Geometri Riemann

Geometri Non-Euclidan Riemann Dosen Pengampu: Prof. Dr. Mega Teguh Budiarto,M.Pd

By: Mocham Mochammad mad amirud amirudin in 116070785013

HELLO!

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 September 1826 – 20 Juli Juli 1866) 1866)

Dua garis yang saling tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar







Pembuktian  No 1 2

Pernyataan

Alasan Premis 1

l dan m tegak lurus dengan garis n l dan m tidak sejajar

Pengandaian

3

l dan m berpotongan pada titik c

2

4

l dan m memotong n dititik A dan B

Premis 2 C

m

l

A

n

m

B

No

Pernyataan

Alasan

5

Perpanjang  melalui A hingga C’ dengan CA = AC’

Panjang garis dapat digandakan

6

Kontruksi garis C’B

Melalui 2 titik dapat dibuat sebuah garis

C

m l A

C’

n

B

No

Pernyataan

Alasan

7

∆ ≅ ∆′

s, sd, s

8

∠ = ∠′

Sudut yang bersesuaian

9

 

∠′ adalah sudut siku-siku  dan ′ garis yang sama

10

8 dan 1 Akibat 5.2

C

m l A

C’

n

B

Akibat 5.2 Hanya ada satu garis tegak lurus pada garis tertentu yang melalui satu titik diluar garis tersebut

No

Pernyataan

Alasan

11

C dan C’ merupakan titik persekutuan   dan  atau l dan m

10

12 13

l dan m garis yang sama kontradiksi

11 1 dan 11 C

m l A

C’

n

B

Pemikiran Riemann 

Dalam pembuktian teorema 10.1, Euclid menggunakan prinsip pemisahan : suatu garis membagi bidang menjadi 2 setengah bidang (2 daerah) sehingga C dan C’ adalah dua titik yang berbeda.  C jika kita mempunyai pemikiran bahwa C dan C’ adalah dua titik yang berbeda dan memungkinkan terdapat dua garis yang berbeda (l dan m bukan m suatu garis yang sama) yang berpotongan di C dan C’, hal ini l akan melahirkan teori baru. (dua garis berpotongan pada dua titik) (eliptik ganda) n menggunakan B Jika tidak prinsip pemisahan, C dan C’ dapat berhimpit  A maka dalil pembuktian tidak berlaku.( eliptik tunggal)

C’

Dua teori geometri yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemman • Pertama, setiap garis berpotongan disatu titik, tetapi tidak ada garis yang membagi bidang. Titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik . C = C’  A Garis m

Garis l C’

C

l dan m Berpotongan dititik A

Geo Eliptik Tunggal

• Kedua, dua garis tepat berpotongan di dua titik dan setiap garis membagi bidang.  A ≠ A’ B ≠ B’

C

Geo Eliptik Ganda

C ≠ C’ E ≠ E’ B’

E’  A’

 A E

B

C’

Sifat pada geometri eliptik tunggal dan eliptik ganda Eliptik tunggal

Eliptik Ganda

Dua garis berpotongan tepat 1 titik

Dua garis tepat berpotongan di dua titik

Garis tidak memisahkan bidang.

Garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang

Sifat pada geometri lain yang tidak berlaku pada geometri eliptik adalah garis merupakan gambar terbuka yang tak terbatas yang dibagi menjadi dua bagian oleh setiap titiknya. (akan ditunjukkan pada pembuktian garis sebagai gambar tertutup pada eliptik tunggal)

 A

Garis sebagai gambar tertutup Pada pembuktian “dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar”  Agar geometri eliptik tunggal berlaku secara keseluruhan,titik c’ harus berhimpit dengan titik c.

C

m l A

n

B

 A C C’

Sehingga dengan memperpanjang CA sepanjang dirinya sendiri ke C’ akan kembali ke C. Dengan kata lain kita telah melalui keseluruhan garis CA yang terdiri dari ruas garis CA dan perpanjangannya.  Akibatnya suatu garis dipandang sebagai bangun yang tertutup

Hal ini sesuai dengan sifat bahwa satu titik tidak dapat membagi garis menjadi dua bagian,

 A

Tetapi dua titik dalam suatu garis membagi garis tersebut menjadi dua ruas garis, bukan satu ruas garis, sehingga kedua titik itu merupakan akhir persekutuan. B

