Geometria - Caderno 01

ENSINO MÉDIO TRIGONOMETRIA RIA PROFESSOR MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMET

1

MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA Luiz Roberto Dante

CONCEITOS INICIAIS DE TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 1

2

Trigonometria no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . 4 Índice de subida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 A ideia de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A ideia de seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A ideia de cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Definição de seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Relações entre seno, coseno e tangente . . . . . . . . . . 12 Tabela com valores de seno, cosseno cosseno e tangente . . . . 14 Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Aplicação: resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . 20 Conceitos básicos de geometria plana . . . . . . . . . . . . . 30

Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ceviana particulares e pontos notáveis de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relações métricas no triângulo triângulo retângulo . . . . . . . . . . Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ângulos internos e externos de um polígono . . . . . . . . Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116256 (PR)

31 33 40 42 43 44 47 49 51 60

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

MÓDULO Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

As grandes pirâmides de Gizé, no Egito, são estruturas monumentais monumentais que foram construídas, com o auxílio da Geometria, como tumbas reais para os faraós Quéops, Quéfren e Miquerinos.

   K    C    O    T    S    N    I    T    A    L    /    S    R    E    H    C    R    A    E    S    E    R    O    T    O    H    P    /    N    W    O    R    B    N    Y    L    O    R    A    C

REFLETINDO SOBRE A IMAGEM

A Geometria está em uma grande parte do nosso mundo. Formas podem ser encontradas a nossa volta, em todo lugar. As antigas civilizações egípcia e babilônica utilizavam a Geometria na partilha de terras, em construções e na observação dos movimentos dos astros, por exemplo. Uma das figuras mais proeminentes é o triângulo retângulo, utilizado, por exemplo, para achar as medidas e compor vários tipos de estrutura. Você sabe por que os triângulos são formas bastante utilizadas nas construções? Quais são as propriedades do triângulo retângulo? Conhecendo apenas a medida de um ângulo e de um dos lados do triângulo, podemos determinar a medida dos outros dois lados?    M    O    C  .    S    S    E    R    P    D    R    O    W  .    N    I    A    P    S    G    O    L    B    O    R    T    S    A    /    /   :    P    T    T    H

Ao construir uma pirâmide, o empreiteiro real precisava construir lados e ângulos iguais sem o uso de instrumentos complexos. Para certificar-se de que a base era quadrada, e não um losango, ele utilizava 4 triângulos retângulos. www.ser.com.br

CAPÍTULO

1

Trigonometria no triângulo retângulo Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.

Objetivos: c Identificar e

aplicar as relações trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente. c Aplicar conceitos de

trigonometria em

O ato de medir envolve sempre uma comparação entre grandezas. Mas como medir uma grandeza inacessível, como a altura de uma torre ou de uma árvore, a largura de um rio ou a distância entre dois planetas? Sendo a Astronomia uma ciência bastante desenvolvida na Antiguidade, imagina-se que seus questionamentos tenham despertado nos estudiosos as primeiras noções de

trigonometria. Hiparco de Niceia, conhecido como “fundador da astronomia”, foi o maior astrônomo da Antiguidade, ao lado de Cláudio Ptolomeu.

É atribuída a Hiparco a construção da primeira tábua trigonométrica no século II a.C. Mais tarde, por volta do ano 100 d.C., Ptolomeu escreveu treze livros sobre Trigonometria tomando como base o trabalho de Hiparco.

situações-problema.    S    E    G    A    M    I    R    E    H    T    O    /    Y    M    A    L    A

Hiparco (190-120 a.C.), nascido em Niceia, trabalhou em Alexandria e Rodes, onde fundou um observatório e desenvolveu importantes atividades astronômicas.

4

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Observe na figura uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:

Subida Subida

55°

30°

Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55° . 30°). Vejamos agora a seguinte situação-problema: sem conhecer os ângulos de subida , como saber qual das duas rampas abaixo é a mais íngreme?

3m 5m

4m

7m

   O    O   A    T   V    R    A   I    U   O    M    T    I    R   Q    D    R   E    O    A    F   /   :    O   A    S     Ã   D    E   Ç     Õ    A    Ç   C    A   I    R   N    T   U    S   M    U   O    L    I    C

Situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo, podem ser resolvidas com o estudo da Trigonometria.

ÍNDICE DE SUBIDA Para cada ponto P alcançado na subida, temos um percurso, um afastamento e uma altura. Exemplos: P P Percurso Altura

Percurso Altura Afastamento

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

Afastamento

Observe a figura e a tabela a seguir. D C 6m

B

4m

A 1m

2m

Po nt o A

2m 4m 8m 12 m

Af as ta me nt o 2m

A lt ur a

PARA REFLETIR

1m

B

4m

2m

C

8m

4m

D

12 m

6m

3 2 3 4 3 6

A proporcionalidade dos valores é decorrente da semelhança dos triângulos retângulos.

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

5

Para cada um dos pontos, a razão entre a altura e o afastamento correspondente é dada por: altura 1m 1 ponto A: 5 5 afastamento 2m 2 ponto B: ponto C: ponto D:

altura afastamento altura afastamento altura afastamento

5 5 5

2m 4m

5

4m 8m

5

6m 12 m

1 2 1 2

5

1 2

Note que a razão entre a altura e o afastamento, para cada ponto de uma mesma subida, é uma constante, ou seja, é sempre a mesma. No exemplo dado, essa constante é PARA REFLETIR

1 2

 e a ela damos o

nome de índice de subida:

Como devem ser a altura e o afastamento para que o índice de subida seja 1? E para que seja maior que 1?

índice de subida 5

altura afastamento

Na figura abaixo, por exemplo, o índice de subida da rampa é

2 3

 , isto é, a cada 3 unidades que

nos afastamos, elevamo-nos 2 unidades. C

B

6 A 4 2

3 6 9

Relacionando o ângulo de subida e o índice de subida Até agora, verificamos quanto uma subida é íngreme usando o ângulo de subida ou o índice de subida.

h1 h2

a

a1

b

PARA REFLETIR

a2

Relacione com ., , ou 5 os ângulos a e b e as razões

6

h h1 e 2. a2 a1

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Quanto maior o ângulo de subida, mais íngreme é a subida. Quanto maior o índice de subida, mais íngreme é a subida.

Será que podemos associar esses dois coeficientes numa mesma subida? É o que veremos a seguir.

 A IDEIA DE TANGENTE Usaremos a palavra “tangente” para associar a medida do ângulo de subida e o índice na mesma subida. A tangente do ângulo de subida é igual ao índice de subida associado, e ela será indicada por k 1.

Tangente de um ângulo de subida 5 k1 tg a 5 k1 altura 5 índice de subida tg a 5 afastamento

Altura a

Afastamento

Temos agora condições de resolver a situação-problema apresentada no início do capítulo. Vamos retomar as duas figuras e depois construir seus modelos matemáticos, que são dois

triângulos retângulos.    A    O    V    I    R    U   O    T    I    Q    R   D    A   E    /    A    O     Ã   D    Ç    A    C    I    N    U    M    O    C    O    T    A    M    R    O    F   :    S    E     Õ    Ç    A    R    T    S    U    L    I

3

3m a

4

4m

5

5m

b 7

7m

PARA REFLETIR

Índice de subida da primeira ou tg  a 5 Índice de subida da segunda ou tg  b 5 Como

3 4

Podemos concluir que

5 7

3 5 .  , a primeira subida é a mais íngreme. 4 7

3

.

5

7 4 reduzindo as duas frações ao mesmo denominador ou transformando-as em decimais.

Observação:

Além da tangente do ângulo de subida, que é obtida pela razão entre a altura e o afastamento, veremos que há outras razões que envolvem também o percurso e que podem ser úteis na resolução

de problemas.    A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

 A IDEIA DE SENO Em qualquer subida podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, que será um número indicado por k 2 , ao qual chamaremos de seno de a.

altura 5 número k 2 percurso O número k2 , da mesma forma que a medida do ângulo de subida, pode nos indicar quanto a subida é íngreme.

Percurso Altura a

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

Seno de um ângulo de subida 5 k2 sen a 5 k2 altura sen a 5 percurso

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

7

PARA REFLETIR Pense em duas subidas com percursos iguais e ângulos de subida a e b, com a b: Qual delas terá altura maior?

De onde vem o nome seno? Quando estudei Trigonometria no colégio, meu professor ensinou que seno vem do latim sinus, que significa seio, volta, curva, cavidade (como nas palavras enseada, sinuosidade). E usou o gráfico da função, que é realmente bastante sinuoso, para

 justificar o nome. Mais tarde vim a aprender que não é bem assim. Sinus é a tradução latina da palavra árabe  jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isso não

Quem é maior: sen a ou sen b?

tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defei-

Qual das subidas é mais íngreme?

Quem é maior: cos a ou cos b?

tuosa, que infelizmente durou até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida seria  jiba, em vez de  jaib.  Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra). Uma explicação para esse erro é proposta por A. Aaboe ( Episódios da história antiga da Matemática, p. 139): em árabe, como em hebraico, é frequente escreverem-se

Faça desenhos para conferir suas respostas.

de “jiba” e “jaib” terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco

  Qual delas terá afastamento maior?

apenas as consoantes das palavras; o leitor se encarrega de completar as vogais. Além comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito. Evidentemente, quando se buscam as origens das palavras, é quase inevitável que se considerem várias hipóteses e dificilmente se pode ter certeza absoluta sobre a conclusão. Há outras explicações possíveis para a palavra seno. Uma delas é de que se

teria originado da abreviatura s. ins. (semicorda inscrita). LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática . Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)/Vitae – Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social, 1991. p. 187. Adaptado.

 A IDEIA DE COSSENO Em qualquer subida podemos determinar a razão entre o afastamento e o percurso, número que indicaremos por k3 e chamaremos de cosseno de a.

afastamento percurso

5 número k 3

O número k3 , da mesma forma que a medida do ângulo de subida, indica-nos quanto a subida é íngreme. Cosseno de um ângulo de subida 5 k3 cos a 5 k3

Percurso Altura

cos a 5 a

afastamento percurso

Afastamento

 DEFINIÇÃO DE SENO, COSSENO E TANGENTE POR MEIO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Se ABC é um triângulo retângulo em A, temos:  é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto);

a

b e c são as medidas

C

dos catetos (lados que formam o ângulo

C B

reto); B e C são ângulos agudos;

B

a

B

b

AC  é o cateto oposto ao ângulo B; B

AB  é o cateto adjacente ao ângulo B. B

B

B

B

8

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

c

A

Consideremos agora um ângulo AOB 5 u , 0° , u , 90° e tracemos, a partir dos pontos C, E, G, etc. da semirreta OA, as perpendiculares CD, EF, GH, etc. à semirreta OB. B

G

A

E C

u

O

D

F

H

B

Os triângulos OCD, OEF, OGH, etc. possuem os mesmos ângulos internos; logo, são s emelhantes. Podemos, portanto, escrever: CD EF GH 5 5 5 ... ( constante) OC OE OG Essa relação depende apenas do ângulo u (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual e escrevemos:

PARA REFLETIR

u é um dos ângulos agudos). Ela é chamada de seno de u ,

sen u 5

CD

5

Com um colega, procure justificar as seguintes afirmações:

medida do cateto oposto ao ângulo u

OC

medida da hipotenusa

Se B é um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, então: B

(0° , u , 90°)

  sen B é um número entre 0 e 1; B

De modo análogo, da semelhança de triângulos obtemos as relações:

  cos B é um número entre 0 e 1; B

OD OC CD

5

5

OD

OF OE EF OF

5

5

OH OG GH OH

5 ...

( constante)

5 ...

( constante)

tg B  é um número maior do que 0 e pode ser menor, igual ou maior do que 1. B

C C

B

que também dependem apenas do ângulo u e que definimos, respectivamente, como cosseno do ângulo u e tangente do ângulo u:

Hipotenusa

Cateto oposto a B B

B B

cos u 5

OD

medida do cateto adjacente ao ângulo

5

OC

u

B

Cateto adjacente a B A B

medida da hipotenusa

(0° , u , 90°) tg u 5

CD

medida do cateto oposto ao ângulo u

5

OD

medida da cateto adjacente ao ângulo u    A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

(0° , u , 90°) CD OD CD As razões u 5  são chamadas razões trigonométricas em  , cos u 5 e tg u 5 OC OC OD relação ao ângulo u. Observação: A semelhança de triângulos é a base de toda a trigonometria.

Seno, cosseno e tangente só dependem do ângulo É importante salientar que sen B, cos B e tg B dependem apenas do ângulo B, mas não do tamaB

B

B

B

nho do triângulo retângulo do qual B é um dos ângulos agudos. Vamos provar isso. B

Consideremos dois triângulos retângulos, ABC e A'B'C', que tenham um ângulo agudo de mesma medida ( B ; B'). Nesse caso, eles são semelhantes, pois têm dois ângulos correspondentes, B ; B' e A A' (retos): B

B

;

B

B

B

 é o símbolo matemático para

;

congruência (> também é utilizado).

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

B

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

9

C

b

a

C B

B B

c

A

C'

B

C B

a' b'

B B

c'

A'

B'

Dessa semelhança, temos: b' b 5 a' a

c' a'

5

c a

b' c'

5

b c

ou seja, sen B' 5 sen B, cos B' 5 cos B e tg B' 5 tg B. Portanto, o seno, o cosseno e a tangente dizem respeito apenas ao ângulo, e não ao triângulo que os contém. B

 BIOGRAFIA Matemático e físico francês, Jean-Baptiste Joseph Fourier  (1768-1830) é reconhecido por mostrar como a condução de calor em corpos sólidos pode ser analisada em termos de séries, matemáticas infinitas, chamadas de séries de Fourier.

B

B

B

B

B

Trigonometria: história e importância As funções trigonométricas constituem um tema importante da Matemática, tanto por suas aplicações (que vão desde as mais elementares, no dia a dia, até as mais complexas, na ciência e na alta tecnologia) como pelo papel central que desempenham na Análise de Fourier. A Trigonometria teve seu início na Antiguidade remota, quando se acreditava que os planetas descreviam órbitas circulares ao redor da Terra, surgindo daí o interesse em relacionar o comprimento da corda de uma circunferência com o ângulo central por ela subtendido. Se c a é o comprimento da corda, α é o ângulo e r  é o raio da circunferência, então c 5 2r � sen . 2 O objeto inicial da Trigonometria era o tradicional problema da resolução de triângulos, que consiste em determinar os seis elementos dessa figura (três lados e três ângulos) quando se conhecem três deles, sendo pelo menos um deles um lado. Posteriormente, com a criação do cálculo infinitesimal e do seu prolongamento, que é a análise matemática, surgiu a necessidade de atribuir às noções de seno, cosseno e suas associadas tangente, cotangente, secante e cossecante o status de função real de uma variável real. Assim, por exemplo, ao lado de cos A, o cosseno do ângulo A, tem-se também cos x, o cosseno do número real x , isto é, a função cos: R → R. Analogamente, têm-se as funções sen , tg , cotg , sec e cossec , completando as funções trigonométricas. Uma propriedade fundamental das funções trigonométricas é que elas são periódicas. Por isso são especialmente adaptadas para descrever os fenômenos de natureza periódica, oscilatória ou vibratória, os quais abundam no Universo: movimento de planetas, som, corrente elétrica alternada, circulação do sangue, batimentos cardíacos, etc. A importância das funções trigonométricas foi grandemente reforçada com a descoberta de Joseph Fourier, em 1822, de que toda função periódica (com ligeiras e naturais restrições) é uma soma (finita ou infinita) de funções do tipo a � cos nx 1 b � sen nx. Para que se tenha uma ideia da relevância dess e fato, que deu origem à chamada Análise de Fourier, basta dizer que, segundo o banco de dados da revista Mathematical Reviews , o nome mais citado nos títulos de trabalhos matemáticos nos últimos 50 anos é o de Fourier. B

B

LIMA, Elon Lages et al.  A Matemática do Ensino Médio – v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 1997. p. 209. Coleção do Professor de Matemática. Adaptado.

10

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

PARA CONSTRUIR 1

c) Calcule o valor das expressões:

Examine o triângulo retângulo da figura e calcule o valor das razões em cada item. Avalie se os resultados estão coerentes com as afirmações do “Para refletir” da página 9.

sen F cos F

B

(sen F)2 1 (cos F)2 1 B

B

5 11 11

B

Sim, os resultados estão coerentes.

B

sen G

11

cos G

5

B

sen2 G 1 cos2 G 1 B

b

B

15

9

PARA a

REFLETIR

12

a) sen a 9 sen α =  = 3  = 0,6 15 5

B

sen b = 12  = 4  = 0,8 15 5

b) cos a

cos b = 9  = 3  = 0,6 15 5

c) tg a

f ) tg b

9 3 tg α =  =  = 0,75 12 4

tg b =

F

B

5

11  e tg 6

F

B

5

B

(UEMG) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme mostra a figura:

12 4  = 9 3

Em um triângulo EFG, retângulo em E, temos sen cos

B

Usa-se com mais frequência sen 2 G.

