GEODESIA- TEORIA

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GEODESIA 1. FUNDAMENTOS DE GEODESIA 1.1 Definición Geodesia, palabra derivada de la voz griega gêodaisia (geo, tierra; daien, dividir) de manera literal significa “dividir dividir la tierra ”.  Así, como un primer objetivo, obj etivo, la práctica de la geodesia geodes ia debería suministrar un marco de referencia referen cia preciso para el control de levantamientos nacionales topográficos. El concepto básico de Geodesia fue formulado en el siglo XIX, como “la ciencia de la medición y representación de la superficie de la tierra ”.

2.1

Principales propósitos de la Geodesia

Por consiguiente, los principales propósitos de la Geodesia han sido resumidos en los siguientes:    

Establecimiento y mantenimiento de redes de control geodésico tridimensionales, nacionales y globales, reconociendo el tiempo como aspecto variante en dichas redes. Medición y representación de fenómenos geodinámicos tales como movimiento polar, mareas terrestres, y movimientos de corteza. Determinación del campo de gravedad terrestre, incluyendo las variaciones temporales. Determinación de parámetros, similar a los geodésicos, para otros cuerpos del sistema solar.

2. Las formas de la Tierra Para cumplir con los objetivos planteados es necesario definir las formas de la Tierra, las cuales pueden tener varias interpretaciones, de acuerdo a la superficie que se tome para definirla. La superficie más aparente para nosotros, es la superficie topográfica , con sus valles, montañas y otras formas terrestres continentales y oceánicas, con diferencias de +/- 10.000 metros. Las formas topográficas son representadas regionalmente mediante proyecciones planas determinadas, responsabilidad de la cartografía, en las que las alturas son visualizadas mediante curvas de nivel o modelos digitales de elevaciones, y la planimetría, proyectada a una superficie plana.

Forma topográfica de la Tierra

Forma matemática de la Tierra

Para resolver numerosas tareas prácticas de la Geodesia es necesaria la determinación de las coordenadas de puntos aislados sobre la superficie terrestre en el sistema de referencia seleccionado. Pero esta superficie topográfica es sumamente compleja, por lo que emplearla en la solución matemática de los problemas geodésicos resulta imposible, por ello se representa a la superficie de la Tierra como un elipsoide de revolución , expresada con una sencilla ecuación matemática, donde la resolución de los problemas geodésicos no ofrece dificultades.

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Un elipsoide de revolución es la superficie generada por una elipse rotando alrededor de su eje menor y esta es la forma matemática de representar a la Tierra. Los parámetros que definen un elipsoide son el semieje mayor o semieje ecuatorial ecuatorial (a), yel achatamiento (f ), ), una relación entre los semiejes a y b (semieje menor).

f = (a  – b)/ a En Geodesia, los cálculos de precisión se llevan a cabo utilizando un elipsoide, pero muchas de las mediciones sobre la superficie terrestre no se refieren a la superficie matemática sino que están referidas a la superficie física de la Tierra denominada geoide.

El geoide  es aquella superficie hacia lacual tienden a conformarse las aguas de losocéanos y su prolongación por debajo de loscontinentes; en este caso, es la superficie a lacual las aguas de los océanos tenderían aadaptar sus formas si pudieran fluir por debajode los continentes, donde las características delterreno, tales como montañas, valles, etc.,ejercen fuerzas de gravedad que a su vezafectan las formas de esta superficie.En pocas palabras, el geoide es la formareal o física de la Tierra y corresponde a unasuperficie en la que el potencial de la gravedaden cada uno de sus puntos es constante, esdecir que es una superficie equipotencial ydonde el vector gravedad (dirección de laplomada) es perpendicular al geoide en losinfinitos puntos que definen su forma.

