Geometria - 10º Ano

Aluno 1

N.º

Turma

Data

Considera num plano munido de um referencial o.n. Oxy os pontos A (1 − 2k , 3 − k ) , k ∈ ℝ e B ( −1 , 3 ) . Determina todos os valores de k de modo que:

1.1. o ponto A pertença ao 2.° quadrante; 1.2. os pontos A e B pertençam à mesma paralela a Oy .

2

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera o seguinte conjunto

A = {P ( x , y ) : − 1 ≤ x ≤ 2 ∧ y + 2 ≥ 0} . 2.1. Dá exemplo das coordenadas de um ponto que não pertença ao conjunto A . 2.2. Representa geometricamente o conjunto A .

3

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera o ponto P ( −2 , 3 , − 5 ) . Indica as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre:

3.1. o plano yOz ; 3.2. o eixo Ox ; 3.3. o plano z = 1 .

4

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um cubo. Sabe-se que: a face [OPUV] está contida no plano xOy ; a face [OPQR] está contida no plano xOz ; o centro do cubo é o ponto de coordenadas

( −2 ,

− 2 , 2) .

4.1. Indica as coordenadas dos vértices do cubo. 4.2. Indica um sistema de equações que defina a reta ST . 4.3. Define por uma condição a face [PQTU] .

-

-

1

1.1. Um ponto P (x , y) pertence ao 2.° quadrante quando x < 0 ∧ y > 0 . 1 − 2k < 0 ∧ 3 − k > 0 § − 2k < 1 ∧ − k > − 3 § k > −

1 ∧k 0 . Seja V1 o volume do prisma de altura k . 6×4 48 § V1 = 0,4 × V § × k = 0,4 × 120 § 12k = 48 § k = k =4 2 12

Aluno

1

N.º

Turma

Data

- -

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera o triângulo [ABC] , sendo A (1, − 2 ) , B ( 3 , 2 ) e C ( −4 , 3 ) . 1.1. Determina o comprimento do menor lado do triângulo [ABC] . 1.2. Mostra que o triângulo [AMC], sendo M o ponto médio de [AB], é retângulo em M. 1.3. Determina uma equação cartesiana, na forma reduzida, da mediatriz de [AC] .

2

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera a circunferência definida pela equação ( x + 1)2 + ( y − 3 )2 = 4 e o semiplano definido pela inequação y ≤ x + 4 .

2.1. Mostra que o centro da circunferência pertence à fronteira do semiplano. 2.2. Sejam A e B os pontos de interseção da circunferência dada com o eixo Oy . Representa através de uma equação na forma reduzida a circunferência em que [AB] é um dos diâmetros. 3

Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representada a elipse de centro na origem do referencial e vértices nos pontos de coordenadas ( 4 , 0 ) , ( −4 , 0 ) , ( 0 , 2 ) e ( 0 , − 2 ) .

O ponto F representa o foco da elipse que tem abcissa positiva.

3.1. Representa a elipse por uma equação na forma reduzida. 3.2. Determina as coordenadas do ponto F . 3.3. Mostra que PQ = 2 , sendo P e Q os pontos de interseção da elipse com a reta que passa em F e é paralela a Oy .

4

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera a esfera definida pela inequação x 2 − 2 x + y 2 + z 2 + 4 z ≤ 4 .

4.1. Determina as coordenadas do centro da esfera e o raio. 4.2. Representa, através de equações cartesianas, todos os planos tangentes à esfera e que sejam paralelos a um dos planos coordenados.

1

1.1. AB =

( 3 − 1)

AC =

2

+ ( 2 + 2) =

( − 4 − 1)

2

2

20 ; BC =

+ ( 3 + 2) = 2

( − 4 − 3)

2

+ ( 3 − 2) = 2

50 ;

50 . O menor lado é AB = 20 .

−2 + 2  1+ 3 , = ( 2 , 0 ) . Pelo Teorema de Pitágoras, 1.2. M  2 2  

(

)

2

2

2 +  62 + ( −3 )  = 50 § 5 + 45 = 50 .   O triângulo [AMC] é retângulo em M .

AM 2 + MC 2 = AC 2 §

12 + 22

1.3. Seja P (x , y) um ponto da mediatriz de [AC] .

AP = CP §

( x − 1)

2

+ ( y + 2) = 2

( x + 4)

2

+ ( y − 3)

2

§

x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 4 y + 4 = x 2 + 8 x + 16 + y 2 − 6 y + 9 § −10 x + 10 y = 20 § y = x + 2

Mediatriz de [AC] : y = x + 2 2

( x + 1)

2.1. O centro C da circunferência de equação

2

+ ( y − 3 ) = 4 é o ponto C ( −1, 3 ) . 2

A fronteira do semiplano é a reta definida por y = x + 4 . Verifica-se que 3 = −1 + 4 , ou seja, o ponto C pertence à reta.

2.2. Sejam A e B os pontos de interseção da circunferência dada com o eixo Oy .

( x + 1)2 + ( y − 3 )2 = 4 ( y − 3 )2 = 3 §  §   x = 0  x = 0  y = 3 + 3  y = 3 − 3 §  ›  . Seja A 0 ,  x = 0  x = 0

(

 y − 3 = 3  y − 3 = 3 ›  §   x = 0  x = 0

3+ 3

)

(

e B 0 , 3− 3

)

e M o

ponto médio de [AB] , isto é, M ( 0 , 3 ) . Como A , B e M pertencem ao eixo Oy , a distância entre M e A é a diferença entre as suas ordenadas. MA = 3 . A circunferência de diâmetro [AB] é definida por x 2 + ( y − 3 ) = 3 . 2

3

3.1. Sabe-se que a = 4 e b = 2 . Então, a elipse é representada pela equação

x2 y 2 + = 1. 16 4

3.2. Seja F ( c , 0 ) , com c > 0 . Considere-se c 2 + b 2 = a 2 § c 2 + 4 = 16 § c 2 = 12 . Então c = 12 . O ponto F é

(

)

12 , 0 .

3.3. A reta que passa em F e é paralela a Oy é a reta de equação x = 12 .  x2 y 2 12 y 2 2 2 =1 =1  +  + 12 + 4y = 16  y = 1 § 16 4 §  §   16 4  x = 12  x = 12  x = 12  x = 12   Seja P

(

)

12 , 1 e Q

(

)

12 , − 1 . Então, PQ =

(1 + 1)

2

=2 .

4

4.1. x 2 − 2 x + y 2 + z 2 + 4 z ≤ 4 §

( x − 1)

2

2 − 1+ y 2 + (z + 2) − 4 ≤ 4 §

+ y 2 + ( z + 2) ≤ 9 Centro: (1, 0 , − 2 ) ; raio: 3 4.2. x = −2 ; x = 4 ; y = −3 ; y = 3 ; z = −5 ; z = 1 §

( x − 1)

2

2

Aluno 1

N.º

Turma

Data

Na figura, sobre uma base quadriculada estão representados dois vetores u e v e um ponto P .

Copia a figura e assinala os pontos A , B e C de modo que: 1.1. PA = −

3 u 2

1.2. PB = u + v 1.3. PC = 2

1 u −v 2

Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representada a circunferência de centro no ponto C ( 2 , 3 ) e que passa pelo ponto A ( 0 , 1) . 2.1. Representa a circunferência através de uma equação na forma reduzida. 2.2. Representa a reta AC através de equações paramétricas. 2.3. Representa por uma inequação o conjunto de pontos do plano que pertencem ao semiplano superior fechado definido pela reta AC .

3

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera o vetor u ( 2 , − 1, 3 ) e os pontos A ( 2 , − 3 , 1) e B ( 6 , − 5 , 0 ) .

3.1. Os vetores u e AB são colineares? Justifica. 3.2. Seja r a reta que passa em A e tem a direção de u . a) Representa a reta r através de uma equação vetorial. b) Determina as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano xOz .

-

-

1

1.1. PA = −

3 3 u § AP = u 2 2

1.2. PB = u + v

§ B −P =u +v

§ B =P +u +v

1.3. PC = 1 u − v § C − P = 1 u − v § C = P + 1 u − v 2 2 2

2

2.1. Raio: AC = 8

( x − 2)

2

+ ( y − 3) = 8 2

2.2. AC = C − A = ( 2 , 2 ) ; equação vetorial:

( x , y ) = ( 0 , 1) + k ( 2 , 2 ) ,

k ∈ℝ

 x = 2k   y = 1 + 2k , k ∈ ℝ

2.3. Seja y = mx + b a equação reduzida da reta AC . Como AC = ( 2 , 2 ) , tem-se m = 1 . A ordenada na origem é 1 , uma vez que a reta passa por A . , y ) do plano que pertencem ao semiplano superior fechado definido pela reta AC são tais que y ≥ x + 1 .

O conjunto de pontos

(x

3 →

3.1. AB = B − A = ( 4 , − 2 , − 1) . Os vetores u e AB são colineares se ∃ k ∈ R : AB = k u .

(4,

− 2 , − 1) = k ( 2 , − 1, 3 ) §

(4 ,

− 2 , − 1) = ( 2k , − k , 3k ) §

 k = 2 2k = 4   § −k = −2 § k = 2 , impossível. Então, os vetores u e AB não são colineares. 3k = −1  1  k = − 3 

3.2. a)

(x ,

y , z ) = ( 2 , − 3 , 1) + k ( 2 , − 1, 3 ) , k ∈ R

b) O plano xOz é definido pela equação y = 0 . Os pontos da reta r são tais que:

(x ,

y , z ) = ( 2 + 2k , − 3 − k , 1 + 3 k ) , k ∈ R

Para pertencer ao plano verifica-se: −3 − k = 0 , isto é, k = −3 . O ponto da reta que pertence ao plano xOz é

( −4 ,

0 , − 8) .

Aluno 1

N.º

Turma

Data

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera os semiplanos fechados definidos pelas inequações: x ≥ −2 e y ≤ 3 Seja P um ponto do plano que pertence a um e a um só dos dois semiplanos. As coordenadas do ponto P podem ser:

5  (A)  −1 , 2  

2

7  (B)  , 2  2  

7  3 (C)  − , 2   2

7  5 (D)  − , 2   2

No plano, munido de um referencial o.n. Oxy , a região colorida corresponde a um conjunto de pontos P ( x , y ) . O conjunto representado na figura pode ser definido pela condição: 2 (A) ∼ ( x ≤ 1 ∨ y > 3 )

(B) ( −1 ≤ x ≤ 1 ∨ y ≤ 3 ) (C) ( x ≥ −1 ∧ y ≤ 3 ) 2 (D) ∼ ( x > 1 ∨ y > 3 )

3

Em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera os pontos A ( k , k + 5 , k 2 ) , k ∈ ℝ e B ( −1 , 4 , 9) . Os pontos A e B definem uma reta paralela ao eixo Oz se k é igual a:

(A) −1

4

(B) 3

(D) 0

(C) 4

Em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera o ponto P ( −2 , 3 , − 5 ) e o plano

α que passa em P e é paralelo a yOz . As coordenadas do ponto de interseção do plano α com o eixo Ox são:

(A) ( 0 , 0 , − 5 )

5

(B) ( −2 , 0 , 0 )

(C) ( −2 , 3 , 0 )

(D) ( 0 , 3 , 0 )

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , seja P um ponto do 3.° octante. O simétrico de P em relação ao eixo Ox pode ser:

(

)

(B)

(3 ,

)

(D)

( −3 ,

(A) −3 , − 2 , − π

(

(C) −π ,

3 , − 5

−π , − 5 −π ,

5

)

)

- -

6

Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representado um quadrado [ABCD] . Sabe-se que: o centro do quadrado coincide com o ponto O ; a reta AB é paralela a Ox ; BD = 6

6.1. Determina as coordenadas dos vértices do quadrado. 6.2. Dá exemplo das coordenadas de um ponto do 2.° quadrante que pertença a [BD] . 6.3. Determina para que valores de k o ponto P de coordenadas

( 2k

2

)

, k −1

pertence a [BD] e ao 4.° quadrante.

7

No espaço, em relação a um referencial o.n. Oxyz , considera o ponto P ( 2 , − 1 , 3 ) .

7.1. Indica as coordenadas da projeção ortogonal de P sobre Oz . 7.2. Determina k de modo que ( k , − 1 , k 2 − 7) sejam as coordenadas do simétrico de P em relação Oy .

8

Na figura, em referencial o.n. Oxyz , está representado um prisma quadrangular reto em que as bases são trapézios. Sabe-se que: a face [OEFG] está contida no plano xOy ; a base [OGDA] está contida no plano yOz ; a face [ABCD] é um quadrado de área 9 e está contida no plano definido pela equação z = 3 ; as coordenadas do vértice F são (3 , 5 , 0) .

8.1. Determina as coordenadas do vértice C . 8.2. Define por um sistema de equações a reta BC . 8.3. Determina as coordenadas do ponto de interseção do plano definido pela equação z = 2 com a reta CF .

1

 3 Das quatro opções apresentadas, o ponto  − ,  2 3 semiplanos dados. Basta notar que − ≥ −2 mas 2

7 pertence a um e um só dos 2  7 >3 . 2

Opção: (C)

2

(

∼ x2 > 1∨ y > 3

)

§ x 2 ≤ 1 ∧ y ≤ 3 § x ≤ 1 ∧ x ≥ −1 ∧ y ≤ 3

Opção: (D)

3

Uma reta paralela a Oz e que passa por B é definida por x = −1 ∧ y = 4 sendo z ∈ ℝ . Então, k = −1 ∧ k + 5 = 4 § k = −1 .

Opção: (A)

4

O plano a que passa em P e é paralelo a yOz tem por equação x = −2 . Então, o eixo Ox interseta a no ponto ( −2 , 0 , 0) .

Opção: (B)

5

Um ponto P ( x , y , z ) pertencente ao 3.° octante é tal que x < 0 ∧ y < 0 ∧ z > 0 . O seu simétrico é um ponto P ' ( x', y ', z' ) pertencente ao 6.° octante tal que x' < 0 ∧ y ' > 0 ∧ z' < 0 . Das opções dadas, apenas

( −π ,

3 , − 5

)

satisfaz essas condições.

Opção: (C)

6

6.1. Seja AB = AD = a . Então, a 2 + a 2 = 62 § 2a 2 = 36 § a 2 = 18 . Então, a = 18 = 3 2 . Assim AB = AD = 3 2 .  3 2 3 2 3 2  3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 A − ,− B ,− C , D − ,     , , ,   2  2  2 2  2  2  2 2     

6.2. A reta BD é a bissetriz dos quadrantes pares, definida por y = − x . Para pertencer ao 2.° quadrante, o ponto deve ter abcissa negativa e ordenada positiva.  3 2 3 2 Por exemplo, o ponto D  − ,  satisfaz as condições.  2 2  

6.3. Para pertencer ao 4.° quadrante, o ponto deve ter abcissa positiva e ordenada negativa. BD : y = − x

k − 1 = −2k 2 ‹ 2k 2 > 0 ‹ k − 1 < 0 § 2k 2 + k − 1 = 0 ‹ k ≠ 0 ‹ k < 1 § 1 § k = −1 ± 1 + 8 ‹ k ≠ 0 ‹ k < 1 §  k = −1 ∨ k =  ‹ k ≠ 0 ‹ k < 1 2 4  1  Conclui-se que k ∈   −1 ,  . 2  

7

7.1. A projeção ortogonal de P (2 , − 1 , 3) sobre Oz é o ponto (0 , 0 , 3) . 7.2. O simétrico de P (2 , − 1 , 3) em relação a Oy é o ponto (2 , − 1 , − 3) . Então, k = −2 ∧ k 2 − 7 = −3 § k = −2 ∧ k 2 = 4

§

§ k = −2 ∧ ( k = 2 ∨ k = −2 ) § k = −2 .

8

8.1. Determina as coordenadas do vértice C . BC 2 = 9 , ou seja, BC = 3 . Também AB = 3 . Como a face [ABCD] está contida no plano z = 3 , tem-se BE = 3 . Assim, C (3 , 3 , 3) .

8.2. x = 3 ∧ z = 3 8.3. CF = ( 3 , 5 , 0 ) − ( 3 , 3 , 3 ) = ( 0 , 2 , − 3 ) Uma equação vetorial de CF é

(x

, y , z ) = (3 , 5 , 0) + k (0 , 2 , − 3) , k ∈ R ,

isto é, ( x , y , z ) = ( 3 , 5 + 2k , − 3 k ) , k ∈ R . Para pertencer ao plano z = 2 , tem-se −3 k = 2 § k = − 2 . 3 11   , 2 . Então, ( x , y , z ) =  3 , 3  

1

Aluno N.º Turma Data N o plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , são dados dois vetores não nulos tais que u e v .

Sabe-se que

u + v = u + v . Podes concluir que:

(A) A soma dos vetores é o vetor nulo. (B) Os vetores são não colineares. (C) Os vetores são colineares e têm o mesmo sentido. (D) Os vetores são colineares e têm sentidos opostos.

2

Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representada uma circunferência de raio r e centro no ponto C . Sabe-se que a circunferência interseta o eixo Ox nos pontos A e B , sendo AB = 4 . Qual dos seguintes valores pode corresponder ao raio da circunferência? (A) 2 (B) 5 (C) 2 (D) 3

3

4

No plano, em referencial o.n. Oxy , uma reta r é definida pela equação y = −2 x + 3 . Uma equação vetorial da reta r pode ser:

(A) ( x , y ) = (1, 2 ) + k (1, − 2 ) , k ∈ R

(B)

( x , y ) = (1, 1) + k ( −2 , 1) , k ∈ R

(C) ( x , y ) = ( −1, 5 ) + k ( 2 , - 1) , k ∈ R

(D)

( x , y ) = ( -1, 5 ) + k ( -1, 2 ) , k ∈ R

Em relação a um referencial o.n. Oxy uma elipse é definida por uma equação do tipo x2 y 2 + = 1 , a > 2 . Sabe-se que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos a2 4 focos é 4 3 . Podes concluir que o valor de a é:

(A) 2 3

5

(B) 12

(C) 4 3

(D) 48

No espaço, em referencial cartesiano Oxyz , uma superfície esférica, em que A e B são extremos de um dos diâmetros, é definida pela equação x 2 + y 2 + 4 y + z 2 = 0 . Uma equação do plano mediador de [AB] pode ser:

(A) − x + y − z = 1

(B) 2 x − y + z = 0

(C) x − 3 y + z = 6

(D) 2 x + y + z = 1

- -

6

No plano, em relação a um referencial o.n. Oxy , considera os pontos A (1, − 2) e B ( −2 , 0 ) .

6.1. Determina uma equação na forma reduzida da: a) mediatriz de [AB] ; b) circunferência de diâmetro [AB] ; 6.2. Determina as coordenadas do ponto P , sabendo que OP = −

7

1 BA . 2

Na figura está representado um triângulo [ABC] , sendo [CD] uma mediana do triângulo. Mostra que CA + CB = 2CD .

8

Na figura, em referencial o.n. Oxy , estão representadas uma elipse e duas circunferências com centros em O (origem do referencial). Sabe-se que: o eixo maior da elipse é diâmetro da circunferência C1 ; e o eixo menor é diâmetro da circunferência C2 ; os pontos A e B são vértices da elipse; a elipse é definida pela equação

x2 y 2 + =1 . 25 9

8.1. Determina as coordenadas dos focos da elipse. 8.2. Representa a circunferência C2 por uma equação na forma reduzida. 8.3. Define por uma condição o conjunto de pontos da região colorida, incluindo a fronteira.

9

Na figura, em referencial o.n. Oxyz , está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: a base está contida no plano xOy ; os vértices A e V têm coordenadas, respetivamente, ( 4 , 0 , 0) e ( 0 , 0 , 9) ; o plano EFG é definido pela equação z = 6 .

9.1. Escreve uma equação vetorial da reta AV e determina as coordenadas do ponto E . 9.2. Define por uma inequação a esfera de centro V e tangente ao plano EFG . 9.3. Determina o volume da pirâmide [EFGHV] .

1

Se os vetores fossem não colineares ter-se-ia

u +v < u + v

.

Se os vetores são colineares com sentidos opostos ocorre uma das seguintes situações:

u = v

e, neste caso, u = −v e

u ≠ v

e, neste caso,

u +v = 0 +0 ;

u +v = u − v

< u + v

Se os vetores são colineares com o mesmo sentido, tem-se

.

u +v = u + v .

Opção: (A) 2

Em qualquer circunferência o raio é sempre maior ou igual a metade do comprimento de qualquer corda. O raio é igual a metade da corda no caso de a corda ser um diâmetro, não sendo esse o caso. Como AB = 4 e [AB] não é um diâmetro conclui-se que o raio é maior do que 2 .

Opção: (B) 3

A reta de equação y = −2 x + 3 tem declive - 2 . Na opção (A), o declive da reta é - 2 mas o ponto (1 , 2) não pertence à reta dada. Na opção (B), o declive da reta é −

1 . 2

Na opção (C), o declive da reta é −

1 . 2

Na opção (D), o declive da reta é - 2 e o ponto (- 1 , 5) pertence à reta dada.

Opção: (D) 4

Sabe-se que o eixo maior é igual à soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos. Então, 2a = 4 3 § a = 2 3 .

Opção: (A) 5

Sendo [AB] um diâmetro, o ponto médio é o centro da superfície esférica que terá de pertencer ao plano mediador de [AB] .

(

)

2 2 2 2 x 2 + y 2 + 4 y + z 2 = 0 § x + y + 4 y + 4 + z = 4 § x 2 + ( y + 2) + z2 = 4

Centro da superfície esférica:

(0 ,

− 2 , 0)

O centro pertence apenas ao plano dado na opção (C).

Opção: (C)

6

6.1. a) Seja P ( x , y ) um ponto qualquer da mediatriz de [AB] .

( x − 1)

PA = PB §

2

+ ( y + 2) = ( x + 2) + y 2 2

2

§ x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 4y + 4 = x 2 + 4 x + 4 + y 2 § −6 x + 4 y + 1 = 0 § y =

3 1 x+ 2 4

b) Centro da circunferência: ponto médio de [AB] .  1 − 2 −2 + 0   1  =  − , − 1  2 ,  2   2  

Raio: AB = 2

(1 + 2 )

2

+ ( −2 − 0 ) 2

2

13 2

=

2

1 13 2  Equação da circunferência:  x +  + ( y + 1) = 2 4 

6.2. Sejam

(x , y)

as coordenadas do ponto P .

BA = B − A = ( −2 , 0 ) − (1, − 2 ) = ( −3 , 2 )

OP = − §

1 BA § 2

1 2

( x , y ) = − ( −3 , 2)

§

( x , y ) = 

3  , − 1 2  

3  As coordenadas do ponto P são:  , − 1 2 

7

Mostra que CA + CB = 2 CD .

CD = CA + AD Como AD = DB , tem-se CD = CA + DB . (1) Repara que DB = DC + CB . Substituindo em (1), tem-se: CD = CA + DC + CB . Daqui resulta que CD − DC = CA + CB , ou seja, CD + CD = CA + CB , concluindo-se que CA + CB = 2 CD .

8

8.1. Seja 2c a distância focal.

Então, as coordenadas dos focos são do tipo

( c , 0)

e

( −c , 0)

.

Sabe-se que b 2 + c 2 = a 2 . Neste caso, 9 + c 2 = 25 § c 2 = 16 . Então, c = 4 . Coordenadas dos focos:

( 4 , 0)

e

( −4 , 0 )

8.2. Em relação à circunferência C2 sabe-se que o centro é o ponto de coordenadas (0 , 0) e o raio é igual ao semieixo menor da elipse, ou seja, o raio é 3 . Equação da circunferência: x 2 + y 2 = 9

8.3. Em relação à circunferência C1 sabe-se que: o centro tem de coordenadas (0 , 0) ; o raio é igual ao semieixo maior da elipse, ou seja, 5 . Equação da circunferência C1: x 2 + y 2 = 25 Em relação à reta AB sabe-se que: coordenadas do ponto A :

( 5 , 0)

coordenadas do ponto B :

( 0 , 3)

um vetor diretor da reta é AB = B − A = ( 0 , 3 ) − ( 5 , 0 ) = ( −5 , 3 ) . Declive da reta AB : −

3 5

Ordenada na origem da reta AB é 3 . Equação na forma reduzida da reta AB : y = −

3 x+3 5

O conjunto de pontos da região colorida da figura é definido pela condição:

x 2 + y 2 ≤ 25 ∧ y ≥ −

3 x+3 5

9

9.1. Um vetor diretor da reta AV é AV = V − A = ( 0 , 0 , 9 ) − ( 4 , 0 , 0 ) = ( −4 , 0 , 9 ) . Uma equação vetorial:

( x , y , z ) = A + k AV

( x , y , z) = (4 ,

, k ∈ℝ

0 , 0 ) + k ( −4 , 0 , 9 ) , k ∈ ℝ

Em relação ao ponto E sabe-se que a cota é 6 e pertence à reta AV .

( x , y , 6) = ( 4 ,

0 , 0 ) + k ( −4 , 0 , 9 ) §

( x , y , 6 ) = ( 4 − 4k ,

0 , 9k )

8 4   x =4− x=    x = 4 − 4k 3 3    § y = 0 § y = 0 y = 0 6 = 9k   2 2  k = k = 3 3   4  As coordenadas do ponto E são:  , 0 , 6  3  

9.2. Centro da esfera V ( 0 , 0 , 9 ) e raio 3 (diferença entre a cota de V e a cota de qualquer ponto do plano z = 9):

x 2 + y 2 + ( z − 9 ) ≤ 32 § x 2 + y 2 + ( z − 9 ) ≤ 9 2

2

9.3. AB 2 + BC 2 = AC 2 § 2AB 2 = 64 § AB 2 = 32 Volume da pirâmide [ABCDV] :

1 1 AB 2 × 9 = × 32 × 9 = 96 3 3

Altura da pirâmide “grande” 9 e a altura da pirâmide “pequena” é 3 .

1 da altura da pirâmide “grande”, então o 3 3 1  1 volume da pirâmide “pequena” é   = do volume da pirâmide “grande”. 3 27  

Se a altura da pirâmide “pequena” é

Assim, tem-se:

1 32 × 96 = 27 9

O volume da pirâmide [EFGHV] é

32 . 9