Fundamentos y Aplicaciones de La Mecánica de Fluidos
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FUNDAMENTOS Y APLICACIONES ´ DE LA MECANICA DE FLUIDOS
ANTONIO BARRERO RIPOLL de la Real Academia de Ingenier´ıa. Catedr´ atico de Mec´anica de Fluidos de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla. ´ ´ MIGUEL PEREZ-SABORID SANCHEZ-PASTOR. Profesor Titular de Mec´ anica de Fluidos de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla.
´ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA MADRID • BOGOTA ´ ´ • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO MEXICO • NUEVA YORK • PANAMA ´ • MONTREAL • NUEVA DELHI • PAR´IS AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILAN SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO
Fundamentos y aplicaciones de la mec´ anica de fluidos No est´a permitida la reproducci´ on total o parcial de este libro, ni su tratamiento inform´ atico, ni la transmisi´ on de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electr´ onico, mec´anico, por fotocopia, por registro u otros m´etodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.
McGraw-Hill/Interamericana de Espa˜ na, S.A.U. c 2005, respecto a la primera edici´on en espa˜ DERECHOS RESERVADOS nol, por ˜ S.A.U. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPANA, Edificio Valrealty, 1 planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid)
ISBN: 84-481-9890-5 Dep´ osito legal: M.
Editor: Antonio Garcia Brage Dise˜ no de cubierta: Sergio Quir´ os Impreso en:
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A Regina y a Sole
Pr´ ologo Me complace de modo muy especial la oportunidad que me han brindado los autores de escribir unas l´ıneas como Pr´ologo a su libro sobre Fundamentos y Aplicaciones de la Mec´ anica de Fluidos. Debo empezar agradeci´endoles su empe˜ no de contribuir, partiendo de su condici´ on de profesores dedicados a la ense˜ nanza de la Mec´anica de Fluidos en una Escuela de Ingenier´ıa, con un ambicioso libro de texto en espa˜ nol sobre esta disciplina. Creo que los que nos dedicamos a esta tarea en los pa´ıses de habla espa˜ nola debemos felicitarnos por el resultado tan satisfactorio de este empe˜ no, y debamos agradecerles el enorme esfuerzo que han empleado para conseguirlo. Yo que he seguido muy de cerca la admirable labor docente e investigadora de Antonio Barrero, uno de mis m´as brillantes alumnos, conozco muy bien que tiene la capacidad y el coraje necesario para intentar contribuir a llenar una laguna en los textos existentes en espa˜ nol con uno avanzado de Mec´ anica de Fluidos, dedicado a la descripci´ on, con el nivel cient´ıfico imprescindible, de los movimientos de los fluidos en las condiciones m´as diversas. As´ı, en el libro se atiende con exposiciones muy did´acticas, apoy´andose en el marco general de las ecuaciones de conservaci´on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa, a la descripci´on de los flujos a bajos y a altos n´ umeros de Reynolds. Se consideran no solamente los movimientos de los fluidos incompresibles sino, tambi´en, los de los fluidos compresibles, en los que los efectos de la compresibilidad se traducen, por ejemplo, en los fen´ omenos de tipo ac´ ustico y en las ondas de choque inevitables en los flujos supers´ onicos. En los movimientos a grandes n´ umeros de Reynolds en torno a obst´ aculos encontramos el campo fluido dividido en regiones: una regi´ on principal, donde con buena aproximaci´ on el movimiento est´a bien descrito por las ecuaciones de Euler, que ahora cumplen doscientos cincuenta a˜ nos, y otras regiones como las capas delgadas representadas por las posibles ondas de choque y por la capa l´ımite, que nos ense˜ no´ a calcular Prandtl hace cien a˜ nos, y su prolongaci´ on en las capas de torbellinos introducidas por Helmholtz. Todo esto aparece bien recogido en el libro de Antonio Barrero y Miguel P´erez-Saborid, que tambi´en se ocupa, con una introducci´ on muy satisfactoria, de los problemas de estabilidad de los flujos monof´ asicos y multif´ asicos, as´ı como de los flujos turbulentos, consecuencia de estas inestabilidades. Un texto ambicioso, como es ´este, por el nivel cient´ıfico empleado en la presentaci´on de los fundamentos y algunos ejemplos, bien elegidos por consideraciones did´ acticas, de las muchas aplicaciones de la Mec´anica de Fluidos, me parece imprescindible para aquellos que quieran estar preparados para abordar los problemas tan diversos, frecuentemente de car´ acter interdisciplinar, de las Ciencias y de la Ingenier´ıa, en los que interviene la Mec´anica de Fluidos como determinante. Este es el caso no solamente de los problemas fluidodin´amicos de la Ingenier´ıa, sino tambi´en de la Metereolog´ıa, Oceanograf´ıa, Astrof´ısica y de la Biomedicina. La gran variedad y complejidad de los movimientos de los fluidos se deriva del car´ acter no lineal de las ecuaciones que los determinan, de la diversidad de escalas y de configuraciones geom´etricas de las condiciones de contorno. Sin embargo, su descripci´ on es posible cuando se anica de Fluidos abordan desde la perspectiva proporcionada por un conocimiento de la Mec´ como el que se busca alcanzar con este libro. A pesar de los doscientos cincuenta a˜ nos de existencia de las Ecuaciones de Euler y de los ciento sesenta de las Ecuaciones de NavierStokes, no existen recetarios con la soluci´on de los muy variados problemas fluidodin´ amicos que es necesario abordar, ni c´odigos de simulaci´ on num´erica que, sin la formaci´ on adecuada del usuario, puedan servir de ayuda para el an´ alisis racional de estos problemas. Amable Li˜ na´n de las Reales Academias de Ingenier´ıa y de Ciencias Exactas, F´ısicas y Naturales. Catedr´atico de la Universidad Polit´ecnica de Madrid.
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Introducci´ on La semilla de este libro tiene su origen en los cursos de Mec´anica de Fluidos impartidos desde hace mas de veinte a˜ nos en la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla. En nuestra opini´ on, el enfoque de este libro es distinto al de los que existen en el mercado, entre los que se encuentran libros de texto, de car´acter general, excelentes como los debidos a Batchelor y a Landau y Lifshitz entre otros, que son ampliamente aceptados por la comunidad cient´ıfica y acad´emica. Sin embargo, tanto por los temas que se abordan en ellos como por el modo en que se presentan son m´as adecuados para estudiantes de tercer ciclo, o especialistas de Mec´anica de Fluidos, que para estudiantes de primer y segundo ciclo de Escuelas T´ecnicas Superiores y Facultades de Ciencias, incluso para los que poseen un nivel adecuado de F´ısica y Matem´aticas. Por otra parte, se han publicado recientemente una ingente cantidad de libros introductorios a la Mec´ anica de Fluidos, algunos de ellos de calidad discutible y cl´ onicos de otros de mayor calidad que les precedieron; por ejemplo el debido a White que cubre eficazmente y con suficiente rigor una gran variedad de temas de inter´es pr´actico, aunque su nivel elemental no provee al lector de unos fundamentos f´ısicomatem´aticos suficientes que le permitan comprender y abordar los complejos problemas fluidodin´ amicos de la Ingenier´ıa. En este libro se describen en profundidad, con un punto de vista unificado y autocontenido que parte de primeros principios, los fen´ omenos f´ısicos relevantes en el movimiento de los fluidos y su cuantificaci´ on matem´atica que dan lugar a las ecuaciones generales que gobiernan los movimientos fluidos. Con este enfoque se pretende proporcionar al lector una exposici´on ordenada, rigurosa, extensa y profunda, de los fundamentos de la Mec´ anica de Fluidos que permita, una vez desarrollado el modelo te´ orico general, abordar gradualmente el estudio de las aplicaciones pr´acticas m´as relevantes de la Mec´anica de Fluidos. Desde el punto de vista did´ actico, las ventajas de este enfoque son patentes si se tiene en cuenta la complejidad de los procesos fluidodin´ amicos reales, cuyo tratamiento requiere un amplio conocimiento y una comprensi´on profunda de los problemas fisico-matem´ aticos involucrados en el fen´omeno considerado. S´ olo dicho conocimiento permitir´ a estimar cuantitativamente la importancia relativa de los diferentes efectos involucrados en el fen´ omeno y llevar a cabo simplificaciones, siempre necesarias en la Mec´anica de Fluidos, que proporcionen soluciones aproximadas, anal´ıticas, num´ericas o experimentales, al problema considerado que sean de inter´es pr´actico. Los principios f´ısicos b´asicos que gobiernan el movimiento de los fluidos y las ecuaciones generales a que dan lugar se recogen en los seis primeros Cap´ıtulos. Los movimientos fluidos en los que las fuerzas de viscosidad juegan un papel dominante se analizan en los cap´ıtulos 7 a 9. Los fundamentos te´oricos de los movimientos de fluidos a altos n´ umeros de Reynolds (movimientos con fuerzas de viscosidad despreciable), de importancia capital en la ingenier´ıa, se analizan en el Cap´ıtulo 10, y algunas de las aplicaciones de estos movimientos se analizan en los Cap´ıtulos 11 a 13 donde se tratan respectivamente los temas de ondas lineales en fluidos (ac´ ustica y ondas superficiales en l´ıquidos), ondas no-lineales (din´ amica de gases, ondas de choque, etc.) y aerodin´ amica potencial subs´onica. Los efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor en los flujos a altos n´ umeros de Reynolds se tratan en el Cap´ıtulo 14. El Cap´ıtulo 15 se dedica al estudio de la estabilidad de las corrientes fluidas mediante el an´alisis lineal; entre otros casos, se consideran all´ı la inestabilidad de KelvinHelmholtz, la de Rayleigh, la de B´enard y la inestabilidad espacial de corrientes paralelas. El Cap´ıtulo 16 est´a dedicado a los flujos turbulentos; en ´el se consideran diversos aspectos de la f´ısica de la turbulencia, se formulan las ecuaciones promediadas de Reynolds y se aborda el problema de cierre, tanto para flujos de geometr´ıa sencilla, para los que existen soluciones anal´ıticas semiemp´ıricas cl´asicas, como para aquellos, de geometr´ıa m´as compleja, que vii
deben ser abordados num´ericamente. Finalmente, el Cap´ıtulo 17 se dedica a aplicaciones cl´asicas de la corriente turbulenta de l´ıquidos y gases en conductos (incluyendo los efectos de compresibilidad, golpe de ariete, en los l´ıquidos) y el movimiento de l´ıquidos en canales. En cuanto al uso del libro con prop´ ositos docentes, es claro que el conjunto de temas abordados en este libro es m´as amplio de lo que puede explicarse en los cursos de Mec´anica de Fluidos del primer y segundo ciclo de los planes de estudio vigentes en las Escuelas T´ecnicas Superiores y Facultades de Ciencias. Nuestra experiencia en la Escuela de Sevilla con los estudiantes de ingenier´ıa industrial indica que en un curso introductorio de 6 cr´editos pueden impartirse una buena parte de los ocho primeros Cap´ıtulos as´ı como parte del Cap´ıtulo 10 y la parte del Cap´ıtulo 17 dedicado al movimiento de l´ıquidos en tuber´ıas a presi´on (excluyendo el golpe de ariete). En un segundo cuatrimestre de cuatro cr´editos y medio, se imparten temas escogidos de los Cap´ıtulos 10 a 14 y del Cap´ıtulo 16, as´ı como la parte del Cap´ıtulo 17 dedicada al movimiento turbulento de gases en conductos. Naturalmente nadie mejor que la propia experiencia del docente para seleccionar los temas a impartir de acuerdo con los objetivos del curso. Los autores desean agradecer a los profesores Javier D´avila, Jos´e M. L´opez-Herrera y Jos´e ´ M. Gordillo del Area de Mec´anica de Fluidos por su colaboraci´ on y ayuda en la elaboraci´ on del manuscrito. La inapreciable ayuda de Ignacio L´ opez y Manuel Gonz´ alez en la elaboraci´on de los dibujos y figuras es muy reconocida, as´ı como lo es tambi´en la de David Guti´errez en las tareas de edici´on del libro. No menos importante ha sido el esmerado mecanografiado de gran parte del manuscrito realizado por Adoraci´ on Garc´ıa de Pablo a la que los autores desean una muy pronta recuperaci´ on.
Antonio Barrero
Miguel P´erez-Saborid
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Otros títulos de interés relacionados 1. 84-481-3527-X – SERRANO – OLEOHIDRÁULICA. La Oleohidráulica, ha experimentado un gran desarrollo en la industria moderna y se debe a las interesantes características que posee este medio de transmisión energética. Esta obra está ilustrada con numerosos dibujos y esquemas tanto de los elementos hidráulicos como la de los circuitos esenciales de esta materia.
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Fuente de referencia para los estudiantes y profesionales de obras hidráulicas. Ingeniería de presas. Compuertas y válvulas. Seguridad de presas. Ingeniería de ríos y costas. Modelos de ingeniería hidráulica.
Próxima publicación
P ROBLEMAS DE M ECÁNICA DE F LUIDOS
4. 84-481-9889-1 – LÓPEZ-HERRERA, HERRADA, PÉREZ-SABORID, BARRERO. PROBLEMAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS (Serie Schaum). Complemento perfecto al libro de teoría Fundamentos y aplicaciones de la mecánica de fluidos. Conceptos, definiciones y principios básicos. Problemas resueltos. Problemas propuestos. Aplicaciones practicas más relevantes de la mecánica de fluidos.
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Contenido 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos 1.1. S´olidos, l´ıquidos y gases . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Estructura molecular de la materia . . . . . . . . . . 1.3. La hip´ otesis de fluido como medio continuo . . . . . . 1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas 1.4.1. Energ´ıa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Fuerzas macrosc´ opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica 4.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Forma del tensor de esfuerzos. Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . 4.4. Fluidoest´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Hidrost´ atica. Algunos casos simples de fuerzas m´asicas aplicadas 4.4.3. Fuerza sobre un cuerpo sumergido. Principio de Arqu´ımedes . .
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2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´ anicos 2.1. Termodin´amica del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Equilibrio termodin´ amico local . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Gases perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. L´ıquidos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Mezclas de gases perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Fen´ omenos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Fen´ omenos de transporte difusivo . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Transporte convectivo. Flujo convectivo de una magnitud 3. Cinem´ atica de los fluidos 3.1. Especificaci´on del campo fluido . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. L´ıneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Derivada sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . 3.3. An´alisis de las velocidades en el entorno de un punto . 3.4. Funci´ on de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de
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4.4.4. Equilibrio de gases. Atm´ osfera est´andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Tensi´on superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Condiciones de equilibrio a trav´es de la interfase de dos fluidos no miscibles 4.5.2. Determinaci´on de la interfase de separaci´on entre dos fluidos no miscibles en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ecuaciones generales de la Mec´ anica de Fluidos 5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Principio de conservaci´ on de la masa. Ecuaci´on de continuidad . . . . . 5.1.2. Ecuaci´on de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Ecuaci´on de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Consideraciones generales sobre las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . 5.2.1. Resumen de las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ecuaciones de conservaci´on en forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. M´etodos de estudio de los problemas fluidomec´anicos . . . . . . . . . . . . . Ap´endice 5.I. Ecuaciones de Navier-Stokes en diferentes sistemas de coordenadas Ap´endice 5.II. Ecuaciones de conservaci´on para mezclas reactantes . . . . . . . . Ap´endice 5.III. Aplicaciones de la ecuaci´on de la entrop´ıa en forma integral . . . 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Cantidades dimensionales y adimensionales. Semejanza geom´etrica 6.3. Teorema Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Ejemplos de aplicaci´on del an´ alisis dimensional . . . . . . . . . . . 6.4.1. Gasto de l´ıquido a trav´es de un vertedero . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Movimiento estacionario de un fluido incompresible alrededor de un obst´aculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Semejanza f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Movimientos unidireccionales 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Movimientos unidireccionales estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Corriente de Hagen-Poiseuille en un conducto de secci´on circular constante 7.2.3. Movimientos unidireccionales no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Flujos unidireccionales con geometr´ıa cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Corriente de Couette compresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Perfiles de velocidad en la corriente de Couette . . . . . . . . . . . . . . . Ap´endice 7.I. Introducci´on a las soluciones de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . Ap´endice 7.II. Introducci´on a los m´etodos de perturbaciones . . . . . . . . . . . . .
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8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad 8.1. Flujo en conductos de secci´on lentamente variable . . . . . . . 8.2. Tubos de longitud finita. Efecto de entrada . . . . . . . . . . . 8.3. Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomec´anica . . 8.4. Capas l´ıquidas tridimensionales. Ecuaci´ on de Reynolds . . . . 8.5. Movimiento de un lubricante en un cojinete . . . . . . . . . . 8.5.1. Cojinete largo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2. Cojinetes cortos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.5.3. Cavitaci´ on. Condiciones medio Sommerfeld y de Reynolds . . . . . . . . . 172 Ap´endice 8.I. Integraci´on num´erica. M´etodo de L´ıneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos 9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Ecuaciones de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Movimiento alrededor de una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Ley de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Aproximaci´ on de Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes 9.5. Velocidad de sedimentaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Movimiento de fluidos a trav´es de medios porosos . . . . . . . . . 9.6.1. Descripci´on macrosc´opica y ecuaciones del flujo . . . . . . . 9.6.2. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . .
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10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler 10.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Continuidad, existencia y unicidad de la soluci´ on . . . . . . . . . 10.5. Movimientos isentr´ opicos y homentr´ opicos . . . . . . . . . . . . . 10.6. Ecuaci´on de Euler-Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Magnitudes de remanso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8. Vorticidad y circulaci´ on del vector velocidad . . . . . . . . . . . . 10.9. L´ıneas y tubos de vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10. Teorema de Bjerkness-Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11. Potencial de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12. V´ortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.13. Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales . . . . . . . . . . 10.13.1. Movimiento de l´ıquidos ideales en conductos . . . . . . . . . 10.13.2. Flujo de gases en toberas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14. Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . 10.14.1. Movimiento de un fluido a trav´es de una turbom´aquina . . . 10.14.2. Aplicaci´on a la carga de dep´ositos . . . . . . . . . . . . . . . Ap´endice 10.I. Magnitudes fluidas en un flujo isentr´ opico . . . . . . . . .
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195 195 197 198 199 201 202 203 205 206 208 210 211 214 215 218 223 223 227 230
11. Ondas lineales en fluidos 11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Ecuaci´on de la energ´ıa para el campo sonoro . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3. Ondas monocrom´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4. Reflexi´on y transmisi´on de ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.5. Emisi´on de sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.6. Efectos de la viscosidad y de la conducci´on t´ermica en la propagaci´on ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.7. Ondas sonoras en medios no homog´eneos en movimiento . . . . . . . . 11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Ondas lineales en una corriente uniforme de profundidad constante . . 11.3. Ondas en una corriente generadas por la presencia de un obst´ aculo . . . . .
. . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . .
231 231 234 236 238 240 245 263 265 272 275 284
CONTENIDO
4 12. Ondas no-lineales 12.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Movimiento unidireccional de un gas . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Discontinuidades en movimientos de fluidos ideales . . . . . . . 12.4. Ecuaciones de conservaci´on a trav´es de una discontinuidad . . . 12.4.1. Discontinuidad tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2. Discontinuidad normal u onda de choque . . . . . . . . . . 12.5. Relaci´on de Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Ondas de choque normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7. Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas . . . . . . . . . . . 12.8. Expansi´ on de un flujo supers´ onico . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.1. Expansi´ on de Prandtl-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.2. Ondas simples estacionarias en una corriente supers´onica . 12.9. Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario Ap´endice 12.I. Salto de magnitudes a trav´es de una onda de choque . Ap´endice 12.II. Funci´ on de Prandtl-Meyer . . . . . . . . . . . . . . .
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13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos 13.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales . . . . 13.3. Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales . . . . . . . . . . . . 13.3.1. Soluciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2. Corriente uniforme y manantial bidimensional . . . . . . . . 13.4. Corriente alrededor de un cilindro circular . . . . . . . . . . . . . 13.5. Flujos potenciales en rincones, esquinas y cu˜ nas . . . . . . . . . . 13.6. Flujos potenciales axilsim´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7. Flujos potenciales no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8. Fuerza sobre un perfil. F´ ormula de Kutta . . . . . . . . . . . . . . 13.9. Generaci´on de circulaci´on en un perfil bidimensional. Hip´ otesis de Kutta-Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10. Caracter´ısticas aerodin´amicas de perfiles . . . . . . . . . . . . . . 13.11. Teor´ıa linealizada de perfiles en r´egimen incompresible . . . . . . 13.11.1. Problema de espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.2. Problema sustentador. Curvatura y a´ngulo de ataque . . . . 13.12. Alas de envergadura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.1. Teor´ıa de la l´ınea sustentadora . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.2. Soluci´ on de la ecuaci´on integral de Prandtl . . . . . . . . . . 13.13. M´etodos num´ericos en flujos potenciales . . . . . . . . . . . . . . 13.13.1. F´ormula de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.2. M´etodo de paneles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor 14.1. Concepto de capa l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Ecuaciones y condiciones de contorno . . . . . . . . . . . 14.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite . . 14.4. Soluciones de semejanza de Falkner-Skan . . . . . . . . . 14.5. Capa l´ımite con simetr´ıa axial . . . . . . . . . . . . . . . 14.5.1. Caso a) δ Ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5.2. Caso b) Ro ∼ δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. Estructura de un v´ ortice viscoso . . . . . . . . . . . . . .
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293 293 293 301 302 303 304 305 307 309 312 312 316 317 324 325
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327 327 331 334 334 337 338 340 342 343 345
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347 349 351 352 354 358 360 362 365 365 367
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371 371 372 375 382 387 387 388 389
5
CONTENIDO 14.7. Soluciones num´ericas de capa l´ımite . . . . . . . . . 14.7.1. M´etodos integrales . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.2. M´etodos num´ericos en capa l´ımite . . . . . . . 14.8. Capa l´ımite t´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9. Convecci´on forzada. Analog´ıa de Reynolds . . . . . 14.9.1. Influencia del n´ umero de Prandtl en el flujo de 14.10. Soluciones de semejanza en convecci´on forzada . . . 14.11. Convecci´on libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.12. Estructura de las ondas de choque . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . calor . . . . . . . . . . . . .
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392 393 398 399 402 405 407 408 413
15. Estabilidad hidrodin´ amica 15.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. An´alisis modal de la estabilidad hidrodin´ amica . . . . . . . . . . 15.3. Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz 15.4. Rotura de un chorro capilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Inestabilidad centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6. Estabilidad de corrientes paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1. Estabilidad no viscosa. Ecuaci´ on de Rayleigh . . . . . . . . 15.7. Estabilidad espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7.1. Estabilidad de una capa de mezcla . . . . . . . . . . . . . 15.7.2. Estabilidad de la capa l´ımite de Blasius . . . . . . . . . . . 15.8. Inestabilidad t´ermica. Problema de B´enard . . . . . . . . . . . .
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417 417 418 419 424 432 438 441 442 444 447 449
16. Turbulencia 16.1. Caracter´ısticas generales de los movimientos turbulentos . . . . . . . . . . . . 16.2. Ecuaciones de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3. El problema de cierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Dispersi´on turbulenta de un escalar pasivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5. Turbulencia parietal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.1. Turbulencia en conductos de secci´on circular . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6. Turbulencia libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.1. Chorro turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.2. Estelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.3. Capa de mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.4. Penachos t´ermicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7. Simulaci´ on num´erica en turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.1. Modelo k − ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.2. Modelo de ecuaciones para los esfuerzos aparentes de Reynolds (RSEM) 16.7.3. Simulaci´ on num´erica directa (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.4. Simulaci´ on de la escala grande (LES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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459 459 467 476 480 484 485 491 493 496 498 500 503 503 504 506 508
17. Flujo turbulento en conductos y canales 17.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. Hip´otesis b´asicas y ecuaciones del movimiento . . . . . . . . 17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1. Movimiento casi-estacionario de l´ıquidos en conductos . 17.3.2. Movimiento no-estacionario de l´ıquidos en conductos . 17.4. Movimiento casi-estacionario de gases en conductos . . . . . 17.4.1. Movimientos de gases a bajos n´ umeros de Mach . . . . 17.4.2. Conducto de secci´on constante aislado t´ermicamente .
. . . . . . . .
511 511 512 516 517 519 530 532 534
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CONTENIDO
6 17.4.3. Conducto de secci´on constante con adici´on de calor y sin fricci´ on 17.5. P´erdidas de carga localizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1. Ensanchamiento brusco de una tuber´ıa . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2. Contracci´ on brusca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.3. Ensanchamiento gradual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.4. Codos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.5. V´alvulas, bifurcaciones y otros dispositivos hidr´ aulicos . . . . . . 17.6. Flujo turbulento en canales abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.1. Flujo lentamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2. Aplicaci´on pr´ actica al c´alculo del flujo detr´ as de una presa . . . . 17.6.3. Flujo r´ apidamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ap´endice 17.I. Flujo turbulento en canales. Coeficiente de Manning . . . . .
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539 541 542 543 544 545 547 547 549 555 557 561
Cap´ıtulo 1
Caracter´ısticas generales de los fluidos 1.1.
S´ olidos, l´ıquidos y gases
La capacidad para deformarse indefinidamente bajo la acci´ on de fuerzas exteriores es la propiedad fundamental que distingue a los fluidos, l´ıquidos y gases, de los s´olidos. Un trozo de s´olido posee una forma definida que cambia u ´nicamente cuando lo hacen las condiciones externas que act´ uan sobre ´el. Por el contrario, una misma porci´ on de fluido carece de forma definida, pudiendo adquirir formas diferentes bajo unas mismas condiciones externas. As´ı un gas tender´a a llenar completamente el recipiente que lo contiene, independientemente de la forma de ´este, y un l´ıquido se deformar´a bajo la acci´on de su propio peso hasta llenar una parte del espacio determinado por el recipiente, tambi´en independientemente de la forma de este u ´ltimo. Se deduce, por tanto, que un fluido no presenta resistencia a la deformaci´ on misma, aunque s´ı la presenta, como se ver´a m´as adelante, a la velocidad con que se deforma. Dicha resistencia est´a directamente relacionada con una propiedad del fluido denominada viscosidad. Es bien conocido que el proceso de verter cierto volumen de agua desde un recipiente a otro es mucho m´as r´apido que el de verter el mismo volumen de miel entre los mismos recipientes. Al final del proceso los dos fluidos habr´an experimentado la misma deformaci´on, mientras que la velocidad de deformaci´ on habr´ a sido muy distinta en uno y otro caso debido a las diferentes viscosidades de ambos fluidos. Para un fluido de viscosidad dada, la resistencia a la velocidad de deformaci´on depende de la magnitud de las fuerzas que act´ uan sobre ´el; por tanto, fuerzas peque˜ nas dar´an lugar a velocidades de deformaci´on peque˜ nas, pero pueden originar deformaciones muy grandes si act´ uan durante un tiempo suficientemente largo. En cualquier caso y aun cuando posteriormente se precisen m´as las ideas anteriores, la frontera de separaci´on entre s´olido y fluido no es completamente clara, ya que existen sustancias que exhiben un car´acter dual (s´olido y fluido) en su comportamiento. En efecto, ciertas sustancias, como las pinturas o la gelatina, se comportan como s´olidos el´asticos si se las deja reposar durante un tiempo suficientemente largo, pero si se las agita violentamente pierden su elasticidad y se comportan como l´ıquidos. Otras sustancias, como la brea, o incluso el hielo o las rocas, se comportan como s´olidos durante tiempos relativamente cortos, pero si una fuerza act´ ua sobre estas sustancias durante un tiempo suficientemente largo sufren deformaciones extraordinariamente grandes que dan lugar al comportamiento pl´astico del material (flujo de glaciares o movimientos de la capa tect´onica terrestre). Afortunadamente, los fluidos m´ as comunes, entre los que se incluyen el aire y el agua, son bastante m´as simples que las sustancias anteriores, y esto justifica sobradamente una concentraci´on de la atenci´on sobre estos fluidos en un curso introductorio de Mec´ anica de Fluidos. 7
Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos
8
La distinci´on entre l´ıquidos y gases es menos fundamental desde un punto de vista din´ amico. Gases y l´ıquidos son fluidos que, como se indic´ o anteriormente, presentan la propiedad de su f´ acil deformabilidad. La densidad de una sustancia en fase l´ıquida es, normalmente, mucho mayor que la de una sustancia en fase gaseosa (t´ıpicamente mil veces mayor), aunque esto no pueda considerarse como una caracter´ıstica definitoria; la diferencia en densidades conduce a una diferencia en la magnitud de las fuerzas requeridas para conseguir una aceleraci´ on dada, pero no a una diferencia en el tipo de movimiento. La propiedad que de un modo m´ as sustancial diferencia a los l´ıquidos de los gases es la compresibilidad, o capacidad para cambiar el volumen que ocupa una determinada masa de fluido. Ense˜ na la experiencia que la compresibilidad de los gases es mucho mayor que la de los l´ıquidos. En movimientos de fluidos con variaciones apreciables de la presi´ on, el fluido experimentar´ a variaciones de densidad que en el caso de gases ser´an mucho mayores, para la misma variaci´on de presi´on, que en el de l´ıquido. Variaciones apreciables de presi´ on en un gas aparecen, por ejemplo, en meteorolog´ıa, como un resultado de la acci´on de la gravedad sobre la atm´osfera, o en el movimiento a altas velocidades de un s´olido a trav´es de un gas (bal´ıstica y aeron´ autica). Se encontrar´ an tambi´en situaciones en que aparecen variaciones muy peque˜ nas de la presi´ on en el movimiento de un gas (movimiento de un obst´ aculo en el seno de un gas a velocidades suficientemente bajas); en estas situaciones, los gases se comportan de manera semejante a los l´ıquidos debido a que en ambos casos los cambios de densidad son muy peque˜ nos.
1.2.
Estructura molecular de la materia
Las propiedades de los s´olidos, l´ıquidos y gases est´an directamente relacionadas con su estructura molecular. La materia est´a compuesta de mol´eculas en constante movimiento de agitaci´on e interacci´on mutua. Si wi representa la velocidad de la mol´ecula i-´esima de masa mi , la velocidad media de un conjunto de N mol´eculas puede definirse como la velocidad de su centro de masas, es decir, N
v=
mi wi
i=1 N
.
(1.1)
mi
i=1
La velocidad de agitaci´on de la mol´ecula i-´esima se define como su velocidad relativa respecto de la velocidad media, ci = wi − v. (1.2) Las velocidades de agitaci´on molecular exhiben un comportamiento irregular (ca´ otico), siendo sus tiempos caracter´ısticos de variaci´on en magnitud y direcci´ on muy cortos frente a los asociados a variaciones de la velocidad media, como se representa de modo cualitativo en la Figura 1.1. Aparte del movimiento de agitaci´on molecular, la existencia de fuerzas de interacci´on mutua entre pares de mol´eculas debe ser tenida en cuenta tambi´en al considerar la estructura molecular de la materia. Si, en una descripci´ on simplificada, se consideran las mol´eculas del sistema como centros de fuerzas, la fuerza que la mol´ecula i-´esima ejerce sobre la mol´ecula j-´esima, igual y contraria a la que la mol´ecula j-´esima ejerce sobre la i-´esima, estar´a dirigida seg´ un la l´ınea que une sus centros y su magnitud depender´ a de la distancia que las separa, es decir, Fji = Fji (|ri − rj |)
rj − ri = −Fij , |ri − rj |
(1.3)
9
1.2. Estructura molecular de la materia
(wi)k
(ci)k ·
vk t
Figura 1.1: Componente k de la velocidad de una mol´ecula t´ıpica i y su descomposici´on en velocidades de agitaci´on molecular y media. donde Fji es una cantidad positiva (negativa) dependiendo del car´ acter repulsivo (atractivo) de dicha fuerza. Aunque en la actualidad no se posee un conocimiento completo de las fuerzas intermoleculares en un fluido, los resultados experimentales y te´ oricos sobre la estructura molecular de los fluidos m´as simples sugieren que la energ´ıa potencial de interacci´ on entre dos mol´eculas neutras, no polares y que no reaccionan qu´ımicamente, se puede representar de forma bastante aproximada mediante el denominado potencial de Lennard-Jones 6 12 do do , (1.4) − φij (d) = φji = φo d d donde d = |ri − rj |, y φo y do son constantes que dependen del tipo de mol´eculas consideradas. A partir de φij se puede derivar la fuerza de interacci´ on molecular 7 13 do rj − ri do φo ∂ φij 2 =6 − , Fji = − ∂ rj do d d |rj − ri |
(1.5)
cuyo comportamiento frente a d se representa de modo cualitativo en la Figura 1.2.
F u e rz a In te rm o le c u la r
D is ta n c ia e n tre c e n tro s
Figura 1.2: Variaci´ on de la fuerza intermolecular como funci´ on de la distancia entre los centros moleculares. En la figura, la fuerza de repulsi´ on se ha representado con signo positivo.
Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos
10
Se puede observar en (1.5) que cuando la distancia entre mol´eculas es menor que cierta distancia t´ıpica del orden del tama˜ no caracter´ıstico molecular (do ∼ 3 × 10−10 m) existe una fuerte repulsi´ on electrost´atica entre ellas debida al solape de las nubes electr´onicas y a la proximidad entre sus n´ ucleos. Para distancias mayores que do las mol´eculas se atraen d´ebilmente debido a la formaci´on de dipolos el´ectricos inducidos (fuerzas de Van der Waals), variando la fuerza de atracci´ on, a grandes distancias, como d−7 . Si las mol´eculas poseen la capacidad de formar estructuras m´as complejas mediante reacciones qu´ımicas, existe entonces una fuerza atractiva intermolecular de origen cu´antico, no contenida en la descripci´ on anterior, que act´ ua a distancias muy cortas una vez superada la barrera de repulsi´ on electrost´atica. La distancia t´ıpica entre mol´eculas de una sustancia se puede estimar a partir de su masa molar y de su densidad. As´ı , por ejemplo, la densidad de un gas t´ıpico (ox´ıgeno) en condiciones normales (293 K, 105 P a) es de 1,2 kg/m3 . Como la masa molar del ox´ıgeno es 32 kg/kmol, se tendr´an 0,0416 kmoles/m3 y teniendo en cuenta el n´ umero de Avogadro (NA = 6,023×1023 mol´eculas/mol) 25 3 se obtiene n = 2,5 × 10 mol´eculas/m . La distancia media entre mol´eculas de O2 es, pues, del orden de n−1/3 ∼ 4,1 × 10−9 m, que es unas diez veces la distancia do . Sin embargo, para un l´ıquido t´ıpico (por ejemplo, agua, de masa molar 18 kg/kmol y densidad a temperatura ambiente de 103 kg/m3 ) la distancia media intermolecular resulta del orden de n−1/3 ∼ 3 × 10−10 m, que es del orden de do ; para los s´olidos, la distancia intermolecular t´ıpica es tambi´en del orden de do . En gases, por tanto, las mol´eculas est´an, en media, tan alejadas unas de otras, que las fuerzas intermoleculares pueden considerarse despreciables en primera aproximaci´on. S´ olo ocasionalmente, y despu´es de haber recorrido una distancia del orden del camino libre medio molecular (mucho mayor que do ), dos mol´eculas se aproximan lo suficiente para que entren en juego las fuerzas de repulsi´ on, experimentando lo que se denomina una colisi´ on, Figura 1.3.
Fij
Fji
Figura 1.3: Colisi´on intermolecular en un gas. Las colisiones que experimenta una mol´ecula de un gas en condiciones normales de presi´on y temperatura son ocasionales y de corta duraci´on en comparaci´on con el tiempo medio entre colisiones, por lo que se puede despreciar la fracci´on de mol´eculas del gas que en un instante dado est´an en colisi´on, y suponer que la energ´ıa potencial de una mol´ecula t´ıpica del gas sometida al campo de fuerzas de sus vecinas es, por tanto, despreciable en todo instante frente a su energ´ıa cin´etica; este modelo se conoce en teor´ıa cin´etica de gases con el nombre de gas ideal. Por el contrario, en s´olidos y l´ıquidos, las mol´eculas est´an tan cercanas unas de otras como lo permiten las fuerzas de repulsi´on y cada mol´ecula est´a sometida a un fuerte campo de fuerzas producido por sus vecinas, existiendo por tanto una interacci´ on continua entre ellas. En l´ıquidos, la energ´ıa cin´etica de las mol´eculas es comparable a su energ´ıa potencial, mientras que en s´olidos la energ´ıa cin´etica molecular es despreciable frente a la energ´ıa potencial. Este hecho explica la peque˜ na capacidad
1.3. La hip´ otesis de fluido como medio continuo
11
de deformaci´on de los s´olidos frente a la de los fluidos (l´ıquidos y gases). El car´acter de las fuerzas intermoleculares permite tambi´en explicar la gran diferencia en la compresibilidad de gases y l´ıquidos. En efecto, las mol´eculas de un gas est´an lo suficientemente separadas (d d0 ) como para que se puedan aproximar m´ as a´ un bajo la acci´ on de fuerzas externas sin que aparezcan fuerzas de repulsi´on electrost´aticas apreciables; sin embargo, en los l´ıquidos, con distancias intermoleculares t´ıpicas del orden de d0 , aparecen fuerzas de repulsi´on muy intensas, que var´ıan con la distancia de separaci´on como d−13 , lo que implica que cualquier porci´ on de l´ıquido debe ser sometida a fuerzas externas extraordinariamente grandes si se desea comprimirlo apreciablemente.
1.3.
La hip´ otesis de fluido como medio continuo
Desde un punto de vista molecular, el estudio de los fluidos es extremadamente complejo debido al enorme n´ umero de mol´eculas involucradas: en 1 mm3 de un gas en condiciones normales existen alrededor de 1016 mol´eculas, mientras que un mismo volumen de un l´ıquido t´ıpico contiene aproximadamente un n´ umero de mol´eculas mil veces mayor. L´ogicamente, un procedimiento basado en seguir la historia de cada mol´ecula del fluido sujeta a las interacciones con el resto representar´ıa un esfuerzo computacional tan desmesurado como in´ util. Adem´as, desde un punto de vista cl´ asico, y en el supuesto de que se conociera exactamente la expresi´on de las fuerzas intermoleculares, para la integraci´ on del sistema din´amico resultante, se presentar´ıa el problema adicional de conocer con precisi´on las condiciones iniciales, velocidad y posici´on de un n´ umero enorme de mol´eculas. Aun si esta dificultad fundamental pudiera soslayarse, permanecer´ıa el problema de interpretar la informaci´on microsc´opica obtenida en la forma de resultados experimentales macrosc´opicos, los cuales se obtienen con instrumentos de medida que, en realidad, promedian sobre cierto volumen que, aunque lo suficientemente peque˜ no como para considerar la medida como local (en el punto alrededor del cual se considera centrado el instrumento), es todav´ıa lo suficientemente grande como para contener un n´ umero de mol´eculas inmenso. As´ı , si L es la dimensi´on caracter´ıstica macrosc´opica de la regi´on ocupada por el fluido y d es la distancia t´ıpica entre mol´eculas, el volumen δ Ω sobre el que se realiza la medida debe verificar la condici´on: d (δ Ω)1/3 L.
Figura 1.4: Variaci´ on de la medida local con el volumen de promediado. Es f´acil ver que mientras el promedio se realice sobre vol´ umenes δ Ω que satisfagan la condici´on anterior, el resultado ser´a sensiblemente independiente del valor concreto de (δ Ω)1/3 (v´ease Figura 1.4), adquiriendo la medida, por tanto, un car´ acter objetivo, independiente de los detalles parti culares de cada instrumento de medida de una serie de instrumentos de caracter´ısticas similares. Si el promedio se realizase sobre vol´ umenes tales que (δ Ω)1/3 ∼ d, el resultado obtenido fluc-
12
Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos
tuar´ıa en forma ca´otica al variar δ Ω debido a que as´ı lo har´ıa el n´ umero de mol´eculas contenido en ´el; asimismo, si (δ Ω)1/3 ∼ L, la medida experimentar´ a variaciones apreciables al variar δ Ω, debido a que las magnitudes fluidas var´ıan en distancias del orden de L. Por otra parte, si d (δ Ω)1/3 L es f´acil deducir que al desplazar de forma continua sobre la regi´ on ocupada por el fluido el punto de centrado del instrumento de medida, el valor de ´esta experimentar´a variaciones muy aproximadamente continuas, siendo despreciable la magnitud de las fluctuaciones respecto a valores medios asociados al car´acter discreto molecular del fluido.1 Las consideraciones anteriores justifican, en la gran mayor´ıa de las situaciones pr´acticas, la descripci´on del comportamiento macrosc´opico de un fluido mediante un modelo matem´ atico continuo, en el cual se supone que en cada instante el fluido ocupa de forma continua una cierta regi´ on del espacio (dominio fluido) sobre la que se tienen definidas funciones continuas y derivables de la posici´ on y del tiempo (campos o variables fluidas). Dichas variables fluidas se definen en cualquier punto x de la regi´on ocupada por el fluido en el instante t como el l´ımite formal de cantidades f´ısicas de inter´es (masa, cantidad de movimiento y energ´ıa) promediadas sobre un elemento de volumen δ Ω centrado en x, cuyas dimensiones se hacen tender a cero, pero sin llegar nunca a ser tan peque˜ nas como para que el volumen contenga s´olo unas pocas mol´eculas. De esta forma, y como se indic´o anteriormente, se podr´a hacer abstracci´on de las fluctuaciones asociadas a la estructura molecular frente a valores medios, pudi´endose considerar que, formalmente, dicho l´ımite da lugar a una funci´ on suave (continua y derivable) de la posici´ on y del tiempo definida sobre el dominio fluido. Se define, entonces, la densidad del fluido en cada punto x y en cada instante t como el l´ımite formal N (δ Ω) 1 mi , δ Ω→0 δ Ω i=1
ρ(x, t) = l´ım
(1.6)
siendo N (δ Ω) el n´ umero de mol´eculas contenido en δ Ω en el instante t, donde δ Ω → 0 simboliza d (δ Ω)1/3 L.2 Del mismo modo, la velocidad local del fluido v(x, t), en cada punto x y en cada instante t, se puede definir como el l´ımite formal de la media de las velocidades moleculares ponderadas con la masa molecular, es decir, N (δ Ω) m i wi v(x, t) = l´ım
δ Ω→0
i=1 N (δ Ω)
;
(1.7)
mi
i=1
obs´ervese que (1.7) representa tambi´en la cantidad de movimiento media por unidad de masa, en el instante t, centrada en el punto x. En general, al considerar la energ´ıa total asociada a una porci´ on de fluido se deber´ a tener en cuenta tanto la energ´ıa cin´etica asociada a los movimientos de traslaci´on, rotaci´on y vibraci´ on de las mol´eculas como la energ´ıa potencial asociada a las fuerzas de interacci´on molecular. En el caso de un fluido constituido por mol´eculas monoat´omicas (posteriormente se generalizar´a dicha definici´ on para incluir el caso de los fluidos de mol´eculas poliat´omicas) cuyas mol´eculas (´atomos) s´olo poseen los tres grados de libertad traslacionales, la energ´ıa total por unidad de masa (x, t) 1 Un sistema se denomina erg´ odico si las medias espaciales coinciden con las temporales para tiempos de promediado grandes frente al tiempo entre colisiones. 2 Las ecuaciones (1.6)-(1.8), que introducen funciones continuas a partir de cantidades discretas que se promedian sobre un volumen que no tiende matem´ aticamente a cero, son puramente formales y no estrictamente correctas desde un punto de vista matem´ atico. En rigor, dichas ecuaciones deben entenderse en el sentido de que las variables que aparecen en los primeros miembros de las mismas representan, en el modelo matem´ atico continuo, a las cantidades f´ısicas discretas que se especifican en los segundos miembros.
13
1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas puede definirse mediante el l´ımite formal N (δ Ω) 1 1 mi |wi |2 + 2 2 i=1 i=1
N (δ Ω)
(x, t) = l´ım
N (δ Ω)
δ Ω→0
N (δ Ω)
j=1 (j=i)
φij .
(1.8)
mi
i=1
Se ver´ a posteriormente que dicha energ´ıa puede expresarse como la suma de la energ´ıa cin´etica macrosc´opica de traslaci´on por unidad de masa, 21 |v(x, t)|2 , de un elemento de fluido centrado en el punto x en el instante t, m´as una energ´ıa interna e(x, t) contenida en dicho elemento, que est´a a su vez asociada al movimiento de agitaci´on molecular relativo al movimiento macrosc´opico y a las fuerzas intermoleculares. Por tanto, desde el punto de vista continuo la resoluci´ on de un problema fluido-mec´ anico consiste en el c´alculo de las tres componentes de la velocidad local del fluido v(x, t), la densidad ρ(x, t) y la energ´ıa interna e(x, t) como funciones de la posici´on y del tiempo. Naturalmente, las relaciones entre dichas variables se obtendr´an a partir de leyes de conservaci´ on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa aplicadas a cualquier porci´ on (infinitesimal o finita) del medio fluido continuo. Conviene indicar que existen casos excepcionales donde la descripci´on del fen´omeno mediante un modelo continuo no es adecuada. Por ejemplo: el movimiento de gases a densidades extremadamente bajas, el vuelo de un misil o sat´elite a grandes alturas por encima de la superficie de la Tierra, o los instantes finales, del orden de microsegundos, del proceso de separaci´on de una gota de una corriente l´ıquida. En estas situaciones el modelo no es aplicable, bien porque no sea posible elegir un volumen suficientemente peque˜ no que pueda ser considerado como local y a la vez contener un n´ umero suficiente de mol´eculas para que los valores medios sean representativos, como sucede en el caso de un gas enrarecido, o bien porque las magnitudes fluidas experimenten variaciones apreciables en longitudes del orden de la distancia intermolecular, como en los u ´ltimos instantes de formaci´on de una gota de un menisco que pende de un grifo, donde una descripci´ on macrosc´opica de un entorno del punto de rotura dar´ıa lugar a situaciones f´ısicamente inadmisibles: la existencia de dos velocidades en el punto de rotura por ejemplo.3 No obstante, estas situaciones, cuya descripci´on pertenece al campo de la teor´ıa cin´etico molecular (F´ısica Estad´ıstica, Teor´ıa Cin´etica de Gases), son de un inter´es marginal desde el punto de vista de las aplicaciones pr´acticas comunes. Los problemas fluidos m´as frecuentes est´an caracterizados por escalas locales que, como muy peque˜ nas, son del orden de 10−6 m y, debido a que un volumen del orden de 10−18 m3 contiene 3 × 107 mol´eculas de un gas t´ıpico en condiciones normales y un n´ umero a´ un mayor en el caso de un l´ıquido t´ıpico, su descripci´on mediante un modelo continuo est´ a plenamente justificada.
1.4. 1.4.1.
Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas Energ´ıa interna
Es f´acil comprobar haciendo uso de (1.7) que la media de las velocidades de agitaci´ on molecular definidas en (1.2) es nula N (δ Ω) mi ci = 0; (1.9) i=1 3 Las interfases de separaci´ on entre fluidos no miscibles son tambi´en casos en los que su estructura no admite una descripci´ on continua, ya que la densidad y otras propiedades experimentan variaciones apreciables en distancias del orden de la de interacci´ on molecular.
Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos
14 de donde se deduce que
N (δ Ω)
N (δ Ω)
mi |wi |2 =
i=1
N (δ Ω)
mi (|v|2 + |ci |2 + 2v · ci ) =
i=1
mi (|v|2 + |ci |2 ).
(1.10)
i=1
Por tanto, la energ´ıa total por unidad de masa (1.8) puede escribirse en la forma (x, t) =
1 |v(x, t)|2 + e(x, t), 2
(1.11)
donde el primer t´ermino representa la energ´ıa cin´etica por unidad de masa, en el instante t, asociada a la traslaci´on con velocidad v(x, t) de un elemento de fluido centrado en el punto x, y el segundo t´ermino, 1 mi |ci |2 2 i=1
e(x, t) = l´ım
δΩ→0
N (δΩ)
N (δΩ) N (δΩ)
N (δΩ)
1 2
+ l´ım
δΩ→0
i=1 j=1(j=i)
N (δΩ)
mi
i=1
φij = ec (x, t) + ep (x, t),
(1.12)
mi
i=1
representa la energ´ıa interna, por unidad de masa, contenida en dicho elemento, y est´ a asociada a la energ´ıa cin´etica debida a las velocidades de agitaci´on molecular, ec (x, t), y a la energ´ıa potencial debida a las fuerzas intermoleculares ep (x, t).4 En la hip´ otesis de isotrop´ıa, las energ´ıas cin´eticas medias asociadas a cada grado de libertad traslacional, deben coincidir y, por tanto, ec (x, t) =
3 2 c , 2
(1.13)
donde c2 /2 = c2x /2 = c2y /2 = c2z /2 es la energ´ıa cin´etica media por unidad de masa asociada al movimiento de agitaci´on molecular seg´ un cada grado de libertad. Boltzmann estableci´ o una proporcionalidad entre dicha energ´ıa cin´etica y la temperatura T m c2 = k T,
(1.14)
siendo m la masa de una mol´ecula t´ıpica del fluido (masa de una mol´ecula ideal resultante de un promedio en el caso de una mezcla) y k = 1,38 × 10−23 J/K, una constante universal denominada constante de Boltzmann. De (1.13) y (1.14) se deduce que, para un fluido monoat´ omico, ec (x, t) =
3 k 3R T (x, t) = T (x, t), 2m 2M
(1.15)
siendo R = NA × k = 8,31 JK −1 mol−1 la constante universal de los gases, y M la masa molar del fluido. Si el fluido es biat´ omico, aparecen grados de libertad adicionales en las mol´eculas del mismo, como son los de rotaci´on en torno a sus ejes principales de inercia, y vibraci´ on a lo largo del eje que 4 En la ecuaci´ on (1.12) se ha supuesto que no existen especies reactantes. En caso contrario, debe a˜ nadirse a esta ecuaci´ on la contribuci´ on debida a la energ´ıa del enlace electr´ onico (energ´ıa de formaci´ on) de cada especie, ya que su variaci´ on, cuando la reacci´ on qu´ımica tiene lugar, se traduce en un aumento o disminuci´ on de la energ´ıa de agitaci´ on molecular (traslaci´ on, rotaci´ on y vibraci´ on) que se intercambia mediante colisiones con el entorno y da lugar al denominado calor de reacci´ on qu´ımica.
15
1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas
une los centros de los ´atomos. Bajo condiciones usuales de presi´on y temperatura, los grados de libertad vibracionales no est´ an excitados apreciablemente, pudiendo despreciarse su energ´ıa. As´ı, para un fluido biat´ omico se tiene en primera aproximaci´on: 1 (mi c2i + Ixi Ω2xi + Iyi Ω2yi ) 2 i=1
N (δΩ)
ec (x, t) = l´ım
N (δΩ)
δΩ→0
,
(1.16)
mi
i=1
donde Ixi , Iyi representan momentos de inercia de la mol´ecula i-´esima respecto a los ejes principales y Ωxi y Ωyi velocidades angulares respecto a los mismos ejes. Se admitir´a, basado en la experiencia, que las energ´ıas asociadas a los grados de libertad traslacionales y rotacionales tienden a igualarse mediante colisiones moleculares en tiempos caracter´ısticos que son generalmente muy cortos comparados con los necesarios para que existan variaciones locales apreciables de las variables macrosc´opicas del problema; de acuerdo con este principio, denominado de equipartici´ on de la energ´ıa, se tiene, ec (x, t) =
1 5 k (3 + 2)c2 = T (x, t). 2 2 m
(1.17)
En general, para un fluido de mol´eculas poliat´omicas con Z grados de libertad excitados supuestos en equilibrio con los grados de libertad traslacionales, se postula, ec (x, t) =
1 k (3 + Z) T (x, t). 2 m
(1.18)
Como se indic´o anteriormente (Secci´on 1.2), en un gas en condiciones normales de presi´on y temperatura se pueden despreciar las fuerzas de interacci´ on molecular (gas ideal), siendo su energ´ıa interna debida u ´nicamente a la energ´ıa cin´etica de agitaci´on molecular (e = ec ); si, adem´as, se puede despreciar la energ´ıa de oscilaci´on de los grados de libertad vibracionales, el gas se denomina perfecto. Por tanto, para un gas perfecto, e=
3+Z Rg T 2
(1.19)
donde Rg = k/m = R/M se denomina constante del gas. Obs´ervese que la energ´ıa interna por unidad de masa de un gas perfecto es proporcional a la temperatura, siendo el calor espec´ıfico a volumen constante ∂ e cv = = (3 + Z) Rg /2. (1.20) ∂ T ρ En el caso de l´ıquidos, las fuerzas intermoleculares contribuyen tambi´en a la energ´ıa interna por unidad de masa (ep )
N (δΩ) N (δΩ)
e=
3+Z 2
1 2
k T + l´ım δΩ→0 m
i=1 j=1(j=i)
N (δΩ)
i=1
mi
φij = ec + ep ;
(1.21)
Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos
16
ep est´a afectada por la densidad (al aumentar ´esta disminuye la distancia media intermolecular) e, independientemente, por la temperatura.5 En efecto, aunque el conocimiento del estado l´ıquido es todav´ıa incompleto, las investigaciones realizadas en este campo sugieren que la estructura molecular de los l´ıquidos est´a parcialmente ordenada, con grupos de mol´eculas que tienen movilidad como un todo, formando estructuras con otros grupos de mol´eculas, o dividi´endose, a veces, en grupos m´as peque˜ nos. Las variaciones de temperatura pueden originar redistribuciones de estos grupos, afectando a las interacciones moleculares. Como se ver´a posteriormente, los coeficientes de compresibilidad y dilataci´on de un l´ıquido son peque˜ nos, de manera que para las variaciones de presi´on y temperatura encontradas en la mayor´ıa de las aplicaciones pr´acticas, su densidad puede considerarse constante (l´ıquido perfecto). En este caso la energ´ıa interna de un l´ıquido depende s´ olo de la temperatura, tanto a trav´es de la energ´ıa cin´etica asociada a la agitaci´on molecular (ec ) como a trav´es de la energ´ıa potencial intermolecular (ep ). Esta u ´ltima contribuci´ on hace que para un l´ıquido perfecto el calor espec´ıfico sea c(T ) =
d ep 1 k de + = (3 + Z) . dT 2 m dT
(1.22)
Un aumento de temperatura (agitaci´on t´ermica) tiende a disgregar los grupos moleculares con mayor n´ umero de mol´eculas y favorece la formaci´on de grupos m´as peque˜ nos, por lo que ep aumenta con la temperatura (d ep /d T > 0). En general, el calor espec´ıfico de los l´ıquidos es mayor que el de los gases.
1.4.2.
Presi´ on
Ense˜ na la experiencia que a trav´es de cualquier elemento de superficie, de ´area dσ y orientaci´ on n, en el seno del fluido aparece una fuerza macrosc´opica que el fluido del lado de n ejerce sobre el fluido del otro lado de la superficie, Figura 1.5. La magnitud de esta fuerza es proporcional al a´rea del elemento de superficie considerado. Adem´as, si el fluido est´a en reposo o en movimiento como s´olido r´ıgido respecto a un cierto sistema de referencia, su magnitud no depende de la orientaci´ on de la superficie elemental y su direcci´on es normal a ella y dirigida hacia el elemento de superficie.
n
ds
d F = -p (x,t) n ds
x Figura 1.5: Fuerza sobre un elemento de superficie en un fluido en reposo. 5 Las fuerzas intermoleculares en l´ ıquidos se hacen patentes en los fen´ omenos de vaporizaci´ on y condensaci´ on del fluido. En la vaporizaci´ on las mol´eculas del l´ıquido cercanas a la interfase deben absorber energ´ıa del entorno (calor de vaporizaci´ on) para, manteniendo su temperatura constante, separarse y, por tanto, aumentar su energ´ıa potencial y pasar a la fase gas; en la condensaci´ on, la disminuci´ on de energ´ıa potencial intermolecular cuando las mol´ eculas pasan a la fase l´ıquido se convierte en energ´ıa t´ ermica que es cedida al entorno, manteni´endose constante la temperatura de la interfase.
17
1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas
Obs´ervese que esta fuerza es la que actuar´ıa sobre una superficie s´olida o membrana coincidente con el elemento de superficie considerado y su magnitud por unidad de superficie es la presi´ on en el punto considerado |dF| p(x, t) = . (1.23) dσ El origen microsc´opico de esta fuerza se debe a la cantidad de movimiento neta, por unidad de tiempo, transportada por las mol´eculas que atraviesan el elemento de superficie en su movimiento de agitaci´on molecular y que es transferida a las mol´eculas del otro lado por colisiones (gases y l´ıquidos); en el caso de l´ıquidos, esta fuerza se debe tambi´en a las acciones intermoleculares existentes entre las mol´eculas de ambos lados de la superficie. En el caso de un gas perfecto, se pueden despreciar las fuerzas de interacci´on molecular y la presi´on es debida u ´nicamente al efecto de la agitaci´on molecular. Para dilucidar la relaci´ on existente entre la presi´on y las dem´as variables termodin´amicas consid´erese, en este caso, un elemento de superficie δσ de orientaci´ on n centrado en un punto gen´erico x en el seno del fluido como se muestra en la Figura 1.6.6
ds
n
-n
B
A
< cni > dt
Figura 1.6: Interpretaci´ on molecular de la presi´on para un gas. El n´ umero de mol´eculas que pasan desde A hasta B a trav´es de la superficie δ σ en el tiempo δ t con una componente normal de la velocidad cni (cni = c · n < 0) deben estar contenidas en el prisma de base δ σ y altura |cni |δ t, y su n´ umero es 1 N |cni |δ t δ σ, 2
(1.24)
donde N es el n´ umero de mol´eculas por unidad de volumen en x en el instante t, y el factor 1/2 se ha introducido debido a que s´ olo la mitad de las mol´eculas contenidas en el volumen |cni | δ t δ σ poseen velocidades dirigidas hacia la superficie. Teniendo en cuenta que cada mol´ecula posee una 6 Cuando se considere expl´ ıcitamente la estructura molecular del fluido se denotar´ an por δ σ, δ Ω, δ t, etc., elementos de superficie, volumen, tiempo, etc., que son peque˜ nos comparados con las longitudes y tiempos caracter´ısticos para variaciones macrosc´ opicas, pero grandes comparados con la distancia intermolecular y el tiempo entre colisiones. Cuando se opera con el modelo continuo, estas cantidades se representan por diferenciales matem´ aticos d σ, d Ω, d t, etc´ etera y, puesto que en dicho modelo se ignora la estructura molecular del fluido, estos diferenciales pueden tender arbitrariamente a cero sin las restricciones impuestas a las cantidades f´ısicas que representan.
Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos
18
cantidad de movimiento m|cni |(−n), la cantidad de movimiento por unidad de tiempo transportada por las mol´eculas que cruzan la superficie de A a B es 1 2 ρ c δ σ(−n), 2 ni
(1.25)
siendo ρ = m N la densidad del fluido en x en el instante t. Es f´acil ver que la contribuci´ on de las que cruzan de B a A viene tambi´en dada por (1.25). Sumando ambas contribuciones y promediando sobre las velocidades moleculares, se tiene δ F = −ρc2ni n δ σ.
(1.26)
2 Comparando (1.26) con la definici´ on (1.23) correspondiente al modelo continuo, se tiene p = ρcni 2 y como cni = k T /m = Rg T , se llega finalmente a
p = Rg ρ T,
(1.27)
que es la ecuaci´on de los gases ideales.
1.4.3.
Entrop´ıa
La segunda ley de la Termodin´amica postula la existencia de una variable, denominada entrop´ıa, cuyo valor para un sistema cerrado y aislado t´ermicamente del exterior no puede decrecer con el tiempo. Adem´as, si un sistema est´a en un estado de equilibrio termodin´ amico, que corresponde a una situaci´on en que las propiedades termodin´ amicas de la materia no var´ıan ni con la posici´ on ni con el tiempo, la Termodin´amica del equilibrio asegura que la entrop´ıa es una funci´ on de estado, cuyo valor est´a determinado u ´nicamente por los valores de las variables que definen el estado macrosc´opico del sistema. En lo que sigue, esta formulaci´ on axiom´atica del segundo principio de la Termodin´amica se justificar´a desde un punto de vista molecular. Cuando un sistema se describe a escala macrosc´opica, especificando la distribuci´ on espacial y temporal de las variables macrosc´opicas locales (presi´on, temperatura, velocidad, etc.), se pierde informaci´ on sobre su estado microsc´opico. Dicho estado microsc´opico se encuentra en incesante cambio debido a las interacciones moleculares, siendo su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on muy corto comparado con el necesario para que ocurran variaciones apreciables del estado macrosc´opico (si el estado macrosc´opico es estacionario, su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on es infinito). Esto indica que sistemas con un n´ umero enorme de grados de libertad poseen un gran n´ umero de estados microsc´opicos (microestados) que pueden dar lugar a un mismo estado macrosc´opico (macroestado). Desde un punto de vista molecular, la entrop´ıa de un sistema que se encuentra en un estado macrosc´opico dado se define como S = k ln W, (1.28) donde k es la constante de Boltzmann y W es el n´ umero de microestados, tambi´en denominado peso estad´ıstico, correspondiente al macroestado considerado.7 Como se ver´a posteriormente, para un sistema aislado W presenta un m´aximo muy acusado para el estado de equilibrio termodin´ amico. Por tanto, una vez alcanzado dicho estado, el sistema 7 La definici´ on (1.28), debida a Boltzmann y a Planck, asegura que la entrop´ıa es una magnitud aditiva. En efecto, si cualquier sistema, en un macroestado dado, se divide en dos subsistemas, en correspondientes macroestados de pesos estad´ısticos W1 y W2 respectivamente, cada microestado del primer subsistema puede combinarse con uno del segundo resultando un total de W = W1 W2 microestados correspondientes al sistema original, cuya entrop´ıa es entonces S = k ln W = k ln W1 + k ln W2 = S1 + S2 .
1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas
19
tender´a a permanecer en ´el, ya que es muy improbable que las mol´eculas, en su estado de agitaci´on, pasen a ocupar alguna vez los muy escasos microestados correspondientes a macroestados que difieren apreciablemente del de equilibrio termodin´ amico. Por otra parte, si dicho sistema se encuentra inicialmente en un macroestado que no es el de equilibrio termodin´ amico, las interacciones o colisiones moleculares conducir´an, de acuerdo con las leyes de la probabilidad, a microestados pertenecientes a macroestados de cada vez mayor entrop´ıa, es decir, mayor W , hasta alcanzar, finalmente, la situaci´on de equilibrio termodin´ amico. De acuerdo con su definici´on, la entrop´ıa puede tambi´en considerarse como una medida del grado de informaci´ on detallada (microsc´opica) que se posee sobre un sistema, siendo mayor el grado de informaci´on cuanto menor es la entrop´ıa. En efecto, en un estado macrosc´opico de entrop´ıa muy baja s´olo ser´an posibles un n´ umero muy limitado de configuraciones microsc´opicas, por lo que ´estas estar´an m´as localizadas, y en el l´ımite, a un macroestado de entrop´ıa nula corresponder´ıa una u ´nica configuraci´ on microsc´opica perfectamente determinada. Una interpretaci´ on alternativa de la entrop´ıa puede darse en t´erminos de orden de un estado macrosc´opico. En efecto, si se conviene que un macroestado est´a m´as ordenado cuanto mayor es la diferencia entre sus partes, lo que implica una variaci´ on espacial m´as acentuada de las variables macrosc´opicas, entonces a un estado muy ordenado corresponder´ a una entrop´ıa baja, puesto que s´olo habr´ a un grupo muy reducido de estados microsc´ opicos que sean capaces de reproducir las peculiaridades del macroestado considerado. A continuaci´ on se ilustrar´a el tratamiento mec´anico-estad´ıstico de la entrop´ıa para el caso simple de un gas ideal monoat´omico.8 Consid´erense N mol´eculas de un gas ideal monoat´omico, contenidas en un recipiente de volumen Ω cerrado y aislado t´ermicamente, siendo la energ´ıa total del sistema conocida e igual a E. La determinaci´on completa del estado mec´anico de una mol´ecula cualquiera del gas puede especificarse matem´aticamente mediante un punto (x, y, z, cx , cy , cz ) perteneciente a un espacio de 6 dimensiones denominado espacio de fases, donde las tres primeras dimensiones hacen referencia a la posici´on de la part´ıcula, y las tres u ´ltimas a su velocidad.9 Si se considera el espacio de fases dividido en celdas contiguas de igual tama˜ no δ x δ y δ z δ cx δ cy δ cz (siendo dicho tama˜ no lo suficientemente grande como para contener un gran n´ umero de mol´eculas pero, a su vez, lo suficientemente peque˜ no para ser considerado como local), a un estado macrosc´opico dado corresponder´ a un n´ umero determinado Ni de mol´eculas en cada celda i del espacio de fases. Por tanto, el n´ umero de microestados de que consta dicho macroestado es el n´ umero de maneras diferentes en las que N mol´eculas se pueden distribuir de tal forma que se asignen N1 , N2 , ...Ni , ... mol´eculas a las respectivas celdas 1, 2, ...i, ... del espacio de fases; dicho n´ umero es N! , (1.29) W = N1 ! N2 !...Ni !... donde se ha tenido en cuenta que permutaciones entre mol´eculas que pertenecen a una misma celda dan lugar a un mismo microestado. Dicha distribuci´ on de mol´eculas debe satisfacer las condiciones de conservaci´on del n´ umero de part´ıculas y de la energ´ıa total del sistema: Ni = N, (1.30) i
Ni i = E,
(1.31)
i 8 El lector interesado en la aplicaci´ on de la Mec´ anica Estad´ıstica a sistemas m´ as complejos (mol´eculas con grados de libertad internos, energ´ıa de interacci´ on molecular, sometidos a un campo externo, etc.) puede consultar las referencias citadas al final del cap´ıtulo, en las que tambi´en se presenta la Mec´ anica Estad´ıstica desde el punto de vista, m´ as riguroso que el expuesto aqu´ı, de la Mec´ anica Cu´ antica. 9 Las velocidades moleculares se consideran relativas al recipiente (el cual se supone en reposo). La velocidad media tomada sobre todas las mol´eculas es evidentemente nula, pero, no obstante, fuera del estado de equilibrio pueden existir regiones dentro del recipiente donde la velocidad media local es no nula. En tal caso la energ´ıa total E se debe en parte a energ´ıa interna y en parte a energ´ıa cin´etica macrosc´ opica; en general, s´ olo en el estado de equilibrio E coincide con la energ´ıa interna del recipiente.
Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos
20
donde i = m(c2xi + c2yi + c2zi )/2. La restricci´on impuesta por el volumen del recipiente consiste en limitar el n´ umero de celdas del espacio de fases a las que pueden asignarse mol´eculas a aquellas cuyas coordenadas espaciales se encuentren dentro de la regi´on ocupada por el recipiente (la entrop´ıa del sistema disminuye, por tanto, al disminuir su volumen). En lo que sigue, las celdas que no verifican esta condici´on se considerar´an excluidas de antemano, por lo que s´ olo ser´a necesario tener en cuenta expl´ıcitamente las restricciones (1.30) y (1.31). Si se hace uso de la aproximaci´on de Stirling [ln N ! N ln(N/e), N 1] para evaluar las cantidades factoriales en (1.29), la entrop´ıa (1.28) se puede escribir en funci´on de los n´ umeros de ocupaci´on Ni como S = k N ln N − k
Ni ln Ni = −k N
i
Ni i
N
ln
Ni . N
(1.32)
La distribuci´ on de mol´eculas que maximiza la entrop´ıa (1.32) sujeta a las restricciones (1.30)-(1.31) puede calcularse introduciendo los multiplicadores de Lagrange α y β tal que δS − α δ N − β δ E = − (ln Ni + α + β i ) δ Ni = 0, (1.33) k i donde se ha tenido en cuenta que δS = − (ln Ni + 1)δ Ni = − ln Ni δ Ni . k i i La soluci´on de (1.33) es
(1.34)
Ni∗ = e−α e−β i .
(1.35) Ni∗
Ni∗ ,
se tiene Para una distribuci´ on que difiera ligeramente de (1.35), Ni = + ∆ Ni con ∆ Ni a partir del desarrollo de (1.32) en serie de Taylor en torno a la distribuci´ on de m´axima entrop´ıa, Ni∗ , 2 2 1 ∂2 S k ∆ Ni k ∆Ni ∗ 2 Ni = − N, (1.36) (∆ Ni ) = − S − Smax = 2 ∂ Ni2 Ni =N ∗ 2 i Ni∗ 2 Ni∗ i i
∆ Ni /Ni∗
> denota un valor medio de la desviaci´ on respecto a (1.35). Por ejemplo, para donde < 1 cm3 de aire en condiciones normales (N 2 × 1019 ) la relaci´on entre el n´ umero de microestados correspondientes a una distribuci´ on para la que < ∆ Ni /Ni∗ ≥ 10−3 y el correspondiente a Ni∗ es 13 W = e(S−Smax )/k = e−10 . Wmax
(1.37)
Esta cifra da una idea de la peque˜ na fracci´on del n´ umero de microestados correspondientes a un macroestado que no es de m´axima entrop´ıa. Por tanto, el macroestado de m´axima entrop´ıa debe ser el de equilibrio termodin´ amico, puesto que si el sistema se encuentra en ´el, la probabilidad de que experimente una fluctuaci´on espont´ anea que lo aleje de dicho estado es despreciable. Obs´ervese que esta probabilidad aumenta sustancialmente cuando disminuye el n´ umero de part´ıculas del sistema; por ejemplo, si en 1 cm3 de aire hay N = 106 part´ıculas (gas muy enrarecido), se tiene W/Wmax = e−1/2 para < ∆ Ni /Ni∗ >= 10−3 . Las constantes α y β que aparecen en la distribuci´ on de equilibrio (1.35) pueden relacionarse con las magnitudes macrosc´opicas que caracterizan el sistema considerado haciendo uso de las condiciones de conservaci´on (1.30)-(1.31). En efecto, de (1.30) y (1.35) se obtiene e−α = i
N e−β i
,
(1.38)
21
1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas y de (1.31)-(1.35),
i e−β i E i = . N e−β i
(1.39)
i
El numerador y denominador de (1.39) se pueden evaluar mediante integraci´ on, ya que
−β i
e
δ cx δ cy δ cz
i
y, an´alogamente,
∞
∞
∞
−βm(c2x +c2y +c2z )/2
e −∞
∞
−∞
i e−β i δ cx δ cy δ cz =
i
3 2β
d cx d c y d cz =
2π βm
2π βm
3/2 ,
(1.40)
3/2 .
(1.41)
Por tanto, E 3 3 = = k T, 2β N 2
β=
1 . kT
(1.42)
En (1.42) se ha hecho uso de la proporcionalidad de Boltzmann (1.14) entre la energ´ıa interna media por mol´ecula y la temperatura. Sustituyendo (1.42) y (1.38) en (1.35), la distribuci´ on de equilibrio se puede escribir de la forma
m 3/2 2 2 2 m Ni∗ = e− 2 k T (cxi +cyi +czi ) δ cx δ cy δ cz , N 2πkT
(1.43)
que proporciona la fracci´ on de mol´eculas cuyas velocidades est´an comprendidas en el intervalo (cxi , cyi , czi ) y (cxi + δ cx , cyi + δ cy , czi + δ cz ). Dicha distribuci´ on, denominada de MaxwellBoltzmann, es independiente de la posici´on dentro del volumen considerado (debido a la ausencia de campos externos, como el gravitatorio) y, por tanto, se verifica para cualquier porci´ on de dicho volumen en equilibrio. Finalmente, la ecuaci´ on (1.33) implica que, para variaciones entre estados de equilibrio pr´ oximos (δ S)N,Ω = k β δ E, o ∂S 1 = , (1.44) T ∂ E N,Ω que es una conocida relaci´on de la Termodin´ amica de equilibrio. Combinando dicha ecuaci´ on con la expresi´on del primer principio de la Termodin´ amica, d E = (d Q)rev − p d Ω, para un proceso infinitesimal entre estados de equilibrio (proceso reversible) en el que el sistema recibe un calor (d Q)rev y realiza un trabajo p d Ω, se obtiene dS =
(d Q)rev , T
(1.45)
y para cualquier proceso reversible entre dos estados de equilibrio A y B,
B
SB − SA = A
(d Q)rev . T
(1.46)
22
Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos
Referencias y fuentes de lectura complementaria G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. L. Landau y L. Lifshitz, F´ısica Estad´ıstica, Curso de F´ısica Te´ orica vol. 5, Revert´e, 1958. M. Planck, Theory of Heat, Course on Theoretical Physics vol. 5, Longmans, 1937. F. Reif, F´ısica Estad´ıstica, Berkeley Physics Course, vol. 5, Editorial Revert´e, 1975. R. C. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics, Dover, 1979. W. G. Vincenti y Ch. H. Kruger, Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics, Krieger, Nueva York, 1977.
Cap´ıtulo 2
Termodin´ amica de los procesos fluidomec´ anicos 2.1.
Termodin´ amica del equilibrio
Los estados de equilibrio de la materia est´an caracterizados por una distribuci´ on espacial uniforme de cada una de sus propiedades macrosc´opicas, presi´on, temperatura, etc. Cada elemento material est´a en equilibrio mec´anico y t´ermico con los elementos materiales que le rodean. La Termodin´amica del equilibrio se refiere a estados de equilibrio o, como se indic´o anteriormente, a estados en reposo en los que las propiedades termodin´amicas de la materia no var´ıan con la posici´on ni el tiempo. En esta situaci´on, la Termodin´ amica demuestra que el estado macrosc´opico de los fluidos en equilibrio puede especificarse mediante los valores de algunas variables de estado: presi´on, densidad, temperatura, energ´ıa interna, entrop´ıa, etc. Ense˜ na tambi´en que si el fluido es homog´eneo en composici´on, basta conocer los valores de dos variables cualesquiera para poder determinar en funci´ on de ellas todas las dem´as. Las relaciones que las ligan son las ecuaciones de estado. De hecho, basta determinar emp´ıricamente una de esas relaciones (aunque no cualquiera, ya que la apropiada depende de las variables de estado elegidas), y la Termodin´ amica ense˜ na a calcular te´oricamente todas las dem´as. Adem´as, la primera y segunda ley de la Termodin´ amica relacionan el calor y el trabajo aportado a un volumen fluido con sus incrementos de energ´ıa interna y entrop´ıa en una transformaci´ on reversible, es decir, una sucesi´on continua de estados de equilibrio, 1 (2.1) T d S = de + p d , ρ siendo S y e la entrop´ıa y energ´ıa interna por unidad de masa del sistema y ρ, p y T , su densidad, presi´on y temperatura; el inverso de la densidad es el volumen espec´ıfico (volumen de la unidad de masa de fluido). As´ı, conocida la funci´ on de estado S = S(ρ, e), se puede calcular anal´ıticamente T y p a partir de la ecuaci´on (2.1) ∂S ∂S 1 ∂S 2 = −ρ T = , p=T ; (2.2) T ∂e ρ ∂(1/ρ) e ∂ρ e los sub´ındices en (2.2) indican que las derivadas se calculan, o equivalentemente, los procesos se realizan, manteniendo ρ y e constantes. Generalmente, conviene utilizar las variables de estado T y p, cuya medici´on es f´acil mediante term´ometros y man´ometros, determinar emp´ıricamente e = e(p, T ) y ρ = ρ(p, T ), y calcular 23
24
Cap´ıtulo 2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´anicos
S(p, T ) mediante (2.1). Obs´ervese que en este caso no basta una sola ecuaci´on de estado e = e(p, T ), ρ = ρ(p, T ) o S = S(p, T ) para calcular las restantes. Del mismo modo se pueden definir otras magnitudes termodin´amicas como la entalp´ıa h y la energ´ıa libre de Helmholtz f , con dimensiones de energ´ıa por unidad de masa, que resultan particularmente u ´tiles para la descripci´on de muchos procesos fluidodin´ amicos p h=e+ , ρ
f = e − T S.
(2.3)
Cualquier cambio elemental en el valor de la entalp´ıa se relaciona con los habidos en las otras variables mediante las expresiones 1 1 1 dh = de + pd + dp = T dS + dp, ρ ρ ρ
(2.4)
donde se ha tenido en cuenta (2.1) para obtener el segundo miembro de la segunda de las ecuaciones. Obs´ervese que el calor aportado a la unidad de masa en un cambio elemental reversible a presi´on constante se invierte en incrementar su entalp´ıa. An´alogamente, un cambio elemental en la energ´ıa libre de Helmholtz se expresa, teniendo en cuenta (2.1), 1 df = de − T dS − SdT = −p d − SdT, ρ
(2.5)
y muestra que en cualquier transformaci´ on reversible e isoterma el trabajo realizado sobre la unidad de masa se invierte en incrementar su energ´ıa libre. Los calores espec´ıficos a presi´on y volumen constante, definidos como ∂S ∂S cp = T y cv = T , (2.6) ∂T p ∂T ρ indican la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de la unidad de masa un grado en procesos a presi´on (volumen) constante respectivamente. Otras variables de estado, de inter´es en la descripci´on de problemas fluidodin´ amicos, son la relaci´on de calores espec´ıficos γ, el coeficiente de compresibilidad κ, el coeficiente de expansi´on t´ermica β y la velocidad de propagaci´ on del sonido, que se definen respectivamente: 1 ∂ρ 1 ∂ρ ∂p 2 γ = cρ /cv , κ = , β=− , a = . (2.7) ρ ∂p T ρ ∂T p ∂ρ S
2.2.
Equilibrio termodin´ amico local
La existencia de variables de estado y de las ecuaciones que las relacionan, as´ı como las leyes que rigen las transformaciones de un fluido exigen, de acuerdo con las hip´ otesis de la Termodin´amica del equilibrio, que el fluido se encuentre siempre en estados de equilibrio, lo que implica uniformidad espacial de las variables termodin´amicas, as´ı como procesos de cambio de las magnitudes fluidas infinitamente lentos. En principio, las situaciones consideradas por la Termodin´ amica del equilibrio carecer´ıan de inter´es en la Mec´anica de Fluidos, que se caracteriza precisamente por la existencia de no uniformidades espaciales y temporales en las propiedades mec´anicas y t´ermicas del fluido. Sin embargo, la teor´ıa cin´etica demuestra, para el caso de gases, que existe lo que se llama equilibrio termodin´amico local, o casi equilibrio, siempre que el camino libre medio entre colisiones sea peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica de las no uniformidades macrosc´opicas (o distancia que es necesario recorrer
25
2.2. Equilibrio termodin´ amico local
en el fluido para encontrar variaciones apreciables de las magnitudes fluidas), y que el tiempo entre colisiones sea peque˜ no frente al tiempo necesario para que las variables macrosc´opicas sufran cambios locales apreciables. Es decir, en cada instante t, las variables termodin´ amicas, en cada punto x del fluido, est´an relacionadas entre s´ı como lo estar´ıan si todo el fluido estuviese en equilibrio a la presi´on y temperatura locales: e(x, t) = e[p(x, t), T (x, t)], ρ(x, t) = ρ[p(x, t), T (x, t)], etc. La hip´ otesis de equilibrio termodin´ amico local se explica desde un punto de vista microsc´opico por el hecho de que si el n´ umero de Knudsen Kn, definido como el cociente entre el camino libre medio molecular λ (λ ∼ 3 × 10−9 m para aire en condiciones normales) y la longitud caracter´ıstica de las no uniformidades macrosc´opicas L (L siempre ser´a mayor que, por ejemplo, ∼ 10−5 m), es muy peque˜ no, Kn = λ/L 1, entonces alrededor de cualquier punto x de la regi´on ocupada por el fluido se puede considerar un volumen δΩ de dimensiones tales que λ (δΩ)1/3 L, en el que los valores de las variables fluidas difieren muy poco de los existentes en x. Por tanto, las mol´eculas contenidas en δΩ presentan un estado de agitaci´on (del que las variables termodin´ amicas son su manifestaci´on macrosc´opica) cuyas caracter´ısticas son, en primera aproximaci´ on, las mismas que las que se tendr´ıan si dicho volumen estuviese a temperatura y presi´on uniformes y de valores iguales a los de la presi´on y temperatura existentes en x. Por otra parte, si tc es el tiempo entre colisiones (tc ∼ 10−9 s para el aire en condiciones normales) y to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, y se verifica que tc /to 1, cualquier porci´ on elemental de fluido que inicialmente estuviese en desequilibrio termodin´ amico con el fluido que lo rodea se ir´ıa adaptando gradualmente, mediante colisiones, a las condiciones termodin´ amicas ambientes, perdiendo memoria de las condiciones iniciales. Por tanto, resulta que, en cada instante, el estado macrosc´opico en torno a cualquier punto de la regi´ on ocupada por el fluido es, en primera aproximaci´on, el que corresponder´ıa a una situaci´ on de equilibrio termodin´ amico local con los valores de la presi´on y temperatura existentes en dicho punto y en dicho instante.1 Asimismo, ense˜ na la experiencia que esta situaci´on tambi´en se da en l´ıquidos y es debido tambi´en a que la distancia media entre mol´eculas es mucho menor que la longitud caracter´ıstica para variaciones macrosc´opicas de las variables y a que cada mol´ecula est´a en todo instante en interacci´ on (colisi´on) con sus vecinas (v´ease 1.2). Obs´ervese que la hip´otesis de equilibrio termodin´ amico local implica que cualquier variaci´ on infinitesimal, espacial o temporal, de las variables termodin´ amicas locales, se lleva a cabo entre estados de equilibrio termodin´ amico y debe satisfacer, por tanto, la relaci´on (2.1). As´ı , si φ(x, t) representa cualquier variable termodin´ amica local, d φ = φ(x + d x, t) − φ(x, t) = d x · ∇ φ ser´a su variaci´ on en cualquier desplazamiento infinitesimal d x, y d φ = (∂φ/∂t) dt su variaci´ on en cualquier incremento infinitesimal de tiempo dt; por tanto (2.1) implica tambi´en: 1 , (2.8) T ∇S = ∇e + p∇ ρ y ∂S ∂e ∂ T = +p ∂t ∂t ∂t
1 . ρ
(2.9)
Finalmente, conviene indicar que las variables intensivas referidas a vol´ umenes finitos carecen de sentido cuando las variables locales no son uniformes espacialmente. No se puede hablar de tempe1 Aunque en el caso de gases la interacci´ on molecular es irrelevante en el c´ alculo de las variables macrosc´ opicas, este proceso es, sin embargo, primordial para asegurar una situaci´ on de equilibro termodin´ amico local. En efecto, el tiempo de duraci´ on de una colisi´ on, es una fracci´ on peque˜ na del tiempo entre colisiones, por lo que en un instante dado la fracci´ on de mol´eculas que interaccionan es peque˜ na frente al total de mol´eculas, y, por tanto, la energ´ıa asociada a esta interacci´ on es tambi´en peque˜ na frente a su energ´ıa cin´ etica microsc´ opica. Sin embargo, se producen un n´ umero enorme de colisiones en tiempos grandes frente al de duraci´ on de una colisi´ on, pero peque˜ nos frente al tiempo macrosc´ opico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, lo que localmente asegura una igualaci´ on muy efectiva de las magnitudes fluidas (supuesto que las masas moleculares de las especies que forman el gas son del mismo orden).
Cap´ıtulo 2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´anicos
26
ratura de una fracci´ on finita de fluido si ´esta var´ıa de punto a punto. Por esta raz´ on, no se usan en la Mec´anica de Fluidos ecuaciones de estado para vol´ umenes finitos (a diferencia de lo que ocurre en la Termodin´amica del equilibrio). Las variables extensivas se definen para vol´ umenes finitos mediante integraci´ on de las variables intensivas. Por ejemplo, la energ´ıa interna de un volumen finito Ω es ρ e d . (2.10) Ω
A continuaci´ on se recordar´an las ecuaciones de estado que relacionan entre s´ı las variables termodin´ amicas intensivas para dos fluidos t´ıpicos, gases y l´ıquidos perfectos. Se usar´an los resultados de la Termodin´amica del equilibrio (2.1), una vez que ya se han justificado para situaciones de equilibrio termodin´ amico local.
2.3.
Gases perfectos
Los gases perfectos se comportan siguiendo una ecuaci´on de estado de la forma: p = Rg T, ρ
(2.11)
donde la constante del gas Rg = R/M es la relaci´on entre la constante universal de los gases R y la masa molar del gas M . La constante R, relacionada con la constante de Boltzmann, vale R = 8,314 J K −1 mol−1 (se recuerda que el mol se define como la masa de gas que contiene un n´ umero determinado de mol´eculas, 0,6024 × 1024 , denominado n´ umero de Avogadro); para el aire M = 29 × 10−3 kg mol−1 y Rg = 287 m2 s−2 K −1 . La energ´ıa interna es funci´ on s´olo de la temperatura y proporcional a ella e − eo = cv (T − To ),
(2.12)
siendo el calor espec´ıfico a volumen constante, cv , constante para un gas perfecto. Tanto en (2.12) como en lo que sigue, el sub´ındice cero denota el valor de la correspondiente variable a la temperatura de referencia To . La entalp´ıa h se puede escribir usando (2.3), (2.11) y (2.12) como h − ho = e +
po p = (cv + Rg )(T − To ) = cp (T − To ), − eo − ρ ρo
(2.13)
donde cp = cv + Rg es el calor espec´ıfico a presi´on constante para un gas perfecto, y la relaci´ on entre calores espec´ıficos es cp Rg =1+ . (2.14) γ= cv cv De la expresi´on del calor espec´ıfico a volumen constante, discutida en 1.4.1, que para un gas monoat´ omico es cv = 3k/(2m) = 3Rg /2, se tiene γ = 5/3; para gases biat´omicos, como por ejemplo el aire, se tiene cv = 5Rg /2 y γ = 7/5. Finalmente, la entrop´ıa puede integrarse utilizando (2.1) junto con las ecuaciones de estado (2.11) y (2.12), p dρ , (2.15) T d S = cv d T − 2 d ρ = cv d T − Rg T ρ ρ para dar:
S − So = cv ln
p/po T /To = c . ln v (ρ/ρo )γ−1 (ρ/ρo )γ
(2.16)
27
2.4. L´ıquidos perfectos
2.4.
L´ıquidos perfectos
Un l´ıquido perfecto se define como aquel para el que se cumple ρ = constante,
e − eo = c(T − To ),
c = constante.
(2.17)
Por ser la densidad constante, la entrop´ıa en forma diferencial se expresa por T d S = de = c d T,
(2.18)
S − So = c ln(T /To ),
(2.19)
y una vez integrada adopta la forma
donde se ha hecho uso de que los calores espec´ıficos a presi´on y volumen constante son iguales, como se sigue de (2.6), al ser la entrop´ıa funci´ on u ´nicamente de la temperatura cp = cv = c = T
∂S , ∂T
γ = cp /cv = 1.
(2.20)
Muchos l´ıquidos en intervalos no muy grandes de temperatura y presi´ on parecen comportarse como l´ıquidos perfectos. Por ejemplo, en muchas situaciones se puede suponer el agua como un l´ıquido perfecto de densidad ρ = 1000kg m−3 y calor espec´ıfico c = 4,18 × 103 J kg −1 K −1 . Naturalmente, ning´ un l´ıquido es rigurosamente incompresible y la ecuaci´on de estado ρ = constante es s´olo una aproximaci´ on. Los l´ıquidos var´ıan su densidad al variar la presi´ on y temperatura ρ = ρ(p, T ), y por tanto ∂ρ ∂ρ dρ = dp + dT, (2.21) ∂p ∂T que en funci´ on de los coeficientes de compresibilidad κ y expansi´on t´ermica del fluido β, v´ease (2.7), se expresa: dρ = ρ κ d p − ρ β d T, d ρ/ρ = κ d p − β d T. (2.22) Para agua en condiciones normales los valores de κ y β son muy peque˜ nos κ = 0,51 × 10−9 m2 N −1 ,
β = 1,5 × 10−4 K −1 ,
(2.23)
por tanto, las variaciones de densidad relativas a la propia densidad son peque˜ nas para variaciones t´ıpicas de presi´on y temperatura y la densidad puede considerarse constante con suficiente aproximaci´ on en numerosos problemas pr´acticos.
2.5.
Mezclas de gases perfectos
Cuando el fluido es una mezcla de varias sustancias que pueden variar, es necesario especificar, adem´as de las dos variables termodin´amicas de estado, la composici´on de la mezcla. As´ı, por ejemplo, para describir el estado de una mezcla de N componentes, hay que indicar las masas moleculares Mi de los diferentes componentes (1 ≤ i ≤ N ) y sus fracciones molares Xi definidas como el n´ umero de moles por unidad de volumen de la especie i-´esima dividido por el n´ umero total de moles, o, lo que es lo mismo, el n´ umero de mol´eculas de esa especie dividido tambi´en por el n´ umero de mol´eculas. Esta definici´on implica que: X1 + X2 + ... + XN = 1,
(2.24)
Cap´ıtulo 2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´anicos
28
lo que quiere decir que para conocer el estado del fluido hay que especificar, adem´ as de las dos variables de estado, N − 1 fracciones molares cuando las N especies son inertes. Si las distintas especies pueden reaccionar qu´ımicamente y se consideran estados de equilibrio qu´ımico es necesario tener en cuenta la dependencia de dichas fracciones molares con la presi´on y temperatura, que vendr´ an expresadas por la ley de acci´on de masas, v´ease Ap´endice 5.II. En Mec´anica de Fluidos suele ser m´as conveniente operar con fracciones m´asicas en lugar de fracciones molares. La fracci´on m´asica se define como la masa de una componente dividida por la masa total. La masa de la especie i-´esima contenida en un mol de mezcla es Xi Mi , la fracci´on m´asica Yi ser´a por tanto: Yi =
N N 1 Yi Xi = = , M M M i 1 1
Xi Mi , M
donde la masa molecular M representa el valor medio M =
N
(2.25)
Mi Xi . Llevando las expresiones
1
anteriores a la ecuaci´on de estado, supuesto gas perfecto, se tiene: pi =
ρ Yi R T ρ Xi R T ρi R T = = , Mi Mi M
(2.26)
ρYi ser´ıa la densidad de cada gas si ´el s´olo ocupase todo el volumen de la mezcla y pi es la presi´on parcial de cada componente. Sumando para todas las especies se tiene p=
N
pi =
1
N ρ Xi R T
=
M
1
ρRT , M
(2.27)
que se conoce con el nombre de Ley de Dalton y se enuncia expresando que la suma de las presiones parciales de las componentes de una mezcla de gases es igual a la presi´on de la mezcla. Los calores espec´ıficos de la mezcla vienen dados por: cv =
N
cvi Yi ,
cp =
N
1
cpi Yi ,
(2.28)
1
donde cvi y cpi son los calores espec´ıficos de cada uno de los componentes. La energ´ıa interna y entalp´ıa de la mezcla tambi´en se pueden expresar como: e − eo =
N
(ei − eio )Yi =
1
h − ho =
N
cvi (T − To )Yi = cv (T − To ),
(2.29)
1
N N (hi − hio )Yi = cpi (T − To )Yi = cp (T − To ). 1
(2.30)
1
La entrop´ıa, por el contrario, no puede expresarse en esta forma, sino que aparece un t´ermino adicional, debido al efecto irreversible del mezclado, que es siempre positivo. S − So = cp ln
T /To (p/po )
γ−1 γ
−
N 1
Rgi Yi ln Xi .
(2.31)
2.6. Fen´ omenos de transporte
2.6.
29
Fen´ omenos de transporte
Como se indic´o anteriormente, los estados de equilibrio de la materia se caracterizan por una uniformidad espacial y temporal de las propiedades mec´ anicas y t´ermicas. Ense˜ na la experiencia que en un sistema aislado del exterior en el que alguna propiedad de la materia no sea inicialmente uniforme, ocurren cambios en las propiedades mec´anicas y t´ermicas de los elementos materiales que tienden a llevar el sistema hacia un estado de equilibrio; esto es, tienden a disminuir las no uniformidades iniciales. Tales cambios son debidos a los denominados fen´ omenos de transporte, cuyas tres clases b´asicas corresponden al transporte de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. El transporte de dichas cantidades puede tener un car´ acter convectivo, asociado a la velocidad local del fluido v(x, t), o difusivo, asociado a los gradientes de las variables fluidas: concentraci´ on, velocidad y temperatura y ser´an estos u ´ ltimos los que se considerar´an primeramente.
2.6.1.
Fen´ omenos de transporte difusivo
El transporte difusivo es una manifestaci´ on macrosc´opica de procesos que tienen lugar a escala molecular, asociados al movimiento de agitaci´on de las mol´eculas y a las fuerzas de interacci´on entre ellas. Debido a que el camino libre medio molecular en gases y las distancias intermoleculares en l´ıquidos son, en general, mucho menores que las longitudes caracter´ısticas de las variaciones de las magnitudes fluidas macrosc´opicas, los fen´omenos de transporte tienen un car´acter local, y se manifiestan macrosc´opicamente a trav´es de la superficie que separa dos porciones adyacentes cualesquiera de fluido si entre ellas existe un gradiente de las variables fluidas. As´ı, la transferencia de masa por difusi´ on aparece en una mezcla de fluidos cuya composici´on var´ıa con la posici´on. Imaginemos que las mol´eculas pertenecientes a uno de los constituyentes de la mezcla son marcadas de alguna forma. Debido a que las mol´eculas poseen una velocidad de agitaci´on aleatoria superpuesta a la velocidad media, las mol´eculas tienen tendencia a emigrar de su posici´on inicial incluso si la velocidad media es nula. Entonces, si en cualquier instante la proporci´ on de mol´eculas marcadas que se encuentran en uno de los lados del elemento de superficie, e inmediatamente pr´oximos a ´el, es mayor que la del otro lado, el movimiento aleatorio de mol´eculas marcadas en ambas direcciones a trav´es de la superficie conducir´a, en general, a un flujo de mol´eculas marcadas a trav´es de la superficie distinto de cero, y cuyo signo tiende a igualar la proporci´ on de mol´eculas marcadas a ambos lados de la superficie. Este flujo neto de un constituyente del fluido debido al movimiento de agitaci´on molecular constituye la difusi´ on de masa. Consid´erese ahora el transporte de energ´ıa interna por difusi´ on a trav´es de un elemento de superficie cualquiera en el seno del fluido. Debido al movimiento de agitaci´ on molecular, las mol´eculas situadas a un lado de la superficie y a una distancia de ella del orden del camino libre medio, en el caso de un gas, o del orden de la distancia intermolecular en el caso de l´ıquidos, podr´ an cruzar la superficie y, una vez en el otro lado, transferir energ´ıa cin´etica de agitaci´on a las mol´eculas all´ı existentes, bien mediante colisiones (gases) o tambi´en mediante fuerzas de interacci´on molecular (l´ıquidos); asimismo, en el caso de l´ıquidos, existen contribuciones adicionales al transporte difusivo de energ´ıa interna asociadas al transporte de energ´ıa potencial cuando mol´eculas cruzan la superficie en el mismo sentido y a la interacci´on entre mol´eculas situadas en lados distintos de la superficie, Figura 2.1. Es claro, por tanto, que si a trav´es del elemento de superficie existe un gradiente de temperaturas, se producir´ a a trav´es del mismo un flujo difusivo de energ´ıa interna desde la zona donde la temperatura es mayor y, por tanto, el movimiento de agitaci´ on es m´as intenso, hacia la zona de menor temperatura. Este flujo difusivo neto de energ´ıa interna, cuando la temperatura no es uniforme, constituye el transporte de calor por conducci´ on. Si el fluido situado a un lado de una superficie elemental posee una velocidad macrosc´ opica media distinta de la que posee el fluido del otro lado, el transporte de cantidad de movimiento a trav´es de la superficie, por agitaci´on e interacci´on molecular, se manifiesta macrosc´opicamente en
Cap´ıtulo 2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´anicos
30 F F
ji
c
(b ) n
i
c k
c
ij
(a )
c
c l
m
j
k
F
n m
f
F k l
l
m n c
m n
(c )
n
Figura 2.1: Mecanismos moleculares de transporte difusivo. a) Transporte (cantidad de movimiento y energ´ıa interna) asociado a las fuerzas intermoleculares y al cruce de mol´eculas a trav´es de la superficie; b) Transporte de energ´ıa potencial de interacci´ on asociado al cruce de mol´eculas en el mismo sentido; c) Difusi´on de cantidad de movimiento y energ´ıa interna debida a mol´eculas que no cruzan la superficie.
una fuerza de fricci´ on por unidad de superficie, o esfuerzo de fricci´ on, entre las porciones de fluido adyacentes a la superficie. Este esfuerzo de fricci´on est´a relacionado con la propiedad del fluido, tambi´en macrosc´opica, denominada viscosidad; se volver´ a m´as adelante sobre este punto. En el caso de gases y mediante argumentos microsc´opicos se pueden encontrar las relaciones funcionales entre los flujos difusivos antes descritos y los gradientes de las variables macrosc´opicas. Debe advertirse que el an´alisis que se sigue aqu´ı permite obtener el orden de magnitud de los flujos difusivos pero no su valor exacto. Consid´erese un elemento de superficie centrado en un punto cualquiera x, y por comodidad, t´ omese el eje x2 del sistema de referencia coincidente con su direcci´on normal (Figura 2.2). Las mol´eculas situadas en un entorno de x y a una distancia λ/2 por T+DT, Y+DY, v1+ Dv1
x2 l/2 l/2 x
T, Y, v1
Figura 2.2: Flujos difusivos y gradientes de las variables macrosc´opicas a trav´es de una superficie. debajo de la superficie cruzar´ an la superficie debido al movimiento de agitaci´ on y experimentar´ an colisiones con las mol´eculas del otro lado, a una distancia del orden de λ/2. Si el n´ umero de Knudsen es peque˜ no, Kn = λ/L 1, siendo L la longitud caracter´ıstica de variaci´on de las variables fluidas macrosc´opicas, la diferencia de ´estas entre los puntos x−λe2 /2 y x+λe2 /2 se puede aproximar por el primer t´ermino de la serie de Taylor en torno al punto x. Es decir, la diferencia de temperaturas
31
2.6. Fen´ omenos de transporte ser´a, salvo t´erminos del orden (λ/L)2 , ∆T = T (x + λe2 /2, t) − T (x − λe2 /2, t) = λ
∂T (x, t) + O ∂x2
2 λ . L
(2.32)
Si se considera que a trav´es de la superficie existe tambi´en un gradiente de concentraci´ on de la especie Y y un gradiente de velocidades macrosc´opicas, por ejemplo en la componente v1 de la velocidad, se tiene tambi´en ∆Y = λ
∂Y ∂ v1 , ∆ v1 = λ . ∂ x2 ∂ x2
(2.33)
un el eje 2 de la velocidad de agitaci´on t´ermica, Si va = |c2 | es el valor absoluto de la componente seg´ que en gases es proporcional a la ra´ız cuadrada de la temperatura absoluta va ∼ (Rg T )1/2 , habr´ a un transporte difusivo neto de energ´ıa interna en la direcci´ on x2 , que por unidad de superficie y unidad de tiempo, vendr´ a dado por, q(x, t) ∼ ρ cv [T (x − λe2 /2, t) − T (x + λe2 /2, t)] va = −ρ cv va λ
∂T ; ∂x2
(2.34)
obs´ervese que a trav´es de una superficie dσ y en un tiempo dt pasa un volumen de fluido va dtdσ con una energ´ıa interna por unidad de volumen ρcv T . An´alogamente, la masa y la cantidad de movimiento, por unidad de superficie y tiempo, transportadas por difusi´ on ser´an: ∂Y f (x, t) ∼ −ρ va λ , (2.35) ∂x2 y ∂v1 ∼ ρ va λ , (2.36) τ12 ∂x2 representa el flujo por unidad de superficie de la componente x1 de la cantidad de modonde τ12 vimiento transportada en la direcci´ on −x2 . Este transporte de cantidad de movimiento se puede interpretar como que las mol´eculas que parten del lado de la superficie donde la velocidad media es menor (mayor), frenan (aceleran) mediante colisiones a las mol´eculas del otro lado donde el fluido posee una velocidad macrosc´opica media mayor (menor). Este proceso se manifiesta macrosc´opi camente como un esfuerzo (o fuerza por unidad de ´area) tangencial τ12 . La teor´ıa cin´etica de gases demuestra que, siempre que Kn = λ/L 1, existe una relaci´on local y lineal entre los flujos difusivos y los gradientes espaciales de las variables fluidas; la experiencia ense˜ na que lo mismo es cierto en el caso de l´ıquidos. No obstante, el c´alculo exacto, empleando la teor´ıa cin´etica, de los coeficientes de proporcionalidad en dichas relaciones (coeficientes de transporte) es complicado y en la mayor´ıa de las situaciones pr´acticas se determinan experimentalmente. A continuaci´ on se dar´a una descripci´on de los fen´omenos de transporte difusivo desde el punto de vista del modelo de medio continuo basada en las leyes emp´ıricas de Fourier, Fick y Newton.
Transporte de calor por conducci´ on. Ley de Fourier Macrosc´opicamente, el transporte de calor por conducci´on se puede caracterizar mediante un vector flujo de calor. En efecto, consid´erese un tetraedro infinitesimal con tres caras ortogonales, como se muestra en la Figura 2.3, que se mueve con la velocidad local del fluido v(x, t). El v´ertice que forman las caras ortogonales en el instante t coincide con el punto x. Dado que el volumen del tetraedro es una cantidad infinitesimal respecto a su superficie, el calor conducido hacia el interior del tetraedro a trav´es de las caras ortogonales difiere de la transferida hacia el exterior a trav´es de la cara inclinada, de normal n, en una cantidad del orden del volumen; se tiene entonces
Cap´ıtulo 2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´anicos
32
3 n dx3 dx2
2
dx1
1
Figura 2.3: Flujos difusivos de calor a trav´es de las caras de un tetraedro elemental. q(n) d σ − (q1 d σ1 + q2 d σ2 + q3 d σ3 ) = 0,
(2.37)
donde d σ1 , d σ2 y d σ3 representan las ´areas de las caras ortogonales perpendiculares respectivamente a los ejes 1, 2 y 3, y d σ es el ´area de la cara de orientaci´ on n. Si n1 , n2 , n3 representan los cosenos directores de la normal n, entonces d σ1 = n1 d σ, d σ2 = n2 d σ y d σ3 = n3 d σ, y el calor neto por unidad de tiempo conducido al tetraedro se puede escribir en funci´ on del vector flujo de calor q de componentes q1 , q2 y q3 , q(n) = q1 n1 + q2 n2 + q3 n3 = q · n; el vector flujo de calor ser´a en general funci´on de la posici´on y del tiempo, q(x, t). El flujo de calor a trav´es de una superficie finita Σ es, por tanto: q · n d σ.
(2.38)
(2.39)
Σ
y si la superficie Σ es cerrada y la funci´on que representa q es continua en el interior (no hay fuentes de calor puntuales), el calor que por conducci´ on abandona el volumen Ω encerrado por la superficie Σ es: q · ndσ = Σ
∇ · q d ;
(2.40)
Ω
∇ · q es el calor que por conducci´on abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo. La hip´otesis que se efect´ ua ahora es que el flujo de calor q(x, t) depende de las variaciones locales de la temperatura solamente. Esta hip´otesis se basa en que, como se dijo anteriormente, las desviaciones del equilibrio est´an asociadas a las colisiones moleculares, y la distancia (camino libre medio) entre dos colisiones es mucho menor que la distancia macrosc´opica de variaci´ on de la temperatura. El flujo de calor en un punto no depende del campo de temperaturas en otro punto lejano al considerado, sino del campo de temperaturas en el entorno de ese punto. Las variaciones espaciales de temperatura est´an determinadas, en primera aproximaci´ on, por las derivadas espaciales primeras de la temperatura en ese punto y, por tanto, el flujo de calor s´ olo depende de dichas derivadas. Se completa la hip´ otesis admitiendo que la dependencia del flujo de calor con las derivadas primeras de la temperatura es lineal qi = Kij
∂T ; ∂xj
=
q =K ·∇T,
(2.41)
33
2.6. Fen´ omenos de transporte
donde Kij representa el tensor de conducci´on de calor. Si el medio es is´otropo, el tensor Kij ser´a diagonal, ya que no existen direcciones privilegiadas Kij = −Kδij , y qi = −K ∂ T /∂ xi ,
q = −K ∇ T,
(2.42)
que se conoce con el nombre de Ley de Fourier. El signo menos en (2.42) indica que el sentido del vector flujo de calor es en el de las temperaturas decrecientes. El coeficiente K se denomina de conducci´on t´ermica y depende de la densidad y fundamentalmente de la temperatura. Transporte de masa por difusi´ on. Ley de Fick Del mismo modo que un gradiente de temperaturas da lugar a flujos de energ´ıa t´ermica, un gradiente de la concentraci´ on de una especie da lugar a un flujo de esa especie. En efecto, si se supone un fluido en reposo formado por dos componentes A y B cuyas mol´eculas est´an espacialmente dispuestas de un modo no homog´eneo, existir´a un flujo de las mismas que tender´a a uniformar la distribuci´ on de mol´eculas. El flujo de masa de la especie A a trav´es de un elemento de superficie d σ y normal n, se puede expresar en la forma fA · n d σ. El flujo total de masa por difusi´ on de la especie A a trav´es de una superficie Σ ser´a fA · n d σ.
(2.43)
(2.44)
Σ
De la misma forma se define el flujo m´asico por difusi´ on fB de la especie B; se debe cumplir que fA + fB = 0, ya que al estar el medio en reposo la cantidad de movimiento media debe ser nula. Los flujos m´asicos difusivos permiten definir las velocidades de difusi´ on ρ YA vDA = fA ,
ρ YB vDB = fB .
(2.45)
En el caso en que el fluido se mueva con una velocidad macrosc´opica v, la velocidad de cada una de las especies ser´a vA = v + vDA , vB = v + vDB , (2.46) por tanto, v = YA vA + YB vB . Cuando el fluido es una mezcla de dos especies (mezcla binaria) ense˜ na la experiencia y demuestra la teor´ıa cin´etica de gases que se verifica la Ley de Fick YA vDA = −DAB ∇ YA ,
(2.47)
YB vDB = −DAB ∇YB ,
(2.48)
siendo DAB el coeficiente de difusi´on de la mezcla (en mezclas binarias DAB es funci´on de la presi´on y temperatura). En mezclas no binarias la dependencia respecto a los gradientes de concentraci´ on, aunque lineal, es m´as complicada. Se remite al lector interesado a cualquier tratado de teor´ıa cin´etica para el estudio de esta dependencia. Sin embargo cuando existe una especie preponderante en la mezcla y siempre que las fracciones m´asicas de las restantes especies sean peque˜ nas, puede utilizarse para evaluar la difusi´ on de estas especies la Ley de Fick con un coeficiente de difusi´on D correspondiente a la mezcla de la especie preponderante y la especie cuya difusi´on se estudia. Aunque el aire no responde a este modelo de gas, tambi´en en ´el puede utilizarse la Ley de Fick por las siguientes razones: En el aire predominan dos especies N2 y O2 cuyo tama˜ no molecular es muy parecido.
Cap´ıtulo 2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´anicos
34
A la hora de estudiar la difusi´ on de N2 y O2 se puede despreciar la existencia de otras especies. Al estudiar la difusi´ on de otras especies poco abundantes, por ejemplo CO2 , se puede considerar que ´este se mueve en una especie de tama˜ no molecular intermedio al de N2 y O2 y con un coeficiente de difusi´on intermedio al de las mezclas CO2 , O2 y CO2 , N2 . Sirvan estas observaciones para indicar la amplia variedad de situaciones en que en forma aproximada es aplicable la Ley de Fick de las mezclas binarias. Transporte difusivo de cantidad de movimiento Como se mencion´o al comienzo de este cap´ıtulo, la falta de uniformidad en la distribuci´ on de velocidades da lugar a la aparici´ on de fuerzas de superficie en el fluido. Sin embargo, dado el car´acter vectorial de la magnitud que se transporta, en este caso la cantidad de movimiento, no resulta tan f´ acil encontrar una relaci´ on que ligue esas fuerzas superficiales con las derivadas de los componentes del vector velocidad (antes deben estudiarse las propiedades cinem´aticas del campo fluido). No obstante, y aunque este problema se examinar´ a m´as profundamente en cap´ıtulos posteriores, se estudiar´a aqu´ı un caso particular sencillo que permita ver la analog´ıa existente entre este fen´omeno y los dos antes descritos. En efecto, si se supone por simplicidad un campo de velocidades tal que tenga s´olo componente en la direcci´on del eje 1 y que su magnitud var´ıe con la coordenada 2 v = v1 (x2 ) e1 ,
(2.49)
existir´ a una componente tangencial del esfuerzo en la direcci´on del eje 1, τ12 , distinta de cero, sobre cualquier elemento de superficie perpendicular al eje 2. El origen microsc´opico de esa fuerza macrosc´opica por unidad de a´rea aparece como consecuencia del aumento o disminuci´on de la cantidad de movimiento que experimentan las mol´eculas que est´an a uno u otro lado del elemento de superficie como consecuencia del paso de mol´eculas a trav´es de la misma o por las fuerzas de interacci´on ejercidas a trav´es de la superficie. Esto es, el fluido que est´a a un lado de la superficie se acelera o se frena por la acci´on del fluido del otro lado. Los argumentos que conducen a la hip´ otesis de una relaci´on lineal entre el flujo y el gradiente local de un escalar pueden ser aplicados ahora. En efecto, las interacciones moleculares se extienden sobre una distancia peque˜ na, y el transporte molecular de cantidad de movimiento a trav´es del elemento de superficie depender´a exclusivamente del gradiente local ∂v1 /∂x2 ; no puede depender de la velocidad v1 debido a que ´esta depende del sistema de referencia empleado. Por u ´ ltimo, y an´alogamente al transporte de calor por conducci´ on y de masa por difusi´ on, el esfuerzo es proporcional a ∂ v1 /∂x2 , ∂v1 =µ , (2.50) τ12 ∂x2 donde el par´ ametro µ, denominado coeficiente de viscosidad del fluido, depende de la presi´ on y, fundamentalmente, de la temperatura.
Coeficientes de transporte A continuaci´ on se discutir´a la variaci´ on de los coeficientes de transporte µ, K y D con las variables termodin´ amicas locales. En gases, la teor´ıa cin´etica demuestra que µ/ρ, K/(ρ cv ) y D dependen u ´nicamente de la temperatura y no de la presi´ on. En efecto, de las definiciones (2.34-2.36) junto con (2.42), (2.45), (2.47) y (2.50) se establecen las relaciones K ∼ ρ D ∼ µ ∼ ρ va λ. cv
(2.51)
2.6. Fen´ omenos de transporte
35
La velocidad de agitaci´on t´ermica es proporcional a la ra´ız cuadrada de la temperatura T , va ∼ (Rg T )1/2 , y la teor´ıa cin´etica demuestra que el camino libre medio es directamente proporcional a la masa de las mol´eculas e inversamente proporcional a la densidad del gas y a la secci´on eficaz de las colisiones, ς, definida como m ; (2.52) ς= ρλ para gases en condiciones normales, ς es pr´acticamente independiente de la temperatura y, por tanto, ρ λ es muy aproximadamente constante. De (2.51) se tiene entonces K ∼ ρ D ∼ µ ∼ ρλ Rg T , (2.53) cv que demuestra que los coeficientes de transporte K/cv , ρ D y µ aumentan en gases como la ra´ız cuadrada de la temperatura. De (2.51) se deduce tambi´en que para el caso de gases, los tres fen´omenos de transporte difusivo (conducci´ on, difusi´ on m´asica y viscosidad) est´an basados en la agitaci´on molecular y, por tanto, los coeficientes K µ (2.54) ∼ D ∼ ∼ va λ, ρ cv ρ son del mismo orden. Los argumentos anteriores no son completamente rigurosos y, por consiguiente, no se puede establecer una igualdad entre las cantidades de la relaci´on (2.54), que adem´as no son iguales en realidad, aunque difieran poco entre s´ı. A K/ρ cv se le llama coeficiente de difusi´on t´ermica, y al cociente µ/ρ = ν, viscosidad cinem´atica y a veces coeficiente de difusi´on de cantidad de movimiento. Por razones que se entender´an mejor posteriormente, se suele utilizar cp en lugar de cv en la definici´on del coeficiente de difusi´on t´ermica, α = K/ρ cp . En el caso de l´ıquidos, se comprueba experimentalmente que los coeficientes de transporte tambi´en dependen u ´nicamente de la temperatura. Por ejemplo, las fuerzas de cohesi´on intermolecular, que determinan en gran parte las fuerzas de viscosidad, disminuyen al aumentar la temperatura y disminuyen en consecuencia el coeficiente de viscosidad. Por el contrario, en l´ıquidos se observa experimentalmente que el coeficiente de difusi´on de masa aumenta al hacerlo la temperatura (al disminuir las fuerzas de cohesi´on, se facilita la transferencia de masa por agitaci´on molecular). Tambi´en se conoce de la experiencia que el coeficiente de conducci´on de calor en l´ıquidos depende d´ebilmente de la temperatura (al aumentar la temperatura se facilita la transferencia de energ´ıa interna por agitaci´ on molecular, pero el aumento tiende a compensarse por la disminuci´ on de la transferencia debida al efecto de las fuerzas de cohesi´on que disminuyen con la temperatura). En la pr´ actica es usual medir la importancia relativa de estos fen´omenos de transporte definiendo n´ umeros adimensionales que sirven de comparaci´on entre ellos. Por ejemplo, el n´ umero de Prandtl P r = ν/α = µ cp /K compara la capacidad de un fluido para transferir, por difusi´ on, cantidad de movimiento y calor. Del mismo modo se definen los n´ umeros de Schmidt, Sc = ν/D, y Lewis, Le = D/α. En gases, como se indica en (2.54), los n´ umeros de Prandtl, Schmidt y Lewis son del orden de la unidad, no var´ıan con la presi´on y apenas lo hacen con la temperatura (P r = 0,73 para aire). En l´ıquidos, el n´ umero de Prandtl es una funci´ on decreciente de la temperatura. En los aceites ligeros el n´ umero de Prandtl es grande frente a la unidad (P r ∼ 1000), mientras que en los l´ıquidos met´alicos es muy inferior a la unidad (P r = 0,027 para el caso de mercurio a 283 K). Para el agua a 288 K, P r = 8. Cabe indicar finalmente que, en l´ıquidos, Sc es siempre mucho mayor que la unidad, mientras que Le es mucho menor que la unidad.
2.6.2.
Transporte convectivo. Flujo convectivo de una magnitud fluida
Sea φ(x, t) una magnitud fluida extensiva por unidad de volumen. Si d σ es un elemento de superficie fijo en el sistema de referencia elegido, de normal unitaria n, en la Figura 2.4 se observa
Cap´ıtulo 2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´anicos
36
que el volumen de fluido que atraviesa la superficie dσ en la direcci´on n y en un tiempo dt es dσ v · n dt. n
S
v(x,t)
ds
x
Figura 2.4: Flujo convectivo a trav´es de un elemento de superficie d σ. Por tanto, la cantidad de magnitud φ que atraviesa con el fluido la superficie Σ en la unidad de tiempo es φ v · n d σ. (2.55) Σ
La expresi´on (2.55) se denomina flujo convectivo de la magnitud φ a trav´es de la superficie Σ. Si φ es un escalar, φ v es un vector denominado vector flujo de φ, por ejemplo, si se trata de la densidad ρ, la cantidad ρ v es el vector flujo m´asico. Si φ es un vector, φ v es un tensor denominado tensor flujo de la cantidad φ, por ejemplo, si se trata de la cantidad de movimiento ρ v, la cantidad ρ v v es el tensor flujo de cantidad de movimiento. Si la superficie es cerrada y φ v es una funci´ on continua en su interior, el teorema de Gauss proporciona φv · ndσ = ∇ · (φ v)d , (2.56) Σ
Ω
donde n es la normal unitaria exterior a Σ, y Ω la regi´ on encerrada por dicha superficie. Para una regi´on infinitesimal de volumen d Ω situada alrededor de un punto fijo x del dominio fluido, el valor de la integral (2.56) es [∇ · (φ v)](x,t) d Ω, salvo infinit´esimos de orden superior que resultan de evaluar la divergencia en x y no tomar su valor medio en el interior de d Ω. Se deduce, por tanto, que [∇ · (φv)](x,t) representa el flujo neto de la cantidad de la magnitud φ que por convecci´on abandona, a trav´es de su superficie, la unidad de volumen que encierra al punto dado x. Si el elemento de superficie posee en el instante considerado una velocidad vc , la velocidad relativa del fluido respecto a la de la superficie es (v − vc ), y el flujo convectivo de φ a trav´es de d σ en dicho instante ser´a, naturalmente, φ(v − vc ) · n d σ. (2.57) El flujo convectivo a trav´es de una superficie finita Σ se obtiene de (2.57) mediante integraci´ on φ(v − vc ) · n d σ. (2.58) Σ
37
2.6. Fen´ omenos de transporte
Haciendo φ = ρ, φ = ρv y φ = ρe se obtienen, a partir de (2.58), los flujos convectivos de masa, cantidad de movimiento y calor a trav´es de Σ que son, respectivamente, ρ(v − vc ) · n d σ, ρ v(v − vc ) · n d σ, ρ e(v − vc ) · n d σ. (2.59) Σ
Σ
Σ
Obs´ervese que los flujos convectivos anteriores son nulos a trav´es de cualquier superficie que en cada punto se mueva, en el instante considerado, con la velocidad local del fluido en dicho punto [vc = v(x, t)]. En este caso s´olo podr´ an existir a trav´es de Σ flujos difusivos de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. En general, a trav´es de cualquier superficie Σ existir´an flujos difusivos y convectivos, siendo el flujo total la suma de ambos. As´ı , el flujo total de calor a trav´es de Σ vendr´ a dado por, −K ∇ T · n d σ + ρ e(v − vc ) · n d σ, (2.60) Σ
Σ
y el flujo total de cantidad de movimiento, = τ · n d σ + ρ v(v − vc ) · n d σ, − Σ
(2.61)
Σ
=
siendo τ (x, t) el tensor de esfuerzos de viscosidad que se considerar´a en detalle en 4.3. Finalmente, en fluidos no homog´eneos en composici´on, el flujo de masa de la especie Yi a trav´es de la superficie Σ se escribe, −ρ Di ∇ Yi · n d σ + ρ Yi (v − vc ) · n d σ, (2.62) Σ
donde v es la velocidad media de la mezcla.
Referencias G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. S. R. de Groot y P. Mazur, Non Equilibrium Thermodynamics, Dover, Nueva York, 1984. J. O. Hirschfelder, C. F. Curtis y R. B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, John Wiley and Sons, Nueva York, 1964. E. M. Lifshitz y L. P. Pitaevskii, Landau y Lifshitz: Course of Theoretical Physics, vol. 10, Kinetic Theory, Pergamon Press, 1981. F. Reif, F´ısica Estad´ıstica, Berkeley Physics Course, vol. 5, Editorial Revert´e, 1975. W. G. Vincenti y Ch. H. Kruger, Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics, Krieger, Nueva York, 1977. L. C. Woods, The Thermodynamics of Fluid Systems, Oxford Engineering Science Series, Clarendon Press, Oxford, 1975.
Cap´ıtulo 3
Cinem´ atica de los fluidos 3.1.
Especificaci´ on del campo fluido
Para la descripci´on del movimiento del medio continuo fluido se pueden utilizar dos alternativas. En la primera, debida a Lagrange, cada punto del fluido se identifica mediante su posici´ on inicial xo y se sigue en el tiempo la evoluci´on de su posici´on y la de las magnitudes fluidas ligadas al mismo. Un punto as´ı definido se denominar´ a en lo que sigue punto material. As´ı , la funci´ on trayectoria xT = xT (xo , to , t)
(3.1)
determina la posici´on en sucesivos instantes t del punto material que en el instante to estaba en la posici´on xo . Las ecuaciones (3.1) pueden interpretarse tambi´en como las de la transformaci´on punto a punto entre los dominios ocupados por el fluido en los instantes to y t. La velocidad y la aceleraci´on de dicho punto son entonces: ∂xT , (3.2) ∂t ∂ 2 xT . (3.3) a(xo , to , t) = ∂t2 Aunque la descripci´on lagrangiana es u ´til en ciertos problemas especiales como, por ejemplo, en el caso del flujo unidimensional, no estacionario, de un gas no viscoso, o en el modelado de flujos dominados por grandes v´ ortices, la realidad es que su uso en la descripci´on de las corrientes fluidas da lugar a expresiones y c´ alculos complejos que, en general, desaconsejan su uso. Por esta raz´on, para la descripci´ on de los movimientos fluidos se utiliza el denominado punto de vista de Euler, o descripci´on euleriana, en la que no se sigue a los puntos materiales del fluido, sino que las magnitudes fluidomec´anicas se especifican en cada punto x del dominio fluido, fijo respecto al sistema de referencia, y en cada instante de tiempo. En esta descripci´on la posici´on y el tiempo son, por tanto, variables independientes. La conexi´ on entre ambas descripciones se establece expresando que los valores de las magnitudes asociadas a un punto material, cuya posici´ on coincide en un instante determinado con la del punto fijo x, son iguales a los de la descripci´on euleriana en dicho punto e instante. En la descripci´on euleriana del movimiento, la velocidad local del fluido v(x, t) se toma como variable fundamental. Cuando v es independiente del tiempo, el movimiento se denomina estacionario. Obs´ervese que un movimiento puede ser estacionario en un sistema de referencia y no ´ es, por ejemplo, el caso de un objeto que se mueve con velocidad constante serlo en otro. Ese respecto a un fluido ilimitado y en reposo en el infinito. En efecto, es f´ acil comprobar que en ejes v(xo , to , t) =
39
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
40
ligados al objeto, la corriente de fluido alrededor de ´el es estacionaria, mientras que las variables fluidomec´ anicas experimentan variaciones con el tiempo respecto a un sistema de referencia ligado a tierra (de hecho, un punto que en cierto instante pertenezca al dominio fluido puede no estar contenido en ´el en instantes posteriores si el objeto pasa por dicho punto). Un movimiento se denomina uniforme cuando las magnitudes fluidas son en cada instante las mismas para cualquier punto del dominio fluido; la velocidad, por ejemplo, ser´ a funci´on u ´nicamente del tiempo, v = v(t). Un movimiento se dice plano cuando la velocidad en cada punto del espacio fluido es perpendicular a una direcci´on; si adem´as no var´ıa en esa direcci´on, el movimiento es bidimensional. Tomando esa direcci´on como el eje 3, se tiene v = v1 (x1 , x2 , t)e1 + v2 (x1 , x2 , t)e2 .
(3.4)
Cuando el movimiento presenta simetr´ıa de revoluci´ on respecto a un eje, es decir, no depende de la coordenada acimutal alrededor de dicho eje, se denomina axilsim´etrico. Si z es la coordenada a lo largo del eje de simetr´ıa, se tiene, en coordenadas cil´ındricas v = vr (r, z, t)er + vz (r, z, t)ez + vφ (r, z, t)eφ .
3.1.1.
(3.5)
Trayectorias
Las trayectorias de los puntos materiales se definen mediante el sistema de ecuaciones diferenciales dx = v(x, t), (3.6) dt que, junto con las condiciones iniciales x(to ) = xo , proporcionan las trayectorias x = xT (xo , to , t).
(3.7)
La intersecci´on de las superficies F1 (x, xo , to ) = 0 y F2 (x, xo , to ) = 0, obtenidas al eliminar t en (3.7), es una curva que representa la senda o curva descrita por el punto material en su movimiento. Si un conjunto de puntos materiales forman inicialmente una l´ınea, por continuidad, seguir´ an formando parte de ella en instantes posteriores; una l´ınea tal se denomina l´ınea fluida Lf (t). Obs´ervese que la violaci´on de la condici´on anterior implicar´ıa la existencia de dos velocidades distintas en un mismo punto e instante de tiempo, contradiciendo as´ı la hip´ otesis del medio continuo. Por tanto, si la l´ınea fluida es cerrada se mantiene cerrada en cualquier instante posterior. Si xo = xo (λ) es la ecuaci´on param´etrica de una l´ınea fluida en el instante inicial, la posici´ on de dicha l´ınea en el instante t se obtiene a partir de las trayectorias: x = xT [xo (λ), to , t] .
(3.8)
An´ alogamente se define la superficie fluida, Σf (t), como aquella formada por puntos materiales; si xo = xo (α, β) es la ecuaci´on param´etrica de la superficie fluida en el instante inicial, la ecuaci´ on que define su posici´on en el instante t es x = xT [xo (α, β), to , t] .
(3.9)
Eliminando los par´ ametros α y β de las tres ecuaciones (3.9), se obtiene la ecuaci´on f (x, t) = 0 de la superficie fluida. Si la superficie fluida es inicialmente cerrada, por continuidad se mantendr´ a cerrada a lo largo del movimiento, y el fluido situado en el interior de la superficie permanece
3.1. Especificaci´on del campo fluido
41
siempre en su interior constituyendo lo que se denomina un volumen fluido, Ωf (t).1 Obs´ervese que la conservaci´on de la masa en el interior de un volumen fluido implica, en el caso de un l´ıquido, que la deformaci´on que experimenta en su movimiento es siempre a volumen constante. La evoluci´on de un volumen fluido puede observarse si se marca de alguna forma (con tinta, humo, burbujas de hidr´ ogeno, etc.) una porci´on de fluido y posteriormente se la sigue en su movimiento. Un volumen fluido infinitesimal d Ωf (t) se deforma en su movimiento permaneciendo sus dimensiones infinitesimales, puesto que, por continuidad, la diferencia de velocidades entre sus puntos es peque˜ na; dicho volumen fluido se denomina part´ıcula fluida. 2
3.1.2.
L´ıneas de corriente
Las l´ıneas de corriente en un instante t son las l´ıneas del campo de velocidades, v(x, t), en dicho instante; de esta forma, la tangente a la l´ınea en cada uno de sus puntos y la velocidad del fluido en dichos puntos son paralelas. Estableciendo la proporcionalidad entre el vector tangente a la l´ınea y el vector velocidad se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que satisfacen las l´ıneas de corriente. En coordenadas cartesianas estas ecuaciones son dx1 dx2 dx3 = = , v1 (x, t) v2 (x, t) v3 (x, t)
(3.10)
en las que el tiempo juega el papel de un par´ ametro. Para resolver el sistema (3.10) es necesario imponer dos condiciones iniciales, por ejemplo, si se toma x3 como variable independiente y x30 es un valor inicial se debe especificar x1 (x30 ) = x10 y x2 (x30 ) = x20 . Obs´ervese que en movimientos estacionarios las l´ıneas de corriente coinciden con las sendas de los puntos materiales del fluido. No ocurre as´ı en movimientos no estacionarios, en los que las l´ıneas de corriente dependen, en general, del tiempo. En este caso, dos puntos fijos A y B que en un instante dado t0 pertenezcan a una misma l´ınea de corriente, no pertenecer´an en general a dicha l´ınea en un instante posterior t, como se esquematiza en la Figura 3.1. Por otra parte, si se toma una l´ınea del espacio, las l´ıneas de corriente que se apoyan en ella forman una superficie de corriente; si la l´ınea de partida es cerrada, la superficie de corriente se denomina tubo de corriente. Los puntos donde la velocidad es nula se denominan puntos de remanso, y los puntos donde la velocidad es infinita, puntos singulares. Tales puntos, en los que la pendiente de las l´ıneas de corriente est´a indeterminada son puntos singulares de las ecuaciones (3.10). En un mismo instante de tiempo dos l´ıneas de corriente no se pueden cortar en un punto (ya que ello implicar´ıa la existencia de dos velocidades diferentes en ese punto, lo que es f´ısicamente imposible), salvo naturalmente en un punto de remanso o en un punto singular. En la Figura 3.2 se muestra la topolog´ıa de las l´ıneas de corriente en un entorno de los puntos de remanso (centro y puerto) y singulares (fuente o sumidero y torbellino) para un movimiento plano. 1 Desde un punto de vista microsc´ opico, la conservaci´ on de la masa de un volumen fluido puede interpretarse teniendo en cuenta que, respecto a una superficie que se mueva con la velocidad macrosc´ opica del fluido, las mol´eculas pr´ oximas a dicha superficie poseen u ´ nicamente velocidad de agitaci´ on molecular, que es ca´ otica en direcci´ on y magnitud; por tanto, el n´ umero de mol´eculas que abandonan el volumen fluido es, en media, igual al n´ umero de las que entran en dicho volumen. Asimismo, si el fluido no es homog´eneo en composici´ on, la definici´ on (1.7) para la velocidad media local permite asegurar que la masa total de la mezcla contenida en un volumen fluido permanece tambi´ en constante en el tiempo; sin embargo, la masa de cada componente dentro de dicho volumen puede variar debido a que su velocidad media local ser´ a en general distinta de la de la mezcla. 2 La part´ ıcula fluida, como cualquier otro volumen fluido, est´ a formada por un conjunto continuo de puntos materiales. Cuando sucede que la extensi´ on espacial de la part´ıcula fluida no es relevante en la situaci´ on considerada (es decir, si no es necesario tener en cuenta su deformaci´ on ni las fuerzas que act´ uan en cada punto de su superficie o de su volumen) este concepto y el de punto material se usan indistintamente.
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
42
v(xB,t0)
B v(xA,t0) A
v(xB,t)
v(xA,t)
Figura 3.1: L´ıneas de corriente en el instante t que pasan por dos puntos que en un instante anterior t0 pertenec´ıan a la misma l´ınea de corriente (l´ınea a trazo).
(a)
(b)
(c)
Figura 3.2: L´ıneas de corriente en torno a puntos singulares o de remanso en un movimiento plano. a) Nodo o sumidero (fuente si la direcci´on del flujo es saliente); b) Centro o torbellino; c) Puerto.
3.1.3.
Traza
Se llama as´ı a la l´ınea que forman las part´ıculas fluidas que en instantes anteriores al considerado pasaron por un punto determinado xo . Su utilidad para visualizar movimientos fluidos radica en que si la difusi´ on m´asica fuese peque˜ na, la traza coincidir´ıa con la l´ınea que formar´ıa un colorante, de densidad sensiblemente igual a la del fluido cuyo movimiento se desea visualizar, inyectado lentamente desde un punto fijo del dominio fluido. Naturalmente, las trazas coinciden con las l´ıneas de corriente y con las sendas en movimientos estacionarios. Para obtener su ecuaci´on hay que calcular la posici´on de los puntos materiales que pasaron por el punto de referencia xo en diferentes instantes t ≤ t x = xT (xo , t , t), y eliminar t entre las tres ecuaciones escalares (3.11).
(3.11)
43
3.1. Especificaci´on del campo fluido
3.1.4.
Derivada sustancial
Sea φ(x, t) una magnitud fluida intensiva cualquiera (por ejemplo, densidad, temperatura, etc.). Si se sigue a un punto material en su movimiento, la magnitud φ asociada a dicho punto variar´ a, en una descripci´on euleriana, no s´ olo por cambiar t, sino tambi´en por cambiar su posici´on x. Si se calcula su variaci´ on con el tiempo se obtiene d φ = φ(x + d x, t + d t) − φ(x, t) = d x · ∇ φ +
∂φ dt ∂t
(3.12)
y ∂φ d x dφ = + · ∇φ. dt ∂t dt
(3.13)
Para un observador que se mueve con la velocidad del fluido v(x, t) = d x/d t, la expresi´on (3.13) resulta Dφ dφ ∂φ ≡ = + v · ∇φ. (3.14) dt Dt ∂t Al operador D/Dt = ∂/∂t + v · ∇ se le llama derivada sustancial o derivada siguiendo al punto material; el primer sumando representa la derivada local, que mide la variaci´ on que experimenta con el tiempo la magnitud φ en un punto x fijo del dominio fluido, y el segundo, la derivada convectiva, que representa el cambio experimentado por la magnitud φ, ligada al punto material, al moverse ´este a una posici´on donde el valor de φ es diferente. Obs´ervese que el concepto de derivada sustancial aparece debido a la necesidad de expresar variaciones siguiendo a los puntos materiales en la descripci´on de Euler, en la que el tiempo y el espacio son variables independientes. Obs´ervese tambi´en que en la descripci´on de Lagrange las derivadas temporales son sustanciales, puesto que el tiempo es la u ´nica variable independiente y el concepto de derivada sustancial pierde relevancia. Aceleraci´ on En la descripci´on de Euler, la aceleraci´on del fluido es la derivada de la velocidad, siguiendo al punto material, Dv ∂v a= = + v · ∇v, (3.15) Dt ∂t siendo como antes la suma de una aceleraci´on local y una aceleraci´on convectiva. Naturalmente, si el sistema de referencia no es inercial, para obtener la aceleraci´on absoluta se ha de a˜ nadir a la aceleraci´on relativa, calculada mediante (3.15), la aceleraci´on debida al movimiento no inercial del sistema de referencia. Si el origen del sistema se mueve con una aceleraci´on lineal ao y gira con velocidad angular Ω, la aceleraci´on debida al movimiento no inercial del sistema de referencia ser´a: dΩ × x + Ω × (Ω × x) + 2Ω × v. asr = ao + (3.16) dt suma de la aceleraci´on de arrastre, tangencial, centr´ıpeta y de Coriolis. Ecuaci´ on de una superficie fluida Si f (x, t) = 0 representa la ecuaci´on de una superficie, los puntos x+d x que en t+d t pertenecen a la superficie satisfacen asimismo la ecuaci´on f (x + d x, t + d t) = 0, por lo que se tiene d f = f (x + d x, t + d t) − f (x, t) = d x · ∇ f + d t
∂f = 0. ∂t
(3.17)
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
44
Por tanto, si la superficie se mueve con el fluido, d x/d t = v, debe satisfacer la ecuaci´on Df ∂f = + v · ∇ f = 0. Dt ∂t
3.2.
(3.18)
Teorema del transporte de Reynolds
Como se ver´a posteriormente, las ecuaciones de la Mec´anica de Fluidos se obtienen aplicando los principios de conservaci´ on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a vol´ umenes fluidos. Dado que se usar´a la descripci´on euleriana para la formulaci´ on del movimiento, es necesario obtener en esta descripci´on expresiones para los valores de cambio de las integrales de las magnitudes extensivas ligadas a vol´ umenes fluidos, o, en general, a vol´ umenes que pueden variar con el tiempo de forma arbitraria, que desde ahora se denominar´ an vol´ umenes de control. Consid´erese una superficie cerrada Σc (t) en el seno de un fluido tal que su normal exterior unitaria y su velocidad en un punto gen´erico de la misma en el instante considerado sean, respectivamente, n y vc (en general distinta de la del fluido v en dicho punto e instante). Si Ωc (t) es la regi´ on limitada por dicha superficie en el instante considerado y φ(x, t) es cualquier magnitud fluida extensiva por unidad de volumen, la cantidad de esta magnitud que en el instante t est´a contenida en Ωc (t) es φ(x, t)d . (3.19) Ωc (t)
Obs´ervese que la integraci´on en (3.19) se efect´ ua para un instante dado, es decir, el tiempo juega en ella el papel de un par´ ametro. Naturalmente, el valor de dicha integral var´ıa con el tiempo, tanto por variar φ en la regi´on de integraci´ on como por hacerlo ´esta. La magnitud del cambio experimentado con el tiempo por (3.19) es d φ(x, t)d = d t Ωc (t) 1 φ(x, t + ∆ t)d − φ(x, t)d , (3.20) l´ım ∆t→0 ∆ t Ωc (t+∆ t) Ωc (t) y si se desarrolla en serie de Taylor el integrando de la primera integral del segundo miembro de (3.20) se obtiene d ∂φ φ(x, t)d = (x, t) d + d t Ωc (t) Ωc (t) ∂ t 1 φ(x, t) d − l´ım φ(x, t)d . (3.21) ∆ t→0 ∆ t Ωc (t+∆ t) Ωc (t) El t´ermino entre corchetes en la expresi´on (3.21) representa la integral de la magnitud φ extendida a la diferencia entre las regiones Ωc (t + ∆t) y Ωc (t) de la Figura 3.3, cuyo elemento de volumen es d = vc · n d σ ∆ t. La sustituci´on de (3.22) en (3.21) conduce finalmente a la expresi´ on ∂φ d φd = φ vc · n d σ, d + d t Ωc (t) Ωc (t) ∂ t Σc (t)
(3.22)
(3.23)
que constituye el teorema del transporte de Reynolds. Se debe indicar que (3.23) es una generalizaci´on para el caso tridimensional de la conocida f´ ormula de Leibniz para la derivada de una integral con respecto a un par´ametro.
45
3.3. An´alisis de las velocidades en el entorno de un punto
S c
(t)
n
d s S
v c
c
(t+ D t)
Figura 3.3: Superficie de control en dos instantes pr´ oximos. Si el volumen de control es fijo Ωc (t) = Ω0 (vc = 0) se tiene ∂φ d φd = d . d t Ω0 Ω0 ∂ t
(3.24)
Para el caso particular de una regi´ on infinitesimal fija de volumen d Ω que contiene a un punto dado x, el valor de (3.24) es, salvo infinit´esimos de orden superior, [∂φ/∂ t](x,t) d Ω, por lo que ∂φ/∂t representa la variaci´ on en la unidad de tiempo de la cantidad de la magnitud φ contenida en la unidad de volumen que rodea a x. Para un volumen fluido, cuya superficie se mueve en cada punto e instante con la del fluido (vc = v), se obtiene de (3.23) D ∂φ d φd ≡ φd = φ v · n d σ, (3.25) d + d t Ωf (t) D t Ωf (t) Ωf (t) ∂ t Σf (t) donde, de acuerdo con (3.24), el primer sumando representa la variaci´ on con el tiempo de la cantidad φ contenida en un volumen fijo que en el instante considerado coincide con el volumen fluido Ωf (t), mientras que, de acuerdo con (2.58), el segundo sumando representa el flujo convectivo de la magnitud φ a trav´es de una superficie fija que en el instante considerado coincide con la superficie fluida Σf (t).3 Es claro, tambi´en, que si un volumen de control y un volumen fluido coinciden en un instante, Ωc (t) ≡ Ωf (t) y Σc (t) ≡ Σf (t), de (3.23) y (3.25) se obtiene para dicho instante la relaci´on d D φd = φd + φ (v − vc ) · n d σ, (3.26) D t Ωf (t) d t Ωc (t) Σc (t) donde el segundo sumando representa el flujo convectivo de la cantidad φ relativo a la superficie de control.
3.3.
An´ alisis de las velocidades en el entorno de un punto
Como se anticip´o en el Cap´ıtulo 1, la fuerza resistente a la deformaci´on del fluido es proporcional a la velocidad con que ´este se deforma. Por tanto, para caracterizar esta fuerza es necesario analizar la deformaci´on de la part´ıcula fluida o, lo que es lo mismo, estudiar el movimiento del fluido en el 3 Como se observa en (3.25), en el caso de integrales extendidas a vol´ umenes fluidos es usual cambiar la notaci´ on de derivada temporal (d/d t) por la de derivada sustancial (D/D t). El significado de ambos operadores es, en este caso, id´ entico y representan la derivada con respecto al tiempo del valor resultante de la integraci´ on como se indica en (3.20).
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
46
entorno de un punto fijo cualquiera x que en el instante considerado se encuentra en el interior de dicha part´ıcula. Como se ver´a en lo que sigue, si se excluye la traslaci´on de la part´ıcula fluida como s´olido r´ıgido, el movimiento de cualquier punto de su interior relativo a otro, x, tambi´en en su interior que se toma como referencia, puede descomponerse en dos movimientos: uno de rotaci´on como s´olido r´ıgido alrededor del punto x m´as otro de deformaci´on respecto a dicho punto. En efecto, consid´erese una part´ıcula fluida y dos puntos materiales P y Q de la misma cuyas posiciones en el instante t son x y x+d x, como se muestra en la Figura 3.4. Si v(x, t) y v(x+d x, t) son las velocidades en x y x+d x en dicho instante, los puntos P y Q experimentar´ an en el intervalo de tiempo d t los desplazamientos v(x, t) d t y v(x + d x, t) d t. El desplazamiento relativo que en d t experimenta Q respecto de P es
dWf (t)
v(x+dx,t)dt
Q
Q
dWf (t+dt)
dx
dx
v(x,t)dt
P
P
x+dx x
Figura 3.4: Deformaci´on de una part´ıcula fluida. d v d t = v(x + d x, t)d t − v(x, t)d t,
(3.27)
donde d v, que representa el desplazamiento relativo por unidad de tiempo, viene dado por d v = v(x + d x, t) − v(x, t) = d x · [∇v](x,t) .
(3.28)
En notaci´on indicial (3.28) se escribe, d vi =
∂ vi d xj , ∂ xj
(3.29)
donde, como se indica expl´ıcitamente en (3.28), las derivadas est´an evaluadas en el punto x y, por tanto, d v es directamente proporcional a d x dentro de la aproximaci´ on con que se opera; en la notaci´on indicial utilizada para (3.29) se ha seguido la convenci´ on de Einstein de sumar sobre los sub´ındices repetidos. Obs´ervese que si dl representa el elemento de l´ınea fluida P Q, que en el instante t coincide con dx, dv representa el cambio por unidad de tiempo experimentado por la l´ınea material dl para un observador ligado a ella D(dl) = dv = dx · ∇v. Dt
(3.30)
Para facilitar el an´ alisis es usual descomponer el tensor ∇ v en dos partes, una sim´etrica y otra antisim´etrica, ∂ vi 1 ∂ vi 1 ∂ vi ∂ vj ∂ vj + = γij + ξij , = + − (3.31) ∂ xj 2 ∂ xj ∂ xi 2 ∂ xj ∂ xi
47
3.3. An´alisis de las velocidades en el entorno de un punto =
donde γ , que se denomina tensor de velocidades de deformaci´on, representa la parte sim´etrica, y =
ξ , denominado tensor de rotaci´ on, la antisim´etrica. La contribuci´ on de cada uno de estos t´erminos a la velocidad relativa en el punto x + d x respecto a la existente en el punto x es =
=
dv = dx · ∇v = dx· γ +dx· ξ = dvd + dvr ,
(3.32)
y dan lugar, como se expres´o anteriormente y se ver´a a continuaci´ on, a una velocidad de deformaci´ on del fluido, dvd , y a una de rotaci´ on como s´olido r´ıgido, dvr . =
Es f´acil comprobar que las componentes del vector, dvr = d x· ξ (x, t) a que da lugar la parte antisim´etrica del tensor gradiente de velocidades que, en notaci´on indicial, se expresan ∂ vi 1 ∂ vj , (3.33) − d vri = d xj 2 ∂ xj ∂ xi son tambi´en las del producto vectorial 21 ω × d x; ω = ∇ × v se denomina vector vorticidad del fluido y se expresa en notaci´on indicial ω i = ijk ∂vj /∂xk , donde el tensor de Levi-Civita, ijk , es nulo si alguno de los sub´ındices est´a repetido o su valor es ±1 si el orden de la permutaci´ on i, j, k es respectivamente par o impar. As´ı pues, d vr =
1 ω(x, t) × d x, 2
(3.34)
representa una rotaci´on como s´olido r´ıgido de la part´ıcula fluida alrededor del punto x con velocidad angular ω/2. = La contribuci´ on de la parte sim´etrica, d vd = d x· γ (x, t), se escribe en notaci´on indicial 4 d vdi = γij (x, t)d xj .
(3.35)
Para interpretar f´ısicamente las componentes del tensor de velocidades de deformaci´on, consid´erese un elemento de l´ınea fluida con origen en un punto P y direcci´on seg´ un el vector unitario n como la de la Figura 3.5. Si Q es un punto de dicho elemento cuya posici´on relativa a P es, en el instante t, d x = |d x| n, el desplazamiento relativo de Q respecto de P en el intervalo d t es d v d t = d x · ∇ v d t = |d x| n · ∇ v d t,
(3.36)
y su proyecci´on en la direcci´on n es d v d t · n = |d x| n · ∇ v · n d t. =
(3.37) =
Teniendo en cuenta la antisimetr´ıa del tensor ξ se deduce que n· ξ ·n = ni ξij nj = 0, y, por tanto, la dilataci´on que experimenta el elemento de l´ınea fluida considerado en la direcci´ on del propio elemento es = d v d t · n = |d x|n· γ ·n d t. (3.38) 4 Obs´ on en el entorno de un punto ervese que debido a la simetr´ıa de γij , el campo de velocidades de deformaci´ es irrotacional. En efecto, si d x1 , d x2 y d x3 representan las coordenadas de un punto gen´erico de dicho entorno en un sistema de coordenadas con origen en x se tiene
ijk
∂(dvdj ) ∂(d xl ) = ijk γjl (x, t) = ijk γjl δlk = 0 . ∂ (d xk ) ∂(d xk )
on escalar φ = 21 d xl γkl (x, t)d xk define De hecho, a partir de (3.35) se deduce que d vdi = ∂ φ/∂ (d xi ), donde la funci´ una familia de cu´ adricas semejantes en torno al punto x denominadas cu´ adricas de velocidades de deformaci´ on.
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
48
Figura 3.5: Dilataci´on de un elemento de l´ınea fluida. La velocidad de dilataci´ on lineal unitaria en la direcci´ on n, o dilataci´on que experimenta la unidad de longitud seg´ un n en la unidad de tiempo, es, por tanto, =
n· γ ·n = ni γij nj .
(3.39)
Consecuentemente, los elementos de la diagonal principal del tensor de velocidades de deformaci´on (por ejemplo, γ11 = ∂ v1 /∂ x1 ) representan la velocidad en la direcci´on de x1 (n ≡ e1 ) con que se dilata un elemento de l´ınea fluida de longitud unidad y dirigido seg´ un el eje x1 . Los restantes elementos de la diagonal principal, γ22 y γ33 , poseen una interpretaci´ on an´aloga. = Un elemento del tensor γ situado fuera de la diagonal principal, por ejemplo γ12 = (∂ v1 /∂ x2 + ∂ v2 /∂ x1 )/2, representa la mitad de la velocidad angular con que disminuye el a´ngulo recto que inicialmente forman dos elementos de l´ıneas fluidas cuyas direcciones coinciden con la de los ejes x1 y x2 . En efecto, en la Figura 3.6 se puede comprobar que −
dα d α1 d α2 dx1 e1 · ∇v · e2 d t dx2 e2 · ∇v · e1 d t + = = + = dt dt dt d t d x1 d t d x2 ∂ v2 ∂ v1 + = 2 γ12 . ∂ x1 ∂ x2
(3.40)
Los restantes elementos no diagonales del tensor se pueden interpretar an´alogamente.5 De la misma forma, puede comprobar el lector que la componente de la vorticidad seg´ un el eje 3, ω3 =
dα2 ∂v2 ∂v1 dα1 − − = ∂x1 ∂x2 dt dt
(3.41)
representa el giro neto en el sentido contrario de las agujas del reloj, que por unidad de tiempo efect´ ua la diagonal del paralelogramo definido por los lados P A y P B, Figura 3.6. Por tanto, el =
5
Como es sabido, la simetr´ıa del tensor γ permite asegurar que para cada punto x del dominio fluido existen, en cada instante, tres direcciones ortogonales, denominadas direcciones principales de deformaci´ on, tal que puntos en un entorno de x situados sobre una direcci´ on principal poseen velocidades de deformaci´ on dirigidas en dicha direcci´ on. Las direcciones principales vienen determinadas por el problema de autovalores =
n· γ (x, t) = λ n, n · n = 1, =
etrico) y, de acuerdo con (3.39), representa la velocidad de dilataci´ on lineal donde cada autovalor λ es real ( γ sim´ unitaria de un elemento de l´ınea situado seg´ un la correspondiente direcci´ on principal. Seg´ un la interpretaci´ on de las = estas son nulas si dicho tensor se refiere a un sistema de ejes paralelos a las componentes no diagonales de γ (x, t), ´ direcciones principales.
49
3.3. An´alisis de las velocidades en el entorno de un punto
valor dado por (3.41) es el doble de la componente seg´ un el eje 3 de la velocidad angular de giro como s´olido r´ıgido de la part´ıcula fluida que coincide con dicho paralelogramo. Si dicho valor es cero, no existe rotaci´on de la part´ıcula fluida como s´olido r´ıgido, debido a que el giro alrededor de P de los elementos de l´ıneas materiales situados a un lado de la diagonal es igual y contrario al de los situados en el lado opuesto y el movimiento resultante es de deformaci´on pura. Las otras dos componentes de la vorticidad pueden interpretarse an´ alogamente. x2 dx2e2Ñve1dt
B
B
dx2e2Ñv dt
A
da2 dx2e2
dx1e1Ñv dt
dx1e1Ñve2dt
da1 dx1e1
P
A
x1
Figura 3.6: Interpretaci´ on de los elementos no diagonales del tensor de velocidades de deformaci´on. Finalmente se examinar´a el significado f´ısico de la traza, suma de los elementos de la diagonal = principal del tensor ∇ v, que naturalmente coincide con la traza de γ por ser nula la traza del =
tensor antisim´etrico ξ . Dicha traza es la divergencia del vector velocidad, ∇ · v, que como se ver´a a continuaci´ on representa el cambio que experimenta la unidad de volumen de fluido en la unidad de tiempo 1 D(d Ω) . (3.42) dΩ Dt En efecto, para una part´ıcula fluida alrededor de un punto fijo x en un instante t se tiene, de acuerdo con la expresi´on (3.25) particularizada para el caso φ = 1, D d = v · ndσ = ∇ · v d = [∇ · v](x,t) d Ω(t), (3.43) D t d Ωf (t) dΣf (t) dΩf (t) donde dΩ(t) = dΩf (t) d es el volumen de la regi´on d Ωf (t) ocupada por la part´ıcula fluida en el instante t, y donde se ha tenido en cuenta que v es continua en el interior de d Ωf (t) (para la aplicaci´on del teorema de Gauss), as´ı como que el valor del integrando en el interior de d Ωf (t) se puede aproximar (salvo infinit´esimos del orden superior) por su valor en el punto x.6 El cambio de volumen D(dΩ) que experimenta la part´ıcula fluida en el intervalo de tiempo d t es, pues, D(dΩ) = dΩ(t + dt) − dΩ(t) = [∇ · v](x,t) dΩ(t)d t,
(3.44)
6 De acuerdo con el modelo continuo, toda porci´ on de fluido (infinitesimal o finita) es, a su vez, infinitamente divisible, por lo que el significado de una integral extendida a una regi´ on infinitesimal es el mismo que el de la extendida a una regi´ on finita. Es f´ acil comprobar, mediante el desarrollo del integrando en serie de Taylor, que una integral extendida a una regi´ on infinitesimal puede calcularse, salvo infinit´esimos de orden superior al de volumen, como el producto del integrando evaluado en un punto cualquiera interior a la regi´ on por el volumen de ´esta.
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
50 y, por tanto,
1 D(d Ω) (3.45) = [∇ · v](x,t) = γii (x, t), dΩ Dt con lo que se comprueba que ∇ · v es la velocidad de dilataci´on c´ ubica unitaria, o dilataci´ on que experimenta la unidad de volumen de fluido en la unidad de tiempo. El campo de velocidades de un fluido incompresible (l´ıquido), que no experimenta dilataciones ni compresiones, no puede ser arbitrario, sino que en cada punto del dominio fluido y en cada instante debe satisfacer la condici´ on ∇ · v = 0,
(3.46)
para garantizar la condici´ on de incompresibilidad. Como se ver´ a m´as adelante, (3.46) constituye la ecuaci´on de conservaci´on de la masa para un fluido incompresible. Como resumen del an´alisis efectuado, el campo de velocidades en una regi´on de dimensiones infinitesimales d x que rodea a cada punto fijo x del dominio fluido puede expresarse, en cada instante t, como superposici´on de un movimiento de traslaci´ on pura v(x, t), m´as un movimiento = γ de deformaci´on, d vd = (x, t) · d x, m´as uno de rotaci´on como s´olido r´ıgido con velocidad angular ω/2 (donde ω = ∇ × v) y velocidad lineal d vr = [ω(x, t) × d x]/2. A˜ nadir finalmente que la teor´ıa aqu´ı desarrollada coincide con la de las deformaciones infinitamente peque˜ nas de los medios continuos, que se estudia, por ejemplo, en la teor´ıa de la elasticidad. Sin embargo, conviene hacer dos observaciones: Mientras aqu´ı el problema es cinem´atico, puesto que se estudian velocidades de deformaci´on, all´ı es geom´etrico, puesto que se estudian estados deformados estacionarios. En Mec´anica de Fluidos la teor´ıa es exacta en el sentido de que si las velocidades son finitas y continuas, las deformaciones producidas en un tiempo arbitrariamente peque˜ no son infinitamente peque˜ nas; mientras que en la Teor´ıa de la Elasticidad hay que suponer que las deformaciones son infinitamente peque˜ nas y s´olo entonces sus resultados coinciden con los obtenidos aqu´ı si se sustituye la velocidad v por el desplazamiento infinitesimal u.
3.4.
Funci´ on de corriente
Como se ha visto anteriormente en (3.46), el campo de velocidades correspondiente al movimiento de un l´ıquido es solenoidal (campo vectorial de divergencia nula). Si sucede adem´ as que el movimiento es bidimensional o posee simetr´ıa axial, la divergencia del vector velocidad contiene s´olo dos u ´nicos sumandos cuya suma es nula. Se puede definir, entonces, una funci´ on escalar Ψ, denominada funci´ on de corriente, a partir de la que, por derivaci´ on, se obtienen las componentes de v. En efecto, consid´erese el movimiento plano de un l´ıquido cuyas componentes de la velocidad, u y v seg´ un los ejes x e y, satisfacen ∂u ∂v + = 0. (3.47) ∂x ∂y El teorema de Schwarz, de la igualdad de las derivadas cruzadas, permite definir una funci´ on escalar Ψ de la forma ∂Ψ ∂Ψ u= v=− , (3.48) ∂y ∂x que satisface id´enticamente la ecuaci´on de continuidad. An´ alogamente, para movimientos de l´ıquidos con simetr´ıa axial, la ecuaci´on (3.46), que en coordenadas cil´ındricas (x, φ, r) se escribe, ∂(r vx ) ∂(r vr ) + = 0, ∂x ∂r
(3.49)
51
3.4. Funci´ on de corriente
se satisface id´enticamente si se definen las componentes de la velocidad vx y vr seg´ un las coordenadas x y r en la forma 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ vx = , vr = − ; (3.50) r ∂r r ∂x en el caso axilsim´etrico Ψ se denomina funci´on de corriente de Stokes. Tambi´en, en movimientos axilsim´etricos de l´ıquidos descritos en coordenadas esf´ericas (r, θ, φ) se tiene ∂Ψ ∂Ψ 1 1 vr = 2 , vθ = − , (3.51) r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ r un donde, como es usual, vr y vθ representan respectivamente las componentes de la velocidad seg´ r y θ. Como se ver´a en el Cap´ıtulo 5, en el movimiento estacionario de gases el vector ρv es tambi´en solenoidal [v´ease (5.4)]. Por tanto, y como sucede en el caso de l´ıquidos, si el movimiento estacionario del gas es adem´as bidimensional o axilsim´etrico se puede definir tambi´en la funci´ on de corriente en la forma: ∂Ψ ∂Ψ ρu = , ρv = − . (3.52) ∂y ∂x En el movimiento estacionario axilsim´etrico de gases resulta 1 ∂Ψ , r ∂r
ρ vr = −
∂Ψ 1 , r2 sen θ ∂ θ
ρ vθ = −
ρ vx =
1 ∂Ψ , r ∂x
(3.53)
∂Ψ 1 , r sen θ ∂ r
(3.54)
si se utilizan coordenadas cil´ındricas, y ρ vr =
si se utilizan coordenadas esf´ericas. Obs´ervese que la densidad ρ juega aqu´ı el papel de un factor integrante. Una de las ventajas del uso de la funci´ on de corriente en la formulaci´ on matem´atica de los movimientos fluidos es la reducci´on en el n´ umero de inc´ognitas y, por tanto, en el de ecuaciones que es necesario integrar para la descripci´on del movimiento: una inc´ ognita, el escalar Ψ, en lugar de las dos componentes de la velocidad v, en el movimiento bidimensional, o axilsim´etrico, de l´ıquidos, o de gases, si ´este es estacionario. Otras propiedades interesantes de la funci´ on de corriente son: a) La funci´ on de corriente se mantiene constante a lo largo de las l´ıneas de corriente en los movimientos bidimensionales y sobre las superficies de corriente en los axilsim´etricos. En efecto, para un campo de velocidades bidimensional (u, v) seg´ un los ejes (x, y), la ecuaci´on de las l´ıneas de corriente es de acuerdo con (3.10) v d x − u d y = 0.
(3.55)
Teniendo en cuenta las definiciones (3.48), la ecuaci´on (3.55) se transforma en −
∂Ψ ∂Ψ dx − d y = −d Ψ = 0, ∂x ∂y
(3.56)
que demuestra que la funci´ on de corriente Ψ se mantiene constante a lo largo de las l´ıneas de corriente. Sobre una superficie de corriente axilsim´etrica se tiene tambi´en vr d x − vx d r = −
1 ∂Ψ 1 ∂Ψ 1 dx − d r = d Ψ = 0. r ∂x r ∂r r
(3.57)
Es f´acil comprobar sin m´as que multiplicar (3.55) por ρ y usar (3.52) que en el caso de gases la funci´ on de corriente se mantiene tambi´en constante a lo largo de las l´ıneas de corriente.
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
52
b) El flujo volum´etrico (caudal) de fluido a trav´es de cualquier l´ınea que une dos puntos A y B de dos l´ıneas de corriente en un dominio fluido bidimensional, Figura 3.7, es igual al salto de la funci´ on de corriente ΨA − ΨB . En efecto, si u y v son las componentes seg´ un x e y de la YA
A n
ds
YB
B
Figura 3.7: Caudal entre dos l´ıneas de corriente. velocidad v y d y y −d x son las componentes del vector n d s, el flujo volum´etrico a trav´es de AB se escribe A A A A ∂Ψ ∂Ψ Q= v · nds = udy − vdx = d Ψ = ΨA − ΨB . (3.58) dy + dx = ∂x B B B ∂y B En movimientos axilsim´etricos, el caudal volum´etrico que circula entre dos superficies de corriente A y B es igual a 2 π veces la diferencia entre los valores de la funci´on de corriente en las dos superficies
A
A
2 π r(vx d r − vr d x) = 2 π
Q= B
B
∂Ψ ∂Ψ dr + dx ∂r ∂x
= 2 π(ΨA − ΨB ).
(3.59)
An´ alogamente, en el caso de gases, el gasto, o masa de gas por unidad de tiempo, entre dos l´ıneas de corriente es igual al salto de la funci´on de corriente. En efecto, si se usa (3.55) en la definici´on del flujo convectivo, se tiene G=
A
ρv·nds = B
3.5.
A
A
ρ(u d y−v d x) = B
B
∂Ψ ∂Ψ d y+ dx = ∂y ∂x
A
d Ψ = ΨA −ΨB . (3.60) B
Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad
En la secci´on 3.3 se ha definido el vector vorticidad del fluido ω = ∇ × v y se ha visto que su valor en un punto considerado corresponde al doble del valor de la velocidad angular con que un elemento infinitesimal de fluido gira como s´ olido r´ıgido alrededor de dicho punto. Como se ver´ a en lo que sigue, el problema puede invertirse para calcular el campo de velocidades conocida la distribuci´ on de vorticidad. Adem´ as, como se demostrar´a en cap´ıtulos posteriores, la descripci´on del movimiento fluido en t´erminos de la vorticidad posee la ventaja adicional de que su distribuci´ on se encuentra concentrada en regiones limitadas del dominio fluido. Es el caso, por ejemplo, de la estela detr´as de un obst´aculo que se mueve en el seno de un fluido en reposo en el que la vorticidad es nula fuera de la estela; las estelas de los aviones o las de los ´alabes de una m´aquina rotatoria son casos t´ıpicos. Otros ejemplos son los chorros o capas de mezcla donde, como se ve en la fotograf´ıa
3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad
53
Figura 3.8: Chorro axilsim´etrico descargando a trav´es de un orificio circular. Los v´ ortices anulares se visualizan mediante humo. de la Figura 3.8, la vorticidad generada se concentra en tubos de vorticidad, perpendiculares a la fotograf´ıa, antes de que se produzca su posterior difusi´ on y rotura.7 Conviene plantearse, por tanto, el c´ alculo del campo de velocidades generado por una distribuci´on de vorticidad ω(x, t), de modo que ω = 0 en un volumen Ωo finito y ω = 0 en cualquier punto exterior a Ωo . Nos limitaremos aqu´ı al caso de un fluido incompresible. El campo de velocidades viene dado en este caso por la ecuaci´on de continuidad para un l´ıquido ∇ · v = 0.
(3.61)
La ecuaci´on (3.61) se satisface id´enticamente si se define el potencial vector A tal que v = ∇ × A.
(3.62)
Obs´ervese que A no queda definido un´ıvocamente, puesto que si se le suma el gradiente de cualquier funci´on escalar, las ecuaciones (3.62) y (3.61) se satisfacen id´enticamente. El potencial vector A satisface la ecuaci´on diferencial ∇ × v = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A = ω.
(3.63)
La ecuaci´on que satisface A se simplifica notablemente si entre todas las posibles soluciones de (3.63) que determinan el mismo campo de velocidades por diferir s´olo en el gradiente de una funci´ on arbitraria, se elige una de divergencia nula (ajustando apropiadamente la funci´ on arbitraria). La ecuaci´on que satisface este campo vectorial es, por tanto, la de Poisson ∇2 A = −ω, cuya soluci´on es 1 A(x, t) = 4π
Ωo
ω(xo ) d, | x − xo |
(3.64)
(3.65)
ua A. Para la donde xo son puntos interiores al dominio y x representa el punto donde se eval´ obtenci´on de la soluci´on de la ecuaci´on de Poisson, que es lineal, el lector debe tener en cuenta las conocidas relaciones 1 2 = −4πδ(x − xo ), ∇ (3.66) |x − xo | 7
Werl´ e 1963, en An Album of Fluid Motion, M. van Dyke, Parabolic Press, 1982.
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
54 ω(x, t) =
ω(xo , t) δ(x − xo )d ,
(3.67)
Ωo
siendo δ la funci´ on de Dirac, que vale 1 cuando su argumento es nulo o 0 en caso contrario. Puede comprobarse f´acilmente que el vector soluci´on de la ecuaci´on de Poisson, definido en (3.65), es solenoidal: ∇ · A = 0. En efecto, ω(xo ) 1 1 1 ω(xo ) · ∇xo d = − d = ∇x · 4π Ωo | x − xo | 4π Ωo | x − xo | −
1 4π
Ωo
∇xo ·
ω(xo ) d; | x − xo |
(3.68)
t´engase en cuenta que en (3.68) la derivaci´ on debe efectuarse respecto a la variable indicada en el sub´ındice del operador ∇. Si se hace ahora uso del teorema de Gauss, la u ´ltima integral en la ecuaci´on (3.68) puede escribirse como una integral extendida a la superficie Σo que encierra a Ωo ω(xo ) ω·n 1 1 ∇xo · d = − dσ (3.69) − 4π Ωo | x − xo | 4π Σo | x − xo | Por ser ω un campo solenoidal que es nulo fuera del volumen Ωo , su flujo en cualquier punto de la superficie Σo es nulo, ω · n = 0, y por tanto las integrales en (3.69) son nulas y A es solenoidal como se quer´ıa demostrar. Una vez conocido A, el campo de velocidades se obtiene f´acilmente
1 1 ω(xo ) 1 d = ∇× ω(xo ) × ∇ d = − v =∇×A= 4π Ωo | x − xo | 4π Ωo | x − xo | 1 − 4π
Ωo
(x − xo ) × ω(xo ) d. | x − x o |3
(3.70)
Como aplicaci´on de lo anterior, es conveniente considerar el caso de un tubo de vorticidad, que, como se coment´o anteriormente, aparecen con frecuencia en situaciones de inter´es. En la Figura 3.9 8 se muestran las l´ıneas de vorticidad concentrada, obtenidas inyectando fluido coloreado, que aparecen sobre el extrad´os del ala de forma triangular de la figura (ala en delta) cuando el a´ngulo de ataque del ala es distinto de cero. Los torbellinos se generan debido a que al ser la presi´on en el intrad´ os del ala mayor que en el extrad´os existe un flujo de fluido desde abajo hacia arriba que se enrolla y es arrastrado aguas abajo por la corriente incidente. Consid´erese un tubo de vorticidad de secci´on transversal infinitesimal dΣ donde la vorticidad est´a concentrada. El vector en la direcci´on longitudinal del tubo dl y el vector vorticidad ω son paralelos (recu´erdese que ω es tangente a la superficie del dominio), esto es, ω = ωdl/dl, donde ω y dl representan los m´odulos de los vectores correspondientes. De (3.70), teniendo en cuenta que d = dσdl, resulta ω 1 (x − xo )dl dσ. v=− (3.71) 4π Ωo | x − xo |3 Es conveniente en este punto definir la circulaci´ on Γ como el flujo de la vorticidad a trav´es de dΣ ω · ndσ, (3.72) Γ= dΣ 8
R. Drubka y H. Nagib, en An Album of Fluid Motion, M. van Dyke, Parabolic Press, 1982.
55
3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad
Figura 3.9: Torbellinos sobre el extrad´ os de un ala en delta a un a´ngulo de ataque de 20o . donde n representa aqu´ı la normal a la secci´on transversal del tubo dσ. Obs´ervese que Γ es tambi´en la circulaci´on del vector velocidad alrededor de cualquier l´ınea material L sobre la que se apoye dΣ, ya que, como ense˜ na el teorema de Stokes, Γ= ω · ndσ = v · ds, (3.73) dΣ
L
donde el vector ds es perpendicular a dl. En muchas situaciones de inter´es, el concepto de circulaci´on como integral de la vorticidad exhibe propiedades de conservaci´ on y su uso resulta extraordinariamente u ´til por ser una integral primera del movimiento. En el Cap´ıtulo 10 se profundizar´ a en el estudio de este importante concepto. Utilizando (3.72), la ecuaci´ on (3.71) se expresa como dl × (x − xo ) Γ . (3.74) v= 4π | x − x o |3 que constituye la bien conocida ley de Biot-Savart para campos solenoidales. En el caso particular de que el tubo de torbellinos sea recto (hilo de torbellinos), la velocidad debida a un segmento del tubo en un punto P situado a una distancia d del tubo es perpendicular al plano definido por el tubo y el punto P y su magnitud viene dada por (3.74) y es l2 Γsenβ v= dl, (3.75) 4πr2 l1 r es la distancia entre un punto gen´erico l del segmento y el punto P considerado, y β es el ´angulo que forman r y el hilo de torbellinos, Figura 3.10. Definiendo ahora d = r cos(β − π/2),
y
dl = [tan(β + dβ) − tan β] d =
d dβ, cos2 β
y sustituyendo estas definiciones en (3.75) se llega a β2 Γ Γ senβdβ = (cos β1 − cos β2 ). v= 4πd β1 4πd
(3.76)
(3.77)
Para el caso de un hilo de torbellinos semiinfinito, β1 = π/2 y β2 = π, se tiene v=
Γ , 4πd
(3.78)
Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los fluidos
56
dl
G
d
r
db
b P
Figura 3.10: Campo de velocidades inducido por un hilo recto de torbellinos. mientras que para un hilo infinito, β1 = 0, β2 = π, y v=
Γ . 2πd
(3.79)
Este valor coincide naturalmente con el de un torbellino bidimensional. En efecto, un torbellino bidimensional centrado en un punto cualquiera que se toma como origen induce un campo de velocidades cuyas l´ıneas de corriente son circunferencias con centro en el origen. La velocidad radial es nula y la tangencial vθ = C/r decae en forma inversamente proporcional a la distancia al origen. Compruebe el lector que la constante C est´a relacionada con la circulaci´on Γ o intensidad del torbellino en la forma C = Γ/(2π) (3.80) y, por tanto, la expresi´ on (3.79) corresponde efectivamente al campo de velocidades inducido por un torbellino bidimensional.
Referencias y lecturas recomendadas G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. F. M. White, Mec´ anica de fluidos, McGraw-Hill, 2004.
Cap´ıtulo 4
Fuerzas macrosc´ opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica 4.1.
Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie
Antes de comenzar del estudio de la din´amica de los fluidos es necesario conocer las acciones mec´anicas que se ejercen sobre el volumen fluido cuyo movimiento se desea analizar. Estas acciones pueden clasificarse en dos clases diferentes denominadas fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. Las fuerzas de volumen, denominadas tambi´en de largo alcance, act´ uan sobre cada elemento infinitesimal del volumen fluido y son debidas, en general, a campos de fuerzas externos al fluido, como, por ejemplo, el campo gravitatorio terrestre. Se designar´a por fv (x, t) la fuerza volum´etrica que en el instante t se ejerce sobre la unidad de volumen que contiene al punto fijo gen´erico x. La fuerza resultante sobre un volumen Ω es Fv = fv d . (4.1) Ω
La fuerza por unidad de volumen correspondiente al campo gravitatorio es fv = ρ g,
(4.2)
donde g es la aceleraci´on de la gravedad, que se puede suponer independiente de la posici´ on si las dimensiones del volumen de fluido considerado son peque˜ nas comparadas con el radio de la Tierra. As´ı, la fuerza gravitatoria total sobre un cierto volumen Ω de fluido ser´ a: Fv = ρgd g ρ d . (4.3) Ω
Ω
La fuerza gravitatoria es en realidad una fuerza m´ asica, siendo g la correspondiente fuerza por unidad de masa, que en general designaremos por fm . El producto de fm por la densidad del fluido proporciona la fuerza por unidad de volumen correspondiente. Cuando el movimiento del fluido se describe respecto a un sistema de referencia no inercial, como sucede en muchos problemas pr´acticos, es necesario incluir las fuerzas m´asicas asociadas al movimiento no inercial del sistema de referencia: dΩ fm = −a0 − × x − Ω × (Ω × x) − 2 Ω × v, (4.4) dt donde a0 y Ω son respectivamente la aceleraci´on y la velocidad angular del sistema de referencia empleado. 57
58
Cap´ıtulo 4. Fuerzas macrosc´opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica
Otras fuerzas volum´etricas son las electromagn´eticas que aparecen cuando el fluido est´a cargado o cuando por ´el circula alguna corriente el´ectrica; en este caso, la correspondiente fuerza por unidad de volumen es: fv = ρe E + J × B, (4.5) donde ρe es la densidad de carga, E es el campo el´ectrico, J la densidad de corriente y B el campo magn´etico. Esta fuerza (denominada de Lorentz) no se considerar´a aqu´ı, ya que el estudio de los movimientos fluidos en los que esta fuerza es importante corresponde a ramas especializadas de la Mec´anica de Fluidos: f´ısica de plasmas (gases ionizados), electro-hidrodin´amica y magnetohidrodin´ amica.1 Las fuerzas de volumen (m´asicas y electromagn´eticas) que son el tipo de fuerzas puntuales que considera la din´ amica cl´asica de part´ıculas, aparecen en la Mec´anica de Medios Continuos actuando sobre cada porci´ on infinitesimal de fluido de acuerdo con la hip´ otesis de medio continuo. Otro tipo de fuerzas macrosc´opicas, distintas de las volum´etricas, que act´ uan tambi´en sobre los fluidos tienen su origen en la agitaci´ on molecular y en la interacci´ on entre mol´eculas. Son, por tanto, fuerzas de muy corto alcance, apreciables s´olo en distancias del orden de la de interacci´ on molecular. Las mol´eculas que interact´ uan a trav´es de un ´area peque˜ na δ σ que separa porciones de fluido adyacentes est´an situadas en un volumen de secci´on δ σ y espesor del orden del camino libre medio molecular λ (gases) o la distancia t´ıpica intermolecular d0 (l´ıquidos) [λ (δ σ)1/2 , d0 (δ σ)1/2 ]. La resultante de estas acciones micr´ospicas es, por tanto, proporcional al a´rea del elemento y se manifiesta macrosc´opicamente como una fuerza, denominada de superficie, que cada porci´ on de fluido ejerce sobre una porci´ on adyacente a trav´es de la superficie que las separa. As´ı , en el modelo continuo, dado un elemento de superficie d σ de orientaci´ on n que pasa por un punto x en el interior de un fluido, se considera que el fluido del lado de n ejerce sobre la superficie una fuerza fs (x, t, n)dσ proporcional al a´rea del elemento y depende, adem´as, de la orientaci´ on del mismo, de la posici´on del punto y del tiempo; la fuerza por unidad de a´rea, fs (x, t, n) se denomina esfuerzo y, naturalmente, debe satisfacer el principio de acci´ on y reacci´on, que exige que fs (x, t, n) = −fs (x, t, −n). Para describir este estado de esfuerzos se necesitar´ıa, en principio, conocer en cada punto una doble infinitud de fuerzas (componentes normal y tangencial) correspondientes a todos los posibles valores de la orientaci´on n. Sin embargo, como se ver´a a continuaci´ on, los teoremas de cantidad de movimiento y momento cin´etico permiten reducir el n´ umero de inc´ognitas a las seis componentes distintas de un tensor denominado tensor de esfuerzos.
4.2.
Tensor de esfuerzos
Se definen las componentes del tensor de esfuerzos τij como las componentes en las direcciones j de los ejes coordenados de las fuerzas que act´ uan sobre la unidad de superficie orientada seg´ un las direcciones i, Figura 4.1. De acuerdo con esta definici´ on, se tiene τij (x, t) = fsj (x, t, ei ).
(4.6)
Para demostrar que basta conocer las componentes del tensor de esfuerzos para caracterizar las fuerzas de superficie que act´ uan sobre un elemento de ´area de fluido, se aplicar´ a la segunda Ley de Newton al volumen fluido infinitesimal d Ωf (t) que en el instante t coincide con el tetraedro de volumen d Ω mostrado en la Figura 4.2. La superficie fluida que limita a d Ωf (t) consta de la superficie d Σfn (t), que en t coincide con la cara del tetraedro de normal n y ´area d Σ, y en las superficies d Σfi (t) (i = 1, 2, 3), que en t coinciden con las caras de normales −ei , apuntando hacia 1 Adem´ as de la fuerza de Lorentz (4.5), en medios diel´ectricos no uniformes aparecen otras como la fuerza diel´ ectrica y la fuerza de electro-estricci´ on. El lector interesado en la electro-fluidomec´ anica puede consultar, por ejemplo, el texto cl´ asico de Landau y Lifshitz (1984).
59
4.2. Tensor de esfuerzos
t13
e3
t23
t33
t12 e2
t22 t32
t11
t31
t21
e1
x
x
x
Figura 4.1: Componentes del tensor de esfuerzos en un punto. el exterior del tetraedro, y ´areas d Σi = ni d Σ, siendo ni los cosenos directores de n. De la segunda ley de Newton se tiene entonces D ρ (x , t) v(x , t) d = fs (x , t, n) d σ + D t dΩf (t) dΣfn (t) 3 fs (x , t, −ei ) d σ + ρ (x , t) fm (x , t) d , (4.7) i=1
dΣfi (t)
dΩf (t)
donde la variable de integraci´ on x representa un punto gen´erico del volumen o de la superficie del 3 n -e 2
dS2
-e 1
dS dS1 dS 3
1
2 x
-e3
Figura 4.2: Volumen fluido infinitesimal que en el instante t coincide con un tetraedro de v´ertice en el punto fijo x. tetraedro. La ecuaci´on (4.7) expresa que la variaci´ on con el tiempo de la cantidad de movimiento contenida en el volumen fluido es igual a la resultante de las fuerzas m´ asicas y de superficie que se ejercen sobre ´el. Debido a que la distancia |x − x| es peque˜ na por ser infinitesimal el volumen considerado, se tiene fs (x , t, n) = fs (x, t, n) + (x − x) · [∇ fs ](x,t,n) + O(|x − x|2 ),
(4.8)
Cap´ıtulo 4. Fuerzas macrosc´opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica
60
y expresiones an´alogas para las fs (x, t, −ei ). Despreciando en (4.7) infinit´esimos de orden del volumen, d Ω ∼ |x − x| d Σ, se llega a fs (x, t, n) d Σ = −
3
fs (x, t, −ei ) d Σi =
i=1
3
fs (x, t, ei ) ni d Σ,
(4.9)
i=1
donde se ha hecho uso del principio de acci´ on y reacci´on, fs (x, t, −ei ) = −fs (x, t, ei ); teniendo en cuenta (4.6), (4.9) se expresa en notaci´on indicial fsj (x, t, n) = ni τij (x, t),
(4.10)
y en notaci´on vectorial =
fs = n · τ .
(4.11)
Adem´as, es f´acil demostrar que el tensor de esfuerzos es sim´etrico. En efecto, consid´erese un volumen fluido infinitesimal (part´ıcula fluida) que en el instante considerado rodea al punto fijo x y posee un volumen d Ω. Se comprueba f´acilmente que, salvo infinit´esimos de orden |x − x|d Ω 0, α Rg
α<
g 34,9 K/km. Rg
(4.64)
La condici´on (4.64) no es suficiente para que la atm´osfera sea estable, ya que si fuese as´ı , la atm´osfera siempre lo ser´ıa, lo que, evidentemente, no es cierto. El estudio de la estabilidad de la atm´osfera requiere considerar la estabilidad din´ amica, o estabilidad frente a peque˜ nas perturbaciones de la distribuci´on de equilibrio anterior, perturbaciones que siempre est´ an presentes en la atm´osfera.7 De todas formas, el criterio anterior proporciona una idea del grado de estabilidad de la atm´osfera: cuanto m´as peque˜ na sea la constante α, m´as estable ser´a ´esta. Por ejemplo, en condiciones de inversi´ on t´ermica (α < 0), lo cual ocurre a veces en las proximidades del suelo en ciertos n´ ucleos urbanos donde los niveles de contaminaci´ on son muy altos, la atm´osfera se hace m´as estable con lo que los gases contaminantes permanecen estratificados sobre la ciudad. Otro ejemplo significativo de estabilidad lo constituye la estratosfera, donde α es marcadamente negativo (Figura 4.13), siendo, por tanto, extraordinariamente estable, y de ah´ı su nombre: el aire de la estratosfera est´a estratificado, sin apenas mezcla de unas capas con otras (´esta se produce casi exclusivamente por difusi´ on, no por convecci´ on). Por ello es tan peligroso que los agentes contaminantes lleguen a la estratosfera. 7 Obs´ ervese que el equilibrio mec´ anico bajo la acci´ on de la gravedad (U = g z) implica p = p(z), ρ = ρ(z) y, consecuentemente, T = T (z); por tanto, una de tales perturbaciones es, por ejemplo, la variaci´ on espacial de temperatura debido a la no uniformidad de la irradiaci´ on solar.
71
4.5. Tensi´on superficial
4.5.
Tensi´ on superficial
Hasta ahora se han considerado las fuerzas superficiales que se ejercen a trav´es de cualquier superficie localizada en el interior del dominio fluido, o l´ımite s´olido-fluido. Seguidamente se considerar´a el efecto macrosc´opico de las fuerzas intermoleculares (de corto alcance) a trav´es de la interfase de separaci´on de dos fluidos no miscibles. En este caso, las mol´eculas situadas a distancias de la interfase menores que la distancia intermolecular se encuentran rodeadas por mol´eculas pertenecientes a ambos fluidos, lo que da lugar a que su energ´ıa potencial sea distinta de la de aquellas que se encuentran a distancias de la superficie grandes comparadas con la de interacci´ on molecular, ya que ´estas se encuentran rodeadas por mol´eculas de una sola clase, Figura 4.7.
Fluido 1
Fluido 2
Figura 4.7: Interacciones entre mol´eculas situadas en el seno y en la interfase de separaci´on de dos fluidos no miscibles. Por tanto, para variar el a´rea de la interfase (lo que implica un aporte de mol´eculas desde el interior de los fluidos en contacto con la interfase o viceversa) es necesario realizar un trabajo sobre la misma. En una descripci´on continua, el trabajo asociado a una variaci´ on infinitesimal, d Σ, del ´area Σ de la interfase es ζ d Σ, donde ζ es una propiedad de los fluidos en contacto denominada tensi´on superficial. Se ver´ a a continuaci´ on que si se considera un elemento de l´ınea cualquiera sobre la interfase, ζ representa la fuerza macrosc´opica resultante, por unidad de longitud de dicho elemento, dirigida normalmente al mismo y contenida en el plano tangente a la interfase en el punto considerado. Esta fuerza macrosc´opica tiene su origen en las fuerzas de cohesi´on tangenciales a la interfase que las mol´eculas situadas a un lado de dicho elemento ejercen sobre las situadas al otro lado del mismo. En efecto, obs´ervese en la Figura 4.8 que si se trata de estirar la superficie Σ dando en cada punto de la l´ınea cerrada, L, que la limita un incremento normal de longitud d x, el trabajo necesario es, ζ
d x d l = ζ d Σ;
(4.65)
L
de la expresi´on (4.65) se deduce que la superficie se encuentra en un estado de tensi´on uniforme (como una membrana) debido a las fuerzas de tensi´on superficial (fuerzas de cohesi´on entre mol´eculas de la interfase). Cuando s´olo uno de los dos medios materiales que forman la interfase est´a en forma condensada, la tensi´on superficial es siempre positiva. En efecto, debido a que las mol´eculas del gas est´an comparativamente muy alejadas, las del l´ıquido cercanas a la interfase experimentan fuerzas de cohesi´on no equilibradas, normales a la interfase, y tienden a moverse hacia el interior del l´ıquido; por tanto, el l´ıquido presenta al gas la superficie m´ınima compatible con su volumen y, consecuentemente, es necesario realizar un trabajo sobre el sistema para variar su superficie m´ınima (ζ positivo). Este hecho puede tambi´en interpretarse como que las mol´eculas de la interfase poseen un
Cap´ıtulo 4. Fuerzas macrosc´opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica
72
z dl dx
Figura 4.8: Tensi´on superficial en la interfase de dos fluidos no miscibles. exceso de energ´ıa potencial respecto a las del interior del l´ıquido, y el sistema tiende a adoptar una configuraci´ on de m´ınima energ´ıa potencial minimizando el n´ umero de mol´eculas en la interfase; as´ı se explica la forma esf´erica (m´ınima relaci´on ´area/volumen) de gotas peque˜ nas de l´ıquido en aire y de peque˜ nas burbujas de gas en agua. Cuando la interfase es l´ıquido-l´ıquido o l´ıquido-s´ olido, el argumento anterior no es v´alido para predecir el signo de ζ y la realidad muestra que ambos signos son posibles; s´olo en el caso en que ζ > 0 los dos l´ıquidos son no miscibles. Por el contrario, parejas de l´ıquidos miscibles, como, por ejemplo, alcohol y agua, no presentan superficie de separaci´ on y el concepto de tensi´on superficial deja de tener significado. Desde el punto de vista molecular, lo que ocurre en este caso es que las fuerzas de atracci´on entre mol´eculas pertenecientes a l´ıquidos distintos son m´as intensas que las que existen entre mol´eculas pertenecientes a un mismo l´ıquido, lo que origina una inestabilidad de la interfase, y se produce la mezcla de los fluidos. En la Tabla I se dan valores medidos de la tensi´on superficial para varias parejas de l´ıquidos: TABLA I 8 Tensi´on superficial a 293 K (N m−1 )
Aire Agua
Agua
Mercurio
72, 8 × 10−3
0,487 0,375
Alcohol et´ılico 22 × 10−3 < 0 (miscibles)
Benceno
Glicerina
29 × 10−3 35 × 10−3
63 × 10−3 < 0 (miscibles)
Aceite de oliva 20 × 10−3
En la pr´actica se suele presentar la situaci´on de tres medios distintos en contacto. Por ejemplo, el agua en un recipiente est´a en contacto simult´aneamente con el aire y con la pared del recipiente; lo mismo suceder´a para una gota de fluido sobre una mesa. Las mol´eculas en el entorno de las l´ıneas de contacto entre los tres medios estar´an sometidas a solicitaciones por parte de las mol´eculas pertenecientes a las interfases de los medios en contacto, estando dichas acciones caracterizadas macrosc´opicamente por sus respectivas tensiones superficiales. Puesto que las l´ıneas de contacto no tienen masa, el vector resultante de estas acciones debe tener componente nula en cualquier direcci´on en que las l´ıneas de contacto puedan moverse. As´ı, la condici´on de equilibrio para la situaci´on representada en la Figura 4.9 exige que ζ12 = ζ31 + ζ23 cos θ.
(4.66)
Esta ecuaci´on determina el ´angulo de contacto θ de la superficie de separaci´on con el s´olido. Se suele decir que el l´ıquido moja al s´ olido cuando θ < π/2 (esta situaci´on es corriente para el agua en 8
G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge University Press, p. 597, 1990.
73
4.5. Tensi´on superficial z
2 3
2 , g a s
3 , líq u id o z
3 1
q z
1 2
1 , s ó lid o
Figura 4.9: L´ıneas y ´angulos de contacto. contacto con casi todos los s´olidos; por el contrario, para el mercurio en contacto con muchos s´ olidos el ´angulo de contacto es pr´oximo a 150o ). Cuando sucede que |ζ12 | > |ζ31 | + |ζ23 | el equilibrio no es posible. Esta situaci´on se presenta, por ejemplo, cuando se deposita una gota de aceite mineral en la superficie del agua; en ese caso, la gota se esparcir´a indefinidamente debido a que la tensi´ on superficial aire-agua es mayor que la suma de las de aceite-aire y aceite-agua. Hasta ahora, se ha considerado el caso en que la tensi´on superficial es uniforme sobre la interfase de separaci´on de dos fluidos no miscibles. Sin embargo, como se muestra en la Tabla II, para una pareja de fluidos determinada, la tensi´ on superficial depende de la temperatura y disminuye con ´esta, ya que al aumentar la temperatura disminuyen las fuerzas de cohesi´on molecular. Adem´as si la composici´on de alguno de los fluidos no es uniforme, la tensi´ on superficial depende tambi´en de la concentraci´on de las distintas especies presentes en la interfase. As´ı , si existen gradientes de temperatura o de concentraci´on en la interfase, ζ variar´ a con la posici´on sobre la misma, y las consideraciones expuestas hasta ahora deben aplicarse localmente. Adem´as, como se ver´a posteriormente, la existencia de gradientes superficiales de tensi´on superficial implica necesariamente un movimiento de la interfase, que se transmite a los fluidos adyacentes mediante esfuerzos de viscosidad, y el equilibrio es imposible (naturalmente, dicho movimiento tiene su origen microsc´ opico en que las mol´eculas de la interfase tienden a desplazarse hacia regiones donde las fuerzas de cohesi´on molecular son m´as intensas, es decir, hacia zonas de mayor ζ).
Temperatura o K ζ(N m−1 )
4.5.1.
TABLA II 9 Tensi´on superficial agua-aire para varias temperaturas 283 293 303 323 74, 2 × 10−3
72, 8 × 10−3
71, 2 × 10−3
67, 9 × 10−3
353 62, 6 × 10−3
Condiciones de equilibrio a trav´ es de la interfase de dos fluidos no miscibles
Como se ha visto en el apartado anterior, en la superficie de separaci´on de dos fluidos no miscibles aparecen macrosc´opicamente unas fuerzas de tensi´on superficial entre dos partes cualesquiera de la superficie a trav´es de la l´ınea que las separa, Figura 4.10. La fuerza de tracci´ on sobre un elemento de l´ınea es normal a la misma y proporcional a su longitud. Sobre cualquier elemento de superficie de la interfase, las fuerzas de tensi´on superficial han de estar equilibradas por las fuerzas que los fluidos a ambos lados de la misma ejercen sobre la superficie. Proyectando las fuerzas que act´ uan sobre la superficie en la direcci´on normal se tiene: 9
La misma referencia que la del pie de p´ agina anterior.
Cap´ıtulo 4. Fuerzas macrosc´opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica
74
O1 R1 dq1 O2 dq2 zdl2
¶z (z+ ¶ dl2)dl1 l2
R2 ¶z (z+ ¶ l dl1)dl2
dl2
1
dl1 zdl1
n
Figura 4.10: Equilibrio de fuerzas en una interfase.
=
=
[n· τA ·n − n· τB ·n]dl1 dl2 = 2ζdl1 sen dθ2 /2 + 2ζdl2 sen θ1 /2 ζdl1 dθ2 + ζdl2 dθ1 ,
(4.67)
donde n es la normal al elemento de superficie dirigida hacia el fluido A, y l1 y l2 son coordenadas curvil´ıneas ortogonales ligadas a la superficie. Teniendo en cuenta que dl1 = R1 dθ1 y dl2 = R2 dθ2 , (4.67) se escribe
1 1 = = = n · (τA − τB ) · n, + (4.68) ζ R1 R2 R1 y R2 son los radios de curvatura de la superficie en las dos direcciones seleccionadas. En geometr´ıa diferencial se obtiene la relaci´on entre la curvatura media local y la divergencia del vector normal en ese punto 1 1 + = ∇s · n, (4.69) R1 R2 donde ∇s · n = e1 · (∂ n/∂ l1 ) + e2 · (∂ n/∂ l2 ), si e1 y e2 son los versores del sistema de coordenadas ortogonales ligado a la superficie. Conviene indicar que, salvo en el caso de geometr´ıas muy simples, la curvatura media, ∇s n, se calcula m´as f´acilmente determinando el campo de normales a la familia de superficies a la que pertenece la interfase, y particularizando su divergencia ∇ · n; en efecto, puesto que n es un vector unitario, se tiene n · (∂ n/∂ n) = 0 y ∇s · n = ∇ · n .10 Por tanto, la 10 En general para una superficie definida por F (x, y, z) = z (x, y) − z = 0, el vector normal, definido por s n = ∇F/ | ∇F |, tiene de coordenadas
∂zs /∂x ∂zs /∂y −1 , , . [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2 [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2 [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2 La curvatura media es entonces 1 1 ∂zs /∂x ∂ + =∇·n= R1 R2 ∂x [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2
+
∂ ∂y
∂zs /∂y . [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2
75
4.5. Tensi´on superficial ecuaci´on (4.68) se escribe tambi´en en la forma =
=
ζ ∇ · n = n · (τA − τB ) · n.
(4.70)
En la direcci´on tangencial el equilibrio de fuerzas exige: = = = = τA ·n − (n· τA ·n)n − [τB ·n − (n· τB ·n)n] dl1 dl2
=
∂ζ ∂ζ dl1 dl2 e1 + dl1 dl2 e2 = ∇s ζdl1 dl2 , ∂l1 ∂l2
(4.71)
donde ∇s ζ es el gradiente de la tensi´on superficial sobre la superficie de separaci´on de ambos fluidos. Un resultado importante de (4.71) es que en reposo ζ debe ser constante en la interfase de separaci´on, ya que en ese caso la fuerza sobre la interfase posee s´olo componente normal y, por tanto, ∇s ζ = 0. Si ζ variase a lo largo de la interfase, por hacerlo, por ejemplo, la temperatura, el equilibrio ser´ıa imposible. En caso contrario, ζ constante, el equilibrio es posible, τ = −pδij , y la condici´on de equilibrio normal (4.68) o (4.70) se reduce entonces a: pB − pA = ζ
1 1 + R1 R2
= ζ ∇ · n,
(4.72)
que se denomina ecuaci´on de Laplace-Young. Para la aplicaci´ on de (4.72) conviene tener presente que, en todo punto de la interfase, n apunta hacia el fluido A, y que el radio de curvatura Ri , (i = 1, 2) debe tomarse positivo si el centro de curvatura correspondiente est´a del lado del fluido B y negativo en caso contrario. La ecuaci´on (4.72) puede ser obtenida mediante un planteamiento energ´etico alternativo al de equilibrio de fuerzas antes descrito. En efecto, el cambio de energ´ıa superficial en una superficie dσ cuando ´esta experimenta un cambio debido a un desplazamiento dξ en la direcci´on normal a la superficie es ζ d(dσ), donde d(dσ) = ∇ · ndξ dσ. Por otra parte, el trabajo necesario para deformar una superficie dσ aplicando una fuerza por unidad de superficie ∆p n normal a ella es ∆p n dσ · n dξ, donde dξ n es el desplazamiento de la superficie en la direcci´on normal. Igualando ambas energ´ıas se obtiene la ecuaci´on de Laplace-Young. Finalmente, es de inter´es destacar el auge y relevancia que los fen´omenos de tensi´on superficial han experimentado recientemente como consecuencia de sus aplicaciones tecnol´ogicas directas, por ejemplo en los campos de la atomizaci´on fina de l´ıquidos (producci´ on de aerosoles con gotas de tama˜ no microm´etrico y nanom´etrico), producci´on de part´ıculas complejas de tama˜ no nanosc´opico (nanotubos, nanofibras coaxiales, nanoc´ apsulas, etc.), tecnolog´ıa de coloides, emulsiones y surfactantes entre otros. En la Figura 4.11 se muestra una fotograf´ıa del fen´omeno conocido como electrospray o atomizaci´on electro-hidrodin´ amica de l´ıquidos.11 Obs´ervese la forma c´onica del menisco l´ıquido, metanol en este caso, resultante del balance entre las fuerzas de tensi´on superficial y las electro-hidrodin´ amicas. El menisco estaba anclado a una aguja met´alica capilar de medio mil´ımetro de di´ametro conectada a un potencial continuo de unos pocos kilovoltios. El microchorro, eyectado desde el v´ertice del menisco, se hace inestable aguas abajo y rompe en gotas que forman un spray monodisperso (gotas del mismo tama˜ no aproximadamente) debido a los efectos de la tensi´on superficial. La inestabilidad capilar en un chorro de l´ıquido ser´a objeto de an´alisis en un cap´ıtulo posterior. 11
Cortes´ıa del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos, de la Universidad de Sevilla.
76
Cap´ıtulo 4. Fuerzas macrosc´opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica
Figura 4.11: Menisco c´onico electrificado o electrospray.
4.5.2.
Determinaci´ on de la interfase de separaci´ on entre dos fluidos no miscibles en reposo
Como se vio en 4.5.1, la ecuaci´on de Laplace-Young relaciona el salto de presiones a trav´es de la interfase de dos fluidos no miscibles en reposo con la curvatura media de la misma. Cuando no existen campos de fuerzas externos, o el efecto de ´estos es despreciable, las presiones en ambos fluidos, pB y pA , son constantes y (4.72) proporciona 1 1 + = constante, R1 R2
(4.73)
que corresponde a superficies de curvatura constante. Si adem´as la interfase es libre (en el sentido de que no est´a soportada a lo largo de ninguna l´ınea de contacto), la ecuaci´on anterior indica que la interfase es una superficie esf´erica, como es el caso de peque˜ nas burbujas y gotas. La superficie de un hiperboloide de revoluci´ on es tambi´en de curvatura constante y es la forma que adopta la interfase de un volumen peque˜ no, V , de l´ıquido (puente l´ıquido) confinado entre dos placas paralelas separadas una distancia H menor que (πV )1/3 .12 En el caso m´as general en que los campos de fuerzas sean importantes, las distribuciones de presi´ on a cada lado de la superficie est´an dadas por la fluidoest´ atica, ecuaci´on (4.42). Por ejemplo, si, como ocurre en muchas situaciones, las u ´ nicas fuerzas m´asicas son las gravitatorias,13 y las densidades de ambos fluidos en contacto se pueden considerar constantes, se tiene psi + ρi g zs = poi + ρi gzo
(4.74)
donde psi representa las presiones en cada una de las caras de la interfase zs , i = A, B representan las fases separadas por la interfase y poi son las presiones que hay a un lado y otro de la interfase en un punto de la misma que se toma como referencia y cuya cota es zo . Restando las dos ecuaciones (4.74) y sustituyendo (4.72) en el resultado obtenido se llega finalmente a la ecuaci´ on diferencial 12 En el caso de que la distancia entre placas se aumentara por encima del valor (πV )1/3 , el puente l´ ıquido ser´ıa inestable y resultar´ıa en dos meniscos con forma esf´erica anclados en cada una de las placas. 13 La generalizaci´ on a otros campos de fuerzas m´ asicas, como los asociados al sistema no inercial del sistema de referencia, es inmediata.
77
4.5. Tensi´on superficial que debe satisfacer la interfase 1 1 + (ρB − ρA ) g (zs − zo ) = poB − poA = constante. + ζ R1 R2
(4.75)
Dicha ecuaci´on muestra que la forma de la interfase resulta de una competici´ on entre los efectos de la tensi´on superficial que, para unas condiciones de contorno dadas (volumen, a´ngulos de contacto, etc´etera), tienden a curvar la superficie minimizando su a´rea, y los efectos gravitatorios, que tienden a formar una interfase plana con todos sus puntos situados en la cota m´ınima (m´ınima energ´ıa potencial) compatible con las condiciones de contorno. En efecto, sea L una longitud caracter´ıstica de la interfase y, para fijar ideas, sup´ ongase que ´esta posee una curvatura apreciable en el sentido de que R1−1 + R2−1 ∼ L−1 y (z − zo ) ∼ L. Debido a las fuerzas gravitatorias, el orden de magnitud del salto de presiones impuesto por las variaciones de altura de la interfase es (ρB − ρA )g(z − zo ) ∼ |ρB − ρA | g L, mientras que las sobrepresiones producidas por la tensi´on superficial son de orden ζ 1 1 ∼ . + ζ R1 R2 L
(4.76)
(4.77)
El n´ umero de Bond, Bo =
|ρB − ρA | g L2 , ζ
(4.78)
mide, por tanto, la importancia relativa entre las fuerzas gravitatorias y las de tensi´ on superficial. Si dicho n´ umero es muy peque˜ no, Bo 1 (condici´on que se da en particular cuando la longitud L es muy peque˜ na: meniscos, gotas, tubos capilares, etc., o en condiciones de ingravidez), las fuerzas de tensi´on superficial son dominantes y la interfase adquiere, de acuerdo con (4.75) y (4.73), una curvatura media constante. Por el contrario, si Bo 1, la interfase, de longitud caracter´ıstica L, no pueded poseer una curvatura apreciable en su mayor parte, puesto que, de otra forma, las variaciones de altura asociadas generar´ıan diferencias de presiones entre ambos fluidos del orden de | ρB − ρA | g L que, de acuerdo con la condici´on Bo 1, no podr´ıan ser soportadas por la tensi´on superficial. En este caso, por tanto, las fuerzas gravitatorias son dominantes frente a las de tensi´on superficial y la interfase es aproximadamente plana, zs zo , excepto, como se ver´a posteriormente, muy cerca de la frontera que limita la interfase donde deben cumplirse las condiciones de contorno apropiadas, lo que exige que las fuerzas de tensi´ on superficial sean comparables a las gravitatorias. Se denomina longitud capilar a la longitud para la que las fuerzas de tensi´on superficial y gravitatorias se hacen del mismo orden de magnitud; es decir, la longitud para la que el n´ umero de Bond es de orden unidad: ζ . (4.79) Lc = |ρB − ρA | g En el caso habitual de que uno de los fluidos (e.g. el 1) sea un gas y el otro un l´ıquido se tiene que ρB ρA = ρ, y la longitud capilar viene dada por Lc = [ζ/(ρ g)]1/2 . Para agua-aire a 20 o C Lc = 0,272 cm sobre la superficie de la Tierra. Obs´ervese que cuanto menor es la gravedad mayor es la longitud capilar. Ese es el caso de l´ıquidos embarcados a bordo de sat´elites orbitando alrededor de la Tierra, para los que la gravedad se reduce en dos o tres o´rdenes de magnitud; en estas condiciones de gravedad reducida, el volumen de l´ıquido que puede confinarse por tensi´ on superficial es mucho mayor que en la Tierra.
78
Cap´ıtulo 4. Fuerzas macrosc´opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica
Tensi´ on superficial dominante Consid´erese un tubo muy delgado (capilar) sumergido parcialmente en un l´ıquido Figura 4.12. Si el l´ıquido moja la superficie del conducto (θ < π/2), las fuerzas de tensi´on superficial originan
q 2a
H
Figura 4.12: Equilibrio en un capilar. una presi´on en el l´ıquido, justo debajo de la interfase, menor que la atmosf´erica, por lo que el l´ıquido asciende por el tubo hasta una altura H para la cual se restablece el equilibrio de fuerzas (naturalmente, si θ > π/2 se crea una sobrepresi´on debajo de la interfase que hace que el l´ıquido descienda). Se dice que el conducto es capilar si se verifica que el n´ umero de Bond es muy peque˜ no, Bo =
ρ g a2 1, ζ
(4.80)
donde a es el radio interior del conducto. En este caso, al ser las fuerzas gravitatorias despreciables, la forma de la superficie vendr´ a determinada por la ecuaci´on 1 1 = pa − pl , + (4.81) ζ R1 R2 donde pa es la presi´on del aire y pl la presi´on en el l´ıquido justo debajo de la interfase. Obs´ervese que la ecuaci´on anterior indica que la interfase es una superficie de curvatura constante, y, por tanto, ser´a R1 = R2 = R, es decir, un casquete esf´erico de radio R. Se tiene entonces 2ζ = pa − pl , R
(4.82)
2 ζ cos θ = p a − pl . a
(4.83)
que junto con cos θ = a/R proporciona
La altura H a la que asciende el l´ıquido por el capilar se calcula f´ acilmente de (4.83) y de la distribuci´ on de presiones en el l´ıquido p + ρ g z = constante. En efecto, si se toma el origen de alturas en la superficie libre del l´ıquido sin perturbar se tiene p + ρ g z = pa
y
pl = pa − ρ g H
(4.84)
y de (4.83) y (4.84) se tiene H=
2 ζ cos θ . ρga
(4.85)
79
4.5. Tensi´on superficial Gravedad dominante
Consid´erese el problema de determinar la superficie de separaci´on aire-agua de un volumen V de l´ıquido contenido en un dep´ osito cil´ındrico, abierto a la atm´ osfera, de radio R grande comparado con la longitud capilar (ζ/ρ g)1/2 , Figura 4.13. La ecuaci´on diferencial que satisface la superficie L
q 0 (Öz/gr)
H
z r
Figura 4.13: Dep´osito bidimensional de dimensiones grandes comparadas con la longitud capilar. libre es ζ ∇ · n − ρ g zs = C,
(4.86)
o en coordenadas cil´ındricas ζ
1 d z˙s − ρ gzs = C, r r d r (1 + z˙s2 )1/2
(4.87)
donde F (r, z) ≡ zs (r) − z = 0 es la posici´on de la interfase.14 Puesto que la ecuaci´on diferencial (4.87) es de segundo orden y que C en (4.87) es desconocida, hay que imponer tres condiciones para determinar la soluci´ on. As´ı, la interfase debe ser sim´etrica y formar con la pared un a´ngulo que sea igual al ´angulo de contacto θ, z˙s (0) = 0 ,
z˙s (R) = cot θ;
(4.88)
la condici´on de que el volumen de l´ıquido sea V completa las condiciones
R
2 π r zs (r) d r = V.
(4.89)
0
A distancias de la pared del dep´ osito grandes comparadas con la longitud capilar, las fuerzas gravitatorias son dominantes y el primer sumando del primer miembro de la ecuaci´ on (4.87) es despreciable. La soluci´on es entonces zs = −C/(ρ g), y de la condici´ on (4.89) se obtiene zs = ρ g V /(π R2 ) = ρ g H, donde H es la altura de la superficie libre. Naturalmente, la soluci´ on zs = H no es v´alida en una regi´ on muy estrecha (capa l´ımite) adyacente a la pared cuyo espesor es, como veremos, del orden de la longitud capilar y donde, como se ha se˜ nalado m´as arriba, las fuerzas de tensi´on superficial se hacen tan importantes como las fuerzas gravitatorias. Para obtener la forma 14
V´ ease el pie de p´ agina 9.
Cap´ıtulo 4. Fuerzas macrosc´opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica
80
de la interfase en la capa l´ımite cerca de la pared es conveniente escribir las ecuaciones en t´erminos de las variables adimensionales ξ=
R−r
y
η=
zs − H ,
(4.90)
donde , que tiene dimensiones de longitud, es mucho menor que R y debe escogerse de forma que, en una regi´on de orden adyacente a la pared del dep´ osito, las fuerzas de tensi´on superficial sean del mismo orden que las gravitatorias. Sustituyendo (4.90) en (4.87) y (4.88) y escogiendo = ζ/(ρ g) se obtiene
η¨ d η˙ −η = − η = 0, (4.91) d ξ (1 + η˙ 2 )1/2 (1 + η˙ 2 )3/2 junto con las condiciones η(∞) ˙ = 0,
η(0) ˙ = − cot θ.
(4.92)
Obs´ervese que al ser la capa capilar de la pared tan delgada (del orden de la longitud capilar, mucho menor que el radio), el problema matem´atico se ha convertido en un problema plano como muestra la ecuaci´on (4.91); por otra parte, tomando como unidad la longitud capilar el eje del recipiente cil´ındrico se encuentra muy lejos de la pared (en primera aproximaci´ on en el infinito) como se expresa en la primera de las condiciones (4.92). Multiplicando la ecuaci´ on (4.91) por η, ˙ integrando una vez e imponiendo la primera de las condiciones (4.92) se obtiene 1 η2 = 1. + (4.93) 2 1/2 2 (1 + η˙ ) Obs´ervese que si se impone en (4.93) la condici´on de contorno en la pared se obtiene inmediatamente la altura que en ella alcanza la interfase, η(0) =
ρ g (zs − H) = ± 2(1 − sen θ), ζ
(4.94)
donde el signo + (−) se aplica si θ < π/2 (θ > π/2). Adem´as, si se despeja η˙ de (4.93) y se separan variables en la ecuaci´on diferencial resultante se obtiene la relaci´on η 2 − η2 dη (4.95) ξ= 2 η(0) η 4 − η donde acilmente mediante el cambio de variable la integral del segundo miembro puede integrarse f´ y = 4 − η 2 ; llevando a cabo la integraci´ on se obtiene la ecuaci´on de la interfase η(ξ) en la capa de la pared 2 − 2(1 + sen θ) 1 2 + 4 − η2 2 . ξ = 2(1 + sen θ) − 4 − η + ln 2 2 + 2(1 + sen θ) 2 − 4 − η 2
(4.96)
Para la resoluci´on de este problema se ha hecho uso de la t´ecnica de los desarrollos asint´oticos acoplados, extensamente empleada en la Mec´anica de Fluidos. Aqu´ı, se ha explotado el hecho de que las fuerzas de tensi´on superficial son poco importantes cuando uno se aleja a varias distancias de la pared y la superficie libre es por tanto plana, mientras que existe una capa muy delgada adyacente a la pared donde los efectos de tensi´on superficial se hacen importantes y deben retenerse.
4.5. Tensi´on superficial
Referencias y lecturas recomendadas G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. F. M. White, Mec´ anica de fluidos, McGraw-Hill, 2004. L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon Press, Oxford, 1987.
81
Cap´ıtulo 5
Ecuaciones generales de la Mec´ anica de Fluidos 5.1.
Introducci´ on
Se deducir´an en lo que sigue las ecuaciones generales de los movimientos fluidos tanto en forma diferencial, denominadas ecuaciones de Navier-Stokes, como en forma integral. Dichas ecuaciones se obtienen a partir de los principios de conservaci´ on de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa aplicados a vol´ umenes fluidos. En primer lugar se obtendr´ an las ecuaciones en forma diferencial mediante la aplicaci´on de dichos principios a vol´ umenes fluidos infinitesimales. Posteriormente se extender´an los principios de conservaci´ on a vol´ umenes fluidos finitos, lo que dar´ a lugar a ecuaciones en forma integral que resultan u ´tiles para obtener informaci´ on de cantidades f´ısicas globales (variaci´ on de la masa, fuerza sobre un obst´aculo, etc.) en determinados problemas fluidomec´anicos. Las ecuaciones de conservaci´on en forma diferencial expresan las relaciones entre las derivadas espaciales y temporales de las variables fluidas que, de acuerdo con los principios de conservaci´on, deben verificarse en cada instante de tiempo y en cada punto fijo del espacio que pertenezca al dominio fluido. Para su deducci´ on se considerar´a un volumen fluido infinitesimal (part´ıcula fluida) que en el instante t ocupa una regi´ on d Ωf (t) limitada por la superficie fluida d Σf (t) como se = τ muestra en la Figura 5.1. Si n, y v son la normal exterior unitaria, el tensor de esfuerzos y la velocidad en un punto cualquiera de la superficie fluida d Σf (t), la fuerza ejercida y la potencia que ´esta realiza sobre la unidad de superficie de orientaci´ on n que pasa por dicho punto son res=
=
=
=
pectivamente n· τ = −p n + n· τ y n· τ ·v = −p v · n + n· τ ·v. An´alogamente, si ρ, fm y v son la densidad, el vector de fuerzas m´asicas y la velocidad en un punto cualquiera del interior de d Ωf (t), la fuerza m´asica que act´ ua sobre la unidad de volumen que contiene a dicho punto es ρ fm y ρ fm · v es la potencia realizada por dicha fuerza. Asimismo, si q es el vector flujo de calor en un punto de d Σf (t), el calor por conducci´on que recibe la part´ıcula fluida en la unidad de tiempo a trav´es de la unidad de superficie que pasa por dicho punto es −q·n; por generalidad, se considerar´ a adem´as que la unidad de volumen que contiene a un punto del interior de d Ωf (t) recibe en la unidad de tiempo un calor por radiaci´ on, Qr , y un calor por reacci´ on qu´ımica Qq . Sin embargo, la cuantificaci´ on de Qr y Qq como funci´on de las variables termodin´ amicas de estado no se abordar´a en este libro por corresponder a disciplinas m´as especializadas que estudian la interacci´on radiaci´ on-materia y la din´amica de flujos reactantes (gases a altas temperaturas y combusti´on). 83
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
84
5.1.1.
Principio de conservaci´ on de la masa. Ecuaci´ on de continuidad
El principio de conservaci´ on de la masa establece que la variaci´on con el tiempo de la masa contenida en un volumen fluido es nula. Para obtener la forma diferencial de dicho principio consid´erese el volumen fluido infinitesimal de la Figura 5.1. Se debe cumplir entonces: D D(ρ d Ω) ρd = = 0, (5.1) D t dΩf (t) Dt donde d Ω es el volumen de la regi´on d Ωf (t). Para obtener la ecuaci´on (5.1) se ha tenido en
d S d W f
(t)
(t) f
q n v
Q r
, Q q
v x
r f
n t= = - p n + n t= ´
m
Figura 5.1: Acciones din´amicas y energ´eticas locales en puntos gen´ericos de la superficie y del volumen de una part´ıcula fluida que en el instante t se encuentra en el entorno de un punto fijo x. cuenta que, debido a las dimensiones infinitesimales de la regi´on de integraci´ on, el integrando puede evaluarse, salvo infinit´esimos de orden superior, en el punto x. Desarrollando la derivada sustancial y teniendo en cuenta que, como se vio en (3.45), D(d Ω)/D t = ∇ · v d Ω, la ecuaci´on (5.1) se escribe Dρ + ρ ∇ · v = 0, (5.2) Dt o tambi´en ∂ρ + ∇ · (ρ v) = 0. (5.3) ∂t La ecuaci´on (5.2), o la (5.3), se denomina ecuaci´on de continuidad, o ecuaci´ on de conservaci´on de la masa en forma diferencial. El primer sumando de (5.3) expresa la variaci´ on con el tiempo de la masa contenida en la unidad de volumen, y el segundo sumando representa el flujo de masa que por convecci´on abandona la unidad de volumen. En el movimiento estacionario de gases, la ecuaci´on de continuidad se reduce a ∇ · (ρ v) = 0,
(5.4)
que expresa que el flujo convectivo neto de masa a trav´es de la superficie que encierra la unidad de volumen es nulo. Para l´ıquidos, que como es sabido se comportan como fluidos incompresibles
85
5.1. Introducci´ on en la mayor´ıa de las situaciones pr´acticas (ρ constante), se tiene ∇ · v = 0,
(5.5)
que es la ecuaci´on de continuidad para un fluido incompresible. Obs´ervese que ∇ · v es la velocidad de dilataci´on c´ ubica unitaria, y debe ser nula para un fluido incompresible [v´ease la ecuaci´on (3.46)].
5.1.2.
Ecuaci´ on de cantidad de movimiento
El principio de conservaci´ on de la cantidad de movimiento, o segunda ley de Newton, aplicada a un volumen fluido expresa que la variaci´ on con el tiempo de su cantidad de movimiento es igual a la resultante de todas las fuerzas, de superficie y m´asicas, que act´ uan sobre ´el. La resultante de las fuerzas de superficie que act´ uan sobre el volumen fluido infinitesimal de la Figura 5.1 es = = = (5.6) n· τ d σ = ∇· τ d = ∇· τ d Ω, d Σf (t)
d Ωf (t)
donde la integral de superficie se ha transformado en una integral de volumen mediante el teorema de Gauss, y se ha evaluado ´esta tomando el integrando constante, salvo infinit´esimos de orden = superior, e igual a su valor en el punto x. Como se vio en la Secci´on 4.3, ∇· τ representa la resultante de las fuerzas de superficie que en el instante t act´ uan sobre la unidad de volumen que contiene al punto x. An´alogamente, la resultante de las fuerzas m´asicas es ρ fm d = ρ fm d Ω. (5.7) d Ωf (t)
Finalmente, la variaci´ on en la unidad de tiempo de la cantidad de movimiento de la part´ıcula fluida se expresa como D D(ρ v d Ω) Dv ρvd = =ρ d Ω; (5.8) D t d Ωf (t) Dt Dt obs´ervese que se ha hecho uso de la constancia de la masa de un volumen fluido [ecuaci´on (5.1)] para obtener la forma final de (5.8). La segunda ley de Newton exige, por tanto, el cumplimiento en cada instante y en cada punto fijo del dominio fluido de la ecuaci´ on ρ o tambi´en ρ
Dv = = ∇· τ +ρ fm , Dt
(5.9)
= Dv ∂v =ρ + ρ v · ∇ v = −∇ p + ∇· τ +ρ fm , Dt ∂t =
=
(5.10) =
donde se ha tenido en cuenta la descomposici´on usual del tensor τ = −p I + τ y = ∂(−p δij ) ∂τ ij ∂p ∂τ ij + =− + = [−∇p + ∇· τ ]j . ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi
La ecuaci´on (5.10) dividida por ρ expresa que la aceleraci´on de la unidad de masa es igual a la resultante de las fuerzas, de superficie (presi´on y viscosidad) y m´asicas que act´ uan sobre ella. Una interpretaci´ on alternativa se obtiene sumando a la ecuaci´on (5.10) la de continuidad multiplicada por v, se obtiene entonces = ∂(ρ v) + ∇ · (ρ v v) = −∇ p + ∇· τ +ρ fm , ∂t
(5.11)
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
86
que expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la cantidad de movimiento contenida en la unidad de volumen de fluido m´ as el flujo convectivo de cantidad de movimiento que la abandona a trav´es de su superficie es igual a la resultante sobre la unidad de volumen de las fuerzas de presi´ on, viscosidad y m´asicas. La ley de Navier-Poisson permite escribir la ecuaci´on (5.10) en la forma ρ
= Dv 2 = −∇ p + ∇ · (2 µ γ ) + ∇[(µv − µ)∇ · v] + ρ fm . Dt 3
(5.12)
Obs´ervese que en un movimiento fluido donde las fuerzas de viscosidad sean despreciables, las m´asicas deriven de un potencial, fm = −∇U , y, adem´as, el movimiento sea bar´otropo (∇ω = ∇p/ρ, v´ease 4.5.1), la aceleraci´on deriva de un potencial Dv = −∇(ω + U ). Dt
(5.13)
Se demostrar´a m´as adelante que si se verifica (5.13) y el movimiento es inicialmente irrotacional, permanece irrotacional (la velocidad deriva de un potencial) en cualquier instante posterior. Esto es debido a que si se verifican las condiciones que dan lugar a (5.13) no existe ning´ un mecanismo f´ısico (fuerzas o pares de fuerzas) que cambien el momento cin´etico (velocidad angular, vorticidad) de las part´ıculas fluidas. La ecuaci´on (5.12) puede simplificarse en el caso en que los coeficientes de viscosidad sean independientes de la temperatura como sucede en muchas situaciones de inter´es pr´actico en los que las diferencias de temperaturas son despreciables y los coeficientes de viscosidad pueden considerarse constantes con gran aproximaci´ on. Para l´ıquidos de viscosidad constante se tiene ∂ τij ∂ vi ∂ 2 vj ∂ ∂ vj =µ =µ + , (5.14) ∂ xi ∂ xi ∂ xj ∂ xi ∂ x2i =
o ∇· τ = µ ∇2 v y, en el caso de que las fuerzas m´asicas deriven de un potencial, fm = −∇ U , la ecuaci´on (5.12) se escribe Dv ρ (5.15) = −∇(p + ρ U ) + µ ∇2 v. Dt Obs´ervese que la presi´on reducida p + ρ U juega en esta situaci´on el mismo papel en el movimiento que la presi´on est´atica (termodin´amica) p en ausencia de fuerzas m´asicas.
5.1.3.
Ecuaci´ on de la energ´ıa
El principio de conservaci´ on de la energ´ıa expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa total (interna m´ as cin´etica) contenida en un volumen fluido es igual al trabajo por unidad de tiempo (potencia) de las fuerzas de superficie y m´asicas que act´ uan sobre ´el, m´as el calor que recibe en la unidad de tiempo por conducci´ on, radiaci´ on y reacci´on qu´ımica. Para obtener la forma diferencial de este principio consid´erese de nuevo el volumen fluido infinitesimal de la Figura 5.1. El trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de superficie y m´ asicas que en el instante t act´ uan sobre el volumen fluido es = n· τ ·v d σ + ρ fm · v d = d Σf (t)
=
d Ωf (t) =
[∇ · ( τ ·v) + ρ fm · v]d = [∇ · ( τ ·v) + ρ fm · v]d Ω. d Ωf (t)
(5.16)
87
5.1. Introducci´ on Asimismo, el calor total aportado al volumen fluido en la unidad de tiempo viene dado por −n · q d σ + (Qr + Qq ) d = d Σf (t)
d Ωf (t)
(−∇ · q + Qr + Qq )d = (−∇ · q + Qr + Qq ) d Ω.
(5.17)
d Ωf (t)
La variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa total contenida en el volumen fluido es D D (e + v 2 /2) D ρ (e + v 2 /2) d = [ρ (e + v 2 /2) d Ω] = ρ d Ω. D t dΩf (t) Dt Dt
(5.18)
El principio de conservaci´ on de la energ´ıa se escribe entonces: ρ
D (e + v 2 /2) = = ∇ · ( τ ·v) + ρ fm · v − ∇ · q + Qr + Qq , Dt
(5.19)
ecuaci´on que dividida por ρ expresa que la variaci´ on con el tiempo que experimenta en su movimiento la energ´ıa total de la unidad de masa de fluido es igual a la potencia realizada por las fuerzas de superficie y m´asicas que act´ uan sobre ella m´as los calores que, por unidad tiempo, recibe por conducci´on, radiaci´ on y reacci´on qu´ımica. Si a la ecuaci´on (5.19) se le suma la de continuidad (5.3) multiplicada por (e + v 2 /2), y se tiene =
=
=
en cuenta la descomposici´on τ = −p I + τ y la Ley de Fourier q = −K ∇ T , se obtiene la ecuaci´on = v2 ∂ v = −∇ · (p v) + ∇ · (τ ·v)+ [ρ(e + v 2 /2)] + ∇ · ρ e + ∂t 2 ρ fm · v + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq ,
(5.20)
que expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa total contenida en la unidad de volumen m´as el flujo convectivo de energ´ıa total que la abandona es igual a la potencia que sobre ´el realizan las fuerzas de presi´on, viscosidad y m´asicas m´as los calores por unidad de tiempo que se le aportan por conducci´on, radiaci´ on y reacci´on qu´ımica. Para obtener un conocimiento m´ as profundo de la ecuaci´ on de la energ´ıa y del papel que juega cada uno de los t´erminos involucrados en ella, conviene desglosar dicha ecuaci´on en otras dos que gobiernan las energ´ıas interna y mec´anica y desarrollar, utilizando las ecuaciones termodin´ amicas de estado, formas alternativas de las ecuaciones de la energ´ıa interna y total que pueden ser u ´tiles dependiendo de la naturaleza del problema fluidomec´ anico analizado. Por ejemplo, la energ´ıa mec´anica se obtiene multiplicando escalarmente la ecuaci´on de cantidad de movimiento (5.10) por la velocidad v = D(v 2 /2) ρ (5.21) = −v · ∇ p + v · (∇· τ ) + ρ fm · v; Dt esta ecuaci´on dividida por ρ expresa que la variaci´ on con el tiempo que experimenta en su movimiento la energ´ıa cin´etica de la unidad de masa es igual a la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre ella multiplicada escalarmente por la velocidad del punto al que se asigna su posici´ on (por ´ ejemplo, su centro de gravedad). Este ser´ıa el trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas que act´ uan sobre la unidad de masa si toda la part´ıcula se trasladara en el instante considerado con dicha velocidad, v(x, t), como un s´olido r´ıgido (es decir, con velocidad uniforme). Naturalmente, ´este no es todo el trabajo de las fuerzas de superficie, ya que la part´ıcula fluida se deforma bajo la acci´on de estas fuerzas que son responsables del trabajo de deformaci´on. Este trabajo adicional junto con el calor recibido se invierte en variar la energ´ıa interna de la part´ıcula fluida. En efecto,
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
88
si a la ecuaci´on de la energ´ıa total (5.19) se le resta la ecuaci´on de la energ´ıa mec´anica (5.21) se obtiene la ecuaci´on de la energ´ıa interna ρ
= De = −p ∇ · v+ τ : ∇ v + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq , Dt
(5.22)
que, dividida por ρ expresa que a la variaci´ on con el tiempo que experimenta en su movimiento la energ´ıa interna de la unidad de masa contribuyen los calores por unidad de tiempo recibidos por conducci´on, radiaci´ on y reacci´on qu´ımica y los trabajos por unidad de tiempo y masa: de =
compresi´on, −(p/ρ) ∇·v, y de deformaci´on de las fuerzas de viscosidad (1/ρ) τ : ∇ v. Es interesante observar que los trabajos de deformaci´on de las fuerzas de superficie, por ser funci´ on de derivadas de la velocidad, no dependen del movimiento del sistema de referencia, al contrario de lo que sucede con los trabajos mec´anicos de dichas fuerzas, que dependen de la velocidad del fluido y, por tanto, del movimiento del sistema de referencia elegido. Si en (5.22) se introduce la expresi´on e = h − p/ρ y se hace uso de la ecuaci´on de continuidad (5.3), se obtiene la ecuaci´on de la entalp´ıa ρ
Dh D p = = + τ : ∇ v + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq . Dt Dt
(5.23)
La ecuaci´on de la entalp´ıa total o de remanso, h + v 2 /2, se obtiene sumando a (5.23) la ecuaci´on de la energ´ıa mec´anica (5.21) ρ
= D(h + v 2 /2) ∂p = ρ fm · v + + ∇ · (τ ·v) + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq . Dt ∂t
(5.24)
Obs´ervese que si las fuerzas m´asicas derivan de un potencial, fm = −∇ U , y se suma el t´ermino ρ ∂ U /∂ t a los dos miembros de la ecuaci´on (5.24), se obtiene ρ
= D(h + v 2 /2 + U ) ∂p ∂U = +ρ + ∇ · (τ ·v) + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq , Dt ∂t ∂t
(5.25)
ecuaci´on que expresa que en un movimiento estacionario, sin adici´ on de ning´ un tipo de calor y si el trabajo de las fuerzas de viscosidad es despreciable, la cantidad h + v 2 /2 + U se mantiene constante a lo largo de las l´ıneas de corriente del movimiento fluido. Finalmente la ecuaci´on de la entrop´ıa puede obtenerse haciendo uso de la primera ley de la Termodin´amica para fluidos localmente en equilibrio T
DS De D(1/ρ) = +p , Dt Dt Dt
(5.26)
y de la ecuaci´on de continuidad (5.2). La ecuaci´ on de la entrop´ıa se escribe ρT
D S = =τ : ∇ v + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq . Dt
(5.27)
Esta ecuaci´on indica que la entrop´ıa de una part´ıcula fluida aumenta debido al calor que recibe por conducci´on, radiaci´ on y reacci´on qu´ımica y al trabajo de deformaci´ on de las fuerzas de viscosidad. Es f´acil demostrar que este trabajo, que representa la energ´ıa mec´anica disipada en calor, no puede ser negativo. En efecto, teniendo en cuenta que ∂ vi /∂ xj = γij + ξij , la ley de Navier-Poisson τij = 2 µ γij + (µv − 2 µ/3)∇ · v δij y que τij ξij = 0 por la doble contracci´ on de un tensor sim´etrico con uno antisim´etrico, se obtiene = 2 τ : ∇v = τij γij = 2 µ γij γij + µv − µ (∇ · v)2 ≥ 0, (5.28) 3
5.2. Consideraciones generales sobre las ecuaciones de Navier-Stokes
89
donde se ha usado la igualdad γij δij = γii = ∇ · v. Por otra parte, el segundo miembro de (5.28) es positivo o nulo, ya que 2 µ γij γij ≥ 32 µ(∇ · v)2 como se comprueba si se escribe 2 γij = ∂ vi /∂ xj + ∂ vj /∂ xi y se desarrolla la doble contracci´ on. Finalmente, si se divide (5.27) por la temperatura y se suma a la ecuaci´on resultante la de continuidad multiplicada por S se obtiene ∂ (ρ S) + ∇ · (ρ S v) = ∇ · ∂t
K ∇T T
=
τ : ∇ v K|∇ T |2 Qr + Qq , + + + T T T2
(5.29)
donde se ha tenido en cuenta que [∇·(K ∇ T )]/T = ∇·(K ∇ T /T )+K|∇ T |2 /T 2 . La ecuaci´on (5.29) relaciona la variaci´ on en la unidad de tiempo de la entrop´ıa contenida en la unidad de volumen con las variaciones debidas al flujo de entrop´ıa que por convecci´ on la abandona, a los calores por unidad de tiempo recibidos por conducci´ on, radiaci´ on y reacci´on qu´ımica, y a la contribuci´ on (nunca negativa) de los procesos de disipaci´on de energ´ıa mec´anica en calor (fricci´on) y de conducci´on de calor asociados a gradientes de velocidades y temperaturas en el interior de la unidad de volumen respectivamente.
5.2. 5.2.1.
Consideraciones generales sobre las ecuaciones de Navier-Stokes Resumen de las ecuaciones de Navier-Stokes
Como se vio en la secci´on anterior, el movimiento m´as general de un fluido homog´eneo en composici´on, viscoso y newtoniano est´a gobernado por el sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: ∂ρ + ∇ · (ρ v) = 0, (5.30) ∂t = ∂v (5.31) ρ + ρ v · ∇ v = −∇ p + ∇· τ +ρ fm , ∂t = ∂e ρ (5.32) + ρ v · ∇ e = ∇ · (K ∇ T ) − p ∇ · v+ τ : ∇ v + Qr + Qq , ∂t donde 2 τij = 2µ γij + µv − µ ∇ · v δij , (5.33) 3 y 1 ∂ vi ∂ vj γij = . (5.34) + 2 ∂ xj ∂ xi El sistema no lineal (5.30) - (5.34) de cinco ecuaciones en derivadas parciales para el c´alculo de la densidad ρ, de las tres componentes de la velocidad v, y de la energ´ıa interna e, contiene dos inc´ognitas adicionales: la presi´on p y la temperatura T . Para cerrar el sistema se a˜ naden las ecuaciones de estado: T = T (e, ρ), (5.35) p = p(e, ρ),
(5.36)
y se especifican adem´as los coeficientes µ(T, ρ), µv (T, ρ) y K(T, ρ). En el supuesto de un fluido incompresible (ρ = constante) con µ, µv y K constantes, las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a ∇ · v = 0,
(5.37)
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
90 ρ
∂v + ρv · ∇v = −∇p + µ∇2 v + ρfm , ∂t
== ∂e + ρ v · ∇ e = 2µ γ :γ +K ∇2 T + Qr + Qq , ∂t junto con la ecuaci´on de estado T c(T ) d T. e − eo =
ρ
(5.38) (5.39)
(5.40)
To
Como se ve, si la densidad del fluido es constante, no s´olo se reduce en una unidad el n´ umero de inc´ognitas de las ecuaciones del movimiento, sino que, adem´as, se desacoplan los fen´omenos puramente mec´anicos de los t´ermicos (para el c´alculo de la presi´on y de la velocidad bastan la ecuaci´on de continuidad y las tres de cantidad de movimiento); una vez determinado el campo de velocidades, la ecuaci´on de la energ´ıa junto con la ecuaci´on de estado permite el c´alculo del campo de temperaturas. Si se desprecia la variaci´on del calor espec´ıfico con la temperatura (l´ıquido perfecto), la ecuaci´on de la energ´ıa es lineal en T : ρc
== ∂T + ρ c v · ∇ T = 2µ γ :γ +K∇2 T + Qr + Qq . ∂t
(5.41)
En el Ap´endice 5.I se detalla la forma de las ecuaciones de Navier-Stokes en diferentes sistemas de coordenadas y en el 5.II se generalizan las ecuaciones de Navier-Stokes al caso de mezclas reactantes.
5.2.2.
Condiciones iniciales y de contorno
Para que un problema fluidomec´ anico quede determinado es necesario fijar las condiciones iniciales y de contorno que corresponden al mismo. El sistema de ecuaciones es de segundo orden en las derivadas espaciales de la velocidad y de la temperatura y de primer orden en las restantes, siendo las derivadas temporales de primer orden. Por lo tanto, es en general necesario imponer dos condiciones de contorno para la velocidad y la temperatura, y una condici´ on de contorno para el resto de las variables, as´ı como una condici´on inicial para la velocidad y para dos variables termodin´amicas si el fluido es homog´eneo en composici´on. Como se ver´a en lo que sigue, dichas condiciones de contorno pueden revestir formas muy variadas por lo que respecta a la velocidad, presi´ on y temperatura. Por ejemplo, en problemas no estacionarios, se puede imponer el campo de velocidades, densidades y temperaturas en el instante inicial (si el fluido fuese incompresible, el campo inicial de velocidades tiene que ser necesariamente solenoidal, ∇ · v = 0) siempre que el problema cuya soluci´on se busca no tenga condiciones de contorno estacionarias o peri´odicas. Si las condiciones de contorno son estacionarias o peri´odicas y se busca una soluci´on estacionaria o peri´odica no se pueden imponer, en general, condiciones iniciales. Cuando el fluido cuyo movimiento se estudia es ilimitado, se requiere conocer sus condiciones en el infinito, especificando all´ı la velocidad y dos magnitudes termodin´ amicas, por ejemplo, la presi´ on y temperatura en el caso de l´ıquidos, y dos cualesquiera independientes en el caso de gases. Cuando el fluido est´e limitado por una pared s´ olida impermeable deber´an cumplirse sobre ´esta unas condiciones cinem´aticas y energ´eticas. Se impondr´a, de acuerdo con la experiencia, la condici´ on de adherencia; es decir, la velocidad del fluido en contacto con la pared s´ olida es igual a la velocidad de la pared. Tambi´en se supondr´a que la temperatura del fluido en contacto con la pared es la temperatura de la pared: v = vs ,
T = Ts .
(5.42)
5.3. Ecuaciones de conservaci´on en forma integral
91
Adem´as, si la superficie de la pared s´olida no absorbe ni emite calor por radiaci´ on, el balance energ´etico en la superficie demuestra que el calor que sale de la superficie hacia el fluido por conducci´on es el mismo que el que llega desde el s´olido ∂T ∂T q · n = −K = qs · ns = −Ks , (5.43) ∂n fluido ∂n s´olido donde n es la normal a la superficie dirigida hacia el fluido, y K y Ks son las conductividades t´ermicas en el fluido y en el s´olido respectivamente. Se denomina pared adiab´ atica a la formada por un material cuya conductividad t´ermica Ks es lo suficientemente peque˜ na para poder suponer (∂T /∂n)fluido = 0. Obs´ervese que si las condiciones de contorno que determinan el campo de temperaturas son del tipo Dirichlet (se especifica la temperatura en el contorno del dominio fluido; por ejemplo, en la pared del s´ olido y en el infinito) la condici´ on (5.43) determina el flujo de calor en la pared. Por el contrario, si se especifican condiciones mixtas (Neumann y Dirichlet: temperatura en parte del contorno y flujo de calor en el resto; por ejemplo, flujo de calor en el s´olido y temperatura en el infinito) la condici´ on (5.42) determina la temperatura de la pared s´ olida. Cuando el fluido est´ a limitado por otro fluido no miscible con ´el, en la entrefase fluido-fluido se cumplen unas condiciones cinem´aticas, din´amicas y energ´eticas. Respecto a las cinem´aticas, adem´as de la igualdad de velocidades de ambos fluidos en cada punto de la entrefase, hay que especificar que ´esta es una superficie fluida y, por tanto, si f (x, t) = 0 es la ecuaci´on que define dicha superficie en el instante t, f deber´a verificar la ecuaci´on ∂f + v · ∇ f = 0. ∂t
(5.44)
Adem´as, el equilibrio termodin´ amico local exige igualdad de temperaturas de los dos fluidos en cada punto de la entrefase. Tambi´en, los flujos de calor a ambos lados de la superficie deben ser iguales si ´esta no absorbe ni emite calor. Como condici´on din´ amica hay que imponer que los saltos de las componentes normal y tangencial del esfuerzo a trav´es de la entrefase deben satisfacer las condiciones (4.70) y (4.71).
5.3.
Ecuaciones de conservaci´ on en forma integral
Sucede en muchas situaciones de inter´es pr´actico que no es necesario el conocimiento detallado (local) del campo fluido definido por las ecuaciones de Navier-Stokes, sino que basta con un conocimiento de magnitudes globales asociadas al movimiento fluido (caudal, fuerza resultante sobre un obst´aculo, potencia obtenida del fluido o comunicada al mismo, etc´etera). Si se posee informaci´on suficiente sobre algunas magnitudes globales en la frontera y/o en el interior del dominio fluido, es posible calcular las restantes magnitudes de inter´es mediante balances integrales de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. Estos balances se formulan a continuaci´ on haciendo uso del teorema del transporte de Reynolds (3.26) que permite generalizar a cualquier volumen de control los principios de conservaci´on de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa para un volumen fluido finito. El principio de conservaci´ on de la masa en forma integral se escribe D d ρd = ρd + ρ(v − vc ) · n d σ = 0, (5.45) D t Ωf (t) d t Ωc (t) Σc (t) que expresa que la variaci´ on con el tiempo de la masa contenida en un volumen fluido finito es nula o, lo que es lo mismo, la variaci´ on en la unidad de tiempo de la masa contenida en el volumen de control Ωc (t) que en el instante t coincide con el volumen fluido m´ as el flujo convectivo neto de masa a trav´es de su superficie Σc (t) es igual a cero.
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
92
An´ alogamente, la segunda ley de Newton para un volumen de control variable con el tiempo se escribe = d ρvd + ρ v(v − vc ) · n d σ = (−p n + n· τ )d σ + ρ fm d , (5.46) d t Ωc (t) Σc (t) Σc (t) Ωc (t) y relaciona la variaci´ on en la unidad de tiempo de la cantidad de movimiento contenida en el volumen de control con el flujo de cantidad de movimiento que por convecci´ on abandona el volumen a trav´es de su superficie y la resultante de las fuerzas de presi´on, viscosidad y m´asicas que en el instante considerado act´ uan sobre ´el. Asimismo, la Mec´anica ense˜ na que la variaci´ on con el tiempo del momento cin´etico de un sistema es igual al momento de las fuerzas que act´ uan sobre ´el, por lo que para el volumen Ωc (t) se tiene d = ρ x × v d + ρ x × v(v−vc )·n d σ = x × n· τ d σ+ x × ρ fm d . (5.47) d t Ωc (t) Σc (t) Σc (t) Ωc (t) donde x representa el vector de posici´on relativo al punto respecto al cual se toman momentos. En el caso de l´ıquidos resulta de utilidad en muchos casos la forma integral de la ecuaci´ on de energ´ıa mec´anica, que resulta de (5.21) teniendo en cuenta que −v · ∇ p = ∇ · (−p v), al ser =
=
=
∇ · v = 0, y, v · ∇· τ = ∇ · (τ ·v)− τ : ∇ v; para un volumen de control variable con el tiempo se obtiene la ecuaci´on = d 1 2 1 2 ρv d + ρv (v − vc ) · n d σ = (−p v · n + n· τ ·v)d σ− d t Ωc (t) 2 Σc (t) 2 Σc (t)
=
τ : ∇vd + Ωc (t)
ρ fm · v d ,
(5.48)
Ωc (t)
que relaciona la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa mec´anica contenida en el volumen de control con el flujo de energ´ıa mec´anica que por convecci´ on abandona dicho volumen, con la potencia realizada por las fuerzas de superficie y m´asicas, y con la energ´ıa mec´anica disipada por las fuerzas de viscosidad. Finalmente, la forma general del principio de conservaci´ on de la energ´ıa para un volumen de control variable con el tiempo se expresa d = 2 2 ρ(e + v /2) d + ρ(e + v /2)(v − vc ) · n d σ = n· τ ·vd σ+ d t Ωc (t) Σc (t) Σc (t)
ρ fm · v d − Ωc (t)
q · ndσ + Σc (t)
(Qr + Qq )d .
(5.49)
Ωc (t)
Esta ecuaci´on relaciona la variaci´ on de la energ´ıa total en el interior del volumen de control con el flujo de energ´ıa total que por convecci´ on lo abandona a trav´es de su superficie, con los trabajos por unidad de tiempo de las fuerzas de superficie y m´ asicas, y los calores por unidad de tiempo aportados por conducci´ on, radiaci´ on y reacci´on qu´ımica. Una expresi´on alternativa a (5.49), que resulta particularmente u ´til en procesos estacionarios, se obtiene sin m´as que desdoblar el trabajo de las fuerzas de superficie por unidad de a´rea y tiempo, en el debido a las fuerzas de presi´on y a =
=
las de viscosidad, n· τ ·v = −p n · v + n· τ ·v y utilizar la variable entalp´ıa h = e + p/ρ; se llega entonces a la ecuaci´on d ρ(e + v 2 /2)d + ρ(h + v 2 /2) (v − vc ) · n d σ = d t Ωc (t) Σc (t)
93
5.4. M´etodos de estudio de los problemas fluidomec´anicos
−p vc · n d σ +
Σc (t)
=
n· τ ·v d σ +
Σc (t)
ρ fm · v d + Ωc (t)
K ∇T · ndσ + Σc (t)
(Qr + Qq ) d ,
(5.50)
Ωc (t)
donde se ha hecho uso de la Ley de Fourier q = −K ∇ T . La integral de superficie del primer miembro de (5.50) representa el flujo de entalp´ıa total a trav´es de las paredes del volumen de control que, adem´as del flujo convectivo de energ´ıa cin´etica, contiene impl´ıcitamente el flujo convectivo de energ´ıa interna y el trabajo por unidad de tiempo realizado por las fuerzas de presi´ on sobre el fluido que entra o abandona el volumen de control (trabajo de flujo); la primera integral del segundo miembro representa el trabajo de las fuerzas de presi´on asociado al movimiento de las paredes m´oviles del volumen de control considerado. Como se ha visto, las ecuaciones de Navier-Stokes generalizan la expresi´on del primer principio de la Termodin´amica para incluir los efectos asociados a los movimientos irreversibles de los fluidos. Esta generalizaci´on, que hace uso de la hip´ otesis de equilibrio termodin´ amico local, contiene el segundo principio de la Termodin´ amica que se expresa aqu´ı en forma cuantitativa para cualquier sistema, y no simplemente como una condici´on de variaci´ on creciente o nula de la entrop´ıa de un sistema aislado t´ermicamente. Para ilustrar lo anterior se obtendr´ a a continuaci´ on la expresi´on del segundo principio de la Termodin´ amica para un sistema finito y homog´eneo en composici´on. En efecto, si se integra la ecuaci´on (5.29) para un volumen fluido finito y se hace uso del Teorema del Transporte de Reynolds se obtiene d K ∇T · n dσ ρS d + ρ S(v − vc ) · n d σ = d t Ωc (t) T Σc (t) Σc (t) = 2 K|∇ T | Qr + Qq τ : ∇ v d . d + + + (5.51) T T T2 Ωc (t) Ωc (t) Esta ecuaci´on relaciona la variaci´ on en la unidad de tiempo de la entrop´ıa contenida en el volumen de control con las variaciones debidas al flujo de entrop´ıa que por convecci´ on abandona dicho volumen a trav´es de su superficie, a los calores por conducci´on, radiaci´ on y reacci´on qu´ımica recibidos, y a los procesos de fricci´on y conducci´on de calor que tienen lugar en el interior del volumen de control. Esta u ´ltima contribuci´ on, representada matem´aticamente por el u ´ltimo t´ermino (nunca negativo) de (5.51), representa matem´aticamente el aumento de entrop´ıa debido a gradientes internos de velocidades y temperaturas existentes en cualquier proceso irreversible. Se deduce de (5.51) que en un sistema cerrado (no intercambia masa con el exterior) y adiab´ atico (no recibe ni cede calor por conducci´on, radiaci´ on ni reacci´on qu´ımica) la entrop´ıa s´olo puede aumentar o, si el sistema se encuentra en equilibrio termodin´amico (gradientes nulos), permanecer constante en el tiempo. Si inicialmente las distribuciones de velocidades y temperaturas en el interior del sistema no son uniformes, se originan procesos irreversibles de fricci´on y conducci´on de calor que aumentan su entrop´ıa y tienden a llevarlo a un estado de equilibrio termodin´ amico global, con valores uniformes de la velocidad y de la temperatura, que se corresponde con un m´ aximo de entrop´ıa, (d/d t) Ωc (t) ρ S d = 0. En el Ap´endice 5.III se generalizar´an para sistemas fuera del equilibrio algunos resultados conocidos de la Termodin´ amica del equilibrio.
5.4.
M´ etodos de estudio de los problemas fluidomec´ anicos
Como se ha visto anteriormente, el movimiento m´as general de un fluido viscoso newtoniano est´a determinado por un sistema no lineal de cinco ecuaciones en derivadas parciales, del tiempo
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
94
y de las tres coordenadas espaciales, para el c´alculo de las tres componentes de la velocidad, temperatura y densidad, o de cualquier otra magnitud termodin´ amica que se exprese mediante ellas. El sistema es de segundo orden en las derivadas espaciales de la velocidad y de la temperatura y de primer orden en las restantes. Adem´as, para que un problema concreto quede determinado, es necesario fijar las condiciones iniciales y de contorno que corresponden al mismo, las cuales pueden revestir formas muy variadas: fluidos en contacto con paredes u otros fluidos, superficies libres, etc. Para ilustrar la complejidad del sistema de ecuaciones de Navier-Stokes basta con decir que el n´ umero de casos para los que se dispone de soluciones exactas es de unos 80,1 la inmensa mayor´ıa de los cuales se refieren a un fluido incompresible y a situaciones que guardan un inter´es marginal con los problemas fundamentales de la Mec´anica de Fluidos. A lo anterior, hay que a˜ nadir que se conoce relativamente poco acerca de la existencia, unicidad y continuidad de las soluciones del problema de valores iniciales y de contorno planteado anteriormente. Naturalmente, dicho conocimiento depende siempre del espacio funcional en el que se busca la soluci´on y del tipo de soluci´ on que se admita, aunque, como se ver´a, no existe una respuesta general al problema de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones de la Mec´anica de Fluidos ni si esas soluciones, caso de que existan, son o no estables.2 Por ejemplo, se ha demostrado que para un fluido incompresible sometido a fuerzas m´ asicas que derivan de un potencial, existe soluci´ on u ´nica al movimiento no estacionario (cumpliendo unas condiciones iniciales y de contorno). Esta soluci´on depende de forma continua de las condiciones iniciales y de contorno durante un intervalo de tiempo que es funci´ on de las condiciones iniciales y de contorno. Este intervalo de tiempo puede ser infinito si el n´ umero adimensional Re = ρ V L/µ (donde Re es el n´ umero de Reynolds y ρ, V , L y µ son densidad, velocidad, longitud y viscosidad caracter´ısticas del problema) es menor que un cierto valor caracter´ıstico del movimiento. Si el n´ umero de Reynolds es mayor que ese valor caracter´ıstico, al cabo de un cierto tiempo el movimiento toma un car´acter aleatorio e irregular con r´apidas fluctuaciones espaciales y temporales de las magnitudes fluidas que se denomina movimiento turbulento. Para ilustrar m´ as el punto anterior, consid´erese un movimiento fluido con condiciones de contorno estacionarias. Ser´ıa de esperar que, partiendo de unas ciertas condiciones iniciales y al cabo de un tiempo suficientemente grande, se alcanzase la soluci´on estacionaria correspondiente a dichas condiciones de contorno. Sin embargo, sucede que dicha soluci´ on estacionaria es inestable si el n´ umero de Reynolds del movimiento es mayor que un cierto valor cr´ıtico, y la soluci´on estacionaria no se alcanza nunca; es m´as, imaginando que de alguna forma se pudiese partir de la soluci´ on estacionaria, el movimiento al cabo de un cierto tiempo se har´ıa turbulento, ya que cualquier perturbaci´ on en el campo fluido tender´ıa a destruir la soluci´ on estacionaria. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen tambi´en, al menos desde un punto de vista te´orico, el movimiento turbulento de los fluidos; sin embargo, desde un punto de vista pr´ actico resulta imposible seguir detalladamente a una part´ıcula fluida en sus r´ apidas fluctuaciones turbulentas. Una forma de abordar el problema consiste en el tratamiento estad´ıstico de las ecuaciones de Navier-Stokes, pero entonces las ecuaciones promediadas junto con las condiciones iniciales y de contorno dejan de constituir un problema matem´ atico bien puesto (mayor n´ umero de inc´ognitas que de ecuaciones) y no bastan para determinar el movimiento; es necesario, entonces, completar las ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos con ciertas hip´ otesis fenomenol´ogicas de tipo estad´ıstico. El estudio de las corrientes turbulentas ser´a abordado en la u ´ltima parte de este libro. Para eludir la dificultad que plantea una situaci´ on como la de las ecuaciones de Navier-Stokes, se siguen dos alternativas. La primera consiste en el empleo de modelos simplificados, bien sea 1
R. Berker, Handbuch der Physik, VIII-2, Springer-Verlag, Berl´ın, 1963. Para una discusi´ on detallada del tema se remite al lector al libro de O. A. Ladyzhenskaya The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon and Breach, 1963, y O. A. Ladyzhenskaya, Mathematical Analysis of Navier-Stokes Equations for Incompressible Liquids, en Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 7, pp. 249-272, 1975. 2
5.4. M´etodos de estudio de los problemas fluidomec´anicos
95
de las propiedades del fluido, bien del tipo de movimiento considerado, y hace uso de t´ecnicas anal´ıticas y num´ericas para la resoluci´on de los problemas planteados. La segunda consiste en el recurso al m´etodo experimental bajo la gu´ıa de la semejanza din´amica, para reducir el n´ umero de experimentos e interpretar debidamente los resultados. El empleo de modelos simplificados, bien de las propiedades del fluido (densidad constante, viscosidad peque˜ na, etc´etera), bien del tipo de movimiento considerado (bidimensional, estacionario, etc´etera), constituye un recurso te´orico de una fecundidad extraordinaria. En efecto, uno de los modelos m´as fruct´ıferos es el de suponer el fluido incompresible (densidad constante) que se cumple con gran aproximaci´ on en el movimiento de l´ıquidos y en el flujo de gases a bajas velocidades. En este caso, se reduce el n´ umero de inc´ognitas (ρ es conocida) y si la viscosidad se supone constante, los problemas mec´anico y t´ermico se desacoplan y la complejidad del problema se reduce sustancialmente. Otro modelo simplificado muy importante en la Mec´ anica de Fluidos es el modelo de fluido ideal que supone despreciables los efectos disipativos (viscosidad y conducci´on de calor) en las ecuaciones del movimiento. La relevancia hist´orica de esta hip´otesis queda patente no s´olo en el hecho de que las ecuaciones del movimiento para el fluido ideal fueran establecidas por Euler casi un siglo antes de la formulaci´ on de las ecuaciones de Navier-Stokes, sino tambi´en en la gran fecundidad de ideas que ha originado, especialmente con la Teor´ıa de Capa L´ımite a principios de este siglo. La hip´otesis de fluido ideal se aplica en muchos problemas debido a que una fracci´ on importante de los fluidos presentes en la naturaleza, as´ı como muchos otros de inter´es tecnol´ogico, entre los que se incluyen el aire y el agua, tienen viscosidades y conductividades t´ermicas muy peque˜ nas, con lo que los efectos disipativos son despreciables, salvo en problemas muy especiales o en regiones muy limitadas del fluido (ondas de choque, capas l´ımites, estelas, etc.); lo que no quiere decir que estas regiones donde los efectos disipativos son importantes sean irrelevantes, ya que muchas veces condicionan la totalidad del movimiento fluido. El empleo del modelo de fluido ideal introduce una simplificaci´on fundamental en las ecuaciones de Navier-Stokes: desaparecen los t´erminos que =
contienen las derivadas de mayor orden (∇· τ y ∇ · q) y, por tanto, no se puede imponer, entre otras, la condici´on de no deslizamiento en una superficie s´olida. Esto hace que la soluci´on de un problema con el modelo ideal sea esencialmente distinta que la soluci´on del mismo problema con un fluido real, al menos en la inmediata proximidad del contorno, incluso cuando se hace tender a cero el coeficiente de viscosidad en la soluci´on viscosa, cuyo l´ımite cabr´ıa esperar que proporcionase la soluci´on correspondiente al fluido ideal. Esta dificultad, que origin´ o gran controversia y algunas paradojas a finales del siglo pasado, la solvent´ o Prandtl en 1904 con la introducci´ on del concepto de capa l´ımite. En el l´ımite opuesto, si se desprecian las fuerzas de inercia convectiva frente a las de viscosidad en las ecuaciones de Navier-Stokes, se obtiene un modelo simplificado lineal de extraordinaria aplicaci´on a flujos que tienen lugar en conductos de peque˜ no di´ ametro, en pel´ıculas l´ıquidas delgadas (como ocurre, por ejemplo, en la lubricaci´ on fluidomec´anica), en los movimientos de peque˜ nas part´ıculas suspendidas en el seno de fluidos (aerosoles e hidrosoles). El aumento espectacular en la velocidad y en la capacidad de memoria de los modernos computadores ha conducido a la aparici´ on de la Mec´anica de Fluidos computacional, que complementa las actividades te´oricas y experimentales de la Mec´anica de Fluidos y que suministra una herramienta efectiva para simular corrientes reales a un coste econ´omico razonable. Para la resoluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan m´etodos num´ericos muy diversos, algunos de ellos desarrollados espec´ıficamente para resolver problemas fluidomec´anicos. No obstante, la mayor dificultad de los m´etodos num´ericos aparece ligada a la estabilidad din´ amica de las ecuaciones, que da lugar a fen´omenos de turbulencia para valores del n´ umero de Reynolds por encima de un valor denominado cr´ıtico. En estas situaciones, el tiempo de computaci´on aumenta espectacularmente con el n´ umero de Reynolds. A pesar de ello, y debido a la rapidez y capacidad de memoria de los modernos
96
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
ordenadores, es hoy posible resolver las ecuaciones de Navier-Stokes en situaciones no triviales y a n´ umeros de Reynolds moderadamente grandes(< 105 ). Por desgracia, la complejidad de flujos a n´ umeros de Reynolds mayores excede todav´ıa la capacidad de los ordenadores m´as potentes, y en ´estos el experimento f´ısico (no num´erico), cuando puede realizarse, sigue siendo imprescindible para esclarecer el problema. La Mec´anica de Fluidos experimental ha jugado un papel muy importante en la validaci´ on de modelos aproximados de las ecuaciones del movimiento. El t´ unel aerodin´ amico, o el hidrodin´ amico, proporciona un medio muy efectivo para simular corrientes reales y permite la experimentaci´ on con modelos; los ensayos a escala real (por ejemplo, en el dise˜ no de aviones) son econ´omicamente prohibitivos. Como se ver´ a en el pr´oximo cap´ıtulo, la experimentaci´ on con modelos debe estar guiada por el an´alisis dimensional y la semejanza f´ısica. Ejemplo pionero en este campo fue el trabajo de Reynolds en su c´elebre experimento de Reynolds, quien a partir de sus resultados experimentales y bajo la gu´ıa del an´alisis dimensional encontr´ o el valor del par´ ametro adimensional, denominado en su honor n´ umero de Reynolds, que caracteriza la transici´on del r´egimen laminar al turbulento en un conducto. Las t´ecnicas experimentales en la Mec´anica de Fluidos han sufrido tambi´en una extraordinaria expansi´ on en los u ´ltimos a˜ nos. Por ejemplo, a los m´etodos cl´asicos de medici´on de la velocidad mediante medidas de la presi´on (tubos de Pitot y similares) y por anemometr´ıa de hilo caliente, se han sumado m´etodos ´opticos, no intrusivos, como la anemometr´ıa L´aser-Doppler, o la anemometr´ıa Fase-Doppler y m´as recientemente la t´ecnica de medida denominada PIV (Particle Image Velocimetry). Tambi´en se han introducido nuevas t´ecnicas de visualizaci´on de flujos, muy u ´tiles para obtener una informaci´ on cualitativa del movimiento, y en muchos casos es imprescindible previamente a la experimentaci´on cuantitativa, o a la b´ usqueda de soluciones matem´aticas del problema. Por otra parte, la entrada reciente del ordenador en la experimentaci´ on ha aumentado radicalmente sus capacidades, ya que es posible adquirir datos en intervalos de tiempo muy peque˜ nos (frecuencias de decenas de kHz) y realizar tratamientos estad´ısticos que no eran posibles hace poco tiempo.
Referencias y fuentes de lectura complementaria G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Te´orica vol. 5, Pergamon 1958. A. Li˜ na´n y F. A. Williams, Fundamental Aspects of Combustion. Oxford University Press, Nueva York, 1993. A. Li˜ na´n, Discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias.
5.I. Ecuaciones de Navier-Stokes en diferentes sistemas de coordenadas
´ APENDICE 5.I ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS COORDENADAS CARTESIANAS
CONTINUIDAD Dρ ∂vi = 0; +ρ Dt ∂xi
D ∂ ∂ = + vj Dt ∂t ∂xj
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
∂vk Dvi ∂ ∂vi ∂ ∂vj 2 ∂p ρ µ + µv − µ + ρfmi + + =− Dt ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi 3 ∂xk ENERG´ IA TOTAL D(e + v 2 /2) ∂vi ∂ ∂vj ∂(pvi ) ρ µvi + + ρfmi vi + + =− Dt ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂ ∂xi
∂vk 2 µv − µ vi 3 ∂xk
ENERG´ IA INTERNA De ∂ ∂vi ρ + φv + = −p Dt ∂xi ∂xi φv = µ
∂vi ∂vj + ∂xj ∂xi
∂T K ∂xi
∂vi ∂vk ∂vi 2 + µv − µ = ∂xj 3 ∂xi ∂xk
∂vi ∂vk 2 2µγij γij + µv − µ 3 ∂xi ∂xk ENTALP´ IA ρ
Dh Dp ∂ = + Dt Dt ∂xi
K
∂T ∂xi
+ φv
97
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
98
ENTROP´ IA
ρT
DS ∂ = φv + Dt ∂xi
K
∂T ∂xi
COORDENADAS CIL´INDRICAS vr vθ , y vz son las componentes del vector velocidad en las coordenadas r θ, y z respectivamente ∂ ∂ D ∂ vθ ∂ = + vr + + vz Dt ∂t ∂r r ∂θ ∂z ∇ · v =
1 ∂vθ ∂vz ∂vr vr ∂vz 1 ∂(rvr ) 1 ∂vθ + + + = + + r ∂r r ∂θ ∂z ∂r r r ∂θ ∂z
CONTINUIDAD Dρ + ρ∇ · v = 0 Dt ´ EL EJE r CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN ρ
Dvr ∂p 2 v2 ∂ ∂vr − θ = ρfmr − + 2µ + µv − µ ∇ · v + Dt r ∂r ∂r ∂r 3
∂ 1 ∂vr ∂vθ vθ ∂vr ∂vz 2µ ∂vr 1 ∂vθ vr 1 ∂ + µ + − µ + + − − r ∂θ r ∂θ ∂r r ∂z ∂z ∂r r ∂r r ∂θ r ´ EL EJE θ CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN
Dvθ 1 ∂p 1 ∂ 2µ ∂vθ 2 vr vθ ρ = fmθ − vr + + + + µv − µ ∇ · v + Dt r r ∂θ r ∂θ r ∂θ 3
2µ 1 ∂vr 1 ∂vz ∂vθ ∂ 1 ∂vr ∂vθ vθ ∂vθ vθ ∂ + µ + + µ + − + − ∂z r ∂θ ∂z ∂r r ∂θ ∂r r r r ∂θ ∂r r ´ EL EJE z CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN
ρ
Dvz ∂p 2 ∂ ∂vz = fmz − + 2µ + µv − µ ∇ · v Dt ∂z ∂z ∂z 3
5.I. Ecuaciones de Navier-Stokes en diferentes sistemas de coordenadas
+
99
1 ∂ ∂vr ∂vz ∂ 1 ∂vz ∂vθ µr + + µ + r ∂r ∂z ∂r r∂θ r ∂θ ∂z
ENERG´ IA
ρ
∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T Kr + 2 K + K ∂r r ∂θ ∂θ ∂θ ∂z
De 1 ∂ = −p∇ · v + φv + Dt r ∂r
2 2 2 2 ∂vz 1 ∂vz ∂vr 1 ∂vθ vr ∂vθ + φv = µ 2 + + + + + ∂r r ∂θ r ∂z r ∂θ ∂z
∂vr ∂vz + ∂z ∂r
2 +
2
1 ∂vr ∂vθ vθ + − r ∂θ ∂r r
2 2 ∂vz ∂vr 1 ∂vθ vr + µv − µ + + + 3 ∂r r ∂θ r ∂z
Para un fluido incompresible de viscosidad constante las ecuaciones de cantidad de movimiento se reducen a:
2 ∂ vθ 1 ∂p D vr vr v2 − θ =− + fmr + ν ∇2 vr − 2 − 2 , Dt r ρ ∂r r r ∂θ
1 ∂p 2 ∂ vr vr vθ vθ D vθ 2 =− + + fmθ + ν ∇ vθ + 2 − 2 , Dt r ρr ∂ θ r ∂θ r D vz 1 ∂p =− + fmz + ν ∇2 vz , Dt ρ ∂z donde ∇2 =
1 ∂ r ∂r
r
∂ ∂r
+
∂2 1 ∂2 + 2. 2 2 r ∂θ ∂z
´ COORDENADAS ESFERICAS vr , vθ y vφ son las velocidades en las direcciones r, θ y φ respectivamente. D ∂ ∂ vφ ∂ vφ ∂ = + vr + + Dt ∂t ∂r r ∂θ r sen θ ∂φ ∇ · v =
∂ 1 1 ∂vφ 1 ∂ 2 (r vr ) + (vθ sen θ) + r2 ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ
CONTINUIDAD Dρ + ρ∇ · v = 0 Dt
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
100
´ r CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN
vθ2 + vφ2 Dvr ρ − Dt r
= fmr −
∂p 2 ∂ ∂vr + 2µ + µv − µ ∇ · v + ∂r ∂r ∂r 3
∂ ∂ vφ 1 ∂vr 1 1 ∂vr ∂ vθ 1 ∂ + + µ r + µ +r r ∂θ ∂r r r ∂θ r sen θ ∂φ r sen θ ∂φ ∂r r
2 ∂vφ ∂ vθ cot θ ∂vr µ ∂vr 2 ∂vθ 4vr 2vθ cot θ 4 − + r cot θ + − − − r ∂r r ∂θ r r sen θ ∂φ r ∂r r r ∂θ ´ θ CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN
vφ2 cot θ Dvθ vr vθ ρ − + Dt r r
1 ∂p 1 ∂ 2µ ∂vθ 2 = fmθ − + + vr + µv − µ ∇ · v + r ∂θ r ∂θ r ∂θ 3
∂ 1 ∂vθ sen θ ∂ vφ ∂ ∂ vθ 1 ∂vr 1 + + µ + µ r + r sen θ ∂φ r ∂θ sen θ r sen θ ∂φ ∂r ∂r r r ∂θ 1 ∂vθ µ 1 ∂vφ vθ cot θ ∂ vθ 1 ∂vr 2 cot θ + 3 r + − − r r ∂θ r sen θ ∂φ r ∂r r r ∂θ ´ φ CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN ρ
∂p 1 vθ vφ cot θ Dvφ vφ vr + = fmφ − + + Dt r r ∂φ r sen θ
∂ 2µ 1 ∂vφ 1 2 + vr + vθ cot θ + µv − µ ∇ · v + r sen θ ∂φ r sen θ ∂φ 3 1 ∂ 1 ∂vθ 1 ∂vr ∂ vφ sen θ ∂ vφ ∂ + + µ +r µ + ∂r r sen θ ∂φ ∂r r r ∂θ r ∂θ sen θ r sen θ ∂φ 1 ∂vr 1 ∂vθ ∂ vφ sen θ ∂ vφ µ 3 + 2 cot θ + +r r r sen θ ∂φ ∂r r r ∂θ sen θ r sen θ ∂φ ENERG´ IA
ρ
De 1 ∂ = −p∇ · v + φv + 2 Dt r ∂r
r2 K
∂T ∂r
+
∂ 1 r2 sen θ ∂θ
∂T K sen θ + ∂θ
5.I. Ecuaciones de Navier-Stokes en diferentes sistemas de coordenadas
∂ 1 2 2 r sen θ ∂φ
K
∂T ∂φ
101
2 2 2 vθ cot θ 1 ∂vφ ∂vr 1 ∂vθ vr vr + + + φv = µ 2 + + + ∂r r ∂θ r r sen θ ∂φ r r
2 2 1 ∂vr 1 ∂vθ sen θ ∂ vφ ∂ vφ + + + +r r sen θ ∂φ r ∂θ sen θ r sen θ ∂φ ∂r r
2 2 1 ∂vφ ∂ vθ 1 ∂vr 2 ∂vr 1 ∂vθ 2vr vθ cot θ + + r + µv − µ + + + ∂r r r ∂θ 3 ∂r r ∂θ r r sen θ ∂φ r
Para un fluido incompresible de viscosidad constante las ecuaciones de cantidad de movimiento se reducen a
vθ2 + vφ2 2 1 ∂p ∂(vθ sen θ) ∂ vφ D vr 2 vr 2 −=− − + ν ∇2 vr − 2 − 2 − 2 , Dt r ρ ∂r r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ φ
vφ2 cot θ 1 ∂p 2 cos θ ∂ vφ 2 ∂ vr vr vθ vθ D vθ 2 − =− − + + ν ∇ vθ + 2 − 2 , Dt r r ρr ∂ θ r ∂θ r sen2 θ r2 sen2 θ ∂ φ vφ vθ cot θ 1 D vφ vφ vr ∂p + =− + + Dt r r ρ r sen θ ∂ φ ν ∇2 vφ + 1 ∂ ∇ = 2 r ∂r 2
∂ vr 2 2 cos θ ∂ vθ vφ . + − r2 sen θ ∂ φ r2 sen2 θ ∂ φ r2 sen2 θ
∂ r ∂r 2
∂ 1 + 2 r sen θ ∂ θ
∂2 ∂ 1 sen θ + 2 ∂θ r sen2 θ ∂ φ2
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
102
´ APENDICE 5.II ECUACIONES PARA MEZCLAS REACTANTES El problema fluidomec´ anico para una mezcla reactante compuesta de N especies consiste en determinar, mediante las ecuaciones de conservaci´on y leyes constitutivas, el campo de velocidades v, densidad ρ, energ´ıa interna e de la mezcla y las fracciones m´asicas Yα de N − 1 especies. La hip´ otesis de equilibrio termodin´ amico local permite calcular las restantes variables termodin´amicas mediante las ecuaciones de estado. En efecto, esta hip´otesis se justifica tambi´en para el caso de mezclas reactantes si se tiene en cuenta que para que una colisi´on sea inel´astica, es decir, se rompan en ella los enlaces qu´ımicos y se establezcan otros nuevos, las mol´eculas deben poseer una energ´ıa cin´etica relativa grande (energ´ıa de activaci´ on) frente a la energ´ıa media de agitaci´on de la mezcla. Por ello, las colisiones inel´asticas son raras, de forma que el tiempo caracter´ıstico tq que transcurre entre ellas (tiempo caracter´ıstico de la reacci´on qu´ımica) es grande frente al tiempo tcol entre colisiones el´asticas que son responsables de la existencia de equilibrio termodin´amico local entre las especies. Naturalmente, la condici´on tq tcol no es suficiente para garantizar el equilibrio termodin´amico local, sino que adem´as debe cumplirse que el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas sea mucho mayor que el tiempo entre colisiones (to tcol ). Obs´ervese que la situaci´on de equilibrio termodin´ amico local no implica una situaci´on de equilibrio qu´ımico si to ∼ tq (el equilibrio qu´ımico exige que to tq ). Conservaci´ on de la masa de las especies La ecuaci´on de conservaci´on de la masa para cada especie relaciona la variaci´on en la unidad de tiempo de la masa contenida en la unidad de volumen con la masa de dicha especie que en la unidad de tiempo abandona la unidad de volumen [∇ · (ρYα vα ), donde vα es la velocidad media de la especie α], y con la masa de la misma producida por reacci´on qu´ımica por unidad de volumen y tiempo, Wα . Si se expresa la velocidad de la especie α como superposici´on de la velocidad de la mezcla y de la velocidad de difusi´on, vα = v + vdα , se obtiene ∂(ρYα ) = −∇ · (ρYα v) − ∇ · (ρYα vdα ) + Wα , ∂t
α = 1, . . N.
(5.52)
Los dos primeros t´erminos del segundo miembro representan la masa de la especie α que por convecci´on y difusi´ on respectivamente abandonan la unidad de volumen en la unidad de tiempo. Si se tiene en cuenta que, de acuerdo con las definiciones de fracci´on m´asica, velocidad de difusi´ on y velocidad de reacci´on qu´ımica, N α=1
Yα = 1,
N
Yα vdα = 0,
α=1
N
Wα = 0,
(5.53)
α=1
y se suma las N ecuaciones (5.52) se obtiene la ecuaci´on de continuidad de la mezcla ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0, ∂t
(5.54)
que puede sustituir a una cualquiera de las ecuaciones (5.52). En lo que sigue se supondr´ a el caso de mezclas diluidas (en las que existe una especie mayoritaria) para las que las velocidades de difusi´ on siguen muy aproximadamente la ley de Fick, (2.47), fα = ρYα vdα = −ρDα ∇Yα , (5.55)
103
5.II. Ecuaciones de conservaci´on para mezclas reactantes
donde α = 1...N − 1 si se toma, sin p´erdida de generalidad, la especie N como mayoritaria. En (5.55), fα es el vector flujo m´asico difusivo de la especie α, y Dα el coeficiente de difusi´on de dicha especie en la especie N .3 Naturalmente, la velocidad de difusi´ on de la especie N viene dada en funci´on de las restantes N −1 YN vdN = − Yα vdα . (5.56) α=1
Haciendo uso de las ecuaciones (5.54) y (5.55), las ecuaciones (5.52) pueden escribirse alternativamente DYα ρ (5.57) = ∇ · (ρDα ∇Yα ) + Wα , α = 1, ...N. Dt Por otra parte, la velocidad de producci´ on de masa de la especie α por reacci´on qu´ımica viene dada por la cin´etica qu´ımica como funci´on del estado termodin´amico local determinado por los valores de la densidad, temperatura y N − 1 fracciones m´asicas. Con objeto de ilustrar la forma de estas relaciones, sup´ongase que entre las N especies existen r reacciones N α=1
να,j Aα
N
να,j Aα ,
j = 1, ...r,
(5.58)
α=1
ormulas qu´ımicas de las distintas especies presentes en la mezcla, y να,j y donde Aα denotan las f´ να,j son sus coeficientes estequiom´etricos en la reacci´on j. Por tanto, la velocidad de producci´ on m´asica de la especie α puede escribirse como
Wα = Mα
r (να,j − να,j )ωj ,
(5.59)
j=1
donde Mα es la masa molar de la especie α, y ωj la velocidad de reacci´on molar asociada a la reacci´on j que, de acuerdo con la cin´etica qu´ımica, puede aproximarse por una ley del tipo de la de Arrhenius N
ωj = Bf,j (T )e−Eaf,j /RT
(ρYα /Mα )να,j − Br,j (T )e−Ear,j /RT
α=1
N
(ρYα /Mα )να,j ,
(5.60)
α=1
on donde Eaf y Ear son las energ´ıas de activaci´on para las reacciones de formaci´on y recombinaci´ respectivamente, y los factores Bf y Br , que dependen d´ebilmente de la temperatura, pueden suponerse constantes en la mayor´ıa de las situaciones de inter´es.4 La constante de equilibrio para la reacci´on j viene dada por (να,j −να,j ) N Bf,j −(Eaf,j −Ear,j )/RT ρYα . e Br,j Mα eq α=1
Kj (T ) =
(5.61)
Ecuaci´ on de cantidad de movimiento de la mezcla La forma de la segunda ley de Newton es la misma para una mezcla que para un fluido homog´eneo en composici´on, puesto que, por definici´ on, la velocidad local de la mezcla v(x, t) representa la velocidad del centro de masas de las mol´eculas, independientemente de la especie, 3 En (5.55) no se han tenido en cuenta los flujos difusivos asociados a los gradientes de presi´ on (barodifusi´ on) ni a los gradientes de temperatura (termodifusi´ on o efecto Soret), puesto que estos efectos son despreciables en la mayor´ıa de las situaciones de inter´es en combusti´ on. 4 Conviene insistir en que la suma de las fracciones m´ asicas es igual a 1 y, por tanto, en las expresiones anteriores s´ olo son independientes N − 1 de ellas.
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
104
que se encuentran alrededor de x. Por tanto, si por generalidad se supone que sobre cada especie act´ uan fuerzas volum´etricas y m´asicas distintas fv,α = ρYα fm,α como, por ejemplo, en soluciones electrol´ıticas, mezclas de gases ionizados, magnetohidrodin´amica, etc., la ecuaci´on de cantidad de movimiento se escribe N = Dv ρ ρYα fm,α . (5.62) = −∇p + ∇· τ + Dt α=1 La ecuaci´on (5.62) expresa que la variaci´ on de la cantidad de movimiento por unidad de volumen y tiempo siguiendo a una part´ıcula fluida de la mezcla es igual a la resultante por unidad de volumen de las fuerzas de presi´on, viscosidad y m´asicas que act´ uan sobre ella. El tensor de esfuerzos de =
viscosidad τ est´a determinado por la ley de Navier- Poisson, (4.30), con coeficientes de viscosidad medios para la mezcla. Ecuaci´ on de la energ´ıa La ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa total de la mezcla se puede escribir N N N = ∂ ρYα eα vα + τ ·v+ pα vα ]+ ρYα fm,α ·vα , (5.63) [ρ(e+v 2 /2)] = −∇·[ρv 2 v/2−K∇T + ∂t α=1 α=1 α=1
donde eα y pα son la energ´ıa interna por unidad de masa y la presi´ on parcial de cada componente, de modo que la energ´ıa interna y presi´ on de la mezcla son e=
N
Yα eα
y
α=1
p=
N
pα .
α=1
La ecuaci´on (5.63) relaciona la variaci´ on local de energ´ıa total de la mezcla con los aportes por unidad de volumen y tiempo debidos a la convecci´ on de energ´ıa cin´etica, conducci´on de calor,5 convecci´on de energ´ıa interna de cada especie y la potencia por unidad de volumen realizada por las fuerzas de viscosidad, de presi´on sobre cada especie y m´asicas. Si se expresa vα = v + vdα , la ecuaci´on (5.63) se escribe N N = ∂ ρYα hα vd,α + τ ·v+pv] + ρYα fm,α ·vα , (5.64) [ρ(e+v 2 /2)] = −∇·[(ρ(e+v 2 /2)v−K∇T + ∂t α=1 α=1
siendo hα = eα + pα /ρα la entalp´ıa por unidad de masa del componente α. Obs´ervese que la ecuaci´on (5.64) es an´aloga a la de un fluido homog´eneo en composici´on si se sustituye el vector flujo de calor por conducci´ on por el vector flujo de calor generalizado −K∇T +
N
ρYα hα vd,α .
α=1
Si se resta la ecuaci´on de cantidad de movimiento multiplicada escalarmente por v (ecuaci´on de la energ´ıa mec´anica) de la ecuaci´on (5.64) y se hace uso de la ecuaci´on de continuidad (5.54) se obtiene la ecuaci´on de la energ´ıa interna ρ
N N = De ρYα hα vd,α ]+ τ : ∇v + ρYα fm,α · vd,α . = −p∇ · v − ∇ · [−K∇T + Dt α=1 α=1
(5.65)
5 No se ha tenido en cuenta el flujo difusivo de calor debido a gradientes de concentraci´ on (efecto Dufour, complementario del efecto Soret), puesto que es despreciable en muchas de las situaciones que ocurren en combusti´ on.
105
5.II. Ecuaciones de conservaci´on para mezclas reactantes
Con objeto de simplificaciones posteriores es conveniente expresar (5.65) en t´erminos de la entalp´ıa de la mezcla h = e + p/ρ, ρ
N N = Dh Dp ρYα hα vd,α ]+ τ : ∇v + ρYα fm,α · vd,α . = − ∇ · [−K∇T + Dt Dt α=1 α=1
(5.66)
A partir de (5.66) puede obtenerse una ecuaci´ on que relaciona la variaci´ on de la parte de la entalp´ıa asociada a la energ´ıa t´ermica con la parte asociada a la energ´ıa qu´ımica. Para ello, t´engase en cuenta que T o hα = h α + cpα dT, (5.67) To
hoα
donde es la entalp´ıa de la especie α a la temperatura de referencia To (entalp´ıa de formaci´on a la temperatura To ) y cpα su calor espec´ıfico a presi´on constante que, en general, depende de la temperatura. Por otra parte, D(Yα hα ) DYα Dhα ρ = ρ hα + Yα (5.68) Dt Dt Dt y haciendo uso de (5.57) se obtiene ρ
DT DYα hα = −hα ∇ · (ρYα vd,α ) + Wα hα − ρYα cpα . Dt Dt
(5.69)
Si se suma la ecuaci´on (5.69) para todas las especies y se sustituye en (5.66) se tiene N = DT Dp ρYα hα vd,α + τ : ∇v+ = − ∇ · −K∇T + ρcp Dt Dt α=1 N
ρYα fm,α · vd,α +
α=1
N
hα ∇ · (ρYα vd,α ) −
α=1
N
Wα hα ,
(5.70)
α=1
donde de acuerdo con (2.28) cp =
N
Yα cpα ,
(5.71)
α=1
es el calor espec´ıfico a presi´on constante de la mezcla. En muchas situaciones, la entalp´ıa de formaci´on de las especies, debida fundamentalmente a la energ´ıa electr´onica de enlace, es mucho mayor que el u ´ ltimo t´ermino de la ecuaci´on (5.67), que representa la contribuci´ on de las energ´ıas t´ermicas (traslaci´on, rotaci´on y vibraci´ on molecular) a hα . Por tanto, se tiene hα hoα y la ecuaci´on (5.70) se reduce a ρcp
N N = DT Dp ρYα fm,α · vd,α − Wα hoα . = + ∇ · (K∇T )+ τ : ∇v + Dt Dt α=1 α=1
(5.72)
Para un fluido homog´eneo en composici´on, la ecuaci´on (5.72) se reduce a la ecuaci´on (5.23) si el calor liberado por unidad de volumen y tiempo por reacci´ on qu´ımica se define en la forma Qq = −
N α=1
Wα hoα .
(5.73)
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
106
Ecuaci´ on de la entrop´ıa La condici´on de equilibrio termodin´ amico local para una mezcla se escribe T dS = de + pd(1/ρ) −
N
µα dYα ,
(5.74)
α=1
donde µα es el potencial qu´ımico de la especie α. Si en la ecuaci´on (5.74) se tienen en cuenta las ecuaciones (5.54), (5.57) y (5.65) se obtiene N = DS ρT ρYα hα vd,α + τ : ∇v+ = −∇ · −K∇T + Dt α=1 N
ρYα fm,α · vd,α −
α=1
N α=1
W α hα +
N
µα ∇ · (ρYα vdα ),
(5.75)
α=1
y haciendo uso de la relaci´on termodin´ amica µα = hα − T Sα , la ecuaci´on anterior puede escribirse tambi´en N DS ∇T ρYα Sα vd,α + − ρ =∇· K Dt T α=1 N N ∇T · ∇T = 1 ρYα vd,α · (fm,α − ∇µα − Sα ∇T ) − K + τ : ∇v + (5.76) Wα µα . T T α=1 α=1 El primer t´ermino del segundo miembro de (5.76) representa el flujo reversible de entrop´ıa por unidad de volumen y tiempo debido a procesos de conducci´ on t´ermica y a la entrop´ıa transportada por la difusi´ on de las especies, mientras que el segundo t´ermino, que es siempre positivo, representa la producci´ on irreversible de entrop´ıa debida a efectos de conducci´on t´ermica, disipaci´on viscosa, reacci´on qu´ımica y difusi´on de las especies en el interior de la unidad de volumen. En el equilibrio deben cumplirse, por tanto, las relaciones ∇T = 0,
=
τ : ∇v = 0,
N
Wα µα = 0,
y
fmα − ∇µα = 0,
(5.77)
α=1
que corresponde a condiciones de temperatura uniforme, de reposo o movimiento como s´olido r´ıgido, equilibrio qu´ımico y gradientes de potenciales qu´ımicos equilibrados por las fuerzas m´asicas por unidad de masa.
5.III. Aplicaciones de la ecuaci´on de la entrop´ıa en forma integral
107
´ APENDICE 5.III ´ DE APLICACIONES DE LA ECUACION LA ENTROP´IA EN FORMA INTEGRAL Con objeto de cuantificar para sistemas fuera del equilibrio algunos resultados cl´ asicos de la Termodin´amica, se considerar´a volumen cerrado Ωf (t) de un fluido homog´eneo en composici´on limitado por una superficie Σf (t), que intercambia calor y trabajo con el exterior [el caso de los sistemas abiertos se ilustra en el Cap´ıtulo 10]. En particular, es de inter´es obtener, a partir de la forma integral de la energ´ıa y de la entrop´ıa, (5.50) y (5.51), expresiones generales de magnitudes tales como la relaci´on entre el trabajo obtenido y el calor a˜ nadido al sistema (rendimiento) cuando ´este opera c´ıclicamente o el trabajo m´aximo que puede obtenerse del sistema cuando ´este evoluciona hasta alcanzar una posici´on de equilibrio termodin´ amico.6 ˙ ˙ Obs´ervese primero que si E y Ek denotan los valores instant´ aneos de las variaciones por unidad ˙ y Q˙ son las potencias de tiempo de las energ´ıas interna y cin´etica contenidas en el sistema, y W mec´anica (realizadas por las fuerzas de superficie y m´asicas) y calor´ıfica (por conducci´ on, radiaci´ on y combusti´ on) netas comunicadas al sistema, la ecuaci´on (5.50) particularizada para un sistema cerrado puede escribirse en forma abreviada ˙ + Q. ˙ E˙ + E˙k = W
(5.78)
Si las fuerzas m´asicas derivan de un potencial independiente del tiempo fm = −∇U , la potencia ˙ en (5.78) e incluirse en el primer miembro mec´anica debida a las mismas pueden sustraerse de W como variaciones por unidad de tiempo de la energ´ıa potencial del sistema E˙p (esta contribuci´ on junto a las variaciones de energ´ıa cin´etica del sistema se omiten generalmente en las situaciones consideradas en la Termodin´amica del equilibrio). Con objeto de combinar la ecuaci´ on de la energ´ıa total y la de la entrop´ıa (5.50), es conveniente separar en Q˙ las contribuciones debidas a las zonas donde se a˜ nade calor al sistema de aquellas donde ´este cede calor al medio (en general dichas zonas pueden variar con el tiempo). Si Σaf (t) [Σcf (t)] representa las zonas de la superficie Σf (t) a trav´es de las que se a˜ nade [cede] calor por conducci´on, es decir, K ∇ T · n > 0 (K ∇ T · n < 0) y si Ωaf (t) c [Ωf (t)] representa las zonas del interior del volumen Ωf (t) en las que Qr + Qq > 0 (Qr + Qq < 0), el calor por unidad de tiempo a˜ nadido al sistema en el instante t es entonces ˙ Qa (t) = K ∇T · ndσ + (Qr + Qq )d . (5.79) Σa f (t)
Ωa f (t)
Si adem´as Q˙ c es el valor absoluto del calor por unidad de tiempo cedido por el sistema se tiene ˙ Qc (t) = − K ∇T · ndσ − (Qr + Qq )d . (5.80) Σcf (t)
Ωcf (t)
Por tanto, el calor neto recibido por el sistema en la unidad de tiempo es Q˙ = Q˙ a − Q˙ c . En la Termodin´amica del equilibrio se considera exclusivamente el caso particular en que el sistema recibe o cede calor a temperaturas uniformes en el espacio y en el tiempo. Como este caso no es general, 6 Conviene indicar que los resultados que aqu´ ı se muestran, basados en las ecuaciones en forma integral, sin ninguna hip´ otesis sobre las formas del tensor de esfuerzos y del vector flujo de calor por conducci´ on, son aplicables a cualquier medio continuo, en particular a s´ olidos y a sistemas compuestos por varias fases homog´eneas (s´ olidos limitados por fluidos, o un l´ıquido y su vapor, etc.), ya que en este caso las integrales en las ecuaciones de la energ´ıa y entrop´ıa pueden realizarse a trozos sobre los diferentes continuos.
108
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
si se desea recuperar los resultados de la Termodin´amica, es conveniente definir las temperaturas medias de absorci´on, Ta (t) y cesi´on de calor, Tc (t) en el instante t mediante las ecuaciones K ∇T · n Q˙ a Qr + Qq = dσ + d , a a Ta T T Σf (t) Ωf (t)
(5.81)
K ∇T · n Qr + Qq −Q˙ c = dσ + d . c c Tc T T Σf (t) Ωf (t)
(5.82)
Obs´ervese que la contribuci´ on de cada elemento de superficie o de volumen a Ta y Tc depende tanto de su temperatura como del calor que recibe o cede dicho elemento. Definiendo la cantidad de entrop´ıa producida irreversiblemente en la unidad de tiempo D˙ como = 2 K|∇ T | τ : ∇ v d ≥ 0, + D˙ = (5.83) T T2 Ωf (t) la ecuaci´on de la entrop´ıa (5.51) puede escribirse para un sistema cerrado Q˙ c Q˙ a ˙ S˙ = − + D, Ta Tc
(5.84)
donde S˙ es el valor instant´ aneo de la variaci´ on por unidad de tiempo de la entrop´ıa del sistema.7 Consid´erese ahora que el sistema evoluciona entre los instantes t1 y t2 (t1 ≤ t2 ). Integrando (5.78) en dicho intervalo de tiempo se obtiene ∆E + ∆Ek = W + Q,
(5.85)
donde ∆E = E2 − E1 y ∆Ek = Ek2 − Ek1 representan las variaciones de energ´ıa interna y cin´etica entre los estados final e inicial, y W y Q son el trabajo y el calor netos recibidos por el sistema durante el proceso. An´alogamente, la integraci´ on de (5.84) proporciona ∆S =
Qc Qa − + D, Ta Tc
(5.86)
∆S = S∈ − S∞ la variaci´ on de entrop´ıa del sistema entre los estados final e inicial, Qa = siendo t2 ˙ t2 ˙ t ˙ Q Q ≥ 0 la dt y Q = dt los calores absorbidos y cedidos por el sistema, D = t12 Ddt a c c t1 t1 entrop´ıa producida irreversiblemente, y Ta y Tc las temperaturas medias de absorci´on y cesi´on de calor durante el proceso, definidas como Qa = Ta y Qc = Tc
t2
t1
t2
t1
Q˙ a dt, Ta
(5.87)
Q˙ c dt. Tc
(5.88)
Obs´ervese que Ta y Tc involucran un promediado tanto temporal como espacial (a trav´es de Ta y Tc ) y est´an completamente definidas en t´erminos de las variables locales del sistema mediante (5.79)-( 5.82) y (5.87)-(5.88). 7
˙ puede calcularse a partir de la ecuaci´ Para el caso de fluidos no homog´eneos en composici´ on D on (5.76).
5.III. Aplicaciones de la ecuaci´on de la entrop´ıa en forma integral
109
Si se multiplica ahora la ecuaci´on (5.86) por Tc y se resta de (5.85) se obtiene, teniendo en cuenta que Q = Qa − Qc , ∆E + ∆Ek − Tc ∆S = W + Qa (1 − Tc /Ta ) − Tc D.
(5.89)
Para un proceso c´ıclico (∆E = ∆Ek = 0 = ∆S), la ecuaci´on (5.89) proporciona la relaci´ on entre el trabajo realizado por el sistema, −W ,8 y el calor absorbido por el mismo, Qa , Tc D −W Tc =1− − . Qa Ta Qa
(5.90)
Los dos primeros sumandos del segundo miembro de esta ecuaci´on representan el rendimiento m´aximo (rendimiento de Carnot) del sistema, que se obtiene cuando ´este opera reversiblemente entre las temperaturas medias de absorci´on y cesi´on de calor Ta y Tc , mientras que el tercer sumando representa la disminuci´ on respecto del rendimiento de Carnot debida a la entrop´ıa generada por los procesos irreversibles en el interior del sistema cuantificados por D. 9 Obs´ervese que la influencia de las irreversibilidades del proceso decrece al disminuir la temperatura media a la que el sistema cede el calor y al aumentar el calor a˜ nadido. Para un proceso no c´ıclico la expresi´on (5.89) permite hallar el trabajo m´ aximo que puede extraerse del sistema dados los estados inicial y final del proceso (y por tanto ∆E, ∆Ek y ∆S), Tc , Ta y Qa . En efecto, haciendo D = 0 en (5.89) se obtiene −Wmax = Qa (1 − Tc /Ta ) − ∆(E + Ek − Tc S).
(5.92)
De forma an´aloga puede tambi´en obtenerse de (5.89) el trabajo m´ınimo que es necesario comunicar al sistema para llevarlo del estado inicial al final o bien el calor m´ınimo que es necesario aportar si se fija el trabajo que el sistema debe recibir o aportar durante el proceso. El concepto de exerg´ıa10 surge de forma natural de (5.92) cuando se considera el caso particular en que el sistema intercambia calor s´olo con un medio de dimensiones lo suficientemente grandes tal que su presi´on y temperatura pueden considerarse constantes, po y To . En efecto, si se expresa el trabajo intercambiado por el sistema como W = Wm − po ∆V + Wu , suma de la contribuci´ on de las fuerzas m´asicas, Wm , el trabajo de las fuerzas de presi´on que el medio exterior realiza sobre el sistema a trav´es de las superficie com´ un al variar su volumen una cantidad ∆V , −po ∆V , y el trabajo Wu que se denomina u ´til (por ejemplo, el realizado sobre unos a´labes ba˜ nados por el fluido), y se tiene en cuenta que ahora Tc = Ta = To , la ecuaci´on (5.89) se escribe −Wu = Wm − ∆(Ek + E + po V − To S) − To D.
(5.93)
Se puede definir ahora la variable exerg´ıa del sistema como Ex = E − Eo + po (V − Vo ) − To (S − So ),
(5.94)
donde Eo , Vo y So son los valores de la energ´ıa interna, volumen y entrop´ıa del sistema cuando se encuentra en equilibrio termodin´ amico con el medio exterior (estado de referencia). Es f´acil ver 8 Si las fuerzas m´ asicas derivan de un potencial independiente del tiempo, a −W s´ olo contribuyen las fuerzas de superficie, puesto que la variaci´ on de energ´ıa potencial del sistema en un ciclo es nula. 9 Para sistemas cerrados funcionando en r´ ˙ el rendimiento del egimen globalmente estacionario (E˙ = E˙ k = 0 = S) sistema se obtiene directamente de (5.78) y (5.84) resultando
˙ ˙ Tc D −W Tc =1− − . Ta Q˙ a Q˙ a
(5.91)
10 Profusamente utilizado en ´ ambitos tecnol´ ogicos donde, a veces con exceso, se presenta como nexo de uni´ on entre los principios termodin´ amicos y econ´ omicos. El nombre de Termoeconom´ıa, sugerido desde estos ´ ambitos, parece cuando menos exagerado.
110
Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mec´anica de Fluidos
que la exerg´ıa representa el trabajo m´ınimo que es necesario comunicar al sistema para llevarlo del estado de referencia al considerado. Si se supone que las fuerzas m´asicas derivan de un potencial independiente del tiempo, el trabajo u ´til realizado por el sistema entre dos estados es −Wu = (Ek1 − Ek2 ) + (Ep1 − Ep2 ) − (Ex1 − Ex2 ) − To D,
(5.95)
donde Ep representa la energ´ıa potencial del sistema. Haciendo D = 0 en (5.95) se comprueba que, en ausencia de variaciones de energ´ıa cin´etica y potencial, el trabajo u ´til m´aximo que puede extraerse del sistema es igual a la disminuci´on de su exerg´ıa. Consid´erese, por u ´ltimo, un sistema cerrado aislado t´ermicamente que inicialmente se encuentra fuera del equilibrio termodin´ amico. De acuerdo con el principio de conservaci´ on de la energ´ıa, el trabajo que realiza el sistema cuando evoluciona desde el estado inicial (denotado con el sub´ındice 1) hasta el estado de equilibrio termodin´ amico (sub´ındice o) es −W = (E1 − Eo ) + (Ek1 − Eko ) + (Ep1 − Epo ),
(5.96)
donde, por simplicidad, se ha supuesto que las fuerzas m´ asicas derivan de un potencial. Si las variaciones Ek1 − Eko y Ep1 − Epo de energ´ıa cin´etica y potencial del sistema en el proceso son conocidas,11 el m´aximo trabajo que puede extraerse del sistema corresponde, naturalmente, a la m´axima disminuci´ on de energ´ıa interna, es decir, dada E1 , a la m´ınima Eo . Puesto que la energ´ıa interna en un estado de equilibrio termodin´ amico es una funci´on creciente de la entrop´ıa [(∂E/∂S)Ω = T > 0], es claro que si un sistema aislado t´ermicamente (y que, por tanto, s´olo puede aumentar su entrop´ıa) evoluciona hacia el equilibrio termodin´ amico, la m´ınima energ´ıa interna en el equilibrio ser´a la correspondiente a la entrop´ıa inicial S1 , Eomin = Eomin (S1 , Ωo ), y puede calcularse directamente mediante las ecuaciones termodin´amicas de estado. Por tanto, el m´aximo trabajo que puede extraerse del sistema en el proceso, fijado el volumen Ωo del sistema al final del mismo, es (5.97) −Wmax = [E1 − Eomin (S1 , Ωo )] + (Ek1 − Eko ) + (Ep1 − Epo ). Como aplicaci´on, compruebe el lector que el trabajo m´aximo que puede extraerse de dos masas iguales, M, de un l´ıquido perfecto de calor espec´ıfico c, es (suponiendo despreciable las variaciones de la energ´ıa cin´etica y potencial, as´ı como las de volumen) (5.98) −Wmax = M c( TA − TB )2 donde TA y TB (TA > TB ) son las temperaturas iniciales de las masas de l´ıquido.12 Este trabajo podr´ıa obtenerse, por ejemplo, en un experimento ideal en el que un peque˜ no cilindro que contiene un gas y est´a provisto de un ´embolo efect´ ua ciclos de Carnot infinitesimales transfiriendo calor desde el fluido caliente al fr´ıo hasta que se alcanza la temperatura de equilibrio. Si no se extrae trabajo del sistema, entonces E1 = Eo , por lo que la temperatura del sistema en el equilibrio es (TA + TB )/2 y el incremento de entrop´ıa en el proceso es TA + TB > 0, So − S1 = M c ln √ 2 T A TB
(5.99)
que debe ser igual a D de acuerdo con la ecuaci´on (5.86).
11 En el estado de equilibrio termodin´ amico Eko debe ser nula o bien la correspondiente a un movimiento como s´ olido r´ıgido del sistema, de manera que la funci´ on de disipaci´ on de Rayleigh sea id´enticamente nula. 12 Para ello basta demostrar que la temperatura de equilibrio alcanzada en un proceso a entrop´ ıa constante (igual √ a la inicial) es TA TB .
Cap´ıtulo 6
An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica 6.1.
Introducci´ on
En la resoluci´on te´orica de los problemas f´ısicos se utilizan las leyes de la f´ısica (normalmente representadas por ecuaciones diferenciales) para establecer las propiedades del fen´omeno f´ısico considerado, y para calcular, mediante el an´ alisis matem´atico, las variables f´ısicas desconocidas. Sucede, sin embargo, en la mec´anica de medios continuos y en otras ramas de la f´ısica y de la ingenier´ıa, que los fen´omenos bajo consideraci´on son, a menudo, tan complicados que conducen a ecuaciones de complejidad tal que su resoluci´on anal´ıtica es impensable. Como se coment´o en el cap´ıtulo anterior, para obviar esta dificultad se recurre al empleo de modelos simplificados (cuya soluci´on anal´ıtica o num´erica sea viable) o al recurso del m´etodo experimental que, bajo la gu´ıa del an´alisis dimensional y de la teor´ıa de la semejanza f´ısica, ha producido resultados muy fruct´ıferos en la Mec´anica de Fluidos. El an´ alisis dimensional se basa en el principio de que las relaciones funcionales entre las variables que intervienen en un fen´ omeno f´ısico dado son independientes del sistema de unidades elegido. 1 Como se ver´a posteriormente, dicho principio permite expresar toda la informaci´ on contenida en las relaciones entre las variables f´ısicas de un problema en t´erminos de un n´ umero menor de variables adimensionales obtenidas a partir de las originales mediante el m´etodo del an´alisis dimensional. En problemas complejos, dicha reducci´on en el n´ umero de variables a considerar representa enormes ventajas, no s´olo desde el punto de vista anal´ıtico, sino fundamentalmente experimental, ya que reduce dr´asticamente el n´ umero de medidas a realizar y, por tanto, el coste de los experimentos. Por otra parte, sucede a menudo que muchos fen´ omenos f´ısicos no pueden ser investigados directamente ante la dificultad, evidente en muchos casos, de reproducir a escala natural en el laboratorio el proceso real que se desea investigar. Como se ver´a en lo que sigue, la teor´ıa de la semejanza f´ısica asegura que si la geometr´ıa involucrada en dos problemas de ingenier´ıa de distinta escala de longitud es semejante (por ejemplo, el flujo de aire alrededor de un avi´ on real y de su modelo a escala) y est´an gobernados por las mismas ecuaciones y condiciones iniciales y de contorno escritas en forma adimensional, ambos problemas son f´ısicamente semejantes (presentan 1 Se debe emplear, naturalmente, un sistema coherente de unidades que, como es sabido, se obtiene partiendo de un n´ umero m´ınimo de unidades fundamentales y calculando las unidades derivadas mediante las leyes de la F´ısica. As´ı, por ejemplo, la ley de Newton F = m a, que relaciona la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo de masa m con la aceleraci´ on a de su centro de gravedad, permite calcular la unidad de fuerza [F ] en funci´ on de la unidad de masa [m] y la unidad de aceleraci´ on mediante la relaci´ on [F ] = [m][a] = [m][L][T ]−2 . [L] y [T ] representan las unidades de longitud y tiempo respectivamente.
111
Cap´ıtulo 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica
112
semejanza f´ısica) en el sentido de que entre las magnitudes hom´ologas de la soluci´on de cada problema, en puntos e instantes que se correspondan, existe una proporcionalidad que permite trasladar autom´aticamente la soluci´on de uno de ellos a la del otro, lo que constituye un resultado del m´as alto valor pr´ actico desde el punto de vista experimental, y del que se ha hecho en Mec´anica de Fluidos un uso m´ as sistem´atico y extenso que en cualquier otra rama de la f´ısica y de la ingenier´ıa.
6.2.
Cantidades dimensionales y adimensionales. Semejanza geom´ etrica
Una cantidad se llama dimensional si su valor num´erico depende de la escala usada en su medida; esto es, depende del sistema de unidades elegido. Una cantidad se dice adimensional cuando su valor num´erico es independiente del sistema de unidades de medida. Ejemplos t´ıpicos de cantidades dimensionales son la longitud, el tiempo, la fuerza, la energ´ıa, etc. Los ´angulos, la relaci´on entre dos longitudes, la relaci´ on entre la energ´ıa y el momento, etc., son ejemplos de cantidades adimensionales. Un conjunto de cantidades f´ısicas son dimensionalmente dependientes cuando las dimensiones f´ısicas de una de ellas se pueden obtener mediante alguna combinaci´ on de las restantes; por ejemplo, la presi´ on, la densidad y la velocidad son dependientes, [p] = [ρ][v]2 ; en caso contrario las cantidades f´ısicas son independientes. Por ejemplo, la viscosidad, la densidad y la velocidad son dimensionalmente independientes, ya que [µ] = [ρ][v][L], por lo que no es posible obtener las dimensiones de la viscosidad a partir de las de la densidad y velocidad u ´nicamente. Las dimensiones de las cantidades que intervienen en un problema f´ısico determinado pueden obtenerse a partir de un n´ umero de cantidades dimensionalmente independientes. Para un problema mec´ anico dicho valor es tres, porque masa [M ], longitud [L] y tiempo [T ] son las cantidades independientes de las que se pueden obtener las restantes variables mec´anicas: velocidad, aceleraci´on, fuerza, etc. Si se trata de un problema termomec´anico, dicho n´ umero es cuatro, ya que aparece la temperatura como nueva dimensi´on f´ısica, mientras que en problemas electrotermomec´anicos el n´ umero es cinco al aparecer la carga el´ectrica como dimensi´on f´ısica adicional. Para lo que sigue conviene caracterizar la geometr´ıa de la superficie de un objeto que, en general, viene definida matem´aticamente por una relaci´on (o relaciones) entre las coordenadas y un conjunto de longitudes caracter´ısticas del mismo. Por ejemplo, un elipsoide de semiejes a, b, c se define en ejes principales por la relaci´on x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 − 1 = 0, y un paralelep´ıpedo de aristas a, b, c est´a definido por las relaciones y = b, z ≤ c, x ≤ a; z = c, y ≤ b, x ≤ a; etc´etera La ecuaci´on, o conjunto de ecuaciones, que definen la superficie de un objeto con longitudes caracter´ısticas l, l1 , l2 , ... ln se representar´a de forma gen´erica por Σ(x, l, l1 , l2 , ...ln ) = 0.
(6.1)
Dos objetos definidos por la misma ecuaci´on y con iguales valores de cada uno de los cocientes l1 /l, ...ln /l, se denominan geom´etricamente semejantes. Por tanto, para identificar un objeto dentro de una serie geom´etricamente semejante bastar´a con especificar el valor de una u ´nica longitud caracter´ıstica, l.
6.3.
Teorema Π
Como se indic´o anteriormente, las relaciones entre magnitudes f´ısicas, establecidas te´oricamente o directamente mediante experimentos, son relaciones funcionales entre ellas que caracterizan el fen´ omeno bajo investigaci´ on. El valor num´erico de una cantidad f´ısica dimensional depende del sistema de unidades de medida, pero dicho sistema no es en s´ı mismo esencial al problema. Por
6.3. Teorema Π
113
el contrario, las relaciones funcionales que ligan entre s´ı las magnitudes f´ısicas deben ser independientes del sistema de unidades elegido; lo que sugiere la existencia de alguna estructura especial para dichas relaciones funcionales. En efecto, consid´erese una relaci´on funcional entre las cantidades f´ısicas ao , a1 , ... an , ao = f (a1 , a2 , ...ak , ...an ).
(6.2)
Si k es el n´ umero de dimensiones f´ısicas independientes del problema, se supondr´ a que entre las n+1 magnitudes ai existen k de ellas que son dimensionalmente independientes, k < n+1. Sin p´erdida de generalidad, se puede suponer que a1 , a2 ,... ak son las k independientes. Por tanto, las dimensiones del resto de magnitudes ao , ak+1 ,... an se pueden obtener a partir de las k independientes [ai ] = [a1 ]αi,1 [a2 ]αi,2 , ...[ak ]αi,k ,
i = 0, k + 1, k + 2, ..., n.
(6.3)
Si se definen las variables o par´ ametros adimensionales πi =
ai , α α a1 i,1 ...ak i,k
i = 0, k + 1, k + 2...n,
(6.4)
y se sustituye (6.4) en la ecuaci´on (6.2) se obtiene α
πo =
α
α
α
f (a1 , a2 , ..., ak , πk+1 a1 k+1,1 ...ak k+1,k , ..., πn a1 n,1 ...ak n,k ) , α α a1 o,1 ...ak o,k
(6.5)
o lo es que es equivalente, πo = g(a1 , a2 , ..., ak , πk+1 , ..., πn );
(6.6)
on g ni πo , πk+1 , ... donde a1 , a2 , ..., ak dependen del sistema de unidades utilizado, no as´ı la funci´ y πn que son variables y par´ ametros adimensionales. Si se escoge ahora un sistema de unidades distinto, de modo que cambie s´olo el valor de a1 (por ejemplo, a1 ) y las dem´as magnitudes queden invariables, se tiene: πo = g(a1 , a2 , ..., ak , πk+1 , ..., πn ),
(6.7)
lo que conduce a que πo debe ser independiente de a1 , puesto que, por ser adimensional, su valor no var´ıa al cambiar a1 por a1 . Repitiendo el razonamiento con las siguientes magnitudes a2 , ..., ak , se llega a que πo es tambi´en independiente de ellas y, por tanto, se puede escribir: πo = g(πk+1 , ..., πn ).
(6.8)
Como se ve, la relaci´on funcional entre las n + 1 magnitudes dimensionales se ha reducido a una relaci´on funcional entre n + 1 − k magnitudes adimensionales. Esta conclusi´on general de la teor´ıa dimensional se conoce con el nombre de teorema Π o de Vaschy-Buckingham. Debe se˜ nalarse que dicha relaci´on funcional a la que conduce el teorema contiene exactamente la misma informaci´on que la relaci´on funcional original (6.2) y, por tanto, al reducir el n´ umero de par´ametros que definen la cantidad a ser estudiada, se reduce la investigaci´ on experimental, ya que hay que realizar un menor n´ umero de medidas para caracterizar el fen´omeno f´ısico bajo consideraci´on. En particular, si n = k el an´alisis dimensional indica que el par´ ametro a medir πo es una constante y su valor puede ser obtenido mediante un u ´nico experimento. Conviene indicar que, aunque el m´etodo del an´alisis dimensional ense˜ na la forma de reducir un n´ umero de variables dimensionales a un n´ umero menor y determinado de par´ ametros adimensionales, dicho m´etodo no especifica, naturalmente, qu´e conjunto de variables dimensionalmente independientes es conveniente usar en un problema concreto, ni qu´e par´ametros adimensionales
Cap´ıtulo 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica
114
deben elegirse. Adem´as, si se define un nuevo par´ ametro adimensional a partir de la combinaci´ on de dos (o m´as) par´ametros adimensionales dados, πi y πj , mediante una ecuaci´on de la forma π i = f1 (πi , πj ),
(6.9)
dicho par´ ametro puede sustituir a πi en la relaci´on funcional original (6.8), ya que a partir de (6.9) se tiene la ecuaci´on πi = f2 (π i , πj ), (6.10) que introducida en (6.8) proporciona πo = g(πk+1 , ...f2 (π i , πj ), ..., πj , ..., πn ),
(6.11)
πo = g(πk+1 , ..., π i , ..., πj , ..., πn ).
(6.12)
o, lo que es equivalente, Las ecuaciones (6.8) y (6.12) son igualmente v´alidas desde el punto de vista del an´ alisis dimensional, lo que sugiere que, una vez obtenida una relaci´ on adimensional, es posible sustituir par´ ametros por otros obtenidos a partir de los anteriores y que posean mayor inter´es f´ısico. Es, por tanto, tarea del investigador experimental seleccionar correctamente los par´ametros adimensionales que influyen en el problema.
6.4. 6.4.1.
Ejemplos de aplicaci´ on del an´ alisis dimensional Gasto de l´ıquido a trav´ es de un vertedero
Uno de los procedimientos utilizados para medir el caudal de l´ıquido que pasa a trav´es de un canal consiste en poner un obst´aculo en el mismo que hace que el fluido se acumule aguas arriba del obst´aculo y su nivel se eleve una altura h por encima de la cota m´axima H del obst´aculo, v´ease Figura 6.1. pa g
h
H
zi
z x
Figura 6.1: Gasto de agua a trav´es de un vertedero. Suponiendo el flujo bidimensional y estacionario, las ecuaciones que gobiernan las dos componentes de la velocidad vx y vz , seg´ un los ejes horizontal x y vertical z, y la presi´on son ∂ vz ∂ vx + = 0, ∂x ∂z
(6.13)
115
6.4. Ejemplos de aplicaci´on del an´ alisis dimensional 2 ∂ vx ∂ vx ∂ 2 vx ∂p ∂ vx , + + ρ vz =− +µ ∂x ∂z ∂x ∂ x2 ∂ z2 2 ∂ 2 vz ∂ vz ∂ vz ∂p ∂ vz − ρ g. ρ vx + + ρ vz =− +µ ∂x ∂z ∂z ∂ x2 ∂ z2 ρ vx
(6.14)
(6.15)
donde ρ y µ son la densidad y viscosidad del l´ıquido y g es la aceleraci´on de la gravedad. Como condiciones de contorno se impondr´a que la velocidad del fluido es nula en la solera del canal y en las superficies s´olidas vx (x, 0) = vz (x, 0) = 0;
vx (0, z) = vz (0, z) = 0
en
0 ≤ z ≤ H.
(6.16)
Aguas arriba del obst´ aculo, donde la componente vertical de la velocidad es nula, la distribuci´ on de presiones viene dada por la fluidoest´ atica p = pa + ρg(H + h − z)
en x → −∞.
(6.17)
Finalmente, sobre la superficie libres, fs (z, x) = z − zs (x) = 0, que es desconocida, se impondr´an las condiciones cinem´aticas y din´amicas siguientes v · ∇ fs = 0,
=
p − pa + n· τ ·n = 0
=
y
=
n· τ −[n· τ ·n]n = 0,
(6.18)
=
donde τ y n son respectivamente el tensor de esfuerzos de viscosidad y la normal exterior a la superficie libre. Obs´ervese que el esfuerzo tangencial en la entrefase agua-aire se ha supuesto nulo; esta hip´otesis se justifica por el hecho de que el coeficiente de viscosidad del agua es muy grande frente al del aire. Por otra parte, y aunque formalmente se hayan retenido los esfuerzos normales de viscosidad en la segunda de las condiciones (6.18), ´estos son despreciables frente a la presi´on en una gran mayor´ıa de situaciones pr´acticas, en las que el n´ umero de Reynolds es grande, como en el caso particular de la corriente de agua a trav´es de un vertedero. En general, se desea determinar el caudal por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento que viene dado por 2
H+h
q=
vx (−∞, z) dz.
(6.19)
o
Ocurre, sin embargo, que la integraci´ on del problema de contorno (6.13)-(6.18) no es tarea f´ acil, y para determinar q se suele recurrir a la experimentaci´on, calibrando debidamente la configuraci´ on anterior para obtener el gasto como funci´ on de h. La dependencia funcional del caudal respecto a los par´ ametros del problema se establece f´acilmente de la simple inspecci´on de las ecuaciones y condiciones de contorno (6.13)-(6.18) q = q(ρ, g, h, µ, H).
(6.20)
Si se toman tres variables como independientes, por ejemplo ρ, g y h, y se aplica el teorema Π se tiene µ q H √ = f . (6.21) , g 1/2 h3/2 ρ ghh h 2 Obs´ ervese que al contrario que el campo de velocidades y presiones, el caudal, o la fuerza sobre la compuerta no dependen de las variables independientes x, z.
Cap´ıtulo 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica
116
Sucede en la pr´actica que los efectos viscosos son peque˜ nos en el movimiento del agua a trav´es de un vertedero y pueden ignorarse sin cometer errores apreciables, de modo que la expresi´on m´as simplificada del caudal adimensional es q H =f . (6.22) 1/2 3/2 h g h Obs´ervese que una serie experimental de medidas de q frente a h permitir´ıa obtener la ley experimental que determina el caudal como funci´ on de la altura. Por otra parte, sucede en muchas situaciones que h H y por tanto el caudal se puede aproximar por la expresi´ on q = F (∞) g 1/2 H 3/2 ,
F (∞) ≡ (h/H)3/2 f (H/h)
para H/h → ∞
(6.23)
donde F (∞) es una constante a determinar experimentalmente mediante una u ´nica medida.
6.4.2.
Movimiento estacionario de un fluido incompresible alrededor de un obst´ aculo
Consid´erese la corriente estacionaria de un fluido incompresible,3 de densidad ρ y viscosidad µ, alrededor de un cuerpo de forma cualquiera, por ejemplo el de la Figura 6.2. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento estacionario del fluido en ejes ligados al cuerpo, en el supuesto de que las fuerzas m´asicas sean despreciables,4 son ∇ · v = 0,
(6.24)
ρ v · ∇v = −∇ p + µ ∇2 v;
(6.25)
U¥ , p¥
D L F
Figura 6.2: Fuerzas sobre un obst´aculo movi´endose en el seno de un fluido. 3 4
Un l´ıquido o un gas movi´endose con velocidades mucho menores que la de la velocidad del sonido (v´ease 6.5). Esta hip´ otesis se satisface ampliamente en el movimiento de gases, pero no siempre en el de l´ıquidos.
117
6.4. Ejemplos de aplicaci´on del an´ alisis dimensional con las condiciones de contorno v = U∞ i, p = p∞ v=0
en
en
|x| → ∞,
Σ(x, l, l1 , ...ln ) = 0,
donde Σ(x, l, l1 , ...ln ) = 0 es la ecuaci´on de la superficie del objeto, de longitudes caracter´ısticas l, l1 y ln , y p∞ y U∞ son los valores, supuestos uniformes, de la presi´on y velocidad del fluido suficientemente lejos del obst´aculo. De la inspecci´on de las ecuaciones y condiciones de contorno es claro que la soluci´on del problema s´olo puede depender de las variables independientes, x, y de las constantes que aparecen en las ecuaciones y condiciones de contorno, es decir, v = v(x, ρ, µ, U∞ , l, l1 , ...ln ),
(6.26)
p − p∞ = p(x, ρ, µ, U∞ , l, l1 , ...ln );
(6.27)
obs´ervese que puesto que el movimiento depende s´olo del gradiente de presiones [v´ease (6.25)], para satisfacer las condici´on de contorno de la presi´ on en el infinito basta restar a ´esta el t´ermino p∞ . La fuerza que el fluido ejerce sobre el obst´aculo es la resultante de las fuerzas de presi´on y de viscosidad, que pueden ser calculadas directamente a partir (6.26) y (6.27). Si n es la normal unitaria exterior a la superficie del objeto, la fuerza resultante sobre el mismo es = F = (−p n + n· τ )d σ == F (ρ, µ U∞ , l, l1 , ...ln ), (6.28) Σ
donde para obtener la dependencia funcional (6.28) se ha hecho uso de las expresiones (6.26) y (6.27) y se ha tenido en cuenta que Σ p∞ nd σ = p∞ Σ nd σ = 0 si Σ es una superficie cerrada. La componente de dicha fuerza seg´ un la direcci´on de la corriente D i, se denomina resistencia aerodin´amica, mientras que la componente perpendicular a la direcci´on de la corriente sin perturbar se denomina sustentaci´on, L k. Si se eligen ρ, U∞ y l como variables independientes, el teorema Π permite reducir las expresiones (6.26) y (6.27) a la forma adimensional x µ v = f1 , (6.29) , α1 , ..., αn , U∞ l ρ U∞ l p − p∞ = f2 2 ρ U∞
µ x , , α1 , ..., αn , l ρ U∞ l
(6.30)
que muestran las relaciones existentes entre los campos adimensionales de velocidades y presiones y los par´ametros adimensionales de posici´on x/l, el n´ umero de Reynolds Re = ρ U∞ l/µ (que como se ver´a posteriormente mide la importancia relativa de las fuerzas de inercia convectivas frente a las de viscosidad), y los coeficientes adimensionales entre longitudes α1 = l1 /l, ... αn = ln /l. An´alogamente, la expresi´on (6.28) para la fuerza sobre el obst´ aculo se reduce a 1 F (6.31) = f , ..., α , α 3 1 n . 2 l2 ρ U∞ Re Las relaciones funcionales (6.29), (6.30) y (6.31) se simplifican dr´ asticamente si se consideran series de objetos geom´etricamente semejantes para los que los coeficientes adimensionales α1 , α2 , ..., αn son constantes. En este caso, la ecuaci´on (6.31) muestra que basta medir experimentalmente las
118
Cap´ıtulo 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica
componentes de la fuerza adimensional como funci´on de un u ´nico par´ ametro, el n´ umero de Reynolds, para conocer la fuerza que act´ ua sobre cualquier objeto de la serie geom´etricamente semejante situado en el seno de cualquier fluido incompresible y para cualquier valor de la velocidad incidente. Obs´ervese que para obtener dicha informaci´ on a partir de (6.28), es decir, sin la ayuda del an´alisis dimensional, ser´ıa necesario medir experimentalmente F variando independiente cuatro cantidades (ρ, µ, U∞ y l) en vez de s´olo una, lo cual incrementar´ıa enormemente el n´ umero de medidas. Resulta patente, por tanto, la ventaja de usar el an´ alisis dimensional como gu´ıa de la experimentaci´on. Por otra parte y de acuerdo con (6.29)-(6.31), las corrientes de velocidades Up y Um y densidades y viscosidades ρp , ρm , µp y µm alrededor de dos obst´aculos geom´etricamente semejantes, por ejemplo un prototipo y su modelo, caracterizados por las longitudes lp y lm se reducen al mismo problema adimensional siempre que ρp U∞p lp ρm U∞m lm = . µm µp
(6.32)
Entonces el coeficiente de fuerza adimensional es id´entico para ambos Fp Fm = , 2 2 2 l2 ρm U∞m lm ρp U∞p p
(6.33)
y en puntos geom´etricamente semejantes, xm /lm = xp /lp , se tiene
y
vp vm = , U∞m U∞p
(6.34)
pp − p∞p pm − p∞m = . 2 2 ρm U∞m ρp U∞p
(6.35)
Por tanto, conocida la soluci´ on experimental para el modelo se puede calcular la del prototipo y la de cualquier otro problema geom´etricamente semejante sin m´as que deshacer los cambios de escala. Finalmente, se ilustrar´a mediante un ejemplo la importancia de elegir adecuadamente las variables independientes en un problema concreto. Por ejemplo, consid´erese la expresi´on funcional de la resistencia aerodin´amica de un objeto que, a partir de (6.28), viene dada por D = D(ρ, µ, U∞ , l, l1 , ...ln ).
(6.36)
Si se eligen ρ, U∞ y l como variables independientes, el an´alisis dimensional permite escribir (6.36) en la forma 2D 1 CD = (6.37) = f , α , ..., α , α 1 2 n , 2 l2 ρ U∞ Re que indica que la resistencia adimensional, denominada coeficiente de resistencia CD , de un obst´ aculo en el seno de una corriente estacionaria, incompresible, cuando las fuerzas m´asicas son despreciables, depende u ´nicamente del n´ umero de Reynolds del flujo y de la geometr´ıa del objeto.5 En el movimiento de fluidos a altos n´ umeros de Reynolds, (Re 1), alrededor de obst´ aculos de geometr´ıa roma (no fuselados) se observa experimentalmente que el coeficiente de resistencia, CD , es independiente del n´ umero de Reynolds y depende s´olo de la geometr´ıa del obst´aculo; es decir, CD f (0, α1 , ...αn ) = g(α1 , ..., αn ),
Re 1.
(6.38)
5 Usualmente, l2 representa el ´ area de la proyecci´ on del cuerpo sobre un plano perpendicular a la direcci´ on de la corriente sin perturbar.
119
6.5. Semejanza f´ısica
La ecuaci´on (6.38) proporciona la ley de la resistencia para el movimiento de un fluido incompresible alrededor de cuerpos romos a altos n´ umeros de Reynolds Re 1,
2 2 D = ρ U∞ l g(α1 , ... αn ),
(6.39)
que como se ve resulta independiente de la viscosidad del fluido. Contrariamente, como se ver´ a m´as adelante, en el movimiento del fluido alrededor de cuerpos aerodin´ amicos (de geometr´ıa fuselada) a altos n´ umeros de Reynolds, los efectos viscosos son importantes, aunque s´olo en una zona delgada (capa l´ımite) en torno al obst´aculo, y el coeficiente de resistencia es una funci´on decreciente del n´ umero de Reynolds. Consid´erese ahora el l´ımite de movimiento a muy bajos n´ umeros de Reynolds.6 Se observa experimentalmente que el coeficiente de resistencia no permanece acotado al disminuir indefinidamente el n´ umero de Reynolds, por lo que no es posible en este caso obtener la ley de resistencia directamente a partir de (6.37). En efecto, en este r´egimen, opuesto al anterior, el efecto de las fuerzas de viscosidad domina frente al de las fuerzas de inercia, lo que sugiere que la resistencia depende muy poco de la densidad del fluido (propiedad ´ıntimamente relacionada con su inercia). Por tanto, si se aplica el an´alisis dimensional a (6.36), tomando ahora como variables independientes µ, U∞ y l, se obtiene la expresi´on D (6.40) = f (Re, α1 , ... αn ), µ U∞ l que permanece acotada para Re 1. En este l´ımite el segundo miembro de (6.40) depende u ´nicamente de la geometr´ıa del objeto, por lo que la ley de la resistencia a bajos n´ umeros de Reynolds (ley de Stokes) es D = µ U∞ l g(α1 , ...αn ),
Re 1;
(6.41)
y el coeficiente de resistencia viene dado por CD =
g(α1 , ...αn ) 2D = , Re 1. 2 l2 ρ U∞ Re
(6.42)
Como se ver´a en el Cap´ıtulo 9, para el caso del flujo alrededor de una esfera, g = 6π si l es el radio.
6.5.
Semejanza f´ısica
En 6.4 se ilustr´o un ejemplo de aplicaci´on de la semejanza f´ısica a la resoluci´on experimental de un problema fluidomec´ anico cl´asico (la determinaci´on de las fuerzas que una corriente ejerce sobre un obst´aculo) utilizando modelos geom´etricamente semejantes. A continuaci´on se analizar´an las condiciones que determinan la semejanza f´ısica y se obtendr´an de forma sistem´atica, mediante la adimensionalizaci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes, los par´ametros adimensionales que gobiernan los movimientos fluidos. Para precisar m´as lo anterior, consid´erese el movimiento m´as general de un fluido, gobernado, como se sabe, por las ecuaciones de Navier Stokes ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0, ∂t ρ
= ∂v + ρv · ∇v = −∇p + ∇· τ +ρfm , ∂t
(6.43) (6.44)
6 Debido a que los coeficientes de viscosidad del agua y del aire son muy peque˜ nos, el n´ umero de Reynolds del movimiento de estos fluidos es muy grande en la mayor´ıa de las situaciones pr´ acticas, excepto en el caso de cuerpos (part´ıculas) de dimensiones muy peque˜ nas desplaz´ andose con velocidades relativas al fluido tambi´en muy peque˜ nas.
Cap´ıtulo 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica
120
= ∂e + ρv · ∇e = −p∇ · v+ τ : ∇v + ∇ · (K∇T ), ∂t 1 ∂vi ∂vj τij , = 2µ γij + (µv − 2/3µ)∇ · vδij , γij = + 2 ∂xj ∂xi
ρ
con
(6.45) (6.46)
y las ecuaciones de estado e − eref = cv (T − Tref ),
y
ρ = ρ(p, T ),
(6.47)
donde se han omitido los t´erminos debidos al calor por radiaci´ on y por reacci´on qu´ımica en la ecuaci´on de la energ´ıa . Para adimensionalizar el sistema de ecuaciones es conveniente definir las nuevas variables y magnitudes adimensionales: t∗ = t/to , x∗ = x/Lo , v∗ = v/vo , p∗ = p/po , ρ∗ = ρ/ρo , ∗ = fm /|fmo |, µ∗ = µ/µo , µ∗v = µv /µo , K ∗ = K/Ko , T ∗ = T /To , fm
(6.48)
donde el super´ındice * significa variables o par´ ametros adimensionales mientras que el sub´ındice cero denota magnitudes (o diferencias de magnitudes, seg´ un los casos) t´ıpicas del movimiento, conocidas a trav´es de los datos del problema y de las condiciones iniciales y de contorno. Introduciendo las nuevas variables en el sistema (6.43)-(6.45) se tiene ρo ∂ρ∗ ρ o vo ∗ ∇ · (ρ∗ v∗ ) = 0, + to ∂t∗ Lo
(6.49)
vo ∗ =,∗ ρo vo ∗ ∂v∗ ρo vo2 ∗ ∗ po ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ρ ρ v · ∇ p + µ ∇ · τ +ρo |fmo |ρ∗ fm , ∇ + v = − o to ∂t∗ Lo Lo L2o
(6.50)
ρo cv To ∗ ∂T ∗ ρo vo cv To ∗ ∗ ρ ρ v · ∇∗ T ∗ = + ∗ to ∂t Lo −
K o To ∗ v2 = po vo ∗ ∗ ∗ p ∇ · v + µo o2 τ ,∗ : ∇∗ v∗ + ∇ · (k ∗ ∇∗ T ∗ ); Lo Lo L2
(6.51)
el super´ındice * en los operadores divergencia, gradiente, y laplaciano indican derivaci´ on respecto a x∗ . En forma adimensional el sistema (6.49)-(6.51) se escribe Lo ∂ρ∗ + ∇∗ · (ρ∗ v ∗ ) = 0, vo to ∂t∗
(6.52)
= µo po ∗ ∗ Lo |fmo | ∗ ∗ Lo ∗ ∂v ∗ ρ ∇ p + ρ fm + ∇∗ · τ ,∗ , + ρ∗ v ∗ · ∇ ∗ v ∗ = − 2 2 ∗ vo to ∂t ρ o vo vo ρo vo Lo
(6.53)
Lo ∗ ∂T ∗ po ρ p∗ ∇ ∗ · v ∗ + + ρ∗ v ∗ · ∇ ∗ T ∗ = − ∗ vo to ∂t ρo cv To = Ko µo vo τ ,∗ : ∇∗ v∗ + ∇∗ · (K∇∗ T ∗ ). ρo cv To Lo ρcv vo Lo
(6.54)
La semejanza f´ısica entre dos problemas fluidodin´ amicos requiere: 1.
Igualdad de las ecuaciones en ambos problemas, lo que implica igualdad de los par´ ametros adimensionales Lo , vo to
po , ρo vo2
Lo |fmo | , vo2
µo po µo vo , , , ρo vo Lo ρo cv To ρo cv To Lo
Ko . ρcv vo Lo
(6.55)
121
6.5. Semejanza f´ısica
2. Igualdad en las condiciones de contorno e iniciales escritas en forma adimensional, lo que exige semejanza geom´etrica en ambos problemas. 3. Igualdad de las funciones de estado adimensionales µ∗ , µ∗v , K ∗ ... A continuaci´ on se enumeran los par´ametros adimensionales que aparecen en las ecuaciones adimensionalizadas y se discutir´an sus significados f´ısicos. El n´ umero de Strouhal, St = Lo /vo to , aparece en procesos no estacionarios como el cociente entre las variaciones locales debidas a la no estacionariedad del movimiento a las que hay asociadas un tiempo caracter´ıstico to (normalmente el tiempo caracter´ıstico para variaciones apreciables de las condiciones de contorno) y las variaciones convectivas, asociadas a un tiempo t´ıpico Lo /vo denominado tiempo de residencia. Si el tiempo de residencia es mucho menor que el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las condiciones de contorno, esto es Lo /vo to 1, una part´ıcula fluida atraviesa el dominio fluido (de dimensi´ on caracter´ıastica Lo ) en un tiempo tan peque˜ no comparado con to que no percibe variaciones apreciables en las condiciones de contorno. Por tanto, en cualquier instante dado la situaci´ on en el interior del dominio fluido es, en primera aproximaci´ on, la que corresponder´ıa a unas condiciones de contorno estacionarias iguales a las existentes en el instante considerado. El movimiento fluido se denomina entonces cuasiestacionario en el sentido de que las derivadas temporales se pueden despreciar en el an´alisis y el tiempo juega el papel de un par´ ametro. El n´ umero de Euler, Eu = po /ρo vo2 , indica la influencia de la compresibilidad del fluido en el caso de gases y es el par´ametro caracter´ıstico de la cavitaci´on en el caso de l´ıquidos. En efecto, en movimientos no dominados por los efectos de la fricci´on se tiene de la ecuaci´on de cantidad de movimiento |ρ v · ∇ v| ∼ |∇ p| o ρo vo2 /Lo ∼ ∆ p/Lo , (6.56) donde Lo es la longitud caracter´ıstica en la que se producen variaciones de la velocidad del orden de ella misma y ∆ p es el orden de magnitud de las variaciones de presi´on que se producen en dicha longitud. Si, adem´ as, los efectos de la fricci´on y adici´ on de calor no son dominantes (de tal forma que el movimiento no es marcadamente irreversible), la relaci´on entre las variaciones de presi´on y de densidad pueden estimarse en el movimiento de gases como ∂p ∆p po (6.57) ∼ = a2 ∼ γ , ∆ρ ∂ρ S ρo donde a es la velocidad del sonido definida en 2.1 [a = (γ p/ρ)1/2 para un gas perfecto] y γ = cp /cv es la relaci´on de calores espec´ıficos. Combinando (6.56) y (6.57) se obtiene ∆p ρo vo2 1 ∆ρ ∼ ∼ = = γ Mo2 , ρo po po Eu
(6.58)
donde Mo = vo /ao es el n´ umero de Mach que se define como el cociente entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido. De (6.58) se deduce que las variaciones relativas de densidad, para el tipo de movimiento considerado, son proporcionales al cuadrado del n´ umero de Mach, ∆ ρ/ρo ∼ Mo2 . Naturalmente, en movimientos en los que el n´ umero de Mach sea peque˜ no, las variaciones relativas de densidad, del orden del cuadrado del n´ umero de Mach, ser´an muy peque˜ nas y el gas puede considerarse incompresible en primera aproximaci´ on. En el caso de movimiento de l´ıquidos es bien sabido que cuando la presi´ on est´atica alcanza un determinado valor, llamado presi´ on de vapor, pv ( para el agua a T = 288 K, pv = 0,017 atm) el l´ıquido hierve (cavita) y se gasifica. A partir de (6.56) se deduce que, para movimientos de l´ıquidos no dominados por la fricci´ on, ρo vo2 1 ∆p ∼ = , (6.59) po po Eu
122
Cap´ıtulo 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica
que indica que la disminuci´ on relativa de presi´ on en el movimiento es mayor cuanto menor es el n´ umero de Euler, lo que indica una mayor posibilidad de que se presente cavitaci´ on. El n´ umero de Froude, F r = vo2 /(g Lo ), mide la importancia de las fuerzas de inercia frente a las gravitatorias. Dicho n´ umero tambi´en puede interpretarse como el cociente entre el tiempo necesario para que la gravedad origine un cambio apreciable (del orden de vo ) en la componente vertical de la velocidad del fluido, y el tiempo de residencia de las part´ıculas en el dominio fluido, F r = (vo /g)/(Lo /vo ); obs´ervese que si F r 1 las fuerzas gravitatorias son despreciables en el movimiento del fluido. Una interpretaci´ on alternativa del n´ umero de Froude resulta de la descomposici´on de las variaciones verticales de presi´on en la suma de las variaciones asociadas al movimiento del fluido (∆z p)m , m´as las variaciones asociadas al efecto de la gravedad (∆z p)g (fluidost´ atica), (6.60) ∂ p/∂ z ∼ (∆z p)/Lo = (∆z p)m /Lo + (∆z p)g /Lo , donde Lo es en este caso una dimensi´on caracter´ıstica vertical del movimiento fluido. Se tiene (∆z p)g ∼ ρo g Lo ,
(6.61)
y, para movimientos no dominados por la fricci´ on, (∆z p)m ∼ ρo vo2 .
(6.62)
Para l´ıquidos (∆z p)g ∼ 103 × 9,8 × Lo Kg/m/s2 10−1 Lo atm, por lo que para valores usuales de Lo (Lo ∼ 10 m) pueden obtenerse variaciones de presi´on debidas a la gravedad comparables en muchos casos a las debidas al movimiento [F r ∼ (∆z p)m /(∆z p)g ∼ O(1)]. Sin embargo, en gases, cuya densidad es t´ıpicamente mil veces menor que la de los l´ıquidos, (∆z p)g ∼ 10−4 Lo atm por lo que salvo para variaciones de altura del orden de Lo ∼ 104 m, o movimientos muy lentos (variaciones de presi´on debidas al movimiento peque˜ nas), se tendr´a F r 1 y las fuerzas m´asicas ser´an despreciables en el movimiento. El n´ umero de Reynolds, Re = ρo vo Lo /µo , es una medida de la importancia relativa entre las fuerzas de inercia convectiva y las de viscosidad. En efecto, el orden de magnitud de las fuerzas de inercia convectiva es |ρ v · ∇v| ∼ ρo vo2 /Lo , (6.63) mientras que el orden de magnitud de las fuerzas de viscosidad es 2 ∂ v ∂2 v ∂2 v 2 ∼ µo vo , + |µ ∇ v| = µ 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z L2o
(6.64)
donde se ha supuesto, como ocurre, por ejemplo, en muchos casos de flujos alrededor de obst´aculos (flujos externos), que las magnitudes caracter´ısticas para variaciones de velocidad son del mismo orden de magnitud en las tres direcciones del espacio. La relaci´on entre (6.63) y (6.64) proporciona el n´ umero de Reynolds. Para movimientos a altos n´ umeros de Reynolds, Re 1, las fuerzas de viscosidad son despreciables frente a las de inercia y al contrario sucede para movimientos a peque˜ nos Re. En el caso de conductos existen, en general, tanto variaciones apreciables de velocidad a lo largo del conducto (direcci´on del movimiento), con una longitud caracter´ıstica Lo , como, debido a la condici´on de no deslizamiento en la pared, en la direcci´ on transversal al mismo con una longitud caracter´ıstica Do Lo . Se tiene entonces 2 ∂ v ∂2 v ∼ µ vo /Do2 |µo ∂ 2 v/∂ x2 | ∼ µo vo /L2o , |µ ∇2 v| ∼ µo 2 + (6.65) ∂y ∂ z2
123
6.5. Semejanza f´ısica
que indica que las fuerzas de viscosidad est´an asociadas principalmente a la difusi´ on transversal de cantidad de movimiento (el contorno del conducto act´ ua como una fuente o sumidero de cantidad de movimiento longitudinal). A partir de (6.63) y (6.65) se obtiene |ρ v · ∇ v| ρo vo Do2 Do , ∼ = Re 2 |µ ∇ v| µ Lo Lo
(6.66)
donde el n´ umero de Reynolds se define en este caso como Re = ρo vo Do /µo . El par´ ametro Re Do /Lo mide, por tanto, la importancia relativa entre las fuerzas de inercia convectiva y las de viscosidad en el movimiento en conductos. El n´ umero de Peclet, P e = ρo cp Uo Lo /Ko , representa la relaci´on entre la convecci´on de energ´ıa interna y el calor recibido por conducci´ on. En efecto, si Lo es una longitud caracter´ıstica para una variaci´ on de temperaturas ∆ T a lo largo del movimiento, el t´ermino de convecci´on de energ´ıa interna puede estimarse como ρ cv v · ∇ T ∼ ρo cv vo ∆ T /Lo ∼ ρo cp vo ∆ T /Lo ,
(6.67)
y el t´ermino de conducci´on de calor como ∇ · (K ∇ T ) ∼ Ko ∆ T /L2o ,
(6.68)
donde se ha supuesto que las longitudes caracter´ısticas para variaciones del orden de ∆ T son del mismo orden de magnitud en todas las direcciones del espacio (flujos externos). Dividiendo (6.67) y (6.68) se obtiene el n´ umero de Peclet. En movimientos en conductos existen, en general, tanto variaciones de temperaturas longitudinales, con longitud caracter´ıstica Lo , como transversales, con longitud caracter´ıstica Do Lo . Se tiene entonces 2 ∂2 T ∂ T ∂2 T ∇ · (K ∇ T ) ∼ Ko ∼ Ko ∆ T /Do2 Ko + ∼ Ko ∆ T /L2o (6.69) 2 2 ∂y ∂z ∂ x2 y
ρ cv v · ∇ T ρo cp vo ∆ T /Lo = P e Do /Lo ; ∼ ∇ · (K ∇ T ) K ∆ T /Do2
(6.70)
ametro donde el n´ umero de Peclet se define, en este caso, como P e = ρo cp vo Do /Ko . El par´ P e Do /Lo representa, por tanto, la relaci´ on entre la convecci´on y la difusi´ on de calor en flujos en conductos. El n´ umero de Peclet se puede escribir en la forma P e = Re µo cp /Ko = Re P r, donde P r = µo cp /Ko es el n´ umero de Prandtl que, como se vio en 2.6.1, representa la importancia relativa entre dos fen´omenos de transporte similares: la difusi´on viscosa o difusi´on de cantidad de movimiento y la difusi´ on de calor. Obs´ervese que el n´ umero de Prandtl es una propiedad del fluido y no del tipo de flujo considerado. El par´ ametro po /(ρo To cv ) representa, en gases, la relaci´on entre el trabajo de compresi´on y la convecci´on de energ´ıa interna (en l´ıquidos perfectos dicho par´ ametro no aparece, puesto que ∇ · v = 0). En efecto, ρ cv v · ∇ T ∼ ρo cv vo ∆ T /Lo (6.71) y −p ∇ · v =
po vo ∆ T p Dρ po ∆ ρ , ∼ ∼ ρ Dt ρo (Lo /vo ) Lo To
(6.72)
donde para estimar la derivada sustancial se ha usado el tiempo caracter´ıstico de residencia de las part´ıculas en el dominio fluido, tr ∼ Lo /vo , y se han relacionado las variaciones relativas de densidad con las variaciones relativas de temperatura mediante estimaci´on de ´ordenes de magnitud
Cap´ıtulo 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica
124
en la ecuaci´on de estado del gas que proporciona (suponiendo que las variaciones relativas de presi´ on son a lo sumo del orden de magnitud de las de temperatura) ∆ ρ/ρo ∼ ∆ T /To . A partir de (6.71) y (6.72) se obtiene Rg −p ∇ · v po = = γ − 1, (6.73) ∼ ρ cv v · ∇ T ρo cv To cv donde γ es la relaci´on entre los calores espec´ıficos. Se observa, por tanto, que este par´ ametro solamente depende del gas y no del tipo de movimiento. Adem´as es siempre de orden unidad (γ = 1,4 para el aire), por lo que en la ecuaci´ on de la energ´ıa interna de un gas siempre deben aparecer juntos los t´erminos correspondientes a la convecci´on de energ´ıa interna y al trabajo de compresi´on. Por esta raz´on, en el caso de movimiento de gases es conveniente sustituir la ecuaci´on de la energ´ıa interna por la ecuaci´ on de la entalp´ıa, donde no aparece expl´ıcitamente el trabajo de compresi´on, sino el trabajo mec´anico de las fuerzas de presi´on. En movimientos de gases a bajos n´ umeros de Mach, esta sustituci´on permite resolver por separado el problema mec´anico (calculado con ∇ · v = 0) del problema t´ermico. El par´ ametro µo vo /(ρo cv Lo To ), donde To es una variaci´ on t´ıpica de temperatura en el movimiento, representa la relaci´on entre la energ´ıa disipada por viscosidad y la convecci´ on de energ´ıa interna. En efecto, para flujos externos se tiene que =
por lo que
τ : ∇v ∼ µ ∇ v : ∇ v ∼ µo vo2 /L2o ,
(6.74)
µ∇v : ∇v µo vo 1 vo2 µ vo2 /L2o . = = ∼ ρ cv v · ∇ T ρo cv vo ∆T /Lo ρo cv ∆T Lo Re cv ∆T
(6.75)
Definiendo un n´ umero de Mach basado en la temperatura caracter´ıstica To , Mo2 = vo2 /γ Rg To , (6.75) se escribe, en el caso de gases, como γ(γ − 1)Mo2 To /(Re∆To ). En l´ıquidos el valor de la expresi´on (6.75) suele ser muy peque˜ no; en efecto, si se compara este valor para agua y aire bajo condiciones similares de flujo se tiene cv g 1 [µo /(ρo cv )]l [vo /(Lo ∆T )]l ∼ 10−1 ∼ 1, [µo /(ρo cv )]g [vo /(Lo ∆T )]g cv l 40
(6.76)
donde los sub´ındices l y g se refieren al l´ıquido y al gas respectivamente y se ha tenido en cuenta que bajo condiciones similares de flujo, [vo /(Lo ∆T )]l ∼ [vo /(Lo ∆T )]g . Para flujos en conductos se tiene que µ ∇v · ∇v 1 vo2 µo vo2 /Do2 , = ∼ ρ cv v · ∇ T ρo cv vo ∆T /Lo Re Do /Lo cv ∆T
(6.77)
donde Re = ρo vo Do /µo .
Referencias y lecturas recomendadas F. M. White, Mec´ anica de fluidos, McGraw-Hill, 2004. L. I. Sedov, Similarity and Dimensional Methods in Mechanics, Academic Press, Nueva York, 1959. G. Mill´ an, Problemas matem´ aticos de la mec´ anica de fluidos. Estructura de las ondas de choque y combusti´ on. Discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias F´ısicas, Matem´aticas y Naturales, 1975.
Cap´ıtulo 7
Movimientos unidireccionales 7.1.
Introducci´ on
La dificultad fundamental para la resoluci´ on (exacta o aproximada) de las ecuaciones de NavierStokes reside en los t´erminos no lineales que introduce la convecci´ on. En esta lecci´on se considerar´an algunos flujos en los que el t´ermino convectivo de la ecuaci´on de cantidad de movimiento es id´enticamente nulo, lo que permite obtener soluciones exactas de las ecuaciones de NavierStokes que, aparte de su inter´es acad´emico, proporcionan ideas cualitativas del comportamiento de los fluidos en situaciones m´as realistas, para las que los movimientos unidireccionales pueden considerarse casos l´ımites correspondientes a valores extremos de los par´ametros adimensionales que caracterizan el movimiento. Como se ver´a, el estudio de dichas soluciones proporciona conceptos f´ısicos y matem´aticos fundamentales para el an´alisis de situaciones reales m´as complejas. Adem´as, para la resoluci´on de algunos de los problemas aqu´ı considerados se introducir´ an de un modo intuitivo y sencillo t´ecnicas matem´aticas muy potentes (perturbaciones regulares y singulares y soluciones de semejanza) que resultan u ´ tiles en otros cap´ıtulos de la Mec´anica de Fluidos. En los Ap´endices 7.I y 7.II se exponen brevemente los fundamentos de estas t´ecnicas. En lo que sigue se considerar´an primero los movimientos unidireccionales de l´ıquidos en los que la viscosidad se supone independiente de la temperatura o, en otras palabras, cuando las variaciones de temperatura en el l´ıquido son lo suficientemente peque˜ nas como para suponer que la viscosidad es constante en primera aproximaci´on. Ocurre entonces que las ecuaciones que describen el problema mec´anico est´an desacopladas de las del problema t´ermico y ambos pueden atacarse por separado facilitando su resoluci´ on. Posteriormente, se considerar´an los efectos de compresibilidad y conducci´ on de calor mediante el an´alisis de casos sencillos de movimiento unidireccional y estacionario de gases.
7.2.
Movimiento unidireccional de l´ıquidos
Consid´erese el movimiento unidireccional de un l´ıquido cuyo campo de velocidades v = u i lleva la direcci´on del eje x. El cumplimiento de la ecuaci´on de continuidad ∂u = 0, ∂x
(7.1)
requiere la independencia del campo de velocidades respecto a x, u = u(y, z, t), siendo y y z coordenadas cartesianas en un plano perpendicular a x. Por tanto, las tres componentes de la 125
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
126
ecuaci´on de cantidad de movimiento se simplifican notablemente 2 ∂u ∂ u ∂2 u ∂p ρ , + =− + ρ fmx + µ ∂t ∂x ∂ y2 ∂ z2
(7.2)
∂p (7.3) + ρ fmy , ∂y ∂p (7.4) + ρ fmz , 0=− ∂z donde los t´erminos convectivos son id´enticamente nulos debido a que u no depende de x y a que son nulas las componentes de la velocidad seg´ un y y z. Obs´ervese que se ha supuesto la viscosidad constante, por lo que el problema mec´anico est´a desacoplado del t´ermico. Las proyecciones de la ecuaci´on de cantidad de movimiento seg´ un los ejes y y z indican la existencia de equilibrio hidrost´ atico en estas direcciones, dada la ausencia de movimiento seg´ un estos ejes, por lo que la componente transversal de las fuerzas m´asicas debe derivar de un potencial. En lo que sigue se supondr´ a que fm = −∇ U , as´ı que, de acuerdo con (7.3)-(7.4), p + ρ U (que se suele denominar presi´ on reducida o, mejor a´ un, presi´ on motriz) no depende de y ni de z: 0=−
p + ρ U = f (x, t). Denominando pl ≡ −∂(p + ρ U )/∂ x, la ecuaci´on (7.2) se escribe 2 ∂u ∂ u ∂2u ρ ; + = pl + µ ∂t ∂y 2 ∂z 2
(7.5)
(7.6)
obs´ervese que pl , al igual que u, es independiente de x, y s´olo depende del tiempo, [pl = pl (t)]. El campo de temperaturas se determina a partir de la ecuaci´on de la energ´ıa interna, una vez conocido el campo de velocidades 2 2 ∂T ∂u ∂u ∂T 2 ρc + Qr + Qq , + (7.7) +u = K∇ T + µ ∂t ∂x ∂y ∂z donde la conductividad t´ermica del l´ıquido se ha supuesto constante. La ecuaci´on (7.7) expresa que el almacenamiento de energ´ıa interna en la unidad de volumen m´ as el calor que sale de ella por convecci´on es igual al que entra en ella por conducci´ on m´as los que se le a˜ naden por radiaci´ on y reacci´on qu´ımica m´as la potencia por unidad de volumen disipada por viscosidad. Las ecuaciones en derivadas parciales (7.6) y (7.7), que son lineales para la velocidad y la temperatura respectivamente, deben resolverse sujetas a condiciones iniciales y de contorno que deben ser compatibles con la unidireccionalidad del movimiento. Como condiciones iniciales se deben imponer u = uo (y, z) y T = To (x, y, z) en t = 0. (7.8) Adem´as, sobre el contorno que limita al fluido, y cuya geometr´ıa debe ser independiente de x, deben especificarse los valores de la velocidad y temperatura del fluido, u = uc y T = Tc , donde , uc y Tc son la velocidad y temperatura del contorno respectivamente. Para completar el problema ser´a necesario especificar tambi´en el gradiente de presi´on reducida pl (t) o, en su lugar, el gasto volum´etrico que atraviesa cualquier secci´on transversal del conducto Q= u d σ. (7.9) Σ
Conviene indicar, finalmente, que en virtud de la linealidad de la ecuaci´ on (7.6) se pueden superponer soluciones lo que facilita la obtenci´ on de ´estas y su interpretaci´on f´ısica de la soluci´on del problema si se separan las contribuciones de las distintas causas que intervienen en el movimiento.
127
7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos
7.2.1.
Movimientos unidireccionales estacionarios
Corriente de Couette Consid´erese un l´ıquido, de viscosidad µ, situado entre dos placas paralelas e infinitas y el flujo estacionario inducido por el movimiento, con velocidad constante, de una de las placas paralelamente a s´ı misma. En este caso, flujo de Couette, el gradiente de presi´on reducida es nulo,1 (pl = 0) y la ecuaci´on (7.6) se reduce a ∂2 u = 0, (7.10) ∂ y2 con las condiciones de contorno u(0) = 0 y u(h) = V, (7.11) donde se ha supuesto que la velocidad de la placa inferior es nula y la de la superior es V , v´ease Figura 7.1. La soluci´ on de (7.10)-(7.11) es un perfil de velocidad lineal (corriente de Couette): u = V y/h ,
(7.12)
y a partir de ´el se pueden calcular algunas de las caracter´ısticas del movimiento. en efecto, el V
h y x
Figura 7.1: Corriente de Couette. esfuerzo viscoso, τxy = µ ∂ u/∂ y, es constante en todo el flujo e igual a µ V /h, siendo ´esta, por tanto, la fuerza por unidad de superficie necesaria para mover la placa superior con velocidad V y la que es necesario hacer, pero en sentido contrario, para que la placa inferior no sea arrastrada por el movimiento del fluido (la medici´ on de esta fuerza constituye un procedimiento simple para determinar experimentalmente la viscosidad de un l´ıquido). La potencia por unidad de superficie comunicada a la placa es, por tanto, µ V 2 /h. Finalmente, el caudal por unidad de longitud que fluye entre las placas es h Vh . (7.13) q= udy = 2 o Corriente bidimensional de Hagen-Poiseuille Corresponde al movimiento estacionario de un l´ıquido entre placas fijas generado por un gradiente de presi´on reducida pl independiente del tiempo. En este caso, la ecuaci´on de cantidad de movimiento en la direcci´on x y las condiciones de contorno correspondientes al flujo esquematizado en la Figura 7.2 son: ∂2 u 0 = pl + µ , (7.14) ∂ y2 1
Es ´ este uno de los pocos casos en los que la viscosidad es el mecanismo motor del movimiento del fluido.
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
128
u(0) = u(h) = 0.
(7.15)
h y x Figura 7.2: Corriente de Hagen-Poiseuille. La soluci´on de (7.14)-(7.15) es el perfil parab´ olico de velocidades, denominado de HagenPoiseuille, pl y(h − y). (7.16) u= 2µ El esfuerzo viscoso µ∂u/∂y es nulo en el centro del canal (y = h/2) y m´aximo en las paredes (y = 0 e y = h): ∂u pl h pl (7.17) = −τxy (h). τxy = µ = (h − 2 y), τxy (0) = ∂y 2 2 Finalmente, el caudal por unidad de longitud perpendicular al eje z es: h h 3 pl , (7.18) q= udy = 12 µ o que se suele denominar de Poiseuille por analog´ıa con el flujo a trav´es de un conducto de secci´on circular (v´ease 7.2.2) estudiado experimentalmente por Poiseuille en 1840. El perfil de velocidad correspondiente al movimiento originado por un gradiente de presi´ on constante y por el movimiento de una de las placas (por ejemplo, la superior) se obtiene sin m´ as que sumar (7.12) y (7.16) en virtud de la linealidad del problema: u=
pl Vy + y(h − y), h 2µ
(7.19)
V h h3 pl + . 2 12 µ
(7.20)
siendo el caudal por unidad de longitud q=
Este campo de velocidades (Couette + Poiseuille) es la base de la lubricaci´on fluidomec´anica, que se estudiar´a en el Cap´ıtulo 8, donde se generalizan estos flujos para el caso h(x, t) y pl (x, t) suponiendo que h var´ıa muy lentamente con x, y que las fuerzas de viscosidad son dominantes en el movimiento. Bajo estas condiciones, y como se ver´a posteriormente, dicha generalizaci´on es inmediata debido a que, en primera aproximaci´ on, el fluido se comporta localmente (en un entorno de cada x) como lo har´ıa en un movimiento unidireccional entre dos placas planas paralelas e infinitas separadas una distancia igual al espesor local h(x, t).
129
7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos
7.2.2.
Corriente de Hagen-Poiseuille en un conducto de secci´ on circular constante
Consid´erese el movimiento unidireccional estacionario de un l´ıquido en un conducto, infinitamente largo, de secci´on circular y di´ ametro D constante, originado por un gradiente de presi´ on reducida independiente del tiempo. En coordenadas cil´ındricas (x, r, θ), la ecuaci´on (7.6) resulta µ ∂ ∂u 0 = pl + r , (7.21) r ∂r ∂r donde pl = −∂(p + ρU )/∂x; la soluci´on general de (7.21) es u=−
pl r 2 + c1 ln r + c2 . 4µ
(7.22)
Como la velocidad no puede ser singular en el eje, c1 = 0; por otra parte, la velocidad debe ser nula en la pared, r = D/2, as´ı que 2 2r pl D 2 . (7.23) 1− u= 16 µ D El esfuerzo de fricci´on de la pared sobre el fluido es ∂u pl D , τf = (τrx )r=D/2 = µ =− ∂ r r=D/2 4
(7.24)
mientras que el caudal que circula por el conducto es
2π
Q=
D/2
dθ o
drru = o
π D4 ∂(p + ρ U ) π D4 pl = − . 128 µ 128 µ ∂x
(7.25)
Esta es la conocida ley de Hagen-Poiseuille, que obtuvieron experimentalmente Hagen (1839) y Poiseuille (1840) relacionando el caudal que circula por un conducto circular con la ca´ıda de presi´on entre sus extremos. En particular, si en dos secciones de un conducto separadas por una longitud L se conocen las presiones, p1 y p2 , y los valores del potencial de fuerzas m´asicas, U1 y U2 , se tiene que pl = [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ]/L, por ser pl independiente de la coordenada x, y la ecuaci´on anterior resulta Q=
π D4 [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ] , 128 µ L
(7.26)
que coincide con la expresi´on obtenida experimentalmente por Hagen y Poiseuille para un conducto o experimentalmente horizontal (U1 = U2 ), de secci´on circular constante. Este resultado confirm´ la hip´ otesis de no deslizamiento del fluido en la pared hecha por Stokes, que aqu´ı se ha utilizado como condici´on de contorno. Por otra parte, la comparaci´ on de (7.26) con resultados experimentales permite determinar la viscosidad del fluido que circula por un conducto en una forma harto simple. La fuerza total que, por fricci´ on, el fluido ejerce sobre la pared del conducto entre las secciones x1 y x2 (x2 − x1 = L) se obtiene sustituyendo pl = [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ]/L en (7.24): Ff = −π D L τf = π D2 [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ]/4,
(7.27)
expresi´on que se podr´ıa haber obtenido aplicando la ecuaci´ on de cantidad de movimiento en forma integral al volumen de control contenido entre las dos secciones y la pared del conducto.
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
130
Es u ´til expresar los resultados anteriores en funci´ on de la velocidad media del l´ıquido en el conducto 4Q D2 pl V¯ ≡ ; (7.28) = π D2 32 µ se tiene entonces 2 2r ¯ (7.29) u = 2V 1 − D que muestra que la velocidad m´axima (en el eje del conducto) es doble que la velocidad media. Por otra parte, la expresi´ on de Hagen-Poiseuille (7.26) se escribe a veces en funci´on del n´ umero de Reynolds, definido con la velocidad media, Re = en la forma
ρ V¯ D , µ
(7.30)
L 64 (p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 = . D Re ρ V¯ 2 /2
(7.31)
Es usual definir el coeficiente de fricci´on cf , tambi´en se utiliza el factor de fricci´on λ = 4cf , como el cociente entre el esfuerzo de fricci´on en la pared y la presi´ on din´ amica media de la corriente. Teniendo en cuenta (7.27) y (7.31) se tiene cf =
16 τf λ = ¯2 = . 4 Re ρ V /2
(7.32)
Obs´ervese que el coeficiente de fricci´on depende exclusivamente del n´ umero de Reynolds basado en la velocidad media de la corriente. Conviene indicar, finalmente, que la soluci´ on anterior es estable s´olo para n´ umeros de Reynolds menores que un cierto valor cr´ıtico, Re∗ (alrededor de 2300). Como se ver´a en el Cap´ıtulo 16, para Re > Re∗ el flujo se hace turbulento, caracteriz´andose por variaciones ca´oticas espacio-temporales de las magnitudes fluidas y los resultados obtenidos en esta secci´on, correspondientes a un r´egimen laminar, unidireccional y estacionario, dejan de ser v´ alidos.
7.2.3.
Movimientos unidireccionales no estacionarios
Movimiento impulsivo de una placa. Problema de Rayleigh Como ejemplo de flujo unidireccional no estacionario, se considerar´ a primero el movimiento de un l´ıquido ilimitado generado por el arranque impulsivo de una placa.2 Si y es la distancia de un punto del dominio fluido a la placa m´ ovil, la ecuaci´on diferencial y las condiciones iniciales y de contorno que gobiernan el problema son: ∂u ∂2 u , =ν ∂t ∂ y2 u(y, 0) = 0;
u(0, t) = V,
u(∞, t) = 0,
(7.33) ∀t > 0.
(7.34)
Definiendo la nueva variable adimensional v = u/V , se tiene ∂v ∂2 v , =ν ∂t ∂ y2
(7.35)
2 Demuestre el lector que la formulaci´ on de este problema es id´entica al de la difusi´ on de calor en un dominio semiinfinito cuando la frontera del mismo (en y = 0) adquiere s´ ubitamente una temperatura constante.
131
7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos v(y, 0) = 0;
v(0, t) = 1,
v(∞, t) = 0,
∀t > 0,
(7.36)
es f´acil demostrar mediante el an´alisis dimensional que la ecuaci´on en derivadas parciales (7.36) se puede reducir a una ecuaci´on diferencial ordinaria. En efecto, de la simple inspecci´ on de (7.35)(7.36) se llega a la relaci´on funcional v = v(y, t, ν), (7.37) y tomando como magnitudes dimensionalmente independientes t y ν y aplicando el teorema Π se tiene 3 √ (7.38) v = f (y/ ν t) = f (η); esto es, v(y, t) no√puede ser una funci´ on de√las variables y y t por separado, sino de la combinaci´ on adimensional y/ ν t. La variable η = y/ ν t se denomina de semejanza, y la soluci´on con ella obtenida se llama soluci´on de semejanza debido a que los perfiles de velocidad son semejantes para los diferentes tiempos de acuerdo con la variable η.4 Esta variable convierte la ecuaci´on en derivadas parciales (7.35) en una ecuaci´on diferencial ordinaria que se obtiene sin m´ as que sustituir .. 2 2 ˙ (7.38) en (7.35), teniendo en cuenta que ∂ v/∂ t = −η f /(2 t) y ∂ v/∂ y =f /(ν t), .. 1 f + η f˙ = 0, 2
(7.39)
con las condiciones de contorno f (0) = 1
y
f (∞) = 0;
(7.40)
donde el s´ımbolo ˙ indica derivaci´ on respecto a la variable η. Obs´ervese que la condici´on inicial v(y, 0) = 0 y la condici´ on de contorno v(∞, t) = 0 dan lugar a la misma condici´ on de contorno f (∞) = 0 (si no se redujese tambi´en el n´ umero de condiciones de contorno la soluci´on no ser´ıa de semejanza). Una primera integral de (7.39) es 2 f˙ = c1 e−η /4 , (7.41) que integrada de nuevo proporciona
η
f = c2 + c1
e−ξ
2
/4
d ξ.
(7.42)
o
Imponiendo, finalmente, las condiciones de contorno (7.40) se obtiene v=
√ u = 1 − E(η/2) = 1 − E(y/ 4ν t), V
(7.43)
x 2 donde E(x) = √2π o e−ξ d ξ es la funci´on error. La soluci´on (7.43) se representa gr´aficamente en la figura 7.3. Se observa que, para un instante t dado, √ la velocidad es despreciable [u(y, t) V ] en√puntos situados a distancias de la placa y ν t, mientras que a distancias de la placa y ν t la velocidad ha alcanzado ya un valor muy pr´ oximo al de la placa [u(y, t) V , (1 − u/V ) 1]; los puntos en los que, en el instante t, la velocidad difiere apreciablemente tanto de su valor nulo inicial [u(y, t) − 0 ∼ V ] como de su valor asint´ otico final [u(y, t) − V ∼ V ] se encuentran en plena fase transitoria, y est´an situados 3 Por tratarse de un problema cinem´ atico (la masa ha desaparecido del problema al dividir la ecuaci´ on de cantidad de movimiento por la densidad) dos es el n´ umero de cantidades dimensionalmente independientes. 4 Una breve introducci´ on a las soluciones de semejanza desde el punto de vista de la invariancia de las ecuaciones frente a grupos de transformaciones param´etricas se proporciona en el Ap´endice 7.I.
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
132
5
y 4
Ö n t
3 2 1 0 ,2
0 ,4
0 ,6
0 ,8
1
u / V
Figura 7.3: Soluci´ on del problema de Rayleigh. √ a distancias de la placa y ∼√ ν t.5 Por tanto, se puede definir en cada instante una longitud de penetraci´on viscosa, δv (t) ≡ ν t, que es una medida del espesor caracter´ıstico de la zona a trav´es de la cual ha habido una difusi´ on apreciable de cantidad de movimiento hasta dicho instante. Finalmente, el esfuerzo de fricci´on que el l´ıquido ejerce sobre la placa y que se opone al movimiento de la misma es ν ∂ u τf = µ = −ρ V . (7.44) ∂ y y=0 πt El problema anterior se complica notablemente si se incluye una placa fija paralela a la m´ ovil a una distancia h de ella, puesto que introduce una longitud caracter´ıstica que impide la existencia de soluci´on de semejanza [debido a la condici´on de contorno en y = h se tiene, en este caso, v = v(y, t, ν, h), que no puede reducirse a la forma (7.38)]. Con objeto de escribir el nuevo problema en la forma m´as simplificada posible conviene introducir las variables adimensionales v=
u V
η=
y , h
y
τ=
t , to
(7.45)
donde to es un tiempo caracter´ıstico que se ha introducido arbitrariamente y puede, por tanto, elegirse en la forma m´as convenientemente. En t´erminos de las nuevas variables, la ecuaci´on y condiciones iniciales y de contorno del problema se escriben ∂v ν to ∂ 2 v , = 2 ∂τ h ∂ η2 v(η, 0) = 0;
v(0, τ ) = 1 y
v(1, τ ) = 0 ∀τ > 0.
(7.46) (7.47)
2
on de longitud La ecuaci´on (7.46) se simplifica tomando to = h /ν que, de acuerdo con la definici´ de penetraci´on viscosa, es el tiempo caracter´ıstico en el que el movimiento de la placa inferior se 5 Esta conclusi´ on tambi´en puede obtenerse mediante estimaci´ on de ´ ordenes de magnitud de la ecuaci´ on (7.33). En efecto, para la zona en plena fase transitoria tanto las variaciones temporales como las espaciales son apreciables y, en orden de magnitud, u(y, t) − u(0, t) u(y, t) − u(y, 0) ∼ν ; t y2 teniendo√ en cuenta que, en dicha zona, u(y, t) − u(y, 0) = u(y, t) ∼ V y u(y, t) − u(0, t) = u(y, t) − V ∼ V , se deduce que y ∼ ν t.
133
7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos
transmite por difusi´ on a todo el fluido. La soluci´ on del problema (7.46)-(7.47) que, como es sabido, puede obtenerse por separaci´on de variables utilizando series de Fourier, o mediante el m´etodo de la transformada de Laplace, es v(η, τ ) = 1 − η −
∞
(2/n π) exp(−n2 π 2 τ ) sen(n π η),
(7.48)
n=1
que se representa en la figura 7.4 para distintos tiempos tomando 50 t´erminos de la serie de Fourier. 1
t = n t/h
0 ,8
= ¥
0 ,1 2
0 ,6
y /h
2
0 ,2 5
0 ,0 8 0 ,4
0 ,0 4 0 ,0 1
0 ,2
0 ,0 0 6 0 ,0 0 2 0 0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
u /V
0 ,5
0 ,6
0 ,7
0 ,8
0 ,9
1
Figura 7.4: Perfiles de velocidad para distintos tiempos correspondientes al movimiento de un l´ıquido entre dos placas, una en reposo y otra s´ ubitamente puesta en movimiento con velocidad V .
La expresi´on (7.48) es engorrosa tanto para uso anal´ıtico como computacional, pero es posible encontrar soluciones aproximadas m´as sencillas del problema para tiempos grandes y peque˜ nos frente a h2 /ν, es decir, en los l´ımites τ 1 y τ 1. En efecto, para t h2 /ν (τ 1) el tiempo transcurrido desde el inicio del proceso es mucho mayor que el requerido por la difusi´ on viscosa para informar al fluido del movimiento de la placa inferior. En estas circunstancias, el fluido ha dispuesto de un tiempo suficiente para adaptarse a las condiciones de contorno estacionarias existentes, y el perfil de velocidades se corresponder´a, en primera aproximaci´ on, con el de Couette:
y . (7.49) uV 1− h La validez de esta aproximaci´on, obtenida mediante argumentos f´ısicos, puede comprobarse, en este caso, mediante la soluci´on exacta (7.48); en efecto, la contribuci´ on del r´egimen transitorio, representado por la serie infinita en (7.48), decae exponencialmente con el tiempo, por lo que la soluci´on exacta tiende a (7.49) cuando τ 1 [de hecho, se observa en la Figura 7.4 que el perfil de Couette es aproximadamente v´alido incluso para τ = 0(1)]. Por otra parte, para t h2 /ν (τ 1) habr´ a tenido lugar una difusi´ √on apreciable de cantidad de movimiento s´olo a trav´es de una delgada capa (capa l´ımite) y ∼ ν t h en la cual est´an confinadas √ las variaciones apreciables de velocidad (ver Figura 7.4); √ fuera de esta capa, es decir, para y ν t, la velocidad es despreciable. Por tanto, como h ν t, la posici´on de la placa superior es irrelevante para el movimiento dentro de la capa l´ımite, por lo que en la misma el campo de velocidades debe coincidir, en primera aproximaci´ on, con el correspondiente al problema de Rayleigh: √ u 1 − E(y/ ν t). (7.50) V
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
134
√ Obs´ervese que dicha soluci´on acopla con la soluci´on u/V 0 para y ν t, por lo que (7.50) constituye una aproximaci´ on uniformemente v´alida no s´olo en la capa l´ımite, sino en todo el dominio fluido y ≤ h.6 Corriente inducida por el movimiento de una placa oscilante en presencia de otra fija. Corriente de Stokes Consid´erese el movimiento peri´odico de un l´ıquido situado entre dos placas paralelas e infinitas inducido por el movimiento oscilante de una de ellas paralelamente a s´ı misma. Si las placas est´an separadas una distancia h y la inferior posee un movimiento arm´ onico de amplitud V y frecuencia ω, la ecuaci´on y condiciones de contorno que gobiernan el problema son: ∂u ∂2 u , =ν ∂t ∂ y2 u(0, t) = V cos ω t
y
(7.51)
u(h, t) = 0;
(7.52)
obs´ervese que no se han impuesto condiciones iniciales, puesto que se busca una soluci´on peri´odica. El an´ alisis se simplifica si se tiene en cuenta que, debido a la linealidad del problema, la soluci´ on puede obtenerse como la parte real de la soluci´on u1 del problema de contorno ∂ u1 ∂ 2 u1 , =ν ∂t ∂ y2 u1 (0, t) = V eiω t
y
(7.53)
u1 (h, t) = 0.
(7.54)
Dado que u1 debe ser arm´onica, si se define u1 = f (y) eiωt , y se sustituye en (7.53)-(7.54) se tiene
(7.55)
..
i ω f = ν f, f (0) = V
y
(7.56)
f (h) = 0,
(7.57)
donde f (y) es una funci´on compleja. La soluci´on de este problema es f (y) = V senh [ i ω/ν(h − y)]/ senh [ i ω/ν h],
(7.58)
con lo que la soluci´on de (7.51)-(7.52) es: u = V senh [ i ω/ν(h − y)] eiωt / senh [ i ω/ν h] ,
(7.59)
o u=
V ¯ e2h¯ + e−2h¯ − 2 cos 2h
¯
¯
e(2h−¯y) cos(ωt − y¯) + e−(2h−¯y) cos(ωt + y¯)−
¯ − y¯) − ey¯ cos(ωt + y¯ − 2h) ¯ , e−¯y cos(ωt + 2h
(7.60)
¯ = [ωh2 /(2ν)]1/2 y el s´ımbolo significa la parte real de la funci´ donde y¯ = [ωy 2 /(2ν)]1/2 , h on compleja. Si se tiene en cuenta que (ν/ω)1/2 es la longitud caracter´ıstica de penetraci´on de los efectos viscosos correspondiente a un tiempo del orden del inverso del periodo de oscilaci´ on es posible 6 Las soluciones asint´ oticas (7.49) y (7.50) pueden tambi´en obtenerse mediante los m´etodos de perturbaciones expuestos en el Ap´endice 7.II.
135
7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos
obtener expresiones aproximadas de (7.60) en los l´ımites h ν/ω y h ν/ω.7 En el caso h [ν/ω]1/2 resulta m´as f´acil hallar el l´ımite buscado en (7.59) que en (7.60). En efecto, si se tiene en cuenta que (7.61) i ω/ν(h − y) < i ω/ν h = ω/ν h 1, y se hace uso de la expresi´on aproximada senh z = z + 0(|z|3 ), v´alida para |z| 1, se obtiene de (7.59): u V (1 − y/h) cos ω t. (7.62) Dicha soluci´on corresponde al problema de Couette casi-estacionario ∂2 u = 0, ∂ y2 u(0, t) = V cos ω t,
(7.63) u(h, t) = 0.
(7.64)
F´ısicamente, el tiempo requerido para que tenga lugar una difusi´ on apreciable de cantidad de movimiento a trav´es de una distancia h ν/ω es muy corto frente al tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las condiciones de contorno, 1/ω, por lo que el fluido aparece adaptado en cada instante a las condiciones de contorno existentes en dicho instante; es decir, la informaci´on del estado de la placa m´ovil se difunde tan r´ apidamente en el seno del fluido que ´este pierde memoria casi inmediatamente de condiciones de contorno anteriores y, en primera aproximaci´ on, se comporta en cada instante como lo har´ıa si la placa inferior se moviese con una velocidad constante de valor igual al que posee en dicho instante. Finalmente, conviene indicar que la ecuaci´ on correspondiente al r´egimen casi-estacionario, (∂ 2 u/∂ y 2 0) tambi´en puede obtenerse mediante un an´alisis de ´ordenes de magnitud en (7.51). En efecto, si se divide la ecuaci´on (7.51) por ∂u/∂y y se tiene en cuenta que ∂u/∂t ∼ ωV, ∂u/∂y ∼ V /h, y ∂ 2 u/∂y 2 ∼ ∆h (∂u/∂y)/h, donde ∆h significa variaci´ on en la distancia h, se deduce que ∆h (∂u/∂y) ωh2 1. (7.65) ∼ ∂u/∂y ν Por tanto, las variaciones de ∂u/∂y en distancias del orden de la separaci´on entre placas son 2 2 despreciables frente a ella misma y puede ponerse, en primera aproximaci´ on, ∂ u/∂y = 0. Consid´erese ahora la forma aproximada de (7.60) en el l´ımite h ν/ω. Si se divide el segundo ¯ miembro de (7.60) por el t´ermino dominante e2h es f´acil obtener la expresi´on l´ımite √ (7.66) u V e− ω/2ν y cos(ω t − ω/2 ν y). Por tanto, la velocidad es apreciable s´ olo en una capa adyacente a la placa m´ovil (capa de Stokes) de espesor caracter´ıstico y ∼ ν/ω h, mientras que es exponencialmente peque˜ na fuera de dicha capa; en efecto, el periodo de oscilaci´on del movimiento inducido por la placa inferior es demasiado corto como para que, en las fases de aceleraci´ on y deceleraci´on que tienen lugar en el mismo, las part´ıculas situadas en la zona y ν/ω (donde el flujo difusivo de cantidad de movimiento es muy peque˜ no) puedan adquirir una cantidad de movimiento apreciable por difusi´ on y responder al movimiento de la placa. Resulta, por tanto, que, en primera aproximaci´ o n, la placa superior (situada en y = h ν/ω) no afecta al movimiento del fluido ni es afectada por ´este, por lo que su presencia es irrelevante. De hecho, es f´acil comprobar que (7.66) es la soluci´on del problema ∂u ∂2 u , (7.67) =ν ∂t ∂ y2 7
Por razones que aparecer´ an claras m´ as adelante, la cantidad (ν/ω)1/2 se denomina espesor de la capa de Stokes.
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
136 u(0, t) = V cos ω t,
u(∞, t) = 0,
(7.68)
denominado problema de Stokes, que corresponde al movimiento que toma un l´ıquido que ocupa un semiespacio limitado por una placa cuando ´esta oscila paralelamente a s´ı misma y el fluido est´a en reposo en el infinito. De acuerdo con (7.66), la resistencia por unidad de a´rea o esfuerzo de fricci´ on que ejerce el l´ıquido sobre la placa en la corriente de Stokes es, √ ∂ u τf = µ (7.69) = −ρ ν ω V cos(ω t + π/4), ∂ y y=0 que se opone al movimiento de la placa, pero con un desfase de π/4 radianes en relaci´on a su movimiento.8 Flujo no estacionario de un l´ıquido en un conducto de secci´ on circular Como u ´ltimo ejemplo de flujos unidireccionales no estacionarios, se considerar´a el caso de un l´ıquido en un conducto que se pone en movimiento por la aplicaci´ on s´ ubita de un gradiente de presi´ on motriz pl = −∂(p + ρ U )/∂ x = [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ]/(x2 − x1 ), siendo x = x1 y x = x2 , x2 > x1 , dos secciones cualesquiera del conducto. El l´ıquido est´a inicialmente en reposo y el conducto de secci´on circular y di´ ametro D constante se supone infinitamente largo. En estas condiciones, la ecuaci´on de cantidad de movimiento axial y las condiciones iniciales y de contorno que gobiernan el movimiento del l´ıquido son: ∂u 1 ∂ ∂u ρ = pl + µ r , (7.70) ∂t r ∂r ∂r en
t = 0,
u = 0 (0 ≤ r ≤ D/2);
u(D/2) = 0
y
u(0) = ∞
∀t > 0.
(7.71)
La ecuaci´on (7.70) puede hacerse homog´enea eliminando la constante pl mediante el cambio de variable 2 2r pl D2 − u, (7.72) 1− u ˆ= 16 µ D donde el primer sumando del segundo miembro es el perfil de velocidades de Poiseuille (7.23) que corresponde a la soluci´on estacionaria a la que tiende u cuando t → ∞. En t´erminos de u ˆ el problema (7.70)-(7.71) resulta ∂u ˆ ν ∂ ∂u ˆ = r , (7.73) ∂t r ∂r ∂r con las condiciones iniciales y de contorno en
t = 0,
2 2r pl D2 (0 ≤ r ≤ D/2); 1− u ˆ= 16 µ D
u ˆ(D/2) = 0
y
u ˆ(0) = ∞ ∀t > 0.
(7.74)
Aunque formalmente el tiempo que tarda en alcanzarse la soluci´on estacionaria, que corresponde a u ˆ = 0, sea infinito, el orden de magnitud de la duraci´ on efectiva del proceso transitorio es to ∼ D2 /ν, como puede obtenerse por comparaci´on de los dos t´erminos de la ecuaci´on anterior; en efecto, teniendo en cuenta que durante dicho proceso el valor t´ıpico de u en el conducto puede estimarse a partir del perfil de Poiseuille como uo ∼ pl D2 /16 µ [ver ecuaci´on (7.72)], que es 8 Una deducci´ on formal de las soluciones l´ımites (7.62) y (7.66) se lleva a cabo mediante m´etodos de perturbaciones en el Ap´ endice 7.II.
137
7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos
tambi´en el orden de magnitud tanto de las variaciones temporales como espaciales de u, se tiene que uo /to ∼ ν uo /D2 , o to ∼ D2 /ν. Esto sugiere la introducci´ on de las variables adimensionales τ=
4ν t t = 2, to D
ξ=
2r , D
v=
16 µ u ˆ , pl D 2
(7.75)
mediante las que el problema (7.73) y (7.74) se puede escribir en forma m´as simple: ∂v 1 ∂ ∂v = ξ , ∂τ ξ ∂ξ ∂ξ v = 1 − ξ 2 (0 ≤ ξ ≤ 1);
v(0, τ ) = ∞,
v(1, τ ) = 0,
∀τ > 0.
(7.76) (7.77)
La soluci´on general de la ecuaci´on (7.76) puede obtenerse por separaci´on de variables de la forma: v(ξ, τ ) = F (τ ) G(ξ), (7.78) que introducida en (7.76) resulta 1 dF 1 d = F dτ ξ dξ
ξ
dG dξ
= −λ2 ,
(7.79)
donde λ es una constante, en principio arbitraria. La soluci´ on de la primera de las ecuaciones en (7.79) es: 2 F = C e−λ τ , (7.80) mientras que la segunda tiene la forma G = A Jo (λ ξ) + B Yo (λ ξ),
(7.81)
donde A, B y C son constantes arbitrarias y Jo e Yo son funciones de Bessel de orden cero.9 Dado que la funci´ on Yo es singular en el eje (ξ = 0), la constante B debe ser nula para que la soluci´ on (7.78) satisfaga la condici´on de regularidad. Por otra parte, y dado que (7.78) debe anularse en ξ = 1, G(1) debe de ser tambi´en nula, por lo que los posibles valores de la constante λ son tales que anulan la funci´ on Jo ; esto es, Jo (λ) = 0. Teniendo en cuenta que las funciones Jo (λn ξ), donde los λn son los ceros positivos de Jo , forman un conjunto completo de funciones en 0 ≤ ξ ≤ 1, la soluci´on se puede escribir como: v(ξ, τ ) =
∞
2
An Jo (λn ξ) e−λn τ .
(7.82)
n=1
Si a (7.82) se le impone la condici´on inicial 1 − ξ2 =
∞
An Jo (λn ξ),
(7.83)
n=1
y el resultado de multiplicar (7.83) por ξ Jo (λm ξ) se integra entre los l´ımites ξ = 0 y ξ = 1, se obtienen las constantes 8 ; (7.84) Am = 3 λm J1 (λm ) 9 Para las propiedades generales de las funciones de Bessel, as´ ı como su uso en desarrollos en serie, el lector puede consultar varias referencias; por ejemplo, R. V. Churchill y J. M. Brown, 1987, Fourier Series and Boundary Value Problems, o Handbook of Mathematical Tables, eds. M. Abramowitz e I. A. Stegun, National Bureau of Standards, 1972.
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
138
debe indicarse que en los c´alculos anteriores se ha hecho uso de la ortogonalidad de las funciones Jo 1 1 (7.85) Jo (λn ξ) Jo (λm ξ) ξ d ξ = [J1 (λm )]2 δmn , 2 o y de la igualdad
1
(1 − ξ 2 ) Jo (λm ξ) ξ d ξ = o
4 J1 (λm ) , λ3m
(7.86)
donde J1 es la funci´ on de Bessel de orden uno. Por tanto, la soluci´ on del problema es v=
∞ 2 8 16 µ u ˆ = J (λ ξ) e−λn τ , 3 J (λ ) o n pl D2 λ n=1 n 1 n
(7.87)
o, en variables f´ısicas, que se representan en la Figura 7.5, 2 ∞ 2 8 2r 16 µ 2r u(r, t) = 1 − − Jo λn e−λn 4 ν t/D . pl D2 D λ3 J (λ ) D n=1 n 1 n 1
1 6 m u p l D 2
(7.88)
¥
0 ,8
0 ,6 0 ,5 0 ,4
0 ,6
0 ,3 0 ,2
0 ,4 0 ,2
0 ,1
0 0
t = 0 ,0 5
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
0 ,7
0 ,8
0 ,9 1
2 r/D Figura 7.5: Transitorio en un conducto de secci´on circular. Perfiles de velocidad para distintos tiempos.
La soluci´on (7.87), o (7.88), es suma de un t´ermino transitorio, expresado como una serie infinita de funciones, y la corriente estacionaria de Poiseuille (7.23) a la que tiende la soluci´ on cuando t → ∞. Obs´ervese que, como se indic´o anteriormente, el orden de magnitud de la duraci´ on efectiva del transitorio es to ∼ D2 /ν, de tal forma que para tiempos grandes frente a D2 /ν el t´ermino exponencial se hace muy peque˜ no y la soluci´on se puede aproximar por la corriente de Poiseuille. La soluci´on (7.88), v´ease Figura 7.5, originariamente obtenida por Szymanski en 1932, se ha obtenido tomando cinco t´erminos de la serie, los cuales son suficientes para que ´esta converja con errores menores del uno por ciento para tiempos peque˜ nos y sea pr´acticamente exacta para τ = 0(1).
139
7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos
7.2.4.
Flujos unidireccionales con geometr´ıa cil´ındrica
Otro tipo de movimiento fluido simple para el que existen soluciones exactas es aquel en el que las l´ıneas de corriente son circunferencias centradas en un eje de simetr´ıa com´ un. Dichos movimientos pueden considerarse unidireccionales en el sentido de que en un sistema de coordenadas cil´ındricas (r, θ, z), tomando el eje z como eje de simetr´ıa, la u ´nica componente del campo de velocidades es la circunferencial, v = u eθ . En el caso de un l´ıquido, la ecuaci´ on de continuidad, v´ease Ap´endice 5.I, se reduce a ∂u =0 (7.89) ∂θ y expresa que la velocidad u es independiente de la coordenada θ. Por tanto, las ecuaciones de cantidad de movimiento seg´ un las coordenadas r, θ y z son: ∂p u2 =− + ρ fmr , r ∂r
u 1 ∂p 1 ∂ ∂u ∂2 u ∂u − 2 + ρ fmθ , =− +µ r + ρ ∂t r ∂θ r ∂r ∂r ∂ z2 r −ρ
(7.90) (7.91)
∂p (7.92) + ρ fmz . ∂z Obs´ervese que, debido a la simetr´ıa respecto al eje z, las fuerzas gravitatorias y, en su caso, las asociadas a la aceleraci´on lineal del sistema de referencia tienen que ser paralelas al eje z: fm,z = −g + ao (t). Por otra parte, las componentes de las fuerzas m´asicas en las direcciones radial y circunferencial ser´an las inerciales asociadas al movimiento giratorio del sistema de referencia alrededor del eje z. Si la velocidad angular del sistema de referencia es Ω = Ω(t) ez , de acuerdo con (4.4) se tiene: 0=−
fmr = −Ω2 r − 2 Ω u
y
˙ r, fmθ = −Ω
con
˙ ≡ d Ω/d t. Ω
(7.93)
Sustituyendo (7.93) en (7.90)-(7.92) se deduce que la velocidad u y la presi´on reducida P = p + ρ[g − ao (t)]z no dependen ni de z ni de θ: u = u(r, t)
y
P = P (r, t).
(7.94)
Debe indicarse que una dependencia de u con la coordenada z originar´ıa, debido a las fuerzas centr´ıfugas y de Coriolis, una dependencia axial de P que producir´ıa un movimiento en la direcci´on de z, y destruir´ıa el flujo puramente circunferencial. Por tanto, los movimientos puramente circunferenciales son tambi´en bidimensionales. En t´erminos de P y u, las ecuaciones (7.90)-(7.92) se transforman en las dos ecuaciones siguientes u2 ∂P + ρ Ω2 r + 2 ρ Ω u = , r ∂r 2 ∂ u 1 ∂u u ∂u . + + ρ Ω2 r = µ − ρ ∂t ∂ r2 r ∂r r2 ρ
(7.95) (7.96)
Finalmente, la ecuaci´on de la energ´ıa, que est´a desacoplada del problema mec´anico (7.95)-(7.96), se escribe
∂T ∂ u u ∂T 2 . (7.97) ρc + =K∇ T +µ r ∂t r ∂θ ∂r r En lo que sigue, se considerar´an algunos ejemplos particulares de flujos unidireccionales con geometr´ıa cil´ındrica.
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
140
Movimiento estacionario de un l´ıquido entre dos cilindros que giran coaxialmente Consid´erese el movimiento estacionario de un l´ıquido contenido entre dos cilindros coaxiales e infinitos, de radios R1 y R2 (R1 < R2 ), que giran alrededor de su eje con velocidades angulares Ω1 y Ω2 constantes. Para describir el movimiento, se puede tomar un sistema de referencia que gire con alguno de los cilindros, aunque en este caso resulta m´as conveniente tomar uno fijo. La ecuaci´on (7.96) particularizada para el caso Ω = 0 (ejes fijos) se reduce a 0=
d2 u 1 d u u + − 2, d r2 r dr r
R 1 ≤ r ≤ R2
(7.98)
con las condiciones de contorno u(r = R1 ) = Ω1 R1
y
u(r = R2 ) = Ω2 R2
(7.99)
que resultan de imponer la condici´ on de no deslizamiento en las paredes m´oviles. La soluci´on general de (7.98) es 1 Ω1 − Ω2 Ω1 R12 − Ω2 R22 C1 r. + C2 r = + (7.100) u(r) = r R12 − R22 R1−2 − R2−2 r donde para obtener C1 y C2 se ha tenido en cuenta (7.99). A partir del campo de velocidades, la presi´ on (reducida) se obtiene mediante (7.95), salvo una constante arbitraria: 2 2 C1 C2 C1 ∂P u2 2 + C r + =ρ = ρ , (7.101) 2 r r3 r ∂r que integrada proporciona P − Po = ρ
C22 r2 C12 + + C ln r . 2 C 1 2 2 r2 2
El esfuerzo viscoso viene dado por Ω1 − Ω2 2µ 2 µ C1 ∂u u , =− 2 =− 2 τrθ = µ − ∂r r r r R1−2 − R2−2
(7.102)
(7.103)
y si Ω2 > Ω1 , el par C por unidad de longitud axial que es necesario aplicar para mantener la velocidad angular de uno de los cilindros, por ejemplo el exterior, es Ω2 − Ω1 2 . (7.104) C = 2 π R2 τrθ (r = R2 ) = 4 π µ R1−2 − R2−2 Obs´ervese que el par es independiente de r, as´ı que el que habr´ıa que aplicar al cilindro interior para mantener su velocidad angular ser´ıa el mismo que en el caso anterior pero de signo opuesto. La medida experimental de este par es un procedimiento com´ unmente usado para determinar la viscosidad de los l´ıquidos. Este tipo de aparatos denominados viscos´ımetros poseen geometr´ıas variadas; normalmente, en aquellos que tienen geometr´ıa cil´ındrica se mantiene fijo el cilindro exterior (Ω2 = 0) y se hace girar el interior con velocidad angular Ω, siendo el par necesario 4 π µ Ω/(R1−2 − R2−2 ). Un caso particular del movimiento anterior es, por ejemplo, el generado en el interior de un u ´nico cilindro de radio R que gira con velocidad Ω. En este caso, la regularidad en el eje exige C1 = 0 en (7.100) y, por tanto, el campo de velocidades estacionario es el correspondiente a un giro como s´olido r´ıgido: u = Ω r. (7.105)
141
7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos
Si en el exterior de este u ´nico cilindro que gira existe una masa ilimitada de l´ıquido, su distribuci´ on de velocidades viene dada tambi´en por (7.100) con C2 = 0 para satisfacer la condici´on de velocidad nula lejos de la pared del cilindro, u → 0 cuando r → ∞; se tiene entonces u=
R2 Ω . r
(7.106)
Este movimiento es irrotacional, siendo la circulaci´on del vector velocidad alrededor de cualquier curva cerrada que rodee al cilindro Γ = 2 π R2 Ω, v´ease (3.73). Compruebe tambi´en el lector que el par necesario para mover al cilindro con velocidad angular constante es 4 π µ R2 Ω. Es importante indicar que, como se ver´ a en el Cap´ıtulo 15, la soluci´on (7.101) deja de ser estable, y por tanto el movimiento en el interior de los cilindros es distinto al descrito, cuando el n´ umero adimensional T , denominado n´ umero de Taylor, que mide la importancia relativa de las fuerzas centr´ıfugas frente a las viscosas, excede de un cierto valor cr´ıtico Tc . Este valor cr´ıtico depende del cociente ω entre las velocidades angulares de los cilindros; para 0 ≤ ω ≤ 1 la soluci´on num´erica del problema de la estabilidad demuestra que la dependencia con ω es muy d´ebil, siendo Tc 1700. Cuando T > Tc aparecen en el movimiento unos v´ortices toroidales llamados v´ortices de Taylor superpuestos al flujo rotatorio original; estos v´ ortices son perpendiculares al eje de los cilindros y cada par de v´ ortices adyacentes giran en sentidos opuestos. Un estudio detallado de la estabilidad de algunas corrientes fluidas se realizar´ a en el Cap´ıtulo 15. Difusi´ on de un torbellino bidimensional Como ejemplo simple de movimiento no estacionario con l´ıneas de corriente circulares, se considerar´a la disipaci´on por viscosidad de un torbellino bidimensional cuyo campo de velocidad inicial es Γ vθ = ueθ = (7.107) eθ , vz = vr = 0, 2πr donde Γ es la intensidad del torbellino o circulaci´ on del vector velocidad alrededor de cualquier curva que incluya al origen. Como se ha visto en la secci´on anterior, este campo de velocidades puede ser generado, por ejemplo, por un cilindro de radio R que gire en el seno de un l´ıquido con velocidad angular Ω [ecuaci´on (7.106)] en el l´ımite formal R → 0, Ω → ∞, de forma que R2 Ω = const. = Γ/(2 π). Obs´ervese que la vorticidad es inicialmente nula en todo el campo fluido excepto en el eje, que es infinita; es decir, la vorticidad se encuentra inicialmente concentrada en el origen y se desea analizar c´omo se difunde en el seno del fluido a lo largo del tiempo. A partir de (7.96) es f´ acil llegar a la ecuaci´on diferencial que gobierna el campo de velocidades del movimiento del l´ıquido como funci´ on del tiempo y de la distancia al origen 2 ∂u ∂ u 1 ∂u u ; (7.108) + =ν − ∂t ∂ r2 r ∂r r2 la ecuaci´on (7.108) debe resolverse sujeta a las condiciones iniciales y de contorno u(r, 0) = Γ/2 π r;
u(0, t) = ∞,
y
u(∞, t) = 0,
∀t > 0.
(7.109)
La soluci´on de (7.108)-(7.109) se facilita utilizando la vorticidad ω=
1 ∂(ru) u ∂u = + , r ∂r r ∂r
(7.110)
en lugar de la velocidad u. Es f´acil obtener la ecuaci´on de vorticidad si se deriva (7.110) respecto a r y se sustituye apropiadamente en (7.108) para obtener ∂u δω =ν ; ∂t δr
(7.111)
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
142
si ahora se sustituye (7.111) en el resultado de derivar (7.110) respecto al tiempo se obtiene la ecuaci´on de la vorticidad 2 ∂ω ∂ ω 1 ∂ω + =ν , (7.112) ∂t ∂ r2 r ∂r que, como se deduce de (7.109) y (7.110), satisface las condiciones iniciales y de contorno ω(r, 0) = 0 ∀r > 0;
ω(0, t) = ∞ y
ω(∞, t) = 0
∀t > 0.
(7.113)
Este problema es similar al de Rayleigh analizado en (7.2.3), pero con simetr´ıa cil´ındrica; como all´ı, el an´alisis dimensional (v´ease tambi´en el Ap´endice 7.I) demuestra que el problema (7.112)-(7.113) admite soluci´on de semejanza, de forma que ω ν t/Γ es funci´on s´olo de la variable de semejanza r/(ν t)1/2 ; esto es ω=
Γ f (η) νt
con
η=
r . (ν t)1/2
(7.114)
Sustituyendo (7.114) en (7.113) se obtiene 1 + η2 ˙ f + f = 0, f¨ + 2η
(7.115)
con las condiciones de contorno f (0) = ∞
y
f (∞) = 0,
cuya soluci´on es f = Ke−η
2
/4
.
(7.116) (7.117)
La constante K se determina imponiendo la condici´on de que el flujo de vorticidad a trav´es de cualquier plano z = const. sea igual a la circulaci´on a lo largo de cualquier curva cerrada contenida en ese plano y que encierre al origen ∞ ∞ Γ= ω2πrdr = Γ K f (η)2πηdη = 4πKΓ. (7.118) o
o
La condici´on anterior se justifica por el hecho de que en este problema no existen paredes s´olidas que introduzcan vorticidad en el dominio fluido a trav´es de la viscosidad; en este caso la viscosidad difunde la vorticidad en el medio pero no la crea. En variables f´ısicas y de acuerdo con (7.114)-(7.118), la vorticidad se expresa en la forma10 Γ r2 ω(r, t) = exp − (7.119) 4πν t 4ν t y la velocidad viene dada por Γ r2 ωrdr = 1 − exp − . 2πr 4ν t o √ Obs´ervese que para distancias r tales que (r ν t), (7.120) se reduce a 1 u(r, t) = r
r
u(r, t)
Γr , 8πν t
(7.120)
(7.121)
10 El problema aqu´ ı resuelto es similar al de conducci´ on de calor en un medio s´ olido infinito desde una fuente de calor concentrada en el eje y con temperatura infinita en el instante inicial, ya que la ecuaci´ on y las condiciones de contorno de estos dos problemas son las mismas.
143
7.3. Corriente de Couette compresible
que corresponde a un giro como s´olido r´ıgido con velocidad angular ω(t) = Γ/8 π ν t; de hecho, para t → ∞, todo el fluido se mueve como un s´olido r´ıgido con velocidad√angular que tiende a cero, v´ease (7.121). Por el contrario, a distancias grandes del origen (r ν t) el movimiento es irrotacional, tal y como lo era inicialmente, u(r, t)
Γ . 2πr
(7.122)
En cuanto a la vorticidad y como se indica en (7.119) se va difundiendo radialmente a medida que transcurre el tiempo y transforma el movimiento irrotacional inicial (7.107) en un movimiento rotacional de giro como s´olido r´ıgido (7.121).
7.3.
Corriente de Couette compresible
Los efectos de compresibilidad y conducci´on de calor combinados aparecen en la corriente de un gas entre dos placas planas paralelas y de extensi´on infinita separadas una distancia H. La placa superior, que se mueve paralelamente a s´ı misma con velocidad constante V y est´a a una temperatura uniforme TH , fuerza el movimiento del gas mientras que la inferior est´a en reposo y a temperatura To , tambi´en uniforme (To > TH ). Si y es la coordenada perpendicular a las placas, con origen en la inferior, las condiciones de contorno son u=0 y u=V
y
T = To =
ho cp
en
y = 0,
(7.123)
T = TH =
hH cp
en
y = H.
(7.124)
Cuando TH y To son conocidas, los flujos de calor por conducci´ on en las placas son inc´ognitas a determinar de la resoluci´on del problema, mientras que si se imponen ´estos, TH y To deben calcularse como parte de la soluci´on. La ecuaci´on de continuidad y las condiciones de contorno exigen que todas las variables fluidomec´anicas sean en este caso independientes de la coordenada x, paralela a las placas. La ecuaci´on de cantidad de movimiento seg´ un y se reduce a ∂ p/∂ y = 0, y teniendo en cuenta que el t´ermino ∂ p/∂ x es tambi´en nulo, ya que no hay impuesto ning´ un gradiente de presiones, se deduce que la presi´on es constante. La ecuaci´on de cantidad de movimiento seg´ un x se reduce, entonces, a d du dτ = 0, µ = (7.125) dy dy dy donde se ha supuesto que el efecto de las fuerzas gravitatorias es despreciable. La ecuaci´on (7.125) muestra que, al igual que en el caso de la corriente de Couette incompresible el esfuerzo viscoso es constante e igual a su valor en las paredes τ = τo = τH . Finalmente, la ecuaci´on de la energ´ıa se escribe 2 du d dT µ + K = 0; (7.126) dy dy dy es importante observar que en un flujo compresible el calor conducido desde las paredes y el disipado por la acci´on de la viscosidad dan lugar a variaciones de temperatura en la corriente, y por tanto a variaciones de la densidad y de la viscosidad del gas. Introduciendo la entalp´ıa h del gas y el n´ umero de Prandtl P r = µcp /K, la ecuaci´on (7.126) resulta 2 du d µ dh µ + = 0. (7.127) dy dy Pr dy
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
144
Conviene indicar que este cambio de variables no es arbitrario, ya que los coeficientes de viscosidad y conducci´on de calor, µ y K, dependen de la temperatura, pero en gases el n´ umero de Prandtl es casi independiente de ella y puede ser tomado en primera aproximaci´ on como constante. La ecuaci´on (7.127), teniendo en cuenta (7.125), puede escribirse en la forma d du 1 dh µ u + = 0, (7.128) dy dy Pr dy cuya integraci´ on proporciona µu
du µ dh + = const. dy Pr dy
(7.129)
La ecuaci´on (7.129) puede integrarse una vez m´as, si se usa u como variable independiente; se tiene entonces u2 . (7.130) h + C2 = P r C1 u − 2 Las constantes de integraci´on C1 y C2 se calculan sin m´as que imponer las condiciones de contorno sobre las placas V2 , C2 = −hH , y hH − ho = P r C1 V − 2 y por tanto
o
V2 u u2 − Pr , h − ho = h H − h o + P r 2 V 2
(7.131)
V2 u u2 − Pr . cp (T − To ) = cp (TH − To ) + P r 2 V 2
(7.132)
Por otra parte, la integraci´ on de (7.125) proporciona µ(u)
du = τH , dy
(7.133)
que si se integra nuevamente y se imponen las condiciones de contorno en las placas se obtienen respectivamente la relaci´on u 1 µ(u) d u (7.134) y= τH o y el esfuerzo sobre las placas τH = τo =
1 H
V
µ(u) d u.
(7.135)
o
El problema se cierra finalmente si se conoce la dependencia de la viscosidad con la temperatura; la viscosidad de un fluido se conoce mediante datos emp´ıricos, o en el caso particular de gases tambi´en mediante la Teor´ıa Cin´etica de Gases, y su dependencia con la temperatura es funci´on del tipo de gas. Para todos los gases la viscosidad aumenta con la temperatura y puede representarse con suficiente aproximaci´ on mediante una ley potencial de la forma n T µ = , (7.136) µH TH donde µH es el valor de la viscosidad del gas a la temperatura TH .
145
7.3. Corriente de Couette compresible
Es interesante introducir el concepto de temperatura de recuperaci´on que se define como la temperatura a la que debe estar la pared fija para que ´esta sea adiab´atica; esto es, flujo de calor nulo, qo = 0. El flujo de calor en la pared fija es ∂ T ∂ T ∂T ∂u Ko τo = − Ko =− , (7.137) qo = −Ko ∂ y y=0 ∂ u ∂ y y=0 µo ∂ u u=0 donde Ko es el valor de la conductividad t´ermica a la temperatura To y su valor se obtiene f´acilmente de (7.136) y de la independencia con la temperatura tanto del n´ umero de Prandtl como del calor espec´ıfico a presi´on constante. Utilizando la expresi´ on (7.132) en (7.137) y denominando Tr a la temperatura de recuperaci´on se llega f´acilmente a Pr V 2 , (7.138) Tr = T H + cp 2 y a la entalp´ıa de recuperaci´on V2 . (7.139) 2 En funci´on de la temperatura de recuperaci´on, el flujo de calor en la pared se puede escribir como hr = hH + P r
Ko To − Tr qo = τo V µo V2
(7.140)
y si se define el n´ umero de Mach 2 MH =
se obtiene
V2 U2 , = γ R TH cp (γ − 1)TH
To − Tr qo = 2 T . τo V (γ − 1)P r MH H
(7.141)
(7.142)
Un resultado interesante es que, como se ve en (7.142), para que exista transferencia de calor desde la pared hacia el fluido es necesario que la temperatura de la pared sea mayor que la de recuperaci´on To > Tr ; no basta, por tanto, que To sea mayor que TH (temperatura de la pared m´ovil).
7.3.1.
Perfiles de velocidad en la corriente de Couette
Para obtener los perfiles de velocidad es u ´til escribir la expresi´ on (7.132) en t´erminos del n´ umero de Mach MH
u2 u T γ−1 2 2 qo (7.143) = 1 + (γ − 1)P r MH 1− + Pr MH 1 − 2 . TH τo V V 2 V Esta ecuaci´on junto con (7.134) y (7.136) proporcionan en forma impl´ıcita la velocidad de la corriente en funci´ on de y n u
u2 u τo y γ−1 2 2 qo 1 + (γ − 1)P r MH = d u, 1− + Pr MH 1 − 2 (7.144) µH τo V V 2 V o con τo dado por n V
u2 u τo H γ−1 2 2 qo 1 + (γ − 1)P r MH = du 1− + Pr MH 1 − 2 µH τo V V 2 V o
(7.145)
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
146
cuya integraci´ on num´erica no presenta dificultad alguna. No obstante, se discutir´ an aqu´ı dos casos l´ımites de (7.144)-(7.145) para los que existen soluciones simplificadas. a) Caso MH 1. En este caso la relaci´on entre el calor a˜ nadido por conducci´ on y el disipado por viscosidad, −2 qo /τo V , es muy grande, como puede comprobarse de (7.142), qo /τo V ∼ MH . De (7.143), para MH 1, se tiene Tr TH y, por tanto, 1 1 cp (To − TH ) To qo = −1 , (7.146) = 2 τo V Pr V2 P r (γ − 1) MH TH y la expresi´on (7.143) se reduce a u T To − TH
1− =1+ . TH TH V
(7.147)
Finalmente (7.144) se reduce a
τo y = µH
u
o
n u To − T H
1+ 1− d u, TH V
(7.148)
que integrada proporciona el perfil de velocidades
n+1
n+1 u (n + 1) τo (To − TH ) To − TH T o − TH
1− = 1+ − y, 1+ TH V TH µH V TH
(7.149)
y el esfuerzo en la pared fija, con las simplificaciones anteriores, resulta de integrar (7.145) n+1 To TH 1 V −1 . (7.150) µH τo = n+1 H To − T H TH Obs´ervese que en el caso de pared adiab´atica (qo = 0), se tiene T = To = Tr = TH ; es decir, no existe conducci´on y la soluci´on (7.148) se reduce a la soluci´on correspondiente al caso incompresible [v´ease (7.12)]. b) Caso MH → ∞. En este caso, la expresi´on (7.142) muestra que qo /(τo V ) → 0, lo que indica que la disipaci´ on de energ´ıa mec´anica por viscosidad es mucho mayor que la transportada por conducci´ on, y de (7.140) se obtiene To Tr . El campo de temperaturas simplificado se obtiene de (7.143) u2 T γ−1 2 (7.151) =1+ P rMH 1− 2 , TH 2 V y de (7.144), el perfil de velocidades τo y = µH
u
n u2 d u, 1− 2 V
(7.152)
n u2 γ−1 d u. 1+ P rMb2 1 − 2 2 V
(7.153)
1+ o
γ−1 2 P rMH 2
y el esfuerzo en la pared τo b = µH
o
u
7.3. Corriente de Couette compresible
Referencias y lecturas recomendadas G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Te´orica, vol. 5, Pergamon 1958. L. Liepmann y A. Roshko, Elements of Gasdynamics, John Wiley, Nueva York, 1957. R. Fern´ andez Feria, Mec´ anica de Fluidos, Universidad de M´ alaga, 2001.
147
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
148
´ APENDICE 7.I ´ A LAS SOLUCIONES DE SEMEJANZA INTRODUCCION En este Cap´ıtulo se han obtenido algunas soluciones de semejanza mediante m´etodos heur´ısticos basados en razonamientos f´ısicos y de an´alisis dimensional. Por su importancia para el tratamiento de numerosos problemas fluidodin´ amicos, en particular en el an´alisis de flujos en capas l´ımites que se realizar´a en el Cap´ıtulo 14, se ilustrar´a en este Ap´endice c´omo dichas soluciones pueden obtenerse a partir de una teor´ıa m´as general, debida al matem´atico noruego Sophus Lie (1842-1899), que est´a basada en la invariancia de las ecuaciones y condiciones de contorno que definen el problema frente a grupos de transformaciones param´etricas. Para fijar ideas consid´erese la ecuaci´on diferencial y condiciones iniciales y de contorno correspondientes al problema de Rayleigh ∂u ∂2 u , (7.154) =ν ∂t ∂ y2 u(y, 0) = 0,
∀y > 0;
u(0, t) = V,
u(∞, t) = 0,
∀t > 0.
(7.155)
Es interesante investigar ahora si dicho problema permanece invariante frente a la transformaci´ on param´etrica t = λ t ∗ , y = λα y ∗ , u = λβ u∗ ; (7.156) es decir, si existen valores de α y β tales que las ecuaciones (7.154)-(7.155) escritas en t´erminos de u∗ , y ∗ y t∗ resultan formalmente id´enticas a las escritas en t´erminos de las variables originales u, y y t [ecuaciones (7.154)-(7.155)]. Si dicha invariancia existe y u = F (y, t) es la soluci´on del problema original, entonces la soluci´on del problema transformado es, naturalmente, u∗ = F (y ∗ , t∗ ). Adem´as, la funci´ on u/tβ = F (y, t)/tβ = G(y, t) debe permanecer independiente de λ bajo la transformaci´ on, ya que de (7.156) se deduce que u/tβ = u∗ /t∗β = G(y ∗ , t∗ ) = G(y, t). Por tanto, G puede depender de y y t s´olo a trav´es de la combinaci´on y/tα , que transforma independientemente de λ la expresi´on y/tα = y ∗ /t∗α . Esto exige que la soluci´on del problema sea necesariamente de la forma u = tβ G(y/tα ),
(7.157)
que introducida en las ecuaciones de partida conduce a una ecuaci´ on diferencial ordinaria para determinar G. En efecto, sustituyendo (7.157) en (7.154)-(7.155), se obtiene λ−1 u∗ (y ∗ , 0) = 0,
y ∗ > 0;
∂ 2 u∗ ∂ u∗ = −λ−2α ν , ∗ ∂t ∂ y ∗2 u∗ (0, t∗ ) = λ−β V,
u(∞, t∗ ) = 0,
(7.158) t∗ = 0,
(7.159)
que resultan id´enticas a las originales (7.154)-(7.155) si α = 1/2 y β = 0. Por tanto, de acuerdo con (7.157), la soluci´on del problema puede escribirse de la forma √ u = V G(η) con η = y/ ν t, (7.160) √ osito de simplificar la escritura de donde las constantes V y 1/ ν se han introducido con el solo prop´ la ecuaci´on diferencial y condiciones de contorno resultantes de sustituir (7.160) en (7.154)-(7.155).
149
7.II. Introducci´ on a los m´etodos de perturbaciones
´ APENDICE 7.II ´ A LOS METODOS ´ INTRODUCCION DE PERTURBACIONES Para ilustrar las denominadas t´ecnicas de perturbaciones que, como se ver´a, facilitan enormemente el an´alisis y la resoluci´on de problemas en los que existe un par´ ametro peque˜ no, se calcular´an en este Ap´endice las soluciones (7.62) y (7.66) correspondientes a los reg´ımenes l´ımites en la corriente de un l´ıquido inducida por el movimiento arm´ onico de una placa, paralelamente a si misma, en presencia de otra. En efecto, consid´erese el problema definido por las ecuaciones (7.49)-(7.50) que, mediante la introducci´ on de las variables adimensionales v=
u , V
η=
y h
y
τ = t ω,
(7.161)
puede escribirse de la forma ∂v ∂2 v , =β ∂τ ∂ η2 v(0, τ ) = cos τ,
(7.162)
v(1, τ ) = 0,
(7.163)
donde β es un par´ametro adimensional definido como β≡
ν h2
ω
.
(7.164)
En el l´ımite β 1 se obtiene, dividiendo por β la ecuaci´on (7.162), el problema cuasiestacionario ∂2 v 0 con v(0, τ ) = cos τ ∂ η2
y
v(1, τ ) = 0,
(7.165)
cuya soluci´on, v (1 − η) cos τ,
(7.166)
coincide con (7.62). La soluci´on anterior, que tiene errores del orden β −1 1, se puede hacer tan exacta como se quiera sin m´as que expandir v en potencias de β −1 : v = vo + β −1 v1 + β −2 v2 + ...,
(7.167)
donde vo , v1 , v2 ... son funciones de η y τ , que se obtienen sustituyendo la expansi´ on anterior en (7.162)-(7.163) e igualando t´erminos con potencias iguales de β. En el orden m´ as bajo se obtiene (7.165), por lo que vo viene dado por el flujo de Couette (7.166). El t´ermino de orden β −1 satisface ∂ vo ∂ 2 v1 = ∂τ ∂ η2
con v1 (0, τ ) = v1 (1, τ ) = 0;
(7.168)
sustituyendo vo = (1 − η) cos τ , se obtiene v1 = [η 3 /6 − η 2 /2 + η/3] sen τ.
(7.169)
Cuando la soluci´ on, como en este caso, es uniformemente v´alida en todo el dominio fluido, se dice que se trata de un problema de perturbaciones regulares y puede obtenerse, por el m´etodo indicado, una soluci´on del problema tan exacta como se quiera.
Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales
150
En el l´ımite opuesto, β 1, la ecuaci´on (7.162) resulta ∂v 0; ∂τ
(7.170)
v 0,
(7.171)
una de cuyas soluciones satisface simult´aneamente (7.170) y la condici´on de contorno en η = 1. Obviamente esta soluci´on no es uniformemente v´alida en todo el dominio fluido, puesto que no satisface la condici´ on de contorno en η = 0. Por tanto, existir´ a una capa delgada de fluido en las proximidades de la placa inferior (capa l´ımite) en la cual la soluci´on (7.171) (soluci´on exterior) no es v´alida. El espesor de esta capa se determina exigiendo que las derivadas temporales y espaciales en la ecuaci´on (7.162) sean del mismo orden. Definiendo η = δ ξ, (7.172) donde la nueva variable ξ se supone de orden unidad en la capa l´ımite, y sustituyendo en (7.162) se tiene ∂v β ∂2 v , (7.173) = 2 ∂τ δ ∂ ξ2 por lo que el espesor δ es del orden β 1/2 1. Haciendo δ ≡ β 1/2 , y teniendo en cuenta que η = 1 equivale a ξ = 1/δ → ∞, δ = β 1/2 → 0, (7.174) el problema dentro de la capa l´ımite se reduce, en primera aproximaci´on al problema de Stokes: ∂2 v ∂v = ∂τ ∂ ξ2
con v(0, τ ) = cos τ
cuya soluci´on v = e−ξ/
√ 2
y
√ cos(τ − ξ/ 2),
v(∞, τ ) = 0,
(7.175)
(7.176)
coincide con (7.66). Esta soluci´on es uniformemente v´alida [acopla con la soluci´ on (7.167), que tiene errores de orden β −1 1] salvo errores del orden de β −1 . La obtenci´on de soluciones de mayor orden (errores de orden menor) es m´as complicada que en el caso anterior puesto que habr´ıa que obtener la soluci´on exterior en las siguientes aproximaciones (ve = veo + β ve1 + ..., veo = 0) y acopladas con las sucesivas aproximaciones de la soluci´on en la capa l´ımite, o soluci´on interior, [vi = vio + β 1/2 vi1 + ..., donde vio es la soluci´on de Stokes (7.176)] en el l´ımite η → 0 para ve y ξ → ∞ para vi . Este esquema de soluci´on se denomina m´etodo de perturbaciones singulares y, en general, se utiliza cuando en la aproximaci´ on de orden menor desaparece el t´ermino que contiene las derivadas de mayor orden en la ecuaci´on, con lo que no se pueden imponer la totalidad de las condiciones de contorno. Aplicando los m´etodos aqu´ı expuestos al problema planteado en (7.46) y (7.47), el lector puede comprobar f´ acilmente la validez de las soluciones aproximadas (7.49) y (7.50).
Cap´ıtulo 8
Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante 8.1.
Flujo en conductos de secci´ on lentamente variable
Las soluciones obtenidas en el cap´ıtulo anterior son soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes para movimientos unidireccionales en los que el t´ermino convectivo en la ecuaci´on de cantidad de movimiento se anula id´enticamente. Naturalmente, la unidireccionalidad era debida a considerar los conductos, o paredes que gu´ıan al fluido, de secci´on constante e infinitamente largos. Se ver´ a a continuaci´ on que, en primera aproximaci´ on, dichas soluciones pueden extenderse f´acilmente a conductos y capas l´ıquidas de longitud finita y secci´ on lentamente variable cuando las fuerzas de viscosidad son dominantes frente a las fuerzas de inercia (locales y convectivas). Consid´erese, por ejemplo, un conducto cuya secci´on, que se supondr´ a de forma arbitraria, var´ıa lentamente, es decir, sufre variaciones del orden de ella misma en la longitud L del conducto, que se supondr´ a mucho mayor que su dimensi´on transversal caracter´ıstica (media) Do (∆L D ∼ Do L). En este caso aparecen velocidades transversales cuyo orden de magnitud VT puede estimarse de la ecuaci´on de continuidad ∂ vx ∂ vy ∂ vz ∇·v = + + = 0. (8.1) ∂x ∂y ∂z En efecto, debido a que ∆L D ∼ Do , la constancia del caudal a lo largo del conducto implica ∆L vx ∼ vx ∼ Vo , donde Vo es un valor caracter´ıstico de la velocidad axial a lo largo del conducto. Asimismo, debido a la condici´on de no deslizamiento en la pared del conducto, las componentes de la velocidad experimentar´ an variaciones transversales del orden de ellas mismas, ∆T vx ∼ Vo y ∆T vy ∼ ∆T vz ∼ VT , en distancias de orden Do . Por tanto, la estimaci´on de ´ordenes de magnitud en (8.1) proporciona Do VT Vo o VT ∼ (8.2) ∼ Vo Vo , L Do L con lo que el movimiento puede considerarse casi-unidireccional. Suponiendo que las fuerzas m´ asicas derivan de un potencial, las ecuaciones de cantidad de movimiento en las direcciones x, y, z son 2 ∂ vx ∂ vx ∂ vx ∂ vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx 1 ∂(p + ρ U ) ∂ vx , (8.3) + + + vx + vy + vz =− +ν ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 ∂ vy ∂ vy ∂ vy ∂ vy 1 ∂(p + ρ U ) + vx + vy + vz =− +ν ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y 151
∂ 2 vy ∂ 2 vy ∂ 2 vy + + 2 2 ∂x ∂y ∂ z2
,
(8.4)
152
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante ∂ vz ∂ vz ∂ vz ∂ vz 1 ∂(p + ρ U ) + vx + vy + vz =− +ν ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z
∂ 2 vz ∂ 2 vz ∂ 2 vz + + 2 2 ∂x ∂y ∂ z2
,
(8.5)
donde ν = µ/ρ es la viscosidad cinem´atica del fluido. Obs´ervese que, salvo errores del orden de (Do /L)2 1, los t´erminos que contienen a ∂ 2 /∂ x2 en la expresi´on de las fuerzas viscosas pueden despreciarse frente a los que contienen ∂/∂ y 2 y ∂/∂ z 2 . Por otra parte, teniendo en cuenta la condici´on (8.2), las ecuaciones (8.3)-(8.5) suministran la relaci´on entre las fuerzas de inercia convectiva y de viscosidad. En efecto, de (8.3) se tiene vx ∂ vx /∂ x ∼ Vo /L2 y ν ∂ 2 vx /∂y 2 ∼ ν Vo /D2 , y su cociente Vo2 /L Vo Do Do Do = Re ; (8.6) ∼ ν Vo /Do2 ν L L an´alogamente, de (8.4) o (8.5) se obtiene tambi´en Vo Do Do Do Vo VT /L = Re , ∼ ν VT /Do2 ν L L
(8.7)
donde Re = Vo Do /ν es el n´ umero de Reynolds basado en el di´ametro caracter´ıstico del conducto. Por tanto, los t´erminos viscosos ser´an dominantes frente a los convectivos si Re Do /L 1. Obs´ervese que esta condici´on puede cumplirse incluso para Re 1 si Do /L es suficientemente peque˜ no; no obstante, como se ver´a posteriormente, los resultados de este cap´ıtulo dejan de ser v´ alidos para Re > Recr , para los que el flujo se hace turbulento (en el movimiento de l´ıquidos en conductos Recr ∼ 2300). Por otra parte, si to es un tiempo caracter´ıstico para variaciones apreciables de las magnitudes fluidas, determinado por el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las condiciones de contorno, la relaci´on entre los t´erminos de aceleraci´on local y los viscosos est´a dada por [v´ease (8.3)] Vo /to D2 ∼ o, 2 ν Vo /Do ν to
(8.8)
Do2 VT /to ∼ , ν VT /Do2 ν to
(8.9)
y de (8.4) u (8.5) se tiene
por lo que las fuerzas de inercia locales ser´an despreciables frente a las de viscosidad si Do2 /ν to 1. Bajo las condiciones de fuerzas de viscosidad dominantes el orden de magnitud de los gradientes longitudinales y transversales de presi´on reducida se obtiene de (8.3) y (8.4)-(8.5) como Vo ∆L (p + ρ U ) ∼µ 2 L Do
y
∆T (p + ρ U ) VT ∼ µ 2, Do Do
(8.10)
donde ∆L y ∆T denotan variaciones caracter´ısticas de presi´on reducida en longitudes del orden de L y Do respectivamente. De (8.10) se obtiene ∆T (p + ρ U ) Do V T ∼ ∼ ∆L (p + ρ U ) Lo Vo
Do L
2 1,
(8.11)
por lo que en primera aproximaci´ on, las variaciones de presi´on transversales son despreciables y se puede considerar p + ρ U constante en cada secci´on del conducto. Es decir, p + ρ U = f (x, t)
(8.12)
8.1. Flujo en conductos de secci´on lentamente variable
153
sustituye a las dos ecuaciones de cantidad de movimiento en sentido transversal.1 Por tanto, la ecuaci´on de cantidad de movimiento longitudinal (8.3) se reduce a 2 ∂ vx ∂ 2 vx pl + µ = 0, (8.13) + ∂ y2 ∂ z2 donde pl = −∂(p + ρ U )/∂ x depende exclusivamente de x y de t a trav´es de la geometr´ıa del conducto y de las condiciones de contorno; estas u ´ ltimas estar´an dadas por u = 0 en
C(x, y, z) = 0,
(8.14)
donde C(x, y, z) = 0 representa la ecuaci´on de las paredes s´olidas del conducto, y, en su caso, habr´ a que a˜ nadir condiciones de regularidad de u en el interior del dominio fluido (como se ver´ a, dicha condici´ on depende del sistema de coordenadas usado de acuerdo con la geometr´ıa de la secci´on). La ecuaci´on (8.13) expresa que si las fuerzas de inercia locales y convectivas (asociadas, respectivamente, a la dependencia temporal del proceso y a las aceleraciones que las part´ıculas fluidas experimentan a lo largo del conducto debidas a variaciones de secci´ on) son despreciables frente a las viscosas (Do2 /ν to 1 y Re Do /L 1) el gradiente de presi´on reducida se emplea, en primera aproximaci´ on, en vencer las fuerzas de viscosidad para mantener el movimiento, siendo despreciable la fracci´on de dicho gradiente invertida en variar la cantidad de movimiento de las part´ıculas fluidas. Obs´ervese que el fluido se comporta en cada secci´on del conducto como si ´este tuviese longitud infinita y secci´ on constante (la local); la coordenada longitudinal x y el tiempo t act´ uan en (8.13) como par´ ametros a trav´es de pl (x, t). Conviene indicar que las ecuaciones de cantidad de movimiento (8.3)-(8.5) son las correspondientes a un conducto recto. No obstante, los resultados y condiciones de contorno anteriores, en particular (8.13) y (8.14), pueden aplicarse a conductos curvos siempre que la relaci´ on entre la dimensi´on transversal y el radio de curvatura caracter´ıstico Rc sea peque˜ na, es decir, Do /Rc 1.2 En este caso, si x es la coordenada a lo largo de la l´ınea media del conducto, ´este puede considerarse como localmente recto en un entorno de cada punto x. Con objeto de obtener resultados v´ alidos para cualquier geometr´ıa de la secci´on del conducto, conviene escribir las ecuaciones (8.13)-(8.14) en forma adimensional. Para ello debe tenerse en 1 Esta aproximaci´ on es independiente de la hip´ otesis de fuerzas de viscosidad dominantes, siendo una consecuencia, exclusivamente, de la condici´ on geom´etrica Do /L 1. En efecto, si las fuerzas de inercia convectiva fuesen dominantes se tendr´ıa ρ VT2 ρ Vo2 ∆T (p + ρ U ) ∆L (p + ρ U ) ∼ , ∼ , L L Do Do
por lo que ∆L (p + ρ U )/∆T (p + ρ U ) ∼ (Do /L)2 1. Por otra parte, si las fuerzas de inercia locales fuesen dominantes ρ Vo ∆T (p + ρ U ) ρ VT ∆L (p + ρ U ) ∼ , ∼ , L to Do to por lo que se tendr´ıa tambi´ en ∆L (p + ρ U )/∆T (p + ρ U ) ∼ (Do /L)2 1. 2 Obs´ ervese que en conductos curvos, debido a la aceleraci´ on centr´ıpeta de las part´ıculas, la componente transversal del t´ermino convectivo es del orden ρ Vo2 /Rc , donde Vo es la velocidad t´ıpica longitudinal. Si las fuerzas de inercia convectivas son dominantes, se tiene (supuesto Rc ∼ L) ρ Vo2 ∆L (p + ρ U ) ∆T (p + ρ U ) , ∼ ∼ Do Rc L y ∆T (p + ρ U ) Do 1. ∼ ∆L (p + ρ U ) L Este resultado, diferente del obtenido para un conducto recto [∆T (p+ρ U )/∆L (p+ρ U ) ∼ Do2 /L2 Do /L], tambi´ en permite considerar en primera aproximaci´ on p + ρ U = f (y, z) para un conducto curvo independientemente de que las fuerzas de inercia o de viscosidad sean dominantes.
154
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
cuenta que, en general, el contorno del conducto vendr´ a definido por una ecuaci´ on de la forma C[y, z, D(x), D1 (x), ...Dn (x)] = 0, donde D(x), D1 (x), ...Dn (x) son longitudes caracter´ısticas de la secci´on del conducto que aparecen en la ecuaci´on que define su forma. El teorema π permite escribir entonces dicha relaci´on en la forma C(ξ, η, α1 , ...αn ) = 0 donde ξ = y/D(x), η = z/D(x) y αi = Di /D(x) (i = 1, ...n). Si se define ahora la velocidad adimensional µ u= vx , (8.15) pl D 2 donde pl = pl (x, t) y D = D(x), las ecuaciones (8.13)-(8.14) se transforman en ∂2 u ∂2 u + = −1, ∂ ξ2 ∂ η2
(8.16)
u = 0 en C(ξ, η, α1 , ...αn ) = 0,
(8.17)
con la condici´on de contorno
y la condici´on de regularidad para u en su caso. El caudal que circula por el conducto, que por continuidad es independiente de x, viene dado por pl D 4 pl D4 udξdη = Φ(α1 , ...αn ), Q= udydz = (8.18) µ µ S(ξ,η,α,...αn ) S(x,y,D,...Dn ) donde S(x, y, z, D, ...Dn ) representa el ´area de una secci´on transversal y S(ξ, η, α, ...αn ) es su correspondiente forma adimensional. La funci´ on u d ξ d η, Φ= (8.19) S
que depende u ´nicamente de la geometr´ıa de la secci´on, se denomina factor de forma. Valores del factor de forma Φ para conductos de diferentes secciones se encuentran en los manuales de Hidr´ aulica. Obs´ervese que la ecuaci´on (8.18) es una generalizaci´on de la ley de Hagen-Poiseuille para secciones de forma cualquiera que pueden variar lentamente con x; la forma de la secci´on se tiene en cuenta a trav´es del factor de forma Φ. Finalmente, y debido a que el caudal Q es a lo sumo funci´on del tiempo,3 la ecuaci´on (8.18) puede ser integrada una vez para dar la distribuci´ on de presiones a lo largo del conducto x dx . (8.20) p(x, t) + ρ U (x, t) − [p(x, t) + ρ U (x, t)] = µ Q 4 x1 ΦD Conocido el factor de forma, la expresi´on (8.20) permite determinar la distribuci´ on de presiones necesaria para que circule un caudal dado o el problema inverso de determinar el caudal que circula por el conducto para una distribuci´ on de presiones dada. Para finalizar, y como ejemplo particular, se resolver´ a (8.16)-(8.17) para un conducto de secci´on circular. En este caso es u ´ til escribir escribir el problema en coordenadas cil´ındricas, 1 ∂ ∂u (8.21) ξ = −1, con u(1/2) = 0, ξ ∂ξ ∂ξ 3 Q puede depender tambi´ en de x en el caso, no considerado en esta secci´ on, en que la geometr´ıa del conducto dependa del tiempo. Esta situaci´ on se considerar´ a posteriormente para el caso pel´ıculas l´ıquidas.
155
8.2. Tubos de longitud finita. Efecto de entrada donde ξ = r/D. La soluci´on regular en el origen [u(0) = ∞] que satisface (8.21) es 1 1 2 u= −ξ , 4 4
(8.22)
y (8.19) proporciona el factor de forma
2π
dθ
Φ= o
o
1/2
1 4
1 − ξ2 4
ξdξ =
π . 128
(8.23)
Obs´ervese que, en este caso, Φ es un n´ umero puro debido a que en la ecuaci´ on del contorno circular, x2 + y 2 − D2 (x)/4 = 0, s´olo depende de una longitud caracter´ıstica, D(x), y al adimensionalizar no aparecen, por tanto, los αi .
8.2.
Tubos de longitud finita. Efecto de entrada
La ley de Hagen-Poiseuille (8.18) es v´alida para tubos infinitos siempre que ReD/L 1 y Re ≤ Recr , siendo D una longitud t´ıpica de la secci´on tranversal del conducto, y L la longitud caracter´ıstica de variaci´ on de las magnitudes fluidas en la direcci´ on del conducto. En esta situaci´ on, el perfil de velocidades es el correspondiente a la soluci´on del problema (8.17)-(8.18) que, para un conducto de secci´on circular, es el perfil parab´ olico (8.23). Naturalmente, no existen conductos infinitos y, por tanto, en la regi´ on de entrada de los mismos el perfil de velocidades no es el de Hagen-Poiseuille. La Figura 8.1 muestra una fotograf´ıa de los perfiles de velocidad de un flujo laminar en la regi´on de transici´on pr´ oxima a la entrada del conducto. La visualizaci´ on, por medio de burbujas de hidr´ ogeno generadas en el fluido por electr´olisis, demuestra que el perfil de velocidades se va ajustando aguas abajo desde un perfil casi uniforme en la entrada hasta el perfil parab´ olico de Hagen-Poiseuille.
Figura 8.1: Perfiles de velocidad en la regi´ on de entrada. Fotograf´ıa tomada de Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon, 1988. En efecto, si la entrada a un tubo desde un dep´ osito est´a bien dise˜ nada, la velocidad justo en la secci´on de entrada del conducto es pr´ acticamente uniforme y de valor Ve , Figura 8.2, salvo en una capa muy delgada en la pared del conducto donde la velocidad cae desde el valor Ve en el
156
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
exterior de la capa hasta cero en la pared. El espesor de esta capa va creciendo aguas abajo debido a que el efecto de frenado de las paredes se va difundiendo por viscosidad. Mientras que el espesor de esa capa no alcance el eje del conducto existir´a, en torno a ´el, un n´ ucleo no viscoso donde la velocidad es uniforme. La constancia del caudal en cada secci´on del conducto y el hecho de que la capa viscosa, donde la velocidad del l´ıquido es menor, crezca aguas abajo son responsables de que el l´ıquido del n´ ucleo viscoso se acelere y la presi´on disminuya aguas abajo, a medida que ´este se estrecha. Naturalmente, a medida que el n´ ucleo central no viscoso se estrecha, la inercia del fluido disminuye progresivamente y el perfil de velocidades se va aproximando asint´ oticamente al de Hagen-Poiseuille.
C a p a v is c o s a
N ú c le o n o v is c o s o
P e r fil d e v e lo c id a d e s d e H a g e n -P o is e u ille r
u ( r ,x )
x
L o n g itu d d e e n tr a d a
R e g ió n d e flu jo d e s a r r o lla d o
Figura 8.2: N´ ucleo no viscoso en la regi´on de entrada.
Es claro que en la regi´on de la entrada, de longitud caracter´ıstica Le , los t´erminos de la aceleraci´on convectiva son tan importantes como los viscosos y deben retenerse en las ecuaciones del movimiento para una descripci´ on correcta del flujo en esta zona. Dado que la velocidad longitudinal sufre variaciones del orden de ella misma en una distancia del orden de la longitud de entrada, Le , los t´erminos convectivos ρ v · ∇v ser´an del orden ρ Ve2 /Le , mientras que los viscosos µ ∇2 v ser´an del orden de µ Ve /D2 , ya que la velocidad pasa de ser cero en la pared a valer una cantidad del orden de Ve en el centro. El orden de magnitud de Le se obtiene sin m´as que expresar que ambos t´erminos, de inercia y de viscosidad, son del mismo orden: 4 Le ρ Ve D ∼ Re ∼ . D µ
(8.24)
Cuando la longitud total L del tubo (L D) es tal que Re D/L 1, la longitud de entrada Le es mucho menor que L, Le /L ∼ Re D/L 1, y la ca´ıda de presi´on en la regi´on de entrada, ∆Le (p + ρ U ) ∼ ρ Ve2 , es muy peque˜ na comparada con la que tiene lugar en la longitud L del tubo supuesto establecido el r´egimen de Hagen-Poiseuille, ∆L (p + ρ U ) ∼ µ Ve L/D2 ; esto es ∆Le (p + ρ U )/∆L (p+ρ U ) ∼ Re D/L 1. Por el contrario, en movimientos laminares tales que Re D/L ∼ 1 se tiene Le ∼ L y la ca´ıda de presi´on asociada al efecto de entrada es una fracci´on apreciable de la ca´ıda de presi´on total; para su c´ alculo es necesario obtener los campos de velocidades y presiones en la regi´on de entrada. Para ello hay que resolver el problema de la corriente de l´ıquido reteniendo los t´erminos convectivos y viscosos en la ecuaci´on de cantidad de movimiento. En efecto, si v = vx ex + vr er , representan las componentes seg´ un los ejes x y r de la velocidad del l´ıquido 4 El orden de magnitud de la longitud de entrada puede obtenerse alternativamente teniendo en cuenta que el tiempo de penetraci´ on viscosa en el l´ıquido que fluye por el conducto de di´ ametro D es D2 /ν, por lo que la longitud caracter´ıstica que recorren las part´ıculas de fluido situadas en las zonas m´ as interiores de la secci´ on del conducto antes de ser afectadas apreciablemente por la viscosidad es Le ∼ Ve D2 /ν, que coincide con la dada en (8.24).
157
8.2. Tubos de longitud finita. Efecto de entrada
en el movimiento axilsim´etrico de la regi´on de entrada y se definen las variables adimensionales ξ=
2x , D Re
η=
2r , D
u=
vx , Ve
v=
vr , Ve
p=
p + ρU , ρ Ve2
(8.25)
las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento seg´ un el eje x en coordenadas cil´ındricas se escriben ∂u 1 ∂ + (ηv) = 0, (8.26) ∂ξ η ∂η ∂u ∂u ∂p 1 ∂ ∂u u +v =− + η , (8.27) ∂ξ ∂η ∂ξ η ∂η ∂η con las condiciones de contorno, u(0, η) = 1,
p(0) = pe
(8.28)
y u(ξ, 1) = v(ξ, 1) = 0,
(8.29)
donde se ha supuesto que el movimiento es estacionario y que D/L 1, lo que hace innecesaria, en primera aproximaci´ on y con errores de D2 /L2 1, la ecuaci´on de cantidad de movimiento seg´ un la direcci´on radial. Naturalmente, el gradiente de presiones ha de obtenerse como parte de la soluci´on con la condici´on adicional de que el gasto a trav´es de cualquier secci´on sea constante (independiente de ξ): 1 ∂ u η d η = 0. (8.30) ∂ξ o
Figura 8.3: Evoluci´ on de la velocidad en el eje y de la presi´on adimensionales en la regi´on de entrada.
El sistema (8.26)-(8.27) es parab´olico y se puede resolver num´ericamente mediante cualquier sistema num´erico apropiado. Aqu´ı se ha resuelto mediante un m´etodo de integraci´ on, denominado
158
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
de l´ıneas, que resulta particularmente apropiado para la resoluci´ on de problemas parab´ olicos como el que nos ocupa. En el m´etodo de l´ıneas se discretizan las ecuaciones en derivadas parciales en la direcci´on perpendicular al flujo y el sistema de ecuaciones diferenciales resultantes se integra en la direcci´on del flujo. Un breve detalle del m´etodo de l´ıneas se encuentra en el Ap´endice 8.I. La ca´ıda de presi´on en la regi´on de entrada obtenida mediante la integraci´ on por el m´etodo de l´ıneas de (8.26)-(8.30) se representa en la Figura 8.3.
Aplicaci´ on a la descarga de un l´ıquido a trav´ es de un conducto vertical de secci´ on lentamente variable Consid´erese un tubo vertical, de longitud L, cerrado por su extremo inferior y abierto a la atm´osfera por el superior, que contiene un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad µ. El conducto es de secci´on lentamente variable de radio R(x) = Ro +α x con α = |R1 −Ro |/L 1, donde x representa la distancia a una secci´on gen´erica medida respecto del extremo superior y Ro ∼ R1 son los radios de las secciones superior e inferior respectivamente. En un instante dado, se abre el extremo inferior y el l´ıquido fluye por el conducto bajo la acci´ on de la gravedad. Se desea estudiar el movimiento del l´ıquido en el supuesto de que las fuerzas de viscosidad sean dominantes. Se supondr´ a tambi´en que los efectos de la tensi´on superficial en la interfase aire-l´ıquido son despreciables. Compruebe el lector que para ello se requiere que las fuerzas gravitatorias, del orden de ρgRo , sean mucho mayores que las de tensi´on superficial, ζ/Ro ; ζ es la tensi´on superficial l´ıquido-aire. Como se ha visto anteriormente, para que el flujo sea con fuerzas de viscosidad dominantes es necesario que los par´ametros Re R/L y ρ R2 /(µto ) sean peque˜ nos; R es un radio caracter´ıstico del conducto (R = Ro por ejemplo). Una estimaci´on de la velocidad caracter´ıstica del l´ıquido en el conducto, necesaria para estimar el n´ umero de Reynolds, puede hacerse f´acilmente a partir de la ecuaci´on de cantidad de movimiento que, como es sabido, si el movimiento es con fuerzas de viscosidad dominantes, el gradiente de presion reducida ∇ (p + ρgz) ∼ ∆ (p + ρgz)/L ∼ ρg y las fuerzas de viscosidad por unidad de volumen µ∇2 v ∼ µ vc /R2 se compensan. Se obtiene entonces vc ∼
ρgR2 , µ
to ∼ L/vc
y
Re R/L ∼
ρ R2 ρ2 gR4 1. ∼ 2 µ to µ L
Antes de proceder a la resoluci´on del problema conviene volver al concepto de regi´ on de entrada, o regi´on donde el flujo evoluciona desde uno dado hasta el de Poiseuille. Este es el caso que ocurre cerca de la interfase plana aire-l´ıquido, que lo es porque el perfil de velocidades del l´ıquido en ella es uniforme. Cerca de la interfase, m´as precisamente a distancias de ella del orden de Re R o menores, el r´egimen de velocidades existente es distinto del de Poiseuille. Sin embargo, si el l´ıquido fluye de modo que las fuerzas de viscosidad sean dominantes, la longitud de esta regi´on es muy peque˜ na comparada con L (Re R/L 1) y, por tanto, no contribuye pr´ acticamente a la caida de presi´on total. Dicha regione se puede considerar como una zona de transici´on donde el perfil de velocidades del l´ıquido evoluciona desde la forma plana que posee en la interfase a la de Poiseuille, pero sin efecto alguno sobre las cantidades de inter´es del problema. Para la resoluci´on se parte de la relaci´on entre el caudal y el gradiente de presiones, que en el r´egimen de Poiseuille es πR4 (x) ∂(p + ρ g z) Q=− . (8.31) 8µ ∂x Si s(t) representa la posici´on de la interfase aire-l´ıquido medida desde el extremo superior del conducto, la integraci´ on de (8.31) entre la interfase y la salida del conducto proporciona L 8 µQ L d x d(p + ρ g z) = − (8.32) 4 π s R (x) s
8.3. Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomec´anica
159
o
8µQ (8.33) (Ro + α s)−3 − (Ro + α L)−3 = ρ g (L − s), 3πα donde el origen de alturas se ha tomado en el extremo inferior del conducto y se ha impuesto la condici´on de que la presi´on del l´ıquido es la atmosf´erica tanto en la interfase como en la secci´on de descarga, de radio R1 . Por otra parte, la condici´ on de conservaci´on de la masa aplicada al volumen de control, variable con el tiempo, formado por las paredes del conducto, la interfase y la secci´ on de salida se tiene L d π(Ro + α s)2 d s + ρ v · n d σ = 0, (8.34) ρ dt Σ(R1 ) s donde se ha tenido en cuenta que el flujo m´ asico a trav´es de las paredes es nulo y tambi´en lo es a trav´es de la interfase por ser ´esta una superficie fluida. Si Q(t) es el caudal, volumen por unidad de tiempo, que fluye en cada instante a trav´es de las secciones del conducto, la integraci´on de (8.34) proporciona ds Q = π R2 (s) , (8.35) dt que junto a (8.33) constituyen un sistema de dos ecuaciones para el c´alculo de la posici´on de la interfase y el caudal como funciones del tiempo. Sustituyendo (8.35) en (8.33) y definiendo las variables adimensionales ξ = s/L, τ = (3 ρ g Ro t)/(8 µ) y el par´ametro adimensional r = (R1 − Ro )/Ro , se obtiene la ecuaci´on adimensional que determina la posici´ on de la interfase como funci´on del tiempo
1 dτ 1 (1 + r ξ)2 α . (8.36) − = dξ 1−ξ (1 + r ξ)3 (1 + r)3 La integraci´ on de esta ecuaci´on con la condici´on inicial τ (0) = 0 proporciona ατ =
ξ[4 + r(2 + ξ)] ln(1 + r ξ) r , + 1+r (1 + r)3 2
(8.37)
y el tiempo de descarga adimensional ln x 1 + 3 x2 Ro τ (1) = + L x(x − 1) 2 x2
con x = R1 /Ro ,
(8.38)
que se representa en la Figura 8.4 como funci´on de R1 /Ro . Obs´ervese que el tiempo de descarga disminuye a medida que aumenta el radio de salida R1 .
8.3.
Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomec´ anica
Cuando dos superficies s´olidas en contacto poseen un movimiento relativo entre ellas, la disipaci´on de energ´ıa originada por la fuerza de rozamiento da lugar a una elevaci´ on grande de la temperatura de las superficies con el consiguiente da˜ no para ellas. Para reducir la fricci´ on y minimizar el da˜ no producido se introduce, como es sabido, un lubricante entre las superficies. La potencia disipada crece, naturalmente, con la velocidad relativa entre superficies y, por tanto, debido a las altas velocidades de giro alcanzadas hoy en d´ıa, es necesario conseguir una lubricaci´on eficaz de las superficies deslizantes para impedir los catastr´oficos efectos derivados de una lubricaci´on insuficiente. En esencia, el fen´omeno de la lubricaci´on se basa en que en una capa fluida muy delgada los esfuerzos de fricci´on originados por el movimiento, aunque peque˜ nos comparados con la presi´on, act´ uan a lo largo de distancias comparativamente grandes, y pueden dar lugar a variaciones
160
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
Figura 8.4: Tiempo adimensional de vaciado Ro τ (1)/L como funci´on de la relaci´on de radios R1 /Ro .
importantes de la presi´on si se elige apropiadamente la geometr´ıa de la capa fluida; dichas fuerzas de presi´on son las que permiten la separaci´on de las superficies que limitan la capa l´ıquida cuando ´estas se encuentran solicitadas por acciones que tienden a ponerlas en contacto. Para ilustrar el fen´ omeno, se considerar´a primero el movimiento en una capa fluida delgada bidimensional entre dos superficies s´olidas originado por un gradiente de presi´ on (o de presi´on reducida) y por el movimiento de una de las superficies s´olidas, lo que constituye una generalizaci´ on de los flujos de Couette y de Poiseuille considerados en 7.2.1 y 7.2.2. Este problema se extender´a posteriormente al caso de capas l´ıquidas tridimensionales, v´ease 8.4.1, donde se obtendr´ a la denominada ecuaci´on de Reynolds de la lubricaci´ on fluidomec´anica. En 8.4.2 se aplicar´a dicha ecuaci´on al caso de cojinetes cil´ındricos, de gran inter´es pr´actico como dispositivos antifricci´on usados en maquinaria.5 Consid´erese una pel´ıcula l´ıquida bidimensional, confinada entre dos superficies s´ olidas, una de las cuales es plana y se mueve paralelamente a s´ı misma con velocidad V relativa a la otra superficie, Figura 8.5. Para describir el movimiento del l´ıquido se utilizar´ a un sistema de referencia fijo (x , y), donde la coordenada y representa la distancia a la placa m´ovil y x es la distancia a lo largo de ella medida desde el origen de la pel´ıcula, de tal forma que el espesor de la pel´ıcula es una funci´ on h(x) conocido. El movimiento de la capa de fluido es debido tanto al movimiento relativo entre superficies como, en general, a una diferencia de presi´on reducida Po − P1 = po + ρ Uo − (p1 + ρ U1 ) entre sus extremos, siendo U el potencial de fuerzas m´asicas. Si la capa l´ıquida es muy delgada, ho L, (8.39) donde ho es el espesor caracter´ıstico (espesor medio) de la capa l´ıquida y L su longitud caracter´ıstica seg´ un x, es f´acil demostrar de la ecuaci´on de continuidad ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y
(8.40)
que el movimiento en la pel´ıcula l´ıquida es casi unidireccional. En efecto, si Vo representa el orden de magnitud de la componente de la velocidad del l´ıquido u seg´ un el eje x, el orden de magnitud 5 No se deben olvidar, aunque no ser´ an tratados aqu´ı , las modernas aplicaciones de la lubricaci´ on fluidomec´ anica como son el acqua planning, o estudio del comportamiento de los neum´ aticos de los veh´ıculos terrestres que circulan por un pavimento mojado (la pel´ıcula de agua sobre el pavimento puede impedir el contacto entre el neum´ atico y el suelo con la consiguiente p´erdida de control del veh´ıculo), o los modernos enfoques de la lubricaci´ on hacia el campo de la Biolog´ıa (por ejemplo, el comportamiento del l´ıquido sinovial en las articulaciones de los vertebrados).
161
8.3. Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomec´anica
L P0=p0+r U0
P1=p1+r U1
E y
S
h(x) x
V
Figura 8.5: Pel´ıcula l´ıquida bidimensional.
de la componente transversal de la velocidad v ∼ VT ∼ ho u/L u ∼ Vo , y el movimiento es casi-unidireccional. Esto no es, claramente, lo que sucede en las regiones de entrada E y salida S donde el flujo no es casi-unidireccional puesto que u ∼ Vo ∼ v ∼ VT . Sin embargo, y puesto que la dimensi´on caracter´ıstica de estas regiones es del orden de ho , peque˜ na frente a L, los efectos de la entrada y la salida ser´ an despreciables si se cumple que las variaciones de presi´on en E y S son peque˜ nas frente a las que se encuentran a lo largo de la pel´ıcula, de longitud aproximada L, lo que permite, como se ver´a posteriormente, describir en primera aproximaci´ on el movimiento de la pel´ıcula sin conocer en detalle el movimiento en las regiones E y S. Las ecuaciones de cantidad de movimiento en las direcciones x e y se escriben ρu
∂u ∂u ∂(p + ρU ) ∂2 u + ρv =− +µ ∂x ∂y ∂x ∂ y2
(8.41)
ρu
∂v ∂v ∂(p + ρU ) ∂2 v ; + ρv =− +µ ∂x ∂y ∂y ∂ y2
(8.42)
obs´ervese que, con errores del orden de (h/L)2 , se han despreciado los t´erminos viscosos ν ∂ 2 u/∂ x2 y ν ∂ 2 v/∂ x2 frente a ν ∂ 2 u/∂ y 2 y ν ∂ 2 v/∂ y 2 , respectivamente, y se ha considerado tambi´en que el movimiento es estacionario, o casi-estacionario, lo que implica que, o bien V , Po y P1 son independientes del tiempo (en cuyo caso el movimiento ser´ıa estrictamente estacionario), o bien que el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, to , satisface la condici´on h2o 1, ν to
(8.43)
lo que permite despreciar las fuerzas de inercia locales frente a las viscosas. Debido a que ho L, las variaciones de presi´on reducida en la direcci´ on y son mucho menores que las variaciones en la direcci´on x, por lo que, con errores del orden de (ho /L)2 1, se puede suponer que p + ρ U es independiente de y, de modo que, en primera aproximaci´ on, esta u ´ltima
162
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
condici´ on puede sustituir a la ecuaci´on (8.42). Finalmente, en el supuesto de fuerzas de viscosidad dominantes frente a las convectivas, lo que requiere Vo h2o ho 1, = Re νL L
(8.44)
las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el problema resultan ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y −
(8.45)
∂(p + ρU ) ∂2 u = 0, +µ ∂x ∂ y2
u(x, 0) = V (t),
v(x, 0) = 0,
(p + ρU )x=0 = Po (t),
(8.46)
u[x, h(x)] = 0,
(8.47)
(p + ρU )x=L = P1 (t).
(8.48)
Obs´ervese que las condiciones de contorno para la presi´on reducida se cumplen s´olo aproximadamente, puesto que, como se indic´o anteriormente, la ca´ıda de presi´on en las regiones de entrada y salida de la pel´ıcula l´ıquida, E y S, no se conocen con precisi´on; no obstante, el error cometido es del orden ho /L 1, puesto que la ca´ıda de presi´on en estas regiones, de espesores ∆ x ∼ ho , es del orden ∆ P ∼ µ Vo /ho , mientras que la ca´ıda de presi´on en toda la pel´ıcula l´ıquida es del orden ∆ P ∼ µ Vo L/h2o . La integraci´ on de (8.46), junto con las condiciones de contorno para u en (8.47), proporciona el campo de velocidades longitudinales en la pel´ıcula l´ıquida
pl y y (y − h) + V 1 − , (8.49) u(y, x, t) = − 2µ h que puede interpretarse como la superposici´on de una corriente de Poiseuille asociada al gradiente de presiones y una de Couette debida a la velocidad relativa entre las superficies, siendo pl (x, t) = −∂(p + ρU )/∂x una funci´ on a determinar. Si se sustituye (8.49) en la ecuaci´on de continuidad (8.45), y se integra con respecto a y haciendo uso de la condici´on de contorno v(x, 0) = 0 se obtiene
dh 2 pl V 1 ∂ pl y h − − + v= (8.50) y . 2µ ∂ x 3 2 4 µ 2h2 d x Como v es tambi´en nula en y = h, la ecuaci´on (8.50) particularizada en y = h proporciona la ecuaci´on diferencial que determina pl 3 Vh h pl ∂ + = 0, (8.51) ∂ x 12 µ 2 que expresa que el caudal total por unidad de longitud perpendicular a la pel´ıcula l´ıquida, suma de los de Poiseuille y Couette,
h(x)
udy =
q= o
Vh h 3 pl + , 12 µ 2
(8.52)
es independiente de x. Lo anterior es correcto siempre que, como se ha supuesto, el espesor de la pel´ıcula no dependa del tiempo, aunque el caudal pueda hacerlo a trav´es de las condiciones de contorno, V , Po y P1 , si ´estas dependen del tiempo. El valor de q y la distribuci´ on de presiones
163
8.3. Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomec´anica
se obtienen integrando (8.52) y haciendo uso de las dos condiciones de contorno (8.48) para la presi´on reducida; en efecto la integraci´ on de 12 µ q ∂ (p + ρ U ) 6µV − , = ∂x h2 h3
(8.53)
proporciona la distribuci´ on de presiones y el caudal x x dx dx − 12 µ q , p + ρ U − Po = 6 µ V 2 (x) 3 (x) h h o o ! q=
L
6µV o
dx − P1 + Po h2
" !
12 µ o
L
dx h3
(8.54)
"−1 .
(8.55)
Conocido q puede calcularse pl (x, t) a partir de (8.53) y, finalmente, los campos de velocidades u(x, y, t) y presiones mediante (8.49) y (8.54). La fuerza por unidad de longitud en la direcci´ on y que ejerce el l´ıquido sobre las superficies s´olidas es, L p d x, (8.56) Fn = o
seg´ un el sentido positivo de y sobre la de arriba y en sentido contrario sobre la superficie plana. Obs´ervese que, para calcular la fuerza sobre la superficie curva, se ha tenido en cuenta que la normal a dicha superficie es, en primera aproximaci´ on, paralela al eje y ya que dh/dx 1. Las fuerzas tangenciales por unidad de longitud sobre las superficies y = 0 e y = h(x) son respectivamente L L ∂ u ∂ u dh d x. (8.57) Ft = − µ µ d x y Ft = −p ∂ y y=0 ∂ y y=h(x) dx o o En el caso de que la presi´on atmosf´erica act´ ue sobre la otra cara de las superficies, por ejemplo la superficie curva, las fuerzas normal y tangencial por unidad de longitud son L Fn = (p − pa ) dx (8.58) o
y
Ft = o
L
∂ u dh d x. µ − (p − pa ) ∂ y y=h dx
(8.59)
En las aplicaciones pr´acticas de la lubricaci´on fluidomec´anica, la fuerza normal (8.58) debe sustentar al s´olido superior (Figura 8.5). Para ello es necesario que se produzca una sobrepresi´ on importante en el interior de la pel´ıcula l´ıquida, lo que es posible s´ olo si existe alguna zona entre x = 0 y x = L en la que h es decreciente en la direcci´on del movimiento (d h/d x < 0). En efecto, para fijar ideas, sup´ ongase que h disminuye mon´otonamente desde la entrada a la salida; como el caudal de Couette V h/2 decrece entonces en la direcci´on del movimiento, la constancia del caudal total q [ecuaci´on (8.52)] requiere que se genere una sobrepresi´on en la zona central de la pel´ıcula l´ıquida de tal forma que se produzca un caudal de Poiseuille, h3 pl /12 µ, que compense el exceso (defecto) del caudal de Couette, V h/2. El caudal de Poiseuille es negativo en la zona de entrada, donde h es mayor, y positivo en la zona de salida, donde h es menor. Como se indic´o anteriormente, es esta sobrepresi´on asociada a la disminuci´ on del espesor de la pel´ıcula en la direcci´on del movimiento, conocida con el nombre de efecto cu˜ na, donde radica la capacidad sustentadora de las pel´ıculas l´ıquidas en la lubricaci´ on fluidomec´anica. Para ilustrar cuantitativamente este efecto, sup´ ongase
164
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
una cu˜ na en la que h = ho − (ho − h1 ) x/L. En el caso en que las presiones a la entrada salida sean iguales po = p1 = pa , y que no haya fuerzas m´ asicas, las ecuaciones (8.55) y proporcionan 1−α q = V ho 1+α y h1 x 1−α s(1 − s) (p − pa )h2o con α = y s= . = φ= 2 6µV L 1 + α [1 − (1 − α) s] ho L
y a la (8.54) (8.60)
(8.61)
La funci´on φ(s) se representa en la Figura 8.6 para dos valores de α, α = 1/2 (curva de trazo discontinuo) y α = 2 (curva de trazo continuo). Esta funci´ on presenta un extremo en s = (1 + α)−1 de valor φext = (1 − α)/[4 α (1 + α)], que es m´aximo si α < 1 o m´ınimo si α > 1, lo que corresponde respectivamente a la existencia de sobrepresi´on o de succi´on en el interior de la pel´ıcula l´ıquida. 0 ,2
a = 1 /2
0 ,1 5
0 ,1
f 0 ,0 5
0
- 0 ,0 5 0
a = 2 0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
S
0 ,6
0 ,7
0 ,8
0 ,9
1
Figura 8.6: Funci´ on φ(S) [ecuaci´on (8.61)] para α = 1/2 (curva superior) y α = 2 (curva inferior).
Obs´ervese, adem´as, que cuando α decrece el valor de dicho m´aximo aumenta y su posici´on se desplaza hacia el extremo de salida. Finalmente, la fuerza de presi´on, por unidad de longitud sobre la superficie superior [ecuaci´on (8.58)] es
1+α 6 µ V L2 ln α − 2 , (8.62) Fn = 2 ho (1 − α2 ) 1 − α mientras que la fuerza de fricci´on sobre la superficie inferior (superficie m´ ovil) es 6µV L 2 α+1 ln α − 1 . Ff = ho (1 + α) 3 α − 1
8.4.
(8.63)
Capas l´ıquidas tridimensionales. Ecuaci´ on de Reynolds
El an´alisis anterior puede extenderse f´acilmente al caso de una pel´ıcula l´ıquida tridimensional. En efecto, consid´erese el caso de dos superficies s´olidas separadas por una capa l´ıquida muy delgada como se esquematiza en la Figura 8.7. En el sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales ligado a una de las superficies, y es la distancia a la superficie fija y α y β son las coordenadas ortogonales sobre la superficie fija. En este sistema de coordenadas, la superficie m´ovil, cuya ecuaci´on es y = h(α , β , t), se mueve respecto a la superficie fija (de ecuaci´on y = 0) con una velocidad de componentes Vα , Vβ y ∂ h/∂t
165
8.4. Capas l´ıquidas tridimensionales. Ecuaci´ on de Reynolds
y ¶h/¶t Vb b a
Va
Figura 8.7: Pel´ıcula l´ıquida tridimensional.
en las direcciones α, β e y respectivamente. Se supondr´a, como en el caso anterior, que las fuerzas de viscosidad son dominantes frente a las de inercia locales y convectivas, para lo que la velocidad caracter´ıstica Vo ∼ Vα ∼ Vβ en el sentido longitudinal de la pel´ıcula y el tiempo caracter´ıstico del movimiento deben satisfacer las relaciones ρ V o ho ho 1 µ L
y
h2o 1, ν to
(8.64)
donde ho y L son las dimensiones caracter´ısticas transversal y longitudinal de la pel´ıcula, que por ser delgada deben satisfacer la relaci´on ho /L 1. En esta situaci´on, las ecuaciones de cantidad de movimiento seg´ un los ejes y, α y β se reducen a: ∂(p + ρ U ) = 0, ∂y
(8.65)
∂ 2 uα pα +µ = 0, gα ∂ y2
(8.66)
∂ 2 uβ pβ +µ = 0, gβ ∂ y2
(8.67)
donde pα = −∂(p + ρ U )/∂ α
y
pβ = −∂(p + ρ U )/∂ β.
(8.68)
En estas ecuaciones gα dα y gβ dβ son los elementos diferenciales de longitud en las direcciones α y β correspondientes a los incrementos d α y d β de las coordenadas α y β. Teniendo en cuenta que p + ρ U no depende de y, v´ease (8.65), las ecuaciones (8.66) y (8.67) con las condiciones de contorno uα = uβ = 0 en y = 0 y uα = Uα y uβ = Uβ en y = h, pueden integrarse dos veces para dar −pα uα = y(y − h) + Vα y/h, (8.69) 2 µ gα y −pβ uβ = y(y − h) + Vβ y/h. (8.70) 2 µ gβ
166
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
Los flujos volum´etricos qα y qβ en las direcciones α y β a trav´es de secciones transversales a la pel´ıcula, por unidad de longitud en las direcciones β y α, cuyas expresiones son respectivamente h Vα h h 3 pα + (8.71) qα = uα dy = 12 µ g 2 α o y h Vβ h h3 pβ + , (8.72) uβ dy = qβ = 12 µ g 2 β o muestran que, como en el caso bidimensional, el caudal total resulta de la superposici´ on de la corriente de Couette generada por el movimiento relativo de la superficie m´ovil con velocidades Vα y Vβ y de la de Poiseuille originada por el gradiente de presiones a lo largo de la pel´ıcula l´ıquida.6
q a g b db
¶q b g a q b g a da + ¾¾¾¾ dadb ¶b
h
q b g a da
¶q a g b q a g b db + ¾¾¾¾ dadb ¶a
g a da g b db
Figura 8.8: Elemento diferencial de pel´ıcula l´ıquida. La ecuaci´on que determina la distribuci´ on de presiones en la pel´ıcula l´ıquida (ecuaci´on de Reynolds) se obtiene sin m´as que aplicar el principio de conservaci´ on de la masa al elemento de volumen h gα gβ dα dβ representado en la Figura 8.8. Como es sabido, este principio expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la masa dentro de dicho volumen m´ as el flujo neto de masa a trav´es de las superficies laterales es igual a cero; es decir, ∂ ∂ ∂ (ρ h gα gβ ) + (ρ qα gβ ) + (ρ qβ gα ) = 0, ∂t ∂α ∂β
(8.73)
6 Naturalmente, las expresiones de q α y qβ dependen del tipo de condiciones de contorno de cada problema particular. As´ı , por ejemplo, si la superficie y = h es una superficie libre en contacto con un fluido de viscosidad despreciable frente a la del l´ıquido de la capa, la continuidad de esfuerzos tangenciales requiere, en primera aproximaci´ on, ∂ uβ ∂ uα |y=h = 0 y |y=h = 0, ∂y ∂y que se denominan condiciones de esfuerzo tangencial nulo. Si, adem´ as, las componentes de la velocidad de la superficie acil demostrar entonces que qα y qβ vienen dados por inferior son Vα y Vβ , es f´
qα =
h3 pα + Vα h 3 µ gα
y
qβ =
h3 pβ + Vβ h. 3 µ gβ
167
8.5. Movimiento de un lubricante en un cojinete
que es la denominada ecuaci´on de Reynolds, y determina el campo de presiones en la pel´ıcula l´ıquida como funci´on de α, β y t. La ecuaci´on (8.73) es una ecuaci´on en derivadas parciales de segundo orden, lineal en la presi´ on y de tipo el´ıptico. Por tanto, su resoluci´ on requiere que se conozca la presi´on reducida (condiciones tipo Dirichlet) en todo el contorno, C(α, β) = 0, de la pel´ıcula l´ıquida, o bien su derivada normal (condiciones tipo Neumann) sobre ´el, lo que es equivalente a especificar qα y qβ ; es decir, sobre C(α, β) = 0 se debe imponer p + ρ U = Po (α, β) o
qn = qα nα + qβ nβ = qo (α, β),
(8.74)
donde nα y nβ son las componentes de la normal al contorno en las direcciones α y β. Pueden existir problemas con condiciones mixtas en las que se impone la presi´on reducida sobre parte del contorno y el caudal sobre el resto de ´el.
8.5.
Movimiento de un lubricante en un cojinete
Como aplicaci´on de la ecuaci´on de Reynolds (8.73) se considerar´a el caso de un cojinete cil´ındrico como el representado en la Figura 8.9. Un cojinete consta en esencia de una parte fija o carcasa y w
z
e
R
o R 1
q
o ´ h (q )
Y
Figura 8.9: Representaci´on esquem´atica de un cojinete cil´ındrico.
una m´ovil que gira con una cierta velocidad angular ω. El radio de la carcasa R suele ser un 1 % o un 2 % mayor que el del eje m´ovil R1 . Sobre el eje m´ovil act´ ua una carga W , que corresponde a su peso y a cualquier otra acci´on externa sobre ´el. Bajo la acci´on de esta carga y de la velocidad de giro los ejes adoptan una posici´on exc´entrica; e representa la excentricidad entre el eje del cojinete y el ¯ = e. El estudio de la carcasa; O es el centro de la carcasa fija, O es el centro del r´otor m´ovil y OO del movimiento de la pel´ıcula de lubricante entre eje y carcasa est´a encaminado a determinar la distribuci´ on de presiones y velocidades en la pel´ıcula l´ıquida que son necesarios para calcular la fuerza que el l´ıquido ejerce sobre el eje m´ovil, que debe estar equilibrada con la carga W en una situaci´on estacionaria. Interesa, tambi´en, calcular la fuerza de fricci´ on o el momento de esta fuerza sobre el eje en orden a determinar el par motor necesario que hay que aplicar sobre el eje para que el cojinete gire con velocidad constante ω. Otros par´ ametros de inter´es, a determinar de este estudio, son el ´angulo de actitud ψ o ´angulo que forma la l´ınea de centros OO con la carga W , y, naturalmente, el espesor m´ınimo de la pel´ıcula de lubricante. Otros problemas tales como la estabilidad de la corriente o la distribuci´ on de temperaturas originada por la disipaci´ on viscosa, en orden a determinar las temperaturas de las superficies no ser´an analizados aqu´ı.
168
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
La geometr´ıa de la pel´ıcula, y en particular su espesor h(θ), puede describirse en funci´ on de la excentricidad del cojinete e y del ´angulo acimutal θ. En efecto, de la Figura 8.9 se puede comprobar que: [R − h(θ)]2 + e2 + 2 e[R − h(θ)] cos θ = R12 , (8.75) y haciendo uso de la condici´ on R − R1 ∼ e R se puede linealizar la expresi´on anterior para dar h(θ) = R − R1 + e cos θ,
(8.76)
η = h/(R − R1 ) = 1 + cos θ,
(8.77)
y en forma adimensional donde = e/(R − R1 ) es la excentricidad adimensional. El punto de arranque del an´ alisis te´orico lo constituye la ecuaci´on de Reynolds (8.73). En este caso, si se hace α = θ y β = z, se tiene gα = R y gβ = 1; por otra parte, Vα = ω R1 ω R y Vβ = 0, as´ı que h3 ∂ p h3 1 ∂ p ω R h y qz = − qθ = − + . (8.78) 12 µ R ∂ θ 2 12 µ ∂ z Obs´ervese que, debido a la linealidad del problema, el caudal por unidad de longitud seg´ un la coordenada θ es el de Poiseuille, debido al gradiente de presiones, m´as el de Couette debido al movimiento relativo entre superficies; seg´ un la coordenada z el flujo es exclusivamente el de Poiseuille. Teniendo en cuenta (8.73) y (8.78), la ecuaci´on de Reynolds que describe la distribuci´ on de presiones en el movimiento estacionario de un lubricante de viscosidad µ en el interior de un cojinete cil´ındrico es ∂ 1 ∂ h3 1 ∂ p ω R h h3 ∂ p + − + − = 0, (8.79) R ∂θ 12 µ R ∂ θ 2 ∂z 12 µ ∂ z que, como puede verse, se trata de una ecuaci´on lineal, en derivadas parciales y de segundo orden. Las condiciones de contorno, suponiendo los extremos del cojinete abiertos a la atm´osfera, son en
p = pa
L z=± ; 2
(8.80)
por otra parte, si la alimentaci´ on de lubricante es radial, esto es, si existe una ranura, por ejemplo en θ = 0, por donde se introduce el lubricante a la presi´ on de alimentaci´ on po , se tiene p(0, z) = p(2 π, z) = po ,
(8.81)
donde se han impuesto condiciones de periodicidad en virtud de la unicidad de la soluci´ on. Para evaluar la importancia relativa de cada uno de los t´erminos de la ecuaci´on (8.79) resulta u ´til expresarla en forma adimensional. Definiendo las variables adimensionales ξ = z/L,
ϕ=
p − pa , pc
y
η = h/(R − R1 ) = 1 + cos θ,
la ecuaci´on diferencial (8.79) y las condiciones de contorno (8.80)-(8.81) se escriben 2 ∂ ∂ R 6 µ ω R R1 ∂ η 3 ∂ϕ 3 ∂ϕ η + η = , ∂θ ∂θ L ∂ξ ∂ξ pc (R − R1 )2 ∂ θ ϕ(θ, ±1/2) = 0,
ϕ(0, ξ) = ϕ(2 π, ξ) = ϕo ,
(8.82)
(8.83) (8.84)
donde pc es una presi´on caracter´ıstica introducida arbitrariamente y que, por tanto, puede ser elegida en la forma m´as conveniente; por ejemplo, haciendo que el par´ ametro del segundo miembro
169
8.5. Movimiento de un lubricante en un cojinete
de la ecuaci´on (8.83) sea la unidad. De esta forma, la ecuaci´on (8.83) contiene dos u ´nicos par´ametros adimensionales, la esbeltez del cojinete, R/L y su excentricidad a trav´es de la variable η, de modo que la presi´on y cualquier otra variable fluida depende de estos dos par´ ametros adem´as de las variables θ y ξ. Atendiendo a la esbeltez R/L existen dos l´ımites distinguidos del problema (8.83)-(8.84), que corresponden a los casos R/L 1 (cojinete largo) y R/L 1 (cojinete corto), para los que es posible encontrar soluci´on anal´ıtica.
8.5.1.
Cojinete largo
En el l´ımite formal R/L 1 y definiendo pc = 6 µ ω R R1 /(R − R1 )2 , la ecuaci´on (8.83) se reduce a: ∂ ∂ϕ ∂η η3 = , (8.85) ∂θ ∂θ ∂θ que corresponde al caso de un cojinete infinitamente largo; no hay, por tanto, variaci´ on con z. Integrando (8.85) respecto a θ dos veces, se tiene η3 y
θ
ϕ(θ) − ϕo = o
∂ϕ =η+q ∂θ
dθ +q (1 + cos θ)2
(8.86)
θ o
dθ ; (1 + cos θ)3
(8.87)
donde la constante de integraci´ on q, que representa el gasto adimensional, se determina imponiendo la condici´on ϕ(0) = ϕ(2 π) = ϕo
2π
q = − o 2 π o
dθ 1 − 2 (1 + cos θ)2 =− . 1 + 2 /2 dθ (1 + cos θ)3
(8.88)
Finalmente, de (8.87) y (8.88) se obtiene la distribuci´ on adimensional de presiones7 ϕ(θ) − ϕo =
(R − R1 )2 p − po sen θ(2 + cos θ) = (p − po ) = . pc 6 µ ω R R1 (2 + 2 )(1 + cos θ)
(8.90)
Obs´ervese que la presi´on adimensional es funci´ on de la variable θ exclusivamente; por tanto, la soluci´on (8.90) no satisface las condiciones de contorno en los extremos del cojinete y se dice, entonces, que no es uniformemente v´alida en todo el dominio fluido. En efecto, si se dibuja p − pa para θ constante, la soluci´on (8.90) es una recta; sin embargo, la soluci´on exacta debe anularse en ξ = 1/2. Lo que sucede en realidad es que existe una capa l´ımite muy delgada adyacente a los extremos, cuyo espesor es del orden R/L, donde la presi´ on cae del valor dado por (8.90) a un valor nulo. Conviene decir que si para calcular fuerzas y momentos globales se utiliza la expresi´on (8.90) en lugar de la soluci´ on exacta, el error cometido es muy peque˜ no, del orden de R/L. 7 Para obtener las expresiones (8.88) y (8.90), el lector interesado en seguir el desarrollo matem´ atico deber´ a hacer el cambio de variable denominado de Sommerfeld
1 + cos θ =
1 − 2 . 1 − cos x
(8.89)
170
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
Para una descripci´ on apropiada de lo que sucede cerca de los bordes conviene introducir una coordenada dilatada, con origen en el borde ξ = −1/2, que permita describir apropiadamente la brusca variaci´ on de la presi´on que tiene lugar cerca de los bordes. Si se define 1 L , (8.91) s= ξ+ 2 R la ecuaci´on (8.83) se escribe en las nuevas variables ∂ ∂ dη 3 ∂ϕ 3 ∂ϕ η + η = ; ∂θ ∂θ ∂s ∂s dθ
(8.92)
como condiciones de contorno se impondr´an la condici´on en el borde y la condici´ on de acoplamiento con la soluci´on (8.90) ϕ(θ, 0) = 0 y ϕ(θ, ∞) = ϕ(θ). (8.93) La ecuaci´on diferencial (8.92) en derivadas parciales, lineal, y de coeficientes variables puede integrarse usando los m´etodos usuales de separaci´on de variables y desarrollos funcionales teniendo en cuenta que el espesor adimensional de la capa l´ıquido η(θ) es funci´on de una u ´nica variable, as´ı como la condici´on de acoplamiento con la soluci´on exterior para s → ∞. La integraci´ on de este problema proporciona ϕ como funci´on de las variables s y θ, en la capa de espesor R/L. Es obvio que la capa adyacente a ξ = 1/2 puede tratarse de forma an´ aloga. Debe indicarse finalmente que la distribuci´ on de presiones (8.90) podr´ıa no presentarse en situaciones pr´acticas si las presiones en la pel´ıcula l´ıquida igualasen la presi´ on de vapor del l´ıquido. En ese caso se dice que pueden causar cavitaci´on en la pel´ıcula cuando la presi´ on absoluta alcanza un cierto valor (presi´ on de vapor). Una forma de evitarlo ser´ıa aumentar po , o lo que es lo mismo, el nivel general de presi´on en el cojinete. Sin embargo, esto conduce a valores muy altos de la presi´on de alimentaci´on, a menos que se tome el cuidado de poner el orificio de alimentaci´ on del aceite en el punto de m´ınima presi´on. Como se ver´a, la posici´on de este punto depende de la excentricidad del cojinete y de la carga sobre el cojinete W . Para asegurar que el orificio de alimentaci´ on no cae en la zona de altas presiones al variar la carga se suele colocar entre el punto de m´ınima presi´on y el de θ = 2 π. No obstante, la resoluci´on de este problema teniendo en cuenta el efecto de cavitaci´on es dif´ıcil y su estudio se pospone al final de la lecci´on. En ausencia de cavitaci´ on, la carga que aguanta el cojinete debido a la presi´ on es perpendicular a la l´ınea de centros OO ; en efecto, debido a la antisimetr´ıa de la expresi´on (8.90), las contribuciones de la presi´on en direcci´on paralela a la l´ınea de centros se cancelan. Por otra parte, las fuerzas tangenciales al cojinete, debidas a la viscosidad dan una resultante muy peque˜ na comparada con la de las fuerzas de presi´on; en efecto, p − po ∼
µ ω R2 , (R − R1 )2
y
τ =µ
∂u µωR , ∼ ∂r h
(8.94)
de donde τ /(p − po ) ∼ (R − R1 )2 /(R h) ∼ (R − R1 )/R 1. La fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el eje es, en primera aproximaci´ on, debida exclusivamente a la presi´on y perpendicular a la l´ınea de centros (´angulo de actitud del cojinete Ψ = π/2)
2π
µ ω R3 . 2 1 − 2 (2 + 2 ) (R − R1 )
(p − po )R sen θ d θ =
W = o
12 π
(8.95)
La ecuaci´on (8.95) determina la excentricidad como funci´ on de la carga sobre el cojinete. Cuando no hay carga, W = 0, los cilindros son conc´entricos = 0, y cuando la carga es muy grande, W → ∞,
171
8.5. Movimiento de un lubricante en un cojinete
los dos cilindros estar´ıan en contacto = 1. Sin embargo, la soluci´ on l´ımite correspondiente a carga infinita no se alcanza en la pr´ actica; antes entrar´ıan en juego otros factores, que no se han tenido en cuenta aqu´ı , tales como: rugosidad de las superficies, suciedad del aceite, vibraciones, desalineaci´on del eje, etc. El par necesario para mover el eje con velocidad angular constante, o lo que es lo mismo el par necesario para vencer las fuerzas de viscosidad es 2π 2π h 1 dp U 2 C= µ + τ R sen θd θ = R2 sen θ d θ = h 2 R dθ o o 1 + 2 2 4 π µ ω R3 , (R − R1 ) 1 − 2 (2 + 2 )
(8.96)
puesto que la excentricidad es funci´on de la carga, eliminando entre (8.95) y (8.96) se obtendr´ıa el par que se debe ejercer para cada carga W . En forma adimensional las ecuaciones (8.95) y (8.96) pueden escribirse 12 µ W (R − R1 )2 1 = = , µ ω R3 S 1 − 2 (2 + 2 )
(8.97)
C(R − R1 ) 4 µ (1 + 2 2 ) = ; 3 µωR 1 − 2 (2 + 2 )
(8.98)
al inverso de la carga adimensional se le suele llamar en la literatura par´ ametro de Sommerfeld (conviene reiterar que en las definiciones anteriores, tanto la carga W como el par C representan fuerza y momento por unidad de longitud).
8.5.2.
Cojinetes cortos
En este caso R/L 1 la ecuaci´on (8.83) se reduce a ∂ 6 µ ω L2 ∂ η 3∂ ϕ η = , ∂ξ ∂ξ pc (R − R1 )2 ∂ θ
(8.99)
ya que la longitud caracter´ıstica de variaci´on de la presi´on seg´ un θ es mucho mayor que la longitud caracter´ıstica seg´ un z [(1/R)∂ p/∂ θ ∂ p/∂ z]. Tomando ahora pc = 6 µ ω L2 /(R − R1 )2 se tiene ∂η ∂ϕ ∂ η3 = . (8.100) ∂ξ ∂ξ ∂θ Integrando la ecuaci´on anterior con las condiciones de contorno ϕ = 0 en ξ = ±1/2 se obtiene 1 1 sen θ 1 1 dη 1 2 − ξ2 − =− ξ , (8.101) ϕ= 3 η dθ 2 4 (1 + cos θ)3 2 4 y sen θ 3 µ ω L2 1 2 . (8.102) p = pa + pc ϕ = pa − ξ − (R − R1 )2 (1 + cos θ)3 4 Denominado Fx y Fy a las componentes de la fuerza sobre el cojinete seg´ un la l´ınea de centros y seg´ un la perpendicular a ella se tiene:
2π
Fx = o
1/2
−1/2
p cos θ R d θ L d ξ = −
µ ω L3 R 4 2 , (1 − 2 )2 (R − R1 )2
(8.103)
172
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
y Fy =
µ ω L3 R π . 2 3/2 (1 − ) (R − R1 )2
(8.104)
La carga total que soporta el cojinete es: # W = F = Fx2 + Fy2 =
π (1 − 2 )2
1+
2
16 −1 π2
µ ω L3 R , (R − R1 )2
(8.105)
y el ´angulo de actitud del cojinete " ! √ π 1 − 2 . Ψ = arctan Fy /Fx = arctan 4
8.5.3.
(8.106)
Cavitaci´ on. Condiciones medio Sommerfeld y de Reynolds
Como se anticip´o anteriormente, los resultados obtenidos hasta aqu´ı dejan de ser v´alidos si en alg´ un punto de la pel´ıcula l´ıquida se alcanza la presi´on de vapor. En este caso, el l´ıquido cavita y coexisten el l´ıquido y su vapor. Naturalmente, en esta situaci´ on la distribuci´ on de presiones calculada no se parece a la realidad, puesto que no pueden existir presiones inferiores a la de vapor. Para fijar ideas conviene volver al caso del cojinete muy largo cuya distribuci´ on de presiones viene dada por la expresi´ on (8.90). Sup´ ongase que en alg´ un punto θ se alcanza la presi´on de vapor pv . En este caso, una forma poco rigurosa de construir la soluci´ on (condiciones medio Sommerfeld) consistir´ıa en utilizar los valores de la expresi´on (8.90) cuando ´estos fueran mayores que la presi´on de vapor, p − po > pv − po y hacer p = pv en la zona definida por (8.90) donde p − po ≤ pv − po , v´ease Figura 8.10. Esta soluci´on denominada medio Sommerfeld, que da buenos resultados a la hora de calcular fuerzas globales, no es, sin embargo, la soluci´on exacta, ya que al truncar la soluci´ on no se satisface la conservaci´on de la masa. En efecto, la integraci´ on de (8.85) proporcionaba η3
dϕ = η + q, dθ
(8.107)
donde q era el gasto adimensional; obs´ervese que la soluci´on medio Sommerfeld es discontinua, posee dos gradientes de presi´on diferentes en un mismo punto (igual η), y por tanto la soluci´ on truncada no cumple la ecuaci´on de continuidad. Para obviar esta dificultad se busca la soluci´ on exacta imponiendo la condici´ on denominada de Reynolds, que consiste en buscar una soluci´ on que alcance pv , o lo que es lo mismo ϕv , con pendiente nula. Denominando θ1R al punto en que se alcanza ϕv la condici´on de Reynolds exige d ϕ = 0, de donde q = −η(θ1R ), (8.108) d θ θ1R y la distribuci´ on de presiones vendr´ a dada por ϕ(θ) − ϕo = o
y θ1R se obtiene de la ecuaci´on
θ
dθ − η(θ1R ) η2
o
θ
dθ , η3
(8.109)
173
8.5. Movimiento de un lubricante en un cojinete
0.1 p 0.05
Θ
Π
2Π
-0.05 pv -0.1 Figura 8.10: Soluciones de Sommerfeld, medio-Sommerfeld y Reynolds.
θ1R
ϕv − ϕo = o
dθ − η(θ1R ) η2
θ1R o
dθ . η3
(8.110)
La capa de l´ıquido se regenerar´a en un cierto punto θ2R tal que
2π
2π
dθ , η3
(8.111)
1 1 d ϕ − η(θ1R ) 3 . = 2 d θ θ2R η (θ2R ) η (θ2R )
(8.112)
ϕo − ϕv = θ2R
dθ − η(θ1R ) η2
θ2R
y en el punto θ2R ,
Referencias y lecturas recomendadas H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1975. O. Pinkus y B. Sternlicht, Theory of Hydrodynamic Lubrication, McGraw-Hill, Nueva York, 1961. A. Cameron, Principles of Lubrication, Longmans, London, 1966.
174
Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante
´ APENDICE 8.I ´ NUMERICA. ´ ´ INTEGRACION METODO DE L´INEAS Debido a la singularidad en el origen, η = 0, que presentan algunos t´erminos en las ecuaciones (8.26)-(8.27) asociados al uso de coordenadas cil´ındricas, es conveniente efectuar el cambio de variable independiente ζ = η2
(8.113)
antes de proceder a la integraci´ on num´erica. En t´erminos de las variables ξ y ζ, la ecuaci´on de cantidad de movimiento (8.27) resulta ∂u ∂u u − ∂ξ ∂ζ
ζ 0
∂u ∂u ∂p ∂2u dζ = − + 4ζ 2 + 4 , ∂ξ ∂ξ ∂ζ ∂ζ
(8.114)
y la condici´on de conservaci´on del caudal se expresa como
1
0
∂u dζ = 0. ∂ξ
(8.115)
En (8.114)-(8.115) se han suprimido las barras sobre las variables dependientes, y en (8.114) se ha sustituido ηv por la expresi´on que resulta de integrar respecto de ζ la ecuaci´on de continuidad (8.26). Para integrar num´ericamente las ecuaciones (8.114)-(8.115) se discretiza el dominio ξ ≥ 0, 0 ≤ ζ ≤ 1 en un n´ umero suficiente de l´ıneas paralelas al eje ξ: ζ = ζ1 , ..., ζj , ..., ζN , con ζ1 = 0 y ζN = 1, separadas una peque˜ na distancia h = 1/(N − 1) constante. Al discretizar (8.114) se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias cuya integraci´ on proporciona los valores uj (ξ) ≡ u(ξ, ζj ) a lo largo de cada l´ınea ζj . La discretizaci´on se efect´ ua teniendo en cuenta que las derivadas primeras con respecto de ζ pueden aproximarse con errores O(h2 ) por las expresiones 4u2 (ξ) − u3 (ξ) − 3u1 (ξ) ∂u , (8.116) = ∂ζ ξ,ζ=0 2h ∂u uj+1 (ξ) − uj−1 (ξ) , (8.117) = ∂ζ ξ,ζ=ζj 2h donde (8.116) se aplica para la primera l´ınea, ζ1 = 0, y (8.117) se aplica para las restantes j = 2, ..., N − 1 teniendo en cuenta que la velocidad en la u ´ltima l´ınea, ζN = 1, es nula: uN = 0. An´ alogamente, las derivadas segundas con respecto a ζ pueden aproximarse hasta t´erminos O(h2 ) por 2 ∂ u uj+1 (ξ) − 2uj (ξ) + uj−1 (ξ) . (8.118) = 2 ∂ζ ξ,ζ=ζj h2 Asimismo, la integral en (8.114) puede discretizarse mediante la regla de los trapecios como 0
ζj
∂u du1 duk duj h + + 0,5 h dζ = 0,5 h ∂ζ dζ dζ dζ j−1
(j = 2, ...N − 1).
(8.119)
k=2
Haciendo uso de (8.116)-(8.119) en (8.114)-(8.115), se obtiene finalmente el sistema diferencial ordinario compuesto por la ecuaci´ on u1
∂p du1 4u2 − u3 − 3u1 =− +4 dξ ∂ξ 2h
(8.120)
175
8.I. Integraci´ on num´erica. M´etodo de L´ıneas. para la l´ınea j = 1, por las ecuaciones ∂p uj+1 − uj−1 duj =− (uj − 0,25 uj+1 + 0,25 uj−1 ) + dξ ∂ξ 2
!
du1 duk 0,5 + dξ dζ j−1
" +
k=2
uj+1 − uj−1 uj+1 − 2uj + uj−1 + , 4 ζj h2 2h
(8.121)
para las l´ıneas j = 2, ...N − 1, y por la ecuaci´on que resulta de discretizar la condici´on de conservaci´on del caudal N −1 duk du1 + = 0. 0,5 (8.122) dξ dζ k=2
Las N ecuaciones (8.120)-(8.122) constituyen un sistema algebraico lineal cuya resoluci´on permite determinar en cada estaci´on ξ las N derivadas duj /dξ (j = 1, ..., N − 1) y ∂p/∂ξ que necesita un integrador paso a paso (por ejemplo, un Runge-Kutta de paso variable) para avanzar la integraci´ on en la variable ξ. Debido a la linealidad de (8.120)-(8.122) en las derivadas, ´estas pueden calcularse de forma particularmente eficiente si se expresan en la forma8 ∂p duj duj duj + , (8.123) = dξ dξ np ∂ξ dξ p donde las derivadas (duj /dξ)np se obtienen resolviendo el sistema que resulta al suprimir el t´ermino ∂p/∂ξ en los segundos miembros de (8.120)-(8.121), y las derivadas (duj /dξ)p se obtienen del sistema que resulta al sustituir el t´ermino ∂p/∂ξ por 1 y suprimir los u ´ltimos t´erminos (los no homog´eneos) de los segundos miembros de (8.120)-(8.121). La ventaja que ofrece este procedimiento es que, como puede comprobarse f´acilmente, las derivadas (duj /dξ)np y (duj /dξ)p satisfacen sistemas triangulares inferiores cuya resoluci´on secuencial tiene un coste computacional muy peque˜ no. Una vez calculadas (duj /dξ)np y (duj /dξ)p de (8.120)-(8.121), la derivada de la presi´ on se calcula directamente haciendo uso de (8.123) en (8.122) que proporciona N −1 N −1 duk duk du1 du1 ∂p = 0,5 + + . (8.124) 0,5 − ∂ξ dξ p dζ p dξ np dζ np k=2
8
Los autores agradecen al doctor J. M. Gordillo esta sugerencia.
k=2
Cap´ıtulo 9
Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos 9.1.
Introducci´ on
Como se discuti´o en el Cap´ıtulo 6, la importancia relativa entre las fuerzas de inercia y las de viscosidad se cuantifica por medio del n´ umero de Reynolds Re = ν D/ν [o Re D/L en el caso de movimientos fluidos caracterizados por la existencia de longitudes caracter´ısticas D y L muy dispares (conductos, pel´ıculas delgadas, chorros, etc.)]. En los Cap´ıtulos 7 y 8 se analizaron, respectivamente, los movimientos unidireccionales, para los que las fuerzas de inercia son id´enticamente nulas, y los movimientos casi-unidireccionales en el l´ımite Re D/L 1 en los que las fuerzas de inercia, aunque no nulas, son despreciables frente a las de viscosidad. En este cap´ıtulo se estudiar´an movimientos fluidos en los que las fuerzas de viscosidad son tambi´en dominantes, pero su campo de velocidades es bidimensional o tridimensional; este es el caso del movimiento de fluidos alrededor de part´ıculas de dimensiones caracter´ısticas muy peque˜ nas movi´endose relativamente al fluido con velocidades tambi´en peque˜ nas o el del movimiento de fluidos a trav´es de medios porosos caracterizados porque el tama˜ no de los poros es peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica macrosc´opica del medio poroso. El n´ umero de Reynolds del movimiento de un fluido alrededor de una part´ıcula s´olida de dimensiones muy peque˜ nas, o de una porci´ on de gas (burbujas) o de una porci´ on peque˜ na de l´ıquido no miscible con el l´ıquido portador (gotas), suele ser peque˜ no. Ejemplos t´ıpicos de estos movimientos son el de la sedimentaci´on de part´ıculas microsc´opicas o el movimiento de burbujas de gas en el seno de l´ıquidos. En efecto, como se ver´a m´as adelante, en estos movimientos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos, la resultante de las fuerzas de superficie (presi´on y viscosidad) sobre un obst´aculo que se mueve relativamente al fluido son proporcionales a su tama˜ no caracter´ıstico L y a su velocidad relativa, V , mientras que las fuerzas volum´etricas (m´asicas, de flotabilidad y de inercia) son proporcionales a su volumen, de orden de L3 . El balance de fuerzas exige que la velocidad del obst´aculo o part´ıcula en el seno del fluido sea proporcional al cuadrado de su tama˜ no caracter´ıstico, V ∼ L2 ; as´ı que el orden de magnitud del n´ umero de Reynolds es del orden del volumen de la part´ıcula considerada, Re ∼ L3 , y es tanto m´as peque˜ no cuanto menor sean sus dimensiones. Por el contrario, en el caso de un objeto cayendo en el seno de un fluido a grandes n´ umeros de Reynolds, la resultante de las fuerzas de superficie son proporcionales a la superficie del obst´aculo y al cuadrado de la velocidad relativa entre obst´ aculo y fluido y el equilibrio de fuerzas entre las superficie y el peso del obst´aculo exige que V ∼ L1/2 ; el n´ umero de Reynolds es por tanto Re ∼ L3/2 y es, en este caso, tanto mayor cuanto mayor es la dimensi´on caracter´ıstica 177
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
178
del obst´aculo considerado. Este hecho explica la disparidad de resultados que se obtienen cuando dos cuerpos de tama˜ nos caracter´ısticos muy distintos, por ejemplo una roca de 10 m de dimensi´on caracter´ıstica y una mota de polvo de 10 micras, caen en el vac´ıo o, por el contrario, en el seno de aire o de agua; como es bien sabido, en el primer caso, el movimiento de ambos objetos es uniformemente acelerado, mientras que en el segundo ambos objetos alcanzan finalmente una velocidad l´ımite (terminal), mucho mayor en el caso de la roca que en el de la part´ıcula de polvo. Cuando el movimiento es a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos frente a la unidad, las fuerzas de inercia convectivas son despreciables frente a los de viscosidad y pueden despreciarse en la ecuaci´on de cantidad de movimiento. Las ecuaciones resultantes son lineales y la simplificaci´on conseguida es importante para poder abordar los complejos flujos tridimensionales involucrados. Movimientos de este tipo son b´asicos en el estudio de los flujos bif´asicos, flujos en los que coexisten dos o m´as fases, que con tanta profusi´ on aparecen en la Industria y en la Naturaleza. Por ejemplo: en centrales de producci´on de energ´ıa el´ectrica (centrales t´ermicas de carb´on o fueloil o en centrales nucleares); en sistemas para el intercambio de masa y energ´ıa (evaporadores, condensadores, calderas, torres de refrigeraci´ on, intercambiadores de calor de contacto directo); en transporte hidr´ aulico o neum´atico (eyectores, transporte de part´ıculas s´olidas, transporte de mezclas de gas y aceite, bombas con flujo cavitante); en procesos de separaci´on o mezclado (destilaci´on, emulsionadores, tanques de agitaci´ on, balsas de decantaci´on, ciclones, torres de lavado de gases, electrofiltros); en reactores qu´ımicos (s´olido-l´ıquido, l´ıquido-l´ıquido, gas-l´ıquido, lecho fluidizado); en Meteorolog´ıa (formaci´on y evoluci´ on de nubes, lluvia, etc.); en Biolog´ıa (flujo sangu´ıneo, procesos celulares, etc.). El movimiento de fluidos a trav´es de medios porosos (medios formados por part´ıculas s´olidas m´as o menos compactadas o una matriz porosa que deja huecos o poros interconectados) es otro ejemplo t´ıpico de movimiento de fluidos con fuerzas de viscosidad dominantes. En la mayor´ıa de las situaciones pr´ acticas, el tama˜ no caracter´ıstico de poros es peque˜ no comparado con la longitud caracter´ıstica del medio poroso y la resistencia que el medio poroso ofrece al paso del fluido resulta en una velocidad peque˜ na que es proporcional al cuadrado del tama˜ no caracter´ıstico de los poros.
9.2.
Ecuaciones de Stokes
Consid´erese el movimiento de un obst´aculo que gira con velocidad angular Ω(t) y se traslada con velocidad −V (t) ex en el seno de un fluido ilimitado y en reposo en el infinito. En un sistema de referencia que se traslada con el obst´aculo y tal que las direcciones de sus ejes se mantienen fijas respecto a tierra, las ecuaciones que describen el movimiento del l´ıquido alrededor del obst´ aculo, suponiendo viscosidad constante, son, ∇ · v = 0, (9.1) ∂v dV ) con g = −g ez . (9.2) + ρ v · ∇ v = −∇ p + µ ∇2 v + ρ(g − ∂t dt Como condiciones iniciales hay que especificar el campo de velocidades en el instante inicial ρ
v(x, 0) = vo (x), e imponer condiciones de contorno en el infinito y sobre el obst´ aculo v = V ex ,
p = p∞o − ρ g z
en |x| → ∞,
(9.3)
y v = Ω ∧ x en
Σ(x, t) = 0.
(9.4)
donde p∞o es una constante y Σ(x, t) = 0 representa la superficie del obst´aculo. La resoluci´on del problema planteado proporciona el campo de presiones y velocidades y, por tanto, la resultante
179
9.2. Ecuaciones de Stokes
de las fuerzas de superficie y los momentos que el fluido ejerce sobre el obst´aculo en funci´ on de V y Ω. En virtud de la linealidad de la ecuaci´ on (9.2) con la presi´on resulta u ´til descomponer el problema en dos: uno correspondiente al efecto de la gravedad y del movimiento no inercial del sistema de referencia (problema hidrost´atico) y el otro debido al efecto del movimiento (problema din´amico). Definiendo entonces p = ph + pd ,
(9.5)
la ecuaci´on (9.2) se puede descomponer en −∇ ph + ρ g + ρ
dV = 0, dt
(9.6)
y ∂v + ρ v · ∇ v = −∇ pd + µ ∇2 v. ∂t En este caso, la fuerza que el fluido ejerce sobre el obst´aculo viene dada por =, F = (−ph n − pd n+ τ ·n)d σ, ρ
(9.7)
(9.8)
Σ
donde n es la normal exterior al obst´aculo y la integral est´a extendida a la superficie Σ(x, t) = 0 que limita el obst´aculo. La contribuci´ on a la fuerza del primer sumando del integrando representa un empuje de Arqu´ımedes generalizado que incluye tanto los efectos de la gravedad como los del movimiento no inercial del sistema de referencia mientras que la de los dos u ´ltimos representa la fuerza Fm debida al movimiento; en efecto −ph n d σ = − ∇ ph d = − ρ (g + dV/dt) d = ρΩ [g ez + (dV /dt)ex ], (9.9) Σ
Ω
Ω
F = Fm + ρ Ω[g ez + (dV /dt)ex ]
(9.10)
donde Ω representa el volumen encerrado por la superficie cerrada Σ. Si Vo y tv son respectivamente una velocidad caracter´ıstica representativa de V(t) y su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on, Ωo y tΩ representan los valores caracter´ısticos de Ω(t) y de su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on, a es la longitud caracter´ıstica del obst´aculo y ∆ pd las variaciones caracter´ısticas de presi´on, los ´ordenes de magnitud de cada uno de los t´erminos de la ecuaci´on (9.7) son (considerando tv ∼ tΩ y Vo ∼ Ωo a) ∆ pd µ Vo Vo V2 , ρ o, . (9.11) , tv a a a2 Referidos todos al t´ermino viscoso, los ´ordenes de magnitud relativos de los diferentes t´erminos de la ecuaci´on (9.7) son ρ
Re St,
Re,
∆ pm a , µ Vo
1,
(9.12)
donde Re = ρ Vo a/µ y St = a/(Vo tv ) son respectivamente los n´ umeros de Reynolds y Strouhal. Obs´ervese que el n´ umero adimensional Re St = a2 /(ν tv ) puede ser interpretado como el cociente entre el tiempo caracter´ıstico de difusi´on viscosa a2 /ν y el tiempo caracter´ıstico tv . En el l´ımite formal Re 1 y Re St 1, (9.7) se reduce a −∇ pd + µ ∇2 v = 0;
(9.13)
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
180
las ecuaciones (9.13) y (9.1), junto con las condiciones de contorno (9.4) y v = V ex
y
pd = 0
|x| → ∞
en
(9.14)
constituyen el denominado problema de Stokes para la determinaci´ on del movimiento del fluido. Es interesante se˜ nalar que en este problema los campos de presi´on y velocidad se desacoplan y pueden resolverse separadamente; en efecto, si se toma la divergencia y el rotacional de (9.13) y se tiene en cuenta (9.2) resulta ∇2 pd = 0, (9.15) y ∇ × ∇2 v = 0.
(9.16)
Adem´as, si se tiene en cuenta (9.1) y la relaci´on ∇2 v = ∇(∇ · v) − ∇ × (∇ × v) = −∇ × ω,
(9.17)
la ecuaci´on (9.16) se puede escribir en t´erminos de la vorticidad ω = ∇ × v en la forma −∇ × (∇ × ω) = ∇2 ω − ∇(∇ · ω) = ∇2 ω = 0,
(9.18)
ya que el vector ω es solenoidal. Obs´ervese que tanto la presi´on como la vorticidad satisfacen la ecuaci´on de Laplace, ecuaciones (9.15) y (9.18). Usualmente se resuelve (9.18), expresada en t´erminos de la velocidad puesto que las condiciones de contorno se escriben m´as f´acilmente en t´erminos de esta variable, y una vez obtenida v la ecuaci´on (9.13) suministra el campo de presiones. Conviene hacer notar que la linealidad de las ecuaciones (9.15) y (9.18) permite superponer soluciones y considerar separadamente los efectos de rotaci´on y traslaci´on. Por ejemplo, si V y Ω representan los m´odulos de los vectores V y Ω, el campo de velocidades y presiones puede expresarse como suma de los dos problemas siguientes µV aΩ aΩ y pd = (9.19) v2 p1 + p2 , v = V v1 + V a V donde las velocidades y presiones adimensionales vi y pi (i ≡ 1, 2) son soluciones de las ecuaciones (9.15) y (9.16) con las condiciones de contorno v1 = 0
en
Σ(x/a, t) = 0
y
p1 = 0
en
x/a → ∞
(9.20)
v2 = p2 = 0
en
x/a → ∞,
(9.21)
v1 = nv
v2 = nΩ × (x/a) en Σ(x/a, t) = 0 y
y
donde nv y nΩ son los versores unitarios en las direcciones de V y Ω. En ausencia de rotaci´on Ω se tiene v2 = p2 ≡ 0, mientras que v1 =
v = G(x/a) V
y
p1 =
a pd = H(x/a), µV
(9.22)
con G y H funciones adimensionales de la posici´on. La fuerza Fm sobre el obst´aculo debida al movimiento es entonces = Fm = [−p1 n + µ γ ·n] d σ, (9.23) Σ
con 2γlm = (∂ v1l /∂ xm + ∂ v1m /∂ xl ). La ecuaci´on (9.23) junto a las expresiones (9.22) demuestran que la fuerza es directamente proporcional a la velocidad relativa V y puede escribirse en la forma =
Fm = µ a A ·V,
(9.24)
181
9.3. Movimiento alrededor de una esfera =
donde el tensor adimensional de segundo orden A depende exclusivamente de la forma geom´etrica del obst´aculo. An´alogamente, el momento de las fuerzas de superficie es =
Mm = µ a2 B ·U, =
(9.25)
=
donde el tensor B al igual que A depende solamente de la geometr´ıa del obst´aculo. Cuando adem´as de la traslaci´on se considera la rotaci´on de la part´ıcula es f´acil demostrar que la fuerza y el momento se pueden escribir como =
=
Fm = µ a(A ·U + a C ·Ω),
9.3. 9.3.1.
=
=
Mm = µ a2 (B ·U + a D ·Ω).
(9.26)
Movimiento alrededor de una esfera Ley de Stokes
Consid´erese el flujo con fuerzas de viscosidad dominantes alrededor de una esfera de radio R que se mueve con velocidad constante V en la direcci´on −ex (o equivalentemente el caso de una corriente alrededor de una esfera fija cuya velocidad en |x| → ∞ sea V ex ). De acuerdo con la secci´on anterior, la formulaci´ on matem´atica de este movimiento es: ∇·v =0 v = V ex
junto con ∇ × ∇ × (∇ × v) = ∇2 ω = 0, en
|x| → ∞
y
v=0
en
(9.27)
|x| = R.
(9.28)
y
j
R
q
x
v =Vex z
Figura 9.1: Geometr´ıa del flujo alrededor de una esfera. Haciendo uso de la simetr´ıa del movimiento respecto al eje x, v´ease Figura 9.1, es posible on definir las componentes radial vr y meridional vθ de la velocidad del l´ıquido a partir de una funci´ escalar ψ, denominada funci´ on de corriente (v´ease 3.4), de modo que la ecuaci´on de continuidad se satisfaga autom´aticamente; en efecto, en coordenadas esf´ericas (r, θ, ϕ), la ecuaci´on de continuidad de un l´ıquido se satisface autom´aticamente si las componentes de la velocidad se definen en la forma vr =
∂ψ 1 , r2 sen θ ∂θ
vθ = −
1 ∂ψ ; r sen θ ∂r
claramente, la componente azimutal de la velocidad vϕ es nula en este caso.
(9.29)
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
182
En t´erminos de la funci´on de corriente ψ, el vector vorticidad que s´olo tiene componente seg´ un eϕ se escribe 1 ∂2ψ 1 1 ∂ 1 ∂ψ ω = ∇ × v = ∇ × (∇ × ψ eϕ ) = − + (9.30) eϕ r sen θ ∂r2 r2 ∂θ sen θ ∂θ y la ecuaci´on de cantidad de movimiento ∇2 ω = 0 se expresa en t´erminos de ψ y del operador diferencial E en la forma ∂2 sen θ ∂ 1 ∂ 2 2 2 E (E ψ) = 0 con E ≡ 2 + 2 , (9.31) ∂r r ∂θ sen θ ∂θ que es una ecuaci´on en derivadas parciales lineal de cuarto orden sujeta a las condiciones de contorno ∂ψ 1 1 ∂ψ ψ = 0, vr = 2 = 0, vθ = − = 0 en r = R, (9.32) r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ r V (9.33) ψ → r2 sen2 θ cuando r → ∞. 2 El problema matem´atico (9.31)-(9.33) admite una soluci´on de variables separadas de la forma ψ(r, θ) = f (r) sen2 θ,
(9.34)
que sustituida en (9.31)-(9.33) proporciona 2 2 2 2 d d f = 0, − − dr2 r2 dr2 r2
(9.35)
con las condiciones f=
df = 0 en dr
r=R
f → V r2 /2 cuando
y
r → ∞.
(9.36)
La soluci´on general de la ecuaci´on (9.35) es A2 + A3 r4 + A4 r, (9.37) r ´ltima de las donde Ai (i = 1..., 4) son constantes de integraci´on. Para que f (r) satisfaga la u condiciones (9.36) A3 debe ser nula. Las otras tres constantes se calculan imponiendo las restantes condiciones (9.36); la funci´ on de corriente y el campo de velocidades que se obtienen finalmente son
R 3r V R2 2 r 2 + (9.38) − sen2 θ ψ= 4 R2 r R f = A1 r 2 +
y de (9.29)
3R R3 V cos θ vr = 1 + 3 − 2r 2r
y
3R R3 V sen θ. vθ = − 1 − 3 − 4r 4r
(9.39)
El primer t´ermino (9.38) representa la corriente uniforme y el segundo un dipolo en el centro de la esfera; ambos t´erminos representan flujos irrotacionales. Por otra parte, usando la ecuaci´ on (9.13) y la condici´on de presi´on en (9.14) se obtiene pd = −
3µV R cos θ . 2r2
(9.40)
183
9.3. Movimiento alrededor de una esfera
La fuerza que el fluido ejerce sobre la esfera posee la direcci´on del movimiento y obviamente se opone a ´el. Definiendo entonces Fx = Fx ex , se tiene π [(−pd + τrr ) cos θ − τrθ sen θ]r=R R2 sen θ dθ. (9.41) Fx = 2π o
Teniendo en cuenta la presi´on sobre la esfera, v´ease (9.40), y los valores de las componentes normal y tangencial del esfuerzo viscoso sobre la misma 3µV ∂vr cos θ , (τrr pd (R, θ) = )r=R = 2µ = 0, (9.42) 2R ∂r r=R
∂ vθ 1 ∂vr 3µV sen θ + , (9.43) (τrθ )r=R = µ r =− ∂r r r ∂θ r=R R la integraci´ on de (9.41) proporciona Fx = 6πµV R.
(9.44)
La expresi´on (9.44) para la resistencia que experimenta una esfera que se mueve en el seno de un fluido a bajos n´ umeros de Reynolds se denominada ley de Stokes; de la comparaci´on de (9.43) y (9.40) se observa que la viscosidad contribuye a la resistencia en un factor de 2/3 mientras que las fuerzas de presi´on son responsables del tercio restante. Experimentalmente se encuentra que la ley de Stokes es aproximadamente v´alida incluso hasta Re = O(1). Finalmente, el coeficiente de resistencia que se define en la forma CD ≡
Fx 1 2 πR2 ρV 2
=
24 , Re
(9.45)
depende exclusivamente del n´ umero de Reynolds Re = ρ V 2R/µ.
9.3.2.
Aproximaci´ on de Oseen
La soluci´on de Stokes (9.39) y (9.40) presenta el inconveniente de que no es v´ alida lejos de la esfera, ya que a distancias suficientemente grandes de ella el t´ermino convectivo en la ecuaci´on de cantidad de movimiento, despreciado al obtener la ley de Stokes, se hace tan importante como el de viscosidad y debe, por tanto, ser retenido. En efecto, de (9.39) se tiene
3 2 3R R (9.46) µ∇2 vr = µV cos θ 2 5 − 2 + 3 , r r r y 3 R3 R3 3R 3R + − + 3 ρv · ∇vr = ρV 2 cos2 θ 1 − 2r 2r 2r2 2 r4 3R R3 R3 ρV 2 sen2 θ 3R (9.47) 1− − 3 + 3 , + 1− r 4r 4r 2r 2r de modo que los t´erminos dominantes µ V /r2 en (9.46) y ρ V 2 /r en (9.47) se hacen del mismo orden a distancias de la esfera del orden r ∼ R/Re R. Como se ve, la condici´on Re 1 permite despreciar el t´ermino convectivo en la ecuaci´on de cantidad de movimiento en relaci´ on al t´ermino de fuerzas viscosas a distancias del cuerpo del orden de su dimensi´on caracter´ıstica. A medida que nos alejamos de ´el, la contribuci´ on del t´ermino convectivo se va haciendo m´as importante y suficientemente lejos del obst´aculo (a distancias r ∼ R/Re) no puede ser despreciado su efecto. Si
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
184
Re fuese formalmente nulo esta dificultad no ser´ıa tal puesto que la soluci´on de Stokes ser´ıa v´alida hasta r → ∞. Naturalmente, para Re 1, pero finito, es necesario corregir la soluci´on de Stokes lejos del obst´aculo reteniendo el t´ermino convectivo en la ecuaci´on de cantidad de movimiento. Esta correcci´on fue debida a Oseen, quien, en 1910, linealiz´ o el t´ermino convectivo para r → ∞, con lo que obtuvo una correcci´ on de la ley de Stokes que viene a ser el siguiente t´ermino en el desarrollo en potencias de Re. B´asicamente la idea consisti´o en linealizar el t´ermino convectivo a distancias r/R ∼ Re−1 1, de modo que se puede suponer que la velocidad del fluido a esas distancias de la esfera es aproximadamente la de la corriente en el infinito, V ex . El t´ermino convectivo resulta entonces ∂v ρ v · ∇v ρ V ex · ∇v = ρ V . (9.48) ∂x y la ecuaci´on de cantidad de movimiento lejos del obst´ aculo, que sigue siendo lineal, es ρV
∂v = −∇pd + µ∇2 v. ∂x
(9.49)
El problema de Oseen se puede resolver an´alogamente a como se hizo en la secci´on 9.2 introduciendo la vorticidad y tomando la divergencia y el rotacional de la ecuaci´ on anterior. La soluci´ on a este problema, obtenida por Oseen en 1910, en t´erminos de la funci´on de corriente es V R2 ψ= 4
1 3 2 2r + sen2 θ − (1 + cos θ)[1 − e−Re r(1−cos θ) ]. r 2 Re
(9.50)
La soluci´on de Oseen fue perfeccionada por Proudman y Pearson en 1957,1 y por otros investigadores posteriores, utilizando la t´ecnica de los desarrollos asint´ oticos acoplados.2 Aunque aqu´ı no se entrar´a en detalles, conviene decir que la soluci´on de Stokes corresponde b´asicamente al orden m´as bajo del desarrollo en potencias de Re de la soluci´on cerca de la esfera, mientras que la soluci´on de Oseen es el siguiente orden [O(Re)] de ese desarrollo. Proudman y Pearson calcularon el desarrollo en potencias de Re de la soluci´on lejos de la esfera y la acoplaron con la soluci´on cerca de la misma para distancias intermedias. De esta forma obtuvieron la correcci´on de Oseen de una forma m´as rigurosa, adem´as de correcciones de mayor orden. Reteniendo los primeros t´erminos de la expansi´on se puede calcular el nuevo coeficiente de resistencia
24 3 CD = 1 + Re , (9.51) Re 16 donde el t´ermino 3 Re/16 es la correcci´on de Oseen a la ley de Stokes. En la figura 9.2 se representan las leyes de Stokes y de Oseen del coeficiente de resistencia junto con una correlaci´on obtenida de resultados experimentales.3 Como se observa en la figura 9.2, la resistencia calculada con la aproximaci´on de primer orden (Oseen) pr´ acticamente coincide con los resultados experimentales hasta Re = 1 (para Re > 1, el m´etodo de desarrollar la soluci´on en potencias de Re obviamente no es v´alido). Aunque para hallar la correcci´ on de Oseen en el caso de una esfera no es necesario utilizar la t´ecnica de los desarrollos asint´oticos acoplados (s´ı para su justificaci´on matem´atica), en el caso de la corriente alrededor de un cilindro, que veremos a continuaci´ on, esta t´ecnica es necesaria incluso para hallar la soluci´ on de orden menor. 1
I. Proudman y J. R. A. Pearson, Journal of Fluid Mechanics, 2, 237-262, 1957. M. Van Dyke, Perturbation Methods in Fluid Mechanics, The Parabolic Press, Standford, California, 1975. 3 R. Clift, J. R. Grace, M. E. Weber, Bubbles, drops and particles, Academic Press, Nueva York, 1978. 2
185
9.4. Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes 104 103 102
CD 101 100 10-1 10-2
10-1
100
Re
101
102
103
Figura 9.2: Coeficiente de resistencia CD para una esfera a bajos n´ umeros de Reynolds. La curva continua representa los resultados experimentales que se pueden aproximar mediante la ley CD = (24/Re)(1 + 0,15 Re2/3 ) que resulta v´alida hasta numeros de Reynolds del orden de 500; la curva de trazos es la ley de Stokes (9.44) y la curva de puntos es la de Oseen (9.51).
9.4.
Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes
Se considerar´a ahora el caso de un cilindro de longitud infinita y radio R sobre el que incide una corriente de un fluido incompresible de viscosidad µ y densidad ρ, que lejos del cilindro tiene una velocidad V ex . Si se toma el eje del cilindro alineado con el eje ez , el problema es bidimensional, y
r q Vex
R
x
Figura 9.3: Geometr´ıa del flujo alrededor de un cilindro.
con vz = 0, y ninguna magnitud fluida depende entonces de z, por lo que es posible definir la funci´on de corriente ψ como vr =
1 ∂ψ r ∂θ
y
vθ = −
∂ψ , ∂r
(9.52)
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
186
donde r y θ son coordenadas cil´ındricas y la direcci´on y sentido de la corriente coincide con el del eje x, de modo que x = r cos θ (v´ease Figura 9.3). El vector vorticidad, que s´ olo tiene componente seg´ un z se escribe en t´erminos de la funci´on de corriente en la forma 2 ∂ ψ 1 ∂ψ 1 ∂2ψ ω=− ez , + (9.53) + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 y la ecuaci´on (9.27) resulta F 2 (F 2 ψ) = 0,
F2 ≡
∂2 1 ∂2 1 ∂ + . + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2
(9.54)
Como condiciones de contorno se tiene
vr = vθ = 0 en
r=R
y
vr = V cos θ
y
vθ = −V sen θ
en
r → ∞;
(9.55)
o, equivalentemente, ∂ψ ∂ψ = = 0 en r = R y ψ → U r sen θ cuando r → ∞. ∂θ ∂r El problema anterior admite una soluci´ on de variables separadas de la forma ψ=
ψ(r, θ) = f (r) sen θ,
(9.56)
(9.57)
y si se sustituye (9.57) en (9.54) y (9.56) se obtiene 4 2 d3 3 d2 3 d 3 d f =0 + − 2 2+ 3 − dr4 r dr3 r dr r dr r4
(9.58)
con las condiciones f = df /dr = 0 en
r=R
y
f →Vr
cuando r → ∞.
(9.59)
Las soluci´on general de (9.58) es ψ=
C1 3 + C2 r + C3 r ln r + C4 r sen θ r
(9.60)
y la condici´on de contorno en el infinito exige C2 = V,
C3 = C4 = 0,
(9.61)
lo que impide satisfacer simult´ aneamente las dos condiciones de contorno en la superficie del cilindro. Por otro lado, si se imponen las dos condiciones de contorno sobre el cilindro, r = R, y se elige la soluci´on menos divergente cuando r → ∞ (C4 = 0 pero C3 = 0), se obtiene
r r R r ln − + , (9.62) ψ = C3 V R sen θ R R 2R 2r que proporciona un campo de velocidades que diverge logar´ıtmicamente cuando r → ∞:
1 R2 1 R2 r r vr = C3 V cos θ ln − + 2 , vθ = −C3 V sen θ ln + − 2 . R 2 2r R 2 2r
(9.63)
9.4. Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes
187
Por tanto, no existe soluci´on al problema del flujo estacionario y viscoso alrededor de un cilindro ´ circular. Esta es la denominada paradoja de Stokes, que por supuesto no es cierta, ya que el flujo de un l´ıquido alrededor de un cilindro circular se puede dar a n´ umeros de Reynolds tan peque˜ nos como se quiera. Lo que esta paradoja sugiere es que alguno de los requisitos que se han impuesto para obtener la soluci´ on anterior no se satisface. De hecho, la soluci´on anterior adolece de la misma dificultad que la soluci´ on de Stokes para una esfera: lejos del cilindro el t´ermino convectivo y el viscoso son del mismo orden; en efecto, de (9.63) se tiene que r | ρv · ∇vr | r ∼ Re ln , 2 | µ∇ vr | R R
(9.64)
que se hace de orden unidad cuando (r/R) ln(r/R) ∼ Re−1 1. As´ı pues, la soluci´on anterior,(9.63), como la de Stokes para el flujo alrededor de una esfera, no es v´ alida a distancias del obst´ aculo de orden de R/Re, con la u ´nica diferencia de que para el flujo alrededor de un cilindro el fallo de la soluci´on lejos del origen se hace m´as dram´atico que en el caso de la esfera, al diverger el campo de velocidades [en el caso de la esfera la paradoja es m´as sutil, puesto que, aunque la hip´ otesis de fuerzas viscosas dominantes no es v´alida lejos de la esfera, el campo de velocidades, (9.39), obtenido con esta hip´ otesis no s´olo no diverge cuando r → ∞ sino que incluso cumple las condiciones de contorno]. En definitiva, aunque se cumpla la condici´ on Re 1, el t´ermino convectivo en la ecuaci´on de cantidad de movimiento se hace tan importante como el viscoso lejos del cuerpo, a distancias del obst´aculo R/Re R; como se ha visto, el campo de velocidades lejos de la esfera resultaba relativamente poco afectado por este efecto, mientras que en el flujo alrededor del cilindro bidimensional no existe soluci´ on sin retener el t´ermino convectivo. En este u ´ltimo caso, para resolver el problema conviene utilizar la t´ecnica de los desarrollos asint´oticos acoplados, reteniendo el termino convectivo lejos del cuerpo y utilizando la aproximaci´ on de Oseen. Si se hace uso de la aproximaci´ on de Oseen, ρv · ∇v ρV ex · ∇v, la ecuaci´on que gobierna la funci´ on de corriente es Re ∂ ∇2 − ∇2 ψ = 0; 2R ∂ x
(9.65)
(9.66)
la soluci´on de la ecuaci´on anterior se obtiene mediante el m´etodo de los desarrollos asint´ oticos acoplados; los dos primeros t´erminos del desarrollo en potencias de Re de la soluci´on cerca del cilindro son (v´ease, por ejemplo, Rosenhead 4 o la obra de Van Dyke citada en el pie de p´ agina anterior) R V R sen θ r
r 2 ln − 1 + + ψ 2C R R r
r 1 1 r2 1 1 1 R2 V R sen 2θ 1 r2 , (9.67) ln − − + + − Re 2 8C R2 R 8 R2 16C 4 16C 8 r2 y el acoplamiento con la soluci´on asint´ otica lejos del cilindro fija el valor de la constante C: C=
1 8 − γ + ln , 2 Re
siendo γ 0,577216 la constante de Euler. 4
Laminar Boundary Layers, Ed. L. Rosenhead, Dover, 1963.
(9.68)
188
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
El coeficiente de resistencia del cilindro, en funci´ on del n´ umero de Reynolds, Re = ρV 2R/µ, es
1 5 1 8π − + C Re2 + O[(Re2 ln Re)2 ] Cd = 1− (9.69) ReC 32 16C 2 donde Cd se define en funci´on de fuerza por unidad de longitud Fm que el fluido ejerce sobre el cilindro5 Fm (9.70) Cd = ρV 2 R y 2π [(−pd + τrr Fm = ) cos θ − τrθ sen θ]r=R Rdθ. (9.71) o
Si en vez de (9.67) se hubiera utilizado la soluci´ on divergente (9.63), se hubiera obtenido Fm = 4πµV C3
y
Cd =
8πC3 , Re
(9.72)
es decir, el primer t´ermino de (9.69), pero con la diferencia de que la constante C es ahora conocida [depende de Re de acuerdo con (9.68)] mientras que C3 no lo era; del acoplamiento con la soluci´on lejos del cilindro se obtiene C3 = C −1 [comp´arese tambi´en (9.67) con (9.62)]. La diferencia tan notoria entre el flujo alrededor de una esfera y el flujo alrededor de un cilindro bidimensional se pod´ıa haber previsto tambi´en mediante un simple an´alisis dimensional. En efecto, para una esfera, la fuerza de resistencia Fm a bajos n´ umeros de Reynolds debe ser funci´on del radio R, de la velocidad V y de la viscosidad µ (no de la densidad ρ, puesto que el t´ermino convectivo en la ecuaci´on de cantidad de movimiento es despreciable); el an´alisis dimensional demuestra que el grupo adimensional Fm /µV R tiene que ser constante y, de hecho, la ley de Stokes (9.44) muestra que el valor de la constante es 6π. En el caso del flujo alrededor de un cilindro circular bidimensional a muy bajos n´ umeros de Reynolds, la fuerza de resistencia por unidad de longitud Fm es funci´on tambi´en de las magnitudes R, V y µ; sin embargo, si se aplicase el an´alisis dimensional se llegar´ıa a la conclusi´on de que el grupo adimensional Fm /µV deber´ıa ser constante, lo que es absurdo porque Fm depende del radio del cilindro. Lo que sucede en realidad es que la fuerza depende tambi´en de la inercia del flujo y, por tanto, de la densidad ρ del fluido. El an´ alisis dimensional demuestra entonces que el grupo Fm /µV es una funci´on del n´ umero de Reynolds ρV 2R/µ. Para cuerpos geom´etricamente semejantes el resultado anterior permitir´ıa calcular experimen sobre una familia de cuerpos geom´etricamente semejantes movi´endose en el talmente la fuerza Fm seno de un fluido a Re 1.
9.5.
Velocidad de sedimentaci´ on
Un problema pr´ actico de gran complejidad y relevancia por la multitud de aplicaciones en las que aparece es el de la din´amica de part´ıculas m´as o menos esf´ericas dispersas en el seno de un fluido. La ecuaci´on que gobierna la velocidad V de una part´ıcula esf´erica, de radio R y densidad ρp , en el seno de un fluido de densidad ρ es 4 4 dV π R 3 ρp = π R3 (ρp − ρ) g + F, 3 dt 3
(9.73)
5 Se ha utilizado C para simbolizar el coeficiente de resistencia que experimentan los objetos bidimensionales d aculos tridimensionales en lugar del s´ımbolo CD que se reserva para designar el mismo coeficiente en el caso de obst´ movi´ endose en el seno de un fluido.
189
9.5. Velocidad de sedimentaci´on
donde F es la resultante de las fuerzas de presi´on y viscosidad que el fluido ejerce sobre la part´ıcula. El c´alculo de la fuerza F, incluso cuando la part´ıcula est´a aislada o en el caso de suspensiones, si las distancias entre part´ıculas son mucho mayores que su longitud caracter´ıstica R (suspensiones muy diluidas), es en general complejo, pues ambos problemas, el de la din´ amica del fluido alrededor de la part´ıcula (cuya fuerza depende de V) y el de la din´ amica de la part´ıcula (cuya velocidad depende de F) est´an acoplados y conducen a una ecuaci´on integro-diferencial de resoluci´ on complicada. Por otra parte, los fen´ omenos casi-estacionarios juegan un papel relevante en muchas situaciones de inter´es pr´actico y la resistencia que experimenta la part´ıcula a moverse en el seno del fluido no puede modelarse mediante la ley de Stokes. Un caso particular en el que el problema se simplifica notablemente es el de aquellas situaciones en las que las densidades de la part´ıcula y del fluido son muy dispares (el caso de burbujas de gas en el seno de un l´ıquido es un ejemplo cl´asico). Sucede en estos casos que los efectos de la aceleraci´on local son despreciables frente a los viscosos y la ley de Stokes es v´alida. La din´ amica de la part´ıcula viene entonces dada por 4 4 dV π R 3 ρp = π R3 gρp − 6π µ R V, 3 dt 3
(9.74)
que expresa el balance entre la inercia de la part´ıcula, su peso y la resistencia fluidodin´ amica; no se ha incluido la fuerza de flotabilidad por haber supuesto que ρp ρ. Naturalmente en el caso de burbujas la ecuaci´ on de la din´ amica de la part´ıcula se obtendr´ıa de un balance entre las fuerzas de flotabilidad y resistencia fluidodin´ amica, puesto que la inercia de la burbuja y su peso ser´ıan despreciables por ser la densidad del gas muy peque˜ na. Obs´ervese que la ley de Stokes es v´alida y puede ser usada en (9.74) en tanto que el par´ ametro adimensional R2 /ν to , que mide la importancia relativa de la aceleraci´on local del fluido frente a las fuerzas de viscosidad por unidad de masa, sea peque˜ no. Por otra parte, la velocidad terminal Vt , que se define como la velocidad que alcanza la part´ıcula cuando la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre ella es nula (aceleraci´on nula), se obtiene de igualar a cero el segundo miembro de (9.74) Vt =
2ρp R2 g . 9µ
(9.75)
Adem´as, si la velocidad cambia de cero a Vt (se supone que inicialmente la part´ıcula posee velocidad nula) en un tiempo del orden de to , la ecuaci´on (9.74) proporciona el orden de magnitud de to to ∼
ρp R 2 ρp V t ρp R 2 ∼ ; ∼ gρp µ ρ ν
(9.76)
por tanto, y como se quer´ıa demostrar, el movimiento del fluido alrededor de la part´ıcula puede considerarse casi-estacionario si ρ/ρp ∼ R2 /νto 1. Si se definen las variables adimensionales u = V /Vt
y
τ = t/to ,
(9.77)
la ecuaci´on (9.74) se escribe 2 du = 1 − u, 9 dτ cuya soluci´on, si la part´ıcula parte del reposo, es u = 1 − e−9τ /2 .
(9.78)
(9.79)
Si el movimiento no es estacionario, como ocurre si ρp ∼ ρ, la soluci´on (9.79) no es correcta puesto que la ley de Stokes (9.44) dejar´ıa de ser v´alida. En ese caso, para hallar la fuerza de
190
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
resistencia habr´ıa que retener, en la ecuaci´on de cantidad de movimiento del fluido, la aceleraci´ on local del fluido ρ ∂v/∂ t, la flotabilidad y la fuerza de inercia asociada a la aceleraci´ on del sistema de referencia −ρ dV/dt respecto al que se describe el movimiento del fluido.6 Para mayor detalle, el lector interesado puede consultar varias referencias de flujos bif´ asicos,7 donde se describe con detalle la din´ amica lagrangiana de part´ıculas, gotas y burbujas en el seno de fluidos. Es interesante rese˜ nar que a´ un en los casos en que ρp ∼ ρ, el valor de la velocidad terminal seguir´ıa siendo el mismo que el expresado en (9.75) si se incluyen en ´este los efectos de flotabilidad Vt =
2(ρp − ρ)R2 g ; 9µ
(9.80)
este hecho es debido a que el movimiento del fluido alrededor de la part´ıcula se hace estacionario para tiempos suficientemente grandes. Por otra parte, el hecho de que la velocidad terminal disminuya con el cuadrado del tama˜ no de la part´ıcula puede hacer inadecuado el empleo de la expresi´on (9.80) para part´ıculas del tama˜ no de una micra o menores, ya que la velocidad terminal dada por (9.75) puede ser menor que la de difusi´ on [para part´ıculas microm´etricas contenidas en agua, el orden de magnitud de la velocidad terminal dada por (9.75) es de micras por segundo]. Un modo de incrementar la velocidad terminal de part´ıculas muy peque˜ nas, como prote´ınas y ´acidos nucleicos, para forzar su separaci´on es el de recurrir a campos de fuerzas, centr´ıfugas o electromagn´eticas. Por ejemplo, si al recipiente que contiene una suspensi´on de part´ıculas se le hace girar con velocidad angular Ω, alrededor de un eje, las part´ıculas experimentar´ an una fuerza centr´ıfuga por unidad de masa Ω2 r, donde r es la distancia al eje de giro. Si Ω2 r g las part´ıculas, respecto a unos ejes que giren con el recipiente, se mover´an hacia las paredes del recipiente si son m´as densas que el l´ıquido que las contiene o hacia el eje en caso contrario. Dado que, en este caso, la gravedad efectiva no es constante, tampoco lo ser´a la velocidad terminal de las part´ıculas; en efecto, la velocidad l´ımite, que depende de r, viene dada por Vt (r) =
9.6.
2(ρp − ρ)R2 Ω2 r . 9µ
Movimiento de fluidos a trav´ es de medios porosos
Los flujos de fluidos a trav´es de medios porosos se encuentran frecuentemente en la naturaleza y en numerosas ramas de la ciencia y de la tecnolog´ıa: Fisiolog´ıa, Geolog´ıa, Geof´ısica, Mec´anica del Suelo, Hidrolog´ıa, Ingenier´ıa Agron´omica, Ingenier´ıa Sanitaria, Ingenier´ıa Qu´ımica, Metalurgia de Polvos, Tecnolog´ıas de la Cer´amica, Textil, Papelera, etc. El hecho com´ un, en todas las aplicaciones anteriores, es el movimiento de un fluido a trav´es de regiones altamente inter-conectadas y tortuosas, limitadas por superficies s´olidas, bajo la acci´on de un gradiente de presiones. El medio poroso se considerar´a formado por part´ıculas s´olidas, o por una matriz s´ olida porosa, que dejan huecos o poros por los que el fluido puede circular. Debido a la complejidad e irregularidad de las geometr´ıas de los medios porosos cualquier intento de describir exactamente el movimiento del fluido a trav´es de los intersticios y canales del medio poroso est´a hoy d´ıa condenado al fracaso. Sucede, sin embargo, que en la mayor´ıa de las situaciones de inter´es, el tama˜ no o longitud caracter´ıstica de los poros, a, es mucho menor que la longitud caracter´ıstica macrosc´opica, L, del medio poroso (v´ease Figura 9.4). Esta propiedad permite una descripci´on macrosc´opica del movimiento del fluido en la que el medio poroso se modela como un continuo a trav´es del cual fluye el fluido sujeto a leyes de conservaci´on y leyes constitutivas del 6 N´ otese que d V/dt es desconocido y el problema fluidomec´ anico y la ecuaci´ on que gobierna la din´ amica de la part´ıcula deben resolverse acopladamente. 7 Por ejemplo R. I. Nigmatulin, Dynamics of Multiphase Media, Hemisphere Publishing Corp. Nueva York, 1991.
191
9.6. Movimiento de fluidos a trav´es de medios porosos
medio poroso. Por simplicidad, se consideran, en este an´alisis, situaciones en las que el fluido llena totalmente los poros. Adem´as, cuando existan dos fluidos no miscibles se admitir´a que existe una entrefase de separaci´on entre ambos, sin considerar las situaciones en que por inestabilidad de la entrefase coexistan dos o m´as fases fluidas en los poros. Tampoco se retendr´an en el an´alisis los efectos de la tensi´on superficial en las entrefases entre fluidos no miscibles por suponer que las diferencias de presi´on asociadas a las fuerzas de tensi´on superficial, del orden de ζ/a, son peque˜ nas frente a las necesarias para hacer circular al fluido a trav´es del medio poroso.
L dW
dW x
a
dWp
x
x'
Figura 9.4: Tama˜ nos caracter´ısticos en el medio poroso L y a y vol´ umenes de promediado; x se refiere aqu´ı a cualquier punto del medio poroso ocupado indistintamente por la matriz s´ olida porosa o por el fluido, mientras que x’ representa puntos ocupados por el fluido.
9.6.1.
Descripci´ on macrosc´ opica y ecuaciones del flujo
La descripci´on macrosc´opica del movimiento se hace promediando las magnitudes fluidas en vol´ umenes δ Ω que son grandes frente al volumen a3 caracter´ıstico de los poros pero peque˜ nos frente al volumen caracter´ıstico L3 del medio poroso (a3 δ Ω L3 ). Si se denomina δ Ωp al volumen de poros contenido en δ Ω, la porosidad del medio se define φ(x, t) = l´ım
δΩ→0
δΩp 8 ; δΩ
(9.81)
en medios porosos estables, la porosidad es independiente del tiempo o cambia muy lentamente con ´el, pero es una funci´ on continua de x que puede presentar variaciones en longitudes del orden de L cuando el medio es de porosidad variable. La densidad local ρ(x, t) del fluido se define como la masa total de fluido contenida en los poros por unidad de volumen de poros ρ (x , t)d δΩp , (9.82) ρ(x, t) = l´ım δΩ→0 δΩp donde ρ (x , t) es la densidad real del fluido en puntos x del dominio fluido; n´ otese que de acuerdo con la definici´on de porosidad, la densidad por unidad de volumen, o densidad aparente, en el medio continuo es ρ φ. An´alogamente se definen la presi´on y temperatura medias 1 p(x , t)dp , p(x, t) = l´ım (9.83) δΩ→0 δΩp δΩ p 8 N´ otese que δΩ no puede reducirse continuamente a cero, puesto que debe contener siempre un n´ umero muy grande de mol´eculas. El fluido en el interior de los poros puede tratarse como un medio continuo, ya que a λ (λ, camino libre medio o distancia intermolecular).
192
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
1 T (x, t) = l´ım δΩ→0 δΩp
T (x , t)dp .
(9.84)
δΩp
Debe observarse que los valores medios no cumplir´an, en general, las ecuaciones de estado, a menos que las variaciones de presi´on y temperatura respecto a sus valores medios sean peque˜ nas frente a ´estos. No obstante, y puesto que a L, las variaciones de las magnitudes fluidas en una regi´ on δΩ ser´an peque˜ nas frente a los valores medios definidos en δΩ y sus valores, por tanto, estar´an relacionados a trav´es de las ecuaciones de estado. Se define la velocidad aparente v(x, t) del fluido en el medio poroso mediante la relaci´ on ρ(x, t)v(x, t) · n d Σ = ρ (x , t)v (x , t) · n d σ, (9.85) δΣp
es decir, a trav´es del ´area continua d Σ se define el vector flujo m´asico aparente ρ v como el necesario para que a trav´es de ella fluya la misma masa por unidad de tiempo que a trav´es del ´area real de poros δΣp . A partir de las definiciones anteriores, se pueden formular leyes de conservaci´ on en vol´ umenes δΩ del medio poroso, considerado como un continuo, utilizando las cantidades medias y la velocidad aparente definidas anteriormente. En efecto, atendiendo a (9.81) y (9.82), la masa de fluido contenida en el volumen infinitesimal δΩ es ρ φ d , (9.86) δΩ
y el flujo de masa a trav´es de la superficie δΣ que limita el volumen δΩ es ρ v · n d σ.
(9.87)
δΣ
La conservaci´on de la masa en δΩ exige, por tanto, que se satisfaga la relaci´on ∂ ρφ d + ρv · n d σ = 0, ∂t δΩ δA
(9.88)
y en virtud de la continuidad de las cantidades medias en el volumen δΩ se tiene tambi´en ∂ ρφd + ∇ · (ρv)d = 0. (9.89) ∂t δΩ δΩ En forma diferencial (9.89) se escribe ∂(ρφ) + ∇ · (ρv) = 0 ∂t
(9.90)
y expresa que la variaci´ on de la masa contenida en la unidad de volumen se debe al flujo de masa que por convecci´on lo abandona; para el caso del movimiento de un l´ıquido la ecuaci´on (9.90) se reduce a ∇ · v = 0. (9.91) Un tratamiento de la conservaci´ on de la cantidad de movimiento, similar al de la continuidad, no puede realizarse, puesto que se desconocen las interacciones medias entre el fluido y las paredes s´olidas del medio poroso. La ecuaci´on de cantidad de movimiento se sustituye entonces por una ecuaci´on semiemp´ırica constitutiva del medio. La ley de Darcy formula emp´ıricamente la existencia
9.6. Movimiento de fluidos a trav´es de medios porosos
193
de una relaci´on lineal entre la velocidad aparente en el medio poroso y el gradiente de presiones aplicado al mismo Π (9.92) v = − (∇ p + ρ ∇ U ), µ donde µ es la viscosidad del fluido y se ha supuesto que las fuerzas m´ asicas derivan de un potencial. El coeficiente de proporcionalidad Π, con dimensiones de superficie, es del orden de a2 , depende del medio poroso y no del fluido que circula a trav´es de ´el, y debe determinarse emp´ıricamente. Desde un punto de vista te´orico, la ley de Darcy se justifica por el hecho de que si las fuerzas de viscosidad son dominantes en el movimiento a trav´es del medio poroso existe una relaci´on lineal entre la velocidad en el medio y el gradiente de presiones aplicado. Esto ocurre si el n´ umero de Reynolds, Re = a v/ν (basado en la velocidad caracter´ıstica del fluido a trav´es del medio v, el tama˜ no de los poros a, y la viscosidad cinem´atica del fluido ν) es peque˜ no frente a la unidad, y dado que el tama˜ no de poros es peque˜ no y que las velocidades caracter´ısticas del fluido en el medio poroso lo son tambi´en por la resistencia que presenta el medio al movimiento del fluido, la ley de Darcy se satisface muy aproximadamente en la mayor´ıa de las situaciones pr´acticas. No obstante, para valores mayores del n´ umero de Reynolds, la relaci´on entre el gradiente de presiones y la velocidad del fluido deja de ser lineal; en ese caso, y para medios porosos formados por un relleno de part´ıculas esf´ericas de di´ametro 2 a se ha propuesto la siguiente generalizaci´on emp´ırica de la ley de Darcy 1−φ ρv 2 v 1−φ 1,75 con f = ∇(p + ρU ) = −f + 75 ; (9.93) 2a v φ3 Re (9.93) conduce a la ley de Darcy, (9.92), para Re → 0 y a la relaci´on ∇p ∼ ρ v 2 para Re → ∞. Por otra parte, si el n´ umero de Peclet, P e = v a/α, donde α = K/ρcp , es peque˜ no frente a la unidad, la conducci´ on de calor es dominante frente a la convecci´on y en primera aproximaci´ on la temperatura T del fluido es igual a la de la matriz s´ olida porosa que puede variar con x. Por tanto, al analizar el flujo de gases a trav´es de medios porosos, a las ecuaciones (9.90) y (9.92) se a˜ nadir´ an la de estado y la de movimiento isotermo p/ρ = Rg T
y
T = Ts .
(9.94)
Adem´as, en aquellas situaciones en las que la porosidad del medio var´ıe con la presi´on, se deber´a a˜ nadir la relaci´ on constitutiva φ = φ(p). En lo que sigue se supondr´ a que φ al igual que la permeabilidad del medio Π son constantes tanto espacial como temporalmente. Si se sustituye (9.92) en (9.91) resulta ∇2 (p + ρ U ) = 0,
(9.95)
que es una ecuaci´on en derivadas parciales de segundo orden, lineal, de tipo el´ıptico que proporciona el campo de presiones en el movimiento de un l´ıquido a trav´es de un medio poroso bajo la influencia de la gravedad. Conocido el campo de presiones, el campo de velocidades (y los caudales a trav´es de cualquier superficie) se obtiene f´acilmente de la ley de Darcy (9.92). En el caso del movimiento de un gas, las fuerzas m´asicas son despreciables en la mayor´ıa de los casos pr´acticos y la sustituci´on de (9.92) en (9.90), teniendo en cuenta (9.93), proporciona φ o alternativamente
∂p Π − ∇ · (p ∇ p) = 0 , ∂t µ ∂p Π 2 2 ∇ p = 0s. − ∂t 2µφ
(9.96)
194
Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos
La integraci´ on de la ecuaci´on en derivadas parciales (9.96) (no lineal, parab´ olica, de segundo orden en las derivadas espaciales y de primero en las temporales) sujeta a condiciones iniciales y de contorno apropiadas proporciona el campo de presiones en el medio poroso. Conocido ´este, el gasto a trav´es de una superficie Σ se calcula f´acilmente utilizando (9.92) y (9.93) ∂p Π p dσ. ρ v · n dσ = − (9.97) µRg Ts Σ ∂n Σ
9.6.2.
Condiciones iniciales y de contorno
No existen derivadas temporales en las ecuaciones correspondientes al movimiento de l´ıquidos en medios porosos de porosidad φ constante, por lo tanto no se imponen condiciones iniciales a las ecuaciones. Por el contrario, en el caso de movimientos de gases, a menos que las condiciones de contorno sean estacionarias y se busque una soluci´on estacionaria, es necesario imponer el campo inicial de densidades o el de presiones p(x, 0) = po (x).
(9.98)
En cuanto a las condiciones de contorno, se supondr´ a conocido el valor de p y/o de su derivada normal en el contorno donde el medio est´e limitado por fluido libre. Donde el medio poroso est´e limitado por un medio impermeable se impondr´ a la condici´on de flujo nulo, v·n = 0, que es equivalente a la condici´on ∂ p/∂ n + ρ ∂ U/∂ n = 0 en el movimiento de l´ıquidos, o a ∂ p2 /∂ n = 0 cuando se trate de movimiento de gases. Obs´ervese que se permite que el fluido se mueva, macrosc´opicamente, tangencialmente al contorno impermeable. En la superficie de separaci´on f (x, t) = 0 de dos fluidos no miscibles dentro del medio poroso, se debe exigir la continuidad de presiones y velocidades normales a la superficie, y naturalmente que la entrefase sea una superficie fluida, Df ∂f v = + · ∇ f = 0; Dt ∂t φ
(9.99)
en (9.99) se ha hecho uso de que la velocidad del fluido en la superficie libre es la velocidad real v/φ que coincide con la del fluido por ser superficie fluida. Con frecuencia la ecuaci´ on o posici´on de la superficie no es conocida de antemano y debe determinarse como parte de la soluci´on, lo que complica el problema notablemente.
Referencias y lecturas recomendadas G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1975. P. Y. Polugarinova-Kochina, Theory of Filtration of Liquids in Porous Media, Advances in Applied Mechanics, vol. II, pp. 154-225, Ed. R. von Mises y T. von Karman, Academic Press, 1951. J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media, Elsevier, 1967. R. J. M. De Wiest, Flow Through Porous Media, Academic Press, Nueva York, 1969.
Cap´ıtulo 10
Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler 10.1.
Introducci´ on
Muchos fluidos de inter´es en la ingenier´ıa, entre los que se incluyen el aire y el agua, poseen un coeficiente de viscosidad cinem´atico tan peque˜ no, que el n´ umero de Reynolds, para la mayor´ıa de los movimientos de estos fluidos, es mucho mayor que la unidad. El n´ umero de Reynolds mide la importancia relativa entre las fuerzas de inercia convectivas y las de viscosidad y el producto del n´ umero de Reynolds por el n´ umero de Prandtl, denominado n´ umero de Peclet, mide la relaci´on entre los transportes de calor por convecci´on y por conducci´ on; por tanto, cuando el n´ umero de Reynolds es grande frente a la unidad y el de Prandtl es tal que el n´ umero de Peclet es grande frente a la unidad, el movimiento del fluido tiene lugar en condiciones tales que los efectos de la viscosidad y de la conducci´on t´ermica son despreciables. Las condiciones bajo las cuales la viscosidad se puede despreciar se obtienen de la estimaci´on de ´ordenes de magnitud en la ecuaci´on de la cantidad de movimiento ρ
∂v + ρ v · ∇ v = −∇ p + ρ fm + ∇ · τ ; ∂t
(10.1)
en efecto, para la corriente alrededor de obst´aculos los ´ordenes de magnitud de los t´erminos de la ecuaci´on (10.1) son ρo
Uo , to
ρ
Uo2 , Lo
∆p , Lo
ρo fmo ,
µo
Uo , L2o
(10.2)
donde Uo , to , ρo , Lo y fmo son magnitudes f´ısicas (velocidad, tiempo, etc.) caracter´ısticas del movimiento. Es f´acil ver que las fuerzas de viscosidad son despreciables frente a las de inercia convectiva si Re =
ρo Uo Lo >> 1. µ
(10.3)
Compruebe el lector que para el movimiento de fluidos en conductos, la condici´ on de que los efectos viscosos sean despreciables es ρo Uo Do Do >> 1, µ Lo 195
(10.4)
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
196
donde Do es la longitud caracter´ıstica de la secci´on transversal del conducto. Obs´ervese que puede haber otras razones para despreciar el t´ermino viscoso en la ecuaci´on de la cantidad de movimiento, por ejemplo en un movimiento altamente no estacionario de modo que el t´ermino de aceleraci´on local sea dominante frente al viscoso: ρo Lo /µo to >> 1.
(10.5)
Sin embargo, la condici´ on Re 1, o las (10.4) o (10.5) en su caso, no garantiza que los efectos viscosos sean muy peque˜ nos en todo el dominio fluido; en efecto, como se ver´ a m´as adelante, el cumplimiento de la condici´on de contorno sobre paredes s´olidas exige que los efectos viscosos sean retenidos en una capa delgada pr´ oxima a la pared. Por tanto, aunque Re 1, existir´an regiones de tama˜ no peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica del movimiento donde los efectos viscosos deban de ser retenidos en las ecuaciones; estas regiones son las denominadas capas l´ımites, estelas y ondas de choque que ser´an examinadas m´as adelante. An´ alogamente, la estimaci´on de los ´ordenes de magnitud de los diferentes t´erminos de la ecuaci´on de la entrop´ıa ∂S ρT (10.6) + v · ∇ S = φv + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq , ∂t proporciona ρo T o
∆S , to
ρo To Uo
∆S , L
µo
Uo2 , L2o
K
∆T , L2
Qr ,
Qq ,
(10.7)
donde ∆ S e ∆ T representan incrementos de entrop´ıa y temperatura caracter´ısticos del movimiento. Conviene recordar que S − So = ∆ S = cv ln T /To y S − So = cv ln(p/po )/(ρ/ρo )γ para l´ıquidos y gases calor´ıficamente perfectos respectivamente y, por tanto, ∆ S ∼ cv ∆ T /T ; el sub´ındice o indica aqu´ı magnitudes de referencia. Comparando el t´ermino convectivo con el de conducci´on de calor se tiene ρo Uo Lo cv µ ρo Uo Lo 1 cp µ ρo Uo cv Lo 1 ∼ ∼ ∼ Re P r ∼ Re P r. K µ K µ γ K γ
(10.8)
El n´ umero de Prandtl es de orden unidad para gases y puede variar entre valores mucho menores y mucho mayores que la unidad en el caso de l´ıquidos; por tanto, excepto en el caso de metales l´ıquidos, para los que el n´ umero de Prandtl es mucho menor que la unidad, el cumplimiento de la condici´ on Re 1 basta para poder despreciar tambi´en la conducci´on de calor frente a la convecci´ on de calor. Del mismo modo, si el movimiento fuese altamente no estacionario la conducci´on de calor ser´ıa despreciable si ρ L2o ρ L2o cv µ ∼ P r >> 1. µ to K µ to
(10.9)
El t´ermino de disipaci´on viscosa referido a la convecci´on de calor resulta Uo2 1 µo µo Uo2 /L2o U2 = ; = ρo Uo cv ∆ T /Lo ρo Uo Lo cv ∆ T Re cv ∆ T
(10.10)
n´otese que si Re 1 el t´ermino de disipaci´on viscosa es despreciable frente al calor convectado, no en l´ıquidos, y de orden unidad en gases a alta velocidad. ya que U 2 /cv ∆ T suele ser muy peque˜ Como se desprende de lo anterior, la condici´on Re 1, garantiza que los t´erminos disipativos y de conducci´on de calor en la ecuaci´on de la energ´ıa son despreciables si el n´ umero de Prandtl es del orden, o mayor, que la unidad.
197
10.2. Ecuaciones de Euler
En el movimiento de fluidos en conductos la condici´ on de que la convecci´on de calor sea dominante frente a la disipaci´ on viscosa es Re D/L 1. Obs´ervese que si P r es de orden unidad o mayor, la misma condici´on deber´a cumplirse para que los efectos viscosos y los de conducci´on de calor sean despreciables. Se deja al lector la comprobaci´on de que la difusi´ on m´asica ser´a despreciable frente a la convecci´on si Re 1 y el n´ umero de Schmidt Sc = ν/D es del orden o mucho mayor que la unidad; lo que sucede tanto en gases como en l´ıquidos.
10.2.
Ecuaciones de Euler
Como se ha visto en el apartado anterior cuando el n´ umero de Reynolds es suficientemente alto desaparecen en primera aproximaci´ on los t´erminos de conducci´on de calor y viscosidad en las ecuaciones de Navier-Stokes, obteni´endose entonces las ecuaciones de Euler. Para un fluido homog´eneo en composici´on dichas ecuaciones son:
Continuidad ∂ρ + ∇ · (ρ v) = 0. ∂t
(10.11)
Dv = −∇ p + ρ fm . Dt
(10.12)
Cantidad de movimiento ρ
Energ´ıa ρT
DS = Qr + Qq . Dt
(10.13)
Ecuaciones de estado ρ = ρ(p, T ) y
S = S(p, T ).
(10.14)
La ecuaci´on de la entrop´ıa puede ser sustituida por cualquier otra forma alternativa de ecuaci´ on de la energ´ıa como las que se detallan a continuaci´ on: Energ´ıa total ρ
D(e + v 2 /2) = ρ fm · v − ∇ · (p v) + Qr + Qq , Dt
(10.15)
D(h + v 2 /2) ∂p = ρ fm · v + + Qr + Qq , Dt ∂t
(10.16)
Entalp´ıa total ρ
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
198
Energ´ıa interna ρ
De = −p ∇ · v + Qr + Qq , Dt
(10.17)
Dh Dp = + Qr + Qq , Dt Dt
(10.18)
Entalp´ıa ρ
donde, por ser Re 1, se han excluido los efectos de conducci´on de calor y viscosidad.
10.3.
Condiciones iniciales y de contorno
Las ecuaciones de Euler se diferencian de las de Navier-Stokes en que en las primeras han desaparecido los t´erminos con las derivadas espaciales de mayor orden. Esto tiene como consecuencia dos hechos importantes. En primer lugar, no se puede imponer a las ecuaciones reducidas la totalidad de las condiciones de contorno. En efecto, aunque las fuerzas de presi´ on puedan evitar que el fluido adquiera una velocidad normal relativa a un obst´ aculo impermeable, s´olo las fuerzas de viscosidad tangenciales pueden impedir que el fluido deslice sobre el obst´aculo. Del mismo modo, s´olo por conducci´on puede el fluido tener noticia de la temperatura de los obst´ aculos impermeables que lo limitan. En segundo lugar, las ecuaciones de Euler son del tipo el´ıptico o hiperb´ olico, a diferencia de las de Navier Stokes que son del tipo parab´ olico como consecuencia de que las derivadas espaciales son de mayor orden que las temporales (la irreversibilidad del movimiento macrosc´opico de los fluidos est´a asociada al car´acter parab´olico de las ecuaciones de Navier-Stokes). Como se ver´ a mas adelante, cuando se describe el movimiento ideal de un l´ıquido o el movimiento subs´ onico de un gas el problema es de tipo el´ıptico, mientras que es hiperb´olico cuando se trata del flujo supers´onico de gases.1 As´ı pues, las ecuaciones de Euler deben resolverse bajo las condiciones iniciales y de contorno siguientes. Como condiciones iniciales, las mismas que para las ecuaciones de Navier-Stokes completas, ya que no han desaparecido las derivadas respecto al tiempo; esto es, se supondr´a conocido el campo inicial de velocidades, densidades y temperaturas v(x, 0) = vo (x),
ρ(x, 0) = ρo (x),
T (x, 0) = To (x).
(10.19)
Como condiciones de contorno, se impondr´an primero las condiciones en el infinito; esto es, se supondr´ an conocidas la velocidad y las variables termodin´ amicas en el infinito, aguas arriba del obst´ aculo v(∞, t) = v∞ (t), ρ(∞, t) = ρ∞ (t), T (∞, t) = T∞ (t). (10.20) En segundo lugar, cuando el fluido est´e limitado por una superficie impermeable, se impondr´ a sobre ella la condici´on de que la velocidad normal del fluido relativa a la superficie sea nula vn − vns = 0,
(10.21)
1 Se ver´ a en 12 que en el caso de ondas propag´ andose sobre la superficie libre de un l´ıquido, la velocidad de ´este puede ser mayor que la de las ondas y, en ese caso, las ecuaciones que describen el movimiento son hiperb´ olicas.
199
10.4. Continuidad, existencia y unicidad de la soluci´ on
donde vns representa aqu´ı la componente de la velocidad de la superficie normal a s´ı misma. Si la superficie fuese permeable y se inyectase fluido a trav´es de ella con velocidad de soplado us , la condici´on (10.21) debe sustituirse por vn − vns = us .
(10.22)
Adem´as, cuando el fluido est´e limitado por otro fluido no miscible con ´el, en la superficie de separaci´on f (x, t) de los dos fluidos se impondr´ an las condiciones siguientes: 1) la velocidad normal de ambos fluidos en la interfase de separaci´on debe de coincidir con la velocidad normal de avance de la superficie fluida, y 2) el salto de presiones a trav´es de la superficie debe equilibrar a la componente normal de las fuerzas de tensi´on superficial vn1 = vn2 = −
∂f /∂t | ∇f |
y
∆p = ζ∇n,
(10.23)
donde la normal local a la superficie n es ∇f / | ∇f |.
10.4.
Continuidad, existencia y unicidad de la soluci´ on
En general, no existe soluci´on continua y con derivadas continuas, al problema de las ecuaciones de Euler con condiciones de contorno e iniciales como las especificadas anteriormente, por lo que es necesario admitir la posibilidad de soluciones que presenten discontinuidades de las magnitudes fluidas y de sus derivadas sobre algunas superficies (ondas de choque y discontinuidades tangenciales). La presencia de estas discontinuidades junto con la imposibilidad de cumplir simult´ aneamente todas las condiciones de contorno de los fluidos reales hace que las soluciones de las ecuaciones de Euler no representen uniformemente a las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. Lo que sucede, en realidad, es que existen regiones, de espesor muy peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica del movimiento L, en el entorno de las superficies de discontinuidad donde las magnitudes fluidas sufren variaciones apreciables en longitudes mucho menores que L y, por tanto, los efectos de transporte: viscosidad y conducci´ on de calor no pueden ignorarse. En efecto, los peque˜ nos valores de los coeficientes de transporte se compensan con los valores altos de los gradientes que aparecen cuando hay saltos de las magnitudes fluidas en zonas muy estrechas. Naturalmente, al estudiar los fluidos ideales se supondr´ a que estas zonas son de espesor nulo, aun cuando posean una estructura interna donde los fen´ omenos de viscosidad y conducci´on de calor son importantes. Un ejemplo t´ıpico es el de la capa l´ımite que se desarrolla sobre las superficies s´olidas que limitan al fluido y que consiste en una zona muy delgada en la que la velocidad del fluido pasa del valor cero en la superficie s´olida, correspondiente a fluido real, al valor no nulo que proporcionar´ıa la teor´ıa ideal. En las fotograf´ıas de la Figura 10.1. se ilustra la forma del perfil de velocidades de un fluido en las proximidades de una pared hecho visible por medio de una l´ınea de burbujas de hidr´ ogeno.2 Obs´ervese la brusca deceleraci´on que experimenta el fluido en las proximidades de la pared. La fotograf´ıa inferior corresponde a una capa l´ımite laminar, mientras que la superior corresponde a una capa l´ımite con el mismo n´ umero de Reynolds que la inferior pero que se ha hecho turbulenta por una mayor rugosidad de la superficie superior. En la capa l´ımite, supuesta de espesor δ, los ´ordenes de magnitud de los t´erminos viscosos y convectivos de la ecuaci´on de cantidad de movimiento son respectivamente =
∇· τ ∼ µ U/δ 2
yρ
v · ∇ v ∼ ρ U 2 /L,
(10.24)
2 Fotograf´ ıas tomadas de Illustrated Experiments in Fluid Mechanics, The National Committee for Fluid Mechanics Films (Book of Film Notes), Education Development Center, Inc.
200
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
Figura 10.1: Perfiles de velocidad en dos capas l´ımites sobre una pared. El flujo es turbulento en la imagen superior y corresponde a una fotograf´ıa en un instante de tiempo. El perfil de velocidades de la imagen inferior corresponde a una capa l´ımite laminar.
y la exigencia de que ambos sean del mismo orden proporciona el orden de magnitud del espesor de la capa l´ımite viscosa √ δ ∼ L/ Re, (10.25) donde L es la longitud caracter´ıstica de la pared s´olida; obs´ervese que al ser Re 1, el espesor de la capa l´ımite es mucho menor que la longitud caracter´ıstica del obst´aculo. Para el caso del movimiento en conductos, la condici´on de que los t´erminos viscoso y convectivo sean del mismo orden conduce a L δ∼ D (10.26) Re D y si Re D/L 1 se tiene δ D. La teor´ıa de la capa l´ımite, tanto laminar como turbulenta es bastante compleja y su estudio se pospone a los Cap´ıtulos 14 y 16. Del mismo modo que hay capas l´ımites para la velocidad, tambi´en las hay para la temperatura y la concentraci´ on, entrando entonces en juego la conductividad t´ermica y la difusi´ on m´asica, que son los mecanismos f´ısicos encargados del cumplimientode las condiciones de contorno en la superficie del cuerpo (o en la de separaci´ on entre dos fluidos no miscibles) que no se puedan satisfacer con la teor´ıa de fluidos ideales. Otro ejemplo de discontinuidad en las magnitudes fluidas es el de las ondas de choque que aparecen delante de un obst´aculo que se mueve supers´onicamente en el seno de un gas en reposo, Figura 10.2,3 o en el flujo supers´onico de un gas a trav´es de una tobera convergente-divergente. Como se observa en la fotograf´ıa de la Figura 10.2, y se ver´ a tambi´en en el Cap´ıtulo 12 y siguientes, el espesor de la onda de choque es tan peque˜ no que puede ser tratado como una discontinuidad matem´ atica, puesto que al haber despreciado la viscosidad y la conducci´ on de calor los valores de la velocidad y temperatura no ser´an, en general, iguales a uno y otro lado de la discontinuidad. Naturalmente, el espesor de la onda es muy peque˜ no y en su interior los gradientes de velocidad y temperatura son tan grandes (ser´ıan infinitos si el espesor de la onda fuese nulo) que no pueden ignorarse los efectos de viscosidad y conducci´on de calor que son los que permiten una 3
Army Ballistic Research Laboratory, en An Album of Fluid Motion, M. van Dyke, Parabolic Press, 1982.
10.5. Movimientos isentr´ opicos y homentr´ opicos
201
Figura 10.2: Estructura del flujo a trav´es de un proyectil que viaja a M=2.58. Las ondas de choque oblicuas ligadas al morro del proyectil y la capa l´ımite y la estela del mismo se observan con nitidez. Para la visualizaci´on del flujo se aprovecha la variaci´ on del ´ındice de refracci´on como consecuencia de los cambios de densidad que experimenta el gas.
transici´on continua de las variables a trav´es de la onda. El espesor caracter´ıstico, δ, de la onda de choque, puede estimarse teniendo en cuenta que la deceleraci´on convectiva de las part´ıculas fluidas al atravesar la onda de choque, de orden U 2 /δ, es comparable a la fuerza de viscosidad por unidad de masa, de orden ν U/δ 2 , lo que proporciona δ ∼ ν/U . Es necesario a˜ nadir que estas discontinuidades o capas delgadas se hacen inestables para valores del n´ umero de Reynolds, o del par´ ametro adimensional que gobierne el flujo, superiores a uno denominado cr´ıtico, y el flujo resultante se vuelve ca´otico como sucede en la capa l´ımite turbulenta de la fotograf´ıa superior de la Figura 10.1.
10.5.
Movimientos isentr´ opicos y homentr´ opicos
Cuando los efectos de la adici´on de calor por radiaci´ on o reacci´on qu´ımica son despreciables por ser peque˜ no el incremento de entrop´ıa que producen (comparado con la convecci´ on de entrop´ıa), las ecuaciones de Euler pueden simplificarse m´as a´ un, facilitando su integraci´ on. En este caso, la ecuaci´on de la entrop´ıa se reduce a DS = 0, (10.27) Dt que puede integrarse para obtener S = Sp , siendo Sp la entrop´ıa de la part´ıcula fluida considerada en el instante inicial; se dice entonces que el movimiento es isentr´opico. En muchos casos pr´acticos, todas las part´ıculas tienen, en el instante inicial, la misma entrop´ıa So , (Sp = So ), y si el movimiento es isentr´opico se tiene S = Sp = So ; en este caso, todas las part´ıculas tienen en todo instante la misma entrop´ıa y por tanto ∇ S = 0, que es la condici´on matem´atica que define los movimientos homentr´opicos. En estos movimientos, todas las part´ıculas fluidas tienen la misma entrop´ıa (que puede ser funci´ on del tiempo) en cada instante. Como se ve, para que el movimiento sea homentr´opico basta que sea isentr´opico y que la entrop´ıa inicial sea la misma para todas las part´ıculas fluidas.
202
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
En movimientos isentr´ opicos casi estacionarios (para los cuales el tiempo caracter´ıstico local es mucho mayor que el tiempo de residencia), la ecuaci´on de la entrop´ıa se reduce a v · ∇S =
∂S = 0, ∂s
(10.28)
donde ∂/∂ s representa la derivada en la direcci´on de la l´ınea de corriente y (10.28) indica que, en cada instante, la entrop´ıa de las part´ıculas fluidas situadas a lo largo de una l´ınea de corriente es la misma. Adem´as, si todas las l´ıneas de corriente proceden de una regi´on donde la entrop´ıa sea uniforme el movimiento es tambi´en homentr´ opico.
10.6.
Ecuaci´ on de Euler-Bernouilli
Como se ver´a en lo que sigue, si la ecuaci´on de cantidad de movimiento de Euler se proyecta en la direcci´on de las l´ıneas de corriente se obtiene una relaci´on entre magnitudes fluidas que es extremadamente u ´ til para la resoluci´ on de muchos problemas pr´acticos. En efecto, para un fluido ideal la ecuaci´on de cantidad de movimiento se expresa ∂v + ρ v · ∇ v = −∇ p + ρ fm , ∂t que conviene reescribir en la forma ρ
∂v 1 + ∇ · (v 2 /2) − v ∧ (∇ ∧ v) + ∇ p − fm = 0; ∂t ρ
(10.29)
(10.30)
donde v = |v|, y se ha hecho uso de la relaci´on v · ∇ v = ∇ · (v 2 /2) − v ∧ (∇ ∧ v).
(10.31)
Multiplicando la ecuaci´ on (10.30) escalarmente por un vector unitario paralelo en cada punto al vector velocidad se obtiene la proyecci´on de dicha ecuaci´on en la direcci´on de la l´ınea de corriente ∂ v ∂(v 2 /2) 1 ∂ p + + − fms = 0, ∂t ∂s ρ ∂s
(10.32)
donde, como antes, el s´ımbolo ∂/∂ s es la derivada en la direcci´on de la l´ınea de corriente. Por otra parte, si el movimiento es bar´otropo, esto es, si ρ = ρ(p, t), se puede definir la funci´ on de barotrop´ıa ω tal que 1 ∂p ∂ω = , (10.33) ρ ∂s ∂s
donde
p
ω − ω1 =
d p/ρ(p, t);
(10.34)
p1
en el caso de l´ıquidos se tiene ω = p/ρ mientras que en el movimiento isentr´opico de gases, donde T dS = 0 = dh − dp/ρ, se tiene ∂ω 1 ∂p ∂h = = . (10.35) ∂s ρ ∂s ∂s Adem´as, si la componente de las fuerzas m´asicas en la direcci´on de la l´ınea de corriente fms derivase de un potencial fms = −∂ U/∂ s, (10.36)
203
10.7. Magnitudes de remanso la ecuaci´on (10.32) teniendo en cuenta (10.33) y (10.36) puede escribirse como 2 ∂v ∂ v + ω + U = 0. + ∂t ∂s 2
(10.37)
Cuando el movimiento es estacionario o casi estacionario, la ecuaci´on (10.37) se simplifica a´ un m´as para dar 2 ∂ v + ω + U = 0, (10.38) ∂s 2 que integrada en el instante t a lo largo de una l´ınea de corriente proporciona 1 2 (10.39) v + ω + U = C(t). 2 La ecuaci´on (10.39) es una integral primera del movimiento de gran utilidad en el an´ alisis de los movimientos fluidos que satisfacen las condiciones arriba indicadas; obs´ervese que la constante de integraci´ on C(t) puede variar de una l´ınea de corriente a otra y con el tiempo y ha de determinarse mediante las condiciones de contorno, siguiendo la l´ınea de corriente, aguas arriba o aguas abajo, hasta alg´ un punto o regi´ on donde se conozca el valor del primer miembro de la ecuaci´on algebraica (10.39). Resumiendo lo anterior, las condiciones necesarias y suficientes para que la ecuaci´on (10.39) sea v´alida son: Efecto de la viscosidad despreciable (Re 1 o Re D/L 1. La componente de las fuerzas m´asicas en la direcci´on de las l´ıneas de corriente ha de derivar de un potencial. Movimiento bar´otropo ρ = ρ(p). Movimiento casi-estacionario. N´ umero de Strouhal tr /to 1.
10.7.
Magnitudes de remanso
Como se vio anteriormente, en el movimiento sin adici´on de calor de un fluido ideal se conserva la entrop´ıa de cada part´ıcula. Si adem´as el proceso es estacionario y se pueden despreciar las fuerzas m´asicas (lo que suele ser cierto en los movimientos de gases porque su velocidad en aplicaciones t´ıpicas satisface la condici´on v 2 g L), la ecuaci´on (10.39) muestra que la cantidad h + v 2 /2 se mantendr´ a tambi´en constante a lo largo de una l´ınea de corriente v2 = ho ; (10.40) 2 esta constante se conoce con el nombre de entalp´ıa de remanso. Partiendo de la entrop´ıa y de la entalp´ıa de remanso se pueden definir mediante las ecuaciones de estado las restantes magnitudes de remanso; para un l´ıquido perfecto se tiene: h+
So = S,
(10.41)
ho = h + v 2 /2,
(10.42)
To = T,
(10.43)
204
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
po = p +
1 2 ρv , 2
(10.44)
ρo = ρ,
(10.45)
So = S,
(10.46)
ho = h + v 2 /2,
(10.47)
y para un gas calor´ıficamente perfecto
γ − 1 v2 γ−1 2 γ − 1 v2 To v2 v2 =1+ =1+ =1+ =1+ M , =1+ p p 2 T 2cp T 2 2 a 2 2cp γ ρ Rg ρ ao = a
1/2 To γ−1 2 , = 1+ M T 2
(10.48)
(10.49)
donde M = v/a es el n´ umero de Mach que mide la relaci´on entre la velocidad del fluido y la del sonido. Finalmente, de la ecuaci´on de estado y de la condici´on de movimiento isentr´ opico ρo T o po = p ρ T
y
po = p
ρo ρ
γ ,
(10.50)
se obtienen las relaciones
1/(γ−1) γ−1 2 ρo = 1+ M ρ 2
y
γ/(γ−1) po γ−1 2 = 1+ M . p 2
(10.51)
En el Ap´endice 10.I se dan valores tabulados de las expresiones (10.48)-(10.51) como funci´on del n´ umero de Mach. Obs´ervese de lo anterior que las magnitudes de remanso se podr´ıan definir como las magnitudes termodin´amicas que se obtendr´ıan decelerando el fluido, isentr´ opica, estacionariamente y sin fuerzas m´asicas, desde la velocidad v hasta la velocidad nula. Conviene observar tambi´en que, independientemente del tipo de movimiento que experimente el fluido, las relaciones anteriores definen en cada punto las variables de remanso en funci´ on de las est´aticas; es decir, las relaciones anteriores se pueden aplicar a cualquier tipo de movimiento aunque sea no-estacionario, no-ideal, fuerzas m´asicas no despreciables, etc.; sin embargo, en estos casos las condiciones de remanso no se conservan y su manejo ya no es tan u ´til. En efecto, de lo anterior se desprende que las condiciones de conservaci´on de las magnitudes de remanso son: Efecto de la viscosidad y conductividad t´ermica despreciables; Fuerzas m´asicas despreciables; Movimiento sin adici´on de calor; Movimiento estacionario.
10.8. Vorticidad y circulaci´ on del vector velocidad
205
Compare el lector estas condiciones con las de validez de la ecuaci´on de Euler-Bernouilli. Es claro de lo anterior que si se cumplen estas condiciones y que si todas las l´ıneas de corriente vienen de una regi´on uniforme, las condiciones de remanso son las mismas para todo el campo fluido. Las condiciones de conservaci´on de la entalp´ıa de remanso y entrop´ıa pod´ıan haberse deducido tambi´en de las ecuaciones generales (5.24) y (5.27) ρT
ρ
DS = φv + ∇ · (K∇T ) + Qr + Qq , Dt
D(h + v 2 /2) ∂p = + ρ fm · v + ∇ · (τ · v) + ∇ · (k∇T ) + Qr + Qq , Dt ∂t
(10.52)
(10.53)
que muestran c´omo en un caso real pueden variar las condiciones de remanso. As´ı , en un movimiento a grandes n´ umeros de Reynolds, sin adici´on de calor, la entrop´ıa de remanso no var´ıa en el movimiento de la part´ıcula, pero s´ı puede variar la entalp´ıa de remanso debido a efectos no estacionarios a trav´es de ∂ p/∂ t (por ejemplo, movimiento a trav´es de compresores y turbinas, carreras de compresi´on y expansi´on de ´embolos, etc.), o tambi´en debido al trabajo de las fuerzas m´ asicas (por ejemplo, en la descarga del l´ıquido de un dep´ osito bajo la acci´on de las fuerzas gravitatorias).
10.8.
Vorticidad y circulaci´ on del vector velocidad
En el movimiento de fluidos ideales, adem´as de las magnitudes de remanso, existe otra integral primera que bajo condiciones que se especificar´an m´as tarde se mantiene constante a lo largo del movimiento. Se trata de la circulaci´on del vector velocidad a lo largo de una l´ınea fluida cerrada L cualquiera v · d l.
Γ=
(10.54)
L
Como indica el teorema de Stokes, si la curva L es reducible (es decir, si se puede reducir a un punto de forma continua sin abandonar el dominio fluido), la magnitud Γ est´ a relacionada con el flujo del vector vorticidad ω = ∇ × v a trav´es de una superficie Σ cualquiera que se apoye sobre L v · dl = ω · n d σ. (10.55) L
Σ
Tomando el rotor de la ecuaci´on (10.12) dividida por ρ se obtiene ∂ω + ∇ × (v · ∇v) = −∇(1/ρ) × ∇p + ∇ × fm , ∂t
(10.56)
donde se ha tenido en cuenta que el rotor de un gradiente es nulo. Si se hace uso de las identidades v · ∇v = ∇
v2 − v × ω, 2
(10.57)
y ∇ × (v × ω) = v∇ · ω − ω ∇ · v + ω · ∇v − v · ∇ ω.
(10.58)
y se tiene en cuenta que ∇ · ω = ∇ · (∇ × v) = 0 por ser ω solenoidal se obtiene la ecuaci´on de la vorticidad 1 ∂ω (10.59) + v · ∇ω = ω · ∇v − ω ∇ · v − ∇ × ∇ p + ∇ × fm . ∂t ρ
206
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
Como se vio en (4,5,2) el par barocl´ınico −∇ (1/ρ) × ∇ p es nulo si el movimiento es bar´otropo, lo que sucede en el caso de l´ıquidos y en el movimiento homentr´ opico de gases y si adem´as las fuerzas m´asicas derivan de un potencial, (10.59) se reduce a ∂ω + v · ∇ω = ω · ∇v − ω ∇ · v, ∂t
(10.60)
ecuaci´on, denominada de Helmholtz, en la que no aparece la presi´ on. Si a la ecuaci´on (10.60) dividida por ρ se le resta miembro a miembro la de continuidad multiplicada por ω/ρ2 , se obtiene ω D ω = · ∇ v, (10.61) Dt ρ ρ que expresa la variaci´ on por unidad de tiempo de la magnitud ω/ρ siguiendo a la part´ıcula fluida en t´erminos del valor instant´ aneo y local del gradiente de velocidades. Un caso particular es el del flujo bidimensional, en el que la vorticidad s´ olo tiene componente seg´ un el eje z, ω = (0, 0, ω), y el segundo miembro de la ecuaci´on anterior se anula id´enticamente; se tiene entonces D ω = 0, (10.62) Dt ρ que muestra que en el caso de un flujo bidimensional de un fluido ideal con fuerzas m´ asicas que derivan de un potencial, el vector ω/ρ se conserva a lo largo del movimiento.
10.9.
L´ıneas y tubos de vorticidad
El campo de vorticidad de un flujo puede visualizarse en forma an´ aloga a como se visualiza un campo de velocidades, o un campo magn´etico. As´ı , se define una l´ınea de vorticidad como aquella curva que es tangente al vector vorticidad en todos sus puntos. Matem´ aticamente viene dada por d x = k ω, es decir dx es paralelo a ω, siendo k una constante. En coordenadas cartesianas las l´ıneas de vorticidad satisfacen las ecuaciones diferenciales dx2 dx3 dx1 = = , ω1 ω2 ω3
(10.63)
donde ω1 , ω2 y ω3 son las componentes de ω seg´ un los ejes coordenados. Al igual que las l´ıneas de corriente de un flujo proporcionan una visualizaci´ on de las direcciones del flujo en cada instante, las l´ıneas de vorticidad dan una visi´ on de las direcciones de los vectores vorticidad en el campo fluido. En general, la orientaci´ on de estas l´ıneas cambian de un instante a otro, excepto en un flujo estacionario, en el que permanecen fijas en el espacio. Un tubo de vorticidad est´ a constituido por la familia de l´ıneas de vorticidad que pasan por una curva cerrada dada. El flujo neto de vorticidad Σ ω · n d σ a trav´es de las superficies laterales que limitan un volumen del tubo de corriente es nulo. En efecto, aplicando el teorema de Gauss y el hecho de que la vorticidad es un campo vectorial solenoidal [∇ · ω = ∇ · (∇ × v) = 0], se tiene ω · ndσ = ∇ · ω d = 0. (10.64) Σ
Ω
Se concluye entonces que sobre las paredes laterales del tubo de corriente, ω·n = 0 y que, por tanto, el flujo del vector vorticidad a trav´es de cualquier secci´on transversal del tubo, que se denomina intensidad del tubo de vorticidad, es constante a trav´es de cualquier secci´on del tubo de vorticidad ω · ndσ = ω · n d σ; (10.65) Σ1
Σ2
207
10.9. L´ıneas y tubos de vorticidad
Dado que la intensidad es constante a lo largo del tubo de vorticidad, ´este no puede comenzar o terminar en un punto del dominio fluido; esto es, o los tubos de vorticidad son cerrados o se originan y terminan en el infinito o sobre una pared s´ olida. Volviendo de nuevo a la ecuaci´on (10.60), es f´acil deducir que si la vorticidad inicial de una part´ıcula fluida es nula, se mantiene nula a lo largo del movimiento. Obs´ervese que el segundo miembro de (10.60) ser´ıa nulo en cada instante del movimiento. Esta propiedad constituye la denominada primera de las leyes de Helmholtz que satisface el movimiento de un fluido bar´ otropo e ideal bajo la acci´on de fuerzas externas conservativas. Una consecuencia importante de la primera ley es que si la vorticidad fuese nula en un instante dado en todo el dominio fluido (por ejemplo, si el fluido est´a inicialmente en reposo o en un estado de movimiento uniforme) permanecer´ıa nula en cualquier instante posterior. De otro modo, si un flujo es inicialmente irrotacional, bajo las ´ hip´otesis en que la ecuaci´on (10.60) es v´alida, permanecer´a siempre irrotacional. Esta es, realmente, una de las formas de enunciar el teorema de la circulaci´on de Kelvin que se demostrar´a por un procedimiento alternativo en la secci´on siguiente. La segunda de las leyes de Helmholtz establece que las part´ıculas fluidas que en un instante dado est´an situadas sobre una l´ınea de vorticidad se mantienen sobre ella en instantes posteriores. En otras palabras, las l´ıneas y tubos de vorticidad se mueven con el fluido. La segunda ley de Helmholtz se demuestra f´acilmente a partir de la igualdad de las ecuaciones que satisfacen los vectores ω/ρ y d x, siendo d x un elemento infinitesimal de l´ınea fluida [v´eanse las ecuaciones (3.30) y (10.61)]. Multiplicando ahora la ecuaci´ on (10.61) por un par´ ametro constante (independiente de la posici´on y del tiempo), con dimensiones apropiadas para que la cantidad ω/ρ posea dimensiones de longitud y restando el resultado a la ecuaci´ on (3.30) se obtiene ω D ω = dx − · ∇ v, dx − (10.66) Dt ρ ρ que muestra, de acuerdo con la segunda ley, que si el elemento de l´ınea material coincide con el de una l´ınea de vorticidad en el instante inicial ω , (10.67) dx|t=to = ρ t=to ambos vectores siguen siendo iguales en cualquier instante posterior [el segundo miembro de (10.66) es siempre nulo] y se concluye que las l´ıneas de vorticidad son l´ıneas fluidas que se mueven, por tanto, con el fluido. La tercera ley de Helmholtz establece la propiedad de que la intensidad los tubos de corriente no var´ıa con el tiempo durante el movimiento del fluido. Esta ley es consecuencia de la segunda y del hecho de que la intensidad se mantiene constante a lo largo del tubo. En efecto, si los tubos de vorticidad son superficies fluidas, y por tanto se mueven con el fluido, la masa contenida en el volumen de un tubo de vorticidad con longitud elemental d x se conserva, por tanto, en cualquier instante ρ d x d σ = const; (10.68) Σ
teniendo en cuenta que d x = d x n ∼ ω/ρ, la ecuaci´on (10.68) se transforma en ω · n d σ = const,
(10.69)
Σ
que indica la constancia de la intensidad del tubo de vorticidad. Se concluye de aqu´ı que la vorticidad media en una secci´on transversal aumenta cuando el a´rea de la secci´on disminuye y viceversa.
208
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
Un ejemplo t´ıpico que ilustra muy bien los resultados anteriores es el flujo de aire en un tornado. La convecci´ on t´ermica del aire cerca del suelo hacia las nubes produce, por un mecanismo que no se trata aqu´ı , un movimiento rotatorio muy intenso, concentrando la vorticidad en el eje del tornado. El eje del tornado es visible porque en la regi´ on de giro intenso la presi´ on es muy baja y la humedad del aire se condensa, formando una nube en forma de chimenea, que es lo que normalmente se identifica con el tornado. Esta nube giratoria es una visualizaci´ on de un tubo de vorticidad muy estrecho donde la vorticidad es muy intensa, Figura 10.3.4 Cuando las nubes superiores se mueven, el tornado se dobla, es decir, el tubo de corriente es convectado por el flujo, aumentando la vorticidad en gran parte del tornado al estrecharse la secci´ on transversal del tubo de corriente.
Figura 10.3: Fotograf´ıa de un tornado.
10.10.
Teorema de Bjerkness-Kelvin
Consid´erese el flujo del vector vorticidad a trav´es de una superficie Σ que se apoya sobre una l´ınea cerrada L. Si L es reducible (esto es, se puede reducir a un punto de forma continua sin abandonar el dominio fluido), el teorema de Stokes permite relacionar la integral de superficie con la integral de la velocidad a lo largo de la l´ınea cerrada L, denominada tambi´en circulaci´on Γ del vector velocidad Γ= ω · ndσ = v · d l, (10.70) Σ
L
donde d l representa aqu´ı el vector tangente a la l´ınea. Si L ≡ Lf es una l´ınea fluida, el teorema de Bjerkness-Kelvin establece que la derivada sustancial (siguiendo a la l´ınea fluida cerrada) de la circulaci´on es igual a la circulaci´on del vector aceleraci´on a lo largo de dicha l´ınea D Dv v · dl = · d l. (10.71) D t Lf (t) Lf (t) D t 4 T. E. Faber, Fluid Dynamics for Physicists, Cambridge University Press, 1995. Fotograf´ ıa proporcionada por el National Oceanic and Atmospheric Administration Photo library, Rockville, Maryland, USA.
209
10.10. Teorema de Bjerkness-Kelvin En efecto, si se tiene en cuenta que D(d l) Dv D v · dl = v· · dl + , D t Lf (t) D Dt t Lf (t) Lf (t) y que la u ´ltima de las integrales de (10.72) se puede escribir mediante (3.30) como D(d l) v· v · (d l · ∇v) = v · dv = d v 2 /2 = 0; = D t Lf (t) Lf (t) Lf (t) Lf (t)
(10.72)
(10.73)
la integral (10.73) es nula por ser el campo de velocidades unievaluado (su valor en un punto es el mismo antes y despu´es de dar una vuelta completa a la l´ınea cerrada). Como establece (10.71), que es la expresi´on matem´atica del teorema de Bjerkness-Kelvin, la derivada respecto al tiempo de la circulaci´on a lo largo de una l´ınea fluida cerrada es igual en cada instante a la circulaci´ on del vector aceleraci´on a lo largo de dicha l´ınea. Por otra parte, en el caso particular del flujo bar´ otropo, de un fluido no viscoso, bajo la acci´ on de un campo de fuerzas m´asicas que derivan de un potencial, la aceleraci´on del fluido deriva tambi´en de un potencial, v´ease (3.54) Dv = −∇(ω + U ), (10.74) Dt donde ∇ ω = ∇ p/ρ. Se tiene entonces ∇(ω + U ) · d l =
∂(ω + U ) d l, ∂l
y como (ω + U ) es, por razones f´ısicas, unievaluado, la ecuaci´on (10.72) resulta DΓ D v · d l = 0. = Dt D t Lf (t)
(10.75)
(10.76)
La ecuaci´on (10.76) expresa que en el flujo bar´ otropo de un fluido ideal bajo la acci´ on de un campo de fuerzas m´asicas que deriva de un potencial, la circulaci´ on alrededor de cualquier l´ınea fluida cerrada permanece constante e igual a su valor inicial. Como consecuencia de este teorema, si la circulaci´on a lo largo de cualquier l´ınea fluida cerrada es inicialmente cero, su valor permanecer´a nulo en cualquier instante posterior Γ= v · dl = ω · n d σ = 0, (10.77) Lf (t)
Σ
donde Σ representa cualquier superficie que se apoye en Lf , y la vorticidad es nula en cualquier punto del dominio fluido si y s´ olo si la circulaci´on es nula para toda l´ınea cerrada reducible perteneciente al dominio. De (10.76) y (10.77) se deduce que el movimiento de un fluido ideal y bar´ otropo bajo la acci´on de fuerzas m´asicas que derivan de un potencial es irrotacional en cualquier instante si inicialmente la vorticidad es nula en todos los puntos del dominio fluido (por ejemplo, si se parte del reposo o de un movimiento uniforme). Es interesante observar que el teorema de Bjerkness-Kelvin podr´ıa haberse demostrado sin m´as que aplicar el teorema de Stokes a la variaci´ on de la circulaci´on DΓ D D v · dl = ω · ndσ (10.78) = Dt D t Lf (t) D t Σf (t) y aplicar el resultado obtenido en (10.65) que demuestra la independencia de la intensidad de un tubo de corriente con respecto al tiempo. Viceversa, las leyes de Helmholtz podr´ıan haber sido
210
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
obtenidas utilizando el teorema de Kelvin o invariancia en el tiempo de la circulaci´ on a lo largo de cualquier l´ınea fluida cerrada en el flujo de un fluido ideal, bar´ otropo, bajo la acci´ on de fuerzas que derivan de un potencial. Se debe observar, sin embargo, que el teorema de Bjerkness-Kelvin es m´as general, puesto que la hip´ otesis de fluido ideal s´olo afecta al fluido contenido en un entorno de la curva Lf (t), por lo que si las fuerzas viscosas son importantes en alguna zona del interior del dominio, fuera del entorno de Lf la invariancia de la circulaci´ on alrededor de Lf no se ver´ıa afectada. Por otra parte, para relacionar circulaci´ on y vorticidad se hace uso del teorema de Stokes y las conclusiones respecto a la invariancia de la vorticidad en el interior del dominio plano, cuando la circulaci´on alrededor de la curva cerrada que lo engloba es invariante, son s´ olo aplicables si el dominio fluido es simplemente conexo, esto es, si todas las l´ıneas cerradas definidas en ´el son reducibles.
10.11.
Potencial de velocidades
La persistencia de la condici´on de irrotacionalidad, en aquellos flujos que inicialmente la tienen, cuando se verifican las condiciones de altos n´ umeros de Reynolds, bar´otropo, y fuerzas m´asicas derivando de un potencial, simplifica extraordinariamente el an´ alisis de los mismos. Esto es debido a que si la corriente es irrotacional, el campo de velocidades deriva de un potencial escalar denominado potencial de velocidades v = ∇ φ, (10.79) y el n´ umero de inc´ognitas se reduce de tres, las tres componentes del vector velocidad, a una, el escalar potencial de velocidades. En t´erminos de la velocidad el potencial de velocidades se escribe
P
φ(xP ) − φ(xA ) =
v · d l,
(10.80)
A
donde d l es el elemento tangente de la l´ınea que une los puntos A y P . Si el recinto es simplemente conexo, y A y P representan el mismo punto de una l´ınea cerrada, la ecuaci´on (10.80) suministra φ(xP ) = φ(xA ); esto es, el potencial de velocidades es una funci´on unievaluada de la posici´ on. Si el dominio es m´ ultiplemente conexo, como ocurre por ejemplo en la corriente bidimensional de un fluido alrededor de un perfil de a´labe en la que cualquier curva que encierre al perfil es no reducible, puede ocurrir que la circulaci´ on alrededor del perfil sea distinta de cero mientras que la vorticidad sea nula en todo punto del dominio fluido limitado por el perfil y una curva cerrada cualquiera no reducible A F G H por ejemplo, Figura 10.4. En efecto, si ∇ × v = 0 en todo punto A
B
C
H
E F
D
G
Figura 10.4: Dominio m´ ultiplemente conexo. Corriente alrededor de un perfil.
211
10.12. V´ortices
del dominio fluido, entonces, de acuerdo con (10.70), la circulaci´ on a lo largo de la curva cerrada ABCDEF GH deber´ıa de ser nula v · d l = 0. (10.81) ABCDEF G
Si donde puntos B y E y C y D se toman lo suficientemente pr´oximos para que las integrales de l´ınea a lo largo de los segmentos BC y DE sean iguales y de signos opuestos y no contribuyan a la integral total, la ecuaci´on (10.81) implica, por tanto, que la circulaci´ on a lo largo de toda curva AF GH que encierra al perfil es igual a la que existe sobre ´este Γ= v · dl = v · d l. (10.82) perf il
AF GH
Conviene decir que en este caso la velocidad deriva de un potencial, que puede ser una funci´ on multievaluada de la posici´ on si la circulaci´on a lo largo de cualquier curva que encierre al perfil es distinta de cero, aunque naturalmente la velocidad a que da origen no lo sea. Para ilustrar lo anterior, consid´erese el caso de un torbellino bidimensional cuyo campo de velocidades, definido en el dominio m´ ultiplemente conexo formado por todo el plano (r, θ) con exclusi´on del origen de coordenadas, es vr = 0,
vθ =
Γ , 2πr
(10.83)
seg´ un los ejes polares r y θ. Existe, entonces, un potencial de velocidades φ = Γ θ/2 π,
(10.84)
del que deriva la velocidad vr =
∂φ =0 ∂r
vθ =
y
1 ∂φ Γ = , r ∂θ 2πr
(10.85)
que es una funci´ on multievaluada de la posici´ on, φ(0) = 0 = φ(2 π) = Γ. Obs´ervese tambi´en que Γ es la circulaci´on del vector velocidad a lo largo de cualquier curva cerrada que incluya en su interior al origen de coordenadas 2π v · dl = vφ r d θ = Γ. (10.86) L
0
Una corriente fluida para la que la vorticidad, ω = ∇ × v es nula en todo punto del dominio fluido se denomina corriente potencial o irrotacional por oposici´ on a la clase m´as general de movimientos rotacionales en los que ω no es nulo en todo punto del dominio fluido. Como se ver´ a m´as adelante, los movimientos potenciales ocurren en situaciones pr´acticas de inter´es como por ejemplo en Aerodin´amica que considera la corriente alrededor de obst´aculos de forma fuselada a peque˜ nos ´angulos de ataque. Otro caso importante de flujos potenciales se presenta cuando se estudian las peque˜ nas oscilaciones de las magnitudes fluidas en el seno de un fluido en reposo o movi´endose con una velocidad uniforme como sucede en la Ac´ ustica o en el caso m´as general de ondas de peque˜ na amplitud propag´ andose en el seno de un fluido.
10.12.
V´ ortices
Flujos con v´ortices conc´entricos a altos n´ umeros de Reynolds aparecen con frecuencia en la naturaleza y en muchas ramas de la tecnolog´ıa. Ejemplos naturales bien conocidos son el tornado y
212
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
el v´ortice que se forma al drenar l´ıquido a trav´es de un sumidero y entre los dispositivos tecnol´ogicos en los que aparecen v´ortices intensos cabe mencionar los amplificadores de torbellinos, ciclones separadores, torbellinos desprendidos de alas de avi´ on y otras superficies sustentadoras, bombas de chorro, etc. En combusti´ on son bien conocidos los efectos favorables que respecto a la estabilidad de la llama posee la inyecci´on de aire cuando a ´este se le suministra una elevada velocidad de giro; esta t´ecnica se aplica en numerosas aplicaciones pr´acticas tales como motores de gasolina o diesel, turbinas de gas, hornos y quemadores industriales y muchos otros dispositivos combustores.
Figura 10.5: Rotura de v´ ortices en una corriente de agua. Las dos trazas de tinta est´an en el centro de v´ortices intensos alimentados desde los bordes marginales del ala triangular a un cierto ´angulo de ataque. La rotura de los torbellinos da lugar a una p´erdida de las caracter´ısticas aerodin´amicas del ala. Por su importancia tecnol´ ogica el estudio de fluidos con v´ortices intensos es un campo de investigaci´on de actualidad que presenta dificultades serias para alcanzar un conocimiento profundo de este tipo de flujos. Estas dificultades est´an asociadas por una parte a la dificultad del problema matem´atico que gobierna el fen´omeno y de otra a que este tipo de flujos exhiben comportamientos complejos tales como rotura de v´ortices (vortex breakdown), v´ease Figura 10.5, hist´eresis y estabilidad, cuyo car´ acter marcadamente no lineal dificulta su completo entendimiento y la posibilidad de gobernarlos apropiadamente por medio de par´ ametros de control.5 Como en todo otro flujo a altos n´ umeros de Reynolds tambi´en en los v´ortices puede distinguirse una zona, exterior al n´ ucleo viscoso, donde los efectos de viscosidad son poco importantes y el movimiento no viscoso, pero en general rotacional, es gobernado por las ecuaciones de Euler; el n´ ucleo viscoso comprende al eje del v´ortice. En movimientos axilsim´etricos estacionarios de l´ıquidos aparecen problemas interesantes y dif´ıciles sobre la interacci´on del movimiento en los planos axial y azimutal pero su formulaci´ on se simplifica notablemente. En efecto, la funci´ on de corriente Ψ(x, r), cuya existencia est´a garantizada en movimientos axil-sim´etricos de l´ıquidos se define en coordenadas cil´ındricas (x, r, φ) 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ vx = , vr = − ; (10.87) r ∂r r ∂x on de las componentes por otra parte, las componentes del vector vorticidad (ωx , ωr , ωφ ) son en funci´ (vx , vr , vφ ) 1 ∂(rωφ ) ∂vφ ∂vr ∂vx ωx = , ωr = − , ωφ = − , (10.88) r ∂r ∂x ∂x ∂r 5
De G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.
213
10.12. V´ortices
as´ı que, si se sustituye (10.87) en la u ´ltima de las ecuaciones de (10.88) se obtiene la ecuaci´on diferencial que satisface Ψ 2 ∂ Ψ ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ rωφ = − + − . (10.89) ∂x2 ∂r2 r ∂r Por otra parte, como el movimiento es bar´otropo, no viscoso, y si no se considera la acci´on de las fuerzas m´asicas, la ecuaci´on de Bernouilli establece 1 2 p (v + vr2 + vφ2 ) + = H(Ψ), 2 x ρ
(10.90)
siendo H(Ψ) constante sobre las superficies de corriente, cada una de ellas definida por un valor de la funci´ on de corriente, Ψ. Otra integral primera del movimiento aparece como consecuencia del teorema de Kelvin (10.76) que expresa la constancia de la circulaci´on del vector velocidad a lo largo de una l´ınea fluida (material) cualquiera en el caso de movimientos bar´otropos de fluidos ideales sometidos a fuerzas m´asicas que derivan de un potencial. En efecto, teniendo en cuenta la axil-simetr´ıa del movimiento, la circulaci´on a lo largo de un c´ırculo de radio r conc´entrico con el eje resulta ser vφ 2rdθ = 2πrvφ = Γ(Ψ) = 2πC(Ψ), (10.91) donde la constante C var´ıa de una l´ınea de corriente a otra. Por otra parte, haciendo uso de (10.91) y (10.87), las dos primeras relaciones de (10.88) se escriben en funci´on de C en la forma ωx =
1 ∂C ∂C 1 ∂C ∂Ψ , = = vx r ∂r r ∂Ψ ∂r ∂Ψ
ωr = −
1 ∂C ∂C 1 ∂C ∂Ψ · , =− = vr r ∂x r ∂Ψ ∂x ∂Ψ
(10.92)
que muestra que las proyecciones de los vectores v y ω sobre un plano meridional son localmente paralelas. Esta propiedad puede derivarse tambi´en de la ecuaci´on de cantidad de movimiento en forma diferencial, que para flujos estacionarios de l´ıquidos no viscosos y sin fuerzas m´asicas puede escribirse [v´ease (10.30)] p v2 + = −∇ H; (10.93) −v × ω = −∇ ρ 2 esta ecuaci´on muestra que sobre el lugar geom´etrico de los puntos de un plano meridiano sobre los que H es constante (l´ınea de corriente) las proyecciones de v y ω sobre el plano tienen que ser paralelas. Finalmente, la componente ωφ se obtiene f´acilmente de la proyecci´on de la ecuaci´on (10.93) sobre cualquiera de los ejes x o r; proyectando, por ejemplo, seg´ un x se tiene vr ωφ − vφ ωr =
∂H ∂H ∂Ψ = , ∂x ∂Ψ ∂x
(10.94)
y haciendo uso de (10.87), (10.91) y (10.92), se tiene ωφ =
∂H C ∂C −r . r ∂Ψ ∂Ψ
(10.95)
Combinando finalmente las ecuaciones (10.89) y (10.95) se obtiene la ecuaci´on diferencial que satisface la funci´on de corriente meridional (10.89) y (10.95) ∂C ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ ∂H −C ; = r2 + − 2 2 ∂x ∂r r ∂r ∂Ψ ∂Ψ
(10.96)
214
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
esta ecuaci´on, que proporciona la funci´ on de corriente Ψ(x, r) si las funciones C(Ψ) y H(Ψ) son conocidas, se denomina de Bragg-Hawthorne por ser estos autores los primeros en formularla, aunque frecuentemente se encuentra en la literatura referida como ecuaci´on de Squire-Long. Algunas soluciones de (10.96) que son de inter´es por aproximarse a los v´ortices reales muestran que la velocidad azimutal vφ var´ıa potencialmente con la distancia al eje, vφ ∼ rn , con valores negativos del exponente n como sugieren los valores experimentales existentes, por otra parte no demasiado abundantes. Cerca del eje los esfuerzos de viscosidad se hacen, por tanto, importantes y deben ser retenidos en una delgada capa l´ımite axilsim´etrica en torno al eje cuya estructura se analizar´ a en 14.
10.13.
Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales
Se estudian aqu´ı los movimientos de fluidos en conductos de secci´on lentamente variable, caracterizados porque su longitud Lo es grande comparada con su di´ametro caracter´ıstico Do . Consecuentemente, el movimiento ocurre, esencialmente, en la direcci´on de la l´ınea media del conducto siendo las velocidades transversales (de orden Vt ) peque˜ nas frente a las longitudinales (de orden V ) como se deduce de la ecuaci´on de continuidad Do Vt 1. ∼ V Lo
(10.97)
La condici´on de casi-unidireccionalidad implica adem´ as que las variaciones transversales de presi´on sean peque˜ nas frente a las longitudinales y en primera aproximaci´ on que la presi´on sea constante en una secci´on transversal del conducto. En efecto, de la ecuaci´on de cantidad de movimiento en sentido longitudinal se tiene ∆L p ∼ ρ V 2 , (10.98) donde ∆L p representa la variaci´ on de presi´on entre dos secciones separadas una longitud caracter´ıstica L. Por otra parte, la proyecci´ on de la ecuaci´on de cantidad de movimiento en cualquier direcci´on perpendicular a la l´ınea media del conducto proporciona ∆T p ∼ ρ Vt2 ,
(10.99)
donde ∆T p representa las variaciones de presi´on a lo largo de una secci´on normal a la l´ınea media del conducto. De (10.98) y (10.99), teniendo en cuenta (10.97), se llega a 2 Do ρ V 2 ∆L p ∆T p ∼ ρ V 2 (10.100) Lo que demuestra que la presi´on es constante, en primera aproximaci´ on, en cualquier secci´on perpendicular a la l´ınea media del conducto. Esto es, si x es la coordenada a lo largo del conducto, la presi´on es una funci´ on exclusiva de x y del tiempo p = p(x, t). N´otese que este resultado depende exclusivamente de la geometr´ıa (conductos de secci´on lentamente variable) y el resultado es el mismo que se encontr´o en 8.1, independientemente de que las fuerzas de viscosidad sean dominantes o despreciables en el movimiento del fluido a trav´es del conducto. La importancia relativa de las fuerzas de inercia frente a las de viscosidad se mide por el cociente adimensional ρ U 2 /Lo |ρ v · ∇ v| Do ρ U Do Do ∼ ∼ Re , (10.101) ∼ = 2 µ U/Do µ Lo Lo |∇· τ | de modo que las de viscosidad ser´an despreciables en el movimiento del fluido a trav´es del conducto siempre que Do 1. (10.102) Re Lo
10.13. Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales
215
La condici´on (10.102) impone una restricci´ on importante a la teor´ıa del movimiento de fluidos ideales en conductos, ya que, por una parte, el conducto debe ser lo suficientemente largo, Lo Do , para que el movimiento sea cuasi-unidireccional, mientras que debe ser lo suficientemente corto, Lo Re Do , para que la viscosidad pueda ser ignorada. Si la viscosidad fuera despreciable en el movimiento del fluido, el perfil de velocidades en una secci´on ser´ıa aproximadamente uniforme,6 debido a la inexistencia de difusi´ on transversal de cantidad de movimiento, excepto en una regi´ on adyacente a la pared, de espesor δ muy peque˜ no frente a Do , a trav´es de la cual la velocidad ir´ıa disminuyendo desde el valor que tiene fuera de esa zona hasta anularse en la pared del conducto. Como se vio en 10,4, el espesor δ de la capa l´ımite es Lo δ ∼ , (10.103) Do Re Do de modo que el espesor de la capa l´ımite es mucho menor que el di´ametro del conducto si Re Do /Lo 1. Para muchos prop´ ositos pr´acticos (por ejemplo, el c´alculo del caudal de l´ıquido o el del gasto de gas que circula por un conducto), la delgada capa l´ımite adyacente a la pared puede ignorarse y suponer que el perfil de velocidades es uniforme de modo que la velocidad v es s´olo funci´ on del tiempo y de la coordenada x a lo largo del conducto v = v(x, t). Al igual que la ausencia de difusi´ on viscosa conduce a un perfil de velocidades rectangular, la temperatura del fluido ser´ıa constante en una secci´on perpendicular a la l´ınea media del conducto si la conducci´on de calor fuera despreciable frente a la convecci´on [ρ v · cv ∇ T ∇ · (k ∇ T )], lo que ocurre siempre que ρ V cv ∆ T /Lo k ∆ T /Do2 , o P r Re Do /Lo = P e Do /Lo 1; donde P r = µ cp /k y P e = P r Re son los n´ umeros de Prandtl y Peclet respectivamente. Naturalmente, cerca de la pared existir´a una delgada capa l´ımite t´ermica de espesor δT /Do ∼ 1/ P e Do /Lo 1. Si se ignorase la capa l´ımite t´ermica, la temperatura del fluido en una secci´on normal a la l´ınea media del conducto ser´ıa constante, de modo que, al igual que antes se tendr´ıa T (x, t). De la constancia de p y T en secciones normales al flujo se sigue la de la densidad ρ(x, t). Si la viscosidad y conducci´ on de calor son despreciables, las ecuaciones que gobiernan el movimiento del fluido en el conducto son la de continuidad (10.11), cantidad de movimiento en la direcci´on de la l´ınea de corriente media (10.37) y energ´ıa (10.27). Es com´ un multiplicar la ecuaci´ on (10.11) por d y d z y extender la integraci´ on al ´area de una secci´on gen´erica del conducto teniendo en cuenta que x, y, z y t son variables independientes y que las magnitudes fluidas son s´ olo funci´ on de x y t; se obtiene entonces ∂(ρ A) ∂(ρ v A) + = 0, (10.104) ∂t ∂x que junto a las ecuaciones (10.37), (10.46) y las de estado, constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales para el c´alculo de p, v y ρ como funciones de la coordenada x y del tiempo cuando se especifica la geometr´ıa del conducto y se imponen condiciones de contorno apropiadas.
10.13.1.
Movimiento de l´ıquidos ideales en conductos
En este caso, al ser la densidad constante y supuesto que el ´area del conducto no var´ıe con el tiempo, las inc´ognitas se reducen a la presi´on y velocidad por ser tambi´en constante la temperatura (movimiento isentr´ opico). La ecuaci´on (10.104) se puede integrar una vez para dar v(x, t) A(x) = Q(t), 6
Comp´ arese con la ley parab´ olica en el caso de movimiento viscoso de fluidos en conductos.
(10.105)
216
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
donde Q(t) es el caudal que es independiente de la posici´on. La ecuaci´on (10.105) muestra que un aumento (disminuci´ on) del ´area de la secci´on lleva aparejado una disminuci´ on (aumento) de la velocidad de forma que el producto de ambas magnitudes, el caudal, es s´ olo funci´ on del tiempo. Sustituyendo (10.105) en la ecuaci´ on de Euler-Bernouilli (10.37), se obtiene 2 p 1 dQ d Q + + U = 0, + (10.106) A dt d x 2 A2 ρ y su integraci´ on entre una secci´on xo y otra gen´erica proporciona
p Q2 p(xo , t) Q2 dQ x dx + , + U − + + U (x . t) = − o 2 A2 ρ 2 A2 (xo ) ρ d t xo A(x)
(10.107)
Evaluando (10.107) en la secci´on x1 , se obtiene finalmente
x1 1 1 p(x1 , t) − p(xo , t) d x d Q Q2 − + + U (x1 , t) − U (xo , t) = 0, (10.108) + 2 (x ) 2 (x ) A(x) d 2 A A ρ t 1 o xo que es la ecuaci´on diferencial de primer orden, no lineal, cuya integraci´ on proporciona el c´ alculo del caudal como funci´on del tiempo una vez que se especifican las condiciones de contorno p(xo , t) y p(x1 , t). Obtenido el caudal, la ecuaci´ on (10.107) proporciona la distribuci´ on de presiones p(x, t) a lo largo del conducto. En el caso de movimientos estacionarios o casi-estacionarios, L A/(Q to ), el problema se simplifica notablemente, ya que el t´ermino que contiene dQ/dt en las ecuaciones (10.107) y (10.108) es nulo o muy peque˜ no y puede ser despreciado (L y A son valores caracter´ısticos de la longitud y del ´area del conducto y to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las condiciones de contorno). En este caso, las ecuaciones (10.107) y (10.108) se reducen a una pareja de ecuaciones algebraicas que proporcionan el caudal y la distribuci´ on de presiones a lo largo del conducto.
Figura 10.6: Flujo en la tobera de entrada a un conducto. Antes de finalizar el estudio del movimiento de l´ıquidos ideales en conductos es conveniente discutir el c´alculo de las condiciones de contorno p(xo , t) y p(x1 , t) en las aplicaciones pr´acticas m´as comunes en las que generalmente xo = 0 y x1 = L corresponden respectivamente a las secciones de entrada y salida del conducto. En la zona de entrada, donde el movimiento puede considerarse casi-estacionario y sin efecto de las fuerzas m´asicas por ser peque˜ nas las variaciones de altura, ∆z, en la regi´on de entrada (n´ umero de Froude, v 2 /g ∆z, grande), el l´ıquido experimenta un proceso de aceleraci´on desde zonas donde la velocidad es pr´acticamente nula y la presi´on es, por tanto, la de remanso po (t), hasta la secci´on de entrada del conducto donde la velocidad y la presi´ on son v(0, t)
10.13. Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales
217
y p(0, t) respectivamente. Si la entrada est´a bien dise˜ nada, como sucede en el flujo mostrado en la Figura 10.6,7 la viscosidad est´a confinada a una capa l´ımite muy delgada adyacente a las paredes del conducto convergente de entrada por ser grande el n´ umero de Reynolds del movimiento. Fuera de esta capa l´ımite el proceso de aceleraci´on del l´ıquido es isentr´ opico, sin fuerzas m´asicas y casiestacionario con lo que la presi´on de remanso se conserva en cada instante de tiempo. La presi´on a la entrada del conducto es, pues, p(0, t) = po (t) − ρv 2 (0, t)/2.
(10.109)
Cuando la entrada no est´ a bien dise˜ nada, como ocurre en el flujo mostrado en la Figura 10.7,8 aparece un fen´omeno nuevo, denominado desprendimiento de capa l´ımite que se analizar´a en profundidad en cap´ıtulos posteriores. En este caso, existen deceleraciones muy bruscas del flujo que dan lugar a zonas de recirculaci´on y corriente invertida en la que los fen´ omenos disipativos son importantes y dan lugar a una p´erdida de presi´on de remanso en la regi´on de entrada al conducto. La determinaci´on de la presi´on a la entrada del conducto cuando (10.109) no es v´ alida se considerar´a en el Cap´ıtulo 17.
Figura 10.7: Desprendimiento de la capa l´ımite y readherencia posterior a la entrada de un conducto que dan lugar a las burbujas de recirculaci´ on de la figura.
Aguas abajo de la secci´on de salida, el l´ıquido se decelera desde la velocidad que posee en la secci´on de salida, v(L, t), hasta el reposo. Es necesario tener en cuenta que, independientemente de las caracter´ısticas geom´etricas del flujo y del valor del n´ umero de Reynolds, los procesos de aceleraci´on y deceleraci´on de un fluido no son equivalentes respecto al papel que la viscosidad juega en ellos. En efecto, en los procesos de deceleraci´on el fluido no es capaz de adaptarse a una variaci´ on brusca en la geometr´ıa del flujo, como sucede por ejemplo a la salida de un conducto donde existe un cambio abrupto de secci´on, ver Figura 10.8,9 dando lugar a una salida en forma de chorro. Entre el chorro y el fluido ambiente existe una capa delgada (de espesor nulo si Re → ∞), en la que los gradientes de velocidad son muy acusados y por tanto el efecto de la viscosidad es importante. A trav´es de esta capa no existen variaciones apreciables de presi´on de forma que la presi´on del l´ıquido en la secci´on de salida del conducto es igual a la del ambiente p(L) = pa . 7
En Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988. En Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988. 9 En Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988. 8
(10.110)
218
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
Figura 10.8: Flujo a la salida de un conducto.
La verificaci´on de (10.110) es patente en la Figura 10.8 donde se observa que el radio del chorro se mantiene aproximadamente constante desde la salida, lo que indica que su presi´ on es muy aproximadamente igual a la del exterior. Como se ve, por tanto, el l´ıquido circula por el conducto de modo que va perdiendo presi´ on en forma tal que a la salida alcanza el valor de la presi´ on ambiente, mientras que el proceso de disipaci´on de la energ´ıa cin´etica que ocurre aguas abajo de la secci´on de salida tiene lugar a presi´ on constante.
10.13.2.
Flujo de gases en toberas
En el movimiento de gases las fuerzas m´asicas juegan un papel poco importante debido a que la velocidad del gas es generalmente grande (V 2 g L) y las ecuaciones (10.104), (10.37) y (10.27) se transforman, por tanto, en el sistema ρ v A = G,
(10.111) 2
2
γ p v (10.112) + = ho , γ−1 ρ 2 p po = γ, (10.113) S = So o ργ ρo con lo que el problema se reduce a la resoluci´on de tres ecuaciones algebraicas no lineales para el c´alculo de v(x), p(x) y ρ(x) una vez que se especifica la distribuci´on de ´areas A(x) a lo largo del conducto.10 No obstante, y antes de proceder a la resoluci´on del sistema algebraico no-lineal (10.111)-(10.113) es conveniente estudiar la variaci´ on de las magnitudes fluidas en el conducto como funci´on de la variaci´ on de ´area. En efecto, derivando la ecuaci´ on (10.111) con respecto a x y dividiendo el resultado por el gasto m´ asico de gas ρ v A se tiene h+
v = ho 2
o
1 dρ 1 dv 1 dA + + = 0. ρ dx v dx A dx
(10.114)
Si se utilizan las ecuaciones (10.112) y (10.113) para eliminar ρ en (10.114) y se introduce el n´ umero de Mach, M = v/a = ρ v/γ p, dicha ecuaci´on se transforma en (1 − M 2 )
1 dv 1 dA =− , v dx A dx
(10.115)
10 En situaciones en que, debido a la geometr´ ıa de la tobera, el movimiento no sea estrictamente casi-unidireccional, el an´ alisis expuesto aqu´ı tambi´en se aplica en la pr´ actica si las magnitudes en las ecuaciones (10.111)-(10.113) se interpretan como magnitudes medias en la secci´ on.
219
10.13. Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales
de la que se extraen las siguientes propiedades que exhiben los flujos de gases a trav´es de conductos de secci´on lentamente variable: 1) Si el movimiento es subs´onico (M < 1), dv/dx < 0 (> 0) si dA/dx > 0 (< 0), es decir, cuando el ´area aumenta aguas abajo del conducto, el gas se decelera, y viceversa. 2) Si el movimiento es supers´onico (M > 1) el comportamiento anterior se invierte. 3) Cuando el n´ umero de Mach es la unidad se tiene dA/dx = 0 (se descarta cualquier soluci´on con gradientes de velocidad infinitos), es decir, la condici´ on de flujo s´ onico s´olo puede alcanzarse en secciones de ´area m´ınima o m´axima. La combinaci´ on de esta condici´on con las de 1) y 2) demuestran que M = 1 s´olo puede alcanzarse en secciones de ´area m´ınima denominadas generalmente gargantas. Volviendo al an´ alisis del movimiento, el gasto G puede expresarse en funci´on de las magnitudes de remanso de la corriente y del n´ umero de Mach, M = v/a, que expresa la relaci´on en cada punto entre las velocidades del fluido y del sonido, G = ρ v A = ρo ao A M
ρ a , ρo ao
(10.116)
donde ρo y ao son los valores de remanso de la densidad y de la velocidad del sonido. Sustituyendo (10.49) y (10.51) en (10.116) se obtiene finalmente G = ρo ao A
M 1+
γ−1 M 2
γ+1 2 2(γ − 1)
,
(10.117)
que proporciona el n´ umero de Mach en una secci´on como funci´on del ´area de la secci´on del conducto si el gasto y las condiciones de remanso de la corriente son conocidos. Desde el punto de vista pr´ actico es u ´ til definir las denominadas magnitudes cr´ıticas que son las que se obtendr´ıan llevando al fluido hasta un n´ umero de Mach, M = 1, en condiciones tales que se conserven las magnitudes de remanso (proceso isentr´opico, estacionario y sin fuerzas m´asicas). Para un gas calor´ıficamente perfecto dichas magnitudes valen [ver ecuaciones (10.46)-(10.52)] 2 2 ∗ ∗ ∗ S = So , T = (10.118) To , a = ao , γ+1 γ+1 ρ∗ =
1 2 γ−1 ρo , γ+1
p∗ =
γ 2 γ−1 po . γ+1
(10.119)
Por otra parte, si se define el ´area cr´ıtica A∗ como el ´area de la tobera en la que un gasto G de gas alcanza condiciones cr´ıticas partiendo de las mismas condiciones de remanso, la ecuaci´on de (10.117) conduce a γ+1 2 2(γ − 1) ρo ao A∗ , (10.120) G= γ+1 que junto con (10.117) proporciona 1 A = A∗ M
2 γ+1
γ + 1 γ − 1 2 2(γ − 1) . M 1+ 2
(10.121)
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
220
La expresi´on anterior posee un m´ınimo de A/A∗ , que es la unidad para M = 1, de modo que el ´area m´ınima del conducto es siempre mayor o igual (en el caso de que se alcancen condiciones cr´ıticas en la garganta) que el ´area cr´ıtica. La expresi´on (10.121) posee dos ramas, una correspondiente a movimiento subs´onico y otra a supers´onico, v´ease Figura 10.9, y se encuentra tabulada en el Ap´endice 10.I. Como se ver´a en lo que sigue, las expresiones (10.121), (10.117) y (10.46)-(10.51) permiten calcular el gasto y la distribuci´ on de presiones, o cualquier otra magnitud fluida, a lo largo del conducto una vez que se especifica la distribuci´on de ´areas y las condiciones de contorno pertinentes. 5 4 ,5
0 ,0 0 2 4
0 ,0 0 7
3 ,5
0 ,0 1 3
M 3
0 ,0 2 7
2 ,5
0 ,0 5 8 2
p /p 0
0 ,1 2 8
1 ,5
0 ,2 7 2 1
0 ,5 2 8
0 ,5 0
0 ,8 4 3 0
0 ,2
0 ,4 A
*
0 ,6
0 ,8
1
1
/A
Figura 10.9: N´ umero de Mach y presi´on del gas como funci´on del ´area del conducto.
Descarga desde un dep´ osito a trav´ es de una tobera convergente-divergente Consid´erese la tobera convergente divergente esquematizada en la Figura 10.10 que toma gas desde un dep´osito donde las condiciones son las de remanso po y ρo y lo descarga a un ambiente donde la presi´ on es pa . Naturalmente, cuando la presi´ on pa a la que descarga la tobera es pa = po no hay flujo a trav´es de la tobera y la presi´on es constante a lo largo de ella e igual a po = pa . Si pa es inferior a po , el gasto G a trav´es de la tobera se determina evaluando (10.117) en la secci´on de salida Ms , (10.122) G = ρo ao As
γ+1 γ − 1 2 2(γ − 1) 1+ Ms 2 con el n´ umero de Mach a la salida Ms dado por (10.51) una vez que se impone la condici´ on de que la presi´on ps del gas a la salida sea pa ; se tiene entonces 1/2 γ − 1 2 po γ − 1 . Ms = pa γ − 1
(10.123)
Obs´ervese que, de forma an´aloga al caso de l´ıquidos, un gas que se mueve subs´onicamente descarga siempre a la presi´on ambiente. Dado po /pa y las condiciones de remanso, las ecuaciones (10.123) y (10.122) determinan Ms y el gasto, la ecuaci´on (10.117) proporciona el n´ umero de Mach en
221
10.13. Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales
cada secci´on, y las restantes magnitudes fluidas pueden determinarse en cada secci´on a partir de (10.46)-(10.51). El procedimiento anterior es v´ alido en tanto que no se alcancen condiciones s´onicas en la garganta; esto es, en tanto que la presi´on ambiente sea superior a ps1 , donde ps1 es el valor en la presi´on de salida de la tobera cuando se tienen condiciones s´onicas en la garganta (A∗ = Amin ) y movimiento subs´onico en la zona divergente de la tobera. Su valor se determina f´ acilmente evaluando (10.121) en la secci´on de salida y teniendo en cuenta que el a´rea cr´ıtica debe coincidir con el ´area de la garganta, lo que proporciona la relaci´ on γ + 1 2 1 As γ−1 2 2(γ − 1) , = Ms1 1+ Amin Ms1 γ + 1 2 que junto a
γ po γ−1 2 γ−1 , = 1+ Ms1 ps1 2
(10.124)
(10.125)
proporcionan el n´ umero de Mach a la salida, Ms1 , y la presi´on buscada ps1 . N´otese tambi´en que cuando pa = ps1 se alcanza el gasto m´aximo (gasto cr´ıtico) que puede fluir por la tobera G∗ = ρ∗ a∗ Amin =
γ+1 2 2(γ − 1) ρo ao Amin = 0,578 ρo ao Amin γ+1
para γ = 1,4
(10.126)
an siempre condiciones s´onicas en la garganta y ya que para valores de pa inferiores a ps1 existir´ el movimiento entre el dep´osito y la garganta se hace independiente del valor de la presi´ on en el exterior. La raz´on es que en la garganta se produce un bloqueo s´ onico, ya que la velocidad del fluido en la garganta es igual a la velocidad del sonido all´ı y, como se ver´a en 11, las se˜ nales ac´ usticas, que transmiten la informaci´ on del descenso de la presi´on en el exterior, no pueden progresar corriente arriba de la garganta. Como se indic´o anteriormente, cuando se tienen condiciones s´onicas en la garganta, la teor´ıa isentr´ opica proporciona tambi´en la posibilidad de que exista un movimiento supers´ onico en toda la zona divergente (rama supers´onica de la Figura 10.9), con una presi´ on en la secci´on de salida ps2 determinada por
γ po γ−1 2 γ−1 , (10.127) = 1+ Ms2 ps2 2 donde Ms2 corresponde a la ra´ız supers´onica de (10.121); obs´ervese que ps2 < ps1 , puesto que Ms2 > Ms1 . En la Figura 10.10 se representan esquem´aticamente las distribuciones de presi´on y n´ umeros de Mach correspondientes a un flujo isentr´ opico en una tobera convergente divergente. N´otese que si pa = ps2 se tiene movimiento isentr´opico en toda la tobera, siendo la corriente subs´onica en la parte convergente y supers´onica en la parte divergente de la tobera con descarga a la presi´on ambiente; se dice, entonces, que la tobera est´a adaptada. Cabe preguntarse ahora cu´al es la soluci´on cuando la presi´ on ambiente pa es tal que ps1 > pa > ps2 . Lo que sucede entonces es que aparecen en el movimiento mecanismos no isentr´opicos debido a que la corriente se acelera, se hace s´onica en la garganta y supers´ onica detr´as pero al no poder recibir informaci´ on (corriente supers´onica) del estado del gas ambiente no puede, en general, cumplir las condiciones de contorno a la salida. Cuando la corriente se expansiona (acelera) m´ as de lo necesario, el frenado se realiza a trav´es de una regi´on, denominada onda de choque, de espesor muy peque˜ no comparado con las dimensiones transversales de la tobera, donde los mecanismos de viscosidad y conducci´on de calor son importantes y cuyo estudio se abordar´ a en el Cap´ıtulo 12.
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
222
1
p p
p o
s 1
p 0
0 ,5 2 8 p
s 2
p 0
0
M M
s 2
1
M s 1 0
x
Figura 10.10: Distribuciones del n´ umero de Mach y de la presi´on en una tobera convergente-divergente.
El movimiento es supers´onico e isentr´opico aguas arriba de la onda de choque, aumenta su entrop´ıa a trav´es de ella y se mueve subs´onica e isentr´opicamente detr´as. Naturalmente, el c´alculo de la distribuci´ on de las variables fluidas en la tobera se realizar´ a una vez concluido el estudio de las ondas de choque. Para valores de la presi´on de descarga inferiores a la presi´on de adaptaci´ on, ps2 , el movimiento es isentr´ opico en toda la tobera y la presi´ on del gas y el n´ umero de Mach a la salida son ps2 y Ms2 respectivamente. La ecuaci´on (10.121) con A∗ = Amin determina el n´ umero de Mach en cada secci´on y las ecuaciones (10.48)-(10.52) las distribuciones de las magnitudes fluidas a lo largo del conducto. Dado que pa < ps2 , la expansi´on del gas hasta la presi´on ambiente, pa , se realiza fuera de la tobera. Aplicaci´ on a la descarga desde un dep´ osito a trav´ es de una tobera convergente de ´ area m´ınima a la salida. Cuando la descarga se realiza a trav´es de una tobera convergente, de ´area m´ınima a la salida, las condiciones cr´ıticas se alcanzar´an en la misma salida cuando la presi´on pa sea igual o inferior a la presi´ on cr´ıtica dada por (10.119) ∗
pa ≤ p =
γ 2 (γ − 1) po , γ+1
p∗ 0,53 po
para γ = 1,4.
(10.128)
10.14. Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler
223
Para valores de la presi´on ambiente iguales o inferiores a 0,53 po , el movimiento en toda la tobera es independiente de pa , el Mach a la salida es la unidad y el gasto a trav´es de ella es el cr´ıtico (m´aximo) y est´a dado por la expresi´ on (10.126); en estas condiciones se dice que la tobera est´a bloqueada. N´ otese que como la presi´on del gas a la salida ps = p∗ = 0,53 po es mayor que la presi´on ambiente el gas debe expansionarse fuera de la tobera para adaptarse al ambiente en un proceso complicado que no se describe aqu´ı. Para valores de la presi´on ambiente pa > 0,53 po , la ecuaci´on (10.51) evaluada en la salida con la condici´on ps = pa determina el n´ umero de Mach a la salida Ms . Conocido el Mach a la salida, el gasto se calcula a partir de (10.122). Finalmente, las ecuaciones (10.117), (10.48), (10.49) y (10.51) determinan las distribuciones de n´ umero de Mach, velocidad del sonido, densidad y presi´ on a lo largo de la tobera.
10.14.
Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler
10.14.1.
Movimiento de un fluido a trav´ es de una turbom´ aquina
La forma semiintegral de las ecuaciones de Euler es u ´ til para el an´ alisis de los movimientos de fluidos a trav´es de compresores, bombas y turbinas y para el an´alisis de la carga y descarga de dep´ositos entre otros, ya que ´estos son movimientos caracterizados por valores altos del n´ umero de Reynolds. En efecto, si el compresor est´a bien dise˜ nado y funciona cerca del punto de dise˜ no (m´aximo rendimiento), los efectos viscosos est´an confinados en sendas capas l´ımites sobre las paredes fijas y m´oviles (´alabes) de la m´aquina y a sus correspondientes estelas y estas regiones son delgadas frente a cualquier otra longitud caracter´ıstica de la m´aquina. Excepto en estas zonas, el flujo es isentr´ opico y las ecuaciones de Euler resultan v´alidas. En lo que sigue, la m´aquina objeto de an´ alisis (compresor o turbina) se considerar´a como una caja negra intercalada en el conducto por el que fluye un gasto G de un fluido a altos n´ umeros de Reynolds. A la entrada del compresor la presi´ on y densidad se representan por p1 y ρ1 , y la velocidad, que lleva la direcci´ on del conducto es v1 . Debido a que el flujo puede considerarse ideal, la velocidad, la presi´ on y la densidad son casi uniformes a trav´es de una secci´on transversal del conducto. No obstante, y como se ha comentado anteriormente, cerca de la pared, en una capa l´ımite de espesor peque˜ no frente al di´ ametro del conducto, la viscosidad es importante y debido a su efecto, la velocidad var´ıa desde el valor v1 fuera de la capa l´ımite a cero en la pared. A la salida del compresor, que se tomar´a suficientemente lejos de los ´alabes como para suponer que las magnitudes fluidas son ya uniformes en la secci´on, la presi´on, densidad y velocidad se denotan por p2 , ρ2 y v2 respectivamente. Se supondr´ a que no hay aportes volum´etricos de calor, ni p´erdidas de calor por conducci´on a trav´es de las paredes. La u ´ ltima de las hip´ otesis se satisface siempre que el t´ermino convectivo de calor ρ cv v · ∇ T sea grande comparado con el de conducci´on K ∇2 T o, lo que es lo mismo, cuando el tiempo de residencia de las part´ıculas fluidas D/U sea peque˜ no frente al tiempo de conducci´on D2 /α DU DU ∼ P r ∼ Re P r 1, α ν lo que ocurre en la mayor´ıa de las situaciones pr´acticas donde el n´ umero de Reynolds es muy grande y el n´ umero de Prandtl no es muy peque˜ no. En el caso particular del bombeo de metales l´ıquidos para los que P r 1 la hip´ otesis de conducci´on de calor despreciable a trav´es de las paredes podr´ıa no verificarse. Como se ver´a en lo que sigue, la aplicaci´on de las ecuaciones de conservaci´on de masa y energ´ıa al volumen de control indicado en la Figura 10.11, proporcionan relaciones u ´tiles entre la potencia suministrada a la bomba (o compresor), o cedida por la turbina, y el flujo de entalp´ıa de remanso
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
224
a trav´es de las paredes del volumen de control formado por la entrada, salida y paredes fijas y m´oviles de la m´aquina. El principio de conservaci´ on de la masa aplicado al volumen de control considerado se expresa en la forma d ρd + ρ(v − vc ) · n d σ, (10.129) d t Ωc (t) Σc (t)
P Pa ra
P1 r1
P2 r2
Pe re
V1
V2
Ve
r V
Figura 10.11: Vol´ umenes de control en el flujo a trav´es de un compresor y carga de un dep´osito. donde n es la normal exterior a la superficie de control y las velocidades se miden respecto a un sistema de ejes ligado a tierra. Obs´ervese que, aunque el problema es esencialmente no estacionario por la presencia de los ´alabes giratorios, la masa global de fluido contenido en el volumen de control y otras cantidades f´ısicas globales no cambian con el tiempo si la velocidad de giro de la m´aquina es constante, o si su tiempo caracter´ıstico de cambio es grande comparado con el tiempo de residencia de las part´ıculas; entonces, el t´ermino temporal puede despreciarse en la ecuaci´on (10.129), que se reduce una vez integrada a las secciones de entrada y salida a ρ1 v1 A1 = ρ2 v2 A2 = G,
(10.130)
esto es, la masa por unidad de tiempo que en cada instante entra a trav´es de A1 es igual a la que sale a trav´es de A2 . En la integraci´ on de la segunda de las integrales de (10.129) se ha tenido en cuenta que por no haber efectos de difusi´ on (Re 1 y Re P r 1) las magnitudes fluidas son uniformes en las secciones de entrada y salida (y en cualquier secci´on del conducto). La ecuaci´on de la energ´ıa en forma integral se expresa d 2 2 ρ(e + v /2)d + ρ(e + v /2)(v − vc ) · n d σ = − pn · vc d σ+ d t Ωc (t) Σc (t) Σc (t) = n· τ ·vc d σ + ρ fm · v d + K∇T · ndσ. (10.131) Σc (t)
Ωc (t)
Σc (t)
Obs´ervese que en (10.131) se ha incluido el trabajo de las fuerzas de viscosidad por unidad de tiempo a trav´es de las paredes m´oviles, ya que las fuerzas de viscosidad son importantes en las superficies s´olidas. Esta potencia ser´a, en general, peque˜ na comparada con el trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de presi´on pero se ha incluido por generalidad. La suma de ambos t´erminos (trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de presi´ on y viscosidad sobre las paredes m´oviles) es la que contribuye a la potencia mec´anica W comunicada al fluido por los a´labes del compresor (o bomba si se trata de un l´ıquido) o extra´ıda del fluido en el caso de una turbina. Los trabajos por unidad de tiempo realizados por las fuerzas de viscosidad a trav´es de la entrada y salida son despreciables por ser el n´ umero de Reynolds suficientemente alto. Los trabajos de las fuerzas de viscosidad y presi´on que act´ uan sobre las paredes fijas de la m´aquina son nulos. El calor aportado
225
10.14. Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler
por conducci´on a trav´es de las paredes fijas y m´oviles de la m´aquina ser´a en general peque˜ no frente a la convecci´on de calor (P e 1). Si adem´as, como es habitual en el flujo a trav´es de turbom´aquinas, no es importante la radiaci´ on de calor (excepto en turbinas de gas a muy altas temperaturas), no hay reacciones qu´ımicas y se considera que la m´aquina funciona en r´egimen estacionario o casi-estacionario, la ecuaci´on (10.131) resulta
v12 p2 p1 v22 (10.132) + U2 − e1 − − U1 , + − W = G e2 + 2 ρ2 2 ρ1 donde para el c´alculo del trabajo de las fuerzas m´asicas, que s´olo es importante en el movimiento de l´ıquidos, se ha supuesto que ´estas derivan de un potencial estacionario U ; esto es ρ fm · v d = − ρ ∇ U · v d = − ρ ∇ · U v d = Ωc (t)
Ωc (t)
Ωc (t)
−
ρ U v · n, dσ = G(U1 − U2 ),
(10.133)
Σc (t)
obs´ervese que por tratarse del movimiento de un l´ıquido se ha hecho uso de la condici´ on ∇ · v = 0. Para el caso de un compresor (10.132) puede escribirse v2 v2 > 0, (10.134) Wc = G h2 + 2 + U2 − h1 + 1 + U1 2 2 y para una turbina
v2 v2 > 0. Wt = G h1 + 1 + U1 − h2 + 2 + U2 2 2
(10.135)
Las ecuaciones (10.134) y (10.135) expresan que la potencia es igual a la diferencia entre los flujos de entalp´ıa de remanso y de energ´ıa potencial que salen y entran del volumen considerado. Adem´ as, la ecuaci´on de la entrop´ıa en forma integral, v´ease (5.51), d K ∇T · n d σ+ ρS d + ρ S(v − vc ) · n d σ = d t Ωc (t) T Σc (t) Σc (t) = 2 τ : ∇ v K|∇ T | Qr + Qq d , + d + (10.136) T T2 T Ωc (t) Ωc (t) para un sistema globalmente estacionario al que no se le aporta calor, por radiaci´ on, combusti´ on y/o conducci´on a trav´es de las paredes proporciona G(S2 − S1 ) ≥ 0.
(10.137)
La relaci´on (10.137) expresa que la entrop´ıa de las part´ıculas fluidas aumenta a su paso por el sistema debido a posibles efectos de la fricci´on y conducci´on de calor en capas l´ımites y estelas. Se ver´ a en lo que sigue que este hecho est´a estrechamente relacionado con el rendimiento de la turbina o compresor. En efecto, obs´ervese que (10.134) y (10.135) pueden escribirse en la forma 2 v2s v22 − , (10.138) Wc − Wcs = G h2 − h2s + 2 2 y
v2 v2 Wts − Wt = G h2 − h2s + 2 − 2s , 2 2
(10.139)
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
226 donde
2 Wcs = G[h2s + v2s /2 + U2 − (h1 + v12 /2 + U1 )]
(10.140)
2 /2 + U2 )] Wts = G[h1 + v12 /2 + U1 − (h2s + v2s
(10.141)
y son las potencias comunicadas al compresor y cedidas por la turbina cuando la evoluci´ on del fluido es isentr´opica desde unas condiciones de entrada dadas, ρ1 , v1 y p1 , hasta una presi´ on a la salida p2 ; la evoluci´ on isentr´ opica determina la densidad a la salida ρ2s y la velocidad v2s (G = ρ2s v2s A2 ). El 2 2 t´ermino G(h2 − h2s + v22 /2 − v2s /2) = G(e2 − e2s ) + p2 A2 (v2 − v2s ) + G(v22 /2 − v2s /2) representa las p´erdidas originadas por los excesos de energ´ıa interna, potencia de las fuerzas de presi´ on a la salida y de energ´ıa cin´etica cuando la evoluci´ on no es isentr´ opica. A continuaci´ on se demostrar´a que, de acuerdo con (10.137), cada una de estas contribuciones es no negativa, por lo que Wts y Wcs son, respectivamente, la potencia m´axima que puede extraerse de la turbina y la potencia m´ınima que es necesario comunicar al compresor para las condiciones de entrada y de presi´on a la salida dadas. En efecto, en el caso de gases, la condici´on (10.137) junto con la ecuaci´ on de estado para la entrop´ıa implica cv T2 ≥ cv T1
p2 p1
γ−1 γ
ρ 2 ≤ ρ1
= cv T2s ,
p2 p1
γ1 = ρ2s
y
v2 =
ρ2s v2s ≥ v2s , ρ2
(10.142)
y para l´ıquidos cT2 ≥ cT1 = cT2s ,
ρ1 = ρ2 = ρ2s
y
v2 = v2s .
(10.143)
Se acostumbra a relacionar la potencia de la m´aquina con el salto de presiones entre la entrada y la salida. Para ello es necesario conocer una relaci´on adicional entre las magnitudes fluidas. Puesto que no se ha aplicado la ecuaci´on de cantidad de movimiento en forma integral (que introducir´ıa la fuerza resultante sobre la m´aquina como inc´ognita adicional), es necesario describir c´omo es la evoluci´ on que experimentan las part´ıculas fluidas entre la entrada y la salida o, en su lugar, especificar el rendimiento de la m´aquina. En el caso de gases, se supone que la forma de la relaci´on isentr´ opica entre la presi´on y la densidad se conserva y s´olo cambia el exponente, en el que se sustituye la relaci´on de calores espec´ıficos γ por un coeficiente experimental, denominado ´ındice politr´ opico que, en general, depende de las condiciones de funcionamiento de la m´ aquina (determinadas por el gasto y el salto de presiones). Se tiene entonces la relaci´on p1 p2 = n. n ρ2 ρ1
(10.144)
Obs´ervese que, de acuerdo con (10.137), ρ 2 = ρ1
p2 p1
n1
≤ ρ2s =
p2 p1
γ1 ρ1 ;
(10.145)
puesto que en un compresor p2 /p1 > 1, se tiene en este caso n ≥ γ, mientras que para una turbina (p2 /p1 < 1) se tiene n ≤ γ. Sustituyendo (10.144) en (10.134)-(10.135) se obtiene (n−1)/n 2 2/n A p p2 1 1 − 1 + v12 −1 , (10.146) W c = G h1 p1 A2 p2 y
Wt = G h1 1 −
p2 p1
(n−1)/n
+ v12 1 −
A1 A2
2
p1 p2
2/n ,
(10.147)
10.14. Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler
227
donde se ha despreciado la diferencia de energ´ıa potencial entre la entrada y la salida por tratarse de un gas. Si la energ´ıa cin´etica fuese tambi´en despreciable, lo que ocurre cuando M 2 1 [recu´erdese que v 2 /h = (γ − 1) ρ v 2 /γ p = (γ − 1) v 2 /a2 = (γ − 1) M 2 ] las ecuaciones (10.146)-(10.147) se simplifican para dar (n−1)/n (n−1)/n p2 p2 . (10.148) − 1 , W t = G h1 1 − Wc = G h 1 p1 p1 Por otra parte, el rendimiento de un compresor se define como ηc =
Wcs , Wc
(10.149)
y si la energ´ıa cin´etica es despreciable se obtiene de (10.148) (p2 /p1 )(γ−1)/γ − 1 . (p2 /p1 )(n−1)/n − 1
(10.150)
1 − (p2 /p1 )(γ−1)/γ Wt = . Wts 1 − (p2 /p1 )(n−1)/n
(10.151)
ηc = An´alogamente, para una turbina se tiene ηt =
En el caso de l´ıquidos, las ecuaciones (10.134)-(10.135) pueden escribirse en la forma Wb = Q [po2 − po1 + ρ (U2 − U1 ) + ρ c (T2 − T1 )],
(10.152)
Wt = Q [po1 − po2 + ρ (U1 − U2 ) + ρ c (T1 − T2 )],
(10.153)
y aquina y Wb donde po1 y po2 son las presiones de remanso del l´ıquido a la entrada y salida de la m´ es la potencia suministrada a la bomba. Para una evoluci´ on isentr´ opica T1 = T2 , mientras que para una evoluci´ on real Wb y Wt pueden expresarse en t´erminos de la diferencia de presiones p2 − p1 y del caudal si se conocen los rendimientos ηb y ηt . Se tiene en este caso Wb =
1 1 Wbs = Q [po2 − po1 + ρ (U2 − U1 )], ηb ηb
(10.154)
y Wt = ηt Wts = ηt Q [po1 − po2 + ρ (U1 − U2 )].
(10.155)
Obs´ervese que, dados la potencia real y el rendimiento, las ecuaciones (10.152)-(10.153) y (10.154)(10.155) permiten calcular el incremento de temperaturas (T2 − T1 ) que experimenta el fluido a su paso por la m´aquina en funci´ on de la diferencia de presiones y del caudal.
10.14.2.
Aplicaci´ on a la carga de dep´ ositos
Las ecuaciones de conservaci´on de la masa y energ´ıa en forma integral permiten describir la evoluci´ on de las magnitudes fluidomec´anicas en el dep´osito. En efecto, si se considera ahora el volumen de control de la Figura 10.11, formado por el dep´ osito y la secci´on de entrada al mismo, la ecuaci´on de conservaci´on de la masa aplicada a ese volumen de control se escribe: d ρdΩ + ρ · v · n d σ = 0, (10.156) d t Vd Σd
228
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
que integrada proporciona d ρs = G; (10.157) dt para el c´alculo de la primera integral se ha supuesto que el movimiento es inapreciable y, por tanto, la densidad es uniforme y de valor ρd en todo el dep´osito excepto en una regi´on, adyacente a la salida, de volumen muy peque˜ no comparado con el del dep´osito. An´alogamente la ecuaci´on de la energ´ıa total proporciona: =, d v2 v2 τ ·v · n d σ, (10.158) dΩ+ v ·ndσ = − ρ e+ ρ e+ p·v ·ndσ + d t Vd 2 2 Σd Σd Σd V
donde el primer t´ermino de la ecuaci´on se reduce a V d(ρ e)/d t puesto que la energ´ıa cin´etica en el dep´ osito es despreciable. El trabajo de las fuerzas de presi´on y viscosidad en las paredes fijas del dep´ osito es nulo, y del mismo modo el trabajo de las fuerzas de viscosidad en la secci´on de entrada se puede considerar despreciable por ser muy alto el n´ umero de Reynolds. Se tiene entonces: d(ρ e) v2 v · ndσ = V ρ e+ −p · v · n d σ. (10.159) + dt 2 As As Para un gas calor´ıficamente perfecto: V dp =− γ − 1 dt
p v2 + v · n d σ = G hos , ρ e+ 2 ρ As
(10.160)
donde se ha supuesto que la cantidad e + v 2 /2 + p/ρ = h + v 2 /2 = hos es uniforme en la secci´on de entrada. Teniendo en cuenta que γ − 1 p γ − 1 , Wc = G(hos − ha ) = G ha pa se obtiene V dp = G ha γ − 1 dt
p pa
γ − 1 γ
.
(10.161)
(10.162)
Si se supone G independiente del tiempo y conocido, las ecuaciones (10.161) y (10.162) pueden integrarse para hallar la evoluci´ on de la presi´on y densidad en el dep´ osito a partir de los valores iniciales p(0) y ρ(0). En efecto, puede comprobarse f´ acilmente que ρ(0) Gt ρ = + , ρa ρa Ω ρa y
p pa
1/γ
p(0) = pa
1/γ +
(10.163)
Gt . Ω ρa
(10.164)
Obs´ervese que, salvo en el caso particular ρ(0) = ρa y p(0) = pa , el llenado no es isentr´ opico [p/p(0) = (ρ/ρ(0))γ ] debido a los efectos de conducci´on de calor y de disipaci´ on de energ´ıa cin´etica que tienen lugar en la regi´ on turbulenta formada en la descarga del chorro al dep´ osito. S´olo si la temperatura del chorro a la entrada coincide en todo instante con la del dep´ osito y el n´ umero de Mach a la entrada es mucho menor que la unidad, ser´ an despreciables estos efectos, en cuyo caso el llenado de un dep´ osito aislado t´ermicamente puede considerarse isentr´opico.
10.14. Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler
Referencias y lecturas recomendadas H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1975. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. H. W. Liepmann y A. Roshko, Elements of Gasdynamics, John Wiley, Nueva York, 1957. F. M. White, Mec´ anica de fluidos, McGraw-Hill, 2004.
229
230
Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler
´ APENDICE 10.I ´ MAGNITUDES FLUIDAS EN UN FLUJO ISENTROPICO M 1,000E-01 2,000E-01 3,000E-01 4,000E-01 5,000E-01 6,000E-01 7,000E-01 8,000E-01 9,000E-01 1,000E+00 1,500E+00 2,000E+00 2,500E+00 3,000E+00 3,500E+00 4,000E+00 4,500E+00 5,000E+00 5,500E+00 6,000E+00 6,500E+00 7,000E+00 7,500E+00 8,000E+00 8,500E+00 9,000E+00 1,000E+01 1,500E+01 2,000E+01 2,500E+01 3,000E+01 3,500E+01 4,000E+01 4,500E+01 5,000E+01
po /p 1,007E+00 1,028E+00 1,064E+00 1,117E+00 1,186E+00 1,276E+00 1,387E+00 1,524E+00 1,691E+00 1,893E+00 3,671E+00 7,824E+00 1,709E+01 3,673E+01 7,627E+01 1,518E+02 2,894E+02 5,291E+02 9,304E+02 1,579E+03 2,594E+03 4,140E+03 6,434E+03 9,763E+03 1,450E+04 2,110E+04 4,244E+04 6,602E+05 4,783E+06 2,245E+07 7,978E+07 2,335E+08 5,926E+08 1,348E+09 2,815E+09
ρo /ρ 1,005E+00 1,020E+00 1,046E+00 1,082E+00 1,130E+00 1,190E+00 1,263E+00 1,351E+00 1,456E+00 1,577E+00 2,532E+00 4,347E+00 7,594E+00 1,312E+01 2,211E+01 3,615E+01 5,731E+01 8,818E+01 1,320E+02 1,925E+02 2,745E+02 3,833E+02 5,252E+02 7,075E+02 9,383E+02 1,227E+03 2,021E+03 1,435E+04 5,905E+04 1,782E+05 4,408E+05 9,492E+05 1,846E+06 3,321E+06 5,618E+06
To /T 1,002E+00 1,008E+00 1,018E+00 1,032E+00 1,050E+00 1,072E+00 1,098E+00 1,128E+00 1,162E+00 1,200E+00 1,450E+00 1,800E+00 2,250E+00 2,800E+00 3,450E+00 4,200E+00 5,050E+00 6,000E+00 7,050E+00 8,200E+00 9,450E+00 1,080E+01 1,225E+01 1,380E+01 1,545E+01 1,720E+01 2,100E+01 4,600E+01 8,100E+01 1,260E+02 1,810E+02 2,460E+02 3,210E+02 4,060E+02 5,010E+02
A/A∗ 5,822E+00 2,964E+00 2,035E+00 1,590E+00 1,340E+00 1,188E+00 1,094E+00 1,038E+00 1,009E+00 1,000E+00 1,176E+00 1,688E+00 2,637E+00 4,235E+00 6,790E+00 1,072E+01 1,656E+01 2,500E+01 3,687E+01 5,318E+01 7,513E+01 1,041E+02 1,418E+02 1,901E+02 2,511E+02 3,272E+02 5,359E+02 3,755E+03 1,538E+04 4,631E+04 1,144E+05 2,461E+05 4,785E+05 8,606E+05 1,455E+06
Tabla 10.1: Valores de la presi´on, densidad, temperatura y a´rea cr´ıtica como funci´on del n´ umero de Mach y de las variables de remanso.
Cap´ıtulo 11
Ondas lineales en fluidos 11.1.
Ondas sonoras. Introducci´ on
La aproximaci´ on lineal de las ecuaciones de Euler es adecuada para describir, entre otros movimientos fluidos, las ondas sonoras, es decir, la propagaci´ on de peque˜ nas perturbaciones de las magnitudes fluidas en el seno de un fluido compresible. En efecto, constituye una experiencia cotidiana el hecho de que una fuente de sonido (por ejemplo, las cuerdas vocales, un s´ olido en vibraci´on, o la membrana de un tambor o la de un altavoz) origina en un fluido inicialmente en reposo y uniforme, perturbaciones locales de presi´on, densidad y velocidad que se propagan en el fluido y pueden registrarse como sonido en un receptor adecuado situado lejos de la fuente sonora (el t´ımpano, un micr´ ofono, etc.). Adem´as, dicha propagaci´ on no tiene lugar de forma instant´ anea, sino con una cierta velocidad que depende de la compresibilidad del fluido y que se denomina velocidad del sonido; para el aire en condiciones normales la velocidad del sonido es de 340 m/s, y para el agua es 1.500 m/s aproximadamente; tambi´en se observa experimentalmente que las perturbaciones sonoras experimentan variaciones acusadas tanto en el tiempo como en el espacio. En efecto, el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las perturbaciones en un punto fijo del dominio fluido, t0 , puede definirse en t´erminos de una frecuencia caracter´ıstica de la onda sonora, ωo , como to = 2π/ωo ; las frecuencias t´ıpicas para las ondas sonoras audibles est´an comprendidas en el intervalo de 20 Hz a 20.000 Hz, siendo el o´ıdo humano m´ as sensible a sonidos con frecuencias comprendidas entre 1.000 Hz y 5.000 Hz. Si la velocidad de propagaci´ on del sonido se denota por ao , se deduce f´acilmente que la distancia caracter´ıstica recorrida por las perturbaciones en un intervalo de tiempo de duraci´ on to es λo = ao to = 2πao /ωo ; dicha distancia se denomina longitud de onda caracter´ıstica de la onda sonora, y se puede ver f´ acilmente que es el orden de magnitud de la distancia en que se producen variaciones espaciales apreciables de las perturbaciones sonoras en una onda de frecuencia t´ıpica ωo . Por otra parte, para que un sonido pueda ser detectado no basta que su frecuencia est´e dentro del rango apropiado sino que, adem´ as, debe ser lo suficientemente intenso como para provocar la respuesta del receptor. Esto requiere un valor m´ınimo de la magnitud de las perturbaciones sonoras denominado umbral de sonido. Para el o´ıdo humano, el umbral de sonido corresponde a perturbaciones de presi´on y velocidad, p y u , del orden de (p /po ) ∼ (u /ao ) ∼ 10−10 1, donde po y ao son la presi´on y la velocidad de propagaci´ on del sonido en el medio no perturbado; perturbaciones tales que p /po ∼ u /ao ∼ 10−3 1 corresponden al umbral de dolor.1 Estas 1
En el caso del agua las perturbaciones relativas de presi´ on son mucho mayores que las de velocidad, puesto que
ρ a2
103 ×(1,5)2 106 u ao 105
se tiene que pp ∼ op o au ∼ o o o obtendr´ a en una secci´ on posterior.
∼ 104
u , ao
donde se ha hecho uso del resultado p ∼ ρo ao u que se
231
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
232
cifras muestran la peque˜ nez de las perturbaciones introducidas por las ondas sonoras, por lo que pueden despreciarse sus productos en las ecuaciones que describen el campo sonoro y ´estas resultan lineales. Otra importante consecuencia derivada de los valores caracter´ısticos de los tiempos y longitudes de variaci´ on en las ondas sonoras es que el proceso de propagaci´on de ´estas es un proceso isentr´opico puesto que, como se demostrar´a seguidamente, los efectos de las fuerzas de viscosidad, los de la conducci´ on de calor y los de la disipaci´ on viscosa son despreciables frente a los t´erminos de variaci´ on local en sus respectivas ecuaciones, es decir,2 =, = ∂u ∂e ∂e ρ ∇· τ , ρ (11.1) ∇ · (K∇T ), ρ τ : ∇u. ∂t ∂t ∂t La u ´ltima desigualdad en (11.1) se comprueba inmediatamente por ser el t´ermino de disipaci´on viscosa cuadr´aticamente peque˜ no en las perturbaciones. Las otras dos condiciones en (11.1) se verifican si se cumplen ν ωo ν ∼ 2 1, ωo λ2o ao
ν 1 νω 1 ∼ 2 1 ωo λ2o P r ao P r
(11.2)
umero de Prandtl. Para los gases P r = 0(1) y las dos condiciones de (11.2) donde P r = µcp /K es el n´ son equivalentes; as´ı, para el aire atmosf´erico a 20 o C, ν 1,5×10−5 m/s, ao 340 m/s, y tomando el caso m´as desfavorable de una frecuencia t´ıpica de 20.000 Hz se tiene νωo /a20 ∼ 2,5 × 10−6 , por lo que est´a plenamente justificado el considerar isentr´ opica la propagaci´ on del sonido en el aire y, por extensi´on, en cualquier gas en condiciones normales. Para l´ıquidos con un n´ umero de Prandtl de orden unidad o mayor, el cumplimiento de la primera condici´ on en (11.2) asegura el cumplimiento de la segunda; as´ı, para el caso del agua ν 10−6 m2 /s, P r = 8 y ao =1.500 m/s, se tiene, (ων/a2o ) ∼ 9 × 10−9 para una frecuencia de 20.000 Hz, con lo que la hip´ otesis isentr´opica est´a a´ un m´as justificada que para el caso de gases. Sin embargo, fluidos de muy alta conductividad t´ermica tales como l´ıquidos met´alicos o plasmas poseen P r 1 y la segunda condici´ on (11.2) podr´ıa no cumplirse para frecuencias elevadas, lo que exigir´ıa incluir el t´ermino de conducci´on de calor en las ecuaciones de propagaci´on de las ondas sonoras. Bajo las condiciones (11.2), las ecuaciones que gobiernan el campo fluido son las ecuaciones de Euler que, en ausencia de fuerzas m´asicas y de aportes volum´etricos de calor, se escriben en la forma 1 Dρ + ∇ · u = 0, (11.3) ρ Dt ρ
Du + ∇p = 0, Dt
(11.4)
DS = 0. Dt
(11.5)
Se supondr´ a al fluido inicialmente en reposo y uniforme, por lo que la entrop´ıa inicial es la misma para todas las part´ıculas fluidas y, de acuerdo con (11.5), estas conservan su valor, So , en el movimiento. La ecuaci´on de estado S(p, ρ) = So implica entonces que el movimiento es bar´otropo, p = p(ρ), y las variaciones de presi´on y densidad satisfacen ∂p ∂ p ∂ p =γ , (11.6) = ∂ρ ∂ ρ S ∂ ρ T 2
Los t´ erminos convectivos no se consideran por ser cuadr´ aticamente peque˜ nos.
233
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
1/2 donde γ = cp /cv es la relaci´on de calores espec´ıficos; se ver´a seguidamente que a = [(∂p/∂ρ) S] es la velocidad de propagaci´on de las ondas sonoras en el medio. Para un gas perfecto a = γRg T y, puesto que γ = 7/5 para un gas diat´ omico (aire), este valor difiere apreciablemente de la velocidad de propagaci´ on isoterma, [(∂p/∂ρ)T ]1/2 = Rg T , dada por Newton . La discrepancia entre ambos valores fue explicada por Laplace (1816) en base a que las expansiones y compresiones de los elementos fluidos que tienen lugar en la propagaci´ on de una onda sonora son tan r´ apidas que, debido a la segunda condici´ on (11.2), un elemento no dispone de tiempo suficiente en un periodo de oscilaci´on para intercambiar una cantidad apreciable de calor con el exterior e igualar su temperatura con la del medio que lo rodea (lo que ocurrir´ıa si dichas expansiones y contracciones fuesen muy lentas). Naturalmente estas consideraciones tambi´en se aplican al caso de l´ıquidos, pero en la pr´actica las velocidades de propagaci´on isoterma e isentr´opica coinciden en este caso al ser la entrop´ıa funci´ on u ´nicamente de la temperatura (γ = 1 para un l´ıquido ideal). Para obtener las ecuaciones que gobiernan el campo sonoro las variables fluidas se expresan en (11.3)-(11.5) de la forma p = po + p , ρ = ρo + ρ , u = u , (11.7)
donde po y ρo son la presi´on y la densidad del medio sin perturbar y p , ρ y u representan las perturbaciones ac´ usticas respecto de dicho estado, y se linealizan las ecuaciones teniendo en cuenta que p po y ρ ρo . Para un medio no perturbado homog´eneo y en reposo se obtiene el sistema lineal de ecuaciones en derivadas parciales ∂ρ + ρo ∇ · u = 0, ∂t ρo
∂u + ∇p = 0, ∂t p = a2o ρ ,
(11.8) (11.9) (11.10)
donde (11.10) se ha obtenido desarrollando en serie de Taylor la ecuaci´ on de estado isentr´ opica p = p(ρ, So ) hasta t´erminos de primer orden en las perturbaciones, ∂ p (ρ − ρo ). (11.11) p − po = ∂ ρ S Las ecuaciones (11.8)-(11.10) ponen de manifiesto el papel esencial de la compresibilidad del fluido en la propagaci´ on de las perturbaciones sonoras. En efecto, consid´erese un elemento de volumen fijo en el dominio fluido y, para fijar ideas, sup´ ongase que en un cierto instante ∇ · u < 0: entonces (11.8) indica que se est´a acumulando fluido en dicho elemento a la vez que, de acuerdo con (11.10), aumenta la presi´on en el mismo. De esta forma se origina un gradiente de presiones que, seg´ un (11.9), frena el fluido entrante en el elemento y, posteriormente, lo impulsa hacia los elementos adyacentes, propag´andose as´ı la perturbaci´ on en el medio. Obs´ervese que si se elimina u de (11.8) y (11.9) y se hace uso de (11.10) se obtienen las ecuaciones ∂ 2 ρ − a2o ∇2 ρ = 0, (11.12) ∂ t2 y ∂ 2 p − a2o ∇2 p = 0; (11.13) ∂ t2 de igual manera, eliminando ρ y p , se obtiene ∂ 2 u − a2o ∇2 u = 0. ∂ t2
(11.14)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
234
Las ecuaciones (11.12)-(11.14) muestran que las perturbaciones ac´ usticas en un medio en reposo y uniforme satisfacen la bien conocida ecuaci´ on de las ondas. Como se ver´a m´as adelante dicha ecuaci´on admite soluciones que representan ondas propag´ andose con una velocidad ao que es, por tanto, la velocidad de propagaci´ on de las peque˜ nas perturbaciones en el medio. En lugar de calcular ρ , p y u mediante (11.12)-(11.14) resulta en muchas circunstancias m´as u ´til operar con el potencial de velocidades, que reduce el problema a una sola inc´ ognita a partir de la que se pueden obtener las restantes mediante derivaci´on. En efecto, como el movimiento es isentr´opico, sin fuerzas m´asicas e inicialmente irrotacional (estado de reposo), ser´a irrotacional en todo instante y existe, por tanto, un potencial de velocidades φ tal que u = ∇ φ.
(11.15)
Sustituyendo (11.15) en (11.9) se obtiene la ecuaci´ on ρo ∇
∂φ + ∇ p = 0, ∂t
(11.16)
cuya integraci´ on proporciona ∂φ , (11.17) ∂t donde se ha tomado como nula la constante de integraci´ on, que puede depender del tiempo, puesto que en ac´ ustica carecen de inter´es las situaciones en que puedan tenerse simult´aneamente perturbaciones de presi´on [o de densidad, v´ease (11.10)] variables con el tiempo y perturbaciones de velocidad estacionarias (∂φ/∂t = 0) [que, por otra parte, violar´ıan, en general, la ecuaci´on de continuidad (11.8)]. Haciendo uso de (11.10) se obtiene tambi´en la relaci´on p = −ρo
ρ = −
ρo ∂ φ . a2o ∂ t
(11.18)
Finalmente, sustituyendo (11.15) en (11.14) se obtiene la ecuaci´on de ondas para φ: ∂2 φ − a2o ∇2 φ = 0. ∂ t2
11.1.1.
(11.19)
Ecuaci´ on de la energ´ıa para el campo sonoro
Si se multiplica (11.9) escalarmente por u se obtiene, la ecuaci´on ∂(ρo u /2) = −u · ∇ p , ∂t 2
(11.20)
que expresa que la variaci´ on por unidad de tiempo de la energ´ıa cin´etica ac´ ustica contenida en la unidad de volumen es igual a la potencia mec´ anica realizada sobre ella por la fuerza resultante de las perturbaciones de presi´on. Por otra parte, la ecuaci´ on de la energ´ıa interna (5.22) en ausencia de efectos disipativos y de conducci´on y adici´ on de calor se escribe ∂(ρ e) + ∇ · (ρ e u ) = −p ∇ · u = −(po + p )∇ · u . ∂t
(11.21)
La ecuaci´on de estado para la energ´ıa interna se puede expresar de la forma e = e(ρ, So ), donde So es la entrop´ıa en el campo sonoro, y la funci´ on ρe, que s´olo depende de ρ , se puede desarrollar en serie de Taylor; hasta t´erminos de segundo orden en las perturbaciones se tiene 1 2 ∂ 2 (ρ e) ∂(ρ e) ρ ρ e = ρo eo + ρ + , (11.22) ∂ ρ o 2 ∂ ρ 2 o
235
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
donde las derivadas est´an tomadas a entrop´ıa constante y evaluadas en el estado sin perturbar; dichas derivadas pueden calcularse f´ acilmente de la relaci´on termodin´ amica de = T dS + p/ρ2 dρ; esto es, ρ de = (p/ρ)dρ. Si a los dos miembros de la u ´ltima relaci´on se le suma e dρ se tiene ∂(ρe) p p dρ y (11.23) d(ρ e) = e + = e + = h. ρ ∂ρ S ρ Derivando una vez m´as y teniendo en cuenta la relaci´on dh = dp/ρ = a2 dρ/ρ, v´alida para un proceso isentr´opico, se obtiene ∂ 2 (ρ e) ∂ h ∂ h ∂ p 1 (11.24) = = = a2 . ∂ ρ2 S ∂ ρ S ∂ p S ∂ ρ S ρ Haciendo uso de (11.22) y (11.23) en (11.21) se obtiene la energ´ıa interna en la unidad de volumen de fluido expresada hasta t´erminos cuadr´aticos en las perturbaciones a2o 2 ρ , 2ρo
(11.25)
∂ 2 2 (a ρ /2 ρo ) = −p ∇ · u . ∂t o
(11.26)
ρ e = ρo eo + ho ρ + que sustituida en (11.21) proporciona
donde se ha tenido en cuenta la relaci´on ho [∂ ρ /∂ t + ∇ · (ρ + ρo )u ] = 0 que se deduce inmediatamente de (11.22). El t´ermino a2o ρ2 /2 ρo = p2 /(2ρo a2o ) en (11.26) representa, por tanto, la energ´ıa interna almacenada en la unidad de volumen de fluido debida al trabajo de compresi´ on de las fluctuaciones de presi´on. Sumando (11.20) y (11.26) se obtiene finalmente la ecuaci´ on de conservaci´on de la energ´ıa ac´ ustica 1 p2 ∂ 1 2 + ∇ · (p u ) = 0, ρo u + (11.27) ∂t 2 2 ρo a2o que expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa ac´ ustica, cin´etica m´as interna, contenida en la unidad de volumen es igual a la potencia total comunicada por las fluctuaciones de presi´on a la unidad de volumen. El vector I = p u ,
(11.28)
es, por tanto, el vector flujo de energ´ıa ac´ ustica, o vector intensidad ac´ ustica. Su proyecci´ on seg´ un un vector unitario n, In = p u · n = p un , (11.29) se denomina intensidad ac´ ustica, y es la cantidad de energ´ıa ac´ ustica que en la unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie de orientaci´ on n. Para las frecuencias t´ıpicas de las ondas sonoras la intensidad ac´ ustica es una funci´on altamente variable con el tiempo, de manera que los receptores de sonido, debido a su limitaci´ on inherente en el tiempo de respuesta a las se˜ nales ac´ usticas, no reaccionan al valor instant´ aneo de la intensidad ac´ ustica, sino a su valor medio durante un periodo de tiempo largo comparado con el tiempo caracter´ıstico de las vibraciones sonoras. Por tanto, es conveniente definir la intensidad ac´ ustica media como t+To 1 I n (x, t) = In (x, tˆ) d tˆ, (11.30) 2To t−To
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
236
donde el tiempo de promediado, 2To , debe ser largo comparado con el periodo caracter´ıstico de las ondas sonoras, 2π/ωo , pero a su vez corto comparado con el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de la integral (11.30); si I n es independiente del tiempo el campo sonoro se dice estacionario en media o, tambi´en, estad´ısticamente estacionario. Adem´as, en el caso particular de que las perturbaciones ac´ usticas var´ıen con el tiempo de forma arm´onica con una u ´nica frecuencia ω (oscilaciones monocr´omaticas), el tiempo de promediado en (11.30) puede tomarse igual a un periodo de oscilaci´on, 2π/ω. Los valores caracter´ısticos de la intensidad ac´ ustica media var´ıan dentro de un rango muy amplio; por ejemplo, para el o´ıdo humano y para una frecuencia t´ıpica de 5.000 Hz el umbral de sonido corresponde a I n ∼ 10−12 W/m2 mientras que el umbral del dolor corresponde a I n ∼ 103 W/m2 . Como los valores de la intensidad ac´ ustica est´an comprendidos dentro de un rango de quince ordenes de magnitud es conveniente emplear una escala logar´ıtmica y expresar el valor de I n en decibelios de modo que IDB = 10 log10
I n (W/m2 ) . 10−12 W/m2
(11.31)
Como ejemplos ilustrativos baste decir que a una distancia t´ıpica de 1 m un susurro corresponde a un valor t´ıpico de la intensidad ac´ ustica IDB ∼ 20, un grito a IDB ∼ 70, y el umbral de dolor corresponde a IDB ∼ 150.
11.1.2.
Ondas planas
En esta secci´on se analizar´a el campo sonoro en el caso m´as simple de que su distribuci´on espacial s´olo dependa de una coordenada, por ejemplo la coordenada x. En este caso las perturbaciones ac´ usticas ser´an uniformes en cada plano x = const. : p = p (x, t), u = u (x, t)ex y φ = φ(x, t), y la ecuaci´on (11.19) se reduce a 2 ∂2 φ 2 ∂ φ − a = 0. (11.32) o ∂ t2 ∂ x2 La resoluci´on de (11.32), debida primero a D’Alembert en 1747, es bien conocida de los cursos b´ asicos de ecuaciones diferenciales. Para encontrar la soluci´on conviene introducir como nuevas variables ξ = x − ao t y η = x + ao t en las que dicha ecuaci´on se reduce a ∂ 2 φ/∂ ξ ∂ η = 0. Integrando con respecto a ξ se obtiene ∂ φ/∂ η = G (η) siendo G una funci´ on arbitraria de η, y si η se integra ahora con respecto η se obtiene φ = F (ξ) + G(η) donde F y G = G dη son funciones arbitrarias de sus argumentos. Por tanto, la soluci´ on general de (11.32) es φ = F (x − ao t) + G(x + ao t),
(11.33)
y las perturbaciones de presi´on y densidad se determinan a partir (11.15)-(11.16) como ∂φ ex = [F1 (x − ao t) + G1 (x + ao t)] ex , ∂x
(11.34)
1 ∂φ p ρ =− = F1 (x − ao t) − G1 (x + ao t) = ao , ρ o ao ao ∂t ρo
(11.35)
u = u ex =
donde se han denotado F1 ≡ ∂ F/∂ x = −∂ F/∂(ao t) y G1 ≡ ∂ G/∂ x = ∂ G/∂(ao t). El significado f´ısico de estas soluciones es simple; sup´ongase por ejemplo que G ≡ 0 ≡ G1 , de modo que u = F (x−ao t) = p /ρo ao = ao ρ /ρo . Las perturbaciones var´ıan, por tanto, en el espacio y en el tiempo de tal forma que permanecen constantes para un observador que se mueva siguiendo cualquier trayectoria x − ao t = const. Por tanto, si en alg´ un instante to las perturbaciones poseen un cierto valor en el plano x = xo , dichos valores se encontrar´an en un instante t > to en la posici´on x = xo + ao (t − to ). De esta forma las magnitudes fluidas se propagan a trav´es del medio en
237
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
la direcci´on x con la velocidad del sonido ao . Las funciones F y F1 representan, por tanto, una onda plana viajera propag´ andose en la direcci´on positiva del eje x. Es evidente que las funciones G(x + ao t) y G1 (x + ao t) representan una onda que se propaga en la direcci´ on opuesta. De acuerdo con (11.34)-(11.35), para una onda que se propaga hacia la derecha (G = G1 = 0) se tiene ρ p u , = = ao ρo ρo a2o
(11.36)
y para una onda que se propaga hacia la izquierda (F = F1 = 0) se verifica ρ p u =− =− . ao ρo ρo a2o
(11.37)
Las funciones F1 y G1 se determinan a partir de las condiciones iniciales y de contorno; por ejemplo, si se perturba a un fluido inicialmente en reposo (u = 0) mediante un ligero incremento local de la presi´on dado por p = ρo ao f (x) siendo f (x) una funci´ on conocida (v´ease el esquema de la Figura 11.1), F1 y G1 se determinan imponiendo las ecuaciones (11.34) y (11.35) en t = 0, 0 = F1 (x) + G1 (x),
f (x) = F1 (x) − G1 (x),
(11.38)
lo que proporciona F1 (x) = −G1 (x) = f (x)/2.
(11.39)
Por tanto, la soluci´ on del problema es 1 p 1 ρ ao = f (x − ao t) + f (x + ao t) = , ρo ao 2 2 ρo
(11.40)
1 1 (11.41) f (x − ao t) − f (x + ao t). 2 2 La ecuaci´on (11.40) indica que la perturbaci´ on de presi´on inicial se divide posteriormente en dos partes, cada una de magnitud igual a la mitad de la perturbaci´ on inicial, que viajan con velocidad ao en sentidos opuestos como se muestra en la Figura 11.1. u =
x
t=0
t1
x+a0t = const.
t
x-a0t = const.
t2 t3
Figura 11.1: Propagaci´ on de un pulso de presi´ on a trav´es de un fluido. Otro ejemplo de propagaci´ on sonora unidimensional lo constituye el movimiento de un gas dentro de un cilindro muy largo (infinito) generado por un pist´ on que desliza en su interior con
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
238
una velocidad muy peque˜ na frente a la del sonido, de manera que las perturbaciones que introduce en el gas son peque˜ nas; en efecto, si upo es la velocidad caracter´ıstica del pist´on las variaciones de presi´ on generadas son del orden p = p − po ∼ ρo u2 po ∼ po u2 po /a2o po . Si xp (t) define la posici´on del pist´on respecto del origen de coordenadas, la velocidad del gas en contacto con el pist´on debe ser u = x˙ p (t) . Se supondr´ a que no existen perturbaciones propag´ andose desde el infinito hacia el pist´ on, por lo que en la zona x > xp (t) se tiene s´olo una onda (la generada por el movimiento del pist´ on) propag´ andose hacia la derecha, u = F1 (x − ao t) = p /ρo ao ,
(11.42)
mientras que para x < xp (t) se tiene una onda viajera hacia la izquierda, u = G1 (x + ao t) = −
p . ρo ao
(11.43)
La condici´on de contorno u = x˙ p (t) en x = xp (t) determina F1 y G1 ; en efecto, se tiene F1 [xp (t) − ao t] = x˙ p (t),
(11.44)
y si se define s ≡ −ao t resulta la relaci´on F1 (s) x˙ p (−s/ao ),
(11.45)
donde se ha hecho uso de la hip´ otesis |x˙ p | ao [xp (t) ao t]. Se obtiene entonces la soluci´on para el campo sonoro u = p /ρo ao = ρ ao /ρo = x˙ p (t − x/ao ), (11.46) que constituye una onda que se propaga hacia x > 0. An´alogamente para x < 0 se obtiene una onda propag´ andose hacia la izquierda u = x˙ p (t + x/ao ) = −p /ρo ao = −ρ ao /ρo .
(11.47)
En el caso particular en que el pist´ on oscile arm´onicamente con frecuencia ω, xp (t) = A sen ωt con A ω ao , la onda que se propaga hacia la derecha est´ a dada por u =
ρ ao p = = A ω cos[ω(t − x/ao )], ρo a o ρo
(11.48)
con una expresi´on similar para la onda que se propaga hacia la izquierda. Tales ondas, denominadas ondas planas monocrom´ aticas, ser´an objeto de un estudio m´ as detallado en la siguiente secci´on. Finalmente, n´otese que si en el ejemplo anterior el cilindro que contiene el gas no fuese infinito, sino uno semi-infinito limitado en un extremo por una pared s´ olida, habr´ıa que tener en cuenta tanto la onda emitida por el pist´ on como la reflejada por la pared (el eco) en el recinto comprendido entre ambos. Para determinar el campo sonoro en este caso deben considerarse los dos tipos de ondas (hacia la derecha y hacia la izquierda) en la soluci´ on general (11.33) e imponerse las condiciones de contorno apropiadas en el cilindro y en la pared; un ejemplo de esta situaci´ on se analizar´a en la secci´on 11.1.4.
11.1.3.
Ondas monocrom´ aticas
El potencial ac´ ustico puede expresarse siempre mediante el teorema integral de Fourier de la forma 1 ∞ dω e−iωt Φω (x). φ(x, t) = (11.49) 2 −∞
239
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
Como φ(x, t) es real, las amplitudes complejas Φω satisfacen la condici´on Φ∗ ω (x) = Φ−ω (x), donde los s´ımbolos con asterisco significan los complejos conjugados. Por tanto, la ecuaci´on (11.49) puede escribirse tambi´en de la forma ∞ φ(x, t) = dω [Φω (x)e−iωt ], (11.50) o
donde el s´ımbolo denota la parte real de la funci´ on.3 Por tanto, toda soluci´ on de la ecuaci´on de ondas (11.19) puede obtenerse como una superposici´on de ondas monocrom´aticas de la forma φω (x, t) = Φω (x) e−iωt ,
(11.51)
donde Φω (x) satisface la ecuaci´on de Helmholtz, ∇2 Φω +
ω2 Φω = 0, a2o
(11.52)
que se obtiene al sustituir (11.49) en (11.19) e igualar a cero el integrando. Obs´ervese que, debido a que el problema es lineal, puede omitirse en (11.50) el signo y retener la notaci´on compleja en los c´alculos, sobrentendi´endose que el significado f´ısico est´a asociado a la parte real de dicha expresi´on. De acuerdo con (11.15) y (11.17)-(11.18) las perturbaciones de velocidad, presi´ on y densidad para una onda monocrom´ atica son (en forma compleja) u ω = e−iωt ∇ Φω (x),
(11.53)
pω = ρo iω e−iωt Φω (x) = a2o ρω .
(11.54)
De acuerdo con (11.53) y (11.54) el vector intensidad ac´ ustica est´a dado por I = p u =
1 2 1 1 1 ∗ ∗ (pω + pω )(uω + u ω ) = ρo ω (Φ∗ω ∇Φω ) + ρo ω e2iωt Φ∗ω ∇Φ∗ω , 4 2 2
(11.55)
donde el s´ımbolo denota la parte imaginaria de una funci´ on; la intensidad ac´ ustica media a traves de una superficie de orientaci´ on n puede obtenerse a partir de (11.55) promediando la intensidad ac´ ustica sobre un periodo de oscilaci´on I n (x) =
ω 2π
2π/ω
I · ndt = o
1 ρo ω (Φ∗ω n · ∇Φω ), 2
(11.56)
que coincide con el t´ermino del segundo miembro de (11.55) que es independiente del tiempo. En lo que sigue siempre se har´a referencia a una frecuencia determinada, por lo que se prescindir´ a del sub´ındice ω . Obs´ervese que la ecuaci´on de Helmholtz (11.52) admite soluciones particulares de la forma Φ(x) = A eik·x ,
(11.57)
para cualquier amplitud constante A y para cualquier vector k con componentes tambi´en constantes y, en general, complejas que satisfagan la relaci´on k · k = kx2 + ky2 + kz2 =
ω2 . a2o
(11.58)
3 Para abreviar notaci´ on, y como es usual en la literatura, en lo que sigue se usar´ a frecuentemente un sub´ındice para indicar la dependencia de una funci´ on con respecto a las variables de integraci´ on en una integral de Fourier; as´ı, Φω (x) ≡ Φ(ω, x).
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
240
El vector k se denomina vector de onda y la ecuaci´on (11.58), que relaciona el vector de onda y la frecuencia, se denomina relaci´ on de dispersi´ on; esta u ´ltima se obtiene introduciendo (11.57) en (11.52). Si se separan las partes real e imaginaria de las componentes del vector de onda, ´este puede escribirse como k = kR + i kI , donde los vectores reales kR y kI satisfacen las relaciones |kR |2 − |kI |2 =
ω2 , a2o
kR · kI = 0,
(11.59)
que se obtienen de (11.58). Las soluciones del tipo (11.57) dan lugar a un potencial de velocidades de la forma φ = A ei(k·x−ωt) = A e−kI ·x ei(kR ·x−ωt) ,
(11.60)
que representa una onda monocrom´ atica plana que se propaga en la direcci´ on del vector kR y cuya amplitud decrece exponencialmente en la direcci´on del vector kI ; la funci´ on α ≡ kR · x − ωt se denomina fase de la onda monocrom´atica. Obs´ervese en (11.59) que si kI = 0 los vectores kR y kI son ortogonales y, por tanto, las superficies de amplitud constante (planos kI · x = const) y las de fase constante (planos kR · x = const) no coinciden; en este caso la onda se denomina inhomog´enea. Por otra parte, la onda se dice homog´enea si kI = 0, y en este caso el vector de onda k = kR puede escribirse de la forma ω ω n = (ex cos α + ey cos β + ez cos γ), (11.61) k= ao ao donde n es el vector unitario en la direcci´on de propagaci´ on de la onda. Para una onda plana monocrom´atica, la intensidad ac´ ustica media a trav´es de una superficie de normal n se obtiene directamente de (11.56) haciendo Φω = A eik·x lo que proporciona In =
ρo ω 2 −2kI ·x kR · n. |A| e 2
(11.62)
Obs´ervese que si n es paralelo a kI se tiene kR · n = 0 , de acuerdo con la segunda de las relaciones (11.59), por lo que una onda plana inhomog´enea no transporta, en media, energ´ıa en la direcci´on de la parte imaginaria del vector de onda.
11.1.4.
Reflexi´ on y transmisi´ on de ondas sonoras
Si una onda ac´ ustica incide sobre la superficie de separaci´on de dos medios en contacto se generan dos ondas, una reflejada y otra transmitida, de forma que el campo sonoro resultante en ambos medios verifique las condiciones de contorno impuestas por la superficie. Para analizar dicho fen´ omeno consid´erese la situaci´on simple mostrada en la Figura 11.2, en la que una onda monocrom´atica plana se propaga en un fluido de densidad ρo y velocidad del sonido ao e incide sobre la superficie (representada por el plano x=0) que lo separa de otro fluido de densidad ρ1 y velocidad del sonido a1 ; la onda incidente forma un a´ngulo θe con la direcci´on del eje x (v´ease la Figura 11.2). Dicha onda est´a dada por una expresi´ on de la forma e
e
φe = Ae ei(kx x+ky y−ωt) , donde kxe =
ω cos θe , ao
kye =
π ω ω cos sen θe − θe = ao 2 ao
(11.63)
(11.64)
son las componentes del vector de onda y Ae su amplitud. Para las ondas reflejada, φr , y transmitida, φt , se suponen expresiones an´alogas a (11.63), y sus amplitudes y vectores de onda se
241
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
qe
qr
r0 , a0 r1 , a1
x
qt
Figura 11.2: Reflexi´on y transmisi´on de una onda sonora.
determinan de manera que φo = φe + φr y φ1 = φr sean ambas soluciones de la ecuaci´on de Helmholtz en sus respectivos medios y satisfagan las condiciones de contorno apropiadas en x = 0. En efecto, la continuidad de presiones [−ρo (∂φo /∂t) = −ρ1 (∂φ1 /∂t)] y de velocidades normales en x = 0 [(∂φo /∂x) = (∂φ1 /∂x)]requiere e
r
t
i ω ρo Ae ei(ky y−ωt) + i ω ρo Ar ei(ky y−ωt) = i ω ρ1 At ei(ky y−ωt) , e
r
t
i kxe Ae ei(ky y−ωt) + i kxr Ar ei(ky y−ωt) = i kxt At ei(ky y−ωt) ,
(11.65) (11.66)
y las ecuaciones (11.65)-(11.66) junto con la relaci´on de dispersi´on (11.58) exigen que las componentes de los vectores de onda satisfagan las relaciones kyr = kye = kyt =
ω sen θe , ao
(11.67)
kxr
ω ω2 − kye 2 = − cos θe = −kxe , 2 ao ao ω2 ω2 t − 2 sen2 θe , kx = ± 2 a1 ao
=−
(11.68)
(11.69)
donde la elecci´on del signo para kxt se discutir´a m´as abajo. Las amplitudes de las ondas transmitida y reflejada en funci´ on de la amplitud de la onda incidente se obtienen al resolver (11.65)-(11.66), que proporciona 2ρo kxe ρ1 kxe − ρo kxt A , Ae . (11.70) At = A = e r ρ1 kxe + ρo kxt ρ1 kxe + ρo kxt Es f´acil comprobar que se verifica la ecuaci´on, ρo ω ρ1 ω ρo ω |Ae |2 kxe = |Ar |2 kxe + (kxt )|At |2 , 2 2 2
(11.71)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
242
que, de acuerdo con 11.62, expresa que la intensidad ac´ ustica incidente en la direcci´on x es igual a la suma de la reflejada m´as la transmitida en dicha direcci´ on; para ver esto, basta comparar los distintos t´erminos en (11.71) con (11.62 teniendo en cuenta que ke · ex = kxe , kr · (−ex ) = −kxr = kxe y (kt ) · ex = (kxt ). De las relaciones (11.67)-(11.68) se deduce que la onda reflejada, φr = Ar ei[ω(−x sen θe +y cos θe )/ao −ωt] ,
(11.72)
es una onda homog´enea que se propaga en la direcci´on que forma un a´ngulo θr = θe con el eje x y satisface, por tanto, la ley de Snell. Asimismo se observa en (11.69) que si a1 < ao , o bien sen θe ≤ ao /a1 , el valor de kxt es real y la onda transmitida es tambi´en una onda homog´enea que se propaga en una direcci´on que forma un a´ngulo con el eje x determinado por (11.67) y (11.69), θt = arc sen[(a1 /ao ) sen θe ] (v´ease Figura 11.2), y su expresi´on es φt = At ei[ω(x cos θt +y sen θt )/a1 −ωt] ,
(11.73)
donde, naturalmente, se ha tomado el signo positivo para kxt en (11.69) para que la onda transmitida se propague en el medio 1 desde la superficie hasta el infinito (se supone que no hay ondas que viajan desde el infinito hasta la superficie en dicho medio). Sin embargo, si a1 > ao y el ´angulo de incidencia es tal que sen θe > ao /a1 , entonces kxt es imaginario puro y la onda transmitida es inhomog´enea, propag´andose en la direcci´on y con una amplitud que decrece exponencialmente en la direcci´on x 2 2 2 2 2 1/2 (11.74) φt = At e−x[(ω /ao ) sen θe −ω /a1 ] ei[(ω/a1 ) y sen θe −ωt] , donde se ha tomado el signo positivo en (11.62) para que la amplitud de la onda sea decreciente en la direcci´on x > 0. Obs´ervese que por ser (kxt ) = 0 la intensidad media transmitida es nula. Para el caso de una incidencia normal, cos θe = 1, las ecuaciones (11.67)-(11.69) proporcionan los valores kyr = kyt = 0, kxr = −ω/ao = −kxe y kxt = ω/a1 , que sustituidos en (11.70) suministran las relaciones 2ρo /ρ1 ρ1 a1 /ρo ao − 1 At = Ae , Ar = (11.75) Ae , 1 + ρo ao /ρ1 a1 ρ1 a1 /ρo ao + 1 as´ı como la relaci´on entre las intensidades ac´ usticas transmitida e incidente 4 ρo ao /ρ1 a1 ρ1 |At |2 /a1 = , ρo |Ae |2 /ao (1 + ρo ao /ρ1 a1 )2
(11.76)
obtenida de (11.75) y (11.71). Como ejemplo de aplicaci´ on de los resultados anteriores consid´erense ondas sonoras en aire incidentes normalmente sobre una entrefase aire-agua. En este caso ρo ρ1 y ρo ao ρ1 a1 y, de acuerdo con (11.76), la energ´ıa ac´ ustica transmitida hacia el interior del agua es despreciable a pesar de que, como muestra (11.75), las perturbaciones relativas de presi´on en la onda transmitida sean apreciables, ρ1 At /(ρo Ae ) 2 [ y ρo Ar /(ρo Ae ) 1 en la reflejada]; en efecto, el peque˜ no valor del flujo de energ´ıa ac´ ustica hacia el agua resulta de que las velocidades en la onda transmitida son despreciables debido a que el campo de velocidades de la onda reflejada anula al de la incidente (kxr Ar /kxe Ae = −Ar /Ae 1). En el caso opuesto, de una onda sonora en agua incidente sobre una entrefase agua-aire se tienen ρo ρ1 y ρo ao ρ1 a1 y, como antes, (11.76) proporciona una energ´ıa ac´ ustica transmitida hacia el aire que es tambi´en despreciable; a diferencia del caso anterior, la peque˜ nez del flujo de energ´ıa ac´ ustica es debida a que ahora se tiene ρo Ar /(ρo Ae ) → −1, y el campo de presiones reflejado contrarresta al incidente en la superficie proporcionando presiones muy peque˜ nas en la onda transmitida, sin embargo la amplitud del campo de velocidades transmitido es ahora el doble que la del incidente, puesto que el resultado Ae −Ar proporciona en la superficie, de acuerdo con (11.66) y (11.68) se tiene la relaci´ on 1=
k t At − k e Ae kxr Ar = x e x e kx Ae kx Ae
→
kxt At /kxe Ae = 2.
(11.77)
243
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
La reflexi´on y transmisi´on de ondas ac´ usticas en la superficie de separacion entre un s´olido y un fluido, as´ı como en paneles porosos absorbentes de sonido, no es susceptible de un tratamiento anal´ıtico general debido a la complicada interacci´ on del fluido con el s´ olido ya que debe tenerse en cuenta que en el s´olido pueden propagarse tanto ondas normales como tangenciales, y adem´ as puede presentar un comportamiento no el´ astico; en el caso de paneles porosos, se presenta la complejidad adicional del movimiento del fluido en los poros.4 Dada la complejidad de la condiciones de contorno, para cerrar el problema en estos casos se establece una condici´on de contorno emp´ırica entre el campo ac´ ustico de presiones y velocidades en la superficie de separaci´on s´olido-fluido tal que p = Zn u · n, (11.78) ustica normal de donde Zn es un coeficiente experimental denominado coeficiente de impedancia ac´ la superficie; en general, Zn depende de la frecuencia de la onda sonora, del a´ngulo de incidencia y de las propiedades mec´anicas del material en contacto con el fluido. Para ondas planas incidiendo sobre una superficie se puede calcular la relaci´on entre las amplitudes de las ondas reflejada e incidente en funci´ on de Zn y del ´angulo de incidencia como Zn cos θe − ρo ao , Ar = , Ae Zn cos θe + ρo ao
(11.79)
que se obtiene si se escriben p y u en (11.78) como la suma de las contribuciones de la onda incidente m´as la reflejada y se iguala el primer miembro de (11.65) al primer miembro de (11.66) multiplicado por Zn (teniendo en cuenta que kxe = ω/ao cos θe = −kxr ). La expresi´on (11.79) permite calcular el coeficiente de absorci´ on que se define como la fracci´on de intensidad ac´ ustica que se absorbe o transmite a trav´es de la superficie s´olida, α=1−
4 ρo ao cos θe (Zn ) |Ar |2 = . |Ae |2 |Zn |2 cos2 θe + 2ρo ao cos θe (Zn ) + ρ2o a2o
(11.80)
ustica a trav´es de la suObs´ervese que si Zn es imaginario puro no existe p´erdida de energ´ıa ac´ perficie (α = 0). Asimismo, en el caso de una superficie muy r´ıgida (u · n → 0), y puesto que las perturbaciones ac´ usticas de presi´on sobre ella son finitas, debe ser Zn → ∞ y α → 0. Finalmente, si cos θe → 0 (incidencia rasante a la superficie) se tiene tambi´en α → 0, es decir, las ondas sonoras no pueden transmitirse paralelamente a la superficie sin sufrir una severa atenuaci´ on. Silenciadores Como aplicaci´on de lo anterior se analizar´ a un modelo simplificado de silenciador utilizado en veh´ıculos y en otras aplicaciones industriales que consiste en conductos de entrada y salida, ambos de secci´on A1 , conectados a una c´amara de expansi´on de secci´on A2 y longitud l como se indica en la Figura 11.3. Para calcular el campo ac´ ustico se impondr´an la igualdad de los flujos de masa y de las presiones a uno y otro lado de los cambios de secci´on (secciones 1-2 y 3-4)5 x=0
p1 = p2 ,
ρo u1 A1 = ρo u2 A2 ,
(11.81)
x=l
p3 = p4 ,
ρo u3 A2 = ρo u4 A1 .
(11.82)
4 En los paneles absorbentes la absorci´ on de la energ´ıa ac´ ustica es debida a las deformaciones del panel (en general no el´ asticas), a la fricci´ on generada por el movimiento del aire en los poros y a la conducci´ on de calor entre el aire y el armaz´ on s´ olido del panel; este u ´ ltimo efecto asociado a las variaciones de temperatura experimentadas por el aire en las compresiones y expansiones ac´ usticas. 5 Las secciones 1 y 2 est´ an separadas una longitud del orden de varias longitudes de onda λ, λ l, y en la zona entre ellas el campo ac´ ustico no es unidireccional; lo mismo se aplica a las secciones 3 y 4.
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
244
a)
b) 2
A1
1
3 II
III
I
A1
4
A2
l Figura 11.3: Esquema de un silenciador.
amara de expansi´on, el potencial de velocidades del Si Be es la amplitud de la onda incidente a la c´ campo ac´ ustico en las distintas zonas del silenciador es φI = Be e−iω(t−x/ao ) + Br e−iω(t+x/ao ) ,
(11.83)
φII = BI e−iω(t−x/ao ) + BII e−iω(t+x/ao ) ,
(11.84)
−iω(t−x/ao )
φIII = Bt e
.
(11.85)
donde Br y BI son las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida en el ensanchamiento del silenciador y BII y Bt son respectivamente las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida en la contracci´on. Teniendo en cuenta las relaciones u = ∂φ/∂x y p = −ρo ∂φ/∂ t, las condiciones (11.81)-(11.82) conducen, despu´es de dividir por el factor com´ un e−iωt , al sistema de ecuaciones Br − Be = (BII − BI )
A2 , A1
Be + Br = BII + BI ,
A1 Bt eiωl/ao , BII e−iωl/ao + BI eiωl/ao = Bt eiωl/ao , A2 que permiten calcular Br , BII , BI y Bt en funci´on de Be . Operando se obtiene BII e−iωl/ao − BI eiωl/ao = −
(11.86) (11.87)
(A2 /A1 − A1 /A2 ) i sen ωl/ao Br =− , Be 2 cos ωl/ao − i(A2 /A1 + A1 /A2 ) sen ωl/ao
(11.88)
2 e−iωl/ao Bt = . Be 2 cos ωl/ao − i(A2 /A1 + A1 /A2 ) sen ωl/ao
(11.89)
Es f´acil verificar que la suma de las intensidades ac´ usticas medias reflejada y transmitida es igual a la intensidad ac´ ustica media incidente, |Br |2 +|Bt |2 = |Be |2 , de manera que el silenciador simple de la Figura 11.3 no reduce la energ´ıa ac´ ustica en el sistema, puesto que una reducci´on en la intensidad transmitida conlleva un correspondiente aumento de la intensidad reflejada.6 La intensidad ac´ ustica perdida en la transmisi´ on a trav´es del silenciador viene dada en decibelios por η = 10 log10 |Be |2 − 10 log10 |Bt |2 = 10 log10
|Be |2 = |Bt |2
6 Por tanto, para que un silenciador produzca una reducci´ on en la energ´ıa ac´ ustica del sistema debe contener materiales absorbentes o poros que conviertan la energ´ıa ac´ ustica en vibraciones mec´ anicas o calor.
245
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
10 log10 1 + 0,25
A2 A1 − A2 A1
2 2
sen (ωl/ao ) ,
(11.90)
que se representa en la Figura 11.4 para diferentes relaciones de expansi´on m = A2 /A1 . 0
12
24
Escala en pulgadas
m=4
m = 16
m = 36
m = 64
50 40 30 20 10
teórica medida
0 50 40 30 20 10
200
400
600
0 50 40 30 20 10
200
400
600
200
400
600
50 40 30 20 10 0
Figura 11.4: Atenuaci´ on, η, de la se˜ nal en un silenciador en funci´ on de la relaci´on de ´areas m = A2 /A1 en la respuesta de un silenciador. Tomado de A. P. Dowling y J. E. Ffowcs Williams, Sound and Sources of Sound, Ellis Horwood Publishers, 1983. Debe hacerse notar que los valores te´oricos se ajustan razonablemente bien a los experimentales. Por otra parte, el efecto de atenuaci´ on aumenta al aumentar m mientras que para un valor de m fijado, la atenuaci´ on es m´axima si sen ωl/ao = 1; esto es, la longitud de onda o´ptima del silenciador es l = πao /2ω, o lo que es lo mismo, cuando la longitud del silenciador es igual a la semisuma de la longitud de onda de la onda sonora.
11.1.5.
Emisi´ on de sonido
Ondas esf´ ericas. Monopolo ac´ ustico En un problema con simetr´ıa esf´erica la ecuaci´on de ondas (11.19) se escribe ∂ 2 φ a2o ∂ 2 ∂φ − r = 0, ∂t2 r2 ∂r ∂r
(11.91)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
246 o bien
2 ∂ 2 (rφ) 2 ∂ − a (rφ) = 0. o ∂ t2 ∂ r2 Comparando (11.92) y (11.32) se deduce que la soluci´ on general de (11.92) es
(11.92)
F (t − r/ao ) G(t + r/ao ) + , (11.93) r r donde F y G son funciones arbitrarias. En lo que sigue se considerar´ an s´olo ondas que viajan en la direcci´on r creciente, por lo que se har´a G ≡ 0, puesto que se supone que el infinito est´a sin perturbar y no se propagan perturbaciones hacia el origen. Las perturbaciones de velocidad, presi´ on y densidad son entonces φ=
ur =
∂φ 1 F (t − r/ao ) F (t − r/ao ) , − =− ∂r ao r r2
(11.94)
y
1 ∂φ ρ p 1 F (t − r/ao ) = ao =− . (11.95) =− ρo ao ρo ao ∂ t ao r Obs´ervese que, a diferencia de una onda plana, ur = p /ρo ao excepto lo suficientemente lejos del origen como para que el segundo t´ermino del segundo miembro de (11.94) pueda despreciarse frente al primero, y entonces la onda esf´erica se comporta localmente como una plana. Obs´ervese tambi´en que para grandes valores de r la intensidad de las ondas esf´ericas, p ur , decae con el cuadrado de la distancia al origen a causa de la atenuaci´ on debida a la geometr´ıa esf´erica; en efecto, debido a que el flujo total de energ´ıa debe distribuirse sobre una superficie cuya a´rea crece con la distancia como r2 , la intensidad ac´ ustica debe decrecer como r−2 en la distancia al origen. Como ejemplo, consid´erese una esfera de radio R y centro el origen que realiza pulsaciones emitiendo un caudal Q(t) conocido. Si se supone una soluci´ on de la forma F [t − (r − R)/ao ]/r y se tiene en cuenta que en r = R la velocidad es Q(t)/4πR2 , la ecuaci´on (11.94) proporciona
Q(t) F (t) . (11.96) = F (t) + ao 4πR R Resolviendo esta ecuaci´on diferencial lineal de primer orden y reemplazando t por t − (r − R)/ao en la soluci´on para F se obtiene t−(r−R)/ao ao ˆ −ao [t−(r−R)/ao ]/R eao t/R Q(tˆ)d tˆ. (11.97) φ(r, t) = − e 4πR r −∞ −ao
Obs´ervese que si las pulsaciones de la esfera cesan en un instante tf [es decir, Q(tˆ) = 0 para tˆ > tf ] el potencial a una distancia r del centro disminuir´ a exponencialmente con el tiempo seg´ un la ley φ = const · e−ao t/R para t > tf + (r − R)/ao . Una fuente ac´ ustica puntual de masa que emite un caudal Q(t) se denomina monopolo ac´ ustico de intensidad Q(t). El potencial creado por un monopolo ac´ ustico situado en el origen puede obtenerse a partir de (11.97) tomando el l´ımite R → 0. En efecto, mediante integraci´ on por partes en (11.97) puede comprobarse que, salvo t´erminos de orden R2 , el factor lentamente variable Q(tˆ) puede sacarse fuera de la integral reemplaz´andolo por Q(t − r/ao ) [Q(tˆ) no var´ıa en una escala de tiempos del orden de R/ao ], y si se efect´ ua entonces la integraci´on respecto al factor exponencial se obtiene φ(r, t) = −
1 Q(t − r/ao ).7 4πr
(11.98)
7 La expresi´ on (11.98) puede obtenerse de forma m´ as directa si se tiene en cuenta que (11.94) proporciona on G = 0, determina completamente φ(r, t) mediante F (t) = −limr→0 r 2 ur = −Q(t)/4π que, junto con la condici´ (11.93).
247
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
Si hace uso de (11.98) en (11.94)-(11.95) se obtienen tambi´en el campo de presiones y de velocidades para el monopolo ac´ ustico ˙ − r/ao ) Q(t − r/ao ) Q(t ur = + , (11.99) 4πr2 4πao r ˙ − r/ao ) Q(t p = . (11.100) ρo ao 4πao r Obs´ervese que la expresi´on (11.98) para φ es formalmente an´aloga al potencial de velocidades creado por una fuente volum´etrica puntual en un fluido incompresible, −Q(t)/4πr, salvo que el argumento t est´a reemplazado en este caso por t − r/ao . Esta diferencia se debe a que la compresibilidad del fluido introduce un intervalo de tiempo de retraso r/ao entre el valor de la se˜ nal recibido en r en un instante t, Q(t − r/ao ), y el flujo, Q(t), emitido por la fuente en dicho instante; naturalmente, el intervalo de tiempo de retraso es el tiempo que tarda una onda sonora en propagarse a una distancia r del origen. Debido a que el retraso depende de r aparecen dos t´erminos en ur = ∂φ/∂r, por lo que el campo de velocidades es m´as complicado que el correspondiente a un fluido incompresible ao → ∞. No obstante, si ωo es una frecuencia caracter´ıstica de la se˜ nal emitida por la fuente, a distancias r de la fuente muy peque˜ nas frente a la longitud caracter´ıstica de las ondas emitidas, ωo r/ao 1, el tiempo de retraso r/ao puede despreciarse en primera aproximaci´on, as´ı como el segundo t´ermino de ur , que es del orden ωo r/ao comparado con el primero. Por tanto, en este l´ımite se obtienen las expresiones Q(t) Q(t) , ωr/ao 1, (11.101) , ur 4πr 4πr2 l´ımite que se denomina aproximaci´ on de campo cercano para el campo sonoro del monopolo. Se observa en (11.101) c´omo en el campo cercano el fluido se comporta de forma incompresible y c´omo su potencial de velocidades satisface, en primera aproximaci´on, la ecuaci´on de Laplace, ∇2 φ = 0. En el l´ımite opuesto, ωo r/ao 1, el segundo sumando del miembro derecho de (11.99) es dominante frente al primero, y se tiene entonces la aproximaci´ on de campo lejano, en la que el campo de velocidades (11.99) se simplifica a φ=−
ur
˙ − r/ao ) Q(t , 4πao r
ωr/ao 1,
(11.102)
mientras que las expresiones (11.98) y (11.100) para el potencial y el campo de presiones permanecen inalteradas. Obs´ervese que en el campo lejano la relaci´on entre p y ur , p ρo ao ur , es la correspondiente a una onda plana. Es de inter´es para ciertas aplicaciones calcular la dependencia con la frecuencia de la intensidad ac´ ustica radiada por un monopolo en el campo lejano. Para ello se supone que el caudal emitido var´ıa con el tiempo de la forma Q(t) = (Ae−iωt ) y se escribe φ = [Φ(r)e−iωt ] en (11.98), lo que proporciona Φ(r) = −
Aeiωr/ao , 4πr
∇Φ −
Aiω iωr/ao e er , 4πrao
(11.103)
donde en la expresi´on ∇Φ se han despreciado t´erminos de orden r−2 frente a t´erminos de orden ω/(ao r) al ser ωr/ao 1. La intensidad ac´ ustica media en la direcci´on radial en un punto situado a distancia r del origen se obtiene directamente de (11.56)) como ρo |A|2 ω 2 ρo ω , (11.104) [Φ∗ er · ∇Φ] = I¯r = 2 32π 2 ao r2 que muestra que la intensidad ac´ ustica del monopolo crece con el cuadrado de la frecuencia emitida y decrece con el cuadrado de la distancia al origen como consecuencia de la atenuaci´on esf´erica.
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
248 Distribuci´ on continua de monopolos
Se considerar´a ahora la radiaci´ on sonora emitida por una distribuci´ on espacial continua (o continua a trozos) de monopolos. Dicha distribuci´ on puede ser volum´etrica o superficial y est´a caracterizada en cada punto por una intensidad por unidad de volumen o de superficie q(x, t) o qs (x, t), respectivamente. Se obtendr´an aqu´ı algunos resultados de car´acter general que relacionan el campo sonoro con la distribuci´on de intensidades de las fuentes que lo originan. Conviene indicar que, aunque en muchos casos dicha distribuci´ on es conocida a priori, existen otros en que no ocurre as´ı, sino que su determinaci´on requiere la resoluci´on de la ecuaci´on de ondas (11.20) con las condiciones de contorno apropiadas; por ejemplo, para el campo sonoro en un recinto cerrado las paredes pueden considerarse como fuentes de sonido cuando reflejan (y transmiten) las ondas ac´ usticas que inciden sobre ellas, y lo mismo ocurre con objetos inmersos en un fluido al dispersar las ondas ac´ usticas que inciden sobre ellos (este problema se considerar´a m´as adelante).8 Consid´erese una distribuci´on continua de monopolos en una regi´ on Ω. Si q(x, t) denota la intensidad por unidad de volumen de las fuentes, el potencial ac´ ustico resultante se obtiene usando la soluci´on elemental (11.101) para cada una de las fuentes puntuales de la distribuci´ on y aplicando el principio de superposici´ on, lo que puede hacerse en virtud de la linealidad del problema, se tiene q(x , τ ) 1 d , (11.105) φ(x, t) = − 4π Ω |x − x | donde x denota un punto gen´erico que denota la posici´on de los monopolos en el interior de Ω, y τ = t − |x − x |/ao es el instante en que debe emitirse la se˜ nal en x para que llegue a x en el instante t. Si se toma la laplaciana de (11.105) teniendo en cuenta que ∇τ = −∇|x − x |/ao = −e(x , x)/ao ,
(11.106)
donde e(x , x) denota el vector unitario dirigido desde x a x, y que ∇2 |x − x |−1 = −4πδ(x − x ),
(11.107)
donde δ es la funci´on delta de Dirac, es f´acil comprobar que φ satisface la ecuaci´on diferencial ∇2 φ −
1 ∂2φ = q(x, t). a2o ∂t2
El campo de presiones se determinan a partir de (11.105) de la forma qt (x , τ ) ∂φ ρo d , p (x, t) = −ρo = ∂t 4π Ω |x − x |
(11.108)
(11.109)
donde qt denota derivada parcial con respecto de t; obs´ervese que de la expresi´on de τ se deduce que qt = qτ . An´alogamente, el campo de velocidades est´a dado por
1 1 e(x , x) 1 d q (x , + , (11.110) τ ) u (x, t) = ∇φ = t 4π Ω |x − x | ao |x − x | 8 Un caso importante de emisi´ on sonora, no considerado aqu´ı, es la originada por un flujo turbulento inmerso en el medio donde se propaga el sonido. En este caso, el movimiento turbulento de las part´ıculas fluidas, altamente no estacionario e irregular, se transmite al medio a trav´es de la frontera entre ambos. Por tanto, en la expresi´ on de las intensidades de las fuentes aparecen t´erminos asociados a los efectos no-lineales y no estacionarios que deben retenerse en las ecuaciones y condiciones de contorno para describir los complejos procesos que tienen lugar cerca de la zona turbulenta [para la expresi´ on expl´ıcita de la intensidad de las fuentes en este caso v´ease, por ejemplo, J. Lighthill, Waves in Fluids, Cambridge University Press, 1978]. Lejos de dicha zona las perturbaciones se aten´ uan y se tiene un campo sonoro gobernado por la ecuaci´ on lineal (11.20).
249
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
donde el segundo sumando del integrando en (11.110) se ha obtenido al derivar seg´ un la regla de la cadena teniendo en cuenta que qt = qτ y que ∇τ = −∇|x − x |/ao = −e(x , x)/ao . Una magnitud de inter´es en el an´alisis del campo sonoro creado por una distribuci´ on de fuentes es el valor medio del vector intensidad ac´ ustica en un punto de observaci´ on situado en el campo lejano de todas las fuentes, esto es, si x es cualquier punto de la fuente y ωo es una frecuencia de oscilaci´on de la fuente, el punto de observaci´ on x debe verificar la condici´ on ωo |x − x |/ao 1. En este caso, y puesto que qt (x , t) ∼ ωo q(x , t), el segundo t´ermino en el integrando de (11.110) domina frente al primero y el campo de velocidades resulta, en primera aproximaci´ on, 1 qt (x , τ ) . (11.111) u (x, t) = d e(x , x) 4πao Ω |x − x | El vector intensidad ac´ ustica promediado sobre un intervalo de tiempo To largo comparado con el tiempo caracter´ıstico de oscilaci´on de las fuentes, t+To 1 I(x, t) ≡ p u ≡ p (x, tˆ)u (x, tˆ)dtˆ, (11.112) 2To t−To puede calcularse a partir de (11.109)-(11.111) como q t q t ρo I= d d e(x , x) , 2 16π ao Ω Ω |x − x ||x − x |
(11.113)
donde, para abreviar la notaci´ on se ha denominado q t ≡ qt (x , t − |x − x |/ao ) y por q t la misma expresi´on pero sustituyendo x por x ; adem´as el promediado temporal q t q t se define de forma id´entica al de (11.112). En general, las oscilaciones en los puntos x y x est´an correlacionadas, es decir, proporcionan un valor no nulo de q t q t s´olo si est´an suficientemente pr´oximos, esto es, a una distancia del orden de la denominada longitud de coherencia. As´ı, fijado x la contribuci´ on a la integral sobre x en (11.113) proviene principalmente de puntos situados en la zona de coherencia de x puesto que el integrando decae r´apidamente a cero fuera de dicha zona. Adem´as, sucede con frecuencia que la longitud de coherencia es mucho menor que la distancia de x al punto de observaci´on x, lo que permite aproximar |x − x | |x − x | y la integral (11.113) puede escribirse de la forma f (x, x , t) I= d e(x , x) , (11.114) |x − x |2 Ω donde la funci´ on f se ha definido como ρo d qt qt , (11.115) f (x, x , t) ≡ 16π 2 ao Ω donde la integral sobre x puede extenderse sobre todo el volumen porque el integrando s´ olo contribuye apreciablemente en la zona de coherencia de x . Las expresiones (11.114) y (11.115) pueden interpretarse de forma natural si se elige un sistema de ejes con origen en x y se expresa la integral (11.114) en coordenadas polares r = |x − x|, θ y ϕ, con d = r2 sen θdrdθdϕ y e(x , x) = −er (θ, ϕ). Se obtiene entonces I = (−er ) Id (x, θ, ϕ, t) sen θdθdϕ, (11.116) donde los l´ımites de integraci´on en θ y ϕ son los de la regi´on Ω ocupada por la distribuci´ on de fuentes (0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ ≤ π si la distribuci´ on de fuentes rodea por completo a x), y se ha definido Id ≡
r2 (θ,ϕ)
f (x, r, θ, ϕ, t) dr, r1 (θ,ϕ)
(11.117)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
250
donde r1 y r2 son los l´ımites radiales de Ω para cada par de valores (θ, ϕ). La funci´ on Id (θ, ϕ, t) se denomina intensidad direccional y se observa en (11.116) que representa el valor medio del vector intensidad ac´ ustica debido a las fuentes comprendidas en la unidad de a´ngulo s´olido extendida desde x en la direcci´on (θ, ϕ); adem´as, el valor resultante del vector intensidad ac´ ustica medio en x, I(x, t) puede considerarse como la superposici´on de las contribuciones debidas a todos los elementos de ´angulo s´olido. N´otese que Id depende en general de la direcci´on pero no depende de la distancia a x, por lo que ser´a la misma en todos los puntos alineados con el punto de observaci´ on seg´ un un radio con valores dados de (θ, ϕ).9 Un campo sonoro cuya intensidad direccional es la misma en todas direcciones se denomina difuso; esta hip´otesis se realiza con frecuencia, por ejemplo, en el estudio de la ac´ ustica de recintos limitados por superficies suficientemente irregulares, en los que las m´ ultiples reflexiones de las ondas con las paredes del recinto establecen una intensidad direccional aproximadamente is´otropa en los puntos del interior. Finalmente, obs´ervese que si se promedia la densidad de energ´ıa ac´ ustica en x haciendo uso de (11.112) y de las expresiones (11.109) y (11.111) para p y u se obtiene la expresi´on an´aloga a (11.113) w(x, t) = ρo 32π 2 a2o
Ω
p2 1 = ρo u · u + 2 2ρo a2o
d d [e(x , x) · e(x , x) + 1]
Ω
q t q t . |x − x ||x − x |
(11.118)
Tambi´en en este caso la integral doble (11.118) puede simplificarse para distancias al punto de observaci´on grandes comparadas con la longitud de coherencia puesto que se tiene e(x , x) e(x , x) ,o e(x , x) · e(x , x) 1, adem´as de |x − x ||x − x | |x − x |2 , y (11.117) puede escribirse de una forma muy similar a (11.114) y (11.116) w=
1 ao
Ω
d
f (x, x , t) = |x − x |2
1 Id (x, θ, ϕ, t) sen θdθdϕ, ao
(11.119)
donde, como antes, la segunda integral en (11.119) se ha obtenido tomando coordenadas polares en un sistema de referencia con origen en x. La ecuaci´on (11.119) muestra de nuevo que cuando la longitud de coherencia es peque˜ na frente a la distancia al punto de observaci´ on los efectos de interferencia de las fuentes est´an muy localizados y, como le sucede al vector intensidad ac´ ustica, la energ´ıa ac´ ustica media contenida en la unidad de volumen en torno a x puede tambi´en interpretarse desde un punto de vista direccional como la suma de las debidas a la contribuciones independientes de los distintos elementos de angulo s´olido con origen en x; la contribuci´ on de la unidad de angulo s´ olido en la direcci´on (θ, ϕ) es wd ≡ Id (x, θ, ϕ, t)/ao , que se denomina densidad de energ´ıa direccional.10 Una regi´on de inter´es en el campo ac´ ustico producido por una distribuci´ on de fuentes es la de su campo lejano, tambi´en denominada zona de radiaci´ on de la distribuci´ on.11 Si la dimensi´on caracter´ıstica del volumen ocupado por las cargas es L, dicha zona se define como la formada por los puntos situados a distancias r de la distribuci´ on que verifican r λo ,
y
r L2 /λo ,
(11.120)
9 Esto es v´ alido solamente para la propagaci´ on de ondas en un medio homog´eneo y en reposo. El caso general se considerar´ a en 11.1.7. 10 La ecuaci´ on (11.119) puede interpretarse tambi´en desde el punto de vista corpuscular de la radiaci´ on en el sentido de que las fuentes contenidas en la unidad de ´ angulo s´ olido en la direcci´ on (θ, ϕ) contribuyen a la energ´ıa ac´ ustica total en la unidad de volumen en torno a x con un paquete de energ´ıa wd (x, θ, ϕ, t) que se propaga con velocidad ao y que no interfiere con los que provienen desde otras direcciones. 11 En la teor´ ıa de la difracci´ on a dicha zona se la conoce tambi´en con el nombre de zona de Fraunhofer.
251
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
donde λo = ao /ωo es la longitud de onda caracter´ıstica de la radiaci´on emitida por las fuentes. Obs´ervese que si L es del orden o mucho mayor que λo , la segunda condici´ on (11.120) implica tambi´en la primera, mientras que si λo L la primera condici´on implica la segunda y en este caso la condici´on de campo lejano se reduce a la correspondiente para una fuente puntual; obs´ervese, adem´as, que las condiciones (11.120) siempre implican r L independientemente del valor de la relaci´on L/λo . Si se toma un sistema de coordenadas con origen en el interior de la distribuci´ on de fuentes, la distancia desde un punto gen´erico de la fuente hasta el punto de observaci´ on en el campo lejano puede desarrollarse en serie de Taylor en torno al origen de coordenadas como 1 2 |x − x | r − x · er (x) + 0 |x |2 /r , (11.121) otese que, donde r ≡ |x| y e1r (x) es2el versor desde el origen de coordenadas hasta el punto x [n´ salvo t´erminos 0 |x |2 /r , er (x , x) puede sustituirse en (11.121) por er (x) para todo x ]. Por tanto, las condiciones (11.120) implican que, para cualquier punto fuente, la contribuci´ on de los t´erminos cuadr´aticos en (11.121) al tiempo que la se˜ nal tarda en llegar a x es mucho menor que el periodo t´ıpico de oscilaci´on de las fuentes, L2 /(rao ) 1/ωo , por lo que si no se tienen en cuenta dichos t´erminos se cometen errores en el c´alculo de la funci´ on q(x , t − |x − x |/ao ) que, en t´erminos relativos, son del orden |x |2 qt L2 ωo 1. (11.122) ∼ rao q rao Por tanto, el potencial ac´ ustico (11.105) puede aproximarse en la zona de radiaci´ on por 1 dq [x , t − r/ao + x · er (x)/ao ] , (11.123) φ(x, t) − 4πr Ω y el campo de velocidades y el de presiones est´an dados por 1 ur (x, t) dqt [x , t − r/ao + x · er (x)/ao ] , 4πao r Ω y ρo p (x, t) 4πr
dqt [x , t − r/ao + x · er (x)/ao ] .
(11.124)
(11.125)
Ω
La ecuaciones (11.123)-(11.125) expresan que, en primera aproximaci´ on, cada punto de la distribuci´on env´ıa al punto de observaci´ on una onda esf´erica (localmente plana) que puede considerarse centrada en el origen de coordenadas, y cuya ley temporal contiene una fase, x · er (x)/ao , que depende de la orientaci´ on relativa entre el punto fuente y el de observaci´ on. La onda resultante en el punto de observaci´ on es la superposici´on del tren de ondas aproximadamente conc´entricas emitida por los puntos de la fuente y, debido a las interferencias originadas por las diferencias de fase de las ondas correspondientes a los distintos puntos de la distribuci´ on, su amplitud puede presentar una marcada dependencia con respecto a la direcci´on del punto de observaci´ on, a diferencia de lo que ocurre con una fuente puntual. S´ olo en los casos en que las dimensiones de la fuente sean mucho menores que la longitud de onda, L ao /ωo , puede despreciarse en (11.123) la diferencia de fase entre los puntos de Ω [determinada por x · er (x)/ao ] y la distribuci´ on de fuentes radia como una fuente puntual de intensidad Q(t) = Ω dq(x , t), que tambi´en puede relacionarse con el campo de velocidades originado por la distribuci´ on en los puntos de la superficie que limita a Ω mediante Q(t) = Σ dσn · u (x , t); en este caso, y si Q(t) no es id´enticamente nulo, (11.123) resulta en primera aproximaci´ on 1 Q(t − r/ao ) φ(x, t) − dq [x , t − r/ao ] = − . (11.126) 4πr Ω 4πr
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
252
Si los resultados anteriores se aplican al caso de una distribuci´ on de fuentes monocrom´aticas de la forma q(x , t) = A(x )e−iωt , (11.127) la expresi´on (11.123) proporciona, con φ = A(x )e−iωt , 1 iωr/ao dA(x )e−iωer ·x /ao ; (11.128) Φ=− e 4πr Ω a partir de (11.128) de la intensidad ac´ ustica media en el campo lejano para una onda monocrom´atica se obtiene directamente (11.104) como I¯r =
ρo ω 2 F (θ, ϕ), 16π 2 ao r2
(11.129)
donde θ y ϕ son las coordenadas angulares esf´ericas del vector x, y la funci´ on F (θ, ϕ) es el cuadrado del m´odulo de la integral en (11.129) y recoge las propiedades direccionales de la radiaci´ on emitida por la distribuci´ on de fuentes. Para el caso L ao /ω el factor exponencial en la integral de (11.128) puede sustituirse por 1 y F es una constante para todas las direcciones, F = | Ω dA(x )|2 . Las consideraciones anteriores se aplicar´an m´as adelante para el c´alculo del campo sonoro producido por un altavoz. Campo sonoro debido a fuentes en movimiento El problema del campo sonoro producido por fuentes en movimiento se presenta con frecuencia en la pr´actica, por ejemplo, en el sonido producido por los a´labes de las turbom´aquinas, veh´ıculos terrestres, aviones, etc. Debido a que el problema general es bastante complicado, se considerar´an aqu´ı solamente algunos aspectos elementales del mismo; se remite al lector a la literatura especializada para un tratamiento m´ as completo.12 Se analizar´a en lo que sigue el caso de una fuente sonora puntual de intensidad Q(t) que se mueve seg´ un una trayectoria conocida xp (t). Para el tratamiento anal´ıtico del problema resulta conveniente modelar la fuente puntual como una distribuci´ on espacial continua mediante el uso de la funci´ on δ de Dirac, de modo que el potencial sonoro creado viene dado por la integral 1 Q(τ ) dδ [x − xp (τ )] , (11.130) φ=− 4π |x − x| donde, como m´as arriba, se ha definido τ ≡ t − |x − x|/ao . La integral en (11.130) puede evaluarse desarrollando el argumento de la funci´ on δ en torno al punto x = x∗ (x, t) donde x∗ es la ra´ız de la ecuaci´on x∗ − xp (t − |x∗ − x|/ao ) = 0. (11.131) De esta forma se tiene, en primera aproximaci´on, que x − xp (τ ) [x − xp (τ ∗)] · [I − (∇ τ ) x˙ p ]x =x∗ ,
(11.132)
donde I es el tensor unidad, y se ha definido τ ∗ (x, t) ≡ t − |x∗ − x|/ao ; adem´as, se tiene ∇ τ = e(x , x)/ao ,
(11.133)
Para evaluar la integral (11.130) es necesario calcular el determinante del tensor del segundo miembro de (11.132). Para ello, obs´ervese que la d´ıada unidad se expresa en t´erminos de tres 12 A. P. Dowling y J. E. Fowcs-Williams, Sound and Sources of Sound, Ellis Horwood Ld. Publishers, Chichester, 1983.
253
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
vectores ortonormales cualesquiera como I = e1 e1 +e2 e2 +e3 e3 , por lo que si se elige e1 ≡ e(x , x) el tensor en (11.133) toma la forma e1 (e1 − x˙ p /ao ) + e2 e2 + e3 e3 . Es f´acil comprobar que la matriz de dicho tensor respecto de la base {ei , i = 1, 2, 3} tiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal y los de la primera fila, por lo que su determinante puede calcularse inmediatamente como det [I − (∇ τ ) x˙ p ]x =x∗ = 1 − x˙ p (τ ∗ ) · e(τ ∗ )/ao ,
(11.134)
donde se ha definido e(τ ∗ ) ≡ e[xp (τ ∗ ), x]. Teniendo en cuenta el resultado (11.134), la integral de (11.130) proporciona13 Q(τ ∗ ) 1 , (11.135) φ=− ∗ 4π|x − xp (τ )| 1 − M(τ ∗) · e(τ ∗ ) donde M = x˙ p /ao es el vector n´ umero de Mach para la fuente puntual. Para una fuente en movimiento con velocidad uniforme V en la direcci´on del eje x, M = ex V /ao y la expresi´on anterior proporciona 1 1 Q(τ ∗ ) , (11.136) φ=− ∗ 4π |x − V τ ex )| 1 − M cos θ(τ ∗ ) donde θ es el ´angulo que forma el vector dirigido desde la fuente al observador con el vector del movimiento. El instante τ ∗ est´a dado en este caso por la ecuaci´on τ∗ = t −
1 |x − V τ ∗ ex |, ao
(11.137)
cuya soluci´on puede determinarse f´acilmente. Es de inter´es determinar la diferencia entre la frecuencia percibida por el observador y la emitida por la fuente debido al movimiento de ´esta (efecto Doppler). Para ello, se deriva (11.136) con respecto de t reteniendo solamente la derivada temporal Q˙ (se desprecian las derivadas temporales asociadas al movimiento de la fuente frente a las de emisi´on sonora) y se divide el resultado por φ; se obtiene entonces ˙ ∗) Q(τ 1 φt = , ∗ φ 1 − M cos θ(τ ) Q(τ ∗ )
(11.138)
donde se ha hecho uso de (11.137) cuya derivada temporal proporciona 1 ∂τ ∗ . = ∂t 1 − M cos θ(τ ∗ )
(11.139)
Se deduce de la ecuaci´on (11.138) que el sonido emitido por una fuente subs´ onica monocrom´atica de ˙ frecuencia ω = Q/Q es percibido con una frecuencia ω/(1 − M cos θ) por un observador en reposo. Para una fuente aproxim´ andose al observador desde muy lejos (θ 0) la frecuencia percibida disminuye gradualmente desde su valor m´aximo, ω/(1 − M ), hasta el m´ınimo, ω/(1 + M ), cuando la fuente se encuentra muy distante del observador y alej´ andose del mismo (θ π); justo cuando la fuente pasa por el observador (θ = π/2) la frecuencia percibida es igual a la emitida. Asimismo, se deduce de (11.138) que si una fuente no vibra (Q˙ = 0), y s´olo ejecuta un movimiento de traslaci´on uniforme, no se percibir´ a sonido para un observador en reposo si dicho movimiento es subs´ onico.14 −1 Si el movimiento es supers´onico puede percibirse sonido en las direcciones cos θ = M , para las que el denominador en (11.138) se anula, y son precisamente las direcciones en las que se propagan las ondas de Mach, v´ease Cap´ıtulo 12. 13 La expresi´ on (11.135) para el potencial ac´ ustico es an´ aloga a la de los potenciales de Lienard-Wiechert que aparecen en el estudio de la electrodin´ amica de una carga el´ectrica puntual en movimiento 14 Conviene indicar que el sonido que se percibe algunas veces al paso de cuerpos en movimiento uniforme subs´ onico no es producido por el cuerpo, sino por el movimiento fluctuante del aire debido al desprendimiento de torbellinos y a la turbulencia en la estela tras el cuerpo
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
254 Distribuciones superficiales de fuentes
En una secci´on posterior se usar´a la expresi´on para el potencial ac´ ustico generado por una distribuci´ on de monopolos sobre una superficie Σ cuya intensidad por unidad de superficie est´ a dada una funci´ on qs (x, t). En este caso el potencial ac´ ustico viene dado φ=−
1 4π
Σ
qs (x , τ ) dσ. |x − x |
(11.140)
La integral de superficie (11.140) puede expresarse como una integral de volumen mediante la funci´ on δ de Dirac 1 qs (x , τ ) δ [ξ(x )] d, φ=− (11.141) 4π |x − x | donde x es ahora la variable de integraci´ on espacial sobre cualquier volumen que contenga a Σ15 , qs (x ) representa cualquier extensi´on espacial suave de la funci´on qs definida sobre la superficie Σ, y ξ(x ) denota la distancia (con su signo) de x a Σ. Si se aplica ahora a la expresi´on (11.141) el mismo razonamiento que condujo a (11.108) se obtiene la ecuaci´on de ondas para una distribuci´ on superficial de monopolos 1 ∂2φ ∇2 φ − 2 = qs (x, t)δ[ξ(x)], (11.142) ao ∂t2 A partir de (11.142) puede obtenerse una relaci´ on (como se ver´a, muy u ´til) existente entre qs y el salto de la derivada normal de φ a trav´es de la superficie Σ. En efecto, consid´erese el volumen ∆Ω mostrado en la Figura 11.5, que contiene al punto x de Σ y est´a limitado por dos superficies de ´area ∆Σ paralelas a Σ que pasan por los puntos x1 = x + ξ(x1 )n [ξ(x1 ) < 0] y x2 = x + ξ(x2 )n [ξ(x2 ) > 0] respectivamente,√y por una superficie lateral cuya a´rea puede despreciarse frente a ∆Σ si [−ξ(x1 ) + ξ(x2 )] ∆Σ cuando ∆Ω → 0. Integrando (11.142) en ∆Ω y despreciando infinit´esimos de orden ∆Ω → 0 se obtiene mediante el teorema de Gauss ξ(x2 ) dσqs δ(ξ) = qs (x, t)∆Σ. (11.143) [−n · ∇φ(x1 , t) + n · ∇φ(x2 , t)]∆Σ = ξ(x1 )
∆Σ
n
x2 DS
x S
DW
x1
Figura 11.5: Volumen infinitesimal para la integraci´ on de (11.142). 15 Debido a la presencia de la funci´ on δ en (11.141), dicho volumen puede escogerse, por ejemplo, en forma de una rebanada arbitrariamente estrecha que contenga a Σ.
255
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on Si se divide (11.143) por ∆Σ y se hacen tender a cero ξ(x1 ) y (x2 ) se obtiene finalmente n · ∇φ(x, t) − n · ∇φ(x, t) = qs (x, t),
x ∈ Σ,
(11.144)
donde φ denota el campo de valores del potencial ac´ ustico en la zona situada del lado de n respecto de Σ y φ el campo de valores del potencial en la zona del lado de −n. Obs´ervese que sobre Σ las funciones φ y φ coinciden [φ(x, t) = φ(x, t), xΣ] de acuerdo con (11.140), pero no ocurre as´ı con sus derivadas normales, que est´an relacionadas por la condici´ on de salto (11.144). Finalmente, conviene indicar que los conceptos de intensidad y densidad de energ´ıa ac´ ustica direccionales y zona de radiaci´on estudiados para una distribuci´ on volum´etrica de fuentes, tambi´en son aplicables para una distribuci´ on espacial sin m´as que sustituir las integrales de volumen por las correspondientes de superficie. Dichos conceptos tambi´en se extienden de forma inmediata a las distribuciones de dipolos ac´ usticos consideradas en el apartado siguiente. Dipolos ac´ usticos Se denomina dipolo ac´ ustico de orientaci´ on n e intensidad G a la configuraci´ on l´ımite formada por dos fuentes puntuales situadas en los puntos x y x = x +ln de intensidades Q y −Q de forma que Q → ∞ y l → 0 mientras su producto permanece finito e igual a G, l´ım Q l = G. El potencial ac´ ustico en x resultante de la superposici´on de las dos fuentes es, con Q(x , t) = −Q(x , t), φ(x, t) = −
Q(x , τ ) Q(x , τ ) + , 4π|x − x | 4π|x − x |
(11.145)
donde, como antes, τ = t − |x − x |/ao y τ = t − |x − x |/ao . Desarrollando τ y |x − x|−1 en torno a x se tiene, salvo t´erminos de orden l2 , Q(x , τ ) = Q(x , τ ) + Qτ l n · ∇ τ = Q(x , τ ) − y
1 Qτ l n · ∇ |x − x|, ao
|x − x|−1 = |x − x|−1 + l n · ∇ |x − x|−1 ,
(11.146)
(11.147)
donde ∇ denota el operador gradiente respecto de la variable x . Si (11.146) y (11.147) se sustituyen en (11.145) se obtiene φ(x, t) = −
1 1 1 1 Qτ (x , τ ) ln · ∇ |x − x | + Q(x , τ ) ln · ∇ + 0(l2 ). (11.148) 4πao |x − x | 4π |x − x |
La ecuaci´on (11.148) sigue siendo v´alida en el l´ımite l → 0, Q → ∞, por lo que si se denomina lQ = G(x , τ ) y se tiene en cuenta que ∇G = Gτ ∇τ = −Gτ ∇|x − x |/ao y que ∇|x − x | = −∇ |x − x |, la ecuaci´on (11.148) se puede escribirse de forma m´as compacta como
1 G(x , τ ) n·∇ . (11.149) φ=− 4π |x − x | Si ω es una frecuencia caracter´ıstica de oscilaci´on del dipolo, entonces (11.148) puede aproximarse en el campo lejano, ω/ao |x − x |, por φ
n · er Gτ (x , τ ), 4πao |x − x |
(11.150)
on del dipolo, x , hasta el punto donde er = ∇|x − x | es el vector unitario dirigido desde la posici´ de observaci´on x. En el caso en que la intensidad del dipolo posea una dependencia temporal de
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
256
la forma G(x , t) = A(x ) e−iωt , la dependencia con la frecuencia de la intensidad ac´ ustica en el campo lejano radiada por el dipolo puede calcularse f´ acilmente mediante (11.150) si se escribe φ = Φ(x)e−iωt ; se obtiene entonces Φ=−
iωA(x )n · er iω|x−x |/ao , e 4πao |x − x |
(11.151)
y la intensidad ac´ ustica a trav´es de un elemento de superficie de orientaci´on m situado en x est´a dada por ρo ω 4 |A(x )|2 (n · er )2 er · m. (11.152) I¯m = 32π 2 a3o |x − x |2 donde se ha hecho uso de (11.56). Obs´ervese que el vector flujo de energ´ıa ac´ ustica en el campo lejano [que multiplica a m en (11.152)] posee direcci´on radial, y que la intensidad ac´ ustica var´ıa con la cuarta potencia de ω, esto es, mucho m´as r´apidamente que para el caso del monopolo en el que la intensidad radiada aumenta con el cuadrado de ω. La configuraci´on formada por una distribuci´ on superficial de dipolos ac´ usticos de intensidad gs (x, t) por unidad de superficie y orientados en cada punto seg´ un la normal a la superficie se denomina capa dipolar. Su campo sonoro puede calcularse mediante el principio de superposici´ on a partir de la expresi´ on (11.149) para el potencial ac´ ustico. En efecto, si Σ es la superficie sobre la que est´an distribuidos los dipolos, se tiene
1 gs (x , τ ) dσn , (11.153) φ(x, t) = −∇ · 4π Σ |x − x | donde n = n(x ) es la normal a Σ en el punto gen´erico x . De forma an´aloga a como se hizo para (11.140), la integral de superficie en (11.153) puede expresarse como una integral de volumen mediante la funci´ on δ de la forma
1 gs (x , τ ) dδ[ξ(x )]n , (11.154) φ(x, t) = −∇ · 4π |x − x | donde, como antes, n y gs representan ahora funciones espaciales que coinciden con los valores de la normal y de la intensidad dipolar en la superficie. Si se toman la laplaciana y la derivada segunda temporal en (11.154) y se tiene en cuenta que dichos operadores conmutan con la divergencia, se obtiene, de forma an´ aloga a (11.142), la ecuaci´on de ondas para una distribuci´ on superficial de dipolos 1 ∂2φ ∇2 φ − 2 = ∇ · [n(x)gs (x, t)δ[ξ(x)]] . (11.155) ao ∂t2 De la ecuaci´on anterior se deduce que, salvo infinit´esimos de orden superior, el flujo del vector ∇φ − n(x)gs (x, t)δ[ξ(x)] es constante a trav´es de cualquier secci´on transversal del volumen de la Figura 11.15; por tanto, para cualquier ξ se tiene ∂φ ∂φ = gs (x, t)δ(ξ), (11.156) − ∂ξ ∂ξ ξ(x1 ) y una nueva integraci´ on entre ξ = 0− y ξ = 0+ proporciona φ(x, t) − φ(x, t) = gs (x, t).
(11.157)
La ecuaci´on (11.157) relaciona el salto experimentado por el potencial ac´ ustico en cada punto de Σ con la intensidad local de la distribuci´ on superficial de dipolos ac´ usticos.
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
257
F´ ormula integral de Kirchoff Los resultados anteriores permiten calcular el campo ac´ ustico en un fluido que ocupa un recinto limitado por un conjunto de superficies cerradas (una de las cuales puede estar en el infinito) sobre las que los valores del potencial y de su derivada normal son φ y ∂φ/∂n. En efecto, si n denota la normal unitaria dirigida hacia el fluido en cada punto de las superficies, una soluci´ on de la ecuaci´on de ondas (11.142) en todo punto interior al recinto es, de acuerdo con lo visto anteriormente,
n · ∇τ φ(x , τ ) 1 1 φ(x , τ ) dσ dσn · − , (11.158) φ(x, t) = − ∇ 4π Σ |x − x | 4π Σ |x − x | donde Σ es el contorno del recinto, n el vector normal, dirigido hacia el interior del recinto, en el punto x y ∇τ denota el operador gradiente con respecto a la variable x sin tener en cuenta la dependencia de τ respecto a dicha variable (es decir, a τ constante). La ecuaci´on (11.158), denominada f´ ormula de Kirchoff, representa el potencial ac´ ustico en el interior del recinto como superposici´on de los potenciales debidos a las distribuciones de monopolos y de dipolos situados sobre Σ y de intensidades n · ∇τ φ(x , τ ) y φ(x , t) respectivamente. Como se ha visto m´as arriba de forma general [ecuaciones (11.142) y (11.155)] las integrales en (11.158) satisfacen la ecuaci´on de ondas en el interior de Σ; la comprobaci´ on de que (11.158) satisface, adem´as, los valores especificados de φ y ∂φ/∂n sobre Σ es inmediata si se tiene en cuenta que cuando x tiende a un punto de la superficie, x → x , n · ∇τ φ(x , τ ) → n · ∇φ(x, t) = ∂φ/∂n, (11.159) y se hace uso de las condiciones de salto (11.144) y (11.157). Obs´ervese que dichas condiciones implican entonces que para la superficie exterior de Σ, es decir, aquella que no est´a en contacto con el fluido, y cuya normal es −n , debe ser n · ∇φ = φ = 0, por lo que el campo ac´ ustico calculado con (11.158) debe ser nulo en la regi´on exterior al fluido. Por tanto, los valores de φ y ∂φ/∂n sobre Σ no pueden ser arbitrarios, sino que deben satisfacer la relaci´ on
φ(x , τ ) n · ∇τ φ(x , τ ) dσ n · + = 0, dσ ∇ (11.160) |x − x | |x − x | Σ Σ si x pertenece a la regi´on exterior al fluido. La ecuaci´ on de Kirchoff (11.158) es, por tanto, una ecuaci´on integral para la determinaci´ on de φ. En ciertas circunstancias es posible simplificar el c´alculo del potencial ac´ ustico en el interior de un recinto mediante (11.158) haciendo uso de una funci´ on auxiliar φ que es soluci´on de la ecuaci´on de ondas en la regi´on exterior al recinto y que satisface en la cara exterior de Σ condiciones de contorno con valores de (−n ) · ∇τ φ y φ especificados convenientemente. Entonces, por un razonamiento an´alogo al del p´arrafo anterior, dichas condiciones de contorno deben ser tales que produzcan en cada punto interior al recinto de inter´es un potencial ac´ ustico nulo
n · ∇τ φ(x , τ ) φ(x , τ ) 1 1 dσ dσ n · + . (11.161) 0= ∇ 4π Σ |x − x | 4π Σ |x − x | Restando (11.158) y (11.161) se obtiene n · [∇τ φ(x , τ ) − ∇τ φ(x , τ )] 1 dσ − φ=− 4π Σ |x − x |
φ(x , τ ) − φ(x , τ ) 1 dσ n · ∇ . 4π Σ |x − x |
(11.162)
N´otese que si en (11.162) se elige, por ejemplo, φ = φ, o bien ∂φ/∂n = ∂φ/∂n, φ en el interior del recinto puede expresarse como el potencial ac´ ustico originado bien por una distribuci´ on de
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
258
fuentes de intensidad ∂φ/∂n − ∂φ/∂n distribuidas sobre Σ, o bien por una distribuci´ on de dipolos de intensidad φ − φ. Aunque la especificaci´on de φ (o ∂φ/∂n) en la superficie exterior de Σ requiere la resoluci´on del problema ac´ ustico en la regi´on exterior para la determinaci´ on de ∂φ/∂n (o φ) sobre Σ (lo que, en general, supone la resoluci´on de un problema tan complicado como el original), existen algunas situaciones pr´acticas la geometr´ıa del dominio fluido es lo bastante simple para que dicha resoluci´on sea inmediata; en estos casos el c´alculo de φ se facilita en gran medida mediante el empleo adecuado de (11.162), que es el fundamento del conocido , m´etodo de las im´ agenes. En el caso de geometr´ıas complicadas no es posible en general encontrar distribuciones ∂φ/∂n o φ que simplifiquen sustancialmente el problema, por lo que en estos casos se aplica directamente la ecuaci´on de Kirchoff (11.158) [lo que equivale a tomar φ = ∂φ/∂n = 0 en (11.162)]. Obs´ervese que
φ(x , τ ) − φ(x , τ ) φ−φ 1 1 ∂(φ − φ) (11.163) =− e(x , x) ∇ + |x − x | |x − x | ao ∂τ |x − x | y que e(x , x) = ∇|x − x | es el versor dirigido de x a x; por tanto, para puntos situados a una distancia de cualquiera de las superficies mucho mayor que la longitud de onda, |x − x | ao /ω, el comportamiento asint´otico de la ecuaci´on (11.162)es en primera aproximaci´ on,
n 1 1 ∂(φ − φ) dσ φ(x , , · ∇ φ− τ ) − ∇ τ ) + φ(x , x) , (11.164) e(x τ τ 4π Σ |x − x | ao ∂τ donde se ha despreciado la contribuci´ on del segundo sumando en el segundo miembro de (11.163). Por otra parte, para una dependencia temporal arm´ onica de la forma φ = [Φ(x)e−iωt ], (11.162) se escribe eik|x−x | 1 dσ n · [∇ Φ(x ) − ∇ Φ(x )] − Φ(x) = − 4π Σ |x − x | " ! 1 eik|x−x | dσ [Φ(x ) − Φ(x )] n · ∇ , (11.165) 4π Σ |x − x | donde k = ω/ao ; la expresi´on (11.165) es la base para la resoluci´on num´erica de la ecuaci´on Helmholtz mediante el m´etodo de los elementos de contorno (11.52). Como primera aplicaci´on de lo anterior, se usar´ a (11.165) para determinar el campo sonoro radiado por un altavoz circular de radio R insertado en una pared situada en el plano z = 0; se supondr´ a que los puntos del altavoz ejecutan oscilaciones arm´onicas en la direcci´on z de la misma amplitud, vz = [V e−iωt ], y que la pared es perfectamente r´ıgida fuera de la zona ocupada por el altavoz. Si se sustituye la pared por una distribuci´ on de fuentes [es decir, se toma Φ = Φ en (11.165)], la simetr´ıa del problema obliga a que se satisfaga la relaci´on n · ∇Φ = −n · ∇Φ = V , con n = ez en puntos del altavoz. La ecuaci´on (11.165) resulta entonces V eik|x−x | dσ , (11.166) Φ=− 2π Σ |x − x | donde Σ es la superficie r ≤ R ocupada por el altavoz y se ha tenido en cuenta que al ser la pared perfectamente r´ıgida se tiene n · ∇Φ = −n · ∇Φ = 0 para r > R. Si se expresan los puntos x de Σ en coordenadas polares x = r cos ϕ , y = r sen ϕ , (11.167) y el punto de observaci´ on x en coordenadas esf´ericas x = r sen θ cos ϕ,
y = r sen θ sen ϕ,
z = r cos θ,
(11.168)
259
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
y
x
q z
Figura 11.6: Campo ac´ ustico emitido por un altavoz.
se obtiene que
|x − x | = [r2 − 2rr sen θ cos(ϕ − ϕ ) + r2 ]1/2 ,
(11.169)
que sustituida en (11.166) proporciona el campo ac´ ustico en todos los puntos de la regi´on. Si se est´a interesado en el campo lejano, r ao /ω y r R2 ω/ao (v´ease 13.150), (11.166) puede aproximarse por V ikr R 2π ikr sen θ cos(ϕ−ϕ ) Φ=− dr r e dϕ , (11.170) e 2πr o o donde se han retenido t´erminos de orden R/r en el desarrollo de Taylor de |x−x | en la exponencial de (11.170), puesto que para frecuencias altas pueden dar lugar a desfases apreciables, como se ha se˜ nalado antes al analizar la zona de radiaci´ on de una distribuci´ on de fuentes [v´ease 11.121]. Las integrales en ϕ y r pueden evaluarse a partir de las funciones de Bessel de orden cero, Jo y orden uno J1 respectivamente 1 Jo (ξ) = 2π
2π iξ cos ξ
e o
dξ,
1 J1 (ξ) = ξ
ξ
ξJo (ξ)dξ;
(11.171)
o
se obtiene entonces
R2 V ikr 2J1 (kR sen θ) e . (11.172) 2πr kR sen θ La intensidad ac´ ustica media en la direcci´on er en el campo lejano se obtiene f´acilmente de (11.172) y (11.104) como J12 (ωR sen θ/ao ) I¯r (θ) = . (11.173) (ωR sen θ/ao )2 I¯r (0) Φ=−
donde se ha normalizado la distribuci´ on de intensidades con la intensidad I(0) en θ = 0 y se ha sustituido k = ω/ao . Se observa que cuando el radio del altavoz es muy peque˜ no comparado con la longitud de onda (ωR/ao 1) el cociente en (11.173) tiende a 1 para todo valor del a´ngulo θ; es decir, el pist´on radia de forma unidireccional como una fuente puntual. Cuando el valor de ωR/ao aumenta, la intensidad var´ıa apreciablemente con θ (correspondiendo su m´aximo siempre a θ = 0) y para valores de ωR/ao > 3, 83 se anula para un a´ngulo θ1 = arc sen 3,83 ao /(ωR). La regi´on |θ| < θ1 se denomina l´obulo principal para la intensidad ac´ ustica, Figura 11.6. Para valores mayores
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
260
de ωR/ao aparece un segundo cero en la intensidad para un a´ngulo θ2 = arc sen[7, 02 ao /(ωR)] que determina un l´ obulo secundario θ1 < |θ| < θ2 . L´obulos de m´as alto orden aparecen al aumentar ωR/ao . La Figura 11.6 muestra que el m´aximo de intensidad correspondiente al l´ obulo secundario es del orden de 0, 05 I(0) por lo que pr´ acticamente toda la potencia ac´ ustica emitida por el altavoz est´a contenida dentro de un cono de a´ngulo θ1 ∼ λ/R (obs´ervese que θ1 1 para λ/R 1). F´ısicamente, los resultados anteriores pueden explicarse si se tiene en cuenta la diferencia de recorrido de las ondas emitidas por los diferentes elementos de superficie del altavoz hasta llegar a los puntos de la semiesfera de radio r R. Cuando dicha diferencia es mucho menor que λ (R λ) las ondas llegan en fase a todos los puntos de la semiesfera pudi´endose considerar por tanto el altavoz como una fuente puntual. Sin embargo, cuando la diferencia de recorrido (cuyo efecto se acent´ ua al aumentar θ) es del orden de λ, es decir, si λ ∼ R, se produce un desfase importante entre las ondas que hace que interfieran destructivamente en puntos situados fuera del eje. Finalmente, si λ R la interferencia es pr´acticamente total excepto para puntos situados sobre rectas que forman ´angulos muy peque˜ nos θ ∼ λ/R con el eje. Como aplicaci´on pr´ actica del an´alisis anterior, conviene indicar que el aumento de direccionalidad que acompa˜ na a un aumento de la frecuencia produce grandes variaciones espaciales en las intensidades relativas de los sonidos de baja y alta frecuencia generados por un altavoz. En recintos de dimensiones moderadas este efecto no es muy importante a menos que las paredes tengan un alto coeficiente de absorci´on, ya que las paredes reflejan el sonido radiado y redistribuyen espacialmente su intensidad haci´endola pr´ acticamente uniforme. Sin embargo, cuando se usan sistemas de sonido en exteriores o en auditorios grandes el efecto de las paredes es peque˜ no y para obtener una distribuci´ on uniforme de las componentes de alta frecuencia puede ser necesario emplear un sistema de altavoces orientados en diferentes direcciones. Finalmente, se aplicar´a la ecuaci´on (11.165) al estudio de la dispersi´ on (scattering en la literatura anglosajona) de una onda sonora monocrom´ atica de frecuencia ω por un objeto situado en el seno del fluido. Consid´erese una onda plana monocrom´atica que incide sobre un objeto como se indica en la Figura 11.7. El objeto dispersa la onda plana incidente en todas direcciones, por lo que en un punto cualquiera del dominio fluido el potencial ac´ ustico puede expresarse como la superposici´on del correspondiente a la onda incidente y el de la perturbaci´ on ac´ ustica que introduce el objeto,
x
q
A ie i k z
z
Figura 11.7: Dispersi´on de una onda plana por un objeto.
Φ = Ae eikz + Φs ,
(11.174)
donde k = ω/ao , Ae es la amplitud de la onda incidente, cuya direcci´ on de propagaci´ on se ha tomado seg´ un el eje z, y Φs es el potencial ac´ ustico correspondiente a la onda dispersada; la ecuaci´ on para
261
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on Φs se obtiene sustituyendo (11.171) en la ecuaci´on de Helmholtz (11.52), que proporciona ∇2 Φs +
ω2 Φs = 0. a2o
(11.175)
Para simplificar el problema se supondr´ a que la masa del objeto es lo suficientemente grande como para despreciar las aceleraciones inducidas por la presi´on ac´ ustica y, por tanto, la superficie del objeto permanece inm´ovil bajo la influencia de la onda incidente; en la superficie Σ del objeto se impondr´ a, por tanto, que n · ∇Φ = 0, o si se usa (11.174), la condici´on equivalente n · ∇Φs = −ikn · ez eikx·ez ,
x ∈ Σ.
(11.176)
on ac´ ustica debe Otra condici´on de contorno para Φs se obtiene imponiendo que la perturbaci´ anularse lejos del objeto Φs → 0, |x| → ∞. (11.177) La soluci´on de (11.175)-(11.177) puede expresarse en forma integral mediante (11.165)
eik|x−x | dσ n · ez eikx ·ez − | |x − x Σ " ! 1 eik|x−x | dσ Φs (x )n · ∇ , 4π Σ |x − x |
ikAe Φs = 4π
(11.178)
donde se han tomado Φs = n · ∇Φs = 0, puesto que en este caso la geometr´ıa del problema no sugiere de forma directa valores de estas cantidades que simplifiquen el an´alisis. La soluci´on de la ecuaci´on integral (11.178) puede encontrarse sin mucha dificultad en el l´ımite en que la dimensi´on caracter´ıstica del objeto, L, es mucho menor que la longitud de onda, esto es, k|x | ∼ kL 1 con el origen de coordenadas supuesto situado en el interior del objeto. En efecto, en dicho l´ımite puede aproximarse eikx ·ez 1 + ikx · ez + 0(k 2 |x |2 ), (11.179) y para distancias del objeto |x − x | L se tiene tambi´en ikr eikr eik|x−x | e · − x + 0(k 2 |x |2 ), ∇ |x − x | r r
(11.180)
donde r = |x| es la distancia del punto x al origen de coordenadas. Si se sustituyen (11.179) y (11.180) en (11.178), se tiene en cuenta que el objeto es cerrado ( Σ dσ n = 0) se obtiene finalmente k 2 Ae eikr dσ n · ez x · ez − Φs = − 4π r Σ ikr
e 1 ∇ · ikAe dσ x n · ez + dσn Φs (x ) . 4π r Σ Σ
(11.181)
Las dos primeras integrales del segundo miembro de (11.181) pueden evaluarse f´acilmente si se tiene en cuenta que dσn x = d∇ x = ΩI; (11.182) Σ
Ω
por otra parte, puesto que ez ez : I = 1 y ez · I = ez , se obtiene
ikr e 1 2 1 dσ n Φs (x ) . ∇ · ikΩAe ez + Φs = − k Ae Ωeikr − 4πr 4π r Σ
(11.183)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
262
Para evaluar la integral restante en (11.183) debe tenerse en cuenta que a distancias L del objeto muy peque˜ nas comparadas con la longitud de onda, la ecuaci´ on de Helmholtz (11.175) puede aproximarse por la ecuaci´on de Laplace ∇2 Φs = 0,
(11.184)
y que la condici´on de contorno (11.176) puede aproximarse, salvo t´erminos de orden kL 1, por n · ∇Φs = −ikAe n · ez ,
x ∈ Σ.
(11.185)
∼
∼
Si se escribe Φs = ikAe Φs , se observa que Φs , y, por tanto, la integral de superficie depende solo de la geometr´ıa del objeto y no de las caracter´ısticas de la onda incidente. Por ejemplo, para el caso de una esfera de radio R, el problema (11.184) y (11.185) se escriben en coordenadas esf´ericas ! ! ∼ " ∼ " ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ Φ Φ s s r2 + 2 sen θ = 0, (11.186) r2 ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ ∼
∂ Φs = − cos θ, r = R, (11.187) ∂r donde naturalmente se ha tomado el origen de coordenadas en el centro de la esfera y se ha tenido en cuenta que el problema presenta simetr´ıa de revoluci´ on alrededor del eje z. Este problema admite soluci´on en variables separadas de la forma Arn cos θ, donde el valor de n se determina sustituyendo ∼ dicha expresi´on en (11.186)-(11.187) e imponiendo que Φs decrezca con r, lo que proporciona ∼
Φs = Por tanto,
Ae R3 dσn Φs = ik 2 Σ
R3 cos θ . 2 r2
r=R
dσn
(11.188)
2 cos θ = πR3 ikAe ez , r2 3
(11.189)
donde, para evaluar la integral, se ha usado la expresi´ on n = cos θez +sen θ(cos φex +sen φey ) para la normal unitaria a la esfera. Si se sustituye (11.189) en (11.183) y se consideran puntos situados a distancias del cuerpo grandes comparadas con la longitud de onda, de forma que ∇(eikr /r) ikeikr /r, se obtiene finalmente
ikr 3 e Ae k 2 1 − cos θ , (11.190) Φs = − 3 2 r donde cos θ = er · ez es el coseno del ´angulo que forma el radio vector del punto de observaci´ on x = rer con la direcci´on de propagaci´ on z. La energ´ıa ac´ ustica dispersada que atraviesa en la unidad de tiempo un elemento de superficie dσ de orientaci´ on er y situado en el punto (r, θ, ϕ) es ρo ω ρo |Ae |2 ω 6 R6 (Φ∗s er · ∇Φs )dσ = dEs = 2 18a5o
2 3 dσ 1 − cos θ , 2 r2
(11.191)
donde se ha hecho k = ω/ao . La secci´ on diferencial de dispersi´ on en la direcci´on (θ, ϕ), σ ¯ , se define como la relaci´on entre r2 dEs /dσ y la intensidad ac´ ustica incidente ρo ω 2 |Ae |2 /2ao , es decir, σ ¯=
R6 ω 4 dEs = do 9a4o
2 3 1 − cos θ , 2
(11.192)
263
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
donde do = dσ/r2 es el elemento de ´angulo s´olido en la direcci´on considerada. La secci´on total ¯ se obtiene integrando (11.192) sobre la esfera de radio unidad, para la que do = de dispersi´on σ sen θdϕdθ; se obtiene entonces 7 πR6 ω 4 ¯= . (11.193) σ 9 a4o Obs´ervese en (11.192) que la dispersi´on es mayor en direcciones contrarias a la de propagaci´on y que su valor aumenta muy r´ apidamente con la frecuencia.16 El caso opuesto al considerado aqu´ı , es decir, cuando la longitud de onda es peque˜ na comparada con las dimensiones del objeto, es dif´ıcil de tratar anal´ıticamente. No obstante, puede inferirse que en la parte frontal del objeto (θ > π/2) y a distancias de los bordes grandes comparadas con la longitud de onda, la teor´ıa de la ac´ ustica geom´etrica, considerada m´as adelante, y seg´ un la cual el sonido se propaga a lo largo de rayos, es v´alida y la dispersi´ on del sonido puede considerarse como simple reflexi´on de los rayos incidentes en la superficie del objeto. Por tanto, la contribuci´ on de esta zona a la secci´on total de dispersi´on es simplemente la proyecci´on S del ´area del objeto sobre un plano perpendicular a la direcci´ on de propagaci´on. Detr´as del objeto se forma una zona de silencio (an´aloga a la zona de sombra en el caso de la luz), de bordes muy definidos, que aparece debido a la destrucci´ on por interferencia del campo incidente por las ondas dispersadas en la zona de la superficie del objeto muy cercana a los bordes, donde los efectos de difracci´on (no tenidos en cuenta en la teor´ıa geom´etrica) son importantes; se deduce que esta zona debe dispersar una energ´ıa igual a la energ´ıa total incidente sobre el objeto, es decir, su contribuci´ on a σ es tambi´en S. Por tanto, en el caso de altas frecuencias la secci´on total de dispersi´on es σ = 2S.
11.1.6.
Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on t´ ermica en la propagaci´ on de ondas sonoras
Como se demostr´o en 12.1, los efectos de viscosidad y de conducci´on t´ermica en las ondas sonoras son despreciables cuando act´ uan sobre tiempos caracter´ısticos del orden del periodo t´ıpico de la onda [v´ease (11.2)]. Sin embargo, dichos efectos poseen un car´acter secular, es decir, se acumulan con el tiempo, y terminan por atenuar completamente la onda cuando ´esta ha recorrido una distancia suficientemente grande. Para analizar la influencia de los fen´ omenos de viscosidad y de conducci´on de calor en la propagaci´ on del sonido se considerar´a aqu´ı una situaci´ on unidimensional, de manera que no se presente el efecto de atenuaci´on debido a la divergencia esf´erica (cuyo efecto es mucho mayor que el de los fen´omenos disipativos en el caso, usual en la pr´actica, de la propagaci´on tridimensional de ondas sonoras). En este caso, considerando peque˜ nas perturbaciones de las variables fluidas respecto a la situaci´on de reposo, las ecuaciones linealizadas de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa interna se escriben ∂ρ ∂u + ρo = 0, ∂t ∂x 2 ∂ u ∂u ∂ρ 4 µ + µv , =− + ρo ∂t ∂x 3 ∂x2 ρo cv
∂T ∂u ∂2T , = −po +k ∂t ∂x ∂x2
(11.194)
(11.195)
(11.196)
16 Un fen´ omeno an´ alogo al considerado aqu´ı tiene lugar en la dispersi´ on de la luz solar (ondas electromagn´eticas) por las mol´eculas del aire atmosf´erico. En el espectro visible la longitud de onda es mayor que el tama˜ no de las mol´eculas de aire (fundamentalmente 02 y N2 ), y la teor´ıa expuesta aqu´ı se aplica; el azul del cielo pone de manifiesto c´ omo el aire dispersa m´ as eficientemente las frecuencias m´ as altas del espectro visible (azul).
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
264
donde µ, µv y k son los coeficientes de viscosidad y de conductividad t´ermica del gas, que se han supuesto independientes de la temperatura. A las ecuaciones (11.194)-(11.196) debe a˜ nadirse la ecuaci´on de estado del gas, cuya linealizaci´on para peque˜ nas perturbaciones proporciona p = Rg(To ρ + ρo T ).
(11.197)
Para simplificar los c´alculos que siguen, es conveniente escribir (11.194)-(11.197) en forma adimensional. Para ello se consideran un tiempo caracter´ıstico to (que se especificar´a m´as adelante), una longitud caracter´ıstica Lo = ao to donde ao es la velocidad del sonido del medio en reposo, y las variables y los par´ ametros adimensionales t∗ = t/to , p∗ = p /γpo ,
x∗ = x/(ao to ), ρ∗ = ρ /ρo ,
P r = (4/3µ + µv )cv /k,
u∗ = u/ao ,
T ∗ = T /(γ − 1)To ,
= (4/3µ + µv )/(ρo a2o to ),
(11.198)
de modo que las ecuaciones (11.194)-(11.197) se escriben ∂u∗ ∂ρ∗ + = 0, ∂t∗ ∂x∗ ∂u∗ ∂p∗ ∂ 2 u∗ = − + , ∂t∗ ∂x∗ ∂x∗2 2 ∗ ∂T ∗ ∂u∗ −1 ∂ T = P r − , ∂t∗ ∂x∗2 ∂x∗ p∗ = ρ∗ /γ + (γ − 1)T ∗ /γ.
(11.199) (11.200) (11.201) (11.202)
Consid´erense ahora soluciones de (11.199)-(11.202) en forma de ondas monocrom´aticas de una frecuencia dada ω. Si se hace entonces to = 1/ω, dichas soluciones se escriben en variables adimensionales ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ u∗ = Aei(k x −t ) , T ∗ = Bei(k x −t ) , ρ∗ = Cei(k x −t ) , (11.203) umero de onda adimensional. La relaci´ on entre las amplitudes complejas donde k ∗ = kao /ω es el n´ A, B y C as´ı como los valores posibles de k ∗ deben determinarse de las ecuaciones (11.199)-(11.202). En efecto, sustituyendo en ´estas las expresiones (11.203) se obtiene C = k ∗ A,
(11.204)
(k ∗2 − iγk ∗2 − γ)A + (γ − 1)k ∗ B = 0,
(11.205)
k ∗ A − (1 + ik ∗2 P r−1 )B = 0.
(11.206)
Para que el sistema homog´eneo (11.204)-(11.206) admita soluciones distintas de la trivial es necesario que el determinante de sus coeficientes sea nulo iP r−1 (1/γ − iγ)k ∗4 + k ∗2 [1 − i(1 + P r−1 ] − 1 = 0;
(11.207)
dicha condici´ on proporciona la relaci´ on de dispersi´on k ∗ = k ∗ () [es decir, k = k(ω)] que permite conocer los n´ umeros de onda que pueden propagarse para la frecuencia dada ω. La ecuaci´on bicuadr´ atica (11.207) puede resolverse sin dificultad para cualquier valor de . No obstante, se considerar´ a aqu´ı solamente el l´ımite 1 que es de inter´es en la pr´actica. Obs´ervese que la soluci´on de (11.207) para = 0 es ko∗ = ±1 (o ko = ±ω/ao ), que corresponde a ondas planas no amortiguadas de la forma eiω(t±x/ao ) . Cuando es peque˜ no puede escribirse k ∗ = ko∗ + k1∗ + 2 k2∗ ,
(11.208)
265
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
y resolver (11.207) mediante un esquema de perturbaciones. En efecto, sustituyendo (11.208) en (11.207) e igualando sucesivamente los t´erminos correspondientes a potencias id´enticas de se obtiene ko∗ = ±1, (11.209) k1∗ = k2∗ = −
i [1 + (γ − 1)/γP r−1 ], 2ko∗
1 {1 + [1 + (γ − 1)/γP r−1 ][3/4 + P r−1 (3γ − 7)/4γ]}. 2ko∗
(11.210) (11.211)
Sustituyendo (11.209)-(11.211) en (11.208) y teniendo en cuenta las definiciones de , P r y k ∗ se obtiene finalmente k = ±ω[1 − β(ν/ωa2o )2 ]/ao ± iη ≡ ±(kr + iη), (11.212) donde se han definido los siguientes par´ ametros η=
ω2 [4/3µ + µv + (1/cv − 1/cp )k], 2a3o ρo
ν = (4/3µ + µv )ρo
(11.213)
y 1 {1 + [1 + P r−1 (γ − 1)/γ][3/4 + P r−1 (3γ − 7)/4γ]}. 2 La soluci´on de (11.194)-(11.197) puede escribirse, por tanto, de la forma β=
u = A1 e−ηx eikr (x−ao t) + A2 eηx e−ikr (x+ao t) ,
(11.214)
(11.215)
con expresiones an´alogas para T y ρ que involucran constantes B1 , B2 y C1 , C2 respectivamente, [ver (11.203)]. Las relaciones entre las amplitudes A1 , B1 y C1 deben hallarse resolviendo (11.204)(11.206) para el valor de k correspondiente al signo positivo en (11.212); la relaci´ on entre A1 , B2 y C2 se obtiene de forma an´aloga con el valor de k correspondiente al signo negativo. Los dos sumandos en (11.215) representan ondas planas viajeras en las direcciones de x creciente y x decreciente respectivamente, cuya amplitud decrece con la distancia recorrida de acuerdo con la ley e±ηx (su intensidad, por tanto, decrece de la forma e±2ηx ) donde el coeficiente η est´a dado por (11.213) y se denomina coeficiente de absorci´ on de la onda. Obs´ervese que los efectos disipativos modifican la velocidad de propagaci´ on de la onda, que se obtiene a partir de (11.215) como ao ao [1 + (ν/ωa2o )2 β]. 1 − (ν/ωa2o )2 β
(11.216)
Las ondas cuya velocidad de propagaci´ on depende de la frecuencia se denominan dispersivas. Por tanto, los efectos disipativos originan una dispersi´ on (distorsi´on) de las ondas sonoras (la velocidad de propagaci´on crece al aumentar la frecuencia), aunque debido a la peque˜ nez del par´ametro ν/ωao , la distorsi´on del sonido s´olo es apreciable a distancias muy grandes de la fuente, quedando dicho efecto enmascarado en la pr´actica por la atenuaci´ on debida a la divergencia esf´erica.
11.1.7.
Ondas sonoras en medios no homog´ eneos en movimiento
Hasta ahora se ha considerado la propagaci´ on del sonido en un medio en el que, en ausencia de perturbaciones sonoras, la presi´on y la densidad son uniformes y la velocidad nula. Sin embargo, existen circunstancias en las que es necesario considerar la influencia de las variaciones espaciales y/o temporales de las variables fluidas del medio sin perturbar en la propagaci´ on del sonido, en particular cuando ´esta se desea analizar sobre grandes distancias como sucede en algunas aplicaciones en la atm´osfera y en la ac´ ustica subacu´atica. En esta secci´on se formular´ an primero las
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
266
ecuaciones que gobiernan la propagaci´ on sonora para un medio no homog´eneo en movimiento y, seguidamente, se estudiar´a un procedimiento para calcular su soluci´ on aproximada en el l´ımite denominado ac´ ustica geom´etrica, que se obtiene cuando las longitudes de ondas y periodos t´ıpicos de oscilaci´on en las ondas sonoras son mucho menores que las longitudes y tiempos caracter´ısticos de variaci´ on de las variables del medio sin perturbar; el procedimiento para encontrar la soluci´ on aproximada del problema se conoce como el m´etodo del trazado de rayos (ray tracing en la literatura anglosajona) y se emplea tambi´en en otros campos de la f´ısica ondulatoria tales como la ´optica (propagaci´ on de ondas electromagn´eticas), sismolog´ıa, etc. Las ecuaciones que gobiernan la propagaci´on del sonido en el medio pueden obtenerse expresando las variables fluidas como suma de las correspondientes al medio sin perturbar, denotadas con sub´ındice cero, y de las las perturbaciones ac´ usticas, denotadas con prima, en la forma u = uo + u , p = po + p , ρ = ρo + ρ .
(11.217)
Para simplificar el an´ alisis, se supondr´a que los efectos de fricci´on y de conducci´on y adici´ on de calor son despreciables tanto en el movimiento sin perturbar como en el campo sonoro, de manera que las variables fluidas (11.217) satisfacen las ecuaciones de Euler (11.3)-(11.5); se supondr´ a, adem´as, que todas las part´ıculas fluidas poseen inicialmente la misma entrop´ıa, por lo que se verifica que p = Cργ donde C es una constante. El sistema no lineal de ecuaciones que determina las variables no perturbadas se obtiene introduciendo las expresiones (11.217) en las ecuaciones de Euler y despreciando t´erminos del orden de las perturbaciones, lo que proporciona Dρo + ρo ∇ · uo = 0, Dt
Duo 1 + ∇po = 0, Dt ρo
po = Cρo γ .
(11.218)
Para obtener las ecuaciones para las perturbaciones ac´ usticas obs´ervese primero que si se linealiza la relaci´on isentr´ opica, po + p = C(ρo + ρ )γ ∼ Cργo (1 + γρ /ρo + ...) , y se hace uso de la u ´ltima de las relaciones en (11.218) se obtiene p = a2o ρ , (11.219) que es id´entica a la obtenida en la Secci´on 1 para un medio uniforme en reposo. Si se retienen ahora los t´erminos lineales en las perturbaciones en las ecuaciones de Euler de continuidad y de cantidad de movimiento y se hace uso de las relaciones (11.218)- (11.219) se obtiene el sistema Dp p D(ρo a2o ) − + u · ∇po + ρo a2o ∇ · u = 0 Dt ρo a2o Dt
(11.220)
Du 1 p − 2 2 ∇po + u · ∇uo + ∇p = 0 , Dt ρo ao ρo
(11.221)
donde el operador derivada sustancial se ha definido como ∂ D ≡ + uo · ∇. Dt ∂t
(11.222)
Por tanto, conocidas las variables fluidas en el medio sin perturbar de la integraci´ on de (11.219), las ecuaciones (11.220)-(11.221) constituyen un sistema lineal de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con coeficientes variables que determina el campo sonoro, p y u . Otra ecuaci´on de inter´es es la que gobierna la energ´ıa ac´ ustica por unidad de volumen w=
p2 1 , ρo u2 + 2 2ρo a2o
(11.223)
267
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
que se obtiene f´acilmente si se suman las ecuaciones resultantes de multiplicar (11.220) por p y (11.221) escalarmente por u ; haciendo uso repetido de (11.218) y (11.219) resulta ∂w p2 Dao + ∇ · (w uo + p u ) = −ρo u u : ∇uo + . ∂t ρo a3o Dt
(11.224)
La ecuaci´on (11.224) expresa el balance entre la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa ac´ ustica contenida en la unidad de volumen, el flujo de energ´ıa ac´ ustica que abandona dicha unidad de volumen debido a la propagaci´ on de las ondas sonoras (t´ermino p u ) y a la convecci´on con el movimiento no perturbado (t´ermino wuo ), y los t´erminos del segundo miembro, que representan el intercambio de energ´ıa entre las perturbaciones ac´ usticas y el medio sin perturbar cuando ´este es no-uniforme y/o no estacionario; esta interacci´on entre el sonido y el medio en el cual se propaga da lugar al conocido efecto de refracci´on de las ondas sonoras. El sistema de coeficientes variables (11.220)-(11.221) resulta, en general, demasiado complicado como para admitir una soluci´ on anal´ıtica. Adem´as, su integraci´on num´erica directa puede ser muy costosa, especialmente cuando la longitud de onda t´ıpica de las ondas ac´ usticas sea tan peque˜ na comparada con las dimensiones de la regi´on de inter´es que se requiera un mallado extremadamente fino para la resoluci´ on del campo sonoro. No obstante, en muchos casos pr´acticos se verifica que la longitud y el tiempo caracter´ısticos para variaciones en el medio sin perturbar son muy grandes comparados con la longitud de onda y periodo t´ıpicos de las ondas sonoras, esto es, se tiene λo
1 |∇ψo | 1 ψo
y
1 1 ∂ψo 1, ωo ψo ∂t
(11.225)
donde ψo representa cualquier variable del medio no perturbado y λo y 1/ωo son una longitud y un periodo t´ıpicos de las ondas. Como se se˜ nal´ o al principio de esta secci´on, las condiciones (11.225) corresponden al l´ımite de la ac´ ustica geom´etrica y permiten aplicar un procedimiento eficiente para la resoluci´on aproximada de (11.220)-(11.221): el m´etodo de trazado de rayos. En efecto, se vio en 11.1.3 que en el caso de un medio homog´eneo y estacionario la ecuaci´on (11.19) admite soluciones en la forma de ondas planas Aeiα , con una fase α = k · x − ωt, y con valores constantes de la amplitud A, del vector de onda, k = ∇α, y de la frecuencia, ω = −αt = kao . Este hecho sugiere que para un medio lentamente variable definido por las condiciones (11.225) las ecuaciones (11.220)-(11.221) admiten soluciones correspondientes a ondas localmente planas, de la forma u = A(x , t)eiα(x ,t)
y
p = B(x, t)eiα(x,t) ,
(11.226)
donde ahora la frecuencia y el vector de onda, definidos por ω(x, t) ≡ −αt
y
k(x, t) ≡ ∇α,
(11.227)
y las amplitudes, A y B, son funciones lentamente variables de la posici´on y del tiempo. La relaci´on de dispersi´on se obtiene en este caso introduciendo (11.226) en (11.220)-(11.221) y despreciando t´erminos proporcionales a las derivadas de las amplitudes frente a los proporcionales a las derivadas de la fase, |αt | (|At |, |Bt |) y |αxi | (|Axi |, |Bxi |). Resulta entonces el sistema de ecuaciones A(αt + uo · ∇α) +
1 B∇α 0, ρo
B(αt + uo · ∇α) + ρo a2o A · ∇α 0;
(11.228) (11.229)
como es bien conocido, (11.228)-(11.229) poseen soluci´on distinta de la trivial para A y B s´olo si el determinante de los coeficientes es nulo, lo que dicha condici´on proporciona la relaci´ on de dispersi´on (ω − k · uo )2 − a2o k 2 = 0, (11.230)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
268
donde se han usado de las definiciones (11.227). La relaci´ on que debe existir entre las amplitudes se obtiene ahora al resolver, por ejemplo, (11.228) [la relaci´ on de dispersi´on asegura entonces que la ecuaci´on (11.228) se verifica trivialmente], A=
Bk . ρo (ω − k · uo )
(11.231)
Obs´ervese que la relaci´on de dispersi´on (11.230) admite dos tipos de soluciones, o ramas, cada una definida por uno de los dos signos en la relaci´ on ω = uo · k ± ao k.
(11.232)
Cada rama en (11.232) da lugar a una ecuaci´ on no lineal en derivadas parciales de primer orden para determinar la fase α(x, t) del correspondiente modo, y su integraci´ on puede efectuarse mediante el conocido m´etodo de las caracter´ısticas. En efecto, si cada una de las relaciones (11.232) se denota gen´ericamente por ω = Ω(x, t, k) (11.233) y se definen los rayos (curvas caracter´ısticas) mediante la ecuaci´on17 dx = ∇k Ω, dt
(11.234)
la derivada total de (11.234) a lo largo de cada rayo proporciona la ecuaci´ on dk dx dω = · ∇k Ω + · ∇x Ω + Ω t . dt dt dt
(11.235)
Evidentemente, la ecuaci´on (11.235) se verifica si el vector de onda y la frecuencia se determinan sobre cada rayo mediante las ecuaciones18 dk = −∇x Ω, dt
(11.236)
dω = Ωt . (11.237) dt La integraci´ on del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (11.234) y (11.236)-(11.237) permite determinar a lo largo de cada rayo los valores de k y ω y, por tanto, los de la fase α, si se conoce esta u ´ ltima en el instante inicial. En efecto, dado α(x, 0) ≡ αo (x) o, lo que es lo mismo, k(x, 0) ≡ ko = ∇αo , y si se lleva a cabo la integraci´on partiendo de unas de unas condiciones iniciales t = 0 : x = xo , k = ko (xo ), ω = ωo (xo ) ≡ Ω(xo , 0, ko ), (11.238) se determinan para cualquier instante t > 0, x = x(xo , t), k = k [ko (xo ), t] , ω = ω(xo , t), y
α(xo , t) = αo (xo ) +
(11.239)
x
xo
k · dx.
(11.240)
17 Un sub´ ındice en el operador ∇ indica la derivada de (11.233) respecto a las variables del sub´ındice manteniendo las dem´ as constantes. 18 Las ecuaciones (11.234) y (11.237) son formalmente id´ enticas a las ecuaciones de Hamilton para la din´ amica de una part´ıcula con una funci´ on hamiltoniana Ω con los vectores posici´ on y momento de la part´ıcula representados por x y k. En la mec´ anica cu´ antica, dicha dualidad onda-part´ıcula, apuntada primero por De Broglie, fue decisiva para la formulaci´ on de la ecuaci´ on Schr¨ odinger.
269
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
Si se elimina ahora el punto inicial de la primera de las relaciones (11.239), xo = xo (x, t), y se sustituye en las restantes y en (11.240) se obtienen finalmente k = k(x, t),
ω = ω(x, t),
α = α(x, t).
(11.241)
Las amplitudes A(x, t) y B(x, t) en (11.226) pueden obtenerse tambi´en mediante integraci´ on a lo largo de los rayos usando la ecuaci´on de la energ´ıa ac´ ustica (11.224). A continuaci´ on se ilustrar´a el procedimiento para la familia de rayos correspondiente a la rama de la relaci´ on de dispersi´on ω = uo · k + ao k en (11.230); el tratamiento para la otra rama es id´entico. Para ello, es conveniente primero expresar B y A en t´erminos de una nueva variable ξ de la forma ˆ B = 2ρo ao ξ(k, x, t) y A = 2/ρo ξ(k, x, t)k, (11.242) ˆ es el versor unitario en la direcci´on de k y se ha hecho uso de (11.231)-(11.232); obs´ervese donde, k tambi´en que, por generalidad, se ha 1incluido dependencia expl´ıcita con respecto 1 2 en ξ una posible 2 a k = k(x, t). Puesto que p = Re B eiα y u = Re A eiα , la densidad de energ´ıa ac´ ustica correspondiente al modo (11.242) promediada sobre un volumen y un intervalo de tiempo grandes comparados con la longitud de onda y el periodo t´ıpicos de las ondas pero, a su vez, peque˜ no para poder despreciar variaciones de las variables no perturbadas, est´ a dada por w(k, x, t) =
1 1 p2 + ρo u2 = |ξ(k, x, t)|2 , 2 2 ρo ao 2
(11.243)
donde se ha hecho uso de (11.242). Asimismo, el valor medio del vector intensidad ac´ ustica es ˆ p u = ao kw,
(11.244)
y los valores medios de los productos de perturbaciones que figuran en el segundo miembro de la ecuaci´on (11.224) resultan w ˆˆ p2 k, u u = k = w. (11.245) ρo ρo a2o Si se promedia la ecuaci´on (11.224) haciendo uso de los resultados (11.243)-(11.245) se obtiene ∂w ˆk ˆ : ∇uo + w 1 Dao . ˆ = −wk + ∇ · (wuo + wao k) ∂t ao Dt
(11.246)
El segundo t´ermino del primer miembro de (11.246) indica que la energ´ıa ac´ ustica media se propaga ˆ que, precisamente, coincide con el valor de ∇k Ω para Ω = uo · k + ao k. con la velocidad uo + ao k En general, se define la velocidad de grupo como cg (k, x, t) ≡ ∇k Ω,
(11.247)
y representa la velocidad con que se propaga la densidad de energ´ıa ondulatoria media, w; obs´ervese en (11.234) que los rayos son tangentes en cada punto a la velocidad de grupo, luego definen tambi´en las trayectorias sobre las que se propaga w. Desarrollando el primer miembro de (11.247) y agrupando t´erminos se obtiene dw ˆk ˆ : ∇uo − 1 Dao , + w∇ · cg = −w k (11.248) dt ao Dt donde se ha definido el operador derivada total siguiendo el rayo como ∂ d ≡ + cg · ∇. dt ∂t
(11.249)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
270
En las derivadas parciales temporales y espaciales que aparecen en (11.248) (11.249) debe tenerse en cuenta la dependencia expl´ıcita e impl´ıcita [a trav´es de k = k(x, t)] de las variables w(k, x, t) y cg (k, x, t) con respecto de t y de x . La ecuaci´on (11.249) puede integrarse conjuntamente con las del trazado de rayos (11.234) y (11.236)-(11.237) para determinar la evoluci´ on a lo largo de los mismos de la densidad de energ´ıa ac´ ustica media y, con ella, de la amplitud de las perturbaciones en (11.242), |ξ| = w1/2 . La ecuaci´on (11.249) puede escribirse en una forma m´ as compacta, y tambi´en m´as sugerente desde el punto de vista f´ısico, si se tiene en cuenta que multiplicando la ecuaci´on dk = ∇x Ω = −(∇uo ) · k − k∇ao dt ˆ se obtiene la ecuaci´on para el m´odulo del vector de onda por el versor k
dk ˆ · ∇ao ; ˆk ˆ : ∇uo + k = −k k dt
(11.250)
(11.251)
si (11.251) se combina ahora con la relaci´on ∂ao ∂ao dao ˆ · ∇ao , ≡ + cg · ∇ao = + (uo + ao k) dt ∂t ∂t
(11.252)
se obtiene la ecuaci´on que gobierna la frecuencia ω = ao k de la onda para un observador que se mueve con la velocidad uo , 1 Dao dω ˆˆ = ω kk : ∇uo − . (11.253) dt ao Dt Haciendo uso de (11.253) en (11.248) se obtiene finalmente que w w ∂ w d w + ∇ + ∇ = 0. c · c · = g g dt ω ω ∂t ω ω
(11.254)
La ecuaci´on (11.254) es una ecuaci´on de conservaci´on para la denominada densidad de acci´ on de onda, w/ω , para un observador que se mueve con la velocidad del medio no perturbado. El significado f´ısico de (11.254) est´a ´ıntimamente ligado al conocido resultado de la mec´anica de part´ıculas que establece la conservaci´on de la acci´on para una part´ıcula sometida a una perturbaci´ on exterior adiab´ atica, esto es, lentamente variable; se dice entonces que la acci´on es un invariante adiab´ atico de la part´ıcula. La ecuaci´on (11.248) proporciona la densidad de energ´ıa ac´ ustica media para un u ´nico modo. En general, el campo sonoro en el dominio fluido no constar´ a solamente de un modo, sino que, localmente, ser´a una superposici´on continua de modos similar a la integral de Fourier que se utiliza para analizar la propagaci´ on de ondas en un medio infinito y homog´eneo. En vez de (11.242) se tiene entonces 3 p (x, t) = 2ρo ao d3 k ξ(k, x, t)eiα(k,x,t) , (11.255) y
3 ˆ ξ(k, x, t)eiα(k,x,t) , d3 k k u (x, t) = 2/ρo
(11.256)
donde k = k(x, t) es el vector de onda local. Al elevar al cuadrado cada una de las expresiones (11.252) y (11.253) y promediar sobre un tiempo y un volumen de dimensiones caracter´ısticas grandes frente a las asociadas a las ondas pero peque˜ nas comparadas con las asociadas a las variaciones del medio no perturbado se anula el efecto de la interferencia entre los distintos modos y, por tanto, puede despreciarse la contribuci´ on a w de productos de amplitudes correspondientes
271
11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on
a diferentes vectores de onda y frecuencias. La densidad de energ´ıa ac´ ustica media en (x, t) resulta, por tanto, una superposici´ on de las asociadas con cada uno de los modos 1 p2 1 2 w(x, t) = + ρo u = |ξk (x, t)|2 d3 k, (11.257) 2 ρo a2o 2 donde, para simplificar notaci´ on, la dependencia de ξ con k se ha denotado por un sub´ındice. Obs´ervese que |ξk (x, t)|2 d3 k representa la contribuci´ on a w(x, t) de la energ´ıa contenida en los modos cuyo vector de onda est´a comprendido en el elemento de volumen infinitesimal d3 k que contiene a k y, por tanto, es apropiado introducir la notaci´ on |ξk |2 ≡ wk en lo que sigue. Por otra parte, es f´acil comprobar que la relaci´on (11.243) y (11.245) que expresan p u , ρo u u y p2 como funciones de w siguen siendo v´alidas. La ecuaci´on que determina las amplitudes |ξk (x, t)| a lo largo de los rayos se obtiene de promediar (11.224) haciendo uso de (11.243)-(11.245) y sustituir en la ecuaci´on resultante la integral de (11.257) por w. Efectuando las derivadas e igualando los integrandos en ambos miembros se obtiene 1 Dao 1 d(d3 k) dwk ˆ ˆ + w k ∇ · cg + w k 3 = −wk kk : ∇uo − . (11.258) dt d k dt ao Dt La ecuaci´on (11.258) es id´entica a la ecuaci´on (11.248) excepto por el u ´ltimo t´ermino del primer miembro , que representa la variaci´ on unitaria de volumen en el espacio de vectores de onda a lo largo de un rayo. Dicho t´ermino puede calcularse teniendo en cuenta que, debido a la estructura hamiltoniana de (11.234) y (11.236), el elemento de volumen del espacio de fases (x, k) permanece constante a lo largo de los rayos, es decir,19 d(d3 x) d(d3 k) d(d3 xd3 k) = d3 k + d3 x = 0. (11.259) dt dt dt Puesto que la velocidad de dilataci´ on c´ ubica siguiendo a un rayo se obtiene partir de (11.234) como d(d3 x)/dt = d3 x∇ · cg , se deduce de (11.259) que 1 d(d3 k) = −∇ · cg , d3 k dt
(11.260)
y, por tanto, los dos u ´ltimos t´erminos del primer miembro se cancelan. Si, como se hizo con (11.248), se expresa (11.260) en t´erminos de la frecuencia ω = ao k se obtiene la ecuaci´on ∂ wk wk d wk ≡ + c = 0, · (11.261) ∇ g dt ω ∂t ω ω que expresa que la derivada total siguiendo a un rayo de la densidad de acci´ on espectral, wk /ω , es nula. Si se introduce el elemento de longitud a lo largo del rayo ds = |cg |dt la expresi´on anterior puede escribirse como ∂ wk ∂ wk + |c = 0. | (11.262) g ∂t ω ∂s ω En ciertas aplicaciones es conveniente expresar la distribuci´on wk d3 k en el espacio de vectores de onda en t´erminos de la distribuci´ on en el espacio de frecuencias y de direcciones, determinadas 19 Obs´ ervese que las ecuaciones para los rayos (11.234) y (11.237) determinan en el espacio de seis dimensiones (x, k) el campo de velocidades [Ωk (x, k, t), −Ωk (x, k, t)]. Por analog´ıa con el caso tridimensional, puede demostrarse que la divergencia de dicho campo de velocidades determina la velocidad de dilataci´ on unitaria en el espacio x, k; puesto que la divergencia es nula, ∇x · ∇k Ω − ∇k · ∇x Ω = 0 un elemento d3 x d3 k conserva su volumen movi´endose con los rayos. Obs´ervese, adem´ as, que la variaci´ on total de d3 x siguiendo a los rayos, d(d3 x)/dt, no est´ a dada por on de k con x a lo largo de ∇x · ∇k Ω(x, k, t), sino que se calcula a partir de (11.234) teniendo en cuenta la variaci´ los rayos, (11.241): d(d3 x)/dt = d3 x∇ · ∇k Ω[x, k(x, t), t] ≡ d3 x∇ · cg .
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
272
por el elemento de ´angulo s´olido. Para ello, t´engase en cuenta la relaci´on d3 k = k 2 do, donde do = sen θ dθ dϕ representa el elemento de ´angulo s´olido formado por las direcciones de los rayos cuyos vectores de onda est´an comprendidos en el elemento de volumen d3 k alrededor de k. Por tanto, La densidad de flujo de energ´ıa ac´ ustica en x en la direcci´on de cg puede expresarse como ∂k wk |cg |k 2 d kdo = wk |cg | k 2 d ωdo, (11.263) ∂ω donde
−1 ∂k ∂ω 1 = = |k · ∇k ω|−1 = , ∂ω ∂k |cg || cos θ|
(11.264)
donde θ es el ´angulo que forman el vector de onda y la velocidad de grupo. A partir de (11.263) puede definirse la intensidad direccional por unidad de frecuencia como Idω =
wk k2 , | cos θ|
(11.265)
y representa, de acuerdo con (11.263)-(11.264), la densidad de flujo de energ´ıa por unidad de frecuencia y unidad de a´ngulo s´olido. Si, adem´ as, se define ´ındice de refracci´on del medio como el cociente entre una velocidad del sonido de referencia, aref , y la velocidad de fase local de las ondas n(x, t) =
karef , ω
se obtiene a partir de (11.264) la ecuaci´ on para Idω ∂ Idω | cos θ| ∂ Idω | cos θ| d Idω | cos θ| = + |cg | = 0. dt n2 ω 3 ∂t n2 ω 3 ∂s n2 ω 3
(11.266)
(11.267)
La ecuaci´on (11.267) puede integrarse conjuntamente con las ecuaciones del trazado de rayos (11.234) y (11.235) para determinar la distribuci´ on de la intensidad direccional ac´ ustica en un medio no homog´eneo; para efectuar dicha integraci´ on a lo largo de cada rayo deben tenerse en cuenta condiciones de contorno que debe satisfacer Idω en las intersecciones del rayo con las superficies que limitan al dominio, dependiendo de si en ellas tiene lugar emisi´ on, absorci´on o reflexi´on del sonido. T´engase en cuenta que habr´a una ecuaci´on del tipo (11.267) por cada una de las ramas de la relaci´ on de dispersi´on puesto que el campo sonoro ser´a una suma de integrales de la forma (11.255)- (11.256), correspondiendo cada una a su rama respectiva. Adem´as, si el medio sin perturbar es homog´eneo y estacionario, la ecuaci´on (11.267) proporciona que la intensidad direccional por unidad de frecuencia se conserva a lo largo de los rayos. Finalmente, conviene indicar que la ecuaci´on (11.267), aunque deducida usualmente de forma fenomenol´ ogica, tambi´en aparece en otros ´ambitos de la f´ısica en los que, debido a las peque˜ nas longitudes de onda y altas frecuencias caracter´ısticas, la propagaci´on de la energ´ıa ondulatoria se trata de forma geom´etrica, o corpuscular, mediante el m´etodo de rayos expuesto en esta secci´on. Tal es el caso de la transferencia de calor por radiaci´on, la propagaci´ on de la luz en la atm´osfera, la propagaci´ on de ondas gravitatorias en el mar, etc´etera. A veces, en el segundo miembro de (11.267) se incluyen t´erminos que representan la absorci´on, producci´ on y dispersi´on de Idω debido a los t´erminos disipativos, los no-lineales, y los asociados a posibles r´apidas (pero peque˜ nas) variaciones en las variables del medio sin perturbar, que se han despreciado en las ecuaciones (11.220) y (11.221).
11.2.
Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre
Sabido es que la superficie libre de un l´ıquido en presencia de un campo gravitatorio est´ a animada generalmente de un movimiento de car´acter ondulatorio. Una porci´ on de la superficie libre
273
11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre pa
g
y
z
x h(x,y)
z = h(x,y,t) r
Figura 11.8: Altura de la superficie libre y profundidad del suelo medidos respecto a la superficie no perturbada.
puede almacenar energ´ıa, en forma de energ´ıa potencial, elevando su altura cuando el l´ıquido adyacente hace trabajo sobre ella, o retornarla al medio l´ıquido, disminuyendo su elevaci´ on, cuando hace trabajo sobre ´el. Del mismo modo, la porci´on de superficie considerada puede almacenar energ´ıa el´astica de deformaci´on cuando el l´ıquido en su movimiento realiza trabajo sobre ella y la deforma venciendo la acci´on de las fuerzas de tensi´on superficial, o devolver la energ´ıa almacenada al medio l´ıquido. Por tanto, cuando sobre la superficie libre de un l´ıquido, cuya forma de equilibrio en presencia de un campo gravitatorio es plana, act´ ua una perturbaci´ on externa que la aparta del equilibrio (por ejemplo, el lanzamiento de un objeto sobre la superficie plana de un l´ıquido) aparece un movimiento ondulatorio en la superficie libre que propaga la perturbaci´ on con una velocidad determinada. Estas ondas afectan al l´ıquido y lo ponen en movimiento, pero su efecto se aten´ ua con la profundidad. Con objeto de analizar la estructura de estos movimientos se formular´ a primero el problema desde un punto de vista general y a continuaci´ on se simplificar´an las ecuaciones para el caso de movimientos de peque˜ na amplitud, lo que dar´ a lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales que describen la propagaci´on de ondas lineales en el seno del l´ıquido. Consid´erese un dominio infinito ocupado por un l´ıquido de densidad ρ bajo la acci´on de la gravedad, limitado inferiormente por una superficie s´ olida z = −h(x, y), donde h est´a medida respecto de la posici´on de equilibrio fluidoest´ atico de la interfase aire-l´ıquido (a presi´ on pa ), z = 0, como se muestra en la Figura 11.8. Se supondr´ a en lo que sigue que la viscosidad del l´ıquido es lo suficientemente peque˜ na como para que se cumpla la condici´on |ν∇2 u| ν ∼ 2 1, |∂u/∂t| λ ω
(11.268)
donde λo y 1/ωo son una longitud y un tiempo caracter´ısticos de variaci´on de las magnitudes fluidas en el movimiento ondulatorio del l´ıquido. En este supuesto las fuerzas de viscosidad pueden ser despreciadas en el movimiento del l´ıquido y, por tanto, si el campo de velocidades es inicialmente irrotacional (como sucede, por ejemplo, en el caso de que el l´ıquido est´e inicialmente en reposo) se mantiene irrotacional y deriva de un potencial u = ∇Φ.
(11.269)
Puesto que para un l´ıquido ∇ · u = 0, el potencial de velocidades satisface la ecuaci´on de Laplace ∇2 Φ =
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ + + = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(11.270)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
274
El campo de presiones est´a dado por la ecuaci´on de cantidad de movimiento ∂u +∇ ∂t
u2 2
−u×∇×u+∇
p ∂Φ 1 p + gez = ∇ + |∇Φ|2 + + gz = 0; ρ ∂t 2 ρ
(11.271)
en (11.271), el versor unitario seg´ un z coincide con la direcci´on de la gravedad pero su sentido es opuesto, se han despreciado los efectos de viscosidad y se ha tenido en cuenta la irrotacionalidad del movimiento, ∇ × v = 0. La integraci´ on de la ecuaci´on (11.271) proporciona p ∂Φ 1 + |∇Φ|2 + + gz = C(t), ∂t 2 ρ
(11.272)
donde la constante arbitraria de integraci´ on C(t) depende, en general, del tiempo y se elegir´a de manera adecuada posteriormente. En la superficie libre del l´ıquido, o interfase aire-l´ıquido, definida como f (x, y, z, t) = z − η(x, y, t) = 0, (11.273) es necesario imponer condiciones cinem´aticas y din´amicas. La condici´on din´ amica exige que el salto de presiones a trav´es de la interfase est´e equilibrado con las fuerzas de tensi´on superficial; si la normal unitaria exterior a la superficie libre es n=
ez − ∇ ⊥ η ∇f = , |∇f | 1 + |∇⊥ η|2
(11.274)
donde, en lo que sigue se denotar´a por ∇⊥ al operador ∇⊥ ≡ ex ∂/∂x + ey ∂/∂y, el equilibrio de fuerzas en la superficie exige que en z = η ! p − pa = ζ∇ · n = ζ∇⊥ · ! ζ∇⊥ ·
e − ∇⊥ η z 1 + |∇⊥ η|2
" =−
"
∇⊥ η
1 + |∇⊥ η|2
,
(11.275)
donde ζ es la tensi´on superficial aire-l´ıquido y ∇·n es la curvatura media local (suma de los inversos de los radios principales de curvatura) de la superficie libre. Haciendo uso de (11.275) la ecuaci´ on de cantidad de movimiento (11.272) evaluada en z = η se escribe pa ∂Φ 1 ζ + gη − ∇⊥ · + |∇Φ|2 + ∂t 2 ρ ρ
!
∇⊥ η 1 + |∇⊥ η|2
" = C(t).
(11.276)
Como condici´on cinem´atica se impondr´a que la superficie libre es una superficie fluida Df ∂η ∂Φ = − + ∇⊥ Φ · ∇⊥ η = 0, Dt ∂t ∂z
(11.277)
en z = η. Finalmente, en la superficie del suelo, z − h(x, y, t) = 0, se impondr´ a la condici´on de contorno de impermeabilidad ∂Φ (11.278) − ∇⊥ Φ · ∇⊥ h = 0. ∂z
11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre
11.2.1.
275
Ondas lineales en una corriente uniforme de profundidad constante
Para el caso de una corriente uniforme de velocidad U = Ux ex +Uy ey , el potencial de velocidades puede escribirse en la forma Φ = Ux x + Uy y + φ(x, y, z, t), (11.279) donde v = ∇φ es la velocidad del fluido relativa a la de la corriente, U, que de acuerdo con (11.270) satisface la ecuaci´on de Laplace ∂2φ ∂2φ ∂2φ + 2 + 2 = 0. (11.280) ∂x2 ∂y ∂z Se considerar´a aqu´ı el caso en que la amplitud caracter´ıstica de la onda, A, es peque˜ na frente a la longitud de onda t´ıpica, λo , de la perturbaci´ on. Entonces, bajo la acci´ on de la onda, las part´ıculas viajan una distancia del orden de A en un intervalo de tiempo del orden del periodo de oscilaci´ on ωo−1 (ωo es la frecuencia t´ıpica de la onda), por lo que u = ∇φ ∼ Aωo , y la aceleraci´on local es del orden de ∂u/∂t ∼ Aωo2 . Dado que las magnitudes fluidas var´ıan en distancias del orden de λo , el orden de magnitud de la aceleraci´on convectiva es u · ∇u ∼ A2 ωo2 /λo , y ser´a despreciable frente a la aceleraci´on local siempre que A λo . (11.281) De la hip´otesis (11.281) se deducen inmediatamente las condiciones ∂φ |∇φ|2 ∂t
(11.282)
∇⊥ η ∼ A/λo 1,
(11.283)
y que permiten linealizar las ecuaciones (11.276) y (11.277) para dar ∂η ∂φ + U · ∇⊥ η = 0, − ∂t ∂z z=0 y
∂φ ζ + U · ∇⊥ φ|z=0 + g η − ∇2⊥ η = 0. ∂t z=0 ρ
(11.284)
(11.285)
Obs´ervese que, salvo t´erminos cuadr´aticos en las perturbaciones, las derivadas de φ en (11.284) y (11.285) est´an evaluadas en los puntos (x, y, 0), y que en (11.276) se ha elegido, por conveniencia, C(t) = pa /ρ + |U|2 /2. La condici´on de impermeabilidad (11.278) para h constante se reduce a ∂φ = 0. (11.286) ∂z z=−h Las ecuaciones (11.280), (11.284)-(11.286) permiten resolver φ y η una vez especificadas las condiciones iniciales. Se considerar´a aqu´ı el caso de un dominio infinito en las direcciones x e y, por lo que el potencial de velocidades y la forma de la superficie libre pueden representarse mediante integrales de Fourier de la forma ∞ φ(x, y, z, t) = d2 k eik·x f (k, z, t), (11.287) −∞
∞
η(x, y, t) = −∞
d2 k eik·x s(k, t),
(11.288)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
276
donde k = kx ex + ky ey es el vector de onda. Sustituyendo (11.287) en (11.280) se obtiene para la amplitud f ∂2f − k 2 f = 0, k 2 = kx2 + ky2 , (11.289) ∂z 2 cuya soluci´on general es f = a(k, t)ekz + b(k, t)e−kz , (11.290) donde las constantes a y b est´an relacionadas a trav´es de la condici´on de contorno (11.286) en z = −h, ae−kh − bekh = 0. (11.291) La sustituci´on de la relaci´on (11.291) en (11.290) proporciona f = a(k, t)[ekz + e−k(2h+z) ].
(11.292)
Por otra parte, si se sustituyen (11.287) y (11.288) en las condiciones de la interfase (11.284)(11.285) se obtiene el sistema lineal de ecuaciones diferenciales ∂s − k(1 − e−2kh )a + ik · Us = 0, ∂t ∂a ζ 2 k + g s = 0, (1 + e−2kh ) + ik · Ua + ∂t ρ
(11.293) (11.294)
donde se ha hecho uso de la expresi´on (11.292) para f (k, z, t). El sistema (11.293)-(11.294) admite soluciones de la forma [s, a] ≡ [C(k), A(k)]e−iω(k)t para amplitudes C y A y frecuencias ω(k) que satisfagan el sistema de ecuaciones algebraicas −k(1 − e−2kh )A + i(−ω + U · k)C = 0,
(11.295)
i(1 + e−2kh )(−ω + U · k)A + (k 2 ζ/ρ + g)C = 0.
(11.296)
El sistema lineal homog´eneo (11.295)-(11.296) posee soluciones distintas de la trivial s´olo si el determinante de los coeficientes es nulo; esta condici´on proporciona los valores de la frecuencia ω para una perturbaci´ on cuyo vector de onda es k. Igualando el determinante a cero se obtienen las dos ra´ıces ω + (k) = U · k + ωo (k), (11.297) y
ω − (k) = U · k − ωo (k),
con ωo (k) ≡
(11.298)
(k 3 ζ/ρ + g k) tanh k h;
(11.299)
La soluci´on general de (11.293)-(11.294) puede escribirse por tanto como s = C(k)e−iω
+
(k)t
+ D(k)e−iω
−
(k)t
y, haciendo uso de (11.293),
+ − 1 iωo ∂s a= + ik · Us = −Ce−iω t + De−iω t . −2kh −2kh k(1 − e k(1 − e ) ∂t )
(11.300)
(11.301)
Sustituyendo (11.301) en (11.292) resulta una expresi´ on para f que introducida en la integral de Fourier (11.287) proporciona el otencial de velocidades ∞ + − iωo (k) cosh k(h + z) (11.302) [−C(k)ei(k·x−ω t) + D(kei(k·x−ω t) ]d2 k. φ(x, t) = k senh k h −∞
277
11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre
An´alogamente, con la expresi´on de s dada por (11.300) se obtiene de (11.288) la ecuaci´on de la superficie libre ∞ + − η(x, t) = [C(k)ei(k·x−ω t) + D(k)ei(k·x−ω t) ]d2 k. (11.303) −∞
Los coeficientes C(k) y D(k) en (11.302)-(11.303) vienen determinados mediante las transformadas inversas de Fourier de los valores iniciales de la posici´on de la interfase y del potencial de velocidades y/o de sus derivadas (en total hay que especificar dos condiciones iniciales). La soluci´on del problema, (11.302) y (11.303), puede interpretarse como una superposici´ on de ondas planas cuyas relaciones de dispersi´on est´an dadas por (11.297) y (11.298). Haciendo uso de las expresiones expl´ıcitas de ω + y ω − se observa que dichas ondas son de la forma C(k)ei[k·(x−Ut)−ωo (k)t] + D(k)ei[k·(x−Ut)+ωo (k)t] ,
(11.304)
por lo que se propagan relativamente a la corriente en direcciones ±k con una frecuencia ωo y una velocidad dada por
1/2 g ζk ωo = + tanh kh co (k) = . (11.305) k k ρ Obs´ervese que ondas de longitud de onda λ = 2π/k diferente se propagan con diferente velocidad. Tales ondas se denominan dispersivas porque, originadas en un mismo punto del espacio e instante de tiempo, tienden a dispersarse si sus longitudes de onda son diferentes. Es de inter´es considerar los 2.5
2
1.5 C0/Cm 1
a
b
0.5
0
0
1
2
3
4
k/km
Figura 11.9: Velocidad adimensional co /com de propagaci´on de las ondas en aguas profundas, kh 1, como funci´on del n´ umero de onda. a) Velocidad de propagaci´ on de las ondas gravitatorias; b) Velocidad de propagaci´ on de las ondas capilares.
casos l´ımites de (11.305) correspondientes a valores grandes y peque˜ nos del par´ametro adimensional k h que mide la relaci´on entre la profundidad del medio y la longitud de onda de la perturbaci´ on. Cuando kh 1, que corresponde al caso en que la profundidad es mucho mayor que la longitud de onda, se tiene tanh kh 1 y 1/2 ζk g . (11.306) + co = k ρ En la Figura 11.9 se representa co como funci´on de k. Obs´ervese que la velocidad de propagaci´on presenta un m´ınimo com = (4gζ/ρ)1/4 para la longitud de onda 2π/λm = km = (ρg/ζ)1/2 . Para el
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
278
caso de una interfase agua-aire los valores de com y λm son 0,23cm/s y 1,7×10−2 m respectivamente. Obs´ervese que para valores de k grandes frente a km , la velocidad de propagaci´ on es 1/2 ζk , k km . co (11.307) ρ La expresi´on (11.307) proporciona la velocidad de propagaci´ on de las ondas de muy peque˜ na longitud de onda que se denominan ondas capilares. En el l´ımite opuesto, k km , se tienen las ondas gravitatorias, cuya velocidad de propagaci´ on es co = (g/k)1/2 ,
k km .
(11.308)
En el l´ımite kh 1, que corresponde a situaciones en las que la longitud de onda es grande frente a la profundidad (aguas poco profundas), las u ´nicas ondas f´ısicamente significativas son las gravitatorias y su velocidad de propagaci´ on se obtiene de (11.305)
g 1/2 g 1/2 tanh kh kh co = = (g h)1/2 , (11.309) k k La expresi´on (11.309) demuestra que la velocidad de propagaci´ on de las ondas en aguas poco profundas depende u ´nicamente de la profundidad del medio y no de su longitud de onda (ondas no dispersivas, llamadas a veces hiperb´olicas). Puede ser tambi´en de inter´es el c´alculo de las trayectorias de las part´ıculas fluidas en torno a un punto que se mueve con la corriente (punto fijo si U = 0). Sean x = xo + Ut + x y z = zo + z las coordenadas de dicho punto con | x || x | y | z || z |. Para una onda propag´ andose en la direcci´on k el potencial de velocidades relativo a la corriente, (11.302), es φ=
co cosh k(h + z) cos[k · (x − Ut) − ωo t + α(k)], k sen k h
(11.310)
donde se ha hecho −iC(k) = Ceiα(k) y se ha tomado la parte real. Se tienen por tanto las ecuaciones
y
dx k cosh k(h + zo ) ∇⊥ φ|x =0 = −co sen(k · xo − ωo t + α) dt k senh k h
(11.311)
∂φ dz senh k(h + zo ) = = co cos(k · xo − ωo t + α), dt ∂z z =0 senh k h
(11.312)
cuya integraci´ on proporciona x =
co k cosh k(h + zo ) cos(k · xo − ωo t + α), ωo k senh k h
co senh k(h + zo ) sen(k · xo − ωo t + α). ωo senh k h Eliminando el tiempo de (11.313)-(11.314) se obtiene la ecuaci´on de un elipsoide z =
z 2 (co /ωo )2 x · x + = . cosh2 k(h + zo ) senh2 k(h + zo ) senh2 kh
(11.313) (11.314)
(11.315)
Obs´ervese que las part´ıculas situadas en el fondo zo = −h oscilan sobre un elipsoide degenerado que coincide con el plano z = −ho . Finalmente, en aguas muy profundas kh → ∞, (11.315) resulta en primera aproximaci´ on 2 co e2kzo , | x |2 +z 2 = (11.316) ωo
11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre
279
que muestra que las part´ıculas fluidas siguen trayectorias circulares cuyo radio (c/ωo )ekzo disminuye exponencialmente con la profundidad zo . La validez de los resultados obtenidos se comprueba comparandolos con las trayectorias mostradas en la fotograf´ıa de la Figura 11.10.20 Es importante
Figura 11.10: Trayectorias de las part´ıculas fluidas producidas por un tren de ondas peri´ odicas.
se˜ nalar que a partir de las ecuaciones (11.297)-(11.298) se puede explicar la existencia de ondas estacionarias producidas por un objeto en reposo en el seno de una corriente. En efecto, la velocidad de propagaci´on de las ondas respecto al objeto ser´a nula cuando lo sea su frecuencia y si adem´as la componente de la direcci´on de propagaci´ on en la direcci´on de la corriente es negativa U · k < 0 se tiene de (11.297) ωo (k) + U · k = 0. (11.317) La existencia de ondas estacionarias requiere por una parte que las ondas se propaguen con respecto al medio con velocidad igual o superior a la de la corriente co = ωo /k = −U · k/k,
(11.318)
y por otra que la velocidad de la corriente no sea nunca inferior al valor m´ınimo de la velocidad de propagaci´on com = (ωo /k)m , que para aguas de profundidad suficiente es 0,23ms−1 . Cuando la velocidad de la corriente es mayor que com , la ecuaci´on (11.318) proporciona dos tipos de soluciones (v´ease Figura 11.9), una correspondiente a la rama capilar y otra correspondiente a la de las ondas de gravedad. Las primeras se forman siempre delante del objeto mientras que las segundas lo hacen detr´as. Como se ver´a m´as adelante, la explicaci´on a este fen´omeno estriba en el hecho de que la energ´ıa necesaria para sustentar tales ondas viaja para las ondas capilares con velocidad mayor que co y, por tanto, se radia energ´ıa aguas arriba del obst´ aculo,21 mientras que la energ´ıa asociada a las ondas gravitatorias viaja con velocidad menor que co y es, por consiguiente, convectada aguas abajo por la corriente. Una comprensi´ on mejor de estas ideas requiere la introducci´on del concepto de velocidad de grupo que se desarrolla a continuaci´ on. Velocidad de grupo Consid´erese el problema de la determinaci´on de la forma de la superficie en puntos x e instantes t suficientemente alejados del origen de la perturbaci´ on. Puesto que las ondas y, como se ver´a m´as adelante, su energ´ıa viajan con velocidad finita, la resoluci´ on del problema planteado requiere 20
M. van Dyke An Album of Fuid Motion, The Parabolic Press, 1982. La presencia del obst´ aculo deforma la superficie libre empleando una energ´ıa en este trabajo de deformaci´ on que se detrae de la energ´ıa mec´ anica de la corriente aguas arriba del obst´ aculo. 21
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
280
encontrar el l´ımite de (11.303) para tiempos t y distancias x grandes pero tales que el cociente x/t se mantenga finito. Este c´alculo puede hacerse f´acilmente empleando la t´ecnica, debida a Lord Kelvin, denominada de la fase estacionaria cuyo fundamento es verdaderamente intuitivo. En efecto, imag´ınese un punto de la superficie en el que coexistieran ondas de diferente longitud de onda. Valles y crestas de aquellas ondas que no est´en en fase tienen un efecto mutuo destructivo, y la contribuci´ on neta a la elevaci´on o descenso de la superficie es debida a aquellas ondas cuyos vectores de onda se encuentran en un entorno de aqu´el (o aqu´ellos) para el que la fase en el punto e instante considerado es estacionaria. Para ilustrar la aplicaci´ on del m´etodo consid´erese la integral ∞ ∞ I(x, t) = a(k)ei(k·x−ωt) d2 k = a(k)eitΨ(k) d2 k, (11.319) −∞
−∞
con
k·x − ω(k); (11.320) t Ψ es usualmente denominado eiconal y a(k) y ω(k) son funciones lentamente variables de k. Los vectores de onda de fase estacionaria son los valores de k para los que Ψ presenta un m´ aximo, Ψ(k) =
∇k Ψ = −∇k ω +
x = 0. t
(11.321)
Al ser nula la derivada primera del eiconal, n´ otese que si ks es soluci´on de (11.321), en un entorno de ks se tiene 1 1 1 Ψ(k) Ψ(ks ) − (k − ks )(k − ks ) : [∇k ∇k ω]ks = Ψ(ks ) − λ1 k12 − λ2 k22 , 2 2 2
(11.322)
donde λ1 y λ2 son los autovalores (reales) del tensor sim´etrico [∇k ∇k ω]ks , y k1 y k2 son las componentes del vector k − ks seg´ un las direcciones principales (ortogonales) asociadas a λ1 y λ2 . La contribuci´ on a I(x, t) de las ondas con longitud de onda en un entorno de ks puede calcularse, en primera aproximaci´ on, sustituyendo (11.322) en (11.319) ∞ ∞ 2 2πa(ks ) i[ks ·x−ω(ks )t−πθs /4] itΨ(ks ) −itλ1 k12 /2 e a(ks )e e dk1 e−itλ2 k2 /2 dk2 = , (11.323) | λ1 λ2 |1/2 t −∞ −∞ donde las integrales del primer miembro de (11.323) se han evaluado reduci´endolas a unas del tipo funci´ on error mediante el cambio de variables kj = ξj e−iπsg(λj )/4 (j = 1, 2) y se ha denotado θs ≡ sg(λ1 )+sg(λ2 ). La expresi´on (11.323) indica que un observador que se mueva con la velocidad de grupo correspondiente al vector de onda ks , definida como cg = [∇k ω]ks =
x , t
(11.324)
percibe la deformaci´on de la superficie como una onda plana que se propaga en la direcci´ on de ks con una velocidad cs = ω(ks )/ks que es distinta de la velocidad de grupo si las ondas son dispersivas, de manera que el observador ve pasar las crestas de la onda y ´estas mantienen una fase estacionaria. La expresi´on (11.323) puede interpretarse tambi´en como que alrededor de un observador que se mueve con la velocidad de grupo existe en todo instante una regi´ on, denominada com´ unmente paquete de ondas, en la que las ondas con vectores de onda suficientemente pr´oximos a ks est´an aproximadamente en fase (la fase estacionaria) por lo que su superposici´ on contribuye significativamente al valor de la integral (11.319), mientras que fuera de esta regi´ on su efecto se anula por interferencia; por tanto, el observador ver´ a nacer y morir espont´ aneamente crestas de ondas con vector de onda ks propag´ andose con la velocidad de fase cs . Este hecho muestra claramente que la energ´ıa para formar las ondas del grupo debe viajar con la velocidad del observador,
281
11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre
esto es, la velocidad de grupo cg (ks ), que puede identificarse con la velocidad del paquete de ondas. La extensi´on espacial del paquete puede estimarse a partir de la condici´on de que el valor t´ıpico ko de los vectores de onda que contribuyen apreciablemente a (11.319) es, como se deduce de (11.322)-(11.323), t(ko − ks )(ko − ks ) : [∇k ∇k ω]ks ∼ O(1).
(11.325)
En efecto, (11.325) implica que t|ko − ks |∆|∇k ω| ∼ |ko − ks |∆x| ∼ O(1)
(11.326)
o, expl´ıcitamente, 1 ; (11.327) |ko − ks | obs´ervese que en (11.326) se ha estimado el valor de las variaciones de ∇k ω en el paquete de ondas mediante (11.321). La relaci´on (11.327) indica que el tama˜ no caracter´ıstico de un paquete de ondas disminuye con la amplitud del rango de valores de los vectores de onda que componen el paquete, de manera que la formaci´on de un paquete muy estrecho (que implica una energ´ıa muy localizada) requerir´ a la superposici´on de un gran n´ umero de ondas. Por otra parte, el m´etodo de la fase estacionaria requiere que |ko − ks | 0 (k < 0) de manera que se satisfaga la condici´on de contorno ∂f /∂z → 0 para z → −∞; de esta forma se obtiene f = a(k, t)e|k|z .
(11.350)
Si (11.347)-(11.348) se sustituyen en (11.345)-(11.346), teniendo en cuenta (11.350), se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales para determinar las amplitudes s y a de (11.348) y (11.350) ∂s − |k|a + ikU s = P1 H(t), ∂t ∂a + ikU a + ∂t
ζ 2 k + g s = P2 H(t). ρ
(11.351)
(11.352)
A partir de (11.351)-(11.352) es f´ acil obtener una u ´nica ecuaci´on diferencial de segundo orden para la variable s
∂2s ∂s ζ 2 2 2 s = P1 δ(t) + (|k|P2 + iU kP1 ) H(t). + g − k U k + 2ikU (11.353) + |k| ∂t2 ∂t ρ on de (11.353) entre Si la condici´ on inicial para s(k, t) es s(k, 0) = so (k) = s∗o (−k), la integraci´ t = 0 y t = > 0, donde es un n´ umero arbitrariamente peque˜ no, muestra que la soluci´on de (11.353) puede obtenerse para t > 0 mediante la integraci´ on de
∂2s ∂s ζ 2 2 2 k + g − k U s = kA(k)H(t), + 2ikU + |k| ∂t2 ∂t ρ
(11.354)
donde A(k) ≡ sg(k)P2 + iU P1 = −A∗ (−k), junto con las condiciones iniciales s(k, 0) = so , st (k, 0) = P1 − 2ikU so ,
(11.355)
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
286
donde el sub´ındice t en (11.355) denota derivada temporal y sg representa la funci´on signo . La soluci´on de (11.354)-(11.355) puede obtenerse en la forma usual s=
− − so + −iω+ t iP1 −iω+ t e ω e − e−iω t + − ω − e−iω t + 2ωo 2ωo ! " − + kA e−iω t kA e−iω t − + −, − − + 2ωo ω ω ω ω
(11.356)
donde se han definido las frecuencias ω + = kU + ωo (k) y con
ω − = kU − ωo (k),
1/2 ζ 2 . k +g ωo = |k| ρ
(11.357)
(11.358)
Sustituyendo (11.356) en la integral de Fourier (11.348) se obtiene finalmente la expresi´ on para la forma de la superficie libre η(x, t). Debido a la presencia de |k| en (11.356) [a trav´es de (11.358)], es conveniente expresar la integral de Fourier (11.348) en funci´ on de integrales extendidas sobre el rango 0 ≤ k < ∞ (esto es inmediato haciendo el cambio de variable k → −k en las integrales sobre el rango −∞ < k ≤ 0); se obtiene finalmente, con so = |so |eiχo y A = |A|eiχ ∞ 1 sen(kx − ω − t) − sen(kx − ω + t) dk+ η = P1 ωo o ∞ |so | + ω cos(kx − ω + t + χo ) − ω − cos(kx − ω − t + χo ) dk+ ω o o ∞ k cos(kx + χ − ω − t) − cos(kx + χ − ω + t) dk+ |A| + ωo ω o ∞ k cos(kx + χ − ω − t) − cos(kx + χ) dk. 2|A| (11.359) + ω− ω o Las integrales en (11.359) pueden realizarse num´ericamente sin dificultad para cada x y t on e instante. No obstante, se fijos,22 lo que permite obtener el valor de η para cualquier posici´ analizar´ a seguidamente la soluci´on de (11.359) para t → ∞ y para la situaci´ on de inter´es en la que valores de los par´ametros son tales que se tienen ondas estacionarias para tiempos grandes, lo que requiere que la ecuaci´on ω − ≡ U k − ωo (k) = 0, con ωo = k 3 ζ/ρ + gk , posea ra´ıces reales; como se ver´a, dicha condici´ on es equivalente a la condici´on de que la velocidad de la corriente sea siempre mayor que el m´ınimo de la velocidad de propagaci´ on de las ondas relativa a la de la corriente, com = ωo (km )/km = (4gζ/ρ)1/4 , calculado en 11,2 (v´ease Figura 11.9). En efecto, es f´acil comprobar que las dos ra´ıces no nulas de la ecuaci´on ω − = 0, escritas en t´erminos del par´ametro adimensional α = 4gζ/(ρU 4 ) = (com /U )4 , son kg =
√ ρU 2 (1 − 1 − α) 2ζ
y
kc =
√ ρU 2 (1 + 1 − α), 2ζ
(11.360)
que son reales si α ≤ 1. Los sub´ındices en los valores (11.362) son debidos a que en el l´ımite de grandes velocidades, α 0 y ω˙ − (kc ) < 0, la condici´ on β > 0 implica que aguas abajo del objeto (x > 0) se forman s´olo ondas del tipo gravitatorio mientras que aguas arriba (x < 0) del mismo se forman s´olo las del tipo capilar. Por otra parte, la condici´ on β < 1 muestra 23 La contribuci´ − on cerca √ de k = 0 (que tambi´en es un cero de ω ) es despreciable frente a las otras dos debido a que el factor k/ω + k/ gk → 0 para k → 0.
Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos
288
que, como se ha se˜ nalado ya m´as arriba, la energ´ıa para formar las ondas no puede viajar a una velocidad mayor que la velocidad de grupo por lo que existir´ an ondas estacionarias s´olo en el dominio tω˙ − (kc ) < x < tω˙ − (kg ), que es formalmente infinito para t → ∞. Si se sustituyen en (11.366) los valores correspondientes a kg y kc dados por (11.360) y (11.361) se obtiene finalmente las soluciones η(x) = − η(x) = −
8|A|π √ sen(kg x + χ), x > 0. U2 1 − α
(11.367)
8|A|π √ sen(kc x + χ), x < 0. 1−α
(11.368)
U2
Se observa, por tanto, que las ondas de gravedad, al poseer una velocidad de grupo dωo /dk menor que la de la corriente U , aparecen detr´as del obst´aculo, mientras que las capilares, que poseen una velocidad de grupo mayor que U aparecen delante del obst´aculo (la energ´ıa de estas ondas puede propagarse aguas arriba). En efecto, en la Figura 11.14 se observan las ondas de tipo gravitatorio formadas detr´as de una embarcaci´on mientras que en la Figura 11.15 se muestran las ondas capilares formadas delante de un objeto en el seno de una corriente de agua. Obs´ervese que para el agua (ζ = 0,07N/m) a una velocidad t´ıpica de U ∼ 1m/s se tiene α 3 × 10−3 1/2 2. El valor tan θmax = (y/x)max = 1/2 2 suministra el ´angulo de Kelvin θmax = 19, 47o . La curva separatriz de la regi´on sin ondas y = √ (1/2 2)x se llama c´austica. N´otese que sobre ella k es discontinua, del lado de las ondas (kx /k)2 = 2/3 mientras que del otro lado su valor es nulo. Obs´ervese por tanto que la condici´on ∂/∂ x kx deja de ser v´alida en distancias de la c´austica del orden de la longitud de onda. Una vez obtenida (11.379), la ecuaci´on para las crestas se obtiene a partir de la condici´on α = const., donde α = kx x + ky y − ω t = kx x + ky y,
(ω = 0),
(11.380)
y Se tiene entonces
0 = kx d x + ky d y.
(11.381)
kx /k kx dy , = − =− dx ky 1 − (kx /k)2
(11.382)
con kx /k = f (y/x) dado por (12.278). En la Figura 11.16 se dibujan las crestas obtenidas por integraci´ on de (11.382). Obs´ervese que existen dos tipos de ondas, denominadas divergente y transversal, asociadas a los dos valores de u existentes en cada punto del dominio fluido. Es interesante observar que el modelo representado en la Figura 11.16 reproduce cualitativamente los resultados de la Figura 11.14 incluso a distancias de la embarcaci´ on donde el barco no puede ser modelado como una fuente puntual. Obs´ervese en la Figura 11.14 el ´angulo de Kelvin de las ondas detr´ as de la embarcaci´on y la presencia de ondas divergentes y transversales que se anulan sobre las c´austicas. Conviene indicar que el m´etodo de rayos no describe apropiadamente el campo fluido cerca de las ca´ usticas (zona definida por la importancia de los fen´ omenos de interferencia y difracci´on de ondas son importantes y deben de retenerse en las ecuaciones las variaciones espaciales de mayor orden).
11.3. Ondas en una corriente generadas por la presencia de un obst´ aculo
291
ES NT GE ER DIV AS D ON
ONDAS TRANSVERSALES
Figura 11.16: Ondas longitudinales y transversales calculadas mediante el m´etodo de trazado de rayos para obst´aculo que se desplaza con velocidad U sobre la superficie de agua. Comp´arese el patr´on de frentes de onda obtenidos con el de la Figura 11.14.
Referencias y lecturas recomendadas A. P. Dowling y J. E. Ffowcs Williams, Sound and Sources of Sound, Ellis Horwood, 1983. A. D. Pierce, Acoustics, American Institute of Physics, ASA, 1991. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Te´orica, vol. 5, Pergamon, 1958. J. Lighthill, Waves in Fluids, Cambridge University Press, 1978. H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1975.
Cap´ıtulo 12
Ondas no-lineales 12.1.
Introducci´ on
En el cap´ıtulo anterior se ha considerado el caso de la propagaci´ on de perturbaciones peque˜ nas en el seno de fluidos. Conviene extender el an´alisis al caso de la propagaci´on de perturbaciones de amplitud finita; esto es, cuando en alg´ un punto o regi´ on finita del dominio fluido se producen variaciones de las magnitudes fluidas del orden de ellas mismas durante tiempos suficientemente cortos. Este tipo de problemas aparecen regularmente en la din´amica de gases a altas velocidades (velocidad del gas comparable o superior a la del sonido) y en el a´mbito de la Ingenier´ıa Hidr´ aulica. Ejemplos t´ıpicos son: la corriente subs´onica, o supers´onica, alrededor de obst´ aculos, el movimiento de un gas en un tubo de choque, el movimiento unidireccional de un gas generado por un pist´ on que se mueve normalmente a s´ı mismo a gran velocidad, o la expansi´ on de un gas desde un dep´ osito al vac´ıo a trav´es de una tobera o de un conducto cualquiera. El conocimiento de la propagaci´ on de ondas no lineales en una superficie l´ıquida libre en presencia del campo gravitatorio es, por otra parte, esencial para abordar el dise˜ no de canales, riadas y otros problemas frecuentes en la Ingenier´ıa Hidr´ aulica.
12.2.
Movimiento unidireccional de un gas
Para iniciar el estudio, consid´erese, por ejemplo, el movimiento de un gas, en un conducto de secci´on uniforme, inducido por un pist´ on que se desplaza a trav´es del conducto. El mismo an´alisis puede tambi´en aplicarse al caso del movimiento de un gas en un tubo de choque, que se genera cuando se rompe la membrana que inicialmente separaba dos masas de gas a distintas presiones. En este caso las ecuaciones de Euler que gobiernan el movimiento unidimensional del gas son: ∂ρ ∂ρ ∂u +u +ρ = 0, ∂t ∂x ∂x
(12.1)
∂u 1 ∂p ∂u +u + = 0, (12.2) ∂t ∂x ρ ∂x ∂S ∂S +u = 0. (12.3) ∂t ∂x Integrando la u ´ltima de las ecuaciones a lo largo de las trayectorias de las part´ıculas fluidas u = dxT /dt se obtiene que la entrop´ıa de una part´ıcula fluida no cambia a lo largo de su trayectoria, S = S[xT (t), t] = S[xT (0), 0] , 293
(12.4)
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
294
donde xT (t) representa las trayectorias de las part´ıculas fluidas. Expresiones equivalentes a las ecuaciones (12.3) y (12.4) para un gas perfecto son d p p p 2 = const y a = (12.5) =γ . ργ d ρ S ρ En efecto, obs´ervese que si S = S(ρ, p), entonces dS =
∂S ∂S dρ + dp ∂ρ ∂p
(12.6)
y ∂S ∂ρ ∂S ∂p ∂S ∂ρ ∂S ∂p ∂S ∂S = + = + , . ∂t ∂ρ ∂t ∂p ∂t ∂x ∂ρ ∂x ∂p ∂x Introduciendo (12.7) en (12.3) se tiene ∂p ∂S ∂ρ ∂ρ ∂S ∂p +u + +u = 0, ∂t ∂x ∂p ∂t ∂x ∂ρ y dado que S = const es soluci´on de la ecuaci´on (12.3), se obtiene de (12.6) ∂ S d p ∂S ∂S =− = −a2 , ∂ρ ∂ p dρ S ∂p y la ecuaci´on (12.8) se escribe ∂p ∂ρ ∂p ∂ρ +u +u − a2 = 0, 1 ∂t ∂x ∂t ∂x
(12.7)
(12.8)
(12.9)
(12.10)
o
dρ dp − a2 = 0, (12.11) dt dt que muestra que en su movimiento la part´ıcula fluida experimenta cambios en la presi´ on y en la densidad que no son arbitrarios, sino que est´ an ligados por la ecuaci´on (12.10) o (12.11) o por la condici´ on de entrop´ıa constante. Teniendo en cuenta (12.11), es conveniente escribir la ecuaci´on (12.1) en la forma ∂p ∂u ∂p +u + ρ a2 = 0. ∂t ∂x ∂x
(12.12)
Por otra parte, si a (12.12) se le suma la ecuaci´on (12.2) multiplicada por el factor ρ a se tiene ∂p ∂u ∂u ∂p + ρa + (u + a) + ρa = 0, (12.13) ∂t ∂t ∂x ∂x mientras que si se le resta se obtiene ∂p ∂u ∂p ∂u − ρa + (u − a) − ρa = 0. ∂t ∂t ∂x ∂x
(12.14)
La forma de las ecuaciones (12.13) y (12.14) resulta especialmente u ´ til para ser integradas utilizando el m´etodo denominado de las caracter´ısticas. En efecto, (12.13) y (12.14) pueden escribirse en la forma 1 dp du + =0 ρa dt dt 1
sobre la familia de curvas C + definida por
dx = u + a, dt
En lo que sigue el operador D/Dt = ∂/∂t + u∂/∂x (movimiento unidireccional) se denotar´ a por d/dt.
(12.15)
295
12.2. Movimiento unidireccional de un gas y 1 dp du − =0 ρa dt dt
sobre la familia de curvas C − definida por
dx = u − a. dt
(12.16)
Las curvas C + y C − representan los puntos de las trayectorias que seguir´ıa un observador que se moviese con velocidad ± a relativa al fluido. N´ otese que la linealizaci´on de (12.15) y (12.16) suponiendo peque˜ nas perturbaciones en la presi´on p y velocidad u en torno a unos valores de referencia, suministra las ecuaciones de la Ac´ ustica obtenidas en el Cap´ıtulo 11 dp du + ρo ao =0 dt dt
sobre C + ,
C+ ≡
dx − ao = 0, dt
dx du dp − ρ o ao =0 sobre C − , C − ≡ + ao = 0. dt dt dt Las ecuaciones anteriores pueden ser integradas una vez para dar
(12.17) (12.18)
p − po + ρo ao u = F (x − ao t),
(12.19)
p − po − ρo ao u = G(x + ao t),
(12.20)
donde F y G son funciones arbitrarias que deben determinarse de las condiciones de contorno; como se ha visto en 11 estas soluciones pueden interpretarse como ondas viajeras propag´andose con velocidades dx/dt = ±ao . Si la corriente de gas es homentr´opica, esto es, si en el instante inicial todas las part´ıculas tienen la misma entrop´ıa So = cv ln(po /ργo ), entonces S = So en cualquier instante posterior, p=
po γ ρ ργo
y
a2 = γ
po γ−1 ρ , ργo
(12.21)
y las ecuaciones (12.15) y (12.16), teniendo en cuenta (12.22), pueden ser integradas una vez para dar dx 2 a + u = const sobre = u + a, (12.22) I+ = γ−1 dt y dx 2 a − u = const sobre = u − a. (12.23) I− = γ−1 dt Las funciones I + e I − constituyen los denominados invariantes de Riemann que permiten escribir las ecuaciones del movimiento (12.13) y (12.14) en la forma
∂ ∂ (12.24) + (u + a) I + = 0, ∂t ∂x
∂ ∂ (12.25) + (u − a) I − = 0, ∂t ∂x que indican que las cantidades I + e I − permanecen constantes a lo largo de las caracter´ısticas C + y C − respectivamente. Esto es, si en alg´ un punto del dominio fluido y en un instante to se origina una perturbaci´ on del flujo en las cantidades I + e I − , ´esta se propaga en el dominio fluido a lo largo de C + y C − y con velocidades u + a y u − a respectivamente. Los invariantes de Riemann pueden ser visualizados como ondas viajeras que propagan la informaci´ on con una velocidad a ± u, superposici´on de la velocidad de propagaci´ on relativa al gas, la del sonido, m´ as la velocidad de convecci´on del gas mismo. Por las caracter´ısticas C + se propagan ondas en el sentido del flujo mientras que a lo largo de C − lo hacen en sentido contrario. En cada instante de tiempo y por
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
296
cada punto del dominio fluido pasan dos curvas caracter´ısticas, de las familias C + y C − , que definen un valor de los invariantes I + e I − y, por tanto, suministran una pareja de ecuaciones algebraicas para determinar la velocidad del fluido y la del sonido. Conocido a y el valor de la entrop´ıa y la velocidad en ese punto e instante, los valores de la presi´on y la densidad se determinan f´ acilmente mediante (12.21). Un caso particular de lo anterior, para el que la soluci´ on del problema resulta enormemente simplificada, lo constituye el caso de ondas simples caracterizadas, porque uno de los invariantes de Riemann es constante en todo el dominio fluido. Un movimiento de este tipo se genera cuando un pist´ on se desplaza en el interior de un conducto de secci´on constante con velocidades comparables a las del sonido. Inicialmente, se supone el gas en reposo a presi´on po y densidad ρo (ao = γ po /ρo ) limitado a su izquierda por un pist´ on. El pist´ on est´a inicialmente situado en x = 0 y parte con velocidad nula para describir la trayectoria xp (t) como la que se indica en el diagrama (x, t) de la Figura 12.1.
t
xp(t)
C+
C-
x=aot x
Figura 12.1: Resoluci´on geom´etrica, en el plano (x, t), del movimiento de un gas inducido por un pist´ on.
Como inicialmente la entrop´ıa es constante S = So , y se mantiene constante a lo largo de las trayectorias de las part´ıculas fluidas; por tanto, la entrop´ıa ser´a constante e igual a So en cualquier punto e instante del dominio fluido. A trav´es de las caracter´ısticas C − se transmite la informaci´on que proviene del gas que est´a todav´ıa en reposo; para un instante t dado, la regi´ on de gas en reposo est´a situada en puntos x > ao t. El valor de I − , por tanto, ser´ a I− =
2 2 a−u= ao ; γ−1 γ−1
(12.26)
esto es, I − es constante para cualquier caracter´ıstica que arranque de puntos situados en la regi´ on de reposo y, como por cada punto del plano (x, t) pasa una caracter´ıstica C − , se tiene que la relaci´on (12.26) se satisface en cada punto del gas. Esto es, en puntos del plano (x, t) tales que en cada instante t xp (t) ≤ x ≤ ao t. Por las caracter´ısticas C + el gas se informa del movimiento del pist´on, ya que a trav´es de ellas se tiene 2 2 a+u= ap (τ ) + up (τ ), I+ = (12.27) γ−1 γ−1
297
12.2. Movimiento unidireccional de un gas
donde ap (τ ) y up (τ ) representan los valores de la velocidad del sonido y de la velocidad del fluido del gas en contacto con el pist´on. De la condici´on de contorno en el pist´ on se deduce que la velocidad del gas en contacto con el pist´on es igual a la velocidad de ´este; matem´aticamente se expresa por d xp up (τ ) = = x˙ p (τ ). (12.28) dt t=τ
Por otra parte, la ecuaci´ on (12.26) evaluada sobre el pist´ on proporciona 2 2 2 ap (τ ) − up (τ ) = ap (τ ) − x˙ p (τ ) = ao . γ−1 γ−1 γ−1
(12.29)
Teniendo en cuenta (12.29), la caracter´ıstica C + que en el instante τ parte del pist´on se propaga con velocidad γ+1 (12.30) x˙ p (τ ); up (τ ) + ap (τ ) = ao + 2 ˙ p (τ ) constante informa al gas de esta onda que se propaga hacia la derecha con velocidad ao + γ+1 2 x que, en el instante τ , el pist´on se mueve con la velocidad x˙ p (τ ) y la velocidad del sonido del gas en contacto con ´el es ap (τ ). Esta informaci´ on dada por I + se propaga a lo largo de las caracter´ısticas + on, son rectas de ecuaci´on C que, por ser constante su velocidad de propagaci´
γ+1 (12.31) x˙ p (τ ) (t − τ ). x − xp (τ ) = ao + 2 La ecuaci´on (12.31) indica que en puntos x ≥ xp (τ ) y t ≥ τ situados sobre la caracter´ıstica definida por (12.31) la soluci´ on viene dada por γ−1 x˙ p (τ ), S = So . (12.32) 2 En otras palabras, la expresi´ on (12.31) determina impl´ıcitamente el valor de τ para cada pareja de valores (x, t) en los que la soluci´on viene dada por las expresiones (12.32). La interpretaci´ on de la soluci´on dada en (12.31) y (12.32) es clara. En cada instante τ parte del pist´on una caracter´ıstica C + que se propaga hacia la derecha para informar al fluido que debe acomodar su velocidad a la del pist´on; esto es, el gas debe acelerarse o decelerarse seg´ un sea el signo de x ¨p (τ ). Cuando la aceleraci´on del pist´on es negativa, x ¨p (τ ) < 0, en cada instante τ parten de ´el ondas de rarefacci´on que informan al fluido que debe adecuar su velocidad a la del pist´ on. Puesto que x ¨p es negativa, x˙ p decrece con el tiempo y tambi´en lo hacen las pendientes dx/dt de las caracter´ısticas C + (v´ease Figura 12.1) de modo que por cualquier punto del plano (x, t) pasa una u ´nica curva caracter´ıstica del tipo C + , ya que (12.31) representa una familia de l´ıneas rectas divergentes. Por el contrario, si x ¨p (τ ) > 0 para todo τ , como ocurre por ejemplo en el caso de un pist´on aceler´andose en la direcci´on positiva del eje x, parten del pist´ on ondas de compresi´on que viajan hacia la derecha comprimiendo al fluido de modo que ´este se acelera hacia la derecha como impone el movimiento del pist´on. En este caso, la pendiente de cada una de las caracter´ısticas C + crece con τ y (12.31) representa ahora una familia de caracter´ısticas convergentes que se cortan en alg´ un punto del diagrama (x, t). La soluci´on (12.31)-(12.32) se hace multievaluada a partir de un cierto instante (en un punto se cortan m´ as de dos l´ıneas caracter´ısticas) y la soluci´on (12.31)(12.32) deja de ser v´alida. Una interpretaci´ on f´ısica alternativa puede completar la visi´on geom´etrica esbozada hasta ahora. En efecto, consid´erese un tren de ondas propag´ andose en el seno de un gas. Con respecto al fluido, cada onda se propaga con la velocidad local del sonido correspondiente a las condiciones termodin´amicas en cada punto del medio fluido. La velocidad del sonido en un gas perfecto que se mueve isentr´opicamente viene dada por γ−1 γ po p p . (12.33) a2 = γ = γ ρ ρ o po u(x, t) = x˙ p (τ ),
a = ao +
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
298
Cuando se trata de un tren de ondas de rarefacci´ on (expansi´on), cuyo efecto es el de disminuir la presi´ on del gas a su paso, cada una de las ondas viajar´ a, de acuerdo con (12.33), con una velocidad menor que la de la que la precede, pues el medio en que se desplaza ha sido previamente perturbado por aqu´ella. Como consecuencia, las ondas en un tren de ondas de expansi´on viajan cada vez m´as separadas (caracter´ısticas divergentes). Por el contrario, un tren de ondas de compresi´ on da lugar a un colapso de las ondas que resulta en un fen´ omeno nuevo conocido con el nombre de onda de choque. La existencia de las ondas de choque fue predicha por Riemann en 1888 antes de existir evidencia experimental acerca de las mismas.
p p0
p
t=t0 p0
t>t0
p0
x
x
Figura 12.2: Efectos no lineales en una onda de compresi´on.
Para entender mejor este efecto asociado al car´acter no-lineal de las ecuaciones, consid´erese el caso en que se produce, en el instante inicial, una perturbaci´ on arbitraria de las magnitudes fluidas, por ejemplo de la presi´on como se representa en la Figura 12.2. Como se sabe, esta perturbaci´on se propagar´a en forma de una onda cuya velocidad de propagaci´ on, la del sonido, es funci´ on de p. Como consecuencia de la diferencia en la velocidad de propagaci´on, el perfil cambiar´ a su forma de modo que en los puntos donde hay compresi´ on (p > po ) se mueven hacia adelante m´as r´apidamente que en las de expansi´on. Finalmente, el perfil de presiones resultar´ a multievaluado con tres valores de la presi´on en un mismo punto como indica en la Figura 12.2 para t < to . Naturalmente, esta soluci´on es f´ısicamente inaceptable. En realidad, inmediatamente antes de que la soluci´ on sea multievaluada, se forma una discontinuidad denominada onda de choque. Es importante destacar que la presencia de discontinuidades en las magnitudes fluidas resulta en valores grandes de la disipaci´ on viscosa, y de la conducci´on de calor, asociados a los grandes valores de los gradientes de velocidades y temperaturas en la discontinuidad (infinitos en primera aproximaci´ on). Como se ver´ a m´as adelante, lo que sucede en realidad es que centrada en la discontinuidad existe una capa de espesor muy peque˜ no comparado con la longitud caracter´ıstica del flujo, donde la viscosidad es importante y las magnitudes fluidas var´ıan de un modo continuo a trav´es de ella. Naturalmente, cuando el flujo se observa con la longitud caracter´ıstica del flujo, el espesor de la onda de choque es nulo en primera aproximaci´ on y deviene en una discontinuidad. A ambos lados de la discontinuidad, el flujo es isentr´ opico, pero la entrop´ıa de las part´ıculas que la atraviesan no se conserva. El tiempo tR necesario para que se forme una soluci´on multievaluada puede obtenerse f´ acilmente de la soluci´on (12.31)-(12.32), aunque naturalmente, esta soluci´ on no es ya v´alida para tiempos t ≥ tR . En efecto, soluciones multievaluadas aparecen en el instante en el que los perfiles de las magnitudes fluidas presentan una pendiente infinita; por ejemplo, derivando la velocidad respecto a x se tiene ∂u∂τ ∂ u = , ∂ x t ∂τ ∂x
(12.34)
299
12.2. Movimiento unidireccional de un gas
y como ∂ u/∂ τ es distinta de infinito se debe tener ∂ x/∂ τ = 0 para que el gradiente espacial de la velocidad sea infinito. Derivando la ecuaci´ on (12.31) respecto a t, resulta
γ−1 γ+1 dx (12.35) x ¨p (t − τ ) − ao + x˙ p (τ ) ; = dτ 2 2 obs´ervese, como ya se anticip´o al predecir el colapso de la soluci´on correspondiente a un tren de ondas de compresi´on, que (12.35) s´olo puede anularse si x ¨p (τ ) > 0. De (12.35) se tiene tR = τ +
γ−1 2 ao + 2 x˙ p (τ ) , γ+1 x ¨p (τ )
(12.36)
que junto a la condici´ on de m´ınimo, d tR /d τ = 0, permiten determinar el tiempo m´ınimo tR de formaci´on de la onda de choque. La soluci´on (12.31) y (12.32) debe modificarse ligeramente en el caso de un pist´on movi´endose en el sentido de las x negativas cuando ´esta se mueve con velocidades superiores a las de un cierto valor l´ımite. En efecto, la velocidad m´axima que puede alcanzar un gas es la que corresponde a una expansi´ on al vac´ıo (ρ = 0, p = 0, a = 0) y de (12.26) se tiene umax = −
2 ao . γ−1
(12.37)
La velocidad umax se denomina a veces velocidad de escape del gas originariamente en reposo.
Figura 12.3: Movimiento de un gas inducido por la aceleraci´ on de un pist´ on a velocidades mayores que la de escape. Naturalmente, si en alg´ un instante τ = τ0 , la velocidad del pist´ on supera a la de escape 2 ao , el gas se separa del pist´on y aparece una regi´on de vac´ıo entre ambos, Figura |x˙ p (τo )| > γ−1 12.3. La frontera entre gas y vac´ıo avanza con una velocidad d xv 2 ao , =− dt γ−1
(12.38)
y su posici´on en cualquier instante t ≥ τo viene dada por xv − xp (τo ) = −
2 ao (t − τo ). γ−1
(12.39)
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
300
La Figura 12.3 resume el diagrama de caracter´ısticas y la soluci´on anal´ıtica viene dada por: u=0 y u = x˙ p (τ )
y
a = 0 (vac´ıo) en
a = ao +
a=0
en
γ−1 x˙ p (τ ) en 2
xp (τ ) ≤ x ≤ xv = xp (τo ) −
x ≥ ao t, xv (τ ) ≤ x ≤ ao t con
2 ao (t − τo ) con γ−1
τ ≤ τo , τ ≥ τo .
(12.40)
Obs´ervese que la frontera de separaci´on gas-vac´ıo es una caracter´ıstica C + que es tangente a la curva xp (τ ) en el punto τo .
Figura 12.4: Movimiento de un gas inducido por el arranque instant´ aneo de un pist´ on con velocidad mayor que la de escape. Otro caso de inter´es es aquel en el que el pist´on arranca instant´ aneamente con velocidad mayor que la de escape del gas. La soluci´on de este problema puede obtenerse f´acilmente de la anterior en el l´ımite τo → 0. En este caso las caracter´ısticas son rectas que pasan por el origen, y cuya ecuaci´on es γ−1 dx = u + a = ao + u. (12.41) dt 2 El diagrama de caracter´ısticas se muestra en la Figura 12.4 y la soluci´on se obtiene f´acilmente de (12.26) y (12.41) u = 0 y a = ao si x > ao t,
γ−1 2 2 x y a = ao + − ao u si − ao t ≤ x ≤ ao t u= γ+1 t 2 γ−1 2 (12.42) ao t. a = 0 si x ≤ − γ−1 Como se indic´o anteriormente, un gas originalmente en reposo puede acelerarse de modo no estacionario mediante una onda de rarefacci´ on hasta velocidades que no excedan la velocidad de escape. Cada una de las ondas infinitesimales de expansi´on que se propagan hacia la derecha aceleran el fluido que las atraviesa movi´endose hacia la izquierda hasta alcanzar la velocidad de escape. La Figura 12.4 y la soluci´on dada por (12.42) corresponde tambi´en al caso de la expansi´on al vac´ıo de un gas que en el instante inicial est´a en reposo y separado del vac´ıo por una membrana situada en x = 0 que se rompe en el instante inicial.
12.3. Discontinuidades en movimientos de fluidos ideales
12.3.
301
Discontinuidades en movimientos de fluidos ideales
Ya se ha comentado anteriormente que las soluciones de las ecuaciones de Euler que describen el movimiento de los fluidos ideales presentan a veces discontinuidades. Un ejemplo concreto de discontinuidad en el seno de un flujo de un fluido ideal aparece cuando un tren de ondas de compresi´on de amplitud infinitesimal, originadas por el movimiento de un pist´ on en el interior de un cilindro que contiene un gas, colapsan formando una discontinuidad de las magnitudes fluidas u onda de choque. Ondas de choque aparecen tambi´en en el flujo supers´onico a trav´es de una tobera convergente-divergente y en otros casos de corrientes supers´onicas como la que aparece delante de un cuerpo movi´endose a velocidades supers´onicas en el seno de un gas como se ilustra en la Figura 12.5.2
Figura 12.5: Onda de choque desprendida delante de la bala de rifle que viaja a n´ umero de Mach M=1.1. En la figura se observan tambi´en ondas de choque y de expansi´ on sobre la bala y su estela.
El mecanismo f´ısico de formaci´on de una onda de choque est´ a ligado al hecho de que cuando un obst´aculo se acelera emite ondas de compresi´on que informan al fluido del cambio habido en las condiciones de contorno. Como es sabido, esta informaci´on se propaga relativa al fluido con la velocidad del sonido. Si el movimiento es subs´onico (U < a∞ ), la informaci´ on se propaga corriente arriba del obst´ aculo y el fluido se adec´ ua gradualmente al cambio experimentado por la velocidad del obst´aculo. Por el contrario, cuando la velocidad del obst´ aculo es supers´onica, la informaci´ on no puede propagarse corriente arriba m´ as que hasta el punto donde la velocidad del fluido y la del sonido se igualen. Las ondas de compresi´on se agolpan a una cierta distancia corriente arriba del obst´aculo y se forma una onda de choque. Aguas arriba de la onda la corriente es supers´ onica y no se modifica por la presencia del obst´aculo. A trav´es de la onda, y como se ver´a m´as adelante, el flujo pasa de supers´onico a subs´onico, de forma que detr´ as de la onda de choque la corriente siente la presencia del obst´aculo y se adapta a las condiciones que impone su presencia. Una caracter´ıstica general de todos estos ejemplos es que el flujo relativo a la onda debe ser supers´onico en alguna regi´on del campo fluido y la deceleraci´on hasta una velocidad subs´ onica se realiza a trav´es de la onda (en el ejemplo del pist´on considerado al final de la secci´on 12.6, la onda de choque formada se propaga a velocidad supers´onica en el medio no perturbado). Por supuesto, en la realidad, las presuntas discontinuidades no son tales sino que son regiones delgadas donde los gradientes de las magnitudes fluidas son tan acusados que la hip´ otesis de fluido ideal cesa de ser v´alida. Como el espesor de estas regiones tienden formalmente a cero en 2
M. van Dyke, An Album of Fluid Motion, Parabolic Press, 1982.
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
302
el l´ımite Re → ∞, desde el punto de vista de la teor´ıa de los fluidos ideales se considerar´an como discontinuidades, sin importarnos por el momento su estructura interna, cuyo an´ alisis se pospone al Cap´ıtulo 14. El orden de magnitud del espesor de la discontinuidad se determina f´ acilmente sin m´as que observar que las fuerzas de viscosidad son importantes en distancias del =
orden de δ, [ρ v · ∇ v ∼ ∇· τ , ρ V 2 /δ ∼ µ V /δ 2 , δ ∼ µ/(ρ v) ∼ L/Re L]. En lo que sigue se derivar´ an relaciones cuantitativas generales de los saltos de las magnitudes fluidas a trav´es de estas discontinuidades.
12.4.
Ecuaciones de conservaci´ on a trav´ es de una discontinuidad
Consid´erese una superficie, de forma arbitraria, a trav´es de la que las magnitudes fluidas (v, p, ρ, T , etc.) experimentan un salto finito, Figura 12.6. Para derivar las relaciones que ligan las condiciones delante (regi´on 1) y detr´ as (regi´on 2) de la discontinuidad se aplicar´ an las leyes de conservaci´on de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a un volumen de control infinitesimal, como el de la Figura 12.6, formado por unas superficies laterales que cruzan la discontinuidad, de espesor δ, y otras dos superficies planas, paralelas y tangentes a la discontinuidad en el punto considerado, de normal unitaria n. El ´area dσ de estas dos superficies verifica que (dσ)1/2 δ,
Figura 12.6: Salto de las propiedades fluidas a trav´es de una discontinuidad. lo que es siempre posible por tratarse de una discontinuidad matem´ atica y, a pesar de que dσ es tambi´en infinitesimal, δ puede hacerse tan peque˜ no como se quiera. En la realidad, la discontinuidad tiene espesor finito, pero tiende formalmente a cero en el l´ımite Re → ∞; la u ´nica limitaci´on sobre δ es que debe ser lo suficientemente grande como para que las dos superficies frontales est´en inmersas en el fluido ideal, es decir, lejos de la regi´on de transici´on donde los efectos disipativos son importantes. Para el an´alisis de la discontinuidad conviene escribir las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa en forma de ecuaciones de conservaci´on que adoptan la forma siguiente ∂ρ + ∇ · (ρ v) = 0, ∂t
(12.43)
= = ∂(ρ v) + ∇ · (ρ v v + p I − τ ) = 0, ∂t
(12.44)
303
12.4. Ecuaciones de conservaci´on a trav´es de una discontinuidad
= ∂[ρ(e + u2 /2)] u2 +∇· ρ h+ v − q− τ ·v = 0, ∂t 2
(12.45)
=
donde I es el tensor unidad. La condici´on (dσ)1/2 δ da lugar a que los flujos de las magnitudes fluidas a trav´es de la superficie lateral del volumen de control sean peque˜ nos comparados con los flujos frontales, y a que los t´erminos volum´etricos de las ecuaciones de conservaci´on, proporcionales a δdσ/to , donde to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, sean tambi´en despreciables frente a los t´erminos convectivos, de orden v · ndσ; esto es, el espesor de la superficie de discontinuidad δ es tan peque˜ no que el tiempo de residencia de las part´ıculas fluidas, δ/V es muy peque˜ no frente a to y, por tanto, el movimiento es casi-estacionario en primera aproximaci´ on (V es aqu´ı la velocidad caracter´ıstica del gas respecto a la discontinuidad). En general, la discontinuidad ser´a m´ovil, propag´ andose a velocidad supers´onica respecto al fluido; no obstante, para el an´ alisis de la discontinuidad se tomar´ an ejes ligados a la misma, de modo que v representa aqu´ı la velocidad del fluido respecto a la discontinuidad. Con estas condiciones, las ecuaciones (12.43)-(12.45) pueden integrarse, despu´es de usar el teorema de Gauss en el volumen de control indicado, para dar ρ1 v1 · n = ρ2 v2 · n,
(12.46)
p1 n + ρ1 (v1 · n)v1 = p2 · n + ρ2 (v2 · n)v2 ,
(12.47)
ρ1 (h1 +
v12 /2)v1
· n = ρ2 (h2 +
v22 /2)v2
· n,
(12.48)
donde se ha supuesto que no hay absorci´ on ni emisi´on de calor, por radiaci´ on o reacci´on qu´ımica, en la superficie de discontinuidad. Obs´ervese que las relaciones anteriores son locales y, por tanto, v´alidas para cada punto sobre la superficie de discontinuidad. Proyectando la ecuaci´ on de cantidad de movimiento (12.47) en las direcciones normal y tangencial a la discontinuidad y escribiendo el resultado en t´erminos de las componentes normal y tangencial de la velocidad, vn ≡ v · n, vt ≡ v − vn n, se obtienen las cuatro relaciones siguientes
12.4.1.
ρ1 vn1 = ρ2 vn2 ,
(12.49)
2 2 = p2 + ρ2 vn2 , p1 + ρ1 vn1
(12.50)
ρ1 vn1 vt1 = ρ2 vn2 vt2 ,
(12.51)
ρ1 vn1 (h1 + v12 /2) = ρ2 vn2 (h2 + v22 /2).
(12.52)
Discontinuidad tangencial
Existen dos tipos b´ asicos de discontinuidades en funci´ on de que haya o no flujo m´ asico a trav´es de ella. Una discontinuidad tangencial es aquella en la cual no existe flujo m´ asico que atraviese la discontinuidad vn1 = vn2 = 0. De acuerdo con esto, las relaciones (12.49), (12.51) y (12.52) se satisfacen id´enticamente para cualquier salto en las magnitudes ρ, vt y h. La ecuaci´on (12.50) nos dice que la presi´on se conserva a trav´es de la discontinuidad, p1 = p2 , lo cual es intuitivo, puesto que en caso contrario existir´ıa movimiento en la direcci´on normal asociado a la diferencia de presi´on. As´ı, en una discontinuidad tangencial, son continuas las magnitudes fluidas vn y p (vn = 0), y discontinuas todas las dem´as, las cuales pueden tomar valores arbitrarios a un lado y otro de la discontinuidad, puesto que las ecuaciones anteriores no fijan ninguna relaci´ on entre ellas. Un caso t´ıpico de discontinuidad tangencial es la que se forma cuando dos flujos paralelos de fluidos ideales a distinta velocidad (y, en general, con distinta densidad y temperatura) se ponen en contacto, como, por ejemplo, en el borde de salida de un perfil aerodin´ amico o en las capas de mezcla que se forman en la descarga de un chorro bidimensional o axilsim´etrico a una atm´osfera en
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
304
reposo, v´ease Figura 12.7. Debe indicarse, sin embargo, que este tipo de flujos no pueden, salvo en sus comienzos, ser tratados como discontinuidades fluidas por las razones siguientes: crecen muy r´ apidamente aguas abajo y, por otra parte, son muy inestables, aun a bajos n´ umeros de Reynolds, y dan lugar a capas de mezcla turbulentas que requieren un tratamiento distinto para su resoluci´ on. a) v1 v2
b)
Figura 12.7: Ejemplos de discontinuidades tangenciales. a) Capa de mezcla. b) Chorro bidimensional o axilsim´etrico.
12.4.2.
Discontinuidad normal u onda de choque
Discontinuidad normal es aquella en la que hay flujo m´ asico a trav´es de ella, vn1 = vn2 , vn1 = 0, vn2 = 0. En este caso las ecuaciones de salto (12.49)-(12.52) se reducen a las relaciones siguientes, que se denominan de Ranquine-Hugoniot, ρ1 vn1 = ρ2 vn2 ,
(12.53)
2 2 = p2 + ρ2 vn2 , p1 + ρ1 vn1
(12.54)
vt1 = vt2 ,
(12.55)
h1 +
2 vn1 /2
= h2 +
2 vn2 /2;
(12.56)
obs´ervese que la entalp´ıa de remanso se conserva a trav´es de la discontinuidad, pero no la presi´on de remanso. Aparte de las ondas de choque, otros ejemplos de discontinuidad normal son los frentes de combusti´on: deflagraciones y detonaciones. En ellos se produce una reacci´on qu´ımica exot´ermica [por tanto, a la ecuaci´on (12.56) hay que a˜ nadirle un t´ermino de calor de reacci´on] que separa una zona de gases quemados de otra de gases reactantes. El espesor de estos frentes, aunque por supuesto finito, y generalmente bastante mayor que el de una onda de choque, suele ser muy peque˜ no en relaci´on a las escalas de longitud del flujo ideal circundante, pudiendo considerarlos, en primera aproximaci´ on, como superficies discontinuas en el fluido. Aunque aqu´ı no se entrar´ a en detalles (el lector interesado puede consultar cualquier texto sobre la teor´ıa de la combusti´ on)3 conviene indicar que para su estudio, adem´ as de las ecuaciones de conservaci´on anteriores, es necesario considerar las ecuaciones de conservaci´on de las especies qu´ımicas presentes, puesto que ´estas 3
Por ejemplo, F.A. Williams, Combustion theory, Addison-Wesley, Redwood City, Ca., 1985.
12.5. Relaci´on de Hugoniot
305
reaccionan qu´ımicamente entre s´ı en el interior del frente variando su concentraci´ on de un lado a otro de la discontinuidad, adem´ as de modificar la ecuaci´on de la energ´ıa como ya se ha dicho, puesto que las reacciones qu´ımicas son exot´ermicas. La escala de tiempo de las reacciones qu´ımicas suele ser muy peque˜ na en relaci´on a los tiempos caracter´ısticos del movimiento fluido y por ello se habla de un frente (discontinuidad) de combusti´ on. Para que estas reacciones qu´ımicas se produzcan, la temperatura tiene que subir por encima de un cierto valor, ya que la cin´etica qu´ımica es proporcional (en un gas ideal) a exp(−Eo /Rg T ), donde Eo es una energ´ıa de activaci´ on. Superada esa temperatura (de ignici´on), las reacciones qu´ımicas se propagan espont´aneamente debido a su car´acter exot´ermico; de esta forma, un frente de combusti´ on avanza hacia los gases frescos (reactantes) y los transforma, a su paso, en gases quemados. En esencia, esto es lo que se denomina una deflagraci´ on, donde la energ´ıa liberada por la reacci´ on qu´ımica (la cual se inicia por un calentamiento externo o ignici´ on) calienta por conducci´ on los gases reactantes circundantes, que as´ı reaccionan qu´ımicamente y propagan la combusti´ on. La velocidad de propagaci´ on de estas ondas de deflagraci´on depende de la velocidad de la conducci´ on de calor, y su valor se determina como un autovalor de las ecuaciones que gobiernan el proceso interno de la onda, siendo siempre menor que la del sonido, en general de unos pocos metros por segundo (para los detalles se puede consultar, por ejemplo, la referencia antes citada). En una detonaci´ on, el calentamiento de los gases reactantes se produce mediante una onda de choque, que eleva enormemente la temperatura de los mismos y los hace reaccionar qu´ımicamente. As´ı, aunque sea considerada como una discontinuidad en la escala del flujo ideal, su estructura interna consta de dos zonas m´as o menos delimitadas: una onda de choque que va calienta los gases frescos seguida de una segunda regi´on, generalmente de espesor bastante mayor, donde se produce la reacci´on qu´ımica y el gas se calienta a´ un m´as. Al ser una onda de choque la que hace posible la combusti´ on, las detonaciones se propagan supers´onicamente (se ver´a en las secciones siguientes que toda onda de choque se mueve, relativamente al fluido circundante, a una velocidad mayor que la velocidad local del sonido). En lo que resta se discutir´a s´olo el caso de las ondas de choque. En particular, se considerar´ an las ondas de choque en gases ideales, tanto normales (vt = 0) como oblicuas (vt = 0), que son las u ´nicas que podr´ an aparecer en algunos de los flujos considerados en las secciones siguientes.
12.5.
Relaci´ on de Hugoniot
De las relaciones (12.53)-(12.56) para un gas ideal, teniendo en cuenta que h = [γ/(γ − 1)]p/ρ, se puede deducir la relaci´on entre los saltos de presi´on y de densidad a trav´es de una onda de choque (γ − 1) − (γ + 1)(ρ2 /ρ1 ) p2 = . (12.57) p1 (γ − 1)(ρ2 /ρ1 ) − (γ + 1) Esta relaci´on, denominada de Hugoniot, se representa en la Figura 12.8 junto con la relaci´ on isentr´ opica p2 /p1 = (ρ2 /ρ1 )γ . Se observa que para una onda de choque de intensidad infinita, p2 /p1 → ∞, la relaci´on de densidades tiene un valor finito, ρ2 /ρ1 → (γ +1)/(γ −1), contrariamente a una compresi´on isentr´ opica que, en teor´ıa, puede dar lugar a una densidad infinita, ρ2 /ρ1 → ∞. Por otro lado, una onda de choque d´ebil, p2 /p1 1, es casi isentr´opica, como se puede comprobar f´acilmente desarrollando en serie la relaci´on de Hugoniot alrededor de ρ2 /ρ1 − 1 1 ρ2 p2 =1+γ − 1 + ..., (12.58) p1 ρ1 que concuerda con el desarrollo de la relaci´on isentr´ opica alrededor de ρ2 /ρ1 1, γ γ ρ2 ρ2 ρ2 p2 = = −1+1 − 1 + .... =1+γ p1 ρ1 ρ1 ρ1
(12.59)
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
306 p2 p1
1
g-1 g+1
1
g+1 g-1
r1 r2
Figura 12.8: La curva s´olida corresponde a la relaci´on de Hugoniot y s´ olo tiene sentido f´ısico la parte correspondiente a p2 /p1 ≤ 1, mientras que la relaci´on isentr´ opica se representa mediante la curva a trazos. La curva de Hugoniot representada en la Figura 12.8 se ha obtenido a partir de las ecuaciones de conservaci´on de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a trav´es de una onda de choque, (12.53)(12.56), y por tanto es posible alcanzar en principio cualquier estado termodin´ amico representado por los diferentes puntos de la curva. Sin embargo, el segundo principio de la Termodin´ amica, que expresa que debe haber un incremento de la entrop´ıa de las part´ıculas fluidas que atraviesan la onda de choque por existir procesos disipativos en el interior de la misma (efectos de viscosidad y de conducci´on de calor no despreciables), excluye como f´ısicamente imposibles parte de los estados termodin´amicos de la curva. En efecto, teniendo en cuenta que para un gas ideal la entrop´ıa es proporcional a cv ln(p/ργ ), el salto de entrop´ıa a trav´es de una onda de choque viene dado por γ p1 [(γ + 1)/(γ − 1)](ρ2 /ρ1 ) − 1 p2 p2 ρ1 S2 − S1 = ln = ln γ − ln γ = ln ≥ 0, (12.60) cv ρ2 ρ1 p 1 ρ2 [(γ + 1)/(γ − 1) − (ρ2 /ρ1 )](ρ2 /ρ1 )γ lo que implica que la entrop´ıa aumenta si y s´olo si ρ2 γ+1 ≥ 1; ≥ γ−1 ρ1
(12.61)
esto es, una onda de choque s´olo puede ser de compresi´on, 1 ≤ (p2 /p1 ) < ∞, excluyendo como f´ısicamente imposible, la parte inferior de la curva de Hugoniot (v´ease Figura 12.8) en la que p2 /p1 < 1.4 De (12.53)-(12.57) y (12.61) se obtienen las desigualdades siguientes para las restantes magnitudes fluidas ρ1 γ−1 vn2 = ≤ 1, < γ+1 vn1 ρ2 p2 ρ1 T2 = < ∞, 1≤ T1 p1 ρ2 vn2 T1 Mn2 = ≤ 1, 0< Mn1 vn1 T2 4
La inexistencia de ondas de choque de expansi´ on se demostr´ o ya en la secci´ on 12.2.
(12.62) (12.63) (12.64)
307
12.6. Ondas de choque normales
umero de Mach normal definido mediante la componente normal de donde Mn = vn /a es el n´ la velocidad relativa a la onda. Se tiene, pues, que, a trav´es de una onda de choque, la presi´ on, la temperatura y la densidad del gas aumentan [las dos primeras magnitudes pueden hacerlo indefinidamente y la densidad hasta el l´ımite dado por (12.61)], mientras que la velocidad y el numero de Mach relativos al movimiento de la onda decrecen (tanto en sus componentes normales como en sus valores absolutos, puesto que la componente tangencial de la velocidad se conserva). En cuanto a las magnitudes de remanso se conserva la entalp´ıa de remanso como muestran (12.55) y (12.56) ρ02 p02 = . (12.65) h02 = cp T02 = cp T01 = h01 → p01 ρ01 Por otra parte, y dado que la entrop´ıa del gas aumenta al atravesar la onda, se tiene γ ρ02 ρ02 ρ02 p02 p02 = ≥ ≤1 → = ≤ 1, (12.66) p01 ρ01 ρ01 ρ01 p01 ya que γ ≥ 1: Las relaciones (12.66) muestran que la densidad y la presi´on de remanso disminuyen a trav´es de la onda de choque. El hecho de que no se conserven todas las magnitudes de remanso es consecuencia de que el flujo a trav´es de una onda de choque no es isentr´ opico. Esto no incluye a la temperatura de remanso, ya que la entalp´ıa de remanso s´ı se conserva por ser la onda de choque un proceso donde no se realiza ning´ un trabajo ni se intercambia calor y es casi estacionario, dado que el espesor es te´oricamente nulo. Sin embargo, la entalp´ıa de remanso no se conserva en un frente de combusti´ on, donde se libera calor por reacci´ on qu´ımica, ni en una onda de choque que emitiera o absorbiera energ´ıa por radiaci´ on.
12.6.
Ondas de choque normales
Una onda de choque normal es aquella en la que la corriente incide y abandona la onda normalmente a la misma: vt = 0, v = vn n ≡ v n. Por supuesto, este tipo de ondas de choque aparecen s´olo en movimientos unidireccionales, como en el problema del pist´on de la secci´on (12.2), o cualquier otro movimiento supers´onico en conductos de secci´on lentamente variable. Las relaciones de Rankine-Hugoniot (12.53)-(12.56) se suelen escribir en funci´on del n´ umero de Mach de la corriente incidente: v2 2 (12.67) M12 = Mn1 = 12 . a1 En efecto, despu´es de algunas manipulaciones algebraicas se llega a las siguientes expresiones que relacionan los saltos de las magnitudes fluidas a trav´es de una onda de choque normal como funciones de M12 ρ1 2 + (γ − 1)M12 v2 = = , v1 ρ2 (γ + 1)M12
(12.68)
2γM12 + 1 − γ p2 = , p1 γ+1
(12.69)
(2γM12 + 1 − γ)[2 + (γ − 1)M12 ] T2 = ; T1 (γ + 1)2 M12
(12.70)
el n´ umero de Mach de la corriente detr´as de la onda y la diferencia de entrop´ıa entre el gas delante y detr´as de la onda vienen dados por las relaciones M22 =
2 + (γ − 1)M12 v22 = , 2 a2 2γM12 + 1 − γ
(12.71)
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
308 y
γ γ S2 − S1 2γM12 + 1 − γ 2 + (γ − 1)M12 p2 ρ1 = ln = ln . cv p1 ρ2 γ+1 (γ + 1)M12
(12.72)
Por u ´ltimo, de la condici´ on de flujo isentr´ opico delante y detr´ as de la onda y de (12.57) y (12.64), los saltos en las presiones y densidades de remanso vienen dados por ρ02 p2 [1 + (γ − 1)M22 /2]γ/(γ−1) p02 = = = p01 ρ01 p1 [1 + (γ − 1)M12 /2]γ/(γ−1)
M12 (γ + 1)(γ+1)/γ [2 + (γ − 1)M12 ][2γM12 + 1 − γ]1/γ
γ/(γ−1) .
(12.73)
Las relaciones anteriores permiten obtener las magnitudes fluidas detr´as de una onda de choque normal de un gas perfecto conocidas las magnitudes delante de la onda de choque y el n´ umero de Mach incidente (y, por supuesto, de γ, que depende exclusivamente del tipo de gas). Para el caso de aire, los valores num´ericos est´an tabulados en el Ap´endice 12.I al final del cap´ıtulo. Una propiedad muy importante que se obtiene de las relaciones anteriores y del segundo principio de la Termodin´amica es que el n´ umero de Mach incidente es siempre mayor o igual que la unidad, M12 ≥ 1, mientras que el n´ umero de Mach detr´as de la onda es siempre menor o igual que la unidad, M22 ≤ 1. En efecto, tomando, por ejemplo, la expresi´ on (12.69), como p2 /p1 ≥ 1 debido a que S2 − S1 ≥ 0, se tiene que 2γM12 + 1 − γ ≥ γ + 1, (12.74) lo que implica M12 ≥ 1; por otra parte, para M12 → 1 (onda de choque muy d´ebil) se obtiene, de (12.71), M22 → 1, mientras que para M12 → ∞ (onda de choque muy fuerte), M22 → (γ −1)/2γ < 1; es decir, (γ − 1)/2γ < M22 ≤ 1. Esto es, a trav´es de una onda de choque normal el movimiento del gas, relativo a la onda de choque (no se olvide que las relaciones de salto han sido obtenidas respecto a unos ejes ligados a la onda de choque), se frena y pasa de supers´onico a subs´onico debido a los procesos disipativos que ocurren en su interior. Por ejemplo, si una onda de choque normal avanza en un gas en reposo (como, por ejemplo, en el problema del pist´on considerado al final de la secci´on 12.2, donde el movimiento con amplitud no infinitesimal de un pist´ on provoca la formaci´ on de ondas simples no lineales que resultan en una onda de choque), la velocidad de ´esta es supers´onica, dejando tras de s´ı un gas comprimido, m´as caliente y movi´endose subs´onicamente respecto a la onda de choque. La velocidad de la onda de choque depende del movimiento del pist´ on y su determinaci´on cae fuera del alcance de estas notas (v´ease, por ejemplo, cualquiera de las referencias citadas en la lecci´on anterior), aunque s´ı se puede resolver f´acilmente un caso simple como es aquel en el cual el pist´on se mueve con velocidad constante Vp . Es f´acil ver que en este caso el gas detr´as de la onda y el pist´on se mueven con la misma velocidad. En relaci´on a la onda, que se mueve con una cierta velocidad Vo > ao , donde ao es la velocidad del sonido del medio en reposo (a2o = γpo /ρo , po y ρo son las condiciones del gas delante de la onda), el gas detr´ as de la onda se mueve con velocidad Vo −Vp , que debe ser subs´onica en relaci´on a las condiciones del gas que deja tras de s´ı la onda, mientras que el gas incidente se acerca a la onda con velocidad Vo , ya que se encuentra en reposo respecto a tierra. As´ı, de (12.68), se tiene 2 + (γ − 1)M12 Vo − Vp = Vo (γ + 1)M12
con M12 =
Vo2 γpo /ρo
(12.75)
relaci´on que permite obtener Vo en funci´on de Vp y de las propiedades del fluido no perturbado, po y ρo . Una vez obtenido Vo y, por tanto, M1 , las relaciones de Rankine-Hugoniot (12.68)-(12.70) permiten obtener las condiciones del gas comprimido detr´as de la onda de choque, p2 , ρ2 y T2 .
309
12.7. Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas
12.7.
Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas
Cuando una part´ıcula infinitesimal se mueve en el seno de un fluido, produce perturbaciones infinitesimales (ondas sonoras que se propagan con la velocidad del sonido en la forma de frentes de onda que son superficies esf´ericas que emanan del punto que ocupa la part´ıcula en cada instante. En la Figura 12.9 se muestran algunos de estos frentes de perturbaci´ on esf´ericos. El comportamiento de a)
b)
Onda de Mach límite
adt
Ua
Udt
m=sen-1(1/M)
Figura 12.9: Propagaci´ on de una perturbaci´ on en una corriente a) subs´ onica, b) s´onica y c) supers´onica.
estos frentes es bastante diferente seg´ un que la velocidad de la part´ıcula sea subs´onica o supers´onica. Si la part´ıcula se mueve subs´onicamente, U < a (M < 1), Figura 12.9(a), las perturbaciones se alejan en todas las direcciones sin alcanzarse unas a otras. Avanzan tambi´en por delante de la part´ıcula, porque recorren una distancia aδt en el intervalo de tiempo δt, durante el cual la part´ıcula s´olo ha recorrido una distancia U δt. Por tanto, cuando un cuerpo se mueve subs´ onicamente su presencia se percibe en todo el campo fluido. A la velocidad s´onica, U = a [M = 1; Figura 12.9(b)], las perturbaciones se mueven a la misma velocidad que la part´ıcula y se acumulan a la izquierda de ella formando un cierto tipo de frente que lleva el nombre de onda de Mach;5 un observador situado a la izquierda de la onda no percibir´ıa que el m´ovil se acerca. En movimiento supers´onico, U > a, la situaci´on anterior es todav´ıa m´as pronunciada. Las superficies esf´ericas de las perturbaciones no pueden seguir el r´ apido movimiento de la part´ıcula que las origin´ o. Todas ellas quedan detr´as de la part´ıcula y est´an limitadas por una superficie c´ onica denominada cono de Mach. De acuerdo con la Figura 12.9(c), el a´ngulo del cono de Mach es µ = sen−1
aδt a 1 = sen−1 . = sen−1 U δt U M
(12.76)
Cuanto mayor es el n´ umero de Mach de la part´ıcula, tanto m´as esbelto es el cono de Mach; por ejemplo, µ = 30o cuando M = 2 y es 11,5o cuando M = 5. En el caso l´ımite de flujo s´onico, M = 1, µ = 90o , y el cono de Mach se convierte en un frente plano (onda de Mach) que se mueve con la part´ıcula [Figura 12.10(b)]. Obs´ervese que la perturbaci´on originada por la part´ıcula supers´onica 5 En honor de Ernst Mach, quien en 1887 introdujo este concepto; en particular, la construcci´ on gr´ afica de la Figura 12.9, que aparece en casi todos los libros de texto de Mec´ anica de Fluidos, se debe a ´el.
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
310
de la Figura 12.9(c) no se podr´ıa percibir a no ser que el observador estuviese situado en el cono de Mach posterior; el campo fluido exterior al cono de Mach se denomina a veces zona de silencio. Por tanto, un observador en el suelo, situado debajo de la trayectoria de un avi´ on supers´onico no oye el estampido o bang s´ onico, debido al cono que viaja ligado al avi´ on, hasta cierto tiempo despu´es de haber pasado ´este. La onda de Mach no tiene por qu´e ser c´onica; por ejemplo, ondas de Mach se forman en la superficie de cualquier cuerpo s´olido en movimiento supers´onico debido a las rugosidades de la pared. Estas ondas no tienen necesariamente forma c´onica, sino que partiendo de los distintos puntos de la superficie colapsan sobre una superficie envolvente, que constituye una discontinuidad finita u onda de choque, generalmente no normal a la corriente (v´ease Figura 12.10). En general, en flujos bidimensionales y tridimensionales supers´ onicos las ondas de choque dejan de ser superficies perpendiculares al movimiento del fluido y pueden adoptar formas variadas, como las que se muestran en la Figura 12.10, caracterizadas por que la componente tangencial de la velocidad no es nula sobre ellas, vt = 0. En esta secci´on se considerar´an ondas de choque en flujos bidimensionales supers´onicos; en particular, las denominadas ondas de choque oblicuas planas, que se forman, por ejemplo, en el movimiento sobre cu˜ nas y rincones. Debe a˜ nadirse, sin embargo, que las relaciones que se derivar´ an son localmente v´alidas para cualquier onda de choque. a)
M1 b
a a
b)
M1
a>amax(M1)
Figura 12.10: Ondas de choque en flujos alrededor de cu˜ nas. a) Onda oblicua ligada al obst´ aculo. b) Onda de choque desprendida que se forma cuando el a´ngulo de la cu˜ na es superior a un determinado valor αmax . Como en las relaciones de Rankine-Hugoniot (12.53)-(12.56) para ondas de choque normales la velocidad del flujo es normal a la onda, las relaciones (12.68)-(12.73) siguen siendo v´ alidas para una onda de choque oblicua si en ellas se reemplaza v y M por sus componentes normales vn y Mn . De esta forma, s´olo es necesario a˜ nadir relaciones que nos permitan conocer Mn1 en funci´ on del Mach incidente, M1 , y Mn2 en funci´on de M2 . Llamando β al ´angulo que forma la corriente incidente con el plano tangente a la onda, y α al ´angulo que forma la corriente detr´ as de la onda en relaci´on a la corriente incidente (ver Figura 12.6), se tiene vn1 = v1 sen β,
(12.77)
vn2 = v2 sen(β − α).
(12.78)
Como vt1 = vt2 = vt , se tiene adem´as que v1 cos β = v2 cos(β − α).
(12.79)
12.7. Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas
311
De estas relaciones y de (12.68) se llega a 2 2 + (γ − 1)Mn1 tan(β − α) vn2 = = 2 vn1 tan β (γ + 1)Mn1
(12.80)
Mn1 = M1 sen β,
(12.81)
y teniendo en cuenta (12.77), se obtiene, finalmente, la relaci´on entre α, β y M12 , que se representa en la Figura 12.11 y que permite resolver las ondas de choque oblicuas
M12 sen2 β − 1 tan α = 2 cot β . (12.82) M12 (γ + cos 2β) + 2
Figura 12.11: Relaci´on entre α y β para valores diferentes de M . on de la corriente α El proceso de resoluci´on ser´ıa el siguiente: conocido M1 y, por ejemplo, la deflexi´ a trav´es de la onda de choque (que normalmente viene impuesta por restricciones externas al flujo, v´ease Figura 12.10), de (12.82) se obtienen β, y posteriormente Mn1 de la ecuaci´on (12.81). Con Mn1 y las condiciones (p1 , ρ1 ) de la corriente incidente, se obtienen las propiedades de la corriente detr´as de la onda de choque (p2 , ρ2 , etc.) y el n´ umero de Mach normal Mn2 de (12.68)-(12.73). Finalmente, el n´ umero de Mach de la corriente detr´as de la onda viene dado por M2 = Mn2 / sen(β − α).
(12.83)
De la Figura 12.11 se pueden extraer las siguientes propiedades de las ondas de choque oblicuas 1. Para cada valor del Mach incidente existe un a´ngulo m´aximo de desviaci´on αmax . Por ejemplo, en el flujo supers´onico alrededor de una cu˜ na con semi´angulo mayor que αmax no existe soluci´on para una onda de choque oblicua recta como la aqu´ı encontrada, y en su lugar se forma una onda de choque curva desprendida del obst´ aculo [v´ease Figura 12.10(b)].
312
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
2.
Dados α < αmax y M1 , existen dos valores posibles de β que corresponden a una onda de choque d´ebil y otra fuerte. La onda de choque fuerte da lugar a un a´ngulo β mayor, puesto que, de (12.81), para un mismo M1 corresponde a un Mn1 mayor. Por razones de estabilidad, en la naturaleza se presenta, en general, la onda de choque m´as d´ebil, la cual corresponde a onico detr´as de la onda de choque (por supuesto, Mn2 < 1, M2 > 1, es decir, a un flujo supers´ seg´ un se vio en la secci´on anterior). Las ondas de choque fuertes dan lugar a M2 < 1 (flujo subs´onico) y no suelen presentarse en la pr´actica, salvo que las condiciones detr´as de la onda as´ı lo exigiesen; por ejemplo, si la presi´on detr´as de la onda de choque fuese incrementada por alg´ un mecanismo independiente a la onda. La raz´ on es que las perturbaciones generadas detr´ as de la onda pueden avanzar hacia la onda y desestabilizarla si el flujo detr´ as de la onda es subs´onico M2 < 1 (flujo m´ as inestable).
3.
Conviene indicar que α = 0, β = π/2 con M1 = 0 y α = 0 con β = µ = sen−1 (1/M1 ) son tambi´en soluciones de (12.82) y corresponden respectivamente a una onda de choque normal y a una onda de Mach.
4.
Fijado un valor de α, el ´angulo de la onda β incrementa al decrecer M1 y existe un n´ umero de Mach m´ınimo por debajo del cual no existe soluci´ on con onda de choque ligada a la cu˜ na, (obs´ervese que se consideran las soluciones f´ısicas, esto es, las soluciones d´ebiles). Este n´ umero de Mach m´ınimo corresponde a α = αmax , y para n´ umeros de Mach menores que ´el, la onda de choque se separa, tal y como se ilustra en la Figura 12.10(b).
12.8.
Expansi´ on de un flujo supers´ onico
Hasta aqu´ı se han considerado s´olo ondas de choque, o de compresi´on, a trav´es de las cuales el fluido incrementa su presi´on, temperatura y densidad. Existen tambi´en, sin embargo, ondas de expansi´ on, aunque ´estas no satisfacen las relaciones de Rankine-Hugoniot (es decir, no son propiamente discontinuidades fluidas), ya que en tal caso violar´ıan, como se vio en la secci´on 12.6, el segundo principio de la Termodin´ amica. Como se ver´a en lo que sigue, las ondas de expansi´on son ondas casi isentr´opicas y ocupan una regi´ on finita del flujo ideal.
12.8.1.
Expansi´ on de Prandtl-Meyer
En esta secci´on se va a considerar un tipo especial de onda de expansi´ on que se produce cuando un flujo supers´ onico bordea una esquina, v´ease Figura 12.12. Este tipo de flujo, denominado expansi´ on de Prandtl-Meyer, es la ant´ıtesis de la onda de choque oblicua generada cuando una corriente supers´onica libre incide sobre un rinc´ on. Como se ver´a en lo que sigue, la expansi´on de Prandtl-Meyer no puede ser considerada como una discontinuidad fluida, sino que est´ a constituida por un abanico de ondas de Mach entre el flujo incidente y el flujo saliente de la expansi´ on; la regi´on de expansi´on est´a as´ı limitada por las caracter´ısticas 1 y 2 que forman los ´angulos µ1 = arc sen(1/M1 ) y µ2 = arc sen(1/M2 ) con las direcciones respectivas de la corriente; M1 y M2 son los n´ umeros de Mach de la corriente incidente y saliente (la direcci´on de esta u ´ltima forma un ´angulo α con la primera). El n´ umero de Mach y el resto de las magnitudes fluidas son constantes a lo largo de cada onda caracter´ıstica y al estar formada la expansi´on por una sucesi´on infinita de ondas de Mach las magnitudes fluidas var´ıan continuamente a trav´es de ellas. Por tanto, las l´ıneas de corriente son continuas a trav´es de la expansi´on, contrariamente a lo que ocurre en una onda de choque, siendo adem´as el proceso isentr´opico, ya que dS 0 a trav´es de cada onda de Mach.
313
12.8. Expansi´ on de un flujo supers´ onico 1 m1
M1>1 q1
m
2
M m2
q
M2>M1
q2 a
Figura 12.12: Expansi´ on de una corriente supers´ onica a trav´es de una esquina.
Consid´erese, entonces, el flujo supers´onico alrededor de una esquina formada por dos paredes planas que forman un a´ngulo α, Figura 12.12.6 Lo que se desea calcular son las condiciones a la salida de la onda, M2 , p2 y T2 , conocidas las magnitudes del flujo supers´ onico incidente, M1 , p1 y T1 y el ´angulo de deflexi´ on α. El an´ alisis de este problema es sencillo, ya que, debido a que las condiciones aguas arriba son uniformes, las magnitudes fluidas en la expansi´ on dependen solamente del ´angulo θ que se ha deflectado la corriente y no de la distancia a la esquina. En coordenadas polares, (r, θ), con origen en la esquina, y en el supuesto de que las magnitudes fluidas sean independientes de r, las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y conservaci´ on de la entrop´ıa se reducen a ρvr + d(ρvθ )/dθ = 0, (12.84) v2 dvr vθ dvr − θ =0 → = vθ , r dθ r dθ vθ vr 1 dp vθ dvθ + =− , r dθ r ρr dθ p/ργ = p1 /ργ1 ,
(12.85) (12.86) (12.87)
donde vr y vθ son las componentes de la velocidad seg´ un los ejes r y θ. Si se tiene en cuenta que (1/ρ)dp/dθ = dh/dθ por ser la corriente isentr´ opica, (T dS = 0), la integraci´ on de la ecuaci´on (12.86) teniendo en cuenta (12.85) proporciona h+
v2 v2 v2 vr2 + θ =h+ = h1 + 1 , 2 2 2 2
(12.88)
que expresa la conservaci´on de la entalp´ıa de remanso a trav´es de la expansi´on. Desarrollando la ecuaci´on de continuidad (12.84) se llega a ρvr + ρ
dvθ dρ vθ dp dvθ + vθ = ρvr + ρ + 2 = 0, dθ dθ dθ a dθ
y eliminando la presi´ on por medio de (12.86) se obtiene finalmente dvθ vθ 2 vr + 1 − 2 = 0. dθ a
(12.89)
(12.90)
6 Este tipo de expansi´ on fue originalmente estudiado por Prandtl (1907) y su disc´ıpulo Meyer (1908), y de ah´ı su nombre.
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
314
Como puede comprobarse f´acilmente por simple inspecci´on de la ecuaci´on (12.90), esta ecuaci´on admite las soluciones dvθ = 0 y vθ = ±a. vr + (12.91) dθ Si la primera de las soluciones de (12.91) se sustituye en (12.86) se comprueba f´acilmente que la presi´ on es constante y, por tanto, de (12.87) tambi´en lo es la densidad y el resto de magnitudes fluidodin´ amicas, de modo que la soluci´on ensayada es la soluci´on trivial correspondiente a una corriente uniforme que naturalmente no satisface las condiciones de contorno excepto en el caso trivial α = 0. La soluci´on vθ = a, con θ tomado positivo en la direcci´on de las agujas del reloj,7 sustituida en (12.88) proporciona
1/2 γ+1 2 2 2 1/2 2 , vθ = a. a = 2h1 + v1 − (12.92) vr = [2h1 + v1 − 2h − a ] γ−1 De (12.85) teniendo en cuenta (12.92) se obtiene dθ =
γ+1 da dvr =− = a γ − 1 [2h1 + v12 − (γ + 1)a2 /(γ − 1)]1/2 −
γ+1 γ−1
1/2
da , [a∗2 − a2 ]1/2
(12.93)
que integrada proporciona θ=
γ+1 γ−1
donde a
∗2
1/2
a + constante, a∗
cos−1
2(γ − 1) = γ+1
v2 h1 + 1 2
(12.94)
,
(12.95)
y el valor de la constante de integraci´ on en (12.94) es irrelevante, puesto que aparecen diferencias de la funci´ on ´angulo. Se tiene entonces 1/2 1/2 1/2 γ−1 γ−1 γ+1 a∗ sen vθ = a = a∗ cos θ, vr = θ (12.96) γ+1 γ−1 γ+1 y γ+1 tan2 M =1+ γ−1 2
γ−1 γ+1
1/2 θ
o θ=
γ+1 γ−1
1/2
−1
tan
1/2 γ−1 2 . (M − 1) γ+1
(12.97)
Obs´ervese que a lo largo de las rectas θ = const se mantienen constantes las magnitudes fluidas, de modo que estas rectas son caracter´ısticas del movimiento. La primera caracter´ıstica forma un ´angulo con la corriente dado por µ1 = sen−1
1 1 = tan−1 2 . M1 M1 − 1
(12.98)
La posici´on de esta caracter´ıstica respecto al origen de ´angulos (v´ease Figura 12.12) puede obtenerse de (12.97) 1/2
1/2 γ−1 γ+1 tan−1 , (12.99) θ1 = (M12 − 1) γ−1 γ+1 7
La soluci´ on vθ = −a debe tomarse si el ´ angulo θ se mide en la direcci´ on contraria a las agujas del reloj.
315
12.8. Expansi´ on de un flujo supers´ onico y el ´angulo de la corriente medido desde la referencia es ν(M1 ) = θ1 + µ1 ;
(12.100)
obs´ervese de (12.94) que el origen de ´angulos es la l´ınea donde a = a∗ . El ´angulo de la corriente en una caracter´ıstica gen´erica, de Mach M es, por tanto, ν(M ) = θ(M ) + µ(M ) =
γ+1 γ−1
1/2
−1
tan
1/2 γ−1 1 2 , + tan−1 √ (M − 1) γ+1 M2 − 1
(12.101)
y la desviaci´on experimentada por el flujo ν(M ) − ν(M1 ).
(12.102)
La funci´ on ν(M ), denominada de Prandtl-Meyer, para el caso γ = 1,4 se encuentra tabulada al final de este cap´ıtulo en el Ap´endice 12.II; en este Ap´endice se incluyen tambi´en los valores del ´angulo µ de las ondas de Mach. El proceso de c´alculo ser´ıa el siguiente: dado M1 se determina ν(M1 ) mediante el Ap´endice 12.II y conocido el ´angulo de deflexi´ on de la corriente α se determina ν(M2 ) a partir de ν(M2 ) = ν(M1 ) + α
(12.103)
y el valor de M2 con ayuda del Ap´endice 12.II. Conocido M2 , y teniendo en cuenta que la expansi´ on es isentr´opica y adiab´ atica (12.87)-(12.88) (se conservan las magnitudes de remanso), se calcular´ıan todas las magnitudes fluidas detr´ as de la expansi´on; por ejemplo, 1+ T1 = T2 1+
γ−1 2 2 M2 , γ−1 2 2 M1
1+ p1 = p2 1+
γ−1 2 2 M2 γ−1 2 2 M1
γ/(γ−1) .
(12.104)
Al ser ν(M ) una funci´ on mon´otona creciente (v´ease Ap´endice 12.II) se tiene M2 > M1 > 1; es decir, el flujo se acelera, se hace m´as supers´onico, a trav´es de una expansi´on de Prandtl-Meyer. Por otro lado, de (12.104) se tiene T2 < T1 , p2 < p1 y ρ2 < ρ1 : temperatura, presi´on y densidad disminuyen a trav´es de una onda de expansi´ on, contrariamente a lo que ocurr´ıa en una onda de choque o de compresi´on. Obs´ervese que para un valor dado M1 del n´ umero de Mach de la corriente incidente existe un ´angulo m´aximo de deflexi´on dado por αmax = ν(∞) − ν(M1 ) =
γ+1 π − tan−1 γ−1 2
γ−1 1 2 , (M1 − 1) − tan−1 2 γ+1 M1 − 1
(12.105)
que se obtiene cuando una corriente s´onica se expande hasta el vac´ıo (M2 = ∞, p2 = T2 = 0). Por tanto, cuando una corriente supers´ onica se expande a trav´es de una esquina de ´angulo α mayor que el m´aximo ´angulo de desviaci´on, αmax , la corriente se expande hasta el vac´ıo y se separa de la pared como se muestra en la Figura 12.13. Si la corriente fuese s´onica se obtendr´ıa el valor m´aximo del ´angulo de deflexi´ on de la corriente cuyo valor es γ+1 π −1 . (12.106) ν(∞) − ν(1) = 2 γ−1
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
316
Figura 12.13: Expansi´ on de una corriente supers´onica a trav´es de una esquina de ´angulo mayor que el m´aximo de expansi´on.
12.8.2.
Ondas simples estacionarias en una corriente supers´ onica
Consid´erese ahora el caso de la expansi´on de un flujo supers´ onico a trav´es de una pared convexa cuyo perfil yp (xp ) es dado, Figura 12.14. A la izquierda del origen de coordenadas (x < 0), la pared es recta y comienza a curvarse a su derecha. Aguas arriba de la caracter´ıstica que forma un ´ angulo µ1 con x, la corriente no est´a perturbada y el n´ umero de Mach es M1 > 1. El ´angulo µ1 es 1 µ1 = tan−1 2 M1 − 1
(12.107)
y el ´angulo θ1 de esta caracter´ıstica, v´ease (12.99), es θ1 =
γ+1 γ−1
1/2
−1
tan
1/2 γ−1 2 . (M − 1) γ+1 1
(12.108)
Aguas abajo de la caracter´ıstica que pasa por el origen, la informaci´ on de la curvatura de la pared
q1
p1, T1 M1>1
m1 y
x
q m M, p, T
Figura 12.14: Expansi´ on de una corriente supers´onica producida por una pared c´ oncava. se propaga a trav´es de caracter´ısticas que parten de cada punto de la pared e informan al fluido
12.9. Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario
317
para ajustar su desviaci´ on a la de la pared (la condici´ on de contorno exige que la corriente sea localmente paralela a la pared). En este caso las caracter´ısticas son rectas, ya que las magnitudes fluidas son constantes a lo largo de ellas.8 La ecuaci´on de la caracter´ıstica, que parte del punto de la pared de coordenadas [xp , y(xp )] es y − yp (xp ) = tan(θ1 + µ1 − θ)(x − xp ),
(12.109)
donde θ viene dado por (12.97) y el n´ umero de Mach a trav´es de la caracter´ıstica se calcula usando (12.101) en la condici´on d yp −1 − θ + µ = θ1 + µ1 + tan . (12.110) d xp Una vez determinado el valor de M , el resto de las magnitudes fluidas se calcula entonces a partir de la conservaci´ on de la entrop´ıa y la entalp´ıa de remanso (12.104). Obs´ervese que el ´angulo (θ1 +µ1 −θ) entre la caracter´ıstica y el eje x decrece mon´otonamente de modo que las caracter´ısticas no se cruzan en la regi´on del flujo donde est´ an definidas y la soluci´ on dada es uniformemente v´alida en todo el dominio fluido.
12.9.
Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario
Existe una notable analog´ıa entre la din´ amica de gases y la corriente de un l´ıquido con superficie libre bajo la acci´ on de la gravedad cuando la profundidad del l´ıquido es peque˜ na comparada con las longitudes del canal por el que discurre (aguas someras). En este caso, la componente vertical de la velocidad es peque˜ na comparada a la paralela a la superficie, que puede suponerse constante a trav´es de la capa de fluido.9 Como se ver´a en lo que sigue, en esta aproximaci´on, denominada hidr´ aulica, el fluido puede considerarse como un medio definido por la velocidad, que es independiente de la profundidad y la altura de la superficie. La resoluci´ on del problema hidr´ aulico consiste en encontrar la velocidad y la altura de la superficie libre como funci´ on de la posici´on y del tiempo. Consid´erese una capa bidimensional de l´ıquido de espesor h(x, t) como la indicada en la Figura 12.15. Si u y w son las componentes horizontal y vertical de la velocidad, las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento para un l´ıquido no viscoso son ∂u ∂w + = 0, ∂x ∂z
(12.111)
∂u ∂u 1 ∂p ∂u +u +w =− , ∂t ∂x ∂z ρ ∂x
(12.112)
∂w ∂w 1 ∂ (p + ρ g z) ∂w +u +w =− . ∂t ∂x ∂z ρ ∂z Como condiciones de contorno se impondr´an:
(12.113)
a) La superficie libre F (x, z, t) = z − h(x, t) = 0 es una superficie fluida ∂h ∂h DF =− − u(x, h) + w(x, h) = 0; Dt ∂t ∂x
(12.114)
8 Las propiedades de la corriente considerada aqu´ ı son enteramente an´ alogas desde el punto de vista matem´ atico al de las ondas de expansi´ on descritas en el movimiento no estacionario de la din´ amica de gases unidireccional (v´ease 13.2 ). 9 Por ser el movimiento a altos n´ umeros de Reynolds los efectos de la viscosidad est´ an confinados en una capa l´ımite muy delgada adyacente a la solera del canal; fuera de esta capa la velocidad horizontal (paralela a la superficie) es constante con gran aproximaci´ on.
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
318
b) El salto de presiones a trav´es de la superficie libre es nulo; esto implica suponer fuerzas de tensi´on superficial despreciables frente a las gravitatorias o lo que es lo mismo, grandes n´ umeros de Bond (ρ g L2 /ζ 1), donde L representa la longitud caracter´ıstica de variaci´on de las magnitudes fluidas en la direcci´on del eje x o longitud de onda de la perturbaci´ on, que es grande tambi´en frente a h; c) En el fondo del canal, que se considera plano, z = 0, la velocidad vertical es nula w(x, 0) = 0.
(12.115)
Figura 12.15: Capa l´ıquida bidimensional. Si U y W representan las magnitudes caracter´ısticas de las velocidades horizontales y verticales y ho y L son la profundidad t´ıpica y la distancia caracter´ıstica que hay que recorrer para encontrar variaciones de la profundidad del orden de ho (ho L), se tiene de (12.111) que W ∼ U ho /L U . Por otra parte, es f´ acil comprobar de (12.112) y (12.113) que las variaciones transversales de presi´on ∆T (p + ρ g z) son peque˜ nas frente a las variaciones longitudinales ∆L p. M´as precisamente 2 2 ho ho ∼ ∆L p ∆L p. (12.116) ∆T (p + ρ g z) ∼ ρ w2 ∼ ρ U 2 L L La raz´on f´ısica de lo anterior estriba en el hecho de que si la profundidad es somera, las velocidades verticales son peque˜ nas y, por tanto, las aceleraciones verticales y las variaciones de presi´on necesarias para producirlas lo son tambi´en; se tiene, por tanto, p + ρ g z = pa + ρ g h(x, t);
(12.117)
conviene recordar que el movimiento de un fluido no viscoso, bar´ otropo, bajo la acci´ on de fuerzas m´asicas que derivan de un potencial, que parte inicialmente del reposo, es irrotacional ∂w ∂u − = 0. ∂x ∂z
(12.118)
De la ecuaci´on (12.117) se obtiene ∆ x w ho ∆z u ∼ , (12.119) U U L donde ∆z u y ∆x w representan las variaciones verticales y horizontales de las componentes de velocidad horizontal y vertical respectivamente. Desde que w es nula en el fondo, las variaciones de velocidad vertical son del orden de ella misma y la ecuaci´on (12.118), teniendo en cuenta que W ∼ U ho /L, proporciona 2 W ho ho ∆z u 1, (12.120) ∼ ∼ U U L L
12.9. Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario
319
que muestra que en primera aproximaci´ on u es independiente de z. Si ahora se multiplica (12.111) por dz y se integra a trav´es de la capa entre 0 y h(x, t), y se tiene en cuenta (12.115), se llega a h
∂u + w(h, x) = 0. ∂x
(12.121)
Sustituyendo (12.114) en (12.121) se tiene ∂ h ∂(u h) + = 0. ∂t ∂x
(12.122)
N´otese que la ecuaci´on (12.122) puede obtenerse tambi´en mediante el uso de la ecuaci´on de conservaci´on de la masa en forma integral aplicado al volumen infinitesimal indicado en la Figura 12.15 (volumen por unidad de longitud perpendicular a la figura). En efecto, la variaci´ on con el tiempo de la masa contenida en el volumen infinitesimal es igual al gasto neto que lo abandona ∂ (ρ h d x) + d(ρ u h) = 0, ∂t
(12.123)
y dado que x y t son independientes se recupera (12.122). Finalmente, la ecuaci´on (12.112), teniendo en cuenta (12.117) y (12.119) se escribe ∂u ∂h ∂u +u +g = 0, ∂t ∂x ∂x
(12.124)
que junto con (12.122) constituyen una pareja de ecuaciones para el c´ alculo de u(x, t) y h(x, t) cuando se imponen condiciones de contorno e iniciales apropiadas; esta pareja de ecuaciones constituye la denominada aproximaci´ on hidr´ aulica. Es interesante rese˜ nar la analog´ıa existente entre las ecuaciones de la hidr´aulica y las del movimiento unidireccional de un gas politr´ opico con γ = 2. En ese caso, las ecuaciones que gobiernan el movimiento del gas ser´ıan ∂ ρ ∂(ρ u) + = 0, (12.125) ∂t ∂x ∂u 1 ∂p ∂u +u =− , (12.126) ∂t ∂x ρ ∂x p = C; (12.127) ρ2 teniendo en cuenta (12.127), la ecuaci´on (12.126) se transforma en ∂u ∂u dρ +u = −2 C , ∂t ∂x dx
(12.128)
de modo que (12.125) y (12.128) se convierten en (12.122) y (12.124) cuando la densidad del gas se sustituye por la altura de la capa l´ıquida y 2 C por g. Es f´acil comprobar que las ecuaciones (12.122) y (12.124) pueden escribirse en la forma ∂ ∂u ∂ (2 g h) + u (2 g h) + g h = 0, ∂t ∂x ∂x ∂ ∂u ∂u +u + gh (2 g h) = 0, ∂t ∂x ∂x y en forma caracter´ıstica
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
320
∂ ∂ (u ± 2 g h) + (u ± g h) (u ± 2 g h) = 0. ∂t ∂x Los invariantes de Riemann son en este caso I ± = u ± 2 g h,
(12.129)
(12.130)
y se mantienen constantes a lo largo de las familias de caracter´ısticas respectivas C± ≡
dx − (u ± g h) = 0. dt
(12.131)
√ Obs´ervese que ± gh es la velocidad relativa al fluido con que se propaga, a lo largo del eje x, cualquier peque˜ na perturbaci´ on en las magnitudes fluidas originada en un punto cualquiera del dominio fluido y juega aqu´ı el mismo papel que la velocidad del sonido en la din´ amica de gases. N´ otese que este resultado fue obtenido en el Cap´ıtulo 11 al determinar la velocidad de propagaci´ on de las peque˜ nas perturbaciones de la ondas gravitatorias en la superficie libre de un l´ıquido en el l´ımite en el que la longitud de onda es grande frente a la profundidad √ del medio. √ Como en la din´ amica de gases, si el fluido se mueve con velocidades menores que g h (u < g h), el flujo se denomina subcr´ıtico y las perturbaciones se propagan aguas arriba y aguas abajo√del punto en √ que se originan. Por el contrario, si el fluido se mueve con velocidades superiores a g h) (u > g h), el flujo se denomina supercr´ıtico y la perturbaci´ on s´olo se propaga aguas abajo del punto en que se origina. Como ocurr´ıa en los gases, la deceleraci´on de un flujo supercr´ıtico es no isentr´opica y tiene lugar a trav´es de una discontinuidad, denominada resalto hidr´ aulico, cuyo espesor es peque˜ no comparado con las dimensiones caracter´ısticas de la corriente. A trav´es del resalto la superficie del l´ıquido experimenta una variaci´ on m´as o menos brusca de su altura y parte de la energ´ıa cin´etica del l´ıquido se disipa por viscosidad. El resalto hidr´ aulico es equivalente a una onda de choque en el movimiento supers´onico del gas. El movimiento es supercr´ıtico delante del resalto, esto es, el n´ umero de Froude es mayor que la unidad, mientras que es subcr´ıtico, F r < 1, detr´as.
Figura 12.16: Resalto hidr´aulico. Como en las ondas de choque, las relaciones de salto pueden ser obtenidas de las ecuaciones de conservaci´on de masa y cantidad de movimiento en forma integral a un volumen de control como el de la Figura 12.16 que incluya el resalto. En ejes ligados al resalto es estacionario, el l´ıquido delante de ´el se mueve con velocidad u1 y su altura es h1 mientras que h2 y u2 son respectivamente los valores de la altura y velocidad del l´ıquido detr´ as del resalto. N´otese que se est´a suponiendo
321
12.9. Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario
que el espesor del resalto es peque˜ no comparado con las longitudes caracter´ısticas de variaci´on de las magnitudes fluidas detr´ as y delante de ´el. La ecuaci´on de conservaci´on de la masa proporciona u1 h1 = u2 h2
(12.132)
y la ecuaci´on de cantidad de movimiento ρv · ndσ = − p · ndσ Σ
(12.133)
Σ
Pproyectada en la direcci´on del movimiento se proporciona
h1
−
ρ u21
dz +
o
o
h1
h2
ρ u22 d z =
o
h2
[pa + ρ g(h1 − z)]d z −
[pa + ρ g(h2 − z)]d z +
o
h2
pa d z.
(12.134)
h1
√ Despu´es de integrar, simplificar e introducir el n´ umero de Froude incidente F1 = u1 / g h1 se obtiene # h1 h2 1 u2 = , = ( 1 + 8 F12 − 1); (12.135) u1 h2 h1 2 Obs´ervese que la altura del l´ıquido aumenta al pasar el resalto h2 /h1 > 1 si F1 > 1 mientras que su velocidad disminuye u2 /u1 < 1. Para conocer si delante del resalto es F ≥ 1 y, por tanto, si la altura aumenta a trav´es del resalto, es necesario calcular la variaci´on por unidad de tiempo de la energ´ıa mec´anica contenida en el volumen de control. Es importante se˜ nalar que debido a la disipaci´ on viscosa el flujo de energ´ıa mec´anica (cin´etica m´as potencial) que entra en el volumen de control debe ser mayor que el que sale u1 h1 [u22 /2 − u21 /2 + g(h2 − h1 )] ≤ 0. (12.136) Teniendo en cuenta las relaciones (12.135) la ecuaci´on (12.136) proporciona 3 h2 ≤ 0, 1− h1
(12.137)
y por tanto h2 /h1 ≥ 1, y consecuentemente F1 > 1. La disipaci´on viscosa impone, por tanto, que la altura del l´ıquido aumente a trav´es del resalto y que ´este se propague con velocidad supercr´ıtica respecto al medio considerado en reposo. Como ilustraci´on a la teor´ıa de aguas someras estudiada anteriormente, consid´erese el fallo de una presa que separa, en un canal, agua a dos alturas diferentes. Cuando la presa falla, se forma un resalto que se propaga supercr´ıticamente en el medio en reposo de altura h1 como se indica en la Figura 12.17. Ondas de expansi´on viajan en direcci´ on opuesta al resalto para informar al medio que debe disminuir su altura y ponerse en movimiento siguiendo al resalto. La soluci´on de este problema puede calcularse f´acilmente mediante el m´etodo de las caracter´ısticas. En efecto, la informaci´on se propaga hacia la derecha a trav´es de las caracter´ısticas C + definidas por la ecuaci´on dx = u + g h; (12.138) dt
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
322
Figura 12.17: Resalto hidr´aulico y expansi´on producidas por la rotura de una presa.
estas caracter´ısticas arrancan de la zona sin perturbar (u = 0, h = h4 ), v´ease Figura 12.18; a trav´es de ellas se conserva la cantidad u + 2 g h = 2 g h4 , (12.139) y en virtud de la constancia de h4 la relaci´on (12.139) se satisface en cada instante en cualquier punto del dominio fluido perturbado.
Figura 12.18: M´etodo de las caracter´ısticas. Rotura de una presa. Por otra parte, la familia de caracter´ısticas de ecuaci´on dx = u − g h, dt
(12.140)
que, usando (12.139), se escribe en la forma 3 dx = u − g h4 , dt 2
(12.141)
son l´ıneas rectas, puesto que u es constante sobre cada una de ellas aunque var´ıe de una curva a otra de la familia. Integrando la ecuaci´ on (12.141) con la condici´ on de contorno u = 0 sobre la √ caracter´ıstica x/t = − g h4 , se tiene 2 x + g h4 , (12.142) u= 3 t
12.9. Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario
323
y de (12.139)
1 x gh = 2 g h4 − . 3 t Sustituyendo (12.142) y 12.143 en la ecuaci´on de las caracter´ısticas C − dx x = u − gh = , dt t
(12.143)
(12.144)
que muestra que las caracter´ısticas C − tienen de ecuaci´on x/t = constante. La expansi´on representada por (12.142) y (12.143) es v´alida para puntos x e instantes de tiempo t tales que x x ∗ , (12.145) − g h4 ≤ ≤ t t donde (x/t)∗ representa la caracter´ıstica l´ımite para la que se alcanzan los valores de la velocidad de la corriente u = u2 y altura de la misma h = h2 detr´ as del resalto hidr´aulico
x ∗ 3 = u 2 − g h4 . (12.146) t 2 Para puntos x e instantes t tales que
x ∗ t
≤
x ≤ U, t
(12.147)
siendo U la velocidad de propagaci´ on del resalto, existe una zona de velocidad u2 y altura h2 que son uniformes e iguales a los valores de la velocidad y altura detr´ as del resalto. Para calcular estos valores as´ı como el valor de (x/t)∗ y la velocidad de propagaci´ on del resalto U se utilizar´an las relaciones de salto (12.135) con ejes ligados al resalto; se tiene entonces h1 U − u2 u2 =1− = U U h2 junto con 1 h2 = h1 2
#
1 + 8F12 − 1
o
u2 h1 =1− , U h2
con F12 =
U2 . g h1
(12.148)
(12.149)
De (12.142) y (12.143) se tiene
x ∗ t y
3 2 3 = u2 − g h 4 = U 1 − − g h4 , 2 2 1 + 8U 2 /(g h1 )
2 3 1 (x/t)∗ 1 1 + 8U 2 /(g h1 ) − 1 = 2 h4 /h1 − √ , 2 9 g h1
(12.150)
(12.151)
que forman una pareja de ecuaciones algebraicas para determinar (x/t)∗ y U . Una vez conocidos estos valores, (12.149) y (12.151) proporcionan los valores de u2 y h2 .
Referencias y fuentes de lectura complementaria W. G. Vincenti y Ch. H. Kruger, Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics, Krieger, Nueva York, 1977. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Te´orica, vol. 5, Pergamon, 1958. L. Liepmann y A. Roshko, Elements of Gasdynamics, John Wiley, Nueva York, 1957.
Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales
324
´ APENDICE 12.I SALTO DE MAGNITUDES FLUIDAS ´ DE UNA ONDA DE CHOQUE A TRAVES Mn1 1.000E+00 1.100E+00 1.200E+00 1.300E+00 1.400E+00 1.500E+00 1.600E+00 1.700E+00 1.800E+00 1.900E+00 2.000E+00 2.100E+00 2.200E+00 2.300E+00 2.400E+00 2.500E+00 2.600E+00 2.700E+00 2.800E+00 2.900E+00 3.000E+00 3.500E+00 4.000E+00 4.500E+00 5.000E+00 5.500E+00 6.000E+00 6.500E+00 7.000E+00 7.500E+00 8.000E+00 8.500E+00 9.000E+00 9.500E+00 1.000E+01 1.000E+06
Mn2 1.000E+00 9.118E-01 8.422E-01 7.860E-01 7.397E-01 7.011E-01 6.684E-01 6.405E-01 6.165E-01 5.956E-01 5.774E-01 5.613E-01 5.471E-01 5.344E-01 5.231E-01 5.130E-01 5.039E-01 4.956E-01 4.882E-01 4.814E-01 4.752E-01 4.512E-01 4.350E-01 4.236E-01 4.152E-01 4.090E-01 4.042E-01 4.004E-01 3.974E-01 3.949E-01 3.929E-01 3.912E-01 3.898E-01 3.886E-01 3.876E-01 3.780E-01
p2 /p1 1.000E+00 1.245E+00 1.513E+00 1.805E+00 2.120E+00 2.458E+00 2.820E+00 3.205E+00 3.613E+00 4.045E+00 4.500E+00 4.978E+00 5.480E+00 6.005E+00 6.553E+00 7.125E+00 7.720E+00 8.338E+00 8.980E+00 9.645E+00 1.033E+01 1.413E+01 1.850E+01 2.346E+01 2.900E+01 3.513E+01 4.183E+01 4.913E+01 5.700E+01 6.546E+01 7.450E+01 8.413E+01 9.433E+01 1.051E+02 1.165E+02 1.167E+12
ρ2 /ρ1 1.000E+00 1.169E+00 1.342E+00 1.516E+00 1.690E+00 1.862E+00 2.032E+00 2.198E+00 2.359E+00 2.516E+00 2.667E+00 2.812E+00 2.951E+00 3.085E+00 3.212E+00 3.333E+00 3.449E+00 3.559E+00 3.664E+00 3.763E+00 3.857E+00 4.261E+00 4.571E+00 4.812E+00 5.000E+00 5.149E+00 5.268E+00 5.365E+00 5.444E+00 5.510E+00 5.565E+00 5.612E+00 5.651E+00 5.685E+00 5.714E+00 6.000E+00
T2 /T1 1.000E+00 1.065E+00 1.128E+00 1.191E+00 1.255E+00 1.320E+00 1.388E+00 1.458E+00 1.532E+00 1.608E+00 1.688E+00 1.770E+00 1.857E+00 1.947E+00 2.040E+00 2.138E+00 2.238E+00 2.343E+00 2.451E+00 2.563E+00 2.679E+00 3.315E+00 4.047E+00 4.875E+00 5.800E+00 6.822E+00 7.941E+00 9.156E+00 1.047E+01 1.188E+01 1.339E+01 1.499E+01 1.669E+01 1.849E+01 2.039E+01 1.944E+11
p2o /p1o 1.000E+00 9.989E-01 9.928E-01 9.794E-01 9.582E-01 9.298E-01 8.952E-01 8.557E-01 8.127E-01 7.674E-01 7.209E-01 6.742E-01 6.281E-01 5.833E-01 5.401E-01 4.990E-01 4.601E-01 4.236E-01 3.895E-01 3.577E-01 3.283E-01 2.129E-01 1.388E-01 9.170E-02 6.172E-02 4.236E-02 2.965E-02 2.115E-02 1.535E-02 1.133E-02 8.488E-03 6.449E-03 4.964E-03 3.866E-03 3.045E-03 3.599E-28
Tabla 12.1 N´ umero de Mach y salto de presiones, densidades, temperaturas y presiones de remanso a trav´es de una onda de choque en funci´on del n´ umero Mach incidente.
325
12.II. Funci´ on de Prandtl-Meyer
´ APENDICE 12.II ´ DE PRANDTL-MEYER FUNCION M 1,000E+00 1,100E+00 1,200E+00 1,300E+00 1,400E+00 1,500E+00 1,600E+00 1,700E+00 1,800E+00 1,900E+00 2,000E+00 2,200E+00 2,400E+00 2,600E+00 2,800E+00 3,000E+00 3,500E+00 4,000E+00 4,500E+00 5,000E+00 6,000E+00 7,000E+00 8,000E+00 9,000E+00 1,000E+01 2,000E+01 5,000E+01
ν 0,000E+00 2,332E-02 6,210E-02 1,077E-01 1,569E-01 2,078E-01 2,594E-01 3,108E-01 3,617E-01 4,117E-01 4,604E-01 5,538E-01 6,413E-01 7,228E-01 7,984E-01 8,684E-01 1,022E+00 1,148E+00 1,254E+00 1,343E+00 1,483E+00 1,588E+00 1,669E+00 1,733E+00 1,786E+00 2,028E+00 2,177E+00
µ 9,000E+01 6,538E+01 5,644E+01 5,028E+01 4,558E+01 4,181E+01 3,868E+01 3,603E+01 3,375E+01 3,176E+01 3,000E+01 2,704E+01 2,462E+01 2,262E+01 2,092E+01 1,947E+01 1,660E+01 1,448E+01 1,284E+01 1,154E+01 9,594E+00 8,213E+00 7,181E+00 6,379E+00 5,739E+00 2,866E+00 1,146E+00
Tabla 12.2 Valores de µ y ν como funci´on del n´ umero de Mach.
Cap´ıtulo 13
Flujo potencial alrededor de obst´ aculos 13.1.
Introducci´ on
Como es sabido, el valor de la viscosidad cinem´atica del aire en condiciones est´andar, ν = µ/ρ = 1,5 × 10−5 m2 s−1 , es tan peque˜ no (tambi´en para el agua ν = 10−6 m2 s−1 ) que el n´ umero de Reynolds para la mayor´ıa de los flujos que tienen lugar en la naturaleza y en el a´mbito de ´ es, por ejemplo, la situaci´on en Aeron´autica, donde el n´ la ingenier´ıa es muy grande. Esa umero 6 de Reynolds var´ıa entre 10 y 108 para las velocidades y longitudes caracter´ısticas t´ıpicas de los aviones. Dado que el n´ umero de Reynolds es una medida del cociente entre las fuerzas de inercia convectivas y las de viscosidad, las u ´ltimas ser´an despreciables en el movimiento fluido en tanto que el n´ umero de Reynolds sea grande. Se ha visto, no obstante, que la soluci´ on no viscosa o ideal no es uniformemente v´alida en todo el dominio fluido. Cerca de las paredes s´ olidas existe una capa muy delgada, denominada capa l´ımite, donde las fuerzas de viscosidad se hacen tan importantes como las de inercia y deben ser retenidas en la ecuaci´on de cantidad de movimiento sin importar cu´an grande sea el n´ umero de Reynolds de la corriente. Como se indic´o en (10.25) la raz´on del espesor de la capa l´ımite sobre un obst´aculo a la longitud caracter´ıstica de ´este en la direcci´on del movimiento es del orden de Re−1/2 , as´ı que dado un obst´ aculo la capa l´ımite que se desarrolla sobre ´el es tanto m´as delgada cuanto mayor es el n´ umero de Reynolds. El grado de acuerdo entre los resultados te´oricos, obtenidos suponiendo fluido no viscoso, y los experimentales depende fundamentalmente del comportamiento de la capa l´ımite que se desarrolla sobre la superficie del obst´aculo. En el caso de un cuerpo con geometr´ıa fuselada a ´angulos de ataque moderadamente bajos, la capa l´ımite est´a adherida sobre toda o la mayor parte de la superficie del obst´aculo, Figura 13.1a;1 por el contrario, cuando el a´ngulo de ataque es grande o el obst´aculo posee forma roma, la capa l´ımite se separa, Figura 13.1b, debido al fuerte crecimiento que experimenta la presi´on a partir del punto donde alcanza su valor m´ınimo, que generalmente est´a situado en una posici´ on pr´ oxima a la del punto de m´ aximo espesor del obst´aculo. Para una explicaci´on de las causas del desprendimiento de la capa l´ımite v´ease 14.1. Los experimentos indican que si la capa l´ımite no se separa (o en caso contrario, si lo hace cerca del borde de salida del perfil, de modo que la capa l´ımite est´e adherida sobre la mayor parte de su superficie), la teor´ıa no viscosa predice muy aproximadamente algunas de las caracter´ısticas de la corriente alrededor de obst´aculos a muy altos n´ umeros de Reynolds; por ejemplo, la distribuci´ on de presiones sobre el obst´aculo o la fuerza sustentadora que ´este experimenta. 1
En Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988.
327
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
328
a)
b)
Figura 13.1: Flujo alrededor del perfil NACA 4412 a dos a´ngulos de ataque diferentes. a) α = 5o , capa l´ımite adherida, b) α = 15o capa l´ımite desprendida.
En la Figura 13.2 se representan valores experimentales y te´oricos del coeficiente de presi´on Cp , o presi´on adimensional, 2(p − p∞ ) , (13.1) Cp = 2 ρU∞ sobre el extrad´os (o superficie superior) de un perfil sim´etrico de la familia NACA de cuatro d´ıgitos (0012) a ´angulo de ataque de α = 5o . Obs´ervese el buen acuerdo existente entre la teor´ıa no viscosa y los experimentos, excepto, quiz´as, en regiones pr´oximas a los bordes de ataque y salida. 2 ,5 2
- C
U ¥
a
N A C A 0 0 1 2
1 ,5 p
1 0 ,5 0 - 0 ,5 -1 0
0 ,2
0 ,4
0 ,6
0 ,8 1
x / c
Figura 13.2: Coeficiente de presiones Cp a lo largo de la cuerda de un perfil NACA 0012 a a´ngulo de ataque α = 5. La curva continua representa valores calculados mediante la teor´ıa potencial exacta mientras que los puntos representan valores obtenidos experimentalmente (+ Re = 3,8 × 105 ). Cortes´ıa del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla. Cuando la capa l´ımite est´a desprendida los resultados te´oricos calculados suponiendo viscosidad nula difieren considerablemente de los experimentales. En la Figura 13.3 se representan valores te´oricos y experimentales del coeficiente de presiones sobre un cilindro circular. Se observa de la
329
13.1. Introducci´ on
figura que las distribuciones de presiones te´ orica y experimental se parecen s´olo sobre la parte anterior del cilindro pero no sobre su parte posterior. La discrepancia entre experimentos y teor´ıa es debida al desprendimiento de la capa l´ımite que da lugar a una estela turbulenta cuyo espesor es del orden de las dimensiones transversales del obst´aculo. Como se observa en la figura, la presi´on en la estela es bastante uniforme y su valor en esa zona es bastante menor que la calculada mediante la teor´ıa ideal. La distribuci´ on de presiones real no es, por tanto, sim´etrica respecto a θ = π/2 como predice la teor´ıa ideal y, consecuentemente, existe una componente de las fuerzas de presi´on en la direcci´on del movimiento que contribuye de un modo sustancial a la resistencia total del obst´ aculo. 2 U¥
1
q
Cp 0 -1
-2 -3
0
30
60
90
120
150
180
q Figura 13.3: Coeficiente de presiones sobre un cilindro circular. La curva continua representa valores calculados mediante la teor´ıa potencial exacta y los puntos discretos representan valores experimentales (∗ Re = 1,45 × 105 , + Re = 8,45 × 104 ). Cortes´ıa del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla. En cuanto a las fuerzas globales sobre el obst´aculo, la contribuci´ on de las fuerzas de viscosidad a la sustentaci´on, o componente perpendicular al movimiento de la fuerza que el fluido ejerce sobre el perfil, es muy peque˜ na comparada con la de las fuerzas de presi´on si la capa l´ımite est´a adherida. As´ı que si z es un eje de coordenadas perpendicular a la corriente sin perturbar, la sustentaci´ on se expresa en la forma −p nz d σ,
L=
(13.2)
Σ
donde nz y Σ representan la proyecci´ on seg´ un z de la normal al obst´ aculo y la superficie del mismo respectivamente. Es usual definir un coeficiente de fuerza adimensional denominado coeficiente de sustentaci´on 2L , (13.3) CL = 2 Σ ρU∞ donde U∞ representa la velocidad de la corriente en el infinito. Cuando el obst´ aculo es bidimensional y sobre ´el act´ ua una fuerza sustentadora por unidad de longitud l, el coeficiente de sustentaci´on bidimensional se define 2l , (13.4) Cl = 2 c ρU∞
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
330
donde c es la cuerda del obst´aculo. A la resistencia, o fuerza que se opone al movimiento, contribuyen tanto las fuerzas de presi´on como las de viscosidad = D = [−pnx + (τ ·n)x ] dσ. (13.5) Σ
Para muchos prop´ ositos resulta u ´til descomponer la resistencia en dos sumandos para considerar separadamente la contribuci´ on de la presi´on y de las fuerzas viscosas. La contribuci´ on de las fuerzas de viscosidad a la resistencia se denomina resistencia de fricci´ on y su expresi´on matem´atica es = Df = (τ ·n)x d σ, (13.6) Σ =
donde (τ ·n)x representa la proyecci´on de los esfuerzos viscosos en la direcci´on del movimiento. La contribuci´ on de las fuerzas de presi´on a la resistencia viene dada por Dp = −p nx d σ, (13.7) Σ
on seg´ un x de la normal al obst´ aculo. Si el obst´aculo es bidimencon nx representando la proyecci´ sional, o tridimensional no sustentador, la expresi´ on (13.7) depende sustancialmente de la forma del obst´aculo y se denomina tambi´en resistencia de forma. 2 Se define el coeficiente de resistencia total CD =
2(Df + Dp ) 2D = = CDf + CDp , 2 2 Σ ρU∞ Σ ρU∞
(13.8)
y si el obst´aculo es bidimensional con d representando la fuerza de resistencia por unidad de longitud, se define el coeficiente de resistencia suma de los de fricci´on y forma Cd = Cdf + Cdp =
2d . 2 c ρU∞
(13.9)
La importancia relativa de los dos t´erminos que contribuyen a la resistencia de un cuerpo bidimensional, o tridimensional no sustentador, depende de si la capa l´ımite est´a o no adherida al obst´aculo. La resistencia de fricci´on proporciona la mayor contribuci´ on a la resistencia total en cuerpos fuselados a ´angulos de ataque peque˜ nos en los que la capa l´ımite no se separa, o si lo hace, el punto de separaci´on est´a muy pr´ oximo al borde de salida del perfil u obst´ aculo. En efecto, en este caso la vorticidad generada por la viscosidad est´a confinada en la capa l´ımite y la estela que son muy delgadas si el n´ umero de Reynolds es grande (su espesor tiende a cero cuando el n´ umero de Reynolds tiende a infinito) y la distribuci´ on de presiones sobre el obst´aculo originada por la corriente irrotacional, no viscosa, es tal que su proyecci´ on en la direcci´on del movimiento (resistencia de presi´on) es nula, independientemente de la forma del obst´ aculo. Este resultado, conocido como paradoja de d’Alambert, en honor al matem´ atico franc´es Jean le Rond d’Alambert, que lo demostr´ o, se obtendr´a m´as adelante. Para valores finitos, pero grandes, del n´ umero de Reynolds, la presencia de la delgada capa l´ımite y estela modifica s´olo muy ligeramente 2 Si el obst´ aculo es tridimensional y la fuerza sustentadora que experimenta es distinta de cero, es usual descomponer la resistencia de presi´ on dada por (13.7) en dos t´erminos: la resistencia de forma y un t´ermino adicional, denominado resistencia inducida (inducida por la sustentaci´ on) debida a la energ´ıa cin´etica asociada a los torbellinos de la estela de un obst´ aculo tridimensional sustentador. En vuelo supers´ onico, la energ´ıa de las ondas de Mach (13) emitidas por el obst´ aculo contribuye a la expresi´ on (13.7) con un t´ermino adicional denominado resistencia de onda. Tambi´ en, la deformaci´ on que experimenta la superficie libre del agua por la presencia de un obst´ aculo es responsable de la denominada resistencia de ola que, junto a la de forma, contribuye a la resistencia de presi´ on.
13.2. Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales
331
la distribuci´ on de presiones sobre el obst´aculo y la fuerza sustentadora sobre el mismo. Por otra parte, la resistencia de forma no ser´a exactamente cero, como indica el resultado de D’Alambert, aunque s´ı mucho menor que la resistencia de fricci´on, que es en este caso la contribuci´on m´as importante a la resistencia total. Conviene enfatizar de nuevo que, como demuestran los experimentos, los resultados de la teor´ıa ideal pueden aplicarse al caso de corrientes reales alrededor de obst´aculos a altos n´ umeros de Reynolds s´olo si la capa l´ımite est´a adherida al obst´ aculo. En los casos en que hay separaci´on de la capa l´ımite existen regiones amplias de la corriente fluida que no est´an afectadas por la viscosidad. Sin embargo, la aplicaci´ on de la teor´ıa ideal para el c´alculo del flujo en estas regiones no tiene ´exito por las razones siguientes: 1) la frontera de la capa l´ımite separada no es conocida y su posici´on no puede determinarse mediante una teor´ıa no viscosa, y 2) las regiones no viscosas est´an afectadas por la no estacionariedad de la estela, que introduce frecuencias de cambio asociadas al desprendimiento de la capa l´ımite, que es un fen´omeno esencialmente no estacionario. En estos casos, para determinar las caracter´ısticas aerodin´amicas del flujo, se debe recurrir a experimentos en t´ uneles aerodin´amicos utilizando, como ense˜ na el An´alisis Dimensional, modelos a escala reducida. Conviene anticipar que la simulaci´ on num´erica directa de las ecuaciones de Navier-Stokes (DNS)3 a n´ umeros de Reynolds tan grandes como los encontrados en la Aeron´autica cae fuera de las posibilidades de los ordenadores actuales.
13.2.
Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales
Como se ver´a en lo que sigue, muchos de los flujos encontrados en Aerodin´ amica pueden describirse aproximadamente mediante la teor´ıa de flujos potenciales cuya descripci´on matem´atica se simplifica notablemente por derivar la velocidad de un potencial; su estudio constituye el campo de la denominada Aerodin´ amica Potencial. En efecto, si el n´ umero de Reynolds es grande, el flujo alrededor de un perfil fuselado a a´ngulos de ataque peque˜ nos puede considerarse ideal excepto en una capa l´ımite muy delgada adyacente al obst´aculo. Por otra parte, las fuerzas gravitatorias, que derivan de un potencial, son peque˜ nas y pueden despreciarse (el n´ umero de Froude F = U 2 /g L, que mide la importancia relativa de las fuerzas de inercia frente a las gravitatorias, es en este caso muy grande) y el movimiento es bar´otropo (movimiento isentr´ opico de l´ıquidos o de un gases). En estas circunstancias, el teorema de Bjerkness-Kelvin (10.11) demuestra que la circulaci´on a lo largo de una l´ınea material y, por tanto, la vorticidad sobre cualquier superficie que se apoye sobre ella no var´ıan con el tiempo. Si adem´as el movimiento es inicialmente irrotacional (fluido inicialmente en reposo), la corriente no viscosa de un fluido alrededor de cuerpos fuselados a a´ngulos de ataque peque˜ nos es irrotacional y la velocidad del fluido deriva, por tanto, de una funci´ on escalar denominada potencial de velocidades. Las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el potencial de velocidades pueden simplificarse si se elige un sistema de referencia apropiado. En efecto, un cuerpo que se mueve sin aceleraci´on a trav´es de un fluido en reposo en el infinito, origina un movimiento del mismo que no es estacionario; obs´ervese que la velocidad del fluido es nula o casi nula cuando el cuerpo se encuentra lejos de la regi´on de fluido considerada, pero aumenta a medida que ´este se aproxima para volver a decaer una vez que ha pasado. Por el contrario, para un observador que se mueve con el cuerpo, el movimiento relativo del fluido respecto a ´el es estacionario; en ejes relativos, la velocidad en cualquier punto del dominio fluido no variar´ a con el tiempo mientras no lo haga la velocidad del obst´aculo respecto a tierra. El movimiento relativo se obtiene sin m´as que superponer al movimiento original (ejes ligados a tierra) un movimiento uniforme de velocidad igual y opuesta 3
Del ingl´ es Direct Numerical Simulation.
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
332
a la del obst´aculo. Puesto que la presi´on y las fuerzas de viscosidad son independientes del sistema de referencia empleado,4 las fuerzas aerodin´amicas que el fluido ejerce sobre el obst´aculo son las mismas, independientemente de que el fluido est´e en reposo y el cuerpo se mueva uniformemente a trav´es de ´el o de que este u ´ ltimo est´e en reposo y fluya alrededor de ´el una corriente estacionaria de velocidad igual y contraria a la del cuerpo. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento estacionario de un fluido ideal alrededor de un obst´ aculo son las de Euler ∇ · (ρ v) = 0, (13.10) v2 + ω = ωo , 2 S = So ,
(13.11) (13.12)
donde ω = h en el caso de gases y ω = p/ρ en el de l´ıquidos. Para el caso del movimiento de l´ıquidos, la ecuaci´on que gobierna el potencial de velocidades Φ, que se obtiene de sustituir la expresi´on v = ∇ Φ, (13.13) en la ecuaci´on (13.10), se reduce a ∇2 Φ = 0.
(13.14)
Como condiciones de contorno se impondr´a la velocidad del l´ıquido en el infinito U∞ , o equivalentemente Φ = U∞ x cuando x2 + y 2 + z 2 → ∞, (13.15) si se toma el eje x en la direcci´on y sentido de U∞ . Adem´as y debido a que se est´a considerando un l´ıquido ideal no se puede imponer la condici´ on de no deslizamiento del fluido sobre el obst´ aculo; en la superficie del obst´aculo, supuesto impermeable se impondr´a la condici´on de que la componente normal de la velocidad sea nula ∇ Φ · n = 0, (13.16) siendo n la normal unitaria en la superficie del obst´ aculo. Una vez determinado el potencial de velocidades, la ecuaci´on de Bernouilli, (13.11), determina la distribuci´ on de presiones en el l´ıquido cuando se especifica la presi´on p∞ en el infinito 1 p 1 p∞ 2 + ρ(Φ2x + Φ2y ) = + ρ U∞ . ρ 2 ρ 2
(13.17)
Debe se˜ nalarse, sin embargo, que el problema de Neumann definido por la ecuaci´ on (13.14) y las condiciones de contorno (13.15) y (13.16) puede no tener soluci´ on u ´nica. La teor´ıa matem´atica de las ecuaciones en derivadas parciales establece que si Φ es una funci´on unievaluada de la posici´on, entonces el problema de Neumann posee soluci´on u ´nica. Sin embargo, como se ver´ a m´as adelante, detr´as de un perfil bidimensional sustentador (el caso de cuerpos no-sustentadores es la excepci´on) existe una regi´on muy estrecha, la estela, de espesor muy peque˜ no si el n´ umero de Reynolds es muy grande, que puede ser tratada matem´aticamente como una l´ınea (o superficie en el caso tridimensional) a trav´es de la que la funci´on Φ es discontinua y el problema de Neumann (13.14)-(13.16) no posee soluci´on u ´nica. El salto de Φ a trav´es de esta l´ınea est´a relacionada con el valor de la circulaci´on Γ del campo de velocidades no viscoso alrededor del perfil y su valor real no puede ser determinado de la resoluci´on del problema de Neumann (13.14)-(13.16). Naturalmente, la no unicidad desaparece si la capa l´ımite y el problema de Neumann se consideran conjuntamente. No obstante, y como se ver´a m´as adelante, algunas consideraciones f´ısicas sobre el 4 Las fuerzas de viscosidad son independientes del sistema de referencia empleado por serlo los gradientes de la velocidad.
13.2. Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales
333
comportamiento de la capa l´ımite suministran un criterio v´ alido (condici´ on de Kutta-Joukowski) para determinar el valor real de la circulaci´ on alrededor del perfil sin necesidad de resolver la capa l´ımite. El problema matem´atico (13.14)-(13.16) junto a la condici´ on de Kutta-Joukowski determinan un´ıvocamente el campo de presiones y velocidades en el movimiento de un l´ıquido alrededor de un perfil bidimensional. Debe se˜ nalarse tambi´en que las ecuaciones (13.14)-(13.16) resultan tambi´en v´alidas para describir el flujo de un gas alrededor de obst´ aculos fuselados que perturben poco la corriente siempre que las variaciones relativas de densidad sean peque˜ nas, lo que ocurre a n´ umeros de Mach peque˜ nos (t´ıpicamente M < 0,3). En efecto, si la viscosidad es despreciable, las variaciones de presi´on que aparecen en una corriente de gas de velocidad V son del orden de ρ V 2 (∆ p ∼ ρ V 2 ); si se utiliza la definici´on de velocidad del sonido se tiene ∆ p = a2 ∆ ρ, de donde ∆ ρ/ρ ∼ M 2 , donde M = V /a es el n´ umero de Mach. Cuando los efectos de compresibilidad son importantes, la ecuaci´on del potencial de velocidades se obtiene f´acilmente de las ecuaciones (13.10)-(13.12). De la ecuaci´on (13.10) se tiene ∇·v+v·
∇ρ = 0, ρ
(13.18)
y de la ecuaci´on (13.11) ρ v · ∇ v = −∇ p = −a2 ∇ ρ.
(13.19)
Combinando (13.18) y (13.19) se obtiene a2 ∇ · v + v · (v · ∇ v) = 0,
(13.20)
y sustituyendo v = ∇ Φ en (13.20) y realizando las operaciones vectoriales indicadas se llega para el caso tridimensional a (a2 − Φ2x )Φxx + (a2 − Φ2y )Φyy + (a2 − Φ2z )Φzz − 2(Φx Φy Φxy + Φx Φz Φxz + Φy Φz Φyz ) = 0.
(13.21)
La ecuaci´on (13.21) junto con (13.11), que en funci´ on de la velocidad del sonido se escribe en la forma 1 U2 a2 a∞ 2 + (Φ2x + Φ2y ) = + ∞, (13.22) γ−1 2 γ−1 2 proporcionan una pareja de ecuaciones para determinar Φ y a en cada punto del dominio fluido cuando se imponen condiciones de contorno apropiadas. Se deben imponer los valores de la velocidad y de la presi´ on y densidad en el infinito, U∞ , p∞ y ρ∞ y sobre el obst´aculo, supuesto impermeable, hay que imponer la condici´ on de velocidad normal nula, ∇Φ · n = 0. Finalmente, si el movimiento del gas es subs´onico la soluci´on del problema se determina un´ıvocamente imponiendo la condici´on de Kutta-Joukowski.5 Conocidos Φ y a como funciones de la posici´on, el campo de presiones y densidades se determina a partir de las relaciones a2 = γ
p ρ
y
p∞ p = . ργ ρ∞ γ
(13.23)
Conviene a˜ nadir que el movimiento irrotacional de un fluido incompresible alrededor de un otese obst´aculo bidimensional puede formularse alternativamente usando la funci´ on de corriente.6 N´ 5 En movimientos supers´ onicos la condici´ on de Kutta no es necesaria para determinar el flujo potencial; en ese caso, el mecanismo f´ısico que origina la sustentaci´ on de un obst´ aculo es diferente al caso subs´ onico y no est´ a asociado a la existencia de un campo circulatorio alrededor del perfil. 6 Aunque no se har´ a aqu´ı, tanto el flujo potencial axilsim´etrico de l´ıquidos como el flujo estacionario, bidimensional o axilsim´ etrico, de gases pueden formularse en t´erminos de la funci´ on de corriente, v´ease (3.48).
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
334
que la funci´ on de corriente, al igual que el potencial de velocidades, est´a definida, salvo por una constante que se suele tomar cero sobre el obst´aculo. En movimientos bidimensionales de l´ıquidos ideales es com´ un hacer uso del hecho de que tanto Φ como Ψ satisfacen la ecuaci´on de Laplace para definir la funci´ on anal´ıtica denominada potencial complejo f (τ ) = Φ(x, z) + i Ψ(x, z) (13.24) de la variable compleja τ τ = x + iz
i2 = −1.
(13.25)
Obs´ervese que f (τ ) es anal´ıtica, puesto que el valor de su derivada es u ´nica, independientemente de la direcci´on en que se realice la derivaci´on. Por ejemplo, si la derivada es en la direcci´ on de x se tiene ∂f ∂Φ ∂Ψ = +i = u − iw (13.26) ∂x ∂x ∂x mientras que si es en la direcci´on i z se obtiene el mismo resultado ∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ ∂f = +i = −i + = −iw + u.7 ∂(iz) ∂(iz) ∂(iz) ∂z ∂z
(13.27)
A la derivada del potencial complejo f˙(τ ) = u − iw,
(13.28)
se le denomina velocidad conjugada y los ceros de esta funci´on f˙(τ ) = 0,
(13.29)
determinan los puntos de remanso del flujo.
13.3.
Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales
Se representan aqu´ı algunas funciones anal´ıticas de la variable compleja que pueden servir para modelar matem´aticamente la corriente bidimensional de un l´ıquido ideal. Por otra parte, dado que la funci´ on de corriente y el potencial de velocidades satisfacen una ecuaci´on lineal, la de Laplace, el principio de superposici´ on puede utilizarse para generar corrientes m´as complejas. No obstante, s´olo tendr´ an inter´es aquellas funciones anal´ıticas que satisfagan las condiciones de contorno que aparecen en la Aerodin´amica. Como se ver´a en lo que sigue, la idea b´ asica en Aerodin´amica Potencial es la de sustituir las paredes s´olidas impermeables de un obst´aculo por una representaci´ on matem´atica de flujos elementales que superpuestos apropiadamente den lugar a un patr´ on de l´ıneas de corriente,8 en la que una de ellas sea cerrada y coincida con el contorno del obst´aculo s´olido cuyas caracter´ısticas aerodin´amicas se desean determinar.
13.3.1.
Soluciones elementales
Corriente uniforme Un ejemplo t´ıpico es el de la corriente uniforme de un l´ıquido cuya velocidad U∞ forma un a´ngulo α con el eje x. En este caso, el campo de velocidades se puede modelar en la forma f˙(τ ) = u − iw = U∞ e−iα = U∞ (cos α − i sen α).
(13.30)
7 Obs´ ervese que (13.26) y (13.27) son las condiciones que deben satisfacer las partes real e imaginaria de una funci´ on compleja para ser anal´ıtica (condiciones de Cauchy-Riemman). 8 O superficies de corriente en el caso tridimensional.
335
13.3. Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales
El potencial complejo, el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente son respectivamente: f (τ ) = U∞ e−iα τ, Φ(x, z) = U∞ (x cos α + z sen α),
y
(13.31)
Ψ(x, z) = U∞ (z cos α − x sen α).
(13.32)
Manantial o sumidero y torbellino Consid´erese un potencial complejo de la forma f (τ ) = A ln(τ − τo ).
(13.33)
Si la constante A es real, en un sistema de coordenadas polar (r, θ) con origen en el punto τo , el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente se expresan en la forma Φ = A ln r
y
Ψ = A θ.
(13.34)
Las l´ıneas de corriente de ecuaci´on θ = const son radios con origen en τo y las componentes de la velocidad, que se obtienen de (13.34) por derivaci´ on, son ∂Φ A = ∂r r
vr =
y
vθ =
1 ∂Φ = 0; r ∂θ
(13.35)
esto es, la velocidad del l´ıquido es radial y decae con la distancia r medida desde τo . Una corriente tal se denomina manantial si la constante A es positiva o sumidero en caso contrario. El valor de A est´a relacionado con la intensidad del manantial o caudal por unidad de longitud, q, emanado del mismo. En efecto 2π 2π A r d θ = 2 π A, q= v · ndσ = (13.36) r 0 0 de modo que la funci´ on potencial f (τ ) =
q ln(τ − τo ), 2π
(13.37)
representa matem´aticamente el efecto de un manantial bidimensional de caudal q (o sumidero si q un los ejes x y z, es negativo) situado en el punto τo . Las componentes de la velocidad Φx y Φz seg´ en un punto (x, z), son x − xo q 2π (x − xo )2 + (z − zo )2
z q ; (13.38) 2 2π (x − xo ) + (z − zo )2 donde x y z est´an relacionadas con r y θ a trav´es de las expresiones r = (x − xo )2 + (z − zo )2 y θ = tan−1 [(z − zo )/(x − xo )]. Si la constante A es un n´ umero imaginario puro, A = iA1 con A1 real, (13.33) representa la corriente generada por un torbellino de intensidad A1 = Γ/2π situado en el punto τo ; Γ representa la circulaci´on alrededor de cualquier l´ınea cerrada que rodee al torbellino. En efecto, el potencial de velocidades, la funci´ on de corriente y las componentes del vector velocidad son en este caso Φx (x, z) =
Φ = −A1 θ,
y
Φz (x, z) =
Ψ = A1 ln r,
vr = 0
y
vθ = −A1 /r.
(13.39)
Las l´ıneas de corriente son, por tanto, circunferencias centradas en τo y la velocidad, cuya u ´nica componente es circunferencial, decae con la distancia al origen. La intensidad del torbellino o circulaci´on Γ viene dada por 0 2π Γ= vθ r d θ = − −A1 r = 2 π A1 , (13.40) 2π
0
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
336 de modo que
iΓ (13.41) ln(τ − τo ), 2π representa matem´aticamente la corriente generada por un torbellino de intensidad Γ situado en el punto τo que mueve al fluido en la direcci´ on de las agujas del reloj; naturalmente, si la circulaci´ on fuese negativa el fluido se mover´ıa en la direcci´on opuesta. Es interesante destacar, finalmente, que la corriente generada por un torbellino es irrotacional (∇× v = 0) en todo punto del dominio fluido excepto en el punto τo donde (13.41) no es anal´ıtica. Finalmente, las componentes de la velocidad en un punto (x, z) en coordenadas cartesianas son f (τ ) =
Φx (x, z) =
z − zo Γ 2π (x − xo )2 + (z − zo )2
Φz (x, z) = −
y
x − xo Γ . 2π (x − xo )2 + (z − zo )2
(13.42)
Doblete Esta corriente puede generarse mediante la superposici´on de un manantial y un sumidero de intensidades iguales y opuestas. Ambas fuentes est´an separadas una distancia infinitesimal d τo y la intensidad de las mismas, q, es tal que el producto q d τo permanece constante cuando d τo tiende a cero. Si el manantial est´a situado en el punto τo la corriente resultante total se modela en la forma q q ln(τ − τo ) − ln(τ − τo − d τo ) = 2π 2π
d τo q ln(τ − τo ) − ln (τ − τo ) 1 − 2π τ − τo
f (τ ) =
(13.43)
y desarrollando en serie, ln[1 − d τo /(τ − τo )] = −d τo /(τ − τo ), la expresi´on (13.43) se simplifica a f (τ ) =
q d τo . 2 π(τ − τo )
(13.44)
Definiendo la intensidad del doblete M como q d τo /2 π = M eiβ , (13.43) se escribe en la forma f (τ ) =
M eiβ , (τ − τo )
(13.45)
donde β es el ´angulo que forma el eje manantial-sumidero con el eje x. En coordenadas polares, τ − τo = r eiθ , el potencial de velocidades, la funci´ on de corriente y el campo de velocidades de un doblete son M cos(β − θ) M sen(β − θ) Ψ=− (13.46) Φ= r r y M sen(β − θ) M cos(β − θ) y vθ = − . (13.47) vr = − r2 r2 Si β = 0, el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente se escriben en coordenadas cartesianas Φ=M
x − xo , (x − xo )2 + (z − zo )2
Ψ = −M
z − zo . (x − xo )2 + (z − zo )2
(13.48)
Conviene indicar que un doblete inyecta cantidad de movimiento en el dominio fluido, pero el caudal neto inyectado es nulo.
337
13.3. Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales
13.3.2.
Corriente uniforme y manantial bidimensional
Como ejemplo del uso de las funciones matem´aticas anteriormente descritas para la simulaci´on de corrientes alrededor de obst´aculos bidimensionales, consid´erese la corriente generada por la superposici´on de una corriente uniforme con velocidad U∞ dirigida seg´ un el sentido positivo del eje x y un manantial bidimensional de caudal por unidad de longitud q. Si se toma el origen del sistema de coordenadas en el centro del manantial, el potencial complejo y la funci´on de corriente del flujo resultante son z q q ln τ, y Ψ(x, z) = U∞ z + tan−1 (13.49) f (τ ) = U∞ τ + 2π 2π x (13.50) y las componentes de la velocidad seg´ un los ejes x y z son respectivamente q x z q y w= ; u = U∞ + 2 2 2 2π x + z 2 π x + z2
(13.51)
obs´ervese que hay un punto de remanso situado en la parte negativa del eje x cuya posici´on, que se determina mediante la condici´on u = w = 0 en (13.51), viene dada por xr = −q/(2 π u∞ ) y zr = 0.
Figura 13.4: Superposici´ on de una corriente uniforme y un manantial situado en el origen. Las ecuaciones de las l´ıneas de corriente divisorias, o l´ıneas de corriente que pasan por el punto de remanso, son el eje z = 0 y la l´ınea de ecuaci´on z q q tan−1 = ; (13.52) U∞ z + 2π x 2 esta u ´ltima l´ınea de corriente separa el fluido que viene del infinito del que emana del manantial, v´ease Figura 13.4, y alcanza el infinito, aguas abajo, donde tiende as´ınt´ oticamente a za → q/(2 U∞ ). Un cuerpo semiinfinito cuya superficie z(x) satisfaga la ecuaci´on dada en (13.52) puede ser modelado como superposici´on de una corriente uniforme y un manantial. La forma del obst´aculo puede cambiarse si, por ejemplo, a la corriente anterior se le superpone un sumidero de gasto q1 (q1 < q) en el punto de coordenadas (a, 0). Es f´acil comprobar que en este caso hay dos puntos de remanso localizados en # −(q − q 1 − 1) ± (q − q 1 − 1)2 + 4q xr = y zr = 0, (13.53) a 2 donde q = q/(2π U∞ a) y q 1 = q1 /(2π U∞ a); por otra parte, las as´ıntotas del cuerpo semiinfinito son za → ±(q − q1 )/(2 U∞ ). Si q1 tiende a q, za disminuye y tiende a 0, y para q = q1 existe una l´ınea de corriente cerrada, Figura 13.5. Los puntos de remanso est´an situados en √ 1 ± 1 + 4q xr = y zr = 0 (13.54) a 2
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
338
y las ecuaciones de las l´ıneas de corriente divisorias (l´ıneas de corriente que pasan por los puntos de remanso) son q −1 x −1 x − a tan − tan = 0. z = 0 y U∞ z + (13.55) 2π z z N´otese que la corriente no viscosa alrededor de un obst´aculo cuya superficie venga dada por la u ´ltima de las ecuaciones (13.55) puede simularse matem´aticamente mediante la superposici´on de una corriente uniforme de velocidad U∞ y un manantial y un sumidero de caudal q situados en los puntos (0, 0) y (a, 0) respectivamente. La forma de (13.55) se corresponde con un ´ovalo bidimensional, denominado o´valo de Rankine, por ser este matem´atico franc´es quien primero resolvi´o este problema.
Figura 13.5: Corriente alrededor de un o´valo de Rankine.
13.4.
Corriente alrededor de un cilindro circular
Consid´erese el flujo resultante de la superposici´on de una corriente uniforme de velocidad U∞ en la direcci´on positiva del eje x, un doblete de intensidad M y direcci´on la del eje x y un torbellino de intensidad Γ; doblete y torbellino se supondr´ an situados en el origen de coordenadas. El potencial complejo resultante es iΓ τ M + ln (13.56) f (τ ) = U∞ τ + τ 2π a y el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente son respectivamente: Γθ M cos θ − , Φ = U∞ r + r 2π y
Ψ=
U∞ r −
M r
sen θ +
Γ r ln . 2π a
(13.57)
(13.58)
Si se toma M = a2 U∞ , el c´ırculo de radio a es l´ınea de corriente, Ψ = 0, y por tanto (13.56), con el valor de M indicado, representa la corriente alrededor de un cilindro de radio a con circulaci´on Γ. Es importante resaltar que existe una familia infinita de flujos (uno por cada uno de los valores de la circulaci´on Γ) alrededor del cilindro de radio a. Las componentes radial y seg´ un el eje θ de la velocidad del fluido se obtienen por derivaci´ on de (13.57) vr =
a2 ∂Φ = U∞ 1 − 2 cos θ ∂r r
y
vθ =
Γ 1 ∂Φ a2 = −U∞ 1 + 2 sen θ − . r ∂θ r 2πr
(13.59)
339
13.4. Corriente alrededor de un cilindro circular
a)
b)
G=1.5 p a U¥
G=0
c)
d)
G = 4 p a U¥
G = p a U¥
Figura 13.6: Corriente alrededor de un cilindro circular para valores diferentes de la circulaci´ on Γ.
Sobre el cilindro de radio a se tiene Γ 2πa y los dos puntos de remanso est´an sobre el cilindro r = a en las posiciones dadas por Γ , θ = θr = arc sen − 4 π a U∞ vr = 0
y
vθ = −2 U∞ sen θ −
(13.60)
(13.61)
si Γ ≤ 4 π a U∞ , v´ease Figura 13.6, y si Γ > 4 π a U∞ , los puntos de remanso est´an a lo largo del eje θ = −π/2, a distancias del origen r = rr definidas por la ecuaci´ on algebraica
r 2 Γ rr r + − 1 = 0. (13.62) a 2 π a U∞ a La presi´on sobre el cilindro se determina a partir de la ecuaci´ on de Bernouilli [ecuaci´ on (13.17)]
2 Γ 1 1 2 − ρ 2U∞ sen θ + (13.63) p(a, θ) = p∞ + ρ U∞ 2 2 2πa y el cociente de presiones sobre el cilindro, que se define en la forma Cp (a, θ) = [p(a, θ) − 2 p∞ ]/(ρ U∞ /2), viene dado por 2 Γ Cp (a, θ) = 1 − 2 sen θ + . (13.64) 2πaU∞ La sustentaci´on o componente de la fuerza sobre el cilindro perpendicular a la corriente sin perturbar es 2π p(a, θ) sen θ a d θ = ρ Γ U∞ , (13.65) L=− o
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
340
mientras que la resistencia, o componente de la fuerza en la direcci´on de la corriente, es 2π D=− p(a, θ) cos θ a d θ = 0.
(13.66)
o
Como se ver´a m´as adelante, los resultados (13.65) y (13.66) son de validez general para la corriente de un l´ıquido ideal alrededor de un obst´ aculo bidimensional de forma cualquiera. La ecuaci´ on (13.65) se denomina f´ormula de Kutta y relaciona el valor de la sustentaci´ on que experimenta un obst´ aculo con el de la circulaci´on de la corriente alrededor de ´el. La ecuaci´on (13.66) expresa que un obst´aculo bidimensional no experimenta resistencia al moverse en el seno de un fluido en reposo. Como se ver´a m´as adelante, esta paradoja denominada de D’Alambert es una ley l´ımite tanto m´as cierta, si se excluye la resistencia de fricci´on, cuanto m´as fuselado sea el obst´aculo. Para terminar esta secci´on conviene enfatizar de nuevo que la corriente real sobre un obst´ aculo romo es bastante diferente de la obtenida usando teor´ıa potencial. Como se muestra en la Figura 13.3, el coeficiente de presiones Cp sobre el cilindro circular obtenido mediante la teor´ıa potencial [v´ease (13.64)] se aproximan a los experimentales s´olo en la parte delantera del cilindro pero no lo hacen en la parte posterior, donde la distribuci´ on de presiones de la corriente potencial difiere mucho de la real, que es casi uniforme. En el caso real, la separaci´on de la capa l´ımite, debida al gradiente adverso de presiones, ocurre en la parte posterior del cilindro. La presi´ on all´ı, no recupera los altos valores que existen sobre la parte delantera y consecuentemente hay una resistencia neta sobre el cilindro debido al desequilibrio de las fuerzas de presi´on existente entre la parte delantera y la trasera del cilindro. Aunque, debido a la separaci´on de la capa l´ımite, la corriente potencial alrededor del c´ırculo no se parece a la real, su estudio es, no obstante, interesante, ya que la corriente potencial alrededor de un perfil de forma cualquiera puede ser obtenida a partir de la del c´ırculo mediante transformaci´ on conforme. La corriente potencial alrededor del perfil transformado del c´ırculo puede aproximarse mucho a la realidad si el perfil es lo suficientemente fuselado y su ´angulo de ataque lo suficientemente peque˜ no para evitar el desprendimiento de la capa l´ımite.
13.5.
Flujos potenciales en rincones, esquinas y cu˜ nas
Consid´erese el potencial complejo f (τ ) = Aτ n = Arn (cos nθ + i sen nθ),
(13.67)
donde A es una constante con dimensiones apropiadas y n es en principio cualquier n´ umero real. El potencial de velocidades y la funci´ on de corriente ser´an, por tanto, Φ(r, θ) = Arn cos nθ,
Ψ(r, θ) = Arn sen nθ.
(13.68)
Si el valor de n se toma igual a n = π/β,
(13.69)
la funci´ on de corriente Ψ se anula sobre los radios θ = 0 y θ = β, as´ı que estos radios son l´ıneas de corriente y el potencial complejo f (τ ) = Aτ π/β = Arπ/β (cos πθ/β + i sen πθ/β)
(13.70)
representa matem´aticamente el flujo en rincones y esquinas como se esquematiza en la Figura 13.7.
13.5. Flujos potenciales en rincones, esquinas y cu˜ nas
341
Figura 13.7: Flujo en las proximidades de un rinc´ on.
Teniendo en cuenta (13.70), el campo de velocidades es vr =
πθ ∂Φ πA (π−β)/β cos r , = ∂r β β
vθ =
πθ 1∂Φ πA (π−β)/β sen r ; =− r ∂θ β β
(13.71)
n´otese que si β < π, el rinc´on es un punto de remanso puesto que las velocidades son nulas en r = 0, mientras que si β > π, la esquina es, en ausencia de viscosidad, un punto de velocidad infinita.
Figura 13.8: Corriente de rebordeo alrededor de una placa plana semiinfinita.
Un caso de inter´es, por su utilidad para modelar la corriente en las proximidades del borde de ataque de una placa plana a a´ngulos de ataque peque˜ nos, lo constituye el caso β = 2π, o n = 1/2, (13.69), que corresponde a la corriente de rebordeo del borde de ataque de una placa plana semiinfinita como la indicada en la Figura 13.8. La velocidad v sobre el extrad´os de la placa puede calcularse de (13.71) v = vr = A/(2r1/2 ), (13.72) que diverge hacia el borde de ataque como el inverso de la ra´ız cuadrada de la distancia al mismo. El potencial complejo (13.67) puede tambi´en utilizarse para representar la corriente alrededor de una cu˜ na como la indicada en la Figura 13.9. En efecto, si se escoge como valor de n n = 2π/(2π − β),
(13.73)
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
342
los rayos θ = 0 y θ = 2π − β son l´ıneas de corriente, pues sobre ellos Ψ(r, 0) = Ψ(r, 2π − β) = 0, v´ease (13.68). El potencial complejo y el campo de velocidades del movimiento de l´ıquidos alrededor
q=0
b
q = 2p-b
Figura 13.9: Flujo alrededor de cu˜ nas.
de cu˜ nas de ´angulo β es entonces f (τ ) = Aτ 2π/(2π−β) = Ar2π/(2π−β) [cos[2πθ/(2π − β)] + i sen[2πθ/(2π − β)]] vr =
2π Arβ/(2π−β) cos[2πθ/(2π − β)], 2π − β
vθ = −
y
2π Arβ/(2π−β) sen[2πθ/(2π − β)]. (13.74) 2π − β
El caso particular de una placa plana normal a la corriente incidente corresponde al caso β = π, n = 2 [v´ease (13.73)]; en este caso, la velocidad v sobre la placa es v = vr = 2Ar,
(13.75)
que muestra la existencia de un punto de remanso en el origen, Figura 13.10, y un crecimiento lineal de la velocidad con la distancia al punto de remanso.
Figura 13.10: Corriente normal a una placa.
13.6.
Flujos potenciales axilsim´ etricos
Algunas soluciones, axilsim´etricas, elementales de la ecuaci´on de Laplace, que es la ecuaci´on que satisface el potencial de velocidades, pueden ser usadas para describir la corriente alrededor de
343
13.7. Flujos potenciales no estacionarios
obst´aculos axilsim´etricos. Por ejemplo, el potencial de velocidades correspondiente a una corriente uniforme en la direcci´on del eje x es Φ = U∞ x, (13.76) y la funci´ on de corriente, que se obtiene por integraci´ on del campo de velocidades, ∂Ψ = r vx = r U ∞ , ∂r
Ψ = U∞ r2 /2.
(13.77)
En el caso de un manantial situado en el origen, el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente vienen dados por Q Qx Φ=− y Ψ=− , (13.78) 4πR 4πR √ donde R = x2 + r2 es la distancia al origen y r la distancia al eje de simetr´ıa. N´otese que si el caudal Q es negativo, la velocidad, que es radial, fluye hacia la fuente y, por tanto, se trata de un sumidero. El lector puede comprobar finalmente que en el caso de un doblete se tiene Φ=
Mx R3
y
Ψ=−
M r2 , R3
(13.79)
donde M es la intensidad del doblete y el eje x coincide con el del doblete (direcci´on sumideromanantial). Obs´ervese que en el caso irrotacional y axilsim´etrico no puede definirse el potencial complejo ya que la funci´ on de corriente no es arm´onica. En efecto, la condici´on de irrotacionalidad para este caso se expresa en la forma ∂v ∂u ∇ × v = ω θ eθ = (13.80) − eθ = 0, ∂x ∂r y en t´erminos de la funci´on de corriente, (13.80) se escribe ∂2 Ψ ∂2 Ψ 1 ∂ Ψ + − = 0, ∂ x2 ∂ r2 r ∂r
(13.81)
que obviamente no es la ecuaci´on de Laplace.
13.7.
Flujos potenciales no estacionarios
Las soluciones elementales de la ecuaci´on de Laplace para el potencial de velocidades en el movimiento estacionario, bidimensional, o tridimensional, de l´ıquidos (corriente uniforme, manantial, doblete, etc.) son tambi´en v´alidas en el caso no estacionario, ya que la ecuaci´on de continuidad es tambi´en en este caso ∇ · v = ∇2 Φ = 0. El campo de presiones, sin embargo, se modifica debido a la aceleraci´on local. En efecto, la ecuaci´on de cantidad de movimiento se escribe
∂v v2 = 0, ρ +∇ p+ρ (13.82) ∂t 2 o en t´erminos del potencial de velocidades
v2 ∂Φ = 0, +p+ρ ∇ ρ ∂t 2
(13.83)
cuya integraci´ on proporciona ρ
v2 ∂Φ + p + ρ = C(t), ∂t 2
(13.84)
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
344
donde C(t) es una constante de integraci´on que, en general, depender´ a del tiempo. La fuerza F (t) necesaria para acelerar un cuerpo de masa M con aceleraci´on U˙ (t) a trav´es de un l´ıquido ideal en reposo es suma de la aceleradora y de la que el l´ıquido ejerce sobre el obst´aculo ˙ F = MU + pnU dσ, (13.85) Σ
donde nU es la componente de la normal en sentido opuesto al movimiento de la esfera. Para calcular el campo de presiones a partir de (13.84), es necesario conocer el potencial de velocidades correspondiente al movimiento del l´ıquido alrededor del obst´ aculo. Por ejemplo, en el caso de una esfera de radio a y densidad ρp movi´endose con velocidad −U (t), el potencial de velocidades del movimiento del l´ıquido relativo a la esfera resulta de la superposici´ on de una corriente uniforme de velocidad U (t) (13.76) y un doblete de intensidad (U a3 /2), v´ease (13.77) y (13.79). Si se usan coordenadas esf´ericas (R radial y θ polar), el potencial complejo del flujo alrededor de la esfera de radio a y el campo de velocidades son respectivamente a3 (13.86) Φ = U cos θ R + 2R2 y vR =
∂Φ a3 = U cos θ 1 − 3 , ∂R R
vθ = −
1 ∂Φ a3 . = U sen θ 1 + R ∂θ 2R3
(13.87)
N´otese que sobre la superficie de la esfera R = a, la velocidad normal vR es nula, vR = 0, y la tangencial vale 3 vθ = U sen θ. (13.88) 2 El campo de presiones se obtiene a partir de (13.79) ∂Φ U2 v2 v2 ∂Φ = ρU˙ R cos θ + p∞ (t) + ρ , = ρ (13.89) +p+ρ +p+ρ ρ ∂t 2 ∂t 2 ∞ 2 y sobre la esfera 9 a U2 p(a, θ) = − U˙ cos θ + U 2 cos 2θ − + p∞ (t). ρ 2 16 16
(13.90)
An´alogamente al caso estacionario (en el que la resistencia era nula), los tres u ´ ltimos t´erminos de (13.90) evaluados en las posiciones θ y π − θ son id´enticos y no contribuyen a la integral en (13.85). La contribuci´ on no nula es debida a la variaci´ on temporal del potencial y vale o 2 (13.91) p cos θ 2πa2 sen θ dθ = πρa3 U˙ . 3 π De (13.85) se tiene entonces que la fuerza para acelerar la esfera a trav´es del l´ıquido ideal es 2 3 4 3 πa ρp + πa ρ U˙ = (mp + mh )U˙ (13.92) F (t) = 3 3 que muestra que la esfera se comporta como si su masa fuese mayor. La masa extra, denominada masa hidrodin´ amica, o masa virtual, es en el caso de la esfera la mitad de la masa de l´ıquido desplazada por la esfera. Esta fuerza adicional es debida a que para acelerar la esfera es necesario acelerar tambi´en una masa de l´ıquido dada por la masa virtual. El lector puede comprobar f´ acilmente que en el caso de un cilindro bidimensional de radio a, la masa virtual es igual a la masa por unidad
345
13.8. Fuerza sobre un perfil. F´ ormula de Kutta
de longitud de l´ıquido desplazado ρπa2 . Naturalmente, la masa virtual es despreciable en el caso de part´ıculas o gotas l´ıquidas movi´endose en el seno de un gas. Un c´alculo alternativo al anterior puede hacerse tambi´en a partir de la energ´ıa cin´etica del fluido ρ ∞ π 2 (vR + vθ2 )2 π r sen θ r dr dθ, Ec = (13.93) 2 o o y teniendo en cuenta (13.87) se tiene Ec =
1 3 2 πa ρU . 3
(13.94)
La potencia necesaria para mover el fluido es entonces 2 dEc = πa3 ρU U˙ = FH U, dt 3
(13.95)
donde
2 3 ˙ πa ρU (13.96) 3 es, evidentemente, la fuerza necesaria para acelerar una masa mh con una aceleraci´on U˙ . FH = mh U˙ =
13.8.
Fuerza sobre un perfil. F´ ormula de Kutta
Como se ha apuntado en las secciones 13.4 y 13.5, la corriente alrededor de un obst´ aculo bi o tridimensional puede ser modelada por superposici´ on de una corriente uniforme y manantiales, sumideros y torbellinos, cuya intensidad y posici´ on debe ser apropiadamente elegida para que el contorno del obst´aculo coincida con una de las l´ıneas de corriente divisorias, o superficies en el caso tridimensional. En el caso bidimensional, la velocidad conjugada correspondiente a la corriente alrededor de un cuerpo de forma arbitraria cualquiera se expresa en la forma f˙(τ ) = U∞ +
n i=1
i γj qi + , 2 π(τ − τoi ) j=1 2 π(τ − τoj ) m
(13.97)
donde qi y γj representan las intensidades de las fuentes y torbellinos situados en los puntos τoi y τoj respectivamente; qi , γj , τoi y τoj son desconocidos a priori. Puesto que la velocidad conjugada (13.97) satisface ya la condici´on en el infinito, la condici´ on de contorno sobre el obst´aculo es la que determina la posici´on y la intensidad de fuentes y torbellinos. No obstante, si el cuerpo es cerrado, las intensidades de las fuentes (manantiales y sumideros) deben satisfacer la condici´on n
qi = 0.
(13.98)
i=1
Por el contrario, la circulaci´ on total sobre el perfil, definida como Γ=
m
γj ,
(13.99)
j=1
es desconocida y debe ser obtenida como parte de la soluci´on del problema. La resultante de las fuerzas de presi´on sobre el obst´aculo es F=− p n d σ, (13.100) obst.
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
346
donde n es la normal exterior al obst´aculo. Naturalmente, la presi´on p sobre el obst´aculo no puede ser calculada a partir de (13.97) junto con la ecuaci´ on de Bernouilli, ya que la intensidad de las fuentes y torbellinos as´ı como sus posiciones son desconocidas. Como alternativa para calcular la fuerza F se puede utilizar el teorema de conservaci´on de cantidad de movimiento en forma integral aplicado a un volumen de fluido limitado por el obst´ aculo y un c´ırculo con centro en el origen y radio R muy grande comparado con las dimensiones del obst´aculo, Figura 13.11. Teniendo en cuenta que el flujo convectivo de cantidad de movimiento a trav´es de la superficie del obst´aculo es nulo, por ser ´esta impermeable, la conservaci´on de la cantidad de movimiento exige que ρvv · ndσ = − pndσ − p n d σ, (13.101) c´ırculo obst´aculo c´ırculo donde n es la normal exterior al volumen fluido. La ecuaci´ on (13.101) expresa la relaci´on entre el R U¥
Figura 13.11: Volumen de control para el c´ alculo de las fuerzas aerodin´amica sobre un perfil. flujo de cantidad de movimiento a trav´es del volumen de control y las fuerzas que se ejercen sobre el fluido que ocupa el volumen considerado y que son las que sobre ´el realizan el fluido exterior al c´ırculo y las paredes del perfil. Aunque el campo de presiones no es conocido, la resultante de las fuerzas de presi´on que el obst´aculo realiza sobre el fluido a trav´es de las paredes es igual y contraria a la fuerza F que el fluido ejerce sobre el obst´aculo. Se tiene, entonces, de acuerdo con (13.100) F=− (ρ v v · n + p n)d σ. (13.102) c´ırculo Si pc , uc , wc , cos θ y sen θ representan el valor sobre el c´ırculo de la presi´on, de las componentes de la velocidad seg´ un los ejes x y z y de la normal n, la resistencia y sustentaci´on que experimenta el obst´ aculo son respectivamente 2π D=− [ρ uc (uc cos θ + wc sen θ) + pc cos θ]R d θ (13.103) o
y
L=−
2π
[ρ wc (uc cos θ + wc sen θ) + pc sen θ]R d θ.
(13.104)
o
Sobre el c´ırculo de ecuaci´on τ = τc = R eiθ , |τc | |τoi | ∼ |τoj |, y de acuerdo con las expresiones (13.98) y (13.99), la velocidad conjugada (13.97) se aproxima por n n 1 1 iΓ f˙(τc ) U∞ + qi + i γj = U∞ + ; 2πτ i=1 2πτ j=1 2πτ
(13.105)
13.9. Generaci´on de circulaci´on en un perfil bidimensional. Hip´ otesis de
Kutta-Joukowski
347
esto es, suficientemente lejos del obst´aculo, la corriente se describe en primera aproximaci´on por la superposici´on de una corriente uniforme y un torbellino de intensidad Γ situado en el origen. Las componentes de la velocidad sobre el c´ırculo son, por tanto, uc = U∞ +
Γ sen θ 2πR
y
wc = −
Γ cos θ, 2πR
(13.106)
y la presi´on all´ı , calculada a partir de la ecuaci´ on de Bernouilli, es 1 1 2 ρΓU∞ ρΓ2 − ρ(u2c + wc2 ) = p∞ − pc = p∞ + ρU∞ sen θ − 2 2 . 2 2 2πR 8π R
(13.107)
Introduciendo (13.106) y (13.107) en (13.103) y (13.104) e integrando se obtiene D=0
y
L = ρ Γ U∞ .
(13.108)
El primer resultado es conocido como paradoja de D’Alambert y el segundo es la f´ ormula de Kutta. Establecen respectivamente que un cuerpo bidimensional movi´endose estacionariamente a trav´es de un fluido no viscoso en reposo experimenta una fuerza perpendicular a la direcci´ on del movimiento de magnitud ρ Γ U∞ . Como ya se coment´o, la validez de los resultados dados en (13.108) depende esencialmente del comportamiento de la capa l´ımite sobre el obst´aculo. Si la capa l´ımite est´a adherida al obst´ aculo, la predicci´on del valor de la sustentaci´ on a trav´es de la f´ormula de Kutta se aproxima muy bien al resultado experimental. No es ´este el caso de la paradoja de D’Alambert que debe corregirse para tener en cuenta la fricci´on en la pared. En cualquier caso la resistencia debida a las fuerzas de presi´on sobre el obst´aculo es muy peque˜ na de acuerdo con los resultados te´oricos calculados suponiendo viscosidad nula. En general, si no hay desprendimiento de la capa l´ımite, la resistencia de presi´on es mucho menor que la de fricci´on y ´esta a su vez mucho menor que la sustentaci´on. Por el contrario, si el obst´ aculo es romo, o fuselado a ´angulos de ataque grandes, la capa l´ımite se separa y la resistencia es grande y debida fundamentalmente a las fuerzas de presi´on mientras que la sustentaci´on se reduce a cero o a valores muy peque˜ nos, menores incluso que los de la resistencia.
13.9.
Generaci´ on de circulaci´ on en un perfil bidimensional. Hip´ otesis de Kutta-Joukowski
Como demuestra el teorema de Bjerkness-Kelvin (10.10), bajo condiciones encontradas frecuentemente en Aerodin´amica (altos n´ umeros de Reynolds y capa l´ımite adherida al obst´ aculo, movimiento bar´otropo y fuerzas m´asicas despreciables) la circulaci´on alrededor de cualquier l´ınea fluida cerrada se mantiene constante en el curso del movimiento. Dado que inicialmente la circulaci´on a lo largo de cualquier l´ınea fluida cerrada es nula (obst´ aculo y fluido en reposo), la circulaci´ on se mantendr´a nula durante el movimiento, a no ser que, durante el proceso de arranque, se viole alguna de las condiciones mencionadas anteriormente. En efecto, consid´erese el caso de un perfil con borde de ataque redondeado y borde de salida anguloso, o de retroceso, que se acelera desde el reposo hasta la velocidad U∞ . Inmediatamente despu´es del arranque del perfil, un posible patr´ on del flujo irrotacional con circulaci´ on nula alrededor del perfil ser´ıa, por ejemplo, el que se esquematiza en la Figura 13.12a, donde el punto de remanso posterior no coincide en general con el borde de salida del perfil. Recu´erdese que, como se vio en el estudio de la corriente alrededor del c´ırculo, la posici´on de los puntos de remanso depende del valor de la circulaci´ on. Si la situaci´ on es como la esquematizada en la Figura 13.12a, la capa l´ımite experimentar´a una fort´ısima deceleraci´on entre el borde de salida, punto de m´ınima presi´on, y el de remanso posterior que le impedir´ a continuar adherida al perfil, desprendi´endose un torbellino en el borde de salida, denominado torbellino de
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
348
A
(a)
F
(b)
B
C
E
D
Figura 13.12: Torbellino de arranque.
arranque, que es convectado aguas abajo por la corriente, Figura 13.12b. Como el flujo alrededor de cualquier l´ınea cerrada es irrotacional, se debe establecer una corriente circulatoria sobre el perfil de igual intensidad pero de sentido contrario al del torbellino desprendido. N´ otese que si la circulaci´on a lo largo de la l´ınea fluida material ACDF es inicialmente nula, contin´ ua si´endolo en cualquier instante posterior; la circulaci´ on a lo largo de ABEF es igual y opuesta a la de BCDE. Es importante observar que, aunque la l´ınea fluida se deforme, el perfil siempre permanece encerrado por la l´ınea fluida, cuya trayectoria pasa por el punto de remanso delantero del perfil, y consecuentemente ese punto permanece anclado all´ı . El campo circulatorio sobre el perfil desplaza el punto de remanso posterior hacia el borde de salida del perfil y la hip´ otesis de Kutta-Joukowski supone que el proceso de desprendimiento de torbellinos desde el borde de salida finaliza, y por tanto se alcanza un valor constante de la circulaci´on alrededor del perfil, cuando el punto de remanso posterior se sit´ ua justo en el borde de salida del perfil. El cumplimiento de la condici´ on de Kutta-Joukowski garantiza que el valor de la presi´ on en el borde de salida del perfil es el mismo para las dos corrientes que fluyen por el extrad´ os (parte superior) e intrad´ os (parte inferior) del perfil. En efecto, en un borde de salida anguloso, con dos pendientes diferentes, s´olo es posible tener velocidades, y consecuentemente presiones, iguales arriba y abajo si el borde de salida es punto de remanso.
Figura 13.13: Torbellinos de arranque y parada.
Obs´ervese que si el borde de salida del perfil es punto de retroceso no es necesario que el borde de salida sea de remanso sino que basta con que las velocidades arriba y abajo sean iguales. Por tanto, el valor de la circulaci´on prescrito por la hip´ otesis de Kutta-Joukowski es el u ´ nico posible para un perfil de forma y actitud dadas en movimiento estacionario y resulta de imponer la condici´ on de que el borde de salida del perfil sea punto de remanso si es un borde anguloso o que, si ´este es punto de retroceso, las velocidades por extrad´os e intrad´ os sean iguales en el borde de salida. El valor de la circulaci´ on no cambiar´ a en tanto que no se desprenda vorticidad adicional desde el
349
13.10. Caracter´ısticas aerodin´amicas de perfiles
borde de salida, esto es, mientras que la velocidad del perfil se mantenga constante. En la Figura 13.13 se muestran dos torbellinos, de arranque y parada, generados cuando un perfil es detenido s´ ubitamente un tiempo corto despu´es de haberlo arrancado. La situaci´on es muy diferente para cuerpos con borde de salida romo, ver Figura 13.14. En este caso la capa l´ımite se desprende en extrad´os e intrad´ os del perfil dando lugar a torbellinos desprendidos de intensidad igual y opuesta. La circulaci´ on sobre el perfil y, por tanto, la sustentaci´ on son nulas pero la resistencia es grande debido fundamentalmente a la estela que aparece como consecuencia de la separaci´on de capa l´ımite.
Figura 13.14: Corriente en las proximidades de un obst´ aculo con borde de salida romo.
13.10.
Caracter´ısticas aerodin´ amicas de perfiles
En la Figura 13.15 se representa un perfil de ala t´ıpico y sus caracter´ısticas geom´etricas m´as importantes. La l´ınea de curvatura media del perfil se define como el lugar geom´etrico de los
z
ze(x)
zc(x)
x
Figura 13.15: Caracter´ısticas geom´etricas de un perfil de ala.
puntos que equidistan del extrad´ os e intrad´ os del perfil. La cuerda c es la l´ınea recta que une los bordes de ataque y salida del perfil y el espesor es la distancia entre extrad´ os e intrad´ os medida perpendicularmente a la cuerda del perfil. La forma de cualquier perfil puede generarse entonces especificando la forma de la l´ınea de curvatura media zc (x) a la que se superpone una distribuci´ on de espesores, sim´etrica respecto a la l´ınea media, ze (x). De este modo, si zp+ (x) y zp− (x) representan las ecuaciones de las l´ıneas que definen el extrad´os e intrad´ os del perfil, su relaci´on con la distribuci´ on
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
350 de espesores y la curvatura del perfil es
zp+ (x) = zc (x) + ze (x)
y
zp− (x) = zc (x) − ze (x).9
(13.109)
Las caracter´ısticas aerodin´amica m´as importante de un perfil son el coeficiente de sustentaci´ on on de Cl con el ´angulo de Cl , definido en (13.4), la denominada polar del perfil Cd (Cl ) y la variaci´ ataque α del perfil Clα = ∂ Cl /∂ α, denominada tambi´en pendiente de la curva de sustentaci´ on.
Figura 13.16: (a) Polar Cd (Cl ) y (b) coeficiente de sustentaci´on Cl como funci´on del ´angulo de ataque α del perfil NACA 0012 para valores diferentes del n´ umero de Reynolds; ◦ Re = 3 × 106 , 6 6 • Re = 6 × 10 , Re = 9 × 10 . En la Figura 13.16 se representan valores experimentales del Cl de un perfil de la familia NACA de 4 d´ıgitos ampliamente usado en la Ingenier´ıa Aeron´autica. Como se observa en la figura, a bajos y moderados valores del ´angulo de ataque la pendiente de la curva de sustentaci´ on es una recta cuya pendiente ∂ Cl /∂ α es muy pr´oxima a 2 π. Para valores mayores del ´angulo de ataque, la capa l´ımite sobre el extrad´os del perfil tiende a separarse para dar lugar a una estela detr´ as del perfil que disminuye la sustentaci´ on y aumenta la resistencia; se dice entonces que el perfil entra en p´erdida. El valor m´aximo del coeficiente de sustentaci´on Clmax , que se presenta justo inmediatamente antes de la entrada en p´erdida, es una caracter´ıstica importante del perfil, ya que su valor determina la velocidad de p´erdida 2W Umin = , ρ c Clmax o velocidad m´ınima a la que puede volar un perfil de peso por unidad de longitud W en vuelo estacionario, horizontal y uniforme. 9 A partir de los a˜ nos treinta el National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), organismo antecesor de la actual NASA, llev´ o a cabo una serie de experimentos para determinar las caracter´ısticas aerodin´ amicas de una serie de familias de perfiles de ala construidos racional y sistem´ aticamente combinando distribuciones de espesores y l´ıneas de curvatura diferentes. Las caracter´ısticas geom´etricas de estos perfiles, de uso com´ un hoy d´ıa, y sus caracter´ısticas aerodin´ amicas se encuentran en Abbott y von Doenhoff (1949).
13.11. Teor´ıa linealizada de perfiles en r´egimen incompresible
351
La teor´ıa potencial predice con gran aproximaci´ on el coeficiente de sustentaci´on del perfil Cl (α) en la zona en la que ´este var´ıa linealmente con el ´angulo de ataque. En esta situaci´ on, la capa l´ımite se encuentra adherida al perfil, en la mayor parte de su superficie. Sin embargo, la teor´ıa potencial no predice el coeficiente de resistencia Cd (α), definido en (13.7), que debe ser determinado emp´ıricamente; como es sabido, la resistencia del perfil se debe, en general, a la resistencia de fricci´on (debida a la viscosidad) y a la de forma (debida a la separaci´on de la capa l´ımite).
13.11.
Teor´ıa linealizada de perfiles en r´ egimen incompresible
Como se ha visto anteriormente, el c´alculo de la distribuci´ on de presiones en la corriente incompresible alrededor de un obst´ aculo bidimensional de forma cualquiera utilizando la teor´ıa potencial comporta la resoluci´on de la ecuaci´on de Laplace bidimensional sujeta a las condiciones de contorno en el infinito (13.15) y sobre el obst´ aculo (13.16) adem´as de la condici´on de Kutta-Joukowski en el borde de salida del perfil. Existen varias t´ecnicas de resoluci´on del problema planteado aqu´ı: dos que son anal´ıticas o semianal´ıticas y una tercera de car´acter num´erico que se expondr´a al final de este Cap´ıtulo. Entre las anal´ıticas, la denominada exacta utiliza la transformaci´ on conforme y se denomina as´ı porque el resultado obtenido ser´ıa exacto si se ignorasen los efectos de la viscosidad. En esta t´ecnica, el exterior de una curva cerrada cualquiera (perfil) situada en el plano complejo se transforma en el exterior de otra curva cerrada situada en el plano complejo τ por medio de la transformaci´on conforme τ = F (). Usualmente se elige el c´ırculo (transformado del perfil) como curva cerrada del plano τ , ya que la corriente alrededor del c´ırculo y su representaci´ on matem´atica, el potencial complejo f (τ ), son conocidas. La importancia pr´ actica de la transformaci´on conforme es que puede usarse para transformar la representaci´ on matem´atica de una corriente incompresible alrededor de un cilindro circular dada por su potencial complejo f (τ ) en la representaci´on matem´atica de otra corriente incompresible alrededor de un obst´ aculo de forma cualquiera cuyo potencial complejo F() viene dado por f (τ ) = f [F ()] = F(). En la pr´ actica, dado un perfil de forma cualquiera, del que se desea calcular sus caracter´ısticas aerodin´amicas, no resulta f´acil encontrar la transformaci´ on que lo convierte en el c´ırculo del plano τ . Para ello es necesario recurrir al empleo de m´etodos num´ericos iterativos como, por ejemplo, el m´etodo de Theodorssen que ha sido profusamente utilizado en el pasado. En contraste con el anterior, el segundo de los m´etodos anal´ıticos es una teor´ıa aproximada denominada teor´ıa linealizada de perfiles. Empez´o a desarrollarse hacia los a˜ nos treinta del pasado siglo y por su simplicidad y eficacia en la determinaci´ on de las caracter´ısticas aerodin´amicas de los perfiles ha sido y es todav´ıa ampliamente utilizada. Su fundamento se basa en que, puesto que la ecuaci´on de Laplace del potencial de velocidades en r´egimen incompresible es lineal, podr´ıan calcularse las caracter´ısticas de un perfil por superposici´ on de las de su l´ınea de curvatura media, las de una placa plana para modelar el efecto del a´ngulo de ataque y las de una distribuci´ on de manantiales que representa el espesor del perfil. Sin embargo, el problema radica en que la condici´ on de contorno (13.16) de velocidad tangente al obst´ aculo no es lineal, ya que las velocidades del l´ıquido que imponen las condiciones de contorno correspondientes a cada uno de los tres problemas en los que el perfil se descompone no podr´ıan sumarse al estar impuestas sobre contornos diferentes (espesor, curvatura y a´ngulo de ataque). La simplificaci´ on dr´ astica que introduce la teor´ıa linealizada es la de imponer la condici´ on (13.16) no sobre el contorno del perfil sino sobre el esqueleto del mismo definido matem´aticamente por z = 0, 0 ≤ x ≤ c. Como se ver´a m´as adelante, esta linealizaci´on de la condici´on de contorno limita la validez de la teor´ıa a casos en los que las ordenadas de las l´ıneas de curvatura media, del espesor y del ´angulo de ataque del perfil son peque˜ nas frente a su cuerda como para que la velocidad evaluada sobre el perfil difiera poco de la evaluada sobre el esqueleto
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
352
(en una cantidad del orden del espesor relativo, curvatura relativa, o a´ngulo de ataque si estas cantidades son peque˜ nas frente a la unidad). Los resultados obtenidos mediante la aplicaci´ on de esta teor´ıa son de gran utilidad en el caso de perfiles delgados a peque˜ nos ´angulos de incidencia y dejan de serlo si se aplican a perfiles en los que alguna o todas sus caracter´ısticas geom´etricas (espesor, curvatura, ´angulo de ataque) no son peque˜ nas, aunque esta limitaci´on importa poco, pues, en estos casos, incluso la existencia de potencial de velocidades ser´ıa dudosa. Si el potencial de velocidades se escribe como suma del incidente sin perturbar m´as uno debido a la perturbaci´ on que introduce el obst´ aculo Φ(x, z) = U∞ x + ϕ(x, z),
(13.110)
las componentes de la velocidad del l´ıquido seg´ un los ejes x y z son Φx (x, z) = U∞ + ϕx (x, z) y Φz (x, z) = ϕz (x, z)
(13.111)
donde ϕ(x, z) y sus derivadas representan el potencial y las componentes de la velocidad de perturbaci´ on. Si el perfil es delgado, en el sentido de que las ordenadas de su l´ınea media de curvatura, distribuci´ on de espesores y ´angulo de ataque son peque˜ nas frente a la cuerda del perfil, las velocidades de perturbaci´ on ϕx y ϕz se pueden suponer peque˜ nas frente a la corriente incidente U∞ . La condici´ on de contorno sobre el perfil (13.16) se escribe entonces Φz [x, zp± (x)] d zp± (x) ϕz [x, zp± (x)] ϕz [x, zp± (x)] = , = dx U∞ Φx [x, zp± (x)] U∞ + ϕx [x, zp± (x)]
(13.112)
donde el doble signo en la ecuaci´on zp± (x) = ±ze (x) + zc (x) − α se corresponde con el extrad´os o intrad´ os del perfil. N´otese que esta aproximaci´on dejar´ a de ser v´alida en las proximidades de los puntos de remanso del perfil donde la aproximaci´ on efectuada en (13.112), |ϕx | U∞ , no es v´ alida. Por otra parte, si se desarrolla ϕz en serie de potencias de zp , ϕz [x, zp± (x)] = ϕz (x, 0± ) + ± zp (x) ϕzz (x, 0) + ..., la condici´on de contorno (13.112) se escribe dzp± dze dzc ϕz (x, 0± ) . =± + −α dx dx dx U∞
(13.113)
Por simplicidad en la resoluci´on del problema resulta conveniente separar el efecto de la distribuci´ on de espesores de los de curvatura y ´angulo de ataque. Como se ver´ a en lo que sigue, el efecto del espesor puede modelarse mediante una distribuci´on de fuentes (manantiales y sumideros) mientras que los efectos de curvatura y ´angulo de ataque se modelan mediante torbellinos. La distribuci´ on de fuentes da lugar a un flujo sim´etrico respecto al eje z = 0 que no contribuye a la sustentaci´ on mientras que el flujo de la distribuci´ on de torbellinos situada en el eje en presencia de una corriente uniforme da lugar a un flujo antisim´etrico con velocidades (y presiones) distintas arriba y abajo del eje z = 0 que modelan el efecto sustentador.
13.11.1.
Problema de espesor
Consid´erese una distribuci´on de fuentes elementales de intensidad por unidad de longitud q(x) situada sobre el eje x (0 ≤ x ≤ c). Las componentes de la velocidad en el punto (x, z) debidas a la distribuci´ on de fuentes es [v´ease (13.38)] c q(xo )(x − xo ) 1 dxo , (13.114) ϕsx (x, z) = 2π o (x − xo )2 + z 2 c q(xo )z 1 dxo . (13.115) ϕsz (x, z) = 2π o (x − xo )2 + z 2
353
13.11. Teor´ıa linealizada de perfiles en r´egimen incompresible
Si (13.114) y (13.115) representan el campo de velocidades de perturbaci´ on inducido por la distribuci´on de espesores z = ze (x), entonces la intensidad de las fuentes q(x) debe calcularse imponiendo la condici´on de contorno (13.113) que para una distribuci´ on de espesores ±ze (x) se escribe dze ϕsz (x, 0± ) =± ; U∞ dx
(13.116)
n´otese que las velocidades verticales en z = 0± son iguales y de sentido contrario. El c´ alculo del l´ımite de la expresi´on (13.115) para z → 0+ se efect´ ua f´acilmente si se tiene en cuenta que para no del punto fijo z → 0, ϕsz es nula en todo el intervalo [0, c] excepto en un entorno muy peque˜ (x, 0+ ) donde se desea calcular la velocidad. Dado que en ese entorno q(xo ) q(x), el l´ımite de la expresi´on (13.115) resulta ϕsz (x, o+ )
=
l´ım z→0 →0
q(x) 2π
x+
x−
q(x) zdx = . 2 2 (x − xo ) + z 2
(13.117)
La expresi´on (13.117) muestra que la intensidad de los manantiales por unidad de longitud es en cada punto el doble de la velocidad vertical en ese punto y de (13.116) se tiene q(x) = 2ϕsz (x, 0+ ) = 2 U∞
dze . dx
(13.118)
A la expresi´on anterior se llega tambi´en sin m´as que expresar la condici´on de conservaci´on de la masa en el volumen de control indicado en la Figura 13.17
fz(x,0 + ) x
x+dx
x
fz ( x , 0 - ) Figura 13.17: Caudal eyectado por unidad de longitud.
q(xo )d xo =
v · n d σ = Φsz (x, 0+ )d xo − Φsz (x, 0− )d xo = 2ϕsz (x, 0+ ).
El coeficiente de presiones Cp (x, z) definido en la forma usual es Cp (x, z) =
p(x, z) − p∞ Φ2x (x, z) + Φ2z (x, z) , = 1 − 1 2 2 U∞ 2 ρ U∞
(13.119)
donde se ha hecho uso de la ecuaci´on de Bernouilli. En t´erminos del potencial de perturbaci´ on ϕ(x, z), una vez linealizada la expresi´ on resultante, se tiene Cp (x, z) = 1 −
ϕs (x, z) (U∞ + ϕsx )2 + ϕs2 z −2 x , 2 U∞ U∞
(13.120)
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
354
que muestra la proporcionalidad, en la teor´ıa linealizada, entre el coeficiente de presiones y la componente horizontal de la velocidad de perturbaci´ on. Sobre el esqueleto del perfil ϕsx (x, 0) se calcula a partir de (13.114) y (13.118) U∞ c ze (xo ) d xo , (13.121) ϕsx (x, 0) = π o x − xo y de (13.120) Cp (x, 0) = −
2 π
c o
ze (xo ) d xo . x − xo
(13.122)
La expresi´on (13.122) determina la distribuci´ on de presiones sobre el obst´aculo Cp (x, 0) si la distribuci´ on de espesores ze ≡ d ze /d x es conocida. N´otese de (13.114) que ϕsx y por tanto Cp son funciones sim´etricas respecto al eje z = 0 y el coeficiente de sustentaci´on local cl (x) sobre el obst´aculo es, por tanto, id´enticamente nulo cl (x) = Cp (x, 0− ) − Cp (x, 0+ ) = 0.
13.11.2.
Problema sustentador. Curvatura y ´ angulo de ataque
Consid´erese una distribuci´on de torbellinos bidimensionales de intensidad por unidad de longitud γ(x) situada sobre el eje x (0 ≤ x ≤ c). El campo de velocidades debido a la distribuci´ on de torbellinos es [v´ease (13.42)] c γ(xo )z 1 d xo , ϕ(c+α) (x, z) = (13.123) x 2π o (x − xo )2 + z 2 ϕ(c+α) (x, z) z
1 =− 2π
c
o
γ(xo )(x − xo ) d xo . (x − xo )2 + z 2
(13.124)
La intensidad de los torbellinos γ(x) se calcula imponiendo la condici´on de contorno ya linealizada (13.113) que para una l´ınea media zc (x) a ´angulo de ataque α se reduce a (c+α)
ϕz
d zc (x, 0) = − α; U∞ dx
(13.125)
n´ otese que contrariamente al caso sim´etrico las velocidades verticales en z = 0± son iguales, lo que se corresponde con una distribuci´ on de torbellinos situada en el eje. La intensidad de los torbellinos (c+α) (x, 0), v´ease (13.123), y puede calcularse γ(xo ) est´a relacionada con la velocidad horizontal ϕx del l´ımite de esta expresi´on para z → 0. Tambi´en puede obtenerse calculando la circulaci´on a lo largo de la l´ınea cerrada de la Figura 13.18. En efecto, la circulaci´ on a lo largo del recinto se˜ nalado en la figura es γ(xo )d xo = ϕ(c+α) (x, 0+ )d xo − ϕ(c+α) (x, 0− )d xo = 2ϕ(c+α) (x, 0+ )d x, x x x
(13.126)
donde en (13.126) se ha hecho uso de la condici´ on de antisimetr´ıa debida a que un torbellino situado en z = 0 induce velocidades horizontales en z = 0+ iguales y contrarias a las que induce en z = 0− . Teniendo en cuenta (13.125) y tomando el l´ımite z → 0 de (13.124) se tiene U∞
dzc −α dx
=−
1 π
c o
(c+α)
ϕx
(x, 0+ ) d xo . x − xo
(13.127)
355
13.11. Teor´ıa linealizada de perfiles en r´egimen incompresible
fx(x,0+)
fz(x,0) x
fz(x+dx,0)
x+dx
fx(x,0-)
Figura 13.18: Flujo debido a la distribuci´ on de torbellinos sobre el perfil.
Si la l´ınea de curvatura y a´ngulo de ataque del perfil son conocidos, la resoluci´ on de la ecuaci´on (c+α) integral (13.127) suministra la distribuci´ on de velocidades horizontales ϕx (x, 0+ ) y el coeficiente de presiones Cp (x, 0+ ) = −2ϕx (x, 0+ )/U∞ sobre el extrad´os del perfil. Existen varias t´ecnicas para resolver la ecuaci´on integral (13.127). En lo que sigue se describir´a un m´etodo descrito por Glauert en 1926 que es ampliamente utilizado. Glauert propuso para la componente horizontal de perturbaci´ on un desarrollo de la forma (c+α)
ϕx
U∞
(θ)
∞
= Ao tan
θ An sen n θ, + 2 n=1
(13.128)
donde los coeficientes Ao , A1 ,... An deben ser determinados como parte de la soluci´on del problema y la variable θ se define como c x = (1 + cos θ), (13.129) 2 de modo que θ = π corresponde al borde de ataque (x = 0) y θ = 0 al borde de salida (x = c); n´otese que 0 ≤ θ ≤ π y π ≤ θ ≤ 2π se corresponden con el esqueleto z = 0+ y z = 0− de la l´ınea de curvatura y a´ngulo de ataque. Las razones de tipo f´ısico que indujeron a Glauert a proponer el desarrollo (13.128) son las siguientes: (c+α)
La componente horizontal de perturbaci´ on ϕx debida a los torbellinos es una funci´ on (c+α) (c+α) antisim´etrica respecto a z = 0, ϕx (θ) = −ϕx (2π − θ), de modo que la funci´ on debe desarrollarse en serie de senos. (c+α)
ϕx es singular en el borde de ataque debido a que la corriente rebordea un perfil infinitamente delgado en el borde de ataque. Resultados exactos del estudio de la corriente (no viscosa) de rebordeo de una placa plana [v´ease (13.72)] indican que√la velocidad se comporta singularmente en el borde de ataque y tiende a ∞ en la forma 1/ x cuando la distancia x al borde tiende a cero, o teniendo en cuenta (13.129) como tan θ/2. La forma funcional (13.128) satisface la condici´ on de Kutta-Joukowski en el borde de salida, θ = 0 y θ = 2π. En efecto, si el borde de salida es de retroceso, como sucede en una l´ınea de curvatura y en una placa plana, la condici´ on de Kutta-Joukowski establece que las velocidades (c+α) en el extrad´os e intrad´ os del perfil deben ser iguales en el borde de salida. Como ϕz es (c+α) (c+α) sim´etrica y ϕx (0) = ϕx (2 π) = 0, v´ease (13.125) y (13.128), las componentes de la (c+α) (c+α) (0)] y [U∞ , ϕz (2π)] son id´enticas en extrad´os velocidad en el borde de salida [U∞ , ϕz e intrad´ os y la condici´on de Kutta-Joukowski es satisfecha. N´otese que en teor´ıa linealizada la condici´on de Kutta se satisface autom´aticamente si ϕx se anula en el borde de salida. Introduciendo (13.128) en (13.127) y usando las relaciones trigonom´etricas 2 sen2 θ/2 = 1 − cos θ,
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
356
2 sen n θ sen θ = cos(n − 1)θ − cos(n + 1)θ, se llega a
∞ n=1
π o
1 − cos θo d θo + cos θ − cos θo o An [cos(n − 1)θo − cos(n + 1)θo ] d θo . 2(cos θ − cos θo )
1 dzc −α=− dx π
π
Ao
(13.130)
La expresi´on (13.130) contiene integrales denominadas de Glauert cuyo valor, que se obtiene f´ acilmente en el plano complejo, es π cos m θo sen m θ d θo = −π . (13.131) cos θ − cos θ sen θ o o Teniendo en cuenta este u ´ltimo resultado, la expresi´ on (13.130) suministra una relaci´ on entre los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier y la forma de la l´ınea de la curvatura y el a´ngulo de ataque ∞ d zc An cos n θ = −α + −Ao − . (13.132) dx n=1 Los coeficientes Ao , A1 ...An pueden ser ahora calculados, en la forma usual, multiplicando ambos miembros de la ecuaci´on (13.132) por cos m θ e integrando entre 0 y π se llega a π π d zc d zc 1 2 cos n θ d θ n ≥ 1, (13.133) Ao = α − d θ y An = − π o dx π o dx donde se ha hecho uso de la condici´on de ortogonalidad π π/2 si m = n cos m θ cos n θ d θ = 0 si m = n o Una vez que los coeficientes de la serie de Fourier han sido calculados, el coeficiente de presiones sobre el perfil debido a curvatura y a´ngulo de ataque es " ! ∞ θ (c+α) An sen n θ , Cp (θ) = −2ϕx (13.134) (θ)/U∞ = −2 Ao tan + 2 1 y el coeficiente local de sustentaci´on cl (θ) definido como la diferencia del coeficiente de presiones en extrad´os e intrad´ os (c+α)
cl (θ) = Cpi (θ) − Cpe (θ) = −2Cpe (θ) = 4 " ∞ θ An sen n θ , cl (θ) = 4 Ao tan + 2 n=1
ϕx
U∞
(θ)
,
(13.135)
!
0 ≤ θ ≤ π.
El coeficiente de sustentaci´on total viene dado por " c π ! ∞ θ An sen n θ sen θ d θ = 2π(Ao + A1 /2), Cl = cl (x)dx/c = 2 Ao tan + 2 n=1 o o
(13.136)
(13.137)
357
13.11. Teor´ıa linealizada de perfiles en r´egimen incompresible y sustituyendo Ao y A1 por sus expresiones dadas en (13.133)
1 π d zc (1 + cos θ)d θ , Cl = 2π α − π o dx
(13.138)
que suministra el coeficiente de sustentaci´on si el ´angulo de ataque y la curvatura de la l´ınea media son conocidos. La pendiente de la curva de sustentaci´ on ∂cl /dα vale 2π y se aproxima mucho a los resultados experimentales (v´ease Figura 13.16). Otras caracter´ısticas aerodin´amicas del perfil son el ´angulo de ataque de sustentaci´ on nula αl=0 y el ´angulo de ataque ideal o de proyecto αi . El primero se obtiene f´ acilmente sin m´as que anular la expresi´on (13.138) 1 π d zc (1 − cos θ)d θ. (13.139) αl=0 = π o dx Obs´ervese que el ´angulo de sustentaci´ on nula de una l´ınea de curvatura sim´etrica respecto al eje z es nulo. N´otese tambi´en que la magnitud del a´ngulo de sustentaci´ on nula crece al aumentar la curvatura relativa de la l´ınea media. Se llama ´angulo de ataque ideal a aquel para el que desaparece la singularidad del borde de ataque (Ao = 0). Esta situaci´on corresponde a un a´ngulo de ataque en el que la corriente perturbada es tangente a la l´ınea de curvatura en el borde de ataque, v´ease Figura 13.19.
a=ai
a¹ai
Figura 13.19: Flujo en las proximidades del borde de ataque de un perfil delgado. De (13.133) se tiene 1 αi = π
d zc d θ, dx
o
y el coeficiente de sustentaci´on ideal Cli = π A1 = −
π
2 π
o
π
d zc cos θ d θ. dx
(13.140)
(13.141)
Se denomina ideal a este valor porque a este ´angulo de ataque la resistencia del perfil alcanza su valor m´ınimo como consecuencia de que la corriente no rebordea el borde de ataque y el efecto del gradiente adverso de presiones sobre el extrad´os del perfil se minimiza (capa l´ımite adherida) al desaparecer el fuerte pico de succi´on en el extrad´os del borde de ataque. Finalmente, el coeficiente de momento de cabeceo respecto al borde de ataque Cmo es c π x dx (13.142) = − (Ao + A1 + A2 /2), Cmo = cl (x) c c 2 o y el coeficiente de momentos respecto al centro aerodin´amico del perfil xca , definido como el punto respecto al que el coeficiente de momentos es independiente del ´angulo de ataque, es Cmca = Cmo − Cl xca .
(13.143)
De (13.133), (13.142) y (13.143) se demuestra f´acilmente que el centro aerodin´amico est´a situado a una distancia c/4 del borde de ataque de la l´ınea de curvatura y el coeficiente de momentos respecto a este punto vale π (13.144) Cmca = − (A1 + A2 ). 4
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
358
13.12.
Alas de envergadura finita
Se encuentra experimentalmente que las caracter´ısticas aerodin´amicas de un perfil que constituye una secci´on de un ala real (ala de envergadura finita) son sustancialmente distintas a las calculadas suponiendo que el ala no tiene fin; por ejemplo, su coeficiente de sustentaci´ on es menor que el que proporciona el mismo perfil al mismo ´angulo de ataque pero considerado bidimensional (ala de envergadura infinita). La explicaci´on a este hecho debe buscarse en las diferencias entre el flujo bidimensional y el tridimensional que se desarrolla sobre un ala real. En efecto, la sustentaci´ on en un ala es debida a la diferencia entre las presiones (mayores) del intrad´ os del ala y las del extrad´os (menores). Existe, por tanto, un gradiente de presi´ on a lo largo de la envergadura del ala (en el extrad´ os la presi´on aumenta hacia el borde marginal mientras que en el intrad´ os sucede lo contrario); naturalmente, estos gradientes de presi´on son nulos para un ala de envergadura infinita (bidimensional). En el extrad´ os del ala el fluido tender´ a a moverse desde el borde marginal hacia la ra´ız y en sentido opuesto en el intrad´ os, que combinados con las otras dos componentes de la velocidad dan lugar en el borde de salida del ala a torbellinos que se mueven aguas abajo del ala y forman la estela de un ala sustentadora, v´ease Figura 13.20.10 Debido a fen´ omenos no lineales la estela de torbellinos
Figura 13.20: Estela de torbellinos en un ala sustentadora de forma en planta rectangular.
se enrolla r´apidamente para formar un par de v´ ortices concentrados y de circulaci´on opuesta que se mueven con el fluido; el v´ortice del borde marginal izquierdo rota al fluido en la direcci´ on de las agujas del reloj mientras que el del borde derecho induce giro en el sentido opuesto. El primer intento racional de predecir las caracter´ısticas aerodin´amicas en alas de envergadura finita fue debida a Prandtl y Lancaster, que independientemente uno de otro desarrollaron la denominada teor´ıa de la l´ınea sustentadora v´ alida para alas de alargamiento Λ muy grande, aunque la teor´ıa proporciona buena aproximaci´ on a partir de alas de alargamiento Λ ≥ 5; Λ = b/¯ c = S/(b¯ c) 1, donde b, c¯, y S = b¯ c son respectivamente la envergadura, cuerda y superficie en planta del ala (superficie alar). En lo que sigue se discutir´ an las ideas f´ısicas en las que se basa la teor´ıa de la l´ınea sustentadora. Como se ha visto en 13.9.2, el efecto sustentador de un perfil bidimensional puede modelarse en t´erminos de torbellinos cuyos ejes, paralelos al eje y del ala, son perpendiculares al perfil. En teor´ıa linealizada, los torbellinos de un perfil bidimensional est´ an situados en z = 0 y su intensidad por unidad de longitud γ(x) es independiente de la coordenada y; siendo la circulaci´on total sobre 10
M. R. Head, Flow Visualization II, ed. W.Merzkirch, Hemisphere, 1982.
359
13.12. Alas de envergadura finita el perfil
c
γ(x)dx.
Γ=
(13.145)
o
En contraste al caso bidimensional, en alas de envergadura finita, la intensidad del campo circulatorio es funci´on tambi´en de la coordenada y, γ(x, y), ya que la circulaci´on es nula fuera del ala por serlo all´ı la velocidad de perturbaci´ on seg´ un el eje x y el coeficiente de presiones, (13.126) y (13.134). Por otra parte, dado que la vorticidad es un campo solenoidal (divergencia nula), cualquier cambio en la circulaci´on de un tubo de torbellinos debe llevar aparejado una bifurcaci´ on del mismo, Figura 13.21.
g(x,y+dy) (dg/dy)dy g(x,y)
G(y)
Figura 13.21: Bifurcaci´on de las l´ıneas de torbellinos en un ala sustentadora de envergadura finita y distribuci´ on de circulaci´on en la estela.
Una consecuencia es que las l´ıneas de torbellinos nunca pueden originarse o terminar en el interior del dominio fluido; si el dominio es ilimitado, son cerrados sobre s´ı mismos o terminan (o se originan) en el infinito. En este caso, y por ser las l´ıneas de vorticidad l´ıneas fluidas que se mueven con el fluido, los torbellinos bifurcados del ala son convectados aguas abajo formando una estela de torbellinos. La intensidad por unidad de longitud del torbellino bifurcado en cada punto (x, y) del ala ser´a γ(x, y + dy) − γ(x, y) = [∂γ(x, y)/∂y] dy y la intensidad total aguas abajo del perfil situado en la posici´ on y es c c ∂γ(x, y) ∂Γ ∂ γ(x, y) dx dy = dx dy = dy = dΓ. ∂y ∂y o ∂y o
(13.146)
Si el alargamiento del ala es grande, el flujo alrededor de un ala recta puede simularse a grandes distancias por superposici´on de la corriente uniforme, un hilo de torbellinos de longitud b e intensidad Γ(y), seg´ un el eje y, y la estela de torbellinos situada en el plano z = 0 aguas abajo del ala. A la l´ınea de torbellinos de intensidad Γ(y) se le denomina torbellinos ligados por estar ligados al ala y representa el efecto circulatorio bidimensional del perfil. Las l´ıneas de torbellinos de circulaci´on dΓ se denominan torbellinos libres y representan el efecto tridimensional del ala finita. En la teor´ıa linealizada, los torbellinos libres se suponen rectos y paralelos a la direcci´ on de vuelo,
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
360
el eje x. Esta hip´ otesis ser´ıa correcta si la velocidad detr´as del ala fuera U∞ . Sin embargo, los torbellinos libres inducen velocidades verticales que superpuestas a la incidente dan lugar a una trayectoria inclinada respecto a la direcci´on del vuelo. No obstante, y debido a que es peque˜ no, este efecto no se considera en primera aproximaci´on. La estela de torbellinos libres que induce velocidades verticales negativas si la sustentaci´on del ala es positiva da lugar al efecto siguiente. En las proximidades del ala la velocidad vertical inducida por los torbellinos libres wi (0, y) modifica el ´angulo de ataque geom´etrico del ala resultando en un ´angulo de ataque efectivo αe = α − αi , donde αi = tan−1 [−wi (0, y)/U∞ ] es el ´angulo de ataque inducido, Figura 13.22. De acuerdo con la f´ ormula de Kutta 13.8, la fuerza que act´ ua sobre el Di L
a-ai a
U¥ ai
ai
wi
´ Figura 13.22: Angulo de ataque inducido y resistencia inducida. 2 + w 2 (0, y) que posee una componente no perfil es perpendicular a la velocidad incidente U∞ i nula sobre la direcci´on de vuelo U∞ que se denomina resistencia inducida di y cuyo valor es di = l tan αi .
(13.147)
En general, sucede que wi (0, y) es mucho menor que U∞ , as´ı que αi −wi (0, y)/U∞ = di /l,
(13.148)
y la integraci´ on de di a lo largo de la envergadura del ala proporciona la resistencia inducida total del ala Di . La existencia de resistencia inducida puede explicarse tambi´en en t´erminos de la energ´ıa cin´etica de los torbellinos de la estela. En efecto, la energ´ıa cin´etica del aire en la estela es 2 ρ(U∞ + ϕ2y + ϕ2z )/2 (siendo ϕy y ϕz las velocidades de perturbaci´on seg´ un los ejes y y z) es mayor 2 que la del aire aguas arriba del ala ρU∞ y la diferencia debe ser suministrada por los motores que impulsan el ala. La potencia Pi necesaria para vencer la resistencia inducida es naturalmente Pi = Di U∞ .
13.12.1.
(13.149)
Teor´ıa de la l´ınea sustentadora
Prandtl supuso que un perfil de un ala tridimensional se comporta como si estuviese a un a´ngulo de ataque efectivo (13.150) αe (y) = α(y) − αi (y), 11 11 La mayor´ ıa de las alas reales exhiben una torsi´ on negativa (y) = α(y)−α(0), siendo α(0) el ´ angulo de ataque de la secci´ on central del ala; esto es, la torsi´ on disminuye a lo largo de la envergadura para asegurar que la capa l´ımite se desprende primero en las secciones centrales del ala que en las puntas. De este modo, cuando el desprendimiento comienza el piloto tiene todav´ıa control sobre los alerones que est´ an situados en las puntas del ala.
361
13.12. Alas de envergadura finita
suma del geom´etrico m´as el inducido por los torbellinos libres, y el coeficiente de sustentaci´ on del perfil es, por tanto, ∂Cl ∂Cl (13.151) αe = [α(y) − αi (y)], Cl (y) = ∂α ∂α donde ∂Cl /∂α es la pendiente de la curva de sustentaci´ on del perfil bidimensional (2π si se utiliza el valor dado por la teor´ıa linealizada). Es interesante observar en (13.151) que el a´ngulo de ataque α(y) est´a medido respecto a la direcci´on de sustentaci´on nula del perfil αl=0 , (13.139), que en teor´ıa linealizada es una caracter´ıstica de la l´ınea de curvatura media del perfil. De la f´ormula de Kutta (13.108) l(y) = ρU∞ Γ(y) y de la definici´ on del coeficiente de sustentaci´on 2 l(y) = ρU∞ Cl (y)c(y)/2, junto con (13.151) se obtiene Γ(y) =
∂Cl 1 U∞ c(y) [α(y) − αi (y)]. 2 ∂α
(13.152)
El problema se cierra finalmente calculando el ´angulo de ataque inducido a partir de la velocidad vertical inducida por los torbellinos libres. De acuerdo con (3.78), la velocidad inducida por un hilo semiinfinito de torbellinos de intensidad dΓ es dwi =
dΓ dΓ , = 4πd 4π(y − yo )
(13.153)
donde d = y − y0 es la distancia del punto (0, y, 0) donde se mide la velocidad al segmento de torbellino situado en (0, yo , 0). La velocidad vertical total inducida por toda la estela de torbellinos y el ´angulo de ataque inducido son entonces b/2 dΓ/dyo 1 dyo (13.154) wi (y) = 4π −b/2 y − yo y αi (y) −
1 wi = U∞ 4πU∞
b/2 −b/2
dΓ/dyo dyo . y − yo
Sustituyendo (13.155) en (13.152) se llega a la ecuaci´on integral de Prandtl b/2 1 ∂Cl dΓ/dyo 1 dyo , Γ(y) = U∞ c(y) α(y) − 2 ∂α 4πU∞ b/2 y − yo
(13.155)
(13.156)
que es una ecuaci´on integro-diferencial cuya resoluci´ on proporciona la distribuci´ on de circulaci´on a lo largo de la envergadura del ala Γ(y) como funci´on de la forma en planta del ala [envergadura b y distribuci´ on de cuerdas c(y)], del ´angulo de ataque geom´etrico de los perfiles α(y), medido respecto a su direcci´on de sustentaci´on nula, y de las caracter´ısticas aerodin´amicas de los perfiles: pendiente de la curva de sustentaci´ on ∂Cl /∂α y direcci´on de sustentaci´on nula de los perfiles αl=0 . Una vez que Γ es conocida, el teorema de Kutta-Joukowski proporciona la distribuci´ on de sustentaci´on a lo largo de la envergadura l(y) = ρU∞ Γ(y) y de su integraci´ on a lo largo de la envergadura se obtiene la sustentaci´ on total sobre el ala b/2 b/2 L= l(y)dy = ρU∞ Γ(y)dy; (13.157) −b/2
−b/2
an´alogamente, teniendo en cuenta (13.148), la resistencia inducida viene dada por la expresi´ on Di =
b/2
−b/2
di (y)dy =
b/2
−b/2
l(y)αi (y)dy =
b/2
−b/2
ρU∞ αi (y)Γ(y) dy
(13.158)
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
362
y los momentos de balanceo y gui˜ nada son respectivamente Mx = y
Mz =
13.12.2.
−b/2
di (y) y dy =
b/2
l(y) y dy = −b/2
b/2
b/2
ρU∞ Γ(y) y dy
−b/2
b/2
−b/2
l(y)αi (y) y dy =
(13.159)
b/2
−b/2
ρU∞ Γ(y) αi (y) y dy.
(13.160)
Soluci´ on de la ecuaci´ on integral de Prandtl
La soluci´on general de la ecuaci´on integral de Prandtl que satisface las condiciones en los bordes marginales del ala puede escribirse Γ(θ) = bU∞
∞
An sen nθ,
y=
n=1
b cos θ, 2
yo =
b cos θo .12 2
(13.161)
Sustituyendo (13.161) en (13.155), el ´angulo de ataque inducido se escribe π ∞ cos nθo 1 nAn dθo . αi = π n=1 o cos θo − cos θ
(13.162)
y teniendo en cuenta el valor de la integral de Glauert dada en (13.131) se obtiene αi =
∞ n=1
nAn
sen nθ . 2 sen θ
(13.163)
Definiendo la distribuci´ on de cuerdas adimensionales k(θ) = c(θ)/b y sustituyendo (13.163) en la ecuaci´on integral de Prandtl se llega finalmente a ∞ ∂Cl 1 nAn sen nθ An sen nθ = k(θ) α(θ) − . (13.164) 2 ∂α 2 sen θ n=1 La ecuaci´on (13.164), que determina los coeficientes de la distribuci´ on adimensional de circulaci´on, admite soluci´on anal´ıtica en un n´ umero limitado de casos pero su resoluci´on num´erica es muy simple. Basta, en general, suponer que s´olo un n´ umero finito N de coeficientes es distinto de cero y obligar a que la ecuaci´on (13.164) se satisfaga en un n´ umero N de puntos θi , (i = 1...N ). Resulta as´ı un sistema de N ecuaciones algebraicas cuya resoluci´on suministra los coeficientes An buscados. Para evitar resolver la ecuaci´on (13.164) para cada a´ngulo de ataque α se puede hacer uso de que dicha ecuaci´on es lineal en el ´angulo de ataque y basta, por tanto, calcular los coeficientes a dos ´angulos de ataque diferentes para por combinaci´ on lineal de ´estos obtenerlos a cualquier otro ´angulo de ataque. En efecto, sea GI = In sen nθ, (13.165) la distribuci´ on de circulaci´on adimensional cuando el viento sopla en la direcci´ on de sustentaci´on nula del perfil central α(π/2) = 0; en ese caso los coeficientes In vienen dados por ∞ ∞ ∂Cl 1 nIn sen nθ In sen nθ = k(θ) (θ) − , (13.166) 2 ∂α 2 sen θ n=1 n=1 12
El m´ etodo descrito aqu´ı es debido a Glauert, que lo desarroll´ o a mediados de la d´ecada de los treinta.
363
13.12. Alas de envergadura finita
donde (θ) = α(θ)−α(π/2) es la torsi´on del ala. La distribuci´ on de circulaci´on adimensional cuando el perfil central est´a a un ´angulo de ataque α(π/2) = α se obtiene sin m´as que sumar a la anterior el ´angulo de ataque α ∞ ∞ ∂Cl nAn sen nθ 1 An sen nθ = k(θ) α + (θ) − . (13.167) 2 ∂α 2 sen θ n=1 n=1 Finalmente si se restan las dos u ´ ltimas ecuaciones y se divide el resultado por α se obtiene ∞ ∞ ∂Cl 1 nan sen nθ an sen nθ = k(θ) 1− , (13.168) 2 ∂α 2 sen θ n=1 n=1 donde
An − In (13.169) α son los coeficientes de la llamada distribuci´on adicional de circulaci´ on que, como se ve en (13.168), dependen exclusivamente de la forma en planta y corresponden a un ala plana (sin torsi´ on) cuyos perfiles forman con el viento incidente un a´ngulo de ataque de 1 radi´ an. Conocidos los coeficientes In y an , los coeficientes An correspondientes a la distribuci´ on de circulaci´on cuando el viento forma un ´angulo de ataque α con la direcci´on de sustentaci´on nula del perfil central se obtienen a partir de (13.169). Una vez obtenidos los valores de An la sustentaci´on se obtiene de (13.157) an =
L=
π ∞ 1 2 2 π 2 2 An sen nθ sen θdθ = ρU∞ b A1 , ρU∞ b 2 4 o n=1
(13.170)
y el coeficiente de sustentaci´on total CL =
πΛ 2L = A1 ; 2 b¯ ρU∞ c 2
(13.171)
obs´ervese que el coeficiente de sustentaci´on depende u ´nicamente del primer coeficiente del desarrollo en serie de Fourier de la circulaci´on. Cuando el ala no sustenta, CL = A1 = 0 y la direcci´on de sustentaci´on nula del ala forma con la del perfil central un a´ngulo dado por αL=0 = −
I1 . a1
(13.172)
Si α es el ´angulo del ala medido respecto a su direcci´on de sustentaci´on nula, entonces A1 = α a1 y la pendiente de la curva de sustentaci´ on del ala es ∂CL πΛ a1 , = ∂α 2
(13.173)
donde la ecuaci´on para a1 se obtiene multiplicando (13.168) por sen θ e integrando entre 0 y π ∞ 1 ∂Cl
1 πa1 a1 π k(θ) sen θdθ − k(θ) sen nθdθ . = (13.174) 1− 2 2 ∂α 2 2 n=2 o La primera de las integrales en (13.174) vale
π
b/2
k(θ) sen θdθ = o
b/2
2 c(y) 2dy S =2 2 = , b b b Λ
(13.175)
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
364
mientras que la segunda debe, en general, integrarse num´ericamente. Si se define τ=
π ∞ Λ nan k(θ) sen nθdθ, 4 n=2 o
(13.176)
la pendiente de la curva de sustentaci´ on del ala (13.173) resulta ∂CL ∂Cl 1−τ = , ∂α ∂α 1 + (∂Cl /∂α)/(πΛ)
(13.177)
que muestra que la pendiente de sustentaci´ on del ala es siempre menor que la de los perfiles; n´otese que en los c´alculos anteriores se ha considerado el caso de que el ala esta formada por perfiles de la misma familia. La resistencia inducida se calcula a partir de las expresiones (13.158) y (13.163) Di =
b/2
−b/2
l(y)αi (y)dy =
1 2 2 ρU b 4 ∞
∞ π o
An sen nθ
n=1
∞
nAn sen nθdθ =
n=1
∞ π 2 2 nA2n , ρU∞ b 8 n=1 (13.178)
y el coeficiente de resistencia inducida CDi
∞ πΛ 2 πΛ 2Di nA2n = = A = 2 b¯ ρU∞ c 4 n=1 4 1
!
∞ A2 1+ n n2 A1 n=2
"
C2 = L πΛ
!
∞ A2 1+ n n2 A1 n=2
" .
(13.179)
Es interesante se˜ nalar que para un CL y un alargamiento Λ dados, la m´ınima resistencia inducida se produce cuando la distribuci´ on de sustentaci´on a lo largo de la envergadura es tal que A1 = 2CL /(πΛ) y An = 0 para n ≥ 2. Una distribuci´ on tal se denomina, por su forma, el´ıptica 2CL 2CL bU∞ sen θ = bU∞ Γ(θ) = πΛ πΛ
1−
2y b
2 .
(13.180)
Finalmente los momentos de balance, gui˜ nada y los respectivos coeficientes de momentos vienen dados por
b/2
1 2 3 b Mx = l(y) y dy = ρU∞ 8 −b/2 Mz =
b/2
−b/2
l(y) α(y) y dy = −
−
∞ π o
An sen nθ sen 2 θ d θ =
n=1
1 ρU 2 b3 16 ∞
o
∞ π n=1
An sen nθ
∞
π ρU 2 b3 A2 , 16 ∞
(13.181)
nAn sen nθ cos θ d θ =
n=1
∞ π 2 3 b (2n + 1)An An+1 , ρU∞ 32 n=1
(13.182)
y CMx =
2 Mx πΛ A2 = 2 b2 c ρ U∞ 8 ¯
y
CMz =
∞ 2 Mz πΛ (2n + 1)An An+1 . = − 2 b2 c ρ U∞ 16 n=1 ¯
(13.183)
365
13.13. M´etodos num´ericos en flujos potenciales
13.13.
M´ etodos num´ ericos en flujos potenciales
Desde finales de la d´ecada de los sesenta, los m´etodos num´ericos se han convertido en herramientas cl´asicas para la resoluci´on de problemas ingenieriles. Algunos de estos m´etodos est´an basados en la f´ormula integral de Green que permite conocer los valores de una funci´ on arm´onica en el interior de un dominio en funci´ on de los valores de esa funci´on en la frontera del dominio. El M´etodo de los Elementos de Contorno, desarrollado en el ´ambito de la Ingenier´ıa Civil, o el de Paneles, en la Aeron´autica, son ejemplos cl´asicos.13 Este u ´ltimo m´etodo es, sin duda alguna, el m´as utilizado para el c´alculo de las caracter´ısticas aerodin´amicas de perfiles aerodin´amicos y superficies sustentadoras.
13.13.1.
F´ ormula de Green
Consid´erense dos funciones arm´onicas Φ y Ψ definidas en un dominio simplemente conexo D y cuya frontera S es continua a trozos. Se supondr´ a que las funciones Φ y Ψ as´ı como sus derivadas hasta el segundo orden son continuas y est´an acotadas en D. Si n es la normal exterior a la superficie S, entonces las funciones Φ y Ψ satisfacen la relaci´on siguiente, denominada f´ ormula de Green, (Φ∇Ψ − Ψ∇Φ) · n dσ = 0. (13.184) S
En efecto, obs´ervese que en virtud del teorema de Gauss se puede escribir (Φ∇Ψ − Ψ∇Φ) · n dσ = ∇ · (Φ∇Ψ − Ψ∇Φ)d, S
(13.185)
D
y como Φ y Ψ son funciones arm´onicas, y satisfacen por tanto la ecuaci´on de Laplace, el integrando de la integral de volumen en (13.185) es id´enticamente nulo y se satisface la relaci´on (13.184). En la aplicaci´ on de la f´ormula (13.184) a la resoluci´on de flujos potenciales alrededor de obst´aculos, la funci´ on Φ representa el potencial de velocidades y como funci´on Ψ se escoge usualmente la soluci´on fuente de la ecuaci´on de Laplace, esto es, Ψ = 1/r en el caso tridimensional o Ψ = ln r en el bidimensional; r = |x − xo |, representa una fuente localizada en el punto xo = x. N´otese que, puesto que la funci´ on Ψ se hace singular en el punto xo = x, este punto debe ser excluido del dominio de integraci´ on D si se quiere aplicar la expresi´on (13.184). La f´ ormula de Green se aplicar´a entonces al dominio de la Figura 13.23, limitado por la frontera Σ del obst´ aculo y su posible estela E,14 la superficie esf´erica Σ con centro en x y radio peque˜ no y que se har´a tender a cero, y otra superficie esf´erica Σ∞ con centro en el origen y radio R que se har´a tender a infinito. Aplicado a este dominio la expresi´on (13.184) resulta [Φ(xo )∇o (1/r) − (1/r)∇o Φ] · n(xo )dσ = 0, (13.186) Σ+E+Σ +Σ∞
donde xo representa un punto gen´erico (variable de integraci´ on) sobre las superficies de integraci´on. ua f´acilmente si se tiene en La integral extendida a la superficie esf´erica Σ de radio se eval´ cuenta que sobre ella ∇o (1/r) · n = −(r · n)/r3 = 1/r2 = 1/2 y que el punto x y cualquier punto 13 Tambi´ en en la Ac´ ustica, como se ver´ a en el Cap´ıtulo 12, y en otras ramas de la Ingenier´ıa, el M´ etodo de los Elementos de Contorno ha sido usado con profusi´ on. 14 En los cuerpos tridimensionales sustentadores aparece una estela de torbellinos detr´ as del obst´ aculo cuyo espesor es tan peque˜ no que puede tratarse como una superficie matem´ atica. A trav´ es de ella la funci´ on Φ experimenta un salto que est´ a relacionado con el valor de la intensidad de los torbellinos de la estela. Si el obst´ aculo es no sustentador o el flujo es bidimensional, no existe estela de torbellinos.
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
366
S¥ Se
R x
Figura 13.23: Dominio de integraci´ on.
gen´erico xo sobre Σ est´an tan pr´ oximos que Φ(xo ) = Φ(x) + ∇Φ · r + ... Φ(x) + 0() Φ(x); se tiene, por tanto,
1 1 Φ(x) ∇Φ · n − − ∇o Φ · ndσ = l´ım 4π2 4πΦ(x). Φ(xo )∇o (13.187) →0 r r 2 Σ Por otra parte, sobre la esfera de radio R muy grande, | x | R, el potencial de velocidades y la velocidad son respectivamente Φ U∞ xo = U∞ R cos θo y ∇Φ = U∞ ex . Si se desarrolla 1/r en serie de Taylor 1 1
1 xo · x +O 3 (13.188) = 1+ |xo − x| R R2 R y se tiene en cuenta que xo · x = R(x cos θo + y sen θo cos φo + z sen θo sen φo ) se obtiene
1 1 − ∇o Φ · ndσ Φ(xo )∇o r r Σ∞ 2π π U∞ cos θo
xo · x 2 R sen θo dθo dφo = −4πU∞ x. 2+3 2 − (13.189) R R o o La ecuaci´on (13.186) se reduce entonces a 1 [Φ∇(1/r) − (1/r)∇Φ] · ndσ, Φ(x) = U∞ x − 4π Σ+E
(13.190)
y si se hace uso de la condici´on ∇Φ · n = 0 sobre obst´aculo y estela, que se supone infinitamente delgada, se obtiene 1 1 Φ∇(1/r) · ndσ − (Φ+ − Φ− )∇(1/r) · ndσ, Φ(x) = U∞ x − (13.191) 4π Σ 4π E donde (Φ+ − Φ− ) representa el salto de potencial a trav´es de la estela. N´otese que si x es un punto de la frontera Σ + E, x = xo , el punto x se excluye del dominio de integraci´ on mediante
367
13.13. M´etodos num´ericos en flujos potenciales
una semiesfera de radio y el valor de la expresi´on (13.187) es 2 π Φ(x). La ecuaci´on (13.191) se transforma entonces en 1 1 Φ∇(1/r) · ndσ − (Φ+ − Φ− )∇(1/r) · ndσ, Φ(x) = 2U∞ x − (13.192) 2π Σ 2π E Siguiendo el mismo procedimiento se puede demostrar f´acilmente que en el caso bidimensional se tiene 1 1 Φ∇ ln r · ndl − (Φ+ − Φ− )∇ ln r · ndl, Φ(x) = U∞ x − (13.193) 2π Σ 2π E o Φ(x) = 2U∞ x −
1 π
Φ∇ ln r · ndl − Σ
1 π
(Φ+ − Φ− )∇ ln r · ndl,
(13.194)
E
si el punto x est´a sobre el contorno. Las ecuaciones (13.192) o su equivalente (13.194) para el caso bidimensional muestran que el potencial de velocidades puede ser representado mediante una distribuci´ on de dobletes [v´ease (13.46)] localizados sobre la superficie del obst´aculo y la estela. La intensidad de los dobletes depende del valor local del potencial Φn sobre el obst´aculo y del salto del potencial (Φ+ − Φ− )n a trav´es de la estela y deben ser calculados resolviendo la ecuaci´on integral (13.192) o la (13.194) en el caso bidimensional. Si el eje x se hace coincidir con la cuerda del perfil, que forma un a´ngulo α con la corriente sin perturbar, el lector puede obtener f´ acilmente, siguiendo el mismo procedimiento que en los casos anteriores, las expresiones del potencial 1 1 Φ∇ ln r · ndl − (Φ+ − Φ− )∇ ln r · ndl, Φ(x) = U∞ (x cos α + z sen α) − (13.195) 2π Σ 2π E o 1 Φ(x) = 2U∞ (x cos α + z sen α) − π
1 Φ∇ ln r · ndl − π Σ
(Φ+ − Φ− )∇ ln r · ndl,
(13.196)
E
si el punto x est´a sobre el contorno. Las expresiones (13.195) y (13.196) son u ´ tiles para la resoluci´on num´erica de un perfil bidimensional a un a´ngulo de ataque.
13.13.2.
M´ etodo de paneles
En lo que sigue se describir´a el modo en el que las ecuaciones integrales (13.192) o (13.194) pueden discretizarse para encontrar el sistema de ecuaciones algebraicas que determinan los valores de las intensidades Φn y (Φ+ − Φ− )n de los dobletes sobre contorno y estela. Consid´erese por simplicidad un perfil bidimensional15 de forma cualquiera que se divide en N segmentos, denominados paneles como se muestra en la Figura 13.24. Los paneles pueden tomarse como segmentos rectos o curvos (parab´olicos, c´ ubicos, etc.). Sea Φj la intensidad por unidad de longitud de los dobletes distribuidos sobre un panel gen´erico j que se desea calcular. Las intensidades Φj sobre cada uno de los paneles pueden tomarse constante a lo largo del panel o suponer que var´ıa con la distancia al borde de ataque del panel en alguna forma funcional (lineal, parab´ olica, etc.). En general se define cada panel por los puntos donde se eval´ uan las intensidades inc´ ognitas. Estos puntos se denominan nodos y se suelen tomar en el punto medio del panel si las intensidades no var´ıan a lo largo del mismo o en ambos extremos si la distribuci´on var´ıa linealmente a lo largo 15 Para el c´ alculo de alas el lector puede consultar J. Katz y A. Plotkin, Low Speed Aerodynamics (From Wing Theory to Panel Methods), MacGraw-Hill, 1991.
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
368 z'
x'
(x1j, z1j)
bj
Figura 13.24: Coordenadas locales del panel j.
del panel, o sobre otros puntos para distribuciones de formas m´ as complejas. Si por simplicidad se considera el caso de N paneles rectos y se supone que las intensidades Φj son constantes a lo largo del panel j-´esimo las N inc´ ognitas se calculan satisfaciendo la ecuaci´on (13.194) en N puntos que se denominan usualmente puntos de colocaci´ on. Para resolver las integrales en (13.194) es conveniente usar coordenadas locales (x , z ) a lo largo del panel j y perpendicular a ´el respectivamente. Las relaciones entre las coordenadas (x, z) de un punto gen´erico P y las del mismo punto en el sistema de coordenadas locales (x , z ) escritas en forma matricial son cos βj − sen βj x x − x1j = , (13.197) z − z1j sen βj cos βj z donde βj es el ´angulo que forma el panel j con el eje x. Si se supone que la intensidad de los dobletes Φj en el panel j es constante, la integral en (13.194) puede calcularse anal´ıticamente en cualquier punto (x , z ) situado fuera del panel j Φj π Φj π
o
∆j
∆j
∇ ln r ·
ndxo
o
Φj z dxo = 2 2 (xo − x ) + z π
Φj = π
o
∆j
1 ∂r dx = r ∂z o
∆j − x −1 −x − tan tan−1 z z
y si (13.198) se eval´ ua en el punto medio (xi , zi ) del panel i se obtiene Φj −1 ∆j − xi −1 −xi si i = j − tan tan Φj Rij = π zi zi
(13.198)
(13.199)
El resultado (13.198) no es, sin embargo, v´ alido para calcular la autoinfluencia de un panel sobre s´ı mismo. En este caso, la integral en (13.198) es nula, ya que si el punto est´a sobre el propio panel los vectores 1 e x y n = ez ∇ ln r = ∇ ln | xo − ∆i /2 |= | xo − ∆i /2 | son perpendiculares y su producto escalar es nulo; ex y ez son los versores seg´ un los ejes x y z . Como consecuencia, los coeficientes de la diagonal principal Rii , o coeficientes de influencia, de la matriz Rij son id´enticamente nulos. La influencia de la estela, que comporta un salto en el potencial de velocidades Φ, se puede calcular mediante un panel semiinfinito que suele situarse a lo largo del eje x entre el borde de salida del perfil y el infinito.16 El origen de la cortadura en el potencial de velocidades se debe, en 16 Se puede comprobar que para el caso bidimensional la influencia de la posici´ on de la estela en el potencial de velocidades es nula. Lo anterior no es cierto en el caso tridimensional, donde la influencia de la posici´ on de la estela es apreciable y debe determinarse imponiendo la condici´ on de que la estela sea l´ınea de corriente.
369
13.13. M´etodos num´ericos en flujos potenciales
el caso bidimensional, al torbellino de arranque y el salto en la funci´ on Φ es igual a la circulaci´on del perfil Γ = ∂Φ/∂sds = Φ+ − Φ− , (13.200) donde la integral se efect´ ua a lo largo de cualquier l´ınea cerrada que comience en la parte inferior de la estela y termine en la superior. En el caso tridimensional, el salto de Φ a trav´es de la estela se debe a los torbellinos desprendidos del ala. Es f´acil comprobar de (13.198)-(13.199) que la influencia de la estela supuesta situada a lo largo del eje x entre el borde de salida y el infinito sobre el panel i (xi , zi ) es 1 π −1 −xi (13.201) − tan Γ Ri N +1 , i = N + 1 con RiN +1 = π 2 zi y que la influencia del torbellino de arranque, situado a grandes distancias de perfil, es nula. El sistema de ecuaciones a que conduce la discretizaci´on de la ecuaci´on (13.194) se escribe finalmente N (δij − Rij )Φj + Ri N +1 Γ = 2U∞ (xi cos α + zi sen α).
(13.202)
j=1
El primer t´ermino del primer miembro de (13.202) representa la contribuci´ on de los N paneles del perfil evaluada en el punto medio del perfil i − esimo, (xi , zi ), mientras que el segundo t´ermino representa la contribuci´ on de la estela. Se tiene entonces un sistema de N ecuaciones con N + 1 inc´ognitas a las que hay que a˜ nadir una condici´ on adicional, la de Kutta, para obtener la soluci´ on buscada. Num´ericamente la condici´on de Kutta se puede imponer, por ejemplo, exigiendo que el coeficiente de presiones sea igual en los puntos medios de los dos paneles que forman el borde de salida (presiones iguales arriba y abajo del borde de salida). Las ecuaciones (13.202) junto con la condici´on de Kutta forman un sistema alg´ebrico de N + 1 ecuaciones para calcular las N inc´ognitas Φj y Γ, que puede resolverse por m´etodos matriciales convencionales. Una vez obtenida la distribuci´ on de potenciales Φj sobre el obst´aculo y Γ, la sustentaci´ on en el caso de un perfil bidimensional se obtiene a partir de la f´ ormula de Kutta l = ρ Γ U∞ y la velocidad y el coeficiente de presiones sobre ´el se obtienen de vt = ∂Φ/∂x ,
y
Cp = 1 −
vt2 . 2 U∞
(13.203)
N´otese que la derivada en (13.203) puede calcularse num´ericamente como el cociente del valor de Φ en dos paneles consecutivos y la distancia. En la Figura 13.25 se representa el coeficiente de presiones sobre extrad´os e intrad´ os de un perfil NACA 0012 a ´angulo de ataque α = 5o calculado num´ericamente mediante el m´etodo de paneles. Para su comparaci´on se representa tambi´en el coeficiente de presiones calculado mediante la teor´ıa potencial exacta.17
17
I. H. Abbott y A. E. von Doenhoff, Theory of Wing Sections, McGraw Hill, Nueva York, 1949.
370
Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos
Figura 13.25: Distribuci´ on adimensional de presiones a lo largo de la cuerda del perfil.
Referencias y fuentes de lectura complementaria G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. A. M. Kuethe y C. Y. Chow, Foundations of Aerodynamics, John Wiley, Nueva York, 1998. J. Katz y A. Plotkin, Low Speed Aerodynamics, Cambridge University Press, 2001.
Cap´ıtulo 14
Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor 14.1.
Concepto de capa l´ımite
La teor´ıa de fluidos ideales, basada en el hecho de que la viscosidad de los fluidos m´ as comunes (aire y agua) es muy peque˜ na, experiment´ o un desarrollo considerable a lo largo del siglo xix por su ´exito en la predicci´on de la propagaci´ on de ondas y otros flujos de inter´es. Sin embargo, no fue hasta principios del siglo xx cuando se resolvi´o la discrepancia existente entre los resultados de la teor´ıa de fluidos ideales aplicada a la corriente alrededor de obst´ aculos y los resultados experimentales. Por ejemplo, la teor´ıa de fluidos ideales resulta inapropiada para la determinaci´ on de la resistencia al avance de un obst´aculo movi´endose en el seno de un fluido en reposo, ya que predice que es nula (Paradoja de D’Alambert, 13.8) en contraposici´on a los resultados experimentales. Se conoce hoy d´ıa que el origen de la discrepancia es debida a la viscosidad que, independientemente de cu´ an peque˜ no sea su valor da lugar, en el caso de objetos con geometr´ıa roma o de cuerpos fuselados que forman con la corriente un a´ngulo de ataque grande, a distribuciones de presi´ on sobre la superficie del obst´aculo que difieren sustancialmente de las que se obtiene mediante la aplicaci´on de la teor´ıa de fluidos ideales. Como puede verse en la Figura 13. 3, que representa la distribuci´ on de presiones sobre un cilindro circular, la presi´ on medida y la calculada suponiendo fluido ideal coinciden satisfactoriamente sobre la parte delantera del cilindro, pero sobre la parte posterior las presiones reales son menores que las calculadas, lo que resulta en una componente neta de las fuerzas de presi´on que se opone al avance del cilindro y que se denomina resistencia de presi´on o de forma (por depender la distribuci´ on de presiones de la forma del obst´aculo). La viscosidad, por tanto, contribuye a la resistencia en una doble v´ıa: directamente a trav´es de la acci´on de los esfuerzos viscosos (denominada resistencia de fricci´on), e indirectamente, modificando el campo de presiones para dar lugar a la resistencia de presi´on. Subsiste, no obstante, la cuesti´ on de c´omo la viscosidad cuyo efecto es en principio peque˜ no puede modificar tan sustancialmente los resultados de la teor´ıa ideal. La explicaci´on a esta u ´ltima cuesti´on se debe a Prandtl, quien con su idea de capa l´ımite, introducida en un famoso art´ıculo que present´ o en un congreso celebrado en Heidelberg en 1904, abri´o un camino fecundo para el estudio de la acci´ on de la viscosidad en el movimiento de fluidos, lo que ha permitido aclarar un buen n´ umero de fen´omenos hasta entonces sin explicaci´on satisfactoria. Prandtl supuso que cerca de las paredes s´olidas los efectos viscosos son siempre importantes, independientemente de lo peque˜ na que sea la viscosidad del fluido, y son los responsables de que se cumpla la condici´on de velocidad nula sobre el obst´ aculo. Ahora bien, si el coeficiente de viscosidad 371
372
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
es peque˜ no y los esfuerzos viscosos tangenciales µ(∂ U/∂ n) (siendo n la distancia a un punto medida desde la pared) son importantes cerca de la pared, necesariamente el gradiente de velocidades debe ser grande en esa regi´on, lo que requiere que la velocidad var´ıe en distancias muy peque˜ nas desde el valor cero que tiene en la pared hasta su valor exterior. En esencia, la idea de Prandtl para el an´ alisis de flujos de fluidos con viscosidad peque˜ na (con mayor precisi´on, flujos a altos n´ umeros de Reynolds) consiste en dividir el flujo en dos regiones bien diferenciadas: una sin efectos viscosos o de conducci´on, que se denomina exterior donde el fluido se puede considerar ideal y otra adyacente a las superficies s´olidas, de espesor muy peque˜ no, donde los efectos viscosos son importantes, no porque el coeficiente de viscosidad del fluido sea mayor en esta zona (se supone que µ no var´ıa), sino porque los gradientes de velocidad en la direcci´ on normal a la superficie son muy acusados por ocurrir esta variaci´ on en una capa muy delgada. En flujos alrededor de obst´ aculos a altos n´ umeros de Reynolds las fuerzas de viscosidad s´olo son importantes en la proximidad de las paredes s´olidas, de modo que a distancias peque˜ nas de la pared el campo de velocidades coincide pr´acticamente con el que se obtiene mediante la teor´ıa de flujos de fluidos ideales alrededor de obst´ aculos. La acci´on de la viscosidad modifica la distribuci´ on de velocidades cerca de la pared y obliga mediante la acci´on de los esfuerzos de viscosidad a que la velocidad del fluido en la pared sea nula, lo que se traduce en una fuerza de resistencia sobre el obst´ aculo (resistencia de fricci´on). Sucede en ocasiones que la deceleraci´on de la corriente exterior no viscosa, que tiene lugar sobre la parte posterior de un obst´ aculo en el seno de una corriente, puede ser grande, como ocurre en el caso de cuerpos de geometr´ıa roma o fuselados a ´angulos de ataque grandes. Debido al efecto de la viscosidad, esta deceleraci´on ser´a mayor a´ un en la capa l´ımite, pudi´endose producir, si la deceleraci´on es suficientemente grande, una corriente inversa al sentido del flujo exterior que d´e lugar a torbellinos que forman una estela viscosa detr´ as del obst´ aculo, Figura 14.1. En esta situaci´ on, se dice que la capa l´ımite se ha separado, la distribuci´ on de presiones real es muy diferente de la te´orica, pues el efecto de la viscosidad no est´a ya restringido a una zona muy delgada adyacente al obst´ aculo, y la resistencia se ve aumentada considerablemente por un factor al que contribuyen las fuerzas de presi´ on (resistencia de forma). Cuando la capa l´ımite est´a adherida, la idea de Prandtl es extraordinariamente fruct´ıfera, pues permite simplificar dr´asticamente cada uno de los dos problemas (flujo exterior y capa l´ımite) en los que se divide el flujo total. Su aplicaci´ on sistem´atica y el entendimiento de los numerosos fen´omenos que es capaz de explicar unific´o las hasta entonces inconexas ciencias de la Hidrodin´amica Te´orica, cultivada por f´ısicos y matem´aticos, y de la Hidr´aulica Emp´ırica de aplicaci´on en la Ingenier´ıa. Sin exagerar, se puede decir que con ella surge la Mec´anica de Fluidos moderna. Antes de proceder a la obtenci´on de las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el flujo en el interior de la capa l´ımite es conveniente se˜ nalar que esta idea se ha extendido a muchos otros problemas de casi todas las ramas de la ciencia. Como se ver´a en lo que sigue, desde un punto de vista matem´atico la idea de la capa l´ımite surge de la simplificaci´on de las ecuaciones diferenciales que gobiernan un determinado problema cuando se eliminan las derivadas de mayor orden por ser uno o m´ as de los t´erminos que las contienen peque˜ nos frente a los restantes. Naturalmente las ecuaciones simplificadas son v´alidas lejos del contorno, pero no lo son en una capa l´ımite adyacente al contorno donde los t´erminos con derivadas de mayor orden deben de ser retenidos para poder imponer la totalidad de las condiciones de contorno.
14.2.
Ecuaciones y condiciones de contorno
Por simplicidad se considerar´a el flujo bidimensional de un fluido incompresible a lo largo de la superficie s´olida indicada en la Figura 14.1. En la capa l´ımite las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican por el hecho de que el espesor δ de la misma es mucho menor que la longitud L caracter´ıstica del movimiento a lo largo de la superficie o que el radio de curvatura R caracter´ıstico
373
14.2. Ecuaciones y condiciones de contorno y
x
R(x)
Figura 14.1: Coordenadas de capa l´ımite. de la superficie (δ L, δ R). Si se adopta un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales, Figura 14.1, formado por la familia de curvas paralelas al contorno del obst´ aculo y sus trayectorias ortogonales, y si u, v, p, ρ y ν representan las componentes de la velocidad seg´ un los ejes x e y y la presi´on, densidad y viscosidad cinem´atica del fluido, las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben
u
∂u ∂u +v ∂x ∂y
u
∂v ∂v +v ∂x ∂y
∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y 2 1 ∂p ∂ u ∂2u + 2 , =− +ν ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂2v 1 ∂p ∂ v . + =− +ν ρ ∂y ∂x2 ∂y 2
(14.1) (14.2) (14.3)
N´otese que siempre que se satisfaga la condici´on δ R, las ecuaciones del movimiento plano en coordenadas curvil´ıneas ortogonales se reducen a la forma (14.1)-(14.3) de coordenadas cartesianas rectangulares si se desprecian t´erminos que son del orden de δ/R frente a los retenidos. El c´alculo riguroso de este l´ımite se omite aqu´ı por ser tedioso. Debido a que δ/L 1, las velocidades u y v var´ıan mucho m´as r´apidamente en la direcci´on del eje y que en la del eje x. En efecto U ∂2u ∆u ∼ 2 ∼ 2 2 ∂x (∆x) L
y
∂2v V ∆v ∼ 2, ∼ 2 2 ∂x (∆x) L
(14.4)
donde se ha supuesto que u y v var´ıan a lo largo del eje x del orden de ellas mismas (es decir, del orden de sus magnitudes caracter´ısticas U y V ) en distancias del orden de L, mientras que U ∂2u ∆u ∼ 2 ∼ 2 2 ∂y (∆y) δ
y
∂2v V ∆v ∼ 2, ∼ 2 2 ∂y (∆y) δ
(14.5)
∂2u ∂2u 2 ∂x ∂y 2
y
∂2v ∂2v , 2 ∂x ∂y 2
(14.6)
de modo que
en tanto que δ L. Por otra parte, las variaciones transversales de presi´on ∆y p ∼ ρ V 2 son peque˜ nas frente a las longitudinales ∆x p ∼ ρ U 2 . En efecto, de la ecuaci´on de continuidad se tiene V /U ∼ δ/L, que muestra que el movimiento en la capa l´ımite es casi-unidireccional y que 2 2 δ V ∆y p ∼ ; ∼ ∆x p U L
(14.7)
(14.8)
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
374
esto es, (14.8) muestra que las variaciones de presi´on seg´ un el eje y son nulas salvo errores del orden de (δ/L)2 . Si la presi´on no var´ıa con la distancia y a la pared su valor debe venir dado por el valor de la presi´on exterior pe (x), fuera de la capa l´ımite. Salvo t´erminos del orden de δ/L este valor se corresponde con el valor de la presi´on calculado mediante la teor´ıa ideal y particularizado sobre la superficie del obst´aculo (y = 0). Si denominamos ue (x) al valor de la velocidad exterior, la ecuaci´ on de Bernouilli para el flujo l´ıquidos ideales proporciona 1 pe + ρ u2e = const 2
o
∂pe ∂ue = −ue . ∂x ∂x
(14.9)
Finalmente, si se tienen en cuenta las ecuaciones (14.6), (14.8) y (14.9) el sistema (14.1)-(14.3) puede simplificarse para obtener las ecuaciones del movimiento en la capa l´ımite
u
∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y
(14.10)
∂ue ∂u 1 ∂p ∂2u ∂2u ∂u +v =− + ν 2 = ue +ν 2, ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ∂x ∂y
(14.11)
que proporciona una pareja de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, no lineales, para el c´alculo de las componentes de la velocidad u y v como funciones de x e y. N´otese que la resoluci´on de la capa l´ımite implica resolver primero el problema exterior de la corriente ideal a lo largo de la superficie u objeto considerada para encontrar la velocidad ue (x, 0) = ue (x). Resta finalmente estimar el orden de magnitud del espesor de la capa l´ımite δ y comprobar que es mucho menor que L y que, por tanto, las aproximaciones realizadas para obtener las ecuaciones (14.10)-(14.11), que est´an basadas en la condici´on δ/L 1, son ciertas. La estimaci´on del orden de magnitud del espesor de la capa l´ımite se puede obtener sin m´as que establecer que en ella los efectos de viscosidad y de inercia son comparables u
∂2u ∂u U ∂u U2 ∼ ν 2 ∼ ν 2, ∼v ∼ ∂x ∂y L ∂y δ
(14.12)
y, por tanto,
ν 1/2 1 δ ∼ ≡ ; (14.13) L UL Re1/2 de modo que δ/L → 0 cuando Re → ∞ como se hab´ıa anticipado. Obs´ervese que si ν es muy peque˜ no, la r´ apida variaci´ on de u en una distancia tan peque˜ na (proporcional a ν 1/2 ) es suficiente para que el t´ermino viscoso no sea despreciable. Debe tambi´en destacarse que en las ecuaciones (14.10) y (14.11) la distancia a la pared es muy peque˜ na, y se suele medir en unidades de δ o de (νL/U )1/2 . Obs´ervese que al mismo resultado se llega estableciendo que en la capa l´ımite el tiempo caracter´ıstico δ 2 /ν necesario para que cualquier perturbaci´ on se difunda en la direcci´ on vertical por la acci´on de la viscosidad es del mismo orden que el tiempo de transporte convectivo L/U aguas abajo de la capa l´ımite; δ 2 /ν ∼ L/U , con lo que se obtiene (14.13). Como condiciones de contorno al sistema (14.10)-(14.11) se impondr´an las siguientes: 1.
Condici´ on de velocidad nula en la pared y = 0 u(x, 0) = v(x, 0) = 0; 1
(14.14)
1 Las condiciones (14.14) excluyen el estudio de capas l´ ımites con succi´ on o soplado a lo largo de obst´ aculos con superficie porosa, en cuyo caso la segunda de las condiciones debe sustituirse por v(x, 0) = vs (x), siendo vs la velocidad de succi´ on o soplado a trav´es de la superficie.
375
14.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite
2. Condici´on de acoplamiento con la soluci´on exterior. Es importante se˜ nalar aqu´ı que a´ un cuando al deducir el orden de magnitud de los diversos t´erminos de las ecuaciones se ha supuesto que el espesor de la capa l´ımite era finito, se comprueba al integrar las ecuaciones de la capa l´ımite que la condici´on de contorno de acoplamiento con la soluci´ on exterior s´olo puede satisfacerse como condici´on asint´ otica para y → ∞. N´otese que y, que se mide en unidades de δ, debe ser grande frente a δ pero peque˜ no en relaci´on a la escala exterior L. Se impondr´ a entonces, la condici´on l´ım u(x, y) = ue (x);
(14.15)
y→∞
obs´ervese que la condici´on (14.15) implica tambi´en l´ım
y→∞
∂u = 0, ∂y
(14.16)
que demuestra que como deber´ıa ocurrir los esfuerzos de viscosidad son nulos en la regi´on de acoplamiento con la soluci´on exterior (y δ). 3. La ecuaci´on (14.11) es parab´olica y, por tanto, para comenzar la integraci´ on es necesario especificar un perfil inicial de velocidades en alguna estaci´on x = xo que se tomar´a como estaci´on de partida para integrar aguas abajo u(xo , y) = uo (y).
(14.17)
Como observaci´on final conviene decir que las condiciones de contorno anteriores no garantizan soluciones en las que v(x, ∞) sea nula como deber´ıa de ocurrir por ser nula la velocidad normal al obst´aculo de la corriente exterior ve (x, 0) = ve (x) = 0. No obstante, desde el punto de vista pr´ actico, esta objeci´on carece de inter´es ya que la velocidad normal es un infinit´esimo de U (V /U ∼ Re−1/2 ) como se sigue de (14.7) y (14.13). Si se quisiera una mejor aproximaci´ on puede procederse por iteraci´on teniendo en cuenta el efecto de la capa l´ımite sobre la corriente exterior y resolviendo ´esta de nuevo con la condici´on de que la velocidad normal sobre el obst´ aculo sea ahora igual a la velocidad v(x, ∞) en el infinito de la capa l´ımite, y no nula, como se prescribi´o en primera instancia.
14.3.
Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite
Las ecuaciones (14.10)-(14.11) de la capa l´ımite laminar, incompresible, bidimensional y estacionaria pueden reducirse a una ecuaci´ on diferencial u ´nica mediante la introducci´ on de la funci´ on de corriente Ψ de modo que se satisface id´enticamente la ecuaci´on (14.10) (u = Ψy , v = −Ψx ) y (14.11) toma la forma ∂ue Ψy Ψxy − Ψx Ψyy = ue (14.18) + ν Ψyyy . ∂x En t´erminos de Ψ las condiciones de contorno (14.14), (14.15) y (14.17) se escriben Ψ(x, 0) = Ψy (x, 0) = 0,
Ψy (x, ∞) = ue (x),
Ψy (xo , y) = uo (y).
(14.19)
La resoluci´on de la ecuaci´on (14.18) con las condiciones de contorno (14.19) suministra las caracter´ısticas m´as importantes de la soluci´on: el perfil de velocidades u = Ψy (x, y), el coeficiente de rozamiento en la pared µ Ψyy (x, 0) y el espesor δ de la capa l´ımite. Puesto que la regi´on exterior se alcanza de un modo asint´otico, existe una arbitrariedad intr´ınseca en la definici´on del espesor
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
376
de capa l´ımite. Un modo de definirlo ser´ıa el valor δ de la coordenada y para el que la velocidad alcanza un tanto por ciento α de su valor en el exterior. La ecuaci´on α ue (x) = Ψy [x, δ(x)],
(14.20)
determina el espesor de capa l´ımite δ(x) si se especifica un valor de α; usualmente se toma α = 0,95 o α = 0,98. Se puede eliminar la arbitrariedad de la u ´ltima definici´ on si se consideran dos nuevos espesores de capa l´ımite con una definici´ on menos ambigua que la anterior: el espesor de desplazamiento δ1 y el espesor de cantidad de movimiento δ2 . El primero se define como la distancia δ1 que habr´ıa que desplazar la pared s´olida hacia el interior de la capa l´ımite para que supuesto que el fluido se mueva con la velocidad exterior pase por la secci´on disponible el mismo caudal que pasa por la capa l´ımite original, esto es ∞ ∞ udy = ue d y, (14.21) o
δ1
o tambi´en 1 ue
δ1 =
∞
(ue − u)d y.
(14.22)
o
on de la distancia δ1 +δ2 que debe desplazarse An´ alogamente, se define el segundo espesor δ2 en funci´ la pared hacia el interior del fluido para que supuesto que se mueve con la velocidad exterior pase por la secci´on disponible un flujo de cantidad de movimiento igual al que pasa por la capa l´ımite original ∞ ∞ 2 ρu dy = ρu2e dy. (14.23) δ1 +δ2
o
Teniendo en cuenta (14.22), de (14.23) se llega f´acilmente a 1 δ2 = 2 ue
∞
u(ue − u)dy.
(14.24)
o
An´ alogamente, es f´acil demostrar que para una capa l´ımite compresible los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento vienen dados por las expresiones δ1 = o
δ
δ2 = o
δ
ρu dy, 1− ρe u e
ρu ρe u e
u 1− dy. ue
(14.25)
(14.26)
La vorticidad total por unidad de longitud ω k perpendicular al plano del movimiento es ω=
∂v ∂u ∂u − − , ∂x ∂y ∂y
(14.27)
ya que dentro de la aproximaci´ on de capa l´ımite ∂u/∂y ∼ U/δ ∂v/∂x ∼ V /δ ∼ U/L. El flujo total de vorticidad a trav´es de la capa l´ımite adyacente al obst´aculo es la circulaci´on Γ del vector velocidad a lo largo del obst´ aculo ∞ ∞ ∂u ωk · n d σ = ω kk d y d x = − (14.28) d y d x = −ue (x)d x = Γ. ∂y o o
377
14.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite
Finalmente el flujo total de vorticidad en la direcci´ on del movimiento a trav´es de una secci´on cualquiera de la capa l´ımite ∞ ∞ ∞ 2 ∂u ∂u /2 −ω u d y = u (14.29) dy = d y = u2e (x)/2. ∂y ∂y o o o N´otese que la variaci´on de este flujo en la direcci´on del movimiento se debe a la vorticidad introducida por la pared que, de acuerdo con la ecuaci´ on de Bernouilli, es ue
1 dpe 1 dp due =− =− , dx ρ dx ρ dx
(14.30)
de modo que en las zonas de gradiente de presi´on favorable dp/dx < 0 (due /dx > 0) el flujo de vorticidad crece aguas abajo de la capa l´ımite mientras que decrece en las zonas de gradiente de presiones desfavorables dp/dx > 0 (due /dx < 0). El flujo de vorticidad aguas abajo est´ a gobernado por un balance entre el transporte difusivo de la viscosidad que la difunde normalmente a la pared y la convecci´on que la transporta aguas abajo. Consideremos ahora desde un punto de vista cualitativo el comportamiento de la capa l´ımite sometida a gradientes de presi´on. En la Figura 14.2 se representa en forma magnificada la influencia del gradiente de presiones sobre el perfil de velocidades en la capa l´ımite de un obst´aculo a altos n´ umeros de Reynolds. Si no existiese capa l´ımite la teor´ıa ideal predice dos puntos de remanso R1 y R2 localizados en la parte delantera del perfil y en el borde de salida del mismo. En estos puntos la velocidad es nula, y la presi´ on, de acuerdo con la ecuaci´on de Bernouilli pe + ρu2e /2 = p∞ + ρU 2 /2, ser´ıa la m´axima (la de remanso). En el punto M , cercano al de m´axima anchura la velocidad es m´axima y la presi´on m´ınima, de modo que pe (x) = p(x) decrece desde R1 hasta M (gradiente de presi´on favorable) y crece de M a R2 (gradiente adverso). En la zona de gradientes adversos la capa l´ımite no siempre permanece adherida al obst´aculo, ya que puede ocurrir que las fuerzas que act´ uan en direcci´on opuesta al movimiento de las part´ıculas fluidas (gradiente adverso de presiones y fuerzas de viscosidad) lleguen a anular la cantidad de movimiento de ´estas. En esta situaci´on se produce corriente invertida cerca de la pared, v´ease Figura 14.2, y se dice que la capa l´ımite se ha separado. A partir del punto de separaci´ on xs , la aproximaci´ on de capa delgada efectuada para la obtenci´on de las ecuaciones de capa l´ımite deja de ser v´alida.
cp 0 cx
M
D
R1
R2
Figura 14.2: Evoluci´ on de los perfiles de velocidad en una capa l´ımite con gradientes de presi´on adverso. El punto de separaci´ on o desprendimiento est´a indicado con la letra D. El punto de separaci´ on xs se alcanza cuando deja de existir adherencia entre fluido y pared, lo que implica que el esfuerzo de viscosidad es nulo en ese punto, ∂u/∂y|y=0 = 0. En la pared, donde la inercia es nula, la ecuaci´on (14.11) tiende a −
∂2u ∂p + µ 2 = 0, dx ∂y
(14.31)
378
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
que es una ecuaci´on que determina la curvatura del perfil de velocidades en la pared. Si el gradiente de presiones es favorable, la curvatura del perfil de velocidades es negativa en toda la capa l´ımite, el esfuerzo viscoso disminuye mon´otonamente desde la pared al exterior de la capa l´ımite y no se puede producir separaci´ on de capa l´ımite (corriente invertida). En la Figura 14.3a se representan cualitativamente los perfiles de velocidad, esfuerzo viscoso, y curvatura del perfil de velocidades para una capa l´ımite con gradiente de presiones favorable (∂p/∂x < 0). Obs´ervese que la curvatura ∂ 2 u/∂y 2 = −∂ω/∂y = ∂(τ /µ)/∂y est´a relacionada con la variaci´ on de vorticidad y de esfuerzo viscoso a lo largo de normales a la pared. En el caso que nos ocupa tanto la vorticidad como el esfuerzo viscoso disminuyen mon´otonamente a medida que aumenta la distancia a la pared. Por el contrario, si el gradiente de presiones es adverso (∂p/∂x > 0) la curvatura en la pared, al contrario de lo que ocurre lejos de ella, es positiva y existe, por tanto, un punto de inflexi´ on d2 u/dy 2 = 0 en el perfil de velocidades. La presencia de un punto de inflexi´ on en el perfil de velocidades es por tanto condici´on necesaria, aunque no suficiente, para que se produzca separaci´ on de la capa l´ımite. En la Figura 14.3b se representan los perfiles de velocidad, esfuerzo viscoso (que presenta un m´aximo fuera de la pared) y curvatura del perfil de velocidades para una capa l´ımite con gradiente de presiones desfavorable.
Figura 14.3: Perfil de velocidades, esfuerzo viscoso y variaci´ on del esfuerzo viscoso con la distancia a la pared en: a) capa l´ımite con gradiente de presiones favorable; b) ´ıdem con gradiente de presiones desfavorable. La posici´on del punto de desprendimiento xs determina completamente la resistencia del obst´ aculo. Para una placa plana a a´ngulo de ataque nulo, el gradiente de presiones es nulo, la capa l´ımite no se separa, y la resistencia es exclusivamente debida a la viscosidad. Esta resistencia, denominada de fricci´ on, se calcula resolviendo la ecuaci´on (14.18) con las condiciones de contorno (14.19). En el caso de cuerpos fuselados a ´angulos de ataque peque˜ nos, los gradientes adversos de presi´ on son muy suaves y la capa l´ımite se separa muy cerca del borde de salida del perfil. En estos casos, la corriente exterior que predice la teor´ıa no viscosa se aproxima bastante a la real y la u ´nica correcci´on necesaria a esta teor´ıa es la resistencia de fricci´on que se calcula mediante la aproximaci´ on de capa l´ımite. Cuando el cuerpo es romo, los gradientes adversos de presi´on desprenden la capa l´ımite en las proximidades del punto de m´ınima presi´on, incluso antes, como ocurre en el caso del cilindro circular y otros cuerpos de geometr´ıas romas. Detr´as del punto de separaci´on se forma una estela turbulenta en la que los efectos viscosos son importantes. En la
14.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite
379
estela, la presi´on no experimenta grandes variaciones y su valor es aproximado a la presi´ on del punto de separaci´on y, por tanto, a la presi´ on m´ınima, ya que ambos puntos, el de m´ınima presi´on y el de separaci´on, est´an muy cercanos en el caso de cuerpos romos. Las diferencias de presi´on entre las partes frontal y trasera del obst´ aculo son por consiguiente grandes y dan lugar a una fuerza de presi´on que se opone al movimiento y que se denomina resistencia de presi´on o de forma, puesto que depende casi exclusivamente de la forma geom´etrica del obst´aculo. Es importante se˜ nalar aqu´ı que, al contrario de la resistencia de fricci´on, la de forma no se puede determinar por medios anal´ıticos o num´ericos y debe recurrirse a la experimentaci´on en t´ uneles aerodin´amicos. La raz´on estriba en que desde el punto de vista anal´ıtico no es u ´ til dividir la corriente en dos zonas (viscosa y no viscosa), ya que la frontera de separaci´ on entre ellas es desconocida y cambia su posici´on con el tiempo por los efectos no estacionarios debidos al desprendimiento de la capa l´ımite. Por otra parte, la estela es turbulenta y los n´ umeros de Reynolds son tan grandes que no es posible la simulaci´on num´erica directa de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Figura 14.4: Valores experimentales del coeficiente de resistencia total y del de forma de una familia de perfiles sim´etricos a ´angulo de ataque nulo como funci´ on de su espesor relativo. El n´ umero de Reynolds del experimento es U∞ L/ν = 4 × 105 . Desde el punto de vista aerodin´ amico el perfil de ala es muy eficaz, pues su resistencia es la misma, a igual velocidad, que la del cilindro indicado en la figura cuyo di´ ametro es aproximadamente una d´ecima parte del espesor del perfil. De G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. En la Figura 14.4 se muestra la variaci´ on con el espesor relativo del perfil e/L de la resistencia total y de forma de la familia de perfiles sim´etricos bidimensionales de la figura; e es el espesor m´aximo del perfil y L su cuerda. Obs´ervese que a partir de espesores superiores al 30 % (perfiles de espesor relativo superior al 20 % son raramente usados en Aeron´autica) la resistencia de presi´on aumenta considerablemente y se hace mucho mayor que la de fricci´on. Una muestra de la eficacia aerodin´amica de los perfiles fuselados lo constituye el hecho de que el perfil y el cilindro circular de la Figura 14.4 exhiban la misma resistencia a velocidades iguales. N´otese la diferencia de espesores y ´areas entre los dos cuerpos, ya que el cilindro posee un di´ametro que es aproximadamente la d´ecima parte del espesor m´aximo del perfil. Simplificando, se puede decir que en un cuerpo fuselado la resistencia, cuya mayor contribuci´ on es la fricci´on, es peque˜ na, mientras que la de los cuerpos romos, cuya contribuci´ on es fundamentalmente debida a la de forma, es grande.
380
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
En la Figura 14.5 se representa el coeficiente de resistencia CD para un cilindro circular y una esfera en funci´on del n´ umero de Reynolds. Para Re peque˜ no, CD para esfera y cilindro viene dado respectivamente por las expresiones (9.45) y (9.69). A medida que Re aumenta, la importancia de
Figura 14.5: Valores experimentales del coeficiente de resistencia de un cilindro circular (S = d) y de una esfera (S = πd2 /4) de di´ametro d. Las curvas a trazos representan resultados obtenidos en experimentos diferentes. De Batchelor (1967). la resistencia de forma va creciendo y para Re alto (Re > 103 , aproximadamente), CD permanece pr´ acticamente constante e igual a 0,4 para la esfera y entre 1 y 1,2 para el cilindro. Sin embargo, para Re 2×105 , la resistencia cae bruscamente. Este parad´ojico efecto, t´ıpico de cuerpos de geometr´ıa roma, es conocido como crisis de la resistencia y se debe a que la capa l´ımite que se desarrolla sobre el obst´aculo se hace turbulenta. En efecto, debido a la agitaci´ on turbulenta la cantidad de movimiento de las part´ıculas pr´oximas a la pared es mayor en una capa l´ımite turbulenta que en una laminar, con lo que para un mismo gradiente de presiones (o equivalentemente, id´entica forma geom´etrica del obst´aculo) el punto de desprendimiento se encuentra m´ as retrasado en una capa l´ımite turbulenta, Figura 14.6. Consecuentemente, la estela que deja el obst´aculo es m´as estrecha y la resistencia de forma disminuye notablemente. Como la resistencia total en cuerpos romos es debida mayormente a la de forma, el efecto global de la transici´on de capa l´ımite laminar a turbulenta resulta en una disminuci´ on de la resistencia total aun cuando, como se ver´ a m´as adelante, la resistencia de fricci´on sea mayor en una capa l´ımite turbulenta que en una laminar.2 El fen´omeno de separaci´on de capa l´ımite no se produce s´olo en flujos externos, sino tambi´en en flujos en conductos. En estos casos, la separaci´on ocurre en la zona divergente del conducto donde existe un gradiente adverso de presiones. Cuando el gradiente adverso sobrepasa un cierto valor cr´ıtico, o lo que es lo mismo, cuando el ´angulo de divergencia del conducto sobrepase un cierto valor, que es muy aproximadamente de 6o , la capa l´ımite se desprende como se muestra en la Figura 14.7 donde se visualiza el flujo en un conducto divergente por medio de burbujas de hidr´ ogeno. La separaci´on de capa l´ımite lleva aparejado una ca´ıda importante de la presi´ on de remanso y de las caracter´ısticas del difusor. 2 Esta es la raz´ on por la que las pelotas de golf no tienen superficie lisa; las rugosidades (hoyuelos) facilitan la transici´ on a la turbulencia, reduciendo la resistencia a la cuarta parte aproximadamente.
14.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite
a)
381
b)
Figura 14.6: Flujo sobre una esfera. a) Capa l´ımite laminar. b) Capa l´ımite turbulenta. De Van Dyke (1982).
Figura 14.7: Separaci´on del flujo en un difusor. De Van Dyke (1982). Es importante se˜ nalar finalmente que si se introducen las variables adimensionales νL , ue = ue /U∞ , Ψ = Ψ/ U∞ Lν, x = x/L, y = y/ U∞
(14.32)
en la ecuaci´on (14.18) y condiciones de contorno (14.19), las expresiones resultantes son invariantes salvo que ν quede sustituido por la unidad. Esto significa que Ψ = f (x, y) o " ! U∞ x ,y , (14.33) Ψ = U∞ Lνf L νL y tambi´en Ψy ∂f u =u= = U∞ U∞ ∂y
√ y
√ df Re v Re Ψx =v=− =− . U∞ U∞ dx
(14.34)
382
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
Estas expresiones muestran que cuando el n´ umero de Reynolds de la corriente cambia, el patr´on del flujo en la capa l´ımite experimenta simplemente una transformaci´on de semejanza de modo que las distancias y velocidades longitudinales permanecen invariantes mientras que las distancias y velocidades transversales var´ıan de forma inversamente proporcional a la ra´ız cuadrada del n´ umero de Reynolds. El esfuerzo en la pared es 3/2
τp = µ Ψyy |y=0
ν 1/2 Uo =ρ L1/2
x Uo2 ∂ 2 f √ = ρ , f 1 L ∂ y 2 y=0 Re
(14.35)
y el punto de desprendimiento de la capa l´ımite, que se calcula de la condici´on τp = 0 f1 (xs ) = 0,
(14.36)
resulta independiente del n´ umero de Reynolds; la funci´ on adimensional f1 (x/L) depende u ´nicamente de la distribuci´on de velocidades de la corriente exterior ue (x), o lo que es lo mismo, de la forma geom´etrica del obst´aculo. El lector puede demostrar f´ acilmente que la variaci´ on con el n´ umero de Reynolds del espesor de capa l´ımite (y tambi´en la de los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento) es de la forma 1 δ =√ f2 (x/L). L Re
14.4.
(14.37)
Soluciones de semejanza de Falkner-Skan
La ecuaci´on (14.18), en derivadas parciales, de tercer orden, no-lineal, con las condiciones de contorno (14.19), que gobiernan la funci´ on de corriente en la capa l´ımite, deben en general resolverse num´ericamente. Sucede, sin embargo, que para una determinada forma funcional del gradiente de presiones, el problema (14.18)-(14.19) admite soluci´on de semejanza y la ecuaci´on diferencial en derivadas parciales se transforma, bajo un apropiado cambio de variables, en una ecuaci´on diferencial ordinaria de resoluci´ on mucho m´as sencilla. Falkner y Skan encontraron hacia 1930 que si la velocidad exterior var´ıa potencialmente con la coordenada x a lo largo de la capa l´ımite ue (x) = c xm ,
(14.38)
las ecuaciones de la capa l´ımite admiten soluciones de semejanza; c es una constante con dimensiones apropiadas y m es en principio cualquier n´ umero real. Como se vio en 11.4.1, la expresi´on (14.38) puede representar, dependiendo del valor de m, casos diferentes de corriente potencial de un l´ıquido. Por ejemplo, si m var´ıa entre 0 e ∞, (14.38) proporciona la velocidad potencial en el caso de una cu˜ na de ´angulo β = 2πm/(1 + m),
(14.39)
situada sim´etricamente en una corriente irrotacional de un fluido no viscoso; la coordenada x se mide desde el v´ertice de la cu˜ na. Cuando m es negativo y var´ıa en el rango 0 ≥ m ≥ −1/2, (14.38) representa la velocidad potencial en el caso de la corriente de un l´ıquido alrededor de una esquina de a´ngulo β = π/(1+m), con 0 ≥ m ≥ −1/2. Finalmente, el caso de m = −1 con c negativo representa la corriente potencial de un sumidero bidimensional.
383
14.4. Soluciones de semejanza de Falkner-Skan Si se sigue el m´etodo expuesto en el Ap´endice 7.I y se introduce la transformaci´ on x = λx∗ ,
y = λα y ∗ ,
Ψ = λγ Ψ∗ ,
en la ecuaci´on (14.18) y condiciones de contorno (14.19) se obtiene 4 5 λ2γ−2α−1 Ψ∗y∗ Ψ∗x∗ y∗ − Ψ∗x∗ Ψ∗y∗ y∗ = mc2 λ2m−1 x∗2m−1 + ν λγ−3α Ψ∗y∗ y∗ y∗ , λγ−α Ψ∗y∗ (x∗ , y ∗ → ∞) = c λm x∗m .
(14.40)
(14.41) (14.42)
Es f´acil comprobar que las ecuaciones (14.41)-(14.42) son id´enticas a las (14.18)-(14.19) frente al grupo de transformaciones (14.40) si 2γ − 2α − 1 = 2m − 1 = γ − 3α
y
γ − α = m,
(14.43)
o α = (1 − m)/2
y
γ = (1 + m)/2.
(14.44)
Por tanto, de acuerdo con (14.40), la soluci´ on de (14.18)-(14.19) puede escribirse en la forma √ m+1 c m−1 ue (x) x 2 y= Ψ = cνx 2 f (η) = νxue (x)f (η), η = y (14.45) ν νx donde la funci´ on adimensional f satisface la ecuaci´on diferencial ordinaria, no lineal, de tercer orden ... m+1 ¨ f f + m(1 − f˙2 ) = 0, (14.46) f + 2 con las condiciones de contorno f (0) = f˙(0) = 0,
f˙(∞) = 1.
(14.47)
En la Figura 14.8 se representan los perfiles de semejanza de la velocidad axial u(x, y)/ue (x) = Ψy /cxm obtenidos por integraci´ on num´erica de (14.46)-(14.47) para valores distintos del exponente m. La soluci´on num´erica proporciona tambi´en los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento
1/2 ∞
1/2 ∞ νx νx ˙ [1 − f (η)]d η, δ2 = f˙(η)[1 − f˙(η)]d η, δ1 = (14.48) ue (x) ue (x) o o y el esfuerzo en la pared
τp = µ Ψyy |y=0 = ρ
νu3e (x) x
1/2 f¨(0),
(14.49)
que muestran expl´ıcitamente c´omo los espesores de capa l´ımite y el esfuerzo en la pared dependen del gradiente de presiones, [o lo que es lo mismo de ue (x)]. Las integrales en (14.48) pueden resolverse num´ericamente a la par que el problema (14.46)-(14.47). Un caso particular de gran inter´es, analizado por Blasius en 1908, es el de m = 0 que corresponde a la capa l´ımite desarrollada sobre una placa plana seminfinita.3 En este caso ue (x) = U∞ es constante y los resultados num´ericos proporcionan νx νx νU 3 , δ2 = 0,47 , y τp = 0,332 ρ . (14.50) δ1 = 1,22 U∞ U∞ x 3 Obs´ ervese que el caso m = 0 permite modelar la capa de mezcla laminar que se desarrolla entre dos corrientes paralelas de un mismo fluido con velocidades U1 y U2 . Definiendo las variables Ψ = (νU1 x)1/2 f (η) con η = ... on 2 f +f f¨ = 0, que hay que resolver num´ericamente con las condiciones y[U1 /(νx)]1/2 se obtiene de (14.18) la ecuaci´ f˙(∞) = 1, f˙(−∞) = U2 /U1 , y f (0) = 0.
384
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
Figura 14.8: Perfiles de semejanza de Falkner-Skan u/ue (x) = df /dη para valores distintos del exponente m (distinto a´ngulo de cu˜ na). El resultado obtenido en (14.50) se puede usar para calcular de forma aproximada la resistencia que un fluido de densidad ρ y viscosidad µ opone al movimiento con velocidad U∞ de una placa de longitud L, paralelamente a s´ı misma, cuando el n´ umero de Reynolds del movimiento es muy grande. Por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento, y teniendo en cuenta las dos caras de la placa, la resistencia de fricci´on es L √ Df = 2 τf dx 1,328 ρ νU 3 L, (14.51) o
y el coeficiente de fricci´on de la placa plana Cf =
Df 1 2 ρU ∞L 2
= 2,656 Re−1/2 .
(14.52)
Es importante comentar aqu´ı el hecho de que la expresi´on (14.51) sea s´olo un resultado aproximado cuando se aplica a una placa plana de longitud finita L. Esto es consecuencia del hecho de que la existencia de soluciones de semejanza es incompatible con condiciones de contorno que deben satisfacerse corriente arriba o abajo de la zona donde la soluci´ on de semejanza es v´alida. Por ejemplo, la soluci´on de semejanza no es v´alida en las proximidades del borde de ataque de la placa plana o de una cu˜ na, puesto que all´ı la corriente exterior no es de la forma dada en (14.38), ya que esta expresi´on de la velocidad potencial se alcanza asint´ oticamente a distancias del borde de ataque que son grandes comparadas con el radio de curvatura del borde de ataque de la cu˜ na o de la placa plana (la placa plana real posee un espesor y finito y, por tanto, un radio de curvatura tambi´en finito en el borde de ataque). Para una placa plana (o cu˜ na) de longitud finita, tambi´en la corriente
385
14.4. Soluciones de semejanza de Falkner-Skan
exterior (14.38) se modifica por el hecho de que la placa se acaba y la soluci´on, por tanto, no es de semejanza, cerca del borde de salida. N´otese que la corriente se acelera detr´as de la placa por el hecho de que no existe pared y la succi´on generada tiende a acelerar la corriente exterior. Como consecuencia, la placa plana de longitud finita experimenta una resistencia ligeramente mayor que la dada por (14.51) que formalmente ser´ıa s´olo v´alida para una placa plana semiinfinita. No obstante, si la longitud de la placa L es suficientemente grande comparada con la de las zonas de no validez de la soluci´on de semejanza, la expresi´on (14.50) puede ser utilizada con gran aproximaci´ on para calcular el valor de la resistencia de la placa plana de longitud finita. Para valores negativos del exponente m en (14.38), que corresponden al caso de la corriente potencial alrededor de una esquina, se encuentra que si m < −0,0904 no existe soluci´on real de la ecuaci´on (14.46) que satisfaga la totalidad de las condiciones de contorno (14.47). Para m = −0,0904, que corresponde a la corriente alrededor de una esquina de a´ngulo 0,91π, existe soluci´on num´erica de (14.46) que satisface (14.47) con c > 0; para este caso se encuentra que f¨(0) = 0 y por tanto el esfuerzo en la pared τp es nulo indicando separaci´ on de capa l´ımite. Para valores de m menores que −0,0904, que corresponden a una esquina de a´ngulo m´as acusado se produce separaci´on de capa l´ımite que da lugar a corriente invertida. La corriente resultante no puede ser descrita por las ecuaciones (14.18)-(14.19), puesto que falla la aproximaci´ on de capa delgada (las velocidades axiales y normales en la capa l´ımite se hacen del mismo orden). Es interesante discutir el caso m = −1 con c < 0, que corresponde a la corriente potencial del movimiento convergente radial, entre dos paredes s´olidas radiales que forman un a´ngulo α, generado por un sumidero bidimensional situado en el origen tal como se muestra en la Figura 14.9. El caudal por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento es q = ue x α = c α,
(c < 0).
(14.53)
En la capa l´ımite adyacente a las paredes, la funci´on de corriente ser´a ahora [v´ease (14.44)]
Figura 14.9: Flujo entre paredes s´olidas radiales generado por un sumidero situado en el origen. √ Ψ = −c ν f (η)
c y , η= − ν x
con
(14.54)
las ecuaciones y condiciones de contorno para la funci´ on f son, teniendo en cuenta (14.46) y (14.47) ...
f (0) = 0,
f +f˙2 − 1 = 0,
(14.55)
f˙(0) = 0
(14.56)
y f˙(∞) = −1.
Si la ecuaci´on (14.55) se multiplica por f¨ puede integrarse una vez para dar 4 4 f¨2 + f˙3 − 2f˙ = , 3 3
(14.57)
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
386
donde la constante de integraci´ on se ha determinado haciendo uso de las condiciones f˙(∞) = −1 ¨ y f (∞) = 0. Se tiene entonces df˙ = dη que integrada proporciona
# # 2(2 + 3f˙ − f˙3 )/3 = (f˙ + 1) 2(2 − f˙)/3, √ f˙(η) = 2 − 3 tanh2 (η/ 2 + C),
(14.58)
(14.59)
donde se ha hecho uso de la u ´ltima de las condiciones en (14.56) y C es una constante de integraci´on que se calcula imponiendo la condici´on f˙(0) = 0; se tiene entonces C = tanh−1 2/3 1,46. El caso de corriente divergente correspondiente a un manantial (c > 0) conduce a una ecuaci´on diferencial que no satisface las condiciones (14.56), lo que indica que no existe soluci´ on de tipo capa l´ımite en este caso.4 Cuando existe succi´on o soplado de la capa l´ımite a trav´es de la superficie s´olida porosa, la u ´nica modificaci´on en el problema matem´atico (14.18)-(14.19) para la descripci´on de la capa l´ımite es la sustituci´on de la condici´on de velocidad normal nula en la pared por la nueva condici´ on v(x, 0) = −Ψx (x, 0) = vs (x),
(14.60)
donde vs (x) es la velocidad de soplado (succi´on) en la pared; el resto de las condiciones de contorno u(x, 0) = 0 y u(x, ∞) = ue (x) permanecen inalteradas.
Figura 14.10: Velocidad adimensional en la capa l´ımite con succi´on o soplado de una capa plana (m = 0) y diferentes intensidades de la velocidad de soplado respecto a la exterior. Es f´acil conocer cualitativamente la influencia de la succi´on (soplado) sobre la capa l´ımite. Su efecto se traduce en un aumento (disminuci´ on) de la velocidad axial en las proximidades de la pared, disminuye (aumenta) el espesor de la capa l´ımite, aumenta (disminuye) el coeficiente de fricci´ on, y finalmente retrasa (adelanta) el punto de desprendimiento de la capa l´ımite. Es posible 4 En realidad la corriente divergente u = c/x con c > 0 se separa y adem´ as es inestable. Una discusi´ on completa e de este problema, incluyendo inestabilidad y la importancia de las soluciones antisim´etricas ha sido realizada por Sobey & Drazin (1986).
387
14.5. Capa l´ımite con simetr´ıa axial
cuantificar, de modo relativamente simple, el efecto de succi´on o soplado en el caso de que la capa l´ımite resultante siga siendo de semejanza para lo que se requiere que la velocidad exterior ue (x) posea la forma dada en (14.38) y que la velocidad de soplado, de acuerdo con (14.44), var´ıe con x en la forma m−1 (14.61) vs (x) = A x 2 , donde A es una constante con dimensiones apropiadas. En estas condiciones el problema matem´atico a resolver es el de la ecuaci´on (14.46) sujeta a las condiciones de contorno f (0) = −
2A √ , (m + 1) cν
f˙(0) = 0,
f˙(∞) = 1.
(14.62)
Los perfiles de velocidad de semejanza correspondiente a una capa l´ımite con succi´on (A > 0) o soplado (A < 0) se representan en la Figura 14.10.
14.5.
Capa l´ımite con simetr´ıa axial
Capas l´ımites axilsim´etricas se desarrollan sobre cuerpos axilsim´etricos o sobre chorros l´ıquidos acelerados por una corriente de gas que fluye conc´entricamente con ´el. El esfuerzo de fricci´on en una pared axilsim´etrica o el esfuerzo viscoso que el gas ejerce sobre el chorro l´ıquido son, por tanto, magnitudes de inter´es en muchos problemas tecnol´ogicos en los que aparecen capas l´ımites axilsim´etricas. Como se ver´a en lo que sigue su estudio se simplifica notablemente, ya que por medio de transformaciones de coordenadas apropiadas las ecuaciones de la capa l´ımite incompresible, laminar y axilsim´etrica pueden reducirse a las de la capa l´ımite bidimensional en los dos casos siguientes: a) cuando el espesor de la capa l´ımite δ es mucho menor que el radio caracter´ıstico Ro de la secci´on transversal del cuerpo axilsim´etrico considerado, y b) cuando Ro y δ son del mismo orden pero el radio de la secci´on transversal del cuerpo R(x) var´ıa lentamente con la distancia d R/d x 1.
14.5.1.
Caso a) δ Ro
Consid´erese un sistema de coordenadas curvil´ıneas de capa l´ımite ξ, η como el indicado en el plano meridiano de un cuerpo de revoluci´ on como el indicado en la Figura 14.11, cuyo contorno viene dado por R(ξ).
h
x R(x)
Figura 14.11: Coordenadas de capa l´ımite sobre un cuerpo de revoluci´ on.
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
388
Si se denominan u, v, y p a las componentes de la velocidad en las direcciones paralela y normal a la pared y a la presi´on, las ecuaciones de la capa l´ımite axilsim´etrica incompresible, laminar y estacionaria son: ∂[uR(ξ)] ∂[vR(ξ)] + = 0, (14.63) ∂ξ ∂η u
∂u ∂u 1 ∂p ∂2u +v =− +ν 2, ∂ξ ∂η ρ ∂ξ ∂η
(14.64)
donde para obtener (14.63) y (14.64) se ha tenido en cuenta que r = R(ξ) + η con η R(ξ) y consecuentemente (ν/r)∂/∂r(r∂u/∂r) ν∂ 2 u/∂η 2 y r R(ξ). Por otra parte, de la ecuaci´ on de cantidad de movimiento en la direcci´on normal a la pared se tiene, ∂p/∂η ∼ u2e /r,
∆η p ∼ ρ
u2e δ, R
(14.65)
de modo que por ser δ R se puede suponer, aqu´ı tambi´en, que la presi´on, en primera aproximaci´on, no var´ıa a lo largo de normales a la pared. N´ otese que la u ´ nica modificaci´on en las ecuaciones de capa l´ımite respecto al caso bidimensional es la debida al incremento de ´area transversal al variar R(ξ), ecuaci´on (14.63). Si se efect´ ua ahora la transformaci´ on de variables, denominada de Mangler, x 1 R(ξ) R2 (ξ)dξ, η, x= 2 y= (14.66) Ro o Ro " ! R˙ Ro v + ηu , (14.67) u = u, v= R R y se tiene en cuenta que ∂ R2 ∂ R˙ ∂ = 2 + y , ∂ξ Ro ∂x R ∂y
∂ R ∂ = , ∂η Ro ∂y
(14.68)
las ecuaciones (14.63)-(14.64) se transforman en las de la capa l´ımite bidimensional (14.10)-(14.11)
u
∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y
(14.69)
∂ue ∂u ∂2u ∂u +v = ue +ν 2; ∂x ∂y ∂x ∂y
(14.70)
n´ otese que bajo esta transformaci´on, el gradiente de presiones −(1/ρ)∂p/∂ξ = ue ∂ue /∂ξ se modifica a (ue ∂ue /∂x)R2 /Ro2 .
14.5.2.
Caso b) Ro ∼ δ
En el caso en que el radio caracter´ıstico del obst´aculo sea del mismo orden que el espesor de la capa l´ımite o incluso menor, como ocurre en el caso de la corriente alrededor de agujas con radio milim´etrico o en el de chorros de di´ametro microm´etrico acelerados por una corriente de gas conc´entrica, la transformaci´on de Mangler deja de ser v´ alida. En estos casos, sin embargo, se puede demostrar que basta la condici´on de esbeltez del obst´aculo, o si se tratase de un chorro, dR/dξ 1, para garantizar la existencia de una transformaci´ on de variables que reduce las ecuaciones de la capa l´ımite axilsim´etrica ∂u 1 ∂(rv) + = 0, (14.71) ∂ξ r ∂r
389
14.6. Estructura de un v´ ortice viscoso u
∂u ∂u ∂ue ν ∂ +v = ue + ∂ξ ∂r ∂ξ r ∂r
∂u r , ∂r
(14.72)
a las de la capa l´ımite bidimensional, mucho m´as f´aciles de implementar num´ericamente; n´otese que en este caso dR/dξ 1 por serlo dδ/dx ∼ δ/x 1. En efecto, si se introduce el grupo de transformaciones x = ξ,
σ = [r2 − R2 (x)]/2,
u = u,
˙ v = rv − RRu,
(14.73)
y se tiene en cuenta que ∂ ∂σ ∂ ∂ ∂ ∂ + − RR˙ = = , ∂ξ ∂x ∂σ ∂ξ ∂x ∂σ
1 ∂ 1 ∂ ∂σ ∂ = = , r ∂r r ∂σ ∂r ∂σ
(14.74)
las ecuaciones (14.71)-(14.72) se transforman en ∂v ∂u + = 0, ∂x ∂σ
∂u ∂u ∂ue ∂ ∂u +v = ue +ν R2 (x) + 2σ . u ∂x ∂σ ∂x ∂σ ∂σ
(14.75) (14.76)
Finalmente el cambio de variables
1 2σ , y = ln 1 + 2 2 R (x)
dx , dx = 2 R (x)
(14.77)
transforma las ecuaciones (14.75)-(14.76) en ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y
(14.78)
∂u ∂ue ∂u ∂2u +v = e2y ue +ν 2, ∂x ∂y ∂x ∂y
(14.79)
e2y e2y u
que son mucho m´as f´aciles de implementar num´ericamente que las ecuaciones (14.71)-(14.72). Es f´acil observar en (14.73) y (14.77) que cuando r → R(x), σ → 0 e y → 0 y cuando r → ∞ tambi´en σ → ∞ e y → ∞. N´otese tambi´en que cuando el espesor de la capa l´ımite δ es mucho menor que R, entonces σ/R2 (x) 1 e y 1 y se obtiene el mismo resultado que si se aplica la transformaci´on de Mangler (e2y → 1). En la figura 14.12 se representa el esfuerzo adimensional en la pared de un cilindro de secci´on constante alineado longitudinalmente en la direcci´ on de la corriente.
14.6.
Estructura de un v´ ortice viscoso
En la secci´on 10.12 se analiz´o el flujo de un v´ ortice en el supuesto de fluido ideal. Como se vio, el campo de velocidades obtenido se hace singular en el eje indicando la existencia de un n´ ucleo viscoso, de radio caracter´ıstico muy peque˜ no, que contiene al eje. La estructura del n´ ucleo vortical viscoso, cuyo radio adimensional, δ/L ∼ Re−1/2 , se estima a partir de la condici´on usual en capas l´ımites de que los esfuerzos viscosos y los t´erminos de inercia convectivos sean del mismo orden, viene dado por las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento, que en primera aproximaci´ on resultan ∂vx 1 ∂ + (rvr ) = 0, (14.80) ∂x r ∂r
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
390
Figura 14.12: Esfuerzo adimensional en la pared sobre un cilindro de secci´ on constante situado longitudinalmente en la direcci´ on de la corriente.
vx
∂vx ∂vx 1 ∂p ν ∂ + vr =− + ∂x ∂r ρ ∂x r ∂r
∂vx r , ∂r
vφ2 1 ∂p = , r ρ ∂r
1 ∂ ∂vφ ∂vφ vr vφ ∂vφ vφ =ν vx + vr + r − 2 . ∂x ∂r r r ∂r ∂r r
(14.81) (14.82) (14.83)
Para obtener las ecuaciones (14.80)-(14.83) se ha hecho uso de la axilsimetr´ıa y de las condiciones de capa delgada en las que las velocidades radiales vr son mucho menores que las azimutales y axiales vφ y vx respectivamente y ∂/∂z ∂/∂r. Las ecuaciones (14.80)-(14.83) deben resolverse sujetas a las condiciones de contorno siguientes: en el eje (r = 0), el campo de velocidades debe ser regular y axilsim´etrico, lo que implica ∂u ∂vφ vφ = 0, (14.84) = 0, vφ (x, 0) = vr (x, 0) = 0, vx (x, 0) = ∞, − ∂r r=0 ∂r r r=0 a distancias grandes del eje el campo de velocidades y presiones debe decaer apropiadamente. para arrancar la integraci´ on num´erica del sistema (14.80)-(14.83) es necesario especificar los perfiles de velocidades vx (xo , r) y vφ (xo , r) en una cierta estaci´on inicial xo . Sucede, sin embargo, que si se omiten las condiciones iniciales, lo que significa que se quiere describir la soluci´on a distancias grandes aguas abajo x xo , el sistema (14.80)-(14.84) se hace de semejanza si se buscan soluciones que decaen lejos del eje en la forma vx = Wo rm−2 ,
vφ = LWo rm−2 ,
(LWo )2 2(m−2) p . = r ρ 2(m − 2)
(14.85)
391
14.6. Estructura de un v´ ortice viscoso
Aqu´ı el exponente m es cualquier n´ umero real menor que 2, Wo es una constante con dimensiones apropiadas y el n´ umero adimensional L, denominado n´ umero de Squire, mide la importancia relativa del movimiento azimutal frente al meridional. El campo de velocidades y presiones (14.85) es el comportamiento l´ımite, cerca del eje, de un tipo de flujos vorticales y no viscosos que satisfacen las ecuaciones de Euler (v´ease 10.13). Definiendo las variables de semejanza f (ξ) = g(ξ) =
Ψ(x, r) , νx
δ 2 vφ , νx
ξ = r2 /δ 2 (x),
β(ξ) =
(14.86)
δ 4 (x) p(x, r) , ν 2 x2 ρ
(14.87)
el campo de velocidades meridional se escribe Ψr νx =2 2 f (ξ), vx = r δ (x)
ν Ψx =− vr == − r r
f − 2ξf
xδ
δ
,
(14.88)
y el sistema (14.80)-(14.83) se transforma en 1 d 2 − m 2 f + f f + [(2 − m)β + ξβ ] = −2 (ξf ), m 2m dξ
(14.89)
g 2 = 2ξβ ,
(14.90)
2
fg g m−1 d gf − 2f g − = 4 (ξg ) − , m ξ dξ ξ
(14.91)
con las condiciones de contorno f (0) = 0,
g(0) = 0,
β = β0 , en ξ = 0
(14.92)
y de acoplamiento con la soluci´on exterior ξ → ∞(r → ∞) dada por (14.85). De la condici´ on de acoplamiento, teniendo en cuenta (14.86), se tiene m 2νx ˙ f (ξ) = Wo rm−2 = Wo δ m−2 (x)ξ 2 −1 , δ 2 (x) m νx g(ξ) = LWo rm−2 = LWo δ m−2 ξ 2 −1 , vφ = 2 δ (x)
vx =
(νz)2 (νx)2 p (LWo )2 2(m−2) = β(η), = 2 β(ξ) = r ρ δ (x) 2(m − 2) δ4 junto con
δ(x) =
mνx Wo
(14.93) (14.94) (14.95)
1/m (14.96)
y las condiciones de contorno f → ξ m/2 ,
g → mLξ
m 2 −1
,
β→
(mL)2 m−2 . ξ 2(m − 2)
(14.97)
La resoluci´on num´erica del sistema de ecuaciones diferenciales (14.89)-(14.91) con condiciones de contorno (14.92) y (14.97) implica la utilizaci´ on de una t´ecnica num´erica conocida como disparo (shooting en la terminolog´ıa inglesa) en la que el arranque de la soluci´ on num´erica desde el eje (no se puede integrar hacia el eje por tener ´este el car´acter de punto de silla) requiere especificar los
392
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
valores de uno o m´as par´ametros, en este caso dos, desconocidos a priori. Dados valores arbitrarios de los par´ametros de arranque, la soluci´on num´erica no cumplir´a, en general, el comportamiento requerido en el infinito, por lo que se procede a nuevas integraciones variando los par´ ametros del arranque. El problema queda determinado cuando se encuentra la pareja de par´ ametros que satisfacen en el infinito el comportamiento dado por (14.97). Se han descrito en la literatura las soluciones correspondientes a los casos 1 ≤ m < 2,5 por ser las caracter´ısticas de estos v´ortices las que m´as se asemejan a los resultados experimentales existentes. Para 1 < m < 2, se encuentra que no existe soluci´on si el par´ametro L es menor que un cierto valor cr´ıtico L∗ , mientras que existen dos soluciones posibles si L < L∗ (en la realidad se dar´ a la m´as estable). La no existencia de soluciones para L > L∗ se debe entender en el sentido de que no existen soluciones de tipo de capa delgada como las que describe la aproximaci´on cuasi-cil´ındrica (14.80)-(14.83) y ha sido interpretado como signo de rotura de v´ ortice vortex breakdown, fen´omeno en el que un v´ortice esbelto rompe cuando el par´ametro de Squire sobrepasa un cierto l´ımite y se forma un flujo con estructura no esbelta, Figura 14.13.
Figura 14.13: Rotura de v´ ortices sobre el extrad´os de una ala en delta. Los v´ortices son consecuencia del paso de la corriente de intrad´ os (mayor presi´on) a extrad´ os (menor presi´on). Obs´ervese que aguas abajo del v´ertice el n´ ucleo vortical viscoso rompe sim´etricamente en una burbuja en un caso y en un flujo no sim´etrico en el otro.
14.7.
Soluciones num´ ericas de capa l´ımite
Excepto en los casos en los que el gradiente de presiones permite la descripci´on de la capa l´ımite a partir de soluciones de semejanza, las ecuaciones de la capa l´ımite deben ser integradas num´ericamente. Debido a su complejidad, la resoluci´on num´erica exacta de las ecuaciones de la capa l´ımite no era tarea trivial para la capacidad computacional de los ordenadores anteriores a los a˜ nos 80 del pasado siglo, por lo que se desarrollaron, a partir de 1920, m´etodos aproximados para su resoluci´on num´erica, denominados m´etodos integrales, profusamente utilizados en el ´ambito de la Ingenier´ıa Aeron´autica. Naturalmente, la capacidad de los ordenadores actuales permite con relativa sencillez la integraci´on num´erica exacta de las ecuaciones de la capa l´ımite, por lo que los m´etodos integrales van cayendo paulatinamente en desuso. No obstante, por su simplicidad en la implementaci´on y la rapidez con que permiten determinar las caracter´ısticas principales de la capa l´ımite (esfuerzo en la pared, espesor, etc.) se dar´a en primer lugar una somera descripci´on de estos 5 El caso m = 1 que estudi´ o Long en 1958 y que se denomina en su honor v´ ortice de Long, es un caso degenerado del m´ as general, m = 1, que estudiaron Fern´ andez-Feria y otros en 1995 y 1999.
393
14.7. Soluciones num´ericas de capa l´ımite
m´etodos,6 para pasar despu´es a describir algunas de las t´ecnicas num´ericas exactas que se utilizan en la actualidad para integrar las ecuaciones de la capa l´ımite.
14.7.1.
M´ etodos integrales
La integraci´ on de las ecuaciones de la capa l´ımite en la direcci´on normal a la pared da lugar a una ecuaci´on diferencial ordinaria respecto a la variable x, que se denomina ecuaci´on integral de la capa l´ımite, en la que aparecen integrales respecto a la variable y cuyos integrandos contienen la velocidad axial u(x, y) o funciones de ella. En efecto, si a la ecuaci´on (14.10) multiplicada por el factor (ue − u) se le resta la ecuaci´on (14.11) se obtiene ∂ ∂2u ∂ [u(ue − u)] + [v(ue − u)] + (ue − u)ue = −ν 2 . ∂x ∂y ∂y
(14.98)
Esta ecuaci´on multiplicada por dy e integrada entre 0 e ∞ se convierte en la ecuaci´on integral de Karman de la capa l´ımite incompresible 1 due dδ2 + (2δ2 + δ1 ) = τp /ρu2e , dx ue dx
(14.99)
donde se ha hecho uso de las definiciones (14.22) y (14.24) de los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento. La ecuaci´on integral de Karman puede deducirse tambi´en aplicando los teoremas de conservaci´on de la masa y de la cantidad de movimiento en forma integral a un volumen de control como el indicado en la Figura 14.14, limitado por la pared, el borde exterior de la capa l´ımite que se supone a una distancia δ(x) de la pared donde la densidad y la velocidad alcanzan los valores ρe y ue de la corriente exterior y dos secciones normales a la pared y separadas una distancia dx.
ue(x)
pe(x)
u(x,y)
pe+dpe
tp x
x+dx
Figura 14.14: Volumen de control para la ecuaci´ on integral de Karman. Si se considera, para mayor generalidad, el caso de un fluido compresible, la ecuaci´ on de conservaci´on de la masa en el volumen elemental de la Fig. 14.14 proporciona δ d dδ ρ u d y = ρe (x)ue (x) . (14.100) dx o dx De la conservaci´on de la cantidad de movimiento se obtiene δ dδ dδ d(pe δ) d ρu2 dy − ρe u2e =− + pe − τp , dx o dx dx dx
(14.101)
6 Una ventaja adicional de los m´ etodos integrales es que pueden ser usados indistintamente para el c´ alculo de capas l´ımites laminares y turbulentas.
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
394
donde se ha tenido en cuenta que la presi´ on se conserva a trav´es de normales a la capa l´ımite. Haciendo uso de (14.100), la ecuaci´on anterior puede escribirse en la forma d dx o tambi´en d dx
δ
ρu2 dy − ue o
d dx
δ
ρudy = −δ o
dpe − τp , dx
(14.102)
δ d due δ due = ρu dy − ρuue dy + ρudy − δρe ue dx dx dx o o o δ due δ d ρu(u − ue )dy − (ρu − ρe ue )dy = −τp , dx o dx o δ
2
(14.103)
donde se ha hecho uso de la conservaci´on de cantidad de movimiento de la corriente exterior ρe ue due /dx = −dpe /dx. Si se tiene en cuenta que
δ
∞
ρu(u − ue )dy = o
ρu(u − ue )dy
(ρu − ρe ue )dy =
y
o
δ
o
∞
(ρu − ρe ue )dy,
(14.104)
o
ya que y ≥ δ la densidad y la velocidad del gas son las de la corriente exterior (ρ = ρe , u = ue ) y se introducen los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento definidos en (14.25)-(14.26) se obtiene d due (ρe u2e δ2 ) + ρe ue δ1 = τp , (14.105) dx dx y finalmente se obtiene la ecuaci´on integral de Karman para un fluido compresible δ2 dρe τp 1 due dδ2 + (2δ2 + δ1 ) + = . dx ue dx ρe dx ρe u2e
(14.106)
Si se tiene en cuenta la conservaci´on de la entalp´ıa de remanso en la corriente exterior due γ pe dρe ∂u2e /2 γ 1 ∂pe ∂he + ue = 0, − + = 2 ∂x ∂x γ − 1 ρe dx γ − 1 ρe dx dx
(14.107)
y se sustituye dpe /dx = −ρe ue due /dx se llega a u 1 dρe = − e Me2 , ρe dx ue
(14.108)
donde Me = u2e /ae es el n´ umero de Mach de la corriente exterior. Teniendo en cuenta (14.108), la ecuaci´on (14.106) de Karman se escribe en su forma m´as sencilla τp dδ2 u . + [(2 − Me2 )δ2 + δ1 ] e = dx ue ρe u2e
(14.109)
Obs´ervese que cuando Me2 2 los efectos de compresibilidad en la capa l´ımite son despreciables y la forma de (14.109) coincide con la ecuaci´on de Karman para un fluido incompresible, (14.99). En el caso de fluidos compresibles, o en el an´alisis de capas l´ımites t´ermicas de fluidos incompresibles, el teorema de conservaci´on de la energ´ıa aplicado al volumen de control de la Fig. 14.11 suministra, en ausencia de fuerzas m´asicas, la siguiente ecuaci´on integral de la energ´ıa ∞ ∂T d ρu(hoe − ho )dy = −qp = k , (14.110) dx o ∂y y=0
395
14.7. Soluciones num´ericas de capa l´ımite
donde ho = h + v 2 /2 es la entalp´ıa de remanso. En lo que sigue se limitar´a el estudio al caso de capas l´ımites laminares estacionarias de fluidos incompresibles. La idea de los m´etodos integrales consiste en buscar una soluci´on aproximada u(x, y) que se comporte apropiadamente en la pared y en el exterior de la capa l´ımite y adem´as satisfaga una ecuaci´on promedio que es lo que representa la ecuaci´on integral de Karman. Para ello se sustituye u(x, y) por una funci´ on de y que contenga, generalmente en forma de coeficientes, m funciones de x a determinar. La determinaci´on de los m coeficientes inc´ognitas se realiza requiriendo que la soluci´on aproximada satisfaga las m condiciones siguientes: Las condiciones de contorno en la pared y en el infinito u(x, 0) = 0
y
u(x, ∞) = ue (x);
(14.111)
El perfil de velocidades aproximado debe satisfacer la ecuaci´on integral de Karman, ecuaci´ on (14.99); (m-3) condiciones que se obtienen de exigir que la soluci´on aproximada satisfaga la ecuaci´on diferencial (14.11) y sus derivadas respecto a y tanto en la pared como en el infinito; se tiene de este modo ∂ 3 u ∂ 2 u ue due ∂ 4 u ∂u ∂ 2 u ∂ n u = − = 0, = = 0, (14.112) ∂y 2 y=0 ν dx ∂y 3 y=0 ∂y 4 y=0 ∂y ∂x∂y ∂y n y→∞ y as´ı sucesivamente. Es usual elegir u = f (η), ue (x)
η = y/δ(x),
0 ≤ y ≤ δ(x),
(14.113)
donde la funci´ on f (η) contiene (m − 1) funciones de x que deben ser determinadas junto con δ(x). Si (14.113) se sustituye en las condiciones (14.111)-(14.112) se obtienen m − 1 condiciones de contorno que debe satisfacer la funci´ on f δ 2 ue = −Λ, f (0) = 0, ν ! " 3 ˙(0) d f δ ue ...., f IV (0) = f (0) ν dx δ
f (0) = 0,
f (0) = −
f (1) = 1,
f (1) = f (1) = ... = 0.
(14.114) (14.115)
Por ejemplo, en el m´etodo de Pohlhausen se elige el perfil f (η) = a1 (x)η + a2 (x)η 2 + a3 (x)η 3 + a4 (x)η 4 ,
(14.116)
al que se obliga a cumplir las dos primeras condiciones de (14.114) y las tres de (14.115) con lo que se obtiene Λ Λ Λ Λ (14.117) a1 = 2 + , a2 = − , a3 = − 2, a4 = 1 − , 6 2 2 6 donde Λ(x) = δ 2 ue /ν es un par´ametro que mide la relaci´on entre el tiempo de difusi´ on viscosa δ 2 /ν y el tiempo convectivo (ue )−1 . Sustituyendo el perfil de velocidades (14.113) y (14.117) en (14.22) y (14.24) se obtienen los espesores de desplazamiento y de cantidad de movimiento
1 3 Λ δ2 1 37 Λ Λ2 δ1 (1 − f )dη = = − , = f (1 − f )dη = − − , (14.118) δ 10 120 δ 63 5 15 144 o
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
396 y el esfuerzo en la pared es
ue (2 + Λ/6). (14.119) δ N´ otese que existe una cota inferior para los valores de Λ, Λ = −12, que corresponde a τp = 0 y, por tanto, a desprendimiento de capa l´ımite. El problema se cierra sustituyendo las expresiones (14.118) y (14.119) en la ecuaci´on integral de Karman, (14.106), con lo que se obtiene la ecuaci´on diferencial que debe satisfacer Λ(x) y que determina la soluci´on aproximada de la capa l´ımite. No obstante, la ecuaci´on diferencial resultante se simplifica notablemente si en vez de Λ(x) se utiliza como variable dependiente τp = µ
δ 2 δ 2 ue δ 2 u = λ = 2 e = 22 ν δ ν
δ2 δ
2 Λ(x),
(14.120)
de donde usando el valor de δ2 /δ dado por (14.118) se obtiene 1/2 1 37 Λ Λ2 λ = − − , Λ 63 5 15 144
(14.121)
y de (14.118) y (14.119), teniendo en cuenta (14.121) se tiene −1/2 λ = f1 (λ), Λ
(14.122)
1/2 Λ λ 2+ = f2 (λ). 6 Λ
(14.123)
(36 − Λ) δ1 = δ2 120 y τp δ2 = µue
En funci´on de λ la ecuaci´on (14.106) toma la forma λ d = 2f2 (λ) − 2λ[2 + f1 (λ)] = F (λ), ue dx ue
(14.124)
que debe ser integrada junto a las relaciones algebraicas (14.121)-(14.123). En general, la ecuaci´ on (14.124) debe comenzar a integrarse en el punto de remanso donde ue (0) = 0 y ue (0) es finita y distinta de cero.7 Por tanto, para evitar que (14.124) sea singular en el punto de remanso, λ(0) tiene que ser tal que (14.125) F (λ(0)) = 2f2 [λ(0)] − 2λ(0)[2 + f1 (λ(0))] = 0. La resoluci´on num´erica de las ecuaciones (14.121)-(14.125) proporciona tres parejas de valores reales para λ(0) y Λ(0). Dos de estas parejas de valores, las que corresponden a valores de Λ(0) > 12, deben rechazarse porque dan lugar a perfiles de velocidades con un m´ aximo de velocidad superior a ue (x) lo que carece de sentido f´ısico en capas l´ımites incompresibles. Se tiene, por tanto, que la ecuaci´on (14.124) debe integrarse con la condici´ on de contorno λ(0) 0,077
y
Λ(0) 7,052.
(14.126)
on de (14.124) con la condici´ on Dada entonces la soluci´on del problema exterior, ue (x), la integraci´ de contorno (14.126) y las ecuaciones algebraicas (14.121)-(14.123) determinan λ(x) y Λ(x) as´ı como δ2 (x), δ1 (x), δ(x) y τp (x). El punto de desprendimiento xd se alcanza cuando τp (xd ) = 0 o lo que es lo mismo Λ(xd ) = −12 teniendo en cuenta (14.121) λ(xd ) −0,157. 7
El caso de un borde de ataque de retroceso no se incluye aqu´ı.
397
14.7. Soluciones num´ericas de capa l´ımite
Una simplificaci´on ulterior que permite integrar anal´ıticamente la ecuaci´on (14.124) se debe a Thwaites (1946)8 que represent´o el segundo miembro de (14.124) en funci´ on de λ para todas las soluciones exactas, num´ericas o anal´ıticas de la capa l´ımite. Como era de esperar encontr´o que exist´ıa una buena correlaci´ on entre F y λ, pudi´endose aproximar por una recta de ecuaci´on9 F (λ) = a − bλ,
(14.127)
donde a 0,45 y b 6. En este caso la ecuaci´on (14.124) admite el factor integrante ube y puede ser integrada anal´ıticamente. En efecto, multiplicando (14.124) por ub−1 se tiene e λ d b λ d b−1 b−1 ue = au − bλu =a− (14.128) u , ube e e dx ue ue ue dx e y d dx que integrada proporciona
λube ue
= a,
δ22 ue = aue u−b e ν
(14.129)
x
ub−1 e dx,
(14.130)
y de acuerdo con los valores de a y b hallados por Thwaites x (x) u5e dx. λ = 0,45 ue (x)u−6 e
(14.131)
λ=
o
o
La elecci´on de Thwaites a = 0,45, b = −6 representa un promediado sobre los muchos m´etodos existentes basados en aproximar la funci´on F (λ) = a − bλ por lo que probablemente sea (14.131) la expresi´on de uso m´as apropiado. Thwaites sugiri´ o tambi´en relaciones entre λ y los par´ametros adimensionales τp δ2 /µue y δ1 /δ2 . Sus relaciones est´an basadas tambi´en en datos obtenidos de soluciones conocidas de capa l´ımite, sin embargo, especialmente en el caso del par´ametro de fricci´on, dif´ıcilmente pueden representar una media de los datos, ya que los valores de τp representan diferencias muy acusadas en las zonas donde el gradiente de presiones es adverso. Una mejora de los resultados de Thwaites en la regi´on cercana al punto de separaci´on es debida a Curle y Skan (1957); los resultados de Thwaites modificados para el coeficiente de fricci´on pueden aproximarse mediante la relaci´on τp δ2 = (λ + 0,09)0,62 , (14.132) µue de donde λ = −0,09 es el valor de λ en el punto de desprendimiento. Naturalmente, se deben cumplir adem´as las relaciones (14.124) y (14.127) con lo que resulta 1 δ1 = 2(λ + 0,09)0,62 − 0,45 + 6λ − 2; δ2 2λ
(14.133)
n´otese que la expresi´on (14.133) es finita en λ = 0, ya que entonces τp δ2 /µue 0,225. Las expresiones (14.131)-(14.133) permiten calcular de un modo sencillo las principales caracter´ısticas de la capa l´ımite una vez que el campo de velocidades no viscoso ue (x) es conocido. Conviene advertir, sin embargo, que la expresi´ on (14.132) no es suficientemente aproximada con completa generalidad, ya que en las proximidades del punto de desprendimiento el par´ ametro τp δ2 /µue no s´olo depende de λ sino que puede depender tambi´en de la variable x. 8
Walz en 1941 ya anticip´ o el m´ etodo de Thwaites. Si se tuvieran en cuenta las condiciones adicionales de (14.112) no consideradas aqu´ı, se encontrar´ıa una ligera dependencia de F con x. 9
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
398
14.7.2.
M´ etodos num´ ericos en capa l´ımite
Si las ecuaciones de capa l´ımite (14.78-14.79) se escriben en las variables u∗ = u/Uo ,
u∗e = ue /Uo ,
v ∗ = v/ν,
x∗ = xν/Uo ,
y ∗ = y,
(14.134)
adquieren entonces una forma m´ as universal en la que desaparece la dependencia con la viscosidad y si por simplicidad de escritura se suprime el asterisco en las variables resulta ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y
(14.135)
∂u ∂2u ∂u ∂ue +v = α(y)ue + 2, ∂x ∂y ∂x ∂y
(14.136)
α(y) α(y)u
donde Uo es un valor caracter´ıstico de la velocidad ue (x) y la funci´ on α(y) es respectivamente α(y) = e2y para una capa l´ımite axilsim´etrica o α = 1 para una capa l´ımite bidimensional, o axilsim´etrica pero cuyo espesor sea mucho menor que el radio caracter´ıstico del obst´aculo. Como condiciones de contorno se imponen u(x, 0) = v(x, 0) = 0,
u(x, ∞) = ue (x),
y
u(xo , y) = uo (y).
(14.137)
Existen varios m´etodos num´ericos eficientes para la integraci´on num´erica del problema (14.13514.137) siendo quiz´as el m´as conocido el denominado de cajas10 en el que el dominio fluido se discretiza en las direcciones x e y lo que da lugar a un sistema algebraico no lineal que se resuelve mediante un esquema de iteraciones de tipo Newton-Raphson. 5 Númerico Thwaites
4 2
2toRe/rU¥ 3 2 1 0
0
20
40
q
80
100
120
Figura 14.15: Esfuerzo τo en la pared de un cilindro circular como funci´ on del ´angulo θ. Un m´etodo alternativo de integraci´ on num´erica, mucho m´as c´omodo de implementar, es el denominado de l´ıneas que suele dar buenos resultados en problemas de tipo parab´ olico, como el que nos ocupa, en los que el flujo est´a determinado por las condiciones de la corriente aguas arriba (la informaci´ on no progresa en sentido opuesto al del flujo). Este m´etodo, que ha sido descrito en el Ap´endice 8.I, se ha usado para calcular el esfuerzo en la pared del flujo alrededor de un cilindro circular sin circulaci´ on, debe tenerse en cuenta que, a diferencia del caso considerado en 10 Para una exposici´ on detallada de este m´etodo el lector interesado puede consultar H. B. Keller, Annual Review of Fluid Mechanics, 10, 417-433, 1978.
14.8. Capa l´ımite t´ermica
399
Figura 14.16: Perfiles adimensionales de velocidad en diferentes secciones de la capa l´ımite sobre un cilindro circular. el Ap´endice 8.I, el gradiente de presiones es ahora conocido; los resultados se representan en la Figura 14.15. La corriente potencial sobre el cilindro ue (θ) = 2U∞ sen θ es la dada en (13.63). N´otese que el esfuerzo en la pared aumenta aguas abajo del punto de remanso, alcanza un m´aximo y comienza a disminuir hasta el punto de desprendimiento que se presenta cuando el esfuerzo en la pared se anula; el punto de desprendimiento de la capa l´ımite se presenta en θd 105o . El esfuerzo en la pared calculado con el m´etodo de Thwaites se incluye tambi´en en la Figura 14.15 para su comparaci´on. Los perfiles de velocidad en diferentes posiciones angulares de la capa l´ımite sobre el cilindro se dan tambi´en en la Figura 14.16. Obs´ervese el cambio que experimentan dichos perfiles a medida que la capa l´ımite evoluciona aguas abajo y c´omo a partir de cierta posici´on aparece un punto de inflexi´ on en los perfiles de velocidad.
14.8.
Capa l´ımite t´ ermica
El c´alculo de la transferencia de calor entre una pared s´ olida y un fluido resulta en un problema fluidodin´ amico de extraordinaria complejidad que debe ser, sin embargo, abordado por su enorme relevancia en numerosos campos de la Ingenier´ıa y la Tecnolog´ıa. Sucede, no obstante, que la conductividad de calor de muchos l´ıquidos y gases es, como le sucede a la viscosidad, lo suficientemente peque˜ na para que sus efectos, en la mayor´ıa de las aplicaciones pr´acticas en las que el n´ umero de Peclet es grande, puedan ser despreciados en el campo fluido excepto en una capa l´ımite muy delgada adyacente a la pared s´olida (del mismo modo, las superficies de discontinuidad que pueden aparecer en el movimiento de fluidos ideales deben sustituirse, cuando se analiza el movimiento de fluidos reales a altos n´ umeros de Reynolds y Peclet, por capas l´ımites viscosas o t´ermicas). Naturalmente, en estas capas delgadas, los gradientes de temperatura son lo suficientemente grandes como para que el flujo de calor por conducci´ on normalmente a la pared s´olida sea del mismo orden que el flujo convectivo de calor, lo que determina el espesor δT de la capa l´ımite t´ermica ρU cp ∆T /L ∼ K∆T /δT2 , (14.138)
400
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor δT ∼
KL L ∼√ , ρU cp ReP r
(14.139)
umeros de Reynolds y Prandtl respectivamente. donde Re = U L/ν y P r = µcp /K son los n´ Teniendo en cuenta (14.13), la relaci´on entre los espesores de las capas l´ımites t´ermica y viscosa resulta δT ∼ δ/P r1/2 . (14.140) N´otese que si el n´ umero de Prandtl es del orden de la unidad, como ocurre en el caso de gases, los espesores de las capas l´ımites viscosa y t´ermica son del mismo orden. Cuando el n´ umero de Prandtl es muy grande, lo que ocurre en l´ıquidos en los que la viscosidad cinem´atica es mucho mayor que la difusividad t´ermica, la expresi´on indica que el espesor de la capa l´ımite t´ermica es mucho menor que el de la viscosa. Lo que ocurre f´ısicamente es que por ser la viscosidad cinem´atica mucho mayor que la difusividad t´ermica, la capacidad del fluido para transportar cantidad de movimiento es mucho mayor que para transportar calor, por lo que los efectos viscosos asociados a la presencia de la pared penetran en el fluido una distancia mucho mayor que los efectos t´ermicos asociados tambi´en a la presencia de la pared. Naturalmente, en el caso en que el n´ umero de Prandtl sea mucho menor que la unidad, lo que corresponde al caso de metales l´ıquidos, se obtiene el resultado opuesto. N´otese que si P r 1 el resultado mostrado en (14.140) no es correcto, ya que el primer miembro de (14.138) debe corregirse para tener en cuenta que la velocidad en la capa l´ımite t´ermica es del orden de U y/δV ∼ U δT /δV U . Se tiene entonces ρU (δT /δV )cp ∆T /L ∼ K∆T /δT2 ,
(14.141)
δT ∼ δV /P r1/3 .
(14.142)
y Como suced´ıa en el problema de la determinaci´on del coeficiente de fricci´on entre un fluido y una pared s´olida, tambi´en en el problema de la determinaci´on del flujo de calor desde un fluido a una pared, o viceversa, es posible tomar ventaja del hecho de que los gradientes de temperaturas son s´olo importantes en una capa delgada para simplificar la ecuaci´ on de la energ´ıa en una manera similar a como se hizo anteriormente con las ecuaciones de cantidad de movimiento. Al escribir las ecuaciones que determinan el movimiento del fluido en tales capas t´ermicas, debe tenerse en cuenta la compresibilidad del fluido, ya que las diferencias de temperatura pueden dar lugar a diferencias de densidad significativas. En efecto, si la presi´ on y temperatura no se diferencian mucho de sus valores de referencia p∞ y T∞ , es posible usar la ecuaci´on de estado ∂ρ 1 ρ − ρ∞ ∂ρ = (T − T∞ ) + (p − p∞ ) , (14.143) ρ∞ ρ∞ ∂T p ∂p T o, utilizando los coeficiente de expansi´on t´ermica β y compresibilidad k ρ − ρ∞ = −β(T − T∞ ) + k(p − p∞ ). ρ∞
(14.144)
Las ecuaciones de la capa l´ımite compresible se obtienen escribiendo las ecuaciones de NavierStokes en coordenadas de capa l´ımite, suponiendo que la capa l´ımite es delgada, esto es δ L (aqu´ı δ representa el mayor de los espesores, viscoso o t´ermico, de la capa l´ımite y L es la longitud caracter´ıstica en la direcci´on de x), as´ı como que δ es peque˜ no frente al radio o radios de curvatura de la superficie y procediendo en forma an´ aloga al caso incompresible. Como se hizo anteriormente, se limitar´a el estudio al caso de capas l´ımites bidimensionales y estacionarias cuyas ecuaciones son ∂(ρu) ∂(ρv) + = 0, ∂x ∂y
(14.145)
401
14.8. Capa l´ımite t´ermica ∂u ∂u ∂ ∂p ∂u +v + ρ fx + ρ u =− µ , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂p , ∂y 2 ∂h ∂u ∂ ∂p ∂T ∂h +v +µ + =u K , ρ u ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y 0=−
(14.146) (14.147) (14.148)
donde fmx es la componente de la fuerza m´asica, usualmente la gravedad en la direcci´on del eje x. Es corriente en este tipo de problemas descomponer la presi´on en dos sumandos p = ph + pm , uno ph debido al campo hidrost´ atico (∇ph = ρ∞ gk), que corresponde al campo de presiones de un medio en reposo con densidad ρ∞ en presencia de la gravedad, y otra pm asociada al movimiento. Por otra parte, cuando la corriente de fluido es inducida por diferencias de temperatura en presencia de un campo gravitatorio, la dependencia de la presi´ on en la densidad del fluido es, generalmente hablando, despreciable frente a la influencia de la temperatura y (14.144) se reduce a ρ − ρ∞ = −β (T − T∞ ). ρ∞
(14.149)
Teniendo en cuenta las premisas anteriores y la ecuaci´on de estado h = cp T , las ecuaciones (14.146) y (14.148) se escriben ∂u ∂u ∂ ∂pm ∂u +v ρ u =− − ρ∞ β(T − T∞ )fmx + µ , (14.150) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 2 ∂T ∂T ∂u ∂ ∂pm ∂T +v + ρ∞ ufmx + µ + ρcp u =u K , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y
(14.151)
que junto a (14.145), (14.147) y (14.149) forman un sistema de cinco ecuaciones para el c´ alculo de las variables u, v, pm , ρ y T como funciones de x e y. El t´ermino ρβ(T − T∞ )fmx representa las fuerzas de flotabilidad por unidad de volumen. N´ otese que la presi´on se mantiene constante a lo largo de normales a la capa l´ımite pm = pme (x). En el caso de l´ıquidos es conveniente sustituir (14.151) por la ecuaci´on de la energ´ıa interna e(de = c d T ) que en este caso se escribe 2 ∂T ∂u ∂ ∂T ∂T ρc u + +v = −(pm + ph )∇ · v + µ K . ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y
(14.152)
N´otese que en este caso el trabajo de compresi´on no es exactamente nulo ya que existen variaciones de densidad en el l´ıquido asociadas a las variaciones de temperatura. No obstante, y como se ver´a m´as adelante, este t´ermino es despreciable frente a los restantes en la mayor´ıa de las aplicaciones pr´acticas. A las ecuaciones (14.145), (14.150) y (14.151), o (14.152) en el caso de l´ıquidos, hay que a˜ nadirles las condiciones de contorno y = 0, u = v = 0, T = Tp (x), (14.153) y → ∞, x = xo ,
u = ue (x),
u(xo , y) = uo (y),
T = Te (x),
(14.154)
T (xo , y) = To (y),
(14.155)
donde la velocidad ue y temperatura Te (o entalp´ıa) en el exterior satisfacen las relaciones ρe ue
∂p ∂ue =− + (ρe − ρ∞ )fmx , ∂x ∂x
(14.156)
402
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor ρe cp ue
∂Te = ue ∂x
∂ph ∂pm + ∂x ∂x
,
(14.157)
o bien en lugar de (14.157) la condici´ on de que el flujo exterior es isentr´ opico ue
∂Se = 0. ∂x
(14.158)
La importancia relativa de las fuerzas de flotabilidad frente a las de inercia, o frente a las viscosas, pues ambas son del mismo orden en la capa l´ımite, viene determinada por el par´ ametro adimensional β ∆ T g L3 ν 2 β ∆T gL = ; (14.159) 2 2 L2 U∞ ν2 U∞ el primero de los dos par´ametros adimensionales del segundo miembro es el n´ umero de Grashof G que mide la importancia relativa entre las fuerzas de flotabilidad y las de inercia en la corriente exterior, mientras que el segundo es el inverso del n´ umero de Reynolds que es siempre un n´ umero muy grande si existe capa l´ımite. Si el n´ umero de Grashof es tal que G Re2 lo que ocurre a 2 grandes velocidades U∞ β ∆ T g L las fuerzas de flotabilidad son despreciables y la convecci´ on se denomina forzada (forzada por un flujo exterior que es impuesto y producido por cualquier medio 2 mec´anico). Por el contrario, cuando U∞ β ∆ T g L las fuerzas de flotabilidad son dominantes y responsables del movimiento del fluido. En este caso la convecci´on se denomina libre o natural y el movimiento del fluido es debido a las fuerzas de flotabilidad en el campo gravitacional terrestre asociadas a las variaciones de densidad. Un ejemplo t´ıpico es el movimiento inducido por un s´ olido a temperatura superior a la del fluido en reposo en el infinito, que lo ba˜ na. Como se ver´a en lo que sigue, la convecci´on forzada puede ser subdividida en dos casos dependiendo de los valores del n´ umero de Mach de la corriente: a bajos n´ umeros de Mach los efectos de la disipaci´on viscosa y del trabajo mec´anico de la presi´on pueden ser despreciados frente a la convecci´on de calor, mientras que su efecto debe ser retenido a n´ umeros de Mach de orden unidad. En el primer caso y salvo en problemas de convecci´ on natural, si sucede adem´as que las diferencias de temperatura en el flujo son peque˜ nas frente a la propia temperatura, las variaciones relativas de densidad son peque˜ nas, la capa l´ımite puede tratarse como incompresible y el problema mec´anico de determinar el campo de velocidades se desacopla del t´ermico y puede resolverse independientemente y previamente a ´el. A continuaci´ on se estudiar´a primero la convecci´on forzada, en particular se tratar´ a la capa l´ımite t´ermica incompresible, para proceder despu´es al an´alisis del transporte de calor por convecci´ on natural.
14.9.
Convecci´ on forzada. Analog´ıa de Reynolds
Cuando G/Re2 1, donde G y Re representan los n´ umeros de Grashof y Reynolds, las fuerzas de flotabilidad son despreciables frente a las de inercia y las ecuaciones de la capa l´ımite compresible se obtienen a partir de (14.145), (14.150) y (14.151) ∂(ρu) ∂(ρv) + = 0, ∂x ∂y ∂u ∂u ∂p ∂ ∂u ρ u +v =− + µ , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 2 ∂T ∂ ∂T ∂p ∂u ∂T + +v =u +µ K , ρcp u ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y
(14.160)
(14.161) (14.162)
403
14.9. Convecci´on forzada. Analog´ıa de Reynolds
donde, dado que las fuerzas de flotabilidad son despreciables, se ha hecho la aproximaci´ on ∂pm /∂x ∂p/∂x. Las condiciones de contorno son las dadas (14.153)-(14.155). Si ∆p y U denotan las variaciones de presi´on y la velocidad caracter´ısticas de un flujo, se obtiene de (14.161) ∆p ∼ ρU 2 y el trabajo de compresi´on es del orden de u
U3 ∂p ∆p ∼ρ . ∼U ∂x L L
(14.163)
Por otra parte, el orden de magnitud de la disipaci´ on viscosa por unidad de volumen es µ
∂u ∂y
2 ∼µ
y la convecci´on de calor ρ cp u
U2 U3 U2 UL U2 ∼ µ Re ∼ ρ , ∼ µ δ2 L2 L2 ν L
∂T ∆T Tp − Te ∼ ρ cp U . ∼ ρ cp U ∂x L L
(14.164)
(14.165)
Se tiene, por tanto, que si U2 1, cp (Tp − Te )
(14.166)
los t´erminos de la disipaci´on viscosa y el trabajo mec´anico de la presi´on pueden despreciarse frente a la convecci´on de calor. La condici´on (14.166) se puede escribir en la forma (γ − 1)M 2
Tp − Te , Te
(14.167)
donde se ha definido el n´ umero de Mach M 2 = U 2 /(γ Rg Te ), y muestra que cuando el n´ umero de Mach de la corriente es lo suficientemente bajo como para satisfacer (14.167), los incrementos de temperatura debidos a la disipaci´ on viscosa y al trabajo de la presi´ on son despreciables en primera aproximaci´ on. En el caso de l´ıquidos el trabajo de compresi´ on es tambi´en del orden pm ∇ · v ∼ ∆pU/L ∼ ρU 3 /L,
(14.168)
y por tanto despreciable, como el de disipaci´on de la viscosidad, frente a la convecci´ on de calor si U 2 /c(Tp − Te ) 1;
(14.169)
condici´on que se cumple en el movimiento de l´ıquidos en la mayor´ıa de las aplicaciones pr´acticas. Si simult´ aneamente a (14.167) en el caso de gases, o a (14.169) en el de l´ıquidos, se verifica que T p − Te 1, Te
(14.170)
las ecuaciones (14.144) y (14.149) muestran que las variaciones de densidad relativas a la propia densidad son peque˜ nas y ´estas pueden despreciarse y suponer la densidad constante al integrar las ecuaciones de la capa l´ımite. Finalmente si µ(T ) y K(T ) pueden considerarse constantes, las ecuaciones (14.160)-(14.162) adoptan la forma de la capa l´ımite t´ermica incompresible
u
∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y
(14.171)
∂2u ∂u ∂u +v = ue ue + ν 2 , ∂x ∂y ∂y
(14.172)
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
404
u
∂T ∂T ν ∂2T +v = , ∂x ∂y P r ∂y 2
(14.173)
con las condiciones de contorno u(x, 0) = v(x, 0) = 0,
T (x, 0) = Tp (x),
(14.174)
u(x, ∞) = ue (x),
T (x, ∞) = Te (x),
(14.175)
u(xo , y) = uo (y),
T (xo , y) = To (y).
(14.176)
y las condiciones iniciales Es interesante observar que en la aproximaci´ on casi-incompresible Te es constante, ya que fuera de la capa l´ımite la corriente es isentr´opica. Obs´ervese tambi´en que, en este caso, los problemas t´ermico y mec´anico est´an desacoplados, de modo que se puede calcular el campo de velocidades u(x, y), v(x, y) a partir de (14.171) y (14.172) lo que permite determinar el esfuerzo τp (x) en la pared. Sustituyendo las funciones u y v en (14.173) se obtiene una ecuaci´on lineal de coeficientes variables para determinar el campo de temperaturas y la magnitud f´ısica, de mayor inter´es pr´actico en los problemas t´ermicos que es el flujo de calor que el fluido cede a la pared ∂T qp (x) = K . (14.177) ∂y y=0 Es usual escribir el flujo de calor en la pared, utilizando la ley de Newton del calor, en forma proporcional a la diferencia de temperaturas entre la pared y la del medio sin perturbar qp (x) = α(x)(Tp − Te ),
(14.178)
donde α(x) es un coeficiente dimensional denominado coeficiente de transferencia de calor.11 M´ as apropiada resulta la introducci´ on de coeficientes adimensionales para expresar el flujo de calor en la pared. En efecto, si K(Tp − Te )/L es el orden de magnitud del flujo de calor conducido desde un obst´aculo de dimensi´on caracter´ıstica L, el coeficiente adimensional de transferencia de calor denominado n´ umero de Nusselt N u(x) =
K(∂T /∂y)y=0 , K(Tp − Te )/L
(14.179)
representa la relaci´on entre el flujo de calor y el flujo de calor conducido. De (14.178) y (14.179) se obtiene la relaci´on α(x)L . (14.180) N u(x) = K Cuando el n´ umero de P e es grande, lo que sucede en muchas aplicaciones pr´acticas, el calor convectado es mucho mayor que el conducido, por lo que el n´ umero de Nusselt se hace muy grande. Para evitar el manejo de n´ umeros adimensionales grandes, se suele introducir alternativamente, un flujo de calor adimensional, el n´ umero de Stanton, St, adimensionalizado con el calor convectado; se tiene entonces K(∂T /∂y)y=0 qp = . (14.181) St = ρue cp (Tp − Te ) ρue cp (Tp − Te ) Antes de resolver la capa l´ımite t´ermica incompresible en algunas situaciones de inter´es, conviene rese˜ nar la existencia de una notable analog´ıa entre el flujo de calor en la pared qp (x) y el esfuerzo de fricci´on τp (x) que fue descubierta por O. Reynolds en 1874 y conocida por esta raz´ on como analog´ıa de Reynolds. Como puede comprobarse f´acilmente de las ecuaciones (14.172) y (14.173) si 11
En el ´ ambito de la ingenier´ıa, al coeficiente α(x) se le denomina a veces coeficiente de pel´ıcula.
405
14.9. Convecci´on forzada. Analog´ıa de Reynolds
el n´ umero de Prandtl es igual a la unidad, P r = 1, si el gradiente de presiones es nulo, (ue = U∞ , placa plana a a´ngulo de ataque nulo), y la temperatura de la pared es constante, Tp = Tp (x), las variables u/ue = u/U∞ y (Tp − T )/(Tp − Te ) = (Tp − T )/(Tp − T∞ ), (Te = T∞ ), verifican la misma ecuaci´on y las mismas condiciones de contorno, con lo que u Tp − T = , Tp − T∞ U∞
(14.182)
y se puede obtener la distribuci´ on de temperaturas T (x, y) a partir del campo de velocidades u(x, y). En ese caso, de (14.182) se tiene cp (Tp − T∞ ) ∂T 1 ∂u K (Tp − T∞ ) τp = τp , (14.183) = −K(Tp − T∞ ) = qp (x) = K ∂y y=0 U∞ ∂y y=0 µ U∞ µU∞ que proporciona el valor del flujo de calor en la pared a partir del esfuerzo de fricci´ on. Introduciendo 2 el n´ umero de Stanton, (14.181), y el coeficiente de fricci´ on, cf = 2τp /(ρU∞ ), la analog´ıa de Reynolds se escribe en la forma St = cf /2. (14.184) La relaci´on (14.184) es v´alida en el caso de capas l´ımites laminares y estacionarias con gradiente de presiones nulo, de fluidos con P r = 1, y a velocidades suficientemente bajas como para que sean despreciables los efectos de disipaci´on y el trabajo mec´anico de la presi´on. En lo que sigue se analizar´a la influencia del n´ umero de Prandtl en la analog´ıa de Reynolds as´ı como la del gradiente de presiones.
14.9.1.
Influencia del n´ umero de Prandtl en el flujo de calor
Se considerar´an aqu´ı dos casos l´ımites, grandes y peque˜ nos n´ umeros de Prandtl, para los que el flujo de calor puede ser determinado sin un conocimiento detallado del perfil de velocidades u(x, y). a) Caso P r 1. En el caso del mercurio y otros metales l´ıquidos, el espesor de la capa l´ımite t´ermica es grande frente al de la viscosa y por tanto la velocidad u(x, y) puede ser reemplazada por ue (x) excepto en una zona cerca de la pared de espesor δv δT . De la ecuaci´on de continuidad se tiene ∂ue y, ∂x
(14.185)
∂T ∂ue ∂T ν ∂2T . − y = ∂x ∂x ∂y P r ∂y 2
(14.186)
v=− y la ecuaci´on (14.173) se escribe ue (x)
Introduciendo la variable de semejanza η=y 2
ue (x) , x ν ue (ξ)dξ Pr o
(14.187)
la ecuaci´on en derivadas parciales (14.186) se transforma en la lineal ordinaria d2 T 1 dT , = − η 2 dη dη 2
(14.188)
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
406 con las condiciones
T (0) = Tp que integrada proporciona
y
T (∞) = T∞ ,
T∞ − Tp √ T (η) − Tp = π
η
e−η
2
/4
dη;
(14.189)
(14.190)
o
el n´ umero de Stanton es entonces (ν/P r)1/2 , x 4π ue (ξ)dξ
St =
(14.191)
o
que en el caso de una placa plana a ´angulo de ataque nulo u(ξ) = U∞ se reduce a St = √
1 4πRex P r
y el n´ umero de Nusselt
Nu =
con
Rex P r , 4π
Rex = U∞ x/ν,
Rex = U ∞x/ν.
(14.192)
(14.193)
b) Caso P r 1. Cuando el n´ umero de Prandtl es grande, la capa en la que existen diferencias de temperatura est´a confinada dentro de la capa l´ımite viscosa y su espesor δT es tan peque˜ no comparado con δ, (δT δV ), que el perfil de velocidades en la capa de espesor δT var´ıa, en primera aproximaci´ on, linealmente con la distancia a la pared y. Si τp (x) es el esfuerzo de fricci´on en la pared, se tiene entonces ∂u τp (x) y. τp (x) = µ ,y u (14.194) ∂y y=0 µ De la ecuaci´on de continuidad, la velocidad vertical cerca de la pared resulta v=−
y2 dτp y 2 = −τp . dx 2µ 2µ
(14.195)
Sustituyendo (14.194) y (14.195) en la ecuaci´on de la energ´ıa (14.173) se obtiene τp 2 ∂T ν ∂2T τp ∂T y y , − = µ ∂x 2µ ∂y P r ∂y 2
(14.196)
con las condiciones de contorno T (x, 0) = Tp
y
T (x, ∞) = T∞ ;
(14.197)
Tp se supondr´a constante (independiente de x) en el an´alisis. Si se introduce la variable de semejanza # τp /µ (14.198) η = y 1/3 , x ν τp (ξ) dξ 3 P µ r o la ecuaci´on (14.196) se transforma en dT d2 T + η2 = 0, dη 2 dη
(14.199)
14.10. Soluciones de semejanza en convecci´on forzada que integrada dos veces con las condiciones (14.197) suministra η 3 32/3 e−z /3 dz. (Tp − T∞ ) T (x, y) = Tp + Γ(1/3) o El n´ umero de Stanton St =
(ν/P r)2/3 31/3 τp /µ 31/3 . x Γ(1/3)ue (x) o τp (ξ)/µdξ
407
(14.200)
(14.201)
proporciona el flujo de calor adimensional como funci´ on de la distribuci´ on de esfuerzos en la pared τp (x). Las expresiones (14.200) y (14.201) permiten resolver el problema t´ermico de un modo exacto a grandes n´ umeros de Prandtl, y aproximado para n´ umeros de Prandtl de orden unidad, en el caso de convecci´on forzada en paredes con temperatura constante y gradiente de presiones arbitrario. La distribuci´ on de esfuerzos τp (x) se calcula de forma exacta, num´erica o anal´ıtica, o aproximada mediante m´etodos integrales (por ejemplo, el de Thwaites), o bien experimentalmente midiendo la distribuci´ on de presiones de la pared, lo que determina ue (x) y, a partir de aqu´ı, utilizando el m´etodo de Thwaites se determina τp (x). En el caso particular de una placa plana a incidencia nula, teniendo en cuenta (14.189), se tiene (0,332)1/3 St = Γ(1/3)
1/3 9 Re−1/2 P r−2/3 , x 4
(14.202)
que muestra que la analog´ıa de Reynolds puede usarse a n´ umeros de Prandtl grandes si se introduce un factor en el segundo miembro proporcional a P r−2/3 .
14.10.
Soluciones de semejanza en convecci´ on forzada
Siguiendo el m´etodo expuesto en el Ap´endice D del Cap´ıtulo 7 es f´acil demostrar que cuando ue (x) es de la forma dada en (14.179) y la temperatura de la pared var´ıa con x siguiendo una ley potencial de la forma Tp − T∞ = T1 xn (donde T1 es una constante con dimensiones apropiadas), el sistema (14.171)-(14.173) admite soluci´on de semejanza. En efecto, usando las variables de semejanza definidas en (14.184) e introduciendo la nueva variable θ(η) =
T − T∞ , Tp − T∞
(14.203)
la ecuaci´on (14.173) se reduce a la ecuaci´on diferencial lineal (puesto que la funci´ on f y f son conocidas) de segundo orden θ +
m+1 P r f θ − n P r f θ = 0, 2
(14.204)
θ(0) = 1,
(14.205)
con las condiciones de contorno θ(∞) = 0,
donde f es soluci´on de la ecuaci´on diferencial (14.46) y las condiciones de contorno (14.47). El flujo de calor en la pared viene determinado salvo una constante que hay que calcular resolviendo num´ericamente (14.204) para valores diferentes de m, n y P r ue (x) qp = K(Tp − T∞ ) (14.206) θ (0). νx
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
408
En el caso de una pared a temperatura constante, n = 0, la soluci´on de (14.204)-(14.205) puede escribirse en la forma η η exp[− o P r f d η]d η o η θ(η) = 1 − ∞ . (14.207) exp[− o P r f d η]d η o Si se desea determinar el flujo de calor en la pared, y por tanto θ (0), se puede aproximar el valor de f en (14.207) por su desarrollo en serie de potencias v´alido para η 1, probado que P r ≥ 0(1) f (η) =
f¨(0) 2 η + 0(η 3 ) + ..., 2
(14.208)
donde se ha tenido en cuenta que los dos primeros t´erminos del desarrollo, en los que intervienen f (0) y f˙(0), son nulos por serlo en la pared tanto la funci´ on de corriente como la velocidad, v´ease (14.47). Por tanto, suficientemente cerca de la pared (14.207) se puede aproximar por η exp[−P rf¨(0)η 3 /6]dη θ(η) 1 − o∞ , η 1, (14.209) exp[−P rf¨(0)η 3 /6]d η o
y
˙ θ(0) −
∞
exp[−P rf¨(0)η 3 /6]dη
−1
= −[9P rf¨(0)/2]1/3 /Γ(1/3).
(14.210)
o
El n´ umero de Stanton para una pared de temperatura constante se escribe entonces St =
[9f¨(0)/2]1/3 −1/2 −2/3 Rex P r . Γ(1/3)
(14.211)
Obs´ervese que la expresi´on (14.211) es una ampliaci´on de la analog´ıa de Reynolds que incluye los efectos del gradiente de presiones y del n´ umero de Prandtl. Cuando P r = 1 y m = 0 (gradiente de presiones nulo) la expresi´on (14.211) se reduce a (14.184). Como se ve en (14.211) el efecto del n´ umero de Prandtl se puede incluir f´ acilmente en la analog´ıa de Reynolds sin m´as que multiplicar el segundo miembro de (14.184) por el factor P r−2/3 .
14.11.
Convecci´ on libre
Como se vio en el Cap´ıtulo 4 al estudiar el equilibrio mec´ anico de un fluido en un campo gravitatorio, si la distribuci´ on de temperaturas no satisface determinadas condiciones, el equilibrio mec´anico no es posible y aparecen corrientes internas en el fluido que tienden a mezclarlo uniformando la temperatura al aumentar considerablemente la transferencia de calor. Esta situaci´ on, gobernada por las fuerzas de flotabilidad, se denomina convecci´ on libre o natural y aparece, por ejemplo, por la presencia de un cuerpo fr´ıo o caliente inmerso en el seno de un fluido (convecci´ on libre) o en el seno de fluidos confinados, por ejemplo chimeneas (convecci´ on natural). En este tipo de flujos el par´ ametro Gr/Re2 es de orden unidad, si sucede adem´as que Re es grande (fluidos de viscosidad peque˜ na, y/o obst´aculos de dimensi´on grande) la zona en la que existen diferencias apreciables de temperatura es una capa delgada adyacente al cuerpo. Las ecuaciones que gobiernan la capa bidimensional de convecci´on libre de un fluido en torno a un obst´aculo (a temperatura distinta de la del medio) en ausencia de convecci´ on forzada se obtienen a partir de (14.145), (14.147), (14.150) y (14.151) donde en esta u ´ltima se desprecia el trabajo mec´anico de la presi´on y la disipaci´ on viscosa porque en la mayor´ıa de las situaciones pr´ acticas, la energ´ıa cin´etica por unidad de masa u2 es peque˜ na frente a cp (Tp − Te ); si se supone
409
14.11. Convecci´on libre
adem´as que T − T∞ /Te 1, la densidad se puede aproximar en gases por una constante, y con mayor raz´on en l´ıquidos, ya que ∆ρ/ρ ∼ β(T − T∞ ) ∼ T − T∞ /Te 1, y por otra parte suponer µ y K constantes, con lo que las ecuaciones se reducen a
u
∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y
(14.212)
∂2u ∂u ∂u 1 ∂pm − β(T − T∞ )fx + ν 2 , +v =− ∂x ∂y ρ dx ∂y
(14.213)
∂pm = 0, ∂y
(14.214)
∂T ∂2T ∂T +v =α 2, ∂x ∂y ∂y
(14.215)
u
con las condiciones de contorno (14.153)-(14.155) y donde α = K/µcp es la difusividad t´ermica. N´otese tambi´en que si la presi´on gravitacional fuera de la capa l´ımite es constante, entonces ∂pm /∂x = 0. El orden de magnitud de las velocidades convectivas y el espesor de la capa l´ımite δ donde los efectos viscosos son importantes dependen del valor del n´ umero de Prandtl y se obtienen f´ acilmente de (14.213) y (14.215). En efecto, si L es la longitud del obst´ aculo que induce la convecci´ on libre, la convecci´on y conducci´on de calor ser´an apreciables en una zona de espesor δT dada por U
ν (Tp − T∞ ) (Tp − T∞ ) , ∼ L Pr δT2
δT =
νL UPr
1/2 = δ/P r1/2 ,
(14.216)
si se introduce el espesor de la capa l´ımite viscosa δ. A distancias de la pared del orden de δT o menores, las fuerzas de flotabilidad son importantes ya que es en esa zona donde existen diferencias apreciables de temperatura. Por otra parte si P r ≥ O(1), [δT ≤ O(δ)], las fuerzas de viscosidad en δT deben ser del orden de las de flotabilidad y de (14.216) se obtiene νU gβ(Tp − T∞ ) ∼ 2 P r, (14.217) δ que junto con (14.216) proporciona 1/4 Pr δ , ∼ L Gr
U∼
# β(Tp − T∞ )g L/P r.
(14.218)
N´otese que en este caso (P r 1) las fuerzas de inercia son despreciables frente a las de flotabilidad muy cerca de la pared (δT δ) ρU 2 /L ∼ P r−1 1. ρgβ(Tp − T∞ )
(14.219)
La idea f´ısica corresponde a que si el n´ umero de Prandtl es grande, las velocidades m´aximas se generan en una zona muy cercana a la pared donde la viscosidad es dominante. El orden de magnitud del flujo de calor transferido de la placa al fluido ser´ a qp ∼ K(Tp − T∞ )/δT ∼ K(Tp − T∞ )P r1/2 /δ y los n´ umeros de Nusselt y Stanton son respectivamente N u ∼ L P r1/2 /δ ∼ (Re P r)1/2 ∼ Gr1/4 P r1/4 = Ra1/4 P r1/4 ,
(14.220)
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
410
St ∼ (ReP r)−1/2 = Ra−1/4 P r−1/4
(14.221)
donde Ra = Gr P r es el n´ umero de Rayleigh y se ha tenido en cuenta que en estos flujos Gr ∼ Re2 . En el caso contrario, esto es, si P r 1, la viscosidad s´olo es apreciable en una capa delgada muy pr´ oxima a la pared de espesor δ δT . En toda la capa de espesor δT las fuerzas de flotabilidad y las de inercia son por tanto del mismo orden, por lo que # U ∼ β(Tp − T∞ )gL, δT /L ∼ Gr−1/4 . (14.222) El flujo de calor ser´ a qp ∼ K
Tp − T∞ 1/2 Pr , δ
(14.223)
y los n´ umeros de Nusselt y Stanton N u ∼ Gr1/4 P r1/2 ,
St ∼ Gr−1/4 P r−1/2 .
(14.224)
un el eje x, depende de la La funci´ on fmx , que representa la componente de la gravedad seg´ geometr´ıa del cuerpo, de forma que si α(x) representa el ´angulo que forma la tangente local a la superficie s´olida con la vertical, se tiene entonces fmx = −g cos α(x). Para algunos tipos de geometr´ıas, las ecuaciones (14.212)-(14.215) admiten soluci´on de semejanza como ocurre por ejemplo en el caso de una placa plana vertical α(x) = 0 de longitud seminfinita y con temperatura de la pared siguiendo una ley de la forma Tp (x) − T∞ = T1 xn , 12
(14.225)
donde T1 es una constante de dimensiones Km−n . En efecto, la invariancia frente a un grupo de transformaciones sugiere definir las variables Ψ = [ν 2 gβT1 xn+3 ]1/4 f (η),
η=y
gβT1 xn−1 ν2
1/4 ,
T − T∞ = θ(η), Tp − T∞
(14.226) (14.227)
de modo que en las nuevas variables las ecuaciones (14.212)-(14.215) resultan f +
n + 1 2 n + 3 f f− f + θ = 0, 4 2
(14.228)
θ n+3 f θ − nf θ = 0, + Pr 4
(14.229)
con las condiciones de contorno f (0) = f˙(0) = 0,
θ(0) = 1,
f˙(∞) = 0 y
θ(∞) = 0.
(14.230)
Un caso particular de inter´es lo constituye el caso en el que la temperatura Tp de la placa es constante, lo que corresponde al caso n = 0. En las Figuras 14.17 y 14.18 se representan los perfiles adimensionales de velocidad axial y temperatura calculados num´ericamente a partir de las ecuaciones (14.228)-(14.229) con n = 0 y las condiciones (14.230). El acuerdo de estas curvas con los datos experimentales es extraordinariamente bueno.13 12 El lector interesado puede comprobar que si la temperatura de la pared sigue una ley exponencial de la forma on de semejanza. Tp (x) − T∞ = T1 emx , el sistema de ecuaciones (14.212)-(14.215) admite soluci´ 13 H. Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw Hill, New York, 1979.
411
14.11. Convecci´on libre
Figura 14.17: Perfiles de velocidad inducidos por una placa plana vertical a temperatura constante (n = 0) en presencia de un campo gravitatorio para diferentes valores del n´ umero de Prandtl. El flujo de calor en la pared es qp =
K(Tp − T∞ )(gβT1 )1/4 ˙ θ (0), ν 1/2 x1/4
(14.231)
˙ con θ (0) = 0,508 y θ(0) para P r = 0,73 (aire), para P r = 7 (agua), y el n´ umero de Nusselt qp x = N ux = K(Tp − T∞ )
gβT1 x3 ν2
1/4
θ (0) = θ (0)G1/4 x ,
(14.232)
donde Gx es el n´ umero de Grashof adimensionalizado con la distancia x.
Figura 14.18: Perfiles de temperatura inducidos por una placa plana vertical a temperatura constante (n = 0) en presencia de un campo gravitatorio para diferentes valores del n´ umero de Prandtl.
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
412
Otro caso de inter´es, que admite soluci´on anal´ıtica, es el del c´alculo del flujo de calor en convecci´on libre para geometr´ıas diversas con temperaturas de pared constante y grandes n´ umeros de Prandtl. En este caso, como se demostr´o en (14.219), las fuerzas de inercia son despreciables frente a las de flotabilidad y el sistema (14.212)-(14.215) se reduce a ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y 0 = β(T − T∞ )g cos α(x) + ν u
(14.233) ∂2u , ∂y 2
(14.234)
∂T ν ∂2T ∂T +v = , ∂x ∂y P r ∂y 2
(14.235)
con las condiciones de contorno u(x, 0) = v(x, 0), T (x, 0) = Tp (x), ∂u = 0, T (x, ∞) = T∞ . ∂y y→∞
(14.236) (14.237)
Es importante se˜ nalar aqu´ı que la velocidad no es cero fuera de la capa l´ımite t´ermica. Como muestra (14.234), fuera de esta capa no hay diferencias apreciables de temperatura y los esfuerzos viscosos se hacen muy peque˜ nos aunque la velocidad no es nula. Fuera de la capa l´ımite t´ermica, los t´erminos de inercia convectiva y viscosos (ambos muy peque˜ nos) se encargan de anular la velocidad en el borde exterior de la capa l´ımite viscosa. Como se ver´a en lo que sigue, esta segunda capa l´ımite no necesita ser analizada para calcular el flujo de calor en la pared. En efecto, si se introducen las variables de semejanza Ψ(x, y) = A(x)f (η) =
3/4 1/2 x
3/4 ν 4 1/4 1/3 [β(T − T ) g] cos α(x)dx f (η), p ∞ 3 P r3/4 o
T − T∞ = (Tp − T∞ ) θ(η),
1/4 cos1/3 α(x) 3P r3 β(Tp − T∞ )g y y, = η= x δ(x) 4ν 2 [ o cos1/3 α(s)ds]1/4
(14.238) (14.239)
(14.240)
las ecuaciones (14.233)-(14.235) se reducen a ...
f +θ = 0,
y
f θ˙ + θ¨ = 0,
(14.241)
con las condiciones de contorno f (0) = f (0) = 0,
θ(0) = 1,
f (∞) = 0,
θ(∞) = 0.
(14.242)
El sistema (14.241) con las condiciones (14.242) puede resolverse num´ericamente para obtener θ (0) que proporciona el el n´ umero de Nusselt N ux =
q(x) = K(Tp − T∞ )/x
1/4 3 x1/4 cos1/3 α(x) ˙ θ(0)P r3/4 Ra1/4 , x x 4 1/3 α(x)dx 1/4 cos o
(14.243)
donde Rax = [β(Tp − T∞ )gx3 ]/ν 2 es el n´ umero de Rayleigh; el valor del n´ umero de Nusselt dado por (14.243) es tanto m´as exacto cuanto mayor sea el n´ umero de Prandtl.
413
14.12. Estructura de las ondas de choque
14.12.
Estructura de las ondas de choque
En el cap´ıtulo 12 se han estudiado las ondas de choque consider´ andolas como superficies geom´etricas de espesor nulo en las que los saltos a trav´es de ellas vienen gobernados por las condiciones de conservaci´on de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. Es interesante considerar ahora la estructura de tales ondas que como se ver´a no son otra cosa que capas de espesor finito, aunque muy peque˜ no, donde se produce la transici´ on entre los valores de las variables fluidas delante y detr´as de la onda; justo como sucede tambi´en en las capas l´ımites, viscosas y t´ermicas, sobre obst´aculos. Para determinar el espesor y la estructura de las ondas de choque es necesario retener los efectos de viscosidad y conducci´on de calor que fueron despreciados cuando la onda de choque se considera como una discontinuidad matem´ atica de espesor nulo. Si el orden de magnitud de la componente normal de las velocidades del gas relativas a la onda es U , la condici´on de que los efectos convectivos y viscosos sean del mismo orden proporciona ρv · ∇v ∼ ρU 2 /δ ∼ ∇ · τ ∼ µU/δ 2 ,
(14.244)
y si se introduce una longitud caracter´ıstica L de la corriente exterior se tiene µ δ ∼ , L ρU L
(14.245)
que muestra, como se vio en 12, que el espesor de la onda de choque es tanto menor cuanto mayor es el n´ umero de Reynolds de la corriente exterior. Las ecuaciones que gobiernan la estructura del flujo a trav´es de una onda de choque se derivan f´acilmente de las ecuaciones de Navier-Stokes en forma de conservaci´on (12.43)-(12.45) con las simplificaciones de movimiento unidireccional y casi-estacionario [n´ umeros de Strouhal peque˜ nos, δ/(U to ) 1] ya que el tiempo de residencia δ/U , o tiempo que las part´ıculas fluidas tardan en atravesar la onda de choque, es mucho menor (por ser el espesor de la onda muy peque˜ no) que el tiempo caracter´ıstico to de cambio de las condiciones de contorno del flujo. Con estas simplificaciones y teniendo en cuenta que ∂/∂x ∼ δ −1 ∂/∂y ∼ ∂/∂z, las ecuaciones (12.43)(12.45) se reducen a ∂(ρvn ) = 0, (14.246) ∂x = ∂ ] = 0, (14.247) [ρvn2 + p− τxx ∂x = ∂T ∂ v2 −K [ρvn (h + n ) − vn τxx ] = 0, ∂x 2 ∂x
(14.248)
=
= (4µ/3 + µv )∂vn /∂x es el esfuerzo viscoso normal y vn es la componente normal de la donde τxx velocidad del gas relativa a la onda de choque. La integraci´ on de las ecuaciones (14.246-14.248) proporciona ρvn = ρ1 vn1 , (14.249)
ρvn2 + p − ( ρvn (h +
∂vn 4µ 2 + µv ) + p1 , = ρ1 vn1 3 ∂x
∂vn K ∂h vn2 v2 4µ )− + µv )vn −( = ρ1 vn1 (h1 + n1 ). 2 cp ∂x 3 ∂x 2
(14.250) (14.251)
En estas ecuaciones la variable espacial x es, naturalmente, del orden de δ y el sub´ındice 1 representa los valores de las variables fluidas delante de la onda de choque, justo donde ya los esfuerzos
414
Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor
de viscosidad y la conducci´on de calor se hacen despreciables. La integraci´on num´erica de las ecuaciones (14.249-14.251) junto a la de estado h = γp/[(γ − 1)ρ] determinan los valores de ρ, vn , p, y h como funciones de x una vez que los coeficientes de viscosidad µ y µv y el de conducci´on t´ermica K se han especificado. Es de inter´es se˜ nalar que el sistema (14.249)-(14.251) admite una soluci´on anal´ıtica simple en el caso de gases monoat´omicos (µv = 0) si el n´ umero de Prandtl es P r = µcp /K = 3/4. N´otese que los n´ umeros de Prandtl de los gases reales son pr´oximos a este valor por lo que se justifica el estudio de este caso. En esta situaci´on, la ecuaci´on (14.251), teniendo en cuenta (14.249), se reduce a la forma 2 vn1 4µ ∂ vn2 vn2 − h1 + = , (14.252) h+ h+ 2 2 ρ1 vn1 ∂x 2 que integrada proporciona h+
v2 vn2 4µx ], = (h1 + n1 ) + C exp[ 2 2 3ρ1 vn1
(14.253)
donde C es una constante de integraci´ on.
Figura 14.19: Distribuciones adimensionales de velocidad, presi´ on y temperatura a trav´es de una onda de choque para un n´ umero de Mach normal incidente dado por la expresi´ on 2 2 [2 + (γ − 1)Mn1 ]/[(γ + 1)Mn1 ] = 0,5. N´ otese que las soluciones (14.253) satisfacen las condiciones de contorno (valores finitos de las variables fluidas y esfuerzos viscosos y flujos de calor por conducci´on nulos) delante de la onda de choque, en x → ∞, pero no detr´ as de la onda a menos que la constante C sea id´enticamente nula; por tanto, la soluci´ on de (14.252) que satisface las condiciones de contorno es 2 h + vn2 /2 = h1 + vn1 /2,
(14.254)
415
14.12. Estructura de las ondas de choque
que expresa, como se vio en (12.52) la conservaci´on de la entalp´ıa de remanso a trav´es de la onda de choque. Teniendo en cuenta (14.249) y (14.254), la ecuaci´ on (14.250) puede escribirse en la forma ∂¯ v 4µ γ+1 (¯ v¯ , v − 1)(¯ v − A) = 2γ 3ρ1 vn1 ∂x
(14.255)
2 2 ]/[(γ + 1)Mn1 ], y Mn1 = vn1 /(γp/ρ)1/2 . La integraci´ on de con v¯ = vn /vn1 , A = [2 + (γ − 1)Mn1 (14.255) resulta 2 3ρ1 vn1 Mn1 −1 1 − vn = ln x. (14.256) 2 (vn − A)A 4µ γMn1
¯ = vn2 /vn1 = A, expresi´on que coincide con la condici´ on de N´otese que cuando x → ∞, v(∞) salto (13.71). Una vez obtenido v¯ como funci´on de x las funciones h(x) y ρ(x) y p(x) se obtienen de las ecuaciones (14.249), (14.253) y la de estado. En la Figura 14.19 se representan los valores de vn , p y T como funciones de x.
Referencias y fuentes de lectura complementaria H. Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw- Hill, Nueva York, 1987. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Te´orica, vol. 5, Pergamon, 1958. Laminar Boundary Layers, L. Rosenhead Ed., Dover, Nueva York, 1961.
Cap´ıtulo 15
Estabilidad hidrodin´ amica 15.1.
Introducci´ on
Desde los trabajos de Helmholtz, Kelvin, Rayleigh, y Reynolds durante el u ´ltimo tercio del siglo xix es bien conocido que para que una soluci´ on matem´atica de las ecuaciones de Navier-Stokes, que satisfaga ciertas condiciones iniciales y de contorno impuestas, describa apropiadamente el comportamiento de un flujo real es preciso que dicha soluci´ on matem´atica sea estable o, lo que es lo mismo, que cualquier perturbaci´ on de peque˜ na amplitud en el flujo tienda a amortiguarse con el tiempo; dichas perturbaciones aparecen en los flujos reales por multitud de causas (peque˜ nas irregularidades o imperfecciones en las condiciones de contorno, peque˜ nas vibraciones del flujo real, etc´etera). Por tanto, la teor´ıa de la estabilidad hidrodin´ amica tiene por objeto determinar el rango de valores de los par´ametros que gobiernan un determinado flujo para los que ´este es inestable y no tiene existencia real. Sabido es que si el n´ umero de Reynolds de una corriente fluida, por ejemplo la corriente a trav´es de un conducto suficientemente largo, es inferior a un cierto valor cr´ıtico el flujo es del tipo denominado laminar, mientras que si es mayor que el cr´ıtico, el flujo que tiene lugar en el conducto es del tipo denominado turbulento, cuyas caracter´ısticas son radicalmente distintas de las del laminar. Matem´aticamente este hecho est´a asociado a que las ecuaciones de Navier-Stokes con unas determinadas condiciones iniciales y de contorno pueden admitir m´ as de una soluci´on. El problema se reduce entonces a determinar para qu´e valores de los par´ametros, y mediante qu´e mecanismos f´ısicos, una soluci´on laminar (flujo laminar) se hace inestable y se bifurca (da lugar) a otra soluci´ on (flujo) laminar o turbulenta. La predicci´on y el control de tales transiciones son de gran importancia pr´ actica, ya que, en general, las caracter´ısticas del flujo cambian radicalmente cuando sucede una transici´ on. As´ı, por ejemplo, el flujo en una capa l´ımite laminar posee la propiedad de que el coeficiente de fricci´on es relativamente bajo, por lo que desde el punto de vista del ahorro de combustible es interesante conseguir que las capas l´ımites que se desarrollan sobre las alas y el fuselaje de los aeroplanos sean laminares. Por el contrario, en otras situaciones de inter´es en ingenier´ıa, las capas l´ımites en r´egimen turbulento pueden ser preferibles a las laminares por poseer buenas caracter´ısticas de mezcla de especies qu´ımicas (y de cantidad de movimiento y energ´ıa), as´ı como por su mayor capacidad para permanecer adheridas a la pared ante gradientes adversos de presi´ on. Tambi´en en el flujo en tuber´ıas un flujo laminar puede ser preferible a uno turbulento por ser la ca´ıda de presi´on para un caudal dado menor en el primero, pero el u ´ltimo es preferible si se trata de mezclar m´as eficazmente especies qu´ımicas u obtener un perfil de temperaturas m´ as uniforme en cada secci´on del conducto. 417
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
418
Se presentar´ an en este cap´ıtulo los fundamentos y algunos de los resultados m´ as importantes de la teor´ıa lineal de estabilidad. Debido a las simplificaciones matem´aticas que introduce la linealizaci´on de las ecuaciones, la teor´ıa lineal de la estabilidad ha sido la m´ as ampliamente desarrollada. No obstante, hay que tener en cuenta que en el caso de inestabilidad, las perturbaciones crecen con el tiempo y la determinaci´on de la soluci´on a la que el sistema evoluciona finalmente obliga a considerar efectos no lineales. En algunos casos ocurre que estos u ´ ltimos poseen un efecto estabilizador, de tal modo que se alcanza una soluci´on estable cerca de las condiciones cr´ıticas para la aparici´ on de inestabilidad lineal. Esto es, la soluci´ on trivial de perturbaciones de amplitud nula se bifurca para las condiciones cr´ıticas de inestabilidad lineal a otra soluci´ on estable de amplitud finita cuya forma se asemeja a la del modo lineal m´as inestable. Sin embargo, cuando los t´erminos no lineales poseen un efecto desestabilizante, no existe ninguna soluci´on de amplitud peque˜ na cerca del punto cr´ıtico y las perturbaciones evolucionan hacia estados m´as complejos si los par´ametros del sistema se alejan suficientemente de los correspondientes a las condiciones cr´ıticas lineales; incluso los modos estables desde el punto de vista de la teor´ıa lineal pueden perder entonces su estabilidad.
15.2.
An´ alisis modal de la estabilidad hidrodin´ amica
El tratamiento matem´atico de un problema fluidodin´ amico de estabilidad lineal consiste en superponer peque˜ nas perturbaciones de presi´on, densidad y velocidad, representadas por funciones p (x, t), ρ (x, t), v (x, t), a las magnitudes pb (x, t), ρb (x, t) y vb (x, t), que representan la presi´on, densidad y velocidad de la soluci´ on cuya estabilidad se desea investigar y que se suele denominar soluci´on b´ asica. Las soluciones pb + p , ρb + ρ y vb + v se sustituyen en las ecuaciones de Navier-Stokes, condiciones iniciales y de contorno, y ecuaciones de estado y se linealizan reteniendo solamente los t´erminos de primer orden en las perturbaciones. Cuando se trata de soluciones b´ asicas estacionarias, que ser´an u ´nicamente las consideradas en lo que sigue, el proceso de linealizaci´on resulta en un sistema lineal de ecuaciones en derivadas parciales cuyos coeficientes dependen de las coordenadas x s´olo a trav´es de las magnitudes de la soluci´on b´asica. Si f representa cualquiera de las perturbaciones p , ρ y v , las soluciones del sistema lineal admiten una dependencia temporal de la forma f = e−iωt fω (x). (15.1) La sustituci´on en dicho sistema lineal de soluciones de la forma (15.1) elimina la dependencia temporal y da lugar a un sistema lineal de ecuaciones que contiene s´olo derivadas espaciales y que junto con las condiciones de contorno constituye un problema de autovalores para el c´ alculo de las frecuencias complejas ω (autovalores) y las correspondientes autofunciones fω (x), tambi´en denominados modos. Se supondr´ a que las autofunciones forman un conjunto completo, que puede ser continuo o discreto dependiendo de las caracter´ısticas del problema, por lo que es posible expresar cualquier perturbaci´ on inicial f (x, 0) que verifique las condiciones de contorno como una serie de estas autofunciones (o integral, si el conjunto de autovalores y autofunciones es continuo). El valor de la perturbaci´ on en cualquier instante posterior ser´ a f (x, t) = aω e−iωt fω (x), (15.2) ω
donde las constantes aω pueden determinarse a partir de la perturbaci´ on inicial f (x, 0). Es interesante insistir en el hecho de que las perturbaciones dependen del tiempo con un exponente en general complejo y que la parte real de (15.2) es la que tiene inter´es f´ısico (aunque la parte imaginaria sea tambi´en soluci´on por ser lineal el problema); no obstante, se omitir´ a mencionar la necesidad de tomar la parte real de las soluciones del tipo (15.2). Obs´ervese que si para un modo dado, la parte imaginaria del autovalor ω es positiva, (ωi > 0), la perturbaci´ on crece con el tiempo
419
15.3. Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz
hasta que los efectos no lineales se hacen importantes y el an´alisis lineal deja de ser v´alido; se dice entonces que el modo considerado es inestable. Si ωi < 0 el modo es estable y se denomina neutralmente estable cuando ωi = 0. Como cualquier perturbaci´ on del flujo b´ asico excitar´a, en principio, todos los modos, ´este ser´a inestable si ωi > 0 para al menos uno de los modos; por el contrario, el flujo b´ asico ser´a estable frente a peque˜ nas perturbaciones si los valores ωi de todos los modos son nulos o negativos. Sucede a menudo que los flujos b´ asicos cuya estabilidad se desea investigar son independientes de alguna coordenada espacial, por lo que el n´ umero de variables del problema puede reducirse. Por ejemplo, si el flujo b´ asico depende s´olo de la coordenada z, la dependencia de la soluci´on perturbada con las coordenadas x e y es de la forma ei(kx x+ky y) donde las partes reales de kx y ky representan el n´ umero de onda de las oscilaciones en x e y de la perturbaci´ on y las partes imaginarias determinan el crecimiento exponencial de la perturbaci´ on con las variables espaciales x e y. Se llega de esta forma a un problema de autovalores para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable z que contiene a kx y ky como par´ametros y que posee un conjunto finito o infinito de autovalores ωn (kx , ky ) y autofunciones fn (kx , ky , z) donde el rango de valores del sub´ındice n, que puede ser continuo, depende, en general, de kx y ky . Por tanto, teniendo en cuenta todos los valores posibles de kx , ky , que se suponen reales, y n se obtienen todos los autovalores complejos ωn y autofunciones fω del problema planteado ω = ωn (kx , ky ),
fω (x) = ei(kx x+ky y) fn (kx , ky , z).
(15.3)
Este an´alisis que se denomina temporal ha sido el m´as utilizado como consecuencia de que el autovalor ω aparece linealmente en las ecuaciones de estabilidad. Sin embargo, para el estudio de la estabilidad de capas l´ımites, chorros y otras corrientes que evolucionan en la direcci´on del flujo, resulta m´ as apropiado suponer valores reales de ω y ky y calcular en funci´ on de ellos los autovalores complejos kx y las autofunciones kx = kxn (ω, ky ),
fkx = fkx n (z, ω, ky );
(15.4)
Por desgracia, en las ecuaciones de estabilidad aparecen potencias de kx diferentes de la unidad y la resoluci´on de este problema, que se denomina an´ alisis espacial de estabilidad, es m´as complicada. An´alogamente, si la soluci´on b´asica posee simetr´ıa axial, los autovalores y autofunciones son de la forma ω = ωn (k, m), fω (x) = ei(kz+mθ) fn (k, m, r), (15.5) donde z es la coordenada seg´ un el eje de simetr´ıa, r la distancia desde el eje de simetr´ıa, y la periodicidad de las perturbaciones (unicidad) exige que m sea entero. Por u ´ltimo, si la soluci´on b´asica posee simetr´ıa esf´erica se tiene ω = ωn (l, m),
fω (x) = Ylm (θ, φ)fn (l, m, s),
(15.6)
donde (s, θ, φ) representan coordenadas esf´ericas e Ylm (θ, φ) los arm´onicos esf´ericos en l = 0, 1, 2... y m = −l, .., 0, .., l.
15.3.
Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz
Consid´erese el caso de dos l´ıquidos inmiscibles de densidades ρ1 y ρ2 que fluyen paralela y horizontalmente con velocidades uniformes U1 y U2 respectivamente. Si se toma el eje x coincidente con la direcci´on de las corrientes y la entrefase se supone situada en z = 0, el campo de velocidades, densidades y presiones del flujo b´ asico no viscoso viene dado por v2 = U2 i,
ρ = ρ2 ,
p2 = po2 − ρ2 gz −
ρ2 U22 , 2
si
z>0
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
420
ρ1 U12 , si z < 0, (15.7) 2 donde po1 y po2 son las presiones de remanso en uno y otro fluido. Kelvin estudi´o la estabilidad lineal de los flujos (15.7) suponiendo perturbaciones de amplitud peque˜ na frente a la longitud de onda λ ∼ k −1 , donde k es el n´ umero de onda. En este supuesto el t´ermino convectivo es despreciable frente a la aceleraci´on local y las ecuaciones que resultan son lineales. En efecto, si A representa el orden de magnitud del desplazamiento de la entrefase y ω su frecuencia, el orden de magnitud de las velocidades que aparecen en el fluido como consecuencia de este desplazamiento son del orden de ωA. El t´ermino convectivo no lineal v · ∇v es entonces del orden de ω 2 A2 /λ mientras que ω 2 A es el orden de magnitud de la aceleraci´on local ∂v/∂t con lo que aquel es despreciable frente a ´este siempre que A/λ 1. Por otra parte, Kelvin no tuvo en cuenta, en su estudio, la influencia de la viscosidad, lo que es correcto siempre que ν/(λ2 ω) 1 ya que entonces las fuerzas viscosas por unidad de masa (ν∇v ∼ νAω/λ2 ) son despreciables frente a la aceleraci´on local del fluido (∂v/∂t ∼ ω 2 A). Si sucede que ωλ2 /ν, la viscosidad es despreciable y si adem´as el movimiento de cada uno de los fluidos es bar´otropo y con fuerzas m´asicas derivando de un potencial (movimiento irrotacional, las velocidades de perturbaci´on derivan, entonces, de sendos potenciales φ1 (x, y, z, t) y φ2 (x, y, z, t) y las velocidades pueden escribirse como suma de las de los flujos b´asicos m´as las de perturbaci´on v1 = U1 i,
ρ = ρ1 ,
v2 = U2 i + ∇φ2
si
p1 = po1 − ρ1 gz −
z>0 y
v1 = U1 i + ∇φ1
si
z < 0.
(15.8)
La condici´on de que los campos de velocidades (15.8) satisfagan la ecuaci´on de continuidad se cumple si ambos potenciales satisfacen la ecuaci´on de Laplace1 ∇ · vi =
∂ 2 φi ∂ 2 φi ∂ 2 φi + + = 0, 2 2 ∂x ∂y ∂z 2
(i = 1, 2),
(15.9)
donde φ1 y φ2 , deben satisfacer lejos de la interfase φ1 (−∞) = φ2 (∞) = 0.
(15.10)
La linealidad del problema, la ausencia de condiciones iniciales, y la independencia de las condiciones de contorno (15.10) respecto de las variables x e y conducen a soluciones del problema (15.9)-(15.10) de la forma (separaci´on de variables) φi = Ai ei(kx x+ky y−ωt) Fi (z), con Fi determinada por la ecuaci´on
(15.11)
F¨i − k 2 Fi = 0;
(15.12)
kx y#ky son las componentes del vector de onda de la perturbaci´on en las direcciones x e y, k = kx2 + ky2 es su m´odulo y ω su frecuencia. Finalmente, de (15.12) y (15.10) se tiene φ2 = A2 e−kz ei(kx x+ky y−ωt)
si z > 0 y
φ1 = A1 ekz ei(kx x+ky y−ωt)
si
z < 0.
(15.13)
Los campos de presiones en ambos l´ıquidos, superposici´ on tambi´en del b´asico pi y del de perturbaci´ on pi , vienen dados por la ecuaci´ on de Bernouilli p2 +
p2
2 2 2 ∂φ2 ∂φ2 ∂φ2 ∂φ2 1 + ρ2 + + + ρ2 gz = po2 + ρ2 U2 + ∂t 2 ∂x ∂y ∂z
si z > 0
(15.14)
1 El desarrollo que se har´ a a continuaci´ on es muy similar al realizado en 12.2.1 al analizar las ondas lineales en la superficie libre de un l´ıquido en presencia de la gravedad.
421
15.3. Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz y p1 +
p1
2 2 2 ∂φ1 1 ∂φ1 ∂φ1 ∂φ1 + ρ1 U1 + + ρ1 + + + ρ1 gz = po1 ∂t 2 ∂x ∂y ∂z
si
z < 0. (15.15)
Despreciando t´erminos de segundo orden en las ecuaciones (15.14) (15.15) (φix ∼ φiy ∼ φiz Ui ) y particularizando el resultado en la interfase de separaci´ on de ambos l´ıquidos F (x, z, t) = z − η(x, t) = 0, se tiene pis
∂φi ∂φi + ρi + ρi Ui + ρi gη = 0 ∂t z=0 ∂x z=0
con
i = 1, (2) si
(15.16)
z < 0, (z > 0).
(15.17)
Para obtener (15.17) se ha hecho uso de la relaci´on p1s = po1 − ρ1 U12 /2 = p2s = po2 − ρ2 U22 /2,
(15.18)
donde p1s y p2s son las presiones de los l´ıquidos en la interfase. Hay que indicar tambi´en que, puesto que la deformaci´on de la superficie es peque˜ na, se ha tomado en primera aproximaci´ on ∂φi ∂φi + O(η) + ... (15.19) ∂x z=η ∂x z=0 El salto en el valor de la presi´ on perturbada a trav´es de la entrefase es, por tanto, ∂φ2 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ1 p1s − p2s = ρ2 − ρ + ρ U − ρ U + (ρ2 − ρ1 )gη, 1 2 2 1 1 ∂t z=0 ∂t z=0 ∂x z=0 ∂x z=0
(15.20)
y debe estar equilibrado por la proyecci´ on de las fuerzas de tensi´on superficial en la direcci´on normal a la interfase ζ∇ · n, donde la normal a la interfase es n = ∇F/|∇F | y sus componentes (nx , ny , nz ) son −∂ η/∂ y 1 −∂ η/∂ x . , , 1 + (∂ η/∂ x)2 + (∂ η/∂ y)2 1 + (∂ η/∂ x)2 + (∂ η/∂ y)2 1 + (∂ η/∂ x)2 + (∂ η/∂ y)2 Despreciando t´erminos de segundo orden (∂ η/∂ x)2 ∼ (∂ η/∂ y)2 1, se obtiene 2 ∂2η ∂ η + ζ∇ · n = −ζ ∂x2 ∂y 2
(15.21)
y finalmente la condici´ on de equilibrio de fuerzas en la interfase una vez linealizada se expresa matem´aticamente en la forma ∂φ2 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ1 ρ2 − ρ1 + ρ2 U 2 − ρ1 U1 + ∂t z=0 ∂t z=0 ∂x z=0 ∂x z=0 2 ∂ η ∂2η . (15.22) + (ρ2 − ρ1 )gη = −ζ ∂x2 ∂y 2 Adem´as, la interfase es una superficie fluida y, por tanto, debe satisfacer la condici´ on cinem´atica DF/Dt = 0, esto es ∂η ∂φi ∂η ∂η ∂φi ∂φi ∂η − − = 0, (i = 1, 2); (15.23) − Ui + + − U + i ∂t ∂x z=0 ∂x ∂z z=0 ∂t ∂x ∂z z=0
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
422
n´ otese que para obtener la u ´ltima ecuaci´on en (15.23) se han despreciado t´erminos de orden superior. Si se suponen soluciones de la interfase de la forma η = Eei(kx x+ky y−ωt) ,
(15.24)
y se sustituyen las expresiones (15.13) y (15.24) en (15.22) y en las dos ecuaciones (15.23) se obtiene el sistema lineal homog´eneo de tres ecuaciones alg´ebricas iρ1 (ω − U1 kx )A1 − iρ2 (ω − U2 kx )A2 + [(ρ2 − ρ1 )g − ζk 2 ]E = 0, kA1 + i(ω − U1 kx )E = 0,
−kA2 + i(ω − U2 kx )E = 0,
(15.25)
cuya resoluci´on proporciona las constantes A1 , A2 y E. La condici´on de que el determinante de los coeficientes del sistema (15.25) sea nulo, que es la condici´on necesaria y suficiente para que dicho sistema homog´eneo posea soluci´on distinta de la trivial, proporciona
1/2 (ρ1 − ρ2 )gk + ζk 3 ρ1 ρ2 (U2 − U1 )2 kx2 (ρ1 U1 + ρ2 U2 )kx ± − . ω= ρ 1 + ρ2 ρ 1 + ρ2 (ρ1 + ρ2 )2
(15.26)
Si el radicando en (15.26) es negativo, esto es, si (ρ1 − ρ2 )gk + ζk 3 −
ρ1 ρ2 (U2 − U1 )2 kx2 < 0, ρ 1 + ρ2
(15.27)
uno de los dos autovalores de ω tiene parte imaginaria positiva y, consecuentemente, las perturbaciones crecen con el tiempo y el flujo es inestable. Obs´ervese que si ρ1 > ρ2 , que corresponde al caso en que el fluido m´as ligero est´a situado por encima de la interfase, la gravedad y la tensi´ on superficial juegan un papel estabilizador mientras que la diferencia de velocidades juega el papel contrario; cuanto mayores son g o ζ mayor debe ser la diferencia de velocidades para que la interfase sea inestable. Es f´acil comprobar de (15.26) y (15.27) que, para una longitud de onda determinada 2π/k, las ondas que crecen m´as r´apidamente son aquellas que se propagan en la direcci´ on del flujo b´ asico (kx = k, ky = 0), de modo que al cabo de un cierto tiempo ´estas ser´an las dominantes. Por tanto, de acuerdo con (15.27) el viento generar´ a ondas sobre la superficie del mar o en un lago (ρ2 ρ1 ) si 1/2 ζk ρ1 g . (15.28) + |U2 − U1 | > ρ2 k ρ1 El m´ınimo valor de |U2 − U1 | se obtiene para un valor del n´ umero de onda k = [(ρ1 g)/ζ]1/2 , y de (15.28) la diferencia de velocidades m´ınima necesaria para producir ondas es
1/2 √ ρ1 gζ 6,6 ms−1 ; |U2 − U1 |min = 2 ρ2
(15.29)
el valor num´erico en (15.29) se ha obtenido para el caso aire-agua, ρ1 = 1000 kg/m3 , ρ2 = 1,25 kg/m3 , ζ = 0,073 N/m. Kelvin mismo, a quien se debe el resultado (15.29), puso de manifiesto que este valor sobreestimaba la velocidad del viento necesaria para producir olas. Teor´ıas m´as refinadas para explicar la generaci´on de olas han sido desarrolladas durante los u ´ltimos cuarenta a˜ nos. En particular, la m´ as atractiva es la debida a Miles (1957), que basa el mecanismo de la inestabilidad en la interacci´ on resonante de las ondas de gravedad con la capa l´ımite del aire. No obstante, y debido a las simplificaciones realizadas, ´esta y otras teor´ıas son, todav´ıa hoy, objeto de controversia.
15.3. Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz
423
Una explicaci´on f´ısica del mecanismo de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz puede obtenerse a partir del esquema de la Figura 15.1 donde se representa una entrefase y el fluido est´ a descrito respecto a un observador que se mueve con velocidad (U2 + U1 )/2. En este sistema de referencia, el fluido 2 se mueve con velocidad (U2 − U1 )/2 mientras que el fluido 1 lo hace con −(U2 − U1 )/2. La velocidad de perturbaci´ on, vp , resultante de la deformaci´on de la superficie es tal que se suma a la del flujo b´ asico en las crestas que forma la superficie y se opone a ella en los valles. Consecuentemente, la presi´on es menor en las crestas y mayor en los valles (ecuaci´on de Euler Bernouilli) y da lugar, por tanto, a fuerzas aerodin´ amicas que tienden a desplazar la interfase de su posici´on de equilibrio. Existe otra explicaci´on alternativa de la inestabilidad en t´erminos de la convecci´on de vorticidad.2 (U2-U1)/2
P- vp B
P+ vp
A
C
P+ vp P- vp (U2-U1)/2
Figura 15.1: Mecanismo de inestabilidad en una capa de mezcla.
que ocurre si la longitud de Si U1 = U2 = U y el efecto de tensi´on superficial es despreciable, lo onda de las perturbaciones es grande frente a la longitud capilar, (k |ρ1 − ρ2 |g/ζ), la interfase ser´a estable si (ρ1 > ρ2 ), que corresponde al caso en que el fluido m´as ligero est´a encima de la superficie. En este caso, sobre la interfase, que es estable, pueden desarrollarse ondas de gravedad, que no se amplifican, de frecuencia ω = U kx ± y velocidad de fase c=
(ρ1 − ρ2 )gk ρ1 + ρ 2
1/2 ,
1/2 kx (ρ1 − ρ2 )g ω . =U ± k k (ρ1 + ρ2 )k
(15.30)
(15.31)
La velocidad de propagaci´ on de las perturbaciones respecto al l´ıquido es
(ρ1 − ρ2 )g co = ± (ρ1 + ρ2 )k
1/2 ,
(15.32)
y para el caso ondas sobre una interfase agua-aire, ρ1 = ρ, ρ2 = 0 se tiene co = ±(g/k)1/2
(15.33)
que corresponde al resultado obtenido en (11.308) para el caso de ondas gravitatorias sobre la superficie libre de un l´ıquido. Es f´ acil comprobar que en el caso en que el fluido m´as pesado est´e situado encima de la superficie (ρ2 > ρ1 ), ´esta es inestable si k < (ρ2 − ρ1 ) g/ζ, esto es, si la 2
G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
424
longitud de onda es mayor que la longitud capilar ζ/[(ρ2 − ρ1 ) g], pero es estable para longitudes de onda menores que la longitud capilar. Es interesante observar que el resultado de (15.30) puede modificarse de un modo sencillo para incluir el efecto de una aceleraci´on vertical sobre las dos capas de fluido. En efecto, si los dos fluidos y la interfase de separaci´on experimentan una aceleraci´on de m´odulo a(t) dirigida en sentido contrario al de la gravedad, el resultado (15.30) es v´ alido para un observador que se mueva con la interfase si se sustituye la gravedad g por una gravedad ficticia g = g + a. Obs´ervese entonces que la interfase es inestable si g < 0 (ρ1 > ρ2 ). Esto corresponde a situaciones en las que la interfase se mueve con una aceleraci´on hacia abajo (del fluido m´ as ligero hacia el m´as pesado) de valor superior al de la gravedad. Esta inestabilidad, denominada de Rayleigh-Taylor, puede ser observada cuando un vaso de agua se mueve verticalmente hacia abajo con una aceleraci´on superior a la gravedad. La inestabilidad de Rayleigh-Taylor se presenta tambi´en en un problema de gran inter´es para la humanidad como es la obtenci´on de reacciones termonucleares controladas por confinamiento inercial. La implosi´ on de la microbola de combustible (deuterio-tritio) que genera la corona de plasma (menos denso que el combustible) resultante de la acci´on del l´aser da lugar ´ a aceleraciones de la interfase que la inestabilizan y rompen la simetr´ıa esf´erica. Este es uno de los efectos que limitan fuertemente la posibilidad de conseguir fusi´ on por confinamiento inercial, ya que esta inestabilidad impide alcanzar las extraordinariamente altas densidades necesarias para conseguir la fusi´on termonuclear eficiente del deuterio-tritio.
15.4.
Rotura de un chorro capilar
La fotograf´ıa de la Figura 15.2 muestra la evoluci´ on de un chorro capilar que rompe finalmente en gotas. Fue el f´ısico franc´es Plateau el primero en demostrar el efecto desestabilizador de la tensi´on superficial.
Figura 15.2: Rotura forzada de un chorro capilar. Cortes´ıa del Dr. Jos´e Mar´ıa L´opez Herrera.
Plateau arguy´ o que cualquier deformaci´ on axilsim´etrica de un chorro cil´ındrico conducir´ıa a su rotura debido a que su a´rea y, por tanto, su energ´ıa superficial es menor que la del cilindro original; de modo que el cilindro pierde energ´ıa superficial mientras se deforma (la transforma en cin´etica) hasta que se llega a un estado de m´ınima energ´ıa superficial compatible con un volumen dado. El efecto desestabilizante de la tensi´on superficial puede tambi´en explicarse como consecuencia del salto de presiones a trav´es de la interfase. Efectivamente, este salto es inversamente proporcional al radio del chorro, ∆p = pl − pa ∼ ζ/R(x); por tanto, la presi´ on del l´ıquido en las zonas m´as delgadas del chorro es mayor que en las zonas m´as gruesas, de modo que el l´ıquido es forzado, por la diferencia de presiones hacia las zonas m´as gruesas, incrementando la deformaci´on de la superficie hasta que finalmente el chorro rompe en gotas como se muestra en la Figura 15.2. Rayleigh, en 1899, fue quien llev´ o a cabo la primera descripci´on matem´atica de la estabilidad de un chorro capilar despreciando los efectos del gas ambiente. Fue Weber quien posteriormente incorpor´ o al an´alisis los efectos del gas ambiente al considerar la corriente uniforme de un gas movi´endose coaxialmente con el chorro y con velocidad relativa Ug respecto a ´este. M´as recientemente se ha comprobado que los resultados te´oricos obtenidos se ajustan mejor a los datos experimentales si se tiene en cuenta la capa l´ımite de gas cercana al chorro donde los efectos viscosos son
425
15.4. Rotura de un chorro capilar
importantes y deben ser retenidos. Se seguir´a aqu´ı este an´alisis que incluye como casos l´ımites los de Rayleigh y Weber.3 En efecto, consid´erese un chorro de un l´ıquido de velocidad uniforme Vl y radio Rl en presencia de un gas que se mueve coaxialmente con el chorro con velocidad Vg (r, x); la direcci´on de x coincide con la de Vg y la coordenada perpendicular, r, mide la distancia desde el eje del chorro, v´ease Figura 15.3. Respecto de un observador que se mueva con la velocidad del chorro, Vg
r
x
Vl
Figura 15.3: Perfiles de velocidad en gas y l´ıquido. la velocidad del gas es Uog (r, x) = Vg (r, x) − Vl y debe ser determinada resolviendo la capa l´ımite axilsim´etrica alrededor del chorro. Por ser soluci´ on de capa l´ımite, Uog es una funci´ on lentamente variable de la coordenada x y para simplificar el an´ alisis se considerar´an exclusivamente perturbaciones de longitud de onda λ peque˜ nas comparadas con la longitud caracter´ıstica de evoluci´on de la capa; esto es, λ dUog 1, (15.34) Uog dx de modo que la coordenada x juega el papel de un par´ ametro y la estabilidad del chorro puede analizarse en diferentes estaciones x.4 La velocidad del l´ıquido se supone uniforme en el chorro, de modo que el campo de presiones y la velocidad respecto a un observador que se mueva con el chorro son pol = pog +
ζ , Rl
Uol = 0,
(15.35)
donde ζ es la tensi´on superficial en la interfase gas-l´ıquido. Como es usual en los an´alisis de estabilidad lineal, se supondr´ a un flujo perturbado superpuesto al principal vj = Uoj (r) ex + vj (x, r, θ, t), p = poj + pj (x, r, θ, t),
pj poj ,
vx ∼ vr ∼ vθ Uog ,
R = Rl + R (x, θ, t),
R Rl ,
(15.36)
donde el sub´ındice j, j = l o j = g, indica la fase l´ıquida o gaseosa respectivamente, y θ es la coordenada acimutal. N´otese que se ha omitido la dependencia de Uog respecto a x de acuerdo con la hip´ otesis (15.34) para indicar que el an´ alisis se realiza en una estaci´on x determinada. Si se introduce el desarrollo (15.36) en las ecuaciones de Navier-Stokes se obtiene, despu´es de linealizar, un sistema de ecuaciones en derivadas parciales para el c´alculo de las tres componentes de la velocidad y de la presi´ on del campo perturbado. ∇ · v j = 0,
(15.37)
3 Este an´ alisis ha sido realizado por J. M. Gordillo cuando era estudiante de doctorado en el Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla, Gordillo et al. (1999). 4 No obstante, la resoluci´ on del problema de capa l´ımite puede evitarse si nos limitamos a casos en los que su espesor δ es peque˜ no frente al radio del chorro Rl . En esta situaci´ on, la capa l´ımite axilsim´etrica se reduce en primera aproximaci´ on a una bidimensional con gradiente dep presiones nulo y el perfil de velocidades y presiones tienden a los alculo de la funci´ on f˙ puede verse en 14.5. de Blasius [pog = p∞ , Uog (r) = U ∞, f (η), η = r/ ν/U∞ ], donde el c´
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
426
∂ v j 1 + Uoj ex · ∇v j + v j · ∇(Uoj ex ) = − ∇pj + νj ∇2 v j . ∂t ρj
(15.38)
Con objeto de simplificar el problema, se considerar´a aqu´ı la estabilidad del chorro frente a perturbaciones no viscosas, esto es, perturbaciones de longitud de onda λ y frecuencia ω tales que ωλ2 /νj 1, para las que las fuerzas de viscosidad son despreciables frente a las de inercia. Por otra parte, se puede eliminar f´ acilmente una de las inc´ognitas del problema, por ejemplo vx , si se toma la divergencia de la ecuaci´on (15.38) y se hace uso de (15.37); se obtiene entonces 2
1 dUoj dvrj = − ∇2 pj . dr dz ρj
(15.39)
Las otras cuatro ecuaciones, dos para cada fluido, que se usar´an son las correspondientes a las componentes de la ecuaci´on (15.38) seg´ un los ejes r y θ que en primera aproximaci´ on se reducen a ∂vrj ∂vrj 1 ∂pj + Uoj = , ∂t ∂z ρj ∂r
(15.40)
∂vθj ∂vθj 1 ∂pj + Uoj = . ∂t ∂z rρj ∂θ
(15.41)
, vθj deben Las seis ecuaciones lineales, (15.39)-(15.41), para el c´alculo de las seis inc´ognitas pj , vrj ser resueltas sujetas a las condiciones de contorno
v l = ∞, v g → 0,
pl = ∞ en
pg → 0
r = 0,
(15.42)
cuando r → ∞,
(15.43)
adem´as de las condiciones cinem´aticas y din´amicas en la interfase r = Rl + R Rl ∂R |r=Rl = 0, − vrj ∂t y
vrg (Rl ) = vrl (Rl )
pol (Rl ) + pl (Rl ) − pog (Rl ) − pg (Rl ) = ζ∇ · n.
(15.44) (15.45)
Las componentes de la normal n en la interfase son [−∂R /∂x, 1, −(1/Rl )∂R /∂θ] , 1 + (∂R /∂x)2 + (1/Rl2 )(∂R /∂θ)2
(15.46)
y si, como se ha supuesto, la perturbaci´on de la interfase es peque˜ na, las componentes de la normal y la divergencia del vector normal son [−∂R /∂x, 1, −(1/Rl )∂R /∂θ],
(15.47)
y ∇·n=
∂ ∂x
−∂R ∂x
+
1 ∂ 1 + Rl + R Rl ∂θ
−1 ∂R Rl ∂θ
R ∂ 2 R 1 ∂ 2 R 1 − 2− − 2 , 2 Rl Rl ∂x Rl ∂θ2
(15.48)
donde para obtener el u ´ltimo resultado en (15.48) se ha desarrollado en serie de Taylor el t´ermino (Rl + R )−1 ∼ Rl−1 − R Rl−2 + ... Sustituyendo (15.48) en (15.45) y teniendo en cuenta (15.35) se obtiene finalmente 2 1 ∂ 2 R ∂ R R + pl − pg = −ζ . (15.49) + ∂x2 Rl2 Rl2 ∂θ2
427
15.4. Rotura de un chorro capilar
La linealidad del sistema (15.39)-(15.41) y condiciones de contorno (15.42), (15.43), (15.44) y (15.49), as´ı como su independencia respecto a las variables x, θ, y t sugiere buscar soluciones de la forma ˆ j (r)] ei(kx+mθ−ωt) , [pj (x, t), v j (x, t)] = [ˆ pj (r), v
ˆ ei(kx+mθ−ωt) , R (x, θ, t) = R
(15.50)
ˆ es una constante con dimensiones de longitud, 2π/k y 2πRl /m son las longitudes de donde R onda de las oscilaciones de la perturbaci´on en las direcciones axial y acimutal y ω es la frecuencia. Si se sustituye el desarrollo (15.50) en las ecuaciones (15.39-15.41), se obtienen las ecuaciones diferenciales ordinarias m2 dˆ pg 2k pg 1 d dUog dˆ r − − k 2 + 2 pˆg = 0, (15.51) r dr dr kUog − ω dr dr r 1 d r dr
r
dˆ pl dr
m2 − k 2 + 2 pˆl = 0, r
junto con vˆrg =
dˆ pg i , ρg (Uog k − ω) dr
vˆθg = −
mˆ pg , ρg r(Uog k − ω)
vˆrl = vˆθl =
(15.52)
pl −i dˆ , ρl ω dr
(15.53)
mˆ pl . ρl rω
(15.54)
Las condiciones de contorno (15.42)-(15.44) y (15.49) se reducen a ˆ l = ∞, v ˆ g → 0, v
pˆl = ∞
pˆg → 0
ˆ − vˆrj (Rl ) = 0, −iω R y pˆl (Rl ) − pˆg (Rl ) = −
en r = 0,
(15.55)
cuando r → ∞,
(15.56)
vˆrl (Rl ) = vˆrg (Rl )
2 ζ 1 ˆ 1 − m2 − k 2 Rl2 R. 2 Rl
Teniendo en cuenta (15.53) y (15.57), la condici´ on (15.58) puede expresarse en la forma 2 1 dˆ pg ζ 1 , pˆl (Rl ) − pˆg (Rl ) = − 2 1 − m2 − k 2 Rl2 Rl ρg ω 2 dr r=Rl y de la igualdad de velocidades radiales en la interfase, (15.57), se obtiene pg ρl dˆ dˆ pl = . dr r=Rl ρg dr r=Rl
(15.57)
(15.58)
(15.59)
(15.60)
La soluci´on de (15.52) teniendo en cuenta la condici´ on (15.55), que exige que la presi´ on sea finita en el eje del chorro, es pˆl (r) = CIm (kr), (15.61) donde Im representa las funciones de Bessel modificadas de orden m que son regulares en r = 0 y C es una constante de integraci´on con dimensiones de presi´on.5 5 M. Abramowitz y I. E. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Washington D. C., 1972.
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
428
Resulta conveniente definir las variables adimensionales pˆg = ρg ω 2 k −2 Π,
r = Rl (1 + tξ),
(15.62)
y los par´ametros y funciones adimensionales M=
ρl , ρg
We =
2 ρg U ∞ Rl , ζ
¯ (r) = U (r) , U U∞
κ = kRl ,
y
Ω=
ωRl , U∞
(15.63)
donde U∞ es la velocidad del gas relativa al chorro a distancias muy grandes del chorro, W e es el n´ umero de Weber que mide la importancia relativa de la presi´ on din´ amica en la corriente de 2 gas ρg U∞ respecto de la presi´on capilar ζ/Rl , y t es una medida del espesor de capa l´ımite que arbitrariamente se define aqu´ı como la distancia al chorro para la que la velocidad del gas sea 0,99 U∞ . N´otese que la funci´on t(x), que es una funci´ on lentamente variable de x, define tambi´en la estaci´on x del chorro donde se analiza su estabilidad. Introduciendo las definiciones (15.62) y (15.63) en (15.51) se llega a ¯ dΠ t m2 dU d2 Π 2κ 2 + + − κ t2 Π = 0, (15.64) − ¯ (ξ) − Ω dξ dξ dξ 2 1 + tξ (1 + tξ)2 κU que debe resolverse sujeta a las condiciones de contorno (15.56) y (15.59)-(15.60), que en las nuevas variables se escriben Π → 0 cuando ξ → ∞, (15.65) junto con las condiciones en la interfase ξ = 0 2 −2
CIm (κ) = ρg ω k
1 − κ2 − m2 ζ dΠ Π(0) − κ2 tRl dξ ξ=0
y CkIm (κ) =
ρl ω 2 dΠ k 2 tRl dξ ξ=0
(15.66)
(15.67)
donde Im (kr) =
dIm (kr) . d(kr)
(15.68)
Si se elimina la constante C dividiendo (15.66) por (15.67) se obtiene la relaci´ on de dispersi´on M Ω2
Π(0) 1 − m 2 − κ2 Im (κ) 2 2 Ω t + − κ = 0. (κ) κIm dΠ/dξ|ξ=0 We
(15.69)
El problema de autovalores consiste en determinar el valor complejo de Ω para cada valor real de κ con un valor fijo de m, de modo que la soluci´on de la ecuaci´on (15.64) satisfaga las condiciones (15.65) y (15.69). La relaci´on (15.69) contiene como caso l´ımite particular los resultados obtenidos por Rayleigh cuando no se considera la influencia del gas exterior. El problema estudiado por Rayleigh es una aproximaci´ on del caso en que el espesor de la capa l´ımite es grande comparado al radio del chorro, en cuyo caso, las perturbaciones din´amicas en el gas tienden a cero, Π → 0. En efecto, en el caso t 1, v´ease (15.62), (15.64) se reduce en primera aproximaci´on a dΠ 2 → 0 cuando t → ∞. t Π = 0, y Π → 0, y (15.70) dξ ξ=0
429
15.4. Rotura de un chorro capilar
El resultado (15.70) demuestra que en la situaci´ on contemplada, los efectos din´amicos del gas son despreciables, y si (15.70) se sustituye en (15.69) se obtiene la relaci´on de dispersi´on obtenida por Rayleigh 1 − m2 − κ2 κIm (κ) . (15.71) Ω2 = − MWe Im (κ) N´otese que el u ´ nico modo inestable es el m = 0 para el que Ω2 puede ser negativo, mientras que los modos superiores m = 1, 2, 3... son neutros, puesto que, como se comprueba en (15.71), Ω2 > 0 si m > 0. En la Figura 15.4 se representa el factor de crecimiento de la perturbaci´ on Ωi = ωi Rl /U∞ , donde Ω = iΩi , como funci´on del n´ umero de onda adimensional κ para varios valores del par´ ametro 2 Rl /ζ. Se ha considerado el caso de un chorro en un ambiente en reposo, respecto a M W e = ρl U∞ un observador que se mueva con el chorro, la velocidad del gas es igual y contraria a la del chorro respecto a tierra U∞ = −Vl y M W e = ρg Vl2 Rl /ζ. Obs´ervese que el factor de crecimiento presenta
Figura 15.4: Factores de crecimiento adimensionales como funci´on del n´ umero de onda adimensional para valores diferentes del n´ umero de Weber. un m´aximo para κ muy cercano al valor 0,7 (el m´aximo se presenta para κ 0,69, lo que implica que la longitud de onda m´ as inestable, λc , y, por lo tanto, la que m´ as r´apidamente crece y deforma el chorro para formar gotas es 2π (15.72) Rl . λc = 0,69 Conviene insistir en que (15.72) es la longitud de onda m´ as probable con la que se deforma el chorro, pues las otras no tienen tiempo suficiente para amplificarse por producirse antes la rotura del chorro por el crecimiento de la perturbaci´ on de longitud de onda (15.72). Teniendo en cuenta este comentario es f´acil calcular el radio de las gotas; en efecto, el volumen de chorro l´ıquido que romper´a finalmente en una gota es 4 πRl2 λ = πRg3 , (15.73) 3 de donde, teniendo en cuenta (15.72) y (15.73), se obtiene
1/3 1,5π Rg = 1,9. Rl 0,69
(15.74)
Este resultado demuestra que si el mecanismo de rotura es, como el considerado aqu´ı, debido a la capilaridad, las gotas resultantes de la rotura poseen un radio que es muy aproximadamente 1,9 veces el radio del chorro. Naturalmente este resultado se refiere a las gotas principales y no a la
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
430
gota sat´elite que se forma entre cada dos principales debida a la rotura del ligamento l´ıquido entre ambas en los u ´ltimos instantes del proceso de rotura. Debe se˜ nalarse que los resultados derivados del an´alisis de Rayleigh acuerdan bien con los obtenidos experimentalmente. 2 Por otra parte, el efecto del par´ ametro M W e = ρl U∞ Rl /ζ sobre el factor de crecimiento de las perturbaciones es el esperado. Cuando el n´ umero de Weber crece, el efecto desestabilizante de la tensi´on superficial es menor, puesto que las fuerzas capilares, de orden ζ/Rl , se hacen comparativa2 mente m´as peque˜ nas que las de inercia, de orden ρl U∞ ; consecuentemente el factor de crecimiento de las perturbaciones disminuye con M W e, Figura 15.4, y su inverso, el tiempo necesario para que ´estas crezcan, aumenta. Por esta raz´on, el chorro es por tanto m´as estable frente a inestabilidades capilares, que dan lugar a rotura sim´etrica del tipo mostrado en la Figura 15.2, cuanto mayor es M W e. No obstante, y como se ver´a a continuaci´ on, el efecto del n´ umero de Weber M W e sobre la estabilidad del chorro no es el anteriormente indicado, ya que cuando M W e aumenta, el chorro se hace inestable y rompe debido a perturbaciones de tipo aerodin´ amico originadas por la corriente de gas que lo circunda. El l´ımite contrario a la inestabilidad capilar, estudiada anteriormente, corresponde a un chorro en presencia de un gas de velocidad uniforme U = U (r). Este caso es uno de los considerados por Weber, aunque aqu´ı no se tiene en cuenta la viscosidad del l´ıquido. Como se ver´ a a continuaci´ on, este l´ımite se obtiene f´acilmente del problema general (15.64), (15.65) y (15.69) en el l´ımite en el que el espesor de la capa l´ımite es mucho menor que el radio del chorro. En este caso, el perfil de velocidades en la capa l´ımite del gas se aproximar´a por el de Blasius, ya que las part´ıculas de gas que fluyen a distancias del chorro del orden de su radio perciben la curvatura del chorro, pero no as´ı las que fluyen por la capa l´ımite, para las que el movimiento es bidimensional en primera aproximaci´ on cuando se mueven a distancias de la superficie del chorro muy peque˜ nas respecto a su radio. Para resolver la ecuaci´on diferencial (15.64) debe tenerse en cuenta que para valores grandes de ξ, la ecuaci´on (15.64) se reduce a una de Bessel con dos soluciones independientes de los tipos Im [κ(1 + tξ)] y Km [κ(1 + tξ)]; en el infinito Im diverge mientras que Km es regular. Si se fijan los ˙ valores de κ y Ω y se imponen arbitrariamente las condiciones de contorno Π(0) y Π(0) la ecuaci´on (15.64) se puede integrar num´ericamente desde ξ = 0. El lector puede comprobar que excepto para ˙ una pareja excepcional de valores de Π(0)) y Π(0) la soluci´on num´erica con cualesquiera valores ˙ arbitrarios de Π(0)) y Π(0) tiende inevitablemente hacia el atractor Im . Sin embargo, si se hace uso de la conocida propiedad de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden que establece que dada una soluci´on N (ξ), obtenida integrando num´ericamente (15.64) desde el origen con valores arbitrarios de las condiciones de contorno, por ejemplo N (0) = 1
y
N˙ (0) = 0,
(15.75)
puede construirse otra Π(ξ), independiente de la primera, de la forma Π(ξ) = C N (ξ)
ξ
∞
z ¯˙ (s) t 1 2κU ds dz = exp − − ¯ N 2 (z) 1 + ts [κU (s) − Ω] o −C
N (ξ) Ω2
ξ
∞
¯ (z) − Ω]2 [κU dz, 2 N (z)(1 + tz)
(15.76)
a m´as adelante, no es preciso determinar. donde C es una constante arbitraria que, como se ver´ Conocida la funci´ on U (ξ) y el espesor de la capa l´ımite t y fijado un valor de κ, se puede arrancar la integraci´ on num´erica de la ecuaci´on (15.64) desde ξ = 0 con las condiciones (15.75) si se escoge arbitrariamente un valor de Ω y construir, a partir de la num´erica, la soluci´on dada en
15.4. Rotura de un chorro capilar (15.76). En particular, los valores de la funci´ on Π(0) y de su derivada en ξ = 0 son ∞ ¯ (ξ) − Ω]2 [κU dΠ C = Π (0) = C. dξ y Π(0) = − 2 Ω o N 2 (ξ)(1 + tξ) dξ ξ=0
431
(15.77)
Obs´ervese que el cociente Π(0)/Π (0) que aparece en la relaci´on de dispersi´on (15.69) es independiente de la constante arbitraria C. Generalmente, el valor calculado de este cociente no satisfar´a la relaci´on de dispersi´on (15.69) para los valores de M , W e, κ y Ω especificados. Para encontrar el autovalor Ω que satisface (15.69) para valores fijados del resto de los par´ ametros ser´a necesario realizar un procedimiento iterativo; por ejemplo, Newton-Raphson.
Figura 15.5: Factores de crecimiento adimensionales como funci´on del n´ umero de onda adimensional para valores diferentes del n´ umero de Weber. En la Figura 15.5 se representa el factor de crecimiento de las perturbaciones Ωi = ωi Rl /U∞ como funci´on del n´ umero de onda adimensional κ para varios valores del n´ umero de Weber W e; en los c´alculos se ha supuesto nulo el espesor de la capa l´ımite (t → 0), se ha considerado el modo sim´etrico m = 0 y se ha tomado un valor de M = 1000. Es interesante observar que el rango de longitudes de onda de las perturbaciones que son inestables es aqu´ı considerablemente mayor que en el caso anterior (comp´arense los valores de las abcisas de las Figuras 15.4 y 15.5). Para n´ umeros de onda adimensionales menores de la unidad, κ < 1, el comportamiento del factor de crecimiento con el n´ umero de Weber es an´alogo al caso anterior; esto es, Ωi disminuye cuando W e aumenta. Sin embargo, este comportamiento se invierte para longitudes de onda menores κ > 1, para las que Ωi aumenta con el n´ umero de Weber. Para longitudes de onda grandes, κ 1, el mecanismo inestabilizante que domina el proceso de rotura es el de la componente de la tensi´on superficial sobre una secci´on diametral del chorro y al aumentar el n´ umero de Weber (disminuir el efecto de la tensi´on superficial) su efecto desestabilizante disminuye. Por el contrario, para longitudes de onda peque˜ nas, el mecanismo desestabilizante dominante es aerodin´amico, del tipo de Kelvin-Helmholtz, y su efecto aumenta al hacerlo el n´ umero de Weber. Debe mencionarse aqu´ı que, para longitudes de onda peque˜ nas, el efecto desestabilizante de la tensi´on superficial sobre una secci´on diametral del chorro est´a compensado con el efecto estabilizante de la componente de la tensi´on superficial sobre una secci´on longitudinal del chorro. El efecto del espesor de capa l´ımite sobre la estabilidad del chorro puede analizarse en la Figura 15.6 donde se representan valores del factor de crecimiento como funci´on del n´ umero de onda para varios valores del espesor de capa l´ımite t; en los c´alculos se ha tomado W e = 15 y M = 1000. Los casos t = 0 y t = ∞ corresponden respectivamente a las inestabilidades de Kelvin-Helmholtz estudiadas anteriormente. Si se parte del caso t = 0, el factor de crecimiento de las perturbaciones Ωi crece, y por tanto el chorro se hace m´as inestable, cuanto mayor es el espesor de capa l´ımite t.
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
432
Figura 15.6: Factores de crecimiento adimensionales como funci´on del n´ umero de onda adimensional para valores diferentes del espesor adimensional de capa l´ımite.
N´ otese tambi´en que la longitud de onda para la que Ωi es m´aximo disminuye cuando t aumenta. Sin embargo, este comportamiento se invierte para valores de t superiores a 0,005 para los que Ωi disminuye cuando t crece mientras que aumenta la longitud de onda para la que Ωi es m´aximo.
15.5.
Inestabilidad centr´ıfuga
La inestabilidad de un fluido homog´eneo provocada por efectos de rotaci´on fue considerada primeramente por Couette, quien investig´o experimentalmente el flujo de un fluido entre dos cilindros coaxiales, uno de los cuales puede girar relativamente respecto del otro. Couette encontr´o que para valores suficientemente peque˜ nos de la velocidad angular el momento resistente del fluido sobre el cilindro variaba linealmente con la velocidad angular, Ω, pero que para valores mayores de Ω, el momento variaba con una potencia mayor de Ω; este cambio brusco fue atribuido a la transici´ on del r´egimen laminar al turbulento. Posteriormente, fue Taylor el primero en observar experimentalmente la existencia de un flujo estacionario secundario, superpuesto al de Couette, en la forma de v´ortices toroidales regularmente espaciados a lo largo del eje de los cilindros, como se muestra en la fotograf´ıa de la Figura 15.7.6 El mismo tipo de inestabilidad centr´ıfuga aparece tambi´en en la corriente en un canal cuya l´ınea media longitudinal es curva o en la capa l´ımite a lo largo de una pared c´oncava. En el experimento de la Figura 7, aceite, conteniendo polvo de aluminio para la visualizaci´on de la estructura del movimiento, llenaba el espacio entre dos cilindros conc´entricos. El cilindro exterior era fijo mientras que el interior, de radio relativo 0,727 veces el del exterior, giraba con una velocidad angular 9,1 veces mayor que la cr´ıtica a la que aparecen los torbellinos toroidales descritos en la Figura 15.7. 7 Los primeros an´alisis de estabilidad del flujo de un l´ıquido entre dos cilindros giratorios, flujo circular de Couette, se deben a Rayleigh, quien ignor´ o el efecto de la viscosidad para explicar el mecanismo de inestabilidad. El argumento de Rayleigh parte de la conservaci´ on del momento cin´etico de las part´ıculas a lo largo de sus trayectorias. En efecto, si se parte de la ecuaci´on de cantidad de movimiento seg´ un el eje acimutal en un flujo no viscoso y con simetr´ıa axial se tiene Dvθ ∂vθ vr vθ ∂vθ vθ =0= ; (15.78) + + vr + Dt r ∂t ∂r r 6 7
De M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, The Parabolic Press, 1982. J. E. Burkhalter y E. L. Koschmieder, Phys. Fluids, 17, 1929-1935, 1974.
433
15.5. Inestabilidad centr´ıfuga
Figura 15.7: V´ortices de Taylor axilsim´etricos.
multiplicando esta ecuaci´on por r se obtiene ∂(rvθ ) D(rvθ ) ∂(rvθ ) = + vr = 0, Dt ∂t ∂r que muestra que el momento cin´etico de una part´ıcula fluida L = rvθ se mantiene constante en su movimiento, donde el valor de L var´ıa de una l´ınea de corriente a otra. Si una part´ıcula fluida que se mueve a lo largo de la l´ınea de corriente de radio r con un momento cin´etico L(r) se trasladase por efecto de cualquier perturbaci´ on a otra l´ınea de corriente de radio r + dr, la velocidad de esa part´ıcula fluida y la fuerza centr´ıfuga que experimentar´ıan ser´ıa, en virtud de la conservaci´ on del momento angular, ρvθ2 ρL2 L . (15.79) y = vθ = r + dr (r + dr) (r + dr)3 La fuerza centr´ıfuga del fluido no perturbado en la l´ınea de corriente r + dr en la que las part´ıculas fluidas poseen un momento cin´etico L + dL es ρ[L2 + 2L(dL/dr)dr] ρ[L + (dL/dr)dr]2 ρvθ2 . = 3 r + dr (r + dr) (r + dr)3
(15.80)
Si (15.80) fuese mayor que (15.79), lo que suceder´ıa si el cuadrado del momento angular creciese mon´otonamente con r, dL2 (r) dL = > 0, (15.81) 2L dr dr la part´ıcula fluida tender´ıa espont´ aneamente hacia su posici´on no perturbada y el movimiento circular de Couette ser´ıa estable. Un criterio de estabilidad m´ as riguroso que el anterior se obtiene a partir del estudio de la estabilidad de la soluci´ on de Couette que describe el flujo de un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad µ entre cilindros conc´entricos, de radios R1 y R2 , (R2 > R1 ), que giran coaxialmente con velocidades Ω1 y Ω2 respectivamente; la altura de los cilindros se supone muy grande frente a sus di´ ametros. El campo de velocidades y presiones de este flujo b´asico, estudiado en 7.2.4 [v´ease (7.100)-(7.102)], es p − po A2 B B + 2 A B ln r − 2 , (15.82) y = V (r) = Ar + r ρ 2 r2 2r donde po es una presi´on de referencia y A y B son constantes que vienen determinadas por las condiciones de contorno en las paredes de los cilindros [V (R1 ) = Ω1 R1 , V (R2 ) = Ω2 R2 ] A=
Ω2 R22 − Ω1 R12 R22 − R12
y
B=
(Ω1 − Ω2 )R12 R22 R22 − R12
(15.83)
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
434
Para este flujo el criterio de estabilidad de Rayleigh (15.81) proporciona la desigualdad dL2 = 4Ar[Ar2 + B] ≥ 0 ) dr
(15.84)
y si en ella se sustituyen los valores de A y B dados por (15.83) es f´ acil ver que el criterio (15.84) se satisface si Ω2 /Ω1 ≥ (R1 /R2 )2 . Para estudiar la estabilidad del flujo b´ asico (15.82)-(15.83) y obtener un criterio m´as exacto que el anterior se supondr´ a que la corriente perturbada es de la forma [ur , V (r) + uθ , uz ] y (p + p ), [(ur ∼ uθ ∼ uz V (r)), p p]. En este supuesto las ecuaciones de Navier-Stokes ya linealizadas se reducen a 1 ∂(rur ) 1 ∂uθ ∂uz + + = 0, (15.85) r ∂r r ∂θ ∂z 2 ∂uθ V (r) ∂ur ∂ur 1 ∂p ur 2 + + ν ∇ ur − 2 − 2 − 2uθ = − , (15.86) ∂t r ∂θ ρ ∂r r r ∂θ V 1 ∂p 2 ∂u V (r) ∂uθ dV u ∂uθ + ur = − + + + ν ∇2 uθ − 2θ + 2 r , (15.87) ∂t r ∂θ dr r ρr ∂θ r r ∂θ V (r) ∂uz 1 ∂p ∂uz + =− + ν∇2 uz , ∂t r ∂θ ρ ∂z
(15.88)
donde ∇2 ≡=
∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + + + . ∂r2 r ∂r ∂z 2 r2 ∂θ2
La resoluci´on general de las ecuaciones (15.85)-(15.88) es, todav´ıa hoy, objeto de investigaci´ on; sin embargo, su an´alisis se simplifica extraordinariamente si el estudio se restringe al caso de perturbaciones axilsim´etricas que como muestran los experimentos conducen, para valores especiales del espacio de par´ametros del problema, a un flujo secundario estacionario en la forma de v´ ortices toroidales espaciados regularmente a lo largo del eje de los cilindros. Suponiendo perturbaciones axilsim´etricas (∂/∂θ = 0), introduciendo la funci´ on de corriente ψ definida en la forma rur = ψz y ruz = −ψr , (15.89) donde los sub´ındices z y r indican derivaci´ on respecto a la variable indicada, el resultado de restar la ecuaci´on (15.88) derivada respecto a r de (15.86) derivada respecto a z se escribe 2V ∂uθ ∂ 1 1 1 ∗2 = ψzz + ψrr − ψr −ν ∇ − 2 , (15.90) ∂t r r r r ∂z junto con
dV V ψz 1 ∂ ∗2 uθ = − + , −ν ∇ − 2 ∂t r dr r r
(15.91)
donde ∇∗2 =
∂2 1 ∂ ∂2 + + 2. 2 ∂r r ∂r ∂z
El sistema (15.90)-(15.91) debe resolverse sujeto a las condiciones de velocidad de perturbaci´on nula sobre los cilindros ψz (z, R1 ) = ψr (z, R1 ) = uθ (z, R1 ) = ψz (z, R2 ) = ψr (z, R2 ) = uθ (z, R2 ) = 0.
(15.92)
435
15.5. Inestabilidad centr´ıfuga
Es conveniente escribir el sistema de ecuaciones (15.90)-(15.91) y condiciones (15.92) en forma adimensional introduciendo las variables y par´ ametros adimensionales siguientes η=
r − 1, R1 V ∗ (η) =
φ(η) =
0≤η≤
R2 − 1 = ρ∗ − 1, R1
ρ∗ =
R2 , R1
χ=
Ω2 , Ω1
V (r) ρ∗2 − 1 ρ∗2 (1 − χ) 1 =1+η+ , ∗2 Ω1 R1 χρ − 1 χρ∗2 − 1 1 + η
ψ(r, z) −i(kz−ωνt/R12 ) e Ω1 R13
y
v(η) =
uθ (r, z) −i(kz−ωνt/R12 ) e ; Ω1 R1
se tiene entonces
¨ ˙ 2 2 1 d 1 ikR1 T 1/2 V ∗ v d2 2 2 φ − φ/(1 + η) − k R1 φ − =− − k R , iω + 2 + 1 2 dη 1 + η dη (1 + η) 1+η 1+η
∗ V∗ 1 d 1 d2 φ dV 2 2 1/2 + − iω + 2 + − k R1 v = T ikR1 , dη 1 + η dη (1 + η)2 1+η dη 1+η donde 4Ω21 R14 T = ν2
χρ∗2 − 1 ρ∗2 − 1
(15.93) (15.94) (15.95)
(15.96) (15.97)
2 (15.98)
es el n´ umero de Taylor. En las variables adimensionales, las condiciones de contorno se expresan ˙ ∗ − 1) = v(ρ∗ − 1) = 0. ˙ φ(0) = φ(0) = v(0) = φ(ρ∗ − 1) = φ(ρ
(15.99)
La resoluci´on del problema de autovalores (15.96), (15.97) y (15.99) proporcionan una relaci´ on de dispersi´on de la forma F (ω, kR1 , T, χ, ρ∗ ) = 0, y el cambio de estabilidad o estabilidad marginal, que corresponde al caso ω = 0, proporciona el n´ umero de Taylor cr´ıtico Tc para cada valor de la longitud de onda adimensional kR1 una vez fijados los valores de ρ∗ y χ. Nos limitaremos aqu´ı a la resoluci´on del problema (15.96), (15.97) y (15.99) para el caso en que la separaci´on entre cilindros R2 − R1 sea peque˜ na comparada con el radio del cilindro interior R1 , (R2 − R1 )/R1 = ρ∗ − 1 1, η ∼ (ρ∗ − 1) 1. En este caso la velocidad V ∗ de la corriente sin perturbar se simplifica desarrollando en serie (15.94) para valores de ρ∗ − 1 ∼ η 1; se tiene entonces 2 (ρ∗ − 1) (15.100) , 0 ≤ η ≤ ρ∗ − 1 1. V ∗ (η) = 2η + χ−1 Por otra parte, es f´acil comprobar que las ecuaciones (15.96) y (15.97) para el caso ω = 0, η 1 se reducen a ρ∗2 − 1 d 1/2 2 2 φ = −T ikR1 2η + v, (D − 1) D − 2 (15.101) dη χ−1 y (D2 − 1)v = 2T 1/2 ikR1 φ, (15.102) donde el operador diferencial D2 se define D2 =
d d2 + − k 2 R12 . dη 2 dη
(15.103)
Aplicando el operador diferencial (D2 − 1)D2 a la ecuaci´on (15.102) y teniendo en cuenta (15.101) se obtiene la ecuaci´on diferencial ordinaria de sexto orden para el c´ alculo de las autofunciones v ρ∗ − 1 d v = 2T k 2 R12 2η + v. (D2 − 1)2 D2 − 2 (15.104) dη χ−1
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
436
Las cuatro condiciones de contorno para v, adicionales a las dos dadas en (15.99), se obtienen a partir de la ecuaci´on (15.102) y de su derivada respecto a η evaluadas en η = 0 y η = ρ∗ − 1. En efecto, teniendo en cuenta (15.99), la ecuaci´on (15.102) evaluada en η = 0 y η = ρ∗ − 1 resulta dv dv d2 v d2 v + =0 y + = 0; (15.105) dη 2 0 dη 0 dη 2 ρ∗ −1 dη ρ∗ −1 por otra parte, la derivada respecto a η de la ecuaci´on (15.102) evaluada en ambos cilindros proporciona d2 v d3 v d2 v dv d3 v dv 2 2 2 2 + −(k R1 +1) =0 y + −(k R1 +1) = 0. (15.106) dη 3 0 dη 2 0 dη 0 dη 3 ρ∗ −1 dη 2 ρ∗ −1 dη ρ∗ −1 La resoluci´on del problema de autovalores, formado por la ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal de sexto orden (15.104) y las condiciones de contorno para v dadas en (15.99), (15.105) y (15.106), suministra el n´ umero de Taylor cr´ıtico Tc (k) para cada k de modo que para valores del n´ umero de Taylor superiores a Tc (k), con k fijado, la soluci´ on de reposo es inestable frente a perturbaciones de longitud de onda 2π/k. El valor m´ınimo de la funci´ on Tc (k) = T ∗ define el l´ımite de estabilidad ∗ de la soluci´on investigada de modo que para T < T el estado de fluido en reposo es estable frente a cualquier perturbaci´ on siempre que su amplitud sea peque˜ na. Aunque el problema (15.104), (15.99), (15.105) y (15.106) es lineal su resoluci´ on num´erica requiere cierta elaboraci´on. En efecto, la integraci´ on num´erica de la ecuaci´on (15.104) de sexto orden desde η = 0 requiere conocer all´ı el valor de la funci´ on y de sus cinco primeras derivadas. Dado que en η ∗ = 0 se conocen s´olo tres [las otras tres est´an impuestas en η = ρ∗ − 1] existen entonces tres grados de libertad para arrancar la integraci´ on desde η = 0 v(η) = a1 η −
a1 2 a1 2 2 η + (k R1 + 2)η 3 + a4 η 4 + a5 η 5 ; 2 6
(15.107)
la determinaci´on de la terna de valores (a1 , a4 , a5 ) que, arrancando la integraci´ on num´erica desde el origen, permite obtener la soluci´on no trivial que cumple las tres restantes condiciones de contorno en η = ρ∗ − 1 implica un coste computacional excesivo. Sin embargo, si se hace uso de la linealidad del problema, es posible construir la soluci´ on v(η) a partir de tres soluciones num´ericas independientes (v1 , v2 , v3 ) en la forma v(η) = C1 v1 (η) + C2 v2 (η) + C3 v3 (η),
(15.108)
donde C1 , C2 , y C3 son constantes a determinar y las tres soluciones num´ericas v1 , v2 , v3 , satisfacen en η = 0 las condiciones siguientes d5 v1 d4 v1 = = 0, v1 (0) = dη 4 η=0 dη 5 η=0 dv1 = 1, dη η=0
y
d2 v1 = −1, dη 2 η=0
d3 v1 = 2 + (k 2 R12 ), dη 3 η=0
(15.109)
d2 v2 d3 v2 d5 v2 dv2 = = = = 0, v2 (0) = dη η=0 dη 2 η=0 dη 3 η=0 dη 5 η=0
d4 v2 = 1, dη 4 η=0
(15.110)
d2 v2 d3 v3 d4 v3 dv3 = = = = 0, v3 (0) = dη η=0 dη 2 η=0 dη 3 η=0 dη 4 η=0
d5 v3 = 1. dη 5 η=0
(15.111)
437
15.5. Inestabilidad centr´ıfuga
N´otese que la funci´on v(η) definida en (15.108) satisface las condiciones en η = 0. Fijando entonces los valores de ρ∗ , χ, kR1 y T , y arrancando la integraci´ on num´erica de la ecuaci´on (15.104) desde el origen con las condiciones (15.109-15.111) se determinan las funciones v1 ,v2 , y v3 y sus derivadas en η = ρ∗ −1. Para garantizar entonces el cumplimiento de las condiciones de contorno en η = ρ∗ − 1, los coeficientes C1 , C2 , y C3 en (15.108) deben satisfacer el sistema de ecuaciones algebraico siguiente (15.112) C1 v1 + C2 v2 + C3 v3 = 0, C1 C1
dv1 d2 v1 + dη 2 dη
+ C2
d2 v2 dv2 + dη 2 dη
+ C3
d2 v3 dv3 + dη 2 dη
=0
3 d v2 d2 v1 d 2 v2 dv1 dv2 d3 v1 2 2 2 2 + C + + − (k R + + − (k R + 1) 1) 2 1 1 dη 3 dη 2 dη dη 3 dη 2 dη 3
d2 v3 d v3 dv3 2 2 + − (k R + = 0, C3 1) 1 dη 3 dη 2 dη
(15.113)
(15.114)
donde las funciones v1, v2 , v3 y sus derivadas, en el sistema (15.112)-(15.114), est´an evaluadas en η = ρ∗ − 1.
Figura 15.8: Valores del n´ umero de Taylor como funci´on de Ω2 /Ω1 , para varios valores de R2 /R1 .
Naturalmente, este sistema homog´eneo tiene soluci´on distinta de la trivial (C1 = C2 = C3 = 0) s´olo si el determinante de los coeficientes es nulo. Para valores dados de ρ∗ , χ y kR1 , esto ocurre para un conjunto discreto y numerable de valores del n´ umero de Taylor; esto es, los n´ umeros de Taylor cr´ıticos de cada modo para una longitud de onda dada. Para cada longitud de onda existir´a, por tanto, un m´ınimo del n´ umero de Taylor cr´ıtico. Se denomina n´ umero de Taylor cr´ıtico al menor de todos ellos, por ser el que asegura que por debajo de ´el el flujo b´ asico es estable frente a perturbaciones de peque˜ na amplitud. En la Figura 15.8 se representa el valor del n´ umero de Taylor cr´ıtico Tc como funci´on de χ = Ω2 /Ω1 para varios valores de ρ∗ = R2 /R1 .8 Obs´ervese que, de acuerdo con el criterio de Rayleigh, 8 Los c´ alculos num´ericos fueron realizados por Eva Bravo, estudiante de doctorado del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla.
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
438
que es conservativo, el flujo b´asico es estable para valores de χ > (R1 /R2 )2 = (1,137)−2 = 0,774. Valores del n´ umero de Taylor cr´ıtico para otros valores del par´ ametro ρ∗ pueden obtenerse f´acilmente mediante el procedimiento num´erico descrito anteriormente. A partir de la Figura 15.8 se construye f´acilmente el mapa param´etrico de estabilidad de la Figura 15.9, donde se ha incluido tambi´en el criterio de estabilidad de Rayleigh para completar; obs´ervese que la corriente b´asica es siempre estable para valores de χ > (R1 /R2 )2 . Debe indicarse, finalmente, que los resultados obtenidos de aplicar la teor´ıa de estabilidad lineal presentan un acuerdo excelente con las observaciones experimentales. 3000 2500 2000
W 1 (R 1 ) 2 / n
Inestable
1500 1000
Estable
500 0 -1500
2 W 1 ( R 1 ) 2 = W 2 (R 2 )
-1000
-500
0
Criterio de Rayleigh
500
1000
1500
2000
2500
3000
W 2 (R 2 ) 2 / n
Figura 15.9: Mapa de estabilidad del flujo de un l´ıquido entre dos cilindros conc´entricos.
15.6.
Estabilidad de corrientes paralelas
El estudio de la estabilidad de las corrientes paralelas y fundamentalmente los de la estabilidad y transici´on de capas l´ımites han recibido considerable atenci´on por su trascendencia en el dise˜ no eficiente de turbom´aquinas, submarinos y torpedos, aviones subs´ onicos y supers´onicos, etc. T´engase en cuenta que el retraso de la transici´on de laminar a turbulenta de la capa l´ımite da lugar a una disminuci´ on sustancial de la resistencia y, por tanto, al consiguiente ahorro de combustible. En lo que sigue, consideraremos corrientes paralelas, como las de Couette y Poiseuille, y casiparalelas como capas l´ımites y otras capas delgadas. En realidad, la capa l´ımite es un flujo casi paralelo donde la componente de la velocidad normal a la pared, aunque peque˜ na, es distinta de cero; no obstante, y como se ver´a en lo que sigue, a los efectos de investigar su estabilidad, las corrientes casi-paralelas pueden tratarse como corrientes localmente paralelas. Consid´erese un flujo b´asico laminar y estacionario cuyo campo de velocidades y presiones es de la forma v = U (x, y, z) ex + V (x, y, z) ey + W (x, y, z) ez , p = Π(x, z), (15.115) donde la coordenada y es la distancia a la pared, y la componente V de la velocidad normal a la misma es peque˜ na comparada con las componentes U y W paralelas a la pared; por otra parte si δ es el espesor de la capa l´ımite y L es la longitud caracter´ıstica de variaci´ on de las velocidades U y W se tiene δ/L ∼ V /U ∼ V /W 1; en el caso de corrientes paralelas V = 0 y δ es el espesor de la capa.9 9 En el caso de un flujo b´ asico entre placas (corrientes de Couette y Poiseuille), δ debe sustituirse por la distancia entre placas h.
15.6. Estabilidad de corrientes paralelas
439
Si el flujo se expresa como superposici´on del indicado en (15.115) m´ as la perturbaci´on en presi´on p (x, y, z, t) y velocidad v (x, y, z, t), las ecuaciones linealizadas que gobiernan el flujo perturbado son (15.116) ∇ · v = 0, ∂v + v · ∇v + v · ∇v = −∇p + ν∇2 v . (15.117) ∂t En el an´ alisis de estabilidad las perturbaciones se suponen temporal y espacialmente peri´odicas de frecuencia ω y longitud de onda λ que ser´a a lo sumo del orden del espesor δ de la capa; esto es mientras que las componentes de la velocidad paralelas al flujo b´ asico var´ıan en distancias del orden de L, las velocidades de perturbaci´on lo hacen en distancias del orden de λ L. Esto permite simplificar dr´ asticamente (15.117), ya que por una parte y a modo de ejemplo U
∂U ∂u U u u U u , ∼ ∼ ∂x λ ∂x L
(15.118)
y por otra parte las variaciones de U y W con x y z son tan peque˜ nas que en primera aproximaci´on pueden tomarse como constantes e iguales a los valores de la velocidad en una secci´on de coordenadas xo , zo dada; (u , v , w ) son las componentes de la velocidad de perturbaci´on seg´ un los ejes (x, y, z). En lo que sigue, se analizar´ a la estabilidad de una corriente localmente paralela de componentes U (xo , y, zo ) y W (xo , y, zo ). Teniendo en cuenta lo anterior el sistema de ecuaciones se reduce a ∂v ∂w ∂u + + = 0, ∂x ∂y ∂z 2 1 ∂p ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ u dU =− , + + +U +W +v +ν ∂t ∂x ∂z dy ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2 ∂ 2 v ∂ 2 v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ v ∂v , + + +U +W =− +ν ∂t ∂x ∂z ρ ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2 1 ∂p ∂ 2 w ∂ 2 w dW ∂w ∂w ∂ w ∂w =− . + + +U +W + v +ν ∂t ∂x ∂z dy ρ ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(15.119)
(15.120) (15.121) (15.122)
El sistema de ecuaciones (15.119)-(15.122) se puede reducir a una ecuaci´on que contenga una u ´nica variable dependiente si se procede en la forma siguiente. En efecto, si al resultado de derivar (15.120) respecto a x se le suma el de derivar (15.122) respecto a z y se tiene en cuenta (15.119) se obtiene ∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂v ∂U ∂v ∂W ∂v − +U − +W − + + = ∂t ∂y ∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂x ∂y ∂z ∂ 2 p ∂v 1 ∂ 2 p − ν∇2 + ; (15.123) − 2 2 ρ ∂x ∂z ∂y obs´ervese que para obtener (15.123) se han despreciado t´erminos tales como v ∂ 2 U/(∂x∂y) y v ∂ 2 W/(∂y∂z) frente a (∂v /∂x)(∂U/∂y) y (∂v /∂z)(∂W/∂y) debido a que λ L. Si a la ecuaci´on (15.121) derivada dos veces respecto a x se le suma el resultado de derivar la misma ecuaci´on dos veces respecto a z se obtiene una ecuaci´on que restada al resultado de derivar (15.123) con respecto a y resulta 2 ∂ d U ∂v ∂ ∂ d2 W ∂v (15.124) +U +W ∇2 v − + = ν∇4 v . ∂t ∂x ∂z dy 2 ∂x dy 2 ∂z
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
440
Si se supone adem´as que las perturbaciones, y en particular v , exhiben una dependencia espaciotemporal de la forma v (x, y, z, t) = (Uo2 + Wo2 )1/2 f (y)ei(kx x+kz z−ωt) ,
(15.125)
un los donde ω, kx , y kz son respectivamente la frecuencia de la perturbaci´on y las componentes seg´ ejes x y z de su vector de onda, y se definen las variables y par´ ametros adimensionales siguientes η=
y , δ
¯= U
k¯x = kx δ,
(Uo2
U , + Wo2 )1/2
k¯z = kz δ,
¯ = W
Ω=
(Uo2
W , + Wo2 )1/2
ωδ , (Uo2 + Wo2 )1/2
la ecuaci´on (15.124) se transforma en
2 2¯ 2 ¯ ¯ + k¯z W ¯ ) d f − (k¯x2 + k¯z2 )f − k¯x d U + k¯z d W f = (−Ω + k¯x U dη 2 dη 2 dη 2 4
2 i d f ¯2 + k¯2 ) d f + (k¯2 + k¯2 )2 f ; − 2( k − x z x z Reδ dη 4 dη 2 umero de Reynolds basado en el espesor de la capa l´ımite Reδ es el n´
(15.126)
(15.127)
(Uo2 + Wo2 )1/2 δ . (15.128) ν La ecuaci´on (15.127) se denomina de Orr-Sommerfeld en honor de los primeros trabajos que sobre corrientes paralelas publicaron ambos autores en la primera d´ecada del siglo xx. Como condiciones de contorno de la ecuaci´on de Orr-Sommerfeld se impondr´ a que la perturbaci´ on f y su derivada df /dη sean nulas en los l´ımites del dominio de la corriente b´asica. Dado que la ecuaci´on diferencial (15.127) y las condiciones de contorno son homog´eneas, la perturbaci´on f ser´a distinta de cero s´olo para combinaciones especiales de los cuatro par´ametros, k¯x , k¯z , Ω, y Reδ , involucrados. Obs´ervese que si en (15.127) se definen las variables Reδ =
k˜2 = k¯x2 + k¯z2
y
¯ + k¯z W ¯, k˜V˜ = k¯x U
(15.129)
la ecuaci´on resultante para el problema tridimensional con k˜ y V˜ es la misma que satisface el ¯ = 0 y k¯z = 0 en la ecuaci´on (15.127). Cuando problema bidimensional resultante de hacer W el campo de velocidades es bidimensional, cualquier modo para el que k no es perpendicular a U se llama oblicuo. La amplificaci´on de los modos oblicuos est´a gobernada por el perfil de velocidades b´asico U y, de acuerdo con la ecuaci´on de Orr-Sommerfeld, su frecuencia s´olo depende del valor de la proyecci´ on del vector de onda en la direcci´on de U . Sin embargo, la velocidad de crecimiento Ω/k¯ de los modos oblicuos (tridimensionales) inestables es menor que la de los ˜ Este resultado, conocido normales (bidimensionales) por ser mayor el n´ umero de onda k¯x < k. con el nombre de teorema de Squire, demuestra que en principio para obtener criterios suficientes de estabilidad basta con considerar el problema bidimensional. En lo que sigue se considerar´ a, ¯ = 0, por tanto, el problema bidimensional con variables y par´ ametros adimensionales k¯z = 0, W ¯ yU ¯ =U ¯ (η); la ecuaci´on de Orr-Sommerfeld se escribe entonces en la forma k¯x = k,
2 4 2 ¯ d2 U i d f ¯2 d f 2d f 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −k f −k 2 f =− − 2k +k f . (15.130) (−Ω + k U ) dη 2 dη Reδ dη 4 dη 2 ´ No obstante, y como se ver´a posteriormente, el resultado de Squire no es siempre aplicable. Este es, por ejemplo, el caso en el que para alguna direcci´on del vector de onda tridimensional el perfil de velocidades presente un punto de inflexi´ on. Por otra parte, efectos no-lineales pueden tambi´en afectar a la validez del resultado de Squire.
15.6. Estabilidad de corrientes paralelas
15.6.1.
441
Estabilidad no viscosa. Ecuaci´ on de Rayleigh
La dificultad de la ecuaci´ on de Orr-Sommerfeld, extraordinaria para la capacidad computacional del tiempo en que dicha ecuaci´on fue establecida, oblig´ o al empleo de m´etodos simplificados para el estudio de la estabilidad de las corrientes paralelas. La primera simplificaci´ on la introdujo lord Rayleigh al considerar despreciables los t´erminos viscosos en la ecuaci´on de Orr-Sommerfeld, simplificaci´on plausible, ya que, por una parte, dichos t´erminos son peque˜ nos para valores grandes del n´ umero de Reynolds Reδ y, por otra, parece razonable pensar, en principio, que los efectos viscosos contribuyen a la estabilidad del flujo desde que tienden a amortiguar las perturbaciones en el mismo.10 Como se ver´a en lo que sigue, el an´alisis de estabilidad no viscoso proporciona resultados de inter´es f´ısico (especialmente en flujos cuyo perfil de velocidades contiene un punto de ¨¯ = 0), pero deber´a siempre tenerse en mente que suficientemente cerca de las paredes, inflexi´on, U el segundo t´ermino de la ecuaci´on se hace importante independientemente de cu´an alto sea el valor de Reδ .11 Si se desprecia el segundo miembro de (15.130), la ecuaci´on de estabilidad se simplifica al reducirse a una de segundo orden denominada de Rayleigh, quien fue pionero en obtener resultados de inter´es a partir del an´alisis no viscoso. Rayleigh obtuvo el denominado criterio del punto ¨¯ = 0 que establece que un perfil de velocidades que posee de inflexi´ on del perfil de velocidades U un punto de inflexi´ on es inestable.12 Este resultado se obtiene f´acilmente a partir de la ecuaci´on de Rayleigh ¨¯ k¯U f = 0. L(f ) = f¨ − k¯2 f − ¯ ¯ (15.131) kU − Ω En efecto, si se construye la funci´on ¨¯ k¯U f f ∗, f ∗ L(f ) − f L(f ∗ ) = f ∗ f¨ − f f¨∗ − 2 iΩI ¯ ¯ |k U − Ω|2
(15.132)
donde el s´ımbolo ∗ denota aqu´ı el conjugado de la cantidad compleja a la que afecta, y se integra entre 0 e ∞ se llega a, teniendo en cuenta las condiciones de los l´ımites [f (0) = f (∞) = f ∗ (0) = f ∗ (∞) = 0], ∞ ¨¯ U ∗ ΩI (15.133) ¯ − ΩR )2 + Ω2 f f dη = 0. (k¯U o I El resultado (15.133) conduce a dos posibles conclusiones: 1) ΩI = 0, en cuyo caso el flujo es marginalmente estable, o 2) o
∞
¨¯ U ∗ ¯ − ΩR )2 + Ω2 f f dη = 0. (k¯U I
(15.134)
¨ para perturbaciones que se amplifican, ΩI > 0. En este u ´ltimo caso, es f´acil observar que excepto U cualquier otro factor en el integrando de (15.134) es positivo en cualquier regi´ on del flujo de modo que para que se cumpla la condici´ on (15.134) es necesario que U presente un punto de inflexi´ on en alg´ un punto del dominio.13 10
M´ as tarde se ver´ a que en algunos flujos paralelos, tales como flujo de Poiseuille, capas l´ımites aceleradas (gradiente de presiones favorable), la viscosidad juega un papel desestabilizante. 11 El t´ ermino viscoso puede tambi´en hacerse importante en un entorno de la denominada capa cr´ıtica en la que ¯ ¯ = Ω/k. U 12 En realidad, Rayleigh demostr´ o que la existencia de un punto de inflexi´ on es condici´ on necesaria de inestabilidad pero fue Tollmien quien mucho m´ as tarde demostr´ o que esta condici´ on era tambi´en suficiente W. Tollmien, Ein allgemeines kriterium der instabilit¨ at laminarer geschwindigkeitseverteilungen, Nachr. Ges. Wiss. G¨ ottingen, Math. Phys. Klasse, Fachgruppe I, 1, 79-114 (1935). English Transl. in NACA TM 792 (1936). 13 Obs´ ervese que la existencia de perturbaciones amortiguadas (ΩI < 0) parece, en principio, requerir tambi´en la condici´ on de existencia de un punto de inflexi´ on en el perfil de velocidades. Sin embargo, el resultado anterior s´ olo
Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica
442
Como es sabido, la existencia de un punto de inflexi´ on en el perfil de velocidades es debida, generalmente, a la presencia de un gradiente de presiones adverso. En el caso de un canal, o conducto, convergente donde el gradiente de presiones es favorable (la presi´ on disminuye aguas abajo), los perfiles de velocidad no poseen punto de inflexi´ on mientras que s´ı lo tienen en el caso de un conducto divergente, donde el gradiente de presiones es desfavorable. Lo mismo sucede en las capas l´ımites sobre obst´aculos que se mueven en el seno de un fluido en reposo. Desde el borde de ataque del obst´aculo al punto de m´ınima presi´on la capa l´ımite est´a sometida a un gradiente favorable de presiones que tiende a estabilizarla; m´ as all´a del punto de presi´ on m´ınima la capa l´ımite es inestable. Es posible dar argumentos f´ısicos de estabilidad basados en la distribuci´ on de vorticidades del flujo b´ asico. En efecto, consid´erense dos capas l´ımites, una con gradiente de presiones desfavorable y la otra favorable cuyos perfiles de velocidad u(y) y vorticidad ω(y) = ∂v/∂x − ∂u/∂y −∂u/∂y se representan respectivamente en los esquemas (a) y (b) de la Figura 15.10.
(a )
(b ) y y
u
w
y y
u
w
Figura 15.10: Perfiles esquem´aticos de velocidad y vorticidad en capas l´ımites con gradientes de presiones favorables y desfavorables.
Sup´ ongase que un torbellino, que puede representar una perturbaci´ on elemental de vorticidad se introduce en el flujo b´ asico de la Figura 15.10. Si dicha perturbaci´ on es negativa (sentido horario) tender´ a a decelerar el fluido situado debajo de la perturbaci´ on y a acelerar el que esta encima; se crea as´ı una diferencia de presiones que tiende a convectar la perturbaci´ on transversalmente alej´ andola de la pared. Si el perfil de velocidades tuviese un punto de inflexi´ on y la perturbaci´ on se localizase inicialmente entre este punto y la pared, el torbellino es convectado hacia zonas de mayor vorticidad (en m´odulo) y la perturbaci´ on inicial tender´ıa a amplificarse dando lugar a inestabilidad. Si el perfil no tuviese punto de inflexi´ on, la vorticidad del flujo b´ asico decrece mon´otonicamente desde la pared hacia el fluido y la perturbaci´ on inicial es siempre convectada hacia zonas de menor vorticidad tendiendo, por tanto, a disminuir.
15.7.
Estabilidad espacial
Hasta aqu´ı los an´alisis de estabilidad lineal han partido de la hip´ otesis de suponer real el n´ umero de onda k¯ y buscar los autovalores ΩR y ΩI para valores dados de k¯ y Re. Este tipo de an´ alisis, que tiene la ventaja de ser matem´aticamente m´as simple (aparecen potencias de k¯ pero no de Ω en la ecuaci´on de Orr-Sommerfeld), se denomina temporal mientras que a la inestabilidad que se aplica a perturbaciones amplificadas, ya que en t´erminos f´ısicos el efecto de la viscosidad, por peque˜ no que sea, es condici´ on suficiente para asegurar la existencia de perturbaciones amortiguadas.
443
15.7. Estabilidad espacial
describe se le da el nombre de absoluta. Sucede, sin embargo, que si la perturbaci´ on inicial se genera en un punto del espacio, como ocurre en la investigaci´ on experimental de la estabilidad de capas l´ımites y otras corrientes paralelas,14 su amplitud decae con el tiempo en el punto en que se origin´o. Sin embargo, la perturbaci´ on es convectada aguas abajo del punto origen creciendo o decreciendo la amplitud de determinadas longitudes de onda como consecuencia de fen´omenos de amplificaci´on selectiva o de interferencia destructiva de aquellas longitudes de onda que no est´ an en fase. Si la perturbaci´ on convectada crece aguas abajo se dice entonces que el flujo b´asico es convectivamente inestable. Cuando la perturbaci´ on crece aguas arriba y abajo del punto origen, cambiando finalmente el estado del flujo b´ asico en todas partes, se denomina inestabilidad absoluta. La diferencia cualitativa entre los dos tipos de inestabilidad se puede observar en la Figura 15.11 donde se muestra la evoluci´on de una perturbaci´ on en el plano (x, t) t
t
W>0
W0
W 0 que act´ ua en la direcci´on positiva del eje x1 . Obs´ervese que, en este caso, la relaci´on entre los sentidos del flujo turbulento de cantidad de movimiento (o esfuerzo turbulento) y del gradiente de velocidad media es la misma que la que existe en un flujo laminar unidireccional entre los sentidos del flujo difusivo-molecular de cantidad de movimiento (o esfuerzo viscoso) y del gradiente de velocidad del fluido. Este hecho puede explicarse mediante cierta analog´ıa que puede establecerse entre el movimiento ca´otico de las part´ıculas fluidas en un flujo turbulento y el de agitaci´on molecular. No obstante, dicha analog´ıa debe usarse con precauci´on, especialmente a la hora de cuantificar los flujos turbulentos en t´erminos de los gradientes de magnitudes medias, puesto que existe una diferencia fundamental entre los flujos difusivo-moleculares y los flujos turbulentos. En efecto, como se ha se˜ nalado ya repetidas veces, los flujos turbulentos poseen un car´ acter eminentemente convectivo asociado al movimiento fluctuante macrosc´opico de las part´ıculas fluidas que, debido a su inercia mec´anica y t´ermica, pueden guardar memoria de las caracter´ısticas del flujo en distancias y tiempos comparables a los de variaci´ on de las magnitudes medias. Por tanto, contrariamente a lo que sucede con el transporte molecular, cuyo car´acter local permite un modelado universal, lineal e is´ otropo, en t´erminos de los gradientes de las variables fluidas, el transporte turbulento es esencialmente no-local, y su modelado en t´erminos de las magnitudes medias es extremadamente dif´ıcil al no ser adecuadas en la gran mayor´ıa de los casos las hip´otesis de linealidad e isotrop´ıa (salvo para las escalas m´as peque˜ nas del movimiento turbulento). De lo anterior se deduce tambi´en que una teor´ıa basada en correlaciones entre fluctuaciones tomadas en un mismo punto del espacio es del todo insuficiente para resolver el problema de cierre. Para una descripci´on m´as completa ser´ıa necesario hacer uso de la teor´ıa estad´ıstica de campos, lo que da lugar a un problema extraordinariamente complicado no resuelto hasta el presente. El problema de cierre de las ecuaciones de Reynolds se hace patente cuando se intentan formular ecuaciones para las inc´ognitas u u , a partir de las ecuaciones que gobiernan las fluctuaciones u . Estas pueden obtenerse restando las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento (16.22)-(16.23) para el flujo medio a las ecuaciones de Navier-Stokes (5.37)-(5.38) con las variables fluidas expresadas de la forma (16.21); se obtiene entonces ∇ · u = 0, ρ
= ∂u + ρ∇ · (Uu + u U + u u − u u ) = −∇p + ∇· τ u , ∂t
(16.29) (16.30)
=
donde el t´ermino τ u en la ecuaci´on (16.30) denota el tensor de esfuerzos viscosos asociado a las fluctuaciones turbulentas = τ u = µ ∇u + (∇u )T . (16.31) Obs´ervese que si (16.30) se multiplica tensorialmente por u y se promedia el resultado aparecen, adem´as de la correlaci´on inc´ognita u u , nuevas correlaciones desconocidas de segundo y tercer orden tales como u u u , p u , etc´etera [v´eanse las ecuaciones (16.183)-(16.185) en 16.7.2].
473
16.2. Ecuaciones de Reynolds
Para un mejor entendimiento de la f´ısica de la turbulencia es de inter´es el estudio de la relaci´on existente entre las energ´ıas cin´eticas del movimiento medio y del movimiento turbulento. Obs´ervese, primero, que la energ´ıa cin´etica media por unidad de masa en un flujo turbulento es la suma de la correspondiente al flujo medio m´ as la correspondiente a las fluctuaciones turbulentas; en efecto, si se hace uso de las propiedades (16.17) se obtiene 1 1 1 1 u · u = (U + u ) · (U + u ) = U · U + u · u . 2 2 2 2
(16.32)
La ecuaci´on que gobierna la energ´ıa cin´etica por unidad de masa asociada al flujo medio, U 2 /2, se obtiene al multiplicar escalarmente por U la ecuaci´on (16.22), lo que proporciona ρ
= = ∂U 2 /2 = = = −∇ · (ρU U 2 /2) + ∇ · (−P U+ τ U ·U+ τ T ·U)− τ U : ∇U− τ T : ∇U. ∂t
(16.33)
La ecuaci´on (16.33) expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa cin´etica del movimiento medio contenida en la unidad de volumen es debida 1. al flujo convectivo que entra en la unidad de volumen con el movimiento medio, −∇ · (ρU U 2 /2), 2. a la potencia resultante realizada sobre la unidad de volumen por las fuerzas de presi´ on, de =
=
viscosidad y por los esfuerzos turbulentos,∇ · (−P U+ τ U ·U+ τ T ·U), 3. a la disipaci´on de la energ´ıa cin´etica del movimiento medio debida a los efectos de viscosidad =
asociados al movimiento medio,− τ U : ∇U, y =
4. a la producci´ on de energ´ıa cin´etica turbulenta a partir del movimiento medio, − τ T : ∇U; este t´ermino aparecer´a cambiado de signo en la ecuaci´on para la energ´ıa cin´etica turbulenta. Los efectos 3 y 4 que se acaban de enumerar son de car´acter volum´etrico, actuando en el interior de la unidad de volumen como sumideros de la energ´ıa cin´etica del movimiento medio. No obstante, existe una diferencia fundamental entre ambos que radica en que el efecto 3 es una conversi´ on de energ´ıa cin´etica del movimiento medio en calor (energ´ıa cin´etica del movimiento ca´otico microsc´opico) mientras que el efecto 4 es una conversi´on de energ´ıa cin´etica entre dos movimientos macrosc´opicos: el movimiento medio y el movimiento ca´otico asociado a las fluctuaciones turbulentas. Adem´as, y puesto que la turbulencia siempre ocurre a altos n´ umeros de Reynolds, el efecto 3 es despreciable en la mayor parte del dominio fluido, salvo en zonas estrechas tales como capas l´ımites adyacentes a paredes o estelas, mientras que el efecto 4 es independiente de la viscosidad y est´a presente en todas las escalas turbulentas. Por otra parte, la ecuaci´ on que gobierna la energ´ıa cin´etica media por unidad de masa asociada a las fluctuaciones turbulentas, que se suele denominar de forma abreviada energ´ıa cin´etica turbulenta y se denota por k ≡ u · u /2, se obtiene multiplicando escalarmente por u la ecuaci´on (16.30) que gobierna las fluctuaciones y promediando el resultado, lo que proporciona ρ
∂k = = −∇ · (ρU k) − ∇ · (ρu u2 /2 + p u ) + µ∇2 k − ρε+ τ T : ∇U, ∂t
(16.34)
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
474 donde ε, definida como10 ε ≡ ν∇u : (∇u )T ,
(16.35)
representa la energ´ıa cin´etica turbulenta disipada por unidad de masa y tiempo debido a los efectos de viscosidad sobre las fluctuaciones turbulentas. La ecuaci´on (16.34) expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa cin´etica turbulenta, k, contenida en la unidad de volumen se debe 1.
al flujo convectivo de k que entra en la unidad de volumen con el movimiento medio, −∇ · (ρU k),
2.
a los flujos turbulentos de energ´ıa cin´etica que entran en la unidad de volumen debidos las correlaciones entre las fluctuaciones de velocidad con las de energ´ıa cin´etica de dichas fluctuaciones y con las de presi´on, −∇·(ρu u2 /2+p u ), flujos que se denominan tambi´en de difusi´ on turbulenta de k,
3.
al flujo de k que entra en la unidad de volumen por difusi´ on molecular, µ∇2 k,
4.
a la disipaci´on viscosa turbulenta de k por unidad de volumen y tiempo, -ρ ε, y
5.
a la producci´ on de k a partir de la energ´ıa cin´etica del movimiento medio a trav´es de los = esfuerzos aparentes de Reynolds, τ T : ∇U; este t´ermino aparec´ıa con un signo negativo (sumidero) en la ecuaci´on de la energ´ıa cin´etica media, (16.33).
De nuevo, el efecto de producci´on de k a partir de la energ´ıa cin´etica del flujo medio es independiente de la viscosidad y, por tanto, puede generar fluctuaciones turbulentas de cualquier longitud caracter´ıstica (escala), mientras que el efecto de disipaci´on viscosa de energ´ıa cin´etica turbulenta afecta de forma apreciable s´olo a las escalas peque˜ nas. De hecho, para las escalas m´as peque˜ nas (escalas de Kolmogorov), el t´ermino de producci´ on de k a partir del flujo medio es despreciable frente al de su disipaci´ on viscosa. En efecto, si Uo y L son la velocidad y la longitud caracter´ıstica para el flujo medio, uo y λ L(Uo L/ν)−3/4 las correspondientes a las fluctuaciones en la escala de Kolmogorov, se tiene que Uo λ2 ρu (Uo /L) −ρu u : ∇U ∼ o 2 2 = ∼ (Uo L/ν)−1/2 = Re−1/2 1. ρε Lν ρν(uo /λ ) 2
(16.36)
La estimaci´on anterior puede verificarse experimentalmente si se origina un flujo turbulento de un l´ıquido dentro de recipiente de paredes r´ıgidas al que se agita fuertemente. Si en un cierto instante cesa el movimiento del recipiente puede observarse en la evoluci´on posterior del flujo turbulento que las escalas m´as peque˜ nas son las primeras en desaparecer, lo que indica que ´estas disipan su energ´ıa m´as r´apidamente que la producen. Un imagen global de la relaci´ on entre U 2 y k puede obtenerse si las ecuaciones (16.33) y (16.34) se integran para el volumen del recipiente del ejemplo anterior; en efecto, si Ω denota dicho volumen y se aplica el teorema de Gauss a los t´erminos bajo el signo de la divergencia teniendo en cuenta que U = u = 0 en las paredes r´ıgidas del recipiente, se obtienen las ecuaciones: =
Para obtener (16.34) a partir de (16.30) se ha utilizado el resultado u ·(∇· τ u ) = µ∇2 | u |2 /2−µ∇u : (∇u )T ; resultado que es f´ acil demostrar utilizando notaci´ on indicial ! 2 ∂uj ∂uj ∂uj ∂ uj ∂ u = µ u , −µ µ j j 2 ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi 10
=
donde se ha tenido en cuenta que ∇· τ u = µ∇2 u debido a la ecuaci´ on de continuidad, ∇ · u = 0.
475
16.2. Ecuaciones de Reynolds
∂ ∂t
=
ρU /2d = − 2
Ω
∂ ∂t
τ
U:
ρkd =
Ω
= τT:
=
∇Ud −
Ω
Ω
τ T : ∇Ud,
(16.37)
ρεd.
(16.38)
Ω
∇Ud − Ω
La ecuaci´on (16.37) muestra que, globalmente, la energ´ıa cin´etica del flujo medio se disipa por los efectos viscosos, que ser´an importantes s´olo en los u ´ltimos estadios del movimiento cuando el movimiento es lento y, por tanto, el n´ umero de Reynolds suficientemente bajo, y por la generaci´on de energ´ıa cin´etica turbulenta; la ecuaci´on (16.38) muestra que la energ´ıa cin´etica turbulenta contenida en el volumen var´ıa debido a que se genera a partir el movimiento medio y a que se disipa por viscosidad en las fluctuaciones turbulentas. Si se suman (16.37) y (16.38) se obtiene que la energ´ıa cin´etica total disminuye de forma mon´otona debido a la disipaci´ on viscosa turbulenta y a la disipaci´on viscosa del movimiento medio. Obs´ervese tambi´en que los distintos flujos convectivos, turbulentos y viscosos, que aparecen en las ecuaciones (16.33) y (16.34) no aparecen, sin embargo, en los balances globales (16.37) y (16.38); por tanto, dichos t´erminos representan distintas formas de redistribuci´ on local de energ´ıa cin´etica y no contribuyen a su producci´ on ni destrucci´on netas. La generaci´on de turbulencia mediante la interacci´ on entre los esfuerzos aparentes de Reynolds y los gradientes del flujo medio, y su redistribuci´ on en las tres direcciones del espacio mediante los flujos turbulentos son mecanismos de una importancia clave en la f´ısica de la turbulencia. Para finalizar esta secci´on, se mostrar´a c´omo operan dichos efectos para el flujo turbulento simple de cortadura considerado anteriormente en la Figura 16.9. Las ecuaciones que gobiernan la evoluci´ on de las energ´ıas cin´eticas medias asociadas con cada una de las componentes del movimiento fluc2 tuante, Ei = ui /2, se obtienen multiplicando cada una de las componentes cartesianas de la ecuaci´on (16.30) por la respectiva componente ui , i = 1, 2, 3 y se promedian cada una de las tres ecuaciones resultantes. Si se tiene en cuenta que el flujo medio es de la forma U = U1 (x2 )e1 y que, por tanto, las correlaciones s´olo var´ıan espacialmente con x2 , se obtienen las ecuaciones 1 ∂E1 ∂E1 ∂ 2 ρu2 u1 − µ = ρ + ∂t ∂x2 2 ∂x2 ∂U1 ∂u1 − µ| ∇u1 |2 − ρu1 u2 , (16.39) p ∂x1 ∂x2 1 ∂E2 ∂E2 ∂ 3 ∂u2 ρu2 + p u2 − µ = p − µ| ∇u2 |2 , (16.40) ρ + ∂t ∂x2 2 ∂x2 ∂x2 1 ∂E3 ∂E3 ∂ 2 ∂u3 ρu2 u3 − µ = p − µ| ∇u3 |2 . (16.41) ρ + ∂t ∂x2 2 ∂x2 ∂x3 Las ecuaciones (16.39)-(16.41) muestran que, para el flujo considerado, los esfuerzos aparentes de Reynolds transfieren directamente energ´ıa del movimiento medio s´olo a la componente x1 del movimiento turbulento, mientras que la energ´ıa cin´etica turbulenta en las direcciones x2 y x3 se adquiere, no directamente del flujo medio, sino a partir de una redistribuci´ on de E1 mediante las correlaciones entre las fluctuaciones de presi´on y las variaciones espaciales de las fluctuaciones de velocidad. En efecto, como se vio al analizar el transporte turbulento para el caso de la Figura 16.9, u1 u2 < 0 si (∂U1 /∂x2 ) > 0, por lo que el t´ermino −ρu1 u2 (∂U1 /∂x2 ) es positivo y contribuye a aumentar E1 ; esta energ´ıa se transfiere a las otras componentes del movimiento mediante las correlaciones entre las fluctuaciones de presi´on y las derivadas espaciales de las fluctuaciones de velocidad, p (∂ui /∂xi )(i = 1, 2, 3), en las ecuaciones (16.39)-(16.41). Este proceso puede analizarse convenientemente si se promedia el producto de la ecuaci´on de continuidad (16.29) para las fluctuaciones de velocidad por la fluctuaci´ on de presi´on, lo que proporciona
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
476
∂u1
p
=− p
∂x1
∂u2
∂x2
∂u3
− p
∂x3
.
(16.42)
La ecuaci´on (16.42) muestra que si el t´ermino p (∂u1 /∂x1 ) en la ecuaci´on (16.39) es negativo
x
p ' > 0 2
x 1
Figura 16.10: Sobrepresi´ on p creada en la aproximaci´ on y deflexi´on de la trayectoria de dos part´ıculas fluidas con diferente valor de la fluctuaci´ on de velocidad u1 . (positivo), tendiendo as´ı a disminuir (aumentar) la energ´ıa E1 de las fluctuaciones turbulentas en la direcci´on x1 , entonces p (∂u2 /∂x2 ) + p (∂u3 /∂x3 ) es positivo (negativo) y tiende a aumentar (disminuir) la energ´ıa total E2 + E3 de las fluctuaciones turbulentas en las direcciones x2 y x3 , como se observa al sumar (16.40) y (16.41). Esto se ilustra esquem´aticamente en la Figura 16.10, donde dos part´ıculas fluidas con valores diferentes de u1 , tal que (∂u1 /∂x1 ) < 0 se acercan entre s´ı; la ecuaci´on de continuidad exige entonces que se cree en dicho punto una fluctuaci´ on de presi´on positiva p > 0 que deflecte el movimiento horizontal de las part´ıculas hacia las direcciones perpendiculares x2 y x3 con [(∂u2 /∂x2 )+(∂u3 /∂x3 )] > 0. Se pone as´ı de manifiesto c´omo las correlaciones entre las fluctuaciones presi´on y velocidad tienden a hacer la turbulencia m´ as is´otropa, distribuyendo la energ´ıa turbulenta en las diferentes direcciones del espacio.
16.3.
El problema de cierre
Como se acaba de exponer, en la teor´ıa de Reynolds de la turbulencia se obtienen las ecuaciones que gobiernan las magnitudes medias del flujo turbulento promediando las ecuaciones de Navier-Stokes. Se ha visto, adem´as, que dichas ecuaciones (16.21)-(16.23), denominadas ecuaciones promediadas de Reynolds (RANS, Reynolds averaged Navier Stokes, en la literatura anglosajona), presentan el conocido problema de cierre consistente en que en ellas aparecen como inc´ognitas adicionales momentos estad´ısticos de m´as alto orden, denominados esfuerzos aparentes de Reynolds, que deben modelarse de forma apropiada. Aunque no existe una soluci´ on u ´nica al problema de cierre, algunos de los resultados fundamentales sobre la f´ısica de la turbulencia obtenidos por investigadores pioneros (Kolmogorov, von Karman, Prandtl y otros) mediante razonamientos semiemp´ıricos junto con el recurso del An´ alisis Dimensional resultan de inestimable valor como gu´ıa para la construcci´on de modelos turbulentos. As´ı, se ha expuesto ya c´omo el concepto de cascada de energ´ıa, debido a Kolmogorov, permite obtener resultados esenciales sobre 1) la estructura universal e is´otropa de las escalas m´as peque˜ nas de un flujo turbulento, 2) la ley universal del espectro de energ´ıa en el subrango inercial y 3) la relaci´ on entre los valores caracter´ısticos de las peque˜ nas y de las grandes escalas como funci´on del n´ umero de Reynolds. Por otra parte, a partir del hecho de que las corrientes turbulentas suelen ser independientes de la viscosidad salvo en zonas peque˜ nas donde se disipa la energ´ıa, von Karman obtuvo mediante el uso del An´ alisis Dimensional
16.3. El problema de cierre
477
su famosa ley logar´ıtmica, o ley de la pared, que es ampliamente utilizada en el estudio de capas l´ımites turbulentas, as´ı como para el c´alculo del coeficiente de fricci´on en el flujo en conductos y canales (v´ease 16.4.1). Por desgracia, estos resultados b´asicos y de car´acter universal no son suficientes para proporcionar una soluci´ on u ´nica al problema de cierre de las ecuaciones de Reynolds, por lo que para abordar situaciones m´ as complejas se han formulado una variedad de modelos consistentes con los resultados b´asicos anteriores. La elecci´on, o formulaci´ on, de un modelo turbulento concreto depende en gran medida de un buen conocimiento de los aspectos generales de la f´ısica de la turbulencia, as´ı como de las caracter´ıticas propias de los flujos turbulentos a los que se va a aplicar dicho modelo; el estudio de modelos turbulentos constituye uno de los campos de la Mec´anica de Fluidos donde la investigaci´ on es m´as intensa. Los modelos m´as simples fueron introducidos por Boussinesq a finales del siglo xix, usando el concepto de difusi´ on turbillonaria (eddy diffusivity) y, posteriormente, por Prandtl mediante el concepto, relacionado con el anterior, de longitud de mezcla (mixing length). Dichos conceptos est´an basados en cierta analog´ıa que puede establecerse entre el transporte turbulento y el transporte difusivo molecular. As´ı, la longitud de mezcla juega un papel an´ alogo en turbulencia al del camino libre medio en la teor´ıa cin´etica de gases; por tanto, y del mismo modo que se hace para los flujos difusivos moleculares, en estos modelos se supone que los flujos aparentes de Reynolds son proporcionales a los gradientes de las magnitudes medias a trav´es de un coeficiente denominado de difusividad turbulenta o turbillonaria. Aunque, como se ver´a posteriormente, la validez de dichos modelos est´a limitada a flujos muy sencillos, su fundamento se analizar´ a a continuaci´ on de forma simple, aunque con cierto detalle, debido a su importancia tanto para la construcci´ on de modelos m´as sofisticados como para un mejor entendimiento de la f´ısica del transporte turbulento. Consid´erese el transporte turbulento de un escalar pasivo en un flujo turbulento estad´ısticamente estacionario; se denomina escalar pasivo a aquel cuya presencia no altera el campo de velocidades como por ejemplo: la temperatura en el flujo de un l´ıquido o de un gas a bajos n´ umeros de Mach, o el de la concentraci´on de una especie diluida existente en el fluido. Salvo en las peque˜ nas escalas, el movimiento fluctuante de una part´ıcula fluida tiene lugar sin efectos disipativos apreciables, por lo que, siguiendo a dicha part´ıcula, el valor del escalar pasivo, que se denotar´a por c, puede suponerse constante. Por tanto, si una part´ıcula se encuentra en la posici´on x en el instante t, y la posici´on que ocupaba dicha part´ıcula en un instante anterior t − Υ se denota por X(t − Υ; x, t) se tiene, descomponiendo c como suma de su valor medio C m´as una fluctuaci´on c , C(x) + c (x, t) = C {X(t − Υ; x, t)} + c {X(t − Υ; x, t), t − Υ} ,
(16.43)
que es una relaci´on que, despreciando los efectos disipativos, debe de cumplirse para cualquier valor dado de Υ. Para calcular el vector densidad de flujo turbulento c u en el punto fijo x se promediar´a, usando (16.14), el producto de la expresi´ on anterior por el vector u (x, t) para las part´ıculas fluidas que pasan por x en sucesivos instantes t, eligiendo un valor de Υ lo suficientemente grande para que pueda despreciarse la correlaci´ on entre u (x, t) y c {X(t − Υ; x, t), t − Υ}. Se supondr´ a, adem´as, que en el intervalo de tiempo Υ los desplazamientos experimentados por las part´ıculas hasta llegar a x, que se denotar´an por l(t − Υ; x, t) ≡ x − X(t − Υ; x, t), poseen una longitud caracter´ıstica, lo , peque˜ na comparada con la necesaria, L, para variaciones apreciables de las cantidades medias.11 De esta forma C puede desarrollarse en serie de Taylor, C {X(t − Υ; x, t)} = C(x) − l(t − Υ; x, t) · ∇C + O(lo /L)2 ,
(16.44)
donde el gradiente que aparece en el segundo miembro est´a evaluado en el punto x. Si se introduce (16.44) en la ecuaci´on (16.43), se multiplica ´esta por u y se promedia el producto despreciando, 11
Esta hip´ otesis b´ asica de turbulencia local se realiza en todos los an´ alisis de tipo longitud de mezcla.
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
478
como se indic´o anteriormente, la correlaci´on entre u y la fluctuaci´ on en el segundo miembro, se obtiene el vector densidad de flujo turbulento en x u c = −DT · ∇C,
(16.45)
con el tensor de difusividad turbulenta DT dado por el promedio (correlaci´ on) entre la fluctuaci´ on de velocidad de las part´ıculas y su desplazamiento respecto a x en el instante t − Υ DT =
To
−To
u (x, t)l(t − Υ; x, t)
dt . 2To
(16.46)
N´otese que el tiempo de promediado To en (16.46) puede hacerse tender formalmente a infinito, To → ∞, en el caso considerado aqu´ı (turbulencia estad´ısticamente estacionaria); dicho tiempo de promediado no debe confundirse con el intervalo de tiempo fijado, Υ, sobre el que se sigue a las part´ıculas fluidas que pasan por x. Adem´as, y puesto que, por hip´ otesis, las correlaciones entre los valores de fluctuaciones desfasadas un intervalo de tiempo Υ son despreciables, resulta que el valor de DT dado por (16.46) s´ olo depende de x y no de Υ. En efecto, para ello obs´ervese que el desplazamiento l puede expresarse como Υ u {X(t − τ ; x, t), t − τ } dτ = l(t − Υ; x, t) = 0
Υ
u {X(t − τ ; x, t), t − τ } dτ + ΥU(x) + O(lo /L),
(16.47)
0
donde se ha tenido en cuenta que u = U + u y se han despreciado t´erminos de orden (lo /L) en el desarrollo de Taylor [an´ alogo al de (16.44)] de la velocidad media, U, en torno a x. Si (16.47) se sustituye en (16.46) se observa que la contribuci´ on del t´ermino ΥU se anula puesto que multiplica al promedio de una fluctuaci´ on (la de u ) que es nulo por definici´ on; en primera aproximaci´ on resulta entonces ∞ To dt dτ, DT (x) = (16.48) u (x, t)u {X(t − τ ; x, t), t − τ } 2To −To 0 donde se ha tomado el l´ımite Υ → ∞, teniendo en cuenta que Υ debe ser lo suficientemente largo como para despreciar correlaciones. Obs´ervese que la segunda integral en (16.48) corresponde a un promediado sobre las part´ıculas que en sucesivos instantes t pasan por x y en ella deben considerarse, para cada part´ıcula fluida, tanto el valor de la fluctuaci´ on de velocidad en la posici´ on actual de la part´ıcula, u (x, t), como su valor en la posici´on X(t−τ ; x, t) ocupada por la misma en el instante anterior t − τ . Es conveniente, por tanto, introducir el concepto de fluctuaci´ on lagrangiana de velocidad, definida siguiendo a una misma part´ıcula fluida: si X(t; xo , to ) denota la posici´on en el instante t de la part´ıcula fluida que en el instante to se encuentra en xo , se define la fluctuaci´on lagrangiana de velocidad experimentada por dicha part´ıcula en en el instante t como v (t; xo , to ) = u {X(t; xo , to ), t} .
(16.49)
Obs´ervese que las fluctuaciones lagrangianas de velocidad experimentadas por cada part´ıcula fluida en su movimiento quedan completamente determinadas como funci´on del tiempo a partir del campo euleriano de fluctuaciones de velocidad. En t´erminos de la correlaci´on entre las fluctuaciones lagrangianas de velocidad, el tensor de difusividad turbulenta se escribe ∞ To dt dτ. DT (x) = (16.50) v (t; x, t)v (t − τ ; x, t) 2To −To 0
479
16.3. El problema de cierre
De las consideraciones anteriores se concluye que, bajo ciertas hip´otesis, el transporte turbulento de un escalar pasivo puede modelarse de forma an´aloga al transporte difusivo molecular, mediante una ley de la forma (16.45). Dicha expresi´ on muestra que el flujo turbulento del escalar es el producto de un tensor de difusividad turbulenta por el gradiente de su magnitud media; a diferencia de los coeficientes de transporte moleculares, dicho tensor no es una propiedad del fluido, sino, en general, una funci´ on de la posici´on que debe determinarse para cada tipo de flujo de forma emp´ırica o semiemp´ırica. La hip´ otesis que permite obtener (16.45) es la denominada de turbulencia local, que supone que la longitud caracter´ıstica para variaciones espaciales de las magnitudes medias es mucho mayor que la longitud caracter´ıstica que deben recorren las part´ıculas fluidas antes de que sus fluctuaciones de velocidad resulten estad´ısticamente independientes (lo que puede interpretarse como la longitud de mezcla de Prandtl). Adem´ as, y consistentemente con la hip´otesis de turbulencia local, es usual suponer que la turbulencia es localmente is´ otropa. En este caso el tensor de difusividad turbulenta tiene simetr´ıa esf´erica por lo que est´a caracterizado por un u ´nico coeficiente semiemp´ırico αT (x) que puede ser funci´ on de la posici´on; (16.45) se simplifica entonces a u c = −αT ∇C.
(16.51)
Sin necesidad de apelar a la hip´ otesis de isotrop´ıa local, el transporte turbulento suele tambi´en caracterizarse por un u ´nico coeficiente en casos en los que las variaciones de las magnitudes medias (tanto las del campo de velocidades como las del escalar pasivo) sean dominantes en direcciones transversales a la del movimiento medio, como es usual en el caso del flujo turbulento en conductos; en este caso, las componentes del vector flujo turbulento en dichas direcciones dominar´an frente a la longitudinal y se aproximan de la forma uy c = −αT (y)
∂C , ∂y
(16.52)
donde y es una coordenada transversal a la direcci´on del movimiento. Obs´ervese, que para obtener expresiones tales como (16.51)-(16.52) o la m´as general (16.45), es esencial el hecho de que los efectos de difusi´on molecular sean despreciables para las escalas que m´as contribuyen al transporte turbulento, de tal forma que el valor del escalar pasivo se conserve para cada part´ıcula fluida [v´ease la ecuaci´on (16.43)]. Es precisamente este u ´ ltimo punto el que dificulta la justificaci´ on te´orica de una expresi´on del tipo (16.45) para cada una de las cantidades ρu u1 , ρu u2 y ρu u3 que caracterizan el transporte turbulento de cantidad de movimiento o, lo que es lo mismo, el tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds, ρu u . En efecto, aun en ausencia de efectos viscosos, las part´ıculas fluidas no conservan su cantidad de movimiento en un flujo turbulento debido a la existencia de fluctuaciones de presi´ on. No obstante, la analog´ıa entre el transporte molecular y turbulento es muy tentadora como para dejarla totalmente de lado, sobre todo si se ha justificado te´ orica y experimentalmente en algunos casos simples como los considerados m´as arriba. Debido a esto, y dada la complejidad del problema, los esfuerzos aparentes de Reynolds se modelan mediante una expresi´on an´aloga a la ley de Navier-Poisson que modela el transporte molecular de cantidad de movimiento (v´ease 4). En coordenadas cartesianas dicha expresi´on, introducida primero por Boussinesq, es para un flujo turbulento incompresible ∂Ui 2 ∂Uj ui uj = kδij − νT , (16.53) + 3 ∂xj ∂xi donde k es la energ´ıa cin´etica turbulenta y νT es el denominado coeficiente de viscosidad turbulenta que, en general, es una funci´ on de la posici´on que debe ser calculada de forma semiemp´ırica. Los modelos turbulentos basados en (16.53) se denominan gen´ericamente modelos de viscosidad turbulenta, y proporcionan resultados que concuerdan razonablemente bien con los experimentos
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
480
para flujos turbulentos en los que los efectos de anisotrop´ıa no son acusados, o bien en los que las variaciones del campo de velocidades medio se producen primordialmente en una direcci´on de tal forma que, como en (16.52), el transporte turbulento se realiza fundamentalmente en dicha direcci´ on y puede caracterizarse por un u ´nico coeficiente. Esta u ´ltima situaci´on ocurre, por ejemplo, en flujos turbulentos desarrollados en conductos y capas l´ımites, y en algunos casos simples de turbulencia libre (chorros, estelas, etc.) que se considerar´an en 16.5, donde se ver´ a c´omo la elecci´on de νT puede justificarse entonces te´oricamente mediante consideraciones de semejanza f´ısica y an´alisis dimensional. No obstante, en situaciones m´as complejas es necesario emplear otros modelos m´as sofisticados tales como los discutidos en 16.6-16.8.
16.4.
Dispersi´ on turbulenta de un escalar pasivo
Para profundizar en el conocimiento del proceso de difusi´ on turbulenta, se considerar´ a a continuaci´ on la dispersi´on de un escalar pasivo en el seno de un flujo turbulento estad´ısticamente estacionario cuyo campo de velocidades medias es, adem´as, uniforme; dicho flujo puede considerarse como una idealizaci´on del que tiene lugar en la turbulencia provocada tras una rejilla sobre la que incide una corriente con velocidad U (Figura 16.6) si, para simplificar el an´ alisis, no se considera el decaimiento de la turbulencia que se produce aguas abajo lejos de la rejilla. En este caso, resulta claro que las fluctuaciones de velocidad son estad´ısticamente is´otropas e independientes de la posici´on, por lo que el tensor de difusividad turbulenta DT , dado por (16.50), es constante y posee simetr´ıa esf´erica. En efecto, puesto que las fluctuaciones de velocidad no poseen ninguna direcci´ on privilegiada, las correlaciones entre componentes distintas son nulas, mientras que las correlaciones entre componentes en la misma direcci´on poseen el mismo valor para las tres direcciones espaciales y son independientes de la posici´on, dependiendo solamente del intervalo de tiempo τ existente entre las fluctuaciones. Por tanto, es conveniente definir el coeficiente de correlaci´on R(τ ) entre fluctuaciones lagrangianas de velocidad desfasadas un intervalo de tiempo τ mediante la expresi´on To 2 dt = kR(τ )δij , vi (t; x, t)vj (t − τ ; x, t) (16.54) 2T 3 o −To
2 2 2 donde k = vx + vy + vz /2 es la energ´ıa cin´etica media turbulenta que, para un flujo turbulento is´ otropo, es independiente de la posici´ on y satisface las relaciones 3 2 3 2 3 2 (16.55) v = vy = vz . 2 x 2 2 Si se sustituye (16.54) en (16.50) se obtiene el tensor de difusividad turbulenta que, como se anticip´ o m´as arriba, resulta constante e is´otropo, k=
DT = αT I, donde I es el tensor unitario, y αT es el coeficiente de difusi´on turbulenta definido por ∞ 2 R(τ )dτ. αT = k 3 0
(16.56)
(16.57)
Una idea particularmente clara de la f´ısica del transporte turbulento se obtiene si se relaciona ´este con las propiedades estad´ısticas del movimiento fluctuante de las part´ıculas fluidas, siguiendo las ideas pioneras de Taylor en sus trabajos sobre la dispersi´on turbulenta.12 Para ello, es conveniente interpretar primero los promedios calculados en puntos fijos del espacio en las ecuaciones 12
G. I. Taylor, Proc. London Math. Soc., 20, 196, 1921.
481
16.4. Dispersi´on turbulenta de un escalar pasivo
(16.54)-(16.55) en t´erminos de promedios calculados sobre las part´ıculas fluidas. En efecto, en el caso de turbulencia is´otropa considerado aqu´ı dichos promedios son independientes de la posici´ on, x, y, por tanto, deben coincidir con los calculados si se eval´ ua para cada part´ıcula fluida el producto de sus fluctuaciones lagrangianas de velocidad en dos instantes, t y t − τ , y se promedia el resultado sobre todas las part´ıculas. En general, si en dos instantes de tiempo dados, t y t , se calcula para cada part´ıcula fluida el producto de las fluctuaciones lagrangianas de velocidad vi (t) y vj (t ) en dichos intantes y se promedia dicho producto sobre todas las part´ıculas fluidas, el resultado se denotar´a en el resto de esta secci´on por vi (t)vj (t ). Obs´ervese que en el caso de turbulencia estad´ısticamente estacionaria, como el considerado aqu´ı, el promedio anterior debe ser independiente del origen de tiempos y s´olo depende, por tanto, de la diferencia |t−t |; en particular, el valor de dicha cantidad para t = t se denotar´a simplemente por vi vj . De acuerdo con estas consideraciones el coeficiente de correlaci´on definido en (16.54) puede expresarse como R(τ ) =
vy (t)vy (t − τ ) vz (t)vz (t − τ ) vx (t)vx (t − τ ) = = . vx 2 vy 2 vz 2
(16.58)
Consid´erense ahora las trayectorias de las part´ıculas fluidas en el flujo turbulento referidas a un sistema de coordenadas cuyo eje x est´a dirigido seg´ un la corriente incidente, U ex . Si X(t) denota la trayectoria de una part´ıcula, las fluctuaciones de X(t) respecto a la trayectoria de un observador que se mueve con la velocidad media U est´an dadas por t X(t) − U t ex = v (s)ds, (16.59) 0
donde v (s) = u {X(s), s} es la fluctuaci´on lagrangiana de la velocidad de la part´ıcula en el instante s. Por claridad de notaci´ on, el an´alisis que sigue se detallar´a s´olo para una de las componentes de (16.59), siendo el mismo para las otras dos. As´ı, para la componente seg´ un y Y (t) =
t
vy (s)ds
(16.60)
0
y el desplazamiento cuadr´atico medio de las part´ıculas fluidas en el instante t se obtiene promediando el cuadrado de la expresi´ on anterior, lo que proporciona t t t t 2 Y 2 (t) = vy (s)vy (s )dsds = vy R(s − s )dsds , (16.61) 0
0
0
0
donde se ha introducido el coeficiente de correlaci´on, R(s − s) = vy (s)vy (s )/vy , entre fluctuaciones lagrangianas desfasadas un intervalo de tiempo s − s , v´ease (16.58). Es f´acil comprobar que, si se introducen nuevas variables de integraci´ on τ y τ definidas por s − s = τ y s = τ , la integral doble (16.58) puede reducirse a la integral simple t 2 2 Y (t) = 2vy (t − τ )R(τ )dτ, (16.62) 2
0
donde se ha tenido en cuenta que R(s − s ) = R(s − s) para una turbulencia estad´ısticamente estacionaria; para los desplazamientos cuadr´aticos medios en las direcciones x y z, (X(t) − U t)2 y Z 2 (t), se obtienen expresiones an´alogas. Resulta esclarecedor analizar los comportamientos asint´ oticos de la expresi´on (16.62) tanto para tiempos grandes como para tiempos peque˜ nos comparados con un tiempo caracter´ıstico de correlaci´on de las fluctuaciones definido como ∞ τc = R(τ )dτ ; (16.63) 0
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
482
dicho tiempo coincide con la base de un rect´angulo de altura R(0) = 1 y cuya ´area es igual a la comprendida entre la curva R(τ ) y el semieje τ > 0. A partir de la expresi´ on (16.62) se deduce f´ acilmente que para tiempos t τc el desplazamiento cuadr´atico medio sigue la ley temporal aproximada 2 Y 2 (t) vy t2 , (16.64) mientras que para tiempos t τc se tiene que Y (t) 2
2 2tvy
∞
R(q)dq.
(16.65)
0
Obs´ervese que, si se hace uso de (16.55) y (16.57), la expresi´on (16.65) puede escribirse como
Figura 16.11: Comportamientos asint´ oticos del desplazamiento cuadr´atico medio en la dispersi´on de part´ıculas en un flujo turbulento derejilla estad´ısticamente estacionario: a) tiempos cortos t tc y b) tiempos largos t tc . Y = ± Y 2 ; u = 2k/3.
Y 2 (t) = 2 t αT ,
(16.66)
que relaciona el coeficiente de difusi´on turbulenta de un escalar pasivo, y por tanto la eficacia del transporte turbulento, con el desplazamiento cuadr´ atico medio de las part´ıculas fluidas en un flujo turbulento is´ otropo y estad´ısticamente estacionario. Las leyes asint´oticas (16.64) y (16.66) constituyen un resultado cl´ asico de la teor´ıa del movimiento browniano, y su validez para el movimiento de las part´ıculas en el flujo turbulento tras una rejilla con velocidad media uniforme y estacionaria puede comprobarse en la Figura 16.11, donde se representan los resultados de una simulaci´ on num´erica lagrangiana.13 Como aplicaci´on pr´ actica de los conceptos anteriores, consid´erese el problema de determinar el campo de temperaturas en una estela t´ermica axilsim´etrica originada por una fuente calor´ıfica puntual de potencia dada, QT , situada en el seno de un flujo turbulento de velocidad media uniforme, U . Suponiendo que la estela t´ermica es esbelta, esto es, con variaciones transversales de las magnitudes fluidas grandes frente a las longitudinales, la ecuaci´ on de Reynolds (16.23) para el campo de temperaturas es, en coordenadas cil´ındricas, ∂Θ 1 ∂ ∂Θ U = αT r , (16.67) ∂x r ∂r ∂r 13
S. Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000.
483
16.4. Dispersi´on turbulenta de un escalar pasivo
donde, de acuerdo con (16.56) y (16.45), el flujo turbulento de calor se ha modelado en la forma ur T = −αT ∂θ/∂r, con un coeficiente de difusividad t´ermica turbulenta αT constante (turbulencia is´otropa) definido por (16.57). La ecuaci´ on (16.67) debe resolverse sujeta a las condiciones de contorno ∂Θ (x, r = 0) = 0, ∂r
Θ(x, r → ∞) → Θ∞ , y
∞
QT =
ρcp U [Θ(x, r) − Θ∞ ] 2πrdr.
(16.68)
(16.69)
0
Obs´ervese que la condici´on (16.69) expresa el balance entre el calor por unidad de tiempo suministrado por la fuente y el flujo de calor convectado a trav´es de cualquier secci´on transversal situada a una distancia gen´erica x de la fuente; dicha condici´ on integral sustituye suficientemente lejos de la fuente a una condici´ on inicial en x, y permite obtener una soluci´ on de semejanza para el campo de temperaturas. En efecto, es f´acil comprobar que el cambio de variables r ξ= 2αT x/U
y
Θ − Θ∞ =
QT f (ξ), 4πρcp αT x
(16.70)
transforma el problema en derivadas parciales (16.67)-(16.69) en el problema diferencial ordinario 1 d df df = ξ , (16.71) −2f − ξ dξ ξ dξ dξ f (∞) = 0,
df (0) = 0, dξ
∞
f ξdξ.
1=
(16.72) (16.73)
0
Si se multiplica (16.71) por ξ y se integra una vez se obtiene −ξ 2 f + C = ξ
df , dξ
(16.74)
donde la condici´on de regularidad en el origen impone el valor C = 0. Integrando de nuevo la ecuaci´on resultante se obtiene f = A exp(−ξ 2 /2),
(16.75)
en la que la condici´on integral (16.73) fija el valor A = 1. La distribuci´ on de temperaturas medias es finalmente Θ − Θ∞ =
QT exp(−U r2 /4αT x). 4πρcp αT x
(16.76)
Siguiendo los pasos del an´ alisis anterior, es inmediato comprobar que para el caso de una fuente de calor bidimensional de potencia calor´ıfica qT por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento, la distribuci´ on de temperaturas est´a dada por Θ − Θ∞ =
q √ T exp(−U y 2 /4αT x). ρcp 2παT U x
(16.77)
La validez de los resultados anteriores puede comprobarse con los resultados experimentales mostrados en la Figura 16.12, para el caso de un flujo turbulento de rejilla alrededor de un cilindro
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
484
Figura 16.12: (a) Distribuciones de temperatura te´ orica (16.77) y experimental en una estela t´ermi ca [Θo ≡ Θ(x, 0), y¯ ≡ y/ 2αT x/U ]; (b) evoluci´ on de los perfiles de temperaturas con la distancia a la fuente. La temperatura se mide en grados Celsius y las longitudes en pulgadas. Los dos perfiles de temperatura han sido tomados respectivamente a 5.2 y 18 pulgadas de la fuente t´ermica.
circular bidimensional. Obs´ervese en la Figura 16.12(a) el excelente acuerdo entre la distribuci´on de temperaturas (16.77) y los resultados experimentales tomados a diferentes distancias aguas abajo de la fuente.14 En la Figura 16.12(b) se muestra la tendencia a la homogeneizaci´ on de la temperatura aguas abajo de la fuente debido al transporte turbulento de calor (asociado a la componente radial del movimiento fluctuante de las part´ıculas fluidas). 15 Este alisamiento de los perfiles de temperaturas puede deducirse tambi´en de la ecuaci´on (16.77), que muestra que el espesor caracter´ıstico de la estela t´ermica aumenta aguas abajo de tal forma que a una distancia xo de la fuente su valor es del orden yo ∼ αT xo /U . Obs´ervese que dicho espesor es del mismo orden de magnitud que la distancia transversal media recorrida en el movimiento turbulento por las part´ıculas fluidas cuando ´estas se desplazan desde la proximidades de la fuente hasta la estaci´on xo ; en efecto, si to ∼ xo /U es el tiempo caracter´ıstico invertido en dicho desplazamiento, la distancia transversal media viene dada, de acuerdo con (16.66), por Y 2 (to )1/2 ∼ αT xo /U ∼ yo . Finalmente, es interesante observar que valores t´ıpicos en los experimentos de la Figura 16.12(a) son yo ∼ 10−2 m, xo ∼ 0,25 m y U ∼ 4,35 m/s, que proporcionan αT ∼ 2 × 10−3 m2 /s; dicha estimaci´on para el valor de la difusividad turbulenta debe compararse con los valores de las difusividades t´ermicas moleculares para el aire αaire 1, 5 × 10−5 m2 /s ∼ 10−2 αT y para el agua αagua 1, 25 × 10−7 m2 /s ∼ 10−4 αT . Por tanto, para una misma velocidad U y una misma distancia aguas abajo de la fuente xo , el espesor de la estela t´ermica laminar es del orden de diez veces menor que la turbulenta en el caso del aire, y del orden de cien veces menor en el caso del agua.
16.5.
Turbulencia parietal
Se analizar´an aqu´ı los flujos turbulentos en presencia de paredes caracter´ısticos de capas l´ımites y movimientos en conductos. Como se ver´a en lo que sigue, la presencia de la pared impone a los flujos turbulentos una estructura caracter´ıstica universal suficientemente cerca de la pared. En dicha estructura se distinguen dos zonas en las que la importancia relativa entre los esfuerzos viscosos y turbulentos es muy dispar. Muy cerca de la pared se distingue una capa donde la 14 H.
15 G.
Stapountzis, B.L. Sawford, y J.C. Hunt, J. Fluid Mech., 165, 401, 1986. I. Taylor, Proc. Roy. Soc. A, 151, 465, 1935.
485
16.5. Turbulencia parietal
turbulencia est´a inhibida, subcapa laminar, mientras que a distancias de la pared mayores es la viscosidad la que juega un papel muy escaso y se puede despreciar frente a los esfuerzos aparentes de Reynolds, subcapa inercial o logar´ıtmica. El an´alisis demuestra que la soluci´on del flujo en estas dos zonas pr´oximas a la pared es universal, en el sentido de que es independiente de los detalles de la corriente turbulenta en zonas m´ as alejadas de la pared y, por tanto, la soluci´ on en ellas es v´alida tanto para capas l´ımites turbulentas como para el flujo turbulento en conductos. En una tercera zona, m´as alejada de la pared, donde el flujo turbulento satisface la denominada ley del defecto de velocidades que es dependiente de las condiciones de contorno exteriores. En capas l´ımites turbulentas, el an´ alisis de esta zona es extraordinariamente complejo debido a los fen´omenos de intermitencia que tienen lugar en la frontera entre la zona turbulenta exterior gobernada por la ley del defecto de velocidades y la corriente exterior no viscosa. En estos casos, para la resoluci´on del problema es necesario recurrir a la experimentaci´on o a simulaciones num´ericas. Sin embargo, en la corriente en conductos, la situaci´on se simplifica debido a que a distancias de la entrada relativamente cortas, la turbulencia est´a completamente desarrollada, en el sentido de que afecta a toda la secci´on del conducto y el perfil de velocidades medias no var´ıa aguas abajo. En lo que sigue, se mostrar´a la estructura del flujo turbulento para el caso de un conducto de secci´ on circular debiendo tener en cuenta que los resultados de las capas m´as cercanas a la pared (ley de la pared) son de aplicaci´on a cualquier situaci´ on de turbulencia parietal (capas l´ımites).
16.5.1.
Turbulencia en conductos de secci´ on circular
Consid´erese un conducto de secci´on circular de di´ ametro D por el que circula un l´ıquido en r´egimen turbulento. A cierta distancia de la entrada del conducto el flujo turbulento est´ a completamente desarrollado y las magnitudes medias s´olo dependen de la distancia r al eje del conducto. Las ecuaciones de Reynolds de cantidad de movimiento (16.22) se escriben en coordenadas cil´ındricas como 1 ∂P ν ∂ ∂U 1 ∂ − (16.78) + r − (rur ux ) = 0, ρ ∂x r ∂r ∂r r ∂r u 1 ∂P 1 ∂ 2 − (rur ) + θ = 0, ρ ∂r r ∂r r 2
−
(16.79)
u u 1 ∂ (rur uθ ) + r θ = 0. (16.80) r ∂r r La ecuaci´on (16.80) proporciona rur uθ = const. = 0, ya que ur y uθ son nulos en r = R. Asimismo, si se deriva la ecuaci´on (16.79) respecto de x se obtiene ∂ 2 P/∂r ∂x = 0, lo que indica que ∂P/∂x es independiente de r y, por tanto, puede escribirse ∂P/∂x ≡ dPo /dx, siendo Po (x) la presi´on media en la pared del conducto, r = R. Entonces, si la ecuaci´on (16.78) se integra en r se obtiene dU 1 dPo r2 − ur ux = , (16.81) r ν dr ρ dx 2 donde la constante de integraci´ on es nula al serlo el primer miembro de (16.81) en r = 0. Si (16.81) se eval´ ua en la pared se obtiene τp dU R dPo =− , =ν (16.82) 2ρ dx dr r=R ρ siendo τp el esfuerzo en la pared del conducto que es desconocido a priori. En general, se supondr´a conocido el caudal Q que circula por el conducto y la resoluci´ on del problema permitir´ a calcular te´oricamente el gradiente de presiones dPo /dx, o lo que es lo mismo, el esfuerzo en la pared, τp .
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
486
Para lo que sigue, resulta conveniente expresar la ecuaci´on (16.81) en t´erminos de la distancia a la pared del conducto, y = R − r; teniendo en cuenta que ur = −uy se obtiene ν
dU y − uy ux = u∗2 1 − , dy R
(16.83)
donde se ha usado la relaci´on (16.82) y se ha definido la velocidad basada en el esfuerzo en la pared u∗ ≡ τp /ρ. La resoluci´on de (16.83) se basa en la idea original de Prandtl que distingue en la secci´on del conducto varias zonas o capas en las que la importancia relativa de los distintos t´erminos de la ecuaci´on (16.83) es muy dispar. En efecto, muy cerca de la pared la turbulencia est´a inhibida debido a la condici´ on de no deslizamiento, por lo que los esfuerzos turbulentos son despreciables frente a los viscosos. Por tanto, para y → 0 existe una zona denominada subcapa laminar o viscosa donde (16.83) puede aproximarse por la ecuaci´ on ν
dU u∗2 , dy
(16.84)
cuya integraci´ on, junto con la condici´ on U (0) = 0, proporciona yu∗ U = . u∗ ν
(16.85)
Figura 16.13: Ley de la pared para diferentes flujos turbulentos parietales. Los datos experimentales debidos a Laufer son para un conducto de secci´ on circular. Los valores de (16.85) concuerdan muy bien con los resultados experimentales representados en la Figura 16.13 en la zona 0 ≤ yu∗ /ν < 5, condici´on que determina convencionalmente el espesor de
487
16.5. Turbulencia parietal
la subcapa laminar.16 En t´erminos del radio del conducto, el espesor de dicha zona puede estimarse si se tiene en cuenta la identidad 2 y u∗ Um y , (16.86) = R Re ν u∗ donde Re = Um D/ν es el n´ umero de Reynolds basado en la velocidad media, Um = 4 Q/(π D2 ) y en el di´ametro del conducto D = 2 R; en efecto, para un valor t´ıpico de Re = 105 y si, como se justificar´a posteriormente, se estima u∗ ∼ 0,1Um , la relaci´on (16.86) proporciona que el espesor de la subcapa laminar es del orden de 10−3 R. A distancias mayores de la pared del conducto, la importancia relativa de los esfuerzos viscosos disminuye gradualmente frente a la de los turbulentos, y ´estos se hacen dominantes para yu∗ /ν 1. Por tanto, existe una zona denominada capa inercial o logar´ıtmica tal que y u∗ /ν 1 e y/R 1 donde la ecuaci´on (16.83) puede aproximarse por uy ux = −u∗2 .
(16.87)
La ecuaci´on (16.87) expresa que los esfuerzos aparentes de Reynolds son constantes en la capa inercial, y es significativo c´omo dicha ecuaci´on proporciona la forma del perfil de velocidad media como una simple aplicaci´on del An´alisis Dimensional. En efecto, el gradiente de velocidad media no puede depender en esta zona m´as que del esfuerzo aparente, u∗2 , y de la distancia a la pared, y, puesto que la capa inercial se se encuentra todav´ıa muy lejos (y R) de la zona central del conducto como para que influya en ella la geometr´ıa de la secci´on, caracterizada en este caso por R. Se tiene entonces que dU/dy = f (u∗ , y), (16.88) y el An´alisis Dimensional proporciona y dU = A, u∗ dy
(16.89)
siendo A una constante universal denominada constante de Von Karman. La soluci´on de (16.89) puede escribirse en la forma yu∗ U = A ln + B, (16.90) ∗ u ν donde las constantes A y B en (16.90) deben determinarse experimentalmente. La ley logar´ıtmica (16.90) se muestra en la Figura 16.13, donde puede comprobarse el excelente acuerdo con las observaciones experimentales en el rango 30 < yu∗ /ν < 103 independientemente de los detalles del flujo exterior. A partir de los datos de experimentos diferentes, que exhiben variaciones del orden de un 5 %, se obtienen valores promedios A = 1/0,41 = 2,44 y B = 5. En la Figura 16.13 tambi´en puede observarse la universalidad de las estructuras del perfil de velocidades en las capas logar´ıtmica, de transici´on, y viscosas para yu∗ /ν < 103 , lo que t´ıpicamente corresponde a un espesor del orden del 20 % del radio del conducto; la distribuci´ on de velocidades en dichas capas se denomina ley de la pared. Se observa tambi´en en la figura que para valores mayores de y, la distribuci´ on de velocidades depende de los detalles de la corriente exterior, y para el caso que nos ocupa de un conducto de secci´on circular, el flujo en el n´ ucleo de la secci´on, (R − y) ∼ R, est´a gobernado por la ecuaci´ on −uy ux = u∗2 (1 − y/R) ,
(16.91)
que se obtiene de (16.83) omitiendo el t´ermino viscoso. La presencia de una longitud caracter´ıstica adicional, R, en (16.91) hace que el An´alisis Dimensional no baste para determinar completamente
16
P.S. Bernard y J.M. Wallace, Turbulent Flow, John Wiley and Sons, 2002.
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
488
la forma del perfil de velocidades medias. En efecto, como se argument´o en la secci´on 16.2, debe existir una relaci´on entre el transporte turbulento de cantidad de movimiento y el gradiente de velocidad media, uy ux = f (dU/dy) donde f es una funci´on desconocida a priori; por tanto, el gradiente de velocidades se puede escribir en la forma dU = g(u∗ , y, R). dy
(16.92)
El An´alisis Dimensional aplicado a (16.92) proporciona la relaci´ on
y d(U/u∗ ) , =G d(y/R) R
(16.93)
donde G es una funci´ on desconocida. Si se integra (16.93) entre R y un valor de y gen´erico se obtiene la denominada ley del defecto de velocidades,
y Uo − U = F , (16.94) u∗ R donde Uo = U (R) es el valor de la velocidad media en el eje del conducto, y F es una funci´ on desconocida que debe acoplar con la ley logar´ıtmica (16.90) para peque˜ nos valores de y, F
y R
→ A ln
y + C, R
y 1, R
yu∗ 1. ν
(16.95)
La ley (16.94) debe determinarse experimentalmente o mediante integraci´on num´erica, generalmente complicada, del flujo exterior. No obstante, se ver´ a posteriormente que para el c´alculo de las magnitudes de inter´es puede emplearse con suficiente aproximaci´on la ley logar´ıtmica (16.90) en toda la secci´on del conducto. De hecho, puede observarse en la Figura 16.13 que la desviaci´ on del perfil de velocidades observado respecto del logar´ıtmico se mantiene peque˜ na incluso para valores de y del orden de R. Esto es debido al hecho de que las variaciones relativas de velocidad son peque˜ nas en el n´ ucleo central del conducto (debido a la eficiencia del mezclado turbulento) que es tambi´en lo que le sucede a la funci´on logar´ıtmica para valores grandes del argumento. En la Figura 16.14 se proporcionan datos experimentales del flujo turbulento en un conducto de secci´ on circular con un n´ umero de Reynolds Re = 5,105 , basado en la velocidad media en el eje del conducto, que completan el an´alisis te´orico realizado.17 En la Figura 16.14(a) se representan datos experimentales, del esfuerzo turbulento y de la energ´ıa cin´etica turbulenta en una secci´on del conducto; obs´ervese que el esfuerzo turbulento disminuye linealmente con y en toda la secci´on, excepto muy cerca de la pared, como predice la expresi´on te´orica (16.91). En la Figura 16.14(b) se representan datos experimentales de la ra´ız cuadr´atica media ( u2 ) de las fluctuaciones turbulentas; se observa que las fluctuaciones se anulan en la pared, alcanzan un m´ aximo en la zona de transici´on entre la subcapas laminar e inercial donde los esfuerzos de cortadura son m´as intensos y la generaci´on de turbulencia es, por tanto, m´ as eficaz, y decaen hacia el n´ ucleo central con un valor t´ıpico del orden de 0,1 Um . Efecto de la rugosidad de la pared Hasta aqu´ı se ha considerado el caso de un conducto de pared lisa. Sin embargo, dado el peque˜ no espesor de la subcapa laminar, la rugosidad de la pared del conducto puede modificar sustancialmente las caracter´ısticas del flujo muy cerca de la pared y de esta forma afectar al esfuerzo de fricci´on. En efecto, la rugosidad superficial media de las superficies de los materiales com´ unmente empleados en los tubos comerciales suele variar en el rango 5×10−2 > > 10−4 , donde = hs /D es 17
J. Laufer, NACA Technical Report n. 1174, 1954.
489
16.5. Turbulencia parietal
Figura 16.14: (a) Distribuciones de esfuerzo turbulentoy energ´ıa cin´etica turbulenta en un conducto de secci´on circular; (b) Intensidad de la turbulencia, ( u2 ), cerca de la pared. Las caracter´ısticas experimentales del flujo eran Re = Um D/ν = 5 × 105 y u∗ /Um = 0,035.
la rugosidad relativa, hs la rugosidad absoluta y D el di´ametro del conducto. Por otra parte, para un n´ umero de Reynolds t´ıpico Re = 105 y u∗ ∼ 0,1Um , la subcapa logar´ıtmica comienza en y/D ∼ 7,10−3 (lo que se comprueba, como se hizo anteriormente, usando la relaci´on yu∗ /ν ∼ 70) mientras que la subcapa laminar llega hasta y/D ∼ 5,10−4 (yu∗ /ν ∼ 5). Por tanto, dependiendo del valor de , las protuberancias de la pared pueden penetrar en la subcapa laminar, en la de transici´ on laminar-logar´ıtmica, o adentrarse incluso en la capa logar´ıtmica donde la turbulencia es completa. El que se d´e una situaci´on u otra depende, naturalmente, del par´ ametro adimensional hs u∗ /ν, que puede interpretarse como un n´ umero de Reynolds basado en la rugosidad media hs y en la velocidad basada en el esfuerzo en la pared, u∗ . Dada la complejidad de la geometr´ıa de las protuberancias y del car´acter del flujo turbulento no es posible hacer un modelo riguroso para el an´ alisis de la influencia de la rugosidad y, por tanto, es necesario acudir a modelos aproximados semiemp´ıricos. En particular, la ley logar´ıtmica (16.90), que como se indic´o anteriormente se usar´a para calcular las magnitudes de inter´es en el conducto, se modifica haciendo la constante B dependiente de la rugosidad adimensional hs u∗ /ν, yu∗ hs u∗ U = A ln +B , (16.96) u∗ ν ν donde la constante A mantiene su valor puesto que (16.96) debe acoplar con la ley del defecto de velocidades en el n´ ucleo central (que no est´a afectado por la rugosidad, y hs ). La funci´ on B(hs u∗ /ν) debe calcularse, en general, emp´ıricamente. No obstante, si hs u∗ /ν < 5 la rugosidad s´olo afecta a la subcapa laminar y la ley logar´ıtmica (16.96) debe coincidir con la correspondiente a un conducto de pared lisa (16.90). Se dice entonces que el conducto es hidrodin´ amicamente liso y B(hs u∗ /ν) 5. En el otro extremo, si la rugosidad del conducto es tal que hs u∗ /ν > 70, las protuberancias se adentran en la subcapa logar´ıtmica, donde la turbulencia es completa, y no existe subcapa laminar. En este caso B debe depender de su argumento de tal forma que ν desaparezca de (16.96); por simple inspecci´on se deduce B = −A ln
hs u ∗ + C, ν
(16.97)
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
490
donde C 8,5 es una constante que se determina experimentalmente, y el campo de velocidades resulta U y = A ln + 8,5. (16.98) u∗ hs Obs´ervese que, en este caso, la fricci´on turbulenta no es debida fundamentalmente al esfuerzo viscoso en la pared, sino al desprendimiento de torbellinos en las protuberancias rugosas de la misma (es el mismo efecto que origina la resistencia aerodin´amica en el flujo alrededor de un cuerpo romo). Para rugosidades que afecten a la zona de transici´ on, 5 < hs u∗ /ν < 70, la funci´ on ∗ B(hs u /ν) debe obtenerse experimentalmente. ´ Esfuerzo en la pared como funci´ on del caudal. Abaco de Moody on del caudal, o lo Para calcular finalmente u∗ y, por tanto, el esfuerzo en la pared como funci´ que es lo mismo, el gradiente de presiones necesario para impulsar un caudal dado se recurrir´ aa la aproximaci´ on siguiente. El caudal que circula por el conducto, Q, se aproxima por la integral extendida a toda la secci´on de la ley logar´ıtmica del perfil de velocidades, (16.96); esto es, se desprecian las contribuciones al caudal de las estrechas zonas correspondientes a las subcapa laminar y de transici´on, as´ı como la peque˜ na diferencia entre el perfil real de velocidades en el n´ ucleo central del conducto y el dado por la ley logar´ıtmica. Se obtiene entonces, con y = R − r,
R
Q= 0
hs u ∗ 3 u∗ R +B , U 2πrdr = πR u A − + ln 2 ν ν 2 ∗
(16.99)
donde A 2,44. Para un conducto de rugosidad y secci´ on dadas, la ecuaci´on transcendente (16.99) permite determinar la velocidad u∗ y, por tanto, tambi´en el esfuerzo en la pared, τp = ρ u∗2 , as´ı como el gradiente longitudinal de presiones que est´ a relacionados con τp mediante (16.82). Es conveniente expresar (16.99) en forma adimensional, en t´erminos del coeficiente de fricci´on y del n´ umero de Reynolds Re = Um D/ν, donde Um = Q/(πR2 ) es la velocidad media en la secci´on del conducto. Para ello, es usual definir el factor de fricci´ on, λ, como λ = 4cf =
8τp =8 2 ρUm
u∗ Um
2 ,
(16.100)
donde cf es el coeficiente de fricci´on. Si la definici´ on (16.100) se introduce (16.99) se obtiene la denominada ley de la fricci´ on 1 λ1/2
3 √ = 2,44 ln(Re λ1/2 ) + B(Re λ/8) / 8 − 2,78.
(16.101)
Para un conducto hidrodin´ amicamente liso B 5 y la (16.101) puede aproximarse por la expresi´on 1 = 0,86 ln(Re λ1/2 ) − 1,01 = −0,86 ln[3,23/(Reλ1/2 )]. (16.102) λ1/2 Para un conducto rugoso se tiene, de acuerdo con (16.97), B = −2,44 ln( Re λ/8) + 8,5, y la expresi´on (16.101) resulta independiente del n´ umero de Reynolds 1 λ1/2
= 0,86 ln(1/) + 1,12 = −0,86 ln(/3,7).
(16.103)
Bas´andose en los l´ımites (16.102) y (16.103), Colebrook en 1937 encontr´ o la siguiente f´ormula de interpolaci´on para (16.101) que es tambi´en suficientemente aproximada para los casos intermedios en los que la rugosidad del conducto llega hasta la capa de transici´ on
491
16.6. Turbulencia libre
1 λ1/2
= −0,86 ln
2,51 + 3,7 Re λ1/2
;
(16.104)
adem´as, la f´ormula de Colebrook, (16.104), corrige emp´ıricamente los peque˜ nos errores introducidos en (16.101) y (16.102) al calcular el caudal usando la ley logar´ıtmica en toda la secci´on del conducto.
´ Figura 16.15: Abaco de Moody.
Posteriormente, Moody en 1944 represent´ o la ecuaci´on (16.104) gr´ aficamente en lo que se conoce como el ´ abaco de Moody, Figura 16.15. Puede observarse en dicha figura que la transici´ on al r´egimen turbulento se produce para un n´ umero de Reynolds Recr 2,300. Por debajo de dicho valor el r´egimen en la tuber´ıa es laminar y el factor de fricci´on es el correspondiente a la ley de HagenPoiseuille, λ = 64/Re. Por encima del valor cr´ıtico, el flujo en el conducto se hace turbulento y el factor de fricci´on depende en general de y Re. Para muy peque˜ nas rugosidades, las curvas = const tienden a la curva inferior del a´baco cuya ecuaci´on es (16.102) y se conoce como ley de fricci´ on de Blasius.
16.6.
Turbulencia libre
Se denomina turbulencia libre a aquella que ocurre sin presencia o influencia directa de paredes que confinan al fluido. Los flujos con turbulencia libre se presentan con gran frecuencia tanto en la naturaleza como en las aplicaciones de inter´es en ingenier´ıa y se estudiar´an aqu´ı los m´as
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
492
comunes como son los chorros, estelas, capas de mezcla y penachos t´ermicos. Todos estos flujos se caracterizan por ser esbeltos, siendo las variaciones longitudinales (en la direcci´on del movimiento) de cualquier magnitud fluida media, φ, mucho menores que las variaciones transversales: ∂φ/∂x ∂φ/∂y ∼ ∂φ/∂z. Adem´as, si δo es una longitud caracter´ıstica transversal y Uo es una velocidad (o diferencia de velocidades) caracter´ıstica media longitudinal, se cumple para estos flujos que Uo δo 2 /νx 1, con lo que pueden despreciarse los esfuerzos viscosos frente a los turbulentos en la ecuaci´on de cantidad de movimiento. Si se tienen en cuenta dichas simplificaciones, las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento longitudinal y cantidad de movimiento transversal para un flujo turbulento estacionario, bidimensional o axilsim´etrico, de un l´ıquido o de un gas a bajos n´ umeros de Mach se escriben ∂U 1 ∂ m ∂V + m r = 0, (16.105) ∂x r ∂r ∂r U
∂U 1 ∂ m ∂U 1 ∂pe +V =− m (r u v ) − , ∂x ∂r r ∂r ρ ∂x pe (x) p v 2 + = , ρ 2 ρ
(16.106)
(16.107)
donde m = 0 (m = 1) corresponde al caso bidimensional (axilsim´etrico), y pe (x) es la presi´on exterior. Para evitar la proliferaci´ on de sub´ındices, en (16.105)-(16.107) se han denotado por U y V las velocidades medias longitudinal y transversal (Ux y Ur ), y u y v las componentes longitudinal y transversal de las fluctuaciones turbulentas (ux y ur ). Para los flujos que se considerar´ an aqu´ı pe es constante y, por tanto, la evoluci´ on aguas abajo tiene lugar en ausencia de forzamiento externo. Entonces, y como ocurre en el caso laminar, suficientemente lejos de la estaci´on inicial el flujo adquiere una estructura autosemejante gobernada por la velocidad (o diferencia de velocidades) longitudinal local Uo (x), y por la longitud caracter´ıstica transversal local δ(x) x, que se define usualmente como el valor de r para el que se tiene U [r = δ(x), x] = Uo (x)/2. Esta propiedad de los flujos turbulentos libres que, como se ver´ a, est´a confirmada plenamente por los resultados experimentales, se denomina invariancia local de la turbulencia, y permite suponer que el flujo s´olo depende de x a trav´es de δ(x) y Uo (x). La estructura autosemejante de la soluci´on puede obtenerse mediante el An´alisis Dimensional haciendo uso de la propiedad de invariancia local. En efecto, dicha propiedad expresa que las velocidades medias longitudinales y los esfuerzos aparentes de Reynolds ser´an funcionales de la forma U (r, x) = F [δ(x), Uo (x), r] ,
(16.108)
−u v = G [δ(x), Uo (x), r] ,
(16.109)
y el An´alisis Dimensional permite reducir las relaciones anteriores a U (r, x) = Uo (x)f [r/δ(x)] ,
(16.110)
−u v = Uo 2 (x)g [r/δ(x)] .
(16.111)
Como se ver´a, haciendo uso de (16.110) y (16.111) es posible reducir el sistema en derivadas parciales (16.105)-(16.106) a un sistema diferencial ordinario en la variable ξ = r/δ(x). Adem´as, como se observa en (16.111), la invariancia local restringe la dependencia funcional de u v con r y x, simplificando de esta forma el problema de cierre. En lo que sigue, y como es usual en la literatura, se har´ a uso del modelo de viscosidad turbillonaria discutido en la secci´ on 16.4 y se
493
16.6. Turbulencia libre
expresar´a el esfuerzo aparente de Reynolds en t´erminos del coeficiente de viscosidad turbillonaria on νT y del gradiente transversal de velocidad longitudinal mediante la relaci´ −u v = νT
∂U . ∂r
(16.112)
Si se usan (16.110) y (16.111) en (16.112) se obtiene νT = Uo (x)δ(x)g(ξ)/f˙(ξ) ≡ Uo (x)δ(x)h(ξ),
(16.113)
siendo h(ξ) una funci´ on que debe determinarse mediante ajuste entre los resultados te´oricos y experimentales. Es notable que para todos los flujos turbulentos libres considerados aqu´ı se obtenga un acuerdo excelente para h(ξ) ≡ B, donde B es una constante propia de cada flujo. Adem´ as, en situaciones donde deba calcularse la distribuci´ on de temperaturas, es necesario modelar el flujo turbulento radial de calor −v T ; para ello puede usarse una expresi´ on an´aloga a (16.112), −v T = αT
∂Θ , ∂r
(16.114)
con un coeficiente de difusividad t´ermica turbulenta αT , igual a νT , lo que puede justificarse f´ısicamente basado en el hecho de que las fluctuaciones turbulentas transportan energ´ıa interna del mismo modo que cantidad de movimiento.18
16.6.1.
Chorro turbulento
Cuando un fluido descarga al ambiente desde un orificio se observa que, para las velocidades usuales, el chorro se hace completamente turbulento a corta distancia del punto de descarga, v´ease Figura 16.1. Debido a la turbulencia, el chorro se mezcla en parte con el fluido en reposo del ambiente, de tal forma que part´ıculas del fluido ambiente son ingeridas por el chorro y, por tanto, el gasto a trav´es de cualquier secci´on transversal del mismo aumenta aguas abajo. No obstante, como se ver´a en lo que sigue, el flujo de cantidad de movimiento se conserva con la distancia al orificio. Las ecuaciones que gobiernan el flujo turbulento del chorro en la aproximaci´ on esbelta discutida m´as arriba son las (16.105)-(16.107) excepto por el hecho de que el gradiente de presiones es nulo ∂U 1 ∂ m + m (r V ) = 0, ∂x r ∂r ∂U ∂U ∂U 1 ∂ m r νT , U +V = m ∂x ∂r r ∂r ∂r
(16.115) (16.116)
donde m = 0 para un chorro bidimensional, y m = 1 para uno axilsim´etrico. Las velocidades U y V en (16.115) y (16.116) deben satisfacer las siguientes condiciones de contorno de simetr´ıa en el eje y de decaimiento en el infinito: ∂U V (0, x) = 0, = 0, U (∞, x) = 0. (16.117) ∂r r=0 Puesto que se est´a interesado en estudiar la estructura autosemejante que, seg´ un se observa experimentalmente, se desarrolla aguas abajo, la condici´on inicial para U en x = 0 se sustituir´a por la condici´on global de conservaci´ on del flujo de cantidad de movimiento a trav´es de cualquier secci´on 18 La situaci´ on es similar a los transportes difusivos moleculares de calor y de cantidad de movimiento en gases, cuyo mecanismo es id´entico: el movimiento ca´ otico molecular. Esto se refleja en que el n´ umero de Prandtl, P r = ν/α, es de orden unidad para los gases.
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
494
transversal; dicha condici´ on se obtiene f´acilmente si se multiplica por rm la ecuaci´on de cantidad de movimiento (16.116) y se integra entre 0 < r < ∞ para un valor fijo de x, haciendo uso de la ecuaci´on de continuidad y de la u ´ltima condici´on en (16.117), lo que proporciona ∞ dm+1 Ue 2 rm U 2 (r, x)dr = m , (16.118) 4 (m + 1) 0 donde d y Ue son el di´ametro (o semi-espesor si m = 0) y la velocidad del chorro en el orificio de salida. La ecuaci´on (16.118) expresa la independencia con x del flujo convectivo de cantidad de movimiento a trav´es de una secci´on transversal del chorro. Como se ha se˜ nalado m´as arriba, el sistema de ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno (16.115)-(16.118) admite una soluci´on de semejanza de la forma r = δ(x)ξ,
U = Uo (x)f (ξ),
V = Vo (x)g(ξ),
(16.119)
para funciones apropiadas δ(x), Uo (x) y Vo (x), siempre que el coeficiente de viscosidad turbillonaria sea de la forma νT = BUo (x)δ(x);
(16.120)
B es una constante a determinar experimentalmente. En efecto, si se sustituyen (16.119)-(16.120) en (16.115)-(16.118) es f´acil ver que si las funciones δ(x), Uo (x) y Vo (x) satisfacen las relaciones dδ dδ , = A, (16.121) dx dx donde A y C son constantes adimensionales a determinar, se obtiene el siguiente sistema diferencial ordinario para las funciones f y g δ m+1 Uo 2 = dm+1 Ue 2 /C,
Vo = Uo
(ξ m g) − ξ m [ξ f + (m + 1)f /2] = 0,
(16.122)
(bξ m f ) + (ξ m g) f − ξ m g f = 0,
(16.123)
f (0) = 0,
(16.124)
∞
g(0) = 0
ξ m f 2 dξ =
0
f (∞) = 0,
C , 4m (m + 1)
(16.125)
donde se ha definido la constante b ≡ B/A y el super´ındice significa derivaci´ on respecto a ξ. Para determinar las constantes b y C en 16.122-16.125 se impondr´an las condiciones adicionales f (0) = 1 y f (1) = 1/2, que definen Uo (x) y δ(x) en (16.119) como la velocidad en el eje del chorro [U (0, x) = Uo (x)] y el espesor caracter´ıstico del mismo (valor de la coordenada transversal para el que la componente axial de la velocidad es la mitad de la velocidad en el eje , U [x, y = δ(x)] = Uo (x)/2. Para un chorro plano (m = 0), la ecuaci´on de continuidad (16.122) puede integrarse inmediatamente si se define una variable auxiliar F tal que F = f y F (0) = 0, lo que proporciona g = ξf − F/2.
(16.126)
Si la ecuaci´on (16.126) se sustituye en (16.123) y se integra una vez haciendo uso de la condici´ on F (0) = 0 [o f (0) = 0], se obtienen la ecuaci´on diferencial y condiciones de contorno para F 2 b F + F F = 0,
F (0) = 0,
F (∞) = 0.
(16.127)
495
16.6. Turbulencia libre
√ Puede comprobarse f´acilmente que la soluci´on de (16.126)-(16.127) es F = a tanh ξ/ 2b , donde √ a es una constante. La condici´on f (0) = F (0) = 1 determina a = 2b y, por tanto,
√ (16.128) f = F = cosh−2 ξ/ 2b . Las constante b y C se calculan mediante las condiciones f (1) = 1/2 y (16.125), que proporcionan √ √ ∞ √ 2 cosh−4 xdx = 8b/3, (16.129) b = 1/[2 ln (1 + 2)] y C = 2b 0
donde se ha tenido en cuenta que el valor de la integral que aparece en (16.129) es 2/3. Por otra parte, los experimentos muestran que suficientemente lejos de la salida de un chorro plano se verifica la relaci´on δ(x) 0,1 x que, de acuerdo con la u ´ltima relaci´on de (16.121), determina el valor A = 0,1. La primera relaci´on de (16.121) proporciona entonces la velocidad en el eje del chorro como Uo (x) = Ue
d AC x
1/2 ,
(16.130)
y de (16.120) se determina el coeficiente de viscosidad turbulenta como νT = bA3/2 C −1/2 Ue d1/2 x1/2 .
(16.131)
En la Figura 16.16 se representa el perfil de velocidades longitudinales medias, dado por la ecuaci´ on (16.128) junto con datos experimentales.19 Obs´ervese el buen acuerdo entre teor´ıa y experimentos en casi toda la secci´on del chorro excepto en los bordes, debido a los efectos de intermitencia.
Figura 16.16: Distribuci´ on de velocidades en un chorro turbulento plano.
En el caso de un chorro axilsim´etrico (m = 1), la ecuaci´on de continuidad (16.122) puede ξ integrarse haciendo uso de la variable auxiliar F ≡ 0 ξf dξ para dar ξg = ξF − F.
(16.132)
La relaci´on anterior permite obtener a partir (16.123) particularizada para m = 1 la ecuaci´on diferencial para F b (F − F /ξ) + (F F /ξ) = 0, (16.133) 19
G. Heskestad, J. Appl. Mech., 32, 721, 1965. S. Pope Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000.
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
496
que debe resolverse con las condiciones de contorno que resultan de la definici´ on de F y de la condici´ on f (0) = 1, F (0) = F (0) = 0, F (0) = 1. (16.134) La ecuaci´on (16.133) puede integrarse dos veces de forma inmediata haciendo uso repetido de las condiciones (16.134) y de la igualdad ξF = (ξF ) − F , con lo que se llega a la ecuaci´on 2bξF + F 2 − 4bF = 0.
(16.135)
La soluci´on de (16.135) que verifica las condiciones (16.134) es F =
ξ 2 /2 . 1 + ξ 2 /(8b)
(16.136)
El campo de velocidades longitudinales, definido por la funci´ on f (ξ), se determina inmediatamente a partir de F como f=
1 F = ; ξ [1 + ξ 2 /(8b)]2
(16.137)
dicha expresi´on fue obtenida por primera vez por Schlichting en 1933. Como en el caso del chorro plano, el√valor de la constante b se determina a partir de la condici´ on f (1) = 1/2, que proporciona on b = [8( 2 − 1)]−1 . La constante C = 32b/3 en (16.121) se determina a partir de la condici´ (16.125). Finalmente los datos experimentales muestran que, suficientemente lejos del orificio de salida, se verifica δ(x) = 0,094 x, lo que implica A = 0,094 y permite determinar Uo (x) y νT a partir de (16.121) y (16.120).
16.6.2.
Estelas
Como es sabido, una estela se forma debido al desprendimiento de las capas l´ımites en la parte posterior de un cuerpo que se mueve en un fluido en reposo o est´ a situado en el seno de una corriente fluida (v´ease Figura 14.6). Los experimentos muestran que las velocidades en una estela son menores que las de las corrientes principal, y este d´eficit de velocidad est´a relacionado con la p´erdida de cantidad de movimiento que experimenta la corriente debido a la fuerza que ejerce sobre el cuerpo sumergido. Si se aplica un balance de masa y de cantidad de movimiento a un volumen de control que contenga al cuerpo y est´e limitado en el exterior por superficies situadas a gran distancia del mismo, se obtiene la relaci´on integral entre la fuerza de resistencia y el perfil de velocidades de la estela ∞ D = 2π m Ue [Ue − U (x, r)] rm dr, (16.138) 0
donde Ue es la velocidad no perturbada de la corriente incidente, y la integral (16.138) se calcula para cualquier secci´on transversal situada a una distancia x aguas abajo del cuerpo lo suficientemente grande como para que se verifique que el d´eficit de velocidad, definido como Ud (x, r) = Ue −U (x, r), sea peque˜ no frente a Ue . A tales distancias se observa que el espesor de la estela, aunque crece aguas abajo, se mantiene peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica en la direcci´on del movimiento, si se define ´esta como la necesaria para que se produzcan variaciones apreciables en el d´eficit de velocidad. Por tanto, debido a la esbeltez de la estela, la presi´ on en el interior de la misma puede considerarse uniforme, de valor igual a la de la corriente exterior, y los experimentos muestran que, suficientemente lejos aguas abajo del cuerpo, el flujo desarrolla una estructura autosemejante. Las consideraciones anteriores permiten simplificar el c´alculo del campo de velocidades longitudinales
497
16.6. Turbulencia libre
medias en la estela. En efecto, la condici´on Ud Ue permite linealizar el t´ermino convectivo en la ecuaci´on de cantidad de movimiento (16.106), de modo que ´esta puede escribirse como 1 ∂ ∂Ud ∂Ud m = m r νT . (16.139) Ue ∂x r ∂r ∂r A la ecuaci´on (16.139) hay que a˜ nadir las condiciones de contorno de regularidad en el eje y de decaimiento en el infinito ∂Ud (x, 0) = 0 y Ud (x, ∞) = 0. (16.140) ∂r Adem´as, y puesto que se est´a interesado en la estructura autosemejante del flujo, la condici´ on inicial en x = 0 puede sustituirse por la condici´ on integral (16.138), que puede escribirse en forma adimensional como ∞ 4m+1 D = Ud rm dr, CD = 1 (16.141) 1 2 2 m+1 πd m U d ρU d e 0 e 2 4 donde CD es el coeficiente de resistencia del cuerpo, que se supondr´a conocido experimentalmente; adem´as, el coeficiente de viscosidad turbulenta se modelar´a de la forma νT = BUdo (x)δ(x),
(16.142)
donde B es una constante a determinar, Udo (x) es el defecto de velocidades en el eje de la estela y δ(x) es el espesor caracter´ıstico de la estela definido convencionalmente por la condici´ on Ud [x, r = δ(x)] = Udo (x)/2. Puede comprobarse f´acilmente que para funciones Udo y δ que satisfagan las relaciones dδ = SUdo /Ue , (16.143) dx donde A y S son constantes adimensionales a determinar, la ecuaci´on (16.139) junto con las condiciones de contorno (16.140) admiten una soluci´ on de semejanza en las variables Udo δ m+1 = ACD Ue dm+1
ξ=
r , δ(x)
y
f (ξ) =
Ud . Udo (x)
(16.144)
En efecto, al introducir dichas variables en (16.139)-(16.140) se obtiene el problema diferencial ordinario b(ξ m f ) + ξ m [(m + 1)f + ξf ] = 0,
∞
f (0) = f (∞) = 0,
f ξ m dξ = 1/A,
(16.145) (16.146)
0
donde se ha definido b ≡ B/S; las constantes se determinan mediante las condiciones f (0) = 1 y f (1) = 1/2. Para una estela plana, m = 0, la soluci´on de (16.145)-(16.146) que satisface f (0) = 1 puede obtenerse f´acilmente como f = exp [−ξ 2 /(2b)].
(16.147)
La condici´on f (1) = 1/2proporciona b = 1/(2 ln 2), y si se introduce (16.147) en la integral de (16.146) se obtiene A = 2/(πb). Adem´as, combinando las ecuaciones (16.143) e integrando para δ(x) se obtienen, para grandes valores de x/d,
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
498
δ(x) = d(2SACD x/d)1/2 ,
Udo (x) = Ue ACD (2SACD x/d)−1/2 .
(16.148)
Finalmente, y para cerrar el problema, el valor del p´ arametro S se obtiene experimentalmente. Se observa que dicho valor depende de la geometr´ıa del objeto que genera la estela, y los valores t´ıpicos para una placa, un cilindro y un perfil son, respectivamente, S = 0,073, 0,083 y 0,103. Para el caso de una estela axilsim´etrica, (m = 1), el problema (16.145)-(16.146) puede integrarse tambi´en de forma inmediata, y la soluci´ on que satisface f (0) = 1 y f (1) = 1/2 resulta id´entica a 2 (16.147), f = e−ξ ln 2 , y se representa en la Figura 16.17 para el caso de una esfera;20 obs´ervese el buen acuerdo de la teor´ıa con los resultados experimentales, excepto cerca de los bordes debido a los fen´omenos de intermitencia. La constante A = 2 ln 2 se determina de la condici´on integral (16.146), y las expresiones de δ(x) y Udo (x) son δ(x) = d(3SACD x/d)1/3 ,
Udo (x) = Ue ACD (3SACD x/d)−2/3 ,
(16.149)
con el par´ametro S determinado experimentalmente; para una esfera se tiene S = 0,51.
Figura 16.17: D´eficit de velocidad adimensional en la estela de una esfera.
16.6.3.
Capa de mezcla
Una capa de mezcla se forma cuando entran en contacto dos corrientes que se mueven paralelamente con distintas velocidades. La Figura 16.18 muestra una fotograf´ıa de la estructura del flujo en la capa de mezcla de nitr´ogeno y una mezcla de arg´on-helio fluyendo en la misma direcci´on con velocidades cuya diferencia era de 12 m/s aproximadamente.21 Obs´ervese que al entrar las corrientes en contacto la discontinuidad en los perfiles de velocidades a la salida de la placa separadora de las corrientes origina una inestabilidad de tipo Kelvin-Helmholtz (v´ease Secci´on 15.3) que crece aguas abajo, dando lugar a una zona de mezcla turbulenta donde los v´ ortices de la gran escala que, como se ve en la Figura 16.18, se organizan de una forma peculiar en lo que se ha denominado, por su regularidad, estructuras coherentes; la din´ amica de estas estructuras ha sido y sigue siendo objeto de intensa investigaci´ on. Obs´ervese tambi´en c´omo los torbellinos de peque˜ na escala son convectados por las estructuras coherentes. Como se observa tambi´en, el espesor caracter´ıstico 20 M. Uberoi y P. Freymuth, Phys. Fluids A, 13, 2205, 1965. S. Pope Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000. 21 M. Rebollo, Ph. D. thesis, Calif. Inst. of Technology, 1973. De M. van Dyke, An Album of Fluid Motions, The Parabolic Press, 1982.
499
16.6. Turbulencia libre
de la capa de mezcla aumenta aguas abajo y experimenta variaciones apreciables aguas abajo en distancias mucho mayores que el mismo.
Figura 16.18: Estructuras coherentes en una capa de mezcla. Las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el movimiento en una capa de mezcla bidimensional est´an dadas por de (16.105)-(16.106) como ∂U ∂V + = 0, ∂x ∂y ∂U ∂U ∂ ∂U +V = νT , U ∂x ∂y ∂y ∂y V (x, 0) = 0,
U (x, −∞) = U1 ,
U (x, ∞) = U2 ,
(16.150) (16.151) (16.152)
donde y denota la coordenada transversal y U1 y U2 son las velocidades de las corrientes inferior y superior antes de interaccionar. Si se modela el coeficiente de viscosidad turbulenta de la forma νT = B|U2 − U1 |δ(x),
(16.153)
es f´acil ver que el sistema (16.150)-(16.152) admite una soluci´on de semejanza en las variables ξ=
y δ(x)
f (ξ) =
U , Uo
g(ξ) =
V , Vo
(16.154)
bajo la condici´on de que las cantidades B, dδ/dx, Uo y Vo sean constantes. En efecto, si se define dδ/dx = A, y se eligen las constantes Uo = (U1 + U2 )/2 y Vo = Uo A, la sustituci´on de (16.154) en (16.150)-(16.152) proporciona el sistema diferencial ordinario
g(0) = 0,
g − ξf = 0,
(16.155)
bf − gf + ξf f = 0,
(16.156)
f (∞) = 1 + λ,
f (−∞) = 1 − λ,
(16.157)
donde las constantes b y λ est´an definidas por b≡
2B|U2 − U1 | , A(U1 + U2 )
λ≡
U2 − U1 . U2 + U1
(16.158)
El sistema (16.155)-(16.157) puede integrarse num´ericamente para cualquier valor de λ en el intervalo −1 ≤ λ ≤ 1.22 No obstante, en el l´ımite |λ| 1 Goertler encontr´ o una soluci´on anal´ıtica 22
N´ otese que b desaparece de (16.155)-(16.157) si se escala apropiadamente la variable ξ → bξ.
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
500
aproximada que, como se ver´a, reproduce bien los datos experimentales incluso para |λ| ∼ O(1). Para ello, obs´ervese que |λ| 1 implica que |U2 − U1 | U1 , con lo que las diferencias de velocidades en la capa de mezcla son peque˜ nas y, en primera aproximaci´ on, puede escribirse f 1 y g 0 en la ecuaci´on (16.156), que se simplifica a bf + ξf = 0.
(16.159)
La soluci´on de (16.159) que satisface las condiciones de contorno (16.157) puede escribirse en t´erminos de la funci´on error como √ (16.160) f = 1 + λ erf(ξ/ 2b). Obs´ervese que la expresi´on anterior contiene una u ´nica constante, b, a determinar emp´ıricamente. Para ello, es convencional definir el espesor caracter´ıstico de la capa de mezcla, δ(x), como el correspondiente a la zona que contiene el rango de velocidades 1 − 0,8λ ≤ (U/U
o ) ≤√1 + 0,8λ, con lo que, si se eval´ ua (16.160) en ξ = ±1 [y = ±δ(x)], se obtiene la condici´on erf ±1/ 2b = ±0,8, que proporciona el valor b = 2,83. Para cerrar el problema, el valor par´ ametro A que determina el espesor caracter´ıstico de la capa de mezcla (A ≡ dδ/dx) debe determinarse emp´ıricamente. Los experimentos muestran que dicho valor depende de los detalles del del flujo cuando ´este abandona la placa separadora y las corrientes entran en contacto; los valores reportados en la literatura se en cuentran en el rango 0,06|λ| ≤ A ≤ 0,11|λ|. En la Figura 16.19 se compara la expresi´ on te´orica (16.160) con los datos experimentales para el caso U1 /U2 = 0 (λ = 1) y un valor de A = 0,097 (δ(x) = 0,097x).23 Obs´ervese que, a´ un para λ = 1, existe un excelente acuerdo entre los experimentos y la soluci´on te´orica, formalmente v´alida s´olo para λ 1.
Figura 16.19: Velocidad adimensional en una capa de mezcla.
16.6.4.
Penachos t´ ermicos
Los penachos t´ermicos son un tipo de flujo turbulento libre de enorme importancia pr´ actica, puesto que est´an presentes en gran parte de los fen´omenos de convecci´on natural que tienen lugar, entre otras situaciones, en la ventilaci´on, tanto industrial como arquitect´ onica, y en los flujos geof´ısicos y atmosf´ericos. El mecanismo de generaci´on del movimiento en los penachos t´ermicos es la flotabilidad debida a diferencia de densidades en el seno del fluido provocadas por gradientes de temperatura. Las velocidades caracter´ısticas en los penachos t´ermicos son generalmente peque˜ nas y, por tanto, los n´ umeros de Mach son muy bajos y puede aplicarse la aproximaci´ on de Boussinesq 23 F. Champagne, Y. Pao, y I. Wygnanski J. Fluid Mech., 74, 209, 1965, en S. Pope Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000.
501
16.6. Turbulencia libre
(v´ease 14.11). Adem´as, teniendo en cuenta que las dimensiones transversales de un penacho t´ermico son t´ıpicamente mucho menores que las longitudinales, las ecuaciones que gobiernan el problema se obtienen directamente de (16.105)-(16.106) incluyendo el t´ermino de flotabilidad en la ecuaci´ on de cantidad de movimiento y la ecuaci´on de la entalp´ıa que gobierna la distribuci´ on de temperaturas, 1 ∂ ∂U + (rV ) = 0, ∂z r ∂r ∂U 1 ∂ ∂U ∂U +V = U rνT + gβ(Θ − Θ∞ ), ∂z ∂r r ∂r ∂r ∂Θ 1 ∂ ∂Θ ∂Θ +V = rαT , U ∂z ∂r r ∂r ∂r r = 0 : V = 0,
∂Θ ∂U = 0, = 0, ∂r ∂r
(16.161) (16.162) (16.163) (16.164)
r → ∞ : U → 0, Θ → Θ∞ ,
(16.165)
donde en la ecuaci´on de la entalp´ıa (16.163) se ha incluido el flujo turbulento radial de calor dado por (16.114). Para el caso de un penacho t´ermico originado por una fuente en el origen de intensidad calor´ıfica QT se tiene, adem´as, ∞ ρcp U (z, r) [Θ(z, r) − Θ∞ ] 2πrdr. (16.166) QT = 0
La condici´on (16.166) sustituye a la condici´ on inicial en z = 0, y expresa que todo el calor por unidad de tiempo suministrado por la fuente es convectado por el penacho aguas abajo; dicha ecuaci´on se obtiene f´acilmente al integrar la ecuaci´on (16.163) respecto de r y hacer uso de la ecuaci´on de continuidad (16.161). Asimismo, los flujos turbulentos radiales de cantidad de movimiento axial y de calor en (16.162) y (16.164), −ρ u v y −ρ cp v T , se han modelado mediante coeficientes turbillonarios de viscosidad y conducci´ on de calor νT y αT ; se supondr´a en lo que sigue un n´ umero de Prandtl turbulento, definido como la relaci´ on νT /αT , igual a la unidad y dichos coeficientes se expresan entonces de la forma νT = αT = Bδ(z)Uo (z), (16.167) donde b es una constante a determinar, y las funciones, a´ un desconocidas, Uo (z) y δ(z) representan la velocidad en el eje del penacho y el radio para el cual U [r = δ(z), z] = Uo (z)/2. Bajo las condiciones anteriores, es f´acil comprobar que el sistema (16.161)-(16.166) admite una soluci´on de semejanza en las variables r ξ= , δ
f (ξ) =
U , Uo
g(ξ) =
V , Vo
θ(ξ) =
Θ − Θ∞ , Θo (z) − Θ∞
(16.168)
supuesto que las funciones δ(z), Uo (z), Vo (z) y Θo (z) ≡ Θ(z, 0) satisfacen las relaciones dδ = A, dz
Uo =
C δ
, 1/3
Θo − Θ∞ =
AUo 2 , gβδ
Vo = AUo ,
(16.169)
donde A y C son constantes. Las constantes A y C est´an relacionadas por la condici´ on (16.166) de conservaci´on de la energ´ıa calor´ıfica suministrada al penacho, lo que proporciona C=
gβQT 2πAρcp
1/3 ,
(16.170)
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
502
siendo A y B las constantes a determinar en el modelo. Si se sustituyen las expresiones (16.168)(16.169) en las ecuaciones y condiciones de contorno (16.161)-(16.166) y se define el par´ametro b ≡ B/A se obtiene el sistema diferencial ordinario 1 1 (ξg) − f − ξf = 0, ξ 3
(16.171)
b 1 (ξf ) + (ξf − g) f + f 2 + θ = 0, ξ 3
5 b ξ θ˙ + (ξf − g) θ + f θ = 0, ξ 3
(16.172) (16.173)
˙ g(0) = f˙(0) = θ(0) = 0, f (∞) = θ(∞) = 0, ∞ ξf θdξ. 1=
(16.174) (16.175)
0
El par´ ametro b en (16.172) y (16.173) se determina como un autovalor del problema mediante la condici´ on f (1) = 1/2.
Figura 16.20: Distribuciones autosemejantes de temperatura a) y velocidades longitudinales y transversales b) en un penacho t´ermico. En la Figura 16.20 se representan los valores te´oricos y experimentales de las variables θ¯ = (2πA2 )−2/3 θ [Figura 16.20(a)], y f¯ = (2πA−1 )−1/3 f y g¯ = (2πA−1 )−1/3 g [Figura 16.20(b)], en funci´ on de la variable r/z = Aξ.24 Obs´ervese c´omo las distribuciones de temperaturas y velocidades medidas en varias secciones del penacho situadas suficientemente lejos aguas abajo de la fuente colapsan, si se escalan apropiadamente, sobre las distribuciones de semejanza determinadas por el sistema (16.161)-(16.166). Adem´as, el valor (2πA2 )−2/3 θ(0) 9,5 observado para r = 0 en la Figura 16.20(a) determina, puesto que θ(0) = 1, el valor A 13,5 y, por tanto, δ(z) z/13,5, en buen acuerdo tambi´en con los resultados experimentales. Conocidos A y δ, las funciones Uo (z) Θo (z) quedan definidas a partir de (16.169)-(16.170) como Uo (z) = 24
gβQT 2πρcp A2
1/3 z
−1/3
y
Θo (z) − Θ∞ =
A. Shabbir y W. K. George, J. Fluid Mech., 275, 132, 1994.
Q √ T 2π gβρcp A2
2/3
z −5/3 .
(16.176)
503
16.7. Simulaci´ on num´erica en turbulencia
16.7.
Simulaci´ on num´ erica en turbulencia
En las secciones anteriores se han considerado modelos semiemp´ıricos de la turbulencia que resultan adecuados para la descripci´ on de movimientos turbulentos relativamente simples, aunque de gran inter´es te´orico-pr´ actico. Sin embargo, estos modelos no son adecuados para el tratamiento de flujos turbulentos que tienen lugar en presencia de geometr´ıas y condiciones de contorno m´as complejas, ni en situaciones en las que se requiera una informaci´on m´as detallada del flujo (correlaciones turbulentas, energ´ıa cin´etica turbulenta, etc.) Paralelamente al avance de la capacidad computacional de los ordenadores, junto con el desarrollo de t´ecnicas num´ericas cada vez m´as eficientes, se han ido desarrollando modelos de turbulencia m´ as sofisticados cuyos fundamentos se expondr´ an brevemente en lo que sigue.
16.7.1.
Modelo k − ε
El modelo turbulento denominado k −ε es un modelo de viscosidad turbulenta (v´ease 16.3) que se caracteriza por el hecho de que el coeficiente νT de la expresi´on (16.53) para el tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds se modela localmente como una funci´on de la energ´ıa cin´etica turbulenta, k, y de la tasa de disipaci´on de energ´ıa cin´etica turbulenta, ε.25 El cierre del modelo se lleva a cabo formulando sendas ecuaciones para k y para ε que se integran junto a las ecuaciones para el flujo medio (16.21) y (16.22). Debe indicarse que, como cualquier modelo turbulento, el modelo k − ε no es autoconsistente y tanto en la determinaci´on de νT (k, ε) como en la formulaci´ on de las ecuaciones para k y ε se introducen par´ ametros ad hoc que se determinan calibrando el modelo con flujos turbulentos sencillos cuya soluci´ on sea conocida te´orica o experimental. La forma funcional de νT puede determinarse inmediatamente mediante el An´alisis Dimensional, que proporciona k2 , (16.177) ε donde Cµ es una constante adimensional a determinar. Haciendo uso de νT el t´ermino correspondiente al transporte turbulento de k en la ecuaci´on (16.34) se expresa, de forma poco precisa, en el modelo k − ε mediante una ley del de tipo difusivo-molecular νT p u + ρu u2 /2 = −ρ ∇k, (16.178) σk νT = Cµ
donde σk es una constante adimensional a determinar que tiene el significado f´ısico de un n´ umero de Prandtl turbulento y que se suele tomar igual a la unidad en la mayor´ıa de los casos. Si por simplicidad se considera el caso de un flujo incompresible y se introduce la expresi´ on (16.178) en la ecuaci´on (16.34) dividida por ρ se obtiene
∂k νT ∇k − u u : ∇U − ε, (16.179) + U · ∇k = ∇ · ν + ∂t σk donde el tensor u u se modela mediante de la relaci´on (16.53). La ecuaci´on (16.179) expresa que, para un observador que se mueve con el flujo medio, la variaci´ on de energ´ıa cin´etica turbulenta es debida a los efectos de difusi´on, tanto turbulenta como molecular, de producci´ on turbulenta a partir del flujo medio, y de disipaci´ on turbulenta. Este u ´ltimo t´ermino, representado por ε ≡ T ν∇u : (∇u ) , aparece como inc´ognita en la ecuaci´on (16.179) y, por tanto, debe ser modelado para cerrar el problema. En el modelo k − ε, esto se lleva a cabo postulando la siguiente ecuaci´on ad hoc para ε ε ε2 ∂ε νT ∇ε − Cε1 u u : ∇U − Cε2 , (16.180) + U · ∇ε = ∇ · ν + ∂t σε k k 25
K. Hanjalic y B. E. Launder, J. Fluid Mech., 52, 609, 1972.
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
504
que posee una estructura id´entica a la de la ecuaci´on (16.179); esto es, del tipo: Variaci´ on igual a Difusi´ on m´ as Producci´ on menos Disipaci´ on.26 Obs´ervese que los dos u ´ ltimos t´erminos de (16.180), que representan la producci´ on y la disipaci´ on de ε se obtienen en el modelo k − ε a partir de los correspondientes t´erminos en la ecuaci´on (16.179) para k mediante consideraciones dimensionales. Como se indic´o anteriormente, la constante Cµ de la relaci´on (16.177) y las que aparecen en las ecuaciones (16.178) y (16.180), σk , σε , Cε1 y Cε2 , deben fijarse calibrando el modelo con soluciones con propiedades bien conocidas tales como las del flujo en la capa l´ımite sobre una placa plana, flujo de cortadura con gradiente de velocidades medias uniforme, decaimiento de la turbulencia tras una rejilla, etc. Valores usuales de dichas constantes son Cµ = 0,09,
Cε1 = 1,44,
Cε2 = 1,92,
σk = 1,
σε = 1,3.
(16.181)
Fijadas las constantes (16.181), las ecuaciones (16.179) y (16.180) pueden integrarse, sujetas a las condiciones de contorno apropiadas, junto a las del flujo medio (16.21)-(16.22), usando la relaci´ on (16.53) para el tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds −ρu u y la relaci´on (16.177) para νT . El modelo k−ε ha sido, y a´ un es, ampliamente utilizado en los c´odigos comerciales, y permite tratar con cierto ´exito flujos turbulentos algo m´ as complicados que los tratados en 16.5 y 16.6 mediante An´ alisis Dimensional y soluciones de semejanza. No obstante, su aplicaci´on est´a limitada a flujos relativamente simples debido a las severas hip´otesis realizadas para su construcci´on: la turbulencia se supone is´otropa, y caracterizada localmente en el espacio y en el tiempo por s´olo dos cantidades, k y ε. Un ejemplo cl´asico de fallo del modelo k − ε resulta cuando se aplica ´este al flujo turbulento desarrollado en un conducto de secci´on rectangular. En este flujo, fuertemente anis´ otropo, se producen corrientes secundarias en la secci´on debidas, fundamentalmente, a un desequilibrio entre los 2 2 2 esfuerzos aparentes normales ux , uy y uz , Figura 16.21. Estas corrientes no son predichas por el modelo k − ε, cuyo car´acter is´otropo y lineal en la relaci´ on entre el tensor de esfuerzos 2 2 2 aparentes, −ρu u , y el tensor ∇U proporciona ux = uy = uz = 2k/3, v´ease la ecuaci´on (16.53), y un perfil de velocidades medias que, como en el caso de un flujo laminar, es de la forma U = Uz (y, x)ez . Sin embargo, las corrientes secundarias pueden reproducirse num´ericamente si se usa un modelo k − ε modificado con una relaci´ on no-lineal entre el tensor de esfuerzos aparentes y 3 T el tensor de velocidades de deformaci´on del flujo medio, S ≡ 0,5 ∇U + (∇U) −u u = aI + bS + cS · S,
(16.182)
donde a,b y c son constantes semiemp´ıricas.27 La mejora de resultados con una relaci´on de la forma (16.182) puede explicarse teniendo en cuenta que la inclusi´ on de t´erminos no-lineales equivale a retener m´as t´erminos en la serie de Taylor de la relaci´on, desconocida de antemano, entre u u y S. De esta forma los efectos no-locales y, por tanto, los no-is´otropos, del flujo se recogen mejor que con una relaci´on lineal del tipo (16.53).
16.7.2.
Modelo de ecuaciones para los esfuerzos aparentes de Reynolds (RSEM)
Con el r´apido crecimiento de la capacidad computacional de los ordenadores y de las t´ecnicas de c´alculo num´erico, los c´odigos comerciales han incorporado modelos m´as sofisticados que los simples k −ε considerados en la secci´on anterior. Uno que se emplea con profusi´ on es el denominado modelo 26 Una ecuaci´ on exacta para ε puede obtenerse a partir de las ecuaciones (16.21)-(16.22) y (16.29)-(16.30) para el flujo medio y para las fluctuaciones, como se hizo en 16.2 para obtener la ecuaci´ on (16.34) para k. No obstante, dicha ecuaci´ on contiene muchos t´erminos cuya interpretaci´ on f´ısica no es clara y que, en cualquier caso, deben ser modelados a posteriori. Por tanto, se prefiere aqu´ı escribir directamente la ecuaci´ on m´ as simple (16.180). 27 C. G. Speziale, Annual Rev. Fluid Mech., 23, 107, 1991.
505
16.7. Simulaci´ on num´erica en turbulencia
Figura 16.21: (a) Ilustraci´on de las corrientes secundarias que aparecen en el flujo turbulento en un conducto de secci´on rectangular; (b) el modelo k − ε no predice ning´ un tipo de flujo secundario; (c) flujo secundario obtenido con el modelo k − ε modificado.
de ecuaciones para los esfuerzos de Reynolds [Reynolds Stress Equations Modelling (RSEM), en la literatura anglosajona], en el que se integran, junto con las ecuaciones (16.21)-(16.22) para el flujo medio, un conjunto de seis ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, una por cada una de las seis componentes independientes del tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds que, para abreviar notaci´on, se denotar´an en lo que sigue por R ≡ −u u . Dicho conjunto de ecuaciones se deduce multiplicando tensorialmente por u la ecuaci´on (16.30) y promediando el resultado; despu´es de algunas manipulaciones algebraicas se obtiene ρ
∂R + ρU · ∇R = 2 DS + PS − ES + ΠS , ∂t
(16.183)
donde DS ,PS ,ES y ΠS denotan las partes sim´etricas (semisuma del tensor y su traspuesta) de los tensores de segundo orden
= D = −∇ · Ip u + ρu u u /2 + τ u u , P = −ρ R · ∇U ,
=
E = τ u ·∇u ,
Π = p ∇u .
(16.184) (16.185)
Obs´ervese que la estructura de la ecuaci´on tensorial (16.183) para R es muy similar a la de la ecuaci´on (16.179) para k, salvo el u ´ltimo t´ermino del segundo miembro de (16.183), ΠS . En efecto, los tres primeros t´erminos del segundo miembro de (16.183), DS , PS y ES , poseen su an´alogo en la ecuaci´on (16.179) y, como all´ı, pueden interpretarse como contribuciones a la variaci´ on de R debidas, respectivamente, a la difusi´on (turbulenta y molecular), a la producci´ on a partir del flujo medio y a la disipaci´on viscosa por las fluctuaciones turbulentas en la peque˜ na escala. En cuanto al t´ermino ΠS , que representa la correlaci´on entre las fluctuaciones de presi´on y los gradientes de
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
506
las fluctuaciones de velocidad, conviene observar que su traza es nula, ya que T r(ΠS ) = T r(Π) = 2 2 2 p ∇ · u = 0; adem´as, puesto que T r(R) = 2k = u1 + u2 + u3 , la ecuaci´on para k (16.34) podr´ıa obtenerse tambi´en tomando la traza en la ecuaci´on (16.183) sin que a ella contribuya ΠS al ser su traza nula. Por tanto, la acci´ on del t´ermino ΠS puede interpretarse como una redistribuci´ on 2 2 2 de la energ´ıa cin´etica entre las componentes u1 , u2 y u3 sin cambio en la energ´ıa cin´etica total k. Como caracter´ısticas generales de los modelos RSME pueden citarse: 1.
Son profusamente utilizados en c´ odigos comerciales. Son m´as costosos computacionalmente que el modelo k − ε al realizar la integraci´ on de un mayor n´ umero de ecuaciones diferenciales (10 en total).
2.
Recogen las caracter´ısticas no locales del flujo turbulento mejor que el modelo k − ε, ya que pueden incluir de forma m´ as flexible y completa efectos no lineales y anis´otropos en cada una de las componentes del tensor R mediante un modelado apropiado de los tensores DS , PS , ES y ΠS .
3.
El modelado de dichos tensores es complejo y est´a sujeto a restricciones de compatibilidad f´ısica tales como invariancia frente al sistema de referencia, energ´ıa cin´etica turbulenta positiva, etc. En dicho modelado se emplean t´ecnicas avanzadas de an´alisis tensorial no-lineal y de teor´ıa de grupos comunes a otros campos de la f´ısica tanto cl´asica como cu´antica, como son la reolog´ıa, f´ısica de la materia condensada, espectroscop´ıa molecular y nuclear, etc. La calibraci´ on del modelo RSEM es tambi´en mucho m´as compleja que la del modelo k − ε.
En la Figura 16.22 se comparan resultados de la velocidad longitudinal media del flujo turbulento en la secci´on de salida de un tubo doblemente acodado proporcionados por el modelo k − ε (curva de puntos) y por un modelo RSEM (curva continua); en la figura la distancia diametral y/D esta medida desde la pared de menor radio de curvatura.28 El modelo RSEM se ajusta mucho mejor a las medidas experimentales que el modelo k − ε; en particular la mayor velocidad que poseen las part´ıculas en las zonas de mayor radio de curvatura por efecto de la aceleraci´on centr´ıfuga no se reproduce con el modelo k − ε.
16.7.3.
Simulaci´ on num´ erica directa (DNS)
En la simulaci´ on num´erica directa de la turbulencia (DNS: Direct Numerical Simulation, en la literatura anglosajona) se resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes no promediadas. Por razones de eficiencia num´erica, generalmente se emplean m´etodos espectrales. El prototipo de tales m´etodos es el que supone el flujo confinado en un cubo de lado L con condiciones de contorno peri´odicas, y expresa el campo de velocidades en una serie de Fourier de la forma v(x, t) =
vk (t) exp(ik · x),
(16.186)
k
donde k = 2π(l, m, n)/L, con l, m y n enteros, es el vector n´ umero de onda. Si se usa el desarrollo (16.186) en las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para las componentes espectrales vk ∂vk kk (16.187) = I − 2 · (v × ω)k − νk 2 vk + fk , ∂t k 28 B. Launder, Whither Turbulence? Turbulence at the Crossroad, J. Lumley Ed., Lectures notes in Physics, Springer-Verlag, Berl´ın, 1989.
507
16.7. Simulaci´ on num´erica en turbulencia
Figura 16.22: Distribuciones de velocidad longitudinal media obtenidas de simulaciones num´ericas con modelos RSEM (l´ınea continua) y k − ε (l´ınea discontinua) en la secci´on de salida de un tubo doblemente acodado. Los c´ırculos corresponden a mediciones experimentales.
donde ω es el vector vorticidad ω =∇×v =
ik × vk exp(ik · x),
(16.188)
k
y fk son componentes espectrales introducidas ad hoc que representan la excitaci´on de las escalas grandes mediante las condiciones de contorno impuestas al flujo; obs´ervese que la arbitrariedad de dichos t´erminos hace que los resultados de las simulaciones DNS no sean fiables para las grandes escalas. No obstante, su modelado es tal que las fk son nulas en las escalas intermedias y peque˜ nas por lo que en el proceso de transferencia de energ´ıa en cascada desde las grandes escalas se pierde memoria de los detalles de las fk y los resultados de la DNS son fiables para las peque˜ nas escalas. El sistema (16.187), que formalmente posee un n´ umero infinito de ecuaciones, se trunca normalmente en la escala disipativa, y su integraci´ on se lleva a cabo con un m´etodo paso a paso convencional que posea buenas caracter´ıstica de estabilidad. Como caracter´ısticas generales de la DNS pueden citarse: 1. Se realiza un c´alculo muy detallado de las variables fluidas turbulentas, lo que permite extraer una informaci´ on estad´ıstica exhaustiva. 2. La DNS es muy costosa, se tardan cientos de horas en un CRAY para una malla 256 × 256 × 256. Por tanto, est´a limitada a n´ umeros de Reynolds relativamente bajos (5.000-10.000). 3. Por eficiencia computacional, la DNS es muy dependiente del uso de m´etodos espectrales y, por tanto, est´a muy limitada a flujos con geometr´ıas simples. 4. La DNS se usa como instrumento de investigaci´on para estimar t´erminos necesarios en modelos utilizados para flujos m´ as realistas, tales como el RSEM de la secci´on anterior y para
Cap´ıtulo 16. Turbulencia
508
obtener informaci´ on estad´ıstica que sea dif´ıcil de medir experimentalmente. Su utilidad es mayor en lo que concierne a la peque˜ na escala, cuyo car´acter es m´as universal y menos dependiente de la geometr´ıa.
16.7.4.
Simulaci´ on de la escala grande (LES)
Finalmente, un tratamiento de los flujos turbulentos que se est´ a utilizando cada vez m´as en los c´odigos comerciales en el ´ambito de la ingenier´ıa, y que es alternativo a los modelos basados en las ecuaciones promediadas de Reynolds (tales como el modelo k − ε o el RSEM), es el m´etodo denominado de simulaci´ on de la escala grande (large eddy simulation: LES, en la literatura anglosajona). Este procedimiento consiste en aplicar un filtro espacial a las ecuaciones de Navier-Stokes, de manera que en las ecuaciones resultante est´en recogidos ´ıntegramente los aspectos tridimensionales y no estacionarios de las escalas grandes, mientras que los efectos de las escalas peque˜ nas aparecen promediados en una serie de t´erminos, que constituyen el denominado tensor de esfuerzos de Leonard, que deben especificarse adicionalmente para cerrar el problema. De esta forma, en LES s´olo se modelan las escalas peque˜ nas, que, debido a su mayor isotrop´ıa y homogeneidad, son mucho m´as f´aciles de caracterizar que las escalas grandes, mientras que estas u ´ ltimas, que son las m´as energ´eticas y las que m´as contribuyen al transporte turbulento, pueden resolverse con la misma aproximaci´on que en simulaci´ on directa sin el enorme coste que supone resolver en detalle las escalas peque˜ nas. Aunque existen a´ un muchos problemas con la aplicaci´on de LES a flujos en los que los fen´omenos de separaci´on de capa l´ımite e intermitencia son importantes (debido precisamente a que entonces el modelado de la peque˜ na escala es m´as complejo por su anisotrop´ıa e inhomogeneidad) sus aplicaciones futuras parecen tener gran potencial. Para obtener las ecuaciones del modelo LES, para cualquier variable fluida, f (x, t), se define la correspondiente variable filtrada como f (x, t) = G(x − x )f (x , t)d3 x , (16.189) donde G es un filtro que, t´ıpicamente, es de la forma G(x − x ) =
6 π∆f
3/2
1 2 exp −6|x − x |2 /∆f 2 ,
(16.190)
y la distancia ∆f , denominada corte del filtro, es mucho menor que la longitud t´ıpica asociada con las grandes escalas pero mucho mayor que la longitud asociada a las escalas m´as peque˜ nas (escalas de Kolmogorov). Si se expresan las variables fluidas como suma de las variables filtradas m´ as una fluctuaci´ on, u = u + u , p = p + p ,
(16.191)
las ecuaciones que gobiernan los valores filtrados se obtienen al aplicar el filtro (16.190) a las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento; se obtiene as´ı ∇ · u = 0,
(16.192)
∂u 1 = + ∇ · (uu) = − ∇p − ∇· τ R +ν∇2 u, ∂t ρ
(16.193)
=
donde τR es el tensor de esfuerzos de Leonard y su expresi´on es =
τ R = uu + u u + u u .
(16.194)
509
16.7. Simulaci´ on num´erica en turbulencia
Se observa inmediatamente que las ecuaciones (16.192)-(16.194) no constituyen un sistema cerrado sino que es necesario modelar el tensor τR , que representa el efecto residual de la peque˜ na escala, en funci´on de las variables filtradas. Es usual emplear el siguiente modelo debido a Smagorinski, que est´a basado en el car´acter is´otropo, local y difusivo de la peque˜ na escala,29 1 2 qR I − 2νR S, 3
(16.195)
3 1 T ∇u + (∇u) , 2
(16.196)
=
τ R= con S= y νR = ls 2 (S : S)1/2 ,
lS = CS ∆f
con CS = 0,23.
(16.197)
El coste computacional de la LES depende, naturalmente, del corte del filtro ∆f . Los modelos LES recogen usualmente hasta el rango inercial, lo que limita el n´ umero de Reynolds hasta 50.000-100.000. Se emplean tambi´en modelos VLES (Very Large Eddy Simulation) que filtran en un rango mucho mayor que el inercial, pero en este caso el modelado del efecto residual es menos fiable.
Referencias y fuentes de lectura complementaria H. Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York, 1987. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Te´orica, vol. 5, Pergamon, 1958. S. Pope, Turbulence Flows, Cambridge University Press, 2001. J. Hinze, Turbulence, McGraw-Hill, Nueva York, 1975. F. M. White, Mec´ anica de Fluidos, McGraw-Hill, 2004. P.S. Bernard y J.M. Wallace, Turbulent Flow, John Wiley and Sons, 2002.
29
J. Smagorinski, Monthly Weather Review. 91, 99, 1963.
Cap´ıtulo 17
Flujo turbulento en conductos y canales 17.1.
Introducci´ on
En este cap´ıtulo se considerar´a el movimiento turbulento de gases y l´ıquidos a trav´es de conductos de secci´on lentamente variable, as´ı como el de l´ıquidos circulando por canales de secci´on y profundidad lentamente variables bajo la acci´ on de la gravedad. Para la derivaci´ on de las ecuaciones que gobiernan el movimiento turbulento medio se aplicar´ an los principios de conservaci´ on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a un volumen de control apropiado. Para representar el efecto de las paredes sobre la corriente media se tendr´an en cuenta los resultados del coeficiente de fricci´on y del flujo de calor en la pared obtenidos a trav´es del estudio de la turbulencia parietal en conductos y canales. Se supondr´ a tambi´en que no hay variaciones bruscas ni en la secci´on del conducto, ni en la secci´on y profundidad del canal; esto es, si rh representa el radio hidr´ aulico de la secci´on (canal o conducto), definido como el cociente entre el ´area de la secci´on y su per´ımetro, y x la coordenada longitudinal a lo largo del conducto o canal, se supondr´ a que |drh /dx| ∼ rh /L 1 y rh Rc , donde L y Rc son la longitud y el radio de curvatura caracter´ısticos de la l´ınea media longitudinal del conducto o canal considerado. En estas condiciones, el movimiento turbulento medio a trav´es de conductos y canales es en primera aproximaci´ on casi-unidireccional y carece, por tanto, de sentido plantearse la soluci´on num´erica del problema tridimensional, puesto que no ser´ıa ni econ´omico ni necesariamente m´as aproximado desde el punto de vista pr´ actico. La influencia del cambio brusco de la geometr´ıa del conducto, tambi´en de la secci´on en el caso de canales, en la ca´ıda de presi´on, o en la altura piezom´etrica, que se denominan usualmente p´erdidas de carga localizadas, por tener lugar en longitudes que son peque˜ nas frente a la longitud total del conducto, se considerar´a en la secci´on 17.5, y su contribuci´ on a la ca´ıda total se sumar´a a la que aqu´ı se obtenga. En este cap´ıtulo se considerar´an tambi´en situaciones en las que los efectos de compresibilidad en el movimiento de l´ıquidos en conductos sean importantes. Tal es el caso del denominado golpe de alvula reguladora ariete que se genera, por ejemplo, cuando se produce el cierre (o apertura) de una v´ de caudal en un tiempo suficientemente corto. Como es sabido, las sobrepresiones generadas en estos casos pueden ser lo suficientemente grandes para que los efectos de compresibilidad del l´ıquido y los efectos el´asticos de las paredes de la tuber´ıa intervengan en el proceso. 511
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
512
17.2.
Hip´ otesis b´ asicas y ecuaciones del movimiento
Consid´erese un conducto de secci´on lentamente variable como el esquematizado en la Figura 17.1 por el que fluye un fluido en movimiento turbulento que se supondr´ a completamente desarrollado. Si el movimiento es turbulento, el perfil de velocidades medias en cada secci´on del conducto es
v+ v
¶v dx ¶x
A + ¶A dx ¶x A
dx
Figura 17.1: Conducto de secci´on lentamente variable. pr´ acticamente plano excepto en una capa muy delgada adyacente a la pared; se puede suponer entonces, desde el punto de vista pr´actico, que la velocidad turbulenta media en la direcci´ on del conducto v es s´olo funci´ on de la coordenada longitudinal x a lo largo del conducto y del tiempo t. Un argumento que ayuda a comprender este hecho se basa en que las fluctuaciones turbulentas de velocidad resultan ser un mecanismo muy eficaz de transporte de cantidad de movimiento hacia la pared y consecuentemente la cantidad de movimiento y la velocidad del fluido medias a trav´es de la secci´on son muy uniformes. El efecto de la fricci´ on es u ´nicamente importante cerca de la pared y se define un esfuerzo de fricci´on medio, promediado en el per´ımetro de cada secci´on, τo definido en la forma rh τp dl, τo = (17.1) A P donde P y A, que pueden variar con x, son el per´ımetro y el ´area de la secci´on respectivamente y τp (x, t) se calcular´a a partir del factor de fricci´ on λ, τp = λρv 2 /8,
(17.2)
donde para el c´alculo de λ, se supondr´an v´alidos los resultados para conductos infinitamente largos de secci´on constante y movimiento estacionario cuyas leyes l´ımites (movimientos laminares y movimientos turbulentos completamente desarrollados) han sido desarrolladas en cap´ıtulos previos. Se supondr´ a entonces que el efecto de la no estacionariedad afecta escasamente a la forma en que λ depende de los par´ametros del problema: el n´ umero de Reynolds y la rugosidad relativa. El coeficiente λ para tubos de secci´on circular ha sido representado en la Figura 16.15. Para tubos de secciones diferentes a la circular se suelen usar tambi´en los resultados de la Figura 16.15 si se define λ(4rh v/ν, /4rh ) siendo 4rh el di´ametro del conducto hidr´ aulico equivalente y la rugosidad de la pared. Se supondr´ a tambi´en que la temperatura media T (x, t) es s´olo funci´ on de x y t. La justificaci´on es an´aloga a la de suponer que la velocidad media es pr´ acticamente constante en cada secci´on: la turbulencia es tan efectiva transportando energ´ıa interna como lo es transportando masa y cantidad de movimiento, por lo que el perfil de temperatura en cada secci´on es pr´acticamente constante, excepto muy cerca de la pared, donde la temperatura media del fluido var´ıa desde el valor constante que tiene en la secci´on hasta la temperatura de la pared. Esta variaci´ on de la temperatura muy cerca de la pared se tendr´a en cuenta en forma global, an´ alogamente a como se ha hecho con la
17.2. Hip´otesis b´asicas y ecuaciones del movimiento
513
fricci´on, definiendo un flujo de calor por conducci´ on, por unidad de a´rea y tiempo, promediado en el per´ımetro de cada secci´on rh qp dl, qo = (17.3) A P donde el flujo de calor intercambiado entre la pared y el fluido puede modelarse mediante la analog´ıa de Reynolds o cualquier otra expresi´ on que relacione el flujo de calor con el esfuerzo en la pared. Obs´ervese que podr´ıa existir no-uniformidad en la temperatura si existiesen variaciones importantes de temperatura sobre el per´ımetro o por efecto de la disipaci´on viscosa (a altos n´ umeros de Mach en la corriente de gases) pero su efecto no ser´a considerado aqu´ı. En cuanto a la presi´ on media, basta decir que, como consecuencia de la casi-unidireccionalidad del movimiento impuesta por la geometr´ıa, la presi´on media es tambi´en en primera aproximaci´ on funci´on exclusiva de las variables x y t. Como se ha visto en repetidas ocasiones, las variaciones transversales de presi´on ∆T p son peque˜ nas frente a las longitudinales ∆L p; m´as concretamente, ∆L p ∼ ρV 2 ∼ ρVT2 (L/rh )2 ∼ ∆T p (L/rh )2 ∆T p donde VT ∼ V rh /L y V representan el orden de magnitud de las velocidades medias en la direcci´on transversal y longitudinal del conducto respectivamente. Naturalmente, si la presi´on y la temperatura del fluido son constantes a trav´es de la secci´on tambi´en lo ser´a su densidad, que viene ligada a las dos anteriores a trav´es de la ecuaci´on de estado. Si se considera ahora el volumen elemental A(x)dx de la Figura 17.1, que en cada instante contiene un volumen de fluido sobre el que act´ ua un esfuerzo tangencial por unidad de superficie τo (x, t) y se le a˜ nade un flujo de calor qo (x, t) por unidad de superficie, el principio de conservaci´ on de la masa aplicado al volumen de control considerado proporciona ∂(ρA) ∂(ρvA) + = 0. ∂t ∂x
(17.4)
An´alogamente, la ecuaci´on de cantidad de movimiento en la direcci´ on x se escribe ∂U ∂(ρvA) ∂(ρv 2 A) ∂p A + = −A − τo − ρA , ∂t ∂x ∂x rh ∂x
(17.5)
donde se ha supuesto que las fuerzas m´asicas derivan del potencial U . Si a (17.5) se le resta (17.4) multiplicada por v se obtiene ∂v ∂(v 2 /2) 1 ∂p ∂U λv 2 + + + =− ∂t ∂x ρ ∂x ∂x 8rh
(17.6)
Obs´ervese que la u ´ nica diferencia entre (17.6) y la ecuaci´ on de cantidad de movimiento correspondiente a un fluido ideal es el t´ermino de fricci´on, t´ermino del segundo miembro de (17.6); t´engase en cuenta que para un fluido ideal el primer miembro de (17.6) es id´enticamente nulo a lo largo de cada una de las l´ıneas de corriente (ecuaci´on de Euler Bernouilli) que pasan por la secci´ on, mientras que aqu´ı (17.6) representa un promedio aproximado en cada secci´ on. Si en (17.6) se comparan los ´ordenes de magnitud de los t´erminos convectivo V 2 /L y de fricci´on λV 2 /rh , el segundo ser´a importante s´olo si λL/rh ≥ O(1). El factor de fricci´ on λ es un n´ umero peque˜ no, de modo que para situaciones en las que λL/rh 1, como ocurre por ejemplo en una tobera donde L/rh no es un n´ umero grande, la fricci´ on es tan peque˜ na que puede despreciarse y se recupera entonces la ecuaci´on para un fluido ideal. Por el contrario, en situaciones en las que λL/rh 1, como ocurre en gasoductos y oleoductos, la fricci´on de las paredes sobre el fluido es dominante frente a su inercia. La ecuaci´on de la energ´ıa total aplicada al volumen de control de la Figura 17.1 se escribe ∂ ∂ ∂(pvA) A ∂U ρA(e + v 2 /2) + ρvA(e + v 2 /2) = − − ρvA + qo + qr , ∂t ∂x ∂x ∂x rh
(17.7)
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
514
donde qr representa el calor por unidad de tiempo y unidad de longitud de conducto absorbido por radiaci´ on o liberado por reacci´ on qu´ımica. En t´erminos de la entalp´ıa de remanso, (17.7) se escribe ∂p ∂ A ∂ ∂U + qo + qr , ρA(h + v 2 /2) + ρvA(h + v 2 /2) = − ρvA ∂t ∂x ∂t ∂x rh
(17.8)
y si se tiene en cuenta la ecuaci´on de la continuidad, (17.5), las ecuaciones (17.7)-(17.8) resultan ρ
qr ∂(e + v 2 /2) 1 ∂(pvA) qo ∂U ∂(e + v 2 /2) + , + ρv =− + − ρv ∂t ∂x A ∂x ∂x rh A
(17.9)
y qr ∂(h + v 2 /2) ∂(h + v 2 /2 + U ) ∂p qo + . (17.10) + ρv = + ∂t ∂x ∂t rh A Desde el punto de vista pr´ actico la u ´ltima ecuaci´on resulta m´as u ´til; de hecho, en el caso bastante frecuente de un flujo estacionario y adiab´ atico, la cantidad h + v 2 /2 + U , que en el caso de flujo de un gas es aproximadamente igual a la entalp´ıa de remanso h + v 2 /2, se conserva a lo largo del conducto. Es tambi´en interesante escribir la ecuaci´on de la entrop´ıa que se obtiene restando a (17.9) el resultado de multiplicar por v la ecuaci´on de cantidad de movimiento, (17.7), y sustituyendo en el resultado la relaci´on dh = T dS + dp/ρ ρ
T
qo qr ∂S ∂S λv 3 ; + + + Tv = ∂t ∂x 8rh ρrh ρA
(17.11)
(17.11) expresa que la entrop´ıa aumenta como consecuencia de la fricci´on (disipaci´ on viscosa) y de la adici´on de calor. Normalmente el efecto de la disipaci´on viscosa es muy peque˜ no. Comparando este t´ermino con el de convecci´on de entrop´ıa T v∂S/∂x ∼ T V ∆S/L ∼ V cv ∆T /L se tiene que el par´ ametro adimensional que mide su importancia relativa es λL V 2 , rh cv ∆T
(17.12)
Para l´ıquidos este par´ametro suele ser peque˜ no debido principalmente al hecho de que V 2 /c∆T es usualmente peque˜ no (bajas velocidades, capacidad calor´ıfica alta), de modo que s´olo en el caso de flujo de l´ıquidos a muy altas velocidades puede ser relevante la disipaci´on viscosa. En cuanto al flujo de gases, (17.12) se escribe λL 2 T M , (17.13) rh ∆T y la disipaci´on viscosa ser´a despreciable si el n´ umero de Mach del movimiento satisface la condici´on M2
∆T rh . T λL
(17.14)
Por tanto, puede ocurrir que la fricci´ on sea importante en la ecuaci´on de cantidad de movimiento por ser λL/rh ≥ O(1), pero que su efecto en el incremento de entrop´ıa sea despreciable si el n´ umero de Mach del movimiento no es suficientemente alto; m´as exactamente si λL 2 M 1. rh
(17.15)
Para evaluar el flujo de calor por conducci´ on entre la pared y el fluido se utilizar´ a la analog´ıa de Reynolds (14.9) cf λ qo = = , (17.16) Sta = ρv(hp − h − v 2 /2) 2 8
515
17.2. Hip´otesis b´asicas y ecuaciones del movimiento
donde se han tenido en cuenta los efectos de compresibilidad y disipaci´ on viscosa redefiniendo el n´ umero de Stanton en t´erminos de la entalp´ıa de remanso (en realidad de la temperatura adiab´ atica de la pared con un factor de recuperaci´ on igual a la unidad, puesto que el n´ umero de Prandtl turbulento es muy aproximadamente igual a uno). Para un l´ıquido h v 2 /2, estos efectos son pr´acticamente despreciables y se tiene qo mientras que para un gas λρvcp T qo 8
λρcv (Tp − T ), 8
γ−1 2 Tp −1− M ; T 2
(17.17)
(17.18)
es decir; los efectos de la disipaci´on viscosa y de la compresibilidad son despreciables si M 2 1. De (17.18) se sigue que existir´a un flujo neto de calor desde la pared al fluido si Tp > T [1+(γ −1)M 2 /2] y viceversa, el flujo de calor ser´a desde el fluido a la pared si Tp < T [1+(γ −1)M 2 /2]. La explicaci´on radica en el hecho de que, debido a la disipaci´ on viscosa y a los efectos de compresibilidad, el gas se calienta cerca de la pared y el flujo de calor puede ser desde el fluido a la pared incluso si Tp > T [siempre que Tp < T [1 + (γ − 1)M 2 /2]. Como se ha visto, en cualquiera de las situaciones anteriores la analog´ıa de Reynolds, o cualquier otra analog´ıa semiemp´ırica entre el flujo de calor y el esfuerzo de fricci´on en la pared, permite calcular qo como funci´on del n´ umero de Reynolds y de la rugosidad relativa. Estas analog´ıas describen tanto mejor la realidad cuanto m´ as rugosa sea la pared del conducto (independencia de λ con el n´ umero de Reynolds) por no existir en estos casos la subcapa laminar que falsea la analog´ıa. De acuerdo con las ecuaciones (17.5), (17.6) y (17.10) se necesitan en general tres condiciones iniciales y tres de contorno para su resoluci´on; por ejemplo, v(x, 0),
p (x, 0),
T (x, 0);
(17.19)
v(0, t),
p (0, t),
T (0, t).
(17.20)
Sin embargo, la forma de dar estas condiciones var´ıa mucho de unas situaciones a otras. As´ı para un l´ıquido (ρ =constante) desaparece una condici´on inicial, ya que la ecuaci´ on de continuidad se escribe vA = Q(t), (17.21) donde el caudal Q(t) es independiente de la coordenada x y tampoco se impone condici´on inicial en v, ya que su valor en cada instante y en cada secci´on viene dado por (17.21) una vez que se determina el caudal. En cuanto a las condiciones de contorno no se suele especificar v(0, t) sino dos condiciones de contorno para la presi´ on p (0, t) y p (L, t) adem´as de una para la temperatura, T (0, t) por ejemplo. Por otra parte, en el caso de l´ıquidos cuyo caudal se regula mediante una v´alvula, la ley de cierre o apertura α = As (t)/Ao define un tiempo caracter´ıstico de cierre o apertura, tc ∼ α(t)/α(t), ˙ durante el cual α y, consecuentemente, las magnitudes fluidas sufren variaciones del orden de ellas mismas. En el caso en que α(0) = 0, la condici´on inicial exige que el valor caracter´ıstico de vo sea ve (velocidad correspondiente al estado estacionario), ya que durante tiempos del orden del tiempo de cierre tc sufrir´ a variaciones del orden de ve . La velocidad caracter´ıstica introduce un tiempo de residencia tr ∼ L/vo cuyo orden de magnitud puede ser muy diferente de tc , lo que da lugar, como se ver´ a m´as adelante, a que los efectos de compresibilidad en el l´ıquido deban ser tenidos en cuenta. Para los gases, hacen falta, en general, tres condiciones iniciales y tres condiciones de contorno. En la situaci´on, bastante habitual, de que el flujo en el conducto proceda de un dep´ osito, p(0, t) y T (0, t) son en principio desconocidas y se deben relacionar con las magnitudes de remanso en el dep´osito. Por otra parte, en vez de v(0, t), que tampoco se conoce en principio, se especifica el
516
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
valor de la presi´on del gas a la salida p(L, t), que es igual a la presi´on de descarga si el flujo es subs´onico. Este problema se considerar´a en detalle m´as adelante.
17.3.
Flujo de l´ıquidos en conductos
Cuando se estudia el movimiento de l´ıquidos en conductos es corriente considerar al l´ıquido como un fluido incompresible, lo que est´ a justificado en muchas situaciones pr´acticas debido a que los incrementos de presi´on necesarios para que los efectos de compresibilidad sean apreciables son muy grandes frente a los que normalmente aparecen en el movimiento, que suelen ser del orden de la presi´on din´ amica. Sin embargo, en otras situaciones los efectos de compresibilidad del l´ıquido adquieren un papel esencial para la descripci´ on de estos procesos f´ısicos; tal es el caso del golpe de ariete generado, por ejemplo, cuando se produce el cierre (o apertura) de una v´ alvula reguladora del caudal en un tiempo m´as o menos r´apido. Las sobrepresiones generadas en estos casos (como se ver´a m´as adelante ∆p ∼ ρvo co , donde vo es la velocidad caracter´ıstica del l´ıquido y co , que se definir´a m´as adelante, es una velocidad del sonido) pueden ser lo suficientemente grandes para que los efectos de compresibilidad del l´ıquido y los efectos el´asticos de la tuber´ıa intervengan en el proceso. Los primeros trabajos sobre el golpe de ariete fueron realizados por Joukowski en su trabajo titulado “Water Hammer” publicado en 1899. Los fen´omenos de compresibilidad son importantes cuando los t´erminos ∂(ρA)/∂t y ∂(ρvA)/∂x en la ecuaci´on (17.4) se hacen comparables. Para evaluarlos, es necesario completar las ecuaciones (17.4), (17.6) y (17.10) con las relaciones A = A(p) y ρ = ρ(p) y que describen el comportamiento de las paredes s´olidas del conducto frente a la presi´ on y la ecuaci´on de estado del l´ıquido.1 En el supuesto de que el material del tubo siga la ley de Hooke, la relaci´on A = A(p) puede escribirse en primera aproximaci´ on en la forma
∂ A p − po ∂A , (17.22) (p − po ) = Ao 1 + A Ao + ∂p ∂ p Ao donde Ao es el valor de A a la presi´on de referencia po y el t´ermino Ao ∂p /∂ A es del orden de E e/D, donde E es el m´odulo de elasticidad del material, e el espesor de la pared del tubo y D su di´ametro. Valores t´ıpicos de E (∼ 1011 P a) y e/D (10−2 ) dan lugar a valores caracter´ısticos de A ∂ p/∂ A ∼ 109 P a. Del mismo modo, la densidad puede escribirse en primera aproximaci´ on en la forma:
p − po ∂ρ p − po , (17.23) = ρo 1 + ρ ρo + (p − po ) = ρo + ∂p a2o ρo a2o siendo ao = (∂p/∂ρ)S la velocidad de propagaci´ on del sonido en el l´ıquido. Para agua, ao var´ıa t´ıpicamente entre (∼ 1000 − 1400 m s−1 ) dependiendo fundamentalmente de la cantidad de aire disuelto en el agua, lo que proporciona valores caracter´ısticos de ρo a2o (∼ 109 Pa ). Obs´ervese que tanto (ρ − ρo )/ρo como (A − Ao )/Ao son del orden de (p − po )/ρo a2o (ya que A ∂ p/∂ A ∼ ρo a2o ), y que ambos incrementos relativos son muy peque˜ nos frente a la unidad (como se ver´ a m´as adelante, p − po es a lo sumo del orden de ρo vo ao ), A − Ao p − po vo ρ − ρo ∼ ∼ ∼ ; (17.24) ρo Ao ρo a2o ao √ dado que vo es a lo sumo del orden de g H, si el flujo en el conducto es producido por un desnivel de altura H se necesitar´ıan desniveles del orden de 100 kil´ ometros para que vo /ao fuese del orden de la unidad. 1 En este an´ alisis se considera que las variaciones de densidad debidas a variaciones de la temperatura son peque˜ nas frente a las debidas a variaciones en la presi´ on.
517
17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos De (17.22) y (17.23) se tiene entonces:
∂ A p − po p − po ρ A ρo Ao 1 + 1 + ρo a2o ∂ p Ao
1 ∂A p − po 1 , + ρo Ao 1 + (p − po ) = ρo Ao 1 + ρo a2o Ao ∂ p ρo c2o
(17.25)
donde co es la velocidad de propagaci´ on de las ondas en el conducto y vale c2o =
a2o . ρo a2o 1+ Ao ∂ p/∂ A
(17.26)
Para tubos r´ıgidos de pared muy gruesa en los que ∂ p/∂ A es muy grande, co ao , que es la velocidad de propagaci´ on del sonido en un l´ıquido no confinado. En el l´ımite contrario, tubos de paredes muy flexibles en los que ∂ p/∂ A es muy peque˜ na, se tiene c2o
Ao ∂ p ; ρo ∂ A
(17.27)
este es el caso de la circulaci´on sangu´ınea a trav´es de venas y arterias donde las ondas (pulso) se propagan con valores tan bajos como 5 − 6 m s−1 en la aorta de los grandes mam´ıferos. Esta velocidad se triplica en el caso de las arterias perif´ericas (car´otida) que poseen menor distensibilidad. Teniendo en cuenta (17.25), la ecuaci´on de continuidad (17.4) se escribe ∂p ∂p ∂v 1 +v + = 0; (17.28) ρo c2o ∂t ∂x ∂x de modo que los fen´omenos de compresibilidad ser´an importantes s´olo si vo 1 ∆p ∼ = , 2 ρo co to L tr
(17.29)
donde ∆p representa las variaciones de presi´on, to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, y tr = L/vo el tiempo de residencia de las part´ıculas fluidas que se mueven con velocidad caracter´ıstica vo en un conducto de longitud L. Si se admite que las variaciones de presi´on asociadas a los fen´omenos de compresibilidad son del orden de ρo vo co se tiene de (17.29) tiv 1 vo ∼ ∼ co to tr to tr
→
tiv ∼1 to
(17.30)
que muestra que los efectos de compresibilidad se presentan cuando el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas y el de ida y vuelta de las ondas son del mismo orden.
17.3.1.
Movimiento casi-estacionario de l´ıquidos en conductos
Si sucede que el n´ umero de Strouhal St = tr /to = L/vo to = (co /vo )(tiv /to ) es mucho menor que la unidad, las variaciones locales de las magnitudes fluidas son peque˜ nas frente a las convectivas (el movimiento es casi-estacionario y las derivadas temporales desaparecen de las ecuaciones) y, consecuentemente, no aparecen fen´omenos de compresibilidad, ya que tiv /to tr /to 1. Obs´ervese que si el tubo es suficientemente largo, el t´ermino de aceleraci´on convectiva es despreciable frente a la fricci´on, en cuyo caso la comparaci´on debe hacerse con los t´erminos dominantes; por ejemplo,
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
518
si λ L/rh 1, el t´ermino de la aceleraci´on convectiva es despreciable frente al de fricci´on y el movimiento ser´a adem´as casi-estacionario si to
8rh 8rh ∼ tr , λ vo λL
tr λL = St. 8rh to
(17.31)
En este caso, las ecuaciones (17.4), (17.6), (17.11) y (17.17) conducen a
∂ ∂x
vA = Q(t), λ v2 p v2 , + +U =− 2 ρ 8 rh
∂T λ (Tp − T ), = ∂x 8 rh
(17.32) (17.33) (17.34)
donde para obtener (17.34) se ha tenido en cuenta (17.11) y (17.17), se ha hecho uso de la ecuaci´ on de estado S = c ln T y no se ha considerado radiaci´ on ni reacci´on qu´ımica. Obs´ervese que si la viscosidad no var´ıa apreciablemente en el intervalo de temperaturas extremas que tienen lugar en el movimiento fluido, el valor del factor de fricci´ on λ se puede suponer constante, y las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento se desacoplan de la de la energ´ıa facilitando su integraci´ on. En efecto, utilizando (17.32) e integrando la ecuaci´ on de cantidad de movimiento se obtiene la distribuci´ on de presiones a lo largo del conducto Q2 p p(0) Q2 Q2 x λ + +U − d x. − − U (0) = − (17.35) 2A2 ρ 2A2 (0) ρ 8 o rh A2 donde la condici´ on a la entrada p(0) + ρU (0) se supone conocida. El caudal se obtiene f´acilmente de (17.35) al imponer que el l´ıquido descarga a la presi´on ambiente pa Q2 pa p(0) Q2 Q2 L λ + U (L) − d x. + − − U (0) = − (17.36) 2A2 (L) ρ 2A2 (0) ρ 8 o rh A2 Para un tubo de secci´on y rugosidad constantes se tiene de (17.35) y (17.36) p(0) λ Q2 p x, +U − − U (0) = − ρ ρ 8 rh A2
8 rh p(0) − p(L) Q2 = + g[z(0) − z(L)] . A2 λL ρ
(17.37) (17.38)
En general λ es funci´on de la rugosidad relativa y del n´ umero de Reynolds (y por tanto de Q) y la ecuaci´on (17.38) proporciona Q en forma impl´ıcita y su c´alculo requiere la realizaci´on de un procedimiento iterativo sencillo. Si sucede que el movimiento en el conducto es a n´ umeros de Reynolds lo suficientemente altos para que λ s´olo dependa de la rugosidad relativa, la ecuaci´ on anterior proporciona el valor del caudal Q en forma expl´ıcita. Una vez calculado el caudal, y por tanto la velocidad v, la integraci´ on de la ecuaci´on (17.34) permite obtener la distribuci´ on de temperaturas a lo largo del conducto. Para el caso particular de Tp y λ constantes, la soluci´on es: T − Tp = [T (0) − Tp ] exp(−λ x/8 rh ),
(17.39)
siendo T (0) la temperatura del l´ıquido a la entrada del conducto. La ecuaci´ on (17.39) muestra c´omo la diferencia de temperaturas entre pared y fluido disminuye exponencialmente aguas abajo del conducto.
519
17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos
17.3.2.
Movimiento no-estacionario de l´ıquidos en conductos
En lo que sigue, y para centrar ideas, se considerar´ a el caso de un conducto que toma agua de un dep´ osito (o embalse) descarg´andola al exterior a una cota H por debajo del nivel del dep´ osito. A la salida del conducto existe una v´ alvula reguladora del caudal que se modela mediante una tobera convergente de ´area m´ınima a la salida que puede variar con el tiempo, Figura 17.2. Las
g A0
As
H
x A0 L
Figura 17.2: Flujo en un conducto descargando a trav´es de una v´alvula reguladora. ecuaciones (17.28), (17.6) y (17.26) determinan la distribuci´ on de presiones y velocidades en el conducto, cuando se retienen los efectos de compresibilidad del l´ıquido y la elasticidad de las paredes del conducto. Como condiciones iniciales se impondr´an las correspondientes al estado estacionario previo. Por ejemplo, si la v´ alvula est´a cerrada en el instante inicial, las condiciones ser´an las correspondientes a la hidrost´ atica: v=0
junto con p + ρo g z − pa − ρo g H = 0,
(17.40)
mientras que si en el instante inicial la v´ alvula est´a abierta, la distribuci´ on de presiones es la correspondiente a la del estado estacionario, lo que requiere la integraci´ on de la ecuaci´on (17.6) p + ρo gz = −
λρo vo2 x + p(0) + ρo gz(0), 8rh
(17.41)
donde p(0) y z(0) representan la presi´on y la cota a la entrada al conducto. El c´ alculo de p(0) y de la velocidad inicial vo comporta el an´alisis de los flujos en la entrada al conducto y en la tobera de salida donde se supondr´ a que las fuerzas m´asicas y las de fricci´on son despreciables, las primeras por serlo las variaciones de cota y las segundas por ser las longitudes caracter´ısticas, l de estas zonas muy cortas de modo que λl/rh 1. La integraci´ on de la ecuaci´on (17.6) sin fuerzas m´asicas ni fricci´on y suponiendo movimiento estacionario entre una secci´on aguas arriba del conducto donde la velocidad es pr´acticamente nula y la entrada del conducto situada en z(0), donde la velocidad es vo , proporciona2 1 (17.42) p (0) + ρo gz(0) = pa + ρo gH − ρo vo2 2 y para la tobera de salida 1 1 p (L) + ρo vo2 = pa + ρo vs2 2 2 2 Si
la entrada no estuviese bien dise˜ nada v´ ease 17.5.2.
con vs = vo
Ao ; As (0)
(17.43)
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
520
finalmente, la integraci´ on de (17.6) entre la entrada y la salida del conducto resulta p (0) + ρo gz(0) − p (L) =
λL ρo vo2 , 8rh
(17.44)
que junto con (17.42) y (17.43) proporcionan la velocidad y la distribuci´ on de presiones en el conducto en el instante inicial
1/2 λx 1 2gH 2 . (17.45) , p + ρo g z − pa − ρo g H = − ρo vo 1 + vo = [Ao /As (0)]2 + λL/(4rh ) 2 4rh Para las condiciones de contorno es necesario dar la presi´on a la entrada del conducto x = 0 y a la salida x = L como funciones del tiempo. Estas condiciones se obtienen mediante un proceso similar al seguido para obtener las condiciones iniciales. En efecto, para la entrada se obtiene 1 p (0, t) + ρo g z(0) = pa + ρo g H − ρo v 2 (0, t), 2
(17.46)
mientras que el an´alisis de la tobera de salida proporciona
2 Ao 1 − 1 ; p (L, t) = pa + ρo v 2 (L, t) 2 A2s (t)
(17.47)
obs´ervese que el origen de alturas se ha tomado en la v´alvula de salida. Para simplificar el an´ alisis conviene definir las variables adimensionales ϕ=
p + ρo g z − pa − ρo g H , po
u=
v , vo
ξ=
x , L
τ=
t , to
(17.48)
y la ley adimensional de cierre o apertura de v´ alvula α(t) = As (t)/Ao ,
(17.49)
donde po y vo representan los valores caracter´ısticos de las variaciones de presi´on y velocidad caracter´ıstica del l´ıquido, y to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´on de las magnitudes fluidas. En las nuevas variables, las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento (17.28) y (17.6) y las condiciones iniciales (17.45) y de contorno (17.46) y (17.47) resultan
L ∂ϕ ∂ϕ ∂u po +u + = 0, (17.50) 2 ρo co vo to ∂ τ ∂ξ ∂ξ ∂u po ∂ ϕ λL 2 L ∂u u . +u + =− 2 vo to ∂ τ ∂ξ ρo vo ∂ ξ 8rh
(17.51)
y u(ξ, 0) = 1,
ϕ(ξ, 0) = −
1 ρo vo2 , 2 po
si α(0) = 0, 3
1 ρo vo2 2 u (0, τ ), 2 po 1 ρo vo2 1 ρo g H + − 1 u2 (1, τ ). ϕ(1, τ ) = − po 2 po α2 ϕ(0, τ ) = −
(17.52) (17.53) (17.54)
3 En el caso de apertura de v´ alvula desde α = 0 la velocidad inicial es nula y no puede elegirse para adimensionalizar las variables en (17.48); se tomar´ a entonces cualquier otra velocidad caracter´ıstica del movimiento, por √ ejemplo, la correspondiente al estado final estacionario 2gH.
521
17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos
Las ecuaciones (17.50), (17.51) y condiciones iniciales (17.52) y de contorno (17.53)-(17.54) que suministran las evoluciones temporales de las distribuciones de presi´on y velocidad en el conducto admiten dos l´ımites asint´oticos distinguidos que corresponden a los casos en los que: (a) el tiempo de residencia es del orden del tiempo de cierre o apertura de la v´alvula, tr ∼ tc , y (b) tiempo de cierre peque˜ no comparado con el de residencia, tr tc . Como se ver´a en lo que sigue los fen´omenos de compresibilidad aparecen en este u ´ltimo caso donde pueden distinguirse dos subreg´ımenes asint´ oticos: (b1) denominado cierre lento que corresponde al caso en el que el tiempo de cierre es grande frente al de ida y vuelta de las ondas, cierre lento, tr tc tiv , y (b2) en el que los tiempos de ida y vuelta de las ondas y de cierre son comparables, cierre r´ apido, tr tc ∼ tiv . En lo que sigue se analizar´an los reg´ımenes aqu´ı definidos a los que se a˜ nadir´ a un tercero (c) para describir la apertura de v´ alvula desde α = 0. (a) Tiempo de residencia del orden del tiempo de cierre (tr ∼ tc ) Este caso corresponde a situaciones en las que tr ∼ L/vo ∼ to ∼ tc , es decir, tiempos de cierre del orden del tiempo que tarda una part´ıcula fluida en recorrer el conducto.4 El movimiento es ahora no estacionario y de (17.51) se tiene po ∼ ρo vo2 , por lo que como se sigue de (17.50) los efectos de compresibilidad son del orden de (vo /co )2 2.
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
530 (c) Apertura de v´ alvula desde α = 0
La diferencia esencial de tratamiento estriba en que cuando α(0) = 0 se eleg´ıa vo = ve (velocidad correspondiente al estado estacionario), que en este caso es nula, y por tanto no puede elegirse este valor para adimensionalizar la velocidad. Sin embargo, dado que cuando la v´ alvula est´a cerrada la distribuci´ on de presiones en el conducto viene dada por la fluidost´ atica pa + ρ g H, y que en el momento en que se abre la v´alvula la presi´ on a la salida es pa , los incrementos de presi´on √ son del orden de ρ g H y se tomar´a po = ρ g H y vo = g H. Siguiendo un camino an´ alogo al de los anteriores se puede estudiar el proceso de la apertura. An´ a logamente, el caso singular se √ presenta cuando el tiempo de residencia L/ g H ta ; se tiene entonces que los fen´omenos de compresibilidad cuentan en los primeros instantes de la apertura de la v´ alvula y el estudio es an´ alogo al realizado en el apartado en los casos anteriores.
17.4.
Movimiento casi-estacionario de gases en conductos
Un caso de inter´es que aparece con frecuencia en numerosos campos de la Ingenier´ıa (gasoductos, instalaciones neum´aticas, etc.) es el del movimiento turbulento de gases a trav´es de conductos de secci´on lentamente variable y suficientemente largos para que el efecto de la fricci´on del gas con las paredes sea apreciable. Se considerar´a tambi´en el efecto de adici´on de calor a trav´es de las paredes del conducto. En este caso las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa, (17.4), (17.6) y (17.10), se reducen a ρ v A = G, (17.119) λv 2 d(v 2 /2) 1 dp , + =− dx ρ dx 8rh x v2 γ p v2 qo A dx = ho (0) + Q(x), = + = ho (0) + ho = h + 2 γ−1ρ 2 o Grh
(17.120) (17.121)
donde Q(x) representa el calor a˜ nadido por unidad de masa de fluido desde la entrada del conducto, x = 0, hasta la secci´on x, G es el gasto que fluye por el conducto (en general su valor es desconocido y debe determinarse consistentemente de la resoluci´on del problema), y ho (0) es la entalp´ıa de remanso a la entrada del conducto. Para el c´ alculo del flujo de calor a trav´es de las paredes del conducto se utilizar´a la analog´ıa de Reynolds, o cualquier otra de las analog´ıas existentes que determinan el flujo de calor a partir del esfuerzo viscoso en la pared; salvo que se indique lo contrario, el n´ umero de Reynolds del movimiento se supondr´a lo suficientemente alto como para que el factor de fricci´on λ dependa exclusivamente de la rugosidad en la pared. La ecuaci´on (17.120) proporciona tambi´en el criterio que mide la importancia relativa entre el t´ermino de inercia, del orden de v 2 /L y el de fricci´on, del orden λv 2 /(8rh ), de modo que si el par´ ametro adimensional λL/(8rh ) es grande (peque˜ no) frente a la unidad la fricci´ on es dominante (despreciable) frente a la inercia y λv 2 /(8rh ) ∂(v 2 /2)/∂ x [λv 2 /(8rh ) ∂(v 2 /2)/∂ x]. La ecuaci´on (17.119) puede escribirse en la forma alternativa G2 = ρ2 a2 M 2 A2 ,
(17.122)
donde a2 = γp/ρ es la velocidad del sonido en el gas y M 2 = v 2 /a2 . Combinando apropiadamente las ecuaciones (17.122) y (17.121) se llega a p2 =
γ−1 γ2
G A
2
ho (0) + Q(x) M 2 [1 + (γ − 1)M 2 /2]
(17.123)
17.4. Movimiento casi-estacionario de gases en conductos
531
y T =
ho (0) + Q(x) , [1 + (γ − 1)M 2 /2]
(17.124)
que proporcionan las distribuciones de presi´ on y temperatura en cada secci´on del conducto como funci´on del n´ umero de Mach en la secci´on y el calor por unidad de masa a˜ nadido hasta la secci´on considerada, por lo que para cerrar el problema es necesario dar la ecuaci´on diferencial que gobierna la evoluci´ on del n´ umero de Mach en el conducto. Dicha ecuaci´on puede obtenerse a partir de las formas diferenciales de las ecuaciones (17.119) y (17.121) 1 dρ 1 dv 1 dA + + =0 y ρ dx v dx A dx
γ 1 dp dv dQ γ p dρ +v = − , 2 γ − 1 ρ dx γ − 1 ρ dx dx dx
(17.125)
que sustituidas apropiadamente en (17.120) y teniendo en cuenta la relaci´ on entre las entalp´ıas est´atica y de remanso ho = h[1 + (γ − 1)M 2 /2] y la ecuaci´on d ln(ρv 2 /γp) d ln M 2 = dx dx
o
1 d M2 2 dv 1 dρ 1 dp = + − 2 M dx v dx p dx ρ dx
(17.126)
permiten llegar a
1 d A γλM 2 1 + γM 2 d Q/d x 2 + (γ − 1)M 2 1 d M2 − + = + M2 d x 1 − M2 A dx 8rh 2 ho (0) + Q(x)
(17.127)
Es f´acil comprobar de las ecuaciones (17.127)-(17.128) que cuando el efecto de la fricci´on es despreciable [lo que sucede cuando λL/(8rh ) 1, conductos de peque˜ na longitud] y no se a˜ nade calor a trav´es de las paredes se obtienen los resultados del movimiento estacionario de gases a trav´es de toberas (10.8.2). En efecto, si el movimiento es subs´onico (M < 1) y el ´area de la secci´on disminuye (aumenta) aguas abajo de la tobera, la presi´ on del gas, su densidad y su temperatura disminuyen (aumentan) aguas abajo, mientras que su velocidad y su n´ umero de Mach aumentan (disminuyen). Obs´ervese que estos comportamientos se invierten si el movimiento es supers´onico. Por otra parte, la transici´ on de un r´egimen subs´onico a otro supers´onico (M = 1) s´olo puede ocurrir en una secci´on de ´area m´ınima (d A/d x = 0) de modo que los gradientes de las magnitudes fluidas se mantengan finitos (no es posible f´ısicamente una transici´on de subs´onico a supers´onico mediante una onda de choque). Si el conducto es de secci´on constante y no se a˜ nade calor a trav´es de las paredes, la ecuaci´on (17.127) muestra que el n´ umero de Mach aumenta (disminuye) si el flujo en el conducto es subs´onico (supers´onico). Por otra parte, la condici´ on de conservaci´on de la entalp´ıa de remanso exige que la temperatura disminuya (aumente) y que la velocidad, de la definici´ on de n´ umero de Mach, aumente (disminuya). Por tanto, la ecuaci´ on de continuidad exige que la densidad disminuya (aumente) y de la ecuaci´on de estado la presi´on disminuye (aumenta) aguas abajo del conducto; obs´ervese que el comportamiento de la presi´on se puede deducir de (17.123). Estos resultados muestran que en el caso subs´onico el gradiente favorable de presiones se invierte en vencer las fuerzas de fricci´on y en acelerar al fluido debido a la disminuci´ on de su densidad aguas abajo mientras que si el movimiento es supers´onico el gradiente desfavorable de presiones y las fuerzas de fricci´on deceleran el fluido a medida que fluye aguas abajo. En el caso de movimiento subs´ onico y si las condiciones de contorno lo permiten, el gas se acelerar´a como m´aximo hasta alcanzar condiciones s´onicas a la salida del conducto donde (17.127) deja de ser v´ alida; la condici´ on M = 1 a la salida del conducto en vez de la de igualdad entre las presiones del gas a la salida y la del ambiente permite determinar, en este caso, el gasto que circula por el conducto. Obs´ervese que si el fluido se acelerase aguas abajo y se alcanzasen condiciones s´onicas en una secci´on del conducto distinta de la de salida, se tendr´ıa dM 2 /dx = ∞, lo que conduce a soluciones que no son posibles desde el punto de vista f´ısico.
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
532
Si el movimiento en el conducto es supers´onico (por existir, por ejemplo, una tobera convergentedivergente acoplada a la entrada del conducto y ser las condiciones de contorno apropiadas para que el movimiento se haga supers´onico en la parte divergente de la tobera) existe, para cada valor de la presi´on de salida, un valor de la longitud del conducto, denominada longitud cr´ıtica, para la que se alcanzan condiciones s´onicas a la salida del conducto. Si la longitud del conducto es menor que la cr´ıtica el movimiento es supers´onico en todo el conducto y la presi´ on del gas a la salida es mayor que la del ambiente (el gas se expansiona a la salida del conducto), mientras que si la longitud del conducto es mayor que la cr´ıtica se forma una onda de choque en el conducto a una distancia de la entrada menor siempre que la longitud cr´ıtica; el movimiento del gas detr´as de la onda es subs´onico y el gas evoluciona aceler´andose hasta la salida donde descarga a la presi´on atmosf´erica. Si la longitud del conducto es lo suficientemente corta (λL/rh 1) como para poder despreciar la fricci´on y la secci´on del conducto es constante, es f´acil comprobar de la ecuaci´on (17.127) que si el flujo es subs´onico y se a˜ nade calor a trav´es de las paredes d Q/d x > 0, el n´ umero de Mach aumenta aguas abajo mientras que disminuye si cede calor, d Q/d x < 0. Por otra parte, si se deriva la ecuaci´on (17.124) respecto a x y se hace uso de (17.127) se obtiene la ecuaci´on
1 dT 1 γ − 1 2 (γM 2 − 1) dQ ; (17.128) 1+ M = T dx 1 − M2 2 ho (0) + Q(x) dx se observa que si el flujo es subs´onico la temperatura disminuye aguas abajo si el n´ umero de Mach est´a comprendido en el rango 1 > M > 1/γ 1/2 , v´ease (17.128), mientras que aumenta si M < 1/γ 1/2 . An´alogamente, si se deriva (17.123) respecto a x y se hace uso de (17.128) y del hecho de que la entrop´ıa aumenta aguas abajo se comprueba que para un flujo subs´ onico, la presi´on y la densidad disminuyen aguas abajo, y la velocidad, por tanto, aumenta. Por el contrario, si el movimiento es supers´onico y se a˜ nade calor a trav´es de las paredes, la velocidad y el n´ umero de Mach disminuyen aguas abajo mientras que la presi´ on, densidad y temperatura aumentan. N´ otese que una transici´ on de subs´onico a supers´onico es posible en una secci´on del conducto en la que d Q/d x = 0; una secci´on en la que d Q/d x = 0 se comporta de igual modo respecto al tr´ansito de subs´onico a supers´onico que la garganta en una tobera convergente-divergente. La obtenci´on de la soluci´on de la ecuaci´on diferencial (17.127) junto con las ecuaciones alg´ebricas (17.122), (17.123) y (17.124) para unas condiciones de contorno proporcionan el gasto y las distribuciones de la magnitudes fluidas a lo largo del conducto. Aunque la soluci´ on debe, en general, determinarse num´ericamente, existen sin embargo varios casos de inter´es en ingenier´ıa para los que las ecuaciones se simplifican y admiten soluci´on anal´ıtica, como sucede por ejemplo cuando el movimiento del gas en el conducto, con adici´on de calor, fricci´on y variaci´ on de ´area, es a bajos n´ umeros de Mach, en el caso de conductos de secci´on constante aislados t´ermicamente, y en el movimiento de gases en conductos de secci´on constante a los que se a˜ nade calor a trav´es de las paredes pero cuya longitud L sea lo suficientemente peque˜ na como para poder despreciar el efecto de la fricci´on λL(8rh ) 1.
17.4.1.
Movimientos de gases a bajos n´ umeros de Mach
Como se ver´a en lo que sigue, movimientos de gases en conductos a bajos n´ umeros de Mach ocurren cuando las fuerzas de fricci´ on son dominantes frente a las fuerzas de inercia convectivas [λL/(8rh )] 1 o tambi´en cuando la diferencia de presiones entre los extremos del conducto po − pa que genera el movimiento sea peque˜ na frente a la propia presi´ on po . En efecto, estimando los ´ordenes de magnitud de los tres t´erminos de la ecuaci´on de cantidad de movimiento (17.120) se tiene ρv 2 , L
∆p , L
λ ρ v2 . 8rh
(17.129)
17.4. Movimiento casi-estacionario de gases en conductos
533
Obs´ervese que si λL/(8rh ) 1 las fuerzas de fricci´on son dominantes frente a las convectivas y las variaciones relativas de presi´on son λ L ρ v2 λL 2 ∆p M ; ∼ ∼γ p 8rh p 8rh
(17.130)
dado que las variaciones relativas de presi´on son a lo sumo de orden unidad, el n´ umero de Mach en el conducto debe ser peque˜ no, M 2 1 si la fricci´on es dominante. Por otra parte, la ecuaci´ on (17.130) muestra que en el caso de un conducto en el que λL/(8rh ) ∼ 1, el n´ umero de Mach en el conducto ser´a tambi´en peque˜ no si lo son las variaciones relativas de presi´on aplicadas entre los extremos del conducto, ∆ p/p ∼ (po − pa )/po 1, donde po es la presi´on en el ambiente del que toma el conducto y pa la presi´on del ambiente a que descarga. La ecuaci´on (17.121) muestra que para n´ umeros de Mach peque˜ nos, la entalp´ıa y la temperatura coinciden en primera aproximaci´ on con las de remanso; por tanto, la temperatura del gas a lo largo del conducto, T (x), es funci´on del calor por unidad de masa Q(x) a˜ nadido hasta la secci´on x considerada h(x) ho (x) Q(x) = T (x) = T (0) + . (17.131) cp cp cp En el caso frecuente de que Q(x) no sea conocido directamente, sino que venga determinado mediante una temperatura impuesta en la pared del conducto, Tp (x), la temperatura del gas en el conducto puede determinarse usando, por ejemplo, la analog´ıa de Reynolds en la ecuaci´on resultante de derivar (17.121) respecto a x, λ(T − Tp ) dT , =− dx 8 rh cuya integraci´ on para un conducto de secci´on constante proporciona
x λTp R x λ dx /(8 rh ) R x λ dx /(8 rh ) eo dx e o . T (x) = T (0) + o 8 rh
(17.132)
(17.133)
En lo que sigue se resolver´a el movimiento de gases en conductos a bajos n´ umeros de Mach en los dos l´ımites asint´oticos λ L/8 rh 1 y ∆p/p 1 para los que existe soluci´on anal´ıtica. a) Fricci´ on dominante En este caso, la ecuaci´on de cantidad de movimiento (17.120) se simplifica a 1 dp λv 2 . =− ρ dx 8rh
(17.134)
Si en (17.134) se eliminan ρ y v mediante las ecuaciones de estado y de continuidad, (17.119), e integrando la ecuaci´on resultante para la distribuci´ on de presiones se obtiene finalmente x T 2 2 2 d x , p (x) = po − λG Rg (17.135) 2 4r hA o donde la distribuci´ on de temperaturas T (x) viene dada por (17.131) o por (17.133). Obs´ervese que por ser λ L/(8 rh ) 1, la contribuci´ on del factor exponencial en la integral en (17.133) es despreciable para valores de x que difieren apreciablemente de x y, por tanto, la temperatura de la secci´on se iguala con la de la pared, T = Tp , a distancias de la entrada del orden de 8 rh /λ que son mucho menores que la longitud del conducto L. Finalmente, el gasto que circula por el conducto se obtiene de imponer la condici´on de descarga al ambiente, p(L) = pa en (17.135).
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
534
Un caso de inter´es se presenta cuando el conducto descarga a un ambiente de presi´on tan baja (pr´ acticamente vac´ıo para valores muy grandes de λL/rh ) que se establecen condiciones s´onicas a la salida del conducto. Lo que sucede entonces es que a distancias de la salida del orden de no del n´ umero de Mach [del orden l ∼ (8rh )/λ L el gas se acelera desde un valor muy peque˜ de rh /(λL)] hasta el valor M (L) = 1 y, por tanto, la inercia del gas debe de tenerse en cuenta; fuera del conducto el gas se expande hasta la presi´on ambiente. El gasto se determina a partir de (17.135) particularizada en x = L con la condici´on p2 (L) 0; en efecto, el valor de la presi´on en la secci´on de salida puede despreciarse en (17.135) puesto que (17.123) evaluada en x = L, donde M (L) = 1, proporciona 2 2(γ − 1) G [ho (0) + Q(L)] ∼ M 2 (0)p2o po . (17.136) p2 (L) = 2 γ (γ + 1) A N´ otese que se cometen errores en el valor del gasto y de la presi´on p(L) asociados al hecho de haber despreciado la inercia frente a la fricci´ on en el u ´ltimo tramo del conducto de longitud l ∼ (8rh )/λ; sin embargo, es f´acil ver inspeccionando la ecuaci´on (17.123) que estos errores no son de importancia desde el punto de vista pr´ actico, ya que la diferencia entre el valor dado por (17.123) y el valor real que se obtendr´ıa si se retuviese el efecto de la inercia ser´ıa del orden de (l/L)po ∼ [8rh /(λL)] po po . b) Diferencias relativas de presi´ on peque˜ nas Obs´ervese que si se usan las ecuaciones de continuidad, (17.119), y de estado y se tiene en cuenta que ρ v 2 /p ∼ M 2 1, la ecuaci´on de cantidad de movimiento, (17.120), se reduce a dp G 2 Rg T 1 d T λ 1 dA . (17.137) p =− + − dx A2 T dx A dx 8 rh Integrando (17.137) se obtiene 1 2 [p − p2 (0)] p(0)[p − p(0)] = − G2 Rg 2
o
x
1 A2
dT T dA λT − + dx A dx 8 rh
d x ,
(17.138)
donde p(0) es la presi´on en la secci´on de entrada y el t´ermino [p + p(0)] en el desarrollo de la diferencia de cuadrados del primer miembro de (17.138) se ha sustituido por 2 p(0), al ser las variaciones de presi´on peque˜ nas frente a la propia presi´ on. Para determinar p(0) debe tenerse en cuenta la ca´ıda de presi´on respecto de la del dep´osito de toma, po , debida a la aceleraci´on del gas hasta la secci´on de entrada. Teniendo en cuenta que el n´ umero de Mach es peque˜ no, las diferencias de densidad en la entrada son despreciables, y si la toma est´a bien dise˜ nada se tiene 1 G2 . p(0) = po − ρo v 2 (0) = po − 2 2 ρo A2 (0)
(17.139)
Finalmente, el gasto que circula por el conducto se obtiene de imponer la condici´on de descarga al ambiente, p(L) = pa en (17.138) despu´es de haber sustituido (17.139) en ella; se tiene entonces
G2 = Rg
o
17.4.2.
L
1 A2
po (po − pa ) dT T dA λT − + d x A d x 8 rh
(17.140)
2
d x + To /[2A (0)]
Conducto de secci´ on constante aislado t´ ermicamente
En este caso, y puesto que d A/d x = Q = 0, la ecuaci´on (17.127) se reduce a 1 d M2 2 + (γ − 1)M 2 γλM 2 , = M2 d x 1 − M2 8rh
(17.141)
17.4. Movimiento casi-estacionario de gases en conductos
535
Si se efect´ ua el cambio de variable M 2 = 1/y, la ecuaci´on anterior se reduce a una de variables separadas cuya integraci´ on proporciona
1 γ+1 [2 + (γ − 1)M 2 (0)] M 2 γλ 1 − x. (17.142) + ln =− 2 2 2 2 M M (0) 2 [2 + (γ − 1)M ] M (0) 4rh La ecuaci´on (17.142) particularizada en la secci´on de salida proporciona una relaci´ on entre los n´ umeros de Mach a la entrada y salida del conducto que debe ser completada con las condiciones de presi´on a la entrada y salida. En efecto, de (17.142) evaluada en la secci´ on de salida se tiene
1 γ+1 γλL [2 + (γ − 1)M 2 (0)] M 2 (L) 1 ; (17.143) − 2 + ln =− 2 M (L) M (0) 2 [2 + (γ − 1)M 2 (L)] M 2 (0) 4rh por otra parte, la ecuaci´on (17.123) con Q = 0 evaluada en entrada y salida proporciona
−2γ/(γ−1) 2 ho (0) γ−1 2 γ−1 G M (0) = p2 (0) = p2o 1 + (17.144) 2 γ2 A M 2 (0)[1 + (γ − 1)M 2 (0)/2] y 2 ho (0) γ−1 G 2 2 (17.145) p (L) = pa = γ2 A M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2] donde se ha supuesto el caso de corriente subs´onica, p (L) = pa . El sistema de ecuaciones alg´ebrico (17.143)-(17.145) permite determinar las tres inc´ognitas M (0), M (L) y G como funci´on de po , pa y λL/(4rh ). Obs´ervese que si se divide (17.144) por (17.145) se tiene
2γ/(γ−1) M 2 (L)[2 + (γ − 1)M 2 (L)] p2o γ−1 2 = M (0) , (17.146) 1+ p2a M 2 (0)[2 + (γ − 1)M 2 (0)] 2 que junto a (17.143) permiten calcular M (0) y M (L) como funciones del factor de fricci´on λL/(4rh ) y el cociente de presiones po /pa . La soluci´on num´erica del sistema (17.143) y (17.146) se da en forma de gr´afico en la Figura 17.6. En efecto, por cada punto del plano definido por una pareja determinada de valores de [λL/(4rh ) y pa /po ] pasan dos familias de curvas que definen los valores de M (0) y M (L) soluciones de (17.143) y (17.146) para la pareja de valores especificados del par´ ametro de fricci´on y del cociente de presiones. Obs´ervese que para un valor dado del factor de fricci´ on existe un valor de pa /po por debajo del cual el sistema (17.143) y (17.146) no tiene soluci´on real. Lo que sucede, entonces, es que para valores de pa /po iguales o inferiores a este valor se alcanzan condiciones s´onicas a la salida del conducto y la condici´ on de contorno en la salida es M (L) = 1 en lugar de p(L) = pa . Para valores pa /po inferiores a aquel para el que se alcanzan condiciones s´onicas en la salida, (pa /po )∗ , la corriente en el conducto es la misma que para el caso pa /po = (po /pa )∗ , ya que por estar bloqueada la salida la corriente en el conducto no recibe informaci´ on de las condiciones aguas abajo. Para resolver el problema se busca en la Figura 17.6 el punto definido por la pareja de valores λL/(4rh ) y M (L) = 1; la curva de M (0) constante que pasa por ese punto proporciona el valor de M (0). Una vez determinado M (0), el gasto que circula por el conducto es
−(γ+1)/[2(γ−1)] γ−1 2 . (17.147) M (0) G = ρ(0)v(0)A = ρo ao AM (0) 1 + 2 Si se define el gasto cr´ıtico, G∗ , como el m´aximo gasto que circular´ıa por el conducto si la fricci´ on del gas con las paredes fuese nula, λL/(4rh ) = 0, lo que corresponde a que se alcanzasen condiciones s´onicas a la entrada del conducto, (17.147) conduce a (γ+1)/[2(γ−1)] 2 G∗ = ρo ao A (17.148) γ+1
536
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
Figura 17.6: Descarga de un gas desde un dep´osito a presi´on p0 hasta la presi´on ambiente pa a trav´es de un conducto aislado t´ermicamente. y el valor del gasto adimensional G/G∗ , que se representa tambi´en en la Figura 17.6, es (γ+1)/[2(γ−1)] γ+1 G = M (0) . (17.149) G∗ 2 + (γ − 1)M 2 (0) Si el valor del n´ umero de Mach a la entrada del conducto fuese supers´onico, lo que requiere inevitablemente la presencia de una tobera convergente-divergente acoplada a la entrada del conducto, la soluci´on gr´afica representada en la Figura 17.6 no es v´ alida aunque s´ı lo son las ecuaciones (17.142) y (17.144). N´ otese que en este caso las condiciones a la entrada est´an determinadas y no dependen de las condiciones existentes aguas abajo, ya que las perturbaciones generadas aguas abajo de la entrada no pueden alcanzarla por ser la corriente supers´ onica. Por tanto, el valor de M (0) y el gasto G est´an determinados por la geometr´ıa de la tobera; en efecto, el gasto es el gasto cr´ıtico que circula por la tobera (γ+1)/[2(γ−1)] 2 G = G∗ = ρo ao Ag , (17.150) γ+1
17.4. Movimiento casi-estacionario de gases en conductos
537
donde Ag es el ´area de la garganta, y el valor de M (0) viene dado por (17.147). Para un valor dado del par´ ametro de fricci´on, los valores de M (L) y p(L) se determinan a partir de la ecuaci´on (17.143) y de 2 ho (0) γ−1 G 2 p (L) = . (17.151) γ2 A M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2] Obs´ervese que para unas condiciones a la entrada del conducto dadas [M (0) dado] existe un valor cr´ıtico del valor de fricci´ on [λL/(4rh )]∗ (una longitud de conducto L∗ si λ y el ´area del conducto son fijos) tal que se alcanzan condiciones s´onicas a la salida. Para valores de la longitud del conducto inferiores a la cr´ıtica, las ecuaciones (17.143) y (17.151) proporcionan el valor de M (L) y p(L) a partir de la longitud del conducto L y del n´ umero de Mach a la entrada M (0). T´engase en cuenta que M (0) es conocido dado que el gasto es el cr´ıtico, y puede calcularse a partir de (17.148) y (17.149). En la Figura 17.7 se representan los valores num´ericos de M (L) y p(L) dados M (0) y λL/(4rh ).
Figura 17.7: Descarga supers´onica de un gas a trav´es de un conducto aislado t´ermicamente. El gas descarga desde un dep´osito donde la presi´on es po y la longitud del conducto es menor o igual que la longitud cr´ıtica, L∗ .
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
538
Para valores de la longitud del conducto superiores a L∗ no es posible una evoluci´ on continua de las magnitudes a trav´es del conducto y la corriente se decelera a trav´es de una onda de choque de intensidad apropiada para satisfacer las condiciones de contorno a la salida del conducto. En la Figura 17.8 se representan cualitativamente las evoluciones del n´ umero de Mach y presi´on a lo largo del conducto cuando existe una onda de choque en una secci´ on del mismo. M (o )
p / p 0
p M
a
/p o
0 .5 3 1 p 0
x /L
1
(0 )
/ p 0
0
x /L
1
Figura 17.8: Variaci´ on del n´ umero de Mach y presi´on del gas a lo largo de un conducto cuya longitud es superior a la cr´ıtica. Si se supone que la onda de choque est´a situada en una secci´on situada a una distancia de la entrada L1 < L desconocida y se denominan M1 (L1 ) y M2 (L1 ) a los n´ umeros de Mach del flujo delante y detr´as de la onda, la ecuaci´on (17.142) proporciona las relaciones
γ+1 [2 + (γ − 1)M 2 (0)] M12 (L1 ) γλL1 1 1 . (17.152) + ln =− − M12 (L1 ) M 2 (0) 2 [2 + (γ − 1)M12 (L1 )] M 2 (0) 4rh y
1 γ+1 [2 + (γ − 1)M22 (L1 )] M 2 (L) γλ(L − L1 ) 1 . − + ln =− M 2 (L) M22 (L1 ) 2 [2 + (γ − 1)M 2 (L)] M22 (L1 ) 4rh
(17.153)
Por otra parte, la condici´ on de salto a trav´es de la onda de choque (12.69) proporciona M22 (L1 ) =
2 + (γ − 1)M12 (L1 ) 2γM12 (L1 ) + 1 − γ
(17.154)
y el problema se cierra imponiendo la condici´ on de descarga a la presi´on ambiente por ser el flujo subs´onico detr´as de la onda de choque 2 ho (0) γ−1 G 2 2 p (L) = pa = . (17.155) 2 2 γ A M L[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2] El sistema de cuatro ecuaciones (17.152)-(17.155) proporciona los valores del n´ umero de Mach a la salida, M (L), los n´ umeros de Mach delante y detr´as de la onda, M1 (L1 ) y M2 (L1 ), y la posici´on de la onda de choque L1 . Es importante se˜ nalar que si la presi´ on de descarga pa aumenta, la onda de choque se mueve hacia la entrada situ´ andose en una nueva posici´ on L2 que debe ser determinada resolviendo el sistema de ecuaciones (17.152)-(17.155). Si se sigue aumentando la presi´on de descarga existir´a un valor de la misma, que depende de las caracter´ısticas geom´etricas de conducto y tobera, as´ı como del factor de fricci´on y de las condiciones de remanso po y ρo , para el que la onda de choque se sit´ ua justo a la entrada del conducto de manera que el flujo en todo el conducto es subs´onico. El valor de pa para que la onda de choque se sit´ ue a la entrada se calcula
17.4. Movimiento casi-estacionario de gases en conductos
539
a partir de la ecuaci´on de salto a trav´es de la onda que relaciona los n´ umeros de Mach detr´as y delante de la onda, este u ´ltimo conocido por ser funci´ on exclusivamente de la relaci´on de ´areas umero de Mach a la salida de la tobera, y M (0) al del A/Ag de la tobera. Si se denomina Ms al n´ gas detr´as de la onda, las condiciones de salto proporcionan M 2 (0) =
2 + (γ − 1)Ms2 . 2γMs2 + 1 − γ
(17.156)
La ecuaci´on (17.143) y la condici´ on de descarga subs´onica del gas (17.155) determinan M (L) y la presi´on de descarga buscada en funci´on de M (0). N´otese que el gasto es conocido por ser el gasto cr´ıtico que fluye por la tobera. Para valores superiores de pa , la onda de choque se posiciona en el interior de la tobera y el proceso de resoluci´on es b´asicamente el descrito con anterioridad. Para un cierto valor de la presi´ on ambiente, si se sigue aumentando ´esta, la onda de choque se sit´ ua en la garganta y su intensidad es nula, de modo que para valores mayores de la presi´on ambiente el movimiento del gas en tobera y conducto es subs´onico.
17.4.3.
Conducto de secci´ on constante con adici´ on de calor y sin fricci´ on
En este caso el conducto es lo suficientemente corto como para que el par´ametro de fricci´on sea peque˜ no, λL/(4rh ) 1, y la fricci´on, por tanto, despreciable. Como la secci´on del tubo es constante, la ecuaci´on que da la evoluci´ on del n´ umero de Mach a trav´es del conducto, (17.127), se reduce a
d Q/d x γ − 1 2 1 + γM 2 1 d M2 M = 1+ . (17.157) M2 d x 2 1 − M 2 ho (0) + Q(x) Es de inter´es se˜ nalar que en este caso es posible una transici´on continua de movimiento subs´ onico a supers´onico si la adici´on de calor es tal que d Q/d x = 0 en alguna secci´on del conducto. Si se efect´ ua, de nuevo, el cambio de variable M 2 = 1/y, la ecuaci´on (17.157) se reduce a una de variables separadas cuya integraci´ on, escrita ya en la variable M 2 , proporciona M 2 [1 + (γ − 1)M 2 /2] [1 + γM 2 (0)]2 ho (0) + Q(x) . = 2 2 2 2 [1 + γM ] M (0)[1 + (γ − 1)M (0)/2] ho (0)
(17.158)
La relaci´on entre los n´ umeros de Mach de entrada y salida, que depende del calor por unidad de masa total, Q(L), a˜ nadido hasta la secci´on x = L, es [1 + γM 2 (0)] M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2 ho (0) + Q(L) . = [1 + γM 2 (L)] M 2 (0)[1 + (γ − 1)M 2 (0)/2] ho (0)
(17.159)
Obs´ervese que si el movimiento a la entrada es subs´onico, la m´axima cantidad de calor Qmax (L) que el gas puede recibir a trav´es de las paredes es aquella que lo acelera hasta un n´ umero de Mach a la salida igual a la unidad, M (L) = 1, [1 + γM 2 (0)]2 Qmax (L) = − 1; ho (0) (γ + 1)M 2 (0)[2 + (γ − 1)M 2 (0)]
(17.160)
de modo que para unas condiciones del gas a la entrada del conducto dadas no se puede a˜ nadir calor al gas por encima de un valor m´aximo. Para el caso de flujo a la entrada subs´ onico, la resoluci´on del problema requiere resolver el sistema formado por la ecuaci´on (17.159) y las dos relaciones resultantes de evaluar (17.123) en entrada y salida 2
−2γ/(γ−1) ho (0) γ−1 2 γ−1 G M (0) p2 (0) = p2o 1 + (17.161) = 2 γ2 A M 2 (0)[1 + (γ − 1)M 2 (0)/2]
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
540 y p2 (L) = p2a =
γ−1 γ2
G A
2
ho (0) + Q(L) ; M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2]
(17.162)
si estas dos u ´ ltimas ecuaciones se dividen entre si se obtiene
po pa
2
2γ/(γ−1) ho (0) M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2] γ−1 2 = M (0) , 1+ ho (0) + Q(L) M 2 (0)[1 + (γ − 1)M 2 (0)/2] 2
(17.163)
que junto a (17.159) forma un sistema de dos ecuaciones alg´ebricas para el c´alculo de M (0) y M (L) como funciones de Q(L) y po /pa La resoluci´on num´erica del sistema (17.159) y (17.163) se representa en forma gr´afica en la Figura 17.9, para valores positivos de Q(L) (adici´on de calor). Por cada punto del plano definido
Figura 17.9: Descarga de un gas desde un dep´osito a presi´on p0 hasta la presi´on ambiente pa a trav´es de un conducto sin fricci´on y con adici´on de calor. por una pareja determinada de valores de [Q(L)/ho (0) y po /pa ] pasan dos familias de curvas que definen los valores de M (0) y M (L) soluciones de (17.159) y (17.163). Obs´ervese que para un valor dado del calor por unidad de masa a˜ nadido Q(L) existe un valor de (po /pa )∗ por encima del cual el sistema (17.159) y (17.163) no tiene soluci´on real. Lo que sucede es que para valores de po /pa iguales o superiores a este valor se alcanzan condiciones s´onicas a la salida del conducto y la condici´on de contorno para cerrar el problema es M (L) = 1 en lugar de p(L) = pa ; n´otese que la corriente de gas en el conducto es la misma para valores de po /pa superiores a (po /pa )∗ . Para resolver el problema, en los casos en que po /pa sea mayor que (po /pa )∗ , se busca en la Figura 17.9 el punto definido por la pareja de valores Q(L) y M (L) = 1 y la curva M (0) constante que pasa
541
17.5. P´erdidas de carga localizadas
por ´el determina el valor M (0) correspondiente. Una vez determinado el valor de M (0), el gasto que circula por el conducto se calcula como
γ−1 2 M (0) G = ρ(0)v(0)A = ρo ao AM (0) 1 + 2
−(γ+1)/[2(γ−1)] .
(17.164)
Si se define el gasto cr´ıtico, G∗ , como el m´aximo gasto que circular´ıa por el conducto, lo que corresponde a que se alcanzasen condiciones s´onicas a la entrada del conducto y no se a˜ nadiese calor, (17.164) conduce a (γ+1)/[2(γ−1)] 2 G∗ = ρo ao A, (17.165) γ+1 y el valor del gasto adimensional G/G∗ , que se representa tambi´en en la Figura 17.9, es G = M (0) G∗
γ+1 2 + (γ − 1)M 2 (0)
(γ+1)/[2(γ−1)] .
(17.166)
Para valores negativos de Q(L), las ecuaciones que resuelven el problema son tambi´en las dadas en (17.159) y (17.163), aunque los resultados num´ericos son diferentes a los dados en la Figura 17.9; obs´ervese que el m´aximo calor que se puede extraer del fluido es ho (0). Si el flujo de gas fuese supers´onico a la entrada al conducto, el procedimiento para la resoluci´ on del problema ser´ıa an´alogo al descrito en la secci´on anterior para el caso de movimiento con fricci´on y sin adici´on de calor. Obs´ervese que si se a˜ nade calor el n´ umero de Mach disminuye aguas abajo y existe necesariamente una onda de choque situada entre la entrada y salida del conducto si el calor a˜ nadido es mayor que el necesario para alcanzar condiciones s´onicas a la salida [1 + γM 2 (0)]2 Q(L) > − 1. ho (0) (γ + 1)M 2 (0)[2 + (γ − 1)M 2 (0)]
(17.167)
Contrariamente, si se extrae calor a trav´es de las paredes del conducto el gas se acelera aguas abajo y descarga supers´onicamente a la salida.
17.5.
P´ erdidas de carga localizadas
Los sistemas de tuber´ıas y conductos usados en la pr´actica est´an dotados normalmente de componentes auxiliares tales como Contracciones o ensanchamientos (bruscos o graduales) que permiten un cambio en la secci´on de tuber´ıa. Codos para cambiar la direcci´on de la tuber´ıa. V´alvulas para controlar el caudal, etc. Bifurcaciones, uniones en T, etc. Los desprendimientos de la capa l´ımite que se originan por los gradientes adversos de presi´on que introducen las geometr´ıas de dichos dispositivos dan lugar a torbellinos, corrientes de recirculaci´on y flujos secundarios en los que los efectos de la viscosidad son importantes. Estas zonas de corriente desprendida act´ uan como sumideros de cantidad de movimiento para la corriente principal y originan una disipaci´ on de energ´ıa mec´anica de la misma. Aparecen as´ı unas p´erdidas de presi´on de remanso, m´as com´ unmente denominadas p´erdidas de carga, que deben a˜ nadirse, a
542
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
la hora de analizar el funcionamiento de la instalaci´ on, a las habituales producidas por el esfuerzo en la pared en los tramos principales de tuber´ıa. Es usual expresar la p´erdida de presi´on de remanso entre dos secciones de tuber´ıa en funci´ on del denominado coeficiente de p´erdida de carga que se define en la forma K=
2(po1 − po2 ) , ρV 2
(17.168)
siendo po1 y po2 las presiones de remanso del fluido en las dos secciones consideradas y V una velocidad caracter´ıstica del flujo (se suele tomar la mayor de las dos velocidades que el fluido posee en cada una de las secciones de la tuber´ıa). En general K ser´a una funci´ on del n´ umero de Reynolds caracter´ıstico del flujo, de la geometr´ıa del sistema y de la rugosidad relativa de las paredes del mismo, . Como se ha visto en 16.5.1 y en las secciones anteriores de este cap´ıtulo, el coeficiente de p´erdida de presi´on de remanso en un flujo turbulento totalmente desarrollado que circula por un tramo de tuber´ıa de longitud L y radio hidr´ aulico rh es K=
L λ(Re, ), 4rh
(17.169)
donde el factor de fricci´ on, λ, puede calcularse a partir del a´baco de Moody, Figura 16.15. En general, las longitudes caracter´ısticas de los componentes auxiliares son mucho menores que las de los tramos principales del sistema de tuber´ıas, as´ı que las p´erdidas de carga que tienen lugar en ellos se denominan localizadas. Dada la complejidad del flujo en dichos dispositivos no ser´a posible en general evaluar de forma anal´ıtica el coeficiente de p´erdidas de carga localizadas, excepto en los casos m´as simples, por lo que ´este deber´a obtenerse experimentalmente. El objetivo de esta secci´on es el de presentar resultados relativos al coeficiente de p´erdida de carga localizada para algunas de las configuraciones m´ as comunes en las instalaciones hidr´aulicas. Por simplicidad se considerar´a en lo que sigue el caso de l´ıquidos o de gases a n´ umeros de Mach peque˜ nos.
17.5.1.
Ensanchamiento brusco de una tuber´ıa
Aguas arriba del ensanche, el fluido tiene una velocidad pr´ acticamente uniforme V1 . En el ensanchamiento brusco, la capa l´ımite se desprende con la consecuente creaci´on de una zona de torbellinos. A cierta distancia aguas abajo, la capa l´ımite se readhiere quedando el fluido con una velocidad aproximadamente uniforme de valor V2 . Entre la secci´on de desprendimiento y la de posterior readherencia se forma una burbuja de recirculaci´ on como se observar en la Figura 17.10. En este patr´on de flujo la causa principal de disipaci´ on de energ´ıa mec´anica de la corriente principal es la interacci´ on de ´esta con la zona desprendida (burbuja) y no el efecto de la fricci´ on en la pared, por lo que el coeficiente de p´erdida de carga ser´a pr´acticamente independiente del n´ umero de Reynolds, as´ı como de la rugosidad relativa. En este caso, el coeficiente de p´erdida de carga se puede evaluar f´ acilmente de forma anal´ıtica mediante la aplicaci´on de las ecuaciones de conservaci´on de la masa y de la cantidad de movimiento a un volumen de l´ıquido limitado por la pared del conducto m´ as ancho y las secciones de entrada al mismo, donde se produce el ensanchamiento, y la situada justo detr´ as de la burbuja, donde la velocidad de la corriente puede ya considerarse uniforme. En efecto, si A1 y A2 son las secciones de los conductos que se unen en el ensanchamiento (A1 < A2 ), las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento en forma integral proporcionan respectivamente V1 A1 = V2 A2 ,
(17.170)
p1 A1 + p1 (A2 − A1 ) + ρV12 A1 = p2 A2 + ρV22 A2 .
(17.171)
543
17.5. P´erdidas de carga localizadas
Figura 17.10: Patr´ on de flujo en el ensanchamiento brusco de un conducto. Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene po1 − po2 =
2 A1 1 2 ρV1 1 − 2 A2
(17.172)
y el coeficiente de p´erdida de carga resulta 2 A1 . K = 1− A2
(17.173)
Obs´ervese que si A2 A1 , K 1 y la p´erdida de presi´on de remanso es igual a la energ´ıa cin´etica por unidad de volumen del fluido justo antes del ensanchamiento. Este es el caso de un conducto descargando a un ambiente ilimitado o a un dep´ osito de grandes dimensiones.
17.5.2.
Contracci´ on brusca
En este caso la separaci´on del flujo ocurre tanto aguas arriba de la secci´ on de entrada al conducto peque˜ no como aguas abajo de la misma, form´andose la denominada vena contracta, v´ease Figura 17.11. La disipaci´on de energ´ıa mec´anica ocurre principalmente en la zona de vena contracta y es debida principalmente a la interacci´ on entre la burbuja de recirculaci´ on y la corriente principal, pudi´endose tambi´en en este caso despreciar el efecto de fricci´on en la pared.
Figura 17.11: Patr´ on de flujo en la contracci´ on brusca de un conducto. Debido a que la distribuci´ on de presi´on en la secci´on de uni´ on de los dos conductos que forman la contracci´on no es conocida de antemano, el coeficiente de p´erdida de carga no puede ser evaluado
544
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
anal´ıticamente en este caso. Experimentalmente se demuestra que la ca´ıda de presi´on de remanso sigue muy aproximadamente la expresi´on 1 po1 − po2 = K ρV22 , 2
(17.174)
donde K depende del grado de contracci´ on A2 /A1 . La expresi´on (17.174) se aplica tambi´en al caso particular de un conducto que toma de un recipiente de dimensiones grandes A1 A2 . En este caso y siempre que no se hayan tomado precauciones especiales en la uni´on entre el dep´osito y el conducto (caso de arista viva) se tiene K 0,42. En el caso en el que la entrada al conducto est´e ligeramente redondeada, el desprendimiento de la capa l´ımite se evita en gran parte y el coeficiente de p´erdida de carga se reduce sustancialmente, pudi´endose considerar pr´acticamente nulo cuando el radio de curvatura de la adaptaci´ on del dep´osito al conducto excede en un 20 % a la dimensi´ on transversal caracter´ıstica del conducto. En este caso no se producir´a un desprendimiento apreciable de la capa l´ımite, que permanece adherida a las paredes del conducto y se conservan, por tanto, las magnitudes de remanso en la regi´on de entrada. Por el contrario, si el conducto entra en el dep´osito (boquilla entrante), el desprendimiento de la capa l´ımite se hace m´as acusado a´ un que en el caso de arista viva con el consiguiente aumento de K.
17.5.3.
Ensanchamiento gradual
Un conducto que se ensancha gradualmente se denomina difusor. Su misi´ on es normalmente empalmar dos tramos de tuber´ıa de di´ametros diferentes. En el difusor el fluido experimenta una disminuci´ on de velocidad acompa˜ nada del consiguiente aumento de presi´ on. Se origina as´ı un gradiente adverso de presiones que puede dar lugar a un desprendimiento de la capa l´ımite si el ´angulo del difusor supera un cierto valor, con la consiguiente aparici´ on de torbellinos en la zona desprendida. Las p´erdidas de carga en el difusor ser´an aquellas debidas a la interacci´ on entre la corriente principal y la zona desprendida m´ as las que se producen por rozamiento (fricci´on) en la pared.
Figura 17.12: Patr´ on de flujo en un difusor. Si para calcular las p´erdidas por rozamiento se suponen despreciables las variaciones de altura en el difusor, la ecuaci´on (17.33) proporciona la ca´ıda de presi´on de remanso debido al rozamiento del fluido con las paredes del difusor d proz λ o ρ v2 . =− dx 8 rh
(17.175)
Si se usa la ecuaci´on de continuidad v A = Q, la ecuaci´on (17.175) puede integrarse si se conoce la variaci´ on de la secci´on en el conducto, A(x) y rh (x). Para el caso de un difusor de secci´on circular
17.5. P´erdidas de carga localizadas
545
cuyo di´ametro var´ıa linealmente entre los di´ametros D1 y D2 , (17.175) junto con la ecuaci´ on de continuidad proporcionan ρ V12 λ d proz o =− , dx 2 D1 [1 + (x/D1 ) tan (α/2)]5
(17.176)
donde α es el ´angulo del difusor. La integraci´ on de (17.176) proporciona la ca´ıda de presi´on de remanso debido al rozamiento en el difusor o Kroz en forma adimensional roz 2(proz λ A21 o1 − po2 ) , (17.177) = 1 − Kroz = ρ V12 4 tan(α/2) A22 donde como siempre λ es una funci´on conocida del n´ umero de Reynolds y de la rugosidad relativa del conducto. Obs´ervese que el n´ umero de Reynolds del flujo var´ıa a lo largo del difusor por lo que, formalmente, en la integraci´ on de (17.176) deber´ıa retenerse la variaci´on de λ con Re, y por tanto con x. Sin embargo, desde el punto de vista pr´ actico este efecto es peque˜ no y basta con tomar un valor medio del n´ umero de Reynolds. Las p´erdidas de presi´on de remanso debidas a desprendimientos de capa l´ımite, por el contrario, no pueden determinarse anal´ıticamente; los experimentos sugieren expresiones de la forma
2 A1 , (17.178) Kdesp = sen α 1 − A2 de modo que la p´erdida de presi´on de remanso total es
2 2 A1 A1 λ(Re, ) + sen α 1 − , 1− K = Kroz + Kdesp = 4 tan (α/2) A2 A2
(17.179)
siendo Re y valores medios del n´ umero de Reynolds y de la rugosidad relativa en el difusor. Obs´ervese que al aumentar α las p´erdidas por rozamiento disminuyen, ya que el difusor se hace m´as corto mientras que las debidas al desprendimiento aumentan (aumenta el gradiente adverso de presiones y por tanto el tama˜ no de la zona desprendida). Lo contrario ocurre si disminuye el ´angulo de ensanchamiento, α. Se tiene as´ı un valor o´ptimo de α para el difusor, para el cual K es m´ınimo. Dicho ´ angulo se determina f´acilmente a partir de la expresi´on anterior bajo la condici´ on d K/d α = 0; si adem´as se hace uso de la condici´on λ 1 se obtiene la expresi´on simplificada αopt λ (1 + A1 /A2 )/[2 (1 − A1 /A2 )]. (17.180) Si se usan valores t´ıpicos de λ, por ejemplo los comprendidos entre 0,015 y 0,025 y relaciones de ´areas A2 /A1 comprendidas entre en los l´ımites 2 y 4 se obtiene como promedio un ´angulo o´ptimo del difusor en el rango de 6o − 7o , para el que se minimizan las p´erdidas de presi´on de remanso; dicho valor est´a en buen acuerdo con los datos experimentales.
17.5.4.
Codos
En general, las p´erdidas de presi´on de remanso en tuber´ıas acodadas se deben a los factores siguientes: 1. P´erdida por fricci´ on de la corriente principal en la pared del conducto, proporcional a la longitud del codo. 2. P´erdidas por separaci´on de capa l´ımite que origina zonas de torbellinos en la pared interna (la m´as cercana al centro de curvatura del codo) y en la pared externa (zona de la pared m´ as alejada del centro de curvatura), v´ease Figura 17.13.
546
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
3.
Flujos secundarios debidos a la acci´on de las fuerzas centr´ıfugas sobre el fluido. En efecto, las fuerzas centr´ıfugas sobre las part´ıculas fluidas en el codo (proporcionales al cuadrado de la velocidad) ser´an mayores sobre las que fluyen por la zona central de la secci´on que sobre aquellas que fluyen cerca de las paredes, donde la velocidad es menor; el desequilibrio de fuerzas origina un par de v´ ortices, con centros a lo largo de la l´ınea de curvatura del codo, de modo que el flujo secundario en la secci´on es tal que el fluido se desplaza a lo largo de un plano diametral perpendicular al radio de curvatura de la secci´ on y retorna por las paredes. Como resultado de la superposici´on de estos movimientos circulares y el de avance seg´ un el eje del conducto, el flujo est´a compuesto de dos corrientes helicoidales.
Figura 17.13: Patr´ on de flujo en un tubo acodado. La aparici´on de estos flujos secundarios da lugar a p´erdidas de presi´on de remanso por rozamiento con la pared del conducto, cuya intensidad depende de la rugosidad relativa, m´ as las p´erdidas debidas a efectos de desprendimiento de capa l´ımite y a los flujos secundarios, mencionados en los puntos 2) y 3). El coeficiente de p´erdida de carga total en el codo ser´a K = K1 + K2, 3 = λ(Re, )L/4rh + K2, 3 (, Rc /D)
(17.181)
siendo L la longitud del codo, rh el radio hidr´ aulico, D una longitud caracter´ıstica de la secci´on del conducto, Re = V 4rh /ν y la rugosidad relativa. Para un conducto acodado a 90o y secci´on circular, la contribuci´ on K2, 3 (, Rc /D) debida a separaci´on de capa l´ımite y flujos secundarios puede obtenerse de la Figura 17.14.5
Figura 17.14: P´erdida de carga en conductos acodados. 5
F. M. White, Mec´ anica de Fluidos, McGraw Hill, Madrid, 2003.
17.6. Flujo turbulento en canales abiertos
547
Para disminuir la resistencia de codos de grandes dimensiones (por ejemplo, en t´ uneles aerodin´ amicos u otras instalaciones), se instalan a veces ´alabes gu´ıa que inhiben dr´ asticamente los flujos secundarios debidos a la acci´on de la fuerza centr´ıfuga y minimizan tambi´en las p´erdidas por separaci´on de capa l´ımite aunque aumentan ligeramente las p´erdidas por fricci´ on.
Figura 17.15: Flujo en un codo con a´labes gu´ıas.
17.5.5.
V´ alvulas, bifurcaciones y otros dispositivos hidr´ aulicos
Las v´alvulas son dispositivos para regular el caudal. Introducen grandes p´erdidas de carga que, l´ogicamente, disminuyen con el grado de apertura de la v´ alvula. En el caso de v´ alvulas, bifurcaciones de tuber´ıas y otros dispositivos hidr´ aulicos, las p´erdidas de carga se producen por alguno de los efectos descritos en las secciones anteriores. Su valor depende mucho de la geometr´ıa del dispositivo considerado, as´ı que no parece conveniente dar aqu´ı un detalle exhaustivo del modo de calcular estas p´erdidas. En su lugar se recomienda el uso de cualquier manual de hidr´ aulica donde pueden obtenerse los valores de las p´erdidas de los dispositivos hidr´ aulicos. Un tratamiento completo de las p´erdidas de carga en instalaciones hidr´ aulicas puede seguirse por ejemplo en el manual de hidr´ aulica citado al pie de p´ agina.6
17.6.
Flujo turbulento en canales abiertos
Este tipo de flujos est´a caracterizado por la existencia de una superficie libre (la interfase de separaci´on agua-aire) que debe ser determinada consistentemente de la resoluci´on del problema del movimiento del agua a trav´es del canal. Como condiciones de contorno en la interfase se impone la continuidad de la presi´ on a trav´es de la interfase as´ı como que el valor del esfuerzo viscoso all´ı sea nulo; la u ´ltima condici´on se justifica por el hecho de que la viscosidad del aire es muy peque˜ na comparada con la del agua mientras que la primera es debida al hecho de que las dimensiones del canal son muy grandes comparadas con la longitud capilar. En general, los canales artificiales realizados por el hombre para su uso en agricultura o para el transporte de mercanc´ıas y pasajeros poseen secciones transversales bien definidas, prism´aticas en general, y realizadas con materiales (cemento y tierra) cuya rugosidad superficial es conocida dentro de l´ımites tolerables en Ingenier´ıa. No es ´este el caso de los canales naturales y corrientes fluviales, en los que las secciones transversales presentan formas muy irregulares y poco uniformes y el conocimiento de la rugosidad superficial es mucho m´as impreciso. No es de extra˜ nar, por tanto, que los resultados de aplicar la teor´ıa que se va a desarrollar al caso de canales naturales sean, en general, menos satisfactorios. 6
I. E. Idelchik, M. O. Steinberg, Handbook of Hydraulic Resistance, CRC Press, 2004.
548
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
Al contrario que en el caso de movimiento de fluidos en conductos la velocidad media de la corriente turbulenta en la direcci´ on longitudinal experimenta variaciones apreciables a trav´es de una secci´on transversal del canal. La velocidad m´ axima no se presenta en la superficie, como a primera vista podr´ıa esperarse, sino un poco por debajo de ella (v´ease Figura 17.16 donde se esquematizan los contornos donde la velocidad del fluido es igual). Esto es debido a la presencia de corrientes secundarias que circulan desde las paredes hacia el interior de la secci´on. No obstante, es
100 80 40
100 75 25
Figura 17.16: Curvas de igual velocidad en tanto por ciento de la velocidad m´ axima. com´ un definir una velocidad media de la secci´ on, v(x), como el cociente entre el caudal que fluye a trav´es de la secci´on y su ´area. 1 u(x, y, z)dydz, v(x) = (17.182) A(x) A(x) donde u es la componente longitudinal de la velocidad media de la corriente turbulenta en cada punto de la secci´on, A es el ´area de la secci´on mojada, que es en general funci´ on de la coordenada longitudinal x, e y y z son coordenadas transversales. Obs´ervese que en t´erminos de v el flujo de cantidad de movimiento a trav´es de la secci´on se puede escribir en la forma 1 u2 dydz = αv 2 , (17.183) A A donde α es un factor emp´ırico que depende de la forma de la secci´on. En canales de geometr´ıa regular, α rara vez excede del valor 1.05, por lo que para simplificar la notaci´ on se supondr´ a en adelante que su valor es la unidad. Como en el caso del movimiento de fluidos en conductos, el efecto de la viscosidad es u ´ nicamente importante cerca de la pared (valores altos del n´ umero de Reynolds) y, como se hizo all´ı, se define el esfuerzo de fricci´on τo promediado en el per´ımetro de la secci´on rh τp (x)dl, (17.184) τo (x) = A P (x) donde P y rh = A/P son el per´ımetro y el radio hidr´ aulico de la secci´on.7 Como en (17.2), se relaciona el esfuerzo con el factor de fricci´on adimensional λ en la forma λ (17.185) τo = ρv 2 . 8 7 El per´ ımetro P incluye las paredes laterales y la solera de la secci´ on pero no la superficie libre, puesto que se desprecia el efecto de fricci´ on del aire sobre el agua.
549
17.6. Flujo turbulento en canales abiertos
A diferencia del movimiento en conductos, el factor de fricci´ on λ depende no s´olo del n´ umero de Reynolds y de la rugosidad relativa, sino tambi´en de la forma de la secci´on, ya que la intensidad de las corrientes secundarias, y por tanto la p´erdida de cantidad de movimiento en el movimiento longitudinal, dependen sustancialmente de la forma de ´esta. En movimientos estacionarios o casi-estacionarios, a los que nos limitaremos en esta exposici´on, se pueden distinguir dos situaciones dependiendo de la variaci´ on que experimenten las magnitudes fluidas con la coordenada longitudinal. En el primer caso se encuentran los flujos lentamente, o gradualmente, variables, en los que la altura var´ıa muy lentamente con la distancia longitudinal, dh/dx 1; las velocidades verticales son entonces muy peque˜ nas y la aproximaci´ on hidrost´ atica para el c´alculo de la presi´on en cualquier punto de la secci´ on es v´alida. Existen, sin embargo, otras situaciones en los que la altura y la velocidad media de la secci´on var´ıan del orden de ellas mismas en distancias relativamente cortas dh/dx ∼ 0(1); para estas transiciones, que en hidr´ aulica se denominan reg´ımenes r´ apidamente variables, las velocidades verticales son del orden de las longitudinales y la aproximaci´ on de equilibrio hidrost´ atico en la direcci´on vertical no resulta v´alida.
17.6.1.
Flujo lentamente variable
En este caso, las ecuaciones que gobiernan la evoluci´on de la profundidad del agua y su velocidad se obtienen de aplicar las ecuaciones de conservaci´on de masa y cantidad de movimiento a un volumen infinitesimal de un canal como el esquematizado en la Figura 17.17. En efecto, la ecuaci´ on de continuidad se escribe vA = Q, (17.186) donde el caudal Q es independiente de la coordenada x.
pa
v
h
g v+dv h+dh
x s
zs
Figura 17.17: Volumen de control en un canal bidimensional. Por otra parte, para establecer el balance de cantidad de movimiento es necesario calcular la resultante de las fuerzas de presi´on y m´asicas en la direcci´on del movimiento que act´ uan sobre el volumen considerado − (p + ρU )nx dσ, (17.187) Σ
donde nx es la componente de la normal a Σ en la direcci´on del movimiento, y el ´area Σ se extiende a dos secciones del canal de ´areas A y A+dA separadas una distancia d x, a la solera y a la superficie libre; obs´ervese, sin embargo, que las resultantes de las fuerzas de presi´on y m´asicas sobre la solera no dan componente en la direcci´on del movimiento. Adem´as, si h es la profundidad medida desde el punto m´as bajo de la solera del canal y zs es la altura de ese punto de la solera, la altura de
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
550
un punto de la superficie libre es zs + h cos θ zs + h, ya que el ´angulo de inclinaci´ on de la solera respecto a la horizontal, θ, es siempre peque˜ no (flujo lentamente variable). Teniendo en cuenta la aproximaci´ on hidrost´ atica p + ρU = p + ρgz = pa + ρg(zs + h), (17.188) la integral (17.187) se reduce a [pa + ρg(zs + h)]A − {pa + ρg(zs + h) + d [pa + ρg(zs + h)]}(A + dA)+ [pa + ρg(zs + h)]Adh/dx = −ρgAd(zs + h)/dx,
(17.189)
donde se ha tenido en cuenta que dA = Adh/dx. Por otra parte, la variaci´ on de cantidad de movimiento en el volumen es d(ρv 2 A)/dx y la fuerza de fricci´on que act´ ua sobre el volumen infinitesimal es τo P dx, as´ı que la conservaci´on de la cantidad de movimiento en el volumen considerado exige que se satisfaga la relaci´on d(zs + h) Aτo d(ρv 2 A) = −ρgA − , dx dx rh
(17.190)
y teniendo en cuenta que d(ρvA)/dx = d(ρQ)/dx = 0 se llega a dzs λv 2 d[v 2 /(2g)] dh + =− − . dx dx dx 8grh
(17.191)
La ecuaci´on diferencial ordinaria no lineal (17.191) junto con las ecuaci´ on de continuidad (17.186) y las relaciones geom´etricas del canal zs (x) y A = A(h) determinan la velocidad media del fluido y su profundidad como funciones de la posici´ on cuando se imponen condiciones de contorno apropiadas. En el movimiento uniforme, v = v(x), h = h(x), que se presenta en canales muy largos de secci´on y pendiente constante, la gravedad y la fricci´ on est´an balanceadas y la ecuaci´on (17.191) se reduce a λv 2 dzs − − = 0, (17.192) dx 8grh y, por tanto, la velocidad del flujo es v=
− 8 g rh dzs λ dx
1/2 .
(17.193)
Para este tipo de flujos el ingeniero irland´es Manning encontr´ o que la velocidad se ajustaba a los resultados experimentales en un amplio rango de canales, tanto naturales como artificiales, si el factor de fricci´on λ se eleg´ıa en la forma 1/3
λ = 8 g n2 /rh ,
(17.194)
donde n es un coeficiente dimensional conocida como factor de Manning, cuyos valores para diferentes materiales superficiales se encuentran tabulados en la Tabla del Ap´endice 17.I.8 El inconveniente del coeficiente de Manning es que es dimensional y cuando menos su uso es molesto para los c´alculos; no obstante, tiene la ventaja, y de ah´ı su amplia utilizaci´on, de que su valor depende exclusivamente del tipo de canal y del material o revestimiento de su superficie y no cambia al hacerlo el caudal, la profundidad o el radio hidr´ aulico de la secci´on. Debe finalmente indicarse que, en ausencia de 8 Obs´ ervese que el factor de fricci´ on no depende aqu´ı del n´ umero de Reynolds, ya que la turbulencia est´ a completamente desarrollada por tratarse de movimientos a muy altos n´ umeros de Reynolds y las p´erdidas por fricci´ on se hacen, por tanto, independientes de la viscosidad.
551
17.6. Flujo turbulento en canales abiertos
un mejor conocimiento de la fricci´on, el factor de fricci´on se calcula tambi´en mediante la f´ormula de Manning en el caso de flujos no uniformes tanto estacionarios como no-estacionarios. Es interesante se˜ nalar que para un canal en el que se especifican la forma geom´etrica de la secci´on, el ´area de la misma y la pendiente de la solera, existe una profundidad o´ptima que maximiza el caudal que atraviesa la secci´on. Obs´ervese en (17.193) y (17.194) que la velocidad es m´axima si lo es el radio hidr´ aulico, o si el per´ımetro es m´ınimo, ya que el ´area es dada. En efecto, para un canal de secci´on trapezoidal, por ejemplo, cuya solera tiene una longitud b y cuyas paredes forman con la vertical un a´ngulo β dado, como se esquematiza en la Figura 17.18. El ´area de la secci´on y el per´ımetro se expresan en funci´on de la profundidad como A = bh + h2 tan β
y
P =b+2
h . cos β
(17.195)
Calculando b en funci´on del ´area y sustituyendo en P se obtiene
a
h
b Figura 17.18: Canal de secci´on trapezoidal y profundidad h.
b=
A − h tan β h
y
P =
A h − h tan β + 2 ; h cos β
(17.196)
el valor de h = hopt que optimiza P se obtiene de la expresi´on 2 A dP = − 2 − tan β + = 0, dh hopt cos β para dar
hopt =
Se tiene entonces bopt = hopt y tambi´en Popt = 2hopt
A cos β 2 − sen β
2(1 − sen β) , cos β
2(2 − sen β) cos β
1/2 .
(17.198) 2 − sen β cos β
(17.199)
Aopt hopt = , Popt 2
(17.200)
Aopt = h2opt
y
(17.197)
rhopt =
que muestra que para cualquier a´ngulo β, la secci´on m´as eficiente es aquella en la que el radio hidr´ aulico es la mitad de la profundidad; por ejemplo, para un canal rectangular, β = 0, la secci´on m´as eficiente se obtiene cuando la profundidad es la cuarta parte de la anchura de la solera. umero de Froude, definido en la forma usual F = √Es interesante en este punto introducir el n´ v/ gh,√que como es sabido compara la velocidad del fluido con la velocidad de propagaci´ on de las ondas, gh, en aguas someras [aguas poco profundas donde la longitud de onda de la perturbaci´ on
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
552
es grande frente a la profundidad del medio (v´ease 11.2.1)]. El n´ umero de Froude, en analog´ıa con el de Mach, define la existencia de dos reg´ımenes diferentes, subcr´ıtico y supercr´ıtico seg´ un que el n´ umero de Froude sea menor o mayor que la unidad. En r´egimen subcr´ıtico (F < 1), la velocidad de la corriente es menor que la de las ondas y cualquier perturbaci´ on peque˜ na se propaga aguas arriba y aguas abajo del punto donde se origin´ o. Por el contrario, si el r´egimen es supercr´ıtico (F > 1), la perturbaci´ on s´olo puede propagarse aguas abajo del punto origen de la misma. Para canales no rectangulares, el n´ umero de Froude se define a partir de la profundidad media hidr´ aulica √ Hh , F = v/ gHh , donde Hh representa el cociente entre el ´area y la anchura de la superficie libre; de modo que los canales de secci´on no rectangular pueden tratarse como uno rectangular cuya profundidad es Hh . N´otese que para un canal de secci´on rectangular Hh = h. Teniendo en cuenta (17.186) y (17.194), la ecuaci´on (17.191) para un canal rectangular, A = bh, con b = b(x) resulta (1 − F 2 )
dzs n2 Q2 dh =− − = So − Sf , 4/3 dx dx b2 h2 rh
con F2 =
Q2 b2 gh3
y
rh =
bh , b + 2h
(17.201)
(17.202)
donde So = −dzs /dx es la pendiente de la solera del canal y Sf representa el efecto de la fricci´on expresado en forma adimensional. La ecuaci´on diferencial ordinaria, de primer orden, no lineal (17.201) junto con las expresiones alg´ebricas (17.202) determinan la profundidad h(x) y el n´ umero de Froude (para caudal dado) si se imponen condiciones de contorno apropiadas. No obstante, antes de proceder a la integraci´ on num´erica de la ecuaci´on (17.201) es conveniente tener en cuenta los aspectos que a continuaci´on se introducen. Si la pendiente de la solera So es constante, lo que sucede usualmente, la profundidad hu de la correspondiente corriente uniforme se obtiene f´acilmente de igualar a cero el segundo miembro de (17.201), So − Sf = 0. Por otra parte, para un caudal dado, la profundidad cr´ıtica, aquella para la que el n´ umero de Froude es la unidad, se obtiene de (17.202) 2 1/3 Q hc = , (17.203) gb2 y la pendiente de la solera cr´ıtica Sc , o pendiente del canal para la que la profundidad uniforme hu coincide la cr´ıtica hc , es n2 Q2 . (17.204) Sc = 2 2 b hc [rh (hc )]4/3 Si la pendiente de la solera es menor que la cr´ıtica (So < Sc ), la profundidad de la corriente uniforme es mayor que la cr´ıtica (hu > hc ), la corriente es entonces subcr´ıtica (F < 1) y la pendiente de la solera se denomina suave. Por el contrario, la corriente uniforme ser´ a supercr´ıtica (F > 1), (hu < hc ), cuando So > Sc que corresponde al caso de los canales de solera denominada aguda. El caso intermedio de solera cr´ıtica y los de canales con solera horizontal o adversa So ≤ 0 se considerar´an tambi´en en lo que sigue. Para el caso de solera suave, So < Sc , hu > hc , la evoluci´ on de la profundidad con x puede adoptar tres formas diferentes seg´ un que la condici´ on inicial h(xo ), desde donde se comienza la integraci´ on de (17.201), satisfaga la condici´ on h(xo ) > hu > hc , o cualquiera de las otras dos desigualdades siguientes hu > h(xo ) > hc o hu > hc > h(xo ). En el primer caso h(xo ) > hu > hc , la corriente es subcr´ıtica (F < 1), ya que h(xo ) > hc mientras que el segundo miembro de (17.201) es positivo (So > Sf ) por ser ho (x) > hu ; se tiene entonces dh/dx > 0 y la profundidad aumenta (y el n´ umero de Froude disminuye) aguas abajo del punto inicial, y tiende a una as´ıntota como se ve en la Figura 17.19a. Esta situaci´on es la que bajo las condiciones indicadas se presenta,
553
17.6. Flujo turbulento en canales abiertos a) h( x0 ) > hu > hc
b) hu > h( x0 ) > hc
F hc> h( x0 ) F >1
F 0
hc
hc
h( x0 )
Figura 17.19: Perfiles de profundidad en un canal de solera suave. por ejemplo, aguas abajo de una presa. Si hu > h(xo ) > hc , la corriente es tambi´en subcr´ıtica por ser h(xo ) > hc mientras que el segundo miembro es negativo So < Sf por ser h(xo ) < hu , as´ı que dh/dx < 0 y la profundidad disminuye aguas abajo, Figura 17.19b. N´ otese que F y, por tanto, dh/dx aumentan aguas abajo, de modo que dh/dx → ∞ cuando F → 1. Naturalmente, la soluci´on descrita por (17.201) deja entonces de ser v´alida cuando dh/dx se hace del orden de la unidad. En esta situaci´ on, la hip´ otesis de flujo lentamente variable no puede ser aplicada, ya que las velocidades verticales se hacen del orden de las longitudinales y la aproximaci´ on hidrost´ atica para el c´alculo de la presi´on no puede aplicarse. La evoluci´ on de la superficie libre experimenta entonces una transici´on r´apida cuyo an´ alisis se pospone para m´as adelante. La evoluci´on gradual descrita aqu´ı se presenta en una u otra de las dos situaciones siguientes: derrame libre, Figura 17.13b, o transici´ on de una solera de pendiente suave a aguda. Finalmente, si hu > hc > h(xo ), la corriente es supercr´ıtica, F > 1, por ser h(xo ) < hc y, como el segundo miembro de (17.201) es negativo, la profundidad h crece aguas abajo y el n´ umero de Froude decrece. Esta evoluci´on deja de ser v´alida y se genera un salto hidr´ aulico, como el descrito en 12, donde se produce la transici´ on del r´egimen supercr´ıtico al subcr´ıtico, Figura 17.19c. a) hu < hc < h (x0)
b) hu < h (x0) < hc
c) h (x0) < hu < hc F>1
F>1
F Sc , hu < hc , seg´ un sea la profundidad h(xo ) del punto donde se inicia la integraci´ on en relaci´on con las profundidades cr´ıtica y uniforme del canal. En efecto, si hu < hc < h(xo ), la corriente es subcr´ıtica y el segundo miembro de (17.201) es positivo So > Sf por ser ho > hu , de
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
554
modo que la profundidad crece aguas abajo, Figura 17.20a. Esta situaci´ on ocurre por ejemplo detr´ as del salto hidr´ aulico que se produce en un canal de solera aguda. Si hu < h(xo ) < hc , la corriente es supercr´ıtica, y el segundo miembro de (17.201) es positivo por ser h(xo ) > hu ; consecuentemente h disminuye con x, F aumenta, dh/dx → 0 y la profundidad tiende asint´ oticamente al valor de la uniforme, Figura 17.20b. Este tipo de evoluci´ on puede presentarse aguas abajo del ensanchamiento de un canal o aguas abajo de un canal de pendiente aguda cuando se incrementa su pendiente. Finalmente, si h(xo ) < hu < hc , el segundo miembro de (17.201) es negativo [hu > h(xo )], y dh/dx es positiva por ser la corriente supercr´ıtica y el perfil de la profundidad evoluciona asint´ oticamente hasta el valor de la profundidad uniforme. Este tipo de evoluci´ on puede ocurrir cuando existe un cambio en la pendiente de la solera, de aguda a suave, o aguas abajo de una compuerta un canal de solera aguda por la que fluye una corriente de profundidad menor que la uniforme, v´ease Figura 17.20c. En el caso de canales con solera cr´ıtica, So = Sc , hu = hc , el perfil de la superficie libre aumenta siempre aguas abajo, Figura 17.21. En efecto, si h(xo ) < hu = hc , la corriente es supercr´ıtica y el segundo miembro de (17.201) es negativo; se tiene, por tanto, dh/dx > 0 y por tanto aguas abajo h aumenta y el n´ umero de Froude disminuye, perfil a de la Figura 17.21. N´ otese que en este caso, dh/dx es finita cuando se alcanza h = hc = hu (F = 1) ya que tambi´en se anula el segundo miembro de (17.201). Del mismo modo, si h(xo ) > hu = hc , la corriente es subcr´ıtica y el valor del segundo miembro de (17.201) es positivo as´ı que aguas abajo h aumenta y el n´ umero de Froude disminuye, perfil b de la Figura 17.21. Conviene observar que tambi´en en este caso la pendiente es finita en el punto singular F = 1 y que por otra parte el perfil b tiende asint´ oticamente a dh/dx → 0. h(x0) > hc=hu
h(x0) < hc=hu (a)
S0=Sc
(b)
hu= hc
hu= hc
S0=Sc (b) (a)
Reservorio
Figura 17.21: Perfiles de profundidad en un canal de solera cr´ıtica. Se incluye el esquema de un caso pr´actico donde se presentan los perfiles del tipo a y b.
Finalmente, cuando la solera del canal es horizontal o adversa, So ≤ 0, el segundo miembro de (17.201) es siempre negativo y no puede existir flujo uniforme por ser dh/dx = 0. En este caso, si h(xo ) > hc , la corriente es subcr´ıtica y dh/dx es negativa; el n´ umero de Froude disminuye aguas abajo y la soluci´ on de flujo lentamente variable deja de ser v´ alida porque dh/dx → ∞ cuando F → 1. Esta evoluci´ on tiene lugar, por ejemplo, en un derrame libre al final de un canal, Figura 17. 22a. Por el contrario, si h(xo ) < hc la corriente es supercr´ıtica y dh/dx es positiva. El n´ umero de Froude disminuye aguas abajo y la aproximaci´ on de corriente lentamente variable deja de ser v´ alida. N´ otese que este perfil precede a un salto hidr´aulico, Figura 17.22b.
555
17.6. Flujo turbulento en canales abiertos b) h(x0) < hc
a) h(x0) > hc
hc
hc
Figura 17.22: Perfiles de profundidad en un canal de solera horizontal.
17.6.2.
Aplicaci´ on pr´ actica al c´ alculo del flujo detr´ as de una presa
Como ejercicio de aplicaci´on de la teor´ıa de flujo lentamente variable en canales abiertos, consid´erese el caso de un canal de longitud L que conecta dos dep´ositos a diferentes alturas como se muestra en la Figura 17.23. Adem´as de los par´ametros del canal (pendiente de la solera, forma de la secci´on, coeficiente de Manning), el caudal Q que descarga a trav´es del canal depende de las condiciones de contorno a la entrada y salida del canal, en principio la profundidad a la entrada h(0) = h1 y salida h(L) = h2 . Obs´ervese que h2 ≤ h1 + So L. Naturalmente, en situaciones en las que el caudal es dato la profundidad del flujo a la entrada o a la salida es entonces desconocida. (a)
y (1) = 1 + SoL / h1 D
A y (0) = 1
C
x
B
S
0
h1 y los datos del canal son tales que αu < 1, esto es, canal de solera subcr´ıtica, el caudal es menor que el correspondiente al de corriente uniforme y el perfil de la profundidad es tal que dy/dξ > 0. Para la integraci´ on de (17.207) es conveniente arrancar la integraci´ on desde ξ = 0 con la primera de las condiciones (17.207), y(0) = 1, escogiendo un valor arbitrario de α menor que αu . El valor escogido para α no ser´a en general el apropiado para satisfacer la segunda de las condiciones en (17.207) y de la integraci´ on se obtendr´a un valor de y(1) que ser´a distinto del especificado h2 /h1 . Se barre entonces en el par´ametro α hasta encontrar aquel para el que se satisface la condici´on y(1) = h2 /h1 . La soluci´on se representa en la Figura 17.23a por la l´ınea AC. Obs´ervese que cuando h2 = h1 + So L, el caudal es nulo α = 0 y la soluci´on y = So Lξ/h1 se representa en la Figura 17.23a por la l´ınea de trazos AD. Si h2 < h1 , el valor del caudal adimensional α es mayor que αu (el de la corriente uniforme) y el perfil de la superficie libre tiene pendiente negativa dy/dξ < 0. Como en el caso anterior se inicia la integraci´ on desde ξ = 0 con y(0) = 1 escogiendo un valor arbitrario de α mayor que αu y barriendo en α hasta que el resultado de la integraci´ on satisfaga la segunda de las condiciones de contorno en (17.208). Es interesante se˜ nalar que existe un valor m´ aximo de α que se denomina αc (cr´ıtico) para el que la corriente a la salida del canal es cr´ıtica F 2 (1) = αc h2 3c /h31 = 1,
h2c = h1 /αc1/3 .
(17.209)
El perfil de la superficie libre se representa en este caso por la l´ınea AE. N´otese que la soluci´on deja de ser v´alida en las proximidades de ξ = 1, donde dy/dξ se hace de orden unidad por ser F 1. Obs´ervese, tambi´en, que para valores de h2 inferiores al cr´ıtico el perfil de la profundidad
557
17.6. Flujo turbulento en canales abiertos
en el canal sigue siendo el de la l´ınea AE, teniendo lugar un derrame libre a la salida del canal. El gasto adimensional es, en estos casos, el cr´ıtico (m´aximo gasto posible a trav´es del canal), ya que por ser el flujo cr´ıtico a la salida del canal la informaci´ on de la altura h2 no puede propagarse aguas arriba, Figura 17.23b.
17.6.3.
Flujo r´ apidamente variable
La aproximaci´ on casi-unidireccional utilizada para la descripci´ on del flujo lentamente variable en canales deja de ser v´alida ante cambios bruscos en la geometr´ıa del canal o en el r´egimen de flujo. Ejemplos t´ıpicos del primer caso son el flujo sobre vertederos o el flujo en situaciones en las que la anchura del canal var´ıa apreciablemente en distancias relativamente cortas, mientras que el salto hidr´aulico lo es del segundo caso. En estas situaciones el perfil de la superficie libre var´ıa r´apidamente aguas abajo (dh/dx ∼ 1), y la distribuci´ on de presiones se aparta considerablemente de la hidrost´ atica por lo que la aplicaci´ on de la ecuaci´on (17.191) no es ya v´alida. Como se ver´a en lo que sigue, muchos problemas de flujos r´ apidamente variables pueden resolverse aproximadamente utilizando la ecuaci´on de Euler-Bernouilli, que, como se sabe, es v´alida en situaciones, como ocurre en el flujo en canales abiertos, en las que se trata del flujo de un fluido bar´otropo a muy altos n´ umeros de Reynolds bajo la acci´on de fuerzas m´asicas que derivan de un potencial. Por otra parte, las p´erdidas por fricci´ on en las capas l´ımites de la solera y paredes son peque˜ nas y pueden despreciarse frente a las existentes en otros tramos del canal, ya que la longitud de estas regiones donde el flujo var´ıa r´apidamente es peque˜ na frente a aquellas donde se desarrollan flujos lentamente variables.
(a) h1
h2 v2
v1
Dzs
h
Dzs
(b)
(h1, v1) (h2, v2)
hc Hc
H
Figura 17.24: Flujo a trav´es de un vertedero de pared gruesa y curva (h, H) a caudal constante. Consid´erese, para fijar ideas, un flujo que deja de ser uniforme por la presencia de una elevaci´on en la solera del canal como se muestra en la Figura 17.24a. Aguas arriba, la profundidad de la corriente h1 y el caudal Q se suponen conocidos y el problema consiste en determinar la profundidad, h2 , aguas abajo, donde un flujo lentamente variable se desarrolla nuevamente.
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
558
A lo largo de cualquier l´ınea de corriente se satisface la ecuaci´on de Euler-Bernouilli p vl2 + + gz = const, 2 ρ
(17.210)
donde vl y z son la proyecci´on de la velocidad en la direcci´ on de la l´ınea de corriente y la altura en un punto gen´erico de la l´ınea de corriente. Si la ecuaci´on (17.210) se eval´ ua a lo largo de la superficie libre, donde la presi´ on es la atmosf´erica, y en los puntos 1 y 2, donde, por ser la corriente horizontal y uniforme, la aproximaci´ on hidrost´ atica resulta v´alida, se tiene H1 =
v2 v12 + h1 = 2 + h2 + ∆zs = H2 + ∆zs , 2g 2g
(17.211)
aulica se donde H = v 2 /(2g) + h es una magnitud f´ısica con dimensiones de longitud que en Hidr´ denomina com´ unmente energ´ıa espec´ıfica, ∆zs es el incremento de altura de la solera y v1 y v2 son las velocidades del fluido en los puntos de la superficie 1 y 2, y que coinciden muy aproximadamente con la velocidad en cualquier punto de las secciones 1 y 2. La ecuaci´on (17.211) junto con la de continuidad v1 h1 = v2 h2 = Q/b, (17.212) dan lugar a un sistema alg´ebrico para determinar la profundidad h2 y la velocidad v2 como funci´on de h1 , Q, y ∆zs . Es de inter´es hacer notar que el sistema (17.211)-(17.212) no tiene soluci´on para cualesquiera triada de valores de las magnitudes h1 , Q y ∆zs . En efecto, fijados h1 y Q existe un valor de ∆zs , ∆zs c , que depende de h1 y Q, para el que la corriente en 2 se hace cr´ıtica; si se impone la condici´on de flujo cr´ıtico en (17.211), v2 c = (gh2 c )1/2 , dicho valor resulta ∆zs c
3h2 c v2 = H1 − h2 c − 2c = H1 − 2 2
con h2 c
Q2 = gb2
1/5 .
(17.213)
Para valores de ∆zs inferiores a ∆zs c existen dos soluciones reales de h2 y una imaginaria. De las dos ra´ıces reales una corresponde a un r´egimen subcr´ıtico h2 > h2 c y la otra a uno supercr´ıtico h2 > h2 c , ver Figura 17.24b. Naturalmente el valor que se presenta en la realidad es el correspondiente a la soluci´on subcr´ıtica, ya que por ser ∆zs < ∆zs c el flujo no se hace cr´ıtico. Para valores de ∆zs superiores a ∆zs c no existen soluciones reales de h2 para los valores especificados de H1 y Q. Esto quiere decir que si bruscamente se elevase la solera del canal por encima del valor ∆zs c necesariamente pasar´ıa por la secci´on 2 un caudal Q menor que Q. Aguas arriba de la elevaci´on de la solera se ir´ıa acumulando con el tiempo el volumen de agua correspondiente a la diferencia de caudales Q − Q con el consiguiente aumento de la profundidad h1 . Este proceso no estacionario finalizar´ıa cuando se alcanzase aguas arriba una altura h1 n tal que el caudal que atraviesa la secci´on 2 (secci´on que es siempre cr´ıtica) sea Q. El valor de la nueva altura es entonces h1n +
Q2 3 = h2nc + ∆zs , 2 2gb2 h1 n 2
(17.214)
con h2 nc dado por la segunda de las expresiones de (17.213). Medida de caudales con vertederos Como se ha visto anteriormente, cuando se alcanzan condiciones cr´ıticas debido a una obstrucci´on en la solera, la profundidad de la corriente aguas arriba de la obstrucci´ on es controlada por la elevaci´on de la misma. Este hecho permite relacionar el caudal Q con la profundidad de la corriente aguas arriba, de modo que conocida ´esta se puede determinar el caudal que circula por el canal.
559
17.6. Flujo turbulento en canales abiertos
v12 / (2g) hc H1
h1 Dz
Figura 17.25: Flujo a trav´es de un vertedero de pared gruesa. Este tipo de obstrucciones en la solera se denominan vertederos y no son otra cosa que dispositivos elementales, pero muy efectivos, para la medida del caudal en canales. En la Figura 17.25 se esquematiza un vertedero del tipo denominado de pared gruesa para los que la corriente sobre ellos es esencialmente horizontal y la aproximaci´on hidrost´ atica es v´alida. Esto se cumple en aquellos vertederos que satisfacen la relaci´on 0,08 ≤ (H1 − ∆z)/L ≤ 0,50, ya que si la longitud L del vertedero es tan corta que (H1 − ∆z)/L ≥ 0,50 la curvatura de las l´ıneas de corriente es lo suficientemente pronunciada como para que la aproximaci´ on hidrost´ atica deje de ser v´alida mientras que si L es lo suficientemente grande para que (H1 − ∆z)/L ≤ 0,08, la fricci´on no puede ser entonces despreciada.9 El flujo aguas arriba del vertedero es subcr´ıtico, se acelera aguas abajo y se hace cr´ıtico en alg´ un punto sobre la cima del vertedero. El caudal es entonces Q = vc bhc = ghc bhc = bg 1/2 h3/2 (17.215) c . Suponiendo que son despreciables las p´erdidas entre una secci´on 1 situada aguas arriba y aquella donde la corriente es ya cr´ıtica se tiene H1 = h 1 +
v2 3hc v12 = hc + c + ∆z = + ∆z, 2g 2g 2
(17.216)
siendo ∆z la altura del vertedero. En muchos casos pr´ acticos sucede que v12 /(2g) h1 , en cuyo caso de (17.215) y (17.216) se obtiene
3/2
3/2 2 2 bg 1/2 (h1 − ∆z) . (17.217) Q = bg 1/2 (H1 − ∆z) 3 3 En la pr´actica, la ecuaci´on (17.217) se modifica incluyendo un coeficiente de descarga, Cd , para tener en cuenta las p´erdidas de presi´on de remanso a trav´es del vertedero debidas fundamentalmente a separaci´on de la corriente, capas l´ımites, etc.;10 se tiene entonces
3/2 2 . (17.218) Q = Cd bg 1/2 (h1 − ∆z) 3 9 En Discharge Measurement Structures, Ed. M. G. Bos, International Institute for Land Reclamation and Improvement, Wagemingen, Pa´ıses Bajos, 1976. 10 Valores del coeficiente de descarga en vertederos de paredes gruesas y delgadas pueden encontrarse en manuales y libros de Hidr´ aulica. Ver entre otros, R. H. French, Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill, 1985; A. Chadwick y J. Morfett, Hydraulics in Civil Engineering, Allen & Unwin, Londres, 1986.
560
Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales
Resulta interesante comparar la teor´ıa desarrollada aqu´ı con la relaci´on para el flujo a trav´es de un vertedero obtenida mediante argumentos dimensionales en 6.4.1.
Figura 17.26: Flujo a trav´es de un vertedero de pared delgada. El an´ alisis de los vertederos denominados de pared delgada como el que se esquematiza en la Figura 17.26 es m´as complejo que el de pared gruesa debido a que sobre ´el no se desarrolla la corriente casi-unidireccional en condiciones muy pr´ oximas a la cr´ıtica que tiene lugar sobre la cima de los vertederos de pared gruesa. No cabe, por tanto, m´as que el recurso de la resoluci´on num´erica del flujo no viscoso (ecuaciones de Euler) bi o tridimensional a trav´es del vertedero de pared delgada, o recurrir a la experimentaci´ on bajo la gu´ıa del an´alisis dimensional. Como se demuestra en 6.4.1, una relaci´on del tipo de la de (17.218) es tambi´en v´alida para establecer la relaci´on entre el caudal y la altura en vertederos de pared delgada.
Referencias y fuentes de lectura complementaria F. M. White, Mec´ anica de Fluidos, McGraw-Hill, 2004. J. Parmakian, Waterhammer analysis, Dover, Nueva York, 1963. E. B. Wylie y V. L. Streeter, Fluid Transient, McGraw-Hill, Nueva York, 1978. R. H. French, Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill, 1985.
561
17.I. Flujo turbulento en canales. Coeficiente de Manning
´ APENDICE 17.I Coeficiente de Manning
Tipo de canal R´ıo (tramo recto) R´ıo (meandro) R´ıo (tramo recto) R´ıo (tramo sinuoso) Canal recto no revestido Canal recto no revestido Canal (tramo recto) revestido
Material de la superficie tierra tierra grava (75-150 mm) grava (75-150 mm) tierra roca cemento mortero perspex
n(sm−1/3 ) 0.02 - 0.025 0.03 - 0.05 0.03 - 0.04 0.04 - 0.08 0.018 - 0.025 0.025 - 0.045 0.012 - 0.017 0.011 - 0.013 0.009
Tabla 17.1. Valores t´ıpicos del coeficiente de Manning (v´ease nota 10 en la p´agina 559).
´Indice alfab´ etico aceleraci´on material, 43 aguas someras, 317 analog´ıa de Reynolds, 402 aproximaci´ on de Oseen, 183
uniforme, 334 crisis de la resistencia, 380 densidad de acci´on de onda, 270 derivada sustancial, 43 descripci´on euleriana, 39 dipolo ac´ ustico, 255 discontinuidad ecuaciones de conservaci´on, 302 en fluidos ideales, 301 tangencial, 303 distancia t´ıpica entre mol´eculas, 10 doblete, 336
cantidad adimensional, 112 dimensional, 112 capa dipolar, 256 l´ımite, 371 con simetr´ıa axial, 387 soluciones num´ericas, 392 t´ermica, 399 carga de dep´ositos, 227 cavitaci´on, 172 codos, 545 coeficiente de compresibilidad, 24 de expansi´on t´ermica, 24 de sustentaci´on, 329 Coeficiente de Manning, 561 cojinete, 167 corto, 171 largo, 169 condici´ on de Kutta-Joukowski, 333 condiciones de Sommerfeld, 172 conducto capilar, 78 de secci´on lentamente variable, 151 cono de Mach, 309 constante de Boltzmann, 14 universal de los gases, 14 corriente alrededor de un cilindro circular, 338 de Couette, 127 de Couette compresible, 143 de Hagen-Poiseuille, 127 de Stokes, 134
ecuaci´on de cantidad de movimiento, 85 de Euler-Bernoulli, 202 de la energ´ıa, 86 para el campo sonoro, 234 de la entrop´ıa, 106 de Laplace-Young, 75 de Orr-Sommerfeld, 440 de Poisson, 53 de Rayleigh, 441 de Reynolds, 164 de una superficie fluida, 43 ecuaciones de Euler, 197 forma semi-integral, 223 de la capa l´ımite, 372 de Navier-Stokes, 89 condiciones de contorno, 90 coordenadas esf´ericas, 99 en coordenadas cartesianas, 97 en coordenadas cil´ındricas, 98 forma integral, 91 para mezclas reactantes, 102 para un fluido incompresible, 89 de Stokes, 178 para flujos potenciales, 331 efecto Doppler, 253 562
´Indice alfab´etico
563
electrospray, 75 energ´ıa interna, 13 libre de Helmholtz, 24 entalp´ıa, 24 entrop´ıa, 18 estabilidad de la capa l´ımite de Blasius, 447 de una capa de mezcla, 444 espacial, 442 hidrodin´ amica, 418 no viscosa, 441 expansi´on de Prandtl-Meyer, 312
Lagrangiana, descripci´ on, 39 Ley de Fick, 33 de Fourier, 31 de Stokes, 181 l´ınea de corriente, 41 de curvatura media, 349 fluida, 40 sustentadora, 360 l´ıquido perfecto, 27 longitud capilar, 77 lubricaci´on fluidomec´anica, 159
flujos newtonianos, 63 potenciales alrededor de cu˜ nas, 340 axilsim´etricos, 342 m´etodo num´ericos en, 365 no estacionarios, 343 f´ormula de Green, 365 de Kutta, 345 fuerza de interacci´on molecular, 9 de Lorentz, 58 resultante sobre un volumen, 57 funci´ on de corriente, 50 de corriente de Stokes, 51 de Prandtl-Meyer, 315 trayectoria, 39 funci´ on de estado, 23
magnitud de remanso, 203 manantial, 335 m´etodo de Glauert, 355 de las perturbaciones, 149 de los paneles, 367 mezcla de gases perfectos, 27 monopolos, 248 movimiento a trav´es de medios porosos, 190 alrededor de un cilindro circular, 185 alrededor de una esfera, 181 axilsim´etrico, 40 bidimensional de l´ıquidos ideales, 334 casi-estacionario de gases en conductos, 530 de l´ıquidos en conductos, 517 casi-unidireccional, 151 de fluidos ideales, 214 de gases a bajos n´ umeros de Mach, 532 en conducto de l´ıquidos ideales, 215 estacionario, 39 alrededor de un obst´ aculo, 116 homentr´ opico, 201 insentr´ opico, 201 no-estacionario de l´ıquidos en conductos, 519 plano, 40 unidireccional de un gas, 293 de un l´ıquido, 125 uniforme, 40
gas perfecto, 26 gasto a trav´es de un vertedero, 114 geometr´ıa fuselada, 327 hip´otesis de Kutta-Joukowski, 347 inestabilidad centr´ıfuga, 424, 432 de Kelvin-Helmholtz, 419 t´ermica, 449 intensidad direccional, 250 interfase de dos fluidos, 71 de dos fluidos no miscibles, 73 invariante adiab´ atico, 270
n´ umero de Bond, 77 de Euler, 121
´Indice alfab´etico
564 de de de de de de
Froude, 122 Knudsen, 25 Mach, 121 Peclet, 123 Prandtl, 35 Rayleigh cr´ıtico, 454 de Reynolds, 122 grande, 195 peque˜ no, 177 de Strouhal, 121
ondas de choque estructura, 413 normales, 307 oblicuas, 309 de expansi´on, 312 de Mach, 309 dispersivas, 265 esf´ericas, 245 homog´eneas, 240 inhomog´eneas, 240 lineales en corriente uniforme, 275 en l´ıquidos con superficie libre, 272 monocrom´aticas, 238 no lineales, 293 planas, 236 sonoras, 231 reflexi´ on, 240 transmisi´on, 240 ondas generadas por un obst´ aculo, 284 p´erdida de carga, 541 par´ ametro de Squire, 392 paradoja de Stokes, 185 part´ıcula fluida, 41 polar de un perfil, 350 potencial de Lennard-Jones, 9 de velocidades, 210 presi´ on, 16 principio de conservaci´on de la masa, 84 de equipartici´ on de la energ´ıa, 15 principio de Arqu´ımedes, 68 problema de B´enard, 449 de espesor, 352
de Rayleigh, 130 sustentador, 354 punto de remanso, 41 material, 39 relaci´on de Hugoniot, 305 relacion de dispersi´on, 240 resalto hidr´ aulico, 320 resistencia de forma, 330 de fricci´on, 330 rotura de un chorro capilar, 424 semejanza f´ısica, 119 silenciador, 243 soluci´on de Reynolds, 172 estable, 417 soluciones de semejanza, 148 de Falkner-Skan, 382 en convecci´on forzada, 407 sumidero, 335 tensi´on superficial, 71 tensor de esfuerzos, 58 de Levi-Civita, 47 de rotaci´on, 47 de velocidades de deformaci´on, 46 Teorema Π, 112 de Bjerkness-Kelvin, 208 de Schwarz, 50 del transporte de Reynolds, 44 torbellino, 335 bidimensional, 141 transformaci´ on de Mangler, 388 reversible, 23 transporte coeficientes de, 34 convectivo, 35 difusivo, 29 trayectoria de los puntos materiales, 40 traza, 42 tubos de longitud finita, 155 de vorticidad, 206 turbulencia
´Indice alfab´etico en canales abiertos, 547 en conductos y canales, 511 velocidad de dilataci´on c´ ubica unitaria, 50 de dilataci´on lineal unitaria, 48 de propagaci´on del sonido, 24 de sedimentaci´on, 188 media de un conjunto, 8 viscosidad, 34 cinem´atica, 35 efecto en ondas sonoras, 263 v´ortice, 211 de Taylor, 432 rotura de, 392 viscoso, 389 vorticidad, 47, 205 distribuci´ on de, 52 zona de Fraunhofer, 250
565
En este libro se describen en profundidad, con un punto de vista unificado y auto–contenido que parte de primeros principios, los fenómenos físicos relevantes en el movimiento de los fluidos y su cuantificación matemática que dan lugar a las ecuaciones generales que gobiernan los movimientos fluidos. Con el enfoque adoptado en este libro se pretende proporcionar al lector una exposición ordenada, rigurosa, extensa y profunda, de los fundamentos de la Mecánica de Fluidos que, una vez desarrollado el modelo teórico general, permita al lector abordar gradualmente el estudio de las aplicaciones prácticas más relevantes de la Mecánica de Fluidos. Desde el punto de vista didáctico, las ventajas de este método son patentes si se tiene en cuenta la complejidad de los procesos fluidodinámicos reales, cuyo tratamiento requiere un amplio conocimiento y una comprensión profunda de los problemas fisico–matemáticos involucrados en el fenómeno considerado. Sólo dicho conocimiento permitirá estimar cuantitativamente la importancia relativa de los diferentes efectos involucrados en el fenómeno y llevar a cabo simplificaciones, siempre necesarias en la Mecánica de Fluidos, que proporcionen soluciones aproximadas, analíticas, numéricas o experimentales, al problema considerado que sean de interés práctico.
www.mcgraw-hill.es
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