geometr ´ıa diferencial que se va a tratar en esta asignatura. Fue en este siglo donde quedaron establecidas tanto las ecuaciones fundamentales de la teor´ıa de curvas (ecuaciones de Frenet) como las de superficies (formas fundamentales y estudio intr´ınseco). Tambi´en fue en esa ´epoca, abandonados ya los intentos de demostrar el indemostrable quinto postulado de Euclides,1 cuando aparecieron geometr´ıas no eucl´ıdeas

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a partir del trabajo de Gauss, Bolyai y Lobachevski. En concreto, se empez o´ por postular una geometr ´ıa (que Klein llamar ´ıa hiperb´olica) en la que por cada punto pasan infinitas paralelas a una recta dada. En este espacio, los a´ ngulos de los tri´angulos suman menos de 180 grados y la circunferencia es mayor que π veces el di´ametro. Sin embargo, los otros cuatro postulados siguen siendo v´ alidos. M´as tarde, los matem´aticos Riemann y Schl¨afli desarrollaron otro tipo de geometr´ıa no eucl´ıdea, el´ıptica en la clasificaci on ´ de Klein, en la que por un punto dado no se puede trazar ninguna paralela a una recta dada. En este caso, los tri a´ ngulos tienen m´as de 180 grados y las circunferencias son menores que 2 π veces su radio. Estas nuevas geometr´ıas no fueron bien recibidas por todos al principio y, de hecho, el propio Gauss tard o´ en hacer p ublicas sus ideas sobre el tema, para no generar ´ pol´emica entre sus colegas m´as conservadores. El paso del tiempo ha demostrado, sin embargo, que estas geometr´ıas son tan consistentes como la cl´asica. Se puede 2

modelar el plano hiperb´olico con la pseudoesfera, resultado de rotar una tractriz 1 Se puede enunciar este postulado de la siguiente manera: Por un punto en el plano, no situado sobre una recta dada, solo se puede trazar una unica ´ paralela a dicha recta . A lo largo de la historia fueron muchos los intentos de demostrar este postulado (convertirlo en un teorema) a partir de los otros cuatro. 2 La tractriz es la curva descrita por un objeto, inicialmente en el eje vertical, cuando es arrastrado  

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´ Introduccion alrededor de su as ´ıntota, como veremos en el Tema 2 . An´alogamente, la geometr´ıa el´ıptica se puede identificar con la superficie de una esfera. En ella, las geod e´ sicas rectas de Euclides se convierten en c´ırculos m´aximos y, por supuesto, no puede haber dos paralelos. Einstein adopt´o m´as tarde una geometr´ıa no eucl´ıdea, en la que la curvatura de cada punto depende de la materia. Citando a J. A. Wheeler, La materia dice al espacio c omo curvarse y e´ ste devuelve el cumplido diciendo ´  

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a la materia c Poincar´ omo ´ moverse . Antes la mayor ´ıa ´ıde f ´ıysicos ticos, dirigidos por e, supon´ ıan quedeelesto, espacio era eucl deo que,ysimatem alg un ´ a´experimento optico pudiera sugerir lo contrario, ser ´ıa mejor cuestionar el experimento ´ o incluso aceptar que los rayos luminosos no siguen geod´ esicas antes que abandonar el simple modelo eucl´ıdeo. As´ı lo expresan por ejemplo Whitehead y Russell en la und´ecima edici´on de la Encyclopædia Britannica. La llegada de la relatividad hizo cambiar de opini o´ n a Russell; Whitehead, sin embargo, fue de los pocos que sigui´o adherido a las ideas anteriores y no dej o´ de decir que es mejor cambiar las leyes de la f ´ısica y preservar un universo eucl´ıdeo. En resumen, podemos decir que se acepta universalmente que todos los sistemas geom e´ tricos pueden ser ciertos de manera abstracta, mientras que la estructura del espacio debe ser determinada emp´ıricamente. El propio Gauss llego´ a pensar en triangular tres picos de monta˜na para ver si efectivamente sus ´angulos sumaban dos rectos. En el siglo XX, la atenci o´ n ya se desvi o´ hacia temas m a´ s abstractos (c a´ lculo en variedades) que permitieron expresar de forma geom e´ trica conceptos avanzados del an a´ lisis, con las ventajas que ello conlleva. Pero este estudio se sale ya del a´ mbito de esta asignatura que, como su nombre indica, se dedica a la geometr ´ıa diferencial cl´asica, es decir, de los siglos XVIII y XIX.

Interes ´ para la F ´ısica

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Una primera motivaci on ´ para el estudio de la geometr ´ıa surge inmediatamente: la conveniencia de formarse im a´ genes mentales de fen omenos ´ f ´ısicos. Incluso m´etodos simples e intuitivos de la geometr´ıa eucl´ıdea elemental han sido el lenguaje en el que los padres de la F´ısica han expresado sus ideas y razonamientos, como hemos visto anteriormente. Newton lleg o´ a decir que la descripci on ´ de las l´ıneas rectas y c ´ırculos, en la que se basa la geometr ´ıa, pertenece a la mec a´ nica .  

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Pero otras aplicaciones ya no son tan intuitivas como los razonamientos que llevaron a Newton a justificar las orbitas ´ el´ıpticas de los planetas y requieren m´etodos m´as potentes. Un ejemplo de ello se puede encontrar en la teor´ıa de la relatividad, por una cuerda de longitud fija cuyo inicio se mueve siguiendo el eje horizontal.

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Introducci´on segun ´ la cual el espacio y el tiempo absolutos cl a´ sicos son solo una aproximaci o´ n a la realidad, como hemos comentado antes. Adem´as, dentro ya de temas m´ as avanzados y que salen fuera del ´ ambito de asignatura de Geometr´ıa diferencial cl´asica, tenemos la idea de que la geometr´ıa y el an a´ lisis dependen el uno del otro: para el desarrollo de la primera se necesitan m´etodos anal´ıticos pero, a la vez, proporciona nuevas herramientas y conceptos (derivada de Lie, c a´ lculo exterior, fibrados, variedades. . . ) que tienen gran impor tancia en el desarrollo moderno de este ultimo. En este aspecto, destaca la figura de ´ Cartan. Hasta tal punto se utiliza la geometr´ıa en la f´ısica matem a´ tica que llev´o al bio´ logo Haldane a decir Llegar´a, sin embargo, un tiempo [. . . ] cuando la fisiolo g´ıa invadir´a y destruir´a a la f´ısica matem´atica, como ´esta ha destruido a la geometr´ıa .  

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Pero no es necesario buscar en temas tan avanzados para encontrar aplicaciones. Varios de los conceptos que se desarrollara´ n y justificar´an rigurosamente este curso ya se han utilizado en asignaturas anteriores. El ejemplo m´as evidente es el estudio cinem´atico en funci´on de los vectores tangencial y normal a la trayectoria, seg´ un el ˆ v2 ˆ doncual la acelera ci o´ n de un m´ovil se puede descomponer como a = dv dt t + R n, de el primer t´ermino es la aceleraci´on tangencial, responsable de variar el m´odulo de la velocidad, y el segundo representa el cambio de direcci o´ n. En este segundo t´ermino, aparece un factor 1/ R, que es el inverso del radio de curvatura de la trayectoria en un punto. Por supuesto, en un movimiento circular el radio de curvatura se identifica con el radio de la circunferencia; veremos qu e´ sentido tiene para una curva arbitraria.

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Otro ejemplo, esta vez relacionado con el apartado de superficies, es la ley del cuadrado de la distancia para la intensidad de una onda. Sabemos que, en un medio homog´eneo e is otropo, los frentes de onda producidos por una fuente puntual ´ de luz son esf e´ ricos y, debido a la ley de conservaci´on de la energ´ıa, se obtiene fa´ cilmente que la intensidad cumple I ∝ R−2 . Pero en un medio arbitrario, con frentes de onda con formas m a´ s variadas, la intensidad dependera´ de los radios principales de curvatura R1 y R2 del elemento de superficie considerado, I ∝ R1−1 R2−1 K , donde K es la llamada curvatura de Gauss. El significado de estas magnitudes se estudiar´a en el Tema 2. Aparte de esto, veremos alg un ´ otro ejemplo de aplicaci o´ n en las secciones correspondientes.

≡

Estudio local

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Para terminar, conviene recalcar que la Geometr´ıa diferencial investiga, en principio, las propiedades de peque n˜ os segmentos de curvas y superficies (propiedades notas gdc (v. 1.0)

0–17

´ Introduccion locales) y, solo en una etapa m a´ s avanzada, proceder´a al estudio de sus propiedades globales. Las propiedades locales se definen en t e´ rminos de las derivadas (en el punto dado) de las funciones que aparecen en las ecuaciones de la curva o superficie. Por esta raz´on, en esta asignatura, vamos a trabajar siempre con funciones suficientemente suaves, cuyas derivadas est´en, por tanto, definidas en los puntos de estudio. A causa de esto, superficies o curvas con picos o esquinas (en los que no ser existe la tan derivada) este de estudio. Unoejemplo de algo sencilloescapan como lade punta un cono el puntode detales cortesituaciones de un ochopueplano. No se tratar a´ n en esta asignatura tampoco aspectos como la clasificaci o´ n de superficies en funci´on de su topolog´ıa global o la teor´ıa de nudos.

Alejandro Manjavacas y David Yllanes, 2005

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

0–18

notas gdc (v. 1.0)

Tema 1 Curvas en el espacio 1.1. Curvas regulares

1.1.1. Parametrizaciones 1.1.2. Recta tangente y plano osculador 1.1.3. Orientaciones 1.1.4. Parametrizaci´on por la longitud de arco 1.2. Curvatura y torsi´on

1.2.1. Sistema de referencia m ovil ´ 1.2.2. Curvatura y torsi on ´ 1.2.3. Caracterizacion ´ de curvas mediante las funciones curvatura y torsi on ´ 1.3. Contactos

1.3.1. Ejemplos concretos 1.3.1.1.

Recta tangente Plano osculador 1.3.1.3. Circunferencia osculatriz 1.3.1.4. Esfera osculatriz 1.3.2. Teor´ıa general de contactos 1.4. Curvas planas 1.5. Ejercicios 1.3.1.2.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

notas gdc (v. 1.0)

1–1

1.1. Curvas regulares

1.1.

Curvas regulares

1.1.1.

Parametrizaciones

Definicion ´ 1 .1.1 3 ∞ 1 1. Una parametrizaci´on α en R3 es una funci´on α : I R de clase C , donde I es un intervalo abierto de R . As´ı, una parametrizacio´ n asigna a cada valor del par a´ metro t I un punto α(t) R 3 .2

→

∈

∈

2. Un arco de curva diferenciable C es cualquier imagen de una parametrizaci on ´ y

toda parametrizacion ´ cuya imagen sea C se denomina parametrizacion ´ de C. 3. Una parametrizaci o´ n α es regular si y solo si es un homeomorfismo

 ∀ ∈

3

y

4

∂tα(t ) = 0, t I . Un arco de curva es regular si y solo si admite una parametrizacion ´ regular. Proposicion ´ 1.1.2 3 2 R f n (x ) = 0, n = 1, 2 , donde ( f 1 , f 2 ) : R 3 R es una Sea C = x ∞   funcion f 1 (x ) y f 2 (x ) son vectores ´ C . Entonces, C es una curva regular si independientes x C.

{ ∈

|

}

∀ ∈

∇

∇

→

Demostraci on. ´ Esta proposici on ´ es consecuencia directa del teorema de la funcio´ n impl´ıcita.  Ejercicio 1.1.3 Parametrizar la curva x2 + y 2 = 1, x + y + z = 1 y comprobar la proposici´on anterior. Solucion. ´ Una parametrizaci ´on de esta curva es α ( t )

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

= (cos t, sen t, 1

− cos t − sen t),

como se puede ver mediante sustituci o´ n directa. Los gradientes en cada punto de la curva son  f = (2x, 2y, 0)  f 2 = (1,1,1 ), 1

∇

1 Una aplicaci´on

∇

es C ∞ si y solo si todas sus derivadas existen y son continuas.

2

R

3

Dada una base ortonormal eˆi ,op i = 1, espacio vectorial y un srcen o,onelde punto p se  =  x 2, puede describir mediante el vector =3x i eˆdel Einstein: i . Utilizaremos el convenio de sumaci´ i i x yi ∑i x yi . 3 Un homeomorfismo es una aplicaci´ on biyectiva tal que tanto ella como su inversa son continuas. 4 Utilizaremos el s ımbolo ∂ para denotar tanto la derivada parcial de una funci on f (t, ) de ´ ´ t varias variables con respecto a la variable t como la derivada total (y tambi e´ n parcial) de una funcion ´ f (t) que depende de una sola variable t. Solo cuando exista riesgo de confusi´ on, se utilizar´a el s´ımbolo d/dt para denotar la derivada total.

≡

{

}

···

notas gdc (v. 1.0)

1–3

Tema 1 . Curvas en el espacio que son claramente independientes. El unico punto conflictivo podr´ıa ser el ( 0,0,0 ) ´ pero no pertenece a la curva.  Ejercicio 1 .1.4 Parametrizar estas tres curvas:

a) Una recta gira en torno al punto

o con una velocidad angular constante ω

barriendo unaplano. El punto p se mueve por la recta con una velocidad op  . Encontrar la ecuaci´on de la l´ınea descrita por proporcional la distancia el punto p (espiral logar´ıtmica).

| |

ˆ gira uniformemente a su alrededor con b) Una recta, no perpendicular al eje z, velocidad angular ω. El punto p se mueve por la recta con velocidad constante. La trayectoria que as´ı describe se denomina h´elice c´onica. c) ´Idem con velocidad proporcional a la distancia op  (espiral c onica). ´

| |

´ Solucion. Para el apartado a), escribiendo las coordenadas de un punto cualquiera de la curva en polares, llegamos a las ecuaciones θ = ωt, r˙ = kr, de manera que r = r 0 ekt . Pasando esta expresi o´ n a coordenadas cartesianas, la parametrizacio´ n queda α(t) = r0 cos ωt ekt , r0 sen ωt e kt , 0 . 





A partir de ahora, solo consideraremos arcos regulares y parametrizaciones regulares. Adem´as, nuestro estudio sera´ local, es decir, en abiertos de R3 . Definicion ´ 1 .1.5 1. Llamaremos vector velocidad de la parametrizaci on ´ α(t) a su derivada con respecto al par a´ metro t: vα (t) = ∂ tα(t). 2. Llamaremos vector aceleraci´on a su segunda derivada: aα (t ) = ∂ tvα (t) = ∂ 2tα(t). — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Cuando no exista confusi´ on, suprimiremos la etiqueta de la parametrizaci´on. As´ı, por ejemplo, escribiremos v en vez de vα . Proposici ´ I )1y.1.β6(u J ) dos parametrizaciones (regulares) de un arco C. Entonces, Sean α(t on I tal que α θ = β. De hecho, este difeomorfismo existe un difeomorfismo5 θ : J es unico: θ = α−1 β. ´

∈

∈

◦

→

´ Demostracion. Sin demostraci o´ n. 5 Un difeomorfismo es

1–4

◦



una aplicaci o´ n biyectiva C ∞ cuya inversa es tambi´en C ∞ .

notas gdc (v. 1.0)

1.1. Curvas regulares

→

El difeomorfismo θ : J I asocia a cada valor del par a´ metro u un valor de t mediante la regla t = θ (u ), que abreviaremos por t(u ). Con esta notaci on, ´ esta proposici´on afirma que dados α (t ) y β(u), existe un difeomorfismo t (u ) tal que  β(u) = α[ t(u)] y que este difeomorfismo es ´ unico t(u ) = α−1 [β(u)] . Por tanto, se puede pasar de una parametrizaci´on a otra mediante el cambio de par´ametro t (u ). ´ 1.1.7 Proposicion

Sean α y β dos parametrizaciones de un arco C y sean t, u tales que α(t ) = β(u ). Entonces, vα (t ) y aα (t) son linealmente independientes si y solo si vβ (u) y aβ (u ) lo son. Demostracion. ´ Puesto que β(u) = α[ t(u )] , podemos escribir velocidad y la aceleracio´ n de β como combinaciones lineales de las de α:

    vβ

=

aβ

∂u t 0 ∂2u t (∂ u t )2

   vα aα

.

Como el determinante de la matriz de los coeficientes de la combinaci on ´ lineal es (∂u t)3 = 0, queda probada la proposici on. ´ 



1.1.2.

Recta tangente y plano osculador

Definicion ´ 1 .1.8 1. Sea α(t) una parametrizaci´on (regular) de C. Se define la recta tangente a la parametrizaci´on α en t0 I a la recta que pasa por α(t0 ) y tiene como vector de direccion ´ v(t0 ).

∈

2. Se denomina recta tangente a C en un punto x0 a la recta tangente a cualquier

parametrizacion ´ α de C en t 0 tal que α(t0 ) = x0 . 3. Sea α (t ) una parametrizacion ´ (regular) de C tal que su velocidad v y su ace— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

∈

leraci´on a sean linealmente independientes en t 0 I . Se define plano osculador a la parametrizaci´on α en α(t0 ) como el plano que pasa por α(t0 ) y tiene por vectores directores v y a(t0 ). 4. Se denomina plano osculador a C en un punto x0 al plano osculador a cualquier

parametrizacion ´ α de C en t 0 tal que α(t0 ) = x0 . Proposici´on 1.1.9 La recta tangente y el plano osculador a C son independientes de la parametrizacio´ n escogida. notas gdc (v. 1.0)

1–5

Tema 1 . Curvas en el espacio ´ Demostracion. Recta tangente: hemos visto en la Proposici on ´ 1 .1.7 que, para distintas parametrizaciones, los vectores tangentes son proporcionales luego generan la misma recta. Plano osculador: El plano osculador est´ a generado por v y a y, en la Proposici´on 1.1.7, hemos visto que para distintas parametrizaciones, unos son combinaciones lineales de los otros.  Proposici´on 1 .1.10 La recta tangente a C = x los dos planos

{ ∈

R

3

|

}

f n (x ) = 0, n = 1, 2 en x0 es la intersecci´on de

− x0 ) · ∇ f n (x0 ) = 0, n = 1,2. En coordenadas cartesianas, ( x i − x0i )∂i f n ( x0i ) = 0. (x

6

Ejercicio 1 .1.11 Demostrar esta proposicion. ´ ´ 1 .1.12 Definicion = α(t) es un punto de inflexi on ´ de C si v (t ) y a (t) son linealmente dependientes.

 x

Observaciones: La recta tangente es la recta que une dos puntos de la curva en el l ´ımite en el que ambos puntos coinciden, como veremos en la Secci on ´ 1 .3. El plano osculador contie ne tres puntos de la curva en el l´ımite en el que los tres puntos coinciden, como veremos en la Secci´on 1 .3. Puesto que el plano osculador est a´ generado por v y a, su ecuaci on ´ es (x x0 ) (v a) = 0, es decir,

−

· ×

— 5 0 0 2

det

y a r a g .j s i u l —

 

x1

− x01

v1 a1

x2

− x02

v2 a2

x2

− x02

v3 a3

 

= 0.

∈

Si tenemos un punt o de inflexi o´ n en x = α(t), entonces a = λv con λ R. Por tanto, ∂ 2tα = λ∂tα lo que implica que α(t) = σ eλt + ρ con σ, ρ R3 constantes. En el l´ımite λ 0, α es una recta.

→

6 Las

1–6

∈

componentes del gradiente en un sistema de coordenadas cartesianas son xˆ i

· ∇ = ∂ i .

notas gdc (v. 1.0)

1.1. Curvas regulares

1.1.3.

Orientaciones

Si α y β son parametrizaciones regulares, entonces se verifica que vα (t) = 0 y vβ (u) = 0 t, u. Puesto que, como hemos visto en la Proposici o´ n 1 .1.7, vβ = ∂u tvα ,  tenemos que ∂ u t(u ) = 0 y, por ser t (u ) un difeomorfismo, el signo de ∂u t (u) debe permanecer constante.



 ∀



Definicion ´ 1 .1.13 1. Dos parametrizaciones regulares α y β definen la misma orientaci´on si y solo si el difeomorfismo θ = α−1 β es estrictamente creciente, es decir, si y solo si ∂u t > 0, u J .

◦

∀ ∈

2. Dos parametrizaciones regulares α y β definen orientaciones contrarias si y solo

si el difeomorfismo θ = α−1 β es estrictamente decreciente, es decir, si y solo si ∂ u t < 0, u J .

◦

∀ ∈

3. Un arco orientado es un arco de curva regular y todas sus parametrizaciones

que tienen la misma orientaci on. ´ ´ 1.1.14 Proposicion Sean α y β dos parametrizaciones de un arco C y sean t, u tales que α(t ) = β(u ). 



Supongamos que vα (t) y aα (t) son linealmente independientes (y, por tanto, tambi´en vβ (u ) y aβ (u) lo son). En tal caso, la orientaci´on del plano osculador definida por (vα ,aα ) coincide con la definida por (vβ ,aβ ) si y solo si α y β definen la misma orientacion ´ del arco C. Demostracion. ´ De la Proposici on ´ 1.1.7, vemos que vβ aβ = (∂u t)3vα aα . Por tanto, las orientaciones de los planos osculadores ser´ an iguales si y solo si ∂u t > 0. 

×

1.1.4. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

×

Parametrizaci on ´ por la longitud de arco

´ 1 .1.15 Definicion Sean x0 = α(t0 ) y x = α(t) dos puntos de un arco C parametrizado por α y sea

st0 ( t ) =



t t0

v (t  )dt  .

|

|

s t0 ( t ) . Definimos la longitud del arco entre x0 y x como el n umero ´ El par´ametro longitud de arco st0 (t), que denotaremos simplemente por s, obviamente satisface la relaci´on ds2 = v 2 dt 2 . notas gdc (v. 1.0)

1–7

Tema 1 . Curvas en el espacio Definicion ´ 1 .1.16 Llamaremos parametrizaci´on natural, normal o por longitud de arco a aquella que tenga velocidad unitaria. Ejemplo 1.1.17 L´ınea recta: α(t ) = vt + x0 . Su velocidad es ∂tα = v y, por tanto, su longitud t t0

de arco es s = β (s) 

ˆ = α[t (s)] = vs



vdt = v (t

+ vt 0

− t0). Una parametrizaci on ´ natural est a´ dada por

+ x0 .

Proposicion ´ 1 .1.18 1. La longitud de arco es independiente de la parametrizaci o´ n escogida.

→

st0 ( I ) definida arriba es un difeomorfismo y J = s t0 ( I ) es un intervalo abierto.

2. La aplicaci on ´ s t0 : I

◦ s−t 1 ), es decir, α[t(s)], es una parametrizaci on ´ natural de C. 4. Sean α y β dos parametrizaciones naturales de C y sea ε = ±1 seg u ´ n su orien3. El par ( J ,α

0

tacion real σ tal que α(t) = β (εt + σ ). ´ relativa. Entonces, existe un n umero ´

´ Demostracion. 1. ejercicio. 2. Puesto que ∂ t s > 0, s (t) es C ∞ en un abierto y su imagen es un abierto. 3. β(s ) = α[t (s )] y, por tanto, vβ = vα ∂s t = vα /vα . 4. Como α (t ) y β (u) son naturales, entonces vα = vβ ∂ t u y vα = vβ = 1. Por

tanto, ∂ t u = ε, de forma que u = εt + σ y vα = εvβ .

| | 

Ejercicio 1 .1.19 Demostrar el primer apartado de esta proposici on. ´ — 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

Ejercicio 1 .1.20 Hallar la longitud de arco de la primera vuelta de la espiral de Arqu´ımedes definida en polares por la ecuacion ´ r = aθ. ´ Solucion. Una posible parametrizaci o´ n es α(t) = ( at cos t, at sen t, 0). El vector velocidad es, por lo tanto, v = ( a cos t at sen t, a sen t + at cos t, 0). La longitud de arco resulta

−

s= 1–8



2π 0

v(t) dt =

  2π

0

a

1 + t 2 dt =

a 2

 2π



1 + 4π 2 + arcsenh 2π .



notas gdc (v. 1.0)

1.2. Curvatura y torsi´on

1.2.

´ Curvatura y torsi on

1.2.1.

Sistema de referencia m ovil ´

Definicion ´ 1 .2.1 Sea α una parametrizacion ´ regular de C. 1. El vector tˆ(t) = v (t )/v(t ) se denomina vector unitario tangente de la parame-

trizacio´ n α de C en el punto α(t ). 2. Supongamos que α(t) no es un punto de inflexi´on. Se define el vector unitario

normal nˆ (t) de la parametrizacion vector ´ α de C en el punto α(t) como el unico ´ unitario ortogonal a tˆ(t) tal que tˆ(t), nˆ (t) es una base del plano osculador con la misma orientaci on ´ que v (t),a (t ) .

{

{

}

}

3. Supongamos que α(t) no es un punto de inflexi´ on. El vector binormal bˆ (t) en α ( t)

es el ´unico vector unitario y ortogonal al plano osculador tal que la base 7 ˆ Por tanto, bˆ = tˆ n.

{tˆ(t), nˆ (t), bˆ (t)} est´a orientada positivamente.

×

4. Se denomina sistema de referencia m ovil ´ para α en α (t ) al sistema de referencia

ortonormal del espacio eucl´ıdeo centrado en α(t ) y cuyos vectores de la base son tˆ(t), nˆ (t ), bˆ (t ) .

{

}

Puesto que tˆ, nˆ tienen la misma orientacio´ n que v, a , obtenemos las siguientes f ormulas expl´ıcitas para el c a´ lculo del sistema de referencia m ovil: ´ ´

{ }

{ }

 v tˆ = , v

× aˆ  × aˆ  ,

vˆ bˆ = vˆ

nˆ = bˆ

× tˆ.

