Geo

GEOMETRÍA - TEMA 15

PIRÁMIDE, CONO Y ESFERA

Así, como en la geometría plana es muy frecuente el uso de triángulos y cuadriláteros, también en la geometría del espacio hay sólidos cuyo estudio y aplicación a la realidad son muy frecuentes. Por ejemplo, en las construcciones de las casas, edificios, etc., es muy común ver las columnas prismáticas o cilíndricas, etc. Con este capítulo conoceremos mejor a estas formas geométricas.

PIRÁMIDE I.

DEFINICIÓN

C. Volumen (V)

Es aquel poliedro en el cual una de sus caras es una región poligonal cualquiera denominada base y sus otras caras son regiones triangulares denominadas caras laterales, todas ellas tienen un vértice en común al cual se le denomina vértice o cúspide de la pirámide.

P

Arista lateral Altura

h

3

Observación ¿Cómo se nombra una pirámide? De acuerdo al número de lados de su base las pirámides pueden ser: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, ... si su base tiene tres, cuatro, cinco, ... lados respectivamente; tal como se muestra en la siguiente figura.

Cara lateral C

o E

(Abase ).h

h: longitud de la altura de la pirámide

Vértice

B A Arista básica

V

D Base

En la figura se muestra una pirámide pentagonal P – ABCDE.

A. Área de la superficie lateral (ASL) A SL  suma de la áreas de las caras laterales

Pirámide triangular

II. PIRÁMIDE REGULAR A. ¿Qué es una pirámide regular? Es aquella pirámide cuya base está limitada por un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.) y, además, tiene todas sus aristas laterales de igual longitud. En toda pirámide regular las caras laterales son congruentes y el pie de su altura es el centro de la base.

B. Área de la superficie total (AST) A ST  A SL +Abase Abase: área de la base

SAN MARCOS REGULAR 2009 - III

Pirámide cuadrangular

145

GEOMETRÍA

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PIRÁMIDE, CONO Y ESFERA

B. Apotema de la pirámide regular (Ap)

Observación

Es la perpendicular trazada del vértice de la pirámide hacia una arista básica. M

H

Ap

C B

¿Qué es un tetraedro regular? Es aquella pirámide regular cuyas cuatro caras son regiones triangulares equiláteras. Notación Tetraedro regular P-ABC

D E

O

A. Altura

N

A

F

h

ap En la figura se muestra una pirámide hexagonal regular M – ABCDEF. • Ap: apotema de la pirámide (MN = Ap). • ap: apotema del polígono regular ABCDEF. • O: centro de la base. • MO : altura de la pirámide, O es el pie de dicha altura. •  : medida del diedro formado por una cara lateral con la base. •  : medida del ángulo formado por una arista lateral con la base.

a 6 3

B. Volumen V

a3 2 12

III. PIRÁMIDE IRREGULAR ¿Qué es una pirámide irregular? Es aquella que no tiene todas las características de una pirámide regular.

MON: aplicando el teorema de Pitágoras. 2

2

M

2

(AP)  (ap)  H

H: longitud de la altura de la pirámide.

h C

1. Área de la superficie lateral

A SL  p(Ap)

A

p: semiperímetro de la base

A ST  A SL  Abase Abase: área de la base 3. Volumen (V)

(Abase ).H

2. Área de la superficie total (A ST)

A ST  A SL +A base

 En toda pirámide regular se cumple:

Abase: área de la base

– Las caras laterales están limitadas por triángulos isósceles congruentes entre sí. – Las caras laterales y la base forman ángulos diedros de medidas iguales. – Las aristas laterales forman con la base ángulos de medidas iguales.

GEOMETRÍA

E

A SL  suma de la áreas de las caras laterales

IDEAS FUERZA

15

O

1. Área de la superficie lateral (A SL)

3

h: longitud de la altura de la pirámide

TEMA

D

En el gráfico se muestra las siguientes pirámides irregulares: • Pirámide pentagonal M – ABCDE. • Pirámide cuadrangular M – ABCF • Pirámide pentagonal M – AFCDE En cada una de las pirámides se aplica las siguientes fórmulas:

2. Área de la superficie total

V

F

B

3. Volumen (V)

V

(Abase ).h 3

h: longitud de la altura de las pirámides irregulares. 146

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CONO I.

DEFINICIÓN

C. Área de la superficie total (AST)

El estudio sistemático de las pirámides y el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obtención y subsiguiente estudio de otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide, con la diferencia de que su base es una región curva en lugar de una poligonal.

