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Universidad Nacional de Cajamarca Facultad de Ingeniería Escuela académico profesional de ingeniería de minas
LEY MEDIA, LEY DE CORTE Y CURVAS TONELAJE
Docente: Ing. LOPEZ BECERRA, María Alumnos:
DELGADO VASQUEZ, Román HERRERA IRIGOIN, Edilberto MALIMBA VARGAS, Amós ROMERO DIAZ, Bayly SALAZAR CHAVEZ, Pedro Ciclo: VII Fecha: 23/07/15
G E O E S T A D I S T I C A
INTRODUCCIÓN La geoestadística se define como el estudio estudio de fenómenos fenómenos regionalizados, es decir, que se extienden en el espacio y presentan una cierta continuidad. El objeto sobre el cual se trabaja es una descripción matemática del fenómeno regionalizado, a saber, una o varias funciones numéricas llamadas variables regionalizadas, que miden ciertas propiedades o atributos relacionados con este fenómeno. En minería dichos fenómenos se relacionan con las leyes de mineral del yacimiento en estudio. Pero la factibilidad de un proyecto tiene que ver con la elección de una ley de corte en un yacimiento gobierna directamente la cantidad de mineral recuperable que contiene, el ratio estéril/mineral y la ley media de este último. La distribución de las leyes dentro de los depósitos marcan la relación entre la ley media que resulta para cada ley de corte y, por consiguiente, el grado de vulnerabilidad económica en unas condiciones dadas. El conocimiento de la ley media de un yacimiento, y el tonelaje asociado a dicha ley media, puede ser de gran interés, toda vez que permita construir una curva en la que se relacione directamente estos dos parámetros.
OBJETIVOS Los objetivos de este trabajo son: Comprender el cálculo de la ley media de un yacimiento yacimiento mineral. Comprender el cálculo de la ley de corte de un yacimiento mineral. Analizar las gráficas de tonelaje vs ley de un yacimiento mineral.
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La determinación de la ley media, en un prospecto, proyecto, en una mina, en un pozo petrolero, en una una serie de ensayes, etc. etc. es un paso necesario necesario en la evaluación evaluación de recursos o reservas de un yacimiento económico en general. Este dato no sólo tiene importancia económica sino que condiciona, al menos en parte, la viabilidad económica de la explotación. explotación.
Esta ley media debe estimarse antes de comenzar a realizar cualquier trabajo, por ejemplo, la explotación de un yacimiento, este hecho que parece simple (no necesariamente se trata de la media aritmética de un conjunto de datos) , en muchas ocasiones es sumamente complejo y ha generado una serie de trabajos científicos, especialmente en aquellos elementos que son altamente aleatorios (fluctuaciones en las leyes) como en el caso del oro. La geoestadística a través del krigeage o kriging tiene por objetivo estimar este valor con la máxima fiabilidad posible.
Una de las aplicaciones relacionadas con la ley media y que tiene vigencia en la actualidad es es la de establecer establecer los modelos modelos ley-tonelaje, ley-tonelaje, el gráfico correspondiente, correspondiente, permite visualizar de manera óptima la riqueza relativa del yacimiento.
Antes de calcular la ley media por métodos estadísticos, estadísticos, por razones de seguridad en el cálculo y sencillez sencillez operativa, en en primer lugar lugar es necesario conocer si los datos presentan una distribución normal, de no ser así, se debe calcular sus algoritmos respectivos y repetir el proceso con estas nuevas variables (variables con valores logarítmicos).
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Existen varios métodos para investigar si una distribución es normal: histogramas, recta de Henry, Chi-cuadrado y el gráfico de probabilidad normal. Los dos primeros son métodos visuales visuales y prácticos, prácticos, el método Chi-cuadrado Chi-cuadrado establece dicho carácter de acuerdo a un estadístico y está en función de
un determinado nivel de
significancia y la última que es una prueba de bondad de ajuste.
Una regla práctica para reconocer la normalidad de la distribución es el valor del coeficiente de variación. Según Koch y Link (l970) una distribución puede considerarse como Guassiana si el coeficiente de variación es inferior a 0.5 en caso contrario indica un carácter log-normal o un conjunto de datos con distribución errática. Describiremos cada uno de estos métodos:
Se trata de dividir el conjunto de datos en una serie de intervalos y representarlos
bajo la forma de un histograma de frecuencias. La similitud
con una curva de Gauss
nos puede inducir a clasificar esta distribución distribución como
normal.
