Geometri Young

 

GEOMETRI YOUNG  TEOREMA Ke- 1 Young 

Disetiap titik terdapat minimal empat garis   Bukti :  Menurut aksioma- 1 : ada minimal satu garis, sebut garis itu l.   Menurut aksioma -2 :ada tepat 3 titik pada setiap garis. Berarti di l ada 3 titik, sebut titik itu A , B dan C. Menurut aksioma- 3 : tidak semua titik segaris. Berarti ada titik tidak pada l, sebut P.   Menurut aksioma- 4 : ada tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Jadi ada minimal 3 garis melalui sebarang titik P.  Menurut aksioma- 5 : di P tidak pada l ada satu garis yang tidak memuat titik pada l. Jadi ada minimal 4 garis di P. 

TEOREMA Ke-2 Young : 

Terdapat tepat 9 titik   Bukti :  Berdasarkan aksioma 1 dan 2 didapat ada minimal 3 titik pada garis l.  Sedang menurut aksioma 3 tidak semua titik segaris, berarti ada minimal satu titik yang tidak  pada l, sebut titik itu P. Sehingga ada minimal minimal 4 titik.  Akisioma  – 4 menyatakan setiap 2 titik menentukan garis. Berarti P dan titik-titik pada l menentukan garis , yaitu l1dan l2 dan l3. Di setiap garis ini ada tepat satu garis , sehingga minimal ada 7 titik. Menurut teorema -1 : di P ada minimal 4 garis dan   menurut aksioma-5, l tidak memotong l. Sedangkan menurut aksioma -2 ; di l 4ada tepat 3 titik. Jadi ada minimal 9 titik.   Andai ada titik ke -10 yaitu Q  

 

Menurut aksioma-4 : P dan Q menentukan menentukan suatu garis .  Titik Q pasti tidak ada pada l, karena kalau Q pada l berarti di l ada lebih dari 3 titk. Hal ini akan kontradiksi dengan akisoma-2. Sehingga di P ada lebih dari satu garis yang tidak memuat titik pada l. Kontradiksi dengan aksioma-5 Jadi tidak ada titik yang ke 10. Terbukti ada tepat 9 titik.  

 

TEOREMA KE-3 YOUNG

Terdapat tepat 12 garis   Bukti :  Menurut Teorema 2 ada tepat 9 titik. Sebut saja titik-titik nya A, B, C, D, E, F, G, H dan I. menurut aksioma 2 ada tepat 3 titik berbeda pada setiap pada setiap garis.  jadi didapat:  A

A

A

B

B

D

E

E

D

F

F

E

E

C

G

I

H

I

G

I

G

F

l1

l2

l3

l4

B

l5

B

l6

C

l7

C

l8

D

l9

D H C l10

H 

G H

A 

I l11

F 

l12