Geometría Analítica La Parabola PDF

 

Geometría Analítica 

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA

LA PARÁBOLA DEFINICIÓN

A partir de su definición vamos a ded deducir ucir la ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas.  

Parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano que equidistan equidistan de una recta fija llamada directriz directriz (L)  (L) y de un pun punto to fijo exterior a dicha recta llamado foco (F) de (F) de la parábola.

El eje de la parábola coincide con el de las abscisas y el vértice con el origen de coordenadas.

Se llama parábola a la  la   sección cónica  cónica  generada al cortar un cono un cono recto con un plano paralelo a la generatriz.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA  

Foco (F). Es (F). Es el punto fijo d e la parábola.

Directriz. Es una recta fija. Vértice (V). Donde la parábola hace el giro más fuerte, es el punto de medio del segmento que une la directriz y el foco.   Eje Focal. Eje de simetría, es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.   Parámetro. Es la distancia distancia del foco a la direct directriz, riz, se designa por la letra p

 

 

x

2

x

p

2  

y

0

2 

x

Elevando al cuadrado: 2px   p2 y2  x2 2px

p

 

p2

Simplificando: y2 4px  

Profesor: Javier Trigoso

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El eje de la parábola coincide con el de las ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas.

RESUMEN

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA

x

0 2

x

2  

y



p

2 

y

p  

Elevando al cuadrado: y  2py p2  y2 2py 2

Si el vértice de la parábola se ubica en cualquier punto (h; k) del plano que no sea el origen de coordenadas, el eje de simetríaa es paralelo a un eje coordenado y p > 0, obtenemos: simetrí

p2

Simplificando: x2 4py  

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ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

De manera análoga, si el eje focal es paralelo al eje Y, obtenemos:

Partiendo de la ecuaci ecuación ón ordinaria d e la parábola y

2

x

dependiendo del paralelismo de su eje focal con respecto a los ejes, la ecuación ecuación general de la parábola queda expres expresada ada así:

y2 x2

   

Dy Dx

Ex Ey

F F

 

0 0

eje focal paralelo al eje X   eje focal paralelo al eje Y

= h  p, con p > 0, su ecuación ordinaria es:

y  k 2

4p x

 

h

Desarrollando la fórmula anterior obtenemos:

 y2



2ky  k2



4px  4ph

 

Ordenando: 2

 y



2ky  4px  k2



4ph  0  

Haciendo: -2k = D; -4p= E; E; k2 + 4ph = F y F  y reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos:

y2

Dy

 

Ex Ex

F



0 

Conocida como la ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje X. Profesor: Javier Trigoso

E Ey y

F



0 

CLASE… 

01.  Determina el foco y la directriz de cada parábola: 2   y = 2   y = 2   x = 2   x =

–

 

Conocida como la ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje Y.

PARA LA Veamos el caso de la parábola de vértice (h; k), con foco (p + h; k), eje focal paralelo al eje X y cuya directriz es la recta x

Dx

4x -6x 12y -8y

02.  Determina el vértice, foco y la directriz de cada parábola: 2   (x + 2) = 4(y - 1) 2   (x + 3) = 6y 2   (y - 2) = -4(x + 1)   (y + 3) 2 = 12x + 8 03.  Determina el vértice, foco y la directriz de cada parábola: 2   x + 4x – 4y + 8 = 0 2   x - 2x + 2y + 5 = 0 2   y + 6y + x + 7 = 0 2   y - 2y - 2x - 3 = 0 2   2x   – 12x – 40y + 98 = 0

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04.  Halla la ecuación ecuación de la parábola con vér vértic ticee V(0; V (0; 0) y foco F(0; 3)  

05. Halla la de layparáb parábola vértice coincide el origen deecuación coordenadas pasa ola porcuyo el punto (3, 4), siendocon su eje OX.  06.  Escribe la ecuación ecuación de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A (2, 3) y B (-1, 12). 07.  Halla la ecuación ecuación general de la parábola de vértice (2;3), eje focal paralelo al eje Y, y que pasa por el punto (0; 5). 08.  En cada uno de los siguientes siguientes ejercici ejercicios, os, el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Determina su ecuación. simétrica respecto del eje de abscisas y pasa por el   Es simétrica punto P (-1; 2).   Su eje focal es el eje de ordenadas y pasa por el punto P (2; -3)   La directriz es la recta y – 4 = 0   El foco tiene abscisa cero y p = 8 09.  Encuentra la ecuación de la parábola si su vértice es V (0;0) y las coordenadas del lado recto son A (-4; 2) y B (4; 2). 10.   Halla la ecuación de la paráb parábola ola que verifica las siguientes condiciones:

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  F(2;

3), directriz x – 6 = 0   V(-2; 2) y F(2;2)   El vértice pertenece a la recta 7x + 3y – 4 = 0, eje horizontal hori zontal y F(3; -1)

PARA LA

CASA… 

01.  Calcula el vértice, foco y la recta directriz de las parábolas sigui siguientes: entes: 2    y  = 8x 2    y  = -8x 2   x  = 8y   x2 = -8y 2   (y – 2)  = 8(x – 3) 2   (x – 3)  = 8(y – 2) 02.  Encuentra el vértice, el foco y la directriz 2   x  + 2x + 2y + 7 = 0 2    y = x  + 4x + 3 = 0 2   4y  - 4y – 4x + 24 = 0  

2

–

 y 2 + 6y  x + 16 = 0   x  - 4x - 2y = 0 03.  Determina las ecua ecuacion ciones es de las parábolas que tienen:   Directri Directrizz x = -3 y foc focoo (3; 0)   Directri Directrizz x = 2 y foco ((-2; -2; 0)   Directri Directrizz y = 4 y fo foco co (0; ( 0; 0) Directrizz y = -5 y foco (0; 5)   Directri

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04.  Determina las ecuaciones ecuaciones de las parábolas que tienen:   Foco (2; 0) y vértice (0; 0)   Foco (3; 2) y vértice (5; 2)    

Foco 5)yyvértice vértice(1; (-2; Foco (-2; (3; 4) 4)2)

05.  Determina la ecuación de la paráb parábola ola que tiene su foco en (1; 3) y vértice en (-2; 3). 06.  Halla la ecuación ecuación de la parábola con vértice en (3; -1) y cuya ecuación de d e la directriz es: y – 2 = 0  0  07.  Determina la ecuación ecuación de la parábola cuyos puntos P (x; (x ; y) equidistan de la recta y – 1 = 0 y del punto (3; 5). 08.  Determina la ecuación de la paráb parábola ola que tiene su foco en F (-2, -1) y su lado recto lo unen los puntos: Q (-2; 2) y Q´(-2; -4). 09.  Usando la definición, halla la ecuación de la parábola que ti tiene ene su foco en el pun punto to F (2; 0) y su rect rectaa directriz tiene por ecuación x   = -2.  -2.  10.   Halla la ecuación de la paráb parábola ola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto (3; 4), siendo su eje OX. 11.  Escribe la ecuación ecuación general de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A (2; 3) y B

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(-1; 12) 12.  Determina la ecuación ecuación general de la parábola cuyo eje focal paralelo (-1; 3)es yR (- 8; 4) al eje X y pasa por los puntos P (1; 2), Q 13.  Determina la ecuación ecuación general de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje Y y pasa por los puntos P (6; 2), Q (4; -1) y R (- 2; 2) 14.  Determ Determina ina la ecuaci ecuación ón de la paráb parábola ola que tiene por directriz la recta: x + y - 6 = 0 y 0  y por foco el origen de coordenadas. 15.  Encuentra la ecuación de la parábola con eje paralelo al eje de las abscisas y pasa por los puntos: A (3, 3), B (6, 5) y C (6, -3). 16.  Encuentra la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje Y, que pasa por los puntos A (2; -1), B (-4; -4) y C (6; 9). 17.  Halla la ecuación ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: puntos: A (6; 1), B (-2; 3) y C (16; 6). 18.  Determ Determina ina la ecuaci ecuación ón de la paráb parábola ola que tiene como vértice V (1; 0) y tiene como eje focal el eje de las abscisas que pasa por el punto (2; 2)

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19.   Determina el vértice V y la ecuaci ecuación ón de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y 2  y cuyo foco está localizado en el punto F (4; 2).

26.  Halla la ecuación ecuación de la parábola con vértice de abscisa positiva y que pasa por los puntos A (7; 8) y B (7; -12). positiva - 12). Además tiene como directriz a la recta x + 3 = 0.  0. 

20.  Determina el vértice V, el foco F, la ecuación ecuación de la directriz y el eje focal de la parábola cuya ecuación es: 3x2 – 3x – 24y – 1 = 0

27.  Halla la ecuación ecuación de la parábola cuyo foco está sobre la recta 2x + y = 1, 1, su vértice pertenece a la recta x – y + 3 = 0 y 0 y su directriz es la recta x + 4 = 0. 0.

21.   Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la circunferencia x  2 y2   2x 2 2y y  0 y su directriz es x – 2 = 0.

28.  ¿En cuántos puntos se interseca la parábola de ecuación

22.  Encuentra la ecuación de la parábola que se abre hacia abajo, cuyo vértice es el centro d dee la circ circunferencia unferencia 2 2 x y   14 y 40 4 0  0 , además, la distancia del vértice a la directriz es 6.

29. Una antena de TV tiene la forma paraboloide revolución. revol ución. Dete Determina rmina la posición del de receptor que sedecoloca en el foco, si la antena tiene 15 cm de diámetro en su abertura y 5 cm de profundidad en su centro.

23.  La parábola de ecuaci ecuación ón x2 4y , es cortada por la recta 2x – y = 3 en los puntos A y B. Calcula la longitud de la cuerda AB.

x2



4 y  con la circunferencia x2

y

 

4

2 

1?

 

30.  Un arco tiene la forma de una parábola con el eje vertical, la altura de su centro es de 10 cm y tiene en su base un claro de 30 cm. Determina su altura a la distancia de 5 cm de un extremo.

24.  Halla la longitud longitud del lado recto de la parábola cuyo eje es paralelo al eje Y, que tiene foco F (0; 5) y la rrecta ecta directriz pasa por el punto (0; -5). 25.  Halla el punto medio entre el pun punto to P (-4; -6) y el fo foco co de 2 2x   8y 33  0   la parábola de ecuación: x

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