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SESION 1 GEOMETRIA PLANA INTRODUCCIÓN El conocimiento de hechos geométricos aislados se remonta a la prehistoria. Por cierto los primeros egipcios y babilonios (4000-3000 a. de C.) conocían muchas relaciones geométricas prácticas. La construcción de las pirámides requirió de un conocimiento considerable de la geometría práctica; pero fueron los antiguos griegos los que reunieron los hechos geométricos conocidos, los que descubrieron nuevos hechos y los ordenaron en un sistema lógico uniforme. La palabra geometría deriva de dos palabras griegas, "ge" que significa "tierra" y "metrei" que significa "medir" mostrando que originalmente se había pensado en ella como de "una medida de la tierra". Este proceso de organización y descubrimiento necesitó siglos para desarrollarse y ocupó la mente de numerosos hombres competentes. Los siglos antes, durante y después del período de mayor influencia política griega (siglos IV y V a. de C.) eran períodos de intensa actividad intelectual. Las mentes líderes estaban interesadas en todo tipo de ideas. El más conocido de los geómetras de la Grecia antigua es Euclides, que escribió los Elementos, (cerca de 300 a. de C.). Este trabajo es el manual de más fama que jamás ha existido y fue utilizado en el mundo entero hasta bien entrado nuestro siglo; se compone de 13 libros; los seis primeros se refieren a la geometría plana, los otros a aritmética y geometría sólida. Los Elementos no solo fue ampliamente utilizado como escrito, sino que también sirvió de modelo para innumerables libros. Isaac Newton, el famoso matemático y físico Inglés escribió su gran libro Principia, en el "estilo geométrico" aunque a menudo este estilo interfería en el camino que emprendió en sus descubrimientos. La mayoría de los libros utilizados hoy en día en la enseñanza de la geometría son en alguna medida una versión simplificada de los Elementos de Euclides. Es asombroso y a la vez un gran tributo que se le rinde a Euclides, ver que su libro ha conservado su valor por más de 2000 años. Poco se sabe acerca de la vida de Euclides, excepto que probablemente estudió sus matemáticas con discípulos de Platón y que posteriormente fundó su propia escuela en Alejandría. Sin duda él hizo pleno uso de los escritos anteriores, pero la organización de los Elementos es propia de él, así mismo que sus importantes perfeccionamientos.

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Muchos grandes matemáticos griegos siguieron a Euclides, entre ellos se cuentan Apolonio (III siglo a. de C.) y Arquímedes (III siglo a. de C). Arquímedes, una de las mentes más importantes de la época antigua, hizo interesantes trabajos en matemática, física e ingeniería. Fue contratado como consejero técnico en asuntos bélicos por el rey de Siracusa; fue muerto por un soldado en el sitio de esta ciudad en 212 a. de C. OBJETIVOS Entender los conceptos básicos de la geometría plana como son punto, línea recta, segmento, polígono, circunferencia, ángulo, etc. entre otros que serán básicos en el estudio y el ejercicio de la Ingeniería Civil, en las áreas de Análisis Estructural y Diseño Geométrico de Vías. Identificar con facilidad los elementos que conforman un polígono, las clases y su denominación.

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CONDUCTA DE ENTRADA 1. El diseño de obras de ingeniería civil, básicamente es el conjunto de elmentos geométricos simples, que se conjugan de cierta manera para crear las estrucutas conocidas por todos, en las construcciones de obras de infraestructura. En el municipio en el cual usted reside, identifique un paso elevado, puente vehicular, puente peatonal, puente caballar, metálico o de concreto e identifique las figuras geométricas básicas de las cuales está compuesto. Descríbalas mediante un plano y discuta sus observaciones con sus compañeros de grupo de estudio.

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1.1 DEFINICIONES Antes de entrar a estudiar la geometría plana es necesario recordar algunos conceptos básicos que facilitarán su comprensión. • Punto Es un término no definido, pero lo podemos asociar con la marca hecha por un lápiz. Se denota mediante letras mayúsculas A, B, etc. • Recta Otro término no definido, un hilo tenso nos da en la práctica el concepto geométrico de recta. Las rectas se denotan por letras minúsculas l, m, n, etc. • Segmento Se llama segmento a una porción de recta limitada por sus dos puntos extremos. A B Figura 1.1 Segmento AB

1.2 ÁNGULOS El ángulo es el espacio comprendido entre dos rectas unidas en un punto llamado vértice. Los ángulos se denominan mediante tres letras mayúsculas: dos de ellas situadas a los extremos y la otra, en el punto de unión. También se denominan mediante una letra minúscula cerca del vértice. C a

A B Figura 1.2 Ángulos

Los siguientes son los principales tipos de ángulos: • Ángulo recto: es aquel cuya medida es 90º (α en la figura 1.3) • Ángulo obtuso: su medida es superior a los 90º (β en la figura 1.3) • Ángulo agudo: su medida es inferior a los 90º (λ en la figura 1.3)

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α

β

λ

Figura 1.3 Tipos de ángulos

1.3 TRIÁNGULOS Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces la unión de los segmentos AB, AC y BC se denomina triángulo. C

A

B Figura 1.4 Triángulo

Los triángulos se pueden clasificar según algunas características: a) Según la medida de sus lados. La clasificación de los triángulos según la medida de sus lados o de sus ángulos es la siguiente: • Escaleno, el triángulo que tiene los tres lados diferentes (ningún lado congruente). (Figura 1.5 a) • Isósceles, el triángulo que tiene dos lados de igual longitud. (Figura 1.5 b) • Equilátero, el triángulo que tiene sus tres lados congruentes, es decir de igual longitud. (Figura 1.5 c)

a

b

c

Figura 1.5 Clases de triángulos según sus lados

b) Según la medida de sus ángulos. • Acutángulo, el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (Figura 1.6 a). ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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• •

Obtusángulo, el triángulo que tiene un ángulo obtuso (Figura 1.6 b). Rectángulo, el triángulo que tiene un ángulo recto (Figura 1.6 c).

a

b

c

Figura 1.6 Clases de triángulos según sus ángulos

1.4 RECTAS PARALELAS Rectas paralelas son aquellas que en toda su extensión, mantienen una misma distancia (equidistantes) y por más que se prolonguen no llegan nunca a unirse. Figura 1.7. Por ejemplo: los lados de una mesa cuadrada son paralelos, los bordes opuestos de una hoja rectangular, los rieles del ferrocarril, etc. B A

D

C Figura 1.7 Rectas Paralelas

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1.5 POLÍGONOS La figura 1.8 representa una línea poligonal cerrada. Está formada por segmentos que son AB, BC, CD, DE y EF. E D

A

B

C Figura 1.8 Línea poligonal cerrada.

Se nombra por las letras que llevan sus vértices: Línea poligonal ABCDE. Si a la línea poligonal ABCDE le añadimos la superficie que está dentro de ella, entonces tenemos un polígono. Un polígono es la figura formada por una línea poligonal cerrada más su región interior. Elementos de un polígono En los polígonos podemos identificar una serie de elementos que nos facilitan su identificación, así como su clasificación (figura 1.9). Estos son: • • • •

Lado, que es cada uno de los segmentos del polígono. Vértice, es el punto donde se unen dos segmentos consecutivos. Ángulo, es el espacio comprendido entre dos lados consecutivos. Diagonal, es el segmento que une dos vértices no consecutivos. VERTICE DIAGONAL

LADO ANGULO Figura 1.9 Elementos de un polígono

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Clasificación de los polígonos: • • • •

Polígono regular: es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales. Polígono irregular: es aquel que tiene sus lados y sus ángulos desiguales. Polígono inscrito: es aquel polígono construido dentro de una circunferencia y en el que los vértices de sus ángulos están en contacto con la misma. Polígono circunscrito: es aquel cuyos lados son tangentes a la circunferencia.

Ángulos de un polígono En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos (α en la figura 1.10) y los exteriores (β en la figura 1.10) son sus suplementarios.

α

β

Figura 1.10 Ángulos de un polígono

Suma de ángulos interiores Conocemos la suma de los ángulos de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso. Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es: 180º·(n-2)/n.

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Suma de ángulos exteriores La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) la diferencia es n·180º 1.6 CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. A esa distancia común se le llama radio de la circunferencia.

TE TANGEN B

E ANT SEC A

O ETR DIAM O C

D

RA DI O

CU ERD A

E

ARCO

Figura 1.11 Circunferencia

Segmentos y líneas fundamentales de la circunferencia. • Radio: se llama radio a una línea recta que saliendo del centro, toca cualquier punto de la circunferencia (OC, OD y OE en la figura 1.11). • Diámetro: el diámetro es un segmento cuya longitud es dos veces el radio de la circunferencia (CD en la figura 1.11) • Arco: el arco es una parte de la circunferencia, limitada por una cuerda. Porción de curva. • Cuerda: es una línea recta que toca dos extremos de un arco. La cuerda mayor es el diámetro. • Secante: es la recta que corta la circunferencia en dos puntos. Se prolonga por fuera de la circunferencia (AB en la figura 1.11). • Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un punto y es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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1.6.1 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA •

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. (figura 1.12)

Figura 1.12Angulo central de una circunferencia

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia. •

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia. El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite (Figura 1.13). El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

Figura 1.13 Angulo Inscrito en una circunferencia

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•

Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo. La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto (Figura 1.14).

Figura 1.14 Angulo interior de una circunferencia

•

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca (Figura 1.15)

Figura 1.15 Angulo exterior de una circunferencia

1.6.2 TANGENTES La tangente a una circunferencia es cualquier recta que la toque en un punto, y sólo en uno (figura 1.16) Propiedades: • Toda tangente a la circunferencia es perpendicular al radio. • Una recta es tangente a una circunferencia si es perpendicular al radio.

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B A R

R C

F

R

D

E

Figura 1.16 Tangentes de una circunferencia

1.7 POLÍGONOS REGULARES Los polígonos regulares son aquellos que tienen sus lados y sus ángulos iguales, tal como los representados en la figura1.17

Figura 1.17 Polígonos Regulares

Nombre de los polígonos Los polígonos tienen distintos nombres dependiendo del número de lados que tengan: Los polígonos de 3 lados se llaman triángulos. Los polígonos de 4 lados se llaman cuadrilátero. Los polígonos de 5 lados se llaman pentágono. Los polígonos de 6 lados se llaman hexágono. Los polígonos de 7 lados se llaman heptágono. Los polígonos de 8 lados se llaman octógono. Los polígonos de 9 lados se llaman eneágono. Los polígonos de 10 lados se llaman decágono. Los polígonos de 11 lados se llaman endecágonos. Los polígonos de 12 lados se llaman dodecágonos. Los polígonos de 15 lados se llaman pentadecágonos. Los polígonos de 20 lados se llaman icosígonos. El polígono que tiene mayor número de lados es la circunferencia porque tiene infinitos lados.

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Ángulo central en un polígono regular Si pensamos en el polígono inscrito en una circunferencia el ángulo central se corresponde al que forman dos radios consecutivos del polígono. La medida de todos los ángulos centrales es de 360º, la misma que la de los ángulos exteriores.

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ACTIVIDADES PRELIMINARES EVALUACION FINAL 1. Calcula los valores que faltan en la tabla, considerando que a, b y c son los lados de un triángulo cualquiera, y h la altura correspondiente al lado b. a

b

c

h

5cm.

14cm

16cm.

8cm.

10m. 9cm.

perímetro

12m2

8m. 12cm.

área

6cm.

31cm.

2. Completa la información de la siguiente tabla, según lo expuesto sobre polígonos Nº de Nº de Nº de Figura Nombre Nº de lados ángulos vértices diagonales interiores

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SESION 2 FIGURAS SEMEJANTES Y AREAS

INTRODUCCIÓN En el estudio de la geometría plana es de suma importancia el conocimiento y dominio de los elementos básicos como son: la línea recta, el triángulo, el circulo, etc., y las diferentes relaciones que se pueden establecer entre otros de la misma naturaleza, pero de diferente tamaño, forma o posición. Es ahí donde se deben emplear los criterios de semejanza y proporcionalidad entre triángulos, poligonos y demás formás geométricas. El cálculo del área de una región plana es bastante empleado en los diferentes campos de la ingeniería y particularmente en la ingeniería civil, es por ello que se deben afianzar las diferentes estrategías que se pueden emplear en la determinación del área de una región específica. Lo que se podría hacer para cualquier región es compararla con las formas sencillas y comunes como son: el triángulo, los cuadrilateros, los poligonos regulares, la circunferencia, etc., y a partir de allí descomponer o transformar dicha región en otras que sean más sencillas de analizar. OBJETIVOS Identificar las aplicaciones de los conceptos básicos de la geometría plana como son punto, línea recta, segmento, polígono, circunferencia, ángulo, entre otros, empleados en el estudio de figuras complejas como las áreas y la semejanza de polígonos. Desarrollar la capacidad para encontrar el área de las diversas regiones planas, llevandolas a figuras geométricas sencillas como el triángulo, rectángulo, etc. Identificar cuando dos figuras geométricas son semejantes y de acuerdo con que criterios.

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CONDUCTA DE ENTRADA 1. Para facilitar el estudio de ésta sesión, el estudiante debe tener claridad en el significado de algunos términos, por ello se debe dar la definición o mejor aún lo que usted entiende por: a) Proporción b) Semejanza c) Polígono d) Area e) División f) Transformación 2. A partir de su interpretación de la definición de polígono, cuales cree usted que son las clases de polígonos que se pueden identificar. 3. Mediante los elementos de dibujo que usted muy bien domina, a partir de un circulo de radio dado, circunscriba en él un pentágono. Realice el mismo ejercicio mediante un asistente de diseño por computador.

2.1

FIGURAS SEMEJANTES ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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2.1.1 LÍNEAS PROPORCIONALES Segmentos conmensurables. Dos segmentos son conmensurables si la razón que hay entre sus longitudes es un número racional. Esto es, si tenemos un segmento que se tome como unidad de medición, ese segmento cabe un número entero de veces en los dos segmentos (figura 2.1) A

B

C

D

Figura 2.1 Segmentos conmensurables

Segmentos proporcionales. Dos segmentos son proporcionales si se puede formar una proporción con los números que representan las longitudes de sus partes. En la figura 2.1 el segmento CD tiene dos veces la longitud de AB, luego AB=1 y CD=2, y AB/CD=1/2 2.1.2 TRIÁNGULOS SEMEJANTES Semejanza de triángulos. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales; sin embargo, para afirmar que dos triángulos son semejantes no es necesario probar que los tres ángulos correspondientes son congruentes y que los tres lados correspondientes son proporcionales, sino que bastará con que cumpla con tres de las seis condiciones, generándose tres casos o criterios de semejanza, mismos que se enuncian a continuación: • Criterio AAA de semejanza. Si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes congruentes, entonces los triángulos son semejantes. En la Figura 2.2 los ángulos α y γ, β y ϕ, y δ y λ son congruentes entre sí, por tanto el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF. •

Criterio LAL de semejanza. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales. En la figura 2.2 los ángulos β y ϕ son congruentes y además los lados BA y BC son proporcionales a los lados ED y EF respectivamente, luego el triángulo BAC y EDF son semejantes. E ϕ

B β

A

α

δ

γ C

D

λ F

Figura 2.2 Triángulos semejantes

• Criterio LLL de semejanza. Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. En la figura 2.2, los segmentos AB y DE son proporcionales, así como los segmentos BC y CA con los segmentos EF y FD respectivamente, por tanto los triángulos CAB y FDE son semejantes.

2.1.3 POLÍGONOS SEMEJANTES Dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño. Criterio de semejanza entre dos polígonos Para que dos polígonos (con el mismo número de lados) sean semejantes se han de cumplir las dos condiciones siguientes: • Los ángulos respectivos han de ser congruentes (iguales). • Los lados respectivos han de ser proporcionales: Los vértices, lados y ángulos correspondientes a dos polígonos semejantes se llaman homólogos; y a la constante de proporcionalidad, la cual se obtiene dividiendo las longitudes de dos lados homólogos se llama razón de semejanza. En la figura 2.3 se muestran dos polígonos semejantes, de allí se puede establecer que los ángulos A, B, C, D y E son de igual magnitud con P, Q, R S y T. Así mismo los lados AB, BC, CD, DE y EA son proporcionales a los lados PQ, QR, RS, ST, TP respectivamente. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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D S C

E

R

T A

B POLIGONO IRREGULAR A

P Q POLIGONO IRREGULAR B

Figura 2.3 Polígonos semejantes

2.1.4 RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LAS LÍNEAS DEL CÍRCULO Las relaciones métricas entre las líneas del círculo son las siguientes:

2.2

•

Relaciones entre los segmentos de la cuerda: Si dos cuerdas se cortan en un punto inferior de la circunferencia, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al de los segmentos de otra cuerda

•

Relación entre los segmentos de dos secantes: Si trazamos dos secantes desde un punto exterior a una circunferencia, entonces el producto de una de las secantes por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.

•

Relación entre una secante y una tangente: Si desde un punto exterior a una circunferencia trazamos una secante y una tangente, se cumple que la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante por su segmento exterior AREAS

Área es el número positivo que se le asigna a la superficie de una figura geométrica y hace referencia a su extensión.

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2.2.1 DETERMINACIÓN DE ÁREAS Antes de determinar el área de cualquier figura geométrica es conveniente establecer los términos que se emplean frecuentemente: • • • • • • • • •

Polígono, figura plana de varios ángulos limitada por líneas rectas. Radio, segmento trazado desde el centro del círculo a la circunferencia. Vértice, punto donde concurren los dos lados de un ángulo. Apotema, perpendicular trazada del centro de un polígono regular a uno de sus lados. Area, superficie comprendida dentro de un perímetro. Cateto, cada lado del ángulo recto en un triángulo rectángulo. Diagonal, línea recta que va de un vértice a otro no inmediato en un polígono. Diámetro, línea recta que pasa por el centro del círculo y termina por ambos extremos en la circunferencia. Perímetro, línea que limita una figura plana.

2.2.1.1

TRIÁNGULO

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:

47,16 altura

Área del triángulo = (base x altura) / 2

77,68 base Figura 2.3 Triángulo

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2.2.1.2

RECTÁNGULO

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del rectángulo = base x altura

35

71,21 base

altura

Figura 2.4 Rectángulo

2.2.1.3

ROMBO

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del rombo = (diagonal mayor x diagonal menor) / 2

73,62 mayor diagonal

41,04 diagonal menor

Figura 2.5 Rombo

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2.2.1.4

TRAPECIO

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del trapecio = [(base mayor + base menor) x altura] / 2

47,07 altura

3,36 base 6menor

100,18mayor base

Figura 2.6 Trapecio

2.2.1.5

PARALELOGRAMO

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

altura

Área del paralelogramo = base x altura

base Figura 2.7 Paralelogramo

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2.2.1.6

POLÍGONO REGULAR

Pentágono El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del pentágono = (perímetro x apotema) / 2

A EM T O AP

Figura 2.8 Pentágono Regular

Hexágono El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales. Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del hexágono = (perímetro x apotema) / 2

AP OT EM A

Figura 2.9 Hexágono regular

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2.2.1.7

CIRCULO

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del círculo = 3'1416 x (radio)²

R

Figura 2.10 Circulo

2.2.1.8

SECTOR CIRCULAR

Un sector circular es la región delimitada por un arco y dos radios. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del sector circular = α x (radio)² / 2

α R Figura 2.11 Sector circular

Se debe aclarar que el ángulo se debe expresar en radianes, ya que el área es un número real y el ángulo en radianes también, mientras que si se expresa en grados no se tendrá un valor apropiado. 2.2.2 RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LAS ÁREAS ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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Las áreas de los polígonos regulares cumplen algunas relaciones entre sí de acuerdo con el teorema de Pitágoras. 2.2.3 TEOREMA DE PITÁGORAS

El gran matemático griego Pitágoras descubrió una situación muy especial que se produce en el triángulo rectángulo y que se relaciona con sus lados. El teorema de Pitágoras establece que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos. El área del hexágono regular construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los otros dos hexágonos construidos sobre los catetos del triángulo. (Los lados de los hexágonos miden lo mismo que los lados a los que están unidos). Por lo anterior el área del hexágono C es igual a la suma de las áreas de los hexágonos A y B en la figura 2.12 El resultado es cierto utilizando cualquier otro polígono regular en lugar de hexágonos, y también si se construyen cualquier tipo de polígonos semejantes sobre los lados del triángulo rectángulo.