Forma física de la Tierra Como el elipsoide es una superficieregular y el geoide una superficie irregular, esclaro que las dos superficies no coincidirán.Estas superficies pueden cortarse, formando un ángulo entre sí, que es el mismo ángulo formado entre laperpendicular al elipsoide, denominada normal, y la perpendicular al geoide, denominada vertical dellugar , que es la dirección de la plomada de un instrumento de medición como un teodolito, estación totalo nivel. Este ángulo es conocido como desviación relativa de la vertical , se la denomina relativa,porque como veremos más adelante dependerá del elipsoide seleccionado y de la determinación deldatum u origen de referencia.

La separación entre elgeoide y el elipsoide se denominaondulaciones del geoide ( N ), oalturas del geoide y muestran elgrado elgrado o medida en q ue el elipsoidecoincide elipsoidecoincide con el geoide y estodepende estodepende del elipsoide adoptado y de la ubicación u origen de estaforma matemática.En resumen, las formas dela Tierra dependen del tipo desuperficie que se trata de describir, y se distinguen tres formasdiferentes:

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- La superficie topográfica, conlas montañas, quebradas, valles yfondo de los océanos y con diferencias en su superficie del orden de +/- 10.000 m. - La superficie matemática, que es la de un elipsoide de revolución escogido para representar las verdaderas dimensiones y forma de la Tierra, y adoptada como la más conveniente para los cálculos matemáticos. - La superficie física o geoide , a la cual están referidas las mediciones hechas sobre la superficie de la Tierra con instrumentos que utilizan nivel de burbuja, representando idealmente el nivel medio de los mares y su prolongación por debajo de los continentes, con ondulaciones en todo el mundo del orden de +/- 100 m. La condición ideal es que el elipsoide posea la mayor proximidad a la figura de la Tierra en su conjunto y más aún respecto de la forma física. Este elipsoide lo podemos denominar Elipsoide Global de la Tierra y tendrá que cumplir con las siguientes condiciones (Figura):

  

El centro del elipsoide debe coincidir con elcentro de gravedad de la Tierra (CGT). El plano ecuatorial elipsódico debe coincidircon el plano del ecuador terrestre. Debe ser mínima la suma de los cuadrados delas diferencias de altura del geoide respecto dela superficie del elipsoide seleccionado.

El elipsoide que cumple con las trescondiciones conforma un Sistema Mundial deReferencia o Sistema Geodésico Global, donde las condiciones indicadas expresan exigenciasrespecto a la forma y dimensiones del elipsoideterrestre y de su orientación respecto de la Tierra.Es por ello que una preocupación permanente delos geodestas fue y es, la realización demediciones geodésicas en toda la superficie de laTierra y en la actualidad la observación de distintos tipos de satélites, para así determinar los parámetrosdel elipsoide que mejor se adapte a la forma física de la Tierra. Las distancias entre la superficie de los distintos elipsoides determinados y el geoide puedenalcanzar unos centenares de metros y entre dichos elipsoides y la superficie terrestre hasta miles demetros. Por ello, las mediciones realizadas sobre la superficie terrestre deben ser proyectadas sobre elelipsoide y luego pueden ser sometidas a un procesamiento matemático.Dependiendo del sistema de referencia adoptado, la superficie del elipsoide puede estar, para undeterminado lugar de la Tierra, por encima (-N) o debajo (+N), del geoide o nivel medio del mar (nmm),separación denominada ondulación del geoide o separación geoide-elipsoide, como se puede observaren la Figura . En el caso de los países de América del Sur, incluido Bolivia, varios sistemas geodésicos dereferencia y elipsoides se han empleado, lo que originaba que existieran datos geodésicos en distintossistemas de referencia y distintos elipsoides, los cuales van a coexistir por muchos años más y seránecesario poder identificar, cuando se emplea información geográfica, a que sistema geodésico estáreferida.

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 Analizaremos má s adelante los Sistemas Geodésicos de Referencia locales y globales,especialmente los empleados en Bolivia, teniendo en cuenta que desde 1956 hasta principio de ladécada del 90, los levantamientos geodésicos estaban referidos al denominado Provisional SudAmerican Datum 1956  –  PSAD56 (Sistema Provisional Sudamericano de 1956), que tenía asociadocomo forma matemática el Elipsoide Internacional de 1924, y desde principios de los 90 hasta nuestrosdías se ha adoptado el denominado WorldGeodeticSystem 1984 –  WGS84 (Sistema GeodésicoMundial de 1984) con el elipsoide del mismo nombre.

El Elipsoide de Revolución  Antes de analizar los sistemas de referencia empleados en Bol ivia, nos referiremos a conceptosbásicos de Geodesia Geométrica, es decir a los conceptos necesarios sobre el estudio geométrico delelipsoide de revolución y de los métodos matemáticos que se emplean para resolver los problemasgeodésicos de puntos, distancias, ángulos y áreas que son medidas sobre la superficie terrestre y eltratamiento matemático necesario sobre la superficie del elipsoide adoptado.

1. Parámetros del Elipsoide En Geodesia Geométrica, los resultados de las mediciones u observaciones que se realizansobre la superficie terrestre se proyectan sobre la superficie del elipsoide y sobre ella se realizan loscálculos, para determinar coordenadas de puntos en distintos sistemas, distancias, ángulos, áreas, etc. Se mencionó que el elipsoide de revolución es la figura matemática que mejor se aproxima ala forma física de la Tierra y que tiene una ecuación matemática sencilla y es la superficie generada poruna elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría, en este caso el eje menor. En algunabibliografía se le da el nombre de esferoide y podemos considerarlos sinónimos. La forma y dimensiones de los elipsoides fue perfeccionándose gracias a las mediciones yobservaciones obtenidas mediante satélites artificiales, estableciéndose de esta manera modelos quemás se aproximan a la forma física de la Tierra, y en base a los nuevos datos disponibles se establecióuno que ha cobrado notoriedad ya que es el aplicado en el sistema GPS, como mencionamosanteriormente, conocido como WGS84, con parámetros muy similares al denominado GRS80, al que seajusta el sistema geodésico empleado en América denominado SIRGAS y al que se vinculan las redesgeodésicas actualmente empleadas en Bolivia (Red MARGEN).

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En la Tabla 2.1 se muestran los parámetros de algunos de los elipsoides empleados a nivel mundial y los dos que nos interesan en el país.

2. Red de meridianos y paralelos Una forma de poder determinar la posición de un punto sobre la superficie terrestre, y por lo tantoen su proyección sobre el elipsoide o la esfera, es a través del diseño de una red de líneas imaginarias,perpendiculares entre sí, denominadas meridianos y paralelos y que permiten la ubicación inequívoca deun punto sobre la superficie terrestre, a continuación los definimos, conformándose en conceptos muyimportantes para el estudio del elipsoide terrestre.

2.1 Meridianos Los meridianos son infinitas líneas imaginarias que se determinan por la intersección de infinitosplanos, que contienen al eje de rotación de la Tierra, con la esfera o elipsoide, según la superficie adoptada. Si consideramos a la Tierra como una esfera, todos los meridianos son circunferencias máximasiguales, y si la superficie adoptada es un elipsoide de revolución, los meridianos son elipses iguales, desemieje mayor a y semieje menor b. Como todos los meridianos son iguales, fue necesario definir uno a partir del cual se iniciaran lasdeterminaciones de las longitudes, es así como se definió en 1884 que el Meridiano de Origen, seconsideraba el que pasaba por el observatorio astronómico de Greenwich, en los suburbios de Londres yque une ambos Polos. La línea opuesta a este meridiano que continúa para cerrar la circunferenciameridiana (en el caso de una esfera) o la elipse meridiana (en el caso de un elipsoide) se denominaAntimeridiano de Greenwich. Dependiendo del elipsoide adoptado y del sistema de referencia, podemos decir que el meridianode origen pasa “aproximadamente” por el observatorio de Greenwich y no coincidirá exactamente en cada uno de los sistemas geodésicos de referencia, sean estos locales como globales, por ello lo de“aproximadamente”.

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En la Figura 2.4 apreciamos el meridiano de origen del Sistema WGS84 y la ubicación del observatorio de Greenwich, distante aproximadamente 100 m del meridiano de origen de este sistema geodésico global.

