Geometría Analítica - Luis Zegarra a.

GEOMETRIA ANALITICA

Luis Zegarra.

Sistema Unidimensional 153

Introducci´ on La geometr´ıa anal´ıtica es el estudio de la geometr´ıa mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un ´algebra. Dos problemas fundamentales: 1. Dada una ecuaci´on dependiente de las variables x e y, dibujar su gr´afica es decir representarla geom´etricamente como un conjunto de puntos en el plano. 2. Dado un conjunto de puntos en el plano, relacionados por ciertas condiciones geom´etricas, determinar una ecuaci´on cuya representaci´on gr´afica corresponda enteramente aquellos puntos. Este problema es conocido con el nombre de Lugar Geom´etrico.

Cap´ıtulo 6 Sistema Unidimensional 6.1.

Sistema coordenado lineal

Sobre una recta fijamos un punto O, al cual se acostumbra a llamar origen, un sentido (de los dos que tiene esta recta) lo designaremos como positivo y el otro como negativo y sobre el definimos un segmento unidad, asi diremos que dicha recta esta metrizada (o que en ella podemos medir distancias)

Definici´ on. Se llama abscisa, de un punto P de una recta metrizada a la medida del segmento OP , tomando OA como unidad. Dicha medida, la consideraremos positiva cuando el sentido es acorde con el positivo y negativa en caso contrario. Notaci´ on A la abscisa de un punto P lo denotaremos por ”p” o bien ”xp ”.

154

Sistema Unidimensional 155

Luis Zegarra.

Nota Admitiremos que se cumple la siguiente propiedad fundamental llamado postulado de Dedekind. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre los puntos de una recta metrizada y el conjunto de los n´ umeros reales.

6.2.

Relaci´ on Fundamental - Distancia

Definici´ on. Un segmento AB, se considera positivo cuando el sentido de A hacia B es acorde con el sentido positivo de la recta dirigida y negativo en caso contrario, as´ı: AB = −BA Definici´ on. La suma de varios segmentos orientados consecutivos (es decir, tales que el origen de cada uno coincide con el extremo del anterior, excepto para el primero, que no tiene anterior), es el segmento orientado que tiene por origen el del primero y por extremo el del u ´ltimo, as´ı: AB + BC + CD = AD Una consecuencia inmediata de esta definici´on es que: La suma de varios segmentos orientados y consecutivos, tales como el origen del primero se confunda con el extremo del u ´ltimo, es nula, AB + BC + CA = 0 pues un segmento que tenga su origen y extremos coincidentes AA, tiene longitud nula. ¨ A esta u ´ltima relaci´on se conoce como la relaci´on fundamental de MOBIOS - CHASLES. Una consecuencia directa de la relaic´on de CHASLES, es: Sea el punto A coincidente con el origen O(0) de las abscisas, se tiene entonces

Sistema Unidimensional 156

Luis Zegarra.

OB + BC + CO = 0 =⇒ BC = −CO − OB pero − CO = OC asi BC = OC − OB, ahora si representamos las abscisas de B y C sobre la recta orientada por b y c respect´ıvamente tenemos, se tiene que BC = c − b Relaci´on importante en la geometr´ıa anal´ıtica unidimensional, ya que expresa: La longitud de un segmento orientado, contenido en una recta metrizada es igual a la abscisa de su extremo (C) menos la abscisa de su origen (B).

Note que hemos dejado impl´ıcito en la notaci´on: ”B(b)” la abscisa del punto B es b.

6.3.

Distancia

Dados los puntos A(a) y B(b), entonces dAB = |AB| = |b − a| Notemos que dAB ≥ 0, dAB = 0 ⇐⇒ A = B dAB = dBA pues: dAB = |b − a| = | − (a − b)| = |a − b| = dBA .

Sistema Unidimensional 157

Luis Zegarra.

6.4.

Divisi´ on de un segmento en una raz´ on dada

Dados los puntos: A(a) y B(b) a + λb na + mb o bien p = n+m 1+λ

tales que

AP m = = λ entonces p = PB n

Demostraci´ on.

AP m p−a m = ⇐⇒ = ⇐⇒ np − na = mb − mp PB n b−p n ⇐⇒ (m + n)p = na + mb ⇐⇒ p =

na + mb n+m

a+b abscisa del punto medio del segmento AB 2 λ > 0 =⇒ puntos interiores del segmento AB

Note que si: λ = 1 =⇒ p =

λ < 0 =⇒ puntos exteriores al segmento AB.

6.5.

Ejercicios Resueltos

1. Determine la abscisa del punto P tal que Soluci´ on.

De la f´ormula p =

na + mb se tiene n+m

AB 1 = si A(−2) y B(7) BP 4

Sistema Unidimensional 158

Luis Zegarra.

7=

1 · Xp + 4(−2) =⇒ 35 = Xp − 8 1+4

de donde Xp = 43 3 2. Dados los puntos A(−5) y B( ), determine las abscisas de los puntos 2 X e Y , que dividen al segmento AB en tres partes iguales. Soluci´ on.

AX = 21 XB 3 2· 2 +1·(−5) = − 32 2+1

De inmediato de tiene Y =

2·(−5)+1· 23 2+1

= − 17 y de YAYB = 21 se 6

2 luego los puntos son X − 17 e Y − 6 3

=⇒ X =

3. Se dice que 4 puntos forman un juego arm´onico, si los puntos C y D dividen al segmento AB; interior y exteriormente en la misma raz´on CA DA 2 · AC · AD es decir =− entonces demuestre que AB = CB DB AC + AD Demostraci´ on. Sea A el origen, as´ı

CA DA o−c o−d =− ⇐⇒ =− ⇐⇒ cd − bc = bd − cd CB DB b−c b−d de donde b =

2(c − o)(d − o) 2AC AD 2cd ⇐⇒ AB = = . c+d (c − o) + (d − 0) AC + BD

Sistema Unidimensional 159

Luis Zegarra.

4. Dos focos luminosos de intensidades α y α′ estan situados en los puntos F (f ) y F ′ (f ′ ) respect´ıvamente. Determine el punto X(x) de la recta F F ′ , que recibe la misma iluminaci´on de ambos focos. (Observe que, la luz recibida por un punto es directamente proporcional a la intensidad del foco emisor e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto y el foco). Soluci´ on.

De acuerdo a la ley f´ısica, enunciada entre par´entesis tenemos α′ α α′ α = ⇐⇒ = F x2 F ′ x2 (x − f )2 (x − f ′ )2 ⇐⇒

(x − f )2 x − f′ (x − f ′ )2 x−f √ √ = ± = ⇐⇒ α α′ α α′

de donde resolviendo estas ecuaciones, una con el signo (+) y otra con el (-) se obtienen √ √ α′ f ± αf ′ x= √ √ α′ ± α 5. Si A, B, C, P y Q son puntos en un eje ordenado donde M es el punto AP AQ medio entre A y B y si =− , demu´estrese que PB AB a) M A2 = M P M Q 1 2 1 + = b) AP AQ AB Demostraci´ on.

Sistema Unidimensional 160

Luis Zegarra.

a) M punto medio de AB ⇐⇒ m = p(a + b) + q(a + b) = 2ab + 2pq

a+b AP AQ y de =− ⇐⇒ 2 PB AB

⇐⇒ 2pm + 2qm = 2ab + 2pq ⇐⇒ pm + qm = a(2m − a) + pq ⇐⇒ a2 − 2am + m2 = pq − pm − qm + m2 ⇐⇒ (a − m)2 = (p − m)(q − m) ⇐⇒ M A2 = M P M Q b) An´alogamente de p(a + b) + q(a + b) = 2ab + 2pq qb − qa + pb − pa − 2ab + 2a2 = 2pq − 2pa − 2aq + 2a2 (q − a) + (p − a)(b − a) = 2(p − a)(q − a) ⇐⇒ 2 1 1 2 (q − a) + (p − a) = ⇐⇒ + = (p − a)(q − a) b−a q−a p−a b−a ⇐⇒

1 1 2 + = AQ AP AB

6. Si A, B, C y D son 4 puntos colineales y P es un punto en la misma recta tal que P A P B = P C P D demuestre P A · BC · BD = P B · AC · AD Demostraci´ on.

Sistema Unidimensional 161

Luis Zegarra.

Sea P (o) el origen P A · P B = P C · P D ⇐⇒ (a − p)(b − p) = (c − p)(d − p) ⇐⇒ ab = cd

(1)

P A · BC · BD = (a − o)(c − b)(d − b) = a(cd − cb − bd + b2 ) por (1) se tiene: = a(ab − cb − bd + b2 ) = b(a2 − ac − ad − ab) = b(c − a)(d − a) = (b − o)(c − a)(d − a) = P B · AC · AD 7. Si A, B, C son tres puntos colineales y P es un punto sobre la misma AP m recta tal que = , demuestre que PB n n(AC)2 + m(BC)2 = n(AP )2 + m(BP )2 + (n + m)(CP )2 Demostraci´ on. Eligiendo P como origen, se tiene m na + mb AP = ⇐⇒ p = ⇐⇒ na + mb = 0 PB n n+m luego de n(AP )2 + m(BP )2 + (n + m)(CP )2 = na2 + mb2 + (n + m)c2 = na2 + mb2 + (n + m)c2 − 2c(na + mb) por (1) esto es v´alido = n(a2 − 2ac + c2 ) + m(b2 − 2bc + c2 ) = n(AC)2 + m(BC)2

(1)

Sistema Unidimensional 162

Luis Zegarra.

6.6.

Ejercicios Propuestos

1. Dados los puntos A(−3) y B(5), determinar las abscisas de los puntos que dividen a AB en 4 partes iguales. Respuesta. P1 (−1), P2 (1) y P3 (3) 2. La ecuaci´on x2 − 8x + 15 = 0 (1), tiene dos soluciones P1 (x1 ) y P2 (x2 ) sobre una recta. Hallar la abscisa del punto medio del segmento P1 P2 . Si se toma como nuevo origen a este punto cual ser´a la ecuaci´on transformada de (1), referida a este nuevo origen. Respuesta. 2

4, x′ − 1 = 0 3. Dados los puntos A(−2), B(4) y P (1) ¿cu´al es la raz´on

PA ? PB

Respuesta. P es el punto medio de AB. 4. Si los puntos A, B, C y D forman un juego arm´onico, demostrar que se cumple 2(ab + bc) − (a + b)(b + c) = 0 5. Dos m´oviles parten al mismo tiempo, de los puntos A(a) y B(b) movi´endose con movimiento uniforme sobre la recta AB y al encuentro el uno del otro. El primero con velocidad v y el segundo con velocidad v′. Encontrar la abscisa del punto en que se cruzan.

Sistema Unidimensional 163

Luis Zegarra.

Respuesta. v ′ a − vb v′ − v 6. Dados los segmentos AB y CD. M y N son sus puntos medios respect´ıvamente, demuestre 2M N = AC + BD = AD + BC 7. Demostrar que si M es el punto medio de AB y P es un punto cualquiera de la recta que contiene a A y a B, se tiene P A · P B = (P M )2 − (M A)2 8. Si P y Q dividen a AB arm´onicamente, determine la abscisa de Q en AP t´erminos de a, b y t dado que A(a) y B(b) y se verifica = t. AB Respuesta. q=

t(a + b) − a 2t − 1

9. Que condici´on deben cumplir los coeficientes de las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 ∧ a′ x2 + b′ x2 + c′ = 0 para que las ra´ıces de la primera y las de la segunda correspondan a puntos de un juego arm´onico. Respuesta. 2(ac′ − a′ c) = bb′ 10. Un movil P parte del origen en el sentido positivo de una recta orientada, con una velocidad de 30 Km/h. Una hora despu´es parte otro

Sistema Unidimensional 164

Luis Zegarra.

m´ovil del punto Q(500) en el sentido opuesto de la recta con una velocidad de 40 Km/h. Determinar la abscisa del punto del encuentro y el instante de dicho encuentro a partir del momento de partida del primer movil . Unidades de la recta en Km. Respuesta. 371.42 Km

7.71 hr.

11. Un movil parte del punto A(−5), en el sentido positivo y con una velocidad de 50 Km/h. Otro movil parte de B(5) en el mismo sentido y con una velocidad de 48 Km/h. Hallar la abscisa del punto de encuentro y el instante del encuentro a partir del momento de partida de los dos m´oviles. Unidades de la recta en Km. Respuesta. 245Km;

5 hr.

12. Si A y B son puntos fijos sobre una recta y K una constante dada, demostrar que existen dos, uno o ning´ un puntos P que satisfagan la relaci´on (P A)2 + (P B)2 = K(AB)2 seg´ un si K es mayor, igual o menor que

1 . 2

13. Dados los puntos A(a) y B(b) sobre una recta, encontrar las abscisas de P y Q tales que 1 1 P A = AB = BQ 2 3 Respuesta. p = 3a − 3b; q = 4b − 3a

Cap´ıtulo 7 Sistema Bidimensional 7.1.

Sistema Cartesiano

La correspondencia entre pares ordenados de n´ umeros reales y puntos en el plano, idea inicial que se debe a Renato Descartes (1596 - 1650), es lo que planteamos en forma breve a continuaci´on. Definici´ on Sea un punto P (x, y) en el plano, (x, y) se llama par ordenado en que ”x” es el primer elemento del par e ”y” el segundo, por tanto; (x, y) 6= (y, x). Sean dos rectas perpendiculares en el plano, su punto de intersecci´on se acostumbra a llamar origen O, dichas rectas las llamaremos eje X y eje Y . Sobre el eje X, consid´erese n´ umeros reales y diremos que hay correspondencia biun´ıvoca con los puntos de dicho eje, an´alogamente sobre el eje Y . Sea el O(0, 0) el origen O, en el eje X a la derecha de O colocamos los n´ umeros reales positivos y su izquierda los negativos, con respecto al eje Y los reales positivos por encima del origen O(0, 0) y los reales negativos por debajo.

165

Sistema Bidimensional 166

Luis Zegarra.

La intersecci´on del eje X y eje Y definen 4 cuadrantes que se acostumbran a denotar como: I, II, III y IV. (ver fig).

Utilizando este esquema podemos asociar un par ordenado de n´ umeros reales (x, y) a cada punto P del plano y viceversa (correspondencia biun´ıvoca entre los puntos del plano y los pares ordenados (x, y)). Por tanto para todo P (x, y) del plano cartesiano ”x” se acostumbra a llamar abscisa del punto P ”y” se acostumbra a llamar ordenada del punto P (x, y) se acostumbran a llamar coordenadas de P Del punto P (x, y) se trazan perpendiculares a ambos ejes, que definen: la abscisa OA y de P igual a x y la ordenada OB de P igual a y. (ver fig.)

Sistema Bidimensional 167

Luis Zegarra.

Note que la abscisa y ordenada del origen son 0.

7.2.

Distancia entre dos puntos

Dados los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) la distancia entre P1 y P2 est´a dada por d=

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Demostraci´ on. Notemos que las coordenadas del punto Q, son Q(x2 , y1 ). Por Pit´agoras en el △ P1 Q P2 , se tiene que: d2 = |x2 − x1 |2 + |y2 − y1 |2 mp d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Sistema Bidimensional 168

Luis Zegarra.

7.3.

Divisi´ on de un Segmento en una raz´ on dada

Dados los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) que definen el segmento P1 P2 y sea dada la raz´on P1 P m = = λ, P P2 n

λ ∈ R,

λ 6= −1

entonces P (x, y) x1 + λx2 nx1 + mx2 = x= n+m 1+λ y= Demostraci´ on.

ny1 + my2 y1 + λy2 = n+m 1+λ

    

(2)

   

De la geometr´ıa elemental las rectas P1 A, P R y P2 B intersecan segmentos proporcionales sobre las dos transversales P1 P2 y AB luego

Sistema Bidimensional 169

Luis Zegarra.

AR m x − x1 m P1 P = = ⇐⇒ = P P2 RB n x2 − x n ⇐⇒ n(x − x1 ) = m(x2 − x) ⇐⇒ (n + m)x = nx1 + mx2 ⇐⇒ x = x=

nx1 + mx2 de aqu´ı tambi´en se tiene n+m

x x1 + m x1 + λx2 n 2 = m 1+ n 1+λ

an´alogamente para el caso de las ordenadas, se tiene P1 P CQ m ny1 + my2 y1 + λy2 = = ⇐⇒ y = = P P2 QD n n+m 1+λ Note que si el punto de divisi´on es interno a P1 P2 entonces λ > 0, si en cambio el punto es externo λ < 0

7.4.

Coordenadas del Punto medio de un trazo

Notemos que si m = n o bien λ = 1, P (x, y) representa a las coordenadas del punto medio del trazo P1 P2 , que es:   x1 + x2 y1 + y2 , P 2 2 Ejemplo. Sea A(−2, −3) y B(7, 1), determinamos P y Q tales que 1.

AP 2 = PB 3

2.

AQ 1 =− QB 3

Sistema Bidimensional 170

Luis Zegarra.

Soluci´ on. 1.

3(−2) + 2 · 7 8 nx1 + mx2 =⇒ x = = e n+m 3+2 5   3(−3) + 2 · 1 8 −7 −7 = por tanto: P , y= 3+2 5 5 5 Aplicando x =

2.

1 QA 1 AQ = − ⇐⇒ = (ver figura) QB 3 AB 3

De la figura, se tiene: −2 =

1 · 7 + 3x =⇒ x = −5 1+3

−3 =

13 1 · 1 + 3y =⇒ y = − 1+3 3

Sistema Bidimensional 171

Luis Zegarra.

7.5.

Pendiente

Dado un segmento P1 P2 mediante los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) la pendiente del segmento P1 P2 esta dada por y2 − y1 , x1 6= x2 x2 − x1 si x2 = x1 se dice que el segmento no tiene pendiente. m = tg α =

(3)

N´otese que la pendiente mide el grado de inclinaci´on que tiene el segmento con relaci´on a la horizontal paralela al eje X. Si α = 0◦ o α = 180◦ note que la pendiente del segmento es cero

Del concepto de segmento o trazo, podemos pasar en forma simple al concepto de una recta en el plano, basta con dejar libres en forma indefinida los extremos del segmento, notemos que el concepto de pendiente no var´ıa, el ´angulo α ahora se mide con respecto al eje X. (ver fig.)

Sistema Bidimensional 172

Luis Zegarra.

Es decir la pendiente com´ un a todos los puntos que forman la recta, esta dada por m = tg α donde α es el ´angulo medido desde el eje X, hasta su encuentro con dicha recta, el ´angulo α (positivo) puede ser medido en contra de los punteros de un reloj o bien a favor (negativo). Por tanto para determinar la pendiente de una recta, basta tomar dos puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) con x1 6= x2 que pertenezcan a la recta y aplicar la f´ormula de pendiente de un segmento. m = tg α =

y2 − y1 , x2 6= x1 x2 − x1

En efecto: tg(180◦ − α) = m

−tg α =

y2 − y1 x2 − x1

y2 − y1 x1 − x2

m y2 − y1 , Notemos que x1 − x2 > 0 ∧ y2 − y1 > 0 tg α = x2 − x1 por tanto, al igual que para los segmentos, se tienen:

Sistema Bidimensional 173

Luis Zegarra.

7.6.

Paralelismo y Perpendicularidad

Sean dos segmentos dados P1 P2 y P3 P4 cuyas pendientes son conocidas m1 y m2 . Consideremos que los segmentos se cortan o bien sus prolongaciones asi sean α y β los ´angulos que forman dichos segmentos al cortarse. Note que una relaci´on entre estos ´angulos es que: α + β = 180◦

(4)

y como se conocen m1 y m2 esto implica que tg α1 = m1 y tg α2 = m2 , de la figura α = α2 − α1 ⇐⇒ tg α = tg(α2 − α1 ) tg α =

tg α2 − tg α1 m2 − m 1 ⇐⇒ tg α = 1 + tgα2 tg α1 1 + m2 m1

(5)

de aqu´ı si los segmentos son paralelos o coincidentes α = 0◦ o α = 180◦ en ambos casos

Sistema Bidimensional 174

Luis Zegarra.

m2 − m1 = 0 ⇐⇒ m2 = m1 (condici´on de paralelismo)

si los segmentos son perpendiculares α = 90◦ o α = 270◦ en ambos casos tg α no existe y por tanto de (5) 1 + m2 m1 = 0 ⇐⇒ m2 m1 = −1 (condici´on de perpendicularidad).

7.7.

Lugares Geom´ etricos - Ecuaci´ on

Definici´ on El lugar geom´etrico de un punto se puede definir como aquel conjunto de puntos del plano cartesiano que satisfacen ciertas condiciones geom´etricas dadas para dicho punto. El lugar geom´etrico de un punto cosntituye por lo general una curva en el plano cartesiano, asi entonces tambi´en podemos agregar que una curva es el lugar geom´etrico de todos los puntos que satisfacen una o m´as condiciones geom´etricas dadas. Dicha curva en general se representa en el plano cartesiano por medio de una ecuaci´on que involucra a las variables x e y, es decir por F (x, y) = 0

Luis Zegarra.

Sistema Bidimensional 175

As´ı, los valores reales x e y son todas las coordenadas de los puntos y solamente de aquellos puntos, que cumplen la condici´on o condiciones geom´etricas dadas y que definen el lugar geom´etrico. Ejemplo. 1. Sea P un punto cualquiera del plano cartesiano, tal que P est´a a una distancia constante de un punto fijo C, del mismo plano. El lugar geom´etrico definido es una circunferencia de centro C. A la distancia constante se suele llamar radio. 2. Sea P un punto del plano cartesiano que equidista (est´a a igual distancia) de dos puntos fijos A y B del mismo plano. El lugar geom´etrico es la mediatriz ( o simetral) del segmento AB. 3. Sea P un punto fijo de una circunferencia que rueda a lo largo de una recta. Este lugar se llama cicloide. Note que el punto aunque esta fijo en la circunferencia es movil con respecto a la recta. Observaci´ on. El problema que se nos plantea cuando nos definen un lugar geom´etrico, es el de encontrar una ecuaci´on que lo represente. A esta ecuaci´on como se dijo se llama ecuaci´on del lugar geom´etrico. Una vez encontrada dicha ecuaci´on estudiaremos sus propiedades algebraicamente y deduciremos de ellas las propiedades del lugar.

7.8.

Ejercicios Resueltos

1. Determine un punto P (x, y) tal que equidiste de tres puntos fijos dados por: A(−3, 2), B(1, 3) y C(0, −3)

Sistema Bidimensional 176

Luis Zegarra.

Soluci´ on. Notemos que P (x, y) , es el centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo ABC. Se debe tener: P A = P C = P 13 PA = PC = PB =

p

(1)

(x + 3)2 + (y − 2)2

p

x2 + (y + 3)2

p

(x − 1)2 + (y − 3)2

as´ı de (1) se obtienen  3x − 5y = −2 

2x + 12y = 1 cuyas soluciones son: x = − 19 ey= 46

7 46



2. Dos v´ertices consecutivos de un cuadrado son los puntos O(0, 0) y A(−2, −3). Determine las coordenadas de los otros v´ertices. Soluci´ on. Notemos que hay √ dos soluciones posibles, y tambi´en que el cuadrado es de lado l = 13. Sea el v´ertice B(x, y), se debe tener: AB =

√

OB =

√

AB = OB =

p

 13  26



(x + 2)2 + (y + 3)2

p

x2 + y 2

Sistema Bidimensional 177

Luis Zegarra.

de donde resulta el sistema: x2 + y 2 = 26 2x + 3y = −13 cuyas soluciones son: B(1, −5) y E(−5, −1) an´alogamente el v´ertice C(x, y), debe cumplir OC = AC =

√

√

 13 ⇐⇒ x2 + y 2 = 13 

26 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y + 3)2 = 26

de donde resolviendo se obtienen C(3, −2) y D(−3, 2)



3. Determine la ecuaci´on del lugar geom´etrico de un punto P (x, y) cuya distancia al punto A(2, 0) es el doble de su distancia al punto B(−3, −1). Soluci´ on. Condici´on del L.G. de P (x, y) es PA = 2PB m 2 (P A) = 4(P B)2 (x − 2)2 + y 2 = 4[(x + 3)2 + (y + 1)2 ] de donde simplificando resulta: 3x2 + 3y 2 + 28x + 8y + 36 = 0 4. Probar que el punto cuyas coordenadas son x = x1 + t(x2 − x1 ) e y = y1 + t(y2 − y1 ) divide el segmento que une P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) t en la raz´on , x1 6= x2 , y1 6= y2 ∧ t 6= 1. 1−t

Sistema Bidimensional 178

Luis Zegarra.

Soluci´ on. Sabemos que x=

x1 + λ x 2 1+λ

y=

y1 + λ y 2 1+λ

de aqu´ı x1 + t(x2 − x1 ) =

x1 + λ x 2 ⇐⇒ 1+λ

λ [(x1 − x2 ) + t(x2 − x1 )] = −t(x2 − x1 ) como x1 6= x2 λ(−1 + t) = −t =⇒ λ =

t , t 6= 1 1−t

resulta lo mismo si se toma y. 5. Dado elsegmento   AB, donde A(0, 2) y B(3, 6). Determine  la raz´on en 3 14 divide a AB. Como tambi´en P2 − , 0 . que P1 2, 3 2 Soluci´ on. 1 AP1 = P1 B t m x=

t·0+1·3 =2 t+1 m t = 1/2

Sistema Bidimensional 179

Luis Zegarra.

y tambi´en y=

t·2+1·6 14 = t+1 3 m t = 1/2

asi

2 1 AP1 = 1 = , an´alogamente para P2 P1 B 1 2

1·3+t· P2 A 1 = ⇐⇒ 0 = AB t 1+t y2=

−3 2

=⇒ t = 2

1·6+t·0 ⇐⇒ 2 + 2t = 6 =⇒ t = 2 1+t

luego 1 P2 B − P2 A P2 B P2 A = ⇐⇒ = 2 ⇐⇒ =3 AB 2 P2 A P2 A ⇐⇒

1 AP2 1 P2 A = ⇐⇒ =− P2 B 3 P2 B 3

6. Determine la ecuaci´on del L.G. del v´ertice C(x, y) de un tri´angulo ABC donde A(0, 0), B(a, 3a), a 6= 0 y tal que el producto de las pendientes de los lados AC y BC sea el doble de la pendiente del lado AB.

Sistema Bidimensional 180

Luis Zegarra.

Soluci´ on. Condici´on del L.G. del v´ertice C(x, y) mAC · mBC = 2 mAB 3a y y − 3a · = 2 , a 6= 0 x x−a a y(y − 3a) = 6x(x − a) 6x2 − y 2 − 6ax + 3ay = 0 7. Un segmento de longitud l, desliza apoyado siempre sobre los ejes coordenados, determine la ecuaci´on del L.G. de un punto P (x, y) que 2 divide al segmento dado en la raz´on medido desde su extremo sobre 1 el eje X. ¿En que se transforma dicha ecuaci´on si el punto P es el punto medio del segmento? Soluci´ on. Sea A(λ, 0) las coordenadas del extremo inferior del segmento, λ 6= 0 √ par´ametro variable se debe tener que B(0, l2 − λ2 ) y que: 1·λ+2·0 x= =⇒ λ = 3x 3 √ 1 · 0 + 2 l2 − λ2 ⇐⇒ y= 3 √ 3y = 2 l2 − λ2 pero λ = 3x, entonces √ 1 3y = 2 l2 − 9x2 ⇐⇒ x2 + y 2 = 4 Si es el caso de que P es el punto medio se obtiene  2 l x +y = 2 2

2

 2 l 3

Sistema Bidimensional 181

Luis Zegarra.

8. Determine la ecuacio´on del L.G. del v´ertice C(x, y) de un tri´angulo ABC si A(0, 0) y B(0, a) tal que el ´angulo CAB es doble que el ´angulo CBA (a > 0). Soluci´ on. Condici´on del L.G. de C(x, y) ∢ CAB = 2 ∢ CBA por otra parte x x ∧ tg 2α = a−y y 2 tg α ⇐⇒ pero tg 2α = 1 − tg 2 α

tg α =

x 2 a−y x = ⇐⇒ x2 − 3y 2 + 4ay − a2 = 0 x2 y 1 − (a−y)2

9. Determine las coordenadas del ortocentro del tri´angulo ABC si A(−1, 1), B(4, 3) y C(3, −2). Soluci´ on. Recuerde que el ortocentro es el punto de intersecci´on de las alturas del tri´angulo. Sean las coordenadas del ortocentro del △, H(x, y) mHC · mAB = −1 y+2 2 · = −1, x−3 5 5x + 2y − 11 = 0 an´alogamente mHB · mAC = −1 ⇐⇒

(1) y−3 3 · = −1 x − 4 −4

Sistema Bidimensional 182

Luis Zegarra.

⇐⇒ 4x − 3y − 7 = 0 (2), resolviendo (1) y (2) se obtiene H



47 8 , 23 23



10. Demuestre anal´ıticamente que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si. Soluci´ on. Sea el rombo de v´ertices A(0, 0), B(a, 0), C(c, h) y D(a + c, h). Por demostrar mBC mAD = −1 mBC =

h h , mAD = c−a a+c

mBC mAD

h2 = 2 c − a2

pero c2 − a2 = −h2 luego mBC mAD =

h2 = −1. −h2

Sistema Bidimensional 183

Luis Zegarra.

11. Dado el △ ABC, A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) y C(x3 , y3 ) determine el centro de gravedad del △ y demuestre que el centro de gravedad de △ P QR es el mismo que el del △ ABC, siendo P, Q y R los puntos en que dividen a los lados AB, BC y CA del tri´angulo ABC en la misma raz´on. Soluci´ on. El centro de gravedad del △ ABC es el punto de intersecci´on de sus transversales de gravedad. 2 AG = , en que Sea G(¯ x, y¯), sabemos de la geometr´ıa elemental que GM  1  x2 + x 3 y 2 + y 3 M es el punto medio del lado BC, M , entonces , 2 2 3 2 x2 +x + 1x1 x1 + x2 + x3 y 1 + y 2 + y3 2 x¯ = = , an´alogamente y¯ = se 2+1 3 3 obtiene el mismo resultado tomando las otras transversales. λ AP = ⇐⇒ Coordenadas de P, Q y R si PB 1 λ x 2 + x1 λ y 2 + y1 xP = , yP = λ+1 λ+1 xQ =

λ x 3 + x2 , λ+1

yQ =

λ y 3 + y2 λ+1

xR =

λ x 1 + x3 , λ+1

yR =

λ y 1 + y3 λ+1

Si G′ es el centro de gravedad de △ P QR, se tiene x G′ =

x1 + x2 + x3 xP + xQ + xR = = xG 3 3

an´alogamente para yG′ = yG . 12. Probar anal´ıticamente que en cualquier △ABC se tiene AB 2 +AC 2 = 2(AD2 + DC 2 ) donde D es el punto medio de BC.

Sistema Bidimensional 184

Luis Zegarra.

Soluci´ on. Sea el △ ABC que se muestra c  en la figura de inmediato D , 0 2 2 2 2 AB = a + b AC 2 = (a − c)2 + b2 = a2 + c2 + b2 − 2ac AB 2 + AC 2 = 2a2 + 2b2 + c2 − 2ac

(1)

por otra parte  c2 c 2 + b2 = a2 − ac + + b2 AD2 = a − 2 4 DC 2 =

2

2

2(AD + DC ) = 2

c2 4



c2 a − ac + b + 2 2

2



= 2a2 + 2b2 + c2 − 2ac (2)

como (1) = (2) se tiene lo pedido. 13. Determinar la ecuaci´on del L.G. del v´ertice C de un tri´angulo de base AB fija, en cual se verifica que AD · BC = DB · AC siendo D el pie de la altura bajada desde el v´ertice C. Soluci´ on. Sea el △ ABC que se muestra en la figura

Sistema Bidimensional 185

Luis Zegarra.

AD = |x| BC =

p

(x − b)2 + y 2

DB = |b − x| AC =

p

x2 + y 2

p p as´ı |x| (b − x)2 + y 2 = |b − x| x2 + y 2 de donde simplificando se b obtiene x = 2

7.9.

Ejercicios Propuestos

1. Sean los puntos P1 (2, 4) y P2 (8, −4) los extremos de un segmento. Hallar el punto P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales 2 P2 P =− que P P1 1 Respuesta. (−4, 12) 2. Si M, N y P son los puntos medios de los lados de un tri´angulo ABC, determine las coordenadas de los v´ertices del tri´angulo, donde M (−2, 1), N (3, 2) y P (0, −2). Respuesta. A(−5, −3), B(5, −1) y C(1, 5) 3. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3, −2). Si la abscisa del extremo es 6. Hallar su ordenada. Respuesta.

Luis Zegarra.

Sistema Bidimensional 186

2 y -6 4. Dos extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(−1, −4). P1 P en que el punto P (1, −2) divide al segmento. Hallar la raz´on P P2 Respuesta. 3 5. Hallar los puntos de trisecci´on del segmento cuyos extremos son los puntos A(−6, 3) y B(12, −6). Respuesta. (0, 0) y (6, −3) 6. Uno de los extremos de un segmento es el punto (2,3) y su punto medio es (6,-8). Determine las coordenadas del otro extremo. Respuesta. (10, -19) 7. Dos v´ertices de un tri´angulo equil´atero son A(2, 0) y B(5, 4). Hallar las coordenadas del tercer v´ertice. (Dos soluciones) Respuesta. √ ! √ 7 + 5 2 16 − 15 2 y , 2 8

√ √ ! 7 − 5 2 16 + 15 2 , 2 8

8. Demostrar que los puntos A(0, 0), B(2, 3), C(4, 3), D(1, − 23 ) son los v´ertices de un trapecio. Calcular su per´ımetro y su ´area.

Luis Zegarra.

Sistema Bidimensional 187

Respuesta. ≃ 12.866; 7.5 9. Uno de los extremos de un segmento de longitud 10 es el punto A(2, 0). Si la ordenada del otro extremo es 6. Hallar su abscisa. (Dos soluciones) Respuesta. -6 y 10 10. En un tri´angulo rect´angulo cualquiera demuestre que el punto medio de su hipotenusa equidista de los tres v´ertices. 11. Determine la ecuaci´on del lugar geom´etrico de un punto P (x, y) que equidista del punto fijo (0,0) una distancia de r unidades (r > 0). Respuesta. x2 + y 2 = r 2 12. Demuestre que el tri´angulo inscrito en una semicircunferencia de radio r, es rect´angulo. (ocupe la ecuaci´on del ejercicio 11). 13. Determine la ecuaci´on del L.G. de un punto P (x, y) que equidista de los puntos fijos A(2, −1) y B(6, 5). Demuestre tambi´en que el punto medio de AB satisface a esta ecuaci´on. Respuesta. 2x + 3y − 14 = 0

Luis Zegarra.

Sistema Bidimensional 188

14. Determine la ecuaci´on del L.G. de un punto P (x, y) cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos P1 (x1 , y1 ) yP2 (x2 , y2 ), es cero. Respuesta. 2(x2 − x1 )x + 2(y2 − y1 )y = x22 − x21 + y22 − y12 15. Determine la ecuaci´on del L.G. del v´ertice C(x, y) de un △ ABC, rect´angulo en C, donde A(2, −1) y B(4, 5). Respuesta. x2 + y 2 − 6x − 4y + 3 = 0 16. Demostrar que los puntos A(−1, 6), B(5, −4) y C(−3, −2) son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo. Calcule su ´area. Respuesta. 34 17. Calcular los ´angulos interiores del tri´angulo cuyas v´ertices son los puntos A(−2, 1), B(2, 5) y C(−3, 4) Respuesta. 33.7◦ , 63.43◦ y 82.87◦ 18. Un segmento de pendiente 4 pasa por el punto (−1, 5) y por los puntos P1 (x1 , 3) y P2 (6, y2 ). Determine x1 e y2 . Respuesta.

Luis Zegarra.

x1 =

Sistema Bidimensional 189

−3 e y2 = 33 2

19. Tres v´ertices de un paralelogramo son (3, 3), (−3, 6) y (−6, 5). Determine las coordenadas del cuarto v´ertice. Respuesta. (0,2) 20. Hallar la ecuaci´on del L.G. de un punto P (x, y) que debe estar sobre el segmento determinado por los puntos P1 (−2, 8) y P2 (4, 1). Respuesta. 7x + 6y − 34 = 0 21. Dos segmentos se cortan en el punto (3, 4) formando un ´angulo de 45◦ o bien de 135◦ , si uno de ellos pasa por el punto (−1, 6) determine la ordenada de un punto A de abscisa -5 y que pertenece al otro segmento. Respuesta. 4 3 22. Dos v´ertices extremos de lado diferente de un tri´angulo is´osceles son los puntos A(1, 1) y B(5, 3). Determine las coordenadas del tercer v´ertice C si este satisface la ecuaci´on x − 6 = 0. Respuesta. (6,-4)

Luis Zegarra.

Sistema Bidimensional 190

23. Demuestre anal´ıticamente que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las bases e igual a su semisuma. 24. Demuestre que el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la mitad de la diferencia de las longitudes de sus lados no paralelos. 25. Demuestre que los segmentos que unen los puntos medios de cada dos lados opuestos de un cuadril´atero cualquiera se dimidian entre si. 26. Determinar la ecuaci´on del L.G. del v´ertice C(x, y) de un tri´angulo de base fija AB = c, de modo que la transversal de gravedad que pasa por el v´ertice B, sea igual a la mitad del lado AC. Respuesta. Considerando A(0, 0) y B(c, 0), c > 0 la ecuaci´on del L.G. pedido es: x = c. 27. Dados los puntos A(2, 5) y B(3, 1). Determine: a) Las coordenadas de un punto C, que equidiste de A y de B tal que satisfaga a la ecuaci´on x − 2y + 3 = 0.

b) Las coordenadas de un punto D tal que el ´area del tri´angulo 15 ABD sea igual a . 2 c) Las coordenadas de un punto E tal que la perpendicular de AB 5 por E pase por el origen y el ´area del tri´angulo ABE sea . 2 Respuesta.     7 13 32 8 b) D pertenece a: 4x + y = 28 c) . a) , , 2 4 17 17

Luis Zegarra.

Sistema Bidimensional 191

28. Demostrar que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualquiera de un tri´angulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. 29. Demostrar que los dos segmentos que se obtienen uniendo dos v´ertices opuestos de un paralelogramo, con los puntos medios de sus lados opuestos son iguales y paralelos. 30. Demostrar que la suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales. 31. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(−1, 2) es igual al doble de su distancia al eje X. Hallar la ecuaci´on de su lugar geom´etrico. Respuesta. x2 − 3y 2 + 2x − 4y + 5 = 0 32. Demostrar que los puntos medios de dos lados opuestos de cualquier cuadrilatero y los puntos medios de sus diagonales son los v´ertices de un paralelogramo. 33. Encontrar la ecuaci´on del L.G. de un punto P (x, y) cuya distancia al punto (−2, 1) es igual a su distancia al origen de coordenadas y demuestre que dicho L.G. es una recta perpendicular al segmento que une (−2, 1) con el origen. Respuesta. 4x − 2y + 5 = 0

Sistema Bidimensional 192

Luis Zegarra.

34. Determine la ecuaci´on del L.G. de un punto P (x, y) para el cual la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos fijos A(a, 0), B(a, a) y C(0, a) es igual al triple del cuadrado de su distancia al origen. Respuesta. x+y =a 35. Un segmento de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de sus extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro sobre el eje Y . Hallar la ecuaci´on del L.G. del punto medio del segmento. Respuesta. x2 + y 2 = 4 36. Demostrar que el punto de intersecci´on de los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un cuadril´atero coincide con el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales. 37. Hallar la ecuaci´on del L.G. de un punto para el cual la diferencia de los cuadrados de sus distancias a A y B v´ertices de un tri´angulo is´osceles ABC, de lados AC = BC = a, es igual a, a2 . Respuesta. x−y =

a 2

38. Un tri´angulo equil´atero tiene sus lados de longitud 2. Se toma el lado AB sobre el eje X tal que la simetral del lado AB coincide con el eje Y , sobre los lados AC y BC se construyen cuadrados hacia el exterior. Determinar las coordenadas de los v´ertices del tri´angulo y del cuadrado. Respuesta.

Luis Zegarra.

Sistema Bidimensional 193

√ √ √ √ √ (−1, 0), (1, 0), (0, 3), (± 2, 2 2), (±2 2, 2) 39. Dados los puntos A(0, 3) yB(3, 2). Determine sobre el eje X un punto C tal que el ´angulo agudo que forme AC con el eje X sea igual al ´angulo formado con dicho eje por el trazo CB. Respuesta.   9 ,0 5

Cap´ıtulo 8

La Recta 8.1.

Definici´ on

Se llama recta al lugar geom´etrico de los puntos P (x, y) de un plano, tales que para todo par de puntos P1 y P2 de ella, las pendientes de P P1 , P P2 y P1 P2 son iguales. Ecuaci´ on La igualdad de pendientes implica y − y1 y − y2 y2 − y1 = = = m, x1 6= x2 x − x1 x − x2 x2 − x1

8.2.

(1)

Ecuaci´ on punto pendiente

De (1) se obtiene: y − y1 = m(x − x1 ),

(2)

conocida como la ecuaci´on de una recta que pasa por un punto dado P1 (x1 , y1 ) y pendiente m conocida.

8.3.

Ecuaci´ on que pasa por dos puntos

En tanto (1) o bien de aqu´ı se obtiene: y − y1 =

y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1 205

(3)

Secciones 6-7-8-9 206

Luis Zegarra.

que representan a la ecuaci´on de una recta que pasa por dos puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dados. Note que si x1 = x2 la recta es paralela o coincidente con el eje Y , en este caso con ninguna de las tres ecuaciones anteriores podemos representar a dicha recta, esto quedar´a para m´as adelante.

