Genel Fizik 1 - Full Ders Notları (Sunum)

FZM105 Fizik I 1 FİZİK ve ÖLÇME 1.1 U Uzunluk, u u , kütle üt e ve e zaman a a sta standartları da t a 1.2 Madde ve modeli 1.3 Yoğunluk ve atomik kütle 1.4 1 4 Boyut analizi 1.5 Birimlerin çevrilmesi 1.6 Yaklaşık değerler ve büyüklükler 1 7 Anlamlı sayılar (significant figures) 1.7 2 TEK BOYUTTA HAREKET 2.1 Konum, hız ve sürat 2.2 Anlık hız ve sürat 2.3 İvme 24H 2.4 Hareket k t di diyagramları l 2.5 Tek boyutta sabit ivmeli hareket 2.6 Serbet düşen cisimler 2.7 2 7 Kinematik denklemlerin türetilmesi 1

FZM105 Fizik I 3 VEKTÖRLER 3.1 Koordinat 3 oo d at ssistemleri ste e 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 3 4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 3 7 Birim vektör 3.7 4 İKİ BOYUTTA HAREKET 4 1 Konum 4.1 Konum, hız hız, ivme 4.2 İki boyutta sabit ivmeli hareket 4.3 Eğik hareket/atış 4 4 Düzgün dairesel hareket 4.4 4.5 Teğetsel ve merkezcil ivme 4.6 Göreli hız ve göreli ivme 2

FZM105 Fizik I 5 Newton un hareket yasaları 5 1 Kuvvet kavramı 5.1 5.2 Newton un birinci yasası ve eylemsizlik çerçeveleri 5.3 Kütle y 5.4 Newton un ikinci yasası 5.5 Yerçekimi kuvveti ve ağırlık 5.6 Newton un üçüncü yasası 5.7 Newton yyasalarının bazı uygulamaları yg 5.8 Sürtünme kuvvetleri 6 Dairesel Hareket ve Newton Yasalarının Diğer ğ Uygulamaları yg 6.1 Düzgün dairesel harekete Newton un ikinci yasasının uygulanması 6.2 Düzgün olmayan dairesel hareket 6 3 İvmeli çerçevelerde hareket 6.3 6.4 Direnç kuvvetlerinin olduğu ortamlarda hareket 6.5 Parçacık dinamiğinde sayısal modellemeler 3

FZM105 Fizik I

9N Newton t un h hareket k t yasaları l 9.1 Çizgisel Momentum ve Korunumu 9.2 İtme ve Momentum 9.3 Tek Boyutta Çarpışmalar 9.4 İki-boyutta Çarpışmalar 9.5 9 5 Kütle Merkezi 9.6 Parçacıklardan Oluşan Bir Sistemin Hareketi 9.7 Roket İtmesi

10 Sabit Bir Eksen Üzernde Katı Cisimlerin Dönme Hareketi ç konum, hız ve ivme 10.1 Açısal 10.2 Dönme Kinematiği: Sabit açısal ivme ile dönme hareketi 10.3 Açısal ve çizgisel nicelikler 10 4 Dönme kinetik enerjisi 10.4 10.5 Eylemsizlik momnetinin hesaplanması 10.6 Tork 10.7 Tork ve açısal ivme arasında bağıntılar 10.8 Dönme hareketinde iş, güç ve enerji 10.9 Katı cisimlerin yuvarlanma hareketi

4

FZM105 Fizik I 11 Newton un hareket yasaları 5 1 Kuvvet kavramı 5.1 5.2 Newton un birinci yasası ve eylemsizlik çerçeveleri 5.3 Kütle y 5.4 Newton un ikinci yasası 5.5 Yerçekimi kuvveti ve ağırlık 5.6 Newton un üçüncü yasası 5.7 Newton yyasalarının bazı uygulamaları yg 5.8 Sürtünme kuvvetleri 12 Dairesel Hareket ve Newton Yasalarının Diğer ğ Uygulamaları yg 6.1 Düzgün dairesel harekete Newton un ikinci yasasının uygulanması 6.2 Düzgün olmayan dairesel hareket 6 3 İvmeli çerçevelerde hareket 6.3 6.4 Direnç kuvvetlerinin olduğu ortamlarda hareket 6.5 Parçacık dinamiğinde sayısal modellemeler 5

1 FİZİK ve ÖLÇME

1.1 Uzunluk, kütle ve zaman standartları 1.2 Madde ve modeli 13Y ğ l k ve atomik t ik kütl 1.3 Yoğunluk kütle 1.4 Boyut analizi 1 5 Birimlerin çevrilmesi 1.5 1.6 Yaklaşık değerler ve büyüklükler 1 7 Anlamlı sayılar (significant figures) 1.7

Saat

6

Fiziğin konuları Fizik, evreni basit prensipleri ile daha iyi anlamımızı sağlayan temel bilimlerden birisidir birisidir. Astronomi Astronomi, biyoloji, kimya ve jeoloji gibi çeşitli bilim dallarının da temelini oluşturur. Fizik ile çevremizde gelişen fiziksel olaylar basit kavramlar, teoriler ve matematiksel eşitliklerle verilir. Yandaki resimde 2003 de havada patlayan uzay mekiğinin kalkış anı görülmektedir.

7

Fiziğin konuları 1.Klasik mekanik, atoma göre çok büyük boyutlarda ve ışık hızına göre çok yavaş hareket eden cisimlerin hareketi ile ilgilenir. 2. Görelilik, herhangi bir yere göre cisimlerin hareketini inceler. 3 Termodinamik ısı iş, iş sıcaklık ve istatiksel 3. Termodinamik, birçok parçacıktan oluşan bir sistemin ısı, davranışlarını inceler. 4. Elektromagnetizma, elektrik, magnetizma ve elektromagnetik alanları inceler. 5. Optik, ışığın malzeme ile etkileşmesini inceler. 6. Kuantum mekaniği, alt mikroskobik düzeyden makroskopik düzeye kadar malzemelerin davranışlarını inceler.

8

Fiziğin konuları (1) İnsansız İ uydu hareketleri, insanlı aya iniş, (2) Mikrodevre ve çok hızlı bilgisayarlar, bilgisayarlar (3) Bilimsel araştırma ve sağlık alanında karmaşık görüntüleme teknikleri, (4) Genetik mühendisliğinde elde edilen bazı sonuçlar,

9

1 1 Uzunluk 1.1 Uzunluk, kütle ve zaman •

Ekonomik, günlük, ticari vs hayatımızda kavga etmeden, anlaşmazlıklar çıkmadan alış-veriş yapabilmemiz için bazı standartları kabul etmek zorundayız.

•

1960 da uluslararası bir komite tarafından nicelikler için ç standartlar hazırlanmıştır.

•

SI (Système International) birim sistemi hepimizin kabul ettiği birimleri içerir. Bunlar uzunluk, kütle ve zaman gibi metre, kilogram ve saniye dir. Diğ standartlar Diğer t d tl iise sıcaklık kl k iiçin i (k (kelvin), l i ) elektrik l kt ik akımı k için i i ((amper), ) ışık k şiddeti için (candela) ve madde miktarı için (mole). 10

Uzunluk MS 1120 de İngiliz kralı uzunluk için burnunun ucundan kolunun açık durumda iken parmak uçlarına kadar olan mesafeyi birim uzunluk olarak yard ı seçmiştir. Fransa kralı 14ncü Louis ise kendi ayak büyüklüğünü birim uzunluk olarak seçmiştir. 1799 den itibaren Fransa da birim uzunluk için metre kullanılmaya başlanmıştır başlanmıştır. Ekvatordan kuzey kutbuna çizilen ve Paristen çizginin uzunluğunun on miyonda biri olarak alınmıştır. 1960 lı yıllarda kripton-86 atomunun dalgaboyunun 1 650 763.73 katı olarak alınmış ve halen bu standart kullanılmaktadır kullanılmaktadır. Dünyaya en yakın kuarın uzaklığı 1.4 x 1026 metre Dünyaya en yakın galaksi uzaklığı 9 x 1025 metre Bir ışık yılı 9.46 x 1015 metre Dünyanın güneş etrafındaki yörüngesinin yarıçapı 1.50 x 1011 metre Dünya ile ay arasındaki uzaklık 3.84 3 84 x 108 metre Dünyanın yarıçapı 6.37 x 106 metre Uyduların yerden yüksekliği 2 x 105 Hidrojen atomunun çapı 10-10 metre Atom çekirdeğinin çapı 10-14 metre Protonun çapı 10-15 metre

11

Kütle •

SI-birim sisteminde kütlenin birimi olarak kilogram (kg) kullanılmaktadır. Platinyum–iridyum alaşımından silindir şeklinde yapılmış ve International Bureau of Weights and Measures Sèvres, Fransa da saklanmaktadır. Bu kütle birimi 1887 de kabul edilmiş ve zamanla kütlesi değişmeyen kararlı bir alaşımdan yapılmıştır. Bu kütlenin diğer bir eşi National Institute of Standards and Technology (NIST) Gaithersburg, Maryland da saklanmaktadır.

12

Kütle

(a) Ulusal Kilogram Standardı Sèvres, Fransa National Institute of Standards and Technology de saklanmaktadır saklanmaktadır. (b) Zaman standartdı için hazırlanmış atom saati National Institute of Standards and Technology laboratuvarlarında Boulder, 13 Colorado da bulunmaktadır. Saat 20 milyon yılda 1 saniye ileri gidebilir veya geri kalabilir.

Çeşitli zaman değerleri (saniye) • • • • • • • • • • • • •

Evrenin yaşı 5 x 1017 Dü 3 x 1017 Dünyanın yaşı 1 1.3 Kolej öğrencisinin yaşı 6.3 x 108 1 yıl 3 3.2 2 x 107 1 gün 8.6 x 104 Bir ders saati 3.0 x 103 İki kalp atışı arasındaki zaman 8 x 10-1 Ses dalgaları arasındaki zaman 10-3 Radyo dalgaları R d d l l arasındaki d ki zaman 10-66 Bir katıdaki atom titreşimlerinin periyodu 10-13 Görünen ışığın periyodu 10-15 Nükleer çarpışmalar arası süre 10-22 Işığın bir protonu geçme süresi 10-24 14

10 nun katları katları, okunuşu ve harfi 10-24 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 101 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

yocto zepto p atto femto pico nano micro milli centi deci kil kilo mega giga tera peta exa zetta yotta

y z a f p n µ m c d k M G T P E Z Y

15

1 2 Madde ve modeli 1.2 • Fizikçiler bazı kavramlarla doğrudan ilişki kuramazlarsa ilgilendikleri fiziksel sistemler hakkında fikir yürütürler yürütürler, teori geliştirirler. Örneğin atomdaki elektronlar ve protonlar için yaptıkları gibi. Gözlenebilen özelliklerden bu teorilerini daha sağlam ğ temellere oturtmaya y ççalışırlar. ş Şekildeki gibi kübik altın parçalanmaya başlanırsa bu parçalama l iişii nereye kkadar d gidebilir? id bili ?

16

Quick Quiz 1.1 11 Elektronik cihaz satan bir mağazada aluminyum ve demirden üretilmiş iki kamera bulunmaktadır. Her iki kameranın kütlesi aynı ise hangisi daha büyük olur? (a) Aluminyum kamera (b) Demir kamera (c) Her iki kamera da aynı boyutlardadır.

17

Madde ve modeli Yunanlılar parçalanamaya n en küçük maddeye atomos demişlerdi. 1897 de J.J. Thomson un yaptığı deneylerle atomun elektronlarının olduğu gösterildi. Daha sonraki yıllarda atomun çekirdeği parçalanarak alt parçacıklar (kuarklar) ortaya çıkarıldı çıkarıldı.

18

1 3 Yoğunluk ve atomik kütle 1.3 • Yoğunluk Y ğ l k bi birim i h hacimdeki i d ki kütl kütle miktarı ikt olarak l k verilir: ili m ρ = ------V Denklemdeki m-kütleyi (mass), V-hacimi V hacimi (Volume) Atomların farklı yyoğunluklara ğ sahip p olması onların fiziksel özelliklerini ayırd etmek için kullanılabilir bir özelliktir. Örneğin aluminyum 2.70 gr/cm3, kurşun 11.3 g/cm3 yoğunluklara sahiptir sahiptir. 19

Yoğunluk ve atomik kütle Kurşunun atomik kütlesi 207 birim ve aluminyumun ise 27.0 birimdir. birimdir Atomik kütleleri oranı 207 birim /27.0 birim = 7.67 değeri bu atomların yoğunlukları oranı olan (11 3 x 103 kg/m3)/(2.70 (11.3 )/(2 70 x 103 kg/m3) = 4.19 4 19 değerine eşit değildir. Bu farklılık nereden gelir? Tabi ki kristal yapıdaki (katı haldeki) atomlar arası boşluklardan. 20

Bir küpte ne kadar atom var? •

Aluminyumdan Al i d oluşmuş l kkatı bi bir küpün kü ü ((yoğunluğu ğ l ğ 2 2.70 70 g/cm / 3) h hacmii 0 0.200 200 cm3 olarak verilmiştir. 27.0 gram aluminyum (atomik kütle birimi) 6.02 x 1023 kadar atom içermektedir. Küpte ne kadar atom vardır?

•

Çözüm Yoğunluk kütlenin hacime oranı şeklinde veriliyorsa, bu küp içindeki atomların toplam kütlesi bulunur. Kütle

m = ρV = (2.70 g/cm3)(0.200 cm3) = 0.540 g veya m = kN şeklinde yazılabilir. Denklemdeki m örneğin kütlesi, N örnekteki atomların sayısı ve k bilinmeyen orantı sabitidir. mörnek = kNörnek m27.0 g = N27.0 g

mörnek bu denklemler oranlanırsa

bilinmeyen k orantı sabiti sadeleşir 0.540

--------- = ----------m27.0 g

kN27.0 g

Nörnek

--------- = -------------27.0

kNörnek

6.02x1023

buradan Nörnek = 1.22x1022 atom olarak bulunur. 21

Quick Quiz 1.2 12 Doğru veya yanlış : Boyut analizi ile sabitlerin değerlerinin aritmetik işlemler sonucunda elde edilen sayısal sonuçları bulunabilir. bulunabilir

22

Çizelge 1.1 Çok kullanılan fiziksel nicelikler ve birimleri Sembol

Boyut

İngiliz birimi

SI

Uzunluk

L

L

feet,ft

metre, in

Kütle

m

M

Slug

kilogram, kilogram kg

Zaman

T

T

saniye,s

saniye,s

Çizgisel hız

v

L/T

ft/s

m/s

Açısal hız

w

radyan/T

radyan/s

radyan/s

İvme-çizgisel

a

L/T2

ft/s2

m/s2

İvme-açısal İvme açısal

α

radyan/T2

radyan/s2

radyan/s2

Yoğunluk

ρ

ML3

slug/ftkg/m3

kg/m3

Kuvvet

F

M(L/T2)

pound, lb

newton, N

Kinematik akışkanlık

ν

L2/T

ft2/s

m2/s

Moment (tork)

M

M(L2/T)

ft-lb

N-m

Eylemsizlik momenti kütlesi

I

ML2

Ib ft ft-ss2

kg-m g 2

Basınç

P

M/(L2T)

Ib/ft2

Nicelik

N/m2 23

1 4 Boyut analizi 1.4 • Alan • Sistem (L2) • SI m2 • ABD ft2 L-uzunluk L uzunluk (Length) T-zaman (Time)

Hacim (L3) m3 ft3

Sürat (L/T) m/s ft/s

İvme (L/T2) m/s2 ft/s2

Hesaplama işlemlerinde sonucun doğruluğunu onaylamak yani sağlama yapmak için bazen boyut analizi yapılır. Eşitliğin bir tarafındaki boyutun diğer taraftakine eşit olması gerekir. Örnek olarak x = 0.5at2 sabit ivmeli harekette konum değerinin ğ boyut y analizi şşu şşekilde yyapılabilir: p L L = ------ T2 = L T2 24

Birimler arası geçişler Bazen bir ülkenin kullandığı birim sisteminden diğer ülkenin kullandığı birim sistemine geçiş yapmak gerekebilir: • 1 milil = 1 609 m = 1 1.609 609 kkm • 1 ft = 0.304 8 m = 30.48 cm 37 iin. = 3 281 ft • 1 m = 39 39.37 3.281 • 1 in. = 0.025 4 m = 2.54 cm (tam olarak) Ö k: Örnek • 15.0 in. = (15.0 in.) ( 2.54 cm / 1 in.) = 38.1 cm

25

Quick Quiz 1.3 13 İki şehir arasındaki uzaklık 10 mil ise (a) Şehirler arası uzaklık 100 km den kısadır, (b) Şehirler arası uzaklık 100 km den büyüktür, (c) Her iki birimde aynıdır.

26

Yaklaşık değerler • Miktarlar veya sayılar hakkında konuşurken ve bunlarla işlemler yaparken tahmini değerler belirtilir. belirtilir Yani sayısını tam olarak sayamayacağımız miktarlar için yaklaşık değerlerden bahsedilir. Örneğin bir müzik konserindeki veya y mitingdeki g insanların sayısı, y , bir ormandaki ağaçların sayısı, günde aldığımız nefes sayısı verilebilir. B tür Bu tü yaklaşık kl k değerleri d ğ l i ~ simgesi i i ilile gösteririz. ö t ii y 0.00012 ~10-4 g 0.023 ~ 10-2 veya gibi. 27

Quick Quiz 1.4 14 Bir sandalyenin konumu 1 metrelik bir ölçü aleti ile ölçülmektedir. Sandalyenin ortasından duvara olan uzaklık 1.0438605642 1 0438605642 m ise bu değeri kullanacak bir kişi ne yapmalıdır? .

28

Örnek 1 1.1 1 Uzunluk ölçümü

U Uzunluğu l ğ ne olarak l k öl ölçersiniz? i i ?

9 40 cm 9.40

(Cevap için fareyi tıklayınız)

29

http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/SigFigs/SigFigs.html

Örnek 1 1.2 2 Uzunluk ölçümü

Değeri okuyunuz.

12 33 cm 12.33

(Cevap için fareyi tıklayınız)

30

http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/SigFigs/SigFigs.html

Örnek 1 1.3 3 Sıcaklık ölçümü

D Dereceler l nedir? di ?

a) 15.0 °C, b) 28.5 °C, c) 21.9 °C 31

http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/SigFigs/SigFigs.html

Örnek 1.4 1 4 Seviye ölçümü

a) 27.5 mL , b) 5.00 mL Sıvı seviyesini mL olarak ölçerken nereye bakacağız?

32

http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/SigFigs/SigFigs.html

Örnek 1.5 Okuma hatasının yuvarlatılması y

Analog ölçü aleti – hata ibrenin bulunduğu yerde 3.25V ve ibrenin kalınlığı 0.1V ise okunan değer (3 3±0 1)V olarak verilir (3.3±0.1)V verilir. 33

Örnek 1.6 Okuma hatalarının yuvarlatılması y

16

17

Çizgisel skala kullanılmalıdır (burada cetvel) •Çizgisel •Uygun hassaslık yaklaşımına ihtiyaç vardır (iyi atmak gerekir) •Bu değer subjektif olarak 16.77±0.02 seçilebilir.

34

Örnek 1 1.7 7 Okuma hatalarının yuvarlatılması

16

17

16

17

•Okuma hatası ölçülen ç nesneye y bağlıdır. ğ •Yukarıdaki sağdaki şekilde cetvel hassas olsa bile hata azalmaz. l

35

Anlamlı sayılar (significant figures) •

Herhangi bir ölçüm yapılırken bulunan değer üzerinde çeşitli hatalar eklenerek sonuç yazılır. Genel olarak bu tür değerleri anlamlı sayılarla ifade ederken sol taraftaki sıfırları dikkate almayız. Sıfırdan farklı rakamların anlamlı olduğunu ve en sağdaki sıfırların aynı şekilde bir anlam içermediğini kabul ederiz.

Eğer iki sayı çarpılıyorsa elde edilen sonuç en düşük anlamlı sayıya sahip hi değerin d ğ i rakam k hanesi h i dikkate dikk t alınarak l k yazılır. l A Aynı k kurall böl bölme içinde geçerlidir. 36

Örnek 1 1.8 8 Anlamlı sayılar Aşağıdaki rakamların anlamlı hane sayıları ne kadardır? (a) 78 78.9 9

=

3

(b) 3.788 x 109

=

4

(c) 2.46 x 10-6

=

3

(d) 0.0053

=

2

37

Örnek 1.9 Aşağıdaki sayıların anlamlı hane sayılarını belirleyiniz. Anlamlı hane sayısı

3 2

2.03

Anlamlı hane sayısı

967000

6 3

1.0

5.10

3

2.00

0.000065

2

3

0 00860 0.00860

0 005 0.005

1

5

1.0030

0.005670

4

3

0.00872

780

3

5

78000

780.000

6

38

Örnek 1.10 Aşağıdaki sayıların anlamlı hane sayılarını belirleyiniz. 0.0224

500

0.1110

0.00471

3.000

0.90

54000

0.0089

3000

4.530

708

230518

0.004300

0.023

780.00

1000.1

0.00800

0.00967

780.0

0.006007

9.6700

7.0200

0.00005

0.000008

70.164

0.090

0.0076009

0.908

0.4900

670004

10.05

5000000 39

Anlamlı sayılarla aritmetik işlemler Tamsayıların ve evrensel sabitlerin anlamlı hane sayıları belirsizdir.

Eğer iki sayı çarpılıyorsa elde edilen sonuç en düşük anlamlı sayıya sahip yazılır Aynı kural bölme içinde değerin rakam hanesi dikkate alınarak yazılır. geçerlidir.

