Geometri Euclid Dan Non Euclid
May 6, 2019 | Author: benisiahaan | Category: N/A
Short Description
ffm...
Description
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kita panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan Rahmat dan Karuni Karunia-Ny a-Nya,. a,. Saya
dapat dapat menyele menyelesai saikan kan tugas tugas yang yang berjudu berjudull Sejar Sejarah ah !e"metr !e"metrii N"n
Eu#lid dan Eu#lid$ ini. Makalah ini digunakan sebagai salah satu tugas ujian akhir semester. Saya juga menyadari bah%a dalam pembuatan tugas ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari isi materi maupun #ara penulisannya. Namun demikian, saya telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga tugas ini dapat selesai dengan tepat %aktu. &leh karena itu, saya dengan kerendahan hati akan menerima masukan dan usul yang berman'aat untuk penyempurnaan makalah ini. (khirnya, saya berharap sem"ga makalah ini dapat berman'aat bagi seluruh pemba#a sekalian.
DAFTAR ISI
SE)(R(* !E&METR+ N&N-E+/ /(N E+/ (. PEN/(*(N PEN/(*(N ............. .................... .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. ............. ...... - (T(R (T(R 0E(K(N! ................... ........................................................ ........................................................... ... 0. PEM0(*(S(N PEM0(*(S(N ............. .................... .............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ........ .. - /E1EN+S+ !E&METR+ N&N-E+/ ................................................. - PERKEM0(N!(N PERKEM0(N!(N !E&METR+ N&N-E+/ ................................. 2. Matematika%an (rab ................................................................... 3. Matematika%an Er"pa .................................................................. 4. Skema Perkembangan !e"metri N"n-Eu#lid ............................... 5. /asar !e"metri N"n-Eu#lid ......................................................... 6. Kelahiran !e"metri N"n-Eu#lid .................................................. - !E&METR+ N&N-E+/ ................................................................... 2. !e"metri *iperb"lik .................................................................... - !E&METR+ E+/ ............................................................................. 2. Struktur !e"metri Eu#lid ............................................................. 3. Pengganti P"stulat Sejajar Eu#lid ................................................ 4. Eki7alensi P"stulat Eu#lid /an Play'air ...................................... - PER(N P&ST(T SE)()(R E+/ ......................................... ...... - T&K&*-T&K&* /((M PERKEM0(N!(N E+/ !E&METR+ .. 2. 0ukti Pr"#lus Tentang P"stulat Sejajar Eu#lid ............................ 3. Per#"baan Sa##heri ntuk Mempertahankan P"stulat Eu#lid .... . KES+MP(N KES+MP(N ............. .................... .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ......... ... /. S(R(N ............. .................... .............. ............. ............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. .............. .........
BAB I
SEJARAH GEOMETRI NON EUCLID DAN EUCLID
A. PENDAHULUAN LatarBelakang
!e"metri yang pertama-tama mun#ul sebagai suatu sistem dedukti' adalah !e"metri dari Eu#lides. Kira-kira tahun 448 SM, Eu#lides menulis buku sebanyak 24 buah. /alam bukunya yang pertama Eu#lid menjelaskan mengenai mengen ai de'inisi, p"stulat, aksi"ma dan dalil 9M"eharti, 2:;. Salah satu #abang dari Matematika adalah !e"metri. !e"metri berasal dari bahasa Yunani Yunani yaitu ge" yang artinya bumi dan metr" yang artinya mengukur. menguku r. !e"metri adalah #abang Matematika yang pertama kali diperkenalkan "leh Thales 9 yang berkenaan dengan relasi ruang. /ari pengalaman, atau intuisi, kita men#irikan ruang dengan kualitas 'undamental tertentu, yang disebut aksi"ma dalam ge" metri. (ksi"ma (ksi"ma demikian tidak berlaku terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan de'inisi matematika untuk titik, garis lurus, kur7a, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan l"gis. Namun !e"merti Eu#lid ini memiliki kelemahan, salah satu kelemahanya ada pada p"stulat kelima dari Eu#lid 3 yang terkenal dengan P"stulat. Eu#lid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi buku teks matematika tertua yang selalu digunakan dunia.!e"metri adalah struktur matematika yang membi#arakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar ge"metri. 0erdasarkan unsur-unsur inilah, dide'inisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru sebelumnya./alam ge"metri didapat juga si'at-si'at p"k"k, yaitu si'at-si'at pertama yang tidak berdasarkan si'at-si'at yang mendahuluinya yaitu aksi"ma dan p"sulat. (ksi"ma (ksi"ma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian.berdasarkan si'at p"k"k tersebut dapat diturunkan si'at-si'at yang disebut dengan dalil. /alil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya. /alil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian.
