Fungsi Vektor

 

 

Koko Martono – FMIPA - ITB 

41

1. Fungs Fungsii Vekt Vektor or d dan an Medan Medan Vekto Vektorr m   m n D 3.1  Fungsi F : D  Õ  Æ   dengan D  D suatu daerah di   dinamakan fungsi vektor dan untuk kasus m = n dinamakan medan vektor. Medan vektor di bidang adalah 2 F ( x, y ) = M ( x, y ) i + N ( x, y ) j ; ( x  x, y) ∈ D  D ⊆  . sedangkan medan vektor di ruang adalah 3 F ( x, y, z ) = M ( x, y, z ) i + N ( x, y, z ) j + P ( x, y, z ) k , ( x, y, z) ∈ D  D ⊆  .  

 

 y

 

 

1 2

1 2

1.1  Medan vektor: F ( x, y ) = - y i + x j

I

 Setiap vektor dari F  =  F( x  x y  ,y) menyinggung

lingkaran berpusat di (0,0) dengan || F( x  x y  ,y) || setengah jari-jari lingkarannya.  

 x

0

 

Jika r =  x i + y j  adalah vektor posisi titik 1

1

(  xx  y ,y), maka r i F( x, y ) = - 2 xy + 2 xy = 0 , Model pusaran air

akibatnya F( x  x y  ,y) ⊥ r. Jadi vektor F( x  x y  ,y) menyinggung lingkaran berjari-jari || r ||.  

 

Panjang vektor F(  xx  y ,y) adalah || F ( x, y ) || = 14 y 2 + 14 x 2 = 12 x 2 + y 2 = 12 || r || . Cara lain

Lingkaran L berpusat di (0,0) adalah r(t ) = a cos t  i + a sin t  j  j, 0 ≤ t  ≤ 2π   Vektor singgung pada L: r′(t ) = −a sin t  i + a cos t  j  j, 0 ≤ t  ≤ 2π   Medan vektor:  F (t ) = F ( x(t ), y (t )) = - 12 y i + 12 x j = - 12 a sin t i + 12 a cos t j    x y  ,y) se Karena F(t ) sejajar r′(t ) dan r′(t ) tegak lurus r(t ), ), maka F(t ) = F( x lalu menyinggung lingkaran r = r(t ) = a cos t  i + a sin t  j  j, 0 ≤ t  ≤ 2π .

 

42

3. Fungs Fungsii Ve Vekto ktorr

Soal Latihan 1.  Gambarkan beberapa vektor yang mewakili medan vektor   (a) F(  xx,  yy) =  xx i +  yy  jj  (b) F( x ,y) = − y i + x  x  jj  (c)  F( x, y ) =  x  y

 

y  x 2 + y 2

i+

x x2 + y2

j . 

2.  Garis aliran ( flow  flow line) dari medan vektor F didefinisikan sebagai lintasan r = r(t ) yang memenuhi r′(t ) = F(r(t )), merupakan medan vektor kecepatan dari r = r(t )).. (a) Tunjukkan bahwa garis aliran dari medan vektor F(  xx  y ,y) = − y i +  xx j  j adalah lingkaran sepusat di (0,0).  2 4 (b) Tunjukkan bahwa garis aliran dari medan vektor F(  xx  y ,y  z ,z) = − 3 z  i +  yy  jj −  zz  k   

 

adalah lintasan r(t ) =  t -3 i + et  j + t -1 k , t π  0 . 

2. Me Medan dan Vektor di Bi Bidang dang sebagai Pemetaan Pemetaan 2

2

   N ( x  x y  ,y) j  M ( x  x y  ,y) i + N   x y  ,y) = M  3.2  Medan vektor F : D  Õ  Æ  ,  (u,v) = F( x dapat dipandang sebagai pemetaan  pemetaan titik  (  xx y  bidang xoy  ,y) ∈ D  D di bidang  xoy ke titik  (u,v)  di bidang uov dengan u = M   M (  xx  y ,y) dan v =  N  N ( x  x y  ,y).

