GEODESIA GEOMÉTRICA PARTE I
Escrito en Inglés por Richard H. Rapp (Abril 1991) Revisado y Traducido al Español por Oscar A. Cifuentes
[email protected] (Enero 2001)
OBSERVATORIO GEODESICO INTEGRADO TRANSPORTABLE – TIGO INSTITUTO GEOGRAFICO MILITAR Concepción - Chile Agosto 2002
ii
PREFACIO
En consideración a que, a partir del siglo XVIII, la forma precisa de la Tierra fue reconocida como un elipsoide de revolución, el posicionamiento geodésico sobre la superficie de la Tierra ha venido efectuándose mediante mediciones que son idealmente reducidas a un elipsoide para análisis adicional a través de los ajustes de datos. Por lo tanto, es importante entender las propiedades básicas del elipsoide y las curvas sobre su superficie, las cuales son pertinentes a los cálculos geodésicos. La información aquí proporcionada es la base de un curso consistente en cuarenta lecciones de geodesia geométrica, dictado en la Universidad Estatal de Ohio (OSU), Estados Unidos de Norteamérica. En el desarrollo del curso no todo el material puede ser cubierto, excepto citándolo como referencia. El desarrollo de las herramientas matemáticas para el análisis de la geometría del elipsoide con propósitos geodésicos ha sido utilizado durante varios siglos. Estos apuntes toman ventaja de las derivaciones previas del material. Aunque uno podría pensar que todo lo que se necesita ya ha sido derivado, es una idea falsa. Hoy día, nuevas técnicas continúan publicándose para mejorar eficientemente los cálculos y la precisión. Tales antecedentes han sido incluidos en el texto, cuando es apropiado. Estas notas son una traducción del texto Geometric Geodesy, Part I, desarrollado por el profesor Dr. Richard H. Rapp en sus clases en la OSU, desde 1975. La Escuela Cartográfica de Defensa del Servicio Geodésico Interamericano tiene una traducción al Español del texto original fechada en junio de 1988. Desgraciadamente al término de esta versión se obtuvo una copia de ese material, por tal motivo no se consideró y se publica esta nueva edición. En esta traducción se ha complementado el texto original con definiciones y notas que se espera contribuyan a mejorar la comprensión de la materia. El propósito para efectuar este trabajo no fue otro que poner al alcance de los estudiantes de geodesia, geomensura, cartografía y especialidades relacionadas, de habla hispana, el material que el traductor desarrolló durante sus estudios de postgrado en ciencias de la geodesia en la OSU. El traductor agradece al profesor R. H. Rapp la gentileza de permitir la difusión de este material y al profesor Kennet Brace del National Imagery and Maping Agency por enviar una copia de la versión traducida en Junio de 1988. También se agradece a la Señorita Lucía Álvarez G. del Instituto Geográfico Militar, quién llevó al computador gran parte del texto y fórmulas.
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INDICE DE CONTENIDO
LISTADO DE FIGURAS...............................................................................................vii 1 INTRODUCCIÓN............................................................................................ 1 1.1
Definiciones y Clasificación de la Geodesia ..........................................................1
1.2
Geodesia y Otras Disciplinas..................................................................................2
1.3
Bases Teóricas de la Geodesia................................................................................3
1.4
Historia de la Geodesia...........................................................................................3
2 PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS ÚTILES.............................................. 8 2.1
Series de Taylor y Maclaurin.................................................................................8
2.2
Las Series Binomiales .............................................................................................9
2.3
Inversión de Series ................................................................................................10
2.4
Resumen de Expansiones Trigonométricas ........................................................11
2.5
Fórmulas de Ángulo Múltiple ..............................................................................12
3
PROPIEDADES DEL ELIPSOIDE .............................................................. 15
3.1
Introducción .........................................................................................................15
3.2
Coordenadas Geodésicas ......................................................................................19
3.3
La Elipse Meridiana .............................................................................................20
3.4
Relaciones entre las Diferentes Latitudes ...........................................................27
3.5
Radios de Curvatura del Elipsoide......................................................................30
3.5.1
Radio de Curvatura en el Meridiano ..............................................................31
3.5.2
Radio de Curvatura en el Primer Vertical .....................................................35
3.5.3
Radio de Curvatura de la Sección Normal en el Acimut α...........................39
3.6
Extensión de un Arco de Meridiano....................................................................39
3.7
Extensión de un Arco de Paralelo........................................................................44
iv
3.8
Cálculo de Áreas en la Superficie del Elipsoide .................................................45
3.9 Radio de Aproximación Esférica de la Tierra o Radio Medio de la Tierra como si ésta fuese una Esfera.........................................................................................47 3.9.1
Radio Medio Gaussiano....................................................................................48
3.9.2 Radio de una Esfera que tenga el Promedio de los Tres Semiejes del Elipsoide ..........................................................................................................................49 3.9.3
Radio Esférico de la Esfera con igual Área que el Elipsoide ........................49
3.9.4
Radio de una Esfera con igual Volumen que el Elipsoide.............................49
3.10 Coordenadas Rectangulares Espaciales..............................................................51 3.11 Una Forma Alterna para la Ecuación del Elipsoide ..........................................52 4 CURVAS EN LA SUPERFICIE DEL ELIPSOIDE ........................................ 54 4.1
Secciones Normales...............................................................................................54
4.1.1
Introducción ......................................................................................................54
4.1.2
Separación entre Secciones Normales Recíprocas .........................................56
4.1.3
Separación Lineal de Secciones Normales Recíprocas ..................................61
4.1.4
Separación Acimutal de una Sección Normal Recíproca..............................63
4.1.5
El Arco Elíptico de una Sección Normal.........................................................65
4.1.6
Corrección del Acimut debido a la Altura del Punto Observado.................67
4.1.7
El Ángulo de Declinación de la Cuerda ..........................................................70
4.1.8
La Sección Normal y la Magnitud de la Cuerda............................................71
4.1.9
La Sección Normal en un Sistema de Coordenadas Local............................73
4.2
La Curva Geodésica..............................................................................................77
4.2.1
Coordenadas Locales x, y, z en Términos de la Geodésica............................85
4.2.2
Longitud de un Arco Diferencial de una Geodésica Rotada.........................88
4.2.3
Relación entre la Geodésica y la Longitud de la Cuerda ..............................89
4.2.4
Comparación de la Geodésica con la Sección Normal...................................90
v
4.2.5
Diferencia de Longitud entre la Sección Normal y la Geodésica..................93
4.3
El Gran Arco Elíptico y la Curva de Alineación................................................95
4.4
Reducción Geométrica de Observaciones de Dirección o Acimut....................96
5 SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Y ELIPSOIDALES ................ 97 5.1
Exceso Esférico......................................................................................................97
5.2
Solución del Triángulo Esférico por el Teorema de Legendre .........................98
5.3
Solución de Triángulos Esféricos por Aditamentos.........................................103
6 CÁLCULO DE LAS COORDENADAS GEODÉSICAS (SOLUCIONES DEL TRIÁNGULO POLAR ELIPSOIDAL) ............................ 106 6.1
Introducción ........................................................................................................106
6.2
Desarrollo de Series en Potencias de s (Legendre)...........................................107
6.2.1
El Problema Directo .......................................................................................107
6.2.2
La Solución Inversa ........................................................................................113
6.3
Las Fórmulas de Puissant ..................................................................................114
6.3.1
El Problema Directo .......................................................................................114
6.3.2
El Problema Inverso .......................................................................................121
6.4
Las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss....................................................122
6.5
Las Fórmulas de Bowring ..................................................................................126
6.6
El Método de la Cuerda......................................................................................128
6.6.1
El Problema Inverso .......................................................................................128
6.6.2
El Problema Directo .......................................................................................129
6.7
Exactitud de los Métodos Directo e Inverso para Líneas de Longitud Mediana 132
6.3
El Problema Inverso para las Coordenadas Rectangulares Espaciales.........133
7 INFORMACIÓN ASTROGEODÉSICA ....................................................... 140 7.1
Coordenadas Astronómicas ...............................................................................140
vi
7.2
Comparación de Cantidades Angulares Astronómicas y Geodésicas............143
7.2.1
Corrección de Direcciones por Efectos de la Deflexión de la Vertical .......150
7.2.2
Ecuación Extendida de Laplace.....................................................................151
7.3
Ondulación Astrogeodésica del Geoide.............................................................152
7.4
Reducción de Distancias Medidas al Elipsoide ................................................156
8 FÓRMULAS DIFERENCIALES DEL PRIMER Y SEGUNDO TIPO........... 161 8.1
Fórmulas Diferenciales del Primer Tipo...........................................................161
8.2
Fórmulas Diferenciales del Segundo Tipo ........................................................170
9 ECUACIONES DE OBSERVACIÓN PARA TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN CALCULADAS EN EL ELIPSOIDE .................................. 174 9.1
Relaciones Entre Distancia y Direcciones.........................................................174
9.2
Las Ecuaciones de Observación.........................................................................178
9.3
La Ecuación de Observación de Acimut de Laplace .......................................179
9.4
Formas de Ecuaciones de Observación Alternas .............................................180
10
DATUM GEODÉSICOS Y ELIPSOIDES DE REFERENCIA .................. 182
10.1 Desarrollo de los Datums....................................................................................182 10.2 Transformación de Datum .................................................................................183 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................... 186
vii
LISTADO DE FIGURAS
1.1
Geometría de la Medición de Eratóstenes
4
1.2
La Forma de la Tierra según las Antiguas Mediciones Francesas
6
1.3
Elipse Achatada en los Polos
7
1.4
Relación entre Elipsoide, Terreno y Geoide
8
3.1
La Elipse Básica
17
3.2
Notación para la Elipse
18
3.3
Sistema de Coordenadas para el Elipsoide
22
3.4
Elipse Meridiana
23
3.5
Latitud Reducida
24
3.6
Latitud Geocéntrica
24
3.7
Interpretación Geométrica de W y V
29
3.8
Porción de un Arco de Meridiano
38
3.9
Radios de Curvatura de Meridianos Ecuatorial y Polar
40
3.10 Radio de Curvatura del Primer Vertical
41
3.11 Geometría para el uso del Teorema de Meusnier
42
3.12 Deducción Geométrica de N(A)
43
3.13 Deducción Geométrica de N(B)
44
3.14 Extensión del Arco de un Paralelo
51
3.15 Elemento de Área en el Elipsoide
52
3.16 Geometría de un Punto Localizado Fuera de una Elipse Meridiana
59
3.17 Sistema Local de Coordenadas en el Elipsoide
61
4.1
Determinación de la Distancia OnA
64
4.2
Un Triángulo de Sección Normal
65
4.3 Ángulo entre las Secciones Normales Recíprocas en la Cuerda que las Conecta
66
4.4
Geometría de la Sección Normal
67
4.5
Una Aproximación Para el Arco Esférico σ
70
4.6
Geometría de la Separación Lineal de la Sección Normal
71
4.7
Separación Lineal
72
4.8
Separación Acimutal de la Sección Normal
74
4.9
El Arco Elíptico de una Sección Normal
76
viii
4.10 El Elemento Diferencial en el Arco Elíptico
77
4.11 Efecto Acimutal para un Punto Elevado sobre el Elipsoide
78
4.12 Triángulo Pequeño para la Determinación del Efecto de Altura
79
4.13 El Ángulo de Declinación de la Cuerda
82
4.14 Sistemas de Coordenadas Local y Rectangular Espacial
85
4.15 El Sistema de Coordenadas Local
86
4.16 Traslado del Origen de los Ejes X, Y, Z al Punto A
87
4.17 Secciones Normales Entre Puntos Cercanos
90
4.17a La Geodésica entre Dos Secciones Normales
91
4.18 Una Geodésica y una Sección Normal en un Elipsoide Exageradamente Achatado (f = 1/3)
91
4.19 Una Figura Diferencial en el Elipsoide
92
4.20 La Geodésica en una Forma Continua
98
4.21 Vista de una Geodésica Continua desde el Polo Norte Mostrando Cruces Consecutivos en el Ecuador
99
4.22 La Superficie Elipsoidal Conteniendo un Elemento Diferencial de Elipsoide
100
4.23 La Geodésica Localizada entre Dos Secciones Normales
105
4.24 Determinación de la Diferencial Acimutal entre una Sección Normal y una Geodésica
106
4.25 Relación Diferencial entre Longitudes de Secciones Normales y Geodésicas
108
4.26 La Curva de Alineación
111
5.1
Triángulos Esférico y Plano
114
5.2
Triángulos para el Método de Aditamento
121
6.1
El Triángulo Polar Elipsoidal
123
6.2
Aproximación de Puissant para Determinar la Latitud
132
6.3
Aproximación de Puissant para Determinar la Longitud
136
6.4 Triángulos Polares Resueltos Mediante las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss
140
6.5
Determinación Aproximada del Ángulo de Declinación
150
6.6
Sección de Meridiano Mostrando un Punto sobre el Elipsoide
154
6.7
Elipse Meridiana para la Derivación de Bowring
156
6.8
Geometría para la Determinación de h
158
7.1
Cantidades Astronómicas Medidas
164
ix
7.2
La Esfera Celeste Mostrando Cantidades Astronómicas y Geodésicas
166
7.3
Determinación de las Distancias Cenitales
172
7.4 Ubicación del Geoide con Respecto al Elipsoide de Referencia de un Datum Específico
173
7.5
Perfil Geoidal Astrogeodésico con Acimut α
174
7.6
Grilla Astrogeodésica
177
7.9
Reducción de la Línea Base (después de Heiskanen y Moritz, 1967)
180
7.10 Reducción de Distancias de Cuerda al Elipsoide
183
8.1
Efecto Diferencial de una Extensión Longitudinal
186
8.2
Efecto Diferencial de un Cambio de Acimut
189
8.3
Cambio del Retro-Acimut Debido a dα12
190
8.4
Detalle de los Efectos del Cambio de Retro-Acimut
191
9.1
Movimientos Diferenciales de los Puntos Extremos de la Línea
201
10.1 Tabla: Parámetros Elipsoidales
210
10.2 Sistema Satelital (S) y Datum (D) con Ejes Paralelos
211
10.2 Tabla: Parámetros de Transformación de Sistema Geodésico Local a WGS84
213
1
1
INTRODUCCIÓN
La producción de mapas envuelve la determinación espacial de elementos sobre la superficie de la Tierra y la transformación de sus posiciones en un plano. Las posiciones geográficas son especificadas mediante coordenadas geodésicas. Para establecer un sistema de coordenadas geodésicas debemos primero conocer la forma y tamaño de la Tierra. La Tierra es una figura geométrica muy suave. Para nosotros la Tierra parece muy accidentada, pero aún los más altos montes y fosas oceánicas son casi imperceptibles en comparación con la suave curvatura superficial. Para comprobarlo imaginemos la Tierra como una esfera de 1 m en diámetro. El Monte Everest podría sobresalir como un abultamiento de 1,25 mm de altura y la Fosa Mariana se vería como un rasguño de 1,73 mm de profundidad. Desde el advenimiento de la era espacial, con el lanzamiento del primer satélite Sputnik, se ha generado un incremento en la demanda del conocimiento preciso de los sistemas de referencia geodésicos, como base para la determinación de coordenadas tanto en la superficie de la Tierra como en el espacio. Del mismo modo, las agencias nacionales deben proveer las redes geodésicas nacionales con la más alta precisión para cubrir las aplicaciones de posicionamiento, navegación y proyectos de diferente orden que requieren de relaciones espaciales. Los geodestas son los encargados de satisfacer estas necesidades, y para ello utilizan metodologías rigurosas de medición y de análisis de resultados. En el presente texto se vierten las bases teóricas del pilar fundamental de la geodesia, la geodesia geométrica.
1.1
Definiciones y Clasificación de la Geodesia
Siguiendo la definición clásica de Helmert (1887), “Geodesia es la ciencia que estudia el tamaño, figura y campo gravitacional de la Tierra” La palabra geodesia viene del griego, literalmente significa “dividir de la tierra”, y como primer objetivo la práctica de la geodesia debería proveer un marco preciso para el control de las mediciones topográficas nacionales. Por ello geodesia es la ciencia que determina el tamaño y la forma de la Tierra y las relaciones de puntos seleccionados sobre la superficie de ella mediante el uso de técnicas directas o indirectas. Estas características hacen de esta ciencia una rama de las matemáticas aplicadas, la que debe incluir observaciones que puedan ser usadas para determinar el tamaño y forma de la Tierra y la definición de sistemas de coordenadas para posicionamiento en 3D; la variación de fenómenos cercanos a o sobre la superficie, tales como gravedad, mareas, rotación de la Tierra, movimientos de la corteza y deflexión de la línea de plomada; en conjunto con unidades de medida y métodos de representación de la superficie de una Tierra curvada sobre una hoja de papel plano. (Smith, 1997) Una definición mas contemporanea para geodesia es “Ciencia interdisciplinaria que utiliza medios espaciales y medios aéreos remotamente censados, y mediciones basadas en la Tierra para estudiar la forma y el tamaño de la Tierra, los planetas y sus satélites, y sus cambios; para determinar en forma precisa posiciones y velocidades de puntos u objetos que se encuentran en la superficie u orbitando el planeta, dentro de un sistema de referencia terrestre definido, y para utilizar ese conocimiento a una variada gama de
2
aplicaciones científicas y de ingeniería, usando las ciencias matemática, física, astronómica y computacional”1. De lo anterior, podemos inferir que existen varias ramas en geodesia, entre ellas: Geodesia Geométrica, Geodesia Física, Geodesia Astronómica, Geodesia Satelital, Geodesia Planetaria y Geodesia Marina. Geodesia puede ser dividida en tres áreas: Geodesia Global, Mediciones Geodésicas Nacionales y Mediciones Planas. Geodesia global es responsable por la figura de la Tierra y el campo de gravedad externo. Las mediciones geodésicas establecen los fundamentos para la determinación de la superficie y el campo de gravedad externo de un país. Esto es materializado mediante coordenadas y valores de gravedad en un número suficientemente grande de puntos de control, arreglados en redes de control gravimétricas y geodésicas. En este trabajo fundamental, deben ser consideradas la curvatura y el campo de gravedad de la Tierra. En mediciones planas (mediciones topográficas, catastrales o ingenieriles), es obtenido el detalle del terreno.En las mediciones geodésicas se utiliza un elipsoide de referencia para las posiciones horizontales. En mediciones planas, generalmente es suficiente el plano horizontal. (Torge, 1991) 1.2
Geodesia y Otras Disciplinas
Es tarea de la geodesia la definición de los sistemas de referencia y su materialización mediante una red de puntos de control para el conocimiento de las relaciones espaciales que existen en la Tierra. El uso primario de una red geodésica es georreferenciar la cartografía, la cual representa, mediante el uso de una proyección cartográfica las relaciones espaciales del terreno sobre una hoja de papel. Así podemos encontrar la geodesia relacionada con otras áreas de estudio, como por ejemplo: Ciencia espacial: esta requiere el conocimiento del campo de gravedad externo, de la superficie de referencia terrestre, del sistema de referencia inercial o espacio fijo, y del sistema de referencia geocéntrico o de tierra fija. Astronomía: la geodesia determina el sistema de referencia casi inercial empleando técnicas de radioastronomia; para ello, utilizando interferometría de base muy larga, desarrolla observaciones de señales extragalácticas provenientes de quasares distantes entre 3 a 15 billones de años luz; el enlace al geocentro es efectuado utilizando mediciones de pulso láser enviados a satélites. Oceanografía: la reducción de observaciones satelitales al geoide es una actividad que se desarrolla estableciendo una superficie equipotencial que basada en el nivel medio del mar costero se proyecte mediante la nivelación y la gravedad hacia el interior de los continentes. Ciencias Atmosféricas: la geodesia se encuentra experimentando la determinación del contenido de agua en la atmósfera mediante el retraso de señales electromagnéticas desde o hacia satélites en el espacio, ya sea por ocultamiento o por tomografía satelital. Geología: la geodésia utiliza la gravedad para el establecimiento de superficies equipotenciales y determinación de las alturas, estos datos también son válidos para inferir estructuras geológicas subyacentes. Por su parte la geología utiliza las posiciones geodésicas para el control de deformación de la corteza. 1
Ohio State University, Geodesy.
3
1.3
Bases Teóricas de la Geodesia
Matemáticas: esta es lejos el bloque de construcción más fuerte de la geodesia. Estadística: la redundancia de datos en las observaciones geodésicas precisan utilizar modelos estadísticos para análisis y determinación de parámetros geodésicos. Computación: ésta es necesaria para el análisis y la automatización de los cálculos geodésicos. Física: ésta entrega las bases teóricas para el estudio de las leyes de la gravitación, la propagación de las ondas electromagnéticas y la mecánica del movimiento de los cuerpos, tanto en el espacio como en la Tierra.
1.4
Historia de la Geodesia
La búsqueda del tamaño y forma de la Tierra tiene una larga e interesante historia. Aunque hoy día no tenemos problemas en ver la Tierra como un cuerpo aproximadamente esférico, esta situación no siempre existió. Los registros de las primeras creencias indicaban que la Tierra era un disco plano que soportaba un cielo hemisférico. Desde esa perspectiva debería existir solo un horizonte, con el tiempo y la longitud del día independiente de la ubicación. (Homer siglo IX a.C.) En el siglo VI a.C. Pitágoras enseñaba: los hombre deben vivir en un cuerpo de forma perfecta, por ello la Tierra era esférica en forma. Esto sobre la base de que la esfera era considerada una forma perfecta y no por deducción de observaciones. Finalmente, en el siglo IV a.C. Aristóteles dio argumentos de porqué la Tierra debería tener forma esférica. Algunas razones específicas que fueron mencionadas son: - El cambio de horizonte cuando uno viaja en varias direcciones. - La sombra redondeada de la Tierra sobre la Luna que fue observada en un eclipse lunar. - Las observaciones de un barco en el mar donde el barco es visto más (o menos) según el barco se aproxima (o se aleja). Los sucesos siguientes ahora están relacionados con la determinación del tamaño de la tierra esférica. Aunque otras determinaciones se hubieran hecho antes, el primer intento para lograr una determinación precisa (en esa época), se le atribuye a Eratóstenes de Egipto. Los acontecimientos en Egipto fueron una continuación natural a los adelantos hechos en agrimensura con propósitos catastrales. En el año 230 a.C., Eratóstenes, director de la gran biblioteca egipcia en Alejandría, realizó su famoso experimento a fin de determinar el tamaño de la tierra esférica. Para ello efectuó observaciones en dos ciudades egipcias, Alejandría y Siene (ahora Aswam), ubicadas ambas casi en el mismo meridiano. En la ciudad más al sur, Siene, los rayos del sol iluminaban directamente el fondo de un profundo pozo en el solsticio de verano, indicándo que el sol estaba directamente arriba. Al año siguiente, en Alejandría se midió, al mediodía, la longitud de una sombra proyectada por el gnomon de un reloj
4
solar. Dicha longitud fue de 1/50 de 360° (7°12’) y fue el ángulo subtendido en el centro de la tierra entre Siene y Alejandría, según se muestra en la Figura 1.1.
Rayos Solare
R θ
ALEJANDRÍA SIENE Pozo
Figura 1.1 Geometría de la Medición de Eratóstenes Si la distancia s, entre las dos ciudades pudiera deteminarse, la circunferencia de la Tierra sería s / θ si θ se expresa como una fracción de un círculo. Alternadamente, el radio de la tierra sería s / θ si θ estuviese ahora en radianes. La determinación de la distancia entre ambas ciudades fue una materia dificil. La distancia mayormente citada (la usada por Eratóstenes), es el valor redondeado de 5000 estadios. Esta distancia fue probablemente determinada por contadores de pasos egipcios “quienes determinaban distancias para los mapas egipcios”. Con este valor la circunferencia de la tierra fue de 250.000 estadios. Otros cálculos indicaron que la circunferencia según la determinó Eratóstenes era de 252.000 estadios, lo que quizás hubiera estado basado en una distancia más específica. La longitud de 1 estadio es, aproximadamente, 157,5 metros, lo que nos da un radio de 6.267 Krn, un 1,6 por ciento más pequeño que el actual radio medio. El método usado por Eratóstenes estaba sujeto a una serie de errores. Por ejemplo, Alejandría y Siene no están en el mismo meridiano, ni el Sol estaba directamente sobre el cenit al momento de la medición. No obstante, el método funcionó bastante bien. Esta experiencia fue repetida por Posidonio en el siglo primero A.C. En ese cálculo se midió un arco a lo largo de un meridiano, desde Rodas hasta Alejandría. La separación angular se determinó usando la estrella Canopus. Cuando ésta rasaba el horizonte en Rodas se hallaba en un ángulo de 1/48 de un círculo completo en Alejandría. En consecuencia, la separación angular entre las dos ciudades fue 7,5°. Por mediciones basadas en trayectos de buques de vela se determinó que la distancia entre ambas poblaciones era de 5000 estadios. Esto significó un radio inferior en 5,6 % de los cálculos presentes. Sucedió que la medición angular y de distancia se mejoraron, aunque de una manera proporcional para que el resultado fuere aproximadamente correcto. Por otro lado se rumorea que Posidonio no efectuó las mediciones antes descritas, sino que más bien sólo discutió someramente el método. En los siglos subsiguientes poco se hizo sobre estudios relacionados con la figura de la Tierra. En el siglo IX, el califa Almamún mandó realizar nuevas mediciones cerca de Bagdad, Iraq, en la planicie del río Eufrates. En esta aplicación se usaron varas de
5
madera para medir el largo de un grado de latitud. Después de considerar el habitual problema de conversión de unidades, las mediciones dieron un radio 10% más grande. En el siglo XVII, Snellius llevó a cabo mediciones a lo largo de un meridiano en los Países Bajos. Por primera vez usó un procedimiento de triangulación midiendo ángulos con un minuto de precisión. Combinando esa medición con las latitudes astronómicas hechas en los puntos finales del arco meridiano, Snellius determinó el tamaño de la Tierra esférica usando el método básico de Eratóstenes. Una segunda determinación del radio (o realmente el cuadrante del meridiano), dio un resultado de 3,4% más pequeño. Van Musschenbroek (sucesor de Snellius) realizó trabajos adicionales obteniendo un radio terrestre mejorado. Fue en esa época cuando comenzó la era de la geodesia esférica. En realidad se inició en 1666 cuando se estableció la Académe Royale des Sciencies con el fin de efectuar mediciones para la preparación de un mapa preciso de Francia y la determinación del tamaño de la Tierra. En 1670, Isaac Newton propuso que a consecuencia de su teoría de gravitación la Tierra podría ser un poco abultada en el Ecuador debido a la mayor fuerza centrífuga generada por la rotación terrestre. Este abultamiento podría producir un suave achatamiento en los polos de aproximadamente 1/300 del radio ecuatorial. En 1669, Picard empezó las mediciones de un arco meridiano cerca de París. Entre 16831716, el arco se extendió hacia el sur, a Collioure, y a Dunquerque hacia el norte, por un grupo dirigido por Lahire y los Cassini, Dominique y Jacque. Los cálculos hechos sobre esas mediciones indicaron que el largo del arco meridiano era más pequeño hacia los polos. Esta conclusión tentativa estaba en conflicto con la idea de que la Tierra tenía una forma esférica. De hecho, denotaba que la Tierra estaba apuntando hacia los polos, según se muestra en la Figura 1.2:
Figura 1.2 La Forma de la Tierra según las Antiguas Mediciones Francesas Estas mediciones también eran conflictivas con las teorías propuestas por Isaac Newton que sugerían que la Tierra debería estar achatada en los polos. Esto implicaría que al viajar hacia el Ecuador nos alejaríamos más del centro de la Tierra. El efecto de esto fue observado por Richter (en 1672) en los relojes de péndulo que aunque mantenían la hora debida en París, perdían 2½ minutos por día al llevarlos a Cayena, Guyana Francesa,
6
cerca del Ecuador en Sudamérica. Esa pérdida de tiempo fue compatible con la teoría de Newton por la disminución de la gravedad al ir de París a Cayena. Para resolver esta situación, la Real Academia de Ciencias preparó dos misiones de levantamientos geodésicos. Una expedición (1734-1741) se mandó al Perú (hoy Ecuador) en una latitud de unos –1,5’ bajo la dirección de Godin, La Condamine y Bouguer. La segunda expedición (1736-1737) se envió a Laponia (latitud de unos 66.3°) bajo la dirección de Maupertuis y Clairaut. Los resultados de dichas mensuras indicaron que la extensión de un meridiano de 1° era superior en las regiones polares que en las ecuatoriales. Este resultado concordó con las teorías de Newton e implicó que la figura de la Tierra podría representarse por un elipsoide ligeramente achatado en los polos, según se observa en la Figura 1.3:
b a
Figura 1.3 Elipse Achatada en los Polos Un cálculo actual del radio ecuatorial (a) de la Tierra es de 6378137 metros. El a−b achatamiento ( f = ) es aproximadamente 1/298.257, lo que significa una a diferencia de 21.7 km. entre el radio ecuatorial y el radio polar. Se efectuaron otras mediciones -Svanberg (1805) en Suecia, Lacaille (1751) en Sudáfrica, Gauss (1821-23), Bessel (1831-38)- para verificar y perfeccionar el conocimiento del tamaño y forma de la Tierra. Continúan hoy día estudios para refinar tales conocimientos. Al disponer de mejoradas técnicas de medición se hizo evidente el definir más exactamente lo que llamamos la figura de la Tierra. Para hacerlo, consideremos la superficie topográfico real de la Tierra, y una superficie estrechamente asociada con la superficie del océano. Reconocemos que los océanos comprenden aproximadamente el 70% de la superficie terrestre. Por tanto es correcto visualizar la figura del Tierra como aquella de la superficie oceánica. En l872-73, Listing introdujo el concepto del geoide como la superficie del mar imperturbable y su continuación en los continentes. El elipsoide de los estudios previos ahora se convirtió en una aproximación al geoide. En 1884, Helmert definió con mayor precisión el geoide identificándolo con un océano sin peregrinaciones tales como las causadas por mareas, vientos, olas, temperaturas, presión diferencias en salinidad, etc. Este geoide se consideró como una superficie equipotencial del campo de gravedad de la Tierra. El geoide en áreas continentales se visualizaría por el nivel del agua en infinitamente pequeños canales “secos” en tierra.
7
Por desgracia, la definición del geoide antes mencionada no es totalmente realizable. Esto es así porque la superficie del océano es una superficie dinámica, en constante cambio debido a tantas corrientes, etc. Sin embargo, estos efectos generalmente ocurren a un metro de nivel por lo que para muchos propósitos podemos identificar el nivel medio del mar con el geoide. De nuevo indicamos que ahora se usa el elipsoide para aproximarnos al geoide. Aunque hay varios tipos de elipsoide, el usado mayormente en geodesia es un elipsoide de revolución (alrededor del eje menor) que es simétrico con respecto al Ecuador. Otro es el elipsoide triaxial, en el cual el Ecuador es una elipsoide. No obstante, los cálculos en un elipsoide triaxial son bastantes complicados con respecto a los del elipsoide biaxial rotacional simétrico. Consecuentemente, en este tema de geodesia geométrica nos concentraremos en la geometría e importancia geodésica del elipsoide. Usando una sección meridiana de la Tierra, en la Figura 1.4, se representan las distintas superficies que hemos estado revisando.
H
Superficie Topográfic h
b N
Geoi
a Elipsoi
Figura 1.4 Relación entre Elipsoide, Terreno y Geoide Podríamos poner en perspectiva las magnitudes de varias cantidades de interés. Recuérdese que el radio ecuatorial de la Tierra es aproximadamente 6378137 metros. Con respecto a un elipsoide cuyo centro está en el centro de la tierra, la desviación estandar de la ondulación del geoide (N) es 30.56 m con valores extremos aproximados de –107 m y 85 m. Finalmente, el terreno tiene una elevación máxima con respecto al nivel medio del mar de unos 9 km. La información histórica descrita aquí ha sido basada en dos documentos de Irene Fisher (1975a, 1975b).
8
2
PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS ÚTILES
En el desarrollo de algunas ecuaciones que siguen en los apuntes será de utilidad emplear ciertos procedimientos matemáticos estándares que envuelven expansiones en series e identidades trigonométricas. Las usadas más ampliamente serán tratadas a continuación.
2.1
Series de Taylor y Maclaurin
Una función f(x) puede ser expandida sobre un punto x0 usando una serie de Taylor:
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ' ( x0 ) +
( x − x0 ) 2 ( x − x0 )3 f ' ' ( x0 ) + f ' ' ' ( x0 ) + ... 2! 3!
(2.1)
Donde f’(x0) es la 1a derivada de f(x) evaluada en x0 y sucesivamente para los otros términos primos. En principio uno debe controlar la convergencia de esta serie, pero para la mayor cantidad de las aplicaciones de la geodesia geométrica, esta será rápida. En algunos casos es conveniente utilizar x-x0 = h y x = x0, así, (2.1) queda; f ( x + h) = f ( x) + hf ' ( x) +
f ' ' ( x) +
h2 2!
h3 3!
f ' ' ' ( x) + ...
(2.2)
Como un ejemplo considere f(x) = sen(x). Aplicando (2.2), tenemos: sin( x + h) = sin x + h cos x − h2 sin x − h6 cos x + 2
3
h4 24
sin x + − − −
(2.3)
Un caso especial de las series de Taylor es la de Maclaurin, la cual se encuentra desde (2.1) haciendo x0 = 0, de ese modo queda: f ( x) = f (0) + xf ' (0) +
x2 2!
f ' ' ( 0) +
x3 3!
f ' ' ' (0) + − − −
(2.4)
Un nuevo ejemplo, tomemos f(x) = sin(x). Entonces (2.4) se transforma:
sin x = x −
x3 x5 x7 + − +−−− 3! 5! 7!
(2.5)
9
2.2
Las Series Binomiales
Otra serie útil es la serie binomial, la cual puede ser escrita como: (1 ± x) n = 1 ± nx +
n ( n −1) 2!
x2 ±
n ( n −1)( n − 2 ) 3!
x3 + − − −
(2.6)
Los coeficientes de x, x2, x3, etc. son llamados coeficientes binomiales. Las series binomiales existen por integración o exponentes fraccionales positivos o negativos y siempre convergen si x < 1. Las expresiones siguientes son series binomiales útiles: 1 1− x
= 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ...
1 1+ x
= 1 − x + x 2 − x3 + x 4 − ...
1 (1+ x ) 2
= 1 − 2 x + 3x 2 − 4 x 3 + 5 x 4 − ...
1 (1− x ) 2
= 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + 5 x 4 + ... (2.7)
5 x4 + 1 + x = 1 + 12 x − 18 x 2 + 161 x 3 − 128
7 256
21 x 5 − 1024 x6 +
33 2048
x 7 − ...
5 1 − x = 1 − 12 x − 18 x 2 − 161 x 3 − 128 x 4 − ...
1 1+ x
35 4 63 5 231 6 429 7 = 1 − 12 x + 83 x 2 − 165 x 3 + 128 x − 256 x + 1024 x − 2048 x + ...
1 1− x
35 4 = 1 + 12 x + 83 x 2 + 165 x 3 + 128 x + ...
5 7 1 − x 2 = 1 − 12 x 2 − 18 x 4 − 161 x 6 − 128 x8 − 256 x10 − ...
1 1− x 2
35 8 x + = 1 + 12 x 2 + 83 x 4 + 165 x 6 + 128
63 256
x10 + ...
10
2.3
Inversión de Series
Otras importantes series relacionadas son las series de inversión. Un tipo relaciona la inversión de series de convergencia algebraica, mientras que otro relaciona la inversión de series trigonométricas. Considere primero las siguientes series de potencias:
y = a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + ...
(2.8)
La inversión de (2.8) se transforma en la forma general: x = A1 y + A2 y 2 + A3 y 3 + A4 y 4 + ...
(2.9)
donde:
A1 =
1 a1
A2 = −
a2 (a1 )3
A3 =
1 2 (2(a2 ) − a1a3 ); 5 (a1 )
A4 =
1 2 3 (5a1a2 a3 − (a1 ) a4 − 5(a2 ) ); 7 (a1 )
A5 =
1 2 2 4 3 2 (6(a1 ) a2 a4 + 3(a1a3 ) + 14(a2 ) − (a1 ) a5 − 21a1 (a2 ) a3 ). 9 (a1 )
(2.10)
Considere ahora una expansión escrita en la siguiente forma (Ganshin, 1967, pág.9) tan y = p tan x Entonces:
(2.11)
11
y − x = q sin 2 x + q sin 4 x + q sin 6 x + ... 1 2
2
1 3
3
(2.12)
donde: q=
p −1 p +1
Otra fórmula importante es la siguiente: y = x + P2 sin 2 x + P4 sin 4 x + P6 sin 6 x + − − La inversión de esta ecuación es: x = y + P2 sin 2 y + P4 sin 4 y + P6 sin 6 y + − − donde (Ganshin, 1967, pág.32): P2 = − P2 − P2 P4 + 12 P23 − P6 P4 + P2 P42 − 12 P22 P6 + 13 P23 P4 − 121 P25 ± − − −
P4 = − P4 + P22 − 2 P2 P6 + 4 P22 P4 − 43 P24 ± − − − P6 = − P6 + 3P2 P4 − 32 P23 − 3P2 P8 + 92 P2 P42 + 9 P22 P6 − 272 P23 P4 +
27 8
P25 ± − − −
P8 = − P8 + 2 P42 ± 4 P2 P6 − 8 P22 P4 + 83 P24 ± − − −
P10 = − P10 + 5 P4 P6 + 5 P2 P8 − 252 P22 P6 − 252 P2 P42 + 125 P22 P4 − 125 P25 ± − − − 4 6
2.4
Resumen de Expansiones Trigonométricas
Usando la serie de Maclaurin revisada previamente las siguientes expansiones pueden ser derivadas donde x es un ángulo en radianes: sin x = x −
x3 3!