HEXAGONO C

HEXAGONO B

HEXAGONO A

Figura 2.12 Teorema de Pitágoras

2.2.4 APLICACIONES ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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La zona sombreada representa un terreno (figura 2.13). ¿Cuál es la superficie del lote, si los terrenos que lo limitan son cuadrados y el área es la que se indica en la figura?

Area 144 Hm2 Area 169 Hm2

Figura 2.13 Terreno triangular

Como el lote tiene forma de triángulo rectángulo, bastará con aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el área del lote que se ubica en el cateto del cual no se conoce el área. Área lote = 169 – 144 = 25 Hm² Ahora se debe calcular la longitud de los catetos, 12 Hm y 5 Hm respectivamente. Aplicamos la fórmula para el área del triángulo: Área = 5x12/2 = 30 Hm². 2.2.5 POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS Circunferencia circunscrita Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita. El radio y el centro de dicha circunferencia son el radio y el centro del polígono regular. Una forma de construcción de polígonos regulares es dividir la circunferencia en un número de arcos iguales y unir los puntos de la división obteniéndose el ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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correspondiente polígono inscrito regular. Cuanto mayor sea el radio de dicha circunferencia mayor será el polígono regular obtenido. Apotema de un polígono regular La apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el centro del polígono. Es básica para conocer el área del polígono ya que es la altura de cada uno de los triángulos formados por cada dos radios y el lado. Área de un polígono regular El área de cualquier polígono es el de la suma de las áreas de los triángulos en que se puede dividir. Si el polígono es regular el método se simplifica, ya que puede dividirse en triángulos iguales con un vértice en el centro del polígono y los otros dos en los extremos de cada lado. Puesto que la apotema es la altura de cada uno de esos triángulos, su área es el producto del lado por la apotema partido por dos. Al multiplicar por el número de lados se obtiene al área del polígono regular: el perímetro por la mitad de la apotema.

Figura 2.14 Polígonos regulares circunscritos

2.2.6 TRANSFORMACIÓN DE FIGURAS La transformación de figuras es un método bastante efectivo para determinar el área de figuras geométricas complejas que no son equivalentes en forma global a ninguna de las figuras analizadas anteriormente, pero que se pueden transformar o descomponer en figuras como las estudiadas hasta ahora. En la figura 2.19 se muestra una figura geométrica de la que se quiere calcular el área correspondiente.

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40

35

66°

O 50

70

53, 3

80

70

80

Figura 2.15 Transformación de figuras

Como se puede apreciar en la figura 2.15, se ha transformado la figura geométrica inicial en la suma de varias regiones geométricas sencillas como el rectángulo, el triángulo y un sector circular, además como tiene un “hueco circular” , le debemos restar el área del circulo. De esta forma se puede determinar el área a partir de la transformación realizada, con cálculos más sencillos. 2.2.7 DIVISIÓN DE FIGURAS La división de figuras es otro método bastante útil y práctico para determinar el área de algunas figuras geométricas, como los polígonos irregulares y que no se asemejan a ninguna de las figuras estudiadas anteriormente. En éste método la figura se debe dividir en triángulos cuyas dimensiones sean conocidas o que se facilite su cálculo a través de las herramientas que nos brinda la trigonometría.

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En la figura 2.16 se muestra un poligono irregular, del cual se requiere determinar el área. Como se puede apreciar en la figura es posible divirla mínimo en tres triángulos, al trazar diagonales desde los vértices, y el área del triángulo la podemos calcular de 1 acuerdo con la fórmula A = bh ; sin embargo se debe tener cierta habilidad para 2 poder realizar una división apropiada que facilite el cálculo. En la primera alternativa propuesta se obtienen tres triángulos distintos, de los cuales se conocen las dimensiones de algunos lados y habrá que utilizar la trigonometría para poder determinar las dimensiones de los lados que no se conoce, o lo que es más critico aún, se debe tomar un lado como base y determinar la altura, para poder aplicar la fórmula. En la segunda alternativa se realiza una división aprovechando la simetría de la figura, obteniendo tres triángulos, de los cuales dos son semejantes (mejor aún congruentes, es decir iguales, los triángulos 1 y 3) y el otro es isoceles (dos lados iguales) por ello los cálculos que se deben realizar se reducen significativamente.

E

A

1

50

E

D

50

2

30

1

30

° 90 50

B D

3

50

10 5° 50

2

C

40

B D

A

30

C

40

119°

40

B

30

C

30

30

3 A

50

E

Figura 2.16 División de figuras

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ACTIVIDADES PRELIMINARES EVALUACION FINAL 1. Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q, respectivamente. Además se tiene que m = 6 cm., n = 10 cm. y que p = 8 cm. Determina la medida del segmento q. 2. Dos segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q, respectivamente. Si m = 6 cm., n = 8 cm. y p + q = 21 cm. ¿Cuales son las medidas de p y q? 3. Dos segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d, respectivamente. Si a = 3 m., b = 4 m. y c + d = 28 m. ¿Cuales son las medidas de c y d? 4. Dos triángulos tienen sus lados proporcionales. Si el perímetro del primero es 45 m. y los lados del segundo triángulo miden 4 m., 5 m. y 6 m., respectivamente. Determina la medida de los lados del primer triángulo y la razón de proporcionalidad. 5. Dos triángulos tienen sus lados proporcionales. Si el perímetro del primero es 130 cm. y los lados del segundo triángulo miden 12 cm., 10 cm. y 4 cm., respectivamente. Determina la medida de los lados del primer triángulo y la razón de proporcionalidad. 6. Determina los lados de un triángulo sabiendo que su perímetro mide 180 cm. y que sus lados son proporcionales a 3, 5 y 10. 7. Si el triángulo ABC es semejante con el triángulo PQR entonces: La razón entre los lados correspondientes es: _______ = _______ = _______ El ángulo CAB es congruente con el ángulo _______ El ángulo ABC es congruente con el ángulo _______ El ángulo ACB es congruente con el ángulo _______ 8. Determina si son verdaderas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Todos los triángulos isósceles son semejantes. Hay triángulos escálenos y triángulos rectángulos que son semejantes.

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SESION 3 GEOMETRIA DEL ESPACIO INTRODUCCIÓN La geometría del espacio es el área de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en ingeniería y en ciencias naturales. Sin embargo aquí no se cubrirán todas las temáticas, pues el objetivo de la sesión es sentar las bases de la geometría descriptiva, la cual se desarrollará desde la sesión No 4. También es preciso mencionar que las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (15701630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos. OBJETIVOS Conocer los métodos para realizar una proyección sobre un plano. Conocer las figuras en 3D para su posterior identificación y empleo en programas de diseño asistido por computador. Conocer el origen geométrico de las curvas cónicas, sus constantes y sus aplicaciones.

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CONDUCTA DE ENTRADA 1. Para facilitar el desarrollo de ésta sesión, es conveniente que el estudiante realice una breve descripción de los diferentes tipos existentes de proyección sobre un plano. 2. Identifique en la figura general, las figuras parciales de las cuales está compuesta.

Figura P-2

3. En la figura calcule el área total.

Figura P-3

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3.1

LÍNEAS RECTAS Y PLANOS

La línea es uno de los términos indefinidos de la geometría. Las líneas se extienden indefinidamente y no tienen ni espesor ni anchura. Las líneas son representadas con flechas en los extremos y se las nombra con letras minúsculas. A veces, una línea se la puede nombrar usando las flechas sobre las letras mayúsculas cuando esta representando dos puntos en la línea.

Figura 3.1 Línea recta

El plano es otro de los términos indefinidos de la geometría. Los planos se extienden indefinidamente en cualquier dirección y no tienen espesor. Un plano esta representado por una figura de mínimo tres lados y se lo nombra con una letra mayúscula o por tres puntos que no estén sobre la misma línea.

Figura 3.2 Plano

3.2

RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES

Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas del plano, pasen o no por el punto de intersección. En la Figura 3.3a, la recta R es perpendicular a S, T, V, etc.

Figura 3.3 Recta perpendicular a un plano

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3.2.1 TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela a un plano de proyección (Fig. 3.3b) o está contenida en él (Fig. 3.3c), ambas rectas se proyectan perpendiculares sobre dicho plano. Considerando el plano proyectante definido por el haz de rectas perpendiculares a R en un punto, resulta que todas la rectas del haz se proyectan sobre su traza. Si la recta T, de dicho haz, es paralela al plano de proyección, el ángulo formado por R y T se proyecta sin deformación. 3.2.2 PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas, por tanto, si la recta R es perpendicular al plano (P), lo es a su traza P. Por el teorema de las tres perpendiculares, siendo R y P perpendiculares y estando contenida la traza P del plano en el plano de proyección, las proyecciones de R y P deben mostrarse ortogonales. De lo dicho deducimos que si una recta es perpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares a las trazas de dicho plano (Fig. 3.4).

Fig. 3.4 Perpendicularidad entre recta y plano

Para trazar por un punto M, una recta R perpendicular a un plano P dado, basta con trazar por las proyecciones del punto las proyecciones homónimas de la recta, perpendiculares a las trazas del plano. (Fig. 3.4) El problema inverso podemos resolverlo con el auxilio de una recta horizontal que, pasando por el punto, tenga su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano dado. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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Perpendicularidad entre planos: si una recta R es perpendicular a un plano (P), cualquier plano (Q) que contenga a la recta R es perpendicular a (P). Perpendicularidad entre rectas: para trazar una recta R perpendicular a otra S dada, trazamos el plano (P) perpendicular a S, cualquier recta R contenida en el plano P es perpendicular a la recta S. 3.3

PARALELISMO DE RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES

3.3.1 PARALELISMO Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homónimas paralelas. Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio aún siéndolo sus proyecciones diédricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de perfil también lo sean (Fig. 3.5).

Fig. 3.5 Rectas no paralelas

Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en el plano. Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado, dibujamos una recta cualquiera S contenida en el plano y por el punto A dado, trazamos la paralela R a la recta S (Fig. 3.5). El problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paralelo a una recta R dada, se resuelve trazando por el punto una recta S paralela a R. Cualquier plano que contenga a la recta S es paralelo a R. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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Fig. 3.6 Rectas Paralelas

Las intersecciones de dos planos paralelos con un plano cualquiera son dos rectas paralelas, de aquí que los planos paralelos tengan sus trazas homónimas paralelas. Los planos proyectantes de perfil deben tener paralelas sus trazas de perfil para ser paralelos en el espacio (Fig. 3.6). Para trazar por un punto un plano Q, paralelo a un plano P dado, podemos auxiliarnos de una recta horizontal o frontal. Si elegimos una recta horizontal, trazamos su proyección horizontal por la proyección horizontal del punto dado, paralela a la traza horizontal del plano P. Conteniendo la traza de la recta horizontal, trazamos Q', paralela a P', y por el origen del plano obtenido sobre la línea de tierra, la traza Q paralela a P. (Fig. 3.6). 3.4

PROYECCIONES SOBRE UN PLANO

La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los elementos del espacio sobre el plano. Para ello utiliza algunos métodos, llamados sistemas de representación, que se basan en el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de representación han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos reconstruir en el espacio. Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si el ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblicua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblicuo al plano de proyección.

Figura 3.7 Proyecciones sobre un plano

En el Sistema Diédrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortan perpendicularmente formando un diedro rectángulo. Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical. De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano 3.5

ÁNGULOS POLIEDROS

Si todos los puntos de un polígono convexo se unen con un punto exterior a su plano se obtienen diferentes semirectas, cuya unión recibe el nombre de ángulo poliedro. Cuando el polígono es un triángulo se obtiene un triedro. Los poliedros son los cuerpos (sólidos) limitados en su superficie por polígonos planos. Por lo que es necesario recordar los dos tipos de polígonos existentes: Polígono convexo: Un polígono es convexo si y solamente si cualquier línea que contiene un lado del polígono no contiene un punto en el interior del polígono.

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Figura 3.8 Polígono convexo

Polígono cóncavo: Un polígono es cóncavo si y solamente si no es un polígono convexo.

Figura 3.9 Polígono convexo

3.6

CURVAS

3.6.1 NOCIONES PRELIMINARES

El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor), el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices. Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista). Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).

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Figura 3.10 Forma de obtener una curva cónica

Otra forma de definir estas curvas (en vez de como secciones de un cono) es como la curva que describe un punto que se mueve en un plano de manera que el cociente entre las distancias de ese punto a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) es constante (excentricidad). Si esta constante está comprendida entre cero y uno, la curva es una elipse. Si es igual a uno, es una parábola y si es mayor que uno es una hipérbola. 3.6.2 ELIPSE Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal. Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal, respectivamente.

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Figura 3.11 Elipse

3.6.3 PARÁBOLA

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje. Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.

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Figura 3.12 Parábola

3.6.4 HIPÉRBOLA Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.

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Figura 3.13 Hipérbola

3.7

APLICACIONES

3.7.1 DE LA ELIPSE Propiedad Óptica Consideremos un espejo que tenga forma de elipse. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará hacia el otro foco.

Figura 3.14 Espejo elíptico

La propiedad óptica de la elipse se aplica en las “galerías de murmullos” como la que se encuentra en el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de México, en la cual un orador colocado en un foco puede ser escuchado cuando ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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murmura por un receptor que se encuentre en el otro foco, aún cuando su voz sea inaudible para otras personas del salón. Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concentrará en el otro foco.

Figura 3.15 Galería de los Murmullos

Astronomía Una de las principales aplicaciones de la elipse se da en la astronomía. Johannes Kepler, estudiando los movimientos de Marte, al aplicar el modelo de Copérnico de órbitas circulares alrededor del sol, vio que los cálculos discrepaban ligeramente de la posición real del planeta en el firmamento. Así que intentó ajustar la órbita a otras curvas y finalmente encontró que la elipse se ajustaba maravillosamente a ella. Así encontró su primera ley del movimiento de los planetas. En realidad Kepler tuvo una suerte enorme, ya que Marte era el planeta conocido entonces cuya órbita era más excéntrica. Si en lugar de Marte hubiera decidido estudiar a Venus, cuya órbita es prácticamente circular, posiblemente nunca hubiera descubierto sus leyes del movimiento.

Figura 3.16 Orbita elíptica

Las tres leyes sobre el movimiento planetario de Kepler son: 1. Los planetas se mueven en órbitas elípticas, uno de cuyos focos es el Sol.

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2. Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. Es decir, en la figura , si el tiempo que tarda el planeta en ir de A a B es igual que el que tarda en ir de C a D, entonces el área OAB es igual al área OCD. 3. El cuadrado del período de un planeta (el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor del sol) es proporcional al cubo de su distancia media (la longitud del semieje mayor de la elipse) al sol. Kepler encontró sus leyes empíricamente, pero fue Newton, utilizando el Cálculo Diferencial que acababa de inventar, y su modelo de gravitación universal, quien probó dichas leyes. 3.7.2 DE LA PARÁBOLA Propiedad óptica Una propiedad geométrica simple de la parábola es la base de muchas aplicaciones importantes. Si F es el foco y P es un punto cualquiera de la parábola, la tangente en P forma ángulos iguales con FP y con GP, que es paralela al eje de la parábola. Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Se sigue que si la parábola gira en torno a su eje para formar una concha reflectora hueca, todos los rayos de luz que partan del foco se reflejarán, después de chocar con la concha, paralelos al eje. Esta propiedad de la parábola se usa en el diseño de faros buscadores, en los que la fuente de luz se coloca en el foco. Recíprocamente, se usa en ciertos telescopios en los que los rayos paralelos provenientes de una estrella lejana que entran son enfocados hacia un solo punto.

Figura 3.17 Faro buscador

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Trayectoria parabólica de un proyectil La trayectoria de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo describe una parábola abierta hacia abajo. Esta propiedad fue descubierta por Galileo en el siglo XVI.

Figura 3.18 Trayectoria de un proyectil

Puentes colgantes El cable de suspensión de un puente uniformemente cargado toma la forma de una parábola.

Figura 3.19 Puente colgante

3.7.3 DE LA HIPÉRBOLA Propiedad óptica Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejándose directamente del otro foco. La demostración es enteramente análoga a la propiedad óptica de la elipse. Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector del tipo Cassegrain. Los rayos paralelos de una estrella se enfocan finalmente en el ocular colocado en F. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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Sistema de navegación LORAN La propiedad de la definición de la hipérbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante, se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN (acrónimo de long range navigation), una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.

Figura 3.20 Navegación Loran

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Astronomía (Trayectorias de cometas) Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas. En la figura 3.18 se muestra cómo se pueden combinar las propiedades ópticas de la parábola y la hipérbola para construir un telescopio.

Figura 3.21 Combinación de propiedades ópticas

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EVALUACION FINAL 1. Investigue sobre los poliedros regulares existentes, su denominación y características principales. Dibuje cada uno de ellos mostrando características. Realice el ejercicio con ayuda de un paquete de diseño. 2. De acuerdo con los tipos de curvas cónicas, identifique en qué área o proceso de la ingeniería Civil se emplean y bajo que características.

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SESION 4 GEOMETRIA DESCRIPTIVA INTRODUCCIÓN Una de las formas de comunicación más empleadas a nivel mundial es la expresión gráfica, la cual se constituye en un lenguaje universal, en donde es posible transmitir cualquier sensación, idea, diseño, etc. y sobre todo para ésta última se constituye en un lenguaje obligatorio entre los ingenieros y arquitectos que centran su ejercicio profesional en el diseño de elementos por mencionar algo sencillo, hasta sistemas mucho más complejos que difícilmente se podrían comunicar de otra forma. Sin embargo se hace necesario representar fielmente los objetos de tres dimensiones (longitud, altura y profundidad), en superficies de dos dimensiones y esto se ha ido resolviendo con el paso del tiempo, dando origen a lo que hoy denominamos la geometría descriptiva, la que permite hacer la representación con exactitud y con sus más mínimos detalles de un objeto, una pieza mecánica, una estructura etc., para su correcta construcción; así como resolver complejos problemas de ingeniería o arquitectura gráficamente. OBJETIVOS Entender los conceptos básicos de la geometría descriptiva como son punto, línea recta y plano, entre otros que serán de gran utilidad durante el estudio y el ejercicio de la Ingeniería Civil. Desarrollar la capacidad para encontrar las diversas proyecciones de un punto, línea o plano.

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CONDUCTA DE ENTRADA 1. La geometría descriptiva se fundamenta en coceptos básicos, por ello es necesario que el estudiante repase dichos conceptos y defina los siguientes términos: a) Geometría Descriptiva b) Plano de Proyección c) Proyección de un punto d) Proyectante e) Proyección Ortográfica 2. En la geometría descriptiva se emplean elementos básicos, a partir de los cuales se facilita el tratamiento de los sólidos para proyectarlos según las necesidades. Por lo anterior es fundamental tener claridad y solidez sobre la interpetación de dichos elementos. Indique lo que usted entiende por cada uno de ellos: a) Punto b) Línea recta c) Plano

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4.1 PROYECCIONES Los sólidos tienen tres dimensiones: longitud, altura y profundidad y en la figura 4.1 en la proyección mostrada sobre el plano vertical, solamente aparecen su longitud y su altura. Para que aparezca la tercera dimensión, o sea su profundidad, el ingeniero necesita proyectarlo sobre otro plano de proyección H como aparece ahí mismo.

