Geometría Diferencial

GEOMETRÍA DIFERENCIAL MANUEL CURREA 614101008 Fundación Universitaria Konrad Lorenz 29 de junio de 2012

2

Índice general

I

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Curvas en el Espacio

7

Parametrización de Curvas Diferenciación Vectorial . . Longitud de Arco . . . . . . Fórmulas de Frenet-Serret .

II

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Super…cies en el Espacio Super…cies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planos Osculador, Normal y Recti…cante . . . . . . . . . . .

9 11 14 15

31 33 35

3

ÍNDICE GENERAL

4

jj

ÍNDICE GENERAL

5

Introducción

El presente documento se realiza con el …n de demostrar la su…ciencia en el curso de Geometría Diferencial, que imparte la Fundación Universitaria Konrad Lorenz como parte de su programa académico de pregado en Matemáticas. Repasaremos los conceptos básicos de Geometría Diferencial, haciendo énfasis en el desarrollo de ejemplos. Las temáticas desarrolladas fueron sugeridas por la profesora Jenny Carvajal Caminos. El trabajo ha sido apoyado por el profesor Leonardo Jimenez Moscovitz, quien sugirió los textos y motivó el desarrollo y presentación del presente escrito. Muchas gracias por el apoyo brindado, espero que este trabajo sirva también como ayuda a los próximos estudiantes del curso de Geometría Diferencial. Agradezco al personal docente y administrativo de la facultad de Ingenierías y Matemáticas de la Fundación, por todo su apoyo para la elaboración de estos escritos. Muchas gracias por la comprensión al querer acelerar mi proceso de aprendizaje con miras a obtener el título de Matemático en tan prestigiosa institucion.

MANUEL CURREA

6

ÍNDICE GENERAL

Parte I

Curvas en el Espacio

7

9

El problema de describir el movimiento de una partícula se puede modelar con funciones que dependan del tiempo, para efectos prácticos se suele usar el término parámetro, para el tiempo y al movimiento se le llama trayectoria, entonces una trayectoria depende del tiempo y no es más que una función. En esta sección se introducen los términos básicos de las trayectorias y curvas en el espacio.

Parametrización de Curvas De…nición 1 Una trayectoria en Rn es una aplicación c : [a; b] ! Rn ; si n = 2 es una trayectoria en el plano y si n = 3 es una trayectoria en el espacio. La colección C de puntos de c(t); conforme t varía en [a; b]; se denomina curva, y c(a); c(b) son sus puntos extremos. Se dice que la trayectoria c parametriza la curva C: También decimos que c(t); describe C conforme t varía. Si c es una trayectoria en R3 ; podemos escribir c(t) = (x(t); y(t); z(t)) y llamamos a x(t); y(t) y z(t); funciones componentes de c: Formamos de manera análoga las funciones componentes en R2 o, en general, en Rn :

Ejemplo 1 Hallar una parametrización para C : x2 + y 2 = 1

10

y

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

-0.4 -0.6 -0.8 -1.0

Sabemos que en el plano es la imagen de la trayectoria c : R ! R2 ; c(t) = (cos t; sin t); 0 t 2 : Notemos que la imagen es el círculo unitario, y la trayectoria c1 (t) = (cos 2t; sin 2t); 0 t ; tiene la misma imagen, entonces diferentes trayectorias puden parametrizar la misma curva.

Ejemplo 2 Hallar una parametrización para y = x3

3x

11

y 3

2

1

-1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

x

-1

-2

si tomamos x = t; y = t3 c(t) = (t; t3 3t); 1 t 1:

3t; tenemos una parametrización

Diferenciación Vectorial De…nición 2 (Vector Velocidad) Si c es una trayectoria y es diferenciable, decimos que c es una trayectoria diferenciable. La velocidad de c en el tiempo t se de…ne mediante c0 (t) = l m

h!0

c(t+h) c(t) : h

Normalmente trazamos el vector c0 (t) con su inicio en el punto c(t): La rapidez de la trayectoria c(t) es s = kc0 (t)k ; la longitud del vector velocidad. Si c(t) = (x(t); y(t)) en R2 ; entonces c0 (t) = (x0 (t); y 0 (t)) = x0 (t)i + y 0 (t)j y si c(t) = (x(t); y(t); z(t)) en R3 ; entonces c0 (t) = (x0 (t); y 0 (t); z 0 (t)) = x0 (t)i + y 0 (t)j+z 0 (t)k: Analogamente si v = c0 (t) = es su aceleración instantánea.

dc dt ;

entonces a =

dv dt

=

d2 c dt ;

donde a

12

Recordemos algunas propiedades de las funciones vectoriales. Sean A; B y C funciones vectoriales derivables de un escalar t y una función derivable de t; bajo estas condiciones se cumple que; 1.

d dt (A

2.

d dt (A

3.

d dt (A

4.

d dt (

5.

d dt (A

6.

d dt fA

+ B) =

dA dt

B) = A

dB dt

B) = A

A) = B (B

dA dt

+

+

dB dt

+

dA dt

dB dt

+

d dt

A

B

dA dt

C) = A B

dC dt

C)g = A

(B

B

+A

dB dt

dC dt )+A

C+ dA dt B

C

( dB C)+ dA (B dt dt

C)

Ejemplo 3 Una partícula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = e t ; y = 2 cos 3t; z = 2 sin 3t; siendo t el tiempo. a) Hallar su velocidad y su aceleración de función del tiempo. b) Hallar su rapidez El vector de la trayectoria lo podemos escribir como;

c(t) = e t i + 2 cos 3tj+2 sin 3tk Entonces su velocidad viene dada por la derivada

c0 (t) = v(t) =

e ti

6 sin 3tj+6 cos 3tk

y su aceleración se pude hallar al derivar c0 (t)

c00 (t) = v0 (t) = a(t) = e t i

18 cos 3tj 18 sin 3tk

13

La rapidez, se de…ne como la norma de la velocidad, entonces para cualquier tiempo t p s = c0 (t) = ( e t )2 + ( 6 sin 3t)2 + (6 cos 3t)2 q e 2t + 36 sin2 (3t) + 36 cos2 (3t) = q = e 2t + 36(sin2 (3t) + cos2 (3t)) p = e 2t + 36 De…nición 3 (Vector Tangente) La velocidad c0 (t) es un vector tangente a la trayectoria c(t) en el tiempo t: Si C es una curva descrita por c y si c0 (t) no es igual a 0; entonces c0 (t) es un vector tangente a la curva C en el punto c(t): De…nición 4 (Recta Tangente a una Trayectoria) Si c(t) es una trayectoria, y si c0 (t0 ) 6= 0; la ecuación de su recta tangente en el punto c(t0 ) es l(t) = c(t0 ) + (t t0 )c0 (t0 ) (1) Si C es la curva descrita por c; entonces la recta descrita por l es la recta tangente a la curva C en c(t0 ): Ejemplo 4 Una trayectoria en R3 pasa por el punto (3; 6; 5) en t = 0 con vector tangente i j: Halla la ecuación de la recta tangente. La ecuación de la recta tangente esta dada por l(t) = c(t0 ) + (t

t0 )c0 (t0 )

en este caso el vector tangente c0 (t0 ) = i l(t) = (3; 6; 5) + t(i

j; entonces j)

o lo que es equivalente l(t) = (3; 6; 5) + t(1; 1; 0) Siendo esta la ecuación de la recta tangente. Si se quiere la ecuación en coordenadas (x; y; z); se puede igualar (x; y; z) = (3; 6; 5) + t(1; 1; 0); obteniendo x = 3 + t; y = 6 t; z = 5:

14

Longitud de Arco Teorema 1 Si para una función existen sus derivadas parciales y además son continuas, entonces decimos que la función es de clase C 1: De…nición 5 (Longitud de Arco en Rn ) Sea c : [t0 ; t1 ] ! Rn una trayectoria C 1 por pedazos. Su longitud se de…ne como

l=

Zt=1

c0 (t) dt:

(2)

t=0

Es decir si c(t) = (x1 (t); x2 (t); x3 (t); :::; xn (t)); entonces Zt=1 p l= [x0 (t)]2 + [x02 (t)]2 + + [x0n (t)]2 dt t=0

Ejemplo 5 Hallar la longitud de la trayectoria c(t) = (cos t; sin t; sin 2t; 2 cos 2t) en R4 ; para el intervalo 0 t : Para hallar la longitud, se debe hallar primero c0 (t) = ( sin t; cos t; 2 cos 2t; 2 sin 2t): p 0 2 + (cos t)2 + (2 cos 2t)2 + ( 2 sin 2t)2 ; Entonces kc (t)k = p ( sin t)p 0 de donde kc (t)k = R 1p+ 4 = p5: Finalmente la longitud esta dada R por 0 kc0 (t)k dt = 0 5dt = 5 : p

3

Ejemplo 6 Hallar la longitud de arco de la curva (t + 1; 2 3 2 t 2 + 7; 12 t2 ); para 1 t 2: p 1 Calculando la derivada c0 (t) = (1; 2t 2 ; t): p Entonces la norma p la calculamos como kc0 (t)k = 1 + 2t + t2 = (t + 1)2 = t + 1; la R1 2 longitud de arco se calcula como l = 0 (t+1)dt = t2 +t j21 = 4 32 = 52

15

Fórmulas de Frenet-Serret De…nición 6 (Tangente Unitaria a c) Sea c : [a; b] ! R3 una trayectoria in…nitamente diferenciable (existen derivadas de todos los 0 (t) órdenes). Supóngase que c0 (t) 6= 0 para cualquier t: El vector kcc0 (t)k = T(t) es tangente a c en c(t) y, como kT(t)k = 1; T se llama tangente unitaria a c: Además tenemos que T0 (t) =

c00 (t) kc0 (t)k

c0 (t) c00 (t) 0 c (t) kc0 (t)k3

(3)

Ejemplo 7 Mostrar que T0 (t) T(t) = 0: Sabemos que kT(t)k = 1; de donde T(t) T(t) = 1: Entonces derivemos esta última expresión dT(t) dT(t) T(t) + T(t) =0 dt dt de donde

dT(t) dt

T(t) = 0, cambiando la notación T0 (t) T(t) = 0:

Para una curva regular c(t); con a t b; podemos de…nir la función longitud de arco s(t) para el intervalo [a; t] de la siguiente manera

s(t) =

Zt

c0 (u) du

(4)

a

en virtud del teorema fundamental del cálculo, se tiene s0 (t) = c0 (t) :

(5)

ds = c0 (t) dt

(6)

cambiando la notación

Se dice que una trayectoria c(s) está parametrizada por la longitud de arco, si kc0 (s)k = 1:

16

Ejemplo 8 Mostrar que para una trayectoria parametrizada por la longitud de arco [a; b]; se tiene l(c) = b a: Por estar parametrizada por la longitud de arco kc0 (s)k = 1; enRb Rb tonces l = a kc0 (s)k ds y operando l(c) = a ds = b a:

Ejemplo 9 La curvatura en un punto c(s) sobre una trayectoria se de…ne por k = kT0 (s)k cuando la trayectoria está parametrizada por la longuitud de arco. Mostrar que k = kc00 (s)k : 0

(s) Sabemos que T(s) = kcc0 (s)k ; como kc0 (s)k = 1; entonces T(s) = c0 (s); de donde T0 (s) = c00 (s) y kT0 (s)k = kc00 (s)k : Finalmente por transitividad k = kT0 (s)k = kc00 (s)k : El recíproco de la curvatura, % = k1 se llama radio de curvatura.

Ejemplo 10 Si c está dada en térmios de algún otro parámetro t y 0 (t) c00 (t)k c0 (t) nunca es cero, mostrar que k = kc kc : 0 (t)k3 De la ecuación 3 sabemos que T0 (t) = de donde kT0 (t)k = ds dt

=

kc0 (t)k ;

c00 (t) kc0 (t)k

kc0 (t) c00 (t)k : kc0 (t)k2

c0 (t) c00 (t) 0 c (t); kc0 (t)k3 Si s es la longitud de arco de c;

por lo tanto

dT dT ds = ; dt ds dt del anterior ejemplo tenemos que k = kT0 (s)k = dT ds ; entonces dT 1 dT 0 (t)k ; despejando se tiene que k = = k kc dt dt ; y …nalkc0 (t)k mente 1 kc0 (t) c00 (t)k kc0 (t) c00 (t)k = : k= 0 2 kc (t)k kc0 (t)k kc0 (t)k3 Ejemplo 11 Calcular la curvatura de la hélice c(t) =

p1 (cos t; sin t; t): 2

17

Del ejercicio anterior tenemos que: k = lamos las derivadas c(t) = c0 (t) = c00 (t) = debemos hallar c0 (t)

c00 (t); para esto: p1 2 p1 2

00

c (t)

c (t) =

j sin t cos t

1 c00 (t) = ( sin t)i + ( 2 1 00 c (t) = ( sin t)i + ( 2

c0 (t) c0 (t)

entonces hal-

1 p (cos t; sin t; t) 2 1 p ( sin t; cos t; 1) 2 1 p ( cos t; sin t; 0) 2

i 0

kc0 (t) c00 (t)k ; kc0 (t)k3

p1 cos t 2 p1 sin t 2

k p1 2

0

1 1 1 cos t)j + ( sin2 t + cos2 t)k 2 2 2 1 1 cos t)j + ( )k 2 2

ahora calculamos su norma r c0 (t)

1 1 1 ( sin t)2 + ( cos t)2 + ( )2 2 2 2 r 1 1 = ( )2 + ( )2 2 2 p 2 = 2

c00 (t)

=

necesitamos saber 0

c (t)

3

=

=

s

r

( 1 2

1 1 1 p sin t)2 + ( p cos t)2 + ( p )2 2 2 2 !3 1 + 2

= 1 Entonces la curvatura k es igual a

!3

18

k =

kc0 (t) c00 (t)k kc0 (t)k3 p

= k =

2 2

p1 2 2 0

T (t) Si T0 (t) 6= 0; podemos de…nir N(t) = kT 0 (t)k ; como el vector normal principal ya que es normal a T(t): Un tercer vector unitario que es perpendicular tanto a T como a N se de…ne como B = T N: El vector B se llama vector binormal. Juntos, T; N y B forman un sistema de vectores que siguen la regla de la mano derecha, ortogonales entre sí, y que, se pueden, se van moviendo a lo largo de la trayectoria.

Figura 0-1

Vectores T, N y B. Sobre una trayectoria

El vector unitario B de…nido por el producto vectorial B = T N; perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a

19

la curva. Los vectores T; N y B forman un triedro trirectángulo a derecha en cualquier punto de c: Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil. Si c(s) está parametrizada por la longitud de arco, podemos de…nir una función con valores escalares, llamada torsión, por medio de dB = ds donde =

[c0 (s)

N

c00 (s)] c000 (s) kc00 (s)k2

Además si c esta dada en términos de algún otro parámetro t; se tiene que =

[c0 (t) c00 (t)] c000 (t) kc0 (t) c00 (t)k2

El recíproco de la torsión

=

1

es el radio de torsión.

Ejemplo 12 Calcular la torsión de la hélice c(t) =

p1 (cos t; sin t; t): 2

Del ejemplo anterior, tenemos que c(t) = c0 (t) = c00 (t) =

1 p (cos t; sin t; t) 2 1 p ( sin t; cos t; 1) 2 1 p ( cos t; sin t; 0) 2

entonces

1 c000 (t) = p (sin t; cos t; 0) 2 también del anterior ejercicio tenemos que c0 (t)

1 1 1 c00 (t) = ( sin t)i + ( cos t)j + ( )k 2 2 2

20

de donde podemos calcular

[c0 (t)

1 1 1 ( sin t)i + ( cos t)j + ( )k 2 2 2 1 1 p sin2 t + p cos2 t 2 2 2 2 1 p 2 2

c00 (t)] c000 (t) = = =

1 ( p sin ti 2

Como

c0 (t)

c00 (t)

1 1 1 cos t)2 + ( )2 = ( sin t)2 + ( 2 2 2 1 2 1 2 = ( ) +( ) 2 2 1 = 2

2

Finalmente tenemos que = = =

[c0 (t) c00 (t)] c000 (t) kc0 (t) c00 (t)k2 1 p 2 2 1 2

p 1 2 p = 2 2

De…nición 7 (Fórmulas de Frenet-Serret) Para una curva de rapidez unitaria de…nimos las fórmulas de Frenet-Serret como dT ds dN ds dB ds

= kN

(7)

=

(8)

=

kT + B N

(9)

1 p cos tj) 2

21

Las fórmulas de Frenet-Serret tambien se pueden escribir como 0 1 0 1 T T d @ N A=! @ N A (10) ds B B donde ! = T+kB

(11)

Ejemplo 13 Demostrar las fórmulas de Frenet-Serret. dT ds

= kN:

dT Como T T = 1; tenemos que T dT ds = 0; es decir, ds = kN: Entonces de…nimos N como el vector unitario en la dirección y dT sentido de dT ds ; por lo tanto ds = kN: dB ds

=

N

Sea B = T

N; entonces dB ds

= T = T = T

dN dT + ds ds dN + kN ds dN ds

N N

de donde T

dB ds

= T T = T T

dN ds dN =0 ds

es decir dB ds es perpendicular a B y esta situado en el plano formado por T y N; por lo tanto dB ds es perpendicular a T y paralelo a N; luego dB = N ds

22 dN ds

=

kT + B

T; N y B forman un triedro a derecha, también lo forman N, B y T; es decir N=B T: dN ds

dT dB + T ds ds = B kN N T = B

= k(B dN ds

N)

=

k(N

=

kT + B

(N

B) + (T

T) N)

Ejemplo 14 Para la curva x = 3 cos t; y = 3 sin t; z = 4t: Hallar el vector tangente unitario T; la normal principal N; la curvatura k; el radio de curvatura %; la binormal B; la torsión y el radio de torsión : La gra…ca de la curva, describe la siguiente trayectoria El vector de posición esta dado por c(t) = 3 cos ti + 3 sin tj + 4tk su derivada es c0 (t) =

3 sin ti + 3 cos tj + 4k

y su norma c0 (t)

= =

p

p

( 3 sin t)2 + (3 cos t)2 + 42

9 + 16

= 5 ds como kc0 (t)k = ds dt ; entonces dt = 5: Para hallar el vector tangente unitario T; utilizamos

T = =

c0 (t) kc0 (t)k 3 sin ti + 3 cos tj + 4k 5

23

Figura 0-2

trayectoria de x = 3 cos t; y = 3 sin t; z = 4t

entonces T = 35 sin ti + 35 cos tj + 45 k: Para hallar la normal principal N y la curvatura k; utilizamos dT dt

d 3 3 4 ( sin ti + cos tj + k) dt 5 5 5 3 3 cos ti sin tj 5 5

= =

ahora dT ds

= =

dT dt ds dt

cos ti 35 sin tj 5 3 3 cos ti sin tj 25 25 =

3 5

24

y como k =

dT ds

; entonces r 3 ( cos t)2 +( k = 25 3 = 25

Ahora bien como

dT ds

= kN; se despeja N = k1 dT ds

=

25 3 3 ( cos ti sin tj) 3 25 25 cos ti sin tj

25 3 :

Para halla la binormal B , utilizamos B =

N =

Como % = k1 ; % = T N

i sin t: cos t 4 4 3 sin ti cos tj+ k 5 5 5

B = T B =

3 sin t)2 25

3 5

N=

3 5

j k cos t 45 sin t 0

por último para hallar la torsión, recordamos las fórmulas de frenetN; entonces serret, en particular dB ds = dB ds

=

dB dt ds dt

dB ds

=

4 4 cos ti+ sin tj 25 25

=

4 5

cos ti+ 45 sin tj 5

entonces dB ds

=

4 4 cos ti+ sin tj = 25 25 4 (cos ti + sin tj) = 25 = y

=

25 4

ya que

= 1:

N ( cos ti

sin tj)

(cos ti + sin tj) 4 25

25

Ejemplo 15 Dada la curva x = t; y = t2 ; z = 32 t3 ; hallar la curvatura k y la torsión : El vector de posición esta dado por c(t) = ti+t2 j+ 32 t3 k y su derivada c0 (t) = i+2tj+2t2 k: 0 Como ds dt = kc (t)k ; calculando c0 (t)

p

=

12 + (2t)2 + (2t2 )2

p

=

1 + 4t2 + 4t4

p

(1 + 2t2 )2

=

= 1 + 2t2 ds dt

= 1 + 2t2

entonces T = =

dc = ds

dc dt ds dt

=

i+2tj+2t2 k 1 + 2t2

c0 (t) kc0 (t)k

ahora hallamos dT (1 + 2t2 )(2j+4tk) (i+2tj+2t2 k)4t = dt (1 + 2t2 )2 realizando las operaciones dT = dt

4ti + (2 4t2 )j + 4tk (1 + 2t2 )2

de donde, dT ds

= =

dT dt ds dt

=

4ti+(2 4t2 )j+4tk (1+2t2 )2 1 + 2t2

4ti + (2 4t2 )j + 4tk (1 + 2t2 )3

26

para calcular utilizamos k = = = = = = = k =

dT ds s ( 4t)2 + (2 4t2 )2 + (4t)2 (1 + 2t2 )6 s 16t2 + 4 16t2 + 16t4 + 16t2 (1 + 2t2 )6 s (4 + 16t2 + 16t4 ) (1 + 2t2 )6 s 4(1 + 4t2 + 4t4 ) (1 + 2t2 )6 s (1 + 2t2 )2 2 (1 + 2t2 )6 s 1 2 (1 + 2t2 )4 2 (1 + 2t2 )2

Para hallar la torsión, calculamos N = k1 dT ds N = = calculamos B = T B=T

2t 2t B = ( 1+2t 2 1+2t2

(

1 1 2t2 1+2t2 1+2t2

2t ( 1+2t2

1 2 (1+2t2 )2

4ti + (2 4t2 )j + 4tk (1 + 2t2 )3

2ti + (1 2t2 )j + 2tk 1 + 2t2 N N=

i

j

k

1 1+2t2 2t 1+2t2

2t 1+2t2 1 2t2 1+2t2

2t2 1+2t2 2t 1+2t2

2t2 1 2t2 2t2 )i + ( 1+2t 2( 1+2t2 1+2t2 2t ))k 1+2t2

2t ) 1+2t2

1 2t )j + 1+2t2 1+2t2

27

B=

2t2 (1 + 2t2 ) 2t(1 + 2t2 ) 1 + 2t2 i j+ k (1 + 2t2 )2 (1 + 2t2 )2 (1 + 2t2 )2 B=

1 (2t2 i 2tj + k) 1 + 2t2

derivando dB 1 = (4ti + (4t2 dt (1 + 2t2 )2 como

dB ds

=

dB dt ds dt

dB ds

2)j

4tk)

2)j

4tk)

; entonces

= =

1 (4ti (1+2t2 )2

+ (4t2 2t2

1+ 1 (4ti + (4t2 (1 + 2t2 )3

2)j

ahora bien, por las fórmulas de Frenet-Serret 1 (4ti + (4t2 (1 + 2t2 )3 como N =

2ti+(1 2t2 )j+2tk ; 1+2t2

2)j

4tk =

4tk dB ds

=

N

N

se tiene

1 (4ti + (4t2 2)j 4tk = (1 + 2t2 )3 2 2ti + (1 2t2 )j + 2tk = (1 + 2t2 )2 1 + 2t2

2ti + (1 2t2 )j + 2tk 1 + 2t2 2ti + (1 2t2 )j + 2tk 1 + 2t2

de donde …nalmente tenemos que =

2 : (1 + 2t2 )2

Ejemplo 16 Hallar las ecuaciones de la tangente, normal principal y binormal a la curva x = t; y = t2 ; z = 32 t3 en el punto t = 1:

28

Nótese que la curva es la misma del ejemplo anterior, entonces tenemos: 2 c(t) = ti+t2 j+ t3 k 3 i+2tj+2t2 k T = 1 + 2t2 1 (2t2 i 2tj + k) B = 1 + 2t2 2ti + (1 2t2 )j + 2tk N = 1 + 2t2 para t = 1; calculamos 2 c(1) = i + j+ k 3 i+2j+2k T0 = 3 1 B0 = (2i 2j + k) 3 2i 1j + 2k N0 = 3 de nuestros cursos anteriores sabemos que si V es un vector dado y c0 y c; son los vectores de posición del origen y de un punto genérico de V; entonces el vector c c0 es paralelo a V y la ecuación de V es (c c0 ) V = 0; por lo tanto las ecuaciones para la tangente, normal principal y binormal son: (c

c0 )

T0 = 0

(c

c0 )

N0 = 0

(c

c0 )

B0 = 0

como c = xi+yj+zk y c0 = i + j+ 23 k; en coordenadas cartesianas, entonces las ecuciones toman la siguiente forma l(t) = c0 + tT0 l(t) = c0 + tN0 l(t) = c0 + tB0

29

Ecuación de la tangente (c

c0 )

T0 = 0

l(t) = c0 + tT0 2 2 l(t) = (1; 1; ) + t(1; 1; ) 3 3 Ecuación de la normal principal (c

c0 )

N0 = 0

l(t) = c0 + tN0 2 l(t) = (1; 1; ) + t( 3

2 ; 3

1 2 ; ) 3 3

Ecuación de la binormal (c

c0 )

B0 = 0

l(t) = c0 + tB0 2 2 l(t) = (1; 1; ) + t( ; 3 3 .

