Geometria 4° - 4B

 

Recuerda: Beltrami, Eugenio (1835-1900) 

Nació en Cremona, Italia, y murió en Roma. Provenía Prov enía de una familia de artistas, y su formación matemática hizo que se interesara más por la música que por la pintura. Sus necesidades económicas evitaron que se dedicara por completo a la Matemática, pero dio clases en Bologna de álgebra y geometría analítica. Más tarde aceptó la cátedra de geodesia en la Universidad de Pisa, donde entabló amistad con Betti.

¡ R  R E  E F  FL     E  L E X    IO N A ! •

Bolyai, Farkas Wolfang (1775-1856) 

4

 El dolor dolor físico físico es igual igual a un pensami pensamienento torturante, ambos son ideas negativas que se pueden anular mediante la sabiduría del espíritu.

Toda la vida del hombre gira entre lo in  finito   fini to y lo etern eterno, o, de all allíí la inco incompr mprensi ensión ón del universo. Su cerebro no ha desarrollado lo suficiente todavía para comprender la verdad absoluta.

Nació en Boya, Transilvania y murió en Marosvasárhely, Transilvania. Fue el padre de Johan Bolyai. Era gran amigo de Gauss, un compañero de estudios en Göttingen. Se interesó por los fundamentos de la geometría y el axioma de las paralelas. Sus intentos por impedir que su hijo estudiara el axioma de las paralelas fueron fallidos, por suerte. Farkas escribió a su hijo: “Detéstalo como una pérdida de tiempo; puede privarte de todo tu esparcimiento, tu salud, tu descanso y toda la felicidad de tu vida”. Cuando Farkas Bolyai se resignó sobre la demostracción del postulado de las paralelas, escribió poesía, música y drama.

•

Bolyai, Johan (1802-1860) 

•

•

¡Da! como el sol da su luz, da como los ríos dan sus aguas, da como la tierra da  sus frutos frutos y flor flores, es, da como un noble y comprensivo corazón da a la vida.  La vida prosa prosaica ica debe debe ser corta, corta, si no la  vergüenza  vergü enza será larg larga. a.

Matemático húngaro nacido en Kolozsvar y fallecido en Marosvasárheli, ambas en Hungría. Su padre había sido gran amigo de Gauss, llegando incluso a intentar demostrar el quinto axioma de Euclides. En 1825 ponía en práctica los mismos proyectos que Lobachewski sobre la geometría no euclideana, publicando en 1831 un apéndice en un libro de su padre sobre matemáticas. En él explicó su geometría, la cual Lobachewski había publicado tres años antes.

¡ Ra z o n a ... ! Hallar el término que continúa.

D’alembert, Jean Le Rond (1717-1783)  

Y; A; W; E; U; I; S; O;... Matemático francés nacido y fallecido en París. Era hijo ilegítimo de un aristócrata, que sin embargo le costeó la carrera. El nombre de D’Alembert le viene del nombre de una iglesia en cuya escalinata fue abandonado por su madre al poco tiempo de su nacimiento. Fue criado por una familia familia de vidrieros, y más tarde cuando alcanzó fama como matemático, rechazó los intentos de aproximación de su madre legítima, preriendo ser conocido como el hijo de unos vidrieros. Cola boró con Diderot en la elaboración de la famosa Encyclopédie. Mantuvo correspondencia frecuente y cordial con Euler sobre la resolución de ciertos problemas.

 A) P

B) Q

C) R

D) U

E) S

 

186 RECTAS RECT AS Y PLANOS PL ANOS RECTA  L

Notación: recta AB o AB

Notación: recta L o L

 

 

PLANO

Notación: plano P o

P

Determinación de un plano Un plano P queda determinado en uno de los siguientes cuatro casos: 1.

Tres puntos no colineales

Si: A, B y C son puntos no colineales. &

 A, B y C dete determin rminan an el plan plano oP  

Observación

    2.

n (n - 1)( n - 2) 6 n (n - 1) El máximo número de planos que determinan n rectas en el espacio es: Cn2 =   2 El máximo número de planos que determinan n puntos en el espacio es: Cn3 =

Una recta y un punto exterior a ella

Si: A g   L      A y L   determinan el plano P &

3.

Dos rectas secantes

 A

Si: L1

+

L2  = {A}

 

&

L1  y L2   determinan el plano P

 

187 4.

Dos rectas paralelas

Si: L1  // L2  

L1  y L2   determinan el plano P  

 

&

POSICIONES RELATIVAS RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS

1. Planos paralelos    

Dos planos son paralelos o paralelos entre sí cuando no tienen un punto en común, es decir, no se intersecan.

Si:

P +  Q = Q  P //

&

Q

: vacío o nulo

  Q 

 

2. Planos secantes  

Son dos planos que tienen una recta en común denominada arista o traza de un plano sobre el otro.

L

 Arista

Si:

=

P +  Q   L 

&

Py

Q son secantes

POSICIONES RELATIVAS RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

1. Recta contenida en un plano  

Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano.

 

Observación

 

Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano dicha recta está contenida en dicho plano. Dados los puntos A y B (ambos !   L ). Si: A !   P y B !   P 

&

L

1 

P

 

188 2. Recta secante a un plano Una recta se denomina secante a un plano si solo tiene un punto en común con el plano, al cual se le denomina punto de intersección o traza de la recta sobre el plano.

Punto M: pie de la recta secante. Si: L

P = "M,

+ f  

&

L es sec ante al fP  

3. Recta paralela a un plano Una recta y un plano son paralelos si no tienen ningún punto en común.

 

Si: L

+ f

P=Q

&

L //

P

f

Observación

Rectas alabeadas o cruzadas son rectas no coplanares.

 

Si: L1  y L2  no son coplanares

 

&

L1  y L 2   son alabeadas o cruzadas  

TEOREMA 

Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes, entonces dicha recta es perpendicular al plano que determinan las rectas secantes.

 

Si: L

=

L1 y L

=

L2

&

L

P

= f

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

 

Si: L 1

= f

P y L

=

2

m (m

1 fP)  

&

m

=

L3   (b = 90°)

 

189  ÁNGULOS DIEDROS DIEDROS Y TRIEDROS TRIEDROS

Ángulos diedros Es la gura geométrica formada por la unión de dos semiplanos que tienen una recta en común a la cual se le

denomina arista del ángulo diedro.

Notación: ángulo diedro AB o ángulo diedro P-AB-Q q: medida del ángulo diedro  

Ángulo triedro Es aquel ángulo poliedro de tres caras.

0° 1 a + b + c 1 360° 180° 1 a + b + q 1 540°  

1.

Dos diedros adyacentes son suplementarios.

2.

Dos planos son perpendiculares, cuando determinan diedros que miden 90°.

 

q: medida del ángulo diedro Si: q = 90° a + q = 180°

  3.

   

&

Proyección ortogonal sobre un plano

P’: proyección del punto P A’B’: A’ B’: proyección del segmento AB PP’, AA AA’,’, BB’: rayos proyectantes (⊥

Q)

f

P=

Q

f

   

 

190 1.

Calcular el máximo número de planos que se determinan con 8 puntos en el espacio.

 

Resolución:

Sabemos que el máximo número de planos que determinan 8 puntos en el espacio será:    

C83 =

8! 3!( 8 - 3)!

=

       

Finalmente en PMC por teorema de pitágoras: 2 x2 + 2  = 52 x2 = 23 `  x =  23

4.

Se tienen los planos paralelos R y S, que distan

8! 56 3! 5! =

8 m. Si A pertenece al plano R y B pertenece a el plano S. Calcular la proyección de AB sobre el plano S, si AB = 10 m.

  serán 56 planos.

`

 

2.

 

8 C

  3.

R  

10

B

L1

8

 

S  

M

12 x

L2

         

Piden: BM =  x; BM: proyección de AB sobre el plano S Por dato: AM = 8 En el AMB por teorema de Pitágoras: x2 + 82 = 102 x2 = 36 ` x = 6 m

5.

La gura ABCDEF es un polígono regular.

B

P  

 

 A

Resolución:  A

     

Resolución:

En un plano P se tienen las recta paralelas L1 y L2. En L1  se toma el punto A y el punto B en L2 , si  AB = 12 y la distancia entre L1  y L2 , es 8. Hallar la longitud de la la proyección de AB sobre L2 .

Pide: BC = x, AC = 8 BC: proyección de AB sobre L2 . En el ACB por el teorema de Pitágoras: 82 + x2 = 122 x2 = 80 ∴ x = 4 5  

Calcular el área del triángulo BAG si EG plano Q .

Se tiene el triángulo isósceles ABC (AB =  AC) contenido en el p lano Q, desde A se levanta PA perpendicular al plano Q. Si PA = 4, PC =  5 y BC = 2 2 . Hall Hallar ar la la dist distan anci cia a de P a BC. BC.

=

G

6m

 

C

 

D

Resolución: B

E 2m

Q 

 A

 

Resolución:

     

Por el teorema de las 3 perpendiculares: EG =  Q(1.a perpendicular) EA = AB (2.a perpendicular)

   

Entonces: GA = AB

 

Piden: PM = x

 

Del gráco PB = PC = 5

   

Luego el PAC notable 37° y 53°   AC = 3

 

En el

   

En

 

2#3 2 2 ∴ S BAG = 3 2 m 2

     

&

AMC por teorema de Pitágoras: AM = 7

Ahora como: AP ⊥  Q y AM ⊥ BC  por el teorema de las tres perpendiculares: PM ⊥ BC

F

 

S

G

BAG tenemos:

BAG = 

3 C

  2

B 2

&

Q 

30°

  A

2

6

2 D

3

E 30°

F

2

  al

   

Evaluación 

Día:

Mes:

191

Año:

 Apellidos y nombres:  Año:

Sección:

 I FI C AC I  Ó  

 A  L

   C

N   

Tema:

1.

Calcular máximo número de planos que determinan 12 puntos en el espacio.

2.

Si el máximo número de planos que se pueden obtener con n puntos en el espacio es 10. Hallar n.

 

 A) 220 D) 50

3.

B) 110 110 E) 200

C) 100

La distancia de un punto P a un plano Q es 24, se traza PM (M se encuentra en el plano Q) de modo

 A) 3 D) 6

4.

B) 4 E) 7

C) 5

En la gura, calcular JR, si JA = 3, AB = 4.

que sobr e el plano es 7. Hallar PM. la proyección de PM sobre

J

 A

45° R B

 

 A) 10 D) 18

B) 12 E) 25

C) 7

P 

 A) 2 D) 2 3  

B) 5 2 E) 5

C) 5 3

 

5.

En el gráco, la proyección de MN sobre el plano

6.

Del gráco, EF = 10 y AB = 8, hallar: FB - EA

mide 36 y la distancia de M hacia el plano es 15. Hallar MN.

F E

M  A

 

N

 

B

  R

 A) 39 D) 12

7.

 

Q 

B) 18 E) 20

C) 36

Un ángulo diedro mide 37°. Hallar la distancia de un punto M hacia la arista, si M dista 2 a ambas caras.

 A) 4 D) 6

8.

B) 5 E) 10

C) 8

En la gura los planos son paralelos, la proyección

de MN sobre el plano Q mide 20 m. Si MN = 25 m. Hallar la distancia entre ambos planos. M

P  

N

 

 A) 4 D) 5

9.

B) 2 10 E) 10

C) 10

B) 15 E) 30

 A) 12 m D) 8 m

B) 15 m E) 20 m

C) 10 m

10. Si el máximo número de planos que determinan 5 puntos en el espacio es n, y el máximo número de planos que determinan otros 4 puntos en el espacio es m. Hallar m + n.  

En la gura, hallar AC, si PA = 13.

 A) 20 D) 219  

Q 

C) 20

 A) 14 D) 17

B) 15 E) 18

C) 16

 

193 1.

Calcular el máximo número de planos que determinan 6 puntos en el espacio.  A) 10 D) 20

2.

B) 2 E) 5

C) 15

C) 3

Un ángulo diedro mide 60°. ¿A qué distancia de la arista se encuentra un punto P, si se halla a 8 m de cada cara?  A) 4 m D) 16 m

B) 12 m E) 20 m

C) 15 m

4.

De los siguientes enunciados, marcar lo correcto:

       

 A) B) C) D) E)

5.

Dos puntos determinan un plano. Dos rectas cruzadas determinan un plano. Tres puntos colineales determinan un plano. Dos rectas paralelas determinan un plano. Más de una es correcta.

 A) 10 m D) 18 m 9.

B) 12 m E) 20 m

C) 15 m

Hallar el máximo número de planos que se pueden formar con 48 rectas que se intersectan en un punto.  A) 1400 D) 1040

B) 1128 E) 1030

C) 1048

10. Si: AB = 13 m y la distancia del punto A al plano P es 12 m. Hallar la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano P.

Se tienen dos planos paralelos P y Q distantes 4 m. Calcular la proyección de AB sobre el plano Q, si: AB = 5 m, el punto A pertenece al plano P y el punto B pertenece al plano Q.  A) 1 m D) 2 m

6.

Si: AB =  26 m, P y Q son dos planos paralelos, la proyección de AB sobre el plano Q mide 24 m, calcular la distancia entre ambos planos.

¿Cuántos planos son necesarios para determinar un punto?  A) 1 D) 4

3.

B) 12 E) 2

8.

B) 2 m E) 3 m

C) 3 m

Sean M y N dos planos paralelos que distan entre sí 40 m. La proyección de AB sobre el plano N mide 30 m. Calcular AB.

 A) 5 m D) 12,5 m

B) 12 m E) 7 m

C) 13 m

11. Un plano H tiene una inclinación de 30° sobre el plano P. ¿A qué distancia del plano P se debe trazar otro plano paralelo que corta a H, tal que sus intersecciones disten 30 m?  A) 10 m D) 15 m

B) 15 3 m E) 12 m

C) 15 2 m

12. Si: EF = 25 m y MN = 24 m, calcular: FN - EM.

 A) 20 m D) 50 m 7.

B) 30 m E) 45 m

C) 40 m

Hallar el máximo número de planos que se puedan formar con 10 rectas que se intersecan en un punto.  A) 30 D) 55

B) 45 E) 50

C) 35

 A) 4 m D) 7 m

B) 5 m E) 8 m

C) 6 m

 

194 13.

 12; BC CD = 8. ( L es perpe perpendi ndicul cular ar al plan plano o P). En el gráco, calcular AD, si: AB

=

 9 y

=

 A) L2  2 D) L   4

B) 2L2 

2 C) L   2

2 E) L 6

19. En la gura, G es la proyección de C sobre el plano Q. Si el área del triángulo ABC es 30 y el ángulo diedro que forman ABC y el plano Q mide 37°, calcular el área del triángulo AGB.  A) 15 D) 17

B) 16 E) 13

C) 18

14. Si la proyección de AB sobre el plano Q es 24 y la distancia de A al plano es 10, calcular AB.

 A) 18 D) 15

B) 20 E) 24

C) 22

20. ¿Cuántos planos como máximo determinan 8 puntos no colineales en el espacio?  A) 7 D) 26

B) 24 E) 30

C) 25  A) 28 D) 56

15.  AB Si L= 2; es BC perpendicular al plano = 2 3 y CD = 3   P. Calcular AD, si:

B) 20 E) 60

C) 36

21. La distancia de un punto P exterior a un plano, es 6 y la distancia de este punto a un punto A de dicho plano es 10. Calcular la proyección de AP sobre dicho plano.

°

 A) 6 2 D) 8  A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

16. Calcular el máximo número de planos que se pueden determinar con 30 puntos no colineales co lineales en el espacio.  A) 4060 D) 3480

B) 4062 E) 4822

C) 4872

17. Por el vértice A de un triángulo ABC se levanta la perpendicular AM al plano del triángulo, luego se bajan las perpendiculares AP a MB y AQ a MC. Calcular el segmento QC, sabiendo que: QM = 5; BP = 4 y PM = 6.  A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

C) 7

18. Sea ABC un triángulo equilátero de lado L, por B se levanta la perpendicular BT al plano del triángulo, tal que: BT =  L/2. Calcular el área de la región triangular ATC.

B) 5 3 E) 4 2

C) 5 2

22. Dos puntos P y Q situados a diferentes lados de plano distan de dicho plano 14 y 18 respectivamente. respec tivamente. Si proyección de PQ sobre el plano es 24, calcular PQ.  A) 48

B) 35

D) 40

E) 45

C) 50

23. La distancia de un punto A, exterior a un plano, es 16 y la distancia de este punto a un punto B de dicho plano es 20. Calcular la proyección de AB sobre dicho plano.  A) 8 D) 12

B) 10 E) 20

C) 15

24. La proyección de un segmento de 10 cm de longitud, sobre un plano, mide 5 cm. Determinar la diferencia de las distancias de sus extremos al plano.  A) 5 2 cm D) 8 cm

B) 5 3 cm E) 4 cm

C) 6 cm

 

25. Calcular el máximo número de planos que determinan 7 puntos en el espacio.  A) 35 D) 14

B) 21 E) 7

C) 28

26. En la gura, C es la proyección de D sobre el plano P. Si el área de ABD es igual a 30 m 2 y el ángulo diedro que forman ABD y el plano P mide 53°, hallar el área de ABC.

28. Sea MPQ un triángulo rectángulo isósceles, tal que: MP = MQ = a. En M se levanta una perpendicular MS al plano del triángulo tal que MS = a 2 , luego 2 se trazan los segmentos SP y SQ. Determinar la medida del ángulo diedro cuya arista es PQ.  A) 30° D) 75°

B) 45° E) 35°

C) 60°

29. ¿Cuántos planos son necesarios para determinar un punto, una recta y un sólido geométrico respectivamente?  A) 1; 2; 3 D) 3; 2; 4

B

 A) 18 m2  D) 15 m2 

B) 24 m2  E) 10 m2

C) 20 m2 

27. En el centro O de un cuadrado ACBD cuyo lado mide a, se traza un segmento perpendicular, de longitud OM = h, al plano del cuadrado. Se trazan los segmentos que unen el punto M con los vértices vér tices del cuadrado. Calcular el valor de h para que los triángulos de la gura sean equiláteros.

 A) a 2   2

B) a 3   2

D) a 3

E) a 5

C) a 2

B) 2; 3; 4 E) 1; 3; 4

C) 3; 2; 3

30. La distancia de un punto P a un plano es 5, se traza PQ (Q pertenece al plano), de tal manera que la proyección de PQ sobre el plano es de 12. Hallar PQ.  A) 7 D) 17

B) 13 E) 20

C) 18

195

 

196 POLIEDROS Son aquellos sólidos limitados por cuatro o más planos secantes. Los poliedros más conocidos son las pirámides y los prismas.  A

arista vértice

B

 A

C

B

diagonal cara

D

 

Poliedro convexo  

Poliedro no convexo

DIAGONAL DE UN POLIEDRO

Es el segmento de recta que une dos vértices no pertenecientes a una misma cara. En todo poliedro el número de diagonales viene dado por: ND = C2v  - A - ∑DC Donde: C2v : n.° combinatorio del n.° de vértices tomado de 2 en 2. V: n.° de vértices  A: n.° de aristas DC: n.° de diagonales de todas las caras. TEOREMAS DE EULER

1.

En todo poliedro se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos unidades. C + V = A + 2

 

Donde: C: n.° de caras / V: n.° de vértices / A: n.° de aristas

2.

En todo poliedro la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 360° multiplicado por el número de vértices menos 2. Sm+i (caras) = 360° (V - 2)

 

Donde V: n.° vértices.

 

También: Sm+i (caras) = 360° (A - C)

 

Donde: A: n.° de aristas / C: n.° de caras

POLIEDROS REGULARES

Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares congruentes, de tal manera que en cada vértice concurren el mismo número de caras. Existen solamente cinco poliedros regulares, los cuales son: TETRAEDRO REGULAR

Está formado por cuatro triángulos regulares. En cada vértice concurren tres caras. V = 4 C = 4  A = 6    

h=a 6 3  

h: altura   a: arista

 AT = a 2 3  AT : área total 

V=a

3

2

12

V : volumen

 

197 HEXAEDRO REGULAR

Está formado por seis cuadrados. En cada vértice concurren tres caras. B

 

C

D L

 A d a

G F

V = 8 C = 6    A = 12

 

a E

a

H

d=a 3 d: diagonal a: arista

 

V = a3

 A T = 6a2

   AT : área total

V : volumen

OCTAEDRO REGULAR

Está formado por ocho triángulos equiláteros. En cada vértice concurren cuatro caras.

V = 6 C = 8  A = 12  

d=a 2 d: diagonal a: arista

 A T = 2a2 3

V=a

 AT : área total

3

2 3

V : volumen  

DODECAEDRO REGULAR

Está formado por doce pentágonos regulares. En cada vértice concurren tres caras. V = 20 C = 12  A = 30  

3

V = a ^15 + 7 5 h 4

 AT = 3a2   25 + 10 5  AT : área total a : arista

V : volumen  

ICOSAEDRO REGULAR

Está formado por veinte triángulos equiláteros. En cada vértice concurren cinco caras. V = 12 C = 20  A = 30  

2

 A T = 5a 2 3

V = 5a ^3 + 5 h 12

 AT : área total a : arista

V : volumen

 

POLIEDROS CONJUGADOS • Dos poliedros son conjugados conjugados cuando el el número de caras caras de uno de ellos es igual al número de vértices del del otro. • Todo poliedro puede ser inscrito en su conjugado. • El tetraedro regular es conjugado consigo mismo, es decir, en un tetraedro regular solamente se puede inscri-

bir una esfera y un tetraedro regular. •

El hexaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir, en el hexaedro regular solamente se puede

inscribir una esfera y el octaedro regular y viceversa. • •

 

El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados. Un poliedro conjugado se obtiene al unir los centros de las caras de un poliedro regular. regular.

 

198 1.

Calcular el número de diagonales en un dodecaedro regular.

4.

Si la arista de un octaedro mide 12 m, hallar la diagonal y el volumen del octaedro.

 

Resolución:

 

Resolución:

   

Para calcular el número de diagonales usamos: ND = C v2  - A - ∑DC  ... (1)

 

a = 12

    

En un dodecaedro: A V = 30  20; C = 12 = 20! = 190 C2v = C20 ... (a) 2 =  2! 18!

 

Cálculo de la diagonal: d = a 2   d = 12 2 m

 

El dodecaedro tiene 12 caras las cuales son pentágonos regulares, n = 5 n (n - 3) 5 (2) n.° de diagonales = = = 5  2 2

&

Pero como son 12 caras, se tendrán: 12(5) = 60 diagonales Así: ∑DC = 60 ... (b)

   

3 Cálculo del volumen: V = a 2   3 (12) 3 2  V =   3 &

     

Reemplazando (a) y (b) en (1): ND = 190 – 30 – 60 = 100 ` ND = 100

2.

Un poliedro convexo tiene 8 vértices y 6 caras. Hallar el número de aristas.

 

Resolución:

           

Piden: A Dato: V = 8; C = 6 Por la ecuación de Euler: C + V = A + 2  6 + 8 = A + 2 ` A = 12

3.

La diagonal de un cubo mide 10 3 . Halla Hallarr el área total de un tetraedro regular de lado igual a la mitad del lado del cubo.

 V = 5  57 76 2 m3

`

5.

En un octaedro de arista hallar la distancia del centroregular, del octaedro a unaa,cara.

 

Resolución: P a

 

B

C

x O

 A

M D

 

Piden: ON = x

 

Sabemos que: AO = OP = a 2  y OM = a   2 2 Por el teorema de Pitágoras: PM =  a 3 2

Resolución:

Sea L el lado del cubo, entonces la diagonal es: d

d = L 3  10  1 0 3 = L 3   L = 10 &

 

Por dato el lado del tetraedro será: a = 5 Sabemos que el área total del tetraedro de lado a es:  AT = a2 3   ` AT = 25 3  

N

&

L

 

a

 

En el

POM por relaciones métricas:

 

(OP)( OM) x= (PM)

 

`

 x =  a 6 6

c =

a 2 ma 2  a 2  k  a 3m c 2

   

Evaluación 

Día:

Mes:

199

Año:

 Apellidos y nombres:  Año:

Sección:

 I FI C AC I  Ó  

 A  L

   C

N   

Tema:

1.

Un poliedro convexo tiene 20 caras y 30 aristas. Hallar el número de vértices.

 A) 10 D) 15

3.

B) 12 E) 30

2.

C) 20

Calcular el área total de un tetraedro regular, si su alttur al ura a mid ide e 6 6 m.

Si la diagonal de un cubo mide 2 3 m. Ha Hallllar ar el área total.

 A) 24 m D) 14 m

4.

B) 20 m E) 15 m

C) 12 m

Hallar el número de diagonales de un octaedro regular y calcular la suma del resultado obtenido con el número de vértices.

 A) 324 3  m2  D) 120 m2 

B) 128 m2  E) 100 m2

C) 144 m2 

 A) 10 D) 6

B) 5 E) 9

C) 8

 

5.

Calcular el número de diagonales de un icosaedro regular.

6.

¿Cuál es la relación entre las áreas totales de dos hexaedros regulares, si se sabe que la arista de uno de ellos tiene igual medida que la diagonal d iagonal del otro?

 

 A) 20 D) 72

7.

B) 40 E) 56

C) 36

Hallar la altura de un tetraedro regular de arista 6.

 A) 1/3 D) 5/2

8.

B) 2/3 E) 1/2

C) 3/2

Si el área de una cara de un tetraedro regular es 2 3 , hall hallar ar el el volu volumen men del tet tetraed raedro. ro.

 

 A) 2 6   D) 2

9.

B) 6   E) 3 6

C) 3  

Hallar la suma del número de caras de un dodecaedro regular con el número de vértices de un icosaedro regular.

 A) 16 D) 22

B) 24 E) 18

C) 30

 A) 2/3 D) 5/3

B) 16/3 E) 8/3

C) 4/3

10. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro convexo de 20 vértices.

 A) 1800° D) 6480°

B) 720° E) 7200°

C) 6000°

 

201 1.

Calcular el volumen de un cubo de arista 2.  A) 4 D) 10

2.

C) 6

B) 20 3   E) 32 3

B) 32 3 E) 12 3

C) 25 3  

 A) 3 6 D) 3 3

B) 6 E) 4 6

C) 3 2

 A) 8 3   D) 9 6

B) 16 3   E) 5 3

C) 12 3  

12. ¿Cuántas diagonales tienen un octaedro regular?

C) 30 6

El área de una cara de un tetraedro regular es Calcular el área total del tetraedro.

C) 96

11. Si la arista de un octaedro regular es 2. Calcular el área del sólido.

La suma de las aristas de un tetraedro regular es 36. Hallar el área total del tetraedro.  A) 36 3 D) 27 3  

5.

B) 8 E) 9

B) 72 E) 48

10. El volumen de un cubo es 27. Hallar la diagonal de una cara.

Hallar el área total de un tetraedro regular de 5 de arista.  A) 5 3   D) 30 3

4.

C) 6

Calcular el área6total del hexaedro regular cuya diagonal diagon al mide .  A) 12 D) 13

3.

B) 8 E) 12

 A) 69 D) 32

 A) 2 D) 6

B) 3 E) 8

C) 4

13. ¿Cuántos vértices tiene el cubo? 6.

 A) 6 D) 10

B) 4 E) 12

C) 8

14. ¿Cuántas aristas tiene el cubo?  A) 30 6   D) 12 6 6.

B) 3 3

C) 2 6

B) 3 E) 3 2

C) 2

Calcular el volumen de un cubo cuya cuy a arista es igual a la arista de un tetraedro regular de 49 3  de área total.  A) 343 D) 286

9.

 A) 10 D) 14

D) 6 2 E) 4 2 Calcular la altura de una cara de un tetraedro regular de arista 2.  A) 6 D) 2 2

8.

C) 9 6  

La diagonal de un cubo de 1 de arista es equivalente a la arista de un tetraedro regular. Calcular el área total del tetraedro.  A) 2

7.

B) 6 6   E) 4 6

B) 297 E) 534

C) 336

El áreadedelasuna caradel de cubo. un cubo es 64. Calcular la suma aristas

B) 11 E) 16

C) 12

15. La arista de un octaedro regular mide 6. Hallar la diagonal del sólido.  A) 6 3

B) 3 3

C) 4 2

D) 6 2   E) 8 3   16. El número de vértices del octaedro regular es:  A) 8 D) 5

B) 6 E) 9

C) 4

17. La suma de las diagonales de un cubo es 8 3 . Hallar el área total del cubo.  A) 12 D) 18

B) 24 E) 20

C) 30

18. Hallar la altura del tetraedro regular de arista 3.  A) 2 D) 7

B) 3 E) 2 2

C) 6

 

20219.

Si el área de una cara de un dodecaedro regular es S. Hallar el área total del poliedro.  A) 6S D) 24S

B) 12S E) 9S

26. Se tiene un cubo de arista a. Hallar la distancia de un vértice a la diagonal del cubo que no pasa por este punto.

C) 16S  A)

6 a  3

B)

6 a  2

D)

2 a  3

E)

3a 4

20. ¿Cuántas aristas tiene un icosaedro regular?  A) 20 D) 30

B) 40 E) 35

C) 60

27. La suma de las diagonales de un cubo es 20 3 .

21. Si la arista de un octaedro regular es 4. Calcular el área del sólido.  A) 8 3 D) 9 6

B) 16 3 E) 10 3

C) 32 3

22. ¿Cuántas diagonales tiene un hexaedro regular?  A) 2 D) 6

B) 3 E) 8

C) 4

23. ¿Cuántos vértices tiene el dodecaedro regular?  A) 6

B) 4

C) 8

D) 10 E) 12 24. ¿Cuántas aristas tiene el poliedro conjugado del dodecaedro?  A) 10 D) 32

B) 30 E) 16

C) 12

25. Calcular la razón que existe entre las áreas de dos do s tetraedros regulares, siendo la altura de uno de ellos la mitad de la arista del otro.  A) 1   4

B) 5   3

D) 8   3

E) 4 5

C) a   2

C) 7   2

Hallar el área total del cubo.  A) 12 D) 18

B) 24 E) 120

C) 150

28. En un poliedro la suma de los números de caras, vértices y aristas es 32. Calcular el número de aristas.  A) 12 D) 15

B) 13 E) 16

C) 14

29. Si el área de una cara de un icosaedro regular es S. Hallar el área total del poliedro.  A) 6S D) 24S

B) 12S E) 9S

C) 20S

30. ¿Cuántas aristas tiene el poliedro conjugado de un hexaedro regular?  A) 15 D) 18

B) 6 E) 12

C) 8

 

203 PRISMA  SUPERFICIE PRISMÁTICA  Es aquella supercie generada por una recta denominada generatriz que se desplaza paralelamente así misma a

lo largo de una poligonal denominada directriz.

