Fundamentos de Matematica Financiera 2 Ed (Amaia Apraiz Larragan)

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 2ª edición revisada Amaia Apraiz Larragán Profesora del Departamento de Gestión Universidad Comercial de Deusto

BIBLIOTECA DE GESTIÓN DESCLÉE DE BROUWER

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A Edurne, mi madre

© Amaia Apraiz Larragán, 2003 © EDITORIAL DESCLÉE DE BROUWER, S.A., 2003 Henao, 6 - 48009 Bilbao www.edesclee.com [email protected]

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BIBLIOTECA DE GESTIÓN DDB Dirigida por Fernando Gómez-Bezares, de la Universidad de Deusto CONTABILIDAD FINANCIERA I: Introducción a la contabilidad, por Josep Mª. Rosanas Martí y Eduard Ballarín Fredes. CONTABILIDAD DE COSTES PARA LA TOMA DE DECISIONES, por Josep Mª. Rosanas Martí. SISTEMAS DE PLANIFICACIÓN Y CONTROL, por Eduardo Ballarín Fredes, Josep Mª. Rosanas Martí y Mª. Jesús Grandes. LAS DECISIONES FINANCIERAS EN LA PRÁCTICA. Inversión y Financiación en la empresa, por Fernando Gómez-Bezares. EL CAMBIO EN LAS ORGANIZACIONES EMPRESARIALES, por Gordon L. Lippitt, Petter Langseth y Jack Hossop. GUÍA PRÁCTICA DE LA FRANQUICIA, por Martin Mendelsohn. DIRECCIÓN FINANCIERA. Teoría y aplicaciones, por Fernando Gómez-Bezares. GESTIÓN A MEDIDA DE LA EMPRESA, por Kepa Uriarte. CASOS PRÁCTICOS DE INVERSIÓN Y FINANCIACIÓN, por Fernando Gómez-Bezares, Juan Jordano y Javier Santibáñez. GESTIÓN DE CARTERAS. Eficiencia, Teoría de cartera, CAPM, APT, por Fernando GómezBezares. VALORACIÓN DE ACCIONES EN LA BOLSA ESPAÑOLA. Un análisis de la relación entre la rentabilidad y el riesgo, por Fernando Gómez-Bezares, José Antonio Madariaga y Javier Santibáñez. SISTEMAS DE INFORMACIÓN Y VENTAJA COMPETITIVA. Cómo gestionar con éxito los Sistemas de Información de la empresa, por José Antonio Ortega. ESTADÍSTICA APLICADA A LA GESTIÓN Y A LAS CIENCIAS SOCIALES. Estadística descriptiva y probabilidad, por José Luis Narvaiza, Jon Paul Laka, José Antonio Madariaga y José Vicente Ugarte. INVERSIÓN Y FINANCIACIÓN: CASOS RESUELTOS, por Javier Santibáñez. ESTADÍSTICA APLICADA A LA GESTIÓN Y A LAS CIENCIAS SOCIALES. Inferencia estadística, por José Luis Narvaiza, Jon Paul Laka, José Antonio Madariaga y José Vicente Ugarte. EJERCICIOS DE TEORÍA Y POLÍTICA FINANCIERA, por Javier Santibáñez y Fernando Gómez-Bezares. GESTIÓN INTEGRADA DE PERSONAS. Una perspectiva de organización, por Alfonso C. Morales, J. Antonio Ariza y Emilio Morales. ESTADÍSTICA APLICADA A LA GESTIÓN Y A LAS CIENCIAS SOCIALES. Análisis de la Varianza y Regresión, por José Luis Narvaiza, Jon Paul Laka, José Antonio Madariaga y José Vicente Ugarte. OPCIONES Y FUTUROS, por Jaime Loring. INTRODUCCIÓN A LA PSICOLOGÍA DEL TRABAJO, por José Luis Trechera. COMERCIO ELECTRÓNICO: EMPRESARIO TECNOLÓGICO. Aspectos estratégicos, empresariales y tecnológicos de los negocios electrónicos, por Borja Salazar Ruiz. LA ESTRATEGIA EMPRESARIAL CON MÉTODO, por Antonio Freije Uriarte e Inmaculada Freije Obregón. INTRODUCCIÓN A LA ESTRUCTURA ECONÓMICA. Fundamentos e instrumentos del análisis estructural, por Marta Alvarez Alday. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA, por Amaia Apraiz Larragán. NUEVOS CASOS PRÁCTICOS DE INVERSIÓN Y FINANCIACIÓN, por Javier Santibáñez y Fernando Gómez-Bezares TEMAS ACTUALES DE ECONOMÍA Y EMPRESA. Cuestiones de interés social en el siglo XXI. Un enfoque económico y de empresa, por Pilar Flores y César Nebot (Coor.).

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ÍNDICE ÍNDICE ........................................................................................................... V PRESENTACIÓN...........................................................................................7 1

INTRODUCCIÓN ..................................................................................9 1.1 1.2 1.3

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Conceptos Básicos ....................................................................9 Equivalencia Financiera..........................................................10 El Valor del Dinero en el Tiempo...........................................10

TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS.............................13 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Introducción ............................................................................13 Ley financiera de capitalización simple..................................13 Ley financiera de capitalización compuesta ...........................16 Representación Gráfica...........................................................18 Leyes Financieras de Descuento .............................................20 La Letra de Cambio ................................................................23 2.6.1 Aceptación de la Letra de Cambio ................................24 2.6.2 Endoso de la Letra de Cambio.......................................24 2.6.3 Protesto de la Letra de Cambio......................................24 2.6.4 Requisitos de la Letra de Cambio..................................25 2.6.5 El juicio cambiario ........................................................25 2.6.6 Descuento de la Letra de Cambio..................................26 2.7 Diferentes acepciones en relación a los intereses ...................29 2.8 Conjugación y escindibilidad..................................................34 2.9 Ejercicios ................................................................................37 3

RENTAS ................................................................................................51 3.1 3.2 3.3

Definición ...............................................................................51 Clasificación ...........................................................................52 Valoración de Rentas Inmediatas............................................54 3.3.1 Renta Anual Constante Pospagable y Temporal ...........54 3.3.2 Renta Anual Constante Pospagable y Perpetua .............58 3.3.3 Renta Anual Constante Prepagable y Temporal............60 3.3.4 Renta Anual Constante Prepagable y Perpetua .............62 3.4 Valoración de Rentas Diferidas ..............................................63 3.4.1 Rentas Diferidas Temporales ........................................64 3.4.2 Rentas Diferidas Perpetuas............................................66

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VI

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 3.5

Valoración de Rentas Anticipadas ..........................................67 3.5.1 Rentas Anticipadas Temporales ....................................67 3.6 Valoración de Rentas Anuales Variables................................69 3.6.1 Rentas Anuales Variables en Progresión Aritmética.....69 3.6.2 Rentas Anuales Variables en Progresión Geométrica ...72 3.7 Valoración de Rentas Fraccionadas ........................................74 3.7.1 Rentas Fraccionadas Constantes....................................74 3.7.2 Rentas Fraccionadas Variables......................................76 3.8 Ejercicios ................................................................................77

4

OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN.........................................111 4.1 4.2 4.3

Introducción ..........................................................................111 Amortización mediante reembolso único .............................112 Amortización mediante renta ................................................113 4.3.1 Sistema de amortización francés .................................116 4.3.2 Sistema de amortización uniforme ..............................121 4.3.3 Sistema de amortización alemán .................................123 4.4 Usufructo, nuda y plena propiedad .......................................129 4.5 Ejercicios ..............................................................................131 5

AMORTIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS .........................................163 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Definición y Conceptos Básicos ...........................................163 Empréstito normal o puro .....................................................165 La Deuda Pública en España.................................................171 5.3.1 Las Letras del Tesoro ..................................................172 5.3.2 Los Bonos y las Obligaciones .....................................175 Cálculo de la rentabilidad de los Valores..............................175 5.4.1 Letras del tesoro ..........................................................175 5.4.2 Bonos y Obligaciones..................................................176 Características de un título....................................................178 Valor de un título en el mercado...........................................179 Riesgo asociado a un título ...................................................181 Ejercicios ..............................................................................187

ANEXO I .....................................................................................................193 ANEXO II....................................................................................................199 ANEXO III ..................................................................................................209 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................215

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PRESENTACIÓN Resulta inevitable comenzar diciendo que este libro es el resultado de doce años de experiencia docente en La Comercial de Deusto. Muchas veces he leído introducciones similares en otras páginas de presentación y he de confesar que otras tantas veces he pensado: “qué necesidad habrá de escribir nuevos libros sobre una materia sobre la que ya se ha escrito todo”. Es cierto que no es ésta una disciplina que se preste a interpretaciones ni sea susceptible de desatar fuertes controversias. Su fundamento teórico es fácilmente asumible y se trata, sencillamente, de que el dinero tiene un valor en el tiempo, y su desarrollo matemático no exige grandes dosis de abstracción. La realidad, sin embargo, es tozuda en demostrar que son muchos los estudiantes que encuentran dificultad en asimilar los conceptos más elementales relativos, por ejemplo, a las diferentes acepciones sobre los tipos de interés y a partir de ahí la matemática financiera se convierte en una especie de caja negra llena, en este caso, de fórmulas incomprensibles. Cuando eso ocurre todos los esfuerzos se orientan a conseguir saber qué fórmula debe aplicarse en cada caso, olvidándose de algo que me enseñaron en mis tiempos de estudiante y que considero fundamental: los resultados de esas fórmulas nunca pueden ir en contra del sentido común. El presente libro pretende simplificar el acceso de los no iniciados al tema de la matemática financiera con el fin de que comprendan que la fórmula es lo de menos, que siempre hay un libro donde se puede consultar. Lo importante, en mi opinión, es que al final, si se ha comprendido bien la materia, es posible acercarse bastante a la solución correcta de un problema aplicando únicamente el sentido común y realizando sencillos cálculos aritméticos con los operadores elementales. Sin menoscabo de todo ello, se ha de decir también que en esta materia la precisión es fundamental. Todas las operaciones que se estudian en las siguientes páginas tienen su reflejo en los mercados financieros y es imprescindible dominar la técnica para obtener de ella toda su utilidad y comprender el funcionamiento de los mismos y las ventajas e inconvenientes de los distintos productos que en ellos se ofrecen. Pero creo que es preciso insistir en que la exigencia de precisión no debe nublar el sentido común. El verdadero dominio de este tema se manifiesta cuando quien se enfrenta a un problema tiene ya una idea aproximada sobre

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cual va a ser la solución. Esta es la destreza que se trata de desarrollar con este libro. Se intenta que el lector se adelante a la solución y que ésta sirva para confirmar su buena lógica o bien ponga de manifiesto algún error en su razonamiento. En cuanto al contenido, el libro consta de 5 capítulos en los que se abordan los temas fundamentales de esta disciplina. El capítulo primero es una introducción al concepto de equivalencia financiera y valor del dinero en el tiempo, continuando el segundo con el tema de los tipos de interés y las leyes financieras. El tercer capítulo se dedica a las rentas en sus diferentes formas, el cuarto a los principales sistemas de amortización de préstamos y el quinto a los empréstitos y la deuda pública en España. Se ofrece también una seleccionada bibliografía a la que acudir en busca de mayores profundidades sobre los temas aquí tratados o sobre otros que no se abordan en estas páginas. Para terminar de presentar el libro, añadir que en la actualidad no parece lógico adentrarse en el mundo de la matemática financiera sin ayuda de una hoja de cálculo. Con el fin de que el empleo de esta herramienta se convierta en algo natural, se ofrecen soluciones a los ejercicios basadas en ella y se incluye también en el Anexo II el código de una macro para la hoja de cálculo excel que elabora cuadros de amortización por el sistema francés y calcula el TAE. Y para terminar la presentación, unas palabras de agradecimiento a quienes han hecho posible que este proyecto llegue a su término. En primer lugar a mi amigo y compañero Javier Santibáñez que me animó a convertir mis apuntes en un libro y se ocupó de que el formato final fuese el correcto. También a Fernando Gómez-Bezares, director del Departamento de Finanzas de la facultad, por lo que me ha enseñado, por su paciente lectura de la primera versión y sus acertadas sugerencias. Por último a Leire Arana, compañera de fatigas en otro ámbito de mi actividad universitaria, por facilitarme el trabajo y ayudarme a sacar tiempo para escribir estas páginas. Gracias.

