Fundamentos de Matematicas Financieras

Fundamentos generales de matemá matemáticas ticas fi f inanci nancieras eras

Fundamentos generales de matemáticas financieras  Andrés Felipe Álvarez Benítez

 Álvarez Benítez, Andrés Felipe Fundamentos generales de matemáticas financieras /Andrés Felipe Álvarez Benitez. Medellín: Centro Editorial Esumer, 2014 96 p. ISBN 978-958-8599-69-4 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2. MERCADO DE CAPITALES 3. MERCADO DE VALORES 4. INVERSIONES DE CAPITAL 5. MULTIPLICADOR (ECONOMIA) 6. INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER SCDD 332.04 Biblioteca Esumer

Fundamentos generales de matemáticas fnancieras

©Andrés Felipe Álvarez Benítez ISBN 978-958-8599-69-4 Centro Editorial Esumer, 2014 Rector

John Romeiro Serna Peláez Decano Facultad de Estudios Internacionales

José Albán Londoño Arias Editora

Diana Alejandra Londoño Pulgarín [email protected] Entidad Editora

Centro Editorial Esumer Portada

 Anderson Echavarría Severino Diagramación

Facultad de Estudios Internacionales Impresión

Editorial L.Vieco S.A.S. [email protected] Publicado y hecho en Colombia Printed in Colombia Institución Universitaria Esumer

Calle 76 No. 80-26, Carretera al Mar Teléfono: (57) (4) 4038130 www.esumer.edu.co Medellín, Colombia

Consejo Superior Luis Alfonso Quintero Arbeláez Presidente de los Consejos  Ricardo Sierra Caro Vicepresidente Consejo Superior  Gustavo León Castillo Sierra   Miembro Consejo Superior  Fernando Osorio Mora  Miembro Consejo Superior  Emilio Alberto Estrada Isaza   Miembro Consejo Superior   Jorge Iván Sierra Builes  Miembro Consejo Superior  Félix Mejía Aránzazu  Miembro Consejo Superior  Elceario Rojas Castaño  Miembro Consejo Superior  Consejo Directivo Luis Alfonso Quintero Arbeláez Presidente de los Consejos  Carlos Mario Gallo Martínez Representante de los Docentes  Juan Carlos Vélez Madrid Representante de los Egresados Omar Andrés Bermúdez Mazo Representante de los Estudiantes  Álvaro González Vélez Secretario General   John Romeiro Serna Peláez Rector 

Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de la Facultad de Estudios Internacionales de la Institución Universitaria Esumer Las opiniones expresadas en esta publicación son responsabilidad directa de los autores y no necesariamente representan los puntos de vista de la Institución Universitaria Esumer.

Contenido

1. INTRODUCCIÓN 1.1 Glosario 1.2 Tipos de Inversión 1.2.1 Activos reales 1.2.2 Activos financieros 1.3 Tipos de Mercados Financieros 1.3.1 Mercado primario 1.3.2 Mercado secundario 1.3.3 Mercado monetario 1.3.4 Mercado de capitales 1.3.5 Mercado de divisas 1.4 Preocupaciones Clave del Inversionista 1.4.1 Rentabilidad 1.4.2 Riesgo 1.4.3 Liquidez

11 13 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 17

2. RENTABILIDAD 2.1 Tasa de Interés 2.2 Tasa Mínima de Rentabilidad Requerida (TMRR) 2.3 Interés Simple 2.4 Interés Compuesto: 2.4.1 Cálculo de Valor Futuro a partir de Valor Actual 2.4.2 Cálculo de Valor Actual a partir de Valor Futuro 2.4.3 Cálculo de Valor Futuro a partir de Anualidad 2.4.4 Cálculo de Anualidad a partir de Valor Futuro 2.4.5 Cálculo de Anualidad a partir de Valor Actual 2.4.6 Cálculo de Valor Actual a partir de Anualidad 2.5 Conversión de Tasas de Interés 2.5.1 Interés nominal – interés efectivo 2.6 Interés Anticipado 2.7 Conversión de Tasas de Interés – Los 5 Pasos 2.8 Interés Real o Interés Deflactado

19 20 21 22 24 24 26 27 29 30 31 32 34 38 40 43

3. EL MERCADO DE LAS DIVISAS 3.1 Definición 3.2 Participantes 3.3 Rentabilidad en Moneda Extranjera 3.3.1 Tipo de transacciones

49 49 49 50 53

4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS 4.1 Cuotas Iguales de Capital e Intereses. 4.2 Cuota Creciente de Capital e Intereses en una Suma Constante - Gradiente Aritmético 4.3 Cuota Creciente de Capital e Intereses en Porcentaje - Gradiente Geométrico. 4.4 Amortización Mediante el Sistema de Unidad de Valor Real

59 59 60 62 64

5. EJERCICIOS PRÁCTICOS 5.1 Ejercicios Valor del Dinero en el Tiempo 5.2 Ejercicios de Conversión de Tasas de Interés 5.3 Ejercicios de Interés Real o Interés Deflactado 5.4 Ejercicios de Rentabilidad en Moneda Extranjera

67 67 77 79 81

6. BIBLIOGRAFÍA

87

 ANEXOS

89

 A mis padres, quienes con su amor, esfuerzo y buen juicio supieron educarme.  A mi esposa e hijos, quienes con su existencia me impulsan a ser mejor cada día.  A mis profesores, quienes con su amor por la profesión supieron encausar mis inquietudes en los esfuerzos que me han permitido formarme y seguirme formando. En especial al profesor Jaime López, quien me instruyó en los temas abordados en este texto. Sea esta una forma de extender su legado.  A mis estudiantes, fuente de inspiración constante para mi ejercicio docente.  A Esumer, sus colaboradores y directivas, quienes me permitieron hacerme docente y me alientan a continuar el camino.  A todos, gracias! 

Este texto es un primer intento por reunir los temas abordados en la asignatura Matemáticas Financieras en un escrito de fácil lectura para estudiantes e interesados en el tema. Cualquier comentario, sugerencia o aporte por mejorar este esfuerzo se agradece y es recibido de la mejor manera. En futuras ediciones se irán incluyendo tales aportes, así como otros temas relevantes para la asignatura.

1. INTRODUCCIÓN La teoría económica enseña que la satisfacción de la necesidades humanas se logra a través del consumo de bienes y servicios. Así mismo expone que para lograr la producción de tales bienes y servicios se requiere de un espacio físico, donde transformar insumos y materias primas en productos; se requiere capacidad de trabajo para llevar a cabo tal transformación; se requieren máquinas, herramientas, insumos y materias primas que transformar y finalmente, se requiere de conocimiento para saber cómo llevar a cabo la transformación de todos estos elementos en productos y servicios. La teoría económica le da nombre propio a estos recursos: tierra, mano de obra, capital y conocimiento, respectivamente. Y concluye que para producir es imperativo el uso de estos cuatro recursos productivos o factores productivos. En ausencia de cualquiera de ellos, es imposible producir un bien o servicio. La teoría económica añade que por el uso de cada factor productivo debe pagarse una remuneración. Así, por el uso de la tierra se paga arriendo; por el uso de mano de obra se paga salario; por el uso de capital, entendido no solo como maquinaria y materia prima, sino más generalmente como el dinero representada en ellas, se paga interés. Finalmente, el conocimiento, entendido como la capacidad de articular los demás factores en una empresa que produzca, se remunera con utilidad o ganancia. En virtud que los factores productivos son escasos y su disponibilidad es limitada, se debe hacer un uso óptimo de los mismos para asegurar la producción de bienes y servicios con los cuales satisfacer las necesidades humanas. A tal sentido, es obvio que un recurso dedicado a la producción de determinado bien, se agota con el uso y no puede usarse para producir nada más. El fin último de la ciencia económica es precisamente garantizar la satisfacción de las necesidades humanas a través de la administración de los recursos productivos, con los que se obtienen bienes y servicios con cuyo consumo se satisfacen tales necesidades.

• 11 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

 Ahora bien, está claro que para producir debe usarse una combinación de los cuatro factores productivos. No obstante, visto desde la óptica del acceso a los factores necesarios para la producción podría reflexionarse a cerca de ¿cúal factor productivo es más importante para lograr la producción? Es decir, dejando claro que se requiere el uso de los cuatro factores productivos, si solo se dispusiera de uno de ellos ¿cúal sería el factor productivo primordial para la producción? En esta discusión habría quienes propusieran al factor tierra, puesto que con éste se asegura donde producir, y para acceder a los demás factores necesarios para llevar a cabo la producción, parte de la tierra podría arrendarse y con ello recibir dinero en forma de arriendo con el cual pagar mano de obra, adquirir maquinaria y materia prima, y contratar el conocimiento con un experto que sepa cómo producir. También habrá quienes propongan la mano de obra como el factor principal para lograr la producción, puesto que es una capacidad inherente a cada individuo y por la cual, se recibe dinero en forma de salario. Dinero que podría usarse para pagar un arriendo, acceder a la maquinaria y materias primas necesarias e igualmente contratar a un experto para que asegure la producción. La propuesta del conocimiento como el factor más importante para la producción tendría la misma lógica expuesta. En general, de un factor productivo permitir su uso por parte de otros actores de la economía y como remuneración percibir un dinero con el cual acceder a los demás factores productivos, y así teniendo acceso a los cuatros factores productivos poder iniciar la producción. No obstante, obsérvese que si el factor productivo propuesto es el capital o en términos más amplios, el dinero, no tendría que esperarse a recibir la remuneración por permitir su uso, sino que inmediatamente con dinero podría accederse a los demás factores productivos. Garantizando de manera expedita las condiciones necesarias para la producción. En este entendido, el capital es el factor productivo más importante para la producción, pues es el que en términos más efectivos permite el acceso a los demás factores necesarios para llevarla a cabo. En cuanto al uso económico que puede dársele al dinero, la teoría incluye tres usos: gasto, ahorro e inversión/especulación. El gasto es el acto por el cual una persona adquiere los bienes y servicios necesarios para • 12 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

satisfacer sus necesidades. El ahorro es el uso del dinero que permite su disponibilidad para en el futuro poder gastar o para aprovechar oportunidades de inversión que no serían posibles de no contar con el dinero ahorrado. La inversión/especulación es el uso del dinero que tiene por objeto acrecentarlo. Si bien inversión y especulación se incluyen dentro del mismo uso en virtud que ambos buscan el mismo propósito, éstos se diferecian en la metodología con la que se toman las decisiones. Las decisiones de inversión se entienden en este texto como resultado de un acto riguroso de análisis entre las alternativas de inversión y sus posibles ventajas y desventajas que lleva a seleccionar una alternativa o un con junto de ellas. Entre tanto, por decisiones de especulación se entienden aquellas que se toman a partir de información injustificada, la simple intuición o el afán de tomar cualquier decisión de forma presipitada. En este sentido es pertinente aclarar que si bien el rigor seguido para tomar decisiones de inversión procura tomar mejores decisiones en el sentido de aumentar la rentabilidad y disminuir el riesgo de las mismas, el mismo no es garantía de un buen desempeño. Incluso puede darse el caso en el cual decisiones de especualción obtengan resultados superiores a las de inversión. Este texto se concentra en la administración del factor productivo capital y particularmente en su uso de inversión. El texto está orientado al buen uso del dinero, bien en caso de superávit de capital, situaciones en las que se hablará de inversión, o en caso de déficit de capital, situaciones en las que se hablará de financiación. El área del conocimiento que se encarga de estudiar estos propósitos es la matemática financiera.  Antes de empezar a abordar el tema de matemáticas financieras es pertinente entender los conceptos incluidos en el glosario.

1.1 Glosario Cambio en indicadores de desempeño: con las nuevas alternativas de inversión/financiación obtenidadas a partir de la innovación financiera (definida abajo) no solo se incrementan las opciones, sino que también • 13 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

cambian el riesgo y la rentabilidad en el mercado. Algunos opciones pueden incrementar el riesgo o la rentabilidad, mientras otros los disminuyen.

Desintermediación: consiste en resolver los problemas de financiación o inversión de manera directa, sin acudir a intermediarios financieros. De esta manera se trata de lograr mejores términos de negociación, quienes necesitan financiación pueden obtener una tasa de interés inferior a la cobrada por las instituciones financieras y quienes desean invertir pueden obtener una tasa de interés superior a las ofrecidas por tales instituciones. A esto se llama financiación directa. Globalización de los mercados financieros: con la globalización de las economías se abre el libre tránsito no solo de mercancías, sino igualmente de capitales. Así, tanto las operaciones de inversión como las de financiación pueden resolverse bien en el mercado local o en mercados internacionales. Innovación financiera: el constante cambio de las dinámicas económicas abre la oportunidad de creación y acceso a nuevas formas de inversión y financiación, debido entre otros a la apertura de nuevos mercados foráneos y creación de nuevos productos financieros.  Alternativas de inversión: la globalización de los mercados ha ampliado el abanico de oportunidades para invertir y administrar el dinero, tanto a nivel nacional como internacional. Entre las alternativas de inversión disponible se tiene: desde metales y piedras preciosas, estampillas y obras de arte, hasta monedas extranjeras, acciones de compañías nacionales o foráneas, bonos corporativos, acciones y emisiones de gobiernos de cualquier país del mundo. Cada alternativa lleva consigo su propio riesgo y rentabilidad. No todas las alternativas de inversión satisfacen las necesidades de cada inversionista. El desempeño de las diferentes alternativas de inversión varía de acuerdo a las condiciones económicas. La amplia gama de oportunidades permite al inversionista poder optar por las alternativas que cumplan con sus intenciones frente al riesgo y a la rentabilidad. De esta manera, el inversionista conservador puede • 14 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

elegir alternativas de bajo riesgo y baja rentabilidad, y el inversionista arriesgado puede elegir alternativas que le proporcionen altos rendimientos, asumiendo, desde luego, un mayor riesgo.