+
x5 5!
−
x7 7!
±−−−
(2.13)
12
cos x = 1 −
x2 2!
+
x4 4!
tanx = x +
x3 3
+
2 x5 15
x = sin −1 y = y +
x = tan −1 y = y −
−
x6 6!
+−−−
(2.14)
+ 17315x + − − − 7
y3 6
y3 3
5
(2.15)
7
y + 340y + 5112 +−−−
+
y5 5
−
y7 7
(2.16)
+−−−
2.5
(2.17)
Fórmulas de Ángulo Múltiple
Para cierto número de aplicaciones es conveniente tener fórmulas relativas a potencias de sin(x) o cos(x) para fórmulas de ángulos múltiple. Tales como: sin 2 x = 12 − 12 cos 2 x sin 3 x = 34 sin x − 14 sin 3 x
sin 4 x = 83 − 12 cos 2 x + 18 cos 4 x sin 5 x = 85 sin x − 165 sin 3x + 161 sin 5 x 3 1 sin 6 x = 165 − 15 32 cos 2 x + 16 cos 4 x − 32 cos 6 x
sin 7 x =
35 64
21 sin x − 64 sin 3x + 647 sin 5 x − 641 sin 7 x
(2.18)
35 1 sin 8 x = 128 − 167 cos 2 x + 327 cos 4 x − 161 cos 6 x + 128 cos 8 x
63 9 21 sin 9 x = 128 snx − 64 sin 3x + 649 sin 5 x − 256 sin 7 x +
sin 10 x =
63 256
15 45 − 105 256 cos 2 x + 64 cos 4 x − 512 cos 6 x +
1 256
5 256
sin 9 x
1 cos 8 x − 512 cos10 x
13
cos 2 x = 12 + 12 cos 2 x cos3 x = 34 cos x + 14 cos 3x
cos 4 x = 83 + 12 cos 2 x + 18 cos 4 x cos5 x = 85 cos x + 165 cos 3x + 161 cos 5 x cos6 x = 165 + 15 cos 2 x + 163 cos 4 x + 321 cos 6 x 32
cos
4
x =
3 8
+
1 2
cos 2 x +
1 8
(2.19)
cos 4 x
35 1 cos8 x = 128 cos 8 x + 167 cos 2 x + 327 cos 4 x + 161 cos 6 x + 128
63 21 cos9 x = 128 cos x + 64 cos 3 x + 649 cos 5 x +
cos10 x =
63 256
9 256
cos 7 x +
45 + 105 cos 2 x + 15 cos 4 x + 512 cos 6 x + 256 64
5 256
1 256
cos 9 x
1 cos 8 x + 512 cos10 x
sin 2 x = 2 sin x cos x sin 3 x = 3 sin x cos 2 x − sin 3 x
sin 4 x = 4 sin x cos 3 x − 4 sin 3 x cos x sin 5 x = 5 sin x cos 4 x − 10 sin 3 x cos 2 x + sin 5 x sin 6 x = 6 sin x cos 5 x − 20 sin 3 x cos 3 x + 6 sin 5 x cos x
sin 7 x = 7 sin x cos 6 x − 35 sin 3 x cos 4 x + 21sin 5 x cos 2 x − sin 7 x sin 8 x = 8 sin x cos 7 x − 56 sin 3 x cos 5 x + 56 sin 5 x cos 3 x − 8 sin 7 x cos x
(2.20)
14
sin 9 x = 9 sin x cos x − 84 sin x cos x + 126 sin x cos x − 36 sin x cos x + sin x 8
3
6
5
4
7
2
9
sin 10 x = 10 sin x cos 9 x − 120 sin 3 x cos 7 x + 252 sin 5 x cos 5 x − 120 sin 7 x cos 3 x + 10 sin 9 x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x cos 3x = cos 3 x − 3 cos x sin 2 x cos 4 x = cos 4 x − 6 cos 2 x sin 2 x + sin 4 x
cos 5 x = cos 5 x − 10 cos 8 x sin 2 x + 5 cos x sin 4 x cos 6 x = cos 6 x − 15 cos 4 x sin 2 x + 15 cos 2 x sin 4 x − sin 6 x
(2.21)
cos 7 x = cos 7 x − 21cos 5 x sin 2 x + 35 cos 3 x sin 4 x − 7 cos 6 x sin 6 x cos 8 x = cos 8 x − 28 cos 6 x sin 2 x + 70 cos 4 x sin 4 x − 28 cos 2 x sin 6 x + sin 8 x
cos 9 x = cos 9 x − 36 cos 7 x sin 2 x + 126 cos 5 x sin 4 x − 84 cos 3 x sin 6 x + 9 cos x sin 8 x cos10 x = cos10 x − 45 cos 8 x sin 2 x + 210 cos 6 x sin 4 x − 210 cos 4 x sin 6 x + 45 cos 2 x sin 8 x − sin 10 x
Otras identidades útiles para dos ángulos X e Y son las siguientes: sin nX − sin nY = 2 cos n2 ( X + Y ) sin n2 ( X − Y )
(2.22)
cos nX − cos nY = 2 sin n2 ( X + Y ) sin n2 ( X − Y )
(2.23)
15
3
PROPIEDADES DEL ELIPSOIDE
3.1
Introducción
Según se trató en la Sección 1, en geodesia geométrica, para muchos cálculos se debe lidiar con la geometría de un elipsoide de revolución. Este elipsoide es formado mediante la rotación de su semieje menor. Consideremos el elipsoide que se muestra en la Figura 3.1. z P1 P b
a
A F2
O
B F1
x
P2
Figura 3.1 La Elipse Básica En la figura tenemos: F1, F2, focos de la elipse AP2BP1. O, centro de la elipse. OA = OB = a = semieje mayor de la elipse. OP1 = OP2 = b = semieje menor de la elipse. P1P2, es el menor eje de la elipse, mientras que P es un punto arbitrario en la elipse. De la definición de una elipse, el movimiento de P sobre la elipse produce una suma constante de las distancias tomadas desde dos puntos fijos, denominados focos. F1P + F2P = constante
(3.1)
16
Si dejamos mover a P en dirección hacia B, y luego en dirección hacia A, encontramos que: F1P + F2P = 2a
(3.2)
Si ahora dejamos P ir hacia P1, se verifica que F1P = F2P, de la ecuación (3.2) se tiene que F1P = F2P = a, el semieje mayor. Esta información es mostrada en la figura siguiente: z P1 α a
b (a2-b2)1/2 F2
O
F1
x
P2
Figura 3.2 Notación para la Elipse
Ahora estamos en posición de definir algunos parámetros fundamentales de la elipse. Tenemos lo siguiente:
1) El achatamiento polar, f: f =
a−b a
OF1 2) La primera excentricidad, e: e ≡ = a
3) La segunda excentricidad, e': e' ≡
OF1 = b
(3.3)
a 2 − b2 2 a 2 − b2 ;e = a a2 a2 − b2 2 a 2 − b2 ; e' = b b2
(3.4)
(3.5)
4) Excentricidad angular, α (ver figura 3.2); α es el ángulo en P1 entre el semieje menor y la línea dibujada desde P hasta ya sea F1 o F2. Tenemos:
cosα =
b = 1− f a
(3.6)
sin α =
OF1 =e a
(3.7)
17
OF1 = e' tan α = b
(3.8)
5) Excentricidad lineal, E: E = ae
(3.9)
Otras dos cantidades usadas a menudo, son:
m=
a2 − b2 a2 + b2
(3.10)
n=
a−b a+b
(3.11)
en algunos libros la cantidad m es designada como e’’2 Los parámetros básicos a, b, f, e, e’, α, m, n, son interrelacionados a través de ecuaciones que pueden ser fácilmente derivadas. Por ejemplo, considere las relaciones entre f y e’. Desde (3.4) tenemos: e2 = 1 −
b2 a2
(3.12)
de (3.3): b = 1− f a
(3.13)
la cual es sustituida dentro de (3.12) para encontrar: e2 = 2 f − f
2
(3.14)
Otras relaciones de interés son como sigue: (Gan’shin, 1967):
e2 =
4n 2m e' 2 = = 2 2 1 + e' (1 + n ) 1 + m
e2 e' = 1 − e2 2
(3.15)
(3.16)
(1 − e )(1 + e' ) = 1
(3.17)
b e 1 1− n 1− m = (1 − f ) = 1 − e 2 = = = = a e' 1+ m 1 + e' 2 1 + n
(3.18)
2
2
18
n=
m=
f 1 − 1 − e2 = 2 − f 1 + 1 − e2 2f − f
2
1 + (1 − f )
2
=
2n 1+ n2
(3.19)
(3.20)
Adicionalmente, en ocasiones es conveniente tener algunas expresiones en serie relacionando ciertas cantidades. Por ejemplo, tenemos las siguientes (Gan’shin, 1967): n = (1 / 2) f + (1 / 4) f 2 + (1 / 8) f 3 + (1 / 16) f 4 + (1 / 32) f 5 + n = (1 / 4)e 2 + (1 / 8)e 4 + (5 / 64)e 6 + (7 / 128)e 8 + (21 / 512)e10 + n = (1 / 2)m + (1 / 8)m 3 + (1 / 16)m 5 + m = f + (1 / 2) f 2 − (1 / 4) f 4 − (1 / 4) f 5 + m = (1 / 2)e 2 + (1 / 4)e 4 + (1 / 8)e 6 + (1 / 16)e 8 + (1 / 32)e10 +
m = 2n − 2n 3 + 2n 5 + e' 2 = 2 f + 3 f 2 + 4 f 3 + 5 f 4 + 6 f 5 +
e' 2 = 4n + 8n 2 + 12n 3 + 16n 4 + 20n 5 + e' 2 = 2 m + 2 m 2 + 2 m 3 + 2 m 4 + 2 m 5 + Los valores numéricos de estas cantidades dependen de la definición fundamental de parámetros tales como: tamaño (a) y forma (usualmente f). Muchos elipsoides diferentes han sido usados en el pasado. Actualmente el sistema de constantes recomendado por la Asociación Internacional de Geodesia (IAG) es el Sistema de Referencia Geodésico de 1980 (Moritz, 1980). Para este sistema, las cantidades de interés geométrico son las siguientes: a = 6378137 m (exacta) b = 6356752.3141 m E = 521854.0097 m
19
c = 6399593.6259 m e2 = 0.00669438002290 e’2 = 0.00673949677548 f = 0.00335281068118 f – 1 = 298.257222101 n = 0.001679220395 m = 0.003358431319 Q = 10001965.7293 m R1 = 6371008.7714 m R2 = 6371007.1810 m R3 = 6371000.7900 m En las constantes de arriba Q es la longitud de un cuadrante de meridiano, R1 es el radio medio (2a + b) / 3, R2 es el radio de una esfera que tiene igual superficie que el área del elipsoide, y R3 es el radio de una esfera que tiene igual volumen que el elipsoide. La derivación de las ecuaciones para estas cantidades será tratada en secciones posteriores.
3.2
Coordenadas Geodésicas
Consideramos primero un elipsoide de revolución cuyo centro está en O. Definimos el eje OZ como el eje de rotación del elipsoide. El eje OX se subtiende en el plano ecuatorial e intercepta el meridiano PEP1, el cual es tomado como el primer meridiano o meridiano inicial desde el cual las longitudes serán medidas. El eje OY está en el plano ecuatorial, perpendicular al eje OX tal que OX, OY, OZ forman un sistema coordenado de mano derecha como se muestra en la Figura 3.3. Z P
Q’
λ
O E X P1
Q ϕ
λ
Y
20
Figura 3.3 Sistema de Coordenadas para el Elipsoide Un punto arbitrario Q o Q’ (dentro o fuera de la superficie del elipsoide) puede ser definido entonces por sus coordenadas X, Y, Z. Deberíamos observar que sobre un meridiano cualquiera, tal como PQP1 o PEP1, la longitud es una constante para cualquier punto localizado en este plano meridiano. La longitud geodésica λ de un punto es definida como el ángulo diedro entre los planos del primer meridiano (PEP1) y un meridiano (ejemplo PQP1) que está pasando a través del punto dado. Las longitudes, en este apunte y para muchos casos son medidas positivas hacia el Este, aunque hay casos (ejemplo EE.UU. y Chile) donde algunas referencias consideran que las longitudes medidas hacia el Oeste de Greenwich también son positivas. La latitud geodésica ϕ de un punto ubicado sobre la superficie del elipsoide, es definida como el ángulo entre la normal al elipsoide en el punto y el plano ecuatorial. Para un punto ubicado sobre la superficie del elipsoide hay varias definiciones posibles. La más simple es que éste es el ángulo entre la normal al elipsoide, que está pasando a través de este punto, y el plano ecuatorial. Este sistema de coordenadas (por ejemplo ϕ, λ) es llamado coordenadas geodésicas (en algunos libros podrían ser encontradas algunas referencias a coordenadas geográficas, las cuales son idénticas a las coordenadas geodésicas). ϕ y λ forman un juego de coordenadas curvilíneas sobre la superficie del elipsoide. Ellas permiten la descripción de muchas propiedades involucradas con la superficie y curvas sobre la superficie. 3.3
La Elipse Meridiana
La elipse meridiana que pasa a través del punto Q es mostrada en la Figura 3.4 con los ejes coordenados z y x. z
Q
ϕ
90°+ ϕ
x
Figura 3.4 Elipse Meridiana Además de la latitud geodésica podemos definir la latitud reducida β y la latitud geocéntrica ψ. La latitud reducida (algunas veces llamada latitud paramétrica) es el ángulo cuyo vértice se ubica en el centro de una esfera que es tangente al elipsoide a lo
21
largo del Ecuador, entre el plano ecuatorial y el radio del punto P1 originado en la esfera por una línea recta perpendicular al plano del Ecuador, que pasa a través del punto P sobre el elipsoide, para el cual la latitud reducida está siendo definida. La latitud reducida es mostrada en la Figura 3.5. z
P1 a
P z
β O
x
x
P2
Figura 3.5 Latitud Reducida La latitud geocéntrica es el ángulo en el centro de la elipse entre el plano del Ecuador y una línea hacia el punto cuya latitud geocéntrica está siendo definida. Observe que esta definición permite un significado simple para definir esta latitud aunque el punto podría no estar localizado sobre la superficie del elipsoide. La latitud geocéntrica es mostrada en la Figura 3.6. z P r
z
ψ O
x x
P2
Figura 3.6 Latitud Geocéntrica Las coordenadas z y x pueden ser calculadas conociendo ya sea ϕ, β, o ψ más los parámetros del elipsoide. Estas relaciones son útiles en la derivación de expresiones que relacionan las latitudes.
22
Consideramos primero la determinación de x y z usando la latitud reducida β. Desde la Figura 3.5 tenemos: (OP2 ) 2 + ( P2 P1 ) 2 = a 2
(3.22)
La ecuación de esta elipse puede ser escrita: x2 z2 + =1 a2 b2
(3.23)
o con x = OP2 y con z = P2P, tenemos:
(OP2 )2 (P2 P )2 +
a2
b2
=1
(3.24)
Combinando (3.22) y (3.24), queda: a2 (OP2 ) + ( P2 P ) 2 = a 2 = (OP2 ) 2 + ( P2 P1 ) 2 b 2
2
(3.25)
Resolviendo para P2P, encontramos:
P2 P =
b P2 P1 a
(3.26)
De la Figura 3.5 tenemos que: P2 P1 = a sin β
(3.27)
luego las coordenadas x y z son: x = OP2 = a cos β
(3.28)
z = P2 P = b sin β
(3.29)
Para determinar x y z usando la latitud geodésica observamos, considerando la Figura 3.4, que la pendiente de la línea tangente es la tangente del ángulo con los ejes positivos.
23
− cos ϕ dz = tan(90 + ϕ ) = − cot ϕ = dx sin ϕ
(3.30)
dz es la inclinación de la línea tangente. Para determinar la derivada reescribimos dx la ecuación (3.23) como sigue: donde
b 2 x 2 + a 2 z 2 = a 2b 2
(3.31)
y diferenciamos para conseguir,
b 2 xdx + a 2 zdz = 0
(3.32)
o arreglando: dz − b 2 x − cos ϕ = 2 = dx sin ϕ a z
(3.33)
Usando la ecuación (3.26) y (3.33) queda: b 2 x sin ϕ = a 2 z cos ϕ
(3.34)
Elevando al cuadrado ambos lados queda: b 4 x 2 sin 2 ϕ − a 4 z 2 cos 2 ϕ = 0
(3.35)
Entonces multiplicando la ecuación (3.31) por –b2sin2ϕ, agregando el resultado a la ecuación (3.35) y multiplicando por –1, y entonces resolviendo para z encontramos:
z=
b 2 sin ϕ a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
(3.36)
Utilizando un procedimiento similar, encontramos para x:
x=
a 2 cos ϕ a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
(3.37)
24
Usando e2 de la ecuación (3.4) los denominadores de la ecuación (3.36) y (3.37) se convierten en (1-e2sin2ϕ)½ de modo que x y z pueden expresarse como: a cos ϕ
x=
z=
1 − e 2 sin 2 ϕ
(
)
a 1 − e 2 sin ϕ 1 − e 2 sin 2 ϕ
(3.38)
(3.39)
En este punto es conveniente introducir y definir cuatro nuevas cantidades: W 2 ≡ 1 − e 2 sin 2 ϕ V 2 ≡ 1 + e' 2 cos 2 ϕ (3.40) w 2 ≡ 1 − e 2 cos 2 β v 2 ≡ 1 − e' 2 sin 2 β Comenzando desde estas designaciones, varias otras relaciones pueden ser derivadas.
W2 =
1 1 + e' sin 2 β 2
(3.41) V2 =
1 1 − e cos 2 β 2
Usando W y V en las ecuaciones (3.38) y (3.39) podemos escribir:
x=
a cos ϕ W
(3.42)
z=
a (1 − e ) sin ϕ W
(3.43)
25
c x = cos ϕ V
z=
(3.44)
c sin ϕ V (1 + e' 2 )
(3.45)
donde c = a2/b. Una interpretación geométrica para c será entregada posteriormente. Puede agregarse un significado geométrico a W y V considerando los elementos de la Figura 3.7. Z
P
q z
ϕ
ϕ
X
x
Figura 3.7 Interpretación Geométrica de W y V q es una distancia medida desde el origen hasta el plano tangente que pasa por P (cuya latitud geodésica es ϕ ) de tal forma que la línea trazada desde el origen es perpendicular al plano tangente. Tenemos:
q = x cos ϕ + z sin ϕ Sustituyendo x y z de las ecuaciones (3.42) y (3.43) queda:
(3.46)
26
q = aW
(3.47)
De (3.44) y (3.45) tenemos:
q = bV
(3.48)
Podemos igualar (3.47) y (3.48) para finalmente escribir:
W=
b V a
(3.49)
A continuación pasamos a la determinación de x y z usando la latitud geocéntrica. De la Figura 3.6 escribimos: x = r cos ψ
(3.50)
z = r sin ψ
(3.51)
donde r es el radio geocéntrico. Claramente tenemos: r = x2 + z2
(3.52)
Substituyendo (3.50) y (3.51) en la ecuación (3.23), y resolviendo para r queda:
r=
a 1 − e2 1 − e 2 cos 2 ψ
=
b 1 − e 2 cos 2 ψ
(3.53)
Substituyendo este valor de r de regreso dentro de (3.50) y (3.51), obtenemos:
x=
a 1 − e 2 cosψ 1 − e cos ψ 2
2
(3.54)
27
z=
a 1 − e sin ψ 2
(3.55)
1 − e 2 cos 2 ψ
También podríamos obtener una expresión para el vector del radio en términos de la latitud geodésica si sustituimos las ecuaciones (3.38) y (3.39) en (3.52):
r=
(
)
a 1 + e 2 e 2 − 2 sin 2 ϕ W
(3.56)
Puesto que el segundo término a la derecha de (3.56) está en el orden de e2, es conveniente obtener una expresión en serie para el vector del radio. Primero desarrollamos el término de raíz cuadrada usando la serie binomial (ecuación 2.7) para que:
r=
(
)
a 1 2 2 1 4 2 4 1 + e e − 2 sin ϕ − e sin ϕ + ... 2 W 2
Ahora calculamos
(3.57)
1 usando un desarrollo en serie de McLaurin (ecuación 2.4): W
1 e2 3 = 1 + sin 2 ϕ + e 4 sin 4 ϕ + ... W 2 8
(3.58)
Multiplicando (3.57) y (3.58) hallamos una expresión en serie para r en términos de la latitud geodésica: e2 e4 5 3 13 r = a 1 − sin 2 ϕ + sin 2 ϕ − e 4 sin 4 ϕ + e 6 sin 4 ϕ − e 6 sin 6 ϕ + ... 2 2 8 4 16
(3.59)
El número de términos a retenerse en tal expresión depende de la exactitud deseada. Recordemos que para el Sistema de Referencia Geodésico 1980, a = 6378137 m, e2 = 0,00669..., los últimos dos términos en la ecuación (3.59) tienen un valor máximo de 0,0008 metros.
3.4
Relaciones entre las Diferentes Latitudes
Podemos usar algunas de las ecuaciones previamente deducidas para obtener relaciones entre las latitudes descritas. De la Figura 3.6 escribimos:
28
z tan ψ = x
(3.60)
Sustituyendo z y x de las ecuaciones (3.28), (3.29) y (3.38), (3.39) tenemos:
tanψ =
(
)
b tan β = 1 − e 2 tan ϕ a
(3.61)
Entonces:
(
)
tanψ = 1 − e 2 tan β = 1 − e 2 tan ϕ
(3.62)
tan β = 1 − e 2 tan ϕ
(3.63)
tan ϕ = 1 − e' 2 tan β
(3.64)
Aunque estas relaciones son suficientes para determinar un tipo de latitudes desde cualquier otro, algunos procedimientos se simplifican si también se encuentran otras relaciones. Por ejemplo, igualamos la coordenada z en (3.29) y (3.43) para obtener: 1 − e 2 sin ϕ sin ϕ = sin β = W V
(3.65)
Igualando las ecuaciones (3.28) y (3.42) que tratan con la coordenada x, tenemos: cos β =
cos ϕ W
(3.66)
Otras relaciones de interés incluyen:
cos ϕ =
cos β 2 cos β v = 1− e w
(3.67)
sin ϕ =
sin β 2 sin β w = 1 + e' v
(3.68)
Seguidamente pasamos a la determinación de expresiones para establecer la diferencia entre dos tipos de latitudes. Primero consideramos las expresiones cerradas y luego las
29
expresiones en serie. Ahora consideraremos la diferencia entre la latitud geodésica y la reducida, escribiendo:
sin (ϕ − β ) = sin ϕ cos β − cos ϕ sin β
(3.69)
Luego sustituimos los valores de sin β y cos β de (3.65) y (3.66) para obtener después de algunas reducciones: f sin 2ϕ 2W
sin (ϕ − β ) =
(3.71)
Otra expresión cerrada puede escribirse comenzando de la siguiente identidad: tan ϕ − tan β 1+ tan ϕ tan β
tan (ϕ − β ) =
(3.72)
Sustituyendo por tan β como una función de tan ϕ hallamos:
tan (ϕ − β ) =
n sin 2 ϕ 1+ n cos 2 ϕ
(3.73)
Las expresiones cerradas que dan una función de ( ϕ − ψ ) como una función ya sea de ϕ o ψ , pueden deducirse en forma cerrada o en serie. Para deducir una expresión cerrada escribimos: tan (ϕ − ψ ) =
tan ϕ − tanψ 1 + tan ϕ tanψ
(3.74)
Sustituyendo (3.61) por tanψ podemos expresar:
tan (ϕ − ψ ) =
e2 sin 2 ϕ 2 (1 − e2 sin 2 ϕ )
(3.75)
La derivación de expresiones en serie para las diferencias de dos latitudes puede ser realizada usando (2.11) y (2.12). Por ejemplo, podemos aplicar esta técnica a la ecuación (3.63) donde y = β , p = (1 − e 2 )1 / 2 y x=ϕ, encontramos: n3 2 ϕ − β = n sin 2ϕ − n2 sin 4 ϕ + sin 6ϕ + .... 3
(3.76)
30
Esta diferencia, como una función de β podría escribirse: 2 3 ϕ − β = n sin 2β + n2 sin 4β + n3 sin 6β + ...
(3.77)
Usando un enfoque similar, la diferencia entre la latitud geodésica y geocéntrica como una función de ϕ se escribe: 2 3 ϕ − ψ = m sin 2ϕ − m2 sin 4ϕ + m3 sin 6 ϕ + ...
(3.78)
Esta diferencia como una función de ψ es: 2 3 ϕ − ψ = m sin 2ψ + m2 sin 4ψ + m3 sin 6ψ + ...
(3.79)
Para el elipsoide de Clarke 1866 (f = 1/294,978698) tenemos (Adams, 1949):
ϕ − β = 350, 2202" sin 2ϕ − 0, 2973" sin 4ϕ + 0, 0003" sin 6ϕ + ... (3.80)
ϕ − ψ = 700, 4385" sin 2ϕ − 1,1893" sin 4ϕ + 0, 0027" sin 6ϕ + ... Para el elipsoide del Sistema de Referencia Geodésico 1980 tenemos:
ϕ − β = 350, 3640" sin 2ϕ − 0, 2908" sin 4ϕ + 0, 0003" sin 6ϕ ϕ − ψ = 692, 7262" sin 2ϕ − 1,1632" sin 4ϕ + 0, 0026" sin 6ϕ (3.81) Podemos observar que la diferencia máxima de ϕ − β es aproximadamente 6’, mientras que para ϕ − ψ la diferencia máxima es de 12’. Esta diferencia ocurre cerca de los 45º de latitud.
3.5
Radios de Curvatura del Elipsoide
Primero considere una normal a la superficie del elipsoide en algún punto. Ahora tome un plano que contenga esta normal y sea así perpendicular al plano tangencial. Este plano particular cortará la superficie del elipsoide formando una curva que se conoce como una sección normal. Los radios de curvatura de una sección normal dependerán del acimut de la línea. En cada punto existen dos secciones normales mutuamente perpendiculares
31
cuyas curvaturas son máximas y mínimas. Tales secciones se llaman secciones normales principales. En el elipsoide esas dos secciones normales son: La sección meridiana está formada por un plano que pasa a través de un punto dado y los dos polos; La sección del primer vertical está formada por una sección que pasa a través del punto dado y es perpendicular a la sección meridiana en el punto. El radio de curvatura en el meridiano es designado M, y el radio de curvatura en el primer vertical es designado N. Con el objeto de encontrar el radio de curvatura en una dirección arbitraria podemos utilizar la fórmula de Euler (ver Manual de Tablas y Fórmulas de Schaum, Relación de Curvas Normales Geodésicas): 1
ρ
=
cos2 θ
ρ1
+
sin 2 θ
(3.82)
ρ2
donde:
ρ
es el radio de curvatura arbitrario;
θ es el ángulo medido desde la sección principal con el radio de curvatura más grande ρ1 en una dirección normal principal; y ρ2 principal.
es el radio de curvatura en la dirección de la otra dirección normal
Después de examinar los valores de N y M aplicaremos la ecuación (3.82) al caso del elipsoide.
3.5.1
Radio de Curvatura en el Meridiano
Primero consideramos la determinación de M. Recordemos que si se tiene una curva plana especificada como z = F (x), el radio de curvatura en un punto sobre la curva es: dz 2 1 + dx ρ= d 2z dx 2
3/ 2
De la ecuación (3.30) se tiene:
(3.83)
32
dz = − cot ϕ dx Luego diferenciando queda: d 2z 1 dϕ 1 1 = = 2 2 2 dx sin ϕ dx sin ϕ dx dϕ
(3.84)
De la ecuación (3.38) tenemos:
x=
a cos ϕ 1 − e 2 sin 2 ϕ
la que se diferencia con respecto a ϕ para obtener:
(
)
− a 1 − e 2 sin ϕ dx = dϕ 1 − e 2 sin 2 ϕ 3 / 2
(
(3.85)
)
Usando (3.85) en (3.84) tenemos:
(
)
3/ 2
d 2 z − 1 − e 2 sin 2 ϕ = dx 2 a sin 3 ϕ 1 − e 2
(
)
(3.86)
Sustituyendo los valores de (3.86) y de dz/dx dentro de (3.82) cuando ρ es ahora M, encontramos:
M =
(
)
2
sin 2 ϕ
a 1 − e2
(1 − e
)
3/ 2
(3.87)
donde el signo menos ha sido eliminado por convención. Recordando las definiciones de W, V, y c, las expresiones alternas para M son:
M =
(
)
a 1 − e2 c = 3 3 W V
(3.88)
Ahora consideramos una deducción alterna para M tomando en cuenta la Figura 3.8:
33
z
ds
dϕ
M
x
Figura 3.8 Porción de un Arco de Meridiano Tenemos ds, una distancia diferencial a lo largo de un arco de meridiano; d ϕ es la separación angular. Entonces consideramos M como el radio de curvatura del arco meridiano, así:
ds = Mdϕ = dx 2 + dz 2 = dz 1 + ( dx ) 2 = dz 1 + tan 2 ϕ = dz dz cos ϕ
(3.89)
puesto que de la ecuación (3.30) tenemos: dz = − cot ϕ dx Entonces: dz Mdϕ = cos ϕ ó M =
(3.90) 1 dz cos ϕ dϕ
34
Usando (3.39) hallamos para z: dz = a (1−e2 ) cos ϕ dϕ W3
(3.91)
Lo que traduce (3.90) en M =
a(1−e2 ) W3
que es lo mismo que (3.88) En el ecuador ϕ = 0 así que:
(
)
M ϕ =0 = a 1 − e 2 = a(1 − f )
2
(3.92)
En los polos ϕ = ± 90º por tanto:
M ϕ =90o =
(
a 1 − e2
(1 − e )
)
2 3/ 2
=
a 1 − e2
=
a a2 = =c 1− f b (3.93)
En esta expresión, c, el cual fue introducido previamente, es visto como el radio de curvatura en el polo. Podemos tomar la razón: M 90 1 = a ⋅ = 1 M 0 1− f a(1− f )2 (1− f )3
M 90 =
M0 (1− f )3
(3.94)
Si los valores de M fuesen tabulados, ellos podrían trazarse con respecto a un origen en la superficie del elipsoide de referencia. El punto extremo de los distintos valores M caería en una curva según se muestra en el diagrama siguiente:
35
M90
M0
∆2 ∆1
Figura 3.9 Radios de Curvatura de Meridianos Ecuatorial y Polar Vamos a definir ∆ 1 y ∆ 2 según el diagrama: Luego: ∆ 1 = a − a(1 − f ) 2 = a (2 f − f 2 ) = ae 2
(3.95)
Además 2 ∆1 a(2 f − f 2 ) ∆2 = a − b = = ae = 1− f (1− f ) (1− f ) (1− f )
(3.96)
Para el Sistema de Referencia Geodésico de 1980 tenemos los siguientes valores para ∆1 y ∆ 2 : ∆ 1 = 42,697.67 m ∆ 2 = 42,841.31 m
3.5.2
Radio de Curvatura en el Primer Vertical
Hay varios procedimientos para deducir N. Una idea es usar el teorema de Meusnier donde el radio de curvatura (p) de una sección inclinada es igual al radio de curvatura (N) de una sección normal, multiplicado por el coseno del ángulo (ϕ) entre esas secciones. En nuestro caso deseamos hallar el radio de curvatura de la sección normal conociendo el radio de curvatura de la sección inclinada. Tenemos:
36
Sección normal en el primer vertical
Radio de curvatura del primer vertical
Figura 3.10 Radio de Curvatura del Primer Vertical
Radio de curvatura del
p
Paralelo de
Sección normal en el primer vertical
N
ϕ
Figura 3.11 Geometría para el uso del Teorema de Meusnier En la figura anterior, N es el largo de la línea normal desde la superficie del elipsoide hasta la intersección de esta línea con el eje menor. El radio de curvatura del paralelo es p. De la Figura 3.11:
37
p = N sin (90 − ϕ ) = N cos ϕ
(3.97)
El ángulo entre la sección del primer vertical y la sección inclinada es ϕ. Luego: p = (radio de curvatura del primer vertical) × cosϕ
(3.98)
En las ecuaciones (3.97) y (3.98) vemos que el radio de curvatura en la dirección del primer vertical es N. Es posible un enfoque alterno a partir de un argumento geométrico. Para hacer esto consideramos la figura siguiente, en la cual se ha dibujado una sección del primer vertical:
Figura 3.12 Deducción Geométrica de N(A) P Paralelo de Latitud
A
Sección del Primer Vertical
B C
Normal en A intersectando el eje de rotación
N K H
P En esta figura, PAP1 representa el meridiano a través de A. AH es la normal en A, intersectando al eje de rotación. B es un punto arbitrario en el mismo paralelo de A, mientras que BH es la normal en B intersectando al eje de rotación en H. C es un punto en la sección del primer vertical a través de A y que también yace en el meridiano que pasa por B. Construimos una normal en C que interseptará (en K) a la normal de A ya que AC es una curva plana. Podemos decir que K es el centro aproximado de curvatura del arco AC. Permítase ahora que el punto B se acerque al punto A, para que C se aproxime a A. La intersección de las normales se acercará al verdadero centro de curvatura y CK se aproximará al verdadero radio de curvatura del arco. Ahora, al acercarse C a A, C también se aproxima a B para que K se acerque a H. Así que el radio de curvatura de la
38
sección del primer vertical en A tiene que ser la distancia desde H hasta A o AH. Para calcular este radio consideramos la elipse meridiana en la figura siguiente.
N
ϕ
x
Figura 3.13 Deducción Geométrica de N (B) De la figura tenemos:
x = N cos ϕ Usando la expresión para x deducida previamente, podemos resolver para N y hallar:
N=
a 1 − e 2 sin 2 ϕ
=
a c = W V
(3.99)
En el ecuador el radio de curvatura del primer vertical es: N ϕ =0° = a
(3.100)
En el polo: 2 N ϕ =90° = a = a b 1− f
(3.101)
Vemos que M (ver (3.92) y (3.39)) y N son mínimos en puntos sobre el ecuador. En el polo M = N = a2/b = c de ahí que ambas curvaturas sean las mismas.
39
Podemos hallar la razón de N/M usando las ecuaciones (3.88) y (3.99). Por tanto: N = c ⋅ V3 = V 2 M V c ó N = V 2 = 1 + e' 2 cos 2 ϕ M
(3.102)
Por tanto N ≥ M, donde la igualdad se manifiesta en los polos.