Amaia Apraiz Universidad de Deusto Bilbao, verano de 2003

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1 INTRODUCCIÓN

1.1 Conceptos Básicos A lo largo de los siguientes capítulos vamos a estudiar diferentes tipos de operaciones financieras consistentes todas ellas en calcular equivalencias entre capitales financieros o simplemente capitales. Un capital es una cantidad de dinero que vence (es decir, cuyo pago se hace exigible) en un momento determinado. Siguiendo a Meneu, Jordá y Barreira (1994), en toda operación financiera aparecen los siguientes conceptos: • Capitales que intervienen en la operación: Se denominan Prestación y Contraprestación. La operación se inicia con la prestación que está constituida por el capital o capitales que se entregan en primer lugar. Aunque los términos prestación y contraprestación pueden hacer pensar que estamos hablando de préstamos, en realidad se pueden aplicar también a otro tipo de operaciones como las de ahorro. En una operación de este tipo, el ahorrador realiza entregas periódicas de dinero, con lo que estaríamos ante una prestación formada por varios capitales, con el fin de constituir un ahorro, representado por una única cantidad, que sería la contraprestación. Un caso diferente sería el de la persona que entrega una única cantidad a una entidad financiera a cambio de una renta vitalicia. En este caso la prestación la constituye un único capital y la contraprestación un número indeterminado de ellos. En cualquier caso, prestación y contraprestación han de ser cantidades financieramente equivalentes. • Partes que intervienen en la operación: Se suele hablar de Prestamista y Prestatario. El prestamista, por analogía con lo expuesto en el punto anterior, sería el que inicia la operación entregando el primer capital y asumiendo por tanto el papel de acreedor. El prestatario sería el que recibe el primer capital e inicia la operación en posición deudora. Aunque en el apartado anterior hemos dicho que la aplicación de los conceptos de prestación y contraprestación se puede extender a diferentes tipos de

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operaciones, lo cierto es que en la práctica sólo se habla de prestamista y prestatario en operaciones de préstamos. • Vida de la Operación: Es el tiempo que transcurre entre el momento en que vence, es decir el momento en que es exigible el pago, del primer capital y el momento en que vence el último. • Criterio Financiero de Valoración: El criterio financiero de valoración es una ley financiera que permite calcular las equivalencias entre los capitales que intervienen en la operación. En definitiva, una ley financiera no es otra cosa que la fórmula que permite calcular qué cantidad (o cantidades) con un vencimiento dado, es (o son) equivalente (o equivalentes) a otra (u otras) cantidad (o cantidades) con vencimiento anterior o posterior. Al decir cantidades, nos estamos refiriendo a Capitales Financieros, o simplemente capitales.

1.2 Equivalencia Financiera El concepto de equivalencia financiera es la base sobre la que se establece el intercambio entre los capitales que intervienen en la operación y en definitiva es la materialización del acuerdo a que llegan las partes. Es decir, estas partes están de acuerdo en que el préstamo de 10.000 € recibido hoy es financieramente equivalente a la entrega de 10.500 € dentro de un año, según una determinada Ley Financiera aplicada a un determinado tipo de interés. La Ley Financiera, que no es otra cosa que la fórmula a aplicar, no cambia con el tiempo, sin embargo dado que los tipos de interés varían según el estado de la economía, una misma prestación puede dar lugar a diferentes contraprestaciones, según el momento y el lugar. En definitiva, siempre se puede afirmar que: En toda operación financiera, ha de verificarse la equivalencia entre los capitales que constituyen la prestación y los capitales de la contraprestación, en base a una Ley Financiera.

1.3 El Valor del Dinero en el Tiempo El hecho de que el dinero tiene un valor en el tiempo parece fuera de toda duda. Tal y como explica Gómez-Bezares (1999) incluso en un hipotético mundo en que no existieran bancos y el único destino del dinero fuera guardarlo o gastarlo (o invertirlo en algún negocio, para los más

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CONCEPTOS BÁSICOS

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emprendedores) cualquier persona preferiría disponer de su dinero antes que después. Es evidente que, aún en ausencia de intereses, disponer de 1.000 euros hoy ofrece mayores posibilidades que disponer de esos mismos 1.000 euros dentro de un año. De hecho esta última alternativa no es más que una de las muchas posibilidades que ofrece tener el dinero hoy. Bastaría con guardarlo en un cajón y esperar un año. Pero si se cambia de opinión o se presenta una oportunidad imprevista, siempre se le puede dar un destino más interesante, posibilidad inalcanzable en el caso de optar por disponer del dinero dentro de un año. Hoy en día el dinero es una mercancía cuyo precio, como el de cualquier otra, dependerá de la oferta y de la demanda. Cuando el dinero es muy demandado quiere decir que estamos en una situación de escasez y como consecuencia su precio, el tipo de interés, será alto y se empleará solo en proyectos muy rentables, en caso contrario, si la oferta es alta quiere decir que hay abundancia de dinero en el mercado y su precio bajará pudiendo emplearse en proyectos menos interesantes. Hay ocasiones sin embargo, tal y como apunta también GómezBezares (1999) de estancamiento de la economía y al mismo tiempo de altos tipos de interés. En estos casos, cuya explicación escapa del alcance de estas páginas, aparece un nuevo factor que afecta al nivel general de precios, incluido el precio del dinero, y que no es otro que la inflación. Cuando esto ocurre se habla de tipo de interés nominal, el que efectivamente se paga, y real, que es el nominal menos la inflación. Puede ocurrir que el tipo nominal sea elevado pero, al restarle la inflación nos encontremos con tipos cercanos a cero. Esto significaría que el interés únicamente ha servido al inversor para cubrirse de las pérdidas de valor adquisitivo ocasionadas por la inflación.

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2 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS

2.1 Introducción Existen diferentes acepciones en relación a los tipos de interés que determinan la Ley Financiera a utilizar. Es el caso de los conceptos de interés simple e interés compuesto que, dependiendo del tipo de operación de que se trate, implican el empleo de las Leyes Financieras Simples y Compuestas. Comenzaremos estudiando la diferencia entre ambos tipos de interés y continuaremos con la explicación de otras acepciones como la diferencia entre tipo de interés efectivo y nominal y el concepto de TAE o Tasa Anual Equivalente.

2.2 Ley financiera de capitalización simple La diferencia entre tipo de interés simple y compuesto no es conceptual, sino que depende de que los rendimientos obtenidos por el capital se reinviertan o no a la misma tasa. Será más fácil comprenderlo con un ejemplo. Supongamos que disponemos de 1.000 € que colocamos en una cuenta al 3% anual. Al final del primer año dispondremos de: 1.000·1,03=1.030 cantidad que incluye el capital invertido más los intereses que se han producido en el año. En este momento, el inversor puede decidir si retira dichos intereses o si, por el contrario, opta por dejarlos en la misma cuenta de manera que durante el segundo año no sólo los primeros 1.000 sino también los 30 € produzcan nuevos intereses.

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Esta decisión corresponde en exclusiva al inversor quien, en el momento de concertar la operación con su banco indicará dónde quiere que se le abonen los intereses, si en esa misma cuenta o en su cuenta corriente, la cual probablemente le proporcione muy baja o ninguna rentabilidad. En ocasiones, el propio tipo de operación implica una determinada opción. Es el caso de los planes de pensiones, EPSV y otras operaciones de ahorro de similares características en las que el inversor se compromete a realizar entregas de cantidades periódicas y/o entregas esporádicas extraordinarias y no puede disponer del dinero hasta que haya transcurrido un determinado plazo de tiempo. Pues bien, si el inversor decide que va a retirar los intereses a medida que se vayan produciendo, de manera que durante el período que dure la operación siempre reciba la misma cantidad por este concepto, estaremos ante el caso de tipo de interés simple: sólo el capital inicial produce intereses durante toda la vida de la operación. Siguiendo con el ejemplo, nuestro inversor retirará los 30 € y dejará los 1.000 € en la cuenta, con lo que al final del 2º año volverá a encontrarse con el mismo saldo: 1.000·1,03=1.030 € de nuevo, retirará los 30 € y dejará los 1.000 € en la cuenta, repitiéndose el proceso, supongamos, durante 5 años. Al final de este plazo, ¿cuál ha sido la cantidad total que ha obtenido el inversor en la operación? Por un lado recuperará el capital invertido y por otro lado se han producido unos intereses de 30 € cada año que representan un total de 30·5=150 € representando toda la operación la suma de ambas cantidades, es decir 1.150 €. En general, si llamamos C al capital invertido, I a la cuantía de intereses, i al tipo de interés y n al tiempo, los intereses en una operación de estas características se obtienen aplicando la fórmula:

I = C ⋅i ⋅ n

(2.1)

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TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS

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En el caso de nuestro ejemplo: C =1.000 i =3% (0,03 en tanto por uno) n =1, 2, …, 5 para n =1:

C·i·n =

1.000·0,03·1=

30

para n =2:

C·i·n =

1.000·0,03·2=

60

para n =5:

C·i·n =

1.000·0,03·5=

150

La cantidad total conseguida será la suma del principal (cantidad invertida) y los intereses calculados según la fórmula anterior. Este es el concepto de interés simple. Debe quedar claro en todo caso, que transcurridos los cinco años el inversor ha podido disponer de los intereses anualmente y es posible que no los tenga ya en su poder por haberlos gastado o bien todo lo contrario, ha podido guardarlos y acumularlos en otra cuenta. El esquema sería el siguiente: 0

C

1

C+Ci= =C(1+i)

2

3

C+Ci+Ci= =C(1+2i)

C+Ci+Ci+Ci= =C(1+3i)

n-1

n

C+Ci+..+Ci= =C(1+ni)

A dicha cantidad se le suele llamar Capital Final, Valor Final, Montante Final o simplemente Capital en el momento n, y la fórmula para calcularlo sería:

Cn = C0 ⋅ (1 + n ⋅ i )

(2.2)

La expresión anterior nos da el capital final o capital en el momento n en que se convierte la cantidad inicial aplicando un tipo de Interés Simple Anual de i. Ambas cantidades serán financieramente equivalentes en base a la Ley Financiera de Capitalización Simple al tipo i. Aplicando la fórmula (2.2) a nuestro ejemplo: C5 =1.000·(1+5·0,03)=1.150

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2.3 Ley financiera de capitalización compuesta Sin embargo, puede ocurrir que al final del primer año, el inversor decida no recoger los intereses. Puede que lo hubiera decidido ya en el momento de concertar la operación indicando en su banco que le ingresaran éstos en la misma cuenta. En ese caso, al final del 2º año el saldo de su cuenta sería: 1.030·1,03=1.060,9 lo que representa un total de 60,9 € obtenidos en concepto de intereses durante los dos años en que ha estado viva la operación, más los 1.000 € de capital invertidos inicialmente. Observe que en el caso del interés simple la cantidad obtenida en concepto de intereses al final del 2º año era de 60 €. La diferencia se explica fácilmente porque los primeros 30 € de intereses han generado nuevos intereses durante el 2º año. Es decir: 30·0,03=0,9 Si se repite el proceso durante el tercer año, al final el resultado será: 1.060,9·1,03=1.092,727 Observe también cómo en el caso del interés simple, el saldo de la cuenta era siempre el mismo, ya que únicamente el capital inicial generaba intereses anualmente, siendo éstos retirados en el momento de percibirse. En este caso se han obtenido 92,727 € en concepto de intereses que se suman a los 1.000 € de capital invertido. Durante todo este proceso el inversor no ha podido disfrutar anualmente sus intereses que aparecerán siempre sumados en el saldo final de su cuenta. Al final del 5º año, el saldo de su cuenta será: 1.000·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03=1.159,27 € Empleando el mismo procedimiento que seguimos para el caso del interés simple, podemos obtener la fórmula de Valor Final de un capital inicial C invertido de esta manera durante n años a un tipo de interés compuesto anual i del 3%, de la siguiente manera: C =1.000 i =3% (0,03 en tanto por uno) n =1, 2, …, 5

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TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS

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para n =1:

1.000+1.000·0,03=1.000·(1+0,03)=1.030

para n =2:

1.030·(1,03)=1.000·(1,03)·(1,03) = 1.000·(1,03)2

para n =5:

10.000·(1,03)·(1,03)· … ·(1,03)=10.000·(1,03)

Año 1 2 3 4 5

5

·(1+i)= Cant. Inicial (C0) 1.000 1,03 1.030 1,03 1.060,90 1,03 1.092,72 1,03 1.125,51 1,03 Tabla-2.1-

Cant. Final (Cn) 1.030,00 1.060,90 1.092,72 1.125,51 1.159,27

En general, un capital C invertido en las citadas condiciones a un tipo de interés compuesto anual igual a i durante un período de n años, producirá al final: 0

1

C

C+Ci= =C(1+i)

n-1

3

2

C(1+i)(1+i)= =C(1+i)2

C(1+i)2(1+i)= =C(1+i)3

n

C(1+i)n-1(1+i)= =C(1+i)n

con lo que llegamos a la siguiente fórmula de Valor, Capital o Montante Final:

Cn = C0 ⋅ (1 + i )

n

(2.3)

Las cantidades Cn y C0 son financieramente equivalentes según la Ley financiera de capitalización compuesta al tipo de interés compuesto i. Según (2.3): C5=1.000·(1+0,03)5=1.159,27

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También pueden utilizarse las tablas financieras que aparecen en el Anexo I, aunque hoy en día se han visto relegadas en su uso debido al empleo generalizado de ordenadores y calculadoras. Las tablas proporcionan valores finales de 1 unidad monetaria a distintos tipos de interés y para diferente número de años. En nuestro ejemplo, el valor final de 1 € al 3% en 5 años que da la tabla es 1,1593 que, multiplicado por las 1.000 iniciales producen el mismo resultado, salvo diferencias debidas a redondeos, ya que en las tablas del anexo sólo se han incluido cuatro decimales. Los cálculos mediante calculadora u ordenador dan siempre resultados más precisos.

2.4 Representación Gráfica La Representación Gráfica de la evolución de los capitales según las leyes financieras simple y compuesta a lo largo del tiempo, toma respectivamente las formas de función lineal y exponencial como se aprecia en la figura –2.1-.

C

C(1+i)n C(1+ni)

1

n

Figura-2.1Como se puede observar, para períodos inferiores al año, la evolución del capital según La Ley Financiera de Capitalización Simple, al tratarse de una función lineal, discurre por encima de la correspondiente al interés compuesto, que se trata de una función exponencial. Para n=1 coinciden y a partir de ahí los valores alcanzados utilizando la Ley Financiera de Capitalización Compuesta superan los obtenidos mediante la Ley Financiera de Capitalización Simple.

