Gaya Terdistribusi

Modul 8

GAYA TERDISTRIBUSI

1. Pend Penda ahulu hulua an Sampai saat ini kita menganggap bahwa gaya tarik bumi pada suatu benda tegar dinyatakan seba sebaga gaii gaya gaya tung tungga gall W  yg beke bekerj rja a pada pada bend benda a ters terseb ebut ut,, hal hal ini ini dila dilaku kuka kan n untu untuk k memudahkan dalam perhitungan. Faktanya setiap gaya yang bekerja pada suatu benda, maka gaya tersebut tersebut akan terdistribusi terdistribusi pada suatu suatu luas luas sentuh sentuh terbatas terbatas bagaiman bagaimanapun apun kecilnya. Sebagai contoh, gaya yang dikenakan oleh jalan beraspal pada ban mobil akan diterapkan ke ban pada seluruh luas sentuhnya, seperti terlihat pada gambar di bawah.

Gambar 1. Gaya terdistribusi padas ban mobil

Untuk menghitung gaya yang bekerja tersebut maka kita harus menjumlahkan pengaruh gaya yang tersebar pada seluruh daerah. Ada tiga kategori persoalan distribusi : 1. Distr istrib ibus usii gari garis s  Apabila sebuah garis terdistribusi sepanjang suatu garis, seperti pada beban ertikal mener menerus us yang yang digan digantun tung g oleh oleh kabel, kabel, gamba gambarr !a, maka maka inten intensit sitas as w dari dari beban beban dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang garis, yatu newton per meter "#$%&, atau pon per kaki "lb$'t&. !. Distr istrib ibus usii lua luas s  Apabila sebuah gaya terdistribusi pada suatu luas, seperti tekanan hidrolik air  terhadap bagian dalam bendungan, gambar !b, maka intensitas dinyatakan sebagai gaya per satuan luas. (ntensitas ini dikenal sebagai tekanan untuk aksi gaya 'luida dan tegangan untuk distribusi internal dari gaya pada )at padat. *. Distr istrib ibus usii olum olume e Sebuah gaya yang terdistribusi pada olume suatu benda dikenal sebagai sebuah gaya benda. +aya benda yang paling umum adalah tarikan graitasi yang beraksi pada seluruh elemen massa dari sebuah benda. Sebagai contoh, penentuan gaya

‘12 ‘12

Mekanika Teknik  1

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

pada struktur kantileer, gambar !c, akan membutuhkan perhitungan distribusi gaya graitasi terhadap seluruh struktur.

Gambar 2. Tiga kategori distribusi

2. Pusat Massa

Gambar 3. Benda tiga dimensi

injaulah sebuah benda tiga dimensi berukuran, berbentuk, dan bermassa m sembarang. -ika kita gantung benda tersebut, sebagaimana diperlihatkan dalam gambar *, dari sembarang titik seperti a, maka benda akan berada dalam kesetimbangan di bawah aksi tarikan pada tali dan resultan  dari gaya graitasi yang beraksi pada semua partikel benda tersebut. /esultan ini jelas kolinier dengan tali, dan misalkan kita menandai posisinya dengan membor sebuah lubang hipotetis dengan ukuran yang dapat diabaikan sepanjang garis kerjanya. 0ita ulangi percobaan dengan menggantung benda tersebut dari titik lain seperti b dan c, dan dalam tiap percobaan kita menandai garis kerja dari gaya resultannya. Untuk setiap tujuan praktis, garis kerja ini akan kongruen di sebuah titik +, yang dikenal sebagai

pusat

graitasi

dari

benda.

etapi

sebuah

analisis

yang

tepat

harus

memperhitungkan 'akta bahwa arah gaya graitasi pada berbagai partikel benda sedikit berbeda karena arah tersebut bertemu menuju pusat tarikan bumi. Selain itu, karena partikelpartikel tersebut berada pada jarak yang berbeda dari bumi, intensitas medan gaya bumi tidak benarbenar konstan pada setiap titik pada benda. injauan ini membawa kita

‘12

Mekanika Teknik  2

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

kepada kesimpulan bahwa garis kerja dari resultan gaya graitasi dalam percobaan yang baru saja diuraikan tidak akan sungguhsungguh kongruen, dan oleh karena itu tidak ada pusat graitasi yang unik dalam pengertian yang tepat. 0ondisi ini secara praktis tidak penting selama kita membahas benda yang ukurannya kecil dibandingkan dengan ukuran bumi. 0arena itu kita menganggap bahwa sebuah medan gaya yang diakibatkan oleh tarikan graitasi adalah merata dan sejajar, dan kondisi ini menghasilkan konsep pusat unik dari graitasi.

Gambar . Pusat massa

Untuk menentukan lokasi pusat graitasi benda sembarang secara sistematis, gambar 2a, kita terapkan prinsip momen terhadap sistem sejajar dari gaya graitasi untuk menentukan lokasi resultannya. %omen akibat gaya graitasi resultan  terhadap suatu sumbu sembarang ternyata sama dengan jumlah momen terhadap sumbu yang sama akibat gaya graitasi d yang beraksi pada seluruh partikel yang ditinjau sebagai elemen sangat kecil dari benda yang bersangkutan. /esultan gaya graitasi yang beraksi pada seluruh elemen adalah berat benda tersebut dan diberikan oleh penjumlahan

W   =

∫ dW   . Sebagai contoh,

 jika kita menerapkan prinsip momen terhadap sumbuy, momen terhadap sumbu ini akibat berat elemen adalah 3 d, dan jumlah momen ini untuk seluruh elemen benda adalah

∫  x dW   . karena itu,

-umlah momen ini harus sama dengan  xW  

=

W   x

, yaitu momen dari jumlah. 4leh

∫  x dW   . Dengan pernyataan yang serupa untuk dua komponen lainnya,

kita dapat menyatakan koordinat pusat graitasi + sebagai  x =

∫  x dW  W 

 y =

∫  y dW  W 

 z  =

∫  z dW  W 

Untuk membayangkan momen 'isis akibat gaya graitasi guna memperoleh persamaan ketiga, kita dapat mengubah posisi benda tersebut dan sumbu yang tergantung sedemikian rupa sehingga sumbu) menjadi horisontal. 5erlu diketahui bahwa pembilang dari masing

‘12

Mekanika Teknik  3

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

masing persamaan di atas menyatakan jumlah momen, sedangkan perkalian  dan koordinat yang berkaitan dari + menyatakan momen dari jumlah. 5rinsip momen ini berulang kali dipakai dalam seluruh mekanika. Dengan substitusi  6 mg dan d 6 g dm, pernyataan untuk koordinat pusat graitasi menjadi  x =

∫  x dm m

 y =

∫  y dm m

 z  =

∫  z dm m

0erapatan 7 dari suatu benda adalah massa per satuan olume. -adi massa sebuah di'erensial elemen dari olume d8 menjadi dm 6 7 d8. Dalam hal 7 tidak konstan pada seluruh benda tetapi dapat dinyatakan sebagai suatu 'ungsi koordinat benda, kita harus memasukkan ariasi ini ke dalam perhitungan pembilang dan penyebut pada persamaan awal. 0emudian kita dapat menuliskan pernyataan ini sebagai  x =

∫  x ρ  dV   ρ  dV 

 y =

∫  y  ρ  dV   ρ  dV 

 z  =

∫  z  ρ  dV   ρ  dV 

3. Sentroid dari Garis !uas dan "olu#e  Apabila kerapatan 7 dari suatu benda yang seluruhnya seragam, maka 7 akan menjadi 'aktor yang konstan baik dalam pembilang maupun penyebut. (stilah sentroid dipakai apabila suatu perhitungan hanya membahas bentuk geometris saja. Apabila membicarakan benda 'isis sebenarnya, kita menggunakan istilah pusat massa. -ika kerapatan diseluruh benda adalah merata, maka posisi sentoird dan pusat massa akan sama, sedangkan jika kerapatan berariasi, maka kedua titik ini umumnya tidak akan berhimpit. 5erhitungan sentroid dibagi dalam tiga kategori yang beda tergantung pada apakah bentuk benda yang dibahas dapat dibuat modelnya sebagai sebuah garis, sebuah luas atau sebuah olume. a. +aris. Untuk sebuah batang ramping atau kawat dengan panjang 9, luas pemotong melintang A, dan kerapatan 7, benda akan mendekati bentuk ruas garis, dan dam 6 7  Ad 9. -ika 7 dan A konstan sepanjang batang tersebut, maka koordinat pusat massa  juga menjadi koordinat sentroid  dari segmen garis. b. 9uas. Untuk benda umum berolume 8 dan kerapan 7, elemen memiliki massa dm 6 7 d8. 0erapan 7 akan saling menghilang jika ia konstan pada seluruh olume, dan koordinat pusat massa juga menjadi koordinat sentrod  dari benda. c. 5emilihan elemen untuk integrasi. 0esulitan utama yang sering dijumpai pada teori umumnya

tidak

terletak

pada

konsepnya

melainkan

pada

prosedur

untk

menerapkannya. Dengan adanya pusat massa dan sentroid, konsep prinsip momen menjadi cukup sederhana, kesulitan yang ada terutama terletak pada pemilihan elemen di'erensial dan pernyataan integralnya, khususnya terdapat lima pedoman untuk diperhatikan.

‘12

Mekanika Teknik   4

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

1& 4rder elemen. Apabila mungkin, elemen di'erensial order pertama lebih baik dipilih daripada order elemen yang lebih tinggi, sehingga hanya satu integrasi yang diperlukan untuk meliputi keseluruhan gambar. !& Kontituitas. Apabila mungkin, kita selalu memilih elemen yang dapat diintegrasikan dalam satu operasi kontinu untuk meliputi gambar. *& Pembuangan suku-suku berorde lebih tinggi . Sukusuku berorde lebih tinggi selalu dapat dibuang dibandingkan sukusuku berorde lebih rendah. 2& Pemilihan koordinat . Sebagai aturan umum kita memilih sistem koordinat yang paling cocok untuk batasbatas gambar. ;& Koordinat sentroid elemen. -ika mengambil elemen di'erensial orde pertama atau kedua, kita perlu memakai koordinat ke sentroid elemen untuk lengan momen dalam pernyataan momen dari elemen di'erensial. ontoh soal :

$. Benda dan Bentu% Ga&un'an -ika sebuah benda atau bentuk dapat dibagi dengan mudah menjadi beberapa bagian berbentuk sederhana, kita dapat menggunakan prinsi pmomen dimana tiap bagian tersebut diperlakukan sebagai elemen hingga dari keseluruhan. -adi untuk benda demikian digambarkan secara skematis dalam gambar di bawah ini, yang bagianbagiannya bermassa m1, m!, m* dan

‘12

Mekanika Teknik  5

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

mempunyai koordinat massa terpisah dalam arah 3 berupa 31, 3!, 3*,prinsip momen memberikan "m1 < m! < m*& = 6 m131 < m!3! < m*3*.

Gambar !. Benda dan bentuk gabungan

Dimana 3 adalah koordinat 3 dari pusat massa keseluruhan. >ubungan yang sama berlaku pula untuk dua arah koordinat yang lainnya. 0ita dapat membuatnya menjadi umum untuk benda dengan jumlah bagianbagian yang sembarang dan menyatakan jumlahnya dalam bentuk yang ringkas dan memperoleh koordinat pusat masa.  x =

∑ m x ∑m

 y =

∑ m y ∑m

 z  =

∑ m z  ∑m

>ubungan analog berlaku untuk garis luas, dan olume gabungan dimana m? diganti dengan 9?, A? dan 8?, berturutberturut. 5erlu dijelaskan bahwa jika sebuah lobang atau rongga ditinjau sebagai bagian komponen dari benda atau bentuk gabungan, maka massanya dianggap sebagai besaran negati'. Seringkali dalam praktek batasbatas luas atau olume tidak dapat dinyatakan dalam bentuk geometris sederhana atau dalam bentuk yang dapat digambarkan secara sistematis. Untuk kasus demikian kita perlu menggunakan metode pendekatan untuk menyelesaikannya. Sebagai contoh, tinjaulah soal penentuan lokasi  dari luas tak beraturan yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini. 9uas tersebut dapat dibagi menjadilajurlajur selebar @3 dan tinggi ariabel h. 9uas A dari tiap jalur berwarna, adalah h @3 dan dikalikan dengan koordinatkoordinat 3c.

‘12

Mekanika Teknik  6

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

Gambar ". Benda luas tak beraturan

Dan yc dari sentroidnya untuk memperoleh momen akibat luastersebut. -umlah momen untuk semua lajur dibagi jumlah total jalur akan menghasilkan komponen sentroid yang bersesuaian.

5engolahan

hasilhasil

yang

sistematis

memungkinkan

dilakukannya

perhitungan yang berturut dari luas total A3c dan Ayc, dan koordinat sentroid adalah :  x =

∑ Ax ∑ A

c

 y =

∑ Ay ∑ A

c

5endekatan ini akan bertambah tepat apabila lebar jalur yang digunakan semakin kecil. Umumnya tinggi ratarata dari jalur harus dihitung apabila kita melakukan pendekatan terhadap

luas.

menguntungkan,

%eskipun namun

biasanya tidak

harus

penggunaan demikian.

elemen Bahkan

yang

lebarnya

kenyataannya

konstan

kita

dapat

menggunakan elemen dengan ukuran sembarangan dan bentuk yang mendekati luas yang diberikan untuk memenuhi keakuratan. Dalam menentukan lokasi sentroid sebuah olume tak beraturan, peroalan dapat disederhanakan dengan menentukan sentroid sebuah luasan.injaulah olume yang diperlihatkan dalam gambar di bawah ini, dimana besar luas potongan melintang A terhadap arah 3 digambar terhadap 3 seperti diperlihatkan.

Gambar #. Benda $olume tak beraturan

‘12

Mekanika Teknik  7

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

9uas sebuah lajur di bawah kura adalah A @3, yang sama dengan elemen olume @8 yang bersesuaian. -adi luas di bawah olume tersebut memiliki olume benda, dan koordinat 3 terhadap sentroid luas di bawah kura tersebut diberikan oleh :  x =

∑ A(∆ x) x ∑ A∆

 z 

=

∑Vx ∑V 

c

(. Teore#a Pa))us*Guldinus eorema pappus adalah sebuah metode sederhana yang digunakan untuk menghitung luas permukaan yang dibentuk dengan memutar sebuah kura bidang terhadap sumber yang tak berpotongan pada bidang kura tersebut. a.

eorema1 : 9uas suatu permukaan putar sama dengan panjang kura pembentuk dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh titik berat kura ketika permukaan itu dibentuk, dengan catatan kura pembentuk tidak boleh memotong sumbu putarnya.

Gambar %. Teorema&1 Pappus

d9 dari garis 9 diputar terhadap sumbu =. terbentuk bidang dA 6 !Cy d9. %aka seluruh bidang yg dibentuk 9 adalah:

 A b.

=

2π  y L

eorema! 8olume benda putar 6 luas bidang pembentuk dikalikan jarak yg ditempuh titik berat ketika membentuk benda tersebut. "catatan sama di atas&.

Gambar '. Teorema&2 Pappus

8olume d8 yg dibentuk elemen dA 6 !Cy dA. -adi olume yg dibentuk A adalah 86 ʃ  !Cy dA. 0arena ʃ y dA 6 ȲA maka kita peroleh :

‘12

Mekanika Teknik  8

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

V  = 2π  y A +. Re,erensi %eriam, -.9, 9.+. 0raige, 1E, Mekanika Teknik Jilid 1: Statika (Edisi Kedua), -akarta : 5enerbit rlangga.

‘12

Mekanika Teknik  9

Fidiarta Andika ST, MT 

Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana