Geometri Ders Notlari
February 23, 2017 | Author: Yavuz Keleş | Category: N/A
Short Description
Download Geometri Ders Notlari...
Description
www.matematikce.com
'dan indirilmiştir.
˙ 154 IM GEOMETRI˙ DERS NOTLARI Do¸c.Dr.Recep ASLANER ˙ ON ¨ U ¨ UN ¨ IVERS ˙ ˙ IN ITES I˙ ˘ IT ˙ IM ˙ FAKULTES ¨ EG I˙ MALATYA 2009
˙ cindekiler I¸ Geometri Nedir?
vii
˙ KAVRAMLAR B¨ol¨ um 1. GEOMETRIK ˘ ˘ 1. NOKTA, DOGRU, DOGRU PARC ¸ ASI VE IS¸IN ¨ ˙ IL ˙ I˙ AKSIYOMLAR ˙ 2. DUZLEM ve ILG
1 2 6
B¨ol¨ um 2. AC ¸ ILAR 11 ˙ IL ˙ I˙ GENEL KAVRAMLAR 1. AC ¸ ILARLA ILG 11 ˙ I˙ DOGRUNUN ˘ ˙ KESENLE YAPTIGI ˘ AC 2. PARALEL IK BIR ¸ ILAR 15 ˙ 3. KENARLARI PARALEL OLAN AC ¸I C ¸ IFTLER I˙ 17 ˙ IR ˙ INE ˙ ˙ OLAN AC ˙ 4. KENARLARI BIRB DIK ¸I C ¸ IFTLER I˙ ¨ ¸ GENLER B¨ol¨ um 3. UC ¨ ¸ GENLE ILG ˙ IL ˙ I˙ TEMEL KAVRANLAR 1. UC ¨ cgenle Ilgili ˙ 1.1. U¸ Tanımlar
19 23 23 23
¨ cgen C 1.2. Kenarlarına G¨ore U¸ ¸ e¸sitleri ¨ cgen C 1.3. A¸cılarına G¨ore U¸ ¸ e¸sitleri
24
¨ cgende Yardımcı Elemanlar 1.4. U¸ ¨ ¸ GENDE AC 2. UC ¸ ILAR
25
¨ cgende Kenarlar ile A¸cılar Arasındaki Ba˘gıntılar 2.1. U¸ ¨ ¸ GENLERDE ES¸LIK ˙ KAVRAMI 3. UC
28
¨ cgenlerde E¸slik Aksiyomları 3.1. U¸ ¨ ¸ GENLERDE BENZERLIK ˙ KAVRAMI 4. UC
30
¨ ¸ GENLERDE AC 5. UC ¸ IORTAY TEOREMLERI˙
39
¨ ¸ GENLERDE BENZERLIK ˙ TEOREMLERI˙ 6. UC
41
iii
24
27 30
36
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˘ 7. DOGRU PARC ¸ ALARININ UZUNLUKLARI ARASINDAKI˙ ORAN VE ORANTI 44 ˙ UC ¨ ¸ GENLERDE METRIK ˙ BAGINTILAR ˘ 8. DIK ¨ B¨ol¨ um 4. DORTGENLER ¨ ˙ ¨ ˙ 1. DORTGEN C ¸ ES¸ITLER I˙ VE OZEL IKLER I˙
49 55 57
1.1. Yamuk ˙ 1.2. Ikizkenar Yamuk
57
1.3. Dik Yamuk
61
1.4. Paralelkenar
62
1.5. E¸skenar D¨ortgen
62
1.6. Dikd¨ortgen
63
1.7. Kare
63
1.8. Deltoid
65
2. C ¸ OKGENLER ˙ cb¨ 2.1. Dı¸sb¨ ukey ve I¸ ukey C ¸ okgenler
66
2.2. D¨ uzg¨ un C ¸ okgenler
67
60
66
B¨ol¨ um 5. C ¸ EMBERLER 71 ˙ IL ˙ I˙ KAVRAMLAR 1. C ¸ EMBERLE ILG 71 ˙ DUZLEMDE ¨ ˘ BOLGELER ¨ 2. C ¸ EMBERIN AYIRDIGI 72 ˙ DOGRU ˘ ˙ ˙ C ˙ BIRB ˙ IR ˙ INE ˙ ¨ 3. BIR ILE BIR ¸ EMBERIN GORE KONUMLARI 73 ˙ I˙ C ˙ BIRB ˙ IR ˙ INE ˙ ¨ 4. IK ¸ EMBERIN GORE KONUMLARI 75 4.1. Kesi¸smeme Durumu
75
4.2. Te˘get Olma Durumu
76
4.3. Kesi¸sme Durumu
76
5. C ¸ EMBERDE YAYLAR VE AC ¸ ILAR
77
5.1. Merkez A¸cı
77
5.2. C ¸ evre A¸cı
79
5.3. Te˘get-Kiri¸s A¸cı
80
˙ c A¸cı 5.4. I¸
81 iv
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner 5.5. Dı¸s A¸cı
81
˘ ˘ HESABI 82 6. C ¸ EMBERDE YAY ve TEGET PARC ¸ ALARI UZUNLUGU 6.1. C ¸ emberde yay par¸cası uzunlu˘gu
82
6.2. C ¸ emberde te˘get par¸cası uzunlu˘gu: ˙ c¸emberin ortak te˘getleri 6.3. Iki
83
7. KUVVET, KUVVET EKSENI˙ ve KUVVET MERKEZI˙
87
7.1. Bir Noktanın Bir C ¸ embere G¨ore Kuvveti ˙ C 7.2. Iki ¸ emberin Kuvvet Ekseni
87
7.3. Kuvvet Merkezi:
92
8. C ¸ OKGENLER ve C ¸ EMBERLER ¨ cgen ve C 8.1. U¸ ¸ ember
94
8.2. D¨ortgenler ve C ¸ emberler ˙ YER KAVRAMI ve BELIRLENMES ˙ 9. GEOMETRIK I˙
96
B¨ol¨ um 6. ALAN HESABI ¨ ˙ ALANI 1. C ¸ OKGENSEL BOLGELER IN
84
89
94
98 103 104
1.1. Karenin Alanı
104
1.2. Dikd¨ortgenin Alanı ¨ cgenin Alanı 1.3. Dik U¸
105
¨ cgenin Alanı 1.4. U¸
106
1.5. Paralel Kenarın Alanı
107
1.6. Yamu˘gun Alanı
108
1.7. Deltoidin Alanı
109
1.8. D¨ uzg¨ un C ¸ okgenlerin Alanı ˙ ¨ ˙ ALANI 2. DAIRESEL BOLGELER IN
109
2.1. Dairenin Alanı
112
2.2. Daire Diliminin Alanı
112
2.3. Daire Par¸casının Alanı
113
2.4. Halkanın Alanı
114
105
v
112
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ IMLER ˙ ˙ ALAN ve HACIM ˙ HESAPLARI B¨ol¨ um 7. KATI CIS IN ˙ 1. PRIZMALAR
117 117
˙ ˙ 2. PIRAM ITLER ˙ IND ˙ ˙ 3. SIL IR
123
4. KONI˙
134
4.1. Koni C ¸ e¸sitleri ¨ 5. KURE
134
5.1. K¨ urenin Belirlenmesi
139
5.2. K¨ urenin Alan ve Hacminin Hesaplanması
140
5.3. K¨ ureden Elde Edilen Kavramlar
147
131
139
Index
159
vi
www.matematikce.com
Geometri Nedir? Geometri Yunanca geo (yer) ve metri (¨ol¸cu ¨ ) anlamına gelen, d¨ uzg¨ un ¸sekillerin, cisimlerin ¨ozeliklerini ve aralarındaki ili¸skileri inceleyen bilim dalıdır.
Kullanılan aksiyomlara g¨ore isimler alan de˘gi¸sik geometriler ¨ vardır. Biz bu derste paralellik ba˘gıntısı u ¨ zerine kurulan ve Oklid Geometrisi olarak bilinen konuları ele alaca˘gız. Geometri, d¨ u¸su ¨ nmeyi kolayla¸stıran ve problemi ¸sekille g¨oz¨ unde canlandırarak c¸¨oz¨ ume ula¸smayı sa˘glayan bir bilim dalıdır. G¨ unl¨ uk hayatta insanların c¸¨ozmek zorunda kaldı˘gı basit problemlerin pek¸co˘gunun c¸¨oz¨ um¨ u temel geometrik beceriler gerektirir. Geometri aynı zamanda bireyin ya¸sadı˘gı d¨ unyayı algılamasında ve di˘ger matematik konularına bakı¸s a¸cısında bir k¨opr¨ u rol¨ u oynar. C ¸u ¨ nk¨ u matematik ¨o˘gretiminde soyut olan bazı kavramların somutla¸stırılarak sunulması gereklili˘gi, yarı-somut olarak adlandırabilece˘gimiz geometrik yapıların bu s¨ ure¸cte ne derece ¨onemli oldu˘gunu g¨ostermektedir. ˙ o˘gretim B¨ol¨ ¨ gretmenli˘gi Bu kitap, E˘gitim Fak¨ ulteleri Ilk¨ um¨ u Matematik O˘ ¨o˘grencilerine, yani matematik ¨o˘gretmeni olmaya meyletmi¸s ¨o˘gretmen adaylarına, ilk ve orta ¨o˘gretimde ¨o˘grendikleri geometri konularını bir ba¸skasına ¨o˘gretebilecek ¸sekilde ele alarak, bilinen bazı teorem ve ¨onermelerin neden ve ni¸cinleri u ¨ zerinde durularak, kavramların anlamları ile birlikte ¨o˘grenilmesini sa˘glamaktır. Bunun ger¸cekle¸stirilebilmesi i¸cin kavramların ¨o˘gretilmesinde a¸sa˘gıdaki adımlar takip edilecektir. ¨ 1) Onermenin s¨ozel ifadesinin verilmesi, 2) S¨ozel olarak ifade edilen ¨onermelere ait geometrik ¸seklin c¸izilmesi, vii
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ 3) Onermenin c¸izilen ¸sekle g¨ore matematiksel ifadesinin yazılması, 4) Bu matematiksel ifadenin yine matematiksel olarak ispatlanması ve ˙ 5) Ispatlanan bu ¨onermenin ilgili b¨ ut¨ un kavramlar i¸cin ge¸cerli oldu˘gunun g¨or¨ ulmesi. Hz.Mevlana ’Ne kadar bilirsen bil, s¨ oylediklerinin de˘geri kar¸sındakinin anlayabildi˘gi kadardır’ derken ¨ozellikle biz ¨o˘gretmenler i¸cin bilmenin gerek ¸sart oldu˘gu ancak yeterli olma˘gını, bilginin kar¸sımızdakine aktarılmasının da ¨onemini vurgulamı¸stır. G¨osterilen t¨ um ¨ozene ra˘gmen kitapta yazım hataları ve matematiksel hatalar bulunabilir. Bu konuda hert¨ url¨ u ele¸stiri ve ¨onerisi olan herkese ¨ grencilerime faydalı olması dileklerimle ... saygı ile kar¸sılarım. O˘
Do¸c.Dr.Recep ASLANER Malatya, 2009
viii
www.matematikce.com
¨ UM ¨ BOL 1
˙ KAVRAMLAR GEOMETRIK ˙ Tanımsız Kavramlar, Teorem, Ispat ve Aksiyom. Bir konuyla ilgili ¨ozel ve belirli bir anlamı olan s¨ozc¨ uklere terim denir. Bir ¸seyin nitelikleri hakkındaki genel ifadelere ise kavram denir. Anlamı g¨orsel veya sezgisel olarak bilinen, tanımlamaya gerek duyulmayan kavramlara tanımsız kavram denir. Mesela nokta, do˘gru, k¨ ume vb gibi kavramlar birer tanısız kavramdır. Bu kavramların anlamları tanımlanmı¸s terimler yardımıyla a¸cıklanabilir. Mesela, sivri u¸clu bir kalemin ka˘gıt u ¨zerinde veya tebe¸sirin tahtada bıraktı˘gı iz nokta hakkında bir fikir verir fakat bu a¸cıklama matematiksel bir tanım de˘gildir. Do˘gru yada yanlı¸s ¨ bir h¨ uk¨ um bildiren ifadelere ¨onerme denir. Onermeler p, q, r gibi k¨ uc¸u ¨k harflerle g¨osterilir. Do˘grulu˘gu hemen anla¸sılamayan, ispat gerektiren ¨onermelere teorem denir.
p ve q birer ¨onerme olmak u ¨ zere p ⇒ q
bi¸ciminde ifade edilen ¸sartlı ¨onermeler birer teoremdir. Bu ¸sartlı ¨onerme ’p ise q’ veya ’p gerektirir q’ diye okunur. Bazen bir teorem p ⇔ q bi¸ciminde de ifade edilir. B¨oyle teoremlere ¸cift taraflı teoremler denir. p ⇒ q bile¸sik ¨onermesinde p ¨onermesine hipotez, q ¨onermesine h¨ uk¨ um adı vrilir. Bir teoremin hipotezi do˘gru iken h¨ ukm¨ un¨ un de do˘gru oldu˘gunun ˙ g¨osterilmesine, o teoremin ispatı denir. Ispatına gerek duyulmadan do˘grulu˘gu anla¸sılan ¨onermelere aksiyom denir. ¨ Her geometrinin temel aksiyomları vardır. Oklid, c¸alı¸smaların tutarlı bir b¨ ut¨ un olmasını sa˘glamak i¸cin, apa¸cık ger¸cekler olarak d¨ u¸su ¨ n¨ ulen be¸s aksiyom ortaya koyar ve di˘ger b¨ ut¨ un ¨onermeleri (teoremleri) bu aksiyomlardan c¸ıkarır. Bunlar; 1
R.Aslaner
www.matematikce.com
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
˙ noktadan bir ve yalnız bir do˘gru ge¸cer. 1) Iki 2) Bir do˘gru par¸cası iki y¨one sınırsız bir ¸sekilde uzatılabilir. 3) Merkezi ve u ¨ zerinde bir noktası verilen c¸ember c¸izilebilir. 4) B¨ ut¨ un dik a¸cılar e¸sittir. 5) Bir do˘gruya dı¸sındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel c¸izilebilir. ˘ ˘ 1. NOKTA, DOGRU, DOGRU PARC ¸ ASI VE IS ¸ IN Nokta, tanımsız bir kavramdır. Noktalar alfabenin b¨ uy¨ uk harfleri ile adlandırılır (•A), A noktası gibi. Bir kalemin sivri ucu ka˘gıt u ¨ zerinde gezdirildi˘ginde meydana gelen geometrik ¸sekil bir noktalar k¨ umesi olup bu ¸sekle c¸izgi denir.
e˘gri c¸izgi kırık c¸izgi d¨ uz c¸izgi S ¸ ekil 1. C ¸ izgi Geometride c¸izgiler kalınlı˘gı olmayan yalnız uzunluk olarak ele alınan tek boyutlu kavramlardır. Ba¸slangı¸c ve biti¸s noktaları belli olmayan (sonsuzda kabul edilen) d¨ uz c¸izgilere do˘gru denir. Do˘grular d, k, l, m, ... gibi d
S ¸ ekil 2. Do˘gru k¨ uc¸u ¨ k harflerle g¨osterilir. Farklı iki noktası A ve B olan do˘gru AB do˘grusu diye ifade edilir. Bir do˘grunun en az iki farklı noktası vardır. Bir do˘gru u ¨ zerinde iki den daha fazla nokta alınırsa bu noktalara do˘gruda¸s (do˘grusal) noktalar denir. S¸ekle g¨ore 2
R.Aslaner
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
www.matematikce.com
d A
B
˙ noktası belli olan do˘gru S ¸ ekil 3. Iki d A
B
C D
S ¸ ekil 4. Do˘gruda¸s noktalar * d = AB ∨ AC do˘grusu, * A, B, C ∈ d oldu˘gundan A, B, C noktaları do˘gruda¸stır, * B noktası A ile C arasındadır, *D∈ / d oldu˘gundan A, B, D noktaları do˘gruda¸s de˘gildir. Aksiyom 1.1. Farklı iki nokta bir tek do˘gru belirtir. Tanım 1.1. Bir do˘grunun A ve B gibi farklı iki noktası ve bu noktalar arasındaki noktaların k¨ umesine do˘gru par¸cası denir ve [AB] ile g¨osterilir. A
B
d [AB]
S ¸ ekil 5. Do˘gru par¸cası A ve B noktalarına [AB] do˘gru par¸casının u¸c noktaları, u¸c noktaları dı¸sındaki noktalara da i¸c noktaları denir.
o ◦ S ¸ ekil 6. ˙ c noktaların k¨ I¸ umesi (AB) ile g¨osterilir. 3
(AB)
R.Aslaner
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
www.matematikce.com
Tanım 1.2. Bir do˘gru u ¨zerindeki bir A noktası ile bu noktanın aynı tarafında bulunan noktaların k¨ umesine, ba¸slangı¸c noktası A olan bir ı¸sın denir ve [AX ile g¨osterilir.
A
X
A
X
d [AX
S ¸ ekil 7. I¸sın Aynı do˘grultuda fakat zıt y¨ondeki ı¸sınlara zıt ı¸sınlar denir. C
A
B
[AB ve [AC ı¸sınları zıt ı¸sınlardır. Tanım 1.3. Bir [AB] do˘gru par¸casının uzunlu˘guna, A ve B noktaları arasındaki uzaklık denir ve |AB| ile g¨osterilir. Uzunlukları e¸sit olan do˘gru par¸calarına e¸s tir denir ve bu durum (∼ =) sembol¨ u ile g¨osterilir. [AB] ve [CD] iki do˘gru par¸cası olmak u ¨ zre; |AB| = |CD| ⇔ [AB] ∼ = [CD] Aksiyom 1.2. Her do˘gru par¸cası kendisine e¸stir. ’Uzayda farklı iki noktadan bir do˘gru ge¸cer’ aksiyomuna g¨ore O ve A farklı iki nokta olmak u ¨ zere bu iki noktadan ge¸cen do˘gruyu d ile g¨osterelim O A P′ x − ←0 → + 1
P x
S ¸ ekil 8. Sayı do˘grusu 4
d R
R.Aslaner
www.matematikce.com
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
O ∈ d noktasına kar¸sılık 0 ∈ R sayısını, A ∈ d noktasına kar¸sılık 1 ∈ R sayısını alalım ve |OA| = 1 birim diyelim. 0 dan itibaren 1 in bulundu˘gu tarafa pozitif (+) y¨on, di˘ger tarafa negatif (-) y¨on olarak alırsak ∀x ∈ R sayısı, d do˘grusu u ¨ zerinde O noktasına uzaklı˘gı x kadar olan bir P noktasına kar¸sılık gelir, burada x > 0 olması, P noktasının d nin (+) y¨onl¨ u par¸casında, x < 0 olması ise P noktası d nin (-) y¨onl¨ u par¸casında olması anlamındadır. B¨oylece elde edilen ′
∀P ∈ d oktası ni¸cin |OP | = x olacak ¸sekilde bir tek x ∈ R sayısı vardır′
˙ ¨onermesine Geometrinin Temel Ilkesi, d do˘grusuna da sayı do˘grusu denir.
E˘ger bir sayı do˘grusu u ¨ zerindeki A noktasına kar¸sılık gelen reel sayı a ise a sayısına A noktasının koordinatı denir ve bu durum A(a) ile g¨osterilir. Tanım 1.4. Bir d do˘grusunun u ¨¸c noktası A, B ve C i¸cin |AB| + |BC| = |AC| ise B noktası A ile C arasındadır denir ve bu durum (ABC) ∈ d ile g¨osterilir. Aksiyom 1.3. Farklı ve do˘gruda¸s u ¨¸c noktadan yalnız biri, di˘ger ikisinin arasındadır. E˘ger (ABC) ∈ d ve |AB| = |BC| ise B noktasına [AC] do˘gru a+c par¸casının orta noktası denir, orta noktanın koordinatı b = dir. 2
5
R.Aslaner
www.matematikce.com
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
¨ ˙ ˙ I˙ AKSIYOMLAR ˙ 2. DUZLEM ve ILG IL Nasıl ki bir do˘gru noktalardan olu¸suyorsa bir d¨ uzlem de u ¨zerinde bulunan nokta ve do˘grulardan olu¸sur. Bir do˘gruyu tanımak i¸cin en az iki noktaya ihtiya¸c oldu˘gu gibi bir d¨ uzlemi tanımak i¸cin de en az bir do˘gru ve bu do˘gru u ¨ zerinde olmayan bir noktaya ihtiya¸c vardır. Di˘ger bir ifade ile bir d¨ uzlemi tanımak i¸cin do˘gruda¸s olmayan en az u ¨ c¸ noktaya ihtiya¸c vardır. D¨ uzlemde, en ve boy olmak u ¨ zere iki boyut vardır. D¨ uzlem geometrik olarak bir paralel kenarla g¨osterilir ve sol alt k¨o¸sesine yazılan D, E, veya P gibi b¨ uy¨ uk harflerle ifade edilir. C A
B
D Tanım 2.1. Bir noktalar k¨ umesinin t¨ um noktaları, bir do˘gruya ait ise bu noktalara do˘grusal, bir d¨ uzleme ait ise bu noktalara d¨ uzlemsel noktalar denir. ¨ Ornek 2.1. A¸sa˘gıdaki ¸sekilde C A
B D
E A,B,D noktaları do˘gruda¸s, A,C,D noktaları d¨ uzlemseldir. B¨oylece do˘gru ve d¨ uzlemle ilgili a¸sa˘gıdaki aksiyomları ifade edebiliriz: Aksiyom 2.1. Her hangi u ¨¸c noktadan en az bir d¨ uzlem ge¸cer. Aksiyom 2.2. Do˘grusal olmayan u ¨¸c noktadan bir ve yalnız bir d¨ uzlem ge¸cer. 6
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Aksiyom 2.3. Farklı iki nokta bir d¨ uzlemin elemanı ise bu iki noktadan ge¸cen do˘gru, o d¨ uzlemin i¸cindedir. Aksiyom 2.4. D¨ uzlemin do˘grusal olmayan en az u ¨¸c noktası vardır. Teorem 2.1. Bir d¨ uzlemde yatan farklı iki do˘grunun en fazla bir ortak noktası vardır. ˙ Ispat: d1 ve d2 bir D d¨ uzleminde yatan farklı iki do˘gru ve T d1 d2 = {A, B} olsun. Bu durumda Aksiyon 1.1 gere˘gince AB = d = d1 = d2 olmalıdır.
Halbuki d1 6= d2 ⇒ A = B dir, yani d1
T
d2 = {A}.
d1 d
d2 A
B
D Bu teoremden a¸sa˘gıdaki sonu¸cları c¸ıkarabiliriz. Sonuc ¸ 2.1. Aynı d¨ uzlemde yatan iki do˘gru i¸cin birden fazla ortak nokta varsa bu do˘grular ¸cakı¸sıktır, yani aynı do˘gruyu g¨ osterirler. Sonuc ¸ 2.2. Aynı d¨ uzlemde yatan farklı iki do˘gru i¸cin ya birtek ortak nokta vardır ya da hi¸c ortak noktaları yoktur. Ortak noktaları olmayan do˘grulara paralel do˘grular denir. Sonuc ¸ 2.3. Aynı d¨ uzlemde yatmayan ve kesi¸smeyen do˘grulara aykırı do˘grular denir. Aksiyom 2.5. D¨ uzlemde, bir do˘gru ve bu do˘gru u ¨zerinde bulunmayan bir nokta verildi˘ginde, verilen noktadan ge¸cen ve verilen do˘gruya paralel olan bir tek do˘gru vardır. 7
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
C
d’ d
D Teorem 2.2. D¨ uzlemde paralel iki do˘grudan biriyle kesi¸sen ba¸ska bir do˘gru, di˘geriyle de kesi¸sir. ˙ Ispat: d1 ve d2 paralel iki do˘gru ve k aynı d¨ uzlemde k ∩ d1 = {A} olan ba¸ska bir do˘gru olsun. Kabul edelimki k ∩ d2 = ⊘ dir. Bu durumda Aksiyom 2.1 gere˘gince k//d2 ⇐⇒ k = d1 bu ise k 6= d1 ¨onermesi ile c¸eli¸sir. O halde k 6= d1 ise k ∩ d2 6= ⊘ ⇔ k ∩ d2 = {B} olacak ¸sekilde bir B noktası vardır.
A
k
d1 d2
B D
Teorem 2.3. Bir d¨ uzlemde aynı do˘gruya papalel olan iki do˘gru birbirine paraleldir. Sonuc ¸ 2.4. Bir d¨ uzlemde, paralel iki do˘grudan birine paralel olan bir do˘gru, di˘gerine de paraleldir. d, d′ do˘gruları ve D, D ′ d¨ uzlemleri verildi˘ginde a¸sa˘gıdaki ¨onermeler do˘grudur. 1) d ∩ D = ⊘ ⇒ d//D. 2) d ∩ D 6= ⊘ ⇒ d ∩ D = {A} 3) d ∩ D = {A, B} ⇒ d ⊂ D
8
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner 4) D ∩ D ′ = ⊘ ⇒ D//D′
5) D ∩ D 6= ⊘ ⇒ D ∩ D ′ = d
6) D ∩ D ′ = {d, d′} ⇒ D = D ′
9
www.matematikce.com
¨ UM ¨ BOL 2
AC ¸ ILAR ˙ ˙ I˙ GENEL KAVRAMLAR 1. AC ¸ ILARLA ILG IL Tanım 1.1. Ba¸slangı¸c noktaları ortak olan iki ı¸sının birle¸sim k¨ umesine a¸cı; a¸cıyı olu¸sturan ı¸sınların her birine, a¸cının kenarları (veya kolları) ve bu iki ı¸sının ortak olan ba¸slangı¸c noktasına da a¸cının k¨o¸sesi denir.
B
O
A
S ¸ ekil 1. A¸cı ˆ ˆ veya kısaca O ˆ kenarları [OA ve [OB ı¸sınları olan a¸cı AOB, BOA ile g¨osterilir. ’kesi¸sen iki do˘gru bir d¨ uzlem belirtir’ aksiyomuna g¨ore a¸cı da d¨ uzlemsel bir kavramdır. Her bir geometrik ¸sekil gibi a¸cılarda i¸cinde bulundu˘gu d¨ uzlemi u ¨ c¸ ayrık k¨ umeye (iki b¨olgeye) ayırır. ˆ = [OA ∪ [OB, 1) A¸cıyı olu¸sturan noktalar k¨ umesi, O 2) A¸cının i¸c b¨olgesi, a¸cının kolları arasında kalan noktalar k¨ umesi, 3) A¸cının dı¸s b¨olgesi. Tanım 1.2. Bir ¸cemberin ¸cevresi 360 e¸sit par¸caya b¨ol¨ unerek elde edilen her bir par¸canın uzunlu˘guna 1 derece denir ve 1o ile g¨osterilir. 11
R.Aslaner
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
www.matematikce.com
K¨o¸sesi bir birim ¸cemberin merkezi olan bir a¸cının kolları arasında kalan yay uzunlu˘guna da o a¸cının radyan cinsinden ¨ol¸cu ¨s¨ u denir.
B A
π ˆ 0 < α < π(180o ) olmak u ¨ zere m(AOB) = α(= 45o = ) 4 ¨ol¸cu ¨ s¨ u 0 < α < 90o olan a¸cılara dar a¸cı, ¨ol¸cu ¨ s¨ u α = 90o olan a¸cılara dik a¸cı ve ¨ol¸cu ¨ s¨ u 90o < α < 180o olan a¸cılara geni¸s a¸cı denir. ¨ cu Tanım 1.3. Ol¸ ¨leri e¸sit olan a¸cılara e¸s a¸cılar denir. Verilen bir a¸cıyı iki e¸s par¸caya ayıran ı¸sına o a¸cının a¸cıortayı denir.
H2
X P
O
H1
S ¸ ekil 2. A¸cıortayı
Tanım 1.4. Bir d do˘grusu ve bu do˘gru u ¨zerinde olmayan bir A noktası verildi˘ginde, A noktasından d do˘grusuna inilen dik do˘gru par¸casının uzunlu˘guna A noktasının d do˘grusuna uzaklı˘gı denir. A noktasının d do˘grusuna uzaklı˘gı l(A, d) = |AH|, H ∈ d ile g¨osterilir. 12
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A l d H
Sonuc ¸ 1.1. Bir a¸cının a¸cıortayı u ¨zerindeki her noktanın, a¸cının kenarlarına olan uzaklı˘gı e¸sittir. ˆ a¸cının a¸cıortayı ise, |P H1| = |P H2 | [OX, O Tanım 1.5. K¨o¸seleri ve birer kenarları ortak olan iki a¸cıya kom¸su a¸cılar denir. C B
O
A
S ¸ ekil 3. Kom¸su a¸cılar ˆ ve BOC ˆ a¸cıları kom¸su a¸cılardır. AOB Tanım 1.6. Birinin kenarları, di˘gerinin kenarlarının ters ı¸sınları olan iki a¸cıya ters a¸cılar denir.
