Geometría Anual Ade 2015

Boletín Virtual: Geometría

1 2 3 4 5 6 7 8

Geometría Definiciones primitivas, segmentos y ángulos

6. Según el gráfico

NIVEL BÁSICO



m AOB m BOC m COA = = 5 6 7



Calcule m AOB.

1. Sobre una línea recta se ubican los puntos

A

consecutivos A, B, C y D. B es punto medio de AC y CD=2BC. Si AD=40, calcule AB.

B O

A) 20 B) 10 C) 5 D) 30 E) 25

2. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D además B es punto medio de AD. Si AD=30 y CD=12, calcule BC. A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2

A) 20º B) 40º C) 100º D) 140º E) 50º

 

7. De acuerdo con el gráfico, OM y ON son las bisectrices de los ángulos AOB y COD, respectivamente. Calcule la m AOB si

3. De una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AD=30, AC=14 y BD=20. Calcule BC.

C





m AOB m BOC m COD = = 2 4 6

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

M

B

A

4. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si DE=2(AB), BC=CD y AC=13, calcule BE. A) 12 B) 26 C) 18 D) 20 E) 24

64º

...

N

O D

A) 30º B) 32º C) 24º D) 16º E) 40º

5. Si Sa=3Ca, donde S y C representan el suplemento y complemento de la medida de un ángulo, respectivamente, calcule a.

C

8. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E.

A) 35º B) 45º C) 40º D) 30º E) 12º



Si AB =

BC CD DE y AC=9, halle AE. = = 2 3 4

A) 20 B) 30 C) 40 D) 27 E) 21

2

Geometría 12. Se trazan n ángulos consecutivos alrededor de

NIVEL INTERMEDIO

un punto. Si la suma de medidas de sus complementos es 810º, halle n.

9. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de modo que AE=4BD y AD+BE=80. Halle AB+DE. A) 80 B) 16 C) 48 D) 64 E) 32

NIVEL AVANZADO

10. En una recta se ubican los puntos consecutivos M, N, P, Q y R. F y Q son los puntos medios de MN y PR, respectivamente, NP=4 y 2PF+PR=18. Calcule FN+QR.

A, B, C y D, de modo que AC=12. Si M y N son los puntos medios de AB y CD, respectivamente, además MN=16, calcule BD.

14. Calcule la medida de un ángulo si se sabe que

11. En el gráfico, m BOD=90º y m AOD – m AOB=20º. Halle m COD. B

A

13. De una recta se toman los puntos consecutivos

A) 16 B) 12 C) 18 D) 15 E) 20

A) 4 B) 9 C) 8 D) 5 E) 10



A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 13

los tres cuartos del suplemento de su complemento es 90º. A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º

O

C D



A) 55º B) 35º C) 25º D) 40º E) 30º

3

Cα Sα α = − , donde S y C representan 4 2 10 el suplemento y complemento de un ángulo,

15. Si α +

respectivamente, calcule S2a. A) 50º B) 100º C) 80º D) 160º E) 130º

Geometría A) 90º

Ángulos entre rectas paralelas

B) 135º C) 120º

D) 144º E) 108º NIVEL BÁSICO

 

 

1. Según el gráfico, si L 1 //L 2, calcule a+b+q+w.

4. Según el gráfico, si L 1 //L 2, calcule a+b.

L1

L1

2β

α

α

α

β β

θ

α

β ω



L2

α

β

α

L2

A) 180º B) 36º0 C) 540º D) 270º E) 450º

A) 36º

   

B) 95º

2. Si L 1 //L 2 y L 3 //L 4, calcule x+y+z.

C) 60º D) 72º E) 80º

y y

L1 30º

L3

  

5. Si L 1 //L 2 //L 3, calcule x.

L1

x 130º

x

L4 L2

z



L2

140º x+30º

A) 160º B) 80º C) 150º D) 50º E) 40º

2x x+50º

 

L3

3. Si L 1 //L 2, calcule x.

L1

...

L2 α

θ

150º

A) 10º

x

B) 20º 4θ

4α

C) 30º D) 35º E) 15º

4

Geometría 6. A partir del gráfico, calcule x si a+b=140º y

 

NIVEL INTERMEDIO

L 1 //L 2.

α

m

L1

m

9. Según el gráfico, calcule x.

β x θ

x n n



L2 θ



A) 50º B) 110º C) 80º D) 160º E) 130º

A) 50º B) 20º C) 30º D) 18º E) 36º

 

 

7. En el gráfico mostrado, L 1 // L 2 ,

4x

10. En el gráfico, si L 1 // L 2, calcule x.

calcule x si q – b=40º.

L1

x

2x

L1 30º

θ



L2

L2

β

40º

A) 40º B) 20º C) 30º D) 50º E) 60º

A) 10º B) 20º C) 30º D) 35º E) 15º

 

8. Si L 1 // L 2, calcule x.

 

L1

11. Si L 1 // L 2, calcule x.

L1 140º 120º x 120º L 2

x

A) 45º B) 20º C) 30º D) 37º E) 60º 5

x

L2

A) 60º B) 120º C) 80º D) 110º E) 100º

Geometría  

 

14. Si L 1 // L 2, calcule x.

12. Si L 1 // L 2 y a+b+q=135º, calcule x+y. α

m+n

β

x

y 76º

m



L2

a

A) 30º B) 18º C) 24º D) 36º E) 37º

   

15. Según el gráfico, L 1 // L 2, BP es bisectriz del

NIVEL AVANZADO

4x

L1

L2

50º

A) 109º B) 93º C) 97º D) 114º E) 100º

ángulo ABC, m+a=70º  y  n – a=100º. Calcule x.

 

A a

13. Si L 1 // L 2, calcule w+q.

m

L1

ω θ

L1

x P B

20º 80º



L1

a

θ

x



n

L2

A) 60º B) 120º C) 80º D) 140º E) 100º

n C



A) 60º B) 50º C) 30º D) 70º E) 80º

...

6

L2

Geometría 4. Del gráfico mostrado, calcule x.

Triángulo NIVEL BÁSICO

3x

1. Según el gráfico, calcule x.

100º α

x

65º

50º

110º

β

α



20º

x

A) 50º B) 75º C) 25º D) 20º E) 30º

30º

A) 45º B) 60º C) 90º D) 100º E) 120º

5. A partir del gráfico, calcule x. 2α α

2. A partir del gráfico, calcule b+d – a – c.

3x 2x

c

b

5x

a

θ 50º

60º

d



β

2θ

A) 18º B) 20º C) 36º D) 27º E) 30º

A) 10º B) 55º C) 110º D) 80º E) 85º

6. Del gráfico, calcule x.

3. Del gráfico, mostrado, calcule x. A) 40º α B) 50º C) 60º x α D) 70º E) 80º

3x

a

7

4x

40º

2x 60º

θ

θ+α

α

θ

A) 20º B) 14º C) 18º D) 16º E) 15º

Geometría 7. En el siguiente gráfico, ¿cuál es la suma de me-

A) 72º B) 36º C) 24º D) 54º E) 27º

didas señaladas? α

β

10. Calcule x+y.

ω

y

65º

30º

θ x Φ

γ



ω

A) 405º B) 180º C) 390º D) 450º E) 360º



UNMSM 2000

α 3α

3ω

A) 95º B) 105º C) 115º D) 120º E) 150º

8. A partir del gráfico, calcule x+y+z.

11. Del gráfico, calcule a+b+q+w+f.

z

ω

θ β

40º y

x



α



A) 360º B) 420º C) 320º D) 400º E) 280º

Φ

A) 180º B) 270º C) 360º D) 150º E) 240º

NIVEL INTERMEDIO

12. A partir del gráfico, calcule el valor de x.

9. En el gráfico, calcule x.

30º 108º

x

...

β





θ

2θ

2α α

130º β

x A) 30º B) 25º C) 50º D) 20º E) 15º 8

Geometría 14. En el gráfico, si m+n=30º, calcule x.

NIVEL AVANZADO

13. Según el gráfico, q+b=180º. Calcule x.

n θ

30º

m

θ

x

ω

A) 20º B) 25º C) 30º D) 35º E) 15º

ω

θ

100º

15. En el gráfico, calcule x si a+b=160º. β

a

80º x 50º m A) 110º B) 160º C) 130º D) 145º E) 100º



n

x

x b

n m

A) 100º B) 130º C) 140º D) 160º E) 80º

9

Geometría Clasificación de triángulos

B 70º

NIVEL BÁSICO N

M

1. Según el gráfico, si AB=CD, calcule x. B

x β



β

A

Q

C

A) 70º B) 110º C) 55º D) 140º E) 40º

x



A

x

40º

D

C

5. En el gráfico, AB=AD=CD.



Calcule x.

A) 50º B) 60º C) 80º D) 70º E) 55º

B

C 70º

2. En el gráfico, AB=BP y AC=QC. Calcule b. B

Q P 3β A



2β β



D

A) 60º B) 70º C) 80º D) 130º E) 65º

C

A) 10º B) 15º C) 20º D) 12º E) 18º

6. En el gráfico, AB=BC y AC=CD.



Si m ABC=2(m ADC), calcule x.

3. En un triángulo ABC, se ubica P en el lado BC, de tal

A) 20º B) 35º C) 40º D) 80º E) 75º

4. Del gráfico, AQ=QM y QN=QC.

Calcule x.

D

B

manera que AP=PC y AB=AP. Si m BAP=40º, calcule m BCA.

...

x

60º A

x



A

C

A) 45º B) 60º C) 70º D) 90º E) 30º 10

Geometría 7. En el gráfico, AB=AC=CD=CE.



10. A partir del gráfico, AC=CD=DE=EF=FB y

Calcule x.

AB=BC. Calcule x. B 80º

C

D x

E x

E

60º

A



C

A) 30º B) 35º C) 40º D) 10º E) 20º

Calcule AE.

A

D

F

B

A) 60º B) 80º C) 90º D) 100º E) 120º

8. En el gráfico, AB=BD=BC, AC=21 y CE=20.



A

11. En la región exterior relativa al lado BC de un triángulo isósceles de base AC, se ubica el punto P, de modo que el triángulo BPC es equilátero y m CAP=3(m APC). Calcule m APB.

B

60º

D

12. En un triángulo ABC, AB=2 y BC=12. Calcule el

60º

A) 45º B) 50º C) 37º D) 55º E) 48º

E

máximo valor entero de AC.

C

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

A) 27º B) 29º C) 20º D) 21º E) 22º

NIVEL AVANZADO

NIVEL INTERMEDIO

9. En la región exterior relativa al lado AC de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica D, de modo que AD=17, AB=15, BC=8 y m ADC=50º. Calcule m DAC. A) 50º B) 65º C) 80º D) 70º E) 55º 11

13. En un triángulo ABC, en AB y BC se ubican



los puntos P y Q, respectivamente, tal que AP=QC=PQ y m QAC+m PCA=70º. Calcule m ABC. A) 40º B) 50º C) 35º D) 45º E) 20º

Geometría 14. En un triángulo ABC, en el lado AC y en la

15. En el gráfico, AB=QC. Calcule x.

región exterior relativa a BC, se ubican los puntos P y Q, respectivamente, de modo que PQ y BC se intersecan en F. Si AB=BP=PQ, PF=FC y m ABC=80º, calcule m PBQ. Calcule m PBQ. A) 80º B) 100º C) 40º D) 50º E) 60º

B 7x

Q



A

x 2x

2x

A) 10º B) 20º C) 15º D) 14º E) 12º

...

12

C

Geometría A) 15º B) 20º C) 21º D) 14º E) 7º

Líneas notables asociadas al triángulo NIVEL BÁSICO

5. En el gráfico, calcule x.

1. Del gráfico, calcule x+y.

40º

A) 45º B) 55º x C) 65º D) 70º E) 75º

ββ

2θ

70º

θ

θ

y

θ

θ

β β x



2. En el gráfico, calcule x. A) 20º B) 25º C) 15º D) 30º E) 12º

2β

A) 80º B) 100º C) 115º D) 120º E) 125º

2x

6. En un triángulo ABC, se trazan la altura BH y la bisectriz BD del ángulo ABC, tal que D está en HC. Si m DBH=40º, calcule m BAC – m BCA. β β

5x 5x

θ

A) 40º B) 80º C) 120º D) 50º E) 100º

θ

3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz interior BF del ángulo HBC. Si AB=20 y BC=21, calcule FC.

7. Del gráfico, calcule x+y. 50º

A) 2 B) 3 C) 8 D) 9 E) 14,5 x

4. Del gráfico, calcule x.

y

2x+7º 2x+21º

θ θ



x



αα

θθ

13

A) 115º B) 120º C) 130º D) 240º E) 245º

β

β

Geometría 8. En el gráfico, calcule x. A) 10º B) 5º C) 20º D) 15 E) 14º

A) 20º B) 36º C) 30º D) 15º E) 22,5 120º

β β

12. Del gráfico, calcule el valor de x. β β

θ θ 8x

x θ θ

50º NIVEL INTERMEDIO



9. En un triángulo ABC se trazan las cevianas inte-

A) 50º B) 25º C) 65º D) 60º E) 45º

riores AP y CQ, que intersecan en M, de modo mPMC que AC=QC=AP. Calcule . mABC A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3 E) 1/3

13. Se tiene un triángulo ABC, en el que

50º

14. En un triángulo ABC se tiene que m ABC=70º; x β

β

además se traza la altura BH. Calcule la medida del ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos BAC y HBC. A) 95º B) 100º C) 85º D) 105º E) 90º

11. Del gráfico, calcule x. 2x

α

...

15. Se tiene un triángulo ABC, tal que m ABC=100º. Se traza la ceviana interior BM y la bisectriz interior CQ, las cuales se intersecan en P. Si AB=AM, calcule m QPB.

α

θ θ

m ABC – m CAB=50º; además se traza la bisectriz interior CD y en AC se ubica el punto E, de modo que m EDC=80º. Calcule m ADE. A) 20º B) 15º C) 25º D) 30º E) 35º

θ θ



NIVEL AVANZADO



10. Del gráfico, calcule x. A) 100º B) 110º C) 115º D) 120º E) 140º

x

β

β

A) 40º B) 50º C) 65º D) 80º E) 45º 14

Geometría 4. Si AB=12 y CD=16, calcule AD. Considere que

Congruencia de triángulos

BE=EC.

NIVEL BÁSICO

C B

1. En la figura, calcule x si AB=BC=CD=DE. C x B

D

θ

θ

E

A

A) 18º B) 36º C) 72º D) 30º E) 15º

5. En la figura, AM=MC y 3(BC)=AB+8. Calcule BC.

2. Según el gráfico AB=BC. Calcule x.

B

B θ

θ x

20º

θ

θ

A

C

A



D

E

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

2x

A



M

C

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

A) 19º B) 28º C) 22º D) 25º E) 20º

6. Según la figura, PQ=AC, AB=6 y CQ=10. Calcule BP.

3. En el gráfico, calcule x si AC=CD.

B

Q α

3x A

12

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

P

D

C



A

θ

θ α

C

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2

Geometría 7. En la figura, AD=4. Calcule BE.

10. Según el gráfico, las regiones sombreadas son

B

congruentes y BC=DE. Calcule x.

E

C

β

D

x

D

P

β θ

θ

β

20º

A



β

C



A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 3 E) 4

A

E

B

A) 60º B) 65º C) 45º D) 55º E) 50º

8. En la figura, AB=BD. Si a+b=60º, calcule x.

11. En el gráfico, BD=AB+AC. Calcule x/y.

B

D

α α Y x C

β

A

B θ θ

D

A) 60º B) 100º C) 120º D) 140º E) 110º

A



x

C

A) 1/2 B) 1/3 C) 1 D) 2 E) 3

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, ABC y CDE son triángulos equilá-

12. Del gráfico, AM=MC y AN=BC. Calcule m MBC.

teros. Calcule x.

