GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN

1

GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.

Super…cie engendrada al girar una elipse situada en el plano OZY alrededor del eje OZ.

1.1

Ecuaciones paramétricas: ! ! X = OP = (a:cosu:cosv; a:cosu:senv; b:senu)

(1)

x = a:cosu:cosv y = a:cosu:senv z = b:senu

(2) (3) (4)

u; v son parámetros independientes a semieje mayor b semieje menor Una relación funcional f (u; v) = 0 determina una curva sobre la super…cie. f (u; v) u u0 = 0 representa, junto con las ecuaciones paramétricas, la circunferencia determinada por la intersección del elipsoide con el plano z = bsenu0; un paralelo.

1

f (u; v) v v0 = 0 representa, junto con las ecuaciones paramétricas, una elipse determinada por la intersección del elipsoide con el plano y tanv0 x = 0. El eje OZ es un eje de simetría de esta elipse.

1.2

Ecuación cartesiana.

Eliminando los parámetros u y v, resulta la ecuación y2 z2 x2 + 2 + 2 =1 2 a a b

(5)

Se de…ne el achatamiento f f = (a

b=a = 1

b = (1

b)=a

(6)

f

(7)

f )a

(8)

b2 )=a2

(9)

f2

(10)

El cuadrado de la excentricidad e e2 = (a2

e2 = 2f

El cuadrado de la segunda excentricidad e0 e02 = (a2

e2 = (1

b2 )=b2

f )2 e02

(11)

(12)

La excentricidad lineal E (distancia focal) E=

p a2 2

b2 = ae

(13)

1.3

Vector tangente a una curva sobre el elipsoide.

Si f (u; v) = 0 de…ne una curva sobre el elipsoide x2 =a2 + y 2 =a2 + z 2 =b2 = 1, sea ! X = (x; y; z) el vector de posición de un punto P de esta curva, un vector en la ! dirección de la tangente a la curva en el punto P , dX, es ! ! ! dX = X u du + X v dv

fu du + fv dv = 0

(14)

,

1.4

Longitud de un arco elemental de curva ds ! ! ! ! ! ! ds2 = dX:dX = (Xu du + Xv dv):(Xu du + Xv dv)

(15)

! ! ! ! ! ! ds2 = (Xu :Xu )du2 + 2(Xu :Xv )dudv + (Xv :Xv )dv 2

(16)

ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2

(17)

Esta expresión se denomina Primera Forma Cuadrática Fundamental de la super…cie y de…ne una métrica sobre ella. En el caso de la representación paramétrica, resulta ! Xu = ( a:senu:cosv; a:senu:senv; b:cosu)

(18)

! Xv = ( a:cosu:senv; a:cosu:cosv; 0)

(19)

E F G

! ! (Xu :Xu ) = a2 sen2 u + b2 cos2 u ! ! = (Xu :Xv ) = 0 ! ! = (Xv :Xv ) = a2 cos2 u =

ds2 = (a2 sen2 u + b2 cos2 u)du2 + a2 cos2 udv 2

3

(20) (21) (22)

(23)

Longitud de un arco de curva entre dos puntos

s=

Z

(Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 )1=2

(24)

con las condiciones fu du + fv dv = 0, f (u0 ; v0 ) = 0, f (u1 ; v1 ) = 0

1.5

Vector unitario tangente a una curva.

Cuando el parámetro que de…ne la curva es la longitud del arco s,

u = u(s) v = v(s), ! ! de la identidad ds2 = dX:dX resulta ! ! (dX=ds):(dX=ds) = 1;

!! t:t =1

(25) ! llamando t = dX=ds , el vector tangente es un vector unitario cuando el parámetro que de…ne la curva es la longitud del arco.

1.6

Curvatura de una curva contenida en la super…cie.

! El vector curvatura k se de…ne por

! ! dt !0 k= = t ds

(26)

!! de la identidad t : t = 1, !! !! !! !! sigue t : t0 + t0 : t = 0 ) t : t0 = 0 , t :k = 0 ! ! ! Los vectores tangente t y curvatura k son perpendiculares. El vector k ! está contenido en un plano perpendicular a t . ! ! ! k = kn + kg

4

(27)

! ! kn se denomina curvatura normal y es la proyección del vector k sobre la normal a la super…cie. ! ! kg se denomina curvatura geodésica y es la proyección del vector k sobre el plano tangente a super…cie.

1.7

Dirección de la normal a la super…cie en un punto.

! Los vectores x! u , xv están contenidos en el plano tangente al elipsoide. Sí los ! 6= 0: En este caso, el parámetros u y v son independientes, entonces x! x u v ! ! producto vectorial xu xv de…ne la dirección de la normal a la super…cie en el punto (u; v). El vector unitario normal ! ! = xu n s ! jxu

! x v ! xv j

(28)

Sí consideramos la ecuación cartesiana f (x; y; z) = 0, la ecuación del plano tangente en un punto (x0 ; y0 ; z0 ) es

fx (x

x0 ) + fy (y

y0 ) + fz (z

Un vector en la dirección de la normal es:

z0 ) = 0

(29)

(fx ; fy ; fz ):

En el caso del elipsoide de revolución, resulta fx = 2x=a2

fy = 2y=a2

fz = 2z=b

(30)

Las ecuaciones de la recta normal al elipsoide de revolución son x x0 y y0 z z0 = = x0 =a2 y0 =a2 z0 =b2

1.8

(31)

Posición relativa de las normales en dos puntos del elipsoide de revolución.

Sea las ecuaciones de las normales

x x0 y y0 z z0 = = x0 =a2 y0 =a2 z0 =b2 5

(32)

x x1 y y1 z z1 = = x1 =a2 y1 =a2 z1 =b2

(33)

en los puntos P (x0 ; y0 ; z0 ) yQ(x1 ; y1 ; z1 ) La posición relativa depende del valor del determinante x0 =a2 y0 =a2 z0 =b2 x1 =a2 y1 =a2 z1 =b2 = (z1 z0 )(x0 y1 y0 x1 )(1 a2 =b2 )=a4 x1 x0 y1 y0 z1 z0 que será distinto de cero siempre que lo sean los factores (z1 z0 ) , (x0 y1 y0 x1 ). En general, las normales al elipsoide de revolución en dos puntos P y Q son rectas que se cruzan. Sí z1 z0 = 0, los dos puntos están situados en el mismo paralelo. Sí x0 y1 y0 x1 = 0, , x0 =x1 = y0 =y1 , los dos puntos están situados en un plano que contiene al eje OZ, es decir, sobre un mismo meridiano. Las normales en dos puntos diferentes del elipsoide de revolución son rectas que, en general, se cruzan salvo que los puntos estén situados en un mismo meridiano o en un mismo paralelo. En el caso de la esfera, a = b, y el determinante es idénticamente nulo. En la esfera todas las normales se cortan en un punto, el centro de la esfera.

1.9

Intersección de la normal al elipsoide con el eje OZ .