3
Histograma de frecuencias frecuencias que podría podría clasificarse como distribución normal Granito Granito a cordierita cordierita de Huelgoat 6 5 5 4 4 3 3 2 2
2
2 Std. Dev D ev = 1.23
1 1
1
Mean = 5 N = 20.00 20.00
0 2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
Uranio (ppm)
Si los resultados son distribuidos siguiendo una ley normal, las frecuencias acumuladas se pueden distribuir en una distribución normal siguiendo la forma de una recta llamada la recta de Henry Leyes Leyes en U de H uelgoat Recta de Henry_distr ibución normal 2
1
0
-1
-2
-3 2
3
4
5
6
7
Valores de U
4
El test
2
2
es una prueba de bondad de ajuste que tiene por objetivo contrastar la
hipótesis nula de que la muestra procede de una población en la que la proporción de individuos que presentan el valor x i , es igual a p ei , donde
i=
1, 2,..., k , respectivamente
Ho : p1 = pe1 , ..., p k = pek
Di el p-valor asociado es menor que α , se rechazará la hipótesis nula al nivel de significación α .
Una vez comprobado el carácter normal de la distribución estudiada, el cálculo de la ley media resulta sencillo, pues se define como la media aritmética de las leyes, es decir:
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2.3.
Determinación de la ley media en distribuciones lognormales lognormales
El cálculo de la ley media en distribuciones lognormales se lleva a cabo de forma diferente a si se tratase de una distribución normal. La larga experiencia del tratamiento de datos en la mina de oro de Sudáfrica, que suelen presentar casi siempre distribuciones lognormales, llevo a los mineros a buscar una expresión que permitiese obtener, de forma más real, el valor de la ley media. La presencia de una cierta cantidad de datos sesgados, en ocasiones de alto valor (efecto pepita o mamut), generaba unas estimaciones de la ley media, obtenida simplemente como la media aritmética, que se alejaban, posteriormente de los valores que ofrecían los datos de producción aún más, estos datos de producción siempre serán inferiores a la ley media, con lo que el error que se cometía era importante, pues siempre se tendría a sobrevalorar el yacimiento si se consideraba como ley media la media aritmética. Cuando al obtener el histograma de frecuencias se observa un cierto grado de sesgo de los datos (fig. 1a), se puede avanzar ya el carácter lognormal de la distribución. Por ello, no resulta necesario, incluso, continuar con los siguientes métodos de testificación de la normalidad y transformar los valores a logaritmos (p.e. tomando los logaritmos naturales, como se comentó anteriormente) y volver a obtener el histograma de frecuencias, que, probablemente, ya mostrara el carácter normal normal de la nueva distribución (Fig. 1b), por lo que se podrá considerar la distribución como lognormal. También se puede, para asegurarse, aplicar los otros métodos (recta de Henn y Ji- cuadrado) a la nueva distribución logarítmica. Una vez comprobado la lognormalidad de la distribución, se puede calcular la ley media a través de las fórmulas que comentan a continuación. continuación. 2.4.
Formula general
Si los datos se asemejan a una distribución lognormal, la población se puede definir como una población lognormal de los parámetros, siendo estos parámetros la media y la varianza de la población logarítmica. Entonces, Entonces, el valor verdadero de la ley media se obtiene con la l a fórmula:
) ( ( μ= μ = Valor estimado de la ley media.
= Media de la distribución de los logaritmos de las leyes. = Desviación estándar de la distribución de los logaritmos de las leyes.
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Figura 1. Histograma de frecuencias: a) con los datos sin transformar y b) con los datos transformación con el logaritmo natural. Puede ocurrir que, al representar los datos logarítmicos en un diagrama de probabilidad, no se ajusten exactamente a una recta, mostrando una cierta curvatura en el ajuste (Fig. 2), lo que es indicativo de la presencia de una población lognormal de tres parámetros. Este tercer parámetro, denominado constante constante aditiva (a), se calcula como: a = [X50 – (X75 – X25)]/(X25 + X75 – 2.X50) Siendo X25, X50 y X75 los valores de los percentiles 25, 50 y 75.
Figura 2 Representación en un diagrama de probabilidad de una población logarítmica de tres parámetros. Este valor (a) se añade a la población original de datos (sin transformar logarítmicamente) y, a continuación, se realiza la transformación logarítmica, obteniéndose una nueva población ln (xi+a) que, representada en el papel probabilístico, si genera ya una línea recta. Para calcular, en este caso, el valor de la ley media, se aplica el procedimiento descrito para la población de dos parámetros, sustrayéndose sustrayéndose el valor de la constante aditiva del resultado final.