Figura 4.1 Planos horizontal y vertical de proyección

Si los planos anteriores se trazan paralelamente a superficies fundamentales del sólido, las proyecciones representan la verdadera forma y magnitud de estas. Estos planos V y H se denominan plano vertical de proyección y plano horizontal de proyección respectivamente, cuando cumplen con las siguientes definiciones: a) Plano Horizontal de Proyección: Es aquél en donde todos los puntos que lo componen, están a igual altura del plano de comparación determinado por el nivel del mar. La proyección del sólido en este plano se llama proyección horizontal y las proyectantes que deben ser perpendiculares a él, son líneas verticales en el espacio. b) Plano Vertical de Proyección: Es un plano perpendicular al Horizontal y la proyección del sólido sobre él se llama proyección vertical. Las proyectantes, que ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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deben ser también perpendiculares a dicho plano, son líneas horizontales en el espacio. Son estos, los planos básicos de todo sistema de proyección. De acuerdo a esto para describir correctamente un sólido bastaría con proyectarlo en dichos planos, pues allí se dan sus tres dimensiones. Aunque esto es cierto para aquellas configuraciones sencillas; pero los sólidos con configuraciones más complejas requieren de una tercera proyección denominada Plano de Perfil o P (figura 4.2), que se puede definir así: Plano de Perfil (lateral): Este plano es vertical también; pero con la particularidad de ser perpendicular a los planos horizontal y vertical a la vez. Las proyectantes de éste plano son líneas horizontales, perpendiculares a las proyectantes del plano vertical. Se le denomina así para distinguirlo del plano vertical.

Figura 4.2 Plano de proyección de perfil

Para comprender mejor, se puede considerar que estos tres planos fundamentales formen el rincón de una caja de cartón; en tal ejemplo, el plano Horizontal H se asimilaría a la tapa superior, el plano Vertical V a la cara anterior y el de Perfil P a la cara lateral, tal como se aprecia en la figura 4.3.

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Figura 4.3 Planos fundamentales de proyección

Si se coloca el sólido suspendido en el espacio interior de esta caja, en tal forma que la mayoría de sus caras sean paralelas a dichos planos (figura 4.4), y se le proyecta sobre ellos, se obtienen sus tres proyecciones: la proyección horizontal sobre el plano H, la proyección vertical sobre el plano V y la proyección de perfil sobre el plano P.

Figura 4.4 Sólido y proyecciones fundamentales en el espacio

Pero esta situación real del espacio, debe ser representada sobre superficies bidimensionales como lo es la hoja de papel o la pantalla del computador. Para lograrlo, es necesario abrir esta caja convencional llevando los planos horizontal y de perfil, junto con las proyecciones respectivas al mismo plano que el vertical, haciéndolos girar 90º. Así se obtiene la posibilidad de dibujar como se indica en la figura 4.5, las tres proyecciones fundamentales del sólido. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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Figura 4.5 Sólido y proyecciones principales en el plano

Se han mencionado hasta ahora las proyecciones fundamentales de un sólido; pero, al asimilar los planos de proyección a las caras de una caja de forma rectangular (paralelepípedo rectangular), se observa que ésta no posee únicamente tres caras, sino seis y además son paralelos de dos en dos. Esto permite establecer los seis planos principales de proyección, los cuales reciben su nombre de acuerdo con las denominaciones dadas a las superficies del sólido y a su situación en el espacio, estas son: horizontal superior e inferior, vertical anterior y posterior, y perfil derecho e izquierdo. P erfil Izq uierd o H o riz o n tal S up erior

V ertic a l P o s terior

P erfil D ere ch o V e rtic a l A n terior

H orizo nta l Inferior

Figura 4.6 Planos Principales de Proyección de un sólido

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4.1.1 PLANOS Y PROYECCIONES ADYACENTES Al analizar la representación de los planos de proyección después de la rotación necesaria para ponerlos sobre la hoja de papel (figura 4.7), podemos apreciar que los planos horizontal inferior, horizontal superior, perfil derecho y perfil izquierdo rodean al vertical anterior. Esta ubicación nos indica que éstos planos son adyacentes al vertical anterior y que a su vez éste es adyacente a cada uno de ellos.

Figura 4.7 Planos principales de proyección en el plano (Sistema Americano)

Lo anterior permite establecer cuando un plano se denomina adyacente con relación a otros. Las proyecciones situadas en estos planos, como es de esperarse, llevan las mismas denominaciones: Proyección adyacente horizontal, cuando está situada sobre un plano adyacente al Horizontal; Proyección adyacente vertical, cuando está situada sobre un plano adyacente al Vertical; etc. 4.1.2 LÍNEAS DE REFERENCIA Las aristas de la caja convencional utilizada como medio de comparación son las líneas de referencia; las cuales son las intersecciones entre si de los planos de proyección. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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Las líneas de referencia tienen como notación dos letras mayúsculas que corresponden a las iniciales de los planos que se intersectan. Así la línea de referencia entre los planos vertical y perfil se notará como V/P y entre los planos horizontal y vertical se denominará H/V. Otras notaciones de líneas de referencia pueden ser la R/S o la X/Y, que se entienden como las intersecciones de los planos R y S, o del plano X con el Y. Se debe notar que las líneas de referencia, separan dos planos que en el espacio son perpendiculares entre sí, tal como se muestra en la siguiente figura. P lan o S

S R S R

L in ea d e R eferen cia

P lan o R

Figura 4.8 Líneas de Referencia

Vale la pena anotar que las líneas de referencia representan a uno de los planos que se intersectan, visto como una línea o filo cuando el observador lanza visuales o proyectantes perpendiculares sobre el otro plano. 4.1.3 PROYECCIONES PRINCIPALES EN OTROS SISTEMAS Existen dos sistemas para organizar las seis proyecciones principales de un sólido, en la figura 4.7 se representa el sistema americano o denominado también proyección en el tercer cuadrante (ISO A), pero también existe otro sistema muy similar al anterior, el europeo, también denominado proyección en el primer cuadrante (ISO E). En el sistema americano el plano vertical anterior es el que sirve de base para rotar los planos restantes 90º; colocándose entonces, el horizontal superior por encima de éste y el de perfil derecho a su derecha. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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En el sistema europeo es el plano vertical posterior el que sirve de base para ejecutar dicha rotación, es decir, en el sistema americano los planos de proyección se encuentran entre el observador y el objeto, mientras que en el europeo, el objeto se encuentra entre el observador y los planos de proyección. Las figuras 4.9a y 4.9b muestran la forma de proyectar y como se desdoblan o rotan los planos en el sistema europeo.

Figura 4.9a Proyección en el sistema europeo

Figura 4.9b Planos principales de proyección en el plano (Sistema Europeo)

Es conveniente anotar que algunos autores utilizan diferentes denominaciones ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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para las proyecciones principales de un sólido, donde el concepto de vista es equivalente al de Proyección, como por ejemplo: • • •

vista frontal, elevación o alzado para referirse a la proyección vertical anterior vista superior o planta para referirse a la proyección horizontal superior vista lateral derecha, elevación o alzado lateral para referirse a la proyección de perfil derecho.

4.1.4 VISUALIZACIÓN En las proyecciones fundamentales de un sólido se indican las tres dimensiones (figura 4.10), las cuales permiten elaborar un dibujo que represente la forma aproximada en el plano (hoja de papel). Para ello se deben trazar tres ejes, uno vertical, sobre el que se toma a la escala apropiada la altura; y otros dos formando ángulos de 30º con relación a una línea horizontal o perpendicular a la vertical trazada anteriormente, sobre estas se colocan, en el eje de la derecha la profundidad y en el eje de la izquierda la longitud.

Figura 4.10 Proyecciones principales de un sólido

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Los ejes perpendiculares entre sí en el espacio son la base de la proyección isométrica. Sobre los ejes (figura 4.11) se determinan las tres dimensiones fundamentales del sólido, marcando los puntos correspondientes por donde se trazan líneas paralelas a los ejes y como resultado se obtendrá un paralelepípedo, el cual debe contener al sólido. En la parte superior de dicho paralelepípedo se dibujan las líneas que conforman la vista superior, de igual manera se procede con la proyección vertical y de perfil en los planos respectivos. Se aprecia como el sólido representado en la figura 4.11 tiene la forma de una L y si se borran las partes sobrantes de los trazos iniciales se puede obtener el contorno general.

Figura 4.11 Proyección isométrica

Según lo anterior se establece que la Geometría Descriptiva es sencilla, ya que solo con observar detalladamente el sólido planteado y proyectar sobre los planos principales, en la forma ya expuesta sus puntos, líneas, superficies y contornos.

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Figura 4.12 Proyección isométrica del sólido en estudio

4.1.5 TALLER DE APLICACIÓN Para la proyección isométrica del sólido representar las proyecciones principales en el sistema americano.

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60

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

1. Se debe construir un paralelepípedo que contenga al sólido y que sea paralelo a cada una de sus caras.

2. Se traza la proyección sobre cada cara del paralelepípedo, asumiendo que los planos de proyección se encuentran entre el observador y el objeto, según se explico anteriormente. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

61

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

3. Se desdobla el paralelepípedo rotando cada cara 90º sobre el plano vertical

4. Cada cara representará una de las proyecciones principales. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

H V

V P

4.2 EL PUNTO Y LA LÍNEA Punto y recta son los conceptos básicos de la geometría. Todo intento para representar físicamente estos conceptos son solamente una aproximación. Estos términos son no definidos; sin embargo, podemos sugerir la idea intuitiva de cada uno de ellos: • •

La marca hecha por la punta de un lápiz afilado sobre un papel nos da la idea de un punto. Los puntos los denotamos mediante letras mayúsculas A, B, C. Un hilo tenso da la idea de una recta. Una recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.

Las rectas se denotan por letras minúsculas l, m, n. Si A y B son dos puntos contenidos en la recta l, la recta se puede denotar AB (se lee recta AB) 4.2.1 PROYECCIONES PRINCIPALES DEL PUNTO En la introducción se dio la definición de la proyección ortográfica de un punto, se estableció también la mutua perpendicularidad de los planos de proyección, de lo cual se deduce: • •

En primer lugar que sus intersecciones o líneas de referencia son perpendiculares entre sí. En segundo lugar que la perpendicularidad que existe entre las proyectantes y las líneas de referencia. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

63

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Al realizar un análisis de la figura 4.13, en donde se representa la proyección ortográfica del punto B del espacio sobre los tres planos principales y según las anteriores deducciones, se establece que la proyectante con relación al plano vertical BbV o distancia z es paralela a sus proyecciones sobre los planos horizontal y de perfil, y de igual magnitud; que la proyectante con relación al plano horizontal BbH o distancia y, paralela a sus proyecciones sobre los planos vertical y de perfil, y de igual magnitud; y que la proyectante con relación al plano de perfil BbP o distancia x es paralela a sus proyecciones sobre los planos horizontal y vertical, y de igual magnitud.

Figura 4.13 Proyección ortográfica de un punto

Al efectuar la rotación de los planos H y P (figura 4.14), se aprecia que las proyecciones sobre dichos planos de la línea proyectante del punto B con relación al plano V, distancia x, asumen posiciones perpendiculares a las líneas de referencia H/V y V/P respectivamente; y además, tanto las proyecciones kH y kV como kV y kP están sobre la misma línea, es decir la prolongación de la distancia x.

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

bH bH

H V

B V P bV

bP

bP

Figura 4.14 Rotación de los planos H y P sobre el V

En la figura 4.15 se muestran los planos y las proyecciones del punto como deben ser dibujados en la hoja de papel. Allí se observa que el plano vertical es adyacente común al horizontal y al de Perfil; también que la distancia x de la proyección horizontal kH a la línea de referencia H/V es la misma distancia x de la proyección de perfil kP a la línea de referencia V/P.

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bH

H V

bP bV

V P

Figura 4.15 Proyecciones principales de un punto

La distancia x establece la ubicación del punto K del espacio por detrás del plano vertical (figura 4.13) y se proyecta no sobre él, sino igual en magnitud y paralelamente sobre sus planos adyacentes como lo son el de perfil y el horizontal. Al analizar lo representado en la figura 4.15 se deducen las reglas básicas para las proyecciones de un punto: • Dos proyecciones adyacentes deben estar unidas por una recta perpendicular a la línea de referencia o intersección de los planos que las contienen. • La distancia que debe existir entre la línea de referencia y una de las dos proyecciones adyacentes, es igual a aquella que fija la posición del punto real del espacio, con respecto al plano adyacente común. Por lo anterior, para obtener una proyección principal adyacente de algún punto, conociendo dos de sus proyecciones principales, la una adyacente común y la otra adyacente, se debe trazar desde la primera una perpendicular a la línea de referencia y sobre ella se toma una distancia igual a la que exista entre la otra línea de referencia y la segunda proyección conocida.

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66

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

4.2.2 PROYECCIONES AUXILIARES DEL PUNTO En la figura 4.16 se representa la proyección del punto A sobre los planos auxiliares M y N con relación al plano horizontal. Allí se aprecia como la distancia y que establece la ubicación del punto en el espacio con relación a él, se proyecta igual en magnitud y paralelamente sobre sus planos adyacentes que lo son en este caso, los auxiliares M y N y el vertical.

Figura 4.16 Planos de proyección auxiliar de un punto

Esta misma proyección es ilustrada en la figura 4.17 de manera bidimensional, con el objeto de analizarla y ver que la proyección adyacente común aH está unida a sus adyacentes aN, aV, y aM por rectas perpendiculares a las líneas de referencia H/N, H/V y H/S; también se puede apreciar que las proyecciones adyacentes están ubicadas a la misma distancia y, medida sobre los planos que las contienen a partir de las líneas de referencia mencionadas ya. Si tomamos planos de proyección similares a los anteriores, se obtendrán una cantidad ilimitada de proyecciones auxiliares del punto, denominadas auxiliares horizontales por que los planos que las contienen son adyacentes al plano horizontal.

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Figura 4.17 Proyecciones auxiliares de un punto

Si ahora se toma un plano auxiliar al plano vertical, como lo es el plano auxiliar K en la figura 4.18, se puede apreciar que la proyección vertical aV o adyacente común, está unida a sus adyacentes aH, aK y aP por rectas perpendiculares a las líneas de referencia H/V, V/K y V/P respectivamente; y que sobre estas se tomaron distancias iguales a la proyectante D que es la que establece la ubicación del punto proyectado A con relación al plano adyacente común V. También se puede obtener una ilimitada cantidad de proyecciones auxiliares adyacentes al plano vertical las cuales se denominan auxiliares verticales.

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Figura 4.18 Proyecciones auxiliares de un punto adyacentes a la vertical

4.2.3 PROYECCIONES PRINCIPALES DE LA LÍNEA Al igual que las proyecciones principales del punto, cuando hablamos de las proyecciones principales de una línea, hacemos referencia a las proyecciones de una línea cualquiera sobre los planos horizontal, vertical y de perfil. Sin embargo empezaremos por ilustrar algunas líneas particulares y sus características generales. 4.2.3.1 LÍNEA VERTICAL La línea vertical es una línea perpendicular al plano horizontal de proyección. En las figuras 4.19 y 4.20 se muestra la línea 3-8, que por su posición en el espacio es similar a la línea 1-9. Esta línea vertical al igual que otras del mismo tipo tienen las siguientes características generales: a) Es paralela a los planos vertical y de perfil. b) Las proyecciones en los planos vertical y de perfil la mostrarán en Verdadera Magnitud o longitud real; y por tanto paralelas a la línea de referencia V/P. c) En la proyección horizontal, sus dos puntos extremos se confunden en uno solo, pero identificado con dos (2) letras o números ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

3

2 2

4

3

1

1

4 7

8

6

5

5 6

9

Figura 4.19 Líneas de un sólido en el espacio

L

3H8H

H V L

3V

VM

3P

VM

9

7

8P

8V V P

Figura 4.20 Proyecciones principales de una línea vertical

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

4.2.3.2 LÍNEA HORIZONTAL La línea horizontal es toda línea paralela al plano horizontal de proyección; lo que quiere decir, que todos sus puntos están a la misma altura respecto a él, y también que en la proyección horizontal se representa en su Verdadera Magnitud (VM). Es el caso, por ejemplo de la línea 1-2 (figura 4.19) Una línea horizontal puede tener tres posiciones diferentes en el espacio con relación a los planos vertical y de perfil; estas son: •

De punta, es decir perpendicular al plano de proyección vertical. En la figura 4.18 se destaca del sólido la línea 1-2 similar a la 5-8, como ejemplo de ésta posición. Sus características son: a) Los puntos extremos se confunden en uno solo, pero se identifican con dos letras o números en la proyección vertical. (1V-2V en la figura 4.21). b) Paralela a los planos horizontal y de perfil, y por ello aparece en su verdadera magnitud en estas proyecciones. (Proyecciones 1H-2H y 1P-2P en la figura 4.21)

VM L1

L

2H

1H H V

L L1

1V2V

V P

VM 1P

2P

Figura 4.21 Proyecciones principales de una línea horizontal de punta

•

Perpendicular al plano de perfil, que es lo mismo que decir paralela al plano vertical. Por ejemplo se muestra la línea 2-3 del sólido de la figura 4.19. Sus características son:

a) Los puntos extremos se confunden en uno solo, pero se identifican con dos ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

letras o números en la proyección de perfil. (2P-3P en la figura 4.22). b) Paralela a los planos horizontal y vertical, y por ello aparece en su verdadera magnitud en éstas proyecciones. (Proyecciones 2H-3H y 2V-3V en la figura 4.22).

3H

2H

L

VM

H V

L

VM 2V

3V V

P

3P2P

Figura 4.22 Proyecciones principales de una línea horizontal perpendicular al plano de perfil

•

Horizontal cualquiera al no tener ninguna de las dos posiciones anteriores. Es la más utilizada en la Geometría Descriptiva. Por ejemplo la línea 1-4 del sólido de la figura 4.19, Es paralela al plano horizontal, pero su posición con relación a los planos Vertical y de perfil puede ser cualquiera. Las características de estas líneas son:

a) Se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano de proyección horizontal.(1H-4H en la figura 4.23) b) En la proyección vertical debe aparecer paralela a la línea de referencia H/V c) En las proyecciones vertical y de perfil, aparecerá con una menor longitud con relación a la magnitud que posee la línea en el espacio. d) El ángulo ß que se observa en la proyección horizontal, es el ángulo que la línea forma con el plano de Perfil, y el ángulo α es el que forma con el plano Vertical.

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L1

1H

VM α β

L

4H

H L

V L1 1V

4V

VM 1P

4P

V P Figura 4.23 Proyecciones principales de una línea horizontal cualquiera

4.2.3.3 LÍNEAS OBLICUAS Se denominan líneas oblicuas a las líneas que adoptan posiciones diferentes a las anteriormente mencionadas. También existen tres tipos distintos de líneas oblicuas y ellas son: •

De perfil cuando es paralela al plano de perfil, pero sin ser vertical. En la figura 4.19 se aprecia la línea 4-5, similar a la 2-9 del sólido, como ejemplo de esta posición. Las características son: a) Perpendicular a la línea de referencia H/V, en sus proyecciones vertical y horizontal. (Proyecciones 4H-5H y 4V-5V de la figura 4.24) b) Aparece en Verdadera Magnitud en la proyección de perfil. c) El ángulo β es el que ella forma con el plano vertical y el ángulo α es el que la línea forma con el plano horizontal

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5H H

L

V 4V

α β

5V

4P

VM

L1

L

4H

L1 5P V P

Figura 4.24 Proyecciones principales de una línea oblicua de perfil

•

Frontal cuando es paralela al plano de proyección vertical, también denominado plano frontal. Esta posición se destaca con la línea del sólido determinada por los puntos 1 y 5 de la figura 4.19. Las características son: a) Aparece en verdadera magnitud en el plano vertical. ( 1V-5V en la figura 4.25) b) Paralela a las líneas de referencia H/V y V/P en las proyecciones horizontal y de perfil respectivamente, ya que la línea es paralela al plano V en el espacio. c) El ángulo α es el que la línea forma con el plano de proyección de perfil y el ángulo β es el que forma la línea real con el plano horizontal. Los ángulos se proyectan en Verdadera Magnitud sobre el plano vertical (ver figura 4.25)

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1H

5H

L

5H

1V

H V

β

L 1P

VM

α 5P

5V V P

Figura 4.25 Proyecciones principales de una línea oblicua frontal

•

Oblicua total cuando no es paralela ni perpendicular a ninguno de los planos principales de proyección. La línea del sólido determinada por los puntos extremos 2 y 6 tiene ésta posición (figura 4.19). Las características son: a) En ninguna de las proyecciones principales aparecerá en verdadera magnitud (figura 4.26) b) La línea forma con cada uno de los planos principales de proyección ángulos que no aparecen en su verdadera magnitud en ninguna de las proyecciones principales.

