Geometría 02 TRIÁNGULO (lineas y puntos notables)

GEOME GEOPREPARACIÓN METRÍ TRÍA A A LA: VERANO

CICLO CIC LO

UNIVERSIDAD

NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

TRIÁNGULO (líneasGEOMETRÍA y puntos notables)

Nº

02

ALTURA

MEDIANA

Es el segmento segmento perpendi perpendicul cular ar trazado trazado desde desde una

Es el segmento de recta que une una vértice del

vértice al lado opuesto o a su prolongación. En todo

triángulo con el punto medio del lado opuesto. En

triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se

todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las

cort ortan en un pun punto que reci ecibe el nomb ombre de

cuales se cortan en un punto interior al triángulo que

“Ortocentro”. el cual se ubica:

reci recibe be el nombre nombre de “Bar “Baric icent entro ro”, ”, “Cent “Centro roid ide” e” o “Centro de Gravedad”.

B

a. En el el int inter erio iorr del del tri triáng ángul ulo, o, en el caso de

Propiedad del Baricentro:

triángulo acutángulo.

En todo triángulo, el baricentro divide a cada mediana en dos partes cuya relación es 2 a 1.

O

B C

 A

2y N

b. En el el vérti vértice ce del del ángul ánguloo recto recto,, en el caso caso de de triángulo

O

z 2 x

rectángulo.

x

 A

G y

M 2z C

P

Así, en el triángulo ABC, cuyo baricentro es G, se  A

C

verifica que: AG =

c. Fuer uera de triángu ngulo, en el caso de triáng ángulo obtusángulo.

2 3

AM ; BG =

2 3

BP ; CG =

2 3

CN

Mediana relat Mediana relativa iva a la hipo hipotenu tenusa sa de un Triá Triángul nguloo Rectángulo

 A

La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa. C

 A

B

B O

M

C

GEOMETRÍA VERANO

CICLO BC

AM =

2

r – radio de la circunferencia inscrita (inradio) Además, se forman dos triángulos isósceles (ABM y

MEDIATRIZ

Es la recta perpendicular a un lado del triángulo,

AMC)

trazada desde su punto medio. En todo triángulo se

BISECTRIZ

pueden trazar tres mediatrices, las cuales se cortan

Es el rayo que parte de un vértice y divide al ángulo

en un punto llamado “Circuncentro”, el cual se ubica:

en dicho vértice en dos ángulos congruentes. a. En el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo.

En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices de

Q

los ángulos interiores (bisectrices interiores), las cuales se cortan en un punto interior al triángulo que recibe el nombre de “Incentro”.

C

Propiedad de la Bisectriz:

R

P

Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo b. En el punto medio de la hipotenusa en el caso de

equidista de los lados de dicho ángulo.

triángulo rectángulo. Q Q

m

Q

 A a

O

α α

P M P

a

m R

R

C

B

c. Fuera del triángulo, en el caso de triángulo

En la figura. OM : bisectriz del ángulo AOB

obtusángulo. Si : P ∈ OM, Entonces: PQ = PR

C

OQ = OR

Q

* Lo recíproco de este problema es cierto.

Propiedad del Incentro: El incentro equidista de los tres lados del triángulo y además, es el centro de la circunferencia inscrita en

R

P

el triángulo. El radio de la circunferencia recibe el

Propiedad de la Mediatriz:

nombre de “Inradio” r.

Todo punto situado sobre la mediatriz de un

B

segmento equidistaPde los extremos del segmento.

I - incentro

Q

J H

r 

r 

IH = IJ = IK = r r   A

 AP = PB

I

 AQ = QB

B

 A K

C

Mediatriz

GEOMETRÍA VERANO

CICLO

Propiedad del Circuncentro: El circuncentro equidista de los tres vértices del

3. En

un

triángulo

rectángulo

el ortocentro,

triángulo y además, es el centro de la circunferencia

baricentro y circuncentro se alinean a lo largo de

circunscrita al triángulo. El radio de la circunferencia

la mediana relativa a la hipotenusa.

recibe el nombre de “circunradio”.

Ortocentro

 A

 A

2m Baricentro

P – circuncentro

G

P

AP = BP = CP = R

m

R – radio de la

C

B

B

circunferencia circunscrita

3m

M

C

3m

( Circunradio )

Circuncentro  AG

 AM =

2

PROPIEDADES

BC =

3

6

1. En un triángulo isósceles se cumple: B

αα BH

 A

2. En

Mediana

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CON LAS LÍNEAS NOTABLES

Bisectriz Mediatriz

1.

B

θ

C

H

un

Altura

-

ω = 90° +

triángulo

equilátero; el

θ

2

ortocentro,

baricentro, incentro y circuncentro coinciden en un mismo punto interior del triángulo.

- Ortocentro P - Baricentro - Incentro - Circuncentr

α

2. ω

α =

o

P

 A

C

 A

30°30°

α α

β

B

30° 30°

ω

β

30° 30°

β C

β

θ θ

ω

2

GEOMETRÍA VERANO

CICLO

A) 16° D) 24°

3.

φ

En un triángulo MNP se traza la altura NQ, tal que la medida del ángulo MNQ es igual a 20°, y la del ángulo MPN es igual a 40° y NP = 6. calcular PM. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 7

4.

Dado el triángulo ABC se dibuja la mediana BM equivalente a MC, si la medida del ángulo BAC es igual a 5x y la del ángulo ACB es igual a x. Calcular el valor de x. A) 10° B) 17° C) 15° D) 12° E) 9°

5.

Se dibuja un triángulo rectángulo ABC recto en A, y se traza la mediana BM que tiene como longitud 5, si AC = 6. calcular la medida del ángulo AMB. A) 37° B) 75° C) 60° D) 53° E) 45°

6.

Se traza la bisectriz interior BD en un triángulo ABC, si la medida del ángulo DBC es igual a 50°, la del ángulo ACB es igual a 30° y AD = 4. calcular BD. A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1

7.

Se traza la mediatriz de AC en un triángulo ABC, si la suma de las medidas de los ángulos ABC y ACB es igual a 120°. Calcular la medida del ángulo formado por dicha mediatriz y la recta AB. A) 30° B) 60° C) 75° D) 37° E) 45°

8.

Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BD ( D en la prolongación de AC ) , la medida del ángulo BAC es igual a 40° y la del ángulo ACB igual a 60°. Calcular la medida del ángulo CDB. A) 20° B) 30° C) 50° D) 40° E) 10°

9.

en un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, tal que la medida del ángulo DBC es igual a 40°, la del ángulo ACB es igual a 30°. Calcular BD, si AB = 6. A) 8 B) 10 C) 7 D) 5 E) 6

φ = 90° α

β

α

4.

B

α α

θ=

θ β

β− 2

ω C

 A

5. X

α I

β I

I

X=α-β

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

En un triángulo ABC, se traza la mediana BM cuya longitud es igual a 3. calcular la medida del ángulo BAC, si AB = 4 y AC = 10. A) 33° B) 90° C) 37° D) 30° E) 60°

2.

Se dibuja la altura BH en un triángulo ABC, si AH = 3, HC = 4 y la medida del ángulo ABH es igual a 37°, calcular la diferencia de las medidas de los ángulos BAC y HBC.

C) 12° E) 15°

3.

ω ω

B) 8°

GEOMETRÍA VERANO

CICLO

16. 10.

En

un

ABC, m∠ BAC  = 75º y m∠ ACB = 30º , si AC = 10, calcule la altura BH. A) 5 B) 5 2 C) 5 3 D) 6

11.

12.

triángulo

E)

3

2

En un ∆ ABC  , se traza la mediana AM, tal que AM = MB, si la m∠ ACB = 40º , calcular m∠ MAB . A) 40° B) 60° C) 80° D) 70° E) 50° Calcular “ α  ”, si BD es bisectriz exterior en el ∆ ABC  .

A) 10° D) 15°

B) 20°

En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la bisectriz interior BD . Calcular  A = 50 º , m∠C  = 30 º . m∠  HBD , si m∠ A) 20° B) 15° C) 10° D) 8° E) 12°

14.

En un triángulo rectángulo ABC recto en B se trazan la mediana BM y la bisectriz  AD ( D en BM ), las cuales se intersecan perpendicularmente, calcular la m∠ACB . A) 60° B) 45° C) 72° D) 30° E) 37° En la figura mostrada, calcular la medida del ángulo ABC.

A) 108° D) 127°

B) 120°

A) 60° D) 48°

B) 40°

C) 45° E) 36°

17.

En un triángulo ABC, se trazan las tres medianas AM, BN y CQ que se intersecan en G. Si AG + BG + CG = 10, calcular la suma de las longitudes de sus tres medianas. A) 12 B) 20 C) 15 D) 30 E) 18

18.

En la figura mostrada, calcular la medida del ángulo ABC.

C) 12° E) 18°

13.

15.

En la figura mostrada, calcular le medida del ángulo AEC.

C) 150° E) 110°

A) 120° D) 60°

B) 45°

C) 75° E) 90°

19.

Sea el “I” el incentro del triángulo ABC, si AI = 2, CI = 8. calcular el valor entero de AC. A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 7

20.

Sea el punto “G” baricentro del triángulo ABC y BG = 6, GC = 5 y AC = 8. calcular la medida del ángulo ACG. A) 53° B) 30° C) 37° D) 18° E) 45°