B. PEMBAHASAN 1. De!n!"! Ge#$etr! N#n E%&l!'
N"n-Eu#lidean ge"metri adalah salah satu dari dua ge"metri tertentu yang, l"nggar berbi#ara, diper"leh dengan meniadakan Eu#lidean paralel p"stulat , yaitu hiperb"lik dan ge"metri eliptik . +ni adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa +nggris umum. (da banyak sekali ge"metri yang tidak ge"metri Eu#lidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai n"n-Eu#lidean ge"metri. ParallelatauP"stulatKesejajaranyangterlalupanjang
sehinggamerisaukanpara
matematika%an. P"stulat sejajar Eu#lid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah k"ntr"7ersi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut = )ika dua garis dibagi "leh garis trans7ersal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interi"rnya 9sudut dalam> pada sisi trans7ersal adalah kurang dari 2;8 ° , garis tersebut akan bertemu pada sisi trans7ersal tersebut Sehingga beberapa
matematika%anmenganggapbah%a
p"stulat
kelimaEu#lidbukanp"stulatdandapatdibuktikandengankeempatp"stulatyang lain.sahauntukmembuktikanp"stulat
kelima
iniberlangsung
hidupsampaikira-kiratahun2;38.T"k"hyang
sejakEu#lidmasih
berusahamembuktikaniniantaralain
Pr"#lusdari(leksandria9528-5;6>!ir"lam"Sa##heridari+talia92, Karl1riedri#h !auss dari
)erman92???-2;66>,@"l'gang
91arkas>0"lyai
dari
*"ngaria
92??6-
2;6,dananaknyaYan"s0"lyai92;83- 2;8 danjugaNi#"lai +7an"7iteh"ba#he7sky92?:4A 2;6 9M"eharti, 2:;. Menurut
M"eharti
92:;,
p"stulatkesejajaran
kelima
Eu#lid
adalahsebagaiberikut=( J!ka "%at%gar!" l%r%"$e$#t#ng '%agar!"l%r%" 'an$e$)%at "%'%t*"%'%t
'ala$
"e+!,ak
k%rang'ar!'%a"%'%t
"!k%*
"!k%-ke'%agar!"!t%!ka'!+er+anangtakter)ata"akan)erte$%'!+!,akte$+atke'%a"%'%t'ala$ "e+!,akk%rang'ar!"%'%t "!k%*"!k% ”
Ga$)ar1.Il%"tra"! P#"t%lat ke L!$a
Padagambar2garis#mem"t"nggarisadangarisbyangmengakibatkan sudut2dansudut3kurang
dari2;8B,garisadangarisbakanbep"t"nganpadapihak
sudutyangkurangdari 2;8B,yangpadagambaradalah perpanjanganyang kekanan. P"stulatkelima inimasihsukar diterima dandipahamimaka beberapa matematika%an berusahauntukmembuktikan
danmenggantikannyadengan
p"stulat
yang
ekui7alen.Salahsatup"stulatyang paling terkenaldansederhanaadalah (ksi"ma Play'air"leh )"hnPlay'air 9Pren"%itC, 2: yang bunyinya=(Han/aa'a"at%gar!""eaar 0 parallel +a'a gar!" /ang $elal%! t!t!k )%kan+a'a gar!" ter"e)%t2
Matematika%anlain,yaituPr"#lusyangmenulisk"mentardariTheElementsyang menyebutkanusahapembuktianuntukmenyimpulkandarip"stulatkelima. Pr"#lus kemudian memberikan
bukti
s endiri,
dan
memberikan
p "stulat
yang
ekui7alendenganp"stulatkesejajaran)ikasuatugarislurusmem"t"ngsalahsatu dari duagaris parallel
iajugaakan
mem"t"ngyang
paralleldengansuatugarislurusyang )"hn@allis
lain,
dangaris-garis
sama,adalahparallelsatusamalain$.
menggantikanp"stulatkesejajaranEu#liddenganp"stulat
lurusyang Sedangkan @allis.)"hn
@allismenyerahmen#"bamembuktikandalilparaleldalam!e"metri Netral.Sebaliknya,iamengusulkan
sebuahp"stulatbaru,yang
iamerasalebihmasuk
akal
daripadap"stulat kelima Eu#lid 9Pren"%itC, 2:. !e"metriN"nEu#lidtimbulkarenapara membuktikanp"stulatkelima
matematika%anberusaha
dariEu#lides.
Sehingga!e"metriN"n
berdasarkanempatp"stulatpertamadariEu#lidesdanhanya
Eu#lidmasih
berbeda
kelimanya.(daduama#am!e"metriN"nEu#lidyang
untuk
pada5p"stulat
pertamaadalahditemukan
hampirbersamaan"leh4t"k"hberlainandanmasing-masing
bekerjasendiri-sendiri.