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TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS

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A continuación en la tabla –2.2-, se puede observar la evolución de las cantidades finales con una y otra Ley Financiera, tanto para períodos inferiores como superiores al año. Veamos la evolución de los valores para C0=1.000 e i=3%:

Periodo 1 mes 2 meses 3 meses 4 meses 6 meses 8 meses 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años

n 0,08333 0,16667 0,25 0,3333 0,5 0,66667 1 2 3 4 5

Interés Interés Cn (I. Simp.) Cn (I. Comp.) Cn=C0·(1+ni) Cn=C0·(1+i)n Simple Comp. 1.002,47 2,50 2,47 1.002,50 1.004,94 5,00 4,94 1.005,00 1.007,42 7,50 7,42 1.007,50 1.009,90 10,00 9,90 1.010,00 1.014,89 15,00 14,89 1.015,00 1.019,90 20,00 19,90 1.020,00 30,00 30,00 1.030,00 1.030,00 1.060,00 60,00 60,90 1.060,90 1.090,00 90,00 92,73 1.092,73 1.120,00 120,00 125,51 1.125,51 1.150,00 150,00 159,27 1.159,27 Tabla-2.2-

Como conclusión a lo estudiado hasta este momento, podemos decir que es el inversor quien decide si se queda con el interés simple o lo convierte en compuesto. En el primer caso retirará los importes correspondientes y no los reinvertirá, bien porque los gasta o porque los guarda, y en el segundo caso los mantendrá a la misma tasa. La decisión dependerá, fundamentalmente, de sus necesidades y compromisos de pago. Las Leyes Financieras de Capitalización Simple y Compuesta permiten calcular cual es el capital, expresado en unidades monetarias de un momento futuro, financieramente equivalente a otro capital cuyo vencimiento es anterior en el tiempo. A esa cantidad expresada en unidades monetarias de un momento futuro se le denomina Valor Final, Capital Final o Montante Final. Con la realización de este cálculo podemos responder a preguntas del tipo: ¿cuánto tendrá que devolver dentro de dos años una persona por un préstamo de 1.000 € si el tipo de interés en el mercado para este tipo de operaciones es del 6%? O bien ¿cuál será la cantidad disponible dentro de tres años si deposito en el banco 1.000 € en una cuenta al 5%?

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2.5 Leyes Financieras de Descuento Una vez estudiadas las nociones relativas a los tipos de interés y las Leyes Financieras de Capitalización, vamos a estudiar las Leyes Financieras de Descuento. Una ley financiera de descuento permite realizar la operación contraria a la de capitalización. Es decir, permite convertir un capital que tiene su vencimiento en un momento futuro, en otro capital equivalente expresado en unidades monetarias de un momento anterior. Esta nueva cantidad recibe el nombre de Valor Actual o Valor Descontado y con su cálculo se responde a preguntas del tipo: ¿cuánto debería pagar hoy para cancelar de forma adelantada un préstamo que vencía dentro de dos años, si hoy en día los intereses en el mercado son del 6%?, o bien ¿cuánto podría recibir hoy por una letra que vence dentro de un año si el tipo de descuento que aplica el banco es del 7%? El Valor Actual de una cantidad es, como sabemos, otra cantidad financieramente equivalente a la primera pero expresada en unidades monetarias de un momento anterior. El cálculo de ese valor financieramente equivalente se puede realizar en base a una ley financiera simple o compuesta. Si calcular el Valor Final se denomina Capitalizar, calcular el Valor Actual, se denomina Actualizar o Descontar. Partiendo de la fórmula (2.3), si despejamos C0 tenemos que:

C0 =

Cn

(1 + i )

(2.4)

n

Esta fórmula se denomina Ley Financiera de Descuento Compuesto. Observe en la siguiente tabla el resultado de calcular el Valor Actual de una cantidad (1.159 €) a diferentes tipos:

Tipo 1% 2% 3% 4% 5% 6%

C5 1.159,274074 1.159,274074 1.159,274074 1.159,274074 1.159,274074 1.159,274074 Tabla-2.3-

C0=

c5

(1 + i )

5

1.103,009504 1.049,990246 1.000 952,8387858 908,3215713 866,2770266

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Si actualizamos al momento actual, o momento 0 los 1.159,27 € que obtendremos al cabo de 5 años considerando el mismo tipo de interés, es decir, el 3%, llegaremos, como era de esperar, al resultado de 1.000 €, del que habíamos partido. Es decir, supuesto este rendimiento, serían indiferentes las cantidades de 1.000 € hoy o 1.159,27 € dentro de 5 años, aplicando el 3% de interés compuesto. La tabla –2.3- evidencia que cuanto mayor sea el tipo de interés, menor será el valor actual equivalente al mismo valor final. La utilidad de los valores actuales consiste en que, supuesto que existe un coste del dinero, podemos comparar valores de diferentes años actualizando todos al momento cero. Se observa cómo a medida que aumenta el tipo (valor del dinero) la cantidad equivalente en unidades monetarias del momento cero disminuye. Esto significa que si hubiésemos contraído una deuda a pagar dentro de cinco años por importe de 1.159,27 € y quisiéramos cancelarla anticipadamente hoy, nos interesaría negociar con nuestro acreedor un tipo de interés lo más alto posible, ya que eso nos permitiría finalizar la operación pagando hoy una menor cantidad. Esto sería posible siempre que el acreedor pudiera obtener ese tipo en el mercado. Utilizando las tablas financieras del Anexo I llegaríamos al mismo resultado, salvo redondeos de la tabla. Por ejemplo para el 3%, tomando el valor que da la tabla para 1 € a 5 años y multiplicándolo por 1.159,27: 0,86260·1.159,27=999,98 € Estas mismas operaciones se pueden realizar considerando tipos de interés simples, con lo que llegaremos a la definición de las Leyes Financieras de Descuento Simple, empleadas normalmente en operaciones a corto plazo, es decir para plazos inferiores al año, sobre todo, en operaciones de descuento de efectos. Ya conocemos la fórmula (2.2) de Valor Final (Cn) de una cantidad C0 a interés simple i durante n períodos, que define la Ley de Capitalización Simple:

Cn = C0 ⋅ (1 + n ⋅ i ) Pues bien, si utilizamos la misma nomenclatura y escribimos la siguiente expresión:

C0 = Cn ⋅ (1 − n ⋅ d )

(2.5)

tendremos la Ley de Descuento Simple Comercial. Esta ley, así definida, que no se obtiene directamente de la fórmula de capitalización simple, se

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suele emplear en las operaciones de descuento de efectos, es decir, de letras de cambio. Como se observa en la expresión (2.5), el tipo utilizado en estas operaciones se representa por d y se suele denominar tipo de descuento. Por otro lado, si despejamos directamente de la fórmula (2.2) de capitalización simple, la expresión obtenida será:

C0 =

Cn (1 + n ⋅ i )

(2.6)

que denominaremos Ley de Descuento Simple Racional. En este caso el tipo aplicable se denomina tipo de interés y se representa por la i. Esta ley se emplea también en operaciones a corto plazo. Se presenta a continuación la tabla-2.4- en la que se comparan los valores actuales de una misma cantidad, 1.000 €, según las diferentes leyes de descuento aplicadas.

Período 1 mes 2 mese 3 meses 4 meses 6 meses 8 meses 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años

n

m

0,083333 12 0,166667 6 0,25 4 0,333333 3 0,5 2 0,666667 1,5 1 1 2 0,5 3 0,33333 4 0,25 5 0,2

i (d)

Cn

3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 3% 1.000 Tabla-2.4-

C0 (comp.) 997,5397 995,0856 992,6375 990,1954 985,3292 980,4870 970,8737 942,5959 915,1416 888,4870 862,6087

C0 (s.r.) 997,5062 995,0248 992,5558 990,0990 985,2216 980,3921 970,8737 943,3962 917,4311 892,8571 869,5652

C0 (s.c.) 997,5 995 992,5 990 985 980 970 940 910 880 850

Deteniéndonos de nuevo en las dos leyes de descuento simple, simple racional (s.r.) y simple comercial (s.c.) podemos decir que un tanto de descuento d se considera equivalente a un tanto de interés i, cuando aplicado a un capital de cuantía C durante n períodos, el efectivo obtenido es el mismo para ambas leyes. En este sentido algunos autores consideran que la ley de descuento simple comercial tiene carácter abusivo, veamos porqué. Ya hemos dicho que ambas leyes se emplean fundamentalmente en operaciones a corto plazo y, más concretamente, en descuento de efectos o

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letras de cambio. Estudiaremos a continuación qué es y como se emplea una letra de cambio.

2.6 La Letra de Cambio La letra de cambio es un documento mercantil por el que una persona, librador, ordena a otra, librado, el pago de una determinada cantidad de dinero, en una fecha determinada, denominada fecha de vencimiento. La letra se debe expedir en impreso oficial emitido por el Estado, y su timbre estará en proporción al importe la misma. La insuficiencia del timbre de la letra puede conllevar dificultades para emprender acciones contra el deudor en el caso de que ésta sea impagada. Con la compra del impreso estamos abonando el Impuesto de Transmisiones Patrimoniales y Actos Jurídicos Documentados. El librador puede conservar el documento hasta la fecha de vencimiento o bien transmitirlo a un tercero mediante la fórmula del endoso. Llegado el momento, el librado hará efectivo el pago de la letra bien al librador o bien a ese tercero llamado beneficiario, tomador o tenedor, a quien el librador ha transmitido o endosado la letra de cambio. En una operación de este tipo intervienen las siguientes personas: El librador: Es el acreedor y quien emite (libra) la letra de cambio para que el deudor o librado la acepte y se haga cargo del pago del importe de la misma en el momento de su vencimiento. El librado: Es el deudor, quien debe pagar la letra de cambio cuando llegue la fecha indicada o de vencimiento. El librado puede aceptar o no la orden de pago dada por el librador y en caso de que la acepte, quedará obligado a efectuarlo. El tomador, portador, tenedor o beneficiario: Es la persona que tiene en su poder la letra de cambio y a quien se le debe pagar. Como ya se ha dicho, puede tratarse del librador (primer acreedor) o de un tercero a quién le haya sido posteriormente transmitida. También pueden intervenir las siguientes personas: El endosante: Es un tenedor que endosa o transmite la letra a un tercero.

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El endosatario: Es aquel en cuyo favor se endosa la letra convirtiéndose en tomador, beneficiario. El avalista: Es la persona que garantiza el pago de la letra.

2.6.1 Aceptación de la Letra de Cambio Es la declaración del librado o deudor, incluida en la propia letra, por la que asume la obligación de pagar la cantidad establecida a quien la tenga en su poder cuando llegue su vencimiento. Con esta declaración el librado se convierte en aceptante, esto es, en el obligado principal y directo. Sin la aceptación, el librado no estará obligado al pago de la letra de cambio, independientemente de las acciones que pueden ejercitarse en su contra por la negativa a aceptar. En este caso, el beneficiario de la letra de cambio o tenedor podrá dirigirse contra el librador para reclamar su pago. La aceptación se realiza mediante la firma de la letra de cambio por parte del librado y puede realizarse por la totalidad o parte de la cantidad consignada en la letra. La aceptación no puede estar sujeta a ninguna condición.

2.6.2 Endoso de la Letra de Cambio Es la declaración contenida en la letra por la que el librador transmite a otra persona o endosatario, los derechos de cobro derivados de la letra de cambio. El endosatario por tanto se convierte en el tenedor, tomador o portador de la misma con los mismos derechos que tenía el librador. La letra podrá transmitirse por endoso tantas veces como sea necesario. En cada transmisión el endosatario, actual tenedor, se convertirá en endosante frente al nuevo endosatario y garantizará la aceptación y el pago de la letra de cambio frente a los que la vayan adquiriendo con posterioridad. Su firma será imprescindible para que el endoso sea efectivo. Se pueden realizar endosos al portador, sin indicar el nombre del nuevo endosatario o tomador.

2.6.3 Protesto de la Letra de Cambio Es un acto notarial que sirve para acreditar que se ha producido la falta de aceptación o de pago de la letra de cambio. El protesto notarial puede ser sustituido por una declaración firmada por el librado en la que conste su negativa a aceptar o pagar la letra.

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En el protesto, el Notario levantará acta en la que se reproducirá la letra de cambio comunicando al librado que la letra ha sido protestada. El librado dispondrá de 2 días hábiles para pagar la letra ante el Notario, en cuyo caso le será entregada, o para formular las alegaciones que estime convenientes. Transcurrido el plazo sin que se haya pagado la letra, el Notario devolverá al tenedor la letra y el acta de protesto, con las manifestaciones del librado, en el caso de que las haya realizado, para que ejercite las acciones legales oportunas contra el librado.

2.6.4 Requisitos de la Letra de Cambio - Denominación de “Letra de Cambio” en el mismo texto del documento y expresado en el mismo idioma empleado en la redacción del documento. - Orden de pagar una suma determinada, que no puede estar sujeta a ninguna condición. Si la cantidad reflejada en letra no coincide con la expresada en números, la indicada en letras prevalecerá sobre la indicada en cifras. - Nombre, apellido y dirección del librado. - Fecha de vencimiento. Si no está indicado, se entenderá que la letra de cambio es “a la vista”, esto es, a su presentación. - Lugar donde el pago debe efectuarse. Si no se indica, deberá realizarse en el domicilio del librado. - Nombre y apellidos de la persona a quien debe hacerse el pago o a cuya orden debe realizarse, beneficiario o tomador. - Lugar y fecha en la que se emitió la letra. - La firma del que gira o emite la letra.

