GEODESIA FISICA APLICADA

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Geodesia Física Aplicada Tomo I INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

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x

Tomo I INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

y

Secretaría de Programación y Presupuesto Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática Informes y Ventas: Balderas No. 71, planta baja, Centro Delegación Cuauhtémoc 06040 México, D.F. Te!. 521-42-51 Insurgentes Sur No. 795, planta baja, colonia Nápoles, Delegación Benito Juárez 03810 México, D.F. Tels.: 687-46-91 y 687-29-11, ext. 289 Geodesia Física Aplicada Tomo I Dirección General de Geografía México, D.F. junio de 1984 ISBN 968-809-916-3

GEODESIA FISICA APLICADA

TOMO

Por Dr. Petr Vanicek

Traductor

M. en C. Rafael Sosa Torres DETENAL México, D. F. 1979

Departamento de Ingeniería Topográfica Un ivers idad de New Brunswick Fredericton, N. B. Canadá. 1971

NOTA DEL TRADUCTOR

Deseo dej ar constanc ia de que este trabaj o es en real idad resultado del esfuerzo que DETENAL está haciendo con el propósito de elevar el nivel de los conocimientos geodésicos dentro y fuera de la propia institución. Debe pues, agradecerse la disposición y el apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, particularmente de aquéllas responsables del Area de Geodesia que al facilitarnos medios y personal, hi-cieron posible que estas notas vieran la luz del dta.

Se agradece profunda y sinceramente, la gentileza del autor Dr. Petr Vanicek, de la Universidad de New Brunswick, al permitir la traducción y divulgación de su obra en español.

El excelente trabajo de mecanografiado estuvo a cargo de la Srita. Blanca Estela Ibarra Cortés de la Oficina de Apoyo Vert ical.

También de la Oficina de Apoyo Vertical el Sr. Julio Bueyes Oliva tuvo la responsabil idad de trazar los diagramas y el arduo y paciente trabajo de escribir todas y cada una de las fórmulas que en estas notas aparecen. Mi sincero reconocimiento al Sr. Bueyes 01 iva por la alta calidad de su trabajo.

M. en C. Rafael Sosa Torres

C o N T E N IDO Pago

EL OBJETIVO DE LA GEODESIA FISICA.

2.

ELEMENTOS DE LA TEORIA DEL POTENCIAL. ••••••••.••••••••••••• 2.1.- CONCEPTO DE UN CAMPO DE FUERZA. ••.•••••••••••••••••• 2.2.- LA GRAVITACION DE NEWTON. •••• ......... .............. 2.3.- CAMPO DE GRAVITACION DE UN PUNTO DE MASA M. ......... 2.4.- CAMPO DE GRAVITACION DE UN CUERPO FISICO. •••••••••.• 2.5.- CAMPO DE FUERZA SOBRE Y POR ENCIMA DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO EN ROTACION. •••.•••••••••••••• 2.6.- NOCION DE POTENCIAL. ••••••••••••••••••••••••••••.•.• 2.7.- POTENCIAL DE UN PUNTO "ATRAYENTE". .................. 2.8.- POTENCIAL DE UN CUERPO "ATRAYENTE". ................. 2.9.- POTENCIAL DE LA GRAVEDAD DE UN CUERPO EN ROTACION .•••••.•••••••.•••••••••••.••••••••••••••••••• 2.10.- EL POTENCIAL COMO SOLUCION A LA ECUACION DE POISSON O A LA ECUACION DE LAPLACE .••••••.••.•.•••.• 2.11.- FUNCIONES ARMONICAS Y SUS PROPIEDADES ............... 2.12.- PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA .••••••••••••••..•. 2.13.- ALGUNOS METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA. ••.•••••.•••••••••.•.•.••••..•• 2.14. - AUTOVALORES Y AUTOFUNC IONES. ... .. .. .. • .. .... .... .. .. 2.15.- EL LAPLACEANO EN COORDENADAS CURVILINEAS. COEFICIENTES DE LAME .••••••••.•••.••••••••••.•••..•• 2.16.- EL METODO DE FURIER APLICADO AL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS .••..••••••.••.••...••.•.... 2.17.- AUTOFUNCIONES DEL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS. ARMONICAS ESFERICAS .•••..•.•....•....•.. 2.18.- ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES ARMONICAS Y DESARROLLOS EN ARMONICAS ESFERICAS •.••••.••.••••••.• 2.19.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS ......•..•••.••.•••••.••••.. 2.20.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ELIPSOIDALES .•••.••..•.•••••••••..... 2.21.- SOLUCION A PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA USANDO ARMONICAS ESFERICAS ......•...••...•.•........ 2.22.- CONEXION ENTRE LOS COEFICIENTES DE LAS ARMONI CAS ESFER I CAS Y EL CUERPO ATRAYENTE. • .. ... .. .. . . .. 2.23.- INTERPRETACION FISICA DE LOS COEFICIENTES DE ARMONICAS DE GRADO INFERIOR ......................... 2.24.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. LINEAS DE FUE~ ZA. .... .••.•.....••.. .•.•. .•••....•••..•..•.••......

3.

EL CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE Y SUS APROXIMACIO- NES. . . . . . . . . • . • . . •. . . . . • . . . • . • • • • . . • •. . • . . • . . . • .• • . • . . . . . . . 3 . 1. - EL GE OI DE . . . . . . • • . • . . . . . . • • • . • . • . • • • • . • . • • . • • . • . • • • .

2

2 3 4

4 6

7 8 9 10

11 14 16

17 19

21 29 31 35

38 40 41 44 48

51

52 52

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

1.

Pago

3.2.3.3.3.4.-

OBSERVACIONES SOBRE EL ESFEROIDE. • •••••••••••••••••. 54 POTENCIAL NORMAL Y POTENCIAL PERTURBANTE. • •••••••••• 55 LA ESFERA COMO SUPERFICIE DE REFERENCIA NORMAL. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 58 3.5.- EL ELIPSOIDE ROTACIONAL COMO SUPERFICIE "NOE. MAL" DE REFERENCIA. ................................. 58 3.6.- LA GRAVEDAD "NORMAL" REFERIDA A LA SUPERFI-CIE ELIPSOIDAL DE REFERENCIA ••••••••••.••••••••••••• 60 3.7.- TEOREMA DE CLAIRAUT, PARA LOS APLASTAMIENTOS DE GRAVEDAD Y GEOMETRICO. • •••••••••••••••••••••••••• 64 3.8.- FORMULAS DE SOMIGLIANA PARA LA GRAVEDAD NORML.

3.9.-

. . • . . • . . . • . . • . . . . . . • . ••. . . . . • . •• • • . • . . • • . . • . . . . . ••• ••••••••••••••••. •••••• •••• •••• ••. •••••••••••

68

3.10.- DEFINICION DE: ANOMALIA DE LA GRAVEDAD; PERTURBACION DE LA GRAVEDAD; ALTURA GEOIDAL y DESVIACION DE LA VERTICAL. .. ........................ 3.11.- RELACION ENTRE EL POTENCIAL DE PERTURBACION y LA ALTURA GEOIDAL. SEGUNDA FORMULA DE

70

fv\A L.

BRUNS.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

66

FORMULAS DE CASSINIS PARA LA GRAVEDAD NOR- -

•• • • • • • • •• • • • •• •• • •• • • • • • • • • • •• ••• ••• • • • •• •• • •

72

3.12.- ECUACION GRAVIMETRICAFUNDAMENTAL. .. ................. 3.13.- DISCUSION DE LA ECUACION GRAVIMETRICA FUNDAMENTAL. EL PROBLEMA MIXTO DE VALOR EN LA FRONTERA DE GEODES lA. ............................... 3.14.- EL GRADIENTE VERTICAL DE LA GRAVEDAD •••••••••••••••• 3.15.- SOLUCION AL PROBLEMA MIXTO DEL VALOR EN LA FRONTERA DE GEODESIA FISICA ••••••••••••••••••••••••• 3.16.- LA INTEGRAL DE STOKES. .............................. 3.17.- FORMULA DE STOKES. DETERMINACION GRAVIMETRl CA DEL GEOIDE ••••••••••••••.•••••••••••••••••••••••• 3.18.- ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA FORMULA DE

73

STOKES.

75 77 81 83 86

• • • •• • • • • • • •• •• • • • •• .. • • ••• • • •• ••• • • • • • • • • • •• .

87

3.19.- LAS FORMULAS DE VENING-MEINESZ •••••••••••••••••••••• 3.20.- LINEAMIENTOS PARA LA SOLUCION NUMERICA DE LAS FORMULAS DE STOKES y DE VEN ING-ME I NESZ. • • • • •• • • •

89

ii

92

1.

EL OBJETIVO DE LA GEODESIA FISICA.

En Topografía tratamos con la determinación de la posición mutua de puntos. Cuando trabajamos en áreas pequeñas podemos confor-marnos con las relaciones medidas. Por 10 tanto la relación entre dos puntos puede expresarse como: P

p 1 -

2

En áreas grandes no podemos hacer 10 mismo. No somos capª ces de medir directamente las relaciones entre los puntos y tenemos que referirlos a un marco común que interrelacione a los dos puntos. De aquí que realmente hablemos entonces de la relación: p -

1-

Morco -

P 2

La descripción de tal marco y las relaciones entre los puntos y el marco es uno de los objetivos principales de la Geodesia. Usualmente en Geodesia, cierto tipo de superficie "próxima" a la supe.!:. ficie topográfica de la tierra, se elige como superficie de referencia que juega el papel del marco. Es deseable, por supuesto, que la supe.!:. ficie de referencia esté tan próxima a la superficie topográfica como sea posible de modo que los puntos individuales (cuya posición hacia la superficie topográfica puede medirse) puedan referirse a la superfl cie de referencia de un modo sencillo.

Cuando medimos las posiciones y relaciones entre 105 pun-tos sobre la superficie terrestre (y también por encima o debajo del punto superficial), estamos sujetos a toda clase de influencias fisi-cas del ambiente. Nuestros instrumentos obedecen algunas "leyes" y -"reglas" f is icas que debemos tratar de comprender para estar en pos ibl lidad de interpretar nuestras mediciones. Todos estamos conscientes de la fuerza de la gravedad; de la fuerza de Coriolis; refracción del aire; influencias de las variaciones de la temperatura; etc.; por nombrar algunas. Para los procesos estáticos· como son las observaciones ~ geodésicas - las dos influencias físicas más importantes son la .!:.efrac ción y la gravedad. Ambas cambian la geometría del espacio en que trª bajamos y por 10 tanto, deben estudiarse y comprenderse, tan claramente como sea posible. Dejaremos por completo el estudio de la refrac-ción _Este es uno de 105 temas en 105 cursos de Topografia_. Dedicar~ mos nuestra atención casi exclusivamente a la gravedad. La comprensión teórica del campo de gravedad. Su determinación y sus relaciones (relevancia) con las investigaciones geon~tri- 1 -

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

A la vez, por conveniencia de cálculo, queremos que la superficie de referencia tenga la forma geométrica más simple que sea PQ sible. Es concebible, desde luego, que la superficie topográfica no seria una buena referencia desde este punto de vista.

- 2 -

cas (que constituyen el tema principal de la Topografía) es el campo de la Geodesia Física. De aquí que este Tomo I será dedicado a dos ob jetivos principales: priIT~ro, obtener algo de comprensión y dominio del modelo matemático del campo de gravedad. Este tema se conoce como la Teoria del Potencial. El desarrollo del tema sera: El campo de gravedad terrestre y sus aproximaciones usadas en Geodesia. En la primera mitad de este Tomo deberemos aprender algo sobre las herramientas matemáticas usadas en Geodesia Física. El conocimiento de estas herramientas nos permitirá seguir en la segunda mitad el desarrollo de los conceptos clásicos, asi como determinar la relación entre el campo de gravedad y algunas de las superficies de referencia usadas en Geodesia.

2.

ELEMENTOS DE LA TEORIA DEL POTENCIAL. 2.1.-

CONCEPTO DE UN CAMPO DE FUERZA.

Donde, en una cierta área de nuestro espacio-tiempo, teng~ mos actuando algunas fuerzas físicas, describimos a menudo el área de interés por un Campo Vectorial, en vez de tratar con las fuerzas.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Por un campo vectorial entendemos una triada de números reales atribuidos a cada punto (dados por una cuarteta de números reales) de nuestro espacio-tiempo. Usando el Sistema Euclidiano de Coordenadas podemos representar gráficamente un campo vectorial, ésto es:

en cualquier punto de tiempo.

x Para hacer más fáciles las cosas, en Geodesia Física consl deramos a tod"s los campos vectoriales con que trabajamos como estacio narios, ésto es, que no cambian con el tiempo. Cualquier campo estacionario puede describirse completamefl

- 3 -

te por una función "f" de tres valores, usualmente denominados como: f·,

f (r) E R3 ;

(para describir las tres valoraciones) de los argumentos _Las coordeng das del punto en el espacio_o Estas tres coordenadas, números reales, pueden ser consideradas como coordenadas del radio vector del punto en cuestión. 2.2.-

LA GRAVITACION DE NEWTON.

El comienzo de todo fueron los resultados experimentales (observaciones astronómicas) de un astrónomo Danés - Tycho-de-Brahe -hechos en la segunda mitad del Siglo XVI. Estas observaciones constituyeron las bases sobre las que un astrónomo matemático Alemán, Johannes Kepler apoyó la formulación de sus famosas tres leyes que gobiernan el movimiento de los planetas alrededor del sol (a comienzo del Siglo XVII). De estas tres leyes experimentales el matemático y fisico Inglés, Isaac Newton, derivó su principio de gravitación (PhilQ sophiae Naturlis Principia Mathemati~a, 1687) que permanece hasta ahora como la piedra angular de la Mecánica Newtoniana. La formulac!ón clásica de este principio es: "La fuerza de atracción mutua de dos masas mi' m2' es proporcional a su producto e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia". En notación vectorial:

l

=K

mi

. m2 p3

-

.p T = I

2

-

P =

K

mi • m2

p3

-

'P-

2

r - r . I 2

Donde -P: - P; son los vectores que unen las dos masas y están dirigidas en sentido contrario a las fuerzas f l , f2 • K es la constante de proporcionalidad llamada Constante de Gravitación (de Ne\.¡ton) . De una multitud de mediciones el valor de K fue determinado y el valor de -2

seg )

aceptado por un número de organizaciones científicas como la mejor aproximación conocida hasta la fecha. Aun se discute si el valor de K varia con el tiempo. ¡Nótese las unidades físicas de K!

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

f

- 4 -

2.3.-

CAMPO DE GRAVITACION DE UN PUNTO DE MASA M.

Podemos ver que el Principio de Gravitación de Newton es completamente simétrico: no hay preferencia por alguna de las masas. Sin embargo, por conveniencia, llamamos "atrayente" a una de las masas y "atraida" a la otra. Este nos permite formular el Prirr cipio en términos de un campo de fuerza (campo vectorial) como: f : K

..M- p. p3

comprendiendo que el vector f representa una fuerza ejercida por la_.--=:. masa M sobre una masa unitaria m. El vector res dirigido de M hacia m y no es sino el radio vector de m, si M está localizada en el centro del sistema de coordenadas. Este es un ejemplo de un campo vectorial radial (o central) donde todos los vectores apuntan de afuera hacia un punto M. En cualquier proyección bidimensional 10 veríamos así:

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

y se le llama Campo de Gravitación de un Punto.