D
B O
C
S ¸ ekil 4. Ters a¸cılar 13
A
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner Aksiyom 1.1. Ters a¸cılar e¸stir.
u a¸cı, saatin ters y¨on¨ undeki a¸cıya Saat y¨on¨ undeki a¸cıya negatif y¨onl¨ da pozitif y¨onl¨ u a¸cı denir. ˆ a¸cısı (+) pozitif y¨onl¨ ˆ a¸cısı (-) negatif y¨onl¨ AOB u, COD u a¸cıdır. ¨ cu Tanım 1.7. Ol¸ ¨leri toplamı 90o olan iki a¸cıya t¨ umler (veya dikler) a¸cılar denir. T¨ umler iki a¸cı aynı zamanda kom¸su a¸cılar ise bunlara kom¸su t¨ umler a¸cılar denir. ¨ cu Tanım 1.8. Ol¸ ¨leri toplamı 180o olan iki a¸cıya b¨ ut¨ unler a¸cılar denir. ut¨ unler B¨ ut¨ unler iki a¸cı aynı zamanda kom¸su a¸cılar ise bunlara kom¸su b¨ a¸cılar denir. ¨ cu Tanım 1.9. Ol¸ ¨s¨ u 180o olan a¸cıya do˘gru a¸cı, 360o olan a¸cıya tam a¸cı denir. ¨ Ornek 1.1. B¨ ut¨ unler iki a¸cının ¨ ol¸cu ¨leri farkı 72o ise, bu a¸cıların her birinin ¨ol¸cu ¨s¨ u nedir? ¨ Ornek 1.2. B¨ ut¨ unler iki a¸cıdan birinin ¨ ol¸cu ¨s¨ u di˘gerinin ¨ ol¸cu ¨s¨ un¨ un iki katında 15o eksiktir. Bu a¸cıların ¨ ol¸cu ¨leri nedir?
14
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ I˙ DOGRUNUN ˘ ˙ KESENLE YAPTIGI ˘ 2. PARALEL IK BIR AC ¸ ILAR d1 , d2 ve k do˘gruları a¸sa˘gıdaki ¸sekildeki gibi verilmi¸s olsun. k 2 3
6 7
5 8
1 4
d1
d2
S ¸ ekil 5.
Tanım 2.1. d1 ile d2 do˘gruları arasında kalan a¸cılara i¸c a¸cılar denir. 3, 4, 5 ve 6 numaralı a¸cılar i¸c a¸cılardır. d1 ile d2 do˘gruları arasında olmayan a¸cılara dı¸s a¸cılar denir. 1, 2, 7 ve 8 numaralı a¸cılar dı¸s a¸cılardır. k do˘grusunun farklı taraflarında kalan k¨o¸seleri farklı i¸c a¸cı c¸iftlerine i¸c ters a¸cılar denir. (3, 5) ve (4, 6) a¸cı c¸iftleri i¸c ters a¸cılardır. k do˘grusunun farklı taraflarında kalan k¨o¸seleri farklı dı¸s a¸cı c¸iftlerine dı¸s ters a¸cılar denir. (1, 7) ve (2, 8) a¸cı c¸iftleri dı¸s ters a¸cılardır. k do˘grusunun aynı taraflarında kalan k¨o¸seleri farklı biri i¸c a¸cı, di˘geri dı¸s a¸cı olan a¸cı c¸iftlerine y¨onde¸s a¸cılar denir.(1, 5), (4, 8), (2, 6) ve (3, 7) a¸cı c¸iftleri y¨onde¸s a¸cılardır. Aksiyom 2.1. Y¨onde¸s a¸cılar, i¸c ters a¸cılar ve dı¸s ters a¸cılar e¸stir. Bu aksiyomlardan a¸sa˘gıdaki sonu¸cları c¸ıkarabiliriz. Sonuc ¸ 2.1. Paralel iki do˘grudan birine dik olan ba¸ska bir do˘gru di˘gerine de diktir. 15
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ Ispat: Bu sonucun matematiksel ifadesi, d1 //d2 ve k ⊥ d1 ⇒ k ⊥ d2 dir. k . 1
d1
2
d2
S ¸ ekil 6. d1 //d2 ve k ⊥ d1 ⇒ m(1) = 90o dir. 1 ve 2 numaralı a¸cılar y¨onde¸s
a¸cılar ve y¨onde¸s a¸cılar e¸s a¸cılar oldu˘gundan ⇒ m(1) = m(2) = 90o ⇒ k ⊥ d2 dir.
Sonuc ¸ 2.2. Verilen iki do˘gru u ¨¸cu ¨nc¨ u bir do˘gruya dik ise, bu iki do˘gru birine paraleldir. ˙ Ispat: Bu sonucun matematiksel ifadesi, d1 ⊥ k ve d2 ⊥ k ⇒ d1 //d2 dir. problem: B
d1
A
P
C
Q d2
D E
F
S ¸ ekil 7. d1 //d2 ˆ m(ABC) = 30o
ˆ m(DEC) = 140o
ˆ ⇒ m(BCE) =? 16
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
C ¸¨ oz¨ um: C noktasından d1 do˘grusuna bir paralel do˘gru c¸izip u ¨ zerinde iki nokta se¸celim. Bu durumda ˆ ) = m(ABC) ˆ m(BCP = 30o
(i¸c ters a¸cılar e¸stir) ˆ ) = m(P CE) ˆ m(CEF = 40o ˆ ˆ ) + m(P CE) ˆ ⇒ m(BCE) = m(BCP = 30o + 40o = 70o bulunur. ˙ 3. KENARLARI PARALEL OLAN AC ¸I C ¸ IFTLER I˙ Bu durumda u ¨ c¸ ihtimal vardır. 1) Kenarların aynı y¨onde paralel olması durumu: Teorem 3.1. Kenarları aynı y¨ onde paralel olan a¸cılar e¸stir.
A C B D
E S ¸ ekil 8.
yani
[BA//[DC ˆ∼ ˆ ⇒B =D [BC//[DE
ˆ∼ ˆ ⇒B ˆ∼ ˆ ˙ Ispat: Y¨onde¸s a¸cıların e¸sl˘ginden B = Cˆ ∼ =D =D 2) Kenarların ters y¨onde paralel olması durumu: Teorem 3.2. Kenarları ters y¨ onde paralel olan a¸cılar e¸stir. [BA//[EF ˆ∼ ⇒B = Eˆ [BC//[ED
˙ Ispat: EF ∩ [BC = K diyelim. Bu durumda, 17
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
A K B
D
C
E F
S ¸ ekil 9. ˆ ˆ∼ B = BKE ˆ ∼ BKE = Eˆ
(i¸c ters a¸cılar ) ˆ∼ ˆ ⇒B =E (y¨onde¸s a¸cılar )
3) Birer kenarların aynı y¨ onde, di˘ger kenarları ters y¨ onde paralel olası durumu: Teorem 3.3. Bir d¨ uzlemde birer kenarları aynı y¨ onde, di˘ger kenarları ters y¨onde paralel olan iki a¸cı b¨ ut¨ unlerdir.
A F K D
B
G
C
E S ¸ ekil 10. [BA//[EF ˆ + m(E) ˆ = 180o ⇒ m(B) [BC//[ED
˙ Ispat:[BC ∩ [EF = K diyelim ve E noktasından [BC ı¸sınına bir paralel c¸izip u ¨ zerinde bir G noktası se¸celim. Bu durumda, ˆ∼ ˆ ∼ ˆ y¨onde¸s a¸cılar B = F KC = F EG ˆ + m(F EG) ˆ ˆ + m(B) ˆ = 180o m(E) = m(E) 18
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ ˙ INE ˙ ˙ OLAN AC ˙ 4. KENARLARI BIRB IR DIK ¸I C ¸ IFTLER I˙ Teorem 4.1. Bir d¨ uzlemde kenarları kar¸sılıklı olarak dik olan iki a¸cı; a) a¸cılar dar a¸cı ise e¸stir, b) a¸cılardan biri dar di˘geri geni¸s a¸cı ise b¨ ut¨ unlerdir. ¨ ˙ Ispat: Oncelikle teoremin ifadesine uygun ¸sekillerimizi c¸izelim. G A
F B
C D
E S ¸ ekil 11.
A noktasından [DE ve [DC ye birer paralel ı¸sın c¸izelim ve u ¨ zerlerinde F ve G noktalarını se¸celim. Bu durumda [AF//[DE ˆ ˆ ⇒ [AF ⊥ [AC ⇒ m(BAC) = 90o − m(F AB) ... (1) [DE ⊥ [AC [AG//[DB ˆ ˆ ⇒ [AG ⊥ [AB ⇒ m(F AG) = 90o − m(F AB) ... (2) [DB ⊥ [AB ˆ ˆ ˆ ˆ (1) ve (2) ⇒ m(BAC) = m(F AG) = m(EDC) ⇔ Aˆ ∼ =D b) a¸cılardan biri ut¨ unlerdir. dar di˘geri geni¸s c¸ı ise b¨ [BA//[DK ˆ∼ ˆ ... (1) ⇒B = KDL [BC ⊥ [DL
[BA//[DK ˆ ⇒ [DA ⊥ [DK ⇒ m(ADK) = 90o ... (2) [BA ⊥ [DA 19
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
L
C
K
D B
A S ¸ ekil 12.
[BC//[DL ˆ ⇒ [DC ⊥ [DL ⇒ m(LDC) = 90o ... (3) [BC ⊥ [DC
ˆ ˆ ˆ + m(CDA) ˆ m(ADK) + m(KDL) + m(LDC) = 360O ˆ + 90o + m(D) ˆ = 360o (1),(2)ve (3) ⇒ 90o + m(B) ˆ + m(D) ˆ = 180o ⇔ m(B)
Sonuc ¸ 4.1. Kom¸su b¨ ut¨ unler iki a¸cının a¸cıortayları diktir. ˆ ve BOC ˆ kom¸su b¨ ˙ Ispat: AOB ut¨ unler iki a¸cı ve [OD ve [OE bu a¸cıların a¸cıortayları olsun. Bu durumda;
D
B
E A
O
C
S ¸ ekil 13.
1 ˆ ˆ m(DOB) = m(AOB) 2
ve 20
1 ˆ ˆ m(BOE) = m(BOC) 2
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
ˆ ˆ ˆ m(DOE) = m(DOB) + m(BOE) 1 ˆ ˆ [m(AOB) + m(BOC)] = 2 1 = 180o 2 = 90o ⇒ [OD ⊥ [OE.
21
www.matematikce.com
¨ UM ¨ BOL 3
¨ ¸ GENLER UC ¨ ¸ GENLE ILG ˙ ˙ I˙ TEMEL KAVRANLAR 1. UC IL Do˘gruda¸s olmayan u ¨ c¸ noktanın bir d¨ uzlem, farklı iki noktanın bir do˘gru par¸cası belirtti˘gini biliyoruz. A, B ve C do˘gruda¸s olmayan u ¨ c¸ nokta ve bu noktalarla olu¸sturulan [AB], [BC] ve [CA] do˘gru par¸calarının birle¸sim k¨ umesine u ¨ c¸gen denir. Bir u ¨ c¸gen, bu u ¨ c¸geni olu¸sturan noktaların A Aˆ c
b
ˆ B B
Cˆ a
C
¨ cgen S ¸ ekil 1. U¸ saatin ters y¨on¨ unde sıralanarak u ¨ zerine △ i¸sareti konularak g¨osterilir. △
Buna g¨ore yukarıdaki u ¨ c¸gen ABC ile g¨osterilir ve △
ABC = [AB] ∪ [BC] ∪ [CA] △
¨ cgenle Ilgili ˙ Tanımlar. Bir ABC u ¨ c¸geninde; 1.1. U¸ 1) A, B, C, noktalarına u ¨ c¸genin k¨o¸seleri denir. 2) [AB], [BC] ve [CA] do˘gru par¸calarına u ¨ c¸genin kenarları denir. Bir u ¨ c¸gende kenarlar kar¸sı k¨o¸selerin k¨ uc¸u ¨ k harfleriyle g¨osterilir. a, b, c gibi, bu g¨osterim aynı zamanda kenar uzunlu˘gu olarak alınır, yani a ile hem [BC] kenarı hem de |BC| uzunlu˘gu anla¸sılır. 23
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
3) U¸c noktaları ortak olan iki kenar arasında olu¸san a¸cılara u ¨ c¸genin ¨ cgende a¸cılar k¨o¸se noktasının u a¸cıları denir. U¸ ¨ zerine ∧ i¸sreti konularak ˆ B, ˆ Cˆ gibi g¨osterilir. A, Bunlara bir u ¨ c¸genin temel elemanları denir ve her u ¨ c¸gende mevcuttur. ¨ cgenler bu temel elemanlara g¨ore sınıflandırılabilir. U¸ ¨ cgen C 1.2. Kenarlarına G¨ ore U¸ ¸ e¸sitleri. 1.2.1. E¸skenar u ¨¸cgenler. B¨ ut¨ un kenar uzunlukları e¸sit olan u ¨ c¸genlerdir. E¸skenar u ¨ c¸genlerin a¸cıları da e¸stir. ˙ ˙ kenar uzunlu˘gu e¸sit olan u 1.2.2. Ikizkenar u ¨¸cgenler. Iki ¨ c¸genlerdir. Uzunlu˘gu farklı olan kenara taban denir. Bir ikiz kenar u ¨ c¸gende taban a¸cıları e¸stir. 1.2.3. C ¸ e¸sitkenar u ¨¸cgenler. B¨ ut¨ un kenarları farklı uzunlukta olan u ¨ c¸genlerdir. C ¸ e¸sit kenar u ¨ c¸genlerin a¸cıları da farklıdır.
60o
60o
60o
e¸skenar u ¨ c¸gen
ikizkenar u ¨ c¸gen
c¸e¸sit kenar u ¨ c¸gen
S ¸ ekil 2. Kenarlarına g¨ore u ¨ c¸gen c¸e¸sitleri
¨ cgen C ore U¸ ¸ e¸sitleri. . 1.3. A¸cılarına G¨ 1.3.1. Dar a¸cılı u ¨¸cgenler. Her bir a¸cısının ¨ol¸cu ¨ s¨ u 90o den k¨ uc¸u ¨ k olan u ¨ c¸genlerdir. 1.3.2. Dik u ¨¸cgenler. A¸cılarından birinin ¨ol¸cu ¨ s¨ u 90o olan u ¨ c¸genlerdir. 1.3.3. Geni¸s a¸cılı u ¨¸cgenler. A¸cılarından birisi geni¸s a¸cı olan u ¨ c¸genlerdir. 24
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
dar a¸cılı u ¨ c¸gen
Dik u ¨ c¸gen
geni¸s a¸cılı u ¨ c¸gen
S ¸ ekil 3. A¸cılarına g¨ore u ¨ c¸gen c¸e¸sitleri ¨ cgende Yardımcı Elemanlar. . 1.4. U¸ Her u ¨ c¸gende var olan kenarortay, a¸cıortay ve y¨ ukseklik kavramlarına u ¨ c¸genin yardımcı elemanları denir. ¨ cgenin bir kenarının orta noktasını o kenarı g¨oren 1.4.1. Kenarortay. U¸ k¨o¸se noktasına birle¸stiren do˘gru par¸casına o kenara ait kenarortay denir. Her u ¨ c¸genin u ¨ c¸ tane kenarortayı vardır. Bu kenarortaylar u ¨ c¸genin i¸c b¨olgesindeki bir noktada kesi¸sirler. Bu noktaya u ¨ c¸genin a˘gılık merkezi denir ve genellikle G ile g¨osterilir. A
F
B
G
E
D
C
S ¸ ekil 4. Kenarortaylar △
ABC u ¨ c¸geninde; [AD], a-kenarına, [BE], b-kenarına ve [CF ], c-kenarına ait kenarortayları g¨ostermektedir. 25
R.Aslaner
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
www.matematikce.com
1.4.2. A¸cıortay. Bir u ¨ c¸gende bir a¸cıyı iki e¸sit par¸caya ayıran ı¸sının k¨o¸se noktası ile kar¸sı kenar arasında kalan kısmına u ¨ c¸genin o a¸cısına ait a¸cıortay denir. Bir u ¨ c¸gende u ¨ c¸ tane a¸cıortay vardır. Bu a¸cıortaylar bir noktada kesi¸sir. A
B
C S ¸ ekil 5. A¸cıortaylar
¨ cgenin her hangi bir k¨o¸sesinden kar¸sı kenara inilen 1.4.3. Y¨ ukseklik. U¸ dikmenin bu k¨o¸se ile kar¸sı kenar (ya da uzantısı) arasında kalan do˘gru par¸casının uzunlu˘guna u ¨ c¸genin o kenarına ait y¨ ukseklik denir ve h ile g¨osterilir. A
ha
hc
B
C
hb
S ¸ ekil 6. Y¨ ukseklik
26
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ ¸ GENDE AC ¸ ILAR 2. UC Teorem 2.1. Bir u ¨¸cgenin i¸c-a¸cılarının ¨ ol¸cu ¨leri toplamı 180o dir, △
ˆ + m(B) ˆ + m(C) ˆ = 180o dir. yani bir ABC nin de m(A) Ispat:
A D
E
B
C S ¸ ekil 7.
¨ cgenin A k¨o¸sesinden [BC] kenarına bir paralel c¸izelim ve u U¸ ¨ zerinde iki nokta D, E se¸celim. Bu durumda; ∼ ˆ = B ∼ = Aˆ ∼ ˆ CAE = Cˆ
ˆ DAB Aˆ
(i¸c ters a¸cılar)
(kendisi)
(i¸c ters a¸cılar)
ˆ ˆ + m(CAE) ˆ ˆ + m(A) ˆ + m(C) ˆ ⇒ m(DAB) + m(A) = 180o = m(B) ¨ Ornek 2.1. Bir u ¨¸cgenin i¸c a¸cılarının ¨ ol¸cu ¨leri sırsıyla 2, 3 ve 4 ile do˘gru orantılı ise bu a¸cıların ¨ ol¸cu ¨leri nedir? C ¸¨ oz¨ um: Bu a¸cıların ¨ol¸cu ¨ lerini sırasıyla α, β ve γ diyelim. Bu durumda α β γ = = = k ∈ R ve α + β + γ = 180o 2 3 4 ⇒ 2k + 3k + 4k = 180o = 9k ⇒ k = 20o
⇒ α = 2k = 40o , β = 3k = 60o ve γ = 4k = 80o bulunur. △
Tanım 2.1. Bir ABC nin [BC] kenarını BC y¨ on¨ unde uzatarak u ¨zerinde ˆ a¸cısına C k¨ bir D noktası se¸celim. B¨ oylece elde edilen ACD o¸sesine ait 27
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
ˆ a¸cılarına da Cˆ ′ a¸cısına kom¸su dı¸s a¸cı denir ve Cˆ′ ile g¨osterilir. Aˆ ve B olmayan i¸c a¸cılar denir. A
E Cˆ′ B
C
D
S ¸ ekil 8. Dı¸s a¸cı
¨ cgende bir dı¸s a¸cının ¨ Teorem 2.2. U¸ ol¸cu ¨s¨ u, kendisine kom¸su olmayan iki i¸c a¸cının ¨ol¸cu ¨leri toplamına e¸sittir. yani ,
ˆ dir. m(Cˆ′ ) = m(Aˆ + m(B))
˙ Ispat: ¸sekilde C noktasından [BA] ya bir paralel c¸izip u ¨ zerinde bir E noktası se¸celim. Bu durumda; ˆ ∼ ˆ ( y¨onde¸s a¸cılar ) DCE =B ˆ ∼ ECA = Aˆ (i¸c ters a¸cılar) ˆ ˆ ˆ + m(B) ˆ m(Cˆ′ ) = m(DCE) + m(ECA) = m(A) Sonuc ¸ 2.1. Bir u ¨¸cgende bir dı¸s a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ u, kendisine kom¸su olmayan iki i¸c a¸cının her birinden daha b¨ uy¨ ukt¨ ur. ¨ cgende Kenarlar ile A¸ 2.1. U¸ cılar Arasındaki Ba˘ gıntılar. △
ˆ > m(B) ˆ Teorem 2.3. Bir ABC u ¨¸cgeninde |AB| > |AC| ⇔ m(C) dir. ˙ Ispat: |AB| > |AC| olsun.
28
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
A
D
E
B
C S ¸ ekil 9. Kenar-a¸cı ili¸skisi
Bu durumda [AB] u ¨ zerinde |AD| = |AC| olacak ¸sekilde bir D ∈ [AB] vardır. D ←→ C, [BC]//[DE] olsun. Bu durumda ˆ ˆ ˆ m(ACB) > m(ACD) = m(ADC) (ikiz kenar u ¨ c¸gende taban a¸cılar) ˆ ˆ ˆ (y¨onde¸s a¸cılar) m(ADC) > m(ADE) = m(B) ˆ ˆ > m(B) ˆ ⇒ m(ACB) = m(C) ¨ cgen E¸sitsizli˘gi): Bir u ¨¸cgende her hangi bir kenarın Teorem 2.4. (U¸ uzunlu˘gu, di˘ger iki kenarın uzunluklarının farkından b¨ uy¨ uk, toplamından △
daima k¨ u¸cu ¨kt¨ ur, yani bir ABC nin de daima |b − c| < a < b + c dir. ˙ Ispat: D b A c
b
a
B
C
¨ cgen e¸sitsizli˘gi S ¸ ekil 10. U¸ ~ do˘grultusunda |AD| = |AC| ¸sartını sa˘glayan bir D noktası alalım BA ve D ←→ C. Buna g¨ore; 1) |BD| = |BA| + |AD| = c + b ˆ ˆ ˆ ˆ 2) m(BCD) > m(ACD) = m(ADC) = m(BDC) 29
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner ⇒ |BD| > |BC| ⇒ c + b > a ... (1)
Benzer d¨ u¸su ¨ nceyle a + b > c ve a + c > b oldu˘gu g¨osterilebilir. 3) a + b > c ⇒ a > |c − b| > 0 ... (2) O halde (1) ve (2) den |b − c| < a < b + c elde edilir. ¨ ¸ GENLERDE ES ˙ KAVRAMI 3. UC ¸ LIK △
△
ABC ve DEF herhangi iki u ¨ c¸gen olmak u ¨ zere, ABC ←→ DEF ifadesiyle, bu u ¨ c¸genlerin elemanlarının kar¸sılıklı olarak e¸slendi˘gi g¨osterilir. Her hangi iki u ¨ c¸genin elemanları arasında yapılan bir e¸slemede, kar¸sılıklı ¨ c¸genler denir ve bu kenarları ve kar¸sılıklı a¸cıları e¸s ise bu u ¨ c¸genlere e¸s u durum (∼ u ile g¨osterilir. =) sembol¨ Buna g¨ore bir ABC ←→ DEF e¸slemesinde; △ △ 1) |AB| = |DE|, |BC| = |EF |, |CA| = |F D| ⇒ ABC ∼ = DEF ˆ ˆ∼ ˆ 2) Aˆ ∼ B Cˆ ∼ = D, = E, = Fˆ
˙ u Not: Iki ¨ c¸genin k¨o¸se noktaları arasında P (3, 3) = 3! = 6 farklı e¸sleme yapılabilir. Ancak bu altı e¸slemeden yalnızca biri bir e¸slik ba˘gıntısıdır. E˘ger u ¨ c¸genler e¸skenar u ¨ c¸genler ise bu durumda her bir e¸sleme bir e¸slik ba˘gıntısıdır. Yukarıdaki e¸slik tanımına bakıldı˘gında, verilen iki u ¨c¸genin e¸s olabilmesi i¸cin bu u ¨ c¸genlerin kar¸sılıklı altı elemanın e¸s olması gerek ¸sart olarak g¨or¨ ulmek-tedir, fakat bu altı elamandan bazılarının ger¸cekle¸smesi bazılarının ger¸cekle¸s-ti˘gini garantiler. Bunları birer aksiyom olarak ifade edebiliriz. ¨ cgenlerde E¸slik Aksiyomları. 3.1. U¸ Aksiyom 3.1. (K.A.K) E¸slik Aksiyomu: Her hangi iki u ¨¸cgen arasında yapılan bir e¸slemede, kar¸sılıklı iki¸ser kenarları ve bu kenarlar arasında olu¸san a¸cıları e¸s ise bu u ¨c¸genler e¸stir. 30
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A
B
D
C
E
F
S ¸ ekil 11. Kenar A¸cı Kenar e¸sli˘gi Yani bir ABC ←→ DEF e¸slemesinde; ∼ [AB] = [DE] △ △ ∼ ˆ ˆ ⇒ ABC ∼ = DEF dir. B = E ∼ [BC] = [EF ] Aksiyom 3.2. (A.K.A) E¸slik Aksiyomu: Her hangi iki u ¨¸cgen arasında yapılan bir e¸slemede, kar¸sılıklı iki¸ser a¸cıları ve bu a¸cıların ortak olan kenarları e¸s ise bu u ¨¸cgenler e¸stir. A
B
K
D
C
E
L
F
S ¸ ekil 12. A¸cı Kenar A¸cı e¸sli˘gi Yani bir ABC ←→ DEF e¸slemesinde; ˆ ∼ B = Eˆ [BC] ∼ = [EF ] Cˆ ∼ = Fˆ
△
△
⇒ ABC ∼ = DEF dir.
31
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner Bu aksiyomlardan a¸sa˘gıdaki sonucu verebiliriz.
Sonuc ¸ 3.1. E¸s u ¨¸cgenlerde kar¸sılıklı a¸cıortaylarda e¸stir. △ △ ABC ∼ = DEF ∼ ˆ Yani [AK], A a¸cısının a¸cıortayı ⇒ [AK] = [DL] dir. ˆ a¸cısının a¸cıortayı [DL], D △
△
˙ Ispat: ABC ∼ = DEF olsun. Bu durumda; ˆ ⇒ m(A) ˆ = m(D) ˆ ⇒ 1 m(A) ˆ = 1 m(D) ˆ ⇒ BAK ˆ ∼ ˆ 1) Aˆ ∼ =D = EDL 2 2 2) [AB] ∼ = [DE] ve ˆ∼ 3) B = Eˆ △
△
(A.K.A) e¸slik aksiyomu gere˘gince ABK ∼ = DEL ⇒ [AK] ∼ = [DL] Teorem 3.1. Tabanları ortak olan iki ikizkenar u ¨¸cgenin, tepe noktalarını birle¸stiren do˘gru par¸cası tepe a¸cılarının a¸cıortayıdır. ˙ Ispat: A 12 B 1 2
1 C 2
12 D S ¸ ekil 13. ikiz kenar u ¨ c¸genlerde taban a¸cılar e¸s oldu˘gundan, Bˆ1 Bˆ2
∼ ˆ m(B1 ) = m(C1 ) = C1 ˆ ˆ ⇒ m(ABD) = m(ACD) ⇒ ∼ ˆ C m(B ) = m(C ) = 2 2 2 32
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner |AB| = |AC| ˆ ˆ m(ABD) = m(ACD) |BD| = |CD|
Aˆ ∼ ˆ 1 = A2 K.A.K ⇒ ABD ∼ = ACD ⇒ Dˆ1 ∼ = Dˆ2 △
△
elde edilir. Bu ise [AD] nin tepe a¸cılarının a¸cıortay olması demektir.