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Ejemplo 1 Se ha realizado un muestreo en un posible yacimiento tipo placer de oro. El análisis de 181 muestras ha generado una base de datos (expresada en g/t de oro), cuya transformación logarítmica logarítmica ofrece unos valores para la media y la l a desviación estándar de -1.606 y 1.733, respectivamente. Calcular el valor de la ley media para el yacimiento utilizando la formula general. Solución
En primer lugar, y como ejemplo de la transformación que se genera al tomar los logaritmos naturales de la variable ley en oro, en la Figura 3b el mismo histograma pero con los valores ya transformados. Se puede observar como el primer histograma presenta una disposición claramente sesgada (sesgo 2,96), indicativa de un posible carácter lognormal de la población, mientras que el segundo histograma está mucho más centrado (sesgo = -0.003), acercándose notablemente a una distribución normal. Aun más, el valor del coeficiente de variación para el primer caso es de 1.72 (expresado en tanto por uno) mientras que en el segundo es de 1.07, lo que corrobora lo antes comentado.
figura 3. Histograma de frecuencias del ejemplo 1 a) para el conjunto original de datos y b) para los datos logarítmicamente transformados. Lo mismo podría decirse de la representación en papel probabilístico (figs. 4a y b). En el primer caso (fig. 4a), datos originales, la curva apenas se ajusta a la recta, recta, mientras que una vez tomados los logaritmos (fig. 4b), su parecido con una recta es mucho mayor.
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Figura 4. Diagrama de probabilidad para los datos del ejemplo 1 a) para el conjunto original de las leyes y b) para las leyes transformadas logarítmicamente. Del análisis de las figuras 3 y 4 se deduce que la población, a la hora de calcular su ley media, debe ser tratada como una distribución lognormal. En cuanto a si se trata de una distribución lognormal de dos o de tres parámetros, la observación de la figura 4.8b parece indicar una ausencia de curvatura, por lo que la población puede considerarse de dos parámetros. Por ello, la formula a utilizar, para calcular la ley media, sería la expresada anteriormente. Por lo tanto, teniendo en cuenta los valores de la media y la desviación estándar ofrecido en el enunciado del problema, se tendría:
2.5.
Los estimadores de Sichel
Cuando se tiene un número pequeño de datos, por ejemplo en los primeros estudios de viabilidad económica de un yacimiento, y se presume que la población presenta una distribución lognormal, el cálculo de la ley media también puede llevarse a cabo utilizando los estimadores de Sichel. Este autor, en 1966, publico un método para calcular la citada ley media, basándose en los valores de la media y la desviación estándar de los datos transformados logarítmicamente. La gran ventaja de los estimadores de Sichel reside no solo en el método en si pues la ley media puede obtenerse también también con la formula general expuesta expuesta anteriormente, si no que ofrece, además, tablas para estimar el valor de la ley media con unos niveles de confianza, es decir, se puede definir un intervalo en el que existe un determinado nivel de confianza de que la ley media este incluida en dicho intervalo, tal como se verá posteriormente.
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La expresión del estimador de Sichel es el siguiente: t = m x f(V)n Donde: t= estimador de la ley media α
m = e , siendo α la media de los logaritmos de las leyes f(V)n = Valor que se obtiene de la tabla 1, entrando por n número de muestras y V varianza de los logaritmos de las leyes Tabla 1 Valores de la función Sichel
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Ejemplo 2. Se han tomado cinco cinco muestras en un bloque de explotación explotación de un yacimiento de oro, cuyas leyes (g/t) han sido las siguientes: 4.8, 5.2, 6.1, 3.9 y 16.8. Calcular el valor de la ley media a través del estimador de Sichel. Solución. El primer paso será la transformación logarítmica de los datos. Tomando los logaritmos naturales se tendrán los siguientes nuevos datos transformados: 1.569, 1.649, 1.808, 1.361 y 2.821. Su media y varianza serán 1.842 y 0.260. Por tanto aplicando el estimador de Sichel: t=
. f(0.260)
s
Entrando en la tabla 1. Por V= 0.260 y n= 5, el valor resultante será, interpolando, 1.13, con que: t= 6.309 x 1.13 = 7.13 (g/t) Si se calcula la ley media como la media aritmética de cinco leyes originales se obtendría un valor de 7.36. Como se puede observar este valor es ligeramente superior al calculado con el estimador Sichel, siendo este hecho, como se comentó anteriormente, característico de las distribuciones lognormales. Para el cálculo de los niveles de confianza, el método a seguir es el siguiente tomando como base las tablas 2 y 3, se define el intervalo para la ley media, con un nivel de confianza de 90%, como: Límite superior = ф95 = t . f(V)n Límite inferior = ф5 = t . f(V)n
Donde f(V)n para el límite superior se obtiene de la tabla 2. y f(V)n para el límite inferior en la tabla 4.6. Con estos valores, se podrá afirmar que existe un 90% (ф95- ф5) de probabilidad de la ley media este comprendida en este intervalo. Tabla 2. Límite superior de confianza (ф95) para los estimadores de Sichel.
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Tabla 3. Límite superior de confianza (ф5) para los estimadores de Sichel
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Ejemplo 3. Calcular en el ejemplo 4.3, el valor de la ley media con un nivel de confianza de un 90% Solución Siendo V= 2.6 y n = 5, en la tabla 4.5 (límite superior) se tendrá que f(V)n = 2.30 y en la tabla 4.6. (Límite inferior) f(V)n será 0.69. Por lo tanto: Límite superior =7.33 x 2.30 = 16.40 Límite inferior = 7.13 x 0.69 = 4.92
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Es decir, la ley media estará comprendida comprendida entre 4.92 g/t y 16.40 g/t con un nivel de confianza confianza del 90%. Puesto que, en principio, poco puede preocupar que el superior se supere, también se puede afirmar que existe un 95% de probabilidad de que la ley sea superior a 4.92 g/t. 2.6.
métodos de ponderación para determinar la ley media
Cuando se posee un sondeo perfectamente testificado, con todos los valores de espesores, leyes, etc. Y se desea conocer el valor de la ley que es necesario aplicar, de forma puntual, a dicho sondeo, es absurdo utilizar los métodos estadísticos, que traten a todos los valores por igual, por ejemplo, grandes potencias con una ley determinada quedan infravaloradas frente a pequeños niveles que poseen una ley similar, o, por el contrario, leyes muy altas en niveles muy finos pueden influir excesivamente frente a zonas de baja ley pero muy potentes. Por todo ello es necesario buscar un método de estimación de la ley media que permita estas particularidades. Estos métodos son los denominados métodos de ponderación que, en ocasiones, también reciben el nombre de regularización. Bien entendido que, si el muestreo en la testificación se ha llevado a cabo en forma sistemática (p.e una muestra cada metro), el cálculo de la ley media como simple media aritmética podría acercarnos bastante al valor de la ley media del sondeo. Este método es bastante utilizado en yacimientos masivos, potentes y con pequeños cambios en las densidades aparentes del material. Por otro lado, no es ni más ni menos que el propio método de ponderación pero teniendo en cuenta que la potencia es siempre la misma (p.e. 1 metro) y que las densidades aparentes, como se acaba de comentar, varían poco. En general, las leyes (o valores de la variable del mineral/metal útil se pueden ponderan respecto a diversos factores: -respecto al espesor: Gi.ei
/∑
Gm = [
Donde: Gm = Ley media. Gi = Leyes de los tramos i. ei = Los espesores de los tramos i. -
Respecto al dominio de influencia:
/∑
Gm = [
Siendo Ii el dominio de influencia de cada muestra.
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-
Respecto al espesor y al dominio de influencia:
/∑
Gm = [ -
Respecto a la densidad aparente más cualquiera de la/s anterior/es:
/∑
Gm = [
Donde: di = Densidad aparente de las muestras i. xi = Dominio de influencia, espesor o ambos. Cuando se quiere calcular el valor ponderado en una única dirección (sería el caso de un sondeo), se pondera respecto al espesor y/o densidad aparente, mientras que si la situación es la de la superficie (p.e. un panel con varios sondeos) se puede (debe) introducir la variable correspondiente al dominio de influencia, que expresa la segunda dimensión de la situación. Este dominio de influencia es el que viene representado. En la figura c, por los valores A+B, B+C, C+D y D+E. Su Su significado es sencillo y representa representa la zona hasta donde donde puede extrapolarse el valor del sondeo. Como es lógico, dados dos sondeos, el límite de influencia de cada uno de ellos vendrá definido por la mitad de la distancia entre ambos. Y de igual manera cuando se tienen varios sondeos (Fig. c.).
Figura determinación de los dominios de influencia en un panel de sondeos
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Hay que hacer constar que la inclusión de la densidad aparente como factor de ponderación debe llevarse a cabo únicamente si existe una adecuada correlación entre las leyes y las densidades aparentes, lo que se puede comprobar ajustando una recta de regresión a los pares ley- densidad aparente y calculando el coeficiente de correlación de la citada recta. Ejemplo 4.5. Se ha testificado un tramo mineralizado de un sondeo, obteniéndose los siguientes valores de potencia y leyes de esa potencia. Calcular el valor de la ley media para ese tramo mineralizado. 0.5m –> 8.0% 1.0m –> 7.6 % 0.8m –> 8.2 % 0.3m – >9.9 % 1.2m –> 6.5 % Solución. La ley media del tramo tramo mineralizado se obtendrá obtendrá por ponderación de las leyes medias respecto a los espesores, es decir: Gm = [(0.5x8)+(1x7.6)+(0.8x8.2)+(0.3x9.9)+(1. [(0.5x8)+(1x7.6)+(0.8x8.2)+(0.3x9.9)+(1.2x6.5)]/(0.5+1+0.8+0.3+1. 2x6.5)]/(0.5+1+0.8+0.3+1.2)= 2)= 7.61%
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CAPITULO II: LEY DE CORTE La definición de los límites económicos de explotación de un rajo, se basará en un modelo económico de beneficio nulo nu lo al extraer la última expansión marginal. Esquemáticamente lo podemos ver en la siguiente figura:
Sabemos que la extracción de M1 nos ha reportado beneficios mayores que cero, la pregunta es: ¿La extracción de M2 nos reportará un beneficio mayor que cero? Si así fuese significaría que M2 por sí solo permite la extracción de su estéril asociado E2, así como M1 logró pagar los costos asociados a la extracción de E1. El asunto ahora es evaluar si vale la pena extraer la lonja adicional o la que llamamos la última expansión marginal.
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Teniendo en cuenta lo anterior an terior y recurriendo al formulismo se tiene que:
B 1 = I 1 - C 1 > 0
Con lo que aseguramos que efectivamente el rajo se explotará inicialmente con esos límites
Debemos comprobar ahora si es conveniente realizar o no la expansión marginal, entonces sí: B 2 = I 2 - C 2 > 0
Se asegura que la última expansión marginal se explotará ampliándose los límites iniciales del rajo
B 2 = I 2 - C 2 < 0
Se asegura que la última úl tima expansión marginal NO se explotará y explotará y el límite de la explotación queda definido por la explotación de M 1
Este modelo permitirá obtener las líneas finales de nuestro rajo en una zona tal que el estéril es pagado única y exclusivamente por el mineral sin que se produzcan pérdidas ni ganancias, en función de las variables y costos estimados para la futura explotación. Por lo tanto podemos definir a la ley de corte como: Es la concentración mínima que debe tener un elemento en un yacimiento para ser económicamente explotable, es decir, la concentración que hace posible pagar los costes de su extracción, su tratamiento y su comercialización. Es un factor que depende a su vez de otros factores, que pueden no tener nada que ver con la naturaleza del yacimiento, como, por ejemplo, su proximidad o lejanía a vías de transporte, avances tecnológicos en la extracción, entre otros.
Es la ley por debajo de la cual un yacimiento no es económicamente explotable.
Contenido mínimo del metal en el mineral para que pueda ser considerado como reservas.
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1. CALCULO DE LA LEY DE CORTE
METODO ANALITICO.
Bajo el concepto de “beneficio nulo”, es decir, que el ingreso que se perciba al explotar un cierto tonelaje de mineral sea igual a su costo de extracción asociado, el balance para una tonelada de mineral (T) que se encuentre expuesta, sin estéril asociado, es el siguiente:
L
: Ley.
RM : Recuperación Recuperación total metalúrgica. PV : Precio de venta de la unidad de la especie de interés. CR : Costo de refinería. CE : Costo de extracción extracción del mineral en la mina. CP : Costo del proceso del mineral. CD : Costo de depreciación. CC : Costo de comercialización.
Esta expresión da origen a la siguiente fórmula para la determinación de la ley de corte crítica:
Se debe tomar en cuenta que tanto el costo mina como el costo planta varían durante la vida de la explotación, ya que la distancia de transporte tanto para el mineral como para el estéril es variable y el tratamiento del mineral en la planta varía dependiendo de las características del mineral que le es alimentado, las cuales pueden variar dependiendo de la profundidad en la cual se encuentre la explotación, por lo que en ambos casos se debe ocupar la mejor estimación posible en función del criterio y experiencia del encargado de realizar el diseño del rajo. 19
La fórmula inicial para la ley de corte crítica puede expresarse de la siguiente manera al incluir las unidades y en el costo mina considerar el costo de capital:
En esta expresión se considerarán como costos de “categoría I” los costos en US$/Ton de material movido relacionados con la extracción del mineral, es decir, los costos mina, que incluyen los siguientes procesos: Como Costos Directos (CE): • Perforación. • Tronadura. • Carguío. • Transporte. • Servicios de apoyo mina. • Administración. Además se maneja un Costo de Depreciación (CD). La suma de estos valores CE + CD conforma la categoría I.
Se consideran como costos de “categoría II” los relacionados con el proceso del mineral (CP) y se expresan en unidades de US$/Ton de mineral tratado. Además se incluyen costos administrativos en las mismas unidades. Cabe destacar que la depreciación de las instalaciones de la planta está incluida dentro del costo de proceso.
Se considera como costos de “categoría III” los relacionados con la comercialización del producto (CC), (CC), en el cual se incluyen el transporte, seguros, créditos, refinería, etc., y se expresa en unidades de US$/lb.
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De este modo se puede resumir la expresión de ley de corte crítica como:
Algunos autores consideran la expresión para calcular la ley de corte de la l a siguiente manera:
Entre los costos que necesitamos para realizar el cálculo de la Ley de Corte encontramos aquellos que se producen en la explotación misma de la mina y de todo aquello que lo rodea, ya sea lo concerniente al transporte, al carguío, a la extracción misma, a la compra de equipos, al traslado de los mismos, etc. También También tenemos costos en la planta ya ya sea por tratamiento del mineral y por el tratamiento del concentrado en la refinería. Todos estos datos fueron facilitados por la planta; donde: 1. Costos Directos de Mina tenemos los siguientes itemes: -
Costo de Perforación.
-
Costo de Tronadura.
-
Costo de Carguío.
-
Costo de Transporte.
-
Costo de Servicio.
-
Administración.
-
Se tiene también un costo de Depreciación de los equipos mineros.
2. Costos de la Planta especificados en el siguiente esquema: -
Costo de tratamiento de mineral.
-
Costo de Administración central.
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3. Costos de traslado traslado y transporte e instalaciones instalaciones de los equipos y maquinarias en la faena o el traslado de los puertos.
EJEMPLO CATEGORÍA I:
1)
2)
Costo directo Mina:
Costo de Perforación
0.04
US$/Ton Mat.
Costo de Tronadura
0.07
US$/Ton Mat.
Costo de Carguío
0.11
US$/Ton Mat.
Costo de Transporte
0.28
US$/Ton Mat.
Costo de Servicios
0.18
US$/Ton Mat.
Costo de Administración Mina
0.21
US$/Ton Mat.
TOTAL COSTO DIRECTO MINA
0.89
US$/Ton Mat.
0.50
US$/Ton Mat.
Depreciación de los equipos mineros
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Método grafico para determinar la ley de corte: Existe además una forma gráfica para calcular la ley de corte; esta se deriva de la fórmula de beneficio neto; asi tenemos:
Donde:
B: Beneficio neto. P: Precio del metal. (US$/Lb) Cr: Costo de Refino. (US$/Lb) RM: Recuperación Metalúrgica. CM: Costo Mina. (US$/Ton) CP: Costo Planta. (US$/Ton) Ahora podemos derivar una ecuación donde el beneficio neto este únicamente en función de la ley; dicha función nos dará una recta y donde esta recta corte al eje de las abscisas, en una gráfica Ley vs Beneficio, es donde se encuentra la ley de corte.
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Ejemplo:
De los datos del ejemplo anterior tenemos:
Tabulando los valores podemos graficar dicha recta y así determinar la ley de corte:
ley
Beneficio 0.1
-5.2644
0.2
-3.8388
0.3
-2.4132
0.4
-0.9876
Grafica ley vs beneficio 0.4 0.2 0 o i c i f e n e B
-0.2
0.5
0.438
0.6
1.8636
0.7
3.2892
-0.8
0.8
4.7148
-1
0.9
6.1404
-1.2
1
7.566
0
0.1
0 .2
0 .3
0.4
0.5
0.6
-0.4 -0.6
LEY
Se puede apreciar que la ley de corte gráficamente será 0.47%
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2. Ley de corte marginal: Es también conocida como ley operacional y es aquella que está bajo la ley de corte pero sobre el material estéril. El material marginal no es llevado a botadero sino que es almacenado en lugares especialmente diseñados ya que pueden ser tratados en tiempos futuros. Para el cálculo de la ley le y marginal se tiene la misma fórmula que se emplea emple a para la ley de corte a diferencia que el coste de mina se iguala a cero:
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CAPITULO III: CURVAS DE TONELAJE VS LEY Dos parámetros que tienen una gran influencia sobre la rentabilidad económica de un proyecto minero son el ritmo de producción y la ley de
corte, cuyos valores teóricos pueden ser
calculados en la etapa de viabilidad con diversos modelos de optimización, a partir de datos como son la inversión total de capital, los costes de explotación, los beneficios unitarios, etc.
La elección de una ley de corte en un yacimiento gobierna directamente la cantidad de mineral recuperable que contiene, el ratio estéril/mineral y la ley media de este último. La distribución de las leyes dentro de los depósitos marcan la relación entre la ley media que resulta para cada ley de corte y, por consiguiente, el grado de vulnerabilidad económica en unas condiciones dadas.
Viabilidad económica de los yacimientos en función de las leyes, las reservas de mineral y los ritmos de producción. (RECNY, 1981).
El cálculo de la curva de tonelaje ley es fundamental, por cuanto nos permite visualizar la distribución del tonelaje con respecto a la ley de corte que se utilice, dando la oportunidad además de obtener fácilmente la ley media de este.
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1. Depósitos con distribución de ley normal Los yacimientos que presentan este tipo de distribución son generalmente los de tipo sedimentario: hierro, fosfato, bauxita, carbón, etc. En la figura se han representado las curvas que indican la relación entre la diferencia de la ley media de las reservas y la ley de corte (eje de ordenadas) con la ley de corte (eje de abscisas) para depósitos con distribución de ley normal, en volúmenes equivalentes a unidades de selectividad minera.
Relaciones entre ley de corte y ley media para depósitos con una distribución normal. (RENCY, 1981)
Como en la citada figura, la separación entre la ley media de las reservas y la ley de corte aumenta conforme disminuye esta última. Esto es debido a la forma de las distribuciones en el área de interés geológico-minero de estos depósitos que, como se ha indicado, suele encontrarse por debajo de la ley media global. El gradiente de crecimiento de esa diferencia está afectado por el denominado coeficiente de variación "C", que mide la variabilidad de la mineralización en el depósito, esto es la dispersión de la distribución relativa d e leyes con respecto a la media.
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2. Depósitos con distribución de ley lognormal Muchos depósitos presentan grandes reservas en las leyes bajas y relativamente pocas en las altas. Depósitos de este tipo pueden considerarse que son, los pórfidos cupríferos, los de molibdeno, las areniscas uraníferas, los depósitos filonianos de oro y plata y los de sulfuros masivos, entre otros.
La figura muestra, para una serie de depósitos con distribución lognormal, la relación entre la diferencia de ley media de las reservas y ley de corte con la ley de corte. El área de interés geológico-minero se encuentra, generalmente, por encima de la mediana, y para muchos depósitos por encima de la ley media global
Relaciones entre ley de corte y ley media para depósitos con distribución lognormal de leyes. (RENCY, 1981)
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Debido a la forma de las distribuciones en el área de interés geológico-minero para este tipo de yacimientos (donde "C" es mayor que 1) la ley le y media de las reservas totales está por encima de la ley de corte y cae más rápidamente que esta última. Este hecho es contrario al que sucede con las distribuciones normales.
En los yacimientos con distribución lognormal, se producen proporcionalmente grandes aumentos de las reservas para pequeñas disminuciones de la ley de corte.
Teniendo los datos de las reservas del yacimiento se puede trazar una curva de tonelaje vs ley de corte y ley media. Esto se logra a través del inventariado de reservas del yacimiento que se encuentran bajo una ley de corte determinada y calculando la ley media de todos los recursos cuya ley es superior o igual a esa ley de corte, obteniéndose dos curvas en un mismo gráfico, como en el siguiente ejemplo:
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En la figura figura anterior se puede apreciar que para una ley de corte de 0,32% de cobre existen aproximadamente de 54.000.000 de toneladas de mineral con una ley media de 0,39% de cobre. El mismo tratamiento se deberá realizar a las fases de explotación una vez definido el rajo final. De esta forma se obtendrán las curvas correspondientes a las reservas mineras involucradas, como en el siguiente ejemplo:
Si consideramos una alimentación a planta de 80.000 toneladas al día (360 días al año), con un 90 % de recuperación metalúrgica y junto con la curva tonelaje v/s ley obtenidas, se puede observar la variación de los recursos explotables (minables) como se ilustra en los siguientes ejemplos:
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Como podemos observar la forma forma de la curva tonelaje v/s ley nos determina la sensibilidad de nuestro yacimiento respecto a la variación de la ley de corte, ya que su pendiente determina la cantidad de recursos que quedan fuera de la explotación al producirse una variación de la ley de corte.