´ 1.2.2 Proposicion El sistema de referencia m ovil ´ es independiente de la parametrizaci on. ´

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Demostracion. ´ Sean α(t) y β (u) dos parametrizaciones y ε = ∂ t u/ ∂ t u . Entonces ˆ es fa´ cil ver que t, nˆ , bˆ α = εtˆ, nˆ , ε bˆ β . 

{

}

{

}

| |

Definicion ´ 1 .2.3 1

. Se definen losnˆ planos osculador, normal y rectificante como aquellos perpendicuˆ tˆ y lares a b, respectivamente. 2. Se definen las rectas tangente, normal y binormal como las generadas por tˆ, nˆ y

bˆ respectivamente. 7 Por convenio, una base tiene orientaci´on positiva si y solo si la matriz de cambio de base para llevarla a la base can´onica eˆi tiene determinante positivo.

{ }

notas gdc (v. 1.0)

1–9

Tema 1 . Curvas en el espacio

1.2.2.

´ Curvatura y torsi on

´ 1 .2.4 Proposicion ˆ ∂t tˆ es proporcional a n. Demostracion. ´ tˆ tˆ = 1 y, por tanto, tˆ ∂t tˆ = 0. Por otro lado, ∂ t tˆ es una combinacio´ n lineal de v y a y, por tanto, bˆ ∂t tˆ = 0. En resumen, ∂t tˆ es perpendicular a tˆ y ˆ  a b.

·

·

·

´ 1 .2.5 Definicion 1. Se define la curvatura de una parametrizaci´on α de C como la funci´on κ (t) tal que ∂t tˆ(t ) = v (t)κ (t )nˆ (t ).

´ de Frenet . Esta es la llamada primera f ormula ´ 2. Se define la curvatura κ (x ) de un arco orientado C en un punto x como la cur-

vatura κ (t ) de cualquier parametrizaci´on α (t ) tal que x = α(t) y que define la orientaci´on de ese arco. ´ 1 .2.6 Proposicion Formula para el c a´ lculo de la curvatura de una parametrizaci on ´ ´ α:  v

a

v3

κ= Ejercicio 1 .2.7 Demostrar esta proposici´on.

 ×

Notas: 1. Si α(t ) y β(u ) son dos parametrizaciones regulares, ambas curvaturas est a´ n

relacionadas por κ β = κα θ donde θ = α−1 β, es decir, κβ (u) = κα [ t(u)] .

◦

◦

2. Es f´acil demostrar que la curvatura de un arco orientado es independiente

de la parametrizaci o´ n natural escogida. En efecto, si α(t ) y β(u ) son dos parametrizaciones naturales con la misma orientaci on, ´ entonces u = t + σ y κα (t) = κβ [ t + σ ]. Por tanto, salvo por una redefinici o´ n trivial del srcen del par´ametro, ambas curvaturas son iguales.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —





3. Si α es una parametrizaci´on natural, entonces κ = a . ´ 1 .2.8 Proposicion



ˆ ∂t bˆ es proporcional a n. Demostraci´on. Puesto que bˆ bˆ = 1, ∂ t bˆ es ortogonal a bˆ y lo mismo ocurre con n; ˆ ˆ puesto que ∂ t nˆ es ortogonal a n, ˆ ser´a una combinaci´on lineal adem´as ∂ t bˆ = tˆ ∂t n; ˆ  de tˆ y bˆ y, por tanto, ∂ t bˆ es proporcional a tˆ bˆ = n.

×

1–10

·

×

−

notas gdc (v. 1.0)

1.2. Curvatura y torsi´on

Definicion ´ 1 .2.9 1. Se define la torsi´on de una parametrizaci on ´ α de C como la funci on ´ τ (t) tal que

∂t bˆ (t ) =

−v(t)τ(t)nˆ (t).

´ de Frenet . Esta es la llamada tercera formula ´ 2. Se define la torsi´on τ (x ) de un arco orientado C en un punto x como la torsi o´ n

τ (t) de cualquier parametrizaci´on de cualquier parametrizaci´on α (t ) tal que = α(t) y que define la orientaci´on de ese arco.

 x

Proposicion ´ 1.2.10 Formula ´ para el c´alculo de la torsi´on de una parametrizaci´on α:

τ=

× a) · ∂ta v × a2

(v

Ejercicio 1.2.11 Demostrar esta proposicio´ n.

Notas: 1. Si α(t) y β(u ) son dos parametrizaciones regulares, ambas torsiones est a´ n

relacionadas por τβ = τα θ donde θ = α−1

◦

◦ β, es decir, τβ (u) = τα [t(u)]. 



2. Es f a´ cil demostrar que la torsi on ´ de un arco orientado es independiente de la

parametrizacion ´ natural escogida.

Teorema 1 .2.12 (Ecuaciones de Frenet)

ˆ ∂t tˆ = vκ n, ∂t nˆ = ∂t bˆ =

−vκ tˆ + vτb,ˆ −vτn.ˆ

Ejercicio 1.2.13 Demostrar este teorema.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

Proposici´on 1.2.14 (Curvas planas) Un arco regular est´a contenido en un plano si y solo si su torsi´ on es id´enticamente nula. 1 2 15

Ejercicio . . Demostrar esta proposicio´ n. ´ 1.2.16 Proposicion  v

—

= v tˆ,

a

ˆ = (∂t v)tˆ + v 2 κ n.

El primer t´ermino de la aceleraci´on corresponde en la din´ amica newtoniana a la aceleraci´on lineal y el segundo a la centr´ıpeta. notas gdc (v. 1.0)

1–11

Tema 1 . Curvas en el espacio Ejercicio 1 .2.17 Demostrar esta proposicion. ´ Ejercicio 1 .2.18 Sea α una parametrizaci on ´ natural cuyas funciones curvatura y torsi´on no se anulan en ning´un punto de I . Suponemos que existen un n´umero real positivo r y un punto x en R3 tales que todos los planos osculadores a la curva C = α( I ) distan r de x. Demostrar que

a) Todos los planos rect ificantes de la curva C pasan por x. b) La funci´on f : s

→ τ(s)/κ (s) es un polinomio de grado 1 .

Soluci´on. Sea y(s ) la proyeccio´ n de x sobre el cada plano osculador. Tenemos entonces que x = y (s) + r bˆ (s ). Adem a´ s, como y pertenece al plano osculador, existir´an funciones A (s) y B(s ) tales que

x 

= y(s ) + r bˆ = α(s) + A (s )tˆ(s) + B (s )nˆ (s ) + r bˆ (s)

Como x es un punto constante, derivamos aplicando las ecuaciones de Frenet e igualamos a cero: 0 = tˆ(s ) + ∂ s A (s)tˆ(s) + A (s)κ (s )nˆ (s ) + ∂ s B(s)nˆ (s) + B (s)( κ (s)tˆ(s ) + τ (s)bˆ (s)) rτ (s )nˆ (s ).

−

−

Tenemos una combinaci´on lineal de vectores independientes igualada a cero, por lo que todos los coeficientes deben anularse:

−

1 + ∂ s A (s ) B (s)κ (s) = 0, A (s)κ (s ) + ∂ s B(s) rτ (s) = 0, B(s )τ (s) = 0.

−



Por hip´otesis, τ (s) = 0, as´ı que la funcio´ n B debe ser id´enticamente nula, B (s) Con esto, queda resuelto el apartado a), pues la ecuaci´ on de x resulta ser

≡ 0.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

 x

= α(s) + A (s )tˆ(s) + r bˆ (s)

y, por tanto, x es un punto del plano rectificante. Para el segundo apartado despejamos en la segunda ecuaci´on τ (s) A (s ) = r κ (s) y de la primera sabemos que 1 + ∂ s A (s) = 0, lo que quiere decir que polinomio de grado uno.  1–12

A(s ) es un

notas gdc (v. 1.0)

1.2. Curvatura y torsi´on

En la siguiente proposici´on y tambi e´ n posteriormente, se hace uso del s ´ımbolo

O (·), “del orden de. . . ”. Esta definici on ´ formaliza su significado: ´ 1 .2.19 Definicion Sean f ( x ) y g( x ) dos funciones definidas en un cierto entorno del srcen. Decimos que f ( x ) = [ g( x )] si y solo si el cociente f ( x )/ g ( x ) esta´ acotado en dicho entorno

O

>

del srcen, es decir, si y solo si existen dos constantes

| f ( x ) | ≤ M | g ( x )|

, M

0 tales que

∀ |x| < .

´ 1.2.20 Proposicion Sea α(s ) una parametrizacio´ n natural. Entonces, α ( s + h )

= α(s ) + [ h

− κ2 h3/6]tˆ + 12 [κh2 + (∂s κ)h3 /3]nˆ + 16 κτ h3bˆ + O (h4 ).

Demostracion. ´ Expandimos α(s + h ) hasta orden das de α por sus valores:

∂sα = tˆ,

ˆ ∂2sα = ∂ s tˆ = κ n,

O (h4 ) y sustituimos las deriva-

∂3sα = ∂ s (κ nˆ ) = (∂s κ )nˆ

− κ2 tˆ + κτ b.ˆ



Signos de la curvatura y torsi on ´

De las definiciones de κ y τ sabemos que κ > 0 pero τ puede ser positiva o negativa. Vamos a ver ahora, utilizando la Proposici´ on 1.2.20, qu´e significado geom´etrico tiene esta afirmaci´on.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

ˆ vemos que para h suficientemente pequeno, Fij´andonos en el coeficiente de n, ˜ siempre es positivo, pues el t´ermino dominante va como h 2 y κ es positiva. Es decir, la curva se dobla siempre en el sentido de nˆ (veremos en el apartado de contactos que este vector apunta hacia el centro de la circunferencia osculatriz). Para el coeficiente que acompa˜na a bˆ la situa cio´ n es diferente. Vamos a considerar h > 0 y ver qu e´ efecto tiene el hecho de que la torsi on ´ tenga signo. Si τ > 0, la curva abandona el plano osculador por su cara positiva (definida por el sentido del vector binormal). Si, por el contrario, τ < 0, entonces la curva abandona el plano osculador por el lado opuesto. En el primer caso, la curva localmente se parece a una h e´ lice con helicidad positiva (dextrogira), mientras que en el segundo se pare´ cer´ıa a una h´elice lev´ogira. Debe notarse que este razonamiento es independiente de la orientaci´on elegida. notas gdc (v. 1.0)

1–13

Tema 1 . Curvas en el espacio

1.2.3.

´ de curvas mediante las funciones curvatura Caracterizacion ´ y torsi on

´ 1 .2.21 Definicion Un movimiento ζ es una transformaci´on af´ın que preserva las distancias. Si o es el srcen de coordenadas y p es un punto del espacio, entonces

ζ ( p) = ζ (o ) + ζ¯(op  ), donde ζ¯ es una transformaci on ´ lineal que preserva el producto escalar, es decir es una transformacion ´ ortogonal: ζ¯t ζ¯ = 11. Si det ζ¯ = +1 diremos que ζ es un movimiento directo. Dicho de otro modo, un movimiento directo consta de una traslaci´on (dada por ζ (o )) y una rotaci o´ n definida por ζ¯, mientras que un movimiento inverso anade ˜ una reflexi´on. ´ 1 .2.22 Proposicion Sean C1 y C 2 dos arcos orientados. Sea α1 una parametrizaci´on regular de C 1 ζ un movimiento tal que, si existe, tiene las siguientes propiedades: ζ (C1 ) = C2 y env´ıa la orientaci´on de C1 a C2 . Entonces α2 = ζ α1 es una parametrizaci´on regular de C2 tal que

◦

vα1 = vα2 , ¯ κα1 = κα2 , ζ¯(tˆα1 ) = tˆα2 , ζ (nˆα1 ) = nˆα2 ,

τα1 = τα2 , ζ¯(bˆα1 ) = (det ζ¯) bˆα2 .

±

Ejercicio 1 .2.23 Demostrar esta proposicion. ´ Proposicion ´ 1 .2.24 Sean C 1 y C 2 dos arcos orientados. Si existen parametrizaciones αn de C n tales que

vα1 = vα2 ,

κα1 = κα2 ,

τα1 =

±τα , 2

entonces existe un movimiento ζ tal que ζ (C1 ) = C2 , ζ preserva la orientaci´on y det ζ¯ = 1.

±

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Ejercicio 1 .2.25 Demostrar esta proposicion. ´ Proposicion ´ 1 .2.26 Sean v (t), κ (t) y τ (t) tres funciones de clase C ∞ tales que v(t ) y κ (t) son estrictamente positivas. Entonces existe una parametrizacio´ n regular tal que v = vα , κ = κα y τ = τα . ´ Demostracion.

Dadas v, κ , τ , las ecuaciones ˆ ∂t tˆ = vκ n,

1–14

∂t nˆ =

−vκtˆ + vτb,ˆ

∂t bˆ =

−vτn,ˆ notas gdc (v. 1.0)

1.3. Contactos

forman un sistema lineal y homog e´ neo de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes C ∞ . Los teoremas de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias garantizan la existencia (y unicidad) de soluˆ ciones de estas ecuaciones fijada un configuraci´ on inicial para tˆ, nˆ , b. Adem´as, es f´acil ver que los productos escalares se preservan y, por tanto, el sistema de referencia que se obtiene como soluci on ´ es siempre ortonormal. ˆ ˆ  Por ultimo, ´ tambi´en se mantiene la orientaci on ´ puesto que ∂ t [( t nˆ ) b] = 0. Proposicion ´ 1.2.27 Sean C1 y C2 dos arcos orientados. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

× ·

Existe un movimiento directo ζ tal que C 2 = ζ (C1 ). Existe una biyeccio´ n σ : C 1

→ C2 que

• preserva la orientaci on; ´ • preserva la longitud de arco: la longitud de arco entre misma que la longitud de arco entre σ ( p ) y σ (q);

p, q

∈ C1 es la

• κ1 = κ 2 σ; • τ1 = τ2 σ.

◦ ◦

´ Demostracion. Sin demostraci o´ n.

1.3.



Contactos

El siguiente teorema nos ser´a de gran utilidad en lo que sigue: — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Teorema 1 .3.1 (Rolle) Sea f (s ) una funci´on real de clase C ∞ tal que f ( a ) = f (b). Entonces, existe un

( numero ´ real c

1.3.1.

∈

) ( )= a, b tal que ∂ s f c 0.

Ejemplos concretos

En esta secci´on, supondremos que α(s) es una parametrizaci´on natural de la curva que estamos estudiando y que el punto α(s0 ) no es de inflexi´on. notas gdc (v. 1.0)

1–15

Tema 1 . Curvas en el espacio 1.3.1.1.

Recta tangente

Es la recta que corta a la curva en dos puntos en el l´ımite de coincidencia. Los puntos α(s0 ) y α(s1 ) est´an sobre la una recta en el l ´ımite de coincidencia, es decir, para ∆ s = s 1 s0 arbitrariamente pequeno. ˜

−

La ecuaci on ´ general de una recta es

(x

− x0 ) · ξˆ = 0,

(x

− x0 ) · ζˆ = 0,

ξˆ

× ζˆ = 0.

Calcularemos los vectores ξ y ζ que definen la recta, bajo la hip´otesis de que α(s0 ) y α(s1 ) pertenecen a la misma en el l´ımite de coincidencia. Definamos las funciones f y g cuyos valores y derivadas son: f (s ) = (α(s ) x0 ) ξˆ, ∂s f (s ) = tˆ(s) ξˆ,

·

−

g(s) = (α(s ) x0 ) ζˆ, ∂s f (s) = tˆ(s) ζˆ.

·

·

−

·

Puesto que α(s0 ) y α(s1 ) pertenecen, por hip´otesis, a la recta, se verifica f (s0 ) = f (s1 ) = 0. El teorema de Rolle nos garantiza que existe t 1 (s0 , s1 ) tal que ∂s f (t1 ) = 0. En el l ´ımite de coincidencia, s 1 , t1 s0 y obtenemos las condiciones

∈

→

f (s0 ) = [α(s0 )

ξˆ = 0,

 x0 ]

∂s f (s0 ) = tˆ ξˆ = 0.

− ·

·

La funci on ´ g se halla en una situaci on ´ enteramente ana´ loga y, por tanto, g (s0 ) = [α(s0 )

− x0 ] · ζˆ = 0,

∂s g (s0 ) = tˆ ζˆ = 0.

·

En consecuencia, la recta es paralela a tˆ y pasa por α(s0 ), luego es la recta tangente. 1.3.1.2.

Plano osculador

Es el plano que corta a la curva en tres puntos α(s0 ), α (s1 ), α(s2 ) en el l´ımite de coincidencia. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

La ecuaci on ´ general de un plano es

(x

ζˆ = 0.

 x0 )

−

·

Definamos la funci o´ n f , cuyo valor y derivadas son: f (s ) = [α(s ) x0 ] ζˆ, ∂s f (s ) = tˆ(s ) ζˆ,

·

− ·

∂2s f (s ) = ∂ s tˆ(s ) ζˆ = κ (s )nˆ (s ) ζˆ. 1–16

·

·

notas gdc (v. 1.0)

1.3. Contactos

Por hipo´ tesis, los tres puntos α(s0 ), α(s1 ), α(s2 ) pertenecen al plano en el l ´ımite de coincidencia. Por tanto, f (s0 ) = f (s1 ) = f (s2 ) = 0. El teorema de Rolle aplicado a al intervalo (s0 , s1 ) nos garantiza la existencia t1 (s0 , s1 ) tal que ∂s f (t1 ) = 0. Asimismo, existe t2 (s1 , s2 ) tal que ∂s f (t2 ) = 0. La aplicaci´on una vez m´as del teorema de Rolle a la funci´on ∂ s f en el intervalo ( t1 , t2 ), nos garantiza la existencia de u2 (t1 , t2 ) tal que ∂2s f (u2 ) = 0. En el l ´ımite de coincidencia, todos los valores

∈

∈

∈

intermedios s i , ti , ui

→ s0 y obtenemos las siguientes condiciones: f (s0 ) = [α(s0 ) − x0 ] · ζˆ = 0, ∂s f (s0 ) = tˆ · ζˆ = 0, ∂2s f (s0 ) = κ nˆ · ζˆ = 0. Por tanto, si α(s0 ) no es un punto de inflexi o´ n (es decir κ  = 0), ζˆ = bˆ y el plano pasa por α(s0 ), luego es el plano osculador. 1.3.1.3.

Circunferencia osculatriz

Es la circunferencia que corta a la curva en tres puntos en el l´ımite de coincidencia. Sean s0 , s1 , s2 los par´ametros naturales correspondientes a esos puntos. La ecuacion ´ general de una circunferencia es de la forma (x x0 ) ζˆ = 0, (x z)2 R2 = 0,

−

·

− −

(z

− x0 ) · ζˆ = 0

donde z es el centro de la circunferencia y R su radio y x0 un punto del plano que la contiene. Sean f y g las siguientes funciones: f (s ) = [α(s) x0 ] ζˆ, ∂s f (s ) = tˆ(s) ζˆ,

·

− ·

∂2s f (s ) = κ (s)nˆ (s) ζˆ, — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

·

g (s) = [α (s ) z]2 R2 , ∂s g (s) = 2 tˆ(s) [α(s) z ],

− − · − ∂2s g (s) = 2κ (s)nˆ (s ) · [α(s) − z] + 2.

Como en los casos anteriores, el uso reiterado del teorema de Rolle nos proporciona las siguientes condiciones en el l´ımite coincidencia: f (s0 ) = [α(s0 ) x0 ] ζˆ = 0, ∂s f (s0 ) = tˆ ζˆ = 0, ∂2s f (s0 ) = κ nˆ ζˆ = 0,

·

− ·

·

g(s0 ) = [α(s0 ) z ]2 R2 = 0, ∂ s g(s0 ) = 2 tˆ [α(s0 ) z] = 0,

− − − 2 ∂s g(s0 ) = 2κ nˆ · [α(s0 ) − z ] + 2 = 0. ·

Por tanto, ζˆ = bˆ y el plano que contiene a la circunferencia osculatriz es el plano osculador. El centro z no tiene componente tangencial ni binormal y, de hecho, notas gdc (v. 1.0)

1–17

Tema 1 . Curvas en el espacio ˆ Por ultimo, = α(s0 ) + κ −1 n. el radio de la circunferencia es R = κ −1 y recibe el ´ nombre de radio de curvatura .

z

As´ı, la ecuacion ´ de la circunferencia osculatriz a una curva en α(s0 ) es

[x

1.3.1.4.

− α(s0 )] · bˆ = 0,

[x

−α(s0 ) − Rnˆ ]2 − R2 = 0,

R = 1/κ .

Esfera osculatriz

Es la esfera que corta a la curva en cuatro puntos en el l ´ımite de coincidencia. Sean s0 , s1 , s2 , s3 los par a´ metros naturales correspondientes a esos puntos. La ecuacion ´ general de una esfera es de la forma

(x

− z)2 − r2 = 0,

donde z es el centro de la esfera y r su radio. Sea g la siguiente funci o´ n: g (s) = [α(s ) z]2 r2 , ∂s g (s) = 2 tˆ(s) [α(s) z ],

− − · −

∂2s g (s) = 2κ (s )nˆ (s ) [α(s) ∂3s g (s)

z] + 2,

= 2 nˆ (s) [α(s )

· · − z]−∂s κ(s) + 2κ (s)[−κ(s)tˆ(s) + τ (s)bˆ (s)] · [α(s) − z].

Como en los casos anteriores, el uso reiterado del teorema de Rolle nos proporciona las siguientes condiciones en el l ´ımite coincidencia: g(s0 ) = [α(s0 ) z ]2 r2 = 0, ∂ s g(s0 ) = 2 tˆ [α(s0 ) z] = 0,

− − − 2 ∂s g(s0 ) = 2κ nˆ · [α(s0 ) − z ] + 2 = 0, ∂3s g(s0 ) = 2 nˆ · [α(s0 ) − z ] ∂ s κ + 2κ (−κ tˆ + τ bˆ ) · [α(s0 ) − z] = 0. ·

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

Por tanto, ˆ  t [ α ( s0 )

·



− z] = 0,





1

ˆ  b [z

nˆ [ z

· − α(s0 )] = κ ,



∂s κ

· − α(s0 )] = − κ2 τ .

Si introducimos el radio de curvatura R = 1/κ y el radio de torsi´on T = 1/τ , podemos escribir ˆ z = α ( s0 ) + R n ˆ + T (∂s R )b, r = R2 + T 2 ( ∂ s R ) 2 , que son el centro y el radio de la esfera osculatriz. 1–18



notas gdc (v. 1.0)

1.3. Contactos C α



(s)

−

p

) s0 α(



n

o

ˆ

q Σ

Figura 1 .1: Contacto entre una curva y una superficie.

1.3.2.

Teor ´ıa general de contactos

´ 1 .3.2 Definicion Decimos que existe un contacto de orden n entre una curva C y una superficie Σ en o (ver figura 1 .1) si y solo si

l´ım

| |

→

| |

pq  o op  r

p

0, r = 1... n, finito = 0, r = n + 1.

=





´ 1 .3.3 Definicion Dos curvas C y C  tienen un contacto de orden n en o si y solo si C tiene un contacto en o con ambas superficies Σ1 y Σ2 cuya intersecci´on define la curva C  y el menor de ambos contactos es de orden n.

Hemos visto que solo hay una circunferencia que, en el l ´ımite de coincidencia, pase por tres puntos de la curva, que solo hay una esfera que pase por cuatro, etc. Por otro lado, sabemos que solo existe un polinomio de grado n 1 que pase por n puntos y, de forma m a´ s general sabemos que solo hay un polinomio de grado n cuyas n primeras derivadas en un punto coincidan con las de una funci´ on dada (polinomio de Taylor). Esto nos lleva a la idea de determinar cu´anto se parecen dos funciones en un entorno de un punto seg un de derivadas iguales que ´ el n umero ´ tengan en ese punto. El contacto entre curvas y superficies se puede estudiar de un modo an a´ logo: a partir del n umero de derivadas que se anulen de la composici o´ n ´ de la funci on ´ que define impl´ıcitamente a la superficie con la parametrizaci on ´ de la curva. Por ejemplo, en el caso de una curva que corte perpendicularmente a la superficie, ninguna de estas derivadas se anular´a (orden de contacto nulo), mientras que, para una curva contenida en la superficie (cuyos puntos satisfacen siempre la

−

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

notas gdc (v. 1.0)

1–19

Tema 1 . Curvas en el espacio ecuacion ´ de e´ sta), todas estas derivadas ser a´ n nulas y tendremos un contacto de orden infinito, como el de una curva plana y su plano osculador. Teorema 1.3.4 C y Σ tienen un contacto de orden n en α(0) si y solo si

s

r = 0 ,1. .. n,

0,

∂ r f (0 ) =



finito = 0, r = n + 1.



donde f (s) = F [α(s )] y F (x ) = 0 es la ecuaci on ´ impl´ıcita que define la superficie Σ .

