Fundamentos de Teoria Da Relatividade e Física Quântica

 

FUNDAMENTOS DE TEORIA  DA RELATIVIDADE E FÍSICA  QUÂNTICA Prof. Sandro Elias Braun

Indaial – 2020 a 1  Edição

 

Copyright Copyrig ht © UNIASSE UNIASSEL LVI 2020

Elaboração: Prof. Sandro Elias Braun

Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI  UNIASSELVI 

Ficha catalográca elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial. B825f  

Braun, Sandro Elias

  Fundamentos de teoria da relatividade e física quântica. / Sandro Elias Braun. – Indaial: UNIASSELV UNIASSELVI,I, 2020.    

316 p.; il. ISBN 978-85-515-0449-9

1. Teoria da relatividade. - Brasil. 2. Física quântica. – Brasil. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. CDD 530

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APRESENTAÇÃO Caro acadêmico! Neste Livro Didático, desenvolveremos e exploraremos as relevantes conquistas dos séculos XIX e XX conforme os elementos ele mentos da física moderna sob a perspectiva da teoria da relatividade e da mecânica quântica, enfatizando conceitos e aplicações. Acreditamos que ao nal do livro você entenderá os fundamentos que constituem a física moderna que, apesar de invisíveis, estão na nossa vida cotidiana. Este trabalho foi criado considerando você, estudante a distância, que está cursando a disciplina e deseja se suplementar dos conceitos e aplicações deste tema. Com o objetivo de permitir uma visão geral do tema, ao longo do texto serão desenvolvidos: os conceitos compreendidos, os padrões de análise e a descrição dos cálculos. Não deixe de estudá-los anteriormente ao entrar para o tópico posterior! Vídeos,a textos e destaques foram apresentados de forma integrarcomplementares, os fundamentosdicas fornecidos no texto, e precisam ser avaliados na sequência em que se apresentam, então preste atenção! E não deixe de avaliar minuciosamente as guras apresentadas, estas são importantes para o entendimento e a compreensão dos discursos de exploração. Ao nal da unidade há uma lista de exercícios — autoatividades — para a xação do conteúdo. A proposta é de que você os resolva primeiramente fazendo um estudo e em seguida tente resolver os mesmos exercícios novamente, mas sem olhar as respostas, e, por m, compare os acertos e os erros. Não deixe de resolv resolvê-los! ê-los! Bons estudos! Prof. Sandro Elias Braun

III

 

 TA  O  N

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material. Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo. Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão. Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade. Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

 I  N  U

Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar aprimorar seus estudos!

IV

 

V

 

 E  T  E  R  B  M  E  L

Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela um novo conhecimento. Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizage aprendizagem, m, por meio dela você terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complement complementares, ares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento. crescimento. Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo. Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!

VI

 

SUMÁRIO UNIDADE 1 – MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS .................................................1 TÓPICO 1 – A TEORIA DA RELATIVIDADE RELATIVIDADE RESTRITA ...............................................................3 1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3 ................................................................................................ .......................................3 2 O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE RELATIVIDADE ..................................................................................................5 .............................................................................................. ....5 3 O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY MICHELSON-MORLEY ....................................................... .............................................................................8 ......................8 4 O POSTULADO DE EINSTEIN.........................................................................................................14 5 ESPAÇO-TEMPO ESPAÇO-TEMPO ............................................................................................. ..................................................................................................................................17 .....................................17 5.1 LINHAS DO UNIVERSO NO ESPAÇO-TEMPO........................................................................19 6 A TRANSFORMAÇÃO TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ............................................................................................20 ......................................................................................... ...20 7 SIMULT SIMULTANEIDADE ............................................................................................................................23 8 TRANSFORMAÇÃO DE VELOCIDADES .....................................................................................28 9 O EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO RELATIVÍSTICO ..........................................................................................29 ........................................................................................ ..29 9.1 ALGUMAS APROXIMAÇÕES APROXIMAÇÕES ÚTEIS .......................................................................................... 32 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................35 AUTOATIVIDADE AUTOA TIVIDADE .................................................................................................................................38 ............................................................................................ .....................................38 TÓPICO 2 – DINÂMICA RELA RELATIVÍSTICA TIVÍSTICA ......................................................................................45 1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................45 ................................................................................................ .....................................45 2 MOMENTO RELATIVÍSTICO RELATIVÍSTICO ..........................................................................................................46 ........................................................................................................ ..46 3 ENERGIA RELATIVÍSTICA RELATIVÍSTICA .............................................................................................................. ..............................................................................................................51 51 RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................55 AUTOATIVIDADE AUTOA TIVIDADE .................................................................................................................................57 ............................................................................................ .....................................57 TÓPICO 3 – INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL .............................................................59 1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................59 ................................................................................................ .....................................59 2 GEOMETRIA DIFERENCIAL............................................................................................................59 ......................................................................................... ...................59 3 O PRINCÍPIO DA EQUIVA EQUIVALÊNCIA LÊNCIA ................................................................................................63 .............................................................................................. ..63 4 AS EQUAÇÕES DE CAMPO DE EINSTEIN .................................................................................. ..................................................................................66 66 4.1 APROXIMAÇÃO PARA CAMPOS FRACOS.............................................................................. 66 5 A SOLUÇÃO DE SCHW SCHWARZSCHILD ARZSCHILD .............................................................................................69 RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................76 AUTOATIVIDADE AUTOA TIVIDADE .................................................................................................................................78 ............................................................................................ .....................................78 UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS ...........................................................................79 TÓPICO 1 – ORIGENS DA TEORIA QUÂNTICA E OS FÓTONS ..............................................81 1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................81 ................................................................................................ .....................................81 2 HISTÓRICO DA TEORIA QUÂNTICA ..........................................................................................81 ........................................................................................ ..81

2.1 DE PLANCK ............................................................................................................82 2.2 A O HIPÓTESE EFEITO FOTOELÉTRICO ..........................................................................................................84 2.2.1 A teoria quântica de Einstein sobre o efeito fotoelétrico...................................................88 2.3 O EFEITO COMPTON ....................................................................................................................94 ................................................................................................ ....................94 RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................105 VII

 

AUTOATIVIDADE .............................................................................. AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................106 .................................................106 TÓPICO 2 – MODELOS ATÔMICOS ATÔMICOS ...............................................................................................107 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... ...................................................................................................................................107 ...............................107 2 ESPECTROS ATÔMICOS ATÔMICOS.................................................................................................................107 .................................................................................................... .............107 3 O MODELO DE RUTHERFORD....................................................................................... .....................................................................................................112 ..............112 4 O MODELO DE BOHR .....................................................................................................................119 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................140 AUTOATIVIDADE AUTOA TIVIDADE .............................................................................. ...............................................................................................................................141 .................................................141 TÓPICO 3 – PROPRIEDADES PROPRIEDADES ONDULAT ONDULATÓRIAS ÓRIAS DAS PARTÍCULAS ...................................143 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... ...................................................................................................................................143 ...............................143 2 A HIPÓTESE DE BROGLIE ................................................................................................. ..............................................................................................................144 .............144 3 A DUALIDADE PARTÍCULA-OND PARTÍCULA-ONDA............................................................................................ A............................................................................................153 153 4 INTERPRETAÇÃO INTERPRETAÇÃO PROBABILÍSTICA DA FUNÇÃO DE ONDA..........................................157 5 OPERADORES ..................................................................................................... ....................................................................................................................................161 ...............................161 6 OB S E RVÁVE RV ÁVE I S E VAL OR E SP E R AD O ..... ........ ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... .....16 ..1622 7 REPRESENTAÇÃO REPRESENTAÇÃO MATRICI MATRICIAL AL E ÁLGEBRA DE OBSERV OBSERVÁVEIS ÁVEIS ......................................167 8 MOMENTO ANGULAR DO FÓTON ............................................................................................ ............................................................................................176 176 9 O PRINCÍPIO DA INCERTEZA ......................................................................................................181 ........................................................................................ ..............181 RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................188 AUTOATIVIDADE AUTOA TIVIDADE .............................................................................. ...............................................................................................................................191 .................................................191 UNIDADE 3 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDIN SCHRÖDINGER GER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS...................................................................193 TÓPICO 1 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDING SCHRÖDINGER ER............................................................................ ............................................................................195 195 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... ...................................................................................................................................195 ...............................195 2 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER SCHRÖDINGER EM UMA DIMENSÃO ....................................................196 ....................................... .............196 3 OPERADORES DE POSIÇÃO E DE MOMENTO....................................................................... .......................................................................201 201 4 AUTOFUNÇÕES DO MOMENTO ................................................................................................. .................................................................................................204 204 5 DENSIDADE DE CORRENTE E DE PROBABILIDADE PROBABILIDADE ...........................................................205 6 RELAÇÕES DE INCERTEZA .............................................................................................. ...........................................................................................................208 .............208 7 ESTADOS ESTADOS ESTACIONÁRIOS ESTACIONÁRIOS ......................................................................................................... .........................................................................................................211 211 RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................216 AUTOATIVIDADE AUTOA TIVIDADE .............................................................................. ...............................................................................................................................218 .................................................218 TÓPICO 2 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDING SCHRÖDINGER ER INDEPENDENTE DO TEMPO ..................219 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... ...................................................................................................................................219 ...............................219 2 O POTENCIAL NULO ......................................................................................................................220 3 O POTENCIAL DEGRAU .................................................................................................................230 ................................................................................................... ..............230 3.1 ENERGIA MENOR DO QUE A ALTURA ALTURA DO DEGRAU ....................................................... ......................... ..............................231 3.2 ENERGIA MAIOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU .........................................................242 4 A BARREIRA DE POTENCIAL .......................................................................................................251 5 O POÇO DE POTENCIAL QUADRADO ...................................................................................... ......................................................................................262 262 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................273 AUTOATIVIDADE AUTOA TIVIDADE .............................................................................. ...............................................................................................................................274 .................................................274 TÓPICO 3 – ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA.............................................................................................. ..............................................................................................275 275 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... ...................................................................................................................................275 ...............................275 2 O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO HIDROGÊNIO ........................................................................ .......................................................................................................276 ...............................276 2.1 QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR E DA ENERGIA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO HIDROGÊNIO ................................................................................................276 ................................................................................................ 276 VIII

 

2.2 QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ANGULAR .......................................................................279 ....................................................................... 279 2.3 QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA ENERGIA ................................................................................................283 ............................................................................................... .283 2.4 RESUMO DOS NÚMEROS QUÂNTICOS.................................................................................286 ................................................................................. 286 2.5 AS FUNÇÕES DE ONDA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO...................................................287 2.6 O ESTADO ESTADO FUNDAMENTAL FUNDAMENTAL .....................................................................................................288 2.7 ESTADOS ESTADOS EXCITADOS EXCITADOS ............................................................................................................... ................................................................................................................292 .292 3 O SPIN DO ELÉTR ELÉTRON ON ................................................................................................... .....................................................................................................................295 ..................295 3.1 MOMENTO MAGNÉTICO ..........................................................................................................296 ......................................................................................... .................296 RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................303 AUTOATIVIDADE AUTOA TIVIDADE ...............................................................................................................................305 ............................................................................................ ...................................305 REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................306 .................................................................................................... ...................................306

IX

 

X

 

UNIDADE 1 MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:

• entender o que estabelec estabelecee o pprincípio rincípio da relatividade; • entender a ex experiência periência de Michelson-Morley; Michelson-Morley; • entender a formulação do postulado de Einstein; • entender a relaç relação ão do espaço tempo com o estudo da relatividade restrita e relatividade geral; • entender a transformação de Loren deduzida para para um m movimento ovimento relativo em qualquer direção; • entender a imultaneidade de dois eventos ppoderem oderem ser pe percebidos rcebidos de forma coincidente em um mesmo instante; • entender a transformaç transformação ão de velocidades para um corpo se mov movendo endo em relação a um determinado referên referêncial; cial; • entender o efeito Doppler relativístico para objetos (font (fontee emissora ou detector) que se movem em velocidades relativísticas; • entender o momento relativístico e energia relativística para uma partícula; • entender a geometria diferencial como formulações matemáticas da memecânica quântica são os formalismos matemáticos que permitem uma descrição rigorosa da mecânica quântica; • entender o princípio da equiv equivalência alência de Einstein da aceleração de um dado referencial; • entender as equações de campo de Einstein, que descreve como a mat matééria gera gravidade e, inversamente, como a gravidade afeta a matéria; • entender a solução de Schw Schwarzschild arzschild que descreve o campo gravitacional externo a um corpo esférico, porém desprezando qualquer rotação de massa.

1

 

PLANO DE ESTUDOS Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer de cada tópico você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA TÓPICO 2 – DINÂMICA RELATIVÍSTICA TÓPICO 3 – INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL

 DA  MA  HA  C

Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, concent ração, assim absorverá melhor as informações.

2

 

TÓPICO 1

UNIDADE 1

A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA RESTRITA 1 INTRODUÇÃO A propriedade relativística das leis da física começou a ser observada muito cedo na história da física clássica. Nicolau Copérnico já havia apresentado que o cálculo dos movimentos dos planetas se voltaria muito mais claro e preciso se o antigo modelo aristotélico, entendido na ideia de que a Terra era o centro do universo, casse alterado por um padrão no qual os planetas se voltassem em tomo do Sol e não da Terra. Copérnico se tornou largamente conhecido graças a sua correspondência com os contemporâneos. Além disso, ajudou a preparar o ca caminho minho para a aceitaçã aceitaçãoo geral, um século mais tarde, da teoria heliocêntrica do movimento dos planetas. Embora a teoria de Copérnico tenha gerado uma verdadeira revolução do pensamento humano, o aspecto como especialque ou nos privilegiada. interessa Logo, é que aasteoria mesmas nãoequações considerava cariam a localização obtidas,da com Terra independência da origem do sistema de coordenadas. Essa invariância das equações que apresentam as leis da física é vista como princípio da relatividade. A teoria restrita, desenvolvida por Einstein e outros em 1905, apresentam o confronto entre os movimentos observados em diferentes referenciais que se encontram movendo-se com velocidade constante, uns em relação aos outros. A teoria geral, também formulada por Einstein, aborda os referenciais acelerados e os efeitos da gravidade. Apesar de que a teoria geral queira conhecimentos mais agudos de matemática (como análise tensorial, por exemplo) para carem bem compreendidas, umas suas ideias básicas e hipóteses importantes dessa teoriapara podem ser discutidas no de nível deste Livro Didático. A teoria geral é fundamental a cosmologia e para o estudo dos fatos que surgem nas vizinhanças de massas muito grandes (como as estrelas, por exemplo). Graças a melhorias com nossa prática de fazer medidas claras, a teoria geral está sendo utilizada cada vez mais com outras áreas da física e da engenharia e até na vida diária, como nos aparelhos de GPS. Vamos dedicar os Tópicos 1 e 2 à teoria restrita — também conhecida como relatividade restrita — e deixaremos para discutir a teoria geral no Tópico 3 desta unidade.

Como abertura a este tópico, suponhamos um vagão de translação trem que está em um movimento uniforme. Referimos que seu movimento é uma uniforme (uniforme, porque são de velocidade e direção constantes; translação, porque, mesmo que a posição do vagão mude com relação à via, não realiza nenhum giro). 3

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

Suponhamos que pelos ares voa um corvo em linha reta e uniformemente (com respeito à via). Não há dúvida de que o movimento do corvo é — com respeito ao vagão em marcha — um movimento de diferente velocidade e diferente direção, mas segue sendo retilíneo e uniforme. Expresso de modo abstrato: se uma massa m se move em linha reta e uniformemente com respeito a um sistema de coordenadas K  , então também se move em linha reta e uniformemente com respeito a um segundo sistema de coordenadas K' , , sempre que este execute com respeito a K um movimento de translação uniforme. Tendo em conta o armado no parágrafo anterior, depreende-se daqui o seguinte: Se K  é  é um sistema de coordenadas de Galileu, então também é qualquer outro sistema de coordenadas K' que, com respeito a K, se ache num estado de translação uniforme. As leis da Mecânica de Galileu-Newton valem tanto com respeito a K' como com respeito a K. Demos um passo a mais na generalização e enunciemos o seguinte princípio:

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Se K' é um sistema de coordenadas que se move uniformemente e sem rotação com respeito a K, então os fenômenos naturais decorrem com respeito a K' segundo idênticas leis gerais com respeito a K. Esta proposição é o que chamaremos o Princípio de Relatividade (no sentido restrito).

Enquanto se manteve a crença de que todos os fenômenos naturais podiam ser representados com ajuda da Mecânica Clássica, não se podia acreditar na validade do Princípio da Relatividade. No entanto, os recentes progressos da Eletrodinâmica e da Ótica zeram ver cada vez mais claramente que a Mecânica Clássica, como base de toda descrição física da natureza, não era suciente. A questão da validade do Princípio de Relatividade se tornou assim, perfeitamente discutível, sem excluir a possibilidade de que a solução fosse em sentido negativo. Existem, contudo, d dois ois fatos gerais que primeiramente falam falam muito a favor da validade do Princípio da Relatividade. Efetivamente, ainda que a Mecânica Clássica não proporcione uma base sucientemente ampla para representar teoricamente todos os fenômenos físicos, possui um conteúdo de valor muito importante, pois fornece com admirável precisão os movimentos reais dos corpos celestes. O segundo argumento, sobre o qual voltaremos mais adiante, é o seguinte: se o Princípio da Relatividade (em sentido restrito) não é válido, então os sistemas de coordenadas de Galileu K, K’, K” etc., que se movem uniformemente uns com respeito aos outros, não serão equivalentes para a descrição dos fenômenos naturais. Nesse caso não teríamos mais remédio senão pensar que as leis da natu4

 

TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

reza só podem formular-se com especial e special singeleza e naturalidade se, dentre todos os sistemas de coordenadas de Galileu, elegêssemos como corpo de refer referência ência um (K 0) que tivesse um estado de movimento determinado. A este o qualicaríamos, e com razão (por suas vantagens para a descrição da natureza), de absolutamente em repouso, enquanto dos demais sistemas galileanos K diríamos que são móveis. Se a via fosse o sistema K 0 , então nosso vagão de transporte transporte ferroviário seria um sistema K  em   em relação ao qual regeriam leis menos singelas do que com respeito a K 0. Esta menor simplicidade teria que atribuir que o vagão K  se  se move com relação a K 0 (isto é, realmente). Nestas leis gerais da natureza formuladas relacionadas a K   teriam que desempenhar um papel o módulo e a direção da velocidade do vagão. Seria de esperar, por exemplo, que o tom de um tubo de órgão fosse diferente quando seu eixo fosse paralelo à direção de marcha do que quando estivesse perpendicular. Agora, a Terra, devido ao seu movimento orbital ao redor do Sol, é equiparável a um vagão que viaja a uns 30 km por segundo. Portanto, no caso de não ser válido o Princípio de Relatividade, seria de esperar que a direção instantânea do movimento terrestre interviesse nas leis da natureza e que, portanto, o comportamento dos sistemas físicos dependesse de sua orientação espacial com respeito à Terra; porque, como a velocidade do movimento de rotação terrestre varia de direção em decorr decorrência ência do ano, a Terra não pode estar durante o intervalo de um ano inteiro em repouso com respeito ao hipotético sistema K 0. Pense o mesmo que se há posto em detectar tal anisotropia do espaço físico terrestre, isto é, uma não equivalência das diferentes direções, jamais pôde ser observada. O qual é um argumento de importâ importância ncia a favor do Princípio da Relatividade.

2 O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE Você já estudou se que, como consequência dasvelocidade equações cde= 1Maxwell, as ondas eletromagnéticas propagam no vácuo com   / ε 0 µ 0  que é uma constante constante univers universal. al. Entretanto, é importante discutirmos discutirmos uma questão  básica: a que referencial se refere essa velocidade? velocidade? A dependência das leis físicas com respeito ao referencial foi discutida na Mecânica Clássica, em que foi visto que as leis básicas da Mecânica assumem sua forma mais simples nos referenciais inerciais. Por denição, um referencial é inercial se nele vale a lei da inércia, ou seja, uma partícula não sujeita a forças (sucientemente afastada das demais) permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Com boa aproximação, um referencial vinculado às estrelas xas é inercial. Sabemos também que qualquer referencial em movimento retilíneo uniforme em relação a um referencial inercial é também inercial, como demonstrado na Figura 1: Referenciais (S) e (S') a seguir: 5

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

FIGURA 1 󲀓 REFERENCIAIS 󰀨S󰀩 E 󰀨S'󰀩

z'

(S)

z

(S')

O'

y'

   V  t

x' y

O

x FONTE: Nussenzveig (2014, (2014, p. 175)

Se o referencial (S') (Figura 1) se move em relação à ( S) com velocidade constante V e as origens O e O' dos dois referenciais coincidem no instante t = t'  y,zz ), t ] e [ x' (x', y', z' ), t ' ]  nos = 0, vimos que a relação entre as coordenadas [x ( x, y, dois referenciais é dada pela transformação de Galileu:  X ′ = x - vt   

(1.1)

t' = t 

Da qual decorre a lei de Galileu de composição de velocidades: (1.2)

v'' − v − V  

Onde v e v' são velocidades relativas à (S) e (S'), respectivamente. Decorre também a igualdade das acelerações: dv dt

= a = a′ =

dv'  dt

(1.3)

' 

 

Como a transformação de Galileu não afeta as distâncias entre partículas nem a massa, também não afeta uma força F que só depende dessas distâncias (como a gravitação), de modo que:

6

 

TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

 F = m.a

→  F ′ = m′a′ (m' = m)

(1.4)

Isto é, a lei básica da dinâmica não se altera.  O  CA  N  E  T A

Daí decorre o princípio de relatividade da Mecânica, devido a Galileu: é impossível detectar um movimento retilíneo uniforme de um referencial em relação a outro por qualquer efeito sobre as leis da dinâmica (Galileu deu o exemplo de experiências de mecânica feitas sob o convés de um navio, com as escotilhas fechadas, que seriam incapazes de distinguir se o navio estaria ancorado ou em movimento retilíneo uniforme).

Vimos também na Mecânica que esse princípio deixa de valer para referenciais não inerciais, ou seja, aparecem efeitos detectáveis sobre as leis da mecânica, através das forças de inércia (força centrífuga, força de Coriolis etc.). Entretanto, se procurarmos estender à Eletrodinâmica o princípio de relatividade, deparamo-nos imediatamente com um problema: decorre das leis da Eletrodinâmica (equações de Maxwell) que a luz se propaga, no vácuo, com velocidade c. Admitindo que isso vale num dado referencial inercial, e que valem as leis da Mecânica Clássica, o resultado não poderia valer num outro referencial inercial em movimento retilíneo uniforme em relação ao primeiro com velocidade V . Com efeito, pela lei da Galileu de composição de velocidades, seria: c' = c − V  

(1.5)

c' ≠ c  (e c' variaria com a direção de propagação), E, por conseguinte, contradizendo o princípio seria de relatividade no caso da Eletrodinâmica.

A validade das equações de Maxwell estaria restrita, então, a um referencial inercial privilegiado, onde a velocidade da luz é c  em todas as direções. Isso acontece, por exemplo, na acústica: as ondas de som se propagam através de um meio material, que é o suporte das oscilações, e a velocidade do som é isotrópica (a mesma em todas as direções) somente num referencial em que este meio está em repouso. Observada de outro referencial em movimento em relação a este, a velocidade do som é diferente e varia com a direção (Efeito Doppler).  

7

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

A identicação do "vácuo” com um tal suporte material das ondas eletromagnéticas corresponde ao conceito do éter, meio hipotético cuja existência já havia sido postulada por Descartes. O próprio Maxwell chegou a suas equações com  base num m modelo odelo mecâni mecânico co pa para ra o campo eletromagné eletromagnético, tico, um “é “éter ter ccelular elular”. ”. Se o éter existisse como referencial privilegiado, deveria ser possível, por experiências de propagação da luz, detectar um movimento retilíneo uniforme em relação a ele, ou seja, o princípio de relatividade não seria válido na eletrodinâmica (da mesma forma que não é válido na propagação do som). Se quiséssemos, porém, manter o princípio de relatividade também na eletrodinâmica, isto não seria compatível com a validade simultânea das equações de Maxwell e das leis da mecânica newtoniana: uma das duas teorias teria de ser abandonada. Teria de ser válida, portanto, uma das seguintes opções: (i) A mecânica newtoniana e as equações de Maxwell são válidas, mas o princípio de relatividade não se aplica a todas as leis físicas: existe um referencial absoluto (o éter), éter ), onde a velocidade da luz é c em todas as direções, e deve ser possível, por meio de experiências eletromagnéticas, detectar um movimento retilíneo e uniforme em relação ao referencial absoluto do éter. (ii) O princípio de relatividade aplica-se a todas as leis físicas e a mecânica newtoniana é correta. Nesse caso, as equações de Maxw Maxwell ell teriam de ser modicadas e para ser possível observar desvios das leis eletrodinâmicas clássicas.

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

A única opção compatível com os fatos experimentais, conforme vamos ver, é a (iii). (iii) O princípio de relatividade relatividade aplica-se a todas as leis físicas, e as equações de Maxwell são corretas. Nesse caso, a mecânica newtoniana e a transformação de Galileu não podem ser corretas: deve ser possível observar desvios das leis da mecânica newtoniana.

3 O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY No século XIX, os cientistas acreditavam que todas as ondas conhecidas necessitavam de um meio para se propagarem. As ondas do mar obviamente não existem no vácuo. O mesmo se pode diz dizer er das vibrações de uma corda de violão, das ondulações da superfície de um tambor, das oscilações que atravessam a Terra Terra durante um terremoto e, de forma geral, das ondas que atravessam qualquer 8

 

TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

material quando este é submetido submetido a forças vvariáveis. ariáveis. A velocidade dessas ondas depende das propriedades do meio em que se propagam e assume uma forma particularmente simples quando é expressa em relação aaoo meio. Por exemplo, a velocidade das ondas sonoras no ar, isto é, a velocidade com a qual se propagam em relação ao ar parado, pode ser calcula calculada da e medida com relativa relativa facilidade. O efeito Doppler para o som no ar depende não só do movimento relativo entre a fonte e o observador, mas também do movimento da fonte e do observador em relação ao ar. Era natural, portanto, que os cientistas postulassem a existência de um meio como o éter para permitir a propagação da luz e outras ondas eletromagnéticas, e esperassem que o movimento absoluto da Terra em relação ao éter pudesse ser medido, a despeito do fato de o éter jamais ter sido observado. FIGURA 2 󲀓 ALBERT A MICHELSON JOGANDO BILHAR

FONTE: . Acesso em: 18 nov. 2019.

Albert A Michelson, que aparece na foto jogando bilhar na maturidade (Figura 2), fez a primeira medição precisa da velocidade da luz quando era professor da Ll. S. Naval N aval Academy , em que serviu como cadete na juventude. Michelson foi o primeiro a perceber que, embora o efeito do movimento da Terra sobre qualquer medida da velocidade da luz baseada em um percurso de “ida e volta” — como o indicado esquematicamente na Figura 3 — fosse pequeno demais para ser medido diretamente, seria possível medir a razão por um processo indireto, usando a interferência de ondas luminosas como um “relógio” muito preciso. 9

 

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De acordo com a teoria clássica, a velocidade da luz seria igual a c em relação ao éter , c – v em relação ao observador para o raio emitido pela fonte luminosa em direção ao espelho e c + v  em relação ao observ observador ador para o raio reetido pelo espelho em direção ao observador (Figura 3). FIGURA 3 – UMA FONTE LUMINOSA, UM ESPELHO E UM OBSERVADOR OBSERVADOR SE MOVEM COM VELOCIDADE EM RELAÇÃO AO ÉTER

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 6)

O aparelho que ele projetou para executar esse tipo de medida recebeu o nome de interferômetro interferômetro de Michelson. O objetivo do experimento de MichelsonMorley era medir a velocidade da luz em relação ao interferômetro, ou seja, em relação à Terra, o que equivaleria a demonstrar que a Terra estava em movimento em relação ao éter, representando, portanto, uma prova da existência do último. Antes de discutirmos o funcionamento do interferômetro, vamos descrever uma situação análoga em um contexto familiar. Os dispositivos óticos foram montados em um bloco blo co quadrado de arenito, com cinco pés de lado que utuavam em mercúrio, para reduzir as tensões e vibrações que haviam prejudicado os experimentos anteriores (Figura 4). Para fazer observações em qualquer direção, bastava girar o bloco no plano horizontal.

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FIGURA 4 – EQUIPAMENTO USADO POR MICHELSON E MORLEY NO EXPERIMENTO DE 1887

Espelhos Placa Ajustáveis de vidro Espelhos Espelho Semitransparente

Fonte luminosa

Espelhos

Espelhos

Telescópio

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 7)

 À distância L no novo interferômetro (Figura 4) era, aproximadamente, 11 m, graças a reexões múltiplas. A Figura 5 mostra como funcionava o instrumento. A luz amarela produzida por uma lâmpada de sódio é dividida em dois feixes por um espelho semitransparente instalado no ponto. • Figura 5a: os feixes se propagam ao longo de dois trajetos mutuamente perpendiculares 1 e 2, são reetidos pelos espelhos  M1  e  M2  e voltam a a , onde se recombinam e são observados. A presença do compensador tem por objetivo igualar os comprimentos óticos dos dois percursos, fazendo com que as distâncias L contenham o mesmo número de ciclos da onda luminosa. Se o espelho  M2 é inclinado ligeiramente, deixando de ser perpendicular a  M1 , o observador passa a ver  M   e  M  , a imagem de M: formando uma cunha. A 1 2 interferência dos feixes reetidos pelos dois espelhos depende do número de ciclos de onda em cada trajeto, que, por sua vez, depende: ᵒ  do comprimento de cada trajeto; e velocidade de da luz em relação ao instrumento em cada trajeto. trajeto. ᵒ  da velocida 11

 

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Qualquer que seja o valor dessas velocidades, o fato de que as imagens  M1 e M2 formam uma cunha signica que a diferença entre a distância percorrida pelo feixe 2 e a distância percorrida pelo feixe 1 varia gradualmente ao longo da imagem vista pelo observador. observador. Isso faz com que o observador veja veja uma série de franjas claras e escuras, como em ( h), que resultam da interferência construtiv construtivaa e destrutiva, respectivamente, respectivamente, dos dois feixes. FIGURA 5 󲀓 PRINCIPIO DE FUNCIONAMENTO FUNCIONAMENTO DO INTERFERÔMETRO DE MICHELSON

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 8)

• Figura 5b: a imagem vista pelo observador consistia em uma série de faixas claras e escuras denominadas franjas de interferência interferência (Figura 5b). Os dois raios luminosos presentes no interferômetro são análogos aos dois barcos a remo, era de se esperar que o movimento da Terra em relação ao éter introduzisse uma diferença de tempo e de fase dada pela Equação:

Dt = t2 − t1 ≈

2L  c

 2L 1v 2  1+ c 2  − c − (1 + 2c 2 ) ≈     v2

Lv 2 c3

 Uma rotaçãoade 90°fazendo do interferômetro multiplicaria por dois se a diferença de tempo e mudaria fase com que a gura de interferência deslocasse de uma distância AN. Para fazer girar o aaparelho, parelho, foi usado um sistema especial no qual o bloco de pedra em que estava montado o interferômetro utuava 12

 

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em um banho de mercúrio. Esse arranjo atenuav atenuavaa as vibrações e permitia qque ue os cientistas girassem o aparelho sem introduzir deformações mecânicas capazes de provocar variações de L e, portanto, da posição das franjas. Usando uma lâmpada de sódio com l = 590 nm e supondo que v = 30 km/s (ou seja, uma velocidade da Terra em relação ao éter igual a velocidade orbital do planeta), os pesquisadores esperavam que o deslocamento AN fosse da ordem de 40% da largura de uma franja, ou seja, um valor 40 vezes maior do que o deslocamento mínimo (1% da largura de uma franja) que o equipamento era capaz de medir. Para grande decepção de Michelson e da maioria dos cientistas da época, o deslocamento previsto não foi observado. Em vez disso, as franjas se deslocadeslocaram de apenas 1% da largura de uma franja, um valor da mesma ordem que a precisão do instrumento. Com a circunspeção qque ue era sua cara característica cterística Michelson descreveu os resultados da seguinte forma:

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

O deslocamento observado foi certamente menor que um vinte avos de 40% da largura de uma franja e, provavelmente, menor que um quarenta avos. avos. Como, porém, o deslocamento é proporcional ao quadrado da velocidade, a velocidade relativa entre a Terra e o éter é provavelmente menor que um sexto da velocidade orbital da Terra e certamente menor que um quarto.

 O  CA  N  E  T A

Michelson e Morley haviam acabado de mostrar que a velocidade da Terra em relação ao éter não podia ser maior que 5 km/s. km/s. Do nosso ponto de vista, é difícil apreciar o efeito devastador desse resultado. resultado. A teoria da propagação propagação da luz aceita na época não podia estar correta: a ideia de que o éter se comportava como um referencial privilegiado para as equações de Maxwell teria que ser descartada. descartada.

O experimento foi repetido por outros cientistas mais de uma dúzia de vezes, em diferentes condições e com maior precisão, mas nenhum deslocamento  jamais foi observado. No mais preciso desses experimentos, o limite superior da velocidade relativa no foi qual reduzido para 1.5 km/s porluminosos Georg Joos, 1930,maior usando um interferômetro o percurso dos raios eraem muito do que no interferômetro interferômetro de Michelson. Recentemente, versões modernas do experimento, usando lasers, reduziram esse limite para 15 m/s.

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 TA  O  N

Em um contexto mais amplo, com base neste e em outros experimentos, devemos concluir que as equações de Maxwell estão corretas e que a velocidade das ondas eletromagnéticas é a mesma em todos os referenciais referenciais inerciais, independentemente do movimento da inerciais fonte emsignifica relaçãoque ao observador. Essa invariância darelatividade velocidade que da luz os referenciais deve haver algum princípio de se para aplique tanto à mecânica quanto ao eletromagnetismo. Tal princípio não pode ser o da relatividade newtoniana que leva a uma variação da velocidade da luz com a velocidade relativa entre a fonte e o observador. Isso significa que a transformação de Galileu não está correta e deve ser substituída por uma nova transformação de coordenadas que assegure a invariância das leis do eletromagnetismo. As leis fundamentais da mecânica, que eram compatíveis com a transformação de Galileu, devem ser modificadas para que permaneçam invariantes ao serem submetidas à nova transformação. transformação. A dedução teórica dessa nova transformação transformação foi uma das pedras fundamentais da teoria da relatividade especial de Einstein.

4 O POSTULADO DE EINSTEIN Em 1905, com 26 anos, Albert Einstein publicou vários artigos, entre os quais um sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento. Neste, Einstein propôs um princípio de relatividade mais abrangente, que se aplicava tanto às leis da mecânica quanto às leis da eletr eletrodinâmica. odinâmica. Uma das consequências desse princípio é que não existe nenhum experimento capaz de detectar o movimento absoluto. Sendo esse o caso, nada nos impede de supor que a Terr Terraa e o interferômetro de Michelson estão em repouso, caso em que nenhum deslocamento das franjas é esperado quan  do o interferômetro gira 90° já que todas as di direções reções são eq equiv uivalent alentes. es. O resultado resultado nulo do experimento de Michelson-Morley se torna, portanto, uma consequência natural do princípio da relatividade de Eins Einstein. tein. É preciso rressaltar essaltar que Einstein não formulou essa teoria com o intuito de explicar o experimento de Michelson-Morley, mas foi levado a ela por considerações a respeito da teoria da eletricidade e do magnetismo e das propriedades incomuns das ondas eletromagnéticas no espaço livre. O primeiro artigo contém a teoria completa da relatividade restrita. Einstein se refere, apenas de passagem, às tentativas experimentais de detectar o movimento da Terra Terra em relação ao éter. Mais tarde, armou não lembrar se esta estava va a par dos detalhes do experimento de Michelson-Morley quando propôs a teoria.

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 TA  O  N

A teoria da relatividade restrita se baseia em dois postulados que Einstein menciona explicitamente no artigo de 1905: leis da física as mesmas m esmastem emotodos todos os referenciais refer inerciais. inerciais. • Postulado 12 –– AAsvelocidade velocidade da são luz luz no vácuo mesmo valorenciais em qualquer que seja o movi mento da fonte.

O Postulado 1 é uma extensão do princípio da relatividade newtoniana para incluir todos os fenômenos físicos, não só os mecânicos, mas também os eletromagnéticos. Uma consequência direta dele é que não existe nenhum referencial inercial privilegiado e, portanto, o movimento absoluto é impossível de se detectar. O Postulado 2 descreve descreve uma propriedade ccomum omum a todas as ondas. Assim, por exemplo, a velocidade das ondas sonoras não depende do movimento da fonte. Quando um carro buzina ao se aproximar de uma pessoa, o som ouvido é mais agudo que se o carro estivesse parado (o chamado efeito Doppler, mas a velocidade das ondas não depende da velocidade do carro). Por outro lado, a velocidade das ondas sonoras depende das propriedades do ar, como a densidade do ar e a velocidade com a qual o ar está se movendo. A importância deste postulado está no fato de que coloca as ondas luminosas, que se propagam no vácuo, na mesma categoria que os outros tipos de ondas, que necessitam de um meio para se propagar. Uma análise recente do espectro dos raios gama emitidos por fontes situadas perto do limite do universo observável revela que a velocidade da luz não depende da velocidade da fonte com uma precisão de uma parte em 10. Na Figura 6a temos uma fonte luminosa estacionária S e um observador estacionário R1 com um segundo observador R2  se aproximando da fonte com velocidade v. A Figura 6b, no referencial em que o observador R2 está em repouso, a fonte luminosa S e o observador R se movem para a direita com velocidade v. Se o movimento absoluto não pode ser detectado os dois pontos de vista são equivalentes. Como a velocidade da luz não depende do movimento da fonte, o observador R2 mede o mesmo valor para a velocidade da luz que o observador R1.

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FIGURA 6 󲀓 FONTE LUMINOSA E UM OBSERVADOR

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 9)

Embora os dois postulados separadamente pareçam bastante razoáveis, muitos dos resultados obtidos quando são aplicados simultaneamente parecem contrariar o senso comum. Uma importante consequência desses postulados é que a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, independentemente da velocidade relativa entre a fonte e o observador.  O  CA  N  E  T A

Considere uma fonte luminosa S e dois observadores: R 1, em repouso em relação a S, e R2, viajando na direção de S com com velocidade v (Figura (Figura 6a). A velocidade da luz 8 medida por R1 é c = 3 x 10 m/s. Qual é a velocidade medida por R2? A resposta resposta não é c+v , o resultado que obteríamos aplicando ao problema a transformação de Galileu.

De acordo com o Postulado 1, a situação da Figura 6a equivale à da Figura 6b, na qual R2 está em repouso e as fontes S e R1 estão se movendo com velocidade v. Em outras palavras, como o movimento absoluto é impossível de ser detectado, não sabemos quem está se se movendo e quem está em rrepouso. epouso. De acordo com o Postulado 2, a velocidade da luz não depende do movimento da fonte. Assim, olhando para a Figura 6b vemos que a velocidade medida por R2  é c , a mesma medida por R1. O fato de que a velocidade medida para a luz não depende da velocidade do observador é uma forma alternativa de enunciar o segundo postulado de Einstein.

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 TA  O  N

Este resultado resultado está em desacordo com nossa intuição. O que acontece é que ideias intuitivas a respeito de velocidades relativas são válidas, para todos os efeitos práticos, quando as velocidades são pequenas em comparação com a velocidade da luz. Mesmo em um avião esteja se movendo com a velocidade do som não é possível medir ac velocidade da que luz com precisão suficiente para observar a diferença entre as velocidades + v na qual v é a velocidade do avião. Para perceber perceber essa diferença, devemos examinar um corpo que esteja se movendo com grande velocidade (muito maior do que a velocidade do som) ou realizar medidas extremamente extremamente precisas, como no experimento de Michelson-Morley.. Quando fazemos -Morley fazemos isso, descobrimos como Einstein comentou no primeir primeiro o artigo a respeito da relatividade, que as contradições são “apenas aparentemente irreconciliáveis”.

5 ESPAÇO-TEMPO A descoberta da física relativística de que os intervalos de tempo entre eventos não quadridimensional são iguais para observadores em diferentes inerciais ressaltaatéo caráter do espaço-tempo. Com referenciais os diagramas que usamos agora, é difícil representar em duas dimensões eventos que ocorrem em instantes diferentes, já que cada diagrama equivale a uma “fotograa” do espaço-tempo em um determinado instante. Para mostrar eventos que variam com o tempo, torna-se necessário recorrer a uma série de diagramas, como os que aparecerão nas Figuras 10, 11 e 12. Mesmo assim, a atenção do leitor tende a ser atraída para os sistemas de coordenadas espaciais e não para os eventos, que são o que realmente importam. Esse problema é resolvido na relatividade restrita com o uso de um tipo especial de representação denominado diagrama espaço-tempo. Nos diagramas espaço-tempo, podemos representar as coordenadas especiais e temporais de muitos eventos em um ou mais referenciais inerciais, embora com uma limitação. Como é possível representar apenas duas dimensões no papel, temos que ignorar duas dimensões espaciais, normalmente as dimensões v e c. Na verdade, da forma como será denido o movimento relativo entre S e S' (Figura 9), y' = y e z'=z, de modo que todas as mudanças importantes ocorrem ao longo do eixo dos x (esta é uma das razões para nossa escolha, a outra é a simplicidade matemática). Isso signica que, no momento, vamos limitar nossa atenção ao tempo e a uma das coordenadas espaciais, ou seja, os eventos que ocorrem em apenas uma dimensão do espaço. Caso seja necessário considerar as outras duas dimensões, como acontece na transformação relativística de velocidades, podemos recorrer às equações da transformação de Loren. Nos diagramas espaço-tempo, as posições dos eventos são representadas em um eixo horizontal, denominado eixo x. E os instantes em que ocorrem os eventos são representados em um eixo vertical, denominado eixo ct. Em vez vez do arranjo tridimensional de réguas e relógios, usaremos apenas relógios no eixo x (Figura 7). Como você, acadêmico, bem pode ver, os as coisas já localizados começam a car mais simples! Como os eventos que exibem efeitos relativísticos quase sempre ocorrem em altas velocidades, é conveniente multiplicar a escala de tempos pela velocidade da luz (uma constante), o que permite usar a mesma escala e as mesmas

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unidades nos eixos espacial e temporal (metros de distância e metros percorridos pela luz, por exemplo). É por isso que o eixo dos tempos é chamado de ct em que c normalmente é a velocidade de luz em metros por segundo e t é o tempo em segundos. Como veremos, essa forma de rrepresentar epresentar os eventos distribui distribui melhor os pontos sobre o gráco e facilita a introdução de outros referenciais inerciais na gura. Observe na Figura 7 que, com o passar do tempo, os relógios se movem verticalmente para cima ao longo das linhas tracejadas.  

Duas das dimensões espaciais y e z foram suprimidas (Figura 7). A mesma unidade (o metro) é usada para o eixo espacial e o eixo temporal. Um metro de tempo corresponde ao tempo necessário para que a luz percorra um metro, ou seja. 3.3 x IO-9. FIGURA 7 󲀓 DIAGRAMA ESPAÇO󰀭TEMPO PARA UM REFERENCIAL INERCIAL S

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 16)

Assim, quando os eventos A, B, C e D ocorrem no espaço-tempo, existe sempre um relógio nas proximidades do evento. Como os relógios do referencial estão sincronizados, a diferença entre as leituras dos relógios localizados nas proximidades dos eventos corresponde ao intervalo de tempo próprio entre os eventos. Na Figura 7, os eventos A e D ocorrem no mesmo local (x = 2 m), embora em instantes diferentes. O interv intervalo alo de tempo entre esses ev eventos, entos, medido pelo relógio 2, é um intervalo de tempo próprio, já que o relógio 2 está situado nas proximidades dos dois eventos. Os eventos A e B ocorrem em locais diferentes, mas ao mesmo tempo (isto é, simultaneamente) nesse referencial. O evento C ocorreu no passado, já que ct = -1 para este evento (Nesta ( Nesta discussão, estamos considerando o instante em que as origens dos sistemas de coordenadas coincidem, ct= ct' = 0 , como o instante presente.)

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5.1 LINHAS DO UNIVERSO U NIVERSO NO ESPAÇO-TEMPO O lugar geométrico das posições ocupadas por uma partícula no diagrama espaço-tempo é denominado linha do universo universo da partícula. A linha do universo é a "trajetória" da partícula no gráco de ct em função de x , considere, considere, por exemplo, quatro partículas em movimento. • Figura 8 (a): mostra as trajetórias de quatr quatro diferentes velocidades constantes. Observe no queespaço a velocidade dao partículas partícula 1com é zero e que a partícula 2 está se movendo no sentido negativo do eixo. eix o. As linhas do universo das partículas são linhas retas. • Figura 8 (b): a linha do univ universo erso da partícula 1 coincide com o eixo ct , , já que a partícula permanece em x=0. As inclinações constantes são uma consequência do fato de que as velocidades são constantes. • Figura 8 (c): no caso das partículas aceleradas 5 e 6 que não aparecem em (a) as linhas do universo não são linhas retas: a velocidade instantânea pode ser calculada a partir da tangente em cada ponto. FIGURA 8 󲀓 󰀨A󰀩 CONJUNTO DE RELÓGIOS SINCRONIZADOS 󰀨B󰀩 E󰀨C󰀩 AS LINHAS DO UNIVERSO DE PARTÍCULAS

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 16)

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UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

• A Figura 8 (a) mostra o conjunto de relógios sincronizados associados aos diferentes pontos do eixo dos x e as trajetórias no espaço (não no espaço-tempo) das quatro partículas, todas partindo do ponto x = 0 e se movendo com velocidade constante durante um tempo ct = 3 m. • A Figura 8 (b) mostra as linhas do universo das mesmas partículas no espaço-tempo. Como a velocidade das partículas é constante, as linhas do universo têm inclinação constante (são linhas retas), já que a inclinação de uma curva no diagrama espaço-tempo é proporcional ao inverso da velocidade (inclinação = Dt//Dx = 1/ (Dx /Dt) = 1/velocidade). A mesma coisa acontece nas nas curvas de t em função de x dos cursos de física básica. Já, naquela época, o leitor, sem saber, estava plotando trajetórias no espaço-tempo e desenhando linhas do universo! Quando a vvelocidade elocidade da partícula está aumentando ou diminuindo, como acontece com as partículas 5 e 6 respectivamente, da Figura 8 (c), as linhas do universo não são retas.  O  CA  N  E  T A

A linha do universo é o registro do percurso da partícula no espaço-tempo, pois fornece a velocidade (1/inclinação) (1 /inclinação) e a aceleração (1/taxa de variação da inclinação) da partícula a cada instante.

6 A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ Vamos agora discutir uma importante consequência dos postulados de Einstein: a relação geral entre as coordenadas do espaço-tempo t  ,,  y , z  e t de um x'  ,, y'  ,, z'  e uniforme t' do mesmo evento em um S' referencial  e as coordenadas evento aem um referencial  que estejaSse movendo com velocidade cm relação S.

Para simplicar os cálculos vamos considerar apenas o caso especial no qual as origens dos dois sistemas de coordenadas coincidem no instante t = t’ = 0 e  S' está se movendo em relação a S com velocidade v ao longo do eixo x (ou x') e com os eixos y' e z' paralelos, respectivamente, aos eixos y e z (Figura 9). Como vimos, a transformação clássica, ou transformação de Galileu, é a equação 1.6 a seguir:  x' = x - vt

y' = y

z' = z t ' = t  

(1.6)

A qual expressa os valores das coordenadas medidos por um observador em S' em termos dos valores medidos por um observador em S. A transformação inversa é:

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TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

 x = x' - vt vt

y = y'

z = z' t = t'  

(1.7)

Que simplesmente reete o fato f ato de que o sinal da velocidade relativa dos referenciais é diferente para os dois observadores. A transformação clássica de velocidades é a equação 1.6 e a transformação de acelerações, como vimos, é invariante para uma transformação transformação de Galileu. Deste ponto em diante, vamos vamos ignorar as equações para os eixos y e z , que são y' = y e z' = z. A essa altura, deve ser evidente para você, acadêmico, que a transformação clássica de velocidades não é compatível com os postulados de Einstein da relatividade restrita. Se a luz se propaga ao longo do eixo x com velocidade c no referencial S , a velocidade no referencial S' de acordo com a Equação u'x = ux - v, u' y = u y , u'z = uz deveria ser u'k= c - v , e não u'k = c.

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

As equações da transformação de Galileu devem, portanto, ser modificadas para se tomarem compatíveis com os postulados de Einstein, mas de tal forma que se reduzam às equações clássicas para v « c. Vamos mostrar em seguida uma das formas de obter a transformação correta, que recebe o nome de transformação de Lorentz em homenagem ao descobridor H A. Lorentz.

Suponhamos que a equação correta para x seja da forma: x' = g(x - vt)

(1.8)

Em que g  é uma constante que pode depender de v  e c , mas não das coordenadas. Para qque ue a Equação 1.8 se reduza às equações cclássicas lássicas é preciso que g →1 quando v/c → 0. A transformação inversa deve ser semelhante, a não ser pelo sinal da velocidade: x = g(x' + vt')

(1.9)

Os sistemas de eixos (Figura 9) podem ser considerados como os eixos coordenados de duas redes com um relógio em e m cada vértice. Pouco antes do instante representado na gura, as origens O e O’ coincidiam e as duas redes estavam superpostas.

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FIGURA 9 󲀓 DOIS REFERENCIAIS INICIAIS. S E S' COM O SEGUNDO SE MOVENDO COM UMA VELOCIDADE VELOCIDAD E V NO SENTIDO POSITIVO DO EIXO X DO SISTEMA S

y

y' 

S

v

( x  xb' t b )

( x  xa' t a )

O

S' 

 x

z

 x' 

O'  z' 

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 13)

Se os eixos estiverem dispostos como na Figura 9, não haverá movimento relativo entre os referenciais nas direções y e z , portant portanto, o, y'=y e z'=z Por outro lado, a introdução do multiplicador y de valor ainda desconhecido, modica a transformação clássica dos tempos, t'=t. Para mostrar que isso é verdade, basta substituir x'  dado pela Equação 1.8 na Equação 1.9 e explicitar t' o resultado o seguinte:  (1 - g 2 )  x   t' = g  t + 2 g  v  

(1.10)

Suponha que uma lâmpada seja acesa na origem de S em t= 0. Como estamos supondo que as origens coincidem em t = t' = 0 , a lâmpada também também é aces acesaa na origem de S' em t' = 0. A luz se expande a part partir ir das duas origens na forma de uma onda esférica. Do ponto de vista de um observador em S a equação da frente da onda é: x2 + y2 + z2 = c2 t2

(1.11)

Enquanto, do ponto de vista de um observador em S' é: x'2 + y'2 + z'2 = c2 t'2

(1.12)

Observe que as duas equações são compatíveis com o segundo postulado. Para que sejam também compatíveis com o primeiro, é preciso que a transformação relativística que estamos buscando transforme a Equação 1.11 na Equação 1.12 e vice-versa. Assim, por exemplo, substituindo as Equações 1.8 e 1.9 na Equação 1.12, devemos obter a Equação 1.11.

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 TA  O  N

Para isso é necessário que:

1 g  =

1-

1 v2 =

1 - b 2

(1.13)

c2

  Na qual b = v/c. Note que g = 1 para v = 0 e g → ∞ para v = c.

 O  CA  N  E  T A

Embora seja possível estudar a relatividade restrita sem usar a transformação de Lorentz, esta transformação tem uma aplicação muito importante: permite que as coordenadas no espaço- tempo de eventos medidos com réguas e relógios no referencial de um observador sejam convertidas em coordenadas medidas com réguas e relógios no referencial de outro observador que esteja se movendo com velocidade constante em relação ao primeiro.

7 SIMULTANEIDADE Os postulados de Einstein levam a algumas previsões a respeito dos resultados de medidas feitas por observadores situados em diferentes referenciais inerciais que, a princípio, parecem estranhas e stranhas ou mesmo absurdas, mas foram comprovadas experimentalmente. Na verdade, quase todos os supostos paradoxos podem ser explicados se reconhecermos que os o s postulados da relatividade restrita são compatíveis com a relatividade da simultaneidade, segundo a qual dois eventos que são simultâneos em um referencial não são simultâneos em outro referencial inercial que esteja se movendo em relação ao primeiro.

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

A partir da afirmação anterior pode-se deduzir o seguinte: dois relógios que estão sincronizados em um referencial referencial não estão sincronizados em outro referencial referencial inercial que esteja se movendo em relação ao primeiro.

23

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

Podemos perguntar: o que são eventos simultâneos? Suponha que dois observadores, ambos situados no referencial  S , um no pon ponto to  A e outro no ponto B , tenham combinado fazer explodir bomba no instante t (lembre-se de que os relógios de S estão sincronizados). sincronizados). O relógio que se encontra no ponto C, equidistante de A e de B , reg regist istrar raráá a che chegad gadaa da luz pro proven venien iente te das dua duass explos explosões ões no mes mesmo mo ins instan tante. te. Outros relógios de S registrarão primeiro a chegada da luz emitida pela bomba que explodiu em A ou em B , depen dependen dendo do d daa lo local caliza ização ção,, ma mass dep depois ois de co corri rrigid gidos os ppara ara levar em conta o tempo de percurso da luz os dados registrados por todos os relógios indicarão que as duas explosões foram simultâneas. Vamos, portanto denir dois eventos como simultâneos em um referencial inercial se os sinais luminosos associados a eles forem vistos simultaneamente por um observador, situado em um ponto equidistante dos dois eventos de acordo com a indicação de um relógio situado na posição desse observador, que recebe o nome de relógio local. Para mostrar que dois eventos simultâneos no referencial S não são simultâneos em um referencial S' que esteja se movendo em relação a S , vamos vamos us usar ar um exemplo proposto por por Einstein. Um trem est estáá passando pela plataforma de uma estação, com velocidade v. Três observadores A' B' e C' estão situados no primeiro vagão, no vagão central e no último vagão do trem. Vamos associar o referencial S'  S a dois forma ao tremsejam e o referencial atingidos por plataforma relâmpagos, da estação. um noSuponhamos primeiro vagão quee ooutro tremno e aúltimo, platae que os relâmpagos sejam simultâneos no referencial da plataforma S (Figura 10a). Em outras palavras, um observador situado em C , um meio caminho caminho entre entre  A  e B , observa os dois raios simultaneamente. É conveniente supor que o raio deixa o trem e a plataforma chamuscados, pois, nesse caso, os eventos podem ser localizados com facilidade nos dois referenciais. Como o observador C está no centro do trem a meio caminho entre os pontos que foram chamuscados pelo raio, os dois eventos seriam simultâneos em S apenas se fossem observados ao mesmo tempo por C'. Entretanto, C observa o raio que atingiu o primeiro vagão antes de observar o raio que atingiu o último. No referencial S , quando quando a lluz uz pr prov oveni enient entee do ra raio io qu quee ati atingi ngiuu os po ponto ntoss A  e A' chega ao ponto C' o trem se deslocou de uma certa distância em direção a A e B e B' ainda C'  por isso, a luz aproveniente que atingiu os chega, pontosportanto, não chegou como mostra Figura 10b.do O raio observador em C a conclusão de aque os eventos não foram simultâneos, mas o raio que atingiu a parte da frente do trem aconteceu primeiro.

• Figura 10a: dois relâ relâmpagos mpagos atingem as extremidades de um trem chamuscando tanto o trem quanto a plataforma no momento em que o trem (referencial S') está passando pela plataforma (referencial S) com velocidade v. • Figura 10c: os relâmpagos ocorrem simultaneamente simultaneamente em S e são vistos simultaneamente pelo observador C , loca localiz lizado ado na pla plata tafor forma, ma, a m meio eio cam caminh inhoo en entre tre A e B. • Figura 10b e 10d: em S' o relâmpago que atingiu o primeiro vagão é visto antes do relâmpago que atingiu o último vagão pelo observador C‘ localizado no trem meio caminho entre os opontos que foram pelos raios ( b) e ( d), arespectivamente. Assim, observador em C'chamuscados  conclui que os relâmpagos não foram simultâneos.

24

 

TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

FIGURA 10 󲀓 RELÂMPAGOS ATINGEM AS EXTREMIDADES DE UM TREM

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p 11)

• As Figuras 10c e 10d ilustr ilustram, am, respectivamente, a chegada simultânea dos dois clarões ao ponto C e a chegada posterior ao ponto C' do clarão proveniente do raio que atingiu o último vagão. Na verdade, todos os observadores estacionários em relação ao referencial S' obtêm o mesmo resultado que o observador em C' depois de levarem em conta o tempo de percurso da luz. Considere novamente um trem em repouso no referencial S' que esteja passando com velocidade v por uma plataforma em repouso no referencial S. A Figura 11 mostra três relógios do referencial S e três do referencial S'. Os relógios dos dois referendais foram sincronizados da forma descrita anteriormente, mas os relógios de S não estão sincronizados com os de S'. Um observador que esteja no ponto C da plataforma, a meio caminho entre A e B , anun anuncia cia que dua duass llâmp âmpada adass lloca ocaliz lizada adass eem m  A e B acenderão quando os relógios desses dois pontos marcarem t0 (Figura 11a). • Figura 11a: duas lâmp lâmpadas adas são acesas ssimultaneamente imultaneamente nos pontos A e B onde existem relógios sincronizados em S.

25

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

• Figura 11b: o observ observador ador situado em C' a meio caminho entre A' e B' , , no trem em movimento, registra a chegada do raio luminoso proveniente de  A antes da chegada do raio proveniente de B , mostrada em (d). Como o observador em S anunciou que as lâmpadas seriam acesas no instante t0 de acordo com os relógios locais, o observador em C conclui que os relógios locais A e B não indicaram simultaneamente o instante t0 , isto é, que não estavam estavam sincronizados. • Figura 11c: os dois raios são vistos ssimultaneamente imultaneamente por um observador sit situauado em C. FIGURA 11 󲀓 LÂMPADAS ACESSAS E VISÃO DO OBSERVADOR OBSERVADOR

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 12)

Um observador que esteja em C' a meio caminho entre  A' e B' verá a luz produzida pela lâmpada que foi acesa em A (Figura 11) antes de ver a luz produzida pela lâmpada que foi acesa em B (Figura 11d).

26

 

TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

O observador concluirá que se as lâmpadas foram acesas no momento em que os relógios em A e B marcavam t 󰀰, conforme anunciado, os relógios em A e B não podem estar sincronizados. Depois de levarem em conta o tempo de percurso da luz todos os observadores situados no referencial referencial S' concordarão concordarão com essa conclusão. conclusão. Por outro lado, o observador em C observará as duas luzes simultaneamente, simultaneamente, já que todos os relógios de S estão sincronizados (Figura (Figura 11c). Observe ainda, na Figura 11 que o observador em C tam tam-bém conclui que o relógio de A está adiantado em relação ao relógio de B.

FIGURA 12 󲀓 RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE DE UM PONTO DE VISTA DIFERENTE

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 12)

A Figura 12situados mostra um queinstante é produzido no pontoomédio entre dois relógios da Tclarão erra. No em quenaaTerra luz é emitida, ponto médio de uma espaçonave em movimento coincide com a fonte luminosa.

27

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

• Figura 12a: os relógios da T Terra erra registram a chegada simultânea dos raios raios luminosos, o que signica que os relógios estão sincronizados. • Figura 12b: os relógios situados nas extremidades da espaçonave espaçonave também registram a chegada simultânea dos raios luminosos segundo postulado de Einstein, o que signica que os relógios da espaçonave também estão sincronizados. • Figura 12c: entretanto, o observador da T Terra erra vvêê a luz chegar ao relógio que está em B' antes de chegar ao relógio que está em A'. Como os relógios da espaçonave mostram a mesma hora no instante em que é atingido pelos raios luminosos, o observador da Terra conclui que os relógios da espaçonave  A' e B' não estão sincronizados. • Figura 12d: um observador a bordo da espaçonave conclui que os relógios da Terra, A e H  não  não estão sincronizados.

8 TRANSFORMAÇÃO DE VELOCIDADES A transformação de velocidades na relatividade restrita pode ser obtida derivando a transformação de Loren. Em física, as transformações de Loren, em homenagem ao físico neerlandês Hendrik Loren, descrevem como, de acordo com a relatividade especial,deasreferência. medidas de espaço e tempo se alteram em cada sistema Elas reetem o fatode dedois que observadores observadores se movendo com velocidades diferentes medem diferentes valores de distância, tempo e, em alguns casos, ordenação de eventos. Suponha que uma partícula esteja se movendo em S com uma velocidade u de componentes: ux= dx / dt 

u y= dy / dt 

e

uz= dz / dt

Um observador em S' medirá as componentes: u'x = dx' / dt'    dz' / / dt' uu''z == dy' dt'   y  y

Usando as equações da transformação de Loren. temos: dx' = g  ( dx - vdt )

  

dt' = g   dt -

vdx c2

dy'  = dy dy

  

dz'  = dz  

(1.14)

 

Portanto: '   x =

u

dx'  dt ' 

=

g  ( dx-vdt )

 vdx  g   dt - 2  c  

-v  dx dt   = 1-

v dx

c 2 dt 

(1.15)

28

 

TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

Ou: u x'  =

u x - v vu 1 - 2 x c

(1.16)

Se a velocidade da partícula tem componentes nas direções  y e z , não é difícil mostrar que u y' =

u y

  

g   1 -

vu y c2

  

u' z  =

u z   vu  g   1 - 2z    c  

(1.17)

É importante notar que esta forma da transformação de velocidades é válida apenas para o caso especial em que os dois referenciais estão relacionados como na Figura 9. Observe também que para v « c ou seja, para  b  = v / c = 0   a transformação relativística de velocidades se reduz à transformação clássica: Equação u' x = ux - v u' y = u y u' z = u z  . A transforma transformação ção de velocidades inversa é a seguinte:  

u x = u' x + v /  1 +  

vu'  x c

2

  

  

u y = u' y + v / g   1 +

   

 

u z = u' z  + v / g   1 +

vu'  y c

2

  

(1.18)

vu'  z   c

2

 

 

9 O EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO O efeito Doppler relativístico é a mudança aparente da frequência da luz, para (fonte emissora ou detector) detector em velocidades relativísticas.objetos No efeito Doppler clássico, como o) que casosedemovem ondas sonoras, a velocidade da fonte em relação ao detector tem inuência na frequência aparente da onda (pode ser um acréscimo ou decréscimo), tomando como referencial o ar. Como a luz é uma onda eletromagnética, e não depende de um meio para propagação, a frequência observada irá apenas depender da velocidade relativa de ambos. Nesses casos relativísticos, uma distinção entre o movimento da fonte e do receptor não pode ser feita, portanto o efeito efe ito Doppler clássico não será utilizado. A razão é que o intervalo de tempo medido no referencial da fonte e do receptor são diferentes. No caso das ondas sonoras, a variação de frequência com a velocidade (efeito Doppler) depende se é a fonte ou o observador que está se movendo com essa velocidade. Talmedir distinção é possível porque existe meio (o ar ar))No em caso relação ao qual podemosTal os movimentos da fonte e doum observador. da luz e outras ondas eletromagnéticas, porém, que podem se propagar no espaço

29

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

vazio, essa distinção não existe. Isso signica que a expressão clássica usada para calcular o efeito Doppler não pode estar correta no caso da luz. Vamos agora determinar a expressão correta do efeito Doppler para a luz. Considere uma fonte luminosa que esteja se movendo em direção a um observador A com velocidade v (Figura 13a). FIGURA 13 󲀓 FONTE LUMINOSA, OBSERVADOR E DIREÇÃO DE PROPAGAÇÃO

(a)

C

V

C

B

 A

(b)

Ct 

Linha do universo da luz que se propaga em direção a B

C∆t

C∆t

B

(c)

Observador  x ( em em S)

y

Ct’ 

Linha do universo da luz que se propaga em direção a A

C∆t’ 

0

V ∆t 

C∆t 

 x

A

(d) Experimento de Kündig

y’ 

S

S’  0 (medido   em S)

 x

Fonte

ω

 x’  Receptor

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 26)

V  Raios gama

30

 

TÓPICO 1 | A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

A Figura 13 apresenta, no caso da luz e do som, o efeito Doppler causado pelo movimento relativo entre a fonte e o receptor, entretanto, o fato de que a velocidade da luz não depende do movimento faz com que as expressões do desvio de frequência sejam diferentes nos dois casos. • A Figura 13a mostra urna fonte que se aproxima do observador A e se afasta do observador B. O diagrama espaço-tempo para o referencial refe rencial S , no no qual qual A e B estão em repouso e a fonte se move com velocidade v ilustra as duas situações. • A Figura 13b mostra a fonte situada em x'= 0 (o eixo x' foi omitido) se move ao longo de sua linha do universo, o eixo ct'. As N  ondas  ondas emitidas em direção a A  no intervalo de tempo Dt ocupam a região Dx = cDt - vDt enquanto as que se dirigem a B ocupam a região Dx = cDt + vDt. Em três dimensões, o observador em S  pode ver a luz emitida fazendo um ângulo θ em relação ao eixo x(c). Nesse caso, é observado o chamado efeito Doppler transversal. • A Figura 13 d: método usado por Kündig para medir o efeito Doppler transversal.

