GEOMETRIA 3

GEOMETRÍA

I. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS CONCEPTOS PREVIOS Si una pelota de fútbol reposa sobre una caja de cartón tal como se muestra en la figura, notaremos que el contacto entre la pelota y la caja es un punto, el cual también forma parte de una porción de plano que está limitado por cuatro segmentos de recta. En el gráfico nos da la idea de punto, recta y plano, pero aún así se les conoce como entes matemáticos.

2.1).- CLASIFICACIÓN DE LAS LÍNEAS Las líneas se clasifican en rectas, curvas, quebradas y mixtas.

c).- Línea Quebrada: Es aquella línea que está constituida de dos o más porciones de rectas que siguen direcciones diferentes, pero que tienen entre sí un punto en común.

a).- Línea Recta: Es el conjunto de puntos que siguen una misma dirección. Se extiende sin límite en los dos sentidos.

Gráficamente: O

A

* Notación: OA , donde “O” es el punto de origen.

5. SEMIRECTA d).- Línea Mixta: Es aquella línea que está constituida de dos o más segmentos rectilíneos y de dos o más segmentos curvilíneos; que tienen, de dos en dos, un solo punto en común.

Es uno de los sentidos de la recta. Gráficamente: O

A

* Notación: OA, donde “O” no es origen. Postulados acerca de una línea recta:

1. PUNTO La marca de un lápiz que aparece al presionar éste sobre un papel nos hace pensar en un punto, pero no podemos afirmar que tenga dimensiones. El punto no se puede definir, pero la idea que tenemos de él ,nos permite construir figuras que son el objeto de estudio de la geometría. ¿CÓMO REPRESENTAMOS UN PUNTO? Los puntos se pueden designar por letras mayúsculas y representarse por un trazo, un circulito o una cruz. Así decimos el punto A, el punto B, etc.

A

B

6. SEGMENTO DE RECTA

a) La línea recta posee dos sentidos. b) La línea recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos. c) Dos puntos determinan una recta. d) Por un punto pasan infinidad de rectas. ¿CÓMO REPRESENTAMOS UNA LÍNEA RECTA ?

6.1).- DEFINICIÓN Es la porción de línea recta comprendida entre dos puntos. Sólo en el segmento de recta es posible la medida de longitud. Gráficamente:

3. PLANO La superficie de una pizarra, del piso, de una mesa nos da la idea de un plano. Un plano, es la representación de una sucesión de restas alineadas en una extensión ilimitada. Se acostumbra representarlo por un paralelogramo.

B

A

¿CÓMO REPRESENTAMOS UN PLANO?

SÍMBOLO: AB L

SÍMBOLO: L

* Notación:

16

6m B

A

Se lee: “Plano P”

Un rayo se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los sentidos.

Se entiende así a la extensión considerada en una sola dimensión: la longitud. Corresponde a una serie ilimitada de puntos.

Significa segmento que inicia en A y termina en B. La medida o longitud de AB se representa por AB. Ejemplo: Es correcto escribir un dato como el siguiente: AB = 5 metros.

P

4. RAYO

2. LÍNEA

B

6.2).- CONGRUENCIA DE SEGMENTOS Dos segmentos se dicen que son congruentes; cuando tienen la misma longitud.

P

b).- Línea Curva: Es aquella línea que cambia de dirección constantemente. En otras palabras, la línea curva carece de segmento por más pequeño que éste sea.

A * Notación: AB

6m C

D

* Notación: AB  CD  Se lee el segmento AB es congruente con el segmento CD .

GEOMETRÍA 6.3).- PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Se llama punto medio de un segmento al punto que divide al segmento en dos partes congruentes. Ejemplo: “B” es punto medio de AC.

Solución:

PROBLEMAS RESUELTOS

a

2

1).-Calcula “x” A

20

B

Remplazando: 8x K= x  y  x  ( x  y) 8x 8x K= = x 2x  y  x  y

3 C

D

12

Se pide : “a” A

20 0

B

E

2

C

D

12 15

Suma : AD = AC + CD

Donde :

x + 5 = 12 x=7

B

C

D

E

* A, B, C, D y E son puntos consecutivos. B).- PUNTOS COLINEALES Son puntos que se encuentran en una misma recta. Ejemplo:

B

C

D

E

* A, B, C, D y E son puntos colineales.

11 a

a

B

D

C b) 12 e) 15

c) 10

2).-Calcula “BC”, si: AC + BD = 39 A

C

D

Q

P

12(a+b) = (12+a)(b) 12a + 12b = 12b + ab 12a = ab

a) 5 d) 3

1 1 2   AB AD AC

x

x+y A

17

c) 9

9

5).-Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” tal que: “B” es punto medio de AD. 8(BC) Halla: k = AC  BD Solución:

y que: AB = 2 y CD = 3. Calcula “BC”.

b) 7 e) 2

5

2a = 8

3).-Sean “A”, “B”, “C” y “D” puntos consecutivos de una recta; se sabe que:

D 10

3).- Calcula “BC”, si en la figura se cumple: 2AC + 3OC = 75

Se pide “2a” Se observa: a + 11 = 15 a=4

Se pide: “b”

C

B 11

15 A

a) 11 d) 13

11 - a

N

M

b

a

b = 12 A

Q

P

B

Solución:

2).-Se tiene los puntos colineales “A”, “B”, “C” y “D” , tal que: (AB)(BD) = (AC)(CD). Si : AB = 12 , halla “CD”. Solución: 12

A

N

M

* OBSERVACIONES: A).- PUNTOS CONSECUTIVOS Son puntos que se encuentran en una misma recta y uno a continuación del otro. Ejemplo:

A

4).-En la figura, N es punto medio de MP, NQ = 11 y MQ = 15, Calcula “MP”.

Se pide : “x”

Resta : CD = CE - DE

1).- Según el gráfico AD = 136. Calcula “x”. 4x 2x + 6 2x + 10

a + 9a+ 14 =20 + 4a 2 a + 5a- 6 = 0 Donde: a=1

x

5

D

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01

5a2 2  10  2a 2a

A C

K=8

1 1 2   2 5a 2a

15

6.4).-OPERACIONES CON SEGMENTOS

B

D

Solución:

* Notación: AB = BC

A

C x

C

B

A

B

B

y C

D

O a) 7 d) 8

C

B

A

b) 6 e) 3

c) 5

4).-Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D son tales que: AD = 18, BD = 13 y AC = 12. Calcula “BC”. a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

GEOMETRÍA 5).- Calcula “BC”, si AC = BD = 3 y AD = 5. A

B

a) 1 d) 0,5

C

D

b) 2 e) 2,5

c) 1,5

a) 1 d) 5

6).- Calcula (PQ), si: “P” es punto de medio de AB, “Q” es punto medio de CD y AC + BD = 40. A

P

a) 5 d) 20

B

C b) 10 e) 30

Q

D

c) 15

7).-Calcula “PB”, si: AB – BC = 18 y punto medio de AC. A a) 3 d) 6

P

B

“P” es

c) 5

AB BC CD   2 3 5

b) 9 e) 8

c) 6

b) 3 e) 4

c) 5

10).- “A”, “B” y “C” son puntos consecutivos de una recta. AC = 28 y AB = BC + 12. Calcula “BC”. a) 3 d) 9

b) 5 e) 8

c) 7

b) 20 e) 50

c) 30

13).- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D; siendo CD = 3AB y AD + 3BC = 60m.

a) 11 d) 17

b) 13 e) 19

b) 4 e) 10

c) 6

segmento CD . b) 4 e) 10

c) 6

16).- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Si se cumple: AB.BD = AC.CD y AB = 6. Calcula “CD”. a) 3 d) 12

b) 6 e) 15

a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

c) 23

18).- En una recta se encuentran los puntos consecutivos S, P, B, Q y D y cumplen las siguientes relaciones: 4PB – BD – 2QD = 4; PB = 3 y PQ = 5. Calcula “PD”. a) 11 d) 6

b) 8 e) 7

c) 9

19).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” ,“D” y “E”. Si se

AB  BC  CD  DE 2 3 4 5

Calcula “BC”, si: AE = 28

15).- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AB = 9m y BC = 3m. Además: AB.CD = AD. BC. Halla la longitud del

a) 2 d) 8

17).- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AD = 32 y BC = 10. Calcula la longitud del segmento que tiene por extremos a los puntos medios de AB y CD .

cumple:

c) 15

14).- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Si: AB = 2BC; CD = 2AB y AD = 28m. Halla la

a) 2 d) 8

9).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” tal que: CD = 4AC, si BD – 4AB = 20. Calcula “BC”. a) 2 d) 7

Halla la longitud del segmento AB , si: AE = 24m y DE = 2AB.

longitud del segmento BC .

Calcula “CD”, si: AD = 20 a) 12 d) 10

c) 3

Halla la longitud del segmento AC .

8).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si se cumple:

b) 2 e) 7

12).-Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E con la siguiente condición: AC + DE + CE = 44m.

a) 10 d) 40

C

b) 4,5 e) 9

11).-Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D. Si: AB = 3BC = 4CD y AD =19m. Halla la longitud del segmento BD .

c) 9

18

a) 3 d) 8

b) 4 e) 10

b) 9 e) 13

c) 6

c) 10

21).- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D que satisfacen las siguientes condiciones: AB = 2; CD = 3; BC  AB  1 , Calcula “BC”. AB BD a) 0,5

b) 0,75

d) 1,25

e) 1,5

b) 10 e) 16

c) 1

22).- Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D, donde BD = 8 y (AB – CD)(AD + BC) = 36. Calcula “AC”.

c) 12

23).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C”,“D” y “E”. Si: AD + BE = 20 y BD = AE . Calcula “BD”. 4 a) 4 d) 12

b) 10 e) 8

c) 5

24).- Sean “A”, “B”, “C” y “D” puntos consecutivos de una recta, de modo que: AB  BC ; AC = 3, BD = 2. Calcula AD BD “CD”. a) 1 b) 2 c) 0,5 d) 1,5 e) N.A 25).- Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C , D y E. Si: CB = 4, DC = 6 y AB. DC  BC. AD , calcula la longitud del segmento “D” punto medio de

20).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” que BC AD verifican: AB = y AC = . Calcula 2 4 “BD”, si CD = 5. a) 8 d) 12

a) 8 d) 14

a) 30 d) 17

AE

siendo

CE .

b) 14 e) 36

c) 15

26).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S tal que: QR = RS 2 2 y (PS) – (PQ) =20(QS). Calcula “ PR ”. a) 20 d) 4

b) 10 e) 5

c) 15

27).- Sobre una línea racta se ubican los puntos consecutivos “M”, “A”, “O”y “B”. Se cumple que “O” es punto medio de AB . ( AB)2 Calcula “OM”, si: (MA)(MB) + =9 4 a) 1 d) 4,5

b) 2 e) 9

c) 3

28).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D dispuestos de

BC =3, BD =5. Halla AB , sabiendo que: AC +4 BC - 2 AD =3. manera que

GEOMETRÍA a) 2 d) 7

b) 4 e) 8

II. ÁNGULOS

c)6

medio de

BC

y 2(AB) = CD =

Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto de origen o extremo. A estos dos rayos se les denomina lados del ángulo y su punto extremo común recibe el nombre de vértice.

. Halla

“BD”. Si además: AM = 10

A a) 10 d) 30

b) 15 e) 40

c)20

SABIAS SOBRE: EL ORIGEN DE LA GEOMETRÍA. De acuerdo con la mayoría de las versiones la Geometría fue descubierta en Egipto, teniendo su origen en la medición de áreas, ya que ésta era una necesidad para los egipcios, debido a que el río Nilo, al desbordarse borraba las señales que indicaban los limites del terreno de cada quien. Los saberes matemáticos en el antiguo Egipto tuvieron un origen práctico. Alcanzaron un gran nivel en las manipulaciones aritméticas pero sus métodos eran toscos y sin grandes generalizaciones. Los egipcios eran poco dados a investigaciones abstractas. Trabajaron sobre todo en Geometría y Aritmética. Esta opinión es compartida por varios autores, aunque todas ellas, incluso la arriba citada, parecen tener origen en el pasaje de Herodoto que señala que en tiempos de Ramsés II (1300 a.c.) la tierra se distribuía entre los egipcios en terrenos rectangulares iguales, por los que pagaban un impuesto anual, y cuando el río inundaba parte de su tierra, el dueño pedía una reducción proporcional en el impuesto y los agrimensores de aquel tiempo tenían que certificar que tal fracción de tierra había sido inundada“. Esta es mi opinión (comenta Herodoto) el origen de la Geometría fue en Egipto que después pasó a Grecia para convertirse en ciencia.

Bisectriz

1. DEFINICIÓN

29).- Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, y D sobre una recta tal que: M es punto

BC 4

A

Posiblemente esta afirmación de Herodoto no es más que una simple descripción de lo recogido por él en Egipto. Lo cierto es que los griegos nunca lo negaron. Si bien en Egipto surgieron los conceptos de Geometría en forma práctica, fue en Grecia donde estos conceptos adquirieron forma científica, alcanzando su máximo esplendor, estrechamente ligados a la Filosofía. En efecto, en Grecia fue donde se empezaron a ordenar los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre a través del tiempo, remplazando la observación y la práctica con deducciones racionales que permitieron elevar la Geometría hasta un plano rigurosamente científico.

“Mi amigo es aquel que al conocerme, me acepta tal como soy”.

O



Región angular

CLAVES DE RESPUESTAS

: Bisectriz del AOB

* OM

5. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Se clasifican en:

2. ELEMENTOS

5.1.- DE ACUERDO CON SU MEDIDA Pueden ser:

2.1).- Vértice, es el punto donde se unen los dos lados. Se representa con letras mayúsculas, el vértice del  AOB es (O).

5.1.1) Ángulo convexo.- Es aquel ángulo que mide entre 0° y 180°. 0° <  < 180°

2.2).- Lados, son los dos rayos que forman el ángulo. Los rayos que forman el  AOB son OA, OB

* Se clasifican en:

3. MEDIDA DE UN ÁNGULO

a) Ángulo Agudo: Es aquel que mide entre 0° y 90° .

2) c

3) d

4) e

4. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

5) a

6) d

7) e

8) d

9) e

10) e

11) e

12) a

13) c

14) b

15) c

16) b

17) a

18) e

19) c

20) b

21) c

22) b

23) a

24) a

Se denomina bisectriz de un ángulo al rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y que perteneciendo a su interior determina dos ángulos de igual medida. Por eso decimos que este rayo biseca al ángulo.

25) e

26) b

27) c

28) a

19

B

B

1) e

29) c



O

* Notación:  AOB, O.

*Postulado de la medida de un ángulo: A cada ángulo le corresponde como medida, un número real. La medida de un ángulo se expresa principalmente en grados sexagesimales y en radianes. Para la medición exacta de un ángulo se utiliza el transportador. Medida del ángulo AOB : m  AOB.

Henri D. Thoreau

M 

0° <  < 90°  O b) Ángulo Recto: Es aquel que mide 90° .

 = 90°  O

GEOMETRÍA c) Ángulo Obtuso: Es aquel que mide entre 90° y 180 °.

Del gráfico:

c).- Dos ángulos consecutivos a un lado de una recta se llaman Par Lineal.

AOB y COD  Opuestos por el vértice.  = 90° <  < 180° 

 +  = 180°





5.2.2) Ángulos Consecutivos.-Tienen el mismo vértice y dos a dos un lado común.

5.3.2).- Ángulos Suplementarios.- Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 180°. Uno es el suplemento del otro.

 +  = 180°

B

d) Ángulo Nulo: Es aquel que mide 0°.

5.2.3) Ángulos Adyacentes.- Son los que tienen el vértice y un lado en común, pero no tienen puntos interiores comunes.

A O 

 = 0°



O

C D

5.1.2) Ángulo Llano.- Es aquel que mide 180°.



, ,  y  son ángulos consecutivos

O

O Teoremas Fundamentales

 = 180° 5.1.3) Ángulo No Convexo.- Es aquel que mide entre 180° Y 360°.

M

 

 +  +  + = 360°

5.3.- DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS.

 

 b).- También podemos tener ángulos consecutivos a un lado de una recta, los cuales suman 180°.









“n” veces

CX, si “n” es impar 0° < x°< 180°

SSS...SX =

x, si “n” es par

“n” veces

SX, si “n” es impar



PROBLEMAS RESUELTOS Complemento de un Angulo x°: CX



x, si “n” es par

b) Si:

 +  = 90°

A

C

CCC...CX =

5.3.1).- Ángulos Complementarios.- Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es 90°.Uno es el complemento del otro.

5.2.- DE ACUERDO A SU POSICIÓN. Pueden ser: 5.2.1) Ángulos Opuestos por un Vértice.Son ángulos de igual medida, tales que los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro.

0° < x°< 90°

B

Se dice: AOM es adyacente al MOB.

a).- Podemos tener ángulos consecutivos alrededor de un punto; tales ángulos suman 360°.

180° <  < 360°

Si “x°” es la medida de un ángulo, donde: a) Si:



Pueden ser:



SX = 180° - x 6. PROPIEDADES

E

Del gráfico :



Suplemento de un Angulo x°: CX

A

 

CX = 90° - x

 +  +  = 180°

1).-Halla “x”, si OB es bisectriz del ángulo AOC. C B

O D





-  y  son par lineal.

O

20°

4x° A

B

20

0

D

GEOMETRÍA Solución: Se pide “x”

4).-En la siguiente figura calcula la medida del ángulo “x”, si mAOC = 140° y mBOD = 120°.

Se pide “ +” C

B

2 + 2 = 180°  +  = 90°

4x° 4x°

A

20° 0

5).-Dos ángulos son complementarios. Si a uno de ellos se le suma 14° y al otro 6°, este ultimo es los 6/5 de lo que resulta al primero. Calcula el complemento del mayor ángulo. Solución: *Sean los ángulos:  y 90° -  *  + 14° * 90° -  + 6°

D

4x + 4x +20 = 180° 8x = 160° x = 20° 2).-La suma del complemento más el suplemento de cierto ángulo es igual a 140°. Calcula la medida del ángulo mencionado. Solución: Que sea “x” el ángulo CX + SX = 140° 90° – x +180° – x = 140° 130° = 2x

3).-Si el suplemento del complemento de un ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia entre el suplemento y el complemento del mismo ángulo. Calcula la medida del ángulo. Solución: Que sea “x” el ángulo. 3 (S(X) – C(X)) 2 3 180° - (90° - x) = (180° - x –(90° - x)) 2 3 90° + x = (90°) 2

SC(X) =

4).-Calcula la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos adyacentes suplementarios. Solución:P B R  C

a) 80° d) 120°

b) 90° e) 40°

c) 120°

b) 90 ° e) 140°

D c) 100°

b) 95° e) 145°

c) 130°

c) 100°

c) 30°

b) 80° e) 75°

a) 95° d) 110°

b) 120° e) 80°

c) 70°

c) 165°

9).-Si a un ángulo se le resta su complemento resulta otro ángulo igual a la cuarta parte de su suplemento. Calcula dicho ángulo. a) 50° b) 40° c) 80° e) 70°

a) 80° d) 50°

b) 65° e) 75°

c) 70°

11).-Se tienen sucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que, mAOC = 62°; mBOD = 58°; mAOD = 92°. Calcula la medida del ángulo BOC. a) 34° d) 22°

b) 28° e) 26°

c) 30°

12).-Calcula “x”. a) 40° b) 30° c) 60° d) 80° e) 70°

120° x°

2x° 150°

c) 50°

8).-Si al suplemento del doble de un determinado ángulo le restamos su complemento, obtenemos la quinta parte de dicho ángulo. Calcula el suplemento del complemento del ángulo.

d) 60°

21

b) 40° e) 15°

7).-Dos ángulos adyacentes suplementarios están en relación de 4 a 5. Calcula la medida del menor ángulo. a)100° d) 85°

3).-El triple de la diferencia entre el suplemento de “x” y el complemento de “x” es igual al doble del suplemento del complemento del doble de “x”. Calcula “x”. b) 45° e) 45/2°

O

5).-Calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. Si: mBOC = 100°, sabiendo que AOB, BOC y COD son tres ángulos consecutivos a un lado de una recta.

a) 20° d) 30 °

1).-Calcula el complemento de 20°, más el suplemento de 110°.

a) 90° d) 60°

A

6).-Calcula la medida de un ángulo sabiendo que la diferencia entre el suplemento y su complemento es seis veces la medida de dicho ángulo.

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02

b) 130° e) 70°

C x°

a) 100° d) 140°

 = 46°

a) 80° d) 50°



506 11

2).-Si el complemento del suplemento de la medida de un ángulo es igual a 10. Calcula la medida de dicho ángulo.

x = 45°

A

=

a) 140° d) 90°

90° + x = 135°



 + 14° = 6/5(90° -  + 6°) 5 + 70° = 576 - 6 11 = 506°

 90° - 46° = 44°

65° = x



B

10).-Se tienen sucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: mAOC = 80° y mBOD = 60°. Calcula la medida del ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

13).-Calcula “x”.

a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

6 3

x°

14).- Del gráfico calcula “x” a) 100° b) 114° c) 120° d) 126° e) 136°

8 3

x

GEOMETRÍA 15).-Siendo la mAOC = 4(mAOB), calcula la mAOB. A a) 12° b) 36° c) 30° d) 18° e) 15°

B 36°

C

O

16).- Si x = 18°, calcula “r”. a) 5° b) 9° c) 10° d) 8° e) 30°

x+2r x+r x

20).- Si: ° - ° = 18° y m