≡

− O

´ Demostracion. Definamos ∆α(s ) α(s ) α(0) (ver Figura 1.1). Entonces, vemos  = ∆α ( s) = s tˆ + ( s2 ) = s [1 + ( s)] . Por tanto, que op

| | |

| |

O |

1

1

= r [ 1 + O (s)] . |op  |r s Por otro lado, si nˆ es el vector normal a la superficie Σ, 

| ∆α(s) · ∇F(oq )| . ˆ| = | pq  | = | ∆α ( s ) · n |∇ F(oq )| Calculemos ∆α(s )

· ∇ F(oq ) en t´erminos de f (s). 2  F ( oq f (s ) = F (op  ) = F ( oq  ) + ( op  − oq  )·∇  ) + O ( | op  − oq  | ) 2  F ( oq = ∆α (s ) · ∇  ) + O ( | pq  | ),  F ( oq donde hemos usado que oq  es perpendicular a ∇  ). Por tanto, f (s) f (s) 2 2 | pq  |= + O (| pq  | )=   |∇F(oq )| |∇F(oq )| + O [ f (s) ]. Entonces, podemos escribir —

| pq  | 1 f (s) = |op  |r |∇ F| sr {1 + O [ f (s)]} [1 + O (s)] = 1 f (rs ) {1 + O (s ) + O [ f (s)] } . |∇ F| s

5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

O (s)], el orden de f (s) ser´a siempre menor o igual | pq  | 1 f (s) l´ım = l´ım r . p →o |op   |r → 0 s |∇ F | s

Puesto que f (s ) = ∂s f (0)s [1 + que (s). Por tanto,

O

1–20

notas gdc (v. 1.0)

1.3. Contactos

· · · = ∂ ns f (0) = 0 y ∂ ns +1 f (0) = 0, entonces f (s ) s n+1 + O (s n+2 ) 0, l´ım r ∝ ∂ ns +1 f (0) l´ım = sr s→0 s s →0 finito  = 0,

Si ∂ s f (0) =



r = 0 ,1. .. n, r= n+1

y, por tanto, C y Σ tienen un contacto de orden n. n +1

Σ

Por otro C se y anule tienen de orden n, entonces∂rff((s0))=se anulan (s ) para que el llado, y, un porcontacto tanto, todas las derivadas ´ımitesino s para r = 1... n mientras que ∂ ns +1 f (0) = 0. 

O



Ejercicio 1.3.5 Calcular el orden de los contactos de la secci´ on anterior. Ejercicio 1.3.6 Demostrar que, si el orden de contacto n entre una curva C parametrizada por α(s) y una superficie Σ es par en un punto α(s0 ), la curva atraviesa a la superficie en ese punto, mientras que si n es impar la curva est a´ a un lado de Σ en un entorno de α(s0 ). ´ Solucion. Sea F (x ) = 0 es la ecuaci o´ n impl ´ıcita de la superficie Σ. Queremos saber si la proyecci o´ n ξ del vector α(s ) α(s0 ) sobre el vector normal a la superficie en s0 , que es proporcional a  F [α(s0 )] , cambia de signo o no. Para ello, notemos

∇

−

que, de acuerdo con lo visto en la demostraci´on del Teorema 1 .3.4, ξ

≡ [α(s) − α(s0 )] · ∇ F[α(s0 )] = f (s0 + h) + O [ f (s0 + h)2 ],

donde f (s ) = F [α(s )] . Desarrollamos en serie de Taylor la funci on ´ f (s ) en torno a s0 . Puesto que el contacto es de orden n, del Teorema 1.3.4, vemos que todas las derivadas de f hasta orden n se anulan en s0 . La primera derivada no nula es ∂ns +1 f (s0 ). Queda, entonces, ξ= — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

h n +1 n + 1 ∂ f ( s0 ) + (n + 1)! s

O ( h n + 2 ).

La derivada ∂ns +1 f (s0 ) es no nula y tiene un signo definido. Por otro lado, si n es par, n + 1 es impar y por lo tanto h n+1 cambia de signo en h = 0, que se corresponde con el punto de contacto. En otras palabras, si n es par, ξ cambia de signo con h y la curva atraviesa a Σ. Para n impar sucede lo contrario, hn+1 no cambia de signo, ξ tampoco lo hace y la curva est a´ siempre al mismo lado de la superficie. 

—

Ejercicio 1.3.7 Demostrar ahora que si C y C  son curvas planas con un contacto de orden n en un punto x y n es par, las curvas se cortan en ese punto. notas gdc (v. 1.0)

1–21

Tema 1 . Curvas en el espacio Ejercicio 1 .3.8 Hallar la par a´ bola situada en el plano z = 0 cuyo eje es paralelo al eje yˆ y que es osculatriz a la curva y = x3 /a2 , z = 0, en el punto ( a, a, 0), siendo a>0 Solucion. ´ Seg´un la definici´on de contacto entre dos curvas, el orden se corresponde con el menor de los o´ rdenes de contacto entre una de las curvas y cada una de las superficies que define a la otra. Como se nos dice que la par a´ bola est a´ en el

plano z = 0, su contacto con esa superficie ser a´ de orden infinito y, por 3lo tanto, el m´ınimo vendr´a dado por el contacto con la superficie F ( x, y, z) = y x /a2 = 0.

−

Comenzamos por escribir la ecuaci´on de la par´abola m´as general que cumpla las hip´otesis de partida (eje paralelo a yˆ y contenida en z = 0), y = C1 (x

− x0)2 + C2.

Esta curva admite la parametrizaci on ´ α(t ) = (t, C1 (t f (t ) = F [α(t)] y calculemos sus derivadas:

− x0 )2 + C2, 0). Sea la funci o´ n

3

− x0 )2 + C2 − at 2 , t ∂2t f (t) = 2C1 − 6 2 , a f (t) = C 1 (t

2

∂t f (t) = 2C1 (t ∂3t f (t) =

− a62 .

− x0 ) − 3 at 2 ,

La ultima ´ de estas ecuacio nes no puede ser igual a cero para ning u ´ n valor real de a. Por lo tanto, la m´axima derivada que se anula es la segunda y el orden de contacto es igual a 2 . Para calcular los coeficientes C 1 , C 2 y x0 basta evaluar estas derivadas y la funci o´ n f en t = a e igualar a cero. As ´ı, se obtiene 3 a a C2 = , x0 = , , a 4 2 de forma que la ecuaci o´ n de la par a´ bola es y = 3x 2 /a 3x + a. C1 =

−

1.4. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —



Cur vas planas

Hemos visto que una curva es plana si y solo si su torsi´ on se anula. Entonces, la curva est´a contenida en su plano osculador y es posible cambiar de base cartesiana de eˆi a eˆi tal que eˆ3 = bˆ de forma que el plano osculador sea z = 0. La ecuaci o´ n impl´ıcita de la curva es de la forma z  = 0, f ( x  , y ) = 0. Proposicion ´ 1 .4.1 Una curva es un arco de circunferencia si y solo si es plana y de curvatura constante. Ejercicio 1 .4.2 Demostrar esta proposici´on. 1–22

notas gdc (v. 1.0)

1.5. Ejercicios

1.5.

Ejercicios r = a sen3 (θ/3), 0

1.1 Dibujar y hallar la longitud de la curva plana

a > 0.

≤ θ ≤ 3π,

1.2 Parametrizar una circunferencia de radio R, hallar la base de Frenet y su cur-

vatura. 1.3 Estudiar la catenaria (en coordenadas cartesianas) y = b [cosh( x/b

− −

a ) cosh a ] donde b = T / (ρ g ) y a = ρ gd/(2T ). ρ es la densidad lineal de la cuerda, g la aceleracion ´ de la gravedad, T la tensi on ´ en el punto m a´ s bajo y d la distancia entre puntos de sujecion. ´

1.4 Escribir y demostrar expresiones expl´ıcitas para la base de Frenet, la curvatura

y la torsi on ´ de una curva con una parametrizaci on ´ arbitraria. 1.5 Hallar la curvatur a de las siguientes curvas:

a) y = sen x,

b) y 2 = 2 px,

c) ( a cos t, b sen t),

d) ( a cosh t, b sinh t ).

1.6 Un punto p se mueve a lo largo de la generatriz de un cilindro circular con

velocidad proporcional al camino recorrido. A su vez el cilindro gira en torno a su eje con velocidad angular constante. Hallar las ecuaciones param´ etricas de la trayectoria de p. R con el cilindro circular de radio R/2 cuya generatriz pasa por el centro de la esfera. Estudiar dicha curva.

1.7 La curva de Viviani es la intersecci´ on de la esfera de radio

1.8 Los ejes de dos cilindros circulares de radios de radios a y b se cortan en a´ ngu-

lo recto. Hallar ecuaciones param e´ tricas para la curva intersecci o´ n (bicil´ındrica). ¿Qu´e ocurre cuando a = b? — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

1.9 Determinar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal de una curva

interseccio´ n de dos superficies F ( x, y, z) = 0, G ( x, y, z ) = 0, donde rango



Fx Fy Fz Gx Gy Gz



=2

1.10 Estudiar la h e´ lice ( R cos t, R sen t, a t ), R > 0, a > 0. 1.11 Demostrar que una curva es plana si y solo si su torsi on ´ se anula.

notas gdc (v. 1.0)

1–23

Tema 1 . Curvas en el espacio 1.12 Interpretacio´ n de la din a´ mica Newtoniana desde la geometr´ıa diferencial. Da-

da una curva x (t) en el espacio, determinar sus vectores velocidad y aceleraci o´ n en t´erminos de la base de Frenet. Determinar tambi´ en la curvatura y la torsi´ on en t´erminos de la velocidad y de la aceleraci´on. 1.13 Estudiar la curva p (t) = (t + 1, t2 + 2, t3 ). Estudiar en particular el punto

(1,2,0 ). 1.14 Estudiar las curvas:

a) y = f ( x ),

z = g ( x ),

b) x (t ) = [ a (t

− sen t), a(1 − cos t), bt ].

1.15 Demostrar que una curva es una recta si y solo si: a) Todas sus tangentes

pasan por un punto fijo, o tambi´en si y solo si b) todas sus tangentes son paralelas a una dada. 1.16 Hallar una representacion ´ param´etrica de una curva cuya torsion ´ es constante

y negativa y tal que su vector binormal es bˆ (t ) = cos 2 t eˆx + sen t cos t eˆy + sen t eˆz . 1.17 Sea α(t) una parametrizaci´on regular cuyas funciones torsi´on y curvatura no

se anulan en ning´un punto. α es una h´elice de eje eˆ y a´ ngulo θ si todos los vectores ˆ tangentes a α forman un ´angulo θ con e. a. Probar que si α es una h´elice caracterizada por (eˆ, θ ), el vector unitario eˆ es combinaci´on lineal de tˆ y bˆ t. Calcular los coeficientes de la combinaci´ on lineal.

∀

b. Probar que α es una h e´ lice si y solo si κ /τ es constante. Expresar este cociente en funci on ´ del a´ ngulo θ de la h e´ lice. c. Demostrar que una parametrizaci´on natural α cuya curvatura y torsi´on no se anulan es una h´elice si y solo si ( ∂2tα ∂3tα) ∂4tα = 0.

—

× · √ √ √ d. Estudiar la parametrizaci o´ n [ cos(t/ 2),sen (t/ 2), t/ 2]. Demostrar que es

5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

una h e´ lice, calcular su eje y su a´ ngulo. 1.18 Sea α una parametrizaci on ´ natural de una curva cuya torsi on ´ no se anula y

que est´a contenida en una esfera. Demostrar que dicha curva no tiene puntos de inflexi´on y que la funci´on ∂t κ 2 1 + κ2 τκ 2

 

es constante. Calcular su valor. 1–24

notas gdc (v. 1.0)

1.5. Ejercicios 1.19 Determinar la funci on ´ ϕ tal que la curva α ( t )

=



t 0

ds ϕ (s) sen s,



t 0

ds ϕ (s) cos s,



t 0



ds ϕ (s) tan s ,

t

∈ (0, π/2)

tiene radio de curvatura constante. Calcular el plano rectificante. 1.20 Estudiar la espiral de Cornu, definid a en t e´ rminos de integrales de Fresnel de

la siguiente manera: x (t) =



t 0

cos

u2 du, 2c2

y(t ) =



t 0

sen

u2 du. 2c2

1.21 Escribir las ecuaciones de todas las rectas y planos caracter´ısticos de la curva

regular definida por f n (x ) = 0,

n = 1,2.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

notas gdc (v. 1.0)

1–25

Tema 2 Superficies en el espacio 2.1. Cartas, atlas y s uperficies diferenciables 2.2. Plano tangente

2.2.1. Curvas en una superficie 2.2.2. Plano tangente 2.3. Aplicaciones diferenciables

2.3.1. De una superficie en 2.3.2. Entre superficies de

R R

3

3

2.4. Orientabilidad 2.5. La primera forma fundamental 2.6. Geod´esicas 2.7. La segunda forma fundamental 2.8. Curvatura

2.8.1. Curvatura normal 2.8.2.

L´ıneas de curvatura

2.8.3. Curvatura de una superficie 2.8.4. Clasificaci o´ n local de las superficies

´ 2.9. L´ıneas asintoticas —

2.10. Ejercicios

5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

notas gdc (v. 1.0)

2–1

2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables

2.1.

Cartas, atlas y superficies diferenciables

´ 2 .1.1 Definicion Sea M R 3 . Una carta de M es una terna ( U , φ, W ) donde U es un abierto de R 2 , 3 W es un abierto de R3 y φ : U R es un homeomorfismo de U en  φ (U ) de clase ∞ C , tal que φ(U ) = M W y que verifica que 1

⊂

→

∩

rango[ ∂α φ i (u )] = 2,

∀u ∈ U .

Entonces, el abierto U es el dominio de la carta ( U , φ, W ) y φ(U ) su imagen. Cuando no exista riesgo confusi o´ n, nos referiremos a la carta ( U , φ, W ) simplemente por φ. ´ 2 .1.2 Definicion n en R Una inmersi´on es una aplicaci on ´ C ∞ de un abierto U i β u U (α = 1, 2 n, i = 1, 2 m ). rango[∂α φ (u )] = n,

∀ ∈

···

···

 φ

⊂

R

m

tal que

2 U R cuyas es una inmersi on ´ de R2 en R3 tal que, a cada punto u 3 α i R cuyas coordenadas son x . As´ı, coordenadas son u , asigna un punto x W i α i α   x = φ (u) que, en coordenadas, podemos escribir como x (u ) = φ (u ). [Comparaci´on con las curvas: α es una inmersi´on de R en R3 tal que, a cada par´ ametro 3 i t I R , asigna un punto  x C R cuyas coordenadas son x . As´ı,  x = α(t) i i que, en coordenadas, podemos escribir como x (t ) = α (t).]

∈

∈ ⊂

∈ ⊂

⊂

∈ ⊂

Definici´on 2 .1.3 m i n α Dada una funci on R de componentes f , i = 1... m y u = u R , ´ f : Rn n m n R R R definimos la aplicaci´on diferencial d f (u ) : como aquella que a cada v α le asigna el vector v ∂α f (u ), es decir, la derivada de f en la direcci on ´ v y evaluada en u, [ d f (u)]( v α ) vα ∂α f (u ).

→

{ }∈ ∈

→

≡

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Esta definici´on coincide con la de diferencial de una funci´ on, que ya se ha visto en otras asignaturas, en la que esta aplicaci o´ n es una matriz formada por los gradientes (en este caso n-dimensionales) de las componentes de la funci on ´ colocados en filas. Los ´ındices latinos i, j ... son ´ındices de R3 y, por tanto, toman los posibles valores 1,2,3. Los ´ındices griegos α, β ... son ´ındices de R 2 y toman valores 1, 2. Adem a´ s, adoptaremos la siguiente notacion ´ para las derivadas parciales: ∂ α ∂/∂uα , ∂ i ∂/∂ui . Consideraremos un sistema de referencia de R3 con srcen en o y una base ortonormal ei . As´ı,  cualquier punto p de R 3 queda caracterizado por su vector de posici´on x = op. 1 Notaci´ on.

≡

notas gdc (v. 1.0)

≡

{}

2–3

Tema 2 . Superficies en el espacio Puesto que d f (u) es inyectiva si y solo si rango[∂α f i (u)] = n, podemos sustituir en las definiciones de carta y de inmersi o´ n la condici on ´ sobre el rango por la de que d φ(u ) sea inyectiva. Conviene notar que una carta es el an´alogo bidimensional de una parametrizacio´ n y que toda carta es, por definici on, ´ una inmersi on. ´ El uso de cartas permite describir las superficies, no necesariamente planas, mediante una representaci o´ n plana. Definicion ´ 2 .1.4 Se llaman cartas de Monge aquellas para las que φ es de la forma

= (u1 , u2 , g (uα )).

 φ (u α )

No todos los subconjuntos M R3 admiten una carta y, de los que s´ı la admiten, no todos admiten una carta de Monge. Veremos, sin embargo, que siempre es posible encontrar cartas de Monge si M es una superficie.

⊂

´ 2 .1.5 Proposicion Restringiendo el dominio de φ a V Demostracion. ´ Obvia.

⊂ U, se obtiene otra carta.



Definicion ´ 2 .1.6 Sea M R3 . Se denomina atlas de M a cualquier familia

⊂

A = (Un , φn , Wn ), n = 1, 2

{

de cartas tal que M = M

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

⊂

R

3



···}

 n φn (Un ).

es una superficie diferenciable si y solo si admite un atlas.

Ejemplo 2.1.7 El cono no es una superficie puesto que no φ no es diferenciable en el v´ertice. El ocho bidimensional no es una superficie porque φ no es un homeomorfismo, es decir, su inversa no es continua en la intersecci on. ´ Proposicion ´ 2 .1.8

Sea M una superficie y x M un punto de la misma. Entonces existen un abierto ∞ Ux R 2 , un entorno abierto Wx R3 de x y una funci o´ n fx : U p R de clase C i 3 3 α α tal que M Wx = x R x U p , x = fx ( x ) . Por tanto, la superficie M admite un atlas construido con cartas de Monge.

⊂

∈

∩

{ ∈

|

⊂

∈

}

→

Demostracion. ´ Sea φ una carta tal que φ (ux ) = x. Como el rango de dφ (ux ) es 2, es decir, rango[∂α φi (ux )] = 2, alg´un menor de esta matriz es no nulo. Sin p´ erdida 2–4

notas gdc (v. 1.0)

2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables

de generalidad, supongamos que el menor no nulo es [ ∂α φ β (ux )] . Si no fuera e´ ste, una rotacion ´ adecuada nos permitir´ıa elegirlo como tal. El teorema de la funci´ on inversa aplicado a φ α en ux nos dice que existen abiertos Vx de ux y Ux = φ(Vx ) tales que φα es un difeomorfismo de clase C ∞ entre ellos. Sea Wx tal que φ (Vx ) = M Wx y definamos la funci o´ n 3 −1 )α ( x β )] con xα U p . Esta funci o´ n fx es α fx : Ux R tal que fx ( x ) = φ [( φ

∩

→

∞

C puesto que φ y φ lo son. Si x = ( x α , f x ( x α )) con x α Ux , entonces existe u

∈

 x

∈

α

3

∈ Vx tal que 

= ( x α , f x ( x α )) = ( x α , φ3 [( φ−1 )α ( x β )]) = ( φα (u ), φ3 (u)) = φ(u ).

∈ M ∩ Wp . Si x ∈ M ∩ Wp , entonces existe u ∈ Vx tal que

Por tanto, x



x  y xα

= φ(u) = (φα (u ), φ3 (u )) = ( x α , φ3 [( φ−1 )α ( x β )]) = ( x α , f x ( x α ))

∈ φα (Vx ) = U x . 





La siguiente proposici o´ n nos permite caracterizar una superficie de forma impl´ıcita. Proposicion ´ 2.1.9 Sea W R 3 un abierto y F : W

⊂

∇ F(x) = 0 ∀x ∈ M

→

R

y

una funci´on C ∞ tales que

{ ∈W |

M = x

}

F (x ) = 0 = ∅.

Entonces M es una superficie. Demostracion. ´ Si  F (x ) = 0, supongamos que ∂3 F (x ) = 0. Entonces el teorema de la funci o´ n impl´ıcita garantiza que, localmente, podemos despejar una coordenada: x3 = g( x α ) y que la aplicaci´on φx ( x α ) = ( x α , g ( x α )) es una inmersi´on de clase C ∞ y un homeomorfismo. As´ı, φx es una carta de M y φx  x M es un atlas de M. 

∇





{ | ∈ }

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Ejercicio 2.1.10 Parametrizar la superficie resultante de prolongar todas las normales principales de una h´elice circular hasta su eje. Encontrar tambi´ en una ecuaci´on impl´ıcita. Esta figura es un helicoide recto. ´ Solucion. Una h e´ lice est a´ parametrizada por α(t) = ( R cos t, R sen t, ct ). Si hacemos que R, en lugar de ser una constante, pueda variar entre 0 < u 1 < R obtenemos el helicoide recto (Figura 2 .1):  φ(u1 , u2 )

notas gdc (v. 1.0)

= (u1 cos u2 , u1 sen u2 , cu 2 ). 2–5

Tema 2 . Superficies en el espacio

Figura 2 .1: Helicoide recto.

Figura 2 .2: Paraboloide.

Escribimos ahora la diferencial de esta carta, para ver que es una inmersi´ on:

dφ (u ) =



∂1 φ1 ∂2 φ1 ∂1 φ2 ∂2 φ2 ∂1 φ3 ∂2 φ3

  =

cos u2 sen u2 0

−u11 sen u2 2 u cos u c



.

Claramente es una matriz de rango 2. Para la ecuaci on ´ impl ´ıcita, notamos que x sen u2 = y cos u2 y, adem´as, u 2 = z/c, con lo que nos queda x sen

z c

− y cos zc = 0.

Todos los puntos del dominio φ(U ) = M — 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

∩ W cumplen esta ecuaci on.  ´ → , x → x2 + y2 − z, comprobar que

Ejercicio 2 .1.11 Dada la funci on R ´ F : W M = x W : F (x ) = 0 es una superficie y obtener para ella una carta de Monge.

{ ∈

}

Solucion. ´ En primer lugar, es evidente que M = ∅. La segunda condici o´ n que debe cumplir es  F = 0 en M.



∇ 

∇ F(x) = (2x, 2y, −1) = 0, ∀ x ∈

R

3

.

Por lo tanto, seg´un la proposici o´ n anterior, es posible encontrar una carta de Monge para M. Para encontrarla, vemos que ∂3 F = 0 siempre, as´ı que podemos despejar



2–6

notas gdc (v. 1.0)

2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables

W

φ

ψ φ

φ

−

1

(W )

1

−

◦

ψ

ψ

−

1

(W )

Figura 2 .3: Compatibilidad de cartas.

z en funci´on de x e y (teorema de la funci´on impl´ıcita). Hacemos simplemente z = x 2 + y 2 y, con ello, resulta  φ (uα )

= ( u 1 , u 2 , ( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 ).

Esto es un paraboloide de revoluci on ´ (Figura 2 .2).



´ 2.1.12 Proposicion  (V ) = ∅. Entonces, Sean φ y ψ dos cartas de la superficie M tales que W = φ(U ) ψ  y ψ −1  las aplicaciones φ−1 ψ φ son de clase C ∞ . Esta propiedad se denomina ψ y ψ−1 φ se les denomina compatibilidad de las cartas y a las funciones φ −1  funciones de transici´on (ver Figura 2.3) y proporcionan los cambios de par´ ametros u a (v ) ( φ −1 ) a [  ψ(v)] .

◦

◦

∩

◦



◦

≡

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

´ Demostracion. La demostraci o´ n se basa en que M es un subconjunto de R 3 y que  φ es una inmersi on.  ´

Es posible extender la definici on ´ de superficie a conjuntos que no son subconjuntos de R 3 o que, si e´ ndolo, φ no es una inmersi on. ´ Entonces, esta propiedad de compatibilidad de las cartas ya no se puede deducir y es necesario introducirla como una condici o´ n en la definici on ´ de carta. En otras palabras, para superficies de R3 , podemos sustituir la condici o´ n de que φ sea una inmersi´on por la condici´on de compatibilidad entre cartas para obtener as´ı superficies m´as generales. notas gdc (v. 1.0)

2–7

Tema 2 . Superficies en el espacio

3 R

Un ejemplo es el plano proyectivo real P2 (R ), formado por todas las rectas de que pasan por el srcen, que no es un subconjunto de R3 .

2.2.

Plano tangente

2.2.1.

Curvas en una superficie

Definicion ´ 2 .2.1 Sean M y C una superficie y una curva en la superficie M si C M.

R

3,

respectivamente. C es una curva de

⊂

´ 2 .2.2 Proposicion Sea ( U , φ, W ) una carta de M. 1. Si γ (t) es una parametrizaci´on regular de un arco contenido en U , entonces

= φ γ, es decir, α(t ) = φ[γ(t )] , es una parametrizaci´on regular de un arco de M contenido en W . En componentes, α i (t) = φ i [ γα (t)] . 2 Otra forma de exp resarlo: Si u α (t) es una curva de U R , entonces i 3 α x [ u (t )] es una curva de M W R .

α

◦

⊂

∩ ⊂

2. Si α(t) es una parametrizaci´on regular de un arco contenido en M

W , entonces γ = φ −1 α, es decir, γ (t) = φ −1 [α(t )] , es una parametrizaci´on regular de un arco contenido en U . En componentes, γ α (t) = (φ−1 )α [αi (t)] . 3 Otra forma de expresarlo: Si x (t) es una curva de M W R , entonces u[x (t)] es una curva de U R2 .

◦

∩

∩ ⊂

⊂

Demostracion. ´ 1. α es C ∞ puesto que γ y  φ lo son. Adem a´ s ∂tα(t ) = ∂t γα (t)∂αφ[ γ (t )] = 0 ya



que γ es regular y φ es una inmersi on ´ y, por tanto, dφ [γ (t)] es inyectiva. — 5 0 0 2

→ 2 tal que π α (x) = x α, Entonces, π ◦ φ : U → V = π ◦ φ (U ) tal que u  φα (u )

2. Definimos la proyecci´on como la aplicaci´on π :

( x α , x 3 ).

R

3

R

donde x = es un difeomorfismo local ya que φ es una inmersi o´ n (ver Figura 2.4). As ´ı, su inversa f = (π φ)−1 : V U es C ∞ . Conviene notar que, escrito en componentes, si x α V , entonces f α ( x β ) = (φ −1 )α [( π −1 )i ( x β )] = uα U. U tal que γ α (t ) = f α π β [α(t)] . Puesto que f , Definimos γ = f π α : I π y α son C ∞ en sus dominios, γ tambi´en lo es. Adem a´ s, sustituyendo f por su definici´on, obtenemos que la funci´ on γ as´ı definida es la del enunciado γα (t) = (φ−1 )α [α(t )] y que ∂t γ(t ) = 0 puesto que si no lo fuera, entonces

y a r a g .j s i u l —

◦ ∈ ◦ ◦

→

→

{

}

∈



2–8

notas gdc (v. 1.0)

2.2. Plano tangente

α (t)



π

φ



V

U f

π ◦ α (t)

γ (t)



Figura 2.4: Proyecci´on de una curva sobre el espacio de par a´ metros. Figura explicativa de la demostracion ´ de la Proposici on ´ 2 .2.2.

∂tα(t ) = ∂t γ α (t)∂αφ [γ (t)] se anular´ıa en contra de la hip ´otesis de que α es regular.  Ejemplo 2.2.3 Para fijar ideas, consideremos la situaci on ´ representada en la Figura 2.4, que vamos a utilizar para explicar el proceso seguido en la demostraci o´ n de la Proposicio´ n 2 .2.2. En este ejemplo, hacemos V π φ (U ).

≡ ◦ √

La figura muestra una curva α(t ) = ( t cos2 t, parametrizado con la carta φ, —

 φ(u1 , u2 )

5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

√

= ( u1 cos u2 ,

√

√t sen2 t, t) en un paraboloide,

u1 sen u2 , u1 ).

( ) =  1 ( ) − α t fsiguiendo Construiremos la curva γ t laφfunci´on pasos de la demostraci on. ´ −1 es En primer lugar, notamos que = (π φ)los en nuestro caso tal que

 

◦  √ 1 f : V2 √= π1 ◦ φ(U2 ) −→ U 1 2 ( u cos u , u sen u ) −→ (u , u ),

—

por lo que, en un dominio adecuado, podemos hacer f ( x, y) = ( x2 + y2 , arctan(y/x )) . notas gdc (v. 1.0)

2–9

Tema 2 . Superficies en el espacio Escribimos ya la curva en el espacio V , resultado de proyectar α mediante π ,

◦

√

π α(t ) = ( t cos2 t,

√t sen2 t).

Y ahora aplicamos f a esto, lo que nos da γ (t) = f

◦ π ◦ α(t) = (t, 2t),

lo mismo que si hubi´esemos aplicado φ −1 a α directamente. Ejemplo 2.2.4 Veamos, tomando el ejemplo de un paraboloide hiperb o´ lico ( silla de montar , Figura 2.5), en qu´e consiste esta composici´ on α = φ γ. En primer lugar, notez = x2 y2 . Una posible carta de Monge mos que esta figura viene dada por 1 2 1 2 2 2  es φ (u ) = (u , u , (u ) (u ) ). Tomamos cuatro curvas distintas en el espacio de par a´ metros y dibujamos las correspondientes curvas en la superficie:

−

−

γ1 (t) = ( cosh t, sinh t ) γ2 (t) = (t, 0) γ3 (t) = (t, t ) t2 )

γ4 (t) = (t,

−

◦

−

⇒ ⇒ ⇒

−

α1 ( t)

= ( cosh t, senh t, 1)

α2 ( t)

= (t, 0, t2 )

α3 ( t)

= (t, t, 0)

α4 ( t)

= (t,

⇒

t2 , t 2

−

t4 )

−

Veremos m´as adelante (Secciones 2 .8.2 y 2 .9), que las curvas α2 y α3 de la Figura 2 .5 tienen un significado especial: una ser a´ l´ınea asintotica y la otra de curvatura. ´

2.2.2.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

Plano tangente

Definicion ´ 2 .2.5 Sea x un punto de M. Sea Γ (x, M ) el conjunto de todas las parametrizaciones regulares ( I ,α) tales que α(0) = x y α( I ) M. Llamamos plano vectorial tangente a la superficie M en el punto x al conjunto

⊂

Tx M = v(0) = ∂ tα(0)

{

R

∈

3

α

0

Γ

.

| ∈ }∪{ }

Es decir, el plano tangente en x es el conjunto de los vectores tangentes a todas las curvas contenidas en M y que pasan por x. Proposici´on 2 .2.6 Sea (U , φ, W ) una carta de M y sea u = φ−1 (x ) U . Entonces, el plano tangente Tx M = imagen[ dφ (u)] est´a generado por eα (u), α = 1, 2 donde eα (u) = ∂αφ (u).

{

2–10

∈

}

notas gdc (v. 1.0)

2.2. Plano tangente

α2



α1



α3



α4



γ1 (t )

= (− cosh t, senh t)

γ2 ( t )

= ( t, 0 )

γ3 (t )

= (t, t )

γ4 ( t )

= ( t, −t2 )

Figura 2 .5: Curvas en una silla de montar (paraboloide hiperb olico). ´

As´ı, Tx M es un subespacio vectorial de de Tx M.

R

3

de dimensi´on 2 y

{eα (u)} es una base

∈

´ Demostracion. Sea v Tx M. Entonces existe una parametrizaci on ´ α tal que = ∂ tα(0). Adem a´ s, por la Proposici on ´ 2.2.2, existe una curva plana γ en U tal que α = φ γ. Por tanto,

 v

◦

 v

= ∂ tα(0) = ∂ t γα (0)∂αφ[γ(0)] = [ dφ(u)][ ∂t γ(0)]

Si v imagen[dφ(u )] , entonces existe w α tal que [ dφ (u)]( w ) = v. Construyamos γ α (t ) = u α + tw α . Entonces, α = φ γ es una curva de M que pasa por x y cuya derivada en x es ∂ tα(0) = [ dφ (u)][ ∂t γ(0)] = [ dφ(u )]( w) = v.

∈

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

∈ imagen[dφ(u)].

◦

Por ultimo, ∂αφ(u ) es una base de imagen [ dφ (u)] puesto que son linealmen´ te independientes ya que φ es una inmersi on ´ y pertenecen a la imagen. En efeceˆα eαβ = δβα de R 2 : to, son la imagen de los vectores de la base cartesiana   ∂α φ (u) = [d φ (u )]( eˆα ). 

{

}

{

|

}

Definicion ´ 2 .2.7 1. eα (u) = ∂ α φ (u ) es la base can´onica de Tx M asociada a la carta φ.

{

notas gdc (v. 1.0)

}

2–11

Tema 2 . Superficies en el espacio 2. Las curvas  φ (u1 , u20 ) y φ (u10 , u2 ) con u10 y u20 constantes reciben el nombre de

curvas coordenadas. Notemos que si v = v α eˆα es un vector de  v

R

2,

entonces

= [dφ(u )]( v) = v α ∂αφ(u ) = v αeα (u)

∈ Tx M. 

Proposici´on 2 .2.8 Si φ (u ) y φ (v) son dos cartas que contienen a un punto x, entonces las bases canonicas eα y eα de ambas cartas est a ´ ´ n relacionadas por la siguiente expresi´on: ∂v β  eα ( u) = e (v ), ∂uα β donde v α = (φ − 1 )α [φ (u)] . Por tanto, Tx M es independiente de la carta.

{ } { }

Demostracion. ´ Si las ca rtas φ(u ) y φ (v ) contienen a x, entonces son compatibles, es decir, φ− 1 φ es C ∞ y, por tanto, la relaci´ on entre u y v dada por vα = (φ − 1 )α [φ (u)] es C ∞ . La aplicaci on ´ de la regla de la cadena proporciona el resultado. 

◦

Definicion ´ 2 .2.9 Sea x M. Se denomina vector normal a M en x a cualquiera de los dos vectores

∈

unitarios νˆx perpendiculares a Tx M. Proposicion ´ 2 .2.10 Sea φ una carta de M, eα la can´onica del plano tangente asociada a φ y sea  αβ el s´ımbolo de Levi-Civita bidimensional.2 Entonces,

{ }

αβeα

× eβ |αβeα × eβ | . Puesto que {eα , α = 1, 2} son vectores linealmente independientes νˆx =

Demostracion. ´ del plano tangente (Proposici´on 2.2.6), su producto vectorial es normal al mismo.  — 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

Proposicion ´ 2 .2.11  (v ) son dos cartas que contienen a x, entonces Si φ (u) y ψ

νˆx (u) = Demostracion. ´ Obvia.



|   | J J

v u v u

νˆx (v).

s´ımbolo de Levi-Civita bidimensional αβ es tal que 12 = Ap´endice A). 2 El

2–12

−21 = 1,

11 = 22 = 0 (ver

notas gdc (v. 1.0)

2.2. Plano tangente

´ 2.2.12 Proposicion 3 R F (x ) = 0,  F (x ) = 0 . Sea M definida en impl´ıcitas por M = x M. Entonces Tx M es el espacio ortogonal Sea W un abierto de R y sea x a  F (x ) y  F (x )/  F (x ) es un vector normal a M en x. En otras palabras, Tx M = ker [ dF (x )] .

∇

∇

´ Demostracion.

|∇

{ ∈

∈

|

|

∇

 }

Sea α(t ) una curva de M que pasa por x y sea f (t) = F [α(t)] .

Puesto que f (t ) = 0, su derivada tambi e´ n se anula: 0 = ∂ t f (0) =  F (x ) ∂tα (0) = dF (x )[ ∂tα (0)] .

∇

·

Por tanto, vemos que cualquier vector ∂ tα(0) del plano tangente Tx M es perpendicular a  F (x ), luego  F (x ) es un vector perpendi cular al plano tangente. 

∇

∇

Ejercicio 2.2.13 Calcular el vector normal al paraboloide del Ejercicio 2 .1.11 con las dos cartas  φ(u )

= ( u 1 , u 2 , ( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 ),

 ( v ) = ( v1 cos v2 , v1 sen v2 , ( v1 )2 ) ψ

y comprobar que se cumplen las leyes de transformaci´ on de la Proposici´on 2 .2.11. Solucion. ´ La base can onica ´ del plano tangente para la primera carta es

∂1φ(u ) = e1 = (1, 0, 2 u1 ),

∂2φ (u) = e2 = (0, 1, 2 u2 )

y, para la segunda, tenemos ∂1  ψ(v) = e1  = (cos v2 , sen v2 , 2v1 ), ∂2  ψ(v) = e2  = ( v1 sen v2 , v1 cos v2 , 0).

−

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Ahora calculamos la matriz ∂u β /∂vα y comprobamos que es la que da la transformacion ´ entre estas dos bases. Para ello, escribimos la funci on ´ de transici o´ n  ( v )] : u α ( v ) = (φ −1 ) α [ ψ 1

1 1 

1

2

u (v) = (φ− ) [ψ(v )] = v cos v ,

2

1 2 

1

2

u (v) = (φ− ) [ψ(v )] = v sen v .

Es inmediato ver que esta aplicaci o´ n es de clase C ∞ , como asegura la Proposici o´ n 2.1.12. Escribimos la matriz jacobiana ∂u β = ∂vα notas gdc (v. 1.0)



cos v2 sen v2

−v1 sen v2 v1 cos v2

 2–13

Tema 2 . Superficies en el espacio y comprobamos que se cumple ∂ ψ ∂u β ∂φ = , ∂vα ∂vα ∂u β es decir, 2

1

2

e1 e2

cos v sen v2

v −vv1 sen cos v2

1 0 0 1 2u1 2u2

cos v2 sen v2

−v1 sen v2

 ↑↓ ↑↓      

v1 cos v2

=

e1

e2

=

cos v2 sen v2 2v1

  ↑↓ ↑↓   − 

v1 sen v2 v1 cos v2 0

 

.

Calculamos ahora los vectores normales νˆx (u) y νˆx (v). Utilizamos la ecuaci on ´ de la Proposici´on 2 .2.10. Comprobaremos que, salvo el posible signo del jacobiano de la transformacion, ´ ambos coinciden. νˆx (u ) = νˆx (v ) =

−

1

 

2u1 ,

4 ( u1 ) 2 + 4 ( u2 ) 2 + 1 1 2v1 cos v2 , 1 2

4(v ) + 1

−  −

J ( uv )

∂u β ∂v α

−2u2,

1



2v1 sen v2 , 1



El jacobiano de la transformaci on, , vale v 1 > 0, pues ´ = det nos da el radio de las circunferencias resultantes de cortar el paraboloide con el plano z = (v1 )2 (m´as tarde, veremos que estas circunferencias son l ´ıneas de curvatura y adem a´ s geod e´ sicas). Por todo esto, los dos vectores normales calculados antes tienen que coincidir tanto en direcci´on como en sentido. Aplicando el camψ(v)] comprobamos que, efectivamente, esto es bio de par´ametros u α (v ) = (φ−1 )α [  as´ı. 

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

2.3.

Aplicaciones diferenciables

2.3.1.

De una superficie en

R

v 1 . Adem a´ s,

3

´ 2 .3.1 Definicion 3 R una aplicaci on Sea g : M ´ de una superficie M en el espacio. Diremos que g M si y solo si para toda carta (U , φ, W ) de M que es diferenciable en un punto x 3  φ(U ), se verifica que g φ : U R es una contenga a x, es decir, tal que x ∞ aplicaci´on de clase C .

→

2–14

∈

∈

◦

→

notas gdc (v. 1.0)

2.3. Aplicaciones diferenciables

Probar con todas las cartas no es tarea sencilla. La siguiente proposici on ´ soluciona este problema. ´ 2.3.2 Proposicion g es diferenciable en x M si existe una carta φ de M que contiene a x y tal que 3 ∞ g φ : U R es una aplicaci´on C .

◦

∈

→

Demostracion. ´ Dada la carta φ que contiene a x tal que g φ es C ∞ , cualquier  que contenga a   es C ∞ . otra carta ψ x ser´a compatible con φ y, por tanto, φ−1 ψ − 1 ∞  Entonces, ( g φ ) (φ ψ) = g  ψ es C , lo que nos permite concluir que g es diferenciable en x. 

◦ ◦

◦

◦

◦

◦

´ 2 .3.3 Definicion La aplicacio´ n g es diferenciable si y solo si lo es en todos los puntos de M. Corolario 2 .3.4 Sea A un atlas de M. La aplicaci´on g es diferenciable si, para cada carta φ de A, g φ es de clase C ∞ .

◦

2.3.2.

Entre superficies de

R

3

Definicion ´ 2 .3.5 N una aplicaci o´ n entre dos superficies de Sea f : M

→

1. La aplicaci´on f es diferenciable en el punto

aplicacion ´ de M en

R

 x

3.

∈

R

3.

M si y solo si lo es como

2. La aplicaci´on f es diferenciable si y solo si lo es en todos los puntos de M. 3. La aplicaci on ´ f es un difeomorfismo si y solo si es biyectiva, diferenciable y su

inversa tambi´en lo es. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

´ 2.3.6 Proposicion Sea f : M N una aplicaci o´ n diferenciable y sean x

→

1

∈ M, y = f (x) ∈ N.







. Si α es una deaci unon de arco curva Mde talNque f parametrizaci´on α es una parametriz y. entonces ´ arco de un deen curva y f αα(0(0) ) = = x, En otras palabras, f [α(t)] es una parametrizaci´on en N y f [α(0)] = y.

◦

◦

→

Ty N que cumple la siguien2. Existe una aplicaci on ´ lineal Tx f : Tx M Γ(x; M ), entonces Tx f [ ∂tα(0)] = ∂t ( f α)(0), es decir, te condici´on: si α

∈

Tx f [∂tα(0)] = ∂ t f [α(0)] . notas gdc (v. 1.0)

◦

2–15

Tema 2 . Superficies en el espacio 3. Si  φ es una carta de M y x = φ(u ), entonces Tx f = d ( f

Por tanto, si v =

v αeα (u )

◦ φ)(u) ◦ (dφ)−1 (u).

es un vector de Tx M, entonces se verifica que

Tx f (v ) = v α ∂α f [φ (u )] = v α (eα

· ∇) f (x) = v α d f (x)(eα ) = d f (x)(v).

Es decir, Tx f = d f (x ). Demostracion. ´ Sin demostraci o´ n.  ´ 2 .3.7 Definicion Diremos que Tx f es la aplicaci´on lineal tangente a f en x. ´ 2 .3.8 Proposicion Sean M N dos superficies de

⊂

R

3.

→

∀ ∈M

N tal que j (x ) = x es diferenciable y x Tx N cumple que Tx j(v ) = v. la aplica cio´ n lineal tangente Tx j : Tx M

1. La aplicaci on ´ inclusion ´ j: M

→

2. Si M = N , la identidad es diferenciable y su aplicaci

o´ n lineal tangente en

cada punto x es la identidad de Tx M.

∀x ∈ M.

3. Tx M = Tx N ,

4. M es un abierto de N

Demostracion. ´ 1. La aplicaci on ´ identidad 11 :

R

3

→

R

3

es C ∞ y su restricci on ´ a M es j, luego

obtenemos directamente el resultado. 2. Es consecuencia del apartado anter ior. 3. Hemos visto que Tx M es un subespacio vectorial de Tx N . Como tienen la

misma dimensi´on, tienen que ser el mismo.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

4. Sin demostraci on.  ´

Corolario 2.3.9 N y g: N P dos aplicaciones diferenciables en x Sean f : M respectivamente. Sea h = g f .

→

→

◦

∈ M y y = f (x),

1. h es diferenciable en x. 2. Tx h = Ty g 2–16

◦ Tx f . 

notas gdc (v. 1.0)

2.4. Orientabilidad 3. Si f y g son diferenciables, entonces h tambi´en lo es.

Corolario 2 .3.10 N es un difeomorfismo, entonces Tx f : Tx M Si f : M de espacios vectoriales.

→

→ Ty N es un isomorfismo 

´ 2 .3.11 Definicion Dos superficies son isomorfas si y solo si existe un difeomorfismo entre ellas.

Puesto que la composici´on de difeomorfismos es un difeomorfismo (seg´un el Corolario 2 .3.9), la difeomorf´ıa es una relaci on ´ de equivalencia entre en el conjunto de las superficies.

2.4.

Orientabilidad

Definicion ´ 2 .4.1 Sea φ una carta de M y sea eα la base can onica del plano tangente asociada ´ la carta φ. Se denomina aplicaci´on de Gauss local para la carta φ a la aplicaci o´ n 3 R tal que ν ˆφ (u ) = νˆx , donde x = φ(u ). M´as expl´ıcitamente, νˆφ : U

{ }

→

 αβeα (u) νˆ (u ) =  αβeα (u)  φ

|

e β ( u)

× eβ (u)| .

Definicion ´ 2 .4.2 Se dice que M es orientable si y solo si existe una aplicaci´on diferenciable νˆ : M tal que x M, νˆ (x ) es un vector unitario normal a M en x.

∀ ∈

→

R

3

´ 2 .4.3 Definicion Una superficie orientada es el par ( M, νˆ ). ´ 2 .4.4 Definicion La aplicacio´ n νˆ recibe el nombre de aplicaci´on de Gauss . — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

´ 2.4.5 Proposicion 1. Si M admite un atlas con una sola carta, entonces M es orientable. 2. Si M admite un atlas con dos cartas

 φ1

y φ2 tales que φ1 (U1 )

 φ2 (U2 )

es

∩

conexo, entonces M es orientable. Demostracion. ´

 M, entonces la aplicaci o´ n de Gauss φ : U νˆ (x ) = νˆφ [φ −1 (x )] es diferenciable ya que νˆφ = νˆ φ lo es (Corolario 2.3.4). Adem´as, νˆ (x ) es un vector normal en cada punto.

1. Si tenemos una sola carta

notas gdc (v. 1.0)

→

◦

2–17

Tema 2 . Superficies en el espacio 2. Sin demostraci on.  ´

Proposicion ´ 2 .4.6 Una superficie es orientable si y solo si existe un atlas tal que para cada par de cartas compatibles el jacobiano del cambio de carta es positivo, es decir, det(∂vα /∂u β ) > 0, donde v α = (ψ−1 )α [φ (u)] . Demostracion. ´ Si la superficie es orien table, entonces en cada punto x existe al

menos una carta φ que contiene a x = φ (u ) y en la que νˆ (x ) = νˆφ (u) puesto que ambos vectores son perpendiculares a Tx M y unitarios; mediante la elecci on ´ adecuada del orden de los vectores de la base can onica asociada a φ, siempre podemos ´ elegir el signo +. Consideremos la funci on ´ continua f (x ) = νˆ (x ) νˆφ (u) = 1. Al

±

·

 que tambi e  ( v ), cambiar de la carta φ a la carta compatible ψ ´ n contiene a x = ψ

·

1 = f (x ) = νˆ (x ) νˆψ (v ) =

|

J ( uv ) J ( uv ) ˆ x ˆ u ν (  ) ν ( ) = .  φ J ( uv ) J ( uv )

·

|

|

|

Luego el jacobiano de la transformaci o´ n es siempre positivo.  ( v ), se verifica J ( u ) > 0, entonces podeSi para dos cartas compatibl es φ(u ) y ψ v mos definir la aplicaci´on de Gauss

J ( uv )

νˆ (x ) = νˆφ (u ) =

νˆψ (v ) = νˆψ (v ).

u

|

J( v )

|

Esta aplicaci´on es diferenciable pues lo es en cada carta y no cambia de direcci´ con el cambio de carta al ser el jacobiano positivo. 

on

Ejemplo 2.4.7 La cinta de M obius (Figura 2 .6) no es orientable. ¨ ´ 2 .4.8 Proposicion La superficie definida en impl ´ıcitas M = orientable. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

{x ∈

R

3

|

F (x ) = 0,

∇ F(x) = 0} es

Demostracion. ´ Sea K el conjunto de todos los puntos de R 3 tales que  F = 0. 3 El conjunto K es un abierto que contiene a M. La aplicaci on R tal que ´ g : K ∞    g (x ) = F (x )/ F (x ) es C . Adem a´ s, g(x ) es ortogonal a Tx M y, por ultimo su ´

∇

|∇

→

|

∇ 



restricci´on a M es la aplicaci on ´ de Gauss νˆ buscada. Por tanto, M es orientable. ´ 2 .4.9 Proposicion La aplicacio´ n de Gauss νˆ : M S2 entre una superficie orientable ( M, νˆ ) y la esfera 2 de radio unidad S es diferenciable.

→

Demostracion. ´ Por definici ´on, νˆ : M S2 R 3 . 

⊂

2–18

→

R

3

es diferenciable, luego lo es en

notas gdc (v. 1.0)

2.5. La primera forma fundamental

Figura 2 .6: Cinta de M obius. ¨

{

Ejercicio 2.4.10 Demostrar que M = ( x, y, z ) superficie orientable y definir una orientaci on. ´

∈

R

3

: 2x 2

− y2 − 2z2 = 2} es una

Solucion. ´ El conjunto no es vac ´ıo y su gradiente es  F = 2(2x, y, 2z ), que no se anula en ning un ´ punto de M. Por la Proposici o´ n 2.4.8, esta superficie es orientable y podemos escoger la aplicaci´on de Gauss como la restricci´on a M de la aplicaci´on g ( x ) =  F/  F : 1 νˆ : M S2 , ( x, y, z ) (2x, y, 2z).  4x 2 + y 2 + 4z2

∇

− −

∇ |∇ |

−→

2.5. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

→

− −



La primera forma fundamental

Notaci´on: Sea eˆi la base ortonormal can´onica de R3 . Esta base es fija y determinada a priori . Sea eα (u) = ∂αφ (u) la base can´onica de Tx M asociada a la carta φ tal que φ(u ) = x. Esta base depende del punto x de la superficie en el que  = i ˆ = α ( ) ( ) estamos estudiando el plano tangente. Entonces, v v ei v u eα u . Definicion ´ 2 .5.1 Sea M una superficie y sea x M. Definimos la primera forma fundamental gx de M en x como la restricci o´ n al plano tangente Tx M del producto escalar eucl ´ıdeo. Es decir, gx es la forma bilineal gx : Tx M Tx M R tal que gx ( v, w ) =  v w  o, en otras palabras, es el tensor m e´ trico en Tx M.

{ }

{

}

∈

⊗

notas gdc (v. 1.0)

→

·

2–19

Tema 2 . Superficies en el espacio Definicion ´ 2 .5.2 Dada una carta φ, tal que φ (u) = x, llamamos primeros coeficientes fundamentales de la carta φ a las funciones C ∞ gαβ : U R tales que

→ gαβ (u ) = ∂ αφ (u ) · ∂ βφ (u ) = eα (u) · e β (u),

es decir, los primeros coeficientes fundamentales son las componentes del tensor m´etrico gx en la base can onica de Tx M asociada a la carta φ. ´ Proposicion ´ 2 .5.3  (u ) los Sean φ y φ dos cartas de M y sea x = φ (u) = φ (u  ). Sean gαβ (u) y gαβ

primeros coeficientes fundamentales para φ y φ , respectivamente, en el punto x. Entonces,  (u ) = gγδ (u)[ d(φ−1 φ )( u )] γα [d(φ−1 φ )( u )] δ . gαβ β

◦

◦

Puesto que φ−1 ◦ φ  es la funci o´ n de transici o´ n que relaciona u y u  , es decir,  = gγδ ∂α uγ ∂ uδ , donu (u ) = (φ−1 ◦ φ  )( u ), Podemos escribir abreviadamente, g αβ β   β β α de ∂ α u = ∂u /∂u es la matriz de cambio de base en el espacio tangente Tx M. Ejercicio 2 .5.4 Demostrar esta proposici´on. Proposicion ´ 2 .5.5 Sea φ una carta de M y α una parametrizaci´on regular contenida en φ. Sea γ una

parametrizaci´on regular plana tal que α = φ γ. Entonces, 1. ∂tα(t ) =

∂ t γα (t)∂αφ[ γ(t )]

= ∂t

γ α (t )e

◦

α [γ ( t)] .

2. La longitud de la curva α es

sα = ´ Demostracion.

  b

a

dt

gαβ [γ (t)] ∂t γα (t)∂t γ β (t).

1. Obvia. —

2. La longitud de la curva est´a dada por s =

√ es v (t ) = ∂ α · ∂ α =

5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

t

t



∂t

γα ∂



v(t )dt. El m´odulo de la velocidad

β t γ eα e β . 

·

Definicion ´ 2 .5.6 Sean α(t ) y β (t ) dos parametrizaciones regulares de una carta φ de M que se cortan en un punto x de la carta φ. Definimos el angulo ´ formado por las dos curvas en x como el a´ ngulo formado por sus vectores tangentes en x. Por tanto,

cos θx =

2–20

gx (∂tα, ∂t β)



gx (∂tα, ∂tα)



gx (∂t β, ∂ t β )

=

g ∂ t α α ∂ t β β

√∂ αα ∂αβα t

t α



∂ t β β ∂ t β β

,

notas gdc (v. 1.0)

2.5. La primera forma fundamental

φ(D)

φ(C )

φ( B)

φ( A )

A

= (0, π /2 ),

B

= (π /4, π /2 )

C

= (0, π /4 ),

D

= (π /4, π /4 )

Figura 2.7: Esfera y espacio de par´ ametros con las curvas del enunciado del Ejercicio 2 .5.10.

donde, como ya hemos indicado, α(t ) = α i (t)eˆi = α α (t)eα (u ). ´ 2 .5.7 Definicion Sea φ una carta de M y R una regi´on contenida en φ. Definimos el ´area de la regi´on R como el n´umero real no negativo

A( R ) =



 φ 1 ( R)

−

d2 u



det gαβ (u) =



 φ 1 ( R)

−

d2 u e1

| × e2 |.

Para probar la igualdad, basta con notar que

(u

× v) · (w × z) = (u · w )(v · z) − (u · z)(v · w ).

Proposicion ´ 2.5.8 El a´ rea de una regi´on R es independiente de la carta elegida. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Ejercicio 2.5.9 Demostrar esta proposici´on.

Ejercicio 2.5.10 En una esfera de radio R parametrizada parcialmente por la carta = ( R cos u1 sen u2 , R sen u1 sen u2 , R cos u2 ), consideramos las siguientes curvas (Figura 2 .7):

 φ (u)

El ecuador, dado por u 2 = π /2, 0

<

u1

<

El meridiano 0, dado por u 1 = 0, 0 < u 2 notas gdc (v. 1.0)

2π .

<

π. 2–21

Tema 2 . Superficies en el espacio Un paralelo dado por u 2 = π /4, 0

<

Un meridiano dado por u 1 = π /4, 0

u1 <

<

u2

2π . <

π.

Estas cuatro curvas delimitan una superficie cerrada en la esfera. Determinar su a´ rea, per´ımetro y angulos ´ de corte. ´ Solucion. Empezamos por calcular la primera forma fundam ental, a partir de la base del plano tangente e1

= ( R sen u1 sen u2 , R sen u2 cos u1 , 0),

e2

= ( R cos u1 cos u2 , R cos u2 sen u1 ,

−

−R sen u2 ),

de donde podemos obtener gαβ : g11 = R 2 sen2 u2 ,

g22 = R2 ,

g12 = 0.

Utilizamos la Definici on ´ 2.5.7, en donde φ−1 ( R ) = (0, π /4 ) (π /4, π /2 ). El a´ rea es π /4 π /2 R2 π R2 sen u2 du 1 du 2 = . 0 π /4 32 Notese ´ que el integrando, R2 sen u2 , es precisamente el jacobiano de la transformaci´on de cartesianas a polares esf´ericas, como cabr´ıa esperar. Para el per´ımetro,

×

 

√

necesitamos las curvas en el espacio de par´ ametros, que son γ1 (t ) = (t, π /2 ), γ2 (t ) = (0, t), γ3 (t ) = (t, π /4 ),

γ4 (t ) = (π /4, t).

Seg un ´ la Definici o´ n 2 .5.5, la longitud de las curvas transportadas a la superficie es l1 =

l2 =

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

 

π /4 0 π /2 π /4

   

1 0

0 1

 

l4 =

2–22

 

0 π /2 π /4

π 2

2 π 4

1 0

0 1

dt =

dt =

π /4 0 π /2

π /4

R dt =

R dt =

π R, 4 π R, 4

π /4

1 0

R sen 0

0 1

R2 sen2 t 0 0 R2

     

     

0 R2

R2 sen2 t 0 R2 0 2

π /4

l3 =

R2 sen2 0

     

R02

10

0 1

dt =

dt =

0 π /2

π /4

12 R dt = π 8 R, R dt =

π R. 4

notas gdc (v. 1.0)

2.6. Geod´esicas

El per´ımetro es l 1 + l2 + l3 + l4 = 78 R2 . Finalmente, para los a´ ngulos basta aplicar la Definicion ´ 2 .5.6 y se ve enseguida que todos los cortes son ortogonales. En todo este ejercicio, no ha sido necesario escribir la parametrizaci´ on las curvas tridimensionales: su forma en el espacio de par´ ametros y la m´etrica han sido suficientes para obtener toda la informaci on ´ necesaria.  2 5 11 Calcular a´ rea y per ´ımetro del tri a´ ngulo delimitado por los puntos Ejercicio  φ (C ), φ ( D ). y. el polo norte del ejercicio anterior. ¿Cu a´ nto suman sus a´ ngulos?

2.6.

´ Geod esicas

´ 2 .6.1 Definicion Decimos que una curva C de M es geod´esica si y solo si admite una parametrizaci o´ n regular α tal que el vector aceleraci o´ n a (t) = ∂2tα (t ) es ortogonal al plano tangente Tα(t) M para todo t. La parametrizaci on ´ α recibe el nombre de parametrizaci´on geod´esica. Proposicion ´ 2.6.2 Una curva regular y sin puntos de inflexi o´ n C de M es geod e´ sica si y solo si en

cada punto de C el plano osculador a C es ortogonal al plano tangente a M. ´ Demostracion. Sea α una parametrizacion ´ geod e´ sica de C. Entonces, a es ortogonal a Tx M y, por tanto, b = v a, que es perpendicular al plano osculador, es un generador (junto con v) de Tx M.

×

Si el plano osculador es ortogonal a Tx M, elegimos una parametrizaci´on natural de C. Entonces b = vˆ a, que es perpendicular al plano osculador, pertenece a ˆ es Tx M. Por tanto, a es ortogonal a b y, por ser α natural, tambi´en es ortogonal a v, decir, es ortogonal a Tx M. 

×

α

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

´ 2.6.3 Proposicion Sea C una curva geod e´ sica. Una parametrizaci on ´ α de C es geod e´ sica si y solo si el mo´ dulo de su velocidad es constante. En particular, cualquier parametrizaci o´ n natural de una curva geod e´ sica es geod e´ sica. Demostracion. ´ Notemos que

∂t v (t) = ∂ t

—



 v ( t )2

·

= v(t ) a (t)/v (t).

·

Si α es una parametrizaci´on geod´esica, entonces v (t) a(t) = 0, puesto que Tα(t) M, luego ∂ t v(t ) = 0.

 v (t)

∈

notas gdc (v. 1.0)

2–23

Tema 2 . Superficies en el espacio Si ∂t v (t) = 0, entonces a es perpendicular a v. Adem a´ s, por ser C geod´esica, el plano osculador a C es perpendicular al plano tangente a M y, por tanto, el vector v a, que es perpendicular al plano osculador, est´ a en el plano tangente. El plano tangente est´a generado por v y v a, ambos perpendiculares a a, luego a es perpendicular al plano tangente: α es geod´esica. 

×

×

Proposicion ´ 2 .6.4 Sea M una superficie definida en impl´ıcitas por F (x ) = 0. Una curva C de M es geod´esica si y solo si su longitud de arco es extrema.



´ Demostracion. Sea α una parametrizaci on ´ de C. Su longitud ser a´ s = dtv (t). La condicion ´ de extremo se traduce en las ecuaciones de Euler-Lagrange para este funcional con la ligadura de que α est´e contenida en la superficie. Introducimos esta condici´on con un multiplicador de Lagrange: s = dt [v (t) + λF (α(t))] . As´ı las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan δs/δα i (t ) = 0:



∂t tˆ

− λ∇ F[α(t)] = 0.

Puesto que  F =  F νˆ es perpendicular al plano tangente Tx M y la primera ˆ las ecuaciones de Euler-Lagrange se ecuaci´on de Frenet nos dice que ∂t tˆ = vκ n,

∇

|∇ |



reducen a que nˆ = νˆ es perpendicular a Tx M (y λ = longitud extrema si y solo si nˆ (t) Tx M.

±

⊥

± vκ /|∇F|). As´ı, C tiene

Por otro lado, a = v 2 κ nˆ + ∂ t v tˆ. Por tanto, si y solo si escogemos una parametrizacion ´ β de C de velocidad constante (por ejemplo, una parametrizaci o´ n natural), entonces a ∝ nˆ Tx M. As´ı, C es geod e´ sica si y solo si alguna parametrizaci on ´ de C tiene aceleraci´on perpendicular al plano tangente si y solo si satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange si y solo si C tiene longitud extrema. 

⊥

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Proposicion ´ 2 .6.5 Sea x un punto de la superficie M y ξ un vector no nulo de Tx M. Entonces, existe una parametrizacion ´ geod e´ sica de M que pasa por x y cuya velocidad en x es ξ . Demostracion. ´ Sin demostraci´on.



Ejemplo 2.6.6 Todas las rectas son geod´esicas, lo que ya nos sirve para encontrar varios ejemplo s en las superficies que han ido apareciendo. En el helicoide (Figura 2.1), por ejemplo, son geod e´ sicas el eje vertical y todos los radios ( u2 constante). En el paraboloide hiperb´olico (Figura 2 .5), es geod e´ sica la curva α3 . En una esfera, las geod e´ sicas son los c ´ırculos m´aximos. 2–24

notas gdc (v. 1.0)

2.7. La segunda forma fundamental

2.7.

La segunda forma fundamental

Consideremos una superficie orientada ( M, νˆ ). Vimos que la aplicaci on ´ de S2 es diferenciable. Gauss νˆ : M

→

´ 2.7.1 Proposicion La aplicacio´ n lineal Tx νˆ : Tx M

Tx M es un endomorfismo.

→

Demostracion. ´ Tyˆ S2 donde Sea la apl icaci ´on lineal tangente Tx νˆ : Tx M yˆ = νˆ (x ) de la aplicaci´on de Gauss. Un vector v R3 pertenece a Tyˆ S2 si y solo si ˆ es decir, al propio y. ˆ Por tanto, v Tyˆ S2 es perpendicular a la normal a S2 en y, 2 2 si y solo si v Tx M. Luego Tyˆ S = Tx M y Tx νˆ : Tx M Tyˆ S = Tx M es un endomorfismo. 

→

∈

∈

∈

→

´ 2 .7.2 Definicion Se llama operador de Weingarten de la superficie orientada ( M, νˆ ) en el punto x Tx M tal que Sx (v) = Tx νˆ (v ). al endomorfismo Sx : Tx M

→

−

´ 2.7.3 Proposicion Sea φ una carta de M tal que x = φ (u ). Si v = v αeα

Sx (v) = Demostraci´on. Obvia.

∈M

∈ Tx M, entonces 

−vα ∂α νˆ [φ(u)] = −vα (eα · ∇ )νˆ (x).



Ejercicio 2.7.4 Calcular el operador de W eingarten en el punto y = (1,0,0 ) para la superficie del Ejercicio 2 .4.10. Soluci´on. La diferencial de la aplicaci o´ n de Gauss en el punto y es

d νˆ (y ) = — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

 

∂1 νˆ 1 ∂2 νˆ 1 ∂3 νˆ 1 ∂1 νˆ 2 ∂2 νˆ 2 ∂3 νˆ 2 ∂1 νˆ 3 ∂2 νˆ 3 ∂3 νˆ 3

  

= (1,0,0)

 

0 0 0

0

− 12

0

  − 0 0 1

.

Ty M. Para calcular el operador de Weingarten, tenemos que hallar una base de Podemos hacerlo a partir del gradiente en y,  F (y) = (4,0,0 ). Dos vectores ortogonales a e´ ste son

∇

e1

—

= (0,1,0 ),

e2

= (0,0,1 ).

La aplicaci´on lineal Ty νˆ es la restricci´on de la diferencial anterior al plano tangente. Por lo tanto, las im´agenes de los vectores e1 y e2 a trav´es del operador de Weingarnotas gdc (v. 1.0)

2–25

Tema 2 . Superficies en el espacio ten, Sy (eα ) =

−Ty νˆ (eα ) son iguales a −[dνˆ (y)](eα ): 

−[dνˆ (y)](e1 ) = 



−[dνˆ (y)]( e2 ) =

  

1 2

0 0 0 12 0 0 0 1 1 2

0 0 1 2

0 0 0 0 1

        0 1 0

0

=

1 2

0

0 0 1

    

1 = e1 , 2

0

=

0 1



= e2 .

  1 2

0 . 0 1

Por lo tanto, la matriz del operador de Weingarten resulta ser



Definicion ´ 2 .7.5 Se llama segunda forma fundamental de la superficie orientada ( M, νˆ ) en el punto  x M a la forma bilineal sim e´ trica Lx : Tx M Tx M R tal que a cada par de vectores v1 y v2 asigna el n umero real Lx (v1 , v2 ) = Sx (v1 ) v2 . ´

∈

×

→

·

Notas: L es bilineal puesto que Sx es lineal. L es tambi´en sim´etrica; puesto que es bilineal, basta probarlo con los elementos de la base, lo que ya se hace a continuacio´ n. Proposicion ´ 2 .7.6 Sea φ una carta de M tal que x = φ (u ) y eα (u ) la base can onica de Tx M asociada ´ a φ. Entonces, las componentes L αβ (u ) de la forma bilineal Lx son

{

}

L αβ (u ) = Lx (eα (u), e β (u)) = νˆφ (u ) ∂α ∂ βφ(u ) = νˆφ (u ) ∂αe β .

·

·

´ Demostracion. Dada una cart a φ que contenga a x con eα = ∂αφ, tenemos Lx (eα , e β ) = Sx (eα ) e β = ∂α νˆ e β = νˆ ∂αe β ya que νˆ eα = 0. Por tanto, Lx (eα , e β ) = νˆ ∂α ∂ βφ. 

·

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

·

− ·

·

·

Definicion ´ 2 .7.7 R de la proposici´on anterior reciben el Las funciones de clase C ∞ Lαβ (u ) : U nombre de coeficientes de la segunda forma fundamental o segundos coeficientes fundamentales.

→

Es interesante notar que, si definimos los coeficientes S αβ (u) de la matriz del endomorfismo de Weingarten en la base canonica de la carta φ tal que φ (u) = x median´ te Sx [e β (u)] = S αβ (u )eα (u), entonces S αβ = gαγ Lγβ L αβ (ecuaci´on de Weingarten).

≡

2–26

notas gdc (v. 1.0)

2.8. Curvatura

Ejercicio 2.7.8 La pseudoesfera se puede parametrizar con la siguiente carta

φ (u1 , u2 ) = (sech u1 cos u2 , sech u1 sen u2 , u1

− tanh u1 ),

u1

≥ 0, u2 ∈ [0, 2π).

Calcular sus segundos coeficientes fundamentales. ´ Solucion. La base del plano tangente es e1 e2

= =

− −

cos u2 sech u1 tanh u1 ,

− sech u1 sen u2 tanh u1, 1 − sech2 u1



sech u1 sen u2 , cos u2 sech u1 , 0 .

Los primeros coeficientes fundamentales son g11 = tanh2 u1 ,

g12 = 0,



,

g22 = sech2 u1

y el vector normal es e1 × e2 e1 × e2 2 1 2 1 1 ||e1 × e2|| = det g = − cos u tanh u , − sen u tanh u , − sech u . Se puede comprobar que la norma de e1 × e2 es realmente igual a la ra ´ız del de-

νˆφ =







terminante de la primera forma fundamental. Ya tenemos todo lo necesario para,

aplicando la Proposicion ´ 2 .7.6, poder obtener los segundos coeficientes fundamentales: L11 = νˆφ (u ) ∂21φ (u ) =

· − sech u1 tanh u1, L22 = νˆφ (u ) · ∂22φ (u ) = sech u1 tanh u1 , L12 = L21 = νˆφ (u ) · ∂1 ∂2φ(u ) = 0. 



La pseudoesfera est´a representada en la Figura 2 .8.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

2.8. 2.8.1.



Curvatura Curvatura normal

Proposicion ´ 2.8.1 Sea α(t) una parametrizacion ´ contenida en la superficie orientada ( M, νˆ ). Entonces, Lα(t) [v (t), v(t )] = a (t) νˆ [α (t )] y, por tanto,

·

Lα(t) [v(t), v (t )] gα(t) [v (t), v(t)] notas gdc (v. 1.0)



·



= κ (t ) nˆ (t) νˆ [α(t)] . 2–27

Tema 2 . Superficies en el espacio

Figura 2 .8: Pseudoesfera.

´ Demostracion. Por la Proposici on ´ 2 .3.6,

·

−∂t νˆ [α(t)] · ∂tα(t). Teniendo en cuenta que νˆ · ∂tα = 0, obtenemos L[v, v] = νˆ · a. La segunda parte se obtiene notando que a = v 2 κ nˆ + ∂ t vtˆ y que tˆ · νˆ = 0.  Lα(t) [v (t), v(t)] = Sα(t) [ ∂tα(t )] ∂tα(t) =

´ 2 .8.2 Definicion Sea x un punto de la superficie orientada ( M, νˆ ). Se llama funci´on curvatura normal L (v, v) de M en x a la funci on 0 R tal que κ n,x ( v ) = x . ´ κ n,x : Tx M gx (v, v )

−{ } →

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

Si φ es una carta tal que φ(u ) = x, entonces κ n,x (v) =

Lαβ (u )v α v β . gγδ (u)vγ vδ

La funci on ´ κn,x (v) puede ser tanto positiva como negativa. Sea α una parame











n,x ( v ) = κ ( x ) n trizaci quea positiva v es un vector tangente en x. Entonces ˆ ( x )enνˆcaso (x) . νˆ y negativa As´ı, κn,o´xn(vtal ) ser´ si la parametrizaci´on se curva κhacia contrario.



·



Definicion ´ 2 .8.3 M y ξ Tx M. Se llama secci´on normal a M en x en la direcci´on de ξ a la Sea x curva C n (x, ξ ) interseccio´ n de M y el plano generado por ξ y νˆ (x ) que pasa por x.

∈

2–28

∈

notas gdc (v. 1.0)

2.8. Curvatura

´ 2.8.4 Proposicion Cn (x, ξ ) es un arco plano y ξ es un vector tangente a Cn (x, ξ ) en el punto x. Adem´as, νˆ (x ) y el vector normal nˆ (0) en x a cualquier parametrizaci o´ n α(t) de Cn (x, ξ ) tal que α(0) = x y son proporcionales, nˆ (0) = νˆ (x ). Por tanto, κ n,x (ξ ) = κ (0), es decir, la curvatura de una secci o´ n normal es igual al m o´ dulo de la funci o´ n curvatura normal de su vector tangente.

±

±



 

Demostracion. ´ Para cualquier parametrizaci´on α(t) de Cn ( x, ξ ), nˆ = ν: ˆ puesto ˆ νˆ y ξ est´an en el mismo plano, nˆ = λνˆ + que n, µ ξ . Por otro lado, nˆ y ξ son perpendiculares, luego nˆ y νˆ son proporcionales. 

±

Definicion ´ 2 .8.5 Sea C una curva de ( M, νˆ ). Se llama funci´on curvatura normal de C a la funci o´ n κn : C R tal que κ n ( x ) = κ n,x (v), donde v es cualquier vector tangente a C en x.

→

´ 2.8.6 Proposicion La funci on ´ curvatura normal de C verifica que κ n (x ) = κ (x )[ nˆ (x ) νˆ (x )] .

·

Demostracion. ´ Sea α una parametrizaci´on natural de C y tˆ su vector tangente. κ  x Entonces, n ( ) = κ n,x (tˆ) = κ (x )[ nˆ (x ) νˆ (x )] . 

·

Corolario 2 .8.7 La secci on ´ normal C n (x, ξ ) es la curva con menor curvatura κ (x ) de entre todas las curvas que pasan por x y tienen a ξ como vector tangente. ´ Demostracion. Para una secci on ´ normal en el punto x y en la direcci on ´ ξ , los vectores nˆ y νˆ son paralelos. Por tanto, su curvatura ser´a κ¯ (x ) = κn (x ) = κn,x (ξ ) . Para cualquier otra curva que pase por x con vector tangente ξ , la relaci o´ n entre su curvatura en x y su funci´on curvatura normal en x nos permite escribir κn,x (ξ ) = κ (x ) nˆ (x ) νˆ (x ) κ (x ). Luego vemos que κ¯ (x ) κ (x ). 

|

|

2.8.2.

|

|

·

|≤

| |

|

≤

L´ıneas de curvatura

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Notemos que el endomorfismo de Weingarten Sx es sim e´ trico y, por tanto, es diagonalizable en una base de autovectores ortonormales asociados a autovalores reales. Definicion ´ 2 .8.8 Se llaman curvaturas principales a los dos autovalores κ1 (x ) κ2 (x ) del endomorfismo de Weingarten y direcciones principales de curvatura a las definidas por los dos autovectores correspondientes, que son ortogonales.

≤

notas gdc (v. 1.0)

2–29

Tema 2 . Superficies en el espacio Teorema 2.8.9 Los valores m´aximo y m´ınimo de la funci´on curvatura normal de M son las curvaturas principales y se alcanzan en sus correspondientes direcciones principales. ´ Demostracion. Sea tˆ un vector unitario. Entonces, se verifica que gx (tˆ, tˆ) = 1 y κn,x (tˆ) = Lx (tˆ, tˆ) = Sx (tˆ) tˆ.

·

Si las curvaturas principales son iguales, entonces κn,x (tˆ) = κ1 (x ) = κ2 (x ) y todas las direcciones son principales. Supongamos que κ 1 (x ) = κ 2 (x ) y sean vˆ1 y vˆ2 los autovectores ortonormales de Sx . En esta base, podemos escribir tˆ = vˆ1 cos θ + vˆ2 sen θ, lo que implica que



Sx (tˆ) = κ 1 (x )vˆ1 cos θ + κ2 (x )vˆ2 sen θ. Por tanto, κn,x (tˆ) = Lx (tˆ, tˆ) = Sx (tˆ) tˆ = κ 1 (x ) cos2 θ + κ2 (x ) sen2 θ.

·

Puesto que κ 1 (x ) < κ 2 (x ), el valor m a´ ximo de esta funcion ´ se obtiene para θ = π /2 y el m´ınimo para θ = 0, lo que corresponde a las direcciones principales vˆ2 y vˆ1 respectivamente.  Proposicion ´ 2 .8.10 Sea φ una carta de M tal que φ (u) = x. El vector v = vαeα define una direcci o´ n principal si y solo si satisface la ecuaci´on ε αβ Lαγ g βδ vδ vγ = 0. Demostracion. ´ El vector v define una direcci´on principal si y solo si es autovector de S, es decir, si y solo si S (v) ∝ v, lo que ocurrir a´ si y solo si S (v) v = 0. En componentes, esta ecuaci on si tenemos en ´ se escribe ε αβ S αγ vγ v β = 0. Por ultimo, ´ α αδ cuenta que S γ = g Lδγ , se obtiene el resultado. 

×

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

´ 2 .8.11 Definicion Decimos que x es un punto umb´ılico de la superficie M si y solo si las curvaturas principales coinciden κ 1 (x ) = κ 2 (x ), es decir, si la funci on ´ curvatura normal κ n,x es constante en todo el plano tangente Tx M Definicion ´ 2 .8.12 Decimos que x es un punto plano si y solo si la funci o´ n curvatura normal κn,x es id´enticamente nula. Definici´on 2 .8.13 Una curva C es una l´ınea de curvatura de la superficie orientada ( M, νˆ ) si y solo si, en cada punto x de C, el vector tangente a C es un vector principal de M. 2–30

notas gdc (v. 1.0)

2.8. Curvatura

Obviamente, las l ´ıneas de curvatura son aquellas cuyos vectores tangentes satisfacen la Proposici on ´ 2.8.10 y la ecuaci on ´ diferencial εαβ Lαγ g βδ ∂t αδ ∂t αγ = 0 recibe el nombre de ecuaci´on diferencial de las l´ıneas de curvatura de ( M, ν) con respecto a la carta φ. ´ 2.8.14 Proposicion Las l´ıneas coordenadas son adem a´ s l´ıneas de curvatura si y solo si en cada punto

no umb´ılico de las mismas se satisfacen las condiciones: g12 = L12 = 0. Demostracion. ´ En los puntos umb´ılicos todas las direcciones son de curvatura y, en particular, las direcciones coordenadas. En los puntos no umb´ılicos, puesto que las direcciones principales son ortogonales y las l´ıneas coordenadas tienen como vectores tangentes los vectores de la base can onica, debemos exigir que e1 e2 = 0 ´ para que las l´ıneas coordenadas sean de curvatura. Adem´as, tanto e1 como e2 deben satisfacer la Proposicion ´ 2.8.10, lo que implica directamente que L12 = 0. Por otro lado, si g12 = 0 y L12 = 0, la ecuaci on ´ diferencial de las l ´ıneas de curvatura se satisface autom a´ ticamente para las l´ıneas coordenadas. 

