GEOMETRI DATAR

BAHAN AJAR

�������� ����� Semester Gasal 2013/2014

Disusun Oleh Dr.Scolastika Mariani, M.Si. Dra. Kusni , M.Si

Program Studi Pendidikan Dasar konsentrasi Matematika S2 UNIVERSITAS NEGERI SEMARAN SEM ARANG G 1

BAB I PENDAHULUAN Deskripsi Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsure dan relasi yang ada diantara unsure tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abtra yang menjadi unsure dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian bru sebelumnya. Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan postulat.Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut teorema. Teorema tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan teorema yang ada sebelumnya. Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan kongruensi, dilanjutkan dengan sifatsifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan seharga garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran. Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri adalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya. Contoh : kalkulus. Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta pelatihan diharapkan : 1. Memahami konsep geometri 2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri 3. Mampu mandiri dalam menyelesaikn tugas-tugas geometri 4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.

Prasyarat Pada buku ajar Geometri tidak diperlukan prasyarat, karena dapat dikatakan bahwa geometri adalah materi dasar, sehingga dibutuhkan pada materi lain.

Petunjuk Belajar Mempelajari geometri berarti harus menggambar dan menyelesaikan soal. Pada saat menggambar yang harus diperhatikan adalah ; 1. Jika gambar itu tidak menolong penyelesaian, maka umumnya tidak perlu menggambar

2

2. Bila dijumpai banyak pertanyaan pada suatu soal, maka seringkali gambar itu penuh dengan banyak garis, sehingga tidak lagi mempermudah penyelesaan soal. Sebaiknya, apabila gambar itu sudah penuh, dibuat gambar lain, kalau perlu untuk setiap pertanyaan satu gambar saja. Pada saat menyelesaikan persoalan : 1. Soal geometri perlu diselesaikan secara pasti. Oleh karena itu perlu mengenal teorema-teorema yang dapat digunakan sebagai pijakan. Jangan ingin menyelesaikan geometri hanya dengan “mengarang”. 2. Geometri hanya dapat dipelajari secara intensif, jika bangun yang kita tinjau itu kita selidiki sendiri.

Kompetensi dan Indikator Kompetensi : Kompetensi  : 1. Memahami konsep geometri 2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri geometri 3 .Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas geometri 4 .Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri. Indikator: 1. Memahami tentang kongruensi dan mengembangkannya 2. Memahami tentang segi empat, sifatnya,luas, dan teorema Pythagoras. 3. Memahami perbandingan seharga garis-garis dan dan kesebangunan 4. Memahami beberapa teorema pada garis-garis istimewa pada segitiga 5. Memahami tentang perbandingan seharga garis dalam lingkran,lingkaran luar dan dalam pada segitiga, segiempat talibusur dan segiempat garissinggung

3

BAB II SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI)

A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR KOMPETENSI : 1. Memahami konsep dan prinsip tentang kongruensi 2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan kongruensi INDIKATOR : 1. Memahami tentang dua segitiga yang kongruen 2. Dapat menurunkan teorema kongruensi pada teorema dasar yang lainnya. B. URAIAN MATERI SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI) PADA SEGITIGA

Dua buah segitiga disebut kongruen jika salah satu segitiga dapat ditranformasikan dengan translsi,refleksi, rotasi atau ketiganya, sehingga mereka dapat disusun tepat sama.

DEFINISI Dua segitiga dikatakan sama dan sebangun ( ≅ ) atau kongruen bila dua segitiga tersebut mempunyai pasangan sisi yang sama dan sudut yang bersesuaian juga sama. TEOREMA Dua segitiga kongruen bila dua sisi dan sudut yang diapitnya sama (s. sd. s) Diketahui: ∆  ABC dan ∆  PQR AC = PR ∠  C = ∠  R CB = PQ Buktikan ∆  ABC ≅ ∆  PQR Bukti: A Letakkan A pada P dan C pada R. Karena ∠  C = ∠  R maka kaki CB menutupi RQ Dan karena CB = RQ maka B berada di Q. Jadi ∆  ABC menutupi ∆  PQR dengan tepat atau ∆  ABC ≅ ∆  PQR Akibatnya semua unsur yang seletak sama.

4

P

C x

B R x

Q

TEOREMA • Dua segitiga kongruen bila satu sisi dan 2 sudut pada sisi tersebut sama ( sd. s. sd ) • Dua segitiga kongruen bila satu sisi sama, 1 sudut pada sisi itu sama dan sudut di depan sisi itu sama juga ( s. sd. sd ) • Dua segitiga kongruen bila ketiga sisi sama ( s.s.s) • Dua segitiga siku-siku kongruen bila hypotenusa dan 1 pasang sisi sikusiku sama. TEOREMA Pada segitiga samakaki, kedua sudut alasnya sama besar. Diketahui : ∆  ABC samakaki. CA = CB Buktikan : ∠  A = ∠  B Bukti: Tarik garis bagi CD dan tinjau ∆  ACD dan ∆  BCD AC = BC (diketahui) ∠  C1 = ∠  C2 (CD garis bagi) CD = CD (berimpit) Jadi ∆  ACD ≅ ∆  BCD (s.sd.s) ak: ∠  A = ∠  B

C oo 1 2

Perhatikan semua unsur yang seletak akan sama 1 2 B A yaitu AD = BD →  AD garis berat D Jadi didapat sifat bahwa pada segitiga samakaki garis bagi itu juga menjadi garis berat (karena AD = BD ) Karena ∠  D1 = ∠  D2 dan ∠  D1 + ∠  D2 = 1800 maka ∠  D1= ∠  D2 = 900. Sehingga garis bagi itu juga menjadi garis tinggi (karena ∠  D1= ∠  D2 = 900 ) KESIMPULAN: Pada ∆   samakaki, garis tinggi, garis bagi dan garis berat yang ditarik dari puncak, dan sumbu alas berimpit. TEOREMA Jika dalam suatu segitiga, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit maka segitiga itu sama kaki (buktikan sendiri). C. LATIHAN 1. Buktikan teorem berikut. Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengan sisi miring (Buat dari titik B garis // AC dan memotong perpanjangan AD di E, jika diketahui ∆  ABC siku-siku ( ∠  A = 900) dan AD garis berat ke sisi miring). 5

2. Buktikan bahwa T.K. titik titik yang berjarak sama ke kaki-kaki sudut, merupakan garis bagi suatu sudut. 3. Diketahui ∆   ABC. AD garis berat. E pada perpanjangan AD sehingga BE ⊥ AD. F pada AD sehingga CF ⊥ AD. Buktikan CE = BF C

DE F

B A

4. Diketahui ∆   ABC samakaki. M sembarang pada alas AB garis g dan h adalah sumbu AM dan BM. Garis g memotong AC di K, garis k memotong BC di L. Buktikan AK=CL. 5. Diketahui ∆  ABC, ∠  A = 600, AD garis bagi, E dan F pada garis bagiini, sehingga CE dan BF ⊥ garis bagi ini. Buktikan : CE + BF =

1 2

(AB + AC).

6. Diketahui ∆  ABC samakaki. AC = BC, D pada perpanjangan AB, E pada CD sehingga BE = DE, F pada CD sehingga AF//BE. Buktikan ∆  ACF ≅ ∆ CBE! C F

E

A

D

B

6

D. LEMBAR KEGIATAN 1.Alat dan Bahan Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku, kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri 2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain, sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta pelatihan yang lain. 3.Prasyarat Peserta pelatihan telah menguasai tentang garis dan sudut 4.Langkah Kegiatan Kegiatan Awal • Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan dengan garis dan sudut. • Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan garis,melukis garis,macam-macam sudut, dan klasifikasi segitiga ditinjau dari sisi dan sudutnya(dengan menggunakan alat peraga). Kegiatan Inti • Menjelaskan definisi kongruensi dan teorema kongruensi dari dua segitiga,dan memberikan contohnya. • Menjelaskan teorema yang lain dengan menggunakan kongruensi • Diskusi kelas. Kegiatan Akhir •  Kesimpulan •  Penilaian • Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu. 5.Hasil Peserta pelatihan memahami tentang kongruensi dua segitiga dan teorema dasar tentang segitiga samakaki. E. Rangkuman 1. Dua buah segitiga disebut kongruen jika salah satu segitiga dapatditranformasikan dengan tranlasi,releksi, atau rotasi atau ketiganya sehingga mereka dapat disusun tepat sama. 2. Untuk melihat dua segitiga kongruen cukup diselidiki salah satu dari syarat berikut : a. Kedua segitiga mempunyai tiga pasang sisi yang sama panjang (s,s,s).

7

b. Kedua segitiga mempunyai dua pasang sisi sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s,sd,s) c. Kedua segitiga mempunyai dua sudut sama besar dan sisi yang diapitnya sama panjang (sd,s,sd) d. Kedua segitiga mempunyai satu sisi sama, sudut pada sisi itu dan sudut dihadapan sisi itu sama juga. 3. Pada segitiga sama kaki mempunyai sudut alas sama besar. 4. Pada segitiga samakaki ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit.