El meridiano de Greenwich sirve de meridiano de origen y es a partir de él que se miden las longitudes, en grados, y se corresponde con la longitud cero (

= 0º), por lo que también se denomina meridiano cero o primer meridiano. Las longitudes

se miden a partir del meridiano de origen hacia el este (E), con signo positivo hasta el antemeridano de Greenwich ( = 180º) y hacia el Oeste (O - W) con signo negativo. En alguna bibliografía se puede encontrar como “meridanos de longitud” y también considerar la latitud de 0º a 360º, medido hacia el este El Meridiano de Origen divide a la Tierra en dos hemisferios, Hemisferio Este u Oriental y Hemisferio Oeste u Occidental.

2.2 Paralelos Los paralelos son infinitas líneas imaginarias determinadas por la intersección de infinitos planos, perpendiculares al eje de rotación, con la superficie matemática considerada, sea esta una esfera o un elipsoide, (Figura 2.6).

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Considerando a la Tierra esférica o elipsoidal, los paralelos son circunferencias, desde una de radio máximo denominado Ecuador Elipsódico (radio a para el elipsoide), disminuyendo hacia los polos hasta llegar a un punto. El Ecuador Elipsódico divide a laTierra en dos hemisferios, denominadosNorte y Sur, y es el origen para ladeterminación de las latitudes,asignándosele el valor de = 0º,creciendo hasta los polos con un valor de = 90º, estableciéndose por norma,positivo en el hemisferio Norte (N) ynegativo en el hemisferio Sur (S). Enalguna bibliografía se lo puede encontrarcomo “paralelos de latitud”.En la Figura 2.7 apreciamos la redde paralelos y meridianos con los valoresde latitud y longitud.

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3. Sistemas de Coordenadas Geodésicas En Geodesia se emplean generalmente dos sistemas de coordenadas para indicar la ubicación deun punto, sea que se encuentre sobre la superficie terrestre como sobre el elipsoide:



Coordenadas Geodésicas Curvilíneas



Coordenadas Cartesianas Espaciales.

3.1 Coordenadas Geodésicas Curvilíneas Este sistema de coordenadas es el tradicionalmente empleado y está referido al elipsoideseleccionado. En algunos casos son denominadas también coordenadas geográficas, fundamentalmentecuando se refieren a la Tierra como una esfera.Un punto A sobre la superficie terrestre, se identifica inequívocamente por sus tres coordenadas,como se aprecia en la Figura 2.9:

- Latitud ( ):  ángulo comprendido entre la normal al elipsoide que pasa por el punto en la superficieterrestre y el plano del ecuador episódico. Se mide desde 0o en el ecuador a 90o en los polos, considerándose positivo (ó N) en el hemisferio norte y negativo (ó S) en el hemisferio sur, en loscálculos matemáticos debe ser introducido el signo.

- Longitud ( ):  Es el ángulo diedro cuya arista es el eje de rotación del elipsoide y cuyos planos son elsemiplano meridiano origen y el semiplano meridiano que pasa por el punto considerado. Se mide de0o a 180o considerándose positivo hacia el este (ó E) del meridiano de origen y negativo (u O/W) haciael Oeste del referido meridiano, teniendo en cuenta que en los cálculos matemáticos debe serintroducido el signo correspondiente. En alguna bibliografía se lo puede encontrar que se mide de 0ºa 360º desde el meridiano origen hacia el Este.

- Altura elipsoidal (h):  es la distancia que existe entre el punto, en la superficie terrestre (A) y suproyección sobre el elipsoide (A´), medido sobre la normal al elipsoide que pasa por el punto en lasuperficie terrestre.

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Observando con detenimiento en la Figura 2.9, vemos que la normal a la superficie del elipsoideque pasa por un punto en la superficie terrestre es una recta perpendicular al elipsoide que no pasa porel centro del elipsoide, salvo que sea un punto del ecuador episódico o de los polos. Cuanto menor es lalatitud geodésica (en valor absoluto), más próximo al centro del elipsoide pasará la recta normal. Cuando se considera otro punto, es necesario referirse a la dirección determinada por ambospuntos y es denominado Azimut Geodésico (Az) de la dirección considerada, en la Figura 2.9 ladirección A´B. El azimut geodésico se define como el ángulo diedro cuya arista es la normal al puntoconsiderado como origen de la dirección (por ejemplo el puntos A) y cuyos semiplanos son el semiplanomeridiano que contiene al punto origen de la dirección y el semiplano normal que contiene a la direcciónconsiderada (dirección hacia el punto B), se mide desde el meridiano, dirección norte y hacia la derecha(sentido de las agujas del reloj). En algunos países del hemisferio sur, se lo mide desde la dirección surdel meridiano, siguiendo también el sentido de las agujas del reloj. La diferencia de un azimut medidodesde el norte o desde el sur es de180º.Hay que destacar que la diferencia entre un Azimut Directo y un Azimut Inverso en Topografía essiempre +/- 180º pero en Geodesia no siempre es así, sino que aparece el concepto de convergencia demeridianos como se puede apreciar en la Figura 2.10, posteriormente analizaremos esta diferencia.

3.2 Coordenadas Cartesianas Espaciales Otra forma de determinar la posición de un punto en la superficie terrestre es por suscoordenadas cartesianas espaciales. En este tipo de coordenadas se considera el origen del sistema enel centro del elipsoide, el eje Z coincide con el eje de rotación, el eje X se encuentra en el planomeridiano origen y el plano del ecuador episódico y por lo tanto a 90o del eje Z y el eje Y a 90o del eje Z yel eje X.

En la Figura 2.13 se observa el punto A sobre la superficie terrestre, el punto A1 que es laproyección de A en la interseción de la normal con el elipsoide, a una distancia h (altura elipsoidal), elpunto A y su proyección A1 queda determinado por las coordenadas geodésicas  (latitud) y (longitud). También el Punto A queda determinado por el vector posición RA respecto del centro del elipsoide, cuyastres componentes son XA,YA, ZA.

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Las coordenadas cartesianas del punto A respecto del elipsoide quedan determinadas por elvector posición R A, cuyas componentes son:

X A = (N + h) cos Acos A Y A = (N + h) cos Asen A Z A = (N (1 - e2) + h) sen  A Donde: N = a/(1 - e 2 sen2 A )1/2 e2 = (a2 - b2) / a2

N: Radio de curvatura de la sección normal del Primer Vertical (distancia entre la superficie del elipsoidey el eje menor), que de acuerdo a su fórmula es función del elipsoide seleccionado y la latitud del puntoconsiderado)

e2: Primera excentricidad a: Semieje mayor del elipsoide b: Semieje menor del elipsoide h: Altura elipsoidal del punto A Como podemos apreciar las coordenadas cartesianas están en función de las coordenadas geodésicas y del elipsoide seleccionado. Por lo tanto serán distintas si el elipsoide es el Internacional oWGS84.

Este tipo de sistema de coordenadas comenzó a emplearse más habitualmente con la puesta enfuncionamiento del sistema de posicionamiento GPS, ya que la ubicación de los satélites se determina enbase a las coordenadas cartesianas espaciales, donde el sistema es geocéntrico, es decir que el origense encuentra en el centro de masas de la Tierra, y las coordenadas de los puntos sobre la superficieterrestre, o en el espacio (es el caso de la ubicación de los satélites en sus órbitas, o de un avión).

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En este sistema también es necesario determinar los parámetros del elipsoide, sea el Internacional o máshabitualmente el WGS84, comenzando en esta época la denominada Geodesia Tridimensional. Es cada vez más normal su utilización en algunos trabajos de topografía, fundamentalmente enlevantamientos de control, en la comparación de resultados de mensuras GPS para determinar distanciasy su verificación con estación total, donde los puntos se encuentran próximos entre sí y en el mejor de los casos intervisibles, donde la distancia entre dos puntos en el espacio determinada con GPS es ladistancia inclinada entre los dos puntos que se puede medir con estación total.

4. Transformación de coordenadas entre sistemas 4.1 Coordenadas Geodésicas Curvilíneas aCartesianas Ortogonales Espaciales Las fórmulas de transformación decoordenadas Geodésicas Curvilíneas aCartesianas Ortogonales Espaciales seobtienen reemplazando directamente losvalores de las coordenadas del punto:

-

Latitud  (phi)

-

Longitud  (lambda)

-

 Altura elipsoidal h

En las fórmulas indicadas anteriormente: X = (N + h) cos cos  Y = (N + h) cos sen Z = [N (1 - e 2) + h] sen Previamente hay que determinar sobrequé elipsoide se realizarán los cálculos, sea elInternacional o WGS84, para así determinar los parámetros del elipsoide: - Semieje mayor: a - Semieje menor: b - Achatamiento f = (a – b) / a - Primera excentricidad e2 = (a2 – b2)/ a2 Calculando el radio de curvatura del primer vertical: N = a/(1 - e2 sen21/2

4.2 Coordenadas Cartesianas Ortogonales a Geodésicas Curvilíneas Para realizar esta transformación hay dos métodos de cálculo: Por Iteración Por fórmulas cerradas

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4.2.1 Por Iteración Como podemos ver en las fórmulas de las Coordenadas Cartesianas Ortogonales, las trescomponentes X, Y, y Z son función de la latitud, incluyendo N que también lo es, por lo tanto la soluciónes hacer unas 3 o 4 iteraciones de la latitud hasta que la diferencia con el resultado anterior es menorque la precisión que se requiere. El procedimiento es el siguiente:

 = arctan (Y / X)

1-

Se obtiene la longitud

2-

Se obtiene el valor de p = (X2 + Y2)1/2

3-

Se obtiene el valor inicial de la latitud

4-

Con el valor obtenido de 0 se obtiene N0 = a/(1 - e 2 sen2

5-

Se realiza la 1ra iteración y se obtiene 1 con la siguiente ecuación,

0 = arctan [(Z / p (1  – e2)] 0 1/2

1 = arctan [(Z + N 0 e2sen 0)/ p] 6-

Se obtiene la diferencia entre 1 - 0 y se compara con la precisión requerida para los datos.

7-

Si es mayor se vuelven a repetir los pasos 4 a 6 hasta que la diferencia entre dos valores sucesivos es menor que la precisión requerida, es decir se realizan n iteraciones.

8-

Se obtiene la altura elipsoidal h con la siguiente ecuación:

h = (p / cos n ) – Nn-1 4.2.2 Por fórmulas cerradas  Algunos autores han determinado ecuaciones cerradas, las cuales dan los resultados buscadossin tener que hacer las iteraciones indicadas. Heikkinen en 1982 propuso las siguientes fórmulas .Para obtener la longitud del punto

= arctan (Y / X) Para la obtención de la latitud  se emplean las siguientes fórmulas:

P = (X2 + Y2)1/2 F = 54 b 2 Z2 E2= a2 - b2 G = P2 + Z2 (1 – e2) – e2E2 C = e4 F P2/ G3 S = (1 + C + ( C 2+ 2C)1/2)1/3 R = F / 3 (S + 1/S + 1) 2 G2 Q = ( 1 + 2 e 4 R) ½ T = - [R e2P/(1 + Q)] + {[ (a 2/2)(1 + 1/Q) ]  – [R Z2 (1 – e2)/ Q(1 + Q)]  – (R P2/2)} 1/2 U = [(P - e2T)2 + Z2] ½ V = [(P - e2T)2 + (1  – e2) Z2] ½ M = b 2Z / a V La latitud  = arctan ((Z + M e -2)/ P) h = U((1-(b2/ a V))

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PROYECCION UTM (Universal Transversa de Mercator) y COORDENADAS UTM Es otro sistema de coordenadas muy comunmente usado,el cual generalmente es encontrado en Cartografía Temática deInvestigación, Gubernamental y Particular, etc. Este tipo de coordenadas son mas fáciles de usar(Unidades en metros) que las Geográficas (Longitud y Latituden grados). El Sistema de Coordenadas UTM Secciona el Globo enpequeñas divisiones, estas secciones son llamadas ZONASexisten 60 zonas que cubren la tierra y van de los 84° Norte y los80° Sur ( Este sistema de coordenadas no toma en cuenta lospolos) y parten del meridiano 180° en dirección Este-Oeste. Las coordenadas UTM, además de tener comoorigen global al Meridiano 180º en sentido Este-Oeste, tienen al plano el Ecuador en el sentidoNorte-Sur. Las coordenadas UTM son: X, Ysimilares a un sistema cartesiano común, por loque son ortogonales. Las distancias, en cualquier dirección, se miden enmetros. En el Sistema UTM, una posición es descrita por 3 elementos: 1. La ZONA a la que pertenece 2. La coordenada en el eje de las X´s 3. La coordenada en el eje de las Y´s

La Coordenada X. Se midea partir del Meridiano Central(M.C.) de cada zona UTM, alcual se le asigna el valor de500,000. hacia el Este del M.C., ala distancia medida a partir dedicho meridiano, se le suman500,000, y hacia el Oeste, a ladistancia medida a partir dedicho meridiano, se le resta el valor500,000. Por lo que hacia el Este delM.C., los valores de X son mayores a 500,000, y hacia el Oeste del M.C.,los valores son menores a 500,000. Esto quiere decir que hay 60 sitios enla Tierra, que tienen coordenadas XUTM similares, uno por cada zona.

La Coordenada Y. Se mide en metros a partir del Ecuador hacia el Norte, se mide de forma directa a partir de 0.,hacia el Sur, el valor origen en el Ecuador es 10,000,000 y se le va restado. La Zona UTM. La usamos para diferenciar a que sitio de esos 60 nos referimos, es imprescindible indicar a que zona UTM pertenece el punto a ubicar, ya que hay 60 sitios en la Tierra, que tienen coordenadas X y Y UTM similares, uno por cada zona.

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5.1 CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Partimos en primer lugar de las coordenadas geográficas-geodésicas de un punto con el que haremos el ejemplo. Los datos de este vértice están en principio en geodésicas sobre el elipsoide de Hayford (también llamado Internacional de 1909 o Internacional de 1924). Dichas coordenadas son las siguientes:

También vamos a necesitar los datos básicos de la geometría del elipsoide de Hayford. Cuando digo datos básicos me refiero al semieje mayor (a) y al semieje menor (b). A partir de estos datos, aprenderemos a deducir otros parámetros de la geometría del elipsoide que nos harán falta en el proceso de conversión de coordenadas. Así, los datos referentes a los semiejes del elipsoide Hayford son:

Cálculos previos: Sobre la Geometría del Elipsoide:

 Aprovechamos para calcular también el cuadrado de la segunda excentricidad, pues nos hará falta en muchos pasos posteriores:

Seguimos con el radio polar de curvatura y el aplanamiento:

Lo primero que hacemos es convertir los grados sexagesimales (grados, minutos y segundos) a grados sexagesimales expresados en notación decimal (lo que se suele denominar normalmente "grados decimales"). Para ello operamos de la siguiente forma:

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Una vez que tenemos la longitud y la latitud en grados decimales, procedemos a su paso a radianes, pues la mayor parte de los pasos posteriores se realizarán con entrada de datos en radianes. Operamos para ello de la forma:

El siguiente paso es calcular el signo de la longitud. Para ello el proceso lógico es muy sencillo:

Sobre el Huso:

El siguiente paso es obtener el meridiano central del huso en el que caen las coordenadas geodésicas sobre las que operamos. La operación es muy sencilla:

 Ahora calculamos la distancia angular que existe entre la longitud del punto con el que operamos y el meridiano central del huso (véase la figura anterior). Es muy importante señalar que ambos datos tienen que ser introducidos en radianes. La longitud ya la habíamos traducido a radianes antes, pero no así el valor del meridiano central que acabamos de calcular. Para convertirlo a radianes multiplicamos por Pi  y dividimos por 180:

