Geometría descriptiva

Geometría descriptiva

Sistema de proyección ortogonal

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

sa1

a1 b1 sb1

PH

a2

sa2

Arq. Edmundo Llaguno A. b2 sb2

PV

Docente FAU

Contenido

Pag.

GEOMETRÍA PLANA

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

CAPITULO II

CAPITULO I

Cap. Tema I.1 I.2 I.3 I.4

Conceptos básicos geométricos El punto y la línea La recta y la poligonal La curva

I.5 I.6

Ángulos Polígonos

001 002 003 004 007 009 FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

I.7

012

Sólidos y poliedros

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN I.8 I.9 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 II.7

6

II.8 II.9 II.10 II.11 11.12 11.13

Cuerpos redondos

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Tipos de líneas y escala para la representación técnica SISTEMAS DE PROYECCIÓN Elementos del sistema de proyección Sistemas y tipos de proyección Proyección cilíndrica Otros sistemas PROYECCIÓN ORTOGONAL Proyección cilíndrica diédrica Proyección axonométrica PROYECCIÓN CÓNICA Proyección cónica o perspectiva SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN Proyección diédrica usada en geometría descriptiva Breve reseña histórica Representación simbólica Definición de términos empleados en la proyección ortogonal Fundamentos de la proyección ortogonal Rebatimiento de los planos de proyección (horizontal, vertical y de perfil)

015 017 018 019 021 022 019 023 024 028 029 031 032 033 035 037

Cap. Tema

Contenido

Pag.

PLANOS DE PROYECCIÓN II.14 II.15 II.16 II.17

038 039 040 041

Planos principales Planos auxiliares de elevación Planos auxiliares inclinados Clave, proyección y cambio de planos

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

CAPITULO IV

CAPITULO III

POSICIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO III.1 III.2 III.3 III.4

042 044 046 048

Posiciones principales de la recta Posiciones particulares de la recta Verdadera Longitud (VL) de una recta (Métodos) Orientación y pendiente de la recta

RELACIÓN ENTRE RECTAS III.5 III.6 III.7 III.8

Rectas paralelas (//) y paralelas aparentes Rectas perpendiculares Distancia mínima entre dos rectas oblicuas Rectas oblicuas intersecantes y no intersecantes, ángulo real DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTAS

IV.1 Generación de una superficie plana IV.2 Vista de canto de una superficie plana oblicua y ángulo de inclinación IV.3 Vista de canto de una superficie plana oblicua e inclinación respecto al PV IV.4 Vista de canto y forma real (VL) de un plano oblicuo RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS IV.5 Relaciones básicas entre el punto, la recta y el plano IV.6 Recta paralela a una recta del plano y perpendicular IV.7 Recta paralela al plano IV.8 Mínima distancia entre el plano y la recta paralela IV.9 Recta perpendicular al plano IV.10 Ángulo diedro (real) de la intersección IV.11 Punto de intersección entre un plano y una recta

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS IV.12 Intersección y visibilidad entre dos superficies planas IV.13 Vista de canto y ángulo diedro de dos planos IV.14 Ángulo diedro (real) de la intersección (Método de rotación)

049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 064 065 066 068 069

Cap. Tema

Contenido

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

CAPITULO V

INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENES IV.15 Intersección de un plano y un prisma oblicuo IV.16 Intersección de una pirámide y un prisma triangular PRISMAS V.1 V.2 V.3

Desarrollo de superficies de cuerpos geométricos básicos Prisma recto Prisma recto trunco

V.4

Prisma oblicuo

V.5 V.6 V.7

Cilindro recto Cilindro recto trunco Cilindro oblicuo

Pag. 070 071 072 073 074 075

CILINDROS 076 077 078 PIRÁMIDES

V.8 V.9

V.10 Pirámide recta trunca V.11 Pirámide oblicua trunca V.12 V.13 V.14 V.15

079 080 081 082

Pirámide recta Pirámide oblicua

CONOS 083 084 086 087

Cono recto Cono recto trunco Cono oblicuo Cono oblicuo trunco

ROTACIÓN 088

V.16 Rotación de elementos geométricos

PROYECCIONES SUCESIVAS V.17 Proyección sucesiva de un prisma V.18 Proyección sucesiva de un prisma recto trunco V.19 Proyección sucesiva de una pirámide

089 090 091

Cap. Tema

Contenido

Pag.

CUBIERTAS TRADICIONALES

CAPITULO VI

CARACTERÍSTICAS 092

VI.1 Definiciones

MÓDILO BASE Y PASOS DE TRAZADO VI.2 VI.3 VI.4 VI.5 VI.6 VI.7 VI.8

Trazado de módulo base Diferentes tipos de encuentros Casos de acoplamientos entre faldones Variante de faldones Ejemplo de acoplamientos Cubiertas con patio interior (vacio) Cubiertas en dos niveles

093 094 095 097 098 099 100 CUBIERTAS ESPECIALES 101

VI.9 Cubierta con planos triangulares

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO 102 103 104 105

VII.1 Paraboloide hiperbólico VII.2 Aplicación en la arquitectura

SUPERFICIES ALABEADAS

CAPITULO VII

VII.3 Paraboloide hiperbólico (reglada) VII.4 Aplicación en la arquitectura

CONOIDE 106 107

VII.5 Conoide VII.6 Aplicación en la arquitectura

HIPERBOLOIDE 108 109 110

VII.7 Hiperboloide VII.8 Hiperboloide de revolución inclinado VII.9 Aplicación en la arquitectura

HELICOIDE VII.10 VII.11 VII.12

111 112 113

Helicoide (recto cilindrico) Helicoide (recto cónico) Aplicación en la arquitectura

CILINDROIDE VII.13

Cilindroide

114

PIEZAS DE TRANSICIÓN SOMBRAS

CAPITULO IX

CAPITULO VIII

Cap. Tema

Contenido

Pag.

CONEXIÓN DE SECCIONES VIII.1 VIII.2 VIII.3 VIII.4

Secciones cuadrangulares diferentes Conexión de secciones cilindricad diferentes Conexión de sección cuadrangular y circular Aplicación en la arquitectura

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS IX.1 Sombra arrojada del punto en los planos horizontal, vertical e inclinado IX.2 Sombra arrojada por una recta principal al PH y PV IX.3 Sombra arrojada por una recta de punta al PH y PV IX.4 Sombra arrojada por una recta oblicua al PH y PV IX.5 Sombra arrojada por una superficie plana IX.6 Sombra de un volado en una superficie concava y convexa IX.7 Sombra de una línea curva EJERCICIOS DE APLICACIÓN IX.8 Sombra de una chimenea sobre una cubierta IX.9 Sombra de un pasamanos en una grada IX.10 Sombra de un poste sobre una pared con molduras IX.11 Método para determinar la sombra de una recta en una cúpula IX.12 Sombra de un punto en una cúpula (semiesfera) IX.13 Sombra de una recta vertical en una superficie curva IX.14 Sombra de una recta horizontal en una superficie curva IX.15 Sombra de un plano en una superficie curva IX.16 Sombra de una cúpula en el PH y PV IX.17 Sombra de una esfera en el PH

115 116 117 119

120 121 122 123 124 125 126 127 129 130 131 132 133 135 136 137 138

CAPÍTULO I CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA Introducción.- Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementos geométricos más simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometría Descriptiva domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia el presente tema, trabajo en el que se describen en forma simple los conceptos geométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría Descriptiva. Además, pensando en la ejercitación práctica del estudiante en la resolución de problemas de Geometría Descriptiva, aplicables a la representación gráfica, destrezas que posibilita el dibujo y diseño de objetos arquitectónicos y sus diversos componentes, se incluyen en este punto las nociones básicas de trazado y manejo de escuadras, compás, lápices de mina dura y suave, habilidades para conseguir un trazado claro, preciso, imaginativo del dibujo, finalizando con una breve descripción del concepto de escala. Se supone que todo el contenido antes descrito es del conocimiento previo del estudiante de Geometría Descriptiva, razón por la cual se presenta este capítulo en forma concisa y con carácter principalmente informativo.

LÁMINA # 001

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.2. EL PUNTO Y LA LÍNEA

PUNTO Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones

A

Cortando Lineas

A

A

Con un círculo

Con un cuadrado

LÍNEA Es una sucesión infinita de puntos. Las líneas se clasifican basicamente en: recta, poligonal, curva

Línea recta

Línea poligonal

Línea curva

LÁMINA # 002

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.3. LA RECTA Y LA POLIGONAL RECTA

Segmento A-B

Semirrectas a y b

Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia

Poligonal abierta

b

b A a

semirrecta: cada una de las dos partes en que se divide a una recta que une cualquiera de sus puntos

Poligonal cerrada

A-B

Segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos

a

POLIGONAL Línea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en:

poligonal abierta: si el primer y último segmentos no están unidos

poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos

LÁMINA # 003

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.4. LA CURVA A

Circunferencia

CURVA

Elipse

°= °

Línea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se clasifican en:

°< °

°

°

°

Cónica Curva que se genera al seccionar un cono recto de revolución con un plano. Las cónicas son cuatro y su formación depende de la relación entre los ángulos ( °: ángulo que forma el plano seccionante (a) con el plano base del cono) y ( °: ángulo que forman las generatrices del cono con el plano base del mismo) como se describe a continuación:

Circunferencia: se forma cuando el plano seccionante (a) es paralelo al plano base del cono, por lo tanto °=0°

Elipse: se forma cuando °< °

Parábola

Hipérbola

°= °

° °

Parábola: se forma cuando °= °

°> °

°

°

Hipérbola: se forma cuando °> °

LÁMINA # 004

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.4. LA CURVA

Espiral de Arquímedes

P

Curva del plano, generada por un punto (P) que se mueve con velocidad lineal constante (v), a lo largo de una recta (a); mientras esta gira, con velocidad angular uniforme (w), alrededor de un punto fijo contenido en ella.

A

Involuta de una recta

Involuta (envolvente) V

Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de un hilo, mientras este se desenrolla a partir de un segmento, polígono regular ó circunferencia.

a

P B

B

A D

La involuta de un círculo se utiliza en la construcción de los dientes de engranajes.

B C

P

Involuta de un polígono 1.0

Curva matemática Estas curvas son generadas por ecuaciones propias de cada una de estas ciencias y su estudio es de gran utilidad en la solución de problemas relacionados con las mismas.

f(x) =seno ° 0.5 P 0 -0.5 -1.0

0°

90°

180°

270°

360°

Involuta de un círculo LÁMINA # 005

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.4. LA CURVA

Cicloide

Hélice

Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de una circunferencia, que ruede sin deslizarse a lo largo de una recta (a). Las cicloides tienen aplicación en la construcción de los dientes de engranajes.

Curva del espacio, generada por un punto (P), de una recta (a); la cual se desplaza, con velocidad constante (v) y a su vez rota, con velocidad constante ( ), sobre otra recta (e), con la que se corta.

Si el punto (P) que la genera, es un punto fijo de la recta (a)

Hélice

B a

P

cilíndrica .

e P

a

v

Catenaria Curva plana que forma, por la acción de su propio peso, un hilo, completamente homogéneo, flexible e inextensible, cuando se fijan dos de sus puntos.

Hélice cónica . Si el punto (P) que la genera, se mueve, con velocidad lineal constante (vo), a lo largo de la recta (a).

e

Vp P

a

v

LÁMINA # 006

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.5.

ÁNGULOS

Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común

Ángulos consecutivos

Clasificación según su medida angular Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:

180°