2.6.5 El juicio cambiario La actuación contra el deudor de una letra de cambio se inicia presentando demanda ante el Juzgado de Primera Instancia del domicilio del obligado al pago que debe ir firmada por abogado y procurador.

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En ella se harán constar de forma resumida los hechos que motivan la reclamación y, en todo caso, debe acompañarse la letra de cambio cuyo pago se pretende. En la demanda podrá solicitarse que se proceda al embargo preventivo de los bienes del deudor. Sin más trámites, el juez requerirá al deudor para que realice el pago en el plazo de 10 días y, en su caso, podrá ordenar el embargo preventivo de los bienes del deudor en cantidad suficiente para cubrir el importe de la deuda así como la cantidad que se estima que se generará en concepto de intereses de demora, gastos y costas si el deudor no paga. Por su parte, el deudor podrá pagar la cantidad reclamada, en cuyo caso se hará también cargo las costas causadas en el procedimiento o bien oponerse al requerimiento en el plazo de 5 días desde su recepción. En estos casos el deudor sólo podrá argumentar que la firma que aparece en la letra no es auténtica, o bien, en el caso de haber sido firmada por representante legal, la falta de representación de éste. En estos supuestos el juez podrá alzar los embargos preventivos exigiendo, en su caso, aval bancario.

2.6.6 Descuento de la Letra de Cambio La operación de descuento de una letra consiste en adelantar el cobro de una deuda a nuestro favor, formalizada en una letra de cambio. Este adelanto en el cobro se consigue acudiendo a una entidad financiera que nos dará el dinero que resulte de aplicar la correspondiente fórmula de descuento y se quedará con el documento para su cobro en el momento del vencimiento. En realidad la operación de descuento puede considerarse como un préstamo con la garantía de cobro representada por el título, por la letra de cambio. Este préstamo tendrá por otro lado, un coste para el titular. El coste de la operación lo mediremos como diferencia entre lo que cobra hoy y lo que cobraría en el momento del vencimiento, es decir Cn–C0. Aunque en principio no sería correcto restar cantidades correspondientes a distintos momentos, podemos aceptar este cálculo teniendo en cuenta que se trata de cantidades que vencen dentro de un mismo año, ya que como hemos dicho, estas leyes financieras se aplican en operaciones a corto plazo, es decir, con vencimiento inferior a un año. Dicho lo anterior, procederemos a calcular los valores obtenidos para C0 según las dos leyes de descuento estudiadas y definidas por (2.5) y (2.6). Así, según (2.5) tenemos que:

C0 = Cn ⋅ (1 − n ⋅ d )

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Si calculamos la diferencia entre Cn y C0 obtendremos: Cn – C0 = Cn - Cn·(1-n·d) = Cn·n·d Si aplicamos ahora la fórmula (2.6) de la que, para simplificar las operaciones, despejamos Cn llegaremos al siguiente cálculo de la diferencia entre Cn y C0: Cn – C0 = C0·(1+n·i) -C0 = C0·n·i Resulta evidente cómo en el caso de aplicarse la fórmula de descuento simple comercial (2.5) el coste de la operación, calculado como diferencia entre Cn y C0, viene dado por la expresión Cn·n·d, lo que significa que el tipo, en este caso denominado tipo de descuento (d), se aplica por el plazo correspondiente (n) sobre el importe del capital final (Cn). En el segundo caso, aplicando la fórmula de descuento simple racional (2.6), el coste de la operación resulta ser C0·n·i. Esto quiere decir que aquí el coste se calcula aplicando el denominado tipo de interés (i), por el plazo correspondiente (n) y por el importe del capital inicial (C0). La razón por la que la primera de las leyes, que denominamos ley de descuento simple comercial, y que se expresa mediante la fórmula (2.5), es considerada abusiva resulta ahora evidente: si entendemos que la operación de descuento es, en realidad, una operación de préstamo con garantía, en el caso de aplicar el descuento simple comercial estaríamos pagando intereses por un dinero que nunca hemos recibido, dicho de otra manera es como un préstamo en el que se pagan intereses, no por lo que se nos presta, por lo que recibimos hoy, sino por la cantidad que devolvemos. Conceptualmente por tanto, parece que la fórmula de descuento simple racional es más justa y desde luego, siendo el tipo a aplicar el mismo en ambos casos, siempre pagaríamos más con el descuento simple comercial que con el descuento simple racional, ya que el capital final es siempre superior al capital inicial. Veamos un ejemplo: Supongamos que el poseedor de una letra de cambio de nominal 1.000 € con vencimiento a 90 días decide descontarla hoy pues necesita liquidez. Acude a su banco habitual y éste le ofrece la posibilidad de hacer la operación aplicando un 6% de descuento. Al emplear el término descuento damos a entender que la fórmula a aplicar va a ser la de descuento simple comercial es decir, la (2.5). Por lo tanto la cantidad a percibir hoy en estas condiciones sería:

90   C0 = 1.000 ⋅ 1 − ⋅ 0, 06  = 985 € 360  

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Pero si gozamos de cierta fuerza podemos intentar modificar las condiciones de la operación de manera que resulte un poco más ventajosa para nosotros. Si consiguiéramos mediante negociación que nuestro banquero nos aplicase la formula de descuento simple racional (2.6) entonces hoy obtendríamos:

C0 =

1.000 = 985, 22 € 90   ⋅ 0,06  1 +  360 

¿Y cual será el tipo de interés (i) equivalente a ese 6% de descuento (d)? Veamos: 90 1.000   1.000 ⋅  1 − ⋅ 0,06  =  360  1 + 90 ⋅ i     360  90 90     ⋅ 0,06  ⋅ 1 + ⋅i =1 1 −  360   360  90   ⋅i =1 0,985 ⋅ 1 +  360  90   ⋅ i  = 1,01522 1 +  360  i = 6,091% Es decir, nos resultaría indiferente que se nos aplicase el descuento simple comercial al 6% o el racional al 6,091%. Al tratarse de tipos relativamente bajos y periodos de tiempo relativamente cortos, las diferencias no son muy apreciables. Podemos decir también que desde el punto de vista conceptual resultan más aceptables los supuestos implícitos en la fórmula del descuento simple racional pero ello no implica que sea siempre más interesante ésta última, ya que dependerá del tipo de interés y descuento utilizado en cada una ellas, pudiendo fácilmente calcularse sus equivalencia, como en el ejemplo anterior. Finalmente, lo que las cifras obtenidas en el ejemplo nos están diciendo es que si descontamos una letra de 1.000 € y se nos aplica un 6% de descuento, estamos en realidad pagando un 6,091% de interés sobre la cantidad obtenida hoy. Puede encontrar más información y ejemplos en Deyá (2001) y una buena colección de ejercicios resueltos en Sanz (2003).

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2.7 Diferentes acepciones en relación a los intereses Cuando una persona dispone de determinada cantidad de dinero y decide colocarla en un banco para obtener un interés sin riesgo (descartando, por tanto, la bolsa), necesita conocer como mínimo dos datos para optar por el producto que más le conviene: el tipo de interés anual y la frecuencia de pago de dicho interés anual. Si el tipo de interés es, por ejemplo, el 5% y la frecuencia de pago es anual, significa que una vez al año va a percibir sus intereses (que retirará o no) con lo cual, si su inversión es de 1.000 € obtendrá a fin de año 50 €. En cambio, cuando el tipo de interés anunciado, que casi siempre es un tipo anual, no se paga anualmente sino que se percibe en períodos inferiores al año, surgen nuevos conceptos y hablaremos de Tipo de Interés Nominal Anual, Tipo de Interés Efectivo Anual y Tipo de Interés del Período de Capitalización (que se refiere al período de pago de los intereses: semestral, trimestral,...). Debemos tener siempre presente que estos términos tienen sentido únicamente en caso de pago de intereses fraccionado. El Interés Nominal Anual es el dato que efectivamente interesa al inversor pues indica la cantidad de dinero que obtendrá al año por el dinero invertido. Si dicha cantidad de dinero, en concepto de intereses, se percibe anualmente, el interés nominal anual y el efectivo anual coincidirán. Veámoslo con un ejemplo: Vamos a suponer dos alternativas de inversión: a) Una cuenta con un 4% de interés nominal pagadero anualmente b) Una cuenta con un 3,75% de interés nominal pagadero trimestralmente Si nos fijamos exclusivamente en el tipo, la primera opción aparecería como más interesante, sin embargo la segunda nos permite ir percibiendo los intereses con mayor antelación y ya estábamos de acuerdo en que el dinero tiene un valor en el tiempo. Como conclusión, diremos que los dos tipos no son directamente comparables. La opción a representa una operación de inversión al 4% con intereses pagaderos anualmente. Esto significa que en un año no se puede obtener más de un 4%. Si mi inversión es de 1.000 € a fin de año el saldo de la cuenta será exactamente 1.040 €. Ese dato del 4% es, por lo tanto, Nominal Anual, Efectivo Anual y Efectivo del Período de Capitalización, ya que el año

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coincide con el período de Capitalización o frecuencia de pago de los intereses. La segunda opción, en cambio, anuncia una rentabilidad del 3,75% pagadera trimestralmente. Esta información se debe interpretar del siguiente modo: la cuenta ofrece un 3,75% Nominal, o lo que es lo mismo, paga 3,75 € por cada 100 € al año, pero en lugar de pagarlos de una sola vez los paga repartidos trimestralmente a lo largo del año de forma que cada trimestre el banco pagará por cada 100 €: 0,0375 = 0,009375 4 o lo que es lo mismo un 0,9375% efectivo trimestral. Esto es lo que llamamos el tipo efectivo del período de capitalización. Pero ahora nos preguntamos ¿qué es más ventajoso un 4% anual o un 0,9375% trimestral? El sentido común parece indicarnos que la diferencia no es desde luego muy grande, pero en todo caso ¿a favor de cual de las dos opciones nos inclinaríamos? El hecho de que la opción b nos permita disponer de nuestros intereses con antelación nos ofrece también la posibilidad de sacarles una rentabilidad. La cuestión es ¿qué rendimiento anual, comparable con el 4% de la opción a, se puede obtener con esta segunda opción? Para responder a esta cuestión recurriremos a los conceptos de interés simple y compuesto, aplicados a un horizonte temporal de un año. Suponiendo una inversión de 100 € al 3,75% nominal capitalizable por trimestres, transcurridos los tres primeros meses cobraríamos 0,9375 €. Si ese dinero no lo tocamos, sino que lo dejamos en la misma cuenta, reinvertido por tanto a la misma tasa, transcurridos otros tres meses se generarían nuevos intereses, pero sobre 100,9375 € y, así sucesivamente hasta cumplirse el año. Por lo tanto el Tipo Efectivo Anual lo calcularemos aplicando el concepto de interés compuesto a una operación al 0,9375% de interés trimestral (0,009375 en tanto por uno) que se repite 4 trimestres (es decir, un año completo). Por lo tanto: 100·(1,009375)4 = 103,803064737 lo que significa que podemos obtener como máximo un 3,80306% Efectivo Anual en el caso de escoger la segunda opción que es inferior al 4% de la primera. Escogeríamos por tanto la opción a, salvo que por necesidades financieras nos sea necesario disponer de esa cantidad trimestral para cumplir con nuestros compromisos de pago.