B B

x N x

E

D



A

A



100º C

A) 30º B) 40º C) 45º D) 50º E) 60º 3

A) 30º B) 45º C) 60º D) 37º E) 53º

M

C

Geometría 14. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior

NIVEL AVANZADO

AD. Luego se ubica E en AD, tal que AB=EC y CD=AE. Si m BAE=m ECD, calcule m BDE.

13. Según el gráfico, AE=DC, BC=AD y AM=MC. Calcule x.

B x D

15. En un triángulo ABC (AB=BC), se traza la ce-

E 40º

A

A) 30º B) 40º C) 50º D) 80º E) 60º

M

A) 10º B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º

C

viana interior BP y en BC se ubica el punto M, tal que AP=MC, m BAP=40º y m PBC=70º. Calcule m MPC. A) 20º B) 30º C) 40º D) 45º E) 60º

4

Geometría 4. Según el gráfico, PQ=5 y QC=3. Calcule BP.

Aplicaciones de la congruencia

B

NIVEL BÁSICO

1. Según la figura, AC=12 y AB=9. Calcule FC.

P α α

C

F

A



Q C

A) 4 B) 5 C) 3 D) 34 E) 29 θ

A

θ

B

5. En el gráfico, AM=MC, calcule x. A) 30º B) 31º C) 15,5º D) 45º E) 59º

A) 7 B) 6 C) 3 D) 4 E) 5

2. Del gráfico, calcule x si BD=DE.

D

M θ

48º



C

B

A

N

θ

C

A) 42 B) 84 C) 98 D) 49 E) 63

3. En el gráfico, BH=a – 1 y HC=2a – 7. Calcule a.

7. Según el gráfico, BC=18 y AM=2x. Calcule x. A

H

θ

β A

31º

M

B

A) 48º B) 42º C) 24º D) 21º E) 14º



A

(MN)(AC). E



x

6. En el gráfico, AM=MB y MN+AC=21. Calcule

x

B

B

C

β

A) 6 B) 7 C) 8 D) 4 E) 5

5



C A) 9

θ

M

B

B) 18 C) 4,5

D) 5 E) 6

Geometría 8. En el gráfico, AP=PC y BM=MD. Si AC=16,

12. Según el gráfico, AB=BC y AC=2(BE). Calcule x.

calcule MN. M

B



D

x C

P

A) 8

B

θ N

θ A

30º E

A



B) 4 C) 12

D) 2 E) 6

C

A) 30º B) 40º C) 50º D) 10º E) 20º

NIVEL INTERMEDIO NIVEL AVANZADO



9. En el gráfico, L es mediatriz de AC y AB=PC. 13. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en

Calcule x. B

A) 10º B) 30º

B. Exterior y relativo a AC se ubica P, tal que AC=2(BP). Si m ABP=10º y m ACB=20º, calcule m ACP.

L P

80º

C) 50º

A) 5º B) 8º C) 10º D) 12º E) 20º

D) 40º x

E) 20º A

C

en la prolongación de CB, respectivamente. Si NB=BC=BM y AM=NM, calcule m NAM.

10. Del gráfico, CD=2(AB). Calcule x. B

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 60º

x



A

21º

D

C

A) 15º B) 16º C) 27º D) 21º E) 14º

15. En un triángulo ABC, se trazan la mediana AM y

11. En el gráfico, AM=MC y BC=2(BM), calcule x. A) 40º B) 50º C) 55º D) 70º E) 35º

B x

A

M

14. En un triángulo ABC, se ubican M y N en AC y

70º

la ceviana BQ, que se intersecan en P, tal que PQ AP=PM. Calcule . PB A)

C

1 4

B)

1 1 C) 3 2

D) 1 E) 2

6

Geometría 4. En la figura, AC=20. Halle BH.

Triángulos rectángulos notables

B

NIVEL BÁSICO

45º

1. En la figura, CD=4. Calcule AC. H

B A

D A



A) 4 3

30º

C

A) 5 2

60º

30º

N

B) 3 2

C

C)

B) 4 2 C) 8

D) 8 2 E) 8 3

5 2 2

D) 4 2 E) 5 3

2. En el gráfico, BD=3 y DC=5. Calcule x.

5. En la figura, AC=12 y BN=8. Calcule q.

B

A

D

θ x A



x

A) 30º D)

C B) 15º C)

45º 2



A

53º

C

D

x

E A

N

6. Del gráfico, AB=BD. Calcule x.

B



37º

A) 15º B) 12º C) 7º D) 8º E) 22º

53º 37º E) 2 2

3. Del gráfico, AD=DC y BC=40. Calcule ED.

B

D

C

A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

7



B

53º/2

A) 7º B) 8º C) 4,5º D) 3,5º E) 10º

Geometría 7. En el gráfico, AC=20 y BD=4. Calcule x.



10. En el gráfico, L es mediatriz de AC y PC=3(PB). Calcule x.

B B x

x

D 15º

A



A) 37º

C

D) 15º E) 37º/2

45º

A



B) 53º C) 22º

A) 60º

8. En el gráfico, las regiones sombreadas son

D)

congruentes. Si BP=6, calcule AP.

P

C

B) 75º C)

127º 2

143º E) 75º 2

11. Según el gráfico, BH=2(HC)=2(AB). Calcule x.

B

A

P

x A



C

A) 10

H

B

C

B) 12 C) 6 10

D) 6 5 E) 6 3 D

NIVEL INTERMEDIO

A) 20º

9. En el gráfico, AM=MB, BN=NC y AC=2(QN)=8.

D)

Calcule NH. B H M

B) 50º C)

127º 2

53º 37º E) 2 2

12. En el gráfico, AP=PB y BC=PC. Calcule x.

Q

B

20º N P

A

A) 2

40º

B) 3 C) 3

D) 2 3 E) 3 2

C



A

x

2θ θ

A) 15º B) 16º C) 18º D) 30º E) 37º

8

C

Geometría 14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM,

NIVEL AVANZADO

tal que AB=8 y BC=5. Si m MBC=53º, calcule m ABM.

13. Del gráfico, calcule x.

x

A) 53º B) 37º C) 45º D) 60º E) 30º

45º – x

53º/2

15. En un triángulo ABC, se ubican los puntos M y N

A) 15º D)

B) 30º C)

37º 2

53º 45º E) 2 2

9

en BC y AC, respectivamente, tal que BM=MC, NC=8, AB=10 y m BAC=m MNA=53º. Calcule AN. A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

Geometría 4. Del gráfico, calcule x.

Cuadriláteros I NIVEL BÁSICO

α

1. Según el gráfico, halle x. α

x θ

α

100º

α

x

θ

70º



θ

θ

A) 85º B) 15º C) 95º D) 30º E) 16º

80º

70º

5. En el gráfico, BC // AD y MBCD es un trapezoide

A) 65º B) 75º C) 85º D) 90º E) 80º

simétrico (MB=BC). Calcule x. B

2. En el trapecio ABCD (BC // AD), AB=4, CD=6 y

C

140º

AD=8. Calcule PQ.

100º

M B β

C β θ θ x



A

P

Q

D

A) 3 B) 6 C) 2 D) 4 E) 5

6. En el gráfico, BM=5, MH=3 y CM=MD. Calcule x. B

CD=10 y AD=20. Si BP=PM y CQ=QN, calcule PQ.

β

β

ω

P



A

x

C

M

C ω Q

M

D

A) 70º B) 50º C) 35º D) 25º E) 60º

3. En el trapecio ABCD (BC // AD), BC=4, AB=8,

B

A

N

A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5



D

A A) 30º B) 37º C) 53º D) 60º E) 53º/2 10

H

D

Geometría 7. Del gráfico, calcule b. ω

10. En el gráfico, CM=MD y BM=ND. Calcule x.

ω

α

60º

β



B α

θ

3θ

A

D

N



A) 10º B) 15º C) 18º D) 5º E) 20º

MN=x+5. Halle MN. C

θ

θ x

8. En el gráfico, AM=MB, BC=x, AD=13 y

B

C M

A) 65º B) 70º C) 45º D) 55º E) 80º



20º

11. En el trapecio ABCD (BC // AD), M es punto

medio de CD y ANPM es trapecio isósceles. Si BC+AD=10, calcule AP.

M

N

B

C P



A

A) 3 B) 5 C) 8 D) 10 E) 11

A



M

θ

D

A) 4 B) 4,5 C) 5,5 D) 5 E) 6

NIVEL INTERMEDIO

9. Del trapecio ABCD (BC // AD), AM=MB, BC=1 y CD=10. Calcule AD. B

θ

N

D

12. En el trapecio isósceles ABCD (BC // AD), BD=AQ=QC. Calcule x.

C

B

C

M A

D

A

A) 9 B) 5,5 C) 8 D) 7 E) 11 11



x

80º

D Q

A) 30º B) 20º C) 60º D) 50º E) 40º

Geometría 14. En un trapecio isósceles ABCD (BC // AD), la

NIVEL AVANZADO

longitud de la base media es igual a la altura del trapecio. Calcule m CAD.

13. En el gráfico, AC=CD. Calcule b.

A) 30º B) 45º C) 53º/2 D) 60º E) 53º

C B

5β

2β

15. En el trapecio isósceles ABCD, (BC // AD), AC=8 y BP=5. Calcule x. B

3β



A A) 10º B) 12º C) 14º D) 15º E) 8º

24º

C

2x

D x A

P

D

A) 30º B) 37º C) 53º D) 15º E) 16º

12

Geometría 4. En el gráfico, BC // AD, BC=4 y CD=6. Calcule

Cuadriláteros II

AD. NIVEL BÁSICO

B

β

1. En el paralelogramo ABCD, calcule x. B

x+30º

C β

C β A

A) 5

4x

D

A

B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

D

A) 10º B) 20º C) 16º D) 15º E) 14º

5. Si ABCD es un rombo de centro O, OH=1 y OA = 10 , calcule x.

2. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo.



Calcule x.

B B

H

C

x

C O



3x+20º

5x

A

A)

D

A) 10º B) 20º C) 15º D) 25º E) 30º

3. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y BP=PQ.

D

A

53º 2

B) 53º C)

D) 37º E) 30º

6. Si ABCD es un rombo, calcule x.

Calcule x.

B B

40º

10º

x

70º x A

C

C

P



37º 2

D

Q

A) 10º B) 20º C) 50º D) 40º E) 30º 13



A

D

A) 70º B) 80º C) 60º D) 55º E) 65º

Geometría 7. En el paralelogramo ABCD, BP=3. Calcule AQ. P

B

Q



A

10. En el gráfico, ACDQ es un trapecio isósceles. Calcule x.

C

B x

θ

α α

θ

70º

D

Q



A) 40º B) 50º C) 20º D) 25º E) 30º

8. En el paralelogramo ABCD, AB=PD. Calcule x. C

10º

40º

A

D

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

B

C

11. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y AMCN un romboide. Si CD=20, calcule MH.

P

M

B

C H

x

D

A

A) 70º B) 80º C) 60º D) 65º E) 55º

A

NIVEL INTERMEDIO

B

D

N

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9. En el rombo ABCD, OH=12 y AC=40. Calcule BH. (O: centro de ABCD).

53º

12. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Si BP=2(PQ), calcule x.

H

C

B

P x

O θ

A

D

A) 20 B) 16 C) 26 D) 9 E) 12



A

θ

Q D

A) 53º/2 B) 30º C) 60º D) 45º E) 53º 14

C

Geometría A) 3 2

NIVEL AVANZADO

B) 3

13. En un romboide ABCD, en la diagonal AC, se

C) 6 2

ubica L, tal que LC=2(AL) y m ABL=2m DLC.

D) 3 3

Calcule m DLC. (BL ⊥ AC).

E) 4 2

A) 45º B) 53º C) 37º D) 30º E) 60º

14. En la región interior de un cuadrado ABCD, se ubica el punto M, de modo que AMD es un triángulo equilátero. Calcule la distancia de A a  CM . (CD=12)

15

15. En un rectángulo ABCD, de centro O, sobre el lado AD, se ubica el punto E, de modo que EO ⊥ BD. Si AC=8 y EO=3, calcule ED. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Geometría 4. Según el gráfico, m  APB = 120º. Calcule AB.

Circunferencia I

A

NIVEL BÁSICO

1. En el gráfico, mS OAB=40º. Calcule m  AB. A

P

B 6 B



O

B) 6 2 C) 12 A) 6 3 D) 6 E) 18



5. Según el gráfico, m  AB = 60º. Calcule x.

A) 40º B) 80º C) 120º D) 100º E) 70º

B

2. Según el gráfico, calcule x.

A

x



x

A) 130º B) 60º C) 120º D) 45º E) 53º

40º A) 40º B) 20º C) 80º D) 90º E) 100º

3. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Si

6. En el gráfico, D es punto de tangencia. Si AD=5, calcule AE.

AB + m AQB. m APB = 120º, calcule m 

D A

θ θ B

Q

P

A

E C



B

F



A) 240º B) 300º C) 180º D) 360º E) 270º

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 2

Geometría 7. En el gráfico, A es punto de tangencia y m AB = 100º. Calcule x.

10. Según el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia. Calcule x.

A

B

x

A

40º

x B

C



A) 60º B) 65º C) 70º D) 75º E) 80º

8. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x si m  AB = 140º .

 = 40º. Calcule x si 11. En el gráfico, m CDE

T

m AB = 50º.

x

50º

B

C

B P





NIVEL INTERMEDIO

 = m MB  , calcule x. m AM

12. En el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x. T

M x

A 40º



A A) 10º B) 20º C) 8º D) 15º E) 12º

9. En el gráfico, F es punto de tangencia. Si

x

x D 2x

E

A) 25º B) 50º C) 30º D) 40º E) 100º

B

α

C



A) 50º B) 80º C) 20º D) 5º E) 10º

A

α

40º

F A) 90º B) 100º C) 110º D) 120º E) 130º

P

θ θ

A) 30º B) 35º C) 25º D) 45º E) 15º

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 3

Geometría A) 32

NIVEL AVANZADO

B

B) 64 C) 32 2 D) 8 2

13. En el gráfico, A es punto de tangencia. Si

 = 36º, m AC = m  ABC , m  AC + m  AD =114º y m CL

E) 128

P

calcule mS BAL. A

A

C

H

15. Del gráfico, ABCD es un rombo y L es mediaC

triz de AD. Calcule ME.

D L

6

L

B



B

A) 36º

C

B) 38º M

C) 57º D) 37º E) 45º

14. Según el gráfico, BP=8. Calcule (AH)2+(PH)2 si A es punto de tangencia.

A



D

E

B) 6 3 C) 6 2

A) 6

D) 12 E) 18

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 4

Geometría 4. Según el gráfico, A y B son puntos de tangen-

Circunferencia II

cia, CD=DE y AC=6. Calcule DH. NIVEL BÁSICO C

1. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia,

A

AP=6 – 2x y PB=4x. Calcule x.

D

A

P

E

B



A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. En el gráfico, calcule x si A y B son puntos de tangencia.

5. En el gráfico, T es punto de tangencia.

A

B

H

Calcule x.

x

T

º

40 θ

O x

B

A) 70º B) 80º C) 30º D) 20º E) 10º

A) q B) q/5 C) q/4 D) q/2 E) q/3

3. Según el gráfico, A es punto de tangencia y BC=R. Calcule x.

6. En el gráfico, calcule x. A

R

x

C

x

B

2

A) 53º B) 30º C) 15º D) 45º E) 60º

A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 5

Geometría 7. En el gráfico, PM=6. Halle NQ.

