Gaus - Krigerova i UTM Projekcija

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

GAUS-KRÜGEROVA PROJEKCIJA 1. Opće karakteristike Gaus-Krügerove projekcije Njemački naučnik Gaus (Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1855), koji je dao opštu teoriju konformnog projektovanja, predložio je konformnu poprečnu cilindričnu projekciju. Izveo je jednačine za konformno projektovanje sa elipsoidne Zemljine površi (transformacijama geografskih koordinata φ i λ) na sfernu površinu lopte (tzv. LambertGausova projekcija) i prelaz sa sferne na ravnu površ - kartu. U suštini Gausova projekcija je poprečna Merkatorova projekcija, pa je neki (npr. Amerikanci) tako i nazivaju. Profesor postdamskom geodetskog instituta Krüger (Johannes Krüger, 1857-1923), proučavajući radove Gausa (poslije njegove smrti), a polazeći od Gausove opšte teorije konformnog projektovanja, izveo je jednačine za neposredno projektovanje sa elipsoidne na ravnu površ (bez posredstva lopte) kao i direktno preračunavanje geografskih koordinata φ i λ u pravougle koordinate x i y. Od tada se ova projekcija naziva Gaus-Krügerova projekcija. „Suština prenošenja tačaka sa sferoidne površine elipsoida na ravan u ovoj projekciji sastoji se u sračunavanju ravnih pravouglih koordinata (apscisa – x i ordinata – y) tih tačaka na osnovu njihovih geografskih koordinata. Jednačine po kojima se ovo preračunava izvedene su pod sljedećim uslovima: − Na Zemljin elipsoid zamišljeno je navučen cilindar tako da osa tog cilindra leži u ravni ekvatora, a cilindar dodiruje elipsoid po jednom meridijanu; − Tačke sa površine Zemljinog elipsoida treba da se preslikaju neposredno na površinu cilindra tako da se, nakon razvijanja cilindra u ravan, dobije konformna projekcija preslikanih tačaka, odnosno sličnost figura na elipsoidu i ravni. Mreža meridijana i paralela, sračunata po jednačinama izvedenim pod navedenim uslovima i u određenom razmjeru konstruisana na ravni, ima izgled kao na slici 1. Iz slike se vidi da se dodirni meridijan i ekvator preslikavaju kao prave međusobno upravne linije; ostali meridijani – kao krive linije simetrične u odnosu na dodirni meridijan, dok se paralele preslikavaju kao krive linije simetrične u odnosu na projekciju ekvatora. Pošto je projekcija konformna, projekcije svih meridijana sijeku projekcije svih paralela i ekvatora pod pravim uglom, kao što je to slučaj i na elipsoidu.

1   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

Slika 1.: Odnos geografske i pravougle koordinatne mreže u Gaus-Krügerovoj projekciji (priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent)

Deformacije dužina u ovoj projekciji zavise od udaljenosti tačaka koje se preslikavaju, od dodirnog meridijana, i rastu srazmjerno tom udaljenju. Zbog toga je, Gaus-Krügerova projekcija primjenjiva samo za relativno usku zonu duž dodirnog meridijana. Širina te zone zavisi od veličine deformacija koje se, s obzirom na traženu tačnost, mogu dozvoliti. U našem državnom premjeru, Gaus-Krügerova projekcija primjenjuje se pod uslovom da deformacije (greške) dužina ne budu veće od jednog desethiljaditog dijela odnosne dužine, što iznosi 1 dm na 1 km. Da bi se postigla ova tačnost, teritorija Jugoslavije projektuje se na tri cilindra koji zamišljeno dodiruju Zemljin elipsoid po meridijanima: 15°, 18° i 21° istočne geografske dužine, računajući od Griničkog meridijana kao početnog. Na taj način se formiraju 3 meridijanske zone u kojima se dodirni meridijani pojavljuju kao srednji meridijani zona. Granični meridijani ovih zona udaljeni su od srednjeg meridijana odgovarajuće zone za po 1° i 30' istočno i zapadno. Svakoj zoni je dat broj koji se dobija dijeljenjem geografske dužine srednjeg meridijana zone sa tri; prema tome brojevi zona su 5, 6 i 7. (vidi sliku 1.) Pravougle koordinate tačaka sračunavaju se u svakoj meridijanskoj zoni u odnosu na pravougli koordinatni sistem zone. Pravougli koordinatni sistem zone obrazuju projekcija srednjeg meridijana zone – kao apscisna osa (x) i projekcija ekvatora – kao ordinatna osa (y). Prema tome, za svaku meridijansku zonu postoji poseban koordinatni sistem sa koordinatnim početkom u presječnoj tački srednjeg meridijana zone i ekvatora. Uslovljeno je da apscisna osa – x ima pozitivan smjer sjeverno od koordinatnog početka, a južno – negativan, a ordinatna osa – y pozitivan smjer istočno od koordinatnog početka i zapadno – negativan. Očigledno, u takvom koordinatnom sistemu, sve tačke sjeverno od ekvatora imaju pozitivne vrijednosti apscisa, a ordinate – zavisno od toga gdje se tačka nalazi; istočno od srednjeg meridijana zone tačke, imaju pozitivne vrijednosti ordinata, a zapadno od srednjeg meridijana ordinate tačaka su negativne. Pravougle koordinate neke tačke, sračunate u Gaus-Krügerovoj 2   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

projekciji, označavaju se: apscisa (x) – udaljenje tačke od ekvatora, a ordinata (y) – udaljenje tačke od srednjeg meridijana zone, izražene u metrima. (vidi sliku 2.) Da bi se kod ordinata izbjegle njihove negativne vrijednosti, uslovljeno je da sve tačke apscisne ose pravouglog koordinatnog sistema zone imaju vrijednosti ordinata y = 500 000 m. Prema tome, sve tačke istočno od srednjeg meridijana zone imaju ordinate veće od 500 000 m, a zapadno – manje od 500 000 m. Pošto pojedine tačke mogu imati potpuno iste vrijednosti koordinata, a nalaze se u različitim zonama, da bi se znalo kojoj zoni tačka pripada, ispred podatka o ordinati ispisuje se broj odgovarajuće zone. Tako, na primjer, tačka T1 koja ima koordinate: Y = 6 572 348, 23 i X = 5 196 544, 87, nalazi se u 6. zoni istočno od srednjeg (18°) meridijana zone za 72 km 348 m i 23 cm i sjeverno od ekvatora za 5196 km 544 m 87 cm, dok se tačka T2: Y = 7 402 530, 36 i X = 4 484 312, 48 nalazi u 7. zoni zapadno od srednjeg (21°) meridijana za 97 km 469 m 64 cm (500 000 – 402 530, 36) i sjeverno od ekvatora za 4 484 km 312 m 48 cm. Gaus-Krügerova projekcija usvojena je u našoj zemlji za određivanje (sračunavanje) položaja geodetskih tačaka (tačke državne trigonomstrijske mreže i druge) i za izradu topografskih planova i karata zaključno sa razmjerom 1:300 000. Pošto su kod Gaus-Krügerove projekcije uglovne deformacije isključene uslovom same projekcije, a linijske deformacije ograničene uslovljenom širinom (3°) meridijanske zone, na topografskim kartama izrađenim u ovoj projekciji, u okviru jednog lista karte, praktično ne dolaze do izražaja greške usljed deformacija projekcije. Deformacije dolaze do izražaja tek pri pokušaju da se veći broj listova karte sastavi u jednu cjelinu; tada nastaju zazori ili preklapanja duž linija okvira listova po kojima se to spajanje vrši.“ (Prema: Gvozden R. Čolović, Vojna topografija, Vojnogeografski institut, 1969. godine)

3   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

Slika 2. Shematski prikaz Gaus-Krügerove projekcije (priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent)

2. Uslovi projiciranja ¾ Projekcija je prema karakteru deformacija konformna; ¾ Glavni (srednji) meridijan mora se preslikati kao prava i predstavljati x – osu pravouglog koordinatnog sistema u ravni, prema kojem je projekcija simetrična: ¾ Svaki dio x – ose mora biti jednak odgovarajućem dijelu luka glavnog meridijana; ¾ Ekvator (ako se uzme u obzir preslikavanje meridijanske zone duž cijelog Zemljinog elipsoida) se preslikava kao prava linija i usvaja se za y – osu pravouglog koordinatnog sistema u ravni karte; ¾ Razmjer duž srednjeg (dodirnog) meridijana jednak je 1 odnosno linearna deformacija je 0 i ne zavisi od geografske širine; ¾ Na njoj se može predstaviti čitava zona širine 3° od pola do pola, sa neznatnim deformacijama; ¾ Svaka zona projektuje se na zasebni dodirni cilindar koji dodiruje površinu Zemljina elipsoida duž srednjeg (glavnog meridijana zone); ¾ U okviru svake zone formiraju se zasebni koordinatni sistemi koga obrazuju srednji meridijani kao x – ose tj. koordinatni početak se nalazi na ekvatoru u presjeku srednjeg meridijana zone sa ekvatorom. Vrijednosti koordinata po x – osi (apscisi) se računaju od ekvatora (koordinatni početak) prema sjeveru – sa pozitivnim i prema jugu – sa negativnim predznakom. Da bi se izbjegao negativni predznak, ekvatoru se dodaje vrijednost od 10 000 km prilikom računanja koordinata po apscisi južno od ekvatora. ¾ Kartografska mreža je ortogonalna;