3.5.3
Radio de Curvatura de la Sección Normal en el Acimut α
Puesto que N generalmente es mayor que M, asociamos N con ρ1 que se presentó en la ecuación (3.82). Si dejamos que α sea el acimut de una línea que interesa conocer su curvatura, tenemos θ = 90º −α . Si ρ = Rα podemos expresar la ecuación (3.82) para el elipsoide de revolución de la manera siguiente. 1 = sin 2 α + cos2 α Rα N M Rα =
(3.103)
MN N = N cos2 α + M sin 2 α 1 + e'2 cos2 α cos2 ϕ
3.6
(3.104)
Extensión de un Arco de Meridiano
Ahora pasamos a los cálculos de las extensiones de arcos de meridiano. En la ecuación (3.89) se escribió una longitud de arco diferencial como: ds = Mdϕ Para descubrir la extensión de arco entre dos puntos con latitudes ϕ1 y ϕ2 se integra la ecuación anterior para formular: ϕ2
ϕ2
ϕ1
ϕ1
s = ∫ Mdϕ = a(1 − e 2 ) ∫ La integral
dϕ W3
(3.105)
40
dϕ
∫W
(
= ∫ 1 − e 2 sin 2 ϕ
3
)
−3 / 2
dϕ
representa una integral elíptica que no puede integrarse en funciones elementales. En su lugar, el valor de 1 W 3 se desarrolla en series y la integración se efectúa término por término. Primero veremos el desarrollo en serie de 1 W 3 de MacLaurin: 1 = 1 + 3 e 2 sin 2 ϕ + 15 e 4 sin 4 ϕ + 35 e 6 sin 6 ϕ + 315 e 8 sin 8 ϕ + 693 e10 sin 10 ϕ... 3 2 8 16 128 256 W (3.106)
Para mayor facilidad en la integración reemplazamos las potencias de sinϕ por equivalentes de ángulo múltiple, según la ecuación (2.18), para encontrar:
1 = A − B cos 2ϕ + C cos 4ϕ − D cos 6 ϕ + E cos 8ϕ − F cos 8ϕ − F cos10ϕ + ... W3 (3.107) donde los coeficientes A, B,...,F, tienen el significado siguiente: A = 1 + 3 e 2 + 45 e 4 + 175 e 6 + 11025 e 8 + 43659 e10 + ... 4 64 256 16384 65536 B=
3 e 2 + 15 e 4 + 525 e 6 + 2205 e 8 + 72765 e10 + ... 4 16 512 2048 65536
C=
15 e 4 + 105 e 6 + 2205 e 8 + 10395 e10 + ... 64 256 4096 16384
D=
35 e 6 + 315 e 8 + 31185 e10 + ... 512 2048 131072
E=
315 e 8 + 3465 e10 + ... 16384 65536
F =
693 e10 + ... 131072
Ahora podemos sustituir (3.107) dentro de (3.105) y escribir:
(
s = a 1 − e2
)∫ ( A − B cos 2ϕ − C cos 4ϕ )dϕ + − − − ϕ2
ϕ1
(3.108)
s = a (1 − e 2 )∫ Adϕ − B ∫ cos 2ϕdϕ + C ∫ cos 4ϕdϕ + − − − ϕ2
ϕ2
ϕ2
ϕ1
ϕ1
ϕ1
ϕ2 ϕ2 B C ϕ2 s = a 1 − e Aϕ ϕ − sin 2ϕ + sin 4ϕ + − − − 1 2 4 ϕ1 ϕ1
(
2
)
41
(3.109)
s = a (1 − e 2 ) A(ϕ 2 − ϕ1 ) − B (sin 2ϕ 2 − sin 2ϕ1 ) + C (sin 4ϕ 2 − sin 4ϕ1 ) 2 4
− D (sin 6ϕ 2 − sin 6ϕ1 ) + E ( sin 8ϕ 2 − sin 8ϕ1 ) − F (sin 10ϕ 2 − sin 10ϕ1 ) + ... 6 8 10 (3.110) Esta ecuación puede ser escrita en una forma alterna usando la ecuación (2.22). En este caso X = ϕ 2 , Y = ϕ1, , de tal modo que:
n ϕ + ϕ2 sin nϕ 2 − sin nϕ1 = 2 cos n 1 sin (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 2
(3.111)
haciendo:
ϕm =
ϕ1 + ϕ 2 y ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 2
podemos escribir valores específicos de (3.111) como: sin 2ϕ 2 − sin 2ϕ1 = 2 cos 2ϕ m sin ∆ϕ sin 4ϕ 2 − sin 4ϕ1 = 2 cos 4ϕ m sin 2∆ϕ
(3.112)
sin 6ϕ 2 − sin 6ϕ1 = 2 cos 6ϕ m sin 3∆ϕ y así seguidamente. La ecuación (3.112) podría entonces ser sustituida dentro de la ecuación (3.110) quedando:
(
42
)
s = a 1 − e 2 [ A∆ϕ − B cos 2ϕ m sin ∆ϕ +
C D cos 4ϕ m sin 2∆ϕ − cos 6ϕ m sin 3∆ϕ + 2 3
E F cos 8ϕ m sin 4∆ϕ − cos10ϕ m sin 5∆ϕ + ...] 4 5 (3.113) Con el propósito de calcular la longitud del arco de meridiano desde el ecuador hasta una latitud arbitraria ϕ, igualaremos ϕ1 a cero y ϕ2 igual a ϕ en la ecuación (3.110). Entonces, encontraremos (con s =Sϕ):
(
)
B C D E F S ϕ = a 1 − e 2 Aϕ − sin 2ϕ + sin 4ϕ − sin 6ϕ + sin 8ϕ − sin 10ϕ + ... 2 4 6 8 10 (3.114) Helmert (1880) efectuó una deducción alterna para la longitud del arco meridiano en la cual el parámetro de desarrollo es n en lugar de e2. En este caso se obtiene una convergencia más rápida de la serie. Tenemos:
S ϕ = a [a 0ϕ − a 2 sin 2ϕ + a 4 sin 4ϕ − a 6 sin 6ϕ + a8 sin 8 ϕ ] 1+ n
(3.115)
donde: 2 4 a0 = 1 + n + n 4 64
3 a 2 = 3 (n − n ) 2 8
4 a 4 = 15 (n 2 − n ) 16 4
(3.116)
a 6 = 35 n 3 48 a8 = 315 n 4 512 Para lograr una precisión de 0.1 mm en Sϕ desde el ecuador hasta el polo, es suficiente dejar a8 en cero y omitir los términos de n4 en los coeficientes ai.
43
Usando la ecuación (3.114) ó (3.115) será fácil encontrar la distancia de arco desde el ecuador hasta el polo haciendo ϕ =90º . De las ecuaciónes (3.114) y (3.115) tenemos:
(
)
S ϕ =90o = a 1 − e 2 A
π a ⋅ a0 π = 2 1+ n 2
(3.117)
Para el Sistema de Referencia Geodésico de 1980 (GRS80) tenemos las siguientes constantes asociadas con el cálculo del arco de meridiano: A
=
1,00505250181
B
=
0,00506310862
C
=
0,00001062759
D
=
0,00000002082
E
=
0,00000000004
F
=
0,00000000000
a0
=
1,00000070495
a2
=
0,00251882970
a4
=
0,00000264354
a6
=
0,00000000345
a8
=
0,00000000000
(3.118)
La evaluación de (3.117) da para el cuadrante del elipsoide del GRS80: 10.001.965,7293 m. Para algunas aplicaciones conviene modificar las ecuaciones tales como (3.113), para obtener ecuaciones válidas para líneas más cortas en extensión. Por tanto, sustituimos en (3.113):
sin ∆ϕ = ∆ϕ −
∆ϕ 3 6
sin 2∆ϕ = 2∆ϕ Reteniendo los términos básicos de cos 4ϕ m sin 2∆ϕ , pero haciendo aproximaciones consistentes con el largo de las líneas para las cuales han de ser válidas las expresiones, encontramos (Zakatov, 1962, pág. 27):
[
cos 4ϕ m )e 4 + 18 e 2 ∆ϕ 2 cos 2ϕ m s = a∆ϕ 1 − ( 14 + 34 cos 2ϕ m )e 2 − ( 643 + 163 cos 2ϕ m − 15 64
] (3.119)
44
La ecuación (3.119) es precisa para líneas con ∆ϕ = 5º (longitud = 556 km) en 0,03 m. Si ∆ϕ = 10º (longitud = 1100 km) el error es 0,07 m. Para líneas aún más cortas pueden deducirse ecuaciones simplificadas. Si consentimos que Mm sea el radio de curvatura del meridiano en la latitud media (p.ej., ϕ m ) de la línea, puede demostrarse que (Zakatov, pág. 27):
[
s = M m ∆ϕ 1 + 18 e 2 ∆ϕ 2 cos 2ϕ m
]
(3.120)
Para ∆ϕ = 5º , el error en esta ecuación es de 0,03 m. Para líneas inferiores a los 45 km. de longitud, el término entre corchetes en (3.120) puede eliminarse de manera tal que para esta distancia más corta queda: s = M m ∆ϕ
(3.121)
3.7
Extensión de un Arco de Paralelo
Ahora veremos los cálculos de la extensión del arco en el elipsoide entre dos puntos que tienen longitudes λ1 y λ2, situados en el mismo paralelo. La distancia L deseada se indica en la Figura 3.14: p ∆λ
λ1
Figura 3.14 Extensión del Arco de un Paralelo
λ2
L
45
Recordemos de la ecuación (3.97) que la extensión del radio del paralelo (p) es N cos ϕ Así que de la figura:
L = p∆λ = N cos ϕ∆λ
(3.122)
donde ∆λ está en radianes 3.8
Cálculo de Áreas en la Superficie del Elipsoide
Deseamos considerar el área en el elipsoide limitada por meridianos y paralelos conocidos. Para hacerlo, primero consideramos la figura diferencial siguiente:
ϕ + dϕ
dλ
C
B
ϕ
D A
Ecuador
λ + dλ λ
Figura 3.15 Elemento de Área en el Elipsoide De la figura diferencial ABCD tenemos:
AB = CD = Mdϕ (3.123) AD = BC = N cos ϕdλ Dejando que el área de la figura diferencial sea dZ tenemos:
dZ = AD ⋅ AB = MN cos ϕdϕdλ
(3.124)
46
El área entre meridianos designados por λ1 y λ2, y paralelos designados por ϕ1 y ϕ2, es: ϕ2
Z = ∫ dz = ∫
ϕ1
λ2
∫λ
MN cos ϕdϕdλ
(3.125)
1
Integrando con respecto a λ tenemos: ϕ2
Z = (λ 2 − λ1 )∫ MN cos ϕdϕ
(3.126)
ϕ1
Para evaluar la integral sustituimos por MN para expresar: ϕ2
∫ϕ
1
MN cos ϕdϕ = b 2 ∫
ϕ2
ϕ1
cos ϕ
(1 − e
2
sin 2 ϕ
)
2
dϕ
(3.127)
La integral que ocurre en (3.127) puede darse en forma cerrada como sigue (Bagratuni, 1967, pág. 59):
b2 ∫
ϕ2
ϕ1
cos ϕdϕ
(1 − e
2
sin 2 ϕ
)
2
b2 = 2
ϕ2
sin ϕ 1 1 + e sin ϕ + ln 2 2 1 − e sin ϕ 2e 1 − e sin ϕ ϕ1
(3.128)
Por tanto, la ecuación (3.126) podría escribirse:
Z=
ϕ (λ2 −λ1 )b2 sin ϕ 1 ln 1 + e sin ϕ 2 + 2 2 2 1 − e sin ϕ 2e 1 − e sin ϕ ϕ1
(3.129)
Como un caso especial de la ecuación (3.129), calculamos el área en el elipsoide desde el ecuador hasta la latitud ϕ , completamente alrededor del elipsoide. Entonces (λ2 - λ1) = 2π, ϕ1 = 0 y ϕ2 = ϕ. La ecuación (3.129) se convierte en: sin ϕ 1 + e sin ϕ Z 0−ϕ = π b 2 2 2 + 1 ln 1−e sin ϕ 2e 1 − e sin ϕ
(3.130)
Si nos interesa el área de la mitad del elipsoide, dejamos que ϕ = 90º en la ecuación (3.130) para escribir:
47
1 + e Z 0−90 º = πb 2 1 2 + 1 ln e 2 e 1 − 1 − e
(3.131)
Para evaluar el área de todo el elipsoide, multiplíquese la ecuación (3.131) por dos. En algunos casos puede ser más conveniente integrar la ecuación (3.127) usando una expansión del núcleo en una serie, y su subsecuente integración término por término. Primero escribimos:
cosϕ = cos ϕ + 2e 2 cos ϕ sin 2 ϕ + 3e 4 cos ϕ sin 4 ϕ + 4e 6 cos ϕ sin 6 ϕ + ... (1−e2 sin 2 ϕ )2 (3.132) La ecuación (3.132) puede ser usada en (3.127) la cual es empleada en (3.126) para hallar:
[
]
ϕ
2 Z = b 2 (λ 2 − λ1 ) sin ϕ + 2 e 2 sin 3 ϕ + 53 e 4 sin 5 ϕ + 74 e 6 sin 7 ϕ + ... 3 ϕ1
(3.133)
Si (λ2 − λ1 ) = 2π y ϕ1 = 0º encontramos una ecuación de (3.133) correspondiendo a (3.130) como:
[
]
Z 0−ϕ = 2πb 2 sin ϕ + 2 e 2 sin 3 ϕ + 53 e 4 sin 5 ϕ + 74 e 6 sin 7 ϕ + 5 e 8 sin 9 ϕ + ... (3.134) 3 9 El área total del elipsoide Σ , puede encontrarse dejando que ϕ = 90º en la ecuación (3.134) y duplicando el resultado. Así encontramos: 2 2 4 6 8 10 ∑ = 4πb 1 + 2 e + 3 e + 4 e + 5 e + 6 e + ... 5 7 9 11 3
(3.135)
La ecuación (3.135) será útil en una sección próxima. El área del elipsoide del GRS80 es 510.065.621,7 km2.
3.9
Radio de Aproximación Esférica de la Tierra o Radio Medio de la Tierra como si ésta fuese una Esfera
48
En algunas aplicaciones conviene suponer que la Tierra es una esfera en vez de un elipsoide. Se hace necesario, entonces, formular un radio adecuado, R, de la esfera para su uso. Un radio apropiado puede definirse de varias maneras, a continuación se citan las siguientes:
3.9.1
Radio Medio Gaussiano
El radio medio gaussiano se define como el valor integral medio de R tomado sobre el acimut variando de 0º a 360º. Designando tal radio como R tenemos:
R=
R=
1 2π 1 2π MN Rα dα = dα ∫ ∫ 2 2π 0 2π 0 N cos α + M sin 2 α
2
π
∫
2π
0
M cos 2 α M 1+ tan 2 α N
Removiendo
R=
2
π
2
π
(3.137)
MN la ecuación (3.137) puede escribirse como: M dα N cos 2 α
π /2
MN ∫
0
M 1 + tan α N
Si admitimos t = expresarse como:
R=
(3.136)
MN ∫
∞
0
2
(3.138)
( M / N ) tanα, y se cambian los límites, la ecuación (3.138) podría
dt 1+ t2
(3.139)
que en la integración produce:
R=
MN =
a 1 − e2 1 − e 2 sin 2 ϕ
(3.140)
49
3.9.2
Radio de una Esfera que tenga el Promedio de los Tres Semiejes del Elipsoide
Dejemos que: R m = a + a +b 3
(3.140)
Sustituyendo por b y desarrollando, tenemos: 2 2 Rm = a 2 + 1−e = a 2 + 1 1 − e + ... 3 3 2 3 3 2 4 6 Rm = a1 − e − e − e ... 6 24 48
3.9.3
(3.141)
Radio Esférico de la Esfera con igual Área que el Elipsoide
Para encontrar tal radio hacemos que el área de una esfera se iguale al área del elipsoide, permitiendo que RA sea el radio de la esfera. Luego:
4π ⋅ R A = Σ 2
(3.142)
Despejando RA,
RA =
Σ 4π
(3.143)
Usando la ecuación (3.135) hallamos: e 2 17 4 67 6 R A = a1 − − e − e + ... 6 360 3024
3.9.4
Radio de una Esfera con igual Volumen que el Elipsoide
(3.144)
50
El volumen de una esfera, VS se expresa como:
4 3 V S = π ⋅ Rv 3
(3.145)
donde R es el radio de la esfera. El volumen de un elipsoide se expresa como: v 4 VE = π ⋅ a 2 b 3
(3.146)
Igualando (3.145) y (3.146) hallamos:
Rv = 3 a 2 b
(3.147)
Sustituyendo para b tenemos:
(
Rv = a 1 − e 2
)
1/ 6
(
Desarrollando 1 − e 2 expresarse como:
(3.148)
)
1/ 6
dentro de una serie de MacLaurin, la ecuación (3.148) puede
e2 5 4 55 6 Rv = a1 − e ... − e − 6 72 1296
(3.149)
Para los parámetros del Sistema Geodésico de Referencia 1980 tenemos: Rm
= 6371008,7714 m
RA
= 6371007,1810 m
Rν
= 6371000,7900 m
Claramente la distinción entre estos radios es numéricamente pequeña. Para la mayoría de las aplicaciones se puede usar 6371 km. Una técnica alterna para un radio esférico es tomar el radio medio gausiano en una latitud específica.
51
3.10
Coordenadas Rectangulares Espaciales
Durante las explicaciones conectadas con la figura 3.3, definimos los ejes X, Y, Z. Ahora consideramos el cálculo de las coordenadas X, Y, Z, de un punto ubicado en una altura geométrica h, encima del elipsoide de referencia. La altura geométrica se mide a lo largo de la normal al elipsoide. Para empezar consideremos la elipse del meridiano en la figura 3.16. z
h
z
z x
ϕ x
x
Figura 3.16 Geometría de un Punto Localizado Fuera de una Elipse Meridiana Tenemos:
x' = x + h cos ϕ
(3.150)
z ' = z + h sin ϕ donde x y z se conocen por las ecuaciones (3.42) y (3.44). Las coordenadas rectangulares espaciales como se ven en la Figura 3.16 pueden relacionarse a x’ y z’ como sigue: X
=
x’ cos λ
Y
=
x’ sin λ
Z
=
z’
(3.151)
Usando las ecuaciones (3.42) y (3.43) y la expresión para x’ y z’, se obtiene: X
=
(N + h) cos ϕ cos λ
Y
=
(N + h) cos ϕ sin λ
Z
=
(N (1-e2) + h)sin ϕ
(3.152)
52
Donde N = a/W. Un problema que se tratará más adelante, es el cálculo de ϕ , λ , y h conociendo las coordenadas rectangulares espaciales X, Y, Z.
3.11
Una Forma Alterna para la Ecuación del Elipsoide
Previamente escribimos la ecuación de una elipse (ver ecuación 3.23) de la forma: x2 + z2 = 1 a2 b2 donde x es la coordenada medida paralela al semieje mayor y z se mide paralela al semieje menor. La ecuación del elipsoide puede escribirse de una manera semejante: X2 + Y2 + Z2 =1 a2 a2 b2
(3.153)
en donde X, Y, Z son las coordenadas rectangulares espaciales para los puntos sobre el elipsoide. Una forma alterna a (3.153) fue descrita por Tobey (1928). Primero definimos los ejes x’, y’, y z’ en un punto P sobre la superficie del elipsoide. x’ es tangente al elipsoide hacia el polo, y’ es tangente al elipsoide en dirección Este y z’ es normal al elipsoide, positiva hacia el centro. Este sistema se muestra en la Figura 3.17. S
x
y
T
P
z N
90°
n
Figura 3.17 Sistema Local de Coordenadas en el Elipsoide
Q
53
Usando la anotación de Tobey, indicamos la sección meridiana de la elipse como SPQ. La normal de P al eje menor es el radio de curvatura del primer vertical N, y ϕ es la latitud geodésica del punto P. Defina una esfera de radio N que tiene su centro en nP y, por tanto, es tangente al elipsoide en P y a todos los puntos en el paralelo PT. La ecuación de este círculo en el plano del meridiano es: x’2 + z’2 - 2Nz’ = 0
(3.154)
donde el origen está en P. La ecuación correspondiente para la esfera tangente sería: x '2 + y '2 + z '2 − 2 Nz ' = 0
(3.155)
La elipse meridiana es la curva que es tangente en P donde la línea x ' cos ϕ − z ' sin ϕ = 0 corta el círculo x '2 + z '2 − 2 N z ' = 0 . Por tanto, la ecuación de la elipse meridiana en este sistema local de coordenadas toma la forma: x '2 + z '2 − 2 Nz ' + δ ( x ' cos ϕ − z ' sin ϕ ) 2 = 0
(3.156)
Una ecuación de elipsoide debe reducirse a (3.156) cuando y’ = 0. Así la ecuación general para un elipsoide podría escribirse como: x '2 + z '2 − 2 Nz ' + δ ( x ' cos ϕ − z ' sin ϕ ) 2 + f ( y ' ) = 0
(3.157)
Permitiendo que δ = 0, y comparando (3.157) con (3.155), tenemos f (y’) = y’2, para que la ecuación del elipsoide sea: x '2 + y '2 + z '2 − 2 Nz ' + δ ( x ' cos ϕ − z ' sin ϕ ) 2 = 0
(3.158)
Tobey (idem. Proposición I) demuestra que δ = e'2 lo cual fue definido previamente. La ecuación (3.158) se considera como una forma alterna a (3.153) para la ecuación del elipsoide de rotación.
54
4
CURVAS EN LA SUPERFICIE DEL ELIPSOIDE 4.1
Secciones Normales 4.1.1
Introducción
Hemos definido previamente una sección normal como una curva formada por la intersección de un plano que contiene la normal en un punto dado en la superficie del elipsoide. Una sección normal específica desde el punto A al punto B está formada por la intersección de un plano, que contiene la normal en el punto A que pasa a través del punto B, con la superficie del elipsoide de referencia. Físicamente, la sección normal puede ser vista cuando se nivela un teodolito con respecto a la normal del elipsoide en el punto donde se encuentra el instrumento. Un plano normal es el plano que se genera al mover el telescopio en dirección vertical. Visualizando un objeto distante, definimos un plano que contiene la normal en el sitio de observación, y que pasa a través del sitio observado. La intersección de este plano con el elipsoide forma la sección normal desde el punto de observación hasta el punto observado. En la figura siguiente se muestran las secciones normales desde A hasta B, y luego desde B hasta A, notando que, en general, tales secciones son diferentes debido a que las normales al elipsoide en latitudes distintas, intersecan el eje menor en lugares diferentes. Las dos secciones diferentes algunas veces son llamadas secciones contra-normales.
B
A
0 nA nB
55
Las distancias OnA y OnB pueden ser calculadas considerando el diagrama siguiente, que es una sección meridiana a través de A.
A z
N
ϕ
O n
Figura 4.1 Determinación de la Distancia OnA Tenemos: On A = N A sin ϕ A − z A
(4.1)
Usando la ecuación (3.39) para z tenemos: On A = N A sin ϕ A − N A (1 − e 2 ) sin ϕ A = e 2 N A sin ϕ A
(4.2)
Similarmente: On B = e 2 N B sin ϕ B
(4.3)
Si ϕ A 〉 ϕ B ; On A > On B se deduce que mientras más al norte esté la ubicación del punto a través del cual se pasa la normal, mayor será On y más distante hacia el sur estará el eje de rotación intersecado por la normal. Así que si A se halla al sur de B, la sección normal desde A hacia B se encontrará al sur de la sección normal desde B hacia A.
56
En general, el hecho de tener dos secciones normales entre dos puntos crea problemas cuando se usan observaciones de dirección en los cálculos. Esto puede verse en la figura siguiente, donde las líneas observadas se indican para un triángulo en la superficie del elipsoide. θ3
θ1 θ2
Figura 4.2 Un “Triángulo” de Sección Normal Los ángulos medidos son θ1, θ2, y θ3. A simple vista podemos concluir que no se ha observado ninguna figura cerrada. Finalmente, vamos a considerar dos casos en donde sólo hay una sección normal entre dos puntos. El primero ocurre cuando los dos puntos están en un meridiano. El segundo, cuando los dos puntos están en el mismo paralelo. El primer caso ocurre porque el meridiano es una curva plana, mientras que el segundo está claro porque las normales en la misma latitud interceptan al eje menor en el mismo punto.
4.1.2
Separación entre Secciones Normales Recíprocas B
Sección Normal
f
Cuerda
A
Sección Normal
57
Estamos interesados en las diferencias acimutales y distancias entre secciones normales recíprocas. Antes de considerar esas cantidades deduciremos una expresión para el ángulo f, que es el ángulo entre los planos generados por las secciones normales entre A y B. Este ángulo se muestra en la figura 4.3. Figura 4.3 Ángulo entre las Secciones Normales Recíprocas en la Cuerda que las Conecta Para encontrar este ángulo consideramos la Figura 4.4.
Pol
360°αB f
B
90-σ/2
αA
A
δ f 360°n’B
Semi eje
n’A
σ nA 90 + ϕB 90-
nB
Figura 4.4 Geometría de la Sección Normal
58
El ángulo αAB es el acimut de la sección normal desde A hacia B en A, mientras que αBA es el acimut de la sección normal desde B hacia A en B. σ es el ángulo entre las líneas rectas nAA y nBB. δ2 es el ángulo nABnB. BnAnB yace en el plano meridiano a través de B. Puesto que An A ≈ Bn A , el triángulo AnAB es aproximadamente un triángulo isósceles. Por tanto, el ángulo ABnA es aproximadamente 90º - σ/2 Luego construimos los arcos AnA’ y AnB’, desde el punto B como centro. El arco nA ' nB ' estará en el meridiano a través de B y será de longitud δ2. Consecuentemente, el ángulo interior n A ' nB ' A será de 360º - αBA. El arco AnA ' será de 90º - σ/2. El ángulo n A ' AnB ' será igual al ángulo f que queremos evaluar. Aplicando la ley de senos al triángulo AnA ' nB ' , tenemos: sin (360º − α BA ) sin f = sin δ2 sin (90º − σ 2
(4.4)
o resolviendo para sin f
sin f =
− sin δ 2 ⋅ sin α BA
σ
sin (90º − ) 2
(4.5)
Del triángulo plano Bn A n B tenemos: sin δ 2 sin(90º + ϕ B − δ 2 ) nAnB = Bn
(4.6)
B
donde ϕ B es la latitud del punto B. Para encontrar nAnB restamos (4.2) de (4.3). n A n B = On B − On A = e 2 ( N B sin ϕ B − N A sin ϕ A )
(4.7)
Sustituyendo N y omitiendo los términos en el orden de ae4(ϕA-ϕB) encontramos:
n A n B = ae 2 (ϕ B − ϕ A ) cos ϕ m
(4.8)
donde ϕ m es la latitud media. Expandiendo la expresión de ángulos múltiples de (4.6) tenemos: sin δ 2 =
n A nB n n cos ϕ B cos δ 2 + sin ϕ B A B sin δ 2 Bn B Bn B
(4.9)
Sustituyendo (4.8) dentro de (4.9), omitiendo los términos extremos del lado derecho, y notando que BnB = NB tenemos:
sin δ 2 =
59
ae (ϕ B − ϕ A ) cos ϕ B cos ϕ m NB 2
(4.10)
Con un error de e 4 (ϕ B − ϕ A ) tomados a/NB igual a uno y escribimos:
sin δ 2 = e 2 (ϕ B − ϕ A ) cos ϕ B cos ϕ m
(4.11)
Jordan (1962) dio una expresión cerrada para determinar δ2 y una forma en serie más exacta que (4.11). La forma cerrada es Jordan (idem, Volumen III, 2, pág. 3):
tan δ 2 =
V e 2 sin ϕ B − sin ϕ A B cos ϕ B VA
(4.12)
V 1 − e sin ϕ B − sin ϕ A B sin ϕ B VA 2
La forma de la serie es (idem, p.3):
δ 2 = ηB 2
∆ϕ η B t B ∆ϕ 2 η B ∆ϕ 3 η B t B ∆ϕ 4 + − − +−−− 2 2 VB 4 6 VB 6 24 V B 8 VB 2
2
2
donde η 2 = e' 2 cos 2 ϕ y t = tan ϕ
(4.13)
(4.14)
Sustituyendo (4.11) dentro de (4.5) tenemos:
sin f =
− e 2 (ϕ B − ϕ A ) cos 2 ϕ m sin α BA
σ cos 2
(4.15)
donde suponemos que ϕ B = ϕ m . Para encontrar σ consideramos una aproximación de suficiente precisión. Tomamos un triángulo esférico pequeño, según la Figura 4.5:
60
Meridian Paralel
B
(ϕβ-ϕA) s
Aproximación a la Sección N l
σ αAB
A
Figura 4.5 Una Aproximación Para el Arco Esférico σ Del triángulo tenemos aproximadamente: (ϕ B − ϕ A ) = σ cos α AB
(4.16)
Suponiendo que α 21 = α12 ± 180º (esto es, ignorando la convergencia meridiana en consideración a que estamos tratando con líneas de un largo de 50-100 km), permitiendo que
cos
σ ≈ 1, f ≈ sin f 2
y sustituyendo la ecuación (4.16) dentro de (4.15),
encontramos:
f =
1 2 e σ cos 2 ϕ m sin 2α AB 2
(4.17)
Una aproximación razonable para σ es s/NA, donde s es la dimensión de la sección normal. Entonces: f =
1 2 s e cos 2 ϕ m sin 2α AB 2 NA
(4.18)
De (4.18) vemos que f aumenta linealmente con la distancia. Se reducirá al aumentar la latitud y será un máximo para líneas que tengan por acimut múltiplos impares de 45º. Para s = 100 km, ϕ m = 45o y α 12 = 45º, f = 5,4”.
61
4.1.3
Separación Lineal de Secciones Normales Recíprocas
Ahora consideramos la separación lineal entre las secciones normales. Veamos la siguiente figura, donde, con suficiente exactitud los arcos AaB y AbB pueden tomarse como arcos esféricos con centros en nA y nB. b
k2
B
Eje
k f k1
a
A
90-
90-
θ
σ
n
n
Figura 4.6 Geometría de la Separación Lineal de la Sección Normal El punto k es un punto arbitrario en la sección normal de A a B, θ es el ángulo, análogo a σ , knAA. Como k varía en posición entre A y B, θ varía de 0 a σ. Tenemos: Ángulo BAnA = 90º - σ 2
(4.19)
Ángulo kAnA= 90º - θ 2 Ángulo kAB = kAnA - BanA = σ −θ 2
(4.20)
De la figura 4.6 tenemos: Ak = 2 N A sin
θ 2
(4.21)
62
Ahora consideremos un triángulo cuyo vértice está en la cuerda: d k
k2
Arco en la Superficie del Elipsoide
f k1 Figura 4.7 Separación Lineal De la Figura 4.7 tenemos: kk 2 = d = kk1 ⋅ f
(4.22)
donde d es la separación lineal deseada. También usando (4.20) y (4.21), tenemos: kk1 = Ak sin kAB = 2 N A sin θ sin σ −θ 2 2
(4.23)
Usando las ecuaciones (4.18) y (4.23) en (4.22) encontramos:
θ
d = e 2 s sin sin σ −θ cos 2 ϕ m sin 2α AB 2 2
(4.24)
Suponiendo que σ y θ son pequeños, la ecuación (4.24) podrá escribirse: 2 d = e sθ (σ − θ ) cos 2 ϕ m sin 2α AB 4
(4.25)
La separación máxima ocurrirá en θ = σ , que al sustituirse dentro de la ecuación (4.25) 2 produce: 2 d max = e sσ 2 cos 2 ϕ m sin 2α AB 16
(4.26)
o al sustituir para σ : 2 3 d max = e s 2 cos 2 ϕ m sin 2α AB 16 N A
(4.27)
63
La ecuación (4.27) falla en principio cuando los dos puntos están ubicados en el mismo paralelo, ya que la separación d debiera ser cero en este caso. Sin embargo, el resultado será correcto dentro de la precisión de la derivación. Una fórmula más exacta es determinada por Zakatov (1962, pág. 53): 2 3 σ d max = N A e σ sin α AB cos 2 ϕ A (cos α AB − tan ϕ A ) 8 2
(4.28)
Ejemplos numéricos usando 4.27: Caso 1 ϕ m = 45º , α AB = 45º s
200 km
100 km
50 km
d max (m)
0,050 m
0,006 m
0,0008 m
Caso 2 ϕ m = 52º , α AB = 45º s
150 km
100 km
20 km
d max (m)
0,013 m
0,0038 m
0,0001 m
Evidentemente esta separación lineal es muy pequeña y no tiene ningún significado práctico. 4.1.4
Separación Acimutal de una Sección Normal Recíproca
Designamos el ángulo entre las secciones normales, medido tangente a las secciones normales como ∆ . Este ángulo también es la diferencia entre los acimut de las dos secciones normales, como puede verse a continuación: Pol
B
α’AB
∆ αAB
A
Figura 4.8 Separación Acimutal de la Sección Normal Tenemos:
64
∆ = α AB − α ' AB
(4.29)
donde α ' AB es el acimut de la sección normal desde B hasta A en el punto A. De la Figura 4.6 escribimos:
Ángulo kAk2 =
kk2 Ak
(4.30)
o usando (4.25) para kk2 y dejando que Ak = N Aθ tenemos:
Ángulo kAk 2 =
e2 s (σ −θ ) cos 2 ϕ m sin 2α AB 4N A
(4.31)
2 = e σ (σ − θ ) cos 2 ϕ m sin 2α AB 4
Para obtener el ángulo ∆ , permitimos que θ tienda a cero para que el ángulo kak2, en el límite, vaya al ángulo deseado. Entonces tenemos:
∆=
e2σ 2 cos2 ϕm sin 2α AB e2 s 2 ( ) cos 2 ϕ m sin 2α AB = 4 4 NA
(4.32)
Nótese que (4.32) se divide cuando los dos puntos están en el mismo paralelo al igual que (4.27). En este caso se necesita una expresión más precisa para ∆. De Jordan (Vol. III, 2da mitad, pág. 16) tenemos: 2 tan ϕ A s ) ∆ = e sin α AB ( Ns ) 2 cos 2 ϕ A (cos α AB − 2 2 NA A
(4.33)
Uno puede mostrar que la expresión de más a la derecha en (4.33) es esencialmente cero para puntos cercanos al mismo paralelo. Ejemplo de valores de ∆ calculados de (4.33) se muestran a continuación:
Caso 1
ϕ A = 0º , α AB = 45º
s
200 km
100 km
50 km
∆"
0,339 m
0,085 m
0,021 m
Caso 2
ϕ A = 52º , α AB = 45º
s
150 km
100 km
30 km
∆"
0,071 m
0,032 m
0,003 m
65
Generalmente, para distancias de hasta 20-25 km no es necesario considerar la separación angular de las secciones normales. Para distancias mayores, normalmente es necesario hacer las correcciones apropiadas usando ecuaciones tales como (4.33).
4.1.5
El Arco Elíptico de una Sección Normal
Durante la deducción en la sección anterior, en varios casos intercambiamos σ y (s/NA). Es apropiado considerar una relación más rigurosa entre σ y s. Primero veremos la Figura 4.9
A
αAB s
B
S2 NA
σ nA Figura 4.9 Arco Elíptico de una Sección Normal Tenemos s, la distancia de la sección normal; σ el ángulo AnAB, y S2 la distancia nAB. Después de alguna manipulación, se puede mostrar (Jordan, pág. 11, Vol. III, 2da mitad) que: S2 1 1 2 = 1 − σ 2η A cos 2 α AB + σ 3η 2 t A cos α AB + − − − NA 2 2
(4.34)
donde:
η A 2 = e' cos 2 ϕ A t A = tan ϕ A Ahora deseamos calcular una distancia diferencial ds a lo largo del arco de la sección normal. Para hacerlo, consideremos la Figura 4.10: Tenemos:
d
66
B
A
S dσ
NA
σ Figura 4.10 El Elemento Diferencial en el Arco Elíptico ds 2 = ( S 2 dσ ) 2 + (dS 2 ) 2
(4.35)
El primer término puede escribirse de (4.34) como (se omiten los subscritos A y AB para mayor conveniencia): 1 1 1 (S2 dσ ) 2 = N 2 (1 − σ 2η 2 cos2 α + σ 3η 2t cosα + σ 4η 4 cos4 α − σ 5η 4t cos3 α + σ 6η 4t 2 cos2 α)dσ 2 4 2 4 (4.36)
Luego diferenciamos (4.34) considerando a σ como la variable. Elevando al cuadrado el resultado se obtiene:
(dS 2 ) 2 = N 2 (η 4 cos 4 ασ 2 − 3η 4 t cos 3 ασ 3 +
9 4
η 4 t 2 cos 2 ασ 4 ) dσ 2 + − − −
(4.37)
Tomando la raíz cuadrada de la suma representada por (4.35) queda: 1 ds = N + Nη 2 cos 2 α (η 2 cos 2 α )σ 2 − N2 η 2 cos 2 ασ 2 + N2 η 2 t cos ασ 3 − 32N η 4 t cos 3 ασ 3 dσ 2 (4.38) Ahora integramos esta expresión de 0 a s, y correspondiente de 0 a σ para hallar: 1 1 s = N Aσ 1 + σ 2η A2 cos 2 α AB (η A2 cos 2 α AB − 1 ) + η A2 t A cos α AB (1 − 3η A2 cos 2 α AB )σ 3 8 6 (4.39) Usando (2.10) podemos invertir esta ecuación para obtener: 2 3 s 1 2 s s 1 2 2 2 2 2 2 − η A t A cos AB 1 − 3η A cos α AB + ... 1 + η A cos α AB (1 − η A cos α AB ) σ= NA 6 NA 8 NA (4.40)
(
)
67
4.1.6
Corrección del Acimut debido a la Altura del Punto Observado
Cuando en realidad las direcciones son medidas, como por ejemplo con teodolitos, éstas son medidas entre puntos ubicados sobre la superficie de la Tierra. Sin embargo, generalmente los cálculos geodésicos se efectúan en la superficie del elipsoide de referencia. Por lo tanto es necesario corregir las observaciones, donde sea apropiado, por cualquier efecto causado al pasar desde la superficie terrestre al elipsoide de referencia. Un efecto considerado en esta sección es aquél causado por la altura del punto que está siendo observado. Para considerar este efecto, se ubica un punto A en el elipsoide de referencia y un punto B en una elevación h. Nivelamos el teodolito en A y pasamos un plano, normal en A, a través del punto elevado B. El acimut de A podría ser designado como αh. No obstante, este acimut no es el deseado, ya que el que se requiere es uno hacia el punto b proyectado sobre el elipsoide de referencia. Dejemos que este acimut sea α. Puesto que el elipsoide se encuentra ligeramente achatado, la diferencia (α-αh) que ha de ser determinada, es pequeña. Para calcular esta diferencia consideramos la figura siguiente:
B
αh α A
h
b’ b
δ2
nA nB Figura 4.11 Efecto Acimutal para un Punto Elevado sobre el Elipsoide La proyección de b sobre el elipsoide queda determinada por la normal al elipsoide que pasa a través de B. El punto b’ es un punto en el elipsoide determinado por la intersección del plano normal en A que pasa a través de B, con el meridiano de b. El ángulo δ2 es el ángulo nABnB. Con suficiente exactitud, podemos asociar δ2 con δ2 indicado en la ecuación (4.11). Con este propósito escribimos la ecuación (4.11) en la forma:
δ 2 ≈ e 2 ∆ϕ cos 2 ϕ m
(4.41)
donde ∆ϕ es la diferencia en latitud (ϕB - ϕA). Ahora volvemos a escribir (4.16) dejando, con suficiente exactitud, que σ = s / M m , donde Mm es el radio de curvatura del meridiano en la latitud media ϕm. Tenemos entonces:
68
∆ϕ = s cos α AB Mm
(4.42)
lo cual podría ser sustituido dentro de (4.41) para obtener:
δ 2 = Ms e 2 cos 2 ϕ m cos α AB m
(4.43)
El arco bb’ es entonces hδ2 así que: bb' = hs e 2 cos 2 ϕ m cos α AB Mm
(4.44)
Consideramos de inmediato el triángulo b’Ab.
b’ αh α
α-αh
360-αBA
b
A
Figura 4.12 Triángulo Pequeño para la Determinación del Efecto de Altura. Aplicamos la ley de senos para escribir (asumiendo una figura plana ya que tratamos con triángulos relativamente pequeños en el elipsoide): sin(α −α h ) sin(360º − α BA ) = s bb' Sustituyendo (4.44) dentro de (4.42) y dejando que: sin(α − α h ) ≈ α − α h sin(360º −α BA ) ≈ sin α AB encontramos:
(4.45)
h e 2 cos 2 ϕ sin 2α α − α h = 2M m AB m
69
(4.46)
La ecuación (4.46) entrega la corrección deseada. Por tanto, el acimut corregido α obtenido del acimut medido es: h e 2 cos 2 ϕ sin 2α α = α h + 2M m AB m
(4.47)
Una expresión más exacta para α-αh se halla en Jordan (III, 2da parte, pág. 20) como: s sin α tan ϕ ) α − α h = Nh η 2A (sin α AB cos α AB − 2 N AB A A A
(4.48)
Advertimos que para una primera aproximación, la corrección que está calculándose no depende de la separación de los dos puntos. Además, si la excentricidad del elipsoide es cero, la corrección es cero. Por lo cual, la corrección no existiría para una esfera. En realidad, la razón principal por la que existe la corrección se debe a que las normales del elipsoide en diferentes latitudes interceptan el eje menor en ubicaciones distintas. Consideramos dos cálculos numéricos: Si ϕ m = 45º , h = 1000m,α − α h ≤ 0,05" ; para h = 200m, α − α h ≤ 0,008" Jordan (III, 2da parte, pág. 20) da el siguiente ejemplo para una línea medida desde España hasta África del Norte:
ϕ 1 = 35º 01' α AB = 327 º 40' h = 3.482 m s = 269.926 m Entonces evaluando la ecuación (4.48) se encuentra que:
α − α h = − 0,2291" + 0,0040" = − 0,2251" Esta corrección de altura siempre deberá considerarse al reducir observaciones, aunque en general sólo es apropiada para elevaciones más altas. Sin embargo, si se descuidara la corrección en elevaciones bajas, podría causar errores sistemáticos al efectuarse los cálculos de la triangulación.
70
Finalmente, recordamos que en nuestras deducciones asumimos que el punto A estaba localizado sobre la superficie del elipsoide de referencia. Si el punto A estuviera elevado, nuestro argumento no se alteraría puesto que las direcciones en A se miden con respecto a la normal en A. Así que la corrección α − α h no depende de la altura de la estación de observación.
4.1.7
El Ángulo de Declinación de la Cuerda
Considérense dos puntos A y B en el elipsoide que están conectados por una curva de sección normal de largo s. Permítase que sea µ el ángulo de inclinación con respecto a la tangente en A, en la dirección AB, según la Figura 4.13.
A
c
µ B
NA S2
σ
Figura 4.13 El Ángulo de Declinación de la Cuerda El ángulo de declinación µ se mide, en esta derivación, positivo hacia abajo. De la Figura 4.13 tenemos:
tan(90º − µ ) =
S2 sin σ N A − S2 cos σ
(4.49)
o tan µ sin σ =
NA − cos σ S2
(4.50)
Podemos rescribir (4.50) usando NA/S2 determinado de (4.34) y luego expandiendo en serie tan µ, sin σ , y cos σ . Tenemos (Jordan, III, 2da parte, pág. 12):
71
1 1 µ = σ (1 + η A2 cos 2 α AB ) − σ 2η A2 t A cos α AB 2 2
(4.51)
Si queremos una expresión para µ en términos de s, usamos (4.40) para escribir:
µ=
s s (1 + η A2 cos 2 α AB ) − η A2 t A cos α AB 2 2N A 2N A
Consideramos algunos valores numéricos de ϕ A = 45º , y α AB = 45º. Para este caso tenemos: s (km)
µ
al tomar un punto donde
µ
10
2’ 41,7”
30
8’ 5,09”
50
(4.52)
13’ 28,5”
75
20’ 12,7”
100
26’ 56,9”
4.1.8
La Sección Normal y la Magnitud de la Cuerda
Dejemos que la extensión de la cuerda entre AB sea c, según la Figura 4.13. Escribimos (Jordan, III, 2da parte, pág. 12): sin σ sin σ c N A = sin ( µ +90º −σ ) = cos (σ − µ)
(4.53)
Ya que σ es pequeña, podemos expandir el lado derecho de (4.53): c = σ (1 − σ 2 + σ 4 ) (1 + 1 (σ − µ ) 2 + 5 (σ − µ ) 4 ...) NA 6 120 24 2
(4.54)
Podemos obtener una expresión para σ − µ de (4.51) para que (4.54) se pueda escribir como:
(
)
c 1 1 1 2 2 = σ 1 − σ 2 1 + 6η A cos 2 α AB + σ 3η A t A cos α AB + σ 4 ... NA 4 1920 24
(4.55)
72
Si introducimos (4.40) hallamos: 1 s2 1 s3 1 s4 2 2 2 1 2 cos cos c = s 1 − + η α + η t α + (4.56) A AB A A AB 2 3 4 24 8 1920 N N N A A A
(
)
La ecuación (4.56) puede invertirse usando (2.10) para hallar la distancia de la sección normal conociendo la distancia de la cuerda. Encontramos: 1 c2 1 c3 3 c4 2 2 2 + − + c = s 1 − η α η t α 1 2 cos cos A AB A A AB 2 8 N A3 640 N A 4 24 N A
(
)
(4.57) Bagratuni (1967, pág. 77) da una fórmula más exacta para obtener la distancia de la sección normal, como sigue: 4 6 8 4 1 c 6 µ1 c 3 c c c 3 5 s = c 1+ + + + + µ2 + − − − 6 2r 40 2r 112 2r 2 2r 5 2r
(4.58) donde: r 2 = x12 + y12 + z12 , es el radio geodésico al primer punto.
µ1 =
µ2 =
e' 2 sin 2ϕ A cos α AB 1 + η A cos 2 α AB 2
(
e' 2 sin 2ϕ A − cos 2 ϕ A cos 2 α AB
)
(4.59)
1 + η A cos α AB 2
2
La exactitud de estas fórmulas depende principalmente del largo de la línea. Por ejemplo, el último término en (4.57) multiplicado por c tiene un valor de 9 mm con c = 200 km, y 68 mm para c = 300 km.
73
4.1.9
La Sección Normal en un Sistema de Coordenadas Local
Consideremos dos puntos A y B ubicados en o encima de la superficie del elipsoide. Las coordenadas rectangulares espaciales de estos dos puntos pueden determinarse de la ecuación (3.152), suponiendo que conocemos la latitud, longitud y altura de cada punto sobre el elipsoide. Ahora introducimos un sistema de coordenadas local u, v, w donde el origen para este sistema está en el punto A. El eje w: está en la dirección de la normal al elipsoide en el punto A. El eje u es perpendicular al eje w en la dirección norte definida por el meridiano geodésico. El eje v es perpendicular al plano u-w apuntando en dirección Este, positiva. Dichos ejes se muestran en la Figura 4.14.
Z w u v A
B
hA
Y
ϕB
λ A ϕA λB X
Figura 4.14 Sistemas de Coordenadas Local y Rectangular Espacial El sistema de coordenadas local puede ser visto también en término de “observaciones” de la distancia de la cuerda, c, el ángulo vertical, V, y el acimut de la sección normal, α, desde A hacia B, como es mostrado en la Figura 4.15. w
u
c
B V
α A
v
74
Figura 4.15 El Sistema de Coordenadas Local. Observe que el plano uv forma el plano horizontal geodésico. El ángulo vertical, V, puede ser considerado como una generalización del ángulo de declinación de la cuerda, µ, descrito en la sección 4.17, aunque con signo contrario. Note que, con la dirección escogida para v, se forma un sistema coordenado de mano izquierda puesto que u es considerado el eje primario, v el secundario y w el terciario. Si v fuese escogido en la dirección opuesta, el sistema podría ser de mano derecha. De la Figura 4.15 podemos determinar las coordenadas u, v, w a partir de α, V, y c, como sigue: u = c cos V cos α v = c cos V sin α w = c sin V
(4.60)
Dividiendo las dos primeras ecuaciones tenemos: tanα = uv
(4.61)
donde notamos de nuevo que α es un acimut de la sección normal. Ahora deseamos expresar las coordenadas locales en términos de diferencias con las coordenadas rectangulares espaciales (∆X = XB - XA; ∆Y = YB - YA; ∆Z = ZB - ZA. Para hacerlo, primero trasladamos los ejes X, Y, Z a un juego paralelo de ejes cuyo origen está en el punto A, según la Figura 4.16: Z
w
u
v
90°-
u’ 180°-λ
X
A
Y
75
Figura 4.16 Traslado del Origen de los Ejes X, Y, Z al Punto A La rotación general entre dos sistemas de coordenadas rectangulares que tienen el mismo origen puede escribirse en la forma: x' x y ' = R1 (α )R2 (β )R3 (γ ) y z' z (4.62) donde α, β, γ son las rotaciones alrededor de los ejes x, y, z, respectivamente. Las matrices ortogonales de rotación son: 0 0 1 R1 (α ) = 0 cos α sin α 0 − sin α cos α
(4.63)
cos β R2 ( β ) = 0 sin β
0 − sin β 1 0 0 cos β
(4.64)
cos γ R3 (γ ) = − sin γ 0
sin γ cos γ 0
0 0 1
(4.65)
Esta conversión es para un sistema de coordenadas de mano derecha con rotaciones positivas en el sentido de los punteros del reloj, como vistas desde el origen hacia la proyección positiva de los ejes (Mueller, 1969). Utilizando la rotación general de (4.62) el sistema de coordenadas x, y, z se referirá a ∆X , ∆Y , ∆Z , y el sistema de coordenadas x’, y’, z’, se referirán a u, -v, w, puesto que –v forma un sistema hacia la derecha. En nuestro caso, las rotaciones pueden lograrse con una rotación de –(180º - λA) alrededor del eje z, y luego una rotación de –(90º - ϕA) alrededor del nuevo eje y. Tenemos:
76
u ∆X − v = R2 [− (90 − ϕ A )]R3 [− (180 − λ A )] ∆Y w ∆Z
(4.66)
Multiplicando estas matrices: u − sin ϕ A cos λ A v = − sin λ A w cos ϕ A cos λ A
− sin ϕ A sin λ A cos λ A cos ϕ A sin λ A
cos ϕ A ∆X 0 ∆Y sin ϕ A ∆Z
(4.67)
En términos de coordenadas individuales: u = − sin ϕ A cos λ A ∆X − sin ϕ A sin λ A ∆Y + cos ϕ A ∆Z
(4.68)
v = − sin λ A ∆X + cos λ A ∆Y
(4.69)
w = cos ϕ A cos λ A ∆X + cos ϕ A sin λ A ∆Y + sin ϕ A ∆Z
(4.70)
Si usamos (4.68) y (4.69) en (4.61) tenemos:
tan α =
− sin λ A ∆X + cos λ A ∆Y − sin ϕ A cos λ A ∆X − sin ϕ A sin λ A ∆Y + cos ϕ A ∆Z
(4.71)
Si usamos (4.70) en lo último de (4.60) tenemos:
sin V =
1 (cos ϕ A cos λ A ∆X + cos ϕ A sin λ A ∆Y + sin ϕ A ∆Z ) c
(4.72)
La distancia de la cuerda puede calcularse usando: 1
1
c = (u 2 + v 2 + w 2 ) 2 = (∆X 2 + ∆Y 2 + ∆Z 2 ) 2
(4.73)
De las ecuaciones en esta sección vemos un procedimiento para considerar la sección normal y las cantidades relacionadas usando expresiones cerradas, en oposición a la gran cantidad de expresiones en serie empleadas previamente. Las ecuaciones de esta sección se usarán más adelante con el fin de desarrollar procedimientos para el cálculo de
77
posiciones geodésicas en el elipsoide. Sin embargo, nótese que en las ecuaciones deducidas aquí los puntos pueden hallarse a cualquiera altura sobre el elipsoide.
4.2
La Curva Geodésica
Hasta ahora hemos considerado primordialmente la sección normal como una curva plana en la superficie del elipsoide de referencia. Vimos que el uso de la sección normal tenía la desventaja de no ser única en su género entre dos puntos. Ahora examinaremos una curva, llamada geodésica, para la cual sólo hay una entre dos puntos cualquiera. La definición fundamental de una curva geodésica es que ésta es una curva que da la distancia más corta, en una superficie, entre de dos puntos cualquiera. Si la superficie es un plano, la curva geodésica es una línea recta; si la superficie es una esfera, la geodésica es un círculo máximo. En el elipsoide, la geodésica es una línea que tiene una curvatura doble y, por tanto, no es una curva plana. Para comenzar, consideremos la construcción de la geodésica sobre la superficie del elipsoide. Primero nivelamos el teodolito con respecto al punto A y luego apuntamos hacia un punto distante B, definiendo la curva de sección normal AaB. Después vamos a B, se nivela el teodolito, se apunta hacia A para definir la sección normal BbA; luego giramos el teodolito 180º y definimos un punto nuevo C, y la sección normal BbC. Repetimos la operación yendo al punto C, punto D y puntos subsecuentes. Esta construcción se muestra en la figura siguiente:
d c b
C B
A
D
c
b
a
Figura 4.17 Secciones Normales Entre Puntos Cercanos Sabemos que la separación de las líneas de la sección normal es pequeña y se reduce aún más al disminuirse la separación entre puntos. Si dejamos que la distancia AB, BC, CD, etc., se hagan más y más pequeñas, se obtendrá una curva singular entre los puntos. Esta curva es la geodésica.
78
B Sección Normal de B a A
B’ Geodésica entre A y B
A’ Sección Normal de A a B
A
Si tuviera dos puntos A y B, podríamos construir la geodésica entre los dos puntos si conociéramos el acimut apropiado de un segmento inicial. Dicha curva se ha construido en la figura siguiente: Figura 4.17a La Geodésica entre Dos Secciones Normales Un ejemplo de la relación de las curvas de la sección normal y la geodésica para dos puntos ubicados en un elipsoide sumamente achatado, es mostrado en la Figura 4.18 de Jordan (Volumen III, 2a mitad, Pág. 26).
Sección Normal en B
Meridiano de A
B
Meridiano de B
Línea Geodésica
A
Sección Normal en A
79
Figura 4.18 Una Geodésica y una Sección Normal en un Elipsoide Exageradamente Achatado (f = 1/3) De la definición de su construcción, claramente se observa una importante propiedad de la geodésica. Dicha propiedad es aquella en que la normal principal de la geodésica en cualquier punto, coincidirá con la normal del elipsoide en el punto. La normal principal está contenida dentro del plano osculador que pasa a través de tres puntos infinitamente cercanos en cada curva. Es evidente que una sección normal no tiene esta propiedad, porque cada punto en la sección normal no contiene la normal en el punto. Hasta este momento hemos considerado la geodésica en una interpretación geométrica. Es posible encontrar ciertas propiedades de la geodésica mediante consideraciones matemáticas que se presentan de la definición de la geodésica como una curva que tiene la distancia más corta entre cualquiera de dos puntos. Consideremos un triángulo diferencial en el elipsoide según se muestra en la Figura 4.19. S dα
Ncotϕ
dλ
α+dα P”
P α
Mdϕ
P’
P
Figura 4.19 Una Figura Diferencial en el Elipsoide Del triángulo recto diferencial, PP1 P’, escribimos: ds cos α = Mdϕ (4.74) ds sin α = N cos ϕdλ
80
La ecuación (4.74) es válida para una curva arbitraria (por ejemplo, sección normal o geodésica) en el elipsoide. Ahora especificamos que PP’P” yace sobre la geodésica. Esto sería el caso si los tres puntos estuvieran en un plano vertical del elipsoide pasando a través de P’, el cual es el plano osculador de la línea geodésica en P’ (Jordan, Vol. III, 2a mitad, pág. 27). En este caso consideramos el triángulo PSP’ para encontrar que el ángulo en S de este triángulo es dα. Por ello podemos escribir:
dα =
N cosϕdλ = sin ϕdλ N cot ϕ
(4.75)
Las ecuaciones (4.74) y (4.75) son las ecuaciones diferenciales primarias para la curva geodésica en el elipsoide. También pueden escribirse dos ecuaciones más. Tenemos:
tanα =
N cosϕ dλ M dϕ
(4.76)
ds 2 = ( Mdϕ ) 2 + ( N cos ϕdλ ) 2
(4.77)
Si ahora dejamos p = N cos ϕ , y asumimos que en la geodésica la longitud está en función de la latitud, es conveniente escribir la ecuación (4.77) como: ( ds ) 2 = M 2 + p 2 ( dλ ) 2 dϕ dϕ
(4.78)
o resolviendo para ds:
ds = M 2 dϕ 2 + p 2 dλ2 = M (
Si dejamos que υ = M 2 (
dϕ 2 ) + p 2 dλ dλ
(4.79)
dϕ 2 ) + p 2 podemos escribir: dλ
ds = υ ⋅ dλ Lo cual integramos para formar: s = ∫ υdλ
(4.80)
81
Para que la curva definida por (4.80) sea una geodésica, el valor de la integral debe ser mínimo. Esto resulta ser un problema de variación de cálculo que es resuelto en Bagratuni (1967, pág. 83) y Jordan (Vol. III, 2a parte, pág. 30). Después de trabajar la ecuación (4.80), sujeta a un criterio de distancia mínima, se encuentra que la curva dada, o específicamente la geodésica, debe satisfacer la ecuación siguiente:
p ⋅ sin α = constante
(4.81)
Así, el producto del radio paralelo por el seno del acimut geodésico, en cada punto sobre la geodésica, es una constante. Esta ecuación es conocida como la ecuación de Clairaut. Una prueba alterna para (4.81) puede ser construida comenzando con el largo del radio paralelo p:
p = N cos ϕ Diferenciando,
dp = − N ⋅ sin ϕ ⋅ dϕ + cos ϕ ⋅ dN Puesto que N = c V Tenemos dN = −c dV dϕ V 2 dϕ Pero dV = −η 2t V dϕ Así
(4.82)
− N sin ϕ dp = dϕ V2
82
(4.83)
Puesto que N = MV 2 , (4.83) se reduce a
dp = − M sin ϕdϕ
(4.84)
Para la geodésica vimos que dα = sin ϕdλ , lo cual puede escribirse como:
dα =
M sin ϕdϕ dλ Mdϕ
Usando (4.84) tenemos:
dα =
−dp −dp dλ = cosϕ dλ Mdϕ ds
Usando la segunda ecuación de (4.74) podemos escribir: sin α dp dα = −cos α p
que toma la forma:
p cos α ⋅ dα + sin α ⋅ dp = 0 lo que implica
p sin α = constante que corresponde a la ecuación (4.81) Si consideramos muchos puntos en una geodésica, se deduce de (4.81) que: p1 sin α 1 = p 2 sin α 2 = p3 sin α 3 = ... = una constante = k
(4.85)
83
Para encontrar la constante involucrada en (4.85), podemos examinar la geodésica entre dos puntos específicos. En el ecuador p = a, y dejamos que el acimut de la geodésica en el ecuador sea α Ε . Entonces: a sin α Ε = k
(4.86)
Puesto que p es un máximo en el ecuador, el seno del acimut α Ε en el ecuador será lo más pequeño. El valor máximo del sin α se dará cuando α sea igual a 90º. Esto corresponderá al valor más pequeño del radio paralelo pmin. De la ecuación (4.85) escribimos: p min ⋅ sin 90 o = k o p min = k
(4.87)
Claramente pmin ocurre en la latitud más alta (o máxima) alcanzada por la geodésica de interés. Si hubiéramos escrito en la ecuación (4.81) p = a cos β , tendríamos: a cos β1 sin α 1 = a cos β 2 sin α 2 = ... = k
(4.88)
De esta ecuación tenemos: cos β1 sin α 1 = cos β 2 sin α 2 = ... = una constante = ka
(4.89)
Así, el producto de la latitud reducida y del acimut geodésico es una constante en cada punto en la geodésica. En el ecuador β es igual a 0º, por tanto tenemos: sin α Ε = ka
(4.90)
En la latitud máxima alcanzada (ϕH ó βH) por la geodésica α = 90º, tenemos de (4.89): cos β H = ka
(4.91)
84
Igualando las ecuaciones (4.90) y (4.91) encontramos: sinα Ε = cos β Η
(4.92)
Por tanto vemos que la máxima latitud reducida, alcanzada por una geodésica, es igual a 90º menos el acimut de la geodésica en el ecuador. Concluimos la discusión concerniente al comportamiento general de una geodésica mientras da vueltas alrededor del elipsoide. Tal geodésica es mostrada en la Figura 4.20 donde el acimut de la geodésica es α Ε .
Geodésica tangente al
Latitud máxima ϕH A
B αE
Latitud mínima -
C
Geodésica tangente al
Figura 4.20 La Geodésica en una Forma Continua A medida que la geodésica va desde A a B y a C, su acimut continuamente cambiará. Cuando el punto C es sobrepasado, la geodésica pasará más allá del ecuador en dirección a hacerse tangente al paralelo ϕ H . De específico interés es el hecho de que el cruce por el ecuador, después de haber pasado por el punto C, no será exactamente de 180º en longitud desde el punto de cruce B, sino en algún punto B’ generalmente al oeste de B. Por ello, con pocas excepciones a discutirse en detalle más adelante, una geodésica no repite su trayectoria. Hay en definitiva, un número infinito de distintos puntos de cruce por el ecuador para una geodésica arbitraria. Una vista de tales cruces es mostrada en la Figura 4.21, de Lewis (1963).
85
A P2
N P1
P Figura 4.21 Vista de una Geodésica Continua desde el Polo Norte Mostrando Cruces Consecutivos en el Ecuador
4.2.1
Coordenadas Locales x, y, z en Términos de la Geodésica
Rescribiendo la ecuación del elipsoide (3.158) usando la siguiente anotación: A = 1 + e' 2 cos 2 ϕ = 1 + D B = 1 + e' 2 sin 2 ϕ = 1 + D'
(4.93)
1 C = − e' 2 sin 2ϕ 2 Para la ecuación del elipsoide tenemos (Tobey, 1928): u = 0 = Ax 2 + y 2 + Bz 2 + 2Cxz − 2 Nz
(4.94)
86
donde x = x( s); y = y ( s); z = z ( s) , y por último s es la distancia geodésica. Ahora consideramos una porción pequeña de la superficie del elipsoide conteniendo una porción diferencial de la geodésica, según se muestra en la Figura 4.22 (Tobey, 1928): D P C
E
A
B
N’ N Figura 4.22 La Superficie Elipsoidal Conteniendo un Elemento Diferencial de Elipsoide. Consideremos PACD y PBED porciones de la superficie u = 0. Dejemos que PA = PB = ds sea una porción de la geodésica. PN, una línea perpendicular a AB, es la normal principal. En cualquier punto sobre la geodésica el plano osculador de la curva contiene la normal a la superficie, de manera que la normal principal de la curva coincide con la normal a la superficie. Este argumento puede expresarse escribiendo: d2y d 2x d 2z 2 2 ds = ds = ds 2 du du du dx dy dz
(4.95)
Para aplicar esta ecuación asumimos una serie de potencias en s para x, y, z: x = l 1 s + l 2 s 2 + l 3 s 3 + l 4 s 4 + ... y = m1 s + m2 s 2 + m3 s 3 + m4 s 4 + ...
(4.96)
87
z = n1 s + n2 s + n3 s + n4 s + ... 2
3
4
Ahora sustituimos (4.96) en (4.94) para obtener una ecuación a la enésima potencia en s. Puesto que la ecuación entera es igual a cero, los coeficientes individuales de s deben ser cero. Este resultado implicará que n1 = 0. Luego necesitamos implementar la condición (4.95). Primero, calculamos las derivadas en el denominador de (4.95) usando (4.94): du = 2( Ax + Cz ) dx du = 2 y dy
(4.97)
du = 2( Bz + Cx − N ) dz Las derivadas requeridas en el numerador son encontradas diferenciando (4.96) d 2 x = 1 ⋅ 2l + 2 ⋅ 3l s + 3 ⋅ 4l s 2 + ... 2 3 4 ds 2 d2y = 1 ⋅ 2m2 + 2 ⋅ 3m3 s + 3 ⋅ 4m4 s 2 + ... ds 2
(4.98)
d 2 z = 1 ⋅ 2n + 2 ⋅ 3n s + 3 ⋅ 4n s 2 + ... 2 3 4 ds 2 Luego sustituimos (4.97) y (4.98) en (4.95) e igualamos los coeficientes de las potencias comunes de s. Después de algunas reducciones (Tobey, 1928, Proposición II) tenemos las ecuaciones siguientes: s − Dl (1+l2 ) s 3 − C (1 + 8 l 2 ) s 4 + ... x = lN sin N 6N 2 24 N 3 s − Dm l 2 s 3 − Cm s 4 + ... y = mN sin N 6N 2 3N 3
(4.99)
2 2 Cl(1+ D l2 ) 3 3D' − 6 Dl 4 z = 2 N sin s + Dl s + s + s 2N 2N 2N 2 24 N 3 2
2
donde
88
l = l 1 = cos α m = m1 = sin α N=
(4.100)
a 1 − e sin 2 ϕ1 2
Conociendo un acimut geodésico (α ) y la distancia s, podemos usar la ecuación (4.99) para calcular las coordenadas de la geodésica basándose en un sistema local en el punto inicial. Puesto que estas ecuaciones están en forma de serie, habrá una distancia más allá en la cual las ecuaciones no serán lo suficientemente exactas. Ecuaciones similares también pueden ser derivadas para una sección normal (Clarke, 1880, pág. 118).
4.2.2
Longitud de un Arco Diferencial de una Geodésica Rotada
Consideremos una geodésica desde el punto A con un largo s, y un acimut α. El punto final de esta línea define un punto F. Ahora giramos la geodésica un ángulo dα de modo que el punto final esté ahora en D. Dejamos que la distancia DF sea dge la cual ha de determinarse. Usando el sistema de coordenadas locales x, y, z antes descrito, tenemos:
dg e2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
(4.101)
Podemos diferenciar (4.99) tomando dα como la variable para encontrar dx, dy, dz. Podemos simplificar (4.101) escribiendo: dg e = wdα
(4.102)
donde w es una cantidad a determinarse usando las derivadas de (4.99). Después de alguna reducción (Apéndice 1, Tobey, 1928, Proposición IV) tenemos: R Cl w = R A sin Rs − A ( Rs ) 4 + ... 3 A A
(4.103)
donde R A es el radio medio gaussiano en el punto A. w es llamado la longitud reducida de la geodésica.
89
4.2.3
Relación entre la Geodésica y la Longitud de la Cuerda
El largo de la cuerda c, entre dos puntos en el elipsoide, puede ser calculado desde: c2 = x2 + y2 + z2
(4.104)
Podemos expresar esto en términos de la longitud de la geodésica sustituyendo x, y, z de (4.99). Para calcular c desde s, tenemos (Apéndice 1, Tobey, 1928, Proposición V): 2 s ) 2 − Cl ( s ) 3 + ...) c = 2 N sin s (1 − Dl ( N 2N 12 8 N
(4.105)
donde N es el radio de curvatura del primer vertical en el primer punto. Esta serie puede ser invertida para hallar s como una función de c:
s = c (1 +
1 2 Dl 2 c 2 + Cl c 3 + ...) c + 24 N 2 12 N 2 8N 3
(4.106)
Clarke (1880, pág. 108) efectúa una derivación análoga a la anterior en donde se relacionan la distancia de la sección normal s’, y la distancia de la cuerda. Sin derivación tenemos: 2 4 5 s ' = c(1 + c 2 (1 − 3F c ) + ( 3 + 3 H + 1 F 2 ) c 4 − ( 3 FH + 5 F 3 ) c 5 + ...) Rα 640 80 4 Rα 16 12 24 Rα Rα
(4.107) donde
F=
fh ; 1+h2
f =
e sin ϕ ; 1−e2
H=
h=
f 2 − h2 1+h2 e cosϕ cosα 1−e2
y Rα es el radio de curvatura en el acimut de la sección normal.
90
4.2.4
Comparación de la Geodésica con la Sección Normal
Ahora trataremos la diferencia de distancia angular entre geodésicas y secciones normales. Primero consideremos las diferencias acimutales comenzando con la Figura 4.23 la que muestra las secciones normales y la geodésica entre dos puntos arbitrarios, A y B.
P
B
α3
a
α2 α1 A
Figura 4.23 La Geodésica Localizada entre dos Secciones Normales En esta figura:
α1 es el acimut de la sección normal, en A, desde A hasta B α2 es el acimut de la geodésica, en A, desde A hasta B α3 es el acimut de la sección normal, en A, desde B hasta A
91
La diferencia α 1 − α 3 fue calculada como ∆ y dada en la ecuación (4.32) ó (4.33). Para determinar la diferencia α 1 − α 2 seguimos a Tobey (1928, Proposición VI) que corresponde al Apéndice 1. Construimos en la figura 4.24 una sección normal AHFT en el punto A con el acimut α1. AH es tangente a esta sección normal. AF es la geodésica desde A hasta F que tiene un acimut α2. La sección normal en A, la cual pasa a través del punto F (x, y, z) (sobre el elipsoide), también pasará a través del punto H(x, y, 0), donde H está en la línea TF producida. E
α2
α1 s
H(xy0) F(xyz)
A
T K
Figura 4.24 Determinación de la Diferencia Acimutal entre una Sección Normal y una Geodésica La distancia AH es: AH 2 = x 2 + y 2
(4.108)
que puede encontrarse usando (4.99) 2 s 1 − Dl ( s ) 2 − 3Cl ( s ) 3 + ... AH = N sin N 3 N 8 N
(4.109)
Ahora el acimut de la sección normal puede ser determinado con: cos α 1 = x AH Usando (4.99) y (4.109), Tobey demuestra que:
(4.110)
92
(α n − α g ) = (α 1 − α 2 ) = Dlm ( s ) 2 + Cm ( s ) 3 + ... N 24 N 6
(4.111)
Si sustituimos C, D, l , m tenemos (α 1 − α 2 ) =
η2 s 2 η2t s 3 ( ) sin α cos α − ( ) sin α 6 N 24 N
(4.112)
donde:
η 2 = e' 2 cos 2 ϕ A t = tan ϕ A
α = acimut geodésico (ver 4.100) Si consideramos solamente el primer término de (4.112), podremos comparar con (4.32) esto nos dará la separación acimutal de las secciones normales contrarias. Concluimos que: (α 1 − α 2 ) ≈ 1 (α 1 − α 3 ) 3
(4.113)
Este resultado nos indica que la geodésica triseca aproximadamente el ángulo entre las secciones normales contrarias (o recíprocas), que yacen más cercanas a la sección normal directa en el punto dado. Como una estimación numérica de esta diferencia, considérese una línea de longitud s ubicada en una latitud media de 45º y con un acimut de 45º. El valor de (α 1 − α 2 ) es por tanto: s ( km ) 30 60 100 120
(α1 − α 2 )" 0,001 0,005 0,014 0,020
Aunque la ecuación (4.113) implica que la geodésica siempre yace entre las dos secciones normales, no siempre esto es verdad. Considere el caso de dos puntos en el mismo paralelo donde sólo hay una sección normal. Entonces el valor de ∆ en (4.32) es
93
cero, de manera que (4.113) no es correcto. En este caso la geodésica estará hacia el lado del polo de la sección normal yaciendo completamente fuera de ella. Para puntos no exactamente en el mismo paralelo, la geodésica puede cruzar una curva de sección normal. En el caso de dos puntos en el mismo meridiano, hay solamente una sección normal. La geodésica coincidirá con esta sección normal.
4.2.5
Diferencia de Longitud entre la Sección Normal y la Geodésica
Para derivar la diferencia de longitud sn – sg seguiremos a Tobey (1928, Proposición VII). Consideramos dos puntos A y F que están conectados por la sección normal del acimut θ, longitud sn y la geodésica del acimut α y longitud sg, según se muestra en la Figura 4.25. D ds
dsn
C F
sg
α
sn
θ A
Figura 4.25 Relación Diferencial entre Longitudes de Secciones Normales y Geodésicas Rotamos la geodésica AF sobre la normal en A, un ángulo dα, y de este modo se genera el arco dge = FC. De la ecuación (4.102) tenemos: d ge = w dα
(4.114)
Ahora extendemos la línea AC hasta D (en la sección normal AF) una cantidad dsg. El cambio correspondiente de longitud, en la sección normal, es una distancia dsn. Luego tenemos: FD 2 = DC 2 + CF 2
94
ó ds n2 = ds g2 + ( wdα ) 2
(4.115)
Para encontrar dα diferenciamos (4.111) siendo las variables α g (ó α 2 ) y ds. Tenemos: 2 ds g dα = − Dlm s − Cm s + ... ⋅ 8 N 3 N N
(4.116)
Recordando el valor de w de (4.91) tenemos: 2 3 wdα = − Dlm s − Cm s + ... ⋅ ds g 8 N 3 N
(4.117)
Ahora sustituimos (4.117) en (4.115) para encontrar:
( Dlm) 2 s 4 ds n = ds g 1 + + ... 18 N
(4.118)
Integramos esta expresión para encontrar: ( Dlm) 2 s 4 s n = s g 1 + + ... 90 N
(4.119)
Sustituyendo D, l, y m, y resolviendo para sn – sg tenemos:
sn − s g = s
e'4 cos4 ϕ s 4 sin 2 2α 360 N
(4.120)
Esta diferencia de longitud de la línea es muy pequeña debido a la presencia de los 4
s términos e' y . A una distancia de 1600 km, esta diferencia de longitud es tan N solo de 1 mm. 4
95
4.3
El Gran Arco Elíptico y la Curva de Alineación
Consideremos dos puntos, A y B, ubicados sobre la superficie del elipsoide. La intersección del plano conteniendo A, B, y el centro del elipsoide, con la superficie del elipsoide, es denominado la gran curva elíptica. Claramente sólo hay una gran curva elíptica entre dos puntos. Para tal curva habrá un único acimut y distancia. En la práctica, la gran curva elíptica es raramente usada, de modo que existe poca literatura sobre ella. Bowring (1984) ha descrito cálculos de posición usando esta curva. Otra curva que ha sido descrita entre dos puntos en la superficie es la curva de alineación (Clarke, 1880, pág. 116; Baeschlin, 1948, sección 17). Para describirla, nuevamente consideremos dos puntos A y B, en el elipsoide. Dejemos que AB sea la sección normal desde A hasta B, y BA la sección normal desde B hasta A. Luego consideremos un meridiano entre los meridianos de A y B. Las dos secciones normales interseptarán este meridiano en Q1 y Q2 según se observa en la figura 4.26:
Z
Q2
a
L A
B
Q1
Figura 4.26 La Curva de Alineación
96
Ahora definimos un punto L en el meridiano ZQ1Q2, de manera tal que el acimut de la visual hacia A y B difiera exactamente 180º. Si esta operación es repetida para todos los meridianos entre A y B, la conexión de todos los puntos L forman la curva de alineación. Debido a su construcción esta curva estará más cerca a la geodésica entre los puntos A y B. Como en la práctica la curva de alineación no se usa principalmente, no se brinda información adicional sobre ésta.
