Geometria Descriptiva Aplicada a La Industria

GEOMETRIA DESCRIPTIVA APLICADA A LA INDUSTRIA HISTORIA Uno de los grandes avances, se debe al matemático francés Gaspard Monge (1746-1818). Nació en Beaune y estudió en las escuelas de Beaune y Lyon, y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases de geometría descriptiva durante más de diez años. Es considerado el inventor de la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite representar sobre una superficie bidimensional, las superficies tridimensionales de los objetos. Hoy en día existen diferentes sistemas de representación, que sirven a este fin, como la perspectiva cónica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizás el más importante es el sistema diédrico, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799.

SISTEMA AMERICANO

SISTEMA EUROPEO

DEFINICION  1−) Proyección ortogonal: la proyección que se obtiene al utilizar las líneas de mira paralelas que forman 90 grados con un plano de imagen.  2−) Plano de imagen: El plano es perpendicular a las líneas de mira. Este plano esta localizado entre el ojo del observador y el objeto que esta siendo mirado.  3−) Línea de mira: La trayectoria desde el ojo del observador hasta un punto particular sobre el objeto. Estas líneas de mira son paralelas.  4−) Plano horizontal: Un plano de imagen cuyos puntos están todos a la misma elevación. La parte superior o vista de planta se determina por la proyección del objeto sobre este plano. Las líneas de mira para este plano son verticales y por lo tanto perpendiculares a él.  5−) Plano frontal: Un plano de imagen a 90 grados con los planos horizontal y de perfil. La vista de elevación es determinada por la proyección del objeto sobre este plano. Las líneas de mira para este plano frontal son horizontales y por tanto perpendiculares a él.  6−) Plano de perfil: Un plano de imagen en ángulo recto con los planos horizontales y frontal. Las vistas de elevación derecha e izquierda son determinadas por la proyección del objeto sobre este plano. Las líneas de mira para este plano de perfil son horizontales y por lo tanto perpendiculares a él.

 7−) Línea de pliegue o línea plano de referencia: La línea formada por la intersección de dos planos de imagen. Se representa por medio de una línea larga, dos líneas cortas y luego otra línea larga.  8−) Vista de elevación: Cualquier vista ortogonal para la cual las líneas de mira son horizontales y perpendiculares al plano de imagen. Puede ser proyectada de una vista de planta, de otras vistas de elevación o de vistas inclinadas. Cualquier vista proyectada de la vista de planta debe ser una vista de elevación.  9−) Vista inclinada: Cualquier vista ortogonal para la cual las líneas de mira no son ni horizontales ni verticales. Puede ser proyectada de una vista de elevación o de otras vistas inclinadas pero nunca de una vista de planta.  10−) Línea: La trayectoria de punto que se mueve.  11−) Línea recta: La trayectoria de un punto que se mueve, avanzando siempre en la misma dirección. Una línea que tiene una longitud definida es determinada por sus extremos.  12−) Línea de nivel: Una línea paralela al plano de la imagen horizontal y por tanto tiene todos sus puntos a la misma elevación. Aparecerá en su longitud verdadera en la vista de planta.  13−) Línea frontal: una línea inclinada que se traza paralela al plano de la imagen frontal. La línea debe verse siempre en su longitud verdadera en la vista frontal, ya se trate de una línea de nivel, de una línea vertical o de una línea inclinada.  14−) Línea de perfil: una línea inclinada que se traza paralela al plano de imagen de perfil. La línea debe mostrarse siempre en su longitud verdadera en la vista de perfil.

 15−) Línea vertical: Una línea que es perpendicular a un plano de nivel. Aparecerá en su longitud verdadera en cualquier vista de elevación.  16−) Línea inclinada: Una línea que no es ni vertical ni horizontal pero que puede aparecer en su longitud verdadera en el plano frontal o en un plano de perfil. No puede aparecer nunca en su longitud verdadera en la vista de planta.  17−) Línea oblicua: Una línea que es inclinada con respecto a los tres planos principales. No puede aparecer nunca en su longitud verdadera en ninguno de los tres planos principales.  18−) Curva de nivel: Una línea recta o curva utilizada en dibujos topográficos, que localiza una serie de puntos a la misma elevación. Por tanto una curva de nivel es un línea de nivel.  19−) Rumbo: El ángulo medido en la vista de planta entre una línea cualquiera y una línea trazada de norte a sur. El rumbo se puede establecer únicamente en la vista de planta y no se afecta por el hecho de que la línea sea de nivel o inclinada.  20−) Vista normal de una línea o un plano: La vista que muestra la longitud verdadera de una línea o las dimensiones verdaderas de un plano. La vista normal de un plano muestra la amplitud verdadera de cualquier ángulo formado sobre el plano y la longitud verdadera de cualquier línea perteneciente al plano.  21−) Pendiente de una línea: Tangente del ángulo que forma una línea con un plano horizontal. Deben satisfacerse dos condiciones para determinar la pendiente de una línea :Primera, la línea debe ser mostrada en una vista de elevación; Segunda, la línea debe aparecer en su longitud verdadera en vista de elevación. Nota: Una vista inclinada puede mostrar la longitud verdadera de una línea; pero no puede mostrar la pendiente verdadera de la línea porque un plano horizontal no puede aparecer como un filo en la vista inclinada

UBICACIÓN DE UN PUNTO EN EL ESPACIO  Todo punto queda definido en el espacio mediante tres dimensiones : altura, ancho y profundidad.  Con el incremento del uso y la capacidad de los sistemas de diseño y producción asistidos por computadoras( CAD/CAM), es necesario comprender cabalmente el sistema coordenado de tres ejes empleado en la manufactura

UBICACIÓN DE UNA RECTA EN EL ESPACIO  Con el incremento del uso y la capacidad de los sistemas de diseño y producción asistidos por computadoras( CAD/CAM), es necesario comprender cabalmente el sistema coordenado de tres ejes empleado en la manufactura

RECTAS En geometría descriptiva existen varios tipos de rectas. Antes de intentar resolver la mayoría de los problemas de geometría descriptiva, debe determinarse el tipo de recta. En construcción y en ingeniería es necesario conocer la longitud real, la orientación, la pendiente y la vista como un punto de una recta, la cual puede representar la longitud de una tubería, un cable de sujeción, una carretera, el eje de una mina, etc.

 INGENIERIA CIVIL

 GRUAS

 INDUSTRIA



DETALLES CONSTRUCTIVOS

CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA Existen cuatro casos característicos cuando se tienen dos rectas:



 Son paralelas  Son perpendiculares  Se intersecan  Son oblicuas



OBLICUAS



SE INTERSECAN

 PARALELAS

 PERPENDICULARES

PROYECCIONES AUXILIARES Algunas veces es necesario ver objetos desde diferentes ángulos. Las proyecciones obtenidas sobre cualquier plano de proyección diferente de los planos principales reciben el nombre de proyecciones auxiliares. La mayoría de los dibujos industriales requiere dimensiones, las rectas o planos no deben ser dimensionados a menos que aparezcan en magnitud real en esa protección particular.

PLANOS Los planos conforman casi todos los objetos y están presentes en muchos problemas de ingeniería. Los principios básicos que involucran planos son aplicables en muchos de los campos de la industria. Es importante establecer cuando, donde, porque y como se determina la proyección como filo de un plano , la forma verdadera, la orientación, la pendiente y la dirección de la pendiente de un plano.

 INCLINADO

 HORIZONTAL

 HORIZONTALES, VERTICALES E INCLINADOS

SISTEMA DIÉDRICO.- CAMBIOS DE PLANO, GIROS Y ÁNGULOS. Cambios de plano.Los cambios de planos de proyección consisten en tomar o elegir otros planos de proyección de forma que los elementos que estamos proyectando presenten una posición más favorable, como puede ser de paralelismo o perpendicularidad en relación con los nuevos planos. Los planos de cambió uno por uno y no los dos a vez, si cambiamos el PV por ejemplo se tiene que determinar la nueva proyección sobre éste manteniéndose fija la proyección horizontal. Los planos tienen que seguir siendo perpendicular entre ellos. Notación: Para indicar cuál es el plano que se cambia, se coloca en la nueva línea de tierra una llave con las letras V y H y ponemos en la letra del plano que se cambia un 1 como subíndice, por ejemplo si cambiamos el plano vertical ponemos V1 H y en la nueva LT en vez de un trazo dos trazos y así sucesivamente con los nuevos cambios. Ejemplo; cambio del horizontal V H1 seguidamente cambio del vertical V2 H1.

Nuevas proyecciones de un punto al cambiar un plano de proyección. Sea el punto P que tiene por proyecciones sobre los planos PH y PV los puntos P’ y P’’. Tomemos un nuevo plano vertical PV1 que sigue siendo perpendicular al PH. Las nuevas proyecciones serán: - La proyección horizontal P’ sigue siendo la misma, pues el PH no cambia.

