Gentil Lopes - Números Hipercomplexos 2D

N´ umeros Hipercomplexos − 2D ( Uma Nova Generaliza¸c˜ao dos N´ umeros Reais )

Gentil Lopes da Silva∗ 04 de abril de 2007

∗

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Algumas P´ erolas “Um exame superficial da matem´atica pode dar uma impress˜ao de que ela ´e o resultado de esfor¸cos individuais separados de muitos cientistas espalhados por continentes e ´epocas diversas. No entanto, a l´ogica interna de seu desenvolvimento nos lembra muito mais o trabalho de um u ´nico intelecto, desenvolvendo o seu pensamento sistem´ atico e consistentemente, usando a variedade das individualidades humanas somente como um meio. Assemelha-se a uma orquestra executando uma sinfonia composta por algu´em. Um tema passa de um instrumento a outro, e quando chegou a hora de um dos participantes abandonar o tema, ele ´e substitu´ıdo por outro, que o executa com precis˜ao irrepreens´ıvel...” I.R. Shafarevich “Nenhuma produ¸ca˜o de ordem superior, nenhuma inven¸ca˜o jamais procedeu do homem, mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveria consider´ a-la um dom inspirado do Alto e aceit´ a-la com gratid˜ao e venera¸ca˜o. Nestas circunstˆ ancias, o homem ´e somente o instrumento de uma Potˆencia Superior, semelhante a um vaso julgado digno de receber um conte´ udo divino”. Goethe “A obten¸ca˜o de um resultado novo em pesquisa ´e, para o cientista, uma fonte de intenso prazer, ligado intimamente ao instinto de cria¸ca˜o e eternidade, pois, independentemente da importˆ ancia da contribui¸ca˜o no contexto da ciˆencia, ou de sua utiliza¸ca˜o, representa algo acrescentado ao conhecimento humano que marca sua existˆencia na terra”. Pierre Curie (F´ısico) “O gˆenio, porque sabe encontrar rela¸co˜es novas entre as coisas, revela-nos novas harmonias e nos aproximam do pensamento de Deus.” E = m · c2 Pietro Ubaldi “Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempre que fora do vosso mundo n˜ ao h´ a mais nada. Pareceis verdadeiramente com esses selvagens que nunca sa´ıram de sua ilha e crˆeem que o mundo n˜ ao vai mais longe”. O Livro dos M´ ediuns “Eu penso que seria uma aproxima¸ca˜o relativamente boa da verdade (que ´e demasiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma aproxima¸ca˜o) dizer que as id´eias matem´aticas tˆem a sua origem em situa¸co˜es emp´ıricas... Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento pr´oprios governados quase que inteiramente por motiva¸co˜es est´eticas. . . ”. J. Von Newmann (1903 − 1957)

“A matem´atica ´e um campo demasiadamente ´arduo e in´ospito para agradar `queles a quem n˜ a ao oferece grandes recompensas. Recompensas que s˜ao da mesma ´ındole que as do artista. ...Acrescenta ainda que ´e no ato de criar que o matem´atico encontra sua culminˆancia e que ‘nenhuma quantidade de trabalho ou corre¸ca˜o t´ecnica pode substituir este momento de cria¸ca˜o na vida de um matem´atico, poeta ou m´ usico’ ”. Norbert Wiener

´ uma experiˆencia como nenhuma outra que eu possa descrever, a melhor “E coisa que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que ocorreu em sua mente corresponde exatamente a alguma coisa que aconteceu na ´ surpreendente, todas as vezes que ocorre. Ficamos espantados com natureza. E o fato de que um construto de nossa pr´opria mente possa realmente materializarse no mundo real que existe l´a fora. Um grande choque, e uma alegria muito grande”. Leo Kadanoff “Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que se aprofundam em seus pensamentos e vˆeem as maravilhosas rela¸c˜oes entre as leis universais reconhecem um poder criador”. Max Planck “O prazer ´e apenas um artif´ıcio imaginado pela natureza para obter do ser vivo a conserva¸ca˜o da vida; mas n˜ ao indica a dire¸ca˜o em que a vida ´e lan¸cada. J´a o deleite anuncia sempre que a vida teve ˆexito, que ganhou terreno, que alcan¸cou uma vit´oria: todo deleite tem um acento triunfal.” Bergson “N˜ao sabemos sen˜ ao em raz˜ ao da nossa faculdade de recep¸c˜ao”. Pit´ agoras “Tenho agarrado pela garganta as inferiores leis biol´ogicas da animalidade, para estrangul´a-las e super´ a-las. Tenho vivido minhas afirma¸c˜oes como realiza¸ca˜o biol´ogica antes de formul´a-las em palavras”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “A fus˜ao entre f´e e ciˆencia, t˜ ao auspiciada, j´a se completou em meu esp´ırito: vis˜ao u ´nica na substˆ ancia e de uma a outra eu passo unicamente por uma mudan¸ca de perspectiva visual ou de focaliza¸ca˜o de meus centros ps´ıquicos ”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “N˜ao se pode imaginar que tenacidade de resistˆencia, que massa de in´ercia representa o homem m´edio, justamente o que imp˜oe as normas da vida social”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “Um teorema possui vida em abundˆ ancia: nasce, cresce, reproduz-se e . . . n˜ ao morre”. Gentil “Mas a atividade mais feliz e mais bem-aventurada ´e aquela que produz. Ler ´e delicioso, mas ler ´e uma atividade passiva, enquanto que criar coisas dignas de serem lidas ´e ainda mais precioso”. Ludwig Feuerbach “. . . que o meu pensamento quis aproximar-se dos problemas do esp´ırito pela via de uma diversa experimenta¸ca˜o de car´ ater abstrato, especulativo, resultante das conclus˜oes de processos l´ogicos da mais moderna f´ısico-matem´atica.” Pietro Ubaldi/Ascens˜ oes Humanas

Sum´ ario 1 Os N´ umeros Hipercomplexos−2D 1.1 Considera¸co˜es de ordem geral . . . . . . . . 1.1.1 Como se Cria um Conjunto . . . . . 1.2 Defini¸ca˜o: N´ umeros Hipercomplexos . . . . 1.3 Propriedades das opera¸co˜es . . . . . . . . . 1.4 Imers˜ ao de R em H . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Unidade hiperimagin´ aria . . . . . . . . . . . 1.5.1 Forma alg´ebrica . . . . . . . . . . . 1.5.2 Exegese da unidade hiperimagin´aria 1.6 Forma trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Rota¸ca˜o & Oscila¸ca˜o . . . . . . . . . 1.7 Potencia¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

9 9 10 15 17 21 24 25 28 30 41 47

2 Equa¸ co ˜es 2.1 Resolu¸ca˜o da equa¸ca˜o a · w = b . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Radicia¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fun¸co˜es Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 F´ormula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Fun¸c˜oes trigonom´etricas com argumentos hipercomplexos

. . . . .

. . . . .

. . . . .

51 51 60 64 64 64

5

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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6

TESOUROS NO C´ EU − N˜ ao ajunteis tesouros na terra, onde a tra¸ca e a ferrugem tudo consomem, e onde os ladr˜oes minam e roubam. Mas ajuntai tesouros no c´eu, onde nem a tra¸ca nem a ferrugem consomem, e onde os ladr˜oes n˜ ao minam nem roubam.

(Mt. 6 : 19 − 20)

− Exegese: Daqui podemos inferir que tudo o que se deteriora com o tempo, ou que ´e pass´ıvel de furto, n˜ ao pode ser tesouro no c´eu. Ao contr´ario, o que ´e atemporal e ` a prova de furtos, tem chances de ser um tesouro no c´eu. Como por exemplo, cada uma das p´erolas a seguir: anm = ( −1 ) m

m

j

n−1 m−1 2

k

m

1 + 2 + 3 + ···+ n

n−1

anm m

( m−1 ) = ( −1 ) 2

 m  X n = a j + 1 (m−j) j=0 a(m−j) =

anm

j X

(−1)k

k=0

µ2n−1 m−1 = ( −1 )

  m j (1 − k + j) k

(x, y, z) ≡ (X, Y ) = ( y − x · sen θ, z − x · cos θ) anm

m Y (n−1 j ) a1(m−j) =

 m  X n−1 a1(m−j) = j j=0

anm

j=0

0, 999 . . . =

9 9 9 + + + ··· = 0 10 100 1000

n = f (i, j) = N (i − 1) + j

(1, 1)

1

(0,

( i = ⌊ n−1 N ⌋+1 j = n − N ⌊ n−1 N ⌋

2 3)

⇒

λ

λ(t) =

  32 + 0,

1 3

t, 0 ≤ t < 1; t = 1.

s 1

n j−1

2

∈ N ⇐⇒

n−1
2j−1

e

n 2j−1




tˆem paridades distintas.

Topologia Qu^ antica O Milagre!:conexo por caminhos

r

Gentil/fev−2009

0

7

Gentil

Pref´ acio Neste trabalho construimos um novo sistema num´erico: os n´ umeros Hiperumeros reais). Nota¸ca˜o: H. complexos−2D (uma nova generaliza¸ca˜o dos n´ Este sistema, tal como acontece com C, ´e construido sobre o R2 . N˜ ao raro uma primeira pergunta que se coloca de imediato ´e se este novo sistema ´e um corpo. Respondemos que n˜ ao, se o fosse − muito provavelmente − seria destituido de interˆesse uma vez que um corpo j´a existe: o pr´oprio C. Ent˜ ao, um novo sistema num´erico (sobre R2 ), para que tenha algum interˆesse, naturalmente deve ter “novas propriedades” n˜ ao partilhadas pelo corpo C. De fato, umero, j = (0, 1), o qual assim acontece com nosso sistema, nele existe um n´ ao s˜ao partilhadas por nenhum possui duas propriedades que, em conjunto, n˜ n´ umero complexo, quais sejam, ( j 2 = −1, −1 · j = j

Esta “hiperestranha” propriedade foi obtida com o sacrif´ıcio da associatividade, como se vˆe. Uma pequena digress˜ ao: Ao passarmos de R para C trocamos uma propriedade do primeiro conjunto em favor de uma do segundo, qual seja: sacrificamos umero com uma propriedade n˜ ao a ordena¸ca˜o e, por conta disto, ganhamos um n´ partilhada por nenhum n´ umero do “velho conjunto”: i2 = −1. De posse desta nova propriedade somos capazes de resolver toda uma nova classe de problemas insol´ uveis em R. De fato, esta nova propriedade (da unidade imagin´aria) j´a nos patenteia o tipo destes problemas a que estamos nos referindo, assim: Propriedade

Problema

i2 = −1

x2 + 1 = 0

C:

De igual modo, ao passarmos de R para H (hipercomplexos) trocamos duas propriedades do primeiro conjunto em favor de duas do segundo, quais sejam: sacrificamos a ordena¸ca˜o e a associatividade; por conta disto, ganhamos as duas novas propriedades mencionadas anteriormente; propriedades estas (em conjunto), n˜ ao partilhadas por nenhum n´ umero real ou mesmo complexo. De posse desta nova propriedade ´e de se esperar que sejamos capazes de resolver toda uma nova classe de problemas insol´ uveis nos antigos conjuntos. De fato, esta nova propriedade (da unidade hiperimagin´aria) j´a nos patenteia o tipo destes problemas a que estamos nos referindo, veja: Propriedade

H:

(

j 2 = −1,

−1 · j = j

Problema

(

x2 + 1 = 0, −1 · x − x = 0

Ou seja, n˜ ao existe nenhum n´ umero complexo x satisfzendo, simultˆ aneamente, as duas condi¸co˜es ` a direita. Acontece que, como diz o velho ad´agio popular, “onde passa um boi, passa uma boiada” , quero dizer: se a hiperpropriedade nos faculta um problema insol´ uvel em C ent˜ ao pode nos facultar uma infinidade deles. Vejamos mais um exemplo, o sistema a seguir:

8

x+y =0 (−1 · x − y) · y = 2 n˜ ao tem solu¸ca˜o no corpo complexo C, em H sim. ´ bem verdade que este ´e um problema artificial, no sentido de n˜ E ao ter se originado de quest˜ oes pr´aticas; no entanto, como ´e imposs´ıvel provar-se que toda uma classe de problemas† ´e (ou vir´a a ser) destitu´ıda de interˆesse, nossos argumentos − em defesa de H − continuam de p´e. (05.12.2008) Adendo: Das duas equa¸co ˜es abaixo: x2 + 1 = 0 (−1 · x + x) · x + 1 = 0 Com o n´ umero i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o n´ umero j resolvemos as duas, estaremos provando isto oportunamente (prop. 6, p´ ag. 26). Ali`as − como nos referimos − hiperestranha propriedade me faz lembrar as hiperestranhas part´ıculas subatˆomicas: temos fortes raz˜ oes para crer que os n´ umeros hipercomplexos venham a ter utilidade no estranho mundo das part´ıculas subatˆomicas (f´ısicas nuclear e quˆantica). A bem da verdade, em nosso sistema sacrificamos mais uma propriedade inerente aos corpos: a distributividade. Mas nem por isto estes sistemas alg´ebricos (n˜ao distributivos) deixam de ter interˆesse para a ciˆencia, vejamos a seguinte cita¸ca˜o ( [4], p´ ag. 167 ): “No tocante aos sistemas quˆanticos, tudo muda de figura. . . Procedendo-se analogamente ao caso cl´ assico, o reticulado a que se chega, conforme Birkhoff e ao distributivo;” Von Neuman, n˜ ao ´e a ´ algebra de Boole, por´em um reticulado n˜ Mais ` a frente (p´ag. 169): “Ele observa, seguindo a trilha de Birkhoff e Von Neuman, que o reticulado das proposi¸co˜es da mecˆanica quˆantica n˜ ao ´e distributivo. Mas, em vez de considerar as opera¸co˜es definidas entre as proposi¸co˜es do reticulado como novas opera¸co˜es que se superporiam aos conectivos cl´assicos, trata de mostrar que a posi¸ca˜o mais sensata ´e a de se aceitar tais opera¸co˜es como as opera¸co˜es de uma nova l´ogica proposicional, n˜ ao distributiva, a qual, ao ser aplicada a proposi¸co˜es relativas a fenˆomenos macrosc´opicos, recai na l´ogica cl´assica.” A interpreta¸ca˜o geom´etrica do produto complexo, como se sabe, ´e a de uma rota¸ca˜o; a do produto hipercomplexo, como veremos, combina as transao e oscila¸ca˜o. O nosso sistema possui divis˜ao. forma¸co˜es: rota¸ca˜o, reflex˜ Uma outra particularidade dos n´ umeros hipercomplexos ( H ) ´e que podem ser generalizados para o R3 ver ( [8]). − Minha gratid˜ao maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar a luz este trabalho. Isto ´e, assentar este tijolinho em sua magnˆanima obra. ` Gentil Lopes da Silva. Boa Vista-RR, 03 de junho de 2009. † Como

´ e a que se origina da hiperpropriedade de j, como j´ a exemplificamos.

Cap´ıtulo 1

Os N´ umeros Hipercomplexos−2D “Deus

criou os inteiros e todo o

resto ´ e obra do homem.” (Leopold Kronecker)

1.1

Considera¸ c˜ oes de ordem geral

A ingenuidade expressa na frase em ep´ıgrafe s´o ´e perdo´avel em fun¸ca˜o de umero ainda n˜ ao havia sido que para Kronecker (1823 − 91) o conceito de n´ devidamente compreendido. Por oportuno, em [6], lemos: A ambivalˆ encia dos matem´ aticos do s´ eculo XVIII em rela¸ c˜ ao aos n´ umeros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma “Como todos os n´ umeros conceb´ıveis s˜ ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica ent˜ ao claro que as ra´ızes quadradas de n´ umeros negativos n˜ ao podem ser inclu´ıdas entre os n´ umeros poss´ıveis [n´ umeros reais]. E esta circunstˆ ancia nos conduz ao conceito de tais n´ umeros, os quais, por sua pr´ opria natureza, s˜ ao imposs´ıveis, e que s˜ ao geralmente chamados de n´ umeros imagin´ arios, pois existem somente na imagina¸ c˜ ao.”

Observe que, na mente de Euler, “todos os n´ umeros conceb´ıveis s˜ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que, tamb´em Euler, n˜ ao havia atinado ainda com uma compreens˜ao necess´aria do conceito de n´ umero† . A bem da verdade, o conceito de n´ umero − assim como o de fun¸ca˜o − veio evoluindo ao longo dos s´eculos. Enquanto o conceito de fun¸ca˜o hoje encontrase “fechado”, digo, bem definido, o mesmo j´a n˜ ao acontece com o de n´ umero, assim creio. Agora aqui vai um parecer particular meu: o leitor estaria equivocado se acreditasse que os matem´aticos de hoje est˜ ao mais `a vontade com o conceito de n´ umero; isto mesmo, acredito que os matem´aticos, ainda hoje, n˜ ao tˆem uma no¸ca˜o exata do que seja um n´ umero. Com efeito, uma das raz˜ oes que me fazem acreditar nisto ´e que, por exemplo, n˜ ao sabem interpretar o significado da igualdade 0, 999 . . . = 1. Em fun¸ca˜o desta igualdade muitos crˆeem que 0, 999 . . . umero. Acreditamos que est˜ ao equivocados, por conta de que em [5] seja um n´ provamos que 0, 999 . . . = 0. E agora? Dentro do contexto em quest˜ ao leia tamb´em nosso artigo [7]. † Evidentemente que isto em nada diminui os m´ eritos destes grandes matem´ aticos, o que n˜ ao nos impede, todavia, de pˆ or em evidˆ encia esta curiosa particularidade.

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1.1.1

Como se Cria um Conjunto

O matem´atico William Rowan Hamilton (1805-1865) ([3]) ao perceber que os n´ umeros complexos poderiam ser representados por pontos no plano, isto ´e, por pares ordenados (x, y) de n´ umeros reais, teve a id´eia de generaliz´a-los para pontos no espa¸co a trˆes dimens˜oes. Isto ´e, para ternos ordenados (x, y, z). Por nada menos que dez anos Hamilton procurou pelos n´ umeros na terceira dimens˜ao sem lograr sucesso. O que significa procurar por estes n´ umeros? eles, por acaso, estariam perdidos em algum canto da natureza? Certamente que n˜ ao. Como j´a dissemos o homem, `a semelhan¸ca de Deus, tamb´em tem o poder de criar, e foi isto o que Hamilton intentou. E como se cria um conjunto num´erico? Respondemos: Definindo uma soma e uma multiplica¸ca˜o∗ . Por exemplo: ( (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) N´ umeros Complexos: (1.1) (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) pronto! est˜ ao criados os n´ umeros complexos. Portanto, o que Hamilton procurou foi definir uma soma e uma multiplica¸ca˜o de ternos ordenados. A soma nunca apresentou problemas, ´e f´acil, veja ( (a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f ) N´ umeros 3 −D : (a, b, c) · (d, e, f ) = ( ?, ?, ?) O que Hamilton intentou, sem lograr sucesso, foi preencher as trˆes interroga¸co˜es acima. O leitor poderia perguntar: porque Hamilton n˜ ao tomou, por exemplo ( (a, b, c) + (d, e, f ) = (a + d, b + e, c + f ) N´ umeros 3 −D : (1.2) (a, b, c) · (d, e, f ) = ( ad, be, cf ) ou uma outra defini¸ca˜o, dentre as in´ umeras que s˜ao poss´ıveis? E, de igual modo, porque n˜ ao se define a multiplica¸ca˜o complexa como (a, b) · (c, d) = (ac, bd) ? Esta n˜ ao facilitaria bem mais nossa vida que a outra multiplica¸ca˜o, sem d´ uvida, mais complicada? Respondemos por uma analogia: Podemos inventar um jogo com regras arbitr´arias. Se este jogo resultar interessante n˜ ao s´o ter´ a sua sobrevivˆencia garantida como conquistar´a muitos adeptos; caso contr´ario estar´ a fadado ao esquecimento. Ultimamente est´ a na moda a inven¸ca˜o de esportes. Por exemplo, outro dia vi na T.V., que algu´em criara o “surf na montanha”, logo ap´os a reportagem vaticinei a morte do esporte (sem nenhuma gra¸ca). Pois bem, o produto dado em (1.2) resulta desinteressante e por isto n˜ ao conquistou adeptos. Por outro lado, o produto definido em (1.1) resultou assaz interessante e, por conta disto, conquistou muitos adeptos. ∗ Existem condi¸ co ˜es adicionais sobre estas opera¸co ˜es. Condi¸co ˜es “intr´ınsecas” e ´ltimas, − assim cremos − ´ e que “extr´ınsecas” , diriamos. A mais importante, dentre estas u encias. resultem de utilidade nas ciˆ

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Gentil

“Conjuntos” num´ ericos n˜ ao s˜ ao conjuntos “No in´ıcio era o caos . . .

e Deus disse:

‘Que exista a luz!’ E a luz come¸ cou a existir.” (Gn 2: 3)

Acreditamos ser de algum proveito ao leitor tecermos alguns coment´ arios sobre a diferen¸ca entre conjunto e estrutura. Em matem´atica s˜ao freq¨ uentes conjuntos munidos de uma ou mais opera¸co˜es, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais opera¸co˜es e respectivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas alg´ebricas. Primeiramente observamos que quando nos referimos − na maioria das vezes − aos “conjuntos num´ericos” Z, R, C, por exemplo; estamos nos referindo, a estes conjuntos com suas respectivas opera¸co˜es, isto ´e, `as estruturas (Z, +, ·), (R, +, ·), etc. Para que o leitor perceba que n˜ ao ´e sem importˆ ancia essa distin¸ca˜o, fa¸camos uma analogia: Suponhamos que os elementos do nosso conjunto M sejam alguns materiais de constru¸ca˜o, assim: M = {tijolo, cimento, telha, pedra, areia, . . .}. “Sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo: - Edif´ıcio - Casa

M

- Ponte

H´ a tanta imprecis˜ ao em considerar um “conjunto” num´erico como um conjunto, quanto confundir o edif´ıcio com o conjunto M . Um outro s´ımile: Com um jogo de xadrez tamb´em podemos jogar damas. Em outras palavras, com o conjunto das pe¸cas de um xadrez podemos construir duas estruturas: dama e xadrez. Com as cartas de um baralho (conjunto das cartas) podemos ter diversos jogos (estruturas). Vejamos da matem´atica. Considere o conjunto de pon um exemplo retirado tos R2 = (a, b) : a, b ∈ R cuja vers˜ao geom´etrica ´e vista a seguir: R2

s(x, y)

0

12 sobre este conjunto podemos construir, por exemplo, trˆes estruturas, assim: R2

− Espa¸co vetorial

s(x, y)

− N´ umeros complexos

0

− Anel

Ou ainda,

R2

- Espa¸co vetorial :

(

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

- N´ umeros C :

(

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

- ANEL :

(

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

λ(a, b) = (λa, λb)

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

(a, b) · (c, d) = (ab, cd)

Assim o n´ umero de estruturas que podemos construir sobre um mesmo conjunto estar´ a limitado apenas por nossa criatividade. O objetivo do presente trabalho consiste, precisamente, em estudarmos mais umeros hipercomplexos (ver p´ ag. 15). uma estrutura construida sobre R2 : Os n´ Em matem´atica ´e extremamente importante a distin¸ca˜o entre conjunto e estrutura. Em alguns livros ao inv´es de conjunto dos n´ umeros reais diz-se sistema dos n´ umeros reais, designa¸ca˜o esta mais apropriada, uma vez que nos permite uma distin¸ca˜o entre conjunto e estrutura. Em fun¸ca˜o do exposto sugerimos a seguinte nota¸ca˜o: R =conjunto dos n´ umeros reais;

R =sistema dos n´ umeros reais

C =conjunto dos n´ umeros complexos;

C =sistema dos n´ umeros complexos

Observe que, de acordo com nossa conven¸ca˜o, C = R2 e C = R2 , +, · ) A Identidade de um Elemento Uma outra distin¸ca˜o que se faz necess´aria ´e quanto a natureza (identidade) de um elemento.

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Gentil

Perguntamos: afinal de contas o par ordenado (3, 2) ´e um vetor ou um n´ umero complexo? Respondemos: o par ordenado (3, 2), por si s´o, n˜ ao ´e nem uma coisa nem outra, ´e apenas um elemento do conjunto R2 . Agora dependendo do contexto em que nos situamos, este elemento pode ser um vetor ou um n´ umero complexo. Se, por exemplo, o par ordenado (3, 2) estiver inserido no contexto de espa¸co vetorial ele ser´a um vetor, se estiver inserido no contexto de n´ umeros complexos ele ser´a um n´ umero complexo. ´ como se fose um mesmo ator desempenhando v´arios pap´eis. Uma analogia: E Mais uma analogia: Nada nos impede de jogarmos dama com as mesmas pe¸cas do jogo de xadrez. A pe¸ca “bispo”, por exemplo, perderia esta designa¸ca˜o (perderia sua identidade) no jogo de dama. Observe ainda que as trˆes estruturas apresentadas anteriormente n˜ ao diferem ao o que vai conferir a identidade de um na adi¸ca˜o, mas na multiplica¸ca˜o. Ent˜ elemento ´e a regra de multiplica¸ca˜o. Estabelecemos agora algumas defini¸co˜es: Defini¸ c˜ ao 1 (Opera¸ca˜o). Sendo E um conjunto n˜ ao vazio, toda aplica¸c˜ ao f : E × E → E recebe o nome de opera¸c˜ ao sobre E. Para construirmos um sistema num´erico sobre um dado conjunto basta definirmos duas opera¸co˜es sobre este conjunto, uma das quais ser´a chamada de adi¸ca˜o e a outra de multiplica¸ca˜o, simbolizadas por + e ·, respectivamente. Mais formalmente, Defini¸ c˜ ao 2 (Sistema num´erico). Dado um conjunto E n˜ ao vazio e duas opera¸c˜ oes sobre E, +: E×E → E (x, y) 7→ x+y

·: E×E → E (x, y) 7→ x·y

A terna (E, +, ·) ´e o que entendemos por um sistema num´erico (ou estrutura num´erica). Usaremos da seguinte nota¸c˜ ao (E, +, ·) = E. Defini¸ c˜ ao 3 (N´ umero). Um “elemento” de um conjunto continuar´ a a ser chamado de elemento; agora, ao construirmos uma estrutura alg´ebrica sobre este conjunto, este elemento ter´ a adquirido o status de n´ umero. Por exemplo, N = {1, 2, 3, . . .} enquanto que 1 ´e 1 ´e um elemento do conjunto dos naturais
um n´ umero da estrutura N = N, +, · . Continuaremos a usar o s´ımbolo de pertinˆencia (∈) tanto de elemento para conjunto quanto de n´ umero para estrutura. Por exemplo, 1 ∈ N, 1 ∈ N No primeiro caso 1 ´e um reles elemento do conjunto dos naturais; enquanto no segundo caso, 1 ter´ a adquirido o status de n´ umero do sistema num´erico dos naturais. Ap´os a defini¸ca˜o de n´ umero queremos colocar em relevo (fazer uma cr´ıtica) a uma cita¸ca˜o do l´ogico e filos´ofo Bertrand Russel, ei-la: Um dos erros que retardaram a descoberta de defini¸co ˜es corretas nessa regi˜ ao ´ e a id´ eia comum de que cada extens˜ ao de n´ umero inclui os gˆ eneros anteriores como casos especiais.

14 Pensou-se, ao se tratar de n´ umeros positivos e negativos, que os inteiros positivos podiam ser identificados com os inteiros originais sem sinal. Pensou-se tamb´ em que uma fra¸ca ˜o cujo denominador ´ e 1 pudesse ser identificada com o n´ umero natural que ´ e o seu numerador. E pensou-se que os n´ umeros irracionais, tais como a raiz quadrada de 2, tivessem lugar entre as fra¸co ˜es racionais, como maiores do que algumas delas e menores do que outras, de modo que os n´ umeros racionais e os irracionais pudessem ser tomados juntos como uma classe, chamada “n´ umeros reais”. E quando a id´ eia de n´ umero foi mais estendida de forma a incluir os n´ umeros “complexos”, isto ´ e, n´ umeros envolvendo a raiz quadrada de −1, pensou-se que os n´ umeros reais pudessem ser considerados como aqueles entre os n´ umeros complexos nos quais a parte imagin´ aria (isto ´ e, a parte que era um m´ ultiplo da raiz quadrada de −1) fosse zero. Todas essas suposi¸co ˜es eram errˆ oneas, devendo ser rejeitadas, como veremos, para que possam ser dadas defini¸co ˜es corretas. Do livro: “Introdu¸ca ˜o ` a filosofia matem´ atica” de Bertrand Russell/ZAHAR EDITORES/Rio de Janeiro.

Seremos for¸cados a discordar do eminente fil´osofo. Sen˜ao, vejamos: “Um dos erros que retardaram a descoberta de defini¸co˜es corretas nessa regi˜ao ´e a

id´ eia eneros anteriores como casos especiais.” comum de que cada extens˜ ao de n´ umero inclui os gˆ

“Pensou-se, ao se tratar de n´umeros positivos e negativos, que os inteiros positivos podiam ser identificados com os inteiros originais sem sinal.”

O erro de Russel est´ a, precisamente, em confundir conjunto com estrutura, ou ainda: elemento com n´ umero. De fato, na constru¸ca˜o dos inteiros a partir dos naturais, temos (por exemplo), 1∈N 1′ = (1, 0) =



(1, 0); (2, 1); (3, 2); (4, 3); . . .