A fonte está emitindo uma série de ondas em direção aos observadores A  e B enquanto se aproxima de A e se afasta de B. A Figura 13b mostra o diagrama espaço-tempo do sistema em S , o referencial no qual A e B estão em repouso. A V =0 fonte está localizada eixo x não gura e naturalmente, sua linha do universo é oem eixo ct'. (o  Suponha queaparece a fontena emite uma série de N  ondas  ondas eletromagnéticas nas duas direções a partir do instante em que as origens de S e S' coincidem. Considere: primeiro a série de ondas emitidas em direção a  A. Durante o intervalo de tempo Dt no qual a fonte emite N ondas, a primeira onda a ser emitida percorre uma distância cDt e a fonte percorre uma distância vDt em S. Do ponto de vista do observador em A , as N  ondas  ondas ocupam uma extensão cDt - vDt e portanto o comprimento de onda X é dado por: l  = ( cDt − vDt ) Ν    

(1.19)

A frequência  f = c /  l   é dada por:  f  =

 

 χ l

=

χ  Ν ( χ - v)Dτ

=

1 1-

 

Ν bDτ

 

(1.20)

A frequência da fonte em S' denominada frequência própria é dada por  f = c / N = N / Dt ' , na qual Dt' é medido em S' o referencial inercial no qual a fonte se encontra em repouso. O intervalo de tempo Dt’ é o tempo próprio, já que as ondas luminosas, em particular a primeira e a enésima, vão todas emitidas em x' = 0 assim, Dx' = 0 entre a primeira e a enésima onda em  S' . A relação entre Dt  e Dt' é dada pela equação de dilatação dos tempos, equação Dt = yDt'. Assim, a frequência medida pelo observador A em S é dada por u

31

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

 f  =

' 1  f 0 Dt

1 - b

Dt 

=

f 0 1   1 - b g 

(1.21)

ou  f

=

1 - b 2 1 - b

f0

= 

1 + b 

f 0

(1.22)

1 - b 

A única diferença entre a Equação 1.21 e a equação clássica é da presença do fator de dilatação dos tempos, y. Suponha que a distância entre a fonte e o observador esteja aumentando. Para o observador B também estacionário em relação a S as V ondas ocupam uma extensão cDt + vDt e uma análise semelhante a anterior mostra que a frequência medida pelo observador B é dada por: 1 - b 2  f

=

1 - b 

(1.23)

1 + b f 0   =   1 + b  f 0

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Note que se a distância entre a fonte e o observador estiver diminuindo f>f0, como no caso da luz visível, isto corresponde a um desvio em direção à parte azul do espectro: o fenômeno é conhecido como desvio para o azul. Observe que se a distância entre a fonte e o observador está aumentando f v. A Figura A mostra dois barcos que se movem com velocidade c em relação à água parada. A velocidade da água do rio é v. O barco 1 vai do ponto  A 

40

 

ao ponto B e volta ao ponto A. enquanto o barco 2 vai do ponto A ao ponto C e volta ao ponto  A. (b) Ao se dirigir do ponto  A ao ponto B , o barco 1 deve navegar rio acima para que a soma dos vetores velocidade c + v  seja perpendicular às margens do rrio. io. A velocidade do barco em relação às margens, ou seja. em relação aos pontos A e B  c 2 -v2  O mesmo acontece na viagem de volta. FIGURA 󲀓 DOIS BARCOS SE MOVENDO DE UMA MARGEM A OUTRA E A REPRESENTAÇÃO VETORIAL

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 6)

9 O meson p+ é uma partícula instável com massa da ordem de 273 vezes a do elétron. Depois da sua produção numa colisão de alta energia entre partículas nucleares, ele vive em média 2,6 x 1-8s antes de decair num muon e num neutrino. Este tempo é medido num referencial em que a partícula está em repouso. Se esta partícula é criada com velocidade u = 0,99c, qual é seu tempo de vida medido no laboratório, e que distância ela percorre durante este intervalo? 10 Velocidade Relativística dos Raios Cósmicos: Suponha que dois prótons se aproximem da Terra Terra vindo de direções opostas (Figura a). As velocidades dos prótons, medidas no referencial da T Terra, erra, são v1 = 0,6c e v2 = -0.8c. Qual é a velocidade da Terra medida no referencial de cada próton e qual a velocidade dos prótons um em relação ao outro?

41

 

A Figura a mostra que dois prótons se aproximam da Terra vindo de direções opostas com velocidades v1  e v2 em relação à Terra. (b) Associando referenciais inerciais à Terra e as duas partículas, podemos visualizar as velocidades relativas envolvidas e aplicar corretamente a transformação de velocidades. FIGURA 󲀓 DOIS PRÓTONS SE MOVIMENTANDO MOVIMENTANDO E REFERÊNCIAIS S, S' E S''

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 15)

11 Um evento ocorre no sistema de referência S, em x = 40 m, y = z = 0 e t = 10-8 s. Um sistema de referência S’ se move com uma velocidade ν = 0,8c ao longo do eixo positivo x de S. Ache as coordenadas do evento no referencial S’ (assuma que os eixos x, y e z de ambos os sistemas são paralelos). 12 Os píons são partículas radioativa radioativass que podem ser produzidas num laboratório de pesquisa. O tempo de meia-vida de um píon em repouso é T0 = 1,8 x 10-8  s. Isso signica que, em média, a metade dos píons existentes em um dado instante se desintegra decorridos 1,8 × 10-8 s. Em uma dada experiência, os píons são produzidos com alta velocidade e se verica que, a uma distância L = 39 m do local da produção, a população de píons caiu à metade. Qual a velocidade dos píons? 13 Um grupo de astronautas realiza uma jornada da Terra até Sírius, uma estrela muito brilhante localizada a 8,5 anos-luz de distância da Terra, de acordo com medidas feitas na Terra. A velocidade escalar da astronave é ν = 0,95c. Ache a distância entre a Terra e Sírius, de acordo com medidas feitas feitas pelos astronautas. 14Uma nave espacial S é alcançada por uma nave espacial S', que ultrapassa S com uma velocidade relativa ν = c/2. O capitão de S saúda o capitão de S' piscando as luzes da proa e da popa simultaneamente do ponto de vista de S. Quando medida por S, a distância entre as luzes é de 100 m. Qual a diferença entre os instantes de emissão dos sinais de luz, quando medidos por S'?

42

 

15Um homem, carregando uma vara de comprimento próprio L0V  = 20 m, passa correndo por baixo de uma área coberta de telhas de comprimento próprio L0T = 11 m. A situação é esquematizada na gura a seguir. A velocidade ν do homem com relação ao telhado é tal que γ = 2. Responda: a) Qual a magnitude da velocidade do homem em relação ao telhado?  b) No referencial do telhado, por quanto tempo a vara estará totalmente de baixo telhas? do homem, existe algum instante em que a vara esteja totalc) No das referencial mente sob as telhas? 16Um objeto A se desloca com velocidade u em relação a um referencial S, caminhando para leste. Um objeto B se desloca com velocidade u, também em relação ao referencial S, caminhando para oeste. Qual a velocidade relativa de B em relação a A? 17Suponha que um corpo se move em S' com velocidade v'= 0,9c e S' move-se em relação a S com velocidade u=0,9c. Qual é a velocidade do corpo medida por S? 18Uma fonte de luz em repouso na origem O' de S' emite um raio de luz no plano x'y' formando em ângulo ϑ '  com o eixo x'. Qual é a sua direção vista em S? 19A rotação do Sol na linha do equador completa uma rotação em aproximadamente 25.4 dias. O raio do Sol é 7,0 x 108 m. Calcule o efeito Doppler observado nas bordas do Sol, perto do equador, para uma luz cujo comprimento de onda é X = 550nm - 550 x 10 9 m (luz amarela) Trata-se de um desvio para o vermelho ou para o azul?

43  

44

 

TÓPICO 2

UNIDADE 1

RELATIVÍSTICA TIVÍSTICA DINÂMICA RELA 1 INTRODUÇÃO Anteriormente, discutimos a observação clássica de que, se a segunda lei de Newton F = m.a é válida em um referencial, também é válida em qualquer outro referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação ao primeiro, isto é, em qualquer referencial inercial. A transformação de Galileu leva a mesma aceleração a' x = a x nos dois referenciais; forças como as produzidas por molas distendidas também são as mesmas nos dois referenciais. Entretanto, de acordo com a transformação de Loren, as acelerações não são iguais em dois desses referenciais. Se uma partícula tem urna aceleração a, e uma velocidade u, no referencial S a aceleração da partícula em S' obtida calculando o valor de du'/ dt' , , na qual u' é dado pela Equação: u x'  =

u x - v vu 1 - 2 x c

é a x'  =

 

a x vu ã3 (1 - 2 x )3 c

(1.44)  

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Para que a segunda lei de Newton F = m.a seja válida no segundo referencial, Para referencial, o valor de F/m também não pode ser o mesmo nos dois referenciais e, portanto, a força F não é invariante em relação à transformação de Lorentz.

Na verdade, é razoável esperar que força F não se mantenha constante para altas velocidades, já que, se a força se mantivesse constante, de acordo com a equação a = F/m a aceleração seria constante e, portanto, a velocidade de uma partícula poderia aumentar sem limite. Entretanto, se a velocidade de uma partícula fosse maior do que c em algum referencial S não poderíamos passar de S para o referencial de repouso da partícula, já que y se toma imaginário para v > c. É pos-

45

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

sível demonstrar a partir da transformação de velocidades, que se a velocidade duma partícula é menor que c em um referencial S é menor que em qualquer referencial que esteja se movendo em relação a S com velocidade v < c. Este resultado nos leva a supor que as partículas jamais atinjam velocidades maiores do que c. Assim, esperamos que a segunda lei de Newton, F = m.a , não seja invariante em relação à transformação de Loren.

 TA  O  N

Nesse caso, precisamos de uma nova lei de movimento, mas uma lei que seja  

v

   =  → 0  já que, quando b 󰂫 1, a lei F = m.a equivalente a versão clássica de Newton para  b   c está de acordo com as observações experimentais.

Neste tópico, vamos discutir as mudanças introduzidas na dinâmica clássica pela teoria da relatividade, com atenção especial para as três grandezas que serviram de base para a mecânica clássica: massa, momento e energia. Vamos ver que entre essas mudanças, estão uma transformação de Loren para o momento, e a energia é uma nova grandeza invariante invariante para fazer companhia ao intervalo no espaço-tempo DS.

2 MOMENTO RELATIVÍSTICO Entre os princípios mais importantes da física clássica estão as leis de conservação do momento e de conservação da energia total. Essas leis fundamentais estão ligadas a certas simetrias que existem nas leis da física. Assim, por exemplo, a conservação total narelação física clássica é uma consequência dafaz simetria ou invariância dasda leisenergia da física com as tra translações nslações no tempo. Isso com que as lleis eis de Newton se apliquem hoje em dia exatamente do mesmo modo como se aplicavam na época em que foram formuladas. A conservação do momento resulta da invariância das leis da física em relação relação a translações no espaço. Na verdade, o primeiro postulado de Loren e a transformação de Loren resultante (Equações a seguir): x ′=g  ( x-vt ) t'=g   t − vx / c 2 )

E:

 x = ( x '+ vt ') vx ' t=g   t '− c 2 

y′=y z'=z = ' z=z'

Asseguram que esta última invariância seja mantida em todos os referenciais inerciais.

46

 

TÓPICO 2 | DINÂMICA RELATIVÍSTICA

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

A simplicidade e a universalidade dessas leis de conservação nos levam a buscar equações para a mecânica relativística análoga à Equação:

dv  F

= m dt  = ma

E outras, que sejam compatíveis com a conservação do momento e da energia e ao mesmo tempo invariantes em relação à transformação de Lorentz.

É fácil provar que o momento da mecânica clássica não é conservado na mecânica relativística. Para mostrar que isso é verdade, vvamos amos examinar uma colisão isolada entre dois corpos em um exemplo no qual evitamos a questão de como transformar forças supondo que a resultante das forças externas seja nula.

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Na mecânica clássica, o momento total é conservado.

 p = Σmu Vamos ver que na mecânica relativística a conservação da grandeza grandeza mação válida apenas em baixas velocidades.

Σmu  é uma aproxi-

Considere um observador no referencial S com uma bola A e outro em S' com uma bola B. As bolas têm massa m e são iguais quando medidas em repouso. Os dois observadores arremessam as bolas ao longo dos respectivos eixos v com velocidades u0 (“medidas nos respectivos referenciais)» uma em direção a outra. Supondo que as bolas sejam perfeitamente elásticas, cada observador observa que sua bola adquire uma velocidade u após a colisão. Para que o momento total seja conservado, é preciso que a componente v seja nula, já que o momento de cada bola troca de sinal após a colisão, mas o valor absoluto permanece o mesmo. Entretanto, ao usarmos a transformação relativística das velocidades, constatamos que a grandeza mu y não tem o mesmo valor para as duas bolas, seja do ponto de vista do observador em S , seja do ponto de vista do observador observador em S'. Considere a colisão do ponto de vista do observador em   S (Figura 14a). Neste referencial, a bola  A está se movendo ao longo do eixo  y com velocidade  velocidade  u yA= u0. A velocidade da bola B tem uma componente x dada por u xB  = v e uma componente y dada por:

47

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

u xB

= u'YB /Y = −u0

1−

v2 c2

(1.45)

Para chegar a Equação 1.45 usamos as equações de transformação das velocidades e o fato de que u' yB = -u0  e u'xB = 0. Vemos que a componente  y  da velocidade da bola B é menor em valor absoluto que a componente  y da bola  A. A presença do fator (1 - v2  / c2)1/2  é uma consequência da dilatação dos tempos. O tempo que a bola B leva para percorrer uma certa distância ao longo do eixo y em S é maior que o tempo medido em S' para a mesma distância. Assim, em S , a componente y total do momento clássico não é nula. Como as componentes das velocidades mudam apenas de sinal em uma colisão elástica, o momento denido pela equação p = Σmu não é conservado em S. A análise do problema do ponto de vista de S" leva a mesma conclusão (Figura 14b), já que os papéis de A e B são simplesmente intercambiados. No limite clássico v « c , naturalmente, naturalmente, o momento é conservado, já que neste limite y = 1 e u yb ≈ u0. O motivo para denirmos o momento como Σmu na mecânica clássica é que esta grandeza é conservada quando não existem forças externas, como em nosso exemplo. Vemos agora esta um grandeza é conservada apenas na aproxiv « c. É possível, mação porém,que denir momento relativístico p de uma partícula que apresente as seguintes propriedades: • p é conserv conservado ado nas ccolisões; olisões; • p tende a mu quando u/c tende a zero. A Figura 14a mostra a colisão elástica de duas bolas iguais, do ponto de vista do observador S. Se a componente vertical da velocidade B for um para o observador S' será u0/ y  y para o observador S. (b) A mesma colisão, do ponto de vista do observador S'. Para este observador, a componente  S vertical da bola A é u0/ y  y. FIGURA 14 󲀓 COLISÃO DE DUAS BOLAS E OBSERVADORES OBSERVADORES

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 43)

48

 

TÓPICO 2 | DINÂMICA RELATIVÍSTICA

Vamos aplicar a primeira dessas condições à colisão de duas bolas que aca bamos de discut discutir, ir, obse observa rvando ndo dois po pontos ntos imp importan ortantes. tes. Em primeiro primeiro lugar, lugar, para cada um dos dois observadores o bservadores da Figura 14, a velocidade das bolas com valor absoluto não é alterada pela colisão elástica: tanto antes como depois da colisão é u0 , para a bola lançada pelo observador u = (u2 y + v2)2 para a outr outraa bola. Em segundo lugar, a falta de conservação do momento que descrevemos não se deve às velocidades, porque usamos a transformação de Loren para calcular as componentes v. Nesse caso, devev do ter algo a ver do componto a rnassa! Vamos escrever a lei da componente momento de vista v ista do observador emde S , conservação chamandoo a chamand massa da bola arremessada pelo observador S de m(u0) e a massa da bola arremessada pelo observador S' de m(u): m(u0) u0 + m(u)u yB = - m(u0)u0 - m(u)u yB  Antes da colisão Depois da colisão

(1.46)

A Equação 1.46 pode ser colocada na forma: m(u ) m(u0 )

u ≈ v.

u0

=−

u y B

(1.47)

 

De acordo com a Equação 1.45, se u0 « v. temos também u yb « v e, portanto,

Vamos agora considerar o caso limite em que u 0 → 0 isto é em que as duas  bolas estão estão em repouso no respectivo rreferencial eferencial “Iocal” e a colisão é de “ras “raspão”, pão”, com a bola B passando pela bola A com velocidade v. Nesse caso, levando em conta as Equações 1.45 e 1.47 e supondo que a equação (1.46) é respeitada, isto é, que o momento é conservado, temos: m(u = v) m(u0

= 0)

=−

u0

1

u0

1−

(1.48)

v2 c2

ou m(u ) =

m 1−

(1.49)

u1 c2

De acordo com a Equação 1.49 o observador em S mede a massa da bola B que se move em relação a ele com velocidade u, como igual a 1 / 1 − u   vezes a 2



c2

1/ 2



49

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

massa de repouso da bola, ou seja, a massa da bola B no referencial em que esta  bola se encontra em repouso. Observe que a massa medida por um observador em relação ao qual a bola está em movimento é sempre maior do que a massa medida por um observador em relação ao qual a bola está em repouso. Fator 2 2 1/ 1/ 2 1 / (1 − u 2 / c 2 )1/1/ 2  reservaremos o símbolo y para o fator 1 / (1 − v / c )  no qual v é a velocidade relativa dos referenciais. mostra o momentodo relativístico, dado pela Equação 1.50 em função A deFigura u/c em15 que u é a velocidade objeto em relação a um observador. O módulo do momento, p é expresso com unidades de mc. A reta tracejada mostra a variação do momento clássico com u/c. FIGURA 15 󰀭 MOMENTO RELATIVÍSTICO

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 44)

A Figura 15 apresenta um gráco do módulo de  p em função de u/c. A grandeza da Equação 1.49 é as vezes chamada de massa relativística: entretanto, evitaremos usar esse termo ou qualquer símbolo para a massa relativística; aqui, m sempre indica a massa medida no referencial em que o corpo se encontra em repouso. Ao fazermos isto, esta estamos mos adotand adotandoo o ponto de vista d dee Einstein. Em uma carta escrita a um colega em e m 1948 ele arma:

50

 

TÓPICO 2 | DINÂMICA RELATIVÍSTICA

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

v

Não é aconselhável introduzir o conceito de uma massa  M = m / (1 − c 2 )  para a qual não se pode oferecer nenhuma definição clara. É melhor não introduzir nenhuma massa 1/2

além “massa dee repouso" repouso m.um Emcorpo vez deem introduzir M, é melhor mencionar as expressões para odamomento energia "de movimento.

3 ENERGIA RELA RELATIVÍSTICA TIVÍSTICA O caráter fundamental do princípio de conservação da energia total nos leva a procurar uma denição de energia total na teoria da relatividade que preserve a invariância dessa lei de conservação nas transformações entre sistemas inerciais. Como no caso da denição de momento relativíst relativístico. ico.  O  CA  N  E  T A

A Equação 1.50 vai exigir que a energia relativística total E  apresente duas propriedades: • A energia total E de qualquer sistema isolado é conservada. • E tende ao valor clássico quando u/c tende a zero.

Nossa estratégia consistirá em procurar uma expressão para E  que apresente a segunda propriedade e vericar se essa expressão apresenta também a primeira. Vimos que a grandeza mu mu (o  (o momento clássico) não é conservada em colisões relativísticas, devendo ser substituída pela expressão ymu , na qual y = 1/ (1 - u2 / c2)1/2. Também Também sabemos que a segu segunda nda lei de Newton na forma F = m.a não pode estar relativisticamente correta, já que entre outras coisas, leva à conservação de mu. Para encontrar a forma relativisticamente correta da segunda lei é preciso escrevê-la na forma F = dp/dt. Esta equação é relativisticamente correta, contanto contanto que seja usada. Podemos provar esta armação calculando a expansão binomial de  y. O resultado é o seguinte:    u2  1 u2 g = 1- 2  -1/2=1+ +… 2 c2  c   

(1.60)

51

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

Assim, para u/c « 1 temos:  Ek  = mc

2

 1 u2  2 1+ +…1  2 c2  » 1 / 2mu  

(1.61)

A Figura 16 apresenta a comprovação experimental da validade da Equação 1.59, usada para calcular a energia cinética relativística. Elétrons foram f oram mantidos por intensos campos elétricos até atingirem energias da ordem de MeV  e  e suas velocidades determinadas medindo o tempo que levavam para percorrer uma distância de 8.4 m. Observe que para u « c as equações relativísticas e clássicas levam aos mesmos resultados. FIGURA 16 󲀓 GRÁFICO DA ENERGIA RELATIVÍSTICA RELATIVÍSTICA

FONTE: Tipler; Llewellyn (2006, p. 46)

52

 

TÓPICO 2 | DINÂMICA RELATIVÍSTICA

 O  CA  N  E  T A

A equação 1.59 contém dois termos. O primeiro ymc 2 termo depende da velocidade u da partícula, enquanto o outro termo mc 2 é independente da velocidade. velocidade. A 2 grandeza mc  é a energia de repouso da partícula, ou seja, a energia associada a massa de repouso m. A energia relativística total E é definida como a soma da energia cinética com a energia de repouso: 2

2

 E = Ek  + mc = g mc =

mc 2 2

2

 

(1.62)

1- u / c

Assim, o trabalho realizado por uma força aumenta a energia do sistema da energia de repouso mc2 para ymc2 ou aumenta a massa de m para ym. Para uma partícula em repouso em relação a um observador Ek = 0 e a equação 1.62 se toma a que é, provavelmente, a mais famosa de todas as equações da física E = mc2.

Para u « c. a equação 1.62 pode ser escrita na forma:  E

≈

1 2

mu 2 +mc2

(1.63)

Antes do aparecimento da teoria da relatividade, imaginava-se que a massa fosse uma grandeza conservada; em consequência m teria o mesmo valor antes e depois de qualquer interação ou evento rnc2 seria constante. Como o zero de energia é arbitrário, estamos livres para incluir uma constante aditiva, assim, nossa denição de energia relativística total se reduz a energia cinética clássica para u « c e, portanto, a expressão para E apresenta também a segunda propriedade. É preciso tomar cuidado cuidado para interpreta interpretarr corretamente a equa equação ção 1.63. Esta equação é usada para denir a energia total E , que é conser conserva vada da em tod todos os os sis sistem temas as 2 isolados. Em par particular, ticular, as grandezas Ek (energia cinética) e mc  (energia de repouso) não são necessariamente conserv conservadas adas em todos os sistemas is isolados. olados. Convém lembrar também que existe uma diferença entre grandezas conservadas e grandezas invariantes. As primeiras têm o mesmo valor em um d determinado eterminado referencial antes e depois de uma interação, as segundas têm o mesmo valor em qualquer referencial. Assim, não estamos armando que o valor de E medido por observadores em diferentes referenciais inerciais é necessariamente o mesmo, e sim que o valor de E permanece constante com o tempo em um dado referencial. Para mostrar mostrar que a energia E denida pela equação 1.63 é conservada em sistemas isolados, vamos examinar de que modo E e p se transformam quando mudamos de referencial.

53  

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

 S  CA  I  D

Ao longo dos séculos, o homem sempre se voltou para a religião em busca de respostas sobre a origem de tudo. Por exemplo, de onde viemos e para onde vamos? De uns tempos para cá, a ciência substituiu a religião como a provável fonte das respostas. A construção da mais complexa máquina já imaginada pelo homem — o colisor de partículas atômicas — na fronteira entre a Suíça e a França, desperta enorme expectativa. Assista ao vídeo Cern, do canal do jornal Matéria de Capa, disponível em: https://www.youtube.com/ youtube.com/ watch?v=1TOnz71uDak..  watch?v=1TOnz71uDak

 S  CA  I  D

Você não precisa de uma nave espacial com velocidade próxima à da luz para sentir os efeitos da relatividade — eles podem emergir mesmo nas lentas velocidades de um automóvel. Leia: A bateria do seu carro só funciona graças à relatividade. Disponível em: http://bit.ly/2ul6d2m.

 S  O  R  U  T  U  F F  S   O  D  U  T  S  E

O conteúdo que será abordado no decorrer do Livro Didático, no próximo tópico, será sobre a Relatividade Geral. É um conjunto de hipóteses que generaliza a relatividade especial e a lei da gravitação universal de Newton, fornecendo uma descrição unificada da gravidade como uma propriedade geométrica do espaço e do tempo, ou espaço-tempo. espaço-tem po. Busque saber mais lendo o próximo tópico. Bons estudos!

54

 

RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você aprendeu que:

• As relações cinemáticas da relatividade precisam de mudanças equivalentes nos elementos da dinâmica. • A m de que o princípio de conserv conservação ação do momentum de um sistema isolado seja realizado em todos os referenciais inerciais é necessário que o conceito de momentum seja generalizado. • A denição generalizada precisa da forma para a corrente equação de movimento, que é a generalização da segunda lei de Newton. • A modicação correspondente da denição de energia cinética leva naturalmente a consideração da energia associada a massa de um corpo e os princípios de conservação de massa e energia emergem como dois aspectos de uma única lei de conservação. • A relação entre energia e momentum para uma partícula sem massa aparece naturalmente das novas denições. • Para que a lei de conserv conservação ação do momentum que verdadeira em todos os referenciais inerciais, é necessário que a interpretação de momentum de um corpo seja alterada. • A nova deter determinação minação deve mant manter er as propriedades comuns do momentum , isto é, deve ser proporcional a massa do corpo e paralelo a sua velocidade. Além disso, deve reduzir-se ao momentum newtoniano no limite de baixas velocidades. • O momento linear relativístico de uma partícula qque ue se move com velocidade u em relação a um referencial inercial S é dado por: 



 p = m(u)u,

onde m(u)= m(u) = g (u)m,   g (u)=

1 1−

u2 c2

• Nestas expressões u é o módulo da velocidade, m(u) é a massa relativística da partícula e m0 é a sua massa  de repouso. Note que o momento relativístico se   reduz ao momento clássico (pc=mu)  no limite u → 0 • Na dinâmica relativística, a energia relat relativística ivística e a massa relativística de uma partícula estão relacionadas pela famosa equação de Einstein: 2

2

 E m(u)x g (u)m0c 55

 

• É fácil vericar que a energia e o momento linear relativísticos relativísticos estão relacionados pela equação:

 E 2 -p 2 c 2 =(m0c 2 )2 • Se a partícula se encontra em repouso em relação a um referencial   S (u = 0), então a energia da partícula é a chamada energia de repouso:  E0 =m0 c 2

• Às vezes é útil denir a energia cinética relativística de uma partícula, que é simplesmente a diferença entre a sua energia relativística e sua energia de repouso:  K(u)=E-E0=m(u)c 2 -m0c 2 =[ g (u)-1]m0c 2

• A equação E0 = m0 c2 tem um signicado muito profundo: ela nos diz que massa e energia são basicamente equivalentes. Uma das mais importantes implicações equação é a noção de que podemos, em princípio, transformar massa emdessa energia e vice-versa.

56

   

AUTOATIVIDADE 1 Uma partícula de massa m está em repouso na origem O de um sistema S e uma segunda partícula com mesma massa move-se no sentido positivo do eixo x com velocidade v. Ache a velocidade do centro de massa. 2 Uma partícula carregada de massa m e carga q viaja com velocidade v = 0,8 c. Encontre a magnitude do campo elétrico necessário para dar a partícula uma aceleração a na direção do movimento original. Se este campo fosse aplicado a uma partícula em repouso, que aceleração ele produziria? 3 Valores Medidos da Massa de um Corpo em Movimento. Para que valor de u/c a massa experimental de um corpo, m excede a massa de repouso de uma dada fração f? 4 Momento de um Foguete. Uma sonda interplanetária de massa m = 50.000 kg foi lançada em direção a PPlutão lutão com uma velocidade u = 0,8c. Qual é o momento da navepara no referencial da ba base se dede lançamento? velocidade da sonda é reduzida 0.4c ao se aproximar Plutão, qualSeé oa novo valor do momento? 5 Uma nave tem uma massa de repouso igual a 1 tonelada, desloca com relação a um sistema inercial O. Qual deveria ser a velocidade v da nave para que a mesma sofresse um aumento na massa inercial de 1 g? 6 Calcule a massa relativística, o momento e a energia cinética de um múon que se move com velocidade de magnitude v = 0, 999 c. A massa de repouso de um múon é mμ = 1, 8807 x 10-28 Kg. -22

7 Um elétroncinética tem momento linear de módulo p = 5×10   Kgelétron m/s. Calcule sua energia relativística. A massa de repouso de um é m e  = 9.096×10-31 Kg. 8 Um próton tem massa de repouso 1, 00731 u e um nêutron tem massa de repouso 1, 00867 u. Quando os dois se combinam, forma-se um dêuteron (Hidrogênio pesado), cuja massa de repouso é 2, 01360 u. a) Qual a energia liberada pela reação?  b) Seja uma usina atômica que produza 1000 moles de deuterons a cada hora. Qual a potência gerada pela usina? 0 9iguais Umade partícula em repouso, de massa M desintegra-se duas partículas massa de repouso m0 < M0/2. Use  ,conservação de em momento e energia relativísticos para calcular as velocidades dos fragmentos em função das massas m0 e M0.

57

 

10 Determine o equivalente energético de uma unidade atômica 1u = 1, 6605 x10-27kg. 11 Uma partícula foi acelerada e alcançou a velocidade de 0,8c. Determine a energia cinética necessária para atingir esta velocidade e faça uma comparação entre a energia newtoniana e relativística. 12 Determine velocidade umde elétron com MeV de energia cinética sabendo que elea possui 0, 511deMeV energia de 10 repouso. 13 Determine o momento linear do elétron do exemplo anterior.

58

 

TÓPICO 3

UNIDADE 1

INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL

1 INTRODUÇÃO A teoria inicial da relatividade é "especial" no sentido de que trata com sistemas de referência em movimento uniforme, isso é, em sistemas de referência referência que não são acelerados. A teoria geral incorpora sis sistemas temas de refer referência ência aceleradas. A ideia subjacente é que os efeitos da gravitação e da aceleração não podem ser distinguidos um do outro. Com isso, Einstein formulou uma nov novaa teoria da gravitação. Lembre-se de que em 1905 Einstein postulou que nenhuma observação realizada dentro de um compartimento fechado poderia determinar se ele estavameem repouso ou se movendo com velocidade uniforme; ou seja, nenhuma medição cânica, elétrica, óptica ou de qualquer natureza física, que alguém possa realizar dentro de um compartimento fechado de um trem se movimentando suavemente num trilho reto e perfeito (ou um aeroplano voando uniformemente no ar com as cortinas das janelas baixadas) poderia fornecer qualquer informação sobre se o trem está se movendo ou em repouso (ou se o avião está em repouso ou voando). Mas se o trilho tivesse imperfeições ou não fosse reto (ou se o ar fosse turbulento), a situação seria inteiramente diferente: o movimento uniforme daria lugar ao movimento acelerado, o que seria notado facilmente. A convicção de Einstein que as leis da natureza deveriam ser expressas na mesma forma em todos os sistemas de referência, tanto não acelerados como acelerados, foi a motivação que o levou à teoria geral da relatividade.

2 GEOMETRIA DIFERENCIAL • Tensores Tensores podem ser basicamente denidos como quantidades matemáticas que obedecem a certas regras quando submetidos a uma transformação de coordenadas. Assim, dados dois conjuntos distintos de sistemas coordenados em um espaço de n dimensões:

 x a =x a (x1 ,x 2 ,...,x n )  

(1.64)

59

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

e

x´a = x´a ( x´1 , x´2 , ..., x´n )

(1.65)

Podemos denir dois tipos de tensores: a) Tensores Covariantes:

∂ x b  x ' a = a ∂ x '

(1.66)

 b) Tensores Tensores Contravar Contravariantes: iantes:

∂ x 'a b  X ' = b X  ∂ x  a

(1,67)

Aqui, é utilizada a notação de Einstein, na qual consideram-se termos que possuem índices repetidos como sendo um somatório sobre as dimensões. Obviamente, deve-se denir o número de dimensões n do espaço no qual os tensores são tratados para que esta notação faça sentido. Um tensor pode possuir tanto índices covariantes quanto contravariantes, contravariantes, neste caso ele será um u m tensor misto. c) Derivação covariante: Ao aplicarmos uma diferenciação parcial a um tensor covariante, dado por (2.3) obtemos:

∂  ∂ x e  ∂ c X'a =  ∂ x' c  ∂x' a  X e

(1.68)

Sendo:

∂ ∂ x d  ∂ ∂'c º   c = c d  ∂ x' ∂x' ∂x

(1.69)

Temos então:

∂ x e ∂x ∂ ∂ 2 xe ∂'c X'a = ∂ x' a ∂x' c ∂x d X e + ∂x' c ∂x' a X e  

(1.70)

60

 

TÓPICO 3 | INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL

Vemos então que esta operação não é tensorial, pois não se comporta como (1.66) frente a uma transformação de coordenadas devido ao segundo termo do lado direito. Mas podemos denir uma derivação de caráter tensorial reescrevendo (1.70) da seguinte maneira:

∂'c X'a =

∂ 2 x  e ∂x' b c

a

e

∂ e xd 

X'b +

∂ x' ∂x' ∂x

com isso, denimos a seguinte operação:

a

∂ X   c d e

(1.71)

∂x' ∂x' 

∇c X a = ∂ c X a - Γ  abc X b

(1.72)

 

b Esta é a derivada covariante de um vetor Xa. O fator Γ ac  é denominado conexão. É esta conexão que faz com que a derivação covariante tenha caráter tensorial.

 

No caso de um escalar, a derivação covariante nada mais é do que a própria derivada convencional:

∇cϕ = ∂ cϕ 

(1.73)

A partir desse fato, podemos obter uma relação para a derivação covariante de tensores contravariantes, denindo um produto escalar entre dois tensores como:

 X aYa=ϕ 

(1.74)

Utilizando esta relação em (1.73), temos

∇cϕ = ∂ cϕ  = Yb ∂ c X a + X a ∂ cYb   temos

(1.75)

Fazendo a derivação covariante no termo do lado esquerdo de (1.74),

∇ c (X aYa ) = Ya ∇ c X a + X a ∇ cYa 

(1.76)

61

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

Assim, substituindo (1.75) e (1.76) em (1.73), obtemos

Ya ∇c X a + X a (∂ cYa − ΓabcYb ) = Y a ∂ c X a + X a

(1.77)

Como no segundo termo entre e ntre parênteses parênteses os índices e denem somatórios (pois estão repetidos), não faz diferença reescrevê-lo da seguinte forma: a

a bc a

ac b Y Y → X Γ Y .   Podemos então eliminar da equação, de modo que (1.77) Γ se torna:

∇c X a = ∂ c X a + Γ ab X b

 (1.78) Que é a derivada covariante para um tensor contravariante. Agora podemos generalizar a derivação covariante para o caso de um vetor misto arbitrário T ba .

∇ cTba...... = ∂ cTba...... + ΓdacTbd...... +  ... − ΓdbcTba

 

(1.79)

A operação (1.78) obedece às regras de transformação de um tensor: a

∂ 'c  X ' + Γ

'abc

∂ x f ∂x 'a X ' = c   d  (∂ f X d + Γedf X e )  ∂ x ' ∂x  b

(1.80)

Efetuando uma mudança de coordenadas no primeiro termo da equação anterior  f a 2 a f   x x ' x ' x  ∂ ∂ ∂ ∂ X d  ∂ 'c  X 'a = c   d ∂ f  X d + d f c

∂ x '

∂x

∂x ∂x

(1.81)

∂x '

Podemos reescrever (1.80) assim:  f a 2 a f  ∂  x ∂ x ' ∂ x ' ∂ x  Γ 'abc  X 'b = c d Γedf X e   − d f   c X d ∂ x ' ∂x ∂x ∂x ∂x '

 

(1.82)

Novamente, podemos eliminar os vetores X'b , Xe  e Xd  efetuando uma mudança nos seus índices repetidos, de modo que obtemos:

62

 

TÓPICO 3 | INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL

Γ

'abc

∂ x f ∂x 'a ∂x e d  ∂ 2 x 'a ∂x f ∂x d    c = c d b Γ ef −   d f ∂ x ' ∂x ∂x ' ∂x ∂x ∂x ' ∂x 'b

(1.83)

Simplicando o segundo termo, obtemos:

Γ

a 'bc

∂ x f ∂x 'a ∂x e d  ∂2xd ∂x 'a = ∂ x 'c ∂x d ∂x 'b Γef − ∂  x 'b ∂x 'c   ∂x d

 

(1.84)

Assim, ca evidente que a conexão não é um tensor. Mas podemos formar um tensor a partir da diferença entre duas conexões —pois aí o segundo termo de (1.84) irá se anular, neste caso o tensor resultante será diferente de zero apenas para conexões antissimétricas — nas quais os índices covariantes da conexão não comutam. O tensor assim denido é denominado torção.

3 O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA Como vimos, é devido a igualdade entre massa inercial m , e massa gravitacional m  que o campo gravitacional numa pequena região próximo à superfície da Terra produz a mesma aceleração ( -g) de queda livre em qualquer corpo material (“experiência” de Galileu da Torre de Pisa). Com efeito, a segunda lei de Newton dá:

m1 X=-mg g  

(1.85)

Em que, no primeiro membro, temos a massa inercial, e no segundo a massa gravitacional (resposta de um corpo de prova ao campo gravitacional). Como ml = m g , resulta que:   X=-g 

(1.86)

Logo, a força gravitacional tem a notável propriedade de ser proporcional à massa inercial de uma partícula (corpo de prova) sobre a qual atua. Vimos no curso de Mecânica, que essa propriedade é sempre válida para forças de inércia, características de referenciais não-inerciais. Isso sugere que possa existir uma relação entre gravidade e forças de inércia, e que convenha examinar referenciais não-inerciais. Na relat relatividade ividade especial, o contínuo espaço-tempo tem caráter absoluto (atua sobre a matéria, mas a matéria não atua sobre ele). Por outro lado, referenciais inerciais(Princípio concretosdesão denidos relativamente à distribuição de matéria no Universo Mach).

63

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

Num referencial inercial (S) próximo à superfície da Terra e numa região sucientemente pequena para que o campo gravitacional possa ser tratado como uniforme, a segunda lei de Newton se escreve, para uma partícula de massa m.  - mg+F  mX= 1

(1.87)

Em que F1 representa forças não-gravitacionais que atuem sobre a partícula. Se considerarmos agora um referencial ( S') que se desloca em relação à (S) com movimento retilíneo uniformemente acelerado de aceleração a. A aceleração da partícula em relação à (S') é, como consequência da lei de Galileu de composição de velocidades,    X'=X

−A

(1.88)

 

De modo que a (1.87) ca: m(X'+A)=  - mg+F 1

(1.89)

E, em particular, se A = - g:  F  mX'= 1

(1.90)

 A = -g , “eleOu seja, num referencial em queda livre no campo gravitacional ( A “elevador de Einstein”), desaparecem os efeitos do campo gravitacional sobre a partícula. É o efeito da “ausência de peso” dos astronautas em órbita. A (1.90) mostra que (S') se comporta como se fosse um referencial inercial na ausência de campo gravitacional.

Por conseguinte, as leis da mecânica na presença de um campo gravitacional -g uniforme são as mesmas que resultariam, na ausência do campo, num referencial uniformemente acelerado, com aceleração -g: não é possível distinguir entre as duas situações por experiências de mecânica, o que generaliza o princípio de relatividade de Galileu.

64

 

TÓPICO 3 | INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Em 1908, Einstein estendeu essa conclusão a todas as leis físicas, formulando o Princípio de Equivalência: num recinto suficientemente pequeno para que o campo gravitacional dentro dele possa ser tomado como uniforme, em queda livre dentro desse campo, todas as leis físicas são as mesmas que em um referencial inerc inercial, ial, na ausência do campo gravitacional.

Por que a restrição restrição a um “recint “recintoo sucientemente pequeno"? Porque para o campo gravitacional da Terra, por exemplo, se tomarmos um recinto de dimensões comparáveis as da Terra ( ABCD  ABCD , na Figura 17), o campo gravitacional não será mais uniforme nessa escala, e é perfeitamente possível detectá-lo, Figura 17. FIGURA 17 󰀭 CAMPO GRAVITACIONAL GRAVITACIONAL DA TERRA

FONTE: Nussenzveig (2014, (2014, p. 226)

As trajetórias de dois pontos materiais bem separados, como P1  e P2  na Figura 17, tenderão aproximar-se uma da outra. Analogamente, para dois pontos a distâncias bastante diferentes do centro da Terra, como P1  e P3 , as acelerações serão sensivelmente diferentes. Logo, usando como “corpo de pr prova” ova” um par de partículas sucientemente afastadas entre si, é possível neste caso detectar a existência do campouniformemente gravitacional e acelerado. não é possível eliminá-lo por uma mudança para um referencial Vemos que o Princípio de Equivalência tem que ser aplicado localmente,

em pequenos recintos que podemos chamar de referenciais localmente inerciais. 65

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

Tomando essa precaução, porém, o Princípio de Equivalência nos permite inferir a existência de alguns dos efeitos novos, característicos da relatividade geral.  Já vimos que ele permite prever a existência de uma deexão gravitacional da luz. O resultado previsto por Einstein para a deexão pelo campo gravitacional do Sol foi conrmado pelas observações realizadas em Sobral (Ceará) durante o eclipse solar de 1919, que tiveram grande repercussão.

4 AS EQUAÇÕES DE CAMPO DE EINSTEIN O problema agora é determinar de que forma a presença de corpos no espaço-tempo altera a sua geometria. Ou seja: dada uma distribuição de matéria, temos que achar o tensor métrico mé trico adequado para descrever a deformação causada por ela. Este problema é resolvido pelas equações de campo de Einstein que relacionam a geometria do espaço-tempo com a distribuição de matéria e energia contidas nele. Esta equação foi postulada por Einstein através de uma série de argumentos intuitivos. É possível utiliza utilizarr alguns argumentos pa para ra convencer de sua consistência. Em todo caso, as equaç equações ões de Einstein foram corroboradas por diversos experimentos desde que foi publicada, em 1915. Posteriormente, foi possível obter as mesmas equações a partir da Teoria Clássica de Campos, utilizando o Princípio Variacional. Mesmo assim, por esse método variacional há uma quantidade postulada através de considerações heurísticas, que é a lagrangeana de Einstein.

4.1 APROXIMAÇÃO PARA CAMPOS FRACOS Apesar de tudo, a Teoria da Gravitação Universal de Newton funciona muito bem para a gravidade que anão velocidade dos corpos envolvidos é bemdescrever menor que a da luz e em casos que osem corpos são excessivamente massivos. A teoria da relatividade geral deve coincidir com as previsões newtonianas, nestas condições. Ao considerarmos o caso de uma partícula livre se deslocando com velocidades muito menores que a da luz em um campo gravitacional “fraco” podemos escrever a métrica do espaço- tempo como sendo a métrica de Minkowski acrescida de uma pequena perturbação: g ab

=  η ab + hab

(1.91)

Sabemos que o movimento de uma partícula no espaço-tempo é dado pela equação de uma geodésica:  

66

 

TÓPICO 3 | INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL

b d 2 xe dxc e dx + Γ ab  =0 2 dτ dτ d τ 

E a equação da geodésica ca: 2

d 2 xa

dxb  dt   dτ 2 + c Γ 00 dτ  d τ   = 0 2

e

(1.92)

Pois, para velocidades muito menores que c: dx 0 dt   dx a = c   >> dτ dτ d τ 

(1.93)

Com o índice representando as coordenadas espaciais. E o conector métrico dado por:

Γ fab = 12 g  fc (∂ agbc + ∂ bgca − ∂ cgbc ) considerando que o campo é aproximadamente estático (= 0) ca: a

Γ 00 =

1 2

ab g  ( 0gb0

∂

+ ∂ b g0b − ∂ bg00 ) = −

1 2

g

ab

∂ bg00

(1.94)

Considerando que hab « 1, podemos inverter a métrica dada em (1.91) ( 1.91) para achar sua forma contrav contravariante, ariante, pela relação:

 

Temos: g

ab

= η ab − h ab

(1.95)

E a conexão ca: a

1

ab

Γ 00 =   2 η  ∂ b h00

(1.96)

67

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

Como h = 0, a equação pode ser escrita como:

1

1

2

2

Γ 0a0 = Γα00 = d αb ∂ b h00 = ∂α h00

(1.97)

E (1.92) ca: 2

d 2 xα  1 2  dt    = − ∂α h00  c   2 dτ 2  d τ   Dividindo ambos os lados por

 dt    d ττ     

2

(1.98)

 obtemos então:

d 2 xα  c2 = − ∂α h00 2 2 d τ 

(1.99)

Comparando com a segunda lei de Newton para uma força gravitacional descrita por um potencial, temos:

2ϕ  c2

(1.100)

1+ 2ϕ  c2

(1.101)

h00 = Ou, através de (1.91):

g00 =  

Ou seja: podemos considerar a métrica do espaço-tempo como sendo o análogo do potencial da gravitação newtoniana. Na teoria da gravitação universal, temos a Equação de Poisson, que quando resolvida para uma dada distribuição de massa nos dá o potencial gravitacional:

∇ 2ϕ=4p Gp

(1.102)

68

 

TÓPICO 3 | INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL

Em que G é a constante gravitacional de Newton e a densidade de massa

5 A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD O problema mais simples seria o do campo gravitacional central de uma partícula de massa M em repouso (no movimento planetário, seria o Sol). É natural, neste caso, tomar origem na partícula e adotar coordenadas esféricas (r, θ , ϕ). A grande distância da partícula ( r → ∞) esperamos que o campo gravitacional tenda a zero e que a métrica do espaço-tempo seja, portanto, a de Minkowski,

(ds ds))∞2 =( =(dr dr))∞2 + +(r (rddθ )∞2 + +((r senθ d Φ )∞2 -( -(cc d t)∞2

(1,103)

A presença de  M deve alterar a métrica a distância nita, introduzindo curvatura no espaço-tempo. Como o problema é estático, os coecientes da métrica devem do tempo, e pela simetria esférica, não devem depender de θ eser φ,independentes pela mesma razão, a métrica nessas variáveis angulares não deve ser alterada. Assim, esperamos que a métrica seja da forma:

(ds) (d s)2=a =a(r (r)( )(dr dr))2 +(rd +(rdθ )2 +(r +(r sen senθ d  Φ )2 -b -b(r (r)( )(cc d t)2

(1.104)

Em que a(r) e b(r) são funções a determinar, resolvendo as equações de Einstein para o campo gravitacional da teoria da relatividade geral. Um argumento de plausibilidade para b(r) resulta da:

 ö(x)  (dt) ≈ (dt∞ )  1+2  2  2

2

O caráter estático da métrica implica que a sincronização dos relógios em posições diferentes (através de sinais luminosos) não deve variar com o tempo. Entretanto, pela:

 GM Dt(r)=Dt∞  1- 2  rc

  ϕ (x)  = D t    ∞ 1+ c 2    

E a penúltima equação, a presença do campo gravitacional afeta a marcha dos relógios diferentemente, conforme a posição. Para manter a sincronia caráter estático do espaço-tempo, é preciso, portanto, corrigir o coeciente dee( co.  dt)2 por um fator que compense a:

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UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

 

O que daria: (1.105) Em 1916, Schwarzschild obteve uma solução exata das equações — de Einstein — da relatividade geral que tem essa forma. O resultado para a(r) é o inverso de b(r), como na relação entre dilatação de Loren temporal e contração espacial, o que dá a solução de Schwarzschild: (1.106) Em que: (1.107) Chama-se o raio de Schwarzschild associado à massa  M. Para r →  ∞ ,  a (6.150) tende à (1.106). Se interpretarmos  M  como a massa do Sol, a linha de universo de um planeta seria uma geodésica no espaço-tempo com a métrica de Schwarzschild (Figura 18).

70

 

TÓPICO 3 | INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL

Figura 18 – Linha de universo de um planeta em tomo do Sol

FONTE: Nussenzveig (2014, p. 236)

O cálculo mostra que a órbita não é mais a elipse newtoniana. Ela não é fechada: é em geral uma rosácea (Figura 19), correspondendo a uma precessão do periélio. Figura 19 – Precessão do periélio

FONTE: Nussenzveig (2014, p. 236) 71

 

UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

Na mecânica newtoniana, ocorre uma precessão quando levamos em conta a presença dos demais planetas, como uma perturbação do problema de dois corpos. Entretanto, havia uma pequena discrepância entre a precessão calculada pela mecânica newtoniana e a precessão observada. O valor dessa discrepância para o planeta Mercúrio é de 43,11" ± 0,45" (segundos de arco)depor século. A relatividade geral, as órbitas como na métrica Schwarzschild, prediz para estecalculando desvio o valor 43,03”, por geodésicas século, em excelente acordo com a experiência. Também se pode empregar a métrica de Schwarzsc Schwarzschild hild para obter a trajetória de um raio luminoso no campo gravitacional da massa M. Isso dá o valor numérico da deexão gravitacional gravitacional da luz. Para luz que passa próxima do Sol, encontra-se uma deexão a p = 1,75". Para medir essa deexão, é preciso comparar a posição aparente de uma estrela no céu noturno com sua posição quando vista no céu próxima do Sol, o que só pode ser feito durante um eclipse solar. O valor médio observado é de 1,89", mas os erros de observação são grandes. Por outro lado, o quasar 3C279, fonte intensa de ondas de rádio, é ocultado pelo Sol uma vez por ano, permitindo que se meça a deexão gravitacional com precisão bem maior. O resultado é 1,73" ± 0,05", em excelente acordo com a predição da relatividade geral.

 S  CA  I  D

Albert Einstein (1879 -- 1955) foi um físico e humanista alemão, autor da teoria da relatividade e de importantes estudos em ondulatória. O documentário Albert Einstein está disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=tQz0KM6JEB4. Assista também ao documentário: 100 Anos de Teoria Teoria da Relatividade (Legendado). (Legendado). Disponível em: https://www.youtube. https://www.youtube.com/watc com/watch?v=5Aie5w1CBus. h?v=5Aie5w1CBus.

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TÓPICO 3 | INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL

 S  CA  I  D

Como nas gravuras de M.C. Escher, em que as coisas se fundem de forma suave, o mundo é simultaneamente relativístico, clássico e quântico, dependendo das dimensões que consideremos. Leia o texto completo: Físicos fazem caminho matemático das partículas ao Universo, disponível no endereço: https://www.inovacaotecnologica. com.br/noticias/noticia.php?artigo=fisicos-alcancam-cosmologia-pela-gravidade-quantica&id=010130130805#.XUse7tJKjZ4.

 S  O  R  U  T  U  F F  S   O  D  U  T  S  E

O conteúdo que será abordado no decorrer do Livro Didático na próxima unidade será sobre introdução a teoria quântica. A mecânica quântica é a teoria física que obtém sucesso no estudo dos sistemas físicos cujas dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica, tais como moléculas, átomos, elétrons, prótons e de outras partículas subatômicas, muito embora também possa descrever descrever fenômenos macroscópicos macroscópicos em diversos casos. Você saberá mais sobre o tema estudando a Unidade 2. Bons estudos! Fique agora com uma leitura complementar.

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UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS

LEITURA COMPLEMENTAR Espaço-tempo é gerado pelo entrelaçamento quântico?

Inovação Tecnológica Dimensões adicionais

Um trabalho de uma equipe de físicos e matemáticos deu um passo signicativo em direção à unicação uni cação da relatividade geral com a mecânica quântica. Para a equipe, não apenas não há incompatibilidade entre as duas teorias, como o próprio espaço-tempo, conforme descrito por Einstein emerge do emaranhamento quântico, o estranho comportamento das partículas quânticas de que Einstein gostava tão pouco. O emaranhamento quântico — ou entrelaçamento quântico — é um fenômeno pelo qual estados como o spin ou a polarização de partículas localizadas em diferentes pontos do espaço não podem ser descritos de forma independente. Assim, mexer em umas das partículas - fazer uma medição de suas propriedades - vai imediatamente alterar a outra partícula entrelaçada, algo que Einstein ironizou chamando o fenômeno de "ação fantasmagórica à distância".  Jennifer Lin e seus colegas estã estãoo propondo agora — e demonstra demonstraram ram seus argumentos de forma bastante rme — que é justamente esse entrelaçamento quântico que gera as dimensões adicionais da teoria gravitacional. Universo Holográco

Os argumentos se fundamentam no chamado "Princípio Holográco", que vem ganhando sustentação por um número núme ro cada vez maior de físicos. O Princípio Holográco arma que a gravidade de um volume tridimensional pode ser descrita pela mecânica quântica na superfície bidimensional que envolve esse volume — é matematicamente possível explicar as três dimensões do volume a partir das duas dimensões da superfície. Mas havia uma diculdade: faltava compreender os mecanismos me canismos precisos que eventualmente permitiram o surgimento do volume interno a partir da superfície externa. Foi isto que agora foi feito por Jennifer e seus colegas das universidades de Chicago e de Tóquio, que encontraram uma forma de mostrar que o entrelaçae ntrelaçamento quântico é a chave para resolver esta questão.

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TÓPICO 3 | INTRODUÇÃO À RELA RELATIVIDADE TIVIDADE GERAL

Densidade de energia

Usando uma teoria quântica (que não inclui a gravidade), Jennifer mostrou como calcular a densidade de energia, que é uma fonte de interações gravitacionais em três dimensões, usando apenas dados do entrelaçamento quântico na superfície do holograma cósmico. umatridimensional comparação mais simples, é análogo diagnosticar as condições no Em interior do seu corpoisto olhando paraaimagens de raios X em folhas bidimensionais. Isto permitiu interpretar propriedades universais do entrelaçamento quântico como sendo condições para a densidade de energia que devem ser satisfeitas por qualquer teoria quântica da gravidade que se queira consistente, sem realmente incluir explicitamente a gravidade na teoria. "Nosso artigo lança uma nova luz sobre a relação entre o entrelaçamento quântico e a estrutura microscópica do espaço-tempo através de cálculos explícitos. A interface entre a gravidade quântica [o trabalho dos físicos] e a ciência da informação [o trabalho dos matemáticos] está-se tornando vez mais para ambos os campos”, disse o professor Hirosi Ooguri,cada orientador doimportante trabalho. Curiosamente, há poucos dias, outra equipe usou a gravidade, conforme descrita por Einstein, para chegar até os comportamentos estranhos descritos pela mecânica quântica: FONTE: . Acesso em: 7 ago. 2019.

 DA  MA  HA  C

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RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico você aprendeu que:

• Além de que o cálculo ocorresse suciente ppara ara a conhecimento e o uso das das leis de Newton, não cou para apela teoria da relatividade que nasceu sobre as bases do conhecimento composto geometria diferencial. • A relação entre a geometria d diferencial iferencial e a análise tem sido fator de desenvolvimento de ambas as disciplinas. • No espírito da geometria an analítica alítica de Descartes, problemas profundos de estudo têm sido resolvidos por meio da geometria e mutuamente. • O Princípio da Equivalência diz que não há experimento local que possibilite ao seu observador diferenciar entre o caso no qual o experimento é feito em uma região em que há um campo de gravidade conhecido, formando o observador (referencial) caso, apesar de, imerso um referencial inercial —neste não acelerado, portanto —, e oneste casomesmo em quecampo, o experimento é feito em uma região totalmente neutra de campos gravitacionais, mas com o observador, neste caso, acelerado por uma força própria, que estabeleça, ao mesmo, uma aceleração de módulo igual, porém de sentido oposto ao da aceleração criada no primeiro caso pelo campo de gravidade. • A equação de campo de Einstein , em física, é uma equação na teoria da gravitação, denominada relatividade geral, que caracteriza como a matéria gera gravidade e, inversamente, como a gravidade inuencia a matéria. • A equação do campo de Einstein se restringe à lei de Newton da gravidade no limite isto é, às velocidades reduzidas e campos gravitacionais pouco não-relativista, fortes.

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• A solução de Schw Schwarzschild, arzschild, incluído a teoria de Einstein da rela relatividade tividade geral, explica o campo gravitacional externo a um corpo esférico, porém, ignorando qualquer rotação de massa. Então pode-se tomar uma previsão para o caso de uma estrela, um planeta ou um buraco negro. Trata-se de uma ideal avaliação para campos gravitacionais de corpos de fraca rotação como a T Terra erra ou Sol. • Segundo o teorema de Birkho, a resposta de Schwarzschild é uma generalização parapara condições de simetria esférica, também uma solução em problemas de vácuo as equações de campo de Einstein.

 DA  MA  HA  C

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77

 

AUTOATIVIDADE 1 Discuta a import importância ância da primeira lei de Newton na d denição enição de um referencial inercial. 2 Discuta a seguinte armação: “Qualquer referencial xo na Terra é não inercial”. 3 Um trem se desloca ccom om velocidade constant constantee de 60 km/h em trilh trilhos os retilíneos. Dentro de um vagão, uma pessoa anda com uma velocidade de 10 km/h em sentido à frente do trem, medida em um referencial inercial xo no trem. Use as transformadas de Galileu para a velocidade e posição para estimar: a) Qual é a velocidade da pessoa em relação a um ponto xo nos trilhos atrás do trem?  b) Qual é a distância qque ue a pessoa se desloca em 11 segundos em relação a um referencial xo no trem? c) Qual é a distância que a pessoa se desloca em 11 segundos em relação a um ponto xo nos trilhos? 4 Considere um elétron livre se movendo com velocida velocidade de de módulo 0,7c e calcule: a) A razão entre os módulos do momento relativístico e clássico.  b) A razão entre a energia cinética relativística e clássica. 5 Calcule a velocidade de uma partícula, cuja razão entre o módulo do momento dado pela expressão relativística e o momento dado pela expressão clássica é 1.2. 6 Calcule a velocidade de uma partícula para qual modulo do momento clássico é 9% menor do que o módulo do momento relativístico. 7 Qual é a vvelocidade elocidade de uma partícula que possui energia total igua iguall ao dobro de sua energia de repouso? 8 Calcule o módulo da vvelocidade elocidade e do momento de uma partícula de massa 2 MeV/c2 e energia cinética de 3 MeV7.

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UNIDADE 2 INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de: •

Saber das origens da teoria quântica e os fótons; f ótons;

•

Conhecer o histórico da teoria quântica;

•

Aprender sobre a hipótese de Planck;

•

Entender o efeito fotoelétrico;

•

Familiarizar-se do efeito Compton;

•

Identicar modelos atômicos;

•

Reconhecer espectros atômicos;

•

Saber a respeito do modelo de Rutherford;

•

Conhecer o modelo de Bohr;

•

Aprender sobre as propriedades ondulatórias das d as partículas;

• •

Entender a hipótese de Broglie; Familiarizar-se sobre a dualidade partícula-onda;

•

Realizar a interpretação probabilística da função de onda;

•

Identicar operadores;

•

Reconhecer observáveis e valor esperado;

•

Executar a representação matricial e álgebra de observáveis;

•

Entender sobre o momento angular do fóton;

•

Conhecer sobre o princípio da incerteza.

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PLANO DE ESTUDOS Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – ORIGENS DA TEORIA QUÂNTICA E OS FÓTONS TÓPICO 2 – MODELOS ATÔMICOS TÓPICO 3 – PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

 DA  MA  HA  C

Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, concent ração, assim absorverá melhor as informações.

80

 

TÓPICO 1

UNIDADE 2

ORIGENS DA TEORIA QUÂNTICA E OS FÓTONS 1 INTRODUÇÃO Nesta unidade, será apresentado uma introdução ao estudo da mecânica quântica com seus fundamentos essenciais. Assim como os conceitos essenciais da mudança mais profunda pela qual a física passou desde a fase de Newton até a física quântica. A Física Quântica indicou uma transformação muito mais primordial das ideias relevantes da física do que da relatividade, que manifestou, num certo sentido, o auge do que denominamos atualmente na física clássica. A física quântica versa, sobretudo, as manifestações na escala atômica e subatômica, com mais de um milhão de circunstâncias menores do que as dimensões macroscópicas (também debate das consequências desses fenômenos fe nômenos ao grau macroscópico). Como essa escala é completamente distante da nossa experiência, não há qualquer razão para acreditar que consiga ser explanada pelos conceitos da física clássica. Realmente não pode: a física quântica não coincide com nada do que entendemos até hoje.