F. Tes Formatif 1 I. Pilih satu jawaban yang paling tepat 1. Pada ∆ ABC yang sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE. Maka: a. AD = BE b. CD ≠  CE c. ∠ CED ≠ ∠ CDE d. Semua jawaban salah. 2. Pada ∆ ABC sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE yangberpotongan di T. Maka : a. TD ≠  TE b. AT = TB c. AT = TC d. BT = CT 3. Pada ∆  ABC samakaki. Pernyataan yang benar adalah : a. Sudut alasnya sama besar b. Hanya garis bagi dan garis berat dari puncak yang berimpit c. Hanya garis tinggi dan garis bagi dari puncak yang berimpit d. Hanya ketiga garis istimewa dari puncak yang berimpit. 4. Pada ∆  ABC siku-siku ( ∠ A = 900) ,jika panjang BC = 8 cm, maka panjang garis berat dari A adalah : a. 8 cm b. 6 cm c. 4 cm d. 3 cm 5. Diketahui trapezium ABCD dengan AB // CD dan AD = BC. Pernyataan yang salah adalah : 8

a. AC = BD b. ∠ A = ∠ B c. ∆ ABC ≅ ∆ ABD d. ∆ ABP ≅ ∆  CDP ( P perpotongan AC dengan BD) 6. Segitiga ABC dan PQR adalah segitiga siku-siku, ∠ A = ∠ P = 900. Jika AB= PQ dan BC = QR, maka ∆ ABC ≅ ∆ PQR sebab komponen yang sama adalah : a. (s,s,sd) b. (sd,s,s) c. (s,sd,s) d. (s,s,s) 7.Segitiga ABC siku-siku ( ∠ A= 900), Jika AC = 8 cm dan ∠ C = 300, maka AB = a. 3V3 cm b. 5V3 cm c. 6V3 cm d. 8/3V3 cm 8.Segitiga ABC siku-siku ( ∠ A= 900), Jika AC = 8 cm dan ∠ C = 300, maka BC = a. 16/3V3 cm b. 5V3 cm c. 6V3 cm d. 7V3 cm II. Kerjakan semua soal dibawah ini : 1. Segitiga ABC siku-siku ( ∠ A= 900), Jika ∠ C = 300, buktikan bahwa BC = 2AB. 2. Diketahui ∆  ABC samakaki, AC = BC. Ttitik P sembarang pada alas AB. Q dan R pada BC dan AC sehingga PQ ⊥  BC dan PR ⊥ AC. Buktikan : PQ + PR = AS(garis tinggi ke salah satu kaki segitiga). 3. Melalui C dan B pada persegi ABCD dibuat garis yang membentuk sudut 150 dengan sisi BC sehingga berpotongan dititik P. Buktikan bahwa ∆  APD adalah segitiga samasisi.

9

BAB III SEGIEMPAT A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR KOMPETENSI : 1. Memahami konsep dan prinsip tentang segi empat,luas, dan teorema Pythagoras 2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan segi empat,luas, dan teorema Pythagoras

INDIKATOR : 1. Memahami tentang jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat, layang-layang, dan trapezium. 2. Memahami tentang luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat, layang-layang, dan trapezium. 3. Memahami tentang teorema Pythagoras B. URAIAN MATERI Bila pada bidang datar terdapat 4 titik sembarang yang tidak segaris dan keempatnya dihubungkan dengan garis lurus, maka terjadilah segi empat. Ada beberapa segi empat yang akan dibicarakan, yaitu segi empat sembarang, jajar genjang, persegi panjang belah ketupat, persegi, trapesium, dan layang-layang. Beberapa batasan: 1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar. 2. Jajar genjang (paralellogram ), adalah segi empat yang sepasangsepasang sisinya yang berhadapan sejajar. 3. Persegi panjang ( rectangle ), adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya 90 0. 4. Belah ketupat (rhombus ), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang. 5. Persegi (square ), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 90 0. 6. Trapesium (trapezoid ), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi berhadapan yang sejajar. 7. Layang-layang (kite ), adalah segi empat yang diagonalnya saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang oleh yang lain.

10

Jajar genjang : Jajar genjang ( paralellogram ), adalah segi empat yang sepasang-sepasang sisinya yang berhadapan sejajar. TEOREMA Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan sebaliknya bila dalam segi empat yang berhadapan sama, segi empat itu adalah jajar genjang. Diketahui : ABCD jajar genjang. Buktikan : ∠  A = ∠  C Bukti : Tarik diagonal BD

D

C 12

2

1 11

∴∠ A = ∠ C 

2

1

A

∆ ABD ≅ ∆ CDB, sebab: ∠ B1 = ∠  D1 ( AB //DC) ∠ D2 = ∠ B2 ( BC // AD) BD = BD ( berimpit)

B

Sebaliknya: ∠  A = ∠  C ∠  B = ∠  D ∴ ∠  A + ∠  B = ∠  C + ∠  D = 180 0 atau AD // BC ∠  A = ∠ C ∠  D = ∠ B Maka ∠ A + ∠ D = ∠ C + ∠ B = 1800 atau AB // DC Karena AD // BC dan AB // DC , maka ABCD jajar genjang TEOREMA Dalam jajar genjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sebaliknya bila sisi-sisi yang berhadapan dalam segi empat sama panjang, maka segi empat itu adalah jajar genjang. Diketahui : ABCD jajar genjang. Buktikan : AB = DC dan AD = BC. Bukti : tarik diagonal BD, maka D

A

2

C

1

1

2

B

11

∆ ABD ≅ ∆ CDB, sebab: BD = BD (berimpit) ∠ B1 = ∠ D1 (AB // DC) ∠ D2 = ∠ B2 (AD //BC) ∴  AB = DC dan AD = BC

Sebaliknya tetap berlaku, yaitu: ∆  ABD ≅ ∆  CDB, sebab: AB = CD ( diketahui) AD = BC ( diketahui) BD = BD ( berimpit) ∴ ∠  B1 = ∠  D1 →  AB // DC ∠  B2 = ∠  D2 →  AD // BC

→  ABCD jajar genjang.

TEOREMA Kedua diagonal dalam jajaran genjang potong memotong di tengah-tengah dan sebaliknya bila dalam segi empat, kedua diagonalnya potong memotong di tengah-tengah maka segi empat itu adlah jajaran genjang. Diketahui : ABCD jajaran genjang. AC dan Bd berpotongan di S. Buktikan : AS = CS dan BS = DS. Buktikan : ∆  ABS ≅ ∆  CDS, sebab:

D

C

2

2 S 3 1 4 2

2

AB = DC (ABCD jajar genjang) ∠ A1 = ∠ C1 (AB // DC) ∠ B1 = ∠ D1 (AB //DC) ∴  AS = SC dan BS = SD

2

A B Sebaliknya: ∆  ABS dan ∆ CDS sama dan sebangun, sebab:  AS = SC     BS = DS   ∠S 4 = ∠S 3   ∴∠ A1 = ∠C 1 → AB //  DC  .....................(1) ∆ ASD ≅ ∆ CSB , sebab: SD = SB 



SA = SC   ∠S 1 = ∠S 2  

∴∠ D2 = ∠ B2 atau  AD //  BC  ........................(2) Dari (1) dan (2) →  ABCD jajar genjang

12

TEOREMA Bila dalam segi empat sepasang sisi yang berhadapan sama dan sejajar, maka segi empat itu adalah jajar genjang . Diketahui : AB // DC Buktikan : ABCD jajar genjang. Bukti : Tarik diagonal BD D

C

2 1

∆  ABD ≅ ∆  CDB, sebab:  AB = DC  



∠ B1 = ∠ D1   BD = BD  

∴∠ B2 = ∠ D2 → AD //  BC  Karena sudah diketahui AB // DC, maka ABCD jajar genjang.

2 A

B

Persegi panjang , adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya 90 0.

TEOREMA Dalam persegi panjang kedua diagonalnya sama panjang dan sebaliknya bila dalam jajar genjang kedua diagonalnya sama panjang, maka jajar genjang itu adalah persegi panjang. Diketahui : ABCD persegi panjang. Buktikan : AC = BD Bukti : ∆  ABC ≅ ∆  BAD, sebab: D

C 2

AB = AB ( berimpit ) ∠  A = ∠ B ( = 900 )

AD = BC (ABCD persegi panjang)

S

∴  AC = BD

2 1 A

1

B

Sebaliknya : AC = BD →  maka AS = SB = SD. ∆  ABS dan ∆  ADS samakaki. ∠  A1 = ∠  B1, ∠  A2 = ∠  D2 →  2 ( ∠  A1 + ∠  A2 ) = 180 0. ∠  A1,2 = 900 →  ABCD persegi panjang.

13

Belah ketupat , adalah jajar genjang yang 2 sisi berdekatan sama panjang.

TEOREMA Dalam belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudutnya menjadi 2 bagian yang sama dan kedua diagonalnya itu saling tegak lurus. Diketahui : ABCD belah ketupat. Buktikan : a. ∠  A1 = ∠  A2 b. ∠  B1 = ∠  B2 c. AC ⊥  BD Bukti : ∆  ABS ≅ ∆  ADS, sebab : AB = AD ( ABCD belah ketupat ) AS = AS (ABCD belah ketupat ) BS = DS (ABCD belah ketupat )

D

∴ ∠  A1 = ∠  A2 dan ∠  S1 = ∠  S2

Karena ∠  S1,2 = 1800, maka ∠  S 1 = ∠  S2 = 900

S 1 2 1 2

→ AC ⊥  BD ∆  ABS ≅ ∆  CBS, sebab : 1

A

AB = CB

2

SB = SB

B

AS = SC ∴ ∠  B1 = ∠  B2

TEOREMA Bila dalam jajar genjang diagonalnya membagi sudut menjadi 2 bagian yang sama, maka jajar genjang itu adalah belah ketupat. Diketahui : ABCD jajar genjang dan ∠  A1 = ∠  A2 Buktikan : ABCD belah ketupat. Bukti : ∆  ABC ≅ ∆  ADC, sebab : D

C 1 2

∠  A1 = ∠  A2 ( diketahui )

AC = AC

( berimpit )

∠  C1 = ∠  C2 ( diketahui ) 1 A

2

B

14

∴ AB ⊥ AD →   Karena ABCD jajar

genjang maka ABCD belah ketupat TEOREMA Bila dalam jajar genjang, kedua diagonalnya saling tegak lurus, maka jajar genjang itu adalah belah ketupat. Diketahui : ABCD jajar genjang dan AC ⊥  BD. Buktikan : ABCD belah ketupat. Bukti : ∆  ABS ≅ ∆  CBS, sebab:

AS = CS ( ABCD jajar genjang ) ∠  S1 = ∠  S2 = 900

S 1

BS = BS ( berimpit )

2

∴  AB = CB →  Karena ABCD jajar genjang

maka ABCD belah ketupat B

Persegi (bujur sangkar) , adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900. Jadi, persegi adalah segi empat beraturan.

TEOREMA Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga akan sejajar dengan sisi yang ketiga dan panjangnya setengah sisi yang ketiga itu. Diketahui : ∆  ABC. Titik D dan titik E tengah-tengah AC dan BC. Buktikan : DE // AB dan DE =

1 2

AB.

Bukti : Perpanjang DE dengan EF = ED. Hubungkan BD dan CF dan BF. DBFC jajar genjang, sebab: 15

DE = EF; CE = EB. Jadi BF // AC atau BF # AD atau ABFD jajar genjang sehingga AB // DE. 1

AB = DF →  AB = 2 DE. Jadi, DE // AB dan DE =

2

AB.

DE disebut paralel tengah  segitiga ABC. C

F

E

D

A

B

TEOREMA Garis berat ke sisi miring suatu segitiga siku-siku setengah sisi miring itu. Diketahui : ∆  ABC siku-siku. ∠  A = 90 0, AM garis berat. Buktikan : AM = Bukti

1 2

C

N

 BC.

M

: Perpanjang AM dengan MN = MA, maka ABNC jajar genjang, tetapi ∠  A = 900 ∴ ABNC persegi panjang. AN = BC atau AM =

1 2

1 2

A

 BC.

B

Trapesium , adalah segi empat yang tepat sepasang sisinya yang berhadapan sejajar. Ada tiga macam trapesium, yaitu trapesium sembarang, trapesium siku-siku, dan trapesium sama kaki.

TEOREMA Dalam trapesium samakaki, kedua diagonal sama panjang dan sudut-sudut alas sama besar. Diketahui : ABCD trapesium samakaki. Buktikan : ∠  A = ∠  B dan AC = BD. Bukti : Tarik CE // DA, maka AECD jajar Genjang, AD = CE, AD = BC Jadi CE = BC atau ∆  BCE samakaki ∠ E = ∠ B; ∠  E = ∠  A (sehadap,AD//EC) ∴ ∠  A = ∠  B. 16

C

D

A

E

B

∆  ABC ≅ ∆  BAD, sebab AB = AB ( berimpit); BC = AD (ABCD trap. Smkk ); ∠  A = ∠  B.( telah dibuk) ∴  AC = BD.

TEOREMA Garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan kaki suatu trapesium sejajar deagan sisi-sisi sejajarnya dan panjangnya setengah jumlah sisi yang sejajar. Diketahui : Trapesium ABCD. AE = ED ; BF = FC. Buktikan : a. EF // AB // DC. b. EF =

1

 (AB + DC).

2

Bukti : Perpanjang DF hingga memotong AB di G. ∆ BGF ≅ ∆  CDF, sebab: D BF = CF; ∠  F1 = ∠ F2; ∠  D1 = ∠  G1 1 ∴ DC = BG dan DF = FG Atau EF paralel tengah ∆  AGD sehingga E EF // AG dan EF =

1 2

C 1

F 2

AG

Atau EF // AB // DC dan EF =

1 2

A

 (AB + DC).

1

B

LUAS D

C

TEOREMA Luas persegi panjang panjang dikali lebar

 p

A

sama

dengan

B

l

D

C

TEOREMA Luas jajar genjang sama dengan alas dikali tingginya. E

A

F

B

D

C

TEOREMA Luas segitiga sama dengan setengah dari alas dikali tingginya.

t

A

E

B

17

G

D

G

C

t

TEOREMA Luas trapesium sama dengan jumlah sisisisi sejajar dikali tingginya dibagi dua.

t

A

B

F D

A

TEOREMA Luas segiempat yang diagonaldiagonalnya saling tegak lurus, sama dengan setengah perkalian diagonaldiagonalnya.

C

E

B C3

C2

C1

C

Melalui C ditarik garis // AB. Tentukan c 1, c2, dan c3 pada garis tersebut. Maka luas ∆ ABC1  = luas ∆ ABC2  = luas ∆ ABC3  karena mempunyai garis tinggi yang sama dan satu sisi persekutuan. D

TEOREMA PYTHAGORAS

H

C E M

K A

I

J

L

B

G

F 18

Gambar 1

IV

III

IV I

V

I

III II II

V

Gambar 2

Buktikan teorema Pythagoras dengan menggunakan gambar 1 dan 2. C. LATIHAN 1. Gambar dibawah adalah persegi panjang ABCD dan DEFG diketahui AB = 10 cm, AD = 24 cm, EF = 12 cm, dan ED = 18 cm. Berapakah selisih luas bangun yang diarsir. D

A

E C B

G

F 19

2. Dalam ∆  ABC, AB diperpanjang dengan BF = c BC dengan CD = a dan CA dengan AE = b. Buktikan luas ∆  DEF = 7 x luas ∆  ABC. 3. Lukis sebuah segitiga yang sama dengan sebuah segiempat ABCD yang diketahui C D

A

B

4. Dalam jajaran genjang ABCD ditentukan sembarang titik P dan titik ini dihubungkan dengan titik sudut. Buktikan : Luas ∆  PAB – luas ∆  PCB = luas ∆  PAD – luas ∆ PCD. 5. AB adalah alas ∆  ABC Pada sisi AC dan BC dilukiskan kesebelah luar sembarang jajar genjang ACDE dan BCFG. ED dan GF setelah diperpanjang berpotongan di P. Ditarik PC seterusnya di sebelah bawah AB ditarik garis AH # PC dan disudahkan dengan jajar genjang BAHK. Buktikan : Luas BAHK = luas ACDE + luas BCFG

D. LEMBAR KEGIATAN 1.Alat dan Bahan Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku, kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri 2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain, sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta pelatihan yang lain. 3.Prasyarat Peserta pelatihan telah menguasai tentang kongruensi

20

4.Langkah Kegiatan Kegiatan Awal • Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan dengan kongruensi. • Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kongruensi Kegiatan Inti definisi jajar genjang, persegi panjang, persegi, • Menjelaskan belahketupat, layang-layang, trapezium, dan luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, dan trapezium ,serta memberikan contoh dan bukan contoh. • Menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya. • Diskusi kelas. Kegiatan Akhir •  Kesimpulan •  Penilaian • Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu. 5.Hasil • Peserta pelatihan memahami tentang jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium. Luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium,serta dapat memberikan contoh dan bukan contoh. •  Dapat menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya E. Rangkuman 1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar. 2. Jajar genjang (paralellogram ), adalah segi empat yang sepasangsepasang sisinya yang berhadapan sejajar. 3. Persegi panjang (rectangle ), adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya 90 0. 4. Belah ketupat (rhombus ), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang. 5. Persegi (square ), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 90 0. 6. Trapesium (trapezoid ), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi berhadapan yang sejajar. 7. Layang-layang (kite ), adalah segi empat yang diagonalnya saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang oleh yang lain.

21

F. Tes Formatif I. Pilih satu jawaban yang paling tepat 1. Bangun datar dibawah ini adalah segiempat yang mempunyai dua pasang sisi yang sejajar, kecuali a. jajargenjang b. persegipanjang c. belahketupat d. layang-layang 2. Dalam suatu belah ketupat ABCD garis tegaklurus dari B pada sisi AD membagi dua sama panjang. Maka besar ∠ A : a. 1200 b. 900 c. 600 d. 450 3. Trapesium ABCD, dengan AB = 10 cm, CD = 7 cm, sedangkan AD = BC= 3 cm. Maka besar ∠ A : a. 1200 b. 900 c. 600 d. 450 4.Pertengahan-pertengahan 4.Pertengahan-pert engahan sisi-sisi sisi-sis i trapezium sama kaki merupakan titik-titik sudut suatu : a. jajargenjang b. persegi c. persegipanjang d. belahketupat. 5.Diagonal layang-layang ABCD berpotongan di P. AP = PD dan ∠ ABD = 300.Jika AD = 10V2, maka luas ABCD = a. 100 b. 100(1 + V3) c. 100V3 d. 300 6. Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD ⊥   BC,maka luas jajargenjang ABCD adalah : a. 48 cm2 b. 60 cm2 c. 80 cm 2 d. 86 cm2

22

7.Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD ⊥   BC, maka panjang jarak AB dan CD adalah : a. 4,8 cm b. 6 cm c. 8 cm d. 8,6 cm 8.Diketahui belahketupat ABCD dan BFDE dengan E, F terletak pada AC.Jika BD = 50 cm dan AE = 24 cm . Maka luas daerah BCDF + ABED adalah : a. 50 cm 2 b. 100 cm 2 c. 600 cm2 d. 1200 cm 2 II. Kerjakan semua soal dibawah ini 1. Dalam persegi panjang ABCD terdapat titik P. Buktikan bahwa : PA 2 + PC 2 = PB2 + PD2 2.Diketahui jajar genjang ABCD. AB = 20. Garis bagi dalam ∠ A dan ∠ D berpotongan di E. AE = 16, DE = 12.Hitung luas ABCD. 3. Diketahui jajar genjang ABCD. Garis l memotong AB dan AD sehingga E,F,G dan H pada l. AE,BF, CG, DH ⊥  l. Buktikan : BF + DH = CG - AE

23

BAB IV PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN SEB ANGUN A. Kompetensi dan Indikator Kompetensi 1. Memahami tentang perbandingan seharga garis dan sebangun 2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan perbandingan seharga garis dan kesebangunan Indikator 1. Memahami perbandingan seharga garis. 2. Memahami tentang bangun-bangun yang sebangun. B. URAIAN MATERI TEOREMA Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas potonganpotongan yang sama, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis potong yang lain atas potongan-potongan yang sama juga. Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong di A, B, dan C sehingga AB = BC Buktikan : garis m memotong a, b, c di D, E, dan F sehingga DE = EF. Bukti : Tarik dari D (lihat gambar) garis // l , memotong garis b di G dan tarik dari E garis EH sejajar l , maka ABGD dan BCHE jajaran genjang hingga AB = BC = DG = EH. ∆  DGE ≅ ∆  EHF ( s sd sd ) sebab DG = EH; ∠ G1 = ∠ H1 = ∠ B1 = ∠ C1, dan ∠ E1 = ∠ F1 → jadi DE = EF. EF. l

a

m

D

A

1

1

b

B

1

E

G

1

1

c

C

H

24

1

F

TEOREMA Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas perbandingan tertentu, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis potong yang lain atas perbandingan yang tertentu juga. Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong oleh garis l   atas perbandingan 2 : 3, maka garis potong m akan memotong a, b, c atas perbandingan 2 : 3 juga. Bukti : Tarik dari titik-titik bagi G, H, K garis-garis // a // b // c didapat L, M, N pada garis m maka : AG = GB= BH = HK = KC, Menurut dalil 44 maka DL = LE = EM = MN = NE, maka DE : EF = 2 : 3 juga. l

a

A

m

D L

G B

b

E M

H

N

K c

C

F

BEBERAPA BATASAN : ∗ bila satu titik dikalikan terhadap satu titik lain dengan satu faktor k, maka hasilnya sebuah titik yang jaraknya k kali jarak titik itu kepusat perkalian (pusat dilatasi). ∗ bila sepotong garis dikali dengan faktor k terhadap satu titik, hasilnya sebuah garis sejajar garis semula dan panjangnya k kali panjang garis semula. Bila faktor perkalian positif, hasilnya sejajar dan searah, bila negatif hasilnya sejajar berlawanan arah. ∗ Dua segitiga disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat didilatasikan sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun dengan bangun yang lain.

TEOREMA Dua segitiga sebangun bila sisi-sisi segitiga yang satu sebanding dengan sisisisi segitiga yang lain.

25

R

C1

C B O

B1

Q

A A1

P

Diketahui : ∆ ABC dan ∆ PQR dengan AB : BC : CA = PQ : QR : RP Buktikan : ∆ ABC ≈ ∆ PQR Bukti

: Kalikan ∆ ABC terhadap O dengan faktor k  = ∆ A1B1C1

A1B1 =

PQ  AB

PQ  AB

maka didapat

. AB = PQ , begitu juga B 1C1 =QR dan C1A1=RP

∴ ∆ A1B1C1 ≅ ∆ PQR atau ∆ ABC ≈ ∆ PQR

TEOREMA Dua segitiga sebangun bila dua sudut-sudutnya sama besar. Diketahui : ∆ ABC dan ∆ PQR dengan ∠ A = ∠P; ∠ B = ∠Q Buktikan : ∆ ABC ≈ ∆ PQR Bukti : Kalikan ∆ ABC dengan k  =

PQ  AB

maka A1B1 =

PQ

 AB ∠ A = ∠ A1 ; ∠ B = ∠B1 →∴ ∠ A1 = ∠P  dan ∠ B1 = ∠Q

. AB = PQ

∆ A1B1C1 ≅ ∆ PQR atau ∆ ABC ≈ ∆ PQR R

C1

C B

O

B1

Q

A A1

P

26

TEOREMA Dua segitiga sebangun bila sepasang sudut sama besar dan sisi-sisi yang mengapit sebanding. Diketahui : ∆ ABC dan ∆ PQR dengan ∠ A = ∠P dan AB : AC = PQ : PR Buktikan : ∆ ABC ≈ ∆ PQR R

C1

C B

O

B1

Q

A A1

P

Bukti : Kalikan ∆ ABC dengan k  =

PQ  AB

maka A1B1 =

PQ  AB

. AB = PQ  dan

PQ PR = . AC = PR  sebab  AC   AB  AC  ∴ ∆ A1B1C1 ≅ ∆ PQR atau ∆ ABC ≈ ∆ PQR

A1C1 =

PR

Dalil-dalil mengenai sebangun ini dapat dipergunakan untuk membuktikan sudut-sudut sama besar atau sisi-sisi sebanding. TEOREMA Luas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dan sebaliknya bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya. Diketahui : ∆ ABC dan ∆ PQR dan AB = PQ  Luas∆ ABC  t 1 Buktikan : =  Luas∆PQR t 2

R

C

t1

A

D

t2

B

P 27

S

Q

Bukti : Luas ∆ ABC = Luas ∆ PQR =

1 2 1 2

. AB.CD = .PQ RS  . =

1 2 1 2

.a..t 1 ………………………………….(1) .a..t 2 ………………………………….(2)

1

.a.t 1 t  2 = = 1  Luas∆PQR 1 t 2 .a.t 2 2  Luas∆ ABC 

1

.a1 .t  a 2 = = 1 Sebaliknya jika t 1=t2 maka  Luas∆PQR 1 a2 .a 2 .t  2  Luas∆ ABC 

TEOREMA Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama, berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya. Diketahui : ∆ ABC dan ∆ PQR dengan ∠ A = ∠P  Luas∆ ABC   AB. AC  = Buktikan :  Luas∆PQR PQ.PR C R t1

A

D

t2 P

B

S

Bukti : Tarik CD ⊥ AB dan RS ⊥ PQ, maka ∆ ACD ≈ ∆ PRS, jadi AC : PR = t 1 : t2 1

. AB.t 1  AB.t 1  AB. AC  2 = = =  Luas∆PQR 1 PQ.t 2 PQ.PR .PQ.t 2 2  Luas∆ ABC 

Berlaku juga bila 2 sudut itu berpelurus sesamanya

28

Q

TEOREMA Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak. Diketahui : ∆ ABC ≈ ∆ PQR 2 2 2  Luas∆ ABC   AB  AC   BC  = = = Buktikan :  Luas∆PQR PQ 2 PR 2 QR 2 Bukti : ∆ ABC ≈ ∆ PQR maka ∠ A = ∠P  AB PQ

=

 AC  PR

 Luas∆ ABC   AB. AC   Luas∆PQR

=

PQ.PR

=

 AB. AB PQ.PQ

=

 AB

2

PQ 2

R C

A

P

B

Q

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa perbandingan luas kedua segitiga akan sama dengan

 AC 2 PR 2

=

 BC 2 QR 2

 juga.

C. LATIHAN 1. Titik M pada pertengahan hipotenusa BC suatu segitiga siku-siku ABC. Melalui M dibuat garis tegak lurus BC yang memotong AB dan AC di P dan Q. Buktikan MA 2 = MP xMQ 2. Diketahui trapesium ABCD. AB//DC, AB=a, DC=b. E pada BC dan EF//BA, AF : FD = p : q. Nyatakan EF dengan a, b, p, dan q! 3. Diketahui ∆ ABC, AB=c; CD = t. sebuah persegi PQRS ada di dalam segitiga itu dengan P dan Q pada AB, R pada BC dan S pada AC. Nyatakan sisi bujursangkar itu dengan c dan t! 4. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik T pada DC (DT