∈Z

De fato, n˜ ao temos N ⊂ Z, porquanto 1 ∈ N e 1 6∈ Z. Entretanto, temos 1 ∈ N e 1′ ∈ Z+ ⇒ 1 = 1′ Em fun¸ca˜o da existˆencia do isomorfismo (entre estruturas): a∈N

φ

(a, 0) ∈ Z+

onde, Z+ = { (a, 0) : a ∈ N }, +, · ). Ou seja, a existˆencia de uma imers˜ ao entre estruturas num´ericas, nos permite sim identificar n´ umeros. “Pensou-se tamb´em que uma fra¸ca˜o cujo denominador ´e 1 pudesse ser identificada com o n´ umero natural que ´ e o seu numerador.” Isto tamb´ em ´e verdade.

15

Gentil

1.2

Defini¸ c˜ ao: N´ umeros Hipercomplexos

Seja R o conjunto dos n´ umeros reais. Consideremos o produto cartesiano R × R = R2 :  R2 = (x, y) : x, y ∈ R

Vamos tomar dois elementos neste conjunto, (a, b) e (c, d) para dar trˆes importantes defini¸co˜es: ( i ) Igualdade: dois pares ordenados s˜ao iguais se, e somente se, ocorre o seguinte: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d.

( ii ) Adi¸ca˜o: chama-se adi¸ca˜o de dois pares ordenados a um novo par ordenado, obtido da seguinte forma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ( iii ) Multiplica¸ca˜o: chama-se multiplica¸ca˜o de dois pares ordenados a um novo par ordenado, obtido da seguinte forma: (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ), onde, na abscissa do produto, tomamos − se a c ≥ 0, tomamos + caso contr´ario. Defini¸ c˜ ao 4 (N´ umeros hipercomplexos). Chama-se sistema dos n´ umeros hipercomplexos, e representamos por H, ao sistema de pares ordenados de n´ umeros reais para os quais est˜ ao definidas a igualdade, a adi¸c˜ ao e a multiplica¸c˜ ao conforme o ´ıtem acima. (11.12.2008) Adendo: Poderia-se perguntar: Quais as propriedades que uma estrutura† deveria satisfazer para ser considerada uma estrutura num´erica; isto ´e, para que tenhamos creado alguma esp´ecie de n´ umeros? A este respeito, os matem´aticos − n˜ ao raro − s˜ao guiados por motiva¸co˜es “est´eticas” (no que n˜ ao est˜ ao errados) e por “dogmas”, isto ´e pr´e-conceitos (no que est˜ ao errados). A bem da verdade, no que diz respeito `as crea¸co˜es matem´aticas, as aplica¸co˜es pr´aticas sempre dir˜ ao a u ´ltima palavra; de outro a ascendˆencia sobre as preferˆencias modo: a utilidade de uma teoria sempre ter´ ou motiva¸co˜es dos matem´aticos. Digo, se algo deu provas cabal de sua utilidade, n˜ ao ser˜ao os matem´aticos que, por algum ou outro capricho, o colocar˜ ao no ´ındex. Veja-se por exemplo, o caso da fun¸ c~ ao delta ( δ ) de Dirac, na F´sica.

Defini¸ c˜ ao 5 (N´ umeros hipercomplexos). Chama-se sistema dos n´ umeros hipercomplexos, e representamos por H, ao sistema de pares ordenados de n´ umeros reais para os quais est˜ ao definidas a igualdade, a adi¸c˜ ao e a multiplica¸c˜ ao conforme o ´ıtem acima. Representaremos cada elemento gen´erico (x, y) ∈ H com o s´ımbolo w, portanto: w ∈ H ⇔ w = (x, y) ∈ ( R2 , +, ·) † Digo,

um conjunto munido com duas opera¸co ˜es.

16 Nota: Na p´ ag. 65 mostramos um programa para multiplicar dois hipercomplexos. Exemplos: 1o ) Calcule a soma e o produto dos pares dados a seguir: w2 = (0, −1)

(i)

w1 = (0, 1),

( ii )

w1 = (−1, 0),

w2 = (0, 1)

( iii )

w1 = (1, −1),

w2 = (0, 1)

( iv )

w1 = (0, 1),

w2 = (1, 1)

(v)

w1 = (−1, 1),

w2 = (1, 1)

Solu¸ c˜ ao: ( i ) Temos,
w1 + w2 = (0, 1) + (0, −1) = 0 + 0, 1 + (−1) = (0, 0)

O produto ´e calculado assim:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(0, 1) · (0, −1) = 0 · 0 − 1 · (−1), |0| · (−1) + 1 · |0| = (1, 0)

( ii ) Temos,


w1 + w2 = (−1, 0) + (0, 1) = − 1 + 0, 0 + 1 = (−1, 1)

O produto ´e calculado assim:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(−1, 0) · (0, 1) = − 1 · 0 − 0 · 1, | − 1| · 1 + 0 · |0| = (0, 1)

( iii ) Temos,


w1 + w2 = (1, −1) + (0, 1) = 1 + 0, −1 + 1 = (1, 0)

O produto ´e calculado assim:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(1, −1) · (0, 1) = 1 · 0 − (−1) · 1, |1| · 1 + (−1) · |0| = (1, 1)

( iv ) Temos,


w1 + w2 = (0, 1) + (1, 1) = 0 + 1, 1 + 1 = (1, 2)

O produto ´e calculado assim:

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) ( v ) Temos,


(0, 1) · (1, 1) = 0 · 1 − 1 · 1, |0| · 1 + 1 · |1| = (−1, 1)
w1 + w2 = (−1, 1) + (1, 1) = − 1 + 1, 1 + 1 = (0, 2)

17

Gentil

O produto ´e calculado assim: (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(−1, 1) · (1, 1) = − 1 · 1 + 1 · 1, | − 1| · 1 + 1 · |1| = (0, 2)

2o ) Dados w1 = (−1, 1) e w2 = (1, 2), calcule w de modo que w1 · w = w2 . Solu¸ c˜ ao: Tomemos w = (x, y), ent˜ ao,

Temos,

w1 · w = w2 ⇒ (−1, 1) · (x, y) = (1, 2), (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(−1, 1) · (x, y) = − 1 · x ∓ 1 · y, | − 1| · y + 1 · |x| = (1, 2)

− Inicialmente vamos pesquisar a solu¸ca˜o de nossa equa¸ca˜o no semi-plano x > 0; sendo assim, temos:
− x + y, y + x = (1, 2)

Sendo assim, resulta: (

−x + y

=1

x+y

=2

⇒ (x, y) =

1 3 , 2 2

− Agora vamos pesquisar uma (poss´ıvel) solu¸ca˜o para a nossa equa¸ca˜o no semiplano x ≤ 0; sendo assim, temos:
− x − y, y − x = (1, 2)

Sendo assim, resulta: (

−x − y −x + y

=1 =2

⇒ (x, y) =



3 1 − , 2 2

Observe que, em H, uma equa¸ca˜o do 1o grau pode ter mais que uma solu¸ca˜o. Evidentemente isto acontece por que H n˜ ao ´e um corpo.

1.3

Propriedades das opera¸ c˜ oes

Proposi¸ c˜ ao 1. A opera¸c˜ ao de adi¸c˜ ao define em H uma estrutura de grupo comutativo, isto ´e, verifica as seguintes propriedades: A1) Propriedade associativa; A2) propriedade comutativa; A3) existˆencia do elemento neutro; A4) existˆencia do elemento sim´etrico (ou oposto). Prova: Deixamos como exerc´ıcio.  Apenas observamos que, 0 = (0, 0) ´e o elemento neutro para a adi¸ca˜o. Dado w = (x, y) temos que −w = (−x, −y) ´e o seu oposto aditivo, isto ´e, w + (−w) = 0.

18 Subtra¸ c˜ ao Decorre da proposi¸ca˜o anterior que, dados os hipercomplexos w1 = (a, b) e w2 = (c, d) existe um u ´nico w ∈ H tal que w1 + w = w2 . Esse n´ umero w ´e chamado diferen¸ca entre w2 e w1 e indicado por w2 − w1 . Proposi¸ c˜ ao 2. A opera¸c˜ ao de multiplica¸c˜ ao em H verifica as seguintes propriedades: M1) Propriedade comutativa; M2) n˜ ao associativa; M3) existˆencia do elemento neutro; M4) existˆencia do elemento inverso; M5) n˜ ao distributiva em rela¸c˜ ao ` a adi¸c˜ ao. M1) Propriedade comutativa. Dados w1 = (a, b) e w2 = (c, d) temos: w1 · w2 = (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) w2 · w1 = (c, d) · (a, b) = ( c a ∓ d b, |c| b + d |a| ), comparando estas equa¸co˜es concluimos pela comutatividade do produto. M2) N˜ ao associativa. Tomando, por exemplo, w1 = (0, 1), w2 = (−1, 0), w3 = (1, −1). Resulta (confira), (w1 · w2 ) · w3 = (1, 1) w1 · (w2 · w3 ) = (−1, 1) M3) Existˆencia do elemento neutro. Existe 1 = (1, 0) ∈ H com a seguinte propriedade: w · 1 = w, ∀ w ∈ H. De fato, considerando w = (a, b) temos, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (a, b) · (1, 0) = (a · 1 ∓ b · 0, |a| · 0 + b · |1| ) = (a, b) Nota: Da comutatividade da multiplica¸ca˜o decorre a unicidade do elemento neutro. Com efeito, assim: sejam u e u˜ dois elementos neutros para a multiplica¸ca˜o. Sendo assim, ter-se-`a, por um lado, w · u = w, para todo w ∈ H; em particular u ˜·u = u ˜ (∗). Por outro lado tamb´em temos w · u ˜ = w, para todo w ∈ H; em particular u · u ˜ = u. Esta u ´ltima igualdade pode ser reescrita como u ˜ · u = u. Daqui e de (∗) concluimos que u = u ˜.

19

Gentil

M4) Existˆencia do elemento inverso. Desejamos mostrar que, ∀ w ∈ H∗ , ∃ w−1 ∈ H / w · w−1 = 1. De fato, tomando w = (a, b) 6= (0, 0), procuramos w′ = (x, y) satisfazendo w · w′ = (1, 0); ent˜ ao: (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (a, b) · (x, y) = (a · x ∓ b · y, |a| y + b |x| ) = (1, 0) Daqui montamos o seguinte sistema,   ax ∓ by = 1

 |a| y + b |x| = 0

Para resolver este sistema temos quatro possibilidades quanto aos sinais de a e x, de acordo com a tabela a seguir: a

x

(i)

+

+

( ii )

+ −

−

( iii ) ( iv )

−

+ −

Ent˜ ao, ( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x − b y = 1

 ay + bx = 0

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! x a −b = · y b a

1 0

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a a2 +b2 ,

y=

−b a2 +b2

( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x + b y = 1 a y − b x = 0

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! a b x · = −b a y

1 0

!

20 Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a a2 +b2 ,

y=

b a2 +b2

Esta solu¸ca˜o, n´ os descartamos, pois contradiz a hip´otese de que a e x tˆem sinais contr´ arios. ( iii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:   ax + by = 1 −a y + b x = 0

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! x a b = · y b −a

1 0

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a a2 +b2 ,

y=

b a2 +b2

Esta solu¸ca˜o, n´ os descartamos, pois contradiz a hip´otese de que a e x tˆem sinais contr´ arios. ( iv ) Neste caso, o sistema reduz-se a:   ax − by = 1 −a y − b x = 0

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! x a −b = · y −b −a

1 0

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a a2 +b2 ,

y=

−b a2 +b2

Esta solu¸ca˜o, coincide com a primeira. Portanto existe,
a −b w′ = a2 +b 2 , a2 +b2

(e ´e u ´nico, pelo que vimos), chamado inverso ou inverso multiplicativo de w, que multiplicado por w = (a, b) d´ a como resultado 1 = (1, 0). Divis˜ ao Devido a existˆencia do inverso multiplicativo, podemos definir em H a opera¸ca˜o w w de divis˜ao, simbolizada por 1 , estabelecendo que 1 = w1 · w2′ = w1 · w2−1 , w2 w2 onde mudamos de nota¸ca˜o: w2′ = w2−1 . M5) A multiplica¸ca˜o ´e n˜ ao distributiva em rela¸ca˜o `a adi¸ca˜o. Tomando, por exemplo, a = (1, 1), b = (−1, −1) e c = (0, −1), obtemos a · (b + c) = (−3, −1) a · b + a · c = (−1, −1)

21

Gentil

1.4

Imers˜ ao de R em H

˜ de H na qual R ˜ ´e formado pelos pares Consideremos agora a subestrutura R ordenados cujo segundo termo ´e nulo:  ˜ = (a, b) ∈ R2 : b = 0 R

˜ que leva cada x ∈ R ao par Consideremos agora a aplica¸ca˜o f , de R em R, ˜ tipo assim: (x, 0) ∈ R,

f

R

˜ R

a

(a, 0)

b

(b, 0)

a+b

H

(a + b, 0)

a·b

(a · b, 0)

f: R x

˜ R (x, 0)

Primeiramente notemos que f ´e bijetora, porquanto: ˜ ´e o correspondente, segundo f , de x ∈ R (isto quer ( i ) todo par (x, 0) ∈ R dizer que f ´e sobrejetora); ˜ ( ii ) Dados x ∈ R e x′ ∈ R, com x 6= x′ os seus correspondentes (x, 0) ∈ R ′ ˜ e (x , 0) ∈ R s˜ao distintos, de acordo com a defini¸ca˜o de igualdade de pares ordenados (isto quer dizer que f ´e injetora). Em segundo lugar, notemos que f preserva as opera¸co˜es de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o pois, f (a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f (a) + f (b) No que concerne ` a multiplica¸ca˜o, temos: f (a b) = (a b, 0). Desejamos mostrar que f (a b) = f (a) · f (b) Isto ´e, que

? f (a) · f (b) = (a, 0) · (b, 0) = (a b, 0)

Ent˜ ao, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(a, 0) · (b, 0) = a · b ∓ 0 · 0, |a| · 0 + 0 · |b| = (ab, 0)

22 ˜ que preserva as opera¸co˜es Devido ao fato de existir uma aplica¸ca˜o f : R → R ˜ s˜ao isomorfos. de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o, dizemos que R e R Devido ao isomorfismo, operar com (x, 0) leva a resultados an´alogos aos obtidos operando com x; em raz˜ ao disto, de agora em diante, faremos a identifica¸ca˜o que se segue: x = (x, 0), ∀ x ∈ R Aceita esta conven¸ca˜o, em particular resulta: 0 = (0, 0), 1 = (1, 0), −1 = (−1, 0), a = (a, 0) Assim o corpo R dos n´ umeros reais passa a ser considerado uma subestrutura do sistema H dos n´ umeros hipercomplexos: R ⊢ H. Demonstraremos agora algumas proposi¸co˜es elementares, em H: Proposi¸ c˜ ao 3. Para todo w = (a, b) ∈ H, vale: 0·w =0 Prova: Temos: (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(0, 0) · (a, b) = 0 · a ∓ 0 · b, |0| · b + 0 · |a| = (0, 0) Proposi¸ c˜ ao 4. Sejam, w = (a, b), w′ = (c, d) ∈ H, temos: w · w′ = 0

⇒

w = 0 ou w′ = 0.