D

3.2  Tentukan peta daerah D = {( x  x y  ,y) | 0 ≤ x  x ≤ 1, − x ≤ y  y ≤ x  x} oleh peme2 2 taan (u,v) = F( x  x y  ,y) = ( x  x  − y  y ) i + 2 xy j   . C

 bidang xoy 

bidang uov 

2 2 Di sini u = x  x  − y  y  dan v = 2 xy. Peta garis g: y = x  x, 0 ≤ x  x ≤ 1 oleh F: 2 2 2  = 0 dan v = 2 x , 0 ≤ v ≤ 2 u = x  x  − x  

v  y 

(0,2) (1,1)

g 

g* 

 D

0

h 

1  x 

 D*

0

h* 

1

u

k  

(1,−1)

k *

(0,−2)

Pembatas daerah D adalah garis  x, 0 ≤ x  x ≤ 1, petanya g* g: y = x h: x = 1, −1 ≤  yy ≤ 1, petanya h* k : y = − x, 0 ≤  xx ≤ 1, petanya k * 

Jadi g*: u = 0, 0 ≤ v ≤ 2. Peta garis h: x = 1, −1 ≤ y  y ≤ 1 oleh F: 2 u = 1 − y  y  = 0 dan v = 2 y  Kaitannya: v2 = 4 y2 = 4(1 − u), 0 ≤ u ≤ 1, −2 ≤ v ≤ 2 Jadi h*: v2 = 4(1 − u), −2 ≤ v ≤ 2. Peta garis k : y = − x, 0 ≤ x  x ≤ 1 oleh F: 2 2 2  = 0 dan v = −2 x , −2 ≤ v ≤ 0 u = x  x  − x   Jadi k *: *: u = 0, −2 ≤ v ≤ 0. 2

∴ Peta D oleh F ≡ daerah D* = {(u,v) | v  = 4(1 − u), 0 ≤ u ≤ 1, −2 ≤ v ≤ 2}.

 

Kalkuluss Pe Peubah ubah Banyak Kalkulu

43

Soal Latihan  x ≤ 1, − x ≤ y  y ≤ x  x} di bidang xoy oleh pemeta3.  Tentukan peta daerah D = {(  xx y , y) | 0 ≤ x an (u,v) = F(  xx  y ,y) = (1 − 2 y) i + (2 x + 1)  jj dan gambarkan daerah D beserta petanya. 

y ≤ 2} di bidang xoy oleh peme x ≤ 2, | x 4.  Tentukan peta daerah D = {( x  x y  ,y) | −2 ≤ x    | ≤  y 2 2  y ) i + 2 xy  jj dan gambarkan daerah D beserta petanya.  taan (u,v) = F(  xx,  yy) = ( x  x  − y

5.  Tentukan  peta daerah  D  =  {( x  x,  yy)  |  y  ≥  1} di bidang  xoy  oleh pemetaan (u,v)  =  F(  xx,  yy) = 

 x  x 2 + y 2

 i − 

 y  x 2 + y 2

  jj dan gambarkan daerah D beserta petanya.  2

2

1 4

6.  Tentukan peta  peta daerah D = {( x  x  y ,y) | x  x  + y  y  >  } di bidang xoy oleh pemetaan (u,v) =  F(  xx,  yy) = 

 x  x 2 + y 2

 i − 

 y  x 2 + y 2

  jj dan gambarkan daerah D beserta petanya. 

3. Divergens Divergensii dan d an Rot Rotasi asi (Cur (Curl) l) Medan Medan Vekt Vektor or D

3.3  Untuk medan skalar φ  = φ  (  xx  y ,y z  ,z) dan medan vektor di ruang F ( x, y, z ) = M ( x, y, z ) i + N ( x, y, z ) j + P( x, y, z ) k ,

opertor del dan vektor gradien dari φ , serta divergensi dan rotasi dari F didefinisikan sebagai berikut. ∂

∂

∂

∂

∂

∂

Operator vektor ∇ (del), — = i ∂ x + j ∂ y + k ∂z = ∂x i + ∂y j + ∂ z k . Vektor gradien dari φ , —f = i

