Geometria Analítica PDF

AULA INAUGURAL

Caro aluno e futuro professor,

Estamos iniciando mais uma disciplina do curso de Licenciatura em Matemática. Neste curso veremos vetores e coordenadas no espaço, equações e distâncias, as cônicas e as superfícies e aplicações práticas, além de sua relação com o cotidiano. A teoria foi elaborada para facilitar o processo de aprendizagem, em linguagem simples, porém, respeitando o rigor matemático que o assunto exige. Estamos iniciando uma nova etapa de aprendizagem e construção do conhecimento. Devemos ter em mente que a geometria analítica é uma ferramenta necessária para outras disciplinas de seu curso. Seu conteúdo tem interface com as disciplinas de cálculo e física, por exemplo. As aplicações da teoria podem ser observadas em vários campos do conhecimento, tais como, física, química, engenharia, dentre outros.

Em nome da equipe da UNIMES VIRTUAL, seja bem-vindo a esta nova etapa de seu curso.

Conte conosco e bons estudos!

Prof. Ruy Cordeiro Accioly

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Unidade I Geometria Analítica no Plano – Retas e Circunferência

Objetivos Esta unidade tem o objetivo de apresentar a circunferência, a determinação de sua equação e o estudo das relações com os entes ponto, reta e outra circunferência.

Plano de Estudo Esta unidade conta com as seguintes aulas: Aula: 01 - Introdução ao estudo da Geometria Analítica no Plano Aula: 02 - O estudo da Reta no Plano Aula: 03 - A Circunferência Aula: 04 - Relações entre a Circunferência e o Ponto Aula: 05 - Relações entre a Circunferência e a Reta Aula: 06 - Relações entre duas Circunferências Aula: 07 - Determinação da Circunferência

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Aula: 01 Temática: Introdução ao estudo da Geometria Analítica no Plano Sistema Cartesiano Ortogonal

Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais, isto é, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado (x,y), e a cada par ordenado (x,y) está associado um único ponto do plano. A relação biunívoca não é única, depende do sistema de eixos ortogonais adotado.

Para estabelecer uma dessas correspondências biunívocas são usados dois eixos ortogonais (eixo x e eixo y) que formam o sistema cartesiano ortogonal. A intersecção dos eixos x e y é o ponto O, chamado de origem do sistema.

Exemplo 1

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Ao par de número reais:

•

(0,0) está associado o ponto O (origem)

•

(2,3) está associado o ponto A;

•

(-3,1) está associado o ponto B;

•

(-1,5,-2,5) está associado o ponto C.

Distância entre dois pontos

Pelo teorema de Pitágoras temos que em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a2=b2+c2. Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distância entre P e Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras.

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Na figura anterior temos que o segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro cateto, logo: PQ2 = QR2 + PQ2 PQ = QR 2 + PQ 2

Temos que: PR2 = (x1 – x2)2 e QR2 = (y1 – y2)2, então PQ = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2

Exemplo 2 Determine a distância entre os pontos A e P sendo A=(2,3) e P=(5,12).

AP = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 AP = (5 − 2) 2 + (12 − 3) 2 AP = 9 + 81 AP = 90 AP = 3 10 Coordenadas do Ponto Médio de um Segmento

Dados os pares ordenados P = (x1, y1) e Q = (x2, y2), pode-se obter o Ponto Médio M = (xm ,ym) que está localizado entre P e Q.

O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.

xm =

x1 + x 2 , 2

e ym =

y1 + y 2 2

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Exemplo 3 Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2,-2). Sabendo que M (3,-2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x,y), que é a outra extremidade do segmento.

x A + xB 2 − 2 + xB 3= 2 − 2 + xB = 6 xM =

xB = 8

y A + yB 2 − 2 + yB −2= 2 − 2 + y B = −4

yM =

y B = −2

Logo, o ponto é B (8, -2).

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Aula: 02 Temática: O estudo da Reta no Plano

Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1 = (x1,y1) e P2 = (x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta. Coeficientes angular e linear de uma reta

Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1≠x2, o coeficiente angular m da reta que passa por estes pontos é o número real,

m=

y 2 − y1 x 2 − x1

O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas. Podemos considerar os seguintes casos:

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Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado

Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) e tem coeficiente angular m, é dada por: y – y0 = m ( x – x0)

Exemplos 1. Se P = (1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular m=8, então a equação da reta é y = 8 (x-1) + 5. 2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular m= -1, então a sua equação é dada por: y = -x. Equação Reduzida da reta

A equação da reta que passa por um ponto P(x0, y0) com declividade m é dada por: y – y0 = m ( x – x0)

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Escolhendo o ponto (0,n), isto é, o ponto em que a reta intersecta o eixo y para o ponto (xo,yo), temos: y – n = m (x – 0)y – n = mx y = mx + n

Equação reduzida da reta

Exemplos 1. Se m = 5 e n = -4, então a reta é dada por y = 5x-4. 2. Se m= 1 e n = 0, temos a reta (identidade) y = x. 3. Se m = 0 e n= 5, temos a reta y = 5. Retas paralelas e perpendiculares

Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.

Exemplos 1. x = 3 e x = 7 são retas paralelas. 2. As retas y = 34 e y = 0 são paralelas. 3. As retas y = 2x + 5 e y = 2x - 7 são paralelas. Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares m' e m" tal que m'm" = -1.

Exemplos 1. As retas y = x + 3 e y= -x + 12 são perpendiculares, pois m'=1, m"= -1 e m'm"= -1. 2. As retas y = 5x+10 e y= (-1/5)x-100 são perpendiculares, pois m'=5, m"= -1/5 e m'm"= -1. Equação Geral da Reta

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua equação geral:

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ax + by + c = 0, na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos.

Exemplos 1. Se a = -1, b = 1 e c = -1, tem-se a reta –x + y -1 = 0. 2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y = 0. 3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x + 5 = 0.

Exemplo Determinar uma equação geral da reta que passa pelos pontos A (1,4) e B(3,-3). Resolução: Cálculo da declividade da reta m=

−3−4 −7 = 3 −1 2

Considerando o ponto A(1,4), temos: y − y 0 = m( x − x0 ) 7 7 7 y − 4 = − ( x − 1) ⇒ y − 4 = − x + ⇒ 2 y − 8 = −7 x + 7 ⇒ 7 x + 2 y − 15 = 0 2 2 2

Distância de um ponto a uma reta no plano Seja um ponto P=(xP,yP) e uma reta r no plano definida por: ax + by + c = 0.

A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida pela fórmula abaixo: d P ,r =

ax P + by P + c a2 + b2

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Exemplo Calcule a distância do ponto (0,0) à reta de equação 5x + 12y + 25 = 0. Resolução: d P ,r =

5 ⋅ 0 + 12 ⋅ 0 + 25 5 2 + 12 2

=

25 13

Área de um triângulo e colinearidade de três pontos

Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos. A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:

 x1  1 Área = det  x 2 2 x  3

y1 1  y 2 1 y 3 1

Três pontos no plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares se pertencem à mesma reta. Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.

 x1   x2 x  3

y1 1  y 2 1 = 0 y 3 1

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Aula: 03 Temática: A Circunferência

Nesta unidade estudaremos a circunferência e suas relações com pontos, retas e outras circunferências. O objetivo desta aula é definir a representação da circunferência a partir de suas equações. Definição

Denomina-se circunferência ao conjunto de pontos do plano α que estão eqüidistantes de um ponto C pertencente ao mesmo plano, conforme figura:

Figura: Circunferência no plano

Vamos considerar agora uma circunferência λ , com raio r e centro no ponto C(a,b). Um ponto qualquer P(x,y) pertence à circunferência se, e somente se, a distância entre P e C for igual ao raio (r). Equação Reduzida da Circunferência

A Equação da Circunferência representa todos os pontos P, pertencentes ao mesmo plano α , que satisfazem à relação PC = r.

Sendo assim, temos: r =

( x − a) 2 + ( y − b) 2

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Por exemplo, uma circunferência que tenha centro C(4,8) e raio r = 3 apresenta a seguinte equação: (x – 4)2 + (y – 8)2 = 9

Exemplo Dada a equação reduzida da circunferência, forneça o centro C e o raio r:

a) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 1 2

2

Solução: C = (3,4) e r =1

b) (x + 3) + (y – 5) = 4

Solução: C = (-3,5) e r =2

c) x2 + y2 = 25

Solução: C = (0,0) e r =5

Equação Normal da Circunferência

Elevando os dois membros da equação ao quadrado, obtemos a Equação Reduzida da Circunferência: (x - a)2 + (y - b)2 = r2

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a Equação Normal da Circunferência: x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0

Por exemplo, a equação x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0 representa uma circunferência de centro C(1,1) e raio r = 4.

Reconhecimento de uma Circunferência

Dada uma equação geral do 2º grau, com coeficientes reais: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

As condições necessárias para a existência da circunferência são:

a) A = B ≠ 0; b) C = 0; c) D2 + E2 – 4AF > 0.

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Uma circunferência terá:

E   D Centro igual a  − ,−   2A 2A 

Raio r =

e

D 2 + E 2 − 4 AF 2A

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Aula: 04 Temática: Relações entre a Circunferência e o Ponto

O objetivo desta aula é estudar as relações entre uma circunferência e um ponto qualquer. Em algumas situações nos deparamos com o seguinte problema:

Como determinar a posição de um ponto qualquer P(x,y) em relação à circunferência λ ? Para resolver esse problema devemos calcular a distância de P(x0, y0) até o centro de λ C(a,b) e em seguida comparar o resultado com o raio r:

Figura: Distância de um ponto até o centro da circunferência

Poderemos encontrar três casos possíveis: (a) O ponto P é externo a λ . Neste caso temos d(P,C) > R, figura 1. Sendo assim, (xo - a)2 + (yo - b)2 - r2 > 0

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Figura 1: Ponto externo a circunferência

(b) O ponto P pertence a λ . Neste caso temos d(P,C) = R, figura 2. Sendo assim, (xo - a)2 + (yo - b)2 – ro2 = 0

Figura 2: Ponto pertencente a circunferência

(c) O ponto P é interno a λ . Neste caso temos d(P,C) < R, figura 3. Sendo assim, (xo - a)2 + (yo - b)2 - r2 < 0

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Figura 3: Ponto interno a circunferência

Resumidamente, podemos identificar a posição do ponto P(x0, y0) em relação à circunferência, substituindo (x0, y0) na equação de λ . Podemos ter os seguintes casos:

f(x0, y0) > 0 ⇒ P externo a λ . f(x0, y0) = 0 ⇒ P ∈ a λ . f(x0, y0) < 0 ⇒ P interno a λ .

Exemplo Determinar a posição do ponto P em relação à circunferência: ( λ ) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. a) P(2, 3) b) P(-3, 2) c) P(-1,1) Solução: a) Temos f(x,y) = x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 f(2,3) = 22 + 32 – 4.2 – 2.3 – 4 = 0 4+9–8–6–4=0 13 – 18 < 0 Portanto, P é interior a λ .

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b) Temos f(x,y) = x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 f(-3, 2) = (-3)2 + 22 – 4.(-3) – 2.2 – 4 = 0 9 + 4 + 12 – 4 – 4 = 0 17 > 0 Portanto, P é exterior a λ . c) Temos f(x,y) = x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 f(-1, 1) = (-1)2 + 12 – 4.(-1) – 2.1 – 4 = 0 1+1+4–2–4=0 0=0 Portanto, P ∈ a λ .

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Aula: 05 Temática: Relações entre a Circunferência e a Reta

O objetivo desta aula é estudar as relações entre a circunferência e a Reta. Estudaremos os problemas de determinar a intersecção e as posições relativas entre uma reta r e uma circunferência λ . Intersecção

Vamos considerar uma reta r com a seguinte equação: (r) ax + by + c = 0 e uma circunferência λ com a equação: ( λ ) (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Para determinarmos os pontos de intersecção entre a reta r e a circunferência λ , devemos identificar os pontos que pertencem às duas curvas, figura abaixo:

Figura: Intersecção entre reta e circunferência

Resolveremos então um sistema de duas equações:

ax + by + c = 0  2 2 2 (x - a) + (y - b) = r

Exemplo Determine a intersecção entre uma reta (r) y = x e uma circunferência ( λ ) x2 + y2 = 8.

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Solução: y=x Substituindo a primeira equação em λ , temos: y2 + y2 = 4 ⇒ 2y2 = 8 ⇒ y2 = 4 ⇒ y = 2 ou y = -2 As intersecções são P1 = (2,2) e P2 = (-2,2). Posições Relativas

A posição relativa entre uma reta r e uma circunferência λ é identificada determinando-se o número de soluções possíveis encontradas no sistema:

ax + by + c = 0  2 2 2 (x - a) + (y - b) = r Ao aplicarmos o método da substituição, obtemos uma equação do 2o grau. O discriminante ∆ dessa equação nos fornece o número de soluções do sistema e, conseqüentemente, a posição relativa da reta e da circunferência. Podemos ter os seguintes casos: a) Se ∆ = 0 , então a reta é tangente, b) Se ∆ > 0 , então a reta é secante, c) Se ∆ < 0 , então a reta é exterior à circunferência.

Exemplo Determinar a posição da reta r em relação à circunferência λ .

a) (r) y = 2x + 2

( λ ) x2 + y2 – 4x = 0

b) (r) 4x + 4y = 0

( λ ) x2 + y2 + x + y - 2 = 0

Solução: a) (r) y = 2x + 2

( λ ) x2 + y2 – 4x = 0

x2 + (2x + 2)2 – 4x = 0 ⇒

5x2 + 4x + 4 = 0

∆ = - 64 ∆ < 0 , então a reta é exterior à circunferência.

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( λ ) x2 + y2 + x + y - 2 = 0

b) (r) 4x + 4y = 0 4x + 4y = 0 ⇒ y = -x

x2 + (-x)2 + x + (-x) - 2 = 0

⇒

2x2 - 2 = 0

∆ = 16 ∆ > 0 , então a reta é secante à circunferência.

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Aula: 06 Temática: Relações entre duas Circunferências

Nesta aula iremos estudar as relações entre duas circunferências quaisquer.

O estudo das relações entre duas circunferências λ 1 e λ 2 , procura determinar a intersecção ou as posições relativas entre essas curvas. Intersecção

Vamos considerar duas circunferências, conforme figura a seguir, com as seguintes equações: (x – a1)2 + (y – b1)2 = r12

( λ1 )

(x – a2)2 + (y – b2)2 = r22

( λ2 )

Figura: Intersecção entre duas circunferências.

Os pontos P(x,y) que pertencerem às duas curvas devem satisfazer o sistema abaixo:  (x - a1 ) 2 + (y - b1 ) 2 = r12  (x - a 2 ) 2 + (y - b 2 ) 2 = r22

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Exemplo Determinar os pontos de intersecção da circunferência ( λ 1 ) x2 + y2 – 4y = 0 com a circunferência ( λ 2 ) x2 + y2 – 2x = 0.

Solução: Subtraindo λ 2 de λ 1 temos - 4y + 2x = 0 Substituindo em λ 2

⇒ x = 2y

temos (2y)2 + y2 – 2.2y = 0 5y2 – 4y = 0

Temos, x = 0 e y = 0

ou

x=

8 4 e y= 5 5

8 4 Resposta: P1 = (0,0) e P2 =  ,  . 5 5

Posições Relativas

Podemos determinar a posição relativa entre duas circunferências λ 1 e λ 2 , comparando a distância C1C2 entre os centros com a soma dos respectivos raios (r1 + r2) ou diferença (r1 – r2).

Sendo,

( λ1 )

(x – a1)2 + (y – b1)2 = r12

( λ 2 ) (x – a2)2 + (y – b2)2 = r22

A distância entre os centros C1 e C2 é dada por:

d=

(a2 − a1 )2 + ( b2 − b1 )2

Neste estudo, podemos encontrar os seguintes casos:

a) Duas circunferências uma externa a outra: d(C1,C2) > r1 + r2

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Figura: Duas circunferências uma externa a outra

b) Duas circunferências tangentes, externamente: d(C1,C2) = r1 + r2

Figura: Duas circunferências tangentes, externamente

c) Duas circunferências tangentes, internamente: d(C1,C2) = |r1 - r2|

Figura: Duas circunferências tangentes, internamente

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d) Duas circunferências uma interna a outra, sem intersecção: 0 < d(C1,C2) < |r1 - r2|

Figura: Duas circunferências uma interna a outra, sem intersecção

e) Duas circunferências secantes: |r1 - r2|< d(C1,C2) < r1 + r2

Figura: Duas circunferências secantes

f) Duas circunferências concêntricas: d(C1,C2) = 0

Figura: Duas circunferências concêntricas

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Exemplo Determine a posição relativa entre as duas circunferências. ( λ 1 ) x2 + y2 = 64

( λ 2 ) x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0

Solução: Para λ 1 temos C1 (0,0) e r1 = 8

λ 2 temos C2 (3,4) e r2 = 6 d(C1,C2) =

(3 − 0 ) 2 + ( 4 − 0 ) 2 = 5

A soma dos raios é igual a 14, portanto, d(C1,C2) < (r1 + r2) e as circunferências são secantes.

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Aula: 07 Temática: Determinação da Circunferência

O objetivo desta aula é determinar uma circunferência a partir de outros lugares geométricos. Vamos aprender como obter a circunferência a partir da equação: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Sabemos que a circunferência possui centro em C(a,b) e raio é igual a r. Na determinação de circunferências, temos alguns casos clássicos que devem ser comentados: a) Determinação de uma circunferência λ que passa pelos pontos A(x1,y1), B(x2,y2) e tem raio r:

Figura: Circunferência por dois pontos

Para achar λ devemos resolver o sistema abaixo, pois os pontos A e B pertencem à circunferência.

 ( x1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 = r 2  2 2 2 ( x 2 − a ) + ( y 2 − b ) = r Resolvendo-se este sistema temos os valores de a e b.

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Exemplo Determinar a equação da circunferência que possui raio igual a 4 e passa pelos pontos A = (0,4) e B = (-4,0). Solução:

 (0 − a )2 + ( 4 − b )2 = 16  2 2 ( −4 − a ) + (0 − b ) = 16 a 2 + 16 − 8b + b 2 = 16  2 2 16 − 8a + a + b = 16 Subtraindo membro a membro, temos: -8a -8b=0 ⇒ a = -b Substituindo b , temos: (-b)2 + 16 - 8b + b2 = 16 Resolvendo, obtemos: C(-4, 4) Portanto a equação da circunferência é: (x2 – 4) + (y2 + 4) = 0

b) Determinação de uma circunferência λ de centro C(x0, y0) e que é tangente a uma reta (r): ax + by + c = 0.

Figura: Circunferência tangente a uma reta

A equação desta circunferência é determinada resolvendo-se o sistema abaixo:

ax + by + c = 0   2 2 2 ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) = r

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Resolvendo por substituição, obtemos uma equação do 2º. Grau com r como incógnita. A condição de tangência é ∆ = 0. Impondo esta condição, encontramos o valor de r. c) Determinação de uma circunferência λ que passa pelos pontos A(x1,y1), B(x2,y2) e é tangente a reta (r): ax + by + c = 0.

Figura: Circunferência por dois pontos e tangente a uma reta

Para obter a equação da circunferência, devemos resolver o sistema:  ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 1  1   ( x2 − a )2 + ( y 2 − b )2 = r 2    ax + by + c  = r2  a2 + b2

Resolvendo o sistema obtemos o centro da circunferência C(x,y) e o raio r que são as incógnitas. d) Determinação de uma circunferência λ 1 que possui centro em C1(x0, x0) e é tangente à outra circunferência λ 2 (x – a0)2 + (y – b0)2 = ro2 .

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Figura: Circunferência tangente a outra circunferência

Para obter esta circunferência devemos impor a condição de tangência entre circunferências.

λ1 tg λ 2

⇒

dC1,C2 = r1 ± r2

Logo, (a – a0)2 + (b – b0)2 = (r ± r0)2 Determinando r temos as equações da circunferência.

Exemplo: Determinar a circunferência de centro C1(4,5), tangente à outra ( λ 2 ) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4. Solução: Como λ 1 tg λ 2 , temos: (4-1)2 + (5-1)2 = (r ± 2)2

⇒ r = 7 ou r = 3.

Obtemos então duas circunferências possíveis: (x - 4)2 + (y - 5)2 = 49 (x - 4)2 + (y - 5)2 = 9

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Resumo da Unidade I

Nesta unidade, estudamos a circunferência e suas relações com pontos, retas e outras circunferências.

Neste estudo, denominamos circunferência ao conjunto de pontos do plano α que estão eqüidistantes de um ponto C pertencente ao mesmo plano. Considerando uma circunferência λ , com raio r e centro no ponto C(a,b), um ponto qualquer P(x,y) pertence à circunferência se, e somente se, a distância entre P e C for igual ao raio (r). Portanto, a equação da circunferência representa todos os pontos P, pertencentes ao mesmo plano α , que satisfazem à relação PC = r. Então, como r =

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 , temos que,

(x - a)2 + (y - b)2 = r2 que chamamos de equação reduzida da circunferência. Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a Equação Normal da Circunferência: x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0. Estudamos os problemas de determinar a intersecção e as posições relativas entre uma reta r e uma circunferência λ . Vimos também que o estudo das relações entre duas circunferências λ 1 e λ 2 procura determinar a intersecção ou as posições relativas entre essas curvas. E como determinar uma circunferência a partir de outros lugares geométricos. E aprendemos como obter a circunferência a partir da equação: (x - a)2 + (y - b)2 = r2.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Referências Bibliográficas BLASI, Francisco. Exercícios de Geometria Analítica. Campinas: Papirus, 1984. BOULOS, Paulo. Geometria Analítica : um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 2004. FEITOSA. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. São Paulo: Editora Atlas, 1976. FRANK, Ayres Júnior. Matrizes. São Paulo: McGraw-Hill, 1981. KINDLE, Joseph H. Geometria Analítica. Coleção Schaum. São Paulo: McGraw-Hill, 1978. KOLMAN, Bernard. Álgebra linear. 3 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1987. LEITE, Olímpio R. V. Geometria Analítica Espacial. São Paulo: Loyola, 1983. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 3.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

AUTO-AVALIAÇÃO - Unidade I 1) A situação do ponto P(1,-2) em relação às circunferências α : x2 + y2 = 1 e

β : x2+y2=5 é, respectivamente: a) P é interno a α e externo a β b) P pertence a α e é externo a β c) P é externo a α e pertencente a β d) P é externo a α e interno a β

2) A equação da circunferência que passa pela origem das coordenadas e possui centro C(6,-8) é: a) (x-6)2 + (y+8)2 = 10 b) (x-6)2 + (y+8)2 = 100 c) x2 + y2 = 100 d) (x+6)2 + (y-8)2 = 10

3) A equação da circunferência de centro na origem das coordenadas e tangente à reta r: 3x-4y+20=0 é: a) x2 + y2 = 4 b) x2 + y2 = 8 c) x2 + y2 = 16 d) x2 + y2 = 20

4) Os pontos de intersecção entre a reta r: 7x – y + 12 = 0 e a circunferência

α : (x-2)2 + (y-1)2 = 25 são: a) A(-1,5) e B(-2,-2) b) A(1,5) e B(-2,-2) c) A(-1,5) e B(2,2) d) A(1,5) e B(2,2)

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

5) Determine os pontos de intersecção entre as circunferências:

α : x2 + y2 = 100

e β : x2 + y2 -12x -12y + 68 = 0

a) A(2,12) e B(12,2) b) A(4,3) e B(3,4) c) A(2,6) e B(6,2) d) A(6,8) e B(8,6)

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 08 Temática: A Elipse

O objetivo desta aula é estudar as características da figura elipse e suas formas de representação. Estamos iniciando, o estudo das figuras Cônicas. Veremos as figuras: elipse, hipérbole e parábola. Elipse

Uma Elipse é definida como o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a, onde 2a > d(F1,F2).

Figura: Elipse com seus elementos principais

Os elementos principais de uma elipse são: •

F1 e F2 = focos

•

O = centro, ponto médio do segmento F1F2

•

A1 e A2 = eixo maior

•

B1 e B2 = eixo menor

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

•

2c = distância focal

•

2a = comprimento do eixo maior (A1A2)

•

2b = comprimento do eixo menor (B1B2)

•

e=

c = excentricidade, como c < a, tem-se 0 < e < 1. a

Podemos verificar na elipse a relação a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras em relação ao triângulo retângulo B1OF2 da figura acima).

Equação Reduzida da Elipse

A dedução da equação reduzida da elipse parte da relação: d(P,F1) + d(P,F2) = 2a

Equação da Elipse com Centro na origem do Sistema a) Se o eixo A1A2 estiver sobre o eixo x, temos:

Figura: Ponto P pertencente à Elipse

Obtendo a equação reduzida da elipse:

De acordo com a figura acima: P = (x,y) um ponto qualquer da elipse.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

F1 = (-c,0) F2 = (c,0) e a relação: d(P,F1) + d(P,F2) = 2a

( x + c )2 + ( y − 0)2 +

( x − c )2 + ( y − 0)2 = 2a

( x + c )2 + ( y − 0)2 = 2a − ( x + c )2 + y 2 = 2a − ( x + c )2 + y 2 = (2a −

( x − c )2 + ( y − 0)2

( x − c )2 + y 2 ( x − c )2 + y 2 )2

( x + c )2 + y 2 = 4a2 − 4a ( x − c )2 + y 2 + ( x − c )2 + y 2 4a ( x − c )2 + y 2 = 4a2 − 4cx a ( x − c )2 + y 2 = a2 − cx ( a ( x − c )2 + y 2 )2 = ( a2 − cx )2 a2 ( x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ) = a4 − 2a2cx + c 2 x 2 a 2 x 2 − 2 a 2cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 2 a 2 − 2a 2cx + c 2 x 2 a2x 2 + a2c 2 + a2 y 2 = a2a2 + c 2 x 2 a2x 2 + a2 y 2 − c 2x 2 = a2a2 − a2c 2 ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a2 − c 2 )

Como: a2 = b2 + c 2 ⇒ b2 = a2 − c 2 b2 x 2 + a2y 2 = a2b2

b2 x 2 a2b2

+

a2 y 2 a2b2

=

a2b2 a2b2

Então, obtemos a equação: x2

y2 + = 1 (eixo maior = eixo x) a 2 b2

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

b) Se o eixo A1A2 estiver sobre o eixo y, temos:

Figura: Ponto P pertencente à Elipse

De forma análoga, podemos demonstrar que: x2 b2

y2

+ 2 =1 a

(eixo maior = eixo y).

Equação da Elipse com Centro fora da origem do Sistema a) Uma elipse com centro no ponto C(x0, y0) e A1A2 paralelo ao eixo x possui a seguinte equação: ( x − x 0 )2 a2

+

( y − y0 )2 b2

=1

Figura: Elipse com centro em C e A1A2 // ao eixo x.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

b) Se o eixo A1A2 for paralelo ao eixo y, então temos a equação: ( x − x 0 )2 b2

+

( y − y0 )2 a2

=1

Exemplo Obter a equação da elipse com o centro no ponto C(6,2), semi-eixo maior a = 7 e semi-eixo menor b = 3. Solução:

( x − 6)2 ( y − 2)2 + =1 49 9

se

A1A2 // x

se

A1A2 // y

ou

( x − 6)2 ( y − 2)2 + =1 9 49

Exemplo Dada a elipse 4x2 + 8y2 = 16, determinar: a) os semi-eixos b) os focos c) a excentricidade. Solução: Dividindo a equação por 16, temos: a) como 4 > 2

então:

a2 = 4

x 2 y2 + =1 4 2 a=2

⇒

b2 = 2 ⇒

b=

2

b) a2 = b2 + c2 4 = 2 + c2

⇒

c2 = 2 ⇒ c =

2

Focos: F1(- 2 ,0) ; F2( 2 ,0) c) e =

c a

⇒

e=

2 2

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Aula: 09 Temática: A Hipérbole

O objetivo desta aula é estudar as características da figura hipérbole e suas formas de representação. Definição

Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano α cuja diferença (em módulo) das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a, onde 2a < d(F1,F2).

Figura: Hipérbole com seus elementos principais

Os elementos principais de uma hipérbole são: • F1 e F2 = focos • O = centro • A1 e A2 = eixo real • B1 e B2 = eixo transverso • 2c = distância focal, d(F1,F2) • 2a = comprimento do eixo real ou transverso, d(A1,A2) • 2b = comprimento do eixo imaginário, d(B1,B2) • e=

c = excentricidade, como c > a, então e > 1. a

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Podemos verificar na hipérbole a relação c2 = a2 + b2 (Teorema de Pitágoras em relação ao triângulo retângulo B1OA2 da figura 29.1).

Equação Reduzida da Hipérbole a) Se considerarmos um sistema cartesiano ortogonal no qual A1A2 ⊂ x e B1B2 ⊂ y, Podemos deduzir a equação reduzida da hipérbole, partindo da relação:

| d(P,F1) - d(P,F2) | = 2a

Sendo F1(-c,0), F2(c,0) e P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole, conforme figura abaixo, e realizando as transformações necessárias na seguinte equação, ( x + c )2 + ( y + 0)2 − ( x − c )2 + ( y − 0)2 = ±2a obtemos a equação:

x2 a2

−

y2 b2

=1

Que é a equação reduzida da hipérbole, com centro em O e eixo A1A2 sobre o eixo x.

Figura: Ponto P da hipérbole com A1A2

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

⊂x

b) Analogamente, se a hipérbole tiver A1A2 ⊂ y e B1B2 ⊂ x, teremos: y2 a2

−

x2 b2

=1

Que é a equação reduzida da hipérbole, com centro em O e eixo A1A2 sobre o eixo y.

Figura: Ponto P da hipérbole com A1A2

⊂y

Exemplo Qual a equação de uma hipérbole que apresente eixo igual a 8 e distância focal igual a 12?

Solução:

2a = 8

⇒ a=4

2c = 12 ⇒

c=6

b 2 = c2 – a 2

⇒

b2 = 36 – 16 ⇒

Se A1A2 ⊂ x

então

x2 y 2 − =1 16 20

Se A1A2 ⊂ y

então

y 2 x2 − =1 16 20

b2 = 20

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

c) Se uma hipérbole apresentar centro O’(x’0, y’0) e A1A2 // x.

Figura: Hipérbole com centro afastado da origem O.

Terá a seguinte equação, em relação ao sistema xOy: ( x − x 0 )2 a2

−

( y − y0 )2 b2

=1

Por exemplo, uma hipérbole que possua centro (12, 7), a = 5 e b = 4, terá a seguinte equação:

Solução:

( x − 12)2 ( y − 7)2 − =1 25 16

para A1A2 // x

ou

( y − 7)2 ( x − 12)2 − =1 25 16

para A1A2 // y

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 10 Temática: A Parábola, Intersecções entre Cônicas e Superfícies

Os objetivos desta aula são: estudar as características da figura parábola e suas formas de representação; apresentar como obter intersecções de uma figura cônica e estudar as características de algumas superfícies e suas respectivas equações. Definição

Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano α que estão a uma mesma distância de F e de d, conforme figura abaixo.

Figura: Parábola e seus elementos principais

Os elementos principais de uma parábola são:

• F = foco, não pertencente à reta d • d = diretriz • p = parâmetro • V = vértice

Podemos verificar na parábola a relação VF =

p . 2

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Equação Reduzida da Parábola

Considerando um sistema cartesiano ortogonal com vértice da parábola na origem, conforme figura acima, podemos deduzir a equação reduzida da parábola a partir da relação: d(P, F) = d(P, P’)

No caso em que a parábola é o eixo x, o foco possui coordenada (

p ,0). 2

Realizando as transformações necessárias, na equação d(P,F)=d(P,P’), temos: p p ( x − )2 + ( y − 0)2 = ( x + )2 + ( y − y )2 2 2

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos a equação reduzida: y2 = 2px

a) Caso a parábola apresente vértice na origem e foco no eixo y, teremos a seguinte equação reduzida: x2 = 2py

Exemplo Uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano, foco no eixo x e p = 4, apresentará a seguinte equação:

Solução: Para F a direita do vértice: y2 = 2.p.x = 2.4.x ⇒ y2 = 8x

;

Para F a esquerda do vértice: y2 = 2.(-4).x = - 8x

;

p0

b) No caso de uma parábola apresentar vértice no ponto V(x0,y0) e VF// x, conforme figura abaixo:

Figura: Parábola com centro afastado da origem O

Teremos a seguinte equação: (y-y0)2 = 2p(x-x0) Se a parábola apresentar vértice no ponto P(x0,y0) e VF// y, teremos a relação: (x-x0)2 = 2p(y-y0), conforme figura a seguir.

Figura: parábola com vértice no ponto P(x0,y0) e VF//

y

Exemplo Forneça a equação de uma parábola que apresente parâmetro igual a 4 e vértice V(10,8).

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Solução: Se F estiver à direita de V e VF // x, teremos: (y-8)2 = 2.4.(x-10)

⇒

(y-8)2 = 8.(x-10)

Se F estiver à esquerda de V e VF // x, teremos: (y-8)2 = - 8.(x-10) Se F estiver acima de V e VF // y, teremos: (x-10)2 = 8.(y-8) Se F estiver abaixo de V e VF // y, teremos: (x-10)2 = - 8.(y-8)

Intersecções e Tangentes de Cônicas

No estudo de intersecções entre cônicas, podemos ter vários casos, como: intersecção entre elipse e circunferência, elipse e hipérbole e entre Parábola

e reta entre outras.

Exemplo: Intersecção entre elipse e circunferência Dada uma elipse de equação (λ1) e uma circunferência (λ2), a intersecção é determinada pela resolução do sistema de equações:

x 2 y2 (λ1) + =1 16 4 (λ2) x2 + y2 = 7

 x2 y2 + =1   16 4   x 2 + y 2 = 7

Equação I:

x2 + y 2 = 7 ⇒

Ι

ΙΙ

x2 = 7 − y 2

Substituindo II em I: (7 - y 2 ) + 4y 2 = 16 ⇒ 3y 2 = 9

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Resolvendo, temos: y=

3 ⇒ x= ±2

y=- 3 ⇒ x= ±2 Que resulta em (2,

3 ), (-2,

3 ), (-2, - 3 ), (2, - 3 )

Superfícies

Dado um ponto C ∈ a ℜ 3 e um número real r > 0, a superfície esférica S, de centro C e raio r, será o lugar geométrico dos pontos que distam r do ponto C, figura a seguir.

Figura: superfície esférica com raio r

Equação Reduzida da Superfície Esférica

Considerando um ponto P = (x, y, z), centro C = (xo, yo, zo) e raio r, temos a equação reduzida de S: d(P, C) = r

( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + ( z − zo )2 = r ( x − x0 )2 + ( y − y 0 )2 + ( z − zo )2 = r 2

Equação Geral da Superfície Esférica

Desenvolvendo a equação reduzida obtemos a equação geral da superfície esférica:

x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Esta equação representa uma superfície esférica se, e somente se, a2 + b2 + c2 – 4d > 0 Neste caso,

 a b c C =  − ,− ,−   2 2 2

r=

e

a2 + b 2 + c 2 − 4 d 2

Uma Elipsóide, figura a seguir, é uma superfície quádrica determinada pela equação:

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1

Figura: Elipsóide

Onde, a) os números reais a, b e c representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide.

b) todos os coeficientes dos primeiros termos da equação são positivos. c) Se z = 0, temos a elipse: no plano xy com equação:

Se y = 0, temos a elipse: no plano xz: com equação:

Se x = 0, temos a elipse: no plano yz: com equação:

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

x2 a2 x2 a2 y2 b2

+

+

+

y2 b2 z2 c2 z2 c2

= 1,

= 1,

= 1.

Se na equação

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1 tivermos um coeficiente negativo no primeiro

termo, então teremos uma superfície quádrica denominada hiperbolóide de

uma folha, figura a seguir.

Figura: Hiperbolóide de uma folha

Se o termo x for negativo teremos a equação do hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo x: −

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1.

Da mesma forma, teremos os hiperbolóides de uma folha ao longo dos outros eixos y e z, respectivamente:

Se na equação

x2 a2

+

y2 b2

+

x2 a2

z2 c2

−

y2 b2

+

z2 c2

=1 e

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

= 1.

= 1 tivermos dois coeficientes negativos no

primeiro termo, então teremos um hiperbolóide (superfície quádrica) de

duas folhas, conforme figura abaixo.

Figura: Hiperbolóide de duas folhas

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Se os termos x e z forem negativos teremos a equação do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo y: −

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

= 1.

Da mesma forma, teremos os hiperbolóides de duas folhas ao longo dos outros eixos x e z, respectivamente:

x2 a2

−

y2 b2

−

z2 c2

=1 e −

x2 a2

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

−

y2 b2

+

z2 c2

= 1.

Unidade II Cônicas e Superfícies

Objetivos Esta unidade tem o objetivo de apresentar as figuras cônicas, a identificação de suas equações e as equações das principais superfícies.

Plano de Estudo Esta unidade conta com as seguintes aulas: Aula: 08 - A Elipse Aula: 09 - A Hipérbole Aula: 10 - A Parábola, Intersecções entre Cônicas e Superfícies

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Resumo da Unidade II

Nesta unidade estudamos as figuras cônicas, a identificação de suas equações e as equações das principais superfícies. Nesse estudo vimos as características e formas de representação das figuras: elipse, hipérbole e parábola. Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano, tais que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos desse plano (focos) é constante. Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano, tal que a diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos (focos) desse plano é constante. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente de uma reta fixa, chamada diretriz, e de um ponto fixo, não pertencente à diretriz, chamado foco. Nas intersecções entre cônicas, estudamos os casos: Intersecção entre elipse e circunferência, Intersecção entre Elipse e Hipérbole e Intersecção entre Parábola e reta. Estudamos as características de algumas superfícies e suas respectivas equações, tais como, superfície esférica, elipsóide e hiperbolóide. Superfície esférica é o lugar geométrico dos pontos do ℜ 3 , cuja distância a um ponto fixo (centro) é igual ao raio r. Elipsóide é um tipo de superfície (quádrica), onde todos os coeficientes dos primeiros termos da equação são positivos. Hiperbolóide é um tipo de superfície (quádrica), onde, se tivermos um coeficiente negativo no primeiro termo, então teremos um hiperbolóide de uma folha e se tivermos dois coeficientes negativos no primeiro termo, então teremos um hiperbolóide de duas folhas,

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Referências Bibliográficas BLASI, Francisco. Exercícios de Geometria Analítica. Campinas: Papirus, 1984. BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 2004. FEITOSA. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. São Paulo: Editora Atlas, 1976. FRANK, Ayres Júnior. Matrizes. São Paulo: McGraw-Hill, 1981. KINDLE, Joseph H. Geometria Analítica. Coleção Schaum. São Paulo: McGraw-Hill, 1978. KOLMAN, Bernard. Álgebra linear. 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1987. LEITE, Olímpio R. V. Geometria Analítica Espacial. São Paulo: Loyola, 1983. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2ª ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 3ª ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

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AUTO-AVALIAÇÃO - Unidade II 1) Considerando que a elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225 possui focos no eixo da abscissa e simetria em relação à origem das coordenadas, os valores dos focos e excentricidade são, respectivamente: a) F 1 (-5,0) , F 2 (5,0) e e= 5

4

b) F 1 (0,-3) , F 2 (0,3) e e= 4

5

c) F 1 (-3,0) , F 2 (3,0) e e= 3

5

d) F 1 (-4,0) , F 2 (4,0) e e= 3

5

2) A equação da elipse que possui eixo maior igual a 20 e excentricidade igual a 3

5

é:

a)

x2 y2 + =1 100 64

b)

x2 y2 + =1 64 100

c)

x2 y2 + =1 81 16

d)

x2 y2 + =1 16 81

3) A equação da hipérbole cujos focos estão situados no eixo das abscissas, é simétrica em relação à origem das coordenadas, possui excentricidade igual a 3

2

e distância entre focos 2c = 6 é:

a)

x2 y2 − =1 3 2

b)

x2 y2 − =1 4 6

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

c)

x2 y2 + =1 3 2

d)

x2 y2 − =1 4 5

4) A equação da parábola situada no semi-plano superior, com vértices na origem das coordenadas, simétrica em relação ao eixo Oy e com parâmetro igual a 1

4

é:

a) x2 =4y b) x2 =

1 y 2

c) x2 =2y d) x2 =

1 y 4

5) A equação da superfície esférica de centro C(4,-1,-2) que passa elo ponto P(2,3,-1) é: a) x2 + y2 + z2 - 8x + 4y + 2z = 0 b) x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 4z + 20 = 0 c) x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 4z = 0 d) x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 4z + 16 = 0

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Unidade III Vetores e Cálculo Vetorial

Objetivos Esta unidade tem o objetivo de introduzir os conceitos básicos de sistemas de coordenadas e de vetores no espaço, necessários para as operações com vetores, tais como: adição subtração, multiplicação por um escalar e produtos escalar, vetorial e misto. Estes conceitos serão a base para o entendimento das próximas unidades.

Plano de Estudo Esta unidade conta com as seguintes aulas: Aula: 11 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas no Espaço Aula: 12 - O Vetor Aula: 13 - Adição e Subtração de Vetores Aula: 14 - Multiplicação de um Vetor por um Escalar Aula: 15 - Dependência Linear Aula: 16 - Produto Escalar Aula: 17 - Produto Vetorial Aula: 18 - Produto Misto

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Aula: 11 Temática: Sistemas de Coordenadas Cartesianas no Espaço

O objetivo desta aula é apresentar os conceitos básicos sobre espaço e sistema de coordenadas cartesianas no espaço e seus planos coordenados, necessários para o entendimento das próximas aulas da nossa disciplina. O Espaço

Sendo R o conjunto dos números reais, vamos denominar o produto cartesiano R 3 = R x R x R como “espaço afim” ou simplesmente “espaço”.

Os números reais x, y, z são coordenadas cartesianas do espaço afim, representando um ponto, que chamaremos de Ponto P. As coordenadas cartesianas denominam-se: x = abscissa, y = ordenada, z = cota. Para representar um ponto usaremos a seguinte notação: P = (x, y, z). Podemos considerar um “ente primitivo” como tudo que não pode ser definido, portanto são aceitos a partir da observação e do conhecimento intuitivo. Sendo assim, a geometria utiliza-se dos seguintes conceitos primitivos: ponto, reta e plano. Sistemas de Coordenadas no Espaço Tridimensional Seja um ponto O qualquer no espaço R3, chamado Origem, e uma base →

→

→

( i , j , k ) de V3, denomina-se Sistema de Coordenadas Cartesianas de R3 ao →

→

→

conjunto (0, i , j , k ) da figura 1.1.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Figura 1.1: Sistema de Coordenadas Cartesianas de R

→

3

→

→

As retas que passam por O e tem os sentidos dos vetores i , j , k , formam os eixos coordenados: abscissa (Ox), ordenada (Oy) e cota (Oz). Para cada ponto P no espaço R3, associamos uma trinca de coordenadas (x,y,z), conforme figura 1.2, e indicaremos por: P(x, y, z).

Figura 1.2: Identificação de um ponto P no Sistema de Coordenadas Cartesianas

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Exemplo: Considere o paralelepípedo da figura abaixo, com as seguintes arestas: 3, 4 e 6. Forneça as coordenadas (x,y,z) de cada vértice.

Solução: Pontos, A = (0,0,3)

B = (0,6,3)

C = (4,6,3)

D = (4,0,3)

E = (0,0,0)

F = (0,6,0)

G = (4,6,0)

H = (4,0,0)

→

→

→

Podemos também representar um vetor como combinação linear de i , j , k . →

→

→

→

Considere um vetor v = x . i + y . j + z. k , onde x, y e z são as componentes →

→

de v . Esse vetor pode ser representado de forma simplificada por: v = (x, y, z). →

→

→

→

→

Por exemplo, o vetor v = 3. i − j + 4. k pode ser escrito como v = (3, -1, 4). Planos Coordenados

Podemos também identificar três planos, denominados planos coordenados, xy, yz e xz, conforme figuras 1.3, 1.4 e 1.5. Portanto, o plano xy contém os eixos coordenados x e y. o plano xz contém os eixos coordenados x e z. o plano yz contém os eixos coordenados y e z.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Esses três planos xy, yz e xz dividem o espaço em oito octantes (regiões).

Exemplo.

Determine em qual plano coordenado estão os seguintes pontos: a) A = (0,2,4)

b) B = (1,0,5)

c) C = (0,7,12)

d) D = (3,8,0)

Solução: a) O ponto A pertence ao plano yz; b) O ponto B pertence ao plano xz; c) O ponto C pertence ao plano yz; d) O ponto D pertence ao plano xy.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 12 Temática: O Vetor

O objetivo desta aula é apresentar os conceitos básicos sobre vetores, que serão utilizados em outras aulas da nossa disciplina. O Vetor

Um vetor é um segmento de reta orientado que representa a idéia de direção, sentido e módulo ou comprimento. O conjunto de todos os vetores livres do espaço R3 será indicado por V3. Dados dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) no espaço R3, teremos um vetor →

AB , com origem em A e extremidade em B, conforme a figura abaixo:

Figura: Vetor definido por dois Pontos no Espaço.

Esse vetor, definido por dois pontos A e B, pode ser obtido a partir de: →

AB = (B – A)

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Exemplo Dado os pontos A(1, 2, 3) e B(2, 4, 7), determine: →

a) o vetor AB →

b) o vetor BA Solução: →

a) AB = (B – A) = (2,4,7) - (1,2,3) = (1,2,4) →

b) BA = (A – B) = (1,2,3) - (2,4,7) = (-1,-2,-4)

Distância Entre Dois Pontos

Dados dois pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), a distância d entre os pontos é obtida através da fórmula:

Figura: distância entre dois pontos

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Antes de continuarmos nosso estudo, devemos conhecer algumas definições importantes sobre vetor: a) vetor livre: é um vetor que tem como origem qualquer ponto do espaço R3 ;

→

→

b) módulo de um vetor v : é a medida | v | do segmento orientado, independente do sentido.

→

Figura: Módulo de um vetor

v.

c) vetor unitário: é o vetor que possui comprimento ou módulo igual a 1;

Figura: Vetor unitário.

→

d) vetor nulo ( 0 ): é um vetor com comprimento igual a zero. O vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0).

→

→

e) vetor oposto: dado um vetor u qualquer, o vetor oposto é indicado por - u , conforme a figura abaixo, e apresenta mesmo módulo, mesma direção, mas sentido oposto. A soma desses dois vetores terá como resultante o vetor nulo.

Figura: Vetores Opostos →

→

f) versor de um vetor v : é um vetor unitário de mesma direção e sentido de v .

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

→

Na figura a seguir temos: o vetor v possui módulo igual a 8, →

é o versor do vetor v e →

é um vetor igual a 4. u 1 .

Figura: Definição de Versor.

Exemplos:

→

→

g) Vetores Colineares: dois vetores u e v são colineares se possuírem a mesma direção, ou seja, se tiverem representantes na mesma reta.

Figura: Vetores coplanares.

h) Vetores Coplanares: três ou mais vetores são coplanares se possuírem representantes no mesmo plano α . Dois vetores serão sempre coplanares.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Figura: Vetores coplanares.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 13 Temática: Adição e Subtração de Vetores

O objetivo desta aula será definir as operações de adição e subtração de vetores pertencentes a V3, e suas propriedades. Operação Adição de Vetores

→

→

→

Dados os vetores u , v e w pertencentes a V

3

, temos as seguintes

propriedades:

→

→

→

→

a) u + v = v + u , (propriedade comutativa); →

→

Considere o paralelogramo ABCD da figura abaixo, com os vetores u e v representando os seus lados

→

Figura: Vetor Soma

r

Como os seus lados são paralelos e de mesmo comprimento, temos que: →

→

→

→

→

→

u + v = r,e →

→

→

→

v + u = r , portanto u + v = v + u

→

→

→

→

→

→

b) ( u + v ) + w = u + ( v + w ), (propriedade associativa);

→

→

→

→

→

c) u + 0 = 0 + u = u , (elemento neutro);

→

→

→

d) u + (- u ) = 0 , (elemento oposto).

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

→

→

→

→

→

→

→

→

Se tivermos r = u + v e s = u + v , então r = s .

Figura: Igualdade de retas

Operação Subtração de Vetores

A operação de subtração de vetores pode ser definida a partir do conceito de vetor oposto.

→

→

→

A diferença ( d ) entre dois vetores u e v pertencentes a V 3 é: →

→

→

→

→

d = u - v = u+(- v)

Figura: Subtração de vetores

Exemplo →

→

→

→

Dado o vetor u = (1,0,2) e v = (2,1,3), calcule a soma ( u + v ) e a diferença →

→

( u - v ).

Solução: →

r = (1,0,2) + (2,1,3) = (3,1,5)

→

d = (1,0,2) - (2,1,3) = (-1,-1,-1)

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

→

→

Se considerarmos que o ângulo formado entre os dois vetores u e v corresponde a θ , poderemos observar as seguintes propriedades: →

→

→

→

a) se 00 < θ < 900 então | u + v | > | u - v |; →

→

→

→

b) se 900 < θ < 1800 então | u + v | < | u - v |; →

→

→

→

c) se θ = 900 então | u + v | = | u - v |.

→

→

Vamos agora calcular os módulos dos vetores soma ( r ) e diferença ( d ). →

→

→

→

Dados os dois vetores u e v da figura abaixo, com seus respectivos módulos u e v, e ângulo θ entre u e v , temos: r2 = u2 + v2 – 2.u.v.cos(1800 - θ ) d2 = u2 + v2 – 2.u.v.cos θ

Figura: Ângulo entre vetores

Exemplo →

→

Considere a figura abaixo na qual temos dois vetores u e v , com módulos iguais a 3 e 5, respectivamente, e ângulo θ entre eles.

Calcular: →

→

a) a soma dos vetores u e v ; →

→

b) a diferença dos vetores u e v .

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Solução: →

→

→

a) Soma: r = u + v

r2 = u2 + v2 – 2.u.v.cos(180o - θ ) r2 = 32 + 52 – 2.3.5.cos(180o – 60o) r=

49 = 7 →

→

→

b) Diferença: d = u − v

d2 = u2 + v2 – 2.u.v.cos θ d2 = 32 + 52 – 2.3.5.cos 60o d=

19 = 4,36

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 14 Temática: Multiplicação de um Vetor por um Escalar

Esta aula tem como objetivo definir a operação de multiplicação de um vetor por um escalar e suas propriedades. Multiplicação de um Vetor por um Escalar

→

→

A multiplicação de um vetor v por um número real k resulta em outro vetor v paralelo ao vetor inicial, tal que: →

→

|k. v | = |k| . | v |

→

A figura abaixo apresenta o resultado da multiplicação do vetor v por k, com k igual a 2 e 3.

→

Figura: Resultados da multiplicação de um escalar por um vetor

Neste tipo de multiplicação poderemos ter três situações: →

→

→

a) Se k = 0 ou v = 0, então k. v = 0 ; →

→

→

→

b) Se k > 0, então v e k v tem o mesmo sentido; c) Se k < 0, então v e k v tem sentidos contrários.

Lembrando: → →

→

O versor de um vetor v pode ser definido como: u =

v

→

|v|

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

v

→

A multiplicação de um vetor v por um escalar apresenta as seguintes propriedades: →

→

a) 1. v = v ; →

→

→

→

b) a.( v + u ) = a. v + a. u ; →

→

→

c) (a + b). v = a. v + b. v ; →

→

→

d) a.(b. v ) = (a.b). v = b.(a. v ). →

→

Onde, a e b são quaisquer números reais, e v e u são vetores de V 3.

Exemplo →

→

→

→

Dados os vetores u , v e w , conforme a figura abaixo, determine o vetor m , tal que:

→

→

→

→

a) m = 3. u − v + 2 w →

→

→

→

b) m = −2. u + 2 v − w Solução:

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 15 Temática: Dependência Linear

O objetivo desta aula é conceituar a dependência linear, para em seguida caracterizá-la algebricamente. Definição

Um conceito muito importante em geometria analítica é o de Dependência Linear de vetores.

→

→

→

→

→

→

→

→

Dois vetores u = a i + b j + c k e v = d i + e j + f k são linearmente dependentes se seus coeficientes

a b c = = forem proporcionais. Isso implica d e f

que os vetores são paralelos.

Observação: a) o vetor nulo é paralelo a qualquer reta ou plano; b) dois vetores paralelos a uma mesma reta são paralelos; c) dois vetores paralelos a um mesmo plano podem não ser paralelos.

Exemplo Verificar se os vetores são linearmente dependentes. a) A(8,6,2) e B(4,3,1) b) A(6,3,8) e B(2,1,3)

Solução: a) como

8 6 2 = = , os vetores são paralelos. 4 3 1

b) como

6 3 8 = ≠ , os vetores são não são paralelos. 2 1 3

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Três vetores u = a i + b j + c k , v = d i + e j + f k e w = g i + h j + m k são linearmente dependentes se forem coplanares, ou seja, o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos vetores for igual a zero.

a b

c

d e f =0 g h m

Exemplo →

→

→

Verifique se os vetores u = (1, 2, 3), v = (1, 1, 2) e w = (4, 2, 6) são linearmente dependentes.

Solução:

1 2 3 1 1 2 = 6 + 16 + 6 - 12 - 4 – 12 = 28 – 28 = 0 4 2 6 Portanto são linearmente dependentes.

→

→

→

Considerando v1 , v2 , ... , vn vetores de V3 (n ≥ 1) e α1 , α 2 , ... , α n →

→

→

números reais, denomina-se combinação linear dos vetores v1 , v2 , ... , vn →

→

→

→

→

ao vetor: u = α1 v1 + α 2 v2 + ... + α n vn . Portanto, u é gerado pelos vetores →

→

→

v1 , v2 , ... , vn .

Exemplo →

→

→

Dados os vetores u = (2,6,3), v = (1,2,m) e w = (2,1,3), determine o valor de m para que os vetores sejam linearmente dependentes (LD).

Solução: →

→

→

Para u , v e w serem LD, devemos ter:

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

2 6

3

1 2 m = 12 + 12m + 3 – 12 – 2m – 18 = 10m – 15 2 1 3 10m – 15 = 0 ⇒ m = 1,5

Bases →

→

→

Um sistema de vetores v1 , v2 , ... , vn pertencentes a Rm é uma base para Rm se:

a) os vetores forem linearmente independentes; →

→

→

→

→

→

→

b) qualquer vetor u = u1 . v1 + u 2 . v2 + ... + u n . vn

Toda base em Rm é formada por m vetores linearmente independentes.

A equação vetorial equivalente é:

u1 u2 u 3 = x1 . M um

v11 v21 v31 + x2. M vm1

v12 v22 v32 + x3. M vm 2

v13 v23 v33 + ... + xn. M vm3

v1n v2 n v3 n M vmn

Vetores Linearmente Independentes

→

→

→

Considerando-se os vetores v1 , v2 , ... , vn , não nulos, pertencentes a Rm e →

→

→

x1, x2, x3, ... , xn números reais, se a equação x1 . v1 + x2 . v2 + ... + xn . vn = 0 for →

→

→

satisfeita com x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0, então os vetores v1 , v2 , ... , vn são linearmente independentes (LI).

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Exemplo →

→

Verifique se os vetores v1 =(4,0,0) e v2 =(0,0,1) são LI.

Solução: →

→

x1 . v1 + x2 . v2 = (0,0,0) x1 .(4,0,0) + x2 .(0,0,1) = (0,0,0)

Então x1 = 0 e x2 = 0 Portanto os vetores são LI.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 16 Temática: Produto Escalar

Esta aula tem como objetivo definir o produto escalar e suas propriedades. O Produto Escalar

Até este momento estudamos a soma de vetores e a multiplicação de um escalar por um vetor. Mas seria possível multiplicar dois vetores e obter um resultado com alguma aplicação? O primeiro produto que aprenderemos será o produto escalar, cuja definição segue abaixo: →

→

Se u = (u1, u2, u3 ) e v = (v1, v2, v3 ) →

→

Então, u X v = (u1 . v1) + (u2 . v2) + (u3 . v3)

Exemplo →

→

→

→

→

→

→

→

Dados dois vetores u = 2 i + 6 j + 7 k e v = i + 3 j -2 k determinar o produto →

escalar

→

u X v.

Solução: →

→

u X v = (2.1) + (6.3) + 7.(-2) = 6

Propriedades do Produto Escalar

→

→

→

Sejam três vetores u = (u1, u2, u3 ), v = (v1, v2, v3 ) e w = (w1, w2, w3) pertencentes a R.3, e o número real m, temos as seguintes propriedades: →

→

→

→

a) u X v = v X u , (propriedade comutativa)

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

→

→

→

→

→

→

→

b) u X ( v + w ) = u X v + ( u X w ) →

→

→

c) u X u = | u |2 →

→

→

→

→

→

d) (m. u ) X v = m.( u X v ) = u X (m. v ) Módulo de um Vetor

→

Sendo um vetor v = (x, y, z), seu módulo será um número real não negativo. →

|v | =

→

→

v Xv

Trabalhando em coordenadas, temos, →

|v | =

( x, y , z )x( x, y , z )

Desenvolvendo o produto escalar, obtemos: →

|v | =

x2 + y 2 + z2

Exemplo →

Dado o vetor v = (4,-4,2), determinar: a) o módulo; b) o versor.

Solução: a) Cálculo do módulo do vetor →

4 2 + ( −4) 2 + 2 2 =

|v | =

36 = 6 →

b) designando o versor por u , temos, →

→

u =

v

→

|v |

=

1 4 4 2 .(4,-4,2) = ( ,− , ) 6 6 6 6

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 17 Temática: Produto Vetorial

Esta aula tem como objetivo definir o produto vetorial e suas propriedades. Produto Vetorial

→

→

Dados dois vetores u = (a, b, c) e v = (d, e, f), podemos obter um outro vetor a →

→

partir destes, chamado produto vetorial de u e v .

→

→

Indicaremos o produto vetorial por u Λ v .

→

→

→

→

Se u e v forem linearmente dependentes, então u Λ v = 0.

→

→

→

→

Se u e v forem linearmente independentes, então u Λ v será um vetor →

→

ortogonal a u e v , conforme figura abaixo.

→

Figura: Produto vetorial de

→

u por v

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

→

→

Sendo, dois vetores u e v , definidos por: →

→

→

→

→

u = a i + b j + ck

→

→

→

e v = d i + e j + fk ,

O produto vetorial será: →

→

i

j

→

k

→ → b c → a c → a b → u Λ v = a b c = .i .j + .k e f d f d e d e f

Propriedades do Produto Vetorial

→

→

→

→

→

→

a) u Λ u = 0 →

→

b) u Λ v = - v Λ u →

→

→

→

→

c) u Λ ( v + w ) = u Λ v + u Λ w →

→

→

→

→

→

→

→

d) m.( u Λ v ) = (m. u ) Λ v = u Λ (m. v ) →

→

→

e) se u e v são linearmente independentes, então ( u Λ v ) é ortogonal a u e →

a v , simultaneamente. →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

f) se u ≠ 0 , v ≠ 0 e θ o ângulo entre u e v , então | u Λ v | = | u |.| v |.sen θ

Exemplo →

→

Dados dois vetores u = (2, 5, 3) e v = (3, 1, 1), determinar o produto vetorial →

→

u Λ v.

Solução: →

i

→

→

→

j

→

k

→

→

→

u Λ v = 2 5 3 =.2 i -.7 j -.13 k 3 1 1

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Exemplo →

→

→

→

Verificar se o vetor u Λ v é ortogonal aos vetores u e v .

Solução: →

→

→

→

Para u e v serem ortogonais a u Λ v , os produtos escalares devem ser iguais a zero. →

Referente ao vetor u temos: (2, 5, 3) X (2, 7, -13) = 0 →

Referente ao vetor v temos: (3, 1, 1) X (2, 7, -13) = 0.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 18 Temática: Produto Misto

Esta aula tem como objetivo definir o produto misto e apresentar suas propriedades. Produto Misto

Considere três vetores: →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

u = a i + b j + c k = (a, b, c), →

v = d i + e j + f k = (d, e, f), →

w = g i + h j + m k = (g, h, m) quaisquer.

O Produto Misto destes vetores será o número real determinado por: →

→

→

(u Λ v ) X w

Desenvolvendo a equação acima encontramos o seguinte:

a b →

→

→

c

(u Λ v ) X w = d

e f g h m

Exemplo →

→

→

Determinar o produto vetorial ( u Λ v ) X w , sendo: →

→

→

u = (2, 3, 5), v = (-1, 3, 3) e w = (4, -3, 2).

Solução:

2 →

→

→

u Λ v X w = −1

4

3

5

3 3 = 27 −3 2

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Propriedades do Produto Misto

→

→

→

a) ( u Λ v ) X w = 0, se um dos vetores for igual a zero, ou se ao menos dois forem coplanares, →

→

→

→

→

→

b) u Λ v X w = u X v Λ w →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

c) m.( u Λ v X w ) = (m. u ) Λ v X w = u Λ (m. v ) X w = u Λ v X (m. w ) →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

d) u Λ v X w = w Λ u X v = v Λ w X u = - u Λ w X v = - v Λ u X w = - w Λ v X u Interpretação Geométrica do Produto Misto Volume do Paralelepípedo →

→

→

O produto misto u Λ v X w tem como resultado, em módulo, o volume de um →

→

→

paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores u , v e w , conforme figura:

Figura: Volume do paralelepípedo

O volume (VP) do paralelepípedo é dado por: VP = (área da base). (altura), ou VP = A . h →

Sendo,

→

A= uΛv →

h = | w | . cos θ

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Temos, →

→

→

→

VP = | u Λ v | . | w | . |cos θ |

→

→

VP = | u Λ v X w |

⇒

Conforme o ângulo θ, o volume do paralelepípedo (VP) pode ser positivo ou negativo.

Exemplo →

→

→

Dados os vetores u = (2, -2, 3), v = (1, x, 2) e w = (0, 3, 4), calcular o valor de x para que o paralelepípedo determinado por esses vetores seja de 35 unidades de volume.

Solução: O volume é dado pelo produto misto:

2 −2 3 V= 1

0

x 3

2 = 8x + 9 – 12 + 8 = 8x – 5 4

Como estamos trabalhando com módulo, temos as situações: a) 8x – 5 = 35

⇒

x=5

b) -8x + 5 = 35

⇒

x = -3,75

Portanto, para obter um paralelepípedo nas condições do problema, o valor de x deverá ser igual a 5 ou -3,75.

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Volume do Tetraedro

Como todo paralelepípedo é equivalente a 6 pirâmides de base triangular, então o volume de um tetraedro (VT) é igual a

1 do volume do paralelepípedo 6

(VP).

Então: VT =

1 → → → |u Λ v X w | 6

ou

VT =

1 VP 6

VT =

1 |(B – A) Λ (C – A) X (D – A)| 6

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Resumo da Unidade III

Nesta unidade da nossa disciplina, introduzimos os conceitos básicos sobre espaço, sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional e seus planos coordenados e vetores no espaço. O conjunto de pontos do espaço tridimensional foi indicado por R3 onde seus principais elementos são: o ponto O origem do sistema cartesiano; as coordenadas cartesianas x, y, z (retas orientadas) e os planos xy, xz, yz (planos coordenados). Para cada ponto P no espaço R3 associamos uma trinca de coordenadas (x, y, z) onde P = (x, y, z). Vimos que, dados dois pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) no espaço R3, teremos →

um vetor AB , com origem em A e extremidade em B. Um vetor é um segmento de reta orientado que representa a idéia de direção, sentido e módulo ou comprimento. O conjunto de todos os vetores livres do espaço R3 foi →

→

→

denominado por V3. Os versores ( i , j , k ) constituem a base de V3.

Estudamos também, as operações com vetores, tais como: adição subtração, multiplicação por um escalar e produtos escalar, vetorial e misto.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Referências Bibliográficas BLASI, Francisco. Exercícios de Geometria Analítica. Campinas: Papirus, 1984. BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 2004. FEITOSA. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. São Paulo: Editora Atlas, 1976. FRANK, Ayres Júnior. Matrizes. São Paulo: McGraw-Hill, 1981. KINDLE, Joseph H. Geometria Analítica. Coleção Schaum. São Paulo: McGraw-Hill, 1978. KOLMAN, Bernard. Álgebra linear. 3 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1987. LEITE, Olímpio R. V. Geometria Analítica Espacial. São Paulo: Loyola, 1983. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2 ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 3 ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

AUTO-AVALIAÇÃO - Unidade III 1) Se considerarmos um ponto P pertencente ao ℜ 3, esse ponto possuirá coordenadas (x, y, z) que são denominadas, respectivamente: a) coordenada, abscissa e cota b) ordenada, abscissa e cota c) abscissa, ordenada e cota d) abscissa, cota e coordenada

2) Sabendo que a distância entre os pontos A(4,-2,1) e B(2,0,m) é igual a

24 ,

o valor de m será: a) 4,9 b) 2,0 c) 24,0 d) 5,0 →

→

3) Dados os vetores A(1,0,2) e B(4,-3,5), o ponto P, tal que AP = PB , será: 5 3 7 a)  ,− ,  2 2 2 3 3 5 b)  , ,  2 2 2 3 1 5 c)  , ,−  2 2 2 5 1 7 d)  , ,−  2 2 2 →

→

4) Se dois vetores u e v apresentam módulos iguais a 2 e 8, respectivamente, →

→

e ângulo de 75o entre eles, a soma ( u + v ) será igual a: a) 76,28 b) – 9,32 c) 8,73 d) 59,72

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

→

→

→

→

5) Sendo u = (2,0,4) e v = (3,1,2), o produto escalar de v x u é igual a: a) (5,1,6) b) (1,1,-2) c) (6,0,8) d) (-5,-1,-6)

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Unidade IV Retas e Planos no Espaço

Objetivos O objetivo desta unidade é o estudo da reta e do plano, de suas equações e da relação entre estes.

Plano de Estudo Esta unidade conta com as seguintes aulas: Aula: 19 - A Reta Aula: 20 - O Plano Aula: 21 - Posições Relativas entre duas Retas Aula: 22 - Posições Relativas entre dois Planos Aula: 23 - Posições Relativas entre Retas e Planos

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Aula: 19 Temática: A Reta

O objetivo desta aula é apresentar as várias formas de representação de uma reta. Definição

Uma única reta pode ser definida a partir de dois pontos distintos. Equação Vetorial de uma Reta no Espaço

→

→

→

Considerando um sistema cartesiano ortogonal (0, i , j , k ) e uma reta r definida por dois pontos distintos A e B, um ponto X pertencerá à reta r se, e somente se, os vetores X-A e B-A forem linearmente dependentes (paralelos).

Figura: Uma Reta definida pelos pontos A e B

Sendo assim, podemos ter um número real m tal que: X - A = m.(B - A) →

X - A = m. v

→

X = A + m. v

→

A equação X = A + m. v é a equação da reta r.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

→

Sendo x = (x, y, z), A = (x0, y0, z0) e v = (a, b, c), a mesma equação da reta se apresenta como: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + m.(a,b,c)

→

O vetor v é chamado de vetor diretor da reta r, m é denominado parâmetro da →

reta e por A e B serem distintos v é, consequentemente, não nulo. Temos →

também que os ângulos diretores da reta r são os ângulos diretores do vetor v , →

e os cossenos diretores de r são os cossenos diretores de v .

Exemplo Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A (1,2,-6) e →

→

→

→

possui a direção do vetor v = 3. i + 2. j + k . Solução Sendo X um ponto genérico da reta r, temos: →

X = A + m. v

portanto

(x,y,z) = (1,2,-6) + m.(3,2,1)

Observação. Para obter um ponto desta reta devemos atribuir um valor para m, por exemplo: se m = 2, temos: (x,y,z) = (1,2,-6) + 2.(3,2,1) (x,y,z) = (1,2,-6) + (6,4,2) (x,y,z) = (7,6,-4) Sendo assim, para m = 2, temos o ponto P=(7,6,-4) pertencente a reta r. Equações Paramétricas da Reta

Podemos encontrar outras formas para a equação da reta. Consideremos um →

→

ponto X = (x, y, z) e uma reta r com equação X = A + m. v , onde v = (a, b, c) e A = (xo, yo, zo).

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Um ponto genérico X na reta r pode ser definido como: (x, y, z) = (xo, yo, zo) + m. (a, b, c)

x = x 0 + m.a  Ou pelas equações paramétricas: y = y 0 + m.b z = z + m.c 0 

Exemplo Obtenha as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,-1,4) e →

é paralela ao vetor v =(-1,3,2). Solução: As equações paramétricas são:

x = 2 - m  y = - 1 + 3.m z = 4 + 2.m 

Equações Simétricas da Reta

→

Considerando que o vetor v e o vetor X-A são paralelos, podemos obter as equações simétricas: x − x0 y − y 0 z − z0 = = , para a, b, c ≠ 0 a b c

Exemplo Obter as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto A(-1,0,3) e →

tem a direção do vetor v = (2,4,2).

Solução: As equações são:

x +1 y z −3 = = 2 4 2

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

A Reta definida por dois Pontos

Caso tenhamos dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), podemos obter a equação de uma reta que passa por esses dois pontos e possui a direção do vetor →

→

v = AB = B – A. →

AB = B – A = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

Exemplo Obter as equações paramétricas de uma reta r que passa pelos pontos A(1,0,3) e B(0,2,2).

Solução: →

→

v = AB = B – A = (0,2,2) - (1,0,3) = (-1,2,-1)

Utilizando o ponto A, temos:

x = x 0 + m.a  y = y 0 + m.b z = z + m.c 0   x = 1− m   y = 2m z = 3 − m 

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 20 Temática: O Plano

O objetivo desta aula é conceituar o plano e apresentar as várias formas de representar esse plano. Definição

Um único plano pode ser definido a partir de três pontos distintos, não colineares. Equação Vetorial de um Plano no Espaço

→

→

→

Considerando um sistema cartesiano ortogonal (0, i , j , k ) e um plano α definido por três pontos distintos A, B e C não colineares, conforme figura abaixo, um ponto X pertencerá ao plano α se, e somente se, os vetores X-A, →

→

B-A ( u ) e C-A ( v ) forem linearmente dependentes (coplanares).

→

→

Sendo assim, podemos ter números reais m e n tais que: X = A + m. u + n. v

Figura: Pontos colineares em um plano

α →

Como os pontos A, B e C são distintos e não colineares, então os vetores v e →

u são linearmente independentes.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Exemplo Determine a equação paramétrica do plano determinado pelos pontos A (2,4,0), B(3,6,1) e C (2,3,1). Solução: →

u = B – A = (3,6,1) – (2,4,0) = (1,2,1) →

v = C – A = (2,3,1) – (2,4,0) = (0,-1,1)

Portanto, a equação paramétrica fica: X = (2,4,0) + m.(1,2,1) + n.(0,-1,1)

Observação: se substituirmos valores reais quaisquer para m e n obteremos um ponto pertencente ao plano definido por A, B e C. Equações Paramétricas do Plano

Podemos encontrar outras formas para a representação da equação do plano.

Consideremos um ponto X = (x, y, z) e um plano α , com equação: →

→

X = A + m. v + n. u →

→

Onde, v = (v1, v2, v3), u = (u1, u2, u3) e A = (xo, yo, zo).

Um ponto genérico X na reta r pode ser definido como:

(x, y, z) = (xo, yo, zo) + m.(v1, v2, v3) + n. (u1, u2, u3)

x = x 0 + m.v 1 + n.u1  Ou pelas equações paramétricas: y = y 0 + m.v 2 + n.u2 z = z + m.v + n.u 0 3 3 

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Equação Geral do Plano

→

→

Como os vetores v , u e X-A são coplanares, o determinante das coordenadas desses três vetores é igual a zero.

x − x0

y − y0

z − z0

v1 u1

v2 u2

v3 u3

=0

Fazendo a expansão por Laplace, através da primeira linha, obtemos a Equação Geral do Plano:

a.x + b.y + c.z + d = 0

Exemplo Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1,1,4), sendo o →

vetor normal ao plano α igual a n =(2,3,2). Solução: →

A equação de n é dada por: 2.x + 3.y + 2.z + d = 0 Substituindo o ponto A na equação, temos: 2.(1) + 3.(1) + 2.( −4) + d = 0 Logo, d = -3 Portanto, a equação do plano é: 2.x + 3.y + 2.z − 3 = 0

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 21 Temática: Posições Relativas entre duas Retas

O objetivo desta aula é estudar as posições relativas entre duas retas quaisquer. Considerando duas retas r e s, contidas no espaço R3, elas podem ser coplanares ou reversas. Retas Coplanares

Sendo retas coplanares, podem ser classificadas em: a) as retas r e s serão concorrentes se forem coplanares e não paralelas.

Figura: Retas concorrentes

→

→

b) as retas r e s

serão paralelas distintas se forem Linearmente

Dependentes (LD).

Figura: Retas paralelas distintas

→

→

c) as retas r e s serão paralelas coincidentes, figura 11.3, se forem Linearmente Dependentes (LD).

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Figura: Retas coincidentes

Retas Reversas

→

→

→

Sendo as retas r e s reversas, então r I s = φ . Sendo assim, r , s e AB são Linearmente Independentes (LI).

Figura: Retas reversas

Na figura acima, a reta r pertence ao plano α e a reta s atravessa o mesmo plano. Intersecção entre duas retas

Consideremos duas retas r e s com as seguintes equações vetoriais: →

X = A + m. u →

X = B + n. v

(r) (s)

Sendo, A = (a, b, c) e B = (d, e, f), temos: X = (a, b, c) + m. (u1, u2, u3) X = (d, e, f) + n.(v1, v2, v3)

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

A intersecção entre as retas r e s será determinada pelo sistema linear:

 x = a + m.u1 y = b + m.u 2  z = c + m.u 3   x = d + n.v 1. y = e + n.v 2  z = f + n.v 3

Resolvendo o sistema linear podemos obter os seguintes resultados: a) Sistema Determinado – as retas serão concorrentes em um único ponto P; b) Sistema Indeterminado – apresentará uma variável livre e as retas serão concorrentes; c) Sistema Impossível – as retas serão reversas ou paralelas distintas.

Exemplo Dadas duas retas coplanares e não paralelas r e s determine o ponto de intersecção, sendo:  y = −3 x + 2 r :  z = 3x − 1

e

 x = −n  s : y = 1 + 2.n  z = −2.n 

Solução: Para determinar o ponto de intersecção devemos resolver o seguinte sistema de equações:  y = −3 x + 2  z = 3x − 1   x = −n  y = 1 + 2.n   z = −2.n

Resolvendo o sistema, temos X = 1 ; y = -1 e z = 2 Portanto o ponto de intersecção é P(1,-1,2).

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Exemplo Verificar se as retas são coplanares ou reversas. a) (r) x = (1, 0, 0) + m.(1, 1, 1)

e

(s) x = (2, 3, 0) + n.(1, -1, 2)

b) (r) x = (1, 2, 3) + m.(0, 1, 3)

e

(s) x = (0, 1, 0) + n.(1, 1, 1)

e

(s) x = (2, 3, 0) + n.(1, -1, 2)

Solução: a) (r) x = (1, 0, 0) + m.(1, 1, 1)

Devemos calcular o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos vetores: →

→

→

u = (1, 1, 1), v = (1, -1, 2) e AB = B – A= (2, 3, 0) – (1, 0, 0) = (1, 3, 0)

1

1

1

1 −1 2 = 0 1 3 0 →

→

O determinante é igual a zero, portanto, como os vetores u e v são →

→

coplanares, consequentemente as retas r e s também serão. Como u e v não possuem a mesma direção, então r e s são concorrentes. b) (r) x = (1, 2, 3) + m.(0, 1, 3)

e

(s) x = (0, 1, 0) + n.(1, 1, 1)

Devemos calcular o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos vetores: →

→

→

u = (0, 1, 3), v = (1, 1, 1) e AB = B – A= (0, 1, 0) – (1, 2, 3) = (-1, -1, -3)

0

1

3

1 1 1 =2 −1 −1 − 3 →

→

→

Que é diferente de zero, portanto u , v e AB são linearmente independentes (LI), e consequentemente as retas r e s são reversas.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 22 Temática: Posições Relativas entre dois Planos

O objetivo desta aula é estudar as posições relativas entre dois planos Posições relativas entre os planos Dois planos quaisquer α e β , contidos no espaço R3, podem ser concorrentes, paralelos ou coincidentes. Vamos considerar dois planos α e β com as respectivas equações gerais, (α)

a1.x + b1.y + c1.z d1 = 0

(β )

a2.x + b2.y + c2.z d2 = 0

Planos Concorrentes

Se

as

relações

a1 b1 c1 ≠ ≠ , a2 b2 c 2

então

não

consequentemente os planos serão concorrentes. Neste caso a intersecção entre α e β será uma reta.

Figura: Planos Concorrentes

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

são

proporcionais

e

Planos Paralelos Distintos

Se as relações forem

a1 b1 c1 d 1 = = ≠ , então os planos α e β serão a2 b2 c 2 d 2

paralelos, porém distintos.

Figura: Planos Paralelos Distintos

Planos Paralelos Coincidentes

Se

a1 b1 c1 d1 = = = , isto é, se forem proporcionais, então os planos α e β a2 b2 c 2 d 2

serão paralelos coincidentes.

Figura: Planos Paralelos Coincidentes

Intersecção entre dois planos

Para encontrarmos a intersecção entre dois planos α e β , teremos que resolver o sistema de equações a seguir:

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

a1.x + b1.y + c1.z + d 1 = 0  a2 .x + b2 .y + c 2 .z + d 2 = 0

Se a resolução do sistema for: a) impossível, teremos planos paralelos, b) indeterminado, com uma variável livre, teremos planos concorrentes e a solução do sistema fornecerá a equação da reta comum aos dois sistemas, c) indeterminado, com duas variáveis livres, teremos planos coincidentes e a solução do sistema será a equação desses planos.

Exemplo Verificar as posições relativas dos planos descritos abaixo. Se forem concorrentes determinar a equação da reta formada pela intersecção dos dois planos. a) ( α ) 2.x + 4.y + 6.z – 8 = 0

e

( β ) 3.x + 6.y + 9.z – 12 = 0

b) ( α ) x - y + 2.z – 8 = 0

e

( β ) x + y - 4.z + 4 = 0

Solução: a) verificando as relações entre os coeficientes das equações dos planos, encontramos

2 4 6 −8 = = = , como são proporcionais, então os planos são 3 6 9 − 12

paralelos e coincidentes.

b) neste caso, encontramos as relações

1 −1 2 ≠ ≠ 1 1 −4

, como não são

proporcionais, concluímos que os planos são concorrentes.

 x =m+2  Para determinar a equação da reta r resolveremos o sistema: y = 3m − 6  z=m  Portanto,

X = (2, -6, 0) + m.(1, 3, 1).

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Aula: 23 Temática: Posições Relativas entre Retas e Planos

O objetivo desta aula é estudar as posições relativas entre uma reta e um plano. Posições Relativas entre uma Reta e um Plano Considerando uma reta r e um plano α pertencentes a R3, eles podem ser concorrentes, paralelos ou a reta pode pertencer ao plano. Neste estudo iremos definir as seguintes equações: ( r ) X = (ao, bo, co) + m.(u1, u2, u3)

e

( α ) a.x + b.y + c.z + d = 0 Reta e Planos Paralelos

→

→

A reta r será paralela ao plano α se o produto v X n = 0.

Figura: Reta paralela ao plano.

Reta pertencente ao Plano

→

→

A reta r pertencerá ao plano α se além de v X n = 0, o ponto A da reta r pertencer também ao plano α .

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Figura: Reta pertencente ao Plano.

Reta concorrente ao Plano

→

→

A reta r será concorrente ao plano α se v X n ≠ 0. O ponto de intersecção é obtido resolvendo-se o sistema formado pelas respectivas equações.

Figura: Reta concorrente ao Plano

Exemplo Verifique a posição relativa entre uma reta r e um plano α , com as respectivas equações: ( r ) X = (1, 1, 1) + m1.(3, 2, 1)

e

( α ) X = (1, 1, 3) + m2.(1, -1, 1) + n.(0, 1, 3) Solução: →

→

→

v = (3, 2, 1), u = (1, -1, 1) e w = (0, 1, 3)

3

2

1

1 − 1 1 = -17 ≠ 0, 0 1 3

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Portanto, os vetores

→

v,

→

u

→

e w

são linearmente independentes, e

consequentemente, a reta r é concorrente ao plano. Intersecção entre uma reta e um plano

A intersecção entre uma reta r e um plano α representadas pelas equações: ( r ) X = (xo, yo, zo) + m.(v1, v2, v3) ( α ) a.x + b.y + c.z + d = 0, Consiste em um ponto P determinado pela resolução do sistema:

a.x + b.y + c.z + d = 0  x = x o + m.v 1   y = y o + m.v 2   z = zo + m.v 3

Exemplo Determinar a intersecção entre a reta r e o plano α , sendo: (r) X = (2, 1, 0) + m1.(1, 3, 5) ( α ) x + y + z + 15 = 0 Solução: →

→

v = (3, 2, 1) e m = (1, -1, 1) →

→

v X m = 1.1 + 3.1 + 5.1 = 9 ≠ 0, portanto, são concorrentes.  x + y + z + 15 = 0  x = 2+n  A intersecção é:  y = 1 + 3.n   z = 5.n

Substituindo x, y, z na primeira equação do sistema, temos: n = -2

⇒

x = 0 ; y = -5 e z = -10

Portanto, P = (0, -5, -10).

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Resumo da Unidade IV

Nesta unidade, tivemos como principal objetivo o estudo da reta e do plano, de suas equações e da relação entre estes. Vimos que uma única reta pode ser definida a partir de dois pontos distintos e a →

equação X = A + m. v é a equação da reta. Sendo x = (x, y, z), A = (x0, y0, z0) →

e v = (a, b,c), apresentamos: - A equação vetorial de uma reta no espaço: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + m.(a,b,c)

x = x 0 + m.a  - As equações paramétricas da reta como: y = y 0 + m.b z = z + m.c 0 

Vimos também que um único plano pode ser definido a partir de três pontos →

→

distintos, não colineares e a equação de um plano: X = A + m. v + n. u .

→

→

Consideremos X = (x, y, z) , v = (v1, v2, v3), u = (u1, u2, u3), A = (xo, yo, zo), e um plano α , apresentamos: - A equação vetorial de um plano no espaço: (x, y, z) = (xo, yo, zo) + m.(v1, v2, v3) + n. (u1, u2, u3)

x = x 0 + m.v 1 + n.u1  - As equações paramétricas: y = y 0 + m.v 2 + n.u2 z = z + m.v + n.u 0 3 3 

Equação Geral do Plano: a.x + b.y + c.z + d = 0 Estudamos que duas retas r e s, contidas no espaço R3, podem ser coplanares ou reversas. Dois planos quaisquer α e β , contidos no espaço R3, podem ser concorrentes, paralelos ou coincidentes. Considerando uma reta r e um plano

α pertencentes a R3, eles podem ser concorrentes, paralelos ou a reta pode pertencer ao plano.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Referências Bibliográficas BLASI, Francisco. Exercícios de Geometria Analítica. Campinas: Papirus, 1984. BOULOS, Paulo. Geometria Analítica : um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 2004. FEITOSA. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. São Paulo: Editora Atlas, 1976. FRANK, Ayres Júnior. Matrizes. São Paulo: McGraw-Hill, 1981. KINDLE, Joseph H. Geometria Analítica. Coleção Schaum. São Paulo: McGraw-Hill, 1978. KOLMAN, Bernard. Álgebra linear. 3 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1987. LEITE, Olímpio R. V. Geometria Analítica Espacial. São Paulo: Loyola, 1983. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 3.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

AUTO-AVALIAÇÃO - UNIDADE IV 1) As equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(4,1,-2) e é →

paralela ao vetor v = (1,2,4) são:

 x = 4+m  a)  y = 1 + 2m  z = −2 + 4m   x = 1 + 4m  b)  y = 2 + m  z = 4 − 2m   x = 3+ m  c)  y = −1 + 2m  z = −6 + 4 m   x = 4−m  d)  y = 1 − 2m  z = −2 − 4m 

 x = 2+m  2) Os pontos que pertencem à reta r:  y = 4 − 2m são:  z = 2 + 2m  a) (4,0,6) e (14,-6,6) b) (2,4,2) e (1,3,0) c) (14,-6,6) e (5,-2,8) d) (4,0,6) e (7,-6,12)

3) A equação geral do plano α que passa pelo ponto P(4,-2,2) e possui como →

vetor normal a α n = (2,5,4) é: a) 4x – 2y + 2z – 6 = 0 b) 2x + 5y + 4z – 6 = 0 c) 4x - 2y + 2z + 6 = 0 d) 2x - y + z + 3 = 0

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

 x = 3+ m  4) O ponto de intersecção entre as retas r:  y = 1 + 2m  z = 2−m  a) P(-2,1,-2) b) P(5,-3,4) c) P(2,-1,3) d) P(3,1,2)

5) O ponto de intersecção entre:

 x = −1 + 4t  a reta r:  y = 5 + 2t  z = 3−t 

e o plano

α : 2x-2y+3z+2=0 é:

a) P(-1,5,3) b) P(3,7,2) c) P(2,-2,3) d) P(4,-2,-1)

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

 x = 5 + 3t  e s:  y = −3 − 2t é:  z = 4+t 

Unidade V Ângulos e Distâncias

Objetivos O objetivo desta unidade é determinar o ângulo entre os entes ponto, reta e plano, e o cálculo da distância entre estes.

Plano de Estudo Esta unidade conta com as seguintes aulas: Aula: 24 - Ângulo entre duas retas Aula: 25 - Ângulo entre dois Pontos Aula: 26 - Ângulo entre uma reta e um plano Aula: 27 - Distância entre dois Pontos Aula: 28 - Distância entre Ponto e Plano Aula: 29 - Distância entre Ponto e Reta Aula: 30 - Distância entre dois Planos Aula: 31 - Distância entre uma Reta e um Plano Aula: 32 - Distância entre duas Retas

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 24 Temática: Ângulo entre duas Retas

O objetivo desta aula é determinar o ângulo formado entre duas retas quaisquer. Considere duas retas r e s, com as respectivas equações: →

(r)

X = A + m. u

(s)

X = B + t. v

e

→

Definiremos o ângulo entre estas duas retas como sendo o ângulo agudo ( θ ) entre suas direções.

Figura: Ângulo entre duas Retas

O valor deste ângulo pode ser calculado pela seguinte equação:

→

→

uxv

cos θ =

→ →

0 ≤θ ≤

u .v

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

π 2

Podemos fazer duas observações sobre a medida do ângulo entre duas retas:

(a) Se as retas forem coincidentes ou paralelas o ângulo entre elas é 0o; (b) Se as retas forem ortogonais o ângulo entre elas é de 900.

Exemplo Calcular o ângulo formado entre as retas: (r) X = (3, 1, 6) + m.(0,-1,1) (s) X = (1, 5, 2) + n.(2, 2, 1)

Solução: →

→

Temos os seguintes vetores u = (0, -1, 1) e v = (2, 2, 1).

O ângulo θ é dado por →

|u | = →

|v | = cos θ =

0 + 1+ 1 =

2

4 + 4 +1 =

9 =3

(0,−1,1) x(2,2,1) 2.3

=

−1 3 2

= 0,236 ⇒ θ = 76,37 O

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Aula: 25 Temática: Ângulo entre dois Planos

O objetivo desta aula é determinar o ângulo formado entre dois planos quaisquer. Vamos considerar dois planos α e β, com as respectivas equações: →

(α )

(X – A ) X n = 0

(β )

(X – B ) X m = 0

→

Definiremos o ângulo entre estes dois planos α e β como sendo o ângulo agudo ( θ ) entre suas direções normais.

Figura: Ângulo entre dois Planos

O ângulo formado entre os planos α e β pode ser calculado pela equação abaixo: →

→

uxn

cos θ =

→ →

u.n

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Exemplo Determinar o ângulo formado entre os planos α e β com suas respectivas equações, ( α ) x + y – 4 = 0

e

( β ) 2.x + 2.y + z = 6

Solução: Os vetores normais são: →

n = (1, 1, 0) →

m = (2, 2, 1) O ângulo θ entre os planos α e β é dado por: →

|n | = →

1+ 1+ 0 =

2

|m | =

4 + 4 +1 = 3

cos θ =

(1,1,0) 2

cos θ =

4 3. 2

=

2. 2 3

Portanto, θ = 19,5o

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Aula: 26 Temática: Ângulo entre uma Reta e um Plano

O objetivo desta aula é determinar o ângulo formado entre uma reta e um plano. Nas aulas anteriores calculamos o ângulo entre duas retas e dois planos. Agora vamos calcular o ângulo formado entre uma reta e um plano. Considere uma reta r e um plano α com as seguintes equações: →

(r)

X = A + m. u

(α)

(X – A ) X n = 0

→

Definiremos o ângulo formado entre esta reta r e o plano α como sendo o ângulo agudo θ entre a reta r e a reta r’. A reta r’ é a projeção ortogonal da reta r no plano α.

r´

Figura: Ângulo entre Plano e Reta

Podemos calcular o ângulo entre a reta r e o plano α utilizando a equação abaixo: →

senθ =

u

→

u

→

x

n

→

n

GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES

Considerando que os ângulos θ e φ são complementares, poderemos utilizar também a equação: →

cos φ =

u

→

u

→

x

n

→

n

Podemos fazer duas observações sobre a medida do ângulo entre uma reta e um plano:

(a) Se a reta for paralela ao plano α ou estiver contido nele, o ângulo entre a reta e o plano é 00.

(b) Se a reta for perpendicular ao plano o ângulo é de 900.

Exemplo Determinar o ângulo formado entre a reta (r) X = (4, 3, 0) + m.(2, 1, 0) e o plano ( α ) x + 2.y + 2.z – 6 = 0

Solução: →

→

Inicialmente identificamos os vetores u = (2, 1, 0) e n = (1, 2, 2).

O ângulo entre r e α é dado por: →

u = (2, 1, 0) →

n = (1, 2, 2)

sen θ =

sen θ =

(2,1,2) 5

X

(1,2,2) 3

4. 5 15

Portanto, θ = 36,6o

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Aula: 27 Temática: Distância entre dois Pontos

O objetivo desta aula é determinar a distância entre dois pontos quaisquer no espaço. Nas aulas anteriores, calculamos o ângulo entre retas e planos. Nesta e nas próximas aulas, trabalharemos o cálculo das distâncias entre pontos, retas e planos. Considere dois pontos A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) pertencentes ao espaço R3. A distância entre esses dois pontos será um valor real positivo ou nulo, determinado pela equação:

d ( A, B ) = ( B − A ) =

( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2

Figura: Distância entre dois Pontos

Para três pontos quaisquer A, B e C pertencentes a R3, teremos as seguintes propriedades: a) d( A,B) ≥ 0

e

d( A, A ) = 0 ;

b) d( A, B) = d(B, A ) ; c) d( A, C) ≤ d( A, B) + d(B, C) ; d) A e B são dois pontos distintos se, e somente se, d( A, B) >0.

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Exemplo Calcule a distância entre os pontos A = (4, 3, 2) e B = (0, 2, 5).

Solução: d(AB) =

( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2

d(AB) =

(0 − 4)2 + (2 − 3)2 + (5 − 2)2

d(AB) =

26 = 5,1 unidades lineares.

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Aula: 28 Temática: Distância entre Ponto e Plano

O objetivo desta aula é determinar a distância entre um ponto e um plano no espaço. Considere um ponto qualquer P e um plano α do espaço R3, que não contenha este ponto P. A distância entre P e o plano α será um valor real positivo, determinado pela equação:

d ( P ,α ) = (P − P´ ) Onde, P’ é a projeção ortogonal de P sobre o plano α.

Figura: Distância entre um Ponto e um Plano

Podemos, também, calcular a distância entre P e α sem a necessidade de se conhecer a projeção ortogonal de P (P’). Conhecendo-se um ponto qualquer A pertencente ao plano α, podemos obter o triângulo retângulo APP’, conforme figura abaixo:

Figura: Distância entre Ponto e Plano

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Podemos, então, calcular a distância a partir da equação: →

d(P, α ) = (P − A )X

n

→

n

Duas observações são importantes sobre a distância entre um ponto e um plano:

(a) Um ponto P pertence a um plano α se, e somente se, d(P, α ) = 0; (b) Sendo um ponto A qualquer no plano α, então, d(P, A ) ≥ d(P, P´) .

Exemplo Determinar a distância entre: O ponto P = (2, 4, 2) e o plano ( α ) x + 2.y + 2.z – 2 = 0

Solução: Seja o ponto A=(0,0,1) pertencente ao plano α , temos:

→

|n | =

1+ 4 + 4 = 3

→

d(P, α ) = (P − A )X

n

→

n

d(P, α ) = | (2,4,1) X

(1,2,2) 12 |= = 4 unidades lineares. 3 3

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Aula: 29 Temática: Distância entre Ponto e Reta

O objetivo desta aula é determinar a distância entre um ponto e uma reta no espaço. Considere um ponto P afastado de uma reta r, pertencente ao espaço R3, por uma distância d. Podemos calcular a distância do ponto P à reta r aplicando a equação abaixo:

d(P, r ) = (P − P´)

Onde P’ é a projeção ortogonal de P sobre r.

Figura: Distância entre uma Reta e um Ponto

Você também pode calcular a distância entre P e r sem conhecer a projeção ortogonal P’. Sendo A um ponto qualquer da reta r, obtemos um triângulo retângulo APP’, conforme figura a seguir:

Figura: Distância entre uma Reta e um Ponto

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A partir das relações do triângulo, obtemos outra equação para o cálculo da distância.

→

d(P, r ) = (P − A ) ∧

v

→

v

Duas observações são importantes sobre a distância entre um ponto e uma reta:

(a) Um ponto P pertence a uma reta r se, e somente se, d(P, r ) = 0; (b)

Para qualquer ponto A pertencente a reta r, temos: d(P, A ) ≥ d(P, P´) .

Exemplo Determinar a distância entre: O ponto P = (2,6,8) e a reta r de equação X = (1,4,1) + m.(1,2,2).

Solução: →

→

Sendo, A=(1,4,2) e v = (1,2,2), então | v | =

d(P,r) = (2,6,8) − (1,4,2)Λ

i

j

1+ 4 + 4 = 3

(1,2,2) (1,2,2) = (1,2,6)Λ 3 3

k

(1,2,6) Λ (1,2,2) = 1 2 6 = 8.i + 4.j + 0.k = (-8,4,0)

1 2 2 d(P,r) =

− 8,4,0

− 8,4,0 = d(P,r) =

3 ( −8)2 + ( 4)2 + (0)2 =

80 , então temos,

80 = 2,98 unidades lineares. 3

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Aula: 30 Temática: Distância entre dois Planos

O objetivo desta aula é determinar a distância entre dois planos quaisquer no espaço. Considere agora dois planos α e β no espaço R3. Se esses planos forem coincidentes ou concorrentes, conforme figuras abaixo, então a distância entre eles, por definição, é nula.

Se tivermos dois planos α e β paralelos calculamos a distância entre os pontos A e B, obtidos traçando-se uma reta perpendicular a um dos planos.

Figura: Planos paralelos

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Exemplo Determinar a distância entre os planos α e β com suas respectivas equações. ( α ) 2.x + y + 2.z – 8 = 0 ( β ) 2.x + 2.y + z + 4 = 0 Solução: Seja A = (0,8,0) um ponto do plano α e B = (0,0,-4) um ponto do plano β , temos: (B-A) = (0,8,0) – (0,0,-4) = (0,8,4) →

nα = (2,1,2) →

nα =

4 + 1+ 4 = 3

d( α , β ) = (0,8,4) X

(2,1,2) 3

d( α , β ) = (0,8,4) x (2,1,2) = 16 d( α , β ) =

16 = 5,33 unidades lineares. 3

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Aula: 31 Temática: Distância entre uma Reta e um Plano

O objetivo desta aula é determinar a distância entre uma reta e um plano no espaço.

Considere uma reta r e um plano α pertencentes ao espaço R

3

. Se a reta r

pertencer ao plano α ou r e α forem concorrentes, então a distância entre eles é nula.

Caso r e α sejam paralelos, com r não pertencente a α , então a distância entre eles é igual a distância entre um ponto B de r e um ponto A de α , conforme figura abaixo.

Figura: Distância entre uma Reta e um Plano

A distância entre r e α pode ser calculada por: →

d(r, α ) = d(B, α ) = (B − A )X

n

→

n

Sendo:, A = um ponto qualquer de α ; B = um ponto qualquer de r; →

n = vetor normal ao plano α .

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Exemplo Determinar a distância entre: A reta (r) X = (4,2,2) + m.(2,1,-4) e o plano ( α ) 2.x + 4.y + 2.z = 0

Solução: Sendo: →

u = vetor diretor da reta r →

v = (2,1,-4) →

n = vetor normal ao plano α →

n = (2,4,2)

→

→

Como v x n = 0, então r // α Observamos também que o ponto B(4,2,2) não pertence ao plano α , pois 2.4+4.2+2.2 ≠ 0. Então, a reta r é paralela ao plano α e afastado de uma distância d. →

d(r, α ) = d(B, α ) = (B − A )X

n

→

n

Considerando A = (0,0,0) (B-A) = (4,2,2) – (0,0,0) = (4,2,2) (4,2,2) X (2,4,2) = 20

→

n =

24

d( β , α ) =

20 24

= 4,1 unidades lineares.

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Aula: 32 Temática: Distância entre duas Retas

O objetivo desta aula é determinar a distância entre duas retas no espaço. Considere duas retas r e s pertencentes ao espaço R 3. a) Se as retas r e s forem coincidentes ou concorrentes, então a distância entre elas é nula. b) Caso as duas retas r e s, não coincidentes, sejam paralelas, então a distância entre elas é igual à distância entre um ponto B qualquer de r a outro A de s, conforme figura abaixo:

Figura: Distância entre duas Retas

Exemplo Determinar a distância entre duas retas r e s com as seguintes equações: (r) x = (2,3,1) + m.(2,0,2) (s) x = (4,1,6) + m.(2,0,2)

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Solução: →

→

Os vetores u = (2,0,2) e v = (2,0,2) possuem a mesma direção, portanto as retas são paralelas ou coincidentes. Sendo A = (2,3,1) e B=(4,1,6) temos: (B-A) = (4,1,6) – (2,3,1) = (2,-2,5)

→

Como (2,-2,5) não possui a mesma direção de u , então as retas r e s são paralelas e distintas. Portanto, d(r,s) é igual à distância de um ponto qualquer de r até s. →

d(B,r) = | (B-A) ∧

v

|

→

v →

v =

4+0+4 =

d(r,s) = (2,−2,5) ∧

8 (2,0,2) 8 →

→

i

→

j

k

→

→

→

(2,-2,5) ∧ (2,0,2) = 2 − 2 5 = -2. i + 6. j - 4. k ⇒ (-2,6,-4) 2 0 2 ( −2,6,−4) 8

=

56 = 8

7

c) Caso as duas retas r e s forem reversas, figura a seguir, então a distância entre elas é calculada por:

d(r, s) = d(s, α ) = d(B, α ) = (B − A )X

→

→

→

→

u∧ v u∧ v

Onde:

A é um ponto de r e B é um ponto de s.

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→

→

u e v são vetores diretores das retas r e s.

Figura: Distância entre duas Retas Reversas

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Resumo da Unidade V

Nesta unidade, tivemos como objetivo determinar o ângulo entre os entes ponto, reta e plano, e o cálculo da distância entre eles.

→

Definimos o ângulo entre duas retas r (com equação: X = A + m. u ) e s (com →

equação: X = B + t. v ), como sendo o ângulo agudo (θ) entre suas direções. O valor deste ângulo pode ser calculado pela seguinte equação: →

→

u xv

cos θ =

→

0 ≤θ ≤

→

π 2

u .v

- Se as retas forem coincidentes ou paralelas o ângulo entre elas é 0o; - Se as retas forem ortogonais o ângulo entre elas é de 900.

→

Definimos o ângulo entre dois planos, α (com equação: (X – A ) X n = 0) e β →

(com equação: (X – B ) X m = 0), como sendo o ângulo agudo ( θ ) entre suas direções normais. O ângulo formado entre os planos α e β pode ser calculado pela equação: →

→

→

→

u x n

cos θ =

u .n

Definimos também, o ângulo formado entre uma reta r e um plano α, como sendo o ângulo agudo θ entre a reta r e a reta r´. A reta r´ é a projeção ortogonal da reta r no plano α. Podemos calcular o ângulo entre a reta r e o plano α utilizando a equação abaixo: →

sen θ =

u

→

u

→

x

n

→

n

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Considerando que os ângulos θ e φ são complementares, poderemos utilizar também a equação: →

cos φ =

u

→

u

→

x

n

→

n

- Se a reta for paralela ao plano α ou estiver contido nele, o ângulo entre a reta e o plano é 00. - Se a reta for perpendicular ao plano o ângulo é de 900. Determinamos a distância entre esses dois pontos, como um valor real positivo ou nulo, determinado pela equação:

d ( A, B ) = ( B − A ) =

( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2

A distância entre P e o plano α, como um valor real positivo, determinado pela equação: d ( P ,α ) = (P − P´ )

A distância do ponto P à reta r é obtida pela equação: d(P, r ) = (P − P´) Vimos que, com dois planos α e β no espaço R3. Se esses planos forem coincidentes ou concorrentes, então a distância entre eles, por definição, é nula. Se tivermos dois planos α e β paralelos, calculamos a distância entre os pontos A e B, obtidos traçando-se uma reta perpendicular a um dos planos. Com uma reta r e um plano α pertencentes ao espaço R3. Se a reta r pertencer ao plano α ou r e α forem concorrentes, então a distância entre eles é nula. Caso r e α sejam paralelos, com r não pertencente a α , então a distância entre eles é igual a distância entre um ponto B de r e um ponto A de α , Com duas retas r e s pertencentes ao espaço R 3. Se as retas r e s forem coincidentes ou concorrentes, então a distância entre elas é nula. Caso as duas retas r e s, não coincidentes, sejam paralelas, então a distância entre elas é igual à distância entre um ponto B qualquer de r a outro A de s.

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Referências Bibliográficas BLASI, Francisco. Exercícios de Geometria Analítica. Campinas: Papirus, 1984. BOULOS, Paulo. Geometria Analítica : um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 2004. FEITOSA. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. São Paulo: Editora Atlas, 1976. FRANK, Ayres Júnior. Matrizes. São Paulo: McGraw-Hill, 1981. KINDLE, Joseph H. Geometria Analítica. Coleção Schaum. São Paulo: McGraw-Hill, 1978. KOLMAN, Bernard. Álgebra linear. 3 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1987. LEITE, Olímpio R. V. Geometria Analítica Espacial. São Paulo: Loyola, 1983. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 3.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

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AUTO-AVALIAÇÃO - Unidade V

1) O valor de m para que o ângulo entre as duas retas r:

x−2 y z = = 4 5 3

e

 y = m.x + 5 s:  seja de 30º é:  z = 2x − 2

a) 1 ou 2 b) 5 ou 2 c) 3 ou 5 d) 7 ou 1

2) O ângulo entre os planos α 1 : 2x+y-z+3=0 e α 2 : x+y-4=0 é: a) 30º b) 60º c) 90º d) 45º

3) A distância entre o ponto P(-2,-4,3) e o plano α : 2x – y + 2z + 3 = 0 é: a) 2 b) 3 c) 6 d) 4

4) A distância entre os planos paralelos α 1 : 2x-y+2z+9=0 e α 2 : 4x-2y+4z-21=0 é: a) 6,5 b) 3,5 c) 4,0 d) 8,5

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 y = 2x 5) A distância entre as retas r:  e s: (x,y,z) = (2,-1,2) + (1,-1,3).t é: z = 3  a) 3 b)

5

c)

6

d) 6

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