A ST =A SL +Abase Abase: área de la base

D. Volumen (V)  r 2   .h V  3   

Vértice o cúspide Altura

h: longitud de la altura

Superficie lateral

Observación Desarrollo de la superficie de un cono de revolución.

Base

g r

II. CONO DE REVOLUCIÓN O CONO CIRCULAR RECTO

r

g

g 2 r

A. ¿Qué es un cono de revolución? Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos.

360º

V Superficie lateral

g

La superficie lateral es equivalente con su respectivo desarrollo, este es un sector circular cuyo centro es el vértice del cono y tiene por radio a la generatriz. ASL < > Asector

Vértice ó cúspide

 rg 

Generatriz h

r      .360°  g

g

O r

r Eje de giro

r 2 360

IDEAS FUERZA

Base

 ¿Quéesunconoequilátero?

O: centro de la base del cono r: radio de la base

Es aquel cono de revolución cuyas generatricestienenlongitudesiguales ala del diámetrode la base (g=2r). g En la figura se muestra un cono equiláteroysurespectivodesarrollo.

B. Área de la superficie lateral (ASL) A SL =rg g: longitud de la generatriz

g 180º

r

r

ESFERA I.

DEFINICIÓN

II. FÓRMULAS

Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360° un semicírculo alrededor de su diámetro.

A. Área de la superficie esférica A SE  4  R 2

B. Volumen V

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147

4  R3 3 GEOMETRÍA

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Problema 1

PIRÁMIDE, CONO Y ESFERA

En una pirámide cuadrangular regular,

diedro que forma una cara lateral con la base de la pirámide.

la arista lateral mide 8 cm y el radio de

San Marcos 2003

la circunferencia circunscrita a la base

Nivel intermedio

mide 4 cm. Calcula el área lateral de la

A ) 15º

B) 20º

pirámide.

D) 37º

E) 45º

San Marcos 2001 Nivel Fácil

A ) 28 2

B) 30 4

D) 26 2

E) 35 7

doble de la altura del cilindro, calcula el volumen del cono.

C) 36º

Resolución:

C) 32 7 San Marcos 2004 Nivel intermedio

Resolución: A ) 144 u

8

h

3

B) 124 u3 C) 140 u3

D) 110 u3

g

2 2

h  2 14

Área lateral de la pirámide: 1  SL  4  .(4 2)(2 14 )  2 

 SB  45  25  20 m2

Pero: S1 

20  S1  4 m 2 5

S2 

25  S2  5 m2 5

/2

h2  64  8  56

Resolución:

S T  S1  SB

53

2 2

r

Luego: S1  S2 .Cos   4 = 5. Cos  Cos 

Problema 2 El área total de una pirámide regular pentagonal es 45 m 2 y su área lateral 2

es 25 m . Calcula la medida del ángulo

r

Por dato: r 2 (2r)  54 

4 5

r 3  27  r  3 Radio del cono: R = 2r Volumen del cono:

Respuesta: D) 37º

Respuesta: E) 32 7 Problema 3

2 En la figura, el cilindro tiene 54  cm

de volumen y altura igual al diámetro de su base. Si la altura del cono es el

NIVEL I

V

1 (2.3)2 (4.3) 3

 V  144  u3

Respuesta: A) 144  u 3

A ) 9 3 dm B) 27 / 2 3 dm3

1. La base de la pirámide O – ABC es un triángulo equilátero de 3 dm de

C) 27 3 dm3

lado. Si la altura de la pirámide es

D) 18 3 dm3

de 6 dm. Calcular el volumen del

E) 9 3/2 dm3

sólido.

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4r 2r

   37

 SL  32 7

E) 130 u3

148

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PIRÁMIDE, CONO Y ESFERA

2. La arista básica de una pirámide

7. Hallar el volumen que genera una

cuadrangular regular mide 90 u y el

región triangular rectangular cuando

apotema del sólido es de 6 dm.

gira alrededor de la hipotenusa si

Calcular el área de la superficie

cuando gira alrededor de cada

lateral del sólido. A ) 100 u

2

C) 180 u

2

B) 60 u

D) 160 u

cateto

genera

sólidos

cuyos

volúmenes sea de 3 u3 y 4 u3.