- La proyección vertical en nueva P1’’ que está en la perpendicular por el punto P al nuevo plano vertical PV1 y a la nueva LT, pero la cota del mismo no cambia es decir P’’N= P1’’M. En el sistema diédrico se procede de la siguiente forma: Tenemos el punto P’-P’’ con los planos PV y PH, queremos realizar un cambio de plano vertical. 1º.- Elegimos una LT nueva y la denominamos con dos trazos que nos indicaran la situación del plano horizontal y el sentido positivo del alejamiento. Se denomina como vemos con una llave en la LT primera se pone V y H, en la que se realiza el primer cambio en este caso como cambiamos el vertical con V1 y H. 2º.- Por P’ trazamos una perpendicular a la nueva LT P’-M, sobre la perpendicular llevamos la cota P’’-N= P1’’-M. Como la cota primera es positiva se encuentra por encima de la LT, en la nueva LT se lleva por encima pues ya comentamos que los trazos indican el sentido positivo y negativo. - La proyección horizontal P’ sigue siendo la misma, pues el PH no cambia. - La proyección vertical nueva es P1’’ que está en la perpendicular por el punto P’ a la nueva LT, pero la cota del mismo no cambia es decir P’’-N= P1’’-M. Si el cambio de plano es el horizontal se procede de la forma siguiente: Tenemos el punto P’-P’’ con los planos PV y PH, queremos realizar un cambio de plano horizontal.

Nuevas proyecciones de una recta al cambiar un plano de proyección. Como una recta esta determinada por dos puntos, el problema se resuelve cambiando las proyecciones de dos de sus punto cualesquiera. Por un cambio de plano, una recta oblicua se puede poner horizontal o frontal de plano, según sea el plano PH o el PV el que cambiemos respectivamente. Por un cambio de plano, una recta horizontal se puede poner perpendicular al PV, cambiando el PV o una recta frontal se puede poner perpendicular al PH cambiando el PH. Por lo que combinando los cambios de planos sucesivos podemos poner una recta de la forma que nosotros deseemos o necesitamos.

Nuevas proyecciones de un plano al cambiar un plano de proyección. Tenemos el plano oblicuo α (α1-α2) y queremos transformarlo en proyectante horizontal. El plano que tenemos que cambiar es el PH, para que la traza vertical del plano no cambie. 1º.- Elegimos una nueva LT que sea perpendicular a la traza vertical α2. 2º.- Por el punto de corte de las LT trazamos una perpendicular a la LT primitiva que nos determina el punto P’-P’’ que pertenece al plano α (α1-α2). 3º.- La proyección vertical del punto P’’ no varía por ser un cambio de plano horizontal, la proyección horizontal P’ tiene que estar perpendicular a la nueva LT y mantener el mismo alejamiento. Trazamos una perpendicular a la nueva LT, hacemos

centro en P’’ y radio P’’-P’ el (alejamiento) trazamos el arco de circunferencia que corta a la perpendicular a la nueva LT en P1’ 4º.- Unimos P1’ con el punto de corte de α2 con la LT nueva y determinamos α1’, la traza α2 no cambia y se transforma en α’2 perpendicular a la nueva LT.

Giros Los giros nos permiten colocar puntos, rectas, planos y cuerpos en una posición más favorable, respecto a los planos de proyección. La diferencia fundamental con relación a los cambios de plano, es que en los giros los que cambian son los elementos a proyectar, (puntos, rectas, planos y cuerpos) permaneciendo fijos los planos de proyección. Consideramos el giro circular. Los giros se hacen tomando como ejes de rotación, rectas perpendiculares a los planos de proyección. Con lo que cada punto describe una circunferencia que está en un plano perpendicular al eje de giro (paralelo a un plano de proyección) y el centro de la citada circunferencia se encuentra en la intersección del eje con el plano de la circunferencia, siendo el radio de la misma la distancia del punto al eje. Por lo tanto lo primero que debemos hacer es elegir el eje de giro, para lograr el resultado adecuado.

Giro de un punto. Tenemos un punto P (P’-P’’) en el espacio y un eje de giro e (e’-e’’) .El eje de giro es una recta perpendicular al PH. Vamos a girar el punto P alrededor del eje e. Situamos un plano α paralelo al PH que pase por el punto P (la traza α2 pasa por P’’) el punto P describe una circunferencia sobre el plano α, de centro O y radio OP. La circunferencia se proyecta en verdadera magnitud sobre el PH y sobre el PV según la traza α2 del plano. Si giramos el punto un ángulo determinado hasta que tome la posición P1, las nuevas proyecciones del punto serán P’1-P’’1.

Giro de un punto sobre un eje perpendicular al PH. Vemos como se realiza en el sistema diédrico el giro de un punto. Sea el punto P (P’-P’’) y el eje e (e’-e’’) vemos a girar el punto un ángulo A. Por P’’ trazamos un plano α que pase por P en lo sucesivo trazamos una recta paralela a LT (α2 pasa por P’’). Con centro en e’ trazamos una circunferencia de radio e’-P’1 el punto P’ se desplaza por la circunferencia y P’’ por la traza α2 trazamos el ángulo A y se determina la nueva posición horizontal de P que resulta P’1. Por P’1 trazamos una perpendicular a LT que nos determina P’’1 que es la nueva proyección vertical de P. 30.2.1.2. Giro de un punto sobre un eje perpendicular al PV. Veamos ahora como se realiza el giro de un punto sobre un eje perpendicular al plano PV. Sea el punto P (P’-P’’) y el eje e (e’-e’’) vemos a girar el punto un ángulo A. Por P’ trazamos un plano α que pase por P en lo sucesivo trazamos una recta paralela a LT (α1 pasa por P’). Con centro en e’’ trazamos una circunferencia de radio e’’-P’’1el punto P’’ se desplaza por la circunferencia y P’ por la traza

α1, trazamos el ángulo A y se determina la nueva posición vertical de P que resulta P’’1. Por P’’1 trazamos una perpendicular a LT que nos determina P’1 que es la nueva proyección horizontal de P.

