Geometria CEPREVI Ccesa007

 

Presentación El presente libro ha sido fruto del esfuerzo de los docentes del curso. La intención de este libro es que sirva como complemento al alumno en su proceso de aprendizaje. El desarrollo del curso se ha dividido en 16 unidades que comprenden los temas más importantes que se piden conocer en todas las universidades. Cada unidad consta de una primera parte (teórica) compuesta de conceptos, deniciones y propiedades. La segunda parte (práctica) está conformada por un bloque de problemas aplicativos, presentados en forma didáctica y de menor a mayor grado de dicultad con la nalidad de mejorar el entendimiento de cada tema. También se presentan problemas con aplicaciones en otras ciencias.  Así mismo, otros cuya nalidad es la de reforzar y asimilar la teoría aprendida, desarrollando la imaginación y creativida creatividad d del alumno. No pretendemos que este libro sea un tratado completo de la Geometría Moderna, pero sí esperamos sinceramente que señale el camino hacia una enseñanza más inspirada de la Geometría. Deseamos expresar ynuestro agradecimiento todos lospresentarles alumnos queun integran nuestra institución que nos inspiran cadaadía para mejor libro.

 

G E O M E T R Í A

Índice UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4 UNIDAD 5

Segmentos .................................................... .........................................................................................3 .....................................3  Ángulos Consecutivos Consecutivos ................................................... ........................................................................7 .....................7  Ángulos entre Paralelas .......................................................... ...................................................................11 .........11 Triángulos Triángu los I: Propiedades Básicas ................................................... ...................................................15 15 Triángulos Triángu los II: Líneas y Puntos Notables ...........................................21

UNIDAD 6 UNIDAD 7 UNIDAD 8 UNIDAD 9 UNIDAD 10 UNIDAD 11 UNIDAD 12 UNIDAD 13 UNIDAD 14 UNIDAD 15

Congruencia de Triángul Triángulos........................................... os...............................................................29 Polígonos y Cuadriláteros ................................................................29 ................................................................35 ....................35 Circunferencia I: Propiedades de Tangencia ....................................43 Circunferencia II: Ángulos en la Circunferencia ...............................49 ...............................49 Proporcionalidad y Semejanza de Triángu Triángulos los ..................................55 Relaciones Métricas en la Circunferencia y en los Triángulos Rectángulos  Rectángulos .......61 Relaciones Métricas en los Triángul Triángulos os Oblicuángulos .....................67 .....................67  Áreas I .................................................. .............................................................................................. ............................................73 73  Áreas II ................................................. ............................................................................................. ............................................79 79 Geometría del Espacio .................................................. .....................................................................85 ...................85

UNIDAD 16 Geometría Analítica ..........................................................................91 ..........................................................................91

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U N F V – C E P R E V I

 

G E O M E T R Í A

UNIDAD 1

Segmentos

Geometría

Es una parte de la matemática que tiene por objeto el estudio de las propiedades y relaciones de las fguras geométricas.

Línea recta Concepto matemático no defnible. Se

considera como un conjunto de puntos ubicados en una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos.

División  A B a) GEOMETRÍA PLANA   o PLANIMETRÍA, que se ocupa de todas aquellas  AB  : se lee, recta AB ó fguras cuyos puntos que lo constituyen se hallan en un mismo plano. Ejemplo: L   : se lee, recta L el ángulo, los triángulos, la circunferencia, etc. Segmento b) GEOMETRÍA DEL ESPACIO  o ES- Porción de línea recta limitada por dos punTEREOMETRÍA, que se ocupa del tos llamados extremos del segmento. estudio de todas aquellas fguras cuyos  A B puntos que lo constituyen no se hallan en un mismo plano. Ejemplo: el prisma, Extremos el cono, la esfera, etc.  AB  A B : se lee, segmento AB Figura geométrica Se defne como fgura geométrica al con- Medida del segmento  junto infnito de puntos, las pueden ser Número de veces de una unidad de planas o del espacio (sólidas). Ejemplos: longitud. Figuras planas:  A B

 AB  A B  o AB : se lee, medida del segmento

Figuras sólidas:

 AB. Ejemplo:  A

B 8

 AB = 8 U N F V – C E P R E V I

3

 

G E O M E T R Í A

Punto medio de un segmento Operaciones con longitudes de Punto del segmento que equidista de los segmentos extremos.  A B C D 4 6 2 M B  A a

a

Para el gráfco:

 A B , entonces Si "M" es punto medio del  AB

Suma: 

AB + BC + CD = AD

 AM = MB = a. a.

: Resta Multiplicación : AB AC == AD 5CD– BD División: AB = BD 2

PROBLEMAS APLICATIVOS 1. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; de

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si: AB=3BC=5CD y AD = 46. Calcular BD. a) 20 b) 24 c) 25 d) 16 e) 32 6. Sobre una recta se ubican los los puntos consecutivos A, B, C, D y E si se cumple que: BC = CD = DE ; AE=51  AB = 2 5 9 Calcular: AC a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18

tal que: AB=a ; BC=b. Calcular manera CD.  AB = AD Si: BC CD b(a + b)   (a − b ) d) (a + b)   (a − b)

a)

b(a − b)   (b − a) (a − b ) e) (a + b )

b)

c)

a(a + b) (b − a)

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular BC, si: AD=30; AC=18 y BD=20. a) d) 6 12

b) e) 8 14

c) 10

3. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. Calcular  AD, si: AC=26; BC=12; BD=32. a) 32 b) 36 c) 40 d) 46 e) 50 4. En una recta recta se ubican ubican los puntos consecutivos P, Q, R, S y T; tal que: (PS)(QT)=63. Calcule: PS–QT Si: PR+QR+RS+RT=16 ; (PS>QT) a) d) 1 4

4

b) e) 2 5

c) 3

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; Sabiendo que AC=18 y BD=34. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de  AB  y CD . a) 20 b) 23 c) 25 d) 26 e) 30 8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; si AB=x-y; BC=x+y; CD=2y-x y AD=24. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero que puede tomar x. a) 14 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24

U N F V – C E P R E V I

 

G E O M E T R Í A

9. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular  AC, si: CD=4AB; AD+4BC=80 a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20 10. Sobre Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular: BC; a) 1 AD=40; BD=28 b) 2 y AC=15. c) 3 d) 4 e) 5 11. Se tienen tien en los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E. Calcular CD, si: AE=30; AD=26; BE=14 y BC=3. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 12. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que: CD BC= ; y 3AB+AD=20 3 AC. Calcular a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 13. Sobre Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D que forman una cuaterna armónica. Calcular AD, si: 2 − 1 = 1  AC AB 10 a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 14. Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. Calcular BD, si: BC=6,  AB = 2  y  AB = AD CD 3 BC CD b) 16 c) 18 a) 12 d) 22 e) 24 15. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; tal que: BC=AB+3 y CD=AB-1. Calcular AD, si AB toma su mínimo valor entero. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En una recta recta se ubican ubican los puntos consecutivos A, M, B, C, N y D; siendo M y N puntos medios de  AB   y CD   respectivamente. Si BC=3m y MN=9m; halle AD. a) 12 m b) 15 m c) 9 m d) 8 m e) 18 m 2. En una recta recta se ubican ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si AB=4m; BC=2m y AB·CD=BC·AD. Halle: CD a) 4 m b) 2 m c) 6 m d) 3 m e) 8 m 3. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si: BC = CD = DE  AE=110  AE=1 10 m y AB= . 5 7 9 Halle: CE. a) 68 m d) 60 m

b) 50 m e) 80 m

c) 70 m

4. En una recta se tienen los los puntos consecutivos A, B, C y D; luego se ubican los puntos medios M y N de  AB   y CD   respectivamente. Si:  AC=8m y BD=16m. Halle: Halle: MN. a) 8 m b) 9 m c) 11 m d) 12 m e) 13 m 5. En la gura, AC=2AB+40. Halle “x”.  A

a

a) 30 m d) 20 m

B

b) 10 m e) 40 m

a+x

 

C

c) 15 m

6. En una recta se tienen los los puntos consecutivos A, B y D, entre los puntos B y D se toma el punto C. Si: CD=4AC y BD–4AB=20. Halle: BC a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 1 7. En una recta se se tiene los puntos puntos conconsecutivos A, B y C; luego se ubica M punto medio de BC . Si: BC=4m y  AB·AC=3. Halle: a) 3 m b) 5 AM m d) 7 m e) 1 m

c) 4 m 5

 

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8. En la gura, M es punto medio medio de

 AC  y BC-AB=12 m. Halle: BM  A

B

a) 4 m d) 6 m

M

b) 1 m e) 3 m

C

c) 2 m

12. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D. Si: AB=4m; 1 + 1 = 2 , halle: BC CD=6m y  AB AD AC a) 3 m b) 2 m c) 3,5 m d) 1,5 m e) 2,5 m

9. En una recta recta se ubican ubican los puntos

13. Se tienen los puntos colineales y

consecutivos A, B, C, D, E y F; E es punto medio de DF . Si: AB=DE; DE=3BC; AD=18 AD=18 m y BF=27 m. Halle: CD a) 6 m b) 8 m c) 4 m d) 7 m e) 5 m

consecutivos A, B, C, D ym.E. Si: 2AE=3BD y AC+BD+CE=45 Halle: AE a) 21 m b) 23 m c) 25 m d) 27 m e) 29 m

10. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D. Si: 3AB=2BC;  AD=96 m y CD=AB+AC; CD=AB+AC; halle: BC a) 21 m b) 28 m c) 56 m d) 40 m e) 24 m 11. En la gura  gura M es punto pun to medio de

 AB . Si: AC+BC=20 m, halle MC.  A

M

a) 12 m d) 10 m

B

b) 6 m e) 15 m

C

c) 8 m

14. Los puntos A, B, C y D son colineales y consecutivos. Si: BC=2AB; CD=AB+BC y BD=10 m. Halle: AD a) 15 m b) 18 m c) 14 m d) 12 m e) 16 m 15. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D. Si: CD=2BC y 2AB+AD=21. Halle AC. a) 6 m b) 10 m c) 8 m d) 7 m e) 9 m

CLAVES 

6

1.a

2.b

3.d

4.b

5.d

6.a

7.d

8.c

9.c

10.c

11.e

12.a

13.c

14.d

15.b

1.a

2.c

3.e

4.d

5.e

6.c

7.d

8.d

9.a

10.e

11.d

12.b

13.d

14.d

15.d

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UNIDAD 2

Ángulos Consecutivos

Ángulo Definición Reunión de dos rayos no colineales con un mismo origen. Dicho origen se llama vértice y los rayos se denominan lados. lados.  A lado O vértice

α°

II. Según su característica 1. Ángulos consecutivos   - Ángulos adyacentes  A lado común

B vértice común

 

lado

O

- Ángulos complementarios

B α

m AOB = α

Elementos * Vértice: O * Lados: OA  y OB

 

α + β = 90° β

 Ángul ulos os su supl pleme ement ntar ario ioss (p (par ar lin linea eal)l) - Áng α

Clases de ángulos  

I. Según su medida 1.  Recto   Ángulos  Agudo convexos   0°