Notese que en este caso no estamos interesados en los tos que m ej erce sobre M. 2.4.-

efe~

CAMPO DE GRAVITACION DE UN CUERPO FISICO.

Se estableció a través de experimentos que las fuerzas gr-ª vitacionales pueden sumarse en la misma forma que los vectores tridi-mensionales en un espacio Eucl idiano E~. De aquí que si tenemos dos masas M~, M~ actuando sobre una masa unitaria m podemos escribir para la fuerza gravitacional resultante:

f

M --~=f + f = K (- ~ P R. l, I 2 p3 I fJ3 2 I

2

- 5 Z

-

m

s iendo PI y P2 los vectores respectivos que unen a MI' M2 con m.

/.. P¡

Similarmente podemos escribir para un sistema completo de masas MI' Mz, .... , Mn:

,..'iX

n

n

1=¿ i=1

r¡

f,

I

--

¿

K

~

p,3

i= I

'p. I

y

M

- -;:1I 8=7 I I

I

es el rad io vector de Mi •

Nuevamente aquí no estamos iAteresados en la gravitación que actúa entre las masas individuales M" tampoco nos interesa el efecto de m sobre las MIs. I Si imaginamos un cuerpo físico con un área B de E3 , con una densidad ~ (~) atribuída a cada punto del área, entonces la masa &1 de una parte diferencial6B del cuerpo estará dada por el producto:

6M = 68, ~ (-;) ,

Podemos escribir entonces para el campo de gravitación de todo el cuerpo B:

- =- L f

K

B

~-p3

-P, ' --P= , dB .

r - r'

siendo -; el rad i o vector de 1 elemento dM. Note que aquí

~

es función de la pos ición del elemento dB

yP lo es de la posición del elemento y del lugar donde el campo está siendo investigado.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

donde~(-;) es el valor de la densidad en un punto representativo de 6B.

- 6 -

2.5.-

CAMPO DE FUERZA SOBRE Y POR ENCIMA DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO EN ROTACION (CUANDO USTED ROTA CON EL).

Nuevamente, por experiencia se conoce que una rotación for zada de una masa m con velocidad rotacional (angular) w a una distan-: cia r" del eje de rotación empuja la masa hacia afuera desde _ el eje de rotación. La presión (Fuerza) tiene una magnitud de:

f = r" w 2 m. e

La expresión en forma vectorial para la como es conocida la presión anterior, es: fe

fuer~ª-centrifuga,

= w 2. m· -r"

Imaginemos ahora la situación cuando una masa unitaria es forzada a rotar sobre o por encima de un cuerpo B. Primero es atraida por la fuerza gravitacional del cuerpo y luego empujada hacia afuera por la fuerza centrífuga. La fuerza combinada resultante, conocida CQ mo gravedad es entonces dada por:

-

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

r'l

-

-

•

¡Nótese la diferencia entre r" y P! Estas son las dos fuerzas que experimentamos actuando so-bre un objeto estacionario sobre la superficie terrestre. Nótese que si: el objeto es atraido hacia el cuerpo, y si: el objeto es empujado (rechazado) del cuerpo.

- 7-

2.6.-

NOCION DE POTENCIAL.

El campo de fuerza es una representación muy Otil de un comportamiento físico. Sin embargo, la necesidad de conocer tres nOm~ ros reales (coordenadas del vector fuerza) para cada punto en el espacio es un inconveniente. Por esta razón es mejor adoptar una herra- mienta más simple para describir el marco físico. Una de las más simples herramientas es el potencial. La relación del potencial (campo escalar) al campo de fueL za (campo vectorial) se parece mucho a la relación de la función priml tiva a la función original en el análisis de la función real. Allí la función primitiva F (si existe) se relaciona con la función original a través de: F(X) =

f

jf

(X) dX;

d F (X)

dX

= f (X)

.

Aquí el porencial V (si existe) se relaciona con la fuerza por ecuaciones similares: V(;)=

jfe;¡ d~V(V(-;))= GradV(7i=f¡;j,

donde el operador V (o grad) es el equivalente vectorial del operador ~ en el anál isis ordinario. dX Hablamos de V como del .gQtencial de f

y de f

como el .9Lª

diente de V. Nótese que aquí ~ significa el radio vector (vector de PQ sición) del lugar donde estamos calculando el potencial (fuerza). En E3 ~ es simplemente (X, Y, Z) o como se escribe algunas veces:

= X-;I

siendo

¡, T ,k los

+

yj

+

Z_ k

vectores unitarios en los ejes coordenados.

Usualmente no es fácil integrar el campo vectorial para OQ tener, siempre que exista, su potencial. Nos lleva a las ecuaciones integrales, ya díficiles de por si. Por 10 tanto, usualmente trata-mos evitar estas dificultades de alguna manera. Si el potencial existe es suficiente mostrar que su gradiente es el campo vectorial original. En otras palabras, si a un campo escalar le encontramos un gradiente que sea idéntico con el campo vectorial original habremos enco~ trado el potencial. El potencial es la noción más importante usada en Geodesia Física.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

r

- 8 -

2.7.-

POTENCIAL DE UN PUNTO "ATRAYENTE".

Podemos mostrar que el potencial de un punto atrayente de masa M está dado por:

V(;)=K~, r

considerando nuevamente que M está en el centro del sistema de coordenadas. Tenemos: VIV)=2JL.

+OV

ox T

ay]

+ QJL

az k

= QL I ª-r...

or

ox i

+ -ª.L + Oy T

=~ V Ir) Or

r = I X2

+y2 +Z2) 1/2 ~ ~

= -'- r- I . 2 X = X . r- I

aX

-ª-.L = y . r- I . ~ = z. ay , aZ

2 -1

r

Esto es:

v (r)

=

fl . r

Por otra parte:

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

ibL = De aqu ¡que:

KM

Or

VlV)

r- 2

= -K ~ ·7 3 r

la cual es la expresión para la gravitación de una masa M como se tra en 2.3.

mue~

Entonces:

V IV) =T

.

La que es condición suficiente y necesaria para que V sea el potencial de T .

-ª-'=-_ )= aZ

k

- 9 -

¡Nótese el signo de V! 2.8.-

POTENCIAL DE UN CUERPO "ATRAYENTE".

Similar a 2.7 se muestra que:

v(7) =

i ~dB,

K

B P

donde P = "7 _"7 ; siendor l el radio vector del elemento dM =O-d8 , es el potencial de un cuerpo atrayente B. 1

Tenemos: V (V) = V (K

f

pO- -dB)

=K

S

f

0--

V (_'_) dB_

P

8

Puesto que:

tenemos que:

p= (X-';)j y

p=

+(Y-7])T+(Z-~)k

[(X-~)2+ (Y-7])2 +(Z-~)2J ~2

Por lo tanto:

a -, ap

-1

\7

-

ap

P

donde:

~

ap

-2

a()

=- P ; ~ -

ax

aX

a

a

- + -p k - l + -p- -

aV

J

aZ

2 P d P = 2 (X - ~) dx

oP = (x-")

=

6r M(rB'A} M(r,B,6B,'A)

" 6r m-O 6B

11m

1

= 11m _r__ = r

68-0 6B M(rB'A}, M (r,B,'A,+6A)

_:.-...::..~~.:..-:.:~..:..:.!.~~--

H'A=l1m

6A- O HA= r sen B

6'A

= 11m 6'A-0

z

r

/ /

V/

/

I

I

x

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

~--------+----~-------~y

- 27 -

Problema: das elipsoidales.

Derive los Coeficientes de Lamé para coordena--

Nótese que para el sistema X, Y, Z, todos los HI

son

igu~

les con 1. Es evidente que usando los coeficientes de Lamé podemos presar el incremento diferencial dSI a 10 largo de las 1 íneas de coordenadas individuales q¡ como:

e~

dSi = MM+dMi=Hi dqi

Las derivadas de cualquier campo escalar a 10 largo de estas lineas están dadas por:

-af- = - aSi

af aqi

Hi

de modo que para el gradiente de f en coordenadas curvilíneas podemos escribir: 3

'7f=¿ i=1

_1 Hi

af

ei

aqi

Similarmente, tomando el volumen diferencial:

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

dV=7r dSi =7r Hi dqi ,

i

podemos derivar la expresión para la divergencia de un campo vector ial :

a(tI

-1

HI 7ri HJ ) aqi

- 28 -

Considerando que:

6f='l'lf, obtenemos para el Lap1aceano:

L'lf=(7r ¡:jI) I i

i

.

I-O-IH~

aq.

I

I

17T H·) ¡:j.1

I

J'

I

)

~)) Oq¡

=

ti. l ) I I -O-I7TH).) H.2~) I i aq . ) · I Oq¡ I

=17T i

Ej emp 10: Se obtendrá el Lap1aceano en coordenadas esféricas simplemente sustituyendo Hí obtenidos previamente:

= r 2 sen8

+

~) +~ l ~sene

I r 2 sene

Or (2r sen

I

sen r

e

.:l

_u_f_

Or

af

a>.. ))

af + r 2 sen e Or if + cos e oe af + sen e e a;2

02!

-~,----

6f :. ~

ae

2 r

0>..2 +

02

~

Or2

+

cote

_~_ r2

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

L'lf=

- 29 -

Problema:

Derive el Laplaceano en coordenadas el ipsoida--

les. 2.16.- EL METODO DE FURIER APLICADO AL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERI CAS. Tomando el Laplaceano en coordenadas esféricas tal como se derivó en 2.15 busquemos la solución de f en la forma siguiente:

f(r,e,")

= R(r) Y(e,>..).

Obtenemos: .::.2f u'::'f dR I U 11 ¡-=-d-r-Y=RY, =R Y,

o/

af

ay

.::.2f U

a2y

a¡¡-=Ra¡j' ae 2 =R oe 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Laplace obtenemos:

6f=_2_R/Y+R'IY+

cote

ay

-r-2- Rae

2

I

+7

R

ay ae2 +

r2sen2e

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Multipl icando esta ecuación por r~/(R y)

R'

6f= 2r - R

sen 2

nos da:

e

Por 10 tanto:

- I (2 r R' +r 2 R ,,) ::- -J - (cot R

y

2 e-ay ta-2 -y +--. _0 Y ) oe oe2 sen2e 0,,2 J

= C, :: Constante

- 30 -

y

as! hemos separado la primera variable r en la ecuación:

r 2 R fI

+2r

R' - C R I

= O -- - - -

(1)

Las dos variables restantes 8

,>-.

,deben satsifacer-

la ecuación: _ coton 8 ay

a8

+ a2 y

a8 2

+señ 2

a2 y

a>-.2

+ CI y =o ------ --- (21 •

Busquemos de nuevo la sol~ción de (2) en términos de un producto de dos funciones independientes de T y L:

Y(8,>-')=T(81 L(>-') Tenemos:

a>-.

TL"

Las que son sustituidas en (2) para obtener: Coton 8 T'L + T"L + se-¡.,2 8 Tl' +

cl TL = O

2 Multiplicando esta ecuación por sen 81TL 2 2 sen8cos8 T'/T+sen 8 T"/T+L"/L+C I sen 8=O

obtenemos:

I

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

~= nI,

- 31 -

por lo tanto:

1

2

~'

2

Tlsen eT"+senecoseT') +Clsen e=-L=const=C2

y podemos concluir con:

2 2 sen eT"+senecoser'+lC sen e- C )r=o------- l2') 1

L"+LC=O 2

2

l 2")

(2")

e,

Cualquier función de r, ~,que puede satisfacer las tres ecuaciones (1, 2', 2") Y satisfacer también las condiciones en la frontera es la solución de nuestro problema de valor en la frontera (formulado en coordenadas esféricas). 2.17.- AUTOFUNC10NES DEL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFER1CAS. ARMON1CAS ESFER1CAS. Para ver para cuales valores de CI y C2 las tres ecuacio-nes tienen solución, tomaremos primero la última ecuación. La ecuación (2") es obviamente la ecuación del movimiento armónico_ Por 10 tanto, de acuerdo con 2.14 las autofunciones de (~,) son:

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cos l~~) , sen lA~), m = 0,1,2, ------ •

El intervalo que define a ~

Por 10 tanto, los autovalores son:

lC 2 =lMm

m" 0,1,2, ________ _

y las autofunciones pueden ahora escribirse como:

cos mA,sen mA, m= 0,1,2, ______ _

- 32 -

Por lo tanto, cualquier combinación 1 ineal de estas funciQ nes trigonométricas satisface la ecuación (2"). La ecuación (2 1 ) es un poco más difícil de tratar. ejemplo, puede resolverse por sustitución:

Por

e

1 = cos

Obtenemos as í : cos1, 1E [-I,IJ

e=arc

Más aún, obtenemos: T(

e) :: T( a re

dT

dT

dI

de

dt

de

I

cos t) , T :: - - :: - -

T"::_d_(~~)=~( dT )~ + dT _d_ (~):: T"::

.!L.L dt

de

dt

2

2

(J!L)

2

de

+...Q.L

de

dt

dT

Llamando

d1

d1

,y

¡ __,_ de 2

de

dI

de

de

TttI'

y estableciendo que: dI

- - = -sene de • Obtenemos: sen2 el TI~ sen 2

e - T,' cos e )+ sen ecose ~' l- sen e )+l CI seJ e - C2 )

T=O

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de

- 33 -

Esto se reduce a:

Sustituyendo t por cos8

y (1-t2fz.

por sen 8 .

Obtenemos:

o, como usualmente se escribe:

2 (1- t ) T" - 2t TI tt t

+lC 1

-

~ ( 1_ t 2 )

) T =0

YEsta ecuación es conocida como ec~ión de L~ndre de or2 den C2 Tiene sentido tratar de encontrar soluciones solamente para los valores de C para los que (2") tiene siempre solución, es de2 cir, para:

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De aquí que:

(l-t 2 )T"-2tT' tt t

2

+ lC - -m-2- ) I

(1- t )

T=O

Puede verse que la ecuaclon de Legendre, también es del po de las de Sturm=Luiville, particularmente cuando escribimos:

~L

- 34 -

Obviamente aqui: 2

K=ll-t ), q=

m2

¡-:=f"2' p=

1, tEl-I,I)

10 que satisface los requerimientos de la ecuación de S.-L. Puede demostrarse que sus autovalores son:

con las correspondientes autofunciones: m

_d_ _ p lt) dlm n

donde: Pn l t) = --'--,ni Zn

Cualquier combinación 1 ineal de estas funciones asociadas de Legendre es solución a la ecuación (2 1 ) . Por 10 tanto, cualquier combinación 1 ineal de las funciones trigonométricas con las funciones asociadas es una solución a la ecuación (2) de (2.16). Podemos escrib ir:

ro

¿

y l8, A) = [lAnmCOS mA+ Bnmsen mA) m=O

~mlcos 8)]

n>m

donde Anm, Bnm son constantes arbitrarias. La expresión anterior también puede escribirse en la forma siguiente:

ro

Y=¿ n= O

ro

n

¿ n= O m:lO

Ynm =

n

¿ ¿

n=O m= O

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Las funciones Pnm son conocidas como funciones asociadas de Legendre (polinomiales) de orden "n" y grado "m", entanto que Pn se conocen como polinomios de Legendre (funciones). Estos últimos solo son el caso especial de las primeras para el grado cero.

- 35 -

Las funciones Yn, Ynm, Cnm, Snm, son todas llamadas armóni cas esféricas (de superficie). No es difícil ver para una esfera de radio r constante = K), tenemos:

R(a)

ro

a (tenemos

ro

f(o,8,A)=K I Yn=I Yn, n= O n= O

Yn=KYn

De aquí que la solución de la ecuación de Laplace sobre cualquier esfera está dada por una combinación lineal de armónicas esféricas. Por 10 tanto, las armónicas esféricas son autofunciones del Laplaceano sobre cualquier esfera. El estudio de las funciones asociadas de Legendre, así como de las funciones de Legendre de segunda clase se deja al lector interesado. Se le recomienda: W. A. Heiskanen & H. Moritz: Physical Geodesy. 2.18.- ORTOGONALIDAD DE LAS ARMONICAS ESFERICAS y DESARROLLOS EN ARMONICAS ESFERICAS. Hemos visto en 2.14 que cualquier par de autofunciones con peso p de una ecuación de Sturm-Luiville es ortogonal sobre el inter. valo apropiado. Por 10 tanto, las funciones cosmA senmA, son ortogona les sobre [- 7T,7T ) con peso 1 Tenemos:

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para cuando

ep

sea

seno

, o coseno) y:

/271", i=O Ni=/ ----7T, i;t"O

La integral es, por supuesto, s,iempre cero si no son ambos indistintamente coseno o seno.

epi

epj

Por otra parte, las funciones Pnm son ortogonales sobre para 8 con peso 1 ( (-1 , I ) para t}. Nuevamente puede demostrarse que: [O,7T)

- 36 -

1T

I

J

Pnm(t) Pkm(tldt=

-1

= Mnm

10

Pnm(cosB) Pkm(cosB) senB dB

onk,

donde:

2

Mnm=---2n+1

(ntm)

!

(n-m)!

Por 10 tanto, cualquier par de funciones:

cpnm

cpm (A)

donde

(B,A) = cpm (A) Pnm (cosB)

sea cos m Aósen mA, son

ortogonales en el área:

Tenemos:

f

A

ep

nm

(B,A)CPn(8,A)d k~ A

sen8 dAd8 =

=f1TJ1TcP. (A}P (coSB)cp~(A)Pkn(cos8). O -1T m nm ). }.

P. • (cosB) Jo(1Tn(cosB) m. k p

sen 8

dB· ¿1T (1T,+..'t'm (A) epilo (A.) dX.= Mn 8nk Nnm 3m¡..0=

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Con peso igual a 1.

- 37 -

=M

8 =/ N 8 nm no nk ml~

41T

(n+m)!

2n+1

(n-m)!

~ 2n+1

(n- m)1

8 nk

!n+m)!

8m~'

8 nk 8

mi

m

, m#o

cpnm

Nótese que dividiendo las funciones

(M

=°

entre:

nm

el sistema se convierte en ortonormal. Las funciones:

son ortonormales; es decir:

Dada cualquier función integrable h( 8,A), definida sobre A, podemos desarrollarla en series bidimensionales generalizadas de

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Four ier:

ro h

l8, A) =

n=o

ro

n

¿ ¿ m=o

CnmCPnm (8, A 1

=

¿

n=o

donde los coeficientes Cnm están dados por:

Yn

I

- 38 -

~

Se usa en vez de que ser cerrada en este desarrollo.

Jl.

a propósito porque A no tiene

Nótese que una superficie esférica es una de tales áreas A Y que cualquier función definida sobre ella puede por lo tanto, des~ rrollarse en series de armónicas esféricas sin ninguna conexión con la ecuación de Laplace. Si sucede que la función h sea el va~or en la frontera de un problema de valor en la frontera, entonces: R(r)

h(8,A),

es la solución del problema fuera o dentro de la esfera para la cual h es conocida.

2.19.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS. Hasta aquí hemos establecido que cualquier combinación 1 ineal de las armónicas esféricas de su~erficie es una solución a la ecuación (2) de 2.16. Para completar la discusión del método de Fourier apl icado al Laplaceano en coordenadas esféricas, tenemos que encontrar la solución de la ecuación (1) de 2.16. Hemos aprendido que la ecuación (2) tiene solución solo p~ ra: el = n(n+I),n=m, m+I .. ________ •

Esto debe tenerse en mente cuando se resuelva la ecuación (1), 1a que camb i a a:

Esta se conoce como ecuación de Euler y puede resolverse por la sustitución de: r ;; exp (t)

Podemos escribir: t

= Ln

r, R' = R' _d_t_ r

t

dr

= R' I

R' I

el

2 2 R" = _d_ (R' _d_I_) :: R" (_d_t_) + R' _d_l_ = rr dr t dr tI dr I dr2

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r 2 R"+2rR'-n(n+l) R=O

- 39 -

.,- R"

;;21

tt

C"

+

I RI (- --'--)

1

r2

= R"

tt

-2t g - R' t

-21 g

Por 10 tanto la ecuación de Euler se convierte en: g2(R" .g-21_ R , g-2 t )+2g t R' -1 tt t t g -n(n+I)R=O

o bien

Esta es una ecuación lineal de segundo orden cuya ecuación caracteristica es: 0

2

+ a-n ( n +1)

O,

+n (n + 1)

=-

por 10 que: o

12

= - _12

±

J

_1 4

= __ I_± Jln+-I-)2

2

2

-±J

n2

_1

2

+ n +_1_.

=_1- ±(n+_I_)=~

2

2

4

n

~n.l

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Hay entonces dos conjuntos de funciones que satisfacen la ecuación de Euler:

Sabemos ya que para que el problema de valor en la frontera tenga solución fuera de la esfera, es pre-requisito la desaparición de la solución, en el infinito. Por 10 tanto R no puede proporcionarnos esta solución. Por otro lado R' no da una solución a un problema de valor en la frontera dentro de una esfera porque crece más allá de todos los limites para r o l o que contradice la primera y cuarta propiedades de las funciones armónicas (Ver 2.11). Por 10 tanto, R~) da la solución a la ecuación de Laplace dentro de la esfera y R(2) la da n para fuera. Por supuesto que podemos tener una esfera para la que una función pudiera ser armónica fuera y dentro (en un área o punto determinado), ya que ninguna función puede ser armónica a través de todo el espacio, en cuyo caso se requiere que ambas soluciones (la interna y la externa) tengan el mismo valor. Es evidente que ésto solo puede s~ ceder solo en una esfera con radio r = 1, la esfera unitaria. Uno pu~ de ver realmente que las dos soluciones a la ecuación de Laplace:

- 40 -

ro

ro f.

I

=I

e=

f

n= o

I

n=o

se prestan mutuamente a la inversión esférica (ver 2.11) si y solamente si una es la solución para dentro y la otra para fuera de la esfera unitaria. En la práctica raras veces queremos resolver un problema de valor en la frontera para una esfera unitaria. Si deseamos resol-ver el problema para una esfera de radio "a" todo 10 que se debe hacer es escalar las soluciones de tal modo que las haga compatibles con la nueva esfera. Esto se hace fácilmente y podemos ver que:

ro

=I n=o

f.

I

(_r_l

n

o

Yn

ro f = '\;' 'e 1..-

n=o

(-º-

r

l (ntll

Yn

son respectivamente las soluciones completas para el interior y exte-r ior de la esfera de rad io "a". 2.20.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ELIPSOIDALES.

La solución completa de la ecuación de Laplace en coordenª das elipsoidales es análoga a la solución en coordenadas esféricas:

ro

n

r =n¿=o m=I o [pnm

(/-L. E,

I

n

f=I I e

n=o m=o

[ q

nm

(fL,E.b l P

nm

(cos8)(A cosmA+B sen mAl] nm nm

donde:

q

nm

(fL,E.bl=Q

nm

(¡Ll/aU.JLl E E

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ro

bl P (cos8l (A cosmA+ B sen mAl] nm nm nm

- 41 -

Aquí, "¡" es la unidad Legendre de segunda clase y"b" es (definido por "b" y "E") para el que la externa. Este elipsoide juega el dio "a", como se vió en 2.19.

imaginaria; Q son las funciones de el semieje menor del elipsoide fi es la solución interna y fe mismo papel que la esfera de ra--

Nótese la símil itud de estructura de estas fórmulas con las esféricas. S i no fuera por los índ ices "m" por "p" y "q" sería posible escribirlas de la misma manera. Aquí, a causa de la asimetría de las coordenadas el ipsoidales con respecto a las funciones "radiales" p, q, dependen del orden así como del grado de la armónica esférica de superficie con la cual se combinan.

e ,

Un estudio más profundo de este tema se deja al lector (use Heiskanen & Moritz: Physical Geodesy). S i llamamos: y nm

'

podemos escribir:

ro

n

=I I n =o m= o

f. I

~m hmfe

=

ro

n

I

I

n= o m=o

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2.21.- SOLUC10N A LOS PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA USANDO AE MONICAS ESFERICAS. Hemos demostrado en 2.18 que R.h es la solución al problema de Dirichlet si h( e,A ) es el valor en la frontera sobre la sg perficie esférica de radio "a". Por lo tanto la solución al problema esférico de Dirichlet puede escribirse como:

ro

f. I

=I

o

n=o

donde los c ie:

Y n

(_r_ )n

ro Yn , fe =

coeficien~~s

=I [p m=o

nm

I

n=o

(_0_

r

)n+1 Yn

t

Anm, Bnm en las armónicas esféricas de superfi-

(cose)(A

nm

cosmA+B

nm

senmA)]

- 42 -

son determinadas por las integrales desarrolladas en 2.18: 2n

+I

(n-m)

Anm =---'--

271'

B

nm

=~

(n-m)

271'

(para m

!

fi>s h (~A 1 pnm

(n+m)1

!

(n+m)1

fA

o el término 271'

h le).)

( cos 8) cos m A ds

'

~m (c058) sen mA ds

es sustituido por 471').

Por 10 tanto:

h(e,A)

=

ro

¿

Yn

(e,A)

n=o

Note que; h(e,A) =1 (a,8,A)

La integración se lleva a cabo sobre toda la esfera.

h(e,A) =_13_ f (r,e,A) I

an

__ r= a

a_

Dr

f(r,e,A) Ir=a

tratamos también de obtener una solución de la forma (para cuando solo nos i nte resa el exte r i or de 1a esfe ra de rad i o "a") :

ro

¿

fe = n= o

R~ Yn'

,

donde Yn es la armonlca esférica de "n-ésimo" grado determinada de la misma fórmula usada en el problema de Dirichlet (pero ahora h( A es la derivada de la función buscada respecto a la normal saliente de la esfera), R'n es igual a anRn donde a n es una constante particu--

e,

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Para el problema esférico de Newman, cuando está dado el valor de la frontera:

- 43 -

lar para cada "n". Demostraremos que para:

realmente existe tal solución. Para probarlo, consideremos la solución:

=

f

ro ¿

e n=o

__

0_

(ntl)

(_o_)ntl r

*

la que diferenciándola con respecto a "r" obtenemos:

I - L+ +

~= Or

n= o

n

2

Y".-L

I

n Or

I

;:n-I = (_0_ n= o r

t+ 2yl n

para: r=o

~I Or

r=o

=¿

n=o

yl n

el cual es el valor en la frontera, otra vez.

ff

h ds

Por 10 tanto si:

=o

y el problema de Newman tiene solución, la solución supuesta

única.

ro

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U,) es la

Usualmente se escribe como:

f e

= -o

'" (_o )n+1 ¿ n=o r

y/n· n+1

El problema esférico de valor en la frontera más importante en geodesia fisica es el tercero o mixto. Hablamos de este tipo de problema cuando una función:

h(e,A) = (e, f(r,e, A) + e2 E.L (r,e,A)

Or

= (e, flr,e,A)+e2

I

=

r=o

-ªL (r,e,A) 1_ Or

r-a

- 44 -

se da sobre la esfera. Otra vez estamos interesados solo en el caso _ externo y buscamos una solución de la forma:

ro

I

tl

f = R e n=o n

Yo"

n

Consideramos aquí también:

ro

h

=I

n=o

y~/,

Rn

= !3n

Rn

Se puede demostrar que tal solución existe si tomamos:

La prueba se deja al lector quien puede adoptar el mismo método que para el problema de Newman. Aquí solo establecemos que:

ro

f

_"

- L.. e n=o

a )n+1 (r

y'~

Nótese que cualquier truncación de las series de armónicas esféricas proporciona una solución "prec-isa" de l::,f = o; es decir, es una función armónica. Desde este punto de vista no importa que tam- bién aproximen las series truncadas el valor en la frontera. Por 10 tanto, cualquier serie truncada de armónicas esféricas representa siem pre un potencial de alguna fuerza. El grado de aproximación del poten cial actual depende del grado de aproximación del valor en la fronte-ra. Esta es la ventaja principal de usar armónicas esféricas. 2.22.- CONEXION ENTRE LOS COEFICIENTES DE LAS ARMONICAS ESFERICAS y EL CUERPO ATRAYENTE. Supongamos que estamos interesados en resolver el problema de Dirichlet para el exterior de una esfera de radio "a" que encierra completamente a un cuerpo atrayente B. Nos interesa la relación, que exista entre los coeficientes de las armónicas esféricas y el cuerpo atrayente, es decir ¿ podemos decir algo del cuerpo B cuando conoce-mos su potencial ?

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resuelve el tercer tipo de problema de valor en la frontera para el ex terior de la esfera de radio "a".

- 45 -

Para establecer esto tomemos el potencial del cuerpo atrayente (Ver 2.8):

-

V(r)=k

[o-

-dB,

B

P

p= -; _--;:'1.

Aquí

2770

+ r'~

El producto escalar ~.~ puede expresarse como: r.r ' cosljl de modo que:

p

z

p2 = r 2 _

Entonces

2 ~

2

p=(r-2rr/cosljl+r J )2 2

:: r (1- 2

""-t--I---+-~y

1

'2 r r' cos ljI + --f2)

De la teoría de las funciones de Legendre se conoce que: -~

x

y =(1-2 Xttt2) 2

para:

es la función generatriz de los polinomios de Legendre los que pueden expresarse como:

ro INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

y =

¿

~ (X) In,

n=o

donde Pn son los pol inomios de Legendre (de grado cero). Se

ve

fácilmente que en nuestro caso r> r ' por 10 que:

con 10 que podemos escribir:

ro _1- = _1_

p

r

¿

n=o

~

(cos 1jI)(

+t

- 46 -

Aquí

puede expresarse del triángulo esférico:

COS\V

z•

cos tJ;

1

= cos8 cos8 1 + sen 8 sen 8 cos (X-A)

I

Puede demostrarse por cálculos ted i osos que:

X-A

~ (costJ;)

a'

1

t

hr -

~ o (cos 8') +

~ [(n-m)1 , + 2 ¿ --'~m(cos8) hm(cos8) m=1 (ntm)!

dm(r,'8'X)

tYtP(r8Xl t

=~ o (cos 8)

(cos mA cos mA+ sen mA sen mA') ]

' ,

•

Esta fórmula se conoce como la fórmula de descomposición 8, 8' y A , A Sustidonde se nota una simetría completa en tuyendo este resultado en la expresión para tlp y este I;P en lafórmula para V, obtenemos: V(7í=K n

+2

I

m=1

r er!r

JB

I

(~)n r

n= o

((n-m)! (n+m)!

[p

(cos8) P (cos8')+ nono

P (cos8) P (cos8') (cosmA cosmA' nm nm

Aquí la integración se lleva sobre todo el cuerpo B, es d~ c ir, sobre todos los puntos con coordenadas r', 8' , X.' Podemosescribir entonces:

ro V ( r ) = Jo (

+- t

t I{

~ o (cos 8)

+I P (cos8) (1 m=o nm B

fs

K

er r n ~ o (cos 8') d B + I

n

cos mX dB

+

¡

B

2(n-m)! ( n+m) I

2 (n-m)! (n+m)!

sen m A sen m A' d B ) }

/ Kerr/np (cos8 )cosmA nm

Kerr I nP (cos 8' ) nm

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+ sen m A sen m X)) ] d B

- 47 -

Multiplicando y dividiendo cada término para a n+1 obtene-mos:

~

V (r) = ¿

n=o n

+

o n+1 { (-r-)

,

¿ ~m(COS m=1

~o(cose)

e) [2K -

+ l'

(n-m)1 ---'

(n+m)~

o

B

n CT(+) p (cose') dB no

B

CT ( - - ) P (cose) o nm

i

r''''

1,,-1

\ \1 2 K- ....;.(_n-_m.......:....,) cos ml\ cos ml\ dB + o (n+m)!

~m (cos 8')

+

,

CT ( __ r/_)n

o

B

sen mA. sen m)( dB]} •

Llamando:

K o

1 B

r' n f CT(O) ~o(cose) dB= AnO,

(n-m)¡ (n+m)!

Jr B

r' n CT(o) ~m(Cos

e' ) cos mA dB= A f

nm

1

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(n - m) 1 r' n I (n+m)! B CT(-o-) ~m(cose) sen mX d8= Bnm

,

*

podemos escribir:

ro V(

rl =

¿

n=o

( _o_)ntl y

r

n '

que es nuestra bien conocida fórmula para la solución exterior de Dirichlet (2.21). Las ecuaciones (*) anteriores determinan las rela-ciones entre los coeficientes Anm, Bnm y el cuerpo atrayente B. Nótese que la estructura del integrando es el producto de una función armQ nica (dentro de la- esfera r = a, - con coeficientes unitarios por armQ nicas) con la densidad. Podemos ver que las fórmulas (*) no nos dan mucha información sobre el cuerpo B. Sin embargo, se demostrará en el siguiente p~

- 48 -

rrafo que de las armónicas de grados inferiores puede obtenerse alguna información. 2.23.- INTE-RPRETACION FISICA DE LOS COEFICIENTES DE ARMONICAS DE

GRADO INFERIOR. Las fórmulas desarrolladas en 2.22 nos permiten interpre-tar físicamente los coeficientes para armónicas de grado inferior. Pª ra hacerlo tenemos que evaluar los términos:

Las funciones asociadas están dadas por:

=l

e'

p

=:3 sen

=sen e'

p

=:3 sen 2 e'

=1

p

= cos

00 10

P

11

cos 2

~O

p

21

22

2

e' - _12 _

e' cose',

Por 10 tanto, las funciones

C~m,

S~m

pueden escribirse co-

mo sigue:

=o

el = 1

S'

el~ =cos e'

s(o =o

el'l =sene' cosX

S'" -sen el sen.

el =l 20

2

00

e- L2

cos2

x

S'= o 20

C, = 3sen e' cos e' cos x'

, = :3 sen elcos e' sen 1\\' S21

C~2 = :3sen2 e COs2A

, :3 sen2e' sen 21\" S22=

21

Cambiando a coordenadas Euclidianas X, Y, Z usando la transformación de 2.15: X=r'SeneICOSA, Y=r l sene'senX, Z=r/cose

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00

- 49 -

obtenemos:

e'

::

1

S~o::

o

e:o :

Z

r'S;o ::

o

00

r' r

l

e" :: X

r,2el

2

::...L

20

2

r'S'"

x2 __,_ y2 t 2

r'e 21 =3X2

Z2

2 r/ 5

20 :::O 1

5 21 = 3YZ 2 r' S22 =6XY •

r

/e'22 = 3X 2 _3Y2

,2

:: y

La comprobación de las fórmulas anteriores se deja como ejercicio al lector. Sustituyendo estos resultados en las expresiones (*) para Anm , Bnm , obtenemos: B ::: O 00 B,O ::: O B,)

:::

8

=0

20

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B ::: 2' 8

22

K

a2

1B

-L 3 o

a-ydB

1aYZdB B

::: _K_ .~ 20 3

f

(jxy dB

8

Por otro lado, las coordenadas del centro de gravedad de B están dadas por:

~::-'-f M

B

a-xdB,

TJ::--&-!a-YdB, t;::-'-fa-ZdB 8 M B

- 50 -

donde M es la masa de B. Si además, introducimos la matriz del tensor de inercia de B para el origen del sistema de coordenadas:

r,Ia

y=

-1 -1

2 (y t

-¡ f -1

II O-d8,

-¡ -f f

XYo-dB,

8

XYo-dB,

8

{X

2

+ Z2)O-dB,

8

XZo-dB,

8

XZo-dB

B YZo-d8

=

8

YZo-dB

8

(X 2+ y2)O-d8

B

-D 8

-F

-El -F

CJ

donde A, B, e, son los momentos principales de inercia en el origen del sistema de coordenadas y D, E, F, son los productos de inercia (mQ mentos de divergencia), obtenemos:

00

=

JL a

M

6

00

IO

" ..JL MS 2

8

AII

K =-M~ 02

B

A

A 2.0 A 21

0

=_K_ ( A+B -C) 03

2

=_K_ E 03

A 22 =_K_(B-A) 40 3

Por 10 inferior tienen un miento nos ayudará fórmulas usadas en

10

IJ

8 20

= O

=O K = - - M7] 02

=O K

8 21 :,: - " - F 03 8 22

K

=-D 3 20

tanto, los coeficientes para las armonlcas de grado significado completamente definido. Este descubrimás adelante para obtener algún beneficio de las Geodesia Física.

Solo anotaremos aquí que cualquiera que sea la forma que pueda tener el cuerpo atrayente y cualquiera que sea la distribución -

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

A

- 51 de su densidad, las primeras armónicas esféricas de su potencial de gravitación dependen solamente de sus momentos principales de inercia y de sus productos de inercia. 2.24.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.

LINEAS DE FUERZA.

Los lugares geométricos de igual potencial: constante, son llamados superficies eguipotenciales del potencial V. Para valo-res diversos de la constante, obtenemos diferentes superficies equipotenciales. Las superficies equipotenciales del potencial de la gravedad (campo de la gravedad) son suaves debido a qUe el potencial es con tínuo a través del espacio; analítico en el área donde es armónico y solamente tiene derivadas de segundo orden discontinuas sobre las fron teras de validez de las ecuaciones de Laplace, Poisson. Las curvatu-ras varían suavemente de los lugares donde la densidad cambia súbita-mente, es decir, su curvatura cambia tan rápidamente como 10 hace la densidad. Las superficies equipotenciales nunca se cruzan unas con otras y se parecen mucho en su configuración a las capas de una cebo-lla. Ej emp 10: Una sección transversal del potencial de la gravedad de una esfera rigida en rotación con distribución homogénea de densidad, tendría la forma siguiente:

Uf INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

I

Las líneas de fuerza son las curvas a las que el gradiente del potencial, es decir, el campo de fuerza, es tangente en cualquier punto. Estas lineas son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales como se puede probar por un simple cálculo. Para la diferencial total de potencial V obtenemos: dv =

~ dx +~ dy +-ª.L dz =\7V de; OX OY aZ

Esta fórmula nos da la herramienta para determinar qué pasa con dV cuando apuntamos a en varias direcciones. Es claro que si ~ se encuentra en el plano tangente al equipotencial V = Constan--

a:

- 52 te, entonces dV debe ser cero, es decir, no hay incremento de poten- si nos movemos sobre la superfJLcie equipotencial. Pero para que 6~d! sea cero es necesario que 6V sea perpendicular a da, es decir, 6v debe coincidir con la normal a V = constante, lo que ya ha sido d~ mostrado. ci~1

Podemos ver también que no existe fuerza actuando sobre la superficie equipotencial. Esta es la razón porqué un cuerpo elástico homogéneo trata de alcanzar una forma que se ajuste a una de las supeL ficies equipotenciales. En tal situación no existen fuerzas tangenci~ les (tensiones) actuando sobre la superficie y el cuerpo está en equi1 ibrio. Sin embargo, para un cuerpo rígido las fuerzas tangenciales están siempre presentes. Si el cuerpo elástico no es homogéneo, no sl gue la forma de una superficie equipotencial. Los elementos más den-sos son "jalados hacia el centro del cuerpo". Los elementos más ligeros son empujados hacia los lados. Esta fuerza adicional contribuye al balance de las fuerzas equil ibrándolas en forma diferente que para un cuerpo homogéneo. Las superficies equipotenciales siguen entonces, a cierta distancia, la inmersión de los elementos más densos.

AREA DE MAYOR DENSIDAD

EL CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE Y SUS APROXIMACIONES. 3.1.-

EL GEOIDE.

La tierra como un todo, se comporta como un cuerpo elástico no-homogéneo. Ha alcanzado un cierto equilibrio de modo que no se aparta mucho de una de sus superficies equipotenciales. Sin embargo, se aparta. Esto se debe a: 1.-

Corteza terrestre rígida localmente (con su topogra-fía que, por supuesto, no coincide con la superficie equipotencial).

2.-

Desigual distribución de densidad de sus masas.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

3.

- 53 -

Si los océanos fueran homogéneos, es decir, si la densidad del agua fuera la misma en todas partes (la misma salinidad, temperaty ra, contenido mineral, etc.), la superficie oceánica seguiria una su-perficie equipotencial. Desafortunadamente, los océanos no se comportan razonablemente y su superficie se aparta de la superficie equipotencial en alg~ nos lugares, alrededor de ~ 2 m. Además, no todos tienen el mismo nivel y probablemente siempre están deslizándose hacia el norte o el sur, debido al continuo derretimiento de los casquetes polares. La superficie equipotencial que va a través de las superfl eies oeeanlcas en promedio es llamada geoide. Matemáticamente, el geoide puede ser descrito como: -

ro

o

n+1

Ulr)=¿ l-r-) n=o

V

n

+ _1- w 2 r,,2= Uo = Constante 2

donde "a" es el radio de la esfera que abarca todas las masas de la tierra, es decir, esfera externa en la que es armónico el potencial gravitacional de la tierra. Tal esfera se conoce generalmente como es fera de referencia. En la práctica, la esfera de referencia no requi~ re abarcar toda la tierra. Los excesos de masa fuera de la esfera pueden el iminarse por cálculos. Podemos ver que si conocl

gol.

- 70 -

3.10.- DEFINICION DE: ANOMALIA DE LA GRAVEDAD; PERTURBACION DE LA GRAVEDAD; ALTURA GEOIDAL y DESVIACION DE LA VERTICAL. Simbolicemos por U al potencial de la gravedad normal rel~ cionado con un elipsoide rotacional (superficie de referencia ¡aún de~ conocida~) y por W al potencial actual terrestre. A la diferencia T = W - U la hemos llamada Potencial de Perturbación (3.3). Tambiénes conocida como Potencial Anómalo. Para el objeto de las cuatro definiciones posteriores consideremos que ya conocemos al el ipsoide de referencia y llamemos Uo al potencial normal sobre el el ipsoide de referencia (¡cuya superficie equipotencial coincide con el el ipsoide de referencia~). Podemos en-tonces dibujar la siguiente sección transversal: Podemos ver que U = Uo es el elipsoide de referenc ia; W = Uo es el geoide; la superficie que nos gustaría determl nar 9 OQ es la• gravedad actual _ sobre e"1 geOlde; YOo es la gravedad normal sobre la supeL ficie de referencia. La dis-tancia N = PQ se conoce como altura geoidal (ondulación geoidal) en el punto Q. El vector

es llamado vector de anomalía y su valor absoluto ~gop es conocido como la anomalta de la gravedad sobre la superficie de referencia. ~

100 m en

conocido como desviación de la vertical, muy raras veces excede 1', usualmente es menor de 5" (Valores de ~ 30" son ya consideradas excepcionales). Debido a esta amplitud tan pequeña de ,general-mente calculamos la anomalía de la gravedad de:

e

~g

op

e

=9 - y op 00

en vez de:

~gop = I-gop - ~ 1= 9op 'OQ

-

v

'00

cose·

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Las alturas geoidales probablemente no excedan cualquier lugar del mundo. El ángulo

- 71 -

Esta 8 ,por supuesto, nada tiene que ver con la segun da coordenada esférica. Tomando W = Uo y U = Up de modo tal que las dos superfi- cies coinciden en P sobre el geoide, obtenemos el Vector de Perturba-ción de la gravedad:

\

W=Uo

\

perturbación de la gravedad:

8g

::: 9 op °P

y.

P

el ángulo

--

l: 9

'f. .\ es

op p

para todos los propósitos prá~ ticos, idéntico a la desvia- ción de la vertical. Ellos difieren solamente por el termino que aparece por la curvatura de la línea de plomada del campo normal. Cons iderando que

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

89

g= Vw y y= Vu

obtenemos:

:9'-y::: VW-VU= V(W-U)=VT

De aquí que el vector de perturbación de la gravedad en un punto P sobre el geoide está dado por el gradiente del potencial de perturbación en el punto. Similarmente, podemos escribir:

ow

9 :::-~.

_ aU y---¡;;;-

donde n, n' son las normales locales externas al geoide y el ipsoide respectivamente. Puesto que el ángulo entre las dos normales (desviación de la vertical) es pequeño, tenemos: 89 =

I-;-y I:::

9-

y::: - --=-O.:..;.W_ +

on

~ ::: - OW + 2!L On'

On

cm

=- -ªIOn

- 72 -

Por 10 tanto, la perturbación de la gravedad está dada como la derivada negativa del potencial de perturbación tomada con res-pecto a la vertical local (o, en su caso, normal elipsoidal). La anomalía de la gravedad es usada mas en geodesia terre~ tre clásica. La perturbación de la gravedad es usada ampl iamente en las teorías modernas y en la geodesia por satél ites. Puesto que la perturbación de la gravedad está referida al geoide, es decir, al punto P, en vez de al elipsoide, al usarla referi remos cualquier cosa automáticamente al geoide. Se tendrá la idea de que inclusive el potencial de perturbación y la altura geoidal están referidas al geoide. Nótese que aún nos estamos moviendo suavemente sobre un ni vel superficial sin conocer el geoide ni el elipsoide de referencia. Por 10 tanto, no podemos medir ninguna de las cantidades involucradas. 3.11.- RELAC10N ENTRE EL POTENCIAL DE PERTURBACION y LA ALTURA GEOIDAL. SEGUNDA FORMULA DE BRUNS. De 3.10 tomamos ahora ambas secciones transversales. diagrama podemos escribir:

I

Del

u - U = illL N = - Y.. NO P O Gn l O O Q

(*)

p

Puesto que: N

I

p

I I

=N O

I

~{j">{j

entonces:

------.::g

Por definición: Wp

= Up

+ Tp.

Por 10 tanto:

Pero Wp en nuestra notación también es igual a Uo o UQ • Por 10 tanto, finalmente tenemos:

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Q

- 73 -

o

que es una de las fórmulas más importantes de geodesia fisica, debida al geodesta alemán Bruns (1878). Se conoce como la Segunda Fórmula de Bruns y relaciona el potencial de perturbación (T) con la ondulación geo ida 1 (N). Cuando consideramos un el ipsoide de referencia, como siempre es el caso, sin conocer los valores de las constantes involucradas (KM, a, E, w ) es como si tuviéramos un valor equivocado del poten- cial normal. Denotemos por UA al valor asumido del potencial normal y por 8u a la diferencia UA - Uo. Entonces:

Su =UA - Uo= WP - UQ = -

V fo

N'

P

+ T'P

de donde obtenemos:

Esta fórmula se conoce como la fórmula generalizada de Bruns. Relaciona el potencial de perturbación (calculado de un cam po de gravedad normal asumido) con la altura geoidal por encima del elipsoide asumido.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Note que 8u es función de 8M, 8a, 8E, U, 8 ; donde 8M, Ba, 8E, son las diferencias entre los valores verdaderos M, a, E, y los valores asumidos MI, al, El. En la práct ica 8u se cons idera constante e interpretada como imprecisión en nuestro conocimiento de Wp, el valor del potencial correspondiente al geoide. 3.12.- ECUACION GRAVIMETRICA FUNDAMENTAL. Consideremos nuevamente que conocemos la forma verdadera del elipsoide de referencia (a, E) y las otras dos constantes necesa-rias (KM,w ) para determinar la gravedad normal. Tenemos que la anomalia de la gravedad es:

L'lg =9 P

P

-

y. o

- 74 -

y

la perturbación de la gravedad: 8g =g p

p

-r..p

Podemos escribir entonces:

.6.g

p

= 8 gp + (yp - r..o )

Por otra parte, sabemos que (3.10):

9 = Vw -

9 =-

~: ,y =Vu -

y =-

~~

de donde: 8g

p

pero puesto que

8g

=-~I +~I On pOn' p B es pequeño: n

_..l1L I

;, POn'

~

+~

POn'

n', escribimos finalmente.

IP -O( w 1-P- - MO IP On' -U)

T

OUI -O n

IP -

v -,p ,

.Q!L On'

Io = -

r.:

o

Si ahora diferenciamos la ecuación (;·c) de (3.11) con res-pecto a n', obtenemos:

~I-~I --~I On' Pon' o on' ~ es decir:

y - y =oY -P

o

onl

I

Q,

N

p

Np ,

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Así mismo tenemos que:

- 75 -

En esta forma la anomalia de la gravedad se relaciona con la perturbación de la gravedad:

D.g ::: og

P

P

poniendo

+R

On'

1 N O

p

Usando la segunda fórmula de Bruns para sustituir a Np y por su expresión final, obtenemos:

Og p

D.g ::: P

~ I + _1- ~ I

on'

on'

Yo

p

T

o p

Esta ecuación gravimétrica fundamental usualmente se escrl be como:

_-ª.:L ah

+_1-

ro

k ah

T

donde la normal al elipsoide se sutituye por la altura y todos sus té~ minos están referidos al punto O (o Q, según el caso), es decir, al el i pso i de de refe renc i a. Es to 10 podemos hace r porque D.g , as í como T están realmente referidos tanto a P como a O (o Q) y por mera conveniencia hemos decidido previamente designarlos con el sub-índice P. Considerando nuevamente un elipsoide de referencia arbitr_,ªrio (muy próximo al geoide), podemos concluir con la ecuación generall zada: 11

I~

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ug - -

donde todas las variables están referidas al elipsoide de referencia arbitrario. 3.13.- D1SCUSION DE LA ECUAC10N GRAV1METR1CA FUNDAMENTAL BLEMA MIXTa DE VALOR EN LA FRONTERA DE GEODESIA.

o

EL PRO

No es difícil ver que la ecuación'gravimétrica fundamental nos provee con los valores de frontera del problema del tipo mixto para resolver la ecuación de Laplace:

D.T=O

- 76 -

para el exterior del el ipsoide de referencia, considerando que el el i2 soide y los valores KM,w (para calcular la gravedad normal) son se-leccionados adecuadamente. Existen tres dificultades involucradas en la solución del tercer problema del valor de frontera usando las anomalías de la gravedad (de la ecuación fundamental de la gravedad): i).-

No conocemos y nunca conoceremos los valores verda deros de a, E KM,w • Por 10 tanto, el términodesconoc ido estará s iempre presente y no pod~ mos aplicar como es el método desarrollado ante- riormente (Ver 2.21).

i i).-

El geoide ni es conocido o accesible sobre los con tinentes. Por lo tanto, el valor goP necesarlopara la determinación de 6g (Ver 3.10) no es ob-se rvab le. I nc I us i ve, [j,g no si emp re puede obtene.r se sin introducir consideraciones mayores. Por otro lado, son muy escasas las observaciones de goP sobre la superficie océánica y obviamente, materia de preocupación.

iii).-

Aún más, el requerimiento básico para 6T = 0, es decir, la densidad cr= 0, usualmente no es sa-tisfecha en cualquier lugar fuera del el ipsoide. El el ipsoide de referencia asumido normalmente se aproxima al geoide en sentido med io y de modo que cas i s iemp re es té por debaj o de I te r reno en los continentes e, inclusive, por debajo del nivel medio del mar en varios lugares.

Las dos últimas dificultades son superadas usualmente alte rando las anomalías de la gravedad de tal modo que se neutral icen. R~ ducimos primero al geoide, las observaciones de la gravedad hechas sobre la superficie de la tierra y luego, por cálculos, se toman en cuen ta las masas por encima del elipsoide. Estas reducciones de la gravedad, sin embargo, serán tratadas en otro lugar. Para el tratamiento del problema mixto del valor en la frontera asumiremos que las anoma-lías de la gravedad están ya corregidas de un modo apropiado. Antes de abocarnos a resolver este tipo de problema debe-mos ver el término:

ay' c}h

y tratar de encontrarle una expreslon más adecuada. Podría lograrse directamente del potencial normal (3.5) si expresamos Y por su gra-diente y la diferenciamos con respecto a la normal el ipsoidal, pero é~ to sería un trabajo muy tedioso. Mostraremos un método más corto usan do geometría diferencial.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Su

- 77 -

3.14.- EL GRADIENTE VERTICAL DE LA GRAVEDAD, Consideremos el potencial W de la tierra actual .. La superficie equipotencial W (X, Y, z) = Wp puede conside rarse como una función impl icita de X, Y, Z. Consideremos un sistema ortogonal local de coordenadas tales que el eje Y coincida con la normal a W = Wp (vertical); el eje !está en el plano tangente a W = Wp y dirigido hacia el norte; el eje Y apunta al oeste. La derivada total de W con respecto a

-dW - - - -aW - - + iJw -dX O'X aZ

X es:

-

dZ

La segunda derivada total es:

222

'" .:!Y:!. =~ + ~ ....u.. d X OX2 ifX al.' dí<

+

iw

al oí<

~

dX

2

+~ 0'Z2

'" 2

O

(~)+~

dX

al'

Llamemos:

~=wt..,

Ox

X

Puesto que W

Constan-

Además, dZ/dX = O ya que Z es perpendicular a W La segunda derivada total se convierte entonces:

Constan-

similarmente las otras derivadas parciales. te, tenemos:

y

dW

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

dX

te.

-

w;:.' " + W!-.,Z XX

=0

=O rJ

Similarmente, la segunda derivada total con respecto a y da:

w:':"'", + w:'" yy z

=0

2 d

Z dX :¿

- 78 Aqu í :

el valor absoluto de la gravedad en el punto en cuesti6n. curva y

Por Geometría Diferencial sabemos que la curvatura K de la y (X) está dada por: 2 -3/2

K=yl/( I+Y' )

2~

~2

Entonces, en nuestro caso, d Z/dX puede considerarse la cu.[ya,.!ura de"L: = "t: (X), el perfil N - S de la superficie equipotencialj d2 Z/dy2 sería la curvatura en el perfil E - W. Esto se debe a que las primeras derivadas en ambas direcciones son cero. Llamando J al valor negativo de toda la curvatura de la SM perficie equipotencial, dada como la media aritmética de las dos curv~ tu ras de los perfiles perpendiculares, obtenemos:

donde el operador de Laplace en el sistema de coordenadas local está dado por:

Combinando las tres últimas ecuaciones y considerando que:

w::.,~ -ª-w:... =_......L g : - ~ zz al: z 0'2 Oh

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Por otro lado, puesto que W es el potencial de la grave- dad, tiene que satisfacer la ecuación de Poisson:

- 79 -

finalmente obtenemos:

Esta fórmula se conoce como la primera fórmula de Bruns y relaciona el gradiente vertical de la gravedad con los otros paráme- tros que determinan el campo potencial. Nótese que las cantidades g, J, O" están referidas al punto en donde examinamos el grad iente. La primera fórmula de Bruns es una de las escasas fórmulas rigurosas de Geodes ia Fís ica. No es difícil ver que para la gravedad normal sobre el elipsoide tenemos ahora:

ay ah

- - = -2yJ -2w

2

Aquí J es aún desconocido. Sin embargo en este caso somos capaces de expresar J en función del radio de curvatura del meridiano M, y del radio de curvatura de la sección transversal del primer vertical N (¡no confundir estas M, N con la masa de la tierra y la ondula-ción geoidal!). Tenemos: I 2

I M

I N

J=-(-+-)

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(note el signo; en matemáticas la curvatura se toma positiva para una superficie convexa; en Geodesia es positiva para una superficie cóncava vista a través de la normal). Aquí M y N pueden expresarse, como sabemos de Geodesia Geométrica: I

_

b 02

2

- - - - - (1 + e'

M

2 cos

cf»

donde: 2 2)1/2 e,=_E_ = ( o - b b b

Por 10 tanto:

3/2

,

I

b

N

0

-=--(I+e 2

/2

cos

2

cf»

1/2

- 80 -

Usando

19,2=

f=I-~

_ 1 _ -1= ( H)2

podemos escribir:

HI-f~ = (2f-f2) (I-t)

(1+2f+-----)=

Por 10 tanto: 1

M

::::::

_1_::::: N

~ O

+

(1-1.2f

cosZ.cp)3/2=-'L2 o

(1+2fc052 cp)I/2

a

(1+3f

co~2cp+-- __ )

=_b_(I+f cos 2 4> + ____ ) a2

de donde:

Podemos entonces escribir para el gradiente de la gravedad

Aqui 2w 2 es más pequeño que el primer término y puede considerarse como un término correctivo. Sin embargo puede aproximarse por:

usando la fórmula para m de 3.6 y:

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

norma 1 :

- 81 -

de 3.7. Sustituyendo este resultado en nuestra ecuación original, podemos escribir:

-ªL ~ _ rL ( _b_ + 2 _b_ f

ah

o

o

C05 2

o

cp

+m )

Aquí b/a = 1 - f; b/a en el término cos cp2 puede igualarse a 1 (ya que es mucho menor que el primer término), y:

Finalmente concluimos entonces con:

ay (H despreciando todos

~

-

105

~ (1 + m + f cos 2 cp ) o

términos de orden mayor en m, f.

3.15.- SOLUCION AL PROBLEMA MIXTO DEL VALOR EN LA FRONTERA DE GEQ DESIA FISICA. Sustituyendo el resultado de 3.14 en la ecuación gravimé-trica fundamental obtenemos:

~ 9 ~ - _0_ (T +8 U ) INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Oh

- _2_ ( I + m + f cos 2

cp )( T + 8u 1

a

donde hemos el iminado 105 tildes y aceptamos de ahora en adelante que la ecuación es vál ida sobre un el ipsoide de referencia arbitrario que está muy próximo al geoide ya que todas las cantidades involucradas e~ tán calculadas teniendo como base este elipsoide. Este es nuestro valor en la frontera para: ~ (T

+ 8U) =O

por encima del el ipsoide de referencia. -3 Puede demostrarse que con una precisión del orden del 3 x 10 el coeficiente para T + oU es constante sobre el el ipsoide e igual a:

- 82 -

- 2/R

donde:

La solución al tercer problema de valor en la frontera de escribirse aproximadamente entonces (Ver 2.21): T

=T

+DU ~

ro

n

qnm (fL,E,bl

I I

6g

n=O m=O -~+~

R

a

m

= L'\ '\ L

_R-

nm n=O m=O n - I

q

nm

69

pu~

nm

R

donde 6g son las armónicas esféricas de 6g de referencia obtenemos:

ro T ~ I -'L n= O n-I

Sobre el elipsoide

6g -----------(+l n

Nótese que la expresión no está definida para n

= 1.

Tenemos que asumir que la armónica de primer grado está completamente perdida. Esta es la condición que tiene que satisfacer: se para esta particular combinación 1 ineal de valores en la frontera. Corresponde a la condición:

El

-ª..L

an

dEl = O

para el problema de Newman. Aquí nuestra condición es:

11

6g cos

o/

dEl =0

El

Expresando:

T = W-

(U-

8Ul=W-U

podemos desarrollar los tres potenciales en armónicas esféricas yen--

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fi

- 83 -

T

contrar que los coeficientes para la armónica de primer grado para depende del desplazamiento del centro del elipsoide de referencia del centro de gravedad de la tierra. Si consideramos que ellos coinciden entonces podemos igualar a cero la armónica de primer grado y escri- bir: T = TO

+

I

n

n=2

~I

L1g n

donde por To simbol izamos a la armonlca de grado cero de T. la solución sobre el elipsoide de referencia.

Esta es -

Puesto que:

la ecuación anterior la podemos escribir como:

ro

T

~K ~ + I R

n=2

R

n=T

L1g n

Aquí, cuando tratamos con L1g, consideramos que éste debe cor reg irse por: i).-

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ii).-

La influencia de las masas sobre el el ipsoide. La reducción de la gravedad observada del terrenoal geoide.