Es la solución del sistema de ecuaciones

x x0 y y0 z z0 = = x0 =a2 y0 =a2 z0 =b2 x = 0 y = 0 z

z0 =

(34) (35) (36)

z0 a2 =b2

z = z0 (1

a2 =b2 ) =

6

z0 e02

(37)

1.10

Secciones normales recíprocas.

Dados dos puntos P y Q del elipsoide de revolución. El plano determinado por la normal en P y el punto Q, corta al elipsoide según una curva que se denomina sección normal, PQ. Siendo P el punto que de…ne la normal y Q el otro extremo. Análogamente la sección normal QP es otra curva, en general, diferente ya que las normales son rectas que cruzan. El camino de P a Q según la sección normal con origen en P, es diferente del camino de Q a P según la sección normal con origen en Q, salvo que P y Q estén en el mismo meridiano o en el mismo paralelo. Las secciones normales PQ y QP se denominan secciones normales recíprocas.

1.11

Coordenadas geodésicas.

Tomando como nuevos parámetros: El ángulo que forma la normal por el punto P con el plano XOY . El ángulo diedro que forma el plano P OZ con el plano XOZ tomado en sentido contrario al de las agujas del reloj. Sea N la distancia entre el punto P y el punto de corte de la normal al elipsoide que pasa por P y el eje OZ. Esta distancia se denomina gran normal. Si P 0 es la proyección del punto P del elipsoide sobre el plano XOY , entonces OP 0 = N:cos

7

(38)

x = N:cos :cos y = N:cos :sen z = N sen ze02

(39) (40) (41)

z(1 + e02 ) = N sen ;

Como

e2 )sen

z = N (1

(42)

Sustituyendo x; y; z en la ecuación x2 y2 z2 + + =1 a2 a2 b2 N 2(

cos2 (1 + 2 a

N 2 (cos2 + (1

e2 )2 sen2 )=1 b2 2 a e2 )2 sen2 2 ) = a2 , b

a2 =b2 = (1 e2 ) 1 N 2 (cos2 + (1 e2 )sen2 ) = a2 N 2 (1 e2 sen2 ) = a2

N = a(1

e2 sen2 )

1=2

a

=p

1

e2 sen2

(43)

Las ecuaciones paramétricas del elipsoide de revolución, utilizando las coordenadas geodésicas, y , son

acos cos =p 1 e2 sen2 acos sen = acos sen (1 e2 sen2 ) 1=2 = p 1 e2 sen2 a(1 e2 )sen = a(1 e2 )sen (1 e2 sen2 ) 1=2 = p 1 e2 sen2

x = acos cos (1 y z

e2 sen2 )

8

1=2

(44) (45) (46)

1.12

Vector unitario de la dirección de la normal en un punto P en coordenadas geodésicas.

Teniendo en cuenta fx = 2x=a2 sulta

fy = 2y=a2

fz = 2z=b2

(x=a2 ; y=a2 ; z=b2 ) = (N cos cos =a2 ; N cos sen =a2 ; N (1

, re-

e2 )sen =b2 ) =

N=a2 (cos cos ; cos sen ; sen ) El vector unitario es n! S = (cos cos ; cos sen ; sen )

1.13

(47)

Expresión de la primera forma cuadrática fundamental del elipsoide de revolución en coordenadas geodésicas.

Al considerar como parámetros

y ,

ds2 = Ed

E = (X :X )

X = (N cos cos

2

+ 2F d d + Gd

F = (X :X )

N sen cos ; N cos sen

2

G = (X :X )

N sen cos )2 +(N cos sen

9

(49)

N sen sen ; (1 e2 )(N sen +N cos )) (50)

X = ( N cos sen ; N cos cos ; 0)

E = (N cos cos

(48)

(51)

N sen sen )2 +(1 e2 )2 (N sen +N cos )2 (52)

E = (N cos

N sen )2 + (1

e2 )2 (N sen + N cos )2

(53)

E = (N cos

N sen )2 + (1

e2 )2 (N sen + N cos )2

(54)

N cos

N sen = asen (e2

1)(1

N sen + N cos = acos (1

E = a2 (1

e2 )2 (1

e2 sen2 )

e2 sen2 )

e2 sen2 )

3=2

3

1.14

(56)

(58)

G = N 2 cos2 = a2 cos2 (1

e2 sen2 )

a2 (1 e2 )2 d (1 e2 sen2 )3

a2 cos2 d 1 e2 sen2

2

(55)

(57)

F =0

ds2 =

3=2

+

1

(59) 2

(60)

Expresión de la curvatura normal en función de las coordenadas geodésicas ( , )

Teniendo en cuenta ! ! ! k = kn + kg (61) ! y multiplicando escalarmente por n , vector unitario normal a la super…cie, S

resulta:

! kn = k :n! S

10

(62)

! ! ! ! ! ! ! k = t0 = X = X ( 0)2 + 2X 0 0 + X ( 0)2 + X

! +X

(63)

Representando por ’la derivación respecto al arco ds y por los subíndices , las derivadas parciales respecto a los parámetros geodésicos. Como ! ! X :nS = 0

(64)

! ! X :nS = 0

(65)

se puede escribir

kn = (X

! ! ! dn! S =0 :nS + X : d

(66)

X

! ! ! dn! S :nS + X : =0 d

(67)

! dn! S X :n! =0 S +X : d

(68)

! ! ! ! ! ! ! 2 :nS )( 0)2 + 2(X :n! S ) 0 0 + (X :nS )( 0) + (X :nS )

(X : kn =

X

! + (X :n! S) (69)

dn! dn! dn! S S S )(d )2 + 2(X : )d d + (X : )(d )2 d d d ds2

Como n! S = (cos cos ; cos sen ; sen ) dnS =d = ( sen cos ; sen sen ; cos )

dnS =d = ( cos sen ; cos cos ; 0) ! X = (N cos cos N cos ))

N sen cos ; N cos sen

11

N sen sen ; (1 e2 )(N sen +

! X = ( N cos sen ; N cos cos ; 0) ! dn! S = a(1 X : d ! dn! S X : =0 d

e2 )(1

e2 sen2 )

! dn! S X : = N cos2 = acos2 (1 d

3=2

=

e2 sen2 )

1=2

! Eligiendo adecuadamente el sentido de los vectores k y n! S puede cambiarse el signo del cociente, y la expresión de la curvatura normal del elipsoide de revolución toma la forma

kn =

II (d )2 + N cos2 (d )2 = 2 (d )2 + N 2 cos2 (d )2 I

(70)

La expresión II se denomina segunda forma cuadrática fundamental del elipsoide de revolución. Como el meridiano es la curva d = 0, el valor de la curvatura normal según el meridiano es kn(meridiano) =

1 1 = radiodecurvaturanormal(meridiano)

= a(1 e2 )(1 e2 sen2 ) la dirección del meridiano

3=2

es el valor del radio de curvatura normal en

e2 )

a(1

=p

e2 sen2

1

3

(71)

En la dirección perpendicular al meridiano, primer vertical, d = 0, kn(primervert) = N = a(1

1 1 = radiodecurvaturanormal(primervertical) N

e2 sen2 )

1=2

N=p 1

12

a e2 sen2

(72)

El radio de curvatura normal en un punto en la dirección del primer vertical coincide con la gran normal, pero no con el radio del paralelo del elipsoide que vale N cos . El radio de curvatura normal en una dirección de acimut A (origen norte) es 1 1 1 = cos2 A + sen2 A RA N

(73)

Teorema de Meusnier. Para todas las curvas que pasen por el punto donde se calcula kn que tengan la tangente común (d ; d ), kn es constante. Se puede escribir ! k1 cos

1

! = k2 cos

2

= kn

Siendo 1 y 2 los ángulos que forman los respectivos vectores curvatura ! ! de cada curva con la normal a la super…cie. k1 y k2 tienen la dirección de la normal a la curva (triedro de Frenet).

