G01. Introduccion a la Teoria de Errores.pdf

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Teoría de Errores una introducción

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Introducción La teoría de errores es una de las herramientas fundamentales en nuestra labor profesional, pues nos permite realizar análisis respeto de la calidad y certeza de nuestras mediciones y cálculos realizados a partir de las mismas. m ismas. Previo a comenzar con los conceptos y definiciones, quisiera se tomaran un momento para reflexionar sobre una situación cotidiana y trivial, que sin embargo, engloba alguno de los conceptos que abordaremos a lo largo de la presente guía. Supongamos que un día cualquiera Ud., se dirige a comprar un café durante un recreo de su  jornada académica, para efectos efectos de nuestra situación, situación, imagine que paga el café que que cuesta $400 con $10.000, ahora deténgase a pensar que hace para revisar el vuelto que le entrega la cajera. Muy probablemente comparará el vuelto entregado con el valor que calculó de forma mental (esto es verificar que le hayan entregado $9.600 de vuelto), si por alguna razón le entregan una cantidad diferente, claramente Ud. Dirá que existe un “Error” y para asegurarse de no cometer una injusticia, lo más seguro es que cuente los billetes más de una vez para estar seguro de la cantidad de dinero recibida. Evidentemente a mayor cantidad de dinero, más precaución o cuidado con el vuelto. Haciendo una revisión de algo tan trivial como la compra de un café, podemos ver que el concepto de error es algo que manejamos de forma casi inconsciente, (la verdad es que la definición formal es un poco diferente de la que usamos de forma cotidiana) , otro aspecto importante es la acción de contar los billetes, pues nos muestra que mientras más veces contamos los billetes, más seguridad o certeza tenemos de que lo contabilizado está bien, y justamente ese principio es la base para el estudio de los errores err ores y su comportamiento.

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Conceptos y Definiciones Antes de comenzar, es necesario tener ciertos conceptos claros, pues de ello depende en gran medida la correcta interpretación de los cálculos que llevaremos a cabo

Error ( e ) Entenderemos por error como la Diferencia entre un valor medido o calculado y el valor “Real”  o “Teórico” , si pensamos en el ejemplo anterior, cuando contamos el vuelto estamos comparando y calculando una diferencia (o resta) entre el vuelto que nos entregaron, el valor Medido en este caso, y el valor que calculamos mentalmente para el vuelto, es decir el valor Teórico, si hay diferencia en la comparación diremos que existe un error. Una cosa importante y un poco abstracta de entender en la teoría de errores, es que el valor “Real” nunca se pue de conocer, sin embargo, nos acercamos a él lo suficiente para aceptar la medición o calculo como “Representativa” de lo que estamos midiendo. Cabe destacar que el error NO se puede calcular, y en su reemplazo se calcula un “Residuo” (v) que posee un signo asociado, es decir magnitud, y que frecuentemente es empleado como error. Por tanto matemáticamente el Residuo (v) u Error se calcula de la siguiente forma O Note el término “Probable” , el que se entiende como aquel que más se acerca al valor real de una medida y que evidentemente proviene de la teoría de la Probabilidad y la Estadística.

 =    −  −      =     −     

Tipos de Errores Sistemáticos, Sistemáticos, que son aquellos conocidos, cuya magnitud se sabe y por ende se pueden eliminar de las mediciones, un ejemplo típico de este tipo de err ores es utilizar una huincha cortada (por ejemplo una huincha que comienza desde 1 m), por lo tanto, cada medida realizada con esa huincha debe corregirse para obtener el valor real de lo medido (en el caso de la huincha, a todas las medidas hay que descontarles 1 m, para conocer el valor medido) Aleatorios, son todos aquellos errores que se producen en una medición, sin que nos percatemos o sepamos de su magnitud de forma individual, y sólo podemos conocer el efecto combinado de todos estos errores, un ejemplo de esta clase de error es cuando se realiza una medida y suelo vibra, sin que podamos saber, de forma clara, cuál es su valor. Faltas o Equivocaciones, son todos los errores considerados excesivos, es decir, que se escapan de los valores “Normales” que existen en las mediciones , generalmente son producto de poca rigurosidad en la labor realizada, como por ejemplo anotar mal, utilizar un instrumento de mala forma o incluso utilizar un método de medición no adecuado. 

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Fuentes de Errores Instrumentales: son todos aquellos errores que provienen de los instrumentos utilizados para medir, como por ejemplo la graduación o sensibilidad para medir, evidentemente no es lo mismo medir un ángulo con una brújula, que mide cada 1° que medir el mismo ángulo con una estación total que mide m ide cada 2”, obviamente confiaremos en la medición del equipo de mayor calidad. Lo importante es saber que este tipo de errores se puede corregir, pues su magnitud es conocida, otro ejemplo de esto lo constituye la corrección por presión y temperatura de un distanciometro, cuya fórmula de cálculo se conoce, pues depende de los componentes que se utilizaron mara crear el instrumento. La mayoría de estos errores se consideran “Sistemáticos”  Ambientales: son los errores que se producen por cambios en el medio donde se efectúan las mediciones, algunos son conocidos, se pueden calcular y corregir, otr os son imperceptibles o no es factible medirlos con certeza, por esta razón hay algunos del tipo t ipo  (como por ejemplo el efecto de la temperatura y presión atmosférica) y “Sistemático”  (como otros del tipo “Aleatorio”  (cambios  (cambios no perceptibles de presión, humedad, vibraciones, etc.) Personales o Humanos: corresponden Humanos: corresponden a los errores que se producen por las limitaciones propias de nuestros sentidos, todos miramos diferente, anotamos de forma distinta e interpretamos la realidad de manera diferente. Cabe destacar que también son producto de nuestra manera de hacer las cosas, como cuando anotamos mal un número, invertimos una cifra o incluso cuando no tenemos la precaución de tener la calculadora correctamente configurada son consideradas “Faltas” o “Equivocaciones”. “Equivocaciones”. Evidentemente este tipo de errores, se puede minimizar con un adecuado entrenamiento, aplicando de forma correcta las metodologías de medición y siendo rigurosos en nuestra profesión, sin embargo siempre existirá errores humanos pues son inherentes a nuestra naturaleza. 

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Como ya se mencionó, uno de los objetivos de la teoría de errores es determinar la calidad y certeza de las mediciones realizadas y de las cantidades calculadas a partir de ellas, es por esta razón que la base principal para efectuar el análisis, es la medición repetitiva, o sea medir varias veces lo mismo para descartar posibles equivocaciones y así mejorar la calidad junto con aumentar la seguridad o certeza del valor medido o calculado. Teniendo esta premisa en cuenta, si medimos varias veces lo mismo, entonces la pregunta que hay que responder es ¿Cuál es el valor de lo que medí?  Como una forma de clarificar la idea vamos a revisar un pequeño ejemplo: Suponga que se le pide medir el ángulo de la figura siguiente: Para cumplir con lo solicitado y como una forma de asegurarse del valor medido, la medición la realiza varias veces, obteniendo los siguientes resultados: Estación Est-A Est-A Est-A Est-A Est-A

Punto B C B C B C B C B C

Ang.Hor Ang.Medido 0,0000 30,2220 30,2220 399,9980 30,2220 30,2200 0,0020 30,2240 30,2260 0,0020 30,2220 30,2240 399,9980 30,2260 30,2240

Luego de haber determinado los ángulos realmente medidos (o ángulos reducidos) para cada observación, podemos observar que de las 5 mediciones, un ángulo se repite 3 veces (30,2220) y hay otros 2 valores distintos (30,2240 y 30,2260), entonces cómo sabemos cuál es el ángulo que se midió 5 veces, qué valor tiene…..

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Métodos Topográficos II. Código: LRMT02/G01/Introducción a la Teoría de Errores. Para poder responder a esta incógnita, utilizaremos herramientas de la Estadística que nos servirán para poder analizar y concluir respecto de nuestras mediciones.

Valor más Probable ( ȳ ) La Teoría de Errores, nos indica que el valor más cercano a la realidad (o probable) es siempre la Media Aritmética de los valores medidos, formalmente la definición matemática es la siguiente:

∑    ⋯     =  = 

Donde n corresponde a la cantidad de mediciones realizadas e y 1 , y 2 , …, y n a las mediciones individuales efectuadas. En el ejemplo propuesto, la media aritmética o simplemente Promedio, sería:

 = 30,222030,222030,2524030,222030,2260 =30,2232

Con lo que podemos concluir que el valor más probable, según la definición, para el ángulo B-A-C es 30,2232

Cabe destacar que en ocasiones el promedio, no es un indicador muy certero por sí solo, pues NO siempre es el más adecuado para responder preguntas respecto de las mediciones, es una medida de “Tendencia Central” como se le denomina en el ámbito estadístico, y por ende nos permite saber cuál es el valor más “Representativo” de las observaciones, pero si revisamos más detenidamente los valores podríamos argumentar que ese valor promedio (30,2232) NO es tan representativo de los ángulos medidos, pues el ángulo 30,2220 se repite 3 de las 5 veces (el 60% de las mediciones), por tanto podríamos concluir que es más representativo o probable que el promedio. Esta revisión nos lleva a definir dos indicadores que también se utilizan para describir tendencia central y estos son: Moda: Corresponde al valor que más veces se repite en una serie de mediciones, en nuestro ejemplo, la moda es 30,2220 (pues se repite 3 de 5 veces o el 60% de las mediciones que es otra forma de expresarlo utilizada frecuentemente en la teoría de errores) Mediana: es el valor que está justo en la mitad de los valores medidos, cuando han sido ordenados de menor a mayor, es decir es el valor que tiene el 50% de las mediciones 

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Métodos Topográficos II. Código: LRMT02/G01/Introducción a la Teoría de Errores. realizadas, se obtiene promediando los 2 valores centrales cuando el número de observaciones es par, y cuando el número de medidas es impar, es justo el del medio Para ayudar a una mejor comprensión de los conceptos observe los siguientes ejemplos: N° Medición Angulo Indicador Valor Observación 1 30,2220 Media 30,2232 2 30,2220 Moda 30,2220 Se Repite 3 Veces 3 30,2220 Medición n°3 , está justo al 4 30,2240 centro, hay 2 valores antes y Mediana 30,2220 2 después, el número de 5 30,2260 mediciones es 5 (impar) n=5 N° Medición 1 2 3 4 5 6 n=6

Distancia 15,441 15,442 15,443 15,445 15,448 15,448

Indicador Media Moda Mediana

Valor 15,4445 15,448 15,444

Observación Se Repite 2 Veces Promedio de la medición n°3 y n° 4, pues el número total de mediciones es 6 (par)

Cabe destacar que en forma previa a los cálculos y posterior análisis, siempre se recomienda “Ordenar de menor a mayor” los valores medidos.

Evidentemente, ahora podríamos responder a la pregunta inicial, respecto del valor más representativo del ángulo medido, que en este caso es 30,2232 (el Promedio). Sin embargo, la pregunta que cabe hacerse a continuación es ¿Cuál es la Calidad del ángulo medido?, ¿Qué tan buenas fueron las mediciones?, ¿Están las mediciones dentro de un rango aceptable de error? Para responder estas preguntas, necesitaremos inspeccionar aún más a fondo las m ediciones, utilizando otros conceptos y herramientas de análisis que nos proporcionan la probabilidad y estadística, las que se definirán a continuación.

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Desviación Estándar ( σ ) Corresponde a una medida de dispersión, esto es, un indicador que nos permite saber que tan parecidas son las mediciones unas de otras, en nuestra área profesional, es un indicador de “Precisión” , que nos permitirá saber que tan buena fue la serie de mediciones que realizamos de un ángulo o una distancia, por ejemplo, también se le conoce como “Error Estándar o Probable” de una serie de mediciones. Este concepto estará presente en la gran mayoría de nuestros trabajos y está estrechamente relacionada con la “Tolerancia”  o  o error máximo permitido para un trabajo determinado. Matemáticamente la “Precisión” se calcula con la siguiente expresión:

Dónde:

  ̅ ( − )     =    − 1 =    − 1

n=n° mediciones

= ó        = á  ( ()  )  =    

"error" de la observación individual,

 =  − )  (

Es importante destacar que la mientras menor sea el número de la desviación estándar, mejor será la precisión y viceversa, pero hay que tener cuidado de NO intentar hacer que la desviación sea cero (0), pues eso significaría que todas las mediciones fueron iguales y eso puede indicar un instrumento con desperfecto o no adecuado para un trabajo así como también un mal procedimiento de medición realizado. También es importante mencionar que una buena precisión NO necesariamente necesariamente significa un trabajo libre de errores, pues puede suceder que a pesar de obtener una muy buena precisión, un trabajo quede fuera de tolerancia, como en el siguiente ejemplo.

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Ejemplo Práctico Suponga que se la ha pedido medir un los ángulos interiores de un triángulo, para llevar a cabo su labor, cada ángulo interior de ha medido 5 veces, obteniéndose los siguientes datos de terreno:

Ángulos Interiores Medición 1 2 3 4 5

Alfa (α)

Beta (β)

Gamma (γ)

48,5520 48,5540 48,5540 48,5520 48,5520

81,2200 81,2210 81,2220 81,2210 81,2230

70,2480 70,2460 70,2460 70,2440 70,2480

Dado que cada ángulo interior se midió más de una vez, debe calcularse su “Valor más Probable” o simplemente

el promedio de cada ángulo, utilizando la fórmula indicada anteriormente, los promedios de cada ángulo son los siguientes: Alfa (α)

Beta (β)

Gamma (γ)

48,5528

81,2214

70,2464

A modo de ejemplo se calculará la precisión del ángulo alfa: Medición 1 2 3 4 5



Promedio ( )

48,5520 48,5540 48,5540 48,5520 48,5520

Residuo (v) -0,0008 0,0012 0,0012 -0,0008 -0,0008

Residuo (v)² 0,00000064 0,00000144 0,00000144 0,00000064 0,00000064

48,5528

Sumatoria

0,00000480

Alfa (α)

  − )

Importante: Para evitar el uso de números decimales en exceso, puede utilizar otra unidad de medida para calcular la precisión, en este caso los segundos centesimales, así cada residuo quedaría -8,12,12,-8,-8 y la precisión sería 11 segundos centesimales

Recuerde que el Residuo ( ) = ( , se calcula para cada medición realizada del ángulo alfa, así el residuo v1 = 48,5520 – 48,5528 = 48,5528 = -0,0008 Finalmente para calcular la Precisión se utiliza la siguiente expresión en este caso:

      =   − 1 =  0,0,00000480 5 − 1 =±0,0011

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Métodos Topográficos II. Código: LRMT02/G01/Introducción a la Teoría de Errores. Utilizando el mismo procedimiento calculamos las precisiones de cada ángulo interior del triángulo medido: Promedio Precisión

Alfa (α)

Beta (β)

Gamma (γ)

48,5528 ± 0,0011

81,2214 ± 0,0011

70,2464 ± 0,0017

Si revisamos los datos de la precisión podríamos afirmar que son buenas precisiones, sin embargo si realizamos la comprobación geométrica de la figura (esto es la calidad de “Cierre” de los

ángulos), nos podremos dar cuenta que nuestro trabajo está lejos de los rangos de tolerancia aceptables ya que: Error Cierre = Suma Ángulos Interiores - 200 = (48,5528+81,2214+70,2464) - 200 Error Cierre = 200,0206 - 200 Error Cierre = 0,0206 Tolerancia Cierre Angular = Tolerancia Cierre Angular =

30××√ √ =  = = ± ,,  

, (na = numero de angulos medidos de la figura)

Comparando ambos valores, podemos afirmar que nuestro trabajo quedó fuera de la tolerancia exigida para una poligonal de tercer t ercer orden (la menos exigente) del manual de carreteras del Ministerio de Obras Públicas (MOP), lo que nos obligaría a realizar el trabajo tr abajo de medición nuevamente a pesar de haber obtenido buenas precisiones individuales en cada ángulo medido.

Recomendaciones: 1.

2.

Utilice una planil Utilice planilla la de cálcul cálculos, os, como como Microsoft Microsoft Excel, Excel, para hacer hacer el el trabajo de análisis de errores de forma más má s eficiente aprovechando las funciones incorporadas. Si se necesi necesita ta mejorar mejorar la prec precisión isión de una medic medición, ión, puede puede elimin eliminar ar las mediciones cuyos residuos sean los más grandes (positivos) o los más pequeños (negativos) siempre y cuando disponga de la cantidad suficiente de mediciones hechas (considere que debe utilizar al menos 3 mediciones para calcular la precisión)

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Interpretación de la Desviación Estándar y Probabilidades de Error Como ya se ha dicho, la teoría de errores se basa en el análisis del comportamiento de los errores, de sus “Probabilidades” de ocurrencia, para ello se utilizan generalmente porcentajes de probabilidad (posibilidad de que un error determinado ocurra), razón por la cual es necesario realizar una adecuada interpretación de los cálculos obtenidos. La desviación estándar o precisión obedece a la “Ley de Distribución Normal”, en términos

sencillos esta ley nos indica que es más probable pr obable que ocurran errores de pequeña magnitud que aquellos de mayor tamaño, por esta razón se dice que la precisión indica un 68,3% de probabilidad de que ocurra un error menor o igual a la desviación estándar. En el ejemplo anterior, si consideramos el ángulo beta, cuyo valor promedio fue de 81,2214 y su precisión de ± 0,0011, podemos 0,0011, podemos afirmar que aproximadamente el 68,3% de las mediciones hechas del ángulo tiene un error menor o igual a 11 segundos centesimales, de hecho si revisamos los residuos, podemos notar que 3 que son menores o iguales a 11 segundos, lo que representa al 60% de las mediciones hechas (3 de 5 o 3/5 = 0.6 = 60%), por ende podemos concluir concluir que el ángulo medido se comporta de forma “Normal” “ Normal” en función de los errores. Habitualmente en labores topográficas se emplean otros porcentajes de error para permitir o descartar mediciones realizadas, siendo los más utilizados los siguientes: Error 50% : Este error indica el error que posee la mitad de las mediciones hechas (50%) Error 95% : Este error se utiliza para indicar cuál es el error que posee el 95% de las mediciones Error 99,7% : Este error se utiliza para indicar el error del 99,7% de las observaciones y se usa normalmente para descartar errores groseros en las mediciones. Para calcular los porcentajes de probabilidad de error, se usa un coeficiente (numero) que multiplica a la desviación estándar o precisión, los que se muestran en la siguiente tabla: % Error Coeficiente Nombre 50,0% 0,6745 Error Probable 68,3% 1,0000 Error Estándar o Precisión 95,0% 1,9600 Error 2 Sigma (2σ) 99,7% 2,9680 Error 3 Sigma (3σ) Así por ejemplo para calcular el error al 95% (o 2 sigma) del ángulo beta, el cálculo sería: 0,0022, lo que significa que el 95% de las mediciones Error 95%=1,96 x σ = 1,96 x 0,0011 = ± 0,0022, tiene un error menor o igual a 22 segundos centesimales, de hecho todos los residuos son menores a ese valor. Ingeniería en Geomensura - Topografía

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Error del Promedio (σm (σm)) Debido a que las mediciones poseen errores, el promedio que calculamos como valor más probable también tiene un error asociado, este error se calcula con la siguiente fórmula:

    = ± √ 

Como se puede apreciar el error se calcula en base a la precisión de las mediciones (σ) y el número

de observaciones (n) y nos indica el margen de error con el cual se calculó el promedio de las mediciones realizadas. Si calculamos el error del promedio para el ángulo beta, del ejemplo anterior, este sería:

  = ± √  = ± 0,0√ 0115 =±0,0005

Es decir el promedio del ángulo beta (81,2214) se determinó con un error de ± 0,0005 lo que también puede interpretarse de la siguiente forma, “El valor más probable del ángulo beta está entre 81,2209 y 81,2219”.

Formalmente el error del promedio se indica junto con el valor más probable, quedando de la siguiente manera: Valor más Probable del Ángulo Beta = 81,2214 ± 0,0005

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Peso de las Observaciones (w) El peso de una serie de observaciones o mediciones corresponde al grado de “Certeza” o “Confianza” que le otorgamos, este concepto es u n indicador de importancia que le asociamos a

diferentes mediciones, indudablemente indudablemente para poder calcular este indicador utilizaremos la precisión de las mediciones, pues a mayor precisión (menor desviación estándar) es mayor también la “Certeza” que le otor garemos a esa medición, por esta razón se dice que el peso es inversamente proporcional a la precisión. Matemáticamente el peso de una serie de observaciones se calcula con la siguiente expresión:

( () = 1

Cabe destacar que el concepto del peso es “Arbitrario” es decir podemos asignar los pesos de las

mediciones de otra forma cuando NO disponemos de información de las precisiones, por ejemplo en las nivelaciones suele utilizarse la distancia para asignar los pesos a los desniveles calculados. Ejemplo Numérico: Para clarificar el concepto, determinaremos los pesos de los ángulos del ejercicio anterior del triángulo Alfa (α)

Promedio Precisión Peso (w)

Beta (β)

Gamma (γ)