Prova: Temos: (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) Ent˜ ao,


(a, b) · (c, d) = a · c ∓ b · d, |a| · d + b · |c| = (0, 0) (

ac ∓ bd = 0

|a|d + b|c| = 0

Devemos considerar quatro possibilidades de acordo com os sinais de a e c: a

c

(i)

+

+

( ii )

+

( iii )

−

−

( iv )

Ent˜ ao,

−

+ −



23

Gentil

( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a:  a c − b d = 0

a d + b c = 0

Suponhamos que w = (a, b) 6= 0 e vamos determinar w′ = (c, d). Neste caso o sistema toma a forma, a b

−b a

!

·

c d

!

=

0 0

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, c=

0 a2 +b2 ,

d=

0 a2 +b2

Portanto, w′ = 0. ( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:  a c + b d = 0

a d − b c = 0

Suponhamos que w = (a, b) 6= 0 e vamos determinar w′ = (c, d). Neste caso o sistema toma a forma a b −b a

!

·

c d

!

=

0 0

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, c=

0 a2 +b2 ,

d=

0 a2 +b2

Portanto, w′ = 0. E assim prova-se os outros dois casos restantes. Provaremos agora uma importante propriedade do sistema H:



Proposi¸ c˜ ao 5. Para todo k ∈ R, e para todo w = (a, b) em H, a seguinte identidade ( (k a, k b), se k ≥ 0; k · (a, b) = ( k a, |k| b ) = (k a, −k b), se k < 0. se verifica. Prova: De fato, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(k, 0) · (a, b) = k · a ∓ 0 · b, |k| · b + 0 · |a| = ( k a, |k| b )

 Esta proposi¸ca˜o nos proporciona um fenˆomeno que n˜ ao ocorre em R ou em C.

24 Corol´ ario 1. Em H a seguinte identidade −1 · x = −x ´e falsa. Prova: De fato, tomando x = (0, 1), resulta, −x = −(0, 1) = (0, −1) −1 · x = (−1 · 0, | − 1| · 1) = (0, 1)  Sendo assim ´e importante estar atento para o fato de que, ao contr´ario do que ocorre em R, ou em C, em H ´e necess´ario distinguir entre −x e −1 · x. Observe que, enquanto no primeiro caso temos o oposto aditivo de x, no segundo caso temos o produto de dois hipercomplexos: −1 = (−1, 0) e x = (a, b). Podemos visualizar isto graficamente, assim:

−1 · x

x

−x

x

−x

C : −x = −1 · x

H : −x 6= −1 · x

Observe, outrossim, que em H n˜ ao vale a propriedade de cancelamento para a multiplica¸ca˜o; para se convencer disto considere a seguinte igualdade, 1 · (0, 1) = −1 · (0, 1) Isto se deve ao fato da multiplica¸ca˜o n˜ ao ser associativa. Defini¸ c˜ ao 6 (Oposto multiplicativo). Dado w ∈ H definiremos como seu oposto multiplicativo o n´ umero −1 · w.

1.5

Unidade hiperimagin´ aria

umero hipercomChamamos unidade hiperimagin´aria e indicamos por j o n´ plexo (0, 1). Este n´ umero possui duas propriedades que, em conjunto, n˜ ao s˜ao partilhadas por nenhum n´ umero complexo, quais sejam: j 2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1 · 1, 0) = −1, por outro lado, como vimos antes, −1 · j = j. Em resumo: ( j 2 = −1 −1 · j = j

Nos referiremos a estas duas propriedades como a: hiperpropriedade.

(1.3)

25

Gentil

Problemas insol´ uveis em C, mas com solu¸ c˜ ao em H ´ de se esperar que, de posse desta propriedade u ´nica de j, consigamos resolver E toda uma classe de novos problemas que n˜ ao tˆem solu¸ca˜o no sistema C. E de fato isto acontece. Com efeito, estas propriedades j´a nos d˜ ao uma indica¸ca˜o do tipo destes problemas, observe: Problema

Propriedade

H:

(

(

j 2 = −1,

−1 · j = j

x2 + 1 = 0, −1 · x − x = 0

Ou seja, n˜ ao existe nenhum n´ umero complexo x satisfazendo, simultˆ aneamente, as duas condi¸co˜es ` a direita. Acontece que, como diz o velho ad´agio popular, “onde passa um boi, passa uma boiada” , quero dizer: se a hiperpropriedade nos faculta resolver um problema insol´ uvel em C ent˜ ao pode nos facultar uma infinidade deles. Vejamos mais um exemplo, o seguinte sistema: (

x+y

=0

(−1 · x − y) · y

=2

n˜ ao possui solu¸ca˜o nos complexos, apenas nos hipercomplexos.

1.5.1

Forma alg´ ebrica

Dado um n´ umero hipercomplexo qualquer w = (x, y), temos: w = (x, y) = (x, 0) + (0, y) Temos, ( i ) (x, 0) = x. ( ii ) Se y ≥ 0, ent˜ ao (0, y) = y (0, 1) = y j. Se y ≤ 0 ( |y| = −y ), ent˜ ao −j y = y · (−j) = y · ( 0, −1 ) = ( y · 0, |y| · (−1) ) = ( 0, (−y) · (−1) ) = (0, y) Tendo em conta estes resultados podemos escrever, w = (x, y) =

(

x + j y, x − j y,

se y ≥ 0;

se y ≤ 0.

(1.4)

Assim, todo n´ umero hipercomplexo w = (x, y) pode ser escrito sob a forma umero real x ´e chamado parte real de w, acima, chamada forma alg´ebrica. O n´ o n´ umero real y ´e chamado parte hiperimagin´aria de w. Neste momento precisamos fazer um esclarecimento assaz importante: A estas alturas o leitor j´ a percebeu que a ´algebra hipercomplexa ´e “ligeiramente” distinta da ´ algebra real ou complexa. Isto nos obriga a estar (bastante) atentos

26 quanto ` as nota¸co˜es. Por exemplo, consideremos as quatro formas seguintes x−jy x−yj x + j(−y) x + y(−j) Vejamos o significado da segunda parcela em cada uma delas: −jy, −yj, j(−y), y(−j),

significa: significa: significa: significa:

o o o o

oposto oposto oposto oposto

de de de de

j y y j

que multiplica y que multiplica j que multiplica j que multiplica y

O leitor pode mostrar, a partir da proposi¸ca˜o 5, que −jy 6= −yj = j(−y) Um milagre aos olhos dos habitantes Complexos Se, algum dia, um matem´atico do Universo complexo se defrontar com a seguinte equa¸ca˜o elementar: (−1 · x + x) · x = −1, ˆele teria duas sa´ıdas: abandonar o “jogo”, ou consultar um matem´atico do “universo Hipercomplexo”∗. De fato, esta ´e uma equa¸ca˜o imposs´ıvel de se resolver dentro dos universos num´ericos conhecidos dos matem´aticos (hodiernos), em raz˜ ao de que vale: (−1 · x + x) · x = −1

⇐⇒

0 · x = −1

Pois bem, vamos assumir o desafio. Proposi¸ c˜ ao 6 (Gentil/04.12.2008). A seguinte equa¸c˜ ao, (−1 · x + x) · x = −1

(1.5)

possui solu¸c˜ ao em H. Prova: Tomando x = (c, d ), temos −1 · x = −1 · (c, d ) = (−c, d ), pela prop. 5, p´ ag. 23. Portanto, −1 · x + x = (−c, d ) + (c, d ) = (0, 2d ) Substituindo este resultado em (1.5), obtemos (0, 2d ) · (c, d ) = −1 O produto acima fica, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (0, 2d) · (c, d) = 0 · c ∓ 2d · d, |0| · d + 2d · |c| = (−2d2 , 2|c|d ) = (−1, 0) ∗ No

caso eu, que por enquanto, sou o u ´nico habitante deste Universo.




27

Gentil

´ f´acil ver que para c 6= 0 o problema n˜ E ao tem solu¸ca˜o. Para c = 0 concluimos √ que d = ± 2/2. Portanto, √   √ √
2 ⇒ x = 2/2 j ou x = − 2/2 j . x = 0, ± 2 Observe que o n´ umero j foi o respons´ avel por este milagre!  A t´ıtulo de curiosidade, observe que, das duas equa¸co˜es abaixo: x2 + 1 = 0 (−1 · x + x) · x + 1 = 0 Com o n´ umero i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o n´ umero j resolvemos as duas. − Considerando a equa¸ca˜o, 0 · x = b, b 6= 0

(1.6)

nos reais, ou complexos; como, nestes universos, vale 0 = −1 · x + x 0 = −1 · (−x) + (−x) Segue-se que, 0·x =b

⇐⇒

 (−1 · x + x) · x = b

(1.7)

(−1 · (−x) + (−x)) · x = b

Em H, embora n˜ ao possamos resolver diretamente a equa¸ca˜o (1.6), podemos resolver suas equivalentes, dadas acima. Se b > 0, resolvemos a segunda das equa¸co˜es em (1.7), caso contr´ario resolvemos a primeira. Por exemplo, seja a equa¸ca˜o 0 · x = 1, ent˜ ao, 0·x=1

⇐⇒

(−1 · (−x) + (−x)) · x = 1

Tomando x = (c, d), temos, −x = (−c, −d), logo, −1 · (−x) + (−x) = −1 · (−c, −d) + (−c, −d) = (c, −d) + (−c, −d) = (0, −2d) Ent˜ ao, (−1 · (−x) + (−x)) · x = 1 ⇒ (0, −2d) · (c, d) = 1 O produto acima fica, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (0, (−2d)) · (c, d) = 0 · c ∓ (−2d) · d, |0| · d + (−2d) · |c| = (2d2 , −2|c|d ) = (1, 0)




´ f´acil ver que para c 6= 0 o problema n˜ E ao tem solu¸ca˜o. Para c = 0 concluimos √ que d = ± 2/2. Portanto, √   √ √
2 ⇒ x = 2/2 j ou x = − 2/2 j . x = 0, ± 2

28

1.5.2

Exegese da unidade hiperimagin´ aria

Sabemos que, dado um n´ umero complexo z, a interpreta¸ca˜o geom´etrica do produto i z ´e a de uma rota¸ca˜o de 90o − no sentido positivo, isto ´e anti-hor´ario − do complexo z. Pretendemos saber o que acontece, geometricamente, quando multiplicamos um hipercomplexo w pela unidade hiperimagin´aria j. Inicialmente recordamos a f´ormula para rota¸ca˜o − de um ˆangulo θ − de um ponto (x, y) no plano: (x′ , y ′ ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)

(1.8)

Desta f´ ormula obtemos, R( 90o ) = (x cos 90o − y sen 90o , x sen 90o + y cos 90o ) = (−y, x)

(1.9)

R( −90o ) = (x cos 90o + y sen 90o , −x sen 90o + y cos 90o ) = (y, −x) (1.10) Seja w = (x, y) ∈ H, ent˜ ao (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (0, 1) · (x, y) = 0 · x ∓ 1 · y, |0| · y + 1 · |x| Ent˜ ao,




j w = (−y, |x| )

Ent˜ ao,

Se x ≥ 0 ⇒ j w = (−y, x ) Se x ≤ 0 ⇒ j w = (−y, −x ) = −1 · (y, −x ) Comparando estes resultados com as equa¸co˜es (1.9) e (1.10), concluimos que pontos do lado direito do eixo y s˜ao rotacionados de 90o no sentido anti-hor´ario, assim: y

jw

q

w

q 0

x

q

e que pontos do lado esquerdo do eixo y sofrem uma rota¸ca˜o de 90o no sentido hor´ ario seguida de uma reflex˜ ao em torno do eixo y, assim: y

y

jw

jw

q w

q

q

q q

0

q

x

q w

q

0

q

q

x

29

Gentil

“Interse¸ c˜ ao” entre H e C Agora vamos confrontar a multiplica¸ca˜o (a, b) · (c, d) nos sistemas H e C para efeito de compara¸ca˜o, assim: (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )

Comparando as duas regras concluimos que estas multiplica¸co˜es coincidem no semi-plano x ≥ 0. y H=C x

0

A “igualdade” H = C na figura acima, significa t˜ ao somente isto: Ao tomarmos dois pontos nesta regi˜ ao sua soma e multiplica¸ca˜o fornecem o mesmo resultado nestes dois sistemas. Observe que j encontra-se nesta regi˜ao, o que significa que (no semi-plano x ≥ 0) ele tem as mesmas propriedades operat´orias que i, enquanto que no semi-plano x < 0 verifica-se, j = (0, 1) 6= (0, 1) = i ao vale o axioma: Aqui n˜ “Duas quantidades iguais a uma terceira, s˜ao iguais entre si.” De um modo mais esot´erico: i e j habitam um mesmo corpo, todavia, s˜ao esp´ıritos distintos. S˜ ao como gˆemeos.

Transforma¸c˜ oes geom´ etricas No universo Complexo, o significado geom´etrico da opera¸ca˜o de adi¸ca˜o ´e uma transla¸c˜ ao, assim: (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) O significado geom´etrico da opera¸ca˜o de multiplica¸ca˜o ´e uma rota¸c˜ ao, assim: (x, y) · (cos θ, sen θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) Atrav´es da multiplica¸ca˜o vejamos como implementar uma outra transforma¸ca˜o geom´etrica, a reflex˜ ao em torno do eixo y, por exemplo. De outro modo: dado o ponto de coordenadas (x, y) como, atrav´es da multiplica¸ca˜o, obter uma reflex˜ ao deste ponto em torno do eixo y? Geometricamente: y

y ?

(−x, y)

(x, y)

q

(−x, y)

(x, y)

q θ

q

0

q

x

q

0

q

x

30 A figura da direita nos sugere que devemos rotacionar o ponto (x, y) de um certo ˆ angulo θ de tal modo que o produto venha a coincidir com a reflex˜ ao desejada. Para encontrar o “ˆ angulo de reflex˜ ao” devemos resolver a equa¸ca˜o, (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) = (−x, y) Ou ainda: (

x cos θ − y sen θ

= −x

x sen θ + y cos θ

=y

Multiplicando a primeira equa¸ca˜o por x, a segunda por y e somando as duas obtemos cos θ. Multiplicando a primeira equa¸ca˜o por y, a segunda por −x e somando as duas obtemos sen θ, assim: cos θ =

−x2 + y 2 , x2 + y 2

sen θ =

2xy x2 + y 2

Observe que para obtermos o mesmo resultado nos Hipercomplexos, basta multiplicar por −1, assim: −1 · (x, y) = (−x, y)

1.6

Forma trigonom´ etrica

Defini¸ c˜ ao 7 (Conjugado). Chama-se conjugado do hipercomplexo w = (a, b) ao hipercomplexo w = (a, −b), isto ´e: w = (a, b) ⇔ w = (a, −b) Defini¸ c˜ ao 8 (Norma). Chama-se norma do hipercomplexo w = (a, b) ao n´ umero real N (w) = a2 + b2 Defini¸ c˜ ao 9 (M´odulo). Chama-se m´ odulo (ou valor absoluto) do hipercomplexo w = (a, b) ao n´ umero real |w| =

p p N (w) = a2 + b2

Nota: Alternativamente podemos usar a nota¸ca˜o: ρ, para o m´odulo. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor, mostrar que w · w = |w|2 . Observe que o inverso de w = (a, b) pode ser escrito como, w−1 =



 a −b  −b  a −1 ⇔ w = , , a2 + b 2 a2 + b 2 |w|2 |w|2

Ou ainda, w−1 =

1 ( a, −b ). |w|2

31

Gentil

Defini¸ c˜ ao 10 (Argumento). Chama-se argumento de um hipercomplexo w = (x, y), n˜ ao nulo, ao ˆ angulo θ tal que x y cos θ = , sen θ = ρ ρ Observe que existe ao menos um ˆangulo θ satisfazendo a defini¸ca˜o, pois x
2 y
2 cos2 θ + sen 2 θ = + ρ ρ x2 + y 2 = 1. ρ2

=

Fixado o hipercomplexo w 6= 0, est˜ ao fixados cos θ e sen θ, mas o ˆangulo θ pode assumir infinitos valores, congruentes dois a dois. Assim o hipercomplexo w 6= 0 tem argumento, θ = θ0 + 2 k π; k ∈ Z

onde θ0 ´e chamado argumento principal de w, ´e tal que x y cos θ0 = , sen θ0 = . ρ ρ e 0 ≤ θ0 < 2π.

(1.11)

Por vezes trabalharemos com θ0 chamando-o simplesmente argumento de w. Exemplos: q√ √ ao 1o ) Para w = 3 + i, temos ρ = ( 3)2 + 12 + 02 = 2, ent˜  √  x 3   cos θ0 = =   ρ 2    sen θ0    

=

1 y = ρ 2

Tendo em conta (1.11), resulta

θ0 =

π π ⇒ θ = + 2kπ 6 6

√ ao 2o ) Para w = (0, 1), temos ρ = 02 + 12 = 1, ent˜  x 0    cos θ0 = ρ = 1 = 0 Sendo assim, temos

    sen θ0

=

y 1 = ρ 1

cos θ0 = 0 sen θ0 = 1 Temos θ=

⇒ π + 2kπ 2

θ0 =

π 2

32 Plano de Argand-Gauss Podemos representar gr´aficamente um hipercomplexo w = (x, y), no assim chamado plano de Argand-Gauss, do seguinte modo: Y

y

P ρ θ0

X

x

O

Note que a distˆancia entre w = (x, y) e O = (0, 0) ´e o m´odulo de w: p |w| = x2 + y 2 = ρ

Nomenclatura:

XOY = plano de Argand-Gauss; OX = eixo real; OY = eixo hiperimagin´ario; P = afixo de w. A seguinte inequa¸ca˜o: | − 1 · x + x| > 1 n˜ ao possui solu¸ca˜o no campo complexo. No hipercomplexo sim. Com efeito, tomemos x = (a, b), ent˜ ao: −1 · x + x = −1 · (a, b) + (a, b) = (−a, b) + (a, b) = (0, 2b) Portanto, | − 1 · x + x| = |(0, 2b)| = ent˜ ao,

p 02 + (2b)2 = |2b| > 1,

1 1 1 ⇔ b> ou b < − 2 2 2 Podemos visualizar o conjunto solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o proposta, assim: 2|b| > 1

⇔

|b| >

33

Gentil

y

1/2 0

x

−1/2

Forma trigonom´ etrica Podemos escrever um hipercomplexo w da seguinte forma, w = ρ (cos θ, sen θ) chamada forma trigonom´etrica de w. Na forma alg´ebrica temos, ( ρ (cos θ + j sen θ), se sen θ ≥ 0; w= ρ (cos θ − j sen θ), se sen θ ≤ 0.

(1.12)

Ver equa¸ca˜o (1.4), p´ ag. 25. De outro modo: w=

(

ρ (cos θ + j sen θ), se 0 ≤ θ ≤ π; ρ (cos θ − j sen θ), se π ≤ θ ≤ 2π.

(1.13)

34 Multiplica¸ c˜ ao na forma trigonom´ etrica Sejam w1 = ρ1 (cos θ1 , sen θ1 ) e w2 = ρ2 (cos θ2 , sen θ2 ). Temos, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos θ1 , sen θ1 ) · (cos θ2 , sen θ2 ) = ρ1 ρ2 (cos θ1 · cos θ2 ∓ sen θ1 · sen θ2 , | cos θ1 | · sen θ2 + sen θ1 · | cos θ2 |) Podemos abrir esta equa¸ca˜o em quatro, de acordo com a tabela a seguir: cos θ1 cos θ2 (i)

+

+

( ii )

+

( iii )

−

−

( iv )

−

+ −

Ent˜ ao, ( i ) Neste caso temos, w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2 ), sen (θ1 + θ2 ) )

(1.14)

( ii ) Neste caso temos, w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2 ), − sen (θ1 − θ2 ) ) ( iii ) Neste caso temos, w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2 ), sen (θ1 − θ2 ) ) ( iv ) Neste caso temos, w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2 ), − sen (θ1 + θ2 ) )

(1.15)

Nota: Os casos ( ii ) e ( iii ) reduzem-se a um u ´nico ao permutarmos: w1 ↔ w2 . Corol´ ario 2. Sejam w1 e w2 hipercomplexos, ent˜ ao: |w1 · w2 | = |w1 | · |w2 |. Nota: Esta dedu¸ca˜o n˜ ao inclui o caso em que cos θ1 = 0 ou cos θ2 = 0 (isto ´e, n˜ ao vale para pontos no eixo y, como j, por exemplo). Interpreta¸ c˜ ao geom´ etrica Sabemos que a interpreta¸ca˜o geom´etrica do produto complexo ´e uma rota¸ca˜o (positiva, isto ´e, anti-hor´aria). Vejamos uma interpreta¸ca˜o geom´etrica para o produto hipercomplexo. Este produto depende da posi¸ca˜o relativa dos pontos envolvidos. Ent˜ ao, ( i ) Se ambos os pontos situam-se do lado direito do eixo y ent˜ ao o produto hipercomplexo coincide com o produto complexo, portanto ´e uma rota¸ca˜o positiva. ao o produto ( iv ) Se ambos os pontos situam-se do lado esquerdo do eixo y ent˜

35

Gentil

ao. Em hipercomplexo coincide com o produto complexo, a menos de uma reflex˜ ao em torno do eixo x. outras palavras: ´e uma rota¸ca˜o seguida de uma reflex˜ ( ii ) Neste caso, para interpretar o produto w1 · w2 , convencionaremos chamar o fator ` a direita (isto ´e, w2 ) de indutor e o fator `a esquerda de induzido. Sendo assim interpretamos o produto, w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2 ), − sen (θ1 − θ2 ) ) dizendo que w2 induz uma rota¸ca˜o (negativa, isto ´e, hor´ aria) de um ˆangulo θ2 ao em torno do eixo x. em w1 (induzido) seguida de uma reflex˜ Em resumo: no produto acima, w1 sofre uma rota¸ca˜o (hor´aria) seguida de uma reflex˜ ao∗ . Este mesmo produto comporta uma nova interpreta¸ca˜o se trocarmos os pap´eis de indutor e induzido, assim w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2 ), − sen (θ1 − θ2 ) ) = ρ2 ρ1 (cos(θ2 − θ1 ), sen (θ2 − θ1 ) ) = w2 · w1 Neste caso dizemos que w1 (indutor) induz uma rota¸ca˜o (hor´aria) de θ1 em w2 (induzido). ( iii ) Este caso ´e tratado de modo an´alogo ao anterior. Vejamos geometricamente um exemplo de cada um dos produtos acima: √
( i ) Sejam w1 = (1, 1) e w2 = 2, − 2 3 3 . Temos, √ w1 = 2 (cos 45o , sen 45o ) √ 3 (cos 330o , sen 330o ) w2 = 4 3 Vamos multiplicar estes n´ umeros de duas formas: • Forma trigonom´etrica; √ w1 · w2 = 2 · 4 =4

√

√
3 cos(45o + 330o), sen (45o + 330o ) 3

6 ( cos 375o , sen 375o ) 3

• Forma cartesiana; (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) √ √ √   2 3  2 3
2 3
(1, 1) · 2, − , |1| · − + 1 · |2| = 1·2−1· − 3 3 3 =

√ √ 2 (3 + 3, 3 − 3) 3

Graficamente, temos ∗ Estamos, de prop´ osito − para simplificar nossa an´ alise −, ignorando o produto dos m´ odulos.

36

y 2

q

1

q 0

−1

q

y

w1

1q

x

2q

2

q

1

q 0

−1

w2

w1

1q

q

w1 ·w2 x

2q

w2

Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos: o

1 ) w2 ´e o indutor e w1 ´e o induzido: w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2 ), sen (θ1 + θ2 ) ) √ √
3 cos(45o + 330o ), sen (45o + 330o ) = 2·4 3

Neste caso o indutor induz uma rota¸ca˜o de 330o no sentido positivo, assim: y 2

q

1

q

w1

1q −1

w1 ·w2 x

2q

q

w2

2o ) Invertendo os pap´eis: w1 ´e o indutor e w2 ´e o induzido. w2 · w1 = ρ2 ρ1 (cos(θ2 + θ1 ), sen (θ2 + θ1 ) ) √
3 √ · 2 cos(330o + 45o ), sen (330o + 45o ) =4 3

Neste caso o indutor induz uma rota¸ca˜o de 45o no sentido positivo, assim: y 2

q

1

q

w1

1q −1

q

w1 ·w2 x

2q

w2

37

Gentil

Observe que hipercomplexos positivos se comportam, para a multiplica¸ca˜o, como se fossem n´ umeros complexos. ( ii ), ( iii ) Sejam w1 = (1, 1) e w2 = √

−

2

√ 3 3 ,


2 . Temos,

2 (cos 45o , sen 45o ) √ 3 (cos 120o , sen 120o ) w2 = 4 3 w1 =

Vamos multiplicar estes n´ umeros de duas formas: • Forma trigonom´etrica; √ w1 · w2 = 2 · 4

√
3 cos(45o − 120o ), − sen (45o − 120o ) 3

√ 6 =4 ( cos 75o , sen 75o ) 3 • Forma cartesiana;

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) √ √ √  2 3  2 3
2 3   + 1 · 2, |1| · 2 + 1 · − , 2 = 1· − (1, 1) · − 3 3 3 =

√ √ 2 (3 − 3, 3 + 3 ) 3

Graficamente, temos y

w2

y

w2

q 1

q

0

q

w1

q 1q

1

x 2

w1 ·w2

q

w1

q 0

1q

x 2

Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos: o

1 ) w2 ´e o indutor e w1 ´e o induzido: w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2 ), − sen (θ1 − θ2 ) ) √ √
3 cos(45o − 120o ), − sen (45o − 120o ) = 2·4 3

Neste caso o indutor induz uma rota¸ca˜o de 120o (no sentido negativo, isto ´e, hor´ ario), seguida de uma reflex˜ ao em torno do eixo x, assim:

38

y

w2

w2

q 1

q

w1

q 0

w1 ·w2

y

x 2

1q

q

2

q

1

q 0

w1

1q

x

2o ) Invertendo os pap´eis: w1 ´e o indutor e w2 ´e o induzido. w2 · w1 = ρ2 ρ1 (cos(θ2 − θ1 ), − sen (θ2 − θ1 ) ) = ρ2 ρ1 (cos(θ1 − θ2 ), sen (θ1 − θ2 ) ) √
3 √ =4 · 2 cos(120o − 45o ), sen (120o − 45o ) 3

O indutor induz uma uma rota¸ca˜o de 45o no sentido negativo, assim: y

w2

w1 ·w2

q 1

q

w1

q 0

1q

x 2

Multiplica¸c˜ ao por −1

Sejam w1 = (1, 1) e w2 = (−1, 0). Temos, w1 =

√ 2 (cos 45o , sen 45o )

w2 = 1 (cos 180o, sen 180o) Vamos multiplicar estes n´ umeros de duas formas: • Forma trigonom´etrica;

39

Gentil

√
2 · 1 cos(45o − 180o ), − sen (45o − 180o ) √ = 2 ( cos −135o, − sen − 135o )

w1 · w2 =

• Forma cartesiana; (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(1, 1) · (−1, 0) = 1 · −1 ∓ 1 · 0, |1| · 0 + 1 · | − 1| = (−1, 1)

Graficamente, temos y

y

q 1

qw

w1 ·w2

w1

q 0

2

q

x 2

1q

1

qw

0

2

w1

q

x 2

1q

Vejamos uma poss´ıvel interpreta¸ca˜o para o produto acima: • w2 como indutor e w1 como induzido: w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2 ), − sen (θ1 − θ2 ) ) √
= 2 · 1 cos(45o − 180o ), − sen (45o − 180o )

Neste caso o indutor induz uma rota¸ca˜o de 180o (no sentido negativo, isto ´e, hor´ ario), seguida de uma reflex˜ ao em torno do eixo x, assim: y

y

q 1

q

q w1 ·w2

w1

q 1q

x 2

q

1

w1

q 1q

x 2

Observe a diferen¸ca entre os produtos −1 · (1, 1) = (−1, −1), nos Complexos, e −1 · (1, 1) = (−1, 1), nos hipercomplexos. No primeiro caso temos uma rota¸ca˜o de 180o ; no segundo caso temos uma rota¸ca˜o de 180o seguida de uma reflex˜ ao em torno do eixo x; no final resultando numa reflex˜ ao em torno do eixo y.

40 ( iv ) Sejam w1 = (−1, 1) e w2 =

−

2

√ 3 3 ,


−2 . Temos,

√ 2 (cos 135o, sen 135o) √ 3 w2 = 4 (cos 240o , sen 240o ) 3 w1 =

Vamos multiplicar estes n´ umeros de duas formas: • Forma trigonom´etrica; √ w1 · w2 = 2 · 4

√
3 cos(135o + 240o), − sen (135o + 240o ) 3

√ 6 ( cos 375o, − sen 375o ) =4 3 • Forma cartesiana;

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) √ √ √    2 3  2 3 2 3
(−1, 1) · − , −2 = (−1) · − − 1 · (−2), | − 1| · (−2) + 1 · − 3 3 3 =

√ √ 2 (3 + 3, −3 + 3 ) 3

Graficamente, temos y

w1

y

w1

q1

q

1q

x 2

q

q −1 w2

q −2

q1 q q −1

w2

2q

x

3q

w1 ·w2

q −2

Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos: o

1 ) w2 ´e o indutor e w1 ´e o induzido: w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2 ), − sen (θ1 + θ2 ) ) √ √
3 = 2·4 cos(135o + 240o), − sen (135o + 240o ) 3

Neste caso o indutor induz uma rota¸ca˜o de 240o no sentido positivo, seguida de uma reflex˜ ao em torno do eixo x, assim:

41

Gentil

y

w1

y

w1

q1

q

1q

2q

3q

x

q

q −1 w2

q1 q

2q

w1 ·w2

q −1 w2

q −2

x

3q

q −2

2o ) Invertendo os pap´eis: w1 ´e o indutor e w2 ´e o induzido. w2 · w1 = ρ2 ρ1 (cos(θ2 + θ1 ), − sen (θ2 + θ1 ) ) √
3 √ =4 · 2 cos(240o + 135o ), − sen (240o + 135o) 3

Neste caso o indutor induz uma rota¸ca˜o de 135o no sentido positivo, seguida de uma reflex˜ ao em torno do eixo x, assim: y

w1

y

w1

q1

q

1q

2q

3q

x

q

q −1 q −2

w2

q1 q

2q

q −1 w2

x

3q

w1 ·w2

q −2

Nota: Pudemos observar que um hipercomplexo w > 0 comporta-se como um n´ umero complexo; isto ´e, como indutor, produz apenas uma rota¸ca˜o. Com uma ressalva: se o induzido for um n´ umero negativo, a rota¸ca˜o se d´ a no sentido negativo (hor´ario). J´a um hipercomplexo w < 0 comporta-se como um autˆentico hipercomplexo; isto ´e, como indutor, produz uma rota¸ca˜o seguida de uma reflex˜ ao.

1.6.1

Rota¸c˜ ao & Oscila¸c˜ ao

Vamos tomar w1 = ρ(cos θ, sen θ) um parˆ ametro indutor e w2 = (x, y) um induzido arbitr´ario. Para o c´ alculo do produto w1 · w2 , temos: (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (cos θ, sen θ) · (x, y) = cos θ · x ∓ sen θ · y, | cos θ| · y + sen θ · |x|




42 Vamos considerar cos θ > 0, sendo assim temos: w1 · w2 =

(

ρ(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ),

se x ≥ 0;

ρ(x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ),

se x < 0.

(1.16)

Conven¸c˜ ao: Vamos adotar a seguinte nota¸ca˜o: w1( n ) ·w2 , significa multiplicar

w2 , sucessivamente, por w1 n vezes, ou seja:

w1( 2 ) · w2 = w1 · (w1 · w2 )


w1( 3 ) · w2 = w1 · w1 · (w1 · w2 ) ································· Para realizar uma simula¸ca˜o, vamos tomar w1 com ρ = 1 e θ = 20o e w2 = (2, 0). Na figura a seguir temos o esbo¸co da multiplica¸ca˜o w1( n ) · w2 . y 2

q

1

q

y

q q w1

0

1q

w2 2q

x

w2 0

1q

x

2q

• w1(n) · w2 (n = 1, 2, 3, . . .) Vejamos como interpretar, matem´aticamente, o gr´afico acima; para isto reproduzimos a equa¸ca˜o (1.8) (p´ag. 28) aqui: R (θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)

(1.17)

Desta equa¸ca˜o, obtemos: R (−θ) = x cos(−θ) − y sen (−θ), x sen (−θ) + y cos(−θ) = (x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ )




(1.18)

Comparando estas equa¸co˜es com as equa¸co˜es (1.16) concluimos que um ponto∗ , ao ser multiplicado sucessivamente por um parˆ ametro indutor† , sofre rota¸co˜es positivas enquanto “sua” abscissa for positiva (isto ´e, enquanto permanece do lado direito do eixo y); quando este ponto atravessa a “faixa” x = 0 o sentido de sua rota¸ca˜o ´e invertido; isto ´e, passa a ser hor´ aria. Aplicando esta an´alise ao nosso caso particular concluimos que o ponto (induzido) permanecer´ a oscilando indefinidamente. Na figura seguinte temos a mesma simula¸ca˜o anterior com o acr´escimo de uma “atenua¸ca˜o” com ρ = 0, 9. ∗ Do

lado direito do eixo y. cos θ > 0.

† Com

43

Gentil

y

q q w2 1q

0

x

2q

Na figura da direita temos uma plotagem com mais pontos e sem os eixos coordenados.
Observe que a seq¨ uˆencia w1(n) · w2 converge para a origem (em azul). − Na figura a seguir, ainda com θ = 20o e ρ = 1, 1, tomamos o induzido como w2 = (−1, −1). y

y

2

q

1

q

2

q w1

q

1q

w2

q

q

x

2q

q

−1

w2

1q

q

2q

x

−1

Divis˜ ao na forma trigonom´ etrica Sejam w1 = ρ1 (cos θ1 , sen θ1 ) e w2 = ρ2 (cos θ2 , sen θ2 ). Sendo, w2−1 =

1 (cos θ2 , − sen θ2 ) ρ2

Vamos calcular o produto, w1 · w2−1 = ρ1 =

1 (cos θ1 cos θ2 ∓ sen θ1 (− sen θ2 ), | cos θ1 |(− sen θ2 ) + sen θ1 | cos θ2 | ) ρ2

ρ1 (cos(θ1 ∓ θ2 ), −| cos θ1 | sen θ2 + sen θ1 | cos θ2 | ) ρ2

Nesta u ´ltima equa¸ca˜o tome − se cos θ1 cos θ2 > 0, tome + caso contr´ario. Podemos abrir esta equa¸ca˜o em quatro, de acordo com a tabela a seguir:

44

cos θ1 cos θ2 (i)

+

+

( ii )

+

( iii )

−

−

( iv )

−

+ −

Ent˜ ao, ( i ) Neste caso temos, w1 · w2 =

ρ1 (cos(θ1 − θ2 ), sen (θ1 − θ2 ) ) ρ2

( ii ) Neste caso temos, w1 · w2 =

ρ1 (cos(θ1 + θ2 ), − sen (θ1 + θ2 ) ) ρ2

( iii ) Neste caso temos, w1 · w2 =

ρ1 (cos(θ1 + θ2 ), sen (θ1 + θ2 ) ) ρ2

( iv ) Neste caso temos, ρ1 (cos(θ1 − θ2 ), − sen (θ1 − θ2 ) ) ρ2 w |w | Corol´ ario 3. Sejam w1 e w2 hipercomplexos, ent˜ ao: w1 = |w1 | . w1 · w2 =

2

2

Nota: Os casos ( i ) e ( iv ) reduzem-se a um u ´nico ao permutarmos: w1 ↔ w2 . Aqui cabem interpreta¸co˜es an´alogas `as do produto. Rota¸ c˜ ao & oscila¸ c˜ ao

Para que possamos obter rota¸co˜es e oscila¸co˜es em sentido contr´ario `as da multiplica¸ca˜o devemos proceder a uma divis˜ao entre dois hipercomplexos. Vamos tomar w1 = ρ(cos θ, sen θ) um parˆ ametro indutor e w2 = (x, y) um induzido arbitr´ario. Para o c´ alculo do produto w1−1 · w2 , temos: w1−1 =

1 · (cos θ, − sen θ) ρ

Ent˜ ao, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (cos θ, (− sen θ)) · (x, y) = cos θ · x ∓ (− sen θ) · y, | cos θ| · y + (− sen θ) · |x| Vamos considerar cos θ > 0, sendo assim temos:   1 (x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ), se x ≥ 0; w2 ρ =  1 (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ), w1 se x < 0. ρ




(1.19)

Para uma an´alise destes resultados compare com as equa¸co˜es (1.17) e (1.18).

45

Gentil

Conven¸c˜ ao: Vamos adotar a seguinte nota¸ca˜o: w1( −n ) · w2 , significa di-

vidir w2 , sucessivamente, por w1−1 n vezes, ou seja: w1( −2 ) · w2 = w1−1 · (w1−1 · w2 )


w1( −3 ) · w2 = w1−1 · w1−1 · (w1−1 · w2 ) ·······································

Para realizar uma simula¸ca˜o, vamos tomar w1 com ρ = 1 e θ = 20o e w2 = (2, 0). Na figura a seguir temos o esbo¸co da multiplica¸ca˜o w1( −n ) · w2 . y 2

q

1

q

y

q q w1

0

1q

w2 2q

x

q

0

q

w2

x

• w1(−n) · w2 (n = 1, 2, 3, . . .) Em vermelho temos as multiplica¸co˜es w1( −n ) · w2 e, em azul, − para efeito de compara¸ca˜o −, temos as multiplica¸co˜es w1( n ) · w2 (p´ag. 42). Rota¸ c˜ ao & Oscila¸ c˜ ao em torno de um ponto (eixo) arbitr´ ario Vamos construir agora uma aplica¸ca˜o, do plano no plano, que nos permita rotacionar um ponto arbitr´ario (x, y) em torno de um ponto a = (x0 , y0 ), arbitrariamente fixado, e este ponto ao cruzar a reta (eixo) x = x0 estar´ a submetido a, sucessivas, oscila¸co˜es. Devemos fazer a composi¸ca˜o das seguintes transforma¸co˜es: ( i ) Transla¸ca˜o para que o ponto a = (x0 , y0 ) coincida com a origem. Isto se consegue com a aplica¸ca˜o T−a(x, y) = (x, y) + (−x0 , −y0 ) = (x − x0 , y − y0 ) ( ii ) Substituimos este ponto na equa¸ca˜o (1.19), assim:

w 2 w 1

1 =ρ ·

  




(x−x0 ) cos θ+(y−y0 ) sen θ, −(x−x0 ) sen θ+(y−y0 ) cos θ , se x−x0 ≥0;




(x−x0 ) cos θ−(y−y0 ) sen θ, (x−x0 ) sen θ+(y−y0 ) cos θ ,

se x−x0 2 ao pode fosse proibida ` a “part´ıcula” , ela oscila indefinidamente. A “part´ıcula” n˜ prosseguir do lado direito do eixo x = 2. Na figura a seguir, y

y

3

q

3

q

2

q

2

q

1

q

1

q

(2, 2)

x 0

q1

q2

x

q 3

0

q1

q2

q3

Rotacionamos − sucessivamente − o ponto (3, 3) em torno do ponto (2, 2), com θ = 30o . O ponto fica oscilando, indefinidamente, em torno do eixo x = 2. − Na figura a seguir, y

3

q

2

q

1

q x

0

q1

q2

q3

47

Gentil

Rotacionamos − sucessivamente (em azul) − o ponto (1, 3) em torno do ponto (2, 2), com θ = 30o . Plotamos − para efeito de compara¸ca˜o − juntamente com o gr´ afico da figura anterior. Pontos do lado direito da faixa x = 2 s˜ao rotacionados no sentido negativo enquanto pontos do lado esquerdo s˜ao rotacionados no sentido positivo. Forma Polar de um n´ umero hipercomplexo Aqui vamos apenas assinalar uma outra forma - por vezes u ´til - de representa¸ca˜o de um n´ umero hipercomplexo: a forma polar, assim designada, w=ρ

1.7

θ

Potencia¸ c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 11. Sejam w um n´ umero hipercomplexo e n um n´ umero natural. Potˆencia de base w e expoente n ´e o n´ umero wn tal que: ( w0 = 1; wn = wn−1 · w, ∀ n, n ≥ 1.

Desta defini¸ca˜o decorre que: w1 = w0 · w = 1 · w w2 = w1 · w = w · w w3 = w2 · w = (w · w) · w   w4 = w3 · w = (w · w) · w · w Proposi¸ c˜ ao 7. A seguinte identidade ´e v´ alida ( −1, se n ´e par; n j = j, se n ´e ´ımpar. Prova: Indu¸ca˜o sobre n. 1o ) n par. Para n = 2 j´ a mostramos que a proposi¸ca˜o ´e verdadeira. Suponhamos a validade da mesma para n = k, isto ´e, j k = −1. Mostremos que a proposi¸ca˜o continua v´alida para o pr´oximo par n = k + 2: j k+2 = (j k · j) · j = (−1 · j) · j = j · j = j 2 = −1 2o ) n ´ımpar. An´alogo.



Lema 1. Seja w = (x, y) ∈ H, temos w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y )

(1.20)

48 Prova: Temos, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) (x, y) · (x, y) = x · x ∓ y · y, |x| · y + y · |x| = (x2 − y 2 , 2 |x| y )




Vamos ainda calcular a terceira potˆencia de um n´ umero, assim: Lema 2. Seja w = (x, y) ∈ H, temos   w3 = (x2 − y 2 ) x ∓ 2|x| y 2 , |x2 − y 2 |y + 2x2 y

(1.21)

Prova: Temos,

(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| ) ((x2 − y 2 ), 2 |x| y) · (x, y) = (x2 − y 2 ) · x ∓ 2 |x| y · y, |(x2 − y 2 )| · y + 2 |x| y · |x| Simplificando temos o resultado desejado.

 2

2

Observe que em (1.21) tomamos “−” se (x − y )x ≥ 0, tomamos “+” caso contr´ ario. Dado w = (x, y) ∈ H observamos, em (1.20), que a ordenada de w2 tem o mesmo sinal de y. Isto significa que ao multiplicarmos um hipercomplexo por ele mesmo o resultado permanece no mesmo semi-plano (y ≥ 0 ou y < 0) de w. A mesma observa¸ca˜o vale para w3 . Vamos mostrar que isto vale para qualquer potˆencia de w. Proposi¸ c˜ ao 8. Seja w = (x, y) ∈ H. Temos,

Se wn = (x′ , y ′ ), ent˜ ao sign (y ′ ) = sign (y), ∀ n ≥ 2.

Prova: Indu¸ca˜o sobre n. Para n = 2 a proposi¸ca˜o decorre do lema (1). Suponhamos a proposi¸ca˜o verdadeira para n = k. Isto ´e, wk = (a, b), onde sign (b) = sign (y)

(hip´ otese de indu¸ca˜o)

E mostremos que vale para n = k + 1. Isto ´e, wk+1 = (x′ , y ′ ) ⇒

sign (y ′ ) = sign (y)

(tese de indu¸ca˜o)

Ent˜ ao, wk+1 = wk · w = (a, b) · (x, y) = ( a x ∓ b y, |a| y + b |x| ) Temos y ′ = |a| y + b |x|, donde decorre a tese, tendo em conta a hip´otese de indu¸ca˜o. 