8.4.

Diversas formas de la ecuaci´ on de una recta

Si en (3) x1 = y1 = 0 la ecuaci´on se convierte en y = mx

(4)

esta es la forma de las rectas que pasan por el origen exceptuando la ecuaci´on del eje Y . Ahora, tambi´en de (3), obtenemos y = mx1 + y1 − mx2 pero y1 − mx2 es un par´ametro real que vamos a denotar por n, as´ı y = mx + n

(5)

se llama ecuaci´ on principal de una recta, con la cual podemos representar todos las rectas en el plano cartesiano a excepci´on de las paralelas con el eje Y y el eje Y mismo. Esta ecuaci´on nos indica que el coeficiente de la variable x, es igual a la pendiente de la recta, en tanto note que ”n” es el corte que tiene dicha recta con el eje Y . Sean a y b los cortes de una recta con los ejes X e Y respect´ıvamente con a y b no nulos la recta pasa por A(a, 0) y B(0, b) entonces por (3) b x y y − 0 = − (x − a) ⇐⇒ + = 1 a a b ecuaci´on conocida como la ecuaci´on de segmentos de una recta. Forma General de una recta Se llama forma general de la ecuaci´on de una recta a:

(6)

Secciones 6-7-8-9 207

Luis Zegarra.

Ax + By + C = 0

(7)

en que A, B y C son par´ametros reales A yB no nulos a la vez. Se llama forma principal de una recta pues con ella podemos representar a todas las rectas en el plano cartesiano, as´ı: C A C A x− ;m = − y n = − B B B B familia de rectas que cortan en dos puntos, a los ejes coordenados.

I) A, B y C 6= 0, de (7) se obtiene y = −

A A x, ; m = − B B familia de rectas que pasan por el origen.

II) A y B 6= 0 ∧ C = 0 de (7) =⇒ y = −

III) B y C 6= 0 ∧ A = 0 de (7) =⇒ By + C = 0 ⇐⇒ y = −

C B

C B familia de rectas paralelas al eje X.

m = 0, n = −

IV) B 6= 0 ∧ C = A = 0, de (7) =⇒ By = 0 ⇐⇒ y = 0 m=0yn=0

y = 0 es la ecuaci´on del eje X. V) A y C 6= 0 ∧ B = 0 de (7) =⇒ Ax + C = 0 ⇐⇒ x = − C A familia de rectas paralelas al eje Y .

m indefinida, p = −

VI) A 6= 0 ∧ B = C = 0 de (7) =⇒ Ax = 0 ⇐⇒ x = 0 m indefinida p = 0

x = 0 es la ecuaci´on del eje Y .

C =p A

Secciones 6-7-8-9 208

Luis Zegarra.

8.5.

Ecuaci´ on Normal

La forma normal de la ecuaci´on de una recta es x cosα + y sen α = d

(8)

donde d > 0, num´ericamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta y α es el ´angulo positivo (0◦ < α < 360◦ ) medido a partir de la parte positiva del eje X, a la normal. (ver figura) Recordemos que si a y b son los cortes que tiene dicha recta con los ejes X e Y , su ecuaci´on esta dada por d d x y + = 1, a = ∧ b= a b cos α sen α de aqu´ı se obtiene: x cos α + y sen α = d. Si la recta esta dada en su forma general por Ax + By + C = 0 y su forma normal x cos α + y sen α − d = 0 como ambas representan la misma recta se debe tener: cos α = kA; sen α = kB

y

− d = kC

de aqu´ı 1

A B C √ x+ √ y+ √ = 0 (8) ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 ± A2 + B 2 √ d > 0 =⇒ k ∧ C deben ser de signos diferentes, por tanto C y ± A2 + b2 deben ser de signos diferentes. √ Si C = 0 y B 6= 0 =⇒ B y ± A2 + B 2 deben tener el mismo signo k=

√

, as´ı

√ Si C = 0 y B = 0 =⇒ A y ± A2 + B 2 tienen el mismo signo.

Secciones 6-7-8-9 209

Luis Zegarra.

8.6.

Angulo entre dos rectas. Paralelismo y Perpendicularidad

An´alogamente, el p´arrafo 7.6, se tiene que si las rectas estan dadas por y = m1 +n1 e y = m2 + n 2 m1 = tg α1

y m2 = tg α2 ,

α + β = 180◦

se obtiene

tg α2 − tg α1 m2 − m1 = (9) 1 + tg α2 tg α1 1 + m 2 m1 Notemos que α ∨ β son agudos (no ambos), si son iguales entonces las rectas son perpendiculares entre si. tg α = tg(α2 − α1 ) =

Recordemos que la condici´on de paralelismo exije m1 = m2 y la de perpendicularidad, m1 m2 = −1. Si las rectas estan dadas en su forma general l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 ∧ l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0

La f´ormula (8) se transforma en

A1 B2 − A2 B1 A1 A2 + B1 B2 ¯ ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ ¯ ¯=0 paralelismo ⇐⇒ A1 B2 − A2 B1 = 0 ⇐⇒ ¯¯ ¯ ¯ A2 B2 ¯ tg α =

(10)

Perpendicularidad ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 = 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ B1 C1 ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ B1 C1 A1 ¯=0 ¯=0 ∧¯ = = ⇐⇒ ¯¯ Coincidencia ⇐⇒ ¯ ¯ ¯ A2 B2 C2 ¯ B2 C2 ¯ ¯ A2 B2 ¯ ¯ ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ ¯ ¯= Intersecci´on ⇐⇒ A1 B2 − A2 B1 = 6 0 ⇐⇒ ¯¯ ¯6 0 ¯ A2 B2 ¯

Secciones 6-7-8-9 210

Luis Zegarra.

8.7.

Distancia de un punto a una recta

Dado P1 (x1 , y1 ) y una recta en su forma general Ax + By + C = 0, la distancia desde P1 a la recta esta dada por d=

|Ax1 + By1 + C1 | √ A2 + B 2

(11)

Demostraci´ on. Primero calculamos la distancia OQ, desde el origen a la recta para lo cual cos α =

OQ −C A

sen α =

OQ C −B

eliminando α, se obtiene OQ = √

|C| A2 + B 2

(∗)

Trasladando los ejes en forma paralela al nuevo origen P1 (x1 , y1 ), se tienen las ecuaciones de traslaci´on x = x′ + x1 y = y ′ + y1 as´ı la ecuaci´on de la recta dada referida a este nuevo sistema toma la forma Ax′ + By ′ + C ′ = 0,

C ′ = Ax1 + By1 + C

luego por (*) la distancia desde el nuevo origen P1 (x1 , y1 ) a la recta Ax′ + By ′ + C ′ = 0 esta dada por d= √

|Ax1 + By1 + C| |C ′ | √ = A2 + B 2 A2 + B 2

Secciones 6-7-8-9 211

Luis Zegarra.

8.8.

Distancia Dirigida

La distancia dirigida d de la recta dada por Ax + By + C = 0 al punto P1 (x1 , y1 ), esta dada por la f´ormula Ax1 + By1 + C √ (12) ± A2 + B 2 en donde el signo del radical se elige de acuerdo a lo expuesto en 8.5, adem´as se debe considerar lo que sigue: d=

Si la recta dada no pasa por el origen, d es positiva o negativa seg´ un al punto P1 (x1 , y1 ) y el origen esten en lados opuestos o del mismo lado de la recta. Si la recta pasa por el origen, d es positiva o negativa seg´ un que el punto P1 , est´e arriba o abajo de la recta.

8.9.

Familias

Ya sabemos que para determinar una recta se necesitan dos condiciones geom´etricas independientes. Todas las rectas que satisfacen una y s´olo una condici´on geom´etrica forman una familia o haz de recta, por ejemplo 1. La familia de rectas que tienen pendiente variable y que pasan por un punto fijo y − y1 = m(x − x1 ), m par´ametro P1 (x1 , y1 ) punto fijo. 2. Todas las rectas que tienen pendiente a, a > 0 (fijo) y el corte con el eje Y sea n, y = ax + n, n par´ametro

Secciones 6-7-8-9 212

Luis Zegarra.

y as´ı podemos seguir dando diversos ejemplos de familias de rectas que tienen una propiedad en com´ un, es de particular importancia el siguiente caso. Familia de rectas por la intersecci´ on de dos rectas dadas Sean las rectas l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 tales que A1 B2 6= A2 B1 ( condici´on de intersecci´on). La familia de rectas que pasan por el punto de intersecci´on de l1 y l2 , esta dada por la ecuaci´on A1 x + B1 y + C1 + λ(A2 x + B2 y + C2 ) = 0, λ ∈ R

con la s´olo excepci´on de la recta l2 (λ2 = 0).

Familia de perpendiculares a una recta dada Dada la recta Ax + By + C = 0 la familia de rectas perpendiculares a esta recta, estan dadas por Bx − Ay + λ = 0,

λ es un par´ametro real.

Para el caso particular que una recta de esta familia pase por el punto P1 (x1 , y1 ) se tiene Bx1 − Ay1 + λ = 0 =⇒ Bx − Ay = Bx1 − Ay1

es una recta pependicular a la recta dada y que pasa por P1 (x1 , y1 ). Familia de paralelas a una recta dada Dada la recta Ax + By + C = 0 la familia de rectas paralelas a esta recta, estan dadas por λ Ax + λ By + D = 0, λ es un par´ametro real. an´alogamente un elemento de esta familia que pasa por P1 (x1 , y1 ) esta dada por Ax + By = Ax1 + By1 ,

λ 6= 0

Secciones 6-7-8-9 213

Luis Zegarra.

8.10.

T´ opicos Varios

Area Area de un tri´angulo que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) y P3 (x3 , y3 ) ¯ ¯ ¯ x1 y1 1 ¯ ¯ ¯ 1 Area = | ¯¯ x2 y2 1 ¯¯ | la demostraci´on se deja propuesta. 2 ¯ x3 y3 1 ¯

Si los tres puntos estan sobre la misma recta ¯ ¯ ¯ x1 y1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ x2 y2 1 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ x3 y3 1 ¯

Si en lugar de x3 e y3 se dejan x e y en la f´ormula anterior, es decir ¯ ¯ ¯ x1 y1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x2 y2 1 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y 1 ¯

representa a una recta que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) Recordemos que: ¯ ¯ ¯ a b c ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ d f ¯ ¯ d e ¯ ¯ e f ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ d e f ¯ = a¯ ¯ − b¯ ¯ + c¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ g i ¯ ¯ g h ¯ ¯ h i ¯ ¯ ¯ ¯ g h i ¯

Intersecci´ on de dos rectas dadas Dadas

 A1 x + B1 y + C1 = 0  A2 x + B2 y + C2 = 0

Eliminando y, se obtiene:



¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Secciones 6-7-8-9 214

Luis Zegarra.

Casos

¯ ¯ −C1 ¯ ¯ −C2 B1 C2 − B2 C1 x= = ¯ ¯ A1 A1 B2 − A2 B1 ¯ ¯ A2

¯ B1 ¯¯ B2 ¯ ¯ ; B1 ¯¯ B2 ¯

¯ ¯ A1 ¯ ¯ A2 y= ¯ ¯ A1 ¯ ¯ A2

¯ −C1 ¯¯ −C2 ¯ ¯ B1 ¯¯ B2 ¯

¯ ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ ¯ 6= 0, las rectas no son paralelas la soluci´on da un u 1. Si ¯ ´nico punto A2 B2 ¯ de intersecci´on. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 −C1 ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ −C1 B1 ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ 6 0 las rectas son 2. Si ¯ =0 ∧ ¯ 6= 0 ∨ ¯ A2 −C2 ¯ A2 B2 ¯ −C2 B2 ¯ paralelas y no existe un punto de intersecci´on, el sistema es incompatible. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 B1 ¯ ¯ −C1 B1 ¯ ¯ A1 −C1 ¯ ¯=0∧¯ ¯ = 0 ⇐⇒ A1 = B1 = C1 ¯=¯ 3. Si ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A2 B2 A2 −C2 ¯ −C2 B2 A2 B2 C1 las rectas son coincidentes por tanto existen infinitas soluciones para el sistema. Ejemplo. Resolver:

 2x − 3y = 10  x + 7y = 1



Soluci´ on. Caso 1 ¯ ¯ ¯ 10 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 7 ¯ 67 ¯ = x= ¯ ¯ 2 −3 ¯ 17 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 7

¯ ¯ −3 10 ¯ ¯ 7 1 e y= 17

¯ ¯ ¯ ¯

=

−73 17

Secciones 6-7-8-9 215

Luis Zegarra.

8.11.

Ejercicios Resueltos

1. Dada la recta (a − 2)x + (1 − 3a)y + a + 1 = 0. Determine a de modo que la recta: a) Pase por el punto (−2, 1) 2 b) Tenga pendiente − 3 c) Sea perpendicular a la recta ax − 2y + 10 = 0 3 d ) Forme un tri´angulo de ´area con los ejes coordenados. 2 Soluci´ on. a) El punto (−2, 1) debe satisfacer la ecuaci´on de la recta dada, es decir (a − 2)(−2) + (1 − 3a)1 + a + 1 = 0 de donde a =

3 2

a−2 2 8 = − =⇒ a = 3a − 1 3 9 ¶ µ √ a−2 a = −1 =⇒ a = −2 ± 6 c) Se debe tener que: 3a − 1 2

b) De inmediato m =

d ) Coordenadas de A, y = 0 (a − 2)x + a + 1 = 0 =⇒ a+1 , a 6= 2 2−a µ ¶ a+1 as´ı A ,0 2−a

x=

Coordenadas de B, x = 0 =⇒ (1 − 3a)y + a + 1 = 0

Secciones 6-7-8-9 216

Luis Zegarra.

=⇒ y =

µ ¶ a+1 a+1 luego B 0, por tanto se debe 3a − 1 3a − 1

¯ ¯ 1 ¯¯ a + 1 ¯¯ tener que ¯ 2 2 − a¯

¯ ¯ ¯ a+1 ¯ 3 ¯ ¯ ¯ 3a − 1 ¯ = 2

Considerando (2 − a)(3a − 1) > 0(∗) conduce a 10a2 − 19a + 7 = 0 de 1 19 o a = (ambos valores son v´alidos). donde a = 10 2 Si (2 − a)(3a − 1) < 0 =⇒ 8a2 − 23a + 5 = 0 de donde a = 2.638 o a = 0.237 (tambi´en v´alidos)

2. Una recta pasa por el punto de intersecci´on de las rectas 2x − 3y − 5 = 0; x + 2y − 13 = 0 y el segmento que determina sobre el eje x, es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuaci´on de dicha recta. Soluci´ on. La ecuaci´on de la familia de rectas por la intersecci´on de las rectas dadas esta dada por: 2x − 3y − 5 + λ(x + 2y − 13) = 0 (1) Intersecando con el eje X, es decir haciendo y = 0 se obtiene x = por otra parte la pendiente de (1) est´a dada por m =

13λ + 5 λ+2

λ+2 , y se pide que 3 − 2λ

λ+2 1 13λ + 5 =2 =⇒ λ = 1 o λ = − λ+2 3 − 2λ 4 Para λ = 1 =⇒ y = 3x − 18 1 1 1 Para λ = − =⇒ y = x − 4 2 2 3. Determine los valores de a y b para que las ecuaciones ax − 7y + 18 = 0 y 8x − by + 9a = 0 a) Concurran en un punto b) Sean paralelas

Secciones 6-7-8-9 217

Luis Zegarra.

c) Sean perpendiculares d ) Sean coincidentes. Soluci´ on. a) Por 8.6 se tiene de inmediato ¯ ¯ ¯ a −7 ¯ ¯ ¯ ¯ 8 −b ¯ = 56 − ab 6= 0 ⇐⇒ ab 6= 56 que es la condici´on de concurrencia.

b) Sean paralelas ⇐⇒ ab = 56.

c) Sean perpendiculares ⇐⇒ 8a + 7b = 0. ¯ ¯ ¯ −7 18 ¯ ¯ = 0 ⇐⇒ −63a + 18b = 0 de aqu´ı resultan ¯ d ) ab = 56 ∧ ¯ −b 9a ¯ a = 4 ∧ b = 14 o a = −4 ∧ b = −14 4. Hallar la ecuaci´on de una recta que pasa por el punto (1, 2) y que forme un ´angulo de 45◦ con la recta 2x + y − 3 = 0. Soluci´ on. Seg´ un la figura se vislumbran dos soluciones posibles. La recta buscada es de la forma y − 2 = m(x − 1)

(1)

y la pendiente de la recta dada es m′ = −2, por tanto se deben cumplir m − (−2) −2 − m 1 tg 45◦ = 1 = o bien 1 = de donde se obtiene m = − o 1 − 2m 1 − 2m 3 m = 3 as´ı las ecuaciones de las rectas pedidas son 1 y − 2 = − (x − 1) o y − 2 = 3(x − 2) 3 5. Demuestre que las rectas cuyas pendientes son a y 45◦ (a 6= 0 ∧ a 6= 1).

1+a se cortan en 1−a

Secciones 6-7-8-9 218

Luis Zegarra.

Demostraci´ on. Sean α1 y α2 las inclinaciones de las rectas mencionadas, as´ı m1 = tg α1 = a m2 = tg α2 = tg α2 =

1+a de aqu´ı 1−a

1 + tg α1 tg 45◦ + tg α1 = = tg(45◦ + α1 ) 1 − tg α1 1 − tg 45◦ tg α1

as´ı α2 = α1 + 45◦ lo que demuestra que l1 y l2 se cortan en 45◦ . 6. Se trazan perpendiculares desde el origen a las rectas cuyas ecuaciones son x + 2y = 10 y 2x + y = 10. Determine la ecuaci´on de la recta que une los pies de estos perpendiculares y su longitud. Soluci´ on. Sean l1 : x + 2y = 10; m1 = −

1 2

l2 : 2x + y = 10; m2 = −2 Ecuaciones de OA y OB 1 y = 2x e y = x respect´ıvamente. 2 Coordenadas de A

 x + 2y = 10 

=⇒ A(2, 4)

 2x + y = 10  

=⇒ B(4, 2)

y = 2x

Coordenadas de B



1  y= x  2

Secciones 6-7-8-9 219

Luis Zegarra.

As´ n pedida es: y −4 = −(x−4) y la longitud entre A y B resulta √ ı la ecuaci´o√ 2 2 2 + 2 = 2 2. 7. Sobre los catetos AC = a y CB = b de un tri´angulo rect´angulo ABC se construyen cuadrados ACF G y BCED. Demostrar anal´ıticamente que las rectas AD y BG se cortan sobre la altura hc . Soluci´ on. Eligiendo el △ABC como se indica en la figura Ecuaci´on de AD

y=−

b (x − a) a+b

Ecuaci´on de BG y−b= Ecuaci´on de hc , mAB = −

b a y=

(1)

a+b x −a

(2)

a x b

(3)

a2 b ab2 , Resolviendo (1) y (2) se obtiene a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 satisface la ecuaci´on (3), as´ı queda demostrado lo pedido. µ

¶

punto que

8. Determine el punto de intersecci´on de las simetrales del tri´angulo de v´ertices A(−2a, b), B(0, b) y C(2a, −b). Soluci´ on. Sean M punto medio de AC luego M (0, 0). N punto medio de AB, N (−a, b) mAB = 0, Ecuaci´on de S1 , es y=

mAC = − 2a x b

b 2a

(1)

Secciones 6-7-8-9 220

Luis Zegarra.

Ecuaci´on de S2 , es x = −a

(2) ¶ 2a2 resolviendo el sistema formado por (1) y (2) obtenemos A −a, − que b es el circuncentro o punto de intersecci´on de las simetrales del tri´angulo. µ

9. Determine las ecuaciones de las bisectrices del ´angulo formado por las rectas 2x + 3y − 12 = 0 ∧ x − 2y + 6 = 0. Soluci´ on. Ecuaciones de las bisectrices dadas por |x − 2y + 6 |2x + 3y − 12| √ √ = 13 5 de donde resultan dos casos posibles x − 2y + 6 2x + 3y − 12 √ √ = =⇒ 13 5 √ √ √ √ √ √ (2 5 − 13)x + (3 5 + 2 13)y − 6(2 5 + 13) = 0 I)

x − 2y + 6 2x + 3y − 12 √ √ =− =⇒ II) 13 5 √ √ √ √ √ √ (2 5 + 13)x + (3 5 − 2 13)y − 6(2 5 − 13) = 0 10. Demostrar anal´ıticamente que en el tri´angulo de v´ertices A(0, 0), B(−1, 5) y C(5, 1) la bisectriz del ´angulo interior del v´ertice C y los bisectrices de los ´angulos exteriores de los otros dos v´ertices son concurrentes. Soluci´ on. Primero determinamos las ecuaciones de los lados del tri´angulo: lAC : x − 5y = 0 lBC : 2x + 3y − 13 = 0 lAB : 5x + y = 0

Secciones 6-7-8-9 221

Luis Zegarra.

|x − 5y| |2x + 3y − 13| √ √ = (*) 26 13 La ecuaci´on de la bisectriz interior b1 , tiene la pendiente negativa, asi de (*) se obtiene que su ecuaci´on es √ (1) x − 5y = 2(2x + 3y − 13) Bisectrices del v´ertice C dadas por

|2x + 3y − 13| |5x + y| √ = √ 13 26 de aqu´ı la ecuaci´on de b2 es: √ 2(2x + 3y − 13) = 5x + y Bisectriz del v´ertice B,

(2)

|x − 5y| |5x + y| √ = √ 26 26 de aqu´ı se obtiene la ecuaci´on de b3 (tiene pendiente negativa)

Bisectriz del v´ertice A,

2x + 3y = 0

(3)

ahora resolviendo √ el sistema√formado por las ecuaciones (1) y (3), se obtienen x = −3 2 e y = 2 2 y n´otemos √ √que estos valores satisfacen la ecuaci´on (2) por tanto el punto R(−3 2, 2 2) es el punto donde concurren las bisectrices mencionadas. 11. Determine la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto de intersecci´on de las rectas x − y + 5 = 0 y x + y + 1 = 0 y liste del origen 3 unidades. Soluci´ on. Gr´aficamente se notan dos soluciones posibles, as´ı la familia de rectas por el punto de intersecci´on de las rectas dadas l1 y l2 , esta dada por: x − y + 5 + λ(x + y + 1) = 0 se debe cumplir que 3= m

|(1 + λ)0 + (λ − 1)0 + λ + 5| p (1 + λ)2 + (λ − 1)2

17λ2 − 10λ − 7 = 0 =⇒ λ = 1 o λ = −

7 17

Secciones 6-7-8-9 222

Luis Zegarra.

as´ı las ecuaciones de las 2 rectas que verifican esta condici´on son x = −3 y

5x − 12y + 39 = 0

12. Sean l1 y l2 dos rectas perpendiculares entre si por el origen, demuestre que la recta que pasa por los puntos de intersecci´on de l1 y l2 con la curva y = x2 tambi´en pasa por el punto (0, 1). Soluci´ on. 1 Sea y = mx, m 6= 0 la ecuaci´on de l1 entonces y = − x es la ecuaci´on de m l2 Coordenadas de P1 ,  y = mx  y = x2

Coordenadas de P2

=⇒ P1 (m, m2 )



1  µ ¶ x   1 1 m =⇒ P2 − , 2  m m  y = x2 y=−

m2 − 1 (x − m). m Note que el punto (0, 1) satisface a esta ecuaci´on.

Ecuaci´on de la recta P1 P2 , y − m2 =

13. Demostrar que la recta y − x + 2 = 0 corta el segmento que une los puntos (3, −1) y (8, 9) en la raz´on 2 : 3. Demostraci´ on. Ecuaci´on del segmento que une (3, −1) y (8, 9) es, y + 1 = 2(x − 3) intersecando con la recta y − x + 2 = 0 se obtiene P (5, 3) Note que, para el caso de las abscisas

xP − xA 5−3 2 AP = = = PB xB − xP 8−5 3

Secciones 6-7-8-9 223

Luis Zegarra.

an´alogamente para las coordenadas AP yP − yA 3+1 4 2 = = = = PB yB − yP 9−3 6 3 14. En un tri´angulo cualquiera demostrar que el baricentro, el cincuncentro y el ortocentro son puntos que estan sobre una misma recta. Soluci´ on. Sea el tri´aµngulo de¶v´ertices ¶ 0), B(b, 0) y C(0, c) a, b, c > 0, as´ı se µ A(−a, c b b − a tienen A′ , 0 , B′ , P, Q y R coordenadas del ortocentro, 2 2 2 baricentro y circuncentro respect´ıvamente. Coordenadas de P . (punto de intersecci´on de las alturas)  hC : x = 0  µ ¶  ab =⇒ P 0, a  c hB : y = − (x − b)  c Coordenadas de Q. (punto de intersecci´on de las transversales de gravedad) tA : y =

c (x + a) b + 2a

2c x tC : y − c = a−b

      

=⇒ Q

µ

b−a c , 3 3

¶

Coordenadas de R. (punto de intersecci´on de las simetrales)  b−a   SA′ : x =  µ ¶  2 b − a c2 − ab =⇒ R , µ ¶ 2 2c  c b b    SB ′ : y − = x− 2 c 2 Si los otros puntos P, Q y R son colineales, por 8.9- el siguiente determinante, debe ser nulo

Secciones 6-7-8-9 224

Luis Zegarra.

¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ b−a ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ b−a ¯ 2

ab c c 3 c2 − ab 2c

¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b−a 1 ¯¯ = ¯¯ ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b−a 1 ¯ ¯ 2

ab c 2

c − 3ab 3c c2 − 3ab 2c

¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ (b − a) 2 ¯ ¯ ¯ = (c −3ab) 0 ¯ ¯ 6 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ 0 ¯

¯ ¯ ¯ ¯=0 ¯ ¯

15. Dado un tri´angulo is´osceles de lados AB = AC sobre AB se toma un punto D y sobre BC un punto E, tal que la proyecci´on de DE sobre el lado BC BC . Demuestre que la perpendicular a DE en E pasa por un sea igual a 2 punto fijo. Soluci´ on. Tomemos el tri´angulo is´osceles como se indica en la figura, as´ı A(0, c), B(−b, 0) y C(b, 0), b > 0 y c > 0. Sea el punto E sobre BC de coordenadas (λ, 0), as´ı las coordenadas de F son y = 0 ∧ x = −(F E − DE) pero F E es BC b − (−b) la proyecci´on de DE sobre BC y es igual a = = b, luego 2 2 x = −(b − λ) = λ − b as´ı F (λ − b, 0) Coordenadas de D, intersecci´on de las rectas:  x=λ−b  µ ¶  cλ =⇒ D λ − b, y x  b + =1  −b c mDE = −

cλ de aqu´ı que la ecuaci´on de l, es b2

b2 x b2 b2 b2 b2 (x − λ) =⇒ y = − ⇐⇒ y + = (x − 0) cλ cλ c c cλ µ ¶ b2 ecuaci´on que nos indica que la recta pasa por el punto fijo 0, − c y=

16. Sea el rect´angulo ABCD y su diagonal BD, por el v´ertice C se traza una perpendicular CM a BD. Demuestre que la recta CM pasa por un punto

Secciones 6-7-8-9 225

Luis Zegarra.

fijo si el per´ımetro de dicho rect´angulo es constante igual a 2K, K > 0 en que DA y AB son rectas fijas. Demostraci´ on. Por hip´otesis 2b + 2d = 2k ⇐⇒ b + d = k mBC = −

(1)

b d =⇒ mCM = ; b, d > 0 b d

Ecuaci´on de CM . y−d=

b (x − b) ⇐⇒ dy − bx = d2 − b2 = (d − b)(d + b) pero por d

dy − bx = (d − b)k ⇐⇒ d(y − k) = b(y − k) ⇐⇒ y − k =

(1)

b (y − k) d

ecuaci´on que nos indica que la recta pasa por el punto fijo (k, k). √ 17. Sean los puntos A(a, 0) y B(0, b) tales que AB = c = a2 + b2 . Determine la ecuaci´on de la recta que pasa por los centros de las circunferencias inscrita y circunscrita al tri´angulo dado (a, b > 0. Soluci´ on. Es claro que el punto medio de la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo es el µ ¶ a b circuncentro M , 2 2 El incentro punto de intersecci´on de las bisectrices, se obtiene resolviendo el sistema: |bx + ay − ab| y = x ∧ |y| = √ a2 + b2 bx + ay − ab note que en ´esta u ´ltima ecuaci´on debemos tomar y = − pues c es la bisectriz del v´ertice A, que tiene pendiente negativa.

Secciones 6-7-8-9 226

Luis Zegarra.

µ ¶ b m=− , note que c > a , as´ı resolviendo el sistema indicado resulta c−a ab por tanto la ecuaci´on pedida es: x=y= a+b+c y−

b(a − b − c) a b = (x − ) 2 a(b − a − c) 2

18. Dado un punto en el interior de un tri´angulo equil´atero, demostrar que la suma de las distancias de dicho punto a los lados del tri´angulo es igual a su altura. Soluci´ on. √ Sea el tri´angulo equil´atero que se indica, as´ı A(−a, 0), B(a, 0) y C(0, 3a), a > 0 y sea P (x, y) un punto interior del tri´angulo √ −a < x < a ∧ 0 < y < 3a Ocupando el concepto de distancia dirigida (8.7-) se tienen: √ √ √ √ 3x + y − 3a 3x − y + 3a d1 = y > 0; d2 = , d2 < 0; d3 = , d3 < 0 2 −2 √ √ √ √ 3x + y − 3a 3x − y + 3a √ − = 3a = hc d1 + d2 + d3 = y − 2 −2 19. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto √ (3, 1) y tal que la distancia de ´esta recta al punto (−1, 1) sea igual a 2 2. Soluci´ on. La ecuaci´on de la recta pedida es de la forma y − 1 = m(x − 3) as´ı se debe verificar √ |m(−1) − 1 − 3m + 1| √ ⇐⇒ 8(m2 + 1) = 16m2 ⇐⇒ m = ±1 2 2= m2 + 1 luego hay dos rectas que cumplen estas condiciones, que son y − 1 = ±1(x − 3).

Secciones 6-7-8-9 227

Luis Zegarra.

20. El ´angulo de inclinaci´on de cada una de dos rectas paralelas es α. Si una de ellas pasa por el punto (a, b) y la otra por el punto (c, d). Demostrar que la distancia que hay entre ellas es: |(c − a)sen α − (d − b)cos α| Soluci´ on. Las ecuaciones de l y l′ son y − b = tg α(x − a) y − d = tg α(x − c) respect´ıvamente. Es suficiente tomar la distancia entre el punto (c, d) a la recta l′ ¯ ¯ |tg α · c − d + b − a tg α| ¯¯ (c − a)tg α + (b − d) ¯¯ p =¯ d= ¯ sec α tg 2 α + 1

d = |(c − a)sen α + (b − d)cos α|

21. Determine el valor del par´ametro λ de modo que las rectas l1 : λ x + (λ − 1)y − 2(λ + 2) = 0 l2 : 3λ x − (3λ + 1)y − (5λ + 4) = 0 formen un ´angulo de 45◦ entre ellas. Hallar tambi´en el lugar geom´etrico de los puntos de intersecci´on de las dos familias. Soluci´ on. De inmediato tg 45◦ = o bien tg 45◦ =

λ + λ−1 ³ ´ λ 3λ − λ−1 1 + 3λ+1 3λ 3λ+1

λ 3λ − λ−1 − 3λ+1 ´³ ´ ³ 3λ λ 1 + − λ−1 3λ+1

(1)

(2)

Secciones 6-7-8-9 228

Luis Zegarra.

la ecuaci´on (1) no da soluci´on real, y de (2) se obtiene λ ≃ 0.623 o bien λ ≃ −178. y+4 4+y Lugar geom´etrico pedido, l1 =⇒ λ = y de l2 , λ = x+y−2 3x − 3y − 5 de donde igualando se obtiene: 2x − 4y − 3 = 0. 22. Ocupando el concepto de familia, hallar la ecuaci´on de la transversal de gravedad (mediana) relativa al v´ertice A del tri´angulo definido por las rectas lAB : 2x − y + 1 = 0 lBC : x + y − 1 = 0 lCA : x − 3y − 1 = 0 Soluci´ on. Familia de rectas por el v´ertice A 2x − y + 1 + λ(x − 3y − 1) = 0

(1)

el punto medio de BC debe satisfacer a (1), as´ı: Coordenadas de B  2x − y + 1 = 0 

x+y−1=0 Coordenadas de C  x+y−1=0  x − 3y − 1 = 0



=⇒ B(0, 1)



=⇒ C(1, 0) as´ı M

µ

1 1 , 2 2

¶

3 en (1) resulta λ = , por tanto la ecuaci´on de la mediana del v´ertice A, es: 4 11x − 13y + 1 = 0

Secciones 6-7-8-9 229

Luis Zegarra.

23. Las rectas; l1 : x + y = 0, l2 : x − 5y + 12 = 0 y l3 : 5x − y − 12 = 0 determinan un tri´angulo. Determine a) El ´area y su per´ımetro. b) Las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo. Soluci´ on. a) Coordenadas de los v´ertices del tri´angulo x+y =0 x − 5y + 12 = 0 x+y =0 5x − y − 12 = 0

 

=⇒ A(−2, 2)



  

=⇒ C(2, −2)

 x − 5y + 12 = 0 

=⇒ B(3, 3)  5x − y − 12 = 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2 ¯ 0 2 1 ¯¯ 0 2 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯    ¯ Area = ¯ 2 −2 1 ¯ = ¯ 2 −2 1 ¯¯  = · 2(6 + 6) = 12 2 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 3 3 1 ¯ 3 1 ¯ √ √ √ √ √ Per´ımetro = AB + AC + CA = 4 2 + 26 + 26 = 4 2 + 2 26 b) El centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo equidista de los tres v´ertices, as´ı: (x + 2)2 + (y − 2)2 = (x − 2)2 + (y + 2)2 = (x − 3)2 + (y − 3)2 de donde Q

µ

5 5 , 6 6

¶

Secciones 6-7-8-9 230

Luis Zegarra.

24. Demostrar que el tri´angulo formado por el eje Y y las rectas y = m1 x + n1 ; y = m2 x + n2 , m1 6= m2 esta dado por 1 (n2 − n1 )2 2 |m2 − m1 | Demostraci´ on. Las coordenadas de A y B son inmediatas, A(0, n2 ) y B(n1 , 0), para C  ¶ µ y = m1 x + n 1  n2 − n1 n1 m2 − m1 n2 , =⇒ C −  m2 − m1 m2 − m1 y = m2 x + n 2 1 1 Area = AB · hc = |n2 − n1 | 2 2 =

1 (n2 − n1 )2 2 |m2 − m1 |

¯ ¯ ¯ n2 − n1 ¯ ¯− ¯ ¯ m2 − m1 ¯

25. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por la intersecci´on de las rectas 3x − 4y = 0; 2x − 5y + 7 = 0 y que forma con los ejes coordenados un tri´angulo de ´area 8. Soluci´ on. Familia de rectas por la intersecci´on de las rectas dadas, es 3x − 4y + λ(2x − 5y + 7) = 0 Coordenadas de A, y = 0 ∧ 3x + λ(2x + 7) = 0 =⇒ x = −

7λ 3 + 2λ

Coordenadas de B x = 0 ∧ −4y + λ(−5y + 7) = 0 =⇒ y =

7λ 5λ + 4

Secciones 6-7-8-9 231

Luis Zegarra.

luego se debe tener ¯ ¯¯ ¯ 7λ ¯¯ ¯¯ 7λ ¯¯ 1 ¯¯ − = 8 ⇐⇒ 49λ2 = 16|(3 + 2λ)(5λ + 4)| 2 ¯ 3 + 2λ ¯ ¯ 5λ + 4 ¯ si (3 + 2λ)(5λ + 4) > 0(∗) =⇒ 111λ2 + 368λ + 192 = 0 =⇒ λ1 = − o λ2 = − si λ = −

24 37

8 ambos valores satisfacen (*), por tanto 3

24 =⇒ 9x − 4y − 24 = 0 37

8 si λ = − =⇒ x − 4y + 8 = 0 3 si (3 + 2λ)(5λ + 4) < 0 no existen valores reales para λ. 26. La base de un tri´angulo tiene longitud constante, b, b > 0. Si la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados es igual a a2 . Demuestre que el L.G. del v´ertice opuesto a la base es una recta. Demostraci´ on. Sea el tri´angulo que se muestra en la figura, as´ı A(0, 0), B(b, 0) y C(x, y) Se dice que AC 2 − BC 2 = a2 x2 + y 2 − ((x − b)2 + y 2 ) = a2 =⇒ x = al eje Y .

a2 − b2 se trata de una recta paralela 2b

27. Sea P un punto variable sobre el eje Y , y dos puntos fijos A(a, 0) yB(b, 0) sobre el eje X con b > a, a y b no nulos. Hallar el L.G. de los puntos de intersecci´on de las perpendiculares a las rectas P A y P B trazadas por A y B cuando P se mueve sobre el eje Y . Soluci´ on.

Secciones 6-7-8-9 232

Luis Zegarra.

Sea el par´ametro λ, λ 6= 0 P (0, λ) m´ovil sobre el eje Y . mP A = −

λ a =⇒ mAQ = a λ

mP B = −

b λ =⇒ mP B = b λ

as´ı ecuaci´on de AQ es y=

a (x − a) λ

(1)

y=

b (x − b) λ

(2)

ecuaci´on de BQ

para obtener la ecuaci´o del L.G. de Q debemos eliminar el par´ametro b(x − b) de donde x = a + b concom´ un, entre (1) y (2) as´ı resulta 1 = a(x − a) siderando b > a. x y + = 1, a ∧ b 6= 0 que corta al eje X en el punto a b P y al eje Y en el punto Q, sea l′ una recta perpendicular a l que corta al eje X en P ′ y al eje Y en Q′ . Determine el L.G. del punto de intersecci´on de las rectas P Q′ y P ′ Q.

28. Dada una recta, l :

Soluci´ on. De la figura, se tiene P (a, 0) y Q(0, b). ml = − Ecuaci´on de l′ : y =

b a ⇐⇒ ml′ = a b

a x + n con ”n” par´ametro. b

Coordenadas de Q′ x = 0 ⇐⇒ y = n =⇒ Q′ (0, n) Coordenadas de P ′ ¶ µ nb nb ′ =⇒ P − , 0 y = 0 ⇐⇒ x = − a a

Secciones 6-7-8-9 233

Luis Zegarra.

luego n lQ′ P : y = − (x − a) a lP ′ Q : y − b =

a x n

      

entre estas dos u ´ltimas ecuaciones eliminando el par´ametro n, se obtiene y(y − b) = −x(x − a) ⇐⇒ x2 + y 2 = ax + by 29. Sea l una recta variable por un punto fijo A(a, b), l corta al eje a en un punto B y sea l′ perpendicular a l que pasa por A, l′ corta al eje Y en C. Determine el L.G. del punto medio P del trazo BC. Soluci´ on. Ecuaci´on de l, es y − b = m(x − a) Ecuaci´on de l′ , es y−b=−

1 (x − a) m

(1)

(2)

Coordenadas de B µ ¶ b ma − b as´ı B a − , 0 y = 0 en (1) =⇒ x = m m Coordenadas de C ³ a´ mb + a as´ı C 0, b + x = 0 en (2) =⇒ y = m m Sea P (x, y) el punto medio de BC, luego µ ¶ 1 a´ b 1³ x= a− ∧y= b+ 2 m 2 m eliminando m entre estas dos u ´ ltimas ecuaciones se obtiene: 2ax + 2by = a2 + b2 .

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 234

30. Determine la ecuaci´on del L.G. del punto de intersecci´on de las diagonales de un rect´angulo inscrito en un tri´angulo dado ABC, que tiene uno de sus lados coincidiendo con el lado AB del tri´angulo. Soluci´ on. Dado el tri´angulo que se indica en la figura. Sean sus v´ertices: A(−a, 0), B(b, 0) y C(0, c), a, b, c > 0. Ecuaci´on de RQ : y = λ; λ par´ametro. y x + =1 Ecuaci´on de AC : −a c µ ¶ µ ¶ λ λ =⇒ x = − 1 a =⇒ R ( − 1)a, λ c c µ ¶ µ µ ¶ ¶ x y λ λ Ecuaci´on de BC : + = 1 =⇒ x = b 1 − =⇒ Q b 1 − ,λ b c c c Sea P (x, y) punto de intersecci´on de las diagonales del rect´angulo asi ¶ ¶ µ µ λ λ −1 a + b 1− λ c c ∧y= x= 2 2 µ ¶ ¶ µ 2y 2y c c =⇒ 2x = b 1 − − 1 a ⇐⇒ y = x+ + c c a−b 2 ecuaci´on del L.G. pedido si a 6= b. Si a = b ⇐⇒ x = 0 es el L.G. 31. Dado un punto fijo A(a, 0), a 6= 0 y dos puntos variables en el eje Y, B(0, α) y C(0, β) tales que αβ = 1. Determine la ecuaci´on del L.G. de los puntos de intersecci´on de las perpendiculares a AB en B y a AC en C. Soluci´ on.

Secciones 6-7-8-9 235

Luis Zegarra.

