Fungsi Gelombang Dan Persamaan Schrodinger

Fungsi Gelombang dan Persamaan Schr¨odinger odinger Huggh D. Youn Hu ungg

Roger A. Freed eedman man

3 Sya’ban 1433 Hijriyah/ 22 Juni 2012 M

Pengedit dan Penerjemah Mochamad Nur Qomarudin Yayasan ayasan Masjidillah Indonesia, alfi[email protected] alfi[email protected]

Pendahuluan sadasdasd Muqoddimah

Sebuah partikel partikel seperti elektron tidak dapat dinyatak dinyatakan an sebagai sebuah titik tetapi kita menggunakan fungsi gelombang untuk menyatakan kedudukan sebuah partikel. partikel. Fungsi gelombang untuk partikel memiliki memiliki kemiripan dengan fungsi gelombang transversal pada tali. Simbol yang telah umum digunakan untuk menyatakan fungsi gelombang sebuah partikel adalah Ψ atau ψ . Umumn Umumnya ya,, Ψ adalah adalah fungsi koordina koordinatt ruang ruang dan waktu, waktu, sedangkan ψ   adalah adalah fungsi koordinat ruang saja. Fungsi gelombang gelombang Ψ(x,y,z,t Ψ(x,y,z,t)) dari sebuah partikel memuat semua informasi yang dapat diketahui tentang partikel tersebut.   Perhatian  Fungsi gelombang untuk partikel bukanlah gelombang mekanik yang Pengantar

membutuhk membutuhkan an media untuk merambat. Funugsi unugsi gelombang gelombang mendeskripsik mendeskripsikan an partikel partikel tetapi kita tidak dapat mendefinisikan fungsi tersebut sebagai media rambat tertentu. Kita hanya mampu menjelaskan bagaimana fungsi tersebut terkait dengan hasil pengamatan.

1

Makn Makna a Fungs ungsii Gelo Gelom mbang bang

Fungsi gelombang menjelaskan distribusi atau penyebaran sebuah partikel di dalam ruang, sebagaimana fungsi gelombang untuk gelombang elektromagnetik menjelaskan distribusi medan listrik dan medan magnet. Menurut konsep tentang pola interferensi dan difraksi, intensitas radiasi I   I   pada setiap titik di dalam pola interferensi/difraksi adalah berbanding lurus terhadap kuadrat magnitud medan listrik, E 2 . Dan menurut konsep interferensi dan difraksi foton, intensitas pada setiap titik adalah berbanding lurus terhadap jumlah foton yang jatuh di sekitar titik tersebut atau, alternatif yang 1

lain, terhadap probabilitias sebuah foton akan jatuh di sekitar titik tersebut. Dengan demikian, kuadrat magnitud medan listrik di setiap titik adalah berbanding lurus terhadap probabilitias teramatinya foton di sekitar titik tersebut. Dengan cara yang sama, kuadrat fungsi gelombang dari satu partikel di setiap titik menginformasikan kepada kita tentang probabilitas teramatinya partikel di sekitar titik tersebut. Tepatnya, lebih baik kita sebut kuadrat dari nilai mutlak dari fungsi gelombang, Ψ 2 . Hal ini sangat penting karena Ψ dapat berupa fungsi kompleks yang memiliki bagian real dan imajiner (Bagian imajiner dari fungsi adalah fungsi real dikalikan dengan bilangan imajiner i = 1.) Untuk partikel yang bergerak dalam tiga dimensi, nilai Ψ(x,y,z,t) 2 dV   adalah probabilitas partikel akan ditemukan pada waktu t   di dalam volume dV   di sekitar titik (x,y,z ). Partikel sangat mungkin ditemukan di daerah dimana nilai Ψ 2 besar. Tafsiran ini pertama kali dibuat oleh fisikawan German Max Born dan menyatakan bahwa fungsi gelombang Ψ perlu dinormalisasi. Yaitu, integral dari Ψ 2 dV  di seluruh ruang harus tepat sama dengan 1. Dengan kalimat lain, probabilitas bahwa partikel berada di suatu tempat di alam semesta mencapai 1 atau 100%.

