geometria analitica

Formulario de matemáticas III (preparatoria)

FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA CONCEPTOS BÁSICOS

Condición para que dos rectas sean paralelas

7

m

1

1

8

Distancia entre dos puntos: d  = ( x 2 " x1 )

2

+

( y 2 " y1 )

=

m

a

2 1

2

=

"1

ejes) x y

2

Condiciones para que dos rectas sean perpendiculares m •m

13 Forma simétrica (intersección con los

o

m

=

2

"

14

1

División de un segmento en una razón dada:

9

b

=1

Forma general (igualar a cero) Ax + By + C  = 0 Pendiente de la recta Ordenada de la recta

m

1

2

+

m

Área de un polígono de n lados

=

"

A

b="

B

C  B

15 Cálculo de la distancia de un punto a una recta

x1 y1 x 

1+

x  =

P(x,y) "

y

+ rx 

2

1+ y1

=

+

r 

A=

,

1

x2 y2 M

2

xn yn

ry 2

#+( x y % 2% $"( x y 1

=

1

2

2

1

+

x 2 y 3 + K + x n y1 )&

d  =

( + x y + K + x y )( n ' 3

2

Ax + By + C  A2 + B2

1

x1 y1

1+ r

s egmento recta 3 Punto medio de un segmento x  + x  1

x  =

2

P(x,y) " y

4

2

=

y1

,

+

m

=

CÓNICAS

10 Forma ordinaria (pendiente / ordenada) 16

Ecuación general de las cónicas

2

Pendiente de una recta Dado el ángulo

ECUACIONES DE LA RECTA

y2

Dado dos puntos

tan" 

m

y = mx + b

y 2 " y1

=

Ax

2

+

Bxy + Cy

2

+

Dx + Ey + F  = 0

x 2 " x1

5 Ángulo de inclinación de una recta 11

Forma punto / pendiente

17

Identificación Identificación de las cónicas 2

Discriminante: I  = B " 4 AC  " 

=

#1

tan ( m)

y " y1

=

m( x " x1 )

2

Elipse: B " 4 AC  < 0 (negativo) 2

Parábola: B " 4 AC  = 0 (cero) 2

Hipérbola: B " 4 AC  > 0 (positivo)

6 Ángulo entre dos rectas dadas sus 12

Forma cuando pasa por dos puntos

pendientes

$ m #m ' "  = tan# & ) %1 + m • m ( 1

2

1

1

y

"y

1

=

#y " y & % (( x " x ) $x " x ' 2

1

2

1

CIRCUNFERENCIA

1

2

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1

Formulario de matemáticas III (preparatoria)

18 Datos importantes para obtener la 22 Datos importantes para obtener la ecuación 26 ecuación de la circunferencia:

Horizontal (vértice fuera del origen)

de la parábola:

V(h,k) = coordenadas del vértice. Ecuación

C(h,k) = coordenadas del centro. p = distancia del vértice al foco.

Vértice

r = radio Eje focal = horizontal / vertical

Foco

"

( y # k )

" "

V(h,k)

2 =

4p

( x # h)

( h + p k ) ,

Directriz " x = h # p Lado recto " LR = 4 p

y

Eje focal "

19 Ecuación ordinaria con centro en 23

Horizontal (vértice en el origen)

el origen

Ecuación " 2

x

+

y

2

=

r

2

Vértice Foco

y

"

" " Directriz

2

=

27

"

y

#p

=

2

+

Dx + Ey + F  = 0

donde: D = "4 p

Lado recto " LR = 4 p Eje focal

Forma general de la parábola (caso con eje horizontal) y

( p,0) =

k 

4 px

V(0,0) x

=

E  = "2 k 

0

F  = k 2 + 4 ph

20

Ecuación ordinaria con centro fuera del origen

24

Vertical (vértice en el origen) Ecuación

( x " h)

2

+

( y " k )

2

=

r

Vértice Foco

2

" "

" Directriz "

x

2

=

x

#p

"

x 

=

+

Dx + Ey + F  = 0

D = "2 h

Lado recto " LR = 4 p Eje focal

2

donde:

(0, p) =

Forma general de la parábola (caso con eje vertical)

4 py

V(0,0) y

28

E  = "4 p

0

F  = h 2 + 4 pk 

21 Ecuación general o desarrollada x

2

+

y

2

+

h

25

Vertical (vértice fuera del origen)

Dx + Ey + F  = 0

=

"

donde:

D 2 ,

k  = "

E  2 ,

Ecuación Vértice Foco

r

=

D

2

+

2

E  " 4 F 

2

"

( x # h)

" "

V(h,k)

2 =

( y # k )

4p

ELIPSE

(h k  + p) ,

Directriz " y = k  # p Lado recto " LR = 4 p Eje focal

"

x

=

h

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2

Formulario de matemáticas III (preparatoria)

29

Datos importantes para obtener la ecuación de la elipse:

32

C ( h, k ) = coordenadas del centro. Ecuación " a = longitud del semieje mayor. b = longitud del semieje menor.