2 1 ; ) 3 3

30

Parte II

Super…cies en el Espacio

31

33

La grá…ca de una función f (x; y) es un tipo de super…cie, otro tipo son las que surgen como super…cies de nivel de funciones, sin embargo tenemos representaciones de super…cies que no cumplen con la de…nición de función. El objetivo de esta sección es extender la de…nición de super…cie como una función (parametrización) y diferenciarla de su imagen (objeto geométrico).

Super…cies Parametrizadas De…nición 8 (Super…cies Parametrizadas) Una super…cie parametrizada es una función : D R2 ! R3 ; donde D es algún dominio en R2 : La super…cie S que corresponde a la función es su imagen: S = (D): Podemos escribir (u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)): Si es diferenciable o de clase C 1 : Llamamos a S super…cie diferenciable o C 1 : Decir que es de clase C 1 equivale a decir que x(u; v); y(u; v) y z(u; v) son funciones diferenciables o C 1 de (u; v):

Ejemplo 17 Encontrar una representación paramétrica de la mitad superior del cono de…nido por z 2 = 4x2 + 4y 2 Como p sabemos la mitad superior del cono es la grá…ca de la función z = 2 x2 + y 2

34

14 12 10 8

z 6 4 2 0 0 0

-5 10

5

x

-5 5

y

10

p Grá…ca de z = 2 x2 + y 2 si tomamos u y v como parámetros, entonces las ecuaciones paramétricas serían x = u y = v z = 2

p

u2 + v 2

la parametrización de la super…cie esta dada por p (u; v) = ui+vj + 2 u2 + v 2 k

Ejemplo 18 Realizar la parametrización de la super…cie z = 5 x2 y2: La grá…ca es un paraboloide y se puede parametrizar de la misma forma que el anterior caso x = u y = v z = 5

u2

v2

35

(u; v) = ui+vj + 5

u2

v2k

Ejemplo 19 Hallar una parametrización para el hiperboloide de una hoja x2 + y 2 z 2 = 1 Como aparece el término x2 +y 2 ; se puede usar la parametrización clásica x = r cos u; y = r sin u: La ecuación x2 + y 2 z 2 = 1; se vuelve r2 z 2 = 1; esta última expresión se puede parametrizar r = cosh v; z = sinh v: Con lo que …nalmente: x = cosh v cos u y = cosh v sin u z = sinh u donde 0

2 y

1 < u < 1:

Planos Osculador, Normal y Recti…cante Para cualquier super…cie se calculan unos planos que sirven de referencia geométrica La grá…ca muestra los planos y sus vectores asociados en un punto P , donde t es el vector tangente T; n el normal principal N y b el binormal B: De…nición 9 El plano osculador a una curva en un punto P es el que contiene a la tangente y a la normal principal en P: El plano normal es el que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. El plano recti…cante es el que pasa por P y es perpendicular a la normal principal. Ejemplo 20 Hallar las ecuaciones del plano osculador, normal y recti…cante de la curva x = t; y = t2 ; z = 32 t3 en el punto t = 1:

36

Figura 0-3

Planos Osculador, Normal y Recti…cante

El plano osculador es el que contiene a la tangente y a la normal principal. Si c es el vector de posición de un punto genérico del plano y c0 el vector de posición del punto correspondiente a t = 1; entonces c c0 es perpendicular a la binormal B0 en dicho punto, es decir (c c0 ) B0 = 0: Analogamente tenemos que (c el recti…cante (c c0 ) N0 = 0:

c0 ) T0 = 0 es el plano normal y

Si tomamos B0 ; N0 y T0 como en el ejercicio 16 podemos calcular

37

las ecuaciones del plano 2 c(1) = i + j+ k 3 i+2j+2k T0 = 3 1 B0 = (2i 2j + k) 3 2i 1j + 2k N0 = 3 Plano Osculador

2 (i + j+ k)) B0 = 0 3 2 1 1)j+(z )k (2i 2j + k) = 0 3 3 2 2(x 1) 2(y 1) + (z ) = 0 3 2 2x 2y + z = 3

(xi+yj+zk (x

1)i+(y

Plano Normal 2 (i + j+ k)) T0 = 0 3 2 i+2j+2k )k = 0 1)i+(y 1)j+(z 3 3 2 (x 1) + 2(y 1) + 2(z ) = 0 3 13 x + 2y + 2z = 3 (xi+yj+zk

(x

Plano Recti…cante

38

2 (i + j+ k)) N0 = 0 3 2 2i 1j + 2k 1)j+(z )k = 0 3 3 2 2(x 1) (y 1) + 2(z ) = 0 3

(xi+yj+zk (x

1)i+(y

2x

y + 2z =

5 3

Supongamos que (u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)): es diferenciable en (u0 ; v0 ); entonces podemos de…nir Tu =

@x @y @z (u0 ; v0 )i+ (u0 ; v0 )j+ (u0 ; v0 )i @u @u @u

@x @y @z (u0 ; v0 )i+ (u0 ; v0 )j+ (u0 ; v0 )i @v @v @v Los vectores Tu y Tv son tangentes a curvas sobre la super…cie S y, por esto, son tangentes a S: Además en (u0 ; v0 ) deben determinar le plano tangente a la super…cie en este punto, ya que Tu Tv es normal a la super…cie, es decir Tv =

n = Tu

Tv

donde n es el vector normal y entonces podemos escribir la ecuación del plano tangente a la super…cie en un punto (x0 ; y0 ; z0 ) como: (x

x0 ; y

y0 ; z

z0 ) n =0

Ejemplo 21 Hallar la ecuación del plano tangente a la super…cie z = x2 + y 2 en el punto (1; 1; 2) Primero parametrizamos z = x2 + y 2 ; como x = u y = v z = u2 + v 2

39

obteniendo la función vectorial (u; v) = ui + vj + (u2 + v 2 )k: Sabiendo que el punto es (1; 1; 2) obtenemos que u = 1 y v = 1: Ahora calculamos Tu y Tv Tu = i + 2uk Tv = j + 2vk calculados en el punto u = 1, v =

1

Tu = i + 2k Tv = j

2k

Ahora hallamos la normal n = Tu n =T n

Tv =

u

=

Tv i j 1 0 0 1

k 2 2

2i+2j + k

…nalmente la ecuación del plano tangente en (1; 1; 2) esta dada por

(x (x

x0 ; y

1; y + 1; z 2(x

y0 ; z

z0 ) n = 0

2) ( 2i+2j + k) = 0

1) + 2(y + 1) + z

2 = 0

2x + 2y + z =

2

Ejemplo 22 Hallar un vector unitario normal a la super…cie a sin u sin vj+a cos vk: Primero hallamos Tu y Tv Tu =

a sin u sin vi+a cos u sin vj

Tv = a cos u cos vi+a sin u cos vj a sin vk

(u; v)=a cos u sin vi+

40

entonces para hallar el vector n n = Tu

n=

Tv

i j a sin u sin v a cos u sin v a cos u cos v a sin u cos v

k 0 a sin v

n =

a2 cos u sin2 vi a2 sin u sin2 vj

(a2 sin2 u sin v cos v + a2 cos2 u cos v sin v)k

n =

a2 cos u sin2 vi a2 sin u sin2 vj a2 sin v cos vk

ya calculamos el vector normal, para que sea unitario se debe dividir por su norma, entonces la calculamos

knk =

q

( a2 cos u sin2 v)2 + ( a2 sin u sin2 v)2 + ( a2 sin v cos v)2

knk =

p

a4 cos2 u sin4 v + a4 sin2 u sin4 v + a4 sin2 v cos2 v q a4 sin4 v(cos2 u + sin2 u) + a4 sin2 v cos2 v

knk =

knk =

q a4 sin2 v(sin2 v + cos2 v) knk =

p

a4 sin2 v

knk = a2 sin v Entonces el vector unitario esta dado por ^

n=

n = knk ^

a2 cos u sin2 vi a2 sin u sin2 vj a2 sin v cos vk a2 sin v

n=

cos u sin vi sin u sin vj cos vk