GEOMETRI NETRAL

1

GEOMETRI NETRAL I. SEJARAH GEOMETRI NETRAL Sejarah mencatat bahwa geometri non-euclides lahir oleh karena para matematikawan berusaha membuktikan kebenaran dari postulat yang kelima dari Euclid dengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya. Postulat kelima itu adalah jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku. Beberapa matematikawan menganggap bahwa postulat kelima bukanlah merupakan postulat, tetapi dapat dibuktikan dengan menggunakan empat postulat sebelumnya. Beberapa matematikawan tersebut adalah Proclus dari Alexandria, Girilamo Sacceri dari Irlandia, Karl Friedrich Gauss dari Jerman, Wolfgang dan János Bolyai dari Hungaria, Ivanoviteh Lobacvesky dari Rusia. Beberapa dari ahli matematikawan yang telah disebutkan di atas adalah pencetus dari geometri netral, yaitu Wolfgang Bolyai, Yanos Bolyai, Karl Friedrich Gauss dari Jerman, A. Farkas Wolfgang Bolyai (1775-1856) Farkas Bolyai (lahir 9 Februari 1775 – meninggal 20 November 1856 pada umur 81 tahun, juga disebut Wolfgang Bolyai di Jerman) adalah matematikawan Hongaria, yang terkenal untuk karyanya dalam bidang geometri. Ibu Farkas Bolyai

adalah Krisztina Pávai Vajna dan dia

mewarisi sebuah peternakan kecil di Domáld yang dekat Marosvásárhely di Transylvania. Sekarang Marosvásárhely disebut Tirgu Mures (atau Târgu Mures) dan merupakan ibukota Mures judet (kabupaten) terletak di utara-tengah Rumania. Ayah Farkas Bolyai adalah Gaspar Bolyai dan ayahnya berumur 43 tahun ketika Farkas lahir. Ketika Farkas lahir, Nagyszeben adalah pusat militer di Transylvania dan merupakan ibukota daerah. Farkas diajarkan di rumah oleh ayahnya hingga ia mencapai usia enam tahun ketika ia dikirim

2

ke sekolah Calvinis di Nagyszeben.

Gurunya disana segera mengenali

bakatnya baik dalam perhitungan aritmatika dan dalam belajar bahasa. Ketika ia berusia dua belas tahun ia meninggalkan sekolah dan ditunjuk sebagai tutor untuk Simon Kemeny yang merupakan putra Baron Kemeny selama delapan tahun. Ini berarti bahwa Bolyai sekarang diperlakukan sebagai anggota salah satu keluarga terkemuka di negeri tersebut, dan ia tidak hanya menjadi seorang guru untuk Simon tetapi juga merupakan teman dekatnya. Pada tahun 1790 keduanya memasuki kampus Calvinis di Kolozsvár dimana mereka menghabiskan waktunya selama lima tahun. Profesor filsafat di College Kolozsvár adalah orang yang mengesankan, dan ia berusaha untuk mengubah Bolyai terhadap matematika dan ke arah filosofi agama. Di sisi lain Bolyai memiliki kepentingan luas tentang ilmu pengetahuan, matematika, dan sastra. Dia tertarik pada semua ilmu itu dan pada tahun 1795 setelah meninggalkan College ia menghabiskan beberapa minggu mempertimbangkan karir sebagai seorang aktor. Namun, ia memutuskan untuk pergi ke luar negeri dengan Simon Kemeny pada perjalanan pendidikan yang didanai oleh Baron Kemeny dan setelah keterlambatan yang disebabkan oleh penyakit yang tidak terduga, mereka berangkat pada musim semi 1796. Pertama, mereka mencapai Jena dimana Farkas Wolgang Bolyai untuk pertama kalinya mulai belajar matematika secara sistematis. Dia pergi untuk berjalan-jalan sendiri dan berpikir tentang matematika saat dia berjalan. Setelah enam bulan di Jena, Farkas Wolgang Bolyai dan Kemeny sekolah di Göttingen. Di sana ia diajarkan oleh Kastner dan menjadi sahabat karib Gauss, dan bersama menjadi mahasiswa di Gottingen. Ini adalah saat ketika orang bisa mengatakan bahwa Bolyai benar-benar menjadi ahli matematika. Ia mulai berpikir tentang aksioma geometri Euclid dan khususnya postulat kelima. Dia membahas masalah ini dengan Gauss dan di kemudian hari ia menulis betapa pentingnya persahabatan mereka untuk pengembangan matematikanya. Pada musim gugur 1798 Farkas Wolgang Bolyai dan Kemeny telah menyelesaikan studi mereka. Dia menghabiskan waktu satu tahun di sana dengan mengandalkan amal dan meminjam uang untuk bertahan hidup. Itu adalah tahun yang sulit badi Farkas Wolgang Bolyai, namun di sisi lain ia terus mengembangkan matematika.