4.4
Reducción Geométrica de Observaciones de Dirección o Acimut
Dejemos que D sea la dirección observada desde el punto A hacia el punto B. Para ciertas aplicaciones de estos datos, en un ajuste de triangulación, es necesario aplicar dos correcciones basadas en nuestra discusión previa. En la sección 4.24 consideramos la diferencia acimutal entre la sección normal y la geodésica. Para convertir la dirección de la sección normal a la correspondiente dirección geodésica, agregamos δ 1 a la cantidad observada, donde δ 1 (ver ecuación (4.112)) es: 2
e2 s cos 2 ϕ sin 2α δ1 = 12 m AB N Si el punto B observado está en una elevación h, debemos añadir la corrección para conseguir la dirección correspondiente al punto B proyectado ahora en el elipsoide. Dejamos que dicha corrección sea δ 2 , entonces su valor será (ver ecuación 4.46): h e 2 cos 2 ϕ sin 2α δ 2 = 2M m AB m
(4.121)
97
5
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Y ELIPSOIDALES
Una de las metas básicas de la geodesia es la determinación de las coordenadas geodésicas de puntos georreferenciados a un elipsoide de referencia. En los procedimientos de geodesia clásica esto es realizado usualmente mediante la triangulación y/o trilateración donde medimos distancias y/o ángulos o direcciones para definir triángulos en el elipsoide de referencia. Para efectuar cálculos de posición, en ciertos casos es necesarios desarrollar procedimientos para resolver triángulos en el elipsoide. Primero consideraremos el problema aproximando el elipsoide a una esfera y buscaremos una solución para los triángulos esféricos. Tales triángulos son equivalentes a triángulos elipsoidales hasta aproximadamente 200 km2 de área. 5.1
Exceso Esférico
Consideremos un triángulo en la esfera donde los tres ángulos esféricos son A, B, C. El exceso esférico del triángulo es definido como la suma de los tres ángulos menos 180º. Por tanto:
ε = Aº + B º +C º − 180º
(5.1)
Esta definición surge del hecho de que en un plano la suma de los ángulos en un triángulo plano es exactamente 180º. Si R es el radio de la esfera y F es el área del triángulo esférico, puede ser rigurosamente demostrado que (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 89):
ε = F2 R
(5.2)
En consecuencia, el exceso esférico es proporcional al área de la figura. Si los lados del triángulo son expresados en unidades de radianes tal como a, b y c, puede lograrse una expresión alterna para el exceso esférico como (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 17):
tan ε = 4
tan s tan s −a tan s −b tan s−c 2 2 2 2
(5.3)
donde a + b + c = 2s ejemplos de magnitudes de excesos esféricos son entregados por Jordan (Vol. III, 1a mitad, pág. 92), como sigue:
98
ε
Área del Triángulo
1
km2
0,00507”
21
millas2 (triángulo equilátero, lados 11,25 km)
0,279”
200
km2 (triángulo equilátero, lados 21,5 km)
1”
Triángulo equilátero, lados 11,25 km
5.2
27”
Solución del Triángulo Esférico por el Teorema de Legendre
La solución de triángulos esféricos se simplifica si uno utiliza el teorema de Legendre el cual dice lo siguiente: “Si los lados de un triángulo plano son iguales a los lados correspondientes de un triángulo esférico, entonces los ángulos del triángulo plano serán iguales a los ángulos correspondientes del triángulo esférico menos un tercio del exceso esférico”. Este teorema fue derivado por Legendre en París en 1787. Para probar este teorema consideremos un triángulo esférico (en una esfera de radio R) y el triángulo plano correspondiente, según se muestra en la Figura 5.1. C
C’ a
b
B
A
a
b
A’
c
B’
c Figura 5.1 Triángulos Esférico y Plano Usando estas figuras intentaremos encontrar la diferencia entre el ángulo en la esfera y el ángulo en el plano, es decir (A-A’), (B-B’), (C-C’). Para hacerlo primero aplicamos la ley de cosenos al triángulo esférico, expresando: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A R R R R R
(5.4)
ó cos a − cos b cos c R R R cos A = sin b sin c R R
(5.5)
99
Limitándonos a los triángulos pequeños, notamos que a/R, b/R, c/R serán pequeños, y que una expansión en series de seno o coseno será apropiada. Omitiendo la quinta potencia de a/R, b/R, y c/R, la ecuación (5.5) podría ser escrita como: 1 − a 2 + a 4 2R 2 24 R 4 cos A =
−1 − b 2 + b 4 1 − c 2 + c 4 2R 2 24 R 4 2R 2 24 R 4 b − b 3 c − c 3 6 R 3 R 6 R 3 R
(5.6)
Multiplicando los términos entre corchetes, y expandiendo el denominador, encontramos (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 94):
cos A =
b 2 + c 2 − a 2 a 4 + b 4 + c 4 − 2a 2 c 2 − 2b 2 c 2 − 2a 2 b 2 + + ... 2bc 24 R 2 bc
(5.7)
Si aplicamos la ley de cosenos en el triángulo plano, tenemos: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A'
(5.8)
resolviendo para cos A se encuentra:
cos A' =
b2 + c 2 − a 2 2bc
(5.9)
También podemos obtener una expresión para sen2 A’, desarrollando sen2 A’ = 1-cos2 A’, de este modo, de la ecuación (5.9) tenemos
sin A' = 2
− a4 − b
4
2
− c 4 + 2a 2 b + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 4b 2 c 2
(5.10)
Notamos que la ecuación (5.9) representa la primera parte de la ecuación (5.7), mientras que la ecuación (5.10) está relacionada con la segunda parte de (5.7). Usando (5.10) y (5.9) en la ecuación (5.7) encontramos:
cos A = cos A' −
bc sin 2 A' + ... 6 R2
Ahora usamos (2.23), escribiendo esta para n = 1 en la forma:
(5.11)
100
cos x − cos y = − 2 sin
x− y x+ y sin 2 2
(5.12)
Donde en nuestro caso x = A y y = A’. Con suficiente aproximación se toma: sin
x− y = sin A− A' ≈ A− A' 2 2 2 (5.13)
sin
x+ y = sin A + A' ≈ sin A' 2 2
Puesto que la diferencia entre A y A’ será pequeña. Combinando las ecuaciones (5.13), (5.12) con la ecuación (5.11), tenemos:
A − A' =
bc sin A' + ... 6R2
El área del triángulo plano es
(5.14)
bc sin A' , luego la ecuación (5.14) es escrita: 2
A − A' = P 2 + ... 3R
(5.15)
De un modo similar puede demostrarse que: B − B' = P 2 3R (5.16) C − C' = P2 3R Si sumamos la ecuación (5.15) y (5.16) y se observa que (A’ + B’ + C’) = 180º, tenemos: A + B + C = 180º + P2 R
(5.17)
Comparando esto con la ecuación (5.1) ó (5.2) es claro que P/R2 es esencialmente el exceso esférico del triángulo. Entonces las ecuaciones (5.15) y (5.16) pueden ser escritas en la forma:
101
ε A − A' = 3 B − B' = ε 3 C − C' = ε 3
(5.18)
Estas ecuaciones son la justificación del teorema de Legendre. Las ecuaciones (5.17) y (5.18) son solamente aproximaciones. Derivaciones más precisas producen las siguientes ecuaciones ampliadas (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 110):
( A − A' ) = P 2 3R
1 + a 2 + 7b2 + 7c 2 + ... 120 R 2
( B − B' ) = P 2 3R
1 + 7a 2 + b2 + 7c 2 + ... 120 R 2
(C − C ' ) = P 2 3R
1 + 7 a 2 + 7b2 + c 2 + ... 120 R 2
(5.19)
Si sumamos estas ecuaciones tenemos: a 2 + b2 + c2 A + B + C = 180º + P2 1 + R 24 R 2
(5.20)
Por tanto al comparar con la ecuación (5.1) el exceso esférico del triángulo es: a 2 + b2 + c2 ε = P2 1 + R 24 R 2
(5.21)
En este momento notamos que el área P del triángulo plano puede ser encontrada rigurosamente mediante: P=
s ( s − a )( s − b)( s − c)
(5.22)
donde s = (a+b+c) /2. Luego resolvemos P/R2 de la ecuación (5.21), y sustituimos los resultados en (5.19). Tenemos (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 112):
102
( A − A' ) = ε + ε 2 (m 2 − a 2 ) 3 60 R ( B − B' ) = ε + ε 2 (m 2 − b 2 ) 3 60 R
(5.23)
(C − C ' ) = ε + ε 2 (m 2 − c 2 ) 3 60 R donde
m2 =
a 2 + b2 + c 2 3
La ecuación (5.23) puede ser comparada con la ecuación (5.18) para ver que el teorema de Legendre es solamente una aproximación. Para aplicaciones en triángulos que son atípicos respecto de aquellos encontrados en la triangulación ordinaria, es necesario derivar el teorema de Legendre para triángulos en el elipsoide. En este caso ahora tratamos con el exceso elipsoidal. Una derivación completa puede ser encontrada en Jordan (Vol. III, 2a mitad, pág. 66). Para resumir la solución, primero designamos los vértices del triángulo elipsoidal como A, B, C. En cada punto, la curvatura media es:
K a = ( MN ) −A1 ; K B = ( MN ) −B1 ; K C = ( MN ) C−1
(5.24)
La curvatura media es:
Km =
K A + K B + KC 3
(5.25)
Entonces la relación entre los ángulos elipsoidales y los ángulos planos es: K − Km ( A − A' ) = ε + ε K m (m 2 − a 2 ) + ε A 3 60 12 K m K − Km ( B − B' ) = ε + ε K m (m 2 − b 2 ) + ε B 3 60 12 K m
(5.26)
103
K − Km (C − C ' ) = ε + ε K m (m 2 − c 2 ) + ε C 3 60 12 K m Los segundos términos en el lado derecho de (5.26) son los términos esféricos de segundo orden (ecuación (5.23)), mientras que los terceros representan las contribuciones elipsoidales. El valor de ε es:
ε = P Km 1 +
m2 K m ) 8
(5.27)
El área del triángulo plano puede ser encontrada usando (5.22). Como un ejemplo numérico se considera un triángulo descrito en Jordan (Vol. III, 2a mitad, pág. 67) donde: a b c
= = =
69194 m 105973 m 84941 m 50º 51' 9"
ϕA = ϕ B = 51º 28' 31" ϕ C = 51º 48' 2"
El exceso elipsoidal de este triángulo es 14,850054”. Los resultados de la evaluación de (5.26) son los siguientes: A − A' = 4,950018 + 0,000018 + 0,000148 = 4,950184" B − B' = 4,950018 − 0,000021 − 0,000028 = 4,949969"
C − C ' = 4,950018 + 0,000003 − 0,000120 = 4,949901" Notamos que las correcciones debido al uso de los triángulos elipsoidales son mayores que las correcciones del término esférico de orden más alto.
5.3
Solución de Triángulos Esféricos por Aditamentos
En la solución de triángulos por el método de Legendre los lados de un triángulo se mantuvieron fijos mientras que los ángulos fueron modificados. En el método por aditamentos se mantienen fijos dos ángulos, mientras se cambia la longitud de los lados. Para derivar este procedimiento se puede escribir la ley de senos en el triángulo esférico mostrado en la Figura 5.2.
104
C γ
C γ’ a
b
β
α A
a’
b’
B
β’
α’ A
c’
B
c
Figura 5.2 Triángulos para el Método de Aditamento a sin A sin R = sin B sin b R
(5.28)
mientras que en el triángulo plano correspondiente (con ángulos inalterados) sin A a ' = sin B b'
(5.29)
Igualando las ecuaciones (5.28) y (5.29) tenemos: a − a a' sin R R = = b' sin b b R R −
3 a3 a − a 2 3 6R = 6R b3 b3 − b 6R 3 6R 2
(5.30)
Donde hemos retenidos los términos de la tercera potencia en (a/R o b/R). Podemos satisfacer esta ecuación si establecemos: 3 a' = a − a 2 6R
(5.31) b' = b − b 2 6R 3
o para un lado arbitrario.
105 3 s' = s − s 2 6R
(5.32)
El valor de s3/6R2 se llama el aditamento lineal para el lado s. Para distintos valores s, esta corrección es aproximadamente como sigue: (ϕ m = 50º ) :
s (km)
s 3 ( m) 6R2
10
0,004
20
0,033
30
0,111
40
0,262
50
0,512
60
0,884
80
2,096
100
4,093
El uso de aditamentos fue primeramente en una forma logarítmica, como es mostrado en Jordan (Vol. III, 1a mitad, pág. 98). Considerando que hoy en día este procedimiento no es usado mayormente, no lo examinaremos con más detalles por ahora.
106
6 CÁLCULO DE LAS COORDENADAS GEODÉSICAS (SOLUCIONES DEL TRIÁNGULO POLAR ELIPSOIDAL)
6.1
Introducción
Ahora nos abocaremos al cálculo de las coordenadas geodésicas de los puntos en el elipsoide. Tales coordenadas son usualmente especificadas como latitud y longitud. Supongamos tener las coordenadas de un punto de inicio, la distancia y el acimut hacia un segundo punto, y deseamos calcular las coordenadas del segundo punto, así como también el acimut desde el segundo punto al primero. Tal problema es definido como el problema geodésico directo o simplemente el problema directo. El problema geodésico inverso es definido como el caso donde las coordenadas de los puntos finales de la línea se conocen, y deseamos encontrar el acimut desde el punto uno al punto dos, el acimut del punto dos al punto uno, y la distancia entre los dos puntos. La solución de cualquiera de estos problemas es básicamente una solución del triángulo polar elipsoidal, mostrado en la Figura 6.1.
Polo ∆λ ∆λ=λ2 -λ1
α12
α21 P2(ϕ2,λ2)
P1(ϕ1,λ1)
Figura 6.1 El Triángulo Polar Elipsoidal Podemos expresar los problemas definidos previamente en la forma funcional siguiente: Problema Directo:
ϕ 2 = f1 (ϕ 1 , λ1 ,α 12 , s )
107
λ 2 = f 2 (ϕ 1 , λ1 , α 12 , s )
(6.1)
α 21 = f 3 (ϕ 1, λ1 , α 12 , s ) Problema Inverso: s = f 4 (ϕ 1 , λ1 , ϕ 2 , λ 2 )
α 12 = f 5 (ϕ 1 , λ1 , ϕ 2 , λ 2 )
(6.2)
α 21 = f 6 (ϕ 1 , λ1 , ϕ 2 , λ 2 ) Hay varias soluciones para estos problemas. Tales soluciones generalmente se clasificaron por las distancias para las cuales ellas son válidas y por el tipo (por ejemplo sección normal o geodésica) de línea que se está considerando. Podríamos tener técnicas de solución simple para distancias cortas, mientras que para líneas largas se necesitan fórmulas más extensas. Estudiaremos las ecuaciones para líneas cortas y medianas en las siguientes secciones.
6.2
Desarrollo de Series en Potencias de s (Legendre)
6.2.1
El Problema Directo
Supongamos que una curva en el elipsoide puede ser expresada como una función de s:
ϕ = ϕ (s) λ = λ (s) α = α (s)
(6.3)
Ahora desarrollamos la ecuación (6.3) dentro de una serie de MacLaurin referiendo el primer punto como un origen:
ϕ = ϕ1 +
dϕ d 2ϕ s 2 s+ + ... ds 1 ds 2 1 2
2 2 λ = λ1 + dλ s + d λ2 s + ... ds 1 ds 1 2
(6.4)
108 2 α 21 = α 21 + 180º + ∆α = α 12 + 180º + dα s + d α2 s + ... 2 ds 1 ds 1 2
α 12 es el acimut directo en el punto 1, mientras que α 21 es el acimut inverso en el punto 2. Ahora comenzamos la evaluación de las derivadas recordando las ecuaciones (4.74) y (4.75): ds cos α = Mdϕ ds sin α = N cos ϕdλ dA = sin ϕdλ
(6.5)
Recordamos que M = c3 ; N = c V V Por tanto, después de sustituir M y N, tenemos de (6.5): dϕ 1 3 = c V cos α = cosα M ds
(6.7)
dλ = V sin α = sin α c cosϕ N cosϕ ds
(6.8)
Si despejamos dλ en la ecuación (6.8) y sustituimos dentro de dα = sin ϕ ⋅ dλ , tenemos: dα = V sin α tan ϕ c ds
(6.9)
Para efectuar la diferenciación requerida en la ecuación (6.4) necesitaremos la derivada de V con respecto a ϕ , puesto que: dV = dV dϕ ds dϕ ds Tenemos:
109
V = 1 + e' cos ϕ 2
2
dV = −e'2 sin ϕ cosϕ V dϕ Dejando: η 2 = e' 2 cos 2 ϕ , y t = tan ϕ tenemos: V 2 = 1 + η2 dV = −η 2t V dϕ
(6.10)
dV = − η 2 V 2 cos αt c ds Para encontrar las segundas derivadas requeridas en la ecuación (6.4) primero escribimos: V 3 3V 2 dV V3 d 2ϕ d cos α = cos α − sin α dα = ds 2 ds c ds ds c c Usando las ecuaciones (6.9) y (6.10) encontramos: d 2ϕ −V 4 = 2 (sin 2 α t + 3 cos 2 αη 2 t ) ds 2 c
(6.11)
Una forma compacta de esas derivadas puede ser obtenida dejando:
V =
s sin α V s sin α c N = (6.12)
u=
s cos α V s cos α = N c
Entonces las derivadas de ϕ con respecto a s son las siguientes (Jordan, Vol. III, 2a mitad, pág. 77):
110
dϕ s = +u ds V 2 d 2ϕ s 2 = −v 2 t − u 2 3η 2 t 2 2 ds V
(
)
d 3ϕ s 3 = −v 2 u 1 + 3t 2 + η 2 − 9η 2 t 2 − 3u 3η 2 1 − t 2 + η 2 − 5η 2 t 2 3 2 ds V
(
)
(
)
d 4ϕ s 4 = + v 4 t 1 + 3t 2 + η 2 − 9η 2 t 2 − 2v 2 u 2 t 4 + 6t 2 − 13η 2 − 9η 2 t 2 − 17η 4 + 45η 4 t 2 + 4 2 ds V + u 4 tη 2 12 + 69η 2 − 45η 2 t 2 + 57η 4 − 105η 4 t 2
(
)
( )
(
d 5ϕ s 5 = + v 4 u 1 + 30t 2 + 45t 4 − 2v 2 u 3 4 + 30t 2 + 30t 4 5 2 ds V
(
)
(
)
) (6.13)
En estas expresiones todos los términos son mantenidos hasta la derivada de cuarto orden, pero todos los términos de η n en la quinta derivada se han llevado a cero. 2 Seguidamente, consideramos d λ2 diferenciando la ecuación (6.8): ds
[ ]
d 2λ = d dλ = 1 sin α dV + V cosα dα + V tan ϕ sin α dϕ c cosϕ ds c cosϕ ds c cosϕ ds 2 ds ds ds
(6.14)
dϕ Sustituyendo el valor de dV de (6.10), dα de (6.9) y de (6.7), tenemos: ds ds ds
d 2λ = 2V 2 sin α cos αt = V 2t sin 2α ds 2 c2 cosϕ c 2 cosϕ Usando la notación de (6.12), las derivadas (hasta el orden quinto) son:
(6.15)
111
dλ s cos ϕ = + v ds d 2λ 2 s cos ϕ = +2vut ds 2 d 3λ 3 s cos ϕ = +2vu 2 1 + 3t 2 + η 2 − 2v 3 t 2 3 ds
(
)
(6.16)
d 4λ 4 s cos ϕ = 8vu 3 t 2 + 3t 2 + η 2 − η 4 − 8v 3 ut 1 + 3t 2 + η 2 4 ds
(
)
(
)
d 5λ 5 s cos ϕ = 8vu 4 2 + 15t 2 + 15t 4 − 8v 3 u 2 1 + 20t 2 + 30t 4 + 8v 5 t 2 1 + 3t 2 5 ds
(
)
(
)
(
)
Seguidamente diferenciamos la ecuación (6.9):
[ ]
d 2α = d dα = sin α t dV + V (1 + t 2 ) sin α dϕ + V cos α ⋅ t ⋅ dα c c ds ds c ds ds 2 ds ds La sustitución apropiada de las derivadas da:
(
d 2α = V 2 sin α cos α 1 + 2t 2 + η 2 ds 2 c2
)
Los valores de estas derivadas hasta el quinto orden son:
(6.17)
112
dα s = vt ds d 2α 2 s = vu 1 + 2t 2 + η 2 2 ds
(
)
d 3α 3 s = vu 2 t 5 + 6t 2 + η 2 − 4η 4 − v 3t 1 + 2t 2 + η 2 3 ds
(
)
(
)
d 4α 4 s = vu 3 5 + 28t 2 + 24t 4 + 6η 2 + 8η 2 t 2 − 3η 4 + 4η 4 t 2 − 4η 6 + 24η 6 t 2 − 4 ds − v 3 u 1 + 20t 2 + 24t 4 + 2η 2 + 8η 2 t 2 + η 4 − 12η 4 t 2
(
)
(
)
d 5α 5 s = vu 4 t 61 + 180t 2 + 120t 4 − v 3u 2 t 58 + 280t 2 + 240t 4 + v 5 t 1 + 20t 2 + 24t 4 5 ds (6.18)
(
)
(
)
(
)
Si ahora sustituimos estas derivadas dentro de la forma general representada por (6.4), obtenemos las siguientes ecuaciones de trabajo (Jordan, Vol. III, 2a mitad, pág. 78). 2 3 ϕ 2 −ϕ1 = u − 1 v 2 t − 3 u 2η 2 t − v u (1 + 3t 2 + η 2 − 9η 2 t 2 ) − u η 2 (1 − t 2 ) + 2 2 6 2 V2
4 2 2 4 + v t (1 + 3t 2 + η 2 − 9η 2 t 2 ) − v u t (4 + 6t 2 − 13η 2 − 9η 2 t 2 ) + u n 2 t + 24 12 2
4 2 3 + v u (1 + 30t 2 + 45t 4 ) − v u (2 + 15t 2 + 15t 4 ) 120 30
(λ 2 − λ1 ) cosϕ = v + vut − v33 t 2 + vu32 (1 + 3t 2 + η 2 ) − v33u t (1 + 3t 2 + η 2 ) + vu33 t (2 + 3t 2 + η 2 ) + 5 4 3 2 + v t 2 (1 + 3t 2 ) + vu (2 + 15t 2 + 15t 4 ) − v u (1 + 20t 2 + 30t 4 ) 16 15 15
(6.19)
113 2 2 2 2 v3 ± 180º ) = vt + vu u (1 + 2 t + η ) − 6 t (1 + 2 t + η ) +
α 21 − (α 12
2 3 + vu t (5 + 6 t 2 + η 2 − 4η 4 ) − v u (1 + 20 t 2 + 24 t 4 + 2η 2 + 8η 2 t 2 ) + 6 24
3 5 + vu (5 + 28 t 2 + 24 t 4 + 6η 2 + 8η 2 t 2 ) + v t (1 + 20 t 2 + 24 t 4 ) − 24 120
3 2 4 − v u t (58 + 280 t 2 + 240 t 4 ) + vu t ( 61 + 180 t 2 + 120 t 4 ) 120 120
Todas las unidades angulares en estas expresiones estarán en radianes. Recuérdese también que estas ecuaciones sirven específicamente para la línea geodésica. La precisión de las ecuaciones ampliada es tal que Bagratuni (1967, pág. 136) indica que estas fórmulas pueden ser usadas hasta 130 km. No obstante, Grushinsky (1969, pág. 62) indica que dichas fórmulas son útiles hasta los 600-800 km. Desarrollos más precisos serán presentados más adelante.
6.2.2
La Solución Inversa
La solución del problema inverso usando desarrollos en serie no es tan directa como lo expresa la ecuación (6.4). Resolveremos este problema usando los primeros términos de la ecuación (6.19) usando un procedimiento iterativo. Escribimos (6.19) en la forma. 3
ϕ 2 − ϕ1 =
V1 cos α 12 ⋅ s + ∆ A c (6.20)
λ 2 − λ1 =
V1 sin α 12 ⋅ s + ∆B c cos ϕ1
donde ∆ A y ∆ B son funciones de s,α12, y ϕ1. Ahora resolvemos la ecuación (6.20) asumiendo que ∆ A y ∆ B son conocidas. Consideremos que ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 y que ∆λ = λ 2 − λ1 , entonces tenemos: V1 sin α12 ⋅ s = ∆λ − ∆ B c cosϕ1 (6.21) 3 1
V cos α 12 ⋅ s = ∆ϕ − ∆ A c Dividiendo estas dos ecuaciones y reordenando los términos queda:
114
∆λ − ∆ B tan α 12 = V12 cos ϕ 1 ∆ϕ − ∆ A
(6.22)
Adicionalmente, s puede ser encontrado desde cualquiera de las ecuaciones dadas en (6.21). Por ejemplo, para la segunda expresión:
s=
c(∆ϕ − ∆ A ) V13 cos α12
(6.23)
Sabiendo que ∆λ , ∆ϕ , y ϕ1 , y dejando ∆ A y ∆ B en cero como una primera aproximación al acimut α 12(1) tenemos de la ecuación (6.22):
( )
tan α 12(1) = V12 cos ϕ 1 ∆λ ∆ϕ
(6.24)
Dejando otra vez ∆ A igual a cero, ahora en la ecuación (6.23), y usando el acimut de (6.24) calculamos la primera aproximación de la distancia como:
s
( 1)
=
c ∆ϕ V cosα12(1)
(6.25)
3 1
Usando ahora los valores conocidos de α 12(1) y s (1) , podemos calcular valores para ∆ A y ∆ B los que pueden ser usados en las ecuaciones (6.22) y (6.23) para conseguir mejores valores de α 12 y s. El proceso es iterado hasta que los valores de α 12 y s no cambien más allá de una cantidad especificada. 6.3
Las Fórmulas de Puissant
Estas ecuaciones fueron originalmente deducidas por Puissant en el siglo XVIII. Ellas han sido extendidas y usadas por varias organizaciones geodésicas para sus trabajos de cálculo de posición. Estas ecuaciones no son derivadas con gran rigor y normalmente no son usadas para líneas mayores de 100 km de longitud.
6.3.1
El Problema Directo
Para derivar las ecuaciones necesarias del problema directo, consideremos una esfera de radio N1, tangente a lo largo del paralelo a través del primer punto. Para distancias cortas, la esfera será aproximadamente coincidente con el segundo punto. Supongamos que el
115
acimut y la distancia sean iguales en la esfera y en el elipsoide. Esta información se muestra en la Figura 6.2: P’
P
90°- ϕ1’
90°- ϕ2’
α12
s
P2(ϕ2,λ
P1(ϕ1,λ
Figura 6.2 Aproximación de Puissant para Determinar la Latitud 90 − ϕ 1' y 90 − ϕ 2' son arcos en una esfera de radio N1, tangente al punto uno. En la medición de estos arcos tenemos ϕ 1' = ϕ 1 , esto porque la esfera es tangente en el primer punto. Considerando el triángulo esférico P1P’P2, escribimos la ley de cosenos: sin ϕ 2' = sin ϕ1 cos (P1 P2 ) + cos ϕ1 sin (P1 P2 ) cos α 12
(6.26)
Debido a que estamos tratando con distancias cortas, dejamos que ϕ 2' = ϕ 1 + ∆ϕ ' donde ∆ϕ ' es una cantidad pequeña en radianes. Además dejemos que el arco P1P2 sea considerado como s/N1. La ecuación (6.26) ahora se convierte en: sin (ϕ1 + ∆ϕ ' ) = sin ϕ1 cos Ns + cos ϕ1 sin Ns cos α 12 1 1
(6.27)
Ahora desarrollamos en serie sin (ϕ1 + ∆ϕ ') : ∆ϕ ' 2 ∆ϕ '3 sin (ϕ1 + ∆ϕ ' ) = sin ϕ1 + cos ϕ1 ∆ϕ ' − sin ϕ1 − cos ϕ1 + 2 6 Reconociendo que s/N1 es pequeño, escribimos:
(6.28)
116 3 sin Ns = Ns − s 3 6 N1 1 1
(6.29) 2
cos s = 1 − s 2 N1 2 N1 Podemos sustituir la ecuación (6.28) y (6.29) dentro de (6.27) y resolver ∆ϕ ' . Encontramos: 3 2 ∆ϕ '2 ∆ϕ '3 ∆ϕ ' = s cos α 12 − s 2 tan ϕ 1 − s 3 cos α 12 + tan ϕ 1 + N1 2 6 2 N1 6 N1
(6.30)
Puesto que ∆ϕ ' aparece en el lado derecho de la ecuación (6.30) debemos resolver la ecuación por aproximaciones sucesivas. En la primera aproximación tomamos ∆ϕ ' = s cos α 12 / N 1 así (6.30) se transforma en: 2 3 ∆ϕ '3 ∆ϕ ' = Ns cos α 12 − s 2 tan ϕ1 sin 2 α 12 − s 3 cos α 12 + 6 N N 2 6 1 1 1
(6.31)
Por tanto, una mejor aproximación para ∆ϕ ' es: 2 ∆ϕ ' = Ns cos α 12 − s 2 tan ϕ1 sin 2 α 12 2 N1 1
(6.32)
La ecuación (6.32) ahora podría ser sustituida nuevamente dentro de la ecuación (6.30) para encontrar: 2 3 ∆ϕ ' = Ns cos α 12 − s 2 sin 2 α 12 tan ϕ1 − s 3 cos α 12 sin 2 α 12 (1 + 3 tan 2 ϕ1 ) 2 N1 6 N1 1
(6.33)
Ahora debemos cambiar ∆ϕ ' (medido en la esfera de radio N1) a ∆ϕ el cual es medido a lo largo de un arco de meridiano. Para hacerlo, asumimos que la distancia N 1 ∆ϕ ' en la esfera es igual a la distancia correspondiente en el elipsoide. Permitiendo que Mm sea el radio de curvatura del meridiano en la latitud media, tenemos: N 1 ∆ϕ ' = M m ∆ϕ
(6.34)
117
el cual puede resolverse para encontrar ∆ϕ si encontramos Mm. Para evaluar Mm necesitamos conocer la latitud del segundo punto, lo cual es lo que tratamos de hacer. Para resolver el problema, hallamos Mm mediante un desarrollo en serie de M alrededor del primer punto. Por tanto: ∆ϕ + ... M m = M 1 + dM dϕ 1 2
(6.35)
o después de la diferenciación:
M e2 sin ϕ1 cosϕ1 M m = M1 + 3 1 ∆ϕ 2 (1 − e2 sin 2 ϕ1 )
(6.36)
Resolviendo ∆ϕ de (6.34) y sustituyendo (6.36) dentro de esta expresión, tenemos: ∆ϕ = δϕ − cδϕ∆ϕ
(6.37)
donde 2 3 δϕ = Ms cos α 12 − 2 Ns M sin 2 α 12 tan ϕ1 − s2 sin 2 α 12 cos α 12 (1 + 3 tan 2 ϕ1 ) 6 N 1 1 1 1 M1
(6.38) y e2 sin ϕ1 cosϕ1 c =3 2 (1−e2 sin 2 ϕ1 )
(6.39)
Puesto que (δϕ − ∆ϕ ) es pequeño, podemos permitir que δϕ∆ϕ de la ecuación (6.37) sea: (δϕ ) 2 . Con esta sustitución e introduciendo los símbolos siguientes (Hosmer, 1930, pág. 212): 1 , B= M 1
C=
tan ϕ1 , 2 M1N1
D=
3e2 sin ϕ1 cosϕ1 , 2(1−e2 sin 2 ϕ1 ) (6.39a)
E=
1 + 3 tan 2 ϕ1 , 6 N 12
tenemos:
h=
s cos α 12 M1
118
∆ϕ = s cos α 12 B − s sin α 12 C − hs sin α 12 E − (δϕ ) D 2
2
2
2
2
(6.40)
donde δϕ está dado por la ecuación (6.38) o por la suma de los primeros tres términos en la ecuación (6.40). La latitud del segundo punto será entonces ϕ 2 = ϕ 1 + ∆ϕ . Para determinar la longitud del segundo punto definimos una esfera de radio N2, tangente al paralelo a través de P2. Asumimos que esta esfera pasa cerca del primer punto, de manera que el acimut y distancia en el elipsoide y en la esfera sean los mismos. Esta situación es mostrada en la Figura 6.3.
∆
P’’ 90°- ϕ2
∆
α12
s
P
P2(ϕ2,λ
P1(ϕ1,λ Figura 6.3 Aproximación de Puissant para Determinar la Longitud Aplicando la ley de senos al triángulo esférico P1P2P”, tenemos: sin α 12 sin ∆λ = s cos ϕ 2 sin N2 de este modo: sin ∆λ = sin ( Ns ) sin α 12 sec ϕ 2 2
(6.41)
119
La ecuación (6.41) es una expresión cerrada para un resultado aproximado. La longitud del segundo punto podría ser λ 2 = λ1 + ∆λ . La ecuación (6.41) podría también ser desarrollada dentro de las series siguientes (Clark, 1957, Vol. II, pág. 336).
∆λ = Ns sin α 12 sec ϕ 2 2
1 − s 2 (1 − sin 2 α sec 2 ϕ ) 12 2 6 N 22
(6.42)
Deberíamos notar que antes de aplicar las ecuaciones (6.41) ó (6.42), es necesario calcular la latitud del segundo punto usando la ecuación (6.40). Para calcular el acimut inverso aplicamos la ecuación siguiente, obtenida de las analogías de Napier:
tan 12 ( B + C ) =
cos 12 (b−c) cot A 2 cos 12 (b+c)
(6.43)
donde por analogía con la Figura 6.1, tenemos: B = α 12
b = 90º − ϕ 2'
C = 360º − α 12
c = 90º − ϕ 1
(6.44)
A = ∆λ que puede ponerse dentro de la ecuación (6.43) para encontrar: cos 12 (90 − ϕ 2' ) − (90 − ϕ 1 ) tan 12 (α 12 + 360º −α 21 ) = cot ∆λ 2 cos 12 (90 − ϕ 2' ) + (90 − ϕ 1 )
(6.45)
Escribimos α 21 = α 12 + ∆α ± 180º para que la ecuación (6.45) llegue a ser, (después de invertirse): sin 12 (ϕ1 +ϕ2' ) ∆ α tan = tan ∆λ ∆ ϕ 2 ' 2 cos 2
(6.46)
Puesto ϕ 2' ≅ ϕ 2 y ∆ϕ ' ≅ ∆ϕ la ecuación (6.46) puede escribirse como: sin ϕm tan ∆α = tan ∆λ 2 2 ∆ϕ cos 2
(6.47)
120
La ecuación (6.47) puede ponerse en forma de series como sigue (Clark, 1957, Vol. II, pág. 337):
∆α = ∆λ sin ϕ m sec
∆ϕ ∆λ3 ∆ϕ ∆ϕ (sin ϕ m sec ) + − sin 3 ϕ m sec 3 2 12 2 2
(6.48)
Las ecuaciones (6.40), (6.41), y (6.42) (o formas de series equivalentes para las dos últimas), constituyen una implementación usual de las ecuaciones de Puissant. Ellas han sido usadas para distancias en el orden de 100 km. Un término adicional que ha de añadirse al lado derecho de (6.40) extiende la precisión del procedimiento para líneas de mayor extensión. Este término es (Hosmer, 1930, pág. 219):
1 s 2 kE − 3 s 2 cos 2 αkE − 1 s 2 cos 2 α sec 2 ϕAk 2 2 2
(6.49)
donde k = s 2 sin 2 αC 1 A= N1
(6.50)
Si se calculan líneas cortas (de hasta aproximadamente 12 millas o 19 km), pueden darse versiones simplificadas de las ecuaciones de Puissant. De la ecuación (6.40) podríamos escribir: ∆ϕ = s cos α 12 ⋅ B − s 2 sin 2 α 12 ⋅ C − (δϕ ) 2 D
(6.51)
De la ecuación (6.42) podríamos escribir: ∆λ = Ns sin α 12 sec ϕ 2 2
(6.52)
y de la ecuación (6.48) tenemos: ∆α = ∆λ sin ϕ m
(6.53)
121
6.3.2
El Problema Inverso
Para resolver el problema inverso usando las ecuaciones de Puissant, primero resolvemos la ecuación (6.24) de la forma siguiente:
s sin α 12 =
N 2∆λ cosϕ2
(6.54)
1− s 2 2 (1−sin 2 α12 sec2 ϕ2 ) 6 N2
Si como una primera aproximación se deja el denominador en uno, podemos calcular s sin α 12 . Luego resolvemos s cos α 12 de la ecuación (6.40):
[
1 ∆ϕ + s 2 sin 2 α ⋅ C + hEs 2 sin 2 α + (δϕ ) 2 D s cos α 12 = B 12 12
]
(6.55)
Aunque desconocemos h en el lado derecho de la ecuación, podemos encontrar una buena aproximación para s cos α 12 . Entonces s sin α tan α 12 = s cos α12 ; s = 12
(s sin α 12 )2 + (s cos α 12 )2
(6.56)
Donde podemos encontrar α 12 y s. Será necesario la iteración para alcanzar una precisión compatible con la del problema directo. Deberíamos notar que la derivación de las ecuaciones de Puissant es tal que no podemos indicar si el método es para una geodésica o para una sección normal. Esto no es relevante considerando que la aplicación de dichas ecuaciones se limitan a extensiones de líneas donde la diferencia entre curvas geodésica y curvas de sección normal no es significante.