10. Según el gráfico, TC=2(TB). Calcule x si T es punto de tangencia.

P

Q

N

M

B T



x A) 3 B) 4 C) 12 D) 6 E) 9

 , PC=4 y AB=5. 8. Según el gráfico, m  AB = m CD

A) 45º B) 15º C) 45º/2 D) 30º E) 37º

. Calcule m QLC

A

D

C



11. En el gráfico, T es punto de tangencia,

 = 90º, AT=7 y R=4. Calcule AB. m TB

Q P

T

L



B

A

C

R

A) 37º B) 74º C) 53º D) 106º E) 90º

B

B) 33 C) 5 A) 63 D) 4 2 E) 7 2

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, D es punto de tangencia. Si

12. Según el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule x.

AB=6, calcule BC.

P A

x

B

C

Q

5

D

A) 2 B) 1 C) 4 D) 3 E) 1/2

A) 15º B) 100º C) 75º D) 80º E) 90º

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6

Geometría B

NIVEL AVANZADO

M 15º D

A

C

13. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Si R=5 y r=2, calcule PQ.

O



B) 3 C) 2 5

A) 6

D) 10 E) 2 3 r

R

15. Del gráfico mostrado, AD=BC. Si B y D son P



. puntos de tangencia, calcule mTB

Q

B A) 2 10

C

T

B) 3 C) 2 2 D) 4 E) 6

A

D

14. En el gráfico, ABCD es un romboide. Si BM=MC=2, calcule OM. Considere que B es

A) 45º

punto de tangencia.

D) 60º E) 53º

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7

B) 90º C) 135º

Geometría Posiciones relativas entre dos circunferencias

. 4. Según el gráfico, m  AB = 40º. Calcule m BC

NIVEL BÁSICO

C B

1. En el gráfico, T es punto de tangencia y

 = 80º. Calcule x. m TB

A B

x

T

A) 20º

B) 40º C) 80º

D) 120º E) 140º

A) 20º B) 30º C) 40º D) 80º E) 50º

5. Según el gráfico, calcule puntos de tangencia.

m AB

si P y Q son

 m CD

2. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si A A) 1/2 B) 2 C) 1 D) 1/3 E) 2/3

AB=20, calcule BC. B

15

14 A

B P Q

C

C

A) 20 B) 16 C) 20 2 D) 18 E) 21

D

6. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Si

 = 130º, calcule x. m MN

3. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Si

 = 100º, calcule x. m TQ

N

T A B Q 70º

M x

x

P

A) 170º B) 100º C) 140º D) 100º E) 120º

Q

A) 53º B) 60º C) 74º D) 65º E) 70º

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 8

Geometría 7. En el gráfico, AB=8 y R=5. Calcule PQ.

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3/2 E) 2/3

A

P R

Q

10. Según el gráfico, P es punto de tangencia, R=5

. y r=2. Calcule m PQ

B



P A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 2,5 E) 0,5

Q

r

8. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x.

R

T

α

A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º

x

θ B) q – a

A) a – q D)

C)

α−θ 2

11. Si ABCD es un cuadrado, M, N, P y Q son puntos de tangencia y PQ=2, calcule x.

θ−α E) a+q 2

N

B

C Q

M

NIVEL INTERMEDIO

x

P

9. A partir del gráfico, calcule MQ/PC. Considere que A, B, C, D, M y N son puntos de tangencia. B N

M

P C

D

A Q



A A) 1 B) 1,5 C) 4 D) 3 E) 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 9

D

Geometría 12. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Si

A) 100º

 = 40º y m CT  = 120º , calcule x. mAB T

B) 120º C) 140º

D) 160º E) 150º

14. En el gráfico, M, Q y T son puntos de tangencia.

.  = 40º , calcule m NQ Si m AT T

x

A

Q A

C

B



M N

A) 80º

B) 100º C) 60º

D) 90º E) 120º

A) 140º

NIVEL AVANZADO

B) 80º C) 135º

D) 120º E) 106º

13. En la figura, T es punto de tangencia, AC=R.

15. Según el gráfico, calcule m  AB.

. Calcule mTB

A

T

B

100º A B R

A) 120º

C

B) 135º C) 100º

D) 130º E) 150º

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10

Geometría Cuadrilátero inscrito e inscriptible

4. Según el gráfico, la circunferencia está inscrita en el triángulo ABC. Si AB=7, calcule R.

NIVEL BÁSICO

A

1. Según el gráfico, AB=BC. Calcule x. A x

R

B C

16º

B

C

A) 1 B) 6 C) 2 D) 4 E) 3

80º

5. En el gráfico, la circunferencia está inscrita en



el cuadrilátero ABCD. Si AD=3, AB=4 y CD=7, calcule BC.

A) 20º B) 80º C) 60º D) 50º E) 40º

C

2. Del gráfico, calcule x. B x 104º

A) 66º B) 76º C) 104º D) 30º E) 60º

D

A



A) 7 B) 4 C) 9 D) 8 E) 12

6. Según el gráfico, la circunferencia está inscrita en el triángulo ABC. Si r=2, calcule AC.

3. A partir del gráfico, calcule x.

B

20º

r x

A) 50º B) 10º C) 20º D) 40º E) 70º

A

A) 10 B) 6 C) 8 D) 15 E) 20

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11

37º

C

Geometría 7. Según el gráfico, calcule x.

10. Según el gráfico, calcule q. 5θ 40º

x

60º

θ



A) 15º

D) 19º E) 20º

A) 60º B) 80º C) 100º D) 120º E) 90º

8. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Calcule x/y.

B) 10º C) 30º

11. Según el gráfico, CD = 2 2 y AD = 7.

Calcule AB. B

B

C

y

x

30º

A



D

A A) 3

B) 1 C) 5

D) 4 E) 2

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 2/3 E) 3/2

12. En el gráfico, AC=14 y BC = 8 2. Calcule el inNIVEL INTERMEDIO

radio del triángulo AOB. A

9. A partir del gráfico, calcule x. 100º

O

B

x



C



40º A) 90º B) 60º C) 45º D) 80º E) 70º

A) 1

B) 1,5 C) 2

D) 2,5 E) 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 12

Geometría A) 35º

NIVEL AVANZADO

B) 25º C) 10º D) 38º

13. Según el gráfico, T es punto de tangencia y  + 2 (m MBT ) = 110º. Calcule x. m AT

E) 20º

15. En el gráfico, la circunferencia está inscrita en

B

el cuadrilátero ABCD. Si BC=4, calcule la suma de inradios de los triángulos ABD y BCD. C

A B

T O

A) 30º

M x

B) 40º C) 45º

D) 35º E) 50º

14. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, se



A A) 2

ubica el punto P exterior al cuadrado y relativo

B) 4

a AB, tal que mS APB=90º y mS PBA=20º. Se

C) 6

traza CH perpendicular a OP. Si H ∈ OP, calcu-

D) 8

le mS DCH.

E) 4 2

 

 

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 13

D

Geometría 4. Según el gráfico, O es circuncentro del triángu-

Puntos notables

lo ABC, BN=NC y AM=MC. Calcule x. NIVEL BÁSICO

B

1. En el gráfico, G es baricentro de la región ABC, GM=6 y GN=8. Calcule AG+BG.

B A) 14 B) 28 C) 20 D) 22 E) 26 G

A

N x

N

M

A



O 50º

C

A) 130º B) 100º C) 80º D) 50º E) 100º C

M

2. Según el gráfico, G es baricentro de la región

5. En el gráfico, H es ortocentro del triángulo ABC. Calcule x.

ABC, BG=2 y AC=4. Calcule x.

B

B

H G



50º

x

A

x

C

A) 53º/2 B) 127º/2 C) 60º D) 30º E) 45º



C

A) 35º B) 30º C) 60º D) 50º E) 40º

3. En el gráfico, I es incentro del triángulo ABC. Calcule x.

A

6. A partir del gráfico, calcule AC si G es baricentro

B

de la región ABC y BG=4.

50º

B

I x

A

G C

A) 100º B) 130º C) 140º D) 115º E) 120º



A

C

A) 10 B) 12 C) 14 D) 18 E) 8

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 14

Geometría 7. A partir del gráfico, calcule x.

10. En el gráfico, O es circuncentro del triángulo ABC. Calcule x.

80º

50º B

70º

x



55º O



8. Según el gráfico, O es centro del rectángulo

Q

C

A

C

11. Según el gráfico, H es ortocentro del triángulo ABC. Si AC=14, calcule BH.

P

B

O



x

A) 25º B) 20º C) 15º D) 30º E) 40º

ABCD. Si BQ=QC, calcule PC/AO. B

120º

2x

A) 15º B) 20º C) 30º D) 40º E) 35º

D

A

H A) 1/2 B) 1 C) 2/3 D) 3/2 E) 2 A



NIVEL INTERMEDIO

37º

C

A) 7 B) 6 C) 3 D) 2 E) 5

9. En el gráfico, I es incentro de ABC. Si AI=AD, calcule x.

45º

12. En el gráfico, I es incentro del triángulo ABC. Si MN // AC, AM=4 y NC=5, calcule MN.

B

B

I x

A

M

I

N

40º D

C

A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 80º



A A) 4 B) 5 C) 9 D) 7 E) 14

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 15

C

Geometría A) 6

NIVEL AVANZADO

B) 10 C) 12

13. Si ABCD es un cuadrado, ¿qué punto notable

D) 8

es P del triángulo MCN?

E) 9

B

C

15. Según el gráfico, H es ortocentro del triángulo ABC. Si BH=HP, calcule x.

45º M

B P



A

x 40º N

D

A) incentro B) baricentro C) circuncentro D) ortocentro E) excentro

H 40º

A



P

C

A) 40º B) 20º

14. En un romboide de ABCD, la mSCAD=30º. Si la distancia de B a AD es 6, calcule la distancia del baricentro de la región triangular ABD a C.

C) 25º D) 15º E) 30º

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Geometría A) 12 B) 13 C) 14 D) 7 E) 8

Proporcionalidad de segmentos NIVEL BÁSICO

4. Según el gráfico, 3(AB)=2(BC) y NC=9. Calcu-

  

le ND.

1. En el gráfico, L 1 // L 2  // L 3 . Calcule x si

B

3(AB)=2(BC).

A

β β

L1

x+1 B

L2

A

C

θ

θ

2x – 3

N C

L3



D



A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

A) 4 B) 9 C) 7 D) 8 E) 5

2. Según

el gráfico, MN // AC y AB // NQ, 4(AM)=5(MB) y QC=15. Calcule AQ.

5. Según el gráfico, AQ=3(QC). Calcule x. B

B

C

Q M

N

45º x A

A



Q

C

D

A) 30º

A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 9

D)

3. En el gráfico, si BC=4(AB) y AD=2, halle CD.

53º E) 37º 2 2

6. Según el gráfico, 2(BC)=5(AB), AC=6.

B

B) 53º C) 37º

Calcule AD. A) 2

α α

α

B) 3 C) 5/2

B α

D) 4

A

D

C

D

E) 5

A

C

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 2

Geometría 7. Según el gráfico, AB=6, BC=8 y AC=7. Calcule

A) 1 B) 2 C) 3 D) 2,5 E) 3,5

CD.

 y AB=3(EB). Calcu10. En el gráfico, m  AC = m CE

B

le

β β

CH . HL

C E

H A



D

C

L

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

A



A) 3 B) 2 C) 3/2 D) 5/2 E) 4/3

8. Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero

y CDEF es un cuadrado. Si 5(BC)=6(DE), BD . calcule DM

B

11. Según el gráfico P, Q y R son puntos de tangencia. Si PH=4 y m  LNM=37º, calcule NH. L

B D

E Q

M P A



C 3 1 C) 5 3

A)

1 2

D)

5 2 E) 3 3

B)

H

F M



R

N

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

12. Según el gráfico, P, Q, R y L son puntos de tangencia; 12(AB)=5(BC) y LM=5. Calcule MC.

NIVEL INTERMEDIO

C

9. En el gráfico, FC=3, AF=6 y DF // BC. Calcule EF.

A) 5

B D

B) 6 C) 7

θ θ

A

E

Q M

D) 8 E) 10

F

C

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 3

N

P R

A

L

B

Geometría 14. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz

NIVEL AVANZADO

interior AE y la ceviana BF, que se intersecan en D. Si 3(AD)=DE, AB=4 y AC=16, calcule AF.

13. Según el gráfico, AB=5, BC=6 y AC=7. Calcule

AM − MN si N, S y Q son puntos de tangencia. MN B

N

Q

15. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM y la ceviana AN, tal que se intersecan en Q. Si m  BQN=m  NQC, AB=4, BC=6 y QC=5, calcule QM.

M



A

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5

S

C

A) 3/4 B) 2/3 C) 3/5 D) 3/2 E) 4/5

A) 4 B) 3 C) 2 D) 5 E) 1

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 4

Geometría 3. En el gráfico, 5(AM)=3(MB) y MN=10. Calcule AC.

Semejanza de triángulos

B NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, calcule x.

M

N 180º – β

α

7

3

2x

α

θ

θ 5x – 10

β

A

C

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

4. Según el gráfico, AC=7 y DC=3. Calcule AB. B

A) 29 30

θ

B) 15 C) 20 D) 30 E) 29

A

2. A partir del gráfico, 7(PQ)=2(AC) y AP=3.

Calcule PB.

θ

D

A) 21

C

B) 28 C) 21

D) 10 E) 2 7 B

5. En el gráfico, BC – 5=AB y CD=7. Calcule AB. B θ

P

Q D θ

A



ω

C

ω

A 7 5 C) 6 6

A)

6 7

D)

14 6 E) 3 5

B)

C 10 3

D)

7 E) 35 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 5

35 3 C) 6 10

A)

B)

Geometría 6. Según el gráfico, ABCD es un romboide. Si

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3 2

NQ 2(AN)=3(BN), calcule . QC B

NIVEL INTERMEDIO

C

9. En el gráfico, ABCD es un rombo. Si FC=1 y

Q

N

BM=3(MC), calcule LF. B

A

M

C

D

F

2 3 2 B) C) 3 2 5 5 D) E) 1 2

L

A)

A

7. Según el gráfico, los triángulos ABC y CDE son equiláteros, AC=6 y CE=4. Calcule PQ.

E

D

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5/2

B

10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y AB=4. Calcule PQ.

D

B

P

Q

C

60º A

Q

C

E 53º

2 12 3 B) C) A) 3 5 2 5 D) E) 12 12

B

A)

16 7

B)

7 16

C)

12 7

D

D) 7 12

θ A

A



8. Según el gráfico, PC=7 y AP=2. Calcule AB.

P

θ P

C

E)

5 7

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6

Geometría 11. En el gráfico, (CE)(ED)=12. Calcule (AC)(BD).

B

E β

E

θ

C

D

α

A

β

θ

C

A) 2 B) 5 C) 2 2 D) 10 E) 4

B

 = 2α, BC=2 y AB=3. Calcule 14. En la figura, mCD

A



F

90º – θ

α

ED.

A) 6 B) 18 C) 12 D) 12 2

C α

B

E) 6 2

D

E

12. Del gráfico, L es punto de tangencia. Si LD 3 = , calcule AB . DE 2 CD A

A

r

C

F

A) 4 B) 10 C) 2 5 D) 13 E) 6

L

15. En el gráfico, BC=4 y CD=6. Calcule DE. r

B



3 A) 2 D)

D

D

E C

B) 4 C) 2

B

E

2 5 E) 3 3

NIVEL AVANZADO

13. En el gráfico, AB=2, AC=5 y 2(AF)=3(AE). Calcule FC.

A A) 5 B) 8 C) 3 5 D) 2 15 E) 4 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7

Geometría 4. En el gráfico, AB=5, BC=3 y CD=1. Calcule DE.