Giro de una recta. Lo primero que tenemos que estudiar según el resultado que queremos obtener, que eje debemos elegir.

Girar una recta oblicua hasta colocarla frontal. Suponemos que el eje de giro corta a la recta. Sea la recta r (r’-r’’) y tomemos el eje e (e’-e’’) que corta a la recta en el punto 1(1’-1’’). 1.- Tomamos un punto de la recta r por ejemplo la traza horizontal Hr. 2.- Por e’ trazamos r’1 paralela a LT. 3.- Trazamos un arco de circunferencia de centro e’ y radio e’-Hr, que corta a la paralela r’1 en la nueva traza horizontal H’r. 4.- Unimos el punto 1’’ con el punto de la LT de la nueva traza horizontal y obtenemos r’’1. 5.- También podíamos girar la recta en el otro sentido y obtener otra solución.

Girar una recta oblicua hasta colocarla horizontal. Suponemos que el eje de giro corta a la recta. Sea la recta r (r’-r’’) y tomemos el eje e (e’-e’’) que corta a la recta en el punto 1(1’-1’’). 1.- Tomamos un punto de la recta r por ejemplo la traza vertical Vr. 2.- Por e’’ trazamos r’’1 paralela a LT. 3.- Trazamos un arco de circunferencia de centro e’’ y radio e’’-Vr, que corta a la paralela r’’1 en la nueva traza vertical V’r.

4.- Unimos el punto 1’ con el punto de la LT de la nueva traza vertical y obtenemos r’1. 5.- También podíamos girar la recta en el otro sentido y obtener otra solución.

Giro de un plano. Un plano se puede girar alrededor de un eje que sea perpendicular a uno de los planos de proyección, hasta colocarlo en la posición deseada. Sea el plano α (α1-α2) que vamos a girarlo alrededor de un eje e (e’e’’) perpendicular al PH, un ángulo cualquiera. 1.- Hallamos la intersección del eje con el plano α (α1α2) para lo que hacemos pasar un plano proyectante que es paralelo al PV, la intersección de los dos planos es la recta frontal f (f’-f’’) que corta al eje en el punto 1’-1’’. Este punto permanece fijo es decir no se mueve por ser un punto del eje. 2.- Giramos ahora la traza horizontal α1, para lo que trazamos desde e’ una perpendicular a la traza horizontal α1, giramos la perpendicular con la traza como si fueran lo mismo el ángulo deseado A tomando la nueva posición α’1 de traza horizontal del plano girado. 3.- Por el punto 1’-1’’ trazamos la recta horizontal del nuevo plano h’-h’’ que nos determina la traza Vh por la que tiene que pasar la traza vertical del nuevo plano. 4.- Unimos Vh con el punto de corte de α1 con la LT y obtenemos la nueva traza vertical α2 del plano.

INTERSECCIONES 1. Entre una recta y un punto: Vivimos en un mundo de objetos tridimensionales, constituidos por rectas y planos. La relación entre estos elementos es muy importante para la manufactura. Por ejemplo, para cortar los tubos de un marco de bicicleta debe determinarse la forma, o intersección, donde dos piezas se encuentran. Encontrar el punto de penetración entre una recta y un plano es el elemento básico en muchos problemas de geometría descriptiva; y puede considerarse tan importante como las cuatro proyecciones fundamentales  Aplicaciones en la construcción:

2. Entre 2 planos: Uno de los problemas más comunes encontrados en la geometría descriptiva es el determinar la línea de intersección de dos planos. La intersección entre dos planos oblicuos cualesquiera es una línea recta, común a los dos planos, esto es esencial en el diseño y manufactura de piezas para saber dónde se encuentran  Aplicaciones en la industria de la construcción:

3. Entre una recta y un solido

 Aplicaciones en la industria:

4. Entre 2 solidos: Es importante analizar los tipos más comunes de intersecciones de superficies que tienen mayor probabilidad de ser útiles al ingeniero, entre estas tenemos:  Cono y Cilindro  Cilindro y prisma  Prismas  Cilindros

 Aplicaciones a la industria metal-mecanica:

 Aplicaciones al diseño mecanico:

 Aplicaciones en las tuberías: