Geodesi fisis Laplace

CARA PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE 6.1.

Koordinat Kartesian

Ditinjau dari situasi datar dengan x dan y sebagai koordinat horisontal dan z sebagai ketinggian, z0 berarti di luar bumi. Langkah pertama yang paling penting dalam strategi penyelesaian solusi adalah dengan pemisahan variabel, yaitu : Δ Ф (x,y,z) = Δ f(x)g(y)h(z) = 0 Menerapkan aturan rantai memberikan hasil sebagai berikut:

                    Untuk singkatnya setiap seti ap turunan kedua ditandai dengan tanda “. Karena  pemisahan variabel,jelas mana variabel diferensiasi itu harus dilakukan. Persamaan di atas disusun kembali dalam bentuk yang lebih sederhana, setelah itu dibagi dengan Ф = fgh sendiri.

                Pemisahan variabel mengarah ke pemisahan dari turunan parsial menjadi tiga persamaan turunan biasa (ODE), yaitu:

                      

                      Ada dua solusi dasar :

   dan     dan     √  dan   √ 

Tentu saja masing-masing solusi dapat dikalikan dengan suatu konstan. Persamaan umum Ф

  hasilnya akan menjadi f,g dan h. Maka dari itu setiap

n dan m kita mendapatkan hasil baru. Jadi kita harus menyertakan 8 kemungkinan kombinasi dari n dan m.

Hasil dari persamaan Laplace bukanlah merupakan solusi dari BVP. Hasil tersebut hanya memberikan kita sifat dari potensial Ф di luar bumi pada keadaan fungsi dasar. Untuk asal yang horisontal, fungsi dasarnya adalah sinus dan kosinus. Jadi potensialnya adalah deret Fourier pada asal horisontal. N dan M adalah nilai panjang gelombang.

6.1.1

Penyelesaian Dirichlet dan Neumann BVP dalam x, dalam  x, y, z  Dirichlet. Diberikan :

a. Penyelesaian umum  b. Kondisi umum, dan c. Potensial pada batas z = 0:

 ( x, x, y, z = z = 0),

Kemudian, seharusnya batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D Fourier :

Penyelesaaian penuh BVP dengan membandingkan koefisien spektral dengan koefisien yang tidak diketahui dari penyelesaian umum. Pada kasus ini  penyelesaian penuh dari Neumann terdiri dari :

Nilai batas ketinggian z = z 0. Varian dari BVP di kasus ini dengan batas

fungsi yang diberikan pada keinggian tertentu. Dengan pengaturan z = z 0 dan digunakan koefisien yang sama seperti di atas, didapatkan perbandingan :

Setelah menyelesaikan untuk 

, , dan selanjutnya, disubstitusikan

menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :

Neumann. Pada kasus penurunan diberikan sebagai batas fungsi yang

didapat sebelumnya. Kemudian batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D Fourier :

Tetapi , koefisien Fourier memiliki makna yang berbeda di sini. Sekarang koefisien-koefisien ini harus diubah ke koefisien-koefisien penurunan vertikal dari  penyelesaian umum :

Setelah menyelesaikan untuk 

, , dan selanjutnya, disubstitusikan

menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :

6.2.

Koordinat Bola

Di sini akan diasumsikan sebuah bola bumi dan akan digunakan koordinat  bola yaitu

 Strateginya terdiri dari beberapa tahap :

a.

Tulis persamaan Laplace pada koordinat bola,

 b.

Pisahkan variabel,

c.

Selesaikan 3 persamaan turunan biasa yang terpisah,

d.

Kombinasikan semua kemungkinan solusi menjadi sebuah perkembangan lanjutan (superposisi),

e.

Tambahkan kondisi umum dan hilangkan solusi yang bermasalah,

f.

Kembangkan batas fungsi (Dirichlet dan Neumann) menjadi kelanjutan,

g.

Bandingkan koefisien,

h.

Tulis solusi penuh. Persamaan Laplace pada koordinat bola :

Setelah dikalikan dengan r 2 didapatkan bentuk yang lebih sederhana :

Persamaan radial :

Dua penyelesaian fungsi radial dasar :

Kemudian, permukaan operator Laplace diubah lagi dan memisahkan Y  menjadi

 :

Bagian kiri hanya berdasarkan pada

 dan bagian kanan hanya pada 

kemudian didapatkan penyelesaian :

Kepadatan dan permukaan bola harmonik. Dipunyai empat dasar 

fungsi sekarang, berdasarkan persamaan Laplace :

atau

l  dan m dari fungsi ini memiliki aturan yang sama terhadap nilai gelombang n dan m pada seri Fourier : a. l adalah l adalah derajat bola harmonik,  b. m adalah tujuan bola harmonik, juga dikenal sebagai longitudinal nilai gelombang, yang mana menjadi jelas.