t"k"htersebutadalahKarl1riedri#h!auss
)erman,Y"n"s
dari
*"ngaria,danNi#"lai+7an"7it#h"ba#he7sky !e"metri*iperb"likatau!e"metri"ba#he7sky.!e"metriN"n
T"k"h-
0"lyaidari
dariRusia,!e"metriinidisebut Eu#lidyangkedua
adalah!e"metri yang diketemukan"leh !.1.0. 0ernhardRiemann dari )erman, !e"metri ini disebut !e"metriEliptik atau !e"metri Riemann 9M"eharti, 2:;
.3. Perke$)angan Ge#$etr! N#n E%&l!' Mate$at!ka4an Ara)
0angsa (rab mengembangkan keilmuan !e"metri yang bersumber dari +ndia dan Yunani di bidang matematika. Mereka dikenal sangat luar biasa dalam mengungkap permasalahan matematika terutama yang berkaitan dengan Trig"n"metri dan juga beberapa masalah yang tak terpe#ahkan dalam hal te"ri kesejajaran. Salah satunya, yang #ukup p"puler adalah Omar Khayyam 9Nishapur A sekarang +ran, 285; A 2242>. &mar Khayyam men#"ba untuk membuktikan p"stulat kesejajaran Eu#lid dengan hanya meman'aatkan p"stulat yang pertama dari empat p"stulat lainnya yang dikemukakan "leh Eu#lid. /i mana, dengan menggunakan p"stulat-p"stulat tersebut ia memberikan kejelasan mengenai te"rema kesejajaran Eu#lid berdasarkan pada birectangular quadrilateral . Satu t"k"h matematika%an (rab lainnya yang juga berk"ntribusi terhadap perkembangan keilmuan bidang !e"metry adalah Nasîr Eddîn 92382-23?5>. Salah satu hip"tesisnya yang berkenaan dengan P"stulat Ke-6 Eu#lid adalah Dif two straight lines r and s are the one perpendicular and the other oblique to the segment AB, the perpendiculars drawn from s upon r are less than AB on the side on which s maes an acute angle with AB, and greater on the side on which s maes an obtuse angle with AB!"
*ip"tesisnya ini, menuntunnya untuk
menyimpulkan bah%a jumlah sudut dari suatu segitiga adalah sama dengan dua kali sudut siku. /an segitiga siku-siku merupakan setengah bagian dari suatu segiempat yang Ddip"t"ng mengikuti diag"nalnya. Mate$at!ka4an Er#+a
0eberapa matematika%an Er"pa kemudian juga men#"ba membuktikan kebenaran P"stulat Ke-6 Eu#lid, yang beberapa diantaranya adalah= 2. #ohn $allis 92 )ostulat )layfair . ntuk suatu garis l , terdapat suatu garis
l
dan setiap titik P yang tidak terletak pada garis
m yang mele%ati
P
dan sejajar dengan
l . /engan
p"stulatnya, Play'air men#"ba untuk mengk"nstruksi p"stulat kesejajaran yang dikemukakan "leh Eu#lid agar lebih mudah dipahami. 5. Adrien *arie +egendre 92?63-2;44> +a tidak sepenuhnya mengakui kebenaran hip"tesis (accheri, terutama yang berkenaan dengan sudut tumpul 9obtuse angle>. +a membuktikan bah%a D umlah sudut dari suatu segitiga adalah urang dari atau sama dengan dua ali sudut siu! . Pada te"rema ke-3nya, +egendre mengungkapkan bah%a D ia umlah sudut pada suatu segitiga urang dari atau sama dengan dua ali sudut siu dalam suatu segitiga maa ianya uga aan berlau sama pada segitiga segitiga lainnya!
Play'air dan egendre mengemukakan suatu pernyataan yang eGui7alen dengan P"stulat Ke-6 Eu#lid, yaitu = .#umlah sudut-sudut pada suatu segitiga adalah sama den gan dua ali sudut siu! 9(drien Marie egendre, 2?63-2;44> Asioma Keseaaran / .melalui suatu titi yang tida berada pada suatu garis yang diberian, hanya aan terdapat satu garis seaar! 9)"nh Play'air, 2?5;-2;2:> Para matematika%an Er"pa tersebut menggunakan pernyataan yang eGui7alen dengan p"stulat ke-6 Eu#lid dalam pembuktian te"ri-te"ri ge"metri mereka, %alaupun kemudian diketahui bah%asannya ternyata pembuktian mereka adalah mengandung suatu k"ntradiksi tertentu.
Selain Play'air dan egendre, kami belum menemukan re'erensi yang se#ara spesi'ik mengungkap karya dari )"hn @allis serta . S. la7i" yang se#ara spesi'ik terkait dengan perkembangan keilmuan ge"metri
Ske$a Perke$)angan Ge#$etr! N#n E%&l!'
Lambert
Saccheri
(1667-1773)
Schweibart (1728-1777)
Taurinus (1780-1859)
Gauss
W Bolyai
J Bolyai
(1794-1874)
(1777-1855)
M Barlels (1775-1856)
Riemann (1769-1836)
(1826-1866)
Lobatchevsky (1793-1856) (1802-1860)
Geometri Hiperbolic
Beltrami
Geometri Elliptic
(1835-1900)Riemann
Klein
(1826-1866)
(1849-1925)
Da"ar Ge#$etr! N#n E%&l!'
!ir"lam" Sa##heri 9San Rem", 2
View more...
Comments