122
6.4
Las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss
Las ecuaciones de Puissant son convenientes para la solución del problema directo, pero son menos convenientes para resolver el problema inverso. Para evitar esa dificultad es apropiado considerar las fórmulas de la latitud media de Gauss (Lambert y Swick, 1935; Lauf, 1983). En este procedimiento reemplazamos el triángulo polar elipsoidal por un triángulo esférico que tiene por radio el radio de curvatura del primer vertical de la latitud media entre los dos puntos. El triángulo elipsoidal P1P2P, y el triángulo esférico correspondiente P1’P2’P’ se muestran en los siguientes croquis: P ∆λ
P ∆λ 90°-
90°-
α2 s
α1 P
α1
α2 P
P 2’
P
Figura 6.4 Triángulos Polares Resueltos Mediante las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss Asumimos que los acimuts y distancias en los triángulos elipsoidales y triángulos esféricos son iguales. Sin embargo, notamos que ϕ1’ y ϕ2’ no son iguales a ϕ1 y ϕ2 porque las cantidades son medidas respecto de superficies diferentes. Asumiremos que:
ϕ m = 1 (ϕ 1 + ϕ 2 ) = 1 (ϕ 1' + ϕ 2' ) 2 2
(6.57)
También asumiremos que la distancia del arco entre los paralelos de ϕ1’ y ϕ2’ sobre la esfera es igual a la distancia entre los paralelos de ϕ1 y ϕ2 en el elipsoide. Sabiendo que el radio de la esfera es Nm y, con suficiente precisión que el radio de curvatura del meridiano en el elipsoide es Mm, podemos escribir: N m (ϕ 2' − ϕ 1' ) = M m (ϕ 2 − ϕ 1 ) = M m ∆ϕ
(6.58)
123
Esta ecuación es similar a la (6.34) utilizada en la derivación de las ecuaciones de Puissant. Ahora utilizamos las siguientes ecuaciones de Gauss o Delambre escritas para el triángulo esférico siguiente:
C a b c
B
A Tenemos: sin c cos 1 ( A − B ) = sin 1 (a + b) sin C 2 2 2 2 (6.59) sin
c C sin 1 ( A − B) = sin 1 (a − b) cos 2 2 2 2
En nuestro caso: c= s Nm
C = ∆λ
A = α 12'
a = 90º − ϕ 2'
B = 360º − α 12'
b = 90º − ϕ 1'
Así: A − B = α 12 + α 21 − 360º
a + b = 180º − (ϕ 1' + ϕ 2' )
α 21 = α 12 + ∆α + 180º
a − b = ϕ 1' − ϕ 2'
(6.60)
A − B = 2α 12 + ∆α − 180º Sustituyendo estos valores en la ecuación (6.59) tenemos, después de varias simplificaciones:
124
sin
s sin (α + ∆α ) = cos ϕ sin ∆λ 12 m 2 Nm 2 2
(6.61)
sin
s cos (α + ∆α ) = sin ∆ϕ ' cos ∆λ 12 2 Nm 2 2 2
(6.62)
De la ecuación (6.58) despejamos ∆ϕ ' en términos de ∆ϕ y sustituimos dentro de (6.62) para encontrar:
sin
s cos (α + ∆α ) = sin M m ∆ϕ cos ∆λ 12 2 N m 2 Nm 2 2
(6.63)
Las ecuaciones (6.61) y (6.63) son las principales que nos guían a las fórmulas de latitud media de Gauss. Para derivar la solución inversa dividimos (6.61) por (6.63) para obtener:
tan (α 12
+ ∆α ) = 2
cosϕm sin ∆λ 2 M sin m ∆ϕ cos ∆λ 2 2 Nm
(6.64)
Nótese que en el problema inverso el lado derecho será una cantidad conocida de tal forma que la ecuación (6.64) pueda ser usada para encontrar α 12 + ∆α / 2 . Conociendo esta cantidad podemos encontrar s en las ecuaciones (6.61) o (6.63). Por ejemplo, desde (6.61): cosϕm sin ∆λ s 2 = sin 2 N m sin (α + ∆α ) 12 2
(6.65)
Con el objeto de encontrar el acimut, el valor de ∆α puede ser calculado desde las ecuaciones (6.47) o (6.48), que han sido expuestas previamente. Las fórmulas de la latitud media de Gauss, usualmente se encuentran en forma de series. Estas pueden deducirse desarrollando en serie las funciones sin (s / 2 N m ) , sin (∆λ / 2) , y sin( M m ∆ϕ / 2 N m ) que aparecen en (6.61) y (6.63). Por ejemplo, reteniendo los primeros términos en (6.61), tenemos: s sin (α 12 + ∆α ) = N m cos ϕ m ∆λ 2
(6.66)
125
y de la ecuación (6.63):
s cos (α 12 + ∆α ) = M m ∆ϕ cos ∆λ 2 2
(6.67)
Estas ecuaciones pueden ser usadas para resolver el problema directo en una forma iterativa escribiendo las ecuaciones (6.66) y (6.67) en la forma:
∆λ =
s sin (α12 + ∆α / 2) N m cosϕm
(6.68)
∆ϕ =
s cos (α12 + ∆α / 2) M m cos (∆λ / 2)
(6.69)
Donde ∆α podría calcularse directamente desde (6.47) o (6.48). Es evidente que la solución precisa del problema directo, en esta manera, es un procedimiento iterativo. Una forma de series más completa para la solución del problema inverso han sido dadas por Lambert y Swick (1935), Bomford (1971, pág. 137) y Lauf (1983, pág.71). Conociendo la información para el problema inverso, calculamos Nm y Mm. Entonces se calcula F: F = 1 sin ϕ m cos 2 ϕ m 12
(6.70)
Esencialmente se evalúa (6.48) en la forma:
∆α = ∆λ sin ϕ m sec
Luego se calcula:
∆ϕ + F∆λ3 2
(6.71)
126
∆ϕ ' = ∆ϕ (sin (∆ϕ / 2) / (∆ϕ / 2)) ∆λ ' = ∆λ (sin (∆λ / 2) / (∆λ / 2))
(6.72) X 1 = s1 sin(α 12 + ∆α ) = N m ∆λ ' cos ϕ m 2 X 2 = s1 cos(α 12 + ∆α ) = M m ∆ϕ ' cos(∆λ / 2) 2 Conociendo X1 y X2, calcular s1:
s1 = ( X 12 + X 22 )
1
(6.73)
2
Finalmente encontramos: s = s1 ( s1 / 2 N m ) / sin ( s1 / 2 N m )
α 12 = tan −1 ( X 1 / X 2 ) − ∆α / 2 (6.74)
α 21 = α 21 + ∆α ± 180º La importancia de las fórmulas de la latitud media de Gauss está en la solución del problema inverso a través de las ecuaciones (6.64) y (6.65), donde no son requeridos procedimientos iterativos. La precisión de estas fórmulas es ± 1 parte por millón para líneas de 100 km.
6.5
Las Fórmulas de Bowring
Bowring (1981) dedujo ecuaciones para los problemas directo e inverso para líneas geodésicas de hasta 150 km de longitud. La derivación en detalle es entregada por Bowring y no se repetirá aquí. El método usa una proyección conforme del elipsoide en una esfera, llamada la proyección gaussiana de segunda clase. En esta aplicación, el factor de escala es tomado en el punto inicial de la línea. Además, la primera y segunda derivadas del factor de escala con respecto a la latitud, se establecen como cero. La geodésica desde elipsoide es entonces proyectada en la línea correspondiente sobre la esfera donde puede aplicarse la trigonometría esférica. El procedimiento para la solución directa e inversa no es iterativo usando las ecuaciones siguientes:
127
Ecuaciones Comunes
A = (1 + e' 2 cos 4 ϕ 1)
1
B = (1 + e' 2 cos 2 ϕ 1 )
1
C = (1 + e' 2 )
1
2
2
2
(6.75) w = A(λ 2 − λ1 ) / 2 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 ∆λ = λ 2 − λ1
Ecuaciones del Problema Directo
σ = sB 2 / (aC ) A tan σ sin α 12 λ 2 = λ1 + 1A tan −1 B cos ϕ1 − tan σ sin ϕ1 cos α 1 D = 1 sin −1 2
sin σ cos α − 1 sin ϕ sin α tan w 12 1 12 A
ϕ 2 = ϕ1 + 2 D B − 3 e' 2 D sin 2ϕ1 + 4 BD 2 3 − B sin α 12 α 2 = tan −1 cos σ (tan σ tan ϕ1 − B cos α 1 ) Ecuaciones del Problema Inverso
(6.76)
D=
∆ϕ 2B
128
1 + 3e' ∆ϕ sin 2ϕ + 2 ∆ϕ 1 3 4 B 2 2
E = sin D cos w F = 1 sin w (B cos ϕ1 cos D − sin ϕ1 sin D ) A (6.77)
(
tan G = F ; sin σ = E 2 + F 2 E 2
)
1/ 2
tan H = 1 (sin ϕ1 + B cos ϕ1 tan D ) tan w A
α 1 = G − H ; α 2 = G + H ± 180º ; s = aCσ / B 2 Meade (1981) trata la exactitud de esta solución indicando precisiones de 1 ó 2 mm para la solución directa o inversa en líneas del orden de 120 km de largo. Para líneas de 150 km, el error en la distancia inversa se incrementa hasta 3 ó 4 mm. Para líneas de hasta 100 km, el error acimutal estará en el orden de 0,001” de arco.
6.6
El Método de la Cuerda
Otro procedimiento para resolver el problema inverso y directo es trabajar con la cuerda entre los dos puntos de interés. En las secciones 4.19 y 4.23 tratamos métodos para trabajar con una cuerda entre dos puntos. En 4.19 consideramos la cuerda y el acimut de su sección normal entre dos puntos en o sobre el elipsoide. En la sección 4.23 vimos la conversión de la extensión de una geodésica o sección normal entre dos puntos, en el elipsoide, en una cuerda, y viceversa. Ahora aplicamos estas ecuaciones a la solución del problema directo e inverso.
6.6.1
El Problema Inverso
Conociendo ϕ 1 , λ1 , ϕ 2 , λ 2 , calculamos las coordenadas X, Y, Z, de la ecuación (3.152) asumiendo que la altura es cero. La distancia de cuerda es:
[
c = ( X 2 − X 1 ) + (Y2 − Y1 ) + (Z 2 − Z 1 ) 2
2
2
]
1
2
(6.78)
Esta distancia de cuerda puede convertirse en longitud de geodésica usando (4.106) o en una extensión de sección normal usando (4.107). El acimut de la sección normal puede ser calculado en forma cerrada usando la ecuación (4.71) donde A es el primer punto. Si
129
se necesita el acimut geodésico se puede usar una ecuación tal como (4.111). Si se requiere el acimut inverso puede encontrarse también usando (4.71), adoptando el punto A como el segundo de los dos puntos. 6.6.2
El Problema Directo
Recordemos que para el problema directo conocemos ϕ 1 , λ1 , α 12 y s. Por conveniencia establecemos λ1 = 0 y resolvemos para una diferencia de longitud con respecto al primer punto. En este caso, las coordenadas rectangulares del primer punto son (tomando 3.152): X 1 = N 1 cos ϕ1 Y1 = 0
(6.79)
Z 1 = N 1 (1 − e 2 ) sin ϕ1 Las diferencias de coordenadas serían: ∆X = X 2 − X 1 ∆Y = Y2
(6.80)
∆Z = Z 2 − Z 1 Ahora invertimos (4.67) y al mismo tiempo establecemos λ = 0 . Encontramos: ∆X ∆Y ∆Z
− sin ϕ1 = 0 cos ϕ1
0 1 0
cos ϕ1 0 sin ϕ1
u v w
(6.81)
donde las coordenadas locales son (ver 4.60): u = c cos V cos α 12 v = c cos V sin α 12 w = c sin V Sustituyendo (6.82) en (6.81) tenemos:
(6.82)
∆X = − c (sin ϕ1 cos V cos α 12 − sin V cos ϕ1 ) ∆Y = c cos V sin α 12
130
(6.83)
∆Z = c (cos ϕ1 cos V cos α 12 + sin ϕ1 sin V )
Conocemos c y α12 al lado derecho de (6.83). Asumiendo que conocemos V, podemos usar (6.83) para hallar ∆X , ∆Y , ∆Z . Entonces calculamos las coordenadas rectangulares del segundo punto. X 2 = X 1 + ∆X Y2 = ∆Y
(6.84)
Z 2 = Z 1 + ∆Z Conociendo estas coordenadas podemos calcular la latitud y longitud desde (como se discutirá en la sección 6.8):
tan ϕ 2 =
(
tan ∆λ =
Y2 X2
)(
Z2
1 − e 2 X 22 + Y
2 2
)
1
2
(6.85)
(6.86)
Estas ecuaciones completarían la solución del problema directo. Al resolver (6.83) asumimos conocer V. Este ángulo V es el negativo del ángulo de declinado tratado en la sección 4.17. Por ejemplo, desde (4.52) podemos escribir:
(
)
2 − V = s 1 + η12 cos 2 α 12 − s 2 η12 t1 cos α 12 2 N1 2 N1
(6.87)
De la Figura 6.5 puede deducirse un valor simplificado para V, asumiendo que los dos puntos están en una esfera, cuyo radio es el radio ( Rα ) de curvatura en la dirección de la línea.
131
µ c/
c/
R
µ
Figura 6.5 Determinación Aproximada del Ángulo de Declinación Tenemos: sin µ = sin (−V ) = c 2 Rα
(6.88)
El uso de (6.88) o aun de (6.87) podría crear un error pequeño en las coordenadas calculadas. Si las coordenadas rectangulares son las correctas, tiene que satisfacerse la ecuación de la elipse. Específicamente, desde (3.153) deberíamos tener:
X 2 + Y 2 + Z 22 2 2 (1−e2 )
1
2
−a =0
(6.89)
Si V no es correcto, el lado derecho igualará (digamos) a h. Conociendo h se puede calcular una corrección para V (Vincenty, 1977) como sigue: − dV =
h c cos V
(6.90)
El ángulo vertical corregido podría ser: Vi +1 = Vi + dV
(6.91)
132
Lo cual puede ser usado en (6.83) para obtener valores mejorados de ∆X , ∆Y , ∆Z . Después que el ciclo iterativo haya convergido (por ejemplo h ≤ 1 mm ) se puede usar el juego final de valores para X 2 , Y2 , Z 2 en (6.85) y (6.86) para obtener la latitud y longitud del segundo punto.
6.7
Exactitud de los Métodos Directo e Inverso para Líneas de Longitud Mediana
En las secciones previas hemos tratado varios métodos para resolver el problema directo e inverso. Cada método tenía aproximaciones asociadas a truncamiento de series o aproximaciones geométricas. En algunos casos hemos citado pautas respecto de la exactitud de las ecuaciones. Pero se pueden obtener estimaciones más específicas de precisión si se calcula una serie de líneas de prueba con el juego de fórmulas más precisas, haciendo comparaciones con los resultados para los métodos aproximados. Tales cálculos han sido desarrollados por Gupta (1972) para varios métodos y Badi (1983) para el método de Bowring. Antes de hablar sobre las precisiones de cada método deberíamos poner en contexto las precisiones que podríamos desear en el cálculo de la posición. Por ejemplo, recordemos primero que 1” de arco corresponde a ≈ 30 m en la superficie del elipsoide. Tenemos entonces: ________Medida de Arco___________________________Medida Lineal________ 1"
30 m
0,1"
3m
0,01" 0,001"
0,3 m = 30 cm 0,03 m = 3 cm
0,0001" 0,003 m = 0,3 cm = 3 mm 0,00001" 0,0003 m = 0,03 cm = 0,3 mm ___________________________________________________________________
Si nos dieran un juego de latitudes y longitudes, nos gustaría que cualquier distancia calculada de aquel fuera la correcta (para propósitos de estabilidad) a 1 mm. Esto implicaría que las ϕ y λ debieran darse con una exactitud del orden de 0,00001”. Hay muchos casos en donde un criterio tan riguroso puede ser relajado dependiendo de la aplicación de los resultados. Las pruebas realizadas por Gupta constaron de líneas de diferentes extensiones y acimut, y latitud del primer punto. En la mayoría de los casos, hay una sensibilidad a los resultados dependiendo de estas tres cantidades. Aquí no se presenta un listado completo de los resultados. Basta tabular la distancia máxima en los acimut y latitudes más deficientes, para los cuales las ecuaciones específicas producen la exactitud dada. Tales resultados se dan en la tabla siguiente:
133
Extensión Máxima de Línea para la cual una Solución Directa Conocida Logra la Exactitud Dada (Distancias en km)
___________________________________________________________________
0,00001"
0,0001"
0,001"
0,01"
Series Legendre (4 términos)
30
40
80
100
Series Legendre (5 términos)
60
90
100
200
Puissant (corto, (6.51))
10
10
10
10
Puissant (largo, (6.40))
10
20
40
80
Bowring (Cuerda)
70
100
300
700
___________________________________________________________________ La precisión más deficiente en estos resultados usualmente ocurre en las altas latitudes. (La latitud más alta usada en esas pruebas fue de 70º). Por ejemplo, para una latitud de 10º, la distancia máxima para la serie de Legendre, con derivadas del quinto orden, es de 100 km para una exactitud de 0,00001" en lugar de 60 km dados en la tabla. De esos resultados concluimos que las fórmulas de Bowring para el problema directo producen la mejor precisión de las ecuaciones aquí descritas. La exactitud del problema inverso puede describirse de manera similar. En la tabla siguiente comparamos los errores de distancia y acimut para las fórmulas de latitud media de Gauss y de Bowring. De nuevo hemos escogido errores máximos que dependen del acimut y de la latitud. Error Máximo en la Solución del Problema Inverso para Líneas de Varias Extensiones
Largo de la Línea
Latitud Media de Gauss
Km
Acimut (”)
50
0,0048"
100 200
Distancia (mm)
Bowring Acimut (”) (mm)
Distancia
4
0,0003”
0,1
0,020"
33
0,0024”
1,1
0,083"
136
0,0049
9,7
Los resultados de Bowring claramente son los mejores. Los errores son aún bastante sensibles a la latitud y al acimut. Para una extensión de 100 km y 0º de acimut, el error en las fórmulas Bowring en 10º de latitud es 0,08 mm, aumentando a 1,1 mm en 40º.
6.3
El Problema Inverso para las Coordenadas Rectangulares Espaciales
Conociendo ϕ, λ y h de un punto, calculamos las coordenadas rectangulares espaciales como sigue (ver 3.152):
134
X = ( N + h) cos ϕ cos λ Y = ( N + h) cos ϕ sin λ
(6.92)
Z = ( N (1 − e 2 ) + h) sin ϕ Ahora examinamos el cálculo de ϕ , λ , h, conociendo X , Y , Z y los parámetros del elipsoide. La solución no es directa debido a que N es función de la latitud. Se han presentado varias soluciones iterativas y de forma cerrada para este problema. Primero consideramos una solución iterativa sugerida por Hirvonen y Moritz (1963). Para hacerlo, primero hallamos la longitud dividiendo la Y por la ecuación X de (6.92): tanλ = Y X
(6.93)
Luego consideramos la siguiente sección meridiana que es mostrada en la Figura 6.6:
h
(N + h) (N +
ϕ ϕ
(X2 + Y2)1/2
Figura 6.6 Sección de Meridiano Mostrando un Punto sobre el Elipsoide
135
Tenemos:
tan ϕ =
( N + h) sin ϕ X 2 +Y 2
(6.94)
Ahora Z = N sin ϕ − e 2 N sin ϕ + h sin ϕ ó ( N + h) sin ϕ = Z + e 2 N sin ϕ , entonces:
tan ϕ =
Z + e2 N sin ϕ X 2 +Y 2
(6.95)
Necesitamos resolver esta ecuación por iteración, por tanto primero escribimos:
tan ϕ =
Z X2 + Y2
1 + e2 N sin ϕ Z
(6.96)
Si, como primera aproximación, tomamos h = 0, Z = N (1 − e 2 ) sin ϕ , la ecuación (6.96) puede ser escrita como: tan ϕ 1 =
[
e2 Z + 1 1−e2 X 2 +Y 2
]
ó
(6.97)
tan ϕ 1 =
1 ⋅ Z 2 1 − e2 X +Y 2
Esta ecuación es exacta cuando h = 0, y puede ser usada para obtener una primera aproximación para la latitud deseada. Con esta aproximación la ecuación (6.95) puede ser iterada para encontrar su convergencia. De las primeras dos ecuaciones de (6.92) podemos encontrar h:
h=
X 2 +Y 2 cosϕ − N
(6.98)
De la tercera ecuación de (6.92) tenemos: h=
Z − N + e2 N sin ϕ
(6.99)
136
La selección entre el uso de (6.98) o (6.99) depende de la latitud aproximada. En las regiones polares (6.99) debería ser más estable que (6.98), mientras que lo opuesto sería verdadero en las regiones ecuatoriales. En 1976 Bowring describió un procedimiento iterativo que converge más rápido que el recientemente expuesto. (Ver Figura 6.7). Consideremos una elipse de meridiano con el punto Q ubicado en alguna elevación sobre el elipsoide, siendo P el punto correspondiente en el elipsoide. Permítase que C sea el centro de curvatura de la elipse meridiana en el punto P. La distancia CP es el radio de curvatura del meridano, M.
Z
Q
P
h
M
ϕ
X
C Figura 6.7 Elipse Meridiana para la Derivación de Bowring La coordenada x de C es: xC = x P − M cos ϕ
(6.100)
Usando (3.42) para xP y (3.88) para M, (6.100) se reduce a
xC =
a e 2 cos 3 ϕ W3
Usando (3.66) esto se convierte en:
(6.101)
137
xC = a e 2 cos 3 β
(6.102)
De manera similar calculamos la coordenada z de C. Encontramos: z C = − e' 2 b sin 3 β
(6.103)
De la figura 6.7 vemos que:
tan ϕ =
zQ − zC xQ − xC
o sustituyendo para xC y zC, tenemos:
tan ϕ =
z Q + e' 2 b sin 3 β
(6.104)
xQ − ae 2 cos 3 β
En términos de X, Y, Z, podemos escribir (6.104) como:
tan ϕ =
Z + e' 2 b sin 3 β X 2 + Y 2 − ae 2 cos 3 β
i
(6.105)
La ecuación (6.105) es la ecuación básica que ha de iterarse para la solución de Bowring. El valor inicial aproximado de β puede ser encontrado de (3.28) y (3.29):
tan β 0 =
a Z 2 b X +Y2
(
)
1/ 2
(6.106) Cualquier valor actualizado de β que se necesite puede ser calculado de (3.63): tanβ = (1 − f ) tanϕ donde ϕ se calculará de (6.105).
(6.107)
138
Para aplicaciones terrestres, todo lo que se necesita es un ciclo iterativo único de (6.105) comenzando con (6.106) para obtener resultados precisos mejores de 0,1 mm. En alturas de 5000 m, el error de tal cálculo podría alcanzar 39 mm, lo cual podría eliminarse con otra iteración. La altura podría determinarse de (6.98) o (6.99). Sin embargo, una manera más conveniente para cualquier técnica fue sugerida por Bartelme y Meissl (1975) como parte de su derivación para otro procedimiento en la determinación de ϕ, λ, y h. Comenzamos con la elipse meridiana y un círculo pasando a través del punto de interés, según es mostrado en la Figura 6.8. z (X2+Y2)1/2 = p
p h
a p’
z
b
Figura 6.8 Geometría para la Determinación de h Usando (3.28) y (3.29) vemos que en el elipsoide las coordenadas x y z de p’ son a cos β y b sin β . Tenemos: h 2 = ( p − a cos β ) 2 + ( z − b sin β ) 2
(6.108)
El signo de h es asignado igualando el signo del primer término en paréntesis. Se recomienda el uso de la ecuación (6.108) para el cálculo de alturas por razones de simplicidad y estabilidad, aunque ésta fallará si el punto se ubica en uno de los polos. Vincenty (1980 a) sugirió una mejora del procedimiento Bowring introduciendo un elipsoide auxiliar que pasa a través del punto que está siendo transformado. Este método es especialmente útil cuando una elevación es aproximadamente conocida o es calculada de una manera aproximada. Varios autores han propuesto fórmulas cerradas para la evaluación de ϕ, λ y h a partir de X, Y y Z (por ejemplo, Paul, (1973) y Heikkinen, 1982)). Los pasos de cálculo para el procedimiento de Heikkinen son:
r=
X 2 +Y 2
139
F = 54b 2 Z 2 G = r 2 + (1 − e 2 ) Z 2 − e 2 E 2 ; ( E 2 = a 2 − b 2 )
c=
e 4 Fr 2 G3
s=
3
P=
F 3( s +1s + 1)2 G 2
1 + c + c 2 + 2c
Q = 1 + 2e 4 p
2 P (1 − e 2 ) Z 2 Pr 2 2 r0 = − Pe r + a (1 + 1 ) − − 1+Q 2 Q Q(1 + Q) 2
U = (r − e 2 r0 ) 2 + Z 2
V = (r − e 2 r0 ) 2 + (1 − e 2 ) Z 2 2 z0 = b Z aV
2 h = U (1 − b ) aV
tan ϕ =
Z + e'2 z0 r
tan λ =
Y X
140
Cualquier error en la aplicación de esas ecuaciones podría emanar de situaciones inestables. Aparentemente, las fórmulas de Heikkinen son estables (Vincenty, 1982 comunicación privada). En términos de tiempo de evaluación del cálculo, la técnica anterior es la más lenta. Si permitimos que el tiempo para este enfoque sea 1, el tiempo para el enfoque Bowring sería 0,73, para el de Vincenty (1980) 0,66 y para el de Hirvonen-Moritz 1,05.
7
INFORMACIÓN ASTROGEODÉSICA
7.1
Coordenadas Astronómicas
Hasta aquí, hemos considerado las coordenadas geodésicas que son definidas con respecto a un sistema específico de ejes y planos implicados por dichos ejes. Se tiene la medida de latitud considerando el plano ecuatorial, el cual es perpendicular al eje z de rotación del elipsoide. La longitud geodésica es el ángulo entre un meridiano inicial (conteniendo los ejes x y z) y el meridiano que pasa a través del punto de interés. En el mundo real donde las mediciones son realizadas con respecto a la dirección del vector gravedad, en un punto sobre la superficie de la tierra, no podemos determinar directamente la latitud geodésica, longitud, acimut de la sección normal, ángulo vertical, etc., considerando que el plano horizontal de los instrumentos usado para esas mediciones son orientados para que el plano horizontal del instrumento quede perpendicular a la dirección de la gravedad. Las cantidades medidas con respecto a la orientación del vector gravedad son generalmente llamadas cantidades astronómicas. Tenemos latitud astronómica, longitud astronómica, acimut astronómico, ángulo vertical astronómico, o distancia cenital astronómica. Con el objeto de definir tales cantidades es necesario definir un sistema de coordenadas y planos iniciales para referenciar (por ejemplo) la latitud y la longitud astronómica. Las definiciones de estos sistemas están ampliamente ligadas a las observables relacionadas con la Tierra física. No es la intención de este trabajo adentrarse en los detalles de las definiciones de los sistemas de coordenadas astronómicos. Tal enfoque puede ser encontrado en Mueller (1969, pág. 19), Bonford (1980, pág. 97), Vanicek y Krakiwsky (1982, pág. 296), Mueller (1981, pág. 9), etc. Es importante para nosotros, sin embargo, resumir algunas definiciones y aplicaciones apropiadas. El eje Z usado para propósitos de referenciación astronómica es relacionado con el eje de rotación de la Tierra. Tal eje requiere una definición precisa, considerando que el eje de rotación instantáneo no permanece fijo en posición con respecto a la corteza de la Tierra. Las primeras observaciones del movimiento del polo fueron iniciadas en 1899 usando la latitud definida de cinco estaciones del servicio de latitud internacional. Los datos de
141
esas estaciones han sido usados para definir el Origen Internacional Convencional (CIO), el cual es el polo terrestre promedio desde el año 1900 al 1905. Los valores del movimiento polar también han sido determinados por el Servicio de Movimiento Polar Internacional (IPMS) el que usa datos provenientes de un gran número de observatorios, y del Bureau International de l’Heure (BIH). Los cambios en el movimiento polar ahora son obtenidos rutinariamente desde el análisis del movimiento de satélites. Cada determinación del movimiento polar podría ser un tanto diferente dependiendo de los catálogos de estrellas usado, coordenadas adoptadas por la estación, procedimientos de observación, constantes adoptadas, etc. En el futuro cercano, mejoras en la determinación del movimiento polar y del eje Z serán posible usando nuevos y mejores procedimientos de observación y técnicas de procesamiento. Debería estar claro que las determinaciones del movimiento polar desde 1899 no tienen una precisión uniforme ni un eje Z de referencia uniforme. En adelante asumiremos que tenemos un eje Z el cual es llamado Sistema Terrestre Convencional (CTS) (Mueller, 1981). El eje de rotación instantáneo es localizado con respecto al eje Z por los elementos del movimiento polar xp, yp. La latitud astronómica de un punto, en la superficie de la Tierra, debería ser el ángulo medido entre el ecuador (perpendicular al eje de rotación medio) y la dirección del vector gravedad en el punto de interés. La latitud astronómica media (ΦM) puede ser obtenida desde la latitud astronómicas instantánea (ΦI) (esto es con respecto al ecuador instantáneo) usando las coordenadas (xp, yp) del polo instantáneo con respecto al polo de referencia usado (Mueller, 1969, pág. 87): Φ M = Φ I + y P sin Λ − x P cos Λ
(7.1)
Para definir la longitud astronómica instantánea primero definimos el plano meridiano astronómico instantáneo como el “plano que contiene la normal astronómica en P paralela al eje de rotación instantáneo de la tierra” (Mueller, 1969, pág. 19). El meridiano astronómico medio será aquel plano que contenga la normal astronómica en P, y que es paralelo al eje Z del Sistema Terrestre Convencional. La longitud astronómica es el ángulo entre el meridiano inicial (hoy en día definido por el BIH) y el meridiano astronómico que pasa a través del punto de interés. Valores de la longitud astronómica media (ΛM) pueden ser obtenidos desde la longitud astronómica instantánea (ΛI) a través de la aplicación de la corrección del movimiento polar (Mueller, 1969, pág. 87): Λ M = Λ I − (x P sin Λ + y P cos Λ) tan Φ
(7.2)
El primer acuerdo sustancial en la definición del meridiano inicial fue alcanzado en la Conferencia del Meridiano Internacional que se efectúo en octubre de 1884, Washington (Howse, 1980). Entonces el meridiano inicial fue definido como “aquel que pasa por el centro del instrumento de tránsito en el Observatorio de Greenwich”. Desde ese tiempo, definiciones mejoradas han sido adoptadas. Con variadas definiciones realizadas en diferentes tiempos es claro que la longitud astronómica considerada sobre un extenso periodo de tiempo podría no constituir un juego de datos homogéneos. En Estados Unidos, las longitudes astronómicas fueron originalmente ligadas a una longitud definida
142
en el Observatorio Naval de EE.UU. Sin embargo, esta longitud y los catálogos de estrellas usados desde 1922 fueron inconsistentes con aquel usado por el Bureau International de l’Heure (BHI). Petty y Carter (1978) estimaron un promedio para la corrección de longitud de –0,50” (positivo en longitud oeste) para la determinación de longitudes astronómicas en EE.UU. previas a 1962. Esta corrección dependiente del tiempo es llamada la corrección del observatorio y debería ser aplicada a las longitudes astronómicas publicadas por el National Geological Survey previas a 1978 (Petty, comunicación privada, 1981). Hoy día los ejes iniciales (X, Z) son definidos por un determinado juego de longitudes astronómicas en aproximadamente 50 observatorios de tiempo desplegados alrededor de la Tierra que envían los datos al BHI en París. Tales mediciones permiten la definición precisa de un meridiano inicial el cual ahora no es físicamente observable en Greenwich. En la práctica, las correcciones del movimiento polar son aplicadas para obtener un meridiano inicial “medio”. Un acimut astronómico es al ángulo entre el norte astronómico (o el plano meridiano astronómico) y el plano que contiene el vector gravedad en el punto de observación que pasa a través del punto observado. Debido a que el plano astronómico puede variar como consecuencia de las variaciones en los ejes de rotación descritos por el movimiento polar, deberíamos hablar de un acimut astronómico instantáneo (AI) y un acimut astronómico medio (AM). Los dos acimut son relacionados como sigue (Mueller, 1969, pág. 88): AM = AI − (x P sin Λ + y P cos Λ ) sec Φ
(7.3)
En subsecuentes tratados nos referiremos solamente al acimut astronómico medio. Este será medido desde el norte en el sentido de los punteros del reloj. La distancia cenital astronómica (Z’) es el ángulo subtendido desde el cenit, definido por la dirección del vector gravedad, en dirección hacia el punto que está siendo observado. Arriba hemos considerado mediciones astronómicas referidas a la dirección del vector gravedad en un punto sobre la superficie de la Tierra. Para aplicaciones que comprometen coordenadas astronómicas y geodésicas (ver las secciones siguientes) es importante que las coordenadas astronómicas sean reducidas al elipsoide o en la práctica al geoide. Para llevar a cabo ésto deben efectuarse correcciones por curvatura de la línea de plomada, según lo describe Heiskanen y Moritz (1967, pág. 193).
La Figura 7.1 identifica varias cantidades con respecto a los ejes del Sistema Terrestre Convencional.
143
ZCTS Cenit Astronómico
Norte Astronómico
z’
Este
A Vector Gravedad
Eje Z Paralelo
Meridiano Astronómico Plano del Φ
Meridiano Inicial
Λ
Figura 7.1 Cantidades Astronómicas Medidas
7.2
Comparación de Cantidades Angulares Astronómicas y Geodésicas
Cantidades astronómicas y geodésicas tales como latitud, longitud, acimut y distancia cenital principalmente se diferenciarán porque tales cantidades son medidas respecto de una dirección cenital diferente. Las cantidades astronómicas son medidas con respecto a un cenit definido por la dirección del vector gravedad, mientras que las cantidades geodésicas son definidas con respecto al cenit definido por una normal al elipsoide.
Es posible también que las coordenadas difieran por el uso de diferentes polos de referencia y diferentes meridianos iniciales para los sistemas astronómicos y geodésicos. Idealmente nos gustaría que estos sistemas fuesen lo mismo, pero en realidad ésto no podría ser. Para nuestra primera revisión analítica de las diferencias entre las coordenadas, supondremos, no obstante, que los ejes de rotación de la referencia astronómica y geodésica son paralelos. También supondremos que las longitudes y mediciones desde los meridianos iniciales son paralelos. Esta derivación sigue la efectuada por Heiskanen y Moritz (1967, pág. 184).
144
Ahora consideraremos una esfera unitaria relacionada con un punto A en la superficie de la Tierra como se muestra en la Figura 7.2. La intersección del eje de rotación del elipsoide con la esfera es designado P. (Note que hay solo un polo, ya que hemos asumido que los ejes de rotación astronómicos y geodésicos son paralelos). La normal al elipsoide que pasa a través de A intersecará a la esfera en ZG, el cenit geodésico en A. Ahora extendemos la dirección del vector gravedad en A de tal modo que interseque la esfera auxiliar en ZA lo cual es denominado cenit astronómico en A. Permitamos que m sea el punto de intersección de la línea de la visual y la esfera unitaria cuando el teodolito (nivelado respecto del vector gravedad) es apuntado a un objetivo M. Los puntos ZG y ZA son conectados a los punto P y m por círculos máximos. El arco mZA es la distancia cenital medida hasta el punto M y es denominada z’. El plano AZAm es el plano vertical en el punto A que pasa por M. El arco mZG es la distancia cenital geodésica y es designada como z. El plano AZGm es el plano de la sección normal directa desde A hasta M medida con respecto a la normal elipsoidal que pasa por A. Notamos que el arco ZAP es 90°- Φ. El plano AZGP del meridiano geodésico en A. El plano AZAP es el plano del meridiano astronómico en A. El ángulo ZGPZA = ( ∆l ) es el ángulo entre los meridianos astronómico y geodésico en A. Asumiendo que las longitudes astronómica y geodésica son calculadas desde el mismo meridiano inicial, tenemos: ∆l = Λ − λ
(7.4)
También permitamos que el arco ZGZA sea θ lo cual es la deflexión total de la vertical en el punto A. El ángulo PZGZA es el acimut geodésico del plano (γ) AZGZA que contiene la deflexión total de la vertical en A. El acimut astronómico correspondiente del plano AZGZA es γ’.
Z
α
R
γ
ξ Z η
θ
z
ZA
α R
z
90°- ϕ
γ
Λ90° -
P
T
M m
A
Figura 7.2 La Esfera Celeste Mostrando Cantidades Astronómicas y Geodésicas
145
Dibujamos el arco ZAZ2 desde ZA perpendicular al meridiano geodésico PZG. Entonces el arco ZGZ2 es ξ el cual es la componente de la deflexión total a lo largo del meridiano. El arco ZAZ2 es η el cual es la componente de la deflexión total de la vertical en la dirección del primer vertical. El acimut (sección normal) geodésico del plano AZGm es el ángulo PZGm el cual es designado α. El ángulo PZAm designado A es el acimut astronómico del plano AZAm. Desde el triángulo esférico derecho ZAZ2P tenemos: cos(Λ − λ ) = tan Φ cot (ϕ + ξ )
(7.5)
sin η = sin (Λ − λ ) cos Φ
(7.6)
Puesto que η y (Λ - λ) son ángulos pequeños y ϕ ≈ Φ, podemos escribir la ecuación (7.6) como:
η = (Λ − λ ) cos ϕ
(7.7)
ó
(Λ − λ ) = η sec ϕ
(7.8)
Asumiendo que cos(Λ − λ ) = 1 en la ecuación (7.5) podemos mostrar que: Φ −ϕ = ξ
(7.9)
Las ecuaciones (7.7), (7.8) y (7.9) son las ecuaciones básicas que expresan las componentes ξ y η de la deflexión de la vertical en términos de coordenadas astronómicas y geodésicas. Ellas son válidas solamente cuando los aspectos asumidos sobre el polo astronómico y geodésico, y los meridianos iniciales son válidos. Los valores de ξ y η definidos por esas ecuaciones son llamados deflexiones astrogeodésicas de la vertical. En consideración a que las coordenadas geodésicas dependerán de las dimensiones del elipsoide de referencia, y más generalmente, del datum geodésico usado para referenciar las coordenadas geodésicas, las deflexiones astrogeodésicas son cantidades dependientes del datum (geodésico). Otras relaciones interesantes podrían ser derivadas del triángulo ZGZAZ2. Considerando el triángulo como si fuese plano podemos escribir:
146
ξ = θ cos γ η = θ sin γ
(7.10) tan γ =
θ=
η ξ
ξ η = = ξ 2 + η2 cos γ sin γ
Si es necesario podríamos sustituir expresiones para ξ y η dentro de la ecuación (7.10). Seguidamente consideramos la relación entre el acimut astronómico A y el acimut geodésico α. Para hacerlo primero designamos el ángulo mZGZA como R y el ángulo mZAT como R1. Entonces:
α = R +γ (7.11) A = R1 + γ ' Desde el triángulo ZGZAP en el cual el ángulo en ZA es 180°- γ’, tenemos: − cos γ ' = − cos γ cos(Λ − λ ) + sin γ sin (Λ − λ ) sin ϕ
(7.12)
Asumiendo cos(Λ − λ ) = 1, sin (Λ − λ ) = (Λ − λ ) , la ecuación (7.12) puede ser escrita como: cos λ − cos γ ' = (Λ − λ ) sin γ sin ϕ
(7.13)
Si sustituimos la ecuación (7.8) dentro de (7.13) obtenemos: cos γ − cos γ ' = η tan ϕ sin γ
(7.14)
Ahora podemos usar las identidades trigonométricas dadas en la ecuación (5.12), por tanto tenemos:
cos γ − cos γ ' = −2 sin
1 (γ + γ ') sin 1 (γ − γ ') = η tan ϕ sin γ 2 2
(7.15)
147
Dejando
( ) 1 (γ + γ ') = γ y sin 1 (γ − γ ') = γ − γ ' , tenemos: 2 2 2
γ '−γ = η tan ϕ ó
γ '−γ = (Λ − λ ) sin ϕ = (Λ − λ ) cos(90 o − ϕ )
(7.16)
Ahora el triángulo esférico mZGZA es similar al triángulo ZGZAP en el sentido siguiente: el vértice P corresponde al vértice m, el ángulo q (en m) corresponde al ángulo (Λ − λ ) y los lados z’ y z corresponden a los lados 90°-Φ y 90°- Φ- ξ, γ’ corresponde a R1 y γ a R. Con esta analogía la última ecuación de (7.16) puede ser reescrita: R1 − R = q cos z '
(7.17)
Desde el triángulo mZGZA, tenemos:
sin q = sin θ
sin R sin z '
(7.18)
Puesto que q y θ son pequeños, sin q ≈ q , y sin θ ≈ θ , la ecuación (7.18) podría ser usada en (7.17) para escribir:
R1 − R =
θ sin R tan z '
(7.19)
Agregando las ecuaciones (7.16) y (7.19) tenemos:
( R1 − R) + (γ '−γ ) =
θ sin R + η tan ϕ tan z '
(7.20)
Diferenciando las ecuaciones de (7.11) encontramos: A − α = (R1 − R ) + (γ '−γ )
(7.21)
Ahora permitamos que R = α − γ de tal forma que podamos usar la ecuación (7.20) en la ecuación (7.21) para escribir:
θ sin (α − γ ) A − α = η tan ϕ + tan z '
148
(7.22)
Expandiendo el seno en la diferencia de ángulos, queda:
A − α = η tan ϕ +
θ sin α cos γ − θ cos α sin γ tan z '
(7.23)
Usando la ecuación (7.10) podríamos sustituir θ cos γ y θ sin γ , y tomando z’ = z, podemos escribir:
A − α = η tan ϕ +
ξ sin α − η cos α tan z
(7.24)
La ecuación (7.24) también podría ser expresada de la forma siguiente: A − α = (Λ − λ ) sin ϕ + (ξ sin α − η cos α ) cot z
(7.25)
Esta ecuación nos da la relación entre el acimut astronómico y geodésico como función de la deflexión astrogeodésica de la vertical. En muchas redes de triangulación z ≈ 90 o de modo que cot z ≈ 0 , y el último término en la ecuación (7.25) es despreciable. En este caso la ecuación (7.25) es escrita en una forma más familiar: A − α = η tan ϕ = (Λ − λ ) sin ϕ
(7.26)
Dado Λ, λ , A, ϕ podríamos usar la ecuación (7.26) para calcular α, el acimut geodésico de la línea. De (7.26) tenemos:
α = A − (Λ − λ ) sin ϕ
(7.27)
La ecuación (7.26) y (7.27) son conocidas como las ecuaciones de Laplace. El acimut geodésico calculado desde la ecuación (7.27) es llamado el acimut de Laplace. Escribiendo (7.25) en la forma de (7.27) obtenemos la ecuación de Laplace “extendida”.
