G 12.1 Geom Del Espacio

 

L1

L3

a L2

x

P

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES Si por el pie de una recta perpendicular a un plano, trazamos una recta perpendicular a una recta contenida en dicho plano, entonces, toda recta que pase por el pie de la

PROYECCIONES ORTOGONALES La proyección de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada desde el punto al plano.

La proyección de un segmento sobre un plano es el conjunto de puntos que son las proyecciones de los puntos del segmento sobre el plano. P

segunda y por un punto cualquiera de la primera, será perpendicular a la recta contenida en dicho plano. Si: L1 ⊥

L1

L3

a ⊂ a L2

P y

L2 ⊥ a

x

⇒ L3 ⊥ a

P

D

B

P;

Es decir: x = 90°

 A Proyectante

P ´´

 A´ E

B´

C

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO El ángulo entre una recta y un plano, es el ángulo que determinan la recta con su proyección sobre dicho plano.

D´ L

Q

L P´ E´

Q´

θ

L´

m P

P

P´;  A´B´ ; CD´ ; E´ ; P´Q´ y L´ son las proyecciones. m : proyección de L sobre el RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Una recta es perpendicular a un plano, cuando es perpendicul perpen dicular ar a las infinitas rectas contenidas contenidas en dicho plano. L

Si: L ⊥

P

θ : medida del ángulo entre L y el

P

a

c

L

⊥ b

L

⊥ c

P

DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS ALABEADAS Sólo existe un segmento perpendicular a dos rectas alabeadas cuyos extremos están en dichas rectas, quien recibe el nombre de distancia entre ellas. L1

⇒ L ⊥ a b

P

d : distancia entre L1 y L2 d

Observación: Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas en el plano. L

Si: a ∩ b = {Q} a P

Q b

a y b ⊂

L2

ÁNGULO DIEDRO Definición Es aquella figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen un mismo origen. Cara

P; θ

L ⊥ a y L ⊥ b

⇒L ⊥

o

y

P  A

-1–  Av. Universitaria 1875 Teléfono: 261-8730

Cara

B

x

 Arista

 

oblicuas al plano EA = EB = EC = 13 m, cuyos pies notación: ángulo diedro ABC

forman el triángulo equilátero ABC. Hallar el perímetro

∠ xoy : ∠ plano o rectilíneo del ángulo diedro

de este triángulo.

θ : medida del diedro 6. PLANOS PERPENDICULARES Dos planos son perpendiculares cuando dichos planos determinan un ángulo diedro que mide 90°. P

⇒

plano se levanta una perpendicular OP = 12 m de modo que AP = BP = 13 m. Hallar la distancia de O al segmento de recta  AB . 7.

Si: θ = 90 P⊥

Se da da un p pla lano no y u un n se segm gmen ento to d de e re rect cta a  AB de 8 m de longitud, situado en el plano. Desde un punto O del

Se da un un pu punt nto o E ext exter erio iorr a un pla plano no y un s seg egme ment nto o BC = 10 m situa situado do en el plano. Si la distan distancia cia de E al

Q

plano es ED = 16 m y EB = EC = 20 m, hallar la distancia de D a BC . 8.

Un triángulo equilá láttero ABC está en un plano perpen per pendic dicula ularr al cua cuadra drado do BC BCDE. DE. El seg segmen mento to de recta que une el punto medio de  AC con el punto medio de BE mid mide e 1 m. Calcu Calcular lar la dia diagon gonal al del cuadrado.

1.

Do Dos s punt puntos os A y B sit situa uado dos s a uno y ot otro ro la lado do d de e un plano,

distan

de

dicho

plano

6

m

y

2

m

respectivamente. La proyección de  AB sobre el plano

9.

Se m mues uestra tra u un n cu cubo bo de ari arista sta iigua guall a 4 m m.. Si A AM M=M MB B y DN = NM, NM, hallar E EN. N. C

es 15 m. Hallar AB.

B N

2.

Se ti tien enen en d dos os p plan lanos os para parale lelo los s α y β separados 30 m.

D

Calcular Calc ular la proyecció proyección n de  AB sobre el plano β, si

M  A

E

 AB = 34 m, siendo A un punto de plano α y B un punto del plano β. 3.

La difer diferenc encia ia en entre tre llas as pr proy oyecc eccion iones es de u un n seg segme mento nto de recta  AB , sobre un plano “P” y sobre una recta

10. Se da un trián triángulo gulo rec rectángu tángulo lo isósc isósceles eles ABC ABC en el que

perpendicular al plano es igual a 7 cm. Si  AB mide un

 AC = CB =

centímetro más que su proyección sobre “P”. ¿Cuánto

perpendicular al plano del triángulo hasta un punto P. Se une este punto con los vértices A y B. Se pide

mide  AB ?

3 m. Desde el vértice C se levanta una

calcular CP para que el diedro AB mida 45°. 4.

En la ffig igur ura: a: p + q = 8, c cal alcu cula larr p – q. 11. Se da un triá triángulo ngulo is isósce ósceles les rec rectángul tángulo o AOB en el qu que e a a+3

p

OA = OB = 2 6 m. Por O se levanta la perpendicular  OD = 2 m al plano del triángulo AOB. Se une D con A

q

y B. Hallar la medida del diedro AB. a+6

10

12. 12. El radi radio o de una una ci circ rcun unfe fere renc ncia ia ci circ rcun unsc scri rita ta a un triángulo equilátero ABC mide 5.

3 . Por B se levanta

Se da da un p punt unto o E exter exterior ior a un pl plano ano.. La d dist istanc ancia ia de dell punto al plano es EO = 12 m. Desde E se trazan las

-2–

Geometría del  Espacio I

 

BE perpendicular al plano del triángulo. Si BE = 1, calcular el área del triángulo AEC. 7.

C) 8 D) 9 E) 12 Tres Tres pla plano nos s para parale lelo los s dete determ rmin inan an sobre sobre una rec recta ta secante L1, los segmentos

y y sobre otra L2,  AE EB secante, los segmentos CF y FD . Si AB = 8 m, CD = 1.

La d diistancia EA del punto E del espacio a una recta contenida en un plano es 17 cm y la distancia del mi mism smo o pu punt nto o E al plan plano o es de 15 cm. Ha Hall llar ar la proyección de EA sobre el plano.  A) 10 cm C) 12 cm D) 6 m B) 8 cm

2.

12 m y FD – EB = 1 m. Hallar el valor de CF .  A) 4 m B) 7 m 8.

E) 5 m

Hallar Hallar lla a long longitu itud d de un segm segment ento o exteri exterior or a un p plan lano, o, sabiendo que sus proyecciones sobre el plano y sobre el plano perpendicular al primero miden 15 m y 8 m respectivamente.  A) 12 m C) 15 m E) 25 m B) 13 m D) 17 m

9.

C) 5 m D) 1 m

E) 9 m

Hal Hallar lar la la long longitud itud de la ar arist ista a de un c cubo ubo s sabi abiend endo o que en su interior se ha tomado un punto tal que la suma de las distancias de dicho punto a las 6 caras del cubo es 12 m.  A) 2 3 m

C) 6 m

B) 8 m

D) 4 m

E) 10 m

En lla a fi figura, AC AC = C CB B = 4 y CD es perpendicular al plano del triángulo ABC. Hallar la medida de CD para

3.

Sobre Sobre el cen centro tro de un una a cara cara de un c cubo ubo de ar arist ista a2c cm m y a una altura de 3 cm, se ubica el punto exterior “P”. Hallar la distancia del punto P a uno de los vértices de la cara opuesta.  A) 3 3

C) 4 2

B) 2 6

D) 3 2

que el diedro AB mida 60°.  A) 2 2

D

B) 4 6

E) N.A.

C) 2 6

C

D) 4 2 E) N.A.

B  A

4.

La re rec cta L de in inte ters rsec ecc ción ión de do dos s plan lanos X e Y, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y. Si la distancia entre L y R es 16, y entre L y S es 12, calcular la distancia entre R y S.  A) 20 B) 14 C) 28 D) 4 E) N.A.

10. Se tien tiene e un cua cuadrado drado A ABCD BCD d de e lado 10 10.. Se dob dobla la a lo largo de MN (M y N puntos medios de  AB y CD   respectivamente) formando un ángulo diedro de 37°. Hallar la distancia del vértice A al plano MNCB.  A) 4

5.

6.

Se tien tiene e un plan plano oyu un n pun punto to P e exte xterio riorr a él él.. En d dich icho o plano se encuentra una circunferencia cuyo radio mide 3 m. La distancia de P al plano es de 9 m y la menor  distancia de P a la circunferencia es de 15 m. Calcular  la mayor distancia de P a la circunferencia..  A) 9

C) 9 5

B) 9 2

D) 18

E) N.A.

Sobre Sobre el pl plano ano P s se e encuen encuentra tra u un n cír círcul culo o de diá diámet metro ro  AB = 9. Sobre

 AB

pasa el plano ABQ perpendicular al

plano P. Si AQ = 17, QB = 10. Hallar la distancia de Q al plano P. Q

 A P

B

 A) 6 B) 7

B) 3

C) 2

D) 6

E) 8

11. 11. En una una ci circ rcun unfer feren enci cia a de ce cent ntro ro O, se in insc scri ribe be un triángulo

ABC

recto

en

BF   perpendicular al triángulo tal que BF = AC. Si AB = 6 y BC = 8, hallar OF.

 A) 5

C) 5 3

B) 5 2

D) 10 2

B.

Se

levanta

E) 5 5

12. En la figura figura,, los trián triángulos gulos A ABC BC y ABD so son n equilá equiláteros teros,, de lado igual a 2. Si el diedro AB es recto hallar la medida del segmento

CD

.  A) 1

 A

B

D

B)

2

C)

3

Geometría del  Espacio I

-3– C

 

D)

6

E)

7

perpendicul perpen dicular ar BF =

Calcular el área del triángulo AFC.

13. 13. Sea Sea A y B dos dos punt puntos os sit situa uado dos s por enc encim ima a de un plano. Las perpendiculares bajadas desde A y B al plano miden BP = 7 y AQ = 13. Calcular la distancia de “M” al mismo plano, siendo M punto medio del segmento  AB .  A) 11

B) 9

D) 10

C) 8

10 cm, al plano del triángulo.

E) N.A.

14. Se tiene tiene un segm segment ento o de recta recta  AB de 8 m situado en un plano π y un punto P que dista 12 m de dicho

 A)

C) 1,5 6 cm2

2 6 cm

cm2

B) 2

E) 0,5 6 cm2

cm2

D) 2,5

6

6

20. 20. Sobr Sobre e lo los s cate cateto tos s de un triá triáng ngul ulo o rect rectán ángu gulo lo AB ABC, C, recto rec to en B, se con constr struy uyen en los cuadr cuadrado ados s ABP ABPQ Q y BCRS, ambos en planos perpendiculares al plano del triángulo. Si AB = 4 y BC = 6, hallar la distancia entre los centros de los cuadrados.  A) 2 3

B)

13  

C)

D)

14

E) N.A.

15

plano. Hallar la distancia de  AB a la proyección del 21. 21. Los Los ca cate teto tos s  AB y

punto P sobre el plano π si: AP = BP = 13 m.  A) 5 m C) 4,5 m E) 6 m B) 4 m D) 3 m

la perpendicular BP = 12 3 m, al plano del triángulo.

recta que une el punto medio de  AC con el punto medio de  AD mide 1 cm. Hallar el área del cuadrado.  A) 1 cm B) 2 cm2

2

C) 3 cm D) 4 cm2

E) 5 cm

17. A una distanc distancia ia de 3 cm cm del ce centro ntro de u una na cara de un hexaedro regular de arista 4 cm se ubica el punto exterior P. Calcular la distancia de dicho punto a uno de los vértices de la cara opuesta. 57 cm

C) 8 cm

B)

59 cm

D) 7 cm

 A) 60°

B) 30°

C) 45°

diámetro  AB y una cuerda

D) 21 3 cm

 A)

Luego, se une P con A y con C. Hallar la medida del diedro AC. D) 15°

E) 75°

22. 22. En una cir circu cunf nfer eren enci cia a de 5 m de radi radio o se tra traza za un

2

16. Un plano plano P tiene u una na inclinació inclinación n de 60° s sobre obre el p plano lano Q. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo que corte a P, tal que sus intersecciones disten 42 cm?  A) 21 cm C) 24 cm E) N.A. B) 31,5 cm

de un triángulo rectángulo ABC

miden 15 m y 20 m, respectivamente. Por B se levanta

15 15.. Un triá triáng ngul ulo o eq equi uilá láte tero ro ABC, ABC, está está en un plan plano o perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento de

2

BC

 AC

de 8 m de longitud.

Por el punto B se levanta BF = 6 m, perpendicular al plano de la circunferencia. Hallar el área del triángulo FCA.  A) 24 2 m2 B) 24 m2

C) 36 m2

E) 45 2 m2

D) 48 m2

23. Los tri triáng ángulo ulos s equil equiláte áteros ros AB ABD D y ABC de lad lado o “a” se si sitú túan an en dos dos pl plan anos os perp perpen endi dicu cula lare res. s. Hall Hallar ar la dis distan tancia cia del bar barice icentr ntro o del triáng triángulo ulo ABD al pun punto to medio de  AC .  A) a 2 / 3 B) a 3 / 2

C) a 3 / 3 D) a 2 / 4

E) a 2 / 2

E) N.A. 24. Un trián triángulo gulo rec rectángul tángulo o PBC, re recto cto en P, se pr proye oyecta cta sobre un plano que pasa por  BC , tal que ABC es el

18. 18. Se tiene tiene un cono cir circu cula larr re rect cto o de vért vértic ice e A, cuy cuya a altura mide 8 cm y el radio de la base 9 cm. En el plano de la base del cono se traza el segmento tangente tange nte en B a la circun circunferen ferencia cia ttal al que

BC

BC

,

mide

12 cm. Calcular la distancia de A a C en centímetros.  A) 8 5

C) 17

B) 17 2

D) 20

E) 23

triángulo proyectado. Si  AD es la altura, BD = 6,4 cm, DC = 3,6 cm y AD = 2,4 cm, calcular la relación entre las áreas de los triángulos P PBC BC y ABC ABC..  A) 2:1 B) 3:2 C) 3:1 D) 1:2 E) 2:3 25. En la figu figura, ra, el di diedro edro AB mide 60 60°. °. Hall Hallar ar PQ s sii AB = 3 m, AP = 4 m y BQ = 2 m.  A) Q

19. En un trián triángul gulo o los c cate atetos tos  AB y BC miden 1 y 2 cm. Por Por el vért vértic ice e B de dell ángu ángulo lo rect recto o se tr traz aza a una una  A

-4–

B P

15 m

B) 3

m 2 C) 2 6 m

Geometría del  Espacio I

 

D)

21 m

E)

19 m

-5–

Geometría del  Espacio I