3

e) cos b

12 4 cos α =  =  = 0,8 15 5

2

sen2 G é o mesmo que (sen G)2.

d) sen b

F

B

5

5 11 . 11

5 , 6 60° 1,20 m

130 cm

F

F

B

G B

E

G

Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a altura do monumento, em metros, é aproximadamente: d a) 6,86 Admitindo que 1,20 m seja a disb) 6,10 tância do teodolito ao eixo vertical c) 5,24 do monumento, temos: d) 3,34

a) Calcule sen G, cos G e tg G. B

B

B

sen G = EF  = cos F = 11 FG 6 EG 5 cos G =  = sen F = 6 FG B

B

B

60°

B

1,20 m

tg G 5 EF 5 1 5 1 5 1 5 11 5 11 ⋅ 115 11 EG EG tg F 5 11 5 11 5 11 11 5 EF 11

130 cm

B

B

b) Se a hipotenusa do nEFG mede 30 cm, quanto medem os

catetos? sen F

B

cos F

EG 5

B5

30

5 5

EF 30

6

⇒ EG 5 25

11 5

6

⇒ EF 5 5

Sendo x a altura do monumento, temos: x 2 1,30

5 tg 60º 1,20 x 2 1,30 5 1,20 ⋅ 3

Logo, x é aproximadamente 1,30 + 2,04, ou seja, x = 3,34 m.

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

11

   M  TAREFA PARA CASA: Para

praticar: 1 e 2

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

11

 RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias formas, como veremos a seguir.  1a) Relação fundamental do triângulo retângulo No triângulo retângulo ABC (A é reto) da figura abaixo, em que a é a medida de C e b é a medida de B, temos: B

B

B

C

PARA REFLETIR

a a b

O cateto oposto ao ângulo β é o cateto adjacente ao ângulo α.

b A

c

sen a 5

cos b 5 c   a

cos a 5 b a

tg b 5

B

c a

sen b 5 b   a

b c

tg a 5

c b

Observe que a 1 b 5 90° (ângulos complementares). Logo, a 5 90° 2 b e b 5 90° 2 a. Os ângulos a e b são agudos. Nas relações anteriores vimos que: sen b 5 cos a , ou seja, sen b 5 cos (90° 2 b) cos b 5 sen a , ou seja, cos b 5 sen (90° 2 b) Então, para ângulos agudos a  e b  tal que a 1 b 5 90°, temos: O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento; O cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento (cosseno: seno do complemento).

PARA REFLETIR

Ainda no mesmo triângulo retângulo da figura, usando a relação de Pitágoras, a 2 5 b 2 1 c 2 , podemos mostrar que: 2

sen2 a 1 cos2 a 5

 c    a  

2

1

 b   5  a  

c 2 b2 b2 1 c 2 a2 5 2 5 1 2 1 2 5 2 a a a a

ou seja:

Como sen2 a 1 cos2 a 5 1, basta construir a tabela de senos para ter a de cossenos, ou vice-versa.

sen2 a 1 cos2 a 5 1  (0° , a , 90°)

tg α 5

 2a)

sen α cos α

 (0° , a , 90°)

Demonstração: C

a b

a

A

12

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

c

B

b a sen a b 5 5 5 tg a ou c cos a c a b a b sen a  (dividimos ambos os termos da razão por a Þ 0) tg a 5 5 5 c c cos a a sen a Portanto, tg a 5   (0° , a, 90°) cos a  3a) Se num triângulo retângulo conhecermos um ângulo agudo a e a medida a da hipotenusa, os catetos medirão: a ? sen a (cateto oposto a a) a ? cos a (cateto adjacente a  a)

b

a a

? sen a

a a

? cos a

 4a) Se dois ângulos a e b são complementares (a 1 b 5 90°), então sen a 5 cos b (o seno de um 1 ângulo é igual ao cosseno do ângulo complementar e vice-versa) e tg a 5 . tg β Demonstração: C b

a

b

a

B

c

A

a e b são complementares

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente no triângulo anterior, temos: sen a 5 b 5 cos b ; portanto, a

sen a 5 cos b

cos a 5 c 5 sen b ; portanto, a

cos a 5 sen b

tg a 5

b 1 1 5 5  ;  portanto, c c tg b b

tg a 5

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

1 tg b

Observações: Dessa propriedade surgiu o nome cosseno: seno do complemento. Com essa propriedade, conhecendo as razões trigonométricas de ângulos a , tal que 0° , a , 45°, passamos a conhecer imediatamente as razões trigonométricas dos ângulos complemen tares b , tal que 45° , b , 90°, e vice-versa. Por exemplo, sabendo que sen 30° 5 1 , já sabemos que 2 1 cos 60° 5  , pois 30° e 60° são complementares. 2

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

13

 TABELA COM VALORES DE SENO, COSSENO E TANGENTE Sabemos que, em um nABC, retângulo em A, temos: B

C C B

PARA REFLETIR

a

b

B B

Se a é um ângulo agudo, então tg a, sen a e cos a são números reais tal que: 0 , sen a , 1 0 , cos a , 1 tg a . 0

A

B

c

b 5 sen B, ou seja, b 5 a ? sen B a c  cos B, ou seja, c  a  cos B 5 5 ? a B

B

B

B

Da mesma forma chegamos a: b 5 a ? cos C c 5 a ? sen C b 5 c ? tg B c 5 b ? tg C B

B

B

B

Sabemos também que vale a relação de Pitágoras, que envolve as medidas dos três lados (a 5 b2 1 c2), e a relação m( B) 1 m(C) 5 90°, que envolve as medidas dos dois ângulos agudos. Assim, por meio dessas relações e da tabela com valores de seno, cosseno e tangente de ângulos agudos (de medidas em graus), conseguimos descobrir as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo retângulo, bastando para isso conhecer as medidas de dois lados ou de um lado e um ângulo agudo. 2

B

B

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1

 (IFSP) Uma forma pouco conhecida de arte é a de preenchimento de calçadas com pedras, como vemos na calçada encontrada em Brazlândia – DF, conforme a figura.

Com base nas informações anteriores, os catetos de cada triângulo medem, em cm, a) 2 5 e 2 b) 2 5 e 2 c) 2 5 e 5 d) 50 e 50 3 e) 5 0 e 5

100

y

30º x

RESOLUÇÃO: Em relação ao desenho da calçada, considere o seguinte: todos os triângulos são retângulos; cada triângulo possui um ângulo de 30°; a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm.

14

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

y

⋅

x

⋅

Alternativa d.

1 2

5

3 2

50

5

50 ⋅ 3

Tabela trigonométrica Seno, cosseno e tangente são conhecidos há muito tempo, e os antigos tabelaram, para todos os ângulos de 1° a 90°, os valores dessas relações (veja a tabela na página 29). Hoje em dia , as tabelas trigonométricas foram em grande parte substituídas pelas calculadoras científicas, que oferecem os valores de senos, cossenos e tangentes com precisão e maior facilidade de manipulação.

PARA CONSTRUIR 4

Responda com base na análise do triângulo retângulo da figura a seguir. y

A

B B

B

z

Dado cos α 5 0,8, a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é: c P a) 4,8 b) 5,0 Q M c) 3,8 d) 4,4 e) 4,0 a

x C B

a

S

N

C

a) Qual é o valor da soma m( B) 1 m(C)? B

T

B

m(A) 1 m(B) 1 m(C) 5 180° ⇒ 90° 1 m(B) 1 m(C) 5 180° ⇒ ⇒ m(B) 1 m(C) 5 90° B

B

B

B

B

B

B

b) Indique as frações correspondentes a sen B, cos B, tg B, B

sen C, cos C e tg C. B

B

5

B

B

z z sen B 5 ;  cos B 5 ; tg B 5 ; sen C x x y B

B

B

B

B

5

y ; cos C x B

5

z ; tg C 5 z x B

 (Vunesp) A caçamba de um caminhão basculante tem 3 m de comprimento das direções de seu ponto mais frontal P até a de seu eixo de rotação e 1 m de altura entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal e, isto é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura.

Considere a figura. Sabendo que cos α 5 0,8 e sen 2 α 1 cos2 α 5 1, obtemos sen α 5 0,6. Logo, do triângulo QNS vem: sen α

5

QS ⇔ QS NQ

5

0,6 ⋅ 3

5

1,8 m.

Por outro lado, do triângulo MPQ, encontramos: os α

5

MP PQ

⇔ MP 5 0, 8 ⋅ 15 0, 8 m.

Assim, o resultado pedido é dado por: MP 1 QS 1 ST 5 0,8 1 1,8 1 1,2 5 3,8 m.

P

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

1m s

3m

Q

α

r

Eixo de rotação

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

1,2 m

   M

Disponível em: . Adaptado.

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

15

Quadro-resumo sobre triângulos retângulos C

O triângulo ABC é retângulo em A, isto é, A é reto (90°). a: medida da hipotenusa b e c: medidas dos catetos A: reto (90°) B e C: agudos e complementares ( B 1 C 5 90°) B

C B

B

B

B

B

b

B

Relação entre os lados (relação de Pitágoras): a

2

2

a

2

5 b 1 c

Relação entre os ângulos: A 1 B 1 C 5 180° B

 B

B

Relações entre lados e ângulos:

B

B

b sen B 5 a c cos B 5 a b tg B 5 c c sen C 5 a b cos C 5 a c tg C 5 b Relações entre seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos:

B

c

A

B

B

B

B

B

B

www.ser.com.br

sen2 B 1 cos2 B 5 1 B

tg B 5

B

B

sen B cos B

B

sen B 5 cos C B

B

 , pois B 1 C 5 90°  B

B

Acesse o portal e abra o simulador Razões trigonométricas e conceitos. Visualize as relações apresentadas no capítulo e realize aplicações.

2

senC tg C 5 cos C

2

sen C 5 cos B B

B

B

sen C + cos C 5 1 B

B

B

B

B

Ângulos e medidas de segmento No triângulo abaixo está traçada a altura h em relação à base AB. C

h

A

H

B

Neste caso, temos: sen B 5  B

h ⇒ h 5 BC ? sen B BC

 B

Vemos, por essa fórmula, que a Trigonometria nos auxilia a relacionar ângulos com comprimentos de segmentos. Isso mostra que ela é uma importante ferramenta de cálculo na Geometria.

16

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

EXERCÍCIO RESOLVIDO 2

Determine a área da região triangular abaixo. C

7 cm h 20° A

B 12 cm

RESOLUÇÃO: sen 20° 5 0,342; BC 5 7 cm; AB 5 12 cm AB ⋅ h 5? Área 5 2 h 5 BC ? sen B ⇒ h 5 7 ? 0,342 ⇒ h  2,4 cm Logo: 12 ⋅ 2,4 2 5 14,4 cm Área 2 A área da região triangular é de, aproximadamente, 14,4 cm 2. .

B

.

PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM SEGMENTO DE RETA SOBRE UM EIXO Observe que, se A'B' é a projeção ortogonal do segmento de reta AB sobre um eixo, então as medidas de AB e A'B' são relacionadas pela fómula: A'B'

 AB  cos α

5

?

em que a é o ângulo formado por AB e o referido eixo. B

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

a

A

A'

B'

Exemplo: Se AB 5 5 cm e a 5 29°, temos que: A'B' 5 AB ? cos a ⇒ A'B' 5 5 ? cos 29° Consultando a tabela de razões trigonométricas ou usando uma calculadora científica, vemos que cos 29° = 0,875. Logo, A'B' 5 5 ? 0,875  4,38. Portanto, A'B' 5 4,38 cm.

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

.

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

17

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RESOLUÇÃO:

“Resolver” um triângulo retângulo é determinar as medidas não conhecidas dos seus seis elementos (3 lados e 3 ângulos) quando se conhecem somente algumas delas. 3

Dados

“Resolva” o triângulo retângulo abaixo usando a tabela da página 29 ou uma calculadora científica.

1: medida do cateto oposto ao ângulo de 15° x : medida do cateto adjacente ao ângulo de 15°

tg 15° 5

B

b

⇒ x 5

x

4

6

a A

1 0,26

 3,84

>

Consulte a tabela da página 29 e responda: a) Se sen a 5 0,94, qual o valor de a?

C

4 3

1 1 ⇒ 0,26 5 ⇒ 0,26x 5 1 ⇒ x x

b) Se cos a 5 0,407, qual o valor de a?

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

Conhecemos AB (4), AC BC (x), C (a) e B (β). B

(

)  e A (90°). Devemos descobrir

a) Na tabela da página 29 procuramos por 0,94 na coluna do

B

seno (sen). Encontramos o valor de a 5 70°.

B

2

) ⇒ x 5 16 1 48 ⇒ x 5 64 ⇒ x 5 8 x 5 4 1 ( 4 1 sen a 5 5 5 0,5 ⇒ α 5 30° (Usando a tabela da pági8 2 na 29.) 2

2

2

A 1 B 1 C 5 180° ⇒ 90° 1 b 1 30° 5 180° ⇒ b 5 60° B

b) Na mesma tabela, procuramos por 0,407 na coluna do

2

B

cosseno (cos). Encontramos o valor de a 5 66°. Poderíamos também usar uma calculadora científica em vez da tabela. 7

2 Se a é a medida de um ângulo agudo e cos a 5 , quanto 5 vale tg a?

Portanto, BC 5 8, B 5 60° e C 5 30°. B

4

B

RESOLUÇÃO:

No triângulo retângulo da figura abaixo, calcule a medida x indicada. (Dados: sen 40° 5 0,64; cos 40° 5 0,76 e tg 40° 5 0,83.)

Consideremos um triângulo retângulo cujo cateto adjacente ao ângulo de medida α vale 2 e a hipotenusa vale 5, ou seja, 2 cos α 5 . 5

C

6

x

5 x

40° B

52 5 x2 1 22 ⇒ x2 5 25 2 4 5 21 ⇒

A

RESOLUÇÃO: Dados

5

x x ⇒ 0,64 5 ⇒ x 5 0,64 ? 6 5 3,84 6 6

  No triângulo retângulo abaixo, calcule a medida x indicada. (Dados: sen 15° 5 0,25; cos 15° 5 0,96 e tg 15° 5 0,26.) C

1 15° B

18

⇒ x 5 21 Portanto:

a

6: medida da hipotenusa x : medida do cateto oposto ao ângulo de 40°

sen 40° 5

x

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Aplicando o teorema de Pitágoras, calculamos o valor de x :

A

2

tg a 5

x 21 5 2 2

PARA REFLETIR A solução deste exercício resolvido também pode ser obtida usando as relações sen2 a 1 sen , 1 cos2 a 5  1 e tg a 5 cos α para a agudo.

8

1  Uma rampa tem índice de subida igual a . Qual é o ângulo 5 de subida dessa rampa?

Para obter o ângulo de subida a, vamos calcular tg a:

RESOLUÇÃO: Vamos considerar uma rampa com altura 1 e afastamento 5, pois o índice 1 de subida é . 5

cateto oposto cateto adjacente

tg a 5

1 5

0,2

Procurando na tabela da página 29 o ângulo cuja tangente é 0,2, encontramos um valor entre 11° e 12°. Portanto, vamos admitir a 5 11,5°. Observação: Se utilizarmos uma calculadora científica, obteremos a 5 11,3°.

1 a

5

PARA CONSTRUIR 6

c) Calcule sen 60°, cos 60° e tg 60° utilizando o triângulo re-

Você vai construir uma tabela de valores muito importantes. Para isso:

tângulo destacado do triângulo equilátero abaixo:

a) Calcule sen 45°, cos 45° e tg 45° utilizando o triângulo re-

tângulo destacado do quadrado abaixo: ,



2

2

,



60°

,



,

,

,

2

2

2

ø

tg 45º

2 ⋅ 2 2

, 5

,

, 5

,

5

2 2

cos 45º

, 5

,

2 ⋅ 2 2

5

2 2

sen 60º 5

1

ø

5

tg60º 5

30°

,

, , 3

2

2

,

,

,

2

2

2

7 , 5

2 ,

, 5

1 2

cos30º

,

tg30º

5

2 3

,

2

5

3 3

5

3 2 ,

5

3 2

5

ø

3 2 ø

5

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são chamados ângulos notáveis.

,

, 3

ø

3 2

cos60º 5

2

5

ø

1 2

3

d) Com os valores que você encontrou, complete a tabela:

tângulo destacado do triângulo equilátero abaixo:

30°

3 2

2

b) Calcule sen 30°, cos 30° e tg 30° utilizando o triângulo re-

sen 30º

60°

45°

45°

sen45º

, , 3

 2

 2



, , 3

30°

45°

60°

sen

1 2

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tg

3 3

1

3

(UFRN) A figura a seguir é formada por três triângulos retângulos. As medidas dos catetos do primeiro triângulo são iguais a 1. Nos demais triângulos, um dos catetos é igual à hipotenusa do triângulo anterior e o outro cateto tem medida igual a 1. Considerando os ângulos a, β e γ   na figura, atenda às solicitações seguintes.

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

1

1

g

1

b a

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M 1

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

19

a) Calcule tg a, tg β e tg g. tg α 51 1 ⋅ 2 1 tg γ 5 ⋅ 3 tg β 5

2 5 2 3 5 3

2 2 3 3

 2 0

 c m

5 cm

b) Calcule os valores de a e g. a 5 45° g 5 30°

a) 75° b) 60°

c) Justifique por que 105° , a 1 β 1 g , 120°.

c) 45° d) 30° e) 15°

30° , b , 45° ⇒ 75° 1 30° , 75° 1 b , 45° 1 75° ⇒ ⇒ 105° , 45° 1 30° 1 b , 120° ⇒ 105° , a 1 b 1 g , 120° sen α 5

 c m  1 0

5

5 ⇒ α 5 30º 10

a

8

5 cm

(UFPR) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar? d  TAREFA PARA CASA: Para

praticar: 3 a 9 Para aprimorar: 1 a 4

 APLICAÇÃO: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Vamos resolver agora alguns problemas cujas soluções exigem o conhecimento das razões trigonométricas no triângulo retângulo.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 9

 (UFSJ-MG) Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo de 30° com a horizontal, quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e um ângulo de 45° se for encostada ao prédio do outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do chão.

