Geometría Descriptiva. Tarea 4

Geometría Descriptiva

 Actividad IV

 Juan Luis Hernández Hernández 16-7386

Richard Báez Nagua, María Trinidad Sánchez, RD. 23/09/2017.-

1. Clasifica los polígonos de acuerdo al número de lados. Triángulos

Tienen 3 lados. Cuadriláteros

Tienen 4 lados. Pentágonos

Tienen 5 lados. Hexágonos

Tienen 6 lados.

Heptágonos

Tienen 7 lados. Octágonos

Tienen 8 lados. Eneágono

Tiene los 9 lados. Decágono

Tiene 10 lados.

Endecágono

Tiene 11 lados. Dodecágono

Tiene 12 lados. Tridecágono

Tienen 13 lados. Tetradecágono

Tiene 14 lados

2. Construya polígonos:

con

los

instrumentos

correspondientes

los

siguientes

La construcción de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados así como la de los polígonos obtenidos de los anteriores multiplicando el número de lados por una potencia de dos era conocida ya desde Euclides.  Sin embargo no se había encontrado aún un método para construir ningún otro polígono regular, como el heptágono, ni siquiera se sabía si tal método existía. El primer avance significativo lo consiguió 2000 años después en 1796  Gauss quien demostró que el polígono regular de 17 lados o  heptadecágono era construible con regla y compás.2 Cinco años más tarde desarrolló la teoría de los periodos gaussianos en su libro Disquisitiones arithmeticae. Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la contractibilidad de los polígonos regulares: [...] a fin de poder dividir geométricamente el círculo en N partes, N debe ser 2 o una potencia más alta de 2, o un número primo de la forma 2 m + 1, o el producto de varios números primos de esta forma, o el producto de uno o varios de tales números primos por 2 o por una potencia más alta de 2. En resumen, se requiere que N no incluya factores primos impares que no sean de la forma 2 m + 1 ni algún factor primo de la forma 2 m + 1 más que una vez. Gauss3 Gauss conjeturó que esta condición era también   necesaria,  pero no dio ninguna prueba de esta afirmación. Una demostración completa fue dada por Wantzel (1837).4

 A los números primos de la forma 2 m + 1 se les conoce como  números primos de Fermat.5 Los únicos primos de Fermat conocidos son: F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, y F 4 = 65537 (sucesión A019434 en OEIS)

Por lo tanto los polígonos regulares construibles con regla y compás son aquellos que tienen un número de lados igual a: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, … (sucesión  A003401 en OEIS),

Mientras que los polígonos regulares no construibles con regla y compás son aquellos que tienen un número de lados igual a: 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 2 1, 22, 23, 25, … (sucesión  A004169 en OEIS).

Ejemplos

Las construcciones del triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono regular, el hexágono regular y el pentadecágono regular eran conocidas desde la  antigüedad.6  A partir de los polígonos anteriores es posible construir un polígono regular con el doble de lados biseccionando cada ángulo interior. Por ejemplo, puede construirse un octógono regular a partir del cuadrado. El heptágono regular no puede ser construido con regla y compás 7 pues 7 no es un número primo de Fermat. Tampoco puede ser construido un  eneágono regular pues 9 tiene como divisores dos números primos de Fermat iguales. El heptadecágono o polígono regular de 17 lados puede ser construido con regla y compás8 por ser 17 un número primo de Fermat. A. Triángulo Triángulos

Tienen 3 lados.

Un triángulo, tiene tres lados y tres ángulos. Para construir un triángulo hay que conocer tres de esos datos, siendo al menos uno de ellos un lado. 1.- Construcción de un triángulo conociendo los tres lados. El proceso de construcción se muestra en la figura: 





1.- Se representa un segmento de medida igual al primer lado. 2.- Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia de radio el valor del segundo y tercer lado. 3.- El triangulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias.

Recuerda que para poder realizar la construcción la medida de cada lado ha de ser menor que la suma de los otros dos B. Eneágono

Geometría, un eneágono o nonágono, de "9" lados es un polígono de nuevelados y nueve vértices. El nombre proviene del griegoenneagonon, (εννεα, nueve + γωνον, esquina), mientras que nonágono proviene del latín (nonus, nueve + gonon). Eneágono

Tiene los 9 lados C. Cuadrado Un cuadrado en geometría plana es un cuadrilátero regular; esto es una figura del plano con sus cuatro lados iguales, y sus cuatro ángulos que son de 90º. Sus dos únicas diagonales son de igual longitud y perpendiculares entre sí. Tiene 4 ejes de simetría, cuya intersección es el centro de la figura; dos ejes que pasan por cada par de lados opuestos; otros dos que pasan por vértices opuestos de la figura . 123 En algunas fuentes consideran el cuadrado como un rectángulo de cuatro lados iguales o un rombo de con un ángulo recto. O un cuadrado es un cuadrilátero de cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales.

Tienen 4 lados.

Pentágono

En geometría,  se denomina pentágono  (del griego πεντάγωνον, de πέντε  pénte "cinco" y γωνία gōnía "ángulo") a un polígono de cincolados y cinco vértices. Un pentágono regular   es aquél que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes. 

Cada ángulo interno mide 108 grados o

radianes.

Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º. Pentágono

Tienen 5 lados. Fórmula para calcular los ángulos interiores

La suma de los ángulos internos de un pentágono es de 540°. La fórmula general para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono regular (en el caso del pentágono n = 5) es:

El ángulo comprendido entre dos lados de un pentágono regular se puede calcular mediante la siguiente fórmula (en el pentágono, n = 5):

Construcción de un pentágono regular

Podemos construir con regla y compás un pentágono regular,  inscrito en una circunferencia (véase la figura) de la siguiente manera: Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO. Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los vértices del pentágono regular.

Endecágono

Endecágono

Tiene 11 lados. En geometría, un endecágono o undecágono  es un polígono de 11lados y 11 vértices. Propiedades

Un endecágono tiene 44  diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, ; siendo el número de lados

, tenemos:

La suma de todos los ángulos internos de cualquier endecágono es 1620  gradosó radianes. Endecágono regular

Un endecágono regular  es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internosiguales.  Cada ángulo interno del endecágono regular mide 147,27º periodo o exactamente

rad. Cada ángulo externo del

endecágono regular mide aproximadamente 32,73º ó exactamente

rad.

Para obtener el perímetroP de un endecágono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por once (el número de lados n del polígono).

El áreaA de un endecágono regular puede calcularse a partir de la longitud t de uno de sus lados de la siguiente forma:

Donde es la constante pi y

es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud de la  apotemaa del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

Dodecágono En geometría, un dodecágono   es un polígono de 12lados y 12 vértices. Propiedades

Un dodecágono tiene 54  diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, ; siendo el número de lados

, tenemos:

La suma de todos los  ángulos internos de cualquier dodecágono es 1800  gradosó radianes. Dodecágono regular Dodecágono

Tiene 12 lados

Un dodecágono regular  es un dodecágono con igual longitud en todos sus lados y cuyos ángulos internos tienen todos la misma medida:  150º ó ángulo externo del dodecágono regular mide 30º ó

rad. Cada

rad.

 Al multiplicar la longitud t de un lado de un dodecágono regular por doce (el número de lados n del polígono) obtendremos la longitud de su  perímetroP.

El áreaA de un dodecágono regular se puede calcular a partir de la longitud t de uno de sus lados de la siguiente forma:

donde

es la constante pi y

es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud de la  apotemaa del polígono, otra alternativa para esto es:

También se puede saber el área a través de la fórmula:

donde r  es el radio del círculo circunscrito al dodecágono. Construcción de un dodecágono regular

Este polígono regular se puede construir con un compás y con una regla. La siguiente animación son los 23 pasos a realizar, a tener en cuenta que desde el paso 8 al 11, no se modifica el radio del compás. I) Traza todas las diagonales posibles a los siguientes polígonos:

a) b) c) d)

Heptágono Cuadrado Decágono Eneágono

e)  Dodecágono

IV) Determine el número de diagonales que se pueden trazar desde uno y desde todos los vértices en un polígono de 57 lados. (n-3)n/2 (57-3)57/2 3,078/2=1,539 diagonales

V) Traza una región poligonal convexa

VI) Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras coloreadas.

a)

b)

Es el numero dos

VII) Calcula el lado y la apotema de un cuadrado circunscrito en una circunferencia de 3 cm de radio.

L=2r=2(3) =6

a=r=3

IX) Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.

Continua en la hoja siguientes

X) Halla la suma de todos los ángulos internos del polígono cóncavo. XI) ¿Qué polígono tiene 9 diagonales? Hexágonos (N-3)N/2= (6-3)6/2=9 XII) - Halla el ángulo interno del polígono regular cuyo ángulo central es de 45º. XIII) Como se llama el polígono en el que la suma de sus ángulos internos y externos es 1800º. Dodecágono

(N-2)180=-(12-2)180=1,800 XIV Cuanto suman los ángulos del polígono que tiene catorce diagonales. XV) ¿En qué polígono la suma de los ángulos internos es 540º? Pentágono Formula (n-2)180 Resultado (5-2)180=540

XVI) Determine la suma de las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un pentadecágono. ANGULOS EXTERIORES 360/N = 360/15=24 ANGULOS INTERIORES L1 (N-2)180/15 =L15 (15-2)180/15 =156 XVII) El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un polígono regular es 11. ¿Qué polígono es? Tetradecagono Formula (n-3) Resultado (14-3)=11 XVIII) Compruebe de dos formas diferentes que la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono regular es 360º, use como referencia un octágono y un dodecágono. Formula y resultado 360/n =360/8=45 360/n=360/12=30 XIX) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular es 2520. ¿Qué polígono es? Hexadecagono Formula y resultado (n-2)180 (16-2)180=2520

XX) A un dodecágono regular. Determine: a) Número de diagonales desde un vértice.

D=(N-3)=(12-3)=9

b) Número de diagonales desde todos los vértices.

D=(N-3) N/2 = (12-3)12/2=54 c)

La suma de las medidas de los ángulos interiores.

(N-2)180 = (12-2)180=1,800 d) La medida de un ángulo exterior. 360/N = 360/12=30

e) La medida de un ángulo interior. L1=(N-2)180/N L12= (12-2)180/12

XXI) Escriba 7 aplicaciones de los polígonos en el mundo real.

Ejemplo 1 Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.

Ejemplo 2 Un edificio 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

Ejemplo 3. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

Ejemplo 4. Tres pueblos A, B y C están unidos por rutas. La distancia de A a C es de 6 km y la de B a C de 9 km. El ángulo que forman estas rutas es 120°. ¿A qué distancia se encuentran A y B?