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Si la segunda opción ofreciese el mismo tipo nominal de 3,75%, pero con frecuencia bimestral, ¿cuál sería el efectivo anual equivalente? Procederemos del mismo modo. Un 3,75% nominal con pago bimestral significa que el banco paga 3,75 € por cada 100 € al año pero en lugar de hacerlo en una solo operación lo reparte a lo largo del año entregando cada dos meses: 0,0375 = 0,00625 6 con lo que el 3,75% nominal anual con pago bimestral es lo mismo que un 0,625% efectivo bimestral. El efectivo anual equivalente lo calculamos suponiendo reinversión durante el año. Por lo tanto: (1,00625)6 = 1,03809 ¿Qué nos dice esa cifra? Que 1 € al 0,625% bimestral con reinversión durante el año a la misma tasa, se convierte en 1,03809 €. O lo que es lo mismo, el 3,75% nominal anual con pago bimestral se puede convertir en un 3,809% efectivo anual. Este efectivo sigue siendo inferior al 4% de la primera opción y por tanto el análisis financiero nos recomendaría quedarnos con a. Nuevamente tomaríamos esta opción salvo que existieran restricciones ajenas a este análisis, como compromisos de pago ya adquiridos, que nos obligasen a optar por la b. En general, si llamamos Jm al tipo nominal anual de frecuencia m (siendo m el número de veces que el año contiene el período considerado), im al tipo efectivo del periodo, se cumplirán las siguientes equivalencias:

im =

Jm m

(2.7)

m

 Jm  1 +  = (1 + i ) m 

(1 + im )

o bien:

m

= (1 + i )

donde:

i

Tipo Efectivo Anual equivalente

(2.8)

(2.9)

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Jm

Tipo Nominal Anual de frecuencia m

m

Número de veces que el año contiene al período

im

Tipo Efectivo del período

Una vez establecidas las equivalencias y siguiendo con nuestro ejemplo podríamos llegar a considerar pago de interés instantáneo. Aunque esto no se dará nunca en la práctica tiene cierto interés su cálculo pues el efectivo anual equivalente a un determinado nominal con frecuencia instantánea será el máximo teórico alcanzable. Por tanto, en caso de interés continuo, m tenderá a infinito de tal manera que: m

 J  lim  1 + m  = (1 + i ) = e J m x →∞ m  en nuestro caso:

e0,0375 = (1 + i ) = 1,038211997 Ya vemos que, incluso en el hipotético caso de que se pagasen intereses de forma instantánea el efectivo anual nunca será superior al 3,82%, inferior al 4%. Veamos a continuación la tabla –2.5- en la que se relacionan los tipos efectivo y nominal para diferentes valores de m. Tipo Nominal Frecuencia de (Jm) Pago Mensual 3% Bimestral 3% Trimestral 3% Cuatrimestral 3% Semestral 3% Anual 3%

m

Efectivo Período Efectivo Anual im=Jm/m i=((1+im)m)-1 12 0,25% 3,04160% 6 0,50% 3,03775% 4 0,75% 3,03392% 3 1,00% 3,03010% 2 1,50% 3,02250% 1 3,00% 3,00000% Tabla-2.5-

Resumiendo lo dicho hasta ahora, deben quedar claras las siguientes ideas:

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• Si el período de capitalización no coincide con el año, el tipo nominal anual puede convertirse en un tipo efectivo anual superior, considerando reinversión de intereses durante el año. • Partiendo del Tipo Efectivo del Período de Capitalización (im), el Tipo Nominal Anual será la suma de los m im. En realidad, bajo la denominación de Tipo Nominal (que siempre se expresa como tipo anual) se halla implícito el supuesto de interés simple dentro del año, es decir, no reinversión. • Partiendo del mismo Tipo Efectivo del Período de Capitalización (im), y suponiendo reinversión durante el año a la misma tasa, es decir interés compuesto durante el año, llegaríamos a calcular el Tipo Efectivo Anual. Queda por último referirse a un concepto en relación al tipo de interés, el T.A.E. o Tasa Anual Equivalente, que debe entenderse como el parámetro indicativo del coste o rendimiento de las operaciones financieras calculado según las normas que el Banco de España establece para las entidades de crédito. Tales normas aparecen en la Circular 8/1990, sobre transparencia en las operaciones y protección a la clientela, que reproduce, sin modificación sustancial al respecto, la 15/1987, en donde el concepto se formuló por primera vez. En los últimos años la norma ha sufrido algunas modificaciones. La circular nº3/1999 de 24 de marzo trata de precisar algunos aspectos en el proceso de sustitución de la peseta por el euro, teniendo en cuenta las recomendaciones de la comisión europea de 23 de abril de 1998 sobre comisiones bancarias por la conversión a euros y sobre la doble indicación de precios y otros importes monetarios. La circular nº7/1999 de 29 de junio tiene por objeto ajustar el cuadro de tipos oficiales de referencia para préstamos hipotecarios tras la introducción del euro, creando una nueva referencia interbancaria a un año ligada al comportamiento del índice euribor. La circular nº1/2000 de 28 de enero, ajusta la circular 8/1990 a lo establecido en la Orden Ministerial de 1 de diciembre de 1999 sobre la nueva forma de cálculo del índice de tipo de interés del mercado interbancario a un año (MIBOR) con efectos 1 de enero de 2000. Por último, la circular nº3/2001 de 24 de septiembre pretende adaptar algunos aspectos de la norma para que la utilización de internet en la realización de operaciones bancarias no implique merma alguna en los sistemas de protección del consumidor, establecidos en la circular 8/1990. En todo momento es posible consultar la aparición de nuevas modificaciones a la circular 8/1990, acudiendo a la página web del Banco de España, www.bde.es, y una vez en ella entrando en el apartado de normativa donde aparecen las circulares.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Según la Circular 8/1990, norma octava, sobre el coste y rendimiento efectivos de las operaciones, punto 2: “Los tipos de interés, costes o rendimientos se expresarán en tasas porcentuales anuales pagaderas a término vencido equivalentes”. Y en el punto 3: “La tasa porcentual equivalente es aquella que iguala en cualquier fecha el Valor Actual de los efectivos recibidos y entregados a lo largo de la operación, por todos los conceptos, incluido el saldo remanente a su término”. En definitiva, se trata de un tipo efectivo anual, pero que debe incluir en su cálculo aquellas otras características de la operación que afecten a su coste o rendimiento efectivo. Es claro el caso de costes de estudio o comisiones de apertura en los préstamos, sobre los que volveremos cuando estudiemos dichas operaciones. En relación a las operaciones de depósito bancario, la circular, en la misma norma octava punto 5, sobre el rendimiento efectivo de las operaciones pasivas dice: “El cálculo del rendimiento efectivo se referirá a los importe brutos liquidados, sin tener en cuenta, en su caso, las deducciones por impuestos a cargo del perceptor, ni las ventajas fiscales por desgravaciones que puedan beneficiarle. La entidad podrá añadir, si lo considera conveniente, los tipos netos que puedan resultar para el cliente, teniendo en cuenta esas circunstancias fiscales”.

2.8 Conjugación y escindibilidad Una Ley Financiera de Capitalización y una Ley Financiera de Descuento se denominan conjugadas cuando aplicadas sucesivamente al mismo capital y por un mismo período de tiempo, dicho capital permanece invariable. Las Leyes Financieras de Capitalización y Descuento Compuesto son conjugadas, lo mismo que la Ley Financiera de Capitalización Simple y la Ley Financiera de Descuento Simple Racional. No lo son, sin embargo, la Ley Financiera de Capitalización Simple y la Ley Financiera de Descuento Simple Comercial. Esta característica es, por tanto, aplicable a pares de leyes y no a una sola ley. Veámoslo con un ejemplo: Leyes Financieras de Capitalización y Descuento Compuesto:

1.000·(1,05)3÷(1,05)3=1.000 Leyes Financieras de Capitalización Simple y Descuento Simple Racional:

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1.000·(1+3·0,05)÷(1+3·0,05)=1.000 Estos ejemplos resultan obvios, ya que las leyes de descuento se han obtenido despejando directamente de las de capitalización, pero se incluyen para que resulte más evidente, por comparación, el siguiente caso en que no se da la propiedad. Leyes Financieras de Capitalización Simple y Descuento Simple Comercial:

1.000·(1+3·0,05)·(1-3·0,05)=977,5 El resultado, 977,5 evidentemente no coincide con el capital inicial. Las Leyes no son, por lo tanto, conjugadas. Por otro lado se dirá que una Ley, sea de Capitalización o de Descuento, es escindible si produce el mismo resultado al aplicarse en una sola operación que haciéndolo sucesivamente para períodos intermedios entre el inicial y el final. Son escindibles las Leyes Financieras de Capitalización y Descuento Compuesto y no lo son las Leyes Financieras de Capitalización y Descuento Simple, tanto comercial como racional. A continuación se incluyen unos ejemplos: Ley Financiera de Capitalización Compuesta:

Aplicada en una sola operación: 1.000·(1,05)3=1.157,625 Aplicada sucesivamente: 1.000·(1,05)·(1,05)2=1.157,625 1.000·(1,05)·(1,05) )·(1,05)=1.157,625 Ley Financiera de Descuento Compuesto:

Aplicada en una sola operación: 1.000÷(1,05)3= 863,837598531 Aplicada sucesivamente: 1.000÷(1,05)÷(1,05)2=863,837598531

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 1.000÷(1,05)÷(1,05)÷(1,05) =863,837598531 Ley Financiera de Capitalización Simple:

Aplicada en una sola operación: 1.000·(1+3·0,05) =1150 Aplicada sucesivamente: 1.000·(1+0,05)·(1+2·0,05)= 1155 1.000·(1+0,05)·(1+0,05)·(1+0,05)= 1.157,625 Este último coincidiría con el de Capitalización Compuesta Ley Financiera de Descuento Simple Racional

Aplicada en una sola operación: 1.000÷(1+3·0,05) =869,565217391 Aplicada sucesivamente: 1.000÷(1+0,05)÷(1+2·0,05)= 865,800865801 1.000÷(1+0,05)÷(1+0,05) )÷(1+0,05)= 863,837598531 que coincide con el resultado obtenido para el caso de Descuento Compuesto. Ley Financiera de Descuento Simple Comercial

Aplicada en una sola operación: 1.000·(1-3·0,05) = 850 Aplicada sucesivamente: 1.000·(1-0,05)·(1-2·0,05)= 855 1.000·(1-0,05)·(1-0,05)·(1-0,05)= 857,37

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2.9 Ejercicios 1.- Calcular los tipos nominales de frecuencia trimestral y semestral equivalentes al 8% efectivo anual.

Utilizando la fórmula de equivalencia: m

J    1 + m  = (1 + i )  m donde: m=4y2 i = 0,08 tenemos que 4

J4    1 +  = (1,08 ) ; 4 

J 4 = 7, 77%

2

J2    1 +  = (1,08 ) ; 2 

J 2 = 7,85%

2.- Calcular el tipo de interés bimestral equivalente al 7% de interés efectivo anual.

En este caso nos están pidiendo un tipo de interés efectivo, no nominal como en el ejercicio anterior. Concretamente nos están pidiendo un tipo de interés efectivo del periodo de capitalización. La ecuación de equivalencia aplicable será, por tanto:

(1 + im )

m

donde: m=6 i = 0,07

= (1 + i)

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA y por lo tanto:

(1 + i6 )

6

=

(1,07 ) ;

i6 = 1,13%

3.- ¿Qué tipo de interés trimestral proporciona una cuenta de ahorro que paga el 6% nominal anual de frecuencia cuatro?

Este ejercicio es aún más sencillo. Partimos de un tipo nominal de frecuencia 4 (J4). Sabemos que la relación entre un tipo nominal (Jm) y el efectivo equivalente de la fracción m del año (im), es una simple relación lineal, consecuencia del supuesto implícito de no reinversión que encierra el concepto de nominal. Por lo tanto:

J m = im ⋅ m donde: J4 = 0,06 m=4 y por tanto:

i4 =

J 4 0,06 = = 1,5% 4 4

4.- Los intereses generados por un producto financiero que paga un 3,225% nominal anual de frecuencia 12 se retiran, obteniendo a fin de año 3.870 € ¿cuál fue la inversión inicial?

C⋅

0,03225 ⋅ 12 = 3.870 12 C = 120.000 €

5.- Calcular el montante de un capital de 6.000 € colocados durante 3 años en las siguientes condiciones: a) 6% nominal con capitalización semestral b) 5% nominal con capitalización trimestral

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Podemos resolver este ejercicio utilizando el año como periodo de referencia o utilizando el periodo de capitalización como periodo de referencia. a) En el primer caso, utilizando el año como periodo de referencia, n serán 3 años y habrá que calcular el efectivo anual equivalente a un 6% nominal con frecuencia semestral, para lo cual utilizaremos la ya conocida fórmula de equivalencia entre tipos: m

Jm    1 + m  = (1 + i )   donde: m=2 J2= 0,06 y por lo tanto: 2

 0,06  i = 1 +  − 1 = 6,09% 2   ahora, utilizando la fórmula de capitalización compuesta, calcularemos el montante. Cn = C0 (1+i )n Donde: i = 0,0609 n=3 por lo tanto: Cn = 6.000 (1,0609 )3 Cn = 7.164,31 € Pero también podríamos hacer el cálculo utilizando como unidad de medida el semestre.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA En ese caso: i = 0,03 n=6 por lo tanto: C6 = 6.000 (1,03)6 C6 = 7.164,31€ Desde luego no podía ser de otra manera, teniendo en cuenta que: (1.03)6 = ((1,03)2)3 = (1,0609)3 b) En este caso: m=4 J4= 0,05 y por lo tanto: 4

 0,05  i = 1 +  − 1 = 5,094% 4   ahora, utilizando la fórmula de capitalización compuesta, calcularemos el montante. Cn = C0 (1+i )n donde: i = 0,05094% n=3 por lo tanto: C3 = 6.000 (1,05094 )3 Cn = 6.964,53 €

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Pero también podríamos hacer el cálculo utilizando como unidad de medida el trimestre. En ese caso: i = 1,25% n = 12 por lo tanto: Cn = 6.000 (1,0125)12 Cn = 6.964,53 € 6.- Se deposita un capital al 3,75% de interés compuesto anual durante 5 años. Si la cantidad acumulada resultó ser de 5.375,79 €, ¿cuál fue el importe del capital?

Utilizando de nuevo la fórmula de capitalización compuesta: 5.375,79 = C0 (1,0375)5 C0 = 4.472 € 7.- Calcular cuánto tiempo estuvo colocado un capital de 3.000 € al 4,5% de interés compuesto si se convirtió en 4.082,58 €.

Utilizaremos la misma fórmula que en el caso anterior para despejar la n. 4.082,58 = 3.000 (1,045)n 1,36086183 = 1,045n ln 1,36086183 = n ln 1,045 n = 7 años 8.- ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse una cantidad colocada al 3,5% nominal con capitalización semestral?