Eğer iki değer toplanıyorsa elde edilen sonuç en düşük anlamlı değerin rakam hanesi ile verilir. Aynı kural çıkarma içinde geçerlidir.

40

Örnek 1 1.11 11 Dikdörtgenin çevresi Kenarları a = (5.5 ± 0.1) cm ve b = (6.4 ± 0.1) cm olan bir dikdörtgenin çevresi ne olmalıdır? Çevre = 2(a + b) 2(5 5 cm + 6.4 6 4 cm) = 2(5.5 = 2(11.9 cm) dir.

Anlamlı sayı olarak bu değer Çevre = 2(12) = 24 cm olarak yazılır.

41

Örnek 1 1.12 12 Anlamlı sayılarla çarpım A ğ d ki çarpımın sonucu ne olmalıdır? l ld ? Aşağıdaki 16.3456 (6 anlamlı rakam haneli sayı) x 3 3.43 sayı-3 43 (en düşük anlamlı rakam hanesine sahip sayı 3 anlamlı rakam) -------------56.065408 veya 56.1 Sonuç en az anlamlı haneye sahip 3 anlamlı haneye sahip sayıya göre yazılır.

42

Örnek 1 1.13 13 Dikdörtgen alanı alanı. Kenar uzunlukları a = (5.5 ± 0.1) cm ve b = (6.4 ± 0.1) cm olan bir dörtgenin alanı ne olmalıdır? Dikdörtgen Alanı = a · b = 5.5 cm x 6.4 cm= 35.2 cm2 dir.

Sonuç, kenar değerlerindeki ölçüm hata değerleri kullanılarak anlamlı sayılar şeklinde kli d aşağıdaki ğ d ki gibi ibi yazılabilir: l bili Alan = 35 cm2 olarak yazılır. Sonuç neden bu şekilde yazılmıştır (Cevap için fareyi tıklayınız)? Kenar uzunlukları ölçülürken 2 (iki) anlamlı haneye kadar ölçülebilmişlerdir. Sonuç 2 (iki) haneli olarak yazılabilir.

43

Örnek 1 1.14 14 Odanın alanı alanı. Duvardan duvara halı yerleştirilecek olan bir odanın uzunluğu 12.71 m ve genişliği 3.46 m olarak ölçümüştür. Odanın alanını hesaplayınız (Cevap için fareyi tıklayınız)?

En düşük anlamlı haneye sahip sayı 3.46 dır. Buna göre sonuç 44 yani alan 3 haneli olmalıdır: 44.0

Örnek 1 1.15 15 Anlamlı sayılar (significant figures) Bir dörtgen levhanın kenar uzunlukları (21.3 ± 0.2) cm ve (9.8 ± 0.1) cm olarak verilmektedir. Dörtgen levhanın alanını ve çevresini anlamlı sayılarla belirtiniz. Alan = (21.3 ± 0.2) cm x (9.8 ± 0.1) cm = 21.3 x 9.8 ± 21.3 x 0.1 ± 0.2 x 9.8 ± 0.1 x 0.2 = 208.74 ± 2.13 ± 1.96 ± 0.02 = 208.74 ± 4.11 = Çarpmada en düşük anlamlı haneye sahip sayı (yani 9.8) dikkate alınırsa sonuç = 209 ± 4 şeklinde tam sayı olarak yazılmalıdır. Çevre = 2(a + b) = 2(21.3 2(21 3 + 9.8)±0.2±0.1 9 8)±0 2±0 1 = 2(31.1) 2(31 1) ± 0.3 0 3 = toplamada en düşük anlamlı haneye sahip sayı dikkate alınır (yani 9.8 iki hanesi anlamlı olan sayı) = 62 ± 1 45

Örnek 1.16 1 16 Anlamlı sayılarla çarpma ve bölme (3.4617 x 107) ÷ (5.61 x 10-4) rakamların bölümü sonucu nasıl olmalıdır? (3.4617 x 107) ÷ (5.61 x 10-4) = 6.1706 x 1010 dur ve 6.17 x 1010 değerine 3 anlamlı sayıya yuvarlatılır.

46

Örnek 1.17 1 17 Anlamlı sayılar [(9.714 x 105) (2.1482 x 10-9)] ÷ [(4.1212) (3.7792 x 10-5)] işleminin sonucunu anlamlı sayı şeklinde yazınız yazınız. Üstel değerlere dikkat ediniz. Hesaplama sonucunda 1.3398 x 101 elde edilir ve bu değer 4 anlamlı hanesi olan 13 13.40 40 e yuvarlatılır yuvarlatılır.

47

Örnek 1.18 1 18 Anlamlı sayılar 15) ÷ [(3.8529 (4.7620 (4 7620 x 10-15 [(3 8529 x 1012) (2.813 (2 813 x 10-77) (9 (9.50)] 50)] sonucunu yazınız.

Hesaplama sonucunda 4.625 x 10-22 elde edilir. Bu değer 3 22 e yuvarlatılır. anlamlı hanesi olan 4.62 x 10-22

48

Örnek 1.19 1 19 Anlamlı sayılar [(561.0) (34,908) (23.0)] ÷ [(21.888) (75.2) (120.00)] sonucunu yazınız.

Hesaplama sonucunda 2280 2280.3972 3972 elde edilir edilir. Bu değer 3 anlamlı sayı olarak 2280 yuvarlatılır veya bilimsel gösterimi 2.28x103 olarak yazılabilir.

49

Örnek 1 1.20 20 Alanları cm2 cinsinden yazınız yazınız. uzunluk (cm)

genişlik (cm)

alan(cm2)

a.

27.81

20.49

569.8269 = 569.8 (4 haneli)

b. b

27.93 27 93

20.36 20 36

568.6547 568 6547 = 568.7 568 7 (4 haneli)

50

Örnek 1.21 Aşağıda verilen değerlere göre hacimleri cm3 cinsinden yeniden yazınız. Kalınlık (cm) hacim (cm3) a. 0.710 404.57709 = 405 b. 0.690 392.37181 = 392 Kübün veya cismin diğer kenar değerleri burada verilmemiş. Ama hacmin anlamlı olarak yyazılması için ç kalınlıktaki hane sayıları ile belirlenmiştir.

51

Deneysel verilerin işlenmesi ve dağılım hesabı Fizikteki deneylerin hemen hepsinde sonuç sayısal olarak ve yanılgısı ile ç p dağılım ğ birlikte verilir. Fiziksel ölçümlerde temelde iki tip söz konusudur. SİSTEMATİK YANILGILAR, adından da anlaşılabileceği gibi gibi, deneyin yapısında bulunan yanılgılardır yanılgılardır. Sıfır ayarı tam yapılmamış bir voltmetre, ısısal genleşme nedeniyle doğru ölçmeyen bir cetvel gibi araçlar bunlara basit birer örnektir örnektir. Bu tip yanılgılarla uğraşmak ve önlemeye çalışmak oldukça güçtür. Ancak deneyimli bir fi ik i sistematik fizikçi i t tik yanılgıları l l önleyici ö l i i bi bir ttakım k deneyler d l dü düzenleyebilir l bili ve onları su yüzüne çıkartıp düzeltebilir. 52

Deneysel hatalar hatalar, neden hata yaparız? • • • • • • •

Hatalar neden önemlidir? H t titipleri Hata l i – rasgele l ve sistematik i t tik (hassasiyet (h i t ve d doğruluk) ğ l k) Hataları yuvarlamak Sonuçlar ve hatalar Hataların formülleştirilmesi Rasgele ve sistematik hataların birleştirilmesi Hataların istatiksel doğası

J W Cockburn, Department of Physics and Astronomy, University of Sheffield, y & Astronomy y Laboratories. Physics

53

Hatalar neden önemlidir? İlaç almadan önce ve aldıktan sonra bir kişinin vücut sıcaklıkları ölçülüyor: 38.2°C ve 38.4°C Sıcaklık artışı önemli midir? – Bu değerler hatalı mıdır? (38 2±0 01)°C (38.2±0.01) C ve (38.4 (38 4 ±0.01) ±0 01)°C C – ise önemli ((38.2±0.5)°C ) and ((38.4 ±0.5)°C ) – ise önemsizdir

54

Rasgele hatalar • Ölçümlerdeki hataların değişken olmasından kaynaklanabilir, ğ y • Hatanın artı veya negatif tarafta olmasından kaynaklanabilir, • Her zaman hata yapılır, bulunabilir • Hata elde edilen değerlerin dağılımından bulunabilir, • Hata, aynı nicelik tekrar tekrar ölçülürse azaltılabilir veya bir niceliği diğer bir niceliğin fonksiyonu olarak ölçülebilir ve verileri bir çizgi şeklinde fit edilmesi ile hata daha doğru bulunabilir, • Bazen okurken hata yapılır.

55

Sistematik hatalar • Alınan ölçümlerin aynı olmasından, • Hatalı kalibre edilmiş veya ölçümün yapılmasından yapılmasından, • Ölçülen değerlerin ortalamasının doğru değerden uzak olmasından, • Bir deneyde sistematik hataların varlığının tespitinin zor olmasından kaynaklanabilir.

56

Rasgele vb sistematik hatalar Sadece rasgele hata

Doğru değer Rasgele + sistematik

•Bir sonuç sistematik hatalardan arındırılmış ise doğrudur •Bir sonuçta rasgele hatalar küçük ise sonuç hassastır denilebilir.

57

Kullanılabilir sonuçlar ve hataları • Hatayı bir basamakla belirtmek (bir veya iki basamak kullanılsa bile). • Sonucu hata basamağı ile aynı mertebede belirtmek. • Değer ve hatası üstel sayılarla kullanılıyorsa bu sayıların aynı mertebede olması gerekir. gerekir

58

Örnek 1.22 Kullanılabilir sonuçlar ve hataları • Değer 44, hatası 5 ⇒ 44±5 • Değer 128, hatası 32 ⇒ 130±30 • Değer 4.8x10-3, hatası 7x10-4 ⇒ (4.8±0.7)x10-3 • Değer 1092, 1092 hatası hatas 56 ise ⇒ 1090±60 • Değer 1092, hatası 14 ise ⇒ 1092±14 • Değer 12.345, hatası 0.35 ise ⇒ 12.3±0.4 Sonucu hata değerindeki basamak sayısından daha fazla sayıda basamakla göstermeyiniz 36.678935372±0.5

8

59

Deneysel verilerin işlenmesi ve dağılım hesabı Diğer taraftan fiziksel bir deney özdeş koşullarda özenli ve dikkatli bir biçimde tekrarlansa bile sonuçlar hep aynı olamayabilir. olamayabilir Bu tip yanılgılar, yanılgılar ölçü aletinin en küçük biriminin biriminin, örneğin örneğin, yarısının kestirilmesinde olduğu gibi doğrudan deneyciden gelebilir veya deney koşullarında y rastgele g g ((örneğin ğ şşehir g ş bir ölçü ç dalgalanmalar gerilimi ile ççalışan önceden beklenmeyen aletinin bu gerilimdeki oynamalar nedeniyle farklı değerler ölçmesi, radyoaktif parçalanmada olayın doğasında bulunan istatistiksel dalgalanmalar vb) nedeniyle de oluşabilir GELİŞİGÜZEL YANILGILAR olarak adlandırılan bu türden yanılgıların normal (Gauss) dağılım fonksiyonuna (bkz. Şekil) uygun bir dağılım gösterdiği ve ölçülen niceliğin tam doğru değerine en yakın değerin aritmetik ortalama olduğu bilinmektedir bilinmektedir. Bu yüzden normal dağılıma uymayan bir ölçü takımı için aritmetik ortalama almanın ve dağılım hesabı yapmanın ğ açıktır. anlamsız olduğu

60

Deneysel verilerin işlenmesi ve dağılım hesabı

61

Milimetre Bölmeli Cetvelle Uzunluk Ölçümleri Ön ölçümler ve yanılgı hesabı için ölçü konusu olarak düzgün bir metal silindir veriliyor. Silindirin L boyunu mm bölmeli bir cetvel ya da şerit metre ile çeşitli yerlerinden ölçün. Bu cetvel ne duyarlıkta bir ölçü verebilir? mm mi? ya da 1/2 veya 1/4 mm mi ? Daha küçükler de okunabilir mi? Bu neye bağlı? Bölmeler mm'li olduğuna göre gözünüz neyi kestirebiliyor? Bu ölçüyü özdeş koşullarda en az 10 kez yineleyin yineleyin. Her okumanız bir öncekinden bağımsız olsun. En iyisi aynı deney grubunda çalışanların birbirlerine söylemeden ayrı ayrı birkaç bi k öl ölçü ü alıp l bir bi yere yazmaları l ve daha d h sonra sonuçları l birleştirmesidir. Li ile göstereceğiniz bu ölçülerinizi bir çizelgede toplayın (bkz. Çizelge 1.2). Az çok değişik sayılar buldunuz ise bu nereden kaynaklanıyor? Siz mi yanlış ölçtünüz, cisim mi düzgün değil, yoksa cetveliniz mi kötü? Ya da bunların hepsi birden mi işiniz bozuyor?

62

Saltık Yanılgı Şimdi silindirin L boyu Ş y için ç elde ettiğiniz ğ verileri kullanarak Ş Şekil 1 dekine benzer bir eğri çizin. Ölçülerinizin dağılımı konusunda ne söyleyebilirsiniz? Bu denevde gelişigüzel yanılgı kaynakları neler olabilir? Ölçüleriniz normal dağılıma uyuyorsa eğrinin tepe noktası L nin aritmetik ortalama değerine yakın olmalıdır olmalıdır. Lort ile göstereceğimiz bu sayıyı aritmetik ortalama alarak bulun. Ayrı ayrı ölçümlerle L arasındaki farka i sayılı ölçümün açılımı denir.

63

Saltık (mutlak) yanılgı ai = Li –Lort

Şimdi ai lerin saltık (mutlak) değerlerinin ortalamasını alın.

N

d=

∑| x − x | i =1

i

N 64

Ortalama değer Fiziksel bir nicelik N kez ölçülsün. Böylelikle xi((i=1,2,......, ç y , , , N)) tane ölçüm sonucu bulunacaktır. Bu ölçülerin ortalaması aşağıdaki gibidir:

N

x =

∑x i =1

i

N 65

Bağıl yanılgı (hata) Kimi hallerde yanılgıyı saltık değeri ile değil de de, bağıl değeriyle vermek daha uygundur. Bağıl yanılgı, saltık yanılgının ölçülen niceliğe oranı olarak tanımlanır: ∆L/L. yanılgı, ∆L/L Örnek Çizelge 1.2 1 2 için bağıl yanılgı ∆L = 0.01/ 3.57 = 0.0028 = 0.003 olup ölçümlerde 0.003x 100 = %0.3 yanılgı var demektir ve L = (3.57 ± %0.3) cm ile gösterilir. Bağıl yanılgı genel olarak ölçümlerin ne kadar sağlıklı olduğunun bir ölçüsüdür ölçüsüdür. Saltık yanılgı ise ölçümün duyarlılığı ile ilişkilidir. ilişkilidir Bir örnek olarak, A = (1001 - 1) = (100±%1) ilile B = (2.5 (2.5±%4) (2 5 ± 0,1) 0 1) = (2 5±%4) niceliklerinden i likl i d A niceliği daha sağlıklı, B ise daha duyarlıklıdır.

66

Bağıl hata ∆x ----------xilk-xson

67

Yanılgı bulaşımı •Buraya dek uzunluk gibi doğrudan ölçülebilen nicelikler üzerindeki yanılgıların hesaplanmasını irdeledik. Ama fizikte ilgilendiğimiz niceliklerin y çoğunluğu ğ ğ doğrudan ğ ğ y büyük ölçülemez; doğrudan ölçülere dayanan matematiksel yazımlarla hesaplanır. Örneğin silindirin hacmi üzerindeki yanılgıya hem D çapı, hem de L uzunluğu üzerindeki yanılgılar bulaşır. O halde hacim üzerindeki yanılgıyı aldığımız ölçümlere dayanarak hesaplamak zorundayız zorundayız. Önce işin matematiğine bakalım bakalım.

68

Örnek 1.23 Silindirin uzunluğu ve çap ölçümleri Ölçüm no

Li (cm)

ai = Li –Lort

Di (cm)

ai = Di –Dort

1

3.57

0.005

1.21

0.010

2

3.58

0.015

1.19

-0.010

3

3.55

-0.015

1.20

0.00

4

3.56

-0.005

1.18

-0.020

5

3.56

-0.005

1.20

000

6

3.59

0.025

1.19

-0.010

7

3.55

-0.015

1.20

0.000

8

3.54 3 54

-0.025 0 025

1.21 1 21

0.010 0 010

9

3.57

0.005

1.20

0.000

10

3.58

0.015

1.22

0.020

Lort=3.565

0.013

Dort=1.20

0.080

y Lort = 3.565 ve ∆L= 0.013 Anlamlı sayılarla L=3.57±0.01 cm olarak verilir. Dort = 1.20 ve ∆D=0.080 Anlamlı sayılarla D=1.20±0.08 cm olarak verilir.

69

Örnek 1.24 Metal bir kürenin çapı farklı ölçü aletleri kullanılarak ölçülmüş aşağıdaki Ö değerler (cm cinsinden) elde edilmiştir. Ölçümlerin duyarlılığı hakkında ve hangi aletle alınmış olabileceğini nedenleri ile açıklayarak belirtiniz.

2.34

2.35

2.30

2.335

2.4

2.342

2.330

2.40

2.33

2.341

2.36

2.340

2.345

2.3

Metal bir silindirin boyu farklı ölçü aletleri kullanılarak birer kez ölçülmüştür. Bu ölçümlerden hangisi 1/20=0.05 mm duyarlıklı kompasla alınmıştır? Neden? 3.2 cm

3.25 cm

3.220 cm

3.22 cm

70

Örnek 1 1.25 25 Aşağıdaki çizelgede aluminyum, pirinç (bakır+kurşun karışımı) ve demirden yapılmış silindirik cisimlerin kütleleri ve boyutları verilmektedir. Cisimlerin yoğunluklarını anlamlı sayılarla ifade ediniz. Kütlesi Cisim (g) Aluminyum 51.5 Bakır 56.3 Pi i Pirinç 94 4 94.4 Teneke 69.1 Demir 216.1

Çapı (cm) 2.52 1.23 1 54 1.54 1.75 1.89

Uzunluğu (cm) 3.75 5.06 5 69 5.69 3.74 9.77

71

Örnek 1 1.26 26 Aşağıdaki nicelikleri anlamlı sayılar şeklinde yeniden ifade ediniz. a. 9.97 ± 0.12 b. 58.4 ± 1.26 8 02 ± 0.00271 0 00271 c. 8.02 d. 128.5 ± 2.87 e e. 7 257 ± 0.5734 7.257 0 5734 f. 58.4 ± 1.8 g. 2.087±0.5 h. 3.826 ± 0.0215 i. 97.32 ± 0.18 72

Örnek 1 1.27 27 Aşağıdaki nicelikleri anlamlı sayılar şeklinde yeniden ifade ediniz. j. k. l. m. n n. o. p.

428.5 ± 2.03 59.62 ± 1.28 2 ± 1.23 23 51.2 2.083 ± 0.000367 5 82 ± 0.00205 5.82 0 00205 0.1293 ± 0.0018 0.052 ± 0.01902

73

Problemler 1. Bilimsel bir yasa : A Gö A. Gözlenen l bi bir olayı l açıklamaya kl çalışır. l B. Bir doğrultudan bakılınca doğada ölçülmüş değerler C. Gözlenen davranışların tamamı. D. İspatlanmış hipotezlerde olduğu gibi. 2. 780 000 000 sayısını bilimsel sayı olarak gösteriniz. A. 7.8 x 10-8 B. 78 x 107 C. 78 x 10-7 D. 7.8 x 108 3. 1.020 nin kaç tane anlamlı rakam hanesi var? A. 4 B. 3 C. 2 D. sonsuz 4. 0.000653 sayısında anlamlı hane sayısı nedir? A. 7 B. 3 C. 6 D. sonsuz 8. 7.968 sayını anlamlı sayı olacak şekilde yuvarlayınız. A. 7.96 B. 8.00 C. 7.97 D. 7.90 9 Aşağıdaki işlemi gerçekleyiniz ve anlamlı sayı halinde yazınız. 9. yazınız 7.32 x 0.002350 A. 0.0172 B. 0.017 C. 0.01720 D. 0.02

74

Problemler 10. 0.02500 + 3.0 + 1.210 = ? İşlemini gerçekleyiniz ve anlamlı sayılar halinde yazınız A. 4.2 B. 4.24 C. 4.235 D. 4.0 11. 0.02101 x (33.50 - 23.6) = ? İşlemini gerçekleyiniz ve anlamlı sayı şeklinde yazınız. A. 0.208 B. 0.2080 C. 0.21 D. -22.9 12. 224 inch i metreye çevirip anlamlı sayı olarak yazınız. A. 0.882 m B. 5.69 m C. 8820 m D. 56900 m 13 225 lb kaç kilogramdır? Anlamlı sayı şeklinde yazınız. yazınız 13. 8 A. 1.02 x 10 B. 102 C. 102.15 D. 496 14. 0.120 m3 kaç cm3 tür? A. 12.0 B. 1.20 x 10-3

C. 1.20 x 105

D. 1.20 x 10-7

15. 36.2 gram kütleli ve 18.3 mL hacimli bir nesnenin yoğunluğu aşağıdakilerden hangisidir? Yoğunluğu anlamlı sayılar şeklinde yazınız yazınız. A. 1.98 g/mL B. 1.98 mL/g C. 0.506 g/mL D. 662 g/mL 16. 258 gram kütleli ve 0.95 g/mL yoğunluklu cismin hacmi (mL) aşağıdakilerden hangisidir? C. 0.27 mL D. 270 mL A. 250 mL B. 3.7 x 10-3

75

Sonuç * Deneysel bir g gözlem yyapılmışsa, y p ş , veriler kullanılırken sistematik ve rasgele (okuma) hatalarının dikkate alınması gerekmektedir – Bu kesinlik ve hassaslığı belirler, * Veriler üzerinde mutlaka hatalarının yazılması gerekmektedir, gerekmektedir * Okuma hatalarının yuvarlatılması anlamlı olmaları için gereklidir, * Bazen hataların kullanımı ve birleştirilmesi gerekebilir, *H Hataların t l iistatiksel t tik l d doğasını ğ mutlaka tl k dikkate dikk t almak l k gerekir ki . Daha fazla okuma için : Document on website or any text book on practical physics 76 e.g. ‘Experimental Methods’ L Kirkup or ‘Practical Physics’ G L Squires

2 TEK BOYUTTA HAREKET 2.1 Konum, hız ve sürat 2.2 Anlık hız ve sürat 2.3 İvme 2.4 Hareket diyagramları 2.5 Tek boyutta y sabit ivmeli hareket 2.6 Serbest düşen cisimler 2.7 Kinematik denklemlerin türetilmesi

Kayakçı tepeden aşağı düz bir çizgi üzerinden inerken 100 km/saat hıza ulaşabilir.

Tek boyutta hareket Klasik mekaniğe girişte cisimlerin hareketinin uzaya ve zamana bağlı olarak incelenir. incelenir Klasik mekaniğin bu kısmına kinematik denir (kinematik sinema ile aynı kökenli kelimelerdir?). Bu bölümde sadece tek boyutta yani doğru bir ççizgi g üzerindeki hareketle ilgilenilecektir. g Önce konum,, yerdeğiştirme, hız ve ivme kavramları tanımlanacaktır. D h sonra b Daha bu kkavramlar l kkullanılarak ll l k nesnelerin l i sabit bit iivme ile hareketleri incelenecektir.

Kitaptaki renklerin kullanımı

Tek boyutta hareket • Günlük hayattan bir nesnenin hareketini sürekli yer değiştirmesi şeklinde anlarız anlarız.Fizikte Fizikte bu hareketler • öteleme, • dönme ve • titreşim tit i hareketleri şşeklinde sınıflandırabilir.

1 1 Konum 1.1 Konum, hız ve sürat

•

Bir parçacığın konumu seçilen koordinat sistemi referansına yerinin belirlenmesidir. (a) Şekilde arabaların konumu x-ekseni boyunca bir başlangıç veya orijine göre belirlenmektedir.

Konum hız ve sürat Konum, (b) Parçacığın konum-zaman grafiği fiği Parçacığın yerdeğiştirmesi y ğş ∆x = xf – xi ∆- yerdeğiştirme xf - son konum xi - ilk konum

Ortalama hız Parçacığın yerdeğiştirmesinin bu yerdeğiştirme için geçen süreye oranını ortalama hız olarak tanımlayabiliriz. Birimi metre / zaman şeklindedir şeklindedir. Önceki şekildeki ilk konum Anoktasındaki konum 30 m m, son konumu 52 m dir. Yerdeğiştirme 52 – 30 = 22 m dir. Bu yerdeğiştirme için geçen süre ise 10 saniyedir. Bu durumda ortalama hız 22/10 = 2.2 m/s dir. dir

Ortalama sürat • Alınan yolların toplamının toplam süreye oranıdır.

Toplam yol Ortalama sürat = -------------------Toplam süre

A F noktaları arasındaki ortalama hız ve sürat A-F yerdeğiştirme ∆x = xF - xA = – 53 – 30 = -83 m -83 m Ortalama hız = ---------50 s = -1.7 m/s 127 m Ortalama sürat = ----------50 s = 2.5 m/s

2 2 Anlık hız ve sürat 2.2

Bazen ortalama hız veya sürat yerine daha küçük zaman dilimlerindeki anlık hız ve sürat değerlerinin bilinmesi daha yararlı olur. Yani A noktasında B noktasında, noktasında vb.

Anlık hız ve sürat

(a) Arabanın hareketi (b) B noktasındaki konum daha ayrıntılı olarak verilmiştir.

Örnek 1.1 1 1 Ortalama ve anlık hız Bir cismin konum konum-zaman zaman grafiği x(t) = -4t+2t2 fonksiyonu ile verilmektedir. T-saniye cinsindendir. a) 0 ≤ t ≤ 1 ve 1 ≤ t ≤ 3 zaman aralıklarındaki yerdeğiştirmeyi hesaplayınız. p y b) 0 ≤ t ≤ 1 ve 1 ≤ t ≤ 3 zaman aralıklarındaki ortalama hızı hesaplayınız.

Örnek 1.1 1 1 Ortalama ve anlık hız

t = 2.5 saniyedeki anlık hız ise vx = + 6 m/s dir. dir

1 3 İvme 1.3 • Eğer cismin hızı da zamana bağlı olarak değişiyorsa bu yeni duruma ivme ismi verilir verilir. Aşağıdaki gibi gösterilebilir. Birimi metre / s2 dir

Anlık ivme •

Daha küçük zaman aralıklarındaki hız değişimlerini bilmek önemli ise bu aşağıdaki gibi formül ile elde edilebilir:

Anlık ivme Bir nesne bir çizgi boyunca hareket ediyorsa y bu cismin hızının ve ivmesinin yönleri hakkında şunlar söylenebilir: • Eğer hız ile ivme aynı yönlerde ise cismin sürati artıyordur, • Cismin hızı ile ivmesi farklı yönlerde ise sürati azalıyordur.

Anlık ivme Ani ivme hız hız-zaman zaman grafiğinden elde edilebilir. (a) Her anlık değer ax ivmesinin t zamanına göre grafiğinden b l bulur. (b) vx in t ye göre grafiğinin eğiminden yani (a) daki iki noktayı ş birleştiren çizginin tanjant değerinden hesaplanır.

x, vx , ve ax Anlık hız x -t grafiğinin tanjant değerlerinden hesaplanır. t = 0 ve t = tA, aralığında x -t grafiğinin eğimi artmaktadır. Yani hız da artmaktadır. tA ve tB, aralığında x -t grafiğinin eğimi sabittir ve hız sabit kalmaktadır. grafiğin x -t tD, noktasında g ğ eğimi ğ grafiğinden sıfırdır, yani anlık hız sıfırdır. tD ve tE, aralığında x -tt grafiğinin eğimi azalmaktadır yani hız negatiftir. tE ile tF, aralığında x-t grafiğinin eğimi negatiftir ve tF de bu değer sıfırdır. tF, değerinden sonra ise x -tt grafiğinin eğimi sıfırdır ve cisim duruyordur.

Örnek 1.2 1 2 Ortalama ve anlık ivme xx-ekseni ekseni boyunca hareket eden bir cismin hızı vx = (40 5t2) m/s olarak verilmektedir. Denklemdeki t zamanı g göstermektedir. (a)0 ≤ t ≤ 2 s aralığında ortalama ivmeyi hesaplayınız. ]m/s=+40 vxA = (40 - 5tA2) m/s = [40 - 5(0)2]m/s 40 m/s vxB = (40 - 5tB2) m/s = [40 - 5(2)2]m/s=+20 m/s

Örnek 1.2 Ortalama ve anlık ivme (b) t = 2 s deki anlık ivmeyi hesaplayınız.

1 4 Hareket diyagramları 1.4

1 5 Tek boyutta sabit ivmeli hareket 1.5

Bir parçacığa ait a) konum-zaman, b)) hız-zaman ve c) ivme-zaman grafikleri

Sabit ivmeli hareket

Sabit ivmeli hareket

Kinematik denklemler

Ö e 1.3 3 Otoyol O oyo trafiğine a ğ eg e Örnek girmek (A) yokuş-yukarı otoyola girerken ivmenizin ne olacağını tahmin ediniz. Bu problemi çözerken ax için yaklaşık değerler alabiliriz. Diğer değişkenler ise konum, hız ve zamandır zamandır. Son hızımızı yaklaşık olarak 100 km/h alarak akan trafiğe girebileceğimizi kabul edelim., bu değerin MKS birim sistemine çevrilmesi gerekmektedir: (1 000 m/1 km) ile kilometreyi metreye ve (1 saat/3 600 saniye) ile saati saniyeye çevrilir çevrilir. Son hızı yaklaşık olarak 3 e bölündüğünü yani vxf = 30 m/s alalım. Başlangıç hızımızıda son hızın 1/3 olarak alırsak vxi = 10 m/s. Son olarak 10 saniyelik süre içinde trafiğe karıştığımız düşünelim. Bunu günlük hayatınızda da tecrübe edebilirsiniz. Aşağıda ortalama ivme verilmektedir:

Örnek 1.3 Otoyol trafiğine girmek (B) B Bu iivme ve zamanın yarısında d ne kkadar d yoll alırız? l ? İİvmemizin i i sabit bi kaldığını kabul ederek bu soruya cevap bulabiliriz.

Örnek 1.4 Bir uçağın ç ğ uçak ç gemisine g inişi ş Bi jjet uçak Bir k gemisine i i 140 mi/saat i/ (63 m/s) / ) ilk hızı h ilile iinmek k ve 2 s içinde durmak istemektedir. Durma esnasındaki ivmesi ne olur? Uçak bu süre zarfında ne kadar yol alır?

Örnek 1.5 Hız limitini geçince Bir reklam panosunun arkasında gizlenen polis motosikleti hız limitini geçen bir aracı (45 m/s) yakalamak için durgun halden 3 m/s2 ivme ile harekete başlamıştır başlamıştır. Aracı yakalayabilmesi için ne kadar süre geçer?

1.6 Serbest düşen cisimler Bütün cisimler eğer hava direnci ihmal edilirse dünyaya doğru yerçekim ivmesi ile hızlanarak dü l B düşerler. Bu görüş ö ü 1600 lü yıllara ll kkadar d kkabul b l edilmedi. Büyük filozof Aristotle (384–322 B.C.) ağır cisimlerin hafif cisimlerden daha hızlı düştüğünü söylemişti. Italyan Galileo Galilei ((1564–1642)) bunun doğru ğ olmadığını ğ Pisa Kulesi nden farklı ağırlıktaki cisimleri yere bırakarak aynı anda yere yere vardıklarını gösterdi. ö t di A Ayrıca eğik ğik dü düzlemler l l ü üzerinde i d deneyler yaparak cisimlerin ivmelerindeki değişmeyi gözlemlemiştir gözlemlemiştir. Yerçekim ivmesi deniz seviyesine yakın yerlerde 9.80 m/s2 olarak alınmaktadır. İtalyan fizikçi ve astronom (1564-1642)

Örnek 1 1.6 6 Zıplayan top Şekildeki Ş kild ki gibi ibi zıplayan bir topun konumunu, hızını ve ivmesini zamana göre değişim grafiğini ğş g ğ çiziniz.

Örnek 2.6. 2 6 Zıplayan top

Örnek 1.7 Yukarı doğru atılan taş 50 m yüksekliğindeki bir binanın tepesinden 20.0 m/s ilk hızla bir taş yukarı doğru atılmaktadır. tA = 0 s kabul ederek (A) Topun maksimum yüksekliğe ulaşması için geçen süreyi, (B) Maksimum yüksekliğini, yüksekliğini (C) Taş yere düşerken atıldığı noktadan ne kadar süre sonra geçer? (D) Bu anda topun anlık hızı nedir? (E) Taşın T t =5 5 s deki d ki kkonumu ve h hızını belirleyiniz. b li l i i

Örnek 1 1.8 8 Konum Konum, hız ve sürat Bir ralli aracının konumu değişik zamanlarda aşağıdaki çizelgedeki gibi elde edilmiştir. ş Arabanın ortalama hızını (a) Birinci saniyede, (b) Son 3 s aralığında ve t(s) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 (c) Toplam zaman içinde. x(m) 0 2.3 9.2 20.7 36.8 57.5 2.3 – 0.0 a) vort = ---------- = 2.3 2 3 m/s 1 – 0.0 57.5 57 5 – 9.2 92 b) vort = ------------- = 16.1 m/s 5 – 2.0 57.5 – 0.0 c) vort = ---------- = 11.5 m/s 5 – 0.0

Örnek 1 1.9 9 Konum Konum, hız ve sürat Bi parçacıkk x ekseni Bir k ib boyunca yandaki d ki grafikteki fik ki gibi hareket etmektedir. Parçacığın ortalama hızını aşağıdaki zaman aralıkları için belirleyiniz. (a) 0 - 2 s, (b) 0 - 4 s, (c) 2 s - 4 s, (d) 4 s - 7 s, (e) 0 - 8 s.

Örnek 1 1.10 10 Ani hız Bir parçacık xx-ekseni ekseni boyunca zamana bağlı olarak x(t) = 3t2 şeklinde hareket etmektedir. Denklemde x-metre ve t-saniyedir. Aşağıdakileri elde ediniz. ediniz (a) t = 3.00 s deki konumunu, (b) 3.00 s+∆t deki konumunu, (c) ∆t ->0 limit durumu için ∆x / ∆t hızını t=3 saniye için hesaplayınız.

(a) x(t=3) = 3t2 =3·32 = 27 metre (b) x(t=3 + ∆t) = 3(t +∆t)2 =3·(t2 + 2t∆t + ∆t2). (c) v = Limit (∆t ->0) >0) = ∆x ∆ / ∆t = 6t ve e t=3 t 3 s için v = 18 m/s dir. dir

Örnek 1.11 Ani hız, sürat Bir cismin durgun halden harekete geçmesi şekildeki grafikteki gibi verilmektedir. parçacığın ((a)) t = 10 s ve t =20 s lerinde p ç ğ süratini hesaplayınız, p y , (b) İlk 20 s içinde parçacığın aldığı yolu hesaplayınız.

Örnek 1 1.12 12 Hız ve ivme Acela (ah-SELL-ah Washington-New YorkBoston arasında çalışan bir servis adı) Amerikan trenlerinin Porsche sidir. İki lokomotif ve 6 yönetmeni vardır. 304 yolcuyu 170 mi/saat hızla taşır. Yolcuların sarsıntıları az hissetmesi için vagonlar birbirine neredeyse yapışıktır. Fren sistemi hareketten elde edilen elektrik enerjisi ile çalışır. Bu trenin hız-zaman grafiği yanda verilmektedir. verilmektedir (a) Her zaman aralığı için trenin hareketini anlatınız. (b) Grafikten trenin ivmesinin y olduğu ğ yyeri belirleyiniz. y en büyük (c) t = 0 ve t = 200 s aralığında trenin yerdeğiştirmesini hesaplayınız.

3 VEKTÖRLER 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 3 7 Bi i vektör ktö 3.7 Birim

1

Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 2 Kartezyen koordinat 3.2

2

3 2 Kartezyen koordinatlar 3.2

3

Saatin dönme yönünün tersi

4

Skaler nicelik • Sadece miktar, adet veya sayısal bir değer veren büyüklüğü olan niceliklere skaler denir. kütle, denir Örneğin kütle enerji, sürat, bir yerdeki canlı sayısı vs. • Yönü, doğrultusu ve büyüklüğü olan niceliklere vektör denir Örneğin hız denir. hız, sıcaklık değişimi, değişimi kuvvet vs vs.

5

Yerdeğiştirme

6

Quick Quiz 3.1 31 Aşağıdakilerden hangileri vektör, hangileri skaler niceliklerdir? (a) ( ) Yaşınız Y (b) İvme ( ) Hız H (c) (d) Sürat ( ) Kü (e) Kütle l

7

3 5 Vektörlerin toplamı 3.5

• R-bileşke vektör, • A ve B -R nin bileşenleri 8

Vektör toplamı

9

Vektörlerin toplamı

10

Quick Quiz 3 3.2 2 A ve B vektörleri A = 12 birim ve B = 8 birim şeklinde verilmektedir. Bileşke vektör R = A + B şeklinde ise vektörlerle yapılan işlemlere göre en büyük ve en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir? (a) 14.4 birim, 4 birim (b) 12 birim, bi i 8 birim bi i (c) 20 birim, 4 birim (d) Yukarıdakilerden Y k d kil d hi hiçbirisi. bi i i

11

Quick Quiz 3 3.3 3 B vektörü A vektörüne eklenirse, hangi durumda bileşke vektör A + B nin değeri A + B ye eşittir? (a) A ve B paralel ve aynı doğrultlarda olunca, (b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca, (c) A ve B birbirine dik olunca.

12

Quick Quiz 3 3.4 4 B vektörü A vektörüne eklenirse hangi koşulda bileşke vektörü sıfır olabilir? (a) A ve B birbirine paralel ve aynı yönlerde olunca, (b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca, (c) A ve B aynı büyüklükte olunca, (d) A ve B birbirlerine dik olunca.

13

Özetle : Vektörlerin toplanması

• Uygun bir koordinat sistemi seçiniz. Bileşen sayısını azaltarak toplamı kolayca yapılacak hale getiriniz. • Problemdeki tanıma uygun bir şekil çiziniz. H vektörün ktö ü x ve y bileşenlerine bil l i ayırınız ve bileşenlerin bil l i cebirsel bi l ttoplamını l • Her x ve y eksenleri boyunca yapınız. • Bileşke vektörün büyüklüğünü Pisagor teoremini kullanarak bulunuz ve eksenlerden ne kadar ayrıldığını da trigonometrik fonksiyonları kullanarak hesaplayınız. hesaplayınız

14

Vektörlerin toplanması xy düzleminde bulunan A ve B vektörlerinin toplamını hesaplayınız. (2 0i + 2.0j) 2 0j) m ve B = (2.0i (2 0i - 4.0j) 4 0j) m A = (2.0i Çözüm Vektörleri bileşenleri cinsinden yazılabilir. A = Ax i + Ay j, burada Ax = 2.0 m ve Ay = 2.0 m. Benzer şekilde Bx = 2.0 m ve By = - 4.0 m. Bileşke vektör R aşağıdaki gibi olur, R = A + B = (2.0 + 2.0)i m + (2.0 - 4.0)j m = (4.0i - 2.0j) m Veya Rx = 4.0 m

Ry = -2.0 m

15

Vektörlerin toplanması Bir parçacık aşağıdaki gibi yerdeğiştirmeleri yapmıştır: d1 = (15i + 30j + 12k) cm, d2 = (23i - 14j - 5.0k) cm ve d3 = (-13i + 15j) cm. Bileşke yerdeğiştirmeyi ve büyüklüğünü bulunuz.

16

Bileşme özelliği

17

Quick Quiz 3 3.6 6 Bir vektörün bileşenlerinden biri pozitif değere sahipse, bu vektör için aşağıdaki koşullardan hangisi doğrudur? (a) birii negatif ( ) Bileşenlerinden Bil l i d bi tif işaretli i tli olamaz, l (b) Sıfır olamaz, ( ) Üç Ü b tl olamaz. l (c) boyutlu

18

Quick Quiz 3 3.7 7 A + B = 0 olabilmesi için A ve B nin nasıl olması gerekir? (a) eşit (b) pozitif (c) negatif (d) Zıt işaretli.

19

Quick Quiz 3 3.8 8 Aşağıdakilerden ğ hangisinde bir vektör bileşenlerinden birine eşittir? (a) ( ) A = 2i +5j (b) B = -3j ( ) C = +5k 5k (c)

20

3 6 Vektörlerin çıkarılması 3.6

21

Örnek 3 3.1 1 Gezide alınan toplam yol

22

Vektörlerin çarpımı A vektörünün y-doğrultusundan bakınca xekseni üzerindeki izdüşümü

23

Dönmüş koordinat eksenleri

24

3 7 Birim vektör 3.7

25

Vektör bileşenleri

26

Örnek 3 3.2 2

R=56 birim

A vektörünün büyüklüğü 20 birim B vektörünün büyüklüğü y ğ 40 birim 29º

C vektörünün büyüklüğü 30 birim a) R-bileşke R bileşke vektör? b) R-bileşke vektörün yönü? cos45º=sin45º=0.71 27

Örnek 3 3.3 3 • • • •

A+B ? A-B ? B-A A-2B

cos30=0.87 cos30=0 87 sin30=0.50

28

Örnek 3 3.4 4 Aşağıda kutupsal koordinatları verilen noktaların konum vektörlerini yazınız: (a) 12.8 m, 150° (b) 3.30 cm, 60.0° (c) 22.0 in., 215°.

29

Örnek 3 3.5 5 xy düzlemindeki bir yerdeğiştirme vektörünün büyüklüğü 50 50.0 0 m ve pozitif x ekseni ile yaptığı açı 120° olarak verilmektedir. Bu vektörün dik bileşenini bulunuz (sonuç y

için fareye tıklayınız).

50 50.0 m

Ry = 50 sin60 = 43.3 veya Ry = 50 cos30 = 43.3

40 30 20 10 120° x

-30 -20

-10

10

20

30

-10 -20 20 -30

30

Örnek 3 3.6 6 Kuzey

Bir mağaracı mağaranın girişinden itibaren mağara içinde

50.0 m

önce 75.0 m kuzeye, 250 m doğuya, 125 m kuzey-doğuya

200

100

(doğudan 30 30.0 0° yukarı doğrultuda) ve son olarak 150 m güneye doğru hareket ediyor ediyor.

Doğu -100

Mağaracının mağaranın girişine

100

200

-100

göre ö yerdeğiştirmesini d ği ti i i hesaplayınız. Rx=358.3 m Ry=-12.5 m

R=358.5 m

31

Örnek 3 3.7 7 Robot kolu Bir robot kolu önce yukarı doğru ve sonra doğuya hareket ediyor. Sonra doğu-batı boyunca düşey doğrultuda yarıçapı 4.80 cm olan çeyrek çember yayı üzerinde hareket ediyor. Robot cismi alıp yukarı ve 3.70 cm lik yarıçapı olan çeyrek çember yayı üzerinde düşey doğrultuda doğru ü i d dü d ğ lt d kkuzeye d ğ taşırsa: t (a) toplam yerdeğiştirmenin büyüklüğünü hesaplayınız. l d ği ti i dü k l (b) T Toplam yerdeğiştirmenin düşey eksenle yapmış olduğu açıyı hesaplayınız.

32

Örnek 3 3.8 8 Radar kontrolörü Bir hava kontrolörü iki uçağı radar ekranında görür. Birinci uçak yerden 800 m yükseklikte, yatay olarak 19.2 km ve 25.0° güney-batıda bulunmaktadır. İkinci uçak ise yerden 1100 m yükseklikte, kuleden 17.6 km yatay doğrultuda 20.0° güney-batıda bulunmaktadır. İki uçak arasındaki uzaklığı hesaplayınız. (x eksenini batı, y eksenini güney ve z eksenini düşey ş y doğrultu ğ olarak alınız). ) Uçak1 için x1=19200sin25 = 8114.2 m, y1=19200cos25 =17401.1 m, z1=800 m U k2 için Uçak i i x2=17600sin20 17600 i 20 = 6019.3 6019 3 m, y2=17600cos20 17600 20 = 16538 16538.6 6 m, z2=1100 1100 m r = √((8114.2-6019.3)2+(17401.1-16538.6)2+(800-1100)2) = √(2094.9 √(2094 92 + 862.5 862 52 + 3002) = 2285.3 2285 3 33

4 İKİ BOYUTTA HAREKET 41K 4.1 Konum, h hız, iivme 4.2 İki boyutta sabit ivmeli hareket 4.3 Eğik hareket/atış 4.4 Düzgün dairesel hareket 4.5 Teğetsel ve merkezcil ivme 4.6 Göreli hız ve göreli ivme

Bir yanardağın püskürmesinde lavların hareketi paraboliktir.

1

İki boyutta hareket hareket-yerdeğiştirme yerdeğiştirme vektörü •

•

Birçok ç cisim iki boyutta hareket eder:uydunun hareketi, elektrik yükünün elektrik alan içinde hareketi, su ü i d ki bir bi yüzeyindeki geminin hareketi,vs. Alt indisler iinitial, f-final kelimelerinin baş h fl idi harfleridir.

2

Ortalama hız

•

Birim zamanda yerdeğiştir me miktarı

3

Ortalama hız

•

Baseball da topa vuran kişi başladığı yere koşarak geri dö döner. O Ortalama t l hızı sıfırdır.

4

Ani hız

•

Çok küçük zaman dilimindeki yerdeğiştirm e miktarı. 5

Ortalama ivme

• Birim zamanda hızdaki ğş değişim

6

Hız değişimi • Cisim A y dan B ye giderken hızını değiştirir. Şekle dikkat ederseniz vektörlerin toplamı yapılmaktadır. Hızın değişimi daha küçük zaman aralıklarında çok önemli ise ani ivme önemli olmaktadır:

7

Sabit ivme • İki boyutta y sabit ivme ile hareket eden bir cismin konumu zamanla değişiyorsa hızı

8

Sabit ivme ile hareket • Sabit ivme ile hareket eden bir cismin son hızı

9

Sabit ivmeli hareket • S Sabit bit iivme ilile h hareket k t eden d bi bir cismin i i iki boyutta son konum değerleri

10

Sabit ivmeli hareket • Sabit ivmeli harekette son konum değeri

11

Sabit ivmeli hareket

12

Sabit ivmeli hareket • S Sabit bit ivme i ile il hareket h k t eden d bi bir cismin i i son h hızı ve son konumu

13

Örnek 4 4.1 1 Düzlemde hareket •

Bir cisim t=0 s anında orijinden harekete başlıyor. Cismin başlangıç hızlarının x ve y bileşenleri 20 m/s ve -15 m/s olarak veriliyor. Cisim x-ekseni boyunca 4m/s2 gibi sabit bir ivme değerine sahiptir: Herhangi biz an için hız değerini verecek formülü türetiniz türetiniz.

14

Örnek 4 4.1 1 Son hız değeri

Cismin t=5nci saniyedeki hızı ve yatay eksen ile hız vektörünün yaptığı açı

15

4 3 Eğik hareket/atış 4.3 Bir topa vurulduğunda havadaki hareketi incelendiğinde aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir: 1.

Top hareketi esnasında hızı aşağıya yönelmiş sabit gyerçekimi ivmesine bağlı olarak değişir.

2 2.

Topun hareketi esnasında hava direnci ihmal edilir. edilir

Bu sonuçlara göre top hava içinde parabol çizerek hareket eder. 16

Eğik hareket

17

Eğik hareket

• Yandaki resimde metal eriten bir kaynakcı görülmektedir.

18

Eğik hareket

• Yatay doğrultuda sabit hızla hareket edilir, • Düşey doğrultuda sabit ivmeli bir hareket vardır.

19

Eğik hareket-Örnek 1. Bir cismin düşey ve yatay hız değerleri 40 m/s ve 20 m/s dir. Cismin tekrar yere ere düşene kadar geçen zamanı aman ve e men menzilini ilini hesapla hesaplayınız. n

8 saniye ve 160 m 20

Uçuş ç ş menzili

Menzil

21

Örnek 4 4.2 2 Eğik hareket

22

Örnek 4.3-Uzun atlama

Mike Powell, uzun atlama rekorunu kırdığı atlayışı 8.95 m dir.

23

Örnek 4 4.4-Havada 4 Havada çarpışma

24

Örnek 4 4.5 5-Yardım Yardım paketi

25

Örnek 4 4.6-Kayakla 6 Kayakla atlama

26

Örnek 4 4.7 7-Eğik Eğik atış Şekildeki binanın tepesinden bir taş yatayla 30 30.0° 0° açı yapacak şekilde 20.0 m/s hız ile fırlatılmaktadır. ğ 45.0 m yüksekliği Binanın y ise, (A) Taşın yere ulaşması için geçen süre nedir? (B) Taşın yere çarpmadan hemen önceki hızı nedir?

T 4.22 saniye T=4.22 27

4 4 Düzgün dairesel hareket 4.4 • Sabit bir hızla çember şeklindeki yol üzerinde sabit bir hızla hareket cismin sabit bir ivmesi vardır.

a) Çember üzerinde dolanan araba, b) arabanın konumunun değişim, c) arabanın hızının değişimi, 28

4 4 Düzgün dairesel hareket 4.4

Periyot = T= 2πr / v 29

ğ 4.5 Teğetsel ve merkezcil ivme • İvmenin teğetsel bileşeni parçacığın hızında değişime neden olur. • Radyal ivme hızın yönünün değişmesine neden olur. 30

ğ 4.5 Teğetsel ve merkezcil ivme

31

4.5 Teğetsel ve merkezcil ivme

a)Birim vektörler tanımlanmaktadır, b) Toplam vektör ve doğrultusu

32

Örnek 4 4.8-Merkezcil 8 Merkezcil ivme

•

Bir araba 0.300 m/s2 ivme ile şekildeki gibi hareket etmektedir. Yarıçapı 500 m olan bir tepeden geçerken arabanın yatay hızının büyüklüğü 6.00 m/s dir. Arabaya etki eden toplam ivme nedir?

33

4 6 Göreli hız ve göreli ivme 4.6 • Bu kesimde farklı gözlem çerçevesindeki gözlemcilerin birbirlerini nasıl gördükleri anlatılacaktır anlatılacaktır. Gözlemcilerin birbirlerine göre konumları, hızları ve ivmeleri nasıl olacaktır. Yani birbirlerine göre göreli hareket eden gözlemcilerin sonuçları g ç farklı olacaktır.

34

Göreli hareket Şekilde biri yürüyen merdivende diğeri yerde olan iki gözlemci yürüyen merdiven üzerindeki adamın (en sağdaki) hızını farklı ölçecektir. ç Yürüyen y yyol üzerindeki kadın adamın hızını yerde sabit duran kadına göre daha yavaş olduğunu söyler söyler. 35

Göreli hareket

(a) Kaykay üzerinde hareket eden A kişisi topun yukarı doğru hareket ettiğini görür, görür (b) Duran B gözlemcisi ise topun hareketini parabol şeklinde görür.

36

Göreli hareket

A noktasındaki kt d ki bi bir cismin i i kkonumu bi birii sabit bit diğ diğerii h hareketli k tli iki gözlemci ö l i tarafından yukarıdaki şekildeki gibi görülmektedir. Durgun çerçeve S ve sabit v0 hızı olan hareketli çerçevede S’ dür. r vektörü S gözlem çerçevesine göre r’ r vektörü ise S S’ gözlem çerçevesine göre konum vektörleridir. 37

Galileo eşitlikleri Konum vektörlerinin toplamı, toplamı Konum vektörlerinin türevi alınırsa göreli hız bulunur, Hız vektörlerinin türevi alınırsa göreli ivme değerleri elde edilir. Göreli harekette ivme her gözlem çerçevesinden aynı değerde gözlenir. 38

Örnek 4.9-Nehirde hareket Şekildeki bir b bot, doğuya doğru Ş kild ki gibi ibi bi t d ğ d ğ (yere ( göre) sabit 5 km/saat (alt simge rE-river Earth) hızla akan bir nehir üzerinde nehire göre 10.0 km/saat (alt simge br-boat river) hızla kuzeye doğru hareket etmektedir. Botun hızını kenardaki bank üzerinde bulunan gözlemciye göre (bE-boat Earth) y hesaplayınız.

39

Örnek 4 4.10-Nehirde 10 Nehirde kayık Bir önceki örnekte hareketli gözlem çerçevesi (nehir-5 km/saat) içinde yol alan kayık (10 km/saat) incelenmişti. Kayık başladığı noktanın tam karşısındaki rıhtıma çıkabilmesi için kuzey-batıya doğru kuzeyle hangi açı ile ve hızla hareketine başlamalıdır? ş

40

Örnek 4 4.11 11 Bir tepede golf topuna vurulmaktadır. Golf topunun x ve y koordinatları zamana bağlı olarak aşağıdaki gibi verilmektedir: x = (18.0 m/s)t ve y = (4.00 m/s)t - (4.90 m/s2)t2 (a) i ve j birim vektörlerini kullanarak topun konumunu yazınız. (b) Hız vektörü v yi zamanın fonksiyonu olarak yazınız yazınız. (c) İvme vektörü a yı zamanın fonksiyonu olarak yazınız. (d) 3 s sonra golf topunun konumunu, hızını ve ivmesini hesaplayınız. 41

Örnek 4 4.11-Çözüm 11 Çözüm x = (18.0 m/s)t ve y = (4.00 m/s)t - (4.90 m/s2)t2 (a) Konum vektörü r = x i +y j = (18.0 m/s)t i + [(4.00 m/s)t - (4.90 m/s2)t2] j Şeklinde yazılabilir. (b) Hız vektörü v = (18.0 m/s) i + [(4.00 m/s) - (9.80 m/s2)t] j 42

Örnek 4 4.11-Çözüm 11 Çözüm x = (18.0 m/s)t ve y = (4.00 m/s)t - (4.90 m/s2)t2 (c) a = - (9.80 (9 80 m/s2) j (d) t = 3 s sonra konum, hız ve ivme değerleri aşağıdaki gibidir: r = (18.0 m/s)3 i + [(4.00 m/s)3 - (4.90 m/s2)32] j = (54.0 m/s) i – (32.1) j v = (18.0 m/s) i - (25.4) j a = - (9.80 m/s2) j 43

Örnek 4 4.12-Göreli 12 Göreli hareket Corvette ki Ali vAli = (3.00i – 2.00j) m/s2 ile ivmelenmektedir. Jaguardaki Ayşe ise vAyşe = (1.00i + 3.00j) m/s2 ifadesi ile ivmelenmektedir. Her ikiside düzlemsel xy koordinat sisteminin orijininden durgun halden harekete başladıklarına göre 5.00 s sonra aşağıdakileri hesaplayınız: ğ d kil i h l (a) Ali nin Ayşeye göre hızını, il A d ki uzaklığı kl ğ ve (b) Ali ile Ayşe arasındaki (c) Ali nin Ayşeye göre ivmesini hesaplayınız.

44

Örnek 4 4.12 12 İvme vektörleri y

3

aAyşe=(1.00i + 3.00j) m/s2

2 1 x -3

-2

-1

1 -1 -2

2

3 aAli=(3.00i – 2.00j) m/s2

-3 45

Örnek 4 4.12 12 Hız vektörleri y

15

vAyşe=(5.00i + 15.00j) m/s

10 5 x -15 -10

-5

5 -5

10

15 vAli=(15.00i – 10.00j) m/s

-10 -15 15 46

Örnek 4.12 4 12 Ali nin Ayşe ye göre hızı y 15

vAyşe=(5.00i + 15.00j) m/s

10 5 vAli-vAyşe=(10.00i – 25.00j) m/s x -15 15 -10 10

5 -5

5 -5

10

15 vAli=(15.00i ( – 10.00j) j) m/s

-10 -15 15 47

Örnek 4 4.12-Göreli 12 Göreli hareket Yer-kayık-nehir dikkate alınarak yer-Ali-Ayşe şeklinde düşünülebilir. aAli = (3.00i – 2.00j) m/s2 aAyşe = (1.00i + 3.00j) m/s2 t = 5.00 s (a) Ali nin Ayşeye göre hızı, vAli = ((3.00i – 2.00j) m/s2)·t = 5·(3.00i – 2.00j) m/s = (15.00i – 10.00j) m/s 2 vAyşe yş = ((1.00i + 3.00j) m/s )·t = 5·(1.00i + 3.00j) m/s = (5.00i + 15.00j) m/s

vAli – vAyşe = (15.00i – 10.00j) – (5.00i + 15.00j) = (10.00i – 25.00j) m/s

48

Örnek 4 4.12-Göreli 12 Göreli hareket aAli = (3.00i – 2.00j) m/s2 aAyşe = (1.00i + 3.00j) m/s2 t = 5.00 s (b) Ali ile Ayşe arasındaki il A d ki uzaklığı kl ğ ve rAli = (½)((3.00i – 2.00j) m/s2)·t2 = (25/2)·(3.00i – 2.00j) m = (37.50i – 25.00j) m/s ((1 00i + 3.00j) 3 00j) m/s / 2)·t ) t2 = (25/2)·(1.00i (25/2) (1 00i + 3.00j) 3 00j) m = (12.50i (12 50i + 37.50j) 37 50j) m/s / rAyşe = (½) ((1.00i rAli - rAyşe = (37.50i – 25.00j) - (12.50i + 37.50j) = (25.00i - 62.50j) m (c) Ali nin Ayşeye göre ivmesini hesaplayınız hesaplayınız. aAli - aAyşe = (3.00i – 2.00j) m/s2 - (1.00i + 3.00j) m/s2 = (2.00i - 5.00j) m/s2

49

Örnek 4 4.13 13 Yağmur damlası Bir araba doğuya doğru 50.0 km/saat süratle ilerlemektedir. Yağmur damlalarının yere göre sabit süratle düştüklerini kabul ediniz. Yan cama düşen bir yağmur damlasının düşeyle 60.0° 60.0 lik bir açı yapıyorsa yağmur damlasının hızını (a) arabaya göre ve (b) yere göre hesaplayınız.

50

Örnek 4 4.13 13 Yağmur damlası z (yerden yukarı doğru)

vYağmurArabayaGöre 60o

vYağmurYereGöre= – vy j m/s x (doğu)

vArabaYereGöre=50i m/s

51

Örnek 4 4.13 13 Yağmur damlası (a)Yer-kayık-nehir dikkate alınarak yer-araba-yağmur şeklinde düşünülebilir. Yağmurun arabaya göre hızı vYağmurYereGöre + vArabaYereGöre = – vyj + 50.0i 50 0i m/s şeklindedir. şeklindedir = -28.9j + 50.0i m/s olarak bulunur. (b) tan60º = vy/vArabaYereGöre = 1.73 = 50 / vy den vy = 28.9 m/s yağmurun yere göre düşey hızı vy = 28.9 28 9 m/s

52

Örnek 4.14 Nehirde yüzmek Bir nehir sabit 0.500 m/s süratle akmaktadır. Bir kişi bu nehir içinde nehir akıntısına karşı ş 1.00 km yüzüp y p daha sonra akıntı yyönünde başlangıç ş gç noktasına dönüyor. Yüzücü 1.20 m/s lik sabit süratle yüzüyorsa başlangıç noktasına dönmesi ne kadar sürer? Nehirin akmadığı düşünülürse bu süre ne kadar olurdu?

53

Örnek 4.14 Nehirde yüzmek Akıntıya ters yönde = vYüzücü Yü ü ü – vNehir N hi yerine vYüzücü - vNehir = 1.2 – 0.5 = 0.7 m/s dir. Yüzücü bu hızla 1 km akıntıya ters yönde yüzerse geçen süre = 1000 m / 0.7 m/s = 1428.6 s Ak t ilile aynı yönde ö d = vYüzücü + vNehir yerine i Akıntı vYüzücü + vNehir = 1.2 + 0.5 = 1.7 m/s dir. Yüzücü bu hızla 1 km akıntı ile aynı yönde yüzerse geçen süre = 1000 m / 1.7 m/s = 588.2 s Toplam geçen süre = 2016.8 s veya 33.6 dakika bulunur.

54

Örnek 4.15 v sürati ile akan nehirin kenarlarında karşılıklı aynı noktadan nehire giren iki kişi aynı süratle yüzmektedirler. Yüzücüler nehir akıntısına göre c (c > v olmak üzere) sürati ile yüzerler yüzerler. Yüzücülerden birisi akıntı boyunca bir süre yüzüp L kadar yol alır ve daha sonra akıntıya karşı bu L kadarlık mesafeyi katederek başlama noktasına dönmektedir. Diğer yüzücü ise akıntıya dik doğrultuda L kadar yüzüp tekrar başladığı noktaya L kadar yüzerek geri döner döner.Böylece Böylece her iki yüzücü başlama noktasına dönmektedir. Hangi yüzücü başldığı noktaya önce gelir? (Not: Önce sonucu tahmin edin)

55

Örnek 4.16 Bir sahil güvenlik görevlisi kuzey-doğu yönünde 15.0° açı altında 20.0 km uzaklıkta tanımlanamayan bir gemi görmüştür. Gemi kuzey-doğu yönünde 40.0° açı altında 26.0 km/saat süratle hareket etmektedir. Güvenlik g görevlisi bu g gemiye y bir sürat botu yollayarak kimliğini öğrenmek istemektedir. Sürat botu 50.0 km/saat süratle hareket ettiğine göre botun hareket doğrultusu hangi yönde olmalıdır? Kağıt üzerine bir pusula kullanarak çiziniz. y (kuzey)

vGemininHızı vBotunHızı 15

o

40o rGemininKonumu x (doğu)

56

Örnek 4.17 Basketbolcu 2.00 m uzunluğundaki bir basketbolcu basket çemberinden 10.0 m uzaklıktadır. B k t i ttopu yatayla Basketçi t l 40.0° 40 0° açı yapacakk şekilde kild potaya t çarptırmadan t d pota t çemberinin içinden geçirmek istemektedir. Basket topunun ilk sürati ne olmalıdır? Basket çemberinin yüksekliği 3 3.05 m. 05 m

57

Örnek 4 4.18 18 Futbolcu Bir libero futbol topuna yatayla 30.0° açı yapacak şekilde 20.0 m/s ilk süratle vurmaktadır. Liberodan 20.0 m uzaklıktaki forvet hangi yönde ve sabit süratle topa doğru hareket ederse topu yer seviyesinde yakalayabilir?

Topun menzili Forvett 20 20ncii metrede iken ttopla T ili R=18.2 R 18 2 m dir. di F t d ik l arasındaki d ki uzaklık kl k 1.8 18 m dir. Topun havada kaldığı süre t=visinθ / (2g) = 0.51 saniyedir. Forvet 0.51 saniye içinde 1 1.8 8 m lik mesafeyi almalıdır almalıdır. Forvetin topa doğru sürati v=1.8 v=1 8 m / 0.51 0 51 saniye den v=3.53 m/s olmalıdır.

58

Örnek 4 4.19 19 Karpuz yüklü kamyonet A truck loaded with cannonball watermelons stops suddenly to avoid running over the edge g of a washed-out bridge g (Fig. ( g P4.64). ) The q quick stop p causes a number of melons to fly off the truck. One melon rolls over the edge with an initial speed vi = 10.0 m/s in the horizontal direction. A cross-section of the bank has the shape of the bottom half of a parabola with its vertex at the edge of the road, and with the equation y2 = 16x, where x and y are measured in meters. What are the x and y coordinates of the melon when it splatters on the bank?

59

5N Newton t un h hareket k t yasaları l 5.1 5 1 Kuvvet kavramı 5.2 Newton un birinci yasası ve eylemsizlik çerçeveleri 5.3 Kütle 5.4 5 4 Newton un ikinci yasası 5.5 Yerçekimi kuvveti ve ağırlık 5.6 Newton un üçüncü yasası 57N t yasalarının l b l l 5.7 Newton bazı uygulamaları 5.8 Sürtünme kuvvetleri

Küçük bir bot böyle büyük bir yük gemisini nasıl çekebilir?

1

5 1 Kuvvet kavramı 5.1 Kuvvetle ilgili olarak herkesin günlük yaşamından bir deneyimi vardır vardır. Bu deneyimler sandalyenin kaldırılıp bir yere taşınması, kitabı yerinden kadırılması veya futbol topuna vurularak onu hareketlendirmek gibi aktivitelerdir. Bunları yyaparken p cisimlere ((kas)) kuvveti uygular yg ve onların hızlarını değiştiririz. Demek ki kuvvet her zaman harekete neden d olur. l B Bazen h hareket k t ettiremediğiniz tti diği i bü büyüklükte üklükt cisimlerede kuvvet uygularız. 2

Toplam kuvvet • Birden fazla kuvvet bir cisme etki ederse cisim nasıl hareket eder? Eğer cismin hızında değişme oluyorsa ona bir etki (kuvvet) ediyordur. Net kuvvet toplam kuvvet veya bileşke kuvvet olarak isimlendirilir. Bir cisme etki eden kuvvetler cismin hızını değiştiremiyorsa ğş y cisme etki eden toplam kuvvet sıfırdır. Cisim dengededir.

3

Değişik kuvvetler

4

Temel Kuvvetler (1) Cisimler arası gravitasyonel kuvvetler, (2) Elektrik yükleri arasındaki elektromagnetik kuvvetler, (3) Atom altı parçacıklar arası nükleer kuvvetler, kuvvetler (4) Radyoaktif parçalanmalar esnasındaki zayıf kuvvetler,

Klasik fizik sadece gravitasyonel ve elektromagnetik kuvvetleri inceler.

5

Kuvvet nasıl ölçülür?

6

5.2 Newton un birinci yasası ve eylemsizlik çerçeveleri • H Hava masasında d masanın tabanından yukarı doğru hava ğ üflendiğinde cisim havada asılı gibi kalır ve herhangi bir kuvvet etki etmezse cisim olduğu yerde kalır kalır.

Cisimler arasında etkileşme olmazsa cisim ivmelenmez. Yani cisme etki eden kuvvetlerin toplamı sıfır ise cisim eylemsiz ise öylece kalır, sabit bir hıza sahipse aynı hızla yoluna devam eder. 7

5 3 Kütle 5.3 • Farklı cisimlere aynı büyüklükte kuvvet uygulanmasına rağmen hızları farklı ise bu farklılık neden oluşur veya kaynaklanır?

Cismin ivmelenmesine karşı koyan niceliği kütle olarak isimlendiririz.

8

Örnek 5 5.1-Kütle 1 Kütle • İki nesneye aynı kuvvet uygulandığında m1 kütlesine a1, ivmesi kazandırılırken kazandırılırken, m2 kütlesine a2. ivmesi kazandırılır. Cisimlerin kütleleri arasındaki oran aşağıdaki gibidir:

m1 a2 -----=----m2 a1 9

5 3 Kütle 5.3 • Kütle nesnelerin ayrılmaz bir parçasıdır ve belirli bir şekli yoktur. Kütle şeklin boyutunu, miktarını, yani sayısını belirten bir niceliktir. Yönelimi yoktur. Kütle skaler bir niceliktir.

10

5 4 Newton un ikinci yasası 5.4 • Bir cisme etki eden kuvvetlerin toplamının sıfırdan farklı olduğu durumda cismin hareket eder eder. Bir cisme etki eden kuvvet, cismin ivmesi ve kütlesi ile doğru orantılıdır.

∑F = ma ∑Fx = ma ,

∑Fy = ma , ∑Fz = ma

11

Kuvvet birimi • SI birim sisteminde kuvvetin birimi Newton g kütleye y 1 m/s2 ivme dur. 1 kg kazandırılırsa böyle bir kütleye 1 Newton (N) luk kuvvet etkidiği söylenir söylenir. 1 N = 1 kg ·1 m/s2

12

Kütle ivme ve kuvvet birimleri Kütle, Kütle Kütl g SI kg U.S. slug

iivme m/s2 ft/s2

Kuvvet K t g · m/s2 N = kg lb = slug · ft/s2

1 N = 0.225 lb. 1 pound = 1 slug ·1 ft/s2 1 N ≈ ¼ lb 13

Örnek 5 5.2-Hokey 2 Hokey diski Kütlesi 0.3 kg olan bir hokey diski buz üzerinde sürtünmesiz hareket etmektedir. Bu hokey diskine aynı anda iki hokey sopa ile vurulmaktadır. F1 kuvvetinin büyüklüğü 5.0 N ve F2 kuvvetinin büyüklüğü ise 8.0 N dur. Hokey diskinin ivmesinin büyüklüğünü ve yönünü belirleyiniz. 14

Örnek 5 5.2-Hokey 2 Hokey diski

15

Gravitasyonel kuvvet ve ağırlık • Bütün cisimler dünya tarafından çekilirler. Dünya tarafından oluşturulan bu yerçeki kuvveti Fg ile gösterilir. Kuvvet dünyanın merkezine doğrudur ve nesnenin ağırlığı olarak isimlendirilir. • Daha önce serbest düşen cisimlerin ivmesinin g ve dünya y merkezine doğru ğ olduğunu ğ belirtmiştik. ş • Newton un ikinci yasası F = ma idi. Serbest düşen m kütlesinin ivmesi a = g ise F = Fg , yazılabilir. yazılabilir Fg = mg. mg

16

Ağırlığın değişimi •

g, nin değişken olmasından dolayı bir cismin ağırlığı deniz seviyesinden yüksekliğe göre değişir. Yüksekli arttıkça cismin ağırlığı azalır. Örneğin deniz seviyesinde 1 000 000-kg kg (veya 10 000 N) olan bir yapı blogu New York taki Empire State Binasının en üstünde 9800 N dur.

•

Bir öğrencinin kütlesi 70.0 kg ise ağırlığı g = 9.80 m/s2 alınınca Fg = mg = 686 N (yaklaşık 150 lb). Bir dağın tepesinde ise g = 9.77 m/s2, şeklinde ölçülmüştür. Bu durumda öğrencinin ağırlığı 684 N dur. Diyet yapmadan kilo vermek ne güzel. güzel

17

Ağırlık değişimi • A Astronot t t Edwin Ed i Ald Aldrin i iin sırtındaki t d ki yaşam ünitesi dünyada 300 lb y bu ünitenin ağırlığı ğ ğ 50 lb iken ayda dir. • Bu astronot dünyada antreman yaparken 30 lb lik yüklerle çalışması daha doğrudur doğrudur.

18

Asansör • Bu deneyimi çoğunuz yaşamıştır. Bir asansörde yukarı çıkarken elinizdeki yük veya ağırlığınız sanki artıyor gibi olurken, asansör ile aşağı doğru giderken bunların biraz hafiflediğini hissetmişsinizdir.

19

Newton un üçüncü yasası • İki nesne birbiri ile etkileştiğinde 1nci nesnenin y uyguladığı yg ğ kuvvet F12 ise 2nci 2nci nesneye nesne 1nci nesneye aynı büyüklükte ve zıt uygular yönde F21 kuvveti uygular. F12 = -F21 • Kuvvet cisimler arası etkileşmeden oluşur. Tek başına kuvvetten bahsetmek anlamsızdır. anlamsızdır

20

Newton un üçüncü yasası

21

Newton un üçüncü yasası

22

Dağcı

İpteki T gerilmesi (yukarı doğru) ile dağcının ağırlığı ( (aşağı ğ d doğru) ğ ) tters yönlerdedir. ö l d di 23

Dengedeki nesneler Bir nesnenin ivmesi sıfır ise o parçacık için dengededir denir. Hafif bir zincirle tavana asılmış bir avizeyi düşünün. Şekilde serbest cisim diyagramı lamba üzerindeki net kuvveti göstermektedir. Lambaya y etki eden kuvvetler aşağı ş ğ doğrultuda olan yerçekimi kuvveti Fg ve yukarı yönelmiş olan zincirdeki gerilmeyi gösteren T kuvveti gösterilmektedir gösterilmektedir. 24

Kuvvet etki eden cisimler

Üzerine kuvvet etki ederek ivmelendirilen cismi bir nokta gibi kabul edersek sistemler daha kolay25 incelenebilecektir.

Problem çözümü için •Problemin resmini çiziniz. •Cisim üzerine etkiyen kuvvetlerin cismi dengede (∑F=0) (∑F=ma)) d d ttutup t (∑F 0) ttutmadığına t dğ (∑F karar veriniz. çiziniz. •Problemin kuvvet diyagramını y g ç •Kuvvetleri seçtiğiniz koordinat sistemine göre yeniden düzenleyiniz. •Eksenler üzerindeki kuvvetler için Newton un ikinci yasasını uygulayınız. •Denklem sistemini çözünüz çözünüz. •Sonuçlarınızı kontrol ediniz. Sonuçlar mantıklı geliyorsa çözümü kabul ediniz. 26

Örnek 5 5.3-Trafik 3 Trafik lambası

Kuvvet T1

x-bileşeni T1 cos 37.0°

y-bileşeni Denklem sistemi T1 sin 37.0° ∑Fx =-T1 cos 37.0 ° + T2 cos 53.0 ° = 0

T2

T2 cos 53.0°

T2 sin 53.0°

∑Fy = T1 sin 37.0 ° + T2 sin 53.0 ° - 122 N = 0 27

T3

0

-122 N

T1 = 73.4 N ve T2 = 1.33T1 = 97.4 N

Eğimli yoldaki araba

28

Eğimli yoldaki araba

29

Örnek 5 5.4-Blokların 4 Blokların hareketi

30

Örnek 5 5.4-Blokların 4 Blokların hareketi

31

Örnek 5 5.5-Asansörde 5 Asansörde tartım

32

Örnek 5 5.5-Asansörde 5 Asansörde tartım

33

Örnek 5 5.6-Atwood 6 Atwood makinası • İİki cisim kütlesiz bir iple birbirlerine g ç sürtünmesiz makaradan geçirilerek bağlanmıştır. Bu tür sistemlere Atwood denir Bu tür bir cihaz makinası denir. laboratuvar ortamında serbest düşmede ivme hesaplarını bulmak için kullanılır kullanılır. Cisimlerin ivmelerinin büyüklüğünü ve ipteki gerilme hesaplanır. 34

Örnek 5 5.6-Atwood 6 Atwood makinası • (a) İki İ nesne (m2 + m1) p ve birbirlerine kütlesiz iple makara ile ip arasında sürtünme olmadığı kabul edilerek şekildeki gibi bağlanmıştır. bağlanmıştır • ((b)) Serbest-cisim diyagramları. 35

Örnek 5 5.6-Atwood 6 Atwood makinası Denklemleri yazarken dikkat edilecek şey işaret seçiminin d ğ yapılmasıdır. doğru l d Yukarı yönü + (pozitif), aşağı yönü – (negatif) olarak l k seçilmelidir. il lidi

36

Örnek 5 5.7-Makaralı 7 Makaralı sistem

Sürtünmesiz makaradan geçirilen ipin bir ucuna kütlesi m1 ve diğer ucuna ğ ş Blok sürtünmesiz eğik ğ düzlem üzerindedir. kütlesi m2 olan cisimler bağlanmıştır. İki cismin ivmesini hesaplayınız. 37

Örnek 5 5.7-Eğik 7 Eğik düzlem ve makaralı sistem

38

Sürtünme kuvvetleri • Bir nesne bir yüzey üzerinde veya su, ş ç gibi akışkan içinde hareketi hava g engellenecek şekilde çevrelendiği bu ortam ile etkileşir etkileşir. Bu şekildeki direnç etkisine sürtünme kuvveti etkisi denir. Günlük hayatımızda yürümemiz, yürümemiz koşmamız, tekerlekli araçların hareketi sürtünme kuvveti ile sağlanır. 39

Sürtünme kuvveti (a) Çöp tenekesine küçük kuvvet uygulandığında statik sürtünme uygulanan bu kuvvete eşittir. (b) Uygulanan kuvvet statik sürtünme kuvvetinden büyük ise çöp tenekesi sağa doğru ivmeli harekete başlar. (c) Sürtünme kuvvetinin uygulanan kuvvete göre değişimini gösteren grafik (fs,max > fk)

40

Sürtünme kuvveti •

Temas halindeki iki yüzey arasındaki statik sürtünme fs ≤ µsn şeklindedir. Denklemdeki µs-boyutsuz statik sürtünme katsayısı ve n ise yüzeye dik kuvvettir kuvvettir. fs = fs,max ≡ µsn

•

İki yüzey arasındaki kinetik sürtünme fk = µkn şeklindedir.

•

µs (statik sürtünme) ve µk (kinetik sürtünme) katsayıları yüzeye bağlı niceliklerdir ve µk katsayısı µs den daima küçüktür. Tipik değerlerin çoğu ç ğ 0.03 ile 1.0 arasında değişir. ğş

•

Sürtünme kuvvetinin yönü yüzeye paralel ve hareket doğrultusuna ters yöndedir.

•

Sürtünme olayı yüzeylerin alanına bağlı değildir, sadece ağırlıklarına bağlıdır. 41

Sürtünme katsayıları (statik ve kinetik) µs

µk

Çelik üzerinde çelik

0.74

0.57

Çelik üzerinde aluminyum

0.61

0.47

Çelik üzerinde bakır

0.53

0.36

Beton üzerinde kauçuk

1.0

0.8

Tahta üzerinde tahta

0.25–0.5 0.2

Cam üzerinde cam

0.94

0.4

Islak kar üzerinde yağlı tahta

0.14

0.1

Kuru kar üzerinde yağlı tahta

—

0.04

Metal üstünde metal (yağlı)

0.15

0.06

Buz üzerinde buz

0.1

0.03

Teflon üzerinde Teflon

0.04

0.04

Eklem yerleri

0.01

0.003

42

Kızağı itelim mi çekelim mi?

43

Kızak İvmeli hareket edebilir mi? fatt – fkızak k k > 0

44

Statik sürtünme katsayısının deneysel olarak elde edilmesi Bir blok şekildeki gibi düzlemin ğ ğ ğş ğ θ eğikliğinin değiştirilebildiği eğim açısı ile düzlem üzerinde kaydırılmaya çalışılır. Bloğun tam kaymaya başladığı kritik θc açısı bulunmaya çalışılır ve buradan statik sürtünme katsayısı µs elde edilir.

45

Örnek 8-Kinetik sürtünme katsayısının Blok eğik düzlem hesaplanması üzerinde ivmeli harekete başladıktan sonra (sürtünme kuvveti fk = -µkn) düzlemin eğikliğini belirleyen kritik θc açısı azaltılmaya y başlanır. ş Belirli bir θ’c açı değerinde blok eğik dü lem ü düzlem üzerinde erinde art artıkk sabit hızla hareketine devam eder (blokun ivmesi sıfırdır). Denklem (1) ve (2) de fs yerine fk kullanılırsa kinetik sürtünme katsayısı elde edilir.

46

Örnek 5 5.9-Hokey 9 Hokey diski • Bir hokey diski buz üzerinde 20.0 m/s ilk hızla harekete başlıyorsa. Eğer disk buz üzerinde ve 115 m kaydıktan sonra duruyorsa buz ve disk arasındaki kinetik sürtünme katsayısını (µk) hesaplayınız. 47

Örnek 5.9-Hokey diski

48

Örnek 5 5.10-İki 10 İki bloğun hareketi •

Sürtünmeli yüzey üzerinde m1 kütleli bir blok kütlesiz bir ipin makaradan geçirilmesi il m2 kütleli ile kütl li bi bir ttopa b bağlanmıştır. ğl t m1 kütleli kütl li bl bloğa ğ F kuvveti k ti θ açısı ile il şekildeki kild ki gibi ibi etkimektedir. µk kinetik sürtünme katsayısı ise iki cismin ivmesini hesaplayınız.

49

Örnek 5 5.10-İki 10 İki bloğun hareketi

50

Antilock Braking system •

Yol üzerinde ilerleyen bir arabanın tekeri kaymadan dönerse yol ile teker arasında maksimum statik sürtünme (µsn) oluşur. Bu emniyetli sürüş için istenilen bir özelliktir özelliktir. Çünkü teker yüzeyi ile yol arasında kayma olayı oluşmaz. Eğer teker yol üzerinde kaymaya başlarsa kinetik sürtünme (µkn)) oluşur. bir şşekilde ş Arabayı y emniyetli y durdurmanın yolu sürtünmeyi artırmak yani tekerin dönerken arabanın yavaşlamasıdır. Böylelikle arabanın yön kontrolüde kaybedilmemiş olur. Sürücüler aniden frene çok kuvvetli bir şekilde basarak tekerlerin kilitlenmesine neden olurlar ve araba kaymaya başlayınca kontrol kaybedilir ve kazalar meydana gelir gelir. Mühendisler bu olay üzerinde çalışarak frenlerin kilitlenmesini engelleyen AntilockBrakingSystem i gelistirmişlerdir. 51

Antilock Braking System • Toyota Corolla nın verileri Başlangıç sürati Durma uzaklığı (mi/h) (m/s) (ft) (m) 30 13.4 34 10.4 60 26.8 143 43.6 80 35.8 251 76.5

İvme (m/s2) -8.63 -8.24 -8.38

A toWeek magazine, AutoWeek maga ine 48:22–23, 48 22 23 1998 1998.

52

ABS

du urma mes safesi (m)

120 100

kayma yok kayma var

80 60 40 20 0 30

60

80

hız (mi/h)

Durma mesafesi Başlangıç sürati kayma yok kayma var (mi/h) (m) (m) 30 10.4 13.9 60 43.6 55.5 80 76.5 98.9 AutoWeek magazine, 48:22–23, 1998.

53

ABS Fren sistemi

54

Tren in duvara etkisi duvarın trene etkisinden daha büyük.

Tren bu hale nasıl gelmiştir?

55

Örnek 5 5.11-Soru 11 Soru • Bir F kuvveti m1 kütlesine uygulanınca ona 3.00 y kuvvet m2 m/s2 lik ivme kazandırmaktadır. Aynı kütlesine uygulanınca bu kütleye 1.00 m/s2 ivmesini kazandırmaktadır kazandırmaktadır. (a) m1/m2 kütleler oranı nedir? (b) m1 ve m2 kütleleri birleştirilirse F Kuvvetinin bu kütlelere kazandırdığı ğ ivmeyi y hesaplayınız. p y

56

Örnek 5 5.11-Sorunun 11 Sorunun cevabı F = m1a = m13 ve F = m2a = m21 Aynı kuvvet farklı kütlelere uygulanırsa m1a = m13 = m2a = m21 buradan m1/ m2 = 1 / 3 (m1 + m2)a = F = (1/3m2 + m2) a = (4m2/3)a = F a = 3F/(4m2) = 3m21/(4m2) = 3/4 m/s2 57

Örnek 5 5.12-Soru 12 Soru 3.00-kg lık bir nesneye a = (2.00i + 5.00j) m/s2 lik bir ivme kazandırılmaktadır. Cisme etki eden kuvveti hesaplayınız. Cevap: F = ma = 3.00 (2.00i + 5.00j) = 6.00i + 15.00j Newton | F| = √(62+152) = 16 16.16 16 Newton 58

Örnek 5.13-Soru

F1 ve F2 kuvvetleri 5.00-kg 5.00 kg lık bir nesneye etkimektedir. F1 = 20.0 N ve F2 = 15.0 N ise (a) ve (b) durumları için ivmeleri hesaplayınız. Cevap : (a) a = (F1 + F2 )/m = (20i+15j) / 5 = (4i+3j) ve | a | = √(42+32) = √25 = 5 m/s2 (b) a = (F1 + F2 )/m = (20i+(7.5i+13j) / 5 = (27.5i+13j) ve | a | = √(27.52+132) = √925.25 = 30 41 m/s2 30.41

59

Örnek 5.14-Soru Şekildeki sistemler dengededir. Ölçü aleti Newton a g göre skalalandırılmıştır. Okunacak değerler neler olabilir? Makaralarda ve düzlemlerde sürtünmenin olmadığını kabul ediniz.

a) T –- mg = 0 ise T = mg = 5 x 10 = 50 N b) T – mg = 0 iise T = mg = 50 N ve kantardaki gerilme T’ = 2T = 2 x 50 = 100 N c) T – mgsin(30) = 0 ise T= 5 x 10 x 0 0.5 5 = 25 N

60

Örnek 5 5.15-Soru 15 Soru • Yandaki şeklin serbest cisim diyagramını y g çiziniz. Cisim ile eğik düzlem arasında ğ sürtünme yyoktur. Eğim açısı θ = 15.0° dir. Cisim eğik düzlemin tepesinden durgun durumdan harekete başlar ve 2.00 m lik eğik düzlem üzerinden aşağıya doğru kayar. a) cismin ivmesini, (b) cismin en alt noktadaki hızını hesaplayınız. 61

Örnek 5 5.15-Cevap 15 Cevap mg sin15º=ma N-mgcos15º=0 Sistemle ilgili denklemler yukarıdaki gibi ise (a) a = g· sin15º = 2.6 m/s2 (b) v2son = v2ilk + 2 · a ·d = 0 + 2 ·2.6 ·2 =10.4 vson = 3.22 m/s

62

Sürtünmesiz bir düzlem üzerindeki üç kütleye şekildeki gibi F = 18 N luk bir kuvvet m1 kütlesi tarafından etkimektedir. m1 = 2.00 kg, m2 = 3.00 kg, m3 = 4.00 kg olarak verilmektedir.

Örnek 16 16-Soru Soru

(a) Kütlelerin sahip olduğu ivmeyi, (b) Her bloğa uygulanan bileşke kuvveti, k ti (c) Bloklar arası kontak kuvvetlerini hesaplayınız.

Cevap : a) F = ∑imi a = (m1 + m2 + m3) a = (2 + 3 + 4) a = 18 ifadesinden a = 18 / 9 = 2 m/s2 kütleler sisteminin ivmesidir. b)) m2 kütlesine etki eden kuvvet aynı y zamanda m3 kütlesine de etki eder. İvmeleri ise biraz önce hesaplanan değerdir. Bu iki kütleye etki eden kuvvet ise F2 = (m2 + m3) a = (3.00 + 4.00) 2 =14 N, üçümcü kütleye etki eden kuvvet ise F3 = (m3) a = 4 · 2 = 8 N dur. c) m1 ile m2 kütleleri arasındaki kuvvet 14 N, m2 ile m3 kütleleri arasındaki etkileşme 63 kuvveti 8 N dur.

Örnek 5 5.16-Çekici 16 Çekici araç Çamur içinde kalmış araba bir çekici araç tarafından 2500 N luk kuvvet ile çekilmektedir. Çekme halatının bir ucu arabaya diğer ucu çekiciye bağlanmıştır. Çekme halatı kuvveti A ve B kollarına dağıtmaktadır. A ve B çubukları üzerindeki kuvvetleri hesaplayınız. Kuvvetler için serbest cisim diyagramını çiziniz.

64

Örnek 5 5.17 17 – Aşil tendonu Bir kişi ayak uçları üzerinde durmaya çalışırsa denge halinde aşağıdaki şekildeki (a) durumu ortaya çıkar. (b) deki şekil ise (a) dakinin benzeridir. F yerin itme kuvveti (yada kişinin ağırlığı ise) ise aşil tendonundaki T gerilmesini ve ayak tabanı üzerindeki H ve V kuvvetlerini hesaplayınız.

65

Örnek 5.17 – Aşil tendonu Tx + H – Fx = 0 => Tsin(30) + H - Fsin(30) = 0 Ty – V + Fy = 0 => Tcos(30) - V + Fcos(30) = 0 Ortadaki nokta üzerindeki dönme momentlerinden aşağıdaki ifadeler yazılabilir: Ty (L/4) = Fy (3L/4) F = 70 kg ise Ty = 3 ·70· 0.866 = 181.87 kg Bu denklemden T = 210 kg 210 sin(30) + H - 70 sin(30) = 0 210 cos(30) – V + 70 cos(30) = 0 Bu denklemlerden H = -105 + 35 = -70 kg g V = 242.49 kg olarak hesaplanır.

66

Örnek 5 5.18 18 – Kol kası Bir kişi avucunun içinde ağırlığı 20 N olan bir kütle tutmaktadır. Kol kaslarına etki eden k kuvvetler tl aşağıdaki ğ d ki ((a)) ve (b) şekillerinde kill i d gösterilmektedir. ö t il kt di Si Sistem t d dengede d iise (b) şeklinden yararlanarak kastaki gerilmeyi hesaplayınız. k.m ile belirtilen nokta kolun dirsekten aşağıdaki kısmının ağırlık merkezidir.

Bu (b) şekline göre dengedeki sistem için kuvvet eşitlikleri (dönme dirsekte olmaktadır) aşağıdaki gibi olur: Tkascos(20)·0.035-65· 0.10-20·0.35=0 Tkas=4105 Newton olarak hesaplanır.

67

6 Dairesel Hareket ve Newton Y Yasalarının l Diğ Diğer U Uygulamaları l l 6.1 Düzgün dairesel harekete Newton un ikinci yasasının uygulanması 6.2 Düzgün olmayan dairesel hareket 6.3 İvmeli çerçevelerde hareket 6.4 Direnç kuvvetlerinin olduğu ortamlarda hareket 6.5 Parçacık dinamiğinde sayısal modellemeler

Londra nın gözü, Thames nehrinin kenarındaki düşey doğrultuda dairesel hareket eden bu dönme dolap ile şehir seyredilebilmektedir.

1

Dairesel Hareket ve Newton Yasalarının diğer Uygulamaları • Önceki kesimlerde hareket eden cisimlere Newton yasalarının uygulamalarını ve bunların çizgisel hareket yapan sistemlere uygulamaları incelendi. Bu bölümde ise biraz daha karmaşık hareketler örneğin dairesel yyörüngede g dolanan cisimlerin hareketlerine,, ivmeli gözlem çerçevelerini ve akışkan içindeki nesnelerin h k tl i N hareketlerine Newton t yasalarının l uygulalamaları l l l anlatılacaktır. 2

Newton un ikinci yasasının düzgün dairesel harekete uygulanması Bir parçacık sabit bir v süratiyle r yarıçaplı dairesel yörünge üzerinde hareket ediyorsa ivmesi aşağıdaki gibidir:

Bu ivme merkezcil ivme (centripetal acceleration) olarak isimlendirilir. Çünkü ac dairenin merkezine doğru yönelmiştir. Ayrıca ac her zaman v ye diktir. Eğer v ye paralel bir ivme varsa cismin hızı değişecektir. değişecektir 3

Newton un ikinci yasasının düzgün dairesel harekete uygulanması

Eşref Apak 2004 Atina olimpiyatlarında çekiç atmada 3ncülük atışını yaparken.

4

Newton un ikinci yasasının düzgün dairesel harekete uygulanması Newton un ikinci yasasını radyal doğrultu için uygularsak merkezcil ivmeyi oluşturan kuvvet aşağıdaki gibidir :

Yandaki şekildeki ipe bağlı topa bakarsanız ip koparıldığında top artık çizgisel hatekete yani hızı dairesel yörüngeye her zaman teğet olan bir harekete başlar. Cismin ip koptuktan sonraki hareketi Newton un birinci yasasına göre açıklanabilir.

5

Konik sarkaç m kütleli bir cisim bir ucu tavana sabitlenmiş L uzunluklu bir ipin ğ ş ve r ucuna bağlanmış yarıçaplı dairesel yörünge üzerinde v sabit hızı ile bir düzlem yani koninin taban düzlemi içerisinde dönmektedir (konik ç sarkaç-conical pendulum). v için bir ifade türetiniz.

6

Konik sarkaç

7

Konik sarkaç

H kütleden Hız kütl d b bağımsızdır. ğ d

8

Spini ne kadar hızlı olabilir? • Kütlesi 0.500 kg olan bir top 1.5 m uzunluğundaki bir ipe tutturulmuştur. Top önceki örnekte olduğu gibi bir düzlem içerisinde dairesel bir yörüngede dönmektedir. İp 50.0 N luk bir kuvvete kadar dayanabilmektedir. Bu durumda topun hızını ipin koptuğu ğ kuvvette hesaplayınız. y İp koptuktan sonra topun doğru üzerinde hareket ettiğini k b ediniz. kabu di i

9

Spini ne kadar hızlı olabilir? Merkezcil kuvvet yada ipteki gerilme T = m v2 / r şeklinde ise 50.0 N = (0.500 kg) (v2 / 1.5 m ) v2 = 150.0 ve v = 12.25 m/s olarak hesaplanır. Eğer ipin ucundaki top aynı hızda daha uzun bir iple döndürülse idi ipin kopma kuvveti ne olurdu? 10

Spini ne kadar hızlı olabilir? Merkezcil kuvvetler veya ipteki gerilmeler T1 = m v2 / r1 ve T2 = m v2 / r2 şeklinde ise T1 / T2 = (m v2 / r1 )/(m v2 / r2 ) T1 / T2 = (r2 / r1 ) r2 > r1 ise T1 > T2 olarak bulunur.

11

Virajdaki arabanın maksimum k i h hızı 1500-kg 1500 kg kütleli bir araba düzgün bir yolda şekildeki gibi j almaktadır. bir virajı Virajın yarıçapı 35.0 m ve tekerlek ile yol arasındaki statik sürtünme katsayısı da 0.500 ise arabanın kaymadan y devrilmeden bu veya virajı alması için hızının maksimum değerini bulunuz.

12

Virajdaki arabanın maksimum hızı Merkezcil kuvvet ve sürtünme kuvveti fs = m v2 / r , n = mg ve fs = µmg µmg = m v2max / r v2max = (r µ g) ve vmax = √ √(r µ g) vmax = √(35 m ·0 0.5 5 ·10 10 m/s2) = 13 13.1 1 m/s

13

Eğimli viraj

• Bir sivil mühendis otoyol inşaatında arabaların eğimli bir virajı kaymadan almalarını sağlayacak şekilde kild yapmakk istemektedir. Yani virajın buzlanmasında dahi belirli bir hıza kadararabaların kaymasını engellemek istemektedir Böyle bir istemektedir. rampa için maksimum hız 13.4 m/s (30.0 mi/h) ve virajın yarıçapı 50.0 m dir. Viraj eğimi hangi açıda olmalıdır?

14

Eğimli viraj Arabanın virajdan dışarı savrulmasını l engelleyen ll eğimden dolayı statik sürtünme sıfır olarak alınmıştır. alınmıştır Arabanın yol üzerine ağırlığından dolayı sadece nx=n sinθ kadarlık bir ağırlık etkisi vardır. Bu tki merkezcil k il kuvvete k t etki eşittir. Newton un ikinci yasası burada kullanılırsa eğim açısı hesaplanabilir. hesaplanabilir Elde edilen değere göre araba belirtilen hızdan az yada fazla olursa viraj i i veya d içine dışına d doğru ğ kayar.

15

Pike yapan uçak

16

Pike yapan uçak m kütleli bir pilot bir jet içerisinde düşey ğ y ç p çember ç 2.70 km yarıçaplı doğrultuda üzerinde sabit 225 m/s sürati ile şekildeki gibi hareket etmektedir etmektedir. Pilota etki eden kuvvetleri (A) çemberin en altında (B) çemberin en üstünde hesaplayınız hesaplayınız.

17

Pike yapan uçak

18

Pike yapan uçak

19

Dairesel hareket

20

Düzenli olmayan dairesel hareket Daha önce bir parçacığın dairesel yörünge üzerinde hareket ederken sürati değiştiğinde radyal doğrultudaki ivmeye ek olarak dv/dt şeklinde teğetsel ivmeninde eklenmesi gerektiği belirtilmişti. Bu yüzden dairesel yörüngedeki cisme yarıçap doğrultusunda ve teğetsel doğrultuda kuvvet bileşenleri bulunur. Toplam ivme a = ar + at, Toplam kuvvet ∑F = ∑Fr + ∑Ft, şeklindedir. ∑Fr vektörü yarıçap doğrultusunda merkeze yönelmişken radyal ivmenin oluşmasına, ∑Ft vektörü çembere teğet ivmenin oluşmasına neden olur.

21

Düzenli olmayan dairesel hareket Yandaki resimde araçta oturan kişiler radyal doğrultuda bir kuvvete maruz kalırken aynı zamanda teğetsel olarak yerçekimi kuvveti etkisi altındadır.

22

Örnek 1 m kütleli küresel bir kütle R uzunluklu bir ipe bağlanmış ve parçacığın düşey doğrultuda O noktası etrafında dönmesini yapacak şekilde hareketi sağ a şt sağlanmıştır. İpteki gerilmeyi v hızında ve düşey doğrultu ile bir θ açısında hesaplayınız.

23

Örnek 1 m kütleli küresel bir kütle R uzunluklu bir ipe bağlanmış ve parçacığın ş y doğrultuda ğ düşey O noktası etrafında dönmesini yapacak şekilde hareketi sağlanmıştır. sağlanmıştır İpteki gerilmeyi v hızında ve düşey doğrultu ile bir θ açısında hesaplayınız. 24

İvmeli gözlem çerçevesinde hareket

(a) Bir araba viraja girdiğinde içerdeki yolcu sağa doğru kayar. (b) Yolcunun gözlem çerçevesine göre yolcuyu sağ kapı tarafına iten hayali bir kuvvet vardır vardır. (c) Yerdeki bir gözlemciye göre yolcuya etki eden kuvvet oturduğu koltuk 25 tarafından sola doğrudur. Böylece yolcu araçta durgun kalır.

(a) Sen ve bir arkadaşın dönen tablanın k kenarlarında l d ve eylemsiz l i yerdeki bir gözlemci tarafından yukarıdan kuşbakışı k şbak ş görünüşünüz. görünüşünü you throw the ball at t = 0 anında arkadaşına bir top atarsa tf süre sonunda top arkadaşın tarafından yakalanamayacaktır. yakalanamayacaktır (b) Dönen tabla çerçevesine göre topun yörüngesi eğri gözükecektir. Bu hayali kuvvete “Coriolis kuvveti” denir ((1792-1843 yyılları arasında yaşayan bir fransız fizikçi).

Dönen tabla

26

Hayali kuvvet M kütleli küresel bir cisim bir aracın tavanına iple tutturulmuştur. Hareketli gözlem çerçevesii iiçindeki i d ki bi bir gözlemci ö l i araç ililerii d doğru ğ h hareket k t ettiğinde ttiği d iipin i dü düşey doğrultudan ayrılmasını cisme hayali bir kuvvetin etkidiği şeklinde söyleyecektir. Hareketsiz gözlem çerçevesindeki bir kişi ipin düşey doğrultudan ayrılmasına neden olan kuvvetin ivmesinin değeri hakkında ne söyleyecektir söyleyecektir.

27

Hayali kuvvet

Yandaki Y d ki denklemlerden d kl l d h hayalili kkuvvetin ti ma ya eşit olduğu görülebilir.

28

Dönen sistemler m kütleli bir cisme hareketli ve hareketsiz gözlem çerçevelerindeki kişiler Newton un ikinci yasasını nasıl uygulayacaklardır?

29

Harekete karşı olan direnç kuvvetleri Önceki kesimlerde bazı yüzeyler üzerinde hareket eden cisimlere etkiyen kinetik sürtünme kuvvetleri incelenmişti incelenmişti. Şimdi nesnenin üzerinde hareket ettiği yüzey değil içinde bulunduğu gaz veya sıvı ortamı dikkate alalım. Ortam cismin hareketini engelleyen cisim üzerine bir R direnç kuvveti uygulasın. R direnç kuvveti cismin süratine ve hareketin yönüne bağlıdır bağlıdır. R sürat arttıkça artmaktadır. Yani süratle doğru orantılıdır (sıvı içinde düşen cisimler veya havadaki toz parçacıkları). R direnç kuvveti süratin karesi ile orantılıdır (hava sörfçüleri, uçaklar gibi büyük cisimler).

30

Cismin süratiyle orantılı direnç kuvvetleri

Eğer bir cisim sıvı veya gaz ortamı içinde hareket ediyorsa cisme

R = - bv şeklinde hareketini engelleyici (sürtünme kuvveti gibi) bir kuvvet etki eder. Denklemdeki v cismin hızı, b ise ortamın (gaz veya sıvı) özelliklerine bağlı bir değerdir. Eğer cisim r yarıçaplı bir küre şeklinde ise b değeri r ye bağlı olarak yazılabilir. Eşitlikteki negatif işaret hareket yönüne yani v hızına ters etkiyi göstermektedir. m kütleli bir cisim bir sıvı içine bırakıldığını kabul edelim. Cisme etki eden düşey doğrultudaki kuvvetler Newton yasasından yazılabilir:

31

Cismin süratiyle orantılı direnç kuvvetleri (a) Küçük bir küre sıvı içinde aşağıya doğru düşmektedir. (b) Cismin düşerkenki hareket diyagramı. (c) Süratzaman grafiği. Küre bir maksimum vT süratine ulaşmaktadır. Zaman sabiti süratin 0.632vT maksimuma ulaştığı zaman aralığıdır.

32

Cismin süratiyle orantılı direnç kuvvetleri Yukarıdaki denklem bir diferensiyel denklem dir ve bu denklemi çözmek için çeşitli yöntemler kullanılır. Cismin başlangıç hızı v = 0 ise direnç kuvveti bv de sıfırdır. İvme yani dv/dt ise basitçe g ye eşittir eşittir. Zaman ilerledikçe yani t büyüdükçe direnç kuvveti artarken cismin ivmeai azalır. Kürenin ağırlığı ortamın direnç kuvvetine eşit olduğunda yani ivme bir süre sonra sıfır olur. Bu durumda cismin ulaşabileceği son olur Gerçekte bu sürate hiçbir zaman ulaşılamaz sürati (terminal speed) vT olur. ulaşılamaz.

a = dv/dt = 0 alınırsa

33

Yağ içinde küresel cisim Kütlesi 2.00 g olan bir cisim yağla dolu bir varil içine bırakılıyor. Cisme yağ tarafından etki eden direnç kuvveti cismin sürati ile doğru orantılıdır. Küresel cismin ulaşabildiği maksimum sürat 5.00 5 00 cm/s ise zaman sabitini ve son hızın %90 nına ulaşana kadar geçen süreyi hesaplayınız.

34

Yüksek süratlerde havada sürüklenme Hava içinde yüksek süratlerde hareket eden örneğin uçaklar, hava sörfçüleri, arabalar, tenis topu ve futbol topu gibi cisimler hızlarının karesi ile orantılı direnç kuvvetine maruz kalırlar. Bu durumda direnç kuvveti şu şekilde yazılabilir: r – havanın yoğunluğu yoğunluğu, A – cismin kesit alanı (hızına dik) D – deneysel bir sabit – sürüklenme sabiti ( drag coefficient) coefficient). Sürüklenme sabiti küresel cisimler için 0.5, şekli olmayan cisimler için ise 2 civarındadır

35

Yüksek süratlerde havada sürüklenme

Cisme etki eden iki kuvvet vardır: ağırlığından dolayı yerçekimi kuvveti ve hava direnç kuvveti.

36

Hava içinde düşen bazı cisimlerin limit süratleri Cisim Kütle (kg) Kesit alanı(m2) vT (m/s) Hava sörfçüsü 75 0.70 60 Baseball (r = 3.7 cm) 0.145 4.2x10-3 43 Golf topu (r = 2.1 cm) 0.046 1.4x10-3 44 7.9x10-5 14 Dolu tanesi (r = 0.50 cm) 4.8x10-4 Yağmur damlası(r = 0.20cm) 3.4x10-5 1.3x10-5 9.0

37

Hava sörfçüsü Bir rüzgar sörfçüsü uçaktan atladıktan sonra etmektedir ayağındaki sörf ile hava içinde hareket etmektedir. Bir süre sonra paraşütünü açmaktadır. Paraşütçüye etki eden kuvvetleri belirtiniz. Paraşütçü uçaktan çıktıktan sonra ağırlığı aşağı doğru, havanın direnci yukarı doğru ve ilk zamanlarda aşağı ş ğ yyönlü sabit bir ivme ile düşer. ş Bir süre sonra cisim sabit hıza ulaşır ve paraşütçüye yukarı doğru direnç kuvveti ve aşağı yönlü ağırlığından kaynaklanan bir kuvvet vardır.

38

Kahve filtreleri Direnç kuvvetinin sürate bağlılığı teorik değil deneysel olarak gözlenebilir gözlenebilir. Burada kahve filtrelerinin üst üste düşmeleri incelenmiş ve terminal süratleri listede verilmektedir. Zaman sabiti çok küçüktür ve bu yyüzden limit hıza ççabuk ulaşılır. ş ğ ğ Her filtrenin ağırlığı 1.64 g dır. Filtreler üst üste geliyorsa hava tarafından oluşturulan direnç kuvvetini ve filtrelerin süratlerini belirleyiniz. y

39

Kahve filtreleri

40

Kahve filtreleri Filtre sayısı 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vT (m/s)a 1.01 1 1.40 40 1.63 2.00 2 2.25 25 2.40 2.57 2 2.80 80 3.05 3.22

41

Baseball Bir vurucu 0 0.145 145-kg kg lık baseball a 40 40.2 2 m/s ( = 90 mi/h) lik sürat kazandırmaktadır. Bu süratteki baseball a etki eden hava direncini hesaplayınız.

42

5 Numerical Modeling in Particle Dynamics As we have seen in this and the preceding chapter, the study of the dynamics of a particle focuses on describing the position, position velocity velocity, and acceleration as functions of time time. Cause-and-effect relationships exist among these quantities: Velocity causes position change, and acceleration causes velocity to change. Because acceleration is the direc result of applied forces forces, any analysis of the dynamics of a particle usually begins with a evaluation of the net force acting on the particle. Until now, we have used what is called the analytical method to investigate the positio velocity, and acceleration of a moving particle. This method involves the identification well-behaved functional expressions for the position of a particle (such as the kinemat equations of Chapter 2), generated from algebraic manipulations or the techniques of calculus. Let us review this method brieflyy before learning g about a second way y of approaching problems in dynamics. (Because we confine our discussion to one-dimensional motion in this section, boldface notation will not be used for vector quantities.) If a particle of mass m moves under the influence of a net force F, Newton’s second law tells us that the acceleration of the particle is a ! F/m. In general, we apply 43 the analytical method to a dynamics problem using the following procedure:

1. Sum all the forces acting on the particle to find the net force F. 2. Use this net force to determine the acceleration from the relationship p a ! F/m. 3. Use this acceleration to determine the velocity from the relationship dv/dt ! a. 4. Use this velocity to determine the position from the relationship dx/dt ! v. The following straightforward example illustrates this method.

44

Sayısal uygulamalar-Euler uygulamalar Euler yöntemi

45

Sayısal uygulamalar-Euler uygulamalar Euler yöntemi

46

Euler Yöntemi-Yağ içinde küre

Kütlesi 2.00 g olan bir cisim yağla dolu bir varil içine bırakılıyor. Cisme yağ tarafından etki eden direnç kuvveti cismin sürati ile doğru orantılıdır. Küresel cismin ulaşabildiği maksimum sürat 5.00 cm/s ise zaman sabitini ve son hızın %90 nına ulaşana kadar geçen süreyi Euler yöntemine göre hesaplayınız.

47

Euler Yöntemi-Yağ içinde küre

48

Düşen yaprak-Euler yöntemi A 3.00-g 3 00 g kütleli bir yaprak 2 2.00 00 m yükseklikten yere düşmektedir düşmektedir. Yaprağa etki eden yere doğru yönelmiş olan net kuvvet F = mg – bv, dir. Burada b = 0.030 0 kg/s ise (a) Yaprağın terminal sürati hesaplayınız, (b) Euler yöntemini kullanarak yaprağın süratini ve konumunu zamanın fonksiyonu olarak belirleyiniz. (Öneri : ∆t = 0.005 s olarak alınız) v(t) (m/s) 1,0 m dv/dt = mg – bv denkleminden 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 04 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 ,

dv mg – bv b ----- = -------------- = g – ----- v dt m m b vn+1 = vn + (g – ----- v)∆t m

t(s) ( ) 0,00

0,04

0,08

0,12

n

t(s)

vn(t) (m/s)

m(kg)

h0

b (kg/s)

g(m/s2)

dt (s)

0

0,000

0,000

0,003

2,000

0,030

9,800

0,005

1

0,005

0,049

2

0,010

0,096

3

0,015

0,140

4

0,020

0,182

0,16

0,20

0,24

0,28

49

Baseball Euler yöntemi Baseball-Euler Kütlesi 0.142-kg g olan bir baseball un ulaşabileceği ş ğ limit sürati 42.5 m/s ((95 mi/h). ) (a) Eğer baseball un sürüklenme kuvvetinin büyüklüğü R = Cv2 olarak verilmişse. C Sabitinin değerini bulunuz. (b) Topun sürati 36.0 m/s ise sürüklenme kuvvetini hesaplayınız. (c) Yukarı doğru 36 Maksimum yükseklik değerini, havada kalma süresini ve yere düştüğündeki m/s ilk hızla atılmış baseball un hareketini belirleyiniz. süratini hesaplayınız.

50

Hava sörfçüsü Aşağıda bir hava sörfçüsünün düşüşü esnasındaki bilgiler peşpeşe atlama durumunda sörfçüler arasındaki mesafeyi belirtmek için verilmektedir. d uçaktan ayrıldıktan sonraki uçakla sörfçü arasındaki mesafeleri, t ise geçen süreyi vermektedir. (a) Feet olarak verilen uzaklıkları metreye çeviriniz, ((b)) d ((metre)) yyi t yye göre g ççiziniz. (c) vT teminal sürati grafikten yararlanarak belirleyiniz. Bu değeri bulmak için en-küçük kareler yöntemini kullanarak grafiği çiziniz.

t(s) d(ft) 1 16 2 62 3 138 4 242 5 366 6 504 7 652 8 808 9 971 10 1138

t(s) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

d(ft) 1309 1483 1657 1831 2005 2179 2353 2527 2701 2875

3500 3000 d(feet) 2500 2000 1500 1000 500 0 1

5

9

13

17 t(s) 51

Merkezkaçla kalıp dökme

http://www.gfmco.com/centrifugal.htm

Kalıplama (casting) plastik veya sıvı malzemelerin (erimiş demir veya çelik) belirli şekillere sahip olması için kalıpların içinde katılaşmasını sağlamaktır. Sıvı malzeme soğudukça katılaşır, büzülür ve içinde istenmeyen boşluklar oluşur. Bu boşluklar malzemeden ek sıvılar geçirtilerek yok edilmeye çalışılır çalışılır. Erimiş metalin üst kısımlarında boşaltılma (pouring) işlemi esnasında oluşan bu boşluklar ek sıvılar geçirilerek azaltılmaya çalışılır. Kalıbın temizlenmesi fazladan sıvının ğ kapılar p p ve askılar kaldırılarak yyapılır. eklendiği 52

http://www.technet.pnl.gov/dme/materials/casting.stm

53

Merkezkaçla Kalıp Endüstriyel uygulamarın çoğunda erimiş metallerin kalıplanması önemlidir. Merkezcil kalıplama (Centrifugal casting) boruların, mil yataklarının ve birçok malzemenin üretiminde kullanılmaktadır kullanılmaktadır. Bu şekildeki karmaşık kalıplama tekniklerinden biriside aşağıdaki şekilde verilmektedir. Silindirik bir kutu hızla ve durdurulmadan ekseni etrafında döndürülmektedir. Erimiş metal dönen silindir içine boşaltılır ve soğur yani kullanıma hazır hale getirilir getirilir. Silindirin bu yüksek hızlarda dönmesi metalin dış kısımlarının daha çok katılaşmasına neden olur. Erimiş metal içindeki hava kabarcıkları eksene doğru giderek istenmeyen boşlukların oluşması engellenir. Mil yatakları oluşturulurken bu yöntemler erimiş bil ikl için bileşikler i i kullanılır. k ll l Burada B d sağlam ğl bir bi çeliğin liği d dış yüzeyine doğru akış sağlanmakta ve iç kısımları ise sürtünmesinin az olacağı bir astarla kaplanmaktadır. Korozyona dirençli çok sert metaller bazı uygulamalarda önemlidir. Merkezcil kalıplama metalin yüzeyleri arasında kuvvetli bağların oluşmasını sağlar. 54

Merkezkaçla Kalıplama İç yarıçapı 2.10 cm ve dış yarıçapı 2.20 cm olan silindirik bakır bir kalıbı dikkate alalım alalım. Dökülecek eriyik içindeki hava kabarcıklarını ve safsızlıkları yok etmek için değeri 100g olan merkezcil ivmeden yararlanılmaktadır. Bu durumda dakikadaki dönme miktarını hesaplayınız. ac = v*v / r denkleminden r = √(2 √ 2-1.52) = 1.32 m 100g = v2 / 1.32 hız değeri v = √(132g) = 36 m/s elde edilir. Çi i l h il açısall h d ki b ğ td Çizgisel hız ile hız arasındaki bağıntıdan v = 2πf r den f = v / (2 π r ) = 4 de devir ir / sani saniye e

55

Yangın söndürme helikopteri Bir yangın söndürme helikopteri 620-kg lık su deposunu helikopterin alt kısmına b ğl olarak bağlı l k şekildeki kild ki gibi ibi 20 20.0 0 m uzunluğundaki l ğ d ki bi bir iiple l ttaşımaktadır. kt d H Helikopter lik t düz doğru bir yol boyunca 40.0 m/s (144 km/saat) hızla hareket etmektedir. Bu durumda deopunun bağlı olduğu ip düşeyle 40.0° lik açı yapmaktadır. Deponun kesit alanı (uçma yönüne göre) 3 3.80 80 m2 ise deponun hızının karesine bağlı olarak hava direnci kuvvetini hesaplayınız.

56

Euler yöntemi A 50.0 50 0-kg kg parachutist jumps from an airplane and falls to Earth with a drag force proportional to the square of the speed, R = Cv2. Take C = 0.200 kg/m (with the parachute closed) and C = 20.0 kg/m (with the chute open).(a) Determine the terminal speed of the parachutist in both configurations, before and after the chute is opened. (b) Set up a numerical analysis of the motion and compute the speed and position as functions of time, assuming the jumper begins the descent at 1 000 m above the g ground and is in free fall for 10.0 s before opening parachute. p g the p (Suggestion: When the parachute opens, a sudden large acceleration takes place; a smaller time step may be necessary in this region.)

57

A crate of eggs is located in the middle of the flat bed of a pickup truck as the truck negotiates an unbanked curve in the road. road The curve may be regarded as an arc of a circle of radius 35.0 m. If the coefficient of static friction between crate and truck is 0.600, how fast can the truck be moving without the crate sliding?

58

Hidrojen atomunun Bohr modeline göre elektronunun yörüngedeki sürati yaklaşık olarak 2 2.20 20 x 106 m/s dir. dir (a) Elektronun dairesel yörünge yarıçapı 0.530 x 10–10 m de kalabilmesi için üzerine etki eden merkezcil kuvveti ve (b) elektronun merkezcil ivmesini hesaplayınız. me=9.10938188 (72)x10-31 kg

59

7 Enerjij ve Enerjinin j Transferi 7.1 Sistemler ve çevreleri 7 2 Sabit kuvvet tarafından yapılan iş 7.2 7.3 İki vektörün skaler çarpımı 7.4 Değişken kuvvetin yaptığı iş 7 5 Ki 7.5 Kinetik tik enerjiji ve iiş-Kinetik Ki tik enerjiji tteoremii 7.6 İzole olmamış sistemler-Enerji korunumu 7.7 Kinetik sürtünmeyi içeren durumlar 7 8 Gü 7.8 Güç 7.9 Enerji ve otomobil

Rüzgar tarlasında hareket eden hava yelpaze üzerine iş yapar ve elektrik motorunun rotorunu döndürür. Enerji rüzgar değirmeni sisteminden elektrik enerjisine dönüşür (Billy Hustace/Getty Images).

1

Enerji Enerji kavramı bilimde ve mühendislikte çok önemlidir. Günlük hayatımızda enerji terimini taşıma ve ısınmada yakıtı, lambalar için elektrik ve yiyecekleri tüketirken Tabi bunların hepsi Burada tük ti k sıkça k kkullanırız. ll T bi b l h i enerjiyi ji i ttanımlamaz. l B d enerjiyi işi yapmak için kullanacağız. Buraya kadar bir parçacığın konumu, hızı, ivmesi ve parçacığa etki eden kuvveti Newton un ikinci yasasından yararlanarak tanımlamaya çalışıldı. Her problem Newton un ikinci yasası ile çözümlenemez. Bazen başka yolları denemek lazım. Bu çözüm yollarından biriside enerjidir.

2

Enerji Evrende enerji değişik formlarda bulunabilir. Evrendeki her fiziksel olay enerjiyle ilgilidir. Enerji kolayca bir biçimden diğerine dönüşürken tanımlanması o kadar kolay değildir. Önceki kesimlerde anlatılan günlük hayatımızdaki değişkenler hız ve kuvvetti. Fakat günlük hayatımızdan benzin bittiğinde araba durduğunda, faturaları ödenmeyince elektriğin kesilmesinde enerjiyi hatırlarız. Enerji kavramı dinamiğin mekanik sistemlere Newton un yasaları kullanılmadan uygulanması ile daha kolay anlaşılır anlaşılır. Bir parçacık üzerine etkiyen kuvvet değişken ise sabit ivme denklemlerini burada bu ada kullanamayız. u a a ay 3

Enerji Bu arada enerji korunumundan bahsetmek doğru olacaktır. Bu sadece fizikle ilgili olan birşey değildir. Biyolojik sistemlerde (ihtiyacımızdan fazla kalori alıp bunu harcayamazsak kilo alırız), teknolojik sistemlerde (az enerji gerektiren laptoplar laptoplar, cep telefonları, buzdolapları vs), mühendislik uygulamarında enerjiyi tasarruflu kullanmalıyız. Doğa hiçbir zaman fazla enerji harcamaz. İhtiyacı kadar enerji harcar. Önceki kesimlerde parçacıklar dikkate alınarak problemler çözüldü. Burada ise sistemler dikkate alınacaktır. 4

7 1 Sistem ve çevre 7.1

İncelenen sistem • bir nesne veya parçacık olabilir • nesneler veya paçacıklar topluluğu y p ç p ğ olabilir • uzayın bir bölgesi (araba motorundaki silindirlerin içi) y ğş ( ç top) p) • boyutları ve şşekilleri değişebilir (kauçuk

5

7.2 Sabit kuvvetin yaptığı iş Hız, ivme, kuvvet ve benzeri fizik terimleri günlük hayatımızda aynı anlamda kullanırız. Fizikte iş günlük hayatımızdaki anlamından farklı kullanılır. Aşağıdaki resimde tahta silgisi görülmektedir. görülmektedir Silgi yatay düzlem üzerinde farklı açılarda aynı büyüklükte kuvvetler ile kaydırılmaktadır.

a)) Silgi g kaydırılabilir y b)) silgi g kaydırılabilir y c)) silgi g kaydırılamamaktadır. y

6

Sabit kuvvetin yaptığı iş Eğer bir kuvvet cisme uygulandığında onun konumunu değiştiriyorsa cisim üzerine iş yapılmış olur. Aşağıdaki şekilde sabit F kuvveti etkisi altında bir cisim ∆r kadarlık yol giderse bu kuvvet tarafından yapılan iş F∆rcosθ dır. Yani W ≡ F ∆r cos θ

7

∆r=0 ise halterci iş yapar mı?

8

Quick Quiz 7.1 71 Güneşş uyguladığı yg ğ gravitasyonel g y kuvvetle dünyayı y y yyörüngesinde g tutar. Bu yörüngenin y g tam bir çember olduğu kabul ederek ve dünya yörüngesinde bir süre ilerleyince güneşin dünya üzerine yaptığı gravitasyonel iş aşağıdakilerden hangisidir? (a) sıfır (b) pozitive (c) negatiftir (d) belirlenemez.

9

Quick Quiz 7.2 72 Şekil 7.4 7 4 te bir cisme dört değişik şekilde kuvvet uygulanmaktadır. Dört durumdada kuvvetin büyüklüğü ve cismin sağa doğru yer değiştimesi aynıdır. Cisim üzerine işi (pozitif)) en yyapılan p ş en büyük y değerden ğ (p küçük değere (negatife) doğru sıralayınız.

10

İşin işareti olur mu? Eğer bir cisim sürtünmesiz düzlem üzerinde hareket ederken mg ve n kuvvetleri cisim üzerine iş yapmaz. Sadece F kuvveti cisim üzerine iş yapar. yapar F kuvveti ile ∆r yerdeğiştirmesi aynı pozitif ters doğrultularda ise işin işareti pozitif, yönlerde ise negatiftir. Cisme uygulanan kuvvet ile ∆r arasındaki açı θ=0 ise W = F ∆r dir. ş birimi SI birim sisteminde işin newton·metre (N·m) veya joule ( J) dür.

11

ş Örnek 7.1-İş Bir adam zemini elektrik süpürgesi ile temizlemektedir Yatayla 30 temizlemektedir. 30.0 0° açı yapan kuvvet F = 50.0 N dur. Eğer elektrik süpürgesi 3.00 m sağa doğru hareket ederse F kuvvetinin yaptığı işi hesaplayınız? 0 N)(3 00 m)(cos 30 0 ) W = F ∆r cos θ = (50 (50.0 N)(3.00 30.0 = 130 N·m = 130 J

12

7 3 İki vektörün skaler çarpımı 7.3 Kuvvet ve cismin yerdeğiştirmesi arasındaki bağıntı iş verilmişti Bu işlemin vektörel gösterimi denklemi ile verilmişti. kolaylık sağlar. İş iki vektörün skaler çarpımıdır. A ve B iki vektör ise bunların skaler çarpımı A · B. (Buradaki ş y nokta ççarpımı p g nokta işareti skaler veya göstermektedir)) Skaler çarpım komitatiftir/yerdeğiştirebilir: A·B=B·A Skaler çarpım dağılma özelliğine sahiptir: A · (B + C) = A · B + A · C İki vektör arasındaki açı 0° ise A·B=AB İki vektör k ö arasındaki d ki açı 90 ise i A · B = 0 dır İki vektör ktö arasındaki d ki açı 180 İki vektör arasındaki açı 0° ise A·B=-AB

13

Birim vektörler ne durumda? i·i=j·j=k·k=1 i·j=j·k=k·i=0 B = Bxi + Byj + Bzk A = Axi + Ayj + Azk A · B = Ax Bx + AyBy + AzBz A = B ise A · A = Ax Ax + Ay Ay + AzAz= Ax2 + Ay2+ Az2

14

Örnek 7 7.2-Skaler 2 Skaler çarpım A ve B vektörleri A = 2i + 3j ve B = -i + 2j şeklinde verilmektedir. A·B yapınız (A) A B skaler çarpımını yapınız. (B) A ve B vektörleri arasındaki θ açısını hesaplayınız. ((A)) i · i = j · j = 1 ve i · j = j · i = 0 özellikleri g gözönünde bulundurularak,, A · B = (2i + 3j) · (-i + 2j) = (2i) · (-i) + (3j) · (2j) = (2)(-1)(i)·(i)+(3)(2)(j)·(j)= -2+6 = 4 gibi hesaplanabilir: ((B)) A ve B vektörleri arasındaki açı ç aşağıdaki ş ğ g p

15

Örnek 7 7.3-Sabit 3 Sabit kuvvetin yaptığı iş Bir parçacık F = (5.0i + 2.0j) Newton luk sabit F kuvveti etkisi altında xy düzleminde ∆r = (2.0i + 3.0j) metrelik yer değiştirme yapmaktadır. (A) Yerdeğiştirmenin ve kuvvetin büyüklüklerini hesaplayınız. Pisagor teoreminden aşağıdaki büyüklükler bulunur:

(B) F kuvvetinin parçacık üzerine yaptığı işi hesaplayınız.

16

7 4 Değişken kuvvetin yaptığı iş 7.4 Bir parçacığın x ekseni boyunca yer değiştirmesini sağlayan kuvvetin bu yerdeğiştirmeye bağlı olarak değiştiğini kabul edelim. Bu durumda kuvvetin yaptığı iş nasıl hesaplanacaktır. Örneğin cisim x = xi konumundan x = xf konumuna yerdeğiştiriyorsa, hesaplanamaz. yerdeğiştiriyorsa kuvvetin yaptığı iş W = F ∆r cosθ ifadesi ile hesaplanamaz Buradan elde edilen sonuç çok hatalı bir değerdir. Bunun yerini küçük ∆r yerdeğiştirmeleri biliniyorsa F kuvvetinin yaptığı iş bu aralıkta aşağıdaki denklemdeki gibi verilebilir: W ≈ Fx ∆x Parçacık x = xi konumundan x = xf konumuna yerdeğiştirdiğinde farklı kuvvetlere maruz kalıyorsa toplam iş aşağıdaki gibi verilebilir:

17

Değişken kuvvetin yaptığı iş ∆x aralığı sıfıra ne kadar yaklaştırılırsa o kadar doğru ğ sonuçlar elde edilecektir. Bu limit ile gösterilebilir:

Sağ taraftaki şekiller buraya kadar anlatılanları göstermektedir: 18

Değişken kuvvetin yaptığı iş Cisme birden fazla kuvvet etki ediyorsa önceki slayttaki denklemlerde biraz düzeltmelerin yapılması gerekmektedir. Burada cisim yine parçacık gibi kabul edilir. x doğrultusundaki kuvvet +Fx, şeklinde verilmişse bu kuvvetin parçacığı xi den xf ye kadar hareket ettirmekle üzerine yaptığı toplam iş aşağıdaki gibi ifade edilir:

19

Quick Quiz 7.3 73 Aşağıdaki ş ğ bağıntılardan ğ hangileri g A·B and ((−A)) · ((−B)) işlemleri ş için ç doğrudur? ğ (a) A·B = −[(−A) · (−B)]; (b) A·B = AB cos θ, ise (−A) · (−B) = AB cos (θ +180 ); (c) (a) ve (b) şıklarının ikiside doğrudur. (d) (a) ve (b) şıklarının hiçbirisi doğru değildir.

20

Quick Quiz 7.4 74 Aşağıdaki ş ğ iki vektörün nokta ve iki vektörün vektörel ççarpımlarıyla p y ilgili g bağıntılardan ğ hangileri doğrudur? (a) A·B çarpımı AB den büyüktür; (b) A·B çarpımı AB den küçüktür; (c) A·B çarpımı bu vektörler arasındaki açıya bağlı olarak AB den büyük veya küçüktür; (d) A·B çarpımı AB ye eşittir.

21

Örnek 7 7.4-Değişken 4 Değişken kuvvetin yaptığı iş Bir parçacığa etki eden kuvvet x e bağlı olarak şekildeki gibi değişmektedir. Kuvvet parçacığı x = 0 dan x = 6.0 metreye kadar hareket ettirmişse kuvvetin parçacık üzerine yaptığı işi hesaplayınız.

Yukarıdaki şşekili bir dörtgen g ve bir üçgen çg olarak düşünülürse ş bunların alanları toplamı değişken kuvvetin parçacık üzerine yapmış olduğu toplam işi verecektir. Alanların toplamı = 5*4 + 5*2*0.5 = 25 Joule olarak hesaplanır. 22

Örnek 7 7.5-Uydu 5 Uydu hareketi Uydu ile g,üneş arasındaki 5 x1011 m den mesafe 1 1.5 2.3 x 1011 m ye değişmektedir. Bu ş uydu y durumda g güneşin üzerinde yaptığı işi hesaplayınız.

23

Örnek 7 7.5-Uydu 5 Uydu hareketi

24

Örnek 7 7.5-Uydu 5 Uydu hareketi Güneşin uydu üzerinde yaptığı iş analitik olarak yandaki gibi çözülebilir.

25

Yayın yaptığı iş

26

Yayın kütle üzerine yaptığı iş

(a) Yay açılırsa açılırsa, (b) yay dengede, (c) yay sıkıştırılırsa, (d) –kx in x e göre grafiği. Renkli alan ( W = 0.5 0 5 k x2) yay kuvvetinin yaptığı işi verir.

27

Yayın kütle üzerine yaptığı iş

28

Kuvvetin yay üzerine yaptığı iş

29

Quick Quiz 7.5 75 Bir boncuk tabancasına 1 boncuk konulduğunda ğ tabanca yayı y y d kadar sıkışmaktadır, ş , bu boncuk atıldıktan sonra ikinci boncuk namluya yerleştirilirse bu boncuk yayı 2d kadar sıkıştırır. İkinci boncuğu sıkıştırmak için yapılan iş birinciye göre hangi orandadır? (a) 4 kat hızlıdır (b) 2 kat hızlıdır (c) Hızları aynıdır (d) Yarısı kadar hıza sahiptir, (e) 4 te biri kadar hıza sahip olur.

30

Örnek 7 7.6-Yay 6 Yay sabitinin ölçülmesi Yay sabitinin ölçüldüğü tekniklerden biriside şekilde verilmiştir. Yay tavana asılır ve m kütleli bir cisim bu yayın diğer ucuna asılır ve bırakılır bırakılır. Kütle bırakıldıktan bir süre sonra mg ağırlığı ile açılır ve d mesafesi sonunda dengede kalır. (A)Yukarıda anlatıldığı gibi 0.55 kg kütleli bir cisim bir yayı 2.0 cm açarsa yay sabitini hesaplayınız. (B) Bu durumda yay tarafından yapılan iş ne olur?

31

7 5 Kinetik enerji ve iş-Kinetik 7.5 iş Kinetik enerji teoremi Ş Şimdiye y kadar işin ş ne olduğu ğ belirtildi ve bunun bir sisteme enerjinin j aktarılması olarak tanımlandı. Bir kuvvet bir sistem üzerine iş yaptığında onun hızınıda artırabilir. Bu durumda sistemin kinetik enerjisi artar. m kütleli bir blok net ΣF kuvvetinin etkisi altında yerdeğiştiriyorsa Newton un ikinci yasasından kütle a ivmesi ile hareket etmiştir. ∆r = ∆xi = (xf - xi)i yerdeğiştirmeyi belirtise ΣF net kuvvetinin yaptığı iş aşağıdaki gibi verilebilir:

Newton un ikinci yasasından yapılan iş aşağıdaki gibi elde edilir:

32

7 5 Kinetik enerji ve iş-Kinetik 7.5 iş Kinetik enerji teoremi Son denklemdeki vf ve vi son ((işş yapıldıktan y p sonraki)) ve başlangıçtaki ş gç hız değerlerini vermektedir. m kütleli bir cisim v hızı ile hareket ediyorsa sahip olduğu kinetik (hareket) enerjisi aşağıdaki gibi verilebilir:

Yukarıdaki denklem daha genel olarak aşağıdaki gibi sistemin son kinetik enerjisinden başlangıçtaki kinetik enerjisi çıkartılırsa sistem üzerine yapılan iş ortaya y ççıkar. Bu ifade iş-kinetik ş enerji j teoreminide açıklar. ç

Sistem üzerine iş yapıldığında son kinetik enerji ilk kinetik enerjiden küçük ise sistemin i t i h hızı azalmış, l bü büyük ük iise sistemin i t i h hızı artmıştır t t d denir. i 33

Bazı nesnelerin kinetik enerjileri Nesne Kütle (kg) Sürat (m/s) Kinetik Enerji (J) Güneş etrafında Dünya 5.98x1024 2.98x104 2.66x1033 Dünya etrafında Ay 7.35x1022 1.02x103 3.82x1028 Roketin dünyadan Ayrılma sürati 500 1.12x10 3.14x10 A l ü ti 1 12x104 3 14x1010 65 mil/saat süratli oto 2000 29 8.4x105 Koşan bir atlet 70 10 3500 1 0 14 98 10 m den düşen bir taş 1.0 Limit süratli golf topu 0.046 44 45 Limit süratinde yağmur Damlası 3 3.5x10 5x10-5 9 0 9.0 1 1.4x10 4x10-3 Havadaki oksijen Molekülü 5.3x10-26 500 6.6x10-21

Bu bölümde sadece çizgisel hızları olan cisimlerin kinetik enerjileri incelenecektir incelenecektir. Oysa dönen cisimlerinde hızları değişmektedir. Yani bir kinetik enerjileri vardır. Ama dönen cisimlerin kinetik enerjileri daha sonraki konularda işlenecektir.

34

Örnek 7 7.7-Sürtünmesiz 7 Sürtünmesiz yüzeyde hareket 6.0-kg g lık bir blok durgun g halde iken 12 N luk bir kuvvet ile sürtünmesiz yyüzey y üzerinde harekete başlatılıyor. 3.0 m hareket ettirildikten sonra bloğun sahip olacağı sürati nedir?

35

Quick Quiz 7.6 76 Bir boncuk tabancasına 1 boncuk konulduğunda ğ tabanca yayı y y d kadar sıkışmaktadır, ş , bu boncuk atıldıktan hemen sonra ikinci boncuk namluya yerleştirilirse bu boncuk yayı 2d kadar sıkıştırır. İkinci boncuk birinciye göre hangi hızla namluyu terkeder? (a) 4 kat hızlıdır (b) 2 kat hızlıdır (c) Hızları aynıdır (d) Yarısı kadar hıza sahiptir, (e) 4 te biri kadar hıza sahip olur.

36

Örnek 7 7.8-Eğik 8 Eğik düzlem işe yarar mı? Bir işci buzdolabını en az enerji ile L uzunluklu bir rampa kullanarak kamyonete yüklemek istemektedir. istemektedir Bu rampa işe yarar mı?

B d l b sabit Buzdolabı bit h hızla l rampadan d çıkartılırsa k tl ∆K ∆K=0 0d dır. İİş ki kinetik tik enerjiji tteoreminden i d

İş sadece yerçekimine karşı yapılır yani Wyerçekimi = -mgh dir.

37

7.6 İzole olmamış sistemler-Enerji korunumu Bir kitap sağa doğru masa itildiğinde masa ile kitap arasındaki sola doğru olan sürtünmeden dolayı yavaşlayak bir süre sonra durur. Kitabın ilk hızı vi ve son hızı vf ğ ğ hareket doğrultusuna ğ y dir. Kitabın ağırlığı ya da süratine dik olduğu için burada gösterilmemiştir. Burada sistem (kitap ve uyguladığımız kuvvet) çevresi ile etkileştiği için (burada sürtünme) izole değildir. Sürtünme kuvveti burada bir iş yapar (ama masa hareket etmez). Bu iş-enerji nereye gider. id E Enerjiji masaya iiç enerjisini ji i i ((ısı)) değiştirecek şekilde aktarılmış olur.

38

Enerjinin dönüşümü İş – bir kuvvetin bir cisme etkimesi sonucunda onun konumunu (sıfırdan farklı olacak şekilde) değiştirmesidir. Mekanik dalgalar – hava veya başka bir ortam aracılığı ile bir sistemin enerjisinin değiştirilmesidir. Isı – iş yapılması sonucunda bir bölgede sıcaklık farklılığının oluşturulması veya iç enerjinin artmasıdır. Madde transferi – iki farklı ortam arasında enerji geçişidir. Soba ile odanın ısıtılması veya araba motorundaki benzinin yanması ve kinetik enerjiye dönüştürülmesi vb. Elektrik dönüşüm – elektrik akımları ile enerji elde edilmesi. Elektromagnetik radyasyon – ışık, mikrodalgalar, radyo dalgaları vs.

39

Enerjinin dönüşümü

İtme kuvveti ile iş yapılır, Kimyasal enerji mekanik enerjiye, elektromagnetik dalgalar sesin yayılmasına, elektrik enerjisi ısıya dönüşmektedir.

40

Enerjinin dönüşümü

Kupadaki sıcak kahve ve ışık saçan lambada enerji dönüşümleri nedir?

Moleküllerin hareketi ısıya ısıya, lambadaki elektrik enerjisi ışığa dönüşmektedir.

41

Enerjinin dönüşümü Enerjiyi tanımlarken en büyük özelliği olarak enerjinin hiç bir zaman yoktan oluşturulamayacağı veya yok edilemeyeceğinin belirtilmesidir. Enerji bir türden diğerine geçer. Bir sistemin enerjisi değişiyorsa bu esasında enerjinin bir türden diğer türe geçtiği söylenir. Yani enerji korunur. Bu ifade matematiksel olarak aşağıdaki denklemdeki gibi verilebilir:

42

Quick Quiz 7.7 77 Aşağıdaki durumlarda veya transfer mekanizmalarında enerji girişi ve çıkışı nasıl olabilir? (a) Televizyon cihazında; (b) Mazotla çim makinasında; M tl çalışan l i biçme bi ki d (c) Kalem ucunu açarken kolunuzun hareketi. (a) TV de elektrik enerjisi ve elektromagnetik radyasyon yani görüntü olarak sisteme girer. Enerji ısı, mekanik dalga (ses) ve elektromagnetik radyasyon olarak çıkar. (b) Çim biçme makinasında mazot yanarak sisteme enerji şeklinde girer. İş olarak yani çimlerin biçilmesi şeklinde, ses dalgaları ve ısı olarak sistemden çıkar. (c) Kalem açma cihazında enerji iş olarak (kolunuzun dönmesi ile) sisteme girer ve kalemde ve mekanik ses dalgası olarak sistemden çıkar.

43

Quick Quiz 7.8 78 Bir bloğun sürtünmenin var olduğu düz bir yüzey üzerinde kaydırıldığını kabul edelim. Kayma esnasında ortaya çıkan sesi duymazlıktan gelirsek ve sistemi sadece bloktan oluştuğunu kabul edersek, bu sistem (a) ( ) İİzole l edilmiştir, dil i ti (b) İzole değildir, (c) belirlenemez, birşey söylenemez.

44

Quick Quiz 7.9 79 Quick Quiz 7.8 de sistemi sadece yüzey olarak alırsak bu sistem (a) izoledir, (b) İzole İ l değildir, d ğildi (c) Belirlemek imkansızdır.

45

Quick Quiz 7.10 7 10 Quick Quiz 7.8 deki sistemi blok ve yüzeyden oluştuğunu kabul edersek bu sistem, (a) izoledir, (b) İzole İ l değildir, d ğildi (c) Belirlemek imkansızdır.

46

7 7 Kinetik sürtünmeyi içeren durumlar 7.7 İş-kinetik enerji teoremini parçacıklar için kullanabiliriz. Eğer bir sistem parçacık haline indirgenemiyorsa karmaşık bir durum ortaya çıkar. Bu durumda bile Newton yasaları kullanılabilirken iş-kinetik enerji teoremi kullanılamaz. Masa üstünde sürtünerek hareket örneğinde kuvvetin kitap ü tü kh k t ettirilebilen tti il bil kitap kit ö ği d uyguladığımız l dğ k ti kit üzerine yaptığı işin bir kısmı sürtünmeyi yenmek için harcanmaktadır.

47

Quick Quiz 7.11 7 11 Bir yolda 65 mil/saat süratle giderken arabanızın bir kinetik enerjisi olacaktır. Trafiğin sıkıştığını görerek aniden durmanız gerekirse arabanın kinetik enerjisi nereye gider? (a) ( ) Kinetik Ki tik enerjinin ji i tümü tü ü yola l iç i enerji ji olarak l k aktarılır. kt l (b) Kinetik enerjinin tümü tekerleğe iç enerji olarak aktarılır. (c) Kinetik enerjinin bir kısmı iç enerjiye bir kısmıda mekanik dalgaya aktarılır. dağılır (d) Kinetik enerji arabanın değişik mekanizmalarına dağılır.

48

Örnek 7 7.9-Pürüzlü 9 Pürüzlü yüzeyde hareket Bir 6.0-kg lık blok düzlem üzerinde durgunken düzleme paralel 12 N luk bir kuvvet tarafından hareket ettirilmektedir. (A) Kinetik sürtünme katsayısı 0.15 olan düzlem ğ bu kuvvet ile 3.0 m hareket üzerinde bloğun ettirildikten sonra kazanacağı sürati hesaplayınız. (B) Bloga uygulanan kuvvetin yatayla θ lik bir açı ile uygulandığını yg ğ kabul edersek blok 3.0 m hareket ettikten sonra hangi açı değerinde en büyük sürate ulaşacaktır?

49

Örnek 7 7.9 9

50

Örnek 7 7.10-Daha 10 Daha emniyetli araba sürmek v sürati ile giden araba frenlerini kilitleyince d kadar kaydıkdan sonra durmaktadır. Aynı araba 2v sürati ile giderken frenleri kilitlenince kayma mesafesini hesaplayınız hesaplayınız.

Arabanın her iki durumda son kinetik enerjisi Kf = 0 dır dır. v süratinde iken Ki = 0.5mv 0 5mv2 ve 2v süratinde iken Ki = 0.5m(2v)2 dir. Bu durumda enerji 4 kat artmıştır. Durma mesafeside 4 kat artar. Yani 4d olur.

51

Örnek 7 7.1111 1.6 kg lık bir kütle yatay durumdaki bir yayın ucuna tutturulmuştur. Yay sabiti 1 0x103 N/m dir. 1.0x10 dir Yay 2.0 2 0 cm sıkıştırılıp serbest bırakılıyor bırakılıyor. (A) Zemini sürtünmesiz iken kütle x = 0 konumundan geçerken hangi sürate sahiptir? ((B)) Bloğa ğ etkiyen y sürtünme kuvveti 4.0 N ise denge g konumundan g ç ğ andaki geçtiği süratini hesaplayınız.

52

7 8 Güç 7.8 İş = Kuvvet x Yerdeğiştirme İş = Para x Bilgi Güç = İş / Zaman Güç = Para x Bilgi / Zaman Para = Zaman x Güç / Bilgi Birim zamandaki enerji transferine güç denir. Cisme uygulanan kuvvet bir zaman aralığında yapılmışsa bu zaman diliminde cisme aktarılan enerji yani güç ortalama bir değerdir.

53

Güç ∆t zaman aralığı küçültülürse yani ani güç değeri hesaplanmak istenirse aşağıdaki formül kullanılabilir:

Son denklem zamanla enerjinin değişimini göstermektedir. SI (yani metrik) birim sisteminde gücün birimi Joule/saniye veya Watt tır.

54

Quick Quiz 7.12 7 12 An older model car accelerates from rest to speed v in 10 seconds. A newer, more powerful sports car accelerates from rest to 2v in the same time period. What is the ratio of the power of the newer car to that of the older car? (a) ( ) 0.25 0 25 (b) 0.5 (c) 1 (d) 2 (e) 4

55

Örnek 7 7.12 12 - Asansör 1600 kg lık bir asansör kabini içinde 200 kg lık yükle yukarı doğru çekilmektedir. 4000 N luk sabir bir sürtünme kuvveti kabinin hareketini engellemektedir engellemektedir. (A) Kabini 3.00 m/s süratle yukarı ççekilebilmesi için ç motor tarafından uygulanacak kuvvetini hesaplayınız.

56

Örnek 7 7.12 12 (B) Asansör kabinini sabit 1.00 m/s2 ivme ile çıkartabilecek gücü v ye bağlı bir ifade elde ediniz ediniz.

57

7 9 Enerji ve otomobil 7.9 Otomobillerde kullanılan yakıttan elde kimyasal enerjinin ancak %15 i arabayı hareket ettirmek için kullanılabilmektedir. Bu durum şehir içindeki trafikte yyani durkalk durumunda daha kötüye gitmektedir. Bu bölümde güç ve sürtünme arasındaki kavramlar açıklanacaktır. Otomobilde enerji kaybına neden olan birçok mekanizma vardır. Yakıttan elde edilebilecek enerjinin yaklaşık %67 si motorda kaybolmaktadır. Bu enerjinin bir kısmı eksoz borusundan atmosferde kaybolmakta ve bir kısmıda soğutma sistemi ile yok olmaktadır. Enerjinin %10 u aktarma organlarında, dönen millerde, diferansiyellerde, tekerleklerde ve aks bileziklerindeki sürtünme ile yok olur. Diğer yerlerdeki sürtünmeler ile enerjinin j %6 sı iç ç enerjij şşekline dönüşür. ş Enerjinin j %4 ü ise yyakıt ve yyağın ğ pompalanması esnasında yok olur. Örneğin hidrolik direksiyonlarda ve klima sistemlerindeki pompalama esnasında. Geriye kalan %13 enerji ile araba hareket eder. Bu enerjide j arabanın hava ile sürtünmesi ((hava direnci)) ve tekerleklerin esnemesi esnasında harcanır.

58

Sürtünme kuvveti ve tipik bir otomobil için güç gereksinimi Hareket eden arabaya hava direncinin ve tekerlek ile yol arasındaki sürtünmenin μ (0 016) olduğunu kabul edelim. (0.016) edelim 1 450-kg 450 kg lık bir arabanın ağırlığı 14200 N ve tekerleklerin yuvarlanma sürtünmeside μn = μmg = 227 N olsun. v(mi/h) 0 20 40 60 80 100

v(m/s) 0 8.9 17.9 26.8 35.8 44.7

n(N) 14200 14100 13900 13600 13200 12600

fr(N) fa(N) ft(N) P=ftv(kW) 227 0 227 0 226 48 274 2.4 222 192 414 7.4 218 431 649 17.4 211 767 978 35.0 202 1199 1400 62.6

n normal (yani yere dik) kuvvet, fr yuvarlanma sürüklenmesi, fa hava sürtünmesi, ft toplam sürtünme, P tekerlere aktarılan güç.

59

Sürtünme kuvveti ve tipik bir otomobil için güç gereksinimi Çizelgedeki değerler aşağıdaki gibi hesaplanmıştır:

60

Örnek 7.13-Kompakt p bir arabanın harcadığı ğ güç g ç 800 kg kütleli kompakt bir araba kazanılan enerjinin %18 ini tekerleklere aktarmaktadır (%18 verimli). Arabanın durgun halden 27 m/s (60 mi/h) hıza ulaşabilmesi için gerekli benzin miktarını hesaplayınız. hesaplayınız 1 galon benzin = 1.3x10 1 3x108 Joule.

61 Sabit hızla gidilince 0.013 galon benzin ile 0.5 mil yol alınabilir. Bu yukarıda elde edilen değerin 6 katıdır.

Örnek 7 7.14 14 – Tekerlere aktarılan güç Önceki örnekteki arabanın 60 mil/saat süratinde 35mil/galon benzin harcadığını kabul edersek tekerlere aktarılan güç ne kadar olur?

62

Örnek 7 7.15 15

63

Örnek 7 7.15 15

64

Örnek 7 7.15 15

65

Örnek 7 7.17-Skaler 17 Skaler çarpım Skaler çarpımı hesaplayınız. F = 32.8( -cos(28)i – sin(28)j) Newton v = 17.3x10-2(-cos(42)i – sin(42)j) m/s F · v = (-28.96i – 15.40j)·(-12.86i – 11.58j) x10-2 = 5.51Watt

66

Örnek 7 7.16-İş 16 İş Bir parçacığa etki eden kuvvet konuma göre aşağıdaki şekildeki gibidir. Kuvvetin parçacık üzerine yaptığı işi parçacık (a) x = 0 dan x = 8.00 8 00 m ye ye, (b) x = 8 8.00 00 m den x = 10.0 m ye, (c) x = 0 den x = 10.0 m ye yerdeğiştirince hesaplayınız.

(a) 0 ≤ x ≤ 4.00 m ve 0 ≤ x ≤ 4.00 m aralığında kuvvetin konuma göre değişimi F(x) = (3/2)x Newton ve F(x) = 12 – (3/2)x dır. Kısaca büyük üçgenin alanı 24 Joule dür. (b) Yatay eksenin altında yani 8 ≤ x ≤ 10.0 m aralığında F(x) = 12 – (3/2)x dir. 10.0 ≤ x ≤ 12.0 m aralığında ise F(x) ( ) = ((3/2)x / ) – 18 Newton dur. Yani küçük üçgenin alanı 6 Joule dür. ((c)) Toplam p işş ise 24 – 6 = 18 Joule dür. 67

Örnek 7 7.18-Yaylar 18 Yaylar Kamyon süspansiyonları aşırı yük durumunda “yardımcı yardımcı spiral yaylar” yaylar ile desteklenir. Kamyon şasesinin hemen altındaki spiral yaylar aks üzerine şekildeki gibi takılarak yaprak yayları desteklerler. Yaprak yaylar y0 kadar inince yardımcı spiral yay ana yaya yardım eder. Yaprak yayın yay sabiti 5.25 x 105 N/ di N/m dir. Y Yardımcı d yayın yay sabiti biti ise 3.60 x 105 N/m ve böyle bir yyayın y sıkışma ş miktarı y0 = 0.500 m dir. (a) Yaprak yay 5.00x 105 N kadarlık yükte ne kadar sıkışır? (b) Yayları sıkıştırmak için ne kadarlık iş yapılır?

68

Örnek 7 7.18-Yaylar 18 Yaylar ( ) F = - kx = ((5.00x105 N)) = (a) (5.25x105 N/m) x Denkleminden x = -5.00/2.25 = 0.95 0 95 metre sıkışır. sıkışır Yardımcı yay ise 0.45 cm sıkışır. (b) Yaprak yayı sıkıştırmak için 0.5kyx2 = 2.37x105 J Spiral S i l yayı sıkıştırmak k t k için i i 0.5ksx2 = 0.37x105 J

69

Örnek 7 7.19 19 – Kilo problemi Bir kişinin kilosunu kilogram ve boyunu metre cinsinden klavyeden girerek kişinin Quetlet Index (kilo / (metre*metre)) (metre metre)) ini hesaplayınız hesaplayınız. Bu oran kişinin şişman olup olmadığı konusunda bilgi vermektedir. 20 nin altında

çok zayıf

20 ile 25 arası normal kilo 25 ile 30 arası biraz şişman 30 ile 40 arası şişman 40 ve yukarısı çok şişman Yandaki satırları bir metin editörü kullanarak uzantısı .htm veya .html olacak şekilde bilgisayarınıza kayıt ediniz ve daha sonra bir browser ile çalıştırınız.

head Kilo content="Blank