B

C

 A

C

Pada eliptik tunggal, konsep dua titik merupakan akhir persekutuan ruas garis dipakai untuk membuktikan garis adalah gambar tertutup pada eliptik ganda. Caranya: 1. Misal diberikan garis l dan titik A pada garis l 2. Misal m tegal lurus l di A. 3. l dan m bertemu dititik lain(titik B)

l

4. A dan B adalah titik akhir suatu ruas garis,yang paling sedikit dimuat oleh garis l  A

B

m

5. Misal s sebuah ruas garis yang menghubungkan A dan B dimuat oleh garis l 6. M membagi bidang dan m memotong l tepat di dua titik, s (selain titik akhir (A dan B) semuanya berada pada salah satu sisi M 7. Akan ditunjukkan setiap titik di l pada sisi m yang diberikan terletak pada s 8. Jika setiap titik di l yang tidak terletak pada s maka titik tersebut harus terletak pada perpanjangan s melewati titik A atau B. 9. Jika s diperpanjang melewati A atau B, garis l akan memotong m dan memasuki sisi m yang bersebrangan dengan s. Dengan demikian, sebarang titik yang terletak di garis l pada sisi m yang sama dengan s pasti terletak pada garis s. Sehingga disimpukan s merupakan bagian l pada sisi m yang ditentukan. l s

 A

B

m

10. Ada ruas garis s’ yang bersesuaian,yang termuat dalam garis l, serta menggabungkan A dan B pada sisi lain dari m dan merupakan bagian l pada sisi m yang lain itu. Hal ini sesuai dengan ide pokok dari geometri bidang Euclid(geometri netral) bahwa sebarang bangun F dalam dapat dicerminkan (secara tegak lurus) terhadap suatu garis tertentu untuk menghasilkan bangun F’ yang simetris. 11. Jadi akan ada suatu bangun s’ yang simetris dengan ruas garis s yang menghubungkan A dan B pada sisi m yang bersebrangan dengan s.

12. Karena s adalah ruas garis, s’ juga ruas garis. 13. Karena s tegak lurus terhadap m dititik A maka s’ juga tegak lurus dengan m dititik A juga. 14. Karena s dan s’ merupakan ruas garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama pada titik yang sama, maka kedua ruas garis (s dan s’) tersebut harus terletak pada satu garis, dengan kata lain s’ termuat di l.

l

s

 A

B

s’

15. Disimpulkan bahwa l dibentuk oleh ruas garis s dan s’ 16. Dengan demikian, garis merupakan bangun yang tertutup.

TERIMAKASIH

Geometri Reimann Bagian F Kesulitan Yang Terdapat Dalam Perlakuan Formal Teori Reimann

Oleh: AINUR RIDWAN NIM 157785401

Teori Riemann titik dan garis sangat berbeda dibanding dengan Geometri Netral Garis merupakan bangun tertutup dan dua titik pada garis itu membagi garis menjadi dua ruas garis Sulit untuk mendefinisikan sudut , karena kita tidak mempunyai pengertian tentang sinar dan setengah garis

Rumusan definisi segitiga yang sesuai juga merupakan masalah

Misal A, B, C adalah tiga titik tidak segaris dan misalkan AXC , AYC adalah dua ruas garis dari garis AC yang ditentukan oleh titik A dan C Kemudian jika AB, BC , dan AXC membentuk segitiga, apakah kita juga dapat memandang AB, BC, AYC sebagai segitiga?

Dalam geometri Euclid atau Lobachevski kesulitan seperti ini tidak muncul, karena segitiga-segitiga yang berbeda tidak mungkin memiliki titik sudut yang sama. Dalam geometri eliptik tunggal kemungkinan yang membingungkan lainnya juga ada.

Kesulitan-kesulitan ini dapat dipecahkan. Faktanya, dengan adanya representasi bola dari geometri eliptik memberikan sebuah petunjuk penting untuk memecahkan kesulitan-kesulitan itu.

Geometri Reimann Bagian G Sifat-Sifat Kutub Dalam Geometri Eliptik Bidang

Setiap garis l terdapat sebuah titik kutub P sedemikian hingga semua garis yang melalui P tegak lurus terhadap l, sebagaimana halnya semua lingkaran besar pada globe yang melalui kutub utara tegak lurus terhadap equator.