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L1

2H

L

6H H

L1

V

2P

2V

6V

L

6P

V P Figura 4.26 Proyecciones principales de una línea oblicua total

4.2.4 PROYECCIONES MÚLTIPLES DE LA LÍNEA Una línea se define a partir de dos puntos extremos y por tanto para obtener las proyecciones múltiples de una línea, lo que se debe hacer es obtener las proyecciones de sus puntos extremos. Anteriormente se explicó como obtener una serie de proyecciones encadenadas del punto, las cuales se denominan múltiples. Conocidas las proyecciones horizontal y vertical de la línea ST (figura 4.27), a partir de éstas se puede obtener una serie de proyecciones múltiples sobre los planos de proyección A, B, M, N y O. Se deben trazar proyectantes perpendiculares a las líneas de referencia que indican las intersecciones de las planos y sobre éstas tomar las distancias correspondientes como se indicó para el caso del punto. Obsérvese que la línea de referencia H/A se tomó paralela a la proyección sHtH para obtener sobre la verdadera magnitud de la línea el plano A.

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sA B A

A

VM

L

sH L4

L2 tH

sM

L3

L

H

L2 sN

M

M

tV

L1

L5

N

L3

L

H V

tM

VM

L1

H

L4 sBtB

L1

tA

L5

tN N O tOsO

sV Figura 4.27 Proyecciones múltiples de una línea

4.2.5 MAGNITUD VERDADERA DE LA LÍNEA La Magnitud Verdadera (VM) de una línea es la distancia real que existe entre los dos puntos extremos que la definen. En las proyecciones de la línea que aparezca en verdadera magnitud se indicará con la notación de las letras mayúsculas VM. Cuando se analizaron las diferentes posiciones de la línea se observó que si ésta es paralela a uno de los planos, la proyección que aparece en dicho plano mostrará a la línea en su magnitud verdadera; y también que su proyección en uno de los planos adyacentes a éste la línea puede estar paralela a la línea de referencia o proyectarse como un punto. Lo anterior sirve de base para establecer dos conceptos fundamentales: 1. Para encontrar la verdadera magnitud de una línea se debe trazar una línea de referencia paralela a cualquiera de sus proyecciones y se establecerá la verdadera magnitud en dicho plano, el cual es adyacente a la proyección de la línea. 2. Para que la proyección de una línea aparezca como un punto se proyectar primero en su verdadera magnitud. A la línea oblicua total ST (figura 4.28) se le puede obtener la verdadera magnitud ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

si se proyecta sobre un plano como el A que le sea paralelo. Para hallar la proyección sobre este plano auxiliar A, se debe seguir el proceso mostrado en la figura 4.29:

Figura 4.29 Verdadera magnitud de una línea oblicua

1. Trazar la línea de referencia H/A o intersección del plano horizontal con su auxiliar A, paralelamente a la proyección horizontal sHtH de la línea. 2. Trazar las proyectantes perpendiculares a la línea H/A desde las proyecciones horizontales sH y tH. 3. Tomar sobre las proyectantes y en el plano A, las distancias L y L1 iguales a las que hay entre la línea de referencia H/V y las proyecciones sV y tV, es decir las distancias que hay entre los puntos extremos de la línea del espacio y el plano de proyección H. 4. Los puntos encontrados determinan la proyección sAtA en verdadera magnitud de la línea oblicua ST.

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tA

H

A

VM L

sA

tH

L1 sH

L

H V

tP

L1

tV

sP

sV V P

Figura 4.30 Verdadera magnitud de una línea oblicua

4.2.6 TALLER DE APLICACIÓN Encontrar la verdadera magnitud de la Oblicua Total JK representada en la figura 4.31 kH

jH H V kV jV Figura 4.31 Proyecciones H y V de una línea Oblicua Total

1. Trazamos una línea de referencia paralela a la línea JK en su proyección H, es decir adyacente al plano horizontal 2. Trazamos las proyectantes por los puntos jH y kH perpendiculares a la línea de referencia H/M. 3. Tomamos las distancias respectivas de jV y kV a la línea de referencia H/V y las trasladamos a las proyectantes trazadas en el punto 2. 4. Unimos los puntos jM y kM, donde tenemos representada la línea JK en verdadera magnitud. 5. Medimos la distancia entre jM y kM y está será la magnitud real de la línea ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

JK 6. Para comprobar el resultado hacemos lo mismo del paso 1, una proyección adyacente al plano vertical. El resultado es figura 4.32, donde se aprecia que la línea representada magnitud en la proyección M tiene igual magnitud a la línea proyección R.

kM

VM jM

pero trazamos ilustrado en la en verdadera obtenida en la

M H kH PARALELAS

jH H V kV

PARALELAS

V R

jV

jR

VM kR

Figura 4.32 Proyecciones M y R de una línea Oblicua Total en Verdadera Magnitud

4.3 EL PLANO Para determinar la posición de un plano se deben situar tres puntos del mismo que no estén en línea recta. Una superficie plana está limitada por un contorno de líneas rectas o curvas, aunque teóricamente se puede suponer que se extiende indefinidamente. En la figura 4.33 se muestran cuatro formas de representar un plano oblicuo o inclinado determinado por los puntos A, B y C. En la figura 4.33 (a), se unieron los puntos A y B por una línea, quedando definido el plano por el punto C y la línea AB. En (b) se unieron los tres puntos formando el triángulo ABC, el cual define ahora el mismo plano de una forma ligeramente diferente. En (c) se trazó una paralela a la línea AB por el punto C, la cual acaba en el punto D, la línea CD, con ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

lo aprecia que dos líneas paralelas definen también un plano. En (d) se prolongaron las líneas AC y BC después del punto C, formando dos líneas que se cortan y que definen al plano; y además se demuestra que los puntos E y F pertenecen a ese plano, al pertenecer a las líneas que lo definen

bH aH

bH aH

cH

aH

cH

H V

aH

cV

aV bV

fH H V

eV fV cV

dV aV

aV bV

(b)

cH eH

H V

cV

aV

bH

dH

cH

H V

cV

(a)

bH

bV

bV (c)

(d)

Figura 4.33 Representación de una superficie plana

OBSERVACION: Así como se vio al estudiar la línea, un plano aparecerá en su Verdadera Magnitud y forma, cuando se proyecta sobre un plano que le sea paralelo. 4.3.1 EL PLANO HORIZONTAL Es el plano paralelo al plano horizontal de proyección, de ahí su nombre. En éste plano todos los puntos y líneas que lo definen y que pertenecen a él se encuentran a la misma altura con relación al plano horizontal de proyección. En la figura 4.34 se representan las proyecciones del plano horizontal QRS sobre los tres planos principales de proyección y allí se pueden apreciar las principales características: a) En la proyección horizontal se representa su verdadera magnitud y forma. b) En la proyección vertical aparece de filo y paralelo a la línea de referencia H/V, así como en la proyección de perfil también aparece de filo y ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

perpendicular a la línea de referencia V/P. c) Todas las líneas que delimitan el contorno del plano aparecen en las proyecciones verticales y de perfil confundidas en una sola línea.

10L 4,4

rH

sH 24,74 L1

qH H V

L1 24,74 FILO

FILO qVrV

rP

sPqP

sV

10L 4,4

V

P

Figura 4.34 Proyecciones principales de un plano horizontal

4.3.2 EL PLANO VERTICAL Es un plano perpendicular al plano horizontal de proyección y por eso su nombre. Existen tres tipos diferentes de ellos, según la posición respecto al plano de proyección vertical, éstos son: 1. Plano Frontal: aquel que además de ser perpendicular al plano horizontal de proyección es paralelo al plano vertical. En la figura 4.35 se muestran las proyecciones de un plano frontal. Las características de éste tipo de plano son las siguientes: a) En la proyección vertical aparece su verdadera magnitud y forma. b) Se representa de filo (perfil) en sus proyecciones horizontal y de perfil y además es paralelo a las líneas de referencia H/V y V/P.

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filo

qH

L33 27,

oH

H L33 27,

V qV

oV

qPoP

VM filo

pV

V P

pP

Figura 4.35 Proyecciones principales de un plano vertical frontal

2. Plano de perfil: aquel que es paralelo al plano principal de proyección de perfil P, de ahí su nombre. En la figura 4.36 se representa un plano vertical de perfil. Las características del plano de perfil son: a) En la proyección de perfil se da su verdadera magnitud y forma. b) En las proyecciones horizontal y vertical aparece de filo, perpendicular a la línea de referencia H/V y paralelo a la línea de referencia V/P.

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L1

filo

qH

L

oHpH H

L1

V

oP

oVqV

qP

filo

VM

pV

V P

L

pP

Figura 4.36 Proyecciones principales de un plano vertical de perfil

3. Plano vertical cualquiera: aunque es perpendicular al horizontal de proyección, su posición con relación a los planos de proyección vertical y de perfil puede ser cualquiera. En la figura 4.37 se muestran las proyecciones del plano RST, el cual es vertical cualquiera y presenta las siguientes características: a) En ninguna proyección principal aparece su verdadera magnitud y forma. b) En la proyección horizontal aparece como un filo, pero no es perpendicular ni paralelo a la línea de referencia H/V

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L1

filo

qH

L

oHpH

H

L1

V oV

oP

qV No VM

pV

qP

No VM

V P

L

pP

Figura 4.37 Proyecciones principales de un plano vertical cualquiera

Al analizar las figuras 4.35, 4.36 y 4.37 se evidencia fácilmente que los planos verticales siempre se representan como un filo en la proyección horizontal, sin importar la forma y la posición que tenga con relación a los planos V y P. 4.3.3 PLANOS INCLINADOS Son los planos diferentes de los planos verticales y de los planos horizontales. Existen tres tipos de planos inclinados: 1. Plano de Punta: es perpendicular al plano vertical de proyección. La figura 4.38 muestra un plano oblicuo de punta. Las características son: a) Aparece como filo en la proyección vertical, pero no es perpendicular ni paralelo a las líneas de referencia H/V y V/P. b) En las proyecciones en los planos horizontal y de Perfil, no aparece su verdadera magnitud ni su forma.

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L1

qH

L

No VM pH oH H

L1

V oVqV

oP

qP

filo

No VM

pV

V P

L

pP

Figura 4.38 Proyecciones principales de un plano inclinado de punta

2. Plano oblicuo perpendicular al plano de proyección de perfil (P), pero inclinado respecto a los planos de proyección horizontal y vertical. En la figura 4.39 se muestra un plano de éste tipo. Las características son las siguientes: a) En la proyección de perfil se representa de filo. b) En las proyecciones en los planos horizontal y vertical, no aparece su verdadera magnitud ni su forma. Se debe tener cuidado para no confundir éste tipo de plano, con un plano horizontal o uno frontal, los cuales también se representan como un filo en la proyección de perfil.

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pH

qH

L1

No VM

L

oH H

L1

V qV

pV

qPpP

fil o

No VM

oV

V P

L

pP

Figura 4.39 Proyecciones principales de un plano oblicuo

3. Plano oblicuo total: el plano que es inclinado con relación a los tres planos principales de proyección. La figura 4.40 muestra un plano de éste tipo. Las características son las siguientes: a) No aparece como un filo en ninguna de las proyecciones principales. b) En ninguna de las proyecciones principales (H, V, P) aparece en su verdadera magnitud ni forma

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pH

L

L2

L1

No VM

qH

oH H L1

V qV

qP

VM No

oV

oP No VM

L

pV

L2

pP

V P Figura 4.40 Proyecciones principales de un plano oblicuo total

4.3.4 OBSERVACIONES SOBRE PLANOS En el numeral 4.3 se explicó que existen diversas formas de representar un plano, si éste se delimita por tres lados; se observará como en las proyecciones sobre los planos principales se muestra como una forma de tres lados, como una línea o filo. Lo mismo sucederá cuando el plano que se proyecte esté delimitado por cuatro, cinco o “n” lados, se presentará en las proyecciones con el mismo número de lados o como una línea (filo). Lo anterior se pueden generalizar diciendo que: Todo plano independiente de la forma que tenga, se mostrará en sus proyecciones como un filo o como una forma similar a la forma real. 4.3.5 PROYECCIONES MÚLTIPLES DE PLANOS Para obtener las proyecciones múltiples de cualquier plano, simplemente se deben obtener las proyecciones múltiples de los puntos o las líneas que definen al plano, o de las líneas que delimitan su contorno. Como ya se indicó anteriormente; en las proyecciones múltiples, los puntos se deben unir tal como está unidos en el ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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espacio, así se considera que el plano es expresado correctamente en dichas proyecciones. En la figura 4.41 se han obtenido las proyecciones múltiples del plano PQRS, de forma independiente se obtiene cada una de las proyecciones A, y B, al proyectar los puntos P, Q, R y S o puntos extremos de las líneas que lo delimitan. Cada proyección se encontró al unir los puntos en la misma forma en que se encuentra unidos en las proyecciones iniciales, la horizontal y la vertical.

A B sA qH

sB pA

pH rH

pB

L

sH

A

H V

rA

P

rB qA

L1

pV

L2

qB

pP sV

qV

rV

qP

L2

sP L1

V P

rP L

Figura 4.41 Proyecciones múltiples de un plano

4.3.6 PLANO EN FILO EN LAS PROYECCIONES PRINCIPALES En los numerales anteriores se vio como algunos planos aparecen como filos en las proyecciones principales, estos son los perpendiculares a los planos de proyección horizontal y/o vertical. En la figura 4.42 se presenta un plano vertical que tiene como característica principal mostrarse como filo en la proyección horizontal. La proyección vertical de éste plano, si no se considera limitado, será toda el área situada por debajo de la ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

línea de referencia H/V. Por lo General éstos planos son considerados como indefinidos en extensión y para indicar ésta situación se dibujan con líneas segmentadas en sus extremos. Todos los elementos situados en éste tipo de planos (puntos, líneas y figuras planas), se confunden con los filos correspondientes, tales como la línea RS y el punto Q de la figura 4.42 (las proyecciones rHsH de la línea y qH del punto aparecen confundidas con el filo).

sH

qH

C1

rH FILO

P

H V sV rV

qV

Figura 4.42 Proyección vertical del plano cortante P-C1

Estos planos son fundamentales en el estudio de la Geometría Descriptiva, pues son la base para encontrar intersecciones y cuando se les emplea como planos auxiliares reciben el nombre de planos cortantes. En la representación de los planos cortantes se le colocarán al pie de los extremos segmentados dos letras, la P de un lado y la C del otro, que expresan plano cortante. Si hay necesidad de emplear más de un plano cortante se numerarán como P-C1, P-C2,... P-Cn. 4.3.7 PENDIENTE, FORMA Y TAMAÑO VERDADERO DEL PLANO Un plano puede ser definido a partir de tres puntos o sus combinaciones posibles representados en al menos dos proyecciones, como las expuestas en el numeral 4.3; sin embargo, también es posible definir un plano dando sus características ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

90

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

fundamentales como son: pendiente o ángulo de inclinación, orientación o rumbo, forma y tamaño verdadero. Estas características se describirán a continuación. 4.3.7.1 PENDIENTE DE UN PLANO Es el ángulo de inclinación que un plano forma con el plano horizontal de proyección (figura 4.43) Para lograr que el ángulo aparezca en verdadera magnitud se deben proyectar en forma simultánea ambos planos como filos, es decir, que se debe trazar una proyección perpendicular al plano horizontal y al plano al cual se requiere determinar la pendiente.

Angulo de Inclinación Plano Horizontal

Figura 4.43 Pendiente de un plano

En las proyecciones adyacentes a la proyección horizontal o de elevación, siempre se presenta al plano horizontal como un filo y por lo tanto sólo en éstas proyecciones se podrá determinar el ángulo de inclinación de un plano. Recordemos que la proyección vertical es también una proyección de elevación ya que presenta las alturas, al igual que las proyecciones de perfil. Entonces si el plano aparece de filo en una proyección de perfil, la pendiente será el ángulo entre él y una línea perpendicular a la línea de referencia V/P. 4.3.7.2 RUMBO DE UN PLANO El rumbo de un plano es el ángulo de dirección de una línea horizontal de ese plano. Para encontrar el rumbo de un plano bastará con trazar una línea sobre la proyección vertical del plano paralela a la línea de referencia H/V, posteriormente representarla en el plano de proyección horizontal y luego medir el ángulo que forma con la línea Norte-Sur, la cual es perpendicular a la línea de referencia H/V, se anota también hacia que otro punto cardinal se desvía, por ejemplo rumbo ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

91

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Norte 30º Este, que se marcará como N 30º E. 4.3.7.3 VERDADERA MAGNITUD Y FORMA DE UN PLANO Un plano se mostrará en su verdadera magnitud y forma si se proyecta en un plano de proyección que le sea paralelo. Es por tanto necesario que el plano dado se proyecte de filo primero y luego se le traza una línea de referencia paralela al plano. Esto quiere decir que el plano se está proyectando en un plano paralelo y por lo tanto aparecerá en su verdadera magnitud y forma. La verdadera magnitud de un plano es útil para solucionar de problemas del espacio tales como: • • • • •

Hallar el área de un plano. Ubicar una figura plana en un determinado plano. Medir del ángulo entre dos líneas que se intersectan. Trazar la bisectriz de un ángulo. Hallar la menor distancia de un punto a una línea.

En la figura 4.44 se dan las proyecciones horizontal y vertical del plano PQR. Se debe encontrar su verdadera magnitud.

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92

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

qH pH

rH H V pV

qV

1

rV Figura 4.44 Proyecciones horizontal y vertical de un plano oblicuo

El primer paso para la solución es dibujar una línea del plano que aparezca en verdadera magnitud en una de las proyecciones dadas, lo cual se logra dibujando dentro del plano una línea tal como la horizontal 1Q. Al trazar la línea de referencia H/M perpendicular a la proyección horizontal ( 1-qH ), en la proyección M el plano se muestra como filo (figura 4.45). Dibujando ahora la línea de referencia M/N paralela al plano filo, en la proyección N se logrará la verdadera magnitud del plano PQR. Para ilustrar que la verdadera magnitud y forma de un plano también se obtiene en proyecciones adyacentes a la vertical, se dibujo en el mismo plano una línea frontal como la 2P. El proceso para la obtención del plano en su verdadera magnitud, en la proyección B, es similar al seguido anteriormente.

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93

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pN

rN

VM

qN pM

FILO

qM

N M rM

qH pH

2

M H

1

rH

pB H V VM

pV

qB

rB qV

1

B A

2 rV V

A

filo rA

pA

qA

Figura 4.45 Plano Oblicuo en su verdadera magnitud

4.4 TALLER DE APLICACIÓN En la figura 4.46 se dan las proyecciones horizontal y vertical del plano PQR, encontrar el ángulo de inclinación del plano, así como su rumbo.