48,5528 81,2214 70,2464 0,0011 0,0011 0,0017 826446,281 826446,281 346020,761

Peso Alfa = 1 / (precisión)² = 1 / 0,0011² = 826446,281 82644 6,281 Peso Beta = 1 / (precisión)² = 1 / 0,0011² = 826446,281 Peso Gamma = 1 / (precisión)² = 1 / 0,0017² = 346020,761 Como se puede observar, los dos ángulos con igual precisión (alfa y beta) tienen el mismo peso o grado de importancia, sin embargo el ángulo con peor precisión (gamma) tiene un peso menor. El peso se utiliza frecuentemente en las labores de topografía, como criterio para repartir los errores obtenidos en un trabajo o lo que conocemos como “Compensar” los errores, así como

también para calcular el valor de un ángulo, distancia o coordenada cuando se midió utilizando diferentes instrumentos o personas, lo que se conoce como “Media Ponderada”

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Media Ponderada Corresponde al “Promedio” de diferentes observaciones de una misma cantidad (ángulo,

distancia, desnivel, etc.) utilizando los pesos de cada observación.

 ⋯ ×  =  × (  ×⋯ ) Ejemplo: Suponga que un mismo ángulo lo midieron m idieron tres compañeros usando diferentes instrumentos, obteniendo los siguientes resultados

Angulo Promedio Precisión Peso

Alumno 1 51,1500 0,0100 10000

Alumno 2 51,1450 0,0020 250000

Alumno 3 51,1452 0,0005 4000000

Para determinar el valor más probable del ángulo utilizando las 3 series de mediciones, recurrimos al cálculo de la media ponderada: Media Ponderada =

,∗+,  ∗+,  ∗ 77 = ++  =51,1452

Como se puede apreciar, el valor promedio final para el ángulo es más parecido a la medición del alumno n°3 ya que el peso de esa medición es mucho mayor que el resto de las mediciones (4000000) como consecuencia de la precisión obtenida que es la mejor de todas (5 segundos centesimales)

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Principio de los Mínimos Cuadrados El Ajuste por mínimos cuadrados, es una técnica ampliamente utilizada en la actualidad porque tiene la particularidad de “Compensar” o repartir el error obtenido en un trabajo teniendo t eniendo

en cuenta las precisiones de las mediciones (a través de sus pesos). La gran diferencia de los métodos más tradicionales radica en la forma en que se reparte el error. er ror. El Principio de Mínimos Cuadrados busca encontrar los errores o correcciones de forma tal que “La Suma de los Errores (o correcciones en realidad) elevados al cuadrado sea lo más pequeña posible”, lo que es consistente con la teoría de errores que postula que es más probable que

existan errores de pequeña magnitud que errores de gran magnitud, lo que se expresa en una “Función” de Mínimos Cuadrados que hay que utilizar para calcular el valor de los errores (o correcciones) de cada valor medido de acuerdo a su peso y por ende su precisión. Matemáticamente la Función de Mínimos Cuadrados se expresa de la siguiente forma:

 =  ×    ×   ⋯  ×  → 0 Donde: , , , ,

      

 Corresponden al error o residuo de la medida 1, medida m edida 2, medida n respectivamente  Corresponden al peso de la medida 1, medida 2, medida n respectivamente

Finalmente, el objetivo de la técnica es encontrar los valores de los residuos (V) o errores de forma tal que la función sea lo más cercana a cero posible. Para clarificar la idea, se desarrollará un ejemplo que nos permitirá comparar diferentes criterios de compensación bajo el principio de mínimos cuadrados

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Métodos Topográficos II. Código: LRMT02/G01/Introducción a la Teoría de Errores. Ejemplo: Se tiene le siguiente medición de los ángulos interiores de un triángulo y se le pide compensar los ángulos medidos

Promedio Precisión Peso (w)

Alfa (α)

Beta (β)

Gamma (γ)

35,2500 0,0050 40000

64,8520 0,0010 1000000

99,9040 0,0002 25000000

Error de Cierre 0,0060

Compensando el Error Angular de la Figura se obtiene 1. Compensación Tradicional Angulo Alfa Beta Gamma

Corrección ó Error (Residuo V) -0,0020 -0,0020 -0,0020

Suma Errores ² (Σv²)

Error ² ( V²)

Ang. Compensado

0,00000400 0,00000400 0,00000400 0,00001200

35,2480 64,8500 99,9020 200,0000

2. Compensación Proporcional al Angulo Medido Angulo Alfa Beta Gamma

Corrección ó Error (Residuo V) -0,0011 -0,0019 -0,0030

Suma Errores ² (Σv²)

Error ² ( V²) 0,00000112 0,00000378 0,00000898 0,00001389

Ang. Compensado 35,2489 64,8501 99,9010 200,0000

En el método tradicional cada ángulo interior se corrige de forma igual, es decir el error de la figura se reparte en partes iguales para iguales para cada ángulo medido, tres en tres en este caso, por lo que la corrección de cada ángulo es -0,0020 (-0,0060/3) En el segundo método cada ángulo recibió una compensación según el tamaño del ángulo, así el mayor ángulo obtuvo una mayor corrección (para gamma la corrección fue calculada de la siguiente forma corrección = -error * ángulo / suma ángulos = -0,0060 * 99,9940 / 2 00,0060)

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Métodos Topográficos II. Código: LRMT02/G01/Introducción a la Teoría de Errores. Como puede apreciarse en ambos métodos el error total de la figura (o error de cierre) se repartió a los ángulos medidos usando dos criterios distintos, cada cual con su lógica, sin embargo si analizamos los resultados según el principio de mínimos cuadrados, el “Mejor” método es el tradicional, pues es el que produce una menor suma de los errores (o residuos en realidad) elevados al cuadrado. No obstante en ninguno de los dos métodos expuestos se ha utilizado las precisiones o pesos, siendo más lógico pensar que el ángulo con peor precisión (o mayor desviación estándar) debe recibir una corrección mayor que un ángulo con una mejor precisión. Para poder resolver el problema que nos plantea el principio de mínimos cuadrados, existe en general 2 estrategias de solución para encontrar los errores considerando los pesos (y por ende las precisiones) de las diferentes observaciones, estas son: Método de las Ecuaciones de Observación, Observación, en el cual se relacionan las mediciones hechas, con los errores que se quieren calcular por medio de una “Función” o fórmula y se utiliza el álgebra de matrices para calcular los errores usando sistemas de ecuaciones. Método de las Ecuaciones de Condición, Condición, en el cual las mediciones se relacionan con los errores por medio de “Condiciones”, normalmente geométricas, que nos permiten conocer los errores individuales de acuerdo a sus pesos (y precisiones por consiguiente). El problema de utilizar éste método radica en que es muy tedioso y se emplean otras herramientas matemáticas, como las derivadas parciales para resolver el problema. 



Para resolver una compensación o mejor dicho un “Ajuste por Mínimos Cuadrados” emplearemos las herramientas que nos brinda Microsoft Excel para resolver el problema de cálculo de las correcciones o residuos (errores), esto debido a que para poder desarrollar los cálculos de forma “Manual” debemos utilizar Derivadas Parciales y resolución de sistemas de ecuaciones, técnicas matemáticas que están fuera del alcance de este apunte y que se estudiarán en propiedad en la asignatura de “Ajuste de Observaciones”.

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Trabajando con Excel para Compensar por Mínimos Cuadrados Como ya es de su conocimiento, Excel nos provee de muchas funciones y herramientas que nos ayudarán a facilitar los cálculos, una de ellas es un “Complemento” llamado “SOLVER” que se utiliza para Maximizar o Minimizar modelos matemáticos en base a condiciones, lo que lo hace la herramienta ideal para trabajar con los mínimos cuadrados, a lo largo de la sección se podrá apreciar una serie de videos explicativos del funcionamiento de esta herramienta.

 Activando el Complemento Solver A Continuación verá un video explicativo referente a la activación del complemento Solver dentro Solver  dentro de Excel 2013.

Cabe señalar que la activación en otras versiones de Excel se lleva a cabo de la misma manera, a través de las opciones de Excel y en la configuración de complementos de Excel.

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Utilizando Solver para realizar un Ajuste por Mínimos Cuadrados Como un primer ejemplo explicativo resolveremos el ejemplo de los ángulos interiores del triángulo por medio del uso de Solver para efectuar un ajuste por mínimos cuadrados. En el siguiente video se explicará cómo utilizar la herramienta con los datos propuestos.

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Métodos Topográficos II. Código: LRMT02/G01/Introducción a la Teoría de Errores. A modo de recordatorio el uso de Solver para Solver para efectuar un ajuste por mínimos cuadrados se puede esquematizar de la siguiente forma:

Pesos Calcular los pesos de cada medicion

Residuos Calcular o establecer los residuos iniciales

Funcion Crear la Formula de minimos cuadrados

Condiciones Establecer las fórmulas de las condiciones geométricas del ajuste

Solver Configurar celda Objetivo

Configurar celdas Variables Variables

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Configurar celda Restricciones

Configurar Opciones

Resolver

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Ejercicios Propuestos A continuación se presentan una serie de ejercicios y actividades propuestas para que Ud. Desarrolle 1. De acuerdo a los siguientes datos de terreno

EST A A A A A

PTO B C B C B C B C B C

ANG.HOR DIRECTA TRANSITO 0,0000 200,0008 70,0450 270,0454 50,0000 249,9998 120,0448 320,0454 100,0000 300,0012 170,0452 370,0446 150,0000 349,9994 220,0446 20,0452 200,0000 0,0004 270,0448 70,0452

Determine: a) Valor más probable del ángulo BAC b) Precisión del ángulo medido c) Error al 50%, 95% y 99.7% d) Error del Promedio Calculado e) Si Elimina las 2 peores mediciones hechas, ¿cuánto mejora la precisión del ángulo?

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Métodos Topográficos II. Código: LRMT02/G01/Introducción a la Teoría de Errores. 2. Se le ha solicitado determinar el Desnivel AC, en base a los siguientes datos de terreno EST A

ALT.INST PTO 1,521 C C C C C C C C

ANG.ZEN 93,5260 93,6060 93,1700 93,5650 93,5970 93,6810 92,6990 93,7160

HS 2,600 2,400 2,350 2,500 2,620 2,420 2,250 2,540

HM 1,800 1,600 1,600 1,700 1,810 1,610 1,550 1,720

HI 1,000 0,800 0,850 0,900 1,000 0,800 0,850 0,900

ΔH

Determine: a) Valor más probable para el Desnivel AC b) Precisión del desnivel c) Error del Promedio d) Alguna de las mediciones excede el límite del error 3 σ 3. Según la normativa del manual de carreteras 2014, para la medición de los ángulos horizontales de una poligonal de primer orden, los ángulos horizontales deben cumplir lo siguiente: “El Error Probable del Promedio, NO debe Exceder de 7cc”  , Si un ángulo cualquiera, se mide 8 veces, ¿Cuál es la Precisión que debe lograr para cumplir la Exigencia?

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Métodos Topográficos II. Código: LRMT02/G01/Introducción a la Teoría de Errores. 4. Actividad Práctica: “Determinación de la Constante de Prisma” Con el objeto de calcular la constante de un prisma simple, UD. Debe realizar una medición de distancia horizontal de la siguiente forma: En un sector lo más horizontal posible, disponga tres puntos A-B-C en la misma línea recta (Alineados como se dice técnicamente), como se indica en la figura

Procure que las distancias AB y BC sean diferentes. Determine el valor de la constante del prisma (K) según la siguiente expresión:

=−()

Para lo cual debe medir 20 veces cada distancia y calcular: a) Valor más probable de cada distancia y su Precisión b) Valor más probable para la Constante K y su Precisión NOTA: Para un correcto desarrollo del ejercicio, procure Instalar la Estación Total a la misma altura que el prisma (Utilice un trípode adicional y una base Tribach) y deje el ángulo vertical del instrumento en 100 grados gr ados centesimales. Finalmente, discuta los resultados obtenidos con su grupo curso y docente. 5. Realice una revisión de las especificaciones técnicas de los equipos topográficos disponibles en sede, Taquímetros y Estaciones Totales desde el punto de vista de las precisiones angulares y de distancia y responda las siguientes preguntas: a. ¿La Precisión angular del taquímetro es mejor o peor que la precisión de la estación total? b. Si mide una distancia de 1,2 Km con la estación Total, ¿qué error puede esperarse en la distancia medida?, ¿Cómo se relaciona este error con la precisión de las mediciones que Ud. Realiza con el Instrumento? 6. Aplicando la Técnica del Ajuste por Mínimos Cuadrados usando Solver de Solver  de Excel, desarrolle los siguientes ejercicios Propuestos en el archivo Ejercicios_Ajuste.xlsx  Ingeniería en Geomensura - Topografía

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