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Ecuaciones de Coticchia-Surace para el Problema Directo (Paso de Geográficas a UTM). Cálculo de Parámetros:

 A continuación debemos calcular una serie de parámetros que van encadenados unos a otros y que son el núcleo de las ecuaciones de Coticchia-Surace. Son muchas operaciones pero vereis que el proceso es muy rutinario y fácilmente programable:

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Cálculo Final de Coordenadas:

Una vez disponemos de todos los parámetros anteriores calculados, procedemos a la solución de las coordenadas UTM finales, de la forma:

Para el caso de la solución de Y es muy importante recordar que si la latitud de las coordenadas

geodésicas con las que operamos pertenece al hemisferio sur deberemos sumar el valor 10.000.000

al resultado obtenido. Como en el caso del ejemplo estamos operando con latitudes al norte del Ecuador, no realizamos tal operación:

CONVERSIÓN DE UTM A GEOGRÁFICAS (PROBLEMA INVERSO). Para realizar el procedimiento inverso, partimos de las coordenadas UTM del punto, con el que estamos trabajando. Dichas coordenadas UTM siguen estando sobre el elipsoide de Hayford y son las siguientes:

Vemos que las coordenadas de partida difieren muy ligeramente en los decimales de centímetro de los valores calculados anteriormente. Estas pequeñas diferencias, son normales en el proceso de cálculo, puesto que las ecuaciones de Coticchia-Surace no son sino una aproximación muy fidedigna a la solución real de la proyección UTM. Estas variaciones son mínimas para la mayor parte de las aplicaciones, pues ya dijimos que utilizando suficientes números decimales se puede llegar a conseguir precisiones entorno al centímetro en la conversión. Iniciamos el proceso de conversión recurriendo de nuevo a los datos básicos de la geometría del elipsoide de Hayford (semieje mayor y semieje menor):

Procedemos con las siguientes etapas:

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Cálculos previos: Sobre la Geometría del Elipsoide:

Calculamos la excentricidad, la segunda excentricidad, el radio polar de curvatura y el aplanamiento:

 Aprovechamos para calcular también el cuadrado de la segunda excentricidad, pues nos hará falta en muchos pasos posteriores:

Seguimos con el radio polar de curvatura y el aplanamiento:

Como ya dijimos anteriormente, el aplanamiento y la excentricidad (la primera excentridad) no son necesarios para la aplicación de las ecuaciones de Coticchia-Surace. 2.1.2. Tratamiento Previo de X e Y:

Empezamos eliminando el retranqueo del eje de las X, que se realiza en todos los casos:

Para las Y, la eliminación del retranqueo es selectiva y sólo se realiza en el caso de que estemos operando con coordenadas UTM correspondientes al hemisferio sur. Por tanto:

Como en el caso del ejemplo operamos con coordenadas del hemisferio norte, Y no se modifica y sigue valiendo lo mismo.Cálculo del Meridiano Central del Huso: Debemos conocer el huso UTM (o Zona UTM) al que pertenecen las coordenadas a convertir, como otro parámetro más involucrado en la conversión. El modo de operación para el cálculo del meridiano central del huso es igual que en el problema directo:

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Ecuaciones de Coticchia-Surace para el Problema Inverso (paso de UTM a Geográficas). Cálculo de Parámetros:

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Cálculo Final de Coordenadas:

La composición de la longitud es muy sencilla. El único cuidado que hay que poner es que la operación ha de ser realizada en grados decimales, por lo que delta lambda ha de ser dividida por Pi   y multiplicada por 180. Lambda sub cero  ya está en grados decimales, por lo que no hace falta tocarla. La longitud se obtiene de la forma:

La composición de la latitud es un poco más complicada:

 Ahora nos queda pasar a grados decimales la latitud, que la tenemos en radianes:

Una vez que tenemos la longitud y la latitud en grados sexagesimales en notación decimal, lo que nos queda es pasar el resultado a grados, minutos y segundos sexagesimales: