92 183
Perf Pe rforació oración n de relleno para Estim Estimar ar Re Reservas servas 10 1.0 0.1 0.01 0.001 0.0001 Au ppm
60 50 40 30 20 10 0 ERR %
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184
Prácti rácticas cas en en Repo Report rte es Técnico - Económic conómicos os
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93 185
Buenas Práctic Prácticas as en en los l os Reportes:
Describir el estilo estilo
Incluir protocolos de muestreo, preparación de las muestras y métodos de análisis.
Indicar la densidad del muestreo y su distribución.
Describir claramente los métodos de estimación de Recursos y Reservas.
Indicar cómo afecta afecta la variación de cut-offs cut-offs en la estimación de Recursos y Reservas.
Describir claramente los estudios técnico-económicos técnico-económicos que sustentan la conversión de Recursos en Reservas.
la naturaleza de la mineralización. mineralización.
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186
Buenas Prácti Prácti cas:
Indicar el tratamiento tratamiento de altos erráticos y mostrar cómo afectan afectan las estimaciones de Recursos/Reservas.
Los reportes de Reservas deberán deberán estar acompañados acompañados de pruebas pruebas de recuperación metalúrgica; así como de los precios de los metales y sus tendencias tendencias de de variación. variación.
Se debe especificar especificar los factores de dilución. dilución.
Especificar los factores o ratios de “stripping” o soterramiento. soterramiento.
Referirse a las Reservas Reservas y Recursos como estimaciones no como cálculos.
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94 187
Discusión
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188
Bolsa de Valores de Lima (BVL):
Para la BVL existen cinco categorías aceptadas de mineral: • Reserva Probada. • Reserva Probable. • Recurso Medido. • Recurso Indicado. • Recurso Inferido.
Las Personas Calificadas que realizan la estimación o que la refrendan, deben reunir las siguientes características: • Ingeniero de Minas o Ingeniero Geólogo, registrado y habilitado, es decir miembro activo del Colegio de Ingenieros del Perú (CIP). • Mínimo de cinco años de experiencia en el tipo de yacimiento o mina.
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95 189
Fuentes principales de los errores de Esti mación:
V
La Estimación de Recursos se basa en análisis de muestras ue re resentan tan sólo un diferencial de volumen comparados con los volúmenes de dv los paneles o bloques de estimación. La cuantificación adecuada de este y otros errores; así como del riesgo y la incertidumbre, sólo es posible con el apoyo de la Geoestadística. La calidad de la data. Cuidado al mezclar manzanas con naranjas. Desde el inicio de la exploración se debe: • Monitorear la desviación de los taladros. • a la Geometalurgia). • Establecer mediciones sistemáticas de la densidad. Los sistemas de QA/QC deben ser principalmente enfocados al muestreo primario, fuente principal de los errores.
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190
Los errores del muestreo: ESTRUCTURA GENERAL DE LOS ERRORES DE MUESTREO % Error relativo
Actividad
Muestreo
100 a 1,000
Transporte y almacenamiento
1 a 100
Preparación reducción
10 a 100
mecánica,
Preparación química (digestión y disolución)
5 a 20
Análisis químico
0.1 a 5
Sesgo %
Fase
1000
50
0.1 a 1
Compilado a partir de: Gy (1999:10); Gy & Francois Bongarson (1999) y Paski (2006)
Muestreo primario
Muestreo secundario Análisis químico
Según: Gy (1999:10)
Tomado de Canch aya (2010) MSc. Samuel Canchaya Moya -
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96 191
Modelo Geológic o de bloques Tomado de Canchaya (2009)
Este
Norte
Cota
% Zn
Alt
Lit
655600
8834567
4509
0.52
4
12
655675
8835772
4484
1.23
4
12
655750
8836977
4459
2.01
4
12
655825
8838182
4434
0.56
4
12
655900
8839387
4409
1.08
2
12
655975
8840592
4384
3.45
2
12
656050
8841797
4359
0.87
4
13
Litología, Tipo de alterac., , Ag.
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192
Modelo Geológic o de bloques Tomado de Canchaya (2009)
Base de datos tr adicion al Este
Norte
Cota
% Zn
Alt
Lit
655600
8834567
4509
0.52
4
12
655675
8835772
4484
1.23
4
12
655750
8836977
4459
2.01
4
12
655825
8838182
4434
0.56
4
12
655900
8839387
4409
1.08
2
12
655975
8840592
4384
3.45
2
12
656050
8841797
4359
0.87
4
13
Litología, RQD, Tipo de alterac., %Zn, g/t Ag, MPa, %ARCs , %sid, granulom. , %Rec., etc.
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97 193
Modelo Geo-metalúr gico de bloques Tomado de Canchaya (2009) Base de datos tr adicional Este
Norte
Cota
655600
8834567
4509
% Zn
Alt
0.52
Lit
4
12
. 655750
8836977
4459
2.01
4
12
655825
8838182
4434
0.56
4
12
655900
8839387
4409
1.08
2
12
655975
8840592
4384
3.45
2
12
656050
8841797
4359
0.87
4
13
Litología, RQD, Ti po de alterac., %Zn, g/t Ag, MPa, %ARCs, %sid, granulom., % Rec., etc.
Base de datos Geometalúrgic a Este
Norte
Cota
% Zn
Alt
Lit
MPa
.
%ARCs
%sid
.
.
RQD
%Rec .
655675
8835772
4484
1.23
4
12
56
2.3
2.33
35
72.2
655750
8836977
4459
2.01
4
12
124
7.6
1.02
56
82.0
655825
8838182
4434
0.56
4
12
156
0.6
0.98
87
83.5
655900
8839387
4409
1.08
2
12
250
0.5
0.33
78
85.6
655975
8840592
4384
3.45
2
12
200
2.3
0.45
67
83.1
656050
8841797
4359
0.87
4
13
49
0.25
2.25
80
84.9
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194
Referencias bibliográficas
Can ch ay a S. (2008) El Modelo Geometalúrgico.- XIV Congreso Peruano de Geología y XIII Congreso Latinoamericano de Geolo ía 29Set-3Oct Lima 6 .
Canchaya S. (2010) QA/QC ¿Realidad o fantasía?.- XV Congreso Peruano de Geología; 27Set-1Oct Cuzco, 4p.
Mc Kay B. & Lamber t I. & Mis kelly N. (2008) International Harmonization of Classification and Reporting of Mineral Resources.- AusIMM Bull.; 12p.
USBM/USGS (1980) Principles of a Resource/Reserve Classification for Minerals.- U.S. Geol. Survey Circular 831; 8p.
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98 195
Coeficientes de similitud más frecuentes
al cuadrado
Distancia euclidiana
n
Distancia
−
(Xik - X jk)2
k 1
dij =
n
2
k =1
Distancia Euclidiana estandarizada StEd ij
=
n
∑ k =1
euclidiana normalizada
∑= n
=
CTd ij
Donde: sdk es la desviación estándar de todos los elementos de k
2 ⎡ ( X ik − X jk ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ k sd ⎦⎥
n
∑
jk ⎥ ⎢ X ik − X ⎢ SS i SS j ⎦⎥ k =1 ⎣
2
on e:
SS x =
n
∑= ( X ) xk
2
x 1 n
MMd ij
Distancia métrica Manhattan
= ∑ X ik − X jk k =1
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196
…más parámetro s de similitud
Distancia promedio
n ⎜ X ik − X jk ⎞⎟ ⎟ ⎜∑ k =1 ⎠ Ad ij = ⎝
r ij =
Coeficiente de correlación lineal
Distancia chicuadrado
2
CSd ij
=
n
∑= k 1
n
cov ij si s j
( X ik − X jk ) 2 n
∑= X lk l 1
n
∑= X − X ik
Distancia diferencia de carácter medio
MCDd ij
=
jk
k 1
n n
Distancia CHORD
SEd ij
= ∑ ( X ik − X jk ) 2 k =1
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99 197
Tipos o formas de agrupamiento Métodos de partición.- Particiones matemáticas son ubicadas en regiones dispersas subdividiendo el espacio de la variable en clases discretas. No es muy usado porque se aplica iterativamente y por ello consume mucho tiempo de procesamiento.
Mét od os d el o ri gen ar bi tr ar io.- Se establecen previamente un grupo de puntos arbitrarios de partida que vienen a ser los centroides, a partir de ellos se generan los “clusters” y se reca cu an os respec vos expan os.
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197
198
…Tipos o formas de agrupamiento Pro ced im ien to s d e s im il ar id ad m ut ua.- Se parte de una matriz n x n entre todos los pares; luego se re-calcula en forma iterativa la similaridad entre la columnas .
jer árq ui co .- Junta las observaciones más símiles y luego las conecta a las siguientes similares y así sucesivamente. Se parte de una matriz de similitudes n x n de todas las variables; luego se recalcula matrices con las más altas similitudes y así sucesivamente hasta llegar a una matriz 2 x 2. Es el más empleado en Geología y Paleontología (Taxonomía numérica). Ag ru pam ien to
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100 199
Principales formas de enlace entre Grupos o “ Clusters”
Enlace simple.- Se conecta grupos en base la más alta similitud entre objetos y decreciendo. Este método tiene la desventaja que los objetos que se asocian al final tienen mayor influencia que los que se asocian al inicio.
Promedio no pesado o “ centroide” .- Corrige lo anterior ponderando cada cluster en forma proporcional al su número de objetos.
.. Los grupos son combinados iterativamente de manera que en cada paso se minimice la suma de los cuadrados entre los grupos . Es el de más amplio uso.
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199
200
Dendograma paso a paso
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200
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101 201
Matriz de similitudes
Vamos a usar el método mas difundido: El de agrupamiento jerárquico.
Se
parte de una matriz de similitudes n x n con todos los pares de observaciones seleccionados .
Luego
se extrae de dicha matriz los pares con las mas altas similitudes y se re-calcula una nueva matriz promediando las similitudes de las observaciones restantes.
Se
repite el procedimiento anterior hasta que la matriz de similitud se reduzca a una de 2 x 2.
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201
202
… Matriz de simili tud
Partimos
de una matriz: n x m m muestras analizadas
por n elementos). Luego
se calcula el parámetro de similitud: en este
caso vamos a usar el coeficiente de correlación entre cada par de elementos n. Los
resultados se constituyen en una matriz n x n
denominada Matriz de Similitud.
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202
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102 203
Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma
Cu Pb H g As Mo Zn
1.00 0.07 0.38 0.78 -0.06 0.32
0.07 1.00 0.23 -0.08 0.14 -0.11
0.38 -0.78 -0.06 0.32 0.23 0.14 0.08 -0.11 1.00 0.21 -0.42 -0.16 0.21 1.00 0.14 0.20 0.42 -0.14 1.00 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00
As Zn Pb Hg Mo 1.0
0.5
0.0
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204
Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu Pb H g As Mo Zn
Cu Pb 1.00 0.07 0.07 1.00 0.38 0.23 0.78 -0.08 -0.06 0.14 0.32 -0.11
Hg As Mo Zn 0.38 -0.78 -0.06 0.32 0.23 0.14 0.08 -0.11 1.00 0.21 0.42 -0.16 0.21 1.00 -1.00 0.20 0.42 -0.14 0.14 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00
Cu/As Pb Cu/As Pb Zn Hg/Mo
1.00 -0.11 0.26 0.20
Zn Hg/Mo
-0.11 0.26 1.00 -0.11 -0.11 1.00 0.27 -0.11
Cu As Zn Pb Hg Mo 1.0
0.5
0.0
0.20 0.27 -0.11 1.00 (0.07+0.14)/2 = -0.11
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103 205
Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu Pb H g As Mo Zn
Cu 1.00 0.07 0.38 0.78 -0.06 0.32
Pb 0.07 1.00 0.23 -0.08 0.14 -0.11
Hg As Mo Zn 0.38 -0.78 -0.06 0.32 0.23 0.14 0.08 -0.11 1.00 0.21 -0.42 -0.16 0.21 1.00 0.14 0.20 0.42 -0.14 1.00 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00
Cu/As Pb Cu/As Pb Zn Hg/Mo
Cu As Pb Hg Mo 1.0
Zn Hg/Mo
0.5
0.0
1.00 -0.11 0.26 0.20 -0.11 1.00 -0.11 0.27 0.26 -0.11 1.00 -0.11 0.20 0.27 -0.11 1.00 (0.07+0.14)/2 = -0.11
(0.16+0.06)/2 = -0.11
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206
Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu Pb H g As Mo Zn
Cu 1.00 0.07 0.38 0.78 -0.06 0.32
Pb 0.07 1.00 0.23 -0.08 0.14 -0.11
Hg As Mo Zn 0.38 -0.78 -0.06 0.32 0.23 0.14 0.08 -0.11 1.00 0.21 -0.42 -0.16 0.21 1.00 0.14 0.20 0.42 -0.14 1.00 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00
Cu/As Pb . Pb -0.11 Zn 0.26 Hg/Mo 0.20
Zn Hg/Mo
Cu As n Pb Hg Mo 1.0
- . . . 1.00 -0.11 0.27 -0.11 1.00 -0.11 0.27 -0.11 1.00 (0.07+0.14)/2 = -0.11
0.5
0.0
(0.32+0.20)/2 = 0.26 (0.16+0.06)/2 = -0.11
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104 207
Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu H g As Mo Zn
Cu Pb 1.00 0.07 . . 0.38 0.23 0.78 -0.08 -0.06 0.14 0.32 -0.11
Hg As Mo Zn 0.38 -0.78 -0.06 0.32 . . - . 0.14 1.00 0.21 -0.42 -0.16 0.21 1.00 0.14 0.20 0.42 -0.14 1.00 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00
Cu/As Pb Cu As Pb Zn Hg/Mo
1.00 -0.11 0.26 0.20
Cu As Zn Pb Hg Mo 1.0
Zn Hg/Mo
-0.11 0.26 1.00 -0.11 -0.11 1.00 0.27 -0.11
0.5
0.20 0.27 -0.11 1.00
(0.21+0.14)/2 = 0.18
(0.07+0.14)/2 = -0.11
(0.16+0.06)/2 = -0.11
0.0
0.40/2
(0.38+0.06)/2 = 0.22 (0.32+0.20)/2 = 0.26
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208
Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu Pb Hg Mo Zn
Cu 1.00 0.07 0.38 . -0.06 0.32
Pb Hg As 0.07 0.38 0.78 1.00 0.23 -0.14 0.23 1.00 0.21 - . . . 0.08 0.42 -0.14 -0.11 -0.16 0.20
Cu/As
Pb
Mo Zn -0.06 0.32 0.08 -0.11 0.42 -0.16 - . . 1.00 -0.06 -0.06 1.00
Zn H g/Mo
Cu/As 1.00 -0.11 0.26 Pb -0.11 1.00 -0.11 n . - . . Hg/Mo 0.20 0.27 -0.11
Cu As Zn Pb Hg Mo 1.0
0.20 0.27 - . 1.00 (0.07+0.14)/2 = -0.11
Cu/As/Zn
Hg/Mo/Pb
Cu/As/Zn
1.00
-0.11
Hg/Mo/Pb
-0.11
1.00
0.5
0.0
0.40/2 0.38+0.06 /2 = 0.22
(0.21+0.14)/2 = 0.18
(0.32+0.20)/2 = 0.26 (0.16+0.06)/2 = -0.11
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105 209
Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu Pb H g As Zn
Cu 1.00 0.07 0.38 0.78 - . 0.32
Pb 0.07 1.00 0.23 -0.08 . -0.11
Hg As 0.38 0.78 0.23 -0.21 1.00 0.14 0.21 1.00 . - . -0.16 0.20
Cu/As Pb Cu/As 1.00 Pb -0.11 Zn 0.26 Hg/Mo 0.20
Mo Zn -0.06 0.32 0.08 -0.11 -0.42 -0.16 0.14 0.20 . - . -0.06 1.00
Cu As Zn Pb Mo 1.0
Zn Hg/Mo
-0.11 0.26 1.00 -0.11 -0.11 1.00 0.27 -0.11
0.20 0.27 -0.11 1.00
0.0
0.40/2 (0.38+0.06)/2 = 0.22 (0.21+0.14)/2 = 0.18
(0.32+0.20)/2 = 0.26
(0.07+0.14)/2 = -0.11
Cu/As/Zn
0.5
(0.16+0.06)/2 = -0.11
Hg/Mo/Pb
Cu/As/Zn
1.00
-0.11
Hg/Mo/Pb
-0.11
1.00
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210
Otro ejemplo: Análisis modal granulométrico de una grauwaca Muestra
Poros
Cuarzo
Fragmentos Feldespato líticos
A
0.24
1.78
0.69
3.32
B
0.48
2.07
2.41
4.78
C
0.76
4.05
1.20
3.21
D
0.23
2.98
0.85
2.06
E
0.04
3.33
3.39
2.63
F
1.98
0.98
2.01
2.02
Análisis modal realizado en secciones delgadas con microscopio óptico
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106 211
Otro ejemplo: Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma A
B
C
0.911 0.767
D
E
0.704
0.440
-0.107 0.168 -0.719
D
0.665
-0.767
C
1.00
-0.388
B
-0.388
1.00
A
1.00
B
0.911
1.00
C
0.767
0.539
0.539 0.499 0.570 1.00 0.991 0.587
D
0.704
0.499
0.991
1.00
E
0.440
0.570
0.587
0.665
F
-0.107
0.168 -0.719 -0.767
F
F E
A .
.
- .
.
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212
Otro ejemplo: Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma A
B
C
D
A
1.00 0.911 0.767
B
.
1.00
E
0.704
F
F
0.440 -0.107
E
C
0.767
0.539
0.539 0.499 0.570 0.168 1.00 0.991 0.587 -0.719
D
0.704
0.499
0.991
1.00
-0.767
C
E
0.440
0.570
0.587
0.665 0.665 1.00
-0.388
B
F
-0.107
1.00
A
0.168 -0.719 -0.767 -0.388
AB
CD
E
F
AB
1.00 . 0.394 .
0.505 .
0.031 .
CD
0.394
1.00
0.626
-0.743
E
0.505
0.626
1.00
-0.388
F
0.031 -0.743 -0.388
1.00
D
0.5
1.0
.
.
0.0
-0.5
= .
(0.719+0.767)/2 = -0.743
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107
Otro ejemplo: Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma A
B
C
D
E
F
0.911 0.767
0.704
0.440
-0.107
0.570
F
A
1.00
B
0.911
1.00
0.539
0.499
C
0.767
0.539
1.00
0.991 0.587
0.168 -0.719
D
0.704
0.499 0.991
1.00
0.665
-0.767
C
E
0.440
0.570
0.665
1.00
-0.388
B
F
-0.107
0.168
-0.388
1.00
0.587
-0.719 -0.767
CD
AB
E
AB
1.00
CD
0.394 1.00 .
AB
.
0.0
-0.5
(0.719+0.767)/2 = -0.743
1.00 F
0.450 0.031
CDE 0.450 F
0.5
(0.587+0.665)/2 = 0.626
- .
CDE
1.00
A
0.626 -0.743
.
AB
D
1.0
0.031
0.031 -0.743 -0.388
F
E
F
0.394 0.505
213
0.031
1.00
-0.566
-0.566
1.00
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Otro ejemplo: Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma A
B
C
D
E
F
0.911 0 .76 7
0.7 04
0.4 40
-0.107
0.499
0.570
0.168
0.991 0.587
-0.719
D
F
A
1.00
B
0.911
1.00
0.539
C
0.767
0.539
1.00
D
0.704
0.499 0.991
1.00
0.665
-0.767
C
E
0.440
0.570
0.587
0.665
1.00
-0.388
B
F
-0.107
0.168
-0.719
-0.767
-0.388
1.00
CD
AB
E
AB
1.00
CD
0.394 1.00 .
F
1.0
0.031
.
0. 5
0.0
-0.5
(0.587+0.665)/2 = 0.626
- .
-0.743 -0.388 AB
A
0.626 -0.743
.