 | |

√ − 2

 |

|

 | |

 | |

Ingat bahwa notasi Ψ(x,y,z,t) 2 bukanlah probabilitas. Tetapi, Ψ(x,y,z,t) 2 dV  adalah probabilitas partikel akan ditemukan di dalam volume dV  di sekitar titik (x,y,z ) pada waktu t. Apabila volume diperkecil, maka kemungkinan partikel akan ditemukan di dalam volume tersebut, semakin kecil, sehingga probabilitasnya berkurang. Istilah yang lebih tepat untuk Ψ(x,y,z,t) 2 adalah fungsi distribusi probabilitas, karena fungsi ini menjelaskan bagaimana probabilitas ditemukannya partikel di beberapa lokasi terdistribusi di seluruh ruang. Mengartikan Ψ

|

|

2

 | |

|

|

 |

2

|

Keadaan Stasioner

Pada umumnya, nilai Ψ(x,y,z,t) 2 di titik tertentu berubah terhadap waktu. Sebagaimana sebuah elektron di dalam tabung televisi bergerak dari katoda menuju layar, tempat kemungkinan ditemukannya elektron berubah terhadap waktu. Tetapi apabila partikel berada dalam keadaan energi tertentu, seperti elektron di dalam atom yang berada pada tingkat energi tertentu, nilai Ψ 2 di setiap titik tidak lagi bergantung pada waktu. Karena distribusi probabilitas partikel dalam keadaan demikian, tidak berubah terhadap waktu, keadaan dengan energi yang tertenut disebut ”keadaan stasioner”. Keadaan seperti ini sangat pengting untuk mekanika quantum. Contohnya, untuk setiap energi tertentu, keadaan stasioner di dalam sebuah atom hidrogen, memiliki sebuah fungsi gelombang khusus. Mengapa Ψ 2 tidak bergantung pada waktu jika partikel berada dalam keadaan energi tertentu? Mengapa keadaan demikian disebut stasioner? Untuk menjawab

 |

|

 | |

 | |

2

pertanyaan ini, kita perlu menyimak hasil analisis mekanika kuantum berikut: Untuk partikel di dalam keadaan energi tertentu E , fungsi gelombang yang bergantung pada waktu Ψ(x,y,z,t) dapat dituliskan sebagai perkalian dari fungsi yang tidak bergantung pada waktu ψ(x,y,z ) dan fungsi eksponensial waktu: Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z )e

iEt/ 

(1)

−

Fungsi eksponensial di dalam Persamaan (1) mewakili formula Euler, yang menyatakan bahwa untuk setiap sudut θ, eiθ = cos θ + i sin θ

dan

e

iθ

−

= cos θ

− i sin θ

(2)

Artinya, Persamaan (1) menunjukkanbahwa fungsi gelombang untuk keadaan stasioner adalah fungsi kompleks. Sekarang, mari kita bahas fungsi distribusi probabilitas Ψ 2 di Persamaan (1). Perhatikan, Ψ 2 adalah perkalian dari Ψ dan sekawan kompleksnya Ψ . Untuk mendapatkan sekawan kompleks dari sebuah bilangan kompleks, cukup gantikan i dengan i. Misalnya, sekawan kompleks dari c = a + ib, yang mana a dan b adalah Real, ialah c = a ib, sehingga c 2 = c .c = (a + ib)(a ib) = a2 + b2 (ingat bahwa i2 = 1). Sekawan kompleks dari Persamaan (1) adalah

| |

 | |

−

∗

−

 | |

∗

−

∗

 −

Ψ (x,y,z,t) = ψ (x,y,z )e+iEt/  ∗

(3)

∗

Dengan demikian

2

|Ψ(x,y,z,t)|

= Ψ (x,y,z,t)Ψ(x,y,z,t) ∗

= ψ (x,y,z )ψ(x,y,z )e+iEt/ e ∗

iEt/ 

−

= ψ (x,y,z )ψ(x,y,z )e0 = ψ(x,y,z ) 2

|

∗

(4)

|

Karena ψ(x,y,z ) 2 tidak bergantung pada waktu, Persamaan (4) menunjukkan bahwa demikian juga dengan fungsi distribusi probabilitas Ψ(x,y,z,t) 2 . Hal ini men jelaskan mengapa   keadaan stasioner  mewakili keadaan dengan energi yang tertentu.

 |

3

|

|

|

Persamaan Schr¨ odinger

Kita telah mengetahui betapa pentingnya keadaan stasioner dalam menjelaskan sistem mekanika kuantum. Menurut Persamaan (4), untuk menjelaskan keadaan stasioner kita perlu mengetahui fungsi gelombang spasialnya ψ(x,y,z ) dan energinya E . Untuk mencari nilainya, kita gunakan teknik yang dikembangkan di tahun 1926 oleh fisikawan

3

Austria Erwin Schr¨odinger dan dikenal dengan persamaan Schr¨ odinger. Persamaan Schr¨ odinger berperan penting dalam mekanika kuantum sebagaimana hukum Newton di dalam mekanika dan persamaan Maxwell dalam elektromagnet. Pemahaman kita tentang semua sistem mekanika kuantum termasuk atom, molekul, inti atom, dan elektron di dalam zat padat adalah berdasarkan pada solusi persamaan ini untuk sistem tersebut. Kita tidak dapat menurunkan persamaan Schr¨ odinger dari prinsip-prinsip lain; dia merupakan prinsip baru dari dirinya sendiri. Tetapi kita dapat menunjukkan bagaimana dia terkait dengan de Broglie dengan relasi yang masuk akal. Bentuk paling sederhana dari persamaan Schr¨ odinger adalah untuk sebuah partikel bermassa m yang bergerak hanya dalam satu dimensi, sejajar terhadap sumbu x, sehingga fungsi gelombang spasialnya ψ   hanyalah fungsi terhadap x. Kita asumsikan bahwa partikel ini bergerak di bawah pengaruh gaya konservatif yang hanya memiliki komponen x, sehingga terdapat energi potensial U (x). Persamaan Schr¨ odinger untuk partikel ini dengan energi tertentu adalah d2 ψ(x) + U (x)ψ(x) = Eψ(x) (5) 2m dx2 Persamaan (5) adalah persamaan Schr¨ odinger satu dimensi yang mana E   adalah konstanta. Bagaimana kita tahu bahwa persamaan ini benar? Karena dia bekerja. Prediksi yang dibuat dengan berlandaskan pada persamaan ini bersesuaian dengan hasil eksperimen.

−

4

 2

Persamaan Gelombang untuk Partikel Bebas

Sebagai contoh, mari pelajari partikel bebas yang tidak dipengaruhi gaya sama sekali. Apabila tidak ada gaya, U (x) tidak bergantung pada x; agar lebih mudah kita pilih U (x) = 0. Jika partikel bebas ini bergerak dalam arah +x dengan magnitud momentum sebesar p, maka energi kinetiknya (dan juga energi totalnya) adalah E  = p 2 /2m. Partikel yang demikian ini adalah dalam keadaan energi tertentu (keadaan stasioner). Dari persamaan de Broglie, partikel ini memiliki panjang gelombang tertentu yaitu λ = h/p   dan frekuensi yang tertentu pula f  = E/h. Dengan mengambil konsep gelombang berjalan mekanik sebagai ibarat, kita dapat menuliskan fungsi gelombang untuk partikel ini dengan Ψ(x, t) = A cos(kx

− ωt) + B sin(kx − ωt)