2 HISTÓRICO DA TEORIA QUÂNTICA ideia real,Oo trabalho postuladoinicial de Planck não era completo como no estilo em Em quesua o relatamos. de Planck foitão disposto entendendo-se, discriminadamente, o comportamento de elétrons nas paredes do corpo negro e sua acoplagem ou trato com a radiação eletromagnética no interior da cavidade. Por meio desta conexão, Planck associou a energia a uma dada frequência da radiação de corpo negro a energia de um elétron na parede, alternando senoidalmente com a similar frequência e postulou apenas que a energia da partícula oscilante é quantizada. quantizada. Somente mais tarde foi que Planck aaceitou ceitou a ideia de que as próprias ondas eletromagnéticas eram quantizadas e o postulado foi f oi ampliado de forma a incluir qualquer ente cuja coordenada oscilasse senoidalmente. No princípio Planck não tinha clareza se sua apresentação da constante h era um modo matemático ou algo de importância física dentro mais complexa. Por somente mais de uma década Planck tentou encaixar a ideia quântica da teoria clássica. Em cada tentativa, ele parecia recuar de sua ousadia original, mas sempre gerava novas novas ideias e técnicas que a teoria quântica mais tarde adotou. adotou. Apa-

rentemente, o que nalmente o convenceu da correção e do profundo signicado 81

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

de sua hipótese quântica foi o fato dessa hipótese levar a uma formulação mais exata da terceira lei da termodinâmica e do conceito estatístico de entropia. Foi no decorrer desse tempo de dúvida que Planck foi o editor do jornal alemão de pesquisa Annalen der Phytík. Em 1905, ele obteve o primeiro artigo de Einstein sobre a relatividade, e defendeu fortemente esse trabalho. Depois disso, tornou-se um dos patronos do jovem Einstein em círculos cientícos, mas resistiu durante tempo as ideias emitidase estenderam por Einsteinosobre a teoria quântica da radiaçãoalgum e que mais tarde conrmaram próprio trabalho de Planck. Einstein, cuja profunda visão do eletromagnetismo e da mecânica estatística talvez fosse inigualável nessa época, viu como resultado do trabalho de Planck a necessidade de uma reformulação completa na estatística e eletromagnetismo clássicos. Ele formulou previsões e interpretações de muitos fenômenos físicos que foram mais tarde notavelmente conrmados pelas experiências. Nesta unidade vamos canalizar a um destes fenômenos e continuar um outro destino em direção à mecânica quântica. Dando sucessão ao estudo, em seguida você pode equiparar no texto acerca da hipótese de Plank. Em 1924, o físico francês Louis-Victor de Broglie apresenta a sua teoria de ondas de matéria, as partículas podem exibirecaracterísticas de onda e vice-versa. Esstadizendo teoria eraque para uma partícula simples derivada da teoria especial da relatividade. Baseando-se na aproximação de Broglie, nasceu a mecânica quântica moderna em 1925, quando os físicos alemães Werner Heisenberg e Max Born desenvolveram a mecânica matricial, e o físico austríaco  Erwin Schrödinger inventou a mecânica de ondas e a equação de Schrödinger não relativista como uma aproximação ao caso generalizado da teoria de Broglie. Schrödinger posteriormente demonstrou que ambos as aproximações eram equivalentes.

2.1 A HIPÓTESE DE PLANCK  

No subtópico anterior discutimos sobre o histórico da teoria quântica. Você, acadêmico, pode se perguntar, mas qual é a relação entre o histórico da teoria quântica com a hipótese de Planck assunto dessa subtópico? Em 1900, Max Planck fez uma proposta que considerou desesperadora, mas que se revelou revolucionária. Ele mostrou que a lei de Rayleigh-Jeans não ajustava a curva espectral em toda a faixa de comprimentos de onda, porque Rayleigh e Jeans admitiam que os osciladores irradiavam qualquer quantidade de energia. Planck impôs uma restrição, isto é, os osciladores só podiam emitir energia em determinadas quantidades. Mais precisamente, em quantidades inteiras de hf, onde h passou a ser chamada de constante de Planck, e f é a frequência da radiação emitida. Esta suposição é hoje conhecida como quantização da energia. Em notação moderna E=nhf . A partir dessa da radiação ideia, ele de corpo obtevenegro. uma expressão A históriaque da mecânica ajustou completamente quântica entrelaçada a curvacom espectral a história da química quântica começa essencialmente com o descobrimento dos raios catódicos em 1838 realizado por Michael Faraday, a introdução do termo corpo

negro por Gustav Kirchho no Inverno de 1859-1860, a sugestão feita por Ludwig 82

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

Bolmann em 1877 sobre que os estados e stados de energia de um sistema físico deveriam ser discretos, e a hipótese quântica de Max Planck em 1900. A contribuição de Planck pode ser observada na forma de um postulado, como se segue:

 CA  C A  O  N  E  T A

Todo ente físico com um grau de liberdade cuja "coordenada" é uma função senoidal do tempo (isto é, opera oscilações harmônicas simples) é capaz de deter somente energias integrais e que solvam à relação: E=nh

n=,1,2,3,...

(2.1)

Em que v é a frequência da oscilação e h uma constante internacional.

Um esquema de estados de energia, como é expresso na Figura 1, nos dá um perl oportuno de explanar o comportamento de um ente orientado por esse axioma e inclusive é conveniente para evidenciar a divergência entre esse desempenho e o que seria previsto com base na física clássica. Em uma gura desse tipo, informamos a distância de uma linha, a linha de energia zero é proporcional à energia total i a qual ela corresponde. No entanto, e ntanto, o ente, executando oscilações harmônicas simples, pode ter apenas as energias totais discretas & = & = 0, hv, 2hv, 3hv..., caso obedeça ao postulado de Planck. Isto é indicado pelo conjunto discreto de linhas em seu diagrama de níveis de energia. A energia do ente que segue ao postulado de Planck é dita quantizada, os estados de energia prováveis são enunciados estados quânticos e o inteiro n é o dito número quântico. (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 1 󲀓 ENERGIAS PARA UM SISTEMA CLÁSSICO E DE ACORDO COM POSTULADO DE PLANCK

     .      .      .

Clássico

&=0

Planck

& = 5hv & = 4hv & = 3hv & = 2hv & = hv   &=0

FONTE: Eisberg; Resnick (1994, p. 41) 83

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

Na Figura 1, temos do lado esquerdo: as energias prováveis para um sistema clássico, oscilando senoidalmente com frequência v , são são di dist stri ribu buíd ídas as co cons nsta tant ntem emen ente te.. Ainda na Figura 1 temos do lado direito: as energias prováveis de consenso com o postulado de Planck, são distribuídas decorosamente já que podem ter somente os valores nhv. Informamos que a energia é quantizada, com n sendo o número quântico de um estado quântico possível. (EISBERG; RESNICK, 1994).

 S  CA  I  D

O texto anterior contém trechos subtraídos do livro: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. P. 40-41. Como dica para você aprofundar seu conhecimento, leia o material na íntegra acessando: https://www.academia. edu/11688163/Fisica_Quantica_-_Eisber edu/11688163 /Fisica_Quantica_-_Eisberg_and_Resnick. g_and_Resnick.

 TA  O  N

A constante reduzida de Planck: o feito de Planck foi relacionar matematicamente o conteúdo de energia de um quantum à frequência da radiação. Um quantum de energia E, é igual à frequência f da radiação multiplicada multiplicada pela constante de Planck h.

Dando sequência na análise, em seguida você vo cê acompanhará o texto sobre o efeito fotoelétrico.

2.2 O EFEITO FOTOELÉTRICO No subtópico anterior discutimos sobre a hipótese de Planck. Anal, qual é a relação entre a hipótese de Planck com o efeito fotoelétrico? Em 1900, o físico alemão Max Planck (1858-1947), em um trabalho sobre a radiação emitida por corpos aquecidos, conhecida como radiação de corpo negro, criou a teoria dos quanta ou teoria quântica, estabelecendo um novo conceito na física, o da quantização de energia. Enquanto física clássica trata de corpúsculos com contínua de energia, a física aquântica abre espaço para a concepção dedistribuição um mundo granular. Em substituição à visão contínua da natureza da matéria, introduz a

ideia de que nem todos os valores de energia são possíveis, ou seja, a energia é quantizada e varia em quantidades denominadas “pacotes”, o que Plank chamou 84

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

de quantum (daí o termo física quântica). Mais tarde, essas unidades discretas de energia foram chamadas de fótons. Foi por meio dessas ideias que Einstein pôde explicar o efeito fotoelétrico, fo toelétrico, cujas aplicações são vastas na indústria moderna. Entre 1886 e 1887 Heinrich Her fez as experimentações que pela primeira vez sustentaram a presença de ondas eletromagnéticas e a teoria de Maxwell acerca da propagação da luz. E essa é uma das circunstâncias antagônicos e admiráveis históriaoda ciência fez com que Herusou tenhapara percebido, no suceder de seusnaensaios, efeito que que Einstein tardiamente argumentar outros elementos da teoria eletromagnética clássica. Her descobriu que uma descarga elétrica entre dois eletrodos ocorre mais facilmente quando se faz incidir sobre um deles luz ultravioleta Lenard. Seguindo alguns experimentos de Hallwachs, Her mostrou logo em seguida que a luz ultravioleta facilita a descarga ao fazer com que elétrons sejam emitidos da superfície do cátodo. Logo, a emissão de elétrons de uma superfície, correspondente à aplicação de luz mediante essa superfície, chamada efeito fotoelétrico (EISBERG; ( EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 2, apresenta uma ferramenta conveniente para aprender o efeito fotoelétrico. A amplitude da voltagem V pode ser diversicada constantemente e seu sinal pode ser comutado pela chave inversora. FIGURA 2 󲀓 APARELHO USADO PARA ESTUDAR O EFEITO FOTOELÉTRICO

FONTE: Eisberg; Resnick (1994, p. 52)

A Figura 2, apresentada anteriormente, indica um aparelho usado para analisar o efeito fotoelétrico. Um revestimento de vidro monta o aparelho em

um ambiente no qual se faz vácuo. A luz monocromática, incidente por meio de 85

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

uma janela de quaro, cai conforme a placa de metal A e libera elétrons, denominados fotoelétrons. A Figura 3 a seguir mostra os diagramas da corrente i corrente i em função da voltagem K  de  de dados adquiridos com o sistema. A discrepância de potencial empregada V é dita positiva caso o coletor B na Figura 3 esteja a um potencial maior que a superfície fotoelétrica A. Na curva b curva b a  a intensidade da luz incidente foi reduzida à 0 I b são V diretamente proporcionais a ela. metade da luz, mas daquela as correntes da curvadea.saturação O potencial  I a elimite  é independente da intensidade

FIGURA 3 󲀓 CORRENTE I EM FUNÇÃO DA VOLTAGEM K

FONTE: Eisberg; Resnick (1994, p. 52)

curvatura aem  na função Figura da 3, apresentada esquema da correnteAfotoelétrica, diferença de anteriormente, potencial V . Se éV um potencial V  é muito grande, a corrente fotoelétrica atinge um certo valor limite (ou de saturação) no qual todos os fotoelétrons emitidos por A por A são  são coletados por B. Se o sinal de V é inverso, a corrente fotoelétrica não cai rapidamente a zero, o que sugere que os elétrons são emitidos de A com certa energia cinética. Alguns elétrons alcançarão o coletor B  apesar do campo elétrico opor-se ao seu movimento. Entretanto, se essa diferença de potencial se tornar sucientemente grande, um valor V0 chamado potencial limite ou de corte é atingido, e a corrente fotoelétrica cai a zero. Essa divergência de potencial V 0 multiplicada pela carga do elétron, abrange a energia cinética K max  do mais rápido fotoelétron emitido, isto é:  K máx

2 0

= eV 

(2.2)

Na prática repara-se que a quantidade K  quantidade K max é livre da intensidade da luz

incidente, como é comprovado na curva b da Figura 3, na qual a intensidade da luz foi restringida à metade do valor empregado para conseguir a curvatura d. 86

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

A Figura 4, a seguir, indica um esboço das medidas de Milikan do potencial limite no sódio em diversas frequências. O limiar de frequências v0 é 4,39 x 1014 Hz. FIGURA 4 󲀓 GRAFICO DAS MEDIDAS DE MILIHKAN

FONTE: Eisberg; Resnick (1994, p. 53)

A Figura 4 apresenta o potencial V 0 para o sódio em função da frequência da luz incidente. Veja que há um limiar de frequência ou frequência de corte v0 (também denominado limiar fotoelétrico), aquém do qual o efeito fotoelétrico evita aparecer. Estes dados foram obtidos em 1914 por Millikan, cujo árduo tra balho no efeito fotoelétrico valeu-lhe o prêmio prêmio Nobel em 1923. Correspondente à situação do efeito fotoelétrico ser sobretudo um evento de superfície, para a luz na região do visível ou similar, é fundamental nas experimentações evitar-se lmes de óxidos, gorduras e outros contaminantes de superfícies.

 M  P  O  R  TA  TA  N  T  E  I

Há três condições determinantes do efeito fotoelétrico que não podem ser evidenciados em termos da teoria ondulatória clássica da luz: 1.

2.

O raciocínio raciocínio ondulatório demanda que a amplitude do do campo campo elétrico elétrico oscilante oscilante E da onda luminosa eleve, se a intensidade da luz for aumentada. Já que a força aplicada ao elétron é qE, isto sugere que a energia cinética dos fotoelétrons deveria também crescer ao se aumentar a intensidade do feixe luminoso. Entretanto, a Figura 3 mostra que Kmax, que é igual à eV0 independe da intensidade da luz. Isto foi testado para variações de intensidade da ordem de 107. De consenso com a teoria ondulatória, o efeito fotoelétrico precisaria decorrer para qualquer da luz, desdeEntretanto que esta fosse alta 4o mostra suficiente darpara a energia essencial frequência à emissão dos elétrons. a Figura quepara existe, cada superfície, um limiar de frequências v0 caracte  característico. rístico. Para frequências frequências menores menores que vo o efeito fotoelétrico não ocorre, qualquer que seja a intensidade da iluminação.

87

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

3.

Se a energia adquirida por um fotoelétron é absorvida absorvida da onda incidente sobre a placa metálica, a “área de alvo efetiva” para um elétron no metal é limi limitada, tada, e provavelmente não é muito maior que a de um círculo de raio aproximadamente igual ao raio atômico. Na teoria clássica, a energia luminosa está uniformemente distribuída sobre a frente de onda. Portanto, se a luz é suficientemente fraca, deveria haver um intervalo de tempo mensurável, entre o instante em que a luz começa a incidir sobre a superfície e o instante i nstante da ejeção do fotoelétron. Durante esse intervalo, o elétron deveria absorver energia do feixe, até que tivesse acumulado o bastante para escapar. No entanto, nenhum retardamento detectável foi jamais medido. Esta discordância é particularmente marcante quando a substância fotoelétrica foreum gás; nestas circunstâncias, mecanismos de absorção coletiva podem ser ignorados a energia do fotoelétron emitido deve certamente ter sido extraída do feixe luminoso por um único átomo ou molécula (EISBERG; RESNICK, 1994).

2.2.1 A teoria quântica de Einstein sobre o efeito fotoelétrico Em 1905, Einstein colocou em debate a teoria clássica da luz, sugeriu uma nova teoria, e apresentou o efeito fotoelétrico como uma aplicação que conseguiria. Isto adveio diversos anos antes do trabalho de Millikan, mas Einstein foi persuadido pela experiência de Lenard. Como já mencionamos, Planck originalmente restringiu seu conceito de quantização de energia aos elétrons nas paredes de um corpo negro. Planck acreditava que a energia eletromagnética, uma vez irradiada, se espalhava pelo espaço da mesma forma que ondas de água se espalham na água. Em alternativa disso, Einstein sugeriu que a energia luminosa está quantizada em pacotes aglutinados que mais tardiamente voltaram a ser denominados fótons (EISBERG; RESNICK, 1994). Einstein alegou que as experimentações óticas bem famosas de interferência e difração da radiação eletromagnética são praticadas somente em circunstâncias que circundavam um número bem grande de fótons. Estes ensaios geram resultados que são médias do comportamento dos fótons particulares. A presença dos fótons nessas experiências não é mais aparente do que a presença de gotas d'águaé isoladas em umEvidentemente, jato de água de uma mangueirade deinterferência jardim, se o número de gotas muito grande. as experiências e difração mostram denitivamente que os fótons não vão de onde são emitidos até onde são absorvidos da mesma maneira simples que partículas clássicas, como gotas d'água, o fazem. Eles se propagam como ondas clássicas, no sentido que cálculos baseados neste tipo de propagação clássica explicam corretamente em média como os fótons viajam. Eles se difundem como ondas clássicas, no sentido que cálculos fundamentados neste perl de propagação clássico demonstram perfeitamente em média como os fótons transitam (EISBERG; RESNICK, 1994). Einstein não intensicou sua atenção no estilo ondulatória familiar com que a luz se pro paga, mas sim no contexto corpuscular com que ela é emitida e absorvida. Ele argumentou que av exigência Planck que a(por energia das ondas eletromagnéticas de frequência irradiadasdepor umadefonte exemplo, uma

88

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

fonte de luz ultravioleta numa experiência fotoelétrica) fosse apenas 0, ou hv, ou 2hv ,..., ou nhv ,... implicava que no processo de ida de um estado de energia nhv  para um estado de energia (n - 1)hv a fonte emitiria um pulso discreto de radiação eletromagnética com energia hv (EISBERG; RESNICK, 1994). Einstein predisse que um certo pacote de energia está primeiramente encontrado em um pequeno volume do espaço, e que segue encontrado à medida que se afasta fonte com velocidade c. Ele predisse que a energia E do pacote, ou fóton, estáda pertinente com sua frequência v pela equação:  E=hv

(2.3)

Previu inclusive que no processo fotoelétrico um fóton é integralmente absorvido por um elétron no fotocátodo. Caso um elétron seja emitido da superfície do metal, sua energia cinética:

 E=hv-w

(2.4)

Em que hv é a energia do fóton incidente absorvido e w é o trabalho necessário para remover o elétron do metal. Esse trabalho é necessário para superar os os campos atrativos dos átomos na superfície e as perdas de energia cinética devidas às colisões internas do elétron. Alguns elétrons estão mais fortemente ligados do que outros; alguns perdem energia por colisões em sua trajetória. No caso da conexão mais fraca e qualquer perda interna, o fotoelétron vai surgir com a energia cinética máxima. Logo:  K máx

= eV 02

(2.5)

Em que w0 , uma uma en ener ergi giaa ca cara ract cter erís ísti tica ca d doo met metal al ccha hama mada da ffun unçã çãoo tr trab abal alho ho,, é a energia mínima necessária para um elétron atravessar a superfície do metal e escapar às forças atrativas que normalmente ligam o elétron ao metal (EISBERG; RESNICK, 1994). Observemos agora como a possibilidade de Einstein dene as tr três ês perguntas levantadas contra a compreensão ondulatória do efeito fotoelétrico. Quanto à objeção 1 (o fato de que K máx não depende da intensidade da iluminação), a teoria do fóton concorda integralmente com a experiência. e xperiência. Dobrar a intensidade da luz meramente dobra o número de fótons e, portanto, duplica a corrente fotoelétrica; isto não muda a energia hv de cada fóton ou a natureza do processo fotoelétrico descrita por (2.4) (EISBERG; RESNICK, 1994).

89

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

A objeção 2 (a existência de um limiar de frequências) é removida logo por (2.5). Se K máx é similar a zero, dispomos: (2.6)

hv0= w0

Que signica que um fóton de frequência v0 tem exatamente a energia necessária para ejetar os fotoelétrons e nenhum excesso aparecer como fótons,que nãopossa importando quantos energia cinética. Se a frequência for menor que v0 , os eles sejam (isto é, quão intensa seja a iluminação), não terão individualmente a energia necessária para ejetar fotoelétrons (EISBERG; RESNICK, 1994). A objeção 3 (a ausência de retardamento) é eliminada pela hipótese do fóton, pois a energia necessária é fornecida em pacotes concentrados. Se tiver luz incidindo mediante o cátodo, existirá pelo menos um fóton que o atinge; este fóton será rapidamente absorvido por um átomo, formando a breve emissão de um fotoelétron (EISBERG; RESNICK, 1994). Vamos reproduzir a equação fotoelétrica de Einstein, (2.5), comutando eV 0  por K max segundo (2.2). Isto dá (2.7)

=  E  T  N  TA  R  O  P  M  I

O conceito de Einstein presume um relacionamento direito entre o potencial limite V0 e a frequência w0  em completa concordância com resultados experimentais, como os mostrados na Figura 4. A inclinação da curva experimental da figura deve ser h/e, portanto:  

(2.8)

Podemos determinar h multiplicando esta razão pela carga eletrônica eletrônica e. Portanto h = 3,9 x -15 -19 -34 10  V-s x 1,6 x 10  C = 6,2 x 10  j-s (EISBERG; RESNICK, 1994).

90

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

De um diagnóstico bem mais melindroso destes e de outros dados, também dados adquiridos com superfícies de lítio, Millikan conseguiu o valor h = 6,57 x 10-34  j/s , com uma precisão de aproximadamente 0,5%. Esta medida estava bem próxima do valor de h deduzido da fórmula da radiação de Planck. A concordância numérica das duas determinações de h usando manifestações e especulações absolutamente diferentes é claro (EISBERG; RESNICK, 1994). Um número recente de h deduzido de distintas experimentações é: (2.9)  j.s O efeito fotoelétrico [...] cede uma prova imparcial da fornecida pela radiação de corpo negro, da autenticidade da hipótese principal dos fundamentos quânticos, ou seja, a hipótese da emissão descontínua ou violenta da energia que é absorvida das ondas pelos integrantes eletrônicos dos átomos. Ele consuma por então dizer, a quantidade h revelada por Planck em seu exame da radiação de corpo negro e, como nenhum outro fenômeno, nos faz julgar que o conceito físico fundamental que está por trás do trabalho de Planck representa à realidade (EISBERG; RESNICK, RESNICK, 1994, p. 58). 58 ).

Hoje a teoria do fóton é empregada em todo o espectro eletromagnético, não somente na extensão visível (veja a Figura 5).

91  

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

FIGURA 5 󲀓 ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO

FONTE: Eisberg; Resnick (1994, p. 58)

92

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

A Figura 5 indica o espectro eletromagnético, expondo o comprimento de onda, a frequência c do fóton em gama logarítmica. Pode-se denotar por paradigma que uma cavidade de micro-ondas comporta fótons. Com λ = 10 cm , um compr comprime imento nto de onda típic típicoo de micro micro-ond -ondas, as, pode pode-se -se calcular da mesma forma que anteriormente, que a energia do fóton é 1,20 x 10-5 eV .  Esta energia é muito pequena para ejetar fotoelétrons de superfícies metálicas. Para raios X, do oufóton para pode raios ser y tais como sãoEstes emitidos núcleos radioativos, 6 eV  energia de 10  ,os  ouque mais. fótonspor podem extrair, de átomosa pesados, elétrons fortemente ligados por energias da ordem de 106 eV . Os fótons na região visível do espectro eletromagnético não têm energia bastante para acarretar isto e os fotoelétrons que eles expelem são os intitulados elétrons de condução, que cam juntos ao metal por energias de uns elétrons-volt (EISBERG; RESNICK, 1994). Veja que os fótons são arrebatados no modo fotoelétrico. Isto requer que os elétrons estejam ligados a átomos, ou sólidos, pois um elétron completamente livre não pode absorver um fóton e conservar simultaneament simultaneamentee a energia e os momentos relativísticos totais. Temos Temos de ter um elétron associado para que as forças de ligação comuniquem momento para o átomo ou sólido (EISBERG; RESNICK, 1994). Pertinente à grande massa de um átomo, ou sólido, confrontada com a do elétron, o sistema pode absorver uma gigante quantidade de momento sem conquistar uma extensão relevante de energia. A equação para a energia fotoelétrica permanece válida, e o efeito é possível apenas porque existe uma partícula pesada que recue além do elétron ejetado. O efeito fotoelétrico é uma maneira importante pela qual fótons, com energias que vão até as dos raios X (inclusive), são absorvidos pela matéria (EISBERG; RESNICK, 1994).

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Até que enfim obrigamo-nos salientar aqui que no modelo de Einstein um fóton de frequência v tem precisamente a energia hv, e não múltiplos inteiros de hv. Evidentemente, pode haver n fótons de frequência v de modo que a energia nessa frequência seja nhv. Ao tratar a radiação de uma cavidade de corpo negro com o modelo de Einstein, lidamos com um "gás de fótons", pois a energia radiante está localizada no espaço em pacotes em vez de estar espalhada em ondas estacionárias. Anos depois de Planck ter deduzido sua fórmula para a radiação de cavidade, Bose e Einstein Ei nstein obtiveram a mesma fórmula baseados em um gás de fótons (EISBERG; RESNICK, 1994).

A descoberta do efeito grande para a compreensão mais profunda da fotoelétrico natureza da teve luz. Tudo istoimportância tornou-se possível devido à invenção de aparelhos especiais, chamados células fotoelétricas, em

93

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

que a energia da luz controla a energia da corrente elétrica ou se transforma em corrente elétrica. Expondo uma ordem na investigação em subsequente você será capaz de harmonizar-se no texto acerca do efeito Compton, bons estudos!

2.3 O EFEITO COMPTON N o subtópico anterior estudamos sobre o efeito fotoelétrico. Qual é a rela-

ção existente entre o efeito fotoelétrico com o efeito Compton? Quando um fóton penetra na matéria, ele pode interagir com um elétron e ser espalhado. Vamos imaginar fótons de raios X incidindo num alvo e sendo espalhados pelos elétrons deste alvo. Compton observou que a radiação espalhada (fótons) tinha comprimento de onda maior (λ`) do que a radiação incidente (λ) e que esta variação no comprimento de onda dependia apenas do ângulo de espalhamento (θ). Este efeito cou conhecido como Efeito Compton Co mpton ou Espalhamento Compton. O efeito fotoelétrico é a emissão de elétrons por um material, geralmente metálico, quando exposto a uma radiação eletromagnética (como a luz) de frequência sucientemente alta, que depende do material, como por exemplo a radiação ultravioleta. Ele pode ser observado quando a luz incide numa placa de metal, arrancando elétrons da placa. Os elétrons ejetados são denominados fotoelétrons. O universo corpuscular da radiação foi dramaticamente aceite em 1923 pelas experiências de Compton. Ele concebeu com que um feixe de raios x de comprimento de onda λ recaísse acerca de um alvo de grate, como é exibido na Figura 5 (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 6 mostra o esquema da experiência de Compton, na qual raios x monocromáticos de comprimento de onda incidem sobre um alvo de grate. A distribuição da intensidade em função do comprimento de onda é medida para os raios x espalhados em qualquer ângulo θ. Os comprimentos de onda espalhados são medidos observando-se a reexão de detector Bragg emcomo, um cristal (veja a gura 2.7). Suas intensidades são medidas por um por exemplo, uma câmara de ionização (EISBERG; RESNICK, 1994).

94

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

FIGURA 6 󲀓 EXPERIÊNCIA DE COMPTON

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 59)

Mediu-se a intensidade dos raios x espalhados função de seu comprimento de onda, para diversos ângulos de difusão. como A Figura 7 apresenta suas determinações práticas. A linha sólida vertical à esquerda corresponde ao comprimento de onda  λ , e a que está à direita ao comprimento de onda λ`.  Os resultados são mostrados para quatro ângulos de espalhamento θ  diferentes. Observe que o deslocamento Compton, ∆λ = λ' - λ, para θ = 90°  , está de acordo com a previsão teórica h/m0c = 0, 0243 A (EISBERG; A (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 7󲀓 RESULTADOS EXPERIMENTAIS DE COMPTON

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 60)

Averiguamos que, não obstante o feixe incidente contenha sobretudo de um único comprimento de onda λ , os raios x espalhados têm máximos de intensidade dois comprimentos é ouma mesmo que o comprimento de ondaem incidente, e o outro, λ'de  , , éonda; maiorum quedeles λ por quantidade ∆λ. Este é o chamado deslocamento Compton ∆λ = λ` - λ , e varia com o ângulo segundo o

qual os raios X espalhados são observados (EISBERG; RESNICK, 1994). 95

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

A presença do comprimento de onda λ não pode ser concebida se os raios x  incidentes estiverem classicados como uma onda eletromagnética clássica; no modelo clássico o campo elétrico oscilante com frequência v da onda incidente age mediante os elétrons livres do alvo fazendo-os oscilar com a mesma frequência. Esses elétrons, como cargas oscilando em uma pequena antena de rádio, irradiam ondas eletromagnéticas com a mesma frequência v. Portanto, no modelo clássico a onda espalhada necessitaria ter a similar frequência v o análogo comprimento de onda λ da onda incidente (EISBERG; RESNICK, 1994). Compton (e autonomamente Debye) analisou seus resultados experimentais postulando que o feixe de raios X  raios X  incidente não era uma onda de frequência v , mas mas uma coleção de fótons; cada um com energia E = hv, e que esses fótons chocavam com os elétrons livres do alvo de similar molde que colidem com duas bolas de bilhar. Com esse ponto de vista, a radiação espalhada é composta por fótons que colidiram com elétrons do alvo. Já que o fóton incidente transfere parte de sua energia para o elétron com o qual colide, o fóton espalhado deve ter uma energia E‘ menor; portanto ele deve ter uma frequência mais baixa v`=E'/h , o que Implic Implicaa um com compri primen mento to de onda λ` = c/v`. Esse ponto de vista explica qualitativamente a variação do comprimento de onda, ∆λ = λλ'' - λ. Veja que na interação os fótons são encarados como partículas, e não conforme ondas, e que, o oposto de seu desempenho no efeito fotoelétrico, eles são espalhados em vez de valerem absorvidos (EISBERG; RESNICK, 1994). Para radiação radiação X de frequência v, a energia de um fóton no feixe incidente é

 E=hv

(2.10)

Aderindo à ideia de que o fóton é um pacote localizado de energia, tendemos considerá-lo como correspondendo uma partícula de energia E e momento p. Tal partícula deve, entretanto, ter certas propriedades bastante especiais. Consideremos a equação (2.11) que dá a energia total relativística de uma partícula em termos de sua massa de repouso m0 e sua velocidade v (EISBERG; RESNICK, 1994).

 E=m0 c 2 / 1-v 2 /c 2

(2.11)

Sabendo que a velocidade de um fóton é similar a c, e sua energia E=hv é nita, é ostensivo que a massa de repouso de um fóton deve ser zero. Portanto, podemos considerar que o fóton é uma partícula com massa de repouso nula, e cuja energia relativística total E é inteiramente cinética. O momento de um fóton pode ser calculado da relação geral entre a energia relativística total E , o momento p , e a massa de repouso m0. Isto é:

96

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

 E 2 =c 2 p +(m0 c 2 )2

(2.12)

Para um fóton, o segundo termo à direita é zero, e dispomos:  p=E/c=hv/c

(2.13)

Ou:

=h/ l  =h/  l 

(2.14)

Em que λ = c/v  é o comprimento de onda do fóton. É excepcionalmente intrigante ver que a teoria clássica de Maxwell da radiação eletromagnética ainda leva a uma equação p equação  p = E/c , na qual p qual  p  forma a quantidade de movimento por unidade de volume da radiação e E a sua energia por unidade de volume (EISBERG; RESNICK, 1994). Foi visto que a frequência v da radiação espalhada era livre do material que consistia no alvo. Isto importa que o espalhamento não cobre átomos inteiros. Compton supôs que o espalhamento era devido a colisões entre os fótons e os elétrons do alvo. Supôs também que os elétrons que participavam do processo de espalhamento estavam livres e inicialmente em repouso. Pode-se descobrir certa causa a priori para essas implicações se concebermos que a energia de um fóton de raios-x é diversas ordens, de grandeza maior do que a energia de um fóton de ultravioleta, e de nossa discussão do efeito fotoelétrico cou claro que a energia de um fóton de ultravioleta é semelhante à energia mínima com que o elétron está ligado em um metal (EISBERG; RESNICK, 1994). Vejamos então, a colisão entre um fóton e um elétron livre e estacionário, como na Figura 8, a interpretação de Compton. Um fóton de comprimento de onda λ incide sobre um elétron livre em repouso comprimento de onda aumentado para λ'   , enquanto que o elétron se afasta segundo um ângulo ϕ. Após a colisão, o fóton é espalhado de um ângulo θ.

97

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

FIGURA 8 󲀓 INTERPRETAÇÃO DE COMPTON

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 63)

E0  e No p0diagrama daum esquerda, um fóton dedeenergia relativística momento  incide sobre elétron estacionário energia total de repouso ou próprio m0c2. No diagrama da direita, o fóton é espalhado de um ângulo θ e se afasta com energia total relativística E1 e momento  p1 , enquanto que o elétron recua, formando um ângulo com o eixo e ixo da colisão, com energia cinética K  e  e momento p. Compton aplicou a conservação do momento e da energia relativística total a esse problema de colisão. Foram aplicadas as equações relativísticas, uma vez que o fóton sempre se move com velocidades relativísticas, e o elétron com o qual ele se choca na maioria das circunstâncias também o faz (EISBERG; RESNICK, 1994).

A conservação do momento requer que:

 p0 =  p, cosθ + p cos ϕ 

(2.15)

 p0 =  p, senθ + psenϕ 

(2.16)

E:

Elevando ao quadrado essas equações, adquirimos:

(p0 =p1cosθ )2 =p 2 cos 2ϕ  E:

(2.17)

 p12 sen 2θ =p 2 sen 2ϕ 

(2.18)

98

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

Adicionando, recebemos:

 p02 sen12 -=2p0 p1cosθ =p 2

(2.19)

A conservação da energia total relativística dispõe que:

 E0 +m0 c 2 =E1+K+m0 c 2

(2.20)

 E0 -E1+K 

(2.21)

Logo:

De consenso com (2.13), isto é capaz ser manifesto conforme:

c(p0 -p1 )=K  Representando E = K +moC2 em (2.12), escrevemos:

(K+m K+m0 c 2 )2 =c 2 p 2 +(m +(m0 c 2 )2

(2.22)

(2.23)

O que se expõe ser reduzido:

 K 2 +2Km0c 2 =c2 p 2

(2.24)

 K 2 /c 2 +Km0=p 2

(2.25)

Ou:

 de (2.22) na equação acima conseguimos escrever: Trocando p2 de (2.19) e K  de

(p0 -p1 ) 2 +2m0 c(p0 -p1 )=p02 +p12 -2p0 p1 cosθ 

(2.26)

O que se simplica a:

m0 c(p0 -p -p1 )=p )=p0 p1 (1-c (1-coosθ  )

(2.27)

99

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

Ou:

1 1 1 - = (1- cosθ  )  p1 p0 m0 c

(2.28)

Multiplicando por h e usando (2.14), colhemos a equação de Compton:

Dl=l1 -l0 =lc (1-cosθ ) 

(2.29)

Em que:

l c  ≡ h/m0 c= c=2,4 2,43x1 3x100-12 m=0 m=0,02 ,0243A 43A

(2.30)

É denominado comprimento de onda Compton do elétron.  O  CA  N  E  T A

Veja que Dl, o deslocamento Compton, necessita somente do ângulo de espalhamento θ, e não do comprimento de onda inicial l. A equação (2.29) prevê os deslocamentos Compton experimentalmente observados na Figura 9 dentro dos limites dos erros experimentais. Em (2.29) vemos que Dl varia desde zero (para θ = 0, correspondendo a uma, colisão “de raspão”? Onde o fóton incidente mal é desviado) até 2h/m 0c=0,049 À (para θ = 1800 correspon correspondendo dendo a uma colisão “de frente”, na qual o fóton incidente tem o sentido de seu movimento invertido). A Figura 9 é um esquema de Dl versus θ (EISBERG; RESNICK, 1994).

A Figura 9 manifesta a solução de Compton:

Dl=(h/m0 c)(1-cosθ  ).

100

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

FIGURA 9 󲀓 RESULTADO DE COMPTON

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 64)

Ensaios consecutivos (feitos por Compton, Simon, Wilson, Bothe, Geiger e Blass) localizaram o elétron atingido no processo, revelaram que ele vinha coincidentemente com os raios X espalhados e certicaram quantitativamente a previsão para a sua energia e direção do espalhamento. A presença do pico na Figura 9 para o qual o comprimento de onda do fóton não altera posteriormente o espalhamento ainda deve ser compreensível. Admite-se até aqui que o elétron com o qual o fóton bate está livre. E mesmo que o elétron esteja inicialmente ligado, essa suposição é justicada pelo fato da energia cinética adquirida por ele na colisão ser muito maior do que a sua energia de ligação. No entanto, se o elétron estiver muito fortemente ligado a um átomo do alvo, ou se a energia do fóton incidente for muito pequena, há uma chance de que o elétron não seja ejetado do átomo. Neste caso, podemos pensar que a colisão se dá entre o fóton e o átomo inteiro. O átomo ao qual o elétron está ligado recua como um todo após a colisão. Então a massa característica para o processo é a massa M do átomo e ela deve substituir, na equação do deslocamento Compton, a massa eletrônica m0. Como M  m ( M ≅ 22000m ) para o carbono, por exemplo), lemos de (2.29) e (2.30) que o deslocamento Compton para colisões com elétrons vigorosamente agarrados é bastante pequeno (um milionésimo de angstrom para o carbono), de forma que o comprimento de onda do fóton espalhado ca aproximadamente similar (EISBERG; RESNICK, 1994). 0

0

101

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Em súmula, poucos fótons são espalhados por elétrons que são dispensados pela colisão; esses fótons têm seu comprimento de onda mudado. Outros fótons são espalhados por elétrons que permanecem ligados após a colisão; esses fótons não têm seu comprimento de onda modificado.

O processo de espalhamento dos fótons no qual não há transição em seu comprimento de onda é denominado espalhamento Thomson, em respeito a um físico que descreveu por volta de 1900 uma teoria clássica de espalhamento de raios X por átomos. Thomson considerou os raios X como sendo um feixe de ondas eletromagnéticas cujo campo elétrico oscilante interage com as cargas dos elétrons do alvo. Esta interação faz com que o elétron oscile. Como resultado de suas acelerações, os elétrons vão irradiar ondas eletromagnéticas com a mesma frequência e a mesma fase das ondas incidentes. Portanto, os elétrons atômicos absorvem energia do feixe de raio X incidente e o espalha em todas as direções, sem modicar seu comprimento de onda. Não obstante a explicação clássica do espalhamento Thompson seja divergente da explicação quântica dada no parágrafo anterior, ambas relatam o mesmo fato visto por meio de medidas (EISBERG; RESNICK, 1994). É intrigante saber em que região do espectro eletromagnético o espalhamento Thompson será o processo predominante e em que região o espalhamento Compton irá administrar. Se a radiação incidente está na parte visível, de micro-ondas ou de ondas de rádio do espectro eletromagnético, então λ é extremamente grande comparado com o deslocamento Compton ∆λ, independentemente se é usada uma massa eletrônica ou atômica no cálculo do comprimento de onda Compton. Portanto, a radiação dessa parte do espectro que for espalhada terá sempre um comprimento de onda que é igual ao comprimento de onda da radiação incidente dentro da precisão experimental. expe rimental. Assim, à medida que λ→∞, os resultados quânticos se confundem com os resultados clássicos e o espalhamento Thomson é dominante. Indo para a região dos raios X, o espaçamento Compton começa a se tomar importante, particularmente para alvos com pequeno número atômico, nos quais os elétrons atômicos não estão muito fortemente ligados; nesse caso, o deslocamento do comprimento de onda no espalhamento por um elétron que é liberado no processo toma-se facilmente mensurável. Na região dos raios g , nos quais λ→∞, a energia do fóton se torna tão grande que um elétron sempre é liberado na colisão, e o espalhamento Compton domina (EISBERG; RESNICK, 1994). É na região de pequenos comprimentos de onda que os resultados clássicos cessam de esclarecer o espalhamento de radiação, do similar modo que é nessa

região que as previsões clássicas relacionadas à radiação de cavidade contrariam radicalmente dos resultados práticos, originando a catástrofe do ultravioleta. Isto 102

 

TÓPICO 1 | ORIGENS DA TEORIA

é devido ao valor da constante de Planck. Para longos comprimentos de onda a frequência v é pequena, e como h é também pequeno a granulosidade da energia eletromagnética, hv, é tão pequena que se toma virtualmente indistinguível do contínuo da física clássica. Mas para comprimentos de onda sucientemente curtos, em que v é sucientemente grande, hv não é mais tão pequeno a ponto de ser insignicante e efeitos quânticos tomam-se evidentes (EISBERG; RESNICK, 1994).

 S  CA  I  D

O texto acima contém trechos subtraídos do livro: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. p. 51-65. Como dica para você aprofundarr seu conhecimento leia o material na íntegra acessando: https://www.academ aprofunda https://www.academia. ia. edu/11688163/Fisica_Quantica_-_E edu/1168816 3/Fisica_Quantica_-_Eisberg_and_Re isberg_and_Resnick. snick.

A teoria quântica fornece descrições para muitos fenô-   menos inexplicáveis, comotambém a radiação de corpo negro eprecisas a estabilidade dos orbitais dos elétrons nos átomos. Ela também fornece informações sobre o funcionamento de muitos sistemas biológicos diferentes (ver biologia quântica), incluindo receptores de cheiro e estruturas de proteínas. Trabalhos recentes sobre fotossíntese   forneceram evidências de que as correlações quânticas desempenham um papel essencial nesse processo fundamental das plantas e de muitos outros organismos. Mesmo assim, a física clássica geralmente pode fornecer boas aproximações aos resultados obtidos de outra forma pela física quântica, normalmente em circunstâncias com grande número de partículas ou grande número quântico. Como as fórmulas clássicas são muito mais simples e fáceis de calcular que as fórmulas quânticas, as aproximações clássicas são usadas e preferidas quando o sistema é grande o suciente para tornar insignicantes os efeitos da mecânica quântica. Baseado no estudo que realizamos sobre a mecânica quântica disponibilizo dicas de alguns vídeos para enriquecer os seus estudos.

103  

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

 S  CA  I  D

•

Breve história da Física Quântica: a história das grandes transformações sofridas

pela física e que culminaram na formulação da mecânica quântica na segunda metade

•

•

da década de 1920 começou no que primeiro do século, quando Max Planck logrou explicar, através de uma hipótese a ele ano próprio repugnava, o espectro de radiação do corpo negro. Aprenda mais sobre história da Física Quântica, assistindo o seguinte vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=bPgMh1F2sCw O efeito fotolé fotolétrico trico história e aplicações: aplicações nas células fotoelétricas (fotocélulas) a energia luminosa se transforma em corrente elétrica. Diversos objetos e sistemas utilizam o efeito fotoelétrico, por exemplo: os sistemas de alarmes. Aprenda mais sobre o efeito fotoelétrico história e aplicações assistindo o seguinte vídeo: https://www.youhttps://www.youtube.com/watch?v=IA0wLlDNBUs. Max Plank e a Física Quântica: conheça a teoria de Max Planck que ajudou no maior entendimento da natureza, natureza, o pai da teoria quântica, o que lhe valeu o Prêmio Nobel de Física em 1918. Aprenda mais sobre Max Planck e a Física Quântica assistindo o seguinte vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=dKP3GkkE6OA.

 TA  O  N

Se a energia do fóton (hf) (hf) não  não é maior que a função trabalho, nenhum elétron será emitido. A função trabalho é ocasionalmente designada por W . Em física do estado sólido costuma-se usar a energia de Fermi e não a energia de nível de vácuo como referencial nesta equação, o que faz com que a mesma adquira uma forma um pouco diferente. Note-se ainda que ao aumentar a intensidade da radiação incidente não vai causar uma maior energia cinética dos elétrons (ou elétron) ejetados, mas sim um maior número de partículas deste tipo removidas por unidade de tempo.

104

 

RESUMO DO TÓPICO 1 Neste tópico, você aprendeu que:

• A história da mecânica quântic quânticaa é entrelaçada com a história da química quântica e começa essencialmente com o descobrimento dos raios catódicos em 1838 realizado por Michael Faraday. • a introdução do termo corpo negro foi feita por Gustav Kirchho no Inverno de 1859-1860, • a sugestão de Ludwig Bolm Bolmann ann em 1877 ssobre obre como os estados de energia de um sistema físico deveriam ser discretos • a hipótese quântica de Max PPlanck, lanck, em 1900, dizia que qualquer sistema sistema de radiação de energia atômica poderia teoricamente ser dividido num número de elementos de energia discretos, tal que cada um destes elementos de energia seja proporcional à frequência, com as que cada um poderia de maneira individual irradiar energia. • Em 1905, para explicar o efeito fotoelétrico (1839) — que a luz brilhante em certos materiais pode funcionar para expulsar elétrons do material —, Albert Einstein postulou, baseado na hipótese quântica de Planck, que a luz em si é composta de partículas quânticas individuais, as quais mais tarde foram chamadas fótons (1926). • A expressão "mecânica quântica" foi usada pela primeira vez num artigo de Max Born chamado Zur Quantenmechanik (A Mecânica Quântica). Nos anos que se seguiram, esta base teórica lentamente começou a ser aplicada a estruturas, reações e ligações químicas. • A constante de Planck é uma das constantes fundamentais da Física. Tem Tem um papel fundamental na mecânica quântica, aparecendo sempre no estudo de fenômenos em que a explicação por meio da mecânica quântica é relevante. • O efeito fotoelétrico é a emissão de elétrons por um material, geralmente metálico, quando exposto a uma radiação eletromagnética (como a luz) de frequência sucientemente alta, que depende do material, como por exemplo, a radiação ultravioleta. • O efeito Compton, ou espalhamento Compton, é o espa espalhamento lhamento de um fóton por uma partícula carregada, geralmente um elétron, que resulta em uma diminuição da energia (aumento do comprimento de onda) do fóton espalhado,

tipicamente na faixa de raios-X ou de raios gama. 105

 

AUTOATIVIDADE 1 (Hipótese de Pla Plank) nk) Um pêndulo, consistido de uma massa de 0,01 kg est estáá suspenso por uma corda de 0,1 m de comprimento. Façamos a amplitude de sua oscilação tal que a corda em suas posições extremas faça um ângulo de 0,1 rad com de a vertical. energia do diminui, por exemplo, devido a efeitos atrito. A A diminuição de pêndulo energia observada é contínua ou descontínua? 2 (O efeito Fotoelétrico) Uma pla placa ca de potássio é colocada a 1m de uma fonte luminosa pouco intensa, intensa, cuja potência é 11W W =1joule/s. Suponha que um fotoelétron ejetado possa ter coletado sua energia em uma área circular da placa, cujo raio r é, digamos, um raio atômico: r=1x10-19m. A energia necessária para remover um elétron da superfície de potássio é cerca de 2,1eV= 3,4x10-14 joule. (Um elétron-volt =1eV=1,60x10-19  joule é a energia ganha por um elétron, cuja carga é 1,60 x 10 -19 Coulomb, ao passar através de uma diferença de potencial de 1V 1V.).) Quanto tempo levaria o elétron para absorver essauniformemente quantidade dedistribuída energia dasobre fontea frente luminosa? Suponha que a energia está de onda. 3 (O efeito Compton) Considere um feixe de ra raios ios X, com λ = 1,0 1,000 Â , e um feixe Â. Se a radiação de raios y vindo de uma fonte de Cs137 , com λ= 1,88 x 10-2  Â espalhada pelos elétrons livres é observada a 90° do feixe incidente: (a) Qual é o deslocamento Compton em cada caso? (b) Que energia cinética é cedida ao elétron em cada caso? (c) Que percentagem da energia do fóton incidente é perdida na colisão em cada caso?

106

 

UNIDADE 2

TÓPICO 2 MODELOS ATÔMICOS

1 INTRODUÇÃO Perante a física, modelo atômico é todo modelo cientíco que se utiliza para elucidar os átomos e seus comportamentos. Ainda que os modelos atômicos admitidos hoje em dia sejam excepcionalmente importantes, o modelo de Rutherford é muito utilizado por ser visualmente simples e funcional ao esclarecer algumas manifestações da natureza. Atualmente, Atualmente, é o modelo da mecânica quântica ou da mecânica ondulatória ou modelo orbital ou da nuvem eletrônica aceito para denir a estrutura atômica. No Tópico 1 desta unidade você estudou sobre o efeito Compton. O Efeito Compton é a diminuição de energia (aumento de comprimento de onda) de um fóton de raios X ou de raio gama, quando ele interage com a matéria. A seguir, acadêmico, você acompanhará um estudo sobre os espectros atômicos.

2 ESPECTROS ATÔMICOS Neste subtópico vamos estudar sobre modelos atômicos. Mas, anal, qual a relação existente entre modelos atômicos com espectros atômicos? O espectro atômico é característico dos átomos envolvidos. Dessa forma, é razoável suspeitar que o espectro atômico depende da distribuição eletrônica do átomo. Cientistas  buscavam encontrar encontrar um padrão nos comprimentos de onda (ou frequências) das das linhas atômicas no espectro do hidrogênio. Quando um átomo emite um fóton da energia h·ν, ele perde esta energia. Como a energia que o átomo pode perder só pode ter certos valores discretos, faz sentido supor que o próprio átomo só pode ter certos valores de energia, e que as energias dos fótons emitidos representam as diferenças entre estes valores, dessa forma a energia do átomo de hidrogênio (e de outros átomos) é quantizada. Com isso surgiram vários modelos atômicos que são os aspectos estruturais dos átomos que foram apresentados por cientistas na tentativa de compreender melhor o átomo e a sua composição. Umnaaparato empregado na medida dos espectros atômicos está esboçado Figura particular 10.

A imagem 2.10 indica o sistema de um dispositivo apropriado para medir espectros atômicos. 107

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

FIGURA 10 󲀓 APARELHO USADO PARA MEDIR ESPECTROS ATÔMICOS

FONTE: Eisberg e Resnic (1994, p. 135)

A fonte abrange de uma descarga elétrica que passa por meio de uma região compreendendo um gás monoatômico. Similarmente a choques com os elétrons e entre si, uns dos átomos da descarga acham-se em um processo no qual sua energia total é superior do que no átomo regular. Ao reiniciar ao seu estado de energia normal, os átomos soltam sua demasia de energia exprimindo radiação eletromagnética. A radiação é colimada pela fenda, e logo passa um prisma (ou, para superior resolução, uma rede de difração) decomposta em seu espectro de comprimentos de onda que é estampado na folha f olha fotográca (EISBERG; RESNICK, 1994.). A natureza dos espectros apreciados é indicada mediante a chapa fotográca. Ao reverso do espectro contínuo de radiação eletromagnética emitida, por paradigma pela superfície de sólidos a grandes temperaturas, a radiação eletromagnética emitida por átomos livres está centralizada em um conjunto de comprimentos de onda discretos. Cada um desses comprimentos de onda é chamado uma linha devido à linha (imagem da fenda) que é produzida sobre a chapa fotográca. Uma investigação dos espectros emitidos por diferentes tipos de átomos mostra que cada tipo tem seu espectro característico próprio, isto é, um conjunto característico de comprimentos de onda nos quais as linhas do espectro são encontradas. Essa característica é de grande importância prática porque faz com que a espectroscopia seja mais uma técnica muito útil a ser somada às técnicas usuais da análise química. Basicamente por esse argumento muito trabalho foi disposto no sentido do alcance de medidas precisas dos espectros atômicos, e, de fato, esse trabalho foi fo i primordial pois os espectros são alicerçados de tantas centenas de linhas e são em muito substanciais (EISBERG; RESNICK, 1994.). No entanto o espectro do hidrogênio é mais ou menos simples. Isto, hi-

poteticamente, não surpreendente, porque o hidrogênio compreendendo apenas um elétron, é o átomo mais simples. A maior do universo consiste em átomos de 108

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

hidrogênio isolados, de forma que seu espectro é de considerável interesse prático. Embora haja consideração teórica e histórica para estudá-lo, como achar-se-á necessário mais tardiamente (EISBERG; RESNICK, 1994.). Na Figura 11, ao alto: um esboço da parte visível do espectro do hidrogênio. Embaixo: um esquema deste espectro, com as linhas designadas. FIGURA 11 󲀓 ESPECTRO

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 136)

A Figura 11 caracteriza a parte do espectro do hidrogênio atômico que está mais ou menos dentro da região de comprimentos de onda da luz visível. Vemos que o espaçamento, em comprimentos de onda, entre linhas adjacentes do espectro diminui continuamente à medida que o comprimento de onda das linhas diminui, de forma que a série de linhas converge para o chamado limite da série em 3645,6 Â. As linhas com menores comprimentos de onda, compreendendo o limite da série, são dicultosos de incumbirem observadas na prática, pertinente do seu insignicante espaçamento e porque elas estão na região do ultravioleta (EISBERG; RESNICK, 1994). A regularidade clara do espectro do H houve com que muitas pessoas

propusessem conseguir um modelo empírico que relatasse o comprimento de 109

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

onda das linhas. Tal Tal fórmula foi descoberta em 1885 por Balmer. Ele encontrou a equação simples:

n2 l =3646  2 n -4

(2.31)

Em que n=3 para  H  , n = 4 para H  b  , n = 5 para  H   etc., suciente de analisar o comprimento de ondas nove primeiras linhas da série, que constituíam todas conhecidas na época com uma precisão melhor a uma parte em mil. Esta descoberta iniciou uma busca de fórmulas empíricas similares que se aplicariam a séries de linhas que pudessem ser identicadas na distribuição complicada de linhas que constituem os espectros de outros elementos. A maior parte desse tra balho foi realizada em 1890 por Rydberg que deliberou oportuno lidar com o recíproco do comprimento das linhas em vez do seu comprimento de onda (EISBERG; RESNICK, 1994). g 

a

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Em termos do número de onda k a equação de Balmer é capaz ser descrita como:

 K = 1/ l  = R H (1/m 2 -1/n 2 )

n=3, 4, 5, ...  

(2.32)

Em que RH é a chamada constante de Rydberg para o hidrogênio. Seu valor é, a partir de dados es- pectroscópicos pectroscópicos recentes:

 R H =10967757,6 ± 1,2mIsto indica a precisão possível em medidas espectroscópicas.

Equações desse modo foram obtidas para muitas séries. Por exemplo, sabemos agora da existência de cinco séries de linhas no espectro do hidrogênio, como é expresso no esquema da Figura 12. Com os átomos de elementos alcalinos (Li, Na, K, ...), as equações das séries têm o mesmo arranjo geral isto é:

 1 1 1  k= =R ë  (m-a)2 (n-b)2 

(2.33)

A Figura 12 indica o quadro com as Séries do Hidrogênio: 110

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

FIGURA 12 󲀓 SÉRIES DO HIDROGÊNIO

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 137)

Em para que Ra série é a constante de Rydberg o elemento a e tida b sãoe constantes considerada, m é umpara inteiro que é xoilustrado, para a série n um inteiro variante regular de Rydberg tem o mesmo valor, dentro de aproximadamente 0,05%, para todos os elementos, embora e mbora mostre uma rápida ascensão regular à medida que o peso atômico sobe (EISBERG; RESNICK, 1994). Estudamos o espectro de emissão de um átomo. Uma propriedade fortemente relacionada com esta é o espectro de absorção. Ele pode ser medido com um aparato similar ao exposto na [Figura 10], senão pelo caso de se utilizar uma fonte que emite um espectro regular entre a fonte e o prisma; se agrega uma célula com paredes de vidro, incluindo o gás monoatômico a ser examinado. Após a exposição e a revelação, verica-se que a chapa fotográca foi escurecida em toda parte exceto em uma série de linhas. Estas linhas representam um conjunto de comprimentos de onda discretos que estão faltando no espectro contínuo que incide sobre o prisma, e que devem ter sido absorvidos pelos átomos na célula gasosa. Observa-se que para cada linha no espectro de absorção há uma linha correspondente (mesmo comprimento de onda) no seu espectro de emissão; no entanto, o inverso não é verdade; somente algumas linhas de emissão não comparecem no espectro de absorção. Para o gás hidrogênio, comumente somente as linhas equivalentes à série de Lyman chegam no espectro de absorção; entretanto, quando o gás está em altas temperaturas, por exemplo, na superfície de uma estrela, ca linhas equivalentes à série de Balmer (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 138).

Portanto, a análise do átomo de hidrogênio é de suma importância para a compreensão estruturamatemática da matéria,analítica por ser esse o único átomo o qual seo estabelece umadadescrição precisa. Sendo por para esse motivo modelo escolhido para se introduzir o tratamento quântico da matéria na maioria

dos (para não dizer em e m todos os) livros didáticos acerca do assunto. Veja a seguir uma análise com relação ao modelo de Rutherford. Boa leitura! 111

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

3 O MODELO DE RUTHERFORD No subtópico anterior foram analisados os espectros atômicos. Você, acadêmico deve se perguntar: “anal, qual a relação entre espectros atômicos com o modelo de Rutherford?” Niels Bohr relacionou os espectros de linhas dos elementos, principalmente o do hidrogênio, com a constituição do átomo. Assim, em 1913, ele propôs alguns postulados que alteraram a visão do modelo atômico de Rutherford. Basicamente ele mostrou que os elétrons se movem ao redor do núcleo atômico em órbitas circulares que possuem uma energia bem denida e característica, sendo, portanto, um nível de energia ou camada eletrônica. Para cada elétron são permitidas somente certas quantidades de energia, com valores múltiplos inteiros do fóton (quantum de energia). O modelo atômico de Rutherford-Bohr explica os fatos de que, por exemplo, cada elemento possui um espectro descontínuo porque os níveis de energia são quantizados, ou seja, possuem quantidades de energia denidas. Cada energia corresponde a um comprimento de onda. Em 1859, Kirchho e Bunsen deduziram a partir de suas experiências que cada elemento, em determinadas condições emite um espectro característico. Tal espectro é exclusivo de cada elemento. Com isso foi possível desenvolver um novo método de análise, baseado nestas emissões. A parte da ciência que estuda estas emissões é chamada de Espectroscopia e foi de fundamental importância no estudo dos astros, uma vez que praticamente tudo o que se sabe a respeito da composição química deles vem de estudos das suas emissões espectrais. No sistema de Rutherford para a estrutura do átomo, todas as cargas positivas desse átomo, e consequentemente toda sua massa, são supostamente recolhidas em uma pequena região no centro denominada núcleo. Se suas extensões estiverem abastadamente pequenas, uma partícula a que passe bem perto deste núcleo poderá ser espalhada, devido a uma forte repulsão coulombiana, em um grande ângulo ao atravessar um único átomo. Se, em vez de usarmos r`= 10-10 m para o raio da distribuição de cargas positivas do átomo de Thomson, o que dá θ≅

-4

um ângulo denúcleo deexão máxima   rad  ,  ,tentarmos saberencontraríamos qual deveria ser raio r* de um para obtermos  10 rad por exemplo, θ ≅ 1 r` o = 10-14m. Isto, como estudaremos, concernirá uma legal apreciação do raio do núcleo atômico (EISBERG; RESNICK, 1994).

Rutherford fez uma previsão minunciosa da distribuição angular que seria esperada para o espalhamento de partículas por átomos do modo por ele exibido em seu modelo. O cálculo estava relacionado somente com espalhamento em ângulos maiores do que alguns graus. Assim o espalhamento pertinente aos elétrons atômicos pode ser apagado. O espalhamento é, portanto, correspondente à força repulsiva coulombiana que opera entre a partícula a carregada positivamente e o núcleo, carregado positivamente. Além disso, o cálculo considerou apenas o espalhamento por átomos para que pudesse ser utilizada de que massa do núcleo é tãopesados, grande comparada à da partícula a que aohipótese núcleo não recuaa apreciavelmente (permanece xo no espaço) durante o processo de espalhamento.

Inclusive foi pressuposto que a partícula a não atravessaria realmente na região nuclear, de modo que a partícula e o núcleo (ambos conjecturados esféricos) interatu112

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

assem como cargas pontuais, pelo menos no que se menciona à força coulombiana. Avaliaremos mais tarde que essas casualidades são válidas, menos para o espalhamento de partículas a por núcleos mais leves, da qual obrigamo-nos elaborar a correção para a massa nita do núcleo. O cálculo, até que enm, usa a mecânica não relativística, já que v/c ≅  1/20 (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 13 apresenta a trajetória hiperbólica de Rutherford, expondo as coordenadas polares r e ϕ os parâmetros b, D. Estes dois parâmetros determinam completamente a trajetória, em particular o ângulo de espalhamento θ e a distância de maior aproximação R. A carga nuclear pontual Ze Ze está  está mediante um foco do setor da hipérbole (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 13 󲀓 TRAJETÓRIA HIPERBÓLICA DE RUTHERFORD

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 128)

A Figura 13 esclarece o espalhamento de uma partícula a , de carga +ze +ze   e massa M , ao entrar entrar pr próximo óximo de de um núc núcleo leo de ccarga arga +Ze +Ze.. O núcleo está xo na origem do sistema de coordenadas. Quando a partícula está muito afastada do núcleo, a força coulombiana sobre ela é desprezível, de forma que a partícula se aproxima do núcleo, segundo uma linha reta com velocidade constante v. Depois do espalhamento, a partícula vai se afastar novamente segundo uma linha reta, com velocidade constante v`. A posição da partícula em relação ao núcleo é especicada pela

coordenada radial r e o ângulo polar, sendo o último medido a partir de um eixo

113

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

paralelo à linha da trajetória inicial. A separação normal desse eixo à linha do movimento inicial é indicada no parâmetro de impacto b. O ângulo de espalhamento d é o ângulo entre o eixo e uma linha circulando pela origem e simétrica à linha do movimento nal; a distância normal entre essas duas linhas é b'. A Figura 14 manifesta a relação entre o parâmetro de impacto impacto b  b e  e o ângulo de espalhamento θ. Quando b ccresce resce (maior afastamento do núcleo), o âângulo ngulo  θ decresce (menor ângulo de espalhamento). A partículas a com parâmetros de impacto entre  b  e  b + db são db são espalhadas em ângulos entre  θ e θ + d θ (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 14 󲀓 RELAÇÃO ENTRE O PARÂMETRO DE IMPACTO b E O ÂNGULO DE ESPALHAMENTO θ

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 130)

De (2.14) deduzimos que no espalhamento de uma partícula a  pôr um único núcleo, se o parâmetro de choque for entre b e b + db , logo, o ângulo de espalhamento está entre θ e θ + dθ , no qual a relação entre b e Q está determinada pela equação. Isto está desenhado na Figura 14. Portanto, o problema de calcular o número N(ϴ ))ddϴ  de partículas a espalhadas entre ϴ   ee ϴ  +  + dϴ  ao  ao atravessar toda a folha é equivalente ao problema de calcular o número das que incidem com parâmetro de impacto entre b e b + db , sobre o núcleo na folha. Conforme expomos no exemplo, o resultado é:  N (θ ) dθ =(

1 4pε 0

2

) (

zZe 2 2

2 Mv

)2

I ρ t2p senθ dθ  4

sen (θ /2 )

(2.34)

Em que  I   é a quantidade de partículas a incidentes sobre a folha de espessura t em compreendendo p núcleos por centímetro cúbico (EISBERG; RESNICK, 1994). 114

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

 O  CA  N  E  T A

Se confrontarmos a solução auferido a partir do átomo de Rutherford, (2.34), com a resposta achado a partir do átomo de Thomson:

 N (θ )dθ = 2 /2θ  e−θ θ 

2 /θ −2

d θ 

Vemos que embora o fator angular decresça rapidamente quando o ângulo cresce em ambos, o decréscimo é muito menos rápido na previsão de Rutherford.

O espalhamento em ângulos grandes é muito mais admissível em um único espalhamento por um átomo nuclear do que em um espalhamento múltiplo em pequenos ângulos em um u m átomo do tipo pudim de passas. Alguns meses após a obtenção de (2.34), Geiger e Marsden dispuseram testes práticos precisos a seu respeito, com os consecutivos efeitos: • Foi experimentada a dependência angular, utilizando-se folhas de Ag  e Au , entre 5o e 150°. Embora N( ϴ )dϴ variasse por um fator de cerca de 10s nessa região, os dados experimentais permaneceram proporcionais à distribuição angular teórica com uma margem de erro percentualmente pequena. • Obteve-se que o valor N( ϴ ) dϴ  é de fato correspondente à espessura t da folha para mudanças de até 10 vezes, essa espessura para todos os elementos examinados. • A equação (2.34) analisa que o total de partículas α será inversamente correspondente ao quadrado de sua energia cinética,  Mv2 /2  /2.. Isto foi testado usando partículas a de várias fontes radioativas diferentes, e a dependência na energia prevista foi conrmada experimentalmente para variações na energia de até um fator de aproximadamente 3. ϴ ) dϴ  é proporcional a (Ze)2 , o • Até que enm, a equação conjectura que N(  quadrado da carga nuclear. Nessa época Z   não era conhecido para muitos átomos. Supondo (2.34) válida, a experiência foi usada para determinação de Z  , e encontrou-se que Z  era  era igual ao número atômico químico dos átomos do alvo. Isto implicava que o primeiro átomo, H  átomo,  H  , da tabela periódica contém um elétron, o segundo átomo, He átomo,  He , contêm dois elétrons, o terceiro, Li , , contém três etc., já que Z  que Z  também  também é o número de elétrons no átomo neutro. Essa conclusão foi logo certicada de forma imparcial por técnicas de raios X  raios X . • A distância de maior aproximação, D, é o menor valor que R que ocorre para R quando θ = 180°. Logo:

 zZe2 = D = 4p   ∈0  Mu 2 / 2 1

 R180º

(2.35)

115

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

O raio do núcleo não obriga ser maior do que D, porque os frutos estão inteligentes na teoria de que a força que age mediante a partícula α é, todavia, uma força especicamente coulombiana entre duas cargas pontuais. Esta hipótese não seria válida se ao atingir a distância de maior aproximação a partícula penetrasse na região nuclear. nuclear. A equação aanterior nterior mostra que R180o diminui quando Z diminui. Surge a questão: aaté té quanto pode R180o diminui antes de car menor que o raio nuclear? Divergências em relação às previsões do espalhamento Rutherford foram na realidade observados para núcleos muito leves (com Z pequeno). Parte disto era devido a uma violação, que ocorre para núcleos muito leves, da suposição de que a massa nuclear é grande comparada à massa da partícula a; no entanto, as divergências continuaram mesmo depois de ter sido levada em conta na teoria a massa nuclear nita. Assim mesmo indica que ocorre penetrabilidade pe netrabilidade do núcleo, neste caso, desorganizando o espalhamento pressuposto. Logo, o raio nuclear pode ser preciso como a extensão de R no ângulo de espalhamento limite, ou na energia incidente, limite para o qual apresentam os desvios do espalhamento Rutherford (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 15 entrega uns dados adquiridos no espalhamento de partículas α, emitidas por uma fonte radioativa, por alumínio. A abscissa é a longitude de maior aproximação ao centro nuclear. FIGURA 15 󲀓 DADOS OBTIDOS NO ESPALHAMENTO DE PARTÍCULAS

FONTE: Eisberg; Resnick (1994, p. 133)

Na Figura 15, por exemplo, são exibidos elementos adquiridos pelo grupo de Rutherford para o espalhamento de partículas α   ,, de muitas energias, a um

ângulo xo grande, por uma folha de Al de  Al.. A ordenada é a razão entre o número analisado de partículas espalhadas e o número pressuposto pelo raciocínio de 116

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

Rutherford (com a correção para a massa nuclear nita). A abscissa é a distância de maior aproximação. Estes dados implicam que o raio do núcleo de  Al é aproximadamente 10-14  m = 10  F   (A unidade de comprimento usada em física nuclear é o fermi, que é igual a 10-15  m. Observe que 1F= 10-5   , em que  Â , o angstrom, é a unidade utilizada na física f ísica atômica.) (EISBERG; RESNICK, 1994). A fórmula de espalhamento Rutherford, (2.34), é comumente informada em termos de uma fração de choque diferencial dσ  / d Ω.  Esta grandeza é denida de forma tal que o número dN  de   de partículas a espalhadas dentro de um ângulo sólido d Ω  em tomo de um ângulo de espalhamento θ   é: dN =

d σ  Ind Ω  d Ω

(2.36)

Se  I    elementos α incidem mediante um alvo que comporta n núcleos por centímetro quadrado. A explicação é similar à designação de uma seção de choque σ  :

 N = σ  / n Na Figura 16 têm-se uma imagem da designação de seção de choque diferencial dσ/dΩ. Se o alvo for abastadamente no para que uma partícula incidente contenha uma probabilidade insignicante de inter-relacionar-se com mais de um núcleo ao atravessá-lo, logo: dN = (dσ  / d Ω) Ind Ω  . FIGURA 16 󲀓 ILUSTRAÇÃO DA DEFINIÇÃO DE SEÇÃO DE CHOQUE DIFERENCIAL

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 134)

117

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

Ela está vista na Figura 16. O ângulo sólido dΩ, que é sobretudo uma região angular bidimensional, é avaliado numericamente pela área que a região angular subtende sobre uma esfera de raio unitário equidistante no ambiente onde sucede o espalhamento. Para o espalhamento Rutherford, que é bem-proporcionado em analogia ao eixo do feixe incidente, achamo-nos devotados no ângulo sólido dΩ condizente a todos os fatos nos quais o ângulo de espalhamento está na região dϴ em ϴ. Conforme: d Ω = 2p senθ dθ  

(2.37)

Utilizando essa sentença em (2.34), formulando N(ϴ) dϴ nesta equação como dN, e igualmente concebendo o termo ρt que lá surge como n, colhemos rapidamente: 2

 

2

 1      zZe2  1 dN =  In d Ω     2  4  4p ∈0    2 Mu  sen (θ  / 2 )

(2.38)

com a designação de (2.38), choque Confrontando diferencial de espalhamento Rutherford é: deduzimos que a seção de (2.39)

 TA  O  N

O texto acima contém trechos extraídos do livro: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física Quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. Como dica para você aprofundar seu conhecimento leia o material na íntegra. Disponível em: https://www.academia. edu/11688163/Fisica_Quantica_-_E edu/11688163 /Fisica_Quantica_-_Eisberg_and_Resnic isberg_and_Resnick. k. Acesso em: 10 set. 2019

Portanto, podemos concluir que existe falha do modelo de Rutherford, mostrada pela teoria do eletromagnetismo, de que toda partícula com carga elétrica submetida a uma aceleração origina a emissão de uma onda eletromagnéticas. O elétron, em seu movimento orbital, está submetido a uma aceleração centrípeta e, portanto, emitirá energia na forma de onda eletromagnética. Essa emissão, pelo Princípio da conservação da energia, faria com que o elétron perdesse energia cinética e potencial, caindo progressivamente sobre o núcleo, fato

que não ocorre na prática. A falha foi corrigida pelo modelo atômico de Bohr, de 118

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

seu aluno e colega de trabalho Niels Bohr, que dizia que considerava a ideia de um modelo atômico planetário bonita demais para estar errada. T Tenha enha em seguida o conhecimento com relação ao modelo de Bohr. Boa leitura!

4 O MODELO DE BOHR   subtópico anterior foi discutido sobre o modelo de Rutherford. Mas, No anal, qual a relação entre o modelo de Rutherford com o modelo de Bohr? O modelo atômico de Rutherford foi complementado com um novo conceito introduzido pelo físico dinamarquês Niels Bohr: “O elétron elé tron descreve uma órbita circular ao redor do núcleo sem ganhar ou perder energia”. Cada órbita descrita pelo elétron é denominada nível de energia ou camada de energia. Em 1911, Rutherford apresentou a sua teoria para o seu modelo atômico, armou que o modelo vigente até então, também conhecido como "pudim de passas", que foi feito por  J. J. Thomson, estava incorreto. Rutherford armou com seu experimento, que o átomo não era apenas uma esfera maciça de carga elétrica positiva incrustada com elétrons como dizia J. J. Thomson. Segundo Rutherford, o átomo teria na ver-

dade núcleo de carga elétrica de tamanho muito praticamente pequeno em relação ao seuum tamanho total, sendo quepositiva este núcleo, que conteria toda a massa do átomo, estaria sendo rodeado por elétrons de carga elétrica negativa, os quais descreveriam órbitas helicoidais em altas velocidades. O argumento para as evidências de Bohr, ou para todo conjunto de postulados, só pode ser encontrada comparando-se aos cômputos que podem estar e star obtidos a partir dos postulados com as consequências práticas (EISBERG; RESNICK, 1994). Analise um átomo embasado de um núcleo de carga +Ze +Ze e  e massa M  massa  M  , e um único elétron de carga -e e -e e massa m. Para um átomo de hidrogênio neutro, Z = 1 , 1 , para um átomo de hélio ionizado, Z = 2 , 2 , para um átomo de lítio duplamente ionizado, Z = 3 etc. Admitimos que esse elétron gira em órbita circular em tomo do núcleo. Primeiramente, admitimos a massa do uma elétron absolutamente pequena confrontada com a massa do núcleo, e consequentemente, entendemos que o núcleo segue xo no espaço. A chance de equilíbrio mecânica do elétron é: 1 4p  ∈0

 Ze 2 r

2

=m

v2 r 

(2.40)

Em que v é a velocidade do elétron em sua órbita, e r o raio da órbita. O lado esquerdo dessa equação é a força coulombiana que age mediante o elétron, e o lado direito é ma, no qual a é a aceleração centrípeta que resiste o elétron em sua órbita circular. Porém, o momento angular orbital do elétron, L = mvr , deve ser uma constante, pois a força que atua sobre o elétron é central. Usando a categoria

de quantização:

119

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

 L = nh

n = 1, 2, 3,...

a L, dispomos: mur = nh

n = 1, 2, 3,... 3, ...

(2.41)

Tendo v e repondo em (2.40), dispomos: 2

 Ze

2

= 4p ∈0 mu

2

 nh  = 4p  ∈ r = 4p ∈0 mr  0   mr 

2

n h

2

mr

 

(2.42)

De modo que:

n2 h2 r=4p   ∈ ∈0   2 mZe

n=1, 2, 3,...

(2.43)

E:

nh 1 Ze 2 u= = mr 4p ∈0 nh

n=1, 2, 3,...

(2.44)

O uso do status de quantização do momento angular delimitou as prováveis órbitas circulares àqueles cujos raios são informados por (2.43). Veja que esses raios são equivalentes ao quadrado do número quântico n. Se calcularmos os raios da menor órbita (n - 1) para 1) para o átomo de hidrogênio (Z=1)  ,, usando-se os valores conhecidos de h , m e e , obtemos r = 5,3 x 10-11 m  0,5 0,5 A  A.. Veremos mais tarde que o elétron tem sua energia total mínima quando está na órbita correspondente a n=1 n=1.. Consequentemente, podemos interpretar o raio desta órbita como sendo uma medida do raio de um átomo de hidrogênio em seu estado normal. Ele está de acordo com a estimativa mencionada anteriormente, de que a ordem de grandeza do raio atômico é 1 . Portanto, os postulados de Bohr preveem um tamanho razoável para o átomo. Calculando a velocidade orbital de um elétron na menor órbita de um átomo de hidrogênio a partir de (2.44), obtemos v = 2,2 x 104 m/s. m/s. É  É evidente na equação que esta é a maior velocidade possível para um elétron em um átomo de hidrogênio. O fato de que essa velocidade seja menor do que 1% da velocidade da luz é a justicativa para usarmos a mecânica clássica em vez da mecânica relativística no modelo de Bohr. Por outro lado, (2.44) manifesta que para longos valores de Z, a velocidade do elétron se volta relativística; o sistema não pode ser efetuado em tais fatos. Esta equação inclusive torna claro porque Bohr jamais conseguiria conceder que o número quântico n levasse o valor n = 0, como o atuava na equação de quantização de Planck (EISBERG; RESNICK, 1994).

Analisamos a energia total de um elétron atômico se transportando em uma das órbitas prováveis. Tendemos representar a energia potencial como 120

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

correspondendo zero, caso o elétron esteja innitamente longe do núcleo. Logo, a energia potencial V a qualquer distância nita r é capaz de ser obtida integrandose o trabalho que seria sucedido pela força coulombiana que age, assim:

 Ze2 Ze 2 v=-∫ dr=2 4p ∈0 r 4p  ∈0 r  

(2.45)

A energia potencial é negativa porque a força coulombiana é atrativa; é primordial trabalho para mexer um elétron de raio innito, versus essa força. A energia cinética do elétron, K, pode ser calculada, com auxílio de (2.40), como sendo:

1 2 Ze 2  K= mu = 2 4p   ∈0 2r  

(2.46)

A energia total do elétron E, é, portanto: 2

 E=K+V=-  Ze =-K  4p e 0 2r 

(2.47)

Utilizando (2.43) para r na equação antecedente dispomos:

mZ 2 e4 1  E= 2   2 ( 4p e0 ) 2h2 n

n=1, 2, 3,...

(2.48)

Entendemos que a quantização do momento angular orbital do elétron importa na quantização de sua energia global (EISBERG; RESNICK, 1994).  E  T  N  TA  R  O  P  M  I

A energia de cada estado prevista por (2.48), é indicada à esquerda, em termos de joules e elétrons-volt e o número quântico do nível é expresso à direita. O esquema é disposto de modo tal que a longitude de cada nível, ao nível de energia zero, é correspondente à energia desse nível. Observe que o menor (mais negativo) valor possível da energia total ocorre para o menor número quântico n = 1. À medida que cresce, a energia total do estado quântico se torna menos com Etotal se aproximando de ozero quando tende a infinito. Conforme o estado de negativa, menor energia é, obviamente estado maisnestável para o elétron, contemplamos contemplamos que o estado normal do elétron no átomo de um elétron é

o estado no que n = 1 (EISBERG; RESNICK, 1994).

121

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

Examinamos a frequência v da radiação eletromagnética emitida caso o elétron sofre uma transição do estado quântico ni para o estado quântico nf, isto é, em que um elétron que se move inicialmente em uma órbita reconhecida pelo número quântico ni transforma descontinuamente seu transporte sobrevivendo a se mover em uma órbita diferenciada pelo número quântico nf. Manipulando o quarto postulado de Bohr:  E1 -E ∫ v= h

E:

mZ 2 e4 1  E= 2   2 ( 4p e0 ) 2h 2 n

n=1, 2, 3,...

Obtemos: 2   E1 -E  2 4    1 1 1 mZ e ∫ =+     v= − 2   3 2 h  4p ∈0  4 p h  n∫ n∫ 

(2.49)

Em função do número de onda k = 1/λ = v/c , têm-se: (2.50) Ou: (2.51)  

em que

E no qual ni e n f  são inteiros (EISBERG; RESNICK, 1994).

122

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

 O  CA  N  E  T A

As precauções principais do modelo de Bohr ficam contidas em (2.48) e (2.51). Tendemos analisardessas a emissão de radiação eletromagnética por um átomo de Bohr de uminicialmente elétron em função equações. 1. O estado normal do átomo átomo será será o estado estado no qual o elétron tem a menor energia, energia, isto é, o estado n = 1. Este é o chamado estado fundamental. fundamental. 2. Em uma descarga elétrica, ou em algum outro outro processo, processo, o átomo recebe recebe energia energia devido a colisões etc. Isto significa que o elétron deve sofrer uma transição para um estado de maior energia, ou estado excitado, no qual n > 1. 3. Obedecendo à tendência natural natural de de todos os sistemas sistemas físicos, o átomo átomo vai emitir o excesso de energia e voltar ao estado fundamental. Isto ocorre por meio de uma série de transições nas quais o elétron cai para estados excitados de energias sucessivamente mais baixas, até atingir o estado fundamental. Em cada transição, é emitida radiação eletromagnéticaa com um comprimento de onda que depende da energia perdida pelo eletromagnétic elétron, isto é, dos números quânticos inicial e final. Em um caso típico, o elétron pode ser excitado até um estado n = 7 e decair sucessivamente passando pelos estados n = 4 e n = 2 até o estado fundamental n = 1. São emitidas três linhas do espectro atômico com número de onda dado por (2.51) para n i = 7 e nf = 4, nf=2 e ni=2, e nf= 1. 4. Em um grande número de processos de excitação e desexitação desexitação que acontecem acontecem dur durante ante uma medida de um espectro atômico, todas as possíveis transições ocorrem e é emitido o espectro completo. Os números de onda, ou os comprimentos de onda, do conjunto de linhas que constituem o espectro são dados por (2.51), nos quais fazemos com que ni e nf tomem todos os valores inteiros possíveis, sujeitos apenas à restrição de que ni > nf.

Para o hidrogênio (Z= 1) percebamos o subconjunto das linhas espectrais que apresentam das mudanças nas quais nf = 2. Segundo (2.51) os comprimentos de onda correspondentes dessas linhas são informados por:

 K = R∞ (1/n 2 f )

n f = 2en1 > n f 

(2.52)

Ou:

k=R∞ (1/2 2 -1/n 2 )

n =3, 4, 5, 6,...

(2.53)

Esta fórmula é similar à equação para a série de Balmer do espectro do hidrogênio:

k=1/ l =RH (1/2 2 -1/n 2 )

n =3, 4, 5,...

Se R∞ for igual a RH . De acordo com o modelo de Bohr: 123

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

2

 1  me4  R∞ =   4 p ∈ 4  p  3c  0 

(2.54)

Embora os valores numéricos de poucas das quantidades que entram nessa equação não fossem destacados com muita certeza naquela época, Bohr calculou R∞ em termos dessas grandezas, e conseguiu que o número resultante casse bem próximo do valor prático de RH . No próximo subtópico faremos uma comparação detalhada, usando dados recentes, entre o valor experimental de RH  e a previsão de Bohr, e mostraremos que os dois consentem quase que completamente (EISBERG; RESNICK, 1994). De consenso com o modelo de Bohr, qualquer uma das cinco séries consideradas do espectro do hidrogênio emerge de um subconjunto de mudanças nas quais o elétron vai a um determinado estado nal n f . Para a série de Lyman, n f  = 1; para a de Balmer, n Balmer, n f  = 2; para a de Paschen, n f  = 3; para a de Bracke, n f = 4; e para a de Pfund, n f  = 5 (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 17 󲀓 DIAGRAMA DE NÍVEIS DE ENERGIA

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, ( 1994, p. 144)

124

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

Na Figura 17, ao alto: O esquema de estados de energia para o hidrogênio, com o número quântico n para cada nível e umas das mudanças que apresentam no espectro. Um número innito de níveis está aglomerado entre os níveis demonstrados n = 4 e n = ∞. Embaixo: as linhas espectrais correspondentes para as três três séries indicadas. Dentro de cada série, as linhas espectrais seguem um padrão denido, aproximando-se do limite da série à medida que o comprimento de onda diminui. Como observa-se, nem a escala de frequência nem a de comprimentos de onda linear,desendo escolhidas dessa forma apenas paramelhor clarezaa da ilustração. Uma éescala dimensões de onda lin linear ear representaria imagem real da chapa fotográca obtida de um espectroscópio. As séries de Bracket e Pfund, que não são mostradas, cam na parte do infravermelho distante do espectro (EISBERG; RESNICK, 1994). As três primeiras séries estão oportunamente ilustradas em termos de esquema de estados de energia ene rgia na Figura 17. A transição que dá origem a uma linha particular de uma série está indicada nesse diagrama por meio de uma seta indo do estado quântico inicial ni ao estado quântico nal nf. Somente as setas equivalentes às primeiras linhas de cada série e ao limite das séries são mostradas. Como a distância entre cada dois níveis de energia nesse esquema é correspondente à diferença entre a energia dos dois estados e como:  E1 -E  ∫  y= h

Admite que a frequência v (ou o número de onda) é correspondente à diferença de energias, o comprimento de cada seta é proporcional à frequência (ou ao número de onda) para a linha espectral condizente (EISBERG; RESNICK, 1994). Os comprimentos de onda das linhas de todas essas séries são apanhados de modo bem preciso por (2.51), usando-se os recursos convenientes de nf. Este foi um grande triunfo para o modelo de Bohr. O sucesso do modelo foi particularmente impressionante porque as séries de Lyman, Bracke e Pfund não tinham sido descobertas na época em que o modelo foi desenvolvido por Bohr. A presença dessas séries foi calculada e as séries foram posteriormente descobertas mentalmente e tiveram os nomes de seus inventores (EISBERG; RESNICK,experi1994). O sistema subsistia bem, dedicado ao caso de átomos de um elétron com Z= 2, Z=  2, isto é, átomos de hélio ionizado, He+ ionizado,  He+.. Tais átomos podem ser produzidos passando-se uma descarga elétrica particularmente violenta através de gás hélio normal. A presença desses íons se toma evidente pela emissão de um espectro mais simples do que o emitido por átomos de hélio normais. De veracidade o espectro atômico do He+ do He+ é  é precisamente o similar que o espectro do hidrogênio, senão pelo caso de que os números de onda de quaisquer linhas são quase precisamente quatro vezes maiores. Isto é exposto bem simplesmente em termos do modelo de Bohr tornando-se Z 2 =4 em (2.51) (EISBERG; RESNICK, 1994). As características do espectro de absorção dos átomos de um elétron inclusive são simplesmente explícitas em termos do modelo de Bohr. Como o elé-

tron atômico deve ter uma energia total precisamente similar à energia de uma das condições de energia prováveis, o átomo pode meramente adquirir quantidades discretas de energia da radiação eletromagnética incidente. Este fato conduz 125

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

à ideia de considerarmos que a radiação incidente é constituída de um feixe de fótons, e que apenas podem ser absorvidos aqueles fótons cujas frequências são dadas por E = hv , em que E é uma das quantidades de energia discretas que podem ser absorvidas pelo átomo. O processo de absorção de radiação eletromagnética é então exatamente o inverso do processo normal de emissão, e as linhas do espectro de absorção terão exatamente os mesmos comprimentos de onda do espectro de emissão. Normalmente, o átomo está inicialmente no estado fundamental n =Por  1, conseguinte, de forma quesomente apenas processos deabsorção absorçãoque de nencaixam =  1 a n > 1 >(no  1 podem as linhas de caso doocorrer. hidrogênio) à série de Lyma serão comumente observadas. Entretanto, se o gás que está encerrando os átomos que captam energia vierem a uma temperatura bem alta, logo pertinente às colisões, uns desses átomos irão inicialmente no primeiro estado excitado n = 2, = 2, e serão observadas linhas de absorção equivalendo à série de Balmer (EISBERG; RESNICK, 1994). Portanto, podemos concluir que algumas fragilidades e contradições do modelo caram claras na publicação de 1913. Outros foram mais tarde evidenciados com experimentos melhores (mais modernos) e teorias mais elaboradas da mecânica quântica. • Os postulados são justicados por qualquer princípio fundamental, mas apenas através de seu sucesso. Eles contradizem a eletrodinâmica clássica. • O modelo de Bohr descreve o comport comportamento amento dos átomos de hidrogênio e íons com apenas um elétron. Sistemas de vários elétrons não estão incluídos. • A teoria de relatividade não é considerada, embora seja atribuído ao elétron no estado fundamental do átomo hidrogênio, cerca de 1% da velocidade da luz. • O átomo de hidrogênio no modelo de Bohr teria de ser um disco plano. plano. • Ligações químicas no modelo de Bohr não podem ser entendidas (ou seja, o modelo não explica ligações químicas). • Em todos os estados estacionários o momento angular do elétron em torno de órbita de fora é muito grande. Em particular no estado fundamental, mesmo na realidade sendo 0 (nulo). • Até mesmo o dividir de muitas linhas espectrais sob a inuência de campos magnéticos anômalo de Zeeman)são nãocapazes pode ser • Certas linhas(efeito espectrais do hidrogênio deexplicado. resistir à medidas mais precisas do que as linhas duplas. Após isso, descobriram uma separação que não podia ser explicada pelo modelo de Bohr que foi chamada de Lamb-Shift . • Na radioastronomia a principal linha de 21 cm do hidrogênio pode ser obtida a partir do modelo de Bohr. • A noção de uma órbita denida do elétron em torn tornoo do núcleo em 1927 conitava com o princípio da incerteza descoberto por Werner Heisenberg. Na física quântica, com todas as teorias e resultados obtidos até os dias de hoje e com os registros reg istros dos dados experimentais, o modelo orbital possui uma imagem fundamentalmente diferente do átomo. Ao contrário do que é aceito pelo modelo de Bohr, os elétrons no átomo possuem nita em de estarem até mesmo no núcleo. Atualmente, sabemos queprobabilidade eles não se movem órbitas.

Razoavelmente aceitamos a ideia de uma nuvem de elétrons.

126  

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

 S  CA  I  D

•

O átomo: é a unidade fundamental da matéria, é a menor fração capaz

de identificar um elemento químico. Ele é formado por um núcleo, que contém nêutrons e prótons, e por elétrons que circundam o núcleo. átomo deriva do grego e significa indivisível. Nesse vídeo, é falado um pouco Oa termo respeito do átomo, partícula fundamental que forma tudo que conhecemos no Universo. Aprenda mais sobre o átomo, assistindo o seguinte vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=TKEOWch5kXE.  https://www.youtube.com/watch?v=TKEOWch5kXE.  Acesso em: 12 set. 2019. •

Mundo subatômico: em física, físi ca, partícula subatômica é a designação genérica daquelas

cujas dimensões são muito menores que as de um átomo. Entre as partículas subatômicas, existem determinadas denominações, que foram escolhidas para designar os números quânticos. Aprenda mais sobre o mundo subatômico, assistindo o seguinte vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=JdHlAVQPf7s. Acesso em: 12 de set. 2019.

 S  O  R  U  T  U  F F    S  S   O  D  U  T  S  E

O conteúdo que será abordado no decorrer do Livro Didático, o próximo tópico, será sobre as propriedades ondulatórias das partículas. A luz é uma onda, e como toda boa onda, ela possui propriedades ondulatórias como frequência, comprimento de onda e amplitude.

127

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

LEITURA COMPLEMENTAR A história do desenvolvimento da teoria atômica: um percurso de Dalton a Bohr

Ehrick Eduardo Martins Melzer  Joanez Aparecida Aires Este artigo é parte de uma pesquisa de mestrado que está em andamento,  junto ao ao Programa de Pós-Gradua Pós-Graduação ção em Educação em Ciências e em Matemática da UFPR, e tem por objetivo fazer uma retomada da história do átomo de John Dalton até Niels Bohr, contemplando as idas e vindas do desenvolvimento da teoria atômica. Essa retomada faz necessária na medida em que os livros didáticos, tanto da Educação Básica, quanto da Educação Superior, têm suprimido dados importantes para a compreensão de como os atores da teoria atômica chegaram a determinados modelos. Esta preocupação tem estado presente em vários trabalhos da área de Ensino de Ciências (LOPES, ( LOPES, 2009; VIANA, 2007; LOBATO, 2007), especialmente daqueles que discorrem sobre livros didáticos (LOPES, 1990; MORTIMER, 1988; NIAZ, 1998; QUINTANI QUINTANILLA LLA et al. , , 2008). Niaz (1998) e Quintanilla et al. (2008) analisam os livros didáticos de química mostrando como estes tratam o episódio histórico do átomo. Ambos trabalhos sinalizam que esses se encontram modicados e com recortes acerca dessa história, encobrindo algumas características desse episódio histórico, não trazendo a forma de construção dos modelos atômicos e sem evidenciar alguns aspectos sociais que podem ser tangentes à construção desses. Nesse sentido, Mahews (1995) lembra que se faz necessário a introdução de história e losoa das ciências (HFC) para desconstruir essa imagem de ciência idealizada, mostrando-se a real história por trás de um conceito ou teoria. Assim, este trabalho tem como por objetivo fazer uma leitura histórica do episódio dos modelos atômicos, xado em Manchester e Cavendish. Para sistematizar sistematizar este estudo, o artigo foi dividido em dois períodos: o primeiro corresponde ao período anterior à construção do laboratório de Cavendish, localizado na Universidade de Cambrigde na Inglaterra e inaugurado em 1874, com a publicação de um artigo. O segundo, corresponde ao período posterior a sua construção. Esta divisão é enfatizada em função da fama mundial atingida por Thomson (LOPES, 2009), a qual fez deste um centro de refer referência ência mundial no desenvolvimento de estudos acerca da constituição da matéria. A ordem de apresentação das propostas, portanto, está dividida nos dois períodos, objetivando demonstrar como cada modelo atômico foi sendo trabalhado e quais eram as preocupações dos pesquisadores em torno destes. O período ante-

rior à construção do laboratório de Cavendish corresponde aos trabalhos de John Dalton. O período posterior aos trabalhos de J. J. Thomson, J. H. Jeans, H. Nagaoka, Lorde Rayleigh, G. A. Scho, E. Rutherford, J. W. Nicholson e Niels Bohr. 128

 

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Entre Dalton e Thomson, apresentam-se alguns trabalhos que também tiveram alguma inuência na forma de pensar dos físicos e químicos e que foram  base para muitas muitas das pr propostas opostas atômicas elaboradas. Ao nal é aapresentada presentada uma reexão para o ensino de ciências acerca do episódio histórico da teoria atômica. Período anterior a construção do laboratório de Cavendish John Dalton (1766 – 1844)

Anteriormente a construção do laboratório de Cavendish, John Dalton marcou o desenvolvimento da teoria atômica, apoiado, segundo Lobato (2007) e Viana (2007), por uma série de fatores de ordem prossional e de opções teóricas assumidas por Dalton. O Primeiro destes fatores refere-se ao fato de Dalton não ter, originalmente, uma formação química, mas sim matemática, que de acordo com Viana (2007), pode ter inuenciado por uma perspectiva diferente de sua percepção dos fenômenos físicos e químicos. Outros fatores também podem ter sido importantes para a sua teoria, gerando uma série de interpretações sobre como Dalton chegou ao seu modelo atômico. Dentre estas podem ser citadas as inuências dos trabalhos de Richter, a leitura do livro de Berthollet (1803-1804), algumas fontes também fazem referência aos trabalhos de análise do eteno e do metano aliado as leis das proporções múltiplas. Bem como, são citados os trabalhos e suas reexões sobre as teorias de mistura gasosa, pelo estudo de pesos atômicos e o justicando com uma proposta mecanicista, com base em sua reexão acerca das reações com Oxido Nitrogênio e das leis das proporções múltiplas. Tornou-se difícil uma ideia mais precisa sobre a elaboração do seu modelo, em função dos registros da sua produção terem sido, em grande parte, perdidos pe rdidos durante a Segunda Guerra Mundial. Lobato (2007) argumenta que nenhuma destas interpretações apresentadas pelos historiadores da ciência pode ser desprezada, pois não se pode aferir o desenvolvimento teórico de Dalton a um único fator. O que é sugerido pelo autor é que todos esses trabalhos e acontecimentos zeram parte de uma construção, culminando na proposta do átomo publicado em seu trabalho de 1810. Logo, o que se pode armar é que Dalton trabalhou sua teoria com base em múltiplas inuências de físicos e químicos renomados de sua época, sendo que, de acordo com Viana (2007), a mais notável inuência pode ter vindo da tradição newtoniana inglesa. O Principia (questão 26) e o Óptica (questão 31), de Isaac Newton, parecem também terem inuenciado Dalton em suas leituras e interpretações dos fenômenos naturais e acerca da expansão e contração dos gases, determinando a sua proposta de teoria atômica. Assim, pode-se compreender que a teoria atômica foi construída a partir de uma série de trabalhos publicados por Dalton, todos eles com foco especíco nas relacionadas aos gases à composição daNesse atmosfera. Ouparece seja, grande partequestões dos estudos pertencente à áreaede meteorologia. sentido, haver

uma progressão e uma mudança na forma que Dalton encarava o átomo, de um corpuscularismo newtoniano, chegando a uma espécie de híbrido entre a teoria corpuscular de Newton e a leis de anidade química, teorias muito estudadas na 129

 

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época, de acordo com os relatos apresentados por Viana (2007) e Lobato (2007). Lembrando que a construção do seu modelo começa em 1802 com a publicação da 1ª lei das misturas gasosas e termina em 1810, com a publicação das mudanças teóricas ocorridas a partir de 1804, quando Dalton tem um encontro com T. Thomson e W. Henry, os quais discutem as bases da sua teoria atômica. De acordo com Viana (2007), o próprio Dalton em seu trabalho de 1810, reconhece o ano de 1804 como denidor de sua teoria atômica. Com base nesta compreensão pode-se armar que a teoria atômica de John Dalton, como publicada em sua forma nal em 1810, passa por dois momentos distintos de construção: Em um primeiro momento, Dalton, baseia sua proposta em uma teoria ligada a seus estudos acerca da física proposta por Isaac Newton (na leitura do Principia e do Óptica), ancorada no corpuscularismo newtoniano. E um segundo momento, através de seus estudos sobre misturas gasosas (1802 e 1805), com todas as discussões e críticas feitas pelos seus contemporâneos que o zeram analisar e conceber uma união entre a proposta Newtoniana de partícula com as propostas de anidade química, ambas apresentadas em sua época. Para sanar equívocos e más interpretações do calórico, Dalton, publicou o artigo “on heat” em 23 de maio de 1806, quando descreveu a sua proposta para o calórico e como este seria intimamente ligado a sua proposta atômica. Formulando as bases de seu átomo e o descrevendo como um corpúsculo esférico de tamanho variável que seria envolvido por uma “atmosfera”4, denominada de calórico (heat), responsável pela atração e repulsão entre os elementos, sendo medido e variável entre diferentes elementos químicos e quanticado através do valor de calor especíco. Assim, este modelo dava conta, em sua época, de explicar os questionamentos que Dalton e outros pesquisadores tinham sobre o comportamento de gases, fenômenos meteorológicos, bem como a composição da atmosfera. Porém, essa proposta perdurou por vários anos até o seu modelo dar os primeiros sinais que chegara a um limite em que era necessário novos estudos para a estrutura atômica. Os Trabalhos do século XIX e XX e a construção do laboratório laboratório de Cavendish

Antes de trazer os outros atores que participaram da construção da proposta atômica que culminou nas bases da quântica e da física moderna, se faz necessário trazer algumas leituras sobre o que foi desenvolvido no nal do século XIX e início do século XX. Trabalhos estes que deram as bases e os dados empíricos necessários, bem como instrumentação para que a proposta atômica pudesse evoluir de um corpúsculo para algo mais complexo regido por leis mais complexas. Começar-se-á pelo nal do século XIX que é marcado por notórios estudos da física, química e astroquímica. Muitos destes trabalhos foram vitais para o estabelecimento da teoria atômica que conhecemos hoje. Destes estudos destacam-se os trabalhos sobree,radioatividade, raios catódicos, e létrons, valência, elétrons, espectroscopia, efeito Zeeman posteriormente, a bases da quântica.

Nesse sentido, Lopes (2009) apresenta uma relação dos autores divididos em áreas: na radioatividade com os trabalhos de E. Rutherford, F. Soddy, P. Curie, 130

 

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M. Curie, A. H. Becquerel, A. S. Eve, W. Bragg, H. Geiger, E. Marsden e H. Moseley. Nos raios X temos os trabalhos de W. Röntgen e todas as outras pesquisas que foram possibilitadas por essa descoberta. A eletricidade representada nos trabalhos de M. Faraday, G. J. Stony, J. J. Thomson e W. Crookes5 . Na área de espectroscopia desde trabalhos assinados por J. Melvin, J. Draper, D. Alter, A. Angströn, G. Stokes, B. Stewart, J. L. Foulcault, G. R. Kirchho, R. W. Bunsen, John Tyndall, J. Balmer,  J. Evershed, Evershed, J. Rydberg, H. Kays Kaysen, en, Carl Runge Runge,, A. Fowler, Fowler, W. Ri, G. J. Stoney e Pieter Zeeman6 . E na química com Moléculas, ligação química e valência representada por S. Arrhenius, R. Abegg, G. Lewis e W. Kossel. Junto a outros trabalhos de Tabela Tabela Periódica (Mendeliev) que contriburiam de forma profunda para as propostas de Thomson, Nicholson e Bohr. Lembrando que toda essa produtividade teve uma estreita relação com as teorias atômicas, já que todos estudavam efeitos ocasionados pela constituição da matéria, desenvolvendo inúmeras pesquisas. De acordo com Lopes (2009), Joseph Larmor, já assinalava o átomo com uma proposta para explicar certos efeitos. Demonstrando a necessidade que a comunidade naquela época tinha em explicar a modelagem e constituição atômica. Outro fator de impacto na concepção da teoria atômica está relacionado à tradição de Manchester, com seus estudos na área de física experimental. Este impulso é fortalecido com a criação e consolidação de grupos de pesquisa e associações, concentrando importantes físicos experimentais na Cambrigde, obtendo seu ápice em 18747 , a partir da inauguração do laboratório de Cavendish, o qual foi considerado por vários físicos como o maior centro de estudos de constituição da matéria do mundo, tornando-se palco para grande parte dos avanços relacionados ao modelo atômico. Tal fama se deu muito em função de que Thomson, Rutherford, Nicholson, Scho, Jeans e Rayleigh integravam diversas equipes que trabalhavam com pesquisas neste laboratório, bem como pela estreita ligação que Hantaro Nagaoka e Niels Bohr também tiveram com o mesmo. Pode-se armar, portanto, que este laboratório concentrou uma grande diversidade de pesquisadores, vindos de todo o continente europeu, os quais buscavam aprimorar seus estudos e construir uma proposta coerente acerca da constituição da matéria e outras áreas ans. A seguir são apresentados os pesquisadores que trabalharam com a constituição atômica após a construção do laboratório de Cavendish e suas respectivas inuências na construção das teorias atômicas. Período posterior a construção do laboratório de Cavendish Joseph John Thomson (1856 – 1940)

Thomson foi físico experimental, esteve à frente do laboratório de Cavendish, sendo grande pelaemfama mundial bem como migração  jov  jovens ens ocie cienti ntista stass responsável qque ue son sonhav havam am tra trabal balhar har em deste, Cav Cavend endish ish sob suapela ori orient entaçã ação. o. de

De acordo com Lopes (2009), Thomson começou seus estudos em engenharia no Owens College, em 1870, com 14 anos de idade, quando demonstrou interesse pela física, particularmente pelas leis de combinações químicas e teorias atômicas 131

 

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da matéria, inuenciado, possivelmente, pelos escritos de John Dalton. Posteriormente foi indicado para entrar na Cambrigde, foi sucessor de Lorde Rayleigh, na cátedra de física experimental, tornando-se a terceira geração de físicos no laboratório de Cavendish e coordenador de pesquisas na área neste laboratório. Thomson, durante sua vida acadêmica se debruçou sobre a questão da eletricidade e do átomo, mudando inúmeras vezes sua base teórica, que de acordo com Lopes (2009), é uma das mais notáveis características presentes nos estudos sobre a sua vida. Inicialmente, começou estudando o átomo vortex de Lorde Kelvin, aplicando-o a inúmeros problemas de combinações químicas, relacionando a questão da valência com o número de vórtices presentes no átomo. Posteriormente, inuenciado pelas leituras de trabalhos de M. Faraday, Thomson elabora um modelo atômico  basead  bas eadoo em gir girost ostato atos. s. Ou sseja eja,, o áto átomo mo ser seria ia fo forma rmado do po porr uma séri sériee de gir girost ostato atos. s. Dessa forma, esse estudo sobre o modelo batizado de girostatos abriu caminhos para o cálculo da razão de carga negativa. Mas, foi em 1897, com a publicação do seu estudo sobre raios catódicos intitulado “On the cathode rays” que abriu a possibilidade de uma profunda mudança em sua proposta atômica. No ano de 1903, seus estudos na tentativa de compreender a distribuição dos elétrons com os cálculos de carga e massa do elétron, culminaram em sua proposta atômica de 1904. O modelo apresentado por Thomson seria formado por anéis coplanares de corpúsculos dentro de uma esfera de carga positiva e uniforme. As bases teóricas deste modelo são mais aprofundadas no livro “ Theory of Mater” de 1907, no qual são apresentadas várias propostas e vários estudos, congurando-se na proposta atômica de Thomson. Assim, pode-se perceber que há uma constante mudança ao longo da vida de J. J. Thomson no que diz respeito aos referenciais teóricos, mostrando a sua versatilidade em mudar de referencial em busca de novas perspectiva perspectivass de pesquisa, bem como na junção de diferentes trabalhos para gerar teorias mais consistentes que respondiam a inúmeros problemas da época. James Hopwood Jeans (1877 – 1946)

Em 1901, em um artigo intitulado de “The Mechanism of Radiation”, Jeans apresentou uma particular forma de interpretar os dados de Thomson, gerando o que foi denominado de átomo “ideal” de Jeans. Com base em Connor e Turner (1965), na proposta de Jeans o átomo seria formado por uma porção de cargas –e, e uma porção de cargas +e, as quais estariam em um certo equilíbrio, permanecendo estáveis, nos quais essas cargas estariam, mutuamente, se repelindo e se atraindo de acordo com a lei do inverso quadrado da distância. Baseando esta Este proposta análisededeJeans, linhasdeespectrais de várias observações espectroscópicas. átomona“ideal” certa forma, explicava

com êxito o efeito Zeeman e descrevia as linhas dos espectros de Rydeberg.

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Porém, ao que parece, este modelo era basicamente teórico, validado pelos dados da espectroscopia e que não ganhou muito destaque, pois três anos depois Thomson desenvolvera sua proposta atômica que daria conta desses problemas. O que pode ser observado dessa sua participação da história da Teoria Atômica, é que Jeans trabalhava sob orientação de Thomson, o que o levou a denir sua proposta de átomo ideal seguindo a linha de raciocínio deste. Hantaro Nagaoka (1865 – 1950)

Físico japonês formado em Tókyo, no Japão, na época da restauração Mei ji. Fez mestrado e doutorado na mesma instituição9 sob a orientação de C. G. Kno. Após seu doutorado, por incentivo do governo japonês, foi estudar em Berlim e Munich, com L. Bolman. Seu intuito era se aprofundar na física ocidental e levar ao Japão conhecimento para o desenvolvimento da ciência e da tecnologia daquele país. Durante suas viagens, Nagaoka, fez uma série de contatos, inclusive com Rutherford, quando visitou o laboratório de Cavendish. E em 1904, publicou na revista Nature e depois na Phil. Magazine a sua proposta de modelo atômico, baseando-se nos cálculos de Maxwell dos anéis de Saturno e adaptando-os para a escala atômica. Em seu modelo, Nagaoka, de acordo com Conn e Turner (1962) e Lopes (2009), colocava um centro grande e carregado envolvido de anéis formados por corpúsculos que giravam com mesma velocidade ao seu redor. Com esta proposta era possível explicar vários fenômenos relacionados a diversas áreas de pesquisa. Porém, sua teoria encontrava um percalço com base na estabilidade de todo o sistema proposto, fazendo com que o tamanho e a energia ene rgia da carga central fossem muito mais forte que das cargas opostas que orbitavam ao redor do núcleo. Outro problema apresentado por este modelo era o da velocidade angular dos corpúsculos, que deveria ser muito alta, com valores que de acordo com a física clássica, eram difíceis de serem obtidos. Este modelo foi fortemente combatido por Scho, que enviou cartas a Nagaoka apresentando as fragilidades da sua proposta, estabelecendo assim um debate teórico entre os dois pesquisadores. Scho discordava dos cálculos de Nagaoka e também dos valores de carga central e de velocidade angular dos corpúsculos ao redor no anel, travando um longo debate sobre a validade do modelo saturniano. Posteriormente, Nagaoka desistiu de sua proposta e se dedicou a outras áreas de pesquisa. Posteriormente, em carta10 mandada a Neils Bohr, Nagaoka demonstra sua felicidade e satisfação ao reparar a grande similaridade entre a sua proposta e a proposta do modelo atômico de camadas proposto por Bohr a partir da proposta de Rutherford. Lorde Rayleigh (1842 – 1919)

Físico experimental no Laboratório de Cavendish, que dedicou sua vida ao estudo do som. Em contato com Thomson e sua pesquisa sobre a constituição da matéria e eletricidade, passou a fazer alguns estudos relativos à hipótese de o fenômeno sonoro estar relacionado às propriedades atômicas. 133

 

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Segundo Connor e Turner (1965), em 1906 Rayleigh sugeriu um modelo similar ao que Thomson apresentou em 1904, porém o número de elétrons em seu modelo teria uma variação para o innito. Seu modelo também tinha uma semelhança com a proposta de Jeans, no entanto, diferia na forma de arranjo das diferentes cargas na estrutura atômica. Ou seja, Rayleigh optou por usar a mesma estrutura elucidada por Thomson, mas a variação de corpúsculos no interior da esfera positiva poderia chegar até o innito. Rayleigh justica essa possibilidade de acordo com a disposição das cargas e com a necessidade de haver a mesma quantidade de cargas positivas e negativas e de que a única diferença é que as cargas positivas estariam sem movimento de forma uida, enquanto as negativas estariam com maior liberdade de movimento dentro da região delimitada pela esfera. Esta proposta é uma possível tentativa de resposta para a denição do número de corpúsculos negativos dentro do átomo, a qual Thomson não havia ainda conseguido chegar. Havia esta diculdade porque ainda não se conhecia outras partículas e nem as relações de massa que seriam estudadas no átomo nuclear posteriormente, logo, Rayleigh partindo desta problemática extrapola o número de possibilidades a innito sempre trazendo uma distribuição igualitária entre positivo e negativo. George Adolphus Adolphus Scho (1868 – 1937)

Scho em seu trabalho publicado na Phil Magazine, entitulado de “On the Electron Theory of Maer and the Explanation of Fine Spectrum Lines and of Gravitation” explica sua proposta do “elétron expandindo”, publicado em junho de 1906. Em sua proposta, de acordo com Connor e Turner (1965), Scho leva em conta que todos os elétrons se movem em círculos com velocidades uniformes. Recordando que o problema de Jeans era que os elétrons estariam se movendo com uma velocidade muito alta e com um pequeno raio de giro, o que causaria um problema físico de movimentação. Para trazer uma possibilidade de elucidação e uma saída a esse dilema, Scho propõe que o elétron pode se expandir e que ele internamente resiste a essa expansão. Nesta compreensão, Scho leva em conta que o elétron é uma forma esférica que está sujeito a uma constante força (pressão) em toda a sua superfície. Ou seja, para Scho o elétron teria a capacidade de se expandir para ocupar espaços dentro do átomo e consequentemente essa característica seria dominada pela pressão de todo o sistema. Assim, com base em suas investigações, Scho elabora quatro postulados para o elétron no sistema atômico (CONNOR e TURNER, 1965): 1. O elétron se expande vagarosamente. 2. Para satisfa satisfazer zer o princípio da conservação de energia, se faz necessário que haja um stress interno que resiste à expansão, a qual segundo a visão de Scho seria de pressão hidrostática. 3. um Quecaso estaclássico força a que o elétron está sujeito é parte da natureza de um éter que

rodeia o elétron. 4. Assim a reação nal no elétron seria produto de uma pressão causada pela pressão do éter na superfície do elétron. Essa pressão não é exatamente balan134

 

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ceada com a taxa de expansão do elétron, porém, gravitação entre si como se o sistema se comportasse como um líquido.  

São nestes postulados que Scho baseia seu modelo do elétron que expande, como uma tentativa de conciliar as observações de Rayleigh e Jeans sobre o átomo, numa forma de responder a inúmeras questões que surgiam naquela época e que não encontravam uma resposta satisfatória nas propostas de Thomson,  Jeans e Rayleigh. Ernest Rutherford (1871 – 1937)

Físico que dedicou sua vida ao estudo dos fenômenos radioativos e da física nuclear, foi um dos precursores do átomo nuclear, junto com Nagaoka. Ingressou no ano de 1889 com uma bolsa de estudos no Canterbury College em Christchurch. Ganhou uma bolsa de estudos para estudar na Inglaterra, onde veio a trabalhar com J. J. Thomson no laboratório de Cavendish e após se destacar em sua pesquisa, foi convidado pelo próprio Thomson a estudar Raios X e eletricidade, vindo a publicar com Thomson na Phil. Magazine. Após este tempo de estudo foi para o Canadá, por indicação de Thomson, estudar com F. Soddy, onde ganhou um No bel pelos estudos sobre sobre radioati radioatividad vidade. e. Após algun algunss anos de estud estudos, os, Ruther Rutherford ford retorna para Manchester e começa a inuenciar toda uma geração de jovens físicos como Marsden, Darwin, Geiger, Bohr, Chadwick, dentre outros (LOPES, 2009). Como relatam Connor e Turner (1965), Rutherford dedica-se ao estudo das partículas radioativas e seu espalhamento mediante o bombardeamento destas em lâminas metálicas, trabalho desenvolvido em conjunto de Geiger e posteriormente com Marsden. Neste trabalho zeram vários disparos de partículas alfa e beta sobre lâminas metálicas buscando explicar os desvios sofridos por estas partículas. Lembrando que se deu a opção pelo estudo de partículas alfa, devido aos melhores resultados obtidos em inúmeros testes. Geiger e Marsden, juntos, estudaram e observaram os espalhamentos de partículas alfa em vários metais vindo a publicarem um artigo na Royal Society. Após este trabalho Geiger publica outro artigo explicando a preferência por usar somente o ouro nos experimentos, devido ao fato deste metal ser mais fácil de trabalhar e também por possuir os melhores coecientes de espalhamento. De posse dos resultados de Geiger, Rutherford tenta elucidar uma hipótese para o ocorrido, tentando usar o modelo proposto por Thomson que se mostra inconsistente com os ângulos de deexão das partículas alfa. Nesse sentido, Rutherford trabalha em levar em conta que o átomo teria uma região central e periférica. Lopes (2009) argumenta que Rutherford nunca localizou as cargas no átomo, explicou queocorrer o sinalatração. de cargas doRutherford núcleo e da região seu à sua volta teria somente de ser diferente para Logo, defendia modelo

como sendo um centro de carga concentrada, rodeado por uma distribuição esférica uniforme de cargas opostas de igual valor. Vale lembrar que, segundo Lopes 135

 

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(2009), este estudo não despertou interesse na comunidade, pois os pesquisadores da época estavam preocupados em elucidar os elétrons. Alguns anos após este trabalho é que é dada a devida atenção a esta e sta questão, através dos estudos de Niels Bohr e outros físicos. John William Nicholson (1881 – 1955)

Astroquímico e estudioso de física de partículas, também atuou no laboratório de Cavendish e posteriormente em Oxford, estudando os espectros da coroa solar. Propôs um modelo atômico baseado em seus estudos publicados em três artigos em 1911, os quais faziam menção ao estudo de espectros da coroa solar. Lopes (2009) e Conn e Tunner (1965) armam que a proposta de Nicholson tinha relação com o seu estudo de movimentos de elétrons. Assim, Nicholson supôs um núcleo maciço e elétrons dispostos em órbitas, não tendo como referência a proposta de Rutherford e sim usando como base de suas investigações o modelo de Thomson e, possivelmente, o de Nagaoka. “Nicholson foi o primeiro a usar este modelo com sucesso para prever linhas espectrais de corpos celestes antes mesmo destas serem observadas” (LOPES, 2009, p. 115). Nicholson atribuía a emissões do espectro a fenômenos de conguração eletrônica dos átomos. Para chegar a estes resultados usou as idéias de Planck, as quais, segundo Lopes (2009), abriram caminho para outros estudos e para o desenvolvimento das bases da teoria quântica na Inglaterra. No seu modelo de átomo, Nicholson levou em conta quatro substâncias primordiais para a sua formação: 1. Coronium: átomo com um anel com dois elétrons girando ao redor de um núcleo positivo. 2. Hidrogênio245: átomo com um centro e um anel com três elétrons girando ao seu redor. 3. Nebulium: átomo contendo um único anel com quatro elétrons girando ao redor de um núcleo positivo. 4. Protouorine: átomo com um único anel com cinco elétrons girando ao redor de um núcleo positivo. E que a união dessas quatro substâncias desenvolveria todos os átomos dos elementos que atualmente conhecemos. Com esta proposta, Nicholson evitava os problemas que Scho apontou no modelo proposto por Nagaoka, do ponto de vista da estabilidade. E ainda usando sua proposta para calcular dois átomos hipotéticos contendo o Nebulium e Protoorine, de acordo com Connor e Turner (1965). Posteriormente, como lembra Lopes (2009), este e outros trabalhos de Nicholson serviram de base para os cálculos donova átomo de Bohr, mostrando sua importância no estabelecimento das bases de uma física e no desenvolvimento da teoria atômica.

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Niels Bohr (1885 – 1962)

Graduo-se e pós-graduou-se em Copenhague. No seu trabalho de mestrado e de doutorado fez estudos teóricos sobre o comportamento do elétron, estudo este que não era explicado quantitativamente. Desde 1911, época em que termina seus estudos de Doutorado, Bohr já estava convencido que era necessária uma ruptura da física clássica para uma nova física. Após o termino do seu doutorado foi para Cavendish na tentativa de trabalhar com J. J. Thomson, pesquisador que ele muito admirava. Porém, em um jantar Bohr leva um artigo de Thomson e começa a apontar possíveis erros sem explicação, o que acaba por tumultuar a sua relação com Thomson. Após este episódio, Bohr vai trabalhar com Rutherford nas pesquisas com partículas alfa, trabalhando na variação de energia dessas partículas. Com os dados deste estudo, Bohr consegue desenvolver as bases do seu famoso artigo de 1913 (LOPES, 2009). No ano de 1913, de acordo com Lopes (2009), Bohr publica “sobre a constituição de átomos e moléculas”, em que apresenta em três três artigos as bases de sua teoria atômica, inspirada nos trabalhos anteriores de Rutherford. No primeiro artigo Bohr traz os modelos de Thomson e Rutherford fazendo várias ponderações sobre o cálculo, analisando como seu modelo era instável frente à dinâmica clássica. Com esta trilogia de artigos, Bohr faz alusão a uma nova possibilidade, na qual a física clássica não daria conta de explicar certos fenômenos, necessitando de uma nova física. De acordo com BOHR (1963), quem sugere que Niels Bohr publique uma trilogia é Rutherford, depois de ler uma carta com uma cópia do artigo original, sugerindo uma simplicação de cálculos, ideias e conclusões, para se adequar a forma britânica de publicação. Em julho de 1913, época que ocorre a publicação de sua trilogia, Bohr se encontrava em Copenhague e tinha uma estreita relação de amizade e comunicação com Rutherford, que lia todos os seus estratos de trabalhos com o átomo, emitindo suas opiniões. Segundo Lopes (2009), Bohr também tem contato com os trabalhos de Nicholson que o ajudam a compreender a empregabilidade de cálculos que foram à base de seu modelo atômico, mesmo seguindo um caminho completamente diferente do de Nicholson no uso da Constante de Planck (h). Com base no modelo proposto por Bohr o átomo tem, como defendido por Rutherford, um núcleo central pequeno que concentra toda a massa do átomo, este núcleo é positivo. E ao seu redor há um número de elétrons fazendo movimento circulares. Na Parte II de seu artigo, nos pressupostos gerais, Bohr deixa claro essa decisão tomada de partir do modelo de Rutherford para propor seu modelo: Seguindo a teoria de Rutherford, supomos que os átomos dos elementos são formados por um núcleo carregado positivamente positivamente rodeado por um enxame de elétrons. No núcleo está concentrada a parte essencial da massa do átomo, sendo as suas dimensões lineares extremamente pequenas em comparação com as distâncias entre os elétrons que o ro-

deiam. (...) Postularemos que os elétrons estão dispostos em intervalos angulares iguais, rodando sobre anéis coaxiais em torno do núcleo. Com o m de determinar a frequência e dimensões dos anéis empre137

 

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garemos a hipótese principal do primeiro artigo, ou seja: que, no estado permanente de um átomo, o momento angular de cada elétron em torno do centro da sua órbita é igual ao valor universal h/2B, sendo h a constante de Planck (BORH, (BORH, 1963, p 133 – 135).

Através do trabalho de Bohr (1963), entende-se que os átomos possuem um núcleo denso e positivo que representa a maior parte do peso do átomo e que à sua volta há Planck elétrons(h). que descrevem órbitasque circulares de acordo com o cálculo constante de Ainda vale lembrar estes dados são postulados, poisda naquele momento a física ainda estava no paradigma clássico, necessitando uma mudança para um novo paradigma, o quântico. Com base nesta estrutura, Bohr estabeleceu que as emissões em séries de espectros seriam em decorrência da mudança e movimentos de elétrons de camadas mais externas para mais internas, seguindo um conjunto de regras postuladas ao nal da trilogia de 1913: “Para se aplicarem os resultados obtidos por Planck é, portanto, necessário introduzir novas hipóteses sobre a emissão e absorção de radiação por um sistema atômico” (BOHR, 1963, p. 195). Estas cinco hipóteses seriam com base, de acordo com Bohr (1963), no movimento e organização dos elétrons ao redor do núcleo. E de como ocorreriam a absorçãoDe e a acordo liberação de as energia gerarpresentes espectros no luminosos dos de elementos químicos. com cartaspara de Bohr compendio 1963, a repercussão de sua teoria foi muito grande gerando questionamentos vindos de pesquisadores de todas as partes do mundo, dentre estes destaco A. Sommerfeld que se mostrou mais participativo em debates teóricos, propondo cálculos para o modelo atômico de Bohr, bem como propondo que Bohr o usasse para problemas físicos já conhecidos como o do efeito Zeeman, dentre outros: Agradeço-lhe muito o envio do seu interessantíssimo trabalho, que eu já estudara no Philosophical Magazine. O problema de exprimir a constante de Rydberg-Ri mediante a constante h de Planck desde há muito que me traz suspenso. Há alguns anos, falei nele a Debye. Conquanto eu seja ainda um pouco céptico perante os modelos atômicos em sem dúvida nos domínios constante muito trabalho geral, a fazer.háAliás, a estimativa numéricadaquela efetuada com o novo valor de h=6,4x10-27 é ainda melhor. Aplicou o seu modelo atômico ao efeito de Zeeman? Gostaria de tratar desse problema. Talvez possa em breve saber mais sobre os planos por intermédio de Rutherford, que espero ver em outubro (BOHR, 1963, 88).

Assim, pode-se entender como Bohr, com sua trilogia de artigos, conduziu a uma signicativa mudança na forma de pensar sobre a estrutura atômica, abrindo caminho a uma nova física que viria se instaurar anos mais tarde. Considerações Finais

Neste trabalho um recorte da teoria com atômica, que grupos de acordo com Lopes (2009) é umapresentou-se episódio histórico rico e complexo diversos de

pesquisadores analisando a constituição da matéria. Com base em Lopes (1990), Mortimer (1988), Niaz (1998) e Quintanilla et al (2008), os livros didáticos de química, geralmente, recortam esse episódio histórico, apresentando os modelos sem 138

 

TÓPICO 2 | MODELOS ATÔMICOS

fazer referência ao percurso histórico da construção destes. Lembrando que, segundo Niaz (1998), a maioria dos livros didáticos ignoram o fato que o progresso da ciência envolve a competição entre vários grupos e conitos entre estes, passando uma imagem de ciência linear, na qual um modelo atômico substitui o outro, quando na verdade estes competiram e foram postos à prova por toda uma comunidade de pesquisadores. Sendo assim, muitas vezes o livro didático apresenta somente o produto, não apresentando as reais idas e vindas da construção de um determinado modelo. Nesse sentido, entende-se que, de acordo com Mahews (1995), a abordagem histórica e losóca da ciência no processo de construção dos modelos atômicos, pode vir a se tornar um potencializador da aprendizagem, contribuindo para a compreensão de que a ciência é uma construção humana, provisória e não linear. Sendo assim, este trabalho pode vir a subsidiar a prática de professores que querem trazer esta compreensão dos processos de construção dos modelos atômicos, contrapondo-se à história simplista que geralmente é veiculada por vários livros didáticos destinados ao Ensino Básico e ao Ensino Superior. FONTE: . Acesso em: 12 set. 2019.

139

 

RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você aprendeu que:

• Espectros atômicos ssão ão espectros de raias. raias. • Um dos espectros atômicos mais apreciados, entre outros, dada a sua magnitude em ramos como mecânica quântica, física de plasmas, astrofísica, astronomia e cosmologia, é o espectro do hidrogênio. • Quando a estrutura na é ignorada, os comprimentos de onda para os quais vericam-se amplitudes não nulas ou negligenciáveis (radiação espúria) no espectro do hidrogênio atômico são determináveis por uma relação matemática empírica conhecida como fórmula de Rydberg: • A investigação do átomo de hidrogênio é de subst substancial ancial interesse para o conhecimento da descrição morfologiamatemática da matériaprofunda por ser esse o singular átomo para o qual se forma uma e precisa • A solução da Equação de Schrödinger, sujeita ao potencial de interação couloumbiano adequado ao átomo, fornece por solução autoestados de energia descritos por autofunções e autovalores dos quais se derivam conclusões lógicas em plenitude condizentes com a estrutura espectral e demais dados empiricamente obtidos para o elemento. • O modelo atômico, ou modelo atómico de Rutherford, é um modelo atômico exibido pelo pesquisador Ernest Rutherford. • Para montar sua teoria, analisou resultados de seu experimento que cou conhecido comoRutherford "experiência de Rutherford". • Na física atômica, o átomo de Bohr é um ssistema istema que representa o átomo como um núcleo pequeno e carregado positivamente rodeado por elétrons em órbita circular.

140

 

AUTOATIVIDADE 1 Mostre que v‘= v e b' = b. FONTE: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. p. 129. Disponível em: http://bit.ly/2U66b9j. Acesso em: 10 set. 2019

2 Calcule R, a distância de maior aproximação da partícula ao centro do núcleo (a origem na Figura 13). A coordenada radial r será igual a R quando o ângulo polar for ϕ = (p − θ ) / 2  Substituindo esse ângulo em: 1

1 D = senϕ+ 2 (cosϕ -1) r b 2b

obtemos

1  p  D   p    = sen  -θ  + 2 cos  -θ   -1  R b  2  2b   2   1

FONTE: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. p. 129-130. 129-13 0. Disponível em: https://www.academia.edu https://www.academia.edu/11688163/Fisica /11688163/Fisica_Quantica_-_Eisber _Quantica_-_Eisberg_and_ g_and_ Resnick. Acesso em: 10 set. 2019

3 Calcule a energia de ligação do átomo de hidrogênio (a energia que liga o elétron ao núcleo) a partir de  E=-

mZ 2 e4

1

(4p  ∈ ) 2h n 2

2

2

n = 1, 2, 3,...

FONTE: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. p. 141-142. 141 -142. Disponível em: https://www.academia.edu https://www.academia.edu/11688163/Fisica /11688163/Fisica_Quantica_-_Eisber _Quantica_-_Eisberg_and_ g_and_ Resnick. Acesso em: 10 set. 2019

4 Estimar a temperatura de um gás contendo átomos de hidrogênio para o qual serão observadas linhas da série de Balmer para o espectro de absorção. FONTE: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. p. 145. Disponível em: https://www.academia.edu/11688163/Fisica_Quantica_-_Eisberg_and_Resnick. Acesso em: 10 set. 2019

141  

142

 

TÓPICO 3

UNIDADE 2

PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS 1 INTRODUÇÃO No Tópico 2 foi discutido sobre a física atômica. Ao longo de sua carreira, Einstein realizou inúmeras contribuições para a física atômica, mas seu trabalho combinado com outro físico, N. Bose, foi de extrema relevância para criar novas perspectivas para a física atômica. A chamada condensação de Bose-Einstein, relevante para vários campos das ciências. A condensação de Bose-Einstein, ainda é muito nova do ponto de vista experimental para que possamos po ssamos saber que novas superpropriedades ela deverá nos revelar. Por essa razão, este tópico é um dos mais importantes para os próximos anos e, sem dúvida, constituiu-se numa das maiores perspectivas de avanços para o campo da física atômica. Outro campo de grande perspectiva é o de entender como esses átomos, nesse regime quântico, interagem formando moléculas. Em 1924, um aluno francês de pós-graduação, Louis de Broglie, sugeriu em sua apresentação de doutorado que a dualidade onda-partícula, até então certicado apenas no caso das ondas eletromagnéticas, era igualmente uma propriedade da matéria e em particular dos elétrons. Esta sugestão era altamente especulativa, já que não havia na época nenhum indício experimental do caráter ondulatório dos elétrons ou de qualquer outra partícula. Como o novo pesquisador teria chegado a uma ideia visivelmente tão estranha? Na verdade, tratava-se de um “lampejo", similar à “ideia fantástica" de Einstein que o levou ao princípio de equivalência (TIPLER, LLEWELL LLEWELLYIN, YIN, 2006).  TA  O  N

Nas palavras do próprio Broglie (1924 apud apud TIPLER;  TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 128): Depois da Primeira Guerra Mundial, pensei muito a respeito da teoria dos quanta e do dualismo onda-partícula... Foi então que tive uma súbita inspiração. inspiração. O dualismo onda-partícula de Einstein era um fenômeno absolutamente geral, que se estendia a toda a natureza.

143

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

“Como o universo é composto unicamente de matéria e radiação, a hipótese de Broglie é um pressuposto fundamental à perspectiva da similitude da natureza” (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006, p. 128). leitura!

Acompanhe posteriormente uma análise sobre a hipótese de Broglie. Boa

2 A HIPÓTESE DE BROGLIE Neste tópico vamos discutir sobre as propriedades ondulatórias das partículas. Enm, você, acadêmico, deve se perguntar o que a hipótese de Broglie tem a ver com isso? Em mecânica quântica, uma onda de matéria, ou onda de Broglie, é a onda (dualidade onda-partícula) de matéria. As relações de Broglie mostram que o comprimento de onda é inversamente proporcional ao momento linear da partícula, e que a frequência é diretamente proporcional à energia cinética da partícula. Um aspecto que chamou a atenção de Broglie, foi o fato de que as regras de quantização envolviam números inteiros. Ora, sabia-se, desde muito tempo, que os números inteiros eram fundamentais em todos os ramos da física onde fenômenos ondulatórios estavam presentes: elasticidade, acústica e ótica. Eles são necessários para explicar a existência de ondas estacionárias, de interferência e de ressonância. Seria, portanto, permitido pensar que a interpretação das condições de quantização conduziria à introdução de um aspecto ondulatório no comportamento dos elétrons atômicos. Dever-se-ia fazer um esforço para atribuir ao elétron, e mais geralmente a todos os corpúsculos, uma natureza dualística análoga àquela do fóton, para dotá-los de um aspecto ondulatório e de um aspecto corpuscular interligados pelo quantum de ação (a constante de Planck) (CHAVES, 2010, p. 61-62).

Maurice de de Broglie físico em prático francês que, desde o princípio, conrmou o ponto vista foi de um Compton analogia à natureza corpuscular da radiação. Seus testes e argumentações em relação às questões losócas da física na época deslumbraram tanto a seu irmão Louis, que este permutou de carreira, indo da história para a física. Em sua tese de doutorado, apresentada em 1924 à Faculdade de Ciência da Universidade de Paris, Louis de Broglie propôs a existência de ondas de matéria. O alcance e a originalidade de sua tese foram reconhecidos de imediato, mas, devido à aparente falta de evidência experimental, não se considerou que as ideias de Broglie tivessem alguma realidade física. Foi Albert Einstein quem observou sua importância e validez, e por sua vez, apelou a importância de outros físicos para elas. Cinco anos mais tarde, de Broglie obteve o Prêmio Nobel em Física, tendo estado suas ideias dramaticamente conrmadas por experimentações (EISBERG; RESNICK, 1994).

A teoria de Broglie era de que o conduta dual, isto é, onda-partícula da radiação também se usava à matéria. Então, como um fóton tem confrontada a ele uma onda luminosa que comanda seu movimento, outrossim uma partícula 144

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

material (por exemplo, um elétron) tem congruente a ela uma onda de matéria que comanda seu movimento. Como o universo é inteiramente composto por matéria e radiação, a sugestão de Broglie é essencialmente uma armação a respeito de uma grande simetria na natureza (EISBERG; RESNICK, 1994). De fato, ele sugeriu que as condições ondulatórias da matéria fossem pertinentes com seus aspectos corpusculares justamente da mesma forma quantitativa com que essas condições são pautadas para a radiação. De acordo com de Broglie, tanto para a matéria como para a radiação, a energia total E está concernente à frequência v da onda concatenada ao seu movimento pela equação:

 E=hv

(2.56)

O momento p é referente com o comprimento de onda λ da onda correlacionada pela equação:

 p=h/ l 

(2.57)

Agora, convicções próprias a partículas, energia E e momento p estão pertinentes por meio da constante de Planck h aos conceitos respectivos a ondas, frequência v e comprimento de onda λ (EISBERG; RESNICK, 1994).

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

A equação (2.57), na forma a seguir, é chamada relação de Broglie:

l   = h/p  

(2.58)

Ela prevê o comprimento de onda de Broglie  λ  de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material que tem um momento p momento p..

A natureza ondulatória da propagação da luz não é descrita por experiências em ótica geométrica, porque as características determinantes dos instrumentos utilizados são bem grandes se comparadas ao comprimento de onda da luz. Se a representa uma dimensão característica de um equipamento ótico (por exemplo, a abertura de uma lente, espelho ou fenda) e λ é o comprimento de onda da λ/a →∞.atravessa luz que  Observe-se o equipamento, que a ótica geométrica estamos no implica limiteada propagação ótica geométrica de raios, quando o que

é similar a caminho das partículas clássicas (EISBERG; RESNICK, 1994). No caso, a extensão característica a de um dispositivo ótico se toma comparável ou menor do que o comprimento de onda λ da luz que o penetra, trans145

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

pomos no poder da ótica física. Neste caso, quando λ/a >1 , o ângulo de difração θ  = λ/a  é sucientemente grande para que efeitos de difração sejam facilmente observados e a natureza ondulatória da propagação da luz se evidencia. Para observar aspectos ondulatórios no movimento da matéria, portanto, precisamos de sistemas com aberturas ou obstáculos de dimensões convenientemente pequenas. Os dispositivos mais convenientes para este objetivo, aos quais os experimentadores compreendiam ascensão na época de Broglie empregavam o espaçamento entre planos adjacentes de átomos em um sólido no qual a ≅ 1  1 (EISBERG;  (EISBERG; RESNICK, 1994). Foi Elsasser quem mostrou, em 1926, que a natureza ondulatória da matéria poderia ser testada do mesmo modo que a natureza ondulatória dos raios X, havia sido, ou seja, fazendo-se com que um feixe de elétrons de energia ideal atinja sobre um sólido cristalino. Os átomos do cristal agem como um arranjo tridimensional de centros de difração para a onda eletrônica, espalhando fortemente os elétrons em certas direções características, exatamente como na difração de raios X. Esta ideia foi concordada por experimentos praticadas por Davisson e Germer nos Estados Unidos e por Thomson na Escócia (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 18 revela o equipamento de Davisson e Germer. Elétrons do lamento F são arrebatados por uma diferença dife rença de potencial variável V. V. Posteriormente, do espalhamento pelo cristal C, eles são arrecadados pelo detector D (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 18 󲀓 EQUIPAMENTO EQUIPAMENTO DE DAVISSON E GERMER

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 89)

A Figura 18 indica esquematicamente o dispositivo de Davisson e Germer. Elétrons emitidos por um lamento aquecido são acelerados por meio de 146

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

uma diferença de potencial V  e   e sobem do “canhão de elétrons” G com energia cinética eV . O feixe incide segundo a normal sobre um monocristal de níquel em C. O detector D é colocado num ângulo particular θ e para vários valores do potencial acelerador V   são são feitas leituras da intensidade do feixe espalhado (EISBERG; RESNICK, 1994). Na Figura 19 à esquerda: a corrente do coletor no detector D da Figura 19 em função da energia cinética dos elétrons incidentes, expondo um máximo de difração. A Figura 19, marca um grupo de dimensões para as quais θ = 50°. Se um valor apreciavelmente menor ou maior for usado, o máximo de difração desaparece. À direita: a corrente como função do ângulo no detector para o valor xado da energia cinética dos elétrons de 54 eV  (EISBERG;  (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 19 󲀓 CORRENTE NO COLETOR

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 90)

A Figura 19, por exemplo, indica que um feixe de elétrons estreitamente espalhado é localizado em θ = 50° V= 54deV .Broglie, A presença deste qualitativamente a legitimidade do com princípio porque ele pico só é indica capaz ser exposto como uma interferência construtiv construtivaa de ondas espalhadas pelo arranjo periódico dos átomos nos planos do cristal. O fenômeno é exatamente análogo à conhecida “reexão de Bragg” que ocorre no espalhamento de raios X  raios  X  pelos   pelos planos atômicos de um cristal. Não pode ser entendido com base no movimento clássico de partículas, mas apenas com base no movimento ondulatório. Partículas clássicas não podem exibir interferência, mas ondas sim! A interferência que ocorre aqui não é entre ondas associadas a elétrons distintos. Trata-se de interferência interfer ência entre partes diferentes da onda associada a um único elétron e létron que foi espalhado por várias regiões do cristal. Isto é, capaz de ser expresso usando-se um feixe de elétrons com uma intensidade tão baixa que os elétrons cruzam o aparato um a um; observa-se que a imagem do espalhamento dos elétrons ca similar (EISBERG; RESNICK, 1994).

Na Figura 20, ao alto: o feixe apertadamente difratado em θ=50° e V= V=54 54V V emerge do espalhamento ondulatório pela família de planos indicados isolados por um espaço d = 0,91 Â 0,91 Â (EISBERG;  (EISBERG; RESNICK, 1994). 147

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

FIGURA 20 󲀓 FEIXE INCIDENTE E FEIXE ESPALHADO

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 90)

O ângulo de Bragg é φ= 65°. Para facilitar, a refração da onda espalhada,

caso ela deixe o cristal, não é indicada. Embaixo: Derivação da relação de Bragg, mostrando apenas dois planos atômicos e dois raios dos feixes fe ixes incidentes e espalhados. Se um número inteiro de comprimentos de onda nλ se ajusta exatamente na distância 2l através das frentes de onda incidente e espalhada, medida confor148

   

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

me o raio inferior, então a parcela dos dois raios para a frente da onda espalhada encontrar-se-á em fase, e um auge de difração será atingido para o ângulo φ (EISBERG; RESNICK, 1994). Conforme: l/d =cos (90° - ϕ)=sen ϕ ,

Dispomos: 2l=2d sen ϕ ,

E logo atingimos a relação de Bragg: nλ = 2 d sen ϕ.

O total de difração de primeira classe (n = 1) é comumente mais intensivo (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 20 expõe a origem de uma reexão de Bragg, respeitando a relação de Bragg, deduzida a partir de:

nl = 2d sen ϕ 

(2.59)

Com as circunstâncias da Figura 20, pode-se exibir que o espaçamento interplanar efetivo d, atingido por espalhamento de raios X mediante o mesmo cristal, é 0,91 Â. Como θ = 50°, segue-se que: ϕ = 900 - 500/2 = 650

O comprimento de onda determinado a partir de (2.21), considerando n = 1, é: o

nl=2d se sen ϕ =2x =2x0,91 ,91 Å A x sen sen 65º= 65º= 1,6 1,65  Å

(2.60)

O comprimento de onda de Broglie para elétrons de 54 eV, achado por meio de (2.20), é:

=h/p= /p=6, 6,6x 6x10 10-34 j-s/a j-s/a,0 ,0x1 x100 -24 kg kg-m -m/s /s=1 =1,6 ,655 Å l =h

(2.61)

consonância signicante prova a relação de Broglie Esta entre λ,h e p (EISBERG; RESNICK, 1994)quantitativamente .

A largura do pico notado na Figura 19 é ainda indubitavelmente justicável, uma vez que elétrons de baixa energia não podem penetrar profundamente no 149

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

interior do cristal, de forma que somente um pequeno número de planos atômicos auxilia para a onda difratada. Portanto, o máximo da difração não é pronunciado. Todos os resultados experimentais concordavam muito bem, tanto qualitativa quanto quantitativamente, com as previsões de Broglie, e cediam sinais claros de que as partículas materiais se movem de acordo com as leis do movimento ondulatório (EISBERG; RESNICK, 1994). Em 1927, G. P. Thomson indicou a difração de feixes de elétrons ao passar por meio de lmes nos e corroborou especicadamente de modo independente, a relação de Broglie λ= h/p. Ao passo que a tentativa de Davisson-Germer é similar à de Laue para a difração de raios X (reexão em um arranjo regular de planos atômicos em um grande monocristal), a experiência de Thomson é semelhante ao método de Debye-Hull-Scherrer de difração de raios X por uma substância pulverizada (transmissão através de um agregado de cristais muito pequenos orientados ao acaso). Thomson usou elétrons de alta energia, porque são muito mais penetrantes, de forma que centenas de planos atômicos apoiam para a onda difratada. A imagem de difração sequente tem uma estrutura bem declarada (EISBERG; RESNICK, 1994). Na Figura 21, ao alto: o arranjo experimental para a difração de Debye-Scherrer de raios X ou elétrons por um material policristalino. Embaixo à esquerda: a gura de difração de Debye-Scherrer de raios X difratados por cristais de óxido de zireônio. Embaixo à direita: A gura de difração de Debye-Scherrer de elétrons difratados por cristais de ouro (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 21 󲀓 FEIXE INCIDENTE DE RAIOS X SOBRE UMA CHAPA FOTOGRÁFICA

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 91) 150

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

  Na Figura 21, apresentamos para analogia uma gura de difração de raios X e uma gura de difração de elétrons por substâncias policristalinas (substâncias nas quais um número grande de cristais microscópicos está disposto ao acaso) (EISBERG; RESNICK, 1994). É interessante notar que J. J. Thomson, que em 1897 descobriu o elétron (por ele caracterizado como uma partícula que tinha uma razão entre carga e massa denida) e recebeu o Prêmio Nobel em 1906,aera o pai de G. P. Thomson que em 1927 descobriu experimentalmente difração do elétron e recebeu (juntamente com Davisson) o Prêmio Nobel em 1937. A respeito disso, Max Jammer escreve: “Pode-se car inclinado a dizer que Thomson, o pai, recebeu o Prêmio Prêmio Nobel por ter mostrado que o elétron é uma partícula, e que Thomson, o lho, o recebeu por ter mostrado que o elétron é uma onda” (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 92).

Não somente elétrons, mas todos os objetos materiais, carregados ou não, sugerem propriedades ondulatórias em seu movimento, caso estejam sob as circunstâncias da ótica física. Por exemplo, Èstermarm, Stem e Frisch realizaram experiências de difração de feixes moleculares de hidrogênio e feixes atômicos de hélio por um cristal de uoreto de lítio; Fermi, Marshall e Zinn mostraram fenômenos de interferência interfer ência e difração para nêutrons lentos (EISBERG; RESNICK, 1994). Na Figura 22, ao alto: a gura de Laue da difração de raios X por um monocristal de cloreto de sódio. Embaixo: a gura de Laue de difração de nêutrons de um reator nuclear por um monocristal de cloreto de sódio (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 22 󲀓 FIGURA DE LAUE

FONTE: Eisberg e Resnick (1994, p. 93)

Na Figura 22 é apresentada uma imagem de difração de nêutrons difratados por um cristal de cloreto de sódio. Foi construído até mesmo um interfe-

rômetro operando com feixes de elétrons. A existência de ondas de matéria está, portanto, bem estabelecida (EISBERG; RESNICK, 1994).

151

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

É intrigante constatar que se admite considerar comprimentos de onda de Broglie relativamente grandes para lograr sinais experimentais da natureza ondulatória da matéria. Tanto para grandes como para pequenos comprimentos de onda, a matéria e a radiação difundem os dois elementos: o ondulatório e o corpuscular (EISBERG; RESNICK, 1994). Os aspectos corpusculares são salientados quando se estuda a emissão ou absorção e os aspectos ondulatórios são salientados quando se estuda o movimento através de um sistema. Mas os aspectos ondulatórios do movimento se tomam mais dicilmente observáveis quando os comprimentos de onda cam menores. Mais uma vez vemos o papel fundamental desempenhado pela constante de Planck h (EISBERG; RESNICK, 1994). Se h = 0 = 0 então em λ = h/p obteríamos sempre λ = 0. Todas as partículas materiais teriam então um comprimento de onda menor do que qualquer dimensão característica e nunca poderíamos observar efeitos de difração. Embora o valor de  de  h absolutamente não seja zero, ele é pequeno. E é exatamente pelo de ser pequeno que a existência de ondas de matéria no mundo material cafato disfarçada, pois deveríamos ter momentos muito pequenos para que obtivéssemos comprimentos de onda mensuráveis. Para partículas macroscópicas usuais, a massa é tão grande que o momento é sempre grande o suciente para que o comprimento de onda de Broglie seja muito pequeno, cando  cando além dos limites em que pode ser detectado experimentalmente e a mecânica clássica predomina. No mundo microscópico as massas das partículas materiais são tão pequenas que seus momentos são pequenos mesmo se suas velocidades são grandes (EISBERG; RESNICK, 1994).

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Por conseguinte, os comprimentos de onda de Broglie são suficientemente grandes para se valerem análogos às dimensões particulares do sistema considerado, tal como um átomo, e as propriedades ondulatórias são reconhecíveis empiricamente em seus movimentos. Mas não devemos nos esquecer que, tanto para a radiação como para a matéria, em suas interações (por exemplo, quando são detectadas), as propriedades corpusculares são preponderantes, mesmo para grandes grandes comprimentos de o onda nda (EISBERG; RESNICK, R ESNICK, 1994).

Portanto, o comportamento como ondas de partículas de momentos pequenos é análogo àquele da luz. Como, por exemplo, microscópios eletrônicos 

usam elétrons, ao invés de luz, para observar objetos muito pequenos. Dado que elétrons tipicamente tem mais momento do que fótons, seu comprimento de onda de Broglie irá ser menor, resultando em melhor resolução espacial. 152

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

Acompanhe, a seguir, um estudo sobre a dualidade onda-partícula. A ideia da dualidade teve origem em um debate sobre a natureza da luz e da matéria, que remonta ao século XVII, quando Christian Huygens e Isaac Newton propuseram teorias concorrentes para descrever a luz: a luz foi pensada tanto para consistir de ondas (Huygens) ou de partículas (Newton). A partir do trabalho de Max Planck, Albert Einstein, Louis de Broglie, Arthur Compton, Niels Bohr e muitos outros, a teoria natureza de onda cientíca (e vice-versa). atual sustenta Este fenômeno que todasfoi asvericado partículas não também somente têm para uma partículas elementares, mas também para as partículas compostas, como átomos  e até mesmo moléculas. Boa leitura!

3 A DUALIDADE PARTÍCULA-ONDA No subtópico anterior foi estudado a hipótese de Broglie. Mas anal qual é a relação entre a hipótese de Broglie com a dualidade partícula onda? Com base em análises e experiências, vericou-se que a luz apresenta comportamento ora como partícula, ora como Emapre1924, oum físico francês Louisdual: de Broglie lançou a hipótese de que,onda. se a luz senta natureza dual, uma partícula também apresentaria características ondulatórias. Broglie procurou associar a natureza dual da luz com o comportamento do elétron e armou que “a “ a todo elétron em movimento está associada uma onda característica”, postulado que princípio da dualidade ou princípio de Broglie (CARDOSO, 2019, s.p.).

A teoria de Broglie foi bastante razoável e apresentava total consistência com a teoria de Bohr. Na física clássica, a energia é carregada ou por ondas ou por partículas. Os físicos clássicos repararam ondas de água movendo energia mediante a superfície da água, ou transferindo revólver para alvo. Afenômenos partir dessas experiências, elesbalas construíram um energia modelo do ondulatório parao certos macroscópicos e um modelo corpuscular para outros, e de forma bem natural estenderam esses modelos para regiões visualmente menos acessíveis. Assim, eles explicaram a propagação do som em termos de um modelo ondulatório e pressões de gases em termos de um modelo corpuscular (teoria cinética). O caso de terem ganhado sucesso os envolveu a contar que todos os entes fossem ou partículas ou ondas. Permaneceram estando bem-sucedidos até o início do século XX com as utilidades da teoria ondulatória de Maxwell à radiação e a descoberta de partículas elementares de matéria, tais como o nêutron e o pósitron (EISBERG; RESNICK, 1994). Os físicos clássicos seguiam assim, muito despreparados para adiar que para entender acomo radiação demandaria investir a um modelo corpuscular umas circunstâncias no efeito Compton e a um modelo ondulatório ememdemais

como na difração de raios X. Talvez mais notável seja o fato de que essa mesma dualidade onda-partícula se aplica tanto à matéria quanto à radiação. A razão entre a carga e a massa do elétron e o rastro de ionização que ele deixa na matéria 153

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

(uma sequência de colisões localizadas) sugerem um modelo corpuscular, mas a difração de elétrons sugere um modelo ondulatório. Os físicos sabem agora que são compelidos a usar ambos os modelos para o mesmo ente. É bem fundamental fu ndamental descobrir, entretanto, que em qualquer medida feita somente se usa um modelo – os dois modelos não são convenientes sob as mesmas circunstâncias. "Quando o ente é localizado por algum tipo de interação, ele age como uma partícula no sentido que é localizado; caso esteja se movendo, atua como uma onda, no sentido que se notam fenômenos de interferência, notoriamente uma onda dispõe extensão, e não é descoberta (EISBERG; RESNICK, 1994). Niels Bohr sintetizou o contexto em seu princípio da complementaridade. Os modelos corpuscular e ondulatório são complementares; se uma medida prova o caráter ondulatório da radiação ou da matéria, então é impossível demonstrar a categoria corpuscular na similar medida, e vice-versa. A escolha de que modelo usar é determinada pela natureza da medida. Além disso, nossa compreensão da radiação ou da matéria está incompleta, a menos que levemos em consideração tanto as medidas que revelem os aspectos ondulatórios quanto as que revelem os aspectos corpusculares. Radiação e matéria não são meramente ondas ou unicamente partículas. Um modelo mais geral e, para a mentalidade clássica, mais complicada, é fundamental para representar seu comportamento, ainda que em circunstâncias extremas possa ser diligente um modelo ondulatório simples, ou um modelo corpuscular simples (EISBERG; RESNICK, 1994). A aliança entre os modelos corpuscular e ondulatório é feita por meio de uma perspectiva probabilística da dualidade onda-partícula. Na situação da radiação, foi Einstein quem ligou as teorias ondulatória e corpuscular e a seguir, Max Bom colocou um contexto análogo para unicar as teorias ondulatória e corpuscular da matéria (EISBERG; RESNICK, 1994). No modelo ondulatório a intensidade da radiação, I  , é correspondente a &  , no qual &2 é o valor médio, sobre um período, do quadrado do campo elétrico da onda. No modelo do fóton, ou corpuscular, a intensidade da radiação é escrita I   = Nhv , em que N  é   é o número médio de fótons por unidade de tempo que cruzam uma unidade de área perpendicular à direção de propagação. Foi Einstein quem sugeriu que &2 , que na teoria eletromagnética é correspondente à energia radiante tida em uma unidade de volume, toleraria ser exposto ex posto como um modelo do número médio de fótons por unidade de volume vo lume (EISBERG; RESNICK, 1994). 2

Lembremos que Einstein instaurou uma granulosidade para a radiação, ausentando-se a compreensão contínua de Maxwell. Isto leva a uma compreensão estatística da intensidade. Nessa compreensão uma fonte pontual de radiação emite fótons ao acaso em todas as direções. O número médio de fótons que cruza uma unidade de área vai diminuir com o aumento da distância da fonte à área. Isto se deve ao fato de que os fótons se espalham sobre uma esfera de área tanto maior quanto

mais longe eles estiverem da fonte. Como a área de uma esfera é proporcional ao quadrado de seu raio, obtemos, em média, uma lei de inverso do quadrado para a intensidade, assim como no modelo ondulatório (EISBERG; RESNICK, 1994). 154

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

No modelo ondulatório, imaginamos que ondas esféricas se espalham a partir da fonte e que a intensidade cai de forma inversamente proporcional ao quadrado da distância à fonte. Aqui, essas ondas, cuja intensidade é capaz de ser medida por &2 , podem podem ser vis vistas tas com comoo ond ondas as con condut dutora orass dos fót fótons ons;; as ond ondas as em si mes mesmas mas não têm energia — há somente fótons — no entanto, são uma grandeza de que a intensidade compreende o número médio de fótons por unidade de volume (EISBERG; RESNICK, 1994). Empregamos a palavra “média” porque os processos de emissão são de natureza estatística. Não informamos precisamente quantos fótons transpassam uma unidade de área em uma unidade de tempo, apontamos somente seu número médio; o número preciso pode oscilar no tempo e no espaço, tal como na teoria cinética dos gases há mudanças em tomo de um valor médio de muitas quantidades (EISBERG; RESNICK, 1994). Podemos denotar de forma denitiva, no entanto, que a perspectiva de que um fóton cruze uma unidade de área a 3 m de longitude da fonte é precisamente um nono da probabilidade de que um fóton corte uma unidade de área a 1 m  da fonte. Na fórmula I  = Nhv , N  é  é um valor médio e é uma medida da perspectiva de que um fóton cruze uma unidade de área em uma unidade de tempo. Se coincidirmos a expressão ondulatória à expressão corpuscular alcançaremos:  I=(1/ µ 0c )&2 =hvN 

(2.62)

De forma que &2  é proporcional a N . A interpretação de Einstein de &2   como uma medida probabilística da densidade de fótons então se toma clara. Prevemos que, tal como sucede na teoria cinética, as utuações em torno da média se usem mais observáveis a baixas intensidades do que a altas, de forma que as  baixas intensidades, intensidades, as manifestações quânticas, divirjam mais dramaticamente a compreensão contínua dos clássicos (EISBERG; RESNICK, 1994). De molde similarpara à compreensão Einstein da radiação, MaxEla Bom sugeriu uma união similar a dualidadedeonda-partícula da matéria. surgiu muito anos depois de Schroedinger ter desenvolvido sua generalização do postulado de Broglie, a chamada mecânica quântica (EISBERG; RESNICK, 1994). Tendemos concatenar mais do que unicamente comprimento de onda e frequência às ondas de matéria. Fazemos isto introduzindo uma função que representa a onda de Broglie, chamada função de onda 'P. Para partículas que se movem na direção x com um valor preciso do momento e da energia, por exemplo, a função de onda pode ser escrita como uma função senoidal simples de amplitude A, conforme:   x



Ψ(x,t) A   sen 2p   vt   l  

(2.63)

155

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

Isto é, o semelhante de:   x  -vt  l   

ε (x,t) =A sen 2p  

(2.64)

Para o campo elétrico de uma onda eletromagnética mento de onda λ, e frequência v, movimentando-se no sentidosenoidal positivodedocomprieixo x. A magnitude Ψ 2 vai para as ondas de matéria desempenhar um papel análogo ao desempenhado por &  para as ondas de radiação. Essa grandeza, a média do quadrado da função de onda para ondas de matéria, é uma medida da probabilidade de encontrar uma partícula em uma unidade de volume em um dado ponto e instante de tempo (EISBERG; RESNICK, 1994). Assim como & é uma função de espaço e do tempo, também o é Ѱ; e, como vamos ver mais tarde, assim como & satisfaz à equação de onda, também a satisfaz Ѱ (à equação de Schroedinger). A grandeza &  é uma onda (de radiação) associada a um fóton, f óton, e Ѱ é uma onda (de matéria) associada a uma partícula material (EISBERG; RESNICK, 1994). 2

De acordo com a interpretação Neil Born (1985-1962), a evolução dos eventos é determinada pelas leis da de probabilidade; a um estadotoda no espaço corresponde, uma probabilidade denida, que é dada pela onda de Broglie associada ao estado. Um processo mecânico é, portanto, acompanhado por um processo ondulatório, a onda ‘condutora`, descrita pela equação de Schroedinger, cujo signicado é o de dar a probabilidade de um curso denido do processo mecânico. Se, por exemplo, a amplitude da onda condutora for zero num certo ponto do espaço, isto signica que a probabilidade de encontrarmos o elétron nesse ponto é praticamente nula (EISBERG; RESNICK, 1994). Assim como, na interpretação de Einstein, da radiação não especicamos a localização exata de um fóton num dado instante, mas ao invés disso especicamos, por meio de &2 , a probabilidade de encontrar um fóton numa certa região num dado instante, também na interpretação de Born não especicamos a localização exata de uma partícula em um certo instante, mas em vez disso, especicamos, por meio de probabilidade de encontrar uma partícula em um dado ponto em um dado instante (EISBERG; RESNICK, 1994). Como estamos habituados a somar funções de onda “(&1+&2=&)”  para  para duas ondas eletromagnéticas superpostas, cuja intensidade resultante é dada por &2 também vamos somar funções de onda para duas ondas de matéria superpostas ( Ѱ  Ѱ1+ 1  +Ѱ 2 = Ѱ  ) ) cuja  cuja intensidade resultante é dada por Ѱ 2. Isto é, um princ  princípio ípio ddee superp superposiçã osiçãoo se aplica tanto à matéria quanto à radiação. Isto está de acordo com o fato experimental notável de que a matéria exibe propriedades de interferência e difração, um fato que não pode ser entendido com  base nas ideia ideiass d daa m mecânic ecânicaa cclássi lássica. ca. Devido ao fato de qque ue oondas ndas podem se supersuperpuser tanto construtivamente (em fase) quanto destrutivamente (fora de fase), duas

ondas podem se combinar ou para darem uma onda resultante de grande intensidade ou para se cancelarem, mas duas partículas clássicas de matéria não podem se combinar de forma a se cancelarem (EISBERG; RESNICK, 1994). 156

 

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O aluno pode conceder a lógica dessa fusão das concepções de onda e partícula, mas mesmo assim, indagar se faz essencial uma compreensão estatística ou probabilística. Foram Heisenberg e Bohr quem, em 1927, pela primeira vez revelaram quão relevantes era o conceito de probabilidade para a união das descrições ondulatória e corpuscular da matéria e radiação (EISBERG; RESNICK, 1994).

 TA  O  N

No texto acima contém trechos subtraídos do livro: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. p. 94-97. Como dica para você aprofundar seu conhecimento leia o material na íntegra. Disponível em:https://www.academia. em:https://www.academia. edu/11688163/Fisica_Quantica_-_Eisber edu/11688163 /Fisica_Quantica_-_Eisberg_and_Resnick. g_and_Resnick. Acesso em: 10 set. 2019. 2019.

Podemos concluir que: [...] a dualidade onda-partícula foi substituída por outra dualidade mais sutil e não resolvida, marcada por Roger Penrose: a dualidade entre a evolução determinista (como uma função do comprimento de onda) e evolução aleatória (colapso da função de onda) pela qual a função de onda sofre uma mudança abrupta, irreversível e não-determinística. Essa dualidade é frequentemente chamada interpretações da mecânica quântica. A maneira de conceituar o processo de medição é uma das grandes questões em aberto da mecânica quântica. A interpretação padrão é a Interpretação de Copenhague, porém, a teoria da decorrência decorrência quântica também é considerada cada vez mais pela comunidade cientíca (KENOBI, 2017, s.p.).

4 INTERPRETAÇÃO INTERPRETAÇÃO PROBABILÍSTICA DA FUNÇÃO DE ONDA

Qual a relação da partícula com a função de onda? A função de onda atua apenas como um guia para conduzir a partícula, que no fundo nunca deixa de ser exatamente isso: uma partícula. Com isso, mesmo que não haja observação ou medição, pode-se concluir que a partícula tem uma posição denida a cada instante. Discernindo Ψ =(x)  com a função de onda de Schroedinger das ondas de Broglie, a (2.65) demanda que a interpretação física de Ψ =(x)  é como uma amplitude de probabilidade, ou de acordo que: 2

2

 P (x) (x) d x=|Ψ(x)|2d x

(2.65)

É a probabilidade de encontrar a partícula entre x entre  x  e  x + dx dx (detecção  (detecção ao longo da direção  direção  x descrita acima). Essa perspectiva física foi argumentada por Max Bom em 1928 e valeu-lhe o prêmio Nobel em 1954 (NUSSENZVEIG, 1998).   157

 

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O caso de que amplitudes de probabilidade podem interceder e propagarse como ondas é bastante peculiar. A interfer interferência ência encontrada no experimento de Young com elétrons, por exemplo, é incompatível com a ideia de que o elétron tem de passar pela fenda 1 ou pela fenda 2 (NUSSENZVEIG, 1998). Para investigar isso essencialmente julguemos uma variante (altamente esquematizada) elétron passa (NUSSENZVEIG, do ensaio relatado 1998). em que vericaremos por qual das fendas o FIGURA 23 󲀓 OBSERVAÇÃO DA FENDA PELA QUAL UM ELÉTRON PASSA

FONTE: Nussenzveig (1998, p. 288)

 Para isso, iluminaremos as fendas com uma “lâmpada” L e assistiremos luz espalhada pelo elétron (Figura 23) por momento de sua passagem. Como partícula carregada, o elétron espalha a luz, e podemos vericar (usando um circuito de coincidências) se o “ash”, devido a sua passagem, provém da fenda 1 ou da fenda 2. Para devolver o reconhecimento capaz, podemos reduzir a intensidade do feixe de elétrons a um valor tão baixo que passa somente um elétron de cada vez. Por outro lado, é preciso que a luz seja abastadamente forte para que achemos veracidade de que todos os elétrons são examinados (são reunidos de “ashes”) (NUSSENZVEIG, 1998). Se concebermos a experimentação, nessas circunstâncias, investigaremos que os elétrons que apontam pela fenda 1 têm uma distribuição de probabilidade P1(x) (como seria de se esperar), e os que passam por 2 têm P . Todos os “ashes” de luz. 2 Provêm ou de 1 ou de 2; nunca se observarão “ashes” vindo ao mesmo tempo de 1

e 2 devidos à passagem de um elétron. E quanto vale P12 (x)? Como as observações estiveram feitas com as duas fendas abertas e todos os elétrons foram examinados somente agrupando-se segundo a fenda pela qual apontam consistirá em: 158

 

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 P12 (x)=|P (x) =|P1 (x)+P2 (x)

(2.66)

Ou seja, ao virmos por qual fenda o elétron passa, anulamos a interferência. Por imediato, a forma pela qual se faz a observação na escala microscópica (atômica ou subatômica) pode inuenciar completamente os resultados (NUSSENZVEIG, 1998). Na física clássica, o sistema de investigação também interfere nos resultados, mas esta perturbação pode ser levada em conta e consegue ser limitada em princípio, a um grau eventualmente pequeno (NUSSENZVEIG, 1998). No presente exemplo, a perturbação provém do espalhamento de luz pelo elétron. Não será possível também reduzir o seu efeito? Há dois parâmetros que podemos usar como controles para isso: a intensidade da luz e o seu comprimento de onda (supondo-a monocromática). Classicamente, diminuir a intensidade equivaleria a diminuir a interação com os elétrons. Entretanto, a dualidade onda-partículaatambém à luz: é formada de fótons, e reduzirdea intensidade equivale diminuirseoaplica número deela fótons incidentes por unidade tempo e de área, sem alterar a interação de cada fóton com o elétron (NUSSENZVEIG, 1998). O resultado é que diminui a probabilidade de que o elétron encontre um fóton ao passar, ou seja, a probabilidade de espalhamento torna-se < 1 (antes, supúnhamos que era = 1: havia um fóton espalhado na passagem de cada elétron) (NUSSENZVEIG, 1998). Existirá dois tipos de elétrons nas observações: os de “tipo A A”, ”, cuja detecção está correlacionada à respeito de um fóton espalhado com probabilidade  P 1  (x) para os que passam por 1 e P2(X) por 2, e os de “tipo B”, que foram detectados sem espalhamento de luz associado, de forma que não podemos dizer se passaram por 1 ou por 2 (NUSSENZVEIG, 1998). Para os elétrons de tipo A, a disposição de probabilidade segue sendo dada pela (2.66). Mas para os elétrons do tipo B, surge o termo de interferência, ou seja, só interferem as amplitudes de probabilidade relacionadas aos elétrons para os quais não se pode distinguir porque pela fenda passaram (NUSSENZVEIG, 1998). Podemos, entretanto, reduzir a perturbação correspondente ao espalhamento de luz, mantendo a sua intensidade sucientemente grande para assegurar que todos os elétrons que passam dão origem a um “ash" de luz espalhada. Basta para isso baixar a energia de cada fóton, o que, pela relação de Einstein E = hv , equ equiv ival alee a di dimi minu nuir ir   v , ou se seja ja,, au aume ment ntar ar o co comp mpri rime ment ntoo de on onda da λ da luz (NUSSENZVEIG, 1998).

Identica-se que, para λ sucientemente grande, ressurgem os resultados de interferência, mesmo com luz de intensidade superior, isto acontece quando  quando   λ é da ordem da da distância d entre as duas fendas. Mas, devido às propriedades 159

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

ondulatórias da luz (poder separador), não podemos localizar uma partícula, usando luz de comprimento de onda λ , com precisão precisão melhor do que λ. Portanto, nessa situação, não podemos mais prever se a luz espalhada provém da fenda 1  ou da fenda 2! (NUSSENZVEIG, 1998).

 N  O  TA  TA

O resultado dessa “conspiração “conspiração da Natureza” é que amplitudes de probabili probabilidade dade relacionadas as duas possibilidades diferentes (fenda 1 ou fenda 2) interferem quando quando não é possível saber qual das duas foi seguida, e não interferem quando é possível distingui-las. Caminhos indistinguíveis interferem interferem (NUSSENZVEIG, 1998).

Vemos então que, na escala quântica, o sistema de investigação pode ter uma importância decisiva no resultado visto. Segundo foi visto por Paul Dirac (1902-1984), isso concede descrever pela primeira vez na física uma escala absoluta de tamanho, em que “grande” e “pequeno” deixam de serem somente concepções relativas. A escala atômica e subatômica é pequena no sentido absoluto de que nela se encontram limitações absolutas às possibilidades de observação: neste intento, os objetos atômicos são “frágeis” e é preciso descrever de screver de que perl estão estando analisados (NUSSENZVEIG, 1998). A medida dessa escala é inserida por meio da constante de Planck h: uma ação é “grande” caso é » h, status fundamental para que nos aproximemos do nível macroscópico (NUSSENZVEIG, 1998). Conseguiríamos investigar por exemplo, por que não se assistem interferências de Young com balas de metralhadora, uma vez que estas também carecem ser descritíveis pela física quântica (NUSSENZVEIG, 1998). Acharíamos de defender para começar, que é potencial criar um feixe monoenergético de balas, todas com a similar velocidade v. Qual seria o comprimento de onda de Broglie correspondente? Se tomarmos m = 10 g e v = 500 m/s:

h 6,63x10 -34 -34 = -2 m ~ 1 , 3 x 1 0 m l = 2 mv 10 x5 x5xx10

(2.67)

De forma que as oscilações da imagem de interferência — se fosse aceitável

produzi-las — ocorreriam numa escala completamente inatingível à resolução de todo detector imaginável, estando logo inobserváveis (NUSSENZVEIG, 1998).

160

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

 S  CA  I  D

O texto acima contém trechos subtraídos do livro: NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 4: ótica, relatividade, física quântica. São Paulo: Blucher, 1998. p. 287-291. Como dica para você aprofundar seu conhecimento, leia o material na íntegra. Disponível em: http://bit.ly/34hP4D0. http://bit.ly/34hP4D0. Acesso em: 13 ago. 2019

E para que serve a interpretação probabilística da função de onda? A função de onda é a descrição mais completa possível de um sistema regido pela mecânica quântica. Se na mecânica clássica a descrição completa de um sistema consistia na tarefa de encontrar a posição e a velocidade de todas as partículas e, com esta descrição, ser possível prever todos os movimentos futuros e passados do sistema, na mecânica quântica não se pode descrever todas as grandezas desejadas com acom mesma certeza quântica, (ver Princípio da incerteza de Heisenberg). acordo a mecânica a descrição do sistema termina aoDenível da função de onda, com suas probabilidades de posição. Por isso, depois do nascimento da mecânica quântica, a ciência alcançou um patamar que encerra o contraste entre o determinismo e o indeterminismo e, sob os auspícios da ciência contemporânea, temos a função de onda, que está na fronteira entre o determinismo e o indeterminismo (MECÂNICA QUANTICA, QUANTICA, 2010, p. 44).

Acompanhe, a seguir, uma explanação sobre operadores. Bons estudos!

5 OPERADORES No subtópico anterior estudamos a função probabilística da função de onda. Qual a relação entre função probabilística da função de onda com os operadores? A função de onda é um valor complexo, apenas a sua fase relativa e a sua relativa magnitude podem ser medidas. Isso não diz nada diretamente sobre as magnitudes ou as direções das observações mensuráveis, tem de se aplicar operadores quânticos para a função de onda ψ e encontrar os seus próprios valores, que correspondem a conjuntos de possíveis resultados de medição. Um operador é um ente matemático que principia uma relação operante por meio de dois espaços vetoriais. A relação funcional que um operador indica pode ser denominado transformação linear. Os detalhes mais formais não serão apontados aqui. Interessa, por enquanto, desenvolver uma ideia mais intuitiva

do que são esses operadores. Por paradigma, examine o Espaço Euclidiano. Para cada vetor, nesse espaço, é exequível fazer uma rotação (de um certo ângulo) e descobrir de scobrir outro vetor 161

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

no mesmo espaço. Como essa rotação é uma relação funcional entre os vetores de um espaço, podemos denir um operador que realize essa transformação. Logo, dois paradigmas bem reais de operadores o peradores são os de rotação e translação.  

Na mecânica clássica, é usual descrever o movimento de uma partícula com uma função escalar do tempo. Por exemplo, imagine que vemos um vaso de or caindo de uma janela. cada informações, instante de tempo podemos calculara aposição, que altura se encontra o vaso. EmEm demais relatamos a grandeza, com um número (escalar) que varia em função do tempo. Uma natureza peculiar na mecânica quântica é o uso de operadores para congurar grandezas físicas. Ou seja, não são somente as rotações e translações que podem ser representadas por operadores. Na mecânica quântica grandezas como posição, momento linear, momento angular e energia igualmente são exi bidos por operadores. Até este objetivo já é possível vericar que a mecânica quântica desenha a natureza de modo bem obscuro. Em suma, os estados que um sistema físico pode ocupar são pornovetores estado (kets) As ou dimensões funções de físicas onda (que também sãorepresentados vetores, só que espaçodedas funções). não são representadas diretamente por escalares (como 10 m, por exemplo), mas por operadores. Para entender como essa forma abstrata de congurar a natureza fornece informações sobre experiências reais, é fundamental analisar da álgebra linear o tema de autovalor e autovetor. Portanto, podemos concluir que: Uma característica distintiva na mecânica quântica é o uso de operadores para representar grandezas físicas. Ou seja, não são somente as rotações e translações que podem ser representadas por operadores. Na mecânica quântica grandezas como posição, momento linear, momento angular e energia também são representados por operadores. Até este ponto já é possível perceber que a mecânica quântica descreve a natureza de forma bastante abstrata. Em suma, os estados que um sistema físico pode ocupar são representados por vetores de estado (kets) ou funções de onda (que também são vetores, só que no espaço das funções). As grandezas físicas não são representadas diretamente por escalares (como 10 m, por exemplo), mas por operadores (MECÂNICA QUANTICA, 2010, p. 10).

Veja agora uma análise sobre oobserváveis bserváveis e valor esperado. Boa leitura!

6 OBSERVÁVEIS E VALOR ESPERADO No subtópico anterior estudamos operadores. Qual a relação entre operadores com observáveis e valor esperado? Na física quântica, a relação entre estado 162

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

de sistema e o valor de um observável requer um pouco de álgebra linear para sua descrição. Na formulação matemática da mecânica quântica, estados são dados por vetores (mais propriamente, de raios - coleção de todos os vetores que compartilham de uma mesma direção) não nulos em um espaço de Hilbert V  (onde  (onde dois vectores são considerados para especicar o mesmo estado se, e somente se, eles são múltiplos escalares entre si) e observáveis são dados pelo operador autoadjunto em V . Entretanto, comocom indicado a seguir, nemPara todoo operador autoadjunto de a um observável signicado físico. caso de um sistema decorresponpartículas, o espaço V  consiste  consiste de funções de onda ou vectores de estado quântico.

física, e mais particularmente na física quântica, observável  é uma propriedade do estado do sistema que pode ser determinado por uma sequência de operações físicas. Nos sistemas governados pela mecânica clássica, qualquer valor observável pode ser demonstrado por uma função de valor real no conjunto  de todos os possíveis estados do sistema. Na

Que grandezas são observáveis na fís física ica quântica? “Uma grandeza que pode ser medida, como a polarização linear de um fóton numa dada direção, é observável, mas oação resultado de uma medida ser “sim” ou “não”, como numa observação observ binária. A energia denão um precisa fóton, por exemplo, é uma grandeza observável e o resultado pode ser qualquer número real ≥0. Por outro lado, é condição necessária de observabilidade que o resultado da observação seja um número real (NUSSENZVEIG, 1998). Vamo-nos limitar, por enquanto, a grandezas A grandezas  A que  que só podem tomar um número nito de valores, ou seja, tais que os resultados da observação de  A só podem ser os números reais a1 , a 2 , a 3 ,... an. Vamos supor também, de início, que existe um e um só estado quântico I e j 〉 para o qual A toma o valor a j ( j j = 1, 2, ..., n) (NUSSENZVEIG, 1998).  jk gunta: Podemos então denir como E  a observação binária que responde à per-

E jk: O valor de A no estado I e j 〉   é ak? Para ver que se trata de uma observação binária, basta notar que só há duas respostas possíveis: “sim”, se j se j = k , e “não” pa para ra j j ≠  k , e só existe um estado, I e j  para o qual a resposta é “sim” (NUSSENZVEIG, 1998). Escolhendo convenientemente as fases dos vetores de estado, a (2.68) se reduz a:

163

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

probabilidade Logo, pela regra II, se um fóton for preparado no estado I e j  a probabilidade de que a medida de A produza o resultado ak (portanto, que o fóton seja observado no estado, I ek    é:

 〉

|〈ek |e j 〉|= d jk

 

(j,k)=1,2,...,n  

(2.68)

Em que:

d  jk =1 ( j=k  ) ,= () (j

≠ k).

〈ek |e j 〉 =  d k j

(2.69)

O que signica que Ie1 〉, Ie2 〉...Ien 〉  , formam um conjunto ortonormal de n vetores de estado. Sabemos, porém, da álgebra linear, que num espaço vetorial de dimensão m , não podem existir mais de m vetores ortonormais. Vimos ttambém ambém que m = 2 para os vetores de estado associados à polarização do fóton (NUSSENZVEIG, 1998). Logo, no conjunto de estados quânticos associados à polarização do fóton, nenhuma grandeza observável (ou seja, que só dependa da polarização) pode tomar mais do que 2 valores diferentes: a dimensão do espaço dos estados representa o número máximo de valores que uma grandeza observável nesse espaço pode tomar (NUSSENZVEIG, 1998). • Exemplo: FIGURA 24 󲀓 DUPLA RETRAÇÃO

FONTE: Nussenzveig (1998, p. 299)

164

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

Quando um feixe de luz qualquer incide sobre um cristal de calcita (CaCO3) talhado de forma conveniente, dá origem a dois feixes transmitidos (feixe ordinário e feixe extraordinário), que têm polarizações lineares ortogonais (Figura 24). Nenhum material produz mais de dois feixes feixe s associados com as polarizações diferentes, o que é consistente com termos tomando n = 2 para descrever o estado quântico de polarização de um fóton f óton (NUSSENZVEIG, 1998). • Valores médios: Num estado de polarização I u 〉   qualquer do fóton, a grandeza A não tomará em geral um valor denido: isso só acontece nos estados I e j 〉   No caso geral, A tomará um de seus dois valores possíveis, a 1 , ou a2 , em cada observação e haverá probabilidades p1 e p2 dadas pela:  E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Regra II (generalizada) para cada um desses valores:

 p1= | 〈 e1 | u 〉 |2 ,p2 = | 〈 e2 | u〉 |2  

(2.70)

Se zermos um número N muito grande de observações de A no estado I u 〉  e obtivermos o resultado a1 em n 1 delas e a2 nas n restantes, com n1 + n2 = N  , as frequências relativas n1/N e n2/N  se  se aproximarão respectivamente de p 1 e p2 à medida que N for crescendo (NUSSENZVEIG, 1998). Conforme a denição usual, o valor médio (também chamado de valor esperado) de A no estado I u〉  é então a média ponderada: 2

〈 A〉 ≡ ∑ p j a j

(2.71)

 j =1

Substituindo os valores de p j pelas (2.70): 2 2

 H

j

j

 j =1 a | 〈 e | u 〉 〈 A〉 ≡ ∑

(2.72)

Voltando à denição: 165

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

* b  1 2 b

〈 a | b〉= ( a a * 1

)

2

Do produto escalar, temos: (〈 a | b〉 )* =a1b1* +a1b2* = ( b1* b2* )

( ) a1 a2

(2.73)

O que equivale a: (〈 a | b〉 )* 〈b | a 〉

(2.74)

De forma que a (2.72) se escreve: 2 j j j 〈 A〉 u = ∑  j=1 a 〈 u | e 〉 〈 e |u 〉

(2.75)

• Produto externo Vamos introduzir a nova notação 〈 a〉 〈b |   (produto externo de denida por sua atuação sobre urn ket Iu〉  qualquer: (| a〉 〈b |) | u 〉 ≡ 〈b | u 〉 | a 〉

| a〉 e 〈b | ),

(2.76)

É o produto do número 〈b | u〉   pela ket I a〉 . Logo, atuando atuando sobre um ket  Iu〉  , o resultado é outro ket: k et: | a〉 〈b |  é um operador sobre kets, e é imediato que é um operador linear

(|a〉〈b|) ( α|u〉 + b | v〉 ) = (α 〈b | u〉 + b 〈b|v  〉 )|a〉

(2.77)

Em termos das componentes: | a〉 =

( aa ) e | b >= ( bb ) 1

1

2

2

(2.78)

166

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

O produto externo está associado a uma matriz 2x2: | a〉〈b| =

( )

 a1b1* a1b2*  b b =  * *  a2b1 a2b2 

a1   * * a2 (  1 2 )

   

(2.79)

O que corresponde à relação bem conhecida entre operadores lineares e matrizes, em termos de álgebra vetorial e satisfaz a (2.76) (verique!). Voltando à (2.75), vemos então que ela pode ser reescrita como:

〈 A〉 u = 〈u|Â|u〉

(2.80)

Em que Â é o operador linear (o circunexo é a notação para operador): 2

 Â ≡ ∑ a j Π j

(2.81)

Π j ≡| e j 〉 〈e j | (j=1,2)

(2.82)

 j=1

Com:  

Acompanhe, posteriormente no texto, uma explanação sobre a representação matricial e álgebra de observáveis, bons estudos!

7 REPRESENTAÇÃO REPRESENTAÇÃO MATRICIAL E ÁLGEBRA DE OBSERVÁVEIS No subtópico anterior estudamos observáveis e valor esperado. Você, acadêmico, pode se perguntar qual é a relação entre observáveis e valores esperados com a representação matricial e álgebra de observáveis? A base para um bom entendimento da Mecânica Quântica encontra-se numa sólida compreensão de conceitos matemáticos, principalmente de Álgebra Linear. Neste subtópico abordaremos a maior parte de tais conceitos matemáticos necessários à compreensão da Mecânica Quântica. Antes de formular regras relativas a observáveis, vamos recapitular alguns resultados de álgebra linear sobre a representação de operadores lineares por matrizes e introduzir alguns desenvolvimentos da notação de Dirac (NUSSENZVEIG, 1998).

Como o espaço dos vetores de estado de depolarização do fóton tem dimensão 2, podemos introduzir nele uma base ortonormal I e1 〉 , I e  〉 , na qual: 2

167

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

〈ei |e j 〉 = d ij

(j=1,2)

(2.83)

E representar qualquer vetor de estado |c〉  como superposição dos vetores da base:

|c〉 = c1 | e1 〉 + c2 | e2 〉 c1 = 〈e1 | c〉 ,c2 = 〈e2 | c〉

(2.84)

Em que c1 e c2 são as componentes do vetor coluna:

|c〉 = ( cc12 )

(2.85)

|e1 〉 = ( 10 ) ,| e2 〉 = ( 10 )

(2.86)

Em particular:

Exemplo 1: na representação em que: cosθ  |θ 〉 =  ( sen θ  )

Corresponde ao estado de polarização linear na direção θ   ,, os estados (2.86) correspondem a θ   = 0 e θ   = p  /2  /2 , respectivamente, respectivamente, e qualquer outro estado de polarização é uma superposição destas duas polarizações ortogonais, nas quais as componentes c = cos θ   e c  = sen θ  , , pela (2.84): 1

2

c1

= 〈0 | θ 〉,

c2

 

=

p  2

θ 

Representam as amplitudes de probabilidade, no estado I θ  >, de detectar o fóton com polarização linear na direção 0 ou p  /2 respectivamente (NUSSENZVEIG, 1998). Exemplo 2: é fácil ver (verique!) que os vetores de estado de polarização circular: 1

1

1

1

| +〉 =

( i ) ,| −〉 = 2

2

( −i )

São ortogonais:

168

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

〈+ | −〉 = 0 De modo que formam outra base ortonormal para a polarização: sicamente, qualquer estado de polarização pode ser representado como superposição de polarizações circulares direita e esquerda. Em particular. cosθ  | θ 〉 = (  sen θ  ) = c1 | +〉 + c2 | −〉

Em que:

1 e-iθ  cosθ  c1 = 〈+ | θ 〉 = (1-i) ( senθ  ) = 2 2 1 eiθ  cosθ  c2 = 〈− | θ 〉 = (1 i) ( senθ  ) = 2 2 O que dá: | θ 〉

 

=

1

( ) 2 e-iθ  eiθ 

Que é a:

1 e-i | θ 〉 = ( +i 2 e  

θ  θ 

)

a multiplicidade de representações dos vetores de estado corresponde àLogo, multiplicidade de escolhas de bases possíveis, exatamente como a de escolhas de sistemas de coordenadas para vetores em três dimensões (NUSSENZVEIG, 1998). A decomposição: θ 〉

cos ( sen ) = c1 | +〉+c2 | -〉 θ  θ 

É um caso particular, para luz linearmente polarizada, da representação de um estado geral de polarização como superposição de luz circularmente po-

larizada direita com polarização circular es esquerda. querda. A interpretação quântica em 2 2 termos de fótons, porém, é que |c1|  = 1/2 = |c2l  dão as probabilidades de detectar o fóton linearmente polarizado, respectivamente, como fóton circularmente polarizado direito ou esquerdo. Fisicamente, isto pode ser realizado com o auxílio 169

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

de cristais que têm a propriedade de birrefringência circular, decompondo luz incidente sobre eles em dois feixes, um de polarização circular direita e outro de esquerda (NUSSENZVEIG, 1998). • Operador de projeção A equação a seguir: | c〉 = c1 | e1 〉 + c2 | e2 〉

(2.87)

c1 = 〈 e1 | c〉, c2 = 〈e2 | c〉 Permite escrever a identidade: | c〉 = 〈 e1 | c〉 | e1 〉 + 〈e2 | c〉 | e2 〉 

(2.88)

 

= Π 1 | c〉+Π 2 | c〉

Na qual, analogamente à (2.82): 

 

Π 1 =| e1 〉〈e1| , Π2 | e2 〉〈e2 |

(2.89)

Temos:  

Π 1 | c〉 = c j | e j 〉

(j=1,2)

(2.90)

Ou seja:  

Π 1  | c〉

(2.91)

Representa a componente do estado I c〉  associada ao estado I e j 〉  da base (por exemplo, componente do estado I θ 〉  que tem polarização I +〉 ). Diz-se que:  

 

Π 1  | c〉

(2.92)  

É a projeção de | c  〉 sobre o estado | e  j 〉 , e Π  chama-se um operador de projeção (NUSSENZVEIG, 1998) .

170

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

FIGURA 25 󲀓 PROJEÇÃO DE UM VETOR

FONTE: Nussenzveig (1998, p. 304)

Para um vetor em 3 dimensões, a Figura 25 mostra que:       1) ∈   Π 1v=(v. ∈

i

(2.93)

  ∈ É a componente de v na direção 1 obtida projetando v sobre essa direção,   o que justica o nome de operador de projeção dado a Π   j (NUSSENZVEIG, 1998). 

A (2.88) mostra que: 

 

2

Π1 + Π 2 = ∑  | e j 〉〈e j |= Π

(2.94)

 j=1

Em que que é o ope operad rador or iiden dentid tidade ade::

 Î | c > = | c > ,

(2.95)

Para qualquer vetor | c > . A relação (2.94) exprime o caráter completo da base:

| e1 >, e2 >

(2.96)

Ou seja, que qualquer vetor pode ser representado em termos dela (NUSSENZVEIG, 1998).

171

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

As (2.79) e (2.86) dão a representação matricial dos operadores de projeção e da (2.94):   1 Π1 = ( 10 ) (1 0) =    0   0 Π 2 = ( 10 ) (0 1) =  0

0 

       1 0 Π + Π = = Π  1   2   0    0 1  1  

0 

(2.97)

• Matrizes Dado um operador linear  Â a (8.50) permite escrever a identidade (NUSSENZVEIG, 1998). 2

2

i=1

i=1

 Â = ∑ | ei 〉〈 〉〈ei | Â ∑ | e j 〉〈e j | 2

2

=∑

∑

i=1

i=1

(2.98)

| ei 〉 Aij 〈 e j |

Em que:

 Aij ≡ ei | Â | e j

(2.99)

Chama-se elemento de matriz do operador  entre os estados:  

| ei 〉 e | e j 〉

(2.100)

 (para i = j, são os elementos diagonais)

Temos, por exemplo:

  0 1  0 0

| e1 〉 e2 | = ( 10 ) (0 1) = 

(2.101)

Matriz em que só o elemento 12 é ≠ 0 ( e = 1 )  Logo, a (2.99) permite interpretar Aij como o, elemento (ij) de uma matriz que representa o operador c1 c2

˃

 , da mesma forma que (

) representa I c

:

   A A   Â =  Aij =  11 12   A21 A22 

(2.102)

172

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

Usando a (2.98), vemos que, para qualquer vetor de estado I c >.: | c' 〉 ≡ Â | c〉 =

2

∑A

ij

e j | c | ei 〉 =

 j=1

2

∑Ac

ij j

| ei 〉

(2.103)

i, j=1

O que equivale a: '  i

| c  =

2

∑A

ij

ci

(2.104)

 j=1

Que é o resultado da aplicação da matriz segundo a regra do produto de matrizes:

 Aij

ao vetor coluna

 A 11 A12   c1   A11 c1 + A12 c2   Â | c〉 =   =    A A A c + A c  21 22   c2   21 1 22 2

( cc ) 1

2

(2.105)  

Analogamente, aplicando sucessivamente dois operadores lineares  B  e   a um vetor I c〉 , o resultado equivale equivale à regra do produto:       

2

( AB )ij =∑ Aik

Bkj

(2.106)

k=1

• Regra para observáveis Voltando agora a:  

( A)u = u|Â|u

(2.107)

Voltando agora a (2.107), que dá o valor médio (esperado) de um observável A num estado quântico de polarização arbitrário, vemos que ele é o elemento de matriz diagonal de um operador linear  associado a A, dado pela:

Assim temos:

( A)u = u|Â|u

(2.108)

173    

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

Como o valor médio de uma grandeza observável é necessariamente um número real, devemos ter: (2.109) O que implica: (2.110) E leva à regra (NUSSENZVEIG, 1998).

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

“Regra Ill a: Uma grandeza observável A é representada por um operador hermiteano Â" (NUSSENZVEIG, 1998, p. 308).

Anteriormente, Â foi representado em termos dos dois valores possíveis que pode tomar a1 e a2 , e dos vet vetore oress d dee eesta stado do (ún (único icos) s) I e I a eeles les associ associado ados, s, por: por:  

(2.111) Em que, como vimos,

 

Formam uma base ortonormal, e Π  j são os operadores de projeção sobre os vetores da base. A (2.111) dá, como:

(2.112) 174

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

O que se exprime dizendo que AUTOVALOR ai. Isso leva às regras:

é um AUTOVETOR de Â associado ao

 N  T  E  TA  R  O  P  M  I

Regra Ill b: Os resultados possíveis das observações de A são os autovalores de Â. Regra III c: Os estados (de polarização) para os quais A assume com certeza (probabilidade=1) (probabilidade=1) seus valores possíveis (a1, a2) são os autovetores (também chamados de autoestados) correspondentes de  (NUSSENZVEIG, 1998, p. 308-309).

Para que essa interpretação seja aceitável, é necessário que os autovalores sejam reais. reais. Isso decorr decorree do teorema: Os autovalores de um operador hermiteano são sempre reais. (NUSSENZVEIG, 1998). A demonstração é imediata: (2.113)  Juntamente com a (2.109). Finalmente, a: a:

Dá a:  

Regra III d: O valor esperado (médio) de A num estado qualquer I u > é dado por: (2.114)

175

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

Levando em conta a:   1 Π1 = ( 10 ) (1 0 ) =    0   0 Π 2 = ( 10 ) ( 0 1) =  0

0 

    1 0   Π1 +  Π 2   = Π 0 1 0       1  

0    

Vemos também que a decomposição: 2

   

 Â ≡ ∑ a j Π  j =1

Equivale a: (2.115) Ou seja, na base de seus autoestados, a matriz  Â  é diagonal, e seus elementos diagonais são os autovalores (NUSSENZVEIG, 1998). Acompanhe, posteriormente, no texto a explicação sobre momento angular do fóton. Bons estudos!

8 MOMENTO ANGULAR DO FÓTON Que grandezas são observáveis na física física quântica? Essa não é uma questão fácil de responder, uma vez que estamos lidando com propriedades de objetos da escala atômica, em muitos casos (NUSSENZVEIG, 1998).  

Entretanto, o Princípio de Correspondência, que já vimos na formulação de Bohr, pode sugerir pelo menos candidatos a grandezas observáveis. Com efeito, um objeto macroscópico é um agregado de objetos microscópicos, e deve ser possível extrapolar ao domínio quântico determinadas propriedades dos objetos macroscópicos, como zemos para a polarização de fótons (NUSSENZVEIG, 1998).  

Isso se aplica pelo menos me nos as grandezas aditivas, cujo valor para um sistema de partículas é a resultante resultante dos valores associad associados os a cada partícula. Exemplos de tais grandezas são o momento linear, o momento angular e a energia de sistemas sem interações entre as partículas. A “posição de um sistema”, denida em termos do seu centro de massa, é também uma “variável coletiva”, combinação

das posições das partículas (NUSSENZVEIG, 1998). Vamos empregar essa ideia para procurar denir um observável quântico correspondente ao momento angular de um fóton. Na eletrodinâmica clássica,  já se verica que um feixe de luz pode transportar não só momento line linear, ar, mas 176

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

também momento angular. Da mesma forma que a radiação pode transmitir momento linear a um corpo macroscópico (pressão da radiação), pode também transmitir momento angular (NUSSENZVEIG, 1998). Isso foi vericado vericado experimentalmente por R. Beth em 1936. Fazendo luz circularmente polarizada atravessar uma lâmina de um cristal birrefringente, que modica estado polarização, eleda vericou lâmina, absorvendo energia da luz,seuentra em de rotação em torno direçãoque de apropagação da luz; a transferência transfer ência de momento angular pode ser medida (NUSSENZVEIG, 1998). Vamos ver como esse efeito pode ser descrito em termos da teoria clássica. A interação da luz com a matéria, classicamente, é descrita pela teoria da dispersão. O campo elétrico da onda, de frequência angular W  , coloca em oscilação forçada os elétrons atômicos que são tratados classicamente como osciladores harmônicos de massa m , frequência própria W o e constante de amortecimento y  associada a absorção de energia da onda onda.. Assim, tomando eixo z na direção de propagação da onda, as equações de movimento para um elétron atômico são:

(2.116)

Pela (5.37), o campo elétrico da onda circularmente polarizada é tal que: (2.117) De modo que, denindo: (2.118) As (2.116) dão: (2.119) Procuremos a solução como oscilação forçada sob a forma (2.118), em que:

(2.120) Vem, com: 177

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

(2.121)

(2.122) O que dá:

(2.123) Permitindo calcular r e d  ; devido ao amortecimento, será d    ≠  0: FIGURA 26 󲀓 OSCILAÇÃO FORÇADA DO ELÉTRON

FONTE: Nussenzveig (1998, p. 313)

A Figura 26 ilustra o resultado para luz esquerda W < W o (d > 0): o elétron descreve um movimento circular uniforme forçado, acompanhando o campo com uma defasagem cinco: o campo tem uma componente E ≠ 0 tangencial à trajetória do elétron, que produz um torque, realizando trabalho sobre ele e transferindo-lhe momento angular (NUSSENZVEIG, 1998). ᶿ

A energia transferida pela onda por unidade de tempo (potência) é dada por (para um elétron):

178

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

(2.124) (o campo B não contribui) Em que: (2.125) Mas: (2.126) Em que τ  z  é a componente do torque (exercido pela onda) ao longo do eixo de rotação, que pela dinâmica das rotações, está relacionada com a taxa dJ z/ dt de variação do momento angular do elétron em torno do eixo de rotação por: (2.127) Finalmente, as (2.125) e (2.127) dão:

dJ  dW  = ±ϖ   z dt dt  

+ par paraa

polari polariza zaçã ção o ci circ rcula ularr

esque es querda rda

- pa para ra

polar polariza izaçã ção o cir circul cular ar direi direita ta

(2.128)

Notando que o sinal de w teria de ser trocado para polarização circular direita (NUSSENZVEIG, 1998). Vamos agora usar o Princípio de Correspondência para interpretar essa relação em termos de fótons. No limite clássico, o feixe incidente é composto de um grande número N de fótons de energia E = h w , de forma que: (2.129) Em que dN / dt  pelo material, por unidade de tempo (que coloca a lâmina em rotação, no experimento de Beth). (NUSSENZVEIG, 1998).

179    

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Se admitirmos que cada fóton absorvido transfere um momento angular Jz para o elétron, ou seja, que Jz é o momento angular do fóton ao longo de sua direção de propagação z, teremos analogamente à (2.129):

dJ dN   = ± J  z dt dt   

(2.130)

Levando as (2.129) e (2.130) na (2.128), resulta:

 J  z = ±

dN  dt 

+ par paraa

pol polari arizaç zação ão cir circul cular ar esquer esquerda da

- par paraa

pol polari arizaç zação ão cir circul cular ar direita direita

 

(2.131)

Ou seja, o momento angular do fóton ao longo de sua direção de propag propagação ação é quantizado, assumindo os valores +h ou -h estes são seus autovalores (NUSSENZVEIG, 1998).

Associando o autovetor da (8.25) à polarização circular esquerda e a direita, podemos então construir o observável usando a:

Temos:

(2.132)

Representação matricial na base dos estados de polarização linear (NUSSENZVEIG, 1998):

incerteza. Acompanhe Bons estudos! posteriormente no texto a explicação sobre o princípio da

180

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

9 O PRINCÍPIO DA INCERTEZA No subtópico anterior estudamos sobre o momento angular do fóton. Você pode se perguntar qual é a relação entre momento angular do fóton com o princípio da incerteza, assunto deste subtópico? No nal da década de 1920, Heisenberg formulou o chamado princípio da incerteza, e, de acordo com esse determinar com precisão e simultaneamente a posição e oprincípio, momentonão de podemos uma partícula. O uso de considerações probabilísticas não é estranho à física clássica. Por exemplo, a mecânica estatística clássica se utiliza da teoria de probabilidades. Entretanto, na física clássica as leis básicas (tais como as leis de Newton) são determinísticas, e a análise estatística é apenas um artifício prático para tratar sistemas muito complicados. De acordo com Heisenberg e Bohr, no entanto, a interpretação proba bilíst  bil ística ica é ffund undame amenta ntall eem mm mecâ ecânic nicaa quâ quânti ntica, ca, e d dev eve-se e-se aba abando ndonar nar o d dete etermi rminis nismo. mo. Vejamos de que forma se chega a essa conclusão. (EISBERG; RESNICK, 1994).  

Na mecânica clássica, as equações de movimento de um sistema, conhecidas as forças que atuam sobre ele, podem ser resolvidas de forma a dar a posição esário o momento uma partícula para todos os valores do tempo. Tudo queinstante é neces-t saber é adeposição e o momento precisos da partícula em um certo = 0 (as condições iniciais), e assim o movimento futuro ca determinado de forma exata. Esta mecânica foi utilizada com grande sucesso no mundo macroscópico, por exemplo, na astronomia, para prever os movimentos subsequentes de objetos em função de seus movimentos iniciais. Observemos, no entanto, que no processo de realizar observações o observador interage com o sistema. Um exemplo da astronomia contemporânea é a medição precisa da posição da Lua pela reexão de radar. A posição da Lua é perturbada pela medida, mas, devido à sua grande massa, essa perturbação pode ser ignorada. Em uma escala um tanto menor, como por exemplo, uma experiência macroscópica cuidadosamente planejada na Terra, tais perturbações também são normalmente pequenas, ou ao menos controláveis, e podem ser previstas acuradamente por cálculos convenientes. Portanto, uma hipótese naturalmente feita pelos físicos clássicos foi que para sistema microscópicos, a posição e o momento de um objeto, por exemplo, um elétron, poderiam de maneira análoga ser determinados de forma precisa pelas observações. Heisenberg e Bohr questionaram essa hipótese (EISBERG; RESNICK, 1994). A situação é algo semelhante à existente e xistente quando do nascimento da teoria da relatividade. Os físicos falavam de intervalos de comprimento e intervalos de tempo, isto é, de espaço e tempo, sem se perguntarem criticamente como se poderia medi-los na realidade. Por exemplo, falavam da simultaneidade de dois eventos separados sem se perguntarem ao menos como alguém poderia sicamente estabelecer uma simultaneidade. Na realidade, Einstein mostrou que a simultaneidade não era de forma alguma um conceito absoluto, como se supunha

anteriormente, mas que eventos separados que eram simultâneos para um observador ocorriam emdois tempos diferentes para outro observador em movimento relativamente ao primeiro. A simultaneidade é um conceito relativo. Da mesma forma, então, devemos nos perguntar como na realidade medimos a posição e o momento (EISBERG; RESNICK, 1994). 181

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

Podemos determinar por meio de uma experiência real a posição e o momento no mesmo instante da matéria ou de radiação? A resposta dada pela teoria quântica é: não com precisão maior do que a que é permitida pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Este princípio, também chamado princípio da indeterminação, tem duas partes. A primeira é relativa à medida simultânea de posição e momento. Ela arma que uma experiência não pode determinar: simultaneamente p valor exato de uma componente do momento, por exemplo p exemplo p , de uma partí partícula cula  x e o valor exato da coordenada correspondente, x correspondente, x (EISBERG;  (EISBERG; RESNICK, 1994).  O  CA  N  E  T A

Em vez disso, a precisão de nossa medida está inerentemente limitada pelo processo de medida em si, de forma tal que:

D p x > h/2  

(2.133)

Em que o momento px Dépx. conhecido com uma incerteza de Dpx, e a posição x no mesmo instante com incerteza

Aqui h (leia h cortado) é um símbolo simplicado para h/2p , no qual h é a constante de Planck. Isto é: h ≡ h/2p  (2.134) Há relações correspondentes para as outras componentes do momento, ou seja,  ∆py ∆y  ≥  h/2  bem bem como para o momento angular. É importante notar que esse princípio não tem nada a ver com possíveis melhorias nos instrumentos que possam dar melhores determinações simultâneas de   p x  eideais  x.  x. O nunca que o princípio diz nos na realidade é que mesmo que tenhamos instrumentos poderemos obter resultados melhores do que ∆p x ∆x ≥ h/2  h/2.. Observemos também que está envolvido o produto de incertezas, de forma que, por exemplo, quanto mais modicarmos uma experiência para melhorarmos nossa medida me dida de de p  p x , mais abrimos mão de poder determinar x determinar x precisamente.  precisamente. Se conhecemos p  p x exatamente, nada sabemos a respeito de x de x (isto  (isto é, se ∆p x = 0, ∆x = ∞). Portanto, a restrição não é em relação à precisão com que p que  p x ou ou x  x podem ser medidas, mas em relação ao produto ∆p x ∆x numa medida simultânea de ambos (EISBERG; RESNICK, 1994).

182

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

 O  CA  N  E  T A

A segunda parte do princípio da incerteza está relacionada com a medida da energia E e do tempo t necessário à medida, como, por exemplo, o intervalo de tempo Dt durante o qual um fóton com incerteza na energia DE é emitido de um átomo. Neste caso:

D E D1>

h/2

 

(2.135)

Em que DE é a incerteza no nosso conhecimento da energia E de um sistema e Dt é o intervalo de tempo característico da rapidez com que ocorrem mudanças no sistema.

Mostraremos mais tarde que as relações de Heisenberg são consequência do postulado de Broglie e de propriedades simples comuns a todas as ondas. Como o postulado de Broglie é vericado pelas experiências que já discutimos, podemos dizer que o princípio da incerteza está baseado na experiência. Breve consideraremos consistência do princípio com outras Notemos, entretanto, que éanovamente a constante de Planck h que experiências. distingue os resultados quânticos dos clássicos (EISBERG; RESNICK, 1994). Se h ou ℏ , fossem fossem zero em (2.1 (2.133) 33) e (2 (2.135 .135),), não have haveria ria ne nenhuma nhuma limit limitação ação  básicaa sobre nossas medida  básic medidas, s, o que é o ponto de vista clássico. Mais uma vez é o fato de h ser pequeno que tira o princípio da incerteza do alcance de nossas experiências cotidianas. Isto é análogo ao que ocorre na relatividade, na qual a pequenez da razão v/c nas situações macroscópicas tira a relatividade do alcance das experiências cotidianas. Em princípio, portanto, a física clássica tem validade limitada e a sua aplicação a sistemas microscópicos conduzirá a contradições com os resultados experimentais. Se não podemos determinar x e p simultaneamente, então não podemos especicar as condições iniciais do movimento de forma exata. Assim, não podemos determinar precisamente o comportamento futuro de um sistema. Em vez de fazer previsões determinísticas, podemos armar apenas os possíveis resultados de uma observação, dando as probabilidades relativas de sua ocorrência. Como o ato de observar um sistema o perturba de uma forma que não é completamente previsível, a observação altera o movimento do sistema fazendo com que ele não possa ser perfeitamente conhecido (EISBERG; RESNICK, 1994). Vamos agora ilustrar a origem física do princípio da incerteza e para isso, inicialmente usaremos uma experiência imaginária devida a Bohr para vericar (2.133). Digamos que, queiramos medir com toda a precisão possível a posição de uma partícula “pontual”, como um elétron. Para maior precisão, usaremos um microscópio para “ver” o elétron, como é mostrado na Figura 27.

A Figura 27 mostra a experiência imaginária do microscópio de Bohr. Ao alto: o equipamento. No meio: O espalhamento de um fóton pelo elétron. Embaixo: A gura de difração da imagem do elétron vista pelo observador.

183

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

FIGURA 27 󲀓 EXPERIÊNCIA IMAGINÁRIA DO MICROSCÓPIO DE BOHR

FONTE: Eisberg; Resnick (1994, p. 99)

Para ver o elétron precisamos iluminá-lo, pois é na verdade o fóton de luz espalhado pelo elétron que é visto pelo observador. Já aqui, mesmo antes de qualquer cálculo, surge o princípio da incerteza. Só o ato de observarmos o elétron o perturba. No instante que iluminamos o elétron, ele recua devido ao efeito Compton, de uma forma que, como logo veremos não pode ser completamente determinada. Se não iluminarmos o elétron, entretanto, não seremos capazes de vvê-lo ê-lo (detectálo). Portanto, o princípio da incerteza diz respeito ao processo de medida em si

e expressa o fato de que sempre existe uma interação não determinável entre o observador e o que é observado; não podemos fazer nada para evitar a interação ou para corrigir seus efeitos. No caso considerado podemos tentar reduzir ao máximo a perturbação causada ao elétron usando uma fonte luminosa muito fraca. No caso extremo podemos considerar que é possível ver o elétron se apenas 184

 

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

um fóton, por ele espalhado, atingir a objetiva do microscópio. O momento do fóton é  p=h/λ. Este fóton pode ter sido espalhado em qualquer direção dentro da região angular 200 subtendida pela objetiva a partir da localização do elétron. É por isso que a interação não pode ser previamente calculada. Vemos que a componente   x do momento do fóton pode variar de +p sen θ  a -p sen θ e sua componente incerteza depois do espalhamento é (2.136) A lei de conservação do momento exige que o elétron receba um momento na direção x igual em módulo à variação da componente x do momento do fóton. A componente x do momento do elétron tem a mesma incerteza da componente x do momento do fóton. Observe que para reduzir ∆px  podemos aumentar o comprimento de onda da luz, ou usar um microscópio cuja objetiva subtenda um ângulo menor. Mas e quanto à coordenada x do elétron? Lembre-se de que a imagem de um objeto pontual vista através de um microscópio, não é um ponto, mas uma gura de difração; a imagem do elétron é “difusa”. O poder de resolução de um microscópio determina a precisão máxima como sendo uma medida da incerteza emnos microscópio x, uma dá: expressão bem conhecida para o poder de resolução de um D x=l /senθ º 

(2.137)

(Observe que, como sen θ ≅ θ, isto é um exemplo da relação genérica a ^ X/0 entre a dimensão característica do aparelho de difração, o comprimento de onda das ondas difratadas e o ângulo de difração). O fóton espalhado que estamos considerando deve ter vindo de algum lugar de uma região com essa largura centrada no eixo do microscópio, de forma que a incerteza há localização do elétron é ∆x. (Não podemos ter certeza do local exato de origem de cada fóton, embora após um grande número de repetições da experiência os fótons produzam ∆x  a gura de difração mostrada anteriormente.) Observe queoupara podemos usar luz com comprimentos de onda mais curtos, um diminuir microscópio cuja objetiva subtenda um ângulo maior (EISBERG; RESNICK, 1994).

Se tomarmos agora o produto das incertezas vericamos que: (2.138) O que concorda razoavelmente com o limite mínimo h/2 h/2   xado pelo princípio da incerteza. Não podemos simultaneamente tornar  ∆p x  e  ∆x  tão

pequenos quantoPor queiramos, o procedimento quecomprimento diminui um aumenta o outro. exemplo, sepois, usarmos luz de pequeno de deles onda (como raios x raios  x)) para reduzir  ∆x através de uma melhor resolução, aumentamos o recuo Compton do elétron e consequentemente  ∆p x , e vice-versa. De fato, o comprimento de onda λ e o ângulo θ subtendido pela objetiva sequer aparecem 185

 

UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À TEORIA QUÂNTICA E A SEUS PRINCÍPIOS BÁSICOS

no resultado. Na prática, uma experiência dá resultados piores do que (2.138) sugere, pois, esse resultado representa a situação mais ideal possível. No entanto, chegamos a ele a partir de fenômenos físicos perfeitamente mensuráveis, como o efeito Compton e o poder de resolução de uma lente (EISBERG; RESNICK, 1994). Este resultado não deve parecer misterioso ao estudante. Resulta diretamente da quantização da radiação. Deveremos ter no mínimo um fóton iluminando o elétron, ou então absolutamente nenhuma iluminação; e mesmo um único fóton carrega um momento p = h/λ. É esse fóton espalhado espalhado que realiza a interação necessária entre o microscópio e o elétron. Essa interação perturba a partícula de uma forma que não pode ser exatamente prevista ou controlada. Como resultado, as coordenadas e momento da partícula não podem ser completamente conhecidos após a medida. Se a física clássica fosse válida, então, como a radiação é considerada contínua em vez de granular, poderíamos reduzir a iluminação a níveis arbitrariamente pequenos e dar ao elétron um momento arbitrariamente pequeno ao mesmo tempo usando comprimentos de onda arbitrariamente pequenos para obter uma resolução “perfeita”. Em princípio não haveria nenhum limite mínimo simultâneo para a resolução e o momento transferido, e não existiria nenhum princípio de incerteza. Mas isto não pode  ∆p x ∆  ∆xx ≥ h/ ser feito; o fóton é indivisível. Novamente vemos, a partir de  h/2 2 que a constante de Planck é uma medida da menor, perturbação não controlável que distingue a física quântica da física clássica (EISBERG; RESNICK, 1994).

Vamos agora considerar (2.135), que relaciona as incertezas na energia e no tempo. Para o caso de uma partícula livre podemos deduzir (2.135) de (2.133), que relaciona posição e momento, da seguinte maneira maneira.. Considere um elétron movendo-se ao longo do eixo x com energia E = /2m. Se tem uma incerteza ∆p x , então então a incerteza em E é dada por ∆E = (px/m) (px/m) ∆ ∆p p x = v x ∆p x . Aqui v x pode ser interpretado como a velocidade de recuo ao longo de  x  x do  do elétron que é iluminado em uma medida da posição (EISBERG; RESNICK, 1994). Se o intervalo de tempo necessário para a medida é ∆t  , então a incerteza em sua posição x posição x é ∆x = v x ∆t . Combinando: Dt=Dx/v x eDE  = vx DPx  

Obtemos:

D E Dt = Dp x Dx Mas:

D p x Dx>    /2 Portanto:

D E Dt>    /2

(2.139)

Posteriormente, indicamos algumas sugestões de lmes para enriquecer o seu estudo, acompanhe! 186  

TÓPICO 3 | PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

 S  CA  I  D

Discovery Channel - Mecânica Quântica - Tudo Sobre Incerteza: neste ótimo documentário, DiscoveryQuântica, Channel conhecida explica comcomo uma linguagem simples (nãoas técnica) sobre que vem a ser a oMecânica a mais 'Dura' de todas ciências, poiso não existe nada mais complexo ou difícil (matematicamente falando) em todo o mundo da ciência do que o “Mundo Quântico” e suas leis misteriosas. Assista este documentário em: https://www. youtube.com/watch?v=UHx0MjsFiOk. Acesso em: 13 set. 2019. Dualidade Onda-partícula – Física Avançada: dualidade onda-partícula, também denominada dualidade onda-corpúsculo ou dualidade matéria-energia, constitui uma propriedade básica dos entes físicos em dimensões atômicas — e, por tal, descritos pela mecânica quântica — que consiste na capacidade dos entes físicos subatômicos de se comportarem ou terem propriedades. Aprenda mais mais sobre a dualidade dualidade onda-partícula, assistindo o seguinte documentário: https:// www.youtube.com/watch?v=Mhdj1X0H2Vc. youtube.com/watch?v=Mhdj1X0H2Vc. Acesso em: 13 set. 2019 2019.. Quem somos nós: documentário lançado em 23 de abril de 2004 e mostra como a Mecânica Quântica explica a realidade do universo no qual estamos inseridos inseridos e como isso afeta a nossa noss a vida diariamente sem nos darmos conta disso. Assista ao documentário em: https://www.youtube. com/watch?v=93b3UwHCxGM. Acesso em: 13 set. 2019.

 TA  O  N

A Física Quântica desperta em muitas pessoas interesses variados. Nascida com o século XX, bastaram algumas décadas para que influenciasse, decisivamente, a vida de todos nós, pois deu sustentação teórica à estonteante revolução tecnológica, ocorrida principalmente a partir dos anos cinquenta. Leia mais em: http://www.ihu.unisinos.br/ images/stories/cadernos/ideias/022cadernosihuideias.p images/stories/cadernos/id eias/022cadernosihuideias.pdf. df. Acesso em: 12 set. 2019. 2019.

 S  O  R  U  T  U  F F  S   O  D  U  T  S  E

O conteúdo que será abordado no decorrer do Livro Didático, na próxima unidade, será sobre a equação de Schrodinger e alguns sistemas quânticos. Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve

como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicado em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger. Schrödinger.

187

 

RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico, você aprendeu que:

• Em 1924, em sua tese de doutorado, o físico francês, Louis de Broglie, formulou uma hipótese na qual armava que toda a matéria apresenta características tanto ondulatórias como corpusculares comportando-se de um ou outro modo dependendo do experimento especíco. • Para postula postularr esta propriedade da matéria, Broglie se bas baseou eou na explicação do efeito fotoelétrico, que pouco antes havia sido apresentada por Albert Einstein sugerindo a natureza corpuscular da luz. • Para Einstein, a energia transportada pelas ondas luminosas estava quantizada, distribuída em pequenos pacotes de energia ou quantia de luz. • Albert Einstein propunha que, em determinados processos, as ondas eletromagnéticas se comportam como corpúsculos. • Broglie se perguntou se tal não poderia se dar de maneira inversa, ou seja, que uma partícula material (um corpúsculo) pudesse mostrar o mesmo comportamento que uma onda. • A dualidade onda-partícula, também denominada dualidade onda-corpúsculo ou dualidade matéria-energia, constitui uma propriedade básica dos entes físicos em dimensões atômicas — e por tal descritos pela mecânica quântica — que consiste na capacidade dos entes físicos subatômicos de se comportarem ou terem propriedades tanto de partículas como de ondas. • O módulo da função de onda ao quadrado é proporcional à probabilidade de que a partícula. • Um operador é um ente matemático que estabelece uma relação funcional funcional entre dois espaços vetoriais. • A relação funcional que um operador estabelece pode ser chamada transformação linear. • Os exemplos mais concretos de operadores são os de rotação e translação.

• Do ponto de vista teórico, a semente da ruptura entre a física quântica quântica e clássica está no emprego dos operadores.

188

 

• Na mecânica clássica, é usual descrever o movimento de uma partícula com uma função escalar do tempo. •

Na física quântica, observável é uma propriedade do estado do sistema que pode ser determinado por uma sequência de operações físicas.

• Nos sistemas governados pela mecânica clássica, qualquer valor observável pode ser demonstrado por uma função de valor real no conjunto de todos os possíveis estados do sistema. • Observáveis com signicados físicos precisam também satisfazer as leis de transformação que relacionam observações feitas por diferentes observadores em diferentes referenciais. • Em Mecânica Quântica tr trabalhamos abalhamos com val valores ores esperados (ou valores médios) das grandezas dinâmicas. O valor esperado de uma grandeza é denido como a média dos valores possíveis, ponderados pelas respectivas probabilidades de ocorrência. ocorrência. • Diferente da maioria das partículas, fótons não tem uma massa intrínseca detectável, ou "massa restante" (que se opõem opõ em a massa relativística). • Fótons estão sempre se movendo à velocidade da luz (a qual varia de acordo com o meio no qual ela viaja) em relação a todos os observadores. • A despeito da sua ausência de massa, fótons têm um momento proporcional a sua frequência (ou inversamente proporcional ao seu comprimento de onda), e seu momento pode ser transferido quando um fóton colide com a matéria (como uma bola de bilhar em movimento transfere seu momento para outra  bola). Isto é conhecido como pressão de radiação a qual deve ser algum dia usada como propulsão como um veleiro solar. • Fótons são desviados por um campo gravitacional duas vezes vezes mais que as predições da mecânica Newtoniana para uma massa viajando a velocidade da luz com o mesmo momentopredisse de um fóton. • Excitações no material tem uma dispersão nã não-linear, o-linear, isto é, seu momento não é proporcional a sua energia. Logo, estas partículas se propagam mais devagar do que a velocidade da luz no vácuo (a velocidade de propagação é a derivada da relação dispersão com seu respectivo momento). • O princípio da incerteza integra num axioma da mecânica quântica expresso em 1927 por Werner Heisenberg.

189

 

• O princípio da incerteza princípio indica um limite na precisão com que alguns pares de propriedades de uma certa partícula física, conhecidas como variáveis integrantes (tais como posição e momento linear), podem ser conhecidos. • Heisenberg propõe que em nível quântico, quanto menor for a incerteza na medida da posição de uma partícula, maior será a incerteza de seu momento linear e vice-versa.  •

O princípio da incerteza é um dos aspectos mais conhecidos da física do século XX e é comumente apresentado como um exemplo claro de como a mecânica quântica se diferencia das premissas elementares das teorias físicas clássicas.

 DA  MA  HA  C

Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.

190

 

AUTOATIVIDADE 1 (a) Qual é o comprimento de onda de um corpo de 1 g que se move com uma velocidade de 1 mm por ano? (b) Qual deveria ser a velocidade do corpo para que o comprimento de onda fosse igual a 1 cm? FONTE: . . Acesso em: 2 dez. 2019.

2 Se a energia cinétic cinéticaa de uma par partícula tícula é muito ma maior ior que a energia de repouso, podemos usar a aproximação relativística E≈pc. Use esta aproximação para computar o comprimento de onda de um elétron com uma energia de 100 MeV. FONTE: . . Acesso em: 2 dez. 2019.

191  

192

 

UNIDADE 3 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:

• • • •

entender a equação de Schrödinger em uma dimensão; entender operadores de posição e de momento momento autofunções autofunções do momento; momento; entender den densidade sidade de corrente e de probabilidade; entender as relaç relações ões de incerteza;

• • • • • • •

entender os estados estacionários; entender o potencial nulo; entender o potencial degrau; entender a barre barreira ira de potencial; entender o poço de potencial quadrado; quadrado; entender o átomo de hidrogênio; entender o spin do elétron. elétron.

PLANO DE ESTUDOS Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER TÓPICO 2 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO TÓPICO 3 – ESTRUTURA ATÔMICA  DA  MA  HA  C

Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações. 193  

194

 

UNIDADE 3

TÓPICO 1

A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 1 INTRODUÇÃO Na unidade anterior, disponibilizamos uma introdução à teoria quântica e seus princípios. A mecânica quântica é o ramo da física que estuda os objetos em escala muito pequenas e a física moderna é dominada pelos seus conceitos. Durante o século passado, o mundo físico era explicado de acordo com os princípios da mecânica clássica ou newtoniana. A partir da Unidade 3 estudaremos a equação de Schrödinger. O triunfo da teoria de Broglie ao presumir a difração de elétrons e demais partículas e o caso de que o emprego de ondas estacionárias aguravam tanger um estilo natural de quantizar o momento e a energia das partículas com massa de repouso divergente de zero direcionaram os físicos a solicitar uma teoria ondulatória para o elétron similar à teoria ondulatória da luz. Nesta teoria ondulatória do elétron, a mecânica clássica apareceria como o limite para pequenos comprimentos de onda, assim como a óptica geométrica é o limite da teoria ondulatória da luz para pequenos comprimentos de onda.

 N  O  TA  TA

A gênese da teoria correta é descrita por Felix Bloch, que estava presente na ocasião. Em uma das palestras, Schroedinger apresentou uma explicação muito clara do modo como de Broglie associava uma onda a uma partícula e a forma como ele, de Broglie, podia chegar às regras de quantização, impondo que uma órbita estacionária contivesse um número inteiro de ondas. o ndas. Quanto terminou, Debye comentou que achava aquela maneira de trabalhar quase infantil, que para lidar com ondas de forma adequada, era preciso dispor de uma função de onda.

Em 1926, Erwin Schroedinger publicou a sua popular equação de onda, que comanda a propagação das ondas de matéria, compreendendo as dos elétrons. Uns meses antes, Werner Heisenberg havia exposto uma ideia teoricamente peculiar para esclarecer os fenômenos atômicos. A teoria de Heisenberg incluía apenas grandezas mensuráveis e grandezas dinâmicas, como energia, posição e 195

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

momento, representadas por matrizes; os elementos das diagonais dessas matrizes representavam representavam os resultados resultados possíveis das medidas. Embora as teorias de Schroedinger e Heisenberg pareçam diferentes, o próprio Schroedinger mais tarde provou que são na verdade equivalentes, isto é, que uma pode ser demonstrada a partir da outra. A teoria resultante, hoje conhecida como mecânica ondulatória ou mecânica quântica foi uma das teorias mais bem-sucedidas de todos os tempos. Embora seus princípios princípios possam macroscópico, pa parecer recer estranhos ppara ara aqueles de nós, cujas experiências se limitam ao mundo e embora a matemática necessária para resolver até mesmo os problemas mais simples seja bastante sosticada, parece não haver alternativa para descrever corretamente os resultados experimentais da física atômica e da físic físicaa nuclear. Neste material, tendemos conter nosso saber à ideia de Schrödinger porque é mais claro de entender e um pouco menos obscura que a teoria de Heisenberg. Primeiramente, vamos delimitar nosso debate a questões unidimensionais. Acompanhe posteriormente no texto a explicação sobre a equação de Schrödinger em uma dimensão, bons estudos!

2 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM UMA DIMENSÃO Na unidade anterior, no último tópico, estudamos o princípio da incerteza. A incerteza entre a posição e o momento proposta por Heisenberg é uma consequência dos postulados da mecânica quântica, e não um postulado por si só. A partir deste tópioco estudaremos a equação de Schrödinger em uma dimensão (NUSSENZVEIG, 1998). Mas, enm, a equação de Schrödinger pode ser analisada em termos de uma dimensão até três dimensões. Neste subtópico, nos detemos a analisar a equação de Schrödinger em uma dimensão. Bons estudos! Vejamos uma partícula não relativística de massa m pequena a mover-se unicamente unica mente aaoo extens extensoo de uma di direção, reção, que adot adotaremos aremos como eixo O . Uma observação da partícula pode encontrá-la em qualquer ponto do eixo, ou seja, os valores possíveis do observável, “posição da partícula”, são todos os números reais, correspondendo a uma innidade contínua de valores possíveis. Como passagem mediadora mais supercial para representar essa situação, tendemos estabelecer primeiro um esboço similar partindo a reta em cortes idênticos (Figura 1), de compri com primen mento to (NU (NUSSE SSENZV NZVEIG EIG,, 199 1998). 8). FIGURA 1 – DIVISÃO DE INTERVALOS

FONTE: Nussenzveig (1998, p. 333)

196

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

 

Diremos que a partícula está no intervalo n quando: (3.1) Podemos interpretar como sendo a precisão na determinação da posição (o erro é < ). Isso leva a uma representação aproximada do vetor de estado da partícula em termos de sua posição.    .  .    .    c  c  | ϕ 〉 =   C    .    .    .         n-E 

n

(3.2)

n+1

“Como um vetor coluna de innitas componentes (innidade discreta), em que o número complexo cn , rep repre rese sent ntaa a am ampl plit itud udee d dee ppro roba babi bililida dade de de enco encont ntra rarr a pa part rtíícula no intervalo n, com a condição de normalização” (NUSSENZVEIG, 1998, p. 334): ∞

∑c

n

n = −∞

2

=1

(3.3)

Para passar à representação contínua, é necessário analisar que a proba bilidade IcnI2 , para sucientemente pequeno, deve ser proporcional ao comprimento do intervalo. Quando :   | cn |2 

lim d →0

  d   

(3.4)

É igual a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em x, centr troo d doo iint nter ervval aloo :

Logo, deve tendercorrespondente, a um limite nito, que representa amplitude de densidade de também probabilidade (NUSSENZ-a VEIG, 1998):

197

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

(3.5) Em que: (3.6) É igual à probabilidade de encontrar a partícula entre x e x + dx, com a 2 ∞ condição de normalização forma limite da ∑ cn = 1 . n =−∞

(3.7) O “valor” correspondente à (3.2) é: (3.8) E a (3.7) é o limite, para

, de: (3.9)

Analogamente, o produto escalar de dois vetores de estado | ϕ 〉 e | Ψ〉 , associados às amplitudes de densidade de probabilidade ϕ ( x )  e Ψ(x), é dado por:

(3.10) As amplitudes de densidade de probabilidade são chamadas de funções de onda. Chegamos, nalmente, às funções de onda de Schrödinger conhecendo agora a sua interpretação física (NUSSENZVEIG, 1998). Em geral, numa descrição dinâmica, a função de onda associada a uma partícula deve depender do tempo t:

(3.11) A relação de Einstein , estendida por de Broglie a uma partícula qualquer, sugere que, para uma partícula de energia E, essa dependência do tempo seja da forma: 198

 

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

(3.12) O que daria: (3.13) Mas, pela:

A equação de Schrödinger nesse caso deve ser da forma: (3.13) Para uma partícula de massa m num potencial V(x).

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Especializando esses resultados ao caso unidimensional, as (3.13) e (3.14) dariam:

(3.15) Que é a equação de Schrödinger dependente do tempo para o movimento unidimensional no potencial V (x) ( NUSSENZVEIG, 1998). 

Para o vetor de estado lução temporal:

correspondente, essa é uma equação de evo(3.16)

Análoga à equação de evolução espacial:

199

   

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Em que: (3.17) Com o operador: (3.18) Cuja atuação diretamente sobre uma função de onda (3.17) (NUSSENZVEIG, 1998).

é denida pela

H chama-se operador hamiltoniano. Embora tenhamos partido de um caso particular (estado estacionário), a (3.16) tem validade geral: para a mecânica quântica, é a lei fundamental da dinâmica (como a 2ª lei de Newton para a mecânica clássica) (NUSSENZVEIG, 1998).  

Ao contrário da 2a lei de Newton, na qual aparece ∂ 2 / ∂t 2 , a (3.16) é de 1ª , ordem em r, contendo apenas ∂ / ∂t  . Logo, basta uma condição inicial, para determinar a solução. Isso é consistente com o fato de que o vetor de estado  descreve completamente o estado quântico do sistema no instante inicial (NUSSENZVEIG, 1998).  S  CA  I  D

O texto deste subtópico contém trechos extraídos do livro: NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 4: ótica, relatividade, física quântica, São Paulo: Blucher, 2014. p. 333-337. Como dica para você aprofundar seu conhecimento leia o material na íntegra. Disponível em: http://bit.ly/2tjJaoCAcesso em: 10 set. 2019. 2019.

Portanto, podemos concluir que: Na interpretação padrão da mecânica quântica, quântica, a função de onda é a descri-

ção mais completa que pode ser dada a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente,

até mesmo todo o universo. A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial , , mas mas a form formul ulaçã açãoo orig origina inall do do próp própri rioo Schrö Schrödi dinge ngerr era era não-r não-rel elat ativ ivis ista. ta. A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica, outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman (SOBRAL; MACHADO, 2019, p. 39). 200

 

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Acompanhe, a seguir, uma explicação sobre operadores de posição e de momento. Bons estudos!

3 OPERADORES DE POSIÇÃO E DE MOMENT MOMENTO O No subtópico anterior estudamos sobre a equação de Schrödinger em uma dimensão, ou seja, a equação de onda de Schrödinger na sua forma dependente do tempo para uma partícula com energia E se movendo num potencial V em uma dimensão é: e i é a raiz quadrada de -1 o que nos mostra que a energia total do sistema é a energia cinética que também descreve o movimento de uma onda na direção x. A partir deste subtópico vamos entender sobre operadores de posição e de momento (NUSSENZVEIG, 1998). A interpretação física de | Ψ (  x,t ) |2 d x  como probabilidade de encontrar a partícula entre x e x + dx no instante t mostra que o valor esperado da posição da partícula nesse instante tem de ser denido por (NUSSENZVEIG, 1998): ∞

∫

∞

 x | Ψ | ( x,t ) |2 d x= ∞

∫Ψ

•

 

 

( x,t )  x Ψ ( x,t ) = ( x )Ψ

(3.19)

∞

Em que:  

 x

Ψ ( x,t ) = xΨ ( x,t )

Ou seja, o observável x = “posição da partícula” é um operador equivalente à multiplicação por x. Para denir a observável velocidade v   da partícula, ou, equivalentemente, seu momento m v, vamos usar o princípio de correspondência, pelo qual devemos ter (NUSSENZVEIG, 1998):

d    x  dt 

 

Ψ

= v

Num estado descrito por Ψ( x,t )  A

d



 x

Ψ

=

1

(3.21)

Ψ d   A dt

Ψ

=

1         A ,H  ih  

Ψ

 dá:

 

 x  ,H 

Ψ

(3.22)

dt

ih

Como o operador identidade comuta com qualquer outro, a (3.18) dá:

201

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

h2   ∂ 2       x,H  = 2m  x, ∂x 2  + V ( x )  x,I     



=0

.⋅.

(3.23)

2     = − h 2    x,H  ∂ x, 2      2m  ∂x 

Para calcular o comutador entre esses dois operadores, basta aplicá-lo a uma função de onda qualquer Ψ : (3.24)

Temos, pela (3.20): (3.25) De modo que a (3.24) ca: (3.26) E, levando nas (3.22) e (3.23): (3.27) O que, comparando com a (3.21), dá:  

v=E:

i  ∂ m ∂x

(3.28)

(3.29) Operador momento 202

 

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Isso mostra que a (3.18) equivale a: (3.30) Ou seja, que o hamiltoniano equivale à observável energia da partícula. Obtemos assim a interpretação física da:

d     〈H 〉  Ψ = 0 dt  A qual garante a conservação do valor esperado da energia (NUSSENZVEIG, 1998). Temos, por outro lado:

 x  ∂  Ψ = x ∂ Ψ − ∂ xΨ   = −Ψ, ∀Ψ ( )  ∂ x  ∂x ∂x

(3.31)

Ou seja: (3.32) Combinando esse resultado com a (3.29), obtemos a regra de comutação de Heisenberg: (3.33) Como a dedução da:  

É válida em geral, daí resulta:

(3.34) Que é a insigne relação de incerteza de Heisenberg para posição e mo-

203

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

mento de uma partícula. Entendemos que posição e momento (ou velocidade) de uma partícula são manifestos contraditórios não podem ter, ao mesmo tempo, valores bem claros em nenhum estado quântico. As mudanças bilaterais têm de acatar a (3.34) (NUSSENZVEIG, 1998). Acompanhe no texto a seguir uma explanação de autofunções do momento. Bons estudos!

4 AUTOFUNÇÕES DO MOMENTO No subtópico anterior estudamos sobre operadores de posição e de momento, ou seja, devemos associar um operador quântico a cada grandeza física. Observamos também que o conhecimento da função de onda nos permite calcular o valor esperado (ou valor médio) de um conjunto muito grande de medidas dessa grandeza física. A partir deste subtópico vamos entender sobre autofunções do momento (NUSSENZVEIG, 1998). Uma autofunção do operador momento (3.29) é denida por:  

  ∂Ψ    pΨ P ( x ) ≡ −i   P  = PΨ P  ( x ) ∂ x

(3.35)

Na qual p é o autovalor. A solução dessa equação diferencial éé:: (3.36) Que é uma onda plana de momento: (3.37) Em que p pode tomar todos os valores reais. A (3.37) é a relação de Broglie onda k. A (3.36) dá:

Ψ P   ( x )  |2 = | C |2 = constante De forma que

Ψ p ( x )  não

entre momento e número de (3.38)

representa realmente um estado quântico acei-

∞

tável, porque não pode ser normalizada: a integral de normalização ∫ | ϕ diverge (NUSSENZVEIG, 1998).

(   x)|2 d x=1

−∞

 

Entendemos de fato que uma onda plana é uma construção, um caso limite. Do ponto de vista do princípio de incerteza (3.34), corresponderia a   p = 0   204

 

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

o que requer , ou seja, indeterminação completa da posição: daí o valor constante da “densidade de probabilidade” (3.38) (NUSSENZVEIG, 1998). Não obstante a (3.36) prove uma “autofunção imprópria”, as ondas planas, como na ótica, consistem em uma construção excepcionalmente ecaz. Vimos para os estados de polarização que os autovetores de um observável formam uma base, ou seja, que é possível expandir qualquer vetor de estado como superposição dos autovetores (NUSSENZVEIG,1998, p. 344).

 TA  O  N

Apesar do caráter impróprio das autofunções do momento, essa propriedade propriedade se generaliza para elas: qualquer função de onda Ψ ( x )   normalizável (representando, portanto, um estado quântico aceitável) pode ser expandida em termos das (3.36): ∞

 

Ψ  ( x )=∫ c( k )ei k x d k  

(3.39)

∞

Na qual a soma sobre todos os autovalores corresponde aqui a uma integral sobre toda a reta (NUSSENZVEIG, 1998, p. 345).

“Na análise matemática, a (3.39) corresponde ao que se chama de expansão em integral de Fourier e é possível dar expressões explícitas para o cálculo dos coecientes c(k)” (NUSSENZVEIG, 1998, p. 345).  Acompanhe, posteriormente, no texto uma explanação sobre densidade de corrente e de probabilidade. Boa leitura!

5 DENSIDADE DE CORRENTE E DE PROBABILIDADE   No subtópico anterior estudamos sobre autofunções do momento. Mas, qual é a relação entre autofunções do momento com densidade de corrente de probabilidade dentro da mecânica quântica?

205

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Em uma interpretação importante da mecânica quântica chamada a interpretação de Copenhague, o módulo de elasticidade ao quadrado da função de onda, |ψ|2 , é um número real se interpretado como a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula em um dado local num determinado momento, se a posição da partícula está a ser medida. Uma vez que a função de onda é um u m valor complexo, apenas a sua fa fase se relativa e a sua relativa magnitude podem ser medidas. Isso não diz nada diretamente sobre as magnitudes ou as direções das observações mensuráveis, tem de se aplicar operadores quânticos para a função de onda ψ e encontrar os seus próprios valores, que correspondem a conjuntos de possíveis resultados de medição. m matemática, uma autofunção de um operador linear D denido em algum espaço de função é qualquer função não-zero não-z ero f naquele espaço que, quando atuada por D, é apenas multiplicada por algum fator de escala chamado autovalor. No âmbito da mecânica quântica as autofunções são chamadas de autovetores, pois estas soluções são linearmente independentes (BARBOSA, 2019, p. 3).

Vimos que há conservação global da probabilidade: d 

∞

∫

| Ψ ( x,t ) |2 dx=0

(3.40)

dt ∞

Entretanto, há também uma lei de conservação local, análoga à equação da continuidade na hidrodinâmica e à conservação local da carga elétrica (NUSSENZVEIG, 1998). Sabemos que a densidade de probabilidade p(x, t) é dada por: (3.41) (3.42) Usando a equação de Schrödinger:

Isso dá:

206

 

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Ou nalmente: (3.43) Na qual: (3.44) A (3.43) é a versão unidimensional da equação da continuidade: (3.45) E representa a lei de conservação da probabilidade.  O  CA  N  E  T A

Com efeito, integrando ambos os membros sobre um segmento de reta entre x1 e x2, vem com x1 < x2: (3.46)

Ou seja, a taxa de decréscimo, por unidade de tempo, da probabilidade de encontrar a partícula entre x1 e x2, é igual ao fluxo de probabilidade, por unidade de tempo, que sai por x2, menos aquele que entra por x1. Logo, j (x, t) dado pela (3.44) representa a corrente de probabilidade (em uma dimensão, a densidade de corrente se confunde com a corrente, porque o “fluxo” é tomado através de um ponto).

Em particular, fazendo x1 → −∞ , x2 → ∞   na (3.46), e observ observando ando que j deve tender a zero no innito para vetores de estado normalizados, recuperamos a lei de conservação global (3.40) (NUSSENZVEIG, 1998).

“o estado quântico de uma partícula é descrito por sua da função de onda,Portanto, que satisfaz à Equação de Schrödinger. O módulo ao quadrado função de onda nos dá a amplitude de probabilidade de encontrarmos a partícula numa certa posição” (DONANGELO; CAP CAPAZ, AZ, 2009a, p. 47).

207

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

6 RELAÇÕES DE INCERTEZA  

No subtópico anterior estudamos sobre a densidade de corrente de probabilidade. E, qual a relação entre uxo de probabilidade com o princípio da incerteza? Tal princípio estabelece um limite na precisão com que certos pares de propriedades de uma dada partícula física, conhecidas como variáveis complementares (tais como posição e momento linear), podem ser conhecido, ou seja, ainda que o princípio da incerteza tenha sua validade restrita ao nível subatômico, ao inserir valores como indeterminação e probabilidade no campo do experimento empírico, tal princípio constitui uma transformação epistemológica   fundamental para a ciência do século XX (FERNANDES, 2018, p. 9). As regras de comutação canônicas :

Implicam: (3.48) Ao passo que todos os demais pares de observáveis podem ser determinados conjuntamente com precisão (NUSSENZVEIG, 1998). Podemos visualizar a origem desses resultados analisando experimentos concebíveis para localização de uma partícula (NUSSENZVEIG, 1998). a) Diafragma Poderíamos tratar de localizar a posição numa dada direção x fazendo um feixe de elétrons (por exemplo) incidir perpendicularmente sobre um diafragma de largura d na direção x (Figura 2) (NUSSENZVEIG, 1998).

208

 

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

FIGURA 2 – LOCALIZAÇÃO POR UM DIAFRAGMA

FONTE: Nussenzveig (1998, p. 354)

O que levaria a uma incerteza: (3.49)

D x   d 

Na coordenada x dos elétrons elé trons que atravessam o diafragma. Entretanto, em bora se pudes pudesse se ter px = 0 antes do atravessamento, isto deixa de ser verdade depois, devido à difração (propriedades ondulatórias do elétron) (NUSSENZVEIG, 1998). Com efeito, difração por uma fenda, a abertura angular do feixe difratado é ~  ,o na qual: (3.50) O que leva a uma incerteza em

D P x 



da ordem de:

p senθ 0 

h d 

O que leva a uma incerteza em  Px da ordem de:

(3.51)

209

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Combinando as (3.49) e (3.51), resulta:

D  x DPr

~ h

(3.52)

 b) O “microscópio” de Heisenberg Poderíamos tentar localizar o elétron observando-o num (super) microscópio. Entretanto, devido à natureza ondulatória da luz, a localização não pode ser mais precisa do que o poder separador do microscópio, dado por (NUSSENZVEIG, 1998):

D  x

~

h

 scnθ   scnθ  Em que X é o comprimento de onda da luz empregada e angular da objetiva (Figura 3).

(3.53) é a abertura

FIGURA 3 – MICROSCÓPIO DE HEISENBERG

FONTE: Nussenzveig (1998, p. 355)

Por outro lado, devido à natureza corpuscular da luz, o espalhamento de

luz pelo elétron modica seu momento. Para minimiz minimizar ar a transferência transferência de momento, podemos espalhar um único fóton (NUSSENZVEIG, 1998). Mas não sabemos em que direção, dentro do ângulo θ   de abertura da ob jetiva, o fóton será espalhado. Logo, há uma u ma incerteza D  px  na componente x do momento do fóton espalhado, e spalhado, dada por (NUSSENZVEIG, 1998).: 210

 

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

D  px ~

p sen θ

=   k

 

sen θ

2p   l 

sen θ 

(3.54)

 M  P  O  R  TA  TA  N  T  E  I

Pela conservação do momento (recuo), essa é também a incerteza D  px   na componente Px do elétron. As (3.53) e (3.54) dão:

D  x DP x

~ 2p   = h

(NUSSENZVEIG, 1998)

(3.55)

Acompanhe em seguida no texto uma explanação sobre estados estacionários, bons estudos!

7 ESTADOS ESTACIONÁRIOS   Poderíamos nos perguntar qual é a relação existente entre e ntre o princípio da incerteza com estados estacionários? Diríamos que uma partícula nunca tem energia  igual à zero, pois assim ela teria uma velocidade e posição denida, contrariando o princípio da incerteza de Heisenberg. Mas muito pelo contrário, ela pode ter uma quantidade mínima de energia, chamado estado fundamental, ou seja, ela e la teria denominadas utuações de energia.

Como consequência os estados estacionários têm uma energia denida, ou seja, são autofunções do Hamiltoniano do sistema, em mecânica quântica um estado fundamental, também chamado de estado estacionário, é aquele no qual a densidade de probabilidade não varia com o tempo. Ainda que o princípio da incerteza tenha sua validade restrita ao nível subatômico, ao inserir valores como indeterminação e probabilidade no campo do experimento empírico, tal princípio constitui uma transformação epistemológica fundamental para a ciência do século XX. A partir deste subtópico vamos aprofundar nossos estudos sobre estados estacionários estacionários (NUSSENZVEIG, 1998). Um estado estacionário de energia E é descrito por uma função de onda:

211

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Ψ E ( x,t ) = ϕ E  ( x )e-iE1/h

(3.56)

Na qual:  

 H ϕ E ( x ) = Eϕ E ( x )

(3.57)

Ou seja,  E ϕϕ   é uma autofunção de energia E. O conjunto dos autovalores de H dá o espectro de energia do sistema (NUSSENZVEIG, 1998). Para o movimento num potencial unidimensional, a (3.57) ca (omitindo o índice E):

−



d 2ϕ 

2 m dx

+ v( x)ϕ = Eϕ ≡

2

 

2m

k02ϕ   

(3.58)

potencial (V = 0). A Em que ko seria o número de onda na ausência do potencial (3.58) equivale a: d 2ϕ  dx

2

+ n 2 ( x) k 02ϕ  = 0

(3.59)

Na qual: n 2 ( x ) = 1

V(x)  E 

(3.60)

É o quadrado do índice de refração na analogia óptico-mecânica. Na mecânica clássica, para uma partícula de energia total E dada:  E-V ( x ) =

1 2m

p 2 ( x)

(3.61)

É a energia cinética da partícula na posição x, contanto que seja E > V(x), V(x), caso em que a posição x é acessível ao movimento da partícula (região classicamente permitida). Conforma a mecânica clássica, num potencial V (x) como o da Figura 4, as regiões permitidas variam com a energia E da partícula (NUSSENZVEIG, 1998).

212

 

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

FIGURA 4 – PONTOS DE INVERSÃO

FONTE: Nussenzveig (1998, p. 360)

reta tod todaa é per permit mitida ida e o m movim oviment entoo Para uma energia E1 > V(x) para  , a reta é ilimitado.  Já par paraa E = E2 (g. 3.4), há um ponto xo , em que: (3.62) Que se chama ponto de inversão ou de retomo, em que  p(x)  se anula e troca de sinal: o movimento da partícula pode ser ilimitado à esquerda, mas ela não pode ultrapassar xo: se vier de - ∞ , ela inve inverte rte o sen sen-tido do movimento ao atingir  xo  e retorna a - ∞   (NUSSENZVEIG, 1998). Para uma energia E = E3 (g. 3.4), o movimento é connado à região entre os pontos de retorno x1  e x2: a partícula oscila indenidamente entre esses pontos(NUSSENZVEIG, 1998).  Já se pensar pensarmos mos do ponto de vista da óptic ópticaa ondula ondulatória tória,, numa região onde n(x) é constante, com E > V  (região  (região permitida), a solução da (3.59) é da forma: (3.63)

Representando ondas que podem propagar-se nos dois sentidos. Entretanto, se E < V  (região  (região classicamente proibida), com n2 < 0 na (3.60), podemos tomar: (3.64) E ainda existem soluções do tipo:

Que são exponencialmente atenuadas atenuadas para a direita ou para a esquerda. Encontramos soluções desse tipo, chamadas de ondas evanescentes, no estudo da reexão total (NUSSENZVEIG, 1998). 213

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Portanto, concluímos que: Os estados estacionários são extremamente importantes na descrição quântica da natureza, não só por representarem os estados que têm energia denida, mas também porque o conjunto dos autoestados do hamiltoniano, que são os estados estacionários, é completo. Isto signica que qualquer estado pode ser representado como uma combinação linear de estados estacionários (FLEMING, 2003, s.p.).

No UNI DICAS, a seguir, há algumas sugestões de lmes para enriquecer o seu estudo, acompanhe!  S  CA  I  D

• Biografia dos cientistas Erwin Schrödinger Schrödinger e Werner Heisenberg contada por Antônio Toledo Piza. Este vídeo faz parte da Coleção Imortais da Ciência, órgão de divulgação científica da Universidade Federal do Ceará. Aprenda mais sobre a Física Quântica, assistindo ao vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=zJJq388H_fQ. Acesso em: 17 de outubro de 2019. • O gato de Schrödinger Schrödinger foi um experimento mental proposto proposto pelo físico Erwin Schrödinger mais ou menos no surgimento da física quântica. A ideia é bem simples, mas muitas vezes a discussão interessante proposta por Schrödinger é deixada de lado. Aprenda mais sobre a Física Quântica com o gato de Schrödinger, assistindo ao vídeo: https://www.youtube. com/watch?v=pKEq8d_1pn4.. Acesso em: 17 de outubro de 2019. com/watch?v=pKEq8d_1pn4 • Trecho reeditado de vídeo do canal Discovery Channel Channel sobre o documentário documentário Tudo Sobre Incerteza com abordagens sobre a física quântica. Aprenda mais sobre Colapso da função de onda na mecânica quântica, assistindo ao vídeo: https://www.youtube.com/ watch?v=4UUPJSPBMBY. Acesso em: 17 de outubro de 2019.

 S  O  R  U  T  U  F F  S   O  D  U  T  S  E

O conteúdo que será abordado no decorrer do Livro Didático, no próximo tópico, será sobre a equação de Schrödinger independente do tempo. Esta equação é conhecida como Equação de Onda de Schrödinger Independente do Tempo, e é uma equação tão fundamental em Mecânica Quântica como a equação de Schrödinger Schrödinger dependente do tempo. A função de onda pode ser escrita como: A densidade de probabilidade fica: A distribuição de probabilidade é constante no tempo.

214  

TÓPICO 1 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

 S  CA  I  D

Como sugestão de leitura, a fim de aprofundar os estudos e conhecimentos, leia o texto: O Gato de Schrodinger  de  de Guilherme David Araújo: http://bit.ly/2UgIBaa. Boa leitura!

215

 

RESUMO DO TÓPICO 1 Neste tópico, você aprendeu que:

• Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante t por . • A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se: . • i é a unidade imaginária,    é a constante de Planck dividida por 2 p  , e o Hamil  toniano  H  é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. • O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é denido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema. • Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo, para uma partícula, escreve-se: • Uma característica dist distintiva intiva na mecânic mecânicaa quântica é o uso de operadores para representar grandezas físicas. Ou seja, não são somente as rotações e translações que podem ser representadas por operadores. • Na mecânica quântica, grandezas como posição, momento linear, momento angular e energia também são representados por operadores. • As grandezas físicas não ssão ão representadas diretamente por escalares escalares (como 10 m, por exemplo), mas por operadores. • No âmbito da mecânica quântica, as autofunções são chamados de autovetores, pois estas soluções são linearmente independentes. • A densidade de corrente e de probabilidade; a taxa de decr decréscimo, éscimo, por unidade de tempo, da probabilidade de encontrar a partícula entre x1 e x2 , é igual ao uxo de probabilidade, por unidade de tempo, que sai por x , x  , menos aquele

2

que entra por x1. Logo,de (x,corrente t) representa a corrente probabil probabilidade idade (em uma dimensão, a densidade se confunde comdea corrente, porque o “uxo” é tomado através de um ponto). • A teoria das Relações de Incerteza   mostra que não podemos ter simultaneamente ambos arbitrariamente pequenos. 216

 

• Δx e Δp podem ser encarados como incerteza incertezass na determinação da posição posição e do momento, respectivamente. • Em mecânica quântica quântica,, um estado fundamental, ta também mbém chamado de estado esta esta-cionário, é aquele no qual a densidade de probabilidade não varia com o tempo. • Uma temcontrariando energia igualo àprincípio zero, poisdaassim ela teria uma vvelocielocidade partícula e posição nunca denida, incerteza de Heisenberg. • Como consequência os estados estacionários têm uma energia denida, ou seja, são autofunções do Hamiltoniano do sistema.

217

 

AUTOATIVIDADE 1 Usando o postulado de Born, obtenha a densidade de probabilidade p (x,t) de se encontrar a partícula em um ponto qualquer do eixo x, no instante t. Verique que esta densidade é real e positiva. 2 Imponha a condição de normalização e encontre a constant constantee A. 3 Ache a probabilidade de se encontrar a partícula na metade direita do poço (x > 0).

218

 

UNIDADE 3

TÓPICO 2 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO

1 INTRODUÇÃO No tópico anterior estudamos sobre a equação de Schrödinger e alguns sistemas quânticos. Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no nal de 1925 e publicado em 1926 pelo físico austríaco Erwin Schrödinger. A partir desse tópico aprofundaremos nossos estudos sobre a equação de Schrödinger independente do tempo.  Neste tópico, o objetivo é colher previsões relevantes das ocorrências quânticas. Avançamos inclusive pleitear algumas das experimentações que comprovam as previsões, e poucas das determinantes utilidades práticas dos fenômenos. As previsões serão obtidas através da resolução da equação de Schroedinger independente do tempo para diferentes formas da função energia potencial V (x), para obtenção das autofunções, autovalores e funções de onda; e, com a posterior utilização dos processos desenvolvidos no tópico anterior, para a interpretação do signicado físico dessas grandezas (EISBERG; RESNICK, 1994). Iniciaremos tratando a forma mais clara possível para o potencial V (x) = 0. Então passo a passo anexaremos complexidade a ele. Com cada novo potencial tratado, o estudante obterá uma nova compreensão da mecânica quântica e do comportamento de sistemas microscópicos. microscópicos. Nesta metodologia ele dev devee abrir a apres apresentar entar uma ideia pa para ra com a mecânica quântica, da similar forma que explanou uma impressão para com a mecânica clássica por meio do uso replicado dessa teoria (EISBERG; RESNICK, 1994). Os potenciais já destacados não serão convenientes de agregar uma partícula, logo não há locais onde eles compreendam depressões. Embora a quantização discreta da energia não seja obtida com estes potenciais, obteremos outros fenômenos fundamentais. Além do fato de que eles se ajustam naturalmente ao início de nossa abordagem sistemática, outra razão para tratarmos potenciais que não são capazes de ligar uma partícula em primeiro lugar é que assim enfatizamos sua importância. Possivel-

mente a metade dos estudos sendo hoje em dia alcançados na mecânica quântica se descrevem a partículas não ligadas. É verdade, não obstante que a maioria das implicações iniciais da mecânica quântica era relativa a partículas presas. A maioria dos aspectos da estrutura dos átomos, moléculas e sólidos são exemplos de problemas de partículas ligadas, assim como muitos dos aspectos da estrutura nuclear também o são (EISBERG; RESNICK, 1994). 219

 

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Procederemos somente com potenciais separados do tempo, já que unicamente para esses potenciais é que a equação de Schroedinger independente do tempo tem T importância. Além disso, nos restringiremos a uma única dimensão, pois isto simplica a matemática e ao mesmo tempo nos permite demonstrar a maioria dos fenômenos quânticos interessantes. As vantagens óbvias são os fenômenos que demandam o momento angular, logo esta grandeza não tem importância em uma dimensão (EISBERG; RESNICK, 1994).

2 O POTENCIAL NULO Neste tópico vamos estudar a equação de Schrödinger independente do tempo. Mas o que o potencial nulo tem em relação com a equação de Schrödinger independente do tempo? A equação de Schrödinger ppode ode ser resolvida considerand considerandoo uma partícula dentro de uma caixa. Em física, a partícula em uma caixa (também conhecida como poço de potencial innito) é um problema muito simples que consiste de uma só partícula que rebate-se dentro de uma caixa imóvel da qual não pode escapar, e onde não perde energia ao colidir contra suas paredes. A versão mais precisa se dá na situação idealizada de uma "caixa monodimensional", na que a partícula de massa m pode ocupar qualquer posição no intervalo [0,L]. Para encontrar os possíveis estados estacionários é necessário aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão para o problema: Considerando que o potencial é zero dentro da caixa e innito fora, e observando que a função de onde se anula fora da caixa, pode ser encontrado as condições de contorno. No último subtópico do Tópico 1 desta unidade, estudamos que os estados estacionários são extremamente importantes na descrição quântica da natureza, não só por representarem que têmque energia também porque o conjunto dos autoestados os doestados hamiltoniano, são osdenida, estadosmas estacionários, é completo. Isto signica que qualquer estado pode ser representado como uma combinação linear de estados estacionários. A partir deste subtópico vamos entender sobre o potencial nulo (EISBERG; RESNICK, 1994). A equação de Schrödinger independente do tempo mais simples é aquela na qual V (x) = constante. Uma partícula se movendo sob ação de um potencial desse tipo é uma partícula livre, pois a força que atua sobre ela é F = -dV(x) /dx = 0. Como isto é verdade qualquer que seja o valor da constante, não perdemos em generalidade se escolhermos a constante aditiva arbitrária que sempre aparece na denição do potencial, de forma tal que (EISBERG; RESNICK, 1994):

V ( x)  = 0

(3.69)

Sabemos que na mecânica clássica uma partícula livre pode estar ou em repouso ou se movendo com momento constante p. Em qualquer um dos casos, a energia total E é uma constante. 220

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Para obter o comportamento previsto pela mecânica quântica para uma partícula livre, resolvemos a equação de Schrödinger independente do tempo:

h 2 d 2ψ ( x) −2 + V ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2 m dx Fazendo V(x) =0. Com esta forma para o potencial, a equação fica:

h 2 d 2ψ ( x) − = Eψ ( x) 2 2m   dx

(3.70)

As soluções são as autofunções Ψ (x), e as funções de onda Ψ (x, t), segundo: iEt / h ψ ( x , t ) = ψ ( x  )e − iEt

São: iEt / h ψ ( x , t ) = ψ ( x  )e − iEt

(3.71)

Os autovalores E são iguais a energia total da partícula. Sabemos que deve existir uma solução aceitável da equação de Schrödinger independente do tempo para este potencial para qualquer valor de E > 0 (EISBERG; RESNICK, 1994).  Já conhecemos, é claro, uma forma para a função de onda da partícula livre, a partir dos argumentos que levaram à obtenção da equação de Schroedinger. Esta função de onda: os( kx − ωt ) + i sen( kx − ω t ) ψ ( x , t ) = cco

É: os( kx − ωt ) + i sen( kx − ω t ) ψ ( x , t ) = cco

Reescrevendo-a na forma de uma exponencial complexa, temos:

(3.72)

ψ ( x , t )  =  e i ( kx −wt )

(3.73)

O número de onda angular k e a freqüência angular w são dados por:

221

 

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k=

 p   2 mE = h h

(3.74)

E: ω  = E

(3.75)

h

Podemos desmembrar a exponencial em um produto de dois fatores:

ψ ( x , t )  =  e ikx e − iω t

= e ikx e − Et / h

(3.76)

Comparando então com a forma geral da função de onda, escrita em (3.71): ψ ( x , t ) = ψ ( x  )e − Et / h

(3.77)

ψ ( x  ) =  e ikx

(3.78)

2mE h

(3.79)

Fica evidente que:

Em que: k=

Isto é, a exponencial complexa de (3.79) dá a forma de uma autofunção para a partícula livre, correspondendo ao autovalor E. Uma função de onda: ψ ( x , t )  =  e i ( kx −ω t )t

(3.80)

Representa uma onda que se propaga. Isto pode ser visto, por exemplo, a partir do fato de que os nós da parte real da função de onda estão localizados nas posições em que: kx − ωt = ( n + 1 / 2)p 

Com n = 0, ± 1, ±2, ... Isto ocorre porque a parte real de P(x, t), que é cos

(kx - wt),que kx - wtestes = (n +valores 1/2) p . de  temxvalor sempre Portanto, os nósàocorrem sempre = (n +zero 1/2) p  k + wt/kque  , e, como valores  x aumentam medida que t aumenta, os nós se movem no sentido de x crescente. A conclusão está ilustrada na parte superior da Figura 5, que mostra grácos da parte real de Ψ (x, t)  em instantes de tempo sucessivos (EISBERG; RESNICK, 1994). 222

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

A Figura 5 apresenta ao alto: a parte real, cos (kx - wt)  de uma função de onda exponencial complexa se propagando, ψ  = e  i( kx−wt )   para uma partícula livre. Quando o tempo cresce, os nós se movem no sentido de x crescente. Embaixo: Para esta função de onda, um gráco da densidade de probabilidade,  

− i ( kx −w t ) i ( kx −w t )

e todos= os * ψ  = e 1  não ideia de movimento, já que deela éψconstante para t (e transmite para todosnenhuma os x). Evidentemente, não podemos senhar a própria Ψ , pois ela é complexa (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 5 – PARTE REAL DE FUNÇÃO DE ONDA E GRÁFICO DA DENSIDADE DE PROBABILIDADE

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 236)

Para essa função de onda, a densidade de probabilidade ψ * ( x , )ψ ( x , t )  ilus-

trada na parte inferior da Figura 5, não transmite nenhuma ideia de movimento (EISBERG; RESNICK, 1994). A intuição nos sugere que, para o mesmo valor de E, deveria existir tam bém uma função função de onda que representasse uma onda se propagando no sentido de  x  decrescente (EISBERG; RESN RESNICK, ICK, 199 1994). 4). O argumento precedente indica que essa função de onda seria escrita com o sinal de kx trocado, isto é: 223

 

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ψ ( x , t )  =  e i ( − kx−ω t )

(3.81)

A autofunção correspondente seria: ψ ( x)  =   e − ikx

(3.82)

2 mE h

(3.83)

Em que: k=

É fácil ver que esta autofunção é também uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo para V(x) = 0. Na verdade, qualquer com binação linear das duas autofunções, a de (3.78) e a de (3.82), para o mesmo valor da energia total E, também é uma solução da equação (EISBERG; RESNICK, 1994). Para demonstrar esta armação, tomamos a combinação linear:    e ikx ψ ( x) = A

+ Be − ikx

(3.84)

Em que: k=

2 mE h

(3.85)

Na qual A e B são constantes arbitrárias, e a substituímos na equação de Schroedinger independente do tempo, (3.70). Como: d 2ψ ( x)

= i 2 k 2 Ae ikx + i 2 k 2* Be − ikx = − k 2ψ ( x) = −

dx 2

2 mE

ψ ( x)

(3.86)

h2

A substituição na equação dá: h 2  2mE  −  − 2 ψ ( x) = Eψ ( x) 2m    h 

(3.87)

Como esta expressão é evidentemente satisfeita, a combinação linear é uma solução válida para a equação de Schroedinger independente do tempo (EISBERG; RESNICK, 1994).

A formaque maisenvolva geral dauma solução de uma equação diferencial é, não parcial) segunda derivada contém duas ordinária constantes(isto ar bitrárias, isto ocorre porque a obtenção da solução de uma tal equação equivale

224

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

 basicamente a fazer duas integrações sucessivas sucessivas para remover a segunda derivaderivada, e cada uma delas introduz uma constante de integração. Exemplos familiares ao estudante são encontrados nas soluções gerais das equações de Newton para o movimento, que envolvem duas constantes arbitrárias, tais como a posição e a velocidade iniciais. Como a combinação linear de (3.84) é uma solução de (3.70) que contém duas constantes arbitrárias, ela é a sua solução geral. A solução geral é útil porque ela nos permite descrever qualquer autofunção possível associada ao autovalor E. Por exemplo, se zermos B = 0 , obtemos uma autofunção autofunção onda se propagando no sentido de x crescente. Se zermos A = 0, a onda se propaga no sentido de x decrescente. Se zermos |A|=|B|, há duas ondas se propagando em sentidos opostos que se combinam, formando uma onda estacionária (EISBERG; RESNICK, 1994). Vamos considerar agora o problema da interpretação física das autofunções e funções de onda para a partícula livre. Consideremos inicialmente o caso de uma onda se propagando no sentido de  x  crescente (EISBERG; RESNICK, 1994). A autofunção e a função de onda nesse caso são:   ikx ψ ( x  ) = Ae

(3.88)

  e i ( k x −ω t ) ψ ( x , t ) =  A

(3.89)

Uma suposição óbvia seria que a partícula cujo movimento é descrito por essas funções também está se movendo no sentido de x crescente. Para vericar isto, vamos calcular o valor esperado do momento, P , da partícula. Segundo a fórmula geral para o valor esperado: ∞

∞  ∂  = ∫ ψ  = ( x , ) fop  x , −ih , t ψ ( x , t )dx , p = ∫ ψ * popψ dx d x (3.90)    f ( x, p, t ) −∞ ∂x   −∞

Na qual o operador para o momento é:  pop = −ih

∂ ∂x

(3.91)

Mas, para a função de onda considerada, temos:  popψ = −ih

∂ i( kx−ωt ) Ae = −ih(ik ) Ae i( kx−ω t ) = + hkψ = + 2mEψ  ∂x

(3.92)

De forma que: ∞

∞

∫

∫

 p = + ψ * 2mEψ dx = + 2mE ψ *ψ dx   −∞

(3.93)

−∞

225

 

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A integral à direita é a densidade de probabilidade integrada sobre todo o eixo x. É exatamente a probabilidade de que a partícula seja encontrada em algum lugar, que deve ser igual a um. Obtemos, portanto:  p = + 2mE

(3.94)

Este é exatamente o momento que seria esperado para uma partícula se movendo no sentido de x crescente com energia total E em uma região de energia ene rgia potencial nula (EISBERG; RESNICK, 1994). Para o caso de uma onda se propagando no sentido de x decrescente, a autofunção e a função de onda são:     − ikx Be ψ ( x) =

(3.95)

ψ ( x , t )  =  Be i ( − kx −ω t )

(3.96)

E:

Quando fazemos a operação Pop sobre Ѱ  , a mudança do sinal no termo  kx leva a uma mudança de sinal no resultado. Isto, por sua vez, leva a um valor esperado do momento de:  p = − 2 mE

(3.97)

Portanto, interpretamos que a autofunção e a função de onda descrevem o movimento de uma partícula que se move no sentido de x decrescente, com momento negativo (EISBERG; RESNICK, 1994). As autofunções e as funções de onda que acabamos de considerar representam situações idealizadas de uma partícula se movendo, em um sentido ou em outro, em uma região de extensão innita (EISBERG; RESNICK, 1994). Sua coordenada x é completamente desconhecida, porque as amplitudes das ondas são as mesmas em todas as regiões do eixo x. Isto é, as densidades de probabilidade, por exemplo: ψ * ψ  =  A  * e − i ( kx −ωt) Ae i (kx −ω t )

= A* A

(3.98)

São constantes independentes de x. Portanto, a partícula tem igual pro babilidade de ser encontrado em qualquer local, e a incerteza eem m sua posição é 

x = . O princípio da incerteza arma que nessas situações podemos saber o momento da partícula com total precisão, já que: D pDx > h / 2 (3.99)

226

   

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Pode ser satisfeita, no caso em que x = , e a incerteza no seu momento for = 0. A relação de de Broglie, = ℏk , tam também bém ind indica ica que tem temos os va valor lores es perfei perfeitam tamenente precisos do momento p , porque porque estas estas funç funções ões de ond ondaa cont contêm êm ape apenas nas um único único valor do número de onda. Como temos à disposição um intervalo de tempo innito para medir a energia de uma partícula se movendo sobre uma região de extensão innita, o princípio da incerteza para energia-tempo E t ℏ/2 permite que sua energia seja conhecida com total precisão. Isto está de acordo com a existência de um único valor para a frequência angular nessas funções de onda, porque a relação de Broglie-Einstein = ℏ  mostra que isto implica na existência de um único valor para a energia E (EISBERG; RESNICK, 1994). Um exemplo físico que se aproxima da situação ideal representada por essas funções de onda seria um próton se movendo em um feixe altamente monoenergético emergindo de um cíclotron. Esses feixes são utilizados para o estudo do espalhamento de prótons por alvos constituídos de núcleos inseridos diante do feixe. Do ponto de vista do núcleo alvo, em termos de distâncias da ordem de seu raio nuclear a posição x de um próton no feixe seria, para todos os ns práticos, completamente x  podem r'. Portanto as funções de onda para partícula livre de desconhecido, isto é,(3.96) (3.88), (3.89) e (3.95), dar uma boa aproximação do apróton no feixe, na região próxima ao núcleo, na qual ocorre o espalhamento. Em outras palavras, próxima ao núcleo, a função de onda de (3.88) e (3.89) (EISBERG; RESNICK, 1994):   i ( k x −ω t ) ψ  =  Ae

(3.100)

Pode ser utilizada para descrever um próton em um feixe, proveniente de um cíclotron, dirigido no sentido de x crescente, desde que o feixe seja extremamente longo se comparado às dimensões do núcleo - uma condição que é sempre satisfeita na prática, pois os núcleos são extremamente pequenos. A função de onda descreve uma partícula de momento bem denido  p =   k   e energia total bem denida , na qual estas grandezas estão relacionadas através da equação  p = 2mE  apropriada a uma partícula de massa m se movendo em uma região de energia potencial nula. Há aqui uma diculdade em relação à normalização das funções de onda de (3.88 e 3.89) 3.89) e (3.95 e 3.96). Para ttermos, ermos, por exemplo: ∞

∞

∞

∫ ψ *ψ dx = ∫ A *Adx = A * A ∫ ddxx = 1

−∞

−∞

−∞

(3.101)

A amplitude A deveria ser nula, pois dx tem valor innito. A diculdade surge da armação não ∫ dx  feita pela função de onda, de que a partícula tem a mesma probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto de uma região de extensão innita. Isto nunca é realmente verdade, pois os feixes reais têm sempre tensão nita (EISBERG; RESNICK, 1994). ∞ −∞

227

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

O feixe de prótons é limitado em uma extremidade pelo cíclotron e na outra por por uma parede do laboratório. Embora a incerteza x na localização de um próton seja muito maior do que um raio nuclear ela nã nãoo é maior do que a distância L do cíclotron a parede. Isto é, embora x também é verdade que < L. Isto sugere que se pode normalizar a função de onda, fazendo-se Ѱ  = 0 fora do intervalo –L/2 < x < +L/2, ou seja, restringindo-se x a estar neste intervalo (EISBERG; RESNICK, 1994). Qualquer que seja a forma de fazê-lo obtém uma descrição mais realística da situação física real, e também podemos normalizar a função de onda com amplitude não nula A. Esse processo é chamado normalização de caixa. Apesar do valor de A obtido depender do comprimento L da caixa, sempre acontece que o resultado nal do cálculo de uma grandeza mensurável é independente do valor real de L usado. Além disso, vemos que normalmente não é necessário fazer a normalização da caixa em detalhes, porque as grandezas de interesse físico podem ser expressas como razão as quais o valor de A se cancela (EISBERG; RESNICK, 1994). A situação é bastante bastante análoga a situações encontra encontradas das na física clássic clássica. a. Por exemplo, na resolução de um problema de eletrostática, um o reto carregado de comprimento innito é frequentemente utilizado para aproximar um o de comprimento nito em um sistema no qual “efeitos de borda” não são importantes. Essa idealização simplica muito a geometria do problema, mas leva à diculdade que é necessária uma quantidade innita de energia para que o o innitamente longo seja carregado, a menos que sua densidade carga seja nula. No entanto, norma normalmente lmente é possível contornar essa diculdade simplesmente expressando-se as grandezas que aparecem no problema em termos de razões (EISBERG; RESNICK, 1994). É possível obter uma ideia muito mais realística de movimento do que a vista em qualquer das partes da Figura 5 se usarmos um grande número de funções de onda da forma de (3.88 e 3.89) para gerar um grupo de ondas. A Figura 6 mostra a densidade de probabilidade para um grupo particularmente simples, indicando seu movimento no sentido de x crescente, e a largura sempre crescente do grupo (EISBERG; RESNICK, 1994). A densidade de probabilidade para uma função de onda de grupo de uma partícula livre. À medida que o tempo passa, o grupo se move no sentido de x crescente, e também se alarga (EISBERG; RESNICK, 1994).

228

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

FIGURA 6 – DENSIDADE DE PROBABILIDADE

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 239)

Em qualquer instante, a localização do grupo pode ser bem caracterizada pelo valor esperado x, calculado a partir da densidade de probabilidade. A velocidade constante do grupo, dx/dt , , é igual à velocidade constante da partícula livre, v = p/m = /m = . O alargamento do grupo é uma propriedade característica de ondas que está intimamente relacionada com o princípio da incerteza. É claro que o comportamento da função de onda do grupo é mais fácil de interpretar do que o comportamento de uma onda puramente senoidal, porque a densidade de probabilidade correspondente está mais próxima da descrição do movimento da partícula que estamos acostumados, da mecânica clássica. No entanto, a matemática necessária para descrever o grupo, e tratar seu comportamento analiticamente, muito mais complicada. Isto ocorre porque um grupo deve necessariamente envolver uma distribuição de números de onda k, e, portanto, uma distribuição de energias E= h2k2/2m. Mesmo para compor um grupo simples, como o mostrado na gura, devemos somar um número muito grande de ondas senoidais, com diferenças muito pequenas nos números de onda ou nas energias. Estas complicações matemáticas eliminam completamente qualquer vantagem que porventura surja no sentido de facilitar a interpretação. Consequentemente, os grupos raramente são utilizados nos cálculos quânticos práticos, e a maioria desses cálculos é feita com funções de onda que envolvam um único número de onda e uma única energia (EISBERG; RESNICK, 1994). A consideração do movimento do grupo da Figura 6 nos leva à discussão

 breve de um caso caso relacionado a este, de grande inter interesse. esse. Se, ao invés de ter o vavalor constante nulo, a função H  potencial  potencial V(x) varie tão lentamente que seu valor é quase constante em uma distância da ordem do comprimento de onda de Broglie da partícula, a função de onda que descreve o grupo ainda se propagará de forma

229

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

semelhante à ilustrada na gura, mas a velocidade do grupo mudará lentamente (EISBERG; RESNICK, 1994). Cálculos, a partir da equação de Schroedinger, levam a uma expressão que relaciona a variação na velocidade, dx/dt, do grupo à variação no potencial V(x). Esta expressão é: d  d x    d  V ( x)  dt  dt  =  dt  − m 

(3.102)

Ou: 2

d x = 2 dt

−

dV ( x) dx = F( x) m m

(3.103)

Na qual as barras denotam valores esperados, e F(x) é a força correspondente ao potencial V(x) (EISBERG; RESNICK, 1994).  Infelizmente, os cálculos são muito complicados para serem reproduzidos aqui. Eles são muito signicativos, porque mostram que a aceleração da posição média da partícula associada à função de onda que descreve o grupo é igual à força média agindo sobre esta partícula, dividida por sua massa. Isto é, a equação de Schroedinger implica que a lei de Newton para o movimento é obedecida, em média, por uma partícula de um sistema microscópico. As utuações em tomo de seu comportamento médio reetem o princípio da incerteza, e são muito importantes no limite microscópico. Porém, estas utuações se tornam desprezíveis no limite macroscópico, no qual o princípio da incerteza não tem consequências, e não é mais necessário falar em médias quando falamos de posições nesse nesse limite (EISBERG; RESNICK, 1994). No limite macroscópico qualquer potencial realístico muda apenas de uma pequena quantidade em uma distância tão pequena quanto o comprimento de onda de Broglie. Portanto, nesse limite também não é necessário falar em médias ao discutir o potencial. Logo, no limite macroscópico, podemos ignorar as barras que representam valores esperados, ou médias, nas equações escritas anteriormente. Concluímos que a lei de Newton para o movimento pode ser obtida a partir da equação de Schroedinger, no limite clássico de sistemas macroscópicos. A lei de Newton para o movimento é um caso especial da equação de Schroedinger (EISBERG; RESNICK, RESNICK, 1994, p. 2240). 40).

3 O POTENCIAL DEGRAU No subtópico anterior estudamos sobre o potencial nulo. Qual a relação com o potencial degrau? Ambos utilizam da equação de Schrödinger independente do tempo para resolver o caso da partícula em uma caixa — também co230

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER  

nhecida como poço de potencial innito. A equação de Schrödinger para a região reg ião entre as paredes, isto é, no interior da caixa, o potencial é nulo (V(x) =0) que é o mesmo para uma partícula livre. A partir deste subtópico aprofundaremos nosso estudo sobre o potencial degrau com energia menor do que altura do degrau (EISBERG; RESNICK, 1994).

3.1 ENERGIA MENOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU A partir de agora estudaremos as soluções da equação de Schroedinger independente do tempo para uma partícula cuja energia potencial possa ser representada por uma função V(x) que tenha um valor constante diferente em cada uma de várias regiões adjacentes do eixo. Esses potenciais mudam de valor abruptamente ao ir de uma região para a outra. É claro que potenciais que mudam abruptamente (isto é, que são funções descontínuas de x) não existem realmente na natureza. No entanto, esses potenciais idealizados são frequentemente utilizados na mecânica quântica para aproximar situações reais, pois, por serem constantes em cada região, eles são de fácil tratamento matemático. Os resultados que obtemos para nômenos quânticos estes característicos potenciais nos(EISBERG; permitem RESNICK, ilustrar uma 1994, série p. 241). de feUma analogia, que é certamente familiar ao estudante, é encontrada no processo utilizado no estudo do eletromagnetismo. Ele envolve o tratamento de muitos sistemas idealizados, como o o innito, o capacitor sem bordas e etc. Estes sistemas são estudados porque são relativamente fáceis de tratar, porque são excelentes aproximações para sistemas reais, e porque os sistemas reais normalmente são difíceis de tratar matematicamente por terem geometrias complicadas. Os potenciais idealizados que tratamos neste tópico são utilizados da mesma forma e com a mesma justicativa (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 241).

O caso mais simples é o degrau de potencial ou potencial degrau ilustrado na Figura aditiva 7. Se escolhemos a origem doaparece eixo x como estandode sobre degrau poea constante arbitrária que sempre na denição umaoenergia tencial de forma tal que a energia potencial da partícula seja nula à esquerda do degrau, V(x) pode ser escrita como:  

 

V ( x)  =

 

 

{

V0

x>0

(3.104) 0

x 0. A razão é que nessa região:  p 2 E= + V ( x ) < V ( x) 2m

(3.105)

 p 2 0 , o que implicaria em um valor imaginário para o momento  p nesta região. Isto, além de não ser possível, não tem sentido físico na mecânica clássica. Segundo a mecânica clássica, a força impulsiva vai mudar o momento da partícula de uma forma tal

que seu movimento cará exatamente invertido, afastando se no sentido de x decrescente, momento emosentido sentido seu momento inicial. O módulo docom momento  p será mesmooposto antes eao depois da de inversão, pois a energia total E= p2/2m permanece constante (EISBERG; RESNICK, 1994).

233

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Para determinar o movimento da partícula segundo a mecânica quântica, devemos achar a função de onda que é uma solução, para a energia total E < K 0 , da equação de Schroedinger para o degrau de potencial de (3.104). Como esse potencial é independente do tempo, o problema real é resolver a equação de Schrödinger independente do tempo. Sabemos, a partir da discussão qualitativa feita no capítulo anterior, que deveria existir uma solução aceitável para qualquer valor E > 0 , já que o potencial não não pode limitar a part partícula ícula a uma região do eixo x  (EISBERG; RESNICK, 1994). Para o potencial degrau, o eixo x se divide em duas regiões. Na região onde x < 0 (à esquerda do degrau), temos V (x) = 0, de forma que a autofunção que descreve o comportamento da partícula é uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo simples: h 2 d 2ψ ( x) − = Eψ ( x) 2 2 m   dx

(3.107)

Na região em que x > 0 (à direita do degrau), temos V (x) = V   e a autofunção é uma solução de uma equação de Schroedinger independente0do tempo quase tão simples quanto à anterior: h 2 d 2ψ ( x) − + V0ψ ( x) = Eψ ( x) 2 m   dx 2

(3.108)

Estas duas equações são resolvidas separadamente. Constrói-se então uma autofunção válida para todos os x juntando-se as duas soluções em x = 0 de forma a satisfazer às exigências de que a autofunção e sua primeira derivada se jam em todos os pontos nitas, unívocas e contínuas (EISBERG; RESNICK, 199 1994). 4).  O  CA  N  E  T A

Consideremos a equação diferencial válida para a região na qual V(x) = 0, (3.107). Como esta é precisamente precisamente a equação de Schrödinger independente do tempo para     ik e ikx + Be − ikx . uma partícula livre, tomamos como sua solução geral à autofunção ψ ( x) = A Escrevemos esta autofunção como (EISBERG; RESNICK, 1994):     ik , x ψ ( x) = A e + Be − ik ,x

(3.109)

Em que:

k1 =

2mE h

x0

 

(3.118)

E onde C e D são constantes arbitrárias, é uma solução de (3.108). Calcud 2ψ ( x) 2

= Ck e

2 k2 x 2

2 − k1 x

+ D( − k2 ) e

=k

dx

2 ψ 2

    2 m(V0 − E) ( x) = ψ ( x)

E substituímos o resultado na equação. Obtemos:

(3.119)

h

h2 2m (V − E)ψ ( x) + V0ψ ( x) = Eψ ( x) − 2m   h2 0

(3.120)

Como esta expressão é obviamente verdadeira, vericamos que (3.17 e 3.18) é uma solução. Como ela contém duas constantes arbitrárias, é a solução geral da equação de Schroedinger independente do tempo na região do potencial degrau em que V (x) = K 0 , com com E < V 0. As constantes B, Csatisfaça e D, de (3.109) e (3.117) devemàser escolhidas de forma tal que aarbitrárias autofunçãoA,total às exigências relativas limitação, unicidade e continuidade de Ѱ (x) e Ѱ(x) /dx. Consideremos inicialmente o comportamento de Ѱ(x) quando x . Nesta região do eixo, a forma geral de Ѱ (x) é dada por (3.117). Podemos vericar que ela vai em geral crescer sem limite quando x   devido à presença do primeiro termo, . Para evitar manter Ѱ  (x) nita, devemos fazer com que o coeciente arbitrário C do primeiro termo seja igual a zero. Obtemos, portanto (EISBERG; RESNICK, 1994): C=0

(3.121)

A unicidade é automaticamente satisfeita por essas funções. Para estudar

sua continuidade, consideremos o ponto x = 0. Neste ponto, as duas formas de Ѱ (x), dadas por (3.109) e (3.117), devem se juntar de uma forma tal que Ѱ  (x) e dѰ   (x) / dx sejam contínuas. A continuidade de Ѱ (x) é obtida se a seguinte relação for satisfeita (EISBERG; RESNICK, 1994): D( e − k2 x ) x=0 = A( e  ik1x )x =0 +  B( e − ik ,x ) x=0

(3.122)

236

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Que resulta de igualarmos as duas formas em r = 0. Esta forma de: D=A+B

(3.123)

A continuidade na derivada das duas formas:   k  2 De − k2 x dψ  x ( ) = − dx

(3.124)

dψ ( x) = ik  1 Ae  ik2 x − ik1 Be − ik1x dx

(3.125)

E:

É obtida se igualarmos estas derivadas em x = 0. Portanto, fazemos:

− k2 D( e − k x )x=0 = (ik1 A( e ik x )x=0 − ik1 B( e − ik x )x=0

(3.126)

ik2 D = A−B k1

(3.127)

2

1

1

O que dá:

Somando (3.123) e (3.127), temos: D  ik2   A =  1 +  2 k1 

(3.128)

D  ik2  1 +  2 k1 

(3.129)

Subtraindo-as, temos: B=

 Já determinamos A, B e C em função de D. Portanto, Po rtanto, a autofunção para o degrau de potencial, com energia E < V0, é:  

D D (1 + ik2 / k1 )e ik1x + (1 − ik2 / k1 )e − ik1x 2 2

x0

237

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS  

A constante arbitrária restante D, determina a amplitude da autofunção, mas ela não aparece em nenhuma de suas características mais importantes. A presença dessa constante reete o fato de que a equação de Schrödinger independente do tempo é linear em Ѱ (x), e, portanto, são possíveis soluções com qualquer amplitude. Veremos que é normalmente possível obtermos resultados úteis sem nos preocuparmos em normalizar Ѱ , o que especicaria D. A razão disso é que as grandezas mensuráveis que obteremos como previsões da teoria contém D tanto no numerador quanto no denominador de uma fração, de forma que este valor deverá se cancelar, não aparecendo no resultado (EISBERG; ( EISBERG; RESNICK, 1994). A função de onda correspondente à autofunção é:  

 

ψ ( x  ) =

 

 

{

e ik2 x e − iEt / h + Be − ik 1x e − iiEEt / h = Ae i ( k1x− Et / h ) + Be i ( − k1x − Et / h )

x0

0. O a região x < no primeiro da função de onda nesta região éConsideremos uma onda se propagando sentido de xtermo crescente. Esse termo descreve uma partícula se movendo no sentido de x crescente. O segundo termo da função de onda para x < 0 é uma onda se propagando no sentido de x decrescente, e descreve uma partícula se movendo neste sentido. Essas informações, somadas às previsões clássicas descritas anteriormente, sugerem que deveríamos associar o primeiro termo à incidência de uma partícula sobre o degrau de potencial, e o segundo termo a reexão da partícula pelo degrau (EISBERG; RESNICK, 1994).

Vamos usar esta associação para calcular a probabilidade que a partícula incidente seja reetida, que chamamos coeciente de reexão R. Evidentemente, R depende da razão B/A , que especica especica a amplit amplitude ude da part partee reetida reetida da função de onda relativamente à amplitude da parte incidente. na  emecânica quântica as probabilidades dependem das intensidades, como B*BMas  e A*A não das amplitudes. Portanto, devemos calcular R a partir da fórmula (EISBERG; RESNICK, 1994): R=

B* B  A * A

(3.132)

Isto é, o coeciente de reexão é igual à razão entre a intensidade da parte da onda que descreve a partícula reetida e a intensidade da parte que descreve a partícula incidente (EISBERG; RESNICK, 1994). Obtemos:

B * B (1 − ik2 / k1 ) * (1 − ik2 / k1 ) R =  A * A = (1 + ik2 / k1 ) * (1 + ik2 / k1 )

(3.133)

238

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Ou:

 

(1 + ik2 / k1 )(1 − ik2 / k1 ) R= =1 (1 − ik2 / k1 )(1 + ik2 / k1 )

E < V 0

(3.134)

O fatoo de que esta razão sejacom igualenergia a um signica que uma partícula dente sobre degrau de potencial, total menor do que a alturaincido degrau tem probabilidade um de ser sempre reetida. Isto está de acordo com as previsões da mecânica clássica (EISBERG; RESNICK, 1994).  

Consideremos agora a autofunção de (3.131). Usando a relação: e ik1x = cos k1 x + isenk1 x

(3.135)

É fácil mostrar que a autofunção pode ser expressa como:     ψ ( x  ) =

 

{

 

k2 D cos k1 x − D k1 sen k1 x

x0

(3.136)

Se gerarmos a função de onda, multiplicando Ѱ(x) por e − t  , vemos imediatamente que temos na verdade uma onda estacionária, pois as localizações dos nós não mudam com o tempo. Neste problema, as ondas incidente e reetida para x < 0 se combinam formando uma onda estacionária, pois elas têm a mesma intensidade (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 10 representa a Ilustração esquemática da combinação de uma onda incidente e de uma onda reetida de mesmas intensidades, formando uma onda estacionária. A função de onda é reet reetida ida por um degrau de potencial em x = 00.. Observe que os nós das ondas incidente e reetida se movem para a direita ou para a esquerda, mas os da onda resultante são estacionários (EISBERG; RESNICK, 1994).

239

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

FIGURA 10 – ILUSTRAÇÃO DE ONDA INCIDENTE E DE ONDA REFLETIDA

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 247)

Na parte da Figura a função onda por meio de um gráco da superior autofunção, (3.136), 11, queilustramos é uma função real dedex se tomarmos D  − iEt/ h real. Pode-se imaginar a função de onda oscilando no tempo segundo e  com uma amplitude cuja dependência espacial é dada por Ѱ(x) (EISBERG; RESNICK, 1994). Obtemos aqui uma característica que está em agrante contraste com as previsões clássicas. Embora na região x > 0 a densidade de probabilidade:  

ψ * ψ  = D * e

− k2 xe + iEt / h

    De − k2 xe −iEt / h = D * De −2 k2 x

(3.137)

Ilustrada na parte inferior da Figura 11 decresça rapidamente à medida que x cresce, há uma probabilidade nita de encontrar a partícula na região x > 0 (EISBERG; RESNICK, 1994). Na Figura 11, ao alto: A autofunção Ѱ  (x)  (x) para uma partícula incidente so bre um degrau de potencial em x = 0 , com energia total menor menor do que a altura do degrau. Observe a penetração da autofunção na região classicamente proibida, x > 0. Embaixo: A densidade de probabilidade Ѱ *  * Ѱ   = Ѱ *  * Ѱ   =Ѱ 2 correspondente a Ѱ = Ѱ  = esta autofunção. O espaçamento entre os pic picos os de Ѱ2 é duas vezes menor do que o espaçamento entre os picos de Ѱ (EISBERG; RESNICK, 1994).

240

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

FIGURA 11 – AUTOFUNÇÃO E DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA UMA PARTÍCULA

FONTE: EISBERG, RESNICK (1994, P. 248)

Segundo a mecânica clássica, seria absolutamente impossível encontrar a partícula na região x > 0 , pois pois aí a ene energia rgia tota totall é m menor enor do qu quee a eenergia nergia poten potencial, cial, de forma que a energia cinética p 2 /2m seria negativa e o momento P, imaginário. Este fenômeno, chamado penetração na região classicamente proibida, é uma das previsões mais notáveis da mecânica quântica (EISBERG; RESNICK, 1994). Alguns pontos que conrmam essa previsão: um deles é que a penetração não signica que a partícula seja mantida na região classicamente proibida. De fato, vimos que a partícula incidente é certamente reetida pelo degrau (EISBERG; RESNICK, 1994). Um outro ponto é que a penetração na região proibida, que obedece a (3.137), não está em conito com as experiências da mecânica clássica. É evidente, a partir da equação, que a probabilidade de encontrar a partícula com uma coordenada x > 0 é apreciável apenas em uma região começando em x = 0 e se esten-

dendo em uma distância de penetração x, que é igual a 1/k2. A razão disto é que e −2 k x  cai muito rapidamente a zero quando x e muito maior do que 1/k2. Como k2 = 2m(V0 − E) / h , temos: temos: 2

Dx =

h

2 m(V0 − E)

(3.138)

241

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

No limite clássico, o produto de m por (V 0 - E) é tão grande comparado a h2 , que x é imensuravelmente pequeno (EISBERG; RESNICK, 1994). Foi estudado sobre o potencial degrau com energia menor do que altura do degrau. Foi aplicado o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre um potencial V(x) que tem a forma de um degrau, ou seja, tem um valor 0 para x < 0 e um valor valor V0 > 0 para x > 0. Foi considerado inicialmente o caso em que a energia da partícula é menor que a altura do degrau. de grau. A partir deste subtópico aprofundaremos nosso estudo sobre o potencial degrau com energia maior do que altura do degrau (EISBERG; RESNICK, 1994).

3.2 ENERGIA MAIOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU Segundo Eisberg e Resnick (1994), consideramos o movimento de uma partícula sob inuência de um potencial degrau, (3.104), quando sua energia total E for maior do que a altura V0 do degrau, isto é, fazemos E> K, como ilustrado na Figura 12. A Figura 12 traz a relação entre as energias potencial e total para urna partícula incidente sobre um degrau de potencial com energia total maior do que a altura do degrau (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 12 – RELAÇÃO ENTRE AS ENERGIAS POTENCIAL E TOTAL

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 251)

Na mecânica clássica, uma partícula com energia total E movendo-se na região x 0 , continuando com seu movimento no sentido de x  lenta, e entre regiãototal crescente. Suana energia E permanece constante; seu momento na região x < 0 e p1 , na qual  /2m = E seu momento na região x > 0 é p2 , em que

/2m =E - V 0.

242

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Veremos que as previsões feitas pela mecânica quântica não são tão simprevêê que a partícula tem ples assim. Se E não for muito maior do que V 0 , a teoria prev uma possibilidade apreciável de ser reetida pelo degrau de volta para a região x < 0 , mesmo tendo energia suciente para para ultrapassa ultrapassarr o degrau e ir para a região x > 0 (EISBERG; RESNICK, 1994). Um exemplo disto é encontrado no caso de um elétron no cátodo de uma célula fotoelétrica, que recebeu energia ao absorver um fóton, e que está tentando escapar da superfície do cátodo metálico. Se sua energia não for muito maior do que a altura do degrau no potencial existente na superfície do metal, ele pode ser reetido e não conseguir escapar. Isto faz com que haja uma redução signicativa na eciência das células fotoelétricas para luz de frequências não muito superiores à frequência limite (EISBERG; RESNICK, 1994). Um exemplo mais importante da reexão que ocorre quando uma partícula tenta passar por um potencial degrau é encontrado no movimento de um nêutron em um núcleo. O potencial atuando sobre o nêutron nas proximidades da superfície nuclear é, em boa aproximação, um potencial degrau. O potencial cresce muito rapidamente na superfície nuclear porque um núcleo tende a ligar um nêutron. Se o nêutron recebeu, de alguma forma, energia, e está tentando escapar do núcleo, ele será provavelmente reetido de volta para dentro do núcleo na superfície, se sua energia for apenas um pouco maior do que a altura do degrau. Isto tem o efeito de inibir a emissão de nêutrons de baixas energias, e, portanto, aumenta consideravelmente a estabilidade do núcleo nos primeiros estados excitados. O efeito é uma manifestação das propriedades ondulatórias de nêutrons, que é muito signicativa nos processos que ocorrem em reações nucleares, como veremos no nal deste livro (EISBERG; RESNICK, 1994). Na mecânica quântica, o movimento de uma partícula sob a inuência do degrau de potencial é descrito pela função de onda: iEt / h ψ ( x , t ) = ψ ( x  )e − iEt

(3.139)

Em que a autofunção(x) satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial. Esta equação tem formas diferentes nas regiões à direita e à esquerda do degrau, que são:

E:

h 2 d 2ψ ( x) − = Eψ ( x) 2 2 m   dx

x 0 e igual a um. Isto não vale na mecânica quântica. Devido às propriedades ondulatórias da partícula, existe uma certa probabilidade de que a partícula seja reetida no ponto x = 0 , onde há uma mudança descontínua em seu comprimento de onda de Broglie. Portanto, precisamos tomar ambos os

termos da solução geral de (3.142) para descrever as ondas reetida e incidente x < 0. Não na região geral de (3.144). Esteprecisamos, termo descreve no entanto, uma onda tomar se propagando o segundo termo no sentido da solução de x decrescente na região x > 0. Como a partícula incide no sentido de x crescente, esta onda só poderia surgir a partir de uma reexão em algum ponto com coordenada x grande (bem depois da descontinuidade em x = 0). Como não há nada que cause tal reexão, sabemos que há apenas uma onda transmitida na região x > 0 , e, portanto, fazemos a constante arbitrária (EISBERG; RESNICK, 1994): 244

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

D=0

(3.146)

As constantes arbitrárias A, B e C devem ser escolhidas de forma a fazer Ѱ (x) e dѰ (x) (x) /dx contínuas em x = 0. A primeira exigência, de que os valores de Ѱ (x), expressos por (3.142) e (3.144), sejam os mesmos em x = 0 , é satisfeita se: − ik x

ik x

 A( e

1

) x=0 + B( e

1

ik x

) x = 0 = C( e

2

)x=0

(3.147)

Ou: A+B=C

(3.148)

A segunda exigência, de que os valores das derivadas das duas expressões para Ѱ  (x)  (x) sejam os mesmos em x = 0 , é satisfeita se (EISBERG; RESNICK, RESNICK, 1994): ik2 A( e ik1x ) x=0 + ik1 B( e − ik1x )x =0 = ik2C( e ik2 x )x =0

(3.149)

k1 ( A − B) = k2C

(3.150)

Ou:

Das equações (3.148) e (3.150), obtemos: B=

k1 − k2 A k1 + k2

(3.151)

C=

2 k1 A k1 + k2

(3.152)

E:

Portanto, a autofunção é:  

 Ae ik1x + A

k1 − k2 − ik1x e k1 + k2

x0

Como antes, não será necessário calcular a constante arbitrária A que de termina a amplitude da autofunção. É evidente que não poderíamos obter uma autofunção satisfazendo às duas condições de continuidade se tivéssemos inicialmente igualando o coeciente B da onda o nda reetida a zero. Teríamos neste caso apenas duas constantes ar-

245

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

 bitrárias para para satisfaz satisfazer er às dua duass condições d dee continuidade, e não haveria nenhuma para desempenhar o papel da constante arbitrária, exigida pela linearidade da equação de Schrödinger independente do tempo, que determina a amplitude da autofunção (EISBERG; RESNICK, 1994). Em analogia com nossa interpretação da autofunção de (3.136), reconhecemos que o primeiro termo na expressão de (3.153) válida para x < 0 (à esquerda da descontinuidade) representar a onda incidente, o segundo termo da expressão válida para x < 0 representa a onda reetida; e a expressão válida para x > 0 (à direita da descontinuidade) representa a onda transmitida (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 13 mostra a densidade de probabilidade para a autofunção de (3.153), quando k1 =2k2. FIGURA 13 – DENSIDADE DE PROBABILIDADE

FONTE: EISBERG, RESNICK, (1994, P. 254)

AFigura13representaadensidadedeprobabilidade ψ * ( x , t )ψ ( x , t) = ψ * ( x )ψ ( x)    para a função de onda Ѱ  (x,  (x, t) que corresponde à autofunção Ѱ (x) (x) de (3.153) (no caso em que k1=2k2). Não desenhamos a autofunção e a função de onda porque ambas são complexas. Na região x > 0 a função de onda é uma onda plana (de amplitude 4  A/3 neste caso) se propagando para a direita, e assim a densidade de probabilidade é constante. Na região x < 0 a função de onda é uma combinação da onda incidente (de amplitude A) A) se propagando para a direita, e uma onda reetida (de amplitude A/3) se propagando para a esquerda. Como a amplitude da onda reetida é necessariamente menor do que a da onda incidente, as duas não podem se combinar de forma a dar uma onda estacionária. Sua soma Ѱ (x, t) nesta região é, em vez disso, algo entre

uma onda estacionária e uma onda se propagando. Podemos observar isto no com portamento de Ѱ* (x, t) Ѱ (x, t) para x < 0 — que é algo intermediário entre a densidade de probabilidade de uma onda estacionária (como a da Figura 11) e a densidade de probabilidade de uma onda se propagando (como a da Figura 5), pois ela oscila, tendo, porém 4 valores mínimos maiores do que zero (EISBERG; RESNICK, 1994).

246

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

A razão entre a intensidade da onda reetida e da onda incidente dá a proba bilida  bil idade de que a par partíc tícula ula sej sejaa re reeti etida da pel peloo deg degrau rau de pot potenc encial ial de vol volta ta à reg região ião x < 0. Esta probabilidade é o coeciente de reexão R (EISBERG; RESNICK, 1994). Ou seja: 2

B * B  k1 − k2   k1 − k2   k1 − k2  R= = * =  (3.154)  A * A  k1 + k2   k1 + k2   k1 + k2  Vemos deste resultado que R < 1 quando E> V 0 , isto é, quando a energia total da partícula é maior do que a altura do degrau de potencial. Isto está em contraste com o valor R = 1 quando E < V 0. Evidentemente, o que é surpreendente nesse resultado não é que R < 1 , e sim que R > 0. Ele é surpreendente porque uma partícula clássica  jamais  jam ais ser seria ia reet reetida ida cas casoo tives tivesse se energ energia ia suci sucient entee para para passar passar a des descon contin tinuid uidade ade do potencial. Por outro lado, em uma descontinuidade correspondente, uma onda clássica seria reetida, como discutiremos em breve (EISBERG; RESNICK, 1994).

Também nos interessa o coeciente de transmissão T  , que especic especicaa a pro pro- babili  bab ilidad dadee d dee qque ue a ppart artícu ícula la sej sejaa ttran ransmi smitid tidaa aatra través vés do deg degrau rau da regi região ão x < 0 para a região x > 0. O cálculo de T  é  é ligeiramente mais complicado do que o cálculo de R , porque a velocidade da partícula é diferente nas duas regiões. Segundo a convenção aceita, os coecientes de transmissão e reexão são na verdade denidos em termos de razões entre uxos de probabilidade (EISBERG; RESNICK, 1994). Um uxo de probabilidade é a probabilidade por segundo de que uma partícula seja encontrada ao cruzar algum ponto de referência, se movendo em um sentido particular. O uxo de probabilidade incidente é a probabilidade por segundo de encontrar a partícula cruzando um ponto em x < 0 se movendo no sentido de x crescente; o uxo de probabilidade reetida é a probabilidade por segundo de encontrar uma partícula cruzando um ponto em x < 0 se movendo no sentido de x decrescente; e o uxo de probabilidade transmitido é a probabilidade por segundo de encontrar uma partícula cruzando um ponto cm x > 0 se movendo no sentido de x crescente (EISBERG; RESNICK, 1994). Como a probabilidade por segundo de que uma partícula cruze um dado ponto é proporcional à distância que ela percorre por segundo, o uxo de probabilidade é proporcional não apenas à intensidade da onda apropriada, mas também à velocidade apropriada da partícula. Portanto, segundo a denição estrita, o coeciente de reexão R é: v1 B * B   B * B R= = v1 A * A A * A

(3.155)

Em que v1 , é a velocidade da partícula na região x < 0. Como as velocidades se simplicam, o que resta é idêntico à fórmula que usamos anteriormente para R. Para T  as  as velocidades não se simplicam, e temos: T  =

v2C * C v2  2 k1  =     v1 A * A v1  k1 + k2 

2

(3.156)

247

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Em que v2 , a velocidade da partícula partícula na região x > 0 , mas: v1 =

E:

 p1 hk1 = m m

(3.157)

 p2 hk2 v2 = m = m

(3.158)

Assim, a expressão anterior dá: k2 ( 2 k1 )2 4 k1 k2 T=   = 2 2 k1  ( k1 + k2 ) ( k1 + k2 )

E > V 0

(3.159)

É fácil mostrar, substituindo R e T de (3.155) e (3.159), que: R + T  =  = 1

(3.159)

Esta relação útil é a motivação que temos para denir os coecientes de reexão e transmissão em termos de uxos de probabilidade (EISBERG; RESNICK, 1994). O uxo de probabilidade incidente sobre o degrau de potencial é dividido em um uxo reetido e um uxo transmitido. Mas (3.160) mostra que sua soma é igual ao uxo incidente; isto é, a probabilidade de que a partícula seja transmitida ou reetida é um. A partícula não desaparece no degrau; e ela também não se divide nele. Em qualquer tentativa particular, a partícula irá em um sentido ou em outro. Para um grande número de tentativas, a probabilidade média de ir ao sentido de x  decrescente é dada por R , e a pro probab babili ilidad dadee m médi édiaa de ir ao sen sentid tidoo d decr ecresc escent entee é medida por T (EISBERG; RESNICK, 1994). Observe que R e  T  não   não mudam de valor se trocamos k  por k  em (3.155) e 1 (3.159). Um instante de reexão deve convencer o estudante que isto2signica que seriam obtidos os mesmos valores de R e T, se a partícula incidisse sobre o degrau de potencial vinda da região x > 0. A função de onda que descreve o movimento da partícula, e consequentemente o uxo de probabilidade é parcialmente reetida, simplesmente porque há uma mudança descontínua em K (x), e não porque V(x) tor  torne-se maior no sentido de incidência da partícula (EISBERG; RESNICK, 1994). O comportamento de R e T quando k1 e k2 são trocados envolve uma propriedade característica de todas as ondas, que, na ótica, é às vezes chamada propriedade de reciprocidade. Quando a luz passa perpendicularmente através de uma superfície na

entre meios com diferentes índices de refração, uma fração da luz é reetida devido à mudança abrupta seu comprimento depor onda, e a mesma fraçãoAcontece é reetida,exatamenindependentemente se a luzem incide por um lado ou outro da superfície. te a mesma coisa quando uma partícula microscópica sofre uma mudança brusca em seu comprimento de onda de De Broglie. Na verdade, as equações que governam os dois fenômenos têm a mesma forma. Vemos, mais uma vez, que uma partícula microscópica se move de uma maneira ondulatória (EISBERG; RESNICK, 1994). 248

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Na Figura 14 estão feitos os grácos dos coecientes de transmissão e reexão como função da razão E/V 0. Na Figura 14 estão os coecientes de reexão e transmissão R e T para uma partícula incidente sobre um potencial degrau (EISBERG; RESNICK, 1994). A abscissa E/V 0 é a razão entre a energia total da partícula e o aumento em sua energia de potencial no degrau. O caso k1 = 2k 2k2 ilustrado na Figura 13, corresponde a E/V 0=1,33. FIGURA 14 – COEFICIENTES DE REFLEXÃO E TRANSMISSÃO

FONTE: EISBERG, RESNICK (1994, P. 257)

 Substituindo k1 e k2 em (3.155), obtemos que essas expressões para os coecientes de reexão e transmissão podem ser escritas em termos da razão E/V 0  na forma:

 1 − 1 − V0 / E   R = 1 − T  =   1 + 1 − V0 / E 

2

 

E

>1

(3.161)

V 0

A gura também mostra o resultado: R = 1 − T  = 1

E 0 e igual a uma constante V0 para x > 0 . Se uma partícula incide a partir da esquerda com energia menor que a altura do degrau, essa partícula é reetida com 100% de probabilidade. Porém, consegue penetrar um pouco na região classicamente proibida DONANGELO; CAPAZ, CAP AZ, 2009a, p. 93).

No próximo subtópico vamos estudar sobre a barreira de potencial.

4 A BARREIRA DE POTENCIAL No subtópico anterior estudamos sobre o potencial degrau. Anal qual a relação entre o potencial degrau e a barreira de potencial? Para a barreira de potencial será aplicado o formalismo quântico ao caso de uma partícula que incide sobre uma barreira de potencial, em que a energia potencial tem um valor 0 para x < 0 e para x > a, e um valor V0 > 0 para 0 < x < a. Já para o potencial degrau, foi aplicado o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre um potencial que tem forma de um degrau, deginicialmente rau, ou seja,otem x (x) 0 para x > 0.aFoi considerado casoum emvalor que a0 energia epara nergia 0 tícula é menor que a altura do degrau. A partir deste subtópico vamos aprofundar nosso estudo sobre a barreira de potencial. (EISBERG; RESNICK, 1994). Consideramos uma barreira de potencial, como está ilustrado na Figura 15 (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 15 – UMA BARREIRA DE POTENCIAL

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 259)

 O potencial pode ser escrito como: V 0

 

 

0< x< a

V ( x) = 0

x < 0 ou x > a

(3.163)

Segundo a mecânica clássica, uma partícula de energia total E na região x < 0 , que incide sobre a barreira se movendo no sentido de x crescente, tem probabilidade um de ser reetida, se Ea se E>V 0. Nenhuma destas armações descreve de forma precisa os resultados da 251

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

mecânica quântica. Se E não for muito maior do que V 0 , a teoria teoria pre prevvê que que vvai ai hhav aver er alguma reexão, exceto para certos valores de E. Se E não for muito menor do que V 0 , a mec mecâni ânica ca quâ quânti ntica ca pre prevvê que que há uma cer certa ta pro probab babili ilidad dadee d dee que a par partíc tícula ula sej sejaa transmitida através da barreira para a região x>a (EISBERG; RESNICK, 1994). No momento em que atravessa uma barreira cuja altura excede sua energia total, uma partícula material está se comportando exclusivamente como uma onda. Mas na região após a barreira, ela pode ser detectada como uma partícula localizada, sem que seja introduzida uma incerteza signicativa no conhecimento de sua energia. Assim, a Penetração em uma região classicamente proibida de largura limitada pode ser observada, no sentido que a partícula pode ser observada, tanto antes como depois de atravessar a barreira, de energia total menor do que a energia potencial na região proibida (EISBERG; RESNICK, 1994). Para a barreira de potencial de (3.163), que devem existir soluções aceitáveis da equação de Schrödinger independente do tempo para todos os valores da energia total E > 0. Também sabemos que a equação se divide em três equações separadas para as três regiões: x < 0 (à esquerda da barreira), 0 < x < a (dentro da barreira), e x > a (à direita da barreira). Nas regiões à esquerda e à direita da barreira as equações são as de uma partícula livre com energia total E. Suas soluções gerais gerais são (EISBERG; RESNICK, 1994). ik1 x

+ Be − ik x

xa

ψ ( x) = Ae ψ ( x) = Ce

1

+ De

(3.164)

Em que: k1 =

2 mE h

(3.165)

Na região dentro da barreira, a forma da equação, e de sua solução geral, depende de se E < V  ou  ou E > V . Já tratamos estes dois casos nas seções anteriores. No primeiro caso, E < V 0 , a solução geral é:  

ψ ( x) = Fe

− k11 x

+ Ge k

11 x

Em que: 2m(V0 − E)

0V 0

Neste caso, a autofunção é oscilatória nas três regiões, mas com comprimento de onda maior na região da barreira, 0 < x < a. a. O cálculo das constantes B, C, F e G, G, por meio da aplicação das condições de continuidade em x em x = 0 e 0 e x  x = a, a, leva à seguinte fórmula para o coeficiente de transmissão: −1

        2 v1C * C  ( e k 111a − e − k 111a )2  s e n k a 1 +  111 T  = = 1 + =  v A* A     1    16 VE0  VE0 − 1    4 VE0  VE0 − 1       

−1

(3.176)

Em que:

 2mV0 a2   E k111a =  − 1 h 2  V 0 

(3.177)

Podemos juntar os resultados das três últimas seções comparando o gráfico da dependência em energia do coeficiente de reflexão R por uma barreira de potencial, na Figura 18, com o mesmo gráfico para um degrau de potencial, na Figura 14.

A Figura 18 mostra os coecientes de reexão e transmissão R e T  para  para uma partícula incidindo sobre uma barreira de potencial de altura V 0 e largura a, tal que 2mV 0a2/h2 = 9. A abscissa E/V 0 é a razão entre a energia total da partícula e a altura da barreira de potencial (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 262).

256

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

FIGURA 18 – COEFICIENTES DE REFLEXÃO E TRANSMISSÃO. TRANSMISSÃO.

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 262)  para A Figura 19 mostra os coecientes de reexão e transmissão R e T  para uma partícula incidente sobre um potencial degrau. A abscissa E/V o é a razão entre a energia total da partícula e o aumento em sua energia de potencial no degrau. O caso k1=2k2 , ilustrado na Figura 17, corresponde a E/Vo = 1,33 (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 257).

FIGURA 19 – COEFICIENTES DE REFLEXÃO E TRANSMISSÃO. TRANSMISSÃO.

FONTE: Eisberg, Resnick, (1994, p. 257)

257

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

As comparações mostram que para os dois potenciais, R 1 quando E/V0  0 e R 0 quando E/V0  com a diminuição em recorrendo em tomo de E/V 0 = 1. No entanto, para a barreira de potencial o coeciente de reexão se aproxima gradualmente de um, em baixas energias, já que a largura nita da região classicamente proibida permite alguma transmissão. Também, o coeciente de reexão da barreira de potencial em altas energias oscila, devido às interferência interferênciass entre as reexões em suas duas descontinuidades. Como o degrau de potencial pode ser considerado como um caso limite de uma barreira de largura muito grande podemos ver, de nossa comparação, o comportamento do coeciente de reexão da barreira de potencial nesse limite (EISBERG; RESNICK, 1994). Agora discutiremos, em detalhes, as origens desses resultados. Todos eles envolvem fenômenos que surgem do comportamento ondulatório do movimento de partículas microscópicas, e cada fenômeno também é observado em outros tipos de movimento ondulatório. A equação diferencial independente do tempo que governa o movimento ondulatório clássico tem a mesma forma que a equação de Schroedinger independente do tempo. Por exemplo, radiação eletromagnética de frequência v se propagando através de um meio com índice de refração obedece à equação (EISBERG; RESNICK, 1994): 2

d 2ψ ( x)  2p v  + µ  ψ ( x) = 0 2 dx  c 

(3.178)

Em que a função Ѱ (x) (x) especica o valor do campo elétrico ou campo magnético. Quando a comparamos com a equação de Schroedinger independente do tempo, escrita na forma: d 2ψ ( x) 2

+

dx

2m 2

{E − V ( x)}ψ ( x) = 0

(3.179)

h

Podemos ver que elas são idênticas se o índice de refração da primeira for relacionado à função potencial da última por meio da relação: µ ( x) =

2m  E − V ( x) 2  2p v   h c

(3.180)

Logo, o comportamento de um sistema ótico com índice de refração n(x) deve ser idêntico ao comportamento de um sistema mecânico com energia potencial V(x), 

desde que as duas funções estejam relacionadas corno em (3.180). Sem dúvida, existem fenômenos óticos exatamente análogos a cada um dos fenômenos quânticos que surgem ao considerarmos o movimento de uma partícula não ligada. Um fenômeno ótico, inteiramente análogo à transmissão total de partículas por barreiras de comprimento igual a um número inteiro ou semi-inteiro de comprimentos de onda, é utilizado no revestimento de lentes para obtenção de transmissões muito altas de luz e em ltros ópticos de lmes nos (EISBERG; RESNICK, 1994). 258

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER  

Um análogo ótico da penetração de barreiras por partículas é obtido com os índices de refração imaginários que surgem na reexão interna total. Considere um raio de luz incidindo sobre uma superfície de separação entre o ar e o vidro em um ângulo maior do que o ângulo crítico . O comportamento resultante do rraio aio de luz é chamado reexão interna total e está ilustrado na parte superior da Figura 20. Um tratamento detalhado do processo em termos da teoria eletromagnética mostra que o índice de refração, medido ao longo da linha ABC, é real na região AB, mas imaginário na região BC. Observe que um (x) imaginário é sugerido por (3.180) para uma região análoga a uma na qual E < V(x). Além disso, a teoria eletromagnética mostra que há vibrações eletromagnéticas na região BC , exat exatame amente nte com a mes mesma ma for forma ma da onda estacionária exponencial decrescente de (EISBERG; RESNICK, 1994):

ψ  x 

{

=  

k2 cos k1 x − D sen k1 x k1  

− k2 x  

e

x

x 0

Para a região em que E < V(x). O uxo de energia (o vetor de Poynting) e zero nesta onda eletromagnética estacionária, assim como o uxo de probabilidade é zero para a onda estacionária da mecânica quântica, de forma que o raio de luz totalmente reetido. No entanto, se um segundo bloco de vidro for colocado sucientemente próximo ao primeiro bloco, de forma a estar na região na qual as vibrações eletromagnéticas ainda são apreciáveis, essas vibrações são captadas e se propagam através do segundo bloco. Além disso, as vibrações eletromagnéticas no espaçamento com ar agora conduzem um uxo de energia até o segundo  bloco. Este fenômeno, chamado reexão interna total frustrada, está está ilustrado na parte inferior da Figura 20 (EISBERG; RESNICK, 1994). Na Figura 20, ao alto: Ilustração Ilustração da reexão interna total de um ra raio io de luz. O ângulo de incidência é maior do que o ângulo crítico. Embaixo: ilustração da reexão interna total frustrada. Uma parte do raio luminoso é transmitida através do espaçamento com ar se este for sucientemente estreito (EISBERG; RESNICK, 1994).

259

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

FIGURA 20 – REFLEXÃO INTERNA TOTAL E REFLEXÃO INTERNA TOTAL FRUSTRADA

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 264)

Acontece basicamente a mesma coisa no caso quântico, quando a região na qual E < V(x) é diminuída desde uma largura innita (degrau de potencial) até uma largura nita (barreira de potencial). A transmissão de luz através do espaçamento com ar, em um ângulo de incidência maior do que o ângulo crítico, foi observada pela primeira vez por Newton, por volta de 1700. A equação relacionando a intensidade do feixe transmitido com a largura do espaçamento com ar, e outros parâmetros, é idêntica em forma a (3.176), e foi vericada experimentalmente (EISBERG; RESNICK, 1994). É particularmente fácil observar a reexão interna total frustrada de ondas

eletromagnéticas usando a região de micro-ondas do espectro e dois blocos de parana separados por um espaço contendo ar. Além disso, uma vericação cuidadosa das fotograas dos tanques de onda da Figura 21 (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 21 mostra a reexão interna total de ondas de água. À esquerda, é produzido um conjunto de ondas em uma região de água rasa, sendo as ondas iluminadas de forma a que suas cristas sejam facilmente visíveis. As ondas são reetidas totalmente no limite da região em que a camada de água ca abruptamente mais pro260

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

funda; a reexão ocorre porque a velocidade das ondas na água depende da profundidade da água. Observe que a intensidade das ondas cai rapidamente quando elas tentam penetrar na região de água mais profunda, mas que existe alguma penetração nessa região (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 21 – REFLEXÃO INTERNA TOTAL DE ONDAS NA ÁGUA.

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 265)

A Figura 21 mostra a reexão interna total frustrada de ondas de água. Quando a região de maior profundidade se torna um espaço sucientemente estreito, as ondas que penetram pene tram na água mais profunda são captadas e transmitidas para a segunda região de água rasa, mostrarão que o fenômeno pode ser observado até coma ondas de água. reexão surge internaa total ou seu equivalente quântico, penetração de A barreiras, partirfrustrada, de propriedades comuns a todas as formas de movimento ondulatório, tanto clássico quanto quântico (EISBERG; RESNICK, 1994).

 S  CA  I  D

O texto deste subtópico contém trechos extraídos do livro: EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. P. 258-266. Como dica para aprofundar seu conhecimento, leia o material na íntegra. Disponível em: http://bit.ly/2U66b9j. Acesso em: 10 set. 2019.

261

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Então concluímos que: Se uma partícula incide sobre uma barreira de potencial com energia menor ou maior que a altura do degrau, ela pode ser reetida ou transmitida. A transmissão no caso de energia menor que a barreira (efeito túnel) e a reexão no caso de energia maior que a barreira são situações não previstas pela Mecânica Clássica. As probabilidades de transmissão e reexão em cada caso são obtidas pelas leis da Mecânica Quântica (DONANGELO; CAPAZ, 2009b, p. 18).

Tenha em seguida o conhecimento com relação ao poço de potencial quadrado. Boa leitura!

5 O POÇO DE POTENCIAL QUADRADO Qual é a relação entre a barreira de potencial e o poço de potencial quadrado? Para o poço de potencial quadrado será aplicado o formalismo quântico um potencial a forma (temsubtópico um valor anterior V0 para xao a/2, eV(x) um que valortem 0 para –a/2de< um x < poço a/2). No vimos que, a barreira de potencial consiste numa região contendo um máximo de potencial que impede uma partícula, que se encontre num dos lados, atravesse para o outro lado, isto é, impede de atravessar para uma região cujas forças que predominam na interação interação entre as partículas são de caráter repulsivo. A partir deste subtópico, aprofundaremos nosso estudo sobre o poço de potencial quadrado (EISBERG; RESNICK, 1994). De acordo com Eisberg, Resnick (1994), a partir de agora, discutiremos um dos potenciais mais simples que apresentam esta propriedade: o poço de potencial quadrado (EISBERG; RESNICK, 1994). O potencial, neste caso, pode ser escrito como:

ψ ( x) = 0 0 V 

1994).

 

 

x < − a /2 ou x > + a /2 −a / 2< x+a/2 (à direita do poço). a chamada solução geral da equação na região dentro do poço é:   ik1 x

ψ ( x) = Ae

+ Be − i k x 1

  onde

k1

2mE h

− a / 2 < x < +a / 2

(3.182)

O primeiro termo descreve ondas se propagando propagando no sentido de x de  x crescente,  crescente, e o segundo, ondas se propagando no sentido de x de x decrescente  decrescente (EISBERG; RESNICK, 1994). 264

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

A descrição clássica da partícula oscilando dentro do poço sugere que a autofunção nesta região deve corresponder a uma mistura igual de ondas se movendo nos dois sentidos. As duas ondas de mesma amplitude se propagando em sentidos opostos vão se combinar, formando uma onda estacionária. Podemos obter este comportamento igualando as duas constantes arbitrárias, de forma que  A = B , isto dá (EISBERG; RESNICK, 1994): 1994):   ik1 x

+ e − ik x )

(3.183)

e ik1x + e − ik1x ψ ( x) = B ' 2

(3.184)

ψ ( x) = B( e

1

Que podemos escrever como:

Na qual B‘ é uma nova constante arbitrária, denida pela relação B‘ = 2B. Mas esta combinação de exponenciais complexas nos dá simplesmente: ψ ( x  ) = B ' cos k1 x

onde

k1 = 2mE h

(3.185)

Esta autofunção descreve uma onda estacionária, já que uma inspeção na função de onda associada ψ ( x, t) = ψ ( x  )e −iEt/ h  mostra que ela tem nós em posições xas, onde cos k1x = 0 (EISBERG; RESNICK, 1994).  Podemos obter também uma onda estacionária fazendo - A  A = B. Isto dá:  

ψ ( x) = A( e

− ik1 x

− e − ik x )

(3.186)

1

Que podemos escrever com: e ik1x − e − ik1x ψ ( x) = A ' 2i

(3.187)

Na qual  A‘ é uma nova constante arbitrária, denida por  A' = 2iA. Mas isto é exatamente: ψ ( x  ) = A ' sen k1 x

onde

k1 =

2 mE h

(3.188)

Schroedinger Como independente tanto (3.187) quanto do tempo (3.188) paia oespecicam mesmo valor soluções de E, e como da equação a equação de diferencial é linear em (x), sua soma: ψ ( x  ) = A ' sen k1 x + B ' cos k1 x

k1 =

onde

2mE h

− a / 2 < x < + a / 2 (3.189)

265

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Também é uma solução, como pode ser vericado por substituição direta. Na verdade, esta é uma solução geral da equação diferencial para a região dentro do poço porque ela contém duas constantes arbitrárias - é tão geral quanto à solução (3.182). Matematicamente, as duas são completamente equivalentes. No entanto, é mais conveniente utilizar (3.189) em problemas que en volvem o movimento de partículas ligadas. Fisicamente podemos pensar em (3.189) como descrevendo uma situação na qual uma partícula se move de forma tal que se conhece precisamente módulo de seu momento:  p = hk1 = 2mE

(3.190)

Mas o seu sentido pode ser tanto o de x crescente quanto o de x decrescente.  O  CA  N  E  T A

Consideremos agora as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo nas duas regiões fora do poço de potencial: x potencial: x < -a/2 e -a/2 e x  x > +a/2. Nestas regiões, as soluções gerais terão as formas:   e k 11x ψ ( x) = C

+ De − k 11x

(3.191)

Em que:

k11 =

2m(V0 − E)

x < −a / 2

h

(3.192)

E:

Fe k 11x ψ ( x) =  Fe

+ Ge − k 11x

(3.193)

Em que:

k11 =

2m(V0 − E) h

 

x > +a / 2

(3.194)

As duas formas de Ѱ (x) descrevem (x) descrevem ondas estacionárias na região fora do poço, já que na    − iEt/ h   as dependências em x e t ocorrem como função de onda associada ψ ( x , t ) = ψ ( x)e fatores separados. Estas ondas estacionárias têm nós, RESNICK, mas elas serão ondas estacionárias dentro do poço, que têm não nós (EISBERG; 1994). ajustadas às

266

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

Podemos obter autofunções válidas para todos os x unindo as formas consideradas, em cada uma das três regiões de x , para soluções gerais da equação equação de Schrödinger independente do tempo. Estas tr três ês formas envolvem seis constantes arbitrárias: A`, B` C, D, F e G. Mas como uma autofunção aceitável deve se manter sempre nita podemos ver imediatamente que devemos fazer D = 0 e F= 0. Se isto não fosse feito, a segunda exponencial em (3.192) faria  Ѱ(x) quando x  , e a primeira exponencial em (3.193) faria Ѱ (x) quando x . Mais quatro equações podem ser obtidas exigindo-se que Ѱ(x) e dѰ(x) /dx sejam contínuas nos dois limites entre as regiões, x = -a/2 e x= +a/2, como é necessário para que a autofunção seja aceitável. (Elas já são unívocas). Mas não podemos permitir que todas as quatro constantes arbitrárias que sobram sejam especicadas por estas quatro equações. Uma delas deve se manter não especicada, de forma tal que a amplitude da autofunção possa ser arbitrária. Exige-se que a amplitude seja arbitrária porque a equação diferencial é linear em relação à autofunção Ѱ (x). (x).  Assim, parece haver uma discrepância entre o número de equações que devem ser satisfeitas e o número de constantes que podem ser ajustadas, mas isto é resolvido considerando-se a energia total E  como uma constante adicional que pode ser ajustada, se necessário. Veremos que esse procedimento funciona, mas apenas para certos valores de E. Isto é, vai surgir um certo conjunto de valores possíveis da energia total E , e assim a energia total será quantizada, com um conjunto de autovalores. Apenas para estes valores da energia total é que a equação de Schrödinger tem soluções aceitáveis (EISBERG; RESNICK, 1994). Não é difícil fazer o que está descrito anteriormente, como vericaremos em  breve  bre ve tra tratan tando do um cas casoo especi especial. al. No enta entanto nto,, o cas casoo geral lev levaa a uma sol soluçã uçãoo que envolve uma equação transcendental complicada (uma equação na qual a incógnita está contida no argumento de uma função, como um seno), o que não permite expressar a solução de forma matematicamente concisa (EISBERG; RESNICK, 1994). Figura 24 apresenta um poço de potencial quadradodee autovalores seus três autovalores Ados estados ligados. Não está mostrado o contínuo da energia E > V 0 (EISBERG; RESNICK, 1994).

267

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

FIGURA 24 – AUTOVALORES DOS ESTADOS LIGADOS

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 274)

A Figura 25 mostra as três autofunções do poço quadrado da Figura 24. FIGURA 25 – TRÊS AUTOFUNÇÕES DO POÇO QUADRADO

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 275)

Segundo Eisberg e Resnick (1994, p. 274-275):

268

 

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

De acordo com a Figura 25 também não são mostradas as autofunções do contínuo. Observando primeiro a região de x dentro do poço, notamos que a curvatura da parte senoidal da autofunção cresce à medida que a energia do autovalor correspondente aumenta. Em consequência disso, quanto maior for a energia, mais numerosas são as oscilações da autofunção correspondente e maior é o número nú mero de onda. Estes resultados reetem o fato de que o número de onda angular k1 na solução de (3.189) para a região dentro do poço, é proporcional a E1/2. O poço de potencial quadrado desenhado na gura não tem um quarto estado ligado porque seria muito muito grand grandee para para sati satisso valor associado de k1 , e, portant portanto, o, de de E1/2 , seria fazer à condição de ligação E< V 0.

Consideremos agora as partes das autofunções que se estendem às regiões fora do poço. Na mecânica clássica, uma partícula nunca poderia ser encontrada nessas regiões, já que sua energia cinética é p2/2m = E - V(x), que é negativa quando E < V(x). Observemos que nestas regiões classicamente proibidas quanto menor for à energia do autovalor correspondente, mais rapidamente as autofunções tendem a zero. Isto está de acordo com o fato de que o parâmetro exponencial k11 , que aparece nas soluções (3.191)  e (3.193) para a região fora do poço, é 1/2.

E) restrição proporcional a (V 0 -da  Também  T ambém está dedeacordo a ideia queser quanto mais séria for a violação clássica, que a com energia totaldedeve ao menos do mesmo valor que a energia potencial V(x), menos facilmente as autofunções penetram nas regiões classicamente proibidas (EISBERG; RESNICK, 1994).

É instrutivo considerar o efeito que as autofunções sofrem se fazemos as paredes do poço quadrado carem muito altas, isto é, se fazemos V 0  Na Figura 26, está mostrada a primeira autofunção para um poço de potencial quadrado (EISBERG; RESNICK, 1994). A Figura 26 apresenta a primeira autofunção para um poço de potencial com paredes de altura moderada (EISBERG; RESNICK, 1994). FIGURA 26 – AUTOFUNÇÃO PARA PARA UM POÇO DE POTENCIAL.

FONTE: Eisberg, Resnick (1994, p. 276)

0 → ∞ , E1 crescerá, mas o fará de maneira muito lenta se comparada V  Quando ao crescimento de V0. Isto é verdadeiro porque E1 é determinado essencialmente pela exigência de que aproximadamente metade de uma oscilação da autofunção deve se ajustar ao comprimento do poço. Assim o parâmetro parâmetro exponencial k = 2m(V − E) / h  , que deter determin minaa o com compor portam tament entoo da aut autofu ofunçã nçãoo nas regiõ regiões es fora fora do poç poço, o, ca cará rá 11

0

269

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

muito grande à medida que V 0 ca muito grande, e a autofunção tenderá rapidamente a ir a zero fora do poço. No limite, Ѱ 1(x) deve ser zero para todos x < - a/2 e para todos x > +a/2. É evidente que este argumento é válido para todas as autofunções de um potencial deste tipo. Isto é, para todos os valores de n, em um poço de potencial quadrado innito: ψ n (   x) = 0

x

< −a / 2

(3.195)

Ou: x > +a / 2

(3.196)

 TA  O  N

Esta condição para as autofunções do poço quadrado infinito só pode ser satisfeita se for violada, em x em x = ±a/2, ±a/2, a exigência de que a derivada dѰn(x) /dx seja /dx seja contínua em todos os pontos; mas se o estudante for verificar o argumento que foi apresentado para justificar a exigência, verá que a derivada deve ser contínua apenas quando o potencial for finito.

 S  CA  I  D

O texto deste subtópico contém trechos extraídos dop. livro: EISBERG, R.; RESquântica NICK, R. Física . Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. 270-275. Como dica para aprofundar seu conhecimento, leia o material na íntegra. Disponível em: http://bit.ly/2U66b9j. Acesso em: 10 set. 2019.

Então concluímos que o poço de potencial representa a energia potencial  em forma de poço envolvida num certo sistema e pode ser qualicado como ni nito ou innito. Um poço de potencial é a região em torno de um mínimo local de energia potencial que, por sua vez, é a forma de energia que está associada a um

certo sistema, no qual ocorre interações entre diferentes corpos, e está relacionada com a posição que determinado corpo ocupa. vídeos!

No uni dicas você pode aprofundar o seu conhecimento assistindo alguns

270  

TÓPICO 2 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

 S  CA  I  D

Como sugestão, a fim de aprofundar os estudos e conhecimentos, apresentamos os seguintes vídeos: • HÁ UM GRANDE FALAT FALATÓRIO ÓRIO POR AÍ ... De De fato, está havendo um grande falatório falatório sobre a Física Quântica, em que nós ouvimos quase tudo sobre este assunto, até coisas que vão além do misticismo. Antes de qualquer comentário sobre isso, lembre-se de que não foi o povo que iniciou esse falatório, mas os próprios físicos, pois foram eles que primeiramente ficaram perplexos e espantados com os mistérios da Física Quântica. Saiba mais, assistindo ao seguinte vídeo: http://bit.ly/2tt8Krb. Acesso em: 17 out. 2019. • O Quantum é um verdadeiro verdadeiro fantasma. fantasma. Individualmente Individualmente ele existe somente somente quando interage com uma consciência que lhe observa, para aparecer e imediatamente desaparecer, para reaparecer e desaparecer novamente, e assim sucessivamente. Isso acontece dentro de tudo que existe: átomos, partículas, moléculas, minerais, vegetais e animais, inclusive dentro do nosso próprio corpo. Aprenda mais sobre o Quantum, assistindo ao seguinte vídeo: http://bit.ly/2SkvUs3. Acesso em: 17 out. 2019. • Mistério por bastasse, todos todos os essa lados. A realidade realidade quântica é naturalmente naturalmen te misteriosa! Como Como se isso não realidade em que nós vivemos os nossos cotidianos, ela própria também é misteriosa. Veja: mais de 70% do Universo é feito com uma energia invisível, conhecida como Energia Escura, e 25% dele é feito com uma matéria também invisível, conhecida como Matéria Escura, algo que os físicos ainda não sabem o que é. Aprenda mais sobre Deus versus a física quântica, assistindo ao seguinte vídeo: http:// bit.ly/2OnQMxy Acesso em: 17 out. 2019.

 S  O  R  U  T  U  F F    S  S   O  D  U  T  S  E

O conteúdo que será abordado no decorrer do Livro Didático Did ático no próximo tópico será sobre a estrutura atômica. A estrutura atômica é composta por três partículas fundamentais: prótons (com carga positiva), nêutrons (partículas neutras) e elétrons (com carga negativa). Toda matéria é formada de átomo sendo que cada elemento químico possui átomos di diferenferentes. Fique agora com dicas de leitura complementar sobre o assunto do Tópico 2.

271  

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

 S  CA  I  D

Como sugestão de leitura, a fim de aprofundar aprofundar seus conhecimentos, conhecimentos, apresentamos o texto a seguir: A Física Quântica e sua Utilização na Vida Prática:

1. Quais são os significados dos princípios quânticos? quânticos? 2. Quando e onde os princípios quânticos atuam sobre as pessoas em suas atividades e relacionamentos? 3. Como os princípios quânticos podem ser utilizados como ferramentas para resolver problemas e concretizar projetos? Disponível em: http://bit.ly/2uhZQxb. Acesso em: 17 out. 2019.

272

 

RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você aprendeu que: 2  d ψ  • − + Ep ( x )ψ = Eψ    é a equação de Schrödinger independente do tem 2 po.2m  dx 2

• A energia total da partícula, sugere que o pr primeiro imeiro termo da esquerda corresponde à energia cinética, e o segundo termo está relacionado à energia. • Uma partícula livre é aquela que não sofre a inuência de nenhuma força e, portanto, tem associada uma energia potencial constante ou nula. • Um degrau de potencial é denido por uma energia potencial nula para x > 0 é igual a uma constante V 0 para x > 0. • Se uma partícula incide a partir da esquerda com energia menor que a altura do degrau, essa partícula é reetida com 100% de probabilidade. Porém, consegue penetrar um pouco na região classicamente proibida. • Se uma partícula incide sobr sobree um degrau de potencial com energia maior maior que a altura do degrau, ela pode ser reetida ou transmitida, com probabilidades dadas pelos coecientes de reexão e transmissão, respectivamente. Esses coecientes são funções da razão entre a energia da partícula e a altura do degrau. • Se uma partícula incide sobre uma barreira de potencial com energia menor ou maior altura do degrau, ela pode ser reetida ou transmitida. são noque casoade energia menor que a barreira (efeito túnel) e a reexãoAnotransmiscaso de energia maior que a barreira são situações não previstas pela Mecânica Clássica. As probabilidades de transmissão e reexão em cada caso são obtidas pelas leis da Mecânica Quântica. • Uma partícula incidente em um poço de potencial com E > V 0 pode ser transmitida ou reetida, exatamente como no caso da barreira de potencial. • Os coecientes de reexão e transmissão apresentam oscilações oscilações com a energia

da partícula incidente. • Para alguns vvalores alores da energia incidente, a partícula é transmitida transmitida com probabiliexistem m dade de 100%, o que é conhecido como efeito Ramsauer. Já se 0 < E < V 0 , existe soluções para a equação de Schrödinger para apenas alguns valores da energia (estados ligados). • Essas soluções podem ser pares ou ímpares, e quanto maior o número de nodos das funções de onda, maior o valor da energia da partícula. 273

 

AUTOATIVIDADE 1 Faça uma estimativa da distância de penetração ∆x para uma partícula de poeira muito pequena, de raio r = 10-6 m  m e  e densidade = 104 kg/m3 , se movend movendoo com a velocidade muito baixa v = 10-2 m/s , se a par partíc tícula ula ati atinge nge uum m de degra grauu de potencial de altura igual a duas vezes sua energia cinética, vinda da região à esquerda do degrau. 2 Um elétron de condução se m move ove através de um bloco de Cu Cu com  com energia total E, sob inuência de um potencial que, em uma boa aproximação, tem um valor constante zero no interior do bloco e subitamente cresce até o valor constante V 0 > E fora E fora do bloco. O valor do potencial no interior é basicamente constante e pode ser considerado nulo, pois um elétron de condução dentro do metal praticamente não sofre inuência da força coulombiana total exercida pela distribuição de cargas aproximadamente uniforme que o cerca. cerca. O potencial cresce muito rapidamente na superfície do metal até o valor exterior V 0 , porque  , porque o elétron sofre uma forte atração exercida pela distribuição de cargas não uniforme presente nesta região. Esta força tende a at atraí-lo raí-lo de volta ao metal e é, evidentemente, o que faz com que o elétron de condução que ligado ao metal. Devido ao elétron estar ligado, V 0 deve ser maior do que sua energia total E. O valor no exterior do potencial é constante, se o metal não tiver carga total, pois fora do metal o elétron não sofreria ação de nenhuma força, A massa do elétron é m = 9 x 10-11 kg . Medidas da energia necessária para removê-lo permanentemente do bloco, ou seja, medidas de sua função trabalho mostram que V 0 - E = 4 eV. Destes dados, dados, faça uma estimati estimativa va da distân distância cia x que o elétron pode penetrar na região classicamente proibida fora do bloco. 3 Quando um nêutr nêutron on entra em um núcleo, ca sob inuência de um potencial que cai na superfície nuclear muito rapidamente de um valor externo constante V = 00 a  a um valor interno constante de cerca de V = -50 MeV . A queda no potencial é o que faz com que um nêutron possa estar ligado em um núcleo. Considere um nêutron incidindo sobre um núcleo com uma energia cinética externa K=5 MeV  , que é típica típica de um nêu nêutro tronn logo qu quee ele é emiti emitido do a partir partir de uma uma ssão nuclear. Faça uma est estimativa imativa da probabilidade de que o nêutron seja reetido na superfície nuclear, desta forma não conseguindo entrar e induzir outra ssão nuclear.

274

 

UNIDADE 3

TÓPICO 3

ESTRUTURA ATÔMICA 1 INTRODUÇÃO No tópico anterior estudamos sobre a equação de Schrödinger independente do tempo, que é uma equação tão fundamental em Mecânica Quântica como a equação de Schrödinger dependente do tempo. E de acordo com isso, cou estabelecido que a função de onda pode ser escrita como: a distribuição de probabilidade é constante no tempo. Neste tópico, vamos aplicar a teoria quântica quântica a sistemas atômicos. Para todos os neutros, com exceção hidrogênio, a equação de atômica Schrödinger pode serátomos resolvida exatamente. Apesardodisso, foi no rreino eino da física que anão equação de Schrödinger colheu seus maiores sucessos, já que os físicos sabem como descrever matematicamente a interação eletromagnética dos elétrons com outros elétrons e com o núcleo atômico. atômico. Com o uso de mét métodos odos aproximados e de computadores de alta velocidade, vários aspectos do comportamento de átomos mais complexos que o hidrogênio, como os comprimentos de onda e intensidades das linhas espectrais, podem ser calculados, muitas vezes com uma precisão tão alta quanto se deseje. deseje. A equação de Schroedinger para o átomo de hidrogênio foi resolvida no primeiro artigo de Schroedinger, publicado em 1926. Este problema é muito importante, não só porque neste caso a equação de Schrödinger pode ser resolvida exatamente, mas também porque as soluções obtidas servem como ponto de partida para soluções aproximadas no caso de outros átomos. Por essa razão, vamos estudar este problema com uma certa profundidade. Embora algumas passagens matemáticas necessárias para resolver a equação de Schrödinger sejam um pouco difíceis, vamos tentar apresentar resultados quantitativos sempre que possível, mostrando alguns resultados sem demonstrá-los e discutindo qualitativamente aspectos importantes destes resultados apenas apenas quando necessário. Sempre que possível, forneceremos argumentos físicos simples para mostrar que os resultados são razoáveis. Tenha em seguida o conhecimento com relação ao átomo de hidrogênio. Boa

leitura!

275

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

2 O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO Neste tópico vamos estudar a estrutura atômica. Podemos perguntar qual a relação existente entre o átomo de hidrogênio com a estrutura atômica? O átomo de hidrogênio foi usado por Niels Bohr para explicar a estrutura do átomo. Em 1913, o físico dinamarquês Niels Bohr desenvolveu um novo modelo para explicar a estabilidade da matéria e a emissão do espectro em raias denidas em cada elemento. Esse modelo embora ainda não “funcionasse” para átomos mais pesados, explicou com perfeição os fenômenos como o espectro de emissão e absorção do hidrogênio. O hidrogênio é o átomo mais simples que existe: seu núcleo tem apenas um próton e só há um elétron orbitando em torno desse núcleo. Para explicar a evidente estabilidade do átomo de hidrogênio e, de quebra, a aparência aparência das séries de linhas espectrais desse elemento (PAULA, 2019, s.p.). Ernest Rutherford que deduziu que um átomo é formado de um núcleo pequeno e denso, onde residem os prótons (cargas positivas) e igual número de elétrons (cargas negativas) habitando a periferia. Este remos modelonosso cou estudo conhecido como modelo planetário. A partir d deste este tópico aprofunda aprofundaremos sobre a estr estrutura utura atômica especialmente com o átomo de hidrogênio (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006).

2.1 QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR E DA ENERGIA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO Neste tópico resolveremos a equação de Schrödinger independente do tempo para o átomo de hidrogênio e para outros áátomos tomos com um elétron. Veremos que a quantização da energia e do momento angular são consequências natudas condições dedos aceitabilidade das funções e discutiremos a origem erais o signicado físico números quânticos n, l de e monda ( TIPLER; LLEWELLYN, 2006). O primeiro passo para resolver uma equação diferencial parcial como a equação: 1 ∂  2 ∂ψ   2 r − − 2 µ r 2 ∂r  ∂r  2 µ r 2 

2

 1 ∂  ∂ψ  sen θ ∂θ  sen θ ∂θ  

 1 ∂ 2ψ    + s en  2 θ ∂φ 2  + V (r )ψ = Eψ   

(3.197A)

Que consiste em procurar soluções separáveis escrevendo a função

de onda ψ (r ,θ ,φ )  como o produto de funções de uma única variável (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELL YN, 2006). Assim, escrevemos: ψ (r ,θ ,φ ) = R(r ) f (θ ) g(φ )  

(3.197B)

Na qual R depende apenas da coordenada radial r, f  depende  depende apenas de e g depende apenas de . Quando esta forma de ψ (r ,θ ,φ )  é substituída na equação (3.197A), a equação diferencial parcial pode ser transformada em três equa276

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

ções diferenciais ordinárias uma para R(r), uma para f( ) e uma para g( ).  Muitas das soluções da equação (3.197A (3.197A),), naturalmente, não possuem eesta sta forma; entretanto, se um número suciente de soluções com a forma da equação (3.197B) for encontrado, todas as soluções da equação poderão ser expressas como combinações lineares destas soluções. Acontece que as soluções com a forma da equação (3.197B) são sicamente as mais importantes, porque correspondem a valores denidos (autovalores) da energia e do momento angular (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). Substituindo a equação (3.197B) na Eq. (3.197A) (3.197A) e executando todas as diferenciações indicadas, temos: df 1 d  2 dR   2 1 d  Rg sen θ  −  fg 2  r −   2 2 µ r dr  dr  2 µ r dθ   sen θ dθ  

2

Rf d 2 g  2 = ERfg  − 2 µ   r 2 sen2 θ dφ 2 + VRfg   

(3.198)

 Já que as derivadas em relação relação à r não afetam f( ) e g( ), as derivadas em relação relaç ão à não afeta afetam m R(r) e g( ) e as deriv derivadas adas em relaçã relaçãoo à não afetam R(r) e f( ). Pa Para ra sep separa ararr aass fu funçõ nções es qque ue d depen ependem dem de r das funções que dependem de e de , basta multiplicar a equação 3.198 por −2 µ r 2 / h 2 Rfg  e reagrupar os termos (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006). O resultado é o seguinte:  df (θ )  d 2 g(φ )  d  1 d  2 dR(r )  2 µ r 2 1 1 r +  E − V (r ) = −   sen θ  dθ    +  g(φ )sen2θ dφ 2  R(r ) dr  dr   2     f (θ )sen θ dθ   

(3.199)

Dois pontos importantes podem ser observados com relação à equação 3.199: •

O lado esquerdo contém apenas termos que dependem de r, enquanto o lado direito contém apenas termos que dependem de θ   e de ∅ . Como as variáv variáveis eis são independentes, mudanças em r não podem alterar o valor do lado direito da equação, enquanto mudanças em θ   e ∅  não podem alterar o valor do lado esquerdo. Assim, os dois lados da equa equação ção devem ser iguais à mesm mesmaa constante, que vamos chamar, por razões que veremos mais tarde, de l (l + 1) (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). 

•

Como o potencial depende apenas de r , a solução do lado direito (a par parte te angular)) da equação (3.199) deve ser a mesma para qualquer potencial que dependa lar apenas de r (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).

Tendo em vista o segundo ponto, resolveremos primeiro a equação angular para que os resultados estejam disponíveis quando começarmos a examinar as soluções da equação que depende de r, conhecida como equação radial, para

valores particulares do potencial V(r) (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).  Fazendo o lado direito da equação 3.199 igual al (l  + 1)  ,, multiplicando por sen2 θ   e reagrupando os termos, temos: 1 d 2 g(φ ) sen θ  d 2 l ( l 1 ) s e n = − + θ −  g(φ ) dφ 2 f (θ  ) dθ

df (θ )     s e n θ   dθ  

 

(3.200)

277

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Como o lado esquerdo da equação 3.200 depende apenas de e o lado direito depende apenas de , ambos devem ser iguais à mesma consta constante, nte, que vamos chamar, por razões que veremos em seguida, de  –m2. Fazendo o lado esquerdo da Eq. 3.200 igual a -m2  e resolvendo a equação diferencial resultante, temos (TIPLER; LLEWELLYN, 2006):  gm (φ )  =  e im  φ 

(3.201)

Para que a função de onda total  Ѱ  Ѱ  seja unívoca, é preciso que  g(φ + 2p ) = g(φ )  , e, portanto, que o número m que aparece na equação 3.201 seja zero ou um número inteiro positivo ou negativo ((TIPLER; TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). Fazendo o lado direito da equação 3.200 igual a  –m2 e resolvendo a equação diferencial resultante, temos (a solução não é óbvia):  f im (θ ) =

( sen θ )im  2' l!

    d(cos θ )  d

l + im

(cos 2 θ  − 1) '

(3.202)

Em que: l = 0,1,2,3,... m = 0 , ±1, ±2 , ...

(3.203)

As limitações indicadas anteriormente para os valores de l  e m resultam da exigência de que f( θ  ) seja nita em θ   = 0 e θ   = . Observe que existe uma relação entre l e m: para cada valor de l , , são permitidos apenas valores de m tais que m ≤ l. As funções f lm (θ  ) dadas pela equação 3.202 são conhecidas como funções f unções de 0 recebem o Legendre associadas. As funções de Legendre aassociadas ssociadas ccom om m ,=2006). nome especial de polinômios de Legendre (TIPLER; LLEWELLYN LLEWELLYN,

O produto de  f lm  ( θ  )  por gm  ( ∅ ), que descreve a variação angular de para qualquer potencial com simetria esférica, constitui uma família de funções que aparecem com freqüência em problemas de física: Yim (θ , φ ) = fim (θ ) gm (φ )  

(3.204)

Que são chamadas de harmônicos esféricos (TIPLER; LLEWELLYN,

2006). A seguir, algumas dessa dessass funções.

278

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

FIGURA 27 – HARMÔNICOS ESFÉRICOS

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 189)

É fácil obter o valor das funções de Legendre associadas e dos polinômios de Legendre a partir dos harmônicos esféricos (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006).

2.2 QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR O momento angular L de um corpo de massa m cuja posição é especicada por um vetor posição r é dado por:

L=rXp

(3.205)

Em que p que p = m(dr/dt). Se o potencial a que o corpo está submetido é função f unção apenas de r (como acontece com o elétron do átomo de hidrogênio), o momento angular L é conservado e o movimento clássico do corpo ocorre em um plano xo perpendicular a L passando pela origem (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). As componentes do momento p momento  p na  na direção de r e pr e na direção perpendicular a r (e a L) são dadas por:

 dr    dt 

(3.206)

   dA  Pt = µ   r   dt  

(3.207)

Pr = µ   

E:

279

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

E o módulo do vetor constante L é dado por: L = rp  sen A = rpt

(3.208)

A Figura 28 mostra quando V = V(r), a órbita de uma partícula clássica está em um plano particular componentes doOmomento p momento  p nas  nasr direções paralela e perpendicular a r são par eL.pAs respectivamente. vetor posição faz um ângulo A r* com direção de referência (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). FIGURA 28 – ÓRBITA E O VETOR POSIÇÃO

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 189)

Em termos dessas componentes, a energia cinética pode ser escrita como:  p 2  pr2 + pt2  pr2 L2 = = + 2µ 2µ 2 µ    2 µ r 2

E, portanto, a energia clássica total E é dada por:  p 2  

L2

(3.209)

r

+

2 µ    2 µ r 2

+ V (r ) = E

(3.210)

Reescrevendo a equação (3.210) em termos do potencial ‘"efetivo  , temos:  pr2 + Vef  (r ) = E 2 µ 

(3.211)

280

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

Que é idêntica à equação usada para demonstrar a equação de Schrödinger (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). Usaremos a expressão da energia total da partícula, que no caso atual é a equação (3.210) para chegar à equação de Schroedinger (TIPLER; LLEWELLYN, de Pr2 , diferenciais 2006). Para apropriados is isso, so, usaremos (ema coordenadas relaç relação ão de Broglie esféricas) e introduziremos para p2 e L2. No os caso operadores o operador é: 1 ∂ ∂  ( pr2 )op = − 2  2  r 2  r ∂r  ∂r 

(3.212)

Que, di Que, dividi vidido do po porr 2 e ope operan rando do em Ѱ é o primeiro termo (energia cinética) da equação de Schroedinger em coordenadas esféricas (Eq. 3.197A) (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). O operador L2 é dado por:

 1 ∂  1 ∂  ( L )op = −  sen θ ∂θ  sen  θ  ∂θ   + sen    2 2

2

θ

∂2  ∂φ 2 

(3.213)

Que, dividido por  2 r2  e operando em Ѱ  é   é o segundo termo da equação de Schrödinger em coordenadas coordenadas esféricas (equação 3.197A 3.197A).). O lado direito da equação 3.199, que é igual a pode, portanto, ser escrito da seguinte forma, 2 depois de multiplicado por h f (θ ) g(φ )  e lembrando que  fim (θ ) gm (φ ) = Y im (θ ,φ ) :   

 1 ∂  1 ∂  s e n   −  θ +      2  sen θ ∂θ    ∂θ   sen 2

θ

∂2  2 Y ( , ) l ( l 1 ) Yim (θ  ,φ )  θ φ = + 2  im ∂φ  

 (3.214)

Ou: ( L2 )op Yim (θ ,φ ) = l(l + 1  ) 2Yim (θ   ,φ )  

Ou, como ψ (r ,θ ,φ ) = R(r )Y (θ  ,φ ),), 

(3.215)

 

( L2 )opψ (r ,θ ,φ ) = l(l + 1  ) 2ψ (r ,θ ,φ )  

(3.216)

281

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Temos um resultado muito importante de que para qualquer potencial da forma V = V(r), o V(r), o momento angular é quantizado e seus módulos permitidos (autovalores) são dados por:

|L|= l(  l + 1)

(3.217)

Temos um resultado muito importante de que para qualquer potencial da forma V = V(r),  V(r),  o momento angular é quantizado e seus módulos permitidos (autovalores) são dados por:

1 = 0, 1, 2, 3,...

(3.218)

Em que l é chamado de número quântico de momento angular. Podemos usar o mesmo método método de substituição para Z... a componente z de L, e mostrar que a componente r do momento angular é quantizada e seus valores permitidos são dados por:

Lz = m   para m = 0 , ±1, ±2.... ± l

(3.219)

O significado físico da equação (3.219) é que o momento angular L, cujo módulo é quantizado em valores de l(l + 1)   , pode apontar apenas em direções no espaço tais que a projeção de L no eixo eixo dos z seja 0 ou um múltiplo inteiro de . Assim, L é também espacialmente quantizado (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 189-190).

A Figura 28 mostra o modelo vetorial ilustrando as orientações possíveis de L no espaço e os valores possíveis de Lz para a casa em que = 2.

282

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

FIGURA 29 – ILUSTRAÇÃO DAS ORIENTAÇÕES ORIENTAÇÕES POSSÍVEIS DE L.

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 190)

O diagrama que aparece na Figura 29, denominado modelo vetorial do átomo, mostra as possíveis orientações do vetor momento angular. Observe que o vetor momento angular nunca aponta no sentido do eixo dos z  já que a maior componente possível de z, m   é sempre menor do que o módulo do vetor, 1(1 + 1  ) . Este fato é consequência do princípio de indeterminação do momento angular (que não vamos demonstrar), segundo o qual é impossível determinar com precisão absoluta duas componentes do momento angular a não ser no caso trivial em que o momento momento angular é nulo. Observe que ppara ara um dado valor de l existem 2l+1 valores possíveis de m, que vão de -l a + l em intervalos inteiros. Operadores para Lx e Ly também podem ser obtidos pelo método de substituição; entretanto, operando com eles na função de onda Ѱ não obtemos autovalores. autovalores. Isto acontece porque porque para especicar rotações em torno dos eixos dos x e dos v é preciso medir dois θ 

∅

ângulos diferentes,  e .(TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006, p. 190).

2.3 QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA Os resultados discutidos até agora se aplicam a qualquer sistema que seja esfericamente simétrico, isto é, no qual a energia potencial só dependa de r. A solução da equação radial para R (r) por outro lado, depende da forma detalhada de V(r). O novo número quântico associado à coordenada r é denominado número quântico

principal e é representado pela letra n. Como veremos, este número quântico está relacionado à energia no caso do átomo de hidrogênio (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). A Figura 30 mostra um gráco da energia potencial em função da distância radial r. Se a energia total é positiva, o elétron não está ligado ao átomo e a energia não é quantizada. Quando a energia total é negativa, como E, o elétron está ligado ao átomo e apenas certos valores discretos da energia total levam a soluções bem-comportadas (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELL YN, 2006, p. 190).

283

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

FIGURA 30 – GRÁFICO DA ENERGIA POTENCIAL.

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 191)

A Figura 30 mostra um gráco da energia potencial, dada pela Equação:   Zke 2 V (r ) = − r

Em função da distância radial r. Se a energia total é positiva, o elétron não está ligado ao átomo. No momento, esta estamos mos interessados apenas em estados ligados, isto é, estados para os quais a energia E é negativa. Neste caso, como mostra a gura, a energia potencial se torna maior que E para grandes valores de r. Acontece que no caso de sistemas ligados, como já vimos apenas certos valores de E levam a soluções bem-comportadas. Esses valores podem ser determinados resolvendo a equação radial, que é obtida igualando o lado esquerdo da equação (3.199) à constante . Para o potencial de Coulomb, dado pela equação   Zke  , a equação radial tem a forma: V (r ) 2

= −

r

− d  2 dR(r )   kZe 2 2 l(l + 1)  r R(r ) = ER(r ) + − +    2 2 d   r 2µr d  2 µ r 

(3.220)

A equação radial pode ser resolvida usando os métodos convencionais de solução de equações diferenciais: os detalhes da solução serão omitidos exceto para observar (1) que esperamos que exista uma ligação entre o número quântico principal n 

e o número quântico quântico de momento angula angularr , já que último está presente na equação (3.220), e  (2)  que para que as soluções da equação (3.220) sejam bem comportadas, apenas certos valores da energia são permitidos (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006).

284

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

Os valores permitidos de E são dados por: 2

 kZe 2  µ  Z 2 El En = −  =− 2  2  n   2n

(3.221)

El = µ k 2 e 4 / 2h 2 ≈ 13, 6 e V  e

o número quântico principal pode assumir os valores 1, 2, 3... com a restrição adicional de que n deve ser maior que l. Estes valores de energia são idênticos aos encontrados no modelo de Bohr (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).

As funções radiais encontradas resolvendo-se a equação 3.220 para o caso do átomo de hidrogênio são dadas pela seguinte equação:

  r  a  0

Rnl (r ) = a  0 e − ria0  nr −1 nl 

funções especiais denominadas polinômios de Laguerre a0 =  h 2 / µ ke 2  é o raio de Bohr. A Figura 31 mostra as funções radiais Rnl (r) para n = 1, 2 e 3. Em que

 nl (  r / a0 )  são

FIGURA 31 – FUNÇÕES RADIAIS DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 2 −r / a z=1 l=0 R = e 0

10

z=2

l=0

R20 =

 

l=0

R20 =

 

  l=1

R21 =

3 0

a

1 

r  − r /2 a 1−  e 2a03  2a0 

0

1 

0

r  − r /2 a 1−  e 3 a 2 2a0  0 

1

r − r /2 a0 e 3 a 2 6a0 0

2



r

2r 2 

z=3

l=0

R30 =

e +  1 − 2   a 3   a 27 3 3a  0 0 

 

l=1

R31 =

r  r  − r /3 a 0 e 1 27 6a03 a0  − 6a0 

l=2

R32 =

r 2 − r /3 a0 e 3 a2 8 30a0 0

r /3 a0

3 0

8

 

 

4

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 191)

285

 

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2.4 RESUMO DOS NÚMEROS QUÂNTICOS  E  T  N  TA  R  O  P  M  I

r,

e

Os valores permitidos dos números quânticos n, l e m associados às variáveis são os seguintes: seguintes :

n = 1,2,3... l = 0 , 1, 2. 2..., (n − 1)

(3.223)

m = −l , ,(( −l + 1),..., 0, 1,2 1, 2 , ..., +l

O fato de a energia do átomo de hidrogênio não depender de l está de acordo com a teoria clássica, já que, de acordo com a mecânica clássica, a energia de uma partícula que se move em uma órbita elíptica sob a ação de uma força proporcional ao inverso do quadrado da distância não depende da excentricidade excentricidade da órbita. A órbita de menor excentriexcentricidade (isto é, a mais próxima de um círculo) está associada ao maior valor possível do momento angular (l= n - 1), enquanto um valor de l pequeno corresponde corresponde a uma uma órbita altamente altamente excêntrica. excêntrica. (Quando o momento angular é nulo, isto é, quando l = 0, o elétron se limita a executar oscilações ao longo de uma linha reta que passa pelo núcleo.). Tanto Tanto na teoria clássica como na teoria quântica, quando a força central não varia com o quadrado do inverso da distância, a energia depende do momento angular. Nesse caso, a energia é função tanto de n como de l (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 191). O número quântico m está relacionado a componente z do momento angular. Como não existe uma direção preferencial para o eixo dos z no caso de uma força central, a energia não pode depender de m. Veremos mais tarde que quando o átomo está imerso em um campo magnético externo, existe uma direção preferencial no espaço e a energia depende de m (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 191). A Figura 32 mostra o diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio, mostrando as transições que obedecem à regra de seleção = . Os estados com o mesmo valor de n e valores diferentes de l têm a mesma energia, - E/ri2 , onde E = - 13,6 eV  , como na teoria de

1

Bohr. Os comprimentos de onda da linha a da série de Lyman (n = 2 n = 1) e da linha a da série de Balmer (n = 3 n = 2) estão indicados em nm. Observe que no segundo caso existem três três transições distintas com o mesmo comprimento de onda (de n = 3, l = 0 para n = 2, l = 1: de n = 3, l = 1 para n = 2, l = 0; de n = 3, l = 2 para n = 2. l = 1) (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 192).

286

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

FIGURA 32 – DIAGRAMA DOS NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

 

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 192)

  As transições do tipo dipolo elétrico entre os níveis de energia obedecem às regras de seleção:

Dm = 0 ou ± 1 Dl = ±1 O fato de que o número quântico um deve variar de ± 1 quando o átomo emite ou absorve um fóton está relacionado à conservação do momento angular, já que o fóton possui um momento angular intrínseco igual a 1ℏ. Por outro lado, não existem restrições quanto à variação do número quântico principal, Dn  (TIPLER.; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006, p. 191).

2.5 AS FUNÇÕES DE ONDA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

As funções de onda ψ (  r ,θ ,φ )  que satisfazem à equação de Schrödinger do átomo de hidrogênio são funções complicadas de e . Neste tópico, vamos escrever por extenso algumas dessas funções e mostrar gracamente algumas de suas propriedades mais importantes (TIPLER; LLEWELLY LLEWELLYN, N, 2006). nlm

287

   

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

 O  CA  N  E  T A

vimos va(equação riação com da éfunção função onda é dada dada simplessimp lesmente por AComo variação coma variação 3.202) dada pelas pde elasonda funções funç(Eq. ões3.201) de Legendre associadas  m ( ). A variação variação angular angular compl completa eta é dada pelos harmônic harmônicos os esféric esféricos os Ylm ( , ), o g Y ( θ , φ ) f ( θ ) g ( φ )   = produto de  m ( )por m  ( ) (Eq, im ); os valores dos harmônicos im m esféricos para l= 0, 1 e 2 aparecem na Figura 27. As soluções da equação radial Rnl(r) são da forma indicada na equação 3.222, os valores para n=1,2 e 3  3  aparecem na Figura 31. De acordo com a equação 3.197B equação  3.197B a  a função de onda completa do átomo de hidrogênio é dada por:

ψ nlm (r ,θ , φ ) = Cnlm Rlu (r ) flm (θ ) gm (φ )  

(3.225)

A qual é uma constante de normalização (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006).

Podemos ver pela forma da equação 3.225 que a função de onda completa depende dos números quânticos n, l e m que por sua vez resultam das condições de contorno impostas às funções R(r). ) e g( ). A energia, por outro lado depende apenas do valor de n. De acordo com a equação 3.223, para cada valor de 2, ....., n − 1)  e para cada valor de l existem n existem n valores possíveis de l(l = 0, 1,1, 2, 2 l + 1 valores possíveis de m  (m = −l , −l + 1, ..., +l)  +l). Exceto no caso do estado fundamental (para o qual n = 1 e, portanto l = m = 0), existem várias funções de onda correspondentes à mesma energia. Como vimos no subtópico anterior, a origem desta degeneração está na variação com 1/r2da força de atração do núcleo e no fato de que não existem orientações privilegiadas no espaço (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).

2.6 O ESTADO ESTADO FUNDAMEN F UNDAMENTTAL Vamos examinar mais de perto as funções de onda de alguns estados, começando pelo estado de menor energia, ou estado fundamental, para o qual n = 1, l = 0 e m = 0. Nesse caso, o polinômio de Laguerre   aí da equação 3.222 é igual a 1 e a função de onda é dada por: nl

ψ 10 0

= C100 e − Zr / a0

(3.226)

A constante C100 é determinada por normalização: ∞

p

2 p 

0

0

0

∫ψ *ψ dτ =∫ ∫ ∫

ψ * ψ r 2 sen θ dφ dθ d r = 1

(3.227)

288

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

Na qual usamos o elemento de volume em coordenadas esféricas (Figura 33) (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). A Figura 33 33 mostr mostraa o elemento d dee volume d em coord coordenada enadass esféric esféricas. as. FIGURA 33 – ELEMENTO DE VOLUME EM COORDENADAS ESFÉRICAS

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 192)

dτ = (r sen θ dφ )(r dθ )( d  r )

(3.228)

Como Ѱ* Ѱ  é   é esfericamente simétrica para este estado, o resultado das integr int egraçõ ações es em e é 4 . Int Integr egrand andoo em r tem temos: os:

C100

1 Z =   p  a0 

3/ 2

1 1 =   p   a0 

3/ 2

  para

Z=1

(3.229)

A probabilida probabilidade de de enc encontra ontrarr um elé elétron tron no volume d é Ѱ * Ѱ  d   d (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). A densidade de probabilidade está ilustrada na Figura 34.

A Figura 34 mostra a densidade de probabilidade  Ѱ *

  para o estado  para

Ѱ 

Ѱ * Ѱ  pode ser encarada como fundamental docarga átomoassociada de hidrogênio. A grandeza a densidade de ao elétron .

289

 

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a) A densidade de probabilidade tem simetria esférica, é máxima na origem e diminui exponencialmente com r. Para gerar este gráco um programa de computador realizou centenas de "observações" do elétron no plano xz (ou seja, com 0) e assinalou com um ponto as posições em que o elétron foi "observado”.  b) Gráco Gráco mais mais convenc convencion ional al da densid densidade ade de probabi probabilid lidade ade Ѱ 100  em função de r/a0. Compare os dois grácos (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 193). FIGURA 34 – DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESTADO FUNDAMENTAL DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 193)

No caso do estado fundamental, a densidade de probabilidade é máxima na origem. Muitas vezes é mais interessante interessante calcular a probabilidade de encontrar o elétron em uma casca esférica entre r e r + dr. Esta probabilidade, P (r) dr, conhecida como densidade de probabilidade radial, é igual à densidade de pro babilidade Ѱ* Ѱ multiplicada pelo volume de uma casca esférica de espessura dr (TIPLER; LLEWELLYN, 2006):

290

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

 2 P( r )dr = ψ * ψ 4pτ 2 dr = 4pτ 2 C 100 e −2 Zr / a0 dr

(3.230)

A Figura 35 mostra um gráco de P (r) em função de r/a0. (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). A Figura 35 apresenta a densidade de probabilidade radial P(r) em função de r/a0 para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, P(r) é proporcional a  p = eψ * ψ   A distância mais provável é igual ig ual ao raio de Bohr (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). FIGURA 35 – DENSIDADE DE PROBABILIDADE RADIAL P ( r)

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 193)

Ao contrário do que ocorre no modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, em que o elétron possui uma órbita bem denida com r = a0 , no modelo de Schroedinger o elétron pode ser encontrado a qualquer distância do núcleo; entretanto, a distância mais provável é e a probabilidade de o elétron ser encontrado a uma distância muito diferente deste valor é extremamente pequena. É possível imaginar o elétron como sendo uma nuvem de carga negativa de densidade  p = eΨ * Ψ   sem esquecer, porém, que o elétron é sempre observado como uma carga isolada.

Observe que o momento angular do elétron no estado fundamental é zero e não ℏ, como na teoria de Bohr (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006).

291

 

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2.7 ESTADOS EXCITADOS No primeiro estado excitado, n = 2 e l = 0 ou 1, para l = 0, m = 0, e novamente temos uma função de onda com simetria esférica, dada por: ψ 200

= C200   2 − Zr   e − Zr / 2 a a0  

0

Para l = 1, m = + 1,0 ou -1.  As

Tabelas 3.1 e 3.2) são:

ψ 210 ψ 21±1

= C210

funções de onda correspondentes (veja as

Zr − Zr / 2 a0   cos θ  e a0

= C21±1

(3.231)

Zr − Zr / 2 a0     e sen θ  e ± iφ  a0

(3.232)

A Figura 36 (a) mostra P (r) em função de r/a0 para essas funções de onda. Para n=2, l = 1, o valor de P(r) é máximo quando a distância radial é igual ao raio da segunda órbita de Bohr (T (TIPLER; IPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). rmáx = 2 2 a0

(3.233)

Enquanto para  n= 2 e l = 0, P(r) tem dois máximos, o maior dos quais ocorre para uma distância um pouco maior que o raio da segunda órbita de Bohr (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). A densidade de probabilidade radial para(TIPLER; os outros estados excitados hidrogênio pode ser calculada da mesma forma LLEWELLYN, LLEWELL YN, 2006).do A Figura 36 apresenta a densidade de probabilidade radial P (r)  em função de r/a0 para os estados n = 2 ao átomo a de hidrogênio. No caso de l= 1, P(r) é máxima para o valor de Bohr, 22a0. No caso de l = 0, existe um máximo nas vizinhanças deste valor e um máximo secundário perto da origem (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006, p. 194).

292

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

FIGURA 36 – DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA DIFERENTES ESTADOS

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 194)

A Figura 36 (b), por exemplo, mostra a função P (r) o segundo estado excitado, n = 3. A não ser nas vizinhanças da origem, a principal variação variação radial de P(r) está contida no fator e-zr/na0. Uma análise detalhada dos polinômios de LaѰ

 Ѱ  nlm

 é 2006). maior nas grerre mostra que 0; assim,(TIPLER; para um LLEWELL dado n, YN, proximidades da origem  quando quando rl é pequeno LLEWELLYN,

 O  CA  N  E  T A

“Uma propriedade importante destas funções de onda é que as densidades

de probabilidade apresentam simetria esférica para l = 0, mas dependem de (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 194).

para l  ≠  0”

293

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

A Figura 37 mostra a densidade de probabilidade para os estados n = 2 do hidrogênio. A probabilidade tem simetria esférica para l = 0 e proporcional a cos2  para l = 1, m = 0 e é proporcional a sen2 para l = 1, m = ± 1. Como as densidades de probabilidade são simétricas em relação ao eixo dos z a densidade tridimensional de carga tem a forma de uma esfera para o estado l = 0, m = 0, a forma de l = 1, m = 0 esão l = 1, m um para dessas o estado a forma umtodos pneuos para o estado = ± 1.haltere As formas distribuições típicasde para átomos em estados S(l = 0) e P(l = 1) e desempenham um papel importante nas ligações moleculares (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). FIGURA 37 – DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA OS ESTADOS N=2 DO HIDROGÊNIO

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 195)

Os grácos de densidade de probabilidade da Figura 37 ilustram este fato para odeprimeiro excitado, n = 2. densidade carga doestado elétron dependem do Essas valor distribuições de l  ,, mas nãoangulares da parte de radial da função de onda. Distribuições de carga semelhantes para os elétrons de valência de átomos mais complexos desempenham um papel importante na formação de ligações químicas (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006).

 S  CA  I  D

Este subtópico contém trechos extraídos do livro: TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. A. Física Moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2006. p. 188-194. Como dica para aprofundar seu conhecimento, conhecimento, leia o material na íntegra. Disponível em: http://bit.ly/2vN4dR7. Acesso em: 13 ago. 2019.

294

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

estudo!

Tenha em seguida a explicação sobre o spin do elétron, enriqueça o seu

3 O SPIN DO ELÉTRON Anteriormente estudamos sobre o átomo de hidrogênio. Você pode se perguntar qual é a relação existente entre o átomo de hidrogênio com o spin do elétron? O spin nasceu da tentativa de se entender e explicar o motivo pelo qual o espectro do hidrogênio e o de outros átomos apresentavam linhas múltiplas, como o efeito Zeeman. Antes da descoberta do spin do elétron, a órbita do átomo analisado era feita através dos números quânticos. O modelo atômico a partir do átomo de hidrogênio embora ainda não “funcionasse” para átomos mais pesados, explicou com perfeição os fenômenos como o espectro de emissão e absorção do hidrogênio. O termo spin em mecânica quântica liga-se ao vetor momento angular intrínseco de uma partícula e às diferentes orientações (quânticas) deste no espaço, embora o termo seja muitas vezes incorretamente atrelado não ao momento angular intrínseco mas ao momento magnético intrínseco das partículas, por razões experimentais. A partir deste tópico aprofundaremos nosso estudo sobre o spin do elétron (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006). Quando uma linha espectral do hidrogênio ou de outros átomos é observada com alta resolução, verica-se que existe uma estrutura na, ou seja, que a suposta linha é constituída na verdade por duas ou mais linhas muito próximas. Comentamos na ocasião que os cálculos relativísticos de Stomerfeld, baseados no modelo de Bohr estavam de acordo com os resultados experimentais para a estrutura na do hidrogênio, mas esta concordância revelou-se fortuita: o número de linhas observadas em outros átomos era maior que o previsto por Sommerfeld. Para explicar a estrutura na e ao mesmo tempo conciliar a tabela periódica com o princípio de exclusão W. Pauli sugeriu em 1925 que além dos números quânticos n, l e m o elétron possuía um quarto número quântico, que podia assumir apenas dois valores (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). Como vimos, os números quânticos resultam das condições de fronteira para alguma coordenada. Pauli esperava inicialmente que o quarto número quântico estivesse associado à coordenada em uma teoria relativística, mas esta ideia não se revelou frutífera. No mesmo ano, S. Goudsmit e O. Uhlenbeck, aluno de doutorado em Leiden propu-

seram que este quarto número quântico era a componente z, ms de um momento angular intrínseco do elétron que chamaram de spin (TIPLER; LLEWELLYN, 2006, p. 195).

295

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

 S. Goudsmit e O. Uhlenbeck atribuíram ao módulo do vetor spin S a mesma forma que o módulo do vetor angular órbita L assume na mecânica ondulatória de Schrödinger:

|S| =

S   (S + 1)

(3.234)

Como este momento angular intrínseco é descrito por um número quântico s semelhante ao número quântico l usado para descrever o momento angular orbital, esperamos que existam 2s + 1 possíveis para a sua componente z assim como 2l + 1 valores possíveis para a componente z do momento angular orbital (TIPLER; ( TIPLER; LLEWELLYN, 2006).

Para que m tenha apenas dois valores, como foi sugerido por Pauli, é m preciso quedes seja iguala aestrutura 1/2, casona em eque ter os valores +1/2doe -1/2. Além explicar a tabela tabelpode a periódica, a hipótese spin eletrônico também explicou o resultado inesperado de um interessante experimento experimento realizado por O. Stern e W. Gerlach em 1922. Para compreendermos por que o spin do elétron produz o desdobramento dos níveis de energia conhecido como estrutura na, precisamos pr ecisamos examinar a relação entre o momento angular e o momento magnético de um sistema de partículas carregadas (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006, p. 195).

3.1 MOMENTO MAGNÉTICO De acordo com o chamado teorema de Larmor, um sistema de partículas carregadas animado de um movimento de rotação, apresenta um momento magnético proporcional ao seu momento angular. Considere uma partícula de massa M e carga q descrevendo uma circunferência de raio r com velocidade v. A frequência do movimento da partícula é dada por e seu momento angular é (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006).

296

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

 E  T  N  TA  R  O  P  M  I

O momento magnético de uma espira percorrida por corrente é dado pelo produto da corrente pela área da espira. No caso de uma carga em movimento circular, a corrente é igual à carga multiplicada pela frequência do movimento:

i = qf  = O momento magnético

µ

qv 2pτ 

(3.235)

é, portanto dado por:

1  L  v  2 1 ( ) q v r q  = iA = q  pτ  = =  2 2 2 pτ     M 

(3.236)

A Figura 38 apresenta uma partícula que se move em órbita circular tem um momento angular L cujo módulo é dado por L=Mvr. Se a carga da partícula é positiva, o momento magnético associado à corrente tem o mesmo sentido que L (TIPLER; LLEWELLYN, 2006). FIGURA 38 – MOMENTO ANGULAR E MOMENTO MAGNÉTICO. MAGNÉTICO.

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 196)

297

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

Como podemos ver na Figura 37, se q é positiva, o momento magnético tem o mesmo sentido que o momento angular angular:: se q é negativa, e L têm sentidos sentidos opostos, ou seja, são antiparalelos. Isto nos permite escrever a equação. 3.236 como uma equação vetorial (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006). µ  = q L

(3.237)

2 M

A equação 3.237, que demonstramos para uma única partícula movendo-se em círculos, é válida para qualquer sistema de partículas e qualquer tipo de movimento, contanto que a relação q/M entre a carga e a massa seja a mesma para todas as partículas do sistema (TIPLER; LLEWELL LLEWELLYN, YN, 2006). Aplicando este resultado ao movimento orbital do elétron no átomo de hidrogênio e substituindo o módulo de L pelo seu valor, dado pela equação: L

= l(  l + 1)

para

l = 0 , 1, 2, 2, 33,, ...

Temos: µ

=

e e L= l(l + 1)   = l(l + 1)µ B 2 me 2me

(3.238)

Além disso, de acordo com a equação Lz= m ℏ para m=0, - + 1, - + 2, ...,-+l  ,, a componente z do momento é dada por: µz

=−

e m = −mµ B 2m

(3.239)

e

Na qual é a massa do elétron, m é a componente z do momento angular e „ é uma unidade natural de momento angular conhecida como magneton de Bohr, cujo valor é: µ B

=−

e   27 × 10 −24 joule/tesla = 9 , 27 2 me −9

−5

 

5 , 79 × 10

e V/gauss

5, 79 × 10

e V/tesla

Embora a proporcionalidade entre e L seja uma propriedade geral de distribuições de carga animadas de  q rotação, a relação pela equação 3.237 se aplica apenasdeaurn umamovimento carga isolada descrevendo umexpressa movimento circular. Para perm permitir itir que a mesma expressã expressãoo matemática seja us usada ada em situações mais complexas, costuma-se expressar o momento magnético em termos de e de uma grandeza adimensional denominada razão giromagnética ou fator g , repre represen sen-tada pela letra , cujo valor depende da geometria da distribuição de cargas cargas.. No caso do momento angular L do elétron, a Equação 3.237 pode ser escrita na forma: 298

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

µ  =  = −

 g L µ B L 

(3.240)

E as equações 3.238 e 3.239 na forma: µ

Na qual gL= 1.

µz

= l(l + 1)g L µ B = −mg L µ B

(3.240b) (3.241)

O sinal negativo nas equações 3.240 e 3.241 se deve ao fato de a carga do elétron ser negativa. Os vetores momento magnético magnético e momento angular associados ao movimento orbital do elétron têm, portanto, sentidos opostos. As equações 3.240b e 3.241 mostram que a quantização d doo momento angular leva à quantização do momento magnético. O comportamento de um sistema com um momento magnético diferente de zero na presença de um campo magnético pode ser visualizado imaginando o que acontece com um pequeno ímã em forma de barra (Figura 39).ímã A Figura 39 traz representação de um momento magnético por um em Forma de abarra. Em um campo magnético externo, o momento experimenta um torque = x B. (b) O torque faz com que o eixo do ímã processe em torno da direção do campo magnético (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006, p. 195-196).

299

 

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

FIGURA 39 – MOMENTO MAGNÉTICO DE UM ÍMÃ

FONTE: Tipler e Llewellyn (2006, p. 196)

Quando o ímã é submetido a um campo magnético uniforme B, surge B que faz com que o eixo do ímã processe em tomo da direção um torque τ = µ  x B que do campo magnético, da mesma forma como o eixo de rotação de um pião ou de um giroscópio processa em torno da direção do campo gravitacional (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).

Para mudar a orientação do ímã em relação à direção do campo aplicado, é preciso realizar um certo trabalho. O trabalho necessário para que o ân ângulo gulo varie de d  é dado por: dW = τ dθ = µ B  sen θ dθ = d( − µ B cos θ ) = d( − µ ⋅ B  )

(3.242)

300

 

TÓPICO 3 | ESTRUTURA ATÔMICA ATÔMICA

A energia potencial do sistema é, portanto: U  =  −µ ⋅ B

(3.243)

Tomando a direção do campo B como eixo dos z, temos: U = −µ z B

(3.244)

No caso do spin do elétron, temos: µ

3 1 µ B e µ z = ms µ B = ± µ B 4 2

= s( s + 1)µB =

 

(3.245)

Em um átomo, os elétrons estão submetidos ao campo magnético resultante do movimento aparente do núcleo. De acordo com a equação 3.244 a interação entre o spin eletrônico e este campo magnético tem valores diferentes para elétrons com m = +1/2 e para elétrons com m = -1/2. Este desdobramento dos níveis de energia é s s o responsável pela estrutura na das linhas centrais (TIPLER; LLEWELLY LLEWELLYN, N, 2006). A restrição do spin, e, portanto, do momento magnético intrínseco do elétron, a duas orientações no espaço com ms = ± 1/2 é mais um exemplo de quantização espacial. O módulo do momento magnético associado ao momento angular de spin pode ser determinado a partir da deexão do feixe de partícula em um experimento de Stern-Gerlach (TIPLER; LLEWELLYN, LLEWELLYN, 2006, p. 197).

 TA  O  N

Medidas mais precisas revelam que o momento magnético intrínseco do elétron é dado por:

µ

= −ms gs µ B

(3.246)

Na qual gs = 2, 002319. Este resultado, é o fato de que s não não é um número inteiro inteiro como o número quântico de momento angular orbital l, sugere que o modelo clássico do elétron

como uma esfera carregada girando em tomo de si mesma não deve ser tomado literal mente. Embora não faça parte da mecânica ondulatória de Schroedinger, o fenômeno do spin está incluído na mecânica ondulatória relativística formulada por Dirac (TIPLER; LLEWELLYN,, 2006, p. 196-197). LLEWELLYN

301  

UNIDADE 3 | A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS

 S  CA  I  D

Como sugestão vídeos, a fim de aprofundar aprofunda os estudos conhecimentos apresentamos apresentamos o vídeo de umde antigo documentário de 1957r (Disney) queeexplica de forma fácil como o átomo é utilizado para gerar energia. Aprenda mais sobre o Nosso Amigo o  Átomo   (1957 - dublado): https://www.youtube.com  Átomo https://www.youtube.com/watch?v= /watch?v=qppUlgmN76s. qppUlgmN76s. Acesso em: 17 out. 2019.

 S  CA  I  D

A história das grandes transformações sofridas pela física, e que culminaram na formulação da mecânica quântica, na segunda metade da década de 1920, começou no primeiro ano do século, quando Max Planck explicou, através de uma hipótese — que a ele próprio repugnava — o espectro de radiação do corpo negro. Leia o texto completo em: http://books.scielo.org/id/xw http://books.scielo.org/id/xwhf5/pdf/fre hf5/pdf/freire-9788578791261 ire-9788578791261-07 -07.pdf. .pdf. Boa leitura!

302

 

RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico, você aprendeu que:

• A estrutura atômica explica os átomos e seus comp comportamentos. ortamentos. Embora os modelos atômicos aceitos atualmente sejam bastante complexos. • O modelo de Rutherford é muito utilizad utilizadoo por ser visualmente simples e prático prático ao explicar alguns fenômenos da natureza. Atualmente, é o modelo da mecânica quântica ou da mecânica ondulatória ou modelo orbital ou da nuvem eletrônica aceito para denir a estrutura atômica. • O hidrogênio é o átomo mais simples que existe: seu núcleo ttem em apenas um próton e só há um elétron orbitando em torno desse núcleo. Para explicar a evidente estabilidade do átomo de hidrogênio e, de quebra, a aparência das séries de linhas espectrais desse elemento, Bohr propôs alguns "postulados". • O termo spin em mecânica quântica liga-se ao vetor momento angular intrínseco de uma partícula e às diferentes orientações (quânticas) deste no espaço, embora o termo seja muitas vezes incorretamente atrelado não ao momento angular intrínseco, mas ao momento magnético intrínseco das partículas, por razões experimentais. • Os vetores momentos an angular gular e momento magnético intríns intrínsecos ecos de uma partícula são acoplados através de um fator giromagnético que depende da carga e da espécie de partícula, e uma partícula que tenha carga e spin (angular) não nulos terá um momento magnético não nulo. • Experimentalmente o momento magnético é muito mais acessível do que o momento angular em si, em virtude da interação deste com corpos magnéticos e eletromagnéticos, e o momento angular intrínseco (spin) de partículas carregadas, acaba sendo inferido a partir de seu momento magnético intrínseco. • As experiências consistiram na pa passagem ssagem de um feixe de átomos metálicos, vapovaporizados, por um campo magnético não-homogêneo.

• Com alguns metais não hhouve ouve desvio do feixe, enquanto outros, outros, como o sódio, sofreram desvio. Era sabido que um feixe de partículas como elétrons ou íons, sofre desvio ao passar por um campo magnético. Contudo, átomos não têm carga elétrica.

303

 

• Para explica explicarr esse fenômeno, foram atribuídos aos elétrons dois possíveis sentidos sentidos de rotação, chamados spins. • Há evidências de que os elétrons podem apresentar movimento de rotação em d dois ois sentidos diferentes foram obtidas em 1921 pelos físicos alemães Oo Stern e Walther Gerlach. comprovar asEles suasempregaram evidências. umas séries de experiências, com a nalidade de

 DA  MA  HA  C

Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.

304

 

AUTOATIVIDADE 1 Se um sistema tem um momento aangular ngular caracterizado pelo número quântico / = 2, quais são os valores possíveis de L . qual é o módulo de L e qual c o menor ângulo possível entre L e o eixo dosz z 2 Considere mais uma vez a função de onda do esta estado do fundamental do poço innito – Equação: ∞ x =

∫

x 

2

Ψ( x , t ) dx.

. a) Calcule o valor esperado da posição x e interprete seu resultado.  b) Além do valor esperado de um conjunto de muitas medidas, podemos calcular a incerteza. −∞

305

 

REFERÊNCIAS CARDOSO, M. Modelo atômico de Broglie. InfoEscola , [s.l.], c2019. Disponível em: hp://bit.ly/372CkBI. Acesso em: 9 dez. 2019. CARUSO, F.; OGURI, V. Física moderna: origens clássicas e fundamentos quânticos. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2006. CHAVES, G. F. Uma proposta de inserção de conteúdos de Mecânica Quântica no ensino médio, por meio de um curso de capacitação para professores em atividade. 2010, 109f. Proposição Instrucional (Mestrado Prossional em Ensino de Ciência) – Universidade de Brasília, Brasília, DF, 2010. Disponível em: hp://  bit.ly/371m4Ro. Acesso em: 9 dez. 2019. DE TOLEDO PIZA, A. F. R. Mecânica quântica , São Paulo: Edusp, Edusp, 2009. EINSTEIN, A. Teoria da relatividade especial e geral. São Paulo: Contraponto, 1999. EINSTEIN, A.; INFELD, L. Evolução da física. Rio de Janeiro: Editora Guanabara, 1988. EISBERG, R.; RESNICK, R. Física quântica. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994. Disponível em: hp://bit.ly/2U66b9j. Acesso em: 10 set. 2019. KENOBI, M. O que é a dualidade onda-patícula? Emergência Cientíca , [s.l.], 13  jul. 2017. Disponível Disponível em: hp://bit.ly/372cmOL. Acesso em: 9 dez. 2019. MECÂNICA QUÂNTICA, Física.net ly/2SnUsAr. Acesso em: 9 dez. 2019.  , , [s.l.], 2 dez. 2010. Disponível em: hp://bit. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. São Paulo: Blucher, 1998. v. 4. Disponível em: hp://bit.ly/2GXP7uI. Acesso em: 13 ago. 2019 OLIVEIRA, I. S. Física Moderna: para iniciados, interessados e acionados. 2. ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. v. 2.