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94

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qH pH

rH H V pV

qV

rV Figura 4.46 Proyecciones horizontal y vertical del plano PQR

Procedimiento: 1. Se dibujan las proyecciones horizontal y vertical de una línea auxiliar del plano que aparezca en verdadera magnitud en la proyección horizontal (línea 1-Q) 2. Se proyecta la línea 1-Q como un punto en una proyección adyacente a la horizontal, trazando la línea de referencia H/M perpendicular a la verdadera magnitud de 1-Q. El plano aparecerá como un filo en una proyección de elevación. 3. Se Traza por uno de los puntos del plano como filo obtenido en el numeral (2) una línea paralela a la línea de referencia H/M, dicha línea representa al plano horizontal como un filo. El ángulo que aparece entre éstas líneas es el ángulo de inclinación. 4. El rumbo del plano se mide en la proyección horizontal, tomando el ángulo de dirección de la línea 1-qH con la norte-sur, en este caso el rumbo es S 54º O. (figura 4.47)

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95

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

pM

FILO

qM

rM

tal on riz Ho no Pla

α

qH pH

H

1

M

54° rH

S H V

pV

qV

1

rV Figura 4.47 Angulo de inclinación y rumbo de un plano oblicuo

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96

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ACTIVIDADES PRELIMINARES EVALUACION FINAL

1. Obtener las proyecciones principales en el sistema europeo para el sólido indicado en la figura E4.1

Figura E4.1

2. Encontrar la magnitud verdadera, ángulo de inclinación y rumbo del plano oblicuo mostrado en sus proyecciones principales en la figura E4.2 pH qH

50

rH

20

40

60

oH

H 25

35

55

30

V

60

rV oV qV

pV

Figura E4.2

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97

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

3. En el plano PQR de la figura E4.3 se quiere localizar un cuadrado de 25 mm de lado, cuyo centro está situado en el punto O. Dos lados del cuadrado son paralelos a la línea PQ. Encontrar las proyecciones horizontal y vertical del cuadrado.

pH qH

50

rH

20

40

60

oH

H 25

35

55

30

V

60

rV oV qV

pV Figura E4.3G

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98

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

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99

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

SESION 5 RELACION ENTRE PUNTOS Y LINEAS INTRODUCCIÓN En la sesión 4 se presentaron las diferentes clases de líneas y sus correspondientes proyecciones sin tener en cuenta las relaciones que existen entre sus puntos extremos y cómo se puede fijar la posición de uno de ellos con respecto al otro. En ésta sesión estudiaremos las relaciones entre puntos y líneas, proyecciones especiales de éstas etc. OBJETIVOS Entender las diferentes relaciones que se pueden establecer entre los elementos básicos de la geometría descriptiva como son punto y la línea recta los cuales serán de gran utilidad para la resolución de problemas frecuentes de la Ingeniería Civil. Desarrollar la capacidad para encontrar las diversas las características más significativas en las relaciones que puedan tener dos puntos entre sí, un punto y una línea, y otras que puedan existir.

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100

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CONDUCTA DE ENTRADA 2. Para establecer las relaciones entre líneas y puntos es necesario conocer las principales características de una línea, por ello es necesario que el estudiante revise y explique a que hacen referencia dichas características, las cuales son: f) Rumbo g) Pendiente h) Magnitud verdadera 3. Algunas de las principales relaciones que se pueden dar entre dos o más lineas son las siguientes: a) Líneas que se cruzan b) Líneas que se cortan c) Líneas paralelas d) Líneas perpendiculares Explique lo que entiende por cada una de éstas relaciones y ejemplifique a partir de un caso real.

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101

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

5.1 SITUACIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A OTRO Conocidas las proyecciones horizontal y vertical de un punto, se podrá establecer la ubicación de otro punto o puntos por medio de relaciones espaciales. Un punto puede estar situado encima o debajo, a la izquierda o a la derecha, al frente o atrás de otro punto conocido. En la figura 5.1 se indican las diferentes relaciones y el plano proyección sobre el que se pueden representar. DETRAS IZQUIERDA

DERECHA sH DELANTE

H

ENCIMA

V

sV IZQUIERDA

DERECHA DEBAJO

Figura 5.1 Relaciones espaciales

Sabemos que en la proyección horizontal no aparecen las alturas pero si las otras dos magnitudes fundamentales, longitud y profundidad; en cambio en la proyección vertical no se puede ver la profundidad pero si la longitud y la altura. En la figura 5.2 se dan las proyecciones horizontal y vertical de un punto K (kH y kV). Se deben encontrar las proyecciones horizontal y vertical de un punto R, situado 30 mm a la derecha, 20 mm al frente y 10 mm por debajo del punto K.

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102

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kH

H V kV Figura 5.2 Proyección horizontal y vertical del punto K

Los pasos para encontrar las proyecciones H y V del punto R son: 1. Dibujar una línea indefinida perpendicular a la línea de referencia H/V a 30 mm de distancia a la derecha de la proyectante kHkV. 2. En la proyección horizontal del punto kH, medir 20 mm hacia la línea de referencia H/V (frente) y trazar una línea paralela a la línea de referencia H/V. En la intersección de ésta línea y la dibujada en el paso 1, se ubicará el punto R en su proyección horizontal rH. 3. En la proyección vertical medir 10 mm por debajo de kV y trazar una línea paralela a la línea de referencia H/V. En la intersección de ésta línea y la proyectante trazada en el paso 1, se Ubicará el punto R en su proyección vertical rV. Los pasos realizados para ubicar el punto R se muestran en la figura 5.3 Es importante resaltar que las direcciones indicadas, no implican que el punto R se ubica directamente al frente, a la derecha, o por debajo del punto K. Lo que se quiere decir es que está situado sobre líneas al frente, a la derecha o por debajo del punto K.

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103

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30

20

kH rH

H

10

V rV kV Figura 5.3 Proyección horizontal y vertical del punto R respecto del punto K

5.2 RUMBO Y PENDIENTE DE UNA LÍNEA Además de la magnitud verdadera de una línea, la cual fue estudiada en la sesión 6; el rumbo y la pendiente son las otras características fundamentales que pueden definir una línea en el espacio. 5.2.1 RUMBO El rumbo de una línea es la dirección de dicha línea en la proyección horizontal. Para determinar el rumbo de una línea (la MN de la figura 5.4) se debe medir en la proyección horizontal, el ángulo que forma con la norte-sur (60º en la figura) anotando también hacia que otro punto cardinal se desvía (oeste). La línea MN de la figura tendrá entonces un rumbo norte 60º oeste, que se puede indicar como N 60º O. El ángulo para indicar el rumbo de una línea debe ser menor de 90º, es decir que se medirá el ángulo de la línea en cuestión con la línea norte-sur y se tomará el menor ángulo entre las dos líneas, en el caso de la línea RS de la figura 5.4 se toma como rumbo sur 80º este y no norte 100º este. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

104

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N

60

°

10 0 °

nH

rH O

80

sH

mH

° S

H V nV

rV

m V sV

Figura 5.4 Rumbo de una línea

5.2.2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE •

INCLINACIÓN DE UNA LINEA

La inclinación de una línea es el ángulo que la línea forma con el plano horizontal de proyección. El ángulo de inclinación se puede proyectar en verdadera magnitud sobre un plano de proyección que le sea paralelo, es decir que la línea se debe proyectar en su verdadera magnitud, así como el plano horizontal de filo. En la figura 5.5 se muestran las proyecciones horizontal y vertical de una línea oblicua, así como el proceso que se debe seguir para la obtención del ángulo de inclinación: El proceso seguido fue: 1. Trazar una línea de referencia paralela a la proyección horizontal de la línea ST y a cualquier distancia de ella. (H/M paralela a sHtH). 2. Obtener la proyección M de la línea ST, la cual aparecerá en su magnitud verdadera. 3. Trazar por cualquiera de los puntos de la línea ST en la proyección M, una línea indefinida paralela a la línea de referencia H/M. El ángulo de inclinación es el formado por ésta última línea y la proyección sMtM.

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105

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28°

ntal Horizo Plano sM

Angulo de inclinación

53,09

tM

28,41

VM

M H tH 34,75

42,85

sH

H

53,09

28,41

V

tV 5 42,8

sV V A 5 34,7

sA

VM

tA

9°

Figura 5.5 Inclinación de una línea oblicua

Se construyó la proyección A de la línea (proyección adyacente a la vertical), allí la línea RS aparece en verdadera magnitud, pero no aparece el ángulo de inclinación. Esto se explica porque el plano horizontal de proyección no se muestra como un Filo. Al comparar los dos ángulos se aprecia que son diferentes. •

PENDIENTE DE UNA LINEA.

La pendiente de una línea se define como la relación entre las distancias horizontal y vertical de los puntos extremos de una línea. Si dicha relación se multiplica por 100 se tendrá la pendiente de una línea expresada en tanto por ciento (%). Este término es más empleado en Ingeniería y otras áreas como la arquitectura, se utiliza para indicar las inclinaciones de tuberías, canales hidráulicos, carreteras, etc. La distancia horizontal se debe medir entre los puntos extremos de la línea en su proyección horizontal (magnitud x en la figura 5.6); ésta distancia es conocida ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

106

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

como distancia topográfica en ingeniería civil. La distancia vertical es la diferencia de alturas entre los dos puntos extremos de una línea en su proyección vertical (magnitud y figura 5.6). 6,6 4X

bH aH H

bV

24,67

V

Y

aV

Figura 5.6 Pendiente de una línea oblicua

En la figura 5.6 se muestra manera de encontrar la pendiente de una línea oblicua AB a partir de las proyecciones horizontal y vertical. Para encontrar la pendiente no es necesario utilizar otra proyección. La pendiente de una línea también determina el ángulo de inclinación que dicha línea forma con el plano de proyección horizontal, pero no se deben confundir ya que los ángulos y las pendientes no son proporcionales. 5.3 PUNTOS EN LÍNEA En la figura 5.5 se puede apreciar como el punto S se representa en la proyección horizontal por sH y en la proyección vertical se encuentra sobre la misma proyección de la línea ST y además las dos proyecciones del punto S están unidas por una misma perpendicular trazada a la línea de referencia H/V. Por lo anterior si un punto pertenece a una línea, las proyecciones del punto deben aparecer en las proyecciones correspondientes de la línea, cualesquiera ellas sean. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

107

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

mH

kH

lH

H V lV mV

lP mP

kV

kP

V P

Figura 5.7 Punto que pertenece a una línea.

Si el punto M pertenece a la línea KL (figura 5.7) y se conoce la proyección vertical mV, la ubicación de las otras proyecciones se realiza trazando la proyectante hasta encontrar la proyección horizontal de la línea, en la intersección estará mH, se procede de igual forma para encontrar mP. Si apreciamos los puntos A y B que no pertenecen a la línea CD (figura 5.8), aunque en una de las proyecciones el punto coincide con la misma proyección de la línea. Para que un punto pertenezca a una línea, éste debe coincidir en sus dos proyecciones con las proyecciones de la línea. Por lo anterior con solo observar dos proyecciones se podrá establecer si un punto pertenece a una línea. Esto se cumplirá para todas las líneas con excepción de la línea de perfil; si una línea se muestra de perfil (figura 5.9) no será posible determinar si un punto está o no en ella con las proyecciones dadas. Se deberá obtener una tercera proyección y si en ésta proyección el punto coincide con la línea, entonces el punto si pertenece a la línea o de lo contrario no pertenece. aH

cH

bH dH

H V dV bV cV aV

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dP

bP

cP V P

aP 108

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Figura 5.8 Puntos que no pertenecen a una línea.

dH

61,16

74,31

fH

14,21

eH

H

14,21

V

eP

eV

fP

fV

dP

dV 61,16

V

P

74,31

Figura 5.9 Proyección de perfil de una línea y ubicación de algunos puntos

Si un punto en una línea la divide en una proporción determinada, las proyecciones del punto dividirán a las proyecciones correspondientes de la línea en la misma proporción. Si un punto A divide a una línea OP en terceras partes (2/3 a partir del punto O), entonces todas las proyecciones de la línea quedarán divididas por las proyecciones del punto en la misma proporción (figura 5.10)

60

40

oH

aH pH

H V pV

45

30

aV oV

Figura 5.10 Ubicación de un punto en una línea por proporciones

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109

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

5.4 LÍNEA PROYECTADA COMO PUNTO Una línea se mostrará como un punto si se le proyecta en un plano de proyección perpendicular a la línea del espacio. Para poder hacer esto la línea debe aparecer primero en su verdadera magnitud y luego se traza una línea de referencia perpendicular a la VM. El resultado es la proyección de la línea apareciendo como un punto. Esto es ilustrado en la figura 5.11.

sM

VM

M

28,41

53,09

tM M H

N

11,41

tNsN

11,41

tH

34,75

42,85

sH

H

53,09

28,41

V

tV

A 5 42,8

2 13,2

sV V A 5 34,7

sA

VM

B

tBsB 13,22

tA

Figura 5.11 Línea proyectada como punto

Es importante indicar que toda proyección adyacente a una proyección en la que una línea aparece como un punto, mostrará a la línea en su verdadera magnitud y perpendicular a la línea de referencia. 5.5 TALLER DE APLICACIÓN Desde el punto A parte una carretera AB con rumbo N 40º O, tiene una longitud de 300 metros, y una pendiente ascendente del 10%. Se desea conocer las proyecciones horizontal y vertical de la carretera. Procedimiento: 1. Se selecciona una escala apropiada, por ejemplo 1 mm = 5 metros 2. Tomar las proyecciones horizontal y vertical del punto A (aH y aV). 3. Trazar una línea indefinida con el rumbo dado a partir de la proyección ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

110

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

horizontal del punto A (aH). 4. Medir 60 mm a partir del punto aH y fijar la posición del punto bH.. 5. Trazar una proyectante a partir del punto bH, perpendicular a la línea de referencia H/V. 6. Trazar una paralela a la línea de referencia H/V por el punto aV y medir 6 mm (10% de 60 mm) sobre la proyectante del punto bH hacia arriba. En la intersección se fija el punto bV 7. Unir los puntos aV y bV, aH y bH obteniendo de esta forma las proyecciones H y V. En la figura 5.12 se muestran las proyecciones solicitadas bH

N

40° 0 00 39

O

aH

S

H V b V

9

30 aV

Figura 5.12 Proyección horizontal y vertical de la carretera AB

5.6 LÍNEAS QUE SE INTERCEPTAN Dos líneas se intersectan si tienen un punto común. Dicho punto es común a las dos líneas, si las proyecciones de ese punto están contenidas en la misma proyectante perpendicular a la línea de referencia situada en las proyecciones adyacentes. Se verificará que dos líneas se intersectan en el espacio con solo examinar dos proyecciones. Si los puntos de cruce de las proyecciones adyacentes están sobre la misma proyectante, si se intersectan o de lo contrario no se intersectan. En la figura 5.13 se observa que el punto F es el punto de cruce de las líneas AB y ST, pues sus proyecciones (fH y fV) están sobre una proyectante común, luego dichas líneas si se intersectan. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

111

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Para verificar se obtuvo la proyección P y en ésta se puede apreciar como la proyección fP se encuentra en el punto de cruce de las proyecciones de las líneas (aPbP y sPtP), y además el punto F está sobre la proyectante trazada desde fV, confirmando que las dos líneas si se intersectan. aH fH

19,42

bH

H

42,85

tH

34,75

62,44

sH

V

62,44 42,85

tV V P

aV

tP

fV

fP bP

sV

bV

aP

sP

19,42 34,75

Figura 5.13 Líneas que si se intersectan

En la figura 5.14 se puede apreciar la proyección horizontal del punto aparente de cruce xH, en el plano vertical el punto es proyectado como xV1 y xV2. También la proyección yV se proyecta en el plano horizontal como yH1 y yH2. Como el punto aparente de cruce no es el mismo en la respectiva proyección adyacente, se establece que las líneas no tienen un punto común y por tanto no se intersectan. Si una de dos las líneas está de perfil, se debe obtener otra proyección para establecer si las líneas se intersectan o no. cH

yH1 yH2

45

xH

bH

dH

17,17

20

H

26,67

aH

45

V

cV xV1 aV

yV

cP

17,17

bV

bP aP 26,67

xV2 dV

20

V P

dP

Figura 5.14 Líneas que no se intersectan

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

112

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

5.7 LÍNEAS QUE SE CRUZAN Las líneas que se cruzan son aquellas no son paralelas ni se intersectan. Las líneas que se muestran en la figura 5.14 no son líneas paralelas ya que las proyecciones dadas no presentan esa situación, pero tampoco son líneas que se intersectan pues no tienen un punto común, entonces son líneas que se cruzan. Está condición se presenta en los problemas en que intervienen líneas como: luz entre tuberías, cables, palancas etc. Para encontrar la solución de éstos problemas es bastante útil el plano y por ello se estudiarán en sesión No. 8. 5.8 LÍNEAS PARALELAS Dos líneas son paralelas cuando presentan el mismo rumbo y pendiente, o dicho de otra manera: dos líneas son paralelas en el espacio si éstas aparecen paralelas en todas sus proyecciones, a excepción de las proyecciones en las que las dos líneas coinciden o aparecen ambas como puntos. Esto último reafirma el paralelismo, ya que si dos líneas se proyectan como puntos es porque ambas son perpendiculares al mismo plano de proyección y por lo tanto son paralelas entre si. También se puede afirmar que si dos líneas oblicuas aparecen paralelas en dos o más proyecciones, estas son paralelas en el espacio. En la figura 5.15 se presentan las tres proyecciones principales de las líneas AB y CD. En todas las proyecciones aparecen las líneas paralelas, entonces se deduce que las líneas son paralelas en el espacio. bH cH

aH dH

H

bV

V

cP cV

bP

aV aP dV

V P

dP

Figura 5.15 Líneas paralelas.

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113

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Cuando las líneas aparecen paralelas entre sí en dos proyecciones principales, pero perpendiculares a la línea de referencia entre sus proyecciones, será necesario obtener una tercera proyección. Si en ésta proyección las líneas aparecen paralelas se establece que las líneas si son paralelas o de lo contrario indica que no lo son. Esta situación es ilustrada en la figura 5.16. sH

kH

rH jH H V

kV

kP

rV

rP

sV jV

V P

jP

sP

Figura 5.16 Líneas no paralelas.

5.9 LÍNEAS PERPENDICULARES Dos líneas son perpendiculares si forman 90º en el espacio, el ángulo se mostrará en verdadera magnitud si ambas o al menos una línea aparece en verdadera magnitud en un plano de proyección. Si una de las líneas aparece como un punto en una proyección, la otra línea debe aparecer en verdadera magnitud y el ángulo que las líneas forman es de 90º. Si la línea no aparece en verdadera magnitud, las líneas no son perpendiculares entre sí. Cuando dos líneas aparecen perpendiculares en una proyección cualquiera (ninguna de ellas en verdadera magnitud), esto no indica perpendicularidad en el espacio. Por lo anterior para establecer si dos líneas que no aparecen en verdadera magnitud en las proyecciones son o no perpendiculares deberá obtenerse otra proyección en que al menos una de las líneas dadas aparezca en su verdadera magnitud. Si en ésta proyección las líneas aparecen formando un ángulo de 90º, si son perpendiculares, de lo contrario no lo son. En la figura 5.17 se muestran un par de líneas en su proyección vertical y horizontal. Para verificar si éstas son perpendiculares entre sí, obtenemos la ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

114

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

proyección P en la que una de ellas aparece en su verdadera magnitud (JK) y medimos el ángulo entre ellas, que como se puede ver es de 90º, por lo que se puede establecer que si son perpendiculares. sH

kH rH jH

H V

kV

kP

VM

sV

90°

rP

rV

sP

jP

jV

V P

Figura 5.17 Líneas perpendiculares.