α = A − (Λ − λ ) sin ϕ − (ξ sin α − η cos α ) cot z o sustituyendo ξ y η usando (7.10)
(7.28)
149
α = A − sin α cot z (Φ − ϕ ) − (sin ϕ − cos ϕ cos α cot z )(Λ − λ )
(7.29)
Con el objeto de calcular el acimut de Laplace es necesario observar el acimut y longitud astronómico de un punto dado y disponer de la longitud geodésica. (Veremos luego que un valor exacto de λ no es necesario, puesto que la ecuación de Laplace será usada en un ajuste de datos geodésicos). Las estaciones desde donde se efectúan tales observaciones son llamadas estaciones de Laplace. Tales estaciones han sido establecidas en la mayoría de las redes de triangulación. El espaciamiento de tales estaciones puede variar desde 10 hasta 300 km. dependiendo del tamaño de la red y la intención en la precisión de los resultados. El propósito principal de incluir un acimut de Laplace en una red geodésica es proveer la orientación acimutal de la red, de tal modo que los errores de orientación sean distribuidos uniformemente en la red. Adicionalmente, el uso de las ecuaciones como (7.28) tienden a reforzar la condición de las suposiciones hechas en la derivación de la ecuación de Laplace; esto es, el paralelismo de los ejes polares y el paralelismo del meridiano inicial (Moritz, 1978, pág. 68). En las redes geodésicas que están siendo desarrolladas hoy en día y en el futuro se ha visto reducida significativamente la necesidad de los acimut de Laplace, debido a la incorporación de determinación de posiciones mediante satélites dentro del ajuste de la red. Tales determinaciones proveen información de orientación y de escala que (con un espaciamiento apropiado entre las estaciones) refuerzan la red geodésica. La incorporación de tales posiciones dentro de la red es tratada por Moose y Henriksen (1976), Asquenazí (1981), Vincenty (1982) y muchos otros. Uno de los últimos efectos que requiere ser considerado, es la discrepancia entre las distancias cenitales astronómicas y geodésicas. Para ello consideremos el triángulo mZGZA, como se muestra en la Figura 7.3, donde el arco ZGZ’ es perpendicular a mZA. Entonces la diferencia deseada z’-z será el arco ZAZ’. Z z ZA Z’ R1 m z’
Figura 7.3 Determinación de las Distancias Cenitales Considerando el Triángulo ZGZAZ’ como un triángulo plano, tenemos:
Z A Z ' = θ cos(180 − R1 ) = −θ cos R1
150
(7.29)
usando R1 de la ecuación (7.11) y observando que A − γ ' ≈ α − γ Z A Z ' = −θ cos( A − γ ') ≈ −θ cos(α − γ )
(7.30)
o expandiendo cos(α − γ ) : Z A Z ' = −θ cos α cos γ − θ sin α sin γ
(7.31)
usando la ecuación (7.10) podríamos escribir (7.31) como: Z A Z ' = z '− z = −(ξ cos α + η sin α )
(7.32)
El término (ξ cos α + η sin α ) es el componente de la deflexión de la vertical en la dirección
α . Con la ecuación (7.32) podemos convertir una distancia cenital dada z’, en una distancia cenital geodésica z. Este procedimiento es necesario cuando las alturas están siendo obtenidas mediante nivelación trigonométrica. 7.2.1
Corrección de Direcciones por Efectos de la Deflexión de la Vertical
En una red de triangulación los ángulos horizontales son medidos con respecto a la dirección del vector gravedad en el punto. Lo que se desea para las aplicaciones actuales son las direcciones correspondientes con respecto a la normal elipsoidal que pasa a través del punto. Esto requiere una corrección a las direcciones observadas, la cual dependerá de las deflexiones de la vertical. Para derivar esta corrección consideraremos la ecuación (7.28) la que es derivada para los acimuts. El término − (Λ − λ ) sin ϕ es constante en un punto dado, puesto que este depende solamente de Λ, λ y ϕ, y es independiente de la dirección. Este término expresa la influencia sobre el acimut de la no-coincidencia de los planos de meridianos astronómico y geodésico. El segundo término − (ξ sin α − η cos α ) cot z expresa la influencia en las direcciones medidas de la no-coincidencia del eje vertical del instrumento y la normal de la superficie elipsoidal. Esto podría ser considerado como una corrección debido a la deflexión del eje vertical del instrumento desde la normal a la superficie del elipsoide de referencia dado. Sea D la dirección corregida y D’ la dirección observada. Podemos escribir: D = D '+δ
(7.33)
151
donde
δ = −(ξ sin α − η cos α ) cot z
(7.34)
En muchos esquemas de triangulación hemos notado que cot z podría ser cercano a cero y por tanto la corrección δ será despreciable. En áreas montañosas z podría alcanzar 60° de tal modo que δ podría alcanzar varios segundos de arco. Es claro que para calcular la dirección de la corrección se necesitan valores de ξ y η. La forma más directa es realizar mediciones astronómicas en todos los sitios de la triangulación. Sin embargo, esto puede resultar demasiado oneroso en términos de tiempo y horas hombre, por lo cual técnicas alternativas podrían usar deflexiones existentes para predecir las deflexiones requeridas en sitios específicos. Tal procedimiento no es tan simple puesto que las deflexiones de la vertical son muy dependientes del terreno que rodea el sitio. Schwartz (1979) describe algunas consideraciones generales sobre este problema para Estados Unidos.
7.2.2
Ecuación Extendida de Laplace
La ecuación extendida de Laplace y las ecuaciones de la deflexión de la vertical tratadas en la sección 7.2 fueron basadas sobre la base de suposiciones de paralelismo definidas previamente. Para el análisis de la red existente, y para mejorar el entendimiento del problema es útil tener ecuaciones de deflexión de la vertical (incluyendo la ecuación de acimut de Laplace) que no consideran esas suposiciones. Esta generalización ha sido tratada por Pick et al. (1973, pág. 430), Grafarend y Richter (1977), Vincenty (1982) y otros. Dejemos que ω x , ω y , ω z sean pequeños ángulos de rotación que describen la falta de orientación angular del sistema geodésico con respecto al sistema astronómico. Los ángulos de rotación son positivos en la dirección de los punteros del reloj cuando son vistos desde el origen de los ejes. Bajo estas circunstancias la relación entre los acimuts astronómico y geodésico puede ser escrita como (Vincenty, 1983, 01.20, comunicación privada),
α = A − sin α cot z (Φ − ϕ ) − (sin ϕ − cos ϕ cos α cot z )(Λ − λ ) + a1ω x + a 2ω y + a3ω z (7.35) Las expresiones para a1 , a 2 , a3 dependen de la interpretación de la falta de orientación. Los coeficientes dados en la Tabla 1 de Grafarend y Richter (1977) suponen una rotación del sistema de referencia astronómico. Otra interpretación considera un cambio en el sistema astronómico y un cambio resultante en las coordenadas geodésicas. Claramente podemos también considerar cambios en las deflexiones astrogeodésicas de la vertical debido a los cambios de los sistemas de coordenadas. Por ejemplo, los cambios en el acimut astronómico ( dA ), latitud astronómica ( dΦ ), y longitud
152
astronómica ( dΛ ) causados al ir de un sistema antiguo a un nuevo sistema podrían ser (Vincenty, 1982, pág. 240):
(
)
dA = cos λω x + sin λω y / cos ϕ dΦ = − sin λω x + cos λω y
(
(7.36)
)
dΛ = tan ϕ cos λω x + sin λω y − ω z Si suponemos ningún cambio en el sistema geodésico, los correspondientes cambios en las deflexiones de la vertical, podrían ser: dξ = dΦ (7.37) dη = dΛ cos ϕ Una revisión más completa de este problema es dada por Vincenty (1983) y Vanicek y Carrera (1983). 7.3
Ondulación Astrogeodésica del Geoide
En forma resumida se observó en la sección 1 el concepto de geoide como una superficie irregular correspondiente al Nivel Medio del Mar (NMM) en las áreas oceánicas y su extensión en áreas continentales. La localización del geoide con respecto a un elipsoide puede ser especificada a través de las ondulaciones del geoide. También podemos localizar el geoide con respecto a un elipsoide específico de un datum geodésico dado usando deflexiones astrogeodésicas de la vertical. En la Figura 7.4 se esquematiza el geoide con respecto al elipsoide de un datum geodésico. P es el punto en el Elipsoide P’ es el punto en el Geoide Centro del Elipsoide Asociado con el D t G dé i
P•
NAG
P’ •
Superficie
Elipsoide de Referencia
Figura 7.4 Ubicación del Geoide con Respecto al Elipsoide de Referencia de un Datum Específico
153
En esta figura P es un punto en el elipsoide y P’ es el punto correspondiente en el geoide. La separación en una dirección vertical entre P y P’ es la ondulación astrogeodésica, NAG. La cantidad es positiva cuando el geoide está fuera del elipsoide. Para calcular las ondulaciones astrogeodésicas consideramos un perfil geoide-elipsoide en una dirección definida por el acimut α, según se muestra en la Figura 7.5.
ε Normal al
Normal al
ε A
ds
B d Geoi Elipsoid
Figura 7.5 Perfil Geoidal Astrogeodésico con Acimut α El ángulo en A entre la normal elipsoidal y la normal de gravedad es la deflexión total de la vertical, ε, en la dirección de la sección escogida. Sea B un punto en el geoide, ubicado a una distancia diferencial, ds, de A. El cambio en la ondulación geoidal alejándose desde A a B es dN. De la Figura 7.5 podemos escribir:
ε =−
dN ds
(7.38)
Donde el signo menos es una convención introducida para mantener la consistencia de las definiciones previas de las deflexiones astrogeodésicas. Escribimos (7.38) como: dN = −ε ⋅ ds
(7.39)
donde (desde (7.32))
ε = ξ cos α + η sin α
(7.40)
Ahora considere la integración de (7.39) desde el punto A hasta un punto (D) en una red. Tenemos desde (7.39) y (7.40):
154 D
D
A
A
N D − N A = ∫ dN = − ∫ (ξ cos α + η sin α )ds
(7.41)
Para evaluar (7.41) necesitamos ξ y η a lo largo de la ruta que conecta los puntos A y D. Notamos que (7.41) nos permite calcular solamente las diferencias de ondulación astrogeodésica. Para una ondulación “absoluta” es necesario que la ondulación sea definida en un punto de la red geodésica. En un número de casos es conveniente definir la ondulación astrogeodésica como cero en el punto origen del datum geodésico. La implementación actual de (7.41) es efectuada por integración numérica usando estaciones vecinas. Si consideramos dos estaciones i y j separadas por una distancia sij, con componentes de la deflexión en cada estación, podemos escribir (7.41) como:
N ij = −
sij 2
((ξ
i
)
(
)
+ ξ j cos α ij + ηi + η j sin α ij
)
(7.42)
Con el objeto de calcular las ondulaciones astrogeodésicas en un área se pueden estimar y ajustar perfiles astrogeodésicos para formar un juego consistente de ondulaciones astro-geodésicas. Por ejemplo, considere la grilla mostrada en Figura 7.6
D
C L1
A
B
Figura 7.6 Grilla Astrogeodésica En cada punto de la grilla podríamos tener deflexiones astrogeodésicas que son usadas para calcular las diferencias de ondulación. En un circuito tal como L1 la suma de las ondulaciones astrogeodésicas debe ser cero.
∑N
ij
=0
(7.43)
L1
Este tipo de condición puede ser usado para formar un juego de ecuaciones de condición, como es efectuado en el ajuste de redes de nivelación, para una única y mejor estimación del juego de ondulaciones astrogeodésicas. Tal procedimiento fue esencialmente usado
155
por Fischer et al (1967) en la producción de cartas astrogeodésicas de América del Norte y América Central. Carroll y Wessells (1975) describen un geoide astrogeodésico más reciente para Estados Unidos. Una versión más suavizada de este geoide, basado en una función polinomial de grado 15 de latitud y longitud es mostrada en Figura 7.7. Este mapa muestra las ondulaciones geoidales con respecto al Datum Norteamérico de 1927. Cuando el Datum cambia también lo harán las ondulaciones astrogeodésicas. En la Figura 7.8 se muestran las ondulaciones astrogeodésicas del geoide dado con respecto al Sistema Geodésico Mundial de 1972 (WGS72) (Zeppelín, 1974b). Comparando las Figuras 7.7 y 7.8 claramente se revelan las diferencias que son asociadas con el uso de datum geodésico diferentes. La precisión del cálculo es basada en varios factores. Un factor crítico se relaciona con las suposiciones de paralelismo efectuadas en la derivación de las ecuaciones de deflexión astrogeodésica. Si, por ejemplo, los meridianos iniciales de los sistemas astronómicos y geodésicos no son paralelos, ocurrirá un error constante en (principalmente) η el cual causará errores en las diferencias de ondulación astrogeodésica calculadas con la ecuación (7.42). La precisión del cálculo de ∆N dependerá del espaciamiento de las estaciones astronómicas a lo largo del perfil. Un espaciamiento típico puede estar en el orden de 20 km. Sin embargo, en regiones montañosas este espaciamiento podría ser reducido a 10 o 15 km. para alcanzar una precisión comparable con las de áreas más planas. Basado en el análisis de cierre de circuitos Bomford (1980), pág. 366) publicó las siguientes estimaciones de precisión en la determinación de ∆N, basado solamente en los errores de interpolación: Área
Precisión Estándar) de ∆N
(Desviación
Alpes
± 0,012
lL m
India
± 0,00052
lL m
± 0,00036
lL m
Finlandia
Donde l es el intervalo promedio, en km, entre estaciones astronómicas, y L es el largo total del perfil. Otra fuente de error incluye aquel asociado con la longitud astronómica y con la posición geodésica y su determinación. Robbins (1977) publicó los errores totales de ∆N siguientes para áreas no montañosas, donde las deflexiones son determinadas para ± 0,7” y el espaciamiento típico es 25 km. m ( ∆N )
Tipo de Línea
± 1,5
L / 1000 m
Norte – Sur
± 1,9
L / 1000 m
Este - Oeste
156
Para líneas cortas se puede esperar una mejor precisión. Wenzel (1978), por ejemplo, da las siguientes estimaciones de precisión de N, basado en un análisis en el área del Mar del Norte.
m(∆N ) = ±0,03 L m
(7.44)
donde el espaciamiento de la estación típica fue 10 km. Finalmente observamos que las cantidades astronómicas usadas para el cálculo de la deflexión de la vertical deben ser cantidades reducidas al geoide desde el punto de observación actual; y las posiciones geodésicas deben ser aquellas referidas al elipsoide basado en la reducción de todos los datos medidos para el elipsoide. Si este último procedimiento no es seguido deben efectuarse correcciones adicionales, como las describe Fischer (1967).
7.4
Reducción de Distancias Medidas al Elipsoide
Las distancias que son medidas en una red geodésica son usualmente reducidas, a lo menos en principio, al elipsoide sobre el cual los cálculos son efectuados. Tal reducción es análoga a la corrección de dirección de las deflexiones de la vertical tratadas en la sección 7.2.1. En esta sección consideraremos dos casos de reducción. El primer caso se refiere al de la reducción de líneas base que han sido medidas con respecto a la vertical local. El segundo caso considera la reducción de distancia de cuerda medidas con equipos electrónicos de medición de distancia, lo cual es independiente de la dirección de la gravedad. Para considerar el primer caso seguiremos Heiskanen y Moritz (1967, pág. 190). En la Figura 7.9 hemos medido una distancia dl sobre la superficie de la Tierra. La inclinación de la línea con respecto a la horizontal local es β, y la deflexión de la vertical en la dirección (α) de la línea es ε dado por (7.40). El elemento de línea diferencial paralelo al elipsoide es ds mientras que el elemento correspondiente en el elipsoide es ds0. Aproximamos el elipsoide a una esfera cuyo radio es el radio en la dirección α dado por la ecuación (3.104).
157
B
dℓ
β A hA
ds dℓ’’
ε
Horizonte Local
HA NA
ds0
Geoid Elipsoid
R
Figura 7.9 Reducción de la Línea Base (después de Heiskanen y Moritz, 1967) El valor de ds es dl proyectado sobre una línea paralela al elipsoide: ds = dl cos(β − ε ) = dl cos β + ε ⋅ dl sin β
(7.45)
haciendo dl' = dl cos β dl sin β ≈ dh Podemos escribir (7.45) en la forma: ds = dl'+ε ⋅ dh
(7.46)
dl' es la proyección dl sobre la horizontal local. Ahora necesitamos reducir ds a ds0 lo cual puede ser realizado mediante simple proporcionalidad.
158
ds R + h h = =1+ ds0 R R
(7.47)
donde h = H + N , y donde H es la altura ortométrica (altura sobre el NMM) y N es la ondulación geoidal para un elipsoide específico. Sustituyendo (7.46) en (7.47) y manteniendo un término en la expansión de (1 + h / R ) tenemos:
ds0 = ds −
h h ds0 = dl'+ε ⋅ dh − ds0 R R
o dejando que
dψ =
ds0 R
(7.48)
tenemos ds0 = dl'+ε ⋅ dh − h ⋅ dψ = dl'+ d (ε ⋅ h) − h ⋅ d (ψ + ε )
(7.49)
Ahora consideremos una línea que va desde A hasta B. Integramos (7.49) entre los dos puntos para encontrar: B
ds 0 = l'+ε B hB − ε A h A − ∫ hd (ψ + ε )
(7.50)
A
Si la altura sobre el elipsoide es tomada como constante hm entre A y B, usando (7.48), podemos escribir (7.50) como: s0 = l'+ε B hB − ε A hA − hm (ε B − ε A ) −
hm s0 R
(7.51)
donde hm es la elevación media a lo largo de la línea. En (7.50) y (7.51) l' es: B
l' = ∫ dl cos β A
(7.52)
159
Lo cual es la suma de las componentes horizontales de las distancias medidas. La ecuación (7.51) es la ecuación básica para la reducción de las líneas base medidas. Observamos que la aplicación de esta fórmula requiere información sobre la deflexión de la vertical y la ondulación geoidal para lograr reducciones apropiadas de las distancias. En algunas aplicaciones los efectos de las deflexiones han sido desapropiadamente omitidos. Los efectos de tales omisiones pueden ser críticos si las diferencias del punto final de elevación son grandes y/o las deflexiones son significativamente diferentes en el punto final de las líneas.
La geometría del segundo caso de reducción es mostrada en la Figura 7.10
B
ℓ A
hB hA
Geoid s0
A0
ℓ0
Elipsoid
B0
R
ψ 0
Figura 7.10 Reducción de Distancias de Cuerda al Elipsoide En esta figura el valor de h es la suma de las alturas ortométricas más la ondulación astro-geodésica. El radio de la esfera, R, es (RA(α) + RB(α))/2. En esta deducción, nuevamente seguimos a Heiskanen y Moritz (1967, pág. 192) y aproximamos el elipsoide a una esfera de radio R en el acimut determinado por (3.104). Usando la ley de cosenos en el triángulo 0AB tenemos:
l = (R + h A ) + (R + hB ) − 2(R + h A )(R + hB ) cos ψ 2
2
2
160
(7.53)
Si usamos la identidad cos ψ = 1 − 2 sin 2
ψ 2
(5.54)
podemos escribir (7.53) en la forma:
ψ h h 2 l 2 = (hB − h A ) + 4 R 2 1 + A 1 + B sin 2 R R 2
(7.55)
Ahora la distancia de cuerda correspondiente entre los puntos reducidos al elipsoide sería: l 0 = 2 R sin
ψ 2
(7.56)
que puede usarse en (7.55) para escribir (con ∆h = hB − h A ): h h 2 l 2 = ∆h 2 + 1 + A 1 + B l 0 R R
(7.57)
Resolviendo para l 0 tenemos: l0 =
l 2 − ∆h 2 h A hB 1 + 1 + R R
(7.58)
Ahora podemos usar las ecuaciones tales como (4.57) o (4.58) para reducir la distancia de cuerda a la distancia, s0, en el elipsoide. La exactitud de la ecuación (7.58) ha sido estudiada por Thomson y Vanicek (1974) hallándola adecuada para todo propósito práctico. Vincenty (1975) también consideró la reducción de distancias espaciales al elipsoide, incorporando deflexiones de la vertical con el fin de obtener diferencias de ondulaciones astrogeodésicas.
161
8
FÓRMULAS DIFERENCIALES DEL PRIMER Y SEGUNDO TIPO
Para aplicaciones tales como la formación de ecuaciones de observación para ajuste de triangulación y trilateración, y para la formación de ecuaciones útiles en la determinación del tamaño y forma de la Tierra, es necesario obtener ecuaciones que relacionen cambios diferenciales en varias cantidades. Tales ecuaciones son divididas en dos tipos. Fórmulas diferenciales del primer tipo son aquellas que producen cambios en las direcciones y coordenadas geodésicas como función de las coordenadas iniciales y acimut de la línea. Fórmulas diferenciales del segundo tipo son aquellas que producen correcciones para las coordenadas y direcciones resultantes de cambios en el radio ecuatorial y el parámetro que está definiendo la forma, tal como el achatamiento. La revisión de estas fórmulas diferenciales puede ser encontrada en Bagratuni (1967, pág. 280), Jordan (Vol. III, segunda mitad, pág. 439), Zakatov (1962, pág. 104), Grushinskiy (1969, pág. 84), y Tobey (1927).
8.1
Fórmulas Diferenciales del Primer Tipo
Supongamos que hemos calculado las coordenadas ϕ2,λ2 y el retro-acimut α21 de un punto P2 basado en las coordenadas ϕ1,λ1 del primer punto P1, y una distancia s y acimut α12. Ahora deseamos encontrar el cambio en ϕ2,λ2 y α21 si cambiamos ϕ1,λ1,α12 y s. Podríamos expresar esto analíticamente escribiendo lo siguiente:
dϕ 2 =
∂ϕ 2 ∂ϕ ∂ϕ 2 dϕ1 + 2 ds + dα12 ∂α12 ∂ϕ1 ∂s
(8.1)
dλ2 =
∂λ2 ∂λ ∂λ2 dϕ1 + 2 ds + dα12 + dλ1 ∂ϕ1 ∂s ∂α12
(8.2)
dα 21 =
∂α 21 ∂α ∂α dϕ1 + 21 ds + 21 dα12 ∂α12 ∂ϕ1 ∂s
(8.3)
162
Observamos que en la ecuación (8.1) y (8.3) no aparece un término de longitud. Esto es por la simetría rotacional del elipsoide de referencia. Por conveniencia, las ecuaciones (8.1), (8.2) y (8.3) son escritas en la forma siguiente: ϕ
dϕ 2 = dϕ 2 1 + dϕ 2 + dϕ 2 s
ϕ
α12
(8.4)
dλ2 = dλ1 + dλ2 1 + dλ2 + dλ2 s
ϕ
α12
(8.5)
α 21
dα 21 = dα 21 1 + dα 21 + dα 21 s
(8.6)
La derivación de estas ecuaciones es simple para algunos casos y compleja para otros. Los autores mencionados previamente han obtenido cada uno diferentes soluciones para este problema. Bagranuti y Jordan han dado las expresiones más rigurosas. Zakatov y Grushinskiy dieron resultados similares, pero ciertos términos en un modo levemente diferente. Ahora derivamos algunos términos dados en las ecuaciones (8.4, 5, y 6). Primero consideramos el efecto de extender una geodésica de longitud s por una longitud diferencial ds. El efecto de esta extensión en el movimiento desde el punto F a F2 es mostrado en la Figura 8.1.
dλs G F
α1
α2
ds
F2
dϕs
Figura 8.1 Efecto Diferencial de una Extensión Longitudinal
G es un punto en el meridiano a través de F y en el paralelo a través de F2. Tenemos:
163
FG = ds cos(α 21 − 180 )
(8.7)
FG = −ds cos α 21 También tenemos:
FG = M 2 dϕ 2
S
(8.8)
Igualando las ecuaciones (8.7) y (8.4) queda:
dϕ 2 = s
− cos α 21 ⋅ ds M2
(8.9)
Luego calculamos GF2 como: GF2 = ds sin (α 21 − 180) = − sin α 21 ⋅ ds
(8.10)
También tenemos GF2 como: GF2 = N 2 cos ϕ 2 ⋅ dλ2
s
(8.11)
Igualando las ecuaciones (8.10) y (8.11) queda:
dλ 2 = S
− sin α 21 ⋅ ds N 2 cos ϕ 2
(8.12)
Para obtener el cambio en el retro-acimut aplicamos la ecuación de Clairaut (4.81) para una geodésica escrita en la forma siguiente: N 2 cos ϕ 2 sin (α 21 − 180) = c, ó N 2 cos ϕ 2 sin α 21 = −c = c'
una constante
(8.13)
Diferenciamos esta expresión suponiendo que todas las cantidades son variables. Por tanto: N 2 cos ϕ 2 cos α 21 dα 21 + d (N 2 cos ϕ 2 ) sin α 21 = 0
(8.14)
164
Desarrollando la diferenciación de N 2 cos ϕ 2 encontramos: d (N 2 cos ϕ 2 ) = − M sin ϕ 2 dϕ 2
(8.15)
Con esta última expresión sustituida en la ecuación (8.14) y efectuada la solución para dα 21 conseguimos:
dα 21 = tan α 21 tan ϕ 2
M2 dϕ 2 N2
(8.16)
Hasta este punto la ecuación (8.16) es una ecuación general en el sentido de que un cambio de dϕ 2 produce un cambio dα 21 . Si estamos interesados en el efecto ds sobre dα 21 , sustituimos la ecuación (8.9) en (8.16) para obtener:
dα 21 = s
− sin α 21 tan ϕ 2 ds N2
(8.17)
Seguidamente consideramos los efectos variados cuando el acimut en el primer punto es cambiado una cantidad dα12 . Esta situación es mostrada en la Figura 8.2 donde el punto F es el punto final original de la línea y F2 es el punto final después de la rotación. P
α1 A
F
dα1 Figura 8.2 Efecto Diferencial de un Cambio de Acimut
G
F2
En la Figura 8.2 hemos dibujado el arco FG de tal modo que este es perpendicular al meridiano que pasa por F2. Adicionalmente, debido a la rotación, el ángulo FF2A se acercará a un ángulo recto, así el ángulo GF2F será 270-α21. Entonces vemos desde la figura que: GF2 = FF2 cos(GF2 F ) = FF2 cos(270 − α 21 ) = − FF2 sin α 21
Sin embargo desde lo visto en la Sección 4.22 tenemos:
(8.18)
165
FF2 = w ⋅ dα12
(8.19)
lo cual puede ser sustituido en (8.18) para escribir: GF2 = − w sin α 21 dα 12
(8.20)
El lado GF2 podría también ser expresado como: − M 2 dϕ 2
α12
(8.21)
Donde el signo menos proviene del hecho que un incremento de α12 causará una reducción en la latitud. Igualando las ecuaciones (8.21) y (8.20) y resolviendo para dϕ 2
dϕ 2
α12
=w
sin α 21 dα 12 M2
α12
tenemos:
(8.22)
Para encontrar el cambio en longitud debido a esta rotación, expresamos FG como sigue: FG = FF2 sin (FF2 G ) = FF2 sin (270 − α 21 ) = − FF2 cos α 21
(8.23)
Usando la ecuación (8.19) para FF2, y notando que:
FG = N 2 cos ϕ 2 dλ2
α12
podemos encontrar dλ2
dλ2
α12
=
(8.24) α12
− w cos α 21 dα12 N 2 cos ϕ 2
para obtener:
(8.25)
Ahora nos abocamos a la derivación del cambio del retro-acimut α 21 causado por dα12 . Para realizarlo consideramos la Figura 8.3:
166
F1 wdα12 A α1
F3
s
F
d Meridiano a través
dα1
Figura 8.3 Cambio del Retro-Acimut Debido a dα12 En esta figura: F1 = punto final original de la línea. F2 = nuevo punto final después de la rotación dα12 . F3 = punto en AF2 sobre el meridiano a través de F1. Ahora dejemos que dα 21 = dα 2 donde dα 2 es el acimut hacia delante en el punto 2 (esto es F1). Por ahora designamos el cambio total en dα 2 como dα 2 r . Consideraremos esto como la composición de dos cambios ( dα 2 m y dα 2 e ). Como F1 se aproxima a F2, permitamos que dα 2 m sea el cambio en α 21 . Ahora también consideremos un cambio especial en dα 2 cuando F2 es desplazado ds = F2F3 hasta F3. Definimos esto como dα 2e . Podemos notar que el valor de dα 2 r es simplemente la suma de las correcciones: dα 2 r = dα 2 m + dα 2e
(8.26)
Para encontrar dα 2 m notamos que es simplemente el cambio en retro-acimut según nos movamos a lo largo de un meridiano. F B wdα A
E D C
dα2m
Figura 8.4 Detalle de los Efectos del Cambio de Retro-Acimut
167
Tenemos: B = punto final original. C = punto final después de la rotación dα12 . D = punto en el meridiano a través de B, en la línea AC. F = punto en la línea original determinado por una línea paralela a BC. E = punto en una línea paralela a FB a través de D. Ahora DC representa un cambio de distancia causado por la rotación. Si dα12 es positivo ds es negativo. Para facilidad, trabajaremos con acimut hacia delante. En B el acimut hacia delante es FBD, mientras que en D este es CDB. La diferencia es el cambio requerido. dα 2 m = CDB − FBD = EDC tenemos:
dα 2 m =
CE donde CE = BC – DF y DC = -ds DC
entonces:
dα 2 m =
BC − DF − ds
Usando las definiciones de w, tenemos: BC = wdα12
Si observamos que yendo desde B a F w será ahora w+dw (dw será negativo), podemos expresar: DF = (w + dw)dα12 así:
dα 2 m
wdα12 − (w + dw)dα12 = − ds
168
(8.27)
La ecuación (8.27) es válida para puntos que se mueven a lo largo de un meridiano. En nuestro particular caso, (8.27) es requerido en (8.26) como dα 2 m . Ahora necesitamos dα 2 e el cual es simplemente la ecuación (8.17):
dα 2 e =
− ds tan ϕ 2 sin α 21 N2
(8.28)
In este caso ds = F2F3 y es expresado como: ds = wdα12 cot α 21
(8.29)
Combinando las ecuaciones (8.29), (8.28), (8.27) con (8.26) podemos escribir: dw w tan ϕ 2 cos α 21 dα12 dα 2 = − N2 ds
(8.30)
Recordaremos que esta ecuación permite el cambio en el retro-acimut en el segundo punto causado por el cambio de acimut en el primer punto considerando que dα 2 = dα 21 . El valor de dw / ds podría ser encontrado diferenciando la ecuación (4.103). Esto podría permitir una serie de expresiones por lo cual es conveniente formular otra aproximación. Recordemos que: N 2 cos ϕ 2 sin α 2 = N 1 cos ϕ1 sin α 12 = − N 2 cos ϕ 2 sin α 21
(8.31)
Diferenciamos esto usando los resultados dados en (8.15), reconociendo que ϕ1 es una constante. Así: − N 2 cos ϕ 2 cos α 21 dα 2 + M 2 sin ϕ 2 sin α 21 dϕ 2 = N 1 cos ϕ1 cos α 12 dα 12
(8.32)
Ahora usamos el valor de dϕ 2 de (8.22) en la ecuación de arriba para encontrar: − N 1 cos ϕ1 cos α 12 w tan ϕ 2 tan α 21 sin α 21 dα 2 = + dα 12 N2 N 2 cos ϕ 2 cos α 21
(8.32a)
169
Considerando que las expresiones (8.30) y (8.32a) son lo mismo podemos despejar dw/ds y encontrar: w tan ϕ 2 dw − N 1 cos ϕ1 cos α 12 = + ds N 2 cos ϕ 2 cos α 21 N 2 cos α 21
(8.33)
La derivación descrita en las últimas páginas representa solamente una porción de las derivaciones requeridas por las ecuaciones (8.4, 5, 6). Detendremos la continuación de estas derivaciones para resumir los cambios que hemos derivado y entregar otros, sin derivación, aunque estas podrían ser encontradas en la literatura. Tenemos:
dϕ 2
ϕ1
=−
− cos α 21 ds ; (nuestra ecuación (8.9)) M2
dϕ 2 = s
dϕ 2
dλ 2
α12
ϕ1
=w
=
dλ 2 = S
dλ2
α12
M1 dw sin α 12 sin α 21 + cos α 12 cos α 21 dϕ1 , (Jordan, pág. 441) M2 ds 2
=
sin α 21 dα 12 ; (nuestra ecuación (8.22)) M2
M1 N 2 cos ϕ 2
dw sin α 12 cos α 2 ds − cos α 12 sin α 2 dϕ1 , (Jordan, pág. 442) 2
− sin α 21 ⋅ ds ; (nuestra ecuación (8.12)) N 2 cos ϕ 2 − w cos α 21 dα12 ; (nuestra ecuación (8.25)) N 2 cos ϕ 2
M M M dw dw M dw ϕ dα21 1 = 1 sinα12 − 1 sinα2 cosα12 tanϕ2 − 1 sinα1 + 1 sinα1 cosα2 tanϕ2 dϕ1 N2 w ds1 ds 2 N2 ds 2 w
(Jordan, pág. 442)
dα 21 = s
− sin α 21 tan ϕ 2 ds ; (nuestra ecuación (8.17)) N2
170
dα 21
α12
− N 1 cos ϕ1 cos α 12 w tan ϕ 2 tan α 21 sin α 21 = + dα 12 ; (nuestra ecuación (8.32)) N2 N 2 cos ϕ 2 cos α 21
ó α12
dα 21
dw w tan ϕ 2 cos α 21 dα12 ; (nuestra ecuación (8.30)) = − N2 ds
El resumen de ecuaciones precedentes será referido como la ecuación ......