2

A) 5 u

2

3

B) 6 u

C) 2,5 u

E) 120 u2

3

D) 2,4 u

3

3. El área de la superficie lateral de longitu d

de

la

base

es

de

12 dm2. Calcular el volumen de

8. En la figura, ABCD – EFGH es un cubo de volumen 216 m 3. Hallar el volumen de C – GOH.

dicho cono. A ) 68  dm 3

B) 76  dm3

C) 86  dm 3

D) 90  dm3

E) 96  dm

2

C) 8  m E) 15 m 2

B) 10 m2 D) 13  m 2

12.En una esfera de radio 8 cm. ¿A qué distancia de un círculo máximo debe trazarse un plano para que el

3

E) 3,6 u3 un cono recto es de 60 dm2 y la

A ) 12 m 2

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área de la sección determinada sea 1/4 del área del círculo máximo? A ) 3 2 cm

B) 4 3 cm

C) 5 3 cm

D) 2 6 cm

E) 6 cm

NIVEL III 13.Si una superficie esférica está

3

inscrita en un cono equilátero, hallar la razón entre el volumen de la esfera y el volumen del cono

4. De un sector circular con ángulo

equilátero.

central de 60º se construye la parte lateral de un cono recto. Si

A ) 12 m

el radio del cono mide "d". Hallar la

C) 16 m3

altura. A ) d 37

B) d 35

D) d 33

E) N.A.

C) d 47

NIVEL II 5. El área lateral de un cono de revolución es el doble del área de su base. Calcular el valor del ángulo que forma la generatriz con la base. A ) 53º

B) 45º

C) 60º

D) 37º

3

B) 23 m

3

D) 18 m3

E) 26 m3

D) 5/9

E) 4/9

9. Hallar el volumen de una pirámide P – ABCD cuya base ABCD es un

su vértice se debe trazar un plano

rombo, si la pirámide P – BCD es un

paralelo a su base para que el sólido

tetraedro regular de 3 m de arista.

quede dividido en partes equi-

A)

2 3 m3 9

B)

2 3 m3 C) 8 E)

D)

9 2 m3 2

9 3 m3 4

9 2 m3 4

valentes? A) 2

B) 1

C) 4

D) 3

E) 2 2 15.Del gráfico, los volúmenes del cono de vért ice F y del cono de

7. ABCD es un trapecio rectángulo de

10.Si el volumen de una esfera es

la altura igual a 6 cm y cuyas bases

243  cm3. Hallar el volumen del 16 cubo circunscrito.

volumen del sólido generado.

B) 2/3

C) 2/5

14.Se tiene una pirámide de altura 3 igual a 4 2. ¿A qué distancia de

E) 30º

miden 4 cm y 12 cm. Hallar el

A ) 8/27

A)

629 cm3 6

B)

719 cm3 6

C)

729 cm3 8

D)

729 cm3 5

E)

729 cm3 4

revolución de vértice V están en la EF 1  . razón de 1 a 27; si FV 2 AE . Calcule EB

A ) 160 

B) 130 

11.Hallar el área total de una cuña

A ) 1/2

B) 2/3

C) 220 

D) 340 

esférica de 30º, si el radio de la

C) 1/3

D) 1

esfera mide 3 m.

E) 3/2

E) 240  SAN MARCOS REGULAR 2009 - III

149

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Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

6. A qué se denomina: •

1. Las caras laterales de una pirámide son regiones triangulares.

(V)

Apotema de pirámide _______________________________________

(F)

_______________________________________ _______________________________________

2. Si una pirámide es regular sus caras laterales son regiones triangulares equilateras.

(V)

•

(F)

Apotema del tronco de pirámide _______________________________________ _______________________________________

3.

A qué se denomina: •

_______________________________________

Pirámide acuntángula _______________________________________

7.

Todos los sólidos geométricos tienen sección axial.

_______________________________________

(V)

(F)

_______________________________________ •

4.

Pirámide obtusángula

8.

¿A qué se llama plano tangente a una superficie

_______________________________________

cilíndrica y cónica de revolución?

_______________________________________

_____________________________________________

_______________________________________

_____________________________________________

¿A qué se denomina pirámide deficiente?

9. Un tronco de cono de revolución es un sólido de

_____________________________________________

revolución.

(V)

(F)

_____________________________________________ 10. ¿Qué secciones se determinan en un cono de revo5. ¿Cuántas pirámides existen que sus aristas sean

lución con los planos secantes a la superficie lateral

congruentes entre sí?

15 TEMA

del cono?

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

GEOMETRÍA

150

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