1.15

Cálculo de la curvatura tangencial o geodésica.

! ! ! Teniendo en cuenta k = kn + kg , si consideramos un vector ! u , contenido en el plano tangente, tal que ! ! u = t n! S

13

! u tiene la dirección de la curvatura geodésica. Por tanto ! ! ! !+k ! k = kn + kg =kn n s gu

(74)

Multiplicando escalarmente por ! u , resulta ! ! ! ! ! ! ! ! ! kg = k :( t n s ) = [ k ; t ; ns ] = [ x ; x 0; ns ]

(75)

[] producto mixto x ! d! t = =! x0 ds ! ! dt k = =! x: ds Representando por ‘la derivación respecto del arco ds. Cuando el parámetro es diferente del arco, por ejemplo m, el valor de kg; se obtiene por la fórmula kg = [d2 x=dm2 ; dx=dm; ns ]=jdx=dmj3

(76)

! ! Si las curvas coordenadas son ortogonales, sean iu e iv los vectores unitarios tangentes a las curvas u = constante y v = constante en un punto P. ! El vector unitario tangente t de una curva cualquiera que pase por P, se puede expresar por ! ! ! t = iu senA + iv cosA

(77)

! el vector ! u , coplanario con t y perpendicular a él, se escribirá

! ! u = iu cosA

! iv senA

(78)

! siendo A el ángulo que forma t con la curva v = const. En el caso del elipsoide de revolución v = curva en P.

14

= const. y A es el acimut de la

! ! ! ! dt d iu dA d iv = senA + iu cosA + cosA ds ds ds ds ! ! d iu d iv k= senA + cosA + (iu cosA ds ds

k=

kg = (

! dA iv senA ds

iv senA)

dA ds

! ! d iu d iv dA senA + cosA + ! u ds ds ds

! ! d iu ! d iv ! dA : u )senA + ( : u )cosA + ds ds ds

(79)

(80)

(81)

(82)

! d iu ! (kg )u = : u es la curvatura geodésica en la dirección u = constante ds ! d iv ! (kg )v = : u es la curvatura geodésica en la dirección v = constante ds Resulta la fórmula de Liouville para el cálculo de la curvatura geodésica.

kg =

1.16

dA + (kg )u senA + (kg )v cosA ds

(83)

Geodésicas.

Las curvas cuya curvatura geodésica es nula en todos sus puntos se denominan geodésicas de la super…cie o líneas geodésicas. En el caso general en que la super…cie contenga rectas (por ejemplo, los conos y cilindros), toda recta contenida en una super…cie es una geodésica. Si la geodésica no es una recta, a lo largo de la misma la normal principal de la curva y la normal a la super…cie coinciden. O lo que es lo mismo, el plano osculador contiene a la normal a la super…cie en todos los puntos de la geodésica. ! ! Si la normal principal y la normal a la super…cie coinciden, [! x ; x0; n s] será siempre cero en todos los puntos de la curva, luego la curva es una geodésica. Recíprocamente si la curvatura geodésica es nula, entonces coinciden las dos normales en cada punto. Como los radios de curvatura de los círculos máximos de una esfera (dirección de la normal principal) coinciden con los radios de la esfera y estos con las normales, las geodé sicas de la esfera son los círculos máximos. Desempeñan un 15

papel análogo a las rectas en el plano.

Interpretación física.

La geodésica es la …gura de equilibrio que adopta un hilo inextensible apoyado en una super…cie, suponiendo que no hay rozamiento, cuando no está sometido a otras fuerzas más que a las tensiones en sus extremos y a la reacción normal de la super…cie. En efecto, cada elemento del hilo está sometido a la acción según la tangente, a la tensión en sentido inverso de una tangente in…nitamente próxima y a la reacción normal de la super…cie. Para que haya equilibrio la resultante de estas fuerzas debe ser nula, luego la reacción debe estar en el plano que de…nen las dos tangentes in…nitamente próximas, el plano osculador (plano que pasa por tres puntos consecutivos de la curva). De donde, el plano osculador contiene a la normal a la super…cie. La trayectoria de un punto material restringido a moverse sobre la super…cie, sin rozamiento, cuando sobre él no actúa otra fuerza que la reacción normal de la super…cie es una geodésica. En efecto, la dirección de la normal principal de la trayectoria –la aceleración –se confunde con la única fuerza actuante, la reacción que es normal a la super…cie por la hipótesis de la ausencia de rozamiento.

1.17

Ecuación diferencial de las geodésicas.

La coincidencia de la normal principal de la curva con la normal a la super…cie se puede expresar analíticamente por las condiciones ! dt ! :xv = 0 ds

! dt ! :xu = 0 ds

ds2 = Edu2 + F dudv + Gdv 2

(84) (85)

Si en lugar de s se toma otro parámetro, por ejemplo u, tras laboriosos cálculos se llega a d2 v=du2 = A(dv=du)3 + B(dv=du)2 + Cdv=du + D

(86)

Como consecuencia del Teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales, dado un punto (u; v) y la dirección de una tangente dv=du, hay una geodésica, y sólo una, que pasa por dicho punto con esa dirección.

16

1.18

Ecuación diferencial de las geodésicas en el elipsoide de revolución.

Dada la coincidencia de la normal principal y la normal a la super…cie en todos los puntos de la geodésica, la ecuación de la normal adopta la forma: Y y Z z X x = 2 = 2 d2 x=ds2 d y=ds2 d z=ds2

(87)

Como todas las normales en el elipsoide de revolución cortan al eje OZ(X = 0; Y = 0), resulta x

d2 y d2 x = y ds2 ds2

(88)

Los meridianos del elipsoide de revolución

y = x tan g , veri…can idénticamente la ecuación diferencial anterior, resulta que los meridianos del elipsoide de revolución son geodésicas. Análogamente el ecuador x = acos y = asen z = 0 El ecuador es una geodésica del elipsoide de revolución.

Esta ecuación de segundo orden tiene la integral primera d ds

x

x

dy ds

dy ds

xdy

y

y

dx ds

=0

dx =C ds

ydx = Cds

C es una constante arbitraria. 17

(89)

(90)

(91)

1.19

Teorema de Clairaut.

Si consideramos un arco elemental de geodésica P1 P2 . Si ds es su longitud y P2 P 02 es el arco de paralelo que contiene a P2 y A es el acimut de la geodésica en P1 . El triángulo elemental P1 P2 P 02 puede considerarse plano y escribir: pd = ds:senA

(92)

p es el radio del paralelo y d la diferencia de longitud. Si adoptamos el sistema de coordenadas cilíndricas (p; ; z)

x = pcos dx =

y = psen

psen + cos dp

dy = pcos + sen dp

(93) (94)

(95)

la integral primera se escribirá:

xdy

ydx = p2 d = Cds

Como pd = ds:senA 18

(96)

resulta: psenA = C

(97)

En cada punto de la geodésica el producto del radio del paralelo por el seno del acimut es una constante. Este resultado se conoce con el nombre de Teorema de Clairaut para las geodésicas. Consideremos una geodésica distinta del ecuador y de un meridiano, sea A0 el acimut en el punto de corte con el ecuador, (A0 6= 0 , A0 6= ), limitándonos 2 al hemisferio norte, y aplicando el teorema rP :senoA = a:senoA0 Cuando A = , la geodésica será tangente a un determinado paralelo cuya 2 latitud será la máxima que alcanza la geodésica dada. La ecuación anterior tomará la forma rP = b cos uP = a:senoA0 siendo rP el radio del paralelo y uP la latitud reducida correspondiente en el que la geodésica es tangente. En cualquier otro punto Q de la geodésica, se veri…cará: rQ :senoAQ = a:senoA0 Como A0 < AQ < , sigue que rQ > rP , lo que implica latitud de Q, menor 2 que la del paralelo donde alcanza el valor máximo. Al considerar el hemisferio sur, por la simetría del elipsoide de revolución, se llega a la misma conclusión, hay un paralelo donde la latitud es mínima. Cualquier geodésica, distinta del ecuador y de un meridiano, describe una in…nidad de espiras en la zona del elipsoide de revolución comprendida entre dos paralelos, uno en el hemisferio norte y otro en el hemisferio sur, donde alcanza los valores máximo y mínimo de latitud respectivamente.

1.20

Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente a la ecuación de segundo orden de las geodésicas del elipsoide de revolución.

Teniendo en cuenta:

19

p2 d = Cds

(98)

psenA = C

(99)

pd = senAds = N cos d

(100)

y resulta

De ds2 =

2

d

2

+ p2 d

cos2 Ads2 =

2

2

=

d

2

2

d

2

+ sen2 Ads2

d = cosAds

(101)

(102)

Teniendo en cuenta que la curvatura geodésica del paralelo es (kg )p = tang =N y la del meridiano es nula, aplicando la fórmula de Liouville resulta:

0 = dA=ds

tang =N senA

(103)

De todo lo anterior resulta el sistema de ecuaciones diferenciales:

d =ds = senA=N cos d =ds = cosA= dA=ds = tang senA=N

(104) (105) (106)

Este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es particularmente indicado para el cálculo con ordenador.

20

2

Problemas directo e inverso de la Geodesia.

PROBLEMA DIRECTO: Conocidas Las coordenadas geodésicas ('1 ; 1 ) de P1 La longitud del arco de geodésica P1 - P2 El acimut A12 de P2 en P1 Determinar Las coordenadas geodésicas ('2 ; El acimut A21 de P1 en P2

2)

de P2

1)

de P1 y ('2 ;

PROBLEMA INVERSO: Conocidas Las coordenadas geodésicas ('1 ;

Determinar: La longitud del arco de geodésica P1 - P2 El acimut A12 de P2 en P1 El acimut A21 de P1 en P2 21

2)

de P2

Algunas fórmulas previas.

2.1 2.1.1

Elemento del arco de meridiano d reducida

en función de la latitud

En la elipse meridiana x = a: cos

d

2

y = b:sen

= dx2 + dy 2 = a2 sen2 + b2 cos2

d =b

d

2

= b2 (1 +

(107)

a2

b2 b2

sen2 )d

p

1 + e02 sen2 d

2

(108)

(109)

El arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud reducida

=b

Z p 1 + e02 sen2 d

(110)

0

integral elíptica de primera especie.

2.1.2

Radio de curvatura normal en un punto de la geodésica y en la dirección de esta

Sean: A acimut de la geodésica en un punto P R radio de curvatura normal en la dirección A en el punto P radio de curvatura normal en la dirección del meridiano de P N radio de curvatura normal en la dirección del primer vertical de P A0 acimut de la geodésica en el punto de corte con el ecuador r radio del paralelo que pasa por P Aplicando el teorema de Euler

22

1 1 1 = cos2 A + sen2 A R N

(111)

y el teorema de Clairaut

r:senA = a:senA0

(112)

Si consideramos la función W (')

W =

p 1

e2 sen2 '

Los radios de curvatura normal N y

se escriben

a

N=p

1

(113)

e2 sen2 '

=

a W

(114)

a(1 e2 ) a(1 e2 ) =p 3 = W3 1 e2 sen2 ' 1 1 = + R

senA =

1 N

1

=

W a

1

1

= 1

sen2 A

1 e2 W2 = 2 a (1 e )

sen2 A =

1 1 = 1 R pero K

1

(116)

a:senA0 a:senA0 W senA0 = = r N: cos ' cos '

W W3 = a (1 e2 ) 1 N

1 N

(115)

1 e2 sen2 A0

e2 sen2 A0

e2 sen2 A0 = const: es una constante 23

e2 W cos2 ' a (1 e2 )

(117)

(118)

(119)

(120)

R=

(1

e2 sen2 A0 )

= K:

(121)

En todo punto de una geodésica del elipsoide de revolución, distinta del ecuador y de un meridiano, se veri…ca que el radio de curvatura normal en la dirección de la geodésica es proporcional al radio de curvatura normal en la dirección del meridiano.

2.1.3

Imagen esférica de una geodésica del elipsoide de revolución

Consideremos la elipse meridiana y su circunferencia principal, al girar alrededor del semieje menor, ambas curvas describen un elipsoide de revolución y una esfera respectivamente. Esta esfera concéntrica con el elipsoide y coincidente en el ecuador se la denomina esfera principal del elipsoide, algunos la llama también esfera de Jacobi.