3

Setelah setahun, seorang teman mengirimnya cukup uang dari Hungaria untuk membayar hutangnya. Setelah kembali ke keluarganya, Bolya melakukan penelitian dalam matematika. Ia pergi ke Kolozsvar di mana ia menjadi seorang guru. Di sana ia bertemu Zsuzsanna Benko dan mereka menikah pada tahun 1801. Di rumah orang tua Zsuzsanna pada 15 Desember 1802 putra mereka Janos Bolyai lahir. Ketika Farkas Bolyai ditawari pekerjaan di kampus Calvinis di Marosvasarhely ia agak enggan menerima tetapi ayahnya, ingin anaknya memiliki pekerjaan yang layak, dan mendesaknya untuk menerima pekerjaan tersebut. Bolyai mengajar matematika, fisika dan kimia di Marosvasarhely untuk sepanjang hidupnya. Gagal membuktikan postulat akhirnya menikmati masa tuanya dengan menulis puisi, musik dan drama, sebelum meninggal di Marosvasarhely, Transylvania, Kerajaan Austria (sekarang Tirgu Mures, Romania). B. János Bolyai (1802 - 1860) Sampai hari ini, ia adalah matematikawan Hungaria terbesar, pencipta geometri absolut. Para

jenius

dari

orang-orang

Hungaria

diwujudkan pada tingkat tertinggi dalam diri János Bolyai di bidang ilmu pengetahuan. János Bolyai lahir pada tanggal 15 Desember 1802 di Kolozsvár, Hungaria (sekarang Cluj, Rumania) dan meninggal pada tanggal 27 Januari 1860 di Marosvásárhely, Hungaria (sekarang Târgu Mureş, Rumania.

Penemuan geometri alternatif yang

konsisten yang mungkin sesuai dengan struktur alam semesta membantu untuk mempelajari konsep-konsep abstrak terlepas dari hubungan apapun yang mungkin dengan dunia fisik. Ayahnya, Farkas Bolyai juga seorang matematikawan terkenal, yang dididik di Göttingen, dan di sini ia berteman dengan Karl Friederich Gauss. Farkas Bolyai selalu mengarahkan anaknya untuk menjadi ahli matematika. Dia percaya bahwa pikiran yang sehat hanya bisa mencapai hasil yang besar jika berada dalam tubuh yang sehat, sehingga dalam tahun pertama perhatian yang diberikan untuk pembangunan fisiknya.

4

János Bolyai naik ke kelas 4 dari College Calvinis di Marosvásárhely pada usia 12 tahun dimana 3 tahun lebih awal daripada biasanya. Sebagai anak jenius yang nyata, dan ia sudah menguasai kalkulus dan bentuk lain dari analisis mekanik. Pada usia 15, ia menunjuk sebuah tiga bagian sudut yang bagus, dalam solusi yang memanfaatkan salah satu cabang dari hiperbola xy = c. Ia belajar di kampus Royal Engineering di Wina (1818-1822) dan bertugas di korps tentara (1822-1833). Dia menjadi begitu terobsesi dengan postulat kesejajaran Euclid. Awalnya menerima postulat-postulat Euclid sebagai aksioma yang berdiri sendiri dan menemukan bahwa memungkinkan mengkonstruksi geometri, dengan dasar aksioma-aksioma lainnya, satu titik dalam bidang yang terdiri dari garis-garis tidak terhingga yang tidak bersinggungan dengan garis pada bidang tersebut. Gagasan ini, oleh sang ayah, dikirimkan ke Gauss untuk dimintai pendapat tentang gagasan tidak biasa ini. Jawaban Gauss, memuji gagasan itu, namun tidak disarankan untuk dilanjutkan. Kecewa dengan komentar ini. Semangatnya untuk menjadi ilmuwan ternama surut. Kekecewaan ini terus membayangi sehingga dia sulit berkonsentrasi meskipun ada makalah karyanya. Tidak produktif sampai dia meninggal. Semasa remaja mampu mengungkapkan “kejanggalan” postulat kesejajaran Euclid dan merintis apa yang disebut dengan geometri nonEuclidian yang berbeda dengan penemuan Lobachevski. Usia 21 tahun, melanggar larangan ayahnya karena mengembangkan geometri yang beda dengan postulat kelima yaitu dengan geometri hiperbolik dan ternyata mampu memecahkan kebuntuan yang dialami oleh ayahnya. Penemuan ini mendasari teori-teori fisika modern yang muncul pada abad keduapuluh. Tidak pernah menerbitkan makalah Appendix tidak lebih dari 26 halaman, karena tidak mampu mempublikasikan penemuannya, namun Janos meninggalkan 3.000 halaman artikel matematika dan 11.000 halaman makalah lain ketika dia meninggal. Janos Bolyai meninggal di Marosvasarhely, Transylvania.

5

Bolyai juga seorang ahli bahasa yang luar biasa dan bisa berbicara dalam sembilan bahasa asing termasuk Cina dan Tibet. Selain karyanya dalam geometri, Bolyai mengembangkan konsep geometris yang ketat dari bilangan kompleks sebagai pasangan terurut bilangan real.

C. Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

Ilmuwan besar matematika ini lahir pada bulan April 1777 di Brunswick daerah Duke Brunswick (Jerman). Gauss tumbuh di keluarga yang sederhana, bukan kaya namun terdidik. Orang tua Gauss adalah orang yang tidak berkecukupan. Kakek Gauss adalah petani miskin yang menetap di Brunswick sejak tahun 1740 yang bertahan hidup dengan menjadi tukang kebun. Anak kedua dari kakek ini, Gerhard Diederich, lahir tahun 1744 adalah ayahanda Gauss. Seharihari Gerhard bekerja lepas sebagai tukang kebun, menggali selokan dan terkadang menjadi tukang batu. Dorothea Benz, ibunda Gauss, adalah anak tukang perancah batu. Dorothea mempunyai adik laki, Friedrich, yang sangat cerdas dan selalu berupaya meningkatkan taraf hidupnya dengan menjadi pedagang taplak meja hasil tenunan. Friedrich adalah orang yang pertama kali mengenali bakat Gauss yang muncul sejak umur 3 tahun. Memahami kehebatan otak keponakannya ini, dia mengajarkan logika kepada Gauss, melakukan observasi terhadap obyek-obyek tertentu dan falsafah hidup. Semua dengan cepat mampu dipahami karena kemampuan otak fotografik Gauss. Perilaku Gerhard yang kasar terhadap Gauss kecil ini selalu dihalangi oleh ibunya, meskipun mereka berdua berupaya keras jangan sampai Gauss kecil “mewarisi” profesi keluarga sebagai tukang kebun. Segala upaya dilakukan oleh Dorothea agar Gauss kecil dapat menggunakan kemampuannya secara optimal. Ketika Gauss berumur 19 tahun, Dorothea bertanya kepada matematikawan teman anaknya, Wolfgang Bolyai, tentang anaknya. Langsung menangis setelah mendengar jawaban Bolyai, “Gauss adalah matematikawan terbesar di Eropa.”

6

Selama 24 tahun, sebelum meninggal, Dorothea tinggal di rumah Gauss. Ketenaran tidak ada artinya bagi Gauss. Semua dipersembahkan untuk ibunya yang selalu melindunginya sejak kecil. Ketika ibunya buta, Gauss tetap merawat sampai meninggal pada tahun 1839 dalam usia 97 tahun. Peran dari ibu dan pamannya, Friedrich, sangatlah besar bagi Gauss. Berbeda dengan Archimedes atau Newton, Gauss menonjol sejak muda usia. Gauss menunjukkan kredibilitasnya sejak umur tiga tahun. Saat ayahnya menerima upah mingguan yang sedang dihitung karena lembur, Gauss kecil ada dibelakangnya. Gerhard menerima upahnya tanpa menghitung, namun Gauss kecil menyebut bahwa perhitungan itu salah. Setelah dihitung ulang ternyata angka yang disebut Gauss kecil adalah yang benar. Gauss kecil ini belajar membaca sama misterius dan sama mudahnya seperti dia belajar menjumlah. Sang ayah mengajari abjad, dimana dengan pengetahuan ini, Gauss belajar membaca sendiri. Tidak ada prestasi menonjol dari Gauss sampai usia sepuluh tahun. Setelah memasuki pelajaran aritmatika, bakatnya mulai muncul. Umur 7 tahun, Carl dikirim ke sekolah lokal, dimana guru merupakan tirani yang hanya tahu melecut dengan cemeti guna mengajar anak. Suatu hari, untuk menjaga agar murid tetap sibuk, diberikan perintah agar semua anak menjumlah angka sebanyak 100 mulai dari 81297 + 91495 + 81693 + … + 100899. Semua angka mempunyai selisih 198. Setiap murid selesai, ditaruhkan batu tulis di atas meja guru; Guru itu, Buttner, menjelaskan hasilnya, Gauss meletakkan batu tulis di atas meja sambil berkata, “Itu salah.” Saat semua teman sekolahnya ke luar kelas, Gauss duduk dengan tangan terlipat, yang dipandang sinis oleh Buttner sambil berpikir, “Murid paling muda ini ternyata anak bodoh.” Guru itu melihat batu tulis Gauss yang tertulis sebuah angka. Setelah sekolah usai, Buttner akhirnya menyebutkan bahwa jawaban Gauss yang benar. Terkejut dengan peristiwa ini, Buttner merelakan uang gajinya untuk membeli buku teks terbaik tentang aritmatika dan memberikan kepada Gauss sambil mengatakan, “Saya tidak dapat mengajar anak ini lagi.” Tidak sanggup lagi mengajari dan mengalihkan tanggung jawab ke asisten muda, Johann Martin Bartels [1969 – 1836]. Persahabatan remaja usia 17 tahun dengan anak