 Volatilidad: cambio constante en indicadores macroeconómicos y variables que afectan el desempeño de las inversiones, tales como: tasas de interés, tasas de cambio de monedas extranjeras, nivel de empleo, tasa de inflación, entre otras. Tales cambios enfrentan al inversionista a un mayor riesgo, pero también le ofrecen un mayor número de oportunidades de inversión.

1.2 Tipos de Inversión 1.2.1 Activos reales Son aquellas inversiones tangibles que se pueden mantener por tiempo indefinido o se pueden vender con una utilidad cuando ellos se han apreciado suficientemente. Entre ellos se tiene: metales preciosos, piedras preciosas (diamantes, rubíes, esmeraldas), coleccionables (antigüedades, arte), metales comunes, petróleo, gas natural.

1.2.2 Activos financieros Se trata de inversiones intangibles. Representan la propiedad sobre una compañía, o sirven de evidencia que alguien debe al inversionista. Aquí se incluyen acciones, bonos, papeles comerciales, letras de cambio, fondos mutuos, certificados de depósito y futuros financieros entre otros.

1.3 Tipos de Mercados Financieros 1.3.1 Mercado primario Mercado en el cual se negocian valores por primera vez.

1.3.2 Mercado secundario Mercado en el cual se negocian valores por segunda o más veces, los cuales se han emitido previamente en el mercado primario.

• 15 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

1.3.3 Mercado monetario Mercado en el cual se negocian valores con vencimientos menores a un año; papeles comerciales, acciones, etc.

1.3.4 Mercado de capitales Mercado en el cual se negocian valores con vencimientos mayores a un año; bonos, acciones, etc.

1.3.5 Mercado de divisas Mercado en el cual se negocian monedas de otros países. Generalmente son monedas llamadas “duras” o “fuertes”, debido a la menor percepción de riesgo asociada a éstas y por su facilidad de transacción.

1.4 Preocupaciones Clave del Inversionista  El inversionista tienen tres preocupaciones clave al seleccionar alternativas de inversión: Rentabilidad, Riesgo y Liquidez.

1.4.1 Rentabilidad  La rentabilidad es la ganancia sobre la inversión. Consta de ingresos periódicos por concepto de intereses o dividendos, llamados ingresos corrientes, y por la variación en el precio del activo, llamado ganancia de capital. La rentabilidad de la inversión es un aspecto fundamental para el inversionista. Todo lo demás siendo igual, el inversionista busca aquellos instrumentos que le proporcionen la mayor rentabilidad.

1.4.2 Riesgo El riesgo es la posibilidad de perder dinero en una inversión. Mientras mayor el riesgo, mayor debe ser la rentabilidad. Los inversionistas asumen diferentes posiciones frente al riesgo. Algunos tomarán mayor riesgo si el potencial de rentabilidad es mayor, mientras otros preferirán un menor riesgo aún cuando la rentabilidad sea menor. Todo lo demás siendo igual, el inversionista busca aquellos instrumentos con menor riesgo. El riesgo se puede clasificar de las siguientes formas: • 16 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

Riesgo sistemático: riesgo NO diversificable, o no controlable, el cual

resulta de fuerzas externas. En este tipo de riesgo se encuentran: Riesgo de mercado: cambios en el precio de las acciones, debido a cambios en el mercado accionario por incertidumbre política y/o económica. Riesgo en tasa de interés: cambios en la tasa de interés. Riesgo no sistemático: riesgo que puede ser controlado con la diversificación. Puede ser: •

•

•

•

•

Riesgo de Insolvencia: el riesgo de que el emisor no pueda pagar los intereses o abonos a capital. Riesgo de Reinversión: el pago periódico de intereses o abonos parciales a capital corren el riesgo de no poder ser reinvertidos a la tasa de rentabilidad esperada. Riesgo de Tipo de Cambio: inversiones en monedas extranjeras exponen al inversionista al riesgo de devaluación/revaluación de las mismas.

1.4.3 Liquidez  El inversionista desea comprar o vender los instrumentos de inversión rápidamente y a costos de transacción bajos. Todo lo demás siendo igual, el inversionista busca aquellos instrumentos de mayor liquidez. Este texto se centra en los aspectos de rentabilidad como principal preocupación del inversionista.

• 17 •

2. RENTABILIDAD Esta es sin duda la preocupación principal del inversionista. Una vez satisfecha esta necesidad el inversionista se preocupará por el riesgo y la liquidez. Rentabilidad es el ingreso de una inversión expresada como porcentaje de dicha inversión; en otras palabras es la ganancia obtenida en una inversión, dividida por la suma invertida y multiplicada por 100.

Donde, VF = Valor Final o Valor Futuro. También se le denota como VF VA = Valor Actual, Presente o Valor Presente. También se le denota como P o VP. La rentabilidad desde el punto de vista del inversionista es una medida de ganancia y desde el punto de vista del deudor es una medida de costo.

Ejemplo: Si se invierte $1.000.000 durante un año, al final del cual se recibe $1.380.000.00. ¿Cuál fue la rentabilidad? VA = $1.000.000.00 VF = $1.380.000.00  VF = 1'380.000,00

VA = 1'000.000,00

RENTABILIDAD = 1.380.000,00 - 1.000.000,00 * 100 1.000.000.00 • 19 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

RENTABILIDAD = 38,00%

Ejemplo: Por un préstamo de $5.000.000,00 se debe pagar $7.400.000 al cabo de un año. ¿Cuál fue el costo del préstamo? VA = 5.000.000,00 VF = 7.400.000.00 VA= 5'000.000,00

VF= 7'400.000,00

COSTO DEL PRÉSTAMO = 7.400.000,00 - 5.000.000,00 * 100 5.000.000,00 COSTO DEL PRÉSTAMO = 48,00%

NOTA: La anterior fórmula permite calcular la rentabilidad efectiva, o el costo efectivo, de cualquier inversión, o préstamo, durante el período que se mantiene. En los ejemplos analizados dicho período es de un año, por consiguiente la rentabilidad del 38,00% es efectiva anual y el costo de 48,00% es efectivo anual. Si el período es de un día, entonces la rentabilidad es efectiva diaria, si es un mes sería efectiva mensual y así sucesivamente.

2.1 Tasa de Interés La tasa de interés no es otra cosa que la rentabilidad de la inversión de un activo financiero, o el costo de una financiación. También se dice que es el pago que se concede al ahorrador por dejar de consumir hoy y prestar su dinero a otra persona o institución que lo

• 20 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

necesita. Es el precio que se paga por usar el dinero, expresado como una tasa periódica, generalmente anual. Para maximizar su valor el inversionista debe tomar prestado cuando la tasa de rentabilidad en sus inversiones es mayor que la tasa de interés que le cobran. En las entidades financieras se ve muy claro el anterior principio: la tasa de interés que pagan al ahorrador es siempre menor que la que cobran al prestatario. La tasa que se paga al ahorrador es llamada tasa pasiva o tasa de captación y la tasa que se cobra al prestatario es llamada tasa activa o tasa de colocación, la diferencia entre la tasa activa y la tasa pasiva es el llamado margen de intermediación financiero. o Para entender el concepto de margen de intermediación, piénsese en los mercados financieros, donde el intermediario financiero capta dinero de los ahorradores por un período de tiempo determinado pagándoles una tasa de interés pactada (tasa de captación). El intermediario financiero recibe el dinero y a su vez entrega al ahorrador el documento que le garantiza la devolución del dinero y el pago del interés en el plazo convenido. Este documento es el que se constituye en activo financiero (certificados de depósito).  A su vez el intermediario financiero presta dinero a quienes lo necesitan cobrándoles una tasa de interés determinada (tasa de colocación) y exige un documento que le garantiza la recuperación del dinero y el pago del interés en el plazo convenido. Este documento también se constituye en activo financiero (letras de cambio, aceptaciones bancarias, hipotecas, etc.)

2.2 Tasa Mínima de Rentabilidad Requerida (TMRR)  Al invertir se pueden tener múltiples alternativas de inversión y por consiguiente se debe decidir dónde invertir. • 21 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Supóngase que se tiene $1.000.000.00 el cual se puede invertir en una cuenta de ahorro, o en un Certificado de Depósito a Término (C.D.T.), o en un Bono, o en un Fondo Común de inversión, o en acciones, o en propiedad raíz, o en un computador, etc. ¿Cuál de ellos elegir? Es acá donde se debe tener muy claro la necesidad de rentabilidad, riesgo y liquidez. Es decir, debe darse respuesta a las siguientes preguntas: ¿qué rentabilidad se espera obtener? ¿qué riesgo se está dispuesto a asumir? y ¿cuánto tiempo se desea mantener la inversion? Si se decide obtener la tasa mínima de rentabilidad, durante 6 meses con el menor riesgo posible, podría invertirse en un C.D.T. en una entidad financiera que ofrezca, por ejemplo 3% mensual (esta tasa difícilmente la ofrecerá un C.D.T., solo se usa con fines ilustrativos). En este caso se asume que la Tasa Mínima de Retorno Requerida (TMRR) es la tasa que ofrece una entidad financiera en una inversión segura y líquida. Una vez tomada la decisión vendría la pregunta: ¿cuánto dinero se habrá acumulado al cabo de los 6 meses? Para responder a esta pregunta se debe comprender el concepto de interés simple e interés compuesto.

2.3 Interés Simple  Aplica cuando en el cálculo de los intereses no se tiene en cuenta el pago de intereses causados en períodos anteriores; es decir, que los intereses causados no se reinvierten. Para el ejemplo expuesto, en el que se invierte $1.000.000 a una tasa de 3% mensual, durante 6 meses, se tienen los siguientes datos: VF = ? VA = $1.000.000,00 I% = 3% mensual N = 6 meses • 22 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

El gráfico sería así:  TOTAL = $1'180.000,00

6 meses

 CAPITAL = $1'000.000,00

Durante cada uno de los seis meses la inversión generó $30.000 por concepto de intereses, así: 3% de $1.000.000 = 3% x 1.000.000. Ya que 3% = 3/100 = 0.03. La expresión quedaría: 0.03 x $ 1.000.000 = $30.000. Al final del mes seis la entidad financiera entregaría: INTERESES = $180.000 = ($30.000/mes x 6 meses) CAPITAL = $1.000.000 TOTAL = $1.180.000 La siguiente fórmula permite calcular el valor futuro de una inversión, bajo el concepto de interés simple. Donde, VF: Valor Futuro VA: Valor Actual i%: tasa de interés por período n: número de períodos  Así, el Valor Futuro en el mes 6 -VF(6)- será: VF(6) = 1.000.000 + (1.000.000 x 0,03 x 6) VF(6) = $1.180.000 $1.180.000 es la suma que se recibiría al final del mes seis si la entidad financiera pagara interés simple.

• 23 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

2.4 Interés Compuesto: Cuando en el cálculo de los intereses se tiene en cuenta el pago de intereses sobre intereses. Los intereses recibidos se reinvierten, y pasan a convertirse en un nuevo capital sobre el cual cobrar intereses para el siguiente período.

2.4.1 Cálculo de Valor Futuro a partir de Valor Actual Si se aplica interés compuesto, la suma acumulada al finalizar el mes seis sería: VF(1) = 1.000.000 + (1.000.000 x 0,03) = 1.030.000 VF(2) = 1.030.000 + (1.030.000 x 0,03) = 1.060.900 VF(3) = 1.060.900 + (1.060.900 x 0,03) = 1.092.727 VF(4) = 1.092.727+ (1.092.727 x 0.03) = 1.125.508.81 VF(5) = 1.125.508,81 + (1.125.508.81 x 0.03) = 1.159.274.07 VF(6) = 1.159.274,07 + (1.159.274,07 x 0.03) = 1.194.052,30 Si se reemplazamos los valores en las ecuaciones anteriores en términos de VA y VF, se llega a la fórmula general de interés compuesto, así: VF(1)= VA+(VA.i%) VF(1)= VA(1+i%)

Factor común: VA 

VF(2)= VA(1+i%)+ VA(1+i%)i% VF(2)= VA(1+i%)2

Factor común: VA(1 + i%)

VF(3)= VA(1+i%)2+ P(1+i%)2 i% VF(3)= VA(1+i%)3

Factor Común: VA(1+ i%)2

En términos generales: VF(n)= VA(1+i%)n Donde, VF: Valor Futuro

• 24 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

VA: Valor Actual i%: tasa de interés por período n: número de períodos Esta es la fórmula básica de interés compuesto y permite calcular en una forma rápida la suma que se acumularía a los 6 meses. VF(6) = 1.000.000 (1 + 0,03)6 VF(6) = 1.194.052,30 Se puede observar claramente que si se utiliza el interés simple, la suma acumulada durante los seis meses es menor que la suma acumulada al utilizar el interés compuesto. $1.180.000 < $1.194.000 Dado que según se concluyó en la introducción, el factor productivo más valioso para lograr la producción es el capital, entendiendo que el interés es el precio que se paga por usar tal recurso y que el interés compuesto hace que el capital se acrecenté más rápidamente; es decir, que valora de mejor manera al capital, en lo sucesivo se asume que el interés es compuesto. Esto además es fiel a las dinámicas de los mercados financieros. Si bien el proceso de toma de decisiones no arroja decisiones infalibles, siempre es bueno soportar éstas en criterios objetivos. Para el propósito de este texto tales criterios objetivos son los cálculos que sirven de soporte a las decisiones de inversión /financiación. Supóngase que se está planeando la compra de un activo por valor de $3.000.000. Si se tiene el dinero se podría comprar de contado y empezar a disfrutarlo de inmediato. No obstante, supóngase que no se dispone del dinero, pero se conciben planes para adquirirlo. Una alternativa es solicitar financiación al proveedor, otra es pedir prestado los tres millones a una entidad financiera, una tercera alternativa sería simplemente comenzar a ahorrar para comprarlo en el futuro.

• 25 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

De optar por comprarlo dentro de un año se podría preguntar: ¿Cuánto cobrará el distribuidor por el bien dentro de un año si hoy cuesta $3.000.000? Supóngase que la tasa mínima de rentabilidad requerida del distribuidor es del 40% efectiva anual. El cálculo del valor futuro del bien sería así: VA = $3.000.000,00 i% = 40% n = 1 año VF = ? VF = VA*(1+I%)n VF = 3.000.000 * (1 + 0,40)1 VF = $4.200,000 Luego se tendría que ahorrar $4.200.000,00 para poder comprar el computador al final del año.

2.4.2 Cálculo de Valor Actual a partir de Valor Futuro Supóngase que se acude a otro proveedor y éste garantiza un precio de $3.900.000.00 dentro de un año; luego se necesitaría saber cuánto habría que depositar hoy en una entidad financiera que por ejemplo pagara un interés de 3.5% mensual compuesto (de nuevo, una tasa tan alta no sería ofrecida por una institución financiera, se asume solo como ilustración). VF = $3.900.000,00 i% = 3.5% mensual n = 12 meses VA = ? De la anterior fórmula se puede despejar  VA :  Así,

• 26 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

Como se puede ver, se debe constituir una inversión por la suma de $2.580.954,86 durante 12 meses al 3.5% mensual para poder acumular los $3.900.000 necesarios para la compra del bien. Un siguiente caso hipotético sería aquel en el cual no se disponga de $2.580.954,86 para invertir. En cambio se determina que se podría ahorrar una cantidad igual mensualmente durante los siguientes doce meses, supóngase $250.000 mensuales. A partir de este monto se quiere conocer cuanto dinero se tendrá al cabo de los doce meses con la misma tasa de interés (3.5% mensual). Un flujo de dinero que cumple con estas características, mismo monto en perídos iguales y de manera continua, sin interrupciones, se le llama  Anualidad, pago, cuota fija o serie uniforme y se denota con (A).

2.4.3 Cálculo de Valor Futuro a partir de Anualidad  El diagrama de flujo para el ejemplo expuesto sería así: i%

$250,000

 Y los datos son:  A = $250,000 i% = 3.5% mensual • 27 •

 

VF=?

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

n = 12 meses VF = ?  A partir de la fórmula de Valor Futuro de un Valor Actual se puede calcular el Valor Futuro para cada mes hasta el mes doce, así: VF(1) = 250.000(1+0.035%)1 = $258.750 VF(2) = (258.750+250.000)(1+0.035%)1 = $526.556,25 VF(3) = (526.556,25+250.000)(1+0.035%)1 = $803.735,72 VF(4) = (803.735,72+250.000)(1+0.035%)1 = $1.090.616,47 VF(5) = (1.090.616,47+250.000)(1+0.035%)1 = $1.387.538,05 VF(6) = (1.387.538,05+250.000)(1+0.035%)1 = $1.694.851,88 VF(7) = (1.694.851,88+250.000)(1+0.035%)1 = $2.012.921,69 VF(8) = (2.012.921,69+250.000)(1+0.035%)1 = $2.342.123,95 VF(9) = (2.342.123,95+250.000)(1+0.035%)1 = $2.682.848,29 VF(10) = (2.682.848,29+250.000)(1+0.035%)1 = $3.035.497,98 VF(11) = (3.035.497,98+250.000)(1+0.035%)1 = $3.400.490,41 VF(12) = 3.400.490,41+250.000 = $3.650.490,41 Con el fin de agilizar los cálculos se desarrolló una fórmula que permite calcular el valor futuro de una anualidad. Donde,         

VF: valor futuro  A: anualidad i%: tasa de interés n: número de períodos Con esta fórmula puede calcularse el valor futuro de la anualidad, así:           

• 28 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

 Así, se puede concluir que ahorrando $250,000 mensuales durante doce meses a una tasa de 3.5% mensual se puede obtener $3.650.490,41 al final de los doce meses; suma inferior a los $3.900.000 que se necesitan para comprar el bien.  Aquí surge la siguiente inquietud ¿Qué suma mensual uniforme se debe invertir a un interés de 3.5% mensual durante 12 meses para lograr acumular $3.900.000 al final de este plazo?

2.4.4 Cálculo de Anualidad a partir de Valor Futuro El diagrama de flujo para el ejemplo expuesto sería así: i%

 

VF=3'900.000

 A = ?

 Y los datos de cálculo son: VF = $3.900.000 n = 12 meses i% = 3.5% mensual  A = ? De la anterior Fórmula se puede despejar la A, obteniendo:          

Donde,  A: anualidad VF: valor futuro i%: tasa de interés n: número de períodos • 29 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Con esta fórmula se puede calcular el valor de la anualidad fácilmente, así:    

        

Es decir que se deben invertir $267.087,40 mensualmente a una tasa de interés de 3.5% mensual para lograr obtener los $3.900.000 necesarios para la compra del bien. Surge entonces una nueva pregunta: ¿qué otra cosa se podría hacer si no se dispone del dinero actualmente? En este caso se podría solicitar financiación a una entidad financiera o al distribuidor. Supóngase que el computador hoy vale $3.000.000,00 y que una entidad financiera presta dicha suma para que se le cancele en 12 cuotas mensuales iguales a una tasa de interés del 4% mensual (de nuevo, la tasa difícilmente se acerca a la realidad, pero se tomo solo con fines ilustrativos).

2.4.5 Cálculo de Anualidad a partir de Valor Actual El diagrama de flujo para el ejemplo expuesto sería así: VA=3'000.000

i%

 A = ?

 Y los datos son: VA = $3.000.000 i% = 4% mensual n = 12 meses  A = ? • 30 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

 A partir de combinar las siguientes fórmulas:    

  

y

    

se puede llegar a la expresión:            

Donde,  A: anualidad VA: valor actual i%: tasa de interés n: número de períodos  Así, se puede calcular fácilmente la anualidad:              

 Ahora, supóngase que el proveedor ofrece financiar el bien a 12 meses pagándole una cuota uniforme mensual de $350.000 con un interés mensual del 3,5%, ¿cuál sería el valor actual del bien?

2.4.6 Cálculo de Valor Actual a partir de Anualidad  El diagrama de flujo para el ejemplo expuesto sería así: VA=?

i%

$350,000

 Y los datos son: • 31 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

 A = $350.000,00 I% = 3.5% mensual N = 12 meses VA = ? Para obtener el resultado puede despejarse VA de la formula anterior, así:

Donde, VA: valor actual  A: anualidad i%: tasa de interés n: número de períodos  Al despejar los valores en la fórmula se obtiene:

 Así, el valor actual del bien bajo las condiciones expuestas sería de $3.382.167,02.

2.5 Conversión de Tasas de Interés  Al decidir donde invertir o financiarse se debe acudir al mercado financiero; es decir, a una institución financiera o a un prestamista particular que ofrezca el dinero en préstamo. La realidad es que pueden existir tantas tasas de interés como oferentes haya y éstos expresarlas en diversas formas, no siempre comparables entre sí en primera instancia  Las diferentes tasas de interés que ofrece el mercado financiero exigen su conversión a una tasa equivalente, la cual permita tomar una correcta decisión en la elección de los instrumentos de inversión o de los medios de financiación. • 32 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

Para convertir tasas de interés se debe comprender primero el formato en que estas son expresadas, así:

# % Período de Comparación - Período de Capitalización - Forma de Capitalización Donde,

#: es el valor numérico de la tasa de interés. %: signo porcentual, indica que el valor numérico es un porcentaje. Período de Comparación: expresión que indica una equivalencia nominal, resultado de multiplicar el valor numérico por el número de veces que el período de capitalización compone el período de comparación. El Período de Comparación siempre es mayor que el Período de Capitalización Período de Capitalización: lapso en el cual se causan los intereses. Siempre es menor que el Período de Comparación. Forma de Capitalización: si los intereses se causan al principio del período de capitalización se denominan anticipados, si se causan al final del período de capitalización se llaman vencidos. Por defecto los intereses son vencidos. Estos conceptos son más fácil entenderlos a través de ejemplos.

Ejemplo 1: 24% Anual Trimestre Anticipado = 24% ATA  El valor numérico de esta tasa es 24%, el Período de Comparación es anual, el Período de Capitalización es trimestral, y la Forma de Capitalización es anticipada. Esta tasa indica una equivalencia del 24% en un año, donde los intereses se cobran cada trimestre por anticipado; es decir, al inicio de cada trimestre. En otras palabras es una tasa que se causa al principio de cada trimestre y que su equivalencia anual es de 24%. Si la tasa anual equivale al 24%, y esta se compone de pagos trimestrales; esto significa que el interés trimestral equivale a la cuarta parte • 33 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

del interés anual, ya que hay 4 trimestres en un año; es decir, a 24% ÷ 4 = 6% trimestral anticipado, o 6% TA. A esto se le llama Eliminar el Período de Comparación, ya que la tasa 6% TA no posee un Período de Comparación. Podemos entonces decir que una tasa del 24% ATA y una tasa del 6% TA son equivalentes.  Ahora, el formato (# % P. Comparación - P. Capitalización - Forma Capitalización) es la forma más extensa como se pueden expresar tasas de interés. De hecho no todas las expresiones de tasas de interés tienen un Período de Comparación y al no expresar una forma de capitalización, esta se entiende como vencida.

Ejemplo 2: 1.5 % mensual En esta tasa se observa que no hay Período de Comparación y no se indica la Forma de Capitalización, la cual se entiende como vencida por defecto. Si se quisiera hallar un Período de Comparación anual, según lo expuesto en el ejemplo anterior, simplemente se multiplica la tasa mensual (1.5%) por el número de meses que hay en un año, así: 1.5% Mes * 12 = 18% Anual Mes Vencido, o 18% AMV   Así, se puede concluir que el 1.5% MV es equivalente al 18% AMV 

2.5.1 Interés nominal – interés efectivo Las tasas de interés pueden ser nominales o efectivas. Según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española: •

•

Nominal: 2. adj. Que tiene nombre de algo y le falta la realidad de ello en todo o en parte. Efectivo: 1. adj. Real y verdadero, en oposición a quimérico, dudoso o nominal.

• 34 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

Según esta definición, interés nominal es una expresión de interés que no representa la realidad en su totalidad, mientras que el interés efectivo es la representación real y verdadera del interés. Para efectos de convertir tasas de interés se hará uso de dos connotaciones de los términos nominal y efectivo: (i) Al leer una tasa de interés de forma aislada; es decir, sin comparala con otra: • Nominal: tasa de interés que contiene un período de comparación y/o su forma de capitalización es anticipada. • Efectiva: tasa de interés que no contiene un período de comparación y  su forma de capitalización es vencida. (ii)Al comparar dos tasas de interés: • Nominal: tasa de interés de menor período • Efectiva: tasa de interés de mayor período En el ejemplo 1 las expresiones: 24 % ATA y 6% TA son equivalentes.  Y, según la connotación (i) la tasa 24 % ATA es nominal, pues tiene Período de Comparación (Año). Por su parte la tasa 6% TA también es nominal, pues aunque no tiene Período de Comparación, es una tasa  Anticipada (A). Por otro lado, en el ejemplo 2 la tasa 1.5% MV es equivalente a 18%  AMV, y en este caso según la misma connotación (i) la expresión 1.5% MV es una tasa efectiva, pues no tiene Período de Comparación y su Forma de Capitalización es Vencida; mientras que 18% AMV es una tasa de interés nominal ya que pese a ser una tasa vencida, tiene Período de Comparación.

Ejemplo 3: Según la Connotación (ii), si se compara una tasa mensual con una tasa trimestral; la mensual al ser de menor período es una tasa nominal con respecto de la trimestral. A su vez, la tasa trimestral al ser de mayor período es efectiva con respecto de la mensual.

• 35 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Ejemplo 4: Si se desea calcular una equivalencia anual de una tasa del 3% bimestral, se debe calcular la tasa de mayor período (anual) partiendo de una tasa conocida de un período menor (bimestral). Es decir, se debe calcular una tasa efectiva partiendo de una tasa nominal.

Ejemplo 5: Si se quiere calcular una equivalencia mensual de una tasa del 20%  Anual Trimestre Vencido, se debe calcular la tasa de menor período (mes) partiendo de una tasa conocida de una período mayor (trimestre). Es decir, se debe calcular una tasa nominal partiendo de una tasa efectiva. Para resolver los ejemplos 4 y 5 se debe hacer uso de las fórmulas de conversión de tasas de interés efectivo y nominal, así:

Donde, i% ef = Interés Efectivo i% nom = Interés nominal n = número de veces que el período menor cabe en el período mayor, o número de períodos nominales que equivalen a un período efectivo Cabe anotar que para hacer uso de estas fórmulas SOLO se pueden ingresar tasas sin Período de Comparación y Vencidas, e igualmente el resultado es una expresión sin Período de Comparación y Vencida. En caso de que la tasa que se desea convertir posea Período de Comparación, éste se puede eliminar mediante la división del valor numérico por el número de veces que el Período de Capitalización compone al Período de Comparación. Como en el ejemplo 1.

Solución ejemplo 4: para hallar la equivalencia anual de una tasa del 3% bimestral se debe usar la fórmula de interés efectivo, ya que se co• 36 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

noce la tasa bimestral y se desea hallar la tasa anual; es decir, se conoce la tasa de menor período (nominal) y se quiere calcular la de mayor período (efectivo), así:  donde n es el número de bimestres que hay en un año Reemplazando los valores se tiene que:

Obsérvese que la tasa 3% se ingresa como 0.03, ya que 3% = 3/100 = 0.03. El resultado se redondea a 4 dígitos decimales Nótese que 0.1941 = 19.41/100 = 19.41%

* Se ingresan tasas sin Período de Comparación y vencidas, y el resultado es igualmente una tasa sin Período de Comparación y Vencido.  Ahora, una expresión de interés Anual Vencido es lo que comúnmente se conoce como una tasa Efectiva Anual o E.A. De este ejercicio se puede afirmar que una tasa del 3% Bimestral equivale a una tasa del 19.41% E.A. y viceversa. Obsérvese nuevamente que tanto la expresión que se ingresa en la fórmula (3% Bimestral) como el resultado que ésta arroja (19.41% E.A.) son expresiones sin Período de Comparación y Vencidas

Solución ejemplo 5: hallar la equivalencia mensual de una tasa de 20%  ATV. Inicialmente se debe eliminar el Período de Comparación antes de hacer uso de las fórmulas de interés efectivo y nominal. Donde 4 es el número de trimestres que componen 1 año.

• 37 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

 A partir del resultado anterior, se desea convertir una tasa del 5% TV en su equivalencia mensual. Para esto se debe usar la fórmula para hallar el interés de un período menor; es decir la fórmula de interés nominal, así: donde n es el número de meses que hay en un trimestre  Recuérdese que 5% = 5/100 = 0.05  Se redondea a 4 dígitos decimales Recuérdese que 0.0164 = 1.64/100 = 1.64% De los cálculos anteriores se puede decir que un interés del 20% ATV, una tasa del 5% TV y el 1.64% Mensual son equivalentes. La primera expresión al poseer un Período de Comparación es una tasa nominal, mientras que la segunda y la tercera son tasas efectivas al ser vencidas y sin Período de comparación.

2.6 Interés Anticipado De tomarse un crédito por valor de $1.000.000 a una tasa de interés de 36% anual anticipado (i%ant), ¿Cuál sería la tasa de interés vencido (i%ven) equivalente?  Al ser interés anual anticipado, habría que pagar el año por adelantado, así: Intereses = Deuda x Tasa de interés  Intereses = $1.000.000 x 0.36 Intereses  = $360.000

 Al pagarse por anticipado, interés anticipado (i%ant) = $360.000 En consecuencia el dinero neto que se recibe por el crédito es $640.000 ($1.000.000 - $360.000, o VA – i%ant), pese a que el valor adeudado es $1.000.000. En otras palabras, el Valor Actual del crédito es $640.000.  Al final del año se debe devolver el monto prestado; $1.000.000. Del análisis anterior se tiene que: • 38 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

VA = $640.000,00 = VA * (1 - i%ant) VF = $1.000.000 = VA  n = 1 año i% = ? Con la fórmula de rentabilidad puede calcularse el costo del crédito así:

Con base en esto se puede concluir que una tasa de 36% anual anticipada es equivalente a una tasa del 56.25% anual efectiva. Si se utiliza la fórmula de rentabilidad, que calcula el interés vencido, y se reemplaza VA y VF para este caso; donde VF = VA y VA = VA * (1 - i%ant), se tiene que:

Despejando se obtiene:

Cancelando VA en la primera parte y VA(1 – i%ant) en la segunda, se tiene:

Fórmula que podría simplificarse así:

• 39 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Cancelando el 1 a cada lado de la ecuación, sacando factor común i%ven y llevando i%ant al lado derecho de la expresión, se tiene que: De donde se conluye que la fórmula para calcular el interés vencido es:

Expresión que puede despejarse para calcular el interés anticipado para llegar a la siguiente fórmula:

Si se aplica la fórmula de interés vencido al ejemplo expuesto, se tiene que:

Dado que la tasa 36% es anual anticipada y se convirtió a vencida, el resultado es una tasa igualmente anual pero vencida; es decir, efectiva anual. Así: 56.25% es una tasa efectiva anual.

Ejemplo 6: Calcular la equivalencia anticipada de una tasa de 2% mensual vencido.

Ejemplo 7: Calcular la equivalencia vencida de una tasa de 5% bimestral anticipado.

 Ahora, si se combinan los pasos anteriores se puede desarrollar un método para convertir tasas de interés.

2.7 Conversión de Tasas de Interés – Los 5 Pasos Paso 1 - Eliminar Período de Comparación : si la tasa de interés tiene Período de Comparación se divide el valor numérico por (n), el número • 40 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

de Períodos de Capitalización que conforman el Período de Comparación. Eliminando así el Período de Comparación (período mayor ÷ período menor).

Paso 2 - Calcular la tasa vencida : (sólo si la tasa es anticipada) haciendo uso de la fórmula (2) abajo. Paso 3 - Calcular i% efectivo o i% nominal : para hallar períodos mayores se usa la fórmula para caclular i% efectivo, para hallar períodos menores se usa la fórmula para caclular i% nominal según las fórmulas en (3) abajo (en estas fórmulas se debe ingresar solo tasas sin período de comparación y vencidas, el resultado igualmente será una tasa sin período de comparación y vencida). Paso 4 - Calcular la tasa anticipada : (sólo si la tasa deseada es anticipada) haciendo uso de la fórmula (4) de abajo. Paso 5 - Crear Período de Comparación : si la tasa deseada contiene Período de Comparación se debe crear éste multiplicando por (n), el número de Períodos de Capitalización que conforman el período deseado. ** Nota: independiente del cálculo a realizar, (n) siempre es igual a el período mayor divido el período menor. ** 

La Gráfica 1 resume el método de los cinco pasos para convertir tasas de interés.

Método de los cinco pasos para convertir tasas de interés

Fuente: elaboración propia.

• 41 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Ejemplo 8: Convertir la tasa 36 % AMA (Año Mes Anticipado) en su equivalencia SBA (Semestral Bimestre Anticipado): Paso 1 - Eliminar Período de Comparación: dado que la expresión 36% ATA tiene un Período de Comparación, Año y el Período de Capitalización Capitaliz ación es Mensual, se divide el valor numérico por el número de Períodos de Capitalización que conforman el Período de Comparación; es decir por 12, así: 36% AMA ÷ 12 = 3% Mes Anticipado = 3% MA  Paso 2 - Calcular la tasa vencida: ya que la tasa resultante, 3% MA, es anticipada, se calcula su equivalencia vencida:

Paso 3 - Calcular i% efectivo ó i% nominal: como se desea calcular una tasa de capitalización bimestral partiendo de una capitalización mensual, se requiere calcular una tasa de mayor período; es decir una tasa efectiva:

Paso 4 - Calcular la tasa anticipada: dado que la tasa deseada es anticipada se hace el cálculo, así:

Paso 5 - Crear Período de Comparación: al requerir una tasa con Período de Comparación Semestral se procede a crear éste multiplicando por el número de Períodos de Capitalización (bimestres) que conforman el período deseado (Semestre); (Semestre); es decir 3

Obsérvese que según estos cálculos: • 42 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁ MATEMÁTICAS TICAS FINANCIERAS 

3% MA = 3.0928% MV = 6.2813% BV = 5.9100% 5.910 0% BA = 17.7302% SBA 

Ejemplo 9: Convertir la tasa 6 % TV (Trimestre Vencido) en su equivalencia QA (Quincena Anticipada): Paso 1 - Eliminar Período de Comparación: dado que la expresión 6% TV no tiene un Período de Comparación se procede con el paso 2; es decir, el paso 1 no aplica. Paso 2 - Calcular la tasa vencida: ya que la tasa 6% TV es una tasa vencida se procede con el paso 3. El paso 2 tampoco aplica. Paso 3 - Calcular i% efectivo ó i% nominal: como se desea calcular una tasa de capitalización Quincenal partiendo de una capitalización Trimestral, se requiere calcular una tasa de menor período; es decir una tasa nominal:

Recuérdese que n es igual a el número de veces que el período menor está es tá en el período mayor. 6 (número de quincenas de un trimestre).

Paso 4 - Calcular la tasa anticipada: dado que la tasa deseada es anticipada se hace el cálculo, así:

Paso 5 - Crear Período de Comparación: al no requerir una tasa con Período de Comparación se omite este paso. Se puede concluir entonces que: 6% TV = 0.9759% QV = 0.9665% QA 

2.8 Interés Real o Interés Deflactado El alza de precios hace que se requiera más dinero para adquirir los mismos productos o servicios. A un alza de precios generalizada y sostenida se le llama inflación. Por Por generalizada generaliza da se entiende que tal alza alz a de precios • 43 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

afecta un número considerable de bienes y servicios. Por Por alza de precios sostenida se entiende que ésta permanece en el tiempo. Es decir; el precio sube y continúa estable a ese nuevo nivel, no baja. Inflación = Alza de precios generalizada y sostenida 

En Colombia, el Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE) es el encargado de monitorear el nivel de los precios. Para esto se establece un conjunto de bienes y servicios que se consideran necesarios para satisfacer las necesidades de las personas de una manera digna. A este conjunto de bienes y servicios se le conoce como canasta familiar. En ésta se incluyen diversos productos y servicios básicos de alimentación, vestuario, transporte, salud, educación e incluso recreación; de los cuales se monitorea su comportamiento de precios, los que son ponderados de acuerdo a su importancia en la satisfacció satisfacciónn de las necesidades básicas. Con tal información se construye el Índice de Precios al Consumidor (IPC). De hecho, la forma en la que el DANE calcula la inflación es a partir de la variación de este índice; así:

Si bien el objetivo de una inversión es acrecentar el monto invertido, en última instancia ese dinero se utilizará para comprar bienes y/o servicios con los cuales el inversionista pueda satisfacer sus necesidades. Es decir; en última instancia el dinero invertido termina siendo usado en gasto. Para el inversionista conocer en términos de capacidad adquisitiva cual es el desempeño de una inversión, debe sustraer de la rentabilidad corriente el efecto de la inflación. A esta tasa se le conoce como Interés Real, entendida como la rentabilidad que queda de una inversión una vez deducida la pérdida de poder adquisitivo producto de la inflación ocurrida durante el tiempo de la inversión.  Así, entre más alta sea la tasa de inflación, mayor será su efecto en la disminución de la rentabilidad de las inversiones. La expresión “Real” en el área económico-administrativa se entiende como aquella de la cual se ha deducido el efecto inflacionario. Por ejem• 44 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

plo el crecimiento Real del PIB es el crecimiento en pesos corrientes del PIB menos el efecto de la inflación. En este caso, la rentabilidad real   es la rentabilidad en pesos corrientes menos el efecto inflacionario. Conceptualmente, para obtener el interés real (i% Real) se debe restar al porcentaje de rentabilidad corriente o interés corriente (i% corr.) la tasa de inflación (IF). No obstante la resta de tasas no se calcula de manera aritmética. Para entender este concepto supóngase una inversión de $100 durante un año, a un interés corriente del 40% efectivo anual. El gráfico sería así:

 Además supóngase que en -n=0- el precio de la canasta familiar (C.F.) es de $1.00/C.F., y en -n=1- este ha subido a $1.25/C.F. Entonces, en -n=0- con los $100 se podrían comprar ($100÷$1.00/C.F.)= 100 canastas familiares, y en -n=1- se podrían comprar ($140÷$1.25/C.F.) = 112 canastas familiares, de lo que se concluye que el poder de compra aumentó en (112-100) = 12 unidades, o en (112-100)/100 = 0.12 = 12%. Esto debido al alza de precios (Inflación) ocurrida durante el año, igual a (1.25-1.00)/1.00 = 0.25 = 25%. Nótese que en términos reales: Donde, Entonces, • 45 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Sí se hace uso de la fórmula de rentabilidad,

usando los términos reales, se obtiene que:

despejando se tiene:

simplificando quedaría:

cancelando V.A. se obtiene:

Donde, i%: IF:

Interés corriente o interés efectivo Inflación

También expresado así:

En caso de querer calcular i% corriente o Inflación, se pueden despejar de las fórmulas anteriores, así: • 46 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

Nota: para usar cualquiera de estas fórmulas se deben usar tasas sin períodos de comparación, vencidas y expresadas en el mismo período de capitalización. El resultado estará expresado en ese mismo período de capitalización.

Igualmente, como el interés corriente es el porcentaje de variación entre el monto invertido (Valor Actual o VA) y el monto realizado de una inversión (Valor Futuro o VF), y la inflación es la variación porcentual del nivel general de los precios al consumidor, medido a partir de un Índice de Precios al Consumidor inicial (IPC inicial) y un Índice de Precios al Consumidor final (IPC final); es decir, como ambas son variaciones porcentuales, éstas se podrían calcular a partir de la fórmula de la rentabilidad, reemplazando así:

Nota: i% corriente: es la tasa de interés que modifica los valores invertidos en pesos; es decir que ésta es la tasa de interés con la que se calcula el Valor  Actual de la Inversión (V.A.) y el Valor Futuro de la inversión (V.F.). Inflación: es la tasa de interés que modifica el Índice de Precios al Consumidor (IPC); es decir que ésta es la tasa de interés con la que se calcula el IPCinicial y el IPCfinal. Visitar el siguiente v ínculo para ver un video en el que se deduce la  fórmula de interés real o buscarlo en youtube como: interés real Andrés Álvarez. http://www.youtube.com/watch?v=t_ZTpERD7xQ 

Si se aplica esta fórmula al ejemplo en mecnión se tiene que:

• 47 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

En este caso, obsérvese que tanto el interés efectivo como la inflación son tasas anuales, con lo que el resultado es igualmente una tasa anual.

• 48 •

3. EL MERCADO DE LAS DIVISAS 3.1 Definición El mercado de divisas no es otra cosa que la interconexión existente entre los mercados monetarios de diferentes países. En realidad no existe un lugar físico en el cual se intercambien las diferentes monedas del mundo. El mercado de intercambio de monedas es en realidad una red virtual que mantiene conectados a inversionistas, personas naturales o jurídicas, alrededor del mundo, donde las divisas son comercializadas. La principal función del mercado de monedas es transferir fondos o poder de compra de un país a otro, y es el mercado base de todos los demás mercados financieros internacionales. El mercado de divisas funciona 24 horas al día de lunes a viernes y es uno de los más perfectos, por cuanto todas las demandas y ofertas son conocidas por todos los participantes.  Algunos términos básicos usados en este mercado son:

Divisa Depósito de moneda extranjera en una institución financiera. Documentos que dan derecho a disponer de esos depósitos (cheques, tarjetas de crédito, etc.) Tasa de cambio Es el precio local de una moneda extranjera.. Devaluación Disminución del valor de la moneda local frente a una moneda extranjera. Revaluación Aumento del valor de la moneda local frente a una moneda extranjera.

3.2 Participantes 1. Las corporaciones que realizan comercio internacional; importadoras, exportadoras e inversionistas. • 49 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

2. Bancos comerciales quienes actúan como intermediarios de las compañías multinacionales o simplemente compran y venden divisas para su propia posición que le permita liquidez para las transacciones comerciales. 3. Bancos centrales, para mantener el valor de la moneda de acuerdo a las políticas económicas fijadas. 4. Especuladores quienes buscan un lucro particular. Todos los participantes pueden ser especuladores.

3.3 Rentabilidad en Moneda Extranjera  Para el cálculo de la rentabilidad de una inversión o del costo en un préstamo en moneda extranjera, simplemente se debe tener en cuenta el efecto de la devaluación o revaluación de la moneda local frente a la moneda con la que se negocia. En virtud que el ánimo de la inversión es obtener un beneficio monetario expresado en obtener de una inversión mayor dinero al invertido inicialmente y que como se deducirá más adelante, la devaluación de la moneda local con respecto a la moneda extranjera brinda rentabilidad al inversionista; en este texto se abordará prinicipalmente el término devaluación. En este sentido, se entenderá como revaluación el aumento de valor de la moneda local frente a una extranjera; pero se denotará como una devaluación negativa de la misma magnitud. Por ejemplo: si la revaluación del peso colombiano (COP) frente al dólar estadounidense (USD) es 5% efectivo anual, esto para efectos del cálculo de la rentabilidad de una inversión en USD se entenderá como una devaluación de -5% efectiva anual. Mediante el siguiente ejemplo se puede ver claramente el cálculo de la rentabilidad en moneda extranjera. Supóngase una inversión en un certificado de depósito a término por USD $100.000 (cien mil dólares americanos), por un período de un año, el cual paga un interés del 6% efectivo anual. De esta inversión se desea calcular la rentabilidad en pesos colombianos. Con estos datos se puede calcular el valor final de la inversión en dólares: • 50 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

VA = 100.000 i% = 6% anual n = 1 año VF = ? VF = 100.000 * (1 + 0,06)1 VF = 106.000 La inversión retornará USD 106.000 al final del año. Para el cálculo de dicha rentabilidad en pesos colombianos se debe conocer el valor del dólar al momento inicial de la inversión y al momento final. Supóngase que al momento de realizar la inversión la tasa de cambio es de $1,850 pesos colombianos por un dólar (COP 1,850/USD 1) y la devaluación proyectada del peso con respecto del dólar es del 14% anual. Con la devaluación se puede calcular el valor futuro del dólar frente al peso colombiano, usando como valor actual la tasa de cambio al momento de la inversión. En este caso se considera la devaluación como una tasa de interés efectiva, así: VA = 1,850 COP/USD i% = 14% anual n = 1 año VF = ? VF = 1,850 * (1 + 0,14)1 VF = 2,109 COP/USD Se tiene que al final del año un dólar americano valdría COP $2,109. Con estos datos se puede calcular el equivalente del valor actual y del valor final en pesos colombianos para así calcular la rentabilidad. VA = USD 100.000,00 * 1,850 COP/USD = COP 185,000,000 VF = USD 106.000 * 2,109 COP/USD = COP 223,554,000 n = 1 año i% = ? • 51 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Dado que el período en el cual se logro la rentabilidad es de un año, la rentabilidad es efectiva anual.

Es decir que el rendimiento de dicha inversión en pesos colombianos es del 20.84% efectivo anual. En otras palabras, la rentabilidad en moneda (RME) extranjera para tal inversión es de 20.84% efectivo anual. Del anterior procedimiento para el cálculo de la rentabilidad en moneda extranjera y mediante reemplazos con la fórmula de interés real se desarrolla la siguiente fórmula: Donde, RME: rentabilidad en moneda extranjera o divisa  I%Div: intéres en divisa  DEV: devaluación de la moneda local con respecto a la extranjera  Si se usa esta fórmula con los datos expuestos, se tiene que:

Nótese que tanto i%Div como DEV son tasas anuales, e igualmente el resultado es una tasa anual. En general, para usar la f   órmula RME, tanto i%Div como DEV  deben expresarse como tasas efectivas del mismo período; es decir, como tasas sin período de comparación, vencidas y del mismo período. Es resultado es igualmente una tasa sin período de comparación, vencida y del mismo  período. Ejemplo: si se toma i%Div mensual y DEV mensual, el resultado • 52 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

será una tasa RME mensual. Si, i%Div y DEV son tasas bimestrales, el resultado será una RME bimestral y así sucesivamente. En el caso que i%Div y DEV estén expresadas de formas diferentes, habrá que hacer uso de la conversión de tasas de interés.

3.3.1 Tipo de transacciones  Arbitraje en monedas Se refiere a la compra de una moneda en aquellos lugares donde su precio es bajo y se vende donde el precio es alto. En estas transacciones son muy utilizados los términos “BID” Y “ASK”. El beneficio de estas operaciones es que son virtualmente libres de riesgo.

BID: (Oferta) Posición compradora. Precio que pagará el intermediario financiero por determinada moneda.  ASK: (Pedir) Posición vendedora. Precio que habría que pagarle al intermediario financiero para comprarle determinada moneda. EJEMPLO: La tasa de cambio entre el dólar americano y el euro se refiere al número de dólares necesarios para comprar un euro, o dólar / euro. Si la tasa es de 1.99 dólares en Londres y 2.01 en New York, el experto en arbitraje compraría euros en Londres y los vendería en New  York, realizando una utilidad de 2 centavos de dólar en cada euro. Al ocurrir esto, el precio del euro en términos de dólares aumentará en Londres y disminuirá en New York hasta el momento en que se iguale, por ejemplo en 2 dólares/euro en ambas ciudades. En este momento la posibilidad de realizar utilidades desaparece y el arbitraje termina. Si al transcurrir el tiempo, la tasa de cambio aumenta de 2 USD/Euro a 2.10 USD/Euro, tanto en New York como en Londres, se podría decir que el dólar se ha depreciado con respecto al euro porque se necesitarían más dólares para comprar cada euro. Lo contrario ocurre cuando la tasa de cambio disminuye, el dólar se valoriza. Hedging  Protegerse contra el riesgo en el tipo de cambio.

• 53 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Ejemplo: Supóngase que una empresa colombiana debe 1.000 libras esterlinas a uno de sus proveedores británicos, los cuales debe pagar en tres meses. La tasa de cambio hoy o spot exchange rate  es de 2 dólares por 1 libra, entonces la empresa colombiana debe un equivalente de 2.000 dólares. Si dentro de tres meses, la tasa de cambio aumenta a 2.10 dólares por libra esterlina, la empresa colombiana tendrá que pagar 2.100 dólares; es decir 100 más. Pero si la tasa futura para tres meses es de 2.01 USD/Libra, la empresa colombiana puede comprar un futuro de 1.000 libras esterlinas a 2.01 dólares cada una para recibirlos en tres meses y así evitar riesgo en el tipo de cambio. Después de tres meses, cuando deba pagar la deuda, la empresa colombiana recibe las 1.000 libras que necesita por 2.010 dólares, no importando el tipo de cambio vigente en ese momento. Spot exchange rate : (Divisas al contado) Cuando se compra una moneda extranjera al precio de hoy, se recibe la entrega de la moneda dos días laborales después, en promedio. Esta tasa es determinada por la oferta y la demanda de acuerdo con el flujo de comercio e inversiones, tendencias económicas, eventos políticos, sicología del mercado, actividades de los bancos centrales, especulación, etc. Foward exchange rate : (Tasa de cambio futura) Es la tasa de cambio de una moneda por otra fijada con uno, tres o seis meses de anticipación. Se acuerda hoy con un intermediario financiero una tasa de cambio que se hará efectiva en una fecha futura. El inversionista y el banco están obligados a comprar o vender la cantidad de moneda extranjera a la tasa de cambio acordada en la fecha fijada en el contrato. Las tasas de cambio futuras están determinadas básicamente por la diferencia en las tasas de interés que este pagando cada país.

El siguiente ejemplo muestra como se fija la tasa de cambio futura. Supóngase que una compañía ha comprado maquinaria en Suiza y debe pagar 1.000.000 de euros dentro de seis meses. Se exponen dos opciones: 1. Comprar los euros hoy e invertirlos en un certificado de depósito (CDT) a seis meses. 2. Comprar a un banco una tasa de cambio futura a seis meses.

• 54 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

Supóngase que las tasas del mercado son las siguientes: CDT en pesos colombianos: 6% anual pagadero semestre vencido (3% semestral). CDT en euros: 4% anual pagadero semestre vencido (2% semestral). Tasa de cambio peso colombiano por euro a la fecha 2.700 COP/euro. Pesos

Euros

CDT 2.700.000.000 1.000.000 Interés causado 81.000.000 20.000 Total 2.781.000.000 1.020.000

Opción Con una opción el comprador adquiere el derecho pero no la obligación de comprar (call option) o vender (put option) moneda extranjera en el futuro a una tasa de cambio fijada hoy. No obstante, el vendedor de la opción se obliga a cumplir con lo estipulado en el contrato, bien sea a comprar (call) o a vender (put) Si al vencimiento de la operación, la tasa de cambio en el mercado es superior a la fijada en la opción, el comprador ejerce el derecho de compra; si por el contrario la tasa de cambio en el mercado es menor, no tiene la obligación de comprar la moneda al precio fijado. Obviamente, por este derecho se debe pagar el costo de la operación el cual se fija de acuerdo a la moneda que se esté negociando. Los contartos de opciones pueden de compra o de venta, así: Call option (opción call): cuando se adquiere el derecho pero no la obligación de comprar la moneda extranjera en una fecha futura a una tasa de cambio establecida hoy. Put option (opción put): c uando se adquiere el derecho pero no la obligación de vender la moneda extranjera en una fecha futura a una tasa de cambio establecida hoy. En la práctica se establecen unos montos mínimos a contratar y se debe pagar una prima al momento de la negociación. La prima que se paga •

•

• 55 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

por la opción siempre quedará en poder del intermediario cambiario bien sea que se ejecute o no.

La opción como mecanismo de protección frente al riesgo del tipo de cambio Con mucha frecuencia al importar por ejemplo dese Europa o Asia y ser facturados en dólares, se llega a pensar que no se está expuesto a las fluctuaciones del tipo de cambio entre el dólar y la moneda del proveedor. Cuando un proveedor europeo o asiático factura en dólares, el importador está aceptando la tasa de cambio fijada por el proveedor y con frecuencia dicho tipo de cambio es mayor al vigente en el mercado. El siguiente ejemplo ilustra como un importador latinoamericano podría protegerse contra el riesgo en tipo de cambio a través de una Opción. Supóngase una importación desde Suecia en la que se solicita al proveedor que cotice en dólares americanos y eneuros. El proveedor ofrece la alternativa de pagarle dentro de 6 meses bien $100.000 dólares o $81.000 euros. De lo anterior se aprecia que el proveedor está utilizando un tipo de cambio a seis meses de USD 1.00 = 0.81 Euros. Si se decide pagar en dólares se acepta el tipo de cambio fijado por el proveedor, pero si se decide pagar en euros se tiene la posibilidad de conseguir una mejor tasa de cambio con lo cual el valor de la maquinaria será menor, pero también existe la posibilidad de que sea mayor. Si a los seis meses, momento en el cual se debe pagar al proveedor el tipo de cambio es de USD 1.00 = 0.85 Euros, la maquinaria sólo costaría USD 95.294,18.

Pero si el tipo de cambio es de USD 1.00 = 0.75 Euro, la maquinaria costaría USD 106,875. • 56 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

Como se puede ver existe el riesgo de que la maquinaria le cueste más de los 100.000 dólares incialmente ofertados ante la incertidumbre en el tipo de cambio dólar-euro. Para contrarrestar este tipo de riesgo se puede comprar una Opción en euro (Euro call option) por seis meses a un intermediario cambiario, siempre y cuando el tipo de cambio ofrecido sea mejor que el del proveedor. Supóngase que el intermediario ofrece una tasa de cambio de USD 1.00 = 0.83 euro. Durante el tiempo que dure la opción se tiene el derecho pero no la obligación de comprar USD 100.000 a la tasa acordada de USD 1.00 = 0.83 euro. En este escenario podrían comprarse dos tipos de opciones: estilo americano (american style) o estilo europeo ( eurepean style ). En el primero se tiene el derecho de vender la opción nuevamente al banco o ejercer la opción de compra cualquier día durante el plazo de la opción. En la segunda, solo se puede ejercer o declinar la opción en la fecha de vencimiento. Obviamente, solo tendrá sentido vender la opción al banco si la tasa de cambio permite al menos recuperar el costo.

• 57 •

4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS La inversión en activos reales y/o activos financieros requieren financiación cuando no se dispone del capital requerido. Dicha financiación puede realizarse a través de diversos medios: emisión de bonos, acciones y préstamos. Este apartado se centra en la forma de amortizar los préstamos. Cuando se habla de formas de amortizar un préstamo, se centra la atención en la liquidez , como una de las preocupaciones claves del inversionista. Existen diversas formas de amortizar un préstamo, dependiendo de la liquidez proyectada. No se debe comprometer a pagar un préstamo en cuatro cuotas cuando el flujo de fondos futuro, no lo permite, por ejemplo. A continuación se ilustran la formas más comues de amortización de préstamos:

4.1 Cuotas Iguales de Capital e Intereses. Supóngase un préstamo de $5.000.000 a 12 meses al 3% mensual. VA: 5.000.000 n: 12 meses i%: 3% mes Para este cálculo debe usarse la fórmula:

Reemplazando se obtiene:

Para cancelar el préstamo se deben pagar doce cuotas mensuales de $502.310,43

• 59 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Si se desea conocer la composición de cualquiera de las cuotas, es decir qué parte corresponde a abono de capital y qué a intereses, se propone el siguiente procedimiento. Para calcular los intereses de un período n se debe conocer el saldo del periodo anterior; es decir, n-1. Al conocer el compnente de intereses y la cuota fija a pagar, se puede calcular el abono a capital simplemente restando los intereses de la cuota fija. Supóngase que se desa conocer la composición de la cuota #6. Cuota(6): 502.310,43 (igual a la cuota de cualquier otro período, pues es fija) Saldo(5): Corresponde al valor actual (VA) de las cuotas (A) que faltan por pagar. De un total de doce cuotas, al momento 5 aún faltarían por pagar 7 cuotas. Para el cálculo se utiliza la fórmula del valor actual (VA) a partir de una anualidad (A), así:

Interés(6): Corresponde al 3% del saldo. Así:

 Abono(6): Corresponde a la diferencia entre la cuota fija y el componente de interés. Así:

4.2 Cuota Creciente de Capital e Intereses en una Suma Constante - Gradiente Aritmético  Apropiado si el flujo de caja permite incrementar el pago en una suma constante. Se necesitamos entonces calcular la primera cuota, la cual es la base de los incrementos constantes. • 60 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

Usando los mismos datos del ejemplo anterior, supóngase que se desea pagar el crédito en cuotas crecientes de $5.000. La fórmula matemática que calcula el valor actual de una serie creciente aritméticamente se expone a continuación. ó Matemáticamente se denota:

Donde, VA: Valor actual K: Primera cuota (cuota fija) GA: Gradiente Aritmético (variación constante) i%: Tasa de interés n: Número de períodos De la anterior fórmula se puede despejar K (primera cuota) y se obtiene:

Una vez conocida la primera cuota se puede calcular cualquier cuota así: Para calcular el valor actual del gradiente aritmético (GA) se usa la siguiente fórmula:

• 61 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

Nota: para programar una calculadora financiera se puede entrar la fórmula de la siguiente manera:

K=(VA-(GAx((1÷i%)-(n÷(((1+i%)^n)-1)))x((((1+i%)^n)-1)÷(i%x((1+i%)^n)))))÷(((((1+i%)^n)-1))÷(i%x((1+i%)^n))) El ejercicio puede resolverse así:

4.3 Cuota Creciente de Capital e Intereses en Porcentaje - Gradiente Geométrico. El concepto de gradiente geométrico o porcentual es similar al de gradiente aritmético, solo que en este caso el incremento/decremento no se hace por un valor fijo, sino por un porcentaje fijo; con lo que el incremento absoluto de cada período varía. En este caso la fórmula para el primer pago (K) esta dada por:

Donde,

• 62 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

K: Primera cuota (cuota fija) VA: Valor actual GG: Gradiente geométrico (variación porcentual constante) i%: Tasa de interés n: Número de períodos De la anterior fórmula se puede despejar K (primera cuota) y se obtiene:

Nota: para programar una calculadora financiera se puede entrar la fórmula de la siguiente manera: K = VA x ((i% - GG) ÷ ( 1 - (( 1 + GG) ÷ ( 1 + i% ))^n))

La cuota de un período n se calcula así:

Continuando con el ejemplo del préstamo de $5.000.000 al 3% mensual a 12 meses, de optar pagarlo en cuotas crecientes en un 10%, se tiene que:

Este valor se convierte en K para calcular el saldo en el período 5, donde n sería 7 (12 – 5). • 63 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

4.4 Amortización Mediante el Sistema de Unidad de Valor Real El sistema UVR fue establecido con el propósito de conservar el valor constante de los ahorros y los préstamos mediante la creación de la Unidad de Valor Real (UVR). La UVR reemplazó el sistema UPAC (Unidad de Poder Adquisitivo Constante). Este último tuvo una vigencia desde el 15 de septiembre de 1972 con un valor inicial de $100,00 hasta el 31 de diciembre de 1999 finalizando en $ 16,611.85. La UVR empieza a operar el 1 de Enero del año 2000 con un valor inicial de 103.3396. En el cálculo de la UVR se tiene en cuenta exclusivamente la variación mensual del IPC certificada por el DANE y, de ninguna manera, se involucra otra variable diferente a ésta. Su valor se reajusta con el incremento del IPC del mes anterior para contrarrestar el efecto de la inflación en el poder adquisitivo de la moneda. Para el cálculo de la rentabilidad o el costo bajo el sistema UVR es necesario tener en cuenta sus dos componentes, el interés y la variación del IPC del mes anterior, en este sentido se asimila a los cálculos realizados con moneda extranjera. De ahí que para calcular la rentabilidad efectiva o el costo efectivo se utilizará la misma fórmula, reemplazando la rentabilidad en moneda extranjera (RME) por Costo de Crédito en UVR; interés en divisa (%Div) por interés en UVR (i%UVR) y devaluación (DEV) por inflación (IF). La fórmula para calcular el costo del crédito en UVR queda así: • 64 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

En la amortización de préstamos bajo el sistema UVR se utilizan los mismos métodos que se han mencionado, haciendo luego la conversión a moneda corriente para efectos de estudio de los flujos de caja. Para calcular el valor de la UVR en el futuro se parte de un valor actual y se considera la variación del Índice de Precios al Consumidor (IPC) o inflación (IF) del mes anterior como el interés efectivo. Ejemplo: el valor de la UVR a agosto 15 de 2007 es de 167.8744 la variación del IPC del mes anterior (julio) es 0.17%; es decir, los precios al consumidor durante los 31 días de julio subieron en promedio 0.17%. En otras palabras la inflación de julio de 2007 es de 0.17% Luego para calcular el valor de la UVR el 16 de agosto de 2007 se utiliza el concepto de valor futuro: Como se parte de una variación del IPC efectiva para los 31 días de  julio de 2007 y se desea conocer el valor futuro de la UVR un día más tarde; se debe convertir la inflación a un período de un día apoyándose en la conversión de tasas de interés (pasar de un período mayor a un período menor o calcular un interés nominal a partir de un interés efectivo, ver sección 2.5), así:

Con este procedimiento se puede calcular el valor de la UVR para cualquier día del período de vigencia de la variación del IPC que se conoce (del 16 del mes siguiente hasta el 15 del segundo mes)*. No obstante, en la práctica lo que se hace es consultar la página del Banco de la República (www.banrep.gov.co). * Ver anexo “Unidad de Valor Real (UVR) antecedentes y metodología de cálculo”.

• 65 •

5. EJERCICIOS PRÁCTICOS 5.1 Ejercicios Valor del Dinero en el Tiempo 1. Usted el 1 de enero del año X realizó las siguientes inversiones: a) $500.000,00 en una cuenta de ahorro del Banco “A” el cual le entregó $625.000.00 el 31 de diciembre del mismo año. b) $300.000,00 en un certificado de depósito a término (C.D.T.) en la Corporación Financiera “B” la cual le entregó $390.000,00 el 31 de diciembre del mismo año. c) $500.000,00 en un certificado de depósito de la cooperativa de ahorro y crédito “C” la cual le entregó $642.500.00 el 31 de diciembre del año X. d) $200.000,00 en el fondo Renta Fija de la Fiduciaria “D”. El valor de la cuota parte fue de $200 en el momento de la compra y de $264 en el momento de la venta el 31 de diciembre del mismo año. e) $2.000.000,00 en un título de propiedad del Hotel “E” el cual vendió por $2.900.000,00 el 31 de diciembre del año X. f) $500.000,00 en acciones de la compañía “F” el precio de compra de la acción fue de $2.500,00 las cuales vendió a $2.000,00 el 31 de diciembre del mismo año. ¿Cuál fue la rentabilidad de cada una de las inversiones? ¿Cuál fue la mejor? ¿Cuál fue la rentabilidad de la inversión total? R/. Se debe utilizar la formula de rentabilidad Rentabilidad = Valor Final - Valor Actual Valor Actual Recuerde que el resultado arrojado por esta fórmula es la rentabilidad efectiva para el período en que se tuvo la inversión. En este caso es una rentabilidad efectiva anual. a) Rentabilidad = 625,000 - 500,000 = 0.25 = 25% 500,000 • 67 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

b) Rentabilidad = 390,000 - 300,000 = 0.30 = 30% 300,000 c) Rentabilidad = 642,500 - 500,000 = 0.285 = 28.5% 500,000 d) Rentabilidad = 264,000* - 200,000 = 0.32 = 32%   200,000 *Valor Final = # de unidades x Precio de venta = 1,000 x 264 = 264,000 # de unidades = Valor de la compra = 200,000 = 1,000  Precio por Unidad 200 e) Rentabilidad = 2’900,000 - 2’000,000 = 0.45 = 45% 2’000,000 f) Rentabilidad = 400,000 - 500,000 = -0.20 = -20% 500,000 *Valor Final = # de unidades x Precio de venta = 200 x 2,000 = 400,000 # de acciones = Valor de la compra = 500,000 = 200 Precio por acción 2,500 También podríamos averiguar la rentabilidad por acción así: Rentabilidad = 2,000 - 2,500 = -0.20 = -20%, podemos notar que las respuestas 2,500 coinciden La mejor inversión fue la e). La rentabilidad de la inversión total fue: Rentabilidad Total = å Valor Final de Inversiones - å Valor Inicial de Inversiones å Valor Inicial de Inversiones Rentabilidad Total = 5’221,500 - 4’000,000 = 0.3454 = 30.54% 4’000,000

• 68 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

2. Si deseo comprar un computador dentro de un año, y éste me costara $2’400.000,00, a que tasa de interés simple mensual deberé colocar hoy una suma de $1’500.000,00 V.F. = V.A. + (V.A. x i% x n) Fórmula de interés simple. Si se despeja, i% = V.F - V.A. = 2’400,000 - 1’500,000 = 0.05 = 5% V.A. x n 1’500,000 x 12 3. Del ejercicio anterior, cuándo podré comprar el computador si invierto la misma cantidad de dinero a una tasa del 3,5% mensual. a) Simple. b) Compuesto. c) ¿Qué opción le conviene escoger y por qué? R/ a) 17,14 meses b) 13,66 meses 4. Una persona solicita un préstamo de $X el día 1º de marzo de este año y planea efectuar pagos mensuales de $128.600,00 desde el 1º de octubre de este año hasta el 1º de agosto del año entrante. Si le cobran un interés de 29,40% anuales, capitalizables al final de cada mes. Hallar el valor de $X. Lo primero que se debe hacer es graficar el enunciado

Luego procedemos a convertir la tasa de interés: 29.40% Anual mes vencido / 12 meses por año = 2.45% mes El planteamiento es el siguiente: primero hallamos el valor actual de la anualidad a octubre 1, luego averiguamos un valor actual a marzo 1 con el dato obtenido para octubre 1. • 69 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

V.A.Oct 1 = 128,600 (V.A./A, 2.45%,10) + 128,600 = 1’257,028.9421 V.A.Mar 1= 1’257,028.9421 (V.A./V.F.,2.45%,7) =1’061,112.7622 5. Averiguar el valor de X para la siguiente serie de ingresos y egresos:

Recordemos que el flujo es equivalente, es decir los ingresos son iguales a los egresos.  X/3 + X (V.A./V.F.,2.31%,6) + 2X (V.A./V.F.,5.62%,3)(V.A./V.F.,2.31%,11) =  X/15 + 150,000(V.A./A, 2.31%,7)(V.A./V.F.,2.31%,3) + 280,000 (V.A./A,5.62%,6) (V.A./V.F.,5.62%,3)(V.A./V.F.,2.31%,11) + X/5(V.A./V.F.,5.62%,9)(V.A./V.F.,2.31%,11) Como hay tantos datos es conveniente almacenar los resultados parciales en la memoria de la calculadora o apuntarlos.  X/3 + 0.8719X + 2X(0.8487)(0.7779) = X/15 + 150,000(6.3956) (0.9338) + 280,000(4.9766) (0.8487)(0.7779) + X/5(0.6113)(0.7779)  X/3 + 0.8719X + 1.3204X = X/15 + 895,809.3916 + 919,924.1531 + 0.0951X  X/3 + 0.8719X + 1.3204X - X/15 - 0.0951X = 895,809.3916 + 919,924.1531  X(0.3333 + 0.8719 + 1.3204 - 0.0667 - 0.0951) = 1’815,733.5447 2.3639X = 1’815, 733.5447  X = 1’815, 733.5447 / 2.3639  X =768,119.2109 6. Si usted solicita un préstamo de $897,630, a una tasa del 42% anual, cuántos pesos deberá pagar al cabo de los 3 años si: a) El interés es simple? • 70 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

b) El interés es compuesto? c) Cuál de las dos opciones escogería y por qué? R/ a) $ 2’028.643,80 b) $ 2’570.173,21 7. El señor Múnera quiere que su hijo de 5 años tenga un capital para estudios universitarios de $15’000.000,00. Se espera que el niño comience la universidad a los 17 años. Si el señor Múnera dispone hoy 31 de julio de 1995 de un capital de US$10.000,00, cuántos dólares deberá cambiar para consignarlos en una cuenta que le ofrece un 18,59% semestral, a) Si el interés es simple? b) Si el interés es compuesto? c) Explique la diferencia. R/ a) US$ 3.059,67 b) US$ 279,15 8. La señora Gilma Trujillo desea comprarle hoy un apartamento a su hijo, el cuál tiene un costo de $43’800.000,00. Ella en el pasado ha hecho las siguientes transacciones: a) Consignó hace 8 años la suma de $5’000.000,00 en una cuenta de ahorros que le ofreció las siguientes tasas: * Para los tres primeros años una tasa del 2,16% mensual * Para los años restantes un 4,17% trimestral b) Le prestó $15’000.000,00 hace 3 años a un amigo, al 4,32% bimestral, con intereses simples pagaderos al final de los 3 años. c) Hace 2 años se ganó un chance por valor $5’000.000,00, los cuales guardo, junto con documentos importantes y joyas de la familia, en una cajilla de seguridad del Banco Ganadero, banco éste que ofrecía a sus ahorradores un 32% anual. Podrá la señora Gilma Trujillo comprar el apartamento, Si o No?. Con cuanto dispone?

• 71 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

R/ Si. Dispone de $ 56’094.655,56 9. Si usted el 10 de agosto de 2011, tiene la posibilidad de invertir $20’000.000,00, para poder disponer de ellos el 10 de febrero de 2013, y tiene las siguientes alternativas: a) Dejar la plata en el Banco, el cual le ofrece un interés compuesto del 8,56% trimestral, b) Prestarla a un amigo que le ofrece un interés del 5% mensual, sin reinversión de intereses, c) Aportarla a un negocio que le dará $25’600.000,00, d) Invertirla en un Fondo que le ofrece una rentabilidad del 21,46% semestral, Cuál de ellas escogería y por qué? R/ La segunda. 10.Del ejercicio anterior, cuál sería el valor que le tendría que pagar su amigo, si los intereses se capitalizan? R/ $ 48’132.384,67 11. Cuánto debo pagar hoy en lugar de pagar $200.000,00 al final de cada mes durante cuatro años, si el interés es del 27.52% anual mes vencido? R/ $ 5’784.018,22 12. Se recibe hoy un préstamo de $15’000.000,00 por un periodo de 18 meses, para pagarlo en cuotas mensuales. Los pagos mensuales uniformes por adelantado se hacen de acuerdo a la siguiente tabla:   Meses Interés 1-5 2.30% 6-10 3.25%   11-18 3.56% Calcular un pago uniforme para este préstamo. R/ $ 1’043.718,70

• 72 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

13.El señor Rodríguez pide un préstamo al Banco Unión por valor de $150’000.000,00 para pagarlos dentro de 5 años, de la siguiente manera: Cuotas mensuales, iguales y vencidas, durante los primeros 15 meses, al DTF+2,45% A.M.V. Cuotas trimestrales, iguales y vencidas, durante los meses 16 a 48, al DTF+4,83% A.T.V. Cuotas bimestrales, iguales y vencidas, del mes 49 al 60, al DTF+3,55% A.B.V. Además, debe cancelar cuatro cuotas extras iguales al doble del valor de las cuotas normales, pagaderas en los meses 6, 18, 27 y 52. Hallar el valor de las cuotas normales y de las cuotas extras. NOTA: Todas las cuotas normales son de igual valor. Utilice el DTF efectivo anual del 31 de julio de 1995, y asúmala como nominal anual. R/ NORMAL: $ 6’637.468,95 EXTRAS : $13’274.937,90 14.Si usted ahorra $20.000 mensuales a un interés del 2.65% mensual. ¿Cuánto tendrá al final de tres años? R/ $ 1’180.396,57 15.Si obtiene un préstamo por $1’000.000, cuánto debe pagar periódicamente durante tres años a un interés del 9% trimestral. R/ $ 139.650,66 16.Si deposito $150.000 el 8 de agosto y $120.000 el 18 de agosto, en una entidad que me reconoce el 0.2% de interés diario, que cantidad equivalente puedo depositar el 1 de agosto del mismo año, en lugar de hacer los dos depósitos? R/ $ 263.909,22 17.Si se hacen 9 depósitos de $36.800,00 empezando en el cuarto mes, en una cuenta de ahorros que paga el 16,27% de interés mensual, cuánto dinero habrá dentro de dos años? • 73 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

R/ $ 3’980.825,03 18.Hoy he solicitado un préstamo al señor Pedro Pérez por $100.000, debiéndolo cancelar en 10 cuotas anuales anticipadas de $25.000. Inmediatamente después de pagar la cuota número siete, he decidido cancelar la totalidad del préstamo, entonces cuánto debo? R/ $ 45.248,70 19. En una entidad que le reconoce el 2,97% mensual de interés usted ahorra $130.000 durante doce meses, y al finalizar el mes 8 usted hace una consignación extra de $250.000, cuánto tendrá al finalizar el mes 15, si al principio del mes 10 la tasa de interés subió al 3,56% mensual? R/ $ 2’393.421,52 20.Se acepta hoy un préstamo de $1’000.000,00 pagaderos en ocho cuotas iguales mensuales y vencidas, con un interés del 3.25% mensual. Si después de pagar la cuota 5 me ofrecen cancelar inmediatamente la deuda con un pago único de $395.700,00, me convendría aceptar el trato o no? Cuánto tendría que pagar si no acepto? R/ Si me convendría. $ 405.264,90 21.El señor García se enfrenta a tres posibilidades para realizar el pago de un inmueble: a) Pagar hoy 2 de enero de 1996, $10’000.000,00 y dentro de tres años $50’000.000,00. b) Pagar durante 3 años una renta de $20’000.000,00 efectuando el primer pago el día 31 de diciembre del presente año. c) Realizar un pago único de $60’000.000,00 en el año tercero, teniendo en cuenta que los intereses se capitalizan trimestralmente. Qué alternativa debe elegir el señor García si le cobran el 38.06% efectivo anual, para que al final de los 3 años el inmueble le cueste menos? Cuánto le costaría el inmueble con dicha opción? R/ La c). $ 60’000.000,00

• 74 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

22.Cuánto dinero tendría que invertir hoy en vez invertir $2.000,00 cada mes hasta el mes 25 y $5.000,00 del mes 26 al 65 inclusive si me reconocen los intereses así: Meses Interés 1-3 38% anual mes vencido 4-65 44% anual mes vencido R/ $ 75.737,96 23.Pido a una entidad financiera $50’000.000 para pagarlos en 36 meses, cuotas vencidas a una tasa de interés del 32,46% anual, capitalizables al final de cada mes. a. Calcule el valor de la cuota. b. Si pretendo realizar un pago extra en el mes 30 de $500.000, cuál será el valor de la nueva cuota, para los 3 años? c. De dar una cuota extra de $500.000 en el mes 30 ¿cuál será el valor de las cuotas restantes R/ a) $2’190.506,59 b) $2’180.671,08 c) $2’099.108.27 24.Si los pagos son anticipados, cuánto debe pagar bimestralmente durante cinco años para cancelar una deuda de $90’000.000,00 a un interés del 6,17% bimestral. R/ $ 6´270,864.94 25.Un matrimonio que desea cambiar de vivienda decide examinar las diferentes alternativas de pago que le ofrece una inmobiliaria: a) Pago al contado: 60 millones con un descuento de 5% por pronto pago. b) Una renta anual constante de 8 millones pagaderos al principio de cada año durante 8 años. c) Un pago de 20 millones al comienzo del primer año y otro de igual valor al final del cuarto año; otro pago de 20 millones a • 75 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

mediados del 5º año y otro de 10 millones al final del primer trimestre del octavo año. d) Un pago de 40 millones al comienzo del 2º año, más una renta anual pagadero al final de cada año de 10 millones durante 3 años, y cuyo primer pago se realizara al iniciar el 4º año. Evaluar las distintas alternativas de pago y escoger la mejor, teniendo en cuenta que la tasa de interés es del 32,078% anual. R/ La mejor opción es la b) $ 29’382.329,83 26.Usted abre una cuenta de ahorros bajo las siguientes condiciones: Depósito inicial: $200.000. Al final del mes dos y hasta el 6 inclusive se depositan $300.000 al 41,6040% mensual. Cuánto puede retirar desde el mes 7 hasta el 12 si en el mes doce le debe quedar un saldo final de $500.000? R/ $270.897,17 27.Para acumular un millón de pesos al final de dos años usted deposita $25.000 hoy 1º de enero y cada fin de mes, en una entidad que reconoce el 2% mensual. Después del depósito del mes quince usted calcula que no alcanzará la meta prevista y decide aumentar la cuota de ahorro. a. Cuanto acumulará al final de dos años si no modifica la cuota? b. Cuanto tiene acumulado al final de los quince meses? c. Cuánto deberá ahorrar a partir de final del mes 16 para lograr la meta inicial? R/ a) $ 800.757,49 b) $ 465.982,13 c) $ 45.425,43 28.Recibí hoy $634,12 por una inversión de $500 hecha un año atrás. Si los re invierto a la misma tasa de interés mensual y a igual plazo, cuál será la suma de dinero que puedo recibir al final de cada mes? Cuanto recibiré al principio de cada mes? R/ a) $ 59,96 b) $ 58,79 • 76 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

5.2 Ejercicios de Conversión de Tasas de Interés 1. ¿Cuál de las siguientes opciones debe tomar para el acceso a un crédito? a. Banco A tasa de interés 22.28% E.A. b. Banco B tasa de interés 5.25% T.M.V. c. Acudir a un ¨amigo¨. Tasa de interés 2.0% M.V. R/. La a. 2. ¿Qué tasa de interés S.M.A. equivale al 18% A.T.V.? R/. 8.74% S.M.A. 3. Para invertir usted cuenta con las siguientes opciones. ¿Cuál de ellas debe escoger? a. Un CDT que le reconoce un interés de 3% A.T.V. b. Un negocio que le renta 1.5% mensual c. Prestarla a un interés del 3.0% bimestral R/. La b. 4 Usted tiene la posibilidad de invertir en una alternativa que le brinda una rentabilidad de 40% E.A. pero no dispone de los recursos para llevarla a cabo. Para acceder al dinero necesario usted debe reconocer un costo financiero de 16.59% S.M.A. ¿Se justifica aceptar los recursos a ese precio para aprovechar la oportunidad de inversión? R/. No. El costo es igual a la rentabilidad de la inversión 5 ¿Cuál de las siguientes tasas equivale a un 36% A.M.A.? a. 18.75% S.T.V. b. 2.3% B.V. c. 44.13% E.A. d. 36% S.T.A. R/. La c. 44.13% E.A. 6 ¿Cuál será el valor de la cuota fija para cancelar un crédito de $4´000,000 a un interés del 21% E.A. en 12 cuotas mensuales? • 77 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

R/. $369.035 7 ¿De las siguientes tasas cual es más conveniente para invertir? ¿Cuál para pagar un crédito? a. 32% A.T.A. (39.59% E.A.) b. 24.75% S.Q.A. (64.9% E.A.) c. 1.0% Q.V. (26.97% E.A.) d. 15% T.B.A. (88.17% E.A.) R/. Para invertir la d (88.17% E.A.). Para pagar un crédito la c (26.97% E.A.) 8 Para una tasa del 1% mensual calcule las siguientes equivalencias a. A.B.A. (11.82%) b. E.A. (12.68%) c. B.Q.A. (1.99%) d. Semestral (6.15%) 9 ¿Cuál es la equivalencia vencida anual de las siguientes tasas? a. 2.5% B.M.V. (16.08%) b. 38.23% A.T.V. (44.07%) c. 15% S.B.A. (36.04%) d. 0.5% Q.D.V. (12.75%) 10 ¿Cuál de las siguientes tasas equivale a un 3% Bimestral? a. 5.90% Semestral capitalizable cada 9 días por anticipado b. 12.55% E.A. c. 17.67% Anual quincena anticipada  d. 0.3449% Semanal día vencido R/. La c y la d. 11 Usted actualmente se encuentra pagando un crédito a una tasa del 22% E.A. Si una entidad financiera le ofrece refinanciar la deuda a

• 78 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

una tasa del 5.0969% trimestral con un único costo de $20,000 por concepto de traslado de cuenta, ¿aceptaría? R/. No acepto. Las tasas son equivalentes y además debo pagar $20,000. 12 Considerando sólo la rentabilidad, ¿se justifica tomar dinero prestado a una tasa del 9% S.M.V. para invertirlo a una tasa equivalente a 3.0% B.Q.A.? R/. Sí, pero no es recomendable. 13 Se toma un crédito por valor de $1´000,000 para pagarlo en 24 cuotas fijas mensuales a una tasa de interés de 24% A.S.V. Para el año 2 la tasa de interés cambia a 5.4% T.M.A. Si se desea cancelar el crédito inmediatamente después de pagar la cuota 9, ¿cuánto se debe cancelar? R/. $676,914.10 14 Se toma un crédito por valor de $20´000,000 para pagarlo en un plazo de 4 años en cuotas trimestrales a una tasa de 24% e.a. Al momento de pagar la cuota #10 se hace un pago extraordinario de $X y se refinancia la deuda a una tasa de 5.75%T.A.; con lo que se queda pagando $400,000 de cuota mensual por el remanente del plazo original. Calcule el valor de $X. Desde el punto de vista de costo de capital ¿fue conveniente la refinanciación? R/. $3´558,643.87. No es conveniente la refinanciación, pues la tasa de interés es más alta.

5.3 Ejercicios de Interés Real o Interés Deflactado 1. Una inversión que se liquida a los tres meses retorna un interés del 18% E.A. Si la tasa de inflación es 0.5% mensual, cuál es el interés real del período de inversión? R/. 2.67% T.V. 2. Según los siguientes datos de una inversión cual será el i% Real T.V.? VA = $3´500,000 n = 9 meses VF = $4´250, 000 IPC0 = 189.7214 IPC1 = 195.1560 (subíndice anual) • 79 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

R/. 5.94% T.V. 3. Cuál de los siguientes escenarios sería más benéfico para invertir: a. I% Real 6.5% S.V. b. IF = 1.5% E.A. I% Corriente = 12% A.T.V. c. IPC0 = 192.7350 IPC12= 198.1254 (subíndice mensual) I% Corriente = 14% A.V. R/. a. = 13.42% E.A.b. = 10.89% E.A. c. = 10.89% E.A. 4. Una inversión que en términos reales retorna 12.75% A.T.A., que rendimiento corriente bimestral brinda ante una inflación de 5.75% E.A.? R/. 3.1396% B.V. 5. A cuánto debe ascender la inflación mensual para obtener un interés real semestral de 8.3% si el interés corriente es 18.9% E.A. R/. 0.1138% Mensual 6. Cuál será el valor que retorna de una inversión de $8´000,000 sostenida durante 2 trimestres, si el interés real es 7.8% E.A. y la inflación es 2.35% semestral? R/. $8´501,335.4245 7. Qué valor se invirtió para obtener $12´000,000 al cabo de 120 días si el interés real es 5% T.V. y el IPC era 192.3789 al momento de invertir y 196.2214 seis meses más tarde? R/. $11´096,928.2935 8. Cuál es el interés real E.A. de una inversión de $9´000,000 que retorna $8´700,000 pasados 3 meses, si la inflación para los últimos 9 meses es 2.3%? R/. 15.2892% E.A. 9. Cuántos pesos de utilidad brinda una inversión de $10´000,000 durante un año, cuyo desempeño real es 12.75% E.A. si el IPC al momento de invertir era 192.8952 y un año más tarde es 197.8264 R/. $1´563,240. • 80 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

10.Cuál fue el valor del IPC de un año atrás si el interés corriente de una inversión mantenida durante este lapso es 24% semestral, el interés real es 37.56% E.A. y el IPC de hoy es 199.8842? R/. 178.8246 11.Cuánto dinero se recibe hoy de una inversión de $3´000,000 hecha 3 bimestres atrás si el interés real que ésta arroja es 8% T.A. y la inflación fue del orden de 5% E.A. R/. $3´631,953.3174 12.Cuánto dinero se debe invertir en una alternativa que renta 9.75% de interés real cada bimestre para obtener $12´500,000 al cabo de 3 trimestres si el IPC al momento de la inversión es 199.2278 y seis meses más tarde es 201.7524? R/. $8´070,240.4989 13.Calcule el IPC de un año atrás a partir de los siguientes datos: I% Corriente: 22% Anual I% Real: 7% S.V. IPC actual: 197.8952 R/. 185.7133

5.4 Ejercicios de Rentabilidad en Moneda Extranjera  La dinámica del cálculo de la rentabilidad de inversión en moneda extranjera es así: se parte de un valor actual en pesos colombianos -VA($Col)-, el cual multiplicado por la tasa de cambio del día de la inversión -T.C.0, ó T.C.inicial- es igual al valor actual en divisa -VA(Divisa)-. A partir de este valor, el interés que genera la inversión en divisa –i%Divisa- y el plazo de inversión –N (expresado en los mismos períodos de i%Divisa), se calcula el valor futuro en divisa –VF(Divisa). El cual multiplicado por la tasa de cambio del momento en que se liquida la inversión en divisa –T.C.final, da como resultado el valor futuro en pesos colombianos -VF($Col)-. Conociendo VA($Col) y VF($Col) se calcula la Rentabilidad de una inversión en Moneda Extranjera –R.M.E.-, así:

• 81 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

No obstante la R.M.E. también se puede calcular con la fórmula:

*Para usar esta fórmula se deben usar tasas sin períodos de comparación, vencidas y expresadas en el mismo período de capitalización. El resultado será la R.M.E. de ese período de capitalización. Sí no se conocen i% Divisa y/o Devaluación, se pueden calcular así:

Nota: R.M.E. es la tasa de interés que modifica los valores invertidos en pesos; es decir que ésta es la tasa de interés con la que se calcula el VA($Col) y el VF($Col). i% Divisa: es la tasa de interés que modifica los valores invertidos en divisa; es decir que ésta es la tasa de interés con la que se calcula el VA(Divisa) y el VF(Divisa). Devaluación: es la tasa de interés que modifica el precio de la divisa o tasa de cambio; es decir que ésta es la tasa de interés con la que se calculan T.C.inicial y T.C.final, ó VA(T.C.) y VF(T.C.). 1. Cuál es la rentabilidad en pesos de una inversión en euros equivalente a $18´000,000 que se liquida a los siete meses si el interés en euros es 5.2% E.A. y la devaluación del peso frente al euro es 1.2% mensual? R/. R.M.E.=1.6283% M.V.; 21.3897% E.A.; 11.9711% en 7 meses. 2. Según los siguientes datos de una inversión cual será rentabilidad semestral en pesos? VA = U$50,000 n = 8 meses VF = $98´250, 000 TCal invertir = 1,789 $/U$ R/. R.M.E.=7.2911% S.V. • 82 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

3. Calcular la devaluación anual a partir de un i% divisa de 3.75% S.V. y una rentabilidad en moneda extranjera de 2.25% mensual R/. DEV= 21.3343% E.A. 4. Calcular i% Divisa trimestre anticipado a partir de: R.M.E. = 22.75% E.A. T.C.0* = 1,770 $/Divisa  T.C.5* = 1,810 $/Divisa *(subíndice mensual) R/. i% DIV= 3.8561% T.V. ; i% DIV= 3.7130% T.A. 5. A cuánto debe ascender la devaluación mensual para obtener una R.M.E. semestral de 8.3% si el interés en divisa es 18.9% E.A. R/. DEV= -0.1136% M.V. es decir; Revaluación = 0.1136% M.V. 6. Cuánto dinero se debe invertir para obtener $20´000,000 al cabo de 4 bimestres si la rentabilidad en pesos de una inversión en dólares es 25.89% E.A. y la devaluación del peso frente al dólar es de 1.75% trimestral? R/. V.F. = $17´154,148.8138 7. Cuál será el valor en euros que retorna de una inversión de $8´000,000 sostenida durante 2 trimestres, si el interés en divisa es 7.8% E.A., la tasa de cambio al momento de invertir es de 2,890 $/ euro y la devaluación es 2.35% semestral? R/. V.F. = $2,874.0977 euros 8. Calcular el valor del dólar canadiense a noviembre 22 de este año con los siguientes datos: VA($Col) = $7´500,000 VA($Can) = 4,687.50 VF($Col) = $10´520,000 Fecha inversión: Abril 16 Fecha liquidación: Sept. 17 VF($Can) = 6,318.32 R/. T.C. nov 22 = 1,693.6587 $Col/CAN 9. Qué valor se invirtió para obtener $12´000,000 al cabo de 120 días si i%Divisa es 5% T.V. y la divisa valía 192.3789 al momento de invertir y 196.2214 seis meses más tarde? R/. V.A = 11´096,931.16 • 83 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

10.Si Devaluación = 10% E.A., i%Divisa = 3% Semestral, N = 2 bimestres, VF = 8,000 euros y T.C.inicial = 2,750 $/euro. Cuánto es VA($Col)? R/. V.A. = $21´312,044.7354 11.Cuál es el i%Divisa E.A. de una inversión de $2´650,000 que retorna hoy 3´700,000 pasados 3 meses, si la devaluación para los últimos 9 meses es 2.3%? R/. i% DIV = 268.6457% E.A. 12.Cuál fue la tasa de cambio al momento de invertir si los datos arro jados por una inversión en moneda extranjera son: ü T.C.final =2,000 $/USD R.M.E. = 21% Año Vencido VA(USD) = 1,000 ü VF(USD) = 1,180 R/. T.C. inicial = 1950.4132 $Col/Div  13.Cuántos pesos de utilidad brinda una inversión de $10´000,000 durante un año, cuyo desempeño en divisa es 12.75% E.A. si la tasa de cambio al momento de invertir era 1,928.95 $/Div y un año más tarde es 1,978.26 $/Div  R/. Utilidad = $1´563,224.2930 14.Cuál fue el valor de la tasa de cambio del dólar americano hace un año, si la rentabilidad en pesos de una inversión en dólares mantenida durante este lapso es 24% semestral, el interés en dólares es 37.56% E.A. y la tasa de cambio de hoy es 1,998.84 $/USD? R/. T.C. inicial = 1,788.2442 $Col/USD 15.Cuántos pesos se reciben hoy de una inversión en yenes por valor equivalente a 3´000,000 de pesos colombianos, hecha 3 bimestres atrás, si el interés en divisa que ésta arroja es 8% T.A. y la devaluación del peso con respecto al yen fue del orden de 5% E.A.? R/. V.F. = $3´631,953.2488 16.Cuánto pesos colombianos se deben dedicar a una inversión en pesos mexicanos que renta 0.75% de interés cada bimestre para obtener 12´500,000 pesos colombianos al cabo de 3 trimestres si la tasa • 84 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

de cambio al momento de la inversión es 199.23 $Col/$Mex y seis meses más tarde es 201.75 $Col/$Mex? R/. V.A. = $11´860, 938.3724 17.Calcule la tasa de cambio del dólar americano de un año atrás a partir de los siguientes datos: R.M.E.: -4.5% Anual I%Divisa: 2.25% S.V. Tasa de Cambio actual: 1789.52 $/USD R/. T.C. año atrás = V.A.(T.C.)= 1,959.1145 $/USD

• 85 •

6. BIBLIOGRAFÍA  Banco de la República. 2002. Reportes del Emisor. #41,p p. 1—6. Disponible en http://www.banrep.gov.co/sites/default/files/publicaciones/archivos/re_41.pdf  Blanc, L., Tarquin, A. 2006. Ingeniería Económica. McGraw Hill Interamericana. López, J. 1996. Manual de Administración de Inversiones. Universidad EAFIT.

• 87 •

 ANEXOS

• 89 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

• 90 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

• 91 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

• 92 •

FUNDAMENTOS GENERALES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 

• 93 •

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ESUMER 

• 94 •