Las geodésicas de la esfera son los círculos máximos. Dada una geodésica del elipsoide cuyo acimut en C (punto de corte con el ecuador) es Aoe , existe un círculo máximo de la esfera que pasa por el punto C con un acimut esférico A0E tal que

A0e = A0E

(122)

Con el subindice e representaremos los elementos de elipsoide y con el subindice E los elementos de esta esfera principal. Se Pe un punto de la geodésica anterior ('e ; e ; e )

e

latitud reducida de Pe , establecemos la correspondencia

Pe ! PE

(123)

PE es un punto del círculo máximo anterior tal que

'E = 'E es la latitud en la esfera. 24

e

(124)

25

Esta correspondencia es biunívoca entre los puntos del elipsoide y los puntos de la esfera. El caso A0e = =2 es trivial, aplica el ecuador sobre si mismo, ya que el ecuador es una geodésica en ambas super…cies. El caso A0e = 0 aplica el meridiano sobre su circunferencia principal. Propiedades. 1. La correspondencia conserva los acimutes AP e = AP E

(125)

Aplicando el teorema de Clairaut en el elipsoide y en la esfera re senAe rE senAE re senAe

= a:senA0e = a:senA0E = rE senAE

(126) (127) (128)

Pero re = rE por la forma de establecer la correspondencia, luego

senAe AP e

= senAE = AP E

(129) (130)

2. La correspondencia conserva las latitudes reducidas

E

= 'E =

(131)

e

ya que en la esfera la latitud reducida coincide con la latitud esférica. 3. La correspondencia no conserva las longitudes. Aplicando la ecuación de Laplace:

dA = sen'd

(132)

en dos puntos in…nitesimalmente vecinos en la geodésica del elipsoide y en los puntos correspondientes de la esfera: dAE dAe

= d = d

E sen'E e sen'e

26

=d

E sen e

(133) (134)

resulta:

d

E sen e

d

E

d

= d

e sen'e sen'e 1 d sen e

=

e

(135) e

(136)

Integrando

"=

E

e

=

Ze

sen'e sen e

0

1 d

e

(137)

Como el integrando es siempre positivo " > 0, la longitud del punto correspondiente en la esfera avanza la cantidad anterior ".

2.1.4

Triángulo esférico polar asociado a un arco de geodésica

Sean Pe y Qe los extremos de un arco de geodésica en el elipsoide, usando la correspondencia anterior, se obtienen los puntos PE y QE tal que PE tiene la latitud esférica eP y su acimut esférico es AeP , análogamente en QE . Con los meridianos que pasan por PE y QE y el arco PE QE , se forma un triángulo esférico cuyo ángulo en el polo es Q

P

+ "Q

"P =

+

"

(138)

La utilización de la correspondencia anterior, reduce algunos de los cálculos a la trigonometría esférica.

2.1.5

Longitud del elemento de arco de geodésica distinta del ecuador

Consideremos los puntos P y Q in…nitamente próximos en una geodésica, en el meridiano de P un punto H tal que está en el mismo paralelo que Q. Se forma un triángulo in…nitesimal en el que:

ds d

PH d = cos A cos A p 02 = b 1 + e sen2 d =

27

(139) (140)

d es la longitud del arco de meridiano PH. Aplicando el teorema de Clairaut

rsenA = asenA0 a cos senA = asenA0 cos senA = senA0

0

d

ds = s

1

=b

sen2 A0 cos2

2

2

1 + e sen p cos2 A0

(141) (142) (143)

1 2 cos sen2

d

(144)

A0 es el acimut de la geodésica en C, punto de corte con el ecuador Haciendo el cambio de variable sen = cos A0 sen!

ds = b

cos d = cos A0 cos !d!

q

(1 + e0 2 cos2 A0 sen2 !)d!

! es la distancia en la esfera desde C al punto de latitud gación geodésica.

2.1.6

(145)

(146) , se llama elon-

Cálculo de la longitud (geodésica distinta del ecuador)

En el triángulo anterior

QH r2 d d

= rd = ds senA = a:senA0 ds ds:senA0 = a: cos2 28

(147) (148) (149)

Utilizando el cambio de variables anterior y el valor de ds:

d =

2.1.7

b a

p (1 + e0 2 cos2 A0 sen2 !)senA0 d! (1 cos2 A0 sen2 !)

(150)

Integración del arco (geodésica distinta del ecuador)

Si efectuamos la substitución 0

t2 = e 2 cos2 A0

(151)

resulta

ds = b 2

2

Llamando x = t sen !

p (1 + t2 sen2 !)d!

(152)

El desarrollo por la fórmula del binomio del radical es

1 1 1 + t sen ! 2 = (1+x) 2 = 2

1 2 0

2

!

1 2 1

+

!

x+

1 2 2

!

2

x +

1 2 3

!

x3 +:::: (153)

: 1 2 0

!

1 2 3

!

=1

=

1 2

!

1 2 1 1 2

1

1 2

2

3!

1 1 1 + t sen ! 2 = 1 + t2 sen2 ! 2 2

2

1 2 2

1 = 2

=

!

=

1 2

1 1 2 2!

=

11 24

113 246 11 4 113 6 t sen4 ! + t sen6 ! 24 246

::: ,

La longitud del arco de geodésica desde el ecuador a un punto de…nido por !

29

s=b

Z! 0

1 Z! 1 11 4 113 6 1 + t sen ! 2 d! = b (1+ t2 sen2 ! t sen4 !+ t sen6 ! :::)d! 2 24 246 2

2

0

(154)

Z! Z! 1 t2 sen2 !d! s = b( d! + 2

11 24

0

0

Z!

113 t sen !d! + 246 4

4

0

Z!

t6 sen6 !d!

:::)

0

(155) J.J. Levalois llama integrales de Wallis a R! W2p = sen2p !d! 0

Usando esta notación 11 4 113 6 1 t W4 + t W6 :::) s = b(W0 + t2 W2 2 24 246 Las integrales W veri…can la siguiente relación de recurrencia:

Wn =

n

1 n

Wn

1 senn n

2

1

(156)

! cos !

(157)

en efecto:

Wn

=

Z!

=

Z!

n

sen !d! =

0

Wn

Z!

sen

n 2

2

!sen !d! =

0

sen

n 2

!(1

Z!

senn

2

!(1

cos2 !)d!(158)

0

2

cos !)d! =

0

Z!

sen

0

n 2

!d!

Z!

senn

2

! cos2 !d! (159)

0

Integrado por partes el segundo sumando

u=

senn 1 ! n 1

du = senn

2

! cos !d!

v = cos !

dv =

sen!d! (160)

30

Wn = Wn

senn 1 ! 1 cos ! n 1 n 1

2

Z!

senn !d! = Wn

2

senn 1 ! 1 cos ! Wn n 1 n 1

0

(161)

(1

1 n

1

)Wn =

n n

1

Wn = Wn

2

senn 1 ! cos ! n 1

(162)

Aplicando la relación de recurrencia, resulta: W0 = !

W2 =

1 (! 2

sen! cos !)

W4 =

3 W2 4

1 sen2 !(sen! cos !) 4

W6 =

5 W4 6

1 sen4 ! (sen! cos !) 6

11 4 113 6 1 s = b(W0 + t2 W2 t W4 + t W6 :::) (163) 2 24 246 En la mayor parte de las aplicaciones difícilmente se pasa del grado 6. En el caso del ecuador: s = a(

2.1.8

2

1)

Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud reducida (Fórmula de Levallois)

Cuando se trata del meridiano A0 = 0 0

0

la fórmula t2 = e 2 cos2 A0 se reduce a t2 = e 2

1 0 smeridiano = b(W0m + e 2 W2m 2

1 1 04 1 1 3 06 e W4m + e W6m 24 246 31

:::)

(164)

como sen = cos A0 sen! ) sen = sen! )

=!

W0m =

W2m =

1 ( 2

sen cos )

W4m =

3 W2 4

1 sen2 (sen cos ) 4

W6m =

5 W4 6

1 sen4 (sen cos ) 6

2.1.9

Longitud del arco de meridiano entre el ecuador y un punto de latitud geodésica '

La fórmula clásica resulta de la integración de

s=

Z'

d' =

0

Z' 0

e2

a 1 (1

3 2 2 e sen ') 2

Z'

d' =

2

a 1

e

1

2

3 2 d'

2

e sen '

0

(165)

desarrollando por fórmula del binomio

1

2

2

e sen '

3 2 =

3 2 0

!

+

3 2 1

!

2

2

( e sen ')+

3 2 2

!

2

2

2

( e sen ') + (166)

! 3 =1 2 0 ! 3 3 = 2 2 1 32

3 2 3

!

( e2 sen2 ')3 +:::

3 2 2

!

3 2 3

!

s = a: 1

3 2

=

1

3 2

1

=

2 3 2

=

15 8 3 2

3:2

2

e

3 2

Z'

2 =

105 48

15 105 6 3 e sen6 ' + :::)d' (1 + e2 sen2 ' + e4 sen4 ' + 2 8 48

(167)

0

Teniendo en cuenta las fórmulas de de Moivre

sen2 '

=

sen4 '

=

sen6

=

1

cos 2' 2 3 4 cos 2' + 4 cos 4' 8 10 15 cos 2' + 6 cos 4' 32

(168) (169) 6 cos 6'

(170)

Integrando término a término hasta los de e6 , resulta

s = a(1

e2 )(B0 '

B0 B1 B2 B3

1 1 B1 sen2' + B3 sen4' 2 4

1 B4 sen6' + :::) 6

3 45 175 6 1 + e2 + e4 + e 4 64 256 3 2 15 4 525 6 = e + e + e 4 16 512 15 4 105 6 e = e + 64 256 35 6 = e 512 =

(171)

(172) (173) (174) (175)

Esta es la fórmula clásica en función de los senos de los múltiplos de la latitud.

33

2.1.10

en función de !

Cálculo de la longitud

La fórmula 1 0 b (1 + e 2 cos2 A0 sen2 !) 2 senA0 d = d! a 1 cos2 A0 sen2 !

(176)

0

con la substitución t2 = e 2 cos2 A0 , se convierte en 1 1 + t sen ! 2 b d = senA0 d! a 1 cos2 A0 sen2 ! 2

2

(177)

Integrado resulta

=

b senA0 a

Z! 0

1 1 + t sen ! 2 d! 1 cos2 A0 sen2 ! 2

2

(178)

Sustituyendo el numerador del integrando por el desarrollo en serie

b = senA0 a

Z! 1 + 1 t2 sen2 ! 2 0

b = senA0 a

Z!

1

0

11 4 113 6 t sen4 ! + t sen6 ! 24 246 1 cos2 A0 sen2 !

d! 1 + t2 2 2 cos A0 sen ! 2

Z! 0

1

sen2 !d! cos2 A0 sen2 !

:::

11 4 t 24

d!

Z! 0

1

(179)

sen4 !d! 113 6 + t 2 2 cos A0 sen ! 2 4 6 (180)

=

b 1 senA0 I0 + t2 I2 a 2

11 4 113 6 t I4 + t I6 + ::: 24 246

Las integrales I2p veri…can la relación de recurrencia 34

(181)

Z! 0

1

sen6 !d cos2 A0

I2p = W2p + cos2 A0 I2p+2

(182)

En efecto:

I2p =

Z! 0

1

sen2p !d! = cos2 A0 sen2 !

Z!

sen2p ! 1

cos2 A0 sen2 ! + cos2 A0 sen2 ! d! 1 cos2 A0 sen2 !

0

(183) I2p =

Z!

2p

2

sen !d! + cos A0

0

Z! 0

sen2p+2 !d! 1 cos2 A0 sen2 !

(184)

Aplicando la relación de recurrencia:

I0 I2 I4 I6

= I0 I0 W0 = cos2 A0 I2 W2 I0 W0 = = 2 cos A0 cos4 A0 I0 W0 W2 = cos6 A0 cos4 A0

(185) (186) W2 cos2 A0 W4 cos2 A0

(187) (188)

La expresión de la longitud se escribe 2

1 2 I0 W0 6 I0 + 2 t b cos2 A0 = senA0 6 4 1 1 3 6 I0 W0 a + t 246 cos6 A0

1 1 4 I0 W0 t 24 cos4 A0 W2 W4 cos4 A0 cos2 A0

W2 cos2 A0 :::

3

7 7 (189) 5

0

Como t2 = e 2 cos2 A0 2

1 02 b 6 I0 + 2 e (I0 = senA0 4 1 1 3 0 a + e 6 I0 246

W0 ) W0

3 1 1 04 e I0 W0 W2 cos2 A0 7 24 5 (190) W2 cos2 A0 W4 cos4 A0 ::: 35

después de reordenar, resulta:

=

2

1 0 1+ e2 2

6 I0 b senA0 6 4 a +W2 cos2 A0

=

1 1 04 1 1 3 06 1 02 e + e ::: + W0 e 24 246 2 1 1 04 1 1 3 06 e e + ::: + W4 cos2 A0 24 246

1 1 04 1 1 3 06 e e + ::: 24 246 1 1 3 06 e + ::: + ::: 246 (191)

b senA0 M:I0 + C0 W0 + C2 W2 cos2 A0 + C4 W4 cos2 A0 + :::: a

M b a

= =

1 0 1+ e2 2 1

2

e

1 1 04 1 1 3 06 e + e 24 246

1 ::: = (1 + e ) 2 0

2

1 b 2 M: = 1 a

B0

=

B2

=

B4

=

= senA0 :I0 + senA0 El primer sumando se escribe

36

(193) (194)

b C0 a b C2 a b C4 a

(195) (196) (197)

= senA0 :I0 + senA0 B0 W0 + B2 W2 cos2 A0 + B4 W4 cos4 A0 + :::

"

(192)

X 0

B2p W2p cos

2p

A0

#

(198)

(199)

3 7 7 5

senA0 :I0 = senA0

Z!

1

0

senA0 :I0 =

Z! 0

d! = senA0 2 cos A0 sen2 !