(6)

yang mana A dan B   adalah konstanta. Sebagaimana gelombang mekanik, kita tetapkan k = 2π/λ   dan frekuensi sudut ω = 2πf   untuk Persamaan (6). Keduanya

4

terkait dengan momentum dan energi dengan hubungan 2π 2π h p 2π E  = = dan ω = 2πf  = hf  = (7) λ h λ   h   Fungsi gelombang di Persamaan (6) tidak nampak mewakili partikel dalam keadaan stasioner sebagaimana dalam Persamaan (1). Kita dapat mengubahnya menjadi bentuk berikut, jika kita nyatakan B = iA, sehingga k =

Ψ(x, t) = A cos(kx =

− ωt) + iA sin(kx − ωt) A[cos(kx − ωt) + i sin(kx − ωt)]

= Aei(kx

ωt)

−

= Ae ikx e

iωt

(8)

−

Dalam Persamaan (8) kita sekali lagi menggunakan kaidah Euler, yang menyatakan bahwa untuk setiap sudut θ, eiθ = cos θ + i sin θ

dan

e

iθ

−

= cos θ

− i sin θ

(9)

Dengan membandingkan Persamaan (8) dan Persamaan (1), kita lihat bahwa fungsi gelombang kita sebenarnya mewakili keadaan stasioner dengan energi E  =  ω dan fungsi gelombang spasial ψ(x) = Aeikx . Gambar 4 menampilkan bagian real dan imajiner dari fungsi ini.

Gambar 1: Fungsi gelombang spasial ψ(x) = Aeikx untuk partikel bebas dengan momentum tertentu p =  k   merupakan fungsi kompleks; dia memiliki bagian real dan bagian imajiner. Jika kita subtitusikan ψ(x) = Ae ikx ke ruas kiri persamaan Schr¨ odinger, Persamaan (5), kita dapatkan

5

−

 2

d2 (Aeikx ) + (0)(Aeikx ) = 2 2m dx =

 2

2

− 2m (ik) Ae 2

p ψ(x) 2m

ikx

=

 2 k 2

2m

Aeikx (10)

(Turunan ke dua dari e ax , yang mana A adalah konstanta, ialah a2 eax .) Ruas kanan Persamaan (5) adalah Eψ(x). Sehingga,  p2 p2 ψ(x) = Eψ(x) yang mana E  =   (11) 2m 2m Bersasarkan Persamaan (11), kita simpulkan bahwa fungsi gelombang sebuah partikel bebas di Persamaan (8) memenuhi persamaan Schr¨ odinger. Apabila k di Persamaan (8) bernilai positif, artinya fungsi gelombang mewakili satu partikel bebas yang bergerak dalam arah x positif. Jika k negatif, maka momentum dan arah geraknya dalam arah x  negatif. (Dengan nilai k  negatif, panjang gelombangnya adalah λ = 2π/ k .) Untuk satu partikel bebas (U (x) = 0), tidak ada batas bagi nilai p dan demikian pula dengan nilai energi E  = p 2 /2m. Jika U (x) tidak konstan, maka solusi persamaan Schr¨ odinger hanya mungkin didapat dengan nilai-nilai E   tertentu. Nilai-nilai tersebut mewakili tingkat energi yang diijinkan di dalam sistem. Penemuan ini sangat penting. Sebelum persamaan Schr¨ odinger ditemukan, tidak ada cara untuk memprediksi tingkat energi selain model Bohr, yang mana tingkat keberhasilannya sangat terbatas. Terdapat juga versi persamaan Schr¨ odinger yang melibatkan kebergantungan terhadap waktu. Konsekuensinya, perlu dikaji tentang keadaan yang   tidak   stasioner dan juga fungsi distribusi probabilitas Ψ(x,y,z,t) 2 yang bergantung pada waktu. Tetapi, kita tidak membutuhkan versi tersebut untuk menghitung fungsi gelombang dan tingkat energi dalam keadaan stasioner. Apabila kita membutuhkan fungsi gelombang yang bergantung waktu untuk keadaan stasioner dengan tingkat energi E , kita cukup gunakan Persamaan (5). Persamaan Schr¨ odinger yang bergantung waktu sangat berguna untuk mempelajari transisi   antarkeadaan secara detil. Untuk kajian lebih lanjut Anda dapat mempelajari mekanika kuantum dari fenomena yang bergantung waktu seperti emisi dan penyerapan foton dan masa hidup dari keadaan.

||

|

|

¨ CONTOH SOAL  PERSAMAAN SCHRODINGER Diberikan fungsi gelombang ψ(x) = A1 eikx + A 2e ikx yang mana k   positif. Apakah ini merupakan fungsi gelombang keadaan stasioner yang tepat untuk partikel bebas? Berapa energinya? −

SOLUSI

IDENTIFIKASI: FUngsi gelombang keadaan stasioner yang tepat untuk partikel bebas 6

harus memenuhi persamaan Schr¨ odiinger, Persamaan (5), dengan U (x) = 0. CARA: Untuk menguji fungsi ψ(x) yang diberikan, cukup kita subtitusikan dia ke ruas kiri persamaan Schr¨ odinger. Apabila hasilnya adalah berupa konstanta dikalikan ψ(x), maka fungsi gelombang tersebut benar-benar adalah solusinya dan konstantanya merupakan tingkat energinya E . KERJAKAN: Subtitusilah ψ(x) = A1 eikx + A2 e ikx dan U (x) = 0 ke Persamaan (5), lalu kita dapatkan −

−

 2

d2 ψ(x) = 2m dx2 = =

 2

d2 (A1 eikx + A2 e 2m dx2

−   [(ik) A e − 2m 2

 2 k 2

2m

ikx

−

2

ikx

(A1e

1

ikx

)

+ ( ik)2 A2e

−

+ A2 e

ikx

−

)=

ikx

−

 2 k 2

2m

]

ψ(x)

Kita telah buktikan bahwa ruas kiri persamaan Schr¨ odinger sama dengan sebuah konstanta dikali ψ(x), artinya ψ(x) adalah benar-benar fungsi gelombang keadaan stasioner untuk suatu partikel bebas. Konstanta yang dimaksud tidak lain adalah energi total partikel E  =  2 k2 /2m. EVALUASI: Perhatikan bahwa ψ(x) adalah superposisi dari dua fungsi gelombang yang berbeda: satu untuk partikel dengan magnitud momentum p =  k  yang bergerak dalam arah x positif dan satu yang lain untuk partikel dengan magnitud momentum yang sama namun bergerak dalam arah x  negatif. Meskipun fungsi gelombang gabungan mewakili keadaan stasioner dengan energi tertentu, keadaan ini tidak memiliki momentum yang tertentu. Fungsi gelombang yang demikian ini mewakili  gelombang  berdiri .

5

Paket Gelombang

Fungsi gelombang untuk partikel bebas yang dinyatakan oleh Persamaan (8) memiliki momentum yang tertentu p dalam arah sumbu x. Untuk kondisi demikian, tidak ada ketidakpastian momentum: ∆ px  = 0. Prinsip ketidakpastian Heisenberg, menyatakan bahwa ∆x∆ px  . Jika ∆ px  adalah nol, maka ∆x  harus tak hingga. Konsekuensi yang harus diterima untuk mengetahui momentum partikel secara akurat adalah kita tidak tahu dimana partikel tersebut berada. Kita dapat membuktikan ini dengan menghitung fungsi distribusi probabilitas berikut Ψ(x, t) 2 :

 ≤

 |

2

|Ψ(x, t)|

|

= Ψ (x, t)Ψ(x, t) = (A e ∗

∗

= A Ae0 = A 2 ∗

| |

7

ikx +iωt

−

e

)(Aeikx e

iωt

−

)

Fungsi distribusi probabilitas ini tidak bergantung waktu, karena dalam keadaan stasioner (keadaan energi tertentu). Dia juga tidak bergantung pada posisi, artinya kita mungkin dapat menemukan partikel tersebut dimanapun di dalam ruang! Menurut perhitungan, situasi ini terjadi karena fungsi gelombang spasial ψ(x) = Aeikx = A cos kx + iA sin kx  adalah fungsi sinusoidal yang terdapat sepanjang sumbu x, sejak x=  hingga x = +  dengan amplitudo A. (Ini berarti bahwa fungsi gelombang tidak dapat dinormalisasi: Integral dari Ψ(x, t) 2 di seluruh ruang akan bernilai tak hingga untuk berapapun nilai A.) Secara praktis, kita selalu memiliki beberapa ide tentang dimana partikel tersebut. Kita memerlukan fungsi gelombang yang lebih terlokalisasi di dalam ruang. Kita dapat merumuskannya dengan menggabungkan dua fungsi sinusoidal atau lebih. Untuk langkah penyederhanaan, kita gunakan fungsi gelombang yang hanya bergantung pada satu koordinat ruang (x), dan kita akan perhitungkan pada satu waktu tertentu (misalnya t  = 0). Misalnya, kita tambahkan dua fungsi gelombang keadaan stasioner untuk partikel bebas dari Persamaan (8) dengan bilangan gelombang k 1 dan k2  yang sedikit berbeda. Pada t = 0, e iω t dan e iω t keduanya bernilai e0 = 1, jadi fungsi gelombang pada t = 0 adalah

 −∞

∞

 |

−

ψ(x) = A1 eik

1

x

+ A2 eik

2

|

1

−

2

x

= [A1 cos(k1 x) + iA1 sin(k1 x)] + [A2 cos(k2 x) + iA2 sin(k2x)] = [A1 cos(k1 x) + A2 cos(k2 x)] + i[A1 sin(k1 x) + A2 sin(k2 x)]

(12)

Kita gunakan kaidah Euler, Persamaan (9), untuk memisahkan bagian real dan imajiner fungsi ψ(x).

Gambar 2: (a) Bagian real dari dua gelombang sinusoidal dengan bilangan gelombang yang sedikit berbeda, pada satu waktu terntentu. (b) Superposisi dari kedua gelombang ini memiliki bilangan gelombang sebesar nilai rata-rata dari bilangan gelombang kedua gelombang penyusunnya, sedangkan amplitudonya bervariasi. 8

Gambar 5a adalah grafik yang menampilkan bagian real dari masing-masing fungsi gelombang untuk A2 = A1 ; Gambar 5b menampilkan bagian real dari fungsi gelombang gabungan ψ(x) yang dinyatakan Persamaan (12). Ketika kita menggabungkan dua gelombang sinusoidal dengan frekuensi yang sedikit berbeda, hasilnya adalah sebuah gelombang tersendiri yang sifatnya berlainan dengan kedua gelombang penyusunnya. Sebuah partikel yang dinyatakan oleh fungsi gelombang di Persamaan (12) lebih sering ditemukan di beberapa tempat yang terlokalisasi dibandingkan di tempat yang lain. Tetapi, momentum partikel tersebut tidak lagi bernilai pasti karena melibatkan dua bilangan gelombang. Hal ini bertepatan dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg: Dengan menurunkan ketidakpastian pada posisi partikelm kita akan meningkatkan ketidakpastian pada momentumnya.

−

Tidak sulit bagi kita untuk memikirkan superposisi dua gelombang sinusoidal dengan amplitudo dan bilangan gelombang yang berbeda. Sekarang, jika kita superposisikan banyak sekali gelombang sinusoidal dengan bilangan gelombang yang berbeda, kita akan mendapatkan sebuah gelombang yang menyerupai satu gumpalan saja.

9