RESOLUÇÃO:

Sabendo que a distância entre os prédios é igual a (5 2 )   metros de largura, assinale a alternativa que contém a altura da escada, em metros.

x x

a) b) 5

20

c) 10 3 d) 10

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

30°

45°

5 3 1 5 2

Considerando x a altura da escada, temos: x  ⋅ x

⋅

x5

⋅

°

3

1

2 0m

5

5 5(

2

Calcule a altura h de uma formação rochosa sabendo que a 5 44°, β 5 39° e p 5 120 m. Use uma calculadora ou consulte a tabela trigonométrica da página 29 para obter os valores de seno, cosseno e tangente que forem necessários.

1

)

1

RESOLUÇÃO:    S    E    G    A    M    I    Y    T    T    E    G    /    I    N    I    T    S    O    G    A    E    D

10  Do

alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo de 45 m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60°. A que distância o barco está da plataforma? h

RESOLUÇÃO: Realidade

44°

Modelo matemático

39°

a 60°

60° 30°

45 m

h 5 0,966 ⇒ h 5 0,966a a h tg 39° 5 5 0,810 ⇒ 120 1 a tg 44° 5

30° 45

⇒ h 5 0,810(120 1 a) 5 0,966a ⇒ ⇒ 97,2 1 0,810a 5 0,966a ⇒ 0,156a 5 97,2 ⇒ ⇒ a  623,08 Então, h  602 m.

x

Pela figura, temos:

.

.

45: medida do cateto adjacente ao ângulo de 30° x : medida do cateto oposto ao ângulo de 30° tg 30° 5

3 x ⇒ 3 45

⇒ x 5 15 3

5

Medida do raio da Terra

Como medir o raio da Terra, um comprimento inacessível às medidas diretas?

 25,95 m

.

RESOLUÇÃO:

Portanto, o barco está a 25,95 m da plataforma. 11

A formação rochosa tem, aproximadamente, 602 m. 12

x 45 3 ⇒ x 5 ⇒ 45 3

 15(1,73)

.

120 m

Medição de alturas inacessíveis

Medir alturas de montanhas e outras formações rochosas, em geral, não é simples. Pelo fato de não ser possível obter as medidas do triângulo retângulo teórico que permite o cálculo da altura por meio do uso das relações trigonométricas (a não ser que se fizesse um túnel até o centro da montanha, o que não é prático), deve-se recorrer a outra técnica. Uma técnica que permite a medição correta da altura é a seguinte: de um ponto no chão, mede-se o ângulo de elevação do chão ao topo da montanha (a); caminha-se um valor conhecido de metros para trás (p); mede-se novamente o ângulo de elevação do chão ao topo da montanha ( β).    S    E    G    A    M    I    Y    T    T    E    G    /    I    N    I    T    S    O    G    A    E    D

α

β p

Um processo usado desde a época dos gregos é o seguinte: sobe-se a uma torre de altura h e mede-se o ângulo a que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar. B h 

Torre

C

  t  e   o  n    i  z   r    h  o   d  o    h  a    i  n    L

R

R

O

   K    C    O    T    S    R    E    T    T    U    H    S    /    I    T    T    E    V    L    A    C    O    L    L    E    N    O    E    L

Examinando a figura percebe-se que: R 5 sen a ⇒ R ? sen a 1 h ? sen a 5 R ⇒ R 5 h sen α sen α R h Com as medidas h e a (que são acessíveis) e uma tabela de senos (ou uma calculadora), podemos chegar à medida do raio da Terra.

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

21

PARA CONSTRUIR 9

O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1 577 metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, depois de se deslocar 12,5 km, atinge o topo do Pico Espejo. Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que θ seja o ângulo, com vértice na estação de Barinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme a figura.

(UFG-GO) Um navio, que possui 20 m de altura sobre a água, passa por um canal e, em certo momento, o capitão da embarcação avista uma ponte plana sobre o canal, a qual ele desconhece as dimensões e tem de decidir se o navio pode passar sob a ponte. Para isso, ele inicia uma série de cálculos e medições. A primeira constatação que ele faz é a de que, a uma certa distância, d, da projeção da base da ponte, a inclinação do segmento que une a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é de 7°. Percorridos 102 m em linha reta em direção à ponte, ele volta a medir a inclinação, obtendo um ângulo de 10°, e verifica que a distância entre a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio é de 100 m, como ilustra a figura a seguir.

Topo do Pico Espejo

Cabo do teleférico

10°

7°

20

1 0 0

h

102

4

Nessas condições, determine o valor aproximado do ângulo θ. b Utilize:

d

Diante do exposto, admitindo que a superfície do rio é plana, determine a altura da ponte e conclua se esta é suficiente para que o navio passe sob ela. Dados: tg (7°)

.

0,12e cos (10°)

.

Medida

0,98



Seno

Cosseno

Tangente

11°

0,191

0,982

0,194

15°

0,259

0,966

0,268

18°

0,309

0,951

0,325

22°

0,375

0,927

0,404

25°

0,423

0,906

0,467

do ângulo

Tem-se que: d − 102 d − 102 cos10° 5 ⇒ 0,98 ⇒d 200 m. 100 100 Daí, h tg7° 5 ⇒ h 0,12 ⋅ 200 ⇒ h 24 m. d Portanto, como 24 . 16, segue-se que a altura da ponte é suficiente para que o navio passe sob ela. 

u

Barinitas

Ponte





a) 11° b) 15° c) 18° d) 22° e) 25°

10   (Ceeteps-SP)

O passeio em teleférico é uma opção turística em várias cidades do mundo. O teleférico mais alto e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo topo está a uma altura de 4 765 metros acima do nível do mar.

 0   5 ,  0  1  2 4,765 m

4,765 2 1,577 5 3,188 m

u

1,577 m

Na figura, temos: 3,188 sen θ 5 5 0,25504 12,500 De acordo com a tabela dada, a medida aproximada de u é 15°.

11

22

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

(Cefet-MG) Uma formiga sai do ponto A e segue por uma trilha, representada pela linha contínua, até chegar ao ponto B, como mostra a figura.

dulo (tamanho) 10, cuja direção está inclinada 30° em relação à horizontal. Use seus conhecimentos de trigonometria para calcular qual é o módulo (tamanho) do vetor vx na horizontal e do vetor vy na vertical. (Observação: As linhas tracejadas são perpendiculares aos eixos horizontal e vertical.)

A

2m

60° 3m

v

vy

1m

 10

5

30° vx

3 55 3 2 1 vy 5 10 ? sen 30 o = 10 · 5 5 2 vx 5 10 ? cos 30o = 10 ·

2 3m

B

13  (UEPG-PR)

Num instante t1, um avião é visto por um observador situado no solo sob um ângulo de 60° e, no instante t2, sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião voa numa reta horizontal a uma altitude de 5 km, assinale o que for correto.

A distância, em metros, percorrida pela formiga é: d a) 11 2 3

(01)No instante t1, a distância entre o observador e o avião é

b) 3 1 3 3

10 3 km.. (02)No instante t2, a distância entre o observador e o avião é

c) 5 1 2 3

10km. (04)A distância percorrida pelo avião entre os instantes t 1 e t2 é maior que 5 km. (08)A distância percorrida pelo avião entre os instantes t 1 e t2 é menor que 4 km. 02 1 04 5 06

d) 7 1 3 3 A

2m

A 60°

x

3m 30° 1m

x

30°

2 3m

z

t2

⇔

3 3

5

2 1 x 1 11 y 1 2 3 5 2 1 4 1 11 3 1 2 3 5 (7 1 3 3) m 12   Em

Física, muitas grandezas são representadas por vetores: segmentos de reta orientados que possuem um tamanho (fala-se “módulo” do vetor), uma direção e um sentido (indicado pela flecha na ponta do vetor). Quando a direção desses vetores não é nem horizontal nem vertical, eles podem ser decompostos em outros dois vetores, sendo um horizontal e outro vertical. Na figura a seguir, você observa um vetor v, de mó-

5

⇒

B

5 10 3 km ⇒ y5 y 3

1 5 5 2 x

⇒

x 5 10 km

(04) Verdadeira, pois o triângulo At 1t2 é isósceles, logo z (08) Falsa, pois z 5 y . 5

1 ⇔ y5 3 y

Logo, a distância percorrida pela formiga é:

3 2

⇒

5 (02) Verdadeira, pois sen 30° 5 x

Calculando x e y nos triângulos assinalados: 2 1 2 sen 30° 5 ⇔ 5 ⇔ x 5 4 x 2 x 1 y

5 km

60° w

t1

5 (01) Falsa, pois sen 60° 5 y

B

tg 30° 5

y

30° y

14

5 y . 5

(Vunesp) A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferências.

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

C D r O

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

   M

P

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

23

Se α é a medida do ângulo COP, o valor de sen a é:

Qual foi a largura do rio que ele encontrou? a

a) 1

a) 9 3 m etros

B

6 5 b) 11 1 c) 2 8 d) 23

b) 3 3 m etros

x

8

3

α

O

C

14

D

r

E

Rio

60° 9m

x tg 60° 5 ⇒ x 5 9 ⋅ tg 60° 5 9 ⋅ 3 m 9

P

16  (Uneb-BA)

A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa a uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada como prática esportiva, sendo considerada um esporte radical.

e) 3

8 Pelo nODE, temos sen

a 5

3 31x

Pelo nOPC, temos sen

a 5

8 14 1 x

Então: 3 8 5 3 1 x 14 1 x

⇒ 42 + 3x 5 24 + 8x ⇒ 18 5 5x ⇒

18 x 5  cm 5

Logo: sen a 5

x

9 3 metros 2 d) 3 metros e) 4,5 metros c)

3 18 5

⇒

sen a 5

31

33 5

⇒

sen a

5

15 33

⇒ sen a 5

5 11

15   (ESPCEX-SP)

Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma ár vore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo ( teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B fosse reto e obteve π uma medida de  rad para o ângulo ACB. 3 B

Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as alturas das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 52 m e 8 m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80°. Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10° = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a: a a) 250 80° b) 252 44 m 52 m c) 254 10° d) 256 8m e) 258 x

tg 10° 5

44 44 ⇒x5 ⇒ x 5 250 m. x 0,176

 TAREFA PARA CASA:

Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As resoluçõe s encontram-se no portal , em Resoluções e Gabaritos.

Para praticar: 10 a 18 Para aprimorar: 5 a 12

TAREFA PARA CASA

As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.

1

C

a)

PRATICAR PARAPARA PRATICAR

C

c) 8

No triângulo retângulo abaixo, determine o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B; depois, consulte a tabela e determine a medida aproximada de B, em graus.

40°

x

B

B

C A 4 2

B

62°

b)

5

A

B 5 3

C

x

A

30°

B

2

24

2 3

A

Nos triângulos retângulos seguintes, calcule a medida x indicada. (Dados: sen 62° 5 0,88; cos 62° 5 0,46 e tg 62° 5 1,88.)

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

x

B

(Dados: sen 40° 5 0,64; cos 40° 5 0,76 e tg 40° 5 0,83.)

3

No triângulo retângulo da figura, temos x

  cos a 5

16 m a

Nos triângulos retângulos seguintes, calcule a medida x indicada. a)

3 2

A

B

12

x

C

C

b)

9 60° x

B

3 2

cos α

3 2

2 2

tg α

3 3

1

1 2

3

1 AC 3

c)

3 AC 2

b)

1 AC 2

d)

3 3 AC 3

45°

B

2

2 2

1

a) x

30° A

30°

Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por:

c)

C

60°

sen α

12 . 13

a) Calcule sen a e tg a. b) Determine a medida da hipotenusa. 4

45°

α

 (Fuvest-SP) Calcule a medida x indicada na figura abaixo:

A

6 3

x

4 5  Sabendo que sen a 5 , qual é o valor de cos a? (a é ângulo 5 agudo.) 6 7

1  Quanto vale tg a se cos a 5 ? ( a é ângulo agudo.) 4

100

10

Calcule o valor de x no triângulo retângulo ABC abaixo. C

x

70

8

D

B

(Cefet-MG) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se representado pela figura a seguir. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado em A verifica que o nadador levou a corda até o ponto C. Dados: B

Em um exercício de tiro esportivo, o alvo se encontra numa parede e sua base está situada a 20 m do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 10° em relação à horizontal, calcule a que distância o centro do alvo se encontra do chão. (Dados: sen 10° 5  0,17; cos 10° 5  0,98 e tg 10° 5 0,18.)

45°

30° A

60°

30°

C

10°

20 m

11

Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada em uma ilha, avista-se um ponto da praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da torre até esse ponto? (Desconsidere a largura da torre.) 30°

120°

50 m

   O    O   A    T   V    R    A   I    U   O    T    M    Q   I    R   R   D    O    A   E    F   /    A   :    O   D    S     Ã    E   Ç     Õ    A    Ç   C    A   I    R   N    T   U    S   M    U   O    L    I    C

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M A

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

25

12  (Enem)

As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

15  (UFSC)

Uma escada com 10 m de comprimento foi apoiada em uma parede que é perpendicular ao solo. Sabendo que o pé da escada está afastado 6 m da base da parede, determine a altura, em metros, alcançada pela escada.

A

16  (UEM-PR)

Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos a 5  30° e β 5 60° e a medida do segmento BC 5 5 m, conforme especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre, em metros, é: D

B

Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço: a) menor que 100 m2. b) entre 100 m2 e 300 m2. c) entre 300 m2 e 500 m2. d) entre 500 m2 e 700 m2. e) maior que 700 m2. 13

Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo, qual é aproximadamente a altura da torre? (Dados: sen 30° 5 0,50; cos 30° 5 0,87 e tg 30° 5 0,58.)

60° 30°

5m

C

17   (UEL-PR)

Um engenheiro fez um projeto para a construção de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do andar imediatamente superior é de 3,5 m. Durante a construção, foi necessária a utilização de rampas para transporte de material do chão do andar térreo até os andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de comprimento, fazendo ângulo de 30° com o plano horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa inteira transportará material, no máximo, até o piso do:

h

a) 2o andar. b) 3o andar. c) 4o andar. d) 5o andar. e) 6o andar.

30°

100 m

14

Um cowboy   joga uma moeda para o alto. Quando a moeda atinge sua altura máxima, ele dá um tiro nela, com o braço inclinado 60° em relação ao solo, acertando-a. A moeda começa a cair em linha reta, perpendicularmente ao solo, e, com o braço inclinado 45° em relação ao solo, o cowboy  acerta mais um tiro nela. Sabendo que entre um tiro e outro a moeda caiu 12 m e que a altura do revólver em relação ao solo na hora dos dois disparos era de 2 m, qual foi a altura máxima alcançada pela moeda? (Observação: Considere que os tiros não desviam a moeda da linha vertical em que ela está caindo.)

26

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

B

A

18

(UFPE) Dois pavimentos de uma construção devem ser ligados por uma escada com 10 degraus de mesma altura, construída sobre uma rampa de 3,6 m como ilustrado na figura. Se 1 sen a 5 , indique a altura, em centimetros, de cada degrau. 2

a

3,60 m

alto do telhado. (Dados: sen 20° tg 20° 5 0,36.)

PARA APRIMORAR PARA PRATICAR 1

Na figura abaixo, h 5 da x 1 y. a

a 5 30°

2,

e β 5 60°. Calcule a medi-

5

0,34; cos 20°

5  0,94

e

6

6 20°

b

3

h

x

2

6

y

Um avião levanta voo em A e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15° 5 0,26; cos 15° 5 5 0,97 e tg 15° 5 0,27.)

(Insper-SP) Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para auxiliar o julgamento de lances duvidosos em partidas de futebol. Seu projeto consiste de um chip instalado na bola e um sensor posicionado em um dos cantos do campo (ponto P). R

d

B h 15°

A

y 2 km

 2 000 m

5

P

3

Uma escada rolante liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de 30°. Sabendo que a escada rolante tem 10 m de comprimento, qual é a altura entre os dois andares?

10 m h

30°

4

 e y 5 r sen a 1 1 e) x 5 sen2a  e y 5 cos 2a r r 7 (UEL-PR) Analise a figura a seguir.

B

60° D

E

F

Se, na figura, AD 5 3 2 e CF 5 14 6 , então a medida de AB é:

5

B

d) x 5 r cos

60° C

O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B (bola) e a medida α do ângulo B PQ. Em seguida, transforma essas informações nas distâncias x e y indicadas na figura. Isso pode ser feito por meio das expressões: 1 1 a) x 5 sen a  e y 5 cos a r r 2 2 b) x 5 r cos a  e y 5 r sen a c) x 5 r sen 2a  e y 5 r cos 2a

  (Mack-SP) A

a) 8 6

c) 12 6

b) 10 6

d) 28

Q

x

e) 14 5

Na construção de um telhado foram usadas telhas francesas, e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3 m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais

a

C    o  m    p  r    i        a m       r e  n       u      t       l t    o         A 1 m d    a    r    a    m   30°  p  a    C o m  p r i  m     h or   iz    e n to on    t a  l 

A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade arquitetônica e urbanística. Entre elas estão as de construção de rampas de acesso, cuja inclinação com o plano horizontal deve variar de 5% a 8,33%.

