Fundamentos de Sistemas Eletricos de Potencia

Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potsncia

Prof.ManoeiAfonsadeCa~]linkr Coordenadar do LDSP DEE 1 CTG 1 UFPE

Editora Livraria da Fisica

Luiz Cera Zanetta Jr.

Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potsncia

Editora Livraria da Fisica SBo Paulo - 2006 - 1"di~Bo

Copyright 2005: Editora Livraria da Fisica Editor: Josk Roberto Marinho Capa: Arte Ativa Impressiio: Grifica Paym Diagramaqgo: Carlos Eduardo de Morais Pereira Ilustraq6es: Ricardo Vianna Lacourt Revisiio do texto: Tiinia Mano Maeta Dados Internacionais de Catalogaqiio na Publicaqiio ( CIP ) (C2mara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Zanetta Jhnior, Luiz Cera Fundamentos de sistemas eletricos de potsncia / Luiz Cera Zanetta Jr. - I. ed. - S2o Paulo : Editora Livraria da Fisica, 2005. Bibliografia. 1. Centrais eletricas 2. Correntes elCtricas 3. Energia eletrica - Distribuiq80 4. Energia eletrica - Sistemas 5. Energia eletrica - Transmissgo

6. Linhas elCtricas I. Titulo.

i:

+

* .:: ::il~nsode Canra#lo ]& ;:o:. enad ad or do LDSP DEE I CTG I UFPE

indices para cathlogo sistemitico: 1. Sistemas eletricos de potCncia : Engenharia eletrica

62 1.3 191

ISBN: 85-88325-41-1

Editora Livraria da Fisica Telefone: (1 1) 3936-34 13

~ww.1ivrariadafisica.com. br

CAP~TULO1 Introduqiio aos Parimetros de Linhas de Transmissso ...................... 5 1.1 Introduqiio ...................................................................................................... 5 1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potencia ........................................... 6 1.2.1 Resistencia de Condutores ..................................................................... 8 1.2.2 Efeito da Temperatura na Resistencia dos Condutores em Corrente Continua .................................................. 9 1.3 Indutincia de Linhas de Transmiss50 .......................................................... 1 1 1.3.1 Generalidades....................................................................................... 11 1.3.2 Fluxo Concatenado com um Condutor ................................................ 15 1.3.3 Indutincia de um Condutor devida ao Fluxo Interno .......................... 15 1.3.4 Efeito Pelicular .................................................................................... 20 1.3.5 Indutincia de um Condutor devida ao Fluxo Externo ......................... 24 1.3.6 Adiqiio dos Fluxos Interno e Externo ................................................... 28 1.3.7 Indutincia de uma Linha a Dois Fios com Condutores Cilindricos .....29 1.3.8 Fluxo Concatenado com um Condutor por urn Grupo de Condutores ...............................................................31 1.3.9 Linha Bifasica com Condutores Compostos ou em Feixe ...................34 1.3.10Reatincia Indutiva da Linha com Utilizaqiio de Tabelas .....................43 1.3.1 1Indutincia de Linhas Trifisicas com Espaqamento Eqiiilatero............45 1.3.12 Linhas Trifasicas com Espaqamento Assimktrico ...............................47 1.4 Capacitincia de Linhas de Transmissso ......................................................50 1.4.1 Generalidades ....................................:..................................................50 1.4.2 Condutor Isolado ..................................................................................51 1.4.3 Diferenqa de Potencial entre Dois Pontos no Espaqo ..........................52 1.4.4 Capacitincia de uma Linha Bifasica ....................................................53 1.4.5 Linha Trifasica com Espaqamento Eqiiilatero .....................................59 1.4.6 Linha Trifasica corn Espaqamento Assimetrico ...................................62 1.4.7 Consideraqiio de Condutores Compostos ou Bundle ...........................65 1.5 Referencias Bibliograficas ........................................................................... 70

CAP~TULO2 Calculo Matricial de Parimetros de Linhas de Transmissso ...........71 2.1 Introduqiio ....................................................................................................71 2.2 Calculo de Parimetros Incluindo o Efeito do Solo ......................................71 2.2.1 Matriz de Impedincias Skrie ................................................................72 2.2.2 Aplicaqiio do Metodo das Imagens ......................................................73 2.2.3 Solo com Resistividade niio Nula ........................................................76 2.2.4 Efeito dos Cabos-Guarda ..................................................................... 78 2.2.5 Aplicaqso de Componentes Simetricas ................................................83

Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia

2.3 Matriz de Capacitincias ...............................................................................88 2.3.1 Consideraqio dos Cabos-Guarda ........................................................-95 2.3.2 Aplicaq5o das Componentes Simktricas no CBlculo de Capacitincia ................................................ 98 2.4 Linhas de Transmissio com Circuitos em Paralelo e Cabos-guarda .........100 2.5 CBlculo Computacional de Parimetros de Linhas de Transmiss50 ...........114 2.5.1 Calculo da Impedincia Skrie (Matriz de Impedincias) .....................114 2.5.2 Calculo da Matriz de Admitincias Capacitiva ...................................118 2.6 Refertncias Bibliogrhficas .........................................................................121

CAP~TULO3 RelapBes entre TensBes e Correntes em uma Linha de Transmiss50....123 3.1 Introduqgo .................................................................................................. 123 3.2 Propagaqio de Ondas Eletromagnkticas em uma Linha de Transmiss50 ..................................................................123 3.3 Impedincia Caracteristica de uma Linha de Transmiss50 .........................127 3.4 Regime Perrnanente em Linhas de Transmiss50 .......................................127 3.4.1 Modelo de Linhas de Transmiss50 com Comprimento Finito ...........130 3.4.2 Quadripolo Equivalente ......................................................................133 3.4.3 Modelo n Equivalente de uma Linha Genkrica (Linha Longa) .........134 3.4.4 Modelo n Nominal ............................................................................. 140 3.4.5 Modelo para Linhas Curtas ................................................................ 141 3.4.6 Modelo T Nominal ............................................................................. 142 3.5 Algumas Propriedades de Quadripolos......................................................143 3.5.1 Associaqio em Cascata de Quadripolos .............................................143 3.5.2 Associaq5o de Quzdripolos em Paralelo ........................................ 1 4 4 3.5.3 Representaqgo de Elementos Concentrados Atravks de Quadripolos ............................................... 145 3.6 Transmiss50 de Potzncia ............................................................................ 146 3.7 Compensaqio Reativa de Linhas de Transmiss50 .....................................150 3.7.1 Linha de Transmiss50 em Vazio ........................................................150 3.7.2 Linha de Transmiss50 em Carga ........................................................ 154 3.8 Refertncias Bibliograficas .........................................................................164 CAPITULO 4 Curto-circuit0 ................................................................................. 165 4.1 Introduqio .................................................................................................. 165 4.2 Modelos de Geradores ...............................................................................167 4.2.1 Motor Sincrono .................................................................................. 170 4.2.2 Motor de Induqio ............................................................................... 170 4.3 Curto-circuit0 Considerando as Condiqdes Pre-falta .................................171. 4.4 Modelo de Carga e Analise Prk-falta .........................................................179' 4.4.1 Modelo de Carga ................................................................................ 179 4.4.2 Estudo das Condiq6es Prk-Falta ......................................................... 180 4.5 Curto Trifasico Equilibrado ...............................

.. n

T!

I

Szimario

.

.

Curto-c~rcu~to Fase-terra ............................................................................ 183 Curto Dupla-fase ........................................................................................ 1 88 Curto Dupla-fase-terra ...............................................................................191 Potencia de Curto-circuit0 ..................................................................... 1 9 5 4.9.1 Potencia de Curto-circuit0 Trifisica .................................................1 9 5 4.9.2 Potencia de Curto-circuit0 Monofisica .............................................. 198 4.10 Refersncias Bibliogrificas ......................................................................... 2 12 4.6 4.7 4.8 4.9

CAP~TULO5 Tratamento Matricial de Redes ...................................................... 2 13 5.1 Introduqiio.................................................................................................. 2 13 5.2 Matrizes para Redes de Seqiiencias ...........................................................2 13 5.2.1 Formaqiio da Matriz Y Considerando os Elementos Indutivos sem M6tuas ..................................................2 13 5.2.2 FormaqBo da Matriz Y Considerando , Elementos Indutivos com Mctuas ......................................................2 16 5.2.3 ObtenqBo da Matriz de Impedincias Nodais ...................................... 2 18 5.3 Matrizes Trifasicas .................................................................................... 220 5.3.1 Formaqiio da Matriz Y Trifisica .........................................................221 5.4 ReferEncias Bibliogrificas ......................................................................... 224

CAP~TULO6 Cilculo Matricial do Curto-circuit0 ............................................... 225 6.1 Introduqzo ..................................................................................................225 6.2 Informaqdes da Rede Pri-falta .................................................................. 225 6.3 Informaqdes da Rede em Falta .................................................................. 226 6.4 Superposiqdes ............................................................................................ 228 6.5 Componentes de Fase ................................................................................ 228 6.6 Cilculos de Curto-circuit0 .........................................................................229 6.6.1 Curto Trifasico ...................................................................................229 6.6.2 Curto Dupla-fase .................................................................................230 6.6.3 Curto Fase-terra .................................................................................231 6.6.4 Curto Dupla-fase-terra ...:...................................................................232 6.7 Refercncias Bibliograficas ......................................................................... 238 CAP~TULO7 Fluxo de Potzncia em uma Rede Elitrica ......................................239 7.1 Introduqiio.................................................................................................. 239 7.2 Anilise de uma Rede Elementar ....................................................... :........240 7.3 Variiveis e Anilises de Interesse ..............................................................244 7.3.1 Barras ................................................................................................. 244 7.3.2 Ligaqdes ............................................................................................. 245 7.4 Consideraqdes sobre o MCtodo Iterativo de Gauss e Gauss-Seidel ...........250 7.4.1 Mitodo de Gauss ...............................................................................250 7.4.2 Fhxo de Potcncia com o Mitodo Iterativo de Gauss-Seidel .............253 7.5 Fluxo de Potencia corn o Mitodo Iterativo de Newton-Raphson ..............254

Fur~damenrosde Sistemas Elkfricos de PotBncia

7.5.1 Mitodo Iterativo de Newton-Raphson ...............................................254 7.5.2 Fluxo de Potencia em uma Rede Elitrica com o Mitodo de Newton-Raphson ................................................... 258 7.5.3 Montagem da Matriz Jacobiana ......................................................... 259 7.6 Fluxo de Potzncia corn o M6todo Newton-Raphson Desacoplado-riipido ......................................................273 7.7 Referencias Bibliogriificas ........................................................................-284 CAPITULO 8 Estabilidade ....................................................................................285 8.1 Introduqiio .................................................................................................. 285 8.2 Modelo Elementar ..................................................................................... 286 8.2.1 Modelo Classico .................................................................................286 8.2.2 Obtenqiio da Curva P x S.................................................................... 286 8.3 Anilise da Estabilidade ..............................................................................289 8.3.1 Elevaqiio da Potencia Meciinica .........................................................291 8.3.2 Ocorrencia de Curto-circuit0 ............................................................. 292 . 8.4 Equaqgo Eletromecanica ............................................................................ 294 8.4.1 Equaqiio de Oscilaqiio (Swing) .......................................................... 294 8.4.2 Critirio das Areas Iguais .................................................................... 296 8.5.1 Modelo Eletromeciinico Simples ....................................................... 300 8.5 Referencias Bibliogrificas .........................................................................312 n

Um sistema elktrico de potsncia 6 constituido por usinas geradoras, linhas de alta tensiio de transmissso de energia e sistemas de distribuiqiio. As usinas geradoras estiio localizadas proximo dos recursos naturais energkticos, como as usinas hidroelktricas estabelecidas nos pontos favoraveis para o aproveitamento dos desniveis e quedas de Bgua dos rios, assim como locais propicios para a formaqiio de lagos e o armazenamento da iigua. Da mesma forma, as usinas tirmicas localizam-se proximo das reservas de coinbustiveis fosseis como o carvgo ou gas. Cabe mencionar que pode ser mais econamico fazer o aproveitamento desses combustiveis por meio de sua queima, geraqiio de calor e sua transformaqiio em energia elktrica, transportando-a via linhas de alta tensiio at6 os centros de consumo, do que efetuar o transporte do combustive1 por veiculos, ferrovias OLI embarcaqdes. At6 mesmo as usinas nucleares, que eventualmente poderiam se localizar proximo aos centros de consumo, por razdes de seguranqa siio instaladas em regides afastadas das grandes cidades. As grandes empresas estatais ou privadas siio normalmente as responsaveis pela geraqiio de energia eletrica, devido ao expressivo aporte de capital necessario nesses empreendimentos. Nas usinas geradoras a energia eletrica e produzida em urn nivel de tensiio da ordem de uma ou duas dezenas de quilovolts, sendo inuito comum a tens50 de 13,8 kV, mas essa 6 uma tens20 baixa demais para que o seu transporte seja economicamente viavel a longas distiincias. Desse modo, utilizam-se transformadores encarregados de elevar esse nivel de tens20 a um patainar superior, que vai de algumas dezenas de quilovolts ate algumas centenas. Essa energia, ao chegar aos grandes centros de consumo, como as cidades e parques industriais, percorre regiaes densamente habitadas, com circulaqiio permanente de pessoas, cuja seguranqa exige a reduqzo do nivel de tens50 a patamares inferiores, novamente sendo muito comum a tens20 de 13,8 kV. Dessa tarefa se encarregam as empresas distribuidoras, que fornecem energia elitrica aos consumidores, geralmente classificados em grupos, como residenciais, comerciais e industriais.

2 Ftrndurnentos de Sisternus Elitricos de Pot6nciu

Fatores macroecon6micos, emprkstimos, juros, variaqdes de preqos internacionais de insumos energkticos, previsdes de demanda e contratos de energia formam o pano de fundo de toda ulna engenharia financeira que deterrnina a viabilidade e o sucesso de cada empreendimento. Tudo isso ocorre ainda ligado a uma tendincia recente de desregulamentaqiio do setor elktrico, ou seja, a grosso mod0 diminuindo a participaqiio estatal na geraqiio, transmiss50 e distribuiqiio, e permitindo a entrada no mercado de um numero maior de agentes empreendedores privados. Apbs mais de um skculo de exploraqiio da energia elktrica, as fontes de energia mais proximas dos centros de consumo ja se encontram em utilizaq50 plena ou quase isso, o que implica a busca de potenciais cada vez inais distantes, com desafios a serem superados no transporte destas grandes quantidades de energia. Embora diversos aspectos ligados aos sistemas elktricos de grande porte, como os anteriorinente inencionados, sejam assuntos palpitantes, nosso interesse neste trabalho k dirigido a um aspect0 extremamente importante neste encadeamento, que k o da transmissiio de energia elktrica por meio de linhas de alta tensgo. Inumeros problemas tkcnicos devem ser superados para que a energia elktrica possa ser transportada atendendo aos requisitos de seguranqa das instalaqdes e das pessoas envolvidas. Aspectos cruciais como confiabilidade, flexibilidade e custos envolvidos no transporte estabelecem o nucleo das aqdes das equipes tkcnicas encarregadas da operaqiio e planejamento dos sistemas elktricos de potincia. Do ponto de vista das linhas akreas de transmiss50, cabe a nbs entender os aspectos basicos dos campos elktrico e magnktico, que estabelecem os fundamentos para a transmiss50 de energia atraves de cabos. Dessa forma trataremos dos aspectos basicos no calculo dos parimetros das linhas de transmiss50, com e sem a presenqa do solo. Em seguida, estabeleceremos a modelagem eleinentar da linha de transmissiio em regime permanente, delineando modelos utilizaveis do ponto de vista da teoria de circuitos, que s5o uteis no chlculo de variaveis elktricas coino tensdes, correntes e potincias, assim como suas relaqdes matematicas. Faz parte ainda de nosso objetivo analisar o calculo das correntes de curtocircuito, principalmente do ponto de vista de sua avaliaqiio para os diferentes tipos j de faltas em redes elktricas, coin o uso das cornponentes simetricas. I . Uin outro tema de nosso interesse e igualmente importante sera a abordagem i do fluxo de potencia em redes pois, como sabemos, os sistemas elktricos s5o constituidos por diversas usinas de geraqiio e centros de consumo, interligados por redes '' elktricas com diferentes configuragdes, que evoluem e se modificain devido a varios fatores. As interligaqdes elktricas na transmissiio permitiram um aproveitamento

1

-

mais econBmico e confiivel dos recursos energkticos e dos equipamentos eletricos. Fari parte de nossa investigaqiio a compreensiio do fluxo desta energia pelos diferentes caminhos possiveis de uma rede interligada, com o seu equacionamento por meio de uma formulaqiio eficiente no calculo das grandezas eletricas envolvidas. Desfrutamos de not6rios beneficios que as interligaqdes de sistemas proporcionam as redes elktricas, como reduqiio de custos e aumento da confiabilidade. No entanto, a partir destis interligaqdes tambem surgiram dificuldades tkcnicas para uma operaqiio estivel dos sistemas diante de perturbaqdes inevitiveis, algumas normais, provenientes de alteraqdes operativas e variaqdes da carga. Outras perturbaqdes siio causadas por curto-circuitos, cuja origem muitas vezes se encontra em tempestades e quedas de raios nas linhas de transmissiio, alem de outros fatores. Desse modo, complementamos o texto com ulna introduqgo a estabilidade de geradores conectados a barramentos suficientemente robustos, conhecidos como barramentos infinitos, introduzindo os conceitos elementares de estabilidade de redes, corn base no modelo clissico de geradores. Mencionamos que o objetivo deste livro foi reunir os elementos de transmissgo de energia elktrica em urn sistema de potencia, particularmente aqueles empregados na cadeira de Sistemas de Potencia I, na formaqiio de engenheiros eletricistas pela Escola Politkcnica da USP. Sua despretensiosa elaboraqiio niio pretende substituir uma vasta e rica literatura de textos clissicos existente sobre o tema, mas apenas condensar aspectos hndamentais empregados em urn curso de graduaqgo. Para sua leitura, o aluno de graduaqiio necessita apenas conhecimentos de componentes simktricas e modelos de equipamentos em valores por unidade, desenvolvidos em cursos mais bisicos. A anilise introdut6ria desenvolvida se ampliar6 num segundotrabalho impresso, ainda em elaboraqiio, abordando aspectos complementares mais avanqados.

4 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia

INTRODUCAO AOS PARAMETROS DE LINHASDE TRANSMISSAO

0 projeto de uma linha de transmissiio envolve c ~ l c u l o selktricos e mec2nicos, pois o bom dimensionamento eletrico esti intimamente ligado a fatores mec2nicos, como por exemplo o dimensionamento das estruturas capazes de suportar o peso dos cabos, rajadas de ventos e outras ocorrencias como rompimento de cabos, etc. Como o cab0 sofre defonna~des,a sua altura em relaqiio ao solo, entre duas estruturas, k inferior A sua altura nas torres. Alkm disso, como os vgos entre torres podem ser irregulares, por exemplo em trechos montanhosos, nas travessias de rios ou de vales, existe a necessidade de uma otimizaqiio do numero de torres e de suas alturas visando reduzir custos, assim como a definir adequadamente o tracionamento admissivel desses cabos nas estruturas. A elevaqiio da tensiio necessita de maior altura dos condutores em relaq8o ao solo, assim como de um inaior distanciamento entre fases, o que implica maiores estruturas de sustentaqiio, freqiientemente methlicas, conhecidas corno torres de linhas de transmiss80. 0 s cabos condutores s8o presos As estruturas por meio de cadeias de isoladores, e siio constituidos por fios encordoados que apresentam caracteristicas elktricas e mecinicas. Do ponto de vista ineciinico destacam-se como variiveis o peso e a resistencia a tragiio, assim como sua flexibilidade, fundamental para a fabricaqiio, transporte e montagem no campo. Do ponto de vista eletrico, s8o importantes variaveis a condutividade e a seqiio condutora. Nosso objetivo basic0 volta-se para os aspectos elktricos fundamentais do chlculo dos parimetros de uma linha de transmissiio, correspondentes As caracteristicas elktricas, dimensdes e espaqamento dos condutores. Com o cilculo dos campos magnkticos e elktricos definiremos os parimetros indutivos e capacitivos das linhas de transmissgo. Na avaliaqzo elementar de parimetros, desenvolvida a seguir, desconsideramos o efeito do solo, mas dele nos ocuparemos em capitulo posterior dedicado a o k m a .

6 Fzrndan?entosde Sistemas Elktricos de Potgncia

Nosso interesse no calculo dos parimetros elktricos justifica-se pela importiincia dessa tarefa, da qua1 siio dependentes e alicerqadas as demais avaliaqdes que se faqam de um sistema elktrico de potzncia.

1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potencia Uma preocupaqiio basica na seleqiio d i um condutor, definido o material a ser utilizado, cobre ou aluminio, 6 com a area de segiio transversal, que esta associada ao volume de material a ser utilizado e portanto ao custo da transmissiio. 0 s aspectos de custo siio tratados dentro de um t6pico chamado de seleqiio do condutor econamico, que niio sera objeto de nossa anilise. Ao alterarmos o diimetro do condutor, modificamos a densidade de corrente I IS , e conseqiientemente as perdas. 0 s aspectos positivos em aumentar o dismetro siio reduzir as perdas e tatnbkm o gradiente elktrico na superficie do condutor, atenuando o efeito corona. Em contrapartida, isso aumenta o custo da transmissso.

S,

(3

S = irea da se@o

condutora

s 2

Figura 1.1 : Condutores corn raios diferentes. Quando comparamos condutores de cobre com os de aluminio, fixados um mesmo comprimento e uma mesma resistzncia elktrica do circuito, o volume de aluminio sera maior, pois sera necessaria uma seqiio condutora maior para compensar sua condutividade, inferior em relaqiio a do cobre. Apesar disso, devido a maior densidade do cobre, o peso em cobre sera aproxi~nadamenteo dobro em relaqiio ao do aluminio. Isso confere uma vantagem adicional ao aluminio, que pode ser utilizado com estruturas de sustentaqiio mais leves, alkm do seu custo mais baixo. A dificuldade pratica em se fabricar condutores com diimetros elevados implica o uso de cabos formados por diversos fios, denominados cabos encordoados. Quando um so cab0 encordoado niio k suficiente para transmitir a corrente total, adicionamos mais cabos em paralelo, separados por espagadores, formando cabos multiplos. Existem diferentes tipos de condutores, e os mais usados em linhas de transmiss50 siio norrnalmente, por raz6es econ6micas, condutores de aluminio:

..,,

Capitzilo 1. Introdtrpio aos Pardmetros de Linhas

7

CA: condutor de aluminio puro. AAAC: condutor de liga de aluminio, de all aluminium alloy conductor. CAA: condutor de aluminio com alma de aqo, cuja denominaqiio muito conhecida em ingles 6 ACSR, de altrminium cable steel reinforced. ACAR: condutor de aluminio com alma de liga de aluminio, de alziminium conductor alloy reinforced.

A '

SeqZo condutora em forrna de coroa

-A Suporte

meciinico de aqo Figura 1.2: Formaqiio 2417 de um cabo CAA que apresenta 24 fios de aluminio e 7 de aqo.

No process0 de encordoamento os fios descrevem uma trajet6ria helicoidal em torno do centro do condutor. Levando-se em conta ainda que os cabos sofrem uma deforrnaqiio provocada pel0 seu peso, o comprimento real 6 um pouco maior que a extensiio da linha !. .

flecha

Figura 1.3: Efeitos de encordoamento e flecha.

!.

: comprimento da linha,

.ere,,

7402.e.

8 Ftrndanlentos de Sistemas Elktricos de Potincia

Da mesma forma, a resistencia total da linha pode ser estimada em urn valor um pouco acima dos obtidos nos calculos.

As perdas nos condutores em corrente continua, devidas ao efeito Joule, s5o representadas por rneio de resistencias, com a seguinte express20 conhecida:

Figura 1.4: Dimensdes de um condutor.