·

Ejercicio 2.8.15 Demostrar que la suma de las curvaturas normales en un punto de una superficie orientada en cualquier par de direcciones ortogonales es constante. Solucion. ´ Si llamamos uˆ 1 y uˆ 2 a los dos autovectores unitarios del operador de Weingarten, que son por supuesto ortogonales, vemos que la suma de las curvaturas normales es κ1 + κ 2 . Ahora tomamos otra pareja de vectores ortogonales vˆ 1 y vˆ2 , de tal forma que vˆ1 forma un a´ ngulo α con uˆ 1 (y π /2 α con uˆ 2 ). A su vez, vˆ2 formar´a un ´angulo α con uˆ 2 y un ´angulo de π /2 + α con uˆ 1 . Es decir,

−

vˆ1 = uˆ 1 cos α + uˆ 2 sen α vˆ2 =

−uˆ 1 sen α + uˆ 2 cos α.

Calculamos ahora κ n,x (vˆ i ) — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

κn,x (vˆ1 ) = vˆ1 (κ1 cos αuˆ 1 + κ2 sen αu2 ) = κ 1 cos2 α + κ2 sen2 α,

· κn,x (vˆ2 ) = vˆ2 · (−κ1 sen αuˆ 1 + κ2 cos αu2 ) = κ 2 cos2 α + κ1 sen2 α. 

Y es claramente κ n,x (vˆ1 ) + κn,x (vˆ2 ) = κ 1 + κ2 para cualquier valor de α.



Ejercicio 2.8.16 Demostrar que α es l´ınea de curvatura si y solo si los vectores vα y ∂t νˆα son proporcionales. Ejercicio 2.8.17 Demostrar que una geod´esica plana sin puntos de inflexi´on es l´ınea de curvatura. notas gdc (v. 1.0)

2–31

Tema 2 . Superficies en el espacio ´ Solucion. Sea α una parametrizacio´ n natural de dicha curva. Por ser natural, sabemos que ∂ 2sα nˆα . Por ser geod e´ sica, ∂ 2sα νˆα . Como ambos son unitarios,



 nˆ α (s) = ± νˆα (s ). 



Si derivamos esta ecuaci o´ n y utilizamos las ecuacione s de Frenet y el hecho de que, por ser α una curva plana, la torsi´on es id´enticamente nula, obtenemos ∂s νˆα (s ) =

∓κα (s)tˆα (s). 



Y por lo tanto, teniendo el cuenta el Ejercicio 2 .8.16, α es l´ınea de curvatura.



Ejemplo 2.8.18 a) En el paraboloide (Figura 2.2), los c´ırculos horizontales y las par´abolas parametrizadas por (cos at,sen at, t2 ) son l´ıneas de curvatura (se corresponden con las l´ıneas coordenadas de la carta  ψ en el Ejercicio 2 .2.13). b) En la pseudoesfera (Figura 2.8), al igual que en la anterior, las l´ıneas coordenadas son de curvatura. c) Todas las curvas de la esfera son l´ıneas de curvatura. d) En el paraboloide hiperb´olico (Figura 2 .5), es de curvatura la l´ınea parametrizada por α2 .

2.8.3.

Curvatura de una superficie

´ 2 .8.19 Definicion 1. Se define curvatura de Gauss de la superficie orientada ( M, νˆ ) a la funci´on K: M R tal que K ( x ) = det Sx .

→

2. Se define

H:M

— 5 0 0 2

→

curvatura media de la superficie orientada ( M, νˆ ) a la funci´ on tal que H (x ) = tr Sx /2.

R

´ 2 .8.20 Proposicion Sea x un punto de ( M, νˆ ) y φ una carta de M tal que x = φ(u ). Entonces se verifican las siguientes propiedades:

y a r a g .j s i lu

1. K (x ) = κ 1 (x )κ2 (x )

—

3. H (x ) = tr ( g αβ L βγ )/2.

2. K (x ) =

y

H (x ) = [κ (x ) + κ2 (x )] /2.

det( Lαβ ) . det( gαβ )

Demostracion. ´ 2–32

notas gdc (v. 1.0)

2.8. Curvatura 1. Basta con escribir Sx en una base en la que sea diagonal (la de las direcciones

principales). Los elementos diagonales son κ 1 y κ 2 . 2. Obvio. 3. Obvio.  2.8.21 Proposici ´carta Sea φ unaon de ( M, νˆ ). Las funciones K K y H son continuas.

◦ φ y H ◦ φ son de clase C

∞

y, por tanto,

´ Demostracion. Lαβ (u ) y g αβ (u ) son de clase C ∞ y det ( gαβ ) no se anula. Luego, de la proposicion ´ anterior, se sigue el resultado.  Ejemplo 2.8.22 Un ejemplo de superficie con curvatura positiva es la esfera unidad, con K = 1 en todos sus puntos. Es tambi´en posible, por supuesto, una superficie con curvatura constante negativa; de hecho, la hemos visto ya: es la pseudoesfera (Figura 2 .8), que tiene K = 1, como se calcula trivialmente a partir de las formas fundamentales escritas en el Ejercicio 2 .7.8. El plano tiene, logicamente, K = 0 en todos sus puntos, ´ pero no es la unica superficie con esta propiedad, como veremos en el Tema 3 . ´

−

Como ejemplo de superficie con curvatura de Gauss variable, podemos tomar el helicoide (Figura 2.1). Se deja como ejercicio calcular la curvatura de Gauss de 2 esta superficie, que resulta ser K = c2 / c2 + (u1 )2 .

−

2.8.4.





Clasificaci on ´ local de las superficies

Definici´on 2 .8.23 1. x M es el´ıptico si y solo si K (x )

— 5 0 0 2

∈ > 0. 2. x ∈ M es hiperb´olico si y solo si K (x ) < 0. 3. x ∈ M es parab´olico si y solo si K (x ) = 0 pero x no es plano.

y a r a g .j s i lu

´ 2.8.24 Proposicion 1. Si x es el ´ıptico, entonces todos los puntos de la superficie en un entorno suficientemente pequeno ˜ de x est´an al mismo lado del plano tangente.

—

2. Si x es hiperb olico, entonces existen puntos de la superficie en un entorno ´

suficientemente pequeno ˜ de x que est´an en lados opuestos del plano tangente. ´ Demostracion. Sin demostraci o´ n. notas gdc (v. 1.0)



2–33

Tema 2 . Superficies en el espacio

C1 M2

C2 C3

M1

Figura 2 .9: Toroide.

Ejemplo 2.8.25 (Toroide) Vamos a utilizar el ejemplo del toroide (Figura 2.9) para ilustrar estos conceptos.

Una posible carta es





φ (u1 , u2 ) = ( R + r cos u2 ) cos u1 , ( R + r cos u2 ) sen u1 , r sen u2 . Las formas fundamentales son g11 = ( R + r cos u2 )2 , L11 =

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

−(R + r cos u2 ) cos u2,

g12 = 0, L12 = 0,

g22 = r 2 . L22 =

−r.

Bas´andonos en la Figura 2 .9, los puntos de la curva C 1 (circunferencia de radio R), son todos parab o´ licos. Los puntos cuya distancia al eje es menor que R (por ejemplo los de la curva C2 ) son hiperb olicos y aqu e´ llos cuya distancia al eje es ´ mayor que R son el´ıpticos. Esto se puede ver gr´aficamente, teniendo en cuenta el resultado de la Proposici´on 2.8.24, con ayuda de los meridianos M1 y M2 . Todas estas curvas son l´ıneas de curvatura, por lo que se ve claramente que en C 2 las dos curvaturas principales tienen signo contrario (se curvan hacia lados distintos las l´ıneas de curvatura) y en C 3 las dos tienen el mismo signo (pues C 3 y M1 se curvan hacia el mismo lado del plano tangente). 2–34

notas gdc (v. 1.0)

2.9. L´ıneas asint´oticas

2.9.

´ L´ıneas asintoticas

Definicion ´ 2 .9.1 Un vector v Tx M es un vector asint´otico de ( M, νˆ ) en x si y solo si se cumple que Lx (v, v ) = L αβ vα v β = 0, es decir, si Sx (v ) es ortogonal a v. La direcci´on definida por un vector asintotico recibe el nombre de direcci´on asint otica. ´ ´

∈

Proposicion ´ 2.9.2 1. Si x M es el´ıptico, ninguna direccio´ n de Tx M es asint´otica.

∈ 2. Si x ∈ M es hiperb´olico, existen exactamente dos direcciones asint´oticas en Tx M.

∈ M es parab olico, existe una unica direccion en Tx M. ´ ´ ´ asintotica ´ 4. Si x ∈ M es plano, todas las direcciones de Tx M son asintoticas. ´ 3. Si x





´ Demostracion. Sean vˆ α , α = 1, 2 los dos autovectores ortonormales del endoTx M se podr a´ escribir morfismo de Weingarten. Entonces, cualquier vector v como v = vα vˆ α y, por tanto, Lx (v, v) = (v1 )2 κ1 (x ) + (v2 )2 κ2 (x ). En funci´on del signo de K (x ) = κ1 (x )κ2 (x ), la ecuaci´on Lx (v, v) = 0 tendr´a dos soluciones (hiperbolico), una soluci on ´ ´ (parab o´ lico), ninguna (el ´ıptico) o todas (plano, es decir,

∈







κ1 ( x ) = κ 2 ( x ) = 0). Definicion ´ 2 .9.3 Una curva C de ( M, νˆ ) es una l´ınea asint otica ´ si y solo si en todos sus puntos el vector tangente define una direcci´on asint o´ tica. Proposicion ´ 2.9.4 La funci on es id e´ nticamente nula. ´ curvatura normal de una curva asint otica ´ ´ Demostracion. Sea tˆ(x ) el vector tangente a una l ´ınea asint otica. La funci on ´ ´ curvatura normal para esta curva es κ n (x ) = κ n,x (tˆ) = Lx (tˆ, tˆ) = 0. 

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Proposicion ´ 2.9.5 1. Una curva C de ( M, νˆ ) es una l´ınea asint´otica si y solo si, dada una carta  φ, admite una parametrizaci´on α(t) (con α = φ α) tal que

◦

α

β

Lαβ [ α(t)] ∂t α (t)∂t α (t) = 0. Esta ecuacion ´ recibe el nombre de ecuaci´on diferencial de las l´ıneas asint´oticas. 2. Por cada punto hiperb o´ lico pasan exactament e dos l´ıneas asintoticas. ´

Demostracion. ´ 1.– Obvia. notas gdc (v. 1.0)

2–35

Tema 2 . Superficies en el espacio 2.– Basta utilizar los teoremas de existencia y unidad de soluciones para ecuaciones

diferenciales.



´ 2 .9.6 Proposicion Las l´ıneas coordenadas son l´ıneas asintoticas si y solo si L11 = L22 = 0. ´ Demostracion. ´ Las l´ıneas coordenadas tienen como vectores tangentes los vectores e a de la base can´onica de Tx M. Para que sean direcciones asint´ oticas, debe

cumplirse que 0 = Lx (eα , eα ) = Lαα , α = 1,2.



Ejercicio 2 .9.7 Demostrar que todas las rectas son curvas asint oticas. ´ ´ Solucion. La curvatura de la secci on es nula. Esta ´ normal en una curva asint otica ´ curvatura es κn (x ) = κ (x ) nˆ (x ) νˆ (x ) ,



·



que se anula para una recta, que es lo que quer´ıamos demostrar.



Ejemplo 2.9.8 Las l´ıneas coordenadas (rectas y h e´ lices) del helicoide (Figura 2 .1), son asint oticas. ´ Tambi´en es asint o´ tica la curva α3 del paraboloide hiperbolico. ´

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

2–36

notas gdc (v. 1.0)

2.10. Ejercicios

2.10.

Ejercicios

2.1 Hallar unas ecuaciones param´etricas para las siguientes superficies, esbozar su

gr´afica, hallar su plano tangente y su primera forma fundamental. a. Superficie esfe´ rica x2 + y2 + z2 = a2 . b. Elipsoide

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1.

c. Paraboloide el´ıptico z =

x2 a2

+

y2 . b2

x2 a2

+

y2 b2

e. Paraboloide hiperbo´ lico z =

x2 a2

− yb .

d. Hiperboloide de una hoja

2 2

− zc

= 1.

2

2

f. Cilindro de base circular x 2 + y 2 = a 2 . g. Hiperboloide de dos hojas h. Cono circular x2 + y2

x2 a2

+

y2 b2

2 2

− zc

=

−1.

a2 z2 = 0.

−

2.2 Sea c una curva descrita por ecuaciones impl´ıcitas: f ( x, y, z) = 0, g ( x, y, z) = 0,

y tomemos una recta r que pasa por un punto p0 = ( x0 , y0 , z0 ) paralelamente a = (u1 , u2 , u3 ). La ecuaci on ´ impl´ıcita de la superficie de revoluci o´ n S engendrada por c al girar sobre r se halla como sigue:

 u

≡ u1 x + u 2 y + u 3 z = µ la familia de planos normales a r, y ≡ − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = λ la familia de esferas centradas

1. Sean P(µ)

E(λ) ( x en p0 .

2. Los valores de λ y µ para los que existen puntos en c — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

dados por la compatibilidad del sistema f ( x, y, z) = 0,

g ( x, y, z) = 0,

u1 x + u2 y + u 3 z = µ,

(x

∩ P(µ) ∩ E(λ) vienen

− x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = λ.

3. Eliminando ( x, y, z) encontramos la condici o´ n F (λ, µ) = 0 para que un plano

de la familia P (µ) y una esfera de la familia E(λ) tengan un punto com un ´ con la curva r. En tal caso, la intersecci´ on del plano con la esfera determina un paralelo de la superficie de revoluci´on S. notas gdc (v. 1.0)

2–37

Tema 2 . Superficies en el espacio Demostrar que la ecuaci on ´ de S es

− x 0 )2 + ( y − y 0 )2 + ( z − z 0 ) 2 , u 1 x + u 2 y + u 3 z ) = 0 y elaborar un m e´ todo si la curva est a´ en param e´ tricas c ≡ ( x (t ), y (t), z(t )). F (( x

2.3 Determinar las superficies de revoluci o´ n correspondientes a las curvas genera-

trices c y a los ejes de giro r siguientes:

− z = 0, x = 0; r : x = 0, y = 0. y2 + z2 − 2 = 0, 2y + 3z + 1 = 0; r :

a. c : 2y b. c :

c. c : x = t, y = 2t, z = t + 1;

− y − 2 = 0, x + y − z − 1 = 0. r : x = y = (1 − z)/2. 2x

2.4 Representar la superficie de revoluci on ´ (el toro) que se obtiene al girar alre-

dedor de OZ la circunferencia de ecuaciones (y a )2 + z 2 = b2 , x = 0, siendo a > b > 0. Determinar su ecuaci´ on impl´ıcita, plano tangente, primera forma fundamental y ´area.

−

2.5 Una superficie reglada es la engendrada por el movimiento de una recta

rt

(generatriz). formadel de movimiento caracterizar sus ecuaciones param e´ tricasde es imponer que en cadaUna instante la recta rt tenga un punto contacto ( x (t), y(t ), z (t)) con una curva dada c (curva directriz) y fijar un vector director  v (t) = ( a(t ), b(t ), c(t )) de r t en cada instante t. Probar que entonces las ecuaciones de la superficie ser´an x (u, v) = x (u ) + va (u),

y (u, v) = y (u) + vb (u),

z(u, v) = z (u ) + vc (u ).

2.6 Un cono es la superficie reglada que se obtiene moviendo una recta mante-

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

niendo un punto fijo (v e´ rtice). Un cilindro es la superficie reglada que se obtiene moviendo una recta paralelamente a un vector fijo. Determinar las ecuaciones de ambas superficies cuando la directriz est´a en param´etricas o en impl´ıcitas. 2.7 Hallar las ecuaciones impl ´ıcitas, plano tangente, y primera forma fundamental

de los conos con: a. V´ertice: ( 0,0,0 ),

Directriz: x (t ) = t + 1, y (t ) = t 2 + 2t + 2, z(t ) = t,

b. V´ertice: ( 0,0,1 ),

Directriz: x2 + y2 = 1, x = z,

c. V´ertice: ( 1,4,1 ),

Directriz: x2 + y2 + z 2 = 1, x + y + z = 1.

2–38

notas gdc (v. 1.0)

2.10. Ejercicios 2.8 Probar que el hiperboloide de una hoja

x2 + y 2

reglada.

− z2

= 1 es una superficie

2.9 Sea un sector del paraboloide circular x = u, y = v, z = u2 + v 2 , para

u2 + v 2 < 9. Determinar su primera forma fundamental as´ı como la longitud de las curvas u = constante sobre la superficie. 2.10 Se denominan loxodromas de una esfera a las curvas que forman un

a´ ngulo constante α con los meridianos ( rumbos en navegaci´on a´erea). Determinar la ecuacio´ n de la loxodroma de la esfera ( a sen θ cos φ, a sen θ sen φ, a cos θ ) que parte del punto ( a,0,0 ) del ecuador y termina arroll´andose alrededor del polo norte. Calcular la longitud de dicha curva. S de ecuaci o´ n

2.11 Determinar la primera forma fundamental de una superficie



impl´ıcita F ( x, y, z) = 0, supuesto que Fz = 0 en S. 2.12 Sea S la superficie en param e´ tricas ( u + v, u, v ), para

0

≤ u ≤ 1 − v, 0 ≤ v ≤ 1.

Hallar la longitud de las curvas x = constante. 2.13 Sea el helicoide recto ( ucosv, usenv, v). Demostrar que las dos familias de cur-

vas determinadas por las ecuaciones diferenciales ortogonal sobre la superficie.

du dv

=

±√u2 + 1, forman una red

2.14 Dada una superficie S, determinar la diferencial de las siguientes funcion es:

a. Funci´on altura de los puntos de S respecto a un plano dado. b. Funci´on cuadrado de la distancia al srcen de los puntos de

S.

2.15 Para cada n umero real a, consideremos el conjunto ´ —

{

Ma = ( x, y, z )

5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

∈

R

3

: x2 + y2

− az2 = a }.

Determinar lospunto valores de(1,0,0 a para que M a es tangente en el p= la superficie M1una . superficie. Hallar el plano ) a los

+ y2k + z2k = 1 , k = 1,2. Probar que M1 y M2 son superficies. Encontrar una aplicaci o´ n diferenciable no M1 . Encontrar los puntos p M2 para los que la aplicaci´ on constante f : M2 lineal tangente Tp f no es sobreyectiva.

{

2.16 Se consideran los conjuntos M k = ( x, y, z)

→

notas gdc (v. 1.0)

∈

R

3 , x2k

}

∈

2–39

Tema 2 . Superficies en el espacio 2.17 Sea M la esfera de centro el srcen de coordenadas y radio R y sea f : M

→

M tal que f ( x ) = x. Comprobar que f es un difeomorfismo. Comprobar que para cada punto de M se satisface que T p M = T− p M. Calcular la expresi´on de la aplicacio´ n lineal tangente T p f en cada punto p M.

−

∈

R una aplica ci o y f :U ´ n C ∞ . Demos3 R , z = f ( x, y ) es una trar que el grafo de f definido como G ( f ) = ( x, y, z )

2.18 Sea U un subconjunto abierto de

R

2

→

superficie. Demostrar que el plano vectorial tangente a G ( f ) en el punto ( x, y, a ) de G ( f ) es el grafo de la diferencial de f en el punto ( x, y ).

{

∈

}

∈

G ( f ) y que los vectores w  1 = (1,1,2 ) y Supongamos que x = (1,1,0 ) w  2 = (1, 1, 0) pertenecen al plano tangente Tx G ( f ). Calcular el valor de las derivadas parciales de f en el punto ( 1, 1).

−

2.19 Determinar la segunda forma fundamental, la curvatura de Gauss, la cur-

vatura media, las curvaturas principales y la curvatura normal de las siguientes superficies: a. La esfera x (θ, φ ) = ( R sen θ cos φ, R sen θ sen φ, R cos θ ). b. El paraboloide z = x 2 + y 2 . 2.20 Determinar las direcciones asint oticas ´ de la superficie (u cos v, u sen v, v) en

el punto p = (0,0,0 ).

2.21 Sea la superficie S de ecuaciones param´etricas x = r cos θ, y = r sen θ, z = θ 2 .

Hallar la curvatura normal de S en el punto p = (1,0,0 ) en la direcci´on de la curva r = 1. 2.22 Dada una superficie en forma expl´ıcita z = f ( x, y ), determinar su segunda

forma fundamental. del hiperboloide 2.23 Determinar la curvatura normal y las curvas asint oticas ´ z = xy. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

2.24 Hallar la ecuaci on de la superficie deter´ diferencial de las curvas asint oticas ´

minada por z =

1 2

log ( x2 + y2 ).

2.25 Dada la superficie z = (y2

una curva asint otica. ´

− x)2, probar que sus puntos parab olicos forman ´

2.26 Determinar la ecuaci on ´ diferencial de las curvas principales de una superficie

definida en forma expl´ıcita z = f ( x, y). Hallar tales curvas para el paraboloide z = x2 + y 2 . Hallar los puntos umb´ılicos de dicho paraboloide. 2–40

notas gdc (v. 1.0)

2.10. Ejercicios

M tal que el coeficiente fundamental g11 es constante. Para cada par de n umeros reales k y h sean C k y Γh las im a´ genes, v´ıa ϕ, ´ de las rectas u1 = k y u2 = h respectivamente. Demostrar que las curvas Ck determinan segmentos de igual longitud sobre las curvas Γ h .

2.27 Sea ϕ una carta en la superficie

{

} {

}

2.28 Demostrar que la suma de las curvaturas normales en un punto de una su-

perficie orientada en cualquier par de direcciones ortogonales es constante. 2.29 En un punto de una superficie M se cortan dos rectas perpendiculares. Calcu-

lar la curvatura media de M en dicho punto.

−

≤ ≤

v, z = f (u ) + g (v ), para 0 u ∞, 0 v ∞ con f , g funciones C ∞ . Hallar la expresi´on m´as general de las funciones f y g para que las l ´ıneas de curvatura sean l ´ıneas coordenadas.

2.30 Sea la superficie x = u + v, y = u

≤ ≤

2.31 Determinar la ecuaci on ´ impl´ıcita, plano tangente y primera forma fundamen-

tal del cilindro de generatriz paralela a la recta y + z = 5, 2y x = t + 2, y = t, z = 4 t2 .

−

− z = 1 y directriz

2.32 Determinar las curvas asint o´ ticas de la superficie ( u cos v, u sen v, log u ). 2.33 Determinar la ecuaci on ´ impl´ıcita, plano tangente y primera forma fundamen-

tal de la superficie de revoluci on ´ generada por la curva de ecuaciones y = f ( x ), z = 0, al girar alrededor del eje OZ.

2.34 Consid´erese el cuarto de esfera x 2 + y2 + z2 = R2 , y > 0, z > 0. Determinar las

ecuaciones correspondientes del cambio de coordenadas ( x, y, R2 x2 y2 ), siendo x 2 + y 2 R2 , 0 x R, 0 y a coordenadas ( x, R2 x 2 z2 , z ), siendo x 2 + z 2 R2 , 0 x R, 0 z



− −

√ − −

≤

≤ ≤

≤ ≤ R,

≤

≤ ≤

≤ ≤ R.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

notas gdc (v. 1.0)

2–41

Tema 3 Geometr´ıa intr ´ınseca de superficies 3.1. Isometr ´ıas 3.2. Ecuaciones de compatibilidad

3.2.1.

Formulas ´ de Gauss-Codazzi y de Weingarten S´ımbolos de Christoffel 3.2.3. Formula ´ de Mainardi 3.2.4. Formula ´ y teorema egregio de Gauss 3.2.5. Formula ´ de Mainardi-Codazzi 3.2.6. Condiciones de compatibilidad ´ covariante 3.3. Transporte paralelo. Derivaci on 3.4. Geod´esicas y curvatura geod´esica 3.5. Ejercicios 3.2.2.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

notas gdc (v. 1.0)

3–1

3.1. Isometr´ıas

3.1.

Isometr ´ıas

´ 3 .1.1 Definicion M  una aplicaci on Sea f : M ´ diferenciable entre dos superficies y sean gx y gx  las primeras formas fundamentales en x M y x  = f (x ) M  respectivamente.

→

∈

∈

1. La aplicaci o´ n f es una isometr´ıa en x si y solo si la aplicaci o´ n lineal tangente

Tx f : Tx M Tx M  es una isometr´ıa entre espacios vectoriales, donde los productos escalares est a´ n determinados por sus respectivas primeras formas fundamentales.

→

En otras palabras, f es una isometr´ıa en x si y solo si para cualquier par Tx M se verifica que gx (v1 , v2 ) = gx (v1 , v2 ) donde de vectores v1 , v2  v = Tx f (v ) Tx M .

∈

∈

2. f es una isometr´ıa local si y solo si f es una isometr ´ıa en todo punto de M. 3. f es una isometr´ıa global si y solo si f es una isometr´ıa local y un difeomorfis-

mo. Proposici´on 3.1.2 M  una aplicaci´on diferenciable. Sea x Sea f : M

→

∈ M y φ una carta de M que

contenga a x. 1. Si f es una isometr´ıa en x, entonces  φ = f

◦ φ es una carta de M  que contiene  f (x ). No´ tese que φ y φ act´uan sobre el mismo espacio de par´ametros y que si x = φ (u ), entonces x  = φ (u ). a x  =

 son los primeros coeficientes fundamentales de φ y φ = f 2. Sean gαβ y g αβ La aplicaci´on f = φ  ( u ). gαβ (u ) = gαβ

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

◦ φ −1

 φ. es una isometr´ıa en x = φ(u ) si y solo si

◦

Las isometr´ıas son pues las transformaciones de las superficies que preservan su primera forma fundamental. Llamaremos geometr´ıa intr´ınseca al estudio de las superficies que solo depende de la primera forma fundamental, puesto que, en este caso, podemos estudiar la superficie desde dentro, sin preocuparnos del espacio ambiente en el que est a´ inmersa, si es que existe. ´ 3.1.3 Proposicion 1. Las isometr´ıas en un punto preservan los a´ ngulos de las curvas que se cortan en ese punto. 2. Las isometr´ıas locales preservan el car a´ cter geod´esico de las curvas. notas gdc (v. 1.0)

3–3

Tema 3 . Geometr´ia intr ´inseca de superficies

b

d c –d e

e

f

a –b f

c

a

Figura 3 .1: Isometr´ıa entre un helicoide y un catenoide

3. Las isometr´ıas globales preservan las longitudes y las areas. ´

Ejemplo 3.1.4 (Catenoide y helicoide) Vamos a utilizar el caso del catenoide y el helicoide para ilustrar el concepto de isometr´ıa. El helicoide ya apareci o´ en el Ejercicio 2.1.10, donde lo parametriz a´ bamos como1 φ(u1 , u2 ) = (u1 cos u2 , u1 sen u2 , u2 ).

El catenoide puede representarse como ψ ( u1 , u2 ) = (

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu



1 + (u1 )2 cos u2 ,



1 + (u1 )2 sen u2 , arcsenh u1 ).

Estas dos superficies, aunque a primera vista parezcan muy diferentes, son isom´etricas. Para probar esto basta calcular su primera forma fundamental, que es para ambas g = 1, g = 0, g = 1 + ( u 1 )2 . 11

La isometr´ıa que pasa de

22

φ (u1 , u2 )

12

a

ψ (u 1 , u 2 )



convierte (Figura 3 .1)

los radios del helicoide en meridianos del catenoide ( u2 constante),

—

1 En ese ejercicio hac´ıamos variar a u 1 entre 0 y R. Ahora va a tomar valores entre R y R. Esta es la raz´on de que la superficie representada all´ı sea algo distinta de la de la Figura 3 .1.

−

3–4

notas gdc (v. 1.0)

3.2. Ecuaciones de compatibilidad

las h e´ lices del helicoide en paralelos del catenoide ( u1 = 0 constante),



el eje vertical del helicoide en el c´ırculo central del catenoide (u1 = 0). Podemos ir m´as all´a aun ´ y encontrar una familia uniparam´etrica de superficies isom´etricas que permita transformar una superficie en la otra de forma continua. Esto se ilustra en la Figura 3 .2. La carta, en funci o´ n de un par a´ metro t, que define cada superficie de esta familia es f (u1 , u2 , t) = (cos u1 cosh u2 sen t + cos t sen u1 senh u2 , cosh u2 sen t sen u1

− cos t cos u1 senh u2, u1 cos t + u2 sen t)

Claramente el helicoide se corresponde con t = 0 y el catenoide con t = π /2. Se deja como ejercicio comprobar que todas estas superficies tienen los primeros coeficientes fundamentales gαβ anteriores. Este ejemplo muestra que dos inmersiones de R2 en R3 con el mismo tensor m e´ trico y, por lo tanto, como se demostrar a´ en la pr o´ xima secci o´ n, mismas curvaturas de Gauss K y media H , no tienen por qu e´ estar relacionadas por un movimiento eucl´ıdeo en R3 . Es necesario conocer todos los segundos coeficientes fundamentales Lαβ (y no s o´ lo los diagonales) para poder distinguirlas.

3.2.

Ecuaciones de compatibilidad

3.2.1.

Formulas ´ de Gauss-Codazzi y de Weingarten

Dada una superficie M y una carta φ de M, vimos que los vectores de la base M eran eα (u ) = ∂αφ(u ). Estos dos canonica ´ del plano tangente en x = φ(u ) vectores y la normal a la superficie, forman una base eα , νˆ de R3 . La pregunta que vamos a responder a continuaci´on es c´omo var´ıan estos vectores al movernos por la superficie, es decir, cu a´ les son las derivadas de estos vectores con respecto a las coordenadas u. Para ello, expresaremos estas derivadas como combinaciones

∈

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

lineales de los elementos de la base: ˆ ∂αe β = Γγαβeγ + Cαβ ν,

{

β

}

ˆ ∂α νˆ = B αe β + Bα ν.

(3.1)

Calculemos los coeficientes de estas combinaciones lineales. Comencemos por β B α y Bα . Recordemos que el operador de Weingarten actuando sobre los elemenβ ˆ Por tanto, vemos directamente que Sx (eα ) ∂α ν. tos de la base es S α (u )e β

≡

notas gdc (v. 1.0)

≡−

3–5

Tema 3 . Geometr´ia intr ´inseca de superficies

t

=

0

π

t

=

10

3π

π

t

=

t

=

5

t

=

t

=

10

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

2π 5

π

2

—

Figura 3 .2: Trasformaci´on de un helicoide en un catenoide 3–6

notas gdc (v. 1.0)

3.2. Ecuaciones de compatibilidad β

Bα = 0 y que los coeficientes B α son las componentes del operador de Weingarten β β β β β B α = S α . Adem´as, la ecuaci´on de Weingarten nos permite escribir B α = S α = L α . Los coeficientes Cαβ tambi´en son f´aciles de calcular. Multipliquemos la primera ecuacion ´ por νˆ para obtener Cαβ = νˆ ∂ αe β = L αβ . Por tanto, podemos escribir las formulas ( 3.1) ´ β ˆ ∂αe β = Γ γαβeγ + L αβ ν, ∂α νˆ = L αe β .

·

−

La segunda ecuaci´on es simplemente la f´ormula de Weingarten que relaciona los segundos coeficientes fundamentales con las componentes del operador de Weingarten. La primera recibe el nombre de f´ormula de Gauss-Codazzi y nos permite γ expresar los coeficientes Γ αβ , llamados s´ımbolos de Christoffel , en t e´ rminos solo de los coeficientes de la primera forma fundamental.

3.2.2.

S´ımbolos de Christoffel

Para calcular los s´ımbolos de Christoffel, multiplicamos la f o ´ rmula de GaussCodazzi escalarmente por eδ : eδ

· ∂αeβ = Γ γαβeδ · eγ = gγδ Γγαβ .

(3.2)

δ

Multiplicando por el inverso del tensor m e´ trico g

obtenemos

Γαβ = gδeδ ∂αe β .

·

Ya hemos calculado los s´ımbolos de Christoffel. Nos queda expresarlos en funci o´ n de los primeros coeficientes fundamentales. Para ello, notemos que

·

 · 

·

∂α g βδ = ∂ α (e β eδ ) = eδ ∂αe β +e β ∂αeδ . Una permutaci´on c´ıclica de los ´ındices nos permite escribir

·

 · 

∂ β gδα = eα ∂ βeδ + eδ ∂ βeα , — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

·

·

∂δ gαβ = e β ∂δeα + eα ∂δe β .

Adem´as, ∂αe β = ∂ βeα puesto que ∂αe β = ∂ α ∂ βφ. Por tanto, en estas tres f´ ormulas los t e´ rminos con igual subrayado son iguales. En particular, los t e´ rminos senalados ˜ con una llave son los que queremos calcular. Por tanto, sumando las dos primeras ecuaciones y restando la tercera obtenemos 2eδ ∂ αe β y podemos escribir

·

—

γ

Γαβ =

1 γδ g (∂α g βδ + ∂ β gδα 2

− ∂δ gαβ ),

que solo dependen de la primera forma fundamental. notas gdc (v. 1.0)

3–7

Tema 3 . Geometr´ia intr ´inseca de superficies Es importante notar que los s´ımbolos de Christoffel no son tensores, puesto que no satisfacen las leyes de transformaci o´ n adecuadas. En efecto, podemos obtener la ley de transformaci´on de Γ γαβ de la ecuaci´on (3.2): γ Γ αβ = gγδeδ ∂αe β .

·

Bajo un cambio de base en el plano tangente e = Λe, Γ se transforma como

 γ



γ



β

Γα β = gγ δ eδ  ∂αeβ = (Λ −1 ) γ (Λ−1 )δδ Λ δ gγδ Λααe ∂α (Λ βe β )

·

·

 β β = (Λ−1 )γγ Λαα g γδeδ (Λ β ∂αe β + e β ∂α Λ β )   β β = (Λ−1 )γγ Λαα Λ β Γγαβ + ( Λ−1 )γγ Λαα gγδ gδβ ∂α Λ β   β = (Λ−1 )γγ Λαα Λ β Γγαβ + ( Λ−1 )γγ ∂α Λγβ .

·

El primer t´ermino corresponde al tipo de transformaci´on de un tensor. Pero, adem´as, la ley de transformaci on ´ de Γ tiene un t e´ rmino adicional de la forma Λ −1 ∂ Λ. Si la matriz de transformacio´ n Λ no dependiese de u  , este t e´ rmino se anular´ıa. Sin embargo, Λ s´ı depende de u  puesto que un cambio de base en el espacio tangente corresponde a un cambio de par a´ metros. En efecto, si eα (u ) = ∂αφ (u ) y eα ( u ) = ∂ α  φ (u  ), el cambio de base est´a regido por



eα  ( u

 ) = ∂   φ (u ) = (∂  uα )∂αφ [u (u)] = ( ∂  uα )∂αφ(u) α α α = (∂  u α )eα (u ) ≡ Λα  (u )eα (u ). α

α

Ejercicio 3 .2.1 Calcular los s´ımbolos de Christoffel del plano en coordenadas polares a partir de la ley de transformaci´on anterior.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Solucion. ´ Partimos de los s´ımbolos de Christoffel del plano en cartesianas, ( x1 , x2 ), que son todos nulos: Γγαβ = 0. Sabemos que si un tensor tiene todas sus componentes nulas en una base, las tendr a´ nulas en cualquier otra. Veremos que esto no es as ´ı para los s ´ımbolos de Christoffel. En primer lugar notemos que en la ley de transformaci o´ n el primer t e´ rmino, correspondiente a la transformaci o´ n que tendr´ıa un tensor, se anula:

 γ

γ

β

 

  

γ

0

γ

γ

Γα β = (Λ −1 ) γ Λ αα Λ β Γαβ + ( Λ−1 ) γ ∂α Λ β . 

 

 

 

Para calcular el segundo t e´ rmino necesitamos la matriz Λ de cambio de base. Las coordenadas polares ( u1 , u2 ) vienen dadas por x 1 = u 1 cos u2 , 3–8

x2 = u 1 sen u2 . notas gdc (v. 1.0)

3.2. Ecuaciones de compatibilidad

≡ u1 y θ ≡ u2. Los coeficientes Λαβ = ∂xα /∂uβ son Λ12 = −r sen θ, Λ21 = sen θ, Λ22 = r cos θ.

En lo que sigue, haremos r Λ11 = cos θ

y la inversa, Λ−1

(Λ−1 )1 1 = cos θ

(Λ−1 )1 2 = sen θ,

( Λ−1 )2 1

− senr θ ,

( Λ − 1 )2 2

cos θ . r

Con la matriz de cambio de base ya calculada, s´ olo queda aplicar directamente la ley de transformaci´on

1 = (Λ−1 )1 ∂ Λ1 1 + ( Λ−1 )1 2 ∂ Λ2 1 = cos θ 0 + sen θ 0 = 0. Γ11 1 1 1 Γ 1

21

·

·

= (Λ−1 )1 1 ∂2 Λ1 1 + ( Λ−1 )1 2 ∂2 Λ2 1 = − cos θ sen θ + sen θ cos θ = 0.

− senr θ · 0 + cosr θ · 0 = 0. 2 = (Λ−1 )2 1 ∂2 Λ1 1 + ( Λ−1 )2 2 ∂2 Λ2 1 = sen θ · sen θ + cos θ cos θ = 1 . Γ21 r r r  2 = ( Λ − 1 )2 1 ∂  Λ 1 1 + ( Λ −1 ) 2 2 ∂  Λ 2 1 = Γ11 1 1

2 = (Λ−1 )2 1 ∂2 Λ1 2 + ( Λ−1 )2 2 ∂2 Λ2 2 = 0. Γ22 1 = (Λ−1 )1 1 ∂2 Λ1 2 + ( Λ−1 )1 2 ∂2 Λ2 2 = Γ22

−r.

Si adem a´ s tenemos en cuentaγque los s ´ımbolos de Christoffel son sim e´ tricos al intercambiar los sub´ındices, Γ αβ = Γ γβα , como se puede ver inmediatamente a partir de su definici o´ n, podemos obtener los que nos faltan sin calcular nada: 1 1 = 0, Γ12 = Γ 21

1

2 = Γ2 = . Γ12 21 r

Se deja como ejercicio comprobar que se obtiene el mismo resultado aplicando la definici´on 3 .2. 

3.2.3. —

´ Formula de Mainardi

Derivemos la f´ormula de Gauss-Codazzi

5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

∂δ ∂αe β = ∂ δ Γγαβeγ + Γγαβ ∂δeγ + ∂ δ L αβ νˆ + L αβ ∂δ νˆ y sustituyamos las f o´ rmulas de Gauss-Codazzi y de Weingarten. El resultado es: ∂δ ∂αe β = ∂ δ Γγαβeγ + Γγαβ (Γδγe + L δγ νˆ ) + ∂ δ L αβ νˆ

− Lαβ Lδe.

Una reorganizaci´on de los t e´ rminos nos proporciona la f ormula ´ de Mainardi: ∂δ ∂αe β = (∂δ Γαβ + Γγαβ Γ δγ notas gdc (v. 1.0)

− Lαβ Lδ )e + (∂δ Lαβ + Γγαβ Lδγ )ν.ˆ 3–9

Tema 3 . Geometr´ia intr ´inseca de superficies

3.2.4.

´ Formula y teorema egregio de Gauss

Nuestro punto de partida es la f´ormula de Mainardi. El miembro de la izquierδ. Por tanto, si la da de esta f o´ rmula es sim´etrico bajo el intercambio de ´ındices β multiplicamos por el tensor de Levi-Civita ε βδ obtenemos una combinaci on ´ lineal nula de los elementos de la base y, en consecuencia, los coeficientes que acompanan ˜ a estos vectores deben anularse. Consideremos solo los coeficientes de e . La formula resultante de igualar este coeficiente a cero, agrupar los t e´ rminos que solo ´ contienen la primera forma fundamental en el miembro de la derecha y escribir Lδ = gζ L δζ es ε βδ gζ Lαβ Lδζ = ε βδ (∂δ Γαβ + Γγαβ Γ δγ ).

↔

El miembro de la izquierda se puede escribir como g ζ ε αζ det ( L αβ )/det ( gαβ ) = gζ ε αζ K (ver ap´endice A) y, si multiplicamos la ecuacio´ n por g αη , obtenemos εη K = gαη ε βδ (∂δ Γαβ + Γγαβ Γδγ ). Multiplicando esta ecuaci´on por ε η y notando que ε η εη = 2, obtenemos la f´ormula de Gauss:

1 ε η ε βδ gαη (∂δ Γαβ + Γγαβ Γδγ ). 2 Vemos, por tanto, que, aunque la definici on ´ de la curvatura de Gauss involucraba la segunda forma fundamental, en realidad, solo depende de la primera, es decir, es una caracter ´ıstica intr´ınseca de la superficie. K=

Definici´on 3 .2.2 Definimos el tensor de curvatura de Riemann R como aqu e´ l cuyas componentes son

Rαδβ = ∂ δ Γ αβ — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

− ∂β Γαδ + Γγαβ Γγδ − Γγαδ Γγβ .

Ejercicio 3 .2.3 Probar que el tensor de curvatura de Riemann es realmente un tensor. Probar tambi´en que Rαβγδ = gα R βγδ es antisim´etrico en los dos ´ultimos ´ındi-

ces y en los dos primeros ´ındices; adema´ s es sim´etrico si intercambiamos el primer par por el segundo. En t´erminos del tensor de Riemann, la f ormula de Gauss adquiere la forma ´ K=

3–10

1 αβ γδ R1212 ε ε Rαβγδ = . 4 det( gαβ ) notas gdc (v. 1.0)

3.2. Ecuaciones de compatibilidad

Teorema 3 .2.4 (Gauss) Sea f : M M  una isometr´ıa local. Entonces las curvaturas de Gauss K y K  de las superficies M y M  coinciden punto a punto, es decir, K  = K f . En otras palabras, si x  = f (x ), entonces K (x ) = K  (x  ).

→

◦

Demostracion. ´ Si f es una isometr ´ıa local, entonces preserva la primera forma fundamental. Como la curvatura de Gauss es solo funci´ on de la primera forma 

fundamental, f tambi´en la preserva.

3.2.5.

Formula ´ de Mainardi-Codazzi

Volvamos a la f´ormula de Mainardi. Hemos visto que el miembro de la izquierδ y que, si la da de esta f´ormula es sim´etrico bajo el intercambio de ´ındices α multiplicamos por  αδ obtenemos una combinaci´on lineal nula de los elementos de la base y, en consecuencia, los coeficientes que acompa nan ˜ a estos vectores deben anularse. En la obtenci o´ n de la f o´ rmula de Gauss hemos considerado solo los coeficientes de e . Centr e´ monos ahora en el coeficiente del vector normal a la superficie ˆ ν: αδ (∂δ Lαβ + Γγαβ Lδγ ) = 0.

↔

´ Esta es la f´ormula de Mainardi-Codazzi.

3.2.6.

Condiciones de compatibilidad

Puede verse que cualquier relacio´ n entre los coeficientes fundamentales es consecuencia de las f o´ rmulas de Gauss y de Mainardi-Codazzi. 2 ∞ R y L αβ : R R de clase C , deben satisfaDadas unas funciones gαβ : R2 cer las siguientes condiciones de compatibilidad para que puedan ser los coeficientes fundamentales de alguna carta:

→

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

→

1. Deben ser sim´etricas: gαβ = g βα , Lαβ = L βα . 2. gαα y det g han de ser positivos. 3. Han de satisfacer las f ormulas de Gauss y de Mainardi-Codazzi. ´

Por otro lado, dadas unas funciones gαβ y L αβ , existe una unica carta (salvo ´ isometr´ıas, es decir movimientos en el espacio) tal que g αβ y L αβ son sus coeficientes fundamentales. La formulacio´ n precisa de esta afirmaci´on constituye el teorema de Bonnet notas gdc (v. 1.0)

3–11

Tema 3 . Geometr´ia intr ´inseca de superficies Teorema 3.2.5 (Bonnet) 2 ∞ Sean gαβ : R2 R y L αβ : R R funciones de clase C que satisfacen las condiciones de compatibilidad. Entonces, en cada punto u R2 , existe un abierto ∞ U y una aplicaci on R de clase C tal que (U , φ, R 3 ) es una carta de la ´ φ : R2  superficie M = φ (U ) y cuyos coeficientes fundamentales son gαβ y Lαβ . Adem a´ s, si existen dos cartas con las mismas propiedades, ambas est a´ n relacionadas mediante un movimiento en el espacio, es decir, mediante una transformaci´ on af´ın isom´etrica.

→

→

∈

→

´ Demostracion. Sin demostraci o´ n

3.3.



´ covariante Transporte paralelo. Derivacion

Sea ( M, νˆ ) una superficie orientada y φ una carta de M. Sea α(t) una curva de M y α(t) una curva de R 2 tal que α = φ α. Sea w  (t ) un vector de Tα(t ) M (no necesariamente tangente a α(t )). Nos preguntamos c´omo var´ıa w  ( t ) al transportarlo a lo largo de la curva α.

◦

 como combinacio Si escribimos w ´ n lineal de los elementos de la base can o´ nica  ( t) = w α ( t )eα [α ( t )] , la derivada de w  con respecto al par´ametro en α(t), es decir, w

t ser´a

α α ∂t w  ( t) = ( ∂t w )eα + w ∂teα .

Sea v(t ) = ∂tα(t), de manera que vα (t) = ∂t αα (t ). Entonces, aplicando la regla de la cadena, podemos escribir la expresi o´ n anterior como β α γ ∂t w  = v [( ∂ β w )eα + w ∂ βeγ ]

= v β [( ∂ β w α )eα + w γ (Γαβγeα + L αβ νˆ )] = v β[ donde — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

∇β w + wα Lαβ νˆ ],

∇β w ≡ (∂β wα + wγ Γαβγ )eα .

 como combinaci´on lineal de los elementos de As´ı, hemos escrito el vector ∂t w  en una parte que la base eα , νˆ de R3 . M´as concretamente, hemos separado ∂t w pertenece al plano tangente Tα(t) M y otra que es normal al mismo.

{

}

Definicion ´ 3 .3.1 Definimos la derivada covariante D t w  del vector tangente w  con respecto al par a ´ metro t como la proyecci´on de ∂ t w  ( t) sobre el plano tangente Tα (t) M.

—

Entonces, tenemos ˆ ∂t w  = Dt w  + Lα (t) ( w,   v )ν, 3–12

β Dt w  =v

∇β w notas gdc (v. 1.0)

3.3. Transporte paralelo. Derivaci´on covariante

y tambi e´ n llamaremos derivada covariante (parcial) a Notaci´on:

wα,β

≡ ∂β

wα

,

w α; β

≡

wα,β

+

w γ Γαβγ

,

∇β w.  ∇β w ≡ wα;βeα .

Ejercicio 3.3.2 Calcular la derivada covariante del vector w = (0, 1), a lo largo de una circunferencia, en el plano en polares, ( u1 cos u2 , u1 sen u2 ). ´ Solucion. Empezamos calculando w α ; β = wα ,β + w γ Γαβγ , teniendo en cuenta los

valores de los s´ımbolos de Christoffel calculados en el ejercicio 3 .2.1 y que w α ,β = 0 resulta w1 ;1 = Γ112 = 0,

w1 ;2 = Γ122 =

− u1 ,

w2 ;1 = Γ212 =

1 , u1

w2 ;2 = Γ222 = 0

Una circunferencia en polares es α(t) = ( R, t), con lo que el vector tangente es v (t) = (0, 1). Con esto,

∇1 w = w 1;1e1 + w2;1e2, ∇2 w = w 1;2e1 + w2;2e2  = v β∇βw  = ∇2 w,  de forma que Dt w  = − u1e1 .  y Dt w Proposicion ´ 3.3.3 Las derivadas covariantes de los vectores de la base son

∇βeα = Γγαβeγ.

γ

Demostracion. ´ Puesto que las compo nentes de eα son δδ , es decir, e β = δ eγ ,

vemos inmediatamente que

∇βeα =

(∂ β δαγ

+ δβδ Γγαδ )eγ

=

γ α Γ αβeγ .

β



´ 3 .3.4 Definicion  Tα(t) M a lo largo de una curva α(t) Llamamos transporte paralelo de un vector w  a lo largo de α de manera que, en cualquier punto de la a la acci´on de desplazar w  ( t + dt ) sea paralelo a w  (t ) desde el punto de vista intr´ınseco, es decir, de curva, w manera que la proyecci on de w   ( t ) sobre el plano tangente sea paralela ´ (t + dt ) w al propio vector w  (t ) o, lo que es lo mismo, Dt w  ∝ w. 

∈

−

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Podemos extender el concepto de derivada covariante (srcinalmente definida para campos vectoriales, es decir, para vectores del plano tangente) a los campos escalares f (u ), es decir, a aquellas funciones tales que, bajo cambios de base no cambian: f  (u ) = f (u). Los escalares se construyen de la siguiente manera: si R es una funci o g:M ´ n diferenciable de la superficie M, entonces f = g φ es un escalar puesto que g = f φ −1 = f  φ − 1 . En este caso, α f = ∂α f son las f ,α ω˜ α = f ;a ω˜ α Tx M ∗ . componentes de la forma lineal d f

→

◦

≡

◦

wα;β

∈

∇

◦

 es un vector tangente, entonces Si w son las componentes de un tensor R , tal que ∇w  ( v, α˜ ) = v β (α˜ , β w  ) = α α v β wα; β . Por tanto, las : Tx M Tx M ∗ α componentes w ; β se transforman adecuad amente bajo cambios de base.  ∇w

×

notas gdc (v. 1.0)

→

∇

3–13

Tema 3 . Geometr´ia intr ´inseca de superficies Ejercicio 3 .3.5 Demostrar expl´ıcitamente que, en efecto, wα;β se transforman como las componentes de un tensor contra-covariante. R cuya actuaci´on Podr´ıa pensarse que la aplicacion ´ ∇ : Tx M Tx M Tx M ∗ sobre vectores y formas es ∇(w,   v, α˜ ) = α α v β w α; β es tambi e´ n un tensor. Sin embargo, es obvio que no es lineal en el primer argumento, es decir, si f es un escalar, ∇( f w,   v, α˜ ) = f ∇(w,   v, α˜ ) y, de hecho, es f a´ cil ver que sus componentes son ∇ (eα , e β , ω ˜ γ ) = ω˜ γ βeα = Γ γαβ y, por tanto, no es un tensor. Las aplicaciones, como on es de la forma ∇, cuya actuaci´

×

×

→

∇

  v, α˜ ) ∇( f w,

  v, α˜ ) + d f (v)( α˜ , w ) = f ∇(w,

y, por tanto, cuyas componentes se transforman con un t´ ermino af´ın, reciben el nombre de conexiones. La derivada covariante de una forma α˜ se obtiene calculando la derivada del escalar ( α˜ , v) = α β v β :

(α β v β ),α =

∇α (α˜ , v) = (∇α α˜ , v) + (α˜ , ∇αv). Despejamos en esta ecuaci´on ( ∇ α α˜ , v ): (∇α α˜ , v) = (α β v β ),α − (α˜ , ∇αv) = (α β v β ),α − (v γ,α + v β Γγαβ )( α˜ , eγ ) β − ( vγ,α + v β Γγ = α β,α v β + α β v,α αβ ) α γ = v β (α β,α − Γγ αβ α γ ). γ Si definimos α β;α ≡ α β,α − Γαβ αγ , entonces vemos que (∇ α α˜ , v ) = (α β;α ω˜ β , v), expresi´on v´alida para cualquier vector v. Por tanto,

∇β α˜ = α α;β ω˜ γ, Ejercicio 3 .3.6 Probar que

—

—

≡ αβ,α − Γγαβ αγ.