Trabajando con el tipo efectivo semestral: i2 =

0,035 = 0,0175 2

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA en la siguiente expresión la n estará expresada en semestres: 2C = C (1,0175)n ln 2 = n ln 1,0175 n ≈ 40 semestre, 20 años

9.- Un individuo que dispone de una letra con vencimiento a 8 meses decide descontarla sin esperar a su vencimiento. A tal efecto se dirige a su banco, donde le informan de que el tipo de descuento aplicable en dichas operaciones es el 5% anual. La letra tiene un nominal de 2.000 €. ¿Cuál será el líquido que obtiene en la operación? Si en otra entidad le ofrecieran la posibilidad de descontar la letra según la ley de descuento simple racional ¿qué tipo de interés le proporcionaría el mismo resultado? ¿Cómo interpreta estas cifras?

En el primer banco le aplicarán la ley de descuento simple comercial, según la cual el líquido a percibir será:

C0 = Cn (1 − n ⋅ d ) donde 8   C0 = 2.000 1 − ⋅ 0,05  = 1.933,33 €  12  si el segundo banco le ofrece la posibilidad de aplicar en la operación la ley de descuento simple racional, el tipo de interés que le proporcionaría la misma cantidad en esta operación a 8 meses lo calcularíamos del siguiente modo: 1−

8 1 ⋅ 0,05 = 8 12 1+ ⋅i 12 i = 5,1724%

Estos resultados nos indican que cuando el primer banco nos dice que nos cobra un 5% de descuento en la operación, en realidad nos está cobrando un 5,1724% de interés, ya que el tipo del 5% se aplica sobre la cantidad final, 2.000 euros, cantidad que el cliente nunca recibe en su totalidad

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suponiendo en realidad un 5,17% sobre los 1933,33 euros que obtiene en la operación de descuento. Lo comprobamos fácilmente: La cantidad descontada en la operación es de 2.000-1.933,33 = 66,67. Aplicando el 5,17% sobre los 1.933,33 € y teniendo en cuenta que es una operación a 8 meses tenemos: 0,051724 ⋅ 8 ⋅ 1.933,33 = 66,67 12 10.- Un pago de 1.000 €, que se debía realizar dentro de tres meses, se sustituye por uno de 400 € dentro de un mes y un segundo pago de importe a convenir dentro de cuatro meses. ¿Cual será el importe de este segundo pago si se establece un tipo de interés del 5% en la capitalización y un 7% de descuento en la actualización?

Representaremos en primer lugar el esquema temporal de la operación: meses cantidad

1

3

4

400

1.000

X

0,05  0,07    400 ⋅ 1 + 2 ⋅  + X ⋅ 1 − 1 ⋅  = 1.000 12  12    X = 600,17 € Observe que en este ejercicio no es indiferente el momento de valoración que se establezca. Al utilizarse leyes de capitalización simple y descuento simple comercial, las operaciones no son escindibles (nunca lo son las leyes financieras simples) ni conjugadas (lo serían si se utilizase el descuento simple racional) y además se emplean tipos distintos en una y otra. Puede comprobar como se obtienen resultados diferentes si se establece la equivalencia financiera en el mes uno y en el cuatro. 11.- Debemos pagar dentro de tres años una letra de 926 € nominales. Sabiendo que anticipamos el pago de 410 € un año, calcular el nominal de otro efecto, a pagar dentro de cinco años, que cancele la deuda, si el interés aplicado es el 5% anual.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA años cantidad

2

3

5

410

926

X

410 ⋅ (1 + 0,05 ) + X ⋅ (1 + 0,05 ) = 926 −2

X = 546, 29 € A diferencia del ejercicio anterior, en este caso es indiferente el momento de valoración que se establezca ya que las leyes financieras compuestas son escindibles y conjugadas y hay un único tipo aplicable. 12.- La empresa Z ha de pagar una letra de 5.000 € el 28 de Marzo. A día de hoy acuerda con su acreedor sustituirla por otra con vencimiento 30 de Junio, por adecuarse mejor a sus disponibilidades de liquidez. Sabiendo que en todo caso el acreedor la va descontar hoy, 27 de Enero, al 6,5% de descuento comercial, calcular el nuevo nominal de la letra.

De nuevo representamos el horizonte temporal:

28M

27E (60 días)

5.000

30J (94 días)

X

De texto del ejercicio se deduce sin dificultad que el momento de valoración es el 27 de Enero, fecha en que el acreedor va a descontar el efecto. Por lo tanto: 0,065  0,065    X ⋅  1 − 154 ⋅  = 5.000 ⋅  1 − 60 ⋅  360  360    X = 5.087, 29 € Al tratarse de una operación a menos de un año y aplicarse las leyes financieras simples no es indiferente el momento de valoración que se establezca. Si considerásemos el 28M como momento de valoración, el cálculo, más sencillo, sería:

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0,065   X ⋅  1 − 94 ⋅  = 5.000 360   X = 5.086,32 € A pesar de que la diferencia no es muy grande está claro que hay diferencia y que no es debida a redondeo en decimales. La cusa de la diferencia está en la no escindibilidad de las leyes de decuento simple, tanto la simple comercial como la simple racional. Observe que la diferencia entre las dos ecuaciones está en los 60 días de diferencia entre los momentos de valoración escogidos. Para trasladar esta segunda expresión de equivalencia al 27E habría que multiplicar ambos términos por (1-60·0,065/360), con lo que nos quedaría: 0,065   0,065  0,065    X ⋅  1 − 94 ⋅  ⋅  1 − 60 ⋅  = 5.000 ⋅  1 − 60 ⋅  360   360  360    X = 5.086,32 € Esta expresión evidencia la razón de la diferencia, que no es otra que la no escindibilidad de la ley de descuento simple comercial. Obviamente: 0,065  0,065   0,065     1 − 154 ⋅  ≠ X ⋅ 1 − 94 ⋅  ⋅  1 − 60 ⋅  360  360   360    Para terminar de dar vueltas a este sencillo ejercicio veamos lo que ocurre tomando como momento de valoración el 30J y utilizando para la capitalización el mismo tipo que para el descuento. En este caso: 0,065   X = 5000 ⋅  1 + 94 ⋅  360   X = 5.084,86 € Si trasladamos la ecuación de equivalencia del 28M al 30J, multiplicando ambos términos por (1+94·0,065/360), tendremos: 0,065   0,065  0,065    X ⋅  1 − 94 ⋅  ⋅ 1 + 94 ⋅  = 5.000 ⋅  1 + 94 ⋅  360 360 360       y vemos claramente que la diferencia entre los valores de X en los dos momentos de valoración está, en este caso, en la no conjugabilidad de las

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA leyes de descuento simple comercial y de capitalización simple ya que evidentemente: 0,065   0,065   X ⋅  1 − 94 ⋅  ⋅  1 + 94 ⋅ ≠ X 360   360   (aunque dada la magnitud de las cifras en este caso se parecen bastante)

13.- Una persona paga cierta cantidad por un pagaré que vence dentro de 1.172 días por importe de 850 €. Si sabemos que la operación le reportó un beneficio del 7%, ¿cuánto pagó por él?

La cantidad buscada será tal que, capitalizada al 7% durante los 1.172 días que quedan hasta el vencimiento del pagaré, se convertiría en el importe del nominal, por tanto: 1.172

X ⋅ (1 + 0,07 )

365

= 850

X = 684,02 € 14.- Una persona pidió un préstamo hace tres años al 7% del que, a día de hoy, le quedan pendientes de pago 2.475 €. Dado que en la actualidad los tipos de interés de los préstamos han bajado, decide cambiar de banco y solicitar un nuevo préstamo al 5% en otra entidad. Calcular la cantidad qe pedirá a esta segunda entidad si sabemos que se cobra una comisión de apertura del 1% en este tipo de operaciones.

La primera aproximación a la solución de este problema sería pensar que bastaría con pedir un 1% más con el fin de que nos quedase la cantidad justa. En ese caso, el importe sería: 2.475 ⋅ (1 + 0,01) = 2.499,75 € Sin embargo, podemos comprobar que esta cantidad no resulta suficiente ya que si se aplica sobre ella el 1% de comisión de apertura nos quedaría disponible el siguiente importe: 2.499,75 ⋅ (1 − 0,01) = 2.474,75 € El importe que se debe solicitar se calculará del siguiente modo:

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X ⋅ (1 − 0,01) = 2.475 X = 2.500 Que de nuevo recuerda las diferencias entre los conceptos de descuento simple comercial y racional. 15.- La diferencia entre los intereses simple y compuesto de un capital colocado durante n años en una entidad financiera es de 229,31 €. Si hubiera estado colocado un año menos a interés compuesto, el capital acumulado sería de 6.511,30 €; si hubiera estado colocado un año menos a interés simple el capital acumulado sería de 6.350 € y si hubiera estado dos años menos a interés simple sería de 6.125 €. Calcular cual fue la cantidad invertida, el tiempo que duró la inversión y el tipo aplicado en la operación.

Para resolver este ejercicio lo primero que se debe hacer es expresar en forma de ecuaciones las informaciones de que disponemos: C (1 + i ) − C (1 + ni ) = 229,31 n

C (1 + i )

n −1

= 6.511.30

C (1 + ( n − 1) i ) = 6.350 C (1 + ( n − 2 ) i ) = 6.125 De las anteriores informaciones, y sin necesidad de operaciones (aunque obviamente se alcance la misma solución operando, salvo errores), podemos obtener otras de forma bastante inmediata. Por ejemplo, la diferencia entre los capitales acumulados a interés simple, correspondientes a dos años sucesivos, sean cuales sean estos años, es siempre C·i, por tanto: C·i = 6.350 - 6.125 = 225 y conocidos los intereses de un año a tipo simple y el capital acumulado hasta el año n-1, el capital a fin del año n, será: C (1+n·i) = 6.350+225 = 6.575 sustituyendo ahora en la primera ecuación y despejando, tendremos: C (1+i)n = 6.804,31

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA sabemos también que: C (1+i)n = C (1+i)n-1 (1+i) = 6.804,31 C (1+i)n-1 = 6.511,30 y sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos directamente el valor de i: i = 4,5% Y a partir de aquí el resto de valores se obtiene de forma sencilla: C·i = 225; C = 5.000 C (1+n·i) = 6.575 n=7

16.- La señora T. está interesada en una obra de arte que cuesta 4.500 € al contado, pero se le ofrece también la posibilidad de pagar 2.500 € en el momento actual y 2.250 € al cabo de un año. a) Si puede invertir su dinero al 2,5% de interés semestral ¿qué forma de pago es más conveniente? b) ¿y si pudiera invertir al 3% trimestral?

En ambos casos hemos de suponer que la señora T. dispone ahora de los 4.500 € ya que se está planteando la posibilidad de pagar al contado. Por tanto: a) Paga ahora 2.500 € y dispone de los otros 2.000 € para invertir al 2,5% semestral por lo que un año después tendrá acumulado 2.000 ⋅ 1,0252 = 2.101, 25 € Parece claro que le conviene más pagar al contado, dadas sus actuales posibilidades de inversión b) Paga a hora 2.500 € y dispone de los otros 2.000 € para invertir al 3% trimestral por lo que un año después tendrá acumulado

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2.000 ⋅ 1,034 = 2.251,02 En este caso le conviene más aplazar el segundo pago ya que tendría que entregar 2.250 y con esta opción obtendrá 2.251,02 aunque en realidad la diferencia es tan pequeña que casi podríamos decir que ambas opciones son indiferentes en estas circunstancias. 17.- Dos personas disponen del mismo capital, que invierten a tres años. La primera lo coloca al 4%, retirando periódicamente los intereses y la segunda al 5%, sin retirar intereses. Transcurrido dicho tiempo invierten de nuevo los capitales (solo los capitales, no los intereses obtenidos) durante cuatro años más, la primera al 5% y la segunda al 4% siendo en este caso la segunda la que retira los intereses. ¿Qué ocurre con sus respectivos capitales?

Capital de la primera persona: C ⋅ 3 ⋅ 0,04 + C ⋅ (1 + 0,05 ) = 1,33550625 ⋅ C 4

Capital de la segunda persona segunda persona: C ⋅ (1 + 0,05 )3 − C  + C ⋅ (1 + 4 ⋅ 0,04 ) = 1,317625 €   18.- La diferencia entre el interés simple y compuesto producido por un capital colocado durante 6 años al 5% es de 493,18 €. Calcular el importe del capital.

C0 ⋅ (1 + 6 ⋅ 0,05 ) = 1,3 ⋅ C0 C0 ⋅ (1 + 0,05 ) = 1,34009564 ⋅ C0 6

(1,34009564 ⋅ C0 − C0 ) − (1,3 ⋅ C0 − C0 ) = 493,18 C0 ⋅ (1,34009564 − 1,3) = 493,18 C0 = 12.300 € 19.- Una mujer coloca 35.000 € en un depósito a plazo. Al término de la operación, tres meses más tarde, el capital disponible fue de 35.863,36 €, siéndole retenidos 178,79 € en concepto de impuestos. Obtener el TAE de la operación, teniendo en cuenta que se calcula sobre importes brutos.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Si, tal y como establece la Ley, el TAE se debe calcular sobre importes brutos, debemos considerar que el montante de la inversión al término de la operación será: 35.863,36+178,79=36.042,15 € Por tanto la expresión que nos permitirá calcular el TAE, teniendo en cuenta que se trata de una inversión que dura tres meses será: 35.000 ⋅ (1 + i4 ) = 36.042,15 1 + i4 = 1,0297757 y el TAE, que será su equivalente efectivo anual:

(1 + TAE ) = (1,0297757 )

4

TAE = 12, 45% 20.- El Banco Blanco ofrecía un producto de inversión a dos años por importe de 10.000 €, denominado Depósito DVD 4.0, cuya remuneración se pagaba del siguiente modo: Un DVD Sony portátil en el momento de la contratación y un 4% de interés el segundo año con la garantía de recuperación del capital. Si el TAE anunciado era del 3,05% ¿En cuanto estaba valorado el DVD?