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

27

Uma inclinação de 5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas não respeitam essas normas, gerando percursos longos em inclinações exageradas. Conforme a figura, observou-se uma rampa de acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa igual a 2 metros. Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em metros. a) 5 b) 20 c) 2 1 1 20 d) 401 2 2 1 e) 4 , 01 1 20 8   (UFG-GO) Em um jogo de sinuca, uma bola é lançada do ponto O para atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B, seguindo a trajetória indicada na figura a seguir.

b) Denotando por un o ângulo (An OAn 1 1), conforme a figura A

da direita, descreva os elementos a1, a2, a3 e a9 da sequência (a1, a2, a3, ..., a8, a9), sendo an 5 sen (un). 10  Ao

construir dois triângulos retângulos semelhantes, impomos que as razões entre as medidas dos lados correspondentes sejam iguais. Faça o esboço de dois triângulos retângulos semelhantes e nomeie seus lados de maneira que seja possível identificar lados correspondentes. Por exemplo, a e a' para os lados que correspondem às hipotenusas, e assim por diante. Em seguida, escreva as razões referidas acima igualando-as. Finalmente, extraia dessa igualdade as razões trigonométricas relativas aos ângulos representados nos triângulos.

11

Considere a seguinte situação: uma jogadora de futebol está a uma distância de 30 m do gol, que tem 2 m de altura. Ela chuta a bola direto para o gol. Recorra à semelhança de triângulos e calcule o ângulo de inclinação da trajetória da bola em relação ao chão para que a bola bata no travessão. Use material de desenho, inclusive transferidor.

x A

a

0,8 m

   S    E    G    A    M    I    Y    T    T    E    G    /    O    T    O    H    P    K    C

C

a

u

   O    T    S    I    /    S    C    I    H    P    A    R    G    S    L    C

1,2 m O

Bola

b

B 2,0 m

Nessas condições, calcule: a) o ângulo β em função do ângulo θ; b) o valor de x indicado na figura. 9

(Unifesp) Os triângulos que aparecem na figura da esquerda são retângulos e os catetos OA1, A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, ..., A9A10 têm comprimento igual a 1. A3

1

1

An 1 1

A4

12   Os

1 un

A2

O An

1

degraus de uma escada benfeita seguem um padrão no qual as medidas do “passo” (a parte do degrau que é pisada) e do “eretor” (porção vertical entre os degraus) são determinadas. Supondo-se que esse padrão seja dado pela fórmula a + 2b = = 63, na qual a é a medida do passo e b a do eretor, e sabendo que 23 , a , 35, responda: a) qual escada é mais íngreme, aquela cuja medida do passo

A1

1

0

a) Calcule os comprimentos das hipotenusas OA 2, OA 3, OA 4

e OA10.

28

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

está mais próxima de 23 ou a que tem a medida do passo mais próxima de 35? b) tomando como ideal a medida de a  central no intervalo dado, você seria capaz de estimar o ângulo de inclinação da escada para essa medida? Justifique.

TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Ângulo

sen

cos

tg

Ângulo

sen

cos

tg

1°

0,017

1,000

0,017

46°

0,719

0,695

1,036

2°

0,035

0,999

0,035

47°

0,731

0,682

1,072

3°

0,052

0,999

0,052

48°

0,743

0,669

1,111

4°

0,070

0,998

0,070

49°

0,755

0,656

1,150

5°

0,087

0,996

0,087

50°

0,766

0,643

1,192

6°

0,105

0,995

0,105

51°

0,777

0,629

1,235

7°

0,122

0,993

0,123

52°

0,788

0,616

1,280

8°

0,139

0,990

0,141

53°

0,799

0,602

1,327

9°

0,156

0,988

0,158

54°

0,809

0,588

1,376

10°

0,174

0,985

0,176

55°

0,819

0,574

1,428

11°

0,191

0,982

0,194

56°

0,829

0,559

1,483

12°

0,208

0,978

0,213

57°

0,839

0,545

1,540

13°

0,225

0,974

0,231

58°

0,848

0,530

1,600

14°

0,242

0,970

0,249

59°

0,857

0,515

1,664

15°

0,259

0,966

0,268

60°

0,866

0,500

1,732

16°

0,276

0,961

0,287

61°

0,875

0,485

1,804

17°

0,292

0,956

0,306

62°

0,883

0,469

1,881

18°

0,309

0,951

0,325

63°

0,891

0,454

1,963

19°

0,326

0,946

0,344

64°

0,899

0,438

2,050

20°

0,342

0,940

0,364

65°

0,906

0,423

2,145

21°

0,358

0,934

0,384

66°

0,914

0,407

2,246

22°

0,375

0,927

0,404

67°

0,921

0,391

2,356

23°

0,391

0,921

0,424

68°

0,927

0,375

2,475

24°

0,407

0,914

0,445

69°

0,934

0,358

2,605

25°

0,423

0,906

0,466

70°

0,940

0,342

2,747

26°

0,438

0,899

0,488

71°

0,946

0,326

2,904

27°

0,454

0,891

0,510

72°

0,951

0,309

3,078

28°

0,469

0,883

0,532

73°

0,956

0,292

3,271

29°

0,485

0,875

0,554

74°

0,961

0,276

3,487

30°

0,500

0,866

0,577

75°

0,966

0,259

3,732

31°

0,515

0,857

0,601

76°

0,970

0,242

4,011

32°

0,530

0,848

0,625

77°

0,974

0,225

4,332

33°

0,545

0,839

0,649

78°

0,978

0,208

4,705

34°

0,559

0,829

0,675

79°

0,982

0,191

5,145

35°

0,574

0,819

0,700

80°

0,985

0,174

5,671

36°

0,588

0,809

0,727

81°

0,988

0,156

6,314

37°

0,602

0,799

0,754

82°

0,990

0,139

7,115

38°

0,616

0,788

0,781

83°

0,993

0,122

8,144

39°

0,629

0,777

0,810

84°

0,995

0,105

9,514

40°

0,643

0,766

0,839

85°

0,996

0,087

11,430

41°

0,656

0,755

0,869

86°

0,998

0,070

14,301

42°

0,669

0,743

0,900

87°

0,999

0,052

19,081

43°

0,682

0,731

0,933

88°

0,999

0,035

28,636

44°

0,695

0,719

0,966

89°

1,000

0,017

57,290

45°

0,707

0,707

1,000

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

29

CAPÍTULO

Conceitos básicos de geometria plana

2 Objetivos:

Na Arquitetura, o uso de figuras geométricas e suas propriedades é muito presente. A escola flutuante da comunidade de Makoko, na Nigéria, foi uma solução arquitetônica para os imprevisíveis níveis de água da região, que regularmente causavam inundações. Fornecendo instalaçõe s de ensino para a vila, seu perf il triangular é o formato ideal para flutuar na água, pois proporciona estabilidade e equilíbrio sobre a água.

c Distinguir polígonos

e identificar seus elementos. c Sistematizar e utilizar o

conceito de polígonos regulares. c Identificar os pontos

notáveis do triângulo e suas propriedades. c Interpretar e aplicar o

teorema de Tales. c Utilizar o conceito

de semelhança de triângulos na resolução de

   S    E    G    A    M    I    Y    T    T    E    G    /    Y    C    N    E    G    A    U    L    O    D    A    N    A    /    Y    M    A    H    S    L    E    D    E    M    M    A    H    O    M

problemas. c Interpretar e aplicar o

teorema de Pitágoras e as outras relações métricas no triângulo retângulo.

Escola flutuante de Makoko, em Lagos, na Nigéria.

30

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Podemos dizer que a Matemática se divide em Geometria e Álgebra, sendo essas duas áreas complementares entre si e de igual importância. Uma grande característica da Matemática é ser icônica, quer dizer, utiliza-se de esquemas (desenho, gráfico ou um simples ícone) para ajudar a conduzir o raciocínio. A Geometria Euclidiana retrata as formas que estão à nossa volta, sendo, por isso, bastante intuitiva e de fácil compreensão. Ela é chamada assim porque deve a Euclides, matemático grego que viveu nos séculos IV e III a.C., sua representação e organização teórico-dedutiva.

 ÂNGULOS Ângulo é uma figura plana formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas chamam-se lados do ângulo e o ponto de origem chama-se vértice. Ângulo raso: ângulo de medida 180° (ou seja, seus lados formam uma reta). Ângulo reto: ângulo de medida 90°. Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0° e 90°. Ângulo obtuso: ângulo cuja medida está entre 90° e 180°. Ângulos congruentes: ângulos que têm a mesma medida (símbolo: >). Ângulos complementares: par de ângulos cuja soma das medidas é 90°. Ângulos suplementares: par de ângulos cuja soma das medidas é 180°. Ângulos adjacentes: ângulos que possuem um lado comum e as regiões determinadas por eles não têm mais pontos comuns.

Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

b

 BIOGRAFIA Euclides de Alexandria ,

conhecido como “o pai da Geometria”, é reconhecido principalmente pelos seus ensaios sobre Matemática. Sua obra Os Elementos, composta de 13 livros, apresenta um desenvolvimento lógico em Geometria e outros ramos da Matemática, que influenciou as ciências exatas desde então.

B

   E    N    O    T    S    Y    E    K    /    T    E    S    S    A    E    G    A    M    I

a

r

B

c

B

d

B

f

B

e

B

s

g

B

h

B

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

t

 e s: retas paralelas t : reta transversal a e c: ângulos opostos pelo vértice a e e: ângulos correspondentes a e g: ângulos alternos externos c e e: ângulos alternos internos c e f: ângulos colaterais internos a e h: ângulos colaterais externos r 

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Do esquema podemos concluir que os pares opostos pelo vértice, alternos (internos ou externos) e correspondentes, são congruentes, e os pares colaterais são suplementares. Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

31

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1

Calcule as medidas x e y, em graus, dos ângulos: a) r  //  s

b) r  //  s e s  //  t u

t r

55°

70°

x

x

y

s

r  //   s significa reta r  paralela à reta s.

r s

y

t

RESOLUÇÃO: a) Pela figura podemos concluir que x 1 55° 5 180°; logo, x 5 125°. Como y e 55° são correspondentes, então y 5 55°. b) Os ângulos x e 70° são correspondentes; logo, x 5 70°. Os ângulos x e y são suplementares; logo, y 5 110°.

PARA CONSTRUIR 1

  Considerando r  //  s, determine, em graus, o valor de cada uma das medidas dos ângulos assinalados. a)

2

 Sendo r  //  s, determine as medidas de x, y e z, em graus, dos ângulos assinalados. r

t a

5

x

1

2

x

x

3 r

s

z y

120°

130°

s b

5

a 1 b ⇒

x 2

5 180° ⇒

3x 1 2x 1 3x 6

a5

z 1 130° 5 180° ⇒ z 5 50° x 1 120° 5 180° ⇒ x 5 60° x 1 y 1 z 5 180° ⇒ y 5 180° 2 50° 2 60°

1 140°

30o 2

o b 5 30 2

1

30o 3

x 2 5

x x 1 3 2 6 ? 40o

1

6

5 70°

1 140° 5 180° ⇒

 8x 5 240° ⇒ x 5 30°

⇒

5 15° 1 10° 5 25°

3

 Calcule o valor de x sabendo que as retas r e s são paralelas.

1 140° 5 15° 1 140° 5 155°

r 110° x s

t

b)

50° r

r

2x x

110°

s

50°

t

x

70° s 2x 1 x 5 180° ⇒ 3x 5 180° ⇒ x 5 60° 2x 5 120°

50° x 5 70°

32

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

1 50° 5 120°

t // r

 POLÍGONOS Polígono – do grego grego poli  (muitos) 1 gono  (ângulos) – é uma superfície plana fechada, limitada  poli (muitos)  gono (ângulos) por segmentos de reta, na qual há a intersecção de cada segmento com dois extremos.

Polígonos convexos e não convexos O polígono ABCDE é convexo e o polígono PQRST é não convexo. P

A

X

E

Q S

M

B

N Y R

T C

D

No polígono ABCDE, s e tomarmos dois pontos quaisquer X e Y na região limitada pelo polígono, o segmento de reta que os une estará inteiramente contido contido nessa região. Já no polígono PQRST isso não ocorre: é possível encontrarmos dois pontos (M e N) de modo que o segmento de reta MN não esteja inteiramente contido contido na região limitada por e sse polígono.

Observação: A partir de agora, quando não explicitarmos o tipo de polígono, estaremos considerando que o polígono citado é convexo.

Elementos de um polígono convexo O polígono convexo desenhado é indicado por ABCDEF. Nele, destacamos os seguintes elementos: B

A

F

C

D

E

Vértices: são os pontos A, B, C, D, E e F. Lados: são os segmentos de reta AB, BC, CD, DE, EF e FA. consecutivo a Diagonais: são os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo ele: AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF e D F. P B

A

A

A

C

F

A

A

C

b

A

B

A

A

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

f

U F

Q

A

B

A

A

B

a

A

A

F

F

C

C

A

A

c

R

A

E

D

A

E

A

D

A

e

A

A

D

E

T

E

D

d

A

S

Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ABC ou B, BCD ou C, C DE ou D, DEF ou E, EFA ou F, F AB ou A. Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: PAB ou a, Q BC ou b, RCD ou c, SDE ou d, TEF ou e, UFA ou f. B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

B

Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos internos e de ângulos externos é o mesmo.

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

33

   O    R    P    H    T    R    A    E    E    L    G    O    O    G

Nome dos polígonos quanto ao número de lados Vamos recordar recordar o nome de alguns polígonos e aprender outros: Número de lados

Nome do polígono

3 (tri)

Triângulo

4 (quadri)

Quadrilátero

5 (penta)

Pentágono

6 (hexa)

Hexágono

7 (hepta)

Heptágono

8 (octo)

Octógono

9 (enea)

Eneágono

10 (deca)

Decágono

11 (um a mais do que dez)

Undecágono

12 (dois a mais do que dez)

Dodecágono

15 (cinco a mais do que dez)

Pentadecágono

20 (icos)

Icoságono

O Pentágono, sede do Departamento Departa mento de Defesa dos Estados Unidos da América, tem a forma de u ma pentágono regular.

Polígonos regulares Um polígono convexo é denominado regular quando todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos internos são congruentes.

Triângulos Triângulo é um polígono que tem três lados (consequentemente tem três vértices e três ângulos internos).

Condição de existência de um triângulo Em que condição, dadas as medidas de três segmentos de reta, é p ossível construir construir um triângulo cujos lados tenham essas medidas? Experimente construir um triângulo de lados medindo 2 cm, 3 cm e 4 cm. E um outro de lados medindo 1,5 cm, 2 cm e 4 cm.

3 cm

2 cm

4 cm

1,5 cm

2 cm

4 cm

Observe que no primeiro caso qualquer um dos lados é sempre menor do que a soma dos outros dois. Isso não acontece no segundo caso. Mas essa não é uma condição neces sária, embora seja suficiente para que exista o triângulo. Na verdade, basta considerarmos o maior lado e verificarmos se ele é menor que a soma dos outros dois, pois estes, sendo menores que ele, serão também menores que a soma dele com qualquer outro. Assim, se a , b e c são três medidas, na mesma unidade, e a é a maior delas, podemos afirmar que se a , b 1 c, então existe o triângulo cujos lados tenham essas medidas. 34

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Ângulo externo de um triângulo É cada ângulo adjacente e suplementar a um ângulo interno do triângulo. São três os ângulos externos em um triângulo. E B

D: ângulo externo ao ângulo A. E: ângulo externo ao ângulo B. F: ângulo externo ao ângulo C. B

B

B

B B

B

B

B

D B

C

A

B

B

F

B

Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos

Quanto aos lados

Acutângulo: possui três ângulos agudos.

Equilátero: três lados de mesma medida.

Retângulo: possui dois ângulos agudos e um reto.

Isósceles: dois lados de mesma medida.

Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso.

Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si.

Propriedades dos triângulos Isósceles: os ângulos da base têm a mesma mesma medida. Equilátero: Equiláter o: os três ângulos internos internos têm a mesma medida, igual a 60°.  Retângulo: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (teorema de

Pitágoras).

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Demonstração:

Observe o esquema: r

A

A

g'

b' a

a

g

g

b

C

B

b

C

s B

r  //  s  s

Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (neste caso, r) que seja paralela à reta ( s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam em transversais das paralelas r e s , determinando determinando ângulos alternos internos: g e g e b e b'. Logo, g 5 g ' e b 5 b'. Como a 1 b' 1 g ' 5 180°, então:  ’

a 1 b 1 g 5 180°.

Observe que esse esquema é um apoio para conduzir o nosso raciocínio. Em momento algum “medimos” qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.

PARA REFLETIR O postulado de Euclides, também chamado axioma das paralelas, afirma que “a reta que passa por um ponto dado e é dad a é única”. paralela a uma reta r eta dada

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

35

Teorema do ângulo externo de um triângulo Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. Demonstração: Veja o esquema: A

a g

C

b B

A

x

a g C

b B

Seja ABC o triângulo e a , b e g seus ângulos internos, como na f igura anterior. Seja x um ângulo adjacente suplementar a a. Por definição, x é ângulo externo ao triângulo ABC. Então, x 1 a 5 180°. Mas, por um teorema já demonstrado, b 1 g 1 a 5 180°. Logo, x 5 b 1 g.