4   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

U pogledu deformacija dužina i površina sa udaljenjem od dodirnog meridijana (po kojem poprečni cilindar dodiruje Zemljinu površinu), Gaus-Krügerova projekcija se ponaša skoro isto kao i Merkatorova, udaljavanjem od ekvatora prema polovima. Pošto su deformacije u blizini dodirnog meridijana nepoznate (kao i u Merkatorovoj, u blizini ekvatora) to se Gaus-Krügerova projekcija koristi za izradu krupnorazmjernih i nekih srednjerazmjernih karata, i to po meridijanskim zonama od po 3 ili 6 stepeni po geografskoj dužini, s tim što se zamišlja da je svaka takva zona projektovana na poseban cilindar koji dodiruje Zemljinu površinu po srednjem meridijanu. Radi lakšeg i bržeg rješavanja nekih praktičnih zadataka, na našim topografskim kartama naknadno je nanesena pravougla (Gaus-Krügerova) koordinatna mreža i to: na kartama zaključno sa razmjerom 1:100 000 mreža je nanesena po meridijanskim zonama od po 3°, a na karti 1:200 000 od po 6° (srednji meridijani 6-stepenskih zona naše državne teritorije su 15-ti i 21-vi meridijan). Gaus-Krügerovu koordinatnu mrežu na ovim kartama obrazuju linije apcisa i ordinata koje imaju vrijednosti okruglih brojeva kilometara. Tako npr., na karti 1:200 000 linije mreže su povučene na svakih 10 km; na karti 1:100 000 na 5 km; na karti 1:50 000 na svakih 2 km; a na karti 1:25 000 na svakih kilometar. Brojne oznake vrijednosti linija mreže date su pored okvirnih linija karte. Gaus-Krügerova koordinatna meža koja je ustvari mreža kvadrata, često se naziva i kvadratnom ili kilometarskom mrežom. Osim za vojne potrebe, ona može poslužiti za određivanje površina i rastojanja na karti, jer dužina stranice kvadrata svake mreže uvijek odgovara dužini određenog broja kilometara u prirodi. Gaus-Krügerovu projekciju, zbog konformnosti i praktičnosti, danas koristi većina država u svijetu za izradu topografskih karata.“1 3. Pravougla koordinatna mreža Rješavanje praktičnih zadataka na osnovu geografske koordinatne mreže veoma je otežano na karti, jer istim stepenskim vrijednostima meridijana i paralela, promjenom položaja radne tačke, odgovaraju različite vrijednosti njihovih dužina u linijskoj mjeri. Osim toga, projekcije meridijana i paralela se na kartama obično ne sjeku pod pravim uglovima, što još više komplikuje računske operacije sa geografskim koordinatama. To su i razlozi zbog kojih se geografska mreža na topografskim kartama po pravilu ne nanosi unutar okvira lista, već samo naznačava između unutarnjeg i spoljnjeg okvira. Da bi se uprostio rad sa kartom, na sve vojnotopografske karte se, pored osnovne kartografske mreže, nanosi i pravougla mreža. Svi zadaci po toj mreži rješavaju se sa lakoćom koja je svojstvena pravouglom koordinatnom sistemu u ravni.

                                                             1

N.Pavišić, Osnovi kartografije, Obod Cetinej, 1976. godine, str. 54-57

5   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

Pravougla mreža na topografskim kartama omogućuje: 1. jednostavnost određivanja pravouglih koordinata svake tačke na karti, u granicama grafičke tačnosti; 2. jednostavnost nanošenja na kartu svake tačke na osnovu datih pravouglih koordinata; 3. lahku i jednoznačnu identifikaciju tačaka i površina, kao i uprošćeno računanje direkcionih uglova (pravouglih azimuta); 4. uprošćeno ocjenjivanje i mjerenje rastojanja na karti, jer pravougla mreža predstavlja pogodan razmjerni oslonac unutar površine lista karte. Sistemi pravougle mreže i projekcije mogu biti isti, što je najbolje rješenje, ili mreža može biti zasnovana na sistemu nevezanom sa projekcijom u kojoj je karta izrađena. Kod nas se na karte izrađene u Gaus-Krügerovoj projekciji nanosi pravougla mreža u GausKrügerovom sistemu koordinata. Mreža se po pravilu nanosi na karte zaključno sa razmjerom 1:200 000 (1:250 000). Međusobna odstojanja apscisnih i ordinatnih linija mreže obično iznose (vidjeti tabelu 1.) Tabela 1.: Osnovni parametri pravougle koordinatne mreže u Gaus-Krügerovoj projekciji