Teorem 3.2. Bir u ¨¸cgenin bir kenarının orta noktasından ba¸ska bir kenara ¸cizilen paralel do˘gru u ¨¸cu ¨nc¨ u kenarı ortalar. A F B
E D
C
S ¸ ekil 14. |AE| = |EC| 1 ⇒ |BD| = |DC| = |BC| 2 [ED]//[AB]
˙ Ispat: [EF ]//[BC] olsun. Buna g¨ore; ˆ Aˆ ∼ = DEC [AE] ∼ = [EC] ∼ ˆ AEF = Cˆ ˆ BFˆ D ∼ = F DE [F D] ∼ = [DF ] ∼ ˆ ˆE F DB = DF
|EF | = |CD| △ △ ⇒ AEF ∼ ECD ⇒ = |AF | = |ED|
|BF | = |ED| = |CD| △ △ ⇒ BF D ∼ EDF ⇒ = |BD| = |EF | = |CD|
1 ⇒ |BC| = BD| + |DC| ⇒ |BD| = |DC| = |BC| elde edilir. 2
Sonuc ¸ 3.2. Bir u ¨¸cgende iki kenarın orta noktalarını birle¸stiren do˘gru par¸cası, u ¨¸cu ¨nc¨ u kenara paraleldir ve uzunlu˘gu, u ¨¸cu ¨nc¨ u kenarın uzunlu˘gunun yarısına e¸sittir, 33
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
△ |AE| = |EC| 1 yani, bir ABC nin de ⇒ |DE| = |AB|. 2 |BD| = |DC|
˙ u Teorem 3.3. (K.K.K. E¸slik Teoremi): Iki ¨¸cgen arasında yapılan bir
e¸slemede kar¸sılıklı kenarlar e¸s ise bu u ¨¸cgenler e¸stir. Bu teoreme kısaca (K.K.K) e¸slik teoremi denir. yani bir ABC ←→ DEF e¸slemesinde; ∼ [AB] = [DE] △ △ ∼ ⇒ ABC ∼ = DEF dir. [BC] = [EF ] [CA] ∼ = [F D] ˙ Ispat: Bu teoremin ispatını (∼ =) ba˘gıntısının ge¸ci¸sme ¨ozelli˘gini kullanarak yapabiliriz, yani verilen her iki u ¨ c¸gene de e¸s olan u ¨ c¸u ¨ nc¨ u bir u ¨ c¸gen olu¸sturarak bu iki u ¨ c¸genin e¸s oldu˘gunun g¨osterebiliriz. A
D
1 2 B
C 1 2 K
E
F
X S ¸ ekil 15. K.K.K. e¸sli˘gi
△
ˆ ∼ ABC nin B k¨o¸sesinde CBX = Eˆ olacak ¸sekilde bir [BX ı¸sını ve u ¨ zerinde |BK| = |ED| olacak ¸sekilde bir K noktası se¸cip K ←→ C. Bu durumda, |KB| = ˆ ∼ B = |BC| =
|ED| △ △ ˆ (K.A.K) ⇒ KBC ∼ = DEF ... (1) E |EF | 34
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner K ←→ A. Bu durumda,
△
|KB| = |DE| = |AB| ⇒ BKA - ikiz kenar u ¨ c¸gen ⇒ m(Kˆ1 ) = m(Aˆ1 ) △
|KC| = |DF | = |AC| ⇒ CAK - ikiz kenar u ¨ c¸gen ⇒ m(Kˆ2 ) = m(Aˆ2 ) ˆ = m(A) ˆ ⇒K ˆ ∼ ⇒ m(K) = Aˆ |KB| = |AB| △ △ ∼ ˆ ˆ (K.A.K) ⇒ KBC ∼ = ABC ... (2) K = A |KC| = |AC| △
△
(1) ve (2) ⇒ ABC ∼ = DEF
Bu teormeden a¸sa˘gıdaki sonucu c¸ıkarabiliriz. Sonuc ¸ 3.3. Bir ikiz kenar u ¨¸cgende tabana ait kenar ortay, aynı zamanda hem y¨ ukseklik hem de a¸cıortay dır. △
Yani bir ABC nin de |AB| = |AC| (ikiz kenar)
[AD] ⊥ |BC| (y¨ ukseklik) ⇒ |BD| = |DC| (D, orta nokta) Aˆ1 ∼ = Aˆ2 (a¸cıortay) △
˙ Ispat: ABC nin de
|AB| = |AC| (ikiz kenar) |BD| = |DC| (D, orta nokta) |AD| = |AD| (kendisi)
△
△
(K.K.K) ⇒ ABD ∼ = ACD
Buna g¨ore, 1) Dˆ1 ∼ = Dˆ2 ve m(Dˆ1 ) + m(Dˆ2 ) = 180o ⇒ [AD] ⊥ [BC] ⇒ [AD]- tabana ait y¨ ukseklik,
ˆ nın a¸cıortayıdır. 2) Aˆ1 ∼ = Aˆ2 ⇒ [AD], A-
35
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ ¸ GENLERDE BENZERLIK ˙ KAVRAMI 4. UC ˙ u Iki ¨ c¸gen arasında yapılan bir e¸slemede, kar¸sılıklı a¸cılar e¸s ve kar¸sılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu e¸slemeye benzerlik e¸slemsi, u ¨ c¸genlere de benzer u ¨ c¸genler denir, bu durum (∼) sembol¨ u ile g¨osterilir. Buna g¨ore bir ABC ←→ DEF e¸slemesinde, ˆ B ˆ∼ ˆ Cˆ ∼ Aˆ ∼ = D, = E, = Fˆ |BC| |AC| |AB| = = =k |DE| |EF | |DF |
△
△
⇔ ABC ∼ DEF
Buradaki k sayısına benzerlik oranı denir. k = 1 ise e¸slik, k 6= 1 ise benzerlik s¨oz konusudur, yani benzerlik e¸slikten daha geni¸s bir kavramdır. ˙ u Aksiyom 4.1. (K.A.K.) Benzerlik Aksiyomu: Iki ¨¸cgen arasında yapılan bir e¸slemede, kar¸sılıklı iki kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarların olu¸sturdu˘gu a¸cılar e¸s ise u ¨¸cgenler benzerdir. Buna kısaca (K.A.K) benzerlik aksiyomu denir, yani ABC ←→ DEF e¸slemesinde, A
B
∼
D
K
∼
C
E
≈
L
S ¸ ekil 16. K.A.K.benzerli˘gi |AB| |BC| △ △ = |DE| |EF | ⇔ ABC ∼ DEF dir. ˆ∼ B = Eˆ
Bu aksiyomdan a¸sa˘gıdaki sonu¸c c¸ıkarılır. 36
≈
F
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ u Sonuc ¸ 4.1. Iki ¨¸cgen benzer ise, kar¸sılıklı kenarortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına e¸sittir. △
△
yani ABC ∼ DEF ve benzerlik oranı k olmak u ¨ zere, |BK| = |KC| |AK| ⇒ = k dır. |DL| |DL| = |LF | △
△
˙ Ispat: ABC ∼ DEF ve benzerlik oranı k olsun. Bu durumda, |AB| ˆ∼ ˆ =k 2) B =E |DE| 1 |BC| |BC| |BK| 3) =k⇒ = k ⇒ 21 =k |EF | |EL| |EF | 2
1)
△
△
⇒ ABK ∼ DEL ⇒
|AK| |AB| |AK| = =k⇒ =k |DL| |DE| |DL|
△
Tanım 4.1. Bir ABC nin de herhagi bir kenar uzunlu˘gu ile bu kenara △
ait y¨ uksekli˘gin ¸carpımının yarısına bu u ¨¸cgenin alanı denir ve s(ABC) ile g¨osterilir. Bu tanımdan a¸sa˘gıdaki sonu¸c elde edilir. Sonuc ¸ 4.2. Y¨ ukseklikleri e¸sit olan iki u ¨¸cgenin alanları oranı, y¨ uksekliklerin ait oldu˘ggu kenarların uzunlukları oranına e¸sittir. △
yani ¸sekil (*)’a g¨ore [AH] ∼ = [DH ′] ⇒
s(ABC) △
s(DEF )
=
|BC| dir. |EF |
Teorem 4.1. (Temel Orantı Teoremi) Bir u ¨¸cgenin bir kenarına paralel olan ve di˘ger iki kenarı kesen bir do˘gru, bu kenarları uzunlukları orantılı do˘gru par¸calarına ayırır, △
yani bir ABC ni i¸cin k//[BC], k ∩ [AB] = D ve k ∩ [AC] = E ise, |AD| |AE| |AD| |AE| = veya = (4.1) |BD| |EC| |AB| |AC| 37
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A H
H’
D
E
B
k
C S ¸ ekil 17. T.O.T teoremi
˙ Ispat: B ←→ E , bu durumda; △
△
|EH|, ADE ve DBE u ¨ c¸genlerinin ortak olan y¨ uksekli˘gi oldu˘gundan △
s(ADE)
(4.2)
△
=
s(DBE)
|AD| |DB|
C ←→ D , bu durumda; △
△
|DH ′|, ADE ve EDC u ¨ c¸genlerinin ortak olan y¨ uksekli˘gi oldu˘gundan △
s(ADE)
(4.3)
△
=
s(EDC) △
|AE| |EC|
△
[DE], DEB ve DEC u ¨ c¸genlerinin ortak olan tabanı ve [DE]//[BC] oldu˘gundan bu iki u ¨ c¸gen aynı y¨ uksekli˘ge sahiptir, dolayısıyla alanları e¸sittir, yani (4.4) bu e¸sitliklerinden
△
△
s(DEB) = s(DEC) |AD| |AE| = elde edilir. |DB| |EC|
38
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ ¸ GENLERDE AC ¸ IORTAY TEOREMLERI˙ 5. UC ˙c A¸cıortay Teoremi) Bir u Teorem 5.1. (I¸ ¨¸cgende, herhangi bir i¸c a¸cıortayın kar¸sı kenar u ¨zerinde ayırdı˘gı par¸caların uzunlukları oranı, bu par¸calara biti¸sik kenarların uzunlukları oranına e¸sittir. A
L K B
C
D
˙ c a¸cıortay teoremi S ¸ ekil 18. I¸ △ |BD| |AB| = dir. Yani bir ABC ninde Aˆ nın i¸c a¸cıortayı [AD] ise, |DC| |AC| △
˙ Ispat: ABC ninde Aˆ nın i¸c a¸cıortayı [AD] olsun. Bu durumda; |KD| = |DL| olup bir oranda pay ve paydanın aynı de˘gerle c¸arpılması, oranın de˘gerini de˘gi¸stirmedi˘ginden, 1 1 |AB||KD| s(ABD) |BD|h |AB| |BD| = 21 = = 21 = |AC| s(ADC) |DC| |AC||DL| |DC|h 2 2 Teorem 5.2. (Dı¸s A¸cıortay Teoremi) Bir u ¨¸cgende herhangi bir dı¸s a¸cıotayı kar¸sı kenar do˘grusunu kesiyorsa, bu do˘gru u ¨zerinde ayırdı˘gı par¸caların uzunlukları oranı, bu par¸calara biti¸sik kenarların uzunlukları oranına e¸sittir. △
Yani bir ABC ninde A′ dı¸s a¸cısının a¸cıortayı [AE] ise dir.
|BE| |AB| = |CE| |AC|
Not: E˘ger u ¨ c¸gen bir e¸skenar u ¨ c¸gen ise, dı¸s a¸cıortayları kar¸sı kenar do˘grularına paralel oldu˘gundan dı¸s a¸cıortayları kar¸sı kenar do˘grularını kesmez. 39
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A
B
D
C
E
S ¸ ekil 19. Dı¸s a¸cıortay teoremi Bu iki teoremi birle¸stirerek a¸sa˘gıdaki teorem elde edilir. Teorem 5.3. (A¸cıortay Teoremi:) Bir u ¨¸cgende herhangi bir k¨ o¸sedeki i¸c ve dı¸s a¸cıortayın kar¸sı kenar ve uzantısı u ¨zerinde ayırdı˘gı par¸caların uzunlukları oranı, bu par¸calara biti¸sik kenarların uzunlukları oranına e¸sittir. △
Yani bir ABC ninde Aˆ i¸c a¸cısının a¸cıortayı [AD] ve Aˆ′ dı¸s a¸cısının a¸cıortayı [AE] ise |BD| |AB| |BE| = = |DC| |AC| |CE|
dir.
¨ Ornek 5.1. ¸sekil () da |DC| = 2cm ve |CE| = 10cm ise, |BD| = x ka¸c cm dir?
40
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ ¸ GENLERDE BENZERLIK ˙ TEOREMLERI˙ 6. UC ˙ u Teorem 6.1. (A.A.A. Benzerlik Teoremi) Iki ¨¸cgen arasında yapılan bir e¸slemede, kar¸sılıklı a¸cılar e¸s ise u ¨¸cgenler benzerdir.
Bu teoreme kısaca (A¸cı A¸cı A¸cı)-benzerlik teoremi denir. Yani, bir ABC ←→ DEF e¸slemesinde, △
△
ˆ B ˆ∼ ˆ Cˆ ∼ Aˆ ∼ = D, = E, = Eˆ ⇒ ABC ∼ DEF dir. ˆ B ˆ∼ ˆ Cˆ ∼ Ispat: ABC ←→ DEF e¸slemesinde, Aˆ ∼ = D, = E, = Eˆ olsun. Bu durumda |AB| ve |DE| kenar uzunlukları i¸cin iki ihtimal vardır. 1) |AB| = |DE| olması durumu. Bu durumda ˆ Aˆ ∼ =D
△
△
△
△
= DEF ⇒ ABC ∼ DEF |AB| = |DE| (A.K.A.)ABC ∼ Cˆ ∼ = Eˆ
2) |AB| > |DE| (veya |AB| < |DE| de olabilir) olması durumu. Bu durumda D
A
E’
F’ E
B
F
C S ¸ ekil 20. A.A.A Benzerli˘gi
[AB]-kenarı u ¨ zerinde |AE ′ | = |DE| e¸sitli˘gini sa˘glayan bir E ′ noktası vardır. Benzer d¨ u¸su ¨ nceyle, 41
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
[AC]-kenarı u ¨ zerinde |AF ′ | = |DF | e¸sitli˘gini sa˘glayan bir F ′ noktası se¸celim. Bu durumda, |AE ′ | = |DE| ˆ Aˆ ∼ =D
|AF | = |DF | ′
ˆ ⇒ Eˆ′ ∼ = E,
(K.A.K)
△
△
AE ′ F ′ ∼ = DEF
Fˆ′ ∼ = Fˆ ⇒ [E ′ F ′ ]//[BC]
T.O.T den
△ △ △ △ △ |AF ′ | |AE ′ | = ⇒ ABC ∼ AE ′ F ′ ∼ = DEF ⇒ ABC ∼ DEF . |AB| |AC|
˙ u Sonuc ¸ 6.1. Iki ¨¸cgen arasında yapılan bir e¸slemede, kar¸sılıklı iki¸ser a¸cıları e¸s ise u ¨¸cgenler benzerdir. ∼ ˆ △ △ Aˆ = D Yani bir ABC ←→ DEF e¸slemesinde, ⇒ ABC ∼ DEF . ˆ∼ B = Eˆ
˙ u ¨¸cgen arasında yapılan Teorem 6.2. (K.K.K. Benzerlik Teoremi) Iki
bir e¸slemede, kar¸sılıklı kenarlar orantılı ise u ¨¸cgenler benzerdir. Yani, bir ABC ←→ DEF e¸slemesinde, △ △ |AB| |BC| |AC| = = ⇒ ABC ∼ DEF , |DE| |EF | |DF |
ˆ B ˆ∼ ˆ Cˆ ∼ (Aˆ ∼ = D, = E, = Fˆ )
Ispat: E˘ger k = 1 ise K.K.K. E¸slik Teoreminden △ △ △ △ ABC ∼ = DEF ⇒ ABC ∼ DEF k 6= 1 ve k > 1 olsun. Bu durumda,
|AB| > |DE| olup |DE| = |AE ′ | e¸sitli˘gini sa˘glayan bir tek E ′ ∈ [AB] noktası ve |AC| > |DF | olup |DF | = |AF ′ | e¸sitli˘gini sa˘glayan bir tek F ′ ∈ [AC] noktası vardır, 42
R.Aslaner
www.matematikce.com
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi D
A
E′
F′ E
B
F
C S ¸ ekil 21. K.K.K. benzerli˘gi
|AC| |AB| |AC| |AB| = e¸sitli˘ginden = yazılabilir ve Aˆ ∼ = Aˆ olup ′ |DE| |DF | |AE | |AF ′ | K.A.K Benzerlik Aksiyomuna g¨ore △ △ |AB| |BC| ˆ∼ = ABC ∼ AE ′ F ′ ⇒ B = Eˆ′ ve |E ′ F ′ | |AE ′ |
|DE| |AE ′ | = |BC| = |EF | |AB| |AB| ′ |AE | = |DE| △ △ ′ ′ ∼ ′ ′ (K.K.K. E¸ s lik Aksiyomu) AE F DEF = |E F | = |EF | ′ |AF | = |DF | ˆ∼ D = Aˆ ˆ⇒E ˆ∼ ˆ ⇒ Eˆ ∼ =B =B = Eˆ′ ∼ Fˆ ∼ = Cˆ ⇒ Fˆ ∼ = Cˆ = Fˆ′ ∼
⇒ |E ′ F ′ | = |BC|
Bu teoremden a¸sa˘gıdaki sonu¸c verilebilir.
Sonuc ¸ 6.2. Benzer iki u ¨¸cgenin ¸cevre uzunluklarının oranı benzerlik oranına e¸sittir.
43
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˘ 7. DOGRU PARC ¸ ALARININ UZUNLUKLARI ARASINDAKI˙ ORAN VE ORANTI Teorem 7.1. (I.Tales Teoremi) Bir paralel do˘gru demeti her hangi iki kesenle kesildi˘ginde, kesenler u ¨zerinde olu¸san do˘gru par¸calarının uzunlukları orantılıdır.
A
m
n D
B
K
d1
d2
E
F d3
C
S ¸ ekil 22. I.Tales Teoremi Teoremin bu ¸sekle g¨ore ifadesi d1 // d2 // d3 m ∩ (d1 , d2, d3 ) = (A, B, C)
n ∩ (d1 , d2 , d3 ) = (D, E, F )
⇒
|AB| |DE| = |BC| |EF |
Ispat: A ←→ F ve [AF ] ∩ d2 = K diyelim. Bu durumda d2 // d3 oldu˘gundan T.O.T. ne g¨ore, |AB| |AK| |DE| = = |BC| |KF | |EF |
⇒
|AB| |DE| = |BC| |EF |
Sonuc ¸ 7.1. E˘ger burada |AB| = |BC| ise, yani paralel do˘gru demeti her hangi bir kesen u ¨zerinde e¸s par¸calara a˘grılıyor ise her kesen u ¨zerinde e¸s par¸calara ayrılır. |AB| = |BC| ⇒ |AK| = |KF | & |DE| = |EF | dir. 44
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Teorem 7.2. (II.Tales Teoremi) Kesi¸sen iki do˘gru, paralel iki o˘gru ile kesildi˘ginde olu¸san u ¨¸cgenler benzerdir. Bu ifadeyi karakterize eden iki farklı geometrik g¨osterim vardır.
d2
A
B K
d1 D
C
k1
k2 (a) S ¸ ekil 23. II.Tales Teoremi △
(b)
△
k1 ∩ k2 = K ve d1 //d2 ⇒ AKB ∼ CKD. Aˆ ∼ = Cˆ ˙ ˆ ∼ ˆ Ispat: k1 ∩ k2 = {K} ve d1 //d2 ⇒ K =K
∼ ˆ ˆ B=D
△
△
⇒ AKB ∼ CKD.
Tanım 7.1. Bir [AB] ve bir C ∈ (AB) i¸c noktası verildi˘ginde, |AC| = m ve |CB| = n ise, A
m
n
B
C C noktasına [AB] sını
m oranında i¸cten b¨olen nokta, n
B noktasına [AC] sını
m+n oranında dı¸stan b¨olen nokta, denir. n 45
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Soru: Acaba her hangi bir [AB] sı ve m > n ∈ R+ sayıları verm ildi˘ginde, bu do˘gru par¸casını oranında i¸cten ve dı¸stan b¨olen noktalar n var mıdır? E˘ger varsa nasıl bulunur? Cevap: Yukarıdaki ¸sartları sa˘glayan iki nokta her zaman vardır ve a¸sa˘gıdaki ¸sekilde bulunur. Bir [AB] sı ve m > n ∈ R+ sayıları verilmi¸s olsun. Do˘grultusu AB do˘grultusundan farklı olan bir [AX ı¸sını c¸izip u ¨ zerinde |AC| = m ve |CD| = |CE| = n e¸sitliklerini sa˘glayan C, D ve E noktalarını belirleyelim. X E m
D
C n
A
n B
K
L
S ¸ ekil 24. D, E ←→ B ve [DB]//[CL] ve [EB]//[CK] olacak ¸sekilde elde edilen K, L ∈ AB noktaları i¸cin |AK| |AC| m m = = olup K noktası [AB] sını oranında i¸cten b¨olen, |KB| |CE| n n |AL| |AC| m m = = olup L noktası [AB] sını oranında dı¸stan b¨olen |LB| |CD| n n nokta dır. 5 ¨ Ornek 7.1. Uzunlu˘gu 4 cm olan bir [AB] sını oranında i¸cten ve 3 dı¸stan b¨olen noktalar C ve D ise, |AC|, |AD|, |BC| ve |BC| uzaklıklarını hesaplayınız. △
Teorem 7.3. (Menelaus Teoremi) Bir ABC nin kenarlarını veya uzantısını bir d do˘grusu sırasıyla X, Y ve Z noktalarında kesiyor ise 46
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A C’ Y Z
d
A’
B’ X B
C
S ¸ ekil 25. Menelaus Teoremi |XB| |Y C| |ZA| . . =1 |XC| |Y A| |ZB|
dir.
˙ Ispat: A, B ve C noktaları d do˘grusu u ¨ zerinde olmadı˘gından bu noktaların d u ¨ zerindeki dik izd¨ u¸su ¨ m noktalarına A′ , B ′ ve C ′ dersek [AA′ ], [BB ′ ], [CC ′ ] ⊥ d ⇒ [AA′ ] // [BB ′ ] // [CC ′ ] II.Tales Teoreminden |AA′ | |ZA| [AA ] // [BB ] ⇒ = |ZB| |BB ′ | ′
′
[AA′ ] // [CC ′ ] ⇒
|Y C| |CC ′ | = |Y A| |AA′ |
[AA′ ] // [CC ′ ] ⇒
|XB| |BB ′ | = |XC| |CC ′ |
bu u ¨ c¸ e¸sitli˘gi taraf tarafa c¸arparsak
△
|XB| |Y C| |ZA| . . = 1 elde edilir. |XC| |Y A| |ZB|
¨ Ornek 7.2. G noktası bir ABC nin a˘gırlık merkezi ve [AD], [BC] |AG| 2 kenarına ait kenarortay ise = oldu˘gunu g¨ osteriniz . |AD| 3
47
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner △
Teorem 7.4. (Seva Teoremi) Bir ABC ni d¨ uzleminde alınan bir O noktasını u ¨¸cgenin k¨o¸se noktalarına birle¸stiren do˘grular kar¸sı kenarları sırasıyla X, Y ve Z noktalarında keserse, Y
A
A
Z O
Y B
X C
B
X
C Z
O
S ¸ ekil 26. Seva Teoremi
|BX| |CY | |AZ| . . =1 |XC| |Y A| |ZB|
(7.1) ˙ Ispat: △
BCZ ni ne AX kesenine g¨ore Menelaus Teoremi uygulanırsa |BX| |CO| |ZA| . . =1 |XC| |OZ| |AB|
(7.2) △
AZC ni ne BY kesenine g¨ore Menelaus Teoremi uygulanırsa |CY | |AB| |ZO| . . =1 |Y A| |BZ| |OC|
(7.3)
7.2 ve 7.3 taraf tarafa c¸arpılırsa 7.1 elde edilir. △
¨ Ornek 7.3. Bir ABC ninde Aˆ sının a¸cıortayı [AD] aynı zamanda [BC] kenarına ait y¨ ukseklik, E ∈ [AB] olsun. F, [EC] nin orta noktası omak u ¨zere, |AC| = 14cm, |AE| = 6cm ⇒ |DF | ka¸c cm dir? 48
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ C ¸¨ oz¨ um: Oncelikle verilenlere uygun olan ¸seklimizi c¸izelim. A E
1 2 F
B
D
C
S ¸ ekil 27. m(Aˆ1 ) = m(Aˆ2 ) ⇒ |BD| = |DC| ⇒ |AB| = |AC| = 14cm ˆ = 90o m(D)
E ∈ [AB] ve |AE| = 6cm verilmi¸s,
|AB| = |AE| + |EB| = 6 + |EB| = 14cm ⇒ |EB| = 8cm |BD| = |DC| |CF | |CD| |DF | = = ⇒ |CE| |CB| |BE| |EF | = |F C| ⇒
|DF | 1 = ⇒ |DF | = 4cm 8 2
˙ UC ¨ ¸ GENLERDE METRIK ˙ BAGINTILAR ˘ 8. DIK Tanım 8.1. Bir dik u ¨¸cgende dik a¸cının g¨ ord¨ u˘gu ¨ kenara hipoten¨ us denir. Teorem 8.1. Bir dik u ¨¸cgende hipoten¨ use ait y¨ uksekli˘gi tanımlayan do˘gru par¸cası, bu u ¨¸cgeni bir birine ve kendine benzeyen iki u ¨¸cgene ayırır. △
Bir ABC dik u ¨ c¸geninde, (8.1) ˙ Ispat:
△ △ △ [AB] ⊥ [BC] ⇒ ABC ∼ ADB ∼ BDC. [BD] ⊥ [AC] 49
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A D 2 1 B
C S ¸ ekil 28.
o ˆ ˆ m(B1 ) + m(C) = 90 ˆ ⇒ Bˆ1 ∼ = A, o ˆ ˆ m(A) + m(C) = 90 ∼ ˆ ˆ A = B1 △ △ ∼ ˆ ˆ ⇒ ABC ∼ BDC B=D Cˆ ∼ = Cˆ o ˆ ˆ m(B2 ) + m(A) = 90 ˆ ⇒ Bˆ2 ∼ = C, o ˆ ˆ m(C) + m(A) = 90 ∼ ˆ ˆ A=A △ △ ∼ ˆ=D ˆ ⇒ ABC ∼ ADB B ∼ ˆ ˆ C = B2 ∼ ba˘gıntısının ge¸ci¸sme ¨ozelli˘ginden 8.1 elde edilir. a x = orantısını sa˘glayan x ∈ R+ x b √ sayısına a ile b nin geometrik ortası denir ve x = a.b ile g¨ osterilir. Tanım 8.2. a, b ∈ R+ olmak u ¨zere
Bu tanım ve yukarıdaki teoremden a¸sa˘gıdaki sonu¸cları verebiliriz. Sonuc ¸ 8.1. Bir dik u ¨¸cgende hipoten¨ use ait y¨ ukseklik, bu y¨ uksekli˘gi tanımlayan doru par¸casının hipoten¨ us u ¨zerinde ayırdı˘gı do˘gru par¸calarının uzunluklarının geometrik ortasıdır. Bu sonucun yukarıdaki ¸sekle g¨ore matematiksel ifadesi |BD|2 = |AD||DC| 50
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner △
△
(ADB ∼ BDC ⇒
|BD| |AD| = ) |BD| |DC|
bu e¸sitli˘ge dik u ¨ c¸gende y¨ ukseklik ba˘gıntısı denir.
Sonuc ¸ 8.2. Bir dik u ¨c¸gende herbir dik kenar uzunlu˘gu, h¨ upoten¨ us ile hipoten¨ us¨ un kendi tarafında kalan pa¸canın geometrik ortasıdır.
(8.2)
|AB|2 = |AC||AD|
(8.3)
|BC|2 = |AC||CD|
bu e¸sitliklere dik u ¨¸cgende kenar ba˘gıntısı denir. Bu sonu¸ctan a¸sa˘gıdaki teorem elde edilir. Teorem 8.2. (Pisagor Teoremi) Bir dik u ¨¸cgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı h¨ upoten¨ us uzunlu˘gunun karesine e¸sittir, yani
|AB|2 + |BC|2 = |AC|2 dir. △
˙ ¨ c¸geninin [AC]-kenarını bir kareye, Ispat: S¸ekil 27 de verilen ABC u bu kareyede a¸sa˘gıdaki ¸sekilde bir b¨ uy¨ uk kareye tamamlayalım. Bu durumda,
A b
B
a
c
C
S ¸ ekil 29. 51
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
b¨ uy¨ uk karenin kenar uzunlu˘gu (a + c) − br olup alanı a.c A = (a + c)2 = a2 + 2ac + c2 = 4 + b2 2 =⇒ a2 + c2 = b2 elde edilir. △
Teorem 8.3. (Stewart Teoremi)Bir ABC ninde D ∈ [BC] olmak u ¨zere, |BD| = m mb2 + nc2 − mn ⇒ x2 = |DC| = n m+n |AD| = x
dir.