Superficie prismática abierta

Superficie prismática cerrada

PRISMA  Es aquel poliedro determinado por una supercie prismática cerrada y dos planos paralelos entre sí y secantes a

todas las generatrices. El prisma tiene dos caras paralelas y congruentes a las cuales se les denomina bases y las otras caras son regiones paralelográmicas denominadas caras laterales. Toda arista contenida en alguna base del prisma es denominada arista básica y el lado común a dos caras laterales se denomina arista lateral, todas las aristas laterales son paralelas y de igual longitud. Los prismas se nombran según el número de lados que tiene la base, por ejemplo si la base tiene siete lados, se le denomina prisma heptagonal.

Sección transversal Es la sección plana determinada en el prisma por un plano paralelo a una base.

Sección recta Es la sección plana determinada en el prisma por un plano perpendicular y secante a todas sus aristas laterales.  Arista básica

Base superior   A

  B   C D

 Arista lateral

F

E

Sección recta(SR) Cara lateral Base   inferior  Base

 Altura h

aL

 A'

 

B' F'

C' C'

D' E'

Notación En el gráco se tiene el prisma hexagonal ABCDEF-A’B’C’D’E’F’.

 

204 •

Área de la superficie lateral (ASL)  ASL = Suma de áreas de las caras laterales  ASL = (2pS.R.)aL 2pS.R.: perímetro de la sección recta

•

Área de la superficie total (AST)  AST = ASL + 2(Abase)  Abase: área de la base

•

Volumen (V) V = (Abase)h h: longitud de la altura

•

V = (ASR)aL

También:

 ASR: área de la sección recta aL: longitud de la arista lateral

CLASIFICACIÓN

•

Prisma oblicuo Es aquel prisma cuyas aristas laterales no son perpendiculares a las bases.  A Base

D

C

aL

 

 

 A'

h

B'

Base D'

C'

En el gráco se tiene el prisma cuadrangular oblicuo ABCD-A’B’C’D’.

Se cumple:

h 1 aL

 

 ASR 1 Abase

 

205 •

Prisma recto Es aquel prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. B

 

C D

 A E

aL

 

SR

h

B'   C'  A'

D' E'

h = aL

 ASR = Abase

 

  PARALELEPÍPEDO

Es aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.

Paralelepípedo rectangular, rectoedro u ortoedro Es aquel paralelepípedo cuyas caras son regiones rectangulares.

a d b c

Donde: a, b y c: dimensiones del paralelepípedo rectangular    d: diagonal del paralelipípedo rectanguar. El paralelepípedo tiene cuatro diagonales, las cuales son concurrentes y de igual longitud d2 = a2 + b2 + c2

•

Área de la superficie total (AST)  AST = 2(ab + bc + ac)

•

Volumen (V) V = abc

 

 

206 TRONCO DE PRISMA 

Es una porción de prisma comprendida entre una de sus bases y un plano no paralelo a las bases secantes s ecantes a todas sus caras laterales.

Tronco de prisma triangular oblicuo Es aquel determinado en un prisma triangular.

En el gráco se tiene el tronco de prisma: ABC-A’B’C’.

•

Volumen (V) V = (A A’B’C’) c

h1 + h2 + h3 3

 A A’B’C’  : área de la base h1;h2 y h3 : alturas V = (ASR  ) c a + b + c 3  ASR  : área de la sección recta a; b y c  : aristas laterales

Tronco de prisma triangular recto

B  A c a  A’

C b

C’

B’

V = (A A’B’C’) c a + b + c 3  A A’B’C’  : área de la base a, b y c  : aristas laterales

 

207 1.

 

 

La base de un prisma cuadrangular regular está inscri ins crita ta en una una circun circunfer ferenc encia ia de radi radio o 2 2 m. Si la altura del prisma mide el triple del lado de la base. Hallar el volumen del prisma. Resolución:

 

Dato:  AST = 3 . ASL ... (1)

 

Pero AST = 2 # 6 c 4

 

&

Gracando:

 AST = 4  48 8 2

2

4

3  + A SL

 ASL ... (2)

+

De (1) y (2): 2A SL = 48 3    ASL = 2  24 4 3 B

h 2

2

  2

4

B

 

D

 A

2 4

Luego el volumen:

D

En la base ABCD es un cuadrado de lado 4. Luego la altura del prisma será: h = 3(4)

 

V = (Abase) # h

 

V = 6  6((4 3 ) 3 `  V = 72

4.

La base de un prisma recto es un triángulo equilátero de lado L, si el volumen del prisma es 32 3  m3 y la altura mide 8 m, hallar L.

 

Resolución:

 12 m

=

Entonces; el volumen del prisma viene a ser:   V = (Abase)h   V = (42)(12) 3 ` V = 288 m

2.

 h = 3

&

C

 A

 

6(4h) = 2  24 4 3

2

2

   

C

L

Si el área total del paralelepípedo mostrado es 52 m2. Hallar x

L L

8 x

L

L

3 4

 

 

Resolución:

 

Piden: x Dato: AST = 52 m2

 

Sabemos: AST = 2(ab + ac + bc)  52 = 2(4 . 3 + 4 . x + 3 . x) 7x = 14 ` x = 2

&

    3.

 

L

El área total de un prisma hexagonal es el triple de su área lateral. Hallar el volumen del prisma si el lado de la base mide 4. 4

4

Sabemos que:

 

V = (Abase) # h

   

L2 3 2 # = = V   4    8  2L 3 ... (2) Igualando (1) y (2):

 

2L2 3  = 32 3 & L = 4 m

5.

En qué relación se encuentran los volúmenes de dos prismas rectos, si las bases son los triángulos equiláteros inscrito y circunscrito a una misma circunferencia y tienen la misma altura.

 

Resolución:

h 4

4

4 4

4  

4

4

4  

4

... (1)

 

Resolución: 4

Dato: V = 32 3  m3 

H

H

V1 R

 

V2

 

 

208 

En la base se tiene:

7.

La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo, si los catetos y la altura del prisma están en la relación 5; 12 y 13, respectivamente. Hallar el área lateral del prisma, si el volumen es 390 m3.

 

Resolución:

12k

 

5k

D

   

13k

Cálculo de los volúmenes: V1 = 

 A

2

^R

3h 3  . H 4

^2R

V2 = 

 

(R 3 ) 2 3 .H V1 3R 2 4  =  = V2 12R2 (2R 3 ) 2 3 .H 4  

`

6.

 

V1 1 = V2 4

Se tiene un prisma regular ABCDEF-A’B’C’D’E’F’, calcular su volumen, si F’D y la base, base , forman entre sí un ángulo de 30° y el área de la región A’F’DC es 32 m2.

E

a

2a B'

C'

 A'

 

&

         

  (Abase) # h = 390 (5k)(12k) # 13k = 390 2 390k3 = 390 k = 1 Por el teorema de Pitágoras: AC = 13k Calculamos el área lateral:

     

 (13)(13) + (13)(12) + (5)(13) = 169 + 156 + 65 2 ` ASL  = 390 m

8.

Calcular el volumen de un prisma regular, tal que su base es un pentágono, cuyo apotema mide 4 m y conociendo además que el área de una cara lateral es 16 m2.

 

ASL

Resolución:

=

F'

a

a E'

 

Piden el volumen del prisma: V

 

V = (Abase) # h = 6 c a

2

4

  D'

30°

a

Por dato:

 

V = Abase . h

A A’F’DC = 32 m

2

3  # a = 6 c 42 3  # 4 4 4

 V = 96 3 m3

b

4

 

V = c 5 . a . 4 m. b 2 V = 10a . b

 

V = 10(16)

2

Finalmente:

`

Dato: a . b = 16 m2

 

(2a)a = 32 & a = 4 m

V = 6 c a

 

3  # a

Del dato se tiene F’D’D notable 30° y 60°, si: DD’ = a & F’D = 2a y el lado de la base mide: a

 

 

Por dato el volumen del prisma es: V = 390

D F

 

C

 

C

 A

   

13 k

5k

Resolución: B

 

 

BC = AB = AD = k 5 12 13

2

3h 3  . H 4

 

 

B 12k

 

  V = 160 m3

`

a

a

   

Evaluación 

Día:

Mes:

209

Año:

 Apellidos y nombres:  Año:

Sección:

 I FI C AC I  Ó  

 A  L

   C

N   

Tema:

1.

El área total de un prisma regular hexagonal es el triple de su área lateral. Hallar el volumen del prisma, si el lado de la base mide 2 m.

 A) 9 m3  D) 5 m3 

3.

B) 8 m3  E) 4 m3

2.

C) 10 m3 

Si el volumen del paralelepípedo mostrado es 60. Hallar x.

Si las aristas de un cubo se aumentan en 2; 4 y 6, respectivamente, el volumen del paralelepído obtenido excede en 568 al volumen vo lumen del cubo inicial. Hallar la longitud de la diagonal de este cubo.

 A) 2 3 D) 5 3  

4.

B) 4 3 E) 3  

C) 6 3

En la gura mostrada la arista del cubo es 2.

Calcular la mínima distancia entre AB y MN. M

x-1 x

 

B

x+1

N

 

 A) 8 D) 3

B) 6 E) 4

C) 5

 A

 A) 2 D) 6

B) 3 E) 7

C) 5

 

5.

Calcular el volumen del prisma mostrado.

6.

Un prisma recto cuyas bases son cuadrados de 4 cm de lado tiene un área total de 144 cm2, calcular su volumen.

  8

3

 A) 24 D) 30

7.

2

B) 48 E) 60

 A) 100 cm3  D) 113 cm3 

C) 50

La diagonal de un paralelepípedo rectángulo mide 10 y su área total es 384. Calcular la suma de las longitudes de todas sus aristas.

8.

B) 110 cm3  E) 112 cm3

C) 115 cm3 

En la gura se muestra el desarrollo de la supercie superci e

lateral de un prisma hexagonal regular, calcular el volumen del prisma.

8

10

 

 A) 66 D) 96

9.

B) 88 E) 124

C) 120

Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son proporcionales a 3; 4 y 5, su área total es 282. Calcular el volumen del sólido.

 A) 12 3 D) 4 3  

B) 2 3 E) 5 3

C) 3 3

10. Calcular el volumen de un prisma recto cuadrangular regular de altura 3 y de área lateral 60.

 

 A) 90 3   D) 120 3

B) 180 3   E) 50 3

C) 60 3  

 A) 150 D) 80

B) 25 E) 75

C) 100

 

211 1.

Un prisma recto de 10 cm de altura, tiene por base a un cuadrilátero inscriptible, que se descompone por una de sus diagonales en un triángulo equilátero e quilátero de 12 cm de lado y el otro isósceles. Calcular el volumen del prisma.  A) 230 2 cm3  D) 360 cm3 

2.

B) 720 3 cm3  C) 480 3 cm3  E) 480 2  cm3

Hallar el área total de un prisma recto de base triangular regular de 2 m de lado y altura igual a 12 m.  A) 72 m2  D) 80 m2 

3.

B) 85,5 m2  E) 75,5 m2

El área lateral de un prisma hexagonal regular mide 144 cm2. Si la longitud de su altura es 6 cm, ¿cuánto ¿cuán to mide el lado de la base?  A) 6 cm

4.

C) 70,5 m2 

B) 4 cm

C) 8 cm

D) 9 cm E) 2 cm La base de un prisma triangular regular está inscrita en una circunferencia de 10 cm de radio. Si la altura del prisma mide el doble del lado de la base, hallar el volumen.

8.

En un cubo de volumen 120. Calcular el volumen del sólido que tiene por vértices los centros de las caras del cubo.  A) 20 D) 30

9.

B) 60 E) 150

En un prisma triangular regular ABC-DEF, ABC-DEF, la altura es el triple de la longitud del apotema de su base. Calcular el volumen del prisma, si AB = 10.  A) 125 D) 196

B) 145 E) 375

3

 A) 3500 cm   D) 4200 cm3  5.

B) 4500 cm   E) 4000 cm3

C) 3600 cm  

 A) SR2 

B) SR

S D) R  

E) SR

B) 180 E) 172 3  

11. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34 , 58 y 74 cm cm. Determinar el volumen del paralelepípedo, en m3.  A) 10,5 # 10 8  C) 1,05 # 10 6  E) 1,05 # 10 2 -

B) 1,05 # 10 4  D) 10,5 # 10 6  -

-

12. En el cubo mostrado, hallar la medida del ángulo formado por  AB y CD.

C) 120 6

Calcular la diagonal del paralelepípedo recto.

6

 

 A) 45° D) 60°

4

 A) 120 D) 64

B) 32 E) 15  

B) 200 E) 108

C) 75°

C) 77 d

Hallar el volumen del sólido generado al unir los puntos medios de todas las aristas de un cubo cuya arista mide 6.  A) 180 D) 150

B) 53° E) 90°

13. Si: d = 2 3 . Cal Calcul cular ar el ár área ea de dell cubo cubo..

5

7.

C) SR   2

-

Calcular el volumen de un prisma triangular regular circunscrito a una esfera de 6 de diámetro.  A) 162 3 D) 190 2  

6.

3

C) 156

10. Hallar el volumen de un prisma oblicuo en función de su área lateral S, sabiendo además que la sección recta es un polígono convexo circunscrito a una circunferencia de radio R.

-

3

C) 40

C) 160

 A) 18 D) 24

B) 16 E) 36

C) 30

 

212 14.

Calcular el volumen de un prisma recto de x metros de altura, si su base es un hexágono regular de x/2 de lado.

M  A D

 A) 3 3 x3  

B) 3 3 x3   8

D) 3 3 x3   4

E) 5 3 x3   8

C) 3 3 x3   2

15. Hallar el volumen de un prisma recto cuyas aristas laterales miden 16 cm y su base es un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.  A) 400 cm3  D) 1200 cm3 

B) 500 cm3  E) 800 cm3

C) 600 cm3 

16. Calcular el área total de un prisma cuadrangular regular si la altura mide 20 y la diagonal de la base mide 7 2 .  A) 480 D) 420

B) 560 E) 640

C) 360

17. En el siguiente prisma recto se sabe que: AB = 3 cm;  AC = 4 cm y BG = 5 cm. Calcular su volumen.  A

N

 A) 25 D) 14

3

B) 15 E) 13

C) 12

21. Calcular el volumen de un prisma recto cuyas aristas laterales miden 12 cm siendo sus bases triángulos rectángulos isósceles de hipotenusa 8 cm.  A) 192 cm3  D) 248 cm3 

B) 168 cm3  E) 198 cm3

C) 162 cm3 

22. Las tres caras de un prisma recto de base rectangular son de 6; 12 y 18 m 2. Calcular el volumen.  A) 12 m3  D) 36 m3 

 A) 2 cm2  D) 4 cm2 

F

 A) 6 7 cm3   D) 9 14  cm3 

C B

B) 24 m3  E) 54 m3

C) 48 m3 

C

E

H

E

23. La suma de las diagonales de todas las caras de un cubo es 12 cm. Calcular el área total del cubo.

B  

D

5

B) 3 cm2  E) 8 cm2

C) 6 cm2 

G

B) 10 7 cm3  E) 12 6  cm3

C) 10 14 cm3 

24. En el paralelepípedo recto el agua está a 2/3 de su altura si se introduce el trozo mostrado y luego esta a punto de rebalsar. ¿Cuál es el volumen del trozo?

18. En el paralelepípedo recto mostrado, calcular el área de la región sombreada.

 A) 3 D) 12  A) 150 D) 130

B) 180 E) 200

C) 120

B) 4 E) 18

C) 6

25. En el prisma recto las aristas son proporcionales a: 3; 3 y 4. Calcular: x (AA’ = A’B’).

19. En un cubo, la suma de todas las longitudes de sus aristas es de 144 cm. Calcular la diagonal del cubo.  A) 12 3 cm D) 8 2  cm

B) 12 2 cm E) 16 3  cm

C) 8 3 cm D

20. La gura muestra una caja en forma de prisma regular pentagonal. Una hormiga parte de A en busca del vértice E siguiendo la trayectoria ABCDE de menor longitud posible. Hallar la longitud de dicha trayectoria.

 A) 37° D) 37°/2

B) 53° E) 46°

C) 53°/2

 

213 CILINDRO SUPERFICIE CILÍNDRICA  Es aquella supercie generada por una recta denominada generatriz que se desplaza paralelamente asÍ misma, a lo largo de una línea curva plana y cerrada denominada directriz. Las secciones determinadas en los planos

paralelas se denominan bases y son congruentes. (g)

CILINDRO Es el sólido limitado por una supercie cilíndrica y por dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las gene -

ratrices. g

Sección transversal Es la sección plana determinada en el cilindro por un plano paralelo a sus bases.

Sección recta Es la sección plana determinada en el cilindro por un plano perpendicular y secante a todas sus generatrices.

•

Área de la superficie lateral (ASL)  ASL = (2pSR)g

•

Área de la superficie total (AST)  AST = ASL + 2(Abase)

•        

Volumen (V)

Donde:  ASL: área de la supercie lateral  AST: área de la supercie total g: generatriz h: altura

V = (Abase)h

V = (ASR)g   2pSR: perímetro de la sección recta ASR: área de la sección recta Abase: área de la base

CILINDRO CIRCULAR RECTO

Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos. También También es denominado cilindro de revolución porque es generado por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.

 

214 Sección axial de un cilindro de revolución Es una sección plana determinada en el cilindro por un plano que contiene a su eje. Esta sección tiene la forma de un rectángulo.

Desarrollo de la superficie lateral de un cilindro de revolución Resulta una región rectangular en el cual uno de sus lados tiene igual longitud que la circunferencia de una base y el otro lado es de igual longitud de la generatriz del cilindro.

•

Área de la superficie lateral (ASL)  ASL = 2prg

•

Área de la superficie total (AST)  AST = 2pr(g + r)

•

Volumen (V) V = pr 2g

CILINDRO OBLICUO DE SECCIÓN RECTA CIRCULAR

Es aquel cilindro oblicuo cuya sección recta es un círculo.

BASE

g R

h

BASE

•

Área de la superficie lateral (ASL)  ASL = 2pRg R: radio de la sección recta

•

Área de la superficie total (AST)

 AST = ASL + 2(Abase)  Abase: área de la base

 

215 •

Volumen (V) V = (Abase)h

V = pR2g

 

  Observación

Las bases del cilindro oblicuo de sección recta circular son regiones elípticas, cuyas áreas se calculan en función de sus semiejes. Elipse

 

  2b

O

O: centro de la elipse Área de la región elíptica (Ae):

2a

    2a: longitud del eje mayor  2b: longitud de eje menor 

 Ae = pab

TRONCO DE CILINDRO OBLICUO DE SECCIÓN RECTA CIRCULAR CIRCUL AR

gM

     

AB: generatriz mayor (gM) CD: generatriz menor (gm) O1 y O2: centros de las bases   O1 O2 =

•

Área de la superficie lateral (ASL)  ASL = (2pSR) c

 

•

gM + gm 2

Volumen (V)

gM + gm 2

R: radio de la sección recta

gM + gm 2

ASR: área de la sección recta V = Abase  c

 

Donde: 2pSR = 2pR

2pSR: perímetro de la sección recta

V = ASR c  

 

h1 + h2 2

A de la base h1base , h2:  :área alturas

 

216 1.

Hallar en qué relación están las áreas laterales de un cubo y de un cilindro de revolución si el cubo está inscrito en el cilindro.

 

Resolución:

3.

Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un trozo metálico y el nivel del agua sube en 3,5 cm. Si el diámetro del cilindro es 8 cm, ¿cuál es el volumen del trozo?

 

Resolución: r 

d = 2r    8 = 2r    r = 4 cm

V

3,5 cm

&

Inicio

 

 

Sea r: radio de la base del cilindro.

 

Observamos que:

 

Lado del cubo = r  2    Altura del cilindro = r 2

 

Entonces:  ASL del cilindro

 

Luego, la relación de áreas es:

 

(2) : (1)

 

 A 2 8r 2 = 2 2 =  A1 2 2 pr 2   p

 

V = 176 cm3 (aprox.)

4.

Una población de 5000 habitantes consume un promedio, por persona, de 20 litros de agua diariamente. Determinar el radio de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tenga, además capacidad para una reserva del 25% del consumo diario y tal que la altura sea 4 veces el diámetro de la base.

 

Resolución:

Si AB y CD son generatrices opuestas de un cilindro recto y O punto medio de BC. Siendo E un punto de CD, tal que: OE = AE, CE = 8 cm y DE = 9 cm.

Resolución:

Sea r: radio de la base OCE +   EDA r  8   &  = 9 2r  r = 6

       

V = p . 42 . 3,5

=

Calcular el área de la supercie total del sólido.

 

 

 A2 = 4(r 2 )2 A2 = 8r 2 ...(2)

AL del cubo

   

La variación es debido al trozo, su volumen es:

 A1 = 2pr(r 2 )

   

 

 

=

A1 = 2 2 pr 2 ...(1)

 

2.

trozo metálico

AST = ASL + 2pr 2 AST = 2pr(CD) + 2pr 2 AST = 2p . 6(17) + 2p . 62 2 `  AST = 276p cm  

C

h

=

8r 

r 

 

Consumo diario:

 

5000 # 20 = 100 000

 

 100 m3

=

Como el pozo debe tener una reserva del 25%, entonces: 25 (100 m3) = 25 m3 100

   

El volumen total: V = (100 + 25) V = 125 m3

 

Luego: (pr 2)(8r) = 125

 

&

 r 3 = 125   8p

` 

r = 2 35 p  

   

Evaluación 

Día:

Mes:

217

Año:

 Apellidos y nombres:  Año:

Sección:

 I FI C AC I  Ó  

 A  L

   C

N   

Tema:

1.

En la gura se muestra un cilindro donde la

2.

generatriz es igual que el diámetro de la base. Calcular el volumen de dicho sólido.

De la gura, calcular r si el volumen es numérica -

mente igual al área lateral.

 

r 

   

 A) 12p m3  D) 160p m3 

3.

B) 128p m3  E) 150p m3

C) 130p m3 

En un cilindro de revolución de 3 cm de radio y cuya generatriz es congruente al diámetro, calcular

 A) 2 D) 4

4.

B) 8 E) 5

Un cilindro circular recto está inscrito en un cubo de arista 2a. El volumen del cilindro es 16 p  m3.

el área de la supercie total del sólido.

Calcular el volumen del cubo.

 A) 45p cm2  D) 54p cm2 

 A) 64 m3  D) 36 m3 

B) 48p cm2  E) 65p cm2

C) 52p cm2 

C) 3

B) 48 m3  E) 42 m3

C) 56 m3 

 

5.

En un cilindro recto, el área lateral es igual al área la base, calcular su volumen si el radio de la base mide 16 cm.

 A) 512p cm3  D) 4028p cm3 

7.

B) 2048p cm3  E) 4032p cm3

6.

C) 1024p cm3 

El desarrollo de la supercie lateral de un cilindro

es un rectángulo cuya diagonal mide 26 cm. Si la generatriz mide 10 cm, calcular el área lateral de dicho cilindro.

Calcular el volumen de un cilindro, si el área de su supercie total es 100p m 2 y la suma del radio de la base y la generatriz es 25 m.

 A) 92p m3  D) 50p m3 

8.

B) 125p m3  E) 23p m3

C) 46p m3 

Un cilindro circular recto, cuya generatriz es el doble del diámetro de la base, contiene agua hasta los 3/4 de su volumen. Determinar la relación entre las alturas del cilindro y el contenido del agua respectivamente.

 A) 24 cm2  D) 130 cm2 

9.

B) 120 cm2  E) 100 cm2

C) 240 cm2 

Hallar el área lateral de un cilindro circular recto sabiendo que el área de la sección determinada por un plano que contiene el eje, es S.

 A) 4/3 D) 1/4

B) 1/3 E) 3/8

C) 2/3

10. Calcular el área lateral del cilindro mostrado, OF = 16 m. O es el centro de la base inferior.   F

15°

O

 A) pS2  D) 3pS

B) pS E) 2pS

C) pS   2

 A) 64p m2  D) 96p m2 

B) 32p m2  E) 256p m2

C) 128p m2 

 

219 1.

dicha base un diedro de 37°. Calcular el volumen del tronco de prisma triangular regular inscrito en el tronco de cilindro si sus generatrices mayor y menor miden 12 y 6 respectivamente y la arista lateral menor del tronco de prisma es la generatriz menor del tronco de cilindro.

Si las áreas de las supercies laterales de dos

cilindros de revolución semejantes, son entre sí como 4 a 9, siendo el volumen del menor 16p. Calcular el volumen del mayor.

p  A) D) 24 45p  

2.

p B) E) 36 54p 

C) 81p 

Calcular en qué razón están las áreas de las supercies totales de un cubo y de un cilindro de

revolución, si el cubo está inscrito en el cilindro.  A) D) 3.

6 ( 2 + 1) p 2p ( 2 - 1) p

   

B) E)

3 ( 2 + 1) p 2 ( 2 + 1) p

 

C)

9 ( 2 + 1) p

9.

Calcular el volumen de un cilindro oblicuo, cuyas bases son circulares, además la generatriz y el diámetro de la base son congruentes y la distancia del centro de una base a los extremos del diámetro de la otra base son 13 y 9 respectivamente.

5.

B) 50p 7   E) 40p 14  

C) 70p 14  

Se tiene un vaso cilíndrico circular recto de radio 3 cm lleno de agua. Si se trazan 2 planos paralelos que distan 8 cm y que intersecan lasángulo generatrices del cilindro formando con este aun cuya medida es 53°, calcular el volumen del líquido que se encuentra entre los planos paralelos.  A) 45p  D) 80p 

6.

C) 135p 

Un vaso cilíndrico de diámetro d y altura h está lleno de agua si se vierte el contenido en otro vaso de diámetro 2d, ¿hasta que altura subirá el agua?  A) h/4 D) h/2

7.

B) 90p  E) 120p

B) h/3 E) h/6

C) 108 3

Si la relación entre el volumen y el área lateral de un cilindro de revolución es 1/4, calcular la medida de su altura, si el área de la base es 3/2 del área lateral.  A) 3 D) 1/6

 

Calcular el volumen de un tronco de cilindro de revoluci revo lución ón circun circunscri scrito to a una esfe esfera ra de radi radio o 2 3, si las bases forman un diedro cuya medida es 30°.

 A) 60 p 7   D) 60p 14  

8.

B) 108 2 E) 90 2

 

 A) 18p (2  - 3 )   B) 9p (2  - 3 )   C) 12p (2 (2  + 3 )   D) 24p (2  + 3 )   E) 6p 3   4.

 A) 99 3 D) 120 3

C) 1

¿Cuánto mide el radio de la base de un cilindro, si su altura es 2 cm y su área lateral es 8 p cm2?  A) 2 cm D) p/4 cm

B) p/2 cm E) p cm

C) 1 cm

10. En un cilindro circular recto la altura es 4 m y el radio de su base mide R; al aumentar la altura en 12 m, el volumen aumenta en x m3. Si el radio de la base aumenta en 12 m, el volumen aumenta en x m3, calcular el valor de R.  A) 4 m D) 12 m

B) 6 m E) 15 m

C) 9 m

11.  Al aumentar el radio de la base del cilindro en 6 m el volumen aumenta en x m 3. Si la altura del cilíndro aumenta igualmente en 6 m el volumen aumenta en x m 3. Asumiendo que la altura original medía 2 m, ¿cuál habrá sido el radio original?  A) 6 m D) 15 m

B) 9 m E) 18 m

C) 12 m

12. En la gura mostrada se tiene un tronco de cilindro circular recto, DC = 5 cm, y el área de la supercie esférica inscrita en dicho tronco es 9p cm2. Calcular el volumen del tronco del cilindro. (AESFERA = 4pr 2).

r 

C) h/8

En un cilindro de revolución un de plano secante que contiene a un se solotraza punto la circunferencia que limita a su base y forma con

B) 2 E) 1/4

 A) 10p cm3  D) 7p cm3 

B) 9p cm3  E) 6p cm3

C) 8p cm3 

 

22013.

Calcular el radio de la base de un tronco de cilindro circular recto cuyas bases forman un ángulo diedro cuya medida es 60°; además la suma de las áreas de las bases es S y la generatriz mínima mide 0° (considerar bases circulares).

 A) S   p

D)

S 5 

B) E)

S 

C)

p

S   3p

S 2p  

B) 192p  E) 195p

B) 4 pR 3 3   3

D) 7 pR 3 3   2

E) 5 pR3   2

C) 200p 

C) 5 pR 3 3   2

16. Según la figura se tiene un tronco de cilindro de sección recta circular, MN = 2AB, AM = BN, m + MAB = 135° y el área de la supercie lateral es numéricamente igual al volumen de dicho sólido. Calcular el área de la supercie lateral del sólido. M  A

N

B) 60p  E) 58p

C) 48p 

17. En un prisma recto ABC-A’B’C’ se inscribe un cilindro circunscrito a una esfera, si AB = 13; BC = 15 y AC = 14. Calcular el volumen del prisma.  A) 438 D) 736

B) 546 E) 824

E) 2p 3 3

C) 672

18. En un prisma regular se encuentra inscrito un cilindro de revolución. Calcular la razón de áreas de las supercies laterales de dichos sólidos, si

la suma de las medidas de todos los diedros del prisma es 1800°.

C) 3   p

19. Calcular el volumen de un cilindro recto, si el desarrollo de su supercie lateral tiene un área de 180p m2 y la distancia entre sus centros de la bases

de dicho cilindro mide 15 m. 3

p 3  B) E) 420 560p m  m

3

C) 440p m  

20. Se tiene un tronco de cilindro recto, cuya generatriz menor es nula y su área lateral es igual a S. Calcular el volumen de dicho tronco, si el área de la base circular mide B.  A) S B   3

B) S B   2   p

D) SB   2p

E) S B  

C)

SB   2

p

21. En un cilindro se encuentra inscrito un hexaedro regular. Calcular el volumen del cilindro, si la distancia del punto medio, de una de las generatrices que pertenece al hexaedro, hacia la diagonal de dicho hexaedro que no se intersecta con dicha generat generatriz riz es 2 .  A) 6p  D) 2 2 p  

B) 4p  E) 3 2 p  

C) 3p 

22. Calcular la altura de un cilindro recto de radio 2 , inscri ins crito to en un un tetrae tetraedro dro regul regular ar de arist arista a 3 6 , tal que la base inferior está en una de las caras del tetraedro y la otra base es tangente a las otras caras.  A) 1 D) 4

B

 A) 96p  D) 50p 

D) 1   4p

3

15. Un cilindro oblicuo se encuentra circunscrito en una esfera de radio R. Si el plano que contiene a la sección recta de dicho cilindro y el plano que contiene a su base forman un diedro de 30°, calcular el volumen de dicho cilindro.  A) 4 pR3   3

B) 1   2p

p 3   A) D) 540 480p m  m  

14. El radio de la sección recta de un cilindro oblicuo mide mid e 2 3 , la genera generatri trizz está incl inclina inada da 60° resp respect ecto o a la base y la altura es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro.  A) 180p  D) 177p 

 A) p 3   6

B) 2 E) 5

C) 3

23. Las bases de un cilindro oblicuo son círculos de 36p m2 de área cada una; luego se traza la sección recta del cilindro que pasa por el extremo de la base ba se inferior formando un ángulo de 30° con dicha base e interseca a la generatriz opuesta en el punto C que dista de la base superior 7 3 m . Calcular la generatriz de dicho cilindro.  A) 10 m D) 25 m

B) 15 m E) 30 m

C) 20 m

24. Las bases de un cilindro circular están inscritas en dos caras opuestas de un hexaedro regular; la diagonal de dicho hexaedro interseca a la supercie superci e

cilíndrica y el segmento que tiene por extremos a dichos cilindro.puntos mide

6 . Calcular el volumen del

 

 A) p 

B) 1 p   2

D) 4p 

E) 2 p  

C) 2p 

25. En el gráco: CD = 6 m, AB = 3 m, BD = OC y la m+ AOD = 90°. Calcular el volumen del tronco de cilindro circular recto. D

 A

28. En un hexaedro regular de volumen V, se inscribe y circunscribe cilindros de revolución de tal manera que sus bases están en el plano de una de las caras del hexaedro; calcular el volumen del sólido comprendido entre los cilindros.  A) Vp   4

B) Vp   3

D) Vp   6

E) Vp 2   4

C) Vp   2

29. El radio de la base de un tronco de cilindro recto B

 A) 54p m3  D) 72p m3 

O

r 

circular mide 4 cm. En la supercie lateral se toma

C

B) 60p m3  E) 81p m3

C) 68p m3 

26. En un cilindro recto el área lateral es igual al área de la base, si el radio de la base mide 8 m. Hallar el volumen del cilindro.  A) 256p m3  D) 144p m3 

B) 512p m3  E) 288p m3

C) 128p m3 

27. En un cilindro se traza un plano paralelo a su eje a una distancia a de este, que en la circunferencia de la base determina un arco de medida a. Si el área de la sección es S, calcular el volumen del cilindro.  A) paS   Tana

B) paS   cos a

D) paS   sen 2a

E) paS   cos 2a

C) paS   sen a

el punto P de modo que al unirlo con los centros de las bases se forma un ángulo recto en P. Hallar el volumen del tronco, sabiendo además que la distancia de P a la base mide 2 cm.  A) 140p cm3  D) 130p cm3 

B) 100p cm3  E) 160p cm3

C) 150p cm3 

30. Un tanque de forma cilíndrica que tiene una altura de 10 m y su base un diámetro de 6 m, el agua que contiene dicho tanque tendido horizontalmente determina una una sección de 40 m2. Calcular la altura a la que se encuentra dicha sección, si el volumen de agua es mayor a la mitad del volumen del tanque.

 A) 2 m

B) (6 - 3 ) m  

D) (3 - 5 ) m  

E) (3 + 5 ) m

C) (6 - 5 ) m 

221

 

222 PIRÁMIDE La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que interseca a todas sus aristas en puntos distintos del vértice. La altura (h) de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Notación: pirámide O-ABCDEF Vértice

O Cara

 Arista

lateral

lateral h C

 

D

B

E  A

Base

F

 Arista básica

  Observación

Una pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. dependiendo si su base es un triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc., respectivamente. A una pirámide triángular se le llama también tetraedro. PIRÁMIDE REGULAR

Es aquella pirámide cuya base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles congruentes entre sí. La altura de una pirámide regular cae en el centro de gravedad de la base.

Apotema de una pirámide regular  Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista básica. Es de notar que el apotema de la pirámide forma, junto con el apotema de la base y la altura de la pirámide, un triángulo rectángulo. Sea la pirámide V-ABCD V

 Apotema de la pirámide (Ap)

B

h

 Ap C ap

 A

 Ap2 = h2 + ap2

 

 Área total (AT)

Área lateral (AL)  AL = p # Ap

Volumen (V)

D

Donde: ap: apotema de la base p: semiperímetro de la base  AB: área de la base

 AT = AL + AB

V = 1  A  A # h 3 B

 

 

PIRÁMIDE IRREGULAR

Es aquella pirámide en la cual su base es un polígono irregular.  Área lateral (AL)  AL = S de las áreas de las caras laterales  Área total (AT)  

 AT = AL + AB

Volumen (V)  

V = 1 A # h   3 B

 

223 Teorema Si se interseca una pirámide cualquiera con un plano paralelo a su base se obtiene una pirámide parcial semejante a la pirámide total.  

Se cumple: OM ON OF h = = = OA OB OC H  AMNF

=

 A ABC VO VO

  Entonces: pirámide O-MNF +  pirámide O-ABC

-

MNF

-

ABC

OM 2 = ON2 = OF2 OA2

=

OM3 OA3

OB2 =

ON3 OB3

=

OC2 =

OF3 OC3

h2 H2

=

 A: área

h3 V: volumen H3

 

TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR

Es el sólido que se determina al cortar una pirámide regular con un plano paralelo a su base. Sus caras laterales son trapecios isósceles congruentes y su altura (h) es el segmento que une los centros de las bases.

Apotema del tronco de pirámide regular  Es el segmento que une los puntos medios de las bases de una cara lateral. Sea el tronco de pirámide regular ABCD-EFGH:  Área lateral (AL) B b

b  A 1

C

 A F

 

h

D

 AL = (p1 + p2) # Ap  Área total (AT)

Ap G

 AT = AL + A1 + A2 

a  A 2 E

Volumen (V)  

H

a

V = h 6 A1 + A 2 + A1 . A2 @ 3

 

Donde:  A1: área de la base superior del tronco de pirámide  A2: área de la base inferior del tronco de pirámide  Ap: apotema del tronco de pirámide p1; p2: semiperímetros de los bases TRONCO DE PIRÁMIDE IRREGULAR

Es el sólido que se determina al cortar una pirámide irregular con un plano paralelo a su base. Sus caras laterales son trapecios escalenos. Sea el tronco de pirámide ABC-DEF:  Área lateral (AL)    AL = S de las áreas de las caras laterales D

D

 Área total (AT)

 A 

1 

 AT = AL + A1 + A2 D

Volumen (V)

E 2     A  

F

 

V = h 6 A A A .A @ 3   1+ 2 + 1 2

 

 

224 1.

En una pirámide cuadrangular regular, su altura mide 24 cm y el lado de la base mide 20 cm. Calcular su área lateral, total y su volumen.

Entonces, V-ABC es un tetraedro regular. Por fórmula del tetraedro regular:

 

Resolución:

   

 

Si la pirámide es cuadrangular regular, entonces la base es un cuadrado y las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. Gracamos: V

B

 

 A

                  2.

 

Resolución:

En este tipo de problemas no interesa cuántos lados tenga la base consideremos un tetraedro.

En el VNM: VM2 = 242 + 102 VM = 26 cm

V

Área lateral (AL):  AL = (p ABCD)(VM) AL = (40)(26) AL = 1040 cm2

 Área total (AT):  AT = AL + ABASE  AT = 1040 + 202  AT = 1440 cm2

B

x

C

 A 10

D

 

El volumen de una pirámide triangular regular V-ABC es 72 m3. Calcular su área total si se sabe que la medida del ángulo CVB es 60°.

E

   

Por sólidos semejantes:

 

VV-A BC BC

=

a

x

3 k 

DEF F VV-DE 10 3 V x = 2V 1000

1 x3   x 5 3 4 =   = 2 1000 &

4.

Si una pirámide tienen 80 aristas, calcular su número de caras.

 

Resolución:

 

En una pirámide se cumple: n.° de caras laterales =  n.°de aristas 2 80 n.° de caras laterales =  = 40 2 = n.° de caras totales  n.° de caras laterales + 1(la base) ` n.° de caras totales = 40 + 1 = 41

B

C

Por ser pirámide triangular regular: VC = VB = V  VA A m+CVB =  60° & VC = VB = BC

F

Por ser sólidos equivalentes entonces: VV-ABC = V ABC-DEF = V

V 60°

 

   

 

Resolución:

Gracamos el sólido sabiendo que la base es un

     

 

H

Volumen (V): V =  1  (A ABCD)(VN) 3 V =  1  (202)(24) 3 V = 3200 cm3

 A

 72  7 2 3 m2

=

D

20

triángulo equilátero.

 AT = (AC)2 3 AT = (  (6 6 2 )2 3

 

10 M 10

AC = 6 2 m

¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuya altura mide 10 se debe trazar un plano paralelo a la base para que se determinen dos sólidos equivalentes?

C

10

( AC) 3 2  = 72 m3 12

3. 24

N

V=

   

   

Evaluación 

Día:

Mes:

225

Año:

 Apellidos y nombres:  Año:

Sección:

 I FI C AC I  Ó  

 A  L

   C

N   

Tema:

1.

Calcular el área lateral de una pirámide hexagonal regular sabiendo que el lado de la base mide 6 m y que el apotema de la pirámide pirámide forma con el plano de la base un ángulo cuya medida es 60°.

 A) 1103 3 m3  D) 108 2 m3 

3.

B) 108 3 m3  E) 105 3 m3

C) 100 3 m3 

El área de la supercie lateral de una pirámide 2

cuadrangular regular es 6300 m  y la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y la base es 74°. Calcular la distancia del centro de gravedad de la base a una cara lateral de la pirámide.

 A) 20,16 m D) 20,15 m

B) 20 m E) 21 m

2.

C) 22 m

El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 74 m3. Si su altura mide 6 m y el área de una de las bases mide 16 m 2, ¿cuánto mide el área de la otra base?

 A) 10 m2  D) 9 m2 

4.

B) 9,5 m2  E) 8 m2

C) 8,8 m2 

¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular regular si su arista básica mide 66 m y su arista lateral mide, 7m?

 A) 50 m3  D) 49 m3 

B) 45 m3  E) 49,5 m3

C) 48,5 m3 

 

5.

De la gura mostrada, hallar la razón entre el tronco

6.

de pirámide y la pirámide menor.  

 A) 8 D) 9

7.

B) 6 E) 5

 A) 640 m2  D) 680 m2 

C) 7

En la gura se tiene el rectoedro ABCD-EFGH.

Hallar el volumen de la pirámide F-BKZ, si AE = 6 m, CD = 9 m, AD = 10 m, KD = 2 m y DZ = 5 m.  

Calcular el área total de un tronco de pirámide regular ABCD-EFGH, si AD = 4 m, EH = 14 m y la altura del tronco mide 12 m.

8.

B) 650 m2  E) 690 m2

C) 670 m2 

Calcular el volumen de un tronco de pirámide ABCDEF,, si el perímetro de la base superior mide 24 m DEF y su inradio 1 m; y el perímetro de la base inferior mide 36 m y su inradio mide 6 m, además la altura del tronco mide 9 m.

C

 A) 62 m3  D) 70 m3 

9.

B) 58 m3  E) 60 m3

C) 59 m3 

De la gura mostrada, hallar la razón entre el

volumen del prisma y el volumen de la pirámide.

 A) 460 m3  D) 475 m3 

B) 468 m3  E) 480 m3

C) 470 m3 

10. Calcular la distancia del vértice de una pirámide cuadrangular a un plano paralelo a su base el cual la divide en 2 sólidos equivalentes. La altura de la pirámide es 8.

 

 A) 31  

B) 2

D) 4

E) 1   2

C) 3

 A) 2 3 4   D) 4 2

B) 5 3 4   E) 4 3 4

C) 3 3 4  

 

227 1.

 A) 30 m2  D) 60 m2 

En la gura el área del paralelogramo ABCD mide 2

24 m , M y N son puntos medios y EC Hallar el volumen de la pirámide E-APQ.

  12 m.

=

7.

 A) 14 m3  D) 17 m3  2.

D)

3 6 3 2 m  

 

Calcular el área total de la pirámide cuadrangular regular mostrada, sabiendo que su altura mide 4 cm.

 A) 66 cm2  D) 56 cm2  8.

Calcular el volumen de la pirámide cuadrangular regular mostrada. 2m

B) 16 E) 64

 A) 1 m3  D) 4 m3 

C) 25 9.

C) 50 m3 

Calcular el volumen de una pirámide regular cuadrangular cuya área total mide 360 m2  y su apotema, 13 m.  A) 200 m3  D) 600 m3 

6.

B) 60 m3  E) 90 m3

B) 500 m3  E) 400 m3

C) 300 m3 

Calcular el área lateral de la pirámide cuadrangular regular mostrada. 5m

6m

B) 2 m3  E) 5 m3

C) 3 m3 

Las bases de un tronco de pirámide regular cuadrangular tienen 4m2 y 9m2 de área, y su altura es numéricamente igual a la media geométrica de dichas áreas. Calcular el volumen de dicho tronco de pirámide..  A) 32 m3  D) 38 m3 

5.

C) 76 cm2 

3 2 3 6 m

Calcular el volumen de la pirámide Q-ABC, sabiendo que: QC =  15 m, QA =  13 m y AC = 106   m, además, QB es perpendicular al plano P.

 A) 80 m3  D) 100 m3 

B) 86 cm2  E) 96 cm2

C) 2 3 m3   6

En una pirámide V-ABC, VA = 17; VB = VC = 6;  AB = AC = 5 y BC = 8. Calcular el volumen de la pirámide.  A) 9 D) 36

4.

B) 6 2 m3   3 E)

C) 50 m2 

C) 16 m3 

Se tiene un hexaedro regular ABCD-EFGH. Se traza DS ⊥ AG (S !  AG). Calcular el volumen de la pirámide S-ABCD, si DS = 2 m.  A) 2 6 m3   3

3.

B) 15 m3  E) 18 m3

B) 48 m2  E) 80 m2

B) 35 m3  E) 40 m3

C) 36 m3 

10. Dada una pirámide cuadrangular regular V-ABCD, el área de una cara lateral es la tercera parte del área de la base y el perímetro de dicha base mide 24 m. Calcular el volumen de la pirámide.  A) 10 7 m3   D) 15 7 m3  

B) 12 7 m3   E) 16 7 m3

C) 13 7 m3  

11. En la gura O es centro de la base superior del cilindro recto. Hallar la relación entre los volúmenes de la pirámide regular y el cilindro.

 

228  A) D)

3 

B)

3  8

2  6p

E)

2 4p

4p

C)

19. Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regula reg ularr de 15 3 m de altur altura, a, si sus sus caras caras later laterale aless forman un ángulo de 60° con la base.

3 

9p

12. En una pirámide cuadrangular regular se cumple que 5ASB = 3ASL.   Siendo:   ASB: área de la base   ASL: área de la supercie lateral Calcular la medida del ángulo entre dos caras laterales opuestas.  A) 80° D) 106°

B) 60° E) 74°

 A) 72 2 m   D) 50 2 m3  

3

B) 70 2 m   E) 80 2 m3

B) 2700 m2  E) 1500 m2

C) 2500 m2 

20. Si una pirámide tiene 140 aristas, calcular su número de caras.  A) 140 D) 71

B) 70 E) 69

C) 80

21. Calcular el volumen de la pirámide regular O-ABCD cuya altura mide 6 m, si s i las regiones AOC y ABCD son equivalentes.

C) 53°

13. En una pirámide cuadrangular regular V-ABCD, si m+ AVB =  37° y la distancia del vértice de dicha pirámide al baricentro de una de las caras laterales mide 6 m. Calcular el volumen de dicha pirámide. 3

 A) 13 500 m2  D) 1350 m2 

3

C) 60 2 m  

14. Las áreas de las bases de dos pirámides semejantes

 A) 24 m3  D) 27 m3 

B) 36 m3  E) 42 m3

C) 30 m3 

22. Calcular el volumen de una pirámide regular, si su apotema mide 15 m y su base es un triángulo equi eq uilá láte tero ro de 18 3 m de de lad lado. o.  A) 972 3 m3  D) 973 3  m3 

B) 338 3 m3  E) 973 2  m3

C) 339 2 m3 

están en la razón de 9 a 16. Calcular la razón de sus volúmenes.  A) 25/32 D) 22/33

B) 27/64 E) 27/32

C) 25/64

15. Hallar el volumen de una pirámide regular P-ABCD, si m+ APC = 90° y AD = 6.  A) 36 2 m3  D) 72 2  m3 

B) 36 3 m3  E) 36 m3

C) 42 2 m3 

16. Sea P-ABC una pirámide regular, O es el centro de su base y M es el punto medio de PB. Si OM =  AB =  2 m, hallar el área lateral de dicha pirámide.  A) 3 6 m2  D) 3 5 m2 

B) 3 15 m2  E) 8 6 m2

C) 3 15 m2 

17. Se tiene una pirámide cuya base es un rectángulo de lados iguales a 12 m y 30 m. El pie de la altura está en el punto de intersección de las diagonales del rectángulo. Calcular el área lateral de la pirámide, si su altura mide 8 m.  A) 252 m2  D) 672 m2 

B) 336 m2  E) 1008 m2

C) 504 m2 

18. Hallar el volumen de una pirámide triangu lar de 10 cm de altura si los lados de su base miden 13 cm, 14 cm y 15 cm.  A) 190 2  cm3  D) 280 cm3 

B) 160 3  cm3  E) 310 cm3

C) 296 cm3 

23. La base de una pirámide es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 m y 8 m. Si la altura de la pirámide es igual a la mediana relativa a la hipotenusa de la base, hallar el volumen de la pirámide.  A) 60 m3  D) 80 m3 

B) 40 m3  E) 120 m3

C) 30 m3 

24. ¿Cuántas caras tiene una pirámide que en total tiene 60 aristas?  A) 30 D) 35

B) 32 E) 31

C) 33

25. Se tiene una pirámide cuadrangular regular V-ABCD, la longitud del segmento BD es igual a la altura de la pirámide y, además, su apotema mide 6 2  m. Calcular el área de la supercie lateral de la pirámide.  A) 97 m2  D) 96 m2 

B) 98 m2  E) 94 m2

C) 95 m2 

26. Se tiene una pirámide cuadrangular regular P-ABCD; el área de la región ABCD es el doble del área de la región PCD. Si la altura de la pirámide mide 6 m, calcular el volumen de la pirámide.  A) 94 m3  D) 95 m3 

B) 92 m3  E) 99 m3

C) 96 m3 

 

229 CONO SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN Se llama supercie cónica de revolución a aquella supercie generada por una recta llamada generatriz que interse cando al eje en un punto jo llamado vértice, gira alrededor de dicho eje, formando con él un ángulo invariable. Eje

CONO DE REVOLUCIÓN

Se genera al girar una región triangular rectangular, una vuelta completa, alrededor de un eje que contiene a un cateto. 360°

- 

La supercie lateral es generada por la hipotenusa del triángulo rectángulo.

  Un cateto es la altura del cono la cual pasa por el centro de la base. tiene la misma longitud del cateto. -  El otro cateto genera el círculo de la base cuyo radio tiene -

Donde: g: generatriz del cono h: altura del cono R: radio de la base del cono O

g2 = h2 + R2

 

 Además:  AL: área lateral

 AL = pR . g  

AT: área total  AT = pR(g + R)  

1 2 V: volumen V = 3 . pR . h

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL  Al desarrollar desarrollar la supercie supercie lateral de un cono de revolución revolución se obtiene obtiene un sector sector circular que tiene tiene por por radio radio la gene-

ratriz del cono y cuyo arco mide igual que la longitud de la circunferencia de la base del cono.

h

O

 AL =

pg 2 . a

360°

g

  R R

a=   c

R . 360° gm

 AL = pR . g

 

230 CONO OBLICUO

Es aquel cono en la cual su base puede ser un círculo o elipse, y su altura cae en el exterior del plano de la base.

h

B

V: volumen

Donde: B: área en la base h: altura del cono

V = B.h 3

SEMEJANZA DE CONOS

Teorema Si dos conos son generados por triángulos rectángulos semejantes que giran alrededor de dos lados homólogos, dichos conos son semejantes.

También si se interseca a un cono con un plano paralelo a su base, se obtiene un cono pequeño semejante s emejante al total, debiéndose cumplir: 1.

Las generatrices, los radios y las alturas se dividen en segmentos cuyas longitudes son proporcionales. R =G=H r  g h

2.

Las áreas de sus bases son entre entre sí como el cuadrado de las las longitudes de sus elementos homólogos.  A1  A2

3.

=

H2 h2

=

G2 g2

=

R2 r 2

Los volúmenes son entre sí como el cubo de las longitudes de sus elementos homólogos. V1 H3 = V2 h3

=

G3 R3 = 3 g3 r 

 

231 1.

 

Calcular la medida del ángulo central del sector circular que se obtiene al desarrollar el área lateral de un cono circular recto de 24 cm de altura y 7 cm de radio de la base.

   

Resolución

Gracamos el cono y el desarrollo de su super -

cie.

   3.

&

g2  = 72 + 242 g = 25 cm

   

L L

      2.

En un cono recto de 4 cm de radio de la base y 3 cm de altura, se traza un plano paralelo a su base de modo que el área del círculo que se determina en el plano mide p cm2. Hallar la medida del área lateral, el área total y el ángulo formado al desarrollar la supercie del cono menor.

o

   

 Aconoparcial 4 h 2 = =c m  Acon 9 H cono o tot total al h 2 & = H 3 Vcono parcialal 23 8 cono o tot total al = c 3 m = 27 Vcon

 

Resolución:

   

Del dato: pr 2  = p r = 1 cm

 

Por semejanza de triángulos:

 

4 1 = 5 g

   

Área lateral del cono menor: AL = pRg

 

AL = p(1) c 54  =  54p  cm2

   

Área total del cono menor: AT = pRg + pR2  AT = pR(g + R) AT = p^1 hc 5  + 1m= p c 9 4 4  AT =  9p cm 2   4

 2pr   2p(7) = 14p cm

= =

En el sector circular OAB: L = q(g) 14p  = q(25)  q =  14p  rad = 100,8° 25 &

Un cono es intersecado por un plano a su base. Si las áreas laterales del cono parcial y tronco de cono son entre sí como 4 es a 5; hallar la relación de los volúmenes del cono parcial al cono total.

  Resolución:

Gracamos el cono intersecado por el plano pa -

ralelo. h

  H

   

&

g = 5 cm 4

Medida del ángulo en el desarrollo:

 

Sea:

 

 Acono parcialal 4 =  A tro 5 troncode ncode con cono o

   

R g a = 360° #  1 5 a = 360° # 

c

 

parcial ial  Acono parc  Acono parcial A tronco de c on ono +

=

4 4+5

 

a = 288°

4

 

 

232 4.

En el gráco, calcular la razón de los volúmenes

de los sólidos mostrados, si sus bases son equivalentes.

 

   

Entonces: En el CRB notable (30° y 60°): g = 2R / h = R 3

       

Por dato: AL = 72p cm2 pR . (g) = 72p pR . (2R) = 72p R2 = 36  R = 6

Resolución:

Si las bases son equivalentes, entonces tienen el mismo radio.

 

&

Piden el volumen del cono (V) : 2 ^ 2 h V = pR .  h = pR . R 3   3 3 V = pR

3

 3

p (6) 3 3

=

3

3

=

72p 3  

 Vcono = 72p 3 cm3

` H h r

r

r

r

 

6.

En un cono circular recto, su área lateral es igual a 180p m 2 y la medida del ángulo en el vértice de su sección axial es 106°. Calcular el área total y el volumen de dicho cono.

 

Resolución:

  Por semejanza de :   H  = h 4r  r     H = 4h

H h 3r 

&

r 

B

   

El volumen del cilindro (V1): V1 = p r 2 . H = p r 2 (4h)

 

V1 = 4p r 2 . h

       

5.  

53° 53° g

... (I)

 

... (II)

Dividimos (I) y (II): V1 4p r 2 . h 12 V2 = p r 2 . h = 3

&

Vcilindro 12 Vcono = 1

Calcular el volumen de un cono equilátero, si su área lateral mide 72p cm2. Resolución:

Un cono equilátero es aquel en la cual su sección axial es un triángulo equilátero.

30° 30° g

h

                           

g

   A

60°

R   60° R

37°

 A

El volumen del cono (V2): V2 =  1 . p r2 . h 3 2 V2 =  p r . h   3

C

h

g

R   37°

O R

C

El D ABC es la sección axial del cono. Por dato: m+ ABC = 106°  m+ ABO = m+CBO = 53° En el COB notable (37° y 53°): R = 4k, h = 3k y g = 5k Además: AL = 180p m22 p . R . g = 180p m   p(4k)(5k) = 180p  20k2 = 180 k2 = 9   k = 3 Entonces: R = 12 m, h = 9 m y g = 15 m &

&

Piden: El área total (AT): AT = pR(g + R) AT = p (12)(15 + 12) AT = p(12)(27) = 324p 2 ` AT = 324p m El volumen del cono (V): 2

V = pR . h   3

 

2

 

Vértice

El D ABC es la sección axial del cono equilátero.

V=

p^12h ^9h = 432p  

3

 V = 432p m3

`

 

   

Evaluación 

Día:

Mes:

233

Año:

 Apellidos y nombres:  Año:

Sección:

 I FI C AC I  Ó  

 A  L

   C

N   

Tema:

1.  

Calcular el volumen del cono de revolución mostrado sabiendo que: KL = 10 m, KF = 6 m y KS = 8 m

F

O

El área de la supercie total de un cono de revolución mide 200p m2 y el producto de las longitudes de su

generatriz y el radio de su base es 136 m2. Calcular el volumen de dicho cono.

K

S

 A) 760p m3  D) 768p m3 

3.

2.

B) 770p m3  E) 765p m3

 A) 310p m3  D) 308p m3 

C) 800p m3 

Hallar el volumen de un cono de revolución cuya área lateral mide a y la distancia del centro de la base a una de sus generatrices mide b.

4.

B) 320p m3  E) 300p m3

C) 250p m3 

Calcular el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su supercie lateral es el

siguiente:

8m

 A) ab3  D) 2ab

B) ab 2  E) ab 3

C) 3ab

 A) 85p 15 m3   D) p 15 m3   3

B) 3p 15 m3   E) 5p 15 m3 2

C) 83p 15 m3  

 

5.

Se traza un plano paralelo a la base de un cono de revolución por el punto medio de su s u altura. Hallar la relación entre el volumen del cono total y el tronco de cono que resulta.

 A) 8   7 D) 7   3

7.

B) 3   2 E) 9 7

6.

C) 6   5

Calcular el volumen del cono mostrado sabiendo que la diagonal del hexaedro mide 3 m.

 A) p m3   6 D) p m3   12

En la base de un cono de revolución se traza una cuerda cue rda de de 8 2 m de longi longitud tud,, además además,, la dista distanci ncia a del cent centro ro de dicha dicha cuerd cuerda a al vértic vértice e mide mide 2 17 m. Hallar la medida del ángulo formado al desarrollar

8.

B) p m3   4 2 E) p m3 3

C) p m3   3

Se tiene un sector circular de radio 3m cuyo ángulo central mide 2p  rad. Hallar el área total del cono 3 formado con este sector circular.

el cono.

 A) 214° D) 216°

9.

B) 220° E) 210°

 A) 4p m2  D) 4,5p m2 

C) 218°

En el gráco, calcular el volumen del cono de 3

revolución, si el volumen del cilindro es 30 cm .

 A) 45 cm3  D) 40,5 cm3 

B) 80 cm3  E) 50 cm3

C) 40 cm3 

B) 3p m2  E) 2p m2

C) p m2 

10. Calcular el área lateral de un cono recto de revolución, sabiendo que el segmento mediatriz de una de sus generatrices limitada por la altura del cono mide 4 m, y la altura de este sólido mide 10 m.

 A) 83p m2  D) 38p m2 

B) 50p m2  E) 40p m2

C) 80p m2 

 

235 1.

=

6.

B

 A

 A) 5p/3 m3  D) 6p/5 m3  2.

 A) 10p  D) 15p 

  5/4 m, hallar el volumen del sólido que se obtiene al girar la región triangular  ABC 360° alrededor de AC. En la gura BC

 

O

C) 7p/12 m3 

En la gura por los puntos M y N se trazan planos

paralelos al plano P. Hallar el volumen del sólido central determinado si: OM = MN = NH, además, el volumen del cono inicial mide 81 m3.

 A) 8p  D) 14p  7.

3.  

C) 20 m3 

8.

Calcular el volumen de un cono equilátero cuya generatriz mide 2 3 m.  A) 3p m3  D) 4p m3 

4.

B) 23 m3  E) 21 m3

En la gura OH

B) p m3  E) 2p m3  HP

=

C) 5p m3 

 2 cm, AO = OB

=

 3 cm.

=

9.

B) 6p  E) 12p

C) 10p 

Calcular el área lateral del cono recto mostrado.

 A) 9p  D) 32p   A) 25 m3  D) 24 m3 

C) 24p 

Calcular el volumen del cono recto mostrado.

C

B) 5p/12 m3  E) 7p/6 m3

B) 22p  E) 30p

B) 12p  E) 16p

C) 27p 

Calcular el volumen de un cono circular recto si la longitud de su altura mide 8 m y la medida del ángulo de desarrollo es 120°.  A) 32 p m3   3

B) 64 p m3   3

D) 17 p m3   3

E) 20 p m3 3

C) 19 p m3   3

El gráco ABC-A’B’C’ es un prisma recto cuyo

volumen es 240 cm3 y BB’ = A  A’C’. ’C’. Calcular el volumen v olumen del cono circular recto cuyo vértice pertenece a la cara ABC.

Hallar el área lateral del cono.

   A) 9 5 p cm2  D) 8 5 p cm2  5.

B) 6 5 p cm2  E) 6p cm2

C) 4 5 p cm2 

Calcular el área total del cono mostrado.  A) 40p cm3   3

B) 20p cm 3   3

D) 5p cm3   3

E) 25p cm3 3

C) 10p cm 3 3

 

23610.

En un cono de revolución la distancia del centro de la base hacia una de sus generatrices es igual a 2 cm. Si el área de la superficie lateral es igual a 9 cm2, calcular el volumen de dicho cono.

16. Del gráco, calcular OC, de modo que al girar las regiones sombreadas 360° alrededor de AC se generen sólidos equivalentes (AO = OB = 4). D

3

3

 A) 5 cm   D) 8 cm3 

3

B) 6 cm   E) 9 cm3

C) 7 cm  

11. En la supercie del desarrollo de un cono equilátero se inscribe una circunferencia de radio 1 m. Calcular el volumen del cono.  A) p 3 m3   B) 2p m3  3 D) 4p m3  E) p 3 m3 4

C) 3p m3 

12. En la figura se muestra un cono de revolución, VN = NB, la m+NAB = 37° y LN = 2,5 m. Calcular el volumen del cono. V

 A

 A) 22p cm3  D) 72p cm3 

B

B) 36p cm3  E) 48p cm3

C) 60p cm3 

13. Según el gráco se tiene un cono circular recto y un cilindro de revolución. Si MA = AO1, calcular la razón de volúmenes entre el cono y el cilindro.

 A) 1/12 D) 2/3

 A) 6p m3  D) 4p m3 

B) 3p m3  E) 2p m3

C) 5p m3 

 A) 86p 

B) 40p 

D) 60p 

E) 90p

C) 96p 

19. En un cono de revolución, la mediatriz de una generatriz pasa por el centro de su base. Hallar la razón entre el área de la base y el área lateral de dicho cono.   B) 1/2 E) 2 /2

C) 1/4

20. El gráco muestra la proyección horizontal de dos conos que tienen el mismo vértice, sobre el plano que contiene a sus bases. Calcular la razón de sus volúmenes.  

O1

A

C) 12

17. Calcular el volumen de un cono equilátero, si la altura de dicho cono mide 3 m.  

 A) 1/3 D) 2

O

M

B) 10 E) 16

18. Hallar el volumen de un cono de revolución si una generatriz mide 10 y está inclinada 53° con respecto a la base.  

N

L

 A) 8 D) 14

B) 4/3 E) 3/5

C) 1/5

14. Calcular el volumen de un cono de revolución cuya generatriz tiene una longitud igual a g y la medida del ángulo desigual de su sección axial es 2 a.  

A)

pg3 sen2 a cos a

3 3 pg cos a C)   3 2pg3 E) 3

 

B) D)

pg3 sen 2 a

3 pg 3

3

 

 

15. El área de la base de un cono circular recto mide 10 m2. Hallar el área de la sección paralela a la base trazada por el punto medio de la altura.  A) 3 m2  D) 2,7 m2 

B) 2,5 m2  E) 3,2 m2

C) 2,3 m2 

 A) 1/3 D) 3/4

B) 2/3 E) 5/4

C) 1/4

21. El desarrollo de la supercie lateral de un cono de revolución es un sector circular cuyo ángulo central mide 120° y su área 3 p cm 2. Calcular el volumen del cono.  A) 2 2 p cm3   3

B)

2 p cm3   3

D) 3 2 cm3   4

E) 3 2 cm3 7

C)

2 cm 3   5

 

22. Calcular el volumen de un cono de revolución si el desarrollo de la supercie lateral es un semicírculo de 18p m2 de área.

   A) 9 3 p  m3  D) 10 3 p  m3 

B) 6 3 p  m3  E) 7 3 p  m3

C) 12 3 p  m3

23. El desarrollo de la supercie lateral de un cono recto es un sector circular de 16 m de radio cuyo ángulo central mide 45°. Hallar el volumen del cono.    A) 8 7 p  m3  D) 5 7 p  m3 

B) 6 7 p  m3  E) 7 8 p  m3

C) 9 7 p  m3 

24. En la gura el área de la proyección del cono sobre la base del cubo mide 9 p m2. Hallar el volumen del cono.

27. Una cuerda de la base de un cono circular recto de 4 m de altura, mide 8 m. Si la distancia del centro de la base a dicha cuerda mide 2 m, hallar el área lateral del cono.    A) 10 5 p  m2  D) 5 5 p  m2 

B) 18 5 p  m2  E) 2 5 p  m2

C) 12 5 p  m2 

28. Se tiene un cono circular recto de 3 m de altura cuya área lateral mide 6 p m2. Hallar la medida del  

ángulo que forma la generatriz con la altura del cono.  A) 60° D) 45°

B) 30° E) 37°

C) 15°

29. En un recipiente cónico invertido de 20 cm de altura y 5 cm de radio de la base, se han vertido 4,5 p cm3  de agua. ¿Cuánto mide la altura medida desde el vértice hasta la supercie del líquido?

   A) 6 cm D) 2 cm

B) 4 cm E) 1 cm

C) 3 cm

30. Calcular la medida del ángulo del desarrollo que se  A) 18p m3  D) 16p m3 

B) 20p m3  E) 19p m3

C) 22p m3 

obtiene, desarrollar la supercie lateral del cono menor, sialtiene una generatriz paralela a la generatriz

el cono mayor, además h =  15  y R = 1.

25. La generatriz de un cono circular recto forma con su base un ángulo de 53°. Hallar el área total del cono si su altura mide 2 m . 3  A) 4p m 2   3

B) 3p m 2   4

D) p m2 

E) 2p m2

h

R

C) 5p m 2   4

26. En un cono de revolución las medidas de la altura y la generatriz están en relación de 4 a 5. Hallar el área de la base si el área total del cono mide 216p cm2.  A) 81p  cm2  B) 72 2 p  cm2  C) 56 3 p  cm2  D) 54 3 p  cm2  E) 96p  cm2

237

R

 A) 45° D) 90°

B) 60° E) 135°

C) 75°

 

 

238 ESFERA  SUPERFICIE ESFÉRICA  Es aquella supercie generada por una semicircunferencia al girar 360° en torno a su diámetro.

 ASE = 4pR2

   

ASE: área de la supercie esférica

Nota  Si el plano H es tangente a la supercie

esférica en T, entonces: OT

=

H

  ESFERA 

Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360°, en torno a su diámetro.

2R

H

   

 

VE = 4 pR3 3 VE: volumen de la esfera

HUSO ESFÉRICO Es la porción de supercie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas del mismo diámetro.

2

 AHE = pR a 90°      

AHE: área del huso esférico giro a: medida del ángulo del huso o ángulo de giro a: (en grados sexagesinales).

 

239 CUÑA ESFÉRICA 

Es aquella porción de esfera que está limitada por dos semicírculos máximos que tienen el mismo diámetro en común, y por el huso esférico correspondiente. 3

VCE = p R a 270°

       

VCE: volumen de la cuña esférica a: medida del ángulo de la cuña o ángulo de giro a: (en grados sexagesimales)

ZONA ESFÉRICA  Es la porción de supercie esférica comprendida entre dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la supercie esférica.

 AZE = 2pRh

   

AZE: área de la zona esférica

SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES

Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre sí y secantes a la esfera. r 1

 

h

 

VSgE = ph 6

3 

+

pr12 h

2

+

pr 22 h

2

r 2

   

VSgE: volumen del segmento esférico de dos bases h : distancia entre los planos paralelos

CASQUETE ESFÉRICO Es la porción de supercie esférica que se determina por un plano secante a ella.

Nota  Segmento esférico de una base .

Parte de la esfera limitada por el casquete esférico y un círculo menor correspondiente.

 

R

 ACE = 2pRh

 

 ACE = p(AB)2

VSEs = ph 6

O

r 

r  h

 

ACE: área del casquete esférico

3 +

pr 2 h

2

 

240 SECTOR ESFÉRICO

Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360° en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo semiplano respecto del eje de giro.

VSE = 2 pR2 h 3      

h : longitud de la trayectoria ortogonal del arco AB sobre el eje de giro VSE: volumen del sector esférico

 ANILLO ESFÉRICO

Es el sólido generado por un segmento circular al girar 360° en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el segmento circular en un mismo semiplano respecto del eje de giro.

B a

 

 

V AE = 1  pa2 h 6

R

    

h: a: longitud longitudde delalaproyección cuerda ABortogonal del arco AB sobre el eje de giro V AE: volumen del anillo esférico

TEOREMAS DE PAPPUS-GULDING

Superficie de revolución El área de la supercie generada por una línea plana al girar 360° en torno a una recta coplanar y no secante a dicha

línea es igual al producto de la longitud de la línea y de la longitud de la circunferencia que describe su centroide.

         

 ASG = L(2px) ASG: L: C: x:

área de la supercie generada

longitud de la línea AB centroide o centro de gravedad de la línea AB radio de la circunferencia descrita por el centroide

Sólido de revolución El volumen del sólido generado por una región plana al girar 360° en torno a una recta coplanar y no secante a dicha región es igual al valor del área de la región multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centroide.

       

VSG = A (2px) VSG: A: C: x:

 

volumen del sólido generado área de la región generadora centroide o centro de gravedad de la región A radio de la circunferencia descrita por el centroide

 

241 1.

En una esfera se tiene un círculo menor cuya longitud de circunferencia mide 20,724 cm. Hallar a qué distancia del centro se encuentra el círculo menor sabiendo que la supercie esférica tiene un área que mide 379,94 cm 2. (Considerar p = 3,14)

 

Resolución:

 

Gracamos la esfera y el círculo menor.

3.

En una esfera cuyo volumen es 288 p m 3 se tiene un huso esférico en el cual el ángulo que separa las semicircunferencias que lo forman mide p  rad. 6 Hallar el área del huso esférico.

 

Resolución:

 

q =  p  rad = 30°

     

Del enunciado: VE =  4 p R3 = 288p 3 R = 6

 

Hallamos el área del huso esférico:

 

Ahuso = q . pR 90°

 

Ahuso = 

4.

Calcular el área de la supercie que se genera por

6

x

           

Del dato: Longitud de la circunferencia menor: 2p r = 20, 724 r = 20, 724 = 3, 3 cm 2 (3, 14) Área2de la esfera: 4p R  = 379 94 R = 379, 94 4 (3, 14)

=

5, 5 cm

       

Aplicamos el teorema de Pitágoras: x2 + r 2 = R2 x2 = (5,5)2 - (3,3)2 ∴ x = 4,4 cm

2.

Una esfera es seccionada por un plano que dista 12 m del centro de la esfera. El radio de la sección obtenida mide 9 m. Calcular el volumen de la esfera.

 

Resolución:

2

30° . p . (6) 2  = 12p m2 90°

la línea CSG al dar una revolución alrededor de la recta L.

L

Gracamos la esfera y la sección, la cual no es

necesariamente paralela al círculo máximo.

 

Resolución:

El sólido que genera la línea CSG al dar una revolución es el siguiente:

     

Por Pitágoras: 122 + 92 = R2 R = 15

 

Hallamos el volumen: V =  4 p R3 3

 

 

El área generada es igual a la suma del área lateral del cilindro y el área de la semiesfera. AG = AL(cilindro) + Asemiesfera

   

4p (3 2) = + AG   2p(3)4   2 AG = 24p + 18p = 42p m2

3

 

V =  34 p(15)

 

V = 4500p m3

   

 

242 5.

Calcular el volumen de un segmento esférico de una base, si el radio de la esfera mide 8 cm y el área de la supercie que limita es los 7/16 del área de la supercie esférica.

 

Por dato: A1 = 16p  pr 12 = 16p r 1 = 4 cm

 

Resolución:  r 

8

 

 

O

 

Por dato:  ACE + ABASE = 

 

 

2p R . h + pr 2 =  7 . 4pR2 16 2p(8)h + pr 2 =  7  . 4p(8)2 16 16h + r 2 = 112 ... (I)

 

Por el teorema de las cuerdas:

   

r   = h(16 - h) ... (II) De (I) y (II):

 

16h + h(16 - h) = 112  h = 4

   

En (I): 16(4) + r 2 = 1  112 12 r =  4 3

7  A 16 SE

 

3  p 2 p 2 VSgE = ph + r1 h + r2 h 6 2 2

 

VSgE =

 

VSgE = 32p  + 32p + 50p 3

6.

   

+

6

p (4) 2 (4)

2

+

p (5) 2 (4)

2

VSgE = 278p  cm3 3

`

7.

Calcular el volumen de una cuña esférica equivalente a un sector esférico, ambos en una misma esfera, de radio 3 cm. Dicho sector es generado por sector circular, cuya proyección de su arco tiene por longitud la mitad del diámetro correspondiente.

 

Resolución:

&

360°

VSEs =  ph 6 VSEs =

3 +

p (4) 3

R

R

Piden el volumen del segmento esférico de una base (VSEs):

 

p (4) 3

 

2

 

 A2 = 25p  pr 22 = 25p r 2 = 5 cm

/

El sólido determinado por los planos es un segmento esférico de dos bases, piden su volumen (VSgE):

h

El área que limita el segmento de una base es el área de un casquete esférico más el área de su base.

 

   

h

=

R



R

pr 2 h

+

2

p (4 3 ) 2  . 4  

=

32  p + 96p   3

6 2 320 p cm3 ` VSEs =  3 Dos planos paralelos determinan en una esfera dos círculos de 16p y 25p cm 2 de área. Si la distancia entre ellos es de 4 cm y están a uno y otro lado del centro de la esfera que los contiene, calcular el volumen del sólido determinado por dichos planos. Resolución:

 A1

r 1

r 2

Por dato: R = 3 cm Además: VSE = VCE  2 2   pR 3 a 3 pR h = 270° 2 pR2 (R  ) = pR3 a   3 270°

 

2 . 270°  = a    a = 180° 3 &

 

Piden el volumen de la cuña esférica (VCE): 3

VCE =  pR a 270°

  h

 A2

   

=

4

 

`

  p (3) 3 . (180°)

=

VCE = 18p cm3

270°

=

18p

   

Evaluación 

Día:

Mes:

243

Año:

 Apellidos y nombres:  Año:

Sección:

 I FI C AC I  Ó  

 A  L

   C

N   

Tema:

1.

En el gráco mostrado, calcular la relación entre el

2.

área de la esfera y el área total del cilindro recto.  

3.

Calcular el área de una supercie esférica sabiendo que su volumen es 121,5 p cm3.

 

 A) 1   2

B) 4   3

D) 1   3

E) 2 3

C) 3   9

Si el área de una esfera mide 100 p m2, calcular el área de su círculo máximo.

 A) 81p m2  D) 80p m2 

4.

 

B) 70p m2  E) 86p m2

C) 83p m2

La cúpula semiesférica de una iglesia tiene 12 m de diámetro. Si el costo por pintarla es de 4,8 dólares por metro cuadrado, ¿qué inversión será necesaria hacer, si se desea pintarla en su totalidad? (Considerar p = 3,14).

 

 A) 25,5p m2  D) 36p m2 

B) 20p m2  E) 30p m2

C) 25p m2 

 A) $1080,584 D) $1085,184

B) $1005,56 E) $1085,65

C) $1000,3

 

5.

Del gráco mostrado, hallar el área del huso

6.

esférico.

Calcular el volumen generado por la región sombreada sombre ada al dar una revoluc revolución ión sobre L . B 55°

 

7

C

5

H

 

35°

M D

 

L

 

 A) 8p m 2   3 D) 3p m 2   8

7.

C) 4p m 2 3

Hallar el volumen de una esfera inscrita en un hexaed hex aedro ro regul regular ar cuya cuya diagon diagonal al mide mide 6 3 m.

 A) 38p m3  D) 36p m3 

9.

B) 5p m 2   3 E) 5p m 2   8

B) 49p m3  E) 40p m3

 A) 142p  D) 154p 

8.

C) 64p m3 

Del gráco calcular q sabiendo que el área de la supercie esférica es al área de la base del cono

como 4 es a 3.

B) 148p  E) 160p

C) 150p 

El área total de un segmento esférico de dos bases mide 11p  cm2. Calcular la longitud del radio de la base mayor, sabiendo que la diferencia entre las longitudes de los radios de las bases es de 1 cm. La altura del segmento mide 1 cm y el radio de la esfera que lo contiene mide 3 cm.

 A) 1 cm D) 4 cm

C) 2 cm 

B) 3 cm E) 6 cm

10. Calcular el área de la supercie generada por el cuadrado KLSG cuyo lado mide 4 m, al girar 360° alrededor de la recta N.

  S

G L

15°

 

 A) 30° D) 60°

B) 45° E) 32°

C) 75°

 A) 32p 6 m2  D) 40p 2 m2 

K

N

 

B) 30p 3 m2  E) 34p 6 m2

C) 38p 6 m2

 

245 1.

 A) 84p m3  D) 96p m3 

Calcular el área de la supercie de una esfera, en

la cual el área de uno de sus círculos máximos es 16p cm2.   2

2.

2

 A) 16p cm  

B) 32p cm  

D) 72p cm2 

E) 81p cm2

2

C) 64p cm

 

Calcular el volumen de una esfera, si el área de un círculo máximo es igual a 36p m2.

   A) 248p m3  D) 288p m3  3.

B) 262p m3  E) 290p m3

9.

C) 274p m3

Calcular el área de la esfera inscrita en un tetraedro regular cuya arista mide 4 6  m.

B) 86p m3  E) 98p m3

C) 92p m3

El área de un casquete esférico es 80p m2 y el radio de la esfera que lo contiene mide 10 m. Calcular el área de la base del casquete esférico.  A) 62p m2  D) 70p m2 

B) 64p m2  E) 72p m2

C) 68p m2

10. Se tiene una esfera cuyo radio mide 15 m, se traza un plano que divide a la esfera en dos casquetes cuyas áreas están en la relación de 3 a 2. Calcular la distancia del centro de la esfera a dicho plano.

   A) 12p m2  D) 24p m2  4.  

 A) 2 m D) 5 m

C) 18p m2

Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cono de revolución de radio igual a 3 m y altura 4 m.  A) 2,5p m3  D) 5,5p m3 

5.

B) 16p m2  E) 32p m2

B) 3,5p m3  E) 6,5p m3

C) 4,5p m3

Calcular el volumen de una cuña esférica; cuyo ángulo de giro mide 45° y el área del huso esférico correspondiente es igual a 18 p m2.

   A) 24p m3  D) 32p m3  6.

B) 28p m3  E) 36p m3

C) 30p m3

 

7.

B) 3p m2  E) 4p m2

C) 5p m2

En una esfera cuyo radio mide 17 m, los radios de las bases de un segmento esféricos son 8 y 15 m y se encuentran a uno y otro lado del centro de la esfera que contiene a dicho segmento. Calcular el área de la zona esférica correspondiente.

11. Calcular el volumen de un segmento esférico de una base, si su correspondiente casquete esférico tiene un área de 96p  m2, además el radio de la esfera que lo contiene mide 8 m.    A) 205p m3  D) 218p m3 

2

B) 780p m   E) 795p m2

C) 216p m3 

 A R

H

 A) 220p m3  D) 218p m3 

 O

N

L

B) 210p m3  E) 246p m3

C) 216p m3 

13. Calcular el volumen del sólido generado por la región sombreada, cuando gira 360° alrededor de  AB. Si: R = 6 cm y HN = 5 cm.   F E 60°

 A H

 A) 765p m   D) 790p m2  8.

B) 210p m3  E) 220p m3

12. Calcular el volumen generado por la región sombreada al dar una revolución alrededor de L , si: si: BN = 5 cm y ON = 4 cm.

  2

C) 4 m

B

Una esfera está inscrita en un cilindro circular recto. En dicha esfera se desea calcular ca lcular el área del huso esférico correspondiente a una cuña esférica de p  m3 de volumen; además el cilindro tiene un volumen de 54p m3.  A) p m2  D) 2p m2 

B) 3 m E) 8 m

O

R

N

B

2

C) 782p m  

Calcular el volumen de un segmento esférico de dos bases, si la suma de las áreas de las bases del segmento esférico es 20p m2 y su altura mide 6 m.

 A) 30p m3 

B) 32p m3 

D) 40p m3 

E) 42p m3 

C) 36p m3

 

24614.  

Calcular el volumen generado por la región sombreada, cuando gira 360° alrededor de L.

3m 45°

 A) 25p m3  D) 32p m3 

B) 27p m3  E) 35p m3

 A) 26p m2  D) 24p m2 

L

C) 29p m3 

15. Calcular el volumen de un segmento esférico de una sola base, sabiendo que el área del casquete esférico correspondiente es cuatro veces el área de su base y el radio de la esfera que lo contiene mide 4 3 m. m.  A) 210 2 p m3  D) 216 3 p m3 

21. El volumen de una cuña esférica es 32 p m3, si su 3 ángulo de giro mide 45°. Calcular el área total de la cuña.

B) 214 3 p m3  C) 216 2 p m3  E) 218 6 p m3

16. En una circunferencia el diámetro AB = 6 m, sobre esta circunferencia se toma un punto C de modo que el arco AC mide 90°. Calcular el volumen del sólido que genera el segmento circular AC cuando gira alrededor de AB.

B) 28p m2  E) 36p m2

C) 30p m2 

22. Calcular el volumen del sólido formado por un círculo de radio igual a 1 m, cuando gire alrededor de una recta tangente coplanar a dicho círculo.  A) p2 m2  D) 3p2 m2 

B) 2p2 m2  E) 6p2 m2

C) 4p2  m2 

23. Un hexágono regular de lado igual a 2 m, gira 360° alrededor de uno de sus lados. Calcular el volumen del sólido que se genera.  A) 24p m3  D) 28p m3 

B) 32p m3  E) 40p m3

C) 36p m3 

24. En la gura AB = BC = 13 m y AC = 10 m. Calcular el volumen del sólido generado por el triángulo  ABC al girar 360° alrededor de L . L

3

 A) 6p m   D) 12p m3 

3

3

B) 8p m   E) 16p m3

C) 9p m  

 A

B

17. En una esfera de radio R, un casquete esférico de altura igual a R/4, es equivalente a un huso esférico cuyo ángulo de giro mide q. Calcular q.  A) 30° D) 60°

B) 45° E) 90°

C) 53°

C

 A) 300p m3  D) 420p m3 

18. Una supercie esférica es dividida por dos planos en dos casquetes y una zona. Calcular la altura de la zona, si el área de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de los casquetes. El radio de la

B) 320p m3  E) 480p m3

C) 360p m3 

25. Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar 360° alrededor alrededor de L el cuadrado cuadrado de lado lado igual a 5 m. L

supercie esférica mide 8 m.

 A) 6 m D) 7 m

B) 3 m E) 5 m

C) 4 m

37°

19. Calcular el área de la supercie esférica de una esfera inscrita en un cono equilátero de 648 p  m3  de volumen. 2

 A) 158p m   D) 184p m2 

2

B) 164p m   E) 178p m2

2

C) 144p m  

20. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro. Si el área de la esfera más el área total del cilindro es 90p m2, hallar el volumen de la esfera. 3

 A) D) 24 32pp m  m3  

3

B) E) 27 36pp m  m3 

3

C) 30p m  

 A) 165p m3  D) 175p m3 

B) 160p m3  E) 180p m3

C) 170p m3 

26. En una esfera 4 3 p  cm3  de volumen, se traza un plano secante a una distancia del centro igual a la mitad del radio. Calcular el área del mayor casquete esférico determinado. 2

 A) 7p m  2 D) 10p m  

2

B) 8p m  2 E) 12p m

2

C) 9p m

 

247

 R A ZO NA: Instrucciones: completar los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra, en cada la, ni en cada columna, ni en cada cuadrado.

1.

5. 8

4 8

6

6

1

4

9

3

5

8

9

5

4

3

7

2

1

6

8

6

3

1

8

4

4

7

9

7

7

6

5

5

8

3 6

1 4

6

2.

8

7

5

4

5

4

2

6

5

6

2

4

2

7 5

1

4 8

6

3

2

5

2

6

7

3 1

1

9

6. 3 1

2

6

7 8

5

9

1

5

2

3

7

5

9

9

3

5

8

1 8

3.

4

3

5

7 4

5

3

8 6

9

6

1

6

8 7

7

7

1

7

7

4 2

9

1 2

6

6

3

8

7

2

1

6 9

5

7. 9

8 6

2

1 5 6

9

8

9

2

4

7

5

4 6

9

5

5 6

3

1 8

5

3

4

4

2

3 1

9

7

7 9

9 8

7

4

9

7

5

6

6 8

4.

5

1

4

3

1

3

3 3

8

7

2

1

2

1

4

9

7 2

7

7

2 7

3

8. 9

5

2

8

6

3 3

2

8

4

8

5 8

9

7

6

6

1

2

3

7

4

8

5

9

6

1

6

5

4

5

9

4

1

2

1

3

6

2

9

6

4

2

7

3

7

9

8 4

7

4 2

3

3

7

6

9

5

7

5

2

7

6

8

8

3

1

9

 

248  R

espuestas:

1.

5. 8

4

9

7

3

5

6

2

1

8

2

3

9

1

7

4

6

5

7

3

2

8

6

1

9

5

4

4

1

7

3

6

5

8

9

2

5

1

6

2

4

9

8

3

7

9

6

5

4

8

2

3

1

7

6

7

4

5

2

8

1

9

3

3

4

8

2

9

6

7

5

1

1

5

8

4

9

3

2

7

6

6

7

2

8

5

1

9

4

3

9

2

3

1

7

6

5

4

8

5

9

1

7

3

4

6

2

8

4

8

7

6

5

2

3

1

9

2

8

6

1

7

9

5

3

4

3

6

5

9

1

7

4

8

2

1

3

9

5

4

8

2

7

6

2

9

1

3

8

4

7

6

5

7

5

4

6

2

3

1

8

9

2.

6. 5

8

4

3

2

1

7

6

9

5

4

1

2

8

6

9

3

7

1

7

6

9

4

8

2

5

3

6

8

7

3

9

5

2

1

4

2

3

9

5

7

6

4

1

8

3

2

9

7

4

1

5

6

8

4

9

8

2

1

5

3

7

6

1

7

8

9

3

2

6

4

5

7

6

1

8

3

4

5

9

2

4

9

6

5

1

7

3

8

2

3

5

2

6

9

7

1

8

4

2

3

5

8

6

4

1

7

9

9

4

7

1

6

2

8

3

5

9

6

3

4

5

8

7

2

1

8

2

3

7

5

9

6

4

1

7

5

4

1

2

3

8

9

6

6

1

5

4

8

3

9

2

7

8

1

2

6

7

9

4

5

3

3.

7. 9

4

7

8

6

2

5

1

3

9

8

3

1

5

4

6

7

2

5

6

1

3

7

9

2

8

4

1

6

4

3

7

2

9

5

8

3

8

2

5

1

4

7

6

9

7

2

5

9

6

8

1

4

3

1

3

6

9

2

5

8

4

7

3

9

7

5

1

6

8

2

4

7

9

8

6

4

3

1

2

5

2

1

8

7

4

3

5

9

6

4

2

5

1

8

7

3

9

6

4

5

6

2

8

9

3

1

7

8

5

3

4

9

1

6

7

2

8

3

1

4

9

7

2

6

5

6

7

4

2

3

8

9

5

1

6

4

9

8

2

5

7

3

1

2

1

9

7

5

6

4

3

8

5

7

2

6

3

1

4

8

9

4.

8. 6

9

5

1

2

3

8

7

4

4

6

8

9

2

1

7

5

3

7

1

4

5

8

6

3

2

9

7

2

1

6

3

5

9

8

4

3

8

2

9

4

7

5

1

6

3

5

9

8

4

7

1

2

6

9

2

7

6

1

2

4

8

5

8

1

3

5

6

4

2

9

7

2

5

8

3

7

4

6

9

1

6

4

2

7

1

9

5

3

8

1

4

6

8

5

9

2

3

7

9

7

5

3

8

2

6

4

1

5

3

1

7

6

8

9

4

2

5

3

7

4

9

6

8

1

2

8

2

7

4

9

5

1

6

3

1

9

4

2

7

8

3

6

5

4

6

9

2

3

1

7

5

8

2

8

6

1

5

3

4

7

9