Setelah menyelesaikan persamaan Laplace, akan sangat mudah untuk  menyelesaikan BVP pertama dan kedua. Pada kedua kondisi diibaratkan

       

Dirichlet. Langkah selanjutnya adalah mengira-ngira bahwa batas fungsi

 ≈ R.  R. Maka harus diikuti dengan persamaan umum :     ∑ ∑     

diberikan pada batas



 

Kemudian kita mengembangkan batas kecepatan sudut yang sebenarnya ke dalam permukaan bola harmonik :





    ∑ ∑        Dimana  dan  diketahui sebagai koefisien sekarang. Penyelesaian didapat dari perbandingan sederhana antara dua seri :

    dan    Penyelesaian untuk a untuk a dan b dan



    ∑ ∑          Dalam persamaa ini, jika kita mengetahui batas dari sebuah fungsi , kita  akan tahu batas terluar karena dalam keadaan kontinuasi ke atas   . Ketika     ini menjadi efek redaman. Semakin tinggi derajat, semakin kuat redaman     





 ∑ ∑             Fungsi batas yang sebenarnya dikembangkan menjadi permukaan bola

 dan . Perbandingan antara koefisien yang diketahui (  ) dan umum (   ) dapat di berikan :    dan    harmonis, dengan koefisien

Pemecahan untuk a dan b ketika dimasukan kedalam permukaan bola harmonik :

  



  ∑ ∑           

Notasi konvensi . Potensial gravitasi bumi biasanya ditunjukkan dengan

simbol V. koefisien

 dan  akan memiliki dimensi yang sama sebagai

 potensi itu sendiri. Hal ini biasa, meskipun untuk menggunakan dimensi dengan koefisien

 dan .

       ∑   ∑           

6.3.

Properti dari Bola Harmonik 

Permukaan bola harmonik dapat dikategorikan menurut cara mereka membagi bumi. Cosinus dan sinus dari bilangan gelombang

 akan memiliki 

nol teratur spasi. Hal serupa tidak bisa dikatakan dari hal fungsi Legendre

 . Itu menunjukkan  nol penyeberangan dalam pola yang dekat dengan sudut equi, tetapi tidak sepenuhnya teratur. Namun demikian kita dapat

 ada di kedua arah membagi bumi dalam pola papan bergaris (  ) x 2m ubin. Hal ini dapat diklasifikasikan : tetap bahwa perubahan tanda dari





m=0, zona bola harmonik. Ketika m = 0, bagian sin lenyap, jadi koefisien

 tidak ada. Selain itu, cos = 1, jadi tidak ada variasi terjadi pada  bujur. Dengan  kita akan dapat  band lintang, disebut zones.    sektoral bola harmonic. Ada perubahan tanda  arah bujur. Arah lintang ada akan nol. Ini tidak berarti bahwa  adalah konstan, meskipun  bumi terbagi dalam band bujur disebut sektor 



  m dan m  , tesseral bola harmonik. Untuk semua kasus lain kita mendapatkan pola tanda yang terterbagi-bagi. Fungsi-fungsi ini disebut tesseral

6.3.1

Fungsi Dasar Orthogonal dan Orthonormal Orthogonality adalah properti kunci dari fungsi dasar yang memecahkan

 persamaan Laplace. Ini adalah hubungan antara synthesus dan analisis, memungkinkan transformasi maju dan terbalik antara fungsi dan spectrum Orthogonality adalah sebuah konsep umum untuk vektor dan matriks. Pikirkan dekomposisi eigenvalue atau dekomposisi QR. Kita mulai dengan contoh sederhana dari aljabar linear dan memperluas konsep ortogonalitas fungsi Dari vektor untuk untuk fungsi. Ambil dekomposisi dekomposisi eigen dari matriks simetris  persegi

   . Kolom Q adalah q vektor eigen ortogonal. itu adalah umum

untuk menormalkan mereka. Jadi produk skalar antara dua vektor eigen menjadi

     {    

 di sebelah kanan disebut Kronecker delta fungsi, yang adalah 1  jika indeksnya adalah sama dan 0 jika tidak. Ini adalah mitra diskrit fungsi  Pada

Dirac. Catatan bahwa dalam kasus vektor eigen hanyalah ortogonal, kita akan mendapatkan sesuatu seperti



di sebelah kanan, di mana  adalah panjang

Dalam indeks notasi, persamaan diatas menjadi :



∑()  Di mana  elemen  dari  vektor. Cara non konvensional yang sedikit berbeda akan menjadi



∑  

 Subtitusikan n menjadi x

Orthonomal vektor juga bisa diubah menjadi fungsi, jadi perlu proses Orthogonality dari dua fungsi yang mengkombinasikan Orthonalmal vektor  dengan fungsi Orthonormal. Hasilnya itu kalau z>0 di luar angkasa dan kalau z