Podemos representar del siguiente modo el perfil de la inversión: 10.400 10 400

100.000-X

de modo que la ecuación de equivalencia financiera quedaría:

(100.000 − X ) ⋅ (1, 0305) X = 206,51€

2

= 10.400

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3 RENTAS

3.1 Definición Una renta es un conjunto de capitales que vencen, es decir se hacen efectivos, en períodos sucesivos. Es decir, el capital C1 vence en el momento t1, el capital C2 vence en el momento t2, … y así sucesivamente. Son ejemplos típicos de rentas los pagos realizados (o percibidos) por el uso (o la propiedad) de un inmueble. También constituyen una renta los pagos realizados para devolver un préstamo junto con sus intereses o los realizados a un Plan de Pensiones. Esas cantidades o capitales que hemos representado como Cn también se denominan términos de la renta. El intervalo constante de tiempo que transcurre entre el vencimiento de dos términos sucesivos se denomina período, y llamaremos vida al número n de períodos que transcurren desde su inicio hasta su finalización. En la práctica, como iremos viendo mediante ejemplos a lo largo del capítulo, las rentas persiguen dos fines fundamentales: a) la formación de un capital que será disponible en el futuro b) la devolución paulatina de una deuda contraída en el presente. En el primer caso estaremos hablando de una operación de ahorro y tendrá sentido calcular el Valor Final de la Renta. En el segundo caso estaríamos hablando de una amortización de préstamo y la deuda contraída hoy será el Valor Actual de la Renta.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

3.2 Clasificación Las rentas admiten distintas clasificaciones, según se atienda a uno u otro criterio. Siguiendo a Vázquez (1993), adoptaremos la siguiente clasificación: En función de sus términos, es decir la cantidad que vence cada período, pueden ser constantes, si todos ellos son iguales o variables si las cuantías difieren. Dentro de estas últimas estudiaremos solo aquellas rentas que varían de acuerdo a una ley conocida, no las que varían de forma aleatoria. En función de la vida pueden ser temporales, si tienen un número finito de períodos, o perpetuas si el número de períodos es infinito. En la práctica se consideran rentas perpetuas aquellas cuyo número de períodos es suficientemente grande. En función del inicio y el fin, pueden ser inmediatas, anticipadas o diferidas. Esta clasificación se comprende mejor utilizando algún ejemplo. Una renta es inmediata cuando en el primer período de la renta vence el primer capital. Un ejemplo sería un plan de ahorro, por ejemplo un Plan de Pensiones, que se contrata hoy con el banco para realizar entregas mensuales durante 10 años y la primera entrega tiene lugar este mismo mes. Una renta es diferida cuando el primer vencimiento es posterior al momento de inicio de la renta. En algunos préstamos, el prestatario (quien recibe el dinero) puede acordar con el banco recibir hoy, momento de inicio del contrato, la cantidad prestada pero empezar a devolver el préstamo dos años más tarde. Este tipo de préstamos se denominan préstamos con carencia de amortización y son un ejemplo claro de renta diferida. Por último, una renta es anticipada cuando el vencimiento del último capital es anterior al momento de finalización de la renta. El siguiente sería un ejemplo de este tipo de renta. Alguien coloca anualmente 1.000 € en una cuenta de ahorro a nombre de su nieto, con el fin de que éste cobre la cantidad acumulada al cumplir 18 años. Por las razones que sean, a partir de que el joven cumple 15 años no se realizan más entregas en la cuenta (vencimiento del último capital), pero la cantidad continúa en la cuenta hasta la edad establecida de 18 años (fin de la renta). En función del vencimiento de cada término dentro del respectivo intervalo de tiempo, pueden ser pospagables o prepagables, según venza al final o al principio del mismo. Ejemplo típico de renta prepagable son las cantidades que se pagan por alquiler de locales y pisos que, normalmente se hacen al principio del mes. También suelen ser prepagables los Planes de Pensiones. Las operaciones de amortización de préstamo, en cambio, suelen ser pospagables.

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RENTAS

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En función del período que transcurre entre dos vencimientos sucesivos, la renta puede ser anual o fraccionada, según sea de un año o un periodo inferior. En la práctica, las operaciones más corrientes de rentas suelen ser fraccionadas (mensuales, semestrales…).

A continuación tenemos un resumen de las distintas formas de clasificar las rentas: CRITERIO

TIPOS Constantes Variables Temporales Perpétuas Inmediatas Anticipadas Diferidas Prepagables Pospagables Anuales Fraccionadas

El único tratamiento que vamos a realizar con las rentas es el de su valoración. Valorar una renta es calcular un solo capital que sea financieramente equivalente a la sucesión de capitales que constituyen la renta, en base a una determinada Ley Financiera. En todas las rentas que vamos a valorar, aplicaremos las Leyes Financieras de Capitalización y Descuento Compuesto.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

3.3 Valoración de Rentas Inmediatas El valor de la renta será diferente dependiendo del momento para el que se calcule el importe de ese capital único. Si establecemos que el momento de valoración es el momento 0 o momento de inicio del primer período de la renta, estaremos calculando el Valor Actual de la renta. Si por el contrario, establecemos como momento de valoración el fin del último período de la renta entonces se tratará de calcular el Valor Final de la renta. Aunque estos son los dos cálculos más comunes en relación a la valoración de rentas, se podría establecer cualquier otro momento entre el inicial y el final, como momento de valoración de la renta. En la valoración de ésta y otras rentas, se seguirá un procedimiento similar al empleado en Vázquez (1993).

3.3.1 Renta Anual Constante Pospagable y Temporal Consideremos una renta constituida por n capitales de un euro y que representamos en la siguiente figura: t0

A

t1

t2

t3

1

1

1

…

…

tn-1

tn

1 1 S

En la parte superior de la figura aparecen los momentos de vencimiento de los n capitales de un euro. Observe que el subíndice de la t indica el fin del período correspondiente, siendo el momento t0 el momento de inicio de la renta. Los momentos más comunes de valoración, que son el momento t0 y el momento tn, aparecen señalados también con las letras mayúsculas A y S. Como se observa también en la figura la renta es unitaria, al ser los capitales de un euro, será anual si consideramos que entre dos vencimientos sucesivos transcurre un año. También es constante ya que todos los capitales son de la misma cuantía. Es pospagable porque el primer capital vence al final del primer período (y el último capital coincide con el fin de la renta) y finalmente es temporal pues su vida está limitada a n períodos.

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RENTAS

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Una vez descrita la renta con sus correspondientes vencimientos, pasaremos a valorarla. Calcularemos primero el Valor Actual de la renta y después el Valor Final de la Renta. El Valor Actual de la Renta es un Capital financieramente equivalente a los capitales que constituyen la renta, expresado en unidades monetarias del momento 0, en base a la Ley Financiera de Descuento Compuesto, para un determinado valor del tipo de interés. El Valor Actual de la Renta será, en definitiva, la suma de los valores actuales de los capitales que la constituyen. Si llamamos i al tipo de interés efectivo anual, constante para toda la vida de la renta, el Valor Actual de la renta será: A=

1 1 1 1 1 + + +…+ + 2 3 n −1 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n

o lo que es lo mismo: n

n n 1 −s = ∑vs s = ∑(1 + i) s =1 (1+i) s =1 s =1

A=∑

Pero dicho de otra manera, lo que tenemos en realidad es la suma de 1 los términos de una progresión geométrica limitada, de razón (1+i) (que también hemos denominado v). Existe una fórmula que permite calcular la suma de los términos de las progresiones geométricas limitadas, y es la siguiente:

Suma =

an r − a1 r −1

donde: an =

Último término de la progresión

r=

Razón de la progresión

a1 =

Primer término de la progresión

Aplicando la fórmula de la suma al caso concreto de nuestra progresión obtendremos la siguiente expresión del Valor Actual de la Renta:

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56

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 1 1 1 ⋅ − n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) A= 1 −1 (1 + i ) Haciendo operaciones en la anterior expresión: 1 − (1 + i ) n 1 − (1 + i ) n 1 − (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 1 − (1 + i ) − n (1 + i ) n +1 (1 + i ) n A= = = = = 1−1− i −i −i (1 + i ) n i (1 + i ) n i (1 + i )

o bien: A=

1 − vn i

expresión que denotaremos por an i , luego an i =

(1 + i ) n − 1 1 − (1 + i ) − n 1 − v n = = i (1 + i ) n i i

an i =

1 − (1 + i ) − n i

(3.1)

La expresión anterior corresponderá, por tanto, al Valor Actual de una Renta Anual, Constante (unitaria), Inmediata, Pospagable y Temporal. Vamos a realizar el mismo proceso para calcular el Valor Final de nuestra renta unitaria, anual, constante, inmediata, pospagable y temporal. En este caso, podremos afirmar también que el Valor Final de la renta será la suma de los valores finales de los capitales que la constituyen, con lo que, partiendo del mismo esquema que en el caso anterior, llevaremos cada capital al momento tn, o momento final, con la ley financiera de capitalización compuesta, y llegaremos a la siguiente expresión: S = 1(1+i)n-1 + 1(1+i)n-2 + … + 1(1+i) + 1

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RENTAS

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Como se observa, estamos de nuevo ante el caso de una progresión 1 geométrica limitada de razón, de nuevo también, (1+i) , a la que se aplicará la fórmula de la suma de las progresiones geométricas, llegando a la siguiente expresión:

S=

−1

1 ⋅ (1 + i ) − (1 + i ) (1 + i ) −1 − 1

n −1

1 (1 + i ) n 1 − (1 + i ) n − (1 + i ) n − 1 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) = = = 1 1−1− i i −1 (1 + i ) (1 + i )

Veamos como se puede llegar a la misma conclusión tomando la progresión en sentido inverso. En este caso tendremos: an =

Último término de la progresión =

(1+i)n-1

r=

Razón de la progresión =

(1+i)

a1 =

Primer término de la progresión =

1

La expresión matemática de la progresión, haciendo r = (1+i), sería: n−1

n−1

s =0

s=0

S = ∑ (1 + i)s = ∑ r s Si aplicamos la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, llegamos a la siguiente expresión: S=

(1 + i ) n −1 (1 + i ) − 1 (1 + i ) n − 1 = i (1 + i ) − 1

que denotaremos por sn i , luego:

sn i =

r n − 1 (1 + i ) n − 1 = i i

(3.2)

La expresión anterior corresponde, por tanto, al Valor Final de una Renta Anual, Constante (unitaria), Inmediata, Pospagable y Temporal Se puede comprobar fácilmente que:

sn i = an i ⋅ (1 + i )

n

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

En el caso de que la renta no fuese unitaria, sino de términos constantes iguales a a, sus valores Actual y Final serían, respectivamente: A = a ⋅ an i S = a ⋅ sn i verificándose de nuevo: S = A ⋅ (1 + i )

n

n

y siendo (1+i) el factor de capitalización del momento t0 al tn. En el Anexo I aparecen las tablas de Valor Actual y Valor Final de la renta unitaria, anual, constante, pospagable y temporal.

3.3.2 Renta Anual Constante Pospagable y Perpetua Una renta de estas características estaría representada por la siguiente figura: t0

t1

t2

t3

…

1

1

1

…

A En la anterior representación se observa cómo es conocido el momento de inicio de la renta pero no así su finalización, que se considera muy alejada en el tiempo. En estos casos tiene sentido hablar del Valor Actual de la renta pero no del Valor Final. Utilizando las expresiones ya conocidas del valor actual de las rentas temporales, podemos aplicarlas al caso de las perpetuas del siguiente modo: ∞

A=∑ s =1

1

(1 + i )

s

que representa la suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada 1 , menor que 1. Esta circunstancia, es decir, el hecho de que de razón v (1 + i ) la progresión tenga una razón menor que la unidad y que, por lo tanto, sus

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RENTAS

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términos sean decrecientes, hace posible calcular el valor de la suma de un número en teoría infinito de términos, ya que en el límite, esos términos valdrán 0. Efectivamente, si aplicamos límites a la fórmula del Valor Actual de una renta temporal, cuando n tiende a infinito llegaremos a la siguiente expresión: 1− A∞ = lim an i = lim n →∞

n →∞

1 (1 + i ) n 1 = i i

Expresión a la que también podemos llegar si aplicamos a la progresión geométrica ilimitada la fórmula de la suma de este tipo de progresiones, cuya expresión es la siguiente: Suma =

a1 1− r

1 1 1 Suma = 1 + i = 1 + i = 1 1+ i −1 i 1− 1+ i 1+ i Por lo tanto y en resumen el Valor Actual de una Renta Anual, Constante (unitaria), Inmediata, Pospagable y Perpetua será:

A∞ =

1 i

(3.3)

Si la renta fuese de términos constantes e iguales a a, el valor actual sería:

A∞ =

a i

La aplicación más normal de este tipo de rentas es la valoración de fincas o inmuebles a partir de los rendimientos que pueden producir en el futuro, entendiendo que su fin está muy lejano en el tiempo.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