8.2
(8.34)
Fórmulas Diferenciales del Segundo Tipo
Con el objeto de determinar la influencia del cambio de los parámetros del elipsoide sobre el cálculo de las coordenadas y direcciones podemos diferenciar cualquiera de las ecuaciones derivadas para el problema directo, tales como (6.19) (las series de Legendre) o las ecuaciones de Puissant, tales como las dadas en la ecuación (6.40). Por conveniencia escogemos usar las ecuaciones (6.19) manteniendo los primeros términos solamente y dejando que las evaluaciones tengan lugar en una latitud media. Entonces escribimos:
(
2 2 3 ϕm (ϕ 2 − ϕ1 ) = V cos α s = cos α12 s = s cos α12 1 − e sin 2 c Mm a 1− e m
(
)
)
(
3/ 2
s sin α 12 1 − e 2 sin 2 ϕ m sin α 12 V sin α (λ 2 − λ1 ) = s= s= c cos ϕ m N m cos ϕ m a cos ϕ m
(α 21 − α12 ) − 180 o = V sin α tan ϕ c
s= m
(8.35)
)
1/ 2
(8.36)
s sin α 12 tan ϕ m = (λ 2 − λ1 ) sin ϕ m Nm
(8.37)
Primero diferenciamos la ecuación (8.35) con respecto a a y e2. Luego queda:
(
−1 1− e2 sin2 ϕ m d(ϕ2 −ϕ1 ) = s cosα12 2 2 1− e a
(
)
)
3/ 2
(
1− e2 sin2 ϕm 1 3 2 da+ − sin ϕm a 2 1− e2
(
)
)
1/ 2
(1−e +
2
sin2 ϕm
(1−e )
)
3/ 2
2 2
(8.38) La cual puede ser escrita en la forma:
de2
d (ϕ 2 − ϕ1 ) =
(
s cosα12 1 − e sin ϕ m a 1 − e2 2
(
2
)
)
3/ 2
171
− da 3 2 1 1 2 + − sin ϕ m + de 1 − e 2 sin 2 ϕ m 1 − e 2 2 a (8.39)
Notamos que el primer término a la derecha de (8.39) es simplemente (ϕ 2 − ϕ1 ) según es dado por la ecuación (8.35). Para transformar (8.39) en una forma simple recordamos que e 2 = 2 f − f 2 , luego: de 2 = 2(1 − f )df ≈ 2df
(8.40)
Sustituyendo la aproximación de (8.40) en (8.39), y usando la ecuación (8.35) queda: da 2 3 sin 2 ϕ m d (ϕ 2 − ϕ1 ) = −(ϕ 2 − ϕ1 ) − − 2 1 − e 2 sin 2 ϕ m a 1 − e
(
(
(
)
Dejando que 1 − e 2 y 1 − e 2 sin 2 ϕ m finalmente obtenemos:
)
(
)
df
(8.41)
se igualen a uno, en la ecuación (8.41),
)
da d (ϕ 2 − ϕ1 ) = −(ϕ 2 − ϕ1 ) − 2 − 3 sin 2 ϕ m df a
(8.42)
Ahora diferenciamos la ecuación (8.36) con respecto a a y e2. Tenemos al inicio:
s sin α 12 d (λ 2 − λ1 ) = cos ϕ m
(
− 1 − e 2 sin 2 ϕ m 2 a
)
1/ 2
da
(
sin 2 ϕ m 1 − e 2 sin 2 ϕ m − 2a
)
−1 / 2
de 2 (8.43)
Simplificando queda: − s sin α 12 d (λ 2 − λ1 ) = 1 − e 2 sin 2 ϕ m a cos ϕ m
(
)
1/ 2
da sin 2 ϕ m de 2 + 2 2 a 2 1 − e sin ϕ m
(
)
(8.44)
Notamos que el primer término del lado derecho de la ecuación (8.44) es lo mismo que la ecuación (8.36), dejando que de 2 = edf , y adoptando el término 1 − e 2 sin 2 ϕ m igual a uno, la ecuación (8.44) puede ser escrita como:
(
)
172
da d (λ 2 − λ1 ) = −(λ 2 − λ1 ) + sin 2 ϕ m df a
(8.45)
Para encontrar los efectos del retro-acimut, primero diferenciamos la ecuación (8.37) en la forma siguiente: dα 21 = d (λ 2 − λ1 ) sin ϕ m
(8.46)
Entonces, usando la ecuación (8.45) por d (λ 2 − λ1 ) tenemos: da dα 21 = −(λ 2 − λ1 ) sin ϕ m + sin 2 ϕ m df a
(8.47)
Notamos que el primer término del lado derecho de la ecuación (8.47) es el cambio total del acimut, dα , en el movimiento desde el punto uno hasta punto dos. La derivación de arriba ha sido efectuada con varias aproximaciones. Consecuentemente las ecuaciones son solamente válidas para líneas de hasta 40-50 km para una precisión de 0,001”- 0,002”. Con el objeto de derivar expresiones más exactas es conveniente diferenciar las fórmulas de series de potencias extendidas tales como aquellas dadas en la ecuación (6.19). Los resultados de tales derivaciones son dados por Bragranuti (1967, pág. 286): V 2 cos 2 ϕ m tan ϕ m 3 2 2 (λ 2 − λ1 ) da d (ϕ 2 − ϕ 1 ) = − (ϕ 2 − ϕ 1 ) − tan ϕ mη (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2 2 a
2 7 3(ϕ 2 − ϕ 1 ) cos ϕ m tan ϕ m + [(ϕ 2 − ϕ 1 ) cos 2 ϕ m 2 − t 2 + η 2 + η 2 tan 2 ϕ m − 2 − 2η 2 + 2t 2η 2 2 2 2
+
(
(λ 2 − λ1 )2 cos 4 ϕ m tan ϕ m 2
1 2 1 2 2 2 4 tan ϕ m + η tan ϕ m + η tan ϕ m ]df 2 2 (8.48)
[
(
d (λ2 − λ1 ) = − (λ2 − λ1 ) + (λ2 − λ1 )(ϕ 2 − ϕ1 ) tan ϕ m 1 − η 2
)] daa
1 1 − [(λ2 − λ1 ) cos 2 ϕ m tan 2 ϕ m − η 2 tan 2 ϕ m + η 2 tan 4 ϕ m + (λ2 − λ1 )(ϕ 2 − ϕ1 ) 2 2 3 1 ⋅ cos 2 ϕ m tan ϕ m tan 2 ϕ m − η 2 tan 2 ϕ m + η 2 tan 4 ϕ m ]df 2 2 (8.49)
)
[
173
(
dα 21 = − (λ 2 − λ1 ) cos ϕ m tan ϕ m + (λ 2 − λ1 )(ϕ 2 − ϕ 1 ) cos ϕ m 1 + tan 2 ϕ m − η 2 tan 2 ϕ m
)] daa
1 1 − [(λ 2 − λ1 ) cos 3 ϕ m tan ϕ m tan 2 ϕ m − η 2 tan ϕ m + η 2 tan 4 ϕ m 2 2 1 − (λ 2 − λ1 )(ϕ 2 − ϕ 1 ) cos 3 ϕ m 1 − tan 2 ϕ m − tan 4 ϕ m + η 2 + 2η 2 t 2 ]df 2 (8.50) Con esto concluimos la revisión de las fórmulas diferenciales del primer y segundo tipo. En la sección siguiente veremos como las fórmulas del primer tipo pueden ser usadas para desarrollar las ecuaciones de observación en triangulación y/o trilateración.
174
9 ECUACIONES DE OBSERVACIÓN PARA TRIANGULACIÓN TRILATERACIÓN CALCULADAS EN EL ELIPSOIDE
Y
Las ecuaciones revisadas en la sección 8 nos permiten desarrollar las ecuaciones de observación para ser usadas con mediciones de acimut (direcciones) y distancias efectuadas para el control horizontal convencional. Específicamente, ahora necesitamos desarrollar ecuaciones que relacionen cambios en el acimut y distancias entre dos puntos con los cambios correspondientes de las coordenadas geodésicas. Nuestras observaciones siguen de cerca las efectuadas por Tobey (1928).
9.1
Relaciones Entre Distancia y Direcciones
Primero considere el cambio en latitud de un segundo punto, causado por un cambio de distancia (ds) y un cambio de acimut (dα12) en el primer punto. De las ecuaciones (8.9) y (8.22) podemos escribir el efecto total de estos dos cambios como sigue:
dϕ 2 =
w sin α 12 cos α 21 dα 12 − ds M2 M2
(9.1)
El efecto correspondiente en longitud es:
dλ2 =
− w cos α 21 sin α 21 dα12 − ds N 2 cos ϕ 2 N 2 cos ϕ 2
(9.2)
Usando la ecuación (8.17) y (8.30) el cambio total en α21 será: dw w tan ϕ 2 cos α 21 tan ϕ 2 sin α 21 dα 21 = − ds dα 12 − N2 N2 ds
(9.3)
Ahora deseamos resolver la ecuación (9.1), (9.2) y (9.3) para ds, dα12 y dα21 en términos de dϕ2 y dλ2. Para hacerlo, primero multiplicamos (9.1) por cos α 21 / N 2 cos ϕ 2 y la ecuación (9.2) por sin α 21 / M 2 . Entonces sumamos las ecuaciones resultantes para obtener: ds = − M 2 cos α 21 dϕ 2 − N 2 cos ϕ 2 sin α 21 dλ 2
(9.4)
175
Seguidamente, multiplicamos la ecuación (9.1) por sin α 21 / N 2 cos ϕ 2 y la ecuación (9.2) por − cos α 21 / M 2 . Entonces sumamos las ecuaciones resultantes para obtener: wdα 12 = M 2 sin α 21 dϕ 2 − N 2 cos ϕ 2 cos α 21 dλ 2
(9.5)
Si sustituimos el valor de ds y dα12 de (9.4) y (9.5) dentro de (9.3) encontramos:
wdα 21 = M 2 sin α 21
dw dϕ 2 + N1 cos ϕ1 cos α 12 dλ 2 ds
(9.6)
Teniendo estas tres ecuaciones para el caso donde un punto es libre de moverse, podríamos desarrollar fórmulas para el caso cuando ambos puntos extremos son libres de moverse. Para hacerlo, consideramos los puntos extremos finales originales en P1 y P2 desplazados una pequeña cantidad hasta T1 y T2 según es mostrado en la Figura 9.1.
T P
T
α1 α2
P
Figura 9.1 Movimientos Diferenciales de los Puntos Extremos de la Línea Primero consideramos P2 desplazado hasta T2, resultando cambios en distancias y acimut de las líneas designados como: dsa , dα12 a , dα 21a . Tales cambios podrían ser dados directamente por las ecuaciones (9.4), (9.5) y (9.6). También desplazamos P1 hasta T2 causando cambios adicionales dsb , dα12b , dα 21b . Ignorando los efectos de mayor orden, el desplazamiento total debería ser la suma de esos dos juegos de desplazamientos. Por ello dejamos:
176
ds t = ds a + dsb dα 12t = dα 12 a + dα 12b
(9.7)
dα 21t = dα 21a + dα 21b Ahora el valor de dsa está dado en la ecuación (9.4). Usando (9.4) el valor de dsb es: ds b = − M 1 cos α 12 dϕ1 − N 1 cos ϕ1 sin α 12 dλ1 Entonces: ds t = − M 2 cos α 12 dϕ 2 − N 2 cos ϕ 2 sin α 21 dλ 2 − M 1 cos α 12 dϕ1 − N 1 cos ϕ1 sin α 12 dλ1 (9.8) No obstante, tenemos por el teorema de Clairaut: N 1 cos ϕ1 sin α 12 = − N 2 cos ϕ 2 sin α 21
luego (9.8) se transforma en: ds t = − M 2 cos α 12 dϕ 2 − M 1 cos α 12 dϕ1 − N 2 cos ϕ 2 sin α 21 (dλ 2 − dλ1 )
(9.9)
La ecuación (9.9) nos permite determinar la ecuación de observación de distancia requerida donde las distancias son consideradas como reducidas al elipsoide. Podríamos calcular el cambio de acimut en el primer punto usando la ecuación (9.5) para dα12a, y la ecuación (9.6) para dα21b, cuando son aplicadas al primer punto. Así:
dα 12b =
1 dw dϕ1 + N 2 cos ϕ 2 cos α 21 dλ1 M 1 sin α 12 w ds
(9.10)
Combinando ésta con (9.5) queda:
dα 12t =
1 dw dϕ1 − N 2 cos ϕ 2 cos α 21 (dλ 2 − dλ1 ) (9.11) M 2 sin α 21 dϕ 2 + M 1 sin α 12 w ds
177
Recordemos que el valor de w puede ser encontrado con la ecuación (4.103) mientras que dw/ds es encontrado con la ecuación (8.33). La ecuación (9.11) no es una forma simple para el cálculo; intentos de simplificación podrían ser efectuados para usarla en líneas de extensión reducida. La primera simplificación es hecha permitiendo que se adopte una esfera por el elipsoide, cuyo radio es el radio medio gaussiano en el primer punto. Entonces la expresión para w se transforma en:
w = R sin
s R
(9.12)
de este modo: dw s = cos ds R
(9.13)
Ahora insertamos (9.12) y (9.13) en (9.11) usando M 1 = M 2 = N 2 = R para encontrar:
dα 12t =
sin α 12 sin α 21 cos ϕ 2 cos α 21 (dλ 2 − dλ1 ) dϕ1 + dϕ 2 − s s s tan sin sin R R R
(9.14)
Si expandimos la tangente y el seno en serie y retenemos solamente el primer término, tenemos:
dα 12t =
R sin α 21 R cos ϕ 2 cos α 21 R sin α 12 (dλ 2 − dλ1 ) dϕ1 + dϕ 2 − s s s
(9.15)
La ecuación (9.15) debería ser una aproximación para corregir la relación diferencial en la esfera, y una aproximación para la relación diferencial en el elipsoide (esto es la ecuación (9.11)). Para desarrollar la fórmula usualmente usada en la práctica, modificamos (9.11) suponiendo que w = s así dw/ds = 1. Entonces (9.11) se transforma en:
dα 12t ≈
1 (M 1 sin α12 dϕ1 + M 2 sin α 21dϕ 2 − N 2 cos ϕ 2 cos α 21 (dλ 2 − dλ1 )) s
(9.16)
178
Es claro que (9.16) es solamente una aproximación a un resultado más preciso representado por (9.11). Olliver (1977) estudió la precisión de la ecuación (9.9) y (9.16) comparando cambios definidos rigurosamente para diferentes resultados. Para una línea de 50 Km de extensión el máximo error en acimut fue 0,008” y el error máximo en distancia fue 0,002 m, cuando los desplazamientos dados fueron 0,15”.
9.2
Las Ecuaciones de Observación
Ahora usamos las fórmulas de cambio diferencial para desarrollar las ecuaciones de observación de distancia y acimut. Escribimos una ecuación general de observación en la forma:
F (X 0 ) +
∂F dX = LOBS + v ∂X
(9.17)
Donde F es la función que está relacionando las observaciones, LOBS , y los parámetros, X, del problema; dX son las correcciones para los valores aproximados X0, de los parámetros y v es la observación residual. Desde (9.17) escribimos: v = F ( X 0 ) − LOBS +
∂F dX ∂X
En la sección (9.1) hemos desarrollado las expresiones para
(9.18)
∂F dX . Así para una ∂X
observación de distancia podemos escribir: vs = s0 − sOBS + dst
(9.19)
Donde dst es dado por la ecuación (9.9). En algunos casos un factor de escala desconocido (por ejemplo s(k-k0)) podría ser agregado a esta expresión cuando se sospechan inconsistencias de escala en los instrumentos y/o las redes. Ahora consideramos el caso donde observamos un juego de direcciones a varias estaciones. Después que ha sido desarrollado un ajuste de estación (Bomford, 1980, pág. 30), y después de las correcciones por divergencia de las normales de las secciones normales a las geodésicas, y también efectuadas las correcciones por las deflexiones de la vertical, las direcciones son designadas DI, D1...Di donde DI es la dirección a lo largo de la línea inicial. El acimut geodésico de esta línea inicial es αI el cual podría ser solamente conocido aproximadamente (αI0) entonces escribimos:
αI = αI0 + Z
(9.20)
179
Donde Z es conocido como la orientación o la corrección de la estación. Dadas las coordenadas geodésicas aproximadas de dos puntos relacionados con la línea I inicial, αI0 puede ser calculado exactamente. Los acimut “observados” (αI) para la línea i, en la estación, podrían ser:
α i = α I + Di − DI = α I 0 + Z + Di + DI
(921)
Usando αi como la cantidad observada en (9.18) queda: vi = α i 0 − (α I 0 + Di − DI ) − Z + dα12t Donde αi0 es el acimut aproximado a lo largo de la línea i (calculado desde las coordenadas aproximadas) y dα12t podría ser dado, por ejemplo, por la ecuación (9.16). En general, cada estación para la cual un acimut aproximado inicial es usado tendrá una corrección de orientación asociada a éste. 9.3
La Ecuación de Observación de Acimut de Laplace
Considere la ecuación de acimut de Laplace tal como es expresada en la ecuación (7.27)
α L = A − (Λ − λ ) sin ϕ
(9.22)
Solamente como valores aproximados de λ son conocidos αL el cual está sujeto a una corrección encontrada diferenciando (9.22) notando que A y Λ son cantidades observadas y que ϕ necesita ser conocido solamente en forma aproximada. dα L = dλ sin ϕ
(9.23)
Entonces consideramos que el acimut geodésico “observado” será como sigue:
α OBS = α L + dα L
(9.24)
Luego podemos expresar (9.18) como: v = α 0 − (α L + dα L ) + dα12t Usando (9.16) y (9.23), (9.25) puede ser expresado como:
(9.25)
180
v = α0 − α L +
M1 sinα12 M sinα21 N cosϕ2 cosα21 N cosϕ2 cosα21 dϕ1 + 2 dϕ2 − 2 dλ2 + 2 − sinϕ1 dλ1 s s s s (9.26)
En (9.26) α0 es calculado usando las coordenadas aproximadas de dos puntos, y αL es calculado desde (9.22) usando las coordenadas observadas y las aproximadas. En el ajuste, el peso para la ecuación de observación de Laplace es determinado considerando la precisión de A y Λ que entran en (9.26).
9.4
Formas de Ecuaciones de Observación Alternas
Las técnicas usadas en las secciones previas son aquellas asociadas generalmente con el ajuste de redes geodésicas bidimensional clásico. Si una red es definida en tres dimensiones existe una simplificación considerable en el procedimiento de reducción, puesto que los puntos están ahora en el espacio y no se requieren reducciones (ya sea por direcciones o distancias) al elipsoide. Una revisión de varias técnicas de ajuste tridimensional han sido dadas por Asquenazí y Grist (1983). Un procedimiento completo de ajuste tridimensional puede ser complicado por la necesidad de información astronómica y de alturas. Sin embargo, las ecuaciones de observación desarrolladas para un ajuste tridimensional pueden ser usadas para derivar nuevas ecuaciones de observación donde las cantidades astronómicas son consideradas conocidas y los datos de altura son considerados conocidos o se mantienen fijos. Bowring (1980) y Vincenty (1980b) observan varios aspectos de los nuevos procesos de ajuste lo cual es llamado un “ Ajuste de red con control de altura”. Una forma de desarrollar las nuevas ecuaciones de observación es simplemente establecer las alturas y correcciones de coordenadas astronómicas como cero. Entonces tenemos (Rapp, 1983, pág. 156) direcciones de sección normal (Di): v D = A0 − ( AI 0 + Di − DI ) − Z + d1dϕ1 + d 2 dλ2 + d 4 dϕ 2 + d 5 dλ2
(9.27)
Donde AI0 es el acimut astronómico aproximado de una línea inicial. Los coeficientes de la ecuación de observación son d1 , d 2 , d 4 , d 5 . La ecuación de distancia de la cuerda podría ser: vc = c0 − cOBS + f1dϕ1 + f 2 dλ1 + f 4 dϕ 2 + f 5 dλ2
(9.28)
Bowring (1980) y Vincenty (1980) dan los coeficientes de la ecuación de observación para los nuevos modelos cuando la forma general es escrita como sigue:
181
v = F ( X 0 ) − LOBS + Fdu1 + Gdv1 − F du 2 − G dv2
(9.29)
donde: du = (M + h )dϕ dv = ( N + h ) cos ϕdλ
(9.30)
El sistema de alturas controladas tiene cierto número de ventajas sobre el sistema clásico usado por muchos años. Quizás el más importante es que no se desarrollan reducciones sobre las observaciones para llevarlas al elipsoide. Los acimut son considerados con respecto a la dirección del vector gravedad y las distancias son consideradas como cuerdas entre las estaciones. Una segunda ventaja es que el esfuerzo de cálculo es reducido en los nuevos modelos debido a que se necesitan pocas funciones trigonométricas.
182
10
DATUM GEODÉSICOS Y ELIPSOIDES DE REFERENCIA
10.1
Desarrollo de los Datums
El propósito de este capítulo es introducir, resumidamente, el tema de los datums geodésicos y considerar su uso y unificación hoy en día. Los procedimientos para las actuales definiciones de datums y la determinación de los parámetros elipsoidales es descrito en Rapp (1983). Históricamente, los datums geodésicos han sido necesarios para el desarrollo de redes geodésicas. Estos datums usualmente proveen un punto inicial (ϕ0, λ0), un acimut inicial (α0) para fines de orientación, y parámetros del elipsoide. Para la simple definición de un datum geodésico son requeridos solamente cinco parámetros. La ascendente necesidad de control geodésico provocó que varios países desarrollaran sus propios datums. La obtención de datos más completos y confiables permitió que nuevos datums geodésicos fuesen definidos en forma más precisa. Algunos datums fueron definidos con parámetros elipsoidales de modo que las deflexiones astrogeodésicas pudieran ser pequeñas en un país. Datums pequeños (por ejemplo en islas) fueron definidos solamente a través de coordenadas astronómicas con parámetros elipsoidales tomados desde un origen no relacionado. Una lista de 58 datums geodésicos es dada en Rapp (1983). La determinación de parámetros elipsoidales ha sido activamente llevada a cabo desde el siglo XIX. Las técnicas para esos cálculos han usado una gran variedad de datos, incluyendo el análisis de las redes de triangulación, variaciones de la gravedad, posición de estaciones derivadas de satélites y altimetría por satélite. En 1909 la precisión formal en la determinación del radio ecuatorial estuvo en el orden de 18 m (Hayford, 1910) aunque el valor calculado tenía un error de 252 m. Hoy día, usando variadas técnicas de medición el radio ecuatorial de la tierra es conocido con un error de ± 1 m. A este nivel de precisión y mejores se torna importante tener definiciones precisas del significado de los parámetros elipsoidales. Tales definiciones son descritas por Rapp (1983). La Tabla (10.1) entrega parámetros de varios elipsoides usados en el pasado y de aquellos actuales. En algunos casos el achatamiento no está específicamente definido pero es derivado usando otras cantidades. Por ejemplo, los parámetros del elipsoide de Clark 1866 son definidos en términos de a y b. El achatamiento de los elipsoides de los Sistemas de Referencia Geodésicos es derivado de otros datos, primeramente los armónicos zonales de segundo grado del campo gravitacional de la Tierra que es precisamente definido a través del análisis del movimiento de los satélites. Para la Asociación Internacional de Geodesia, las estimaciones listada en esta tabla son las mejores estimadas al igual que los datos dados. Estas no son usadas para la definición de nuevos juegos de constantes.
183
Tabla 10.1 Parámetros Elipsoidales Nombre del Elipsoide
Año Cálculo
Semi-eje Mayor
Achatamiento
a (m)
1/f
Airy
1830
6377563,396
299,324964
Bessel
1841
6377397,155
299,152813
Clarke
1866
6378206,400
299,978698
Clarke (modificado)
1880
6378249,145
293,466300
Clarke
1880
6378249,145
293,465000
Everest
1830
6377276,345
300,801700
Internacional
1924
6378388,000
297,000000
Krassovski
1940
6378245,000
298,300000
Mercury
1960
6378166,000
298,300000
Mercury (modificado)
1968
6378150,000
298,300000
6378160,000
298,250000
Nacional Australiano Sudamericano
1969
6378160,000
298,250000
Sistema de Referencia Geodésico
1967
6389160,000
298,2471674273
WGS72
1972
6378135,000
298,260000
Asociación Internacional de Geodesia
1975
6378140 ± 5
298,257 ± 0,0015
Sistema de Referencia Geodésico
1980
6378137,000
298,257222101
1983
6378136 ± 1
298,257000
WGS84
1984
6378137,000
298,257223563
Asociación Internacional de Geodesia
1987
6378136,000
Asociación Internacional de Geodesia
10.2
Transformación de Datum
Históricamente, una de las reconocidas metas de la geodesia ha sido la obtención de coordenadas geodésicas en un sistema común. Este es un procedimiento difícil dado la cantidad de datum diferentes existentes en el mundo. Sin embargo, usando técnicas satelitales es posible determinar coordenadas rectangulares de un punto en un sistema coordenado definido que está cerca de ser geocéntrico. Si se adopta un juego de parámetros elipsoidales, las coordenadas rectangulares pueden ser convertidas a latitud, longitud y altura sobre el elipsoide de referencia. Si efectuamos observaciones satelitales en un punto cuyas coordenadas están definidas en un datum específico podemos comparar las coordenadas satelitales y las coordenadas del datum para obtener una conexión entre ambos sistemas. Por simplicidad asumimos que el datum de nuestro sistema de coordenadas y el sistema satelital tienen un origen distinto pero sus ejes X, Y, Z son paralelos, según es mostrado en la Figura (10.2)
184
ZD
Zs
P YD
XD
∆Z ∆X
Ys
∆Y Xs
Figura 10.2 Sistema Satelital (S) y Datum (D) con Ejes Paralelos Consideremos las coordenadas rectangulares de un punto P en el sistema de datum. Tales cantidades pueden ser calculadas desde la ecuación (3.152) donde h es la suma de la altura ortométrica (H) y la ondulación astrogeodésica (NAG): X D = (N + H + N AG ) cos ϕ cos λ YD = (N + H + N AG ) cos ϕ sin λ
( (
)
(10.1)
)
Z D = N 1 − e 2 + H + N AG sin ϕ Dejemos que ∆X , ∆Y , ∆Z sean el desplazamiento de datum con respecto al sistema satelital, así: X S = X D + ∆X YS = YD + ∆Y
(10.2)
Z S = Z D + ∆Z El desplazamiento de datum puede ser obtenido con un número suficiente de estaciones donde las coordenadas son determinadas en ambos sistemas. Si entonces vamos a un punto arbitrario y encontramos las coordenadas satelitales podremos sustraer el desplazamiento de datum para obtener las coordenadas del sistema de datum. Estas coordenadas pueden ser convertidas a coordenadas geodésicas usando los procedimientos descritos en la sección (6.8) donde son usados los parámetros del datum elipsoidal.
185
Los modelos de datum convencional representados por la ecuación (10.2) son basados en la suposición de que los ejes de los dos sistemas son paralelos, que los sistemas tienen la misma escala y que la red geodésica ha sido calculada consistentemente. En la realidad ninguna de estas suposiciones es verdadera, luego los valores de ∆X , ∆Y , ∆Z pueden variar desde un punto a otro tal como es mostrado por Leick y van Gelder (1975) para Estados Unidos. Una transformación más general involucra siete parámetros: tres traslaciones, tres rotaciones representando la ausencia de paralelismo de los ejes de los dos sistemas y un factor de escala representando la diferencia de escala entre ambos sistemas. Esta transformación más general puede ser representada como sigue: X X ∆X X 0 Y = Y + ∆Y + Y ⋅ ∆L + − ω Z Z ω S Z D ∆Z Z D Y
ωZ 0 −ωX
− ωY X ωX ⋅ Y 0 Z D
(10.3)
En esta ecuación ∆L es un parámetro de diferencia de escala y ωX, ωY, ωZ son las rotaciones sobre los ejes X, Y, Z para lograr el paralelismo con los ejes del sistema satelital. El desarrollo de la ecuación (10.3) y aplicaciones de esta transformación son revisadas en Rapp (1983). Si deseamos adoptar el modelo de transformación simplificado representado por la ecuación (10.2), podríamos utilizar los valores de desplazamiento de datum para ir desde un datum local al WGS84 (DMA, 1987). La Tabla (10.2) muestra los tres desplazamientos del origen de seleccionados datums para ir del sistema local al WGS84. Tabla 10.2 Parámetros de Transformación de Sistema Geodésico Local a WGS84 (tomad
o del DMA TR 8350.2, 1987)* Datums Geodésicos (Elipsoides de Referencia)
Constantes
∆X (m)
∆Y (m)
∆Z (m)
∆a (m)
∆f ×104
Arc 1950
-143
-90
-294
112,45
-0,54750714
-134
-48
149
-23
-0,00081204
-136
-108
-292
112,45
-0,54750714
-87
-98
-121
-251
-0,14192702
214
836
303
860,65 5
0,28361368
-128
481
664
739,84 5
0,10037483
(Clarke 1880) Geodésico Australiano 1984 (Nacional Australiano) Cape (Clarke 1880) Europeo 1950 (Internacional) India (Everest) Tokio (Bessel 1841)
186
Sudamericano 1969**
-75
-1
-44
-23
-0,00081204
-251
-0,14192702
-251
-0,14192702
(Sudamericano 1969) Provisorio Sudamericano 1956** (Internacional 1924) Cercano a 19° Latitud Sur Cercano a 43° Latitud Sur
-270 ± 25
183 ± 25
-390 ± 25
-305 ± 20
243 ± 20
-442 ± 20
Hito XVIII 1963** (Internacional 1924) Cercano a 53° Latitud Sur
16 ± 25
196 ± 25
93 ± 25
*
Departamento de Defensa, Sistema Geodésico Mundial 1984, Sus Definiciones y Relaciones con Sistemas Geodésicos Locales, DMA TR 8350.2, Washington, D.C., 1987. ** Parámetros para Chile BIBLIOGRAFÍA
Ashkenazi, V., Models for controlling National and Continental Networks, Bulletin Geodesique, 55, 1981. Ashkenazi, V., and S. Grist, 3-D Geodetic Network Adjustment Models: Significance of Different Approaches, in Proc. 1983 General Assembly, International Association of Geodesy, published by Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, Columbus, 1984. Badi, K., Report on the Program Bowring Short Lines, Direct and Inverse, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, 1983. Baeschlin, C.F., Textbook of Geodesy, Orell Füssli Verlag, Zurich, 1984. Bagratuni, G.V., Course in Spheroidal Geodesy, 1962, translated from Russian, Translation Division, Foreign Technology Division, Wright-Patterson AFB, Ohio AD65 520, 1967. Bartelme, N. and P. Meissl, Ein einfaches, rasches und numerisch stabiles Verfahren zur Bestimmung des kurzesten Abstandes eines Punktes von einem spharoidischen Rotationsellipsoid, Allegemeine Vermessungs-Nachrichter, Vol. 12, pp. 436-439, 1975. Bomford, G., Geodesy, Oxford at the Clarendom Press, 4th edition, 1980. Bowring, B., Transformation from Spatial to Geographical Coordinates, Survey Review, XXIII, 181, pp. 323-327,1976. Bowring, B., Notes on Space Adjustment Coefficients, Bulletin Geodesique, 54, 191200, 1980. Bowring, B.R., The Direct and Inverse Problems for Short Geodesic Lines on the Ellipsoid, Surveying and Mapping, Vol. 41, N° 2, 135-141, 1981.
187
Bowring, B.R., The Direct and Inverse Solutions for the Great Elliptic Arc, Bulletin Geodesique, Vol. 58, 1984. Carroll, D., and C. Wessells, A 1975 Astrogeodetic Geoid for the United States, presented at the XVI General Assembly, International Association of Geodesy, Grenoble, France, 1975. Clarke, A.R., Geodesy, Oxford at Clarendon Press, 1980. Clarke, David, Plane and Geodetic Surveying, Volume Two: Higher Surveying, Constable and Co. Ltd, London, 1957. DMA, Index of Grid, Datums and Spheroids, 1982, prepared by the Defense Mapping Agency Hydrographic/Topographic Center, Washington, D.C. 20315, in Grids and Grid References, Technical Manual TM 5-241-1, Dept. of the Army, Washington, D.C., 25 March 1983. Fisher, I., et al. Geoid Charts of North and Central America, Army Map Service Technical Report N° 62, Washington, D.C. October 1967. Fisher, I., The Figure of the Earth – Changes in Concepts, Geophysical Survey, 2, 3-54, 1975a. Fisher, I., Another Look at Eratosthenes’ and Posidonius’ Determinations of the Earth’s Circumference, Q. J1. R. Astr. Soc., 16, 152-167, 1975b. Gan’shin, V.N., Geometry of the Earth Ellipsoid, Nedra Publishers, 1967, translated from Russian, 1969, ACIC-TC-1473, AD 689507, available from Clearinghouse, Springfield, Virginia 22151. Grafarend, E., and B Richter, The Generalized Laplace Condition, Bulletin Geodesique, 51, 287-293, 1977. Grushinskiy, N.P., The Theory of the Figure of the Earth, 1963, translated from Russian, 1969, FTD-HT-23-313-68, AD694748, available from Clearinghouse, Springfield, Virginia 22151. Gupta, R.M., A Comparative Study of Various Direct and Inverse Formulae for Lines up to 800 km in Ellipsoid Geodesy, M.S. thesis, The Ohio State University, 1972. Hayford, J., Supplementary Investigation in 1909 of the Figure of the Earth and Isostasy, U.S. Coast and Geodetic Survey, Washington, D.C., 1910 Heikkinen, M., Geschlossene Formeln Berechnung räumlicher geodätischer Koordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten, Zeitschrift fur Vermessungswesen, Vol. 5, 207-211, 1982. Heiskanen, W., and H. Moritz, Physical Geodesy, W.A. Freeman, San Francisco, 1967. Helmer, F.R., Die Mathematischen Und Physikalischen Theorium Der Hoheren Geodasie, B.G. Teubner, Leipzig, 1880 (reprinted 1962), (translation by Aeronautical Chart and Information Center, St. Louis, 1964). Hirvonen, R., and Moritz, Practical Computations of Gravity at High Altitudes, Report N° 27, Institute of Geodesy, Photogrammetry and Cartography, The Ohio State University, Columbus, 1963. Hosmer, G., Geodesy, John Wiley and Sons, New York, second edition, 1930. Howse, D., Greenwich Time and the discovery of the longitude, Oxford University Press, Oxford, England, 1980.
188
Jordan-Eggert, Jordan’s Handbook of Geodesy, translation of 8th edition, 1941 by Martha W. Carta, (U.S. Army Map Service, Washington, D.C., 1962). Lambert, W.D. and C. Swick, Formulas and Tables for the Computation of Geodetic Positions on the International Ellipsoid, Special Publication N° 200, U.S. Coast and Geodetic Survey, Washington, D.C., 1935. Lauf, G., Geodesy and Map Projections, TAFE Publications Unit, 37 Long-ridge St., Collingwood, Victoria 3066, Australia, 1983. Leick, A., and B. van Gelder, On Similarity Transformations and Geodetic Network Distortions Based on Doppler Satellite Observations, Report N° 235, Department of Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, 1975. Lewis, E.A., Parametric Formulas for Geodesic Curves and Distances on a Slightly Oblate Earth, Air Force Cambridge Research Laboratories, Note N° 63-485, April, 1963, AD412 501. Meade, B.K., Comments on Formulas for the solution of Direct and Inverse Problems on Reference Ellipsoids Using Pocket Calculators, Surveying and Mapping, Vol. 41, N° 1, 1981. Moose, E.R. and S.W. Henriksen, Effect of Geoceiver Observations Upon the Classical Triangulation Networks, NOAA Technical Report, NOS 66 NOS2, Rockville, Maryland, 1976. Moritz, H., The Definition of a Geodetic Datum, in Proc., Second Int. Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, Supt. Of Documents, U.S. Govt. Printing Office, Stock N° 003-017-0426-1, Washington, D.C. 20402. Mueller, I.., Spherical and Practical Astronomy as Applied to Geodesy, F. Ungar Publishing Co., New York, 1969. Mueller, I., Reference Coordinate Systems for Earth Dynamics. A Preview, in Proc. Reference Coordinate Systems for Earth Dynamics, D. Reidel Publishing Co., Boston, 1981. Olliver, S.G., Observation Equations for Observed Directions and Distances in Spheroidal Co-ordinates, Survey Review, XXIV, 184, 71-77, 1977. Paul, M.K., A Note on Computation of Geodetic Coordinates from Geocentric (Cartesian) Coordinates, Bulletin Geodesique, N° 108, 135-139, June 1973. Petty, J.E., and W.E. Carter, Uncertainties of Astronomic Positions and Azimuth, in Proc., Second Int. Symp. On Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, NOAA, Stock N° 003-017-0426-1, Superintendent of Documents, Washington, D.C. 20402. Pick, M., J. Picha, and V. Vyskocil, Theory of Earth’s Gravity Field, Elsevier Scientific Publishing Co., New York, 1973. Rapp, R.H., Geometric Geodesy, Volume II (Advance Techniques), Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, Columbus, 1983. Robbins, A.R., Geodetic Astronomy in the Next Decade, Survey Review, XXIV, 185, 99-108, 1977. Schwartz, C., Deflections of the Vertical, ACSM Bulletin, 65, 17-18, May 1979. Seppelin, T., The Department of Defense World Geodetic System 1972, The Canadian Surveyor, Vol. 28, N° 5, 496-506,1974a.
189
Seppelin, T., The Department of Defense World Geodetic System 1972, presented at the International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, University of New Brunswick, Fredericton, New Brunswick, 1974b. Smith, J.R., Introduction to Geodesy, The History and Concepts of Modern Geodesy, J. Wiley & Sons, Inc., 1997. Thomson, D.B., and P. Vanicek, Note on Reduction of Spatial Distances to a Reference Ellipsoid, Survey Review, XXII, 173, 309-312, 1974. Tobey, W.M., Geodesy, Publication 11, Geodetic Survey of Canada, Ottawa, 1928. Torge, W., Geodesy, pág. 1, 2nd Edition, W de Gruyter, New York, 1991. Vanicek, P., and E. Krakiwsky, Geodesy, the Concepts, North-Holland Publishing Col, New York, 1982. Vanicek, P., and Carrera, How much does reference ellipsoid misalignment affect deflection components and geodetic azimuth, Canadian Surveyor, 1983. Vicenty, T., A Note on Reduction of Measured Distances to the Ellipsoid, Survey Review, XXIII, N° 175, 40-42, 1975. Vincenty, T., Closed Formulas for the Direct and Reverse Geodetic Problems, Bulletin Geodesique, 51, 241-242, 1977. Vincenty, T., Zur räumlich-ellipsoidischen Koordinaten-Transformation, Zeitschrift fur Vermessungswesen, Vol. 11, N° 105, pp. 519-521, 1980a. Vincenty, T., Height Controlled Tree-Dimensional Adjustment of Horizontal Networks, Bulletin Geodesique, 54, 37-43, 1980b. Vincenty, T., Methods of Adjusting Space System Data and Terrestrial Measurements, Bulletin Geodesique, 56, 231-241, 1982. Vincenty, T., On the Role of Rotation Angles in Geodetic Problems, unpublished manuscript, 6 March 1983. Wenzel, H.G., Astrogeodetic Geoid Around the North Sea, in Report N° 80 Wissenschaftliche Arbeiten der Lehrstuhle für Geodasie, Photo., und Kart., Technischen Universital Hannover, Hannover: FRG, 1978. Zakatov, P.S., A Course in Higher Geodesy, Translated from Russian 1962, by Israel Program for Scientific Translation, for National Science Foundation, OST 61-31212.