Supongamos α < β, α, β 6= 0 con αβ = 1 a α mAB = − =⇒ mBP = , a 6= 0 a α mAC = −

β a =⇒ mCP = a β

Ecuaci´on de BP : y − α = Ecuaci´on de CP : y − β =

a  x   α 

 a  x  β

1 Eliminando el par´ametro αβ, considerando que αβ = 1 resulta x = ± a ecuaci´on del L.G. pedido. 32. Por un punto P (a, b) se traza una recta variable que corta en A al eje X en B al eje Y . Se une A con el punto medio C del trazo OP ( O el origen), hasta cortar al eje Y en D. Por D se traza DM paralela con OP hasta cortar en M a la recta AB. Determine la ecuaci´on del L.G. del punto M . Soluci´ on. Sea y − b = m(x − a) (1), la recta variable por P , m par´ametro . Coordenadas de A µ ¶ b b y = 0 =⇒ x = a − =⇒ A a − , 0 m m Coordenadas de C

¶ a b , C 2 2 b bm ³ a´ Ecuaci´on de AD es y − = x− haciendo x = 0 en ´esta u ´lti2 2b − ma 2 µ ¶ b(b − ma ma ecuaci´on obtenemos las coordenadas de D, 0, . 2b − ma µ

Ecuaci´on de DM y−

b b(b − ma) = x 2b − ma a

(2)

Secciones 6-7-8-9 236

Luis Zegarra.

Eliminando el par´ametro m, entre (1) y (2) finalmente obtenemos: a2 y 2 − 3abxy + 2b2 x2 = 0 que es la ecuaci´on del L.G. pedido. 33. Sobre los lados de un ´angulo α, resbalan los extremos de un segmento AB de longitud ”a”, determine la ecuaci´on del L.G. del punto de intersecci´on P de las perpendiculares en A y B a los lados del ´angulo. Soluci´ on. De inmediato mOA = tg α, mAP = −cotg α Ecuaci´on de recta l y = tg αx Sea C(k, 0) entonces A(k, k tg α) Ecuaci´on de recta BP es x = λ (1), λ par´ametro. Ecuaci´on de recta AP es y − k tg α = −cotg α(x − k)

Adem´as debe verificarse que

(k −λ)2 +k 2 tg 2 α

=

a2

(2) (3)

finalmente reemplazando los valores de λ y k de (1) y (2) en (3), se tiene: µ

¶2 µ ¶ y + x cotgα y + x cotg α 2 2 −x + tg α = a2 tg α + cotg α tg α + cotg α

de donde simplificando se llega a: x2 + y 2 = a2 cosec2 α. 34. Desde un punto P se bajan las perpendiculares P S y P T a los lados de un ´angulo α, determinar la ecuaci´on del L.G. del punto P de modo que la suma de sus distancias del v´ertice A del ´angulo α, a los pies de las perpendiculares sea ”a”. Soluci´ on. Por condici´on del L.G. de P (x, y), AS + AT = a

(1)

Secciones 6-7-8-9 237

Luis Zegarra.

AS = x En △ AQT

sen α =

En △ P RT , se tiene tg α = RT =

y + RT y + RT =⇒ AT = AT sen α x − AQ , pero AQ = AT cos α as´ı RT

x AT cos α cos α cos2 α − ⇐⇒ RT = x− AT en tg α tg α sen α sen α

AT sen α = y +

(2)

(2)

cos α cos2 α x− AT ⇐⇒ AT = y sen α + x cos α sen α sen α

finalmente en (1), x + y sen α + x cosα = a es decir (1 + cos α)x + sen αy = a, que es la ecuaci´on L.G. pedido.

8.12.

Ejercicios Propuestos

1. Determine el par´ametro λ para que las rectas l1 : λ x + (λ − 1)y − 2(λ + 2) = 0 l2 : 3λx − (3λ + 1)y − (5λ + 4) = 0 sean: Paralelas, perpendiculares entre si, concurrentes en un punto y coincidentes. Respuesta. 1 1 1 λ = ; λ = − ; λ 6= 0 ∧ λ 6= ; λ = 0 3 2 3 2. Una recta pasa por el punto de intersecci´on de las rectas 5x + 2y − 11 = 0 y −2x + 3y − 6 = 0 y el segmento que determina sobre el eje Y es igual a la mitad de su pendiente. Hallar la ecuaci´on de la recta.

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 238

Respuesta. 104x − 61y + 52 = 0 3. Determine una recta que pasa por el punto de intersecci´on de las rectas 2x − y + 2 = 0; x − y + 1 = 0 y forme con los ejes coordenados un tri´angulo 3 de ´area igual a . 2 Respuesta. 3x + y + 3 = 0 4. Determine el par´ametro k de manera que la recta 2y + kx − 11 = 0 pase por el punto de intersecci´on de las rectas x − 2y + 5 = 0 y 2x + 3y + 3 = 0. Respuesta. k = −3 5. Determine el valor del par´ametro k de modo que las rectas de la familia 5x − 12y + k = 0 disten del origen 5 unidades. Respuesta. k = ±65. 6. Determine √el valor del par´ametro k de modo que las rectas de la familia kx − y + 3 5 = 0, disten del origen 3 unidades. Respuesta. k = ±2 7. Hallar el ´area del tri´angulo cuyos v´ertices son A(−1, 1), B(3, 4) y C(5, −1), tambi´en hallar el punto de intersecci´on de las bisectrices de los ´angulos interiores del tri´angulo.

Secciones 6-7-8-9 239

Luis Zegarra.

Respuesta. 13; (2.309, 1.537) 1 8. Las ecuaciones de los lados de un tri´angulo son l1 : y = ax − bc; l2 : y = 2 1 1 bx − ac; l3 : y = cx − ab. Demostrar que el ´area del tri´angulo es 2 2 1 A = (a − b)(b − c)(c − a), 8

c>a>b

9. Un punto m´ovil en el plano cartesiano tiene las coordenadas (3t − 1, t + 2) en cada instante t, ¿cu´al es la ecuaci´on de la trayectoria de dicho punto? Respuesta. x − 3y + 7 = 0 10. Dado el tri´angulo ABC, donde A(0, 0), B(b, 0) y C(0, c). Un trazo DE se desplaza paralelamente al lado AB apoyado en los lados AC y BC respect´ıvamente. Determine la ecuaci´on del L.G. del punto P (x, y) de intersecci´on de las rectas AE y BD. Respuesta. 2cx + by − bc = 0 11. Demostrar que el L.G. de un punto que se mueve de modo que la suma de las perpendiculares bajadas desde ´el a dos rectas dadas es constante, es una recta. 12. Hallar la ecuaci´on de la recta cuyos puntos equidistan todos de las rectas paralelas 12x − 5y + 3 = 0 y 12x − 5y − 6 = 0. Respuesta. 24x − 10y − 3 = 0

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 240

13. Hallar la ecuaci´on del L.G. de un punto P (x, y) que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x = 2 es siempre 3 unidades mayor que su distancia del punto (−1, −3). Respuesta. y + 3 = 0 si x < 2 14. Hallar la recta que pasa por la intersecci´on de las rectas l1 : x + 2y − 1 = 0 1 y l2 : 2x − y + 3 = 0 y que diste del punto (0, 1) una longitud a √ . 5 Respuesta. x + 2y − 1 = 0; x − 2y + 3 = 0 15. Determine la ecuaci´on del L.G. de un punto P cuya distancia al origen sea el doble de su distancia a la recta y = x. Respuesta. x2 + y 2 = 2x − 2y 16. Hallar las longitudes de las perpendiculares bajadas desde el origen a los lados del tri´angulo cuyos v´ertices son (2, 1), (3, 2) y (−1, −1). Respuesta. 1 1 1 , √ , √ 5 13 2 17. Hallar la distancia entre las rectas paralelas x + y + 8 = 0 y x + y − 1 = 0. Respuesta. 9 √ 2

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 241

18. Hallar la ecuaci´on del L.G. de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta 4x − 3y + 12 = 0 es siempre igual al doble de su distancia al eje X. Respuesta. 4x + 7y + 12 = 0; 4x − 13y + 12 = 0 19. La perpendicular desde el origen a una recta mide 6 unidades y forma con 3 el eje X un ´angulo cuya tangente es igual a . Determine la ecuaci´on de la 4 recta. Respuesta. 4x + 3y ± 30 = 0 20. Hallar la bisectriz del ´angulo agudo formado por las rectas x − 2y − 4 = 0 y 4x − y − 4 = 0. Respuesta. √ √ √ √ √ √ ( 17 + 4 5)x − (2 17 + 5)y − 4( 17 + 5) = 0 21. Hallar la ecuaci´on de una recta que pasa por el punto com´ un de las rectas x + 2y − 1 = 0 y 2x − y + 3 = 0 y que diste del punto (0, 1) una longitud 1 de √ . 5 Respuesta. x − 2y + 3 = 0 y x + 2y − 1 = 0 22. Determine las ecuaciones de las bisectrices de las rectas 3x − 4y − 3 = 0 y 4x − 3y + 12 = 0. Respuesta.

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 242

x + y + 15 = 0 y 7x − 7y + 9 = 0 23. Si a, b, c son par´ametros reales no todos nulos que verifican 2a + 3b − 5c = 0. Demostrar que todas las rectas de la familia ax + by + c = 0 pasan por un punto fijo. 24. Hallar el ´angulo agudo formado por las rectas 4x−9y+11 = 0 y 3x+2y−7 = 0 tambi´en hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por su intersecci´ on y por el punto (2, −1). Respuesta. 80◦ 16′ ; 96x + 29y − 163 = 0 25. Una recta se mueve de tal manera que la suma de los rec´ıprocos de los segmentos que determina sobre los ejes coordenados es siempre igual a una constante k, k 6= 0. Demostrar que la recta pasa por un punto fijo. 26. Hallar el valor de k, de modo que una recta de la familia kx+(k−1)y−18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. Respuesta. 4. 27. Hallar el valor de k para que las rectas de la familia k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x − 2y − 11 = 0. Respuesta. √ −1 ± 7 3 28. Determine el valor de k, de modo que las rectas 3x+y−2 = 0, kx+2y−3 = 0 y 2x − y − 3 = 0 concurran en un punto.

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 243

Respuesta. k = 5. 29. Sea el tri´angulo cuyos v´ertices sean A(−2, 1), B(4, 7) y C(6, −3) se pide: a) Las ecuaciones de sus lados b) La recta que pasa por el v´ertice A y es paralela a BC c) La ecuaci´on de las rectas por B y que trisecan a AC d ) Hallar las coordenadas del punto de intersecci´on de: las transversales de gravedad, de las simetrales y de las alturas. e) El ´area del tri´angulo. Respuesta. a) x − y + 3 = 0; 5x + y − 27 = 0 y x + 2y = 0 b) 5x + y + 9 = 0

c) 11x − 5y − 9 = 0; 13x − y − 45 = 0 ¶ µ ¶ µ ¶ µ 10 5 4 5 8 5 , , , d) ; y 3 3 3 3 3 3 e) 21

30. Sea el punto A cuya ordenada es 10 y se encuentra sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7, −2). Determ´ınese la abscisa de P. Respuesta. 11 31. Dos rectas l1 y l2 forman entre s´ı un ´angulo de 135◦ . Sabiendo que l2 tiene pendiente -3. Calcular la pendiente de la recta l1 . Respuesta.

Secciones 6-7-8-9 244

Luis Zegarra.

±

1 2

32. Hallar anal´ıticamente los ´angulos interiores del tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos A(−2, 1), B(3, 4) y C(5, −2). Respuesta. 77◦ 28′ , 54◦ 10′ , 48◦ 22′ 33. Demostrar que los puntos (2, 5), (8, −1) y (−2, 1) son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo y hallar sus ´angulos interiores. Respuesta. 33◦ 41′

56◦ 19′

34. Hallar la distancia desde el origen a cada una de las rectas paralelas 2x + 3y − 4 = 0 y 6x + 9y − 5 = 0. Deducir de ´este resultado la distancia entre las rectas. Respuesta. √ 7 13 39 35. Hallar la ecuaci´on del L.G. de un punto que se mueve, de tal manera que: a) Equidiste de los puntos (2, 3) y (4, −1).

b) Forme con los puntos (5, 1) y (−1, 2) un tri´angulo de ´area 6. c) La diferencia de los cuadrados de sus distancias a (−1, 3) y (2, 4) sea igual a 8.

Respuesta. a) 3x + y + 1 = 0 b) x + 6y + 1 = 0

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 245

c) 3x + y = 9 36. Hallar la ecuaci´on de la recta perpendicular a 4x + 7y + 9 = 0 y tal que el 7 ´area del tri´angulo que forma con los ejes coordenados sea . 2 Respuesta. 7x − 4y = ±14 x y 37. Hallar la ecuaci´on de la recta paralela a + = 1 y tal que la distancia a 3 4 ella desde el origen sea 8. Respuesta. 4x + 3y = ±40 38. Desde un punto P se bajan perpendiculares P S y P T sobre las rectas fijas OS y OT que se cortan formando un ´angulo α. Determine la ecuaci´on del L.G. de P si ST es paralela a una recta fija. Respuesta. y + x cosα = m(x + y cosα); m pendiente de la recta fija. 39. Demostrar que las rectas que unen un v´ertice de un paralel´ogramo con los puntos medios de los lados opuestos, trisecan la diagonal que no concurre al v´ertice y esta a su vez triseca a dichas rectas. x y x y x y 40. Si + = 1 interseca a las rectas = y = en P y Q con a y a b 4a b a 4b b 6= 0, encuentre la distancia P Q. Respuesta. 3p 2 a + b2 5

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 246

41. Determine la ecuaci´on de una recta que pasa por el punto de intersecci´on de 2x − y − 1 = 0 y x + 2y − 4 = 0 y su corte con el eje X, determina una distancia de 1 unidad, medida desde el origen. Respuesta. 7x − y − 7 = 0; 7x − 11y + 7 = 0 42. Dado el tri´angulo ABC cuyos v´ertices son A(1, 2), B(8, 4) y C(4, 10). Hallar las coordenadas de un punto P tal que los tri´angulos P CB, P CA y P AB tengan la misma ´area en magnitud y signo. Respuesta. (11, 12)

8.13.

Ejercicios Propuestos de nivel avanzado

1. Sea P (a, b) el punto medio del trazo AB. La recta OQ es paralela a AB. 2 1 1 La recta P Q es cualquier recta por P . Demostrar que = + , PQ PX PY siendo X e Y las intersecciones con los ejes coordenados. 2. Si los v´ertices de un tri´angulo est´an respect´ıvamente en tres rectas concurrentes y si dos de los lados pasan por un punto fijo, entonces el tercer lado tambi´en pasa por un punto fijo. 3. Se toman por ejes a los lados opuestos de un cuadril´atero y los otros dos x y x y lados tienen por ecuaciones + = 1, + = 1. Hallar el punto 2a 2b 2a1 2b1 medio de las diagonales, a, a1 , b, b1 6= 0. Respuesta. (a, b1 ) y (a1 , b) 4. Sea una recta AB que corta sobre los ejes coordenados segmentos iguales. Se toma un punto M , variable sobre AB y se trazan las perpendiculares M P y M Q a los ejes coordenados, se traza enseguida M R perpendicular a

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 247

P Q. Demostrar que M R pasa por un punto fijo cuando M recorre la recta AB. 5. Si m1 , m2 y m3 son diferentes entre si, demostrar que la condici´on necesaria y suficiente para que las tres rectas: y = m1 x + n1 ; y = m2 x + n2 ; y = m3 x + n3 concurran en un punto es: m1 n2 − m2 n1 − m3 n2 + m3 n1 − m1 n3 + m2 n3 = 0 6. Sean P1 y P2 dos puntos fijos, sea l una recta variable, y sean d1 la distancia de P1 a l y sea d2 la distancia de P2 a l. Demostrar que si d1 = 2d2 la recta pasa por un punto fijo. 7. Demostrar en un tri´angulo rect´angulo, que la recta que une el v´ertice del ´angulo recto con el centro del cuadrado constru´ıdo sobre la hipotenusa (hac´ıa el exterior del tri´angulo) es bisectriz del ´angulo recto. 8. Demostrar anal´ıticamente que la bisectriz de cualquier ´angulo de un tri´angulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados contiguos a los respectivos segmentos. 9. Desde un punto cualquiera de la base de un tri´angulo is´osceles se trazan perpendiculares a los lados iguales. Demostrar que la suma de las longitudes de estas perpendiculares es constante e igual a la longitud de la altura correspondiente al v´ertice opuesto de dicha base. 10. Demostrar que las bisectrices de dos ´angulos exteriores de cualquier tri´angulo forman un ´angulo igual a la mitad del tercer ´angulo exterior. 11. Dado un ´angulo AOB, sobre el lado OA se toman los puntos P y Q y sobre OB los puntos R y S; P S y QR se cortan en C. Demostrar que L, M y N puntos medios de OC, P R y QS respect´ıvamente son colineales. (Elija un sistema obl´ıcuo de coordenadas).

Luis Zegarra.

Secciones 6-7-8-9 248

12. En un tri´angulo dado ABC, se traza de un punto en su interior las rectas P D paralela a C y P E paralela a AB. Determine la ecuaci´on del L.G. de PD 1 P de modo que = . PE 2 Respuesta. Si los v´ertices del tri´angulo son A(0, 0), B(b, 0) y C(0, c) entonces la ecuaci´on del L.G. es cx + (2c + b)y − bc = 0 13. Entre los lados de un ´angulo α, se mueve un punto P de modo que la suma de sus distancias a los lados del ´angulo es constante. Hallar la ecuaci´on del L.G. de dicho punto. Respuesta. √ (x + y) 1 + cos2 α = k, k constante. 14. Desde un punto P se bajan perpendiculares P S Y P T sobre dos rectas fijas OS y OT que se cortan formando un ´angulo α. Hallar la ecuaci´on del L.G. de P si ST es dimidiada por la recta y = mx + n. Respuesta. y + x cosα = m(x + y cosα) + 2n 15. Con referencia al problema anterior, suponga que P se mueve sobre la recta y = mx. Hallar el L.G. del punto medio de ST . Respuesta. 2y − 2x cos α = m(2x − 2y cosα) + n sen2 α

Cap´ıtulo 9

La Circunferencia 9.1.

Definici´ on

Se llama circunferencia al lugar geom´etrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio. Ecuaci´ on Sea C(a, b) las coordenadas del centro, r el radio r > 0 y P (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia. Condici´on del L.G. de P (x, y) CP = r p

(x − a)2 + (y − b)2 = r m

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(1)

A esta ecuaci´on (1) se suele llamar ecuaci´on can´onica o standard de una circunferencia de centro C(a, b) y radio r.

205

Luis Zegarra.

Secci´on 9

206

Notemos que de (1) desarrollando los cuadrados obtenemos x2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0

(2)

una ecuaci´on de 2o grado en que los coeficientes de x2 e y 2 son iguales y adem´as iguales a 1, carece del t´ermino en xy. Por tanto la ecuaci´on en particular x2 + 3xy + y 2 − 6x + 2y − 6 = 0 no representa a una circunferencia. Vamos estudiar en el p´arrafo siguiente en forma mas general una ecuaci´on tal como (2).

9.2.

Forma general centro y radio

Dada la ecuaci´on general de 2o grado, por: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(3)

A, B, C, D, Ey F par´ametros reales De la observaci´on anterior B = 0, A = C 6= 0, as´ı Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y 2 +

D E F x+ y+ =0 A A A

completando cuadrados obtenemos:     E 2 D2 + E 2 − 4AF D 2 + y+ = x+ 2A 2A 4A2

(4)

De la definici´on de circunferencia real (9.1-) se deduce que el centro tiene las coordenadas   D E D2 + E 2 − 4AF C − ,− y al radio r2 = 2A 2A 4A2 esta u ´ltima expresi´on para el radio nos impone que para (3) represente a una circunferencia real D2 + E 2 − 4AF > 0.

Luis Zegarra.

9.3.

Secci´on 9

207

Casos Notables

Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro en el origen y radio r. De (1) se obtiene haciendo a = b = 0 x2 + y 2 = r2

(5)

Notemos tambi´en que en general una circunferencia tal como (x − a)2 + (y − b)2 = r2 necesita ex´actamente de tres condiciones independientes para ser determinada. Por comodidad en algunos casos conviene ocupar la ecuaci´on x2 + y 2 + M x + N y + P = 0

(6)

como representante de una circunferencia, note que se debe cumplir que M 2 + N 2 − 4P > 0 (condici´on del radio). En este caso el centro esta dado por √   M 2 + N 2 − 4P M N C − ,− y en radio por r = 2 2 2

9.4.

Familias

Las circunferencias que son tangentes a los ejes coordenados, notemos por ejemplo que forman una familia, es decir la tangencia implica que a = b o a = −b, en el primer caso el centro se encuentra sobre la bisectriz del I y II cuadrantes y = x, as´ı su ecuaci´on estar´a dada por (x ± λ)2 + (y ± λ)2 = λ2 , a = b = r = ±λ 6= 0 λ par´ametro real, para el 2o caso el centro pertenece a y = −x, as´ı su ecuaci´on ser´a: (x ± λ)2 + (y ∓ λ)2 = λ2 Otro caso importante, es el de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersecci´on de dos circunferencias dadas. Dadas las circunferencias C1 y C2

Luis Zegarra.