Si se analiza la figura 5.17 se puede apreciar que dos líneas perpendiculares no necesariamente deben intersectarse. 5.10 TALLER DE APLICACIÓN Verificar si las líneas RS y OP son perpendiculares o no. (Figura 5.18) rH pH sH

oH

H V

pV sV rV oV

Figura 5.18 Líneas RS y OP

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115

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Procedimiento: 1. Se debe obtener una proyección adyacente tal como la A, trazando la línea de referencia H/A paralela a la proyección horizontal de la línea RS (rHsH). 2. En la proyección A se muestra la verdadera magnitud de la línea RS y la línea OP en una magnitud cualquiera. 3. Medir el ángulo que forma la proyección rAsA con la proyección oApA de la otra línea. 4. Como el ángulo no es 90ª, las líneas no son perpendiculares. En este caso se seleccionó la línea de referencia paralela rHsH, pero se ha podido seleccionar cualquiera de las proyecciones dadas de las líneas, existiendo así cuatro posibilidades para resolverlo. Por todas se obtendrá idéntico resultado.

oA

VM

101°

rA

pA rH

sA

pH

A H sH

oH

H V

pV sV rV oV Figura 5.18 Líneas RS y OP no perpendiculares

ACTIVIDADES PRELIMIN

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116

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

ARES EVALUACION FINAL

1. Determinar si las líneas AB y QR dadas (figura E5.1) en sus proyecciones horizontal y vertical se cruzan o se interceptan. Justificar la respuesta. aH rH

30

20

10

H

20

40

bH

V

45

qH

40

25

bV

45

rV

qV aV Figura E5.1

2. Las líneas ST y TR son perpendiculares en el espacio. A partir de las proyecciones horizontal y vertical (figura E5.2) de la línea RT y la proyección horizontal de la línea ST, se necesita encontrar la proyección vertical de la línea ST, para que se cumpla la condición de perpendicularidad. sH

30

90 40

40

rH

80

tH

H

40

25

V tV rV

Figura E5.2

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117

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SESION 6 RELACION ENTRE LINEAS Y PLANOS INTRODUCCIÓN Las líneas rectas y los planos como elementos básicos de la geometría pueden ocupar cualquier posición en el espacio, es por ello que se debe estudiar que tipo de relaciones se pueden dar entre dichos elementos. La línea puede estar contenida en el plano o no, si está contenida la relación es muy sencilla. Pero si la línea no está contenida en el plano, ésta podrá ser paralela, en cuyo caso será interesante y necesario seguramente establecer ¿cúal es la menor distancia entre ellos?, ¿cómo se podría proyectar sobre el plano?. Si no es paralela puede que sea perpendicular, entonces nos interesa establecer el punto de penetración, pero si no es paralela ni perpendicular ¿cuál es la magnitud del ángulo formado entre la línea y al plano?. Como se puede ver, en ésta sesión se resolverán estos interrogantes, los cuales son de gran aplicabilidad en los problemas reales que debe resolver un ingeniero y la geometría es una de las herramientas que facilitarán su análisis y solución. OBJETIVOS Conocer los diferentes métodos que permiten determinar la menor distancia entre dos rectas cualesquiera, una recta y un plano, etc. Comprender los métodos existentes que permiten determinar la intersección entre dos planos. Afianzar los procedimientos que permiten determinar el ángulo formado entre dos planos (ángulo diedro).

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CONDUCTA DE ENTRADA 1. Es conveniente tener afinzados los conceptos de paralelismo, perpendicularidad, menor distancia, ángulo diedro, penetración, etc, por lo que se solicita que el estudiante realice una breve sintesis de dichos conceptos y de ejemplos gráficos de cada uno de ellos.

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6.1 PLANO PARALELO A UNA LÍNEA EXTERNA Una línea externa a un plano es paralela al plano si una línea situada en ese plano es paralela a la línea externa. Generalmente se solicitará trazar un plano paralelo a una línea y que éste pase por un punto o contenga a una línea determinada. En la figura 6.1 se dan las líneas AB y ST, se debe trazar un plano paralelo a la línea AB y que contenga a la línea ST. tH qH

H M aH

bH

sH

tM

lo Plano de fi

VM rH

H V

rMqM aM

sM bM tV qV

rV aV

sV bV

Figura 6.1 Plano paralelo a una línea externa

Se debe construir un plano con la línea ST que sea paralelo a la línea AB. Se debe trazar un segmento indefinido en extensión pero paralelo a la línea AB, por un punto cualquiera de la línea ST. En este ejemplo se escogió el punto S. Las líneas ST y SR que se intersectan forman el plano paralelo a la línea AB. Para verificar se trazo la proyección M en la que el plano RST aparece como filo y la línea AB aparece paralelo, lo cual confirma que el plano está bien obtenido. En la figura 6.2 se dan las líneas OP y QR, así como el punto A. Se debe trazar un plano paralelo a las líneas dadas y que contenga al punto A. En este caso se deben trazar segmentos paralelos a las proyecciones de las líneas dadas (horizontal y vertical) que pasen por el punto A, en sus respectivas proyecciones. Los dos segmentos definen el plano paralelo a las líneas OP y QR, y además contienen al punto A. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

120

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4 1

oH H

qH

rH

qV

rV

aH

2 3

pH

V

oV

pV 2

4 1

aV

3

Figura 6.2 Plano paralelo a dos líneas

En la figura 6.2 se trazó el segmento indefinido 1-2 paralelo a la línea QR, en ambas proyecciones, y el segmento 3-4 paralelo a la línea PO. Estas segmento (12 y 3-4) pasan por el punto A y forman el plano solicitado. 6.2 DISTANCIA MENOR ENTRE UN PUNTO Y UNA LÍNEA La distancia más corta entre un punto y una línea en el espacio, es la longitud verdadera de la línea perpendicular trazada desde la línea dada y que pase por el punto. Esta distancia se puede encontrar por dos métodos: • El método de la línea • El método del plano. En el método de la línea, la línea de menor longitud aparecerá en la proyección que presente a la línea dada como un punto. También la menor distancia forma un ángulo de 90º con la línea, si ésta aparece en verdadera magnitud. En la figura 6.3 se ilustra una tubería, que se representada por la línea OP y el punto X es la entrada de un tanque. Estos elementos deben ser comunicados por otra tubería que tenga la menor distancia. Se obtiene la proyección A, en la que se obtiene la verdadera magnitud de la línea OP, allí se traza la perpendicular a la proyección oApA que pase por el punto xA. Una vez trazada la línea xAyA, se traslada a las proyecciones H y V quedando plenamente identificada la nueva tubería. En este caso, además de la distancia menor, también nos interesa conocer el rumbo y pendiente de la tubería; por ello ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

121

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trazamos la proyección B adyacente a la horizontal y paralela a la línea xHyH. En la proyección B obtendremos la línea XY en magnitud verdadera y allí podemos medir el ángulo de inclinación (31º descendente del tanque a la tubería). En cuanto al rumbo, procedemos de acuerdo a lo estudiado anteriormente; en la proyección horizontal medimos el ángulo de dirección con relación a la línea Norte-Sur (N 89º E). oA

VM 90°

yA pA

xA

Angulo de inclinación

A

N

H ° 89

oH yH

H

31°

pH

E

H B

,33 V30M

xB

xH

yB

V xV oV

pV yV

Figura 6.3 Distancia menor entre una línea y un punto.

El método del plano consiste en formar un plano con el punto y la línea, luego trazar el plano en verdadera magnitud (tamaño) y en ésta proyección se traza la perpendicular del punto a la línea, obteniendo la línea en verdadera magnitud. En la figura 6-4 se formo el plano uniendo el punto X con O y P. Se trazó la horizontal P-1 para lograr que se proyecte el plano de filo en la proyección M y en verdadera magnitud en la proyección N. En ésta proyección se traza la perpendicular desde X (xN) a la línea OP, (oNoN) hasta encontrar sobre oNoN el punto yN, xNyN será la menor distancia pedida en verdadera magnitud. Para obtener las proyecciones de YX, simplemente se traslada ésta línea a las proyecciones M, H y V, devolviendo por medio de proyectantes el punto Y a cada una de las proyecciones indicadas de la línea OP. La orientación se marcará, como en el método anterior en la proyección horizontal. Para obtener la inclinación se trazar una proyección de elevación, es decir adyacente a la horizontal, en la que la línea se proyecte en verdadera magnitud y ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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el plano horizontal de perfil. pN yN

30,57

VM

° 90

xN

1N

oN N M

Filo pM

oM

N 1H

xH

° 89

M

xM

H oH

pH

yH

E

H V 1V oV

xV

pV yV

Figura 6.4 Distancia menor entre una línea y un punto

6.3 DISTANCIA MENOR ENTRE DOS LÍNEAS QUE SE CRUZAN La distancia menor entre dos líneas que se cruzan es la longitud de la línea perpendicular común a ambas líneas. Esta línea perpendicular solamente tiene una posición posible en el espacio. Al igual que en el numeral 6.2, existen dos métodos de solución: • El método de la línea • E método del plano. En el método de la línea debe tener en cuenta lo siguiente: a) La línea más corta que une dos líneas que se cruzan debe ser perpendicular a ambas líneas. Si se obtiene una proyección que muestre a una de ellas en ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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verdadera magnitud, ésta línea menor debe formar con ella un ángulo de 90º. b) Si una de las líneas se proyecta como un punto, la línea más corta o de menor longitud (distancia) formará un ángulo de 90º con la otra línea, pues la línea de menor distancia aparecerá en esa proyección en magnitud verdadera. Por lo anterior, el proceso para encontrar la solución es llevar una de las líneas dadas a una proyección donde aparezca como punto. En ésta proyección se trazará desde este punto una perpendicular a la otra línea obteniendo así la menor distancia en verdadera magnitud. Para obtener las otras proyecciones se devuelven los puntos de la menor distancia por medio de proyectantes. En la figura 6.5 se dan dos líneas que se cruzan. Encontrar la menor distancia entre las líneas OP y QR. rH

oH

pH

qH

H V

pV

qV

V

oV

rV

VM

qA oA

qB oBpB

A pA

rA

3,38

A B

dis me tanc no ia r

90° rB

Figura 6.5 Distancia menor entre dos líneas que se cruzan (método de la línea)

Lo primero que se debe hacer es encontrar una de las líneas dadas en verdadera magnitud. En el ejemplo se trazó la línea de referencia V/A paralela a oVpV, encontrando así la línea OP en verdadera magnitud (oApA) La línea QR en ésta proyección (qArA) aparecerá en una posición cualquiera. Ahora a la proyección A de la línea OP se le traza una línea de referencia perpendicular tal como la A/B, en la proyección B ésta línea aparecerá como un ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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punto (oBpB). Desde esta línea como punto se traza la perpendicular a la proyección B de la otra línea ( qBrB ) encontrando sobre ésta última el punto sB. Si se identifica esta línea colocando en la proyección como punto, la proyección tB, se habrá obtenido la verdadera magnitud de la menor distancia ( sBtB ). Para encontrar la menor distancia por el método del plano, primero se debe formar con una de las líneas dadas un plano paralelo a la otra línea. Si en una proyección aparece dicho plano de filo, cada punto de la otra línea le será equidistante. Así, en ésta proyección, la menor distancia en su verdadera magnitud, será la perpendicular a ambos segmentos. Para obtener la exacta localización de ésta línea, una nueva proyección debe ser obtenida, en tal forma que la menor distancia aparezca como un punto en la intersección aparente de las dos líneas.

H A oH

nH H V

rA

rH pH

qH

oV

nA pA qA

nB qB

oB rB

pB

pV

qV

nV

V3,M 99 A B oA

rV

Figura 6.6 Distancia menor entre dos líneas que se cruzan (método del plano)

En la figura 6.6 se trazo por el punto O, una paralela a la línea QR hasta un punto cualquiera N. Así se formo el plano PON, paralelo a QR. Si en dicho plano se dibuja una horizontal, ésta se verá en verdadera magnitud en la proyección horizontal; al trazar la línea de referencia H/A perpendicular a ésta proyección, el plano NOP aparecerá de filo en la proyección A y el segmento oApA, paralelo al plano de filo. En esta proyección la verdadera magnitud de la menor distancia entre las dos líneas es la perpendicular trazada, entre el plano de plano de filo y el segmento oApA. Para conocer la exacta posición de ésta perpendicular, se toma ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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una proyección que la muestre como un punto. Este proyección se obtiene trazando la línea de referencia A/B perpendicular a la posición indefinida de la menor distancia, en la proyección B, las dos líneas aparentemente se intersectan en un punto. Si se proyecta hacia A ésta línea se obtiene la posición exacta de la menor distancia, al devolver éstos puntos por proyectantes hacia las proyecciones H y V, se obtienen las proyecciones correspondientes de la línea pedida. 6.4 DISTANCIA MENOR ENTRE DOS LÍNEAS QUE SE CRUZAN CON INCLINACIÓN DADA. Está distancia se determina de forma idéntica a lo expuesto en el numeral 6.3 ya que se trata de encontrar una menor distancia. Como la inclinación es dada no puede ser resuelto sino por adyacentes a la horizontal, pues la inclinación sólo puede medirse en proyecciones de elevación.

H A

nH H V

aH

rH

bH

pH

qH qV

nV oV

aA rA nA bA pA qA

A M

pV

aV bV rV

V7M ,99

oH

oA

pM

rM

oM qM Figura 6.7 Menor distancia con pendiente dada entre dos líneas

En la figura 6.7 se pide encontrar la menor distancia horizontal de la línea OP a la línea QR. Se puede apreciar que el proceso es igual al seguido anteriormente en la figura ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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6.6 hasta la proyección A. A partir de ésta proyección la posición de la línea de referencia A/M varía significativamente. Para el caso "menor distancia horizontal”, ya se conoce como aparece un plano horizontal en una proyección de elevación; paralelo a la línea de referencia adyacente a la horizontal. Para obtener la posición exacta de ésta distancia se debe tomar una línea de referencia A/M perpendicular a la línea de referencia H/A, puesto que una línea paralela a la anterior, tomada entre el segmento oApA y el filo, muestra la verdadera magnitud de la menor distancia horizontal. En la proyección M los segmentos cruzados (oMpM y qMrM) identifican al punto (aMbM). Dicho punto es la proyección M de la línea de menor distancia horizontal entre las dos líneas dadas. Al devolverse en dirección a la proyección A, se sitúa un punto en cada una de las proyecciones de las líneas. A partir de esta proyección se trasladan los puntos A y B a las proyecciones horizontal y vertical por medio de proyectantes. Como se trata de una horizontal, la proyección aHbH debe aparecer paralela a la línea de referencia H/A y la proyección avbv debe aparecer paralela a la línea de referencia H/V. 6.5 PENETRACIÓN DE UNA LÍNEA EN UN PLANO Método del plano como filo Cuando una línea no es paralela ni está contenida en el plano, es porque la línea intersectará en un punto al plano. Si un plano que aparece como filo debe contener a todos los puntos de éste, luego una proyección que muestre al plano en ésta posición, mostrará también el punto por donde la línea penetra en él. En la figura 6.8 se ilustra éste método para encontrar el punto de intersección. Apreciando la figura se encuentra que el plano OPQ aparece directamente como un filo en la proyección Horizontal. El punto de penetración de la línea AB en él, es la intersección de la proyección aVbV con el filo, es decir el punto sV; trasladando este punto a la proyección horizontal de la línea se localiza sH; éstas son las proyecciones del punto de penetración Al penetrar una línea en un plano, parte de la línea quedará oculta por el plano (si éste es opaco) y por tanto será invisible. Una regla de visibilidad establece que una línea cambia su visibilidad en el punto de penetración. Para determinar qué parte de la línea es visible por ejemplo, se observa la proyección donde aparece el plano de filo, en este caso el horizontal; la parte de la línea que está más cerca a la línea de referencia será visible en la adyacente hasta el punto de penetración, y a partir de éste es invisible hasta que encuentra el contorno del plano. En la figura se observa que bVsV está más cerca de H/V, luego bHsH será visible. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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pH

bH

qH

sH oH

aH

H V

pV bV pV

qV

sV

oV

aV

Figura 6.8 Penetración de una línea en un plano (plano de filo)

En la figura 6.9 se presenta otro caso, pero el plano no aparece como filo en una de las proyecciones dadas. El proceso consiste en llevar el plano a un filo y aplicar el mismo procedimiento del caso anterior.

pH

bH

xH

1 oH

aH

H V

bV 1 oV

qH

bA pA

pV xV

qV aV

V A

qA xA oA aA

Figura 6.9 Penetración de una línea en un plano (Plano de filo)

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128

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Método del plano cortante Con éste método nos evitamos el tener que trazar una proyección adyacente, sino que el punto de penetración puede ser encontrado sólo con las proyecciones dadas. Según el planteamiento de la situación se escogerá el método más apropiado, pues por ambos se llega a la misma solución. El método se fundamenta en hacer pasar por una de las proyecciones de la línea un plano cortante, perpendicular al plano de proyección respectivo. Así dicho plano aparecerá en esa proyección de filo y contendrá además a la línea dada, se localiza ahora la intersección de los dos planos (el plano dado y el cortante); donde esta línea (Intersección entre los dos) encuentre a la línea dada, se obtiene el punto de penetración.

P

pH

bH

1 xH

oH

qH C1 aH

2

H V

bV

pV 1

xV 2

oV

qV

aV

Figura 6.10 Penetración de una línea en un plano (Plano Cortante)

En la figura 6.10 se trazo el plano cortante P-C1 perpendicular al plano horizontal de proyección, como debe contener a la línea AB, aparecerá de filo en ésta proyección y conteniendo a aHbH. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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En ésta proyección se busca la intersección del plano cortante y el plano OPQ; es la línea 1-2. Llevados los puntos 1 y 2 por medio de proyectantes, se encuentra la proyección vertical de esa línea. Donde ella encuentra a la línea AB, (aVbV) o sea la proyección xV, se obtiene la penetración buscada al definir por medio de una proyectante, xH. En la figura 6.11 se resolvió el mismo problema, pero tomando un cortante perpendicular al plano vertical de proyección; así en esta proyección el plano cortante contendrá a la proyección de la línea dada (aVbV).

bH

3

pH xH

qH 4 aH

oH H P bV

V

pV 3

oV

xV 4

qV aV C2

Figura 6.11 Penetración de una línea en un plano (Plano Cortante)

La intersección de este cortante con el plano OPQ es la línea 3-4 que proyectada al plano horizontal, encuentra a la proyección aHbH en el punto xH, proyección horizontal del punto de penetración. Por medio de proyectante se encuentra xV sobre la proyección (aVbV). La visibilidad de la línea en ambas proyecciones se define como ya se ha indicado en el método del plano como filo. 6.6 INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS 6.6.1 MÉTODO DEL PLANO EN FILO En el numeral anterior se encontró el punto de penetración de una línea y para dos líneas el proceso sencillamente se duplica. Si estas dos líneas definen un ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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plano, se habrá encontrado la intersección de los dos planos, uniendo los puntos de penetración de ellas por medio de un segmento rectilíneo. El método para encontrar la intersección será mostrar uno de los planos dados de filo; en esa proyección se encontrarán los puntos de penetración de las líneas de uno de los planos en el otro, que unidos darán la intersección buscada. En la figura 6.12, se dan dos planos y ninguno aparece de filo en las proyecciones dadas; por lo que se debe trazar otra proyección en la que uno de ellos se muestre de filo. En ésta proyección xAyA es la línea de intersección de los dos planos, que por medio de proyectantes se devuelve a las proyecciones H y V para definirla totalmente.

pH

bH xH oH H V

aH yH

H A pA aA

qH cH

P

xA oA cA

pV

bV

yA qA

bA

yV aV qV

oV xV

cV Figura 6.12 Intersección de dos planos (Plano de filo)

La regla establece que la intersección de dos planos siempre es visible, si ellos no pertenecen a un sólido y como en el caso de la línea, un plano cambia su visibilidad a partir de su intersección con otro. Para la visibilidad se observa en la proyección A que la parte del plano ABC más cercana a la línea de referencia V/A es el sector cAxAvA, por tanto esa parte será visible en la proyección horizontal (cHxHyH) Se debe completar la visibilidad en esta proyección por deducción. En la proyección vertical será visible cVxVyV porque en la proyección horizontal el sector cHxHyH está más cerca a la línea de referencia. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Se completa la visibilidad de los dos planos en esta proyección como en los casos anteriores. Aquí es importante anotar que si los planos son limitados, su intersección también lo será. Si son indefinidos en extensión, su intersección será indefinida. 6.6.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE Este método se fundamenta en la penetración de las líneas de uno de los planos en el otro. Tomando planos cortantes bien sean verticales de punta, por las líneas que identifican los planos y aplicando lo expuesto en el numeral 6.4 se encuentra fácilmente rápidamente la intersección. Se debe aclarar que se pueden tomar tantos planos cortantes como líneas tengan los planos, duplicados, porque son dos las proyecciones (horizontal y vertical) para cada línea: la habilidad del diseñador le permitirá descubrir qué cortantes emplear, puesto que solamente dos son necesarios. En la figura 6.13 se ha tomo por la línea QP en su proyección horizontal un plano cortante vertical, marcado P-C2. Este plano cortante intercepta al plano ABC según la línea 3-4 hay que apreciar que los puntos 3 y 4 no están en la línea PQ, por la cual se tomó el cortante, sino en las líneas AB y AC del plano intersectado ABC. La línea 3-4 intersecta a la proyección de la línea PQ (pVqV ) en el punto yV que llevado a su respectiva línea en la proyección horizontal produce yH, estas son las proyecciones del primer punto de la intersección buscada. Como se puede tomar indistintamente en cualquier proyección los planos cortantes, se trazo el plano cortante de punta P-C1 por la línea AB. Este intersecta al plano OPQ, según la línea 1-2, a su vez la línea 1-2 encuentra a la línea AB (aHbH) en el punto xH: encontrado xV por proyectante, y unidos al punto Y en ambas proyecciones se obtiene en definitiva la intersección de los dos planos ( ABC y OPQ ).

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C 2

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aH

pH

2 yH 4 cH

oH xH 1

P

3 qH bH H V

C1 oV 2

P

aV

1

xV

qV

3

bV

pV

yV 4

cV

Figura 6.13 Intersección de dos planos (Plano Cortante)

6.7 MENOR DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La menor distancia desde un punto a un plano es la perpendicular trazada del punto al plano. Si el plano aparece en una proyección de filo, su perpendicular aparecerá en verdadera magnitud en la misma proyección. En la figura 6.14 se debe encontrar la menor distancia entre el punto A y el plano PQR. El plano se ha llevado a filo en la proyección A, tomando en él la horizontal P1. En ésta proyección desde A (aA se traza la perpendicular al plano de filo hasta encontrarlo, localizando así bA, aAbA es la verdadera magnitud de la menor distancia. Para encontrar las proyecciones horizontal y vertical de la menor distancia, se debe tener en cuenta que siendo aAbA la verdadera magnitud, entonces aHbH debe ser paralela a H/A. Trazando la proyectante desde bA, se obtiene bH, en la intersección de ésta línea y la paralela. Luego se encuentra bV aplicando lo correspondiente a proyecciones adyacentes.

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VM

90°

aA bA qA L

pA1A rA

qH

aH

bH

pH

A

H

1H

H V qV pV

bV 1V

L

rH

aV

rV Figura 6.14 Menor distancia entre un punto y un plano

Este método también se puede desarrollar trazando proyecciones adyacentes a la vertical. 6.8 PERPENDICULAR TRAZADA DE UN PUNTO A UN PLANO El método es similar al expuesto en el numeral anterior. En la figura 6.14 se observa que aAbA es perpendicular a rApA, pAqA y qArA, es decir que es perpendicular a todas las líneas del plano, pasen o no por su base. Según esto y aplicando el concepto de perpendicularidad entre dos líneas, es posible trazar la línea perpendicular únicamente con las proyecciones dadas. En la figura 6.15 se representa el caso anterior, solo que se necesita trazar la perpendicular (indefinida) y no la menor distancia (definida).

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pH

aH

qH 2

cH ° 90 1 rH

H V

cV qV 2

pV

90° 1

aV rV

Figura 6.15 Perpendicular de un punto a un plano

Con la condición de perpendicularidad entre líneas, si dos líneas son perpendiculares y una o ambas aparecen en verdadera magnitud deben formar 90º. Trazando una línea que aparezca en verdadera magnitud en una de las proyecciones es posible trazar un segmento que le sea perpendicular. En la figura 6.15 se dibujo la línea horizontal P1 en el plano PQR y por lo que aparecerá en su proyección horizontal ( pH1) en verdadera magnitud; desde aH se toma un segmento indefinido perpendicular a ésta línea. Se obtiene la proyección horizontal de la perpendicular al plano al limitarla en el punto cualquiera cH. La proyección vertical se obtiene trazando una línea frontal, tal como la P2, que aparecerá en verdadera magnitud en la proyección vertical (pV2). Trazando desde aV una perpendicular a ésta línea y limitándola en su intersección cV con la proyectante trazada desde cH se encuentra la línea perpendicular al plano PQR y que pasa por el punto A.

6.9 PROYECCIÓN DE UNA LÍNEA A UN PLANO En éste caso se debe realizar el método del numeral 6.9 dos veces, ya que si se encuentran las proyecciones de los puntos extremos de la línea y se unen por medio de una línea, se habrá proyectado la línea en el plano. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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C1

C2

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aH qH

xH

yH

90°

P

P

pH

bH

rH H V xV

qV yV

pV aV

rV bV

Figura 6.16 Proyección de una línea en un plano

En la figura 6.16 se muestra la proyección de la línea AB en el plano PQR. Se deben trazar líneas perpendiculares desde los puntos A y B al plano PQR, dibujando sus proyecciones respectivamente perpendiculares a la horizontal y a la frontal. Los puntos de penetración X y Y de éstas líneas en el plano PQR son determinados empleando los planos cortantes P-C1 y P-C2. La línea XY es la proyección de AB en el plano dado.

6.10 ÁNGULOS Ya se estudiaron los ángulos entre dos líneas, y ángulo entre una línea y un plano (inclinación). Ahora veremos los ángulos entre líneas y planos principales, entre líneas y planos oblicuos, y ángulos entre planos. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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6.10.1 ANGULO ENTRE LÍNEA Y PLANO PRINCIPAL El ángulo entre una línea y un plano está ubicado en un plano que además de contener a la línea debe ser perpendicular al plano dado. También se define éste ángulo como el que forman la línea dada y su proyección en el plano dado. Para ver el ángulo entre una línea y un plano en su verdadera magnitud, se debe mostrar en la misma proyección a la línea en su verdadera magnitud y al plano dado de filo. Este concepto se reviso al estudiar el ángulo de inclinación de una línea. En la figura 6.17 se presenta el clásico caso de determinar los ángulos que la línea RS forma con un plano de perfil N, un plano Frontal M y un plano horizontal P, es decir las tres paredes de la esquina de un recinto. Se estableció que las proyecciones adyacentes a la verdadera magnitud de un plano siempre lo presenta de filo y que para ver un ángulo en verdadera magnitud entre una línea y un plano, la línea debe presentarse en verdadera magnitud y el plano como un Filo, en la misma proyección. En la figura 6.17 observamos cómo el plano el plano frontal M está en verdadera magnitud en la proyección vertical, luego con tomar la línea de referencia V/B paralela a la proyección rVsV. En la proyección B se marca el ángulo α1 entre la línea RS y el plano frontal M El plano P está en verdadera magnitud en la proyección horizontal, luego si tomamos la línea H/A paralela a la proyección rHsH en la proyección A se obtiene su verdadera magnitud y a la vez el plano P de filo. Así se determina el ángulo β entre RS y P (plano horizontal).

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P o an lo Pl e fi d

sA

β A H rA M

α1 rB

de

rH

P (VM)

M

N

rE

sB

ilo

H

de f

sE

C V

Pl an o

N

δ

E

o fil

VM VM

o an Pl

sH

N (VM)

V B

rC N

C sC

rV

M (VM)

V

sV P

Figura 6.17 Angulo entre línea y plano principal

Para el plano N se debe hallar su verdadera magnitud trazando la línea de referencia C/V paralela al plano de filo N. En la proyección C la línea no se verá en su verdadera magnitud, por ello se debe tomar la línea de referencia E/C paralela a la proyección rCsC. El plano N estará de filo en la proyección E y la línea en su verdadera magnitud; el ángulo solicitado es el que forman estas dos líneas, marcado δ. Aquí no conviene trasladar en todas las proyecciones los planos dados, solamente aquél con el que se va a trabajar.

6.10.2 ANGULO ENTRE LÍNEA Y PLANO OBLICUO El proceso es similar al seguido para la obtención del ángulo entre la línea RS y el plano N de la figura 6.17 En la figura 6.18 se pide encontrar el ángulo formado por la línea AB y el plano PQR. Lo primero que se debe hacer es llevar el plano a un filo, tal como se muestra en la proyección M, allí la línea no aparece en su verdadera magnitud y por ello no se puede medir el ángulo solicitado. Ahora se debe tomar una línea de referencia paralela al plano de filo, se obtiene en la proyección N la verdadera magnitud del plano y la línea en una posición cualquiera. Tomando una línea de ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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referencia N/O paralela a la proyección aNbN de la línea AB, en la proyección O se verá la verdadera magnitud de la línea y el plano de filo, allí se podrá medir el ángulo pedido θ. θ

bO

F il

bN

VM del plano PQR

aO

o

O N

aN bM

N

qM

pM bH

rM

M

aM

qH pH

rH

H

aH

M

H V bV pV qV aV rV

Figura 6.18 Angulo entre línea y plano oblicuo

6.10.3 ANGULO ENTRE PLANOS El ángulo entre dos planos que se intersectan se denomina ángulo diedro. Este ángulo se mostrará en su verdadera magnitud en un plano perpendicular a la línea de intersección de los dos planos. En una proyección en que se muestre a la intersección como un punto, en esa proyección se presentarán los dos planos como filos y el ángulo diedro será el formado por estos.

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139

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

En esta clase de problemas se presentan dos casos: • La línea de intersección es conocida (dato del problema) • La línea de intersección no es conocida. En la figura 6.19 se muestran los planos ABC y BCD en sus dos proyecciones principales. Se necesita conocer el ángulo diedro. La intersección BC de los dos planos es conocida, debemos proyectar esta línea como un punto, obteniéndose en ésta proyección el ángulo (proyección N) puesto que los planos aparecen de filo. aM aN Angulo Diedro

bM

68°

cM dM

bNcN

M dH

H

aH

M N

dN

cH bH

H V

dV

cV

bV

aV Figura 6.19 Angulo diedro

En el problema de la figura 6.20 la línea de intersección no es conocida, pidiéndose también el ángulo entre ellos. Existen dos métodos para encontrar el ángulo diedro: • El primero consiste en hallar la línea de intersección entre los dos planos y luego aplicar el proceso anterior. • El segundo consiste en obtener los dos planos como filos en forma simultánea en la misma proyección, sin encontrar la línea de intersección y allí se mostrará el ángulo diedro entre los planos. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

140

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

7° 16

pC bC aC qC oC

bB pB

2

oB

Angulo diedro

cC

aB pH

bH 1

aH qH

P

V

2 cA

A

pV aV

bV 1 oV

qA

B C

bA oA

cH

H

pA aA

qB

B

oH

cB

H A

qV

cV

Figura 6.20 Angulo diedro

Lo primero es llevar cualquiera de los planos (OPQ) a un filo, lo que se logra en la proyección A, puesto que la línea Q1 es una horizontal. En ésta proyección el plano ACB aparece en cualquier forma. Si ahora se encuentra la verdadera magnitud del plano OPQ trazando la línea de referencia A/B paralela al filo y se aplica el concepto todas las proyecciones adyacentes a la verdadera magnitud de un plano lo muestran como un filo, será fácil mostrar en la misma proyección otro plano de filo, introduciendo en la proyección A en el plano ABC una línea auxiliar que sea paralela a la línea de referencia A/B tal como la línea A-2 (proyección bA2). Esta línea en la proyección B aparecerá en verdadera magnitud (proyección aB2) y a continuación trazando la línea de referencia B/C perpendicular a ésta línea en verdadera magnitud, se obtendrá en la proyección C el plano ABC de filo, en ésta misma proyección se mostrará el plano OPQ de filo, luego el ángulo será el formado por éstas dos líneas o planos de filo.

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141

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

6.10.4 ANGULO ENTRE PROYECCIÓN PRINCIPAL

PLANOS

OBLICUOS

Y

PLANOS

DE

Para determinar éste ángulo se debe lograr en la misma proyección que ambos planos se proyecten como filos. En la figura 6.21 se trata de averiguar los ángulos que forman un plano oblicuo RST y los muros que componen la esquina de un recinto: plano M o frontal, plano N o de perfil y plano P u horizontal. Como el plano M está en verdadera magnitud en la proyección vertical, cualquier proyección adyacente a ésta lo presentará de filo, para que el plano RST también aparezca en esa posición específica, se dibuja la línea de referencia V/B perpendicular a la proyección vertical de la línea R2 (proyección horizontal rH-2 paralela a la línea de referencia H/V, luego su proyección vertical rV-2 es verdadera magnitud) obteniendo la proyección B, con ambos planos como filos. El primer ángulo está así definido al trazar por sB una línea paralela a la línea de referencia V/B. El ángulo con el plano P, se encuentra trazando una línea auxiliar horizontal rV-1 que está en verdadera magnitud en su proyección rH-1. Tomando la línea de referencia H/A perpendicular a rH-1, se obtiene el plano RST como un filo en la proyección A. Trazando el plano P (línea paralela a H/A tomada por sA) se mostrará el ángulo solicitado entre las dos líneas. Para el ángulo con el plano N, en la proyección de perfil C, aparece éste en verdadera magnitud y el plano RST en rCsCtC (posición cualquiera). Como el plano RST debe presentarse de filo en la misma proyección que muestre a N en ésta condición, se tomo en la proyección vertical la línea sV-3 paralela a la línea de referencia V/C: así ésta línea está en verdadera magnitud en la proyección sC-3. En seguida se traza la línea de referencia C/E perpendicular a la verdadera magnitud de la línea S-3, en la proyección E aparecerán ambos planos de filo, mostrándose el último ángulo solicitado.

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142

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

M

A H

Plano P de filo

sA

sH N

rA

P 1 (VM) 2

rH

tH

Angulo diedro

tA H Angulo diedro

V 3

N (VM)

rV rC

N

sC C

V

tV

tB

2 1 M (VM) sV P

Plano M de filo

tC

rB

sB V B

Pl an o N C de rE fil E o sE Angulo diedro tE Figura 6.21 Angulo entre plano oblicuo y plano principal

6.11 TALLER DE APLICACIÓN Las paredes laterales de una pila del hormigón armado de un puente tienen todas la misma pendiente (figura 6.22). Los ángulos tales como los que se encuentran entre las superficies A y B y las superficies A y C, está frecuentemente cubierto por un perfil de hierro en ángulo, incrustado en el hormigón. Determinar el ángulo para el que cada uno de estos hierros especiales tiene que ser doblado en esas esquinas.

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143

30,4

54,8 cm

C

30,4cm

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

A B H

45,7 cm

V

Figura 6.22 Paredes laterales de una pila del hormigón de un puente

A partir de las dos proyecciones conocidas es fácil apreciar que la intersección de los planos A y C está en verdadera magnitud en la proyección vertical, por lo que se debe trazar una proyección auxiliar adyacente a la vertical, es decir que si trazamos la línea de referencia V/M perpendicular a la línea de intersección (1V2V en la figura 6.23), ésta aparecerá de punta y por tanto los dos planos A y C de filo, allí medimos el ángulo entre los dos filos y éste será el ángulo diedro entre dichos planos. Para encontrar el ángulo entre los planos A y B es necesario trazar una proyección auxiliar V/N paralela a la línea 3 V 4 V para que aparezca en su verdadera magnitud y posteriormente trazar una línea de referencia N/O perpendicular a dicha línea, para que se proyecte como un punto y los planos de filo. Allí tomamos la medida del ángulo entre los dos filos y éste será el ángulo diedro solicitado.

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144

137°

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

C

4O3O

2H

1H

4H B

A

O

3H

N

H

NV

V

4N 4V

VM

VM

2V

3N 3V

1V

V M

93°

1M2M

Figura 6.23 Angulo diedro entre los planos A y , A y C.

ACTIVIDADES PRELIMINARES ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

145

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

EVALUACION FINAL 1. La línea MN es la línea central de una tubería que une dos paredes verticales, en los puntos M y N respectivamente (figura 6.24). Encontrar los ángulos que esa tubería forma con cada pared.

22,85

° 60

38,1

68,6

nH

mH 45,7 H

ería Tub mV

nV

15,2 22,85 15,2

V

Figura 6.24

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146

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

SESION 7 PROYECCIONES MULTIPLES DE SOLIDOS INTRODUCCIÓN En el trazado de las proyecciones múltiples de los sólidos, lo que se debe hacer es aplicar el mismo procedimiento que se emplea en la proyección de puntos y líneas, lo cual fue estudiado en sesiones anteriores. Recordemos que tres puntos definen un plano y que un sólido se compone e varios planos, por ello es comprensible que sean los procedimientos ya descritos los que se empleen. Aqui aparece algo nuevo al trabajar con sólidos, los cuales se deben considerar opacos, es decir que a través de éstos no se podrá observar y es por ello que aquí hay necesidad de establecer que elementos (aristas, planos o vertices) están ocultos y por tanto deben representarse con trazos interrumpidos para destacar que no son visibles. OBJETIVOS Conocer la forma de obtener múltipes proyecciones de un sólido. Comprender las reglas de la visibilidad en la elaboración de las proyecciones de los sólidos.

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147

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

CONDUCTA DE ENTRADA 1. Durante el desarrollo de la temática de ésta sesión se deben trazar proyectantes, líneas de referencia, líneas de contorno y líneas invisibles. Por esto es necesario que el estudiante revise las normas empleadas en la geometría y describas como se debe representar cada tipo de línea

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148

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

7.1 GENERALIDADES El sólido es un conjunto de planos, aristas (líneas) y vértices (puntos) y ya se estudio como se obtienen las proyecciones múltiples de éstos elementos, para obtener las proyecciones múltiples del sólido se multiplican las proyecciones de los puntos, líneas y planos que lo determinan. Anuque el proceso es algo más complejo, puesto que se deben tener en cuenta múltiples factores tales como: visibilidad de aristas, planos, estudio de las superficies que lo componen etc. 7.2 DIBUJO DE UNA TERCERA PROYECCIÓN PRINCIPAL En la figura 7.1 se presenta un sólido en dos proyecciones principales, la horizontal y la vertical. Se pide dibujar la proyección de perfil derecho. No es posible entrar directamente a resolver el problema, sin cumplir antes una serie de etapas, puesto que aunque ya se conoce el mecanismo para obtener cualquier proyección, es necesario observar ciertas normas; de lo contrario se podría complicar éste.

H V

Figura 7.1 Proyecciones principales de un sólido ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

149

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

ETAPA 1: colocación de la línea de referencia y encuadre de la proyección pedida. La proyección de perfil derecho debe estar situada exactamente al lado derecho de la proyección vertical, entonces desde los extremos superior e inferior de la proyección vertical se trazan líneas hacia la derecha y perpendiculares a la línea de referencia V/P, situada al lado de la proyección vertical y perpendicular a la línea de referencia H/V, a una distancia de la proyección vertical aproximadamente igual a la que existe entre ésta y la línea de referencia H/V.

L1

L

En las proyectantes de V/P, se toman las distancias L y L1, formando así en la proyección de perfil un rectángulo, dentro del cual tiene que estar situada la proyección pedida. Figura 7.2

H

L L1

V

V P

Figura 7.2 Etapa No. 1 ETAPA 2.- Estudio de las superficies en las dos proyecciones dadas e identificación de los puntos que las componen. Como no existe en la proyección vertical, ninguna figura parecida a la proyección horizontal que es un cuadrilátero, se deduce que ésta superficie debe aparecer en la proyección vertical como un filo. Figura 7.3 Además como se trata de un sólido, el cuadrilátero representa las proyecciones de ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

150

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

las bases de éste, luego en la proyección vertical estas bases serán los filos superior e inferior. Se identifican los puntos que determinan las líneas de contorno de ésta superficie con las letras aH, bH, cH y dH y desde ellos se trazan proyectantes hasta encontrar el filo superior en la proyección vertical, se obtendrán los puntos aV, bV, cV y dV cH

dH

80

bH

35

aH H

80 35

V dV

cV

aV bV

V P

Figura 7.3 Etapa No. 2 ETAPA 3.- Dibujo de la tercera proyección principal de una superficie. Obtenidas las proyecciones verticales de los puntos A, B C y D, se trazan desde ellas las proyectantes hacia el lado derecho y perpendiculares a la línea de referencia V/P. Sobre las proyectantes y a partir de la línea de referencia V/P se trasladan las distancias L, L1 y L2 que aparecen en la proyección horizontal. Sobre la proyectante correspondiente a bV por ejemplo estará la proyección de perfil derecho bp y su distancia a la línea de referencia V/P, L1, es la misma que existe entre la línea de referencia H/V y la proyección bH. Trasladados todos los puntos de la superficie A, se unen por medio de rectas en el mismo orden o secuencia en que están unidos en las proyecciones dadas, así; A con B, B con C, C con D y D con A, completándose en ésta forma la proyección pedida de ésta superficie Figura 7.4. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

151

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

cH bH

L

dH

L2

L1

aH H

L L2

V dV

dP cV

cP

aV

aP bV

bP

V P

L1

Figura 7.4 Etapa No. 3 ETAPA 4.- Dibujo del sólido en la proyección pedida. Igual proceso al estudiado en las etapas anteriores se sigue para la obtención de la proyección de perfil derecho de la base inferior del sólido. Bastará entonces identificar nuevamente los puntos de la proyección horizontal (eH, fH, gH, y hH) y trasladarlos en la forma ya indicada. Para terminar la proyección total del sólido, obsérvese cómo los puntos A y E por ejemplo corresponden a la arista AE, B y F a la arista BF etc. Unidas las proyecciones de perfil de esos puntos por medio de rectas, se obtienen las proyecciones de las caras del sólido. Las líneas que delimitan las proyecciones forman su contorno, proyectándose en los planos correspondientes en forma visible, por ello deben dibujarse con trazo continuo (figura 7.5)

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

152

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

cH bH

80

dH

57 35

57

aH H

80 35

V dV

dP cV

cP

aV

aP bV

hV

gV eV

bP

V P

fV

eP 57

hP fP

gP

Figura 7.5 Etapa No. 4 7.3 VISIBILIDAD En el dibujo de una proyección cualquiera de un sólido es importante la determinación correcta de la visibilidad de las líneas que componen esa proyección. En la figura 7.5 en la proyección de perfil existe una línea (dPhP) que se ha dibujado con trazo discontinuo puesto que es invisible y en la proyección vertical la línea (cVgV) también tiene ésta característica; el por qué esas líneas se han dibujado así se explica a por las siguientes reglas que determinan la visibilidad: a) Las líneas exteriores (contorno) de cada proyección serán visibles. b) El vértice o arista del objeto más cercano al observador será visible. c) El vértice o arista que está más alejada del observador estará generalmente oculto, si está dentro del contorno de la proyección. d) La visibilidad de las líneas que se cruzan y son, aproximadamente, equidistantes del observador se determina estableciendo la visibilidad del punto de ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

153

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

cruce. e) Si la paralela correspondiente a un punto de una proyección adyacente no atraviesa ninguna parte de esta proyección dicho punto será visible en la nueva proyección. f) La visibilidad de las líneas internas, de cualquier proyección, está determinada principalmente según la referencia de una proyección adyacente. 7.4 PROYECCIONES AUXILIARES El proceso que se debe seguir para la obtención de las proyecciones auxiliares de cualquier sólido, es similar al seguido para la obtención de una proyección principal cualquiera que ella sea. En la figura 7.6 se dan las proyecciones horizontal y vertical de un sólido y la línea de referencia V/A. Se solicita dibujar la proyección A, adyacente a la proyección vertical dada. cHgH dHhH

L1

bHfH

L

aHeH H V dV

cV

aV

V

L1

L

A

bV

aA bAdA

hV

gV eV

cA

fV eA

fA

hA

gA

Figura 7.6 Proyección auxiliar de un sólido No es necesario empezar el proceso con el encuadre de estas proyecciones como se indicó en la etapa 1 del numeral 7.2, ya que las medidas tomadas sobre las proyectantes limitarán exactamente la proyección correspondiente. ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

154

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

•

Analizar las proyecciones dadas e identificar los puntos que componen el sólido (etapa 2 del numeral 7.2)

•

Desde los puntos ya identificados en la proyección vertical, trazar proyectantes perpendiculares a la línea de referencia dada V/A.

•

Tomar sobre las proyectantes trazadas según el paso anterior, las distancias de la línea de referencia H/V a las proyecciones horizontales de los puntos del sólido y trasladar a las proyecciones solicitadas sobre sus correspondientes proyectantes y a partir de las líneas de referencia dadas. En la figura 7.6 la medida marcada L, tomada desde la línea de referencia H/V hasta la proyección horizontal del punto A (aH), debe trasladarse de la línea de referencia V/A en dirección de las proyecciones A, sobre las proyectantes respectivas trazadas desde aV.

•

Unir en las proyecciones A de los puntos en la misma secuencia en que están unidos en las proyecciones dadas (aA con eA, bA con fA, etc ).

•

Estudiar la visibilidad de las aristas en cada proyección y proceder a dibujarlas de acuerdo con ésta.

En la misma forma se podrían tomar infinito número de proyecciones auxiliares, adyacentes a la proyección vertical. Según la posición de las líneas de referencia, variarán los contornos y la visibilidad de las aristas en cada proyección, pero el mecanismo para obtener la o las proyecciones será siempre el mismo. Observe cómo en la proyección A aparecen siempre las magnitudes tomadas en la proyección horizontal y cómo la distancia de las líneas de referencia a la proyección vertical no varia la obtención correcta de la proyección deseada. En estos ejercicios conviene dibujar con trazo suave las líneas que componen cada proyección, y reteñir cuando se esté seguro de la visibilidad de las aristas en cada dibujo a efectuar. 7.4.1 PROYECCIONES AUXILIARES HORIZONTALES También es posible dibujar proyecciones auxiliares, adyacentes a otra auxiliar. En la figura 7.7 se presenta un sólido y se necesita obtener la serie de proyecciones A y B.

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155

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

cHgH dHhH

bHfH

L1

dB aHeH

L

aB

H

hB

eB

cB

V

aV

V

A

hV

gV eV

L2

fB

A

bV

L2

B

44,43

cV

L3

dV

gB

bB

aA bAdA

fV L3

cA eA

fA

L

L1

hA

gA

Figura 7.7 Proyecciones auxiliares horizontales El proceso para obtener la proyección A ya se conoce. Para la proyección B se sigue uno similar un proceso similar: • • •

Desde los puntos de la proyección A, se trazan perpendiculares indefinidas a la línea de referencia A/B. La medida L2 y todas las demás similares a ella, se trasladan a partir de la línea, de referencia A/B en dirección de la proyección B y sobre las proyectantes correspondientes. Se unen los puntos de la proyección B en la misma secuencia en que están unidos en las otras proyecciones y se estudia la visibilidad de las aristas.

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156

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

7.4.2 PROYECCIONES AUXILIARES VERTICALES En la figura 7.8 se solicita encontrar la proyección auxiliar adyacente a otra auxiliar vertical C. El proceso para la proyección C es el estudiado en el numeral 7.4. A partir de la proyección B se sigue el mismo procedimiento empleado para la obtención de las proyecciones A y B del numeral 7.4.1

L3 BC

L2

hC

dC aC

dB

eC gC

cC

aB hB

eB

bC

fC

gB

bB 44,43

B

cB

L3

A

fB

L3

bAdA

L2

aA cA

eA

fA

hA

gA

Figura 7.8 Proyecciones auxiliares verticales Si se colocan nuevas líneas de referencia adyacentes a las auxiliares de los problemas anteriores se podría continuar hasta el infinito, sin que los procesos estudiados varíen. 7.5 TALLER DE APLICACIÓN

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157

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Dadas las dos proyecciones principales de un sólido (Figura 7.9) se deben obtener las proyecciones auxiliares H/A y A/B según las líneas de referencia indicadas B A

A H

dH

cH

eH

bH

aH H V

eV

aVdV

bVcV

Figura 7.9 Proyecciones principales de un sólido Aplicando lo trabajado en la presente sesión podemos obtener las proyecciones solicitadas. Lo primero que debemos hacer es trazar las proyectantes perpendiculares a la línea de referencia que partan de cada punto en la proyección H. Luego tomamos las distancias que hay desde la línea de referencia H/V hasta cada uno de los puntos A, B, C, D y E y las trasladamos desde la línea de referencia H/A sobre cada proyectante. Ubicados todos los puntos los unimos en la misma secuencia ñeque se encuentran unidos en las proyecciones dadas. Una vez unidos verificamos cuales aristas son visibles y cuales ocultas aplicando las reglas de la visibilidad. Para la siguiente proyección (B) procedemos de igual forma. En la ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

158

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

figura 7.10 se muestran las proyecciones obtenidas aplicando el procedimiento descrito previamente. cB

eB

aB

cB

B dB

A

cA

dAbA A H aA

eA dH

cH

eH

bH

aH H V

aVdV

eV

bVcV

Figura 7.10 Proyecciones auxiliares de un sólido

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159

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

ACTIVIDADES PRELIMINARES EVALUACION FINAL 1. Obtener las proyecciones indicadas para el sólido representado en la siguiente figura:

H V

A V

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160

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

PRUEBA FINAL

Esta autoevaluación le permitirá al estudiante identificar aquellos temas desarrollados a lo largo de cada sesión del módulo que necesita reforzar en su estudio para perfeccionar sus destrezas en el manejo de la Geometría Descriptiva, como herramienta en el diseño de elementos estructurales y en el trazado y localización de vías. 1. Dado el plano 1-2-3 paralelo a la línea XY, complete la proyección vertical del plano y compruebe el paralelismo.

Figura P-1 ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

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2. Teniendo los planos ABC y 1-2-3, los cuales son paralelos, complete la proyección vertical de 1-2-3.

Figura P-2

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

162

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

3. Encuentre la menor distancia (a) horizontal, (b) con ángulo de inclinación de 30°, entre el punto x y el plano 1-2-3. Dibuje las proyecciones de todas las soluciones.

Figura P-3

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163

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

4. Por rotaciones encuentre el plano ABC como un filo.

Figura P-4

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164

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

5. Encuentre las proyecciones faltantes de los puntos X y Y de las líneas A y B en los sólidos dados.

Figura P-5

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165

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

6. Encuentre la intersección de la línea y los cilindros.

Figura P-6 Nota. Problemas tomados y adaptados de GORÓN de León, Gonzalo. Geometría Descriptiva. Grafical “Doncel”. Bogotá 1975.

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166

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PATRON DE RESPUESTAS RESPUESTAS DE LA CONDUCTA DE ENTRADA DE LA SESION 1 a. El ángulo es el espacio comprendido entre dos rectas unidas en un punto llamado vértice. b. Se denomina triángulo a la unión de los segmentos AB, AC y BC. Siempre que A, B y C sean tres puntos cualesquiera no colineales C

A •

•

B

Línea es uno de los términos indefinidos de la geometría. Las líneas se extienden indefinidamente y no tienen ni espesor ni anchura. Las líneas son representadas con flechas en los extremos y se las nombra con letras minúsculas. A veces, una línea se la puede nombrar usando las flechas sobre las letras mayúsculas cuando esta representando dos puntos en la línea. Plano es otro de los términos indefinidos de la geometría. Los planos se extienden indefinidamente en cualquier dirección y no tienen espesor. Un plano esta representado por una figura de cuatro lados y se lo nombra con una letra mayúscula o por tres puntos en el plano que no estén en la misma línea.

RESPUESTAS DE LA EVALUACION DE LA SESION 1 1. Calcula los valores que faltan en la tabla, considerando que a, b y c son los lados de un triángulo cualquiera, y h la altura correspondiente al lado b. a

b

c

h

perímetro

5cm.

14cm

16cm.

8cm.

35cm.

10m. 9cm.

12m2

8m. 12cm.

10cm.

área

6cm.

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31cm.

167

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

2. Figura

Nº de lados

Nº de vértices

Nº de diagonales

Nº de ángulos interiores

Triángulo

3

3

0

3

Cuadrilátero

4

4

2

4

Pentágono

5

5

5

5

Hexágono

6

6

9

6

Nombre

RESPUESTAS A LA CONDUCTA DE ENTRADA DE LA SESION 2 4. Para facilitar el estudio de ésta sesión, el estudiante debe tener claridad en el significado de algunos términos, por ello se debe dar la definición o mejor aún lo que usted entiende por: g) Proporción h) Semejanza i) Polígono j) Area k) División l) Transformación RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DE LA SESIÓN 2 9. La medida del segmento q es 13.33 cm. 10. Las medidas de p y q son 9 cm y 12 cm respectivamente ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

168

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

11. Las medidas de c y d son 16 cm y 16 cm respectivamente 12. La medida de los lados del primer triángulo son 12 m, 15 m y 18 m, y la razón de proporcionalidad es de 3/1. 13. La medida de los lados del primer triángulo son 60 m, 50 m y 20 m, y la razón de proporcionalidad es de 5/1. 14. Los lados del triángulo miden 30 m, 50 m y 100 m. 15. Si el triángulo ABC es semejante con el triángulo PQR entonces: La razón entre los lados correspondientes es: AB/PQ = BC/QR = CA/RP El ángulo CAB es congruente con el ángulo RPQ El ángulo ABC es congruente con el ángulo PQR El ángulo ACB es congruente con el ángulo PRQ 16. a. Verdadero, cumplen con el criterio de semejanza AAA, todos los ángulos miden 60º. b. Falso, aunque tengan dos lados iguales no se asegura ninguna semejanza en el lado desigual de los triángulos isósceles. No cumple con ningún criterio de semejanza. c. Verdadero, hay triángulos rectángulos con sus tres lados diferentes, es decir serían escálenos.

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169

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

RESPUESTAS A LA CONDUCTA DE ENTRADA DE LA SESION 3 Los diferentes tipos de proyección sobre un plano existentes son: • Proyección cónica • Proyección cilíndrica RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DE LA SESIÓN 3 3. Investigue sobre los poliedros regulares existentes, su denominación y características principales. 4. De acuerdo con los tipos de curvas cónicas, identifique en qué área o proceso de la ingeniería Civil se emplean y bajo que características. RESPUESTAS A LA CONDUCTA DE ENTRADA DE LA SESION 4 1. Conceptos básicos: a) Geometría Descriptiva: De acuerdo con su propósito, se puede definir como la ciencia que permite la representación gráfica en superficies bidimensionales, de los problemas del espacio en que intervengan puntos, líneas y planos. b) Plano de Proyección: Es un plano cualquiera Q (Figura 4.1) situado entre el observador y el objeto, sobre el cual se proyectan sus puntos, sus líneas, superficies, etc. c) Proyección de un punto: Es el punto r o s determinado por la intersección de la línea trazada desde el punto real R o S con el plano de proyección Q (Figura 6.1) S R

PLANO DE PROYECCION Q

PROYECTANTE Q

r s

PROYECCION

Figura 4.1 Plano de proyección

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170

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

d) Proyectante: Es la línea Rr o Ss que permite, trazada desde el punto real, proyectarlo sobre el plano de proyección. e) Proyección Ortográfica: Es el sistema de representación que utiliza proyectantes perpendiculares a los planos de proyección. Así por ejemplo, la figura 4.2 representa la proyección ortográfica del punto N del espacio, por cuanto Nn es perpendicular al plano P .

N

PLANODEPROYECCION P

PROYECTANTE n

P

PROYECCION

Figura 4.2 Proyección Ortográfica 2. Elementos básicos: a) Punto: La marca hecha por la punta de un lápiz afilado sobre un papel nos da la idea de un punto. Los puntos los denotamos mediante letras mayúsculas A, B, C. b) Línea recta: Un hilo tenso da la idea de una recta. Una recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos. c) Superficie plana o plano: es aquel en el que si se unen dos puntos cualesquiera del mismo, la recta que los une queda siempre, toda ella, dentro de esa superficie o plano.

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171

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DE LA SESIÓN 4 4. Las proyecciones principales en el sistema europeo para el sólido son:

5. El ángulo de inclinación se obtuvo en la proyección A (38º), el rumbo se mide en la proyección horizontal sobre una línea proyectada en verdadera magnitud (N87ºO) y el tamaño verdadero en una proyección paralela al plano de perfil (proyección B).

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172

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

A 60

pA

20

25

H 35

38°

30

qB Tam año V e rd a d e ro

55

30

V

rV

60

rA

Plano

50

60

rH

B

qA 55

A

H qH

Horizontal

87°

pH

rB qV

pV

6. H A qH

pA

B

qA

A

pH

rH H

rA qB

V pB

rV

rB pV

qV

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

173

pB

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

RESPUESTAS A LA CONDUCTA DE ENTRADA DE LA SESION 5 3. Para establecer las relaciones entre líneas y puntos es necesario conocer las principales características de una línea, por ello es necesario que el estudiante revise y explique a que hacen referencia dichas características, las cuales son: i) Rumbo j) Pendiente k) Magnitud verdadera 4. Algunas de las principales relaciones que se pueden dar entre dos o más lineas son las siguientes: a) Líneas que se cruzan b) Líneas que se cortan c) Líneas paralelas d) Líneas perpendiculares Explique lo que entiende por cada una de éstas relaciones y ejemplifique a partir de un caso real. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DE LA SESIÓN 5 3. Las líneas AB y QR dadas (figura E5.1) en sus proyecciones horizontal y vertical se cruzan, ya que al trazar una tercera proyección se puede apreciar como el aparente punto de intercepción no es el mismo (X) en todas las proyecciones, por ello se establece que en realidad se cruzan.

aH

qH xH

bH

rH

H V

V

bV

P

bP rP

rV

xV

xP qP

qV

aP

aV

Figura E5.1 ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

174

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

4. Las líneas ST y TR son perpendiculares en el espacio. A partir de las proyecciones horizontal y vertical (figura E5.2) de la línea RT y la proyección horizontal de la línea ST, se necesita encontrar la proyección vertical de la línea ST, para que se cumpla la condición de perpendicularidad. sA

13 1,7 7

A 90°

tA

H sH

VM

tH

30

90 40

40

rH

80

rA

H

40

25

V

tV

131,77

rV

sV

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175

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

RESPUESTAS A LA CONDUCTA DE ENTRADA DE LA SESION 6 Es conveniente tener afinzados los conceptos de paralelismo, perpendicularidad, menor distancia, ángulo diedro, penetración, etc, por lo que se solicita que el estudiante realice una breve sintesis de dichos conceptos. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DE LA SESIÓN 6 nC

36 °

C mC

B nB

B

H

mB

° 60

nH

mH

21,61

H

74,86

V nV

ería Tub mV

H A

nA

20°

mA

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176

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

RESPUESTAS A LA CONDUCTA DE ENTRADA DE LA SESION 7 Durante el desarrollo de la temática de ésta sesión se deben trazar proyectantes, líneas de referencia, líneas de contorno y líneas invisibles. Por esto es necesario que el estudiante revise las normas empleadas en la geometría y describas como se debe representar cada tipo de línea. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DE LA SESIÓN 7

H V

A V

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177

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

BIBLIOGRAFIA WELLMAN Leighton, Geometría Descriptiva, Editorial Reverte, Barcelona 1989 SANCHEZ G. Juan Antonio, Geometría Descriptiva, Alfaomega, México 1999. HOLLIDAY DARR Kathryn, Geometría Internacional Thomson Editores

Descriptiva

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

Aplicada,

2ª

edición,

178