PARA CONSTRUIR 4

  Em cada item verifique se existe ou não o triângulo cujos lados têm as medidas dadas. Nos casos positivos, diga se o triângulo é escaleno, isósceles ou equilátero.

6

8 , 4 1 x ⇒ 4 1 x . 8 ⇒ x . 4 4 , x , 8, pois 8 é o maior lado. Logo, as possíveis medidas inteiras são 5 cm, 6 cm e 7 cm.

a) 8 cm, 14 cm e 7 cm Triângulo escaleno.

b) 3 cm, 6 cm e 10 cm Não existe o triângulo.

 O maior lado de um triângulo mede 8 cm e um dos outros dois lados mede 4 cm. Quais as possíveis medidas inteiras que o terceiro lado deve ter?

7

Na figura, os dois triângulos ABC e DEF são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x? B

c) 5 cm, 5 cm e 9 cm

F E

Triângulo isósceles.

H

d) 7 cm, 7 cm e 7 cm Triângulo equilátero.

C

x°

G

e) 12 cm, 7 cm e 5 cm Não existe o triângulo.

75°

65°

f) 4 cm, 2 cm e 4 cm Triângulo isósceles. 5

Se x é a medida do lado maior em um triângulo escaleno e 7 cm e 4 cm são as medidas dos outros dois lados, quais os possíveis valores de x em centimetros? x , 7 1 4 ⇒ x , 11 x . 7, pois é o maior lado. Logo, 7 , x , 11.

36

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

A

D

B

F

E H

C x° G

O ângulo C do triângulo ABC mede 60° e, por serem opostos pelo vértice, o ângulo G do triângulo HGC vale 80°. Logo, o ângulo x vale 180° 5 x 1 1 80 1 60 ⇒ x = 40°. B

B

80° 75°

60° 45° A

60° 65º

55° D

8

 Dado o triângulo retângulo ABC, sendo BC a hipotenusa e AB e AC os catetos, sabemos que (BC)2 5 (AB)2 1 (AC)2, pelo teorema de Pitágoras. Encontre uma relação entre os lados de um triângulo, similar à anterior, no caso de o triângulo ser:

c) GHI, de lados 4 3, 2 5 e 4 2. Triângulo acutângulo.

d) JKL, de lados 9, 5 e 5. Triângulo obtusângulo.

a) acutângulo B

e) MNO, de lados 4, 4 e 4. Triângulo acutângulo. 10  O

triângulo ABC é isósceles com AB 5 AC. Calcule mentalmente o valor de x, em graus, sabendo que BC  //  PQ.

A

H

2y 5 180° 2 56° ⇒ y 5 62° x 5 y 5 62° (ângulos correspondentes)

B

C

P

Seja BC o maior lado do triângulo acutângulo acima. (BH)2 5 (BC)2 2 (CH)2 5 (AB)2 2 (AH)2 ⇒ 2 2 2 2 ⇒ (BC) 5 (AB) 1 (CH) 2 (AH) ⇒ 2 2 ⇒ (BC) 5 (AB) 1 (CH 1 AH)(CH 2 AH) ⇒ 2 2 2 2 ⇒ (BC) 5 (AB) 1 AC ? (CH 2 AH) , (AB) 1 (AC) ⇒ 2 2 2 ⇒ (BC) , (AB) 1 (AC)

56°

A

x

b) obtusângulo

Q

B C

11

Determine o valor de x no triângulo abaixo: x

H

A

C

Seja BC o maior lado do triângulo obtusângulo acima. (BH)2 5 (BC)2 2 (AC 1 AH)2 5 (AB)2 2 (AH)2 ⇒ 2 2 2 2 2 ⇒ (BC) 2 (AC) 2 2AC ? AH 2 (AH) 5 (AB) 2 (AH) ⇒ 2 2 2 2 2 ⇒ (BC) 5 (AB) 1 (AC) 1 2AC ? AH . (AB) 1 (AC) ⇒ 2 2 2 ⇒ (BC) . (AB) 1 (AC) 3x

50°

9

 Aplique as relações encontradas no exercício anterior para classificar quanto aos ângulos os seguintes triângulos: a) ABC, de lados 20, 15 e 9. Triângulo obtusângulo.

2 20°

180° 2 (3x 2 20°) 1 x 1 50° 5 180° 23x 1 20° 1 x 1 50° 5 0 2x 5 70° x 5 35°

b) DEF, de lados 28, 35 e 21. Triângulo retângulo.  TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1

a 3 Para aprimorar: 1

Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os ângulos. Mas, da mesma forma que para construirmos um triângulo é suficiente conhecermos alguns de seus elementos, também aqui não precisaremos verificar a congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos). Assim, aparecem os “casos de congruência” que você estudou no Ensino Fundamental. Para saber quais são os casos de congruência, analise a possibilidade de o triângulo ser construído, dadas:  as medidas dos três lados; as medidas de dois de seus lados e um ângulo;  as medidas dos três ângulos; as medidas de um lado e dois de seus ângulos.

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

37

Veja que resultam apenas quatro possibilidades (quatro casos).

1o caso: LAL (dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente) Observe, nas figuras, que A é formado por AB e AC, e que E é formado por EF e EG. B

B

C

G

A

F

E

B

Se AB ù EF, A > E e AC > EG, então podemos garantir que nABC > nEFG. B

B

2o caso: LLL (três lados congruentes) Se AB > EF, AC > EG e BC > FG, então nABC > nEFG. G

C

A

B

E

F

Podemos então afirmar que A > E, B > F e C > G. B

B

B

 B

B

B

3o caso: ALA (dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente) Se A > E, AB > EF e B > F, então C > G, AC > EG e BC > FG, ou seja, nABC > nEFG. B

B

B

B

A

B

B

B

F

E

C

G

4o caso: LAAo (um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente) Se AB > EF, A > E e C > G, então nABC > nEFG. B

B

B

B

C

G

A

B

38

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

E

F

PARA CONSTRUIR 12

Na figura abaixo, temos que M é o ponto médio dos segmentos AB e CD. Determine os valores x e a.

b)

70°

50°

60°

D

60° 70°

50°

5x 2 12

Não podemos garantir.

c)

a 1 45°

A

B

M

3a 1 15°

30°

50°

30° 3,3 cm

x 1 4

3,3 cm

Sim, ALA. 50° C

Como AM 5 BM, DM 5 CM e os ângulos A MC e DMB são opostos pelo vértice (mesma medida); temos que os triângulos AMC e DMB são congruentes (LAL). Logo: 3a 1 15 5 a 1 45 ⇒ 2a 5 30 ⇒ a 5 15° x 1 4 5 5x 2 12 ⇒ 16 5 4x ⇒ x 5 4 B

B

d) 4 cm

70° 2,5 cm 4 cm

13  Verifique

em cada item se podemos ou não garantir que os triângulos são congruentes sem efetuar medições. Em caso positivo, indique o caso de congruência (LLL, LAL, ALA ou LAA0).

70°

2,5 cm

Sim, LAL.

e) 60°

a)

3 cm

3,2 cm

2 cm

2 cm

3,2 cm 60°

70°

2,5 cm

3 cm

2,5 cm

Sim, LLL.

70°

Sim, LAAo.

 TAREFA PARA CASA: Para

praticar: 4 e 5 Para aprimorar: 2 e 3

Relação entre lados e ângulos de um triângulo    A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado e, reciprocamente, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. O exercício 3 da seção “Para aprimorar” (p. 58) nos dá uma pista para a demonstração dessa proposição, já que “se dois lados de um triângulo são congruentes, os ângulos opostos a eles também são congruentes”. A Seja o triângulo ABC com AB 5 c, AC 5 b e BC 5 a. x m Vamos provar uma das afirmações: se a . c, então A . C. c b Sendo a 5 BC, determinamos o ponto D, entre B e C, de x modo que BD 5 c, formando um triângulo isósceles. C B c D Então, BAD > BDA. Seja x esse ângulo. a Se A 5 x 1 m, temos: x 1 m . x x . C (pois x é externo ao nACD). Logo, x 1 m . C . Então, A . C (como queríamos demonstrar). B

B

B

B

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

B

B

B

B

   M

B

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

39

 CEVIANAS PARTICULARES E PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado oposto. O nome ceviana é uma homenagem a Giovanni Ceva, matemático italiano (1648-1734). Ceviana

Definição

Ponto notável

Representação gráfica A

Mediana

É o segmento que tem como Baricentro: é o ponto de encontro das extremidades um vértice do triângulo medianas do triângulo; é o centro de e o ponto médio do lado oposto a gravidade (ponto de equilíbrio) do triângulo. esse vértice.

P

M

G

B

C

N

A

a

a

Bissetriz

É o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice.

Incentro: é o encontro das bissetrizes internas ao triângulo; é o centro da circunferência inscrita no triângulo, pois equidista dos três lados.

Sb Sc r

I

b g g

b B

C

Sa

H

Altura

É o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos.

Ortocentro: é o ponto de encontro das retas que contêm as alturas, podendo pertencer ao exterior do triângulo.

A

B

C

A

Mediatriz

40

Reta que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele.

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Circuncentro: é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices.

O r B

C

Observações: Mediana e altura referem-se apenas a triângulos, mas bissetriz e mediatriz também podem ser definidas para outros elementos geométricos (ângulos ou segmentos). São conceitos independentes. A mediatriz, por não passar, necessariamente, por um vértice, não satisfaz a definição de ceviana, mas é excepcionalmente incluída nesse grupo. Lugar geométrico é o nome que se dá a um conjunto de pontos que tenham alguma propriedade comum. Veja como bissetriz e mediatriz são definidas inicialmente:

Bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados do ângulo considerado. Como consequência dessa definição, a bissetriz acaba dividindo o ângulo dado em dois ângulos congruentes, e a demonstração dessa afirmação é feita por meio de congruência de triângulos. Faça isso, como exercício. V a a

P Bissetriz Q

Mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos p ontos do plano que são equidistantes dos extremos do segmento. Aqui também, como consequência da definição, a mediatriz acaba por passar pelo ponto médio do segmento (já que ele é um dos pontos que satisfazem a definição) e forma um ângulo reto com ele. Mais uma vez, demonstra-se esse fato por meio de congruência de triângulos. Experi mente demonstrá-lo. Mediatriz

Q

A

P

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

B

PARA REFLETIR

 Triângulos que apresentem alguma particularidade terão seus pontos notáveis em posições particulares. A Considere, por exemplo, um triângulo isósceles ABC, no qual AB  AC. É possível provar que a mediana, a bissetriz, a altura, que par tem do vértice A, e a mediatriz do lado BC coincidem. E se o triângulo for equilátero, haverá mais coincidências? Verifique isso. C Por outro lado, se o triângulo for retângulo, o que acontecerá com o ortocentro? B ù

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

41

PARA CONSTRUIR

14

Calcule o valor de x e y com base nas informações dadas.

15  (CN-RJ)

Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é k, pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será: e

a) AN é uma bissetriz do nABC. C 65° N

x 5 105° e y 5 40°

x y

35°

a)

5k  2

b)

4k  3

B

A

b) FP é uma altura do nEFG. E

c)

4k  5

d)

k  2

e)

k  3

50°

x 5 40° e y 5 90°

Seja ABC um triângulo acutângulo isósceles. Sejam O, G e H, respectivamente, o circuncentro, o baricentro e o ortocentro. Como a distância do baricentro ao ortocentro é o dobro da

distância do baricentro ao circuncentro, segue que GH 5 2 ⋅ OG

⇒

OH 5 GH 1 OG 5 k

3 ⋅ OG 5 k ⇒ OG 5

k 3

A

O G

P

H

y B

C

x

65°

F

G

c) PH é uma altura do nPQR. RS é uma bissetriz do nPQR.

16

Determine o valor de x na figura abaixo.

P

30°

40° S

y

x 5 115°

x 5 65° e y 5 115°

x

O

x Q

H

R

35°

 TAREFA PARA CASA: Para

praticar: 6 a 9 Para aprimorar: 4 e 5

 TEOREMA DE TALES a

Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Assim, dado o seguinte feixe de paralelas r  , s e t , e as transversais a e b , temos:

A B

C

AB AC BC 5 5 A'B' A'C' B'C'

E em decorrência das propriedades das proporções, valem também as igualdades: AC AB

42

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

AC ' ' 5

A' B '

ou

AC BC

AC ' ' 5

B 'C'

b r

A' B'

C'

s

t

PARA CONSTRUIR 17

pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.

(Cefet-MG) Considere a figura em que r // s // t. r

s

t

x

x

1 2

a

b

Milho

D

C

B

A

Soja

Pasto

H G 2x x

F

1 7

E

1 6

O valor de x é: b a) 3 b) 4

Considere que: os pontos A, B, C e D estão alinhados; os pontos H, G, F e E estão alinhados; os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si; AB 5 500 m, BC 5 600 m, CD 5 700 m e HE 5 1 980 m. Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros: a) 665 b b) 660 A 500 B 600 C 700 D c) 655 d) 650 Utilizando o teorema de e) 645 Tales, temos:

c) 5 d) 6

Aplicando o teorema de Tales na figura, temos: x 16 x 2 2 5 ⇔ 2x 1 7x 5 x 1 8x 1 12 ⇔ x 1 2 2x 1 7 2 ⇔ x 2 x 2 12 5 0 ⇔ x 5 4 ou x = –3 (não convém) Portanto, x = 4.

GF 600 5 ⇒ 1980 1800 GF 1 5 ⇒ ⇒ GF 5 660 m 1980 3

18  (Ceeteps-SP)

Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao

 TEOREMA DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO INTERNO DE UM TRIÂNGULO

H

G

?

F

E

1 9 8  0 m 

A

Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo. BD AB Considere o triângulo ABC e seja AD uma bissetriz. Vamos demonstrar que 5  (usando DC AC o teorema de Tales).

Para isso, prolongamos o lado BA e traçamos a semirreta de origem em C e paralela à bissetriz AD, obtendo o ponto E.

B

D

C    A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

E 1

A

No nBEC temos AD // EC, logo

BD AB 5 . DC AE

A

I 3 4

A

A

2

A

B

D

C

Analisando a figura, vemos que: 3 > 4, pois AD é bissetriz do A. 3 > 1, pois são correspondentes de paralelas cortadas por transversal. 4 > 2, pois são alternos internos de paralelas cortadas por transversal. Então, 1 > 2. Daí podemos afirmar que nACE é isósceles de base EC. Desse modo, temos que AE > AC. II BD AB Substituindo II  em I  , chegamos à proporção que queríamos demonstrar: 5 . DC AC B

B

B

B

B

B

B

B

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

B

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

43

PARA CONSTRUIR 19

c) NA é bissetriz do nMNP.

Calcule o valor de x em cada item: a) ER é bissetriz do nFEG.

x 5 12 N

60

M

FG mede 15. x

F x

A R

x

x 5 5

6

65

1 1

P

20

G

E

12

(PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB 5 21 e AC 5 20. BD é a bissetriz do ângulo A BC. Quanto C mede AD? a B

b) BS é bissetriz do nABC.

20

42 5

a)

A

2 x D x

8

b)

16

S

x 5 20

10

A

setriz interna, temos: 21 29 5 x 20 2 x

e) 8

C

B

Utilizando o teorema da bis-

d) 9

x

21

Admitindo AD 5 x. BC2 5 202 1 212 ⇒ BC 5 29

20 21

c)

B

21 20

Logo, AD 5

⇒

x5

42 5

42 . 5

 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 10

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homól ogos proporcionais. Observe os triângulos ABC e A'B'C': A A'

c

b

c'

a

B

C

a'

B'

nABC e nA'B'C' são semelhantes. Indicamos assim: nABC

ABC

A'B'C'

b'

,

C'

nA B   ’

A > A'  B > B '  C > C ' B

B

B

B

B

B

e a a

'

44

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

5

b c 5 5 k (constante de proporcionalidade) b c '

'

C.

  ’

  ’

Da mesma forma que na congruência de triângulos, basta verificar alguns elementos para saber se dois triângulos são semelhantes. Veja a seguir os casos de semelhança:

1o caso: AA (dois ângulos congruentes) Observe que, se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será congruente.

2o caso: LLL (três lados proporcionais) Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. m

k

2m

2k n 2n

3o caso: LAL (dois lados proporcionais e o ângulo formado por eles é congruente) Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais.

k

2k 

n 

2n

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2

 Considere o triângulo ABC, retângulo em A, e seja D um ponto do segmento AC e DE perpendicular ao lado BC. Prove que nEDC nABC. ,

B

E

A

D

C

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

RESOLUÇÃO: DEC > B  AC (retos) BC é comum

⇒

nEDC

,

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

   M

nABC (caso AA)

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

45

3

A figura a seguir mostra um quadrado PQRS inscrito em um triângulo ABC. Sendo BC 5  24 cm e a altura relativa a essa base igual a 16 cm, calcule a medida do lado desse quadrado.

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros dois lados em pontos distintos determina outro triângulo semelhante ao primeiro.