Relaciones métricas I

E

NIVEL BÁSICO C

1. Según el gráfico, calcule x.

D

B

x+1 x

A

x+4

A) 5/3 B) 4 C) 6 D) 2 E) 2/3

x+2

5. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si AT=6 y AB=4, calcule BC.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A

2. En el gráfico, T es punto de tangencia,

B

AT = 2 6 y BC=2. Calcule AB. T

T

A

C

B



A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

C A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3

6. Según el gráfico, T es punto de tangencia, AT = 2 5, AE=10 y BC=1. Calcule CD. T

3. Según el gráfico, calcule x. 4

6 A

5

B

C

D

E

x

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

A) 4 B) 10/3 C) 11/3 D) 3 E) 5

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 8

Geometría 7. Según el gráfico, PH=6. Calcule (AH)(HC).

 = 2θ. 10. Según el gráfico, BD=12, AM=8 y mCD Calcule AN.

A

D M

H

C

θ

A

C

B

P

8. En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule PB . DQ

E

N



A) 12 B) 36 C) 24 D) 30 E) 18

A) 8 B) 10 C) 14 D) 9 E) 12

11. En el gráfico, P, Q y T son puntos de tangencia. Si AB=3(BC) y QN=2, calcule PM.

A

P B

Q

P

A

Q

M

T

N

B

C

C

D A) 5 B) 2 2 C) 4 D) 4 2 E) 3

A) 1/3 B) 2/3 C) 4/3 D) 2 E) 1

12. En el gráfico, T es punto de tangencia,

 , TE=6 y CE=4. Calcule (BM) m AB = m BC (MT).

NIVEL INTERMEDIO

B

9. Según el gráfico, R=6 y MC=1. Calcule AN. N

A

A) 2,5 A B) 3,75 C) 4,25 D) 2,75 O E) 3

B

C R

M

T



A) 4 B) 6 C) 8 D) 6 2 E) 4 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 9

C

M

E

Geometría B

NIVEL AVANZADO M

13. En el gráfico, D es punto de tangencia,

 = mCD  . CalcuCB=2(LD)=6(AL)=6 y m BQC le DF.

N

E T

F

C Q

E

A

B A

L

C

A) 4 B) 13/4 C) 21/4 D) 23/6 E) 4 3

D

15. En el gráfico, CM=MB y R = 30. Calcule MF.

C

F

F

R

A) 6 B) 4 C) 4 2 D) 3 3 E) 6 2

M



14. En el gráfico, M, N y T son puntos de tangencia,

 = 210º , AC=3 y CF=2. Calcule EB. m MTN

A

O

B

A) 3 2 B) 4 3 C) 2 3 D) 3 E) 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10

Geometría A) 5 B) 6 C) 10 D) 12 E) 3

Relaciones métricas II NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, calcule a, si HC=3(AH).

4. En el gráfico, AB=6 y AQ=2(CP). Calcule CD. B

A

C

P A

37º B) C) 2

A) 37º D)

α

H

C

Q

53º E) 30º 2

D A)

2. A partir del gráfico, calcule x.

6 2

B) 6 C) 3

D) 5 E) 4 x

x+1

5. Según el gráfico, PH=a y AC=b. Calcule AH. P

x+9 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 12

A

H θ

3. En el gráfico, AB=5. Calcule AD.

C



B

A) a+b B) ab 2 2 C) a − b

A

θ

2 2 D) b − a

θ

E)

D

b2 − a2 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11

θ

Geometría 6. Según el gráfico,

AD AB = 2. Calcule . DC BC B

NIVEL INTERMEDIO

9. Según el gráfico, BC=4(AB). Calcule x si T es punto de tangencia. T

A

D

C

B) 2 C)

A) 1

D) 3 E)

2 2

β A

3 2

β



B) 37º C) 53º 2 D) 15º E) 60º

A) 30º

7. Del gráfico, (BM)(MH)=7 y AC=4(MN). Calcule (AB)(BC).

10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y

B

N

C

x

(PC) (CQ)=16. Calcule MC. P

M

C

B

Q

A

H

C

A) 10 B) 14 C) 21 D) 28 E) 35

M

A

D

N

A) 5 B) 6 2 C) 7 D) 4 3 E) 3 3

8. Según el gráfico, AC=2. Calcule (AB)(BC).

11. En el gráfico, A es punto de tangencia y AC = 5 2. Calcule AD.

B

D C

15º A

C

A) 4 B) 1 C) 8 D) 3 E) 5



A

B

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 12

Geometría  = m NB . 12. En el gráfico, R=5, AQ=QD=1 y m DN

14. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule (PH)(PC).

Calcule MQ.

B

D

C

θ

N 7 M

Q

2

R

Q

H A



O

B

A) 1/7 B) 1/5 C) 1/9 D) 1/3 E) 1



C

θ

P

R . r

 = 60º y ML=MF. 15. En el gráfico, AE=2(EL), mCD

r

Calcule N

AC . EM

C P

R

53º

D

A) 18 B) 20 C) 12 D) 15 E) 24

NIVEL AVANZADO

13. Según el gráfico, NQ=K(AP). Calcule

A

F D

M A

Q

B

4K B) 4 C) 3 3K

A)

5 4K

D)

5 5K E) 3K 4

A



L

B) 5 C) 2 3 D) 2 E) 6 A) 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 13

E

B

Geometría A) 2 B) 5 C) 7 D) 9 E) 1

Relaciones métricas III NIVEL BÁSICO

4. En el gráfico, AB=5, BC=7, AD=2 y CD=4. Calcule BD.

1. En el gráfico, (AB)2+(BC)2=100 y AM=MC=6. Calcule BM.

B

B

A



M

B) 8 C) 34

A) 10

A



C

D

C

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

D) 14 E) 17

2. Según el gráfico, (AB)(BC)=48 y PH=6. Calcule BH.

5. Según el gráfico, AP=6 y AM=MC=9. Calcule (BC)2 – (AB)2.

B B

θ θ

A

H

C

P

A) 2 3 B) 12 C) 42 D) 54 E) 3 6

M

C

A) 45 B) 60 C) 120 D) 180 E) 117

3. En el gráfico, AB=13, BC=15 y AC=14.



A



P



Calcule AH.

B

6. En un triángulo ABC, AB=4, BC=7 y AC=9. Calcule la longitud de la altura relativa a AC. A)

A

H

C

3 15 4

B) 6 5 C)

4 5 3

D) 27 5 E) 3 5

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 14

Geometría 7. Según el gráfico, (AB)(BC)=60, EC=4 y AD = 21. Calcule BE.

Q

B θ

θ

A

C

β

E

B

C

D

B) 14 C) 2 14

A) 3

β

D) 3 14 E)

D



A



10. Según el gráfico, O es centro del rectángulo ABCD. Si AE=2 y AD=6, calcule (OE)2 – (OC)2.

A) 2 3 B) 2 2 C) 2 15 D) 8 E) 4 3 2

2 14 3

B

C O

2

8. En el gráfico, (AB) +(AC) =108 y BC=6. Calcule AP.

E



A C

A

D

A) 12 B) 20 C) 14 D) 16 E) 18 P

11. En el gráfico, 4(AE)=4(ED)=DC=12. Calcule BD.



O

B

B θ

A) 5 B) 2 5 C) 3 5 D) 6 E) 6 3 NIVEL INTERMEDIO

A A)

9. En el gráfico, AB=1, BC=2 y CD=3. Calcule la distancia de Q a AD.

D)

E 30 4

D B)

5 C) 6 2 5

2 6 E) 4 6 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 15

2θ

C

Geometría 12. En el gráfico, (AB)(BC)=20, FC=3(FL) y AC=6. Calcule BM.

F

B

ω

θ θ

14. Según el gráfico, ABCD es un romboide, tal que (AD)2+(CD)2=250 y PQ=10. Calcule QC. C

B

ω

Q

2θ L P

A



M

C

A) 4 B) 3 C) 2 3 D) 3 2 E) 2 2 NIVEL AVANZADO

la altura BH (H ∈ AC) y HM (M ∈ BC), tal que BM=MC. Si AB=5,  BC=7 y AC=6, calcule la distancia de C a HM . 6 3 6 C) 7 5 6 10 D) E) 6 7 7 B)

D

A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2

15. En un triángulo ABC, se traza la altura BM

13. Se tiene el triángulo ABC en el cual se traza

A) 7



A

y con diámetro HD (D ∈ HC) se traza una semicircunferencia tangente a BC en T. Si AB=13, BC=20 y AC=21, calcule el radio de la semicircunferencia. A) 4 B) 4,5 C) 5 D) 5,5 E) 6

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 16

Geometría PRÁCTICA POR NIVELES Áreas de regiones triangulares 4.

NIVEL BÁSICO

1.

Según el gráfico, AB=7, BC=8 y AH=1. Calcule el área de la región ABC. B

En el gráfico, AB –1=BC=4. Calcule el área de la región ABC. B 53º

A C

A A) 6 D) 16

2.

B) 12

C) 8 E) 18

A) 20 3 D) 4 3

5.

Según el gráfico, AC=8 y BH=4. Calcule el área de la región sombreada.

C

H B) 10 3

En el gráfico, AD=5 y DC=4. Calcule el área de la región ABC. B

B

θ

θ

30º

A A A) 32 D) 12

3.

C) 15 3 E) 12 3

A) 12 D) 18

C

H B) 16

C) 64 E) 24

6.

D B) 24

C C) 36 E) 6

Según el gráfico, AH=4 y HC=6. Calcule el área de la región ABC. B

En el gráfico, AC=2(AB)=10 y BC=9. Calcule el área de la región sombreada. B

A C

A A) 35 D) 2 14

B) 21

C) 3 14 E) 6 14

H

C

A) 24 B) 12 C) 24 6 D) 10 6 E) 12 6

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6 2

Geometría Anual San Marcos

7.

Geometría

Según el gráfico, T es punto de tangencia, AT=6 y AB=AC. Calcule el área de la región ABD. A

T

A) 36 D) 24

B) 18

C) 12 E) 30

10. En el gráfico, E es el punto de tangencia, AB=4

 − m BE  = 60º, calcule el área y BC=2. Si m CE de la región sombreada.

30º C

E B

D A) 6 D) 9

8.

B) 12

A

C) 18 E) 24

Según el gráfico, (AB)2+(BC)2=50, AC=8 y MF=2. Calcule el área de la región MFB si AM=MC.

A) 6 D) 16

B

C

B) 2 6

C) 4 6 E) 24

 y 4(AB)=5(BC). 11. Según el gráfico, m  AM = m MC

B

Calcule el área de la región triangular AFB. F 5

F A

M

A) 2 D) 8

B) 4

C C) 6 E) 3 A

B

C

M

NIVEL INTERMEDIO

9.

Según el gráfico, T es punto de tangencia y AB=R=6. Calcule el área de la región sombreada.

A) 10/3 D) 10

B) 20/3

C) 40/3 E) 15

12. Según el gráfico, T es punto de tangencia y (AB)(TC)=40. Calcule el área de la región ATC.

C

T

θ

R

B

A 2θ A

A) 10 D) 80

T

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7

3

B B) 20

C C) 40 E) 30

Geometría

Academia ADUNI

NIVEL AVANZADO

13. Calcule el área de una región triangular equilátera si se sabe que el radio de la circunferencia inscrita en este, mide 4. A) 48 3 D) 9 3

B) 24 3

C) 12 3 E) 6 3

14. Se tiene un cuadrado ABCD, en las prolon-

gaciones de los lados AD y DC se ubican los puntos E y F, respectivamente, de modo que m BEF=m EBC. Si (EF)(AB)=90, calcule el área de la región triangular EFB.

Material Didáctico N.o 5

A) 30 B) 60 C) 90 D) 50 E) 45

15. En una circunferencia de radio 20, se trazan los diámetros perpendiculares AC y BD. En el arco CD se ubica el punto Q, AQ y BD se intersectan en E. Si QC=24, calcule el área de la región triangular AED. A) 24 D) 25

B) 48

C) 50 E) 100

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 4

8

PRÁCTICA

POR

NIVELES Geometría

Razón de áreas de regiones triangulares A) 1 D) 2/3

NIVEL BÁSICO

1.

En el gráfico el área de la región ABC es 100 y 3(AD)=2(CD). Calcule el área de la región BDC.

4.

B) 2

C) 3 E) 3/2

Según el gráfico, calcule

A . b

B

A

B 53º/2

A A) 20 D) 50

2.

D

A) 1/2 D) 1/4

C

B) 40

5.

C) 60 E) 30

B) 1/3

Según el gráfico, CD=3(BD) y EC=2(AE). Calcule la razón entre las áreas de las regiones BFD y AFE.

Según el gráfico, 3(BM)=7(MC) y el área de la región ABQ es 21. Calcule el área de la región sombreada.

B D

B

F

M

Q

3.

B) 12

E

C

B) 3/2

C) 4/3 E) 4/5

A A) 1/2 D) 1/3

C

A A) 21/2 D) 9

6.

C) 10 E) 15

Según el gráfico, 4(AB)=6(BD)=12. Calcule la razón entre las áreas de las regiones sombreadas.

En el gráfico, T es punto de tangencia AT=6 y BC=9. Calcule

C) 2/3 E) 3/2

C

A . b T

A

B A

D

B

B

E

A C

A) 1 D) 3/5

B) 1/2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 5

12

C) 2/3 E) 9/4

Geometría

Anual San Marcos

7.

Según el gráfico, G es baricentro de la región ABC. Si el área de la región APQC es 25, calcule el área de la región triangular PBQ.

Geometría

A) 40 D) 70

B) 50

C) 60 E) 120

10. En el gráfico, E, F y T son puntos de tangencia y 5(BT)=3(AT). Calcule la razón de las áreas de las regiones triangulares BCF y ADE.

B

θ

P

G

Q

θ C

A A) 20 D) 40

8.

B) 25

B

A) 3/5 B) 2/3 C) 4/5 D) 9/25 E) 25/9

C

T F

C) 30 E) 50

A

E

Según el gráfico, calcule la razón de áreas de las regiones triangulares equiláteras sombreadas.

D

11. Según el gráfico, AB = 2 2 y AD=4. Calcule la razón entre las áreas de las regiones sombreadas. B

A) 5/12 D) 11/13

B) 3/4

C) 7/12 E) 6/7

D

A A) 1/2 D) 1/4

NIVEL INTERMEDIO

9.

C

Según el gráfico, MN es base media del triángulo ABC y el área de la región triangular MBN es 40. Calcule el área de la región sombreada.

B) 1/16

C) 2/3 E) 1/3

12. Según el gráfico, AB=4 y CD=9. Calcule la razón entre las áreas de las regiones sombreadas.

B

M

A

N

A

C

B

A) 1/2 D) 2/9

B) 2/3

C

D C) 4/5 E) 1/3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 13

6

Geometría

Academia ADUNI

A) 5/6 D) 2/3

NIVEL AVANZADO

13. En el gráfico, BC=5(AB). Halle la razón entre las áreas de las regiones sombreadas. B

A) 2/5 B) 1/4 C) 1/11 D) 1/10 E) 3/4

B) 7/18

C) 1/2 E) 7/25

15. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y EC=DF. Indique la relación correcta entre las áreas de las regiones sombreadas. B

θ 3θ

Material Didáctico N.o 5

C

A3

A

C

14. Según el gráfico, AB=30 y AC=BC=25. Calcule la razón entre las áreas de las regiones sombreadas. B

E

A2

A1 A

D

A) A3=A2 – A1 B) A 3 = C) A 3 =

A 2 − A1 2

A 2 + A1 2

D) A3=A2+A1 C

A

E) A2=2A1+A3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7

14

F

Geometría PRÁCTICA POR NIVELES Áreas de regiones cuadrangulares 4.

NIVEL BÁSICO

1.

Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y α+θ=90º. Calcule el área de la región sombreada si AP=4 y QD=9.

Según el gráfico, 4(AC)=3(BD)=24. Calcule el área de la región cuadrangular ABCD. C

B

C

α

θ

B 45º P

B) 24 2

A) 48 2 D) 10 2

2.

A) 13 D) 30

D

A

A

C) 12 2 E) 20 2

5.

Q

D

B) 26

C) 39 E) 36

Según el gráfico, (AC)(BD)=16 y α+θ=120º. Calcule el área de la región cuadrangular ABCD.

A partir del gráfico, calcule el área de la región sombreada si AC=8 y BD=2.

B θ

A

C α

60º D B

C

A) 4 3 D) 32 3

3.

B) 8 3

A) 32

C) 16 3 E) 12 3

Según el gráfico, BC // AD, AB=10 y AD=16. Calcule el área de la región trapecial ABCD si AB=CD. B

D

A B) 64

E) 4 3

D) 8 3

6.

C) 16 3

En el gráfico, EC=4(BF) y AD=5. Calcule el área de la región sombreada. F

B

C C

A

53º A A) 40 D) 100

D

D B) 80

C) 160 E) 50

A) 20 D) 100

B) 40

E C) 60 E) 80

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 8 18

Geometría

Anual San Marcos

7.

En el gráfico, 4(HC)=5(AH)=20 y HD = 5. Calcule el área de la región sombreada.

Geometría

 = 37º. Calcu10. Según el gráfico, CD = 2 2 y m DC le el área de la región paralelográmica ABCD.

B

B

C A

A

C

H

D

D

8.

A)

9 5 2

D)

36 5 2

B)

27 5 2

C)

18 5 2

E)

15 5 2

A) 4 D) 16

B) 8

 = 60º. Cal11. En el gráfico, (AC)(BD)=36 y m BC cule el área de la región sombreada.

En el gráfico, FBCE es un cuadrado. Si PF=5 y FQ=8, =8, calcule el área de la región sombreada. B

C

B C

Q

A) 30 D) 45

D

A

P A

C) 12 E) 20

θ

θ

F

A) 36 3 B) 18 3 C) 27 3 D) 10 3 E) 9 3

E

B) 15

C) 40 E) 20

NIVEL INTERMEDIO

12. Según el gráfico, AM=MB, BN=NC, AB=9 y BC=12. Calcule el área de la región sombreada.

9.

A partir del gráfico, calcule el área de la región AB = 53º y R=5. paralelográmica ABCD si m  A) 10

B

B) 15

C

B N

M R

C) 12 D) 18

A

E) 20 A

D

A) 6 D) 25

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 19 9

C B) 9

C) 12 E) 3

Geometría

Academia ADUNI

Material Didáctico N.o 5

C

NIVEL AVANZADO D

13. Si AD=CM y (BH)(BC)=20, halle el área de la región paralelográmica ABCD.

E

B

C A A) 4 2 D) 12 2

H A

M

D

O C) 8 2 E) 16 2

B) 6 2

15. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, AP=PQ y DP=2. Calcule el área de la región cuadrada.

A) 5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 20

A) 4 B) 8 C) 16 D) 12 E) 20

B

C

Q

14. En el gráfico, AOEC es un trapecio isósceles. Si =2, calcule el área de la región sombreada. sombreada CD=2,

A

P

D

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10 20

PRÁCTICA

NIVELES Geometría

POR

Razón de áreas de regiones cuadrangulares 4.

NIVEL BÁSICO

1.

Según el gráfico, halle la relación entre A, B y C.

Según el gráfico, BM=MC y AN=ND. Calcule X.

C

M

B

A C B

X

10

7 A) A=B+C

A A) 3 D) 8,5

2.

N

D) A =

D

B) 4

C) 13 E) 5

5.

B) B=A+C

B+C

E) A = B +

2

M

B

C

X

A

X

A D

A) 9 B) 11 C) 18 D) 10 E) 12

6.

D

Según el gráfico, halle la relación entre las áreas de las regiones sombreadas. (ABCD: paralelogramo) B

C

B

A

C

En el gráfico, BC // AD. Calcule X. B

D

C

A

4

X

B) A+C=B+D

A

D B) 26

D

A) A+B= C+D 9

A) 13 D) 6

E

B

A) A+B B) B+2A C) A+2B D) 2A – B E) 2B – A

2

A

C) 12 E) 6,5

C) A − B +

D−C

2 D) A+C=D+2C

E) A+D=2(B+C)

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11

2

F

C

20

C

En el gráfico, BC // AD y CF // DE. Calcule X en función de A y B.

En el gráfico, CM=MD y BC // AD. Calcule X. B

3.

C) B=A+2C

24

Geometría

Anual San Marcos

7.

Según el gráfico, halle la relación entre las áreas de las regiones sombreadas.

B

B

C

d

A3 A1

c

B

C

D

A

A

A2

A

d

En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Halle la relación entre las áreas de las regiones sombreadas.

C

C

c

D

B

10. En el gráfico, ABCD es un romboide. Halle la relación entre las áreas A1, A2 y A3.

b

b A) A+C=B+D B) A+B=C+D a A C) C+D=2A+B D) B+D=2(A+C) E) D – B=C – A a

8.

Geometría

D

A) A2=A1 – 2A3 B) A1=A3+A2 C) 2A1=A3+A2 D) 2A3=A1+A2 E) A1=A3 – A2

11. En el gráfico, ABCD y DEFG son cuadrados. Calcule la razón entre las áreas de las regiones sombreadas. C

B

D

A) A+C =B+D B) C+D=A+B C) D=A+B – C D) D=A+B+C E) B=D+A – 2C

E 8º

A NIVEL INTERMEDIO

9.

A partir del gráfico, calcule

B

c

b

c

A

b

a A) 1/3 D) 1/2

D a

B) 1/4

D

A) 1/7 D) 1/8

G

B) 1/4

C) 9/16 E) 9/25

12. Según el gráfico, AE=6, BE=3 y ED=4. Calcule la razón entre las áreas de las regiones DECF y ABCD. (DECF es un paralelogramo).

d

d

C

A +B . C+D

F

B

A) 1/3 B) 1/5 C) 2/7 D) 1/9 E) 1/4

C 53º

C) 3/2 E) 2/3

A

E

F D

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822

25

12

Geometría

Academia ADUNI

15. En el triángulo ABC, BN es mediana y el área

NIVEL AVANZADO

13. En un cuadrilátero convexo ABCD, M, N y Q son

de la región PQM es 4 u2. Calcule el área de la región trapecial APMC si las regiones AQP y NQC son equivalentes.

los puntos medios de AB, BC y CD, respectivamente. Calcule la razón entre las áreas de las regiones MNQ y ABCD. A) 1/2 D) 1/4

B) 1/3

B

C) 2/3 E) 2

P

M Q

14. En un trapecio ABCD (BC // AD), se trazan sus diagonales. Las áreas de las regiones BCD y ACD son 5 m2 y 20 m2, respectivamente. Calcule el área de la región trapecial ABCD.

A) 20 m2 D) 30 m2

B) 25 m2

Material Didáctico N.o 5

C) 35 m2 E) 50 m2

N

A

A) 18 u2 D) 72 u2

B) 24 u2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 13

26

C

C) 36 u2 E) 54 u2

Geometría PRÁCTICA POR NIVELES Áreas de regiones circulares C

NIVEL BÁSICO

1.

Según el gráfico, calcule A – B.

A) 5π D) π

2.

R

A

B

4

3

B) 7π

B A) 4π – 8 D) 4(π –12)

5.

C) 9π E) 6π

B) 3(π – 4)

C) 4(π – 3) E) 4(π –1)

Según el gráfico, AB=14 y AC=50. Calcule el área del círculo inscrito en ABC. A

Según el gráfico, T es punto de tangencia y AB=4. Calcule el área de la corona circular. B T

B

A

C

A) 12π D) 36π

6. A) π D) 4π

3.

B) 2π

C) 3π E) 8π

C) 18π E) 20π

Calcule el área del círculo cuyo perímetro es 8π. A) 4π D) 32π

B) 16π

C) 24π E) 8π

Según el gráfico, R=6. Calcule A – B si AB=AC.

7. B

R

A A) π D) 4π

30º

B) 2π

En el gráfico, ABCD es un cuadrado y AB=4. Calcule el área de la región sombreada.

B

A

4.

B) 24π

B

C

A

D

C C) 3π E) 6π

Según el gráfico, R=4 y BC=6. Calcule la diferencia entre las áreas de las regiones sombreadas.

A) π –1 D) π – 4

B) π – 3

C) π – 2 E) 2π – 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 30 14

Geometría

Anual San Marcos

8.

Según el gráfico, BC=CD y R=4. Calcule el área de la región sombreada.

Geometría

11. En el gráfico, T y Q son puntos de tangencia, AT=4 y TB=12. Calcule el área de la región sombreada.

D Q

C R B A) 8π D) 2π

B) 16π

A

C) 4π E) 32π

A) 8π D) 55π

C) 20π E) 23π

m AOB=60º y OA=OB=12.

En el gráfico, AB=3 y BC=4. Calcule el área de la corona circular.

A

B) 16π

12. Halle el área de la región sombreada si

NIVEL INTERMEDIO

9.

B

T

C

B

A

A) 4π B) 12π C) 16π π D) 20π E) 36 36π

O

B NIVEL AVANZADO A) 12π D) 21π

B) 6π

C) 18π E) 15π

13. Según el gráfico, T es punto de tangencia,

10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado cuyo

TB=24 y BF=36. Calcule la diferencia entre las áreas de las regiones sombreadas.

lado mide 8. Calcule la suma de las áreas de las regiones sombreadas. A) 4π – 8 B) 2π+4 C) 16π D) 32π E) 2π+8

B

T

C

B

F

A

D

A) 69π D) 50π

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 31 15

B) 169π

C) 85π E) 79π

Academia ADUNI

Geometría

14. Halle el área de la región sombreada si AB es diámetro, OA=OB y FH=2. (O es punto de tangencia)

Material Didáctico N.o 5

15. Halle el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10 u. B

C

A

D

F

A A) 2π – 8 D) 2π –1

O B) 4π – 4

H B C) 4π –1 E) 4π – 8

A) 100 – 25π D) 50

B) 150 – 50π

C) 50π E) 25π – 50

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 16 32

Geometría PrácticaIntroducción por Niveles a la geometría del espacio A) VVF B) FFV C) VFF D) FFF E) VVV

NIVEL BÁSICO

1.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es correcta? I. Una recta y un punto determinan un plano. II. Si una recta es paralela a una recta contenida en un plano, entonces es paralela a dicho plano. III. Las rectas alabeadas son coplanares. A) solo I D) I y III

2.

B) solo II

B) FFF

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? I. Las rectas alabeadas no se intersecan. II. Las rectas pueden ser secantes, paralelas o alabeadas. III. Si una recta es paralela a dos planos, dichos planos son paralelos. A) solo I D) todas

6.

C) solo III E) ninguna

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda y elija la secuencia correcta. I. Tres puntos determinan un plano. II. Dos rectas determinan un plano. III. Las rectas paralelas son coplanares.

7.

Según el gráfico, P // Q; A y B están en el plano P, y C y D están en el plano q. Calcule m AD .  m BC

C) VVF E) FFV

Respecto a las siguientes afirmaciones, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano, dicha recta será secante al plano. II. Si dos rectas determinan un plano, son paralelas o alabeadas. III. Si dos planos no son secantes, entonces no son paralelos.

B) solo II

A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFV

C) solo III E) ninguna

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda y elija la secuencia correcta. I. Dos planos paralelos a una misma recta son paralelos entre sí. II. Un punto determina un plano. III. Si una recta no interseca a un plano, no es paralela a dicho plano. A) VFF D) VFV

4.

C) solo III E) todas

¿Cuál de las siguientes proposiciones es incorrecta? I. Si dos planos son paralelos, las intersecciones de estos con un tercero son paralelas. II. Toda recta paralela a un plano es paralela a algunas rectas contenidas en dicho plano. III. Si dos rectas son paralelas a un mismo plano, entonces dichas rectas son paralelas. A) solo I D) todas

3.

B) solo II

5.

A

P

B

Q D A) 1 D) 4

C B) 2

C) 3 E)

1 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6 2

Geometría

Anual San Marcos

8.

En el gráfico,

P //

Q. Calcule x.

Geometría

10. En el gráfico,

P //

Q, E y B están en el

plano P; A, C y D están en el plano Q. Si G es baricentro de la región ABC, calcule EG . GD 40º

P

B

E

x

P

30º

G

Q

A

Q A) 70º D) 35º

B) 50º

C) 60º E) 40º

D)

NIVEL INTERMEDIO

9.

En el gráfico, P // EF=6. Calcule ED.

A

Q //

R, 2(AB)=3(BC) y

D

P

B

R C

B) 7

C

B) 2

1 2

C) 3 E)

1 3

11. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda y elija la secuencia correcta. I. Las rectas alabeadas solo tienen un punto en común. II. Las rectas secantes son coplanares. III. Si una recta no es secante a un plano, entonces es paralela a dicho plano. A) VFV D) FFF

B) VVF

C) FFV E) FVF

E

12. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-

F

rresponda y elija la secuencia correcta. I. Dos rectas siempre determinan un plano. II. La intersección de tres planos siempre es una recta. III. Si una recta es paralela a un plano, entonces dicha recta será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.

C) 8 E) 5

A) VFF D) FVV

Q

A) 6 D) 9

A) 1

D

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7 3

B) VFV

C) FVF E) FFF

Geometría

Academia ADUNI

NIVEL AVANZADO

13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-

ponda y elija la secuencia correcta. I. Si dos rectas no se intersecan, entonces son paralelas. II. Por una recta secante a un plano se puede trazar solo un plano secante al primero. III. Si dos planos no son paralelos, entonces son secantes.

A) VFV D) FVV

B) VVV

C) FFV E) FFF

14. Indique las proposiciones incorrectas.

I. Si una recta es perpendicular a una recta paralela a un plano, entonces dicha recta es paralela al plano. II. Toda recta contenida en uno de dos planos paralelos es paralela al otro plano. III. Dos rectas paralelas a un mismo plano siempre determinan un plano.

Material Didáctico N.o 6

A) todas B) solo I C) I y III D) I y II E) II y III

15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones y elija la secuencia correcta. I. Si dos planos no se intersecan, entonces son secantes. II. La intersección de dos planos secantes es un segmento. III. Cuatro puntos no colineales determinan a los más un plano. A) VFV B) VVV C) FFV D) FVV E) FFF

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Práctica

Geometría Niveles

por

Geometría del espacio I A) 30º B) 45º C) 53º D) 37º E) 60º

NIVEL BÁSICO

1.

En el gráfico, OP es perpendicular al plano del círculo y PL=5. Calcule OP. P

4.

Según el gráfico, ABCD es un cuadrado de centro O, OP es perpendicular al plano de dicho cuadrado y AB=OP. Calcule x. (CM=MD).

L 3

P

O x

A) 3 D) 8

2.

B) 4

C) 5 E) 2

B

Según el gráfico, ABCD y ABEF son cuadrados. Calcule la medida del ángulo determinado por BC y EF.

M

O A

E

B

F

D

A) 45º

C

B)

53º 2

C)

D) 30º

A A) 90º D) 53º

3.

C

5.

D B) 75º

37º 2

E) 60º

Según el gráfico, G es baricentro de la región equilátera ABC, AP es perpendicular al plano de dicha región. Si AB=6 y AP = 3, calcule x.

C) 60º E) 45º

P

En el gráfico, ABCD es un cuadrado y AQD es un triángulo equilátero. Calcule la medida del ángulo determinado por AQ y CD.

x A

B

Q G 60º

A

B

C A) 15º

D

B) 30º

D) 8º

C

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 5

C) 18º E)

12

37º 2

Geometría

Anual San Marcos

6.

Geometría

Según el gráfico, PC es perpendicular al plano del rectángulo ABCD, PC=CD=5. Calcule la medida del ángulo entre AP y el plano del rectángulo.

B 37º A

P

P

B

C

30º

A

A) 15º

A) 5 D) 2

D

B) 16º

D) 30º

7.

N M

C)

53º 2

E)

37º 2

Según el gráfico, GQ es perpendicular al plano de la región equilátera ABC, cuyo baricentro es G, BC=12 y GQ = 3 3. Calcule la medida del ángulo entre BQ y el plano de ABC. Q

B) 4

NIVEL INTERMEDIO

9.

Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones y elija la secuencia correcta. I. Si dos rectas forman el mismo ángulo con un mismo plano, serán paralelas. II. Si dos rectas son perpendiculares a un mismo plano, serán paralelas. III. Un segmento y su proyección ortogonal sobre un plano son de igual longitud. A) VVF D) VFV

A B G

C) 3 E) 1

B) VVV

C) FVF E) FFF

10. En el gráfico, PC es perpendicular al plano del

cuadrado ABCD cuyo lado mide 4. Calcule la distancia de P al punto medio de AD. P

C

5 B

A) 53º B) 37º C) 30º D) 45º E) 60º

8.

En el gráfico, la proyección ortogonal de AB sobre el plano P mide 6 u y BN=17. Calcule AB - AM.

13

C

A

D

A) 2 5 D) 5

B) 2

C) 4 E) 3 5

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Geometría

Academia ADUNI

Material Didáctico N.o 6

11. Según el gráfico, ABCD y ABEF son cuadrados

C

de centro O y O1, respectivamente. Calcule la medida del ángulo entre OO1 y BC. E

B

120º F

O1

C A) 45º B) 37º C) 53º D) 60º E) 30º

O A A) 45º D) 30º

D B) 90º

A

P

B

C) 60º E) 37º

12. En el gráfico, G es baricentro de la región equi-

látera BEC y O es centro del cuadrado ABCD. Calcule la medida del ángulo entre OG y CD.

14. Según el gráfico, AB y BC están contenidos en el plano P, y AD es perpendicular al plano P. Si BC=8 y AD=6, calcule la medida del ángulo entre MN y BC. D m

E

M m A

G

C n

B

C

P O A A) 30º D)

D B) 60º

37º 2

C)

53º 2

E) 15º

NIVEL AVANZADO

13. Según el gráfico, AB=BC y AB está contenido en el plano P. Si la medida del ángulo entre BC y el plano P es de 45º, calcule la medida del ángulo entre AC y el plano P.

n

B

A) 30º B) 53º C) 37º D) 45º E) 60º

15. En un semicírculo de diámetro AB y radio 5, por B se traza BP perpendicular a su plano y se

 = 74º, ubica Q en el arco AB. Si BP=18 y m BQ calcule la medida del ángulo entre PQ y el plano del semicírculo. A) 30º

B) 60º

D) 45º

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N

14

C) 53º 2 143 º E) 2

Práctica

Geometría Niveles Geometría del espacio II

por

P

NIVEL BÁSICO 3

1.

Si la medida del diedro determinado por los rectángulos congruentes ABCD y CDEF es de 120º, y BC=4, calcule AE.

B

A

E Q D

F

A

C

A) 6 D) 4 2

4.

B

A) 8 B) 12 C) 4 3 D) 6 3 E) 8 3

B) 9

C) 6 2 E) 3 2

Las regiones triangulares equiláteras ABC y BCD determinan un diedro de 106º, y AB=10. Calcule AD. D

C A

2.

Según el gráfico, AH=9, HC=4 y BQ=6. Calcule la medida del diedro AC.

B

Q A) 4 3 D) 20

A B H

5.

C) 10 E) 8 3

Según el gráfico, BP es perpendicular al plano del triángulo ABC, AB=15, BC=20 y BP=9. Calcule la medida del diedro AC. P

C A) 30º B) 60º C) 45º D) 53º E) 37º

3.

B) 6 3

B C

En el gráfico, los semicírculos están en planos

 = m perpendiculares, m BQ AP = 90º. Calcule PQ.

A A) 45º

B) 53º

C) 60º

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 18 8

Geometría

Anual San Marcos

6.

D) 37º E) 15º En el gráfico, los cuadrados ABCD y CDEF están en planos perpendiculares y O es centro de CDEF. Calcule la medida del diedro O - AB - C. E

arista de dicho diedro. A) VFF B) VVF D) VFV

C) VVV E) FFF

NIVEL INTERMEDIO

F

9. O

Según el gráfico, BF es perpendicular al plano ABCD; AB=BC=BF=6 y M es punto medio de CD. Halle el área de la región sombreada. F

C

D

A

D) 45º

B

B

B) 53º 2

A) 30º

7.

Geometría

C) 37º 2 E) 53º

En el gráfico, BP es perpendicular al plano de la región equilátera ABC, AB=8 y BP = 3 3. Calcule la distancia de P a AC. P

C M

A

D

A) 9 2 B) 36 C) 12 3 D) 9 E) 18 2

10. Según el gráfico, GP es perpendicular al plano B C

de la región equilátera ABC cuyo baricentro es G. Si AC = 3 ( PG ) = 6 3, calcule la medida del diedro AB. P

A A) 4 D) 5 3

8.

B) 8

B C) 5 2 E) 4 3

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda y elija la secuencia correcta. I. Dos planos son perpendiculares si su diedromide 90º.  II. Si L 1 y L  2 son  perpendiculares a L 3, entonces L 1 // L 2 . III. El ángulo diedro se determina trazando, en cada plano, rectas perpendiculares a la

C G

A A)

127º 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 19 9

B)

143º 2

C) 30º

Geometría

Academia ADUNI

D) 60º

E) 45º

11. Según el gráfico, AF es perpendicular al pla-

 = m MA . no del semicírculo, AB=AF=6 y m MB Calcule el área de la región BFM. F

A

Material Didáctico N.o 6

NIVEL AVANZADO

13. Por el extremo A del diámetro AB de una circunferencia, se traza AM perpendicular al plano de la circunferencia y se ubica un punto C en la circunferencia. Calcule MC si MB=26 y BC=14. A) 2 15 B) 4 5 C) 4 30 D) 18 E) 20

B

M

14. En un plano P se ubica una circunferencia de A) 6 3 D) 6 2

B) 9 2

C) 9 3 E) 12

12. Según el gráfico, AP es perpendicular al plano del cuadrado ABCD y CD=4. Calcule el área de la región PDC. P

A) 2 D) 8

37º

B

C B) 4

A) 2 D) 8

B) 4

C) 6 E) 10

15. Sea BD perpendicular al plano que contiene

A

D

centro O, en la cual se traza una cuerda AB de longitud 8 cm y que dista 2 cm del centro. Si se traza AE, perpendicular al plano P, y AE=4, calcule EO.

C) 6 E) 10

al triángulo ABC. Si AB=15, BC=13, AC=14 y BD=12, calcule la medida del diedro determinado por los planos ADC y ABC. A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 20 10

Práctica

por

Geometría Niveles Prisma regular 4.

NIVEL BÁSICO

1.

En el gráfico, el volumen del cubo es 216. Calcule el área de la región ACH.

Calcule el área de la superficie lateral del prisma regular mostrado.

B

C

A

D F

E

53º

G

H

3 A) 12 D) 66

2.

B) 24

A) 6 3 D) 6 2

C) 36 E) 48

En el gráfico, DE=AD=4. Calcule el volumen del prisma regular mostrado. D

5.

E

B

6. C A) 16 2 D) 8 2

3.

B) 8 3

En un hexaedro regular ABCD - EFGH, halle la medida del ángulo entre AE y BG. A) 30º B) 45º C) 60º D) 90º E) 37º

F

A

CG EH = Si HG = y BH = 14, calcule el volu2 3 men del paralelepípedo rectangular mostrado.

C) 16 3 E) 16 6

Calcule el volumen del prisma regular mostrado.

B

D F

E

6 5

B) 90

C

A

53º 2

A) 180 D) 216

C) 18 2 E) 64

B) 18 3

C) 256 E) 200 11

H

A) 6 B) 12 C) 18 D) 14 E) 28

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822

G

24

Geometría

Anual San Marcos

7.

En el hexaedro regular ABCD - EFGH, calcule la medida del ángulo entre AC y FH. A) 60º D) 53º

8.

B) 45º

C) 90º E) 30º

El área de la superficie total del cubo ABCD - EFGH es 96. Calcule el área de la región AFG. B

C

Geometría

10. En un rectoedro, la arista lateral mide 40 y las

aristas de las bases miden 24 y 18. Calcule la medida del ángulo entre una diagonal y la base. A) 30º B) 60º C) 45º D) 53º E) 37º

11. En el prisma regular ABC - DEF, AD = 3 3 y AB=8. Calcule el área de la región BDF.

A

C

H

E

D B) 4 2

E

C) 8 2 E) 8

NIVEL INTERMEDIO

9.

B

G

F

A) 4 3 D) 6 2

A

D

F A) 10 3 D) 20 2

En el paralelepípedo rectangular, AG=13, EH=3 y AB=4. Calcule el área de la superficie total del paralelepípedo. A

B) 20 3

12. El volumen del prisma regular ABC - DEF es 48. Calcule la medida del diedro A - EF - D.

B

D

B

A

C E

C) 15 3 E) 20

C

F E

H

G

60º

D

A) 192 B) 210 C) 180 D) 150 E) 96

A) 60º

B)

D) 30º

25

53º 2

F 127º 2 E) 45º C)

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 12

Geometría

Academia ADUNI

A) 12 6 D) 12 3

NIVEL AVANZADO

13. En el gráfico, el área de la región cuadrada CESN es 12. Calcule el volumen del prisma regular mostrado. B A

D

N

P

M

Q S

C) 36 E) 12 2

DQ ⊥ BH, (Q está en BH) y QH = 3. Calcule el área de la superficie total de dicho hexaedro. B) 18

C) 54 E) 18 2

15. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son tres números consecutivos y su volumen es 60. Calcule el área de la superficie total del paralelepípedo.

E

F

B) 24

14. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, se traza

A) 3 3 D) 18 3

C

Material Didáctico N.o 6

R

A) 120 B) 90 C) 240 D) 180 E) 94

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26

Práctica

Geometría Niveles Cilindro de revolución

por

4.

NIVEL BÁSICO

1.

Según el gráfico, calcule la razón entre las áreas de las superficies laterales de los cilindros de revolución.

A) 80p D) 160p

5. 53º 9

6.

2.

B) 12

C) 320p E) 40p

En un cilindro de revolución, el área de su superficie lateral y su volumen son numéricamente iguales. Calcule el radio de su base. B) 1

C) 3 E) 4

Según el gráfico, calcule el volumen del cilindro de revolución si el área de la región ABC es 24. C

C) 6 E) 8

En el gráfico, el volumen del cilindro de revolución es 64p y su generatriz mide 4. Calcule x.

A

x A) 32p D) 64p

7.

A) 37º D) 16º

3.

B) 640p

A) 2 D) 1/2

12

A) 4 D) 9

Calcule el volumen de un cilindro circular recto cuya generatriz mide 10 y el diámetro de su base mide 8.

B) 30º

37º

B

B) 36p

C) 48p E) 96p

En el gráfico, OB=41 y R=9. Calcule el área de la superficie total del cilindro de revolución. B

C) 53º E) 45º

En un cilindro de revolución, la altura y el diámetro de su base son iguales, y el área de su superficie total es 36p. Calcule su volumen. A) 6p B) 6 6π C) 12 6π D) 12p E) 24p

R A) 720p D) 724p

B) 882p

O C) 800p E) 320p

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6 2

Geometría

Anual San Marcos

8.

Calcule el área de la superficie lateral del cilindro de revolución mostrado.

A) 106p D) 138p

Geometría

B) 53p

C) 276p E) 72p

11. En el gráfico se muestra un cilindro de revo-

A) 12p B) 10p C) 16p

53º 2

D) 20p

lución, tal que el área de su superficie lateral es igual a la suma de áreas de sus bases y BD = 3 5. Calcule el volumen del cilindro.

E) 8p

B 2

NIVEL INTERMEDIO

9.

Calcule la razón entre los volúmenes de los cilindros mostrados.

D

A) 3p B) 6p C) 18p D) 27p E) 12p

12. Calcule el volumen del cilindro de revolución si DE=4 y EC=2.

A) 1/6 D) 1/16

B) 1/8

C) 1/4 E) 1/12

D

10. Según el gráfico, EC=8 y ED=9. Calcule el área total del cilindro. E D

E

C

C

A) 18p B) 27p C) 30p D) 36p E) 48p

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7 3

Geometría

Academia ADUNI

Material Didáctico N.o 7

A) 70

NIVEL AVANZADO

B) 60 C) 50

13. Según el gráfico, se muestra un cilindro de

D) 90

revolución. Si el área de la región sombreada es S, calcule el área de la superficie lateral. (AM=MB)

E) 80

15. Calcule la razón entre los volúmenes del cilindro de revolución y el prisma regular inscrito

A

en este.

M

B A) Sp D) Sp/2

B) 2 Sp

C) 3 Sp E) 3/2 Sp

14. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es una región rectangular cuya diagonal mide 13. Si la generatriz mide 5, calcule el área de la superficie lateral del cilindro.

3π 9 3π D) 2

A)

B)

2 3π 9

3π 3 4 3π E) 9

C)

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 8 4

Práctica

por

Geometría Niveles Pirámide regular 6.

NIVEL BÁSICO

1.

La arista de un tetraedro regular mide 36. Calcule la razón entre las cantidades que representan a su volumen y el área de su superficie total. A) 6 D) 2 6

2.

4

C) 6 E) 6 6

B) 12

B) 9 3

B

A

B) 4 6

A) 24 D) 16

7.

C) 4 3

D) 4 2

6 C

E) 27 3

Calcule el volumen del tetraedro regular cuya arista mide 2 6. A) 8 3

H

C) 81 3

D) 27

4.

V

Si la altura de un tetraedro regular mide 3 6, calcule el área de su superficie total. A) 81

3.

En el gráfico, V-ABC es una pirámide regular y VH ⊥ ABC. Calcule el volumen de dicha pirámide.

E) 2 2

B) 8

C) 12 E) 12 3

En el gráfico P-ABCD es una pirámide regular, PC=5 y AD=6. Calcule el área de la superficie lateral de dicha pirámide. P

Calcule el área de la superficie lateral de la pirámide regular.

B

C

4 A A) 96 D) 60

4 A) 16

B) 32

D) 12 2

5.

C) 12 E) 16 2

En una pirámide triangular regular, el perímetro de su base es 30 y su altura mide 3 3. Calcule su volumen. A) 15 D) 75

B) 45

C) 65 E) 80

8.

B) 48

C) 24 E) 90

Calcule el área de la superficie total de una pirámide cuadrangular regular si la arista básica mide 4 y su altura mide 2 3. A) 16 B) 32 C) 12 D) 24 E) 48

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D

12

Geometría

Anual San Marcos

NIVEL INTERMEDIO

9.

Geometría

NIVEL AVANZADO

En el gráfico, G es baricentro de ABC y DG=4. Calcule el área de la región ADH si ABCD es un tetraedro regular.

13. Según el gráfico, calcule la razón entre el área de la superficie lateral del prisma regular y el área de la superficie total del tetraedro regular inscrito en aquel (DE=3).