7

10 tahun ini berlangsung selama hidup Bartels. Mereka belajar bersama, saling membantu dan menulis pembuktian-pembuktian dalam bidang aljabar dan analisis dasar yang ada dalam semua buku teks. Sedangkan Buttner, kemudian, berbicara kepada ayah Gauss untuk pendidikan lanjut Gauss. Mengetahui kenyataan ini, Gerhard mengubah rencana, dari keinginan semula menjadikan Gauss sebagai pedagang atau pekerja, berubah menjadi dokter atau pengacara bahkan profesor. Ada legenda yang menyatakan bahwa begitu sampai di rumah, setelah mendengar berita itu, Gerhard langsung merusak alat tenun yang biasa digunakan Gauss untuk membantu Friedrich menenum agar anak itu tidak dapat menggunakan lagi. Mulai saat itu, Gauss menghabiskan banyak waktu untuk belajar. Saat malam tiba, dia berhenti belajar karena gelap dan tidur, karena tidak mampu membeli lilin untuk penerangan di malam hari. Kendala ini akhirnya dapat diatasi oleh Gauss dengan membuat lampu dari daun turnip yang diisi dengan minyak diberi sumbu terbuat dari kain perca bekas. Kejeniusan Gauss terdengar oleh bangsawan Brunswick (Duke of Brunswick) bernama Ferdinand. Terkesima dengan berita itu, langsung mengirim pelayan agar mengundang Gauss untuk tinggal di purinya. Pelayan yang kebingungan mencari alamat Gauss ini bertanya kepada saudara tiri Carl, Georg, bahwa Gauss dicari oleh Ferdinand. Georg protes bahwa barangkali salah orang, namun setelah dijelaskan akhirnya Georg mengantar pelayan itu menemui Gauss. Hubungan antara bangsawan ini dengan Gauss bertahan sampai bangsawan itu meninggal. Beberapa tahun kemudian, Gauss menjadi matematikawan terkenal di dunia, Georg sering mengatakan bahwa “Saya menjadi profesor; tawaran pertama datang kepada saya tapi saya tidak mau tinggal di puri.” Georg menjadi penjahit, setelah menjadi prajurit, dan pensiun menjadi tukang kebun. Umur 12 tahun, Gauss sudah berani mempertanyakan dasar-dasar geometri Euclides. Umur 15 tahun, Gauss sudah belajar di College, semua biaya ditanggung oleh Ferdinand, dengan mengambil jurusan bahasa kuno dan bahasa modern serta matematika – Gerhard menyebut dengan bidang yang tidak membumi. Umur 16 tahun mulai menggagas geometri selain Euclid. Setahun

8

berikutnya

mencari

“lubang-lubang”

pembuktian

teori

bilangan

yang

memuaskan pada pendahulunya, namun dianggap hanya karya setengah jalan, sebelum memasuki bidang favorit, aritmatika. Tiga tahun kemudian, Gauss masuk universitas Gottingen, dan belum dapat memutuskan jurusan matematika atau jurusan bahasa yang akan dipilih. Keputusan memilih bidang matematika terjadi pada tanggal 30 Meret 1796, dimana pada hari itu Gauss menemukan cara membuat poligon 17 sisi dengan menggunakan kompas dan penggaris. Cara menggunakan kompas dan penggaris dimulai sejak jaman Archimedes ini, namun cara menggambar poligon ini baru ditemukan oleh Gauss. Penemuan ini dianggap sebagai salah satu penemuan terbesar dari Gauss. Keputusan besar dan benar ini kemudian diikuti dengan janjinya untuk membuat catatan harian matematika yang diisi dengan ide-ide atau problem-problem yang melintas di kepala setiap hari. Dalam buku itu pula tertulis bahwa kemungkinan adanya geometri non-Euclidian; membuat perubahan besar dalam aritmatika; merombak teori bilangan; proses menemukan grafik dari bilangan kompleks dan membuktikan theorema dasar aljabar. Gauss remaja, seperti halnya Newton, adalah masa penuh ide dan sangat kreatif. Di universitas Gottingen, karya Gauss dapat diperbandingkan dengan karya para matematikawan lain dan hasilnya memang mencolok. Semakin dia membandingkan akhirnya

dia menyadari bahwa dia

adalah seorang

matematikawan besar. Gauss selalu menyimpan semua penemuannya dan menyesal bahwa tidak seorangpun dapat berdiskusi tentang teori-teori yang menarik hatinya. Salah seorang teman baiknya di universitas adalah Wolfgang Bolyai, bangsawan Hongaria yang kelak anak lakinya [Janos Bolyai] menemukan geometri non-Euclidian. Bolyai sendiri mengagumi kejeniusan Gauss dan pernah mengunjungi rumah Gauss di Brunswick setelah ditanya oleh ibu Gauss, dengan jawaban bahwa, “Gauss adalah matematikawan terkemuka di Eropa.”

9

Umur 21 tahun, Gauss meninggalkan universitas dengan ucapan perpisahan dari Bolyai, ”Dituntun malaikat yang memberinya ketenaran dan kejayaan,” dan kembali ke Brunswick. Gauss tidak suka dengan ayahnya yang dianggapnya ingin mendominasi, kasar dan berkelakuan buruk, sehingga tinggal di rumah lain. Tidak lama setelah itu menulis surat kepada Bolyai yang menyebutkan bahwa saya tidak punya uang lagi. Mendengar keluhan ini Ferdinand mengirim uang dan menjamin bahwa Gauss jangan pernah berpikir tentang uang lagi. Beberapa bulan di rumah, Gauss pulang pergi ke Helmstedt, dimana dia belajar di perpustakaan. Perpustakaan milik universitas Helmstedt dikelola oleh matematikawan sekaligus pusatakawan, Johann Friedrich Pfaff [1765 – 8125], adalah paling lengkap untuk topik-topik matematika. Antar keduanya kemudian terjalin persahabatan. Pfaff, yang dikagumi oleh Gauss, kemudian disebut sebagai matematikawan paling terkenal di Jerman bukan karena keahlian matematika, tapi untuk kesederhanaan dan sikap terbuka. Tidak lama makalah teori bilangan yang sudah pernah dirintisnya di Gottingen diterbitkan dengan judul Disquisitiones Arithmeticae, setelah tertunda selama tiga tahun akhirnya dicetak dan diterbitkan pada tahun 1801. Nama Gauss mulai terkenal sehingga merencanakan menggunakan bahanbahan dalam buku itu untuk disertasi doktoral, namun pihak penerbit menolak. Dicari judul lain sebelum akhirnya didapat judul panjang, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus revolvi posse yang terbit lebih awal, tahun 1799. Isi tesis doktoral adalah membuktikan theorema dasar aljabar – membuktikan bahwa polinomial pangkat n (kuadrat adalah pangkat 2 dan kubik adalah pangkat 3, quartik adalah pangkat 4 dan seterusnya) mempunyai (hasil) akar pangkat n juga. Hal tersebut baru valid (sahih) apabila perlakuan terhadap bilangan imajiner sama seperti bilangan riil. Tidak lama setelah terbitnya Disquisitiones Arithmeticae, Gauss menjadi pengajar dan menulis makalah singkat berjudul The Metaphysics of Mathematics, yang disebut sebagai salah satu uraian singkat dan jelas yang pernah

ditulis

tentang

dasar-dasar

matematika.

Penyederhanaan

ini

dimaksudkan pada keyakinan bahwa akan memudahkan mahasiswa belajar

10

matematika. Gauss pensiun dari mengajar pada tahun 1851 dan setelah beberapa kali stroke, ia meninggal lima tahun kemudian. Semasa hidupnya banyak karya matematika baik teori maupun terapan. Aljabar, geometri, analisis,

aritmatika

atau

teori

bilangan

adalah

bidang-bidang

yang

dikembangkan oleh Gauss. Sebagai tambahan, secara teori, Gauss juga mendalami astronomi, magnetisme, topologi, kristalografi, optik dan elektrik. Pada tahun 1833, Gauss memperagakan mengirim sinyal-sinyal telegrafik sebelum dikembangkan oleh Samuel Morse. tiga tahun kemudian. Laplace menyebut Gauss sebagai matematikawan terbesar di dunia. Sedangkan kalangan raja memberi gelar “Pangeran matematika.”

II. Pengertian pangkal, difinisi-definisi, dan aksioma-aksioma dalam geometri netral Kegagalan dalam usaha membuktikan postulat kesejajaran Euclides telah memberikan suatu isyarat adanya perkembangan teori-teori geometri yang kontradiksi dengan postulat kesejajaran. Pada geometri netral tepatnya disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides kecuali postulat kesejajaran. Dalam mempelajari geometri netral ini bertolak dari sebagian teori Saccheri, tetapi tidak menggunakan apa yang ditetapkan Saccheri, yaitu postulat kesejajaran Euclides harus dianggap valid. Geometri netral ini termuat dalam geometri terurut, sehingga pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi pengertian pangkal geometri netral. Dalam geometri ini juga diperkenalkan pengertian pangkal ketiga yaitu kongruensi, suatu relasi untuk pasangan titik, segmen, dan inetrval. Pengertian pangkal geometri Absolut, menurut Pasch ialah: a. Titik-titik A, B, C, D, …. b. Keantaraan c. Kongruensi Titik dipandang sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan keantaraan dan kongruensi dipandang sebagai relasi-relasi yang tidak didefinisikan.

11

Adapun aksioma-aksioma kongruensi adalah sebagai berikut Aksioma 1 Jika A dan B titik berlainan, maka pada sebarang sinar yang berpangkal di C ada tepat satu titik di D, sehingga AB

CD.

Aksioma 2 Jika AB

CD dan CD

EF, maka AB

EF.

Aksioma 3 AB

BA

Aksioma 4 Jika [ABC] dan [A’B’C’] dan AB

dan BC

, maka AC

Aksioma 5 Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC

, CA

dan

, sedangkan D dan D’ adalah dua titik berikutnya sedemikian hingga [BCD] dan [B’C’D’] dan BD Dari aksioma-aksioma di atas menunjukkan kongruensi adalah relasi ekuivalensi yang memenuhi sifat Transitif (aksioma 1), sifat simetris (aksioma 3) dan sifat refleksif (aksioma 2) Perhatikan bahwa aksioma 4 menunjukkan adanya penjumlahan segmen garis yang menjadi dasar untuk teori panjang. Menurut aksioma 5 kongruensi segmen dapat diperluas menjadi kongruensi sudut. Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC

B’C’ ,

CA

C’A’,

AB

A’B’,

A’B’C’ (sisisi), sehingga B’A’D’

AD

ABD

D’B’

’

’

A’B’D’ dan

ADB

A’

12

A’B’,

Jika AB ABD B

A’B’D’

A

A’D’

B’D’

Definisi 1 Suatu sudut siku-siku ialah suatu sudut yang kongruen dengan pelurusnya (suplemennya); besarnya suatu sudut siku-siku sama dengan ½

.

Definisi 2 Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r ialah tempat kedudukan titik P sedemikian hingga OP = r. Suatu titik Q yang memenuhi Q > r dikatakan ada di luar lingkaran. Suatu titik yang tidak pada dan tidak di luar lingkaran dikatakan ada di dalam lingkaran.

TEORI SACCHERI DALAM GEOMETRI NETRAL Seperti telah dijelaskan bahwa geometri netral disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides kecuali postulat kesejajaran dan dalam geometri ini bertitik tolak dari sebagian teori Saccheri tetapi tidak menggunakan apa yang ditetapkan Saccheri. Cara untuk mempelajari geometri netral adalah dengan mengamati teorema-teorema. Karena teorema akibatnya dibuktikan sebelum pengenalan postulat kesejajaran, demikian juga pada proposisi geometri netral. 1. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga Lemma Misal diberikan

Maka ada segitiga A1B1C1 sedemikian hingga

A1B1C1 mempunyai jumlah besar sudut sama dengan jumlah besar sudut dan A1

13

Bukti:

Misalkan E titik tengah BC, dan F dipilih pada AE sedemikikan hingga AE = EF Tarik garis melalui C dan F. Perhatikan

. CE = BE (bertolak belakang) AE = FE

maka

, sehingga

=

,sehingga

Ini berarti

harus kurang atau sama dengan setengah dari

, sehingga atau jika

atau

, atau dimisalkan A1, maka

,

14

Lemma tersebut menyatakan bahwa kita dapat mengganti sebuah segitiga baru dengan merampingkan segitiga awal tanpa mengubah jumlah sudut-sudutnya. Hal ini dapat dilakukan dengan memotong

dan

dengan meletakkan dibelakang

. Dalam geometri netral kita tidak dapat mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga selalu konstan, hal ini didasarkan pada teorema Euclides yang buktinya tergantung pada postulat kesejajaran. Lemma ini juga menunjukkan bahwa jika diberikan segitiga tertentu, maka dapat dibuat segitiga yang non kongruen tetapi mempunyai jumlah sudut yang sama. Dengan demikian ada tak berhingga segitiga yang tidak kongruen, tetapi semuanya mempunyai jumlah sudut yang sama dengan segitiga yang diberikan.

Teorema 1 Jumlah dua sudut segitiga < Bukti:

misalkan diketahui segitiga ABC. Akan dibuktikan Perpanjang ̅̅̅̅ melalui B ke D, maka adalah sudut luar segitiga ABC. Menurut preposisi 16 (geometri Euclid),

sehingga

15

Teorema 2. Jumlah besar sudut sebarang segitiga kurang atau sama dengan Bukti: Andaikan ada

= 1800 + p, dengan

dengan

Berdasarkan lemma maka ada

= 1800 + p

dengan

( )

ada dst, sehingga kita dapat membuat barisan segitiga-segitiga

, ....

yang masing-masing jumlah sudutnya 1800 + p sedemikian hingga untuk sebarang bilangan bulat positif n Dengan memilih n cukup besar (

, maka

p

= 1800 + p, maka

karena

1800 (kontradiksi dengan teorema 1) sehingga pengandaian salah, dengan kata lain jumlah sudut sebarang segitiga kurang atau sama dengan 1800. Akibat teorema 2 (corollary) Jumlah besar sudut-sudut segiempat kurang atau sama dengan C

Bukti: B 1 4 A

2 3 D

16

Diberikan segiempat ABCD. Tarik salah satu diagonal pada segiempat ABCD, misalkan BD sehingga terdapat dua segitiga, yaitu

dan

Berdasarkan teorema 2, maka diperoleh:

. Jadi, jumlah besar sudut-sudut segiempat kurang atau sama dengan

2. Persegipanjang Adanya persegi panjang dalam geometri merupakan suatu yang penting. Jika kita tidak punya atau tidak dapat menggunakan persegi panjang, maka akan sulit sekali membuat suatu persegi panjang tanpa mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran Euclides. Untuk menghindari kesalahpahaman, secara formal akan didefinisikan istilah persegi panjang (dalam hal ini dimisalkan ada persegi panjang) Definisi 3 Suatu segiempat disebut persegi panjang jika semua sudutnya adalah siku-siku. Seperti diketahui bahwa dalam mempelajari geometri netral, tidak otomatis menggunakan proposisi Euclid, seperti: a. sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegi panjang adalah sejajar b. sisi-sisi tersebut sama panjang, atau c. diagonal persegi panjang membagi persegi panjang menjadi dua segitiga yang kongruen.

17

Teorema 3. Jika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada juga sebuah persegipanjang dengan salah satu sisinya lebih panjang daripada ruas garis tertentu. Bukti: Misal ada persegipanjang ABCD. Ambil sebarang ruas garis XY. B

C

C2

C3

Cn

A

D

D2

D3

Dn

X

Y

ABCD sebagai kotak pembangun, untuk melukis persegipanjang. Lukis segiempat D2C2CD yang kongruen dengan ABCD sedemikian hingga C2D2 dan BA berlainan pihak terhadap CD (perpanjang BC kearah C, sehingga panjang CC2 sama dengan BC dan perpanjang AD kearah D sehingga panjang DD2 sama dengan AD). Maka D2C2CD adalah persegipanjang dan B,C,C2 serta A, D, D2 terletak pada satu garis, karena hanya ada satu garis yang tegak lurus pada CD di C. Jadi ABCC2D2D merupakan segiempat ABC2D2 dan merupakan persegipanjang. Persegi panjang ABC2D2 mempunyai sifat AD2= 2AD Dengan cara yang sama diperoleh ABC3D3 adalah persegipanjang, dan AD3 = 3AD, Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif n ada persegipanjang ABCnDn sedemikian hingga ADn= nAD. JIka dipilih n cukup besar, maka n AD > XY Dengan demikian persegipanjang ABCnDn merupakan persegipanjang yang diinginkan.

18

Akibat teorema 3(Corollary) Jika ada sebuah pesegi panjang , maka ada sebuah pesegi panjang yang dua sisinya yang berdekatan panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua segmen garis tertentu. Bukti:

Berdasarkan teorema 3 terdapat persegipanjang ABEF dengan panjang AF

panjang XY.

Dengan melukis persegipanjang yang kongruen dengan persegi panjang ABEF berulang-ulang dan menempatkan diatasnya, maka dapat dilukis AFHG dengan AG > ZW. Karena AF > XY, maka AFGH merupakan persegipanjang yang dimaksud. Teorema 4. Jika ada sebuah persegi panjang, maka ada persegi panjang dengan panjang dua sisi yang berdekatan masing-masing sama dengan panjang XY dan ZW.

19

Bukti: Misal diketahui persegi panjang

dan ruas garis

akibat 3, maka ada persegi panjang

dimana

dan

. Berdasarkan

dan

.

Kemudian dipotong garis PQ dan PS sedimikian hingga PQ = XY dan PS = ZW, sehingga ada titik Q’ pada PQ sedemikian hingga PQ’ = XY. Dari Q’ ditarik garis yang tegak lurus sehingga akan memotong RS di titik R’. Akan ditunjukkan bahwa PQ’R’S adalah persegipanjang. = 900.

Sudut P, R’, dan S adalah siku-siku. Akan ditunjukkan bahwa > 900 maka jumlah sudut

Andaikan

, kontradiksi

dengan akibat dari teorema 2). Andaikan

, maka

sehingga jumlah besar sudut-

sudut pada segiempat Jadi haruslah Analog

(kontradiksi dengan akibat teorema 2). , sehingga

adalah persegipanjang.

adalah persegipanjang.

Dengan demikian, sisi-sisi ysng berdekatan PQ’ dan PS’ masing-masing sama dengan XY dan ZW, sehingga teorema terbukti.

Teorema 5. Jika ada sebuah persegipanjang,

maka setiap segitiga siku-siku mempunyai

jumlah sudut Bukti:

Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa : 1. setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari sebuah segitiga yang dibentuk dengan cara membelah persegi panjang pada diagonalnya 2. segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 1800

20

Misal

adalah segitiga siku-siku, yang siku-siku di

Berdasarkan teorema 4, maka ada persegi

panjang

dengan

Tarik A’ dengan titik C’ Maka

, sehingga kedua segitiga mempunyai jumlah sudut yang

sama Misal:

adalah jumlah sudut

Maka r Andai r Jadi r

, maka s

(kontradiksi dengan teorema 2).

, sehingga jumlah besar sudut segitiga siku-siku adalah

.

Teorema 6. Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap segitiga sebarang memiliki jumlah besar sudut

.

Bukti: B

A

1

2

1

2 D

C

Melalui titik B ditarik garis yang tegal lurus dengan AC, sehingga akan memotong AC di titik D Berdasarkan teorema 5, maka jumlah besar sudut

ADB dan

Maka jumlah besar sudut sebarang segitiga ABC adalah

CDB adalah

21

3. Jumlah sudut suatu segitiga Teorema 7. Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut

, maka akan ada sebuah

persegi panjang. Bukti:

Misal

mempunyai jumlah sudut

. Akan ditunjukkan bahwa ada

segitiga siku-siku dengan jumlah sudut 1800 (r dan s). Potong

menjadi

dua segitiga siku-siku yang masing-masing mempunyai jumlah sudut r dan s dengan menarik garis tinggi tertentu, misalnya BD, sehingga r + s = 2.900 + 1800 = 3600 Kita tunjukkan r Menurut teorema 2, Jika

,

. . (kontradiksi dengan teorema 2).

Jadi ada segitiga siku-siku, misalnya

yang mempunyai jumlah sudut

.

Dengan mengambil dua segitiga siku-siku, kemudian kedua segitiga tersebut ditempelkan bersama membentuk persegi panjang.

22

Lukis dan

dengan bersesuaian dengan

berlainan pihak dengan . Karena jumlah sudut

dari sisi

,

adalah

,

maka

karena

maka dan perhatikan bahwa , dan Jadi

Berarti

persegipanjang

Akibat 1 teorema 7 Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut mempunyai jumlah sudut

, maka setiap segitiga

.

Bukti: Berdasarkan teorema 7 dan 6 dapat disimpulkan bahwa jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut

, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut

Akibat 2 teorema 7 Jika segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari mempunyai jumlah sudut kurang dari

, maka setiap segitiga

.

Bukti: Misalkan

mempunyai jumlah sudut kurang dari

Perhatikan sebarang

.

, jumlah sudutnya kita misalkan , menurut teorema

2, maka

. Misalkan

segitiga

mempunyai jumlah sudut

Jadi

.

, maka menurut akibat 1 teorema 7, (bertentangan dengan pemisalan).

Dengan membandingkan akibat 1 dan 2 dari teorema 7 dapat diamati suatu fakta penting yang tidak termuat dalam teorema Saccheri Legendre. Geometri

23

netral adalah homogen dalam arti bahwa semua segitiga mempunyai jumlah sudut 1800, atau semua segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800.

III. Proposisi-proposisi Geometri Netral 1. Dua garis yang tidak berimpit mempunyai paling banyak satu titik potong 2. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik tengah 3. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi 4. Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah sama 5. Sudut yang bertolakbelakang adalah sama 6. Kongruensi dua segitiga adalah sisi-sudut-sisi, sudut-sisi-sudut, sisi-sisi-sisi 7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudut-sudut dihadapannya sama 8. Jika dua sudut suatu segitiga sama, dua sisi dihadapannya sama 9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu tersebut 10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tetentu melalui satu titik di luar garis tersebut 11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jhj TA

TB

12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudut-sudut dihadapannya juga tidak sama, dan sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang 13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisi-sisi dihadapannya juga tidak sama, dan sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar 14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen garis tegak lurus 15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang ketiga 16. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua 17. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari

24

sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua 18. Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian degan sudut luar tersebut 19. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 1800 20. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut dalam berseberangan yang sama dua garis tersebut sejajar 21. Dua garis yang tegal lurus pada garis yang sama adalah sejajar 22. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di luar garis tertentu tersebut 23. Misalkan garis 1 melalui titik C yang jaraknya ke pusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya, maka garis 1 memotong lingkaran di dua titik 24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut tegak lurus pada jari-jari lingkaran 25. Jika diketahui

ABC dan segmen garis PQ sedemikian hingga PQ = AB,

maka ada titik R di luar PQ sedimikian hingga 26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui sebarang segitiga

25

IV. Aplikasi Geometri Netral Kita ketahui bahwa geometri netral hanya memuat empat postulat dari apa yang telah dikemukakan oleh Euclid. Adapun beberapa aplikasi dari geometri netral adalah sebagai berikut  Kesebangunan Pada suatu saat di perariran P. Jawa ada kapal asing melintas. Para petugas pantai dapat memantau posisi kapal seperti pada gambar. Jika jarak sebenarnya antara Semarang dan 65

Rembang 100 km. Berapa jarak kapal tersebut

0

dari Semarang Penyelesaian Perhatikan posisi kapal (K), Semarang (S), dan kota Rembang (R) pada peta. Ukurlah jarak K ke S dan jarak S ke R pada peta tersebut dengan menggunakan penggaris, misalkan diperoleh jarak S ke R adalah 15 cm dan jarak K ke S adalah 25cm Perhatikan gambar dua segitiga di bawah ini

K

10 cm

x

650 650 Semarang 100 km

Rembang

S

8cm

R

Berdasarkan peta besar sudut KSR adalah 650 yang berlaku baik pada peta maupun pada kondisi sebenarnya. Sedangkan sudut SRK adalah sudut

26

siku-siku yang juga berlaku baik pada peta maupun pada kondisi sebenarnya. Selanjutnya dengan menggunakan preposisi kesebangunan maka segitiga pada peta kongruen/sebangun dengan segitiga sebenarnya, sehingga

 Puzzle geometri Mainan yang digunakan untuk melatih kemampuan berpikir logis dalam meletakkan benda yang tepat sesuai dengan bentuk yang ada

V. Daftar Pustaka http://www.britannica.com/bps/search?query=jonas+bolyai diakses pada tanggal 2 Oktober 2011 pukul 24:14 WIB http://www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/keluargaBolyai.html diakses pada tanggal 7 Oktober 2011 pukul 14:32 WIB

Soemadi. 1999. Sistem Geometri. P.MIPA IKIP Surabaya Teguh Budiarto, Mega dan Masriyah. 2007. Sistem Geometri (edisi revisi) Surabaya : UNESA University Press. Walter, P & Jordan, M. 1989. Basic Concept of Geometry. USA : Ardsley House