Manejo de la información gráfica.
En este caso se tiene que la faena está trabajando a un ritmo de Tcop toneladas al día de mineral con una ley de envío a planta de Lcop. Es decir todo el mineral que está siendo sacado de la mina con una ley menor de que Lcop y mayor que Lcc está siendo enviado a un acopio especial para dicho mineral, ya que no es estéril y solo se envía a planta lo que tenga ley superior o igual a Lcop.
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Supongamos ahora que se amplía la capacidad de la planta y se requiere enviar más mineral a proceso. El gráfico quedaría de la siguiente manera:
En este caso la mina enviará mineral con la nueva Ley L (que será la ley de envío a planta), ya que ésta aumentó su capacidad. Si observamos en la fórmula de la ley de corte óptima propuesta por Lane, cuando cu ando la planta limita la operación, vemos ve mos que al aumentar la capacidad de la planta, necesariamente bajará la ley de corte óptima, lo que se cumple en este caso. La mina enviará mineral a la planta que antes a ntes se dirigía a acopios de mineral y todo el mineral con leyes le yes entre Lcc y L se enviará a estos acopios.
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En este caso la mina no necesariamente enviará mineral con la nueva Ley L, ya que ésta ley está bajo la ley de corte crítica, y a pesar de que la planta aumentó su capacidad, no podemos enviar estéril a proceso. Si observamos bien existe una ley Lcv la cual representa la ley de un material que si bien salió de la mina como estéril permite pagar sus costos variables (proceso), por lo cual si es enviado a planta generará un beneficio extra a la explotación. Por esto sólo será enviado a planta el mineral que tenga una ley sobre la ley de corte crítica más el estéril que tenga ley suficiente como para pagar su proceso. Si la planta aún queda con una capacidad ociosa tendríamos que pensar en comprar mineral para copar su capacidad o seleccionar mineral de otros sectores (botaderos) o simplemente dejarla con esta capacidad ociosa, pero no podemos pensar en enviar a la planta material estéril que no pague su proceso.
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• Definición de fases de la explotación explotación
Las fases de explotación se pueden visualizar v isualizar en las siguientes figuras: Las fases se pueden definir si se varía el precio del producto dentro de la expresión de la relación E/M vs ley media, lo que generará los siguientes límites:
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CONCLUSIONES El conocimiento de la ley media de un yacimiento, y el tonelaje asociado a dicha ley media, puede ser de gran interés, toda vez que permita construir una curva en la que se relacione directamente estos dos parámetros. Estos cálculos suelen ser muy importantes y necesarios y, de hecho, siempre se llevan a cabo en las estimaciones de viabilidad económica de un proyecto minero. La ley de corte es la concentración mínima que debe tener un elemento en un yacimiento para ser económicamente explotable, es decir, la concentración que hace posible pagar los costes de su extracción, su tratamiento y su comercialización. Es un factor que depende a su vez de otros factores, que pueden no tener nada que ver con la naturaleza del yacimiento, como, por ejemplo, su proximidad o lejanía a vías de transporte, avances tecnológicos en la extracción, entre otros. El cálculo de la curva de tonelaje vs ley es fundamental, por cuanto nos permite visualizar la distribución del tonelaje con respecto a la ley. Las curvas son herramientas alternativas al histograma para visualizar la distribución de los valores de una variable.
BIBLIOGRAFIA M. Alfaro: Introducción a la Teoría de las Funciones Aleatorias. Depto. De Ingeniería en Minas, USACH, 2005. M. Alfaro: Curso de Probabilidades. Departamento de Ingeniería Matemática, U. de Chile, 2007. H. Cramer: Métodos Matemáticos de Estadística. Aguilar, Madrid, 1955. A. Journel y Mining Geostatistics. Academic Academic Press, 1978. J. P Chilés y Geostatistics, Modeling Spatial Uncertainty. Wiley, 2000.
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