3.16.- LA INTEGRAL DE STOKES. Desarrollemos la anomalía de la gravedad sobre el elipsoide de referencia en armónicas esféricas (el ipsoidales). Como sabemos, tenemos para L1g , como para cualquier función arbitraria:

donde: n

L1gn

=I m=o

[(AnmCOS m

A + Bnmsen

m

A)

~m(COse)J

- 84 -

con: Anm

(n - m)!

2n+1

2~

:t----'-

\n+m)1

2n+1

B =(n-m)! nm \ n+m)1

2~

~g(8~X)cosmX'P

g

~I

(cos8) dEl,

nm

¡¡;

~g(8;A')senmX~m(cOS8)dEI,

)f..

El

(para m=o,seró 4~enves de 2~),

Simbol izamos con tildes las variables auxil iares en la integración. Sustituyendo las expresiones para los coeficientes en las expres iones para ~g ,obtenemos: n

-

2n

+1

P (cos 8) no

4~

fj

n

+¿

{,n-m)! m = 1 ( n+ m ) !

~9

fj El

P

2n+1 2~

P (cos8') dEl no

+

P (cos8) [cos mA nm

cosm>: Pnm(cos8')dEI +senmA

(COS

nm

~g

El

8') dEl]

}

f4.1

~g

sen mX

•

Sacando la integral fuera de la sumatoria, obtenemos:

I:.g = n

2n

+1

4~

ff

El

I((n-m)lI { l:.q(8~~)[pno (cos8)pno (cos8') +2 m=1 n +n !

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~ 9n

- 85 -

~m

(cos

8 ) ~m(cos e')(cos mACOS m X+seo m A seom X)) ] }dEI

Puede verse que la expresión entre paréntesis rectangula-res es igual a Pn (cos'f. ) (Ver 2.22), donde1/{ es la distancia esf~ rica entre el punto ( 8,A) donde se calcula Ll9nY el 11 punto auxi- liar de integración 11 ( Podemos escribir entonces:

e;x ).

6g = n

2 n +I 417"

t(

~I

6g (e):)

P n

(cos 1jJ) dEl •

Este resultado puede sustituirse en la ecuación (+) en 3.15 y obtener:

ro

T::: ¿

n=o

=

[...!L n-I

_R_ 417"

~ 411"

~ 6g

Ji

El

6g (e:X)

~

(cosljJ)

R_ !6(coslj!) dEl t _

El

417"

f

dEl] =

6g El

ro

¿

0= 2

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donde las series se conocen como función de Stokes primer término no es sino:

2n+1 0-1

P (':=0

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1

f7r/2L'.'.g(cp~X) 't' __ ~'-

Tri2

S(lJIleoscp'dcp'dA

donde:

IJI =Are

cos (sen

ep sen ep' +cos ep cos ep' cos (X - Al·

En la práctica, los métodos numéricos son usados casi ex-clusivamente para evaluar estas integrales. 3.19.- LAS FORMULAS DE VENING-MEINESZ. Otra aplicación de la solución completa al problema mixto de valor en la frontera, es decir, de la integral de Stokes, son las

- 90 fórmulas que permiten el cálculo de las componentes N - S Y W - E de la desviación de la vertical local a partir de las anomalías de la gr~ vedad conocidas sobre toda la tierra. Las fórmulas pueden derivarse como sigue: De la sección transversal siguiente puede verse que:

Si la sección transversal se toma en el plano definido por las dos normales entonces:

€

=e

Si la sección transversal está en el plano meridiano (o primer vertical) E representa a la componente N - S (W - E) de 11 amada .; (r¡) .

e

Para estas dos componentes tenemos: dS

ELIPSOIDE

coeficientes de Lamé, para r

de donde:

donde los signos (-) expresan la convención de que para dN pos i tivo ~. r¡ se cons ideran que decrecen al incremen-tarse ~. A • Llamando d~ ,dA a los incrementos diferenciales en el meridiano y primer vertical y usando los R (sobre el elipsoide), tenemos:

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

dN

- 91 -

Tomando N de la fórmula de Stokes y cons iderando constante obtenemos:

~ =_ _ 1_ 41TG

'1] =-

([ /)"g gEl

I

41TG tos el>

ff.

El

Os (1/1)

04>

8 N como

dEl,

~g

dEl

Expresando las derivadas parciales como: OS(~)

=

04>

OS(~)

a~

OS.(~)

0'1-'

oCP

OA

OIJl!Ocp

y derivando en 2.22;

cos IJI

=sen 4>

OIJlIOA

=

OS(~)

~

dlJl

OA

de la fórmula para cos''''

sen 4>' + cos

4> cos 4>' cos ( 'X -

usada

A) ,

obtenemos: -

sen'"

f t = cos 4> 04>

sen 4>' - sen

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

= coscf> coscf>'

4>

cos cf>' CDS

(

X-A) =

sen (X-A) •

Por otro lado, del triángulo esférico obtenemos: sen

I

I

I I

I

:90!. cf> I

/~-

~-::-;---¡¡,---I

coa

sen '1-' sen

I

:

IJI

a =cos 4>

sen

4>' -

sen cf> cos cf> ' cos ( A' - A) ,

a = cos cf>' sen (X-A) •

- 92 -

Combinando estos dos conjuntos de ecuaciones obtenemos:

---ª-L ocp = -

cos a

, ..EL o).. = -

cos cp sen a

Sustituyendo estos resultados en las fórmulas para", "l, finalmente concluimos con:

~ =____ 41TG

It. ~I

~I

/).g

OS

(lit)·

cos a dEl

0'/1 sen a dEl

las fórmulas de Vening-Meinesz. En estas fórmulas '/1 ,a pueden to-marse nuevamente como coordenadas "polares" sobre el el ipsoide o pue-den transformarse a cualquier otro par de coordenadas sobre el elipsol de. 3.20.- LINEAMIENTOS PARA LA SOLUCION NUMERICA DE LAS FORMULAS DE STOKES y DE VENING-MEINESZ.

I

S('/I). O

respectivamente), sobre el elipsoide y tenemos que usar uno de los innumerables métodos numéricos para evaluar las integrales dobles. TQ dos los métodos numéricos, cualquiera que usemos, sustituye la doble integración por doble sumatoria sobre dos parámetros. E1 formato, para los va lores de /).g para la sumator ia puede ser de dos tipos básicamente. Polar o rectangular. El formato polar corresponde a las variables a, '" descritas en 3.18. Por 10 tanto, el formato tiene que cambiarse constantemente para hacerla que

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Las anomalias de la gravedad /).g en las fórmulas de Stokes y de Vening-Meinesz no pueden obtenerse para cada punto del elipsoide de referencia. Pueden obtenerse para un número de puntos discretos donde los valores de la gravedad han sido observados sobre la superficie terrestre. Por 10 tanto, no podemos integrarlas (más precisamen-te, integrar el producto de las anomal ias de la gravedad con la fun- c ión de peso:

- 93 -

se centre sobre el punto de interés. Deb i do a que e 1 punto de llg va r i a con 1/1 (y tamb ién con oc.. en el caso de las fórmulas de Vening-Meinesz), el formato puede designarse en tal forma que tenga las áreas mayores correspondiendo a pesos más pequeños y viceversa. Evidentemente si llg se pesa en forma "muy 1 igera" puede representar áreas mayores pero s in que estas contribuyan mucho al resultado y viceversa. El formato en cuadricula rectangular se basa generalmente en coordenadas geográficas como las que se menciQ nan en 3.18. Este método es preferible cuando estudiamos el globo com pleto y no solo puntos individuales. Esto se hace porque los valores representativos de l:>.g para cada bloque de dimensiones lld> x llA pueden ligarse en forma permanente con los valores de los b~oques aprQ piados. La cuadrícula no cambia de un punto de interés a otro.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

La dificultad más seria que se encuentra en la solución ny merlca es la creciente influencia de las anomalias de la gravedad a ~ dida que uno se acerca al punto de interés. Una simple mirada a las funciones de peso nos convence de que las vecindades del punto tienen un efecto considerable sobre el resultado. Este problema puede supe-rarse por dos caminos: El primero consiste en que es usual hacer más densa la cuadricula en las vecindades del punto. El segundo es que se han obtenido diversas fórmulas para expresar la influencia de las anomalías de la gravedad en la vecindad más próxima a través de otras características del campo de gravedad que no tratan con la función de Stokes. Usando este tipo de fórmulas, dividimos las contribuciones dª bidas a las anomalias de la gravedad en distantes y cercanas (o exte-riores e interiores) y las tratamos separadamente.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Esta pUblicación consta de 250 ejemplares y se terminó de imprimir en el mes de junio de 1984 en los talleres de la Dirección General de Integración y Análisis de la Información, sita en Centeno No. 670, colonia Granjas México. Delegación Iztacalco 08400 México, D.F.

ISBN 968-809-916-3

5PP

nrp...,a¡j/.......... , 1IICiiI" 14 p-1i!5lJpUE!5to tNnITuTQ NACIONAL DE ESTAOISl ICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

1"

1/ 1

7 02825 23129 3

x

Geodesia Física Aplicada Tomo 11

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

z

ELIPSOIDE DE REFERENCIA

x

H=h+N

Tomo 11

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

Secretaría de Programación y Presupuesto Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática Informes y Ventas: Balderas No. 71, planta baja, Centro Delegación Cuauhtémoc 06040 México, D.F. Tel. 521-42-51 Insurgentes Sur No. 795, planta baja, colonia Nápoles, Delegación Benito Juárez 03810 México, D.F. Tels.: 687-46-91 y 687-29-11, ext. 289 Geodesia Física Aplicada Tomo 11 Dirección General de Geografía México, D.F. junio de 1984 ISBN 968-809-917-1

GEODESIA FISICA APLICADA

TOMO

Por Dr. Petr Vanicek

I1

Departamento de Inseniería Topográfica Universidad de New Brunswick Fredericton, N. B. Canadá. 1971

Traductor M. en C. Rafael Sosa Torres DETENAL México, D. F. 1977

NOTA DEL TRADUCTOR

Deseo dej ar constanc ia de que este trabaj o es en real idad resultado del esfuerzo que DETENAL está haciendo con el propósito de elevar el nivel de los conocimientos geodésicos dentro y fuera de la propia institución. Debe pues, agradecerse la disposición y el apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, particularmente de aquéllas responsables del Area de Geodesia que al facilitarnos medios y personal, hi-cieron posible que estas notas vieran la luz del día. Se agradece profunda y sinceramente, la gentileza del autor Dr. Petr Vanicek, de la Universidad de New Brunswick, al permitir la traducción y divulgación de su obra en español. El excelente trabajo de mecanografiado estuvo a cargo de la Srita. Blanca Estela Ibarra Cortés de la Oficina de Apoyo Vertica"l. También de la Oficina de Apoyo Vertical el Sr. Julio Bueyes 01 iva tuvo la responsabil idad de trazar los diagramas y el arduo y paciente trabajo de escribir todas y cada una de las fórmulas que en estas notas aparecen. Mi sincero reconocimiento al" Sr. Bueyes 01 iva por la alta cal idad de su trabajo. M. en C. Rafael Sosa Torres

C o N T E N IDO Pago

4.

FUNDAMENTOS DE GRAVIMETRIA. • ••••••••••••••••••••••••••••••••• 103 OBSERVACIONES DE LA GRAVEDAD. .. ..................... .. 103 4.2.- INSTRUMENTOS USADOS EN GRAVIMETRIA •••••••••••••••••••• 104 4.3.- REDES GRAVI~\ETRICAS • •••••••••••••••••••••••••••••••••• 106 4.4.- EVALUACION DE LA GRAVEDAD OBSERVADA .••.....•.••••••••. 107 4.5.- CORRECCION y ANOMALIA POR AIRE LIBRE .••••••••••••••••• 108 4.6.- CORRECCION y ANOMALIA DE BOUGUER •••••••••••••••••••••• 109 4.7.- CORRECCION POR TERRENO Y ANOMALlA REFINADA DE BOUGUER. • •••••••••••..•.••••....••.....•..•••••••••••• 113 4.J.- CORRECCION y ~NOMALlA ISOSTATICA. '" .••...•......•...• 117 4.8.1.- ISOSTASIA ••••.•.....•••••••••••.••••••••••••• 117 4.8.2.- MODELO Y TEORIA DE PRATTS. • •••••••••••••••••• 118 4.8.3.- MODELO Y TEORIA DE AIRY •••••••••••••••••••••• 119 4.0.4.- MODELO Y TEORIA DE VENING - MEINESZ. • •••••••• 121 4.3.5.- CORRECCION y ANOMALIA ISOSTATICA ••••••••••••• 121 4.9.- OTRAS CORRECCIONES Y ANOMALIAS DE LA GRAVEDAD .••••••••• 123 4.10.- "EFECTO IND IRECTO, COGEO ID::". • ....................... . 123 4.11.- DISCUSION DE LAS ANOMALIAS DE LA GRAVEDAD INDIVIDUAL. ~~ •••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••• 124 4.12.- MAPAS DE GRAVEDAD, BANCOS DE DATOS DE GRAVE-DAD. • ................................................. . 125

4.1.-

5.

ALTURAS...

5.1.-

• .................................................... .

126

ALTURAS OBSERVADAS .•••.•••.•.•••..•••••••••••••••••••• 126

5.2.- NUMEROS GEOPOTENCIALES. .. ............................ . 127 5.3. - ALTURAS DINAM I CAS • • •••••••••••••••.••••••••••••••••••. 128 5.4.- ALTURAS ORTOMETRICAS ................................. . 129 5.5. - ALTURAS NORMALES. • ••••••.•••••••••••••••••••••.••••••• 133 5.6.- ALTURAS BASADAS SOBRE LA GRAVEDAD NORMAL ••••••.••••••• 134 5.7.- DISCUSION DE LOS SISTEMAS DE ALTURA INDIVI- DUAL. • ................................................. . 135 5.3.- EL NIVEL HED 10 DEL MAR COMO REFERENC lA DE AL137 TURA. 6.

USO DE OBSERVACIONES ASTRONOt·\ICAS EN GEODESIA ................ 139 6.1.- S ISTEHAS DE COORDENADAS CARTES lANAS GEOCENTRl CAS, GEODESICAS y ASTRONOMICAS. SUS TRANSFOE MACIONES. ASTRODESVIACIONES .......................... 139 6.2.- DEFINICION DE UN "PUNTO CORRESPONDIENTE" SO-BRE EL ELIPSOIDE DE REFERENCIA A UN PUNTO EN LA SUPERFICIE; LAS PROYECCIONES DE HELMERT Y DE P IZZETI.

• ••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••••••

142

6.3.-

RELACION ENTRE LA ASTRO-DESVIACION Y LA DES-VIACION GRAVIMETRICA ••••.•••••.••.•.•..••••••••••••••• 143 6.4.- AZIMUTES ASTRONOMICO Y GEODESICO. ECUACIONDE LA PLA CE •

• •••••

ti • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ti •

i i

"

•

•

•

•

•

•

1 46

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

................................................ .

Pago

6.5.6.6.-

6.7. -

7.