A

16 2 x x

P

Teorema fundamental da semelhança

Q

A 16

x

x E

D B

x

R

r

C

S

24

RESOLUÇÃO:

C

B

No quadrado PQRS, o lado PQ é paralelo ao lado BC do nABC. Como o nAPQ é semelhante ao nABC, temos:

r // B C   r ùAB 5{D}  r ù AC 5{E}  

x 16 2 x ⇒ x 5 48 5 9,6 5 24 16 5 Logo, o lado do quadrado mede 9,6 cm.

⇒

nADE

,

nABC

PARA CONSTRUIR 21   Os

triângulos ABC e MNO são semelhantes. Determine as medidas n e o. A

O

18 cm

7 cm C

N

8 cm

n

o 15 cm

24   (Enem)

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. c

M B

22

n 5 8,4 e o

D

5 9,6

Num triângulo ABC, AB 5 4 cm, BC 5 5 cm e AC 5 6 cm. Calcule os lados de um triângulo semelhante ao triângulo ABC cujo perímetro seja 20 cm. A'B' 5

16  cm;  B'C' 3

5

20  cm;  A'C' 3

5 8

cm

C E

6

F

B

4

A

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 23

a) 1 m b) 2 m

Determine o valor de x. A

nFEB

10 D 15

B

C

E 20

46

x 5 11,25

15

x

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

c) 2,4 m d) 3 m

(caso AA); nFEA nBDA (caso AA). EF EF 5 FB AF 5 ⇒ EF 5 FB ; ⇒ EF 5 AF . 4 6 AB BD AB AB AC AB Como AF 1 FB 5 AB, tem-se q ue: ,

nACB

e) 2 6 m

,

EF ⋅ AB 1 EF ⋅ AB 5 AB ⇒ EF 1 EF 5 1 ⇒ 6 4 6 4 ⇒ 2EF 1 3EF 5 12 ⇒ 5EF 5 12 ⇒ EF 5 2,4 m

25

Assumindo DE  GF  12, EF do triângulo ABC é: d

(PUC-RJ) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo:

5

D

A

G

E

B

F

b)

150 7

c)

90 7

d)

180 7

e)

28 5

 DG

5

 8 e AB

5

 15, a altura

5

Seja h a altura do triângulo ABC. Como os triângulos ABC e DGC são semelhantes, temos que: h 12 8 180 180 8h ⇔ h u.c. ⇔ 15h 7 h 15

35 a) 4

C

5

2

5

 TAREFA PARA CASA: Para

2

5

5

praticar: 11 a 15 Para aprimorar: 6 a 8

 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Consideremos um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento AD perpendicular ao lado BC, com D em BC. A

c

b

h

m

n

B

C

D a

Ficam definidos os seguintes segmentos no nABC: BC: hipotenusa (medida a) AC: cateto (medida b) AB: cateto (medida c) BD: projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida m) CD: projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (medida n) AD: altura relativa à hipotenusa (medida h)

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC o divide em dois triângulos retângulos semelhantes a ele e semelhantes entre si. Observe: A

A

A

a

b b

c

b

c

h

h

a B

a

b D

a

C

B

m

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

h

   M

b D

D

n

C

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

47

PARA REFLETIR

Você reparou que as relações I e III  são as mesmas? Ambas podem ser generalizadas como: cateto2 5 hipotenusa ? projeção do cateto.

Como os três triângulos têm todos os ângulos congruentes, pelo 1 o caso de semelhança temos: nABC nDBA nDAC. Da semelhança entre nABC e nDBA, podemos concluir que: ,

,

AB DB c m 5 5 ⇒ BC BA a c

I

c2 5 am

⇒

Da semelhança entre nABC e nDAC, temos: AB DA c h 5 5 ⇒ BC AC a b

⇒

ah 5 bc

II

AC DC 5 BC AC

⇒

b2 5 an

III

⇒

b n 5 a b

Da semelhança entre nDBA e nDAC, temos: DA DC h n 5 5 ⇒ DB DA m h

⇒

h2 5 mn

IV

Observe que somando membro a membro I  e III  , temos: c2 5 am b2 5 an 2 b 1 c2 5 am 1 an 5 b2 1 c2 5 a(m 1 n) ⇒

1

⇒

b2 1 c2 5 a2

V (teorema de Pitágoras)

As igualdades I  a V  são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo.

PARA CONSTRUIR 26   Dado

um triângulo equilátero de lado a, calcule sua altura, em função de a. h

5

a 3 2

28   (Unicamp-SP)

Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. 3,

5 6 ? 1,5

, 5 3

27   Se

AB 5 10 cm é a medida de uma corda e OB 5 8 cm é a medida do raio de uma circunferência, qual é a distância OD do centro à corda? OD

5

39 cm

b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 6?

2

( 2) ,

3

4 ,

2

3 4

48

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

6?, 5

2

3

?

4 ,

2

3

5

3 2

29  (Cefet-MG)

Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem b  e 2b. O ponto R pertence aos segmentos AC e BD, e ARDS é um quadrilátero em que M é ponto médio do segmento RS. b A

30

(ITA-SP) Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE é 2 2 1 cm e a medida de AD é 1 cm, então AC mede, em cm: c

(

(

M

R

)

a) 4 2 2 5

d) 3

b) 3 2 2

e) 3 4 2 2 5

B

c) S

)

2 21

622 2

2b

A

P 1 D

C

O segmento MP, expresso em função de b, é: a b 5 a) 5

b 5 b) 3

B

2b 5 c) 3

3b 5 d) 5

B 5 90° e AR 5 AD, temos que Como M é ponto médio de SR, A MS ARDS é um losango. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ADC, encontramos

b 5 . 2 Portanto, como o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura, do triângulo MSD, vem: AC 5 b 5. Logo, AR 5 DS 5

DS

⋅

MP 5 MS

⋅

DM ⇔

b 5 2

⋅

MP 5

b 2

⋅

b ⇔ MP 5

b 5 . 5

2

2 1

E

D

1

C

2

No triângulo ABC, temos: AD 5 BD 5 CD 5 1 AB2 5 2( 2 2 1) e AC2 1 AB2 5 22 AC 5 4 2 2 ⋅ ( 2 2 1) AC 5 6 2 2 ⋅ 2

 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 16

 QUADRILÁTEROS Os quadriláteros são polígonos de quatro lados e, portanto, de quatro vértices e quatro ângulos internos.

Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos ângulos internos é 360°, já que ele pode

ser dividido em dois triângulos, a partir de uma diagonal.

Paralelogramos São os quadriláteros formados por dois pares de lados paralelos.

Propriedades: ª 

1 ) Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes (medidas iguais) e dois ângulos não opostos são suplementares (soma das medidas: 180°); ª  2 ) Em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes; 3ª ) Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.

PARA REFLETIR Quadrilátero convexo é aquele em que, unindo-se dois pontos quaisquer de dois de seus lados, obtemos um segmento contido na sua região interna.

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

49

EXERCÍCIO RESOLVIDO 4

Demonstre as três propriedades dos paralelogramos utilizando os conceitos revisados neste capítulo.

2· propriedade: A

B a

RESOLUÇÃO:

b

1· propriedade:

c d D

A

C

B

 Traçando a diagonal AC, temos nABC > nADC pelo caso ALA, pois a 5 d e b 5 c (ângulos alternos internos). AC é lado comum; logo, AB > CD e AD > CB.

a b

3· propriedade:

d

c

A

B

C

D

O

AB // CD e AD é uma transversal. Logo:

C

D

a 1 d 5 d 1 c 5 180° (ângulos colaterais internos).

nAOB

Como a 1 d 5 d 1 c, então a 5 c.

ou seja, O é o ponto médio.

>

nCOD pelo caso ALA. Logo, AO

 CO e BO > DO,

>

Retângulo, losango e quadrado Como o retângulo, o losango e o quadrado são casos particulares de paralelogramos, as propriedades mencionadas também se aplicam a eles. Mas, por serem particulares, cada um deles terá alguma característica especial.

Quanto aos ângulos

Quanto às diagonais

Quanto aos lados

Representação gráfica A

Paralelogramo genérico

Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.

Encontram-se no seu ponto médio.

B

Lados opostos congruentes. D

C

AB // CD e AD // BC

Retângulo

Quatro ângulos retos.

São congruentes.

A

B

D

C

Lados opostos congruentes.

B

Losango

Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.

São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Quatro lados congruentes.

A

D

C

50

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Quanto aos ângulos

Quadrado

Quatro ângulos retos.

Quanto às diagonais

Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes.

Quanto aos lados

Representação gráfica A

B

D

C

Quatro lados congruentes.

Repare que o quadrado possui os mesmos elementos que caracterizam tanto o retângulo como o losango. Por isso, dizemos que todo quadrado é ao mesmo tempo losango e retângulo.

Trapézios Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados

base

maior e base menor.

Trapézio retângulo

Trapézio isósceles

É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é per-

É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.

pendicular às duas bases. D

A

C

B

B

A

C

D

 ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE UM POLÍGONO Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo Anteriormente foi demonstrado que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°.

Pois bem, repare que um quadrilátero pode ser dividido em 2 triângulos a partir de uma de suas diagonais.

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

Logo, a soma dos seus ângulos internos será: S i  2  180°  360°. De modo semelhante, podemos dividir um pentágono em 3 triângulos, a partir de 2 de suas diagonais: 5

?

5

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

51

Assim, a soma dos seus ângulos internos será: Si 5 3 ? 180° 5 540°. Repare que o número de triângulos encontrados, em relação ao número de lados do polígono, é sempre dois a menos. Portanto, em um polígono convexo de n lados, a soma das medidas dos ângulos internos (S i) é: Si 5 (n 2 2) ? 180°

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360°. Para provar isso, vamos considerar um polígono qualquer de n lados. Em cada vértice, a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180°. Como temos vértices, teremos n ? 180° ao todo. Assim:

n

Si 1 Se 5 n ? 180°

 

Como Si 5 (n 2 2) ? 180°, podemos escrever: (n 2 2) ? 180° 1 Se 5 n ? 180° 180°n 2 360° 1 Se 5 180°n Se 5 180°n 2 180°n 1 360° como queríamos provar.

Se 5 360°

Ângulos internos de um polígono regular Lembre-se: polígono regular é aquele que tem todos os lados com a mesma medida e to dos os ângulos com a mesma medida. Indicando por: ai: medida de cada ângulo interno de um polígono regular; ae: medida de cada ângulo externo de um polígono regular; temos: ai

S n

? 180°

(n 2 n

e

ae

Se n

360° n

Você não precisa decorar essas fórmulas, pois facilmente se deduzem esses valores; todo polígono regular pode ser inscrito numa circunferência, ou seja, existe um ponto equidistante de seus vértices (o centro da circunferência que passa por eles). Assim, os lados d o polígono determinam, com o centro da circunferência, triângulos isósceles de lados congruentes de medida igual ao raio da circunferência. ,5 ,4

O

,3

O

O

O ângulo desse triângulo que tem vértice em O será sempre 360° , sendo n o número de lados n do polígono. E, a partir desse triângulo isósceles, chegamos ao valor do ângulo interno do polígono. 52

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Nos casos representados anteriormente, temos:   Triângulo equilátero: 360° 3

 Quadrado: 360° 4

5 120°

  180° 2 120° 5 60° Portanto, ai 5 60°.

 Pentágono: 360° 5

5 90°

  180° 2 90° 5 90° Portanto, ai 5 90°.

5 72°

  180° 2 72° 5 108° Portanto, ai 5 108°.

Diagonais de um polígono Um polígono de n lados tem n vértices. De cada um dos vértices de um polígono partem diagonais para todos os outros vértices do polígono, menos para o próprio vértice e para os dois vértices vizinhos. Portanto, de cada vértice partem (n 2 3) diagonais. Contando todas as diagonais possíveis teremos n(n 2 3) diagonais; mas cada diagonal será contada duas vezes: D E

A

B

C

AC e CA Portanto, precisamos dividir n(n 2 3) por 2. Assim, temos:

d5

n(n 2 3) 2

Por exemplo, se um polígono tem 24 lados, para calcularmos o número de diagonais temos: d5

24 (24 2 3 ) 2

5 252 diagonais

PARA CONSTRUIR 31

(IFSP) Considerando que as medidas de dois ângulos opostos de um losango são dadas, em graus, por 3x 1 60° e 135° 2 2x, a medida do menor ângulo desse losango é: a a) 75° b) 70°

c) 65° d) 60° 3x 1 60°

a

135° 2 2x

32

Determine o valor de x, y, z e w no trapézio abaixo: y 118° x

e) 55°

3x 1 60° 5 135° 2 2x 5x 5 75° x 5 15° a 1 3 ? 15° 1 60 5 180° ⇒ a 5 75°

115° z

w

x

5 180° 2

118° 5 62°

y

5 180° 2 62° 5 118°

z

5 115°

w 5 180° 2 115° 5 65°

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

53

33   Demonstre

35

que:

agudos corresponde a 2 da medida de um dos seus ângulos 3 obtusos. Quais são as medidas dos quatro ângulos internos desse trapézio?

a) em um trapézio isósceles, os ângulos da mesma base são

congruentes; B

Um trapézio é isósceles e a medida de um dos seus ângulos

C

x1 A

F

Seja BF e CE perpendiculares a AD. Nos triângulos retângulos AFB e DEC, AB > DC e BF > CE. Pelo teorema de Pitágoras concluímos que AF > DE. Logo, nAFB > nDEC pelo caso LLL e, consequentemente, A > D e B > C. B

B

B

⇒ 3x 1 2x 5 540° ⇒ x 5 108°

2  ? 108° 5 72° 3

D

E

2x  5 180° 3

B

Medidas dos ângulos: 72°, 72°, 108° e 108°.

36   Em

um polígono regular de 20 lados (icoságono regular), qual é a medida de cada ângulo interno? E de cada ângulo externo? ae 5 18° ai 5 162°

b) em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes. A

B

37   Em D

nACD

um polígono regular, cada ângulo interno mede 135°. Quantos lados tem esse polígono?

C

ae 5 180° – 135° 5 45° n · ae 5 360° ⇒ 45° · n 5 360° ⇒ n 5 8

pelo caso LAL, pois AD > BC (trapézio isósceles), CD é lado comum dos dois triângulos e os ângulos da base são congruentes conforme demonstrado no i tem anterior. Logo, AC > BD. >

nBDC,

38

34

a) b) c) d)

(IFSP) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de: b

R. Marte

  r   e    t    i   p    ú    J  .    R

R. Saturno

a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90°

Si 5 (4 2 2) ? 180° 5 2 ? 180° 5 360° No quadrilátero formado pelas ruas, temos: 90° 1 110° 1 100° 1 x 5 360° x 5 360° 2 300° x 5 60°

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

nú-

Logo, o valor de n é 9.

R. Saturno

39

(Unifesp) A soma de n 2 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1 900°. O ângulo remanescente mede: a) b) c) d) e)

120° 105° 95° 80° 60°

d A soma deve ser um múltiplo de 180°. O primeiro múltiplo de 180° maior que 1 900° é 1 980°; portanto, o ângulo remanescente mede 80°.

 TAREFA PARA CASA: Para

54

d o

  r   e    t    i   p    ú    J  .    R

x

R. Marte

9 11 13 15

Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e mero de diagonais, temos: n ⋅ (n 2 3)  1   n 5   ⋅ d ⇒ d 5 3 ⋅ n ⇒ 5 3n ⇒  3   2 ⇒ n2 2 3 ⋅ n 5 6n ⇒ n2 2 9 ⋅ n 5 0 ⇒ n 5 0 (não convém) ou n59

R. Netuno

R. Netuno

(Uece) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é: a

praticar: 17 a 29 Para aprimorar: 9 a 12

Veja, no Gu ia do Professor, as respo stas da “Tarefa para casa”. As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.

TAREFA PARA CASA As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.

e) nABC é isósceles de 20 cm de perímetro e nMNO é isós-

PRATICAR PARAPARA PRATICAR 1

2

 Em um triângulo, um ângulo externo mede 120°. Qual é a medida dos dois ângulos internos não adjacentes a ele, sabendo que eles são congruentes?

celes de 20 cm de perímetro. f ) nEFG é equilátero com 12 cm de perímetro e equilátero com 12 cm de perímetro. 5

nPQR

é

 Sabendo que esses triângulos são congruentes, quais são os valores de x, y e z?

Determine o valor de cada uma das medidas dos ângulos do triângulo abaixo.

x

A

B

a

A

x

y

z

1 10°

b 150°

x

C

C

3

B

P

Observe esta figura e calcule o valor de y. 4 cm

3,5 cm

158° b

y R

15°

4

Verifique em cada item abaixo se é possível afirmar que os triângulos são congruentes. Em caso positivo, escreva qual é o caso de congruência e quais são os demais elementos congruentes. a)

a

6

Q

5 cm

 Determine o valor de x, sabendo que O é o ortocentro do nABC. a)

A

Q

A P

O x

40°

B

C

b)

B

A

R

C

b) nFEG e nXYZ são tais que EF

O

 XY, EG > XZ e F > Y.

>

B

B

x

c) nPQR e nMNO têm R reto, O reto, PR > MO e QR > NO. B

B

50° C

B

d)

N

G

7

Determine o perímetro do nAMN, sabendo que AB AC

 16 cm,

5

 18 cm, I é o incentro do nABC e MN // BC.

5

A

M F

H

L

M

B

I

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

N

   M C

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

55

8

 Se C é o circuncentro do abaixo.

nEFG,

determine

x

e y nas figuras

13

(Vunesp) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio R conforme a figura.

a)

B

y D

80°

s

C

x

O

C

b)

A r R

20°

O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB 5 s, demonstre que R ? s 5 R ? r 1 r ? s.

C x

9

y

14

30°

(FEI-SP) Na figura, x mede:

Obtenha o ângulo HAS no triângulo abaixo, sabendo que AH é a altura e AS é a bissetriz. B

A

8

x 5

50°

10

17

32°

B

H

C

S

a) 3

10 15 c) Faltam dados para calcular x. 10 d) 3 1 2 15 e) N.R.A. b) 2

(FGV-SP) Na figura abaixo, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do ângulo C AH. B

H

B

s

b x

15   (IFCE) c C

A

Se c 5 30° e b 5 110°, então: a) x 5 15° c) x 5 20° b) x 5 30° d) x 5 10°

e) x 5 5°

11  A

maquete de um edifício tem 50 cm de altura e o edifício tem 40 m de altura. Sabendo que as janelas dos apartamentos têm 2 m de largura, qual é a largura das janelas na maquete do edifício?

8

2

O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é: a) 10 c) 6 e) 2 b) 8 d) 4

12   Calcule

o valor de x, sabendo que, na figura a seguir, temos três quadrados.

16  Num

triângulo retângulo, a razão entre as projeções dos ca9 tetos sobre a hipotenusa é . Sabendo que a hipotenusa 16 mede 10 cm, calcule a medida dos catetos.

17 x

56

6

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

9

Quais são as medidas dos ângulos de um quadrilátero sabendo que um deles mede x graus e os outros medem o dobro, o triplo e o quádruplo de x?

18

(Cefet-RJ) Quais são, respectivamente, as medidas dos ângulos X e Y na figura abaixo, sabendo que E é o ponto médio do segmento AD e que BCDE é um losango?

23

Qual é o valor de x nesta figura? 160° 95°

A B

X

x

112° E C

Y

24

Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um: a) decágono;

b) dodecágono.

D

25 19

Determine a medida do ângulo interno de um: a) eneágono regular;

Determine os valores de x e y no trapézio abaixo.

b) pentágono regular.

26  Há

um polígono cujo número de diagonais é sete vezes o número de lados. Que polígono é esse?

x 1 3y

27   Qual

é o número de diagonais de um polígono regular convexo cujo ângulo externo é 24°?

28   Calcule x e y no

retângulo abaixo.

x 2 y

76° x 2 3y y x

2x 2 3y

29  Dado 20

um quadrado de lado a, calcule a medida das diagonais desse quadrado, em função de a.

(Fuvest-SP) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de a 1 b é:

PARA APRIMORAR PARA PRATICAR

40°

b

1

(Mack-SP) Na figura, se MN // AC, a medida de a é:

a 4a

a) 50 21

b) 90

c) 120

d) 130

e) 220

M a

Determine o valor de x e as medidas dos ângulos internos do trapézio isósceles ABCD abaixo.

A

a) 28° A

N

C

b) 30°

c) 32°

d) 34°

e) 36°

B

2

2x

 Prove que os triângulos são congruentes sabendo que AB 5 5 BD 5 2 cm e que BC 5 BE 5 3 cm. A

D

x D

C

x

y B

22   Calcule:

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

a) a soma das medidas dos ângulos internos de um heptá-

gono; b) o número de lados de um polígono convexo no qual Si 5 1 440°.

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

   M C

E

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

57

3

Demonstre que num triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. (Sugestão:  recorra à congruência de triângulos.)

4

  Se o centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o ponto de intersecção entre as mediatrizes, prove que é sempre possível traçar uma circunferência que passe por três pontos não alinhados.

as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura a seguir em linha pontilhada: B

5 km D 2,5 km

H

5

 (ITA-SP) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BCA em quatro ângulos iguais. Se , é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule:

K

C

2,5 km

Rio K'

A

B

Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK'  18 km. Calcule a que distância, em kilometros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento mínimo. 5

a) a medida da mediana em função de ,; b) os ângulos CAB, ABC e BCA. B

6

B

B

  (UFMG) Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir Matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de Geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku , apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus : considere ABCD um retângulo com AB  160 e AD  80; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q. 5

8

5

 (Unicamp-SP) Em um aparelho experimental, um feixe laser  emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ? B

H

P

A

F

Q

C

D

O Q

a) b) c) d)

P

A

B

Considerando essas informações: a) determine o raio QO da circunferência. b) determine o comprimento do segmento PQ. 7

58

 (UFSC) Duas cidades, marcadas no desenho a seguir como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distâncias de 2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, per pendicular às margens do rio. As regiões em cada lado d o rio e até

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

12 cm 15 cm 16 cm 18 cm

9

Demonstre que as diagonais do losango são perpendiculares entre si.

10

Há um polígono cujo número de diagonais é seis vezes o número de lados. Que polígono é esse?

11

Um polígono convexo tem 13 vértices. Quantas diagonais ele possui?

12   (ITA-SP)

Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n  1 ângulos (internos) do polígono é 2 004°, determine o número n de lados do polígono. 2

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS   ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982.  BOYER, C. B. História da Matemática . São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974. COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.  DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática . 12. ed. São Paulo: Ática, 1997. DAVIS, P. J.; HERSH, R.  A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.   LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa)/Vital – Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social, 1991.  ____. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do Professor de Matemática, v. 1 e 2.) MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica . São Paulo: Atual, 1981.  POLYA, G.  A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986.   ____. Mathematical Discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v. REVISTA do professor de matemática. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1 a 36.

ANOTAÇÕES

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

59

Veja, no Gu ia do Professor, as respo stas da “Revi são”. As resoluções encontram-se no portal em Resoluções e Gabaritos.

REVISÃO 1.

As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.

(UTFPR) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão, está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de: Considere sen 30°

1 , 2

°

e u 5  30°. A área do retângulo ABCD, em centimetros quadrados, é: A

3 3   e tg30° 5 2 3

H

a) 0,

a) 100 3

b) 2,4

b) 10

c) 1,

c) 11

d) 0,

d) 15 e) 175 2

(UFG-GO) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os ângulos A BC e ACB medem 135° e 30°, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.

5.

B

B

Dado: 3 3.

C

B

e) 0,6 2.

D u

 1,7.

.

(Uerj) Um foguete é lançado com velocidade igual a 180 m/s, e com um ângulo de inclinação de 60° em relação ao solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua velocidade se mantenha constante ao longo de todo o percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no solo, a y metros do ponto de lançamento. Os valores de x e y são, respectivamente: a) 90 e 90 3

(Unicamp-SP) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

b) 90 3 e 90 c) 450 e 450 3 d) 450 3 e 450 6.

Aeroporto 15°

(UFRRJ) Em um campo de futebol, o “grande círculo” é formado por uma circunferência no centro, de 30 metros de diâmetro, como mostra a figura:

3,8 km

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de: a) 3,8 tan (15°) km b) 3,8 sen (15°) km c) 3,8 cos (15°) km d) 3,8 sec (15°) km 4.

60

(IFSP) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal, AH é perpendicular a BD, AH 5 cm

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

A

30° C

B

Ao tentar fazer a marcação da linha divisória (AB), um funcionário distraído acabou traçando a linha (AC), como

podemos ver na figura. Desta forma, o número de metros que ele traçou foi de: m

a) b)

10 3 m

c)

10 2 m

d)

15 3 m

e)

9.

No nEFG, uma das bissetrizes é GM. Calcule o perímetro do nEFG.

15 2 m

E

x

7.

(Ufam) Em relação ao triângulo ABC abaixo:

3x

M B x

2 2 F

h

24 G

A

C

H

10. Assinale a alternativa que associa corretamente cada ele-

Dados AB 5 3 cm, AC 5 8 cm e A 5 60 . Pode-se dizer, então, que é verdadeira a seguinte afirmação: B

c)

Seu perímetro é 20 cm. sen A 5 1 2 Sua área é 6 3 cm2

d)

É um triângulo retângulo

e)

BH 5

a) b)

8.

o

B

2

 cm

(UFG-GO) Gerard Stenley Hawkins, matemático e f ísico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum.

mento da coluna da esquerda com um dos elementos da coluna da direita. 1) mediatriz I) ortocentro 2) altura II) baricentro 3) bissetriz III) incentro 4) mediana IV) circuncentro a) 1-II, 2-I, 3-III, 4-IV  b) 1-IV, 2-II, 3-I, 4-III c) 1-IV, 2-I, 3-II, 4-III d) 1-I, 2-III, 3-II, 4-IV  e) 1-IV, 2-I, 3-III, 4-II 11. (FGV-SP)

Considere as retas r, s, t, u todas num mesmo plano, com r // u. t r 120°

y

u

20° x

s

O valor em graus de (2x 1 3y) é: a) 64° b) 500° c) 520° d) 660° e) 580° 12. (UFRN) A diferença entre os ângulos agudos de um triân-

Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores.

gulo retângulo é 50°. Qual a medida do menor ângulo desse triângulo? a) 10° d) 40° b) 20° e) 70° c) 25°

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

61

13. (Fuvest-SP)

As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:

D

C

x

120°

P 140° t

A

B

Então, a medida AP é: a) 0,2 b) 2

s

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 14. (Fuvest-SP)

A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste é: a) 6 m b) 7,2 m c) 12 m d) 20 m e) 72 m

c)

2 10 5

d)

10 5

18. (Fuvest-SP)

Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento. B

15.(Mack-SP)

MT

Na figura abaixo, MNPQ é um losango. Se  12 e MS  6, quanto mede cada lado do losango?

5

T

5

y

A

M

x 800 m

N

500 m

Q

S

T P

900 m 16. (Fuvest-SP)

Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB  AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a: a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 5

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quan-

do o seu deslocamento vertical é igual a 20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? 19.(UFSJ-MG)

Considere uma corda AB, perpendicular ao diâmetro EC de um círculo de centro O. Sendo o ponto D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo que CD  4 cm e ED  9 cm, a área do triângulo AED, em cm 2, é igual a: a) 27 b) 18 c) 36 d) 78 5

17. (Epcar-MG)

Seja ABCD um paralelogramo cujos lados AB e BC medem, respectivamente, 5 e 10. Prolongando o lado AB até o ponto P, obtém-se o triângulo APD, cujo ângulo APD é congruente ao ângulo A CB, conforme a figura. B

62

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

B

5

 Ciências Humanas e suas Tecnologias

MAIS ENEM

Ciências da Natureza e suas Tecnologias  Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

Matemática e suas Tecnologias

DISTÂNCIAS ASTRONÔMICAS

Crescente

Quão distantes estão da Terra, o Sol e a Lua? Quais as dimensões desses três corpos celestes? Foram perguntas assim que motivaram o estudo de ângulos e as relações no triângulo retângulo, ideias que estão ligadas a noções básicas e fundamentais de Geometria. Para constatar que o Sol está mais distante da Terra que a Lua, basta observar atentamente as várias fases da Lua. Se ela estivesse mais longe da Terra que o Sol, então, por simples análise de suas várias posições em relação ao Sol e à Terra (fig. 1), concluímos que ela estaria sempre iluminada pelo Sol quando vista da Terra. Pensando assim, não haveria lua nova (quando a Lua se encontra entre a Terra e o Sol, com sua face escura virada quase que completamente para a Terra, ou seja, não é visível a olho nu). Além disso, haveria duas posições da Lua, em 1 e em 3 (fig. 1), onde ela seria lua cheia – no caso da figura 3, isso aconteceria em pleno meio-dia, o que nunca acontece realmente. 2

Terra

Sol

a

a

Minguante

Fig. 2 – Há duas posições da Lua, em sua órbita, nas quais o disco lunar apresenta-se metade iluminada e a outra metade escura para um observador terrestre, de forma que o triângulo formado por Terra, Sol e Lua é retângulo.

Tamanho dos corpos celestes  Já para o tamanho do Sol e da Lua, Aristarco observou que ambos possuem o mesmo “tamanho angular”, ou seja, o ângulo 2 b , sob o qual um observador na Terra vê o Sol, é o mesmo sob o qual ele vê a Lua – fato comprovado pela observação de um eclipse total do Sol, no qual o disco lunar coincide com o disco solar (a Lua encobre o Sol por inteiro). S'

3

Sol

Terra

1 L' T

b b

S

L

Lua 4

Fig. 1 – Figura ilustrando a hipótese de a Lua estar mais distante da Terra que o Sol.

Agora, a hipótese que o Sol está mais distante da Terra que a Lua é a única compatível com as várias fases que vemos da Lua, em particular a ocorrência das luas novas. Outro fato que confirma esta hipótese é a ocorrência de eclipses solares, que só são possíveis com a Lua mais próxima da Terra que o Sol.

Distâncias entre os corpos celestes O greto Aristarco de Samos (século III a.C.), da escola de Alexandria, elaborou um método para comparar as distâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol. Ele observou que há duas posições da Lua, em sua órbita – o “quarto crescente” e o “quarto minguante” –, nas quais o triângulo Terra-Sol-Lua é retângulo, com o ângulo reto sendo o do vértice ocupado pela Lua e o ângulo a medindo aproximadamente 89,86°.

Fig. 3 – Eclipse solar, quando a Lua coloca-se entre a Terra e o Sol, tapando o disco solar por completo (comprovando que ambos possuem o mesmo “tamanho angular”).

 ÁVILA, Geraldo. “A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga”. Disponível em: . Acesso em: 28 jul. 2014. Adaptado.

Exercício Considerando cos 89,86°  0,0025, assinale a alternativa correta: d a) A distância da Terra ao Sol é 300 vezes maior que a distância da Terra à Lua. b) O fato de ser muito próximo de 90° implica que os raios solares que atigem a Terra não são paralelos entre si. c) O raio do Sol é cerca de 300 vezes maior que o raio da Lua. d) A distância da Terra à Lua é cerca de 400 vezes menor que a distância da Terra ao Sol. e) Não é possível saber aproximadamente a distância da  Terra ao Sol em relação à distân cia da Terra à Lua. .

63

QUADRO DE IDEIAS Presidência:  Mário Ghio Júnior Direção: Carlos Roberto Piatto Direção de inovação em conteúdo: René Agostinho Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo Conselhoeditorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves,

Triângulo

Casos de semelhança: AA LLL LAL

 Triângulo retângulo C

a

n

a

b h

m

Casos de congruência: LLL LAL ALA LAAO

b A

c

B

sen a 5 cos b 5

b a sen a c tg a 5 5 cos a b

cos a 5 sen b 5

2

Gerênciaeditorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves Edição: Alessandra Naomi Oskata ( coord .), Pietro Ferrari, Tatiana Leite Nunes

Assistência editorial: Aline Moojen Pedreira, Tadeu Nestor Neto

Organizaçãodidática: Maitê Fracassi Revisão:  Adriana Gabriel Cerello ( coord. ), Danielle Modesto, Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Tatiane Godoy, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena; Colaboração:  Aparecida Maffei, Karina Novais, Rayssa do Valle

c2 5 a ? m b2 5 a ? n h2 5 m ? n a ? h 5 b ? c a2 5 b2 1 c2

c a

Carlos Roberto Piatto, Daniel Augusto Ferraz Leite, Eduardo dos Santos, Eliane Vilela, Helena Serebrinic, Lidiane Vivaldini Olo, Luís Ricardo Arruda de Andrade, Marcelo Mirabelli, Marcus Bruno Moura Fahel, Marisa Sodero, Ricardo Leite, Ricardo de Gan Braga, Tania Fontolan

Coordenação de produção: Fabiana Manna ( coord. ); Adjane Oliveira, Solange Pereira

Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga Edição de arte: Daniel Hisashi Aoki Diagramação: Antonio Cesar Decarli, Claudio Alves dos Santos, Fernando Afonso do Carmo, Flávio Gomes Duarte, Kleber de Messas

Iconografia: Sílvio Kligin ( supervisão ), Marcella Doratioto; Colaboração:  Fábio

Matsuura, Fernanda Siwiec, Fernando Vivaldini

2

sen a 1 cos a 5 1

Licenças e autorizações:Edson Carnevale Capa: Daniel Hisashi Aoki Foto de capa: Simon Bratt/Shutterstock Projeto gráfico de miolo: Daniel Hisashi Aoki Editoraçãoeletrônica: Casa de Tipos Todos os direitos reservados por Sistemas de Ensino Abril Educação S.A. Avenida das Nações Unidas, 7221 – Pinheiros CEP: 05425-902 – São Paulo – SP (0xx11) 4383-8000

Polígono regular

© Sistemas de Ensino Abril Educação S.A. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Dante, Luiz Roberto Sistema de ensino ser : ensino médio, caderno 1 : geometria : PR / Luiz Roberto Dante. -- 2. ed. -São Paulo : Ática, 2015. 1. Geometria (Ensino médio) 2. Matemática (Ensino médio) I. Título. 14–10530

ai 5

Si n

5

(n 2 2) ? 180

°

n

ae 5

Se n

5

360 n

°

d5

n ? (n 2 3) 2

CDD–510.7

Índice para catálogo sistemático: 1. Matemática : Geometria : Ensino médio 2014

ISBN 978 85 08 17109-5 (AL) ISBN 978 85 08 17099-9 (PR) 1ª edição 1ª impressão

Impressão e acabamento Uma publicação

64

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

510.7

MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA GUIA DO PROFESSOR

 LUIZ ROBERTO DANTE Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP. Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela PUC/São Paulo. Mestre em Matemática pela USP. Ex-presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Sbem). Ex-secretário executivo do Comitê Interamericano de Educação Matemática (Ciaem). Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP Autor de vários livros: Didática da resolução de problemas de Matemática;  Didática da Matemática na pré-escola;  Coleção  Aprendendo Sempre – Matemática (1o ao 5 o  ano); Tudo é Mate-  mática (6o ao 9 o ano); Matemática – Contexto & Aplicações – Volume único (Ensino Médio); Matemática – Contexto & Aplicações – 3 volumes (Ensino Médio). MÓDULO  Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana (18 aulas)

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

AULAS 1 e 2

MÓDULO Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

Competências Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e para agir sobre ela. c Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e para a solução de problemas do cotidiano.