Razmjer TK 1:25 000 1:50 000 1:100 000 1:200 000

Dimenzije polja pravougle mreže u cm 4 cm 2 ili 4 cm 2 cm 5 cm

Površina 1 km2 16 cm2 4 ili 16 cm2 1 cm2 0, 5 cm2

1 list pokriva površinu 139 km2 555 km2 2220 km2 8880 km2

Izvor: N. Pavišić, Osnovi kartografije, Obod Cetinje, 1976. godine i R. Nježić, Priručnik za topografiju, Sarajevo 1994. godine.

Pravougla mreža se po pravilu konstruiše istovremeno sa osnovnom kartografskom mrežom, na osnovu pravouglih koordinata tjemena okvira. Orjentacija pravougle u odnosu na kartografsku mrežu, tj. u odnosu na okvir lista karte, zavisi od geografskog položaja lista u okviru jedne Gaus-Krügerove zone. Ugao zakošenja tih dvaju mreža odgovara uglu zbližavanja meridijana. Pravac zakošenja zavisi od toga da li se list karte nalazi istočno ili zapadno od srednjeg meridijana dotične zone. Literatura: 1. Peterca Miroslav i ostali, Kartografija, Vojnogeografski institut, Beograd, 1974. godine; 2. N. Pavišić, Osnovi kartografije, Obod Cetinje, 1976. godine; 3. G. Čolović, Vojna topografija, Vojnogeografski institut, Beograd, 1969. godine. 4. R. Nježić, Priručnik za topografiju, Sarajevo 1994. godine.

6   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

UTM koordinatna mreža (Sistem obilježavanja površina i tačaka) Cilj sistema obilježavanja površina i tačaka je da omogući jednoznačno obilježavanje ma koje površine ili tačke na cijeloj Zemlji, isključujući svako opisno objašnjavanje gdje se ta tačka nalazi. Ovaj sistem identifikacije mreže predstavlja standard koji se primjenjuje na svim vojnim kartama članica NATO – pakta. Sistem sadrži tri stepena obilježavanja. Prvi i drugi stepen označavaju površine, a treći položaj tačaka unutar tih površina. U prvom stepenu obilježavanja, Zemljina površina između 80° N i 80° S je merdijanima i paralelama podjeljena na redove i kolone. Uzastopna rastojanja merdijana iznose 6°, a uzastopna rastojanja paralela 8°. Kolone se obilježavaju arapskim brojevima od 1 do 60 , a redovi velikim slovima Abecede, počev od C do zaključno X, pri čemu su slova I i O ispuštena. Slova A, B, Y, Z su rezervisana za obilježavanje sjevernog i južnog polarnog prostora. Svaka tako ograničena površina naziva se zonom (Grid Zone Designation). Svaka zona se obilježava oznakom kolone i reda. Tako bi zona koja obuhvata dio naše teritorije nosila oznaku 33 T. Ovaj stepen obilježavanja se koristi samo kad se želi definisati prostor u okviru svjetskih relacija; u lokalnom obilježavanju, on se obično izostavlja. (vidjeti slike 3. i 4.) U drugom stepenu obilježavanja, svaka zona se dijeli na kvadratne površine sa stranama od 100 km (100 000 meter square identification). (vidi sliku 5.) Kvadrati se baziraju na UTM - pravougloj mreži. Početak kvadriranja poklapa se sa koordinatnim početkom svake UTM-zone. Počev od 180° merdijana, idući istočno duž Ekvatora u intervalima od po 18°, kolone kvadrata obilježavaju se slovima od A do Z (slova I i O su izostavljena). Obilježavanje redova u neparnim zonama počinje od juga prema sjeveru slovima A do V ( slova I i O su izostavljena ). Abeceda se ponavlja svakih 2 000 000 metara. U parno obilježenim zonama, redovi se počinju obilježavati abecednim redom počev od apscisne linije mreže sa vrijednošću 500 000 metara, i to isto tako od juga prema sjeveru. Broj kvadrata sa stranama od 100 km nije isti u svim zonama. Dok je broj redova isti na svim širinama, broj kolona se smanjuje povećavanjem geografske širine. Tako na 80 paraleli ostaju samo dvije kolone. S obzirom na to što UTM obuhvata cijelu Zemljinu površinu, ovako obilježavanje ne može se smatrati savršenim. Dok je kod obilježavanja zona identifikovanje jednostavno, to nije slučaj i sa obilježavanjem kvadrata. Zato se izdaju posebni registri u vidu skica pojedinih geografskih regiona, u kojima je podjela na kvadrate sa stranama od 100 km sa svojim oznakama. Na preglednim skicama je dat i podatak na kom sferoidu je dotična teritorija izračunata.

7   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

Slika 3.: Prvi stepen UTM obilježavanja, podjela na listove i njihova nomenklatura 8   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

Slika 4.: Prvi stepen UTM obilježavanja za prostor Europe

Treći stepen obilježavanja određuje položaj tačke pravouglim koordinatama sa željenom tačnošću. Sistem se sastoji iz uzastopnog redanja slova i brojeva, bez tačaka, zareza, crtica ili decimala.

Slika 5.: 100 000 m UTM/MGRS (Military grid reference system)

9   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

Određivanje UTM koordinata

Stojimo na putu na mjestu označenom zvijezdom na topografskoj karti i na GPS uređaju očitavamo položaj izražen u UTM koordinatama:

10 S 0559741 4282182 10 S predstavlja zonu u kojoj se nalazite. Zone su neophodne da bi koordinate bile jednoobrazne za cijeli svijet. Brojevi 0559741 predstavljaju mjerenje pozicije u smjeru istok – zapad, unutar zone, u metrima. To se naziva “easting” (u pravcu istoka). Brojevi 4282182, predstavljaju mjerenje pozicije u smjeru sjever – jug, unutar zone, u metrima. To se naziva “northing” (u pravcu sjevera). Na kartama koje imaju UTM (Universal Transverse Mercator) nanešenu koordinatnu mrežu, rastojanje između linija koordinatne mreže je na svkih 1000 m. vertikalna linija unutar

10   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

koordinatne mreže određuje poziciju u smjeru istok – zapad dok horizontalna linija koordinatne mreže određuje poziciju u smjeru sjever – jug. Pogledajte duž donje ivice karte na natpisima za vertiklane linije koordinatne mreže. 559 and 560000 mE. Natpis 560000 mE., se čita “petsto šezdeset hiljada metara istočno”. Natpis 559, je skraćenica za 559000 mE. Dvije susjedne linije koordinatne mreže su udaljene 1000 m. Horizontalna linija ja označena na sličan način. 4281000N se čita “četri miliona dvjesto osamdeset jedna hiljada metara sjeverno”, a odnosi se na udaljenost sjeverno od ekvatora.

Većina aktivnosti oko navigacije na kopnu fokusirana je na veoma male dijelove planete. Na GPS uređaju možemo očitati (isti položaj kao u prethodnom primjeru):

10 S 0559741 4282182 Zona10 S 559741 mE. 4282182 mN. Skraćeni format za iste coordinate bi mogao izgledati ovako, gdje su pojedinačno prikazana značenja pojedinih brojeva koordinata. 59 82 597 821 5974 8218 59741 82182

Opisuje 1000 m x 1000 m kvadrat. Opisuje 100 m x 100 m kvadrat. Opisuje 10 m x 10 m kvadrat. Opisuje 1 m x 1 m kvadrat.

Najčešće se u praksi koriste skraćeni oblik za 100 m, 597 821, I skraćeni oblik za 10 m, 5974 8218. Primjećujete da se prvo piše koordinata “easting” (u pravcu istoka) a nakon nje “northing” (u pravcu sjevera). Zapamtite izraz “čitaj desno gore” što pomaže da zapamtite da čitate “easting” sa desna na lijevo, a nakon toga “northing” odozdo prema gore.

11   

Priredio: mr.sc. Edin Hadžimustafić, viši asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

 

Primjer prikazan na sljedećoj karti locira sa preciznošću od 100 m. Vrijednosti 10,000 m i 1,000 m koordinata su očitane na karti. Prema tome koordinate 59 82 lociraju položaj zvijezde unutar 1,000 metara kvadratnih. Pomoću koordinatomjera je određena preciznost određivanja položaja zvijezde do 100 m što se piše na sljedeći način 597 821.    

 

12