˙ Ispat: A noktasının [BC] u ¨ zerindeki dikme aya˘gına H, |HD| = k A
B
H
D
C
S ¸ ekil 30. diyelim. Bu durumda, elde edilen dik u ¨ c¸genlere Pisagor Teoremi uygulanırsa, △
ABH- dik u ¨ c¸geninden △
AHD- dik u ¨ c¸geninden △
AHC- dik u ¨ c¸geninden
c2 = h2 + (m − k)2 x2 = h2 + k 2 b2 = h2 + (n + k)2
yazılabilir. Buradan da mb2 = mh2 + mn2 + mk 2 − 2mnk nc2 = nh2 + nm2 + nk 2 + 2mnk 52
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner elde edilir. Bu iki e¸sitlik taraf tarafa toplanırsa,
mb2 + nc2 = (m + n)(h2 + mn + k 2 ) ⇒ h2 + k 2 = x2 =
mb2 + nc2 − mn m+n
elde edilir. Bu teoremin bir sonucu olarak verilen, a¸sa˘gıdaki sonu¸clardan biri di˘gerini gerektirir. Sonuc ¸ 8.3. 1) E˘ger [AD], Aˆ sına ait a¸cıortay ise, mb = nc olup, x2 = bc − mn dir. 2) E˘ger [AD], [BC] kenarına ait kenarortay ise, m = n olup, 1 a2 x2 = (b2 + c2 − ) 2 2 dir. a dir. 2 yani, bir dik u ¨¸cgende hipoten¨ use ait kenarortay uzunlu˘gu, hipoten¨ us uzunlu˘gunun 3) E˘ger m(Aˆ = 90o ) ise, b2 + c2 = a2 olup
x=
yarısıdır. ¨ Ornek 8.1. Bir a¸cısının ¨ol¸cu ¨s¨ u 30o olan dik u ¨¸cgende hipoten¨ use ait y¨ ukseklik ile kenarortay do˘gruları dik a¸cıyı u ¨¸c e¸s a¸cıya ayırır, g¨osteriniz.
www.matematikce.com
53
www.matematikce.com
¨ UM ¨ BOL 4
¨ DORTGENLER Tanım 0.3. D¨ uzlemde en az u ¨¸cu ¨ do˘grusal olmayan d¨ort nokta ve bu noktaların iki¸ser iki¸ser birle¸stirilmesiyle olu¸san do˘gru par¸calarının birle¸sim k¨ umesine d¨ortgen denir. D c C
d b a
A
B
S ¸ ekil 1. D¨ortgen D¨ortgenler sol alt k¨o¸seden ba¸slayarak k¨o¸se noktalarının saatin ters y¨on¨ unde sıralanmasıyla g¨osterilir, ABCD - d¨ortgeni gibi. Kenarlar u ¨ c¸genlerden farklı olarak, her kenar takip etti˘gi k¨o¸senin k¨ uc¸u ¨ k harfiyle g¨osterilir a, b, c, d. Bu aynı zamanda o kenarın uzulu˘gu anlamına da gelir, yani |AB| = a br, ... Bu tanıma g¨ore bir d¨ortgenin temel ¨ozelikleri, * D¨ uzlemsel bir ¸sekil olması, * D¨ort k¨o¸sesi ve d¨ort kenarının olması, * Basit kapalı bir ¸sekil olması ¨ cgenlerde her k¨o¸se di˘ger iki k¨o¸seye kom¸sudur. Bir Tanım 0.4. U¸ d¨ortgende kom¸su olmayan iki k¨o¸seyi birle¸stiren do˘gru par¸casına k¨o¸segen denir. 55
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
[AC] ve [BD] do˘gru par¸caları ABCD-d¨ortgeninin k¨o¸segenleridir. Her d¨ortgen iki k¨o¸segene sahiptir. Bir d¨ortgen bir kenarları ortak olan iki u ¨ c¸genden olu¸sur. Buna g¨ore bir d¨ortgenin i¸c a¸cılarının ¨ol¸cu ¨ leri toplamı 2 × 180o = 360o dir. Teorem 0.4. Bir d¨ortgende kom¸su iki k¨ o¸sedeki iki a¸cının a¸cıortayının olu¸sturdu˘gu a¸cının ¨ol¸cu ¨s¨ u, di˘ger iki k¨ o¸sedeki i¸c a¸cıların ¨ ol¸cu ¨leri toplamının yarısına e¸sittir. D C
K
A
B S ¸ ekil 2. A¸cıortay
ˆ sının a¸cıortayı ise, [AK, Aˆ sının ve [BK, B 1 ˆ ˆ + m(D)] ˆ m(AKB) = [m(C) 2
(0.4) △
˙ Ispat: KAB- u ¨ c¸genin de
ABCD - d¨ortgeninde
ˆ + m(K)
ˆ ˆ m(A) m(B) + = 180o 2 2
ˆ + m(B) ˆ + m(C) ˆ + m(D) ˆ = 360o m(A)
Bu e¸sitl˘gin her iki tarafı ikiye b¨ol¨ un¨ urse, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ m(A) m(B) m(C) m(D) ˆ + m(A) + m(B) + + + = 180o = m(K) 2 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ + m(D)] ˆ ⇒ m(AKB) = [m(C) 2 56
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ ˙ ¨ ˙ 1. DORTGEN C ¸ ES ¸ ITLER I˙ VE OZEL IKLER I˙ D¨ortgenler, kenarlarının konumu ve a¸cılarının ¨ol¸cu ¨ lerine g¨oresınıflandırılırlar. Bu sınıflandırmada yer alan d¨ortgenlere ¨ozel d¨ortgenler denir. Bunlar: yamuk, paralelkenar, e¸skenard¨ ortgen, dikd¨ ortgen, kare ve deltoid ’dir. 1.1. Yamuk. ˙ kenarı paralel olan d¨ Tanım 1.1. Iki ortgenlere yamuk denir. Bir yamukta paralel olan kenarlara taban, di˘ger kenarlara yan kenar adı verilir. ABCD−d¨ortgeninde [AB]//[CD] oldu˘gundan bu d¨ortgen,
D
E
C
A
B S ¸ ekil 3. Yamuk
tabanları [AB] ve [CD], yan kenarları [AD] ve [BC] olan bir yamuktur. Teorem 1.1. Bir yamukta tabanlarla yan kenarların olu¸sturdu˘gu a¸cılar b¨ ut¨ unler a¸cılardır, yani bir ABCD−yamu˘gunda, (1.1)
ˆ + m(D) ˆ = 180o m(A)
ve
ˆ + m(C) ˆ = 180o m(B)
dir. ~ y¨on¨ ˙ Ispat: [AD]−kenarını AD unde uzatıp u ¨ zerinde bir E noktası se¸celim. Bu durumda, ˆ (y¨onde¸s a¸cılar) ⇒ m(A) ˆ = m(CDE) ˆ Aˆ ∼ = CDE ˆ∼ ˆ ( kendisi) ˆ = m(ADC) ˆ D ⇒ m(D) = ADC 57
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner Bu iki e¸sitlik taraf tarafa toplanırsa,
ˆ + m(D) ˆ = m(ADC) ˆ ˆ m(A) + m(CDE) = 180o ˆ ˆ = 180o oldu˘gun da g¨osterilebilir. elde edilir, benzer d¨ u¸su ¨ nceyle m(B)+m( C) Tanım 1.2. Bir yamukta yan kenarların orta noktalarını birle¸stiren do˘gru par¸casına orta taban denir. D
C
M
N K
L
A
B S ¸ ekil 4. Orta taban |AM| = |MD| ⇒ [MN] orta tabandır. |BN| = |NC|
Bu tanımdan a¸sa˘gıdaki sonu¸clar elde edilir.
Sonuc ¸ 1.1. Bir yamukta orta tabanın uzunlu˘gu di˘ger tabanların uzunlukları toplamının yarısına e¸sittir, yani (1.2)
1 |MN| = (|AB| + |CD|). 2
Sonuc ¸ 1.2. Bir yamukta orta tabanın k¨ o¸segenler arasında kalan par¸casının uzunlu˘gu taban uzunlukları farkının yarısına e¸sittir, yani (1.3)
1 |KL| = (|AB| − |CD|). 2
˙ Ispat: △
△
A.A.A benzerlik aksiyomuna g¨ore AMK ∼ ADC 58
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner ⇒
|AM| |MK| 1 |MK| 1 = ⇔ = ⇒ |MK| = |DC| |AD| |DC| 2 |DC| 2 △
△
A.A.A benzerlik aksiyomuna g¨ore DML ∼ DAB ⇒
|DM| 1 |ML| 1 |ML| = ⇔ = ⇒ |ML| = |AB| |AB| |DA| 2 |AB| 2
1 1 1 |KL| = |ML|−|MK| = |AB|− |DC| = (|AB|−|DC|) elde edilir. 2 2 2 ¨ Ornek 1.1. Bir ABCD- yamu˘gunun kenar uzunlukları sırasıyla |AB| = 14, |BC| = 8, |CD| = 4
ve
|DA| = 6 cm,
ˆ D) ˆ a¸cıortaylarının kesi¸sim noktası ve E, (A, ˆ C) ˆ a¸cıortaylarının kesi¸sim noktası ise, |EF | =? F, (B, ¨ C ¸¨ oz¨ um: Oncelikle problemde verilenlere g¨ore geometrik ¸seklimizi c¸izelim. K
D H M
β
C
β E
F
N
α α A
B
L S ¸ ekil 5.
ˆ + m(D) ˆ = 180o oldu˘gundan α + β = 90o olup m(AED) ˆ m(A) = 90o dir. E noktası a¸cıortaylarının kesi¸sim noktası oldu˘gundan |EK| = |EH| = |EL| 59
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
olup E noktası orta taban u ¨ zerindedir. Orta tabana [MN] dersek [EM], △
AED dik¨ uc¸geninde hipoten¨ use ait kenarortay olup 1 |EM| = |AD| = 3cm 2 1 dir. Benzer d¨ u¸su ¨ nceyle |F N| = |BC| = 4 cm dir. 2 a+c 14 + 4 ⇒ |MN| = = = 9 ⇒ |EF | = 9 − (3 + 4) = 2 cm bulunur. 2 2 ˙ 1.2. Ikizkenar Yamuk. Tanım 1.3. Yan kenarları e¸s olan yamu˘ga ikizkenar yamuk denir. D
A
C
E
B
˙ S ¸ ekil 6. Ikizkenar yamuk [AD] ∼ = [BC] ⇒ ABCD - yamu˘gu bir ikiz kenar yamuktur. Bir ikizkenar yamuk, yamu˘ga ilaveten a¸sa˘gıdaki ¨ozeliklere de sahiptir. ˆ ve Cˆ ∼ ˆ 1) bir tabanın iki ucundaki a¸cılar e¸stir, yani Aˆ ∼ =B = D. 2) k¨o¸segenler e¸stir, yani |AC| = |BD|
˙ Ispat 1: C k¨o¸sesinden [AD] - kenarına bir paralel c¸izip, [AB] - kenarıyla kesim noktasına E diyelim. Bu durumda Aˆ ∼ = Eˆ - y¨onde¸s a¸cılar,
△
|CE| = |DA| = |CB| oldu˘gundan CEB ni ikiz kenar u ¨ c¸gen olup ˆ - taban a¸cılar. Ohalde Aˆ ∼ ˆ ⇒ Aˆ ∼ ˆ dir. Eˆ ∼ =B = Eˆ ∼ =B =B ˆ oldu˘guda benzer ¸sekilde g¨osterilebilir. Cˆ ∼ =D 60
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner 1.3. Dik Yamuk.
Tanım 1.4. Bir kenarı tabanlara dik olan yamu˘ga dik yamuk denir. [AD] ⊥ [AB]//[DC] ⇒ ABDC- bir dik yamuktur. D .
C
. A
B S ¸ ekil 7. Dik Yamuk
Teorem 1.2. Bir dik yamukta k¨ o¸segenler bir birine dik ise, dik kenar tabanların geometrik ortasıdır, yani [AC] ⊥ [BD] ⇒ |AD| =
(1.4)
p |AB| × |CD|
dir. ˙ Ispat: D k¨o¸sesinden [AC] k¨o¸segenine bir paralel c¸izelim. Bu durumda, D .
C
h
E
c
. A
a
B
S ¸ ekil 8. △
[AC] ⊥ [BD] ⇒ [DE] ⊥ [DB] (y¨onde¸s a¸cılar) DEB- dik u ¨ c¸geninde √ ¨ Oklid y¨ ukseklik ba˘gıntısına g¨ore h = |AD| = a × c, olmalıdır. 61
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner 1.4. Paralelkenar.
Tanım 1.5. Kar¸sılıklı kenarları paralel olan d¨ ortgene paralel kenar denir. D
C ∼
K ∼
A
B
S ¸ ekil 9. Paralelkenar [AB] // [DC] ⇒ ABCD - d¨ortgeni bir paralelkenardır. [AD] // [BC]
Bir paralel kenar, yamu˘ga ilaveten a¸sa˘gıdaki ¨ozeliklere de sahiptir. Bir ABCD - paralel kenarında ˆ B ˆ∼ ˆ 1) kar¸sılıklı a¸cılar birbirine e¸stir, Aˆ ∼ = C, =D 2) kar¸sılıklı kenarlar birbirine e¸stir, [AB] ∼ = [DC], [AD] ∼ = [BC]. 3) k¨o¸segenler birbirini ortalar, yani k¨o¸segenlerin kesi¸sim noktası K ise, 1 |AK| = |KC| = |AC| 2 4) kom¸su a¸cılar b¨ ut¨ unlerdir.
ve
1 |BK| = |KD| = |BD| 2
5) kom¸su a¸cıların a¸cıortayları bir birine diktir. 1.5. E¸skenar D¨ ortgen. Tanım 1.6. D¨ort kenarı e¸s olan paralel kenara e¸skenar d¨ ortgen denir. [AB] ∼ = [BC] ∼ = [CD] ∼ = [DA] ⇒ ABCD - d¨ortgeni bir e¸skenar d¨ortgendir. Bir e¸skenar d¨ortgen, yamuk ve paralel kenara ilaveten iki ikizkenar u ¨ c¸genin birle¸simi oldu˘gundan ¸su ¨ozeliklere de sahiptir. 62
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi C
R.Aslaner D
A
B S ¸ ekil 10. E¸skenar d¨ortgen
1) her k¨o¸segen birle¸stirdi˘gi k¨o¸selerdeki a¸cıların a¸cıortayıdır, 2) her bir k¨o¸segen di˘ger k¨o¸segenin orta dikmesidir. 1.6. Dikd¨ ortgen. Tanım 1.7. A¸cıları e¸s olan paralel kenara dikd¨ ortgen denir. D
C
A
B S ¸ ekil 11. Dikd¨ortgen
Dikd¨ortgen paralel kenardan farklı olarak, a¸cıları dik a¸cı ve k¨o¸segenleri e¸stir. 1.7. Kare. Tanım 1.8. Kenarları e¸s olan dik d¨ ortgene kare denir. Bir karede e¸skenar d¨ortgen ve dikd¨ortgenden farklı olarak, 1) k¨o¸segen uzunlukları e¸sit (e¸skenar d¨ortgenden farkı) 2) k¨o¸segenler birbirinin orta dikmesidir (dikd¨ortgenden farkı) 63
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner D
C K
A
B
S ¸ ekil 12. kare 3) Ayrıca her kare k¨o¸segenler yardımıyla d¨ort tane, e¸s ikizkenar dik u ¨ c¸gene ayrılır, yani K - k¨o¸segenlerin kesi¸sim noktası olmak u ¨ zere, △
△
△
KAB, KBC, KCD
ve
△
KDA
dik u ¨ c¸genleri e¸s u ¨ c¸genlerdir.
¨ Ornek 1.2. Bir ABCD- karesinin k¨ o¸segenlerinin kesi¸sim noktası E, ˆ CABsının a¸cıortayının [BE] ve [BC] ile kesi¸sim noktaları sırasıyla F √ ve G olmak u ¨z¨ ure; |EF | = 2 cm ise |GC| = x ka¸c cm dir? C ¸¨ oz¨ um: D
C H
x
F
G
E
A
B S ¸ ekil 13.
G noktasının [AC] u ¨ zerindeki dikme aya˘gına H dersek, △
ˆ sının a¸cıortayı oldu˘gundan |GB| = |GH| = a olsun. [AG, ABC ninde A△
△
ˆ = 45o olup HGC ni Bu durumda HGC nin a¸cıları (90o, ?, 45o ) ⇒ m(G) bir ikizkenar u ¨ c¸gendir, yani √ √ √ |HG| = |HC| = a ⇒ x = 2a ⇒ |BC| = a + 2a ⇒ |AC| = 2a + 2a 64
R.Aslaner
www.matematikce.com
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
√ √ √ 2 2 |AC| ⇒ |EC| = =a+ a ⇒ |EH| = a ⇒ |AH| = a + 2a 2 2 2 A.A. benzerlik sonucuna g¨ore √ 2 √ a a+ △ △ 2 |EF | |AE| 2 √ AEF ∼ AHG ⇒ = = ⇔ ⇒ a = 2 |AH| |HG| a a + 2a √ ⇒x=2 2 1.8. Deltoid. Tanım 1.9. Bir k¨o¸segene g¨ore simetrik olan d¨ortgene deltoid, bu k¨o¸segenin do˘grultusuna simetri ekseni denir. Deltoid, bir u ¨ c¸genin en uzun kenarına g¨ore simetrisi alınarak veya tabanları ortak iki ikizkenar u ¨ c¸genin birle¸stirilmesiyle elde edilen d¨ortgen olarak da tanımlanabilir. ABCD- d¨ortgeni, simetri ekseni BD−do˘grusu A
B
. K
D
S ¸ ekil 14. Deltoid C olan bir deltoidtir. ¨ Deltoidin Ozelikleri: 1) Simetri ekseninde birle¸sen kenarlar e¸stir, [AB] ∼ = [DC] dir, = [BC] ve [AD] ∼ 2) Simetri eksenini g¨oren a¸cıları e¸stir, yani Aˆ ∼ = Cˆ dir. ˆ ve D ˆ a¸cılarının a¸cıortayıdır, 3) [BD] simetri k¨o¸segeni, B ˆ = 90o 4) K¨o¸segenleri dik kesi¸sir, m(K) 5) Uzun olan k¨o¸segen kısa olanı ortalar, 1 [AC] ⊥ [BD] ve |AK| = |KC| = |AC| dir. 2 Sonuc ¸ 1.3. E¸skenar d¨ortgen ve kare birer deltoidtir. 65
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner 2. C ¸ OKGENLER
Genel olarak n ≥ 5 oldu˘gunda n−gen yerine c¸okgen kavramı kullanılır. C ¸ okgenler kenar do˘grularının, kenarları kesip kesmemesine g¨ore iki sınıfa ayrılır. ˙ cb¨ 2.1. Dı¸sb¨ ukey ve I¸ ukey C ¸ okgenler. . Bir c¸okgenin kenar do˘grularının hi¸cbiri c¸okgeni kesmiyorsa bu c¸okgenlere dı¸sb¨ ukey c¸okgen, bazı kenar do˘gruları c¸okgeni kesiyorsa bu t¨ ur c¸okgenlere de i¸cb¨ ukey c¸okgen denir.
B
B A A
S ¸ ekil 15. Dı¸sb¨ ukey C ¸ okgen
˙ cb¨ I¸ ukey C ¸ okgen
Bir c¸okgen ile i¸c noktalarının k¨ umesine c¸okgensel b¨olge denir, bu b¨olgeyi B ile g¨osterelim. ∀A, B ∈ B i¸cin [AB] ⊂ B oluyorsa B b¨olgesine konveks b¨olge aksi halde konveks olmayan b¨olge denir. Sonuc ¸ 2.1. Bir konveks b¨ olge olu¸sturan ¸cokgenler dı¸sb¨ ukeydir. Biz bu c¸alı¸smada, aksi belirtilmedik¸ce c¸okgen denildi˘ginde bir dı¸sb¨ ukey c¸okgeni kast edece˘giz.
66
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner ˙ OZEL ¨ ˙ ˙ C ¸ OKGENLERIN IKLER I: n ≥ 3 olmak u ¨ zere n-kenarlı bir c¸okgende;
1) Bir k¨o¸seden c¸izilen k¨o¸segenlerle (n-2)-tane u ¨ c¸gen olu¸sur, buna g¨ore bir c¸okgende i¸c a¸cıların ¨ol¸cu ¨ leri toplamı (n − 2) × 180o dir. n X i=1
m(Aˆi ) = (n − 2) × 1802
2) Herhangi bir k¨o¸sede olu¸san i¸c a¸cı ile dı¸s a¸cı kom¸su b¨ ut¨ unler a¸cılardır. ∀i
i¸cin
m(Aˆi ) + m(Aˆ′i ) = 180o
3) Bir c¸okgenin t¨ um k¨o¸selerinin iki¸ser iki¸ser birle¸stirilmesiyle olu¸san do˘gru par¸calerından n−tanesi kenar, di˘gerleri k¨o¸segendir. Buna g¨ore n− kenarlı bir c¸okgenin k¨o¸segen sayısı, s(K) = C(n, 2) − n =
n(n − 1) n(n − 3) −n= 2 2
3(3 − 3) = 0, u ¨ c¸genin k¨o¸segeni yoktur, 2 4(4 − 3) n = 4 i¸cin s(K) = = 2, d¨ortgenin 2 k¨o¸segeni vardır, 2 ... 9(9 − 3) n = 9 i¸cin s(K) = = 27 vs. 2 n = 3 i¸cin s(K) =
2.2. D¨ uzg¨ un C ¸ okgenler. Tanım 2.1. Kenarları ve i¸c a¸cıları e¸s olan ¸cokgenlere d¨ uzg¨ un ¸cokgen denir. Mesela e¸skenar u ¨¸cgen, kare birer d¨ uzg¨ un ¸cokgendir.
67
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner ¨ UN ¨ C ˙ OZEL ¨ ˙ * DUZG ¸ OKGENLERIN IKLER I˙ n−kenarlı bir d¨ uzg¨ un c¸okgende,
1) her bir i¸c a¸cısının ¨ol¸cu ¨ s¨ u, yani her i = 1,2, ... ,n i¸cin (n − 2)180 360 = 180o − n n ve herbir dı¸s a¸cısının ¨ol¸cu ¨ s¨ u, m(Aˆi ) =
m(Aˆ′i ) =
360 n
¨ Ornek 2.1. Bir d¨ uzg¨ un altıgenin her bir i¸c a¸cısının ¨ ol¸cu ¨s¨ u, A5
A4
A6
A3
60
o
120o A1
A2
S ¸ ekil 16. D¨ uzg¨ un Altıgen
m(Aˆi ) =
(6 − 2)180 360 = 180o − = 120o 6 6
ve dı¸s a¸cısının ¨ol¸cu ¨ s¨ u, m(Aˆ′i ) =
360 = 60o 6
2) E¸sit sayıda kenarı birle¸stiren k¨o¸segenler e¸stir. [A1 A3 ] ∼ = [A2 A4 ] ∼ = [A3 A5 ] [A1 A4 ] ∼ = [A2 A5 ], [A2 A5 ] ∼ = [A1 A6 ] ve [A1 A5 ] ∼ = [A2 A6 ] vs... 3) Kenar sayısı c¸ift olan d¨ uzg¨ un c¸okgenlerde kar¸sılıklı kenarlar paraleldir. 68
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A5
A4
A6
A8
A3
A1
A1
A2
S ¸ ekil 17. n - c¸ift [A1 A2 ]//[A4 A5 ] , [A2 A3 ]//[A5 A6 ] ve [A3 A4 ]//[A6 A1 ] [A1 A2 ]//[A5 A6 ] ve [A2 A3 ]//[A6 A7 ] vs...
4) Kenar sayısı tek olan d¨ uzg¨ un c¸okgenlerde kar¸sı kenara c¸izilen dik kar¸sı kenarı ortalar veya k¨o¸seden kenarın ortasına c¸izilen do˘gru par¸cası kenara diktir.
A
B
E
C
D H S ¸ ekil 18. n - tek
[AH] ⊥ [CD] ⇔ |CH| = |HD| ¨ Ornek 2.2. K¨o¸segen sayısı kenar sayısının altı katı olan bir d¨ uzg¨ un ¸cokgenin, a) kenar sayısı nedir? b) her bir i¸c ve dı¸s a¸cısının ¨ ol¸cu ¨s¨ u nedir? 69
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
5) Bir d¨ uzg¨ un c¸okgende kenar sayısı arttık¸ca d¨ uzg¨ un c¸okgen c¸embere, c¸okgensel b¨olgede daireye yakla¸sır. ¨ Once bir d¨ uzg¨ un c¸okgen olan e¸skenar u ¨ c¸gen alarak a˘gırlık merkezini bulalım. b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
S ¸ ekil 19. Bu noktanın k¨o¸selere olan uzaklı˘gı sabit tutularak kenar sayısını ikiye katlarsak d¨ uzg¨ un altıgen elde edilir. D¨ uzg¨ un altıgen u ¨c¸gene g¨ore daha yuvarlak bir ¸sekildir. D¨ uzg¨ un altıgenin de kenar sayısını ikiye katlar ve sonra yine s¨ urekli ikiye katlarsak o kadar c¸ok kenar olacaktır ki, bu c¸okgen bir c¸ember gibi g¨or¨ unecektir. B¨oylece d¨ uzg¨ un c¸okgen c¸embere, c¸okgensel b¨olgede daireye d¨on¨ u¸su ¨ r. Bu sayede kenarlar kullanılarak yapılan bazı cebirsel i¸slemleri kenarı olmayan daire ve benzeri kavramlar i¸cin de kullanılma imkanı do˘gmu¸stur.
70
www.matematikce.com
¨ UM ¨ BOL 5
C ¸ EMBERLER Tanım 0.2. D¨ uzlemde sabit bir noktadan e¸sit uzaklıkta bulunan noktaların k¨ umesine ¸cember, bu sabit noktaya merkez ve e¸sit uzaklı˘ga da yarı¸cap denir. Buna g¨ore bir c¸ember, merkez noktası ve yarı¸cap uzunlu˘gu ile belli olup, M-merkezli ve r-yarı¸caplı bir c¸ember C ¸ (M, r)−ile g¨osterilir, yani C ¸ (M, r) = {P ∈ D : |MP | = r br} k¨ umesidir. k
n t
T r
M
D
K
L S ¸ ekil 1. C ¸ ember
˙ ˙ I˙ KAVRAMLAR ¸ EMBERLE ILG IL 1. C 1) Te˘get: C ¸ emberle bir ortak noktası olan do˘gruya te˘get denir. C ¸ ∩ t = {T } ⇒ t−do˘grusuna te˘get, T -noktasına de˘gme noktası denir. 2) Kesen: C ¸ emberle iki ortak noktası olan do˘gruya kesen denir. C ¸ ∩ k = {T, K} ⇒ k−do˘grusuna kesen denir. 71
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
3) Kiri¸s: C ¸ emberin farklı iki noktasını birle¸stiren do˘gru par¸casına kiri¸s denir. [T K]−do˘gru par¸cası bir kiri¸stir. 4) C ¸ ap: Merkezden ge¸cen kiri¸se ¸cap denir. M ∈ [T L]- oldu˘gundan [T L]−kiri¸si bir c¸aptır.
5) Normal: C ¸ emberin herhangi bir te˘getine, de˘gme noktasında dik olan do˘gruya c¸emberin o noktadaki normali denir. n-do˘grusu T -noktasındaki normaldir. Sonuc ¸ 1.1. Bir ¸cemberin herhangi bir noktadaki normali ¸cemberin merkezinden ge¸cer, yani M ∈ n dir. ˙ DUZLEMDE ¨ ˘ BOLGELER ¨ ¸ EMBERIN AYIRDIGI 2. C D¨ uzlemde basit kapalı bir e˘gri olan c¸ember, bulundu˘gu d¨ uzlemde biri kendisi olmak u ¨ zere, u ¨ c¸ ayrık k¨ ume olu¸sturur. Bu k¨ umeler;
Dı¸s B¨olge M Y
X
˙ c B¨olge I¸ D S ¸ ekil 2. B¨olgeler
1) C ¸ ember C ¸ (M, r) = {P ∈ D : |MP | = r br} k¨ umesidir. 2) C ¸ emberin i¸c b¨olgesi C ¸ i (M, r) = {X ∈ D : |MX| < r br} 3) C ¸ emberin dı¸s b¨olgesi C ¸ d (M, r) = {Y ∈ D : |MY | > r br} Yarı¸cap uzunlukları e¸sit olan ¸cemberler e¸stir . 72
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ DOGRU ˘ ˙ ˙ C ˙ BIRB ˙ ˙ INE ˙ ¨ 3. BIR ILE BIR ¸ EMBERIN IR GORE KONUMLARI Aynı d¨ uzlemde yatan bir d do˘grusu ve bir C ¸ (M, r) c¸emberi verildi˘ginde, merkez noktanın do˘gruya olan uzaklı˘gı |MH| = h olmak u ¨ zere; a¸sa˘gıdaki u ¨ c¸ ihtimal s¨oz konusudur.
M
d=k d=t T d
H
S ¸ ekil 3. C ¸ ember ve do˘gru 1) h < r ⇒ C ¸ ∩ d = {A, B} do˘gru c¸emberin bir kesenidir, 2) h = r ⇒ C ¸ ∩ d = {T } do˘gru c¸embere te˘gettir, 3) h > r ⇒ C ¸ ∩ d = {} do˘gru c¸emberi kesmez. Teorem 3.1. Bir ¸cemberin merkezinden herhangi bir kiri¸se inilen dikme, bu kiri¸si ortalar, yani bir C ¸ (M, r) ¸cemberinde [AB] bir kiri¸s ve [MH] ⊥ [AB] ⇒ |AH| = |HB| dir.
M A
H S ¸ ekil 4. 73
B
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner △
˙ Ispat: |AM| = |BM| = r oldu˘gundan, MAB bir ikizkenar u ¨ c¸gendir. O halde [MH] y¨ uksekli˘gi aynı zamanda kenarortay olaca˘gından, [MH] ⊥ [AB] ⇒ |AH| = |HB|. Bu teoremden a¸sa˘gıdaki sonu¸clar verilebilir; 1) Bir c¸emberde herhangi bir kiri¸sin orta dikmesi, c¸emberin merkezinden ge¸cer. 2) Bir c¸emberde herhangi bir kiri¸sin orta noktasını c¸emberin merkezine birle¸stiren do˘gru, kiri¸se diktir. 3) Bir c¸emberde e¸s kiri¸slerin merkeze olan uzaklıkları e¸sittir, yani |AB| = |BC| ⇒ |MH1 | = |MH2 | 4) Bir c¸emberde merkezden e¸sit uzaklıktaki kiri¸slerin uzunlukları e¸sittir. 5) Bir c¸emberde uzun olan kiri¸s merkeze daha yakındır. 6) Bir c¸emberin i¸c b¨olgesinde verilen bir A noktası i¸cin, bu noktadan ge¸cen en kısa kiri¸s, [MA] na dik olan kiri¸stir. ¨ Ornek 3.1. C ¸ emberin bir [AB]−kiri¸si u ¨zerinde |AP | = 4 cm ve |P B| = 9 cm olan bir P noktasından ge¸cen en kısa kiri¸sin uzunlu˘gu nedir?
M C
B
P A
D S ¸ ekil 5.
C ¸¨ oz¨ um: P noktasından ge¸cen en kısa kiri¸s, P den ge¸cen c¸apa dik olan kiri¸stir. [CD], P noktasından ge¸cen en kısa kiri¸s olsun. Bu durumda 74
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
A, B noktalarının sırasıyla C, D noktalarıyla birle¸stirilmesi sonucu elde △
△
edilen CAP ve BDP u ¨ c¸genlerinde, ˆ aynı yayı g¨oren iki c¸evre a¸cı, Cˆ ∼ =B Pˆ ∼ = Pˆ ters a¸cılar,
△
△
olup A.A. benzerlik teoremine g¨ore CAP ∼ BDP , berzer u ¨ c¸genlerde kar¸sılıklı kenarlar orantılı oldu˘gundan, |CP | |AP | = ⇒ |DP ||CP | = |AP ||BP | = 4 × 9 = 36 ve |DP | |BP | 1 |CP | = |P D| = |CD| oldu˘gundan |CD| = 2|CP | = 12 cm dir. 2 ˙ I˙ C ˙ BIRB ˙ ˙ INE ˙ ¨ 4. IK ¸ EMBERIN IR GORE KONUMLARI Aynı d¨ uzlemde yatan iki c¸emberin birbirine g¨ore konumları, merkez noktaları arasındaki uzaklı˘ga ve yarı¸cap uzunluklarına ba˘glıdır. Buna g¨ore C ¸ 1 (M1 , r1 ) ve C ¸ 2 (M2 , r2 ) herhangi iki c¸ember ve |M1 M2 | = d olmak u ¨ zere a¸sa˘gıdaki ihtimaller s¨oz konusudur. 4.1. Kesi¸smeme Durumu. . a) r1 + r2 < d ⇒ C ¸1 ∩ C ¸2 = ∅
r1
r2
M1
M2
d
S ¸ ekil 6. b) d < r1 −r2 ⇒ C ¸ 1 ∩C ¸2 = ∅
c) d = 0∧r1 6= r2 ⇒ C ¸ 1 ∩C ¸2 = ∅
75
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
M1
M2
M1 = M2
S ¸ ekil 7. 4.2. Te˘ get Olma Durumu. . a) r1 + r2 = d ⇒ C ¸1 ∩ C ¸ 2 = {T } (dı¸sdan te˘get)
M1
M2
M1
M2
S ¸ ekil 8. b) r1 − r2 = d ⇒ C ¸1 ∩ C ¸ 2 = {T } (i¸cten te˘get) 4.3. Kesi¸sme Durumu. r1 + r2 > d ⇒ C ¸1 ∩ C ¸ 2 = {A, B} A
M1
M2 B
S ¸ ekil 9.
Sonuc ¸ 4.1. E˘ger iki ¸cember kesi¸siyorsa, en fazla iki noktada kesi¸sir. Bu iki noktanın belirtti˘gi do˘gru par¸cası bu iki ¸cemberin ortak kiri¸sidir.
76
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
5. C ¸ EMBERDE YAYLAR VE AC ¸ ILAR Tanım 5.1. C ¸ emberin bir par¸casına yay denir. Bir C ¸ (M, r) c¸emberi u ¨ zerinde alınan A ve B gibi iki nokta, c¸emberi iki yay par¸casına ayırır. Bu yaylar ya e¸sit uzunlukta, ya da biri di˘gerinden k¨ uc¸u ¨ kt¨ ur. AB-yayı denildi˘ginde bu iki yaydan k¨ uc¸u ¨ k olan anla¸sılır ve bu d ile g¨osterilir. B¨ yay AB uy¨ uk olan yay ise, u ¨ zerinde A ve B den fraklı bir \ ¸seklinde g¨osterilir. Yayın ¨ol¸cu X noktası alınarak AXB ¨ birimi derecedir.
B \ AXB
r
M
d AB
A
X S ¸ ekil 10. d yayının ¨ol¸cu d C ¸ ember yayının ¨ol¸cu ¨ s¨ u 360o kabul edilmi¸stir. AB ¨ s¨ u m(AB) ile, g¨osterilir.
C ¸ ember Yardımıyla Tanımlanan A¸cı C ¸ e¸sitleri 5.1. Merkez A¸cı. K¨o¸sesi bir c¸emberin merkez noktası olan a¸cıya merkez a¸cı denir. B
M
S ¸ ekil 11. 77
A
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Bir merkez a¸cıda, a¸cının kolları arasında kalan yay par¸casına o a¸cının ˆ d yayıdır. g¨ord¨ u˘gu ¨ yay denir. AMB−merkez a¸cısının g¨ord¨ u˘gu ¨ yay AB−
*C ¸ emberin bir yayının ¨ ol¸cu ¨s¨ u, bu yayı g¨ oren merkez a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ une
e¸sittir. ¨ cu * Ol¸ ¨leri e¸sit olan yayalar e¸stir. Merkez a¸cıyla ilgili a¸sa˘gıdaki sonu¸cları verebiliriz. Sonuc ¸ 5.1. Bir ¸cemberde veya e¸s ¸cemberlerde 1) E¸s yayların, g¨ord¨ ukleri merkez a¸cılar e¸stir, 2) E¸s merkez a¸cıların, g¨ord¨ ukleri yaylar e¸stir, 3) E¸s yayların, g¨ord¨ ukleri kiri¸sler e¸stir, 4) E¸s kiri¸slerin, g¨ord¨ ukleri yaylar e¸stir, 5) Bir kiri¸se dik olan c¸ap, bu kiri¸se ait olan yayı ortalar.
M A
B C S ¸ ekil 12. Merkez a¸cı
(5.1)
d = m(CB) d = 1 m(AB) d [MC] ⊥ [AB] ⇒ m(AC) 2 △
˙ Ispat 5: |AM| = |BM| = r oldu˘gundan MAB bir ikizkenar u ¨ c¸gendir. Bir ikizkenar u ¨ c¸gende tabana ait y¨ ukseklik hem a¸cıortay hem de kenarortay oldu˘gundan ˆ ∼ ˆ ⇒ m(AC) d = m(CB). d AMC = CMB 78
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
5.2. C ¸ evre A¸cı. K¨o¸sesi bir c¸emberin u ¨ zerinde olup, kenarları bu c¸emberi kesen a¸cıya c¸evre a¸cı denir. B A
M
D C
S ¸ ekil 13. C ¸ evre a¸cı
Teorem 5.1. Bir ¸cevre a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ u, aynı yayı g¨ oren merkez a¸cının ¨ol¸cu ¨s¨ un¨ un yarısına e¸sittir, (5.2)
1 ˆ ˆ m(BAC) = m(BMC) 2 △
△
˙ Ispat: S¸ekil 13 de MAB ve MAC u ¨ c¸genleri birer ikizkenar u ¨ c¸gen olup ˆ ˆ ˆ m(MAB) = m(MBA) = α ⇒ m(BMD) = 2α - dı¸s a¸cı ˆ ˆ ˆ m(MAC) = m(MCA) = β ⇒ m(CMD) = 2β 1 ˆ ˆ ˆ ⇒ m(BMC) = 2(α + β) ⇒ m(BAC) = α + β = m(BMC) 2 Bu teoremden a¸sa˘gıdaki sonu¸cları verebiliriz. Sonuc ¸ 5.2. Bir ¸cemberde veya e¸s ¸cemberlerde, 1) Bir c¸evre a¸cının ¨ol¸cu ¨ s¨ u, g¨ord¨ u˘gu ¨ yayın ¨ol¸cu ¨s¨ un¨ un yarısına e¸sittir, (5.3)
1 d ˆ m(BAC) = m(BC) 2
2) C ¸ apı g¨oren c¸evre a¸cısının ¨ol¸cu ¨ s¨ u 90o dir, 3) Aynı yayı g¨oren iki c¸evre a¸cı e¸stir,
4) Parelel iki kiri¸s arasında kalan yaylar e¸stir, (5.4)
d = m(BD) d m(AC) 79
R.Aslaner
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
www.matematikce.com
5) Herhangi bir kiri¸s ile buna paralel bir te˘get arasındaki yaylar e¸stir. T A
B M
C
D S ¸ ekil 14.
c ) = m(T d m(AT B)
(5.5)
5.3. Te˘ get-Kiri¸s A¸cı. K¨o¸sesi bir c¸emberin u ¨ zerinde olup, kenarlar biri c¸embere te˘get di˘geri kiri¸s olan a¸cıya te˘get-kiri¸s a¸cı denir. B C M
A S ¸ ekil 15. Te˘get-kiri¸s a¸cı ˆ ABC− a¸cısı bir te˘get-kiri¸s a¸cıdır. Teorem 5.2. Bir te˘get-kiri¸s a¸cının ¨ol¸cu ¨s¨ u g¨ord¨ u˘gu ¨ yayın ¨ol¸cu ¨s¨ un¨ un yarısına e¸sittir, yani (5.6)
1 d ˆ m(ABC) = m(AB) 2
˙ Ispat: A ve B noktalarını M noktasıyla birle¸stirelim. Bu durumda, △
MAB u ¨ c¸geni bir ikizkenar u ¨ c¸gen olup taban ¨ s¨ une α dersek, a¸cılarının ¨ol¸cu ˆ ) = 180 − 2α = 2(90 − α) m(M ˆ ) = 2m(ABC) ˆ ⇒ m(M ˆ [MB] ⊥ [BC] ⇒ m(ABC) = 90 − α 1 ˆ ) = 1 m(AB) d olur. ˆ ⇒ m(ABC) = m(M 2 2 80
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ c A¸cı. Bir c¸emberde kesi¸sen herhangi iki kiri¸sin olu¸sturdu˘gu 5.4. I¸ a¸cıya i¸c a¸cı denir. B K
C
D
M A ˙ c a¸cı S ¸ ekil 16. I¸
Teorem 5.3. Bir i¸c a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ u, kenarları arasında kalan yayların ¨ol¸cu ¨leri toplamının yarısına e¸sittir, yani 1 d + m(BD)] d ˆ m(AKC) = [m(AC) 2
(5.7)
˙ Ispat: A ile B noktalarını birle¸stirelim. Bu durumda, d + 1 m(AC) d ˆ ˆ + m(D) ˆ = 1 m(BD) m(BKD) = m(A) 2 2
1 d + m(BD)) d = (m(AC) 2 elde edilir.
5.5. Dı¸s A¸cı. K¨o¸sesi c¸emberin dı¸sında, kenarları c¸emberi kesen veya te˘get olan a¸cıya dı¸s a¸cı denir. C B A
M D E S ¸ ekil 17. Dı¸s a¸cı 81
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Teorem 5.4. Bir dı¸s a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ u, kenarların ¸cemberden ayırdı˘gı ve a¸cının i¸c b¨olgesinde bulunan b¨ uy¨ uk yay ile k¨ u¸cu ¨k yayın ¨ ol¸cu ¨leri farkının yarısına e¸sittir, yani (5.8)
ˆ = 1 [m(CE) d − m(BD)] d m(A) 2
˙ Ispat: B ile E noktalarını birle¸stirelim. Budurumda, ˆ ˆ + m(E) ˆ m(CBE) = m(A) ˆ = m(CBE) ˆ ˆ = 1 m(CE) d − 1 m(BD) d m(A) − m(E) 2 2 1 d − m(BD)) d = (m(CE) 2 elde edilir.
˘ ˘ 6. C ¸ EMBERDE YAY ve TEGET PARC ¸ ALARI UZUNLUGU HESABI 6.1. C ¸ emberde yay par¸ cası uzunlu˘ gu. Bir C ¸ (M, r) c¸emberi verildi˘ginde, c¸evre uzunlu˘gunun c¸ap uzunlu˘guna oranı yakla¸sık olarak 3.14 gibi sabit bir de˘ger olup matematikte π sayısı olarak bilinir. Buna g¨ore, C ¸ C ¸ (M, r) c¸emberi i¸cin =π∼ ¸ = 2πr = 3.14... yazılır. R = 2r olup ⇒ C R B α
A
M
S ¸ ekil 18. elde edilir, yani r-yarı¸caplı c¸ember yayının uzunlu˘gu 2πr birim dir. Herhangi bir yay par¸casının uzunlu˘gu da, g¨ord¨ u˘gu ¨ merkez a¸cının ¨ol¸cu ¨ s¨ uα olmak u ¨ zere (6.1) olarak bulunur.
d = 2πr |AB|
α = α r br 2π 82
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
r ¨ Ornek 6.1. Aynı d¨ uzlemde yatan C ¸ (O, r) ve C ¸ (M, ) ¸cemberleri bir 2 T noktasında i¸cten te˘get iki ¸cemberdir. Bir [OA]−yarı¸cap do˘grusu k¨ u¸cu ¨k ¸cemberi B noktasında kesmektedir. Buna g¨ ore olu¸san AT ve BT yaylarının uzunlukları arasındaki ba˘gıntı nedir? C ¸¨ oz¨ um: A B M
O
T
S ¸ ekil 19. 6.2. C ¸ emberde te˘ get par¸ cası uzunlu˘ gu: Tanım 6.1. Bir C ¸ (M, r) ¸cemberi ile dı¸s b¨ olgesinde bir A noktası verildi˘ginde, A noktasından c¸embere iki te˘get ı¸sın vardır, bunlar [AB ve [AC B
A
M C S ¸ ekil 20.
ı¸sınlarıdır. [AB] ve [AC] do˘gru par¸calarına te˘get par¸caları denir. Teorem 6.1. Bir ¸cembere dı¸sındaki bir noktadan ¸cizilen te˘get par¸caları e¸stir, yani |AB| = |AC| dir.
83
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ Ispat: A, B ve C noktalarını c¸emberin merkez noktasıyla birle¸stirelim. Bu durumda; hipoten¨ usleri ve birer dik kenarları e¸s olan iki dik u ¨ c¸gen △
△
BAM ∼ = CAM elde edilir ve bu u ¨ c¸genler e¸stir.
E¸s u ¨ c¸genlerin kar¸sılıklı kenarları e¸s
oldu˘gundan |AB| = |AC| dir. Bu teoremden a¸sa˘gıdaki sonucu elde ederiz. Sonuc ¸ 6.1. Bir ¸cembere dı¸sındaki bir noktadan iki te˘get ¸cizildi˘ginde bu noktayı merkeze birle¸stiren do˘gru bu noktada olu¸san a¸cının a¸cıortayıdır. ˆ ) = m(CAM ˆ ) = 1 m(BAC) ˆ m(BAM 2 ˙ ¸cemberin ortak te˘ 6.3. Iki getleri. Aynı d¨ uzlemde yatan iki c¸ember verildi˘ginde her birine te˘get olan do˘gruya bu iki c¸emberin ortak te˘geti denir. Ortak te˘getler dı¸s ortak te˘get ve i¸c ortak te˘get olmak u ¨ zere ikiye ayrılır. 6.3.1. Dı¸s ortak te˘get: C ¸ emberlerin merkez noktalarının olu¸sturdu˘gu do˘gru par¸casını kesmeyen ortak te˘getlere dı¸s ortak te˘get denir.
M1
M2
S ¸ ekil 21. Dı¸s ortak te˘getler
84
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙c ortak te˘get: C 6.3.2. I¸ ¸ emberlerin merkez noktalarının olu¸sturdu˘gu do˘gru par¸casını kesen ortak te˘getlere i¸c ortak te˘get denir.
M1
M2
˙ c ortak te˘getler S ¸ ekil 22. I¸ ˙ ¸cemberin bir ortak te˘getinin bu ¸cemberler u Tanım 6.2. Iki ¨zerindeki de˘gme noktalarıyla sınırlanan do˘gru par¸casına ortak te˘get par¸cası denir.
B A D M1
M2 C
S ¸ ekil 23. Ortak te˘get par¸caları ˙ ¸cemberin, Teorem 6.2. Iki a) Dı¸s ortak te˘get par¸caları e¸stir, ˙c ortak te˘get par¸caları e¸stir. b) I¸ ˙ Ispat a) Ortak te˘get do˘grularının kesi¸sim noktasına K diyelim. Bu durumda Teorem 6 dan |KB| = |KD| ve |KA| = |KC| 85
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner B A K C D
S ¸ ekil 24. Dı¸s ortak te˘get par¸caları bu iki e¸sitlik taraf tarafa c¸ıkarılırsa |KB| − |KA| = |KD| − |KC| ⇒ |AB| = |CD| ¨ Ornek 6.2. Kesi¸smeyen ve yarı¸cap uzunlukları farklı olan iki ¸cemberin bir ortak dı¸s te˘getinin de˘gme noktaları A ve B ise |AB| uzunlu˘gunun, ¸cemberlerin yarı¸cap uzunlu˘gu ve merkez noktaları arasındaki uzaklık cinsinden ifadesi,
M2 M1
C
A
B
S ¸ ekil 25. |AB| = |M1 C| △
ve
|M2 C| = r2 − r1 olup
M1 CM2 dik u ¨ c¸genine Pisagor teoremi uygulanırsa |AB|2 = |M1 C|2 = |M1 M2 |2 − |M2 C|2 = d2 − (r2 − r1 )2 (6.2)
⇒ |AB| =
p
(d2 − (r2 − r1 )2
olarak bulunur. 86
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ Ornek 6.3. Yarı¸cap uzunlukları 3 ve 4 cm olan iki ¸cemberin bir √ ortak dı¸s te˘get par¸casının uzunlu˘gu 4 5 cm ise, bu ¸cemberlerin merkez noktaları arasındaki uzaklık nedir? C ¸¨ oz¨ um: 6.10 e¸sitli˘ginden q √ p √ 2 2 d = (|AB| + (r2 − r1 ) = (4 5)2 + 1 = 81 = 9 cm dir. 7. KUVVET, KUVVET EKSENI˙ ve KUVVET MERKEZI˙ 7.1. Bir Noktanın Bir C ¸ embere G¨ ore Kuvveti. Tanım 7.1. Bir C ¸ (M, r) ¸cember d¨ uzleminde alınan keyfi bir P noktası i¸cin, |P M| = d olmak u ¨zere k = d2 − r 2
(7.1)
sayısına P noktasının ¸cembere g¨ ore kuvveti denir. Bu tanıma g¨ore; 1 - E˘ger P ∈ C ¸ d (M, r) ise d > r oldu˘gundan k > 0 dır. 2 - E˘ger P ∈ C ¸ (M, r) ise d = r oldu˘gundan k = 0 dır. 3 - E˘ger P ∈ C ¸ i (M, r) ise d < r oldu˘gundan k < 0 dır. Teorem 7.1. Bir C ¸ (M, r) ¸cember d¨ uzleminde verilen A noktası i¸cin, A noktasından ge¸cen bir do˘gru ¸cemberi B ve C noktalarında kesiyorsa, |k| = |AB|.|AC| dir. ˙ Ispat: A noktasının c¸emberin dı¸s b¨olgesinde bir nokta oldu˘gunu kabul edelim. [BC]−kiri¸sinin orta noktası H olmak u ¨ zere, |AB| = |AH| − |BH|
ve
|AC| = |AH| + |HC|
oldu˘gundan, 87
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
A
B
C
H M
S ¸ ekil 26.
|AB|.|AC| = (|AH| − |BH|).(|AH| + |HC|), = |AH|2 − |HC|2
|BH| = |HC|
= d2 − (|HM|2 + |HC|2 ) = d2 − r 2 =k bulunur. ¨ * Ozel durumlar; 1) E˘ger M ∈ l ⇒ k = |AM|2 − r 2 2) E˘ger B = C = T ⇒ k = |AT |2
3) E˘ger A ∈ C ¸ (M, r) ⇒ k = 0 dır. Verilen bir noktanın bir c¸embere g¨ore kuvveti sabittir, do˘gru de˘gi¸sse bile bir noktanın kuvveti de˘gi¸smez, yani A noktasından ge¸cen ve c¸emberi D ve E noktalarında kesen ba¸ska bir do˘gru alındı˘gında da, |k| = |AD||AE| olur.
C A
B M D E S ¸ ekil 27. 88
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ Ispat: B ve C noktalarını sırasıyla E ve D noktalarıyla birle¸stirirsek, elde edilen Cˆ ve Eˆ a¸cıları aynı yayı g¨oren iki c¸evre a¸cı olduklarından e¸s a¸cılardır. Aˆ ortak a¸cı oldu˘gundan, A.A. benzerlik aksiyomuna g¨ore △
△
ADC ∼ ABE dir. ⇒
|AD| |AC| = ⇒ |AD||AE| = |AB||AC| elde edilir. |AB| |AE|
E˘ger A noktası c¸emberin i¸c b¨olgesinde ise, bu durumda ¸sekil a¸sa˘gıdaki E gibidir. B
A
D C S ¸ ekil 28. ˙ C 7.2. Iki ¸ emberin Kuvvet Ekseni. Tanım 7.2. Aynı d¨ uzlemde yatan iki ¸cember verildi˘ginde, bu iki ¸cembere aynı kuvvette olan noktaların k¨ umesi bir do˘gru g¨ osterir. Bu do˘gruya bu iki ¸cemberin kuvvet ekseni denir. * Verilen iki ¸cemberin kuvvet ekseni a¸sa˘gıdaki ¸sekilde bulunur. Bu iki c¸embere g¨ore aynı kuvvette olan bir A noktası alalım. [M1 M2 ] nın orta noktasına O diyelim. A noktasının [M1 M2 ] sı u ¨ zerindeki dikme aya˘gı H olsun. Bu durumda |AM1 |2 − r12 = |AM2 |2 − r22 yazılabilir.
△
⇔
△
|AM2 |2 − |AM1 |2 = r22 − r12
AM2 H ve AM1 H dik u ¨ c¸genlerine Pisagor teoremi uygu-
lanırsa, 89
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A
H
M1 r1
O
r2
M2
S ¸ ekil 29. Kuvvet ekseni |AM2 |2 = |AH|2 + |HM2 |2 ve
|AM1 |2 = |AH|2 + |HM1 |2 elde edilir. Bu iki e¸sitlik taraf tarafa c¸ıkarılır ve O noktasının orta nokta oldu˘gu dikkate alınırsa, r22 − r12 = |HM2 |2 − |HM1 |2
= (|HO| + |OM2 |)2 − (|M1 O| − |OH|)2
= |HO|2 + 2|HO||OM2| + |OM2 |2 − |M1 O|2 + 2|M1 O||OH| − |OH|2 = 2|HO||M1M2 | r22 − r12 ⇒ |OH| = = sbt ⇒ H ∈ [M1 M2 ] sabit nokta olup, 2|M1 M2 | AH- do˘grusu bu iki c¸emberin kuvvet eksenidir. ˙ OZEL ¨ ˙ ˙ KUVVET EKSENIN IKLER I: 1) Kuvvet ekseni merkezleri birle¸stiren do˘gru par¸casına diktir, AH ⊥ [M1 M2 ] 2) |HM1 | < |HM2 | oldu˘gundan, kuvvet ekseni yarı¸capı k¨ uc¸u ¨ k olan c¸emberin merkezine daha yakındır. 90
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
3) Kuvvet ekseni ortak te˘get par¸calarının orta noktasından ge¸cer, yani [BC] bu iki c¸emberin bir dı¸s ortak te˘get par¸cası ve [DE] bir i¸c ortak te˘get |BK| = |KC|
par¸cası ise,
ve
|DL| = |LE| dir.
A K
B H
M1 r1
C E
L O
r2
M2
D
S ¸ ekil 30. Kuvvet ekseninin ¨ozelikleri ˙ Ispat: K noktasının verilen c¸emberlere g¨ore kuvveti k ise (2.¨ozel durumdan) k = |KB|2 = |KC|2 ⇔ |KB| = |KC| dir. 4) Te˘get c¸emberlerin kuvvet ekseni, c¸emberlerin ortak te˘getidir.
M1
M2
M1
M2
S ¸ ekil 31. Te˘get c¸emberelerin kuvvet ekseni 5) Kesi¸sen iki c¸emberin kuvvet ekseni, ortak kiri¸sin ta¸sıdı˘gı do˘grudur.
91
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
A
M1
M2 B
S ¸ ekil 32. Kesi¸sen c¸emberelerin kuvvet ekseni 7.3. Kuvvet Merkezi: Tanım 7.3. Merkez noktaları do˘gruda¸s olmayan u ¨¸c ¸cembere g¨ ore aynı kuvvette olan noktaya, bu ¸cemberlerin kuvvet merkezi denir. Bu nokta, merkezleri do˘grusal olmayan u ¨ c¸ c¸emberin, iki¸ser iki¸ser kuvvet eksenlerinin kesi¸sim noktasıdır.
K
S ¸ ekil 33. * Kuvvet merkezi yardımıyla kesi¸smeyen iki ¸cemberin kuvvet ekseni a¸sa˘gıdaki ¸sekilde bulunur. C ¸ 1 (M1 , r1 ) ve C ¸ 2 (M2 , r2 ) kesi¸smeyen iki c¸ember olmak u ¨ zere, bu iki c¸emberi kesen u ¨ c¸u ¨ nc¨ u bir c¸ember c¸izelim. Kesi¸sim noktalarını A, B, C, D ve 92
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
M1
M2
M
S ¸ ekil 34. AB ∩CD = {K} dersek K noktası bu u ¨ c¸ c¸emberin kuvvet merkezidir. Dolayısıyla K noktasından ge¸cen ve [M1 M2 ] do˘gru par¸casına dik olan do˘gru, verilen iki c¸emberin kuvvet eksenidir.
93
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
8. C ¸ OKGENLER ve C ¸ EMBERLER Bir c¸okgen ve bir c¸emberi birlikte ele aldı˘gımız zaman ortak ¨ozeliklere sahip olan bazı yeni kavramlarla kar¸sıla¸sırız. ¨ cgen ve C 8.1. U¸ ¸ ember. Bu iki kavramı birlikte ele aldı˘gımızda kar¸sımıza c¸ıkan yeni kavramlar ¸sunlardır; △
˙c Te˘get C 8.1.1. I¸ ¸ ember. Bir ABC ninin i¸c b¨olgesinde, u ¨ c¸genin kenarlarına te˘get olan c¸embere o u ¨¸cgenin i¸c te˘get ¸cemberi denir. A
M r B
˙ c Te˘get C S ¸ ekil 35. I¸ ¸ ember
C
˙ ¸ TEGET ˘ ˙ OZEL ¨ ˙ ˙ - IC C ¸ EMBERIN IKLER I; 1) Her u ¨ c¸genin bir tek i¸c te˘get c¸emberi vardır, ¨ cgenin kenar do˘gruları, c¸emberin te˘getleridir, 2) U¸ 3) Merkez nokta, u ¨ c¸genin a¸cıortaylarının kesi¸sim noktasıdır, 4) Yarı¸cap, bu noktanın kenarlara olan uzaklı˘gıdır.
8.1.2. Dı¸s Te˘get C ¸ ember. Bir u ¨ c¸genin bir kenarına ve di˘ger iki kenarın uzantılarına te˘get olan c¸embere o u ¨¸cgenin dı¸s te˘get ¸cemberi denir. ˘ ˙ OZEL ¨ ˙ ˙ - DIS¸ TEGET C ¸ EMBERIN IKLER I; 1) Her u ¨ c¸genin u ¨ c¸ tane dı¸s te˘get c¸emberi vardır, ¨ cgenin kenar do˘gruları, c¸emberin te˘getleridir, 2) U¸ 3) Merkez nokta, bir i¸c ve iki dı¸s a¸cının a¸cıortaylarının kesi¸sim noktasıdır, 94
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
A M B
C S ¸ ekil 36. Dı¸s te˘get c¸ember
4) Yarı¸cap, bu noktanın te˘get olan kenara olan uzaklı˘gıdır.