Habilidades c

Identificar características de figuras planas ou espaciais.

c

Resolver situações-problema que envolvam conhecimentos geométricos de espaço e forma.

Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas cotidianos. c Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. c

c

Resolver situações-problema que envolvam medidas de grandezas.

c

Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.

c

Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.

 1. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Objeto do conhecimento Conhecimentos geométricos.

Objeto específico Características das figuras geométricas, planas e espaciais. Grandeza, unidades de medida e escalas. Comprimentos, áreas e volumes. Congruência e semelhança de triângulos. Relações métricas nos triângulos. Trigonometria do ângulo agudo.

2

GUIA DO PROFESSOR

Índice de subida; as ideias de tangente, seno e cosseno; definição de seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos Objetivos Mostrar nos lados do triângulo retângulo as medidas de percurso, afastamento e altura. Explicar como calcular a razão entre altura e afastamento utilizando o índice de subida.  Definir as ideias de seno, cosseno e tangente por meio da semelhança de triângulos.  Mostrar que seno, cosseno e tangente só dependem do ângulo e não do tamanho do triângulo.

Plano de aulas sugerido Carga semanal de aulas: 2 Número total de aulas do módulo: 18

c

Páginas: 4 a 11

Estratégias Conceitue os termos íngreme e aclive. Explique índice de subida mostrando exemplos. Explicite o cálculo de índice de subida. Leia e discuta com os alunos os textos das páginas 8 e 10. Defina seno e cosseno por meio da semelhança de triângulos. Mostre que seno, cosseno e tangente só dependem do ângulo.

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em casa as atividades 1 e 2 do "Para praticar" (página 24). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija as questões  juntamente com a classe. AULA 3

Páginas: 12 a 15

Relações entre seno, cosseno e tangente; tabela com valores de seno, cosseno e tangente Objetivos Demonstrar e aplicar as relações entre seno, cosseno e tangente. Explicar como utilizar as relações e a tabela com valores de seno, cosseno e tangente para calcular os lados do triângulo retângulo, dada a medida em graus de um dos ângulos agudos.

Estratégias Demonstre a relação fundamental do triângulo retângulo e a relação da tangente. Explique a relação utilizada para medir catetos de um triângulo retângulo. Explique a relação entre ângulos complementares. Explicite a utilização da tabela com valores de seno, cosseno e tangente. Explane o exercício resolvido 1 (página 14). AULAS 4 e 5

Páginas: 16 a 20

Relações entre seno, cosseno e tangente (cont.); quadro-resumo sobre triângulos retângulos; projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um eixo Objetivos Introduzir a relação fundamental entre seno e cosseno e a relação de tangente.

Explicar como “resolver” um triângulo retângulo.

Estratégias Mostre as relações que envolvem seno, cosseno e tangente de

ângulos agudos. Faça com os alunos a leitura do boxe “Ângulos e medidas de segmento” (página 16). Explicite o exemplo de projeção ortogonal de um segmento de

reta sobre um eixo. Explique os exercícios resolvidos.

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em casa as atividades 3 a 9 do "Para praticar" (página 25) e as atividades 1 a 4 do "Para aprimorar" (página 27). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija as questões

 juntamente com a classe. AULA 6

Páginas: 20 a 24

Aplicação: resolução de problemas Objetivo Resolver problemas aplicando as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Estratégia Explique os exercícios resolvidos 9 a 12 (páginas 20 e 21).

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em casa as atividades 10 a 18 do "Para

praticar" (páginas 25 e 26) e as atividades 5 a 12 do "Para aprimorar" (páginas 27 e 28). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija as questões

 juntamente com a classe. AULA 7

Páginas: 60 a 62

Revisão Objetivo Desenvolver, por meio de exercícios, uma revisão dos conteúdos

estudados no capítulo.

Estratégias Selecione alguns exercícios da “Revisão” e proponha aos alunos

que, em duplas, os resolvam. Identifique os conteúdos que ainda geram dúvidas e resolva os exercícios correspondentes na lousa.

2. CONCEITOS BÁSICOS DE GEOMETRIA PLANA Objeto do conhecimento Conhecimentos geométricos. Conhecimentos algébricos/geométricos. Objeto específico Características das figuras geométricas, planas e espaciais. Grandeza, unidades de medida e escalas. Comprimentos, áreas e volumes. Ângulos. Posições de retas. Congruência e semelhança de triângulos. Teorema de Tales. Relações métricas nos triângulos. Retas. Paralelismo e perpendicularidade.

AULAS 8 a 10

Páginas: 30 a 39

Ângulos e polígonos Objetivos Apresentar as medidas de ângulos formados por duas retas para-

lelas cortadas por uma transversal. Definir polígono convexo e seus elementos e polígono não convexo.

Rever os nomes dos polígonos quanto ao número de lados. Definir polígonos regulares. Classificar triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados. Demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.  Demonstrar o teorema do ângulo externo de um triângulo.  Mostrar a condição de existência de um triângulo. Explicar como se aplicam os casos de congruência de triângulos.

Estratégias Conceitue ângulo e os vários tipos de ângulos. Explique o exercício resolvido 1 (página 32). Defina polígonos convexos e não convexos. Mostre os elementos de um polígono. Recorde o nome dos polígonos quanto ao número de lados. Conceitue polígonos regulares. Conceitue triângulo e explique sua classificação. Demonstre a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono e o teorema do ângulo externo. Explique a condição de existência de um triângulo. Para facilitar a compreensão dos alunos, faça a construção, com régua e com-

passo, dos triângulos do exercício 4 da seção “Para construir”, itens (a), (b) e (c). Mostre os quatro casos de congruência de triângulos.

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em casa as atividades 1 a 5 do "Para praticar" (página 55) e as atividades 1 a 3 do "Para aprimorar" (páginas 57 e 58). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija as questões

 juntamente com a classe. Ler o boxe “Relação entre lados e ângulos de um triângulo” (página 39). AULA 11

Páginas: 40 a 42

Cevianas particulares e pontos notáveis de um triângulo Objetivos   Mostrar as cevianas particulares e os pontos notáveis de um

triângulo. Aplicar os conceitos vistos em exercícios.

Estratégias Conceitue os tipos de cevianas e o ponto notável de cada uma delas.

Explique as duas observações e responda à questão do boxe “Para refletir” da página 41. Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

3

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em casa as atividades 6 a 9 do "Para praticar" (páginas 55 e 56) e as atividades 4 e 5 do "Para aprimorar" (página 58). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija as questões  juntamente com a classe. AULA 12

Páginas: 42 a 44

Teorema de Tales e teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Objetivos Apresentar o teorema de Tales.  Apresentar o teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo.

Estratégias Explique o teorema de Tales. Exponha o teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo.

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em casa a atividade 10 do "Para praticar" (página 56). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija a questão juntamente com a classe. AULA 13

Páginas: 44 a 47

Semelhança de triângulos Objetivos  Mostrar como identificar dois triângulos semelhantes e aplicar os três casos de semelhança. Apresentar o teorema fundamental da semelhança.

Estratégias Conceitue semelhança de triângulos e explique os três casos de semelhança. Explique o teorema fundamental da semelhança fazendo o exercício resolvido 3.

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em casa as atividades 11 a 15 do "Para praticar" (página 56) e as atividades 6 a 8 do "Para aprimorar" (página 58). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija as questões juntamente com a classe. AULA 14

Objetivo Mostrar as relações métricas no triângulo retângulo e sua aplicação em exercícios. Estratégias Explique as relações métricas n o triângulo retângulo reproduzindo na lousa sua dedução. Chame a atenção dos alunos para a seção GUIA DO PROFESSOR

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em cas a a atividade 16 do "Para praticar" (página 56). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija a questão juntamente com a classe. AULAS 15 e 16

Páginas: 49 a 54

Quadriláteros e ângulos internos e externos de um polígono Objetivos   Definir quadrilátero e aplicar nos exercícios a propriedade: a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360°. Mostrar as propriedades dos paralelogramos. Explicar as características do retângulo, do losango e do quadrado. Apresentar os tipos de trapézio. Deduzir e aplicar as fórmulas sobre a soma das medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos de um polígono convexo. Calcular ângulos internos de um polígono regular. Determinar a quantidade de diagonais de um polígono.

Estratégias Conceitue quadrilátero e fale sobre a soma dos seus ângulos internos. Conceitue paralelogramo e explique suas propriedades. Explique o exercício resolvido 4 (página 50). Apresente as características do retângulo, do losango e do quadrado. Explique o quadro com as características especiais de cada quadrilátero. Conceitue trapézio e seus tipos. Explique a fórmula para calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, e também dos ângulos externos. Demonstre como calcular os ângulos internos de um polígono regular, assim como a quantidade de diagonais.

Tarefa para casa Solicite aos alunos que façam em casa as atividades 17 a 21 do "Para praticar" (páginas 56 e 57) e as atividades 9 a 12 do "Para aprimorar" (página 58). Se achar oportuno, no início da próxima aula corrija as questões  juntamente com a classe.

 Revisão e Mais Enem AULAS 17 e 18

Páginas: 60 a 63

Páginas: 47 a 49

Relações métricas no triângulo retângulo

4

“Para refletir” e proponha a resolução dos exercícios da seção “Para construir” em grupos.

Objetivo Desenvolver, por meio de exercícios, uma revisão dos conteúdos estudados no capítulo.

Estratégias Selecione exercícios da "Revisão" e proponha aos alunos que, em duplas, os resolvam. Identifique os conteúdos que ainda geram dúvidas e resolva os exercícios correspondentes na lousa. Explore o texto e o exercício proposto na seção “M ais Enem”.

RESPOSTAS CAPÍTULO 1 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

10. B B'

PARA PRATICAR – páginas 24 a 26 1. a)

sen B

2. a)

x 5 9,4

1 ; cos B 2

5

B

B

5

3   ; tg B 2

B

5

3 ; B 3

B

a c 5 30°

A

b) x 5 10 c) x 5 5,12

sen α

b) x

5

5

A'

b'

C'

a b c 5 5 a b c

5 ; tg α 13

5

5 12

'

'

Considerando os ângulos

208 5

a a

5

a a

5

b b

5

'

x 5 6 b) x 5 6 c) x 5 6

4. a)

5.

C

b

'

3. a)

a'

c'

⇒

c c

⇒

c c

⇒

'

'

3

b b

B

 ou

ABC: 'B'

b a

5

b a

 cateto oposto    hipotenussa    

c a

5

c a

 cateto adjacente     hipoteenusa    

b c

5

b c

'

'

'

ABC

'

'

'

5 15

6.

'

'

'

'

  cateto oposto    cateto adjacente    

7. x 5 35 3 1 35   11.

8. c. 9. x 5 50 10. 3,6

3

2m

m

11. 50

Em escala de  1; 400

α

30 m

3 m

12. e.

0,5 cm

α

13. 59,7

m

14. ( 20 1 6 15.

8m

16.

20 m

7,5 cm

3) m

α

12. a)

.

5°

a 1 2b 5 63 23

, a , 35

20

. b . 14

b

17. b. 18. 18

a

cm

PARA APRIMORAR – 1.

4

14 35

páginas 27 e 28

b a

,

20 23

⇒

0,4

,

b   0,87 , a

6

Mais íngreme

3

2. h 5 540 m; d 3. 5

,

Logo, a mais íngreme é aquela cujo passo está mais próximo de 23.

5 2 062 m

m

b) acentral

4. c.

5

35 1 23 5 19 2

Então, b 5 22.

5. 5,04

m

6. d.

Valores divididos por 4

7. d. 8. a)

α

b 5 2u

9. a) OA2 5

b) a1

5

2 ; a2 2

5

5

3 ; OA 4 5 2; OA10

3 ; a3 3

5

5,5 cm

19

b) x 5 0,5 m 2 ; OA3

22

1 ; a 2 0

5

5

10 10

10

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G

50° 4,75 cm

Logo, o ângulo de inclinação é, aproximadamente, 50°.

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

   A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

5

 PARA REFLETIR –

Para que o índice de subida seja 1, a altura e o afastamento devem ser iguais. Para que o índice seja maior que 1, a altura deve ser maior que o afastamento.

α

,

h1

β;

h2

,

a1

x 5 y 5 50°

8. a)

página 6

b) x 5 40° e y 5 30° 9. HAS 5 9° 

10. d. 11. 2,5 12.

a2

cm

x 5 4 B

13.

página 8 D

Terá altura maior a que tem ângulo de subida α. sen α . sen β. A mais íngreme é a que tem ângulo de subida maior ( α), ou seja, de seno maior.

C

O

A

E

Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo, β OC α

cos β . cos α. 4

⇒

25

tg α

2

5 1 ⇒ sen α 5 1 2

sen α 5

4 25

5

21

R

2

R

r

5

r s

⇔

R ? s 2 r ? s 5 R ? r ⇔

25

15. c. ⇒

21 5

21 2 ; 5 5

5

⇔

BA

14. b.

página 18 2

OD

⇔ R ? s 5 R ? r 1 r ? s; c.q.d.

A que tem ângulo de subida menor (β).

sen α 1

5

BC

5

21 5

?

5 2

5

21 2

16.

6 cm e 8 cm

17.

36°, 72°, 108° e 144°

18.

x 5 34° e y 5 68°

19.

x 5 80°; y 5 10°

20. d. 21.

CAPÍTULO 2 – CONCEITOS BÁSICOS DE GEOMETRIA PLANA

PARA PRATICAR –

22. a)

23.

páginas 55 a 57





25. a)

3. y 5 37°

Sim; AB

>

LAAo; RQ e BC

demais >

elementos

congruentes:

C

>



P,

28.



>

ML .





>

N 

e

5. x 5 4 cm; y 5 3,5 cm e z 5 5

x 5 50°

b) x 5 130°

cm

GUIA DO PROFESSOR

>

L,  GH 

>

NL

x 5 128° e y

5 52°

29. d 5 a 2

e

páginas 57 e 58

1. b.

f ) Sim; LLL; ambos têm lados de 4 cm.

6

M, Q

diagonais

PARA APRIMORAR –

e) Não podemos garantir.

7. 34

>

MN.

d) Sim; ALA; demais elementos congruentes: H FH

Heptadecágono (17 lados)

27. 90



>

26.

PQ.

c) Sim; LAL; demais elementos congruentes: P

ai 5 140°

b) ai 5 108°



b) Não podemos garantir.

PQ

Si 5 1 440°

b) Si 5 1 800°

2. A 5 80°; B 5 30°; C 5 70°

6. a)

x 5 75°

24. a)



Si 5 900°

b) 10 lados

1. 60°

4. a)

x 5 60°; medidas dos ângulos: 60°, 60°, 120° e 120°.

cm

2. Há várias possibilidades de resposta. 3. Há várias possibilidades de resposta. 4. Há várias possibilidades de resposta. 5. a)

, 2

B

5

67° 30'

A BC

5

22° 30

b) CAB B

3. a. 4. a.

' '

5. d. B CA 

6. a)

40

7. 12

km

5

90°

6. d.

b) PQ

5

32 5

8.

8. b. 9. Há

7. c.

várias possibilidades de resposta.

4 3

9. 72

  10.

Pentadecágono.

10. e.

  11.

65 diagonais

11. b.

  12.

n

12. b.

 14

5

PARA REFLETIR –

página 41

Um triângulo isósceles possui dois lados de mesma medida; logo, a mesma demonstração será usada para o triângulo equilátero. Em um triângulo retângulo cada cateto forma ângulo reto com o outro; logo, um é altura relativa do outro. O ortocentro será o vértice do triângulo onde os dois catetos se encontram.

REVISÃO – páginas 60 a 62

14. d. 15.

4

16. c. 17. b. 18. a)

60 m

b) 2 00 1 0 s

1. b. 2. 2 7

13. e.

m

19. a.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS   ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982.  BOYER, C. B. História da Matemática . São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974. COLEÇÃO do professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.  DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática . 12. ed. São Paulo: Ática, 1997. DAVIS, P. J.; HERSH, R.  A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.  LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa)/Vital – Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social, 1991. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do Professor de Matemática, v. 1 e 2.) MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1981.  POLYA, G.  A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986. . Mathematical discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1 a 36.

   A    I    R    T    E    M    O    N    O    G    I    R    T    E    A    I    R    T    E    M    O    E    G    A    C    I    T     Á    M    E    T    A

   M

Conceitos iniciais de Trigonometria e Geometria plana

7

ANOTAÇÕES

8

GUIA DO PROFESSOR