DETERMINACION ASTROGEODESICA DEL GEOIDE (NIVE LACION ASTRONOMICA) ....................... :-........... DETERMINACION ASTRO-GRAVIMETRICA DEL GEOIDE (NIVELACION ASTRO-GRAVIMETRICA) .••••••••..••.••.••••.• DETERM INAC ION DE UN EL IPSO IDE DE REFERENC lA OPTIMO A PARTIR DE LAS DESVIACIONES DE LA VER TICAL y LAS ALTURAS GEOIDALES .••••••..••.• :-•..••.••••• 6.7.1.- RELACION ENTRE EL CAMBIO DEL ELIPSOI DE DE REFERENCIA Y LAS DESVIACIONESy ALTURAS GEO IDALES. . . • • . •• .. .... . • •• . . • . .... 6.7.2.- DETERMINACION DEL OPTIMO ELIPSOIDE DE REFERENC lA LOCAL. • •• • . .. • ... .•• ••• . • . .. ... 6.7.3.- DETERMINACION DEL ELIPSOIDE MEDIO DE LA TIERRA ....................................

TOP I COS DIVE RSOS. • . • • • • • • • • . • • . • • • • . • • • • • . • • . . . • • . • • . • . • • • . •• 7.1.- REDUCCION DE LOS ANGULOS HORIZONTALES OBSERVA DOS AL ELIPSOIDE DE REFERENCIA. • ..........: ........... 7.2.- REDUCCION DE DISTANCIAS OBSERVADAS AL ELIPSOl DE DE REFERENC lA. . ••••.••••••••....••....••..•...••.•. 7.3. - ALTURAS TR IANGULADAS. • . . ••• . ... . • . •• . . . .. ••• • .. • . •• • .• 7.4.- AJUSTE "TRIDIMENSIONAL" DE REDES GEODESICAS ........... 7.5.- DISCUSION DE DIVERSOS METODOS PARA DETERMINAR EL GEOIDE. . ...........................................

RE C O N O C I M I E N T O

152 154 154

157 159

160

160 161

166 168

169

.•.•..••.••..••••••••..•.•••.•..••.••. 171 172

REFERENCIAS

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

150

iii

4.

FUNDAMENTOS DE GRAVIMETRIA.

4.1.nos con seados. se mide (mgal = de 9 en

OBSERVACIONES DE LA GRAVEDAD.

Las observaciones de la gravedad son el medio de proveerlos valores de la aceleración de la gravedad en los puntos d~ La aceleración de la gravedad, usualmente simbo1 izada por g en gals (1 ga1 = 1 cm seg-a ) o sus fracciones decimales - - _ 6 10-3 ga1; f-L9a1 = 10Sal). Obviamente el valor aproximado cualquier lugar sobre la superficie de la tierra es 980 sals.

Desde el punto de vista de la posición de los puntos de observación podemos dividir las observaciones de 9ravedad en: 1) .1 1) .1 1 1) .1V).-

Observaciones en el terreno. Observaciones Submarinas (Ya sean observadas desde el Submarino o sobre el fondo del mar). Observaciones en la Superficie del mar (Desde el barco). Observaciones Aéreas (Desde el aeroplano).

Desde el punto de vista de las técnicas de observación usada podemos hablar acerca de: 1).11).-

Observaciones absolutas. Observaciones relativas.

Las primeras se basan en la idea de la observación directa del valor de 9 en un punto. Las observaciones posteriores ajustan la diferencia en gravedad para dos estaciones. Para propósitos geodésicos nos gustada conocer la gravedad con un error en valor absoluto menor veces el fenómeno 9 obserde 0.1 mga I = 10- 4 ga1, es dec ir, = 10- 7

Las mediciones relativas son hechas de tal manera que le~ mos la lectura sravimétr ica en un punto donde la gravedad ya se conoce. Luego tomamos otra lectura en un punto desconocido y otro en el punto conocido. Por lo tanto, tenemos dos diferencias en lecturas que multipl icadas por una constante conocida de dos diferencias de gravedad. Su discrepancia se atribuye a la imprecisión del instrumeD. to y dividida linealmente con el tiempo sobre am;)as diferencias.

103

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

vado. Esta es una precisión muy alta y es más fácil de o~tener usando observaciones relativas en lugar de las absolutas. Como hemos dicho en Geodesia F1sica 1, no se ha establecido aun 105 ""alores de gestán sujetos a cualquier cambio secular. De modo que los consideraremos permanentes. Por otro lado, sabemos que el valor de la grave-dad cambia con la posición del sol y la luna. Este fenómeno conocido como marea gravimétrica, puede estimarse en no mas de -0.15 a +0.08 mgals. Puesto que las variaciones de la marea de la gravedad son conocidas y predecibles, ellas pueden ser corregidas.

4.2.-

INSTRUMENTOS USADOS EN GRAVIMETRIA.

Básicamente hay tres diferentes tipos de instrumentos usª dos para observaciones de gravedad (mediciones de g).

1). I I) • I I I) •

PENDUlOS VERTICALES. GRAV I METROS. INSTRUMENTOS DE CAlDA liBRE.

los tipos primero y tercero, pueden usarse para medicio-nes absolutas, el segundo no. "los Péndulos" pueden ser ordinarios, reversibles, invertidos, muy largos o múltiple. Su uso se basa en la idea de que hay una relación conocida entre el periodo de oscilación '¡' el valor de g, llamada T = C g-1;2 donde C es la Constante relacionada a la masa y a la longitud del péndulo. la relación anterior se origina en la ecuación de movi- miento del péndulo. No es dificil ver que observando el periodo de oscilación podemos deducir el valor de g, considerando a "C" como conocida. La precisión obtenible con péndulos es del orden de ±3 a iO.l mgals (para péndulos muy largos). El aparato pendular submari-no de Vening - Meinesz (tres péndulos acoplados con registro fotogr~ fico), tuvo como mejor precisión ± 4 mgals. los ma~'ores obstáculos -en el logro de cualquier precisión mejor, son influencias numerosas como resistencia (aire, cortes), temperatura, inestabilidad de las-construcciones establecidad, también errores en tiempo contribuyen -significativamente en la distribución para la relativamente baja pre: cisión. los "grav1metros" son los artefactos ampl iamente usados en 9ravirretría. Todos los diseños invariaulemente están Jasados soore la medición de la posici61' relativa de masas f i j a s y liiJres. Hay tres diseños Jás icos en los grav1rretros modernos. l.

TORS I ONAl . TORSIONAL A I I r - - - - - MASA ATRAIDA; CON ESPEJO

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

1......._ - - FILAMENTO

---

MASA FIJA CON ESPEJO

MARCO

LECTURA EXTERIOR OPTICA

Toda la COllstrucc ión está :lec:la de Uila pieza de cuarzo fu.!l dido. Este diseño fue usado prirrero en un grav1r..etro Danés por Nor~,aard (precisi6n ~O.2 mgal). Básicamente el mismo diseño aunqueequipado con varios instrumentos de compensación y diferentes sistemas de lectura c;zterior es usado por los grav1metros American Worden - - -

104

(precisi6n 11.

~0.03 mgals) yen los gravtmetros de modelos alemanes.

RESORTE CIRCULAR.

LECTURA DE SALIDA

h

~.puede

desarrollarse en series de potencia;

'i o.Jten lendo: I

h

2

I

h2

fp=-2lTKCT(hto-o(I+2"(a) +-------»=-2lTKCT(h-T 0-------) =- 2 TrKCTh (1-

~

--------)

20

112

Considerando infinito el ditll1letro del ci1 indro, es decir, convirtiendo el ci1 indro enp1ac) de Bouguer. O;;tenemos finalmente: og = Lim fp

=- 2lTK. Podemos tener el flujo del agua de un punto ortométricamente más bajo a otro ortométricamente mayor. Para ver la magnitud de la diferencia entre la altura ortométrica y la dinámica, tomamos la componente de la gravedad normal solamente y dibujamos el diagrama siguien300m-toh ..g te: Las cant idades .6h looY .6h 300 señalan la cantidad de con-vergencia de las superficies equipotenciales normales y por 10 tanto, también aprox1 madamente la diferencia so-bre la altura ortométrica y la dinámica. Ellas pueden evaluarse de las f6rmulas sl guientes:

~

100m

~

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

300m

que pueden derivarse de nuestra relaci6n conocida: dU= - ydh

tomando

UIOO-UO~ - 100m í

Ya~

-

97800gal.m y

136

I

obtenemos aproximadamente 6.h !:::53 cm ; 6.h!::: 160cm 100

I

300_

Las alturas normales están, filosóficamente hablando, más cerca de las alturas ortométricas. Sin embargo, la desventaja es que aunque en la superficie están referidas al cuasigeoide,este no tiene significado físico. Por otro lado, no existen hipótesis, que las definan. Para fines prácticos las alturas normales son tan buenas como las ortométricas. Los tres sistemas definen la altura de cualquier punto en Estas pueden interpretarse gráficamente como sigue:

- -.

T

-::-----" G - -1/ CU4S/GE; EOloe: __ ----:ñ:------o

h

O/OE:

--

1 5.8.-

=CONSTANTE W. W : A

EL NIVEL MEDIO DEL MAR COMO REFERENCIA DE ALTURA.

BANCO BASICO DE NIVEL

POLEA

1

Ah =CONSTANTE

PLUMA

Ah,

C_M_ETR_O~::::;;::¡Jl..~N~IV~EL~ FLOTADOR

137

Las redes de nivelación, usualmente están conectadas a un número de bancos básicos situados próximos a mareómetros. Sus alturas (g~ neralmente de solo unos metros por encima del nivel del mar) se determinan como 6.h-6.hJ6.hdonde6.h es una coristante ~el mare~metro. 6.h 3 es la diferencia de nivel entre el cero del mareó metro y el banco yl::.h 2 es: la lectura media de la carta que corresponde, al I~i­ vel medio del mar".l::.h 2 se obtiene como la media de las lecturas sobre un per1Q

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

forma única.

do de muchos aAos. Luego la altura del banco básico puede considerar se como referido directamente al nivel medio del mar, que nos repre-~ senta al geoide (cuasigeoide). Las alturas de los puntos individuales de la red de nivelaci6n se determinan por ajuste. Primero son determinadas las dife-rencias de alturas ortométricas (dinámicas, normal) de las 11neas de nive1aci6n, usando las diferencias niveladas y las correcciones apropiadas. Luego se ajusta la red dejando fijas las alturas de los Ban-cos Básicos. Por supuesto que este procedimiento supone que: 1) 11)

Las lecturas medias de la carta representan el nivel medio del mar que es constante sobre cualquier per10 do de tiempo. Todos los mare6mtetros se refieren al mismo nivel:-el geoide (cuasigeoide).

HaD1ando estrictamente, ninguna de estas consideraciones parece que sea vál ida. El nivel del mar en cualquier punto, está sujeto a muchas influencias. Parece cierto ahora que la combinaci6n de estas influencias causa que el nivel del mar se eleve sistemáticamente, sobre todo el mundo. La segunda consideraci6n se aprecia inco- rrecta debido a que las condiciones locales (vientos predominantes, sal inidad, temperatura, etc.,), influencia permanentemente al nivel del mar de a19una manera.

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

Por 10 que el procedimiento más satisfactorio ser1a posesionar solamente un punto (referencia) en la red, con una altura fija supuesta por el ajuste. Este punto de referencia se local izar1a pr6ximo al centro de la red (preferible en un área geo16gicamente esta-ble), para lograr la mejor propagaci6n de errores. Después de tener ajustada la red, uno puede estudiar las alturas de los niveles del mar - como los indicados por el mare6metro -, relativas al punto de referencia. De estas alturas relativas, puede deducirse, una difere~ cia media entre los niveles del mar y el punto de referencia, que ser1a válida por un cierto pedodo de tiempo en todos los puntos, incl.!:!. sive el punto de referencia, puede darse la correcci6n apropiada. E~ tonces la altura del punto de referencia puede declararse fijo para un cierto per1odo de tiempo.

138

6.

USO DE OBSERVACIONES ASTRONOMlCAS EN GEODESIA 6.1.-

SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS GEOCENTRICAS, GEODESICAS y ASTRONOMlCAS. SUS TRANSFORI"ACICNES. ASTRODESVIACIO NES. -

z I)

z

º~

u

o a:

lJJ

o

,P

...,

lJJ lJJ

/¡\

(,(,\0

X

«..~

'/(

~l>-" "

\>\'?-~ O \J

'\

\>\l>-~ (,-c-

'\

*'?-~ ~~\

y

\.

r::,'?-«..~

\.

El sistema "CartesianoGeocéntrico" puede ser "promedio" - usando el eje promedio de rotación de la tierra -, o "ins-tantáneo" - usando el eje instantáneo de rotación para el eje Z -. Está centrado en el centro de sravedad de la tierra y el plano +XZ contiene el ojservatorio de Greenwich.

I

S i los ejes no se illtersectan en el centro de gravedad, ha~lamos so~re e 1 "S istema Cartes iano Relativo". Las transfol: mac iones entre estos sistemas son un caso de traslación y rotaciones diferenciales.

'\

t·z

~

P

11)

11

'~as

coordenadas Geodési

ca~'de un punto P, son ~

cp).., H

Pa ra hace r P.2 referirlas a las coordenadas Cartesianas, tiene que darse el elipsoide de referencia por su centro y 105 dos ejes principales "a" y "o". El radio vector del punto P se da ?or:

b.

-++-'------~x=y

1_1

(N'l(tH) coscp cos A \'* N COS 4>

y:::

........

( Nli( t H) coscp sen A (N~ ~

........ ........

)2 +H) sencp

'x

Aqu'l el radio de curvatura en el primer vertical es:

139

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

si~le

Para H pequeña, la altura sobre el el ipsoide de referen-c ia, tenemos: COS COS

>"]

cos sen>.. [

b 2. ( a ) sen

Estas f6rmulas, as1 como más detalles, pueden encontrarse en Krakiwsky, E. J. Wells, D. E., 1971; Sistemas de Coordenadas en Geodesia, UNB. Note que no requerimos que el centro del elipsoide _ de referencia, coincida con el centro de sravedad de la tierra. Por otra parte, usualmente queremos que su semieje menor sea paralelo al eje medio de rotación de la tierra. i...as tbnllulas ante¡-iores son vál idas, por supuesto, sola-mente cuando los dos sistemas (Geodésico y Cartesiano), son concéntrl cos y representan la transformación directa de Coordenadas Geodésicas a Cartesianas. Si los dos sistemas no son concéntricos entonces la desviación (traslación) de los dos centros tienen que agregarse a la transf"rmaci6n. La transformdción inverS=l es más complicada y. usualmente se resuelve por un proceso iterativo. Ver Krakiwsky, Wel1s,

1971.

?