35

Forma ordinaria en el origen (eje mayor - vertical)

Centro

"

Eje mayor = Horizontal / V ertical Vértices "

x2 b

2

+

y2 a

2

Forma general de la elipse (caso horizontal) Ax

=1

2

+

Cy

2

+

Dx + Ey + F  = 0

donde:

C(0,0)

A=b

2

2

V mayor (0 , ± a)

C  = a

V menor (±b,0)

D = "2b h

2

2

Focos "

E  = "2 a k 

F (0, ± c )

2

F  = b h

30

Ecuaciones importantes de la elipse

33

Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor - horizontal)

c = distancia del centro al foco. Ecuación " c

2

a "b

=

2

LR = Lado recto

LR =

2b

Centro

2

Vértices "

a

e = excentricidad ( e < 1)

e

31

2

c =

a "b

a

=

Centro

"

Vértices "

Focos "

x2 a2

Focos "

2 +

a2

( y " k )

2 =

b2

1

2

2

2

a k  " a b

+

2

Forma general de la elipse (caso vertical) Ax

2

+

Cy

2

+

Dx + Ey + F  = 0

donde:

C ( h k )

A=a

,

C  = b

V mayor ( h ± a, k )

2

2

2

D = "2 a h

V menor ( h , k  ± b)

2

E  = "2b k 

F ( h ± c, k )

2

F  = a h

2

+

2

2

2

b k  " a b

2

2

a

Forma ordinaria en el origen (eje mayor - horizontal) Ecuación "

"

( x " h)

36

2

+

y2 b2

=1

C(0,0)

34

Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor – vertical) Ecuación "

Centro

"

V mayor (± a,0) V menor (0 , ±b) F (±c,0)

Vértices "

Focos "

( x " h)

b

2

2

+

( y " k )

a

2

2 =

1

C ( h k )

HIPÉRBOLA

,

V mayor ( h, k  ± a) V menor ( h ± b, k ) F ( h, k  ± c )

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3

Formulario de matemáticas III (preparatoria)

37

Datos importantes para obtener la ecuación de la hipérbola:

40

C ( h, k ) = coordenadas del centro.

Forma ordinaria en el origen (eje focal - vertical) Ecuación "

a = long. del semieje transverso.

y2 a

2

Asíntotas "

a y a

Focos "

41

Ecuación " a

=

2

+

b

+

"

A

x b x

=

0

2

Centro "

=

0

39

c =

2

Asíntotas "

a

a

a

2

=

+

b

b

Ecuación " Centro

"

a2

Asíntotas "

a x a

Focos "

Dx + Ey + F  = 0

Focos "

2

2

2

2

( x " h)

2

2

2

2

2

2

F  = b h " a k  " a b

F (0,± c )

a

b

"

( y " k ) b

2 =

2

1

"

y2 b2

=

1

+

"

y b y b

42

Ax

2

+

Cy

2

+

Dx + Ey + F  = 0

donde:

C(h,k)

+

a x"h

"

y " k 

=

b y " k  b

0

=

"a

C  = b

2

2

2

=

D = 2a h

0

2

E  = "2b k  2

2

2

2

2

F  = b k  " a h " a b

F ( h ± c, k )

Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - vertical) Ecuación " Centro "

=

Asíntotas " =

F (±c,0)

( y " k ) a

0

"

( x " h) b

2

2

=

1

C(h,k)

a y " k  a

Focos "

2

2

y " k 

0

2

Forma general de la hipérbola (caso vertical)

a

C(0,0)

x

+

E  = 2 a k 

a

2

Forma ordinaria en el origen (eje focal - horizontal) x2

2

D = "2b h

A

e = excentricidad ( e > 1)

e

Cy

2

x"h LR =

+

C  = " a

LR = Lado recto 2b

2

=

Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - horizontal)

c = distancia del centro al foco. c

Ax

1

C(0,0)

y

Eje Focal = Horizontal / Vertical

Ecuaciones importantes de la hipérbola

b

2

=

donde: Centro "

b = long. del semieje conjugado.

38

"

x2

Forma general de la hipérbola (caso horizontal)

43

+

"

x"h b x"h b

=

0

=

0

F ( h, k  ± c )

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4

2