S2o importantes as seguintes variaveis que definem um condutor cilindrico: t : cornprimento do condutor ou da linha (pks, metros, km), r : raio do condutor (centimetros, polegadas), S : area da seqiio do condutor (mm' ou CM = circular mil), p : resistividade do material utilizado, o : condutividade do material utilizado. A area de 1 CM corresponde B area de um circulo com diiimetro de urn milksimo de polegada. A area de 1 MCM corresponde a 1000 vezes a area de 1 CM. Obtemos a seguinte correspondencia entre areas dadas em mm' e CM:

P"----

Capitulo I . I n t r o d z ~ ~aos a " ~Pardmetros de Linhas

9

ou aproximadamente em MCM:

Slnln 2 = 0,5SMCM. A resistividade, ou condutividade @padr60ou %dr60), padronizada para urn condutor, e a do cobre recozido. Dessa forrna, para outros processos metalurgicos, podemos estabelecer uma correspondCncia entre suas resistividades corn a padronizada, conforme os exemplos a seguir para o cobre e o aluminio. 0 cobre A tCmpera dura tern 97% da condutividade do a;,,,/,.ii,, apresentando a resistividade p = 1,77 x 1o - ~a m (20 'C) . 0 aluminio A tEmpera dura tem 61% da condutividade do opac/rii,, corn resistividade p = 2,83 x 1o - ~a m (20 'C) .

1.2.2 Efeito da Temperatura nu ResistZncia dos Condutores em Corrente Continua Sem entrarmos em maiores detalhes, a figura abaixo ilustra o efeito conhecido da variaqiio linear da resistCncia em funqiio da temperatura, quando o condutor 6 percorrido por corrente continua.

Temperatura A

Figura 1.5: Grafico temperaturax resistcncia.

com:

R2 -

ITI

R,

I~l+ll'

+ 12

10 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia

T = Temperatura de referencia na qua1 a resistencia seria teoricamente desprezivel. T = - 234,5 "C para cobre recozido com 100% de condutividade do o,,,l,fi,, T = - 24 1,O "C para cobre B tempera dura, T = - 228,O "C para aluminio B tempera dura. Para a corre@o da resistencia, em h n @ o de temperatura, utilizamos a seineihanqa de triingulos, tomando a temperatura T em modulo. Vejamos alguns valores tabelados de resistencia de condutores, utilizando o cab0 Grosbeak 636 MCM (636 mil circular mil ou 636.000 CM), com: R, = 0,0268 R / 1000 p6s (CC) . Em corrente continua, passando a unidade de comprimento para milhas, obteinos:

Muitos dados encontram-se tabelados em unidades inglesas e desse inodo 6 conveniente nos habituarmos a trabalhar com as conversdes de unidades para o sistema internacional. A conversZo de 1000 pes para milhas 6 feita da seguinte forrna:

1000 pis -+

0,3048 mi, 1,609

1000 pks-

0,1894 m i .

Corrigindo essa resistencia para 50 "C, obtemos:

Nesse caso, tl = 20 "C, t2 = 50 "C e T = -228 "C. No entanto, cabe mencionar que, em corrente alternada, as resisthcias apresentam um comportainento dependente do efeito pelicular, sendo mais conveniente sua obtenqgo em tabelas fornecidas pelos fabricantes. Para o mesino cab0 Grosbeak, extrairiamos os seguintes valores: R,,

2ooc = 0,1454

R/mi , RacSOoC = 0,1596 Rlmi

.

Capitzrlo 1. IntroduqZo aos Par6rnetros de Linhas

II

1.3 Indutiincia de Linhas de Transmissgo Neste item introduziremos o cilculo de indutiincias de linhas de transmiss80, sem levar em conta a presenga do solo. Antes porkm, recordemos alguns conceitos basicos de fluxo concatenado em espiras ou bobinas, assim como os conceitos de fluxos interno e externo concatenados com condutores.

1.3. I

Generalidades

Figura 1.6: Indutgncia corn nucleo ferromagnCtico. Dada uma bobina, envolvendo um nucleo composto por material ferromagnktico, sabemos que para densidades de fluxo elevadas pode ocorrer a saturaq80 do nucleo e nessa situaggo obtemos indutiincias n5o lineares, que variam com a intensidade da corrente.

L = nBo linear, L = ~ ( i )

Figura 1.7: Curva

4x i .

Nos lneios com permeabilidade magnktica constante, como por exemplo o ar, encontramos uma rela950 linear entre o fluxo e a corrente i, 4 = Li . Nas linhas de transmiss50 aCreas, assurnimos a indutgncia L com urn valor

constante, para qualquer nivel de corrente, adotando p,,. E p o , sendo po a permeabilidade do vacuo. No caso linear, sabemos que:

Analisare~nosa relag50 entre a tens50 e a corrente, em grandezas alternadas no canlpo complexo, aplicando a transfon~~ada de Laplace:

Em reginie per~nanentesenoidal, calculando no ponto s = j w , sendo w a fi-equkncia de excitag50, obte~nosa relag50 fasorial entre tens50 e corrente:

coln a corrente atrasada de 90" em relaggo a tensgo, simplificarnos a notaq50: V = jXI .

(1.2)

Definimos a reatiincia indutiva do bipolo por:

Quando te~noscircuitos relativan~enteprbximos, encontramos uma indutiincia mGtua entre eles, definida pela relaggo entre fluxo concatenado coln um circuit0 devido a corrente no outro.

Figusa 1.8: Indutiincia mi~tua.

-

Cauitzrlo 1. Introduca"~aos Para^melros de Linhas

13

q12o flux0 concatenado com o circuito 1 devido a corrente no circuito 2. Observamas que nesse exemplo o fluxo concatenado corn o circuito 1 corresponde i s linhas de fluxo 2 , 3 e 4 da figura 1.8.

42 =M12I2M I 2 a indutiincia mutua entre os circuitos 1 e 2. 5 = jmM1212. X, = mM1 a reatiincia mutua entre os circuitos 1 e 2. No cilculo de circuitos magnkticos, o fluxo @ ( t )concatenado corn uma espira esti confinado no material ferromagnktico, conforme a figura 1.9.

fluxo condatenado Figura 1.9: Fluxo magnetic0 concatenado com uma espira.

As linhas fechadas de B e H, aqui tambim denominadas linhas de fluxo, envolvern completamente o condutor. Quando temos N espiras, o fluxo concatenado corn a bobina, colocando em skrie todas as espiras, k dado por A = N@,sendo @ , como vimos, o fluxo concatenado com uma espira. A tens20 nos terminais de cada espira k obtida corn a aplicag2o da Lei de Lenz, adotando a conveng20 do receptor. e ( t )=-,d @ sendo el =e7 =... =e,?= e ( t ) dt em todas as espiras. A tens20 nos terminais da bobina e obtida por:

ou:

que pode ser reescrita como:

14 Fundamentos de Sistemas ElLtricos de Potgncia

e admitindo A como o fluxo concatenado com iV espiras em sirie, defini~nos A. = L i , sendo L a indutincia do enrolamento, que se comporta como um fator de proporqiio entre a corrente e o fluxo, nos casos sem saturaqiio.

espiia (vista superior) Figura 1.10: Fluxo concatenado coin N espiras. Quando temos dois condutores longos de comprimento C, espaqados por uma distiincia D, com l>>D , podemos analogamente aplicar o conceit0 de fluxo concatenado com uma espira, definida pel0 retingulo formado pelos dois condutores, desprezando o efeito do fluxo nas duas extremidades. Novamente, as linhas de fluxo envolvem completamente o condutor.

<

C >> D

>

Figura 1.1 1 : Fluxo concatenado corn a espira corn dois condutores paralelos.

Do ponto de vista do circuito elktrico, podemos associar uma indutincia ao circuito formado pelos dois condutores.

Capittrlo I . Introduqfio nos Pardmetros de Linhas

1.3.2

15

Fluxo Concatenado corn urn Condutor

Um conceito importante, que se aplica ao calculo de parimetros de linhas de transmiss50, 6 o de fluxo concatenado corn um condutor apenas. Para isso necessariamente precisarnos fazer uma abstraq5o e supor que o outro condutor, de retorno, encontra-se muito distante, a uma distincia D tendendo ao infinite.

condutor 1 B

I

1

d

J

1

.

----.

X

X

,,-

X

\

,.- - \ '' condutor 1 4 j ,: \

\

\

1

\

D+co

e(t)

I

#'

condutor 2 Figura 1.12: Fluxo concatenado corn urn condutor. Nesse caso, podernos aceitar o conceito de fluxo concatenado com urn condutor. Veremos a seguir, de tnodo bastante simplificado, como tratar o fluxo interno em urn condutor.

1.3.3

Indutcincia de urn Condzitor devida ao Fluxo Interno

Para uma precis50 rnaior no calculo, consideramos a indutiincia interna do condutor. Vejamos como obter essa induthcia, supondo urn condutor solido, corn raio R e segiio S, percorrido por corrente continua corn intensidade I, que apresenta densidade uniforme de corrente em toda a seqiio condutora:

Para isso, fazemos urna extens50 do conceito de fluxo concatenado, definindo o fluxo parcial concatenado em urn condutor, ao calcularmos o fluxo interno, correspondente a uma se@o condutora corn raio r < R .

I6

Fundamentos de Sisten~asElktricos de PotBncia

Figura 1.13: Fluxo interno e externo. Para r < R, calculemos a densidade de fluxo em uma linha fechada. Na figura 1.14 B,,, Br2 e BY3 S ~ densidades O de fluxo internas ao condutor, a distincias q < r2 < 13 < R , etc.

Figura 1.14: Densidades de fluxo internas ao condutor

0 fluxo interno ao condutor, inserido em um elemento tubular de raio r < R e espessura dr, 6 dado pela express50 d@r= B,dr, a ser novamente examinada logo mais adiante. Definimos o fluxo parcial concatenado corn a corrente I,., envolvida por esse elemento tubular, pela expressgo:

Obtemos o vetor H, em um ponto no interior do condutor, a uma distincia r do centro, utilizando a Lei Circuital de Ampere.

Capittrlo I . Introdupio aos Parimetros de Linhas

17

Figura 1.15: Fluxo em urn elemento tubular. Supondo a corrente continua uniforrnernente distribuida pela seqiio transversal, obtemos a corrente interna ao circulo de raio r, corn r < R , dada pela relaqiio de ireas:

Fazendo a circuita@o do vetor intensidade de carnpo magnetic0 H , em urn caminho fechado, obternos:

Corno H , 6 constante a urna distincia r do centro do circulo:

ou:

18 Fzrndamentos de Sisten~asElktricos de Potgncia

Conseqiientemente, como B, = p H , , obtemos: B, =- '"I wb/m2. 2nR2 De posse da densidade de fluxo By, ,calcularemos a indutiincia interna do condutor segundo dois procedimentos distintos, o primeiro por rneio da energia eletromagnktica interna e o segundo por meio do fluxo interno concatenado parcialmente.

Energia eletromagnktica interna do condutor Podemos calcular a energia magnktica interna ao condutor, considerando o volume do condutor em um comprimento unitirio, 1 wmag=? JB, ~ , d v o l =- J /lr212~ v o [ . 2 4

2 (2n) R

Para isso consideremos um elemento tubular, de comprimento unitario, com volume dvol = 2 n r d r , resultando em:

que corresponde A energia magnktica em uma indutincia Li,percorrida por uma corrente I :

Considerando a perrneabilidade do condutor proxima da permeabilidade do vacuo:

obtemos:

Ou seja, a indutiincia interna de um condutor, percorrido por corrente continua, k uma constante que independe das suas dimensdes. Por sua vez, podemos obter o fluxo interno do condutor por meio da relaqiio:

Capittllo 1. Introdu~iioaos Parcimetros de Linhas

19

resultando em:

Figura 1.16: Elemento tubular.

Fluxo interno concatenado parcialmente 0 fluxo incremental em um elemento tubular com raio r e espessura dr C dado pelo produto Brds , sendo ds = d r x 1 , no caso de comprimento unithrio, resultando em:

d@r=-

'

Idr Wblm .

2 n ~ ~

Este fluxo interno d@,. concatena somente a parcela I, de corrente interna, ja obtida anteriorrnente. Faremos a seguir o calculo da induthncia interna empregando o conceit0 de fluxo parcialmente concatenado com um condutor, definido peia expressgo:

resultando em:

20 Fzindainentos de Sisternus Elktricos de PotEncia 3.

dA=- pr

. Idr .

0 fluxo parcial envolve apenas uma parcela da corrente interna do condutor, e desse modo, integrando-o no interval0 0 2 r i R , obtemos:

ou:

Observamos que a idCia de fluxo concatenado esta relacionada com a corrente envolvida pelos enlaces de fluxo, que s5o linhas fechadas, e a indutiincia interna do condutor C definida pela rela@o entre o fluxo concatenado interno total e a corrente total do condutor, que se expressa por:

Admitindo-se p = po = 4x1o

- ~, obtemos:

Esse resultado, coincidente com o da express50 (1.5), demonstra a validade do conceito de fluxo parcialmente concatenado com o condutor. Lembramos que os resultados anteriormente obtidos para o fluxo concatenado so valem para condutores cilindricos percorridos por corrente continua, sendo um conceito tebrico importante para o calculo da indutiincia interna. Do ponto de vista pritico, para os cabos encordoados, veremos posteriomente como abordar essa indutiincia.

1.3.4

Efeito Pelicular

Antes de prosseguir, faremos uma breve e x p l a n a ~ l osobre a dish.ibui@o de correntes internas em um condutor, percorrido por corrente alternada. A densidade de corrente em um condutor percorrido por corrente alternada n2o 6 mais uniforrne, diferentemente do caso de conduq50 em corrente continua, como fizemos na hip6tese adotada na express50 (1.3), obedecendo a uma distribui-

Capittrlo 1. IntroduqCo aos Pardmetros de Linhns

;

21

qlo que depende da permeabilidade e resistividade do material, assim como da fieqiiencia de excitaqlo.

Figura 1.17: Distribuiqgo de correntes corn o efeito pelicular. Esse efeito, conhecido como pelicular, altera a indutincia interna do condutor e tem implicaqdes na avaliaqiio das perdas, quando empregamos corrente alternada, pois ocorre uma concentragiio de correntes do centro do condutor para sua periferia, A medida que a freqiigncia aumenta, o que causa uma elevaqiio da resistencia, corn uma reduqiio na area efetiva de conduqiio. Obviamente, o aumento da concentraqgo de correntes k gradual, do centro do condutor para a superficie externa, niio ocorrendo as descontinuidades indicadas na figura 1.17, apenas ilustrativas do fen6meno eletromagnktico. N5o sera o nosso prop6sito explorar detalhadamente o equacionainento do efeito pelicular, neste texto introdut6rio. Com o objetivo de apresentar os passos do equacionamento, rnencionamos que na deduqiio a seguir siio utilizadas formula~6es basicas do eletromagnetismo, convenientemente elaboradas no campo complexo, em valores fasoriais. Da mesma forma como empregamos grandezas fasoriais de tensdes e correntes, dada a linearidade das relagdes que utilizaremos, k equivalente obter resultados instantineos ou fasoriais em regime permanente. Por exemplo, como ty= LI, sendo L linear, a associaqiio de valores fasoriais aos fluxos, a partir dos fasores de corrente alternada, 6 imediata. Para isso, tomemos um condutor cilindrico de raio R e cornprimento unitario e chamemos a densidade fasorial das correntes J , , no sentido longitudinal do condutor, A uma distiincia radial r 5 R do seu centro.

22 Fz~ndamentosde Sisternas Eldtricos de Potgncia

Figura 1.18: Contornos para aplicagiio das equagbes de Maxwell. a) CircuitaqBo no contorno a , aplicando a Lei de Ampkre, ao longo do circulo de raio r que envolve a corrente contida no cilindro correspondente:

Com a equaq5o (129,trabalhando nesse contornoa, sabemos que a corrente interna do cilindro, com seqiio circular de raio r e Area interna A, 6 funqiio da densidade de corrente Jr :

Das f6rrnulas (1.8) e (1.9) concluimos que:

Diferenciando em relaqBo A r, 6 imediato obter a seguinte expressiio:

b) Circuita@o no retingulo de espessura dr, Lei de Lenz:

Capitt~loI. Introduqa"~aos Pardmetros de Linhas 23 No primeiro membro da equaqiio (1.1 I), como o campo elitrico k longitudinal e proportional A densidade de corrente, E, = pJ,, calculamos a queda de tensgo ao longo do contorno retangularp, adotando o sentido horario. Com relaqiio ao segundo membro, obtemos o fluxo na superficie envolvida por esse contorno.

Exprimindo de forma incremental a alteraqiio da densidade de cowente,

escrevemos: aJr p-dr

a~

= -jwpH,dr.

0 que implica a relaqiio entre J, e H, ,

com a qual podemos eliminar H, da expressiio (1.1 O), resultando em uma equaqiio diferencial de segunda ordem, da densidade de corrente em relaqiio a distiincia radial r ao centro do condutor:

Tal equaqiio diferencial apresenta soluqiio em s k i e bem conhecida, denominada sirie de Bessel de primeira espicie e ordem zero. Chamando m = ,/e conhecida a densidade de corrente na superficie do condutor, JR, escrevemos a expressgo da densidade de corrente interna ao condutor J,., em variiveis complexas, na qual os termos ber e bei, relativos a parte real e a imaginiria das skries, estiio definidos em expressdes matematicas, n5o exploradas aqui.

A figura a seguir exemplifica um possivel comportamento do m6dulo da variivel complexa J,, em funqgo de r, para uma dada freqiizncia de excitaqiio em um condutor cilindrico.

24 Fundamentos de Sistemas El&tricosde PotZncia

Figura 1.19: Densidade de corrente em funqiio da distiincia r ao centro do condutor, em corrente alternada.

Cabe comentar que a indutincia interna corresponde a uma pequena parcela da indutincia total de um condutor. 0 efeito pelicular visto anteriormente reduz ainda mais essa parcela, n8o sendo por isso um aspect0 preponderante no calculo de indutiincias. 0 impact0 mais significativo do efeito pelicular se manifesta na elevaqBo da resistencia e conseqiientemente nas perdas Joule.

1.3.5

Indutincia de urn Condutor devida ao Fluxo Externo

Neste item faremos o cilculo da parcela de indutiincia correspondente ao fluxo externo ao condutor, o qua1 pode ser feito em valores instantineos ou fasoriais, indiferentemente. Como o cilculo anterior de indutincias internas foi feito em corrente continua, voltareinos a empregar essa hipbtese em nossa formula$io. Vejamos como obter uma express50 que forneqa o fluxo confinado em duas superficies cilindricas determinadas pelas distincias D, e D2 ao centro do condutor? que passam pelos pontos I; e P2 mostrados na figura 1.20. Para isso, calcularemos o fluxo na superficie S 2 , apoiada em um plano que passa pelo centro do condutor e contern os pontos 4 e P2, sendo ortogonal a todas as linhas do vetor densidade de fluxo:

Aplicando novamente a Lei de Ampere a um caminho fechado e circular com raio r, r 2 R , do vetor intensidade de calnpo H , , obtemos:

Cauitulo I . Introduciio aos Pardmetros de Linhas 25

elemento tubular

Figura 1.20: Superficies concEntricas de um elemento tubular. Nessa linha circular, como o vetor H , 6 constante, podemos fazerc

H , $ ~ z= I , que resulta em: 2nrH, = I ,

ou:

Sendo o vetor densidade de fluxo dado por:

Observamos que o vetor H , internamente cresce de mod0 linear com a distincia em relaggo ao centro do condutor ( r I R ) e externamente decresce com uma fungiio hiperbblica, em fung8o da distincia ao centro ( r 2 R ) .

26 Fundamentus de Sistemas El&tricosde PotBncia

Figura 1.2 1: Curva H x r.

0 fluxo inserido em urn elemento tubular com raio r e corn espessura dr k dado por:

que, integrado, fornece o fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2, ou I j e P2, externos ao condutor:

Observamos que estamos impondo D2 > Dl e que o fluxo externo concatena a corrente uma vez, de tal mod0 que: dQ = d A (N=l). Sabendo que ,LL E p0 = 4 n x 1o - ~ ,a express50 (1.13) tambkm pode ser colocada na forma:

Capitulo I . Introdupio aos Pardmetros de Linhas

..

27.

Esse fluxo, dividido pela corrente do condutor, fomece uma indutiincia parcial, que chamaremos de L12,

ou ainda:

L,, = 2 x 1 0 ln~ D2 ~ Hlkm . Dl Novamente, lembrando o conceit0 de energia arrnazenada em um volume, aqui particularmente empregado na coroa, ou na regiIo tubular externa ao condutor, com comprimento unithrio e compreendida entre os pontos I; e P2, podemos escrever:

na qua1 h o Z = 2nrdr C o increment0 de volume do elemento tubular com raio r e espessura dr.

Temos:

Que resulta na mesma expressgo anteriorrnente obtida em (1.14).

1.3.6

AdiqCo dos Fluxos Interno e Externo

Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com um condutor, at6 um ponto P externo ao mesmo, situado a uma distincia D do centro.

Figura 1.22: Fluxo concatenado corn urn condutor desde o seu centro at6 urn ponto externo P.

Calculemos o fluxo total concatenado em duas etapas: @=@i + @ e .

0 fluxo interno, como vimos, 6 dado por:

Observamos que colocando o ponto 1 na superficie do condutor, a uma distincia D, = r do centro, e o ponto 2 coincidente com P, a uma distincia D2 = D do centro, o fluxo externo, empregando a express20 (l.l3), e dado por:

Somando as duas parcelas, interna e externa:

Usando o artificio de escrever:

ficamos com a express2o:

PT*-

Cauitulo I . Introduciio aos Pardmetros de Linhas

29

ou:

ou ainda:

Chamando r' = re-114 de raio corrigido, escrevemos a express50 modificada para o fluxo concatenado:

correspondente ao fluxo concatenado desde o seu centro at6 um ponto externo P. Podemos calcular a indutincia, incluindo todo o fluxo do condutor, do seu centro at6 um ponto P externo, correspondente B energia magnitica armazenada nessa regiiio do espaqo. Tomando a express50 anterior, escrevemos:

1.3.7

Indutdncia de uma Linha a Dois Fios corn Condzitores Cilindricos

Figura 1.23: Linha monofasica a dois fios.

30 Fundamentos de Sistenlas Eldtricos de Potgncia

Consideremos os dois fios a e b da figura 1.23 compostos por condutores cilindricos, com raios externos r, e r2, respectivamente. Observamos que no plano transversal que corta o circuito, se convencionarmos como positivas as correntes que entram no plano, teremos I, = Ie Ih =-I, portanto corn uma soma de correntes nula penetrando no plano transversal. Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com o circuito formado pe10s dois condutores espaqados por uma distincia D. A Grea, associada a urn comprimento unitdrio dos fios, 6 dada por D x 1 .

Figura 1.24: Fluxo concatenado corn dois condutores.

A contribuiqgo do fluxo, dada pel0 condutor a, utilizando a express50 (1.17) 6 : Q, = 2 x 10-7 I, In,

D

D corn indutincia parcial L, = 2 x 10-7 1n 7.

rl

r,

A contribuiq50 do condutor b 6 dada por:

D Q~ =2x10- 7Ibin,,D com L~ = 2 x 1 0 - ~in7. r? Y? Observamos que Qa tem sentido hordrio e Qb sentido anti-horirio, de mod0 que podemos som&los na superficie apoiada entre as duas espiras, assim como as indutincias, obtendo a indutiincia total do circuito:

r"I

I

I

Capitulo 1. Introduqiio aos Para^metrosde Linhas

31

Lembremos que essa express20 6 vilida para corrente continua e condutor cilindrico com se@o circular de raio r, exercendo r'o papel de urn raio equivalente. Elaborando a express20 urn pouco mais, obtemos: L=4x10- 7 ln- D e no caso particular de condutores iguais, quando r' = r,'=

6,

Observamos que o n ~ m e r oquatro aparece apenas nas expressaes de linhas a dois fios, quando somamos as indutincias individuais de cada fio.

1.3.8

Fluxo Concatenado corn urn Condutorpor urn Grupo de Condutores

Desenvolveremos, a seguir, urn conceito fundamental no cilculo de indutlncias, quando est2o presentes virios condutores, retilineos e paralelos, percorridos por diferentes correntes. Precisamos ent2o tratar o fluxo concatenado com um condutor devido a um grupo de condutores convencionando como positivas as correntes que penetram no corte transversal do circuito e supondo que a soma das correntes nos condutores seja nula, o que de certa forma nos conduz novamente a idiia de circuito elitrico, ou seja, que deve haver urn retorno de corrente por parte de alguns condutores. Sejam n condutores separados espacialmente por distiincias D, , percorridos por correntes I i , 1 2 i 5 n , de tal mod0 que:

Assumindo um ponto P distante do grupo de condutores, calculemos inicialmente a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1 utilizando a formula geral do fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2 genericos no espaqo. Faremos o ponto P coincidir com o ponto 2 e o ponto 1 estara situado na superficie do condutor 1 . Incluindo o fluxo interno e utilizando o conceito de raio corrigido, obternos, utilizando a equaqiio (1.16):

32 Fundamentos de Sistemas EIBtricos de Potincia

Figura 1.25: Fluxo concatenado corn urn condutor por urn grupo de condutores.

Empregando a equaqgo (1.13), a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1, devida ao condutor 2 6:

Supomos ainda que o fluxo entre os pontos 1 e P, devido ao condutor 2, ngo altera as linhas de fluxo j i existentes do condutor 1. Estendendo esse resultado aos demais condutores, fazemos a superposiqiio dos fluxos, escrevendo genericamente:

que pode ser desmembrada na seguinte expressgo:

Utilizando a restriqgo imposta de soma de correntes nula, escrevemos:

-

Cauitulo I . Introduciio aos Par2rneti-os de Linhas

33

que, substituida na equago anterior, fornece:

ou ainda:

4,= ~

I

1 1 I , 1n7+12 In-+ rl Dl 2

...+ I,

X I O - ~

I, ln-+

P

DnP

I2In-

P

DnP

1 In-+ Dl t7

+ ... -t- It7-l ln D(.-l)P Drip

Deslocando o ponto P a uma distincia muito grande do condutor 1, tendendo ao infinito, os quocientes Dip 1D, tendem ao valor unitirio e conseqiientemente os limites: "P'

(Dip 1Drip )

siio nulos, resultando em uma expressgo mais simplificada do fluxo concatenado com o condutor 1:

A expressgo (1.19) apresenta um resultado interessante, que sera a base de nossas avaliagaes de fluxos concatenados com condutores, na presenya de outros, percorridos por correntes submetidas a restriggo de apresentarem uma soma nula. Voltemos ao caso simplificado da linha a dois fios, corn o intuit0 de avaliar essa expressiio, aplicando agora o conceit0 de fluxo concatenado corn urn condutor por um grupo de condutores. Para a fase a, escrevemos:

como Ih =-I,, convencionando como positiva a corrente I, que penetra no plano transversal aos condutores.

34 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia

resultando em:

Desse modo, associamos uma indutincia ao condutor a, dada por:

e analogamente para o condutor b,

e desse mod0 obtemos a indutincia total da linha a dois fios:

L = L,

+ Lh =4x10- 7 ln-

D

Verificamos assim a equivalencia dos procedimentos, ao compararrnos as equa@es (1.1 8) e (1.20). No cilculo de indutincias de linhas de transmissiio, corn varios condutores dispostos espacialmente, usaremos o conceit0 de fluxo concatenado com um condutor, por urn grupo de condutores, que facilita o cilculo.

1.3.9

Linha B fbsica corn Condutores Compostos ou en7 Feixe

Veremos a seguir como tratar o caso de uma linha bifisica, na qua1 cada fase 6 composta por um conjunto de subcondutores, o que introduz algumas vantagens na transmissgo de energia eletrica. Uma primeira vantagem C aumentar a capacidade de corrente de cada fase da linha de transmissiio, pois cada condutor tem urn limite miximo de corrente admissivel. Uma segunda vantagem, igualmente importante, 6 diminuir a indutincia equivalente de cada fase, conforme veremos-a seguir. Esse conjunto de subcondutores C chamado de feixe, tambCm conhecido como bundle, na sua denominaq50 original em ingles.

--

Capittilo I . Introdupio aos Para^metros de Linhas

35

Figura 1.26: DisposigBo espacial dos subcondutores.

Cilculo da indutincia da fase a, L, Tomemos o caso corn n subcondutores na fase a e rn subcondutores na fase b, conforrne a figura a seguir. fase a

+I

fase b -I

Iln

carga Ilm

n sub-condutores

m sub-condutores

Figura 1.27: Linha bifasica corn n subcondutores na fase a e m subcondutores na fase 6 .

0 cilculo sera desenvolvido em quatro etapas: com o subcondutor 1 da fase a. l a etapa: Cilculo do fluxo concatenado 2a etapa: Calculo da indutincia desse subcondutor, percorrido por uma corrente I, .

3a etapa: Cilculo da indutincia mCdia dos subcondutores de uma inesma fase, estendendo o resultado aos demais subcondutores.

36 Fundamentos de Sistenlas Elktricos de PotEncia

4" etapa: Cilculo da indutincia equivalente dos n subcondutores em paralelo. .-

Calculamos inicialmente o fluxo concatenado com o subcondutor 1, devido B contribuiqiio do conjunto correspondente ii fase a . Faremos ainda uma hip6tese adicional, admitindo tambkm que os subcondutores s5o aproximadamente iguais e que as correntes se distribuem igualmente por todos os subcondutores. Desse modo:

Nesse caso, calculemos o fluxo concatenado com o condutor 1, devido ao conjunto a , lembrando que nessa parcela contribuem apenas os subcondutores dessa fase:

Em seguida, obtemos o fluxo concatenado com o condutor 1 da fase a , devido ao conjunto 6 , considerando a parcela do fluxo correspondente aos condutores da outra fase, assumindo as mesmas hip6teses de subdivisso de correntes entre condutores da fase b.

resultando no fluxo concatenado total com o condutor 1, colocado na fonna compacta:

$Il =$Il, +$Ilb =2x10- 7 I l n ~

D 1~D12/...Dlm~ I

-4

No numerador, encontramos a media geomktrica das distincias do subcondutor 1, da fase a, a todos os subcondutores da fase b. No denominador encontramos a mkdia geomktrica do raio corrigido do subcondutor a com as distincias a todos os subcondutores da pr6pria fase a. Para o condutor 2, escrevemos analogamente:

--

Capitulo I . Introdupio aos Pardmetros de Linhas 37

Estendendo esse resultado aos demais subcondutores, obtemos as indutlncias individuais de cada um, fazendo a divisiio do fluxo pela parcela de corrente I l n :

=A= ~ X Iln

Dlm)

It...

I O - ~ ~ I ~

d.;o12' q D 21.. ..Dzm.

L, = A = 2 x 1 0 - ~ n i n

d41r;..4,'

Iln

L, = >@= 2 x 1 0 Iln

7

nln

d.-

I

..- ~

n n i

Calculando a indutlncia m i d i a z dos subcondutores da fase a (conjunto a), fazendo a soma das expressdes logaritmicas:

Como os n subcondutores estiio ligados em paralelo, a indutiincia do conjunto a 6 dada por:

que pode ser recalculada da seguinte foma:

Introduzimos entiio o conceito de distlncia midia geomitrica mutua, entre os conjuntos de subcondutores das fases a e b. Observe que os conjuntos a e b nHo tCm correntes em fase, sendo que nesse caso particular, na realidade, as correntes estzo em oposiqiio de fases.

Da mesma forma, apresentamos o conceito de raio equivalente do conjunto de subcondutores a ou distlncia midia geomitrica pr6pria do conjunto a. Lernbra-

38 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotGncia

mos que todos os subcondutores do conjunto a apresentam a mesma parcela de corrente em mbdulo e sinal I / n , subdividida igualmente por todos os subcondutores. Em corrente alternada admitimos uma hipbtese semelhante, supondo as correntes com o mesmo m6dulo e fase em todos os subcondutores. Para evitar confus2o de nomenclatura, passaremos a chamar a distincia tnedia geomktrica propria de raio equivalente do conjunto de subcondutores (ou bundle) de uma fase. A letra z tem a finalidade de especificar o cilculo voltado para impedincias ou reatiincias indutivas da linha de transmiss50 que, como veremos, sera um pouco diferente do cilculo de capacitiincias. Definimos o raio equivalente da fase a:

Finalmente, escrevemos a express20 da indutincia da fase a na sua forma compacta: 7

Lo = 2x10- ln-.

DMG req"',

Chlculo da indutiincia da fase b e total Analogamente, obtemos a indutincia do conjunto b: 7

Lb =2x10- ln-,

DMG

resultando para a indutiincia total da linha bifasica:

Colocando essa express50 na forma usual, obtemos:

DMG L = ~ x I o -,-. ~ ~ ~

Se as fases possuirem caracteristicas identicas, teremos reqzo= r,L4-- , resultando em uma expressgo aniloga A obtida anteriormente para a linha bifisica a dois fios.

Capittilo I . Introduq60 aos Pardmetros de Linhas

? I

DMC

39

linha bifhsica a dois fios

I

Figura 1.28: Cilculo da indutiincia.

Linha com a fase constituida por condutor cilindrico:

Linha com um feixe de subcondutores em cada fase: 7 DMG L, = 2x10- In------,

na qua1 rev," C o raio equivalente da fase a. Em vez de continuarmos usando o raio corrigido do condutor s6lido r', valid o para corrente continua, passaremos a utilizar o raio mkdio geomktrico, rmg, valido para cabos encordoados e corrente alternada, que leva em conta a mkdia geometrica das distincias entre os fios que cornpaern um cab0 encordoado, de forma semelhante ao conceit0 anterior de mCdia geomktrica propria dos subcondutores de uma fase, alCm de levar em conta a disposiqZo dos condutores em torno do suporte meciinico no caso de cabos CAA (ACSR). Em geral, n5o fazemos o chlculo do raio mkdio geometrico, sendo o mesmo obtido de tabelas de condutores, assim como as demais caracteristicas elCtricas ou mecinicas do cabo, fornecidas pelos fabricantes.

40 Fundamentos de Sistenlas El~tricosde Potkncia

Como exemplo, a linha com a fase constituida por um cab0 encordoado apresentaria a indutincia:

L, =2x10- 7 ln-. D rmg Resumo da nomenclatura para distincias medias geometricas proprias Faremos aqui um breve resumo da nomenclatura adotada para os subcondutores de uma fase. a) Condutor solido e o seu raio corrigido v', que 6 um conceito mais teorico, com a finalidade de incluir o fluxo interno do condutor em corrente continua.

w Figura 1.29: Condutor cilindrico.

b) Cabo encordoado, para o qua1 usaremos uma extens50 do conceito de distincia midia geomktrica propria, expressa pelo raio midio geomktrico rmg. No caso pratico de feixes de cabos encordoados e corrente alternada, trocamos r' pelo raio midio geomktrico rmg e as expressdes se mantern.

Figura 1.30: Cabo condutor encordoado. c) Feixe de subcondutores cilindricos e o seu raio equivalente:

Figura 1.31 : Feixe de condutores cilindricos.

Cauitulo I . Introductio aos Pardmetros de Linhas 41

d) Cabos encordoados em feixe. A expressgo a seguir k utilizada em casos praticos em corrente alternada.

Figura 1.32: Feixe com n cabos encordoados. Na realidade, os programas existentes de cilculo de par5metros nZo utilizam o conceito do raio mkdio geomktrico, tratando os cabos encordoados como condutores tubulares, utilizando fbrmulas relativamente complexas para correqdes de concentraqaes de correntes em funqSio da freqiiencia. Nessa etapa do nosso curso, introdut6ria ao cilculo de pariimetros, continuaremos utilizando o conceito de raio mkdio geomktrico, que k suficientemente preciso para os nossos prop6sitos. Assim, substituimos o bundle percorrido pela corrente I por um condutor equivalente, dado pela distfincia mkdia geomktrica pr6pria do bundle, ou raio equivalente, o que facilita muito os cilculos. 0 s casos priticos de cabos em feixe apresentam sempre subcondutores iguais espaqados uniformemente, circunscritos em um circulo. A simetria dessas configuraqdes permite um cilculo mais simples, como veremos a seguir, nos casos mais comuns de 2 , 3 e 4 subcondutores em um mesmo feixe. a) Caso de dois subcondutores:

Figura 1.33: Disposiqiio espacial de dois subcondutores em feixe. e : espaqamento entre subcondutores.

42

Fundarnentos de Sistemas Ele'tricos de PotBncia

A distincia mCdia geomktrica pr6pria D,,segundo a referencia [2] ou raio equivalente, re,, , C dada por:

Para a resistzncia equivalente do feixe, adotamos:

sendo R,, a resistsncia em corrente alternada para cada condutor, em uma dada temperatura. b) Caso de tres subcondutores:

Figura

Disposi~iioespacial de trts subcondutores

feixe.

Para a resistencia equivalente:

c) Caso de quatro subcondutores:

Figura 1.35: Disposiqiio espacial de quatro subcondutores, em feixe.

Capittilo I . Introduqlio aos Par2metros de Linhas

43

Para a resistencia equivalente:

0 raio equivalente tambBm pode ser calculado, genericamente, pela expressgo a seguir, conhecido o n ~ m e r ode subcondutores e o raio do circulo circunscrito R:

Lembramos ainda que, na nomenclatura da referencia [2], temos:

Ds = re, , Dm = DMG . A distPncia DMG tambim B conhecida por distlncia equivalente, ou D, .

1.3.I0

ReatZncia Indzltiva da Linha corn Utilizaqiio de Tabelas

Apesar do menor uso de tabelas atualmente, vejamos como utilizar os valores de reatincias indutivas Xi constantes destas tabelas [2,3] que se referem sempre a = rmg e D,, = DMG, e apresentam normalum condutor por fase, nesse caso D,, mente valores em unidades inglesas. Dada a reatlncia distribuida de um condutor, em Qlkrn, sabemos que:

Xi = 2nfl

(2nf = w ) ,

Xi= 2 n f 2 x 1 0 - ~ni-

DMG

=4nf

In-

DMG

Qlm .

Passando a unidade de comprimento para milhas:

X i (R/mi) = Xi(R/krn)x 1,609 ; Observamos que na referencia [2] as expressdes usam log (logaritmo na base 10) em vez de In (logaritmo na base e):

X, = 2,022xl0"fln-

DMG rmg

Separando em duas parcelas:

Q/mi

.

44 Fundarnentos de Sisternas Elktricos de Pot&ncia

Xu 6 definida como a reatincia do condutor para espaqamento de 1 pk: X, = 2 , 0 2 2 ~ 1 0 f- ~ln-

1

.

rmg Observamos que, dispondo da reatincia X u , obtemos o raio midi0 geomitrico em p6s, ou seja, essa 6 uma maneira indireta de fornecer o raio medio geometrico do condutor. Xd 6 o fator de espaqamento, tambCm em pCs:

EXEMPLO 1 Calcular a reatincia da fase a de uma linha bifisica com cab0 Grosbeak, com a geometria indicada abaixo:

I

I I

25 p t s

I I 1

Figura 1.36: Disposi@o espacial de dois condutores coln cabo Grosbeak.

D,, = DMG = 25 pes . Consultando uma tabela de cabos, obtemos: Grosbeak 636 MCM; 26(A1)/7(aqo),

X, = 0,4 12 Q/mi para 1 p6 de afastamento. Sabemos tambCm que a reatincia de uma fase 6 dada por:

xi= 2 , 0 2 2 ~10-~.fin---,DMG

Capitulo I . Introduqiio aos Pardmetros de Linhas 45

Xd = 0,391 nlmi,

Xi= 0,803 Qlmi. No caso de linha bifisica a dois fios, multiplicamos o resultado por 2:

Xi= 2 x 0,803 = 1,606 Qlmi . 1.3.11 Indutdncia de Linhas Trijibsicas corn Espaqarnento Equilbtero Vejamos o cilculo da indutincia de uma fase, em um sistema trifasico. Em corrente alternada, no caso de um condutor, utilizamos o rmg e no caso de cabos em substituindo os subcondutores de uma fase pel0 condutor feixe utilizamos o r, com raio equivalente, concentrico corn o circulo que circunscreve o feixe.

Figura 1.37: Linha trifhsica com espaqamento equilatero D. Novamente, admitiremos que a soma das correntes trifisicas 6 nula, conforrne as hip6teses adotadas para o chlculo do fluxo concatenado corn um condutor por urn grupo de condutores. Esse artificio nos perrnitiri introduzir uma simplificagiio significativa, com boa aproximaqiio, no chlculo da distiincia media geomktrica mhtua (DMG).

Essa restriggo corresponde a assumir que niio temos corrente de seqiiencia zero na linha, ou seja, que os resultados seriio razoaveis apenas para a seqiiencia positiva. Supondo as tres fases identicas, calculamos o fluxo concatenado com a fase n aplicando a equaqiio (l.l9), trocando r' por reqZ, obtemos:

Sabendo que:

46 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia

I,

+ I, + I, = 0 =3I, + I,

= -I,

,

resultando ern:

ou:

m = 2 x 1 0 - ~I~

[ ): in-

Obteinos a indutincia da fase a:

L, = 2x10- 7 In- D H/m req:

Figura 1.38: Sistema trifhsico equilibrado.

Observamos que, nessa estrutura particular, o valor de DMG coincide com o espaqamento entre fases D, pois:

Verificamos tambkm que a indutincia (ou reatincia) de urna fase relaciona tensdes e correntes que compdem um sistema trifasico simktrico e equilibrado e, portanto, as tensdes e correntes de urna fase estiio referidas a urna tens50 de neutro nula.

EXEMPLO 2 Dada urna linha com espaqamento equilitero, com D = 25 pks e um cab0 Grosbeak por fase, calculamos a reatincia de urna fase aplicando (1.29): Consultando urna tabela sabemos que: rmg = 0,0335 pks :

--.

Cauitzrlo I . Introduca'o aos Pardmetros de Linhas

47

25 = 0,499 Rlkm , x = m ~ = m x 2 ~ 1 0 - " 10,0335 n que corresponde a 0,803 Rlmi, conforme o exemplo anterior. Observamos que DMG e r,, devem estar na mesma unidade.

1.3.12 Linhas Trfbsicas corn Espaqarnento Assirnktrico No caso de linhas trifisicas com espaqamento assimktrico, o cilculo da indutincia de uma fase com as expressdes anteriores so k possivel em linhas com transposigiio. Calculamos o fluxo mkdio, concatenado com o condutor da fase a (ou bundle), supondo as fases a , b e c com a mesma composiqiio de subcondutores. Introduzimos a idkia de transposigiio dos condutores, tomando o fluxo mkdio concatenado nos tris trechos da linha de transmiss80. Observamos que cada condutor ocupa, em cada trecho, uma das tris possiveis posiqdes distintas, resultando em um fluxo mkdio para cada condutor ao longo da linha de transmissiio. Desse modo, subdividimos a linha em tris trechos I, I1 e 111, com uma rotaqiio das posigdes ocupadas por cada condutor, conforrne a figura a seguir. trechos

I

I a

I I

I I I

b

el3

Carte transversal dos condutores no trecho I

c

1

I

I I

II

b

a I I

t/3

1

I w z,

I

I

I11

c

b I I I w

(

I I

a

c

c 3

I1

I

e

I

r

C 13 )

I 'I

Posicgo aQea dos condutores Figura 1.39: Linha trifasica corn espagamento assimetrico. Consideremos uma linha com feixes de mesma caracteristica reyzo= reyzh- rep e assumiremos que os condutores sofreriio uma rotaqzo no sentido antihoririo. 0 s fluxos mkdios em cada fase seriio obtidos pela mkdia dos fluxos concatenados em cada trecho da linha.

48

Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potkncia

Obtemos o fluxo concatenado corn a fase a no trecho I:

c

3

Figura 1.40: Trecho I.

Para o trecho 11:

b

Figura 1.41 : Trecho 11.

3

----

Capitzrlo I . IntroduqZo aos Pardmetros de Linhas

49

E tambkm para o trecho 111: I, ln-+

1

Ibln-+

1

reqz

I, In-

3

a

3

Figura 1.42: Trecho 111.

0 fluxo mkdio concatenado, com o condutor da fase a, C dado pela media aritmktica:

Como Ib+ I, = -Ia, escrevemos:

h=

,

2~10-~ D D D v424,4, 1,1n l 2 233 l 3 = 2 x l 0 - ~ 1 ~ 1 n req;

req,

Resultando na indutincia da fase a:

7

L, =2x10- In-,

DMG

'eqz .A

na qua1 a distgncia mCdia geomktrica mutua DMG k dada por:

DMG = ~

D

~

.~

D

~

~

D

~

~

50 Ftrndamentos de Sistemas El&tricos de Potgncia

1.4 Capacitgncia de Linhas de Transmissgo 1.4.1

Generalidades

Neste item apresentaremos o cblculo de capacitlncias de linhas de transmiss%o,ainda sem levar em conta o efeito do solo. Ao energizarmos condutores aCreos por meio de urn gerador, mesmo sem alimentar nenhuma carga, observaremos uma corrente capacitiva fornecida pel0 gerador. Tal efeito t semelhante ao de energizarmos um capacitor com duas placas em paralelo, conforme o caso da linha bifisica da figura 1.43.

Figura 1.43: Linha bifisica corn dois fios.

Aplicando-se urna tensb altemada, a cada semiciclo as polaridades se altemam. + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + Figura 1.44: Semiciclo positivo e semiciclo negativo.

Capittrlo I . Introdug60 aos Parcimetros de Linhas 51

Ao associarmos uma capacitincia C = QI V aos condutores, obtemos uma relaq5o entre tens50 e corrente, dada pela admitincia (susceptincia) capacitiva da linha, sendo vilida a equaq5o em valores fasoriais:

I = jwCV

1.4.2

.

Condzltor Isolado

Suponhamos urn condutor cilindrico isolado no espaqo, carregado corn uma densidade de carga Q por unidade de cornprimento.

Figura 1.45: Campo elktrico de um condutor isolado.

R: raio do condutor. r: raio da superficie cilindrica, r > R. A carga do condutor C obtida por meio do cilculo do fluxo do vetor deslocam e n t o d , em uma superficie cilindrica externa ao condutor, com raio r e comprimento unitirio, o que corresponde i aplicaq5o da Lei de Gauss:

Sabemos que o vetor deslocamento d (densidade de fluxo) e o campo elttrico est5o relacionados pela relag50 constitutiva: d=&E, na qua1 r C a permissividade do dieletrico.

E

52 Fundamentos de Sisternas Ele'tricos de PotBncia

Como as linhas do campo elktrico siio radiais e portanto normais A superficie cilindrica que envolve o condutor, a densidade de fluxo k constante nessa superficie, simplificando o calculo:

A Area de uma superficie cilindrica corn raio r e comprimento unitario k dada por:

Obtemos entiio o campo elktrico em uma linha radial, a uma distincia r do seu centro:

Observamos que, como niio temos cargas internas no condutor, o c~lculodo campo elktrico s6 tem interesse a uma distincia r do centro, tal que r > R . Desse modo, considerando a distribuiqiio de cargas na superficie do condutor, diferentemente do calculo de indutincias, niio ha necessidade de considerarmos efeitos internos como as correqbes do raio efetivo. Sendo assim, o raio do condutor, a ser utilizado nos cilculos, sera sempre o seu raio externo. Em contrapartida, para o calculo do campo externo, em vez de considerarmos a carga distribuida na superficie do condutor, resulta em boa aproximaqiio considera-la concentrada no centro desse condutor.

1.4.3

Diferenga de Potencial entre Dois Pontos no Espago

/ Figura 1.46: Condutor e dois pontos do espago.

Capitulo 1. Introdu~Coaos Pardmetros de Linhas

53

De posse da express50 do campo elCtrico, calculamos a diferenqa de potencial entre dois pontos quaisquer do espaqo, 1 e 2, onde Dl e D2 s50 as distiincias entre o centro do. condutor e os pontos 1 e 2 no espaqo, que est5o localizados em superficies concC!ntricas e equipotenciais. Como a diferen~ade potencial entre os pontos 2 e 2' 6 nula, pois a superficie cilindrica 6 equipotencial, faremos o calculo em uma linha radial que passa pelos pontos 1 e 2'. Observamos que estamos utilizando o simbolo D para as distlncias, que n l o deve ser confundido corn o vetor deslocamento d . Esta express50 sere fundamental para o cilculo de capacitiincias de linhas de transmisslo, a ser utilizada nos itens a seguir.

1.4.4

Capacit2ncia de uma Linha B fbsica

Linha bifhsica De posse da expressgo fundamental da diferenqa de potencial entre dois pontos no espaqo, externos ao condutor, podemos dar inicio ao calculo de capacitiincias de linhas de transmisslo, comeqando pela linha bifhsica. \

\

Equipotencial que intercepta o condutor 2

'\, \ \

/ / / /

,

/

/

,, /

I

Figura 1.47: Linha monofhsica a dois fios.

A hip6tese bisica de calculo utilizada C que a soma das cargas dos condutores 6 nula.

54

Fundamentos de Sistemas Elktuicos de PotPncia

Ou seja, admitiremos, por hipbtese, que a soma das cargas k nula, mesmo no caso de n condutores no espago:

Calculemos inicialmente a diferenqa de potencial entre os condutores 1 e 2 devida apenas ti carga do condutor 1. 0 cilculo da diferenqa de potencial entre os dois condutores k feito entre o ponto 1, localizado na superficie do condutor 1, e um ponto 2 no espaqo, localizado em uma linha equipotencial que intercepta o condutor 2 e passa pel0 seu centro. Embora o condutor 1 n5o tenha carga no seu interior, para efeito de cilculo assumiremos uma carga filiforrne, localizada no seu centro. Como a distiincia D entre os eixos 6 bem maior do que o raio dos condutores, D >> q e D >> r2, assumiremos que esta aproximaqiio no cilculo do campo elktrico, nas proximidades da superficie do condutor, niio introduz uma variaqgo significativa no cilculo da diferenqa de potencial entre os pontos 1 e 2. Com relaqiio A fbrmula (1.36), D2 corresponde a D e Dl corresponde a rj .

A diferenqa de potencial devida ti carga do condutor 2 e obtida com a mesma expressiio, considerando-se esta carga tambkm como filiforme e localizada no centro do condutor. Na aplicaqiio da fbrrnula bisica, isso corresponde a fazer D2 = r2, pois o ponto 2 esta localizado na superficie do condutor 2, e Dl = D .

Superpondo o efeito dos dois condutores na diferenqa de potencial, encontramos:

llPC

Capifulo I . Introduqzo aos Parrimetros de Linhas

55

ou:

que pode ser representada como:

No caso particular demaior interesse, quando r, = r2 = r , obtemos:

Desse modo, a capacitincia entre os condutores 1 e 2 6 dada por:

Nota: r sera sempre o raio externo, mesmo no caso de cabos encordoados. Normalmente, estamos interessados em uma capacitincia fase-neutro e usaremos o artificio de considerar a capacitincia entre os condutores 1 e 2 como a composiqiio serie de duas capacitincias iguais dos condutores para o neutro. Observamos que na figura abaixo o ponto n e considerado no potencial zero.

Figura 1.48: Capacitiincia fase-neutro.

56 Fundamentos de Sisternas Elitricos de Potgncia

Capacitincia fase-neutro da linha bifisica:

Ao alimentarmos uma linha bifisica com dois condutores, mesmo sem carga, encontramos uma corrente capacitiva, dada por:

Figura 1.49: Energizaggo da linha.

Essa corrente capacitiva ocorre em todas as linhas d e transmissgo, quando aplicamos tensiio nos terminais da linha em vazio, sendo essa operaqiio conhecida na pritica como energizagiio da linha. A admitiincia da linha, ou mais corretamente a susceptincia, pois desprezamos a condutincia, 6 dada pela expressiio:

Aumentando o comprimento da linha !, aumentamos a capacitgncia total e conseqiientemente a admitincia Y,, que siio proporcionais ao coinprimento da linha e desse mod0 aumentamos tambCm a corrente. Esta tambim aumenta se elevarmos a tensiio de alimentaqiio.

Capitulo I . Introdu~iioaos Pardmetros de Linhas 57

Podemos definir uma reatincia capacitiva para a linha: -

1

X c t o t a ~--

--

1

wc,,e rce

Om.

A reatincia capacitiva i inversamente proporcional ao comprimento. As tabelas contendo caracteristicas elitricas de condutores podem apresentar informaq6es das reatiincias capacitivas fase-neutro. Vejamos como utiliza-las: Reatsncia por fase (fase-neutro) Consideremos a permissividade do ar como igual B do viicuo:

Obtemos a expressgo da reatincia capacitiva fazendo:

xc=-

Xc =

1

-

1

-

1

- 2,862x109 ln-,D

f

2,862x109

f

r

1,779x106 D D = In- Omi . In- Qm ou X,, f r r

Que pode ser desmembrada em:

X; : Reatincia capacitiva para afastamento de 1 pi, com o raio r dado em p i s (1 p i = 12 polegadas). X; : fator de afastamento (ou espa~amento)da reatincia capacitiva em pis.

EXEMPLO 3 Vejamos o caso do cab0 Grosbeak, com diimetro externo D,,, = 0,99" (lembramos novamente que para o cilculo de capacitincias usamos o raio externo, e ngo o rmg do condutor). Consideramos nesse caso um afastamento D = 20 pes. Da tabela, para o cab0 Grosbeak, obtemos a reatgncia para espaqamento de 1 p i :

58

Fundamentos de Sistemas El&tricosde Potgncia

Calculamos o fator de espaqamento:

Resultando em uma reatincia de 183.420 Qmi . Obtemos o raio externo em pis, para trabalhar com a mesina unidade do espaqamento entre fases.

E podemos aplicar a formula da reatincia para uma fase:

que praticamente coincide com o resultado anterior. Para uma linha de 100 milhas, obteriamos a reatincia total fase-neutro:

Neste ponto, i conveniente efetuar o mesmo chlculo, a partir da admitincia de uma fase para o neutro, utilizando a express50 (1.41):

Nota: Conforme veremos no capitulo 2, podemos trabalhar com o inverso da capacitincia:

Calculamos a admitincia da linha:

Yc = 3 , 3 9 ~ 1 0 " Slkrn.

-

Capitulo 1. Introduqiio aos Parimetros de Linhas

59

Para um comprimento de 100 mi, correspondente a 160,9 km, obtemos a adrnitiincia total da linha:

que corresponde a uma reatiincia de:

Xc,o,,I = 1833,3 fi (reatiincia de uma fase para o neutro). Verificada a equivalhcia dos dois procedimentos, comentamos que o calculo da capacitiincia tornou-se tiio rotineiro, que niio ha necessidade de extrairmos os valores de reatiincias das tabelas. Podemos calcular a corrente capacitiva da linha monofisica a dois fios:

Para uma tensiio entre condutores de 200 kV:

1.4.5

Linha TvifGisica corn Espa~amentoEquildtero

Vejamos como obter a capacitiincia fase-neutro de uma linha trifiisica corn espaqamento equilhtero.

Figura 1 S O : Linha trifasica corn espaqamento equilhtero.

60 Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potincia

Adotaremos a restriggo de que a soma das cargas nas tr2s fases e nula, ou seja, nesse desenvolvimento admitiremos apenas seqiihcia positiva para cargas e tensdes.

Em um caso generic0 corn n condutores, generalizaremos esta condiqiio, para:

Admitiremos ainda que os condutores siio iguais, corn o mesmo raio externo. Para obter a capacitincia fase-neutro, necessitamos calcular inicialmente as diferengas de potenciais fase-fase, lembrando que a diferenga de potencial entre dois pontos, 1 e 2, no espago e dada pela equagiio basica (1.36),

Nesse caso, calculando as diferenqas de potenciais entre fases, VOh e Vh,, superpondo a contribuiqiio de todos os condutores, obtemos para VUh,posicionando o pontol na superficie do condutor da fase a e o ponto 2 na fase b:

Observamos que o cilculo da diferenga de potencial entre os condutores a e b, com relag20 as cargas Qa e Q h , C similar ao realizado para a linha bifasica. A contribuigso da carga Qc e nula, pois estes condutores estiio situados em uma superficie equipotencial em relaq2o a esta carga. Analogamente, a diferenga de potencial V,, 6 dada por:

Somando as diferengas de potencial:

Pela hip6tese anteriormente adotada, sabemos que:

Capitulo I . Introduqa'o aos Pardmetros de Linhas

61

resultando na expressiio:

Figura 1.5 1 : Tens6es de fase e de linha.

PorCm, sabemos que em um sistema trifisico simCtrico e equilibrado, conforme a figura 1.5 1, podemos escrever as relaq6es:

Como a soma vetorial Vah+ Yo, C um numero real,

Finalmente, obtemos a capacitlncia fase-neutro, que apresenta uma expressgo identica ti obida para a capacitlncia fase-neutro da linha monofasica a dois fios (1.41): Van Can =--Qa

-

2w D F/m. In-

62 Fundarnentos de Sisten~asElitricos de Potgncia

1.4.6

Linha Tr$&sica corn Espa~arnentoAssirnktrico

Para obtermos a capacitincia fase-neutro, no caso de uma linha com espagamento assimktrico, k necessirio que a linha seja transposta. A fim de explicitar o c8lcul0, adotaremos urn procedimento semelhante ao adotado para o cilculo de indutincias no item 1.2.10, e tambkm ao caso anterior de espagamento equilatero, calculando a tens20 entre fases VUh nos trss trechos de transposigso I, 11,111, com os condutores ocupando as possiveis posiq6es espaciais.

trechos

I I

~4

a

------------

I I I

b

-------

b 2

I I I

c 3

P 13

Corte transversal dos condutores no trecho I

(

I I

I11

c

I I I I

b

a

c

b

c

-----

I

I1

a

I

I

I I

I I

I I w

P I3

n

n

I

I I VI

.C

PI3

1

I

Posiciio aCrea dos condutores Figura 1.52: Transposig?io da linha.

Novamente, lembrando da express50 para diferenqa de potencial entre dois pontos,

aplicamos a f6rmula para os trechos I, I1 e 111. Para o trecho I:

Capitulo I . IntroduqZo aos ParGmetros de Linhas

3 Figura 1.53: Trecho I.

Para o trecho 11:

b

3

Figura 1.54: Trecho 11.

E finalmente para o trecho 111:

a

Figura 1.55: Trecho 111.

3

63

64

Fundamentos de Sistemas ElBtricos de PotZncia

Calculando o valor mkdio das tensaes entre fases ao longo da linha,

Multiplicand0 por 3 e simultaneamente extraindo a raiz cubica dos argumentos, a express20 n2o se altera. Conforme definiqiio anterior de distiincia media geometrica, sabemos que:

e a distgncia media geometrica mutua entre fases. Desse modo, podemos escrever iima express20 mais simples:

DMG r

1 Voh =-[Qaln 2 n ~

r

Analogamente, escrevemos para a tens50 entre as fases a e c:

ink) -

DMG r + Q~

1

vuc =-(Qain~ X E

Novamente, somando Vab com Va, , que como vimos anteriormente resulta em 3Va, :

DMG Vab + Vac = - 2Q, Inp+ Y

1 DMG 3vu,, = -2( ~n Q~~ I ~ - + (rQ ~ Sabendo que: Qh +Qc =-Qa

7

1 DMG ?Van = [2n& 3 Q U InT) e portanto:

Qh

In

Y

DMG

+ Qc 1-.1,

+Q~)I~

Y

DMG

Capitzrlo I . IntroduqLio aos Pardmetros de Linhas

65

DMG Resultando para a capacitiincia fase-neutro:

2z~ Can =

DMG

(Ffm)

In -----

1.4.7

Consideraqa"~de Condutores Compostos ou Bundle

A consideraqgo de condutores compostos, no cilculo de capacitiincias de linhas de transmissgo, 6 semelhante ao cilculo de indutiincias, com a substituiqgo dos varios subcondutores por um condutor com raio equivalente. Vejamos o caso de uma linha monofisica, coin dois subcondutores por fase, cada subcondutor com metade da carga total da fase.

Figura 1.56: Disposiqiio espacial da linha.

Admitimos que a distincia entre fases k bem maior do que o espaqamento entre subcondutores D >> e , assim como e >> r . D: distincia entre eixos das fases a e b. e: espaqainento entre os subcondutores de cada fase. Calculemos a diferenqa de potencial entre os pontos 1 e 2 da figura, usando a equaqgo (1.36):

A diferenqa de potencial, considerando a presenqa dos quatro subcondutores, e dada por:

66 Fzrndnrnentos de Sisternas Elktricos de Potgncia

Figura 1.57: Linha monofasica coln dois condutores por fase.

Chamando o raio equivalente para dois sub-condutores em uma mesrna fase de:

na qua1 r k o raio externo do condutor, temos:

Observamos a semelhanga de tratamento com o caso de indutgncias. Para os casos com trEs e quatro subcondutores, dispostos em uma figura regular, usamos as mesmas expressaes obtidas em (1.27) e (1.28), apenas trocando o raio mkdio geomktrico pelo raio externo do condutor.

EXEMPLO 4 Dada uma linha trifhsica com espagamento equilitero de 107 m e raio equivalente do feixe de condutores de 4,457 cm, alimentando o seu inicio com tens20 nominal, obter a corrente e a potencia fornecidas pelo gerador, considerando os seguintes dados: Tens50 nominal de linha: 500 kV. Comprimento: 250 km. Chlculo da capacitiincia aplicando a express20 (1.42):

C,

= 10,272 nF/km

.

Calculo da corrente absorvida pela linha em vazio:

V,, ,

= 500V; t' = 250km.

Capittllo I . Introduq60 aos Pardmetros de Linhas

67

Uma primeira possibilidade de c~lculo6 trabalharrnos em valores por unidade:

Sh = l o 0 MVA, Vb =500 k V ,

111=279,5 A ,

Q = 242 MVA . Outra possibilidade 6 trabalharmos diretamente corn os valores nominais: = j w x l 0 , 2 7 2 ~ 1 0 -~~2 5 0 ,

I=W,

Pot6ncia reativa trifisica

Nesse exemplo, verificamos que a passagem para valores por unidade, quando n5o temos transformadores, nZo 6 necessaria ao calculo.

EXEMPLO 5 Calcular as reatincias indutivas e capacitivas, por fase, da linha de transmissiio, dadas as distincias em metros, utilizando o cab0 Drake.

Figura 1.58: Disposiy50 espacial dos condutores da linha de transmiss50.

Das tabelas de cabos extraimos os dados: rmg = 0,0373 pes , X u = 0,399 Rlmi , d,,, = 1,108 polegadas . Calculamos:

DMG = D = 7-

= 12,164 m (admitindo a transposigiio da linha).

Sabendo que 1 pi! = 0,3048 m, converternos o rmg para metros: rmg = 0,O 1 137 m. Calculemos a reatincia por fase:

Obtemos a reatincia indutiva da linha: Xi = 2nJLu = 0,526 Rlkm = 0,526 x 1,609 Rlmi = 0,846 Rlmi , ou: Xi = X u + X d espagamento de 39,91 pks, 39,9 1 pks =

12,164 m 0,3048

que coincide com o resultado anterior. Calculemos a capacitincia convertendo o raio externo para metros:

Capitt~lo1. Introdu~fioaos ParGmetros de Linhas

69

(observe que o raio externo tem valor diferente do rmg). can

2 ~ & = . 12.164 Flm

= 8 , 8 5 ~ 1 0 - 'Flm, ~

ou, na forma mais usual:

As f6nnulas apresentadas nesse capitulo para linhas trifasicas, de indutincias e capacitincias, contem algumas limita~des,conforme veremos no capitulo a seguir. No entanto, dada a simplicidade desse tratamento, sua aplicaqgo 6 interessante quando necessitamos analisar alteraqaes na geometria da cabeqa de torre, ou mesmo na configuraqiio dos subcondutores. Propomos a seguir um exercicio que condensa os principais graus de liberdade nos parimetros de uma linha de transmiss80, com relaggo As distincias medias geometricas pr6pria e mutua.

EXERC~CIOPROPOSTO Considerando os mesmos dados do exemplo 5, calcule os parimetros indutivos e capacitivos da linha de transmiss80: a) Admita feixe com dois e quatro subcondutores por fase e espaGamento de 45 e 80 cin. b) Altere as distincias entre fases em mais 50% e lnenos 50%. c) Coinpare os valores obtidos de indutincias e capacitiincias da linha de transmiss80. d) Como podemos reduzir a indutincia de uma linha? 0 que ocorre com a capacitiincia?

EXEMPLO DE TABELA DE CABOS CAA (ACSR)

Dados de condutores extraidos de Aluminium Electrical Conductor Handbook, New York, September 1971.

1.5 Referzncias bibliograficas [ I ] Purcell, E. M. Elefricidade e Magnefismo. SZo Paulo, Edgar Blucher, 1973 (Curso de Fisica de Berkeley, 2). [2] Stevenson Junior, W. D. Elementos de Analise de Sistemas de Potgncia. 2.ed. McGraw-Hill, 1986. [3] Electric Power Research Institute. T1.ansr7~issionLine Reference Book: 345 kV and Above. 2. ed. Palo Alto, 1982.

Estenderemos as anilises efetuadas no capitulo 1, calculando os pariimetros elktricos de uma linha de transmissiio com a presenga do solo, o que nos levara a uma abordagem matricial das impediincias e capacitiincias distribuidas da linha. Nosso proposito k incluir a presenya do solo ainda que de maneira elementar, de tal mod0 que avaliayaes simplificadas do seu efeito possam ser realizadas. Consideramos inicialmente o solo como um condutor perfeito, com resistividade nula, o que iri permitir a aplicayiio do metodo das imagens, viabilizando, desse modo, a extensiio dos conceitos anteriorrnente desenvolvidos. Poderemos, entiio, avaliar os efeitos de outros cabos akreos nas proximidades das linhas de transmissiio, e assim dos efeitos dos cabos-guarda, tambkm conhecidos por cabos pira-raios. Cabe mencionar que a consideragiio mais ampla do solo, com resistividade n5o nula, so e possivel atravks de formulaydes matematicas mais complexas, como por exemplo o desenvolvimento das expressdes em series na formulagiio de Carson, que estiio fora do escopo deste texto, e por isso aqui brevemente mencionadas. Apresentaremos a seguir os conceitos elementares do cilculo de pariimetros de linhas de transmissiio, com a presenga simplificada do solo, o que permitiri ao aluno o aprendizado dos elementos basicos, ~ t e i scomo ponto de partida em estudos mais aprofundados, que porventura sejam necessirios em atividades mais especializadas.

2.2 Calculo de Parilmetros Incluindo o Efeito do Solo Neste item, introduziremos o c ~ l c u l omatricial de impediincias skrie de linhas de transmissiio, incluindo o efeito da presenga do solo, considerado como um condutor perfeito, com resistividade p = 0 .

2.2.1

Matriz de Impedincias Skrie Inclusiio da presenqa do solo:

Inicio

Fim

Figura 2.1 : Linha de transmiss50 polifasica.

Figura 2.2: Catenaria. No calculo de parimetros de cabos akreos adotaremos as hipoteses descritas a seguir. a) Consideramos os cabos cilindricos, retilineos, paralelos ao plano do solo, uniforrnes e com comprimento suficientemente longo para desprezar o efeito de distorg6es de campos nas extreinidades.

P"-

Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardnletros de Linhas

73

b) Consideramos a altura media do condutor, para levar em conta o efeito da &formaqgo do cabo, que descreve uma curva na forma de uma cateniria. Uma hip6tese razokvel para calcularmos a altura media 6 adotar:

considerando que: h, : altura do cab0 na torre, h,, : altura do cab0 no meio do viio, supondo o terreno plano, f : flecha no meio do vgo, f = h* - h,, . c) A resistividade p do solo e admitida constante, com o terreno plano e homogeneo, com perrneabilidade relativa magnktica aproximadamente igual a p, = 1 ,

( P = PO)d) 0 campo eletromagnktico produzido por um cabo individualmente niio se altera com a presenqa de campos causados pela passagem de corrente em outros cabos aereos. Iniciemos nossa consideraqiio do efeito do solo, admitindo urn solo perfeito, com resistividade nula p = 0 . At6 aqui, para aplicarmos a f6rrnula do fluxo concatenado com urn condutor por um grupo de condutores, admitimos a hip6tese de que a soma das correntes era nula. Isto implica limitar o ciilculo considerando apenas o efeito das correntes de seqiiencia positiva ou negativa, desprezando o efeito da seqiihcia zero, em que:

A consideraqiio do efeito do solo resolve este problema, quando aplicamos o metodo das imagens, perrnitindo analisar casos em que a soma das correntes nZo 6 nula.

2.2.2

Aplicaq60 do Mktodo das Imagens

Na figura 2.3 temos: hi : altura media do condutor i em relaq8o ao solo, d, : distlncia entre os condutores akreos i e j (escritas corn letras minusculas), D, : distlncia entre condutor i e imagem do condutor j (escritas com letras maiusculas), r ~ q -:iraio

equivalente do i-ksimo condutor (ou feixe de subcondutores).

Figura 2.3: Disposigiio es,pacia1dos cabos condutores.

Sabemos que d, = dji e D, = Dji . Para os cabos aCreos, podemos admitir uma somat6ria de correntes nil0 nula:

No entanto, para as imagens encontramos a mesma somat6ria com o sinal trocado:

de tal mod0 que para todo o conjunto de condutores, a soma total das correntes e nula, permitindo entilo a aplicaq50 da express50 do fluxo concatenado corn um condutor genirico i por um grupo de condutores. Calculemos o fluxo concatenado com o condutor i, por unidade de comprimento do cabo, considerando o grupo de condutores e incluindo as imagens:

Resultando na express50 mais compacta, que seri doravante utilizada:

2hi In-+...+ reqzi

I,,in-

Capitulo 2. Ccilculo Matricial de Pardmetros de Linhas

-

75

Para esse condutor, incluindo a parcela resistiva, a queda de tens50 serie na linha por unidade de comprimento pode ser escrita como:

Aplicando a transforrnada de Laplace nesta equaq20, obtemos:

AV, ( s ) = RiiIi ( s ) + s& ( s ) .

(2.2)

Incluindo a queda de tens50 por efeito resistivo, escrevemos para o i-ksimo condutor, com s = j w em regime perrnanente senoidal, a express50 da queda de tensso ao longo da linha de transmissgo, para uma dada unidade de comprimento:

Lembrando que d, = dji e D, = Dji , ao multiplicar a express50 (2.1) por j w e somar o resultado com a queda resistiva, obtemos:

A 5 = R,~I,+ j 2 w x 1 0 - ~

+In"). dni

Denominamos as reatincias pr6prias:

e as reatincias mutuas:

Escrevendo as expressdes para as quedas de tens20 em regime perrnanente, em um grupo de condutores acoplados, obtemos:

Chamando as impedincias por unidade de comprimento: Zii = Rii + jXii : impedincia pr6pria do i-esimo condutor,

76

Fundarnentos de Sistenlas Elktricos de Potgncia

Zv = jXii : impedincia m6tua entre os condutores i e j.

Obtemos a matriz de impedincias sCrie dos cabos acoplados, em regime permanente senoidal, para uma freqiiencia w = 2nf radls

na qua1 [ z ] C a matriz de impedincias strie da linha de transmiss50, que apresenta estrutura simktrica.

Como:

d.. = d , D.. = D .., entlo z.. = zji . 'J

J'

! I

J

'

'J

Com o objetivo de facilitar o tratamento, no caso de feixes de condutores, trabalharemos sempre com o conceit0 de raio equivalente do feixe, apresentado no capitulo anterior. 0 s programas de citlculo de parimetros inicial~nenteconsideram cada cab0 do feixe, o que implica na formaqiio de uma matriz de impedincias de ordem mais elevada. Em uma segunda etapa, como esses cabos estiio submetidos a mesma diferenqa de potencial, opera-se uma reduqgo na matriz, obtendo-se os parimetros equivalentes de cada fase. No entanto, adotaremos o raio equivalente do feixe, o que C suficientemente preciso para os propositos do nosso texto.

2.2.3

Solo corn Resistividade na"oNula

Vimos at6 aqui a consideraqiio do efeito do solo com resistividade nula. Na realidade o solo niio C urn condutor perfeito, apresentando uma resistividade p # 0 .

Capitulo 2. Chlculo Matricial de Pardmetros de Linhas

77

Isto faz com que as correntes pel0 solo se distribuam de mod0 diferente, de acordo corn a frequzncia, ou seja, para frequzncias mais elevadas as correntes tendem a se concentrar na superficie, apresentando um efeito semelhante ao efeito pelicular em um condutor, visto no capitulo 1. A forrnulaqiio matemitica deste tratamento 6 relativamente complexa, envolvendo uma decomposiqiio em sthie de Bessel, sendo muito aceita a proposiqiio feita por Carson em 1926, que passou a ser denominada correqiio de Carson. Nessa correqiio, o efeito equivalente 6 o de se considerar, para diferentes freqiizncias, as imagens com posiqdes diferentes, niio sendo objetivo do nosso curso um aprofundamento deste tratamento matemitico. Consideramos, entiio, os parimetros calculados admitindo o solo com resistividade nula, mais um termo de correqiio de Carson, para levar em conta p # 0 .

Zg = AR,

+ j 2 w x 1 0 ~ 1 n -1+

jAX, Wkm.

dg

Com resistividade nula, p = 0, adotamos:

Permanecendo vhlidas todas as expressdes anteriormente apresentadas. Com a finalidade de considerar o efeito de resistividade do solo niio nula, corn p # 0 , aplicamos as correqdes de Carson abaixo indicadas (vilidas na faixa de 0 a 100 Hz):

AX, =4 0 1 ~

0 , 0 0 2 6 4 9 2 ( h i.I+ h . ) J z

4

1

+... +...

78

Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de PotZncia

Comentamos que os programas atuais de cilculo de parimetros consideram correqaes mais complexas, envolvendo um n ~ m e r obem maior de terrnos e de coeficientes, que siio apresentados no item 2.5.

2.2.4

Efeito dos Cabos-Guarda

autoportante

estaiada

Figura 2.4: Tones de linhas de transmissiio.

Em linhas de transmissiio que atravessam regiaes corn nivel elevado de descargas atmosf6ricas para a terra 6 conveniente proteg6-las com cabos-guarda, posicionados de tal forrna que os raios atinjam preferencialmente estes cabos e niio os condutores. Este assunto 6 tratado no estudo do desempenho atmosfkrico da linha de transmissiio a surtos atmosfkricos (lightningperformance). Para considerar a influencia dos cabos-guarda na matriz de impedincias skrie de uma linha de transmissiio, esses siio simplesmente incluidos na matriz de impedincias, de mod0 anilogo aos demais condutores. Consideremos as quedas de tensiio longitudinais (variaqdes de tensiio com a corrente) na linha, na forma compacta, admitindo a possibilidade de mais de um cabo-guarda:

[Z,,] : matriz de impediincias skrie dos cabos condutores, [Zss]: matriz dos cabos-guarda,

7

Capitulo 2. Ccilctrlo Matricial de Parbmetros de Linhas

[Z,]

79

: matriz de impedencias mhtuas entre condutores e cabos-guarda.

No caso de apenas um cabo-guarda, exemplificamos:

[a

Como a matriz tem estrutura simktrica, [Zq] = [Z;,] . Antes de introduzirmos a eliminaqiio dos cabos-guarda, recordemos o procedimento algkbrico simples de eliminaqiio de uma equaqiio, na soluqiio de um sistema linear, com as caracteristicas definidas a seguir. Suponhamos um sistema linear de duas equaqdes, tendo como incognitas as variiveis x e y e admitindo os coeficientes a , p, S e p conhecidos.

Tomando a segunda equaqiio, a variivel y pode ser colocada em funqiio de x, na forma:

que substituida na primeira equaqiio fornece:

e finalmente:

A obtenqiio das variiveis x e y k entiio imediata. 0 mesmo procedimento pode ser adotado quando temos um sistema de equaqdes, escrito na forma matricial, sendo [x] e ly] vetores de inc6gnitas e [a], [fl,[ f i , [d e [p] matrizes e vetores:

80

Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia

Novamente eliminando o vetor de variiveis [y] , na segunda equayio:

que substituido na primeira equayio, resulta em:

["I =([PI-[rI[Pl-' [sl)[.l, e facilmente obtemos [XI, com a soluyiio do sistema linear de equaydes. Aplicamos o mesmo procedimento no calculo de parametros de linhas de transmissiio, quando temos sistemas de equaqdes lineares com algumas condiydes de contorno conhecidas, como no caso do uso de cabos-guarda. Tal procedimento 6 conhecido como reduqiio dos cabos-guarda.

Cabos-guarda aterrados Vejamos inicialmente o uso de cabos-guarda conectados corn a torre e portanto aterrados. Quando o cabo-guarda for continuamente aterrado, ou seja, aterrado em todas as torres, podemos admitir quedas de tensiio longitudinais AV, = 0 , ao longo do trecho examinado.

Figura 2.5: Cabos-guarda aterrados. Entre duas torres consecutivas, k e k - 1 na faixa de freqiiencias do regime permanente a 60 Hz, podemos admitir que as bases das torres se encontram praticamente no mesmo potencial de terra Vq = Vq, e que as quedas de tensio AV, nas estruturas sejam nulas. Desse modo, as quedas de tens50 nos cabos-guarda AV' = V, - V,-* tambCm s5o nulas e tal resultado pode ser estendido ao longo de todo o trecho de linha examinado.

Capitulo 2. Cdlculo Matricial de Pardmetros de Linhas 81

0 sistema de equapFes (2.6) com AV, = 0 pode ser particionado na forrna de duas equa~Fesmatriciais:

Podernos entlo eliminar o vetor de corrente [I,] nos para-raios:

que substituido na equapiio de quedas de tens20 fornece:

e finalmente:

Desse modo, eliminamos as correntes nos cabos-guards e ficamos com uma matriz de impediincias equivalente que inclui o seu efeito. Esta simples elimina@o de equaqFes recebe o nome de reduqiio de Kron,

Essa opera~lo,de certa forrna, nos leva a fazer uma analogia com os enrolamentos primirio e secundario de um transfomador, cujas tensties e correntes podem ser relacionadas pela matriz:

4,I I : tenslo e corrente do primirio, V2,I2 : tenslo e corrente do secundirio, Z,, Z2 : impediincias pr6prias do primhrio e secundario, Z, : impediincia mctua entre primirio e secundario.

82

Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia

Quando temos o secundirio em curto podemos obter uma impedgncia equivalente vista do primirio, fazendo V2 = 0 , portanto:

Vejamos o caso de eliminaq20 de apenas um cabo-guarda e, sem perda de generalidade, consideremos o caso de uma linha trifhsica corn um cabo-guarda aterrado. Para isso tomemos a express20 (2.7), fazendo AV4 = 0 :

Aplicando a express50 (2.8), obtemos:

Voltando a urn caso genkrico, observamos que cada novo elemento da matriz z i , a p b a eliminaqio das linhas e colunas n, seri constituido por: /

2..

I/

= 2.. - 'in !I

-

'nj 9

No caso de eliminaq20 de um cabo-guarda, essa operaq5o k relativamente simples de ser efetuada sem necessitarmos recorrer aos cilculos matriciais. No caso

Cauitulo 2. Ccilculo Matricial de Pnrcimetros de Linhas 83

de eliminaqiio de dois ou mais cabos-guarda k recomendivel o us0 de expressdes matriciais. Cabos-guarda isolados A eliminaq50 dos cabos-guarda nesse caso k mais simples, pois os mesmos encontram-se isolados em todas as torres da linha de transmissiio por meio de pequenos isoladores, sem passagem de corrente a 60 Hz. Nesse caso, para. o regime permanente admitiremos I g = 0 :

Resultando em:

Ou seja, sob o ponto de vista das quedas de tens50 nos condutores, a presenqa dos cabos-guarda pode ser ignorada. Podemos, no entanto, calcular a tensiio induzida nos cabos-guarda, como em qualquer condutor paralelo a linha de transmissiio:

Ap6s a eliminaqiio dos cabos-guarda, nos casos de cabos aterrados ou isolados, obtemos uma matriz correspondente aos condutores das trzs fases, que chamaremos de fases a, b e c , de forma a niio confundir com as componentes simktricas 0, 1 e 2. Neste caso escrevemos:

ou, na forma compacta:

1

1.

[ ~ a b c= ] [ ~ a b c[labc

1

j 2.2.5

,

Aplica~Gode Componentes Sirndtricas

0 fato de as equaqdes de queda de tensiio apresentarem acoplamento entre fases sugere a aplicaqiio de transformaq6es de componentes de fase para componentes simktricas.

Em um sistema de potzncia trabalhamos com tensdes e correntes trifisicas senoidais, chamadas de componentes de seqiihcias de fase, escritas em regime permanente para um ponto da rede.

vb

rede

Figura 2.6: Grandezas de fase. Definimos uma transformaqiio de coordenadas [Vabc], [Iuhc] , para um novo sistema de coordenadas [ v ~ e~[lOl2] ~ ] e chamamos essas novas coordenadas de componentes simktricas. Essa operaqiio matemitica, conhecida como uma mudanqa de base de um sistema, k comum na da ilgebra linear. A matriz de transformac;go utilizada em sistemas trifisicos, em regime permanente senoidal, 6 dada por:

Sendo:

na qua1 definimos os nhmeros cornplexos:

Capitulo 2. Chlculo Matricial de Par6metros de Linhas

85

Desmembrando a expressgo (2.10) temos:

Estabelecemos entgo que a tensgo Yo estii associada a uma seqiisncia de fasores em paralelo (alinhados no plano complexo), 5 estii associada a uma seqiisncia de fasores de seqiisncia direta, ou seja, com a rotaqgo das componentes em sentido anti-horhrio, e V3 - esth associada a uma seqiisncia de fasores de seqiihcia inversa, ou seja, com rota@o em sentido horiirio.

Figura 2.7: Decomposiq50 em componentes simitricas.

Dado que a matriz [T] t uma base, e portanto inversivel, a transformag80 inversa 6 feita tomando-se simplesmente:

sendo, como vimos:

Quando trabalhamos corn condigaes transitorias de redes, em deterrninados casos, temos a necessidade de aplicar as chamadas transforrnaqdes modais, que n2o

seriio objeto de nossa discuss50, mas que podem ser encontradas em diversas referencias. Com essas transformaqdes conseguimos o desacoplamento das equaqdes, com vantagens introduzidas no cilculo dos transitbrios em sistemas de potencia. Podemos entender a transforma950 em componentes simitricas como uma opera950 semelhante no regime permanente, na qua1 efetuamos o mesmo desacoplamento das componentes de fase, atraves de matrizes de transforrnaq80, que diagonalizam o sistema de equaqdes em anilise. Desse modo, podemos estabelecer uma correspondencia entre valores de fase e de seqiiencias para as quedas de tensdes longitudinais.

nas quais:

AVO, A 4 e AV2 s5o as quedas de tens50, em sirie da linha de transmissiio, dadas em componentes de sequencias zero, positiva e negativa, respectivamente. Da mesma forma, I. , I , e I2 s5o as correntes de sequencia na linha. Vejamos agora como obter os pariimetros serie da linha de transmiss50 em componentes simktricas. Para isso, substituimos (2.12) e (2.13) em (2.1 1):

A matriz [ZabC]k simetrica, com cada termo dependente da posiqiio geometrica dos cabos. Prk-multiplicando toda a express50 matricial por , encontramos:

[TI-'

Essa passagem resulta na matriz de impediincias sirie em componentes simetricas:

Cauitulo 2. Crilculo Matricial de Parcimetros de Linhas 87

na qual:

Para os termos da diagonal: zooou zo k a impedincia de sequgncia zero, z1 ou zl k a impedincia de sequencia positiva, zz2 ou z2 k a impedincia de sequCncia negativa. 0 s termos fora da. diagonal correspondem 6s impedincias mutuas entre seqiigncias. Quando fazemos a transposiqiio de uma linha de transmiss50 trifisica, obtemos para os termos pr6prios da diagonal principal:

e para as mutuas fora da diagonal:

Isso ocorre porque todas as fases ocupam em media todas as possiveis posiqdes no espaqo, como vimos anterionnente. Observamos que esse 6 urn procedimento semelhante ao adotado para transposiqdes no capitulo 1. Entiio, para linhas corn transposigZo, obtemos uma matriz com a seguinte composiqiio:

Esta matriz tem uma estrutura particular, simetrica e balanceada, que favorece a aplicaqiio de componentes simktricas. Aplicadas as transformaqdes, obtemos um sistema de equaqdes desacoplado, corn a matriz de impedincias em componentes simktricas com elementos nulos fora da diagonal.

88

Fundamentus de Sisternas Ele'tricos de Potgncia

A impedincia de seqiigncia zero zo, (zoo) t a soma dos elementos da primeira linha de [zQbc] transposta. As impedlncias de seqiigncia positiva e negativa e z2 ( z ~ siio ~ iguais ) e dadas pela expressiio: zl, (z,

Essas impedincias de seqiigncia positiva e negativa siio iguais 6 diferenqa entre as impedgncias pr6pria e a m ~ t u a . No caso de linhas niio transpostas, a matriz T niio diagonaliza a matriz de impedincias de fase, sendo necessirio obter uma matriz adequada a esta finalidade, atravks do cilculo dos autovalores e autovetores. No caso de matrizes balanceadas, a matriz T e sempre a mesma, tornando conveniente a aplicaqiio de componentes simetricas. Embora possamos solucionar os problemas usando componentes de fase, no caso de linhas transpostas 6 conveniente a aplicaqiio de componentes simttricas.

2.3 Matriz de Capacitiincias Vejamos como obter a matriz de capacitincias de uma linha, admitindo o solo como um condutor perfeito e aplicando o mttodo das imagens. Ao incluirmos o solo, pemitimos uma generalizaqiio do nosso problema, pois podemos trabalhar com a hip6tese de somat6rio das cargas de n condutores niio nulo:

Considerando inicialmente o caso de dois condutores akreos e aplicando o metodo das imagens, temos a representaqiio da figura 2.8.

Capitulo 2. Ccilculo Matricial de Parcimetros de Linhas 89

Figura 2.8: Dois condutores atreos.

Corn a aplicaqgo do mktodo das imagens, temos para os condutores akreos:

e para as imagens:

de tal mod0 que o somat6rio total de cargas C nulo. Calculemos a diferenqa de potencial do condutor i em relaqso ao solo, considerado com potencial nulo. Para isso, tomemos a equagzo bisica de diferenga de potencial entre dois pontos (1.36) apresentada no capitulo 1,

Situando o ponto 2 sobre a superficie do solo e o ponto 1 na superficie do condutor, e superpondo os resultados das quatro cargas de condutores e imagens, obtemos:

90

Fundamentos de Sistemas EEtricos de Potencia

ou:

Observamos que podemos deslocar o ponto 2 ao longo da equipotencial do solo que os resultados niio se alteram, por exemplo, na posiqiio 2' indicada na figura 2.8, a contribuiqiio da carga Q j seria:

mantendo o resultado obtido anteriorrnente corn o ponto 2.

Figura 2.9: Linha corn n condutores aereos.

Para uma linha de transmiss50 generics, com n condutores akreos, estendemos o resultado da express50 (2.20), fazendo:

Capitulo 2. Cdlculo Matricial de Pardmetros de Linhas

91

Essas expressdes podem ser colocadas na forma matricial, fazendo: -

Dl n In dl n Din ln din 2hn In '"n

-

ou: - -

Pin

QI

Pii

Pin

Qi

Pni

Pnn -

-Qn

-

, -

que pode ser colocada na f o m a compacta:

PI=IPl[Ql. E denominamos [ P ] matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell, na qua1 estes coeficientes siio obtidos pelas expressdes:

r;: seri sempre o raio extemo do condutor i, ou o raio equivalente quando os condutores de uma fase fomarem um feixe. Obviamente o raio equivalente deverh ser calculado com o raio externo do condutor. A matriz [ P ] t simttrica, pois D, = Dji e d, = d j i .

92

Fundamentos de Sistemas Eletricos de Potincia

Como: 1

1 2 7 ~2n8,85x10-l2 ~ Flm -

1

=17,98 km/pF ,

27Tx8,85x10-121o6 pF/ km 1o

-~

i aceitivel trabalharmos com a express50 mais simplificada:

Lembrando que:

Ao considerarrnos as tres fases, essa express50 pode ser colocada na forma vetorial:

Para o regime pemanente senoidal, obtemos a seguinte relaggo entre correntes e cargas elitricas, em valores fasoriais:

[ I ]= i@[Q]. Obtemos as cargas elitricas, a partir da express50 (2.21), fazendo:

Chamamos a matriz inversa dos coeficientes de potcncia de Maxwell de matriz de capacitlncias [c] ,

resultando em:

[QI = [cl[vl Para o nosso sistema matricial de equagaes, escrevemos:

sendo:

Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardmetros de Linhas

93

[I]: vetor de correntes fasoriais,

[v] : vetor de tensaes fasoriais, [Y] : matriz de admitlncias nodais, [Y] = j w [ c ] . Nessa altura, comentamos que a matriz [Y] tem a estrutura de uma matriz de admithncias, sendo as correntes injetadas nos n6s e [qas tensaes nodais.

[a

Figura 2.10: Rede capacitiva.

Observamos que estamos trabalhando com parsmetros distribuidos, e quando falamos em corrente injetada nos n6s, estamos nos referindo a urna parcela de corrente transversal as linhas de transmissgo.

A?+-

&

Figura 2.1 1 : Corrente nodal injetada na rede de capacitincias para linha corn cornprimento unitirio.

Ou seja, ao aplicarmos tens50 no condutor i, estamos nos referindo A corrente Ii injetada transversalmente na linha, que atua no n6 i da matriz de admitsncias no-

dais, forrnada pelos condutores com comprimento unitirio !. = 1 . Para avaliannos a corrente transversal total, evidentemente, somamos todas as parcelas unitirias que compdem o comprimento total da linha. Observamos que estamos desprezando, ate aqui, o efeito de correntes longitudinais que alteram a distribuiqso de tensdes ao longo da linha, pois estamos analisando apenas a parcela eletrostitica. A fonnulaqio completa, que leva em conta os efeitos longitudinais e transversais, seri objeto do pr6ximo capitulo, no qua1 desenvolveremos modelos mais completos de linhas de transmissgo. A matriz de capacitincias 6 dada por:

Sendo cii a soma das capacitincias incidentes no n6 i e cv a capacitlncia entre os nos i e j, com sinal trocado. No caso de uma linha trifasica, exemplificamos:

e para as capacitincias mutuas entre fases, temos em regime perrnanente senoidal (valores eficazes):

e assim por diante, Se os condutores a6reos 1, 2 e 3 corresponderem i s fases a, b e c de uma linha, teremos:

A obtenqgo das capacitgncias Cat, Cbr, C,, , Cab, Cbc, Ccu , de uma linha trifasica 6 feita no exemplo 1, figura 2.19. Para o caso de uma linha trifhsica, exemplificamos as matrizes mencionadas at6 aqui:

Capittilo 2. Ccilculo Matricial de Pardmetros de Linhas

2.3.1

95

Consideraqa"~dos Cabos-Guavda

A consideraqiio da presenqa dos cabos-guarda 6 feita de mod0 semelhante ao caso da matriz de impediincias, admitindo-se os casos de cabos aterrados e cabos isolados.

Figura 2.12: Torres corn urn e dois cabos-guarda.

Tomemos o caso de uma linha trifasica, com as fases a, b e c correspondentes aos condutores 1, 2 e 3. A inclusiio de um cabo-guarda 6 feita com a adiqBo de mais uma linha e uma coluna na matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell. -

7

Vb -

PO"

Pa6

Poc

Pba

Pbb

Pbc

j

Pag

- Q -~

Pbg X

Pca

PS~

P C ~

pic

Pgb

PPgc j Pgg

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

- Pga

Qb Qc -QS -

d

96

Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia

Analogamente, a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell com dois cabosguarda 6 feita com a inclusfio de duas linhas e duas colunas:

-

-

-

Va

Paa

Pub

Pac

Vh

Pba

Pbh

Phc

Vc = PCU Pcb ,Pee --------------1

Pg~a ~

g

~P

I

- -

-

I

Pagl

Pug2

Qa

I

Phgl

Pbg2

Qb

Pcgl

Pcg2

x Qc

I I I

I

.

T-----------

pglgl

~ bI C

pglg2

Q g1

I

_'g2-

_Pg2a

Pg2b

Pg2c

I Pg2gl

P g 2 ~ 2 - -Qg2-

Ou na forrna compacta, para um caso genkrico:

Quando necessitamos efetuar c8lculos, que dependem apenas dos condutores, k conveniente eliminar os cabos-guarda, cujo procedimento sera descrito a seguir. Cabos-guarda aterrados

Figura 2.13 : Cabo-guarda aterrado. Quando os cabos-guarda forem aterrados, para baixas fi-eqiiencias, como a freqiiencia nominal operativa, assumimos uma queda de potencial nula na torre, estando o cabo-guarda no mesmo potencial do solo:

e assim:

Capitulo 2. Cblculo Matricial de Pardmetros de Linhas

97

Essa equaqgo pode ser particionada na forma de duas equaqaes matriciais:

Podemos entPo eliminar a carga Qg dos pira-raios, tomando a segunda equa~8o particionada:

que substituida na primeira equaqPo fornece:

Desse mod0 eliminamos as cargas do cabo-guarda e ficamos com uma matriz equivalente de coeficientes de potenciais, que inclui o efeito dos cabos-guarda:

Cabos-guarda Isolados

Figura 2.14: Cabo-guarda isolado.

98

Fundamentos de Sisfemas Elktricos de Pot2ncia

Nesse caso, a carga do cabo-guarda 6 nula, Qg = 0 :

Resultando em:

Para se obter a tens50 induzida no cabo-guarda isolado, ou em qualquer condutor paralelo a linha de transmiss50, em vazio, reescrevemos a express50 (2.28):

que substituida na equaqgo (2.29) fornece:

2.3.2

AplicaqEo das Componentes Sime'tricas no Calculo de Capacitdncia

No caso de linha trifhsica transposta, fazemos o baanceamento na matriz dos deficientes de potenciais de Maxwell, conforrne o procedimento anteriorrnente adotad0 no chlculo de impedincias. Consideremos a linha trifasica com as fases a, b e c coincidentes com os condutores 1 , 2 e 3, respectivamente:

onde:

7-

Capitulo 2. Crilculo Matricial de Pardmetros de Linhas

Ap6s o balanceamento, efetuamos a inversiio da matriz de capacitGncias da linha transposta:

[PI,

99

obtendo a matriz

Aplicando as componentes simktricas, obtemos:

Substituindo-se as relaqdes anteriores em (2.32), obtemos:

PrC-multiplicando os dois membros da igualdade por

T-I

:

Verificamos que, como cm tem sinal negativo na matriz de capacitincias, as capacitincias de sequencia positiva siio maiores do que as capacitincias de sequCncia zero, cl > co.

100

Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia

2.4 Linhas de Transmiss50 corn Circuitos em Paralelo e Cabos-guarda

Figura 2.15: Circuitos em paralelo.

Em uma mesma torre de uma linha de transmissgo podemos encontrar ate dois circuitos. AlCm disso, podem existir outras linhas na mesma faixa de passagem ou mesmo nas proximidades. H i casos em que devemos levar em conta o acoplamento entre os condutores desses circuitos, construindo matrizes de impedincias e capacitincias expandidas. Examinaremos o tratamento de mGltiplos condutores com a formag50 da matriz de impedhcias serie, sendo esse procedimento analog0 ao que seria tambCm adotado para a matriz de capacitincias.

Quedas de tens20 nos condutores Para cada circuit0 trifasico, escrevemos as quedas de tensgo sCrie nos condutores:

e tambim para os cabos-guarda:

Capitulo 2. Ccilculo Matricial de Pardmetros de Linhas

101

Assumimos a existsncia de q cabos-guarda em uma torre. Normalmente encontramos q 1 2 , no entanto, podem existir alguns projetos especiais com q = 3 . No caso de virias linhas na mesma faixa de passagem, com todos os circuitos acoplados, podemos encontrar q 2 3 . A obteng2o da matriz de impedincias skrie dos circuitos acoplados segue os seguintes passos: 1" Passo: montagem da matriz de impedincias sCrie, com todos os condutores a& reos, incluindo os cabos-guarda.

na qual:

[z:~~]: matriz de impedlncias serie dos cabos abc do circuito i, [z!,,~] : matriz de impedlncias mdtuas entre os condutores nbc dos circuitos i ej, [z$~]: impedlncias mdtuas entre os condutores abr do circuito i corn os cabosguarda, - LZgS : matriz de impedlncias serie considerando somente os cabos-guarda.

2" Passo: eliminagiio dos cabos-guarda, isolados ou aterrados.

As matrizes reduzidas z$,~, nesse passo, apresentarn elementos distintos daqueles do passo 1, ap6s a reduqiio, no caso de cabos-guarda aterrados. 3" Passo: se houver transposigiio em k segdes, obtemos uma media das impedincias dos condutores segundo suas posigdes espaciais ao longo de toda a linha de transmissFio.

A seguir, analisaremos o caso mais comum de um circuito duplo, com dois cabos-guarda, e nesse caso particular, aproveitamos para calcular os parimetros seqiienciais, sendo esse procedimento extensive1 ao caso de m6ltiplos circuitos. Uma transposiqgo que ngo introduza acoplamento entre seqiiencias nTio 6 usual, sendo executada com urn circuito transposto em tres seqdes e outro em nove seqdes. Consideremos o caso mais comum de circuitos com disposiqbes simetricas na mesma torre, com transposiqdes em tres trechos para cada circuito, segundo urn esquema de rotaq5o de fases em direqdes opostas para os dois circuitos, denominada de rotaqTio anti-simetrica.

Figura 2.16: Rotaqgo de fases anti-simktrica. A matriz de impedancias sCrie para cada trecho teria a seguinte constituiq50, respeitando a nomenclatura da figura anterior:

Capitulo 2. Cdctrlo Matricial de Pardmetros de Linhas

103

As fases a, b, c de cada circuit0 ocupariam as seguintes posiqdes espaciais nos trechos de transposiqiio I, 11, 111:

om a eliminaqiio dos cabos-guarda, temos a matriz reduzida, cujos elernentos seriio diferentes daqueles da matriz completa original, se os cabos-guarda forem aterrados:

Ap6s a transposiqiio proposta, temos uma matriz com a seguinte estrutura, adequada para a aplicaqiio de componentes simktricas:

na qual, cada sub-matriz apresenta os terrnos da diagonal iguais entre si e os fora da diagonal tambkm iguais entre si:

104

Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potincia

Escrevemos o sistema de equaqdes matricial na forma compacta:

4" passo: Transformamos em componentes simitricas as tensdes e correntes, segun-

do o tratamento matricial abaixo indicado.

Pri-multiplicando os dois inembros por:

temos:

ou:

T-',

x[~i12]

abc T

7'-1221 abc

T Z ~ ~ ~ T ] T T-1222 T abc

I0 12

Resultando na express50 transforrnada:

Nesse caso, com a transposiqgo proposta, para 1I i, j I 2 , obtemos:

Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardmetros de Linhas

105

0 s circuitos duplos, em geral, apresentam Z# >> 2: = 2:. Desse modo, em terrnos praticos, muitas vezes levamos em conta apenas o acoplamento mutuo entre sequencias para a sequencia zero, principalmente no calculo de correntes de curto-circuit0 envolvendo circuitos paralelos.

circ. 2

zZ2

-

$

"

102'

+

Figura 2.17: Circuito equivalente de seqiiencia zero com mutua entre circuitos.

0 s resultados anteriores, obtidos para o calculo de indutincias de linhas de transmissiio, podem ser estendidos ao calculo de capacitincias em linhas com circuitos multiples, sendo que normalmente desprezamos tambem as mutuas de seqiiencias zero.

EXEMPLO 1

he: altura media do condutor

I he = 2 0 m

he = 20 m

"

Figura 2.18: Geometria da linha do exemplo 1.

h, = 2 0 m

////I//-

106

Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potincia

Uma linha de transmissiio trifisica (a, b, c), com feixe de dois subcondutores akreos, utilizando cab0 Drake, apresenta a geometria indicada na figura 2.18: a) Calcular a matriz de impedgncias skrie em Q h , sem a presenya de cabo-guarda, sendo fornecida a resisthcia a 70 "C . ~onsiberara resistividade do solo p = 0 . Dados: Consultando uma tabela de cabos, obtemos para o cab0 Drake rmg = 0,0373 pks e convertendo para cm, rmg = 1,1369 cm . Dm, = 1,108 pol,

Q Rac Roc = 0,0875 1 -,para o feixe R = -, temperatura a 70 "C , krn 2 Calculemos o raio equivalente do feixe com dois subcondutores e espayamento e = 20 cm :

2 h, z,, = R + j w 2 x 1 0 - ~ln-, re,

i

Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardmetros de Linhas

107

Matriz de impedincias

b) Impediincias de seqiiencia positiva e seqiiencia zero considerando-se a transposigiio da linha:

R R z, =0,04375+ j0,50758 -, zm = j0,09143 -, krn krn

Com o solo considerado ideal, obtemos resisti5ncias de seqiiencia positiva e zero iguais, porim, sabemos que em casos reais essa igualdade niio ocorre, quando p+O. c) Supondo o condutor c aterrado nas extremidades e sabendo que foram medidas as

108

Fundamentos de Sistemas Elbtricos de Potincia

correntes nas fases a e 6 , I, = 500L0° A e Ih= 8 0 0 1 - 1 lo0 A , calcular a queda de tens50 na fase a, admitindo-se a linha sem transposiq50 e comprimento de 50 km.

Da terceira linha extraimos a corrente I, :

o = ~ ( z ~ , I+,Z ~ , I ~+z,,I,),

C = ~ Okm,

ou:

AV, =(zaala +zabIb +zaCIc)!, AV, =4,633+ j l l , l 8 1 k V , resultando em: AVa = l2,102L6,493' kV . Embora essa situaqiio seja bem incomum, nesse caso mostramos a versatilidade do chlculo matricial para se obter inforrnaqdes em condi~desdesequilibradas. AlCm disso, 6 facil obter as correntes e tensdes induzidas em cabos paralelos a linha, por exemplo, a corrente na fase c poderia indicar a corrente que circularia em um condutor aterrado nas duas extremidades e paralelo A linha de transmiss50.

d) Calculo da matriz de capacitgncias sem o cabo-guarda

Pela tabela, Dm,= 1,108 pol :

reqc= 5,305 cm ,

Capitulo 2. Chlculo Matricial de Pardmetros de Linhas

Sabemos que:

c=P-'. Resultando na matriz de capacitiincias, sem transposiqgo: 8,852 -1,743 -0,703

-1,743 9,140 -1,743

-0,703 -1,743 8,852

Figura 2.19: Rede de capacitincias para cornprimento unitario.

109

110

Fundamentos de Sistemas ElPtricos de Potgncia

Fazendo a transposig50, escrevemos:

pnl = 2 1,803 km/nF , Pp

Pm

Pm

Prn

Pni

1

119,12 21,803 21,803 119,12 21,803 . 119,12 Obtemos a matriz de capacitiincias, com transposiqiio:

e) Desconsiderando o efeito do solo, calcularemos a impedincia serie e a capacitincia da linha, cornparando com os valores de seqiiencia positiva obtidos no item a. Com os c~lculospreliminares:

DMG = ( d 2 d d ) t = req:

=f i d ,

=JK,

DMG=12,599 m, r,, =4,768 cm, l>qc =5,305 c m . Aplicamos as expressaes de impediincias e capacitiincias: DMG Z = R+ j ~ x 2 ~ 1 0 ~ l n - ,

Capitulo 2. Ccilcz~loMatricial de Pardmetros de Linhas

C=

.

2?#7~~ C= DMG7 .

-

111

1

DMG

- A ,

'eqc

'

'eqc

Sem efeito do solo, obtemos os valores:

Z = 0,04375 +.j O , 4204 Qlkm ,C = 10,165 nF/krn Comparando com os resultados de parimetros de seqiiencia positiva, obtidos dos calculos matriciais, e considerando o efeito do solo:

2,= 0,04375 + jO, 4162 Qlkm , C, = 10,276 nFIkm . Observamos a proximidade dos resultados de impedincias e capacitincias, em linhas transpostas, sem cabo-guarda, quando utilizamos os mktodos dos capitu10s 1 e 2, sem incluir, ou incluindo o efeito do solo, respectivamente, para o calculo de parimetros de seqiitncia positiva.

EXEMPLO 2 Na mesma linha de transmiss20 do exemplo 1, verificou-se a necessidade de dois cabos-guarda, simetricamente espaqados.

120 cml

120 cm1

I I

I

>II

k

I

o

m

I

I

b 0

0

6

c

0

0

E

E

2-

N

0\ .~\1

~ \ 1

E

3

I I

I I

I

a

0

120 cm1

3

II

-r'

1%: altura media do condutor

II

E

E

5, a expansgo em skrie melhor ajustada 6:

cos) AxC= --( a

cos 3@ 3 cos 5) - 45 cos 74 a3 a5 a +

Rlkm.

podem tambkm levar em conta o efeito pelicular [3]. q-int. e 0 chlculo da resistsncia interna k mais importante do que o chlculo da reatincia interna, que representa uma pequena parcela da reatiincia total. A determinaggo mais atual destes pariimetros 6 feita para os condutores com alma de ago (ACSR) considerando uma coroa circular de aluminio em torno da alma de ago, sendo os condutores circulares um caso particular destes condutores tubulares.

Figura 2.23: Condutor tubular.

q e r siio respectivamente o raio interno e externo desta coroa. A express50 para o c~lculodos pariimetros internos do condutor k dada por: c-int.

+ jwl /

'-1". .

= j-mr(l-s 1

r~~

2

ber'mq '= ker'mq

+ j bei'mq + j kei'mq

2

)

(bermr + jbeimr)+y,(kermr+ jkeimr) (ber'mr

na qual: '

ric: resistencia em corrente continua,

+ j bei'mr ) + a,(ker'mr + j kei'mr )

'

118

Fundamentos de Sistemas Elitricos de PotGncia

4

s=-;

r

8nx10-~.f ( m r )2 = k - 1 ; (ms12 = k - s ; k = Pr I 1-s2 1-s2 rcc

-

E no caso dos materiais niio magnkticos, como os condutores de aluminio e cobre, pr = 1 . As funqdes de Bessel modificadas ber( ), ker( ), bei( ), kei( ), ber'( ), etc , etc., siio calculadas com aproxima~despolinomiais, havendo tambkm os aplicativos matemiticos que contem estas fungdes. Comentamos ainda que o efeito das correg6es de Carson pode ser aproximadamente calculado com as expressdes da referCncia [5], que introduz a distincia complexa p. '

A referencia [3] comenta que em casos estudados os resultados obtidos com esta fbrrnula aproximada e com as de Carson apresentam uma diferenga mixima de 9% na faixa de freqiiencias de 100 Hz a 10 kHz, sendo inferior para outras freqiiencias, podendo ser considerada uma boa aproximagiio.

2.5.2

Ccilculo da Matriz de Admitbncias Capacitiva

Desprezaremos no cilculo as condutiincias para a terra de uma linha de transmissiio e deste mod0 o problema C dirigido para a obtenqiio da matriz de capacitsncias.. Inicialmente montamos a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell. No cilculo destes coeficientes supomos a terra como um condutor perfeito e com potencial nulo, e deste mod0 aplicamos diretamente o mCtodo das imagens. 0 s terrnos da diagonal s3o expressos por:

Capitulo 2. Calctrlo Matricial de Pardmetros de Linhas

119

/

1

-= 17,975 109x 1o6 km/F [3], usando a velocidade da luz 299.792,5 krnls. 2m0

Escrevemos para os termos fora da diagonal:

Sendo P a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell,

n: numero de condutores. Obtemos a matriz de capacitincias C pela invers5o de P:

A matriz de capacitincias C tem a estrutura de uma matriz de admitiincias, na diagonal temos a soma das capacitincias incidentes no n6 e fora da diagonal as capacitincias entre os n6s, com sinal trocado.

EXEMPLO 3 Faremos a seguir um exemplo de cilculo de pariimetros usando a rotina Line Constants do programa ATP [7]. 0 s dados de condutores e a geometria da linha de transmiss50 s5o apresentados a seguir: Frequencia: 60 Hz. Cabo Condutor: 636 MCM, ACSR Forma~50:26/7, Grosbreak. Diiimetro externo: 2,5 16 cm. Diimetro interno: 0,927 cm. Relag50 T/D: 0,3 156, ou seja, -T/D=(r-ri)/(2r). Resistencia AC: 0,0922 Q/krn. Flecha: 17 m. Cabos Pira-Raios: AGO,EHS, 5/16", classe B. Diimetro: 0,794 cm. Resistencia AC: 4,9 Q k m . Flecha: 15 m.

120

Fundamentos de Sistemas Elbtricos de Potkncia

Cabos Phra-raios Aterrados (atraves de operaqdes inatriciais podemos eliminar os cabos phra-raios aterrados). Resistividade do solo: 1000 a m . Geometria:

Figura 2.24: Geometria da torre. Considerando linha de transmissiio niio transposta ternos a matriz de irnpedincias em Q/km (apresentamos apenas a parte triangular inferior, pela sirnetria):

Matriz de susceptincias em Slkm (triangular inferior): 0,29596 -0,0478 18

0,30446

-0,O 18609 -0,0478 18 0,29596

1

XIO-~.

Considerando a linha perfeitamente transposta (tomarnos a media dos elementos da diagonal e fora da diagonal, tambem a media dos seus elementos), obtemos os resultados a seguir, usando as expressdes (2.1 9), (2.33) e (2.34): SeqiiEncia zero:

Ro + jXo = 0,456 13 + j l , 7253 Wkm.

jwC, = j 0 , 2 2 6 3 ~ 1 0 -S~l k m . Co = 5,9 nF/km.

F

Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardmetros de Linhas 12 1 SeqiiCncia positiva:

[I] Electric Power Research Institute. Transmission Line Reference Book: 345 kV and Above. 2. ed. Palo Alto, 1982. [2] El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems. Piscataway, IEEE Press , 1995. [3] Dommel, H. W. Electromagnetic Transients Program Reference Manual: EMTP Theory Book. Portland, BPA, 1986. [4] Carson, J. R. Wave Propagation in Overhead wires with Ground Return. Bell System Technical Journal, vol. 5, pp.539-54, 1926. [5] Deri, A.; Tevan, G.; Semlyen, A.; Castanheira, A. The Complex Ground Return Plane - A SimpliJied Model for Homogeneous and Multi-layer Earth Return. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 100, n. 8, pp.3686-93, Aug. 1981. [6] Zanetta, L. C. Transitdrios Eletromagnkticos em Sistemas de Potzncia. Siio Paulo, Edusp, 2002. [7] ATP: Alternative Transients Program Rule Book. Leuven, K.U. Leuven EMTP Center, 1987.

R E L A C ~ EENTRE S T E N S ~ EE SCORRENTES EM UMA LINHA DE TRANSMISS~O

Neste capitulo seriio estabelecidas as relaqdes fundamentais entre tensdes e correntes em uma linha de transmissiio. A formulaqiio matemitica mais completa, baseada em parimetros distribuidos, permite o equacionamento das ondas trafegantes em uma linha de transmissiio. A partir desta formulaqiio siio obtidos os modelos mais precisos de representaqiio da linha, considerados aqui no cilculo do regime permanente senoidal de redes elitricas. Com o conhecimento destas relaqdes i possivel estabelecer modelos na forma de quadripolos, assim como modelos equivalentes na forma de circuitos n, exatos ou aproximados, que siio bhsicos na representaqiio de linhas para avaliaqiio de fen8menos elCtricos em regime permanente senoidal. Siio ainda tratados neste capitulo aspectos coma a compensaqiio reativa, derivada e sirie, assim como algumas limitaqdes na transferhcia da potzncia elktrica entre as extremidades de uma linha de transmissiio. 0 assunto 6 bem amplo, ficando o aluno ciente de que os conceitos fundamentais aqui desenvolvidos merecem um aprimoramento, no caso de avaliaqdes da compensaqiio reativa em sistemas reais.

3.2 Propagaglo de Ondas EletromagnCticas em uma Linha de Transmisslo Consideremos uma linha de transmissiio com parimetros distribuidos R', L' e C' por unidade de comprimento, representados na figura em segmentos de linha com comprimento Ax. 0 equacionamento de propagaqiio de ondas, aqui reproduzido, encontra-se descrito em referencias que tratam da teoria de ondas e linhas. Para a variaqiio de tensiio longitudinal ~ v ( x , t )em um trecho Ax, consideramos os pariimetros R'Ax , L ' A ~e C'Ax concentrados nesse trecho e escrevemos:

124 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia

v(x,t)-v(x+

AX,^) = R 1 d x i ( x , t ) +L'Ax

ai ( x ,t ) at

Figura 3.1 : Propagaqgo de ondas em uma rede genkrica.

Analogamente para variaqbes de correntes i ( x ,t ) :

Aplicando a transforrnada de Laplace, supondo condiqdes iniciais quiescentes:

I ( x ,s ) - I ( x + Ax, s ) = sC'Ax V ( x + Ax, s ) . Reescrevemos as duas equaqdes anteriores:

Passando ao limite Ax riavel x:

( x ,s )

ax

+ 0 , obtemos as derivadas parciais em relaggo a va-

= -sC'V ( x ,s ) .

Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em urna Linha de Transmiss60 125

Derivando novamente a fbrmula (3.1) em relag50 a x:

a2v (x, S) = -(R'+ d') (x, s) ax2 ax

9

e usando a express50 (3.2), obtemos:

Temos em (3.3) uma equagiio de propagagiio de ondas de tensiio e seguindo um procedimento andogo, obtemos uma expressiio semelhante para propaga~iiode ondas de corrente,

a2I (x, S) =(R' + d')(sc')I (x, S) ax2 A solugiio geral da equagiio (3.3), ainda no dominio da freqiitncia, pode ser proposta na forma:

v (x, s) = V+(0,s)e-y(S)X+ V - (0, s)e+y(.)x na qua1 ,

e ,

9

s5o expressdes transformadas de fung6es temporais, conheci-

das no ponto x = 0 , associadas as ondas progressivas e regressivas. Definimos a constante de propagag50 y ( s ) :

0 mesmo procedimento anterior pode ser repetido para correntes, resultando em:

I (x,s) = I+ (0,s) e

-y(.s)x

+ I-(0,s)

e+Y(+

(3.7)

Uma interpretaqgo mais simples da solugiio geral apresentada em (3.5) pode ser feita no dominio do tempo e para isto desprezaremos as perdas, supondo R' = 0 . Reescrevemos as equagdes (3.3), (3.4) e (3.6):

a2v(x,s) = s2L'C'V (x, s) ,

ax2

a21(x,s)

ax2

= s2L'c'I (x, s) ,

Chamando a velocidade de propagaq50:

temos:

V + ( 0 , s ) representa a transformada de Laplace F ( s ) de uma fUn~2of ( t ), conhecida na origem (no ponto x = 0 ), a partir da qual obtemos a onda de tens50 em um ponto x qualquer da linha. Obtemos a express50 (3.5) simplificada:

/

As duas parcelas da equaqlo (3.9) sHo soluqlo de (3.8). Para obtermos a soluq5o no tempo desta equaq5o aplicamos a transformada inversa de Laplace, lembran- i ! do da propriedade de translaqgo no tempo: I

F ( s )ex'

H

f ( t+ a )

Antitransformando a express20 (3.9),

I

na qual v+ 6 uma onda que se propaga no sentido positivo de x (onda progressiva) e r v- e uma onda que se propaga no sentido negativo de x (onda regressiva). A tens50 total 6 obtida pela superposiqiio das duas componentes. Analogamente para correntes, escrevemos:

Resultando na soluq5o no dominio do tempo:

-

Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em urna Linha de Transmissco 127

Nesse caso particular de linha monofasica de transmissiio airea, sem perdas, usando as expressdes de indutiincias e capacitincias monofisicas, obtidas nos capitulos anteriores, temos a velocidade de propagaqiio:

que i a velocidade de propagaqiio da luz. Detalhes adicionais sobre a propagaqiio de ondas eletromagniticas no dominio do tempo em linhas de transmiss80, assiin como de analises das componentes progressivas e regressivas, podem ser encontrados em diversas referencias sobre o assunto.

3.3 Impedlncia Caracteristica de uma Linha de Transmissfo Estabeleceremos uma relagiio fundamental entre tens50 e corrente em uma linha de transmissiio. Substituindo a soluqiio geral da tens20 (3.5) em (3.1) obtemos: I

I (x,s) = -

I

R' + SL'

ou:

Lembrando da expressgo (3.6), substituimos y(s) em (3.12):

na qua1 2,(s) 6 a impediincia caracteristica da linha de transmissiio, dada por:

Mais detalhes sobre propagaqiio de ondas eletromagniticas no dominio do tempo podem ser encontrados na referencia [7].

3.4 Regime Permanente em Linhas de Transmissfo As equaqdes de propagaqiio de ondas, no dominio da freqiicncia, s8o formalmente as mesmas no dominio do tempo, bastando calcular as expressdes corn a

128 Fundamentos de Sistenlas Elktricos de Potgncia

transformada de Laplace no ponto s = j w , para obtermos o regime permanente senoidal. Para uma linha com cornprimento infinito, fazendo s = j w na express50 (3.3), obtemos no ponto x:

Simplificando a notaqgo, definimos a constante de propagaq50 y , em uma dada freqiitncia s = j w ,pela expressgo:

Temos ainda a impedincia caracteristica para s = j w :

na qual 2' = R'+ jwL' e Y' = j d ' . Reescrevemos a expressiio (3.5) apenas em funqgo da varihvel x, em regime perrnanente senoidal:

na qual ~ ( x 6) o fasor da tens50 em urn ponto x da linha de transmissiio. Nessa expressiio, identificamos a parcela progressiva, V+ (x) = V+ ( 0 )e-Yx , assim como a parcela regressiva, V- (x) = V- (0) e+Yx. Em regime permanente senoidal, obtemos a expressiio da tens50 no tempo pela equaqgo:

).

v(x,t) = h ~ e ( (x)ejW V

Para o calculo em regime permanente, com s = j w , separemos a constante de propagaq5o y em duas parcelas, uma real e outra imaginaria: y=a+jP, na qual:

(3.17)

Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em trma Linha de TransmissGo 129

a : constante de atenuaqiio,

p : constante de defasagem. Com a finalidade de interpretarmos essas constantes, tomemos uma. componente da soluqiio da equaqiio de onda, por exemplo, a parcela progressiva, em uma linha com comprimento semi-infinito. 0 fasor da tensiio aplicado na origem, x = 0 , C dado por V+ (0) ,e assim: V+ (x) = V+ (0) e-yx . Tal expressiio nos inforrna que, conhecido o fasor da tensiio cossenoidal na origem, V+(O)LB,podemos obter o fasor da tensiio em qualquer ponto x da linha de transmissiio, por meio do operador complexo e-YX:

v ( x ) = V+ (O)LB e-Yx. Ou, chamando V+(O)LB = veje :

que C equivalente a:

v ( x ) = Ve-ax .j(e-Px) No dominio do tempo, obtemos a tensiio na origem: v(0,t)=JZVcos(wt+0). No ponto x:

Para um observador que se desloca com uma velocidade:

o argument0 do cosseno se mantCm inalterado, pois wt = p x e

v,,,P chamada de

velocidade de fase. No caso particular de uma linha sem perdas temos:

No estudo do regime permanente estaremos analisando ondas senoidais estacionirias de tenslo e corrente. A exceqiio de alguns casos especiais, nos quais real-

130 Ftindamentos de Sisten~asElktiicos de Potgncia

qaremos o m6dulo e a fase, as grandezas fasoriais de tens50 simplificadamente representadas por V e I .

3.4.1

v

e corrente I estarPo

Modelo de Linhas de Transmissa"~corn Comprimento Finito

Voltemos ao nosso objetivo inicial, que e o de forrnular urn modelo para uma linha de transmiss50 com comprimento finito, em regime permanente senoidal. Para isso retomemos as equaqdes (3.5) e (3.13), simplificando ainda um pouco mais a notaq.50 fasorial de tensdes e correntes:

+~ - e + ~ ' .

V (x)=

1 I ( X ) = -(v

+e-y" -

(3.19)

v - ~yx+

zc

1

Para a linha de comprimento finito, conhecemos as condiqdes de contorno nas extremidades, dadas pelos fasores de correntes e tensdes. Suponhamos uma linha com comprimento finito, na qua1 V, e I , s5o as tensdes e correntes no lado emissor, ou lado fonte e V, e I, s5o as tensdes e correntes no lado receptor. emissor

receptor

////I

Figura 3.2: Linha corn dois tenninais. No lado emissor, para x = 0 , temos as condiqdes de contorno:

v(o)=v,e I ( o ) = I , . Entgo:

v,=v++v-,

,

Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em uma Linha de Transmissa'o 131

ou: Z,Is = 'V - V-.

(3.22)

Somando-se (3.21) com (3.22), obtemos a componente progressiva V f :

A identificaqiio da tensiio ~ ' c o m ondas trafegantes 6 imediata, pois se coni siderarmos a linha com comprimento semi-infinito, ao aplicarrnos uma onda progressiva no inicio, obtemos:

1 l

c,

e portanto:

Supondo a linha com comprimento semi-infinito, temos V, se propagando indefinidamente pela linha, com as atenuaqdes de e-YX, como vimos anterionnente. Tal formulaq80 tem correspond2ncia corn o mktodo das caracteristicas, muito utilizado no estudo de propagaqiio de ondas em linhas de transmissZo. Agora, subtraindo-se (3.22) de (3.2 l), obtemos:

Reescrevemos (3.1 9):

Reagrupando os tennos nas variAveis ,YX

V ( x )=

+ e-YX

2

eYx

v,- zc

y,

- _,-Y.Y 2

I,

que pode ser reescrita como:

v ( x ) = cosh ( y x ) V, - 2,senh ( y x ) I,s, pois sabemos que:

9

e I,, obtemos:

132 Ftrndamentos cie Sistemas Ele'tricos de Potgncia

senh ( yx) =

- e-Yx

eYx

2

e cosh ( yx) =

eYx + e-Yx 9

2

em que a constante de propagaqiio y, j i definida anteriormente, 6 um numero complexo y = a + j p . No lado receptor, para x = !, temos outras condiqdes de contorno:

que, substituidas em (3.23), fornecem: Vr = cosh ( yP) V, - 2,. senh ( y t ) I,,. Reescrevendo a formula (3.20):

ou:

senh ( yx) I(x)=V, + cosh ( yx) I,. z c

Desse modo, novamente no ponto x = C , escrevemos:

Ir = -

senh ( y!)

zc

V,+cosh(y!)~,.

[

1

Colocando-se (3.24) e (3.25) na forma matricial, obtemos:

][ =

cosh (rt) -2, senh ( YC)]

- senh ( y t )

zc

cosh (ye)

V,

IS

Ou, na forma mais tradicional, invertendo-se a matriz:

Capitulo 3. Relaqdes entre Tens6es e Correntes em uma Linha de Transmissa'o 133

pois sabemos que: [cosh

- [senh

2

=1

A expressgo (3.26) condensa as relagdes fundamentais entre os fasores de tensdes e correntes no inicio e fim de linha, a serem empregadas no c6lculo de tensdes e correntes em linhas de transmissiio.

Com base na expressgo (3.26), estabelecemos o modelo de um quadripolo equivalente de uma linha de transmissgo, definido pelas constantes A, B, C e D: A = cosh (ye) ,

B = 2,senh ( yC) , C=

senh ( yC) 9

Zc

D = cosh ( ye) . Observamos que dadas as condigaes de simetria da linha de transmissiio, obtemos A = D . Temos as relagaes entre tensaes e correntes em uma linha de transmissgo com comprimento finito C , na forrna de um quadripolo:

Para linha em vazio, ou seja, sem carga no lado receptor, portanto com I , = 0 , temos:

Vs = A V, . 0 termo A representa a relaggo de tensdes entre inicio e fim de linha, ou o inverso do ganho de tensiio em vazio:

A corrente no inicio da linha, para linha em vazio, 6 dada por:

I34

Ftrndamentos de Sisten~asElktricos de PotEncia

Para linha em curto-circuit0 no terminal receptor, com V, = 0 , temos:

V, = BI, , portanto:

Finalmente, para a linha em curto, sabemos que:

I , = DI, ,

3.4.3

Modelo nEquivalente de urna Linha Genkrica (Linha Longa)

Vejamos agora como estabelecer correspondZncias entre tensaes e correntes por meio de um modelo n composto por uma impediincia skrie e duas admitiincias para a terra, no caso de uma linha genkrica. Esse modelo, norrnalmente, C empregado para linhas longas, mas pela sua generalidade pode ser usado para qualquer linha de transmissiio. Nesse modelo, vhlido para uma dada freqiiencia, representam-se os pariimetros indutivos e capacitivos de mod0 exato, sem qualquer aproximaqiio, sendo tambkm conhecido como modelo n exato.

Figura 3.3: Modelo n equivalente.

Chamemos: 2,: impediincia skrie exata, 6 : admitiincia para a terra do lado 1,

Capitulo 3. Relapies entre Tens6es e Correntes em urna Linha de Transmissa'o 135

Y2 : admitincia para a terra do lado 2. Para uma linha, sem compensagiio reativa, por raz6es de sirnetria, sabemos que & = Y2 = Ye/2 . No entanto, trabalharemos inicialmente de mod0 genkrico com fi # Y2, que facilita o entendimento de linhas compensadas com reatores, que podem apresentar esta assimetria em um modelo equivalente. Da figura 3.3, equacionando para a tens50 Vs , podemos estabelecer a igualdade:

Vs = Vr + ze(1, + 5 V r ) , ou:

Comparando com a primeira linha da equag5o (3.27), identificamos: A=(1+ZeY2),

(3.29)

B=Ze,

(3.30)

e desse mod0 obtemos:

Equacionando para a corrente I,, temos:

I, =&Vs +Ir+Y,Vr. Substituindo

ISs= [(I

da express50 (3.28) em (3.32):

+ zey2)vr + zeIr]+ + y2vr ,

=(r; +zer;y2 +y3)vr + ( l + Z e r ; ) l r .

ISS

Comparando corn a segunda linha da equagiio (3.27): C=&+Z,y,Y,+Y,, D=(l+ze&), Da equag5o (3.34) obtemos:

136 Fundamentos de Sistemas Elbtricos de Potgncia

As expressdes genCricas (3.30), (3.31), (3.33), (3.34) e (3.35) serzo uteis, posteriormente, na anilise de alguns casos particulares de quadripolos. Essas expressaes s5o tambCm muito interessantes para fazermos a convers50 do modelo na forma de quadripolos para a forrna de matriz de admitincias. No caso de linhas de transmissiio, concentramos metade da admitiincia em cada extremidade, com a finalidade de obtermos o modelo n: da linha. Desse modo, chamemos:

Das relaqaes anteriores, (3.31), (3.35) e (3.36), 6 imediato que:

Das expressdes (3.33) e (3.36), escrevemos:

Das equaqdes (3.30) e (3.37) temos:

Como sabemos: 2

[cosh

- [senh ( y!)]

2

=I

,

Lembrando que definimos:

C=

senh (ye)

zc

7

multiplicando o numerador e denominador dessa expressso por senh ( y ! ) , escrevemos:

r

Capitulo 3. Relaqdes entre Tens6es e Correntes em uma Linha de Transmissfio 137

Verificamos desse mod0 que:

Observamos que o modelo de quadripolos da linha de transmissgo esta cornpletamente definido, corn a obtenggo das constantes A e B.

Com relay50 ao modelo n equivalente, podemos estabelecer algumas relagdes e para tanto chamemos os valores totais de impedincias e admitincias da linha de transmissgo por:

z = z'.e,

(3.41)

Sabemos que:

.d, "y ( y e ). I?,

2, = Z, senh ( y e )=

senh

Multiplicando-se o numerador e o denominador por Z = z'.C,

obtemos:

Como:

escrevemos a express20 da impedincia sCrie do circuit0 n exato, em funyiio da impedincia 2, multiplicada por um fator de correggo: senh ( y e )

2, = z

Y!

138 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de Potencia

ye-- cosh(yC) - 1 1 2

senh(yC)

'

Usando a identidade: tanh

($) coshsenh(yl)(yk')

=

1

'

verificamos que:

Yc - tanh 2

($)

lZT

=

6 ($1 tanh

.

Multiplicand0 e dividindo essa expresslo por

JY'!

, como:

obtemos:

Corn as expressdes (3.43) e (3.44), encontramos formas alternativas de se ot ter o circuit0 n exato de uma linha de transmissiio. Como a impediincia caracteristica e a constante de propagaqiio siio ncmerc complexos, 6 interessante avaliarrnos suas fases, quando estamos trabalhando co linhas de transmissiio na freqiiencia de 60 Hz. Denominamos:

,

CapituIo 3. Rela~desentre Tenslies e Correntes em tuna Linha de Transmiss60

139

Em linhas de alta tensgo, como R'

p2 =-14,54v1v2 sen(Ol -4).

(b)

Aplicando a equaqiio (7.26):

q l = v ~ x 4 3 7 1 1 - v l v 2 ~ 1 4 , 5 4 ~ c o s ( ~ 2 - ~ ~ ) - v l v 3 ~ 2 8 , 5 7 c o s ( ~ 3(c) -8,)7 9,

=-VIV~

2

~ 1 4 , 5 4 ~ 0-Q2)+v2 ~ ( 8 ~ ~14,54.

Vamos adotar a precis50 de 0,005 e os seguintes valores iniciais: 0,(0) -07

Inicio dos calculos:

l aItera950 CBlculo de [ A P ( ' ) ] . Substituindo-se os valores iniciais em (a) e (b), obtemos:

(dl

280 Fundnmentos de Sistemas Ele'tricos de Pot6ncia

Que s5o valores superiores, em m6dul0, a precisiio adotada. CBlculo de [ AP I V(')]

.

Cilculo de [B(')] .

CBlculo de [AQ(')]. No calculo de q/O'ja utilizaremos os valores de 81 calculados nesta iteraqlo, usando as equaqaes da barra de carga da rede: qi0) = 0,048 q y ) = 0,0086 , Aq{O' = qe - qfO) = -0,048 ,

AqiO' =q$ -q?) =-0,3836, que siio valores superiores, em m6dulos, ;jl precis50 adotada.

Capitulo 7. Fluxo de PotGncia em zrma Rede Elktrica

CBlculo de

281

[ v(')1 :

2" Iteraqao Repetindo o processo, utilizamos agora os valores do Qi e yi calculados na itera920 anterior.

1

CBlculo de [ AP(') :

que s2o valores, em modulo, superiores a precis20 adotada.

1

Ciilculo de [ AP I v(') :

282

Ftrndamentos de Sisteinas El&fricosde Pot6ncia

Calculo de [6( 2 1 1 ..

Cdlculo de [ A Q ( ' ) ] :

que s5o valores superiores, em modulo, A precis50 adotada.

Capitulo 7. FIuxo de PotEncia em trma Rede Elitrica

que s2o valores inferiores em m6dulo i precis20 adotada.

283

que siio valores, em modulo, inferiores a precisgo adotada. Dessa forma, encerramos os calculos, obtendo os seguintes valores como soluqZo para o problema: V, = 0,9842,

8, = -0,0532,

v2 = 0,9567,

O2 = -0,0899.

7.7 ReferCncias Bibliograficas [ l ] Stevenson Junior, W. D. Elengentos de Anblise de Siste~iasde PofCncin 2.ed. McGraw-Hill, 1986. [2] Ramos, D. S. & Dias, E. M. Sistengas Elkfricos de Potincia: Regime Permanente. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1982 2 vols. [3] El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems. Piscataway, IEEE Press, 1995. [4] Monticelli, A. Fluxo de Carga en? Redes de Energia Elkfrica. SZo Paulo, Edgar Bliicher, 1983.

0 s conceitos de estabilidade siio amplos, com diversos tipos de problemas a serem avaliados, como a estabilidade a grandes e pequenas perturbaqbes, analises estiticas e diniimicas, estabilidade da tenszo, etc. No estudo da estabilidade diniimica a pequenas perturbaqdes verificamos se as oscilaqbes de pequena intensidade siio bein amortecidas, ou seja, estudamos o amortecimento das oscilaqdes corn base nas equaqdes linearizadas da rede eletrica. A estabilidade esthtica 6 voltada para o conhecimento dos limites operativos em condiqdes de regime permanente. Ao analisar a estabilidade a grandes perturbaqdes interessa investigar a capacidade do sistema elitrico de absorver os grandes impactos causados por modificaq6es estruturais sensiveis, como curto-circuito, saidas de linhas, efeitos em cascata, etc., que diio origem a desligamentos temporaries, tambem conhecidos coino blecautes. Essa analise se concentra basicamente na capacidade do sistema em desenvolver torques sincronizantes para que a operaq5o sincrona n5o se desfaqa. 0 propbsito deste capitulo i introduzir as idiias fundamentais sobre opera~iio estavel de miquinas rotativas, como os geradores e motores, operando em ulna rede interligada. Nesta anilise inicial toinaremos como base o caso simplificado da operaqiio de um gerador conectado a urn barramento infinito, que k o caminho mais indicado para a apresentaqiio dos principios elementares. Consideraremos ent"ao um gerador ligado a um barramento capaz de ~nantera tens50 e a freqiiencia constantes, ficando as oscilaqdes angulares por conta do gerador estudado. Analises mais complexas da estabilidade elktrica podem ser encontradas em textos especificos e mais detalhados sobre o tema.

8.2 Modelo Elementar

Nesta analise elementar da estabilidade de sistemas eletricos de potzncia lanqaremos m5o de um equacionamento baseado no inodelo clissico de uma miquina sincrona acoplada a um barramento infinito por meio de uma reatincia. Esse inodelo de gerador considera a tensgo interna constante E, supondo que os fluxos permaneqain inalterados durante o period0 considerado de oscilaqaes eletromecinicas, desprezando as sali2ncias rot6ricas da miquina.

Figura 8.1 : Modelo clBssico de uma maquina sincrona conectada a urn barramento infinito.

Sendo: VLOO: tens20 do barramento infinito, EL6 : tens50 interna do gerador, com E fixo e S variivel, X reatgncia total do sistema entre o barramento infinito e a tens20 do gerador. Desse modo, a miquina sincrona e representada por uma forqa eletromotriz atris de uma reatincia transitdria denominada Xi.A reatincia X da figura pode englobar a linha, o transformador e a reattincia transit6ria da miquina.

8.2.2

ObtenqCo da Curva P x ~

Construiremos a seguir a curva P x S que apresenta a potencia elktrica fornecida pelo gerador em funqso do Gngulo, de conjugado ou de potencia, em nosso sistema simples composto por um gerador ligado a um barramento infinito, por meio de uma impediincia constituida apenas pela sua parcela reativa. Trabalharemos com valores por unidade, adotando a potencia nominal igual a potencia de base da miquina sincrona Sbase= Sn . Calculamos o valor da corrente no circuit0 da figura 8.1:

Capitt~lo8. Estabilidade

7t I

2

7C

28 7

6

Figura 8.2: Curva da potencia transmitida P em fungi50 do Gngulo 6 .

cujo valor conjugado 6 dado por:

Obtemos a potencia complexa fornecida pel0 gerador, a partir da tenslo interna EL6 :

Como estamos interessados na potencia ativa, tomemos a parte real de

5,

P = Re(S) , resultando na potencia ativa transmitida em funqlo do ingulo 6 :

p=- EV sen 6 .

X

E interessante notar que, como n l o h i perdas nesse modelo elementar, a potencia ativa transferida seri a meslna em qualquer ponto da rede.

A curva da potencia ativa transmitida, em funqc;io do iingulo 6, k uma funq5o senoidal, cujo valor miximo depende de E, V e X Em ulna condig50 operativa de equilibrio sabeinos que a potgncia mechica no eixo e igual i potencia elktrica transmitida P, resultando em dois pontos de equilibrio, com apenas um deles estivel, conforrne anilise a ser feita no pr6ximo item. P, : potencia meciinica constante, sem regulaqgo.

Figura 8.3: Curva da potencia ativa transmitida em funq.50 do 5ngulo 6 numa condiq50 operativa de equilibrio. Ponto 1 : ponto de equilibrio operativo (estivel). Ponto 2: ponto de equilibrio instivel. Ponto 3: condiqgo limite de estabilidade S = X I 2

EXEMPLO 1 Obter a curva P x S e o ponto de operaqiio de ulna miquina ligada diretamente ao barramento infinito. 0 s dados s5o fornecidos em valores por unidade: Reatincia transitoria do gerador: x i = 0,3 pu. Tensiio do barramento infinito: v = lLOOpu . PotEncia entregue ao barramento infinito:

Soluqiio: Obtemos a tens20 interna E, calculando a queda de tensiio a partir do valor da corrente e da potencia complexa. Corn v = 1 pu , temos s = i* .

Capitzrlo 8. Estabilidade

289

e = 1,163L13,43" , tensgo interna do modelo classico em pu. Obtemos a curva P x 6 utilizando a equagiio (8.4):

Figura 8.4: Curva P X 6 do gerador ligado ao barramento infinito.

8.3 Anilise da Estabilidade Para analisarmos a estabilidade da miquina sincrona em rela920 ao barramento infinito, admitirernos inicialmente que o sisterna esth operando em uma condiq5o de equilibria, ou seja, que a potencia mecinica transmitida ao gerador pela turbina e igual a potencia eletrica produzida pelo gerador e, conseqiientemente, que a maquina sincrona opera com velocidade constante. A posigso angular do rotor 6 expressa pel0 Gngulo 6 , escrito como:

u,.: velocidade angular do rotor, u.s : velocidade sincrona de referzncia, 6, : ingulo inicial. Desse modo, 6 representa mudanqas angulares em relaggo a referencia sincrona. A velocidade u = d w d t representa uma velocidade relativa ern relaq5o a velocidade sincrona.

+i----TF gerador

Figura 8.5: Gerador com potzncias mechicas no eixo, iq,, e CIII. Em um gerador sincrono de poles salientes, segundo o modelo de Park, n2o explorado neste texto, o ingulo S indica a posi~iioangular do eixo de quadratura em rela920 a u ~ n areferencia da rede. Conforme men950 anterior, trabalharemos com o inodelo clissico de geradores, sem considerar a saliencia rotbrica ou o nilmero de polos do rotor, siinplificando o tratamento de variiveis mecinicas e elitricas. Desse modo, em regime permanente, para um observador localizado em uma refersncia corn rotaq2o angular sincrona, denominada de referencia sincrona, o iingulo 6 seri constante e eventualmente nulo se porventura essa referencia for coincidente coln a posiq2o angular do rotor, o que geralmente niio ocorre, como por exemplo no circuit0 da figura 8.1, com a referencia angular posicionada na tens50 sincrona do barramento infinito. Em nosso inodelo suporernos ainda que os fenbmenos a serem estudados tern curta duraq2o e desse inodo podelnos admitir que 6 constante, n2o havendo tempo para os controladores da potencia mecinica atuarem. Assim, iremos assumir como constantes a potencia mecinica P,,e o modulo de tens20 interna E . Observamos ent2o que, quando ocorrem disti~rbioselitricos na rede, temos variaqdes na potencia elktrica transmitida, que podem acelerar ou frear a maquina sincrona.

e,,

Capitulo 8. Estabilidade

291

e,,

Na figura 8.5 observamos que na condiqiio de equilibrio, = P , obternos duas soluqdes para o lngulo do gerador em relag20 ao barramento infinito, 60 e

n-60.

e,,

No gerador, sabemos que quando > P a rotaq2o aumenta e conseqiientemente o ingulo 6 . Em caso contririo, quando < P , a rota920 dirninui, assim como o ingulo 6 . Desse modo, verificamos que somente o sngulo 60 corresponde a um ponto de operaqiio estivel, pois se admitirmos uma pequena perturbaqgo nas condiqdes operativas, com aumento da velocidade e conseqiientemente do ingulo 6 , a potencia elitrica passa a ser maior do que a potencia mecsnica, causando ent2o o retorno operaqiio no valor do gngulo S o . Por outro lado, se a velocidade reduzir, corn a diminuiqiio do Gngulo 6 , a potencia meciinica passa a superar a potencia elitrica desenvolvida, ocorrendo urna aceleraqgo e novamente o retorno ao lngulo operativo 6 0 . De mod0 analogo, verificamos que o ponto n- 60 n2o corresponde a urna condiqiio operativa estivel, pois, dada uma perturbaqiio, que aumente a velocidade assim como o Gngulo 6 , a potencia rnecGnica supera a potencia elitrica, corn ulna aceleraqiio e elevaqiio ainda maior do ingulo 6 . Da mesrna forma, coln uma redu920 da velocidade e do ingulo 6 , a potencia elktrica k rnaior do que a potEncia meclnica, o que causa urna reduqiio desse sngulo ate que o mesrno se estabilize no valor So.

en

Analisemos inicialmente o caso de uma elevaqzo na potencia meciinica de para , conforme a figura 8.5. 0 gerador que inicialmente opera corn o ingulo 6, deveri se estabilizar na nova condiq2o de equilibrio GI. Para isso, ocorre uma aceleraq20 positiva na velocidade, corn > P , com o aumento do ingulo 6 atd atingir o Gngulo 6,)porim, ao atingir o lngulo S1, embora nesse ponto a aceleraq20 seja nula, o rotor tern velocidade suficiente para que este sngulo seja ultrapassado. Apbs ultrapassar o ingulo 6, a acelera~iiopassa a ser negativa, agora corn < P, corn urna reduqiio na velocidade, passando o rotor a ser submetido a uma condiq2o de freio eletromeciinico. A velocidade se reduz at6 atingir urn valor nulo na mixima excursiio do lngulo 6 , aqui chamado de Nesse ponto, apesar da velocidade nula, existe uma aceleraqgo negativa que promove a reduqiio do ingulo 6. Ap6s algumas o ~ c i l a ~ d eos ,ingulo deveri se estabilizar no seu novo ponto de equilibrio, com valor 6 = 61 , se considerarmos as componentes de torque que causam o amorteciinento das oscilaq6es.

c,,

e,,,

e,,,

e,,,

tf.

Sabemos que os torques siio proporcionais i s aceleragdes angulares e como esta~nostrabalhando com torques iguais as potencias em valores por unidade, conhecemos as aceleraqdes atraves da diferenqa - P , conhecida como potencia acelerante.

e,,

Analiselnos agora ulna condiqiio igualmente simplificada, de urn curtocircuit0 trifasico aplicado no terminal da miiquina sincrona, durante urn certo periodo de tempo, dado pelo tempo de eliminaqiio do defeito pel0 disjuntor, que suporemos ocorrer quando o gngulo atingir o valor 8= 8,,( Sl, e o ingulo no qua1 ocorre a abertura do disjuntor).

disjuntor Figura 8.6: Curto-circuito no terminal da miquina sincrona.

A reatiincia X I representa a reatincia interna do gerador e X 2 a reatiincia da linha que conecta o gerador ao barramento infinito. Durante o periodo do curto, podemos supor que a potencia eletrica transrnitida 6 nula, pois a tensiio no terminal do gerador tambim e nula. Nesse caso, a potencia mecinica fica maior do que a potencia eletrica (conjugado resistente) e a mhquina comeqa a acelerar, com a velocidade superando a velocidade sincrona. Com a elevagiio da velocidade ocorre urn aumento do iingulo 6 do rotor, confonne indicado na figura 8.7. 0 iingulo inicial S = So aurnenta at6 6,, durante o periodo de tempo t , , dado pela eliminag50 do curto-circuito. Durante esse tempo t, a miquina i acelerada pela potencia acelerante Pa = P,, - P , pois P,, e maior do que P , sendo P , neste caso particular, igual a zero. Com a eliminaqiio do defeito em t,, , correspondente ao iingulo a,,, a potencia elitrica desenvolvida passa a ser a da curva original, sendo que agora a potencia elitrica volta a ser transferida para o barramento infinito e nessa condiqiio P 6 maior do que P,, , co~neqandoa miquina a frear corn aceleragiio negativa crescente, ate atingir a velocidade sincrona, conforme indicado na figura 8.8 pel0 p0nto.f:

Capitzllo 8. Estabilidnde

293

otzncia acelerante

P durante o curto

Figura 8.7: Curva P X 6 para curto-circuit0 no terminal da micluina sincrona. No ponto f temos uma velocidade relativa nula em relagiio a velocidade angular sincrona de referencia a r .Nesse ponto, cowespondente B maxima excursiio angular do lngulo 6 = 6f encontramos a maxima aceleragiio negativa.

Figura 8.8: Curva P X 6 corn a abertura do disjuntor em

6[, , elirninando o curto.

Nessa figura as setas indicam secluencialmente a potEncia eletrica P desenvolvida pelo gerador: 1 : curto, 2: aceleragso durante o curto, c o ~ no aumento de 6, 3: eliminagiio do curto, 4: acelerag80 negativa, corn o aumento de 8 e redug20 da velocidade, 5 : r e d u ~ 8 odo Bngulo 6 e oscila@o em torno do ponto de equilibria. Ao atingir o ponto,L como temos P maior do que , con10 indicado na figu-

c,,

294

Fzrndaineiitos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia

ra, obtemos uma aceleraqiio negativa tendendo a diminuir o ingulo e assim por diante. 0 novo ponto de equilibrio final depende da curva P X6 e da potencia meciinica t,,, para a condiq8o final do sistema. Neste caso particular, a curva P x 6 final coincide com a inicial, assim como a potencia mecinica , retornando o sistema ao seu ponto de equilibrio original 6 0 .Em um caso geral, se ocorrer ulna modificagiio permanente no sistema, a sua curva P x 6 devera se alterar na condiqiio final, assim como o novo ponto de equilibrio. Urn critirio que pode ser empregado, para analise da estabilidade, d o critkrio das areas iguais, corn o aual podelnos demonstrar que a condigiio de estabilidade e dada por uma iirea de aceieraqiio A, menor ou igual B Area de freio A? . Para a estabilidade, vemos entiio que alguns aspectos silo basicos, como as condiq6es de operaqiio do sistema ( P ,E , 6 , X ) antes da ocorrencia e o tipo de defeito. Nesse caso, vimos um defeito muito grave, que leva a potencia eletrica a zero, no entanto, existem outros nos quais parte da potencia ainda 6 transmitida. Podemos incluir outros aspectos como o tempo de eliminaqiio do curto, seqiiencia de atuaq8o da proteqzo, etc. Devemos ainda lembrar que os fen6menos eletricos reais siio mais complexes que os exemplos simplificados expostos anteriormente, sendo necessirio representar a existencia de outros torques elktricos, dados por representaqaes rnais detalhadas de enrolamentos da rnaquina e da atuaq8o de reguladores de tens50 e velocidade, eic. Nos sistemas reais existem ainda outros fatores que introduzem amortecimento nessas oscilaqdes, que n8o estiio incluidos em nosso modelo.

c,,

el,,

A seguir, introduziremos a equaqiio fundamental que relaciona grandezas e l 6 tricas e mechicas para o nosso estudo de estabilidade de geradores em uma rede eletrica, que sera i~tilna construqiio de um modelo eletromeciinico do sistema.

8.4.1

Equaqa"o de 0scilaqa"o (Swing)

A equaqiio diniimica do movimento angular do gerador e chamada de equa$50 de swing ou de oscilaqiio, relacionando o torque de aceleraqiio com o produto do momento de inertia pela aceleraqiio angular:

0 primeiro membro da equaqBo 6 dado pel0 produto do momento de inkrcia J, de todas as massas rotativas ligadas ao eixo do rotor pela acelera~iioangular. 0 torque de aceleraqiio pode ser express0 por:

T,:torque mecinico,

T,:torque eletromagnktico. Vimos anteriormente que a posigiio angular do rotor 6 6 expressa pela equa$50 (8.5):

0 iingulo 6, = w,,t 6 o resultado do movimento angular do rotor na velocidade nominal que chamaremos w, (CL),=U,~). 0 iingulo 6 6 variivel no tempo e representa desvios do deslocamento angular do rotor em relaqiio B posiqiio angular sincrona 8, . Com as equaqdes (8.7) e (8.8), escrevemos:

Uma forrna bern interessante de tratarmos a equaqiio (8.9) e dividi-la pelo torque nominal T,, , aqui tomado como um valor de base, OLI de referencia, corn a finalidade de encontrarrnos uma express20 em valores por unidade:

Relembrando a definiqgo de energia cinktica de urn corpo em rotaqiio na velocidade nominal, escrevemos:

Sabendo que a potzncia nominal 6 dada por press50 (8.1 1) acima da seguinte forma:

el= dc),,T,, , reescrevemos a ex-

Denominamos a raz2o entre a energia cinktica na velocidade angular q,e a pot2ncia nominal C7como a constante de inercia H da miquina:

A constante de inercia H 6 util para o nosso proposito de relacionar as grandezas eletricas e meciinicas de uma maneira simples, sendo ulna grandeza dada em segundos. A equag.50 de oscila@o, com os torques ern valores por unidade, e dada pol:

Introduzindo ainda uma considerag20 adicional, normalmente adotada, admitiremos que Tp,, = P!,?, , ou seja, os valores de potsncias e torques em valores por unidade s5o aproximadamente iguais, quando a velocidade n%ose altera substancialmente em relaq5o A velocidade sincrona. Sendo P = u,.T e 4, = u17T,, , obtemos em valores por unidades:

Corn P,,,, = TpUquando w, = ull Rearranjando a equag2o (8.14), telnos a equa@o de oscilag50 ou de swing, em valores por unidade:

8.4.2

Critkrio das Areas Iguais Definimos a potincia acelerante, em valores por unidade, pela express5o:

Nas regides 1 e 2 indicadas na figura 8.9, sabemos que: em 1 : p, > 0, reg20 de aceleraqiio, em 2 : p, < 0, regiiio de freio.

Figura 8.9: Curva P X6 : regiaes de acelerac;c?oe freio.

0 critkrio das Areas iguais estabelece as bases conceituais para o entendiinento dos fen8menos que envolvem a estabilidade de mhquinas elktricas. Chamando:

a equaqso de oscilaqgo (8.15) pode ser reescrita como:

d6 na qua1 w = - e p,, 6 a potEncia acelerante. dt Podemos escrever a derivada parcial a seguir, utilizando a regra da cadeia:

Nessa expressgo, substituindo-se: d6 dt

- por

w e

dw dt

- por

Pa

-,

a

obtemos a express20 incremental:

Entendemos w como uma velocidade relativa, com base na velocidade angular sincrona uLS,ou seja, com w = u,, -usI Integrando a equaqiio a partir de uma condiq2o de equilibrio, inicialmente na velocidade sincrona, corn w0 = 0 , obtemos:

ou ainda:

Essa express50 fomece os elementos basicos para a proposiqiio do critkrio das areas iguais e para isso analisemos a figura (8.10).

Figura 8.10: CritCrio das areas iguais.

A partir de um Lngulo inicial So, como p,, > p e portanto pa > 0 , a velocidade do rotor aumenta com o consequente aumento do Lngulo 6 e portanto a area A, k uma area de aceleraqgo. Ao atingir o ponto de equilibrio 6, temos ulna aceleraqiio nula, porem a velocidade 6 maxima apos urn period0 de aceleraq20 positiva. Apos 6,, a aceleraq20 passa a ser negativa, dando inicio a redu~2oda velocidade. Para que a velocidade se anule no Lngulo 6t 6 necesslrio que a area sob aceleraq2o negativa, A 2 , seja igual em modulo a 6rea sob aceleraqiio positiva, A, . Co-

Capitzrlo 8. Estabilidade

299

locado de outra forma, podemos entender o criteria das ireas iguais tomando coma base a equaqgo (8.18), ou seja, para que a velocidade, inicialmente nula em J0 , torne-se novamente nula em 61, 6 necesskio que a integral da potencia acelerante seja nula no intervalo 60- 6/ , o que de fato ocorre quando A, = A2. Esse criterio das irea iguais 6 Gtil no entendimento de diversos fenameno~ em sistemas eletricos de potzncia. Um caso bem interessante e o da analise de uma perturbaqiio iniciada por um curto-circuito, seguido da abertura de linha, confonne indicado na figura 8.1 1.

L4 LT2

G

- /

-

* --

barramento infinito

minaq%odo curto corn a saida de IJT2

Figura 8.1 1 : Curto-circuit0 seguido de abertura da linha.

Uma das avaliaqdes 6 saber se, apbs a eliminaq50 da falta, o sistema sera capaz de desenvolver torques sincronizantes que o conduzam a uma situaqBo de equilibrio, o que em suma se traduz em ulna avaliaqiio das ireas de aceleraq50 e freio. Ha ainda ulna quest50 relativa aos tempos criticos de atuaqBo da proteqso, que est5o associados aos gngulos criticos de abertura de faltas. 0 iingulo critic0 de elirninaqiio da falta 6, e definido pela condiqBo de igualdade das ireas A, e A-) , estabelecendo o lilnite angular de permanencia da falta para que o sistema seja estivel apbs a eliminaqiio do curto com a abertura da linha. Em termos elementares, essas ireas tern correspondzncia corn uma energia acrescentada ou retirada do sistema pois a integral do torque, em um intervalo de fingulo 6 , corresponde a urn trabalho executado e o torque 6 considerado igual li

potcncia eletrica em valores por unidade. Nesse caso, para que o sistema seja estivel -5 necessirio que a soma de todas as Areas que acrescentem energia cinetica, com p, > 0 , seja inferior ou igual B soma de todas as ireas que possam retirar energia cinktica do sistema, coin p,, < 0 .

Vejamos como construir um modelo que leva em conta as equaqdes elktricas e mecinicas simultaneamente. A parte eletrica sera dada pela curva P x 6,associada a potencia que o gerador consegue transmitir atraves de uma rede eletrica, representada pela reatincia de transfer6ncia X. A parte rnecsnica 6 obtida atraves de uma equaqiio do tipo torque igual ao momento de inercia vezes a aceleraqiio angular. Niio entraremos em detalhes deste equacionamento, levando em conta aspectos de ni~rnerode polos e conversiio de variiveis inecsnicas em eletricas. Apresentarernos apenas a constante de inercia H do gerador que condensa este tratamento, conforrne formulaq50 do item 8.4.1. A constante de inercia 6 dada em segundos, na base do gerador em MVA. Se todas as variiveis estiverem na base do gerador, simplesmente tomamos a constante de inercia. Ao trabalharrnos em outra base, precisamos corrigir a constante de in&cia adequadamente. No sentido de diferenciarmos os valores por unidade, usaremos, preferencialmente, letras minGsculas para essas grandezas. A equaqiio do movi~nentoangular meciinico 6 expressa por: d26

w,,

-=-(P, dt2 2H

-P)>

na qua1 wl. 6 a velocidade angular de referhcia, sincrona. C o ~ n ovimos, originalmente essas equaqdes referem-se a torques, porkm em valores por unidade os torques podem ser aproximados por potEncias eletricas, sendo essa uma forma mais conveniente para se abordar este equacionamento. A velocidade angular e dada por:

Capitulo 8. Estabilidade

301

Lembrando da equag5o (8.4), que relaciona a potzncia eletrica com o ingulo S , podemos colocar essas equag6es em um modelo realimentado, dando origem a um oscilador de segunda ordem, que descreve a dinimica do sistema eletromecinico.

Pm

+

Pa

Wn

0

2Hs

(radls)

6 ( rad) 11s

Figura 8.12: Modelo eletromecinico simples.

EXEMPLO 2 Neste exemplo aplicareinos o criterio das areas iguais a um caso bem simples de curto-circuit0 em uma barra, suposta como um barramento infinito, a qual se conecta um gerador. Observamos que estamos traball~andocom um caso idealizado de barramento infinito, que apresenta uma contribuiq80 infinita para a corrente de curto, a qual n5o sera objeto de nossa anhlise. A reatincia total entre a tens50 interna e a barra 6 de 0,4 pu e a tens50 intet-na do gerador 6 fixada em e = 1,l pu . A potencia el6trica for-necida ao barramento 6. de 1 pu . Vamos deterininar o iingulo critico de abertura do curto, ou de eliminaq20 do curto, para que o sistema permanega estivel.

Figura 8.13: Circuito do exe~nplo2. Determinaqiio do iingulo critico de abertura 6,. Coino viinos, entendemos o iingulo critico corno aquele a partir do qual o sistema perderk a estabilidade. Desse modo, deliinitaremos a curva Px 6 em duas regi6es: uma de acelerag80 A , , compreendida entre 6, e 6, e outra de freio A,, compreendida entre 6, e n - 6, , de tal inodo que A, = A2 . Para qualquer ingulo de abertura rnaior que 6, o sistema sera insthvel.

302

Fztndarnentos de Sisten7as Elktricos de PotBncia

Obtenqlo do iingulo operativo 6, usando a equaq5o (8.4):

I=- 1 , l x l sen a/, 0,4 = 0,372 rad,

6?= z- 6, = 2,77 rad. A curva P x 6 e dada pela express20 em valores por unidade: y = 2,75sen 6 , Pmas

=2,75 .

A potencia meciinica t2 fixada em: Pn7

=1

Figura 8.14: Curva P x 6 do exemplo 2.

A area de aceleraqlo e estabelecida pela Area do retiingulo:

A area A2 e calculada corno a Area sob a funq2o senoidal menos a Area do retiingulo. A Area sob a funqlo senoidal, em um interval0 6, - 6, 6 dada por: A = J6f p ,,,,, sen 6 = (-p ,,,,C 4

6f -

O S ~ )- ~ - p,,,

4

(COS

6, - cos 6/) .

Capitulo 8. Estabilidade

303

P (cos 6, - cos 6/)

---+

.Figura 8.15: Area sob urn trecho de fun920 senoidal. A hrea A7 6 dada por:

A2 = Pmvx ( ~ 0 ~- 6c ,o s ~ ~ )~m-

(62

-6,)

Impornos a condiqiio de estabilidade com Al = A2 :

pm(6c - q ) = p l( ~ 0 ~- c60,s 6 , ) - p m ( 6 2 - a , ) , p m ( &+ ) + P I

c o d 2 = p , cosJc.

Substituindo-se os valores nuinericos: 1(2,77 - 0,372) + 2,75 cos (2,77) = 2,75 cos 6, , -0,164 = 2,75 cos 6,

3 6, = 1,63 rad

.

0 iingulo critico para eliminag20 do curto 6 1,63 rad.

EXEMPLO 3 0 sistema a seguir apresenta urn gerador fomecendo potEncia ativa, p = I pu, para urn barramento infinite, por meio de um transforinador e dois circuitos corn reatiincias iguais. Verificaremos a mhxirna excursso angular que ocorre quando os disjuntores dl e d7 - fazem a abertura de um circuito.

Figura 8.16: Circuito antes da abertura dos disjuntores.

304 Fzlndamentos de Sistemas Elbtvicos de Potencia

Operaqiio em regime permanente: Observamos que, coincidentemente, a opera920 em regime permanente, antes da abertura, 6 exatamente a mesma do exemplo anterior. Determinaq20 do iingulo operativo na condiq20 de prk-abertura:

I=- 1 , l x l sen 6,z 6,= 0,372 rad . 034 Determinamos a cul-va P x 6 durante a opera920 em regime permanente: p = 2,75sen6.

Ap6s a abertura de um circuito, obtemos a nova condiq20 operativa:

Figura 8.17: Circuito ap6s a abertura dos disjuntores.

Temos a nova curva de transferzncia de potencia ativa, corn o sistema buscando uma nova condiqgo de equilibrio em 6,:

antes

Figura 8.1 8: Curvas P X6 antes e ap6s a abertura dos disjuntores.

Capitulo 8. Estabilidade

305

Aplicando o critCrio das areas iguais, obtemos as areas A, e A2 pelas diferengas indicadas na figura 8.18.

Obtemos o 6ngulo 6, :

Se = arc sen

(&)

= 0,577 rad

Substituindo-se os valores numkricos, deterrninamos a area de acelera~iio: AI = 1(0,577 - 0,372) - 1,83[cos (0,372) - cos (0,577)] ,

A, =0,0339. A area de f'reio A2 C dada pela express50:

Impondo a condi~iiode areas iguais Al = A2, obtemos:

Nesse caso, resolvendo por tentativas, encontramos 6/ = 0,794 rad , embora possamos tambkm aplicar um algoritmo de solug50 mais elaborado, como por exemplo o mktodo iterativo de Newton-Raphson.

EXEMPLO 4 Um gerador sincrono, conectado A barra A, esti fornecendo a potencia indicada na figura 8.19 a um grande sistema B, que pode ser representado como um

306 Fundamentos de Sistemas Ele'tvicos de Potgncia

barramento infinito. A linha A-C, que esta operando em vazio, sofie um curtocircuit0 no terminal C. Determinar o iingulo maximo de abertura do disjuntor d para que o sistema permaneqa estivel. Dados em pu: Gerador: x i = 0,3 pu. Transformador: x, = 0,l pu. Linhas: x = 0,4 pu. Tens50 na barra A: v~ = 1,O19L24,33". Potsncia entrando na barra A: s = 1,0496 + jO, 275 pu .

Figura 8.19: Circuito referente ao exemplo 4.

Soluqiio: Conhecidas a tens50 e a potsncia na barra A, calculamos a corrente:

Obtemos a tens50 interna do gerador, sabendo que a reatgncia entre essa tensiio e a barra A t dada por x i + x, :

Como desconsideramos as perdas do gerador, conhecida sua potencia ativa fornecida, determinamos a potencia mecinica: p, = 1,0496 pu.

Capitulo 8. Estabilidade

307

Na situagiio prk-falta temos uma reatincia total entre o gerador e o sistema de x = 0,8 pu e conseqiientemente a potzncia maxima da curva P X 6 , de acordo com a equagiio (8.4) 6 :

Na situagiio de falta ainda ha possibilidade de transferencia de potsncia, mesmo corn o curto-circuit0 na barra C. Para calcular a curva P x 6 durante o curto-circuito, montamos o diagrama de seqiihcia positiva:

Figura 8.20:ReduqBo do no 3.

Para obtermos a reatincia entre os n6s 1 e 2, fazemos a transformag50 da estrela em delta, conforrne a figura 8.20, aqui facilitada pela igualdade das reatincias. Observamos que o curto-circuit0 poderia ter ocorrido nas proximidades da barra A, e nesse caso a reatincia para a terra assumiria um valor menor. A transforrnagiio estrela-delta k equivalente A redugiio do n6 3, da matriz de admitincias, conforme descrigiio no capitulo 2, item 2.2.4. Na matriz de admitiincias nodais, temos corrente nodal nula no no 3.

Com a reduggo do no 3, obtemos o novo elemento de ligaq50 entre os nos 1 e 2.

Trocando o sinal para obtermos a admitincia do elemento de transferzncia:

308 Fzlndamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia

correspondendo a uma reatincia xl = jl, 2 pu . Na situaqiio 2, com o curto-circuito, obtemos a potencia maxima da curva P x 6 , com essa reatincia equivalente calculada.

Obtemos entzo a figura ilustrativa das duas condiq6es:

Figura 8.21 : Curvas P X 6 do exemplo 4.

Temos as areas:

COS

6, =

P,(62-~l)+~~~~~62-~2cos6 PI - P2

Substituindo-se os valores numkricos:

1,0496 = 1,5sen S1,

6, = 0,775 rad , S2=n-6, = 2,366 rad. Obtemos: cos6, = - 0 , 2 3 1 1 a 6 , =1,804 rad, correspondendo a 1 03,36" .

EXEMPLO 5 0 sistema esti operando em regime permanente, conectado a um barramento infinito, quando ocorre a abertura de uma linha atraves da opera950 dos disjuntores dl e d 2 . Dados: Gerador x i = 0,3 pu , Transfomador x, = 0, I pu , Linha xl = 0,8 pu , Tens50 interna do gerador e = 1,2L39,30° . Determinar o ingulo miximo de religamento da linha, com o fechamento de dl e d2,para que o sistema permane9a estivel.

Figura 8.22: Circuito do exe~nplo5.

Solu~iio: Com o sistema em regime permanente, temos a reatincia total entre o gerador e o barramento infinito:

Obtemos as curvas P x 6 . 1) Em regime permanente, temos a potencia mixima:

31 0 Fundarnentos de Sisternas Elktricos de PotZncia

Com o ingulo de operaqiio 6, = 0,686 rad conhecido, obtemos a potencia ativa transmitida, que coincide com a potencia mecinica fornecida pelo gerador: p = 1,5sen(0,686),

p = 0,95 pu, pm =0,95 pu.

2) Com a abertura da linha temos a segunda situaqiio da curva P x 6 , com x = 1,2, sendo a potencia mixima dada por:

Obtemos o iingulo de equilibrio nessa condiqiio: 0,95 = 1senS2,

S2=1,253 rad. Obtemos as representaqdes das curvas P x 6 .

Figura 8.23: Curva PX6 do exemplo 5.

61 = 0,686 rad,

S2= 1,253 rad, 6-3= ~t - S2= 1,889 rad,

S4=IT-6, = 2,456 rad .

Analise das areas: Al =prn( 6 2 - 6 1 ) - 1 ( ~ ~ ~ - ~601~ 6 ~ ) = 0 , 0 7 7 4 ,

Como A2 < Al, concluimos que com a abertura da linha, o sistema nso C estavel, e desse modo, temos um saldo de area de aceleraqiio de A, -A? - = AA ate o iingulo S3:

Se o religamento ocorrer em J 3 , temos uma Area de freio A3 + A4 : A3 +A4 =1,5(cos6~-cos64)-0,95(6~ -S3) =0,0876. Como A3 + A4 > AA, verificamos que esta sobrando area de freio e portanto o iingulo critic0 de religamento esta entre S3e S4.Desse modo, calculamos as areas: As =prn(6,- 6 3 ) - p 2 ( ~ ~ ~ ~ 3 - ~ ~ ~ ~ , ) , = p I( ~ 0 - ~ c o6s ~ ~~)-P,(~~-~~~). Obtemos o seguinte balanqo de areas: Al-A2+A5-A4=0 ou AA+A5=A4. Substituindo-se as equaqdes anteriores, escrevemos: A A + ~ , ( ~- 6 , 3)-P2(~~ - ~~06~ )6 , ) = p ~ ( c o s-6c ,0 s 6 q ) - P m ( 6 4 - ~ , ) ,

cos 6, =

Prn(64- 6 3 ) + p I

~ 0 ~ -6-2 4 ~ 0 ~ +6AA 3

PI - P2

Finalmente: C O S ~ ,=-0,506

ou

6,=2,101 rad.

312

Fzlndamentos de Sisternas Eletricos de PotZncia

8.5 ReferCncias Bibliogrificas [ I ] Stevenson Junior, W. D. Elementos de Analise de Sistemas de Potgncia 2.ed. McGraw-Hill, 1986. i2] Kimbark, E. W. Power System Stability. Vol.I - Elements o f Stability Calculations. New York, John Wiley & Sons, 1947. [3] El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems. Piscataway, IEEE Press, 1995. [4] Anderson, P. M. & Fouad, A. A. Power System Control and Stability. Piscataway, IEEE Press 1993. [5] Kundur, P. Power System Stability and Control. New York, McGraw-Hill, 1994.

Prof. Manoei Aforlso de Qm!.iboj;ilisr Coordenador do LDSP DEE 1 CTG l UFPE