¸ evrel C ¸ ember. Bir u ¨ c¸genin k¨o¸se noktalarından ge¸cen c¸embere 8.1.3. C ou ¨¸cgenin ¸cevrel ¸cemberi denir. F A
c
b ha
B
M
C
H E D S ¸ ekil 37. Dı¸s te˘get c¸ember
˙ OZEL ¨ ˙ ˙ -C ¸ EVREL C ¸ EMBERIN IKLER I; 1) Her u ¨ c¸genin bir tek c¸evrel c¸emberi vardır, ¨ cgenin kenarları, c¸emberin kiri¸sleridir, 2) U¸ 3) Merkez nokta, u ¨ c¸genin kenar orta dikmelerinin kesi¸sim noktasıdır, 4) Yarı¸cap, bu noktanın k¨o¸se noktalarına olan uzaklı˘gıdır, bc 5) Yarı¸cap uzunlu˘gu r = dır. 2ha 95
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner ˙ Ispat: ∼ ˆ ˆ B=E
ˆ ∼ H = Cˆ
△
△
⇒ ABH ∼ AEC ⇒
|AB| |AH| c ha bc = ⇒ = ⇒r= |AE| |AC| 2r b 2ha
6) Herhangi bir a¸cıortay ile kar¸sı kenara ait kenar orta dikme c¸ember
u ¨ zerinde kesi¸sir, [AD]−i¸c a¸cıortay, [AF ]−dı¸s a¸cıortay ve [DF ], a-kenarına ait orta dikme olup, D, F ∈ C ¸ (M, r) dir. ortgenler ve C ¸ emberler. 8.2. D¨ 8.2.1. Te˘getler D¨ortgeni. B¨ ut¨ un kenarları bir c¸embere te˘get olan d¨ortgene te˘getler d¨ortgeni denir. D
c
d
C
M
b
a A B S ¸ ekil 38. Te˘gerler d¨ortgeni ˘ ¨ ˙ IN ˙ OZEL ¨ ˙ ˙ -TEGETLER DORTGEN IN IKLER I; ˙ c a¸cıortaylarının kesim noktası, c¸emberin merkezidir, 1) I¸ 2) Kar¸sılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine e¸sittir, a+c=b+d 8.2.2. Kiri¸sler D¨ortgeni. Kenarları bir c¸embere kiri¸s olan d¨ortgene kiri¸sler d¨ortgeni denir. ˙ IS ˙ ¸ LER DORTGEN ¨ ˙ IN ˙ OZEL ¨ ˙ ˙ KIR IN IKLER I; 1) Kar¸sılıklı a¸cıları b¨ ut¨ unlerdir. ˆ + m(C) ˆ = m(B) ˆ + m(D) ˆ = 180o m(A) 96
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner c
D
M
d A
a
C
b
B
S ¸ ekil 39. Kiri¸sler d¨ortgeni ˆ + m(C) ˆ = 1 m(DCB) ˙ \ + 1 m(BAD) \ Ispat: m(A) 2 2 1 \ + m(BAD)) \ = 1 3600 = 180o = (m(DCB) 2 2 elde edilir.
97
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ YER KAVRAMI ve BELIRLENMES ˙ 9. GEOMETRIK I˙ Tanım 9.1. Verilen bir veya birka¸c ¸sartı sa˘glayan noktaların k¨ umesine, o noktaların geometrik yeri denir. Bu tanıma g¨ore; a¸sa˘gıda verilen iki ¨onerme do˘grudur: 1) Geometrik yere ait olan her nokta verilen ¸sartları sa˘glar, 2) Verilen ¸sartları sa˘glayan her nokta geometrik yere aittir. ¨ Ornek 9.1. D¨ uzlemde sabit bir M noktasından r − br uzaklıktaki noktaların k¨ umesi (geometrik yeri) C ¸ (M, r) ¸cemberdir.
A r Y D
M
X
B S ¸ ekil 40. Geometrik yer
|AM| = |BM| = r br oldu˘gundan A, B ∈ C ¸ (M, r) |XM| < r ve |Y M| > r oldu˘gundan X, Y ∈ /C ¸ (M, r) ¨ Ornek 9.2. D¨ uzlemde verilen iki noktaya e¸sit uzaklıktaki noktaların k¨ umesi (geometrik yeri) bu noktaların olu¸sturdu˘gu do˘gru par¸casının orta dikmesi olan do˘grudur.
98
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
A d
D
B S ¸ ekil 41. Orta dikme do˘grusu
¨ Ornek 9.3. D¨ uzlemde verilen bir d do˘grusundan sabit (h−br) uzaklıktaki noktaların k¨ umesi verilen do˘grunun farklı taraflarında paralel iki do˘grudur.
h
d
h D S ¸ ekil 42. paralel do˘grular ¨ Ornek 9.4. D¨ uzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yeri nedir? D¨ uzlemde verilen iki nokta {F1 , F2 } bir do˘gru par¸cası belirtir ve her do˘gru par¸casının bir orta noktası vardır. [F1 F2 ] nın orta noktası O ve |OF | = c diyelim. a > c bir sabit sayı olmak u ¨ zere |P F1 | + |P F2| = 2a e¸sitli˘gini sa˘glayan P ∈ E noktalarının k¨ umesi O−mekezli, yarı eksen √ uzunlukları a ve b = a2 − c2 olan bir elipsdir.
99
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner P B F1
O
F2
A
S ¸ ekil 43. Elips ¨ [ a¸cısının kenarlarına e¸sit uzaklıktaki noktaların Ornek 9.5. Bir ABC k¨ umesi, bu a¸cının a¸cıortayı olan ı¸sındır.
C d
A B
D
S ¸ ekil 44. a¸cıortayı
¨ Ornek 9.6. D¨ uzlemde verilen bir [AB] do˘gru par¸casını sabit bir α a¸cısıyla g¨oren noktaların geometrik yeri nedir? C ¸¨ oz¨ um 1: ’Aynı yayı g¨ oren ¸cevre a¸cılar e¸stir ’ ve ’Bir ¸cevre a¸cının ¨ol¸cu ¨s¨ u, aynı yayı g¨oren merkez a¸cının ¨ ol¸cu ¨s¨ un¨ un yarısıdır ’ ¨onermelarinden hareketle, verilen do˘gru par¸casının c¸emberlerden ayırdı˘gı yayın ¨ol¸cu ¨ s¨ u 2α (kabul edelimki α bir dara¸cıdır) olan ve bu do˘gru par¸casını ortak kiri¸s kabul eden iki c¸ember c¸izelim. Her do˘gru par¸casının bir orta dikme do˘grusu vardır. [AB] nın orta dikme do˘grusu n olsun. ’C ¸ emberde bir kiri¸sin ortadikmesi merkezden ge¸cer’ ¨onermesine g¨ore bu c¸emberlerin merkez noktaları n do˘grusu u ¨ zerindedir. 100
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner n C
X M
A
B
Y
D
S ¸ ekil 45. Geometrik yer [AB] ile 90 − α derecelik a¸cılar yapan [AX ve [AY ı¸sınları c¸izelim ve bu ı¸sınların n do˘grusu ile kesim noktalarına M1 ve M2 dersek, r = |M1 A| = |M2 A| yarı¸caplı c¸ember yayları u ¨ zerinde alınan her C ˆ noktası i¸cin m(ACB) = α olur. E˘ger α = 90o ise bir c¸ember yayı elde edilir ve verilen do˘gru par¸cası bu c¸emberin bir c¸apı olur. B¨oylece ’C ¸ apı g¨ oren ¸cevre a¸cı bir dik a¸cıdır’ sonucu elde edilir. E˘ger α bir geni¸s a¸cı ise, bu durumda verilen [AB] nı α a¸cısıyla g¨oren d yaylarını olu¸sturan noknoktaların geometrik yeri bu iki c¸emberde AB talar k¨ umesidir, A ve B noktaları bu geometrik yere ait de˘gildir.
Soru: Uzunlu˘gu 2 cm olan bir [AB] do˘gru par¸casını 30o lik a¸cı ile g¨oren noktaların geometrik yerini bulunuz. C ¸¨ oz¨ um 2: [AB] do˘gru par¸casının orta dikme do˘grusu n u ¨ zerinde alınan her C noktasıyla olu¸sturulan CAB u ¨ c¸geni, bir ikizkenar u ¨ c¸gendir. ˙ Ikiz kenar u ¨ c¸genlerde tabana ait y¨ uksekli˘gi tanımlayan do˘gru aynı zamanda tepe a¸cısının a¸cıortayıdır. ˆ m(AMB) = 2α olacak ¸sekilde ¸secilen M ∈ n noktasını merkez ve r = |AM| yi yarı¸cap kabul eden c¸ember yayının, ADB-par¸cası u ¨ zerindeki her noktada [AB] do˘gru par¸casını g¨oren a¸cının ¨ol¸cu ¨ s¨ u α dır. Ayrıca bu 101
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
yayın AB do˘grusuna g¨ore simetri˘gi olan yay u ¨ zerindeki her noktanın A ve B noktaları ile olu¸sturdu˘gu a¸cının ¨ol¸cu ¨ s¨ u de α dır. O halde d¨ uzlemde verilen bir [AB] do˘gru par¸casını sabit bir α a¸cısıyla g¨oren noktaların geometrik yeri, bu do˘gru par¸casını ortak kiri¸s kabul eden bir c¸ift c¸ember yıyıdır. n D
C M
A
B
D S ¸ ekil 46. Geometrik yer E˘ger α = 90o ise bir c¸ember yayı elde edilir ve verilen do˘gru par¸cası bu c¸emberin bir c¸apı olur. B¨oylece ’C ¸ apı g¨ oren ¸cevre a¸cı bir dik a¸cıdır’ sonucu elde edilir. E˘ger α bir geni¸s a¸cı ise, bu durumda verilen [AB] nı α a¸cısıyla g¨oren d yaylarını olu¸sturan noknoktaların geometrik yeri bu iki c¸emberde AB talar k¨ umesidir, A ve B noktaları bu geometrik yere ait de˘gildir.
Soru 1: Uzunlu˘gu 2 cm olan bir [AB] do˘gru par¸casını 30o lik a¸cı ile g¨oren noktaların geometrik yerini bulunuz. Soru 2: D¨ uzlemde sabit bir nokta ve bu noktadan ge¸cmeyen bir do˘gru verildi˘ginde, verilen nokta ve do˘gruya e¸sit uzaklıkta olan noktaların geometrik nedir?
102
www.matematikce.com
¨ UM ¨ BOL 6
ALAN HESABI Bir c¸okgen ile onun i¸c b¨olgesinin birle¸sim k¨ umesine ¸cokgensel b¨olge denir. Fakat s¨oylemindeki kolaylık nedeniyle ¸cokgensel b¨olgenin alanı yerine kısaca ¸cokgenin alanı ifadesi kullanır. Her do˘gru par¸casına ve her a¸cıya bir pozitif reel sayı kar¸sılık geldi˘gi gibi her bir c¸okgensel b¨olgeye de bir pozitif reel sayı kar¸sılık gelir. Bu sayıya o b¨olgenin alanı denir. Her ¨ol¸cu ¨ m bir birime g¨ore yapılır. Alan ¨ol¸cu ¨ s¨ un¨ un birimi, bir kenarının uzunlu˘gu 1 birim olan karenin d¨ uzlemde kapladı˘gı yer olarak alınır ve 1 br 2 ile g¨osterilir. br 2
1 br
1 br S ¸ ekil 1. birimkare Bir c¸okgensel b¨olge ¨oyle sonlu sayıda alt b¨olgelere ayrılabilir ki bu b¨olgelerin alanlarının toplamı esas b¨olgenin alanını verir. Alan hesabında kullanılan iki temel kavram vardır. Bunlar taban ve y¨ ukseklik kavramlarıdır. Bir u ¨ c¸gende herhangi bir kenar taban olarak alınabilir. Tabanı g¨oren k¨o¸se noktasının taban do˘grusuna olan uzaklı˘gı, o kenara ait y¨ uksekli˘gi verir. |AH| = ha
a-kenarına ait y¨ uksekliktir.
103
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
A b c
ha
B
a
H
C
¨ cgende y¨ S ¸ ekil 2. U¸ ukseklik D
C hb
ha
A
b
a
H
B
S ¸ ekil 3. Paralel kenarda y¨ ukseklik Bu hazırlıklardan sonra c¸okgenlerde alan hesaplarına ge¸cebiliriz. ¨ ˙ ALANI 1. C ¸ OKGENSEL BOLGELER IN 1.1. Karenin Alanı. Karede herbir kenar, biti¸sik kenarlara ait y¨ ukseklik ve kenar uzunlukları e¸sit odu˘gundan, bir kenarının uzunlu˘gu a br olan karenin alanı s(ABCD) = a × a = a2 br 2 dir. D
C
D
C a × b br 2
a2 br 2 A
a
B
a
A
b B
S ¸ ekil 4. Kare ve Dikd¨ortgenin Alanı 104
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
1.2. Dikd¨ ortgenin Alanı. Bir dikd¨ortgen iki farklı kenar uzunlu˘guna sahiptir ve biti¸sik iki kenardan biri di˘gerine ait y¨ ukseklik oldu˘gundan, kenar uzunlukları a ve b br olan dikd¨ortgenin alan, s(ABCD) = a × b br 2 dir. △
¨ cgenin Alanı. Bir ABC dik u ¨ c¸geni a¸sa˘gıdaki ¸sekilde 1.3. Dik U¸ △
△
bir ABCD dikd¨ortgenine tamamladı˘gımızda elde edilen ABC ve CDA u ¨ c¸genleri e¸s u ¨ c¸genler olup alanları toplamı dikd¨ortgenin alanına e¸sittir. Buna g¨ore bir dik u ¨ c¸genin alanı,
A
D
c a
B
C
S ¸ ekil 5. Dik u ¨ c¸genin alanı △ 1 a×c 2 s(ABC) = s(ABCD) = br dir. 2 2
Sonuc ¸ 1.1. Bir dik u ¨¸cgenin alanı, dik kenar uzunlukları ¸carpımının yarısına e¸sittir.
E
A
D K ha
c B
a
F
C
¨ cgenin Alanı S ¸ ekil 6. U¸ 105
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner △
¨ cgenin Alanı. Bir ABC u 1.4. U¸ ¨ c¸geni verildi˘ginde bu u ¨ c¸geni a¸sa˘gıdaki ¸sekilde bir BCDE dikd¨ortgenine tamamlayabiliriz. Buna g¨ore u ¨ c¸genin alanı, △
△
△
s(ABC) = s(BCDE) − s(AEB) − s(ACD) |AE|.|EB| |AD|.|DC| − 2 2 a.ha a.ha 2 = a.ha − = br 2 2 =b×c−
elde edilir. B¨oylece a¸sa˘gıdaki sonu¸cları verebiliriz, Sonuc ¸ 1.2. 1) Bir u ¨ c¸genin alanı, bir kenar uzunlu˘gu ile bu kenara ait y¨ uksekli˘gin c¸arpımın yarısına e¸sittir.
2) Bir u ¨ c¸gende bir kenarortay, u ¨ c¸geni alanları e¸sit iki u ¨ c¸gene ayırır, yani △
ABC u ¨ c¸geninde [AF ], a−kenarına ait kenarortay ise △
△
s(ABF ) = s(AF C) 3) Aynı y¨ uksekli˘ge sahip iki u ¨ c¸genin alanlarının oranı, bu y¨ uksekliklerin ait oldu˘gu kenarların uzunlukları oranına e¸sittir, yani △
s(ABF ) △
=
s(AF C)
|BF | |F C|
4) Bir u ¨ c¸genin bir a¸cı ortayının olu¸sturdu˘gu iki u ¨ c¸genin alanlarının oranı, bu a¸cıyı olu¸sturan kenarların uzunlukları oranına e¸sittir, yani △
s(ABK) △
=
s(BKC) 106
|BA| |BC|
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
5) Bir kenarının uzunlu˘gu a br olan e¸skenar u ¨ c¸genin alanı
√
3 2 2 a br 4
dir. ˙ Ispat 5: E¸skenar u ¨ c¸gen aynı zamanda bir ikizkenar u ¨ c¸gen oldu˘gundan taban ait y¨ ukseklik hem kenarortay hem de a¸cıortaydır. A a
a 2
B
H
C
¨ cgenin Alanı S ¸ ekil 7. E¸skenar U¸ △ a ˆ = 90o olup ABH dik u ve m(H) ¨ c¸geninde P.T. den 2 √ 2 a 3 3 |AH|2 = |AB|2 − |BH|2 = a2 − = a2 ⇒ ha = a br 4 4 2 √ △ a.ha 3 2 2 = a br dir. ⇒ s(ABC) = 2 4
|BH| = |HC| =
1.5. Paralel Kenarın Alanı. Bir ABCD paralel kenarında c=a
D
C
ha A
H
a
B
S ¸ ekil 8. Paralel kenarın Alanı a−kenarına ait y¨ ukseklik ha olmak u ¨ zere △
△
s(ABCD) = s(ABD) + s(DBC) 107
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner =
a.ha a.ha + = a.ha br 2 2 2
Sonuc ¸ 1.3. Bir paralel kenarın alanı, bir kenar uzunlu˘gu ile o kenara ait y¨ uksekli˘gin ¸carpımına e¸sittir.
c
D E A
C
h H
F a
B
S ¸ ekil 9. Yamu˘gun Alanı 1.6. Yamu˘ gun Alanı. △
△
s(ABCD) = s(ABD) + s(DBC) =
a.h c.h (a + c).h 2 + = br 2 2 2
Sonuc ¸ 1.4. Bir yamu˘gun alanı, taban uzunluklarının toplamı ile y¨ uksekli˘ginin ¸carpımının yarısına e¸sittir. Sonuc ¸ 1.5. Bir yamukta, taban uzunlukları toplamının yarısı, ortataban uzunlu˘gu oldu˘gundan bir yamu˘gun alanı, ortataban uzunlu˘gu ile y¨ uksekli˘ginin ¸carpımına e¸sittir, yani [EF ] orta taban olmak u ¨zere, s(ABCD) = |EF |.h br 2 dir. ¨ Ornek 1.1. Tabanı, bir yamu˘gun yan kenarlarından biri, tepe noktası di˘ger yan kenarın orta nokrası olan bir u ¨¸cgenin alanı, yamu˘gun alanının yarısıdır, g¨osteriniz. 108
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner Yukarıdaki ¸sekle g¨ore △
s(DAF ) =
s(ABCD) 2 br 2
1.7. Deltoidin Alanı. △
△
s(ABCD) = s(ABD) + s(DBC) =
|BD||AH| |BD||HC| |BD||AC| 2 + = br 2 2 2 D
H
A
C
B S ¸ ekil 10. Deltoidin Alanı Sonuc ¸ 1.6. Bir deltoidin alanı, k¨ o¸segen uzunluklarının ¸carpımının yarısına e¸sittir. 1.8. D¨ uzg¨ un C ¸ okgenlerin Alanı. D¨ uzg¨ un c¸okgenlerin kenar uzunlukları e¸sit ve a¸cıları e¸stir. Her d¨ uzg¨ un c¸okgenin k¨o¸seleri bir c¸ember u ¨ zerindedir. Bu c¸embere d¨ uzg¨ un c¸okgenin c¸evrel c¸emberi denir. Her d¨ uzg¨ un c¸okgenin bir i¸cte˘get c¸emberi vardır. Buna g¨ore a¸sa˘gıdaki tanımları verebiliriz. Tanım 1.1. n-kenarlı bir d¨ uzg¨ un ¸cokgen verildi˘ginde, 1) C ¸ evrel c¸emberin ve i¸c te˘get c¸emberin ortak olan merkezine, d¨ uzg¨ un c¸okgenin merkezi denir, M merkez noktadır. 2) C ¸ evrel c¸emberin yarı¸capına d¨ uzg¨ un c¸okgenin yarı¸capı denir, r−yarı¸capdır. 109
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
r M
h
S ¸ ekil 11. D¨ uzg¨ un c¸okgen ˙ cte˘get c¸emberin yarı¸capına d¨ 3) I¸ uzg¨ un c¸okgenin apotemi denir, h− apotemidir. 4) Bir kenarı g¨oren merkez a¸cıya d¨ uzg¨ un c¸okgenin merkez a¸cısı denir. Bir kenarının uzunlu˘gu a−br olan n-kenarlı bir d¨ uzg¨ un c¸okgen (Pn ) olmak u ¨ zere C ¸ (Pn ) = n.a dır. (Pn ), M noktası ortak k¨o¸se olmak u ¨ zere, n-tane e¸s ikizkenar u ¨c¸gene ayrılır. △
△
△
MP1 P2 ∼ = MP2 P3 ∼ = ... ∼ = MPn P1 △
△
△
(Pn ) = MP1 P2 ∪ MP2 P3 ∪ ... ∪ MPn P1 △
s(MPi Pi+1 ) =
a.h C(Pn ).h a.h ⇒ s(Pn ) = n. = elde edilir. 2 2 2
Sonuc ¸ 1.7. Bir d¨ uzg¨ un ¸cokgenin alanı, ¸cevre uzunlu˘gu ile apoteminin ¸carpımının yarısıdır. ¨ ˙ paralel kenarı arasındaki uzaklık 6 cm olan bir d¨ Ornek 1.2. Iki uzg¨ un altıgenin alanını hesaplayınız. C ¸¨ oz¨ um: Birbirine dik olan iki do˘gru par¸cası alalım. Bunlardan dikey olanın uzunlu˘gu 6 cm olsun.
Bu do˘gru par¸casının orta noktası aradı˘gımız
d¨ uzg¨ un altıgenin merkez noktası olacaktır. 110
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner b b
b
M
b
A
b
b
H B S ¸ ekil 12.
ˆ ˆ m(HMA) = 30o ve m(AMB) = 60o olacak ¸sekilde belirlenen A ve B noktaları i¸cin elde edilen [AB] do˘gru par¸cası altıgen i¸cin bir kenardır. √ √ 3 3 o cos 30 = = ⇒ |AM| = 2 3 2 |MA| √ 1 |AH| sin 30o = = √ ⇒ |AH| = 3 2 2 3 olup bir kenarın uzunlu˘gu √ √ ¸ = 6a = 12 3 cm a = 2|AH| = 2 3 ⇒ C Sonu¸c 1.7 den Alan, √ √ C ¸ .h 12 3 × 3 A= = = 18 3 cm2 bulunur. 2 2
111
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ ¨ ˙ ALANI 2. DAIRESEL BOLGELER IN 2.1. Dairenin Alanı. r−yarı¸caplı bir daire verildi˘ginde alanı a¸sa˘gıdaki ¸sekilde hesaplanır. Bu dairenin i¸cine n-kenarlı bir d¨ uzg¨ un c¸okgen c¸izildi˘ginde
M r
h
S ¸ ekil 13. Daire C(Pn ).h e¸sitli˘gi ile hesap2 landı˘gını biliyoruz. Burada n −→ ∞ i¸cin c¸okgenin c¸embere, b¨olgenin bu d¨ uzg¨ un c¸okgenin alanının s(Pn ) =
de daireye d¨on¨ u¸st¨ u˘gu ¨ s¨oylemi¸stik. O halde bu d¨ uzg¨ un c¸okgenin alanı da dairenin alanı olacaktır. Buna g¨ore, n −→ ∞ i¸cin (Pn ) −→ Dr C(Pn ) −→ 2πr
h −→ r d¨on¨ u¸su ¨ r,
ve
bu de˘gerler yerine yazılırsa, r−yarı¸caplı dairenin alanı, s(Dr ) =
2πr 2 = πr 2 br 2 2
elde edilir. Sonuc ¸ 2.1. r−yarı¸caplı dairenin alanı s(Dr ) = πr 2 br 2 dir. 2.2. Daire Diliminin Alanı. r− yarı¸caplı bir dairede iki yarı¸cap ve bu yarı¸capların belirtti˘gi yay ile sınırlanan b¨olgeye daire dilimi denir. Merkez a¸cısının ¨ol¸cu ¨ s¨ u α olan bir daire diliminin alanı (2.1)
s(Dd (α)) =
α .πr 2 br 2 360
dir. 112
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
M α
S ¸ ekil 14. Daire dilimi 2.3. Daire Par¸casının Alanı. Bir [AB]−kiri¸si ve bu kiri¸sin c¸emberden ayırdı˘gı yayın sınırladı˘gı b¨olgeye daire par¸cası denir.
M α A
B
S ¸ ekil 15. Daire par¸cası [AB]−kiri¸sini g¨oren merkez a¸cının ¨ol¸cu ¨ s¨ u α olan bir daire par¸casının △
alanı, aynı merkez a¸cıya sahip daire diliminin alanından MAB nin alanı c¸ıkarılarak bulunur. Buna g¨ore (2.2)
△
s(Dp (α)) = s(Dd (α)) − s(MAB) = (
dir. Burada, sin α = △
s(MAB) =
|AH| ⇒ |AH| = r sin α, r
|AH||MB| r 2 .sinα 2 = br 2 2 113
α r 2 .sinα .πr 2 − ) br 2 360 2
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
¨ Ornek 2.1. Bir kenarının uzunlu˘gu 8 cm olan karenin biti¸sik iki kenarını ¸cap kabul eden iki ¸cember yaylarının sınırladı˘gı b¨ olgenin alanını bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: C
x A
H
B
S ¸ ekil 16. s(A) = 2x △
x = s(D90o )−s(MHB) = πr 2 ⇒ s(A) = 2x = 16(
90 sin 90 2 16 16 π − r = π− = 8( −1) 360 2 4 2 2
π − 1) 2
2.4. Halkanın Alanı. Merkezleri aynı yarı¸cap uzunlukları farklı olan iki c¸ember arasında kalan b¨olgeye halka denir.
Bir halkanın alanı, b¨ uy¨ uk dairenin alanından, k¨ uc¸u ¨k M r2
dairenin alanı c¸ıkarılarak
r1
bulunur. halkanın alanı,
(2.3)
s(H(r1, r2 )) = π.r22 − π.r12 = π(r22 − r12 ) br 2 114
Buna
g¨ore
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner dir.
Sonuc ¸ 2.2. Bir d¨ uzg¨ un ¸cokgenin, ¸cevrel ¸cemberi ile i¸c te˘get ¸cemberi arasında kalan halkanın alanı, bu d¨ uzg¨ un ¸cokgenin bir kenar uzunlu˘gunun yarısının karesi ile π nin ¸carpımına e¸sittir, yani s(H(h, r)) = π(r 2 − h2 ) = π( a2 )2 br 2 ¨ Ornek 2.2. Bir kenarının uzunlu˘gu 4−cm olan n−kenarlı bir d¨ uzg¨ un ¸cokgenin i¸c te˘get ve ¸cevrel ¸cemberleri arasındaki alan nedir? C ¸¨ oz¨ um: S(A) = π( a2 )2 = π( 42 )2 = 4π br 2 ¨ Ornek 2.3. Yarı¸cap uzunlukları e¸s ve 2 cm olan u ¨¸c ¸cember birbirine dı¸stan te˘get oldu˘guna g¨ore bu ¸cemberler arasında kalan b¨ olgenin alanı nedir?
M1
M2
M3
S ¸ ekil 17. ˙ Istenen alan, bir kenarının uzunlu˘gu a = 4 cm olan bir e¸skenar u ¨ c¸genin alanından merkez a¸cısı α = 60o olan 3 daire dilimin alanın frakına e¸sittir. Buna g¨oere istenen alan,
A=
√
√ √ 3 2 60 4 − 3π22 = 4 3 − 2π = 2( 3 − π) br 2 4 360
115
www.matematikce.com
¨ UM ¨ BOL 7
˙ IMLER ˙ ˙ ALAN ve HACIM ˙ KATI CIS IN HESAPLARI Katı cisimlerin alan ve hacimlerini daha kolay hesaplayabilmek i¸cin cisimler g¨or¨ un¨ u¸slerine g¨ore bazı sınıflara ayrılır. Bu sınıflar, prizmalar, piramitler, silindir, koni, k¨ ure ve bunlardan elde edilen cisimlerdir. ˙ 1. PRIZMALAR Tanım 1.1. D¨ uzlemde verilen bir (Pn ) ¸cokgensel b¨olgenin, kendine paralel kalacak ¸sekilde derinli˘gine hareket ettirilmesiyle olu¸san cisme prizma denir. △
Mesela (Pn ) ←→ ABC alındı˘gında, a¸sa˘gıdaki prizma elde edilir. A˙ B˙
C˙ A¨ h
¨ B
C¨ A H
B
C
E S ¸ ekil 1. Prizma
117
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ * Prizmayla Ilgili Tanımlar ve C ¸ ıkarılan Sonu¸clar: • Bir (Pn )−¸cokgensel b¨olgeden elde edilen prizma P1 ...Pn P˙1 ...P˙n ile
g¨osterilir. ABC A˙ B˙ C˙ prizması, • P1 , ... , Pn ve P˙1 , ... , P˙n noktalarına prizmanın k¨ o¸se noktaları denir. Bir (Pn ) c¸okgeninden elde edilen prizmanın k¨o¸se sayısı 2n dir. △
• (Pn )−¸cokgensel b¨olgeye prizmanın alt tabanı ∼ tabanı denir, ABC u ¨ c¸geni tabandır, • prizmalar tabanı olu¸sturan c¸okgenin kenar sayısına g¨ore isimlendirirler, u ¨ c¸gen prizma, d¨ortgen prizma vs... △
• (P˙n )−¸cokgensel b¨olgeye prizmanın u ¨st tabanı ∼ tavanı denir, A˙ B˙ C˙ u ¨ c¸geni tavandır, ˙ • Bir k¨o¸senin taban d¨ uzlemine olan uzaklı˘gınına |CH| = h br, prizmanın y¨ uksekli˘gi denir, • [Pi Pi+1 ] ve [P˙i P˙i+1 ] do˘gru par¸calarına prizmanın taban ayrıtları denir, • [Pi P˙ i ]−do˘gru par¸calarına prizmanın yan ayrıtları denir, Sonuc ¸ 1.1. Bir prizmanın, kar¸sılıklı taban ayrıtları ve b¨ ut¨ un yan ayrıtları bir birine e¸s ve paralel do˘gru par¸calarıdır. • ardı¸sık iki yan ayrıt arasında kalan b¨olgelere ( ki bunlar birer parlel uz leri denir, kenardır) Pi Pi+1 P˙ i+1 P˙i , prizmanın yan y¨ • bir prizma, taban d¨ uzlemine paralel bir d¨ uzlemle kesildi˘ginde, elde △
¨ C¨ u edilen c¸okgensel b¨olgeye prizmanın enine kesi ti denir, A¨B ¨ c¸geni bir enine kesittir. Sonuc ¸ 1.2. Bir prizmada taban, tavan ve her bir enine kesit e¸stir, △
△
△
¨ C¨ ABC ∼ = A˙ B˙ C˙ ∼ = A¨B 118
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
• bir prizma, yan ayrıtlarına dik bir d¨ uzlemle kesildi˘ginde olu¸san
¨ c¸geni bir dik kec¸okgensel b¨olgeye, prizmanın dik kesiti denir, A′ B ′ C ′ u sittir. A˙ B˙
C˙ A′
h
B′ C′
A
H B
C
E S ¸ ekil 2. Dik kesit
Teorem 1.1. Bir prizmanın y¨ uzeyinin alanı taban alan, tavan alanı ve yan y¨ uzlerin alanlarının toplamına e¸sittir. S(P ) = s(Pn ) + s(P˙ n ) +
n X
s(Pi Pi+1 P˙i+1 P˙i )
i=1
(1.1)
= 2s(Pn ) +
n−1 X i=1
|Pi Pi+1 | × h
= 2s(Pn ) + C(Pn ) × h Tanım 1.2. Bir prizmanın yan y¨ uzlerinin birle¸simine, prizmanın yanal y¨ uzeyi denir. Sonuc ¸ 1.3. Bir prizmanın yanal alanı, tabanın ¸cevre uzunlu˘gu ile y¨ uksekli˘ginin ¸carpımına e¸stir, (1.2)
s(Ya ) = C(Pn ) × h 119
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Sonuc ¸ 1.4. Bir prizmanın yanal alanı, bir dik kesitinin ¸cevre uzunlu˘gu ile bir yan ayrıt uzunlu˘gunun ¸carpımına e¸sittir. ˙ Ispat: S¸ekil-2 deki ABC A˙ B˙ C˙ prizmasının bir dik kesiti (A′ B ′ C ′ ) u ¨ c¸geni olsun. Yan ayrıtları taban olarak alırsak, dik kesitin kenar uzunlukları yanal y¨ uzleri olu¸sturan paralelkenarların y¨ ukseklikleri olur. Bu paralel kenarların alanlarının toplamı, prizmanın yanal alanını verece˘ginden, ′ ′ ′ ′ ˙ ′ B ′ | + |B B||B ˙ ˙ s(Ya ) = |AA||A C | + |C C||C A| ′ ′ ˙ = |AA|(|A B | + |B ′ C ′ | + |C ′A′ |)
˙ = C ¸ (A′ B ′ C ′ ) × |AA| elde edilir. Sonuc ¸ 1.5. Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile y¨ uksekli˘ginin ¸carpımına e¸sittir, (1.3)
V (P ) = S(Pn ) × h
Tanım 1.3. Yan ayrıtları, taban d¨ uzlemine dik olan prizmaya dik prizma, aksi halde e˘gik prizma denir, Bu tanıma g¨ore, m(P˙ i Pˆi X) = α olmak u ¨ zere; • α = 90o ise elde edilen prizma dik prizma,
• α < 90o ise elde edilen prizma e˘gik prizmadır. α a¸cısına e˘gik prizmanın e˘gim a¸cısı denir. • bir dik prizmanın yan y¨ uzleri birer dik d¨ortgen dir, • bir dik prizmanın yan ayrıtlarının uzunlukları prizmanın y¨ uksekli˘gine
e¸sittir, yani ∀i−i¸cin |Pi P˙ i | = h
• bir dik prizmanın, herbir enine kesiti, bir dik kesittir. Tanım 1.4. Tabanı dikd¨ ortgen olan dik prizmaya dikd¨ ortgenler prizması denir. 120
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner A˙ B˙
C˙ h
α
A X
H
B
C
E S ¸ ekil 3. E˘gik Prizma
A˙ B˙
C˙
α
A X
B
C
E S ¸ ekil 4. Dik Prizma
Tanım 1.5. Bir dikd¨ortgenler prizmasında y¨ uzlerin k¨ o¸segenine y¨ uz k¨o¸segeni, aynı y¨ uzde olmayan iki k¨ o¸se˘gi birle¸stiren do˘gru par¸casına da cisim k¨o¸segeni denir. ˙ ˙ ˙ ABCDA˙ B˙ C˙ D−dikd¨ ortgen prizmasında, [AB]− y¨ uz k¨o¸segeni ve [AC]−cisim k¨o¸segenidir. 121
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner D˙
C˙
A˙
B˙
D
C
A
B
S ¸ ekil 5. Dikd¨ortgenler Prizması • Bu k¨o¸segenlerin uzunluklarını cismin boyutları cinsinden hesaplan√ √ ˙ = a2 + h2 br ˙ = a2 + b2 + h2 br dir. abilir, |AB| ve |AC| • Bir dikd¨ortgenler prizmasınnın hacmi, bir k¨o¸sesinden c¸ıkan u ¨ c¸ ayrıtının uzunlukları c¸arpımına e¸sittir. ˙ V = |AB|.|AD|.|AA| • bir prizmada K : k¨o¸se sayısı, Y : y¨ uz sayısı ve A : ayrıt sayısı olmak u ¨ zere, bunlar arasında (1.4)
K +Y −A=2
e¸sitli˘gi ge¸cerlidir, bu e¸sitli˘ge Euler ba˘gıntısı denir. Mesela bir u ¨ c¸gen prizma i¸cin, 6 + 5 − 9 = 2 dir. Tanım 1.6. B¨ ut¨ un ayrıtları e¸s olan dikd¨ ortgen prizmaya k¨ up denir. Sonuc ¸ 1.6. Bir ayrıtının uzunlu˘gu a br olan bir k¨ up i¸cin a = b = h oldu˘gundan √ ˙ = 2a br • her bir y¨ uz k¨o¸segeninin uzunlu˘gu |AB| √ ˙ = 3a br dir. • her bir cisim k¨o¸segeninin uzunlu˘gu |AC| 122
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner D˙
C˙
A˙
B˙
D
C
A
B S ¸ ekil 6. k¨ up
˙ ˙ 2. PIRAM ITLER Tanım 2.1. Bir E−d¨ uzleminde bir (Pn ) ¸cokgeni ile bu d¨ uzlemde olmayan bir T noktası verilsin. T noktasının ¸cokgenin k¨ o¸seleriyle birle¸stirilmesiyle olu¸san u ¨¸cgensel b¨olgelerle, ¸cokgensel b¨ olgenin sınırladı˘gı cisme, tepe noktası T olan piramit denir ve (T, Pn ) ile g¨ osterilir. Mesela (Pn ) ←→ ABCD d¨ortgeni alındı˘gında a¸sa˘gıdaki piramit elde edilir. T
h D A
C Hi
H B
S ¸ ekil 7. Piramit ⋆ T noktasına piramidin tepe noktası denir, ⋆ (Pn ) c¸okgensel b¨olgeye piramidin tabanı denir, ABCD d¨ortgeni tabandır, ⋆ [T Pi ]− do˘gru par¸calarına piramidin yan ayrıtları denir, 123
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
⋆ T noktasının E d¨ uzlemine olan uzaklı˘gına |T H| = h, piramidin y¨ uksekli˘g i denir, △
⋆ T Pi Pi+1 u ¨ c¸genlerine piramidin yan y¨ uzleri denir, uze ait y¨ ukseklik denir, ⋆ |T Hi | = hi uzaklıklarına i-yinci y¨ ⋆ piramitlerde prizmalar gibi tabanı olu¸sturan c¸okgenlerin kenar sayısına g¨ore isimlendirilirler, u ¨ c¸gen piramit, d¨ortgen piramit vs... Teorem 2.1. Bir piramidin alanı, taban alanı ile yan y¨ uzlerin alanları toplamına e¸sittir, S(T, P ) = s(Pn ) +
n X
△
s(T Pi Pi+1 )
i=1
= s(Pn ) +
(2.1)
n X |Pi Pi+1 | × hi
2
i=1
Tanım 2.2. Tabanı bir d¨ uzg¨ un ¸cokgen ve y¨ ukseklik aya˘gı tabanın merkezi olan piramide d¨ uzg¨ un piramit denir, T
h′ D A
Hi
C B
S ¸ ekil 8. d¨ uzg¨ un piramt ⋆ bir d¨ uzg¨ un piramitin yan ayrıtları e¸stir, ⋆ bir d¨ uzg¨ un piramidin yan y¨ uzleri e¸s ikizkenar u ¨ c¸genlerdir, ⋆ yan y¨ uz y¨ ukseklikleri e¸sittir, ∀i = 1, 2, ..., n i¸cin hi = h′ 124
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Sonuc ¸ 2.1. Bir kenarının uzunlu˘gu a − br olan d¨ uzg¨ un piramidin yanal alanı, (2.2)
s(Ya ) = n.
a.h′ 2 br 2
Teorem 2.2. Bir d¨ uzg¨ un piramit tabanına paralel bir d¨ uzlemle kesildi˘ginde, i) elde edilen kesit ¸cokgeni tabana benzerdir, P˙ n ∼ Pn ii) kesit ¸cokgeninin alanının taban alanına oranı, bunların tepe noktasına olan uzaklıklarının oranının karesine e¸sittir.
(2.3)
ˆ Cˆ D) ˆ ˆ s(Pˆn ) s(AˆB |T H| = =( )2 s(Pn ) s(ABCD) |T H| T
ˆ D Aˆ
A
D
Cˆ ˆ B H
Hi
C
B
S ¸ ekil 9. Kesit ˆ Cˆ D ˆ ve ˙ Ispat: Piramit bir kare piramit olsun. Kesit d¨ortgeni AˆB ˆ Cˆ ve T HC u taban ABCD d¨ortgeni olmak u ¨ zere T H ¨ c¸genlerine Tales ˆ ˆ ˆ |T H| |H C| ˆ Cˆ D ˆ ve ABCD teoremi uygulanırsa, = elde edilir. AˆB |T H| |HC| ˆ C| ˆ |H d¨ortgenleri benzer olup benzerlik oranı, dir. |HC| Benzer c¸okgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesi oldu˘gundan ˆ Cˆ D) ˆ ˆ s(AˆB |T H| =( )2 s(ABCD) |T H| elde edilir 125
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Teorem 2.3. (Cavalier Prensibi): Taban alanları ve y¨ ukseklikleri e¸sit olan iki cisimin, tabanlarından aynı uzaklıkta alınan paralel kesitlerinin alanları e¸sit ise bu iki cismin hacimleri de e¸sittir. Sonuc ¸ 2.2. Taban alanları ve y¨ ukseklikleri e¸sit olan piramitlerin hacimleri de e¸sittir. Teorem 2.4. Bir piramidin hacmi, taban alanıyla y¨ uksekli˘gi ¸carpımının u ¨¸cte birine e¸sittir, yani (2.4)
V (T, Pn ) =
1 S(Pn ) × h br 3 3
d¨ ur. ˙ Ispat: Bu teoremi iki adımda ispatlayabiliriz. I.Adım: Herhangi bir (T, ABC)− u ¨ c¸gen piramidi verilsin. Bu piramidi a¸sa˘gıdaki ¸sekilde bir (ABCET D)− u ¨ c¸gen prizmaya tamamlayalım. E
D T
C
A B S ¸ ekil 10.
Bu prizma (A, D, T )− d¨ uzlemiyle kesildi˘ginde elde edilen (A, T DE)−¨ uc¸gen piramidi tabanları ve y¨ ukseklikleri e¸sit oldu˘gundan bize verilen (T, ABC)−piramidine e¸stir, (2.5)
(A, T DE) ∼ = (T, ABC) 126
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
ve prizmanın bu piramitle farkı (A, T BCD)−d¨ortgen piramididir. Bu d¨ortgen piramit (A, C, T ) d¨ uzlemiyle iki u ¨ c¸gen pramite ayrıldı˘gında, (2.6)
(A, T BCD) = (A, T BC) ∪ (A, T CD) = (T, ABC) ∪ (A, T CD)
⇒ (T, ABC) ∼ = (A, T DE) ∼ = (A, T CD) olup (T, ABC) ∪ (A, T DE) ∪ (A, T CD) = ABCET D oldu˘gundan △
3 × V (T, ABC) = V (ABCT DE) = s(ABC) × h ⇒ V (T, ABC) =
△ 1 s(ABC) × h 3
elde edilir. II.Adım: Herhangi bir (T, Pn ) piramidi verildi˘ginde P1 noktasının, sırasıyla P3 , P4 , ... , Pn−1 noktalarıyla olu¸sturdu˘gu k¨o¸segenlerin T noktasıyla belirtti˘gi d¨ uzlemler, verilen piramidi (n−2)−¨ uc¸gen piramide ayırır ve bunların birle¸simi esas piramidi olu¸sturur. O halde T
Pi P3
Pn P1
P2
S ¸ ekil 11. D¨ uzg¨ un Piramit △
△
△
V (T, Pn ) = V (T, P1 P2 P3 ) + V (T, P1 P3 P4 ) + ... + V (T, P1 Pn−1 Pn ) 127
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner =
△ △ △ 1 1 1 s(P1 P2 P3 )×h+ s(P1 P3 P4 )×h+...+ s(P1 Pn−1 Pn )×h 3 3 3
=
△ △ △ h [s(P1 P2 P3 ) + s(P1 P3 P4 ) + ... + s(P1 Pn−1 Pn )] 3
=
1 S(Pn ) × h 3
elde edilir. n = 4 i¸cin T
D C
A B S ¸ ekil 12. D¨ortgen piramit △
△
V (T, ABCD) = V (T, ABC) + V (T, ACD)
=
△ △ 1 1 s(ABC) × h + s(ACD) × h 3 3
=
△ △ 1 [s(ABC) + s(ACD)] × h 3
=
1 1 [s(ABCD)] × h = Ta × h 3 3
Tanım 2.3. Altı ayrıtı da e¸s olan u ¨¸cgen piramite d¨ uzg¨ un d¨ ort y¨ uzl¨ u denir. 128
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner T
A
D A
G
C G=H
B
E
D
E
C
B S ¸ ekil 13. D¨ uzg¨ un d¨ort y¨ uzl¨ u Sonuc ¸ 2.3. Bir ayrıtının uzunlu˘gu a − br olan d¨ uzg¨ un d¨ ort y¨ uzl¨ un¨ un, √ 6 a) y¨ uksekli˘gi; h = |T G| = a br 3 b) alanı; S(T, ABC) =
√
c) hacmi; V (T, ABC) =
3 a2 br 2
√
2 3 3 a br 12
d¨ ur. △
˙ Ispat: Her ayrıtın uzunlu˘gu a br oldu˘guna g¨ore, AEC dik u ¨ c¸geninden √ a2 3 2 3 = a ⇒ |AE| = a br |AE| = a − 4 4 2 √ 2 3 |AG| = |AE| = a br 3 3 2
2
√ 3 2 6 2 6 |T G| = |T A| − |AG| = a − a = a ⇒ h = |T G| = a br 9 9 3 √ △ △ √ 3 2 2 s(ABC) = a br ⇒ S(T, ABC) = 4 × s(ABC) = 3 a2 br 2 4 √ √ √ △ 1 3 2 6 2 3 3 ⇒ V (T, ABC) = s(ABC) × h = a × a= a br 3 12 3 12 elde edilir. 2
2
2
2
129
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Tanım 2.4. Taban ayrıtları, yanal ayrıtlarına e¸s olan iki d¨ uzg¨ un kare uzg¨ un sekiz piramidin taban tabana birle¸stirilmesiyle, elde adilen cisme, d¨ y¨ uzl¨ u denir. T
D A
C
H
Hi
B
T′ S ¸ ekil 14. D¨ uzg¨ un sekiz y¨ uzl¨ u Bir ayrıtının uzunlu˘gu a br olan bir d¨ uzg¨ un sekiz y¨ uzl¨ u de, ⋆ her y¨ uz birbirine e¸s e¸skenar u ¨ c¸gendir, ⋆ k¨o¸segen uzunlukları birbirine e¸stir, √ |AC| = |BD| = |T T ′ | = 2 a br dir, √ ⋆ y¨ uzey alanı; √ S = 2 3 a2 br 2 dir, 2 3 3 ⋆ hacmi; V = a br d¨ ur. 3
130
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner ˙ IND ˙ ˙ 3. SIL IR
Tanım 3.1. Bir E d¨ uzleminde yatan basit kapalı bir C ⊂ E e˘grisi ile bu d¨ uzleme paralel olmayan bir d do˘grusu verildi˘ginde, d do˘grusunun C e˘grisi boyunca kendine paralel kalacak ¸sekilde hareket etmesiyle olu¸san y¨ uzeye silindirik y¨ uzey denir. C e˘grisine, bu y¨ uzeyin dayanak e˘grisi, d do˘grusuna da ana do˘grusu veya do˘grultman do˘grusu denir.
d A c
α
l
h
E ⊥
B
S ¸ ekil 15. silindir
Tanım 3.2. Bir silindirik y¨ uzey paralel iki d¨ uzlemle kesildi˘ginde, d¨ uzlemlerin y¨ uzeyin i¸cinde kalan par¸caları ve y¨ uzeyin d¨ uzlemler arasında kalan par¸cası ile sınırlanan cisme silindir denir. Bu d¨ uzlem par¸calarına silindirin tabanı ve tavanı, y¨ uzey par¸casına yanal y¨ uzeyi ve d¨ uzlemler arasındaki uzaklı˘ga silindirin y¨ uksekli˘gi denir. Silindirler de tabanlarına g¨ore isimler alırlar dairesel silindir, eliptik silindir vs ... 131
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Tanım 3.3. Ana do˘grunun taban d¨ uzlemiyle yaptı˘gı a¸cı α, 0 < α < 90o olmak u ¨zere, elde edilen silindire e˘gik silindir, α a¸cısına da e˘gik silindirin e˘gim a¸cısı denir. α = 90o ise, elde edilen silindire dik silindir, tabanı daire olan dik silindire de dik dairesel silindir denir. Sonuc ¸ 3.1. E˘gim a¸cısı α olan bir e˘gik silindirin a) Yanal alanı; Ya = ch = c l sin α br 2 burada, c : dayanak e˘grisinin uzunlu˘gunu, l : ana do˘grunun d¨ uzlemler arasında kalan par¸casının uzunlu˘gunu g¨ ostermektedir l = |AB|. b) Alanı; Sa = Ya + 2A br 2 A : daynak e˘grisinin sınırladı˘gı b¨ olgenin alanı, c) Hacmi; V = Ah = Al sin α br 3 d¨ ur. Sonuc ¸ 3.2. r-yarı¸caplı dik dairesel silindirin, a) Yanal alanı; b) Alanı;
c) Hacmi;
Ya = 2πrh br 2 Sa = Ya + 2πr 2 = 2πr(h + r) br 2 V = πr 2 h br 3
d¨ ur.
Tanım 3.4. Bir dik dairesel silindir, kenar uzunlukları r ve h birim olan bir dik d¨ortgenin bir kenarı etrafında 360o d¨ ond¨ ur¨ ulmesiyle de elde 132
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
r
Ya = 2πrh br 2
h
2πr πr 2
S ¸ ekil 16. D.D.S.A¸cılımı edildi˘ginden bazen d¨onel silindir olarak ta isimlendirilir. Etrafında d¨ ome hareti yapılan kenar do˘grusuna silindirin ekseni denir. ¨ Ornek 3.1. Bir dik dairesel silindirin yarı¸cap uzunlu˘gu, y¨ uksekl˘ginden 2 cm k¨ u¸cu ¨kt¨ ur. Bu silindirin ekseninden ge¸cen bir d¨ uzlemle arakesit dik d¨ortgeninin bir k¨o¸segen uzunlu˘gu 10 cm oldu˘guna g¨ ore, silindirin alanını ve hacmini bulunuz.
133
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner 4. KONI˙
Tanım 4.1. Bir E d¨ uzleminde yatan basit kapalı bir C ⊂ E e˘grisi ile bu d¨ uzlemde olmayan bir T noktası verildi˘ginde, elde edilen [T P ], P ∈ C do˘gru par¸calarının birle¸sim k¨ umesine koni y¨ uzeyi, koni y¨ uzeyi ile C e˘grisinin sınırladı˘gı d¨ uzlem par¸cası tarafından sınırlanan cisme koni denir. T noktasına koninin tepe noktası, [T P ] do˘gru par¸calarına da ana do˘gruları denir. Bir konide, T
T l h
⊥ H
P
r H
A
C S ¸ ekil 17. Koni • C e˘grisinin sırladı˘gı b¨olgeye koninin tabanı, uksekli˘gi , • tepe noktasının taban d¨ uzlemine olan uzaklı˘gına koninin y¨ • koninin tepe noktası ve tabanın merkez noktasından ge¸cen do˘gruya konin ekseni denir. • koniler de taban e˘grilerine g¨ore dairesel koni, eliptik koni vs... olarak isimlendirilir. ¸ e¸sitleri. 4.1. Koni C 4.1.1. E˘gik Koni. Y¨ ukseklik aya˘gı tabanın merkezi olmayan koniye e˘gik koni denir. 4.1.2. Dik Dairesel Koni. Ekseni taban d¨ uzlemine dik olan dairesel koniye dik dairesel koni denir. 134
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner △
Dik dairesel koni, bir dik u ¨ c¸genin (T HA) dik kenarlarından birisi ([T H]) etrafında 360o d¨ond¨ ur¨ ulmesiyle elde edilebildi˘ginden bu koniye bazen d¨onel koni de denir. T H−do˘grusuna d¨onel koninin (d¨ onme) ekseni denir. ˙ DAIRESEL ˙ ˙ IN ˙ OZEL ¨ ˙ ˙ * DIK KONIN IKLER I; 1) Ana do˘gruları bir birine e¸stir, 2) Ekseni y¨ uksekli˘gi tanımlayan do˘grudur, 3) Ekseni i¸cine alan bir d¨ uzlemle kesi¸simi, bir ikizkenar u ¨ c¸gendir. Teorem 4.1. r−yarı¸caplı bir dik dairesel koni y¨ uzeyinin, a) Yanal alanı; (4.1)
Ya = πrl br 2
burada, l : ana do˘grunun uzunlu˘gunu g¨ ostemektedir l = |T A|
T Ya l h r H
A
S ¸ ekil 18. Koninin yanal alanı b) Alanı;
c) Hacmi;
S = Ya + Ta = πrl + πr 2 = πr(l + r) br 2 1 V = πr 2 × h br 3 3
d¨ ur. 135
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Bu koniyi taban kenarının sayısı sonsuz olan bir d¨ uzg¨ un piramit olarak ele alıp, piramitler i¸cin ifade edilen ¨onermeleri koni i¸cin de kullanabiliriz. ¨ Ornek 4.1. C ¸ apı 8 cm, y¨ uksekli˘gi 10 cm olan bir dik dairesel silindirden, tabanı silindirin tabanı ve ana do˘grusunun uzunlu˘gu 6 cm olan dik dairesel koni ¸cıkarılıyor. Kalan cismin alanını ve hacmini bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: C ¸ ap 8 cm ise yarı¸cap r = 4 cm, y¨ ukseklik h = 10 cm ve ana do˘grunun uzunlu˘gu l = 6 cm oldu˘guna g¨ore, cismin alanı, silindirin
h = 10 l=6 h′ r=4 tavan alanı, yanal alanı ve koninin yanal alanlarının toplamı oldu˘gundan, alan, S = πr 2 + 2πrh + πrl = 120π cm2 , hacmi ise silindirin hacmi ile y¨ uksekli˘gi √ √ √ h′ = l2 − r 2 = 36 − 16 = 2 5 cm olan koninin hacminin farkı oldu˘gundan, hacim, √ 1 32(15 − 5) V = πr 2 h − πr 2 h′ = π cm3 3 3 d¨ ur. 136
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
4.1.3. Kesik Koni. Bir d¨onel koni, tabana paralel bir d¨ uzlemle kesildi˘ginde, bu d¨ uzlemle taban d¨ uzlemi arasında kalan par¸casına kesik koni denir.
T
h2 l
l2
H′
A′ l1
h1 r H
A
S ¸ ekil 19. Kesik koni Teorem 4.2. Yarı¸capları r ve r ′ , y¨ uksekli˘gi h1 olan bir dik dairesel kesik koninin, a) yanal alanı, taban ve tavanın ¸cevreleri toplamı ile ana do˘gru par¸casının uzunlu˘gu ¸carpımının yarısına e¸sittir, yani l1 = |AA′ | ve l2 = l − l1 olmak u ¨zere Ya = π(r + r ′ ) l1 br 2
(4.2) b) hacmi,
1 V = πh1 (r 2 + r ′2 + rr ′) br 3 3
(4.3) d¨ ur.
△
△
˙ Ispat: A.A.A benzerlik teoremine g¨ore T H ′ A′ ∼ T HA oldu˘gundan r ′ l = rl2 ⇒ πr ′l = πrl2 h2 r l2 r ′2 h = rr ′h = = ⇒ 2 ′ h r l r h = rh ⇒ 2 rr ′h = r 2 h2 ′
(4.4)
137
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner h = h1 + h2
ve
l = l1 + l2
oldu˘gu g¨oz ¨on¨ une alınırsa,
Ya = πrl − πr ′ l2 = πrl + πr ′ l − πrl2 − πr ′ l2 = π(r + r1 )l − π(r + r1 )l2 = π(r + r ′ )(l − l2 )
= π(r + r ′ )l1 br 2
b) kesik koni ¸sekil 19 de verilen iki koninin farkı olrak d¨ u¸su ¨ n¨ ul¨ urse hacmi, 1 1 V = πr 2 h − πr ′2 h2 3 3 1 2 = π[r h+r ′2 h − rr ′h2 + rr ′ h − r 2 h2 − r ′2 h2 ] 3 1 = π[r 2 (h − h2 ) + r ′2 (h − h2 ) + rr ′(h − h2 )] 3 1 = πh1 (r 2 + r ′2 + rr ′ ) br 3 3 elde edilir.
138
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner ¨ 5. KURE
Tanım 5.1. Uzayda sabit bir noktadan e¸sit uzaklıktaki noktaların k¨ umesine k¨ ure y¨ uzeyi, bu y¨ uzeyle sınırlanan cisme k¨ ure denir.
r
M
Bu sabit noktaya k¨ urenin merkezi , sabit uzaklı˘ga da k¨ urenin yarı¸capı denir. M−merkezli, r−yarı¸caplı k¨ ure K(M, r) ile g¨osterilir. 5.1. K¨ urenin Belirlenmesi. Fakrlı iki noktanın bir do˘gru, do˘gruda¸s olmayan u ¨ c¸ nokta bir c¸ember belirtti˘gi gibi bir d¨ uzlem i¸cinde bulunmayan d¨ort nokta da bir k¨ ure y¨ uzeyi belirtir. Aynı d¨ uzlemde olmayan A, B, C ve D noktaları verildi˘ginde bu noktaların belirti˘gi k¨ ure y¨ uzeyi a¸sa˘gıdaki ¸sekilde bulunur. D
M r A
A, B ve C noktalarının belirtti˘gi c¸emberin merkez noktasında d¨ uzleme dik olan do˘gru (n-normal) u ¨ zerindeki her noktanın A, B ve C noktalarına olan uzaklı˘gı e¸sittir. 139
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
[AD]−sının orta dikmesinin n do˘grusu ile kesim noktasını M dersek |MA| = |MD| ve M ∈ n oldu˘gundan |MB| = |MC| dir, yani M noktası, verilen d¨ort noktaya da e¸sit uzaklıkta olup M noktasını merkez r = |MD| uzaklı˘gını yarı¸cap kabul eden k¨ ure y¨ uzeyi verilen d¨ort noktanın belirtti˘gi k¨ ure y¨ uzeyidir.
C A
M
B
Bir yarım c¸emberin c¸apı etrafında d¨ond¨ ur¨ ulmesiyle k¨ ure y¨ uzeyi olu¸sur. Ayrıca, uzayda bir do˘gru par¸casını dik a¸cı altında g¨oren noktaların geometrik yeri, bu do˘gru par¸casını c¸ap kabul eden bir k¨ ure y¨ uzeyidir. 5.2. K¨ urenin Alan ve Hacminin Hesaplanması. Bir k¨ ure y¨ uzeyinin alanı ve k¨ urenin hacmini hesaplamadan ¨once a¸sa˘gıdaki o¨nermelerin do˘grulu˘gunun g¨osterilmesi gerekir. Teorem 5.1. Bir do˘gru par¸casının bir do˘gru etrafında d¨ ond¨ ur¨ ulmesiyle olu¸san y¨ uzeyin alanı, bu do˘gru par¸casının orta noktasının bu d¨ onme esnasında ¸cizdi˘gi ¸cemberin c¸evresi ile verilen do˘gru par¸casının uzunlu˘gunun ¸carpımına e¸sittir. ˙ Ispat: Verilen do˘gru par¸casını [AB] ve do˘gruyu da d ile g¨osterirsek, bu ikisinin durumuna g¨ore a¸sa˘gıdaki ihtimaller s¨oz konusudur,
1) [AB]//d ise elde edilen y¨ uzey, bir silindirin yan y¨ uzeyi olup alanı; Ya = 2π|CH||AB| = 2πrh 140
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
B
B′
C
H
A
A′
2) B ∈ d ise y¨ uzey bir konin yan y¨ uzeyidir, alanı Ya = π|AA′ ||AB| = 2π|CH||AB| |AA′ | = 2|CH| oldu˘gunu g¨ostermeliyiz. B C A
H A′
A.A.A benzerlik teoremine g¨ore △
△
BCH ∼ BAA′ ⇒
|BC| |CH| 1 = = ⇒ |AA′ | = 2|CH| ′ |BA| |AA | 2
3) [AB] do˘gru par¸cası eksene paralel de˘gil ve kesi¸simleri bo¸s k¨ ume ise, y¨ uzey bir kesik konin yan y¨ uzeyi olup, alanı Ya = π(|AA′ | + |BB ′ |)|AB| = 2|CH||AB| 141
R.Aslaner
www.matematikce.com
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
⇒ |AA′ | + |BB ′ | = 2|CH| oldu˘gunu g¨osterelim,
B C A
△
△
BCH ′ ∼ BAD ⇒
B′ H′
H E A′
D
|BC| |CH ′ | 1 = = ⇒ |AD| = 2|CH ′ | |BA| |AD| 2
|AA′ | + |BB ′ | = |AD| + |DA′| + |DA′ | = 2|CH ′| + 2|H ′H| = 2(|CH ′| + |H ′ H|) = 2|CH|
Sonuc ¸ 5.1. [CE] ⊥ [AB] olacak ¸sekildeki bir E ∈ d noktası i¸cin |CE||A′B ′ | = |CH||AB| dir. Dolayısıyla elde edilen y¨ uzeyin alanı, S = 2π|CE||A′B ′ | br 2 dir.
B C A
B′ H
D
E A′
ˆ ˆ ∼ ˙ Ispat: [AA′ ]//[CH] ⇒ A′ AC = HCB 142
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
ˆ ˆ ⇒ ECH ˆ ∼ ˆ m(ECH) = 90 − m(HCB) = m(B) = ABD A.A. benzerlik sonucuna g¨ore △
|CH| |CH| |CE| = ′ ′ = |BD| |B A | |BA|
△
CHE ∼ BDA ⇒
⇒ |CH||AB| = |CE||A′B ′ | sonucu elde edilir. K¨ ure, merkez noktası ve yarı¸cap uzunlu˘guna ba˘glı bir geometrik cisimdir. K¨ ure y¨ uzeyinin alanı ve k¨ urenin hacmi hesaplanırken, merkez noktanın yeri ¨onemli olmadı˘gından bu kavramlar yalnızca yarı¸cap uzunlu˘guna ba˘glı olarak hesaplanmaktadır. Buna g¨ore a¸sa˘gıdaki teoremler verilebilir. Teorem 5.2. r-yarı¸caplı k¨ ure y¨ uzeyinin alanı S = 4πr 2 br 2
(5.1) dir.
Bu teoremi farklı metodlarla ispatlayabiliriz. ˙ Ispat 1: r-yarı¸caplı bir yarım c¸ember ele alalım. Bu c¸ember yayının c¸ap etrafında d¨ond¨ ur¨ ulmesiyle, r-yarı¸caplı k¨ ure y¨ uzeyi olu¸sur. Bu k¨ ure y¨ uzeyinin alanını hesaplayabilmek i¸cin bu yarım c¸ember i¸cerisine n-kenarlı bir yarım d¨ uzg¨ un c¸okgen c¸izelim. C B
D h
A
B′
C′
D′
S ¸ ekil 20. K¨ urenin alanı 143
E
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
Bu yarım c¸okgenin AE- do˘grusu etrafında d¨ond¨ ur¨ ulmesiyle olu¸san y¨ uzeyin alanı, Teorem 7.8 ve Sonu¸c 7.10 dan Y = 2πh(|AB ′ | + |B ′ C ′ | + |C ′D ′ | + |D ′ E|) = 2πh|AE| = 2πh2r = 4πhr br 2
n −→ ∞ i¸cin h −→ r ve Y −→ S = 4πr 2 br 2 elde edilir. ˙ Ispat 2 : K(M, r)− k¨ ure y¨ uzeyi u ¨ zerinde A, B, C ∈ K noktaları ¸sekildeki gibi se¸cilmi¸s olsun. Bu durumda |AM| = |BM| = |CM| = r br olup |CB| =
√
2 r br dir.
Bu k¨ ure y¨ uzeyinin elastiki bir maddeden olu¸sturuldu˘gunu farz edelim. Bu y¨ uzey iki d¨ uzlem par¸cası ile sıkı¸stırıldı˘gında, yani A, C 7→ M alındı˘gında
C M
′ B B
A
k¨ ure y¨ uze˘gi M−merkezli, |MB ′ | = |CB| =
√
2 r−yarı c¸aplı iki dair√ 2 eye d¨on¨ u¸su ¨ r. Her bir dairenin alanı, A = π( 2r) = 2πr 2 br 2 olup r−yarı¸caplı k¨ ure y¨ uzeyinin lanı, S = 2 × A = 4πr 2 br 2 olarak elde edilir.
Bir K(M, r)−k¨ uresi ve bir E-d¨ uzlemi verildi˘ginde, M noktasının E d¨ uzlemine olan uzaklı˘gı |MH| = d olmak u ¨ zere; 144
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner 1) d > r ise, K ∩ E = ⊘ dir,
2) d = r ise K ∩ E = {T } olup d¨ uzlem k¨ ureye te˘gettir,
3) d < r ise K ∩ E = C ¸ (H, r ′ ), yani arakesit bir dairedir. Sonuc ¸ 5.2. Bir k¨ ure y¨ uzeyinin herhangi bir d¨ uzlemle arakesiti, merkezi H ∈ E ve yarı¸capı √ r ′ = r 2 − d2
r′ M
olan bir ¸cemberdir. Bu ¸cemberle elde edilen daireye k¨ urenin kesit dairesi denir. Tanım 5.2. Bir K(M, r) k¨ uresi verildi˘ginde, bu k¨ urenin bir d¨ uzlemle arakesiti bir dairedir. D¨ uzlem, k¨ urenin merkezinden ge¸cerse, yani d = 0 urenin b¨ uy¨ uk dairesi denir. ise elde edilen daireye, k¨ K¨ urenin merkezinden c¸ok sayıda d¨ uzlem ge¸cti˘ginden, bir k¨ urenin sonsuz sayıda b¨ uy¨ uk dairesi vardır. Bir b¨ uy¨ uk dairenin merkezi, k¨ urenin merkezi ve yarı¸capı k¨ urenin yarı¸capı oldu˘gundan alanı A = πr 2 br 2 dir. B¨oylece a¸sa˘gıdaki sonu¸c verilebilir. Sonuc ¸ 5.3. r-yarı¸caplı bir k¨ urenin alanı, bir b¨ uy¨ uk dairesinin alanının d¨ort katına e¸sittir, S = 4A = 4πr 2 br 2 dir. Teorem 5.3. r-yarı¸caplı k¨ urenin hacmi,
(5.2)
4 V = .π.r 3 br 3 3
d¨ ur. ˙ Ispat: M-merkezli ve r-yarı¸caplı bir yarım k¨ ure verilmi¸s olsun. Taban yarı¸capı ve y¨ uksekli˘gi r olan bir dik dairesel silindiri g¨oz ¨onene alalım. 145
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
a d
d
S ¸ ekil 21. K¨ urenin hacmi Bu silindir ile tabanı silindirin tavanını ve tepe noktası silindirin taban merkezi olan koninin farkından olu¸san cismi ele alalım. Bu cisimle yarım k¨ ure tabanlarından aynı uzaklıkta bir d¨ uzlemle kesildi˘ginde elde edilen halka ve kesit dairesinin alanları e¸sittir. A = π(r 2 − d2 ) br 2 dir. Cavalier prensibine g¨ore bu iki cismin hacimleri de e¸sit olmalıdır. Cismin hacmi, silindirin hacmi ile koninin hacminin farkı oldu˘gundan, 1 2 V ′ = π.r 2 .r − π.r 2 .r = π.r 3 br 3 3 3 d¨ ur. Ohalde k¨ urenin hacmi, (5.3)
(yarım k¨ urenin hacmi)
2 4 V = 2V ′ = 2. π.r 3 = π.r 3 br 3 3 3
d¨ ur. ¨ Ornek 5.1. Yarı¸capı r ve y¨ uksekli˘gi h olan bir d¨ onel silindirle bu silindire i¸cten te˘get olan bir k¨ ure veriliyor. K¨ ure ile silindirin alanları ve hacmleri arasındaki ili¸ski nedir? C ¸¨ oz¨ um: Verilenlere g¨ore h = 2r olup, taban yarı¸capı r ve y¨ uksekli˘gi h olan bir d¨onel silindirin alanı Ss = 2πr 2 + 2πr.2r = 6πr 2 br 2 146
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
r
M
h = 2r
r−yarı¸caplı k¨ urenin alanı ise, Sk = 4.πr 2 br 2 dir. Buna g¨ore Sk 4.πr 2 br 2 2 2 = = ⇒ Sk = Ss 2 2 Ss 6πr br 3 3 Benzer d¨ u¸su ¨ nceyle hacimler i¸cin de 2 Vk = Vs 3 oldu˘gu g¨osterilebilir.
5.3. K¨ ureden Elde Edilen Kavramlar. 5.3.1. K¨ ure Ku¸sa˘gı: Bir k¨ ure y¨ uzeyi paralel iki d¨ uzlemle kesildi˘ginde, d¨ uzlemler arasında kalan kısmına k¨ ure ku¸sa˘gı, d¨ uzlemler arasındaki uzaklı˘ga da bu ku¸sa˘gın y¨ uksekli˘gi denir. Teorem 5.4. Bir K(M, r) k¨ uresinden h = |A′ B ′ |−y¨ uksekli˘ginde kesilen k¨ ure ku¸sa˘gının alanı; (5.4)
S = 2πrh br 2
dir. 147
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner B C A
r
′
B′ H A′ M
S ¸ ekil 22. K¨ ure ku¸sa˘gı ˙ Ispat: [AB]−do˘gru par¸casınının olu¸sturdu˘gu y¨ uzeyin alanı Teorem 7.8 den S = 2π|CH||AB| = 2π|CM|h br 2 d yayı alınırsa elde edilen y¨ dir. Burada [AB] yerine AB uzey k¨ ure ku¸sa˘gı ve |CM| → r olaca˘gından k¨ ure ku¸sa˘gının alanı S = 2πrh br 2 olur.
5.3.2. K¨ ure Plakası: Bir k¨ ure ku¸sa˘gı ve bu ku¸sa˘gın alt ve u ¨st kesit daireleriyle sınırlanan cisme, y¨ uksekli˘gi h br olan k¨ ure plakası denir. Teorem 5.5. 0 < b < a ≤ r olmak u ¨zere, bir K(M, r) k¨ uresinden kesilen h−y¨ uksekl¨ u˘gu ¨ndeki k¨ ure plakasının, a) alanı; (5.5)
S = π(a2 + b2 + 2rh) br 2
dir, burada, a = |AA′ |, b = |BB ′ | ve h = |A′ B ′ | uzaklıklarını g¨ ostermektedir. b) hacmi; (5.6)
1 V = πh(3a2 + 3b2 + h2 ) br 3 6
d¨ ur. 148
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
˙ Ispat: a) k¨ ure plakasının alanı, k¨ ure ku¸sa˘gının alanına, taban ve tavan kesit dairelerinin alanları eklenerek bulunur. b) K¨ ure plakasının hacmi, yarı¸capı r − br ve y¨ uksekli˘gi h − br olan silindir tabakasından, taban ve tavan yarı¸cap uzunlukları d ve (d+h)−br olan kesik koninin c¸ıkarılmasıyla elde edilen cismin hacmine e¸sittir.
b a
h
h
d
d
M
M
S ¸ ekil 23. K¨ ure plakasının hacmi Buna g¨ore k¨ ure plakasının hacmi, (4.3) den, (5.7)
1 V = πr 2 h − πh[d2 + d(d + h) + (d + h)2 ] 3
olmalıdır. Di˘ger tarftan d2 = r 2 − a2 ,
(d + h)2 = r 2 − b2
ve
1 dh = (a2 − b2 − h2 ) 2
de˘gerleri 5.7 de yerine yazılırsa 5.6 elde edilir.
Not: E˘ger k¨ urenin merkez noktası iki d¨ uzlem arasındaki b¨olgede bir nokta, yani M ∈ [A′ B ′ ] ise, h = h1 + h2 = |A′ M| + |MB ′ | olmak u ¨ zere, elde edilin k¨ ure ku¸sa˘gı, kesit daireleri k¨ urenin bir b¨ uy¨ uk dairesi ve a, b−yarı¸caplı daireler olan iki k¨ ure ku¸saklarının birle¸simidir. Bu durumda k¨ ure ku¸sa˘gının alanı ve hacmide bu iki ku¸sa˘gın alan ve hacimlerinin toplamı olacaktır.
149
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
b
B
B′ h2
r
M h1
a
A
A′
S ¸ ekil 24. M iki d¨ uzlem arasında ise B C A
r′
h
a d M
S ¸ ekil 25. K¨ ure Kapa˘gı 5.3.3. K¨ ure Kapa˘gı: K¨ ure ku¸sa˘gı tanımında b = 0 ve a < r olması durumunda, yani bir k¨ ure y¨ uzeyinin bir d¨ uzlemle kesilerek elde edilen iki par¸cadan k¨ u¸cu ¨k olanına k¨ ure kapa˘gı denir. Teorem 5.6. Bir K(M, r) k¨ ure y¨ uzeyinden kesilen, h−y¨ uksekli˘gindeki, k¨ ure kapa˘gının alanı; (5.8)
S = 2πrh br 2
dir. 150
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner
5.3.4. K¨ ure Par¸cası: Bir k¨ ure kapa˘gı ile kesit dairesinin sınırlamı¸s ure par¸cası denir. oldu˘gu cisme, k¨ Teorem 5.7. Bir K(M, r) k¨ uresinden kesilen, y¨ uksekli˘gi h − br ve kesit dairesinin yarı¸capı a − br olan k¨ ure par¸casının; a) alanı; S = πh(4r − h) br 2 ,
(5.9) b) hacmi;
1 V = πh2 (3r − h) br 3 3
(5.10) d¨ ur.
˙ Ispat: a) K¨ ure par¸casının alanı, kapa˘gın alanına taban dairesinin alanı ilave edilerek bulunur, a2 = r 2 − (r − h)2 = h(2r − h) oldu˘gundan (5.11)
S = πa2 + 2πr.h = πh(2r − h) + 2πr.h = πh(4r − h) br 2
elde edilir. b) 5.6 de b = 0 ve a2 = r 2 − (r − h)2 alınırsa, k¨ ure par¸casının hacmi, (5.12)
1 V = πh2 (3r − h) br 3 3
olarak elde edilir. ¨ Ornek 5.2. Yarı¸capı r = 6 cm olan bir k¨ ure y¨ uzeyi paralel iki d¨ uzlemle alanları bir birine e¸sit u ¨c¸ kısma ayrıldı˘gında birbirine e¸s iki k¨ ure parcası ve bir k¨ ure plakası elde edilir. Elde edilen k¨ ure par¸caları ile k¨ ure plakasının hacimlerini bulunuz. C ¸¨ oz¨ um: Yarı¸capı r = 6 cm olan k¨ ure y¨ uzeyinin alanı S = 4πr 2 = 144π cm2 151
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner ve hacmi 4 V = πr 3 = 288 cm3 3
d¨ ur. Bu y¨ uzey alanları e¸sit u ¨ c¸ par¸caya b¨ol¨ und¨ u˘gu ¨nde iki kapak ve bir ku¸sak elde edilir.
h=4 b h′ = 2
a=r=6
S ¸ ekil 26. K¨ ure ku¸sa˘gı ve k¨ ure par¸casının hacmi Bir kapa˘gın alanı, Ska = 2πr.h = 12πh =
144 π = 48π cm2 ⇒ h = 4 cm 3
bulunur. O halde bir kapa˘gın hacmi, 1 16 × 14 224 V = πh2 (3r − h) = π= π cm3 olur. 3 3 3 Plakanın hacmi ise h′ = r − h = 2 cm, a = r = 6 cm ve b2 = 32 olmak u ¨ zere 1 416 π cm3 V = 2 × πh′ (3a2 + 3b2 + h2 ) = 6 3 elde edilir. Ger¸cekten 2 × Vka + Vku = 2 ×
224 416 π+ π = 288 cm3 = V dir. 3 3 152
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner N
M B
A
S S ¸ ekil 27. K¨ ure dilimi 5.3.5. K¨ ure Dilimi: K¨ urenin, bir [NS]−¸capından ge¸cen iki yarım ure dilimi denir. K¨ ure dilimini olu¸sturan d¨ uzlem arasında kalan kısmına k¨ yarım d¨ uzlemler arasındaki a¸cı bir merkez a¸cıdır. S¸ekilde M−merkezli ˆ k¨ urede, AMB−merkez a¸cısının g¨ord¨ u˘gu ¨ k¨ ure dilimi g¨or¨ ulmektedir. Teorem 5.8. Bir k¨ urenin, ¨ ol¸cu ¨s¨ u α olan merkez a¸cısının g¨ ord¨ u˘gu ¨ k¨ ure diliminin, a) alanı, (5.13)
S = πr 2
α α + πr 2 = πr 2 (1 + ) br 2 , 90 90
b) hacmi, (5.14)
V = πr 3
α br 3 270
d¨ ur. uresel Koni: Bir K(M, r)−k¨ uresinin, bir [AB]−¸capı ile α, 5.3.6. K¨ (0 < α < 45o) lik a¸cı yapan bir [AX−ı¸sınının, [AB] ¸capı etrafında d¨ond¨ ur¨ ulmesiyle kesilen kısmına k¨ uresel koni denir. Bir k¨ uresel koni, yarı¸capı a ve y¨ uksekli˘gi h − br olan bir k¨ ure par¸cası ile y¨ uksekli˘gi (2r − h) − br olan bir dik dairesel koninin birle¸simidir. Buna g¨ore, 153
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner B h B X
a
H M
M
A S ¸ ekil 28. K¨ uresel koni ˆ cısı c¸apı g¨oren a = |HX| ve a2 = h(2r − h), (XAB, u ¨ c¸geninde Xa¸ c¸evre a¸cı ve a, bir dik u ¨ c¸gende hipoten¨ use ait y¨ ukseklik oldu˘gundan) ˆ α = m(BAX) ⇒ sin α =
a a ⇒ |AX| = olmak u ¨ zere, |AX| sin α
a) alanı; (5.15)
S = πh(2r +
2r − h ) br 2 , sin α
b) hacmi ise (5.16)
1 V = πrh(4r − h) br 3 3
d¨ ur. K¨ uresel koni, bir K(M, r) k¨ uresinin aralarında α, (0 < α < 90o ) lik a¸cı buluna iki yarı¸capdan birinin di˘geri etrafında d¨ond¨ ur¨ ulmesiyle de elde edilebilir. B¨oyle elde edilen bir k¨ uresel koninin, a) alanı, (5.17)
S = πr(2h + a) br 2 , 154
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner b) hacmi, 2 V = πhr 2 br 3 3
(5.18) d¨ ur.
˙ Ispat: Bir K(M, r) k¨ uresinin aralarında α, (0 < α < 90o) lik a¸cı buluna iki yarı¸capdan birinin di˘geri etrafında d¨ond¨ ur¨ ulmesiyle elde edilen k¨ uresel koni, k¨ ureden kesilen h−y¨ uksekli˘gindeki k¨ ure par¸casıyla, taban yarı¸capı a = r sin α ve y¨ uksekli˘gi (r − h) br olan dik dairesel koninin birle¸simi oldu˘gundan alan ve hacmi bu iki cismin alan ve hacimlerinin toplamına e¸sittir. Buna g¨ore
a) alanı S = S1 + S2 = 2πrh + πar = πr(2h + a) br 2 b) hacmi 1 1 V = V1 + V2 = πh2 (3r − h) + πa2 (r − h), 3 3 1 = πh[h(3r − h) + (2r − h)(r − h)] 3
a2 = h(2r − h)
2 = πhr 2 br 3 elde edilir. 3 ¨ Ornek 5.3. C ¸ apı 6 cm olan k¨ urenin bir [AB]−¸capı ile θ = 30olik a¸cı yapan bir [AX ı¸sını, [AB]−¸capı etrafında d¨ ond¨ ur¨ ulerek kesilen k¨ uresel koninin alanını ve hacmini bulunuz. ¸c¨ oz¨ um: 1 ˆ m(BAX) = α = 30o ⇒ sin α = 2 △
|AX| = |AX ′| ⇒ XAX ′ bir e¸skenar u ¨ c¸gendir. M noktası bu u ¨ c¸genin a˘gılık merkezi olup 155
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner B X
h H
X
d
X′
M r A
A S ¸ ekil 29. K¨ uresel koni
3 |HM| 1 3 9 = ⇒ |HM| = ⇒ |HA| = ⇒ |HB| = h = |MA| 2 2 2 2 bulunur. Bu de˘gerler 5.15 ve 5.16 da yerine yazılırsa elde edilen k¨ uresel koninin alanı
S=
45 π cm2 2
hacmi ise, V =
63 π cm3 olarak bulunur. 4
¨ Ornek 5.4. Yar¸capı 4 cm olan bir k¨ urenin, aralarında 30o −lik a¸cı bulunan iki yarı¸capından, birinin di˘geri etrafında d¨ ond¨ ur¨ ulmesiyle elde √ edilen k¨ uresel koninin, ¸seklini ¸cizerek alanını ve hacmini bulunuz ( 3 ∼ = 1.7 alınız). C ¸¨ oz¨ um: Yar¸capı 4 cm olan bir k¨ urenin, aralarında 30o −lik a¸cı buluna iki yarı¸capından, birinin di˘geri etrafında d¨ond¨ ur¨ ulmesiyle elde edilen k¨ uresel konide, a 1 = ⇒ a = 2 cm, 4 √2 √ √ h2 3 17 o cos 30 = = ⇒ h2 = 2 3 = 3.4 = cm ( 3 ∼ = 1.7) ve 4 2 5 sin 30o =
√ 3 h1 = r − h2 = 4 − 2 3 = 0.6 = olmak u ¨ zere, 5 156
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi B h1 a H
R.Aslaner A
h2
r=4 30o
M
h1 y¨ uksekli˘gindeki k¨ ure par¸cası ile taban yarı¸capı a ve y¨ uksekli˘gi h2 br olan dik dairesel koninin birle¸simidir. O halde, 6 64 y¨ uzey alanı; S = πr(2h1 + a) = 4π( + 2) = π cm2 , 5 5 2 3 2 32 ur. hacmi; V = πh1 r 2 = π 16 = π cm3 d¨ 3 3 5 5
www.matematikce.com
157
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner NOTASYONLAR AB,
AB−do˘grusu
[AB],
AB−do˘gru par¸cası
|AB|,
AB−do˘gru par¸casının uzunlu˘gu
[AB, d AB,
AB−ı¸sını AB−yayı
d AB−yayının ¨ol¸cu m(AB), ¨ s¨ u d |AB|, AB−yayının uzunlu˘gu ˆ m(A), A−a¸cısının ¨ol¸cu ¨ s¨ u △
ABC,
ABC u ¨ c¸geni
G,
a˘gırlık merkezi
H,
y¨ ukseklik aya˘gı
ha , ∼ =,
a- kenarına ait y¨ ukseklik e¸slik i¸sareti
∼,
benzerlik i¸sareti
//,
paralellik i¸sareti
⊥,
diklik u ¨¸sareti
←→
kar¸sılıklı bire bir e¸sleme
C(M, r),
M−merkezli, r−yarı¸caplı c¸ember
K(M, r),
M−merkezli, r−yarı¸caplı k¨ ure
Dd (α), (Pn )-
merkez a¸cısı α olan daire dilimi n−kenarlı c¸okgen
s(Pn )-
n-kenarlı c¸okgenin alanı
(T, Pn )-
tepe noktası T olan piramit
Ya -
cismin yanal alanı
Ta -
cismin taban alanı
S-
y¨ uzey alanı
V-
cismin hacmi 158
www.matematikce.com
'dan indirilmiştir.
Index
¨ cgen E¸sitsizli˘ U¸ gi, 27
d¨ uzg¨ un d¨ort y¨ uzl¨ u, 122
¨onerme, 1
d¨ uzg¨ un piramit, 118
¨ozel d¨ ortgenler, 53
dı¸s a¸cı, 76
u ¨c¸gen, 21
dı¸s ortak te˘get, 79
˙ c A¸cı, 75 I¸
dı¸s te˘get c¸ember, 89
˙ cb¨ I¸ ukey C ¸ okgen , 62
Dı¸sb¨ ukey C ¸ okgen, 62
ı¸sın, 3
dayanak e˘grisi, 124
C ¸ evre A¸cı, 73
de˘gme noktası, 67
c¸ap, 68
deltoid, 60
c¸ember, 67
dik dairesel koni, 128
c¸evrel c¸ember, 90
dik dairesel silindir, 125
c¸okgen, 61
dik kesit, 112 dik silindir, 125
merkez a¸cı, 72
dik yamuk, 56 dikd¨ortgen, 59
a¸cı, 9
do˘gru, 2
a¸cıortayı, 10
do˘gru par¸cası, 3
aksiyom, 1 aykırı do˘ grular, 7
e˘gik koni, 127 e˘gik silindir, 124
Cavalier Prensibi, 119
elips, 94 enine kesit, 112
d¨ onel konin, 128 d¨ onel silindir, 126
geometrik yer, 92
d¨ ortgen , 51 d¨ uzg¨ un c¸okgen, 63
h¨ uk¨ um, 1 159
˙ on¨ ¨ In¨ u Universitesi
R.Aslaner i¸c ortak te˘get, 79
taban ayrıtlar, 112
i¸c te˘get c¸ember, 89
Tales Teoremi, 41
ikizkenar yamuk, 56
tanımsız kavram, 1 te˘get, 67
k¨o¸segen, 51
Te˘get-Kiri¸s A¸cı, 75
k¨ ure dilimi, 145
te˘getler d¨ortgeni, 91
k¨ ure y¨ uzeyi, 132
˙ Temel Ilkesi, 5
k¨ urenin b¨ uy¨ uk dairesi, 137
tepe noktası, 117
k¨ urenin kesit dairesi, 137 k¨ uresel koni , 145
Y¨ ukseklik, 24
kare, 59
yamuk, 53
Kenarortay, 23
yan ayrıtlar, 112
kesen, 67
yan y¨ uz, 112
kesik koni, 130
yanal y¨ uzeyi, 124
kiri¸s, 68
yay , 72
kiri¸sler d¨ortgeni, 91 koni, 127 koni y¨ uzeyi, 127 kuvvet ekseni, 84 kuvvet merkezi, 87
Menelaus Teoremi, 43
orta nokta, 5
paralel do˘grular, 7 paralel kenar, 57 piramit, 117 Pisagor Teoremi, 48 Pisagor teoremi, 81 prizma, 111
Seva Teoremi, 45 silindirin ekseni, 126
160
View more...
Comments