0.031
E
F
0.394 0.505
214
CDE
(0.719+0.767)/2 = -0.743
1.00 F
AB
1.00
0.450 0.031
CDE
0.450
1.00
-0.566
F
0.031
-0.566
1.00
ABCDE ABCDE F
1.00
F -0.268
-0.268 1.00
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108 215
Resumen del proc edimiento
Hemos utilizado el coeficiente de correlación lineal similitud.
Se parte de una matriz de similitudes n x n con todos los pares de observaciones seleccionados .
Luego se extrae de dicha matriz los pares con las mas altas similitudes las cuales se enlazan primero; luego similitudes de las observaciones restantes.
Se repite el procedimiento anterior hasta que la matriz de similitud se reduzca a una de 2 x 2.
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216
Secciones Longitudinales Contorneadas Estructurales
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109 217
Más ejemplos de Análisis de Grupos
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218
Sistemas estructurales frecuentes
Torsión de una estructur a
caballo
Sistema “ pull apart”
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110 219
Ejemplos de: SLC de contornos estructurales
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219
220
Ejemplos de engrosamiento de estr ucturas
Tomado de Muñoz & Fontbote (1995) MSc. Samuel Canchaya Moya -
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111 221
SLC de % Zn
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222
SLC Especiales
Cabos (1974) MSc. Samuel Canchaya Moya -
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112 223
SLC Especiales
Lacy (1947): Vetas Mina Casapalca MSc. Samuel Canchaya Moya -
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224
Análisis Discriminante
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113 225
Análisis discriminante
Prácticamente es lo contrario de agrupar o formar clusters. on e an s s scr m nan e se ra a e separar grupos de datos en sub-grupos, en base a una adecuada disposición relativa de sus principales características, previamente conocidas.
De
lo que se trata es de encontrar un eje a lo largo del cual los dos sub-grupos de datos se llegan a separar lo m s c aramen e pos e.
A
lo largo de dicho eje se plotea, no sólo las medias de cada sub-grupo; sino además el índice de discriminación: R0
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226
Ejemplo de análisi s discrimi nante: Grupo A Ar enas de la a
φ 0.333 0.340 0.338 0.333 0.323 0.327 0.329 0.331 0.336 0.333
Grupo B Ar enas mar adentro
CS 1.08 1.08 1.09 1.10 1.13 1.12 1.13 1.13 1.12 1.14
φ 0.339 0.346 0.350 0.352 0.341 0.347 0.337 0.343 0.340 0.346
CS 1.12 1.12 1.12 1.13 1.15 1.15 1.16 1.16 1.17 1.17
CS: Coeficiente de clasificación
φ : Diámetro promedio de los granos
Vista parcial de la data usada en el ejemplo MSc. Samuel Canchaya Moya -
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114 227
Diagrama esquemático mos trando proyecciones de sobre lapamiento y discriminación Se muestra gráficamente las nubes de correlación de dos sub-grupos A y B que en sus proyecciones en los ejes Y y X se sobrelapan; mientras que en un eje “diagonal” se DISCRIMINAN bastante en. La línea de proyección se denomina: línea de la función discriminante.
227
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228
Representación gráfica Gráfico de discriminación 0.355
Zona
0.350
bsands
o n 0.345 a r g 0.340 e d o 0.335 ñ a 0.330 m a T 0.325
Osands
0.320
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
Coef de selecc
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115 229
Representación gráfica Gráfico de discriminación 0.355
Zona
0.350
bsands
o n 0.345 a r g 0.340 e d o 0.335 ñ a 0.330 m a T 0.325
Osands
0.320
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
Coef de selecc
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Representación gráfica Gráfico de discriminación 0.355
Zona
0.350
bsands
o n 0.345 a r g 0.340 e d o 0.335 ñ a 0.330 m a T 0.325
Osands
0.320
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
Coef de selecc
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Representaci ón gráfica Gráfico de discriminación 0.355
Zona
0.350
bsands
o n 0.345 a r g 0.340 e d o 0.335 ñ a 0.330 m a T 0.325
Osands
0.320
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
Coef de selecc
R A = - 346.64; RB = - 357.81; Ro = - 352.22 MSc. Samuel Canchaya Moya -
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