(

Divergensi dari F,

(

∂

∂

∂

+j

∂ x

  ∂

∂ ∂y

+k

∂

  ∂f ∂f ∂f  i+ j+ k. f  = ∂z ∂x ∂y ∂z

)

∂M

)

∂N

∂P

div F = —i F = i ∂ x + j ∂y + k ∂z ( M i + N j + P k ) = ∂x + ∂y + ∂z . Rotasi (curl) dari F,

(

∂

∂

∂

)

curl F = — ¥ F = i ∂ x + j ∂y + k ∂z ¥  ( M i + N j + P k ) =

= ∂∂ yP - ∂∂Nz i + ∂∂Mz - ∂∂Px j + ∂∂Nx - ∂∂My k  .

(

) (

) (

)

i

j

k

∂ ∂ x

∂ ∂y

∂ ∂z

 M

N

P  

 

44

3. Fungs Fungsii Ve Vekto ktorr 2

C 3.3  Jika F  =  M  , z) = 2 x  yz, M   i  +  N  N  j  x y  ,y z  ,z) =  xyz xyz,  N ( x  x y  ,y z     +  P  k dengan  M ( x 2  z2, tentukan ∇ M , ∇ N , ∇P, div F, dan curl F. P( x  x y  ,y z  ,z) = y  y  − z ∂ M 

  =  yz ,

Dari M (  xx,  yy z  ,z) = xyz  xyz diperoleh

∂ M 

  xz , dan  =

∂ M 

  xy .  =

∂ z ∂ y ∂ x ∂ N  ∂ N  ∂ N  Dari N ( x ,y,  zz) = 2 x2 yz diperoleh ∂ x  =  4 xyz , ∂ y  =  2 x 2 z , dan ∂ z  =  2 x 2 y .  x  y ∂P

∂P

∂P

2 Dari P(  xx  y ,y,  zz) =  yy2 − z  z  diperoleh   = 0 ,   =  2 y , dan   =  -2 z . ∂ z ∂ y ∂ x Akibatnya,

  ∂M

∂M

∂M 

— M ( x , y, z ) = ∂ x i + ∂y j + ∂z k = yz i + xz j + xy k   ∂ N

∂N

∂N 

— N ( x, y, z ) = ∂ x i + ∂y j + ∂z k = 4 xyz i + 2 x 2 z j + 2 x 2 y k   —P( x, y, z ) = ∂∂ xP i + ∂∂Py j + ∂∂Pz k = 0 i + 2 y j - 2 z k = 2 y j - 2 z k   ∂ M

∂N

∂P

div F = —i F = ∂ x + ∂y + ∂z =  yz + 2 x 2 z - 2 z . i

j

k

∂ ∂ x

∂ ∂y

∂ ∂z

 M

N

P   xyz

curl F = — ¥ F =

=

i

j

k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

2 x 2 yz

y -z

2

  2

2

 xz) k.  xy) j = (2 y − 2 x  y) i + ( xy    + (4 xyz − xz ,y) =  M  ,y) i +  N  M (  xx  y N ( x  x y  ,y) j 3.4  Medan vektor F(  xx  y    dapat dipandang sebagai medan vektor di ruang dengan P(  xx  y ,y) = 0. Akibatnya i j k Ct

curl F = — ¥ F =

∂ ∂ x

∂ ∂y

∂ ∂z

 M

N 

0

=

(

∂ N ∂x

-

)

∂ M  k  ∂y

∂ M 

∂ N 

karena semua turunan parsial dari P(  xx  y ,y) = 0 adalah 0,  ∂ z   = 0 , dan  ∂ z  = 0 . Untuk medan vektor ini, . div F = —i F = i ∂∂ x + j ∂∂y + k ∂∂z ( M i + N  j + 0 k )  = ∂∂Mx + ∂∂N  y

(

)

 

Kalkuluss Pe Peubah ubah Banyak Kalkulu

45

4. Tafsiran Fisis Divergensi dan Curl Tafsiran fisis divergensi medan vektor Jika F =  M  M   i  +  N  N  j     +  P  k dipandang sebagai medan vektor kecepatan gas atau cairan, maka div F menyatakan laju ekspansi per satuan volume dari aliran gas atau cairan tersebut. Untuk aliran gas situasinya adalah gas termampatkan bila div F  0. Jika F = M   M  i +  N  N  j    adalah suatu medan vektor di bidang, maka div F menyatakan ukuran laju ekspansi dari luasnya.  y