Secci´on 9

C1 : x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 = 0,

M1 + N1 − 4P1 > 0

C2 : x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 = 0,

M2 + N2 − 4P2 > 0

208

estamos en el supuesto que C1 ∩ C2 = {P1 , P2 } ⇐⇒ △ > 0 ”△” es el discriminante de ecuaci´on de 2o grado que se forma al efectuar la intersecci´on de C1 y C2 , as´ı la ecuaci´on de la familia de circunferencias que pasan por P1 y P2 est´a dada por x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 + λ(x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 ) = 0 (7) λ par´ametro real λ 6= −1. Esta ecuaci´on representa a todas las circunferencias por P1 y P2 con excepci´on, en este caso de C2 . Si λ = −1 se obtiene la ecuaci´on de la recta que pasa por P1 y P2 , llamada eje radical, es decir (M1 − M2 )x + (N1 − N2 )y + P1 − P2 = 0

(8)

Notemos tambi´en que todas las circunferencias de´esta familia tienen sus  centros   M2 N2 M1 N1 ,− ,− y O2 − , es decir sobre la recta que une los centros O1 − 2 2 2 2 1 (N2 − N1 )x − (M2 − M1 )y − (M1 N2 − M2 N1 ) = 0 2

(9)

´esta u ´ltima ecuaci´on se llama recta de centros.

9.5.

Tangencia

Dada una circunferencia y una recta mediante las ecuaciones  x2 + y 2 + M x + N y + P = 0  y = mx + n



Sea △ el discriminante de la curva de 2o grado de intersecci´on de la circunferencia y la recta. Se pueden dar los siguientes casos:

Luis Zegarra.

Secci´on 9

209

△ = 0 caso de tangencia de la circunferencia con la recta △ > 0 caso de dos puntos de intersecci´on △ < 0 caso que indica que no hay intersecci´on entre ambas curvas. En particular vamos a estudiar la intersecci´on de la circunferencia; x2 + y 2 = r2 y de la recta; y − y0 = m(x − x0 ) con la condici´on x20 + y02 = r2 es decir que el punto P0 (x0 , y0 ) pertenece a la circunferencia. Con lo que, se trata de determinar la forma de la ecuaci´on que es tangente a la circunferencia en un punto P0 (xo , y0 ) de ella. Podemos seguir dos caminos para tal efecto, imponemos la condici´on △ = 0 o bien x0 y0 (n se llama normal) de aqu´ı mt = − de la figura obtenemos que mn = x0 y0 luego la ecuaci´on de la tangente resulta ser y − y0 = −

x0 (x − x0 ) ⇐⇒ x0 x + y0 y = r2 y0

(10)

Si es el caso de la circunferencia (x − a)2 + (y − b)2 = r2 en forma an´aloga o mediante una traslaci´on paralela de los ejes, la ecuaci´on de la tangente en P0 (x0 , y0 ) punto de tangencia, esta dada por (x0 − a)(x − a) + (y0 − b)(y − b) = r2

(11)

Tambi´en podemos obtener las ecuaciones de las tangentes a una circunferencia en cierta direcci´on. Sea x2 + y 2 = r2 la circunferencia dada, haciendo la intersecci´on con y = mx + n con m pendiente conocida e imponiendo la condici´on △ = 0, se tiene: △ = (2mn)2 − 4(1 + m2 )(n2 − r2 ) = 0 √ =⇒ n = ±r 1 + m2

as´ı la ecuaci´on de estas tangentes en cierta direcci´on ”m” son: p y = mx ± r 1 + m2

(12)

Luis Zegarra.

9.6.

Secci´on 9

210

Ejercicios Resueltos

1. Determine la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, −1), B(0, 2) y C(−3, 0). Soluci´ on. 2 3 · = −1 el tri´angulo es rect´angulo luego el 3 −2 centro se encuentra en   el punto medio de la hipotenusa AC del tri´angulo, 1 1 que es M − , − su radio es: 2 2  2  2 1 1 13 2 r = − +3 + − = 2 2 2

Note que mBC · mAB =

    1 2 13 1 2 + y+ = luego la ecuaci´on pedida resulta ser: x + 2 2 2 2. An´alogo al problema anterior pero los puntos son A(2, 3), B(0, −1) y C(−2, 1). Soluci´ on. Hay a lo menos 3 formas diferentes de resolver el ejercicio , daremos una, ud. intente otras. Sea x2 + y 2 + M x + N y + P = 0 la ecuaci´on de la circunferencia buscada, los tres puntos deben satisfacer la ecuaci´on, as´ı se deben tener: 2  M =− 3 4 + 9 + 2M + 3N + P = 0 =⇒ 2M + 3N + P = −13      8 1 − N + P = 0 =⇒ −N + P = −1 =⇒ N = −  3     4 + 1 − 2M + N + P = 0 =⇒ −2M + N + P = −5 11 P =− 3   1 4 8 11 5√ 2 2 2 = 0 cuyo centro es C , y su radio r = 2 as´ı: x +y − x− y − 3 3 3 3 3 3

Luis Zegarra.

Secci´on 9

211

3. Determine la ecuaci´on de una circunferencia que tiene su centro sobre la recta x + y = 2 y que pasa por los puntos A(−3, 0) y B(2, −1). Soluci´ on. Sea C(a, b) las coordenadas del centro de la circunferencia, entonces se debe tener:  (a + 3)2 + b2 = (a − 2)2 + (b + 1)2  a+b=2



resolviendo este sistema obtenemos a = 0 y b = 2 el radio resulta r = as´ı la ecuaci´on de la circunferencia pedida es x2 + (y − 2)2 = 13.

√

13,

4. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados y pasa por el punto (2, 1). Soluci´ on. Sea C(a, b) las coordenadas del centro de la circunferencia. Por ser tangente a los ejes coordenados: a = b = r as´ı (x − a)2 + (y − a)2 = a2 como debe pasar por (2, 1), entonces (2 − a)2 + (1 − a)2 = a2 de donde resultan a = 1 o a = 5, luego (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1; (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25 5. Encontrar la ecuaci´on de la circunferencia cuyo centro esta en el punto de intersecci´on de las rectas x − y = 1, 2x + 3y = 22 y que sea tangente a la recta l1 : 3x + 4y = 16. Encuentre tambi´en una recta l2 paralela a l1 y que sea tangente a la circunferencia mencionada. Soluci´ on. En centro de la circunferencia pedida es la soluci´on del sistema  x−y =1  =⇒ C(5, 4)  2x + 3y = 22

Luis Zegarra.

Secci´on 9

212

y el radio es la distancia desde el centro hasta la recta 3x + 4y = 16 r=

|3(5) + 4(4) − 16| √ =3 32 + 42

luego la ecuaci´on resulta (x − 5)2 + (y − 4)2 = 9

sean P0 (x0 , y0 ) y Q(x1 , y1 ) puntos diametralmente opuestos pertenecientes a las tangentes l1 y l2 , la ecuaci´on de la recta por el centro de la circunferencia es −4x + 3y + 8 = 0, las coordenadas de P0 se determinan resolviendo el sistema    3x + 4y − 16 = 0  16 8 , =⇒ P0  5 5 −4x + 3y + 8 = 0 y como C es punto medio de QP0 , las coordenadas de Q se obtienen mediante  x1 + 16 34  5  = 5 =⇒ x1 =    2 5  32 3 34 =⇒ y − x− =−  5 4 5 y1 + 58  32   = 4 =⇒ y1 = 2 5 que es la ecuaci´on de la tangente l2 . 6. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por (11, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 8x − 6y = 0. Soluci´ on. La ecuaci´on de la tangente pedida es y − 4 = m(x − 11) haciendo la intersecci´on con la circunferencia x2 + [m(x − 11) + 4]2 − 8x − 6[m(x − 11) + 4] = 0 e imponiendo la condici´on de tangencia

Luis Zegarra.

Secci´on 9

213

△ = 0 =⇒ (−22m2 + 2m − 8)2 − 4(1 + m2 )(121m2 − 22m − 8) = 0 =⇒ 12m2 − 7m − 12 = 0 =⇒ m =

4 3 om=− 3 4

as´ı resultan 4x − 3y − 32 = 0 y 3x + 4y − 49 = 0 7. Determine el valor de k de modo que la recta 2x + 3y + k = 0 sea tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 6x + 4y = 0. Soluci´ on. (1o forma) Tal como en el ejercicio anterior imponiendo △ = 0 resulta k = −1 o k = 25. (2o forma) La tangente a la circunferencia (x + 3)2 + (y + 2)2 = 13 en un punto (x0 , y0 ) debe ser (x0 + 3)(x + 3) + (y0 + 2)(y + 2) = 13 ⇐⇒ (x0 + 3)x + (y0 + 2)y + 3x0 + 2y0 = 0 ´esta ecuaci´on debe ser la misma que 2x + 3y + k = 0 luego se debe cumplir que y0 + 2 3x0 + 2y0 x0 + 3 = = (∗) 2 3 k 1 de aqu´ı y0 = (3x0 + 5), como P0 (x0 , y0 ) pertenece a la circunferencia, 2 entonces   x0 = −5 ∧ y0 = −5

1 x20 + (3x0 + 5)2 + 6x0 + 2(3x0 + 5) = 0 =⇒  4 finalmente en (*) −1 =

x0 = −1 ∧ y0 = 1

−1 −25 =⇒ k = 25 o bien 1 = =⇒ k = −1 k k

8. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia inscrita en el tri´angulo cuyos v´ertices 9 son A(−1, 0), B(2, ) y C(5, 0). 4

Luis Zegarra.

Secci´on 9

214

Soluci´ on. El centro O(x, y) de la circunferencia inscrita al tri´angulo se encuentra en el punto de intersecci´on de las bisectrices bB : x = 2 bC : d1 = d2 , d1 > 0 y d2 < 0 y=−

9x + 12y − 45 √ =⇒ 225

15y = −18 − 12y + 45 =⇒ y = 1 =⇒ 0(2, 1) notemos que r = d1 = 1; as´ı la ecuaci´on de la circunferencia es (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1. 9. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje X y que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 6). Soluci´ on. (forma 1) Ecuaci´on de la cuerda AB es y − 3 = x − 1 

 5 9 , M punto medio de AB, M as´ı la ecuaci´on de OM es 2 2   5 9 ⇐⇒ x + y − 7 = 0 y − = −1 x − 2 2 Coordenadas del centro O, y = 0 =⇒ x = 7 =⇒ O(7, 0) as´ı: (x − 7)2 + y 2 = (6)2 + (−3)2 = 45 10. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia, cuyo centro esta sobre la recta l1 : 6x + 7y − 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas l2 : 8x + 15y + 7 = 0 y l3 : 3x − 4y − 18 = 0. Soluci´ on.

Luis Zegarra.

Secci´on 9

215

Determinamos los centros Oy O′ de las circunferencias que cumplen las condiciones pedidas. b1 y b2 bisectrices O intersecci´on de l1 y b1 d1 > 0 y d2 < 0, d1 = −d2 8x + 15y + 7 3x − 4y − 18 =− =⇒ −17 5 11x − 143y − 341 = 0 resolviendo el sistema  x − 13y − 31 = 0  6x + 7y − 16 = 0



=⇒ O(5, −2) =⇒ r =

|3(5) − 4(−2) − 18| =1 5

as´ı: (x − 5)2 + (y + 2)2 = 1 es una de las circunferencias, an´alogamente d3 < 0 ∧ d4 < 0, d3 = d4 =⇒  91x + 7y − 271 = 0  6x + 7y − 16 = 0



=⇒

O′

    2 2 2 121 2 3, − =⇒ (x − 3) + y + = 7 7 48

que es la ecuaci´on de la otra circunferencia en cuesti´on. 11. Determine la ecuaci´on de la circunferencia de radio 1 tangente a la recta l : 3x − 4y + 1 = 0 en el punto de ordenada y = 1. Soluci´ on. Gr´aficamente notamos dos soluciones posibles. El punto de tangencia pertenece a la recta tangente, as´ı y = 1 =⇒ 3x − 4 + 1 = 0 =⇒ x = 1 as´ı P0 (1, 1) ml′ = −

4 por ser perpendicular a l luego la ecuaci´on de l′ es 3 4 y − 1 = − (x − 1) ⇐⇒ 4x + 3y − 7 = 0 3

Luis Zegarra.

216

Secci´on 9

Sea la ecuaci´on de la circunferencia pedida: (x − a)2 + (y − b)2 = 1 cuyo centro es C(a, b), este se encuentra sobre l′ , as´ı 4a + 3b − 7 = 0

(1)

por otra parte P0 (1, 1) pertenece a la circunferencia, por tanto (1 − a)2 + (1 − b)2 = 1 resolviendo el sistema formado por (1) y (2), obtenemos C1

(2) 

2 9 , 5 5



y C2



 8 1 , , 5 5

con lo que las ecuaciones de las circunferencias son:     2 2 9 2 x− + y− =1y 5 5 

8 x− 5

2

  1 2 + y− =1 5

12. Determine la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por la intersecci´on de las circunferencias C1 : x2 +y 2 −4x+2y−8 = 0 y C2 : x2 +y 2 −2x+2y−7 = 0 y que tiene su centro en la recta 2x + y = 5. Soluci´ on. La ecuaci´on de la circunferencia pedida pertenece a la familia x2 + y 2 − 4x + 2y − 8 + λ(x2 + y 2 − 2x + 2y − 7) = 0 (1 + λ)x2 + (1 + λ)y 2 − (4 + 2λ)x + (2 + 2λ)y − 7λ − 8 = 0 su centro esta dado por C



 2+λ , −1 1+λ

el cual debe satisfacer a la recta   1 2+λ 2+λ = 3 =⇒ λ = − − 1 = 5 =⇒ 2x + y = 5 =⇒ 2 1+λ 1+λ 2 as´ı la circunferencia tiene por ecuaci´on x2 + y 2 − 6x + 2y − 9 = 0

Luis Zegarra.

Secci´on 9

217

13. Una cuerda de la circunferencia x2 +y 2 = 25 tiene por ecuaci´on x−7y+25 = 0. Hallar la longitud de la cuerda y la simetral de ella. Soluci´ on. Resolviendo x2 + y 2 = 25 x − 7y + 25 = 0

obtenemos las coordenadas de P1 y P2 punto de intersecci´on de la cuerda con la circunferencia as´ı P1 (−4, 3) y P2 (3, 4).La longitud de la cuerda es  √ 1 7 50 y la ecuaci´on de la simetral y − = −7 x + . 2 2 √ 14. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 2y − 47 = 0 en el punto (6, 5). Hallar su ecuaci´on. Soluci´ on. Sea la ecuaci´on de la circunferencia dada (x − 2)2 + (y + 1)2 = 52. La tangente a esta circunferencia en el punto (6, 5) es: (6 − 2)(x − 2) + (5 + 1)(y + 1) = 52 de donde 2x + 3y − 27 = 0. Sea C(a, b) las coordenadas del centro de la circunferencia pedida que, debe satisfacer a la perpendicular a la recta tangente en el punto (6, 5) esto es 3a − 2b = 8, por otra parte

√

13 =

2a + 3b − 27 √ 13

(1)

(2),

(considerando distancia dirigia). Resolviendo el sistema formado por (1) y (2): a = b = 8 as´ı: (x − 8)2 + (y − 8)2 = 13.

Luis Zegarra.

Secci´on 9

218

15. Determine la ecuaci´on del L. G. de un punto P (x, y) que se mueve en el plano XY de manera que la suma de: el cuadrado de su distancia al punto (−1, 0) y el doble del cuadrado de su distancia al punto (2, 3) es igual a 30. Soluci´ on. Condici´on del L.G. de P (x, y) es (x + 1)2 + y 2 + 2[(x − 2)2 + (y − 3)2 ] = 30 de aqu´ı se deduce: x2 +√y 2 − 2x − 4y − 1 = 0 ecuaci´on de una circunferencia de C(1, 2) y radio r = 6. 16. Determine la ecuaci´on de una recta que pasa por el punto A(0, 5) y que corta una cuerda de longitud 2 en la circunferencia (x − 1)2 + y 2 = 9. Soluci´ on. Ecuaci´on de la familia de rectas por el punto A(0, 5) y = kx + 5 De la figura notemos que como el radio es 3, la distancia del centro a la cuerda es p √ d = 32 − 12 = 8 Por otra parte, se debe tener √

8=

|k(1) − 1(0) + 5| 17 √ =⇒ k = −1 o k = , 2 7 k +1

luego resultan 2 cuerdas con estas condiciones, que son y = −x + 5 e y =

17 x+5 7

17. Dadas las circunferencias C1 : x2 + y 2 = 25 y C2 : x2 + y 2 − 2x + 6y = 39. Determine la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por la intersecci´on de C1 y C2 y por el centro de la circunferencia x2 + y 2 − 6x + 2y = 0. Soluci´ on.

Luis Zegarra.

219

Secci´on 9

La circunferencia pedida pertenece a la familia x2 + y 2 − 25 + λ(x2 + y 2 − 2x + 6y − 39) = 0

(1)

el centro C(1, −3) de la circunferencia dada debe satisfacer a (1) luego de 15 aqui se obtiene λ = − de donde remplazando en (1) se obtiene 41 26x2 + 26y 2 + 30x − 40y − 440 = 0 18. Encontrar la ecuaci´on de la recta tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 6x − 2y − 6 = 0 tal que forme un ´angulo de 45◦ con el eje X. Soluci´ on. La familia de rectas que forman un ´angulo de 45◦ con el eje x, son y = x + k,

m=1

Recordemos que las tangentes a x2 + y 2 = r2 de pendiente m, estan dadas por p y = mx ± r 1 + m2 Como la circunferencia dada no esta centrada, hacemos una traslaci´on paralela, es decir sea x = x′ − 3 y = y′ + 1 2

2

nuevo origen el punto (−3, 1), as´ı en (x+3)2 +(y−1)2 = 16 =⇒ x′ +y ′ = 16 entonces las tangentes resultan √ de donde y ′ = x′ ± 4 2 √ y−1=x+3±4 2

√ t1 : x − y = 4( 2 − 1)

as´ı √ y t2 : x − y = −4( 2 + 1)

19. Si O es el origen y Q se mueve sobre la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 3 = 0. Encuentre la ecuaci´on del L.G. de P , el punto de trisecci´on de OQ m´as cercano al origen.

Luis Zegarra.

Secci´on 9

220

Soluci´ on. Sean las coordenadas de P (x, y) y de Q(α, β), as´ı de: 1 OP = =⇒ PQ 2

x 1 = =⇒ α = 3x α−x 2 y 1 = =⇒ β = 3y β−y 2

seno como Q(α, β) satisface la ecuaci´on de la circunferencia, se tiene   2  1 2 2 2 2 2 +y = 9x + 9y − 12x + 3 = 0 =⇒ x − 3 3 El L. G. de P es otra circunferencia de C



 1 2 ,0 y r = . 3 3

20. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias C1 : x2 + y 2 + 2x − 4y − 6 = 0;

C2 : x2 + y 2 − 4x − 2y = 0

C3 : x2 + y 2 + 2x + 12y − 36 = 0 y tambi´en hallar las longitudes de las tangentes trazadas del centro radical a las tres circunferencias. Soluci´ on. Ecuaciones de los ejes radicales C1 − C2 =⇒ 3x − y − 3 = 0

(1)

C2 − C3 =⇒ −3x − 7y − 18 = 0

(2)

C3 − C1 =⇒ 8y + 21 = 0

(3)

Resolviendo el sistema  formado  por (1), (2) y (3) se obtiene las coordenadas 1 21 del centro radical: R ,− 8 8

Luis Zegarra.

Secci´on 9

√

221

r

746 an´alogamente 64 se obtienen RT2 y RT3 y note que RT1 = RT2 = RT3 como deber´ıa ser. Por otra parte como O1 (−1, 2) y r1 =

11 =⇒ RT1 =

21. Desde un punto fijo de una circunferencia se trazan cuerdas. Demostrar que el L.G. de los puntos medios de estas cuerdas es una circunferencia. Soluci´ on. Sea Q(a, b) el punto fijo sobre la circunferencia de ecuaci´on x2 + y 2 = r2 R(α, β) el punto variable tambi´en en la circunferencia. β+b α+a ey= de donde Luego la condici´on del L.G. de P (x, y) es: x = 2 2 α = 2x − a y β = 2y − b =⇒ α2 + β 2 = (2x − a)2 + (2y − b)2 =⇒ (2x −

a)2

+ (2y −

b)2

=

r2

pero α2 + β 2 = r2

  a 2 b 2  r 2 ⇐⇒ x − = + y− 2 2 2 

ecuaci´on de una circunferencia. 22. Dadas las circunferencias C1 : (x − a1 )2 + (y − b1 )2 = r12 C2 : (x − a2 )2 + (y − b2 )2 = r22 Demuestre que si las circunferencias se cortan ortogonalmente entonces a21 + b21 − r12 + a22 + b22 − r22 = 2(a1 a2 + b1 b2 ) . Demostraci´ on.

Luis Zegarra.

Secci´on 9

222

Si son ortogonales el radio de la primera debe ser tangente a la segunda y rec´ıprocamente, entonces se debe tener r12 + r22 = (a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 de donde se obtiene lo pedido. 23. Si P0 es un punto fijo y L una recta variable por P0 que corta a una circunferencia en P1 y P2 , las tangentes desde P1 y P2 se intersecan en P . Demostrar que el L.G. de P es una recta. Demostraci´ on. Sea la circunferencia de ecuaci´on x2 + y 2 = r2 y sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) los puntos donde L interseca a la circunferencia, las tangentes en P1 y P2 son: x1 x + y1 y = r2 x2 x + y2 y = r2 El L.G. de P (x, y) esta determinado por la intersecci´on de estas dos rectas, as´ı eliminando el par´ametro r, se tiene x1 x + y1 y = x2 x + y2 y esta ecuaci´on representa a una recta que pasa por el origen. 24. Determine la ecuaci´on del L.G. de los puntos P (x, y) desde donde se trazan tangentes a la circunferencia dada por x2 + y 2 = r2 , si dichas tangentes forman un ´angulo α entre si b) El L.G. de estos puntos si α = 90◦ . Soluci´ on. Como P P12 = P P22 P P12 = x2 + y 2 − r2 por otra parte P P22 = r2 cotg 2

α en (1) resulta 2

(1)

Luis Zegarra.

Secci´on 9

223

α x2 + y 2 = r2 (1 + cotg 2 ) 2 x2 + y 2 = r2 cosec2

=⇒ x2 + y 2 =

r2 α = α 2 sen2 2

2r2 1 − cosα

ahora si

α = 90◦ =⇒ x2 + y 2 = 2r2 25. Dada la ecuaci´on de una circunferencia por (x − a)2 + (y − b)2 = r2 y el punto P0 (x0 , y0 ) se traza por P0 una familia de rectas (secantes variables). Determinar el L.G. de los puntos medios de las cuerdas determinadas por estos secantes. Soluci´ on. Familia de secantes variables por P0 (x0 , y0 ), y − y0 = m(x − x0 )

(1)

Familia de rectas variables por los puntos medios (pasan por el centro de la circunferencia) 1 y − b = − (x − a) (2) m Eliminando el par´ametro m, entre (1) y (2) obtenemos la ecuaci´on del L.G. pedido as´ı: x2 + y 2 − (a + x0 )x − (b − y0 )y + ax0 + by0 = 0 que es una circunferencia. 26. Un segmento AB = l, se mueve de manera que sus extremos se apoyan sobre dos rectas perpendiculares. Demuestre que el L.G. descrito por el punto medio del segmento, es una circunferencia. Soluci´ on.

Luis Zegarra.

Secci´on 9

224

Sea un extremo del segmento el punto A(λ, 0); λ variable entonces B tiene √ 2 por coordenadas B(0, l − λ2 ), por tanto el punto medio P (x, y) debe cumplir que: 1p 2 λ l − λ2 e y= x= 2 2  2 l 2 2 de donde eliminando el par´ametro λ, se obtiene: x + y = que es la 2 ecuaci´on de una circunferencia. 27. Hallar el L.G. de los puntos P (x, y), desde los cuales se ve el segmento OA bajo un ´angulo recto O(0, 0) y A(a, 0) a > 0. Soluci´ on. 1 Sea l : y = λx, λ 6= 0 la familia de rectas por el origen y y = − (x − a) la λ perpendicular a, l. Eliminando el par´ametro λ, se tiene la ecuaci´on del L.G. que resulta ser x2 + y 2 − ax = 0. 28. Un punto interior de un △ is´osceles, se mueve de manera que el cuadrado de su distancia a la base del tri´angulo es siempre igual al producto de sus distancias de los otros dos lados. Demostrar que el L.G. del punto P es una circunferencia. Soluci´ on. Sea el tri´angulo is´osceles de v´ertices A(−a, 0), B(a, 0) y C(0, b) a, b > 0. Condici´on del L.G. de P (x, y) d21 = d2 · d3 Note que d1 > 0, d2 y d3 < 0

Luis Zegarra.

d1 = y,

Secci´on 9

d2 = −

as´ı y 2 = −

225

(bx − ay + ab) (bx + ay − ab) √ √ ; d3 = − 2 2 − b +a + b2 + a2

(bx − (ay − ab))(bx + (ay − ab)) b2 + a2

(a2 + b2 )y 2 = −(b2 x2 − (ay − ab)2 ) (a2 + b2 )y 2 = −b2 x2 + a2 y 2 − 2a2 by + a2 b2 b2 x2 + b2 y 2 + 2a2 by − a2 b2 = 0 de aqu´ı resulta x2

9.7.

a2 + y+ b 

2

=

ap b

a2 + b2

2

ec. de una circunferencia.

Ejercicios Propuestos

1. Determine la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 1), B(4, 0) y C(2, 5). Respuesta.     16 2 23 2 1105 x− + y− = 7 14 196 2. Determine la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos A(3, 0) y B(2, −1) y tiene su centro sobre la recta x + y = 2. Respuesta. (x + λ − 2)2 + (y − λ)2 = (λ + 1)2 + λ2 ,

λ par´ametro.

3. Determine la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 2), (3, 4) y tiene su centro en la recta 2x + y − 1 = 0.

Luis Zegarra.

Secci´on 9

226

Respuesta. (x + 4)2 + (y − 3)2 = 74 4. Hallar la ecuaci´on de una circunferencia tangente a los ejes coordenados y que tenga su centro en el punto (2, 1) . Respuesta. No existe una circunferencia que cumpla a la vez con estas condiciones. 5. Demuestre que las tangentes trazadas desde el punto (11, 4) a la circunferencia (x − 4)2 + (y − 3)2 = 25 son perpendiculares entre si. 6. Determine la ecuaci´on de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje Y y que pasa por los puntos (4, 1) y (−3, 2). Respuesta.   2  13 2 2 2 = x + y+ 3 3 7. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia inscrita al tri´angulo cuyos v´ertices son A(0, −2), B(0, 4) y C(3, 1). Respuesta. √ √ (x − 3( 2 − 1))2 + (y − 1)2 = 9( 2 − 1)2 8. Determine la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por la intersecci´on de las circunferencias C1 : x2 + y 2 − 4x − 2y − 8 = 0 C2 : x2 + y 2 − 6x = 0 y que:

Luis Zegarra.

Secci´on 9

227

a) Pasa por el punto (2, 6) b) Tiene su centro sobre el eje Y c) Tiene su centro sobre la recta 2y = x − 4

d ) Es tangente a la recta y = x Respuesta. a) 2x2 + 2y 2 − 5x − 7y = 28 b) x2 + y 2 − 6y − 24 = 0

c) 3x2 + 3y 2 − 20x + 2y + 8 = 0

d ) 8x2 + 8y 2 − 57x + 9y + 36 = 0 9. Desde un punto de la circunferencia circunscrita al tri´angulo cuyas v´ertices son A(−3, −1), B(0, 2) y C(3, 1), que no sea uno de los v´ertices, se bajan perpendiculares a sus lados o prolongaciones. Demostrar que los pies de estas perpendiculares son colineales. 10. Dadas las rectas l1 : x − y + 9 = 0 y l2 : x + 2y − 24 = 0. Encuentre una recta que pasa por la intersecci´on de l1 y l2 , y que determine √ en la circunferencia 3 . x2 + y 2 − 4x + 4y + 7 = 0 una cuerda de longitud 2 Respuesta. √ y − 11 = ± 207(x − 2) 11. El punto (3, −1) es el centro de una circunferencia. La recta 2x − 5y + 18 = 0 intercepta con dicha circunferencia una cuerda de longitud 6. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia. Respuesta. (x − 3)2 + (y + 1)2 = 38

Luis Zegarra.

Secci´on 9

228

12. Demostrar anal´ıticamente que el tri´angulo inscrito en una semicircunferencia cuya hipotenusa es el di´ametro de ella, es rect´angulo. 13. Demostrar que las circunferencias x2 +y 2 +2x−4y = 0 y x2 +y 2 +4x+2y = 0 se cortan ortogonalmente. (aplique condici´on del ejercicio resuelto 22.) 14. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene su centro en el punto (−4, −1) y que es tangente a la recta 3x + 2y − 12 = 0. Respuesta. (x + 4)2 + (y + 1)2 = 52 15. Hallar el L.G. de los puntos P (x, y) de un plano desde los cuales se v´e bajo ´angulo recto el segmento AB si A(0, 1) y B(1, 1). Respuesta. x2 + y 2 − x − 2y + 1 = 0 16. Un punto P se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a las rectas 3x − y + 4 = 0; x + 3y − 7 = 0 es siempre igual a 2. Determine la ecuaci´on del L.G. de P . Respuesta. x2 + y 2 + x − 5y +

9 =0 2

9 17. Dado un tri´angulo de v´ertices A(−1, 0), B(2, ), C(5, 0) se pide: 4 a) Hallar la ecuaci´on de la circunferencia circunscrita al tri´angulo. b) Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del tri´angulo.

Luis Zegarra.

Secci´on 9

229

Respuesta. 25 7 a) (x − 2)2 + (y + )2 = ( )2 8 8 25 25 b) (x − 2)2 + (y − )2 = ( )2 16 16 18. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que es tangente al eje X y tiene su centro sobre la recta x − 2y + 2 = 0 y pasa por el punto (7, 3). Respuesta. (x − 13)2 + (y −

15 2 15 ) = ( )2 ; 2 2

(x − 4)2 + (y − 3)2 = 9

19. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene por di´ametro el segmento interceptado por la recta 2x + 3y − 6 = 0 con los ejes coordenados. Respuesta.   3 2 x− + (y − 1)2 = 13. 2 20. Una circunferencia es tangente a las rectas paralelas 5x − 3y + 1 = 0 y 5x − 3y − 4 = 0 y tiene su centro sobre la recta 3x − 2y − 4 = 0. Determine su ecuaci´on. Respuesta. 2    5 31 2 √ . = (x + 9)2 + y + 2 2 34 21. Sea la circunferencia de ecuaci´on x2 + y 2 = 17 y la recta y = 4x. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia dada paralelas a la recta dada. Respuesta. y = 4x ± 17

Luis Zegarra.

Secci´on 9

230

25 22. La ecuaci´on de una circunferencia es x2 + y 2 − 4x + 5y + = 0. Hallar 4 la ecuaci´on de la circunferencia conc´entrica que es tangente a la recta 5x − 12y − 1 = 0. Respuesta. 5 (x − 2)2 + (y + )2 = 9 2 23. Hallar la ecuaci´on de la tangente a la circunferencia x2 +y 2 +2x−2y−39 = 0 en el punto (4, 5). Respuesta. 5x + 4y − 40 = 0 24. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x − 4y − 1 = 0 en el punto (3, 2). Hallar su ecuaci´on. Respuesta. x2 + (y − 6)2 = 25;

(x − 6)2 + (y + 2)2 = 25

25. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto(6, 1) y es tangente a cada una de las rectas 4x − 3y + 6 = 0, 12x + 5y − 2 = 0. Respuesta. x2 + y 2 − 6x − 2y + 1 = 0;

4x2 + 4y 2 − 384x + 37y + 2119 = 0

26. Determine la ecuaci´on de la circunferencia tangente a las rectas x+y−2 = 0 y x − y − 2 = 0 cuyo centro est´a sobre la recta x − 2y + 4 = 0. Respuesta. 9 (x − 2)2 + (y − 3)2 = ; 2

(x + 4)2 + y 2 = 18

Luis Zegarra.

Secci´on 9

231

27. Hallar la ecuaci´on y la longitud de la cuerda com´ un de las circuferencias 2 2 2 2 x + y − 8y + 6 = 0 y x + y − 14x − 6y + 38 = 0. Respuesta. 7x − y − 16 = 0;

√ 2 2

28. Por el punto (−5, 4) se trazan tangentes a la circunferencia x2 +y 2 −10x+7 = 0. Hallar el ´angulo agudo que forman estas tangentes. Respuesta. 46◦ 24′ 29. Demostrar que las tangentes desde el origen a la circunferencia x2 + y 2 − 14x + 2y + 25 = 0 son perpendiculares entre si. 30. Probar que las circunferencias (x−3)2 +(y −1)2 = 8 y (x−2)2 +(y +2)2 = 2 se cortan ortogonalmente.

9.8.

Ejercicios Propuestos de nivel avanzado

1. Demostrar que en un tri´angulo cualquiera los pies de las alturas, los pies de las medianas, y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro a los v´ertices, son conc´ıclicos. 2. Desde un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un tri´angulo dado se trazan las perpendiculares a los lados de dicho tri´angulo. Probar que los pies de las perpendiculares son colineales. 3. Se trazan dos tangentes paralelas a una circunferencia, que cortan a una tercera tangente en los puntos A y B. Demostrar que las rectas que unen A y B con el centro de la circunferencia, son perpendiculares entre si.

Luis Zegarra.

Secci´on 9

232

4. Se tiene una circunferencia circunscrita a cualquier tri´angulo dado. Demostrar que el producto de las longitudes de dos lados cualquiera del tri´angulo es igual al producto de la longitud del di´ametro por la longitud de la altura trazada al tercer lado. √ 5. Demostrar que la recta y = m(x − a) + a 1 + m2 es tangente a la circunferencia x2 + y 2 = 2ax para todos los valores reales de m. (m ∈ R)

Capítulo "!

Traslación y Rotación 10.1 Introducción. La necesidad del estudio de Lugares Geométricos de puntos más complejos en un sistema de referencia que en otro y las inter relaciones entre ellos, hace necesario definir la traslación paralela de los ejes coordenados y también la rotación en torno a un punto dado, que muy bien puede ser el origen o el nuevo origen una vez efectuada la traslación. Las ecuaciones resultantes en uno u otro caso, con respecto a las variables de los ejes iniciales versus las nuevas variables, es lo que presentaremos a continuación y ocuparemos posteriormente cuando sea el caso.

10.2 Traslación.

Sea un punto T de coordenadas aBß Cb con respecto de los ejes rectangulares \ e ] Þ Vamos a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas aBw ß C w b del mismo punto T con respecto al nuevo referencial tambien rectangular \ w e ] w . Sean los nuevos ejes \ w e ] w obtenidos por una traslación paralela y en el mismo sentido con respecto a los ejes \ e ] ß al nuevo origen a2ß 5 b. afig.1b y

y′

y′

P(x, y)

k

o′

x′

o

h

x

y

P(x′, y′)

fig.1 De inmediato de la fig.1 se tiene:

B œ Bw  2 C œ Cw  5

x′

x

Estas dos ecuaciones son llamadas las ecuaciones de traslación paralela de los ejes. Ejemplo 1 Demostraremos que la pendiente de una recta dada, no varía cuando se efectúa una traslación paralela de los ejes \ e ] Þ Dada la recta EB  FC  G œ !ß F Á ! es claro que la pendiente es 7 œ 

E F

efectuando la traslación al nuevo origen a2ß 5 b, entonces resulta la ecuación de la recta EaBw  2b  F aCw  5 b  G œ ! Í EB w  FC w  aE2  F5  G b œ ! también es claro que la pendiente de ésta recta en el sistema \ w e ] w ß es E 7œ F ß como se pretendía.

10.$ Rotación.

Sea un punto T de coordenadas aBß Cb con respecto de los ejes rectangulares \ e ] Þ Vamos a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas aBw ß C w b del mismo punto T con respecto al nuevo referencial tambien rectangular \ w e ] w pero rotado un ángulo ! en torno al origen, con respecto al eje \ en el sentido positivo.(fig. 2).

y P(x, y) B

P′(x′, y′)

ρ

θ O

x′

A′

α A

x fig. #

En ˜SET À B œ 3 -9=a!  )b œ 3-9= ) -9= !  3=/8 ) =/8 !

C œ 3 =/8a!  )b œ 3=/8 ) -9= !  3-9= ) =/8 !

a"b

a#b

pero, en ˜SEw T À B w œ 3-9= ) e C w œ 3=/8 )ß entonces resulta en a"b y en a#b B œ B w -9= !  C w =/8 ! C œ B w =/8 !  C w -9= ! de estas últimas ecuaciones tambien se obtienen:

Bw œ

B -9= !  C =/8 !

w

C œ  B =/8 !  C -9= ! Estas últimas cuatro ecuaciones, son las que regulan una rotación de los ejes coordenados, en un ángulo ! en torno al origen.

10.4 Ejercicios Resueltos

1. Dada la recta $B  #C  & œ !ß determine la ecuación de ella referida a los nuevos ejes \ w e ] w que son paralelos con respecto a los ejes \ß ] y con el nuevo origen en el punto a#ß  $b. Solución. De inmediato las ecuaciones de traslación son: B œ B w  # e C œ C w  $ luego resulta $ aB w  # b  # aC w  $b  & œ ! Í $B w  #C w  & œ !

2. Dadas las rectas #B  $C  ' œ ! • %B  $C  "# œ !ß determine el nuevo origen donde se deben trasladar los ejes \ e ] de modo que las ecuaciones de las rectas dadas carezcan de términos libres. Solución. El nuevo origen se obtiene resolviendo el sistema formado por las rectas dadas, así las nuevas ecuaciones en este nuevo sistema, serán dos rectas por el origen y carecerán de términos libres. ) Al resolver el sistema indicado, resultan: B œ " e C œ luego las ecuaciones de $ ) traslación son B œ B w  " e C œ C w  de donde se obtienen #Bw  $Cw œ ! $ • %Bw  $Cw œ !Þ 3. Considere una rotación de 45° en el sentido positivo, para graficar la hipérbola BC œ #ß indique sus elementos principales. Solución. Ecuaciones de rotación: Bœ

" w È# aB

 C wb • C œ

" ˆ w# # B

w#‰

" w È# aB

 C w bß de donde

Bw # Cw # BC œ # Í C œ# Í #  # œ" # # " " w w también: B œ È# aB  C b • C œ È# a  B  C b

\w  ] w

Centro À

\]

S a!ß !b

Sa!ß !b

w

Z"w a#ß !bà Z#w a  #ß !b

Focos:

J"w Š#È#ß !‹à J#w Š  #È#ß !‹

Z" ŠÈ#ß È#‹à Z# Š  È#ß  È#‹

Asíntotas:

Cw œ Bw e Cw œ  Bw

Bœ! e Cœ!

Vértices À

J" a#ß #bà J# a  #ß  #b

Ecuaciones de los ejes \ w e ] w son:  B  C œ ! y B  C œ ! y

2

2

x

4. Transformar por giro la ecuación B  C  " œ !ß referida a un nuevo sistema ortogonal de modo que el nuevo sistema ortogonal tenga el mismo origen que el anterir y sus ejes dimidian los ángulos formados por los ejes anteriores. Solución. Nótese que el giro es de 45°, con lo que, las ecuaciones de rotación son: Bœ

" w È# aB

 C wb • C œ

" w È# aB

y remplazando en B  C  " œ ! resulta B w œ

 C wb

È# # Þ

5. Transformar la ecuación $B#  %C#  $B  %C  "" œ !ß por traslación paralela de los ejes, de modo que la ecuación referida al nuevo sistema de coordenadas no tenga términos de primer grado. Solución. Sean las ecuaciones de traslación B œ B w  2 C œ Cw 5

Vamos a determinar 2 y 5 de modo que la nueva ecuación caresca de términos de primer grado, así $aB w  2b#  %aC w  5 b#  $aB w  2b  %aC w  5 b  "" œ !ß de donde

$Bw #  %Cw #  a'2  $bBw  a)5  %bCw  $2#  %5 #  $2  %5  "" œ !ß luego se debe tener: " '2  $ œ ! Í 2 œ # " )5  % œ ! Í 5 œ  # # # Así, la ecuación queda: "#Bw  "'Cw  *& œ !

6. Hallar las nuevas coordenadas del punto a  "ß $b cuando los ejes coordenados son trasladados primero al nuevo origen a%ß &b y después se gira un ángulo de 60°. Solución. 1) B œ Bw  % • C œ Cw  & #Ñ Bw œ Bww -9= '!°  Cww =/8 '!° • Cw œ Bww =/8 '!°  Cww -9= '!° È$ " Remplazando a#b en a"b se tiene: B  % œ Bww  Cww # # È$ " C&œ Bww  Cww # # " ww È$ ww Como B œ  " • C œ $ entonces: B  C œ & # # È$ " Bww  Cww œ  # # # ww ww Resolviendo el sistema para B e C se obtienen: & & Bww œ   È$ e Cww œ È$  " # # 7. Eliminar el término en BCß en la ecuación B#  BC œ " Solución. Para eliminar el término en BCß efectuamos una rotación en un ángulo ) adecuado Sean: B œ Bw -9= )  Cw =/8 ) C œ Bw =/8 )  Cw -9= )ß remplazando en la ecuación resulta:

donde aBw -9= )  Cw =/8 )b#  ÐBw -9= )  Cw =/8 )ÑÐBw =/8 )  C w -9= )Ñ œ "ß de w# # w# # w w B Ð-9= )  =/8 ) -9= )Ñ  C Ð=/8 )  =/8 ) -9= )Ñ  B C Ð=/8 #)  -9= #)) œ "

se debe tener =/8 #)  -9= #) œ ! Í >1 #) œ  " Í #) œ "$&° Ê =/8 #) œ È#  " " " "  -9= #) " • -9= #) œ  Ñ# œ Ð Ñ# de aquí que : =/8 ) œ Ð È# # #È # È#  " " "  -9= #) " -9= ) œ Ð Ñ# œ Ð Ñ# # #È # finalmente la ecuación queda: ("  È#Ñ Bw #  Ð"  È#Ñ Cw # œ #

" È#

8. Demuestre que la distancia entre dos puntos del plano cartesiano no se altera con la transformación de coordenadas. Demostración. Sean: B œ Bw  2 • C œ Cw  5 Bw œ Bww -9= )  Cww =/8 ) • Cw œ Bww =/8 )  C ww -9= ) ß de donde se obtiene B œ Bww -9= )  Cww =/8 )  2 • C œ Bww =/8 )  C ww -9= )  5

Por otra parte sean À T" aB" ß C" b y T# aB# ß C# b en el sistema \] donde

B" œ Bww" -9= )  C"ww =/8 )  2 • C œ Bww" =/8 )  C"ww -9= )  5

y

B# œ Bww# -9= )  C#ww =/8 )  2 • C œ Bww# =/8 )  C#ww -9= )  5

. œ ÉaB"  B# b#  aC"  C# b#

œ ÒÐBww" -9= )  C"ww =/8 )  Bww# -9= )  C#ww =/8 )Ñ#  ÐBww" =/8 )  C"ww -9= )  Bww# =/8 "

)  C#ww -9= )Ñ# Ó # "

œ ÒÐBww#  Bww" Ñ# Ð=/8# )  -9=# )Ñ  ÐC#ww  C"ww Ñ# Ð=/8# )  -9=# )ÑÓ #

œ ÉaBww#  Bww" b#  ÐC#ww  C"ww Ñ#

10.& Ejercicios Propuestos 1. Hallar las nuevas coordenadas de los puntos a#ß $bß a&ß 'bß a"ß #b cuando los ejes se trasladan al punto a  #ß $b como nuevo origen, coservando la dirección y sentido. Respuesta.

a%ß !bß a(ß $bß a$ß  "b

2. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos a"ß  #bß a&ß 'b y cuando los ejes se giran 45°, en el sentido antihorario?

Respuesta.

Ð  È#ß $È# Ñ

Ð

È# #

ß

$È# ""È# È# Ñß Ð ß Ñ y Ð#ß %ÑÞ # # #

3. ¿Cuál es el ángulo de rotación que transforma el punto a$ß %b del sistema \] ß en el punto a&ß !b del sistema \ w ] w ß cuyo centro de giro es el origen del sistema \] ?

Respuesta. % >1" Ð Ñ $

4. Las coordenadas de un punto son a$ß 'bÞ ¿Cuáles son las coordenadas del mismo punto cuando los ejes se giran 30° y el origen se traslada al punto a#ß  'b?

Respuesta. $È $ * Ð"  ß  $È $ Ñ # # 5. Transformar la ecuación

&B#  %BC  )C#  $' œ ! refiriéndola a unos nuevos " ejes que forman con los antiguos un ángulo ), tal que >1 ) œ  ß siendo el # centro de giro el origen del sistema \] Þ

Respuesta. %Bw #  *Cw # œ $' 6. Una curva está representada por la ecuación B#  C#  %B  'C  ( œ !Þ ¿Cuál es su ecuación cuando se trasladan los ejes al nuevo origen Sw a#ß $b?.

Respuesta. Bw #  C w # œ ' 7. ¿Cuál será el origen al que hay que trasladar los ejes para que la ecuación * B#  C#  #BC  $C  "' œ ! se transforme en otra que carezca de término en BC y de término independiente?

Respuesta. ˆ $) ß  $) ‰ 8. Determine el ángulo que deben girar los ejes para que la transformada de la ecuación (B#  'È$ BC  "$ C# œ "' carezca de término en BCÞ

Respuesta. $!° 9. Por una rotación de 45° de los ejes coordenados, cierta ecuación se transformó en %Bw #  *Cw # œ $'Þ Hallar la ecuación original.

Respuesta. &B#  #'BC  &C#  (# œ !

10. Por una traslación de los ejes coordenados al nuevo origen a$ß $b y después una rotación en un ángulo de 30° las coordenadas de cierto punto T se transforma en el punto a(ß 'bÞ Hallar las coordenadas de T ß con respecto a los ejes coordenados originales.

Respuesta. (È$ "$ Ð ß  $È$ ÑÞ # #

Capítulo "" La Parábola 11.1 Definición. Se llama parábola, al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. El punto fijo se acostumbra a llamar foco y la recta fija directriz. A la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se llama eje de simetría de la parábola. Sea U, el punto de intersección entre el eje de simetría y la directriz de la parábola, entonces el punto medio entre el foco J y el punto U pertenece a dicho lugar geométrico, dicho punto se llama vértice Z de la parábola. a0 31Þ "b Y

a x +b y +c = 0

Q

P(x, y )

V

O

F

X

0 31Þ " Ecuación:

Sean: +B  ,C  - œ ! la ecuación de la directrizß J a?ß @b las coordenadas del foco ÐJ no esta sobre la directriz) y T aBß Cb un punto cualquiera que pertenece al PÞKÞ en cuestión, entonces de la definición se debe tener, | +B  ,C  - | È œ ÐB  ?Ñ#  ÐC  @Ñ# È +#  , #

Para el caso particular en que las coordenadas del vértice sea Z a2ß 5 b y el eje de simetría sea paralelo al eje ] ß entonces se tendrán: J Ð2ß 5  :Ñ y la ecuación de la directriz C œ 5  : con :  !, así Y

P(x, y) F V

p p

A(x, k − p)

O

X

0 31Þ # ÉaB  2b#  aC  5  :b# œ ÉaB  Bb#  aC  5  :b#

aB  2b#  C#  #C a5  :b  a5  :b# œ C #  #C a5  :b  a5  :b# de donde simplificando se obtiene

aB  2b# œ %:aC  5 b

a"b

esta es la ecuación canónica de una parábola cuyo vértice es Z a2ß 5 b y eje de simetría paralelo al eje ] Þ Si 2 œ 5 œ !ß resulta B# œ %: C

a#b

ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría el eje ] Þ

Analogamente, si las coordenadas del vértice son: Z a2ß 5 b y el eje de simetría sea paralelo al eje \ß entonces se tendrán: J Ð2  :ß 5Ñ y la ecuación de la directriz B œ 2  : con :  !, la ecuación en cuestión resulta

aC  5 b# œ %:aB  2b

Si 2 œ 5 œ !ß resulta C# œ %: B

a$b

a%b

ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría el eje \Þ

11.2 El trinomio de segundo grado. Se llama trinomio (función) de segundo grado a:

C œ 0 aBb œ EB#  FB  Gß E Á !

vamos a mostrar, que esta ecuación representa a una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje ] o el mismo eje ] Þ Completando cuadrados, se tiene F F F# EÐB  BÑ  G œ C Í EŒB  G œC Í   E #E %E #

#

ŒB 

F " F# œ Ò C  ÐG  ÑÓß  #E E %E #

F F# " comparando con la ecuación a"b se tiene À 2 œ  ß 5œG , %: œ #E %E E de aquí : œ

" luego si :  ! Í E  ! • :  ! Í E  ! %E

coordenadas del vértice Z Ð 

F F# ßG  ÑÞ #E %E

""Þ$ Tangencia. La ecuación de la tangente a la parábola C# œ %: Bß en el punto T! ÐB! ß C! Ñ de ella es C! C œ #: ÐB  B! Ñ

a&b

En efecto, T! ÐB! ß C! Ñ pertenece a la parábola entonces C!# œ %: B! sea

C  C! œ 7ÐB  B! Ñ

la ecuación de la tangente en cuestión, entonces efectuando la intersección de esta tangente con la parábola resulta Ò7ÐB  B! Ñ  C! Ó# œ %: B Í 7# B#  Ð#7C!  #7# B!  %:ÑB  7# B!#

 #7B! C!  C!# œ !

imponiendo la condición de tangencia ? œ !ß resulta Ð#7C!  #7# B!  %:Ñ#  7# Ð7# B#!  #7B! C!  C!# Ñ œ !

de donde simplificando se llega a C! „ É C!#  %: B!

#

B! 7  C ! 7  : œ ! Í 7 œ

7œ

#B!

pero C!# œ %: B! , entonces

C! C! ß así la ecuación de la tangente resulta C  C! œ ÐB  B! Ñ Í #B! #B!

#B! C œ C! ÐB  B! Ñ multiplicando por

C! se recibe C! C œ #: ÐB  B! Ñ. #B!

Analogamenteß para la familia de parábolas de la forma B# œ %: C la ecuación de la tangente en T! ÐB! ß C! Ñ es

a'b

B! B œ #:ÐC  C! Ñ Para los casos de

aC  5 b# œ %:aB  2b •

aB  2b# œ %:aC  5 b

las ecuaciones de las tangentes en T! ÐB! ß C! Ñ sonß respectívamente ÐC!  5ÑÐC  5Ñ œ #:ÐB  B!  #2Ñ ÐB!  2ÑÐB  2Ñ œ #:ÐC  C!  #5Ñ

a)b

a(b

""Þ% Ecuación general

Desarrollando a"b y ordenando resulta

B#  %:C  #2B  2#  %:5 œ !

que podemos escribirla como B#  +" C  + # B  + $ œ ! donde +" œ  %:ß +# œ  #2ß +$ œ 2#  %:5Þ

a"!b

Recíprocamente, se puede demostrar que a"!b representa al PÞKÞ de una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje ] Þ

La discusión de la ecuación a"!b supone +" Á !Þ

Si es el caso que +" œ ! Ê B#  +# B  +$ œ !ß si las raíces de esta ecuación son reales y distintas, digamos # À È&+B  #+C œ *+# Ê 7# œ  È& # Luego el ángulo en cuestión estará dado por >1 ) œ

7#  7 " œ %È& Ê ) œ )$ß '#° "  7# 7 "

24. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hipérbola B#  C# œ +# a sus asíntotas es constante. Solución.

Sea T! aB! ß C! b un punto cualquiera de la hipérbola, entonces: lB!  C! l lB!  C! l l B#  C!# l " œ ! œ +# ß pues È# È# # # hipérbola.

." .# œ

T!

pertenece

a

la

25. Determine la ecuación de la hipérbola sabiendo que sus asíntotas son las rectas B  C  " œ ! ß C  B  $ œ !ß cuyo eje real es paralelo al eje ] y que pasa por el punto a!ß %bÞ Solución. El centro de simetría de la hipérbola en cuestión, está en la intersección de sus asíntotas, dado por la solución de BC"œ! CB$œ!

que resulta ser a  "ß #b así la ecuación pedida es ÐC  #Ñ# ÐB  "Ñ#  œ" +# ,# + œ " Í + œ , , y como la hipérbola pasa por el punto , Ð%  #Ñ# Ð!  "Ñ# a!ß %b Ê  œ " Í ,# œ $Þ Así resulta la ecuación dada por ,# ,#

pero como C œ B  $ Ê

ÐC  #Ñ# ÐB  "Ñ#  œ" $ $ 26. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al eje ] es siempre igual a la mitad de su distancia al punto a$ß #bÞ Grafique la curva. Solución. Y

Y

P( x , y )

2

2 O

3

−1

X

X

T aBß Cb debe cumplir lBl œ

"È ÐB #



$Ñ#

 ÐC 

#Ñ#

ÐB  "Ñ# ÐC  #Ñ# Í  œ" % "#

Se trata de una hipérbola de centro de simetría G a  "ß #b

12Þ6 Ejercicios Propuestos $ 1. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto Œ"ß È$ y tiene una # # excentricidad de Þ È& Respuesta. %B#  #!C# œ "$*

2. Los puntos a$ß !b y a  $ß !b son los focos de una elipse y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es *Þ Hallar la ecuación dela elipse. Respuesta. #(B#  $'C# œ "!&$ 3. Si T Ð?ß @Ñ es un punto cualquiera de la elipse ,# B#  +# C# œ +# , # Þ Demostrar que los radios vectores son: ß #>b se encuentran en el interior de la elipse. Respuesta. "Ÿ>Ÿ

% &

18. Dadas: la elipse ,# B#  +# C# œ +# ,# , la circunferencia B#  C# œ , # y la recta C  : œ !ß ésta ultima interseca al eje C en el punto R ß a la circunferencia en U RT + y a la elipse en T Þ Demostrar que se verifica œ Þ RU , 19. Si U y U w son puntos de las circunferencias inscrita y exinscrita a una elipse, de modo que un punto T de la elipse tiene la ordenada de U y la abscisa de U w Þ Demostrar que la recta UU w pasa por el origen de coordenadas. 20. El punto medio de una cuerda de la elipse Encontrar la ecuación de la cuerda.

, # B#  + # C # œ + # , #

es

a?ß @b

Respuesta. ,# ? C  @ œ  # ÐB  ?Ñ + @ 21. Demostrar que el módulo de la pendiente, de las tangentes trazadas desde el punto donde un lado recto corta a la elipse es igual a su excentricidad. 22. El lado recto de una elipse corta a ella en Vß se traza una cuerda por el foco J" a-ß !b y por el punto Ð!ß ,Ñ que corta en T a dicha elipse. Demostrar que J" T J" V œ J" F J# V siendo J# el otro foco. 23. Demostrar que en toda elipse, la suma de los cuadrados de dos semidiámetros conjugados es igual a la suma de los cuadrados de los dos semiejes. 24. Un segmento EF de longitud ' unidades se desliza de forma que sus extremos se apoyan sobre los ejes cartesianos rectangulares. Entre los puntos E y F se elige un punto tal que T E œ  #T FÞ Determine el lugar geométrico descrito por T Þ

Respuesta. "'B#  %C# œ '% 25. Desde un punto cualquiera de una elipse se trazan las rectas que la unen a los vértices E y E w Þ Estas rectas cortan al eje FF w en los puntos Q y R Þ Probar que SQ † SR œ ,# .

26. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos a$ß  #b y a(ß 'bß tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje BÞ Respuesta. %B#  &C# œ "'Þ

27. Los vértices de una hipérbola son los puntos a#ß !b y a  #ß !b si sus focos son a$ß !b y a  $ß !bÞ hallar su ecuación y su excentricidad. Respuesta. &B#  %C# œ #!à "Þ&

28. Los vértices de una hipérbola son los puntos a  #ß #b y a  #ß  %b y la longitud de su lado recto es # Þ Hallar su ecuación, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. Respuesta.

$aC  "b#  *aB  #b# œ #(à Ð  #ß  "  È$Ñà Ð  #ß  "È$Ñà

#È $ $

29. Dada la hipérbola #&B#  $'C# œ *!! Determine: los focos, sus asíntotas y el área del triángulo determinado por las asíntotas y la tangente en el vértice Z Ð'ß !ÑÞ Respuesta. J" ÐÈ'"ß !Ñß J# Ð  È'"ß !Ñà 'C œ „ &Bà $!Þ 30Þ Dada la hipérbola B#  %C#  'B  "'C  #" œ !ß determine: Su ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, asíntotas , longitud de su lado recto y excentricidad. Respuesta.

%aC  #b#  aB  $b# œ "'à a$ß  #bà a$ß !bß Ð"ß  #Ñ à Š$ß  #  È&‹ß È& Š$ß  #  È&‹à #C  % œ „ ÐB  $Ñà %à # 31. Si 5 es un número positivo. Demostrar que la ecuación $B#  $C# œ 5 representa a una familia de hipérbolas, cuya excentricidad es È#.

32. Hallar los puntos de intersección de la recta #B  *C  "# œ ! con las asíntotas de la hipérbola %B#  *C# œ ""Þ Respuesta.

a$ß #bà a  "Þ&ß "b

33. Demostrar que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre si, la hipérbola es equilátera. 34. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera que pasa por el punto a  "ß  &b y tiene por asíntotas a los ejes coordenados. Respuesta. BC œ & 35. Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hipérbola equilátera a su centro es media proporcional geométrica entre las longitudes de los radios vectores del punto. 36. La excentridad de la hipérbola ,# B#  +# C# œ +# ,# es /" Þ Si la excentricidad de su hipérbola conjugada es /# Þ Demostrar que /" À /# œ , À +Þ 37. Si ! es el ángulo agudo de inclinación de una asíntota de la hipérbola ,# B#  +# C# œ +# ,# . Demostrar que su excentricidad es igual a =/- Þ 38. Demostrar que si una recta es paralela a una asíntota de una hipérbola, corta a la curva solamente en un punto.

39. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos a!ß !b y a%ß !bÞ Hallar e identificar el lugar geométrico del vértice opuesto si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro. Respuesta. $B#  C#  "'B  "' œ !à $B#  C #  )B œ !Þ

40. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola B#  #C#  %B  )C  ' œ ! que son paralelas a la recta %B  %C  "" œ !Þ Respuesta. B  C  " œ !à B  C  " œ !

41. Hallar el ángulo formado por las tangentes trazadas desde el punto a$ß 'b ala hipérbola B#  C#  %B  #C  & œ !Þ Respuesta. #$° #$'.

42. Demostrar que la elipse #B#  C# œ "! y la hipérbola ortogonales entre sí, en sus puntos de intersección.

%C#  B# œ % son

43. Demostrar que la pendiente de la tangente a una hipérbola en cualquier extremo de sus lados rectos, es numericamente igual a su excentricidad. 44. Demostrar que el punto de contacto de cualquier tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de tangente comprendido entre las asíntotas. 45. En cualquier punto T ß excepto uno de sus vértices de una hipérbola equilátera, se traza una normal que corta al eje focal en el punto UÞ Si S es el centro de simetría de la hipérbola, demostrar que lST l œ lT UlÞ 46. Demostrar que en una hipérbola equilátera dos diámetros ortogonales tienen longitudes iguales. 47. Por un punto T de una hipérbola se traza una recta 6ß paralela al eje transversal y ésta recta corta a las asíntotas en los puntos U y Vß demuestre que se cumple que T U † T V œ +# y cuano 6 es paralela al eje conjugado se verifica T U † T V œ , # Þ 48. Sean dos hipérbolas equiláteras y concéntricas de modo que los ejes de una de ellas sean las asíntotas de la otra. Demostrar que las hipérbolas se cortan ortogonalmente. 49. Estudiar para que valores de +ß ,ß - la ecuación BC  +B  ,C  - œ ! representa a una hipérbola con asíntotas paralelas a los ejes coordenadosÞ 50. Determinar el área de un rectángulo formado por las perpendiculares bajadas desde los focos de la hipérbola ,# B#  +# C# œ +# ,# a una tangente cualquiera de ella. 51. Una tangente a una hipérbola se prolonga hasta sus puntos de intersección con sus asíntotas. Encuentre la magnitud ST" † ST# siendo T" y T# los puntos de intersección y S el centro de la hipérbola. 52. Si las asíntotas de una hipérbola forman un ángulo de #=, demuestre que >1 = œ È/#  "

donde / es su excentricidad. 53. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por focos y vértices los vértices y focos de la elipse %B#  *C#  %)B  (#C  "%% œ ! respectívamente. Encuentre las asíntotas de la misma. Grafique ambas cónicas. 54. Determine la ecuación de la elipse que tiene por vértices los puntos de intersección de las asíntotas de la hipérbola *B#  %C#  $'B  $#C  '% œ ! con el eje ] ß $È $ y que pasa por el punto Ð ß $ÑÞ # 55. Determine las coordenadas de los puntos, en los cuales la tangente a la elipse: B#  % C# œ % sea paralela a la recta C œ BÞ

Respuesta. % " B! œ … ß C œ „ È& ! È&

56. Por el punto T a#ß (b se trazan tangentes a la elipse #B#  C#  #B  $C œ # Hallar las coordenadas de los puntos de contacto. Respuesta. a"ß "bß Œ 

"$ #* ß  * *

57. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse $B#  C#  %B  #C  $ œ ! que son perpendiculares a la recta B  C  & œ ! Respuesta. B  C  "à $B  $C  "$ œ !

58. Dados los focos J" a#ß $b y J a  #ß "b y la longitud del eje mayor que es 8, obtener la ecuación y los elementos de la elipse. Respuesta. "#B#  %BC  "&C#  )B  '!C  ""' œ ! 59. Una circunferencia móvil es tangente a las circunferencias: G" À B#  C#  %B œ !;

G# À B#  C #  "'B  $' œ !

Identifique el lugar geométrico que describe el centro de la circunferencia móvil. Respuesta. $B#  %C#  $!B  $$ œ ! 60. Encuentre la ecuación de la tangente a la hipérbola B#  #C#  #B  )C  $ œ !

en el punto a"ß %bÞ Determine también las ecuaciones de sus asíntotas. Respuesta.

B  #C  ( œ !à #C  % œ „ È#aB  "bÞ