Fungsi Error

Fungsi Error Fungsi error merupakan salah satu fungsi spesial yang tidak memiliki kaitan sama sekali dengan error atau kesalahan pengukuran. Lebih lanjut, fungsi error ini terkait

=e −t dengan luasan kurva lonceng y 2dari 0 hingga x. (1.)  x

−2 e−t  erf ( x )= ∫

2

√ π  0

Deskripsi penggunaan fungsi error dijelaskan oleh gambar berikut.

Pencarian Nilai Fungsi Error pada Nilai x Kecil Nilai fungsi error dapat didekati dengan menggunakan deret ac Laurin pada nilai x kecil !nilai x antara "# dan #$. %encarian deret ac Laurin untuk fungsi error !erf$ di atas bisa kita mulai dengan pengertian deret ac Laurin itu sendiri. Deret Mac Laurin

!&.$  2

 n

 f  ( 0 )  f  ( 0 ) f  ( ( x )= f  ( ( 0 ) + x . f  ( 0 ) + x . + … .. + x2 . 2! n!  ' 

2

Dari sini, kita bisa mulai menemukan deret ac Laurin untuk e x. 'ngat kembali bah(a xsama dengan e x. turunan dari e

2

0

!).$

ex = e

0

+ x e +

 x e

2!

0

+ …=1 + x +

 x

∞

2

2!

∑

…=

 x

n= 0

n

n

*emudian kita menggantikan variabel x pada e 2, sehingga perumusan !).$ xdengan −t berubah menjadi deret berikut.

(−t  )

2 2

= e + (−t  ) e

2

− t 

!+.$

e

0

2

0

+

0

e

2!

4

t 

2

+ … = 1−t  +

2!

+¿

Dari sini, kita bisa masukkan deret tersebut ke perumusan !#.$ sehingga menjadi perumusan !.$ di ba(ah.

!.$

∫ ∑ 

( =2π√ e r f x)

0x

( −1) 2nn ! nt d t

∞ n=0

elihat perumusan !.$ di atas, nampaknya sulit sekali. -api begitu kita tahu bah(a disana ada dt, maka kita tahu variabel yang terlibat proses integrasi hanyalah variabel dan variabel lainnya, keluar dari lambang integrasi. %ada perumusan selanjutnya, kita bisa melihat bagaimana operator penjumlahan deret ! Σ$ menjadi berada di luar, melingkupi operator integral.

!.$

∑ 

( =2π√ e r f x) /ekarang kita fokus dulu ke bentuk

∫

( −1) !0xt 2nd nn t

∞ n=0

tpada perumusan !.$ di atas. Dengan 2nd ∫0xt

teknik integrasi yang dulu pernah kita dapatkan semasa /, kita bisa dengan mudah mengetahui bah(a 1

!2.$

∫ t dt=t 0x 2n

2n+12 −0. ∣∣∣x0=x2n+12 n+1 n+1

t

/ehingga hasil akhirnya adalah1

(8.)

∑ 

e r f x) ( =2π√

∞ n=0

n+1) 2n+1n ( −1) ! . n⋅x ⋅(2

r f x)pada %erumusan !3.$ tadi sangat sering dipakai dalam algoritma pencarian nilai e ( nilai x yang cukup kecil. %ada nilai x yang besar, maka algoritma yang digunakan

r f x) berbeda. 4al tersebut karena, (alaupun perumusan !3.$ tetap memberikan nilai e ( yang bagus untuk x besar, tapi (aktu perhitungan yang dihabiskan komputer jadi lebih lama karena membutuhkan operasi perulangan yang lebih banyak. 5ambar di ba(ah

r f x)sebenarnya !kurva menerangkan kesesuaian perumusan !3.$ dengan fungsi e ( merah$. %erumusan !3.$ yang digunakan untuk plot kurva biru putus"putus di ba(ah dihitung hingga suku n ke"6.

Pencarian Nilai Fungsi Error pada x Besar %ada x besar, !biasanya nilai x besar adalah nilai x7# dan nilai x8"#$ maka pencarian nilai fungsi error dilaksanakan dengan bantuan fungsi error komplementer, erfc!x$. Fungsi error komplementer ini didefinisikan sebagai berikut.

(9.)

∫

2d −t e r f c x) t ( =2π√ x∞e

Fungsi erfc!x$ ini punya hubungan spesial dengan fungsi erf!x$, yaitu erfc!x$ 9 erf!x$ : #. 4al ini dibuktikan dengan perumusan berikut. !#0.$

∫ e dt+2π√∫ e dt=2π√∫ e dt

( +e ( =2π√ e r f c x) r f x)

2 x∞ −t

2 0x −t

2 0∞ −t

Mengganti t2 dengan s, maka perumusan 10 menjadi: !##.$

∫ e 2s√ds=2π√⋅Γ( )2=2π√⋅π√2

( +e ( =2π√ e r f c x) r f x)

0∞ −s

12

Γ( 12)merupakan fungsi gamma, penjelasannya dapat dilihat di we ge!fisika "#M ini. !#&.$

( +e ( =1 e r f c x) r f x) Dengan sifat istime(a seperti di atas, kita bisa menentukan deret yang digunakan untuk menemukan pendekatan nilai erf!x$ pada x besar. Deret ini berasal dari erf!x$ : #" erfc!x$. -eknik pencarian deret tersebut akan saya jelaskan di ba(ah. !#).$

( =1−e ( e r f x) r f c x) !#+.$

∫ e dt

( =1−2π√ e r f x)

x∞ −t 2

Mengganti t2 dengan s, maka perumusan 1$ menjadi: !#.$

∫

( =1−2π√ e r f x)

∫

2√ds =1−1π√

−s s x2∞e

√ds

−s x2∞e s

x)yang dapat didefinisikan %emudian kita mendefinisikan seuah fungsi aru ernama Fn( seagaimana pada perumusan (1&.). 'kspansi fungsi Fn( x)(perumusan (1.))dilaksanakan

Ud V=UV−∫ Vd U. dengan teknik pengintegralan ∫ !#.$

∫

= Fn( x)

∫

( √) = d s

−ss x2∞e ns

−s −n−12d x2∞e ⋅s s

!#2.$

( )

( )∫

=−s − n+12 e −s 2 ∣∣∣∞x2− n+1 Fn( x) !#3.$

−s −n−32d x2∞e ⋅s s

( )

−x2− n =x−(2n+1)e +12 Fn+1( Fn( x) x)

x)ke fungsi erf().... Menghuungkan fungsi Fn( !#6.$

∫

( =1−1π√ e r f x)

√ds =1−F0( x) π√

−s x2∞e s

!&0.$

[

(

(

))]

−x2−1 −x2−3 −x2−5 e r f x) x) ( =1−1π√ x−1e 2 x−3e 2 x−5e 2F3(

!&#.$

[

]

( =1−1π√ x−1e +3x−5e −3⋅5x−7e +. . . −x2−x −3e −x22 −x24 −x28 e r f x)

*ari perumusan n!. (21.), kita isa melihat ahwa deret yang digunakan untuk menemukan  pendekatan nilai erf() pada  esar (leih dari 1) adalah seagai erikut. (22.)

∑ 

( =1−e √ e r f x) −x2π

( −1) 2n−1) ! ! 2nx2n+1. n(

n=0 ∞

+edangkan pada nilai  kurang dari 1, deret yang digunakan adalah seperti erikut. (2-.)

∑ 

e r f r f x) −x2π ( −x) =−e ( =e √

( −1) 2n−1) ! ! 2nx2n+1−1. n(

∞ n=0

x−4 ungsi x ! !dikenal seagai fakt!rial ganda, didefinisikan seagai x! ! =x⋅(x−2) ( )

( ) . . . x−8 n, n/1 jika  ganjil dan n/2 jika  genap.

l!t fungsi 'rf() (ungu), perumusan (8.), hingga n/9, da lam warna iru muda, dan perumusan (22.), hingga n/&, dalam warna hijau muda.