G~ i

III)

ELIPSOIDE DE REFERENCIA----'

"Las Coordenadas Astron6micas" de un punto P son .. no es tan oov ia. Sin emoa rso podemos esc r i:; i r 1a f á c i lr.-e n te a tráves de la considera-' ción de que la imasen de ~' en el plano XV se da por:

140

y entonces:

(A -

A)

cos

cp =7]'

La ecuación siguiente también es válida aprox imadamente:

z

(A - A) COS q,!::! 7]'

Note que si q, se observó astronómicamente, puede o no ser corregida por el efecto del movimiento polar. q, y A son ob-servadas en redes geodés icas sobre todo un conj unto de puntos conoc i-dos como "puntos de desviación". Obviamente si las coordenadas astronómicas q" A, de un punto son observadas y sus coordenadas geodési-cas cp, A derivadas de redes terrestres (calculadas sobre el el ipsol de de referencia), la relación de estos dos pares de coordenadas puede usarse para proporcionarnos las componentes ~: 7]' de la desviación de la vertical en la superficie de la tierra, conocida como "as trodesviación" en P. Esta técnica es usada ampl iamente en la práctica.

141

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

Por lo tanto, podemos transformar las coordenadas astronómicas loc~ les a geodésicas sola-mente si conocemos la ondulación geoidal y k..-_-;--J-----t-- y las dos componentes de la desviación de la ver tical ~:7]' "en el punto 1"'. Las coordena das geodésicas pueden ~ ~ ELIPSOIDE transformarse sUJsecuen DE REFERENCIA temente a las cartesia~ nas, a través del elipsoide de referencia sox bre el que se conocen las coordenadas geodésl caso Por lo tanto, podemos concluir que para transformar las coordenadas astronómicas (que pueden cons iderarse como "coordenadas observadas") a cartesianas, tenemos que conocer dos superficies - el el ipsoi de de referencia y el geoide o más precisamente el el ipsoide y el ca~ po de gravedad, dado por las superficies equipotenciales entre el -~ geoide y el punto ?

6.2.-

DEFINICION DE UN "PUNTO CORRESPONDIENTE" SOBRE EL ELIPSOIDE DE REFERENCIA A UN PUNTO EN LA SUPERFI CIE; LAS PROYEC-ClONES DE HELMERT Y DE PIZZETI.

Por Geodesia Geométrica se conoce que el el ipsoide de refe rencia, es la superficie sobre la que se lleva a cabo el ajuste de la~ redes horizontales usualmente. Por 10 tanto, tenemos que definir la proyecci6n de los puntos sobre la superficie de la tierra sobre el - el ipsoide de referencia o, en otras palabras, tenemos que definir 10 que entendemos por un "punto correspondiete" Po so:)re el el ipsoide al punto P sobre la superficie. La forma m~s obvia de defi-nir el punto correspondiente Po a P=(ep,A,H) es tomarPo =( A,O ). Esta def in ici6n se debe al geodesta al~ mán Helmert y la proyecci6n Q de Po a Po es conoc ida, por 10 tanto, como "Proyecci6n de Helmert". Su interpretaci6n geométrica es muy fácil y puede cons iderarse como S~ neral izaci6n directa de la definici6n anteriormente us~ da de puntos correspondien-tes en el geoide y en el el ipsoide. Si el punto P en la superficie se determina por sus coordenadas astronómicas .. son muy pequeños en valor absoluto, podemos escri-b ir: sen

Zp ~--~-1-

4>:: sen (-()

O

4> -;;- - ( y

7] '-:>- sen

6>.. cos 4> --:: 6>" cos 4>

y

s Estas ecuaciones coinciden con 1as ecuac iones en ~ 6.1, que definen la desviación astronóml ca, la que de hecho puede considerarse como una prueba de exactitud de la representación del triángulo NZpZp en la forma en que 10 hemos hecho. Por otro lado, la parte cen--tral del Oltimo diagrama puede retrazarse y entonces señalarse.

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\

Entonces obtenemos:

6o, ~ 6>.. cos (90 - 6 >.. senA> y 6° 2-::" ¡.t. cos Z 0

-

Entonces podemos escribir:

148

zP

Tomando los tr iángulos QZp ,RZpZp y proyectándQ los so~re el plano tangente a la esfera, digamos Zp , obtenemos el diagrama siguiente. Aqu'T las 11neas pueden dibujarse derechas, de0ido al ta:naño extrer,ladél"lente pefJueño de la formac i(¡n.

Del triángulo Q Zp Zp'obtenemos:

-,~e' sen {K-90~'

,; e' cos

Zp ...""t+-:.-.-....L..,....

-r¡'=

e

K

o'

y

I

sen K

ir Estas f6rmulas relacioncin la desviación 8' con las componentes

y su azimut K

Note que

"

8 '~2 = 4:"'+ 'n' , - ton K = -r¡''/ , Por otra parte, podemos escribir, usando el triángulo RZpZp

8 = 8'sen(K-a)=8'(sen K. cos a -cosK. sen a) =-r¡ 'cos a-' sen a tenemos:

pero, del triángulo esférico SRZ& sen

8 = sen

o, cons iderando

Z sen

f.L

8 y f.L muy pequeños:

entonces, finalmente podemos escribir para A-a

A-a -:::- (A-)..) sen

cp + ('~en

a" r¡' cos a) cot Z

esta es la bien conocida "ecuación de Laplace" (no confundirla con la otra ecuación de Laplace D.V=O), en su forma completa. Expresa la relación entre los azimutes astronómico y geodésico a tra-vés de otras cantidades.

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f.L :: 8/ sen Z = { r¡' cos a - (sen a ) / sen Z

Podemos notar que el segundo término contiene a Z, que depende sobre la distancia cenital de la visual PB, así como la desvia-ción sobre el punto principal y la curvatura de su 1 inea de la ploma-da. Su evaluación precisa es muy difícil. En la literatura geodési-ca, Z usualmente se supone igual a la distancia cenital que se mencionó, la que puede causar alguna ansiedad. La aplicación de las correcciones debidas a los azimutes astronómicos observados, llamadas: la corrección "normal sesgada", la corrección "a la geodésica", como sabe_ mos de geodesia geométrica y la corrección por la "curvatura de la línea de plomada actual", el imina estas pos ibles fuentes de error. Sin embargo, estas correcciones son raramente aplicadas en la práctica. Para prop6sitos astron6micos, el segundo término usualmente se separa por completo. El azimut (geodésico) determinado de a'= A-( A-Al sencp

se conoce como "azimut de Laplace". Un punto A para el que se determi. nó el azimut de Laplace, se llama entonces "puntos de Laplace". Los puntos de Laplace son usados para: 1). La orientaci6n de las redes horizontales sobre el el ipsoide de referencia. 11). Orientaci6n del el ipsoide de referencia de modo que su semieje menor, sea paralelo al eje de rotaci6n de la tierra. La S9 lución directa por mínimos cuadrados que minimiza la sumatoria de los cuadrados (d..'_rL)'Z es usualmente empleada para este propós ito. Note que la ecuación simpl ificada de Laplace nos permite encontrar otra fórmula para r¡' Cons iderando que A-"A= r¡'/eos cp (ver anteriormente), derivamos r¡'~(A-aleotgcp refiriendo la componente E-VV de las astrodesviaciones con la diferencia de los dos azimutes.

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6.5.-

DETERMINACION ASTROGEODESICA DEL GEOIDE (NIVELACION ASTRONO~\ I CA) •

(p

Como hemos visto en Geodesia F1sica I 3.13), existe una relación precisa entre las desviaciones de la vertical so~re el geoide y las ondulaciones seoidales. Hemos visto que la ecuación si-guiente tiene caoida: d N =- Ed s donde E es la componente de la desviaci6n en el azimut a de ds E 1 si sno es "menos" deo ido a 1a convenc i 6n de signos pa ra ~ y r¡ Obviamente s i las componentes de la desviaci6n soore el

150

geoide se refieren a un elipsoide de referencia (promedio de la tierra o local), podemos usarlas para determinar las que están referidas al mismo elipsoide. Por 10 tanto, las astrodesviaciones pueden usarse para propósitos de determinar los incrementos de altura geoidal respecto al elipsoide de referencia usado cuando sea corregido por curvatura de la linea de plomada actual entre la superficie y el geoide. En otras palabras, corrigiendo las componentes de la astrodesviación por el téc mino de curvatura (Ver 6.3), ellas pueden usarse en la fórmula anterior dan~o las variaciones de la altura geoidal respecto al elipsoide de referencia. NORTE

La cant idad E puede determinarse de las com~onentes ~I?t y el azimut a del segmento de línea ds del diagrama como ~ ..... ds E=€ COS (l-'T] sena ,~

-'

La idea de la determinación astrogeodésica del geoide, nuevamente debida a Helmert, se basa en 10 siguiente: Con sidérese conocida la compone~ te de la astrodesviaci6n a 10 largo de una línea dada AB sg bre la superficie.

a y p

A

Considerando que podemos reducir estas componentes al geoide (apl icando las correcciones B por curvatura), y asumiendo ~ue la altura geoidal en A , NA se conoce y podemos determinar la altura geoidal de B de la fórmula evidente: dN =N A -

fB

(€ COS

(l -

"1 sen

a)

ds

A

Ns"'"NA-

~

('cosa;

-"1;

sen

a;-;j

Esta f6rmula corresponde al caso mostrado en el diagrama. En la práctica es usual desig nar circuitos cerrad06 consistentes de tramos de líneas, entonces las ondulaciones geol dales pueden determinarse para todos los puntos involucrados y los c i rcu i tos o redes de circuitos ajustarse de la

dSB+,

B

151

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En la pr~ctica no conocemos en forma continua las astrodesviaciones a 10 largo del perfil sino contamos con puntos con desviacig nes conocidas que son espaciadas suficientemente densas y podemos sustl tuir la integral por la sumatoria y escribir:

misma forma como los circuitos de nivelación. Los re sultados más confiables sonlos que están más próximos a todos los puntos de astrode~ viación. Podemos concluir notando que mientras la fórmula de Sto-kes proporciona las ondula-ciones geoidales sobre el el ipsoide medio de la tierra (una vez que se ha determinado la propia escala), la " as tronivelación", como se conoce este método, nos provee con las alturas geoidales por encima del el ipsoide de referencia, es decir, el el ipsoide usado para el cálculo de las coordenadas geodésicas. Los perfiles (o circuitos ) geoidales, usualmente comienzan en el origen del el ipsoide de referencia, donde se supuso la ondulación geoidal (generalmente supuesta que sea cero). A+z

A

6.6.- DETERMINACION ASTRO-GRAVIMETRICA DEL GEOIDE (NIVELACION Ai TRO-GRAVIMETRICA). La determinación astrogeodésica de los perfiles geoidales. vista matemáticamente, representa un ejemplo del uso de la fórmula tr~ pezoidal para evaluar la compl icada integral definida. La debil idad de la técnica está en la interpolaci6n 1 ineal entre dos puntos adyace~ tes de astrodesviaci6n cualquiera. Por lo tanto, como hemos mencionado ya, es un imperativo allí, tener los puntos de desviación espacia-dos tan pr6ximos como sea posible. Esto, por supuesto, represente un requerimiento muy costoso.

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Una manera de superar esta necesidad es usar el conocimie~ to del campo de gravedad local para suplementar los puntos de desvia-ci6n. Como sabemos, (Geodesia Física 11 3.13), es posible obtener la desviación absoluta (gravimétrica), en cualquier punto del geoide, de las anomalías de la gravedad~ usando las fórmulas de Vening-Meinesz. Tomando estas fórmulas para sene/> sen A ; - cos e/> sen A; - cos A ; O

-o cos 2 e/> COS A ¡-o cos 2 e/> sen A

¡-O

sen e/> cose/>

O; 2 sen e/> cose/> O',

O

11 I i o sen 2

e/>

Aqu1 todos los elemeneos de las matrices A y B están referidas al punto P, Para derivar la relación entre el cam;Jio de ~o,T)o,NO, a f y el cambio de (T), N en un punto arbitrario, establecemos rrimero la relación entre 8e/>o8Ao,8Ho por un lado y por el otro ~xo,8yo,8zo,8o,8f. Obviamente e;ta relación, es justo un caso especial de la relación introducida arriba y podemos escri~ir:

155

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B=

8epo 8Ao 8Ho

8xo

=Ao

8yo

[::]

+Bo

8zo

(~)(~) ~, /,

Aqut las matrices Ao ' Bo ' no son otras sino A, B, referi-das al pUilto de or igen. Ahora podemos 1 ibrarnos de las componentes 8Xo; 8vo; 8zo, en las que noestaremos interesados. Para este propós ito, mu1tip1 icamos la ecuación (,-,) por A- 1 por el lado izquierdo; la ecuación (o'--,~) por A-~ por el lado izquierdo y restamos (,-,,-,) de (,-,). Obtenemos:

Esta ecuación puede reescribirse como:

-1

+ (B-AAo Bo)

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Recordemos, en esta etapa, la definición de las componentes de las desviaciones geoida1es y 1aa1tura elipsoidal H.Nosotros sab~ mos que:

Aqu1 las cant idades ép, A, h (coordenadas astronómicas) y (correcciones por curvatura), nada tienen que ver con el e1ip-soide de referencia y por 10 tanto, no serán influidas por el cambio del elipsoide; por 10 que podemos escribir: ~Ll~

Sustituyendo estos resultados en la anterior ecuación de transformación, finalmente obtenemos:

156

8~oj87]0

+0

8No

[::]

~

donde

e

pueden considerarse igual a:

~'D

cos

~o

cos

~ +sen ~o

sen

~ cos (A- AO) ; - sen ~ sen ( A- AO ) ; -

-;- [ sen cos

c::

sen~o sen(A-Ao); -o [cos

-

COS(A-AO);

[sen

cos

~-

~o sen~

cos (A- AO) ]

_I_(cos"'/" sen(A-Ao))

a

'1"'0

~o sen~ +sen~o cos~ COS(A-AO~;- o cos~ sen (A-AO ); [sen~o sen ~ + cos ~o cos~ COS(A-AO) ]

+(sen~o cos~-cos~o sen~ cos (A-AO)); -

+

~o

~o

cas

~o

sen ( >.. - AO l;

senep + cos

sen 3 cos

~o cos~ + cos~o sen2~os'enepcos(A-Ao)

~o

sen

-2cos ~ (senep-sen ~o) sen 2 ..- AO)

~o cos ep cos (>"->"0)-1] ¡sen! epo sen +cos ~o

sen 2

epo cos (A-Ao)

Esta fórmula lleva el nombre de Vening-Meinesz, que fue de los primeros en derivarla y es una de las fórmulas más importantes en Geodesia. Relaciona el cambio de las componentes de las desviaciones, (superficiales o geoidales) y las ondulaciones geoidales al cambio del el ipsoide de referencia, representado por 8e-0; 8']0; 8No ; 8a ; 8f , como originalmente establecimos para derivar. 6.7.2.-

DETERMINACION DEL OPTIMO ELIPSOIDE DE REFERENCIA LOCAL.

Las desviaciones de la vertical (y las ondulaciones geoidales), nos dan la relaci6n "geométrica" entre las dos superficies, - el el ipsoide de referencia y el geoide -. Por 10 tanto, pueden usarse para dos prop6sitos distintos: 1)

Considerando conocido al elipsoide de referencia, de-terminar el geoide. Hemos tratado ya este problema en

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+sen2