G27101

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Matemática I Guía Didáctica

1 CICLO

DATOS DE IDENTIFICACIÓN: MENCIÓN ELABORADA POR PROFESOR(A) TELÉFONO

: : : :

Físico - Matemáticas Dra. Sonia María Coronel Ing. Greyson Alberca Prieto (07) 2 570 275 Ext. 2653

E-MAIL TUTORÍA

: :

[email protected] Martes y Jueves de 08h00 a 10h00

Estimado Estudiante, dígnese confirmar la información aqui señalada llamando al Call Center 072588730, línea gratuita 1800 887588 o al mail [email protected]

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OCUTRE 2007 - FEBRERO 2008 MATERIAL DE USO DIDÁCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA, PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

MATEMÁTICA I Guía Didáctica

Sonia María Coronel © 2007, UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Diagramación, diseño e impresión: EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593-7-2588730, Fax: 593-7-2585977 C.P: 11-01-608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja - Ecuador Primera edición Segunda Reimpresión ISBN-978-9978-09-678-9 Derechos de Autor.: 024204 Reservados todos los derechos conforme a la ley. No está permitida la reproducción total o parcial de esta guía, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Julio, 2007

ÍNDICE INTRODUCCIÓN .................................................................................................. OBJETIVOS GENERALES ................................................................................... BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... ORIENTACIONES GENERALES PARA EL ESTUDIO ................................

5 6 6 8

PRIMER BIMESTRE OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................... 11 CONTENIDOS ..................................................................................................... 12 DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ............................................................. 13 CAPÍTULO 1: FRACCIONES ............................................................................. 13 CAPÍTULO 2: EXPONENTES Y RADICALES ................................................ 35

SEGUNDO BIMESTRE OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................... 47 CONTENIDOS: .................................................................................................... 48 DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ............................................................. 49 CAPÍTULO 3: ECUACIONES LINEALES ....................................................... 49 CAPÍTULO 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ........................... 63 CAPÍTULO 5: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS .................................................... 68 GLOSARIO .......................................................................................................... 102 ANEXOS ............................................................................................................... 103

u

EVALUACIONES A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

INTRODUCCIÓN La escala de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números. Blavasky

La matemática es una de las ciencias más antiguas, al igual que la Filosofía. Los conocimientos matemáticos fueron adquiridos por los hombres ya en las primeras etapas del desarrollo bajo su propia influencia e incluso de la más imperfecta actividad productiva. A medida que se iba perfeccionando esta actividad, cambió y creció el conjunto de factores que influían en el desarrollo de la matemática. La matemática es una parte en la que se basa y se desarrolla el que hacer educativo, social, político y económico de los pueblos. Ninguna actividad humana puede prescindir de sus conocimientos. El campo de aplicación de la matemática se amplía constantemente. A esta ampliación no es posible ponerle un límite. EL crecimiento de las aplicaciones es una de las evidencias de la existencia y fortalecimiento de las relaciones de las matemáticas con otras ciencias. La matemática no solo se desarrolla bajo la acción de otras ciencias. Ellas a su vez, introducen en otras ciencias los métodos matemáticos de investigación. Esto a dado lugar a que algunos científicos llamen a la matemática «La reina y servidora de todas las ciencias» Esta asignatura que se caracteriza por la abstracción y el razonamiento. Cumple funciones como la de ser formadora, por cuanto contribuye a la transformación de la persona, no solo científicamente sino moralmente, es interdisciplinaria por cuanto se correlaciona con otras ciencias con el fin de dar solución a los diferentes problemas y práctica, porque hace que el hombre se desenvuelva por si solo en la vida, transformándose en un ente útil a la sociedad. Respecto a los contenidos de Matemática 1 de la especialidad de FIMA, estos están orientados al logro de las categorías más elevadas (análisis, síntesis y evaluación), donde usted tendrá la oportunidad de buscar la funcionalidad de los contenidos adquiridos en años anteriores, identificarse con su propio ser como persona y un ente capaz de .. , guiarse por sí solo y tomar conciencia del compromiso que tiene para usted misma, con su familia y con la sociedad en general. Para este logro se han considerado algunos contenidos, a saber:

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Guía Didáctica: Matemática I

ÿ

CAPÍTULO I

Fracciones

ÿ

CAPÍTULO II

Exponentes y Radicales

ÿ

CAPÍTULO III

Ecuaciones lineales

ÿ

CAPÍTULO IV

Sistemas de ecuaciones lineales

ÿ

CAPÍTULO V

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

OBJETIVOS GENERALES •

Desarrollar ha bilidades y destrezas para plantear soluciones en el proceso operativo de las fracciones, ecuaciones lineales y cuadráticas.

•

Aplicar definiciones, reglas y leyes en el desarrollo de ejercicios y problemas

•

Resolver ejercicios de Operaciones con fracciones, exponentes y radicales.

•

Comprender la parte teórica de las ecuaciones y aplicarla en el desarrollo de las mismas.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA REES PaúI K, SPARKS Fred. W. REES Charles S. SPARKS ( 1997), Álgebra, México. D.F. Décima edición Se ha creído conveniente tomar este texto como libro básico para la asignatura de Matemática I de la carrera de Físico - Matemática por estar sus contenidos desarrollados en forma ordenada y sistemática capaz que el alumno comprenda sin ninguna dificultad. En cada capítulo existen algunos ejercicios tipos resueltos con su respectiva indicación. Destaca una definición, ley o resultado en recuadros con fondo de color gris, de tal manera que el estudiante identifique rápidamente y le sirva de ayuda en su estudio.

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Guía Didáctica: Matemática I

Al final de cada capítulo presenta gran cantidad de ejercicios propuestos, como también un resumen. El mismo que contiene una lista de palabras y términos básicos y una compilación de todas las fórmulas vistas en el mismo.

COMPLEMENTARIA GOZÁLES y Mancill, (Algunas ediciones) Álgebra Elemental Moderna, Buenos Aires - Argentina, Editorial Kapelusz. Es un libro sencillo lo suficientemente claro para que sea utilizado por un alumno de la Modalidad Abierta, dispone de una gran cantidad de ejercicios resueltos y propuestos lo que permite la comprensión de sus contenidos. SPIEGEL Murray R. (1997), Álgebra Superior, Colección Schaum’s, México, Editorial McGRAW-HILL. Primera edición. Es un libro bastante sencillo, aporta con conceptos muy importantes en las ecuaciones en general y en los sistemas de ecuaciones; servirá de apoyo al estudiante porque contiene una variedad de ejercicios resueltos y propuestos. SWOKOWSKI Earl W., COLE Jeffery A. (1996), Álgebra y Trigonometría, México. Grupo Editorial Iberoamérica. Tercera edición. Es un libro útil para abordar la mayoría de los temas a tratar en esta guía, tales como: sistemas de ecuaciones, ecuaciones de primero y de segundo grado.

Otras fuentes de información. Otra fuente muy importante y necesaria es el Internet. A continuación se indican algunas direcciones de interés para esta asignatura. •

http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/algeb03.htm

•

http://www.cnice.mecd.es/Descartes /3 eso/Fracciones decimales porcentajes / Fracciones 1.htm

•

www.galeon.com/studentstar/expyrad02.htm

•

www.cnice.mecd.es/Descartes/4b eso/Sistemas ecuaClOnes lineales grafica algebraica/sis-ecu .htm

•

http://soko.com.ar/matem/matematica/Ecuaciones.htm

•

http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra/ecuaciones.htm

•

http://luda.azc. uam. mx/curso2 /tema3 /sistemli.html

•

http://personal5.iddeo.es /ztt /index.htm

•

www.lalupa3.iespana.es/lalupa3/matematicas/mateI.htm

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ORIENTACIONES GENERALES

¿Cómo proceder a realizar el estudio de la asignatura? Estimado alumno(a) El éxito o fracaso de una clase depende del profesor, figura principal en el aula, por lo que debemos tener presente los métodos, técnicas, procedimientos, recursos didácticos, formas de evaluar etc. elementos que nos sirven para mantener el equilibrio necesario en el proceso enseñanza - aprendizaje, evitando la rutina, monotonía y el cansancio de los alumnos, pero esto se cumpliría en una clase presencial, al hablar de estudiantes del Sistema de Estudios a Distancia esto sería diferente, el proceso que se sigue es tener una « charla didáctica guiada» a través de algunos documentos autoinstruccionales, por vía telefónica o por correo electrónico que le ayudarán en su estudio. Esta guía didáctica constituye un curso de Matemática I. Supone el conocimiento por parte del alumno del Tecnicismo Algebraico, Expresiones Algebraicas y la Descomposición de Factores. Para que su trabajo intelectual sea más eficiente le doy algunas pautas referencia les que son de vital importancia para el estudio de Matemática I. ÿ

Lea detenidamente la parte teórica de cada tema, luego subraye las ideas principales y por último revise las fórmulas y gráficos de los ejercicios y problemas resueltos.

ÿ

Si resuelve los ejercicios propuestos le servirá como comprobación de que ha entendido el tema, si no puede resolver se puede decir que no esta comprendida la parte teórica y por lo tanto debe volver a revisar.

ÿ

Para resolver problemas (donde se requiera) es aconsejable que realice un gráfico con las condiciones del mismo, esto constituye una ayuda muy eficaz para su resolución.

ÿ

Trate de organizar su tiempo para estudiar, presentarse a sus pruebas presenciales y compartir la responsabilidad de su tra bajo en caso de tenerlo y su hogar.

ÿ

Dedique por lo menos una hora diaria en la revisión de la materia, especialmente en la resolución de ejercicios.

ÿ

Las dificultades más notorias por lo general se presentan en el desarrollo de los ejercicios, por lo que se aconseja: •

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Tener cuidado en los ejercicios al trascribirlos (números y signos).

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•

Aplicar correctamente las leyes de los signos.

•

Seleccionar el método adecuado en la descomposición de factores.

ÿ

Como herramientas de apoyo puede utilizar la bibliografía básica y complementaria, y los anexos que constituyen tablas de resumen para ayudarle en su estudio. Además materiales tales como: calculadora, escuadras, lápiz, borrador, etc.

ÿ

Al final de la presente guía encontrará los trabajos a distancia para cada bimestre, los mismos que constan de dos partes, una parte objetiva que tiene un valor de dos puntos y una parte de ensayo con una calificación de 4 puntos.

ÿ

A continuación se presenta una explicación más detallada de algunos contenidos con sus respectivos ejercicios desarrollados

Señor estudiante le recordamos que al finalizar cada unidad existe una variedad de ejercicios propuestos que puede desarrollarlos para reforzar sus conocimientos teóricos y de esta manera estar preparado para presentarse a las evaluaciones presenciales. Si hay dificultad en la comprensión de algún tema o desarrollo de algún ejercicio tipo, recurra al asesoramiento metodológico que le brinda su profesora de la universidad en el horario señalado anteriormente.

SíMBOLOGÍA QUE SE UTILIZA EN ESTA GUíA ⇉ → ⇇ ↔ =

Entonces.

≠

Es diferente a.

∴

Por lo tanto .

Si Y solo si. Es igual a.

Ejercicios propuestos Ejercicios resueltos. N

Atención.

E

Importante.

—

Nota clave.

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P

R II M ME ER R R B IMESTRE BIMESTRE OBJETIVOS ESPECÍFICOS

•

Realizar un producto y división de fracciones.

•

Realizar una adición y sustracciones de fracciones.

•

Simplificar fracciones complejas

•

Aplicar las leyes de los exponentes en el desarrollo de ejercicios prácticos.

•

Desarrollar ejercicios con radicales, aplicando sus leyes.

•

Simplificar y racionalizar ejercicios con radicales.

•

Operar con radicales.

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CONTENIDOS

CAPÍTULO 1: FRACCIONES 1.1.

Definición

1.2.

Simplificación de fracciones

1.3.

Reducción de fracciones algebraicas al mínimo comÚn denominador

1.4.

Operaciones con fracciones

1.5.

Fracciones Complejas

CAPÍTULO 2: EXPONENTES Y RADICALES

12

2.1.

Definición del exponente

2.2.

Leyes fundamentales de los exponentes

2.3.

Leyes generales para exponentes enteros y fraccionarios

2.4.

Radicales.- estructura de un radical

2.5.

Leyes de los radicales

2.6.

Racionalización de denominadores

2.7.

Simplificación de radicales

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DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

CAPÍTULO 1 FRACCIONES

1.1. DEFINICIÓN Una fracción algebraica es una expresión que se puede escribir como cociente de dos números o de dos polinomios. Esta formada por dos partes: el numerador y el denominador. Por ejemplo: F

4 2x + 1 , 5 x2 + 5

Tres signos están asociados a una fracción, el del numerador, el del denominador y el de la fracción. Signo del numerador

Signo de la fracción

−

-a -b

Signo del denominador

Ejemplo:

F

-a a a =- = b b -b

El valor de una fracción no se altera si se multiplican, o dividen, el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre que esta sea diferente de cero. Con esto se obtiene fracciones equivalentes; es decir, dos fracciones son equivalentes si después de amplificar o simplificar las fracciones se obtienen dos fracciones iguales.

1.2. SIMPLIFICACiÓN DE FRACCIONES Una fracción se dice que esta reducida a su más simple expresión cuando el numerador y el denominador son primos entre si, esto es, cuando no tienen factor común alguno, sólo la unidad.

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Simplificar una fracción algebraica es dividir su numerador y su denominador por un mismo fador común. Cuando, por sucesivas simplificaciones, resultan el numerador y denominador primos entre si, la fracción se dice que esta reducida a su más simple expresión. Así en la fracción

5x(a+b)3 x 2 (a + b)2

en el numerador y denominador tiene factores comunes

como son (x) y (a+b), simplificando tenemos; 5(a+b)/x. En éste ejemplo, los fadores comunes fueron evidentes porque las expresiones algebraicas del numerdor y denominador esta ban ya fadoradas. Cuando esto no ocurre es necesario fadorar antes de simplificar. 1.

Simplificar las siguientes fracciones:

x2 y 2 3

x y F

3

=

1 xy

Cuando al simplificar desaparecen todos los fa dores del numerador queda la unidad, ésta no puede suprimirse. En cambio si desaparecen todos los fa dores del denominador y queda la unidad, ésta puede suprimirse y el resultado es una expresión entera. 2ax + 4bx , factorando el numerador y el denominador tenemos: 3ay + 6by

2.

2x(a + 2b) 3y(a + 2b) F

, simplificando, (a + 2b), se tiene 2x 3y

Cuando los poligonos no pueden factorarse facilmente, se aplica las divisiones sucesivas.

TAREA DE REFUERZO No. 1

Simplifique a su más simple expresión. 6 2 1. 30x y 45a3 x 4 z 3

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2.

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a3 + 1 a 4 − a3 + a − 1

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3.

x 2 − 2x − 3 x−3

4.

x 3 − 4x 2 − 21x

5.

x 3 − 9x

x 3 + 3x 2 − 4 x 3 + 2x 2 − 8x − 12

VERIFIQUE SUS RESPUESTAS 2X 2Y 2 , 3a3 z 3

1.

2.

1 , a−1

3. x + 1 ,

4.

x −7 , x−3

5.

x −1 x−3

1.3. REDUCCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS AL MÍNIMO COMUN DENOMINADOR La operación de reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador (m.c.d) consiste en convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible. Para realizar la operación debemos seguir los siguientes pasos: 1.

Se simplifican las fracciones hasta hacerlas irreducibles.

2.

Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores. Este m.c.m será el denominador común.

3.

Para hallar los nuevos numeradores se divide el m.c.m de los denominadores entre cada denominador; y el cociente se multiplica por el numerador respectivo.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

Reducir al mínimo común denominador

a 6x

2

;

b c ; 8x 3xy

Solución: a. Hallamos el m.c.m de los denominadores: 6x2, 8x y 3xy 6x2; 8x; 3xy = 24x2y es el m.c.m. b.

Dividimos el m.c.m entre cada uno de los denominadores y a cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador. -

24x2 ÷ 6x2 = 4y 4y . a = 4ay; por lo que

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a 6x

2

=

4ay 24x 2 y

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-

24x2 y 8x = 3xy 3xy . bx = 3bx2y; por lo que

-

24x2y 3xy = 8x 8x . c = 8xc; por lo que

c.

bx 3bx 2 y = 8x 24x 2 y

c 8cx = 3xy 24x 2 y

Las fracciones reducidas al mínimo común denominador serán: 4ay 2

;

3bx 2 y

8cx

;

24x y 24x y 24x 2 y 2.

2

Reducir al mínimo común denominador

a+b 2

;

a−b 2

;

b 2

a − 9 a − 6a + 9 a − 2a − 15

Solución: a:

Hallamos el mcm de los denominadores, aplicando la descomposición factorial puesto que son polinomios: a2-9 = (a+3)(a-3) a - 6a + 9 = (a - 3)2 a2 - 2a - 15 = (a - 5)(a + 3) m.c.m. = (a + 3)(a - 3)2(a - 5) 2

b:

Dividimos el m.c.m entre cada uno de los denominadores y a cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador. *

(a + 3)(a − 3)2 (a − 5) = (a − 3)(a − 5) (a + 3)(a − 3) (a − 3)(a − 5).(a + b) = (a − 3)(a − 5)(a + b) por lo que:

*

a+b 2

a −9

(a + 3)(a − 3)2 (a − 5) (a − 3)2

=

(a − 3)(a − 5)(a + b) (a + 3)(a − 3)2 (a − 5)

= (a + 3)(a − 5)

(a + 3)(a − 5).(a − b) = (a + 3)(a − 5)(a − b) por lo que:

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a−b 2

a − 6a + 9

=

(a + 3)(a − 5)(a − b) (a + 3)(a − 3)2 (a − 5)

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*

(a + 3)(a − 3)2 (a − 5) = (a − 3)2 (a − 5)(a + 3) (a − 3)2 .b = b(a − 3)2 por lo que:

c.

b a2 − 2a − 15

=

b(a − 3)2 (a + 3)(a − 3)2 (a − 5)

Las fracciones reducidas al mínimo común denominador serán: b(a − 3)2 (a − 3)(a − 5)(a + b) (a + 3)(a − 5)(a − b) ; ; (a + 3)(a − 3)2 (a − 5) (a + 3)(a − 3)2 (a − 5) (a + 3)(a − 3)2 (a − 5)

3. Reducir al mcd:

x 2 − 6x + 9

7a x + 2x − 15 6a(x − 25) 7ax − 35a 2

;

12ax + 6a 2

;

Solución: a. Aplicamos la descomposición factorial a numeradores y denominadores de cada fracción y simplificamos en lo posible. 1 º fracción:

2º fracción:

3º fracción:

x 2 − 6x + 9 x 2 + 2x − 15 12ax + 6a 2

6a(x − 25)

=

=

(x − 3)2 x−3 = (x + 5)(x − 3) x + 5

6a(2x + 1) 2x + 1 = 6a(x + 5)(x − 5) (x + 5)(x − 5)

7a 1 7a = = 7ax − 35a 7a(x − 5) x − 5

b.

Buscamos el mcd de los denominadores descompuestos en factores y simplificados: (x+5); (x+5)(x-5); (x-5) m.c.d = (x+5)(x-5)

c.

Dividimos el mcd entre cada uno de los denominadores; y al cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador. *

(x + 5)(x − 5) =x−5 x+5 (x − 5).(x − 3)2 = (x − 5)(x − 3)2

Por lo que:

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x 2 − 6x + 9 2

x + 2x − 5

=

(x − 5)(x − 3) (x + 5)(x − 5)

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*

(x + 5)(x − 5) =1 (x + 5)(x − 5) 1.(2x + 1) = (2x + 1)

Por lo que:

*

12ax + 6a 2

6a(x − 25)

=

2x + 1 (x + 5)(x − 5)

(x + 5)(x − 5) =x+5 x−5 (x + 5).1 = x + 5

Por lo que: d:

x+5 7a = 7ax − 35a (x + 5)(x − 5)

Las fracciones reducidas al mcd serán: 2x + 1 x+5 (x − 5)(x − 3) ; ; (x + 5)(x − 5) (x + 5)(x − 5) (x + 5)(x − 5)

TAREA DE REFUERZO No. 2

1.

Reducir al m.c.d. las fracciones siguientes 1.1

2a 5x

1.2

1.3

3

7y 6x

2

;

;

1 2x

6

;

5a 10x

1 5x ; 9xy 12y 3

x +1 5(x + 1) 5 ; 2 ; x − 1 x − 2x + 1 (x − 1)3 1

1.4 2

;

1 2

x − 7x + 12 x − 5x + 4

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1.5

a2 − b 2 a2 + b 2 a 4 + b 4 ; ; a2 + b 2 a2 − b 2 a 4 − b 4

1.4. OPERACIONES CON FRACCIONES 1.4.1. SUMA O ADICION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para sumar expresiones algebraicas racionales se procede igual que en aritmética, o sea: 1.

Se halla el mcd de los denominadores.

2.

Se divide el mcd entre los denominadores de cada fracción y se multiplica por su numerador respectivo.

3.

Se reducen los términos del numerador y se simplifica la fracción, si es posible.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

2 Sumar: 3 + 3a + a − 6 5a 10 10a

Solución: a:

El mcd de: 5a, 10 y 10a es 10a.

b:

Dividimos el mcd entre cada uno de los denominadores y estos cocientes obtenidos los multiplicamos por los numeradores respectivos. * *

*

10a =2 5a 10a =a 10

a.3a = 3a2 1.(a2 − 6) = a2 − 6

10a =1 10a

Por lo que:

c:

2.3 = 6

3 3a a2 − 6 6 + 3a2 + a2 − 6 4a2 + + = = 10a 5a 10 10a 10a

2 Simplificando la fracción resultante 4a = 2a es la suma. 10a 5

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2.

2x 5x = 2 x−3 x −9

Sumar:

Solución: a: Se halla el mcd de x-3 y x2-9 x - 3 = x-3 x2 - 9 = (x+3)(x-3) mcd = (x+3)(x-3) b:

c:

Dividimos el mcd entre cada uno de los denominadores y estos cocientes obtenidos los multiplicamos por los numeradores respectivos. 2x 5x(x + 3) + 2x 5x 2 + 15x + 2x 5x 2 + 17x Por lo que: 5x + = = = x − 3 (x + 3)(x − 3) (x + 3)(x − 3) (x + 3)(x − 3) (x + 3)(x − 3) La última fracción no es posible simplificada, por lo tanto: 5x 2 + 17x x2 − 9

3.

es la suma

5

Sumar:

2

x − 11x + 24

+

x+8 2

x − 64

+

x 2

x − 6x + 9

Solución: a:

Al analizar los denominadores vemos que los mismos pueden descomponerse en factores, procedemos a realizar. *

*

*

5 2

x − 11x + 24 x+8 2

x − 64

=

5 (x − 8)(x − 3)

x+8 1 = (x + 8)(x − 8) x − 8

x 2

=

x − 6x + 9

=

x (x − 3)2

b:

El mcd de: (x-8)(x-3); (x-8); (X-3)2 es: (x-8)(x-3)2

c:

Dividimos el mcd entre el denominador descompuesto de cada fracción y su cociente lo multiplicamos por el numerador respectivo.

5x − 15 + x 2 − 6x + 9 + x 2 − 8x (x − 8)(x − 3)2

20

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=

2x 2 − 9x − 6 (x − 8)(x − 3)2

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5x − 15 + x 2 − 6x + 9 + x 2 − 8x (x − 8)(x − 3)2

d:

=

2x 2 − 9x − 6 (x − 8)(x − 3)2

La última fracción no es posible simplificada, por tanto: =

2x 2 − 9x − 6

es la suma.

(x − 8)(x − 3)2

TAREA DE REFUERZO No. 5

1.

Sumar: 1.1

5

+

4

3a b

12 8a2b 5

1.2

a + 5 5a + 3b 6 + + 2 2 2ab ab ab

1.3

2 6 + a+3 a− 4

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

x−y x+y

+

1 x6 − y6

x+y

+

x−y

+

4xy 2

x − y2

x6 y 12 − x 12

y 3 2 + + 2 y y+2 y +4 x 2

x − 2x + 1

+

1 3 + x −1 x −1

3s − 6 4s 2 + 12s − 16

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

+

2s − 5 6s 2 − 6

+

3s 2 + 3 8s 2 + 40s + 32

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21

Guía Didáctica: Matemática I

1.4.2. RESTA O SUSTRACCÍÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para restar expresiones algebraicas racionales se procede igual que en aritmética, o sea: 1.

Se simplifican las fracciones cuando es posible.

2.

Se halla el mcd de los denominadores.

3.

Se divide el mcd entre los denominadores de cada fracción y se multiplica por su numerador respectivo.

4.

Se restan los numeradores y se simplifica la fracción si es posible.

EJERCICIOS DESARROLLADOS 1.

Calcule y simplifique la siguiente diferencia. 5 4 − a b Solución: a:

El mcd de a y b es ab.

b:

Dividimos el mcd entre cada denominador y su cociente lo multiplicamos por el numerador respectivo. *

ab =b ; a

b.5 = 5b

*

ab = a; a

a.4 = 4a

Por lo que:

c:

La última fracción

2.

De

5b − 4a es la diferencia ab

a + 2b Restar 4ab2 − 3 3a 6a2b Solución: a:

22

5 4 5b − 4a − = a b ab

De: constituye el minuendo y Restar: el substraendo. La operación queda planteada de la siguiente forma:

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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

a + 2b 4ab 2 − 3 − 3a 6a2b b:

El mcd de 3a y 6a2b es 6a2b, por lo que:

c:

a + 2b 4ab 2 − 3 2ab(a + 2b) − 1(4ab 2 − 3) − = = 3a 6a2b 6a2b 2a2b + 4ab 2 − 4ab 2 + 3 6a2b

d:

3.

=

2a2b + 3 6a2b

2 La última fracción 2a b + 3 es la diferencia. 6a2b

a+3

Re star

2

a + a − 12

De

a− 4 2

a − 6a + 9

Solución: a:

Planteamos la operación escribiendo primero la fracción precedida de la palabra De; a continuación la fracción precedida por la palabra Restar:

b:

Hallamos el mcd de: a2-6a+9 y a2+a-12 a2 -6a+9 = (a-3)2 a2 +a+ 12 = (a+4)(a-3) mcd = (a-3)2(a+4) a− 4

c:

2

(a − 3)

−

a+3 (a + 4)(a − 4) − (a − 3)(a + 3) = = (a + 4)(a − 3) (a − 3)2 (a + 4)

a2 − 16 − (a2 − 9) 2

(a − 3) (a + 4) 4.

=

a2 − 16 − a2 + 9) 2

(a − 3) (a + 4)

=

−7 2

(a − 3) (a + 4)

=−

7 (a − 3)2 (a + 4)

Calcule y simplifique la siguiente fracción: a−1 2

a +a

−

1 1 − 2a − 2 2a + 2

Solución: a:

Hallamos el mcd de: a2+a; 2a-2 y 2a+2

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

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Guía Didáctica: Matemática I

a2+a = a(a+ 1) 2a-2 = 2(a-l) 2a+2 = 2(a+ 1) m.c.d = 2a(a+l)(a-l) b:

a−1 1 1 2(a − 1)(a − 1) − a(a + 1)(1) − a(a − 1)(1) − − = = a(a + 1) 2(a − 1) 2(a + 1) 2a(a + 1)(a − 1) −4a + 2 2a2 − 4a + 2 − (a2 + 1) − (a2 − 1) 2a2 − 4a + 2 − a2 − 1) − a2 + 1) = = 2a(a + 1)(a − 1) 2a(a + 1)(a − 1) 2a(a + 1)(a − 1) −(2a − 1) 1 − 2a −2(2a − 1) = = 2a(a + 1)(a − 1) a(a + 1)(a − 1) a(a2 − 1)

c:

La última fracción simplificada

1 − 2a a(a2 − 1)

; es la diferencia.

TAREA DE REFUERZO No. 6

1.

Simplifique las siguientes fracciones: 1.1

5 2 − ab a

1.2

x−2 3

x y 1.3

2

−

1 2

x − 81 1.4

1.5

24

x+5 x2y4 −

1 2

x + 18x + 81

10x 2

x − 12x + 36

−

5 10x − 60

a2 + 9x 2 a 1 − 3 − 3 2 4a − 12x a − 27x 2(a + 3ax + 9x 2 )

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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

2.

De: 2.1

2.2

2.3 3.

Restar: m2 + n2

m+n m−n

m2 − n2

3.2

3.3

2

a − 6a + 9

a + a − 12

1 5x + 15

x x+3

Restar: 3.1

a+3

a− 4 2

De: 2x

x 2ab

3a2b

x−2 2

x −x−6

x+6 2

x + 2x − 15

x+5

3x

3x − 8x − 3

9x 2 − 1

2

1.4.3. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES La suma algebraica de expresiones racionales sigue el mismo procedimiento ya estudiado, sólo tendremos el cuidado de escribir los signos + ó - según corresponda en el ejercicio.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

Hallar la suma algebraica de:

3y 5z 2x + − 3zy 5xz 7xy

Solución: a:

El mcd de: 3yz; 5xz y 7xy es: 105 xyz

Por lo que: b:

3y 35x(2x ) + 21y(3y ) − 15z(5z) 5z 2x + − = = 105xyz 3zy 5xz 7xy 70x 2 + 63y 2 − 75z 2 105xyz

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

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c:

2.

La última fracción

70x 2 + 63y 2 − 75z 2 105xyz

Hallar la suma algebraica de:

es la solución.

1 x−4 x 2 − 3x + 2 + 2 − x +1 x −x +1 x3 + 1

Solución: a:

Hallamos el mcd de x+ 1; x2-x+ 1; x3+ 1 x+1 = x+1 x2-x+ 1 = x2-x+ 1 x3+ 1 = (x+ 1)(x2-x+ 1) m.c.d. = (x+ 1)(x2-x+ 1) Por lo que:

b:

x−4 x 2 − 3x + 2 1(x 2 − x + 1) + (x + 1)(x − 4) − 1(x 2 − 3x + 2) 1 + 2 − = x +1 x −x +1 x3 + 1 (x + 1)(x 2 − x + 1) =

c:

x 2 − x + 1 + x 2 − 3x + −4 − x 2 + 3x − 2 (x + 1)(x 2 − x + 1)

La fracción

x2 − x − 5 x3 + 1

=

x2 − x − 5 (x + 1)(x 2 − x + 1)

=

x2 − x − 5 x3 + 1

es la solución.

TAREA DE REFUERZO No. 7

1.

Hallar las siguientes sumas algebraicas: a

1.1

2

3b c

26

−

2b 9ac

2

+

5c 18a2b

1.2

3a 2b 4c − + 2 2bc 3abc 5a b

1.3

1 3 − 2x 1 − + x 2x − 1 x(2x − 1)

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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

1.4

9x 2 − 3y 2 2

2

y(9x − y ) 1.5

+

2x 3 x4 + x2y2 + y4

1 1 − 3x − y 3x + y

+

2y 2 x3 + y3

−

x+y x 2 + xy + y 2

−

x2 + y2 x3 − y3

1.4.4. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar dos o más fracciones los numeradores y denominadores se descomponen en factores; luego se simplifica en lo que sea posible y los resultados de la simplificación se multiplican entre si, miembro a miembro. 1.

Hallar el producto de las siguientes fracciones: 2a 5b 2 x 4a2 . . 3b 6y 7b 3 a:

Simplificamos los factores comunes entre numeradores y denominadores: a 5x 4a2 2a 5b 2 x 4a2 . . 3 = . . 3b 3y 7b 3b 6y 7b

b:

Multiplicamos miembro a miembro los factores resultantes: a(5x )(4a2 ) 20a3 x = (3b)(3y )(7b) 63b 2 y

c:

2.

3 La fracción 20a x es el producto. 63b 2 y

Multiplicar:

6x 2 − 5x + 1

x 2 + 5x + 6

. 3x 2 − 10x + 3 2x 2 + 3x − 2

Solución: a:

Factoramos tanto el numerador como el denominador tenemos. 6x 2 − 5x + 1

*

2

3x − 10x + 3 6x 2 − 5x + 1 =

=

(6x − 3)(6x − 2) = (2x − 1)(3x − 1) 3.2

3x 2 − 10x + 3 =

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

(2x − 1)(3x − 1) (x − 3)(3x − 1)

(3x − 9)(3x − 1) = (x − 3)(3x − 1) 3

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Guía Didáctica: Matemática I

*

x 2 + 5x + 6 2

2x + 3x − 2

=

2x 2 + 3x − 2 = b:

(x + 3)(x + 2) (x + 2)(2x − 1) (2x + 4)(2x − 1) = (x + 2)(2x − 1) 2

Simplificamos los factores comunes en los numeradores y denominadores. (2x − 1)(3x − 1) (x + 3)(x + 2) x + 3 . = (x − 3)(3x − 1) (x + 2)(2x − 1) x − 3

c: 3.

La fracción x + 3 es el producto. x−3

Simplificar: a2 − 5a + 6 6a a2 − 25 . 2 . 3a − 15 a − a − 30 2a − 4 Solución: a:

Factoramos numerador y denominador.

*

a2 − 5a + 6 (a − 3)(a − 2) = 3a − 15 3(a − 5)

*

6a 2

a − a − 30

=

6a (a − 6)(a + 5)

*

a2 − 25 (a + 5)(a − 5) = 2(a − 2) 2a − 4

b:

Simplificamos factores comunes en numeradores y denominadores: (a − 3)(a − 2) 6a (a + 5)(a − 5) a(a − 3) a2 − 3a x x = = 3(a − 5) (a − 6)(a + 5) 2(a − 2) (a − 6) (a − 6)

c:

4.

2 La fracción a − 3a es el producto. (a − 6)

⎡ 12 ⎤ ⎡ 10 − 3x ⎤ Simplificar: ⎢ x + 2 − ⎥ ⎢x − 2 + ⎥ x + 1⎦ ⎣ x+5 ⎦ ⎣ Solución:

28

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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

a:

b:

Transformamos las expresiones mixtas a fracción: *

x +2−

12 (x + 2)(x + 1) − 12 x 2 + 3x + 2 − 12 (x + 5)(x − 2) = = = x +1 x +1 x +1 x +1

*

x +2+

10 − 3x (x − 2)(x + 5) + (10 − 3x ) x 2 + 3x − 10 + 10 − 3x x2 = = = x+5 x+5 x+5 x+5

Simplificando factores comunes en numeradores y denominadores: (x + 5)(x − 2) x 2 x 2 (x − 2) x 3 − 2x 2 . = = x +1 x +1 x+5 x +1

c:

La fracción

x 3 − 2x 2 es el producto. x +1

TAREA DE REFUERZO No. 03

1.

Halle el producto de las siguientes fracciones: 1.1

4ab 2c 3 7a3b 3c 5 . 5a2b 0c 4 3ab 2c 2

1.2

5x 2 (2x + 5y )2 9y

1.3

.

6y 2 2

4x − 25y

2

.

3y(2x − 5y ) 2x(2x + 5y )

2x 2 + x − 3 2x 2 + 11x + 5 . x 2 + 4x − 5 2x 2 + 7x + 6

1.4

⎡ mn ⎤ ⎡ n3 ⎤ m − 1 + ⎥ ⎢ ⎥⎢ m + n ⎦ ⎢⎣ m 3 ⎥⎦ ⎣

1.5

⎡ a2 + 5x 2 ⎤ 14x 2 ⎤ ⎡ a − x + a + 2x − ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2a + x ⎥⎦ ⎢⎣ 1 + 4x ⎥⎦ ⎢⎣

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

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29

Guía Didáctica: Matemática I

1.4.5. DIVISION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para dividir dos expresiones algebraicas racionales se multiplica el dividendo por el divisor invertido; esto significa que la expresión del numerador pasa a ser denominador y la expresión del denominador pasa a ser numerador.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

Dividir :

4ax 2 8ax entre 20by 2 5by 2

Solución: a:

La división se convierte en multiplicación, invirtiendo el divisor: 4ax 2 5by 2 . 20by 2 8ax

b:

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador. 4ax 2 5by 2 x . = 8 20by 2 8ax

c:

2.

La fracción

Dividir :

x es el cociente. 8

2x 2 - 9x + 4 2

x - 16

÷

2x - 1 2

x + 8x + 16

Solución: a:

La división se convierte en multiplicación 2x 2 - 9x + 4 x 2 + 8x +16 . 2x - 1 x 2 - 16

b:

Aplicamos la descomposición factorial en numeradores y denominadores. *

2x 2 - 9x + 4 2

x - 16

=

(x − 4)(2x − 1) (x + 4)(x − 4)

Note que: 2x 2 - 9x + 4 =

30

UTPL

(2x - 8)(2x - 1) = (x − 4)(2x − 1) 2

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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

* c:

x 2 + 8x + 16 (x + 4)2 = 2x - 1 2x − 1

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador. (x − 4)(2x − 1) (x + 4)2 x + 4 . = =x+4 (x + 4)(x − 4) (2x − 1) 1

d: 3.

La expresión x+4 es el cociente.

⎡ 2n - 1 ⎤ ⎡ 2 n - 1⎤ Dividir : ⎢ n - 2 ⎥ + ⎢n + 1 ⎥ n ⎦ ⎣ n + 2⎦ ⎣ Solución: a:

b:

Transformamos la expresión mixta a fracción de cada expresión: 2n-1 n(n 2 +2)-(2n-1) n 3 +2n-2n+1 n 3 +1 = = = 2 n 2 +2 n 2 +2 n +2 n 2 +2

*

n-

*

n 2 +1-

n-1 n(n2+1)-(n-1) n 3 +n-n+1 n 3 +1 = = = n n n n

La división se convierte en multiplicación, invirtiendo el divisor: n 3 +1 n . n 2 +2 n 3 +1 n n 3 +1 n . 3 = 2 2 n +2 n +1 n +2

TAREA DE REFUERZO No. 04

1.

Halle el cociente de las siguientes fracciones: 1.1

1 ÷ a/b

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

1.2

5mz 10mz 2 ÷ 2 2 7x y 21x 2 y 3

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Guía Didáctica: Matemática I

x2 - 1 x

1.4

3x + 3 x + 1 ÷ 2x + 1 4x + 2

x 2 - 25 x 2 + 2x - 15 ÷ x 2 - 16 x 2 + x - 12

1.6

c2 - (a + b)2 a2 - (b- c)2 ÷ c2 - (a - b)2 (a + b)2 - c2

1.7

a2 - 2bc - b2 - c2 a + b+ c ÷ a2 - c2 - b2 + 2bc a - b+ c

1.8

3 ⎤ 1 ⎤ ⎡ ⎡ ⎢ x + x + 2 ⎥ ÷ ⎢1 + x 2 - 4 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

1.9

2 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡ ⎢x + x + 3 ⎥ ÷ ⎢x + x + 4 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

1.10

2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ ⎢x - x + 1 ⎥ ÷ ⎢x - x + 1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

1.3

(x 2 - 3x + 2) ÷

1.5

1.5 FRACCIONES COMPLEJAS Se llama fracción compleja, a aquella fracción, en la cual el numerador, el denominador, o ambos, son fracciones algebraicas o expresiones mixtas. Para simplificar una fracción compleja se efectuarán las operaciones indicadas tanto en el numerador como en el denominador luego se divide los resultados obtenidos como si se tratara de una división cualquiera.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

70 x+3 Calcule y simplifique 10 2x - 2 x+3 2x + 10 -

Solución: a:

Las fracciones mixtas del numerador y denominador las transformamos a fracciones comunes: *

2x + 10 -

70 (2x + 10)(x + 3) − 70 2x 2 + 16x + 30 − 70 2x 2 + 16x − 40 = = = x+3 x+3 x+3 x+3

2(x 2 + 8x − 20) 2(x + 10)(x − 2) = x+3 x+3 *

2x - 2 -

10 (2x − 2)(x + 3) − 10 2x 2 + 4x − 6 − 10 2x 2 + 4x − 16 = = = x+3 x+3 x+3 x+3

2(x 2 + 2x − 8) 2(x + 4)(x − 2) = x+3 x+3

32

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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

b:

Dividimos los resultados: x+3 x + 10 2(x + 10)(x − 2) 2(x + 4)(x − 2) 2(x + 10)(x − 2) ÷ ÷ ÷ ÷ x+3 x+3 2(x + 4)(x − 2) x + 4 x+3

c:

La fracción

x + 10 es la solución x+4

6x+12 x+2 x-5 Calcule y simplifique: 11x-22 x-4+ x-2 x+7 x+1-

2.

Solución: a:

A esta operación se la puede considerar como una división de fracciones complejas; por tanto podremos escribir: 6x+12 11x-22 x-4+ s+2 ÷ x-2 x-5 x+7

x+1-

b:

Operamos con cada fracción compleja para convertirla en fracción irreducible:

(x+1)(x+2)-(6x+12) x 2 + 3x + 2 − 6x − 12 x 2 − 3x − 10 (x − 5)(x + 2) x+2 x+2 x+2 x+2 * = = = x−5 x−5 x−5 x−5 =

x−5 =1 x−5 11x − 22 (x − 4)(x − 2) + (11x − 22) x 2 − 6x + 8 + 11x − 22 x 2 + 5x − 14 x−2 x−2 = x−2 x−2 = = x +7 x +7 x +7 x +7

x − 4+ *

(x + 7)(x − 2) x +7 x−2 = = =1 x +7 x +7 La fracción

1 = 1 es la solución 1 1

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

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33

Guía Didáctica: Matemática I

TAREA DE REFUERZO No. 08

1.

Calcule y simplifique:

1.1

x 2 x x− 4 x+

3 2 + x x2 1 2 − x x2

1.2

1− 1.3

2 2x + 3 3 x + 1− 2x + 1

1.4

x−

1.5

34

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1.6

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20x 2 +7x-6 x 4 -25 x2 x+3y x+y y 1+ x-y

3-

x 1 2 x+1 x 2x+3 + 2 x+1

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

CAPÍTULO 2 EXPONENTES Y RADICALES 2.1. DEFINICIÓN DEL EXPONENTE Una expresión algebraica elevada a una potencia cualquiera da como resultado otra expresión tomada como factor dos o más veces. exponente an =a x a x a .... n factores

Base

2.2. LEYES FUNDAMENTALES DE LOS EXPONENTES 2.2.1. Toda base elevada a la enésima potencia es igual a multiplicar la base tantas veces nos indique el exponente. En general. an = a . a . a ..... n factores EJEMPLOS: Toda base elevada a la cero potencia es igual a 1. En general: 1. 2. 3.

23 = 2 x 2 x 2 = 8 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 x5 = x . x . x .x. x

2.2.2. Toda base elevada a la cero potencia es igual a 1. en general. a0 = 1 El exponente cero proviene de dividir potencias iguales de la misma base: an = an = an-n = a0 O bien: Luego:

an an

=1

a0 = 1

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

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35

Guía Didáctica: Matemática I

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

70 = 1

2.

(6m2 n3 )0 = 1

3.

(5x3 _ y2)0 = 1

2.2.3. Toda base elevada a un exponente negativo se transforma en positivo cuando se le da su valor inverso o recíproco. En general. a -n =

1 an

El exponente negativo proviene de dividir dos potencies de la misma base cuando el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor. am ÷ am+n = am-(m+n) = am-m-n = a -n am

O bien:

a

m+n

a -n =

Luego:

=

am m

a a

n

=

1 an

1 an

EJERCICIOS DESARROLLADOS 1

1.

4 -3 =

2.

3a−2 =

3.

( 3a)

4.

(a + b)−2 =

5.

a−2 + b −2 =

36

4

−2

3

=

1 64

3 a2 =

1 2

(3a)

UTPL

=

1 9a2

1 (a + b)2 1 a

2

+

1 b2

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MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Guía Didáctica: Matemática I

2.2.4. Toda base elevada a un exponente fraccionario se transforma en un radical de tal forma que la base pasa a ser una cantidad subradical, el denominador del exponente el índice de la raíz y el numerador el exponente de la cantidad subradical. En general: n

am/n = am EJERCICIOS DESARROLLADOS 3

3

1.

32/3 = 32 = 9

2.

a−4b 1/2 =

2.3.

1 a

4

b=

b a4

LEYES GENERALES FRACCIONARIOS

PARA

EXPONENTES

ENTEROS

Y

Las siguientes leyes nos sirven para aplicar en exponentes enteros m y n y / o exponentes fraccionarios. n = p/q

m = r/s

Producto de bases iguales. El producto de bases iguales es igual a la misma base y como exponente la suma de los mismos.

am .an =am+n EJEMPLOS. 1.

a 5 .a3 = a 5+3 = a8

2.

a6 .a -4 = a6+(-4) = a2

Cociente de bases iguales. El cociente de bases iguales es igual a la misma base y como exponente la resta de los mismos. am a

n

= am−n

EJERCICIOS DESARROLLADOS 1.

a6 a

4

= a6-4 = a2

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2.

3.

a5 a

8

= a 5-8 = a -3 =

63 b7 2

6b

2

1 a3

= 63-2 b7-2 = 61 b 5 = 6b 5

Potencia de otra potencia. Toda base elevada a una potencia, y a su vez a otras potencias es igual a escribir la misma base y multiplicar sus exponentes. (am)n = a mn

EJERCICIOS DESARROLLADOS 1.

(a 2 ) 3 = a 2.3 = a 6

2.

(2x 3 ) 2 = 2 1.2 x 3.2 = 2 2 x 6 = 4x 6

3.

(-3x3) 3 = -3 1.3x 3.3 = -3 3x 9 = -27x9

Cociente de bases diferentes. El cociente de bases diferentes elevadas a un exponente común, es igual a cada base afectada por el exponente común. n

⎛ a⎞ an = ⎜b⎟ bn ⎝ ⎠

EJERCICIOS DESARROLLADOS

4

1.

⎛ a⎞ a4 = ⎜ b⎟ b4 ⎝ ⎠

2.

⎛ 2⎞ 23 8 = = ⎜ 3x ⎟ 3 3 27x 3 3x x ⎝ ⎠

3

Producto de bases diferentes: El producto de bases diferentes elevadas a un exponente común es igual a cada base afectada por el exponente común. En general: (a . b)m = a m bn

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TAREA DE REFUERZO No. 09

Simplifique las siguientes expresiones e indique la respuesta con exponentes positivos. 1.

53 x 52

2.

37 / 3 4

3.

(-3x 5 )3

4.

5a+0 + 3a-1

5.

15b7 y 3

6.

-1(x-1)(2x-3)-2 + (2x-3)-1

9b 5 y 2

7.

8.

9.

2x 0 y a−2 x −1 y −3 2a2 b 3 e ea -3 (a -1 b 0 c -3 )2 (a -1 b -1c -1 )

2.4. RADICALES 2.4.1. ESTRUCTURA DE UN RADICAL. Los elementos de un radical son: índice de la raíz, cantidad subradical, exponente de la cantidad subradical y coeficiente de la raíz. Índice Coeficiente

n

q am

Exponente de la cantidad subradical Cantidad subradical

2.4.2. GRADO DE UN RADICAL. El grado de un radical viene determinado por el índice de la raíz. EJEMPLOS 1.

5 Es de segundo grado

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2.

3

8 Es de tercer grado

3.

n

4 Es de enésimo grado

2.4.3. RADICALES SEMEJANTES. Dos o mas radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical. En general. n

n

p a yq a EJEMPLOS. 3

3

2 3 y5 3

2.5. LEYES DE LOS RADICALES PRODUCTO DE RADICALES. El producto de radicales de un mismo grado o índice es igual al producto de las cantidades subradicales conservando el radical común, es decir: n

x n y = n xy

EJERCICIOS DESARROLLADOS Encuentre el producto de: 1. 2.

3 7 = 21 5

5

5

2ab 5a2 b 3 = 5 (2ab)(5a2 b 3 ) = 10a3 b 4

Frecuentemente el radicando obtenido como producto de dos radicales de orden n, tiene factores que son enésimas potencias. En tales casos se deben eliminar del radical todos los factores racionales posibles. 3.

Encontrar el producto de:

5ab 2 15ab 3

SOLUCION 5ab 2 15ab 3 = (5ab 2 )(15ab 3 ) = 75a2b 5 = (25a2b 4 )(3b) = 5ab 2 3b

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COCIENTE DE RADICALES. Para resolver el cociente de radicales que tienen el mismo grado se divide las cantidades subradicales y se conserva el radical común, es decir: n n

x y

=

n

x y

EJERCICIOS DESARROLLADOS Encuentre el cociente de: 5

1.

3 4

2.

5 3

=

16a 5 b 6 4

3ab

2

=

4

16a 5 b 6 3ab

2

= 2ab 4 1/3

POTENCIA DE UN RADICAL. Un radical elevado a una potencia es igual a la cantidad subradical elevada a dicha potencia, es decir:

( x) n

m

n

= xm

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Encuentre las potencias siguientes.

( 11) 3

4

3

3

= 114 = 14641

Si un radical contiene a otro radical, es igual al producto de los índices bajo la misma cantidad subradical, es decir. n m

a =

nm

a

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

3

5 =

3.2

5=

6

5

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Si en un radical existen factores comunes entre el índice y el exponente de la cantidad subradical, estos se simplifican, es decir: nm

2.

10

a5 =

5.2

n

am = a

a5 = a

La multiplicación de radicales de diferente índice de una cantidad subradical común es igual, a un radical cuyo índice es el producto de los índices de los radicales y como cantidad subradicalla común, como potencia la suma del producto de la potencia del primer radical por el índice del segundo radical mas la potencia de la segunda cantidad subradical por el índice del primer radical, es decir. n

m

a p aq =

nm

a pm+qn

EJERCICIOS DESARROLLADOS Multiplicar: 3

4

52 53 =

3.4

52.4+3.3 =

12

58+9 =

12

517 =

12

12

512 55 = 5 55

Para introducir cantidades dentro de un radical se procede elevando las cantidades a la potencia que indique el índice de la raíz, es decir: n

a b = an b

EJERCICIOS DESARROLLADOS Introduzca dentro del radical 1.

5 3=

52 .3 = 25.3 = 75

TAREA DE REFUERZO No. 10

Del Álgebra de González-Mancil, Tomo 11, resuelva el ejercicio 119.

42

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2.6. RACIONALlZACION DE DENOMINADORES. Una fracción que contiene un radical en el denominador se puede expresar siempre por medio de otra fracción equivalente que no contenga ningún radical en el denominador. Este proceso se llama racionalización de denominadores. Muchas operaciones que contienen radicales se facilitan si al principio se racionalizan todos los denominadores. Si el radicando es una fracción cuyo denominador es un monomio, se multiplica ambos términos del quebrado por un número tal que convierta al denominador en potencia enésima del denominador.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

3

Racionalice el denominador de:

3

SOLUCION: Para racionalizar el denominador de por

3 y se obtiene. 3 3

2.

Racionalice:

=

3 3

se multiplica cada miembro de la fracción

3 3 3 3

=

3 3 = 3 3

x 2 -y 2 2x x+y

SOLUCION: Para racionalizar el denominador de fracción por

x 2 -y 2 2x x+y

=

x+y

x 2 -y 2

se multiplica cada miembro de la

2x x+y

y tenemos.

x 2 -y 2 x+y 2x x+y x+y

=

(x + y )(x − y ) x+y 2x (x + y )2

=

(x + y )(x − y ) x+y 2x(x + y )

=

(x − y ) x + y 2x

Expresiones Conjugadas. - son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como une sus términos.

x+ y y

x − y ,las que difieren solo en el signo que

Para racionalizar esta clase de expresiones, se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado. Por ejemplo:

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7 +2 5 7- 5 3.

=

Racionalizar:

( 7 +2 5)( 7 + 5) ( 7 - 5)( 7 + 5)

7+ 35+2 35+10 17+3 35 = 2 7-5

=

2− 5 2 + 5 − 10

SOLUCIÓN: Para racionalizar el denominador de una expresión que contiene 3 radicales de 2do. Grado, se procede de la siguiente manera. consideramos al denominador como un binomio, así: Luego procedemos como en el caso anterior

⎡ ⎣⎢

(

2- 5

)

2+ 5 - 10 ⎤ ⎦⎥

=

=

=

=

⎡ ⎣⎢

(

(

)

⎡ ⎣⎢

(

2- 5

)

2+ 5 - 10 ⎤ ⎦⎥

2+ 5 + 10 ⎤ ⎥⎦ 2+ 5 - 10 ⎤ ⎡ 2+ 5 + 10 ⎤ ⎥⎦ ⎦⎥ ⎣⎢ 2- 5 ⎡ ⎢⎣

)

(

-3+2 5-5 2 2

2

( 2+ 5) -( 10) -3+ 5-5 2 2 10 -3

=

=

)

-3+ 5-5 2 2+2 10+5-10

-3+ 5-5 2 -(2 10+3) (2 10 -3)(2 10+3)

5 2 -14 5-9-6 10 31

TAREA DE REFUERZO No. 11

Del Álgebra de González y Mancil Tomo 11, resuelva del ejercicio 122, los números impares.

2.7. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES. Para simplificar un radical se debe eliminar los factores del radical hasta que el radicando contenga sólo el exponente igualo mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible. En otras palabras simplificar un radical es obtener otro equivalente de índice menor.

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Para simplificar una expresión radical se efectúan los pasos siguientes: 1.

Se realizan todas las operaciones posibles aplicando las leyes de los radicales.

2.

Se eliminan de los radicales todos los factores y divisores que sean posibles.

3.

Se racionalizan los denominadores.

4.

Si el resultado final contiene un radical, este se reduce al menor orden posible.

Por ejemplo: *

15 1 5 5 3 10 15 2 5 5 256a10 b15 = 2 2 a b = a2 b 3 23 = a2 b 3 23 2 2 2

*

6 3 3 8a6 b7 3 3 a2 b 2 *c 3 b 3 a2 b 2 23 b b = (2)a = = 4 4 2 c 2 *c c 2 2 c3 c8 c6 c2

3

bc 3 c

2

=

3 a2 b 2 2 c3

3

bc

TAREA DE REFUERZO No. 12

Del Álgebra Superior de Schaum, revise los ejercicios resueltos de las páginas 56 a la 60 y resuelva los ejercicios propuestos de la página 61(uno de cada item).

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S

EG GU UN ND DO O E BIMESTRE BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •

Desarrollar ecuaciones lineales: ya sea enteras, fraccionarias, literales y con radicales.

•

Resolver problemas sobre ecuaciones lineales.

•

Resolver sistemas de ecuaciones, empleando algunos métodos.

•

Resolver ecuaciones cuadráticas, utilizando algunos procedimientos.

•

Resolver problemas sobre ecuaciones cuadráticas.

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CONTENIDOS

CAPÍTULO 3: ECUACIONES LINEALES 3.1.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

3.2. Clasificación de ecuaciones. 3.3.

Métodos para resolver una ecuación de primer grado.

3.4.

Problemas de aplicación de las ecuaciones de primer grado.

CAPÍTULO 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1.

Definición.

4.2.

Método de resolución.

CAPÍTULO 5: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS 5.1.

Definición.

5.2.

Clasificación de ecuaciones de segundo grado.

5.3.

Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

5.4.

Ecuaciones de segundo grado completas factorizables.

5.5.

Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

5.6.

Resolución de ecuaciones empleando la fórmula general.

5.7.

Solución gráfica de ecuaciones de segundo grado.

5.8.

Problemas de aplicación.

5.9.

Resolución de ecuaciones fraccionarias.

5.10. Resolución de ecuaciones literales. 5.11. Resolución de ecuaciones con radicales 5.12. Carácter de las raíces 5.13. Relación entre las raíces y los coeficientes

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DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

CAPÍTULO 3 ECUACIONES LINEALES 3.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA IGUALDAD Igualdad es la expresión de dos cantidades algebraicas que tienen el mismo valor. Ambas cantidades se hallan separadas por el signo =, que se lee «igual a» EJEMPLOS: 3.6-5 = 13 x = y+z ECUACIÓN Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnitas. Las incógnitas se acostumbran a representar por las Últimas letras del alfabeto: t, u, v, x, y, z. EJEMPLOS: X-2 = 10 4y - 1 = 6y - 4 En la ecuación x - 2 = 10, x es la incógnita. En esta ecuación x = 12 porque la igualdad sólo se verifica para este determinado valor: Si le damos a x un valor distinto de 12, la igualdad no se verifica. MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN: Una ecuación tiene dos miembros: PRIMER MIEMBRO de una ecuación, a aquella expresión que está a la IZQUIERDA del signo igual y SEGUNDO MIEMBRO a la expresión que está a la DERECHA del signo = .

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EJEMPLO: 5x+3 5x+3 2x+ 9

= 2x + 9 se llama primer miembro se llama segundo miembro

TERMINOS DE UNA ECUACIÓN Se denomina términos de una ecuación a las distintas cantidades relacionadas entre si por los signos + o -; o la cantidad que esté sola en un miembro. EJEMPLO: 7x + 4 = 8y - 3 Los términos son: 7x, 4, 8y, 3 GRADO DE UNA ECUACIÓN En las ecuaciones de una sola incógnita, se llama grado de la ecuación al mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. x + 2 = 5x - 10 es una ecuación de primer grado porque el mayor exponente que tiene la x es 1. x2 - 6x + 10 = 0 es una ecuación de segundo grado, por ser 2 el mayor exponente de la incógnita. A las ecuaciones de primer grado se les llama lineales. Cuando la ecuación tiene más de una incógnita, el grado está determinado por el término de mayor grado. RAICES O SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN Se llaman raíces o soluciones de una ecuación a los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación. Cuando se sustituyen las incógnitas por estos valores la ecuación se convierten en una igualdad. EJEMPLO: 5x + 2 = 2x + 5 En esta ecuación x = 1, ya que al sustituir la incógnita por este valor, la ecuación queda satisfecha: 5x + 2 = 2x + 5 5(1) + 2 = 2(1) + 5 5+2 = 2+5 7=7

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3.2. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES Las ecuaciones se clasifican en:

3.2.1. ECUACIONES ENTERAS Una ecuación es entera cuando no tiene denominadores. EJEMPLOS: 1.

2x + 8 - 3x = 5x

2.

4y + 3 = Y + 12

3.

3x + 8 = 20 - x

3.2.2. ECUACIONES RACIONALES Son aquellas en las que no existe ninguna incógnita bajo el signo radical. EJEMPLOS: 1.

l0x + 15 = 2x - 10

2.

4y - 8 = 6y + 12

3.2.3. ECUACIONES LITERALES F

Una ecuación es literal cuando además de las incógnitas tienen otras letras que representan cantidades conocidas. Una ecuación literal puede ser: entera, fraccionaria, racional o irracional.

EJEMPLOS: 1. 3.

5x + 2a = bx + 9a 2ax + b = 20ax - b

4.

3.2.4. ECUACIONES FRACCIONARIAS F

Una ecuación es fraccionaria, cuando al menos uno de sus términos es una expresión algebraica fraccionaria, por lo tanto la incógnita se encuentra en algÚn denominador.

EJEMPLOS: 5x +

3x + 1 6x + 2 = + 4x 2x 3x

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2y 3

-

8 4 = -6 y+1 y

X X-3 =8 X+2 2x+5

3.2.5. ECUACIONES IRRACIONALES Una ecuación es irracional cuando la incógnita aparece en un radical. EJEMPLOS: 2x+9 = x-8 3x-2 = x+4

3.2.6. ECUACIONES EQUIVALENTES Son ecuaciones equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. EJEMPLOS: 1.

2x + 1 = 11

2.

2x + 4 = 14 ; son ecuaciones equivalentes

3.3. RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Para resolver una ecuación de primer grado se simplifica la expresión reduciendo términos semejantes y se efectÚan las operaciones indicadas hasta obtener una expresión de la forma: mx + b = O, cuya solución es x = -b/m Toda ecuación que se puede reducir a una expresión de la forma mx + b = O es una ecuación de primer grado con una incógnita. Se debe tener en cuenta que en toda ecuación se pueden efectuar las siguientes operaciones, sin alterar la solución: 1.

Sumar o restar a ambos miembros de la igualdad la misma cantidad. Si : a = b Entonces: a + c = b + c ó

2.

52

a-c=b-c

Multiplicar o dividir ambos miembros de la igualdad por la misma cantidad diferente de cero.

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Si: a = b Entonces: a . c = b . c

ó

a/c = b/c

EJEMPLOS: 1.

Resolver: 4x + 5 = -12 SOLUCIÓN: 4x + 5 = -12 4x + 5 + (-5) = -12 + (-5) 4x + 0 = -17 4x = -17 1/ 4(4x)= -17.1 /4 1x =-17/4 x =-17/4

Se suma -5 a ambos miembros de la ecuación. Propiedad invertiva. Propiedad modulativa. Se multiplica por 1/4 ambos miembros de la ecuación. Propiedad invertiva. Propiedad modulativa

VERIFICACIÓN 4x + 5 = -12 4(-17/4) + 5 = -12 -17+5 =-12 -12 = -12 F

Al resolver una ecuación no es necesario escribir todos los pasos con su correspondiente justificación ya que algunos de éstos pueden ser realizados mentalmente, tomando en cuenta las siguientes leyes:

1.

U n término que aparece sumando en un miembro pasa restando al otro miembro.

2.

Un término que aparece restando pasa sumando al otro miembro.

3.

Un factor común que multiplica a un miembro pasa a dividir al otro miembro.

4.

Un divisor común de todos los términos de un miembro pasa multiplicando al otro miembro.

5.

En el primer miembro se ubica la incógnita y en el segundo las cantidades conocidas.

3.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA POR TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS 1.

Resolver: 4x + 2 = -8x + 26

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SOLUCIÓN: a)

Realizamos una transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y al otro miembro los términos independientes, 4x + 8x = 26 -2

b)

Reduciendo términos semejantes en cada miembro. 12x = 24

. c)

Despejando la incógnita y simplificando x = 24/12 x=2

VERIFICACIÓN: 4x + 2 = -8x + 26 4(2) + 2 = -8(2) + 26 8 + 2 = -16 + 26 10 = 10 2.

Resolver.

2x+1 4x+3 = 2 5

SOLUCIÓN: Para evitar las fracciones se obtiene el mínimo comÚn denominador, que es 10 y se procede a operar conforme a lo estudiado:

4x+3 2x+1 = 5 2

m.c.d=10

5(2x+1) = 2(4x+3) = 10x+5 = 8x+6 = 10x-8x = 6-5 ; 2x = 1 ; x = 1/2 3.

Resolver:

2 5 =0 3 x+4

SOLUCIÓN: Se efectua a operación indicada en el primer miembro de la ecuación:

2 5 =0 3 x+4

5(x+4)-6 = 0 Cuando el cociente de dos expresiones es cero, 3(x+4) el dividendo es cero.

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5(x+4)-6 = 0 5x+20-6 = 0 5x = -20+6 5x = -14 x = -14/5 5.

2x+5 =7 3x+2 SOLUCIÓN:

Resolver:

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por (3x + 2) para eliminar el denominador: 2x+5 =7 3x+2 ⎛ 2x+5 ⎞ (3x+2) ⎜ ⎟ = 7(3x+2) ⎝ 3x+2 ⎠ 2x+5 = 21x+14 2x-21x = 14-5 -19x = 9 x = -9/19

TAREA DE REFUERZO No. 13

Resuelva las siguientes ecuaciones: 1.

3x + 8 = 24

2.

9x - 3 = 21

3.

1/2x + 3/4= 1/8

4.

2(x+1) - (x-1) = 0

5.

2(x - 1) = 2x + 3

6.

-7(x + 3) + 6(2x + 9) = 6(x + 3)

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7.

4(3x + 9) - 2(5x + 7) + 7(x + 3) = -2(x + 1) + 2(x - 7)

8.

x x x + = +8 5 2 3

9.

3⎞ 3 ⎛ 1⎞ 3 9 3⎛ x + ⎟ + ⎜x − ⎟ − x = ⎜ 2⎠ 2 ⎝ 2⎠ 2 4 4⎝

3.4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO Resolver problemas es el fin último de todo conocimiento, ya que éste carecería de importancia, si no nos proporciona las herramientas necesarias para enfrentar y resolver situaciones nuevas. Los problemas que se pueden resolver, al interpretar el enunciado por medio de una ecuación de primer grado con una incógnita son muy variados y no existe una regla fija para hacerlo. En general, se puede afirmar que para resolver un problema en forma correcta se debe disponer de una doble habilidad: por un lado, se debe traducir el enunciado verbal a una expresión algebraica; y por el otro, se debe resolver correctamente la ecuación. Las siguientes consideraciones nos ayudarán a plantear y resolver problemas 1.

Lea cuidadosamente el problemas hasta que lo comprenda perfectamente lo que se pide.

2.

Identifique las cantidades tanto las conocidas como las desconocidas.

3.

Busque fórmulas que relacionen las cantidades conocidas con las desconocidas.

4.

Trace figuras o diagramas si es necesario.

5.

Haga que una de las cantidades desconocidas quede representada por una variable, por ejemplo x, y trate de representar a todas las demás en función de dicha variable. Este es un paso importante y debe realizarse con cuidado.

6.

Resuelva la ecuación y escriba las soluciones de todas las partes requeridas del problema.

7.

Verificar todas las soluciones en el problema original.

EJERCICIOS: 1.

Encuentre un número tal que 3 más un sexto del número es igual a 2/3. SOLUCION: Sea x = el número

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Representamos cada parte del número en la forma siguiente 3

más

un sexto del número es

=

x 6 Ahora resolvemos la ecuación 3

+

3+

dos tercios del número

=

2x 3

x 2x = 6 3

3.3 + 3.

9+

x 2x = 3. 6 3

x = 2x ; 2

18 + x = 4x ; x - 4x = -18 - 3x = -18 x = -18/-3 x=6

VERIFICACIÓN 3 más un sexto del número: 3+ dos tercios del número: 2.

6 =3+1=4 6

2 .6 = 2 + 2 = 4 3

Un concierto produjo $ 60.000 por la venta de 8.000 entradas. Si su precio fue de $6 y $10. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron? SOLUCIÓN: Sea: x = el número de entradas vendidas a $6 entonces: 8.000 - x = el número de entradas vendidas a $10 Ahora formamos una ecuación con el valor de las entradas, antes y después de mezcladas. Valor antes de mezcladas = valor después de mezcladas ⎛ valor de las ⎜ ⎜ entradas ⎜⎝ $6

⎞ ⎛ valor de las⎞ ⎛ valor de las⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ entradas ⎟ = ⎜ entradas ⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ vendidas ⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ $10

6x + 10(8000-x) = 60000

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6x + 80000 - 10x = 60000 -4x = -2 0000 20000 4 x = 5000 (entradas de $ 10) x=

8000 - x = 3000 (entradas de $ 10) 3.

Si un lado de un triángulo mide las dos quintas partes del perímetro P, el segundo mide 70cm y el tercero corresponde a la cuarta parte del perímetro, ¿Cuál es dicho perímetro ? SOLUCIÓN: Sea P = el perímetro, Trazamos un triángulo e indicamos sus lados

2 P 5

70 cm

P 4 Sabemos que: P = a + b + c P 2P + 70 + 4 5 P 2P 20P = 20. + (20)70 + 20. 4 5 20P = 5P + 1400 + 8P p=

7P = 1400 1400 p= 7 p = 200 cm

VERIFICACIÓN: P 200 = = 50cm. 4 4 lado 2 = 70cm = 70cm lado 1 =

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lado 3 = 4.

2P 400 80cm = = 4 5 200 cm(perimetro)

Cortar un alambre de 3,8m. e longitud en dos partes, tales que una de ellas mida un metro más que la otra. SOLUCIÓN: -

Un esquema gráfico del problema ayuda a su interpretación: 3,8 m x

-

x-l

Llamamos x al pedazo más largo del alambre, x - 1 m será el pedazo más corto. La suma de los pedazos es de 3,8m. luego, la ecuación que interpreta en enunciado será: x + x - 1 = 3,8 2x = 3,8 + 1 2x = 4,8 x = 4,8/2 x = 2,4 m

-

El pedazo más largo mide 2,4 m y el pedazo más corto: x - 1 = 2,4m - 1m = l,4m

5.

2,4m + l,4m = 3,8m

La suma de dos nÚmeros pares consecutivos es 106. Cuales son los nÚmeros. SOLUCIÓN: -

Llamamos x al menor de los nÚmeros pares. x + 2 será el siguiente par

-

La ecuación que embolsa el enunciado es: x + x + 2 = 106 2x = 106 - 2 2x = 104

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x = 104/2 x = 52

6.

-

El otro nÚmero par es: x + 2 = 52 + 2 = 54

-

Los pares consecutivos cuya suma es 106 son 52 y 54.

Hallar la medida de dos ángulos suplementarios, cuyos valores están en razón de 4 a 5. SOLUCIÓN: -

La suma de dos ángulos suplementarios es 180 grados.

-

Si x es el ángulo menor, entonces 180 - x será el ángulo mayor.

-

Planteamos la proporción que sugiere el enunciado: x 4 = 180-x 5 5x = 4(180-x) 5x = 720-4x 5x+4x = 720 9x = 720 720 9 x = 80 x=

-

El ángulo mayor será: 180 - x = 180 - 80 = 100

7.

Los ángulos miden 80 y 100 grados.

El denominador de una fracción excede en tres unidades al numerador, si se suma 2 a cada término de la fracción resulta una fracción equivalente a 1/2. Hallar la fracción original. SOLUCIÓN:

60

-

Numerador:

-

Denominador: x + 3

-

Sumando 2 a cada término tendremos:

-

Numerador:

-

Denominador: x + 5

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x

x+2

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-

Esta fracción es igual a 1/2, entonces: 1 x+2 = 2 X+5 x+5 = 2(x+2) x+5 = 2x+4 x-2x = 4-5 -x = -1 x=1

-

Reemplazando valores en la primera fracción: x x+3 1 1 = 4 1+3

La fracción original es: 1/4 8.

Pedro puede hacer un trabajo en tres días y Daniel puede hacerla en 5 días. En que tiempo lo harán trabajando conjuntamente. SOLUCIÓN: -

Pedro hace el trabajo en 3 días: 1/3 en un día.

-

Daniel hace el trabajo en 5 días: 1/5 en un día.

-

Pedro y Daniel lo hacen en x días: 1/x en un día. 1 1 1 + = 3 5 x 5+ 3 1 = 15 x 8 1 = 15 x 8x = 15 x=

-

7 15 =1 8 8

Pedro y Daniel trabajando conjuntamente harán el trabajo en un día y 7/8 de día más.

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TAREA DE REFUERZO No. 14

Resuelva los siguientes problemas. 1.

Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 60. R: 19,20,21.

2.

En un grupo de 35 estudiantes había 10 hombres menos que el doble de mujeres. Determínese cuantos había de cada sexo. R: 20 y 15.

3.

Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos tienen 78. Cuántas monedas tiene cada uno. R: 33 Y 45.

4.

Si el triple de un nÚmero se resta de 8 veces el nÚmero, el resultado es 45. Hallar el número. R: 9.

5.

El largo de un rectángulo es el triple del ancho y su perímetro es de 56cm. Hallar sus dimensiones. R: 7cm, 21cm.

6.

Si un lado de un triangulo es igual a un cuarto del perímetro P, el segundo mide 3m, y el tercero mide un tercio del perímetro. ¿Cuál es el perímetro?.

7.

La suma de la mitad, la tercera y la quinta parte de un nÚmero es 31. Hallar el nÚmero. R: 30.

8.

El numerador de una fracción es dos unidades mayor que el denominador. Si se suma 1 a cada término la fracción resulta equivalente a 3/2. Hallar la fracción original. R: 5/3.

9.

Hallar el nÚmero que sumando al numerador y al denominador de 7/10 convierte a esta fracción en otra equivalente a 3/4. R: 2.

10.

Pedro puede levantar un muro en 6 días y Julián en 8 días. En qué tiempo harán el muro trabajando conjuntamente. R: 3 3/7 días.

11.

Juan y Antonio trabajando juntos pueden abrir una zanja en 12 horas. Antonio t Tomás pueden abrirla en 15 horas. Antonio trabajando sólo tardará 25 horas. Qué tiempo tardarían en abrir la zanja Juan y Tomás. R: 14 3/7 horas.

12.

Una función musical escolar produjo $12600 por la venta de 3500 entradas. Si las entradas costaban $2 y $4 ¿Cuántas de cada tipo se vendieron?.

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CAPÍTULO 4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 4.1. DEFINICIÓN U n sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que puede tener varias incógnitas: el sistema es lineal si las ecuaciones son de primer grado, de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d, ... , . La solución del sistema es todo valor x, y, z, .... , que satisfagan el conjunto de ecuaciones, simultáneamente. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Sistema de ecuacIones lineales determinado: cuando el sistema tiene una solución. Sistema de ecuacÍones lineales indeterminado: cuando el sistema tiene infinitas soluciones.

4.2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Entre los métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones se puede destacar: el método de reducción, el método de sustitución, el método gráfico y el método de determinantes. A continuación estos métodos se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

4.2.1. MÉTODO DE REDUCCIÓN Este método consiste en conseguir que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, si los signos de los término de igual coeficiente son diferentes, se suman, en caso contrario se restan, dando lugar a una ecuación con una sola incógnita. El resultado de la resolución de esta ecuación, se reemplaza en las ecuaciones originales para obtener el valor el valor de la otra incógnita. (1) (2)

2 x - 5 Y = 16 4x + y = 10

Para eliminar x se multiplican (1) por 2, y se obtiene: 4x-l0y = 32 4x+ y =10

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Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente: 4x - 10y = 32 -4x - y = -10 -11y = 22 →

y = -2

Sustituyendo en el valor de y en (2), se obtiene: 4x + y = 10 4x - 2 = 10 4x - 2 = 10 4x = 12 x=3 La solución es x = 3, y = -2. Comprobación: Sustituyendo estos valores en (2), se obtiene 4(3) - 2 = 10 12 - 2 = 10 10 = 10

4.2.2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Este método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra. Por ejemplo consideremos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) anteriores, si despejamos y de (2). y = -4x + 10 Luego reemplazamos el valor de y en (1). 2x - 5 Y = 16 2x -5(-4x + 10) = 16 2x+ 20x-50 = 16 22x = 66 x=3 Ahora sustituyendo el valor de x en (2) se obtiene: 4x + y = 10 4(3) + y = 10 12 + y = 10 y=-2

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Se ha obtenido de esta manera la solución x = 3, Y = - 2.

4.2.3. MÉTODO GRÁFICO Este método consiste en trazar las dos rectas que representan a cada ecuación del sistema. Sistema es compatible determinado: si las rectas se cortan, las coordenadas del punto de intersección es la solución del sistema. x+3y=-1 2x - y = 5

Sistema es compatible indeterminado: Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), sus soluciones son todos los puntos de la recta. Por ejemplo: 3x + y = 6 6x+2y = 12

Sistema es incompatible: Si las rectas son paralelas, es decir, no tiene solución. 3x + y = 6 6x+2y = 20

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EJERCICIOS DESARROLLADOS

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos estudiados: 1.

5x+2y=3 2x+3y =-1

(1) (2)

Solución. Utilizando el método de reducción, se puede eliminar la incógnita y, multiplicando a (1) por 3 ya (2) por -2, se obtiene 15x+6y = 9 -4x-6y = 2 11x = 11 x=1 Reemplazo el valor de x en (1) 5x+2y = 3 -4(1)-6y = 2 -4-6y = 2 6y = -6 y=-1 La solución del sistema es x= 1 y y=-1 2.

3x+2y =10 2x + y = 5 Solución. A este sistema se lo va a resolver por el método gráfico. Despejando y en ambas ecuaciones, se obtiene: 3 y =− x+5 2 y = +2x + 5

Las dos rectas tienen como punto de intersección las coordenadas en x y y de (0,5), espectivamente.

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Por lo tanto la solución del sistema es: x=0 y=5 5

y = -3/2x+5 y = -2x+5

TAREA DE REFUERZO No. 15

Del Álgebra Superior de Schaum resuelva los ejercicios propuestos de la página 107 (uno de cada Ítem).

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CAPÍTULO 5 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 5.1. DEFINICIÓN Una ecuación entera es de segundo grado, si el mayor exponente de la incógnita es 2. Su forma general completa después de quitar denominadores, paréntesis y reducir los términos semejantes es: ax 2 + bx + c=a En la que a, b y c son constantes y a ‘* O, es decir, que el coeficiente de x2 no puede ser cero, el resto si lo puede ser. Por ejemplo. a)

5x2 + 0x + 5X2 = 0

5x2 + 5 = a; a = 5 ; b = 0 ; c = 5

b)

-7X2 + 2x + a = 0

- 7x2 + 2x = 0 ; a = -7 ; b = 2 ; c = 0

c)

3y2 + ay + a = 0

3y2 = 0 ; a = 3 ; b = a ; c = 0

d)

8x2 - 10X = 9

8x2 - 10x - 9 = 0 ; a = 8 ; b = -10 ; c = -9

5.2. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas se clasifican en: completas, incompletas puras e incompletas mixtas. Anteriormente establecimos el hecho de que en una ecuación de segundo grado o cuadrática puede o no aparecer el término independiente y el término en x esto nos permite tener 3 tipos de ecuaciones cuadráticas. 1.

2.

Las que tienen todos los términos, Ejemplos a)

10x2 -5x +7 = 0

b)

8x2 + 2x + 1 = a

Las ecuaciones que les falta el término independiente. a) 7t2-5t=a b)

3.

68

5y2 = 3x

Las ecuaciones que les falta el término en x. a)

2az2 - 10 = a

b)

3w2 + 2 = a

c)

9x2 = a

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Resumiendo

1.

Completas:

Clasificación de cuaciones de segundo grado ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0

ax2 + bx + c = 0 ÿ Incompletas Puras de la forma: ax2 + c = 0, b = 0

2.

Incompletas:

ÿ Incompletas Mixta 2 ax + bx = 0, c = 0

EJERCICIOS: Frente a cada ecuación cuadrática escriba una e si es completa, una 1 si es incompleta mixta y una P si es incompleta pura a)

2x2+3x=0

b)

5y2 + 4 = o

c)

6m2 + 3m-5 = 0

d)

8t2+ 5t = 10

e)

3x - x2 = 0

f)

3/5x2 + 9/7 = 0

g)

7/3x2 + 2/3x -1/2 =0

h)

1/2y2 = 2/7 y

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO (NO NEGATIVO (POSITIVO) Antes de indicar como resolver una ecuación de segundo grado escrito en cualquiera de sus tres formas, es fundamental tener presente como obtener la raíz cuadrada de un nÚmero no negativo. Hallar la raíz cuadrada de un número significa encontrar uno de dos factores iguales de dicho nÚmero, por ejemplo. Radical

√25 = 5 , porque 5x5 = 25, pero también,

radicando √25 = -5 , porque -5 x -5 = 25 En este ejemplo observamos que el 25 tiene dos raíces cuadradas: el 5 y el-5, es decir. +5 =

o bien

=±5

-5

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Todo número real mayor que cero tiene dos raíces, una positiva y otra negativa.

N

5.3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS 5.3.1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS PURAS ax2 + c = 0 1.

Resuelva la ecuación cuadrática 3x2 - 7 = 8 Solución: a)

Transponiendo los términos de la ecuación 3x2 -7 = 8 ... (Pasa sumando) 3x2 = 8 + 7 ; 3x2 = 15 ... (Pasa dividiendo)

xl = + √5 x = 15/3 ; x = 5 x = √5 = (son las raíces de la ecuación dada) x2 = - √5 Comprobemos nuestros resultados, sustituyendo Las raíces encontradas en la ecuación original, recuerde que debemos de obtener una igualdad, caso contrario las respuestas están equivocadas y hay que empezar de nuevo. 2

2

Verificación Sustituyendo xl = √5 en 3x2-7 = 8 3x2 - 7 = 8 3( √5 )2 - 7 = 8 15 - 7 = 8 8=8

—

70

Sustituyendo x2 = - √5 en 3x2-7 = 8 3x2 - 7 = 8 3 (-√5 )2 - 7 = 8 3(5) -7 =8 15 - 7 = 8 8=8

NOTA: Si a y c tienen el mismo signo las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa, si tienen distinto signo las raíces son reales.

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REGLA. Para desarrollar ecuaciones cuadráticas incompletas puras, se procede de la siguiente manera: ÿ

Transponer los términos de la ecuación, de tal manera que la variable quede sola del lado izquierdo de la igualdad (también puede ser del lado derecho).

ÿ

Como la variable queda elevada al cuadrado, aplicamos la definición de raíz cuadrada y encontramos las dos soluciones o raíces.

5.3.2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS MIXTAS ax2 + bx = 0 Lo que hay que aprender es:

N

Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas mixtas por factorización.

Lo primero que debemos hacer es recordar cómo factorizamos aplicando la propiedad distributiva (factor común) , en un polinomio que tiene al menos un factor comÚn en todos sus términos, por ejemplo. a)

5x + 8x - x

Factor común x

b)

2a + 8b - 4c

Factor común 2

c)

5ab + l0ac - 20ax

Factor común 5a

Resolver la ecuación cuadrática 2x2- 8x = 0 Solución. a)

factorizamos el binomio del lado izquierdo 2x2 - 8x = 0 ; 2x ( x - 4 ) = 0

b)

c)

Igualamos a cero cada factor y resolvemos las ecuaciones resultantes. 2x = 0

xl = 0/2 = 0

x-4 = 0

x2 = 4

Las raíces son: xl = 0 y x2 = 4

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Verificación Sustituyendo xl = O

Sustituyendo x2 = 4

2X2 - 8x = 0 2(0)2 -8(0) = 0 0=0

2X2 - 8x = 0 2(4)2 - 8 (4) = 0 32 - 32 = 0 0=0

Resolver la ecuación 3x − 1 = 5x + 2 x−2 Solución. a)

Quitamos denominadores: ( x - 2) (3x - 1 ) = 5x +2

b)

Multiplicamos 3x2 - 7x + 2 = 5x + 2 3x2-12x = 0 3x = 0 x1 = 0/3=0

3x(x-4) = 0 x-4 = 0 x2 = 4

REGLA. Para desarrollar ecuaciones cuadráticas incompletas mixta, se procede de la siguiente manera: ÿ

Igualamos a cero la ecuación

ÿ

Factorizamos el binomio de la izquierda

ÿ

Igualamos a cero cada uno de los factores

ÿ

Resolvemos las ecuaciones de primer grado.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Resuelva las siguientes ecuaciones 1.

3x2 = 48 Solución 2 Despejamos x; x =

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48 ; x = ±16 ; x = ±4 3

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Sol x1 = 4 ; x2 = - 4 La ecuación propuesta tiene dos raíces iguales en valor absoluto y de signos contrario. 2.

x2 + 5 = 7 Solución. x 2 = 7 - 5 = 2 ; x2 = 2 Sol x1 =

x=±2

; x2 = -

Las dos raíces 2 y - 2 son reales e irracionales 3.

5x2 + 12 = 3X2 - 20 Solución 5x2 - 3x2 = -20 - 12 2x2 = -32 x2 = - 32/2 ;

x2 = ± -16 ;

x2 = ± 16 (-1)

x = ± 4i

Sol xl y x2 son raíces imaginarias 4.

x2 = - 3x Solución 5x2 + 3x = 0 ; x( 5x + 3 ) = 0 xl = 0 ; 5x + 3 = 0 x2 = -3/5 Las soluciones son: xl = 0 y x2 = -3/5

5.

x 2 4x + =0 3 5 Solución. 5x2 + 12x = 0 ; x( 5x + 12 ) xl = 0 ; 5x+ 12=0 x2 = -12/ 5 Las soluciones son xl = 0; x2 = -12 /5

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TAREA DE REFUERZO No. 16

Resuelva las siguientes ecuaciones: 1.

3x2 - 12 = 0

Rta. x = ± 2

2.

2X2 - 18 = 0

Rta.x = ±3

3.

4X2 + 25 = 0

Rta. x = (+5/2i); (-5/2i)

4.

81x2 - 121 = 0

Rta. x =(+11/9); (-11/9)

5.

x2 - 49 =

Rta. xl = (+7), x2 = (-7)

6.

3x2 - 12x = 0

Rta. xl = 0, x2 = 4

7.

5x2 - 3x = 0

Rta. xl = 0, x2 = 3/5

5.4.

ECUACIONES DE FACTORIZABLES

SEGUNDO

GRADO

COMPLETAS

De la forma x2 + bx + e = 0 Cuando se tiene una ecuación completa de la forma x2 + bx + c = O, el primer miembro de la ecuación se puede descomponer en factores aplicando alguno de los métodos estudiados anteriormente en la factorización, obteniéndose inmediatamente sus raíces, con solo igualar a cero cada uno de los factores.

EJERCICIOS DESARROLLADOS Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1.

x2 + x - 30 = 0 Solución Se descompone el trinomio que en este caso es de la forma es x2 + bx + c, por cualquiera de los métodos estudiados.

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(x+6)(x-5) = 0 igualamos cada factor a cero, tenemos x+6 = 0 x1 = -6

x-5 = 0 x2 = 5 de donde:

xl = - 6 ; x2 = 5 son las dos raíces de la ecuación 2.

6x2 - x - 2 = 0 Solución. Se descompone el trinomio que en este caso es de la forma ax2 + bx +c (2x+ 1)(3x-2) = 0 Igualamos cada factor a cero, tenemos 2x + 1 = 0 2x = -1 xl =- 1/2

3x - 2 = 0 3x = 2 x2 =2/3

De donde xl = - 1/2; x2 =2/3 son las raíces de la ecuación. 3.

x( x - 1) - 5(x - 2) = 2 Solución. Efectuamos las operaciones indicadas. x2 - x - 5x + 10 - 2 = 0 Reducimos términos semejantes . x2 - 6x +8 = 0 Descomponemos en factores . (x-4)(x-2) = 0 igualamos cada factor a cero x- 4 = 0 x xl = 4

x-2 = 0 x2 = 2

Las dos raíces son: x1 = 4; x2 =2 4.

x 3x +15 +x= x -2 4 Solución Sacamos el mcm de los denominadores 4x + 4x(x-2) = (x-2)(3x + 15)

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Efectuamos las operaciones indicadas 4x + 4x2 - 8x = 3x2 + 15x - 6x - 30 4x2 - 3x2 - 4x - 9x + 30 = 0 Reducimos términos semejantes x2 - 13x + 30 = 0 Descomponemos en factores (x-10)(x-3) =0 Igualamos cada factor a cero x1 = 10 ; x2 = 3 Las raíces son xl = 10; x2 = 3 5.

(x-2)3 - (x-3)3 = 37 Solución. Primeramente realizamos los productos nota bles indicados x3 - 6x2 +12x -8 - (x3 -9x2 +27x -27) = 37 x3 - 6x2 +12x -8 -x3 + 9x2 - 27x + 27 - 37 = 0 Reducimos términos semejantes 3x2 - 15x - 18 = 0 Descomponemos en factores (3x+3)(x+6) = 0 Igualamos cada factor a cero 3x + 3 = 0 x = - 3/3 x1 = -1

x+6=0 x2 = 6

En la practica este método se usa muy raras veces para resolver una ecuación cuadrática a menos que, cuando la ecuación este escrita en forma canónica (ax2 + bx + c = 0) el polinomio correspondiente se pueda factorizar sobre los enteros, por lo que es necesario estudiar otros métodos para su resolución.

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TAREA DE REFUERZO No. 17

Resuelva por descomposición en factores las siguientes ecuaciones 1.

x2 = 108 -3x

2.

2x2 + 7x - 4 = 0

3.

6x2 = 10 - 11 x

4.

(x-2)2 - (2x + 3)2 = - 80

5. 6.

x2 + x - 6 = 0

7.

x2 - 2x = 8

8.

x2 + 8x + 15 = 0

5.5. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (Completando un trinomio cuadrado perfecto) Hasta ahora hemos estudiado cómo resolver ecuaciones cuadráticas por factorización, pero como ya vimos en el tema anterior, no siempre es fácil encontrar los factores del polinomio cuadrático, por esto es mejor estudiar métodos más generales, que nos permitan resolver cualquier tipo de ecuaciones. Uno de esos métodos es el de completar trinomio cuadrado perfecto, veamos en que consiste. Si tenemos la ecuación x2 + bx + c = 0 (coeficiente de x = 1 ), se procede de la siguiente manera. Se transpone el término independiente al segundo miembro x2 + bx = c Se suma a ambos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad del coeficiente de x x 2 + bx +

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

b2 b2 = -c + 4 4

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Se resuelve el primer miembro 2

⎛ x+b ⎞ b2 = −c ⎜ 2 ⎟ 4 ⎝ ⎠ Se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros ⎛ b⎞ ⎜ x+ 2 ⎟ ⎠ ⎝

x+

b = 2

2

=

b2 -c 4

b2 -c 4 b x1 =- + b 2 /4-c 2

b b2 x=- ± -c 4 2

Se despeja x

b x2 =- - b 2 /4-c 2

Cuando el coeficiente de x2 es un número diferente de 1, el procedimiento es el mismo, solo que como primer paso dividimos el trinomio para el coeficiente de x2

EJERCICIOS DESARROLLADOS Resuelva las siguientes ecuaciones completando el trinomio 1.

x2 - 2x - 15 = O Solución Se traspone el término independiente al segundo miembro. x2 - 2x = 15 Se suma a ambos términos de la igualdad el cuadrado de la mitad del coeficiente de x . x2 - 2x + 1 = 15 + 1 Ahora si, en el lado izquierdo de la igualdad tenemos un trinomio cuadrado perfecto, cuyo resultado es. ( x - 1 )2 = 16

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extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros (x − 1)2 = 16 x-1=±4

xl = 1 + 4 = 5

x= 1 ± 4 x2 = 1- 4 = -3 Las raíces son: xl = 5 ; x2 = - 3 2.

2x2 - x - 3 = 0 Solución Se transpone el termino independiente 2x2 -x = 3. Como el coeficiente de x2 es diferente de 1, debemos dividir toda la igualdad para el coeficiente de dicho termino con el fin de obtener una ecuación de la forma x2+ bx + c. x2 −

x 3 = 2 2

Se suma a ambos términos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. x2 −

x 1 3 1 + = + 2 16 2 16

Se resuelve 2

⎛ 1⎞ 25 x − = ⎜ ⎟ 4⎠ 16 ⎝ Extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos. 2

⎛ 1⎞ ⎜ x- 4 ⎟ = ⎠ ⎝ x-

25 16

1 5 =± 4 16 1 5 x= ± 4 4

Las raíces son: xl=3/2 y x2=-1

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Guía Didáctica: Matemática I

TAREA DE REFUERZO No. 18

Resuelva las siguientes ecuaciones, completando el trinomio cuadrado perfecto 1.

9x2 - 6x + 1 = 0

2.

2x2 - 3x + 15 = 0

3.

x2+ l0x=-16

4.

x2 + 2x = 8

5.

x2 + l0x + 15 =0

6.

x2 + 8x + 3 = 0

7.

x2 + 4x - 77 = 0

8.

x2 - 2x - 48 = 0

5.6. FÓRMULA GENERAL Otra forma de resolver una ecuación cuadrática es empleando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado. Dicha fórmula la podemos obtener aplicando el método de completar trinomio cuadrado perfecto a la ecuación general de segundo grado ax2 + bx + c = 0 Multiplicando por 4a

4ax2 + 4a bx + 4ac

Sumando b2 a los dos miembros

4a2 x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2

Pasando 4ac a12do miembro

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac

Descomponiendo el primer miembro que es un trinomio cuadrado perfecto: (2ax+b)2 = b2 - 4ac Extrayendo la raíz cuadrada a los 2 miembros

80

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(2ax+b)2 = b 2 − 4ac

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Transponiendo b a12do miembro: 2ax = −b ± b 2 − 4ac

Despejando x: x =

−b ± b 2 − 4ac 2a

Esta es la fórmula general

x=

−b ± b 2 − 4ac 2a

El doble signo (±) significa que son dos valores, uno para (+) y otro para (-),

x1 =

−b + b 2 − 4ac 2a

−b − b 2 − 4ac x2 = 2a

EJERCICIOS DESARROLLADOS Resuelva las siguientes ecuaciones 1.

3x2 - 5x + 2 = 0 Solución a)

Se iguala a cero la ecuación,

b)

Se encuentra los valores de a, b y c a = 3 ; b = -5 ; c = 2

c)

Se sustituyen los valores a, by c en la formula general, teniendo presente que b se coloca con signo cambiado x=

d)

5 ± 52 − 4(3)(2) 2(3)

Se efectúan las operaciones indicadas : x =

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

5 ± 25 − 24 6

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x1 = 6/6 = 1 x=

5±1 6 x2 = 2/3

2.

4X2 + 3x + 22 = O Solución x=

-b ± b 2 − 4ac −3 ± (3)2 − 4(4)(−22) ;x = 2a 2(4)

−3 ± 9 + 352 −3 ± 361 −3 ± 19 ;x = ;x = 8 8 8 −3 + 19 16 x1 = = =2 8 8 −3 − 19 −22 −11 = = x2 = 6 8 4 x=

Las soluciones son, xl = 2, x2 = -11/4 3.

x(x+3)=5x+3 Solución a)

Realizamos las operaciones indicadas, x2 + 3x = 5x + 3

b)

Igualamos a cero, x2 + 3x - 5x - 3 = 0

c)

Reducimos términos semejantes, x2 - 2x - 3 = O

x=

2 ± (-2)2 -4(1)(-3) 2± 4+12 ; x= 2(1) 2

2± 16 2±4 ; x= ; 2 2 2+4 6 x1 = = =3 2 2 2-4 -2 = = -1 x2 = 2 2 x=

Las soluciones son: xl = 3; x2 =-1 N

82

REGLA: Para resolver una ecuación de segundo grado por medio de la fórmula general, se procede de la siguiente forma:

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ÿ

Se iguala a cero la ecuación

ÿ

Se encuentra los valores de a, b y c

ÿ

Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula general

ÿ

Se efectúan las operaciones resultantes, obteniéndose así las dos soluciones

Se verifican los resultados

TAREA DE REFUERZO No. 19

1.

x2 + 3x - 54 = 0

2.

2X2 - 42 = 5x

3.

5x2 = 18 + x

4.

42x2 - X - 30 = 0

5.

36x2 = 13x + 30

6.

3 (3x - 2) = (x+4)(4+x)

7.

3x2 - 7x + 2 = 0

8.

x2 - 7x + 3 = 0

5.7. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Anteriormente estudiamos como graficar funciones o ecuaciones de primer grado y no teníamos ni la menor idea de que fuera posible hacer un dibujo de una expresión ma temática. Para ello utilizamos el sistema de coordenadas rectangulares o plano cartesiano, llamado así en honor a su creador el filósofo y matemático francés René Descartes (1596-1650), cuya idea se centraba en saber ubicar y localizar puntos en un plano asignándole a cada punto una pareja de números.

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EJERCICIOS DESARROLLADOS Construya la gráfica de la ecuación y encuentre mediante ella sus raíces 1.

x2 - 4x + 3 = 0 Solución. a)

El primer miembro de esta ecuación es una función de segundo grado de x. y la escribimos de la forma y = ax2+ bx + c ; y = x2- 4x +3 ( haciendo y = 0 )

b)

Damos valores adecuados a « x» y encontramos los valores de y (Adecuados en el sentido de que las parejas resultantes no estén compuestas de números muy grandes)

c)

x

Sustituimos en y= x2 - 4x +3

Operaciones

y

( x, y )

0

y = (0)2 - 4(0) +3

y = 0 - 0 +3

3

( 0,3 )

1

y = (1) - 4(0) +3

y = 1 -4 +3

0

( 0,0 )

2

y = (2) - 4(2) +3

y = 4-8+ 3

-1

( 2,1 )

3

y = (3) - 4(3) +3

y = 9-12+3

0

( 3,0 )

2

2

2

Por último ubicamos en un mismo sistema coordenada los puntos obtenidos, y los unimos cuidadosamente, formando una parábola. 40 30 20 10 -4

d)

-2

2

4

6

8

Para encontrar las raíces observamos donde el valor de y = 0, es decir en donde la curva corta al eje x, tomando solo el valor de la abscisa. Nos podemos dar cuenta que el grafico corta al eje de los x en dos puntos cuyas abscisas son 1 y 3, siendo estas las raíces de la ecuación. Si sustituimos estos valores en la ecuación dada, tenemos 1-4+3 = 0 -3 + 3 = 0 0=0

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9 - 12 + 3 = 0 12 - 12 = 0 0=0

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Por consiguiente las raíces buscadas son: Xl = 1 Y X2 = 3 2.

x2 + 2x - 2 = 0 Solución y = x2 + 2x - 2 x 0 1 2 -1 -2 -3 4 y -2 1 6 -3 -2 1 6 12.5 10 -4 2 -4

-2

2

4

-2.5 Por consiguiente las raíces buscadas son: xl = 0,7: x2 = 2,7 3.

x2 + x + 1 = 0 y = x2 + x + 1 x 0 1 2 -1 -2 -3 y 1 3 7 1 3 7 20 15 10 5 -4

-2

2

4

Observamos que el gráfico no corta el eje horizontal, por lo tanto las raíces son imagmarIas. 4.

x2 - 3x + 3 = 0 y = x2 - 3x + 3

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Realice el gráfico con los valores que se da x y

0 3

1 1

2 1

3 3

Las raíces son: —

Si la curva toca en un solo punto el eje de las X, quiere decir que las raíces son iguales.

Con respecto a la gráfica de una ecuación de segundo grado o cuadrática de la forma y = ax2 +bx + c, se dan 3 posibilidades.

1. Que la curva corte al eje x en dos puntos

2.

Que la curva corte al eje x en un solo punto

x 1 x2

La ecuación tiene dos raíces Reales, x1 y x2. esto sucede Cuando: (b2 -4ac) > 0

86

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3.

Que la curva no corte al ejex.

x1, x2

La ecuación tiene una raíz real (Xl = X2), esto sucede

La ecuación no tiene raíces reales esto sucede cuando :

cuando: b2 - 4ac = 0

(b2 - 4ac) < 0

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TAREA DE REFUERZO No. 20

Construya la gráfica de la ecuación y encuentre mediante ella sus raíces 1.

x2 + x - 1 = 0

2.

x2 - x - 6 = 0

3.

x2 - 6x + 7 = 0

4.

x2 + 5x + 7 = 0

5.

-2x2 - 2x + 3 = 0

6.

-3x2 + 9x - 8 = 0

7.

- 2x2 + 5x - 1 = 0

8.

6x2 + 10x - 5 = 0

5.8. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO El planteo de muchos problemas especialmente de aquellos que tratan acerca del producto o el cociente de la incógnita implica el uso de ecuaciones de segundo grado. El método para obtener la ecuación necesaria para resolver estos problemas sugiere el siguiente esquema. a.

Leer cuidadosamente el problema y estudiado hasta que quede perfectamente clara la situación que plantea.

b.

Identificar las cantidades comprendidas en el problema tanto las conocidas como las desconocidas.

c.

Elegir una de las cantidades desconocidas y representada mediante una letra, generalmente x: después expresar las otras cantidades desconocidas en términos de esa letra.

d.

Buscar en el problemas los datos que indiquen que cantidades o que combinaciones de estas son iguales.

e.

Formular la ecuación, igualando las cantidades o combinaciones apropiadas encontradas en el paso anterior.

f.

Resolver la ecuación obtenido y comprobar la solución.

Es conveniente hacer notar que frecuentemente, al resolver un problema mediante el uso de una ecuación de segundo grado, el problema tiene solo una solución en tanto que la ecuación tiene dos soluciones. En tales casos se descarta la raíz que no satisface las condiciones del problema.

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EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

Hallar dos números sabiendo que su suma es 50 y su producto 600. Solución. x = sea uno de esos números Datos. 50 - x = será el otro número 600 es el producto de ambos x(50 - x) = 600 resolvemos el producto indicado 50x - x2 = 600 ordenamos - x2 + 50x + 600 = 0 Es conveniente que el coeficiente de x2 sea positivo para conseguido, multiplicando todos los términos de la ecuación por -1. x2 - 50x + 600 = 0 Resolvemos la ecuación x=

50 ± (50)2 -4(1)(600) 50± 2500-2400 ; x= 2(1) 2

50± 100 50±10 ; x= ; 2 2 50+10 50-10 = 30; x2 = = 20 x1 = 2 2 x=

Primer número x = 30 Segundo número 50 - x = 20 2.

Hallar dos números cuya suma es, 10 y la diferencia de sus cuadrados, 40. Solución. Primer número = x Datos Segundo número = 10 -x La diferencia de sus cuadrado es 40:

x2 - (10 - x)2 = 40 x2 - (10 - x)2 = 40

Efectuando las operaciones. x2 - (100 - 20x + x2) = 40

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x2 - 100 + 20 x - x2 = 40 20 x = 40 + 100 x = 140/20 = 7 Primer número = 7 Segundo número = 10 -7 = 3 Verificación: Suma: x + (10 - x) = 7 + 3 =10 Diferencia de los cuadrados

3.

x2 - (10 -7)2= 40 49-9 = 40 40 = 40

Encuéntrese dos números cuya diferencia sea 9 y cuyo producto sea 190 Solución. Primer numero = x Datos

Segundo Numero = x + 9 x(x+9) = 190 ;x2+9x-190=0

Desarrollemos la ecuación x=

−9 ± (9)2 -4(1)1-190) -9± 81+760 ; x= 2(1) 2

-9± 841 -9±29 ; x= ; 2 2 -9+29 -9-29 = 10; x2 = = -19 x1 = 2 2 x=

Primer número =10 Segundo número = -19 4.

La base de un rectángulo es 3 cm. más que su altura. El área es 70 cm2 Encuentre la base y la altura. Solución. Datos: Altura = x Base = x+3

x

A=bxh x+3

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70 cm2 = (x+3) x 70 cm2 = x2 + 3x ; x2 + 3x - 70 = 0 x=

−3 ± (3)2 -4(1)(-70) -3± 9+280 ; x= 2(1) 2

-3± 289 -3±17 ; x= ; 2 2 -3+17 -3-17 = 7; x2 = = -10 x1 = 2 2 x=

Altura x = 7 cm Base x + 3 = 10 cm

Verificación: A = b x h A = (10cm)(7cm) A = 70 cm2

TAREA DE REFUERZO No. 1

1.

Hallar 3 números impares consecutivos, tales que sus cuadrados sumen 5051. Rta. 39,41 y43

2.

La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Halle los números. Rta. 7 y2

3.

Un número positivo es los 3/5 de otro y su producto es 2160.Hallar los números. Rta. 36 y 60

4.

A tiene 3 años, mas que B y el cuadrado de la edad de A aumentando en el cuadrado de la edad de B equivale a 317 años. Halle ambas edades. Rta. 14 y 11

5.

Un número es el triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Halle los nÚmeros. Rta. 15 y 45

6.

La base de un rectángulo es 2 veces la altura. El área es 32 m2 Encuentre la base y la altura. Rta.4m y 8m

7.

La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumenta en 4 m el área será doble. Halle las dimensiones de la sala. Rta. 8m y 12m

8.

Un comerciante compro cierto número de sacos de azúcar por 1000 bolívares. Si hubiera comprado 10 sacos mas por el mismo dinero cada saco le habría costado 5 bolívares menos. Cuantos sacos compro y cuanto le costo cada uno. Rta. 40 sacos y cada uno costo 25 bolívares.

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9.

Un caballo costo 4 veces lo que sus arreos y la suma de los cuadrados del precio del caballo y el precio de los arreos es del 860625 dólares, Cuanto costo el caballo y cuanto los arreos. Rta. Caballo 900 $ y arreos 225 $

5.9. ECUACIONES FRACCIONARIAS. Ecuaciones fraccionarias son aquellas que contienen fracciones algebraicas y para resolverlas es necesario primeramente transformarlas a ecuaciones enteras, luego se resuelve por la forma general o por cualquiera de los procedimientos estudiados anteriormente.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Desarrolle las siguientes ecuaciones. 1.

x2/5 - x/2 = 3/10 Solución. Sacamos el m.c.m de los denominadores 2x2 - 5x = 3 ; 2x2 - 5x - 3 = 0 Resolvemos la ecuación por cualquier método ( 2x + 1 ) (x - 3 ) = 0 Igualamos a cero cada factor 2x+1 = 0 xl = -1/ 2

2.

x-3 = 0 x2 = 3

Sol. x1 = -1/2 ; x2 = 3

5 1 =1 x x +2 Solución. 5( x+2) - x = x(x+2);

5x + 10 - x = x2 + 2x; 5x + 10 - x - x2 - 2x = 0

Simplificando términos semejantes tenemos: x2 - 2x -10 = 0 −b ± (b)2 -4ac 2± (-2)2 -4(1)(-10) 2± 4+40 2± 44 2±2 11 x= = = = = 2a 2(1) 2 2 2 x1 =

2+2 11 2-2 11 = 1+ 11; x2 = = 1- 11 2 2

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TAREA DE REFUERZO No. 22

Desarrolle las siguientes ecuaciones 1.

15 11+5 - 2 = -1 x x

Rta. (-5,1)

2.

8x 5x+1 + =3 3x+5 x+1

Rta. (1,-10/7)

3.

1 1 1 = x-2 x-1 6

Rta. (4,-1)

4.

-1-

x-2 2x-3 = 10 x+5

Rta. (-18,5)

5.10. ECUACIONES LITERALES Ecuaciones de segundo grado con coeficientes literales se resuelve de la misma manera que las ecuaciones numéricas; por la fórmula general o por descomposición en factores, recomendando la resolución por factores que es muy rápida, mientras que por la fórmula resulta muy laborioso.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Desarrolle las siguientes ecuaciones literales. 1.

x2 +2ax - 35a2 =0 Solución Tenemos que a = 1, b = 2a y c = - 35a2 Aplicando la fórmula, x =

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−b ± b 2 − 4ac 2a

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−2a ± (2a)2 -4(1)(-35a2 ) -2a± 4a2 − 140a2 -2a± 4a2 +140a2 -2a± 144a2 = = = 2(1) 2 2 2 -2a ± 12a -2a+12a 10a x= = → x1 = = = 5a 2 2 2 -2a-12a -14a = = -7a → x2 = 2 2 x=

2.

a2x2 + abx - 2b2 = 0 Solución. (ax + 2b ) ( ax - b ) , igualando a cero cada factor. ax + 2b = 0 ax = -2b xl = -2b/a

3.

ax - b = 0 ax = b x2 = b / a

89bx = 42x2 +22b2 Solución. Ordenamos, cambiamos de signo e igualamos a cero 42x2 - 89bx + 22b2, tenemos un trinomio de la forma; mx2-px+q Factoramos : (6x -11b ) (7x - 2b) ,igualamos a cero cada factor 6x - 11b = 0 xl = 11b/6

4.

7x - 2b = 0 x2 = 2b/7

x2 + ax - bx = ab Solución. Igualamos a cero: x2 + ax -bx - ab = 0 ,factoramos (agrupación) (x2 - bx) + (ax - ab) = x (x - b) + a (x - b) = ( x - b ) (x + a ), igualamos a cero cada factor x- b = 0 xl = 0

5.

x+a = 0 x2 =-a

3x a x2 + =0 4 2 2a Solución. Eliminamos los denominadores: a(3x) + 2a(a) -2(x2) = 0, multiplicamos.

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2ax + 2a2 - 2x2 = 0 , ordenamos y cambiamos de signo, 2x2 - 2ax - 2a2 = 0 , factoramos, (2x + a ) (x - 2a ) , igualamos a cero cada factor. 2x+a = 0 xl = -a/2

; ;

x-2a = 0 x2 = 2a

TAREA DE REFUERZO No. 23

Desarrolle las ecuaciones siguientes: 1.

x2 + ax = 20a2

Rta. ( - 5a, 4a )

2.

b2x2 + 2abx = 3a2

Rta. (-9/b, -3a/b)

3.

2x2 = abx + 3a2b2

Rta. (3ab/2, -ab)

4.

x2 -2ax - 3bx

Rta. (2a+3b)

5.

3( 2x2 - mx ) + 4nx - 2mn = 0

Rta. (m/2, -2n/3 )

5.11. ECUACIONES CON RADICALES Las ecuaciones con radicales se resuelven, como sabemos eliminando los radicales mediante la elevación de los dos miembros a la potencia que indique el índice del radical. Para resolver una ecuación con radicales se sigue los siguientes pasos: •

Racionalización

•

Resolución de la ecuación obtenida

•

Verificación de las raíces encontradas en la ecuación dada, ya que cuando se elevan los dos miembros de la ecuación a una misma potencia se introducen soluciones extrañas que no satisfacen la ecuación dada.

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EJERCICIOS DESARROLLADOS Desarrolle las siguientes ecuaciones. 1.

2x 2 -4x = x Solución. Elevando al cuadrado ambos miembros

(

2x 2 - 4x

) = (x ) 2

2

2x 2 - 4x = x , 2

transponiendo y reduciendo

2

x 2 - 4x = 0,

2x - 4x - x = 0 , x(x - 4) = 0 , x1 = 0

,

factorando

igualando a cero cada factor x2 = 4

Verificación . 20(0)2 -4(0) = 0

;

2(4)2 -4(4) = 4;

0=0

;

32-16 = 4; 4=4

Las raíces de la ecuación son: xl = 0 y x2 = 4 x+3 - x-1 = 2x+2

2.

Solución. Elevando al cuadrado ambos miembros.

(

x+3 - x-1

) =( 2

2x+2

)

2

x + 3 -2 x+3 x-1 +x-1 = 2x+2 ,

simplificando y transponiendo,

2 x+3 x-1 = 2x+2-x+1-x-3) (-2 x+3 x-1)2 = 0

,

elevando al cuadrado

4(x+3)(x-1) = 0

,

multiplicando

4x -4x+12x-12 = 0

,

simplificando

2

2

, (x+3)(4x-4),igualandoacerocadafactor 4x +8x-12 = 0 x1 = -3 , x2 = 4/4 = 1 Verificación. Realizando la verificación se ve que el valor de 1 satisface la ecuación, pero -3 no satisface la ecuación es una solución extraña.

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TAREA DE REFUERZO No. 24

Resuelva las siguientes ecuaciones 1.

2x- x-1 = 3x-7

Rta. (10,5)

2.

5x-1+ x+3 = 4

3.

2x-1+ x+3 = 3

4.

x-3+ 2x+1-2 x = 0

5.

2 x = x+7 +

8 x+7

5.12. CARÁCTER DE LAS RAÍCES En algunos casos todo lo que se necesita saber acerca de las raíces de una ecuación de segundo grado es su carácter o naturaleza, es decir, saber si son reales o imaginarias, raciones o irracionales, iguales o desiguales. Esto se puede sa ber sin necesidad de resolver la ecuación. Como sabemos una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces, cuyos valores son: x1 =

-b+ b 2 -4ac 2a

; x2 =

-b- b 2 -4ac 2a

Del valor de la expresión b2 - 4ac, depende el carácter de las raíces, este binomio toma el nombre de discriminante de la ecuación.

—

96

•

Si b2 - 4ac es positivo, su raíz cuadrada será un número real y sus raíces serán números reales y desiguales.

•

Si b2- 4ac, es negativo su raíz cuadrada será un número imaginario y sus raíces serán números complejos.

•

Si b2 - 4ac es igual a cero sus raíces son reales e iguales de la forma b/2a.

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Guía Didáctica: Matemática I

•

Si b2 -4ac es un cuadrado perfecto, las raíces son racionales y si no lo es son irracionales.

EJERCICIOS DESARROLLADOS Sin resolver la ecuación determinar el carácter de las raíces de las siguientes ecuaciones 1.

2x2 - 3x - 5 = 0 Solución. Encontramos los valores de a, b, y c a = 2 ; b = 3 y e = -5, sustituimos en el discriminante b2-4ac; (3)2-4(2)(-5) = 9 + 40; 49 > 0 Como b2 - 4ac es positiva las raíces son reales y desiguales y como 49 es cuadrado perfecto ambas raíces son racionales.

2.

x2 + 2x + 2 = 0 Solución b2 - 4ac = 4 - 4 (1 )(2) = 4 - 8 = -4 < 0 Como b2 - 4ac es negativo las raíces son imaginarias (complejas). Determinar k de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales

3.

x2 - 5x + k = 0 Solución. La condición para que las raíces sean iguales es que; b2 - 4ac = 0 52-4(1)(k) = 25 -4k

k= 25/4, sustituyendo el valor de ken la ecuación dada.

x2 - 5x + k = 0 , x2 - 5x + 25 /4 = 0 Resolviendo la ecuación; (x - 5/2) (x- 5/2) Igualando a cero cada factor x-5/2 = 0 xl = 5/2

x - 5/2 = 0 x2 = 5/2

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4.

2x2 - 6x + k = 0 Solución b2 - 4ac = 0 , 62 - 4(2)(k) = 36 - 8k

k = -36/8 = -9/2

Sustituyendo 2x2 - 6x + k = 0 ; 2x2 -6c + 9/2 = 0 Resolviendo, por la fórmula general. x=

-b± b 2 -4ac 2a

6± 36-4(2)(9/2) 6± 36-36 =x= 4 4 6±0 x= = x = 3/2 4

= x=

TAREA DE REFUERZO No. 25

Sin resolver la ecuación determinar el carácter de las raíces de las siguientes ecuaciones. 1.

4x2 + 4x + 1 = 0

2.

√2x2 - 3x + √2

3.

2x2 - 3x + 5 = 0

4.

z2 - z + 1 = 0

5.

4x2 - 2x + 12 = 0

=0

Determinar k, de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales 1.

kx2 + kx + 1 = 0

2.

3x2 + 8x + k = 0

3.

25x2 + kx + 1 = 0

4.

kx2 - 3x + k = 0

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5.13. RELACION ENTRE LAS RAICES y LOS COEFICIENTES La ecuación general de segundo grado es ax2 + bx + c = 0, Y sus raíces x1 =

-b+ b 2 -4ac 2a

; x2 =

-b- b 2 -4ac 2a

Sumando las raíces tenemos: x1 + x 2 =

-b+ b 2 -4ac − b − b 2 -4ac 2a

=

-2b −b = 2a a

S = x1 + x2 = -b/a Por tanto, la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con signo cambiado, dividiendo por el coeficiente del primer termino Multiplicando las raíces tenemos:

x1 . x 2 =

(-b+ b 2 -4ac(−b − b 2 -4ac ) (2a)(2a) =

=

b 2 − (b 2 − 4ac ) 4a

2

=

(b)2 − ( b 2 − 4ac )2 a2 b 2 − b 2 + 4ac 4a

2

=

4ac 4a

2

=

c a

P = x1 .x2 = c/a Por tanto el producto de las raíces es igual al tercer término con su propio signo dividido por el coeficiente del primero N

En toda ecuación de segundo grado en que el coeficiente del primer término es 1, la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado y el producto de las raíces es igual al tercer término con su propio signo.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.

Determinar si 2 y - 5 son las raíces de la ecuación: x2 + 3x - 10 = 0 Solución. Para que 2 y -5 sean las raíces de la ecuación la suma tiene que ser igual al coeficiente del segundo término con signo cambiado y el producto igual al tercer termino con su propio signo.

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Suma (2) + (-5) = -3 ;

Producto (2) . (-5) = -10

2 y - 5 son las raíces de la ecuación 2.

Determinar si -3 y 1/2 son las raíces de la ecuación: 2x2 + 5x - 3 = 0 Solución La ecuación ax2 + bx + c = 0 la transformamos a x2 + bx +c = 0, dividiendo el primer miembro de la igualdad por el coeficiente de x2 x2 + 5/2x - 3/2 = 0 Suma de las raíces (-3) + 1/2) = -6 + 1/2 = -5/2 Producto de las raíces (-3) . 1/2) = - 3/2 Parla tanto -3 y 1/2 son las raíces de la ecuación Construir las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son:

3.

x1 = 3 y x 2 = 4 Solución Hallamos: Suma de las raíces 3 + 4 = 7 Producto de la raíces 3. 4 = 12 Como sabemos que la suma de las raíces de toda ecuación es igual al coeficiente del segundo término con signo cambiado y el producto es igual al tercer término con su propIo sIgno. Por tanto la ecuación es: x2 - 7x + 12 = 0

4.

x1 = -1 y x2 = 3 Solución Suma de las raíces (-1) + (3) = 2; Producto de las raíces (-1) . (3) = -3 La ecuación es: x2 - 2x - 3 = 0

5.

Hallar dos números sabiendo que la suma es - 33 Y el producto 260 Solución x2 + 33x + 260 = 0, resolvemos la ecuación por factoreo, (x+20)(x+ 13) = 0

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xl = -20 ; x2 = -13, los números son -20 y-13 6.

La suma es 3/2 y el producto-1 Solución x2 - 3/2x -1 = 0 2x2 - 3x - 2 =0; los números son 2 y -1/2

TAREA DE REFUERZO No. 26

I

II

III

Determinar si los pares de números que se dan en cada caso son raíces de la ecuación correspondiente. 1.

2 y -3 son las raíces de x2 + x - 6 = 0

2.

1 y -1/2 son las raíces de 2x2 - x - 1 = 0

3.

-3 y 1/3 son las raíces de 3x2 + 8x -1 = 0

4.

2 y -1/5 son las raíces de 5x2 -11x + 2 =0

5.

-4 y -1/4 son las raíces de 4x2 + 17x + 4 = 0

Determinar la ecuación cuyas raíces son: 1.

-10 y 11

2.

1 y 1/2

3.

-2 y -1/5

4.

3 y - 2/3

5.

-2 y -3/2

Encontrar dos números sabiendo que: 1.

La suma es - 49 y el producto 294

2.

La suma es -22/3 y el producto 8

3.

La suma es 1/4 y el producto - 3/8

4.

La suma es -13 4/7 y el producto - 6

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GLOSARIO

Binomio. Expresión algebraica de dos términos. Ejemplo, 5a - 2b. Cantidad. Todo lo que es posible de aumentar o disminuir; por tanto, puede ser contado. Curva. Línea arbitraria que no tiene ninguna porción recta. Eje. Línea recta empleada para medir distancias o representar números. En geometría, recta que pasa por el centro de una figura o cuerpo. Expresión. Conjunto de términos que representan una cantidad. Factor. Es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto Factor común. Es el número que divide exactamente a dos o más cantidades Factor primo. Son los números primos que componen multiplicativamente un número no primo. Fórmula. Expresión simplificada de cálculo que sirve para la resolución de todos los casos para los que ésta funcione. Incógnita. Cantidad desconocida necesaria para obtener la solución de una ecuación. Intersección. Punto común de dos líneas que se cortan. O bien, la recta común a dos planos que se cortan. Línea Recta. Sucesión de puntos en una misma dirección. Mcd. Mínimo común denominador. Mcm. Mínimo común múltiplo. Monomio. Expresión algebraica de un solo término. Ejemplo, 7ª Números enteros. Los números enteros son aquellos cuya parte decimal es nula. Pueden ser tanto positivos como negativos. Así, son números enteros los siguientes: -3, 7, -8, 2, 1514, -34567, etc.Al conjunto de los números enteros se le representa con la letra Z.De esta forma, tendremos: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1,2,3, ...} Número irracional. Es un número real que no es racional. Número primo. Es un número entero positivo y es divisible únicamente para si mismo y para la unidad. Número racional. Es un número real que se puede expresar de la forma a/b. Números reales. Son todos los números, ya sean racionales o irracionales. Es decir, cualquier número decimal, entero, positivo, negativo.solamente no son números reales los números complejos (es decir, aquellos que resultan de intentar hallar la raíz cuadrada de un número negativo) y el infinito. Parábola. Lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan, a la vez, de un punto dado y de una recta dada. El punto dado es el foco y la recta dada, la directriz de la parábola. Polinomio. En x, es una suma de cualquier número de monomios en x. Término Algebraico. Expresión que contiene números y variables (letras). Ejemplo, 5xy. Trinomio. Expresión algebraica de tres términos. Ejemplo, 3x + 2y - 5z

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A N E XO S

El presente material ha sido reproducido con fines netamente didácticos, cuyo objetivo es brindar al estudiante mayores elementos de juicio para la comprensión de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.

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ANEXO #1: FÓRMULAS ALGEBRAICAS ELEMENTALES

PRODUCTOS NOTABLES (a+ b)2 =a2 + 2ab+b2 (a +b)3 =a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 a2-b2 = (a +b)(a -b) 3 a -b3 = (a -b)(a2 + b2 +ab) a3 +b3 = (a +b)(a2 + b2 -ab) a4 -b4 = (a +b)(a -b)(a2 +b2) (a +b +c)2 =a2 + b2 +c2 +2ab+ 2ac+2bc

Binomio al cuadrado Binomio al cubo Diferencia de cuadrados Diferencia de cubos Suma de cubos Diferencia cuarta Trinomio al cuadrado

TEOREMA DEL BINOMIO ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ (x + y )n = x n + ⎜ ⎟ x n−1 y + ⎜ ⎟ x n−2 y 2 + ... ⎜ ⎟ x n−k y k + ...y n , ⎝1 ⎠ ⎝2⎠ ⎝ k⎠ ⎛ n⎞ n! donde ⎜ ⎟ = ⎝ k ⎠ k !(n − k )!

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ANEXO #2: EXPRESIONES FRACCIONARIAS, EXPONENTES Y RADICALES

EXPRESIONES FRACCIONARIAS ⎡ ∀ c≠0 , d ≠ 0 ⎤ ⎣ ⎦ a b a±b ± = c c c

a -a a - = = b b -b n

⎛ a⎞ an = ⎜ b⎟ bn ⎝ ⎠

a b ad±bc ≠ = cd c d

D d r

-1

⎛ a⎞ b ;⎜ ⎟ = a ⎝ b⎠

c

D = d.c + r Dividendo : D Divisor : d Cociente : c Resto : r

n

a b a ba b a ab n a . = = ;c = c c d cd b n b a b ad a : = 1n =1na-1nb c d cb b

EXPONENTES Y RADICALES n

am an =am+n

a1/n = a

(a )

am/n =

m

n

=amn

(ab)n = an b n

( ) n

a

m

( )

am/n = a1/n

n

= am

( )

m

= am

1/n

n

⎛ a⎞ an = ⎜ b⎟ bn ⎝ ⎠ am an am n

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n

n

ab = a b n

= am-n =

n

a

a a = n b b

m n

n−m

a a a0 = 1 1 a -n = n a

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n

( a)

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n

n

a =

mn

a

n

= a, si a es un número real.

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ANEXO #3: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

LINEALES O DE PRIMER GRADO Generalmente, para resolver ecuaciones, ela boramos una lista de ecuaciones equivalentes (cada una más sencilla que la precedente), terminando con una ecuación cuya solución podemos hallar con facilidad . •

Podemos sumar o restar la misma expresión en ambos lados de la ecuación .

•

Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una expresión que representa un nÚmero real distinto de cero.

CUADRATICAS O DE SEGUNDO GRADO

MÉTODO: -

Eliminamos paréntesis Eliminamos denominadores Agrupamos términos semejantes Despejamos la variable Comprobamos la solución

CUADRATICAS O DE SEGUNDO GRADO EXPRESIONES FRACCIONARIAS Si a≠ = 0 las soluciones o raices de

Una ecuación cuadrática, o de ax +bx +c = 0 son x1 y x2 que obtenemos segundo grado, con una incógnita x, es una ecuación de la forma indicada, al aplicar la formla siguiente: donde a, b, y c son números reales 2 dados, con a distinto de cero. Se -b± b -4ac x= puede resolver empleando la fórmula 2a cuadrática. b c S = x1 + x 2 = ; P = x1 . x 2 = Si b2>4ac hay dos soluciones a a reales distintas; si b2=4ac hay una así obtenemos la forma canonica: sola solución real; si b2