Z! 0

d! cos2 ! 1 cos2 !

cos2 A0 tan2 !

d (senA0 tan !) = arctan(senA0 tan !) 1 + sen2 A0 tan2 !

(200)

(201)

Llamando #

(202)

+ " = arctan(senA0 tan !) tan( + ") = senA0 tan !

(203) (204)

" = senA0

"

X

B2p W2p cos

0

2p

A0

La expresión de la longitud adopta la forma:

considerando esta expresión en la esfera principal, resulta la coincidencia de los dos valores de ".

37

2.1.11

Las Las Los Las

Elementos del triángulo polar sobre la esfera

latitudes paramétricas(elipsoide): 1 y 2 elongaciones geodésicas(esfera): !P 1 y !P 2 acimutes (esfera y elipsoide): AP 1 y AP 2 longitudes (esfera): P 1 + " P 1 y P 2 + "P 2

La solución de este triángulo esférico resuelve tanto el problema directo como el inverso. Aunque no es precisamente un problema trivial. Las distintas soluciones, fruto de 150 años de trabajo, se diferencian en la forma de determinar los elementos: " y s.

2.2

Problema Inverso Solución de J.J. Levallois y Du Puy. "=

senA0

"

X

B2p W2p cos

0

38

2p

A0

#

(205)

La longitud del arco de geodésica

1 s = b(W0 + t2 W2 2 0 t2 = e 2 cos2 A0

2.3

11 4 113 6 t W4 + t W6 24 246

:::)

(206) (207)

Problema Inverso. Solución iterativa de Helmert modi…cada por Sodano.

Designando el ángulo en N (diferencia de longitudes esféricas) por

L=(

P2

+ "p2 )

(

P1

+ "p1 ) =

+

"

(208)

se determina por un procedimiento iterativo con la ayuda de un punto auxiliar P0 .

P0 es el punto donde la geodésica de la esfera alcanza su latitud máxima, que se corresponde con un punto del elipsoide de latitud reducida 0 . El triángulo AN P0 tiene dos lados AN = AP0 = 90 , y el ángulo en P0 también es recto. 1. Cálculo de las latitudes reducidas. tan

1

=

b tan '1 a

tan

2

=

b tan '2 a

(209)

2. Se inicia el proceso iterativo con un valor inicial de L = , calculándose cada vez un nuevo valor de L con la ayuda de las fórmulas siguientes hasta que no se produzcan cambios signi…cativos de L. Llamando

0

al arco P1 P2 correspondiente al valor actual de L, resulta

cos

0

= sen

1 sen 2

+ cos

1

cos

2

cos L

aplicando el teorema del coseno en el triángulo P1 N P2 . 39

(210)

sen sen2 sen3

0 0 0

p = (signo ) 1 cos2 = 2sen 0 cos 0 = 3:sen 0 4sen3 0

(211) (212) (213)

0

Aplicando el teorema de los senos en los triángulos P1 N P0 , P2 N P0 y P1 N P2

cos 0 = cos cos 2 senL = sen cos 0 = cos

1 senAP 1

= cos

2 senAP 2

(214) (215) (216)

0 senAP 1 1

cos

2 senL=sen

0

Llamando

2

cos 2

m

m

= !P 1 + !P 2

= ! P2

= cos(! P1 + ! P2 ) = cos ! P2 cos ! P1

cos

cos 2

m

+ cos

= cos(! P2

! P1

(217)

sen! P2 sen! P1

(218)

! P1 ) = cos ! P2 cos ! P1 + sen! P2 sen! P1

=

cos 2

m

cos 4

m

2 cos ! P 1 cos ! P 2 sen 1 sen 2 cos 0 = 2 cos2 A0 = 1 + 2 cos2 m L = cos

(219)

A = B

=

C

=

(220) (221) 0

(A:

0

B:sen

e2 e; e2 e;2 3e2 e;4 sen2 0 + sen4 ; e+e 16 128 e2 e;2 e2 e;4 sen2 0 sen4 0 16 32 e2 e;4 sen4 0 256 40

0

0

cos 2

m

+ C:sen2

(223) (224) (225)

0

cos (222) 4 m)

3. Una vez calculado un valor de L satisfactorio, se calcula s por

s = b (B0

0

+ B2 sen

B0

=

0

1+

cos 2

=

B4

=

B6

=

+ B4 sen2

e;2 sen2 4

;2

B2

m

e sen2 0 4 e;4 sen4 0 128 e;6 sen6 0 1536

0

cos 4

3e;4 sen4 64

0 ;4

0

m

+

+ B6 sen3

5e;6 sen6 256

0

0

cos 6

m) (226)

(227)

;6

e 15e sen4 0 + sen6 16 512 3e;6 sen6 0 512

0

(228) (229) (230)

y los acimutes por:

2.4

cot AP1

=

cot AP2

=

tan

cos Lsen 1 senL cos Lsen 2 tan 1 cos senL 2

cos

1

(231)

2

(232)

Problema directo. Método de E. Sodano.

El punto de partida son las fórmulas de Helmert. Mediante unos desarrollos en series de potencias, que incluyen hasta los términos de grado seis en la excentricidad del elipsoide, se eliminan las iteraciones del método de Helmert. El método se adapta bien al cálculo electrónico y se consigue una exactitud de hasta diez decimales en el acimut y la distancia expresados en radianes. La solución es adecuada tanto para líneas muy cortas como para las grandes líneas que pueden extenderse hasta un hemisferio. Si L es la diferencia de longitudes en la esfera y la diferencia de longitudes en el elipsoide L= + " se consigue la eliminación del proceso iterativo sustituyendo las fórmulas de Helmert por desarrollos en serie de ", que es un in…nitésimo, teniendo en cuenta la igualdad anterior. La deducción de las fórmulas está publicada en el Bulletin Geodésique: "A rigorous non-iterative procedure for rapid inverse solution of very long geodesics". Emanuel Sodano. B.G n 47-48 pp 13 - 25. 1958. (Se incluye una copia 41

para uso interno en el material complementario del curso, aunque los símbolos no son iguales a los utilizados aquí). Algoritmo: Datos: '1

1

AP 1 s.

Incógnitas: '2

AP 2 b tan '1 a

Latitud reducida P1 : tan

1

=

Latitud reducida P0 : cos

0

= cos

m1 =

a1 =

1+

1+

e;2 sen2 2

e;2 sen2 2

cos2

1

1

sen2

1

1 senAP 1

1

0

cos

s

s

=

g = cos

s b

+ g:sen

1

cos AP 1

radianes

1 sen s

e;2 e;2 e;2 sen + m + sen s cos s + 1 s 0 2 4 s 4 5e;4 11e;4 13e;4 e;4 sen s cos s + m21 sen s cos s cos2 s 8 64 64 8 s e;4 5e;4 3e;4 a1 m1 sen s + sen S cos2 S s cos s 8 4 8 =

a21

2

s + a1

s

+

5e;4 sen 32

Arco distinto del meridiano, AP 1 = 0

cot AP 2 = (g cos

sen

0

1 sen 0 ) = cos

0

Cuando se trate de un arco de meridiano, AP 2 = 0 y el signo es el del numerador de la fórmula anterior.

cot L = (cos

= L+cos

2

=

1

1

cos

0

sen

0

f

s

+ a1

1 sen 0

cos AP 1 ) = (sen

3f 2 sen 2

+

42

s

+ m1

0 senAP 1 )

3f 2 4

s

3f 2 sen 4

s

cos

s

s

cos3

s

+

sen

2

= sen

cos

2

q = + cos2

tan

2

=

tan '2 =

2.5

cos

1

sen cos

0

0

+ g:sen

+ (g cos

0

2 1 sen 0 )

sen

0

2 2

a tan b

2

Problema inverso. Fórmulas de Sodano.

Algoritmo: Datos: '1

'2

1

2

Incógnitas: AP 2 AP 1 s. Latitud reducida P1 : tan

1

=

b tan '1 a

Latitud reducida P2 : tan

2

=

b tan '2 a

Diferencia de longitudes:

cos

= sen

sen

=

1 sen 2

q (cos

c = cos

1

cos

+ cos

2 sen

2 sen

a1 = sen

1 sen 2

m1 = 1

c2

=

1

cos

2

1

2

cos

2

cos

2

) + (sen

=sen

Distancia s:

43

1

sen

1

cos

2

cos

2

)

8 > > 1 + f + f2 + a1 > > > > > > > f + f2 > > < m1 2 s=b 2 > f > > a21 sen cos > > > 2 > > 2 > > > a1 m1 f 2 csc + : 2 L=

0

f +f

2

sen

f2 sen 2

+ a1 B f +f + cB 2 @ 5f f2 m1 + sen cos 4 4 2

cos

cos L sen senL cos 1

sen

2

cos

cos Lsen 1 senL cos 2

cot AP 1 =

2.6.1

f2 2

2

csc

+

! f + f2 f2 2 sen cos + cot + 2 2 f2 f2 f2 2 + m21 + sen cos cot 16 16 2 f2 sen cos2 2

Acimutes: sen cot AP 2 =

2.6

2

1

f

2

+ f2

1

cos

2

1

cos

2

2

csc 2

cot

1

+ C C A

Cálculo de una triangulación en el elipsoide Cálculos en la esfera.

Exceso esférico de un triángulo.

44

f2 sen cos3 8

9 > > > > > > > > > > > =

> > > + > > > > > > > > ;

Dado el triángulo esférico de vertices A,B,C y cuyos ángulos, expresados en radianes, son respectivamente A,B y C. Se denomina exceso esférico a "=A+B+C El exceso esférico es proporcional al área del triángulo e inversamente proporcional al cuadrado del radio de la esfera a la que pertenece. Consideremos el hemisferio visible y las áreas de los sectores de vértices A, B y C. Sector esférico A: Área SA = 2:A:R2 Sector esférico B: Área SB = 2:B:R2 Sector esférico C: Área SC = 2:C:R2 Sumando estas áreas resulta el área del hemisferio 2 R2 más dos veces el área del triángulo T . 2:A:R2 + 2:B:R2 + 2:C:R2

A+B+C

=

2:T = 2: :R2

T R2

Teorema de Legendre. Tanto por su importancia histórica como por la utilidad que puede suponer en determinadas ocasiones, aún hoy, el siguiente teorema, debido a Legendre, permite efectuar los cálculos de un triángulo esférico utilizando la trigonometría plana dentro de un cierto orden de aproximación. Sean A, B, C los ángulos del triángulo esférico (radianes), a, b y c los lados (expresados en unidades lineales) y R el radio de la esfera, con una aproximación del cuarto orden, el cálculo del triángulo esférico se puede reducir al de un " " ,B y triángulo plano cuyos lados sean a, b y c, cuyos ángulos sean A 3 3 " C ; 3 " es el exceso esférico del triángulo ABC a b c Si = , = y = son los lados expresados en radianes, el teorema R R R del coseno en el triángulo esférico cos

= cos cos + sen sen cos A

Desarrollando hasta el cuarto orden se puede escribir 2

cos

=1

2!

4

+

4! 45

2

cos

=1

4

+

2!

4!

3

sen =

3! 2

cos

=1

4

+

2!

4!

3

sen =

3!

Sustituyendo los desarrollos en la fórmula del coseno

2

1

2

4

+

2!

=

4!

1

2!

4

+

2

1

4!

2!

4

+

+

4!

3

3

3!

3!

cos A (233)

4

2

1

+

2!

2

=1

4!

2!

2

4

+

4!

2!

2 2

+

+

Una relación entre resulta 2

2

=

2 2

2

=

3!

2!4!

4

+

4 2

4!

2!4!

4 4

+

4!4!

3 3

+

cos A

3!3!

limitandonos a los términos de segundo orden

2

+

2

3! ; ;

2!2! 3

3

2 4

cos A

2 2

+

2

cos A

Limitandonos a los términos de cuarto orden se puede escribir: 2

2!

+

1 4!

2

2

2 2

3!

2

2

2

=

2

2

+

2

2

+

2

cos A

2

2 2

2 2

3!

3!

2

=

2!

4

+

cos2 A+

4!

Si pasamos a unidades lineales 2bc cos A +

bc senA senA 6R2 46

2!

cos A

sen2 A

a2 = b2 + c2

2

2 2

+

2!2! 2

=

3

+

2

+

3! 2

2

cos A

3

3!

cos A

bc En el caso del radio terrestre dA = senA 6R2 es in…nitesimal, y teniendo en cuenta que, en este caso,

cos(A

dA)

a2 = b2 + c2

pero

cos A + dAsenA bc senA 6R2

2bc cos A

bc " = senA 3 6R2

a2 = b2 + c2

2bc cos A

" 3

Repitiendo el razonamiento resulta el teorema. El limitar los desarrollos a los términos de cuarto orden, se limita la aplicación del teorema a triángulos cuyos lados no pasen de unos 150 Km, que es lo que ocurre con los lados normales de una triangulación clásica. Cuando se trata de lados mayores, caso del enlance España Argelia con lados de unos 300 kms, hay que extender la aproximación a términos de mayor orden en los desarrollos.

2.6.2

Extensión del teorema de Legendre al Elipsoide

Aplicando el Teorema de Gauss sobre la curvatura total de un polígono cerrado en el elipsoide, el resultado de Legendre puede utilizarse igualmente en el elipsoide siempre que se mantenga la limitación en la longitud de los lados anterior. Con todo rigor habría que calcular el exceso esférico teniendo en cuenta el área del triángulo y como radio de la esfera tomar el radio de curvatura medio en el centro del triángulo. La práctica de calcular el exceso a partir de los ángulos observados asegura además la condición de mínima varianza (mmcc) para la solución de un triángulo plano aislado.

47