3.4  Perhatikan medan vektor V( x  x y  ,y) =  xx i di  bidang dengan div F = 1. Arah setiap vektor dari medan vektor ini ke kanan untuk x > 0 dan ke kiI

0

 x

V( x  x y , y) = x  x i

ri untuk  x    0, cairannya mengembang. Ini ditunjukkan dengan  persegi panjang yang yang luasnya semakin besar. besar.

Tafsi Ta fsiran ran fisis cur curll dan kaitan kaitan curl cur l medan medan vektor dengan rotasi    z

Benda pejal  B  pada gambar diputar terhadap

w

 L  (sumbu  z) dengan arah gerakan ke sumbu atas, yang dinyatakan vektor w pada sumbu z. Vektor w dinamakan kecepatan sudut dan laju sudutnya adalah ω   =  || w ||. Besaran skalar ω   adalah laju di sebarang titik pada benda  B  di bagi dengan jaraknya jaraknya ke sumbu L. Gerakan titik Q  pada benda  B dalam putaran ini dinyatakan dengan medan vektor v, yang sama dengan kecepatannya di titik Q.

sumbu L

 B

Q

 

0

 y θ  

 x

r

α  

v Q

 

  

 jika α  = jarak (Q,sumbu L), vektor posisi  OQ  adaUntuk menentukan v, jika lah r = r(t ), ), dan θ  = ∠(r,sumbu L), maka α  = || r || sin θ .

 

46

3. Fungs Fungsii Ve Vekto ktorr

Arah vektor  singgung v di titik Q diambil berlawanan putaran jarum jam dari lingkaran sejajar xoy dan berjari-jari α  > 0. Panjang vektor v adalah || v || = ω α  = || w || || r || sin θ .  

=

×

v   w   r dengan vektor v sejajar bidang xoy. Ini mengakibatkan Untuk w = ω  k = (0,0, ω ) dan r =  xx i + y  y  jj + z  z k = ( x  x y  ,y z  ,z) diperoleh i v = w¥r = 0  x

j

k 0 w  = -w y i + w x j . y z

Jadi curl v = — ¥ v =

i

j

k

∂ ∂ x

∂ ∂y

∂ ∂z

-w y w x

= 2w k = 2w  

0

 Kesimpulan  Pada perputaran benda pejal, curl dari medan vektor kece-

 patannya adalah vektor yang sama di setiap titik pada benda, arahnya ke atas (searah dengan k) dan panjangnya dua kali laju sudutnya. Jika medan vektor  F adalah aliran cairan, maka curl F di titik P sama dengan dua kali vektor rotasi benda pejal yang berputar sebagai cairan di dekat titik P. Dalam kasus di titik  P berlaku  berlaku curl F = 0, maka cairannya bergerak tanpa  pusaran (bebas rotasi). rotasi). Secara inform informal al ini berarti jika ton tongkat gkat roda kecil ditempatkan pada cairan, tongkat itu bergerak bersama cairan tetapi tak =

 berputar diterotasikan sekeliling .sumbunya. Medan vektor dengan curl  F    0 dinamakan tak Soal Latihan 7.  Tentukan divergensi dari medan vektor   3  x sin ( xy (b) F( x ,z) = yz  yz i + xz  xz j  j + xy (a) F(  xx,  yy) =  xx  i − x  xy) j   x y  ,y  z  xy k.  8.  Tentukan rotasi (curl) dari medan vektor   2

2

2

(a) F(  xx,  yy,  zz) =  xx  i +  yy   jj + z  z  k 

(b) F( x  x y  ,y  z ,z) = 

 yz i - xz j + xy k .   x 2 + y 2 + z 2

9.  Gambarkan garis aliran dari medan vektor F(  xx,  yy) =  yy i kemudian hitunglah div F  dan jelaskan kekonsistenan jawaban dan gambarnya.   10. Gambarkan garis aliran dari medan vektor F(  xx,  yy) = −3 x i −  yy j  j kemudian hitunglah div F dan jelaskan kekonsistenan jawaban dan gambarnya. 