49

Gentil

Potencia¸ c˜ ao na forma trigonom´ etrica Para os n´ umeros hipercomplexos vale uma vers˜ao (mais fraca) da lei de De Moivre, Proposi¸ c˜ ao 9. Dados o hipercomplexo w = ρ (cos θ, sen θ ), n˜ ao nulo, e o natural n ≥ 2, temos: wn = ρn (cos n θ, sen n θ ) (1.22) desde que: cos θ ≥ 0, cos 2θ ≥ 0, . . . , cos(n − 1)θ ≥ 0. Prova: Princ´ıpio da Indu¸ca˜o Finita. Para n = 2, a proposi¸ca˜o ´e verdadeira (devido a equa¸ca˜o (1.14), p´ ag. 34). Admitamos a validade da proposi¸ca˜o para n = k − 1: wk−1 = ρk−1

cos(k − 1) θ, sen (k − 1) θ


onde, cos θ ≥ 0, cos 2θ ≥ 0, . . . , cos (k − 1) − 1 θ ≥ 0. E provemos que vale para n = k:




  wk = wk−1 · w = ρk−1 cos(k − 1) θ, sen (k − 1) θ · ρ (cos θ, sen θ )

Pela equa¸ca˜o (1.14) podemos escrever: 

 wk = (ρk−1 · ρ ) cos (k − 1) θ + θ , sen (k − 1) θ + θ = ρk (cos k θ, sen k θ )

 A f´ormula (1.22) vale, por exemplo, para −

π π π π ≤ (n − 1) θ ≤ ⇔ − ≤ θ ≤ 2 2 2(n − 1) 2(n − 1)

(1.23)

Exemplos: Calcular as seguintes potˆencias: a) (j + 1)2

b) (j − 1)2

c)

( j+1 )2 ( j−1 )2

d)

j+1 j−1

Solu¸ c˜ ao:


2

e) (1 + j)3

a) Temos, j + 1 = (0, 1) + (1, 0) = (1, 1). Ent˜ ao, (j + 1)2 = (12 − 12 , 2 |1| · 1) = (0, 2) Observe que, (j + 1)2 = j 2 + 2 · j · 1 + 12 b) Temos, j − 1 = (0, 1) + (−1, 0) = (1, −1). Ent˜ ao,
(j − 1)2 = 12 − (−1)2 , 2 |1| · (−1) = (0, −2) Portanto,

(j − 1)2 = −(j + 1)2

f) (1 − j)3

50 c) Temos,  (0, 2) −(−2)  0 ( j + 1 )2 = , 2 = (0, 2) · 2 2 2 (j − 1) (0, −2) 0 + (−2) 0 + (−2)2 = (0, 2) · 0, d) Temos,

1
= −1 2

j+1 (1, 1) = = −1 ⇒ j−1 (−1, 1)

j + 1
2 =1 j−1

e) Temos, 1 + j = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1). Ent˜ ao (ver lema (2), p´ ag. 48),   w3 = (x2 − y 2 ) x ∓ 2|x| y 2 , |x2 − y 2 |y + 2x2 y   (1 + j)3 = (12 − 12 ) · 1 ∓ 2|1| 12, |12 − 12 | · 1 + 2 · 12 · 1 = (−2, 2)

f) Temos, 1 − j = (1, 0) + (0, −1) = (1, −1). Ent˜ ao,   w3 = (x2 − y 2 ) x ∓ 2|x| y 2 , |x2 − y 2 |y + 2x2 y

  (1 − j)3 = (12 − (−1)2 ) · 1 ∓ 2|1| · (−1)2 , |12 − (−1)2 | · (−1) + 2 · 12 · (−1) = (−2, −2)

Cap´ıtulo 2

Equa¸c˜ oes 2.1

Resolu¸c˜ ao da equa¸ c˜ ao a · w = b

Vamos resolver a equa¸ca˜o, a · w = b , onde a = (a, b) 6= 0 e b = (c, d) s˜ao dados e w = (x, y) ´e a inc´ ognita. Isto ´e, procuramos x e y tais que, (a, b) · (x, y) = (c, d) Ent˜ ao, (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d + b |c| )
(a, b) · (x, y) = a · x ∓ b · y, |a| · y + b · |x| = (c, d)

Temos o seguinte sistema:

 a x ∓ b y

=c

|a| y + b |x| = d

Para resolver este sistema temos diversas possibilidades a considerar: 1a ) Vamos inicialmente considerar a = 0 e x > 0. Sendo assim, o sistema reduz-se a:  a x − b y = c a y + b x = d

Este sistema, na forma matricial fica, a b

−b a

!

x y

·

!

=

c d

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a c+b d a2 +b2 ,

y=

a d−b c a2 +b2

Substituindo a = 0, nesta solu¸ca˜o, oblemos: x = db , y = − bc . Observe que esta solu¸ca˜o s´o ´e v´alida se db = x > 0 (faz parte da hip´otese). 51

52 2a ) Vamos agora considerar a = 0 e x < 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x − b y = c a y − b x = d

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! a −b x · = −b a y

c d

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a c+b d a2 −b2 ,

y=

a d+b c a2 −b2

Substituindo a = 0, nesta solu¸ca˜o, obtemos: x = − db , y = − bc . Observe que esta solu¸ca˜o s´o ´e v´alida se − db = x < 0 (faz parte da hip´otese), isto ´e, se db > 0. Conclus˜ ao: Se a = 0 s´o existe solu¸ca˜o se d/b > 0 e, neste caso, duas solu¸co˜es, assim: n d c d c o S= , − ), − , − ) b b b b Concluimos que, em H, uma equa¸ca˜o a · w = b, do 1o grau, pode ter duas solu¸co˜es, como ´e o caso da equa¸ca˜o (0, 1) · w = (1, 2); como pode ter nenhuma, como ´e o caso da equa¸ca˜o (0, −1) · w = (1, 2). 3a ) Vamos agora considerar x = 0 e a > 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x − b y = c a y + b x = d

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! a −b x · = b a y

c d

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a c+b d a2 +b2 ,

y=

a d−b c a2 +b2

Ora,

ac+ bd =0 ⇔ a2 + b 2 n Isto ´e, se: a c + b d = 0 ⇒ S = 0, x=

ac+ bd = 0 a d−b c a2 +b2


o

4a ) Vamos agora considerar x = 0 e a < 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x − b y =c −a y + b x = d

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! a −b x · = y b −a

c d

!

53

Gentil

Cuja solu¸ca˜o ´e, x= Ora,

−a c+b d −a2 +b2 ,

−a c + b d =0 −a2 + b2 n Isto ´e, se: a c = b d ⇒ S = 0, x=

a d−b c −a2 +b2

y= ⇔

−a c + b d = 0
o a d−b c . Observe que se −a2 +b2 = 0, −a2 +b2

isto ´e, |a| = |b| ent˜ ao a equa¸ca˜o n˜ ao possui solu¸ca˜o com x = 0. Podemos resumir o que foi visto at´e aqui, da seguinte forma:

(a, b) · (x, y) = (c, d)  d   b >0

⇒

S=

⇒

S=∅

◮

  d < 0 b

a > 0 ∧ ac + bd = 0

⇒

S=

◮

a < 0 ∧ ac − bd = 0

⇒

S=

a=0

◮

n

n

n

d b,

− bc ),

− db , − cb )

0,

a d−b c a2 +b2

0,

a d−b c −a2 +b2

o


o


o , |a| 6= |b|

5a ) Vamos agora considerar x 6= 0 e a 6= 0. Este caso se desdobra em quatro outros, de acordo com a tabela a seguir: a

x

(i)

> 0

> 0

( ii )

> 0

< 0

( iii )

< 0

> 0

( iv )

< 0

< 0

Ent˜ ao, ( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x − b y = c

 ay + bx = d

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! a −b x · = b a y

c d

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a c+b d a2 +b2 ,

y=

a d−b c a2 +b2

!

54 ( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x + b y = c

 ay − bx = d

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! a b x · = −b a y

c d

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, a c−b d a2 +b2 ,

x=

y=

( iii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x + b y

a d+b c a2 +b2

=c

−a y + b x = d

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! a b x · = b −a y

c d

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a c+b d a2 +b2 ,

y=

( iv ) Neste caso, o sistema reduz-se a:  a x − b y

−a d+b c a2 +b2

=c

−a y − b x = d

Este sistema, na forma matricial fica, ! ! a −b x · = −b −a y

c d

!

Cuja solu¸ca˜o ´e, x=

a c−b d a2 +b2 ,

y=

−a d−b c a2 +b2

Juntando estas quatro u ´ltimas possibilidades, temos: (a, x) ac + bd x= 2 , a + b2

ad− bc y= 2 a + b2

(> 0 , > 0)

(2.1)

x=

ac − bd , a2 + b 2

y=

ad+ bc a2 + b 2

(> 0 , < 0)

(2.2)

x=

ac + bd , a2 + b 2

y=

−a d + b c a2 + b 2

(< 0 , > 0)

(2.3)

x=

ac − bd , a2 + b 2

y=

−a d − b c a2 + b 2

(< 0 , < 0)

(2.4)

55

Gentil

Observe que, como os produtos em C e H coincidem no semi-plano x ≥ 0, ent˜ ao devem coincidir quando a ≥ 0 e x ≥ 0. Em (2.1) temos a solu¸ca˜o complexa.

An´ alise: Estes resultados nos mostram que uma equa¸ca˜o do 1o grau em H pode ter at´e duas solu¸co˜es. De fato, se a > 0 podemos ter como solu¸ca˜o de nossa equa¸ca˜o (2.1) e (2.2); se a < 0 podemos ter como solu¸ca˜o de nossa equa¸ca˜o (2.3) e (2.4). Em qualquer dos casos as solu¸co˜es sempre estar˜ ao em lados opostos do eixo y. Das solu¸co˜es anteriores concluimos que, para a 6= 0, teremos duas ra´ızes distintas quando a seguinte condi¸ca˜o for satisfeita: ( a c + b d > 0 ) ∧ (a c − b d < 0 )

(2.5)

N˜ ao teremos duas ra´ızes distintas quando, ( a c + b d < 0 ) ∨ (a c − b d > 0 )

(2.6)

Observe que para a c + b d = 0 ou a c − b d = 0 o quadro da p´ ag. 53 pode nos fornecer uma solu¸ca˜o com x = 0. Exemplos: Resolva, em H, as seguintes equa¸co˜es: ( a ) (1, 1) · (x, y) = (3, 1). Solu¸ c˜ ao: Como, a c + b d = 4 > 0 ∧ a c − b d = 2 > 0, teremos uma u ´nica raiz dada em (2.1): x=

ac+ bd 1·3+1·1 ad− bc 1·1−1·3 = = 2, y = 2 = = −1, 2 2 2 2 2 a +b 1 +1 a +b 12 + 12

portanto, w = (2, −1).

( b ) (−1, 1) · (x, y) = (3, 1). Solu¸ c˜ ao: Como, a c + b d = −2 < 0 ∧ a c − b d = −4 < 0, teremos uma u ´ nica raiz dada em (2.2): x=

ac − bd −1 · 3 − 1 · 1 −a d − b c −(−1) · 1 − 1 · 3 = = −2, y = = = −1 a2 + b 2 (−1)2 + 12 a2 + b 2 (−1)2 + 12

portanto, w = (−2, −1). Esta n˜ ao ´e a solu¸ca˜o em C. Temos, U =H U =C

⇒

⇒

S= { (−2, −1) }

S= { (−1, −2) }

( c ) (−1, 1) · (x, y) = (1, 2). Solu¸ c˜ ao: Como, a c + b d = 1 > 0 ∧ a c − b d = −3 < 0, teremos duas ra´ızes dadas em (2.3) e (2.4), ent˜ ao: x=

a c+b d a2 +b2

=

−1·1+1·2 (−1)2 +12

= 12 ,

y=

−a d+b c a2 +b2

=

−(−1)·2+1·1 (−1)2 +12

= 23 ,

x=

a c−b d a2 +b2

=

−1·1−1·2 (−1)2 +12

= − 23 ,

y=

−a d−b c a2 +b2

=

−(−1)·2−1·1 (−1)2 +12

= 12 ,

56 Ent˜ ao: ⇒

U =H

⇒

U =C

S= { S= {

1 3 2, 2 1 2,


,

− 32 ,

1 2


3

−2 }

Interpreta¸ c˜ ao geom´ etrica




}

Ao propor a equa¸ca˜o a · w = b estamos procurando um n´ umero w (indutor) que nos leve do ponto a ao ponto b. Ou ainda, um n´ umero w que nos permita, atrav´es de uma multiplica¸ca˜o, justapor o n´ umero a ao n´ umero b. Considerando a equa¸ca˜o (−1, 1) · w = (1, 2), no sistema H temos dois caminhos para ir do ponto (−1, 1) ao ponto (1, 2), enquanto no sistema C temos apenas um caminho, por sinal diferente dos dois de H. As solu¸co˜es na forma polar ficam: U =H U =C

⇒ ⇒

S= { 1, 58

71, 57o;

1, 58

S= { 1, 58

288, 43o

}

161, 57o

}

Nos complexos justapomos os pontos a e b por uma rota¸ca˜o do primeiro, no sentido anti-hor´ario, de 288, 43o como na figura a seguir: y

2

a

−1q

y

b

q

2

q1

a

1q

2q

x

−1q

b

q q1 1q

2q

x

288, 43o

- Solu¸c˜ ao em C: Rota¸c˜ ao positiva

Para interpretar os produtos a · w, hipercomplexos, isto ´e, a · w = 1, 41

135, 00o

· 1, 58

71, 57o

(2.7)

a · w = 1, 41

135, 00o

· 1, 58

161, 57o

(2.8)

Devemos reconsiderar a tabela, cos θ1 cos θ2 (i)

+

+

( ii )

+

( iii )

−

−

( iv )

−

+ −

para multiplica¸ca˜o na forma trigonom´etrica. Observe que cos θ1 = cos 135o < 0,

57

Gentil

de formas que estamos situados nas linhas ( iii ) e ( iv ) da tabela. Nestes casos, temos: ( iii ) w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2 ), sen (θ1 − θ2 ) ) ( iv )

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2 ), − sen (θ1 + θ2 ) )

A multiplica¸ca˜o em ( iii ) nos diz que o indutor dado pela solu¸ca˜o (2.7) induz uma rota¸ca˜o de 71, 57o no sentido hor´ ario, como na figura a seguir: y

2

a

y

b

q

2

q1

−1q

a

1q

2q

x

−1q

b

q q1 1q

2q

x

71, 57o

- Solu¸c˜ ao em H: Rota¸c˜ ao negativa

A multiplica¸ca˜o em ( iv ) nos diz que o indutor dado pela solu¸ca˜o (2.8) induz uma rota¸ca˜o de 161, 57o no sentido anti-hor´ario, seguida de uma reflex˜ ao no eixo x, como na figura a seguir: y

2

a

y

2

b

q q1

−1q

a

1q

2q

x

b

q q1

−1q

1q

2q

x

161, 57o

- Solu¸c˜ ao em H: Rota¸c˜ ao & Reflex˜ ao

Vamos agora permutar os pontos a e b no problema em ( c ): ( d ) (1, 2) · (x, y) = (−1, 1). Solu¸ c˜ ao: Como, a c + b d = 1 > 0 ∧ a c − b d = −3 < 0, teremos duas ra´ızes dadas nas equa¸co˜es (2.1) e (2.2), ent˜ ao: (a x)

x=

a c+b d a2 +b2

=

1·(−1)+2·1 12 +22

= 51 ,

y=

a d−b c a2 +b2

=

1·1−2·(−1) 12 +22

= 35 ,

x=

a c−b d a2 +b2

=

1·(−1)−2·1 12 +22

= − 35 ,

y=

a d+b c a2 +b2

=

1·1+2·(−1) 12 +22

= − 15 ,

Neste caso, nossa equa¸ca˜o do primeiro grau, possui duas solu¸co˜es, ambas

58 diferentes da solu¸ca˜o complexa. U =H

⇒

U =C

⇒

1 3 5, 5



, − 53 , − 15 }
S= { 15 , 35 } S= {

Interpreta¸ c˜ ao geom´ etrica Para voltar do ponto (1, 2) para o ponto (−1, 1) em C, novamente (e sempre), temos apenas um caminho; em H continuamos com dois caminhos, por sinal um deles ´e o mesmo nos dois sistemas. As solu¸co˜es na forma polar ficam: U =H

⇒

S= { 0, 63

71, 57o

U =C

⇒

S= { 0, 63

71, 57o

; 0, 63

198, 43o

}

}

Nos complexos justapomos os pontos a e b por uma rota¸ca˜o do primeiro, no sentido anti-hor´ario, de 71, 57o como na figura a seguir: y

2

a

−1q

y

b

q

2

q1

a

1q

2q

x

−1q

b

q q1 1q

2q

x

71, 57o

- Solu¸c˜ ao em C: Rota¸c˜ ao positiva

Multiplicando esta solu¸ca˜o pela anterior, em C, temos 1 3 5, 5




·

1 2,


− 32 = 1

O que mostra que estes caminhos s˜ao inversos. Para interpretar os produtos a · w, hipercomplexos, isto ´e, a · w = 2, 24

63, 43o

· 0, 63

71, 57o

a · w = 2, 24

63, 43o

· 0, 63

198, 43o

(2.9) (2.10)

na tabela considerada no exemplo anterior, nos situamos nas duas primeiras linhas, porquanto cos θ1 = cos 71, 57o > 0. Nestes casos, temos: ( i ) w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2 ), sen (θ1 + θ2 ) ) ( ii )

w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2 ), − sen (θ1 − θ2 ) )

A multiplica¸ca˜o em ( i ) nos diz que o indutor dado pela solu¸ca˜o (2.9) induz uma rota¸ca˜o de 71, 57o no sentido anti-hor´ario, como na figura a seguir:

59

Gentil

y

2

a

y

b

q

2

q1

−1q

a

1q

2q

x

−1q

b

q q1 1q

2q

x

71, 57o

- Solu¸c˜ ao em H: Rota¸c˜ ao positiva

A multiplica¸ca˜o em ( ii ) nos diz que o indutor dado pela solu¸ca˜o (2.10) induz uma rota¸ca˜o de 198, 43o no sentido hor´ ario, seguida de uma reflex˜ ao no eixo x, como na figura a seguir: y

2

a

−1q

y

b

q

2

q1

a

1q

2q

x

b

q q1

q

1q

2q

x

198, 43o

- Solu¸c˜ ao em H: Rota¸c˜ ao & Reflex˜ ao

Vamos multiplicar as solu¸co˜es em H:
1 3

1 3 4 3 5, 5 · 2, 2 = − 5, 5


3 1 1 3 5 , 5 · − 2 , 2 = 0, 1


− 53 , − 51 · 21 , 32 = − 53 , 45


− 53 , − 51 · − 32 , 21 = 1, 0

Estes dois u ´ltimos caminhos s˜ao inversos.

60

2.2

Radicia¸c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 12. Dado um n´ umero hipercomplexo w, chama-se raiz en´esima de √ umero hipercomplexo wk tal que wkn = w. Ent˜ ao, w, e denota-se, n w, a um n´ √ n w = wk ⇐⇒ wkn = w Exemplos: Calcular, √ √ a) 1 b) −1

c)

√

j

d)

√

1+j

e)

√

−1 + j

f)

√ 3 1

Solu¸ c˜ ao: a) Devemos resolver a seguinte equa¸ca˜o, √ 1 = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = 1. Podemos nos valer do lema 1 (p´ag. 47), assim, w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = (1, 0) Temos, (

x2 − y 2

2 |x| y

=1 =0

Da segunda equa¸ca˜o inferimos que x = 0 ou y = 0, da primeira inferimos que x 6= 0, logo y = 0, no que resulta x = ± 1. Portanto, s˜ao em n´ umero de duas as ra´ızes quadradas de 1: √ √ 1 = (1, 0) ⇒ 1 = 1. √ √ 1 = (−1, 0) ⇒ 1 = −1. b) Por defini¸ca˜o de raiz quadrada, temos √ −1 = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = −1. Ou ainda, w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = (−1, 0) Temos, (

x2 − y 2

= −1

2 |x| y

=0

Da segunda equa¸ca˜o inferimos que x = 0 ou y = 0, da primeira inferimos que y 6= 0, logo x = 0, no que resulta y = ± 1. Portanto, s˜ao em n´ umero de duas as ra´ızes quadradas de -1: √ √ −1 = (0, 1) ⇒ −1 = j. √ √ −1 = (0, −1) ⇒ −1 = −j. √ c) j =?. Temos, p j = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = j.

61

Gentil

Ou ainda, w2 = ( x2 − y 2 , 2 |x| y ) = (0, 1) Temos, (

x2 − y 2 2 |x| y

=0 =1

Da primeira equa¸ca˜o inferimos que |x| = |y|. Este resultado na segunda equa¸√ ca˜o nos fornece: 2 |y| y = 1. Desta equa¸ca˜o concluimos que y > 0, logo, y = 22 ; √ ent˜ ao, x = ± 22 . Portanto, √ j=

√ √ 2 2 , 2 2




√ j=

,

−

√

2 2 ,

√ 2 2




Nos complexos (para efeito de compara¸ca˜o) temos, √
√
√ √ √ √ i = 22 , 22 , i = − 22 , − 22

Em resumo,

√ j = ±1·

√ i = ±1·

d)

√

2 2 ,

√

2 2

√ √ 2 2 , 2 2







6= ± =±

√ √ 2 2 2 , 2

√

2 2 ,

√ 2 2


,




√ 1 + j. Temos, p 1 + j = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = 1 + j.

− A bem da verdade vamos obter uma f´ormula (algoritmo) para extra¸ca˜o de ra´ızes quadradas em H, assim: p (a, b) = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = (a, b). (2.11)

Temos,

( x2 − y 2 2 |x| y

=a =b

(2.12)

Vamos resolver este sistema supondo b 6= 0 (um hipercomplexo puro); sendo assim, da segunda equa¸ca˜o concluimos que x e y s˜ao n˜ ao nulos. Tirando |x| na segunda equa¸ca˜o e substituindo na primeira, obtemos: b2 − y2 = a 4y 2

⇒

4y 4 + 4ay 2 − b2 = 0

Fa¸camos y 2 = z, para obter a equa¸ca˜o auxiliar 4z 2 + 4az − b2 = 0. Resolvendo esta equa¸ca˜o, obtemos:  √ √ −a + a2 +b2 (∗) 2 −a ± a2 + b2  z= = √  −a − a2 +b2 2 (∗∗) 2

A express˜ao (∗) ´e sempre maior ou igual a zero, de sorte que: s √ −a + a2 + b2 2 y =z ⇒ y=± 2

(2.13)

62 Por outro lado, 2 |x| y = b

⇒

|x| =

b 2y

⇒

x=±

b 1 2 y

De sorte que, para cada valor de y dado em (2.13) temos dois valores para x (opostos, sim´etricos). Invertendo y em (2.13) e racionalizando, obtemos: √ qp 1 2 a2 + b 2 + a =± · y |b|

Sendo assim, as poss´ıveis ra´ızes s˜ao dadas por:  √  p√  p√ b  a2 + b 2 + a , a2 + b 2 − a  22 |b|        p√ p√ √    2 b 2 + b2 + a , − 2 + b2 − a  − a a  |b|  2  p√ p√ √    b 2  − |b| a2 + b 2 + a , a2 + b 2 − a  2        p√ p√ √    2 + b2 + a , − 2 + b2 − a  2 b a a 2 |b|

(2.14)

Nota: Nem sempre os quatro n´ umeros acima s˜ao ra´ızes quadradas de (a, b), precisamos substituir em (2.11) para decidir. Por exemplo, p√ p√ p√ p√ √ √

√ 1 + j = ±1 · 22 2 + 1, 2 − 1 6= ± 22 2 + 1, 2−1 Para efeito de compara¸ca˜o, temos: p√ p√ p√ p√ √ √

√ 1 + i = ±1 · 22 2 + 1, 2 − 1 = ± 22 2 + 1, 2−1 Temos ainda,

√

j = ±1 ·

√

2 2 ,

√

2 2




6= ±

Para efeito de compara¸ca˜o, temos: √
√ √ i = ±1 · 22 , 22 = ±

√ √ 2 2 2 , 2

√ √ 2 2 , 2 2





Vejamos quando a segunda equa¸ca˜o em (2.14) ´e uma raiz quadrada de (a, b). Seja: √ q 2 −b p 2 x= a + b2 + a 2 |b| √ q − 2 p 2 a + b2 − a y= 2

x e y devem satisfazer as duas equa¸co˜es em (2.12), por exemplo, √ 2 −b qp −√2 qp 2 2 2|x|y = 2 a + b + a · a2 + b 2 − a 2 |b| 2 qp qp 2 2 a +b +a· a2 + b2 − a = −|b| =−

63

Gentil

A primeira equa¸ca˜o, em (2.12), ´e satisfeita (exerc´ıcio); donde concluimos que a segunda equa¸ca˜o em (2.14) ´e uma raiz quadrada de (a, b) quando |b| = −b, isto ´e, quando b < 0. ´ Obviamente que a mesma conclus˜ao vale para a u ´ltima equa¸ca˜o em (2.14). Uma an´alise semelhante vale para a primeira e terceira equa¸co˜es em (2.14), de sorte que podemos escrever:   p√ √  p√ 2 2 + b2 + a , 2 + b2 − a ,  ± 1 · a a se b > 0;  2  p (a, b) =  p√ √  p√   2 + b2 + a , − 2 + b2 − a , ± 1 · 2 a a se b < 0. 2

Ra´ızes quadradas nos Complexos

Vamos deduzir uma f´ ormula para extra¸ca˜o de raizes quadradas nos complexos. Temos: p (a, b) = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = (a, b). (2.15) Sendo (x, y)2 = (x2 − y 2 , 2xy), devemos resolver o seguinte sistema: ( x2 − y 2 = a 2xy

=b

(2.16)

Vamos resolver este sistema supondo b 6= 0 (um complexo puro); sendo assim, da segunda equa¸ca˜o concluimos que x e y s˜ao n˜ ao nulos. Tirando x na segunda equa¸ca˜o e substituindo na primeira, como antes, obtemos: s √ √ q −a + a2 + b2 2 p 2 y=± a + b2 − a (2.17) =± 2 2 Por outro lado,

b b 1 ∴ x= 2y 2 y Invertendo y em (2.17) e racionalizando, obtemos: √ qp 1 2 =± · a2 + b 2 + a y |b| 2xy = b

⇒

x=

Sendo assim, as duas ra´ızes s˜ao dadas por:  √  p√  p√ 2 b 2 + b2 + a , 2 + b2 − a  a a  |b|  2    p√ p√ √  2 b  − |b| a2 + b 2 + a , − a2 + b 2 − a  2   

Ou ainda:

p (a, b) =

   ± 1 ·  

 ±1·    

√ 2 2 √ 2 2

  p√ p√ a2 + b 2 + a , a2 + b 2 − a , 

−

 p√ p√ a2 + b 2 + a , a2 + b 2 − a ,

se b > 0; se b < 0.

64

2.3

Fun¸ c˜ oes Transcendentes

Podemos definir algumas das fun¸co˜es complexas no contexto dos hipercomplexos.

2.3.1

F´ ormula de Euler

Consideremos a f´ ormula de Euler, eix = cos x + i sen x No contexto dos hipercomplexos definimos, ejx = cos x + j sen x

(2.18)

Vejamos em que uma f´ormula se diferencia da outra. A primeira pode ser vista como uma fun¸ca˜o de R em C, a segunda de R em H. Por exemplo, a fun¸ca˜o de Euler (complexa) transforma o intervalo [ 0, 2π ] no c´ırculo unit´ ario, enquanto que a fun¸ca˜o dada por (2.18) transforma este mesmo intervalo no semi-c´ırculo (unit´ario) superior ( 2× ), assim:

0

¬π

¬

π

2

¬3π 2

C

1

eix −1

2π

1

−1

0

¬π

¬

π

2

¬3π 2

H

1

ejx −1

2π

1

Observe que, ejx = cos x + j sen x = cos x + j | sen x| Porquanto, j sen x = sen x · j = sen x · (0, 1) = ( sen x · 0, | sen x| · 1) = | sen x| · (0, 1) = j | sen x| Logo, ejx = cos x + j sen x = ej(−x) Ainda: e−jx = cos x − j sen x

2.3.2

Fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas com argumentos hipercomplexos

Definimos, cos w =

ej w + e−j w , 2

sen w =

ej w − e−j w , 2j

65

Gentil

Hiperfractais No que concerne as aplica¸co˜es, os n´ umeros complexos invadiram tamb´em as Artes atrav´es dos fractais, tais como os a seguir

Um tema a ser explorado (deixamos aqui a sugest˜ao): os hiperfractais, que s˜ao os fractais gerados no contexto dos hipercomplexos, ao inv´es dos complexos. Programa para multiplicar dois hipercomplexos: (a, b) · (c, d) Nota: Para a fam´ılia de calculadoras HP − 48, 49, 50, . . . ≪ → a b c d p ≪ IF a ∗c ≥ 0p THEN p a ∗ c − b ∗ d p EVAL p ABS(a) ∗ d + b ∗ ABS(c) p EVAL R→C p ELSE a ∗ c + b ∗ d p EVAL p ABS(a) ∗ d + b ∗ ABS(c) p EVAL R→C END ≫ ≫

66

Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] Ubaldi, Pietro. As No´ ures: T´ecnica e recep¸c˜ ao das correntes de pensamento. ´ Tradu¸ca˜o de Cl´ovis Tavares. 4. ed. Rio de Janeiro: FUNDAPU, 1988. [2] Fundamentos de matem´atica elementar (por) Gelson Iezzi (e outros). S˜ ao Paulo, Atual Ed., 1977- v.6 [3] Boyer, Carl Benjamin. Hist´ oria da Matem´ atica. S˜ ao Paulo - Edgar Bl¨ ucher, 1974. [4] Newton C. A. da Costa. Ensaio sobre os fundamentos da l´ ogica. S˜ ao Paulo: HUCITEC: Ed. da Universidade de S˜ ao Paulo, 1980. [5] Silva, Gentil Lopes. Palestra: 0, 999 . . . = 1 ? www.dmat.ufrr.br/gentil, 2008. [6] Carmo, Manfredo Perdig˜ ao do, et all., Trigonometria/N´ umeros complexos. Rio de Janeiro − IMPA/VITAE, 1992. [7] Silva, Gentil Lopes. Sobre as v´ arias defini¸c˜ oes de n´ umeros Complexos www.dmat.ufrr.br/gentil, 2009. [8] Silva, Gentil Lopes. N´ umeros Hipercomplexos − 3D( Uma Nova Generaliza¸c˜ ao dos N´ umeros Complexos www.dmat.ufrr.br/gentil, 2007.

67