P

l

P

l

A

B

Misal l sebarang garis dan misalkan garis m dan n tegak lurus terhadap l pada titik yang berbeda A dan B. Berdasarkan postulat kesejajaran Riemann M dan N bertemu pada titik P, sehingga segitiga PAB adalah segitiga yang dibentuk dari sisi PA, PB dan AB, karena PAB memiliki dua sudut yang sama maka segitiga tersebut samakaki, sehingga PA = PB

 Andai C adalah titik tengah dari ruas garis AB. Maka, seperti pada geometri Netral, diperoleh segitiga yang kongruen yaitu PAC dan PBC dengan PA, PB adalah sisi yang bersesuaian dan ruas garis PC sebagai sisi persekutuan. Akibatnya garis PC tegak lurus terhadap  AB. Dengan argumen ini PAC dan PBC adalah segitiga samakaki, sehingga PA = PB =PC 

P

l A

C

B

Sifat Kutub

P Misal l sebarang garis. Maka terdapat sebuah titik P yang disebut kutub l, sehingga: a. setia ruas garis yang menghubungkan P dengan titik pada l, tegak lurus terhadap l b. P berjarak sama pada semua titik di l

l A

C

B

Perlu diperhatikan bahwa karena dua titik dihubungkan oleh lebih dari satu ruas garis, maka jarak dari 2 titik tersebut adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik itu.

Berikut kita tinjau bahwa jika P adalah kutub garis l, tiap garis yang tegak lurus terhadap l melewati P. Andaikan m tegak lurus terhadap l pada titik Q. Pasti ada titik M’ yang melalui P dan Q. Dengan menggunakan sifat kutub, maka m’ tegak lurus terhadap l pada titik Q. Karena l memiliki garis tegak lurus yang tunggal di Q, M dan M’ berimpit dan m haruslah melalui P.

JARAK POLAR Misal garis m menghubungkan P ke sebuah titik Q di l. Kita tunjukkan bahwa ada ruas garis m yang Menghubungkan P dan Q yang panjangnya sama dengan jarak polar P dari l. Dengan sifat polar, m tegak lurus terhadap l di Q. Jarak P dan Q adalah terpendek yang merupakan jarak polar dari P ke l.

P m

l Q

Sekarang kita lihat suatu konstruksi yang menyebutkan bahwa satu garis mempunyai dua kutub. Misal P adalah kutub l dan Q adalah titik di l. PQ adalah ruas garis polar, yaitu ruas garis yang menghubungkan P dan Q yang panjangnya adalah jarak polar dari P ke l. Perpanjang PQ sepanjang dirinya sendiri melalui Q ke P’. Dengan sifat simetris P’ juga kutub dari l, dan jarak polar l dari P dan P’ adalah sama. Kita pegang ini sebagai jaminan. Selanjutnya dapatkah kita menyimpulkan bahwa setiap garis mempunyai setidaknya dua kutub? Tidak. karena kita tidak mempunyai ijin untuk mengasumsikan dari gambar bahwa P’ dan P adalah titik yang berbeda.

34

 Andaikan P dan P’ tidak berimpit, maka berdasarkan sifat kutub bahwa dua garis yang tegak lurus terhadap l akan berpotongan di titik yang berbeda P dan P’. Karena ini tidak mungkin P dan P’ harus berimpit. Dengan demikian dengan memperpanjang PQ sepanjang dirinya sendiri sampai ke P’, kita telah melalui keseluruhan garis PQ dan terlihat bahwa panjang garis PQ dua kali jarak polar dari P ke l.

Untuk kasus eliptik ganda. Dengan mengingat bahwa l membagi bidang, kita tahu bahwa P dan P’ berada pada sisi yang berseberangan dari garis l dan tak mungkin berimpit. Dengan demikian setiap garis memiliki sedikitnya dua kutub. Sebagaimana yang telah kita lihat satu garis tidak mungkin mempunyai lebih dari dua kutub, karena semua garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut melalui kutubnya.

P

l

P’

Pada saat memperpanjang PQ sepanjang dirinya sendiri ke P’ kita telah membentuk ruas garis P ‘’Q yang simetris terhadap PQ memuat garis l. PQ dan P ‘’Q hanya mempunyai titik persekutuan Q dan merupakan suatu ruas garis PQP ‘’ dengan panjang dua kali jarak polar dari P ke l.

P

l Q P’

Ini memaksa hubungan dari kutub P dan P’ terhadap l dan Q. Tetapi l memotong garis PQ di titik kedua Q’. Bagaimana Q’ dihubungkan terhadap P, Q dan Q’? pertama kita perhatikan bahwa Q’ tidak berada pada PQP ‘’, jika demikian adanya jarak dari P atau P’ ke Q’ akan kurang dari jarak polar. Dengan demikian P dan P’ membagi garis PQ menjadi ruas garis PQP’ ' dan ruas garis PQ’P’ yang memuat Q’