GEOMETRI ELIPTIK

GEOMETRI ELIPTIK

Pengenalan Geometri Eliptik



Geometri Eliptik terkenal dengan Geometri Rieman.



Postulat kesejajaran dari Rieman : Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain.



Jadi, dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar.

Letak Perbedaan Geometri Euclid dan Geometri Rieman

Teorema 9.13 Dua garis tegaklurus pada satu garis yang sama adalah sejajar 

Diketahui : garis l dan m tegaklurus pada n



Akan dibuktikan : l dan m sejajar



Bukti :

No

Pernyataan

Alasan

1.

Andaikan l dan m tidak sejajar

Premis tambahan

2.

l dan m berpotongan di titik C

1

3.

 diperpanjang dengan AC’ = CA

Suatu segmen boleh diperpanjang dua kali

4.

Dilukis garis   

Dari dua titik, dapat dibuat satu garis

5.

Δ ≅ Δ′

Sisi-sudut-sisi

6.

m∠ = m∠ = 90°

5, sudut yang bersesuaian

7.

 dan ′ berimpit, sehingga C = C’

Melalui satu titik, hanya ada tepat satu garis yang tegak lurus

Kesimpulan dan Perbandingan dengan Geometri Rieman 

Karena kontradiksi dengan yang diketahui bahwa l dan m dua garis yang berlainan, maka pengandaian salah. Sehingga terbukti bahwa l dan m adalah dua garis sejajar



Kesalahan pembuktian jika postulat Rieman digunakan :

1.

Jika prinsip pemisahan digunakan, dimana setiap garis membagi bidang menjadi dua setengah bidang, maka C dan C’ adalah dua titik yang berlainan dan pernyataan 7 dapat dibantah

2.

Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, C dan C’ bisa jadi dua titik yang berimpit dan pembuktian di atas kurang benar



Karena ada kemungkinan dua garis berpotongan di dua titik, maka muncul teori baru Geometri Eliptic

Single Eliptic Sebarang garis yang berpotongan tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. 2 titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik

A = A’ A’

O

A

Double Eliptic 2 garis berpotongan pada 2 titik; setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang

A ≠ A’ Diameter AA’

B ≠ B’

Garis busur AA’ A’

O B

A

B’

Penyajian Geometri Double Eliptic Geometri Elliptik Ganda

Representasi Eulides



Titik

Titik pada bola



Garis

Lingkaran besar bola



Bidang

Bola



Segmen

Busur dari suatu lingkaran besar



Jarak antara 2 tiitk

Panjang busur terpendek dari lingkaran besar yang melalui kedua titik itu



Sudut antara 2 garis besar

Sudut pada bola antara 2 lingkaran

Sifat Kutub



Menurut geometri eliptik , pada setiap garis l, ada titik polar P sedemikian sehingga semua garis yang melui P akan tegak lurus dengan l



Seperti semua lingkaran besar pada bola dunia yang melalui kutub utaranya yang tegak lurus dengan ekkuatornya

TEOREMA PADA GEOMETRI ELIPTIK

Teorema 9.14 “Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik”  

Bukti : No

Pernyataan

Alasan

1.

a dan b adalah dua garis yang tegak lurus pada suatu garis m.

Premis

2.

a berpotongan dengan m di dua titik yaitu A dan A’ b berpotongan dengan m di dua titik yaitu B dan B’

Sifat dari double Eliptik

3.

Segmen yang melalui titik A, A’, B, dan B’ terhubung dengan titik U dan S

Sifat Kutub

4.

Garis a dan b bertemu titik yang sama yaitu U dan S

3

Teorema 9.15 “Semua garis tegaklurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu  garis tegaklurus pada garis itu”. 

Pembuktian 1 Dibuktikan dengan teorema 9.14



Pembuktian 2 No.

Pernyataan

Alasan

1.

Misal U dan S kutub dari m

Setiap garis memiliki kutub

2.

Setiap ruas garis yang menghubungkan U dengan titik pada m dan setiap ruas garis yang menghubungkan S dengan titik pada m, akan selalu tegaklurus m

Sifat Kutub

Teorema 9.18 Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360 0 

Diketahui : Segiempat ABCD



Bukti : Pandang segiempat ABCD , terdapat ∆ dan ∆

No

Pernyataan

Alasan

1.

∠  + ∠ + ∠  > 180°

Teorema 9.17

2.

∠2  + ∠ + ∠2  > 180°

Teorema 9.17

3.

∠  + ∠ + ∠  + ∠2  + ∠ + ∠2  > 360°

4.

∠  + ∠2  + ∠ + ∠  + ∠2  + ∠ > 360° ∠ + ∠ + ∠ + ∠ > 360°

Penjumlahan Sudut 3

Teorema 9.19 “ Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul ”   

Bukti:

No. Pernyataan

Alasan

1.

Segiempat ABCD adalah segiempat Saccheri dimana AB = CD dan besar sudut A dan B adalah 90°

Definisi segiempat Saccheri

2.

E dan F titik tengah CD dan AB

Setiap segmen memiliki titik tengah

3.

EF tegak lurus AB dan CD

Teorema segiempat Saccheri dimana garis yang menghubungkan titik tengah segiempat Saccheri akan tegak lurus

4.

 dan  berpotongan di titik 2 , sehingga

EP2 adalah jarak polar

Definisi kutub dan jarak polar

CP2 < EP2 sehingga m∠2  < 90°

Teorema 9.16

5.

Teorema 9.20 “Dalam segiempat Lambert ABCD dengan m ∠ = m ∠ = ∠ = 90°, maka sudut keempat D tumpul” 

K1 dan K2 adalah kutub dari garis q . Jadi garis k dan m yang melalui K1 dan K2 tegak lurus dengan garis q  di titik A dan B



P1 dan P2 adalah kutub dari garis m. Jadi garis p dan q yang melalui P1 dan P2 tegak lurus dengan garis m di titik C dan B.



Bukti :

No

Pernyataan

Alasan

1.

Ruas garis K1C < K1B

Jarak Polar q

2.

∠K1DC < 90°

Teorema 9.16 Sudut

Teorema 9.21 Tidak ada persegi dalam Geometri Eliptik  No

Pernyataan

Alasan

1.

Andaikan ada bujursangkar dalam geometri eliptik. Berarti ada segiempat ABCD dengan semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya siku-siku

Premis tambahan

2.

Jadi jumlah besar sudut segiempat ABCD

1, Penjumlahan Sudut

∠A+∠B+∠C+∠D = 360°

3.

Tidak ada bujursangkar dalam geometri Eliptik

Pernyataan 2 kontradiksi dengan teorema 9.18