 

Kalkuluss Pe Peubah ubah Banyak Kalkulu

47

5. Me Medan dan Vekt Vektor or Kon K onservati servatif  f    M (  xx,  yy) i + N   N ( x  x y  ,y) j 3.5  Medan vektor F(  xx,  yy) = M     dinamakan konservatif jika terdapat fungsi skalar z =  f  f (  xx,  yy) sehingga ∇ f ( x  x y  ,y) = F( x  x y  ,y).

D

 

 

3.6  Jika fungsi M , N , ∂ M  , dan ∂ N   kontinu pada daerah terhubung ∂ x ∂ y sederhana D, maka F(  xx  y ,y) = M  ,y) i + N   N ( x , y) j   konservatif ⇔ curl F = 0.  M (  xx  y  x y i j k T

 Karena curl F = — ¥ F = ∂ x

∂

∂ ∂y

∂ ∂z

 M

N 

0

=

(

∂ N ∂x

-

)

∂M  k, ∂y

∂ M

maka medan vek-

∂N 

tor F(  xx  y ,y) = M   M (  xx  y ,y) i + N   N (  xx,  yy) j    konservatif ⇔  ∂ y = ∂x . ∂ f

∂f 

Dari ∇ f (  xx,  yy) = F(  xx  y ,y) diperoleh ∂ x i + ∂y j  = M i + N j , sehingga  

∂ f ∂ x

∂f 

= M dan ∂y = N . Untuk medan vektor konservatif, dari kondisi ini ditentukan z =  f  f ( x  x y  ,y). Konsep medan vektor konservatif berlaku juga untuk medan vektor di ruang. Tanpa menuliskan peubahnya, medan vektor F  =  M  M   i  +  N  N  j     +  P  k  dinamakan konservatif jika terdapat fungsi skalar u  =  f  f ( x  x y  ,y z  ,z) sehingga ,y z ,y z ∇ f  = F, atau ∇ f (  x x  y  ,z) = F(  xx  y  ,z).  

 

 

Dengan kondisi yang sama, medan vektor  F = M   M  i + N   N  j    + P k konservatif ⇔ curl F = 0 ⇔ ∇ × F = 0. Karena  curl F =

i

j

k

∂ ∂ x

∂ ∂y

∂ ∂z

 M

N

P

(

∂P

∂N

maka  M  i + N  F = M   N  j    + P k konservatif ⇔  ∂ f

∂M

∂P

∂N ∂M

∂P

) (

) (

∂N

∂M

)

 

= ∂ y - ∂z i + ∂z - ∂x j + ∂x - ∂y k ,

∂f

∂P ∂ y

∂N

∂M  

= ∂z , ∂z = ∂x , dan ∂x = ∂y .

∂f 

Dari ∇ f  = F diperoleh ∂ x i + ∂y j + ∂z k  = M i + N j + P k , sehingga ∂ f ∂ x

=

∂f

 M , ∂y

=

∂f 

N , dan ∂z

= P.

Untuk medan vektor konservatif, dari kondisi ini ditentukan u =  f  f ( x  x y  ,y z  ,z).  

 

48 C

3. Fungs Fungsii Ve Vekto ktorr 3

2

2 2

3.5  Tunjukkan bahwa F( x  x y  ,y) = (2 xy  −  yy cos x   )  i  + (3 x  y   − 2 y  sin x   ) j    

adalah suatu medan vektor konservatif. Kemudian, tentukan suatu fungsi skalar z = f   f ( x  x y  ,y) sehingga ∇ f ( x  x y  ,y) = F( x  x y  ,y).  

 

Untuk medan vektor F kita mempunyai 2 2 ,y) = 2 xy3 −  yy2cos x  M  = M   M ( x  x  y  N  = N   N ( x  x y  ,y) = 3 x  y  − 2 y sin x     dan   , sehingga ∂ M  2   6 xy xy   = ∂ y

∂ M

∂ N  2   6 xy xy   = ∂ x

- 2 y cos x   dan

- 2 y cos x .

∂N 

Karena ∂ y = ∂x , maka terbuktilah F =  M  N  j M   i  +  N     medan vektor konservatif. , y) ∋∇ f ( x Karena F =  M   x y  ,y) = F( x  x y  ,y). Ini  x y M i +  N  N  j konsevatif, maka ∃  zz =  f  f ( x   mengakibatkan   

 

∂ f ∂f  i + j  = M i ∂ x ∂y

+ N j ,

∂ f  ∂ f    M   dan   =  N .   = ∂ y ∂ x

atau

∂ f 

3 2 Dengan mengintegralkan ∂ x  =  y cos x   M   = 2 xy  − y    terhadap x diperoleh 2 3

Ú 

2

,y) =  (2 xy 3 - y 2 cos x) dx  = x  x  y  − y  f (  xx  y  y sin x    + α ( y).  

 

 

∂ f 

2 2 Dengan mengintegralkan  ∂ y  =   N  = 3 x  y  − 2 y sin x    terhadap y diperoleh 2 3

2 2

2

   +  β   x).  y sin x  f (  xx y  x  y  − y  ,y) =  (3 x y - 2 y ssiin x ) dy  = x β ( x  

Ú  Jadi suatu fungsi skalar yang diminta adalah

 

2

2 3

 y sin x  z =  f  f (  xx,  yy) =  xx  y  − y   .  

Catatan  Fungsi skalar lain yang memenuhi berbeda suatu konstanta de-

ngan fungsi skalar di atas. 2 3

2

,y) =  xx  y  − y  Pemeriksaan  Dari z =  f  f (  xx  y  y sin x    diperoleh  

∂ f   = 2 xy3 −  y  M (  xx  y ,y) y2cos x    = M  ∂ x

dan

∂ f   = 3 x2 y2 − 2 y sin x  N ( x  x y  ,y).    = N  ∂ y

 

Kalkuluss Pe Peubah ubah Banyak Kalkulu C

49

3.6  Tunjukkan bahwa   -y

F( x  x y  ,y z  ,z) =  2 xe

 i + (cos z    − x

2  - y

) j   + (− y sin z   )k adalah suatu medan vektor konservatif. Kemudian, tentukan suatu fungsi e

 f ( x  x y  ,y z  ,z) sehingga ∇ f ( x  x y  ,y z  ,z) = F( x  x y  ,y z  ,z). skalar u = f   

 

Untuk medan vektor F kita mempunyai fungsi tiga peubah   -y

 M  =  2 xe

2  - y ,   N  = cos z ,    − x e

dan

P = − y sin z   .

Karena curl F =

i

j

k

∂ ∂ x

∂ ∂y

∂ ∂z

 M

N

P

=

i

j

k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

  2 xe

- y

2 -y

cos z - x e

 

- y sin z

= ( - sin z + sin z ) i + 0  j + ( -2 xe - y  + 2 xe - y ) k = (0, 0, 0) = 0, maka terbuktilah F = M   M  i + N   N  j    + P k medan vektor konservatif. Karena F  =  M  f ( x  x y  ,y z  ,z) ∋∇ f  =  F. Ini N  j M   i  +  N      +  P  k konsevatif, maka ∃  u  =  f  mengakibatkan  

 

∂ f  ∂ f  ∂ f  ∂ f ∂f ∂f  i + j + k  = M i + N j + P k , atau   =  M ,   =  N , dan   =  P   ∂ z ∂ y ∂ x ∂ x ∂y ∂z ∂ f 

  -y Dengan mengintegralkan ∂ x  =   M   =  2 xe  terhadap x diperoleh  -y

 f  x y =

 xe

 

2  - y

dx =  x e

+ α   y z  

 

( , )   2         ( , ). Ú  ∂ f  2  - y  terhadap y diperoleh Dengan mengintegralkan ∂ y  =   N  = cos z    − x e 2  - y  +  β  ,y) =  (cos z - x 2e - y ) dy  =  yy cos z β ( x z  ,z).  f (  xx  y    +  x e

Ú 

 

 

 

∂ f 

Dengan mengintegralkan ∂ z  =   P  = − y sin z    terhadap z diperoleh ,y) =  Ú ( - y sin z ) dz  = y  y cos z  ,y).  f (  xx  y    + γ  ( x y  

 

Jadi suatu fungsi skalar yang diminta adalah 2  - y

u =  f  f (  xx  y  ,z) =  x e ,y z

  .  y cos z  + y Periksa hasil yang diperoleh seperti pada contoh sebelumnya!  

 

50

3. Fungs Fungsii Ve Vekto ktorr

Soal Latihan 2

3

3

11. Jika F(  xx  y ,y) =  3 x  y  i  +  ( x  x   +  yy )  j, tunjukkan bahwa ∇  ×  F  =  0 kemudian tentukan suatu fungsi skalar f  sehingga  sehingga F = ∇ f .  2  x2 + 2 xy) j, tunjukkan bahwa ∇ × F = 0 kemudian ten12. Jika F(  xx,  yy) = ( y    + 2 xy) i + ( x tukan suatu fungsi skalar f  sehingga  sehingga F = ∇ f .   x

 x

13. Jika F(  xx  y ,y) = (e  sin y) i + (e  sin y) j, tunjukkan bahwa ∇ × F = 0 kemudian tentukan suatu fungsi skalar f  sehingga  sehingga F = ∇ f .  14. Jika F(  xx,  yy,  zz) = ( y  y + z  z) i + ( x  x + z  z) j + ( x  x + y  y) k, tunjukkan bahwa ∇ × F = 0  kemudian tentukan suatu fungsi skalar f  sehingga  sehingga F = ∇ f .  3

2

2 2

15. Jika F(  xx  y ,y,  zz) = (6 xy  + 2 z ) i + 9 x  y   jj + (4 xz + 1) k, tunjukkan bahwa ∇ × F = 0 kemudian tentukan suatu fungsi skalar f  sehingga  sehingga F = ∇ f . 

The advancement and perfection of mathematics are intimately connected with the prosperity of State  State  1821)  Napoleon Bonaparte (1769 – 1821)  Mathematics is the queen and servant of all sciences  sciences  Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) The roots of education are bitter, but the fruit is sweet  sweet 

BC)   Aristotle (384 – 322 BC) 

Since we cannot know all that there is to be known about anything, we ought to know  A little about everything 1662)  Blaise Pascal (1623 – 1662)  It is not enough to have a good mind. The main thing is to use it well,  well,  Rene Descartes (1596 – 1650), Discourse de Méthode, 1637

Koko Martono  

Catatan Kuliah Kalkulus Peubah Banyak: 3. Fungsi Vektor

 

JARINGAN INFORMASI KALKULUS PEUBAH BANYAK tinjauan dari aspek konsep, aplikasi, dan keampuhannya keampuhannya

determinan Jacobi  Jacobi  ∂ ( x , y, z )   ∂ (u ,v ,w)

=

∂ x ∂u ∂ y ∂u ∂ z ∂u

∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v

∂x ∂w ∂y ∂w ∂z ∂w

 

transformasi koordinat , z)  ( x  x y  ,y z 3

   3  D ⊆   

(u,v,w)  3

medan vektor F = M i + N j + P k

medan skalar vektor gradien   ∂ f ∂f ∂f  — f  = ∂ x i + ∂y j + ∂z k  

medan vektor konservatif ∃ f   f  ∋∇ f  = F

diferensial total, hampiran aturan rantai, turunan berarah turunan implisit, bdg singgung ekstrim fungsi dua dan tiga peubah

integral lipat dua dan tiga



 

r (t ) = u (t ) i + v(t ) j + w(t ) k , t Œ I  

fungsi parameter persamaan gerakan vektor kecepatan → laju vektor percepatan integral fungsi parameter panjang busur kurva

 p = f ( x , y, z ) ∈ 

metode pengali Lagrange

integral garis integral garis  bebas lintasan

transformasi koordinat integral lipat

integral  permukaan

Teorema Green, Gauss Stokes, dan divergensi

teorema dasar integral garis (TDKalkulus)