∇α ω˜ β = −Γαγβ ω˜ γ .

La derivada covariante de un tensor arbitrario se puede obtener de forma completamente an´aloga. Por ejemplo,

5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

α β;α

T αβ;γ = T αβ,γ + Γαγδ T δβ

3.4.

− Γδβγ Tαδ .

Geod esicas ´ y curvatura geod esica ´

Vimos en la Definicion ´ 2 .6.1 que una parametrizacion ´ α(t) es geod´esica si y solo si su vector aceleraci´on es ortogonal al plano tangente, es decir, si y solo si la proyecci´on de la derivada temporal de la velocidad sobre el plano tangente es nula. Si 3–14

notas gdc (v. 1.0)

3.4. Geod´esicas y curvatura geod´esica

llamamos v = ∂ tα a la velocidad de la parametrizaci o´ n α, entonces dicha proyeccio´ n es la derivada covariante Dtv y hemos probado as ´ı la siguiente proposici on: ´ Proposicion ´ 3.4.1 Sea v(t ) la velocidad de una parametrizaci´on α(t). Entonces α(t ) es una parametrizacion ´ geod e´ sica si y solo si

Dtv(t) = 0

⇔

vα

∇αv = 0

∂t v γ + Γγαβ vα v β = 0.

⇔

Tambi´en vimos que el m odulo de la velocidad de una parametrizaci on ´ ´ geod e´ sica es constante. Para verlo en este nuevo lenguaje, basta con calcular ∂tv2 = ∂ t ( gγδ vγ vδ ) = v γ vδ ∂t gγδ + 2 gγδ vδ ∂t vγ = v γ vδ v β ∂ β gγδ

= v α v β vδ (∂ β gαδ

− 2gγδ vδ Γγαβ vα vβ

− 2gγδ Γγαβ ) = v α vβ vδ (−∂α gδβ + ∂δ gαβ ) = 0.

En la secci o´ n 2 .8.1, definimos la curvatura normal de una curva como la funci o´ n ˆ bˆ su triedro de Frenet y νˆ κ n = κ (nˆ νˆ ), donde κ es la curvatura de la curva, tˆ, n, la normal a la superficie.

·

{

}

Definicion ´ 3 .4.2 Sea C una curva de la superficie orientada ( M, νˆ ). Se llama funci´on curvatura geod´esi-

ca κ g de la curva C a la funci´on κ g : C κ nˆ = κ n νˆ + κ g (νˆ tˆ).

×

→

R

tal que κ g = κ (νˆ

× tˆ) · n,ˆ de forma que

Proposicion ´ 3.4.3 La curvatura geod´esica es una cantidad intr´ınseca. ´ Demostracion. La primera ecuaci on ´ de Frenet nos dice que, para una parametriˆ Por tanto, κ g = (νˆ tˆ) ∂ s tˆ. Puesto que νˆ tˆ es un vector zacion ´ natural, ∂ s tˆ = κ n. ˆ Por otro lado, tangente, podemos escribir κ g = (νˆ Ds tˆ) tˆ = (tˆ Ds tˆ) ν.

×

tˆ — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

·

× ·

×

·

×

× Ds tˆ = (tαeα ) × (tβ tγ;βeγ ) = t α tβ tγ;βeα × eγ = t α tβ tγ;β ε αγ νˆ

y, por tanto, κ g = tα t β tγ; β ε αγ , que depende solo de la curva en s ´ı y de la primera forma fundamental.  Podemos escribir la expresi on ´ para κ g en t´erminos de su velocidad, y no de su vector unitario tangente, mediante la simple sustituci´on de ˆt = v/v. As´ı, obtenemos γ 3 α β κ g = v v v ; β ε αγ /v . Proposici´on 3.4.4 Una curva es geod´esica si y solo si su funci´on curvatura geod´esica es id´enticamente nula, κ g = 0. notas gdc (v. 1.0)

3–15

Tema 3 . Geometr´ia intr ´inseca de superficies ´ Demostracion. Puesto que una curva es geod e´ sica si y solo si Dt tˆ = 0, la implicacion ´ en un sentido es obvia. Queda demostrar que si (tˆ Dt tˆ) νˆ = 0, entonces Dt tˆ = 0. Si (tˆ Dt tˆ) νˆ = 0, entonces los tres vectores son linealmente dependientes. tˆ y νˆ son independientes. Dt tˆ y tˆ son perpendiculares (salvo que la curva ˆ Pero Dt tˆ es un vector del plano sea una recta). Por tanto, Dt tˆ es proporcional a ν. tangente, luego debe ser nulo. 

×

×

·

·

Ejercicio 3 .4.5 a) Demostrar que la curvatura geod e´ sica de las l ´ıneas coordenadas es

κg

|u =cte = −Γ122 √g 1

  1 g22

3/2

κg

,

|u =cte = Γ 211 √g 2

  1 g11

3/2

.

b) Calcular la curvatura geod´esica de los meridianos y paralelos de una esfera. ´ Solucion. b) Segun ´ la parametrizaci on ´ del ejercicio 2.5.10, los meridianos son las curvas u1 = constante. Teniendo la f ormula ´ del enunciado y que Γ122 = 0, resulta que la curvatura geod´esica de los meridianos es nula. Es decir, todas estas curvas son geod´esicas.

Para los paralelos ( u2 = constante), necesitamos Γ211 = sen u2 cos u2 . Con esto y la primera forma fundamental de la esfera (ver el ejercicio 2 .5.10) tenemos κg

|u =cte = cot u2 2

En general los paralelos no son geod´esicas, salvo en el caso u 2 = π /2, que coincide, al igual que todos los meridianos, con un c´ırculo ma´ ximo.  Teorema 3.4.6 Sea α(θ ) una parametrizaci´on tal que α(0) = α(2π ) y tal que la longitud r de las geod´esicas que unen α(θ ) con un cierto punto x0 de M sea independiente del par´ametro θ. Entonces, para r peque˜no, la longitud de α est´a dada por

L (r ) = 2π r — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

− 13 πK(x0 )r3 + · · ·

y el a´ rea circundada por A (r ) = π r 2 Demostracion. ´ Sin demostraci´on.



1

− 12

Kr 4 +

,

···

´ 3 .4.7 Definicion Las curvas que satisfacen las condiciones de este teorema reciben el nombre de circunferencias geod´esicas y las geod´esicas que unen el centro x0 con los puntos de la curva son los radios geod´esicos. Por ´ultimo, las cartas φ (r, θ ) tales que 3–16

notas gdc (v. 1.0)

3.4. Geod´esicas y curvatura geod´esica 1. l´ımr →0  φ(r, θ ) = x0 ,

 φ(r, 0)

= φ(r, 2π ),

2. las curvas β (r ) = φ (r, θ0 ) son geod e´ sicas parametrizadas naturalmente y, por

tanto, α(θ ) = φ(r0 , θ ) son circunferencias geod´esicas, 3. los vectores de la base can´onica er (r, θ ) y eθ (r, θ ) son ortogonales.

definen las coordenadas polares geod´esicas. Teorema 3 .4.8 (Gauss-Bonnet local) Sea S una regi on ´ simplemente conexa de una carta φ de una superficie orientada ( M, νˆ ) cuya frontera es una curva simple cerrada C parametrizada naturalmente por α(s ). Entonces



C

κ g [α(s)] ds +



 φ 1 (S)

Demostracion. ´ Sin demostraci´on.

−

K [φ (u )]



det gd 2 u = 2π .



— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

notas gdc (v. 1.0)

3–17

3.5. Ejercicios

3.5.

Ejercicios

3.1 Hallar los s´ımbolos de Christoffel y el tensor de Riemann del plano en coorde-

nadas polares. 3.2 Hallar los s´ımbolos de Christoffel y el tensor de Riemann de una esfera. 3.3 Hallar los s ´ımbolos de Christoffel de la superficie z = f ( x, y). 3.4 Probar que los s´ımbolos de Levi-Civita no son tensores. Probar que los tensores

de Levi-Civita s ´ı lo son. 3.5 Probar que el tensor de Riemann es un tensor. 3.6 Encontrar las geod´esicas de una esfera. ¿Son geod´ esicos los paralelos? ¿Y los

meridianos? 3.7 Probar que una recta en cualquier superficie es una geod´ esica. 3.8 Demostrar que el conmutador de las derivadas covariantes actuando sobre un

vector cualquiera v γ es vγ;αβ

− vγ;βα = Rγδαβ vδ .

3.9 Un habitante bidimensional de una superficie S clava un extremo de una pe-

quena ˜ cuerda de longitud r en un punto P y, estirando al ma´ ximo del otro extremo, traza una “circunferencia” sobre S. Al medir con otra cuerda la longitud L de la “circunferencia” encuentra que L = 6,871r. ¿Qu e´ se puede concluir sobre la geometr´ıa de la superficie en la que habita? ¿Puede haber alguna superficie en la que L = 0,00002r si 0 < K p < 1 para todo punto p S?

∈

3.10 Las superficies que admiten cartas en las que los primeros coeficientes fun— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

damentales son gαβ (u, v) = [ F (u ) + G (v )] δαβ reciben el nombre de superficies de Liouville. Demostrar que las geod´esicas de las superficies de Liouville se pueden obtener mediante las cuadraturas



du ( F

− a)−1/2 ±



du ( G + a )−1/2 = constante.

3.11 Demostrar las siguientes proposiciones:

a. Una superficie tiene curvatura media nula si y solo si su ´area es estacionaria. Una superficie con estas caracter´ısticas recibe el nombre de superficie m´ınima. notas gdc (v. 1.0)

3–19

Tema 3 . Geometr´ia intr ´inseca de superficies b. Una superficie hiperb´olica tiene curvatura media nula si y solo si sus l asintoticas forman una red ortogonal. ´

´ıneas

3.12 El operador de Laplace-Be ltrami act ua ´ sobre funciones escalares f y se define

como ∆ f

≡ gαβ f;αβ .

a. Demostrar que el operador de Laplace-Beltrami tiene car´acter escalar, es decir, que si f es una funci on ´ escalar sobre la superficie, entonces ∆ f tambi´en lo es. b. Demostrar que el operador de Laplace-Beltrami se puede escribir como ∆f =

√1g ∂α (√gg αβ ∂β f ),

donde g = det ( gαβ ). c. Calcular el operador de Laplace-Beltrami para una superficie plana. d. Calcular el operador de Laplace-Beltrami para una superficie esf e´ rica.

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

3–20

notas gdc (v. 1.0)

´ Apendice A Tensores A.1. A.2. A.3. A.4. A.5.

Vectores y formas lineales Cambios de bas e ´ Tensor metrico Tensor de Levi-Civita Tensores cartesianos

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

notas gdc (v. 1.0)

A–1

A.1. Vectores y formas lineales

A.1. Vectores y formas lineales ´ A. 1.1 Definicion Sea V un espacio vectorial. Una forma lineal es una aplicaci o´ n lineal α˜ : V decir, si u, v V y λ, µ R, entonces α˜ (λu + µv ) = λ α˜ (u) + µ α˜ (v ).

∈

∈

→

R,

es

Definicion ´ A. 1.2

El conjunto de formas lineales V ∗ sobre V es un espacio vectorial llamado espacio vectorial dual de V . Los vectores de V tambi´en pueden considerarse como aplicaciones lineales : V∗ R tales que  v(α˜ ) α˜ (v ). En efecto, la estructura de espacio vectorial de V ∗ implica que (λα˜ + µ β˜ )(v ) = λα˜ (v ) + µ β˜ (v ), que podemos reeler como la propiedad de linealidad de la acci on ´ de v sobre V ∗ . Para hacer expl ´ıcita esta dualidad denotaremos α˜ (v) = v (α˜ ) = (α˜ , v) y, por razones que veremos enseguida, lo llamaremos contraccion ´ de α y v.

→

 v

≡

Definicion ´ A. 1.3 Sea ei , i = 1 ,2 .. . una base de V . Definiremos la base dual de V ∗ como el conjunto ˜ i , e j ) = δ ji . de formas ω˜ i , i = 1 ,2. .. tal que ( ω

{

{

}

}

Proposicion ´ A. 1.4 La base dual es realmente una base del espacio dual. ´ Demostracion. El conjunto ω˜ i , i = 1 ,2. .. tiene tantos vectores como la dimen∗ sion ´ de V . Adem a´ s, son linealmente independientes. En efecto, consideremos la combinacion ´ lineal nula λ i ω˜ i = 0. Su contracci o´ n con ek es igual a λ k y es nula k.

{

}

∀



Una forma lineal α˜ = α i ω˜ i actuar´a sobre un vector v = v iei como

(α˜ , v ) = α i v j (ω˜ i , e j ) = α i v j δij = α i vi — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu

y, de ah´ı, el nombre de contracci on. ´ En particular es interesante notar que

(ω˜ i , v ) = v i ,

(α˜ , ei ) = α i .

A.2. Cambios de base

— j

Consideremos el cambio de base en V dado por ei = Λ ie j , donde Λ es la matriz de cambio de base y, en consecuencia, det Λ = 0. Consideremos tambi´en el cambio



notas gdc (v. 1.0)

A–3

Ape´ ndice A. Tensores ˜ i ω˜ j con det Λ ˜ = 0. Entonces, de base en V ∗ dado por ω˜ i = Λ j



k i ˜ i Λl ( ω ˜i l k ˜i k ˜ ˜ i ,ej ) = Λ δij = (ω j ˜ , el ) = Λ k Λ j δl = Λ k Λ j = ( Λ Λ ) j , k

·

˜ = Λ −1 . luego Λ Veamos ahora como se transforman las componentes de los vectores: ´ v i = (ω ˜ i , v ) = (Λ−1 )i j (ω ˜ j , v) = (Λ−1 )i j v j . Vemos que las componentes de los vectores se transforman de forma inversa a los elementos de la base de V y, por ello, reciben a veces el nombre de vectores contravariantes. Por otro lado, la componentes de las formas lineales se transforman como los elementos de la base de V y, por ello, reciben tambi´en el nombre de vectores covariantes: j j αi = (α˜ ,ei ) = Λ i (α˜ , e j ) = Λ i α j . Definicion ´ A. 2.1 Un tensor de tipo ( mn ) es una aplicaci o´ n multilineal T : V n

⊗ (V ∗ ) m →

R.

i



Dada una base ei de V y su base dual determinada por su acci´on sobre ei y ω˜ i

{ }

T(ei ,e j

{ ω˜ } de V ∗, la acci´on de

T queda

· · · ω˜ k , · · · ) = Tij ···k··· ,

de manera que T(u, v

· · · α˜ , · · · ) = Tij ···k··· vi v j · · · αk · · · .

Los n´umeros reales Tij k···son las componentes del tensor T en la base ei .

{}

En general, el orden de los argumentos de T es importante y, por tanto, tambi´en lo ser a´ el orden de los ´ındices de sus componentes. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Definicion ´ A. 2.2 Dados dos tensores T y S, llamamos contracci´on a la operaci on ´ producto tensorial y suma posterior sobre todo el recorrido de un ´ındice de T con uno de S (uno de ellos covariante y el otro contravariante). j

As´ı, por ejemplo, una posible contracci o´ n de T i jk y S i k ser´a T i jk Si ml . ´ A. 2.3 Proposicion La contraccio´ n de ´ındices es independiente de la base elegida.

A–4

notas gdc (v. 1.0)

A.3. Tensor m´etrico Ejercicio A.2.4 Demostrar esta proposicion. ´

Bajo cambios de base los tensores se transforman como vectores en cada contravariante y como formas en cada ´ındice covariante. As´ı, por ejemplo,

 jk = Λl (Λ−1 ) j

Ti

i

m (Λ

´ındice

−1 )kn T mn . l

Operaciones tensoriales son aquellas que operaciones con tensores que proporcionan otro tensor. El resultado es independiente de la base elegida. Las siguientes operaciones son operaciones tensoriales: 1. Suma de tensores del mismo tipo. 2. Multiplicaci o ´ n por una constante 3. Multiplicaci o ´ n de dos tensores; el tipo del tensor resultante es la suma de los

tipos. 4. Contracci´on de ´ındices (uno covariante y otro contravariante).

´ A.3. Tensor m etrico Definicion ´ A. 3.1 Sea V un espacio vectorial dotado con un producto escalar, que denotaremos por . Entonces denotaremos tensor m´etrico g a la aplicaci o´ n bilineal sim e´ trica g:V V R tal que g( u, v ) = g(v, u ) = u v, u, v V . Dada una base ei de V , sus componentes son gij = g (ei , e j ) = ei e j .

·

⊗ →

·

· ∀

∈

{ }

Puesto que el producto escalar es definido estrictamente positivo, la matriz gij es invertible y denotaremos su inversa gij , de forma que gij g jk = δik . Adem a´ s, si la base eˆi es ortonormal, entonces gij = δ ij .

{}

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

Proposicion ´ A. 3.2 La existencia de un tensor m´etrico nos permite establecer un isomorfismo entre V y V ∗ definido por v˜ g (v, ) o, en componentes, v i = gij v j .

≡

·

´ Demostracion. El hecho de qu e gij sea invertible hace que esta aplicaci on ´ sea biyectiva: v i = gij v j . 

Adem´as, el tensor m e´ trico induce un producto escalar g˜ en V ∗ tal que sus com˜ i , ω˜ j ) = gij . ponentes son ˜g(ω As´ı, la existencia de un tensor m´etrico nos permite identificar tensores covariantes y contravariantes como distintas representaciones del mismo objeto. notas gdc (v. 1.0)

A–5

Ape´ ndice A. Tensores

A.4. Tensor de Levi-Civita ´ A. 4.1 (S ´ımbolos de Levi-Civita) Definicion El s´ımbolo de Levi-Civita  ijk··· es completamente antisim´etrico en todos sus ´ındices y tal que 123··· = 1. An a´ logamente, definimos otro s´ımbolo de Levi-Civita ijk ··· que tambi´en es completamente antisim´etrico en todos sus ´ındices y tal que 123··· = 1. As´ı,

 −

i1 , i2 ,..., in permutaci´on par de 1, 2, . . . , n

1,



i1 i2 ...in

=  i1 i2 ...in =

0,

1,

i1 , i2..., in permutaci´on impar de 1, 2, . . . , n en cualquier otro caso.

Por ejemplo, en dos dimensiones, 12 = 21 = 1 y 11 = 22 = 0. En tres dimensiones, las unicas componentes no nulas son ´

−

123 =  312 =  231 = 1 213 =  321 =  132 =

−1

Para ver c o´ mo calcular la paridad de una permutaci o´ n para n el caso n = 6 y la secuencia 612453. 1

2

3

4

5

6

6

1

2

4

5

3

El numero de cortes es 7 , impar, y por lo tanto  612453 = ´

>

3, consideremos

−1.

Los s ´ımbolos de Levi-Civita no son tensores, puesto que no se transforman adecuadamente bajo cambios de base y, por tanto, no sabemos relacionarlos, es decir, no sabemos subir y/o bajar los ´ındices de los s´ımbolos de Levi-Civita. — 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

Ejercicio A.4.2 Estudiar la ley de transformaci o´ n de los s ´ımbolos de Levi-Civita.

Los s´ıen mbolos de Levi-Civita sirven para calcular determinantes, lo que queda reflejado la siguiente definici´on. Definicion ´ A. 4.3 Si M es una matriz cuadrada(no un tensor) cuyos elementos son Mi i , su determinante es   j det( M ) =  i j k ··· M1i M2j M3k =  ijk··· M i 1 M 2 M k3 .

···

A–6

···

notas gdc (v. 1.0)

A.4. Tensor de Levi-Civita Ejercicio A.4.4 Comprobar que esta definici on ´ coincide con la regla ya conocida para calcular determinantes. Proposici´on A. 4.5 Si M es una matriz cuadrada cuyos elementos son Mi i , se satisface la siguiente identidad:   j i j k ··· Mi i M j M kk = det ( M l l  )ijk ··· .

···

Igualmente, si N es una matriz cuadrada cuyos elementos son satisface la siguiente identidad:

  i j k ··· Nii  Njj  Nkk 

Nii  , entonces se

· · · = det( Nll  )ijk··· .

Ejercicio A.4.6 Demostrar esta proposicion. ´ ´ A. 4.7 Definicion Se define el tensor de Levi-Civita ε ijk··· como

εijk··· =

√1g ijk··· ,

donde g = det ( gij ) es el determinante del tensor m e´ trico. Ejercicio A.4.8 Demostrar que ε ijk··· es un tensor.

Dado el car a´ cter tensorial del tensor de Levi-Civita, podemos escribir sus componentes covariantes ε i j k ··· = gii  g jj  gkk  εijk··· . Teniendo en cuenta la relaci´ on entre el tensor contravariante de Levi-Civita y el s´ımbolo correspondiente y las reglas para calcular determinantes de la Proposici o´ n A.4.5, tenemos que ε i j k ··· =

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

√1g gii gjj  gkk ijk··· = √gi j k ··· .

Proposicion ´ A. 4.9

Sea T ii un tensor. Entonces se satisfacen las siguientes identidades tensoriales:

  j εi j k ··· T ii T j T kk   εi j k ··· Tii  Tjj  Tkk 

· · · = det (Tll )εijk··· , · · · = det (Tll )ε ijk··· = g −1 det(Tll  )ε ijk··· .

Ejercicio A.4.10 Demostrar esta proposicio´ n. notas gdc (v. 1.0)

A–7

Ape´ ndice A. Tensores Ejercicio A.4.11 Evaluar la suma  i1 i2 ...in i1 i2 ...in , teniendo en cuenta que los ´ındices toman valores i j = 1 ,. .. , n. ´ Solucion. Para que i1 i2 ...in sea distinto de cero, todos los ´ındices tienen que ser diferentes. Por lo tanto hay un n umero de sumandos no nulos igual al n umero ´ ´ de permutaciones sin repetici o´ n de n elementos, es decir, n!. Adem a´ s, cuando la permutaci´on es par, tanto i1 i2 ...in como i1 i2 ...in valen 1, mientras que, si es impar, los dos son 1 y el producto es 1 tambi´ en. Por lo tanto tenemos una suma con n! sumandos, todos ellos iguales a 1 y el resultado es

−

i1 i2 ...in i1 i2 ...in = n!



Ejercicio A.4.12 Demostrar la identidad –δ. j

k ijk ilm = δ l δm

− δmj δlk.

Solucion. ´ Esto se puede comprobar teniendo en cuenta que la expresi´on tiene 4 ´ındices libres, j,k,l y m. Como cada uno toma los valores 1,2 o 3, esto quiere decir que hay 3 4 = 81 elementos. Escribi´endolos todos se podr´ıa comprobar la relacion. ´ Vamos a demostrarlo, sin embargo, de una manera ma´ s corta y razonable. Partimos del determinante δ11 δ21 δ31 1 0 0 δ12 δ22 δ32 = 0 1 0 = 1. δ13 δ23 δ33 0 0 1









Si hacemos una permutaci´on de las filas y tenemos en cuenta las propiedades de los determinantes, llegamos a

     

    

δ1i δ2i δ3i j j j δ1 δ2 δ3 =  ijk . k k k δ1 δ2 δ3

Ahora hacemos lo mismo con las columnas — 5 0 0 2

y a r a g .j s i u l —

i δni δli δm j j j δn δl δm =  ijk nlm . k k k δn δl δm

Finalmente hacemos una contraccion ´ de los ´ındices i e n i δii δli δm j j j δi δl δm =  ijk ilm . k δik δlk δm

Ya s´olo queda calcular este determinante, teniendo en cuenta que δ ii = 3. A–8



notas gdc (v. 1.0)

A.5. Tensores cartesianos j

Ejercicio A.4.13 Demostrar que  ijmn klmn = 2 (δki δl

− δkj δli ).

Ejercicio A.4.14 Demostrar, aplicando la relacion ´ –δ, la siguiente identidad vectorial   ) = (A  C  )    A B (A B )C. (B C

× ×

 ´ Solucion. Llamamos F = A

·

− ·

) y D  =  C B

(B

× ×

producto vectorial resulta k

D =

k

ij B

i

j

C,

 Aplicando la definici on C. ´ de

× l

F =

l

mk A

m

Dk.

Juntamos las dos expresiones y queda F l =  l mk Am D k =  l mk A m (k ij Bi C j ) =  l mk k ij Am Bi C j Ahora utilizamos la identidad –δ F l = (δl i δmj

− δl j δmi ) Am Bi C j = δ l i δmj Am Bi C j − δl j δmi Am Bi C j F l = Bl ( A j C j ) − C l ( Ai Bi )  · Y teniendo en cuenta que Ai Bi = A B llegamos al resultado final.  Ejercicio A.4.15 Demostrar las siguientes identidades vectoriales  a) ( A

× B) · (C × D ) = ( A · C )(B · D ) − ( A · D )(B · C ),  ×  ×D  (D  ×  ·A  × )=C  ·A  (C b) ( A B ) · (C B) − D B ). A.5. Tensores cartesianos

— 5 0 0 2

y a r a g .j s i lu —

En el espacio cartesiano (es decir, aqu e´ l en el que la m e´ trica es la delta de Kronecker), no ser ´ıa necesario distinguir entre ´ındices covariantes y contravariantes: a j = gij ai = δij ai y los valores de a j y a j coinciden. Por esta raz o´ n, podr´ıamos escribir todos los ´ındices arriba o abajo. As ´ı, podr´ıamos escribir un producto escalar como a j b j . Naturalmente, esta m´etrica es la del espacio eucl´ıdeo que se utiliza en casi toda la f´ısica cl´asica y, por ello, esta notaci´on aparece en muchas disciplinas en las que se hace uso de los tensores (tensor de inercia en mec a´ nica, el de tensiones en din a´ mica de fluidos, etc.).

notas gdc (v. 1.0)

A–9