Funzione Di Corrente e Potenziale Cinetico

Funzione di corrente e potenziale cinetico

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Definiamo una  linea di flusso  (istantanea): linea che ha la propriet´a di avere in ogni punto tangente parallela al vettore velocit´a istantanea. − →

→ −

Cerchiam Cerchiamoo l’equazi l’equazione one matematica matematica di una linea di flusso: flusso: siano ds = dx i + → − − → → − dy  j + dz k , un tratto infinitesimo orientato della linea di flusso stessa e V   = → − → − → − a. u i + v  j + w k , il vettore velocit´a. Per la definizione di prodotto vettoriale, una linea di flusso deve rispettare la seguente condizione: → − → − ds × V   = 0 (1)

→ −

→ −

ds × V  

 =  

→ −

i dx u

− →

 j dy v

− →

k dz w

  =

→ −

→ −

→ −

i  ( wdy − vdz ) +  j  ( udz − wdx) + k ( vdx − udy) = 0

Affinch´ e il vettore ottenuto sia nullo, devono essere identicamente identicamente nulle tutte le sue componenti: wdy − vdz  = 0 udz − wdx  = 0 (2) vdx − udy  = 0

 

Queste ultime rappresentano le equazioni differenziali per una linea di flusso nello spazio. Conoscendo  u ,  v  e  w  in funzione di  x,  y  e  z  le equazioni (2) possono essere integrate per ottenere l’equazione per la linea di flusso: f (x , y , z) = 0. Consideriamo ora il caso bidimensionale; l’equazione di una linea di flusso sar del tipo  y  =  f (x). Il precedente sistema si riduce alla terza equazione poich´e il vettore velocit´a in 2D V   (u, v): vdx − udy  = 0 dy v = dx u

1

(3)

Questa equazione ha il significato di pendenza di una linea di corrente:

Figura 1: Pendenza di una funzione La (3), note  u  e  v  in funzione di  x  e  y , si pu´o integrare per ottenere l’equazione algebrica per una linea di flusso: f (x, y ) =  c , dove c `e una costante arbitraria di integrazione, con valori differenti per differenti linee di flusso. Denotiamo questa funzione con il termine funzione di corrente e la indichiamo con il simbolo Ψ: Ψ(x, y ) =  c

(4)

Figura 2: Flusso di massa tra due linee di flusso Riferendoci alla figura 3, definiamo il valore numerico di Ψ cos che la differenza ∆Ψ tra Ψ = c2 e Ψ = c1  sia uguale al flusso di massa (per unit di profondit) tra le due linee di flusso. ∆ n  `e da intendere come una sezione per unit´a di profondit´ a, quindi la distanza tra le due linee di flusso. Il flusso di massa sar´a dato da: ∆Ψ =  c 2 − c1 (5) Quest’ultima operazione ci ha consentito di definire pi´u rigorosamente il significato fisico delle costanti c. Per esempio, scelta arbitrariamente nel piano una 2

linea di flusso Ψ = c1 , la successiva non sar´a pi´ u arbitraria, ma dovr´a essere rispettata l’equazione (5). Cerchiamo ora di scoprire la propriet´a pi´ u importante della funzione di corrente: le derivate parziali di Ψ permettono di conoscere il campo di velocit´a. Il flusso di massa attraverso un nastro di flusso `e: ∆Ψ =  ρV   ∆n ∆Ψ ∆n

=  ρV  

(6)

ρV    = lim∆n

∆Ψ 0 ∆n

→

=

∂ Ψ ∂n

L’ultima delle (6) afferma che se conosciamo Ψ possiamo ottenere il prodotto ρV   differenziando Ψ in direzione normale a V.

Figura 3: Flusso di massa tra due linee di flusso Il flusso di massa attraverso ∆ n  `e uguale alla somma del flusso di massa attraverso ∆y  e del flusso di massa attraverso −∆x  (conservazione della massa). Flusso di massa: ∆Ψ =  ρV   ∆n  =  ρu ∆y  +  ρv (−∆x) ⇒ dΨ =  ρudy − ρvdx dΨ =

∂ Ψ ∂ Ψ  dx +  dy ∂x ∂y



ρu = ∂ ∂yΨ Ψ ρv  = − ∂  ∂x

(7)



u  = ∂ ∂yΨ Ψ v  = − ∂  ∂x

(8)

per un fluido incomprimibile:

3

Il campo esterno di moto `e irrotazionale e solenoidale (incomprimibile): ∇·

→ −

3D

2D

→ −

V   = 0 =⇒ V   =

   

 

∇×

V  x  =

∂ Ψy ∂ Ψz − ∂z ∂y

V  y  =

∂ Ψx ∂ Ψ − ∂xz ∂z

V  z =

∂ Ψy ∂ Ψ − ∂yx ∂x

V  x  =

∂ Ψz ∂y

V  y  =

∂ Ψ − ∂xz

=

→ −

Ψ

(9)

(10)

∂ Ψ ∂y

=

(11)

∂ Ψ − ∂x

Se Ψ(x, y ) `e nota per un determinato campo di moto,  u  e  v  si possono ottenere in ogni punto differenziando Ψ in direzione normale a  u  e  v   rispettivamente.

 

∇× → −

→ −

V   = 0 → −

→ −

=⇒ ∇ × ∇ × Ψ = 0

→ − ⇒ ∇∇ Ψ −

→ −

∆Ψ = 0

⇒

∆Ψ =

∇

2

Ψ= 0

V   = ∇ × Ψ

2

∇

Ψ=0

`e l’equazione di Laplace  per la funzione di corrente.

4

(12)

2

Potenziale cinetico (velocity potential )

Le condizioni puramente cinematiche di solenoidalit´a e irrotazionalit´a: → −

→ −

div ( V   ) = ∇ · V   = 0 → −

rot( V   ) =

∇×

(13)

→ −

V   = 0

(14)

in un dominio semplicemente connesso, sono sufficienti anche per derivare l’equazione di Laplace per il potenziale cinetico Φ, a partire dall’equazione di continuit´a. Tali condizioni implicano l’esistenza di un potenziale di velocit´a Φ, ovvero di una funzione scalare dello spazio, tale che: → −

V   =  grad(Φ) = ∇Φ

(15)

che, sostituita nell’equazione di continuit´a fornisce appunto l’equazione di Laplace per il potenziale cinetico: ∆Φ = ∇2 Φ = 0 (16)

→ −

→ −

→ −

→ −

V   =  u i + v  j + w k =

u  =

∂ Φ , ∂x

v  =

∂ Φ  ∂ Φ ∂ Φ dx +  dy  +  dz ∂x ∂y ∂z

∂ Φ  , ∂y

w  =

∂ Φ  . ∂z

 

(17)

Il potenziale cinetico `e analogo alla funzione di corrente nel senso che le derivate di Φ rivelano il campo di velocit´a.

5

3

Confronto tra

Ψ

e

Φ

1. Il campo di velocit´a `e ottenibile differenziando Φ nella direzione del moto, mentre Ψ `e differenziato in direzione normale alla direzione del moto; 2. il potenziale cinetico `e definito solo in un campo di moto irrotazionale, mentre la funzione di corrente pu´o essere utilizzata in flussi sia rotazionali che irrotazionali; 3. il potenziale cinetico pu´o essere applicato a flussi tridimensionali, mentre la funzione di corrente `e definita solamente in flussi bidimensionali. Quando un campo di moto `e irrotazionale, ed `e quindi possibile definire un potenziale, si ottiene una grande semplificazione: invece di avere a che fare con tre incognite, le componenti u, v e w   della velocit´a (che richiederebbero tre equazioni), possiamo operare con il potenziale cinetico che rappresenta l’unica incognita; ci´o richiede la soluzione di una sola equazione per il campo di moto. Poich´e i flussi irrotazionali possono essere descritti dal potenziale cinetico Φ, vengono chiamati flussi a potenziale. Per una linea equipotenziale vale la relazione: Φ( x, y) =  c dΦ =

⇒

dΦ = 0

∂ Φ ∂ Φ dx +  dy ∂x ∂y

In base alle (17) si pu´o scrivere: dΦ =  udx  + vdy  = 0

dy u =− dx v

 

(18)

Questa equazione dimostra che   linee di flusso e   linee equipotenziali   sono ortogonali tra loro.

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