Geometria Descriptiva

 

GEOMETRIA DESCRIPTIVA DEFINICION: CIENCIA DEL TRAZADO GEOMETRICO RESOLVER Y DESARROLLAR LAS RELACIONES ENTRE UN TRAZADO TRIDIMENCIONAL EN UNA PROYRECCION ORTOGONAL PLANOS DE PROYECCION PERPENDICULARES ENTRE SI ABATIDOS SOBRE UNA SUPERFICIE BIDIEMNCIONAL

 

Conceptos: Proyectar: Objetivizar lo de quelos captamos de un lasplano formas y dimensiones objetos en Plano de proyección: Superficie sin espesor transparente, ilimitado y bidimensional, se proyecta proyecta la imagen imagen de un objeto Proyección: Figura que resulta de proyectar los puntos que se observan del objeto en la dirección del plano de proyección.

Horizontal  Frontal  Perfil 

 

EL PUNTO:

1 Cota 2 Alejamiento 3 Apartamiento

H

AH

Abatimiento

3

2

Depurado

H F A

AP

1

AF

H F

F

F

P

P

P

 

Conceptos:

Plano adyacente: Plano de proyección contiguo, separado por una línea de pliegue. Plano anexo: Plano que se halla separado de otro por un plano adyacente

PROYECCIONES RELATIVAS ENTRE PUNTOS: ATRAS AH

IZQUIERDA

DERECHA ARRIBA

ADELANTE

ATRAS

H

A

A

ARRIBA IZQUIERDA

P

AF

ADELANTE ABAJO DERECHA

ABAJO

P F

LA ORIENTACIÓN SOLO SE  DEFINE EN EL PLANO H 

 

PROYECCIONES DE UN SÓLIDO 

En los planos de proyección (H, F y P) el sólido se proyecta ortogonalmente 1. Es vis visible ible el conto contorno rno en cualq cualquier uier plano plano de proy proyecció ección. n. 2. En el plano H: Son visibles los puntos que están arriba Son invisibles los puntos que están abajo 3. En el plano F: Son visibles los puntos que están adelante Son invisibles los puntos que están atrás. 4. En el plano P: Son visibles los puntos que están a la derecha Son invisibles los puntos que están a la izquierda

 

1. LA RECTA Una recta queda determinada por dos puntos (dirección y posición) 1.1 PROYECCIONES DE LA RECTA Las proyecciones de los puntos AB AB determinan las proyecciones de la recta en los diferentes planos Un punto contenido en una recta aparece en todas las proyecciones de la recta

Verdadera magnitud  Orientación  Angulo respecto al plano H 

 

DIBUJAR EL POLIGONO ABIERTO ABCDE SABIENDO QUE:

Las coordenadas del punto A son: AF (300, 500) AH (300, 2600) B, está a 3 Km al norte y 500 metros arriba de A C, está a 5 Km al este, 1 Km al sur y 100 metros debajo de B D, está a 1 Km hacia adelante, 2 Km a la izquierda izquierda y 2 Km debajo de C E, está a 2 Km al oeste, 2 Km al sur y 1500 metros debajo de D

 

1. LA RECTA RECTA A 1.6 PENDIENTE DE LA RECT La pendiente es el ángulo de inclinación que hace la l a recta con el plano principal o un plano paralelo a el.

Ángulo expresado en grados PENDIENTE AB = 30º

Ángulo expresado en porcentaje PENDIENTE AB = (h / v) x 100

Si AB AB es el segmento entonces la pendiente será positiva si B está por encima de A y será negativa si B está debajo de A

 

1. LA RECTA 

PENDIENTE PENDIE NTE DE LA RECTA FRONTAL Y DE PERFIL

Ah

Bh

H F Bh

Af Ah ø

Bf

H F Af

Ap

ø

Bf

Bp

F P

 

1. LA RECTA 

PROCEDIMIENTO PROCED IMIENTO PARA PARA DETERMI DETERMINAR NAR LA PENDIEN PENDIENTE TE DE UNA RECTA Proyectar la recta en verdadera magnitud B1

ø

La pendiente se mide únicamente en la proyección auxiliar adyacente al plano H, en el que se proyecta en VM. La orientación se analiza y deduce solo H. en las proyecciones del plano La Verdadera magnitud (VM) se deduce en una vista de elevación paralela a la recta.

A1

Bh

Ah

1 H H F

Af

Bf

 

1. LA RECTA 

RECTAS PERPENDICULARES Cuando dos rectas se cortan o cruzan y forman un ángulo de 90º. serán perpendiculares si una de ellas se proyecta en VM Si una de ellas se proyecta en VM y la otra como punto, entonces estas serán perpendiculares

Problema: AB AB es una barra estructural, se le refuerza en X con una barra perpendicular a AB que parte de C. CXDeterminar (Esc: 1/100)la magnitud, orientación y pendiente de A (3,0  – 5,0  – 8,5) B (5,0  – 2,0  – 12,5) C (8,0  – 4,0  – 10,0)

 

2. EL PLANO Un plano queda determinado por: 

Tres puntos.  Un punto y una recta.  Dos rectas que se cortan.  Dos rectas paralelas. 

Por figuras geométricas.

 A+

 A+

E+

+C D+ B+

B+

F+

 

2. EL PLANO 2.1 Rectas contenidas en un plano: YH XH

Si una recta corta a dos rectas contenidas en un plano, esta recta también está contenida en el plano XH YH

 

2.1 Rectas notables de un plano: 

Recta horizontal



Recta frontal



BH YH B H BH

Recta de perfil

BH

2.2 Puntos pertenecientes a un plano: AH

H

H F H HF

F

F

PH

AH XHH Y

CH

YH

CC HH

CH

Y H AAHH

BF BF

AF YH

AF YH

BF

A F XH

AF

CF

PF YH

BP

YH

BF

AP

YYHH

CF CP

CF

CF F P

 

2.3 Rectas notables de un plano: a) Planos paralelos a los planos H, F y P b) Planos perpendiculares a los planos H, F y P  Plano horizontal Plano paralelo al plano H  Plano frontal Se proyecta en verdadera verdadera magnitud en el plano H Plano paralelo planoenFel plano F Se proyecta dealcanto BH  Plano de perfil Se proyecta en verdadera verdadera magnitud en el plano F Plano paralelo planoenPel plano H Se proyecta dealcanto BH AH

CH

en canto verdade verdadera Se proyecta de enraelmagnitud plano F en el plano P Verdadera Magnitud

BF

H F

AF

H F

F P

BF

Verdadera M ag ni nitu tud d

CP

CF

BP

AH

AP

AF

CH

Verdade ra M agnitud agnitud

AF

BF

CF

CF

 

2.3 Rectas notables de un plano: b) Planos perpendiculares a los planos H, F y P Plano vertical Se muestra  Plano normal perpendicular al plano  por Plano perpendicular al plano P H, lo que se proyectará de canto en 

H muestra Se perpendicular al plano F, por lo que se proyectará de canto en F Ortoperfil. Se muestra perpendicular al plano P, por lo que se proyectará de canto en P

CH BH AH

BH

BF

CH

BF

H F AH

AF

BF

AF

H F

CF CF

AF

CF

AF

BF

F P

CF

 

2.3 Plano de canto

B1

A partir de una recta contenida en el plano que se visualice como punto

N1

C1 M1

A1

BH NF

B2 CH M 2N2 2 A2

1

MF 1 H

AH

H F C2 CF AF MF NF

BF

 

2.3 Verdadera Verdadera magnitud de un plano B1

Se proyecta en un plano paralelo al plano

N1

C1 M1 2

1

32

A1

BH NF

B2 CH B3

MF

M 2N2

1 H

A2

AH

A3 VERDADERA MAGNITUD

H F C2 CF C3

AF MF NF

BF

 

Problema 1: Hallar la verdadera magnitud del plano ABC A (2,0  – 5,5  – 8,5) B (4,5  – 3,0  – 10,0) C (6,0  – 4,5  – 6,5) Problema 2: ABC son los vértices de un plano ortoperfil. Determinar las coordenadas y proyecciones principales del plano JKL que está determinado por los puntos medios de AB, BC y AC A (2,5  – 7,0  – 8,0) B (6,0  – 5,0  – ?) C (4,0  – 4,0  – 11,5)

 

2.4 Orientación de un plano

Está determinada por la orientación de una recta horizontal contenida en el plano. Se ve únicamente en el plano H La nomenclatura es la misma que en el caso de la recta

 

2.5 Pendiente de un plano

Es la tangente del ángulo de inclinación que hace el plano respecto a un plano horizontal Se nombra en grados o en porcentaje de pendiente. Proyectar el plano de canto en una vista de elevación (adyacente al plano H)

 

2.5 Máxima pendiente de un plano Se determina respecto a un plano horizontal cualquiera y está por una recta contenida en eldado plano. La dirección en que baja la pendiente es hacia el vector más bajo del plano.

NOMENCLATURA: Se nota primero el ángulo y luego la dirección en que baja la recta Orientación: N ß O M. pendiente: ø NE

 

PRACTICA CALIFICADA

Problema 1: Si los segmentos AB y BC de la línea de tubería ABC tienen la misma pendiente, encuentre la vista frontal de BC. A (3,0  – 1,8  – 2,7) B (2,0  – 1,2  – 3,7) C (0,8

 –

?

 –

3,4)

Problema 2: Sobre el punto P que pertenece al plano XYZ se encuentra una esfera de acero, que al ser dejada en libertad se desplaza sobre el plano por efecto de la gravedad, determinar la longitud verdadera y la pendiente de la trayectoria, si tenemos: X (1,0 - 1,0 - 8,0) Y (4,0 - 4,0 - 10,0) Z (5,0 - 2.0 - 10,0) P (3,0 - ? - 9,0)

 

3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 3.1 PARALELISM PARALELISMO O



Entre rectas: No tienen un punto común



Entre una recta y un plano: La recta debe ser paralela a una recta contenida en el plano



Entre planos: Cuando dos rectas que se cortan en un plano son paralelas a otras dos que se cortan en otro plano

 

A) Por una recta trazar un plano paralelo a una recta dada CH MH XH

 A H

NH

BF

H F BF

 A F

NF

XF

MF

CF

1º Por un punto arbitrario (X) que pertenezca a la recta AC trazar una recta de longitud arbitraria, paralela a MN

2º Proyectar X (sobre AC) y trazar una recta paralela a CD en el otro plano de proyección.

 

B) Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas MH XH BF

YH

NH

YF

NF

 A H

ZH

H F

BF

ZF  A F XF

1º Por el punto (X) trazar una recta paralela a una de las rectas dadas (MN). Ubicamos el punto Y (arbitrario). MF 2º Por un punto de esta nueva recta (Y) trazar una recta paralela a la otra recta dada (AB). Ubicamos el punto Z (arbitrario).

 

C) Por un punto trazar un plano paralelo a otro plano dado H

 A H XH

YH

NH

1º Por el punto (A) trazar una recta paralela a una recta del plano dado (YZ). Ubicamos el punto M (arbitrario).

ZH

H F

YF

NF

ZF

XF MF  A F

2º Por el punto (A) trazar una recta paralela a otra de las rectas del plano dado (XY). Ubicamos el punto N (arbitrario).

 

3.2 PERPENDICULARIDAD 

Condiciones entre rectas: Cuando determinan un ángulo recto, siempre que una de ellas de muestre en VM.



Condiciones entre una recta y un plano: La recta debe ser perpendicular a dos rectas que se cortan y que estén contenidas en el plano. Una recta será perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.



Condiciones entre planos: Cuando un plano tiene una recta perpendicular al otro plano.

 

perpendi cular a una recta dada A) Por un punto trazar un plano perpendicular  A H

BH

 A H

MH

MH

NH

   M    V

H F NF

 A F MF

CH NH

H BF

F

NF V    M   

 A F

CF MF

Por el punto (A) trazar una recta horizontal y otra frontal, buscando que sus verdaderas magnitudes sean perpendiculares a las respectivas proyecciones de la recta (MN)

 

B) Por un punto trazar una recta perpendicular a un plano dado M1 C1

MF

CH  A 1  A H 1F

N1 B1

1 H

1º Mostrar el plano de canto y trazar por el punto una recta perpendicular a dicho plano.

NH

H F BF

1F

 A F

Como la recta perpendicular de halla en verdadera magnitud en el plano adyacente se mostrará paralelo a la línea de pliegue Si el plano se proyecta en VM, la recta se proyectará como punto

BH

MF

NH

CF

 

B) Por una recta trazar un plano perpendicular a un plano dado MF NH

BH XH V  M 

YH

CH

 A H OH

H F MF

1º Trazar por el plano (ABC) una recta horizontal y una recta frontal.

NH

 A F

2º Por un punto de la recta (MN) trazar una recta perpendicular a las rectas que se muestran en verdadera magnitud.

YF

V  M 

XF

CF BF

OF

 

Problema 1: Hallar la longitud mínima que se apoya en AB y CD y sea paralela al plano XYZ A (4,0  – 3,3  – 4,8) B (6,5  – 1,0  – 5,9) C (1,2  – 2,2  – 5,1) D (4,5  – 3,8  – 7,8) X (3,8 - 2,5 - 6,1) Y (3,3 - 0,7 - 5,1) Z (5,8 - 3,7 - 4,6) Problema 2: Las diagonales de un plano están representadas por las líneas AB y CD. Dichas diagonales son de igual longitud y se interceptan en ángulo recto. Completar las proyecciones del plano ABCD y determinar su pendiente A (3,0 - 1,5 - 4,9) B (5,4 - 0,6 - 4,1) C (4,6 - 2,2 - 2,7)

 

4. DISTANCIAS 4.1 MENOR DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: La menor distancia, es la perpendicular trazada del punto a la recta. La proyección donde se observa esta perpendicularidad será aquella donde la recta este proyectada en VM. Donde la recta se proyecte como punto, la distancia entre el punto y la recta estará en VM a) METODO DE LA RECTA RECTA EN VM

 

b) METODO DEL PLANO EN VM

1. Formar un plano con la recta y el punto

2. En la vista donde se proyecta el plano en VM. La distancia del punto a la recta de proyecta

perpendicularmente y en VM.  

4.2 MENOR DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN La menor distancia, es el segmento perpendicular a cada una de las rectas 1. Proyectar una de las rectas como punto y la otra en posición arbitraria 2. Trazar una perpendicular desde la recta que aparece como punto hasta la otra recta. Esta será la VM. de la distancia pedida

 

4.2 DISTANCIA MAS CORTA DE UN PÙNTO A UN PLANO Es la recta perpendicular trazada del punto al plano. 1. Proyectar el plano de canto

 

4.2 MENOR DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN Conectar dos rectas con una tercera que no tenga pendiente 1. Formar un plano que contenga una de las rectas y que sea paralelo a la otra. 2. Proyectar el plano formado de canto en una vista de elevación y la otra recta paralela a este 3. La distancia horizontal mas corta es paralela a H-1. (Se tiene t iene la dirección pero no su localización exacta) 4. Proyectar como punto la línea q representa la menor distancia (se localiza en el cruce de las dos rectas dadas) * La VM se observa en H