D

D

E

F

B

A G

A

H

B

C A) 4 2

B) 4 3

C

C) 5 2

D) 5 3

E) 6 2 A) 3

10. Calcule el área de la superficie total de una pirámide regular P-ABCD si su altura mide 3 y su arista básica mide 8.

D)

B) 2 3

2 2

C) 2 E) 2 2

14. En una pirámide triangular regular, la medida A) 72 D) 192

B) 120

C) 144 E) 80

11. Calcule el volumen de una pirámide regular O-ABCD, tal que mS DOC=60º y AB=6. A) 2 6

B) 24 3

C) 36 2

D) 42 2

E) 18 3

12. En una pirámide cuadrangular regular O-ABCD, OD=DA y su altura mide 3. Calcule su volumen. A) 9 D) 24

B) 16

C) 18 E) 36

13

del diedro entre una cara lateral y la base es 37º, y su arista básica mide 8 3. Calcule su volumen. A) 16 3

B) 32 3

D) 45 3

C) 40 3 E) 48 3

15. Calcule el volumen de una pirámide hexagonal regular si su apotema mide 3 y la arista básica, 2. A) 6 2

B) 12 2

D) 18 2

C) 15 2 E) 6 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6

Geometría Práctica por Niveles Cono de revolución A) p B) 2p C) 3p D) 4p E) 5p

NIVEL BÁSICO

1.

15 π. 3 Calcule la medida del ángulo de desarrollo de su superficie lateral. El volumen del cono de revolución es

4.

Si el área lateral de un cono de revolución es igual a 2 veces el área de su base, calcule el ángulo que forma la generatriz con la altura. A) 30º D) 53º

5.

1 A) 60º D) 53º

2.

B) 90º

C) 75º E) 45º

Según el gráfico, calcule el volumen del cono de revolución.

B) 60º

Si el volumen de un cono de revolución es numéricamente igual al doble del área de su base, calcule su altura. A) 3 D) 8

6.

74º

C) 37º E) 45º

B) 4

C) 6 E) 10

En el gráfico, la altura del cono de revolución mide 4, OH=2 y AB=8. Calcule la generatriz del cono.

5

B A) 12p D) 25p

3.

B) 15p

C) 18p E) 30p

H

A

Del gráfico, calcule el área de la superficie total del cono equilátero.

A) 4 D) 7

7. 2

O

B) 5

C) 6 E) 8

Calcule el área de la superficie total de un cono de revolución si la generatriz y la altura se diferencian en 1, además, el radio de la base es 5. A) 50p D) 90p

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 17 7

B) 60p

C) 70p E) 65p

Geometría

Academia ADUNI

8.

En la figura, el cono de revolución tiene una base de centro O y OC=2. Halle el área lateral del cono.

Material Didáctico N.o 7

10. Según el gráfico, AM=MB, MN=4 y AO=10. Calcule el área de la superficie lateral del cono circular recto.

B

A θ M θ

A

O

N C

A) 4p

O

A) 40p D) 60p

B) 4 π 3 C) 8p

B) 80p

C) 20p E) 64p

11. Calcule el volumen de un cono de revolución

D) 6 π 2 E) 12p UNMSM 2013 - I

NIVEL INTERMEDIO

9.

B

si el área de su superficie total es igual al cuádruple del área de la base, y el radio de la base mide 3. A) 18 2π

Según el gráfico, calcule la razón de volúmenes del cilindro de revolución y el cono de revolución.

C) 9 6π

B) 9 3π

D) 9 2π

E) 12 2π

12. Según el gráfico, VM=MA y VH=3 y HB=7. Calcule el volumen del cono de revolución. V H M

B

A A) 1/2 B) 2/3 C) 4/5 D) 5/8 E) 3/8

A) 21p D) 20 5π

B)

80 5π 3

40 5π 3 20 5π E) 3

C)

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 18 8

Anual San Marcos

Geometría

Geometría

NIVEL AVANZADO 8

13. Halle el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a b. La distancia del centro de la base a una de sus generatrices es 2a. A)

2 ab 3

B)

ab

C) 2a+b D) 2b+a E)

ab 3

A) 10p

B) 12p

D) 20p

C) 16p E) 32p

15. El área de la superficie total de un cono de revolución es 200p, y el producto de la generatriz y el radio de la base es 136. Calcule su volumen.

14. Calcule el área de la superficie total del cono de revolución, cuyo desarrollo de su superficie

A) 100p

lateral se muestra.

D) 180p

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 19 9

B) 120p

C) 160p E) 320p

Geometría P ráctica Esfera Según el gráfico, AB = 6 3. Calcule el área de la superficie esférica.

5.

A 120º

A) 36p C) 144p

B

D) 72 3π

6.

E) 36 3π

2.

Según el gráfico, calcule la razón entre el área de la superficie semiesférica y el área de la superficie total del cilindro de revolución. (T es punto de tangencia).

B) 4

T

B) 18 3π

A) 1/2 D) 2/3

3.

B) 1/3

C) 1 E) 1/4

Según el gráfico, el cono de revolución y la esfera son equivalentes. Calcule R/r.

B) 4

C) 2 E) 2

Si el volumen de un cubo es 27, calcule el volumen de la esfera inscrita en dicho cubo. A) 6p

B)

9π 2

D) 36p

C) 12p E) 8p

NIVEL INTERMEDIO

9.

53º

C) 32p E) 32 3π

Calcule la longitud del radio de una esfera, cuya área de su superficie es numéricamente igual a su volumen. A) 3 D) 3

8.

C) 8 E) 6

Calcule el volumen de una esfera, cuya área de su superficie es 48p. A) 16 3π D) 36p

7.

C) 12p E) 8p

Calcule la longitud del diámetro de una semiesfera, cuya área de su superficie total es 48p. A) 2 D) 16

B) 72p

Niveles B) 4 3π

A) 18p D) 6 3π

NIVEL BÁSICO

1.

por

Si el área de la esfera inscrita en el cilindro más el área total del cilindro es 90p, halle el volumen de la esfera.

r R A) 1

2 2 E) 2 C)

B) 2

D) 3 2

4.

Calcule el volumen de la esfera si la diferencia entre las áreas de su superficie y el círculo máximo es 9p. 23

A) 12p D) 90p

B) 36p

C) 45p E) 24p

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10

Geometría

Academia ADUNI

10. En el gráfico, el volumen del cono es 18p. Calcule el volumen de la semiesfera.

A) B) C) D)

r

r A) 36p D) 108p

B) 72p

C) 54p E) 144p

E)

Material Didáctico N.o 7

V 3 2 V 3 4 V 3 4 V 9 4 V 5

14. Si la altura del cono de revolución inscrito en la esfera es 8, calcule el volumen de la esfera.

11. Sean E1 y E2 dos esferas. Si el volumen de E2 es el doble de volumen de E1 y el radio de E1 es 3 16 , calcule el volumen de E2.

A) 612p D)

B)

512 π 3

128 π 3

C) 412p E) 552p 4

12. En el gráfico, el área de la esfera inscrita es al área de la base del cono como 4 es a 3. Calcule x. A) 30º

500 π 3 64 π D) 3

x

A)

B) 45º C) 60º D) 75º E) 53º

B)

250 π 3

C)

125π 3

E) 160p

15. Si el volumen del cono de revolución es 1500p, calcule el área de la superficie total de la semiesfera inscrita.

NIVEL AVANZADO

74º

13. En el gráfico, el volumen del cono equilátero es v. Calcule el volumen de la esfera inscrita.

A) 220p D) 350p Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11

B) 432p

24

C) 450p E) 288p

Práctica

por

Geometría Niveles Geometría analítica I 5.

NIVEL BÁSICO

1.

B) 90

C) 3 2

D) 4

2.

E)

B) 3

B

A(2; 0)

6.

E) −2 10

P A( – 4; 5)

En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Halle las coordenadas del baricentro de la región triangular CDE.

B (0; 7)

C

A

D

A) (14; 1)

 5 40  D)  ;  7 7 

7.

Según el gráfico, LQ=3(PL). Halle las coordenadas de Q.

B) (7; 5)

P( – 4; – 5) A) (6; 7) D) (3; 9)

C) (5; 15) E) (8; – 27)

C) (9; 6)

En el gráfico, ABCD es un paralelogramo en el que MC=MD. Halle las coordenadas de P. C

B( – 3; 5) P

M D( – 4; 2)

A( – 5; – 3) 17   A)  −3;   3

B) (8; 27)

X

E) (9; 7)

Q

L( – 1; 3)

16º

7  D) 15;   3

 6 41 C)  − ;   7 7  27 50  E)  ;  7 7 

X

Y

B(7; 8)

 27  B)  ; 7  7 

O D

A partir del gráfico, halle las coordenadas de P si 2(AP)=5(PB).

 50  A)  9;   7 

C

35

C) – 6

D) – 3

4.

Y

La distancia entre los puntos A( – 4; n) y B(8; 3n) es 288 u. Halle n. A) 2 10

3.

A) (3; 2) B) (4; 3) C) (5; 2) D) (2; 3) E) (3; 3)

Halle la distancia entre los puntos A( – 4; – 6) y B(1; – 3). A) 34

En el gráfico, O es centro del cuadrado ABCD y CD = 2 5. Halle las coordenadas de O.

 7 17  D)  ;  2 3 

B) (2; 6)

C) (3; 5)  7 17  E)  ;  3 2 

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6 2

Geometría

Anual San Marcos

8.

Según el gráfico, ABCD es un rombo.Halle la medida del ángulo de inclinación de L . (O es centro de ABCD). Y

A) 30º B) 45º C) 53º/2 D) 37º/2 E) 127º/2

C

12. Los vértices de un triángulo son A(3; 2), B(12; 4) y C(5; – 7). Halle la medida del mayor de sus ángulos interiores. A) 60º D) 150º

L

127º B

O

B) 90º

X

13. Según el gráfico, PC=3(AC)=6 y AM=MB. (T y P son puntos de tangencia). Calcule CM.

NIVEL INTERMEDIO

Y

A

Según el gráfico, OB=BC=6. Calcule AP. Y P

O A) 3 15 D) 85

C

T

A

B

53º

B) 65

M

O

53º

A) 41 C

C) 120º E) 75º

NIVEL AVANZADO

D A

9.

Geometría

P

B

B) 13

C) 2 17 E) 3 6

D) 2 19

X

X

14. En un triángulo ABC, se traza la bisectiz interior

C) 95 E) 4 5

 16  BD y 3(BC)=4(AB). Si A( – 2; 3) y C  5;  ,  3

10. Según el gráfico, OABC es un cuadrado y

halle las coordenadas de D.

B(12; 12)=12. Calcule MH si OM=MP. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7,5

Y

H

O

A) (2; 3)

B 75º P

A

E) (4; 1)

15. De gráfico, halle la suma de coordenadas del

M

punto P si C

X

lados AB, AC y BC son, respectivamente, (1; 3), (4; 2) y ( – 3; 1). Halle el vértice A. B) (5; 7)

C) (1; 4)

D) (3; 2)

11. En un triángulo ABC, los puntos medios de los

A) (7; 4) D) (8; 4)

B) (4; 5)

C) (5; 8) E) (4; 7)

BD DC . = 3 5

B

A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 7

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 7 3

D 7A

A C(7; 5) P

A(2; 0)

Práctica

por

Geometría Niveles Geometría analítica II A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 2/3 E) 1

NIVEL BÁSICO

1.

En el gráfico, halle la pendiente de L . (T es punto de tangencia).

4.

T

Según el gráfico, OABC es un cuadrado y T es un punto de tangencia. Calcule la pendiente de L . Y

L

( – 2; 7)

A) – 4/7 D) – 7/4

2.

O

A) 1/3 D) 1/7

5. ( – 4; – 5) (4; 3)

B) 1/4

C) 2 E) 3

B) 4

C

L (5; 4) (7; 2)

L

B O

A

C) 5 E) 7

Del gráfico, halle la ecuación de la recta L.

Según el gráfico, O es centro del cuadrado ABCD. Halle la pendiente de la recta L . Y

C) 1/5 E) 1/8

Si la ecuación de la recta L es 7x+4y – 45=0 y el punto (3; k) pertenece a dicha recta, halle k. A) 3 D) 6

6. B) – 1

X

C

L

3.

B

C) 7/4 E) – 1/2

Del gráfico, halle la pendiente de L .

A) 1 D) – 2

L

T

(5; 3) B) 4/7

A

D X

A) x+y – 5=0 B) x+y+5=0 C) x – y – 5=0 D) x – y – 9=0 E) x – y+9=0

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 12 4

Geometría

Anual San Marcos

7.

Halle la diferencia entre las pendientes de L 1 y L 2 si

L 1: 5x – 3y+12=0 L 2: 6x+7y – 5=0 A) 17/21 D) 19/21

8.

L

B

O

C

A

A) – 1/3 D) – 5/12

β

B) – 3/4

X

C) – 2/5 E) – 12/5

11. En el gráfico, O y O1 son centros de los cua-

B

β

C

drados ABCD y DEFG, respectivamente, y AB=4(CE)=8. Halle la ecuación de la recta OO1.

X

Y

A) 3x – 2y+12=0 B) 3x+2y+12=0 C) 3x – 2y – 12=0 D) 2x – 3y+12=0 E) 2x – 3y – 12=0

C

B

E O

NIVEL INTERMEDIO

9.

cule la pendiente de L .

C) 53/21 E) 1/7

Según el gráfico, OB=4 y BC=5. Halle la ecuación de L .

O

10. Según el gráfico, AB=13, BC=15 y AC=14. Cal-

Y

B) 23/21

Y

Geometría

A

En el gráfico, C(9; 4). Halle la ecuación de L . Y

F O1

D

G

X

A) 7x+y+32=0 B) x+7y+32=0 C) 7x – y+32=0 D) x – 7y – 32=0 E) x+7y – 32=0

C

12. Se tiene un triángulo ABC de coordenadas O A) 2x+9y – 45=0 B) x+9y – 45=0 C) x+3y+15=0 D) x+3y – 15=0 E) x+9y+45=0

X

A(0; 0), B(4; 6) y C(4; 4). Calcule la ecuación de la recta que contiene a la mediana BM. A) 2x – y – 3=0 B) x – 2y – 4=0 C) 2x – y – 2=0 D) 2x – 3y – 4=0 E) 3x – 2y – 4=0

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Geometría

Academia ADUNI

Material Didáctico N.o 8

D) 4x+y+2=0 E) 4x+y+10=0

NIVEL AVANZADO

13. Se tiene un rombo ABCD en que A( – 2; 3) y C(6; – 5). Halle la ecuación de BD.

15. En la figura, T es punto de tangencia, OA=AB, T=(4; 8). Halle la ecuación de L . Y

A) x+y – 3=0 B) x – y – 3=0

T

C) x+y+3=0 B

D) x – y – 1=0 E) x – y+1=0

L

14. Determine la ecuación de la recta cuya pen-

A O

X

diente es – 4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+y – 8=0; 3x – 2y+9=0. A) 4x – y – 10=0 B) 2x+y+8=0 C) 4x+y – 10=0

A) x+4y – 10=0 B) x+2y – 10=0 C) x+6y – 10=0 D) x+3y – 10=0 E) x+5y – 10=0

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Práctica

por

Geometría Niveles

Geometría analítica III 6.

NIVEL BÁSICO

1.

B) (–1; – 2), 3 C) (2; 1), 3 E) (1; 3), 9

Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en A( – 2; – 3) y su radio es 5. A) (x – 2)2+(y – 3)2=25 B) (x – 2)2+(y+3)2=25 C) (x+2)2+(y+3)2=25 D) (x+2)2+(y – 3)2=25 E) (x+3)2+(y+2)2=25

3.

Y A

La ecuación general de una circunferencia x2+y2 – 2x – 4y – 4=0. Halle su centro y radio. A) (1; 2), 3 D) ( – 2; –1), 4

2.

A partir del gráfico, halle la ecuación de la circunferencia inscrita en AOB si AB=10.

37º

O A) (x+2)2+(y+2)2=4 B) (x+2)2+(y+2)2=2 C) (x – 2)2+(y+2)2=2 D) (x – 2)2+(y – 2)2=2 E) (x – 2)2+(y – 2)2=4

7.

Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (1; 5) y pasa por ( – 3; 2).

Determine la ecuación de la circunferencia tangente a los semiejes positivos si L : 3x – 2y – 4=0. Y

L

A) x2+y2 – 8x – 8y+16=0 B) x2+y2 – 4x – 4y+16=0 C) x2+y2 – 14x+24=0 D) x2+y2 – 2x – 10y+1=0 E) x2+y2 – 6x+2y+1=0 O

4.

Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuación es x2+y2 – 6x+2y – 15=0. A) 25p D) 16p

5.

B) 5p

2

X

A) (x – 4)2+(y – 4)2=16 B) (x – 8)2+(y – 8)2=16 C) (x – 2)2+(y – 2)2=4 D) (x – 4)2+(y – 4)2=4 E) (x+4)2+(y+4)2=16

C) 10p E) 3 2π

Halle la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo ABC, recto en B si A( – 3; – 4) y C(1; 4).

8.

Halle la ecuación de la recta tangente a la circunferencia, (x – 6)2+(y – 5)2=25, en el punto (2; 8).

2

A) x +2y +2x – 19=0 B) x2+y2+2x – 19=0 C) 2x2+y2+4x – 19=0 D) 3x2+2y2+4x+y – 19=0 E) x2+y2+2x+3y – 19=0

A) 4x – 3y+16=0 B) 4x+3y – 16=0 C) 3x – 4y+16=0 D) 2x+3y – 15=0 E) 5x – 3y+16=0

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B X

18

Geometría

Anual San Marcos

NIVEL INTERMEDIO

9.

Calcule la distancia entre los centros de las circunferencias x2+y2 – 6x – 2y – 6=0; x2+y2 – 12x+4y+31=0

Geometría

A) (x – 3)2+(y – 1)2=10 B) (x+3)2+(y – 1)2=10 C) (x – 3)2+(y+1)2=10 D) (x – 1)2+(y – 3)2=10 E) (x+1)2+(y+3)2=10 NIVEL AVANZADO

A) 2 2

B) 4 2

C) 2

D) 5 2

E) 3 2

10. Halle el área del círculo cuya circunferencia correspondiente tiene por ecuación a x2+y2 – 4x+6y – 3=0. A) 12p D) 14p

B) 16p

C) 15p E) 9p

11. Del gráfico, halle la ecuación de la circunferencia. Y

(3; 5)

(2 6 ; 0) X A) x2+(y+1)2=25 B) x2+(y – 1)2=25 C) x2+(y – 2)2=25 D) x2+(y+2)2=25 E) x2+(y – 5)2=16

13. Halle el área de un círculo cuya circunferencia es concéntrica con otra que tiene por ecuación C: x2+y2 – 6x+10y – 2=0; y cuyo radio es la tercera parte del radio de C. A) 4p D) 9p

B) 6p

C) 2p E) 8p

14. Los extremos de la cuerda de una circunferencia son los puntos (–1; 5) y ( – 2; – 2). Si la suma de las coordenadas del centro de dicha circunferencia es 3, halle su ecuación. A) x2+y2+2x – 4y – 25=0 B) x2+y2+2x – 2y – 10=0 C) x2+y2 – 4x – 2y – 20=0 D) x2+y2 – 2y – 16=0 E) x2+y2+4x+2y – 20=0

15. Calcule el área de la región (ubicada en el primer cuadrante) limitada por la recta x+y – 2=0 y la circunferencia x2+y2 – 4=0.

12. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, y cuyo centro es la intersección de las rectas x+3y – 6=0; x – 2y – 1=0.

19

A) p – 3 B) p – 1 C) 2p – 1 D) 2p – 2 E) p – 2

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Práctica

Geometría Niveles

por

Problemas diversos 4.

NIVEL BÁSICO

1.

Si M; N; P; Q; R son puntos consecutivos de una recta, de modo que NQ 2 = , NQ+MP+PR=50 y MR 3 entonces NQ es A) 35 D) 20

2.

En la figura, PQ=18 cm y CD=6 cm. Halle la longitud del diámetro AD de la semicircunferencia.

B) 30

B

P

Q

A

C) 15 E) 25

A) 4 13 cm

D B) 4 17 cm

D) 6 13 cm

C) 20 cm E) 21 cm UNMSM 2009 - I

En la figura, AD=12 cm. Halle BC. B

A

5.

En la figura, se muestra un trapecio isósceles cuyas bases miden a cm y b cm. Halle el radio de la circunferencia inscrita.

105º

30º

D

C

A) (3 3 + 6 ) cm B)

(

3 + 3) cm

A)

ab cm

3 + 6 ) cm 3 + 2 2 ) cm

D)

1 ab cm 4

C) 3 ( 3 + 1) cm

D) ( E) (

UNMSM 2009 - I

3.

C

En la figura, A y C son puntos de tangencia. Halle la medida del ángulo inscrito S ABC en la circunferencia.

6.

B)

1 ab cm C) 2 ab cm 2 E) a b cm

En el triángulo, AM = AC=6 m. Halle BM.

AC ; AB=4 m; BC=5 m; 4

B

P A

40º A C

B A) 80º D) 55º

B) 60º

C) 65º E) 70º

A)

27 m 2

D)

25 m 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 9

M B)

22

C 19 m 2

C)

21 m 2

E)

23 m 2

Geometría

Anual San Marcos

7.

Geometría

En la figura, BM=MC y AO=OM. ¿Qué parte del área del triángulo ABC es el área de la región sombreada?

A

Q

P

B M O B P

A

C

A) 2/3 B) 3/5 C) 3/4 D) 2/5 E) 1/2

C

B) 130 m2

C) 120 m2 E) 140 m2

10. En la figura, OABC es un cuadrado cuyo lado

UNMSM 2009 - I

8.

A) 110 m2 D) 90 m2

R

 son arcos de circunfemide 10 m. Si  AC y BP rencias de centro O, halle el área de la región sombreada.

En la figura, PQ=2QS y RS=4 cm. Halle el área de la región sombreada. P

A

B

O

C

Q

R T

S

A) 45 m2 D) 65 m2

B) 60 m2

P C) 50 m2 E) 55 m2 UNMSM 2010 - I

A) 18 cm2 B) 24 cm2 C) 36 cm2 D) 32 cm2 E) 16 cm2

11. Halle el volumen de un cono circular recto

cuya área lateral es 96p cm2, sabiendo que el ángulo que forma la generatriz con su base es 60º. A) 192p cm3

NIVEL INTERMEDIO

9.

B) 64 3π cm 3

Las áreas de los triángulos APQ y QRC son 72 m2 y 50 m2, respectivamente. Calcule el área del paralelogramo BPQR.

23

C) 96p cm3 D) 96 3π cm 3 E) 128p cm3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10

Geometría

Academia ADUNI

12. Dado el siguiente gráfico, halle la pendiente de la recta L 1.

A) 3 B) – 3/2 C) – 1/3 D) – 3 E) – 2/3

Y

L1

L2

Material Didáctico N.o 8

14. Si el centro de la circunferencia

x2+y2+4bx – 2y – 8=0 está sobre la recta 3x+4y+8=0, halle el radio de la circunferencia. A) 6

( – 1; a)

B) 4 C) 5 D) 2 6 –2

8

X

E) 2 UNMSM 2005 - I

NIVEL AVANZADO

15. Halle la ecuación de la recta que se interseca

13. Si el volumen de un cono de revolución es V y su área lateral es L, entonces la distancia del centro de la base a una de sus generatrices es

con la circunferencia C : (x – 2)2+(y – 4)2=16 en los puntos (2; a) y (6; b), donde a > 0; b > 0 A) x – y – 2=0

A)

3V L

3V D) L

B)

2V L

C)

V L

6V E) L

B) x+y – 10=0 C) x+y – 8=0 D) 2x – y+4=0 E) x – 2y – 6=0

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11

24

Anual SM Definiciones primitivas, segmentos y ángulos 01 - B

03 - C

05 - B

07 - D

09 - C

11 - B

13 - E

02 - B

04 - B

06 - C

08 - B

10 - D

12 - E

14 - B

15 - C

Ángulos entre rectas paralelas 01 - C

03 - D

05 - A

07 - A

09 - E

11 - D

13 - B

02 - B

04 - D

06 - B

08 - C

10 - D

12 - A

14 - D

15 - C

Triángulo 01 - A

03 - E

05 - B

07 - E

09 - C

11 - C

13 - B

02 - C

04 - C

06 - A

08 - D

10 - B

12 - D

14 - C

15 - B

Clasificación de triángulos 01 - C

03 - B

05 - C

07 - D

09 - C

11 - B

13 - A

02 - E

04 - E

06 - D

08 - B

10 - D

12 - C

14 - D

15 - A

Líneas notables asociadas al triángulo 01 - B

03 - D

05 - E

07 - E

09 - B

11 - D

13 - E

02 - E

04 - E

06 - B

08 - C

10 - C

12 - C

14 - B

15 - B

Anual SM Congruencia de triángulos 01 - B

03 - c

05 - b

07 - e

09 - b

11 - d

13 - b

02 - e

04 - d

06 - b

08 - c

10 - d

12 - b

14 - e

15 - b

Aplicaciones de la congruencia 01 - c

03 - a

05 - e

07 - c

09 - d

11 - c

13 - c

02 - d

04 - d

06 - c

08 - b

10 - c

12 - e

14 - D

15 - b

Triángulos rectángulos notables 01 - E

03 - C

05 - C

07 - C

09 - D

11 - D

13 - C

02 - E

04 - A

06 - D

08 - B

10 - D

12 - D

14 - E

15 - E

Cuadriláteros I 01 - B

03 - A

05 - E

07 - E

09 - A

11 - D

13 - B

02 - C

04 - B

06 - B

08 - C

10 - E

12 - B

14 - B

15 - B

Cuadriláteros II 01 - A

03 - C

05 - D

07 - A

09 - D

11 - D

13 - D

02 - B

04 - E

06 - E

08 - D

10 - D

12 - B

14 - C

15 - B

Anual SM Circunferencia I 01 - d

03 - b

05 - b

07 - e

09 - c

11 - a

13 - d

02 - c

04 - a

06 - d

08 - c

10 - c

12 - d

14 - b

15 - c

Circunferencia II 01 - a

03 - b

05 - d

07 - d

09 - a

11 - c

13 - A

02 - e

04 - a

06 - d

08 - d

10 - d

12 - e

14 - c

15 - d

Posiciones relativas entre dos circunferencias 01 - c

03 - e

05 - c

07 - b

09 - a

11 - e

13 - C

02 - E

04 - b

06 - D

08 - B

10 - D

12 - a

14 - a

15 - b

Cuadrilátero inscrito e inscriptible 01 - d

03 - e

05 - d

07 - b

09 - b

11 - c

13 - d

02 - C

04 - e

06 - a

08 - a

10 - a

12 - c

14 - b

15 - B

Puntos notables 01 - b

03 - d

05 - D

07 - A

09 - D

11 - D

13 - D

02 - d

04 - a

06 - b

08 - c

10 - b

12 - c

14 - d

15 - c

Anual SM Proporcionalidad de segmentos 01 - B

04 - b

07 - C

10 - A

13 - D

02 - A

05 - E

08 - c

11 - d

14 - b

03 - e

06 - D

09 - b

12 - E

15 - C

Semejanza de triángulos 01 - D

04 - E

07 - C

10 - A

13 - D

02 - d

05 - a

08 - E

11 - C

14 - B

03 - C

06 - C

09 - C

12 - D

15 - D

Relaciones métricas I 01 - b

04 - A

07 - B

10 - E

13 - A

02 - D

05 - B

08 - E

11 - C

14 - D

03 - C

06 - C

09 - b

12 - B

15 - D

Relaciones métricas II 01 - E

04 - C

07 - D

10 - D

13 - B

02 - D

05 - D

08 - B

11 - B

14 - E

03 - A

06 - B

09 - C

12 - A

15 - E

Relaciones métricas III 01 - D

04 - E

07 - E

10 - d

13 - E

02 - A

05 - D

08 - C

11 - C

14 - C

03 - B

06 - C

09 - E

12 - C

15 - E

Anual San Marcos Áreas de regiones triangulares 01 - C

04 - B

07 - D

10 - B

13 - A

02 - B

05 - E

08 - E

11 - C

14 - e

03 - E

06 - D

09 - A

12 - B

15 - c

Razón de áreas de regiones triangulares 01 - C

04 - D

07 - A

10 - d

13 - c

02 - D

05 - A

08 - B

11 - D

14 - b

03 - C

06 - E

09 - e

12 - e

15 - c

Áreas de regiones cuadrangulares 01 - c

04 - e

07 - b

10 - b

13 - e

02 - a

05 - e

08 - c

11 - e

14 - a

03 - b

06 - d

09 - c

12 - c

15 - d

Razón de áreas de regiones cuadrangulares 01 - A

04 - b

07 - a

10 - b

13 - d

02 - C

05 - a

08 - D

11 - c

14 - b

03 - D

06 - b

09 - d

12 - c

15 - c

Áreas de regiones circulares 01 - b

04 - c

07 - c

10 - c

13 - a

02 - d

05 - d

08 - c

11 - e

14 - e

03 - E

06 - b

09 - d

12 - C

15 - d

Anual San Marcos Introducción a la geometría del espacio 01 - D

04 - d

07 - A

10 - B

13 - C

02 - C

05 - c

08 - A

11 - E

14 - C

03 - B

06 - E

09 - D

12 - E

15 - E

Geometría del espacio I 01 - B

04 - B

07 - B

10 - D

13 - E

02 - A

05 - D

08 - e

11 - D

14 - C

03 - E

06 - C

09 - C

12 - A

15 - E

Geometría del espacio II 01 - c

04 - e

07 - d

10 - a

13 - c

02 - C

05 - d

08 - a

11 - c

14 - C

03 - e

06 - b

09 - A

12 - e

15 - c

Prisma regular 01 - e

04 - b

07 - c

10 - d

13 - a

02 - C

05 - b

08 - c

11 - b

14 - C

03 - d

06 - a

09 - A

12 - c

15 - e

Anual San Marcos Cilindro de revolución 01 - b

04 - d

07 - b

10 - c

13 - b

02 - e

05 - a

08 - c

11 - d

14 - b

03 - c

06 - E

09 - b

12 - d

15 - E

Pirámide regular 01 - c

04 - b

07 - B

10 - c

13 - c

02 - c

05 - D

08 - e

11 - c

14 - e

03 - a

06 - e

09 - e

12 - c

15 - a

Cono de revolución 01 - b

04 - e

07 - d

10 - b

13 - a

02 - a

05 - c

08 - c

11 - a

14 - d

03 - c

06 - c

09 - e

12 - b

15 - e

Esfera 01 - c

04 - b

07 - d

10 - e

13 - d

02 - a

05 - c

08 - b

11 - b

14 - a

03 - d

06 - e

09 - b

12 - c

15 - b

Anual San Marcos Geometría analítica I 01 - a

04 - b

07 - a

10 - e

13 - b

02 - c

05 - e

08 - c

11 - d

14 - c

03 - e

06 - d

09 - d

12 - b

15 - b

Geometría analítica II 01 - a

04 - d

07 - c

10 - d

13 - b

02 - b

05 - D

08 - a

11 - e

14 - c

03 - e

06 - c

09 - b

12 - c

15 - A

Geometría analítica III 01 - a

04 - c

07 - a

10 - b

13 - a

02 - c

05 - b

08 - a

11 - b

14 - c

03 - d

06 - e

09 - e

12 - a

15 - e

Problemas diversos 01 - D

04 - D

07 - A

10 - C

13 - D

02 - C

05 - B

08 - D

11 - A

14 - C

03 - E

06 - E

09 - C

12 - C

15 - B