3.3.3 Renta Anual Constante Prepagable y Temporal Una renta de estas características estaría representada por la siguiente figura: t0

t1

t2

t3

1

1

1

…

…

tn-1

tn

1

1 A

S

Si la comparamos con la representación correspondiente a la renta pospagable, podremos adelantar algunas conclusiones que se confirmarán posteriormente al deducir las fórmulas. La siguiente figura corresponde a una renta pospagable: t0

A

t1

t2

t3

1

1

1

…

…

tn-1

tn

1 1 S

A la vista de ambas representaciones se observa que la diferencia entre una y otra es que los capitales de la primera (la prepagable) se hallan todos desplazados un periodo hacia el origen, respecto a la pospagable. Dicho esto, nos hacemos la siguiente pregunta: ¿cual será mayor, el valor actual de la renta pospagable o el de la prepagable? Llegados a este punto parece claro que si el dinero tiene un valor en el tiempo, la prepagable valdrá más puesto que todos sus capitales están un periodo más cerca del origen. Ahora nos haremos otra pregunta: ¿cuánto mayor será la prepagable que la pospabale?. De nuevo parece fácil concluir que si todos los capitales están un periodo más cerca del origen, para calcular el valor actual de la renta habrá que dividirlos por (1+i), una vez menos que en el caso de la pospagable. Definitivamente, el valor actual de la renta

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RENTAS

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prepagable tiene que ser (1+i) mayor que el de la pospagable. Comprobémoslo obteniendo las fórmulas. Sea i el tipo de interés constante para cada período. El valor actual de la renta prepagable vendrá dado por:

 = 1 + A

1 1 1 + + ... + 2 n −1 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )

que se corresponde con la suma de los términos de una progresión geométrica 1 de razón (1+i)-1, o bien o bien v. (1 + i ) Aplicando la fórmula de la suma de las progresiones geométricas, llegaremos a la siguiente expresión:  = an ⋅ r − a1 Suma = A r −1

 = (1 + i ) A

⋅ (1 + i ) − 1 (1 + i ) − 1 1 − (1 + i ) = = 1 1−1− i i −1 (1 + i ) (1 + i )

− n +1

−1

−n

−n

⋅ (1 + i )

n i luego: expresión que denotaremos por a an i =

1 − (1 + i ) − n (1 + i ) i

(3.4)

evidentemente, an i = an i ⋅ (1 + i ) El valor final viene dado por la suma de los valores finales de los términos de la renta que de nuevo constituyen una progresión geométrica de razón, de nuevo, (1+i)-1: n n −1 S = 1 ⋅ (1 + i ) + 1 ⋅ (1 + i ) + ... + 1 ⋅ (1 + i )

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Aplicando la conocida fórmula de la suma de las progresiones:

(1 + i ) ⋅ (1 + i ) − (1 + i ) 1 − (1 + i ) (1 + i ) − 1 ⋅ + S = = = (1 i ) 1 −i i −1 1+ i (1 + i ) −1

n

n

n

que denotaremos por sn i , luego:

 sn i =

(1 + i ) i

n

−1

⋅ (1 + i )

(3.5)

y evidentemente:

 sn i = sn i ⋅ (1 + i ) En el caso de renta constante de término a, los valores actual y final serían:

 = a ⋅ a A n i S = a ⋅  sn i verificándose de nuevo:

 ⋅ (1 + i )n S = A

3.3.4 Renta Anual Constante Prepagable y Perpetua El esquema de flujo de fondos sería:

t0

1 A

t1

t2

t3

1

1

1

…

…

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RENTAS

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Si consideramos un tipo i como tipo de interés efectivo constante para todos los períodos, el valor actual de la renta será de nuevo el valor actual de los términos que la constituyen, luego: ∞

 = A ∑ ∞ s=0

1

(1 + i )

s

que representa la suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada 1 . Observe que en el caso de la perpetua pospagable, el límite de razón (1 + i ) inferior del sumatorio era 1 (transcurre un periodo entre el momento de valoración A y el primer vencimiento) y en este caso el límite es 0, por lo que el primer término de la progresión es 1. Aplicando la conocida fórmula de la suma de las progresiones geométricas ilimitadas de razón menor que la unidad:

(1 + i ) 1 1  = a1 = A = = ∞ 1+ i −1 1− r 1− 1 i (1 + i ) (1 + i )

(3.6)

luego,  = A ⋅ (1 + i ) A ∞ ∞ Hay que hacer notar que Ä∞ puede obtenerse también como el límite cuando n tiende a ∞ de Ä. En el caso de que la renta no fuese unitaria, sino de términos constantes e iguales a a, su valor actual sería:

 = a ⋅ (1 + i ) A ∞ i

3.4 Valoración de Rentas Diferidas Se dice que una renta está diferida d períodos, cuando el vencimiento del primer capital dista d períodos del inicio de la renta. El punto de valoración de la renta será, por tanto, anterior al momento del primer vencimiento. A continuación vamos a estudiar las rentas diferidas, tanto prepagables como pospagables.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

3.4.1 Rentas Diferidas Temporales Pospagable

t0

t1

t2

t3 a

…

…

ts-1

ts

a

a

A

S

n

d Prepagable

t0

t1

t2

t3 a

…

…

ts-1

ts

a

a

A n

d+1

ts+1

S

Al observar los dos esquemas de renta podemos comprobar cómo en el primer caso la renta es diferida y pospagable. Esto quiere decir que el primer vencimiento tiene lugar en el periodo 3 (al final del mismo) y por lo tanto hemos de considerar únicamente dos periodos de diferimiento. En el segundo caso, en cambio, a pesar de que se produce el mismo número de vencimientos y en los mismos momentos de tiempo, hemos considerado que se trata de términos prepagables con lo que el primer vencimiento correspondería al inicio del periodo 4 y el último al inicio del periodo s+1. ¿Afectan estas consideraciones al Valor Actual de la renta?. En principio parece bastante evidente que la renta, es decir, la sucesión de capitales, es la misma en los dos casos (misma cuantía y mismo momento de vencimiento), luego podríamos concluir que el valor actual en ambos casos debería ser el mismo. Veámoslo. En el caso de la pospagable: Ad / = a ⋅ an i ⋅ (1 + i )

−d

(3.7)

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RENTAS

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hemos calculado en primer lugar el valor actual de la renta en unidades monetarias de t2 y lo hemos trasladado posteriormente al momento cero. Ahora haremos lo mismo para la prepagable. En este caso calcularemos el Valor Actual de la renta inmediata prepagable (que nos dará unidades monetarias de t3) y lo trasladaremos posteriormente al momento cero:

 = a ⋅ a ⋅ (1 + i )−( d +1) A d/ n i pero teniendo en cuenta que an i = an i ⋅ (1 + i ) resulta:

 = a ⋅ a ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i )−( d +1) = a ⋅ a ⋅ (1 + i )− d A d/ n i n i concluyendo, como era de esperar, que ambas rentas son iguales en Valor Actual, pero ¿que pasa con el Valor Final? La regla de general aplicación es que: S = A ⋅ (1 + i )

n

 ⋅ (1 + i )n S = A Si lo aplicamos a nuestros casos tendremos: S = a ⋅ an i ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) −d

n+d

= a ⋅ an i ⋅ (1 + i )

n

n n +1 − ( d +1) ( n + d +1) S = a ⋅ an i ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) = a ⋅ an i ⋅ (1 + i ) = a ⋅ an i ⋅ (1 + i )

Observamos como el resultado es diferente en uno y otro caso y esto no tiene sentido ya que si el Valor Actual es el mismo, el Valor en unidades monetarias del momento Final debería ser también el mismo. La explicación de la diferencia en este caso es que al considerar la renta en el segundo supuesto como prepagable, hemos desplazado implícitamente el momento de valoración final un período más. Es decir, el Valor Final de la Renta pospagable está expresado en unidades monetarias del momento s (n+d), mientras que el Valor Final de la prepagable corresponde a unidades monetarias del momento s+1 (n+d+1). Este caso deja claramente de manifiesto que resulta de gran utilizar realizar los gráficos indicando el horizonte temporal de las operaciones ya que permiten ver de forma clara detalles que de otro modo podrían pasar inadvertidos.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Como conclusión de todo lo anterior diremos que:

• El Valor Actual de una renta diferida no se ve afectado por la consideración de sus términos como pre o pospagables, siempre y cuando quede correctamente establecido el número de periodos del diferimiento que sí afectan a su valoración. • El Valor Final de una renta diferida no se ve afectado por el número de periodos de diferimiento que se produzcan en su inicio. Como ejercicio sencillo se propone al lector que compruebe la equivalencia en V.A. entre la renta inmediata pospagable y la prepagable diferida un periodo.

3.4.2 Rentas Diferidas Perpetuas Pospagable

t0

A

t1

t2

t3

t4

…

a

a

…

d

El valor de la renta, en unidades monetarias del momento t2 vendrá dado por la expresión:

a i que tendremos que actualizar para calcular su equivalente en unidades monetarias de t0, con lo que la expresión definitiva será: Ad ,∞ / =

a −d (1 + i ) i

(3.8)

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RENTAS

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Prepagable

t0

A

t1

t2

t3

t4

a

a

…

…

d +1

El valor de la renta en unidades monetarias del periodo en que comienzan los vencimientos, es decir, de nuevo t3 , lo calcularemos del siguiente modo:

a (1+ i) i ya que a partir de t3 lo que hay es una renta prepagable. Si trasladamos ahora ese capital al origen de la operación, o momento t0, llegaremos a la siguiente expresión:  , = a ⋅ (1 + i )− d A d +1 ∞ / i

(3.9)

Es decir, una renta diferida d periodos, pospagable y perpetua, es equivalente a otra renta diferida d+1 periodos, prepagable y perpetua. Es evidente que no tiene sentido hablar de valores finales en este tipo de rentas.

3.5 Valoración de Rentas Anticipadas Llamábamos rentas anticipadas a aquellas rentas cuyo último vencimiento no coincide con el momento de valoración del fin de la renta, sino que se halla separado de éste por h periodos. Como se verá en las próximas líneas, la anticipación afecta al Valor Final de la renta pero no a su valor actual.

3.5.1 Rentas Anticipadas Temporales Para valorar esta renta, calcularemos primero el capital financieramente equivalente en unidades monetarias del momento tn y a continuación lo capitalizaremos h periodos para llevarlo hasta el momento de valoración final.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Observe el gráfico: Pospagable

t0

t1

t2

a

a

t3

…

a

…

tn

ts-2

ts-1

ts

a

A n

S

h

Aplicando la fórmula (3.2) para calcular el valor final de una renta constante y pospagable de término a:

S = a ⋅ sn i

(1 + i ) = a⋅

n

−1

i

obtendremos el valor buscado expresado en unidades monetarias de tn, que trasladamos al momento final:

S / h = a ⋅ sn i

(1 + i ) = a⋅

n

−1

i

⋅ (1 + i )

h

(3.10)

Veamos ahora el caso de la renta prepagable: Prepagable

t0 a

A

t1 a

t2 a

n

t3

…

a

…

tn

ts-2

ts-1

ts

h-1

S

a

Comprobaremos a continuación que, al igual que ocurría con las rentas diferidas, la consideración de los términos como pre o pospagables, no afecta a la valoración final. Procediendo como en el caso anterior, primero

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RENTAS

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calcularemos el valor de la renta en ts-2 y posteriormente trasladaremos esa cantidad a unidades monetarias de ts:

(1 + i ) n − 1   ⋅ (1 + i ) S / h = a ⋅ sn i = a ⋅ i (1 + i ) n − 1 S/ h −1 = a ⋅  sn i = a ⋅ ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) h −1 i Por lo tanto, tal y como concluíamos en el caso de las rentas diferidas, podemos afirmar que: • El Valor Final de una renta anticipada no se ve afectado por la consideración de sus términos como pre o pospagables, siempre y cuando, de acuerdo a la consideración establecida, quede perfectamente identificado el número de períodos de anticipación. • La anticipación en el fin no afecta al Valor Actual de las rentas. Es evidente en este caso que no tiene sentido hablar de rentas anticipadas y perpetuas. Tal y como se hizo con las rentas diferidas, se propone al lector la comprobación de equivalencia entre el valor final de una renta pospagable y anticipada un período y el de una renta prepagable e inmediata.

3.6 Valoración de Rentas Anuales Variables Dentro de las rentas anuales variables, estudiaremos dos tipos de variación en los términos de la renta: la variación siguiendo una progresión aritmética y la variación siguiendo una progresión geométrica.

3.6.1 Rentas Anuales Variables en Progresión Aritmética Diremos que los términos de una renta varían en progresión aritmética, si la relación entre dos términos sucesivos cumple la siguiente condición, siendo r la razón de la progresión: a j = a j −1 + r

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

y dado que dicha relación se va a mantener entre todos los términos se cumplirá también que: a j = a1 + ( j − 1) ⋅ r

Procederemos a calcular el Valor Actual de la Renta pospagable y temporal, para lo cual actualizaremos sus términos a unidades monetarias del momento 0 multiplicándolos por vn [(1+i)-n]. Siguiendo a Vázquez (1993): 3.6.1.1 Pospagable y Temporal

A = a1v + a2 v 2 + a3v 3 + … + an −1v n −1 + an v n =

= a1v + (a1 + r )v 2 + … + [a1 + (n − 2)r ]v n −1 + [a1 + (n − 1)r ]v n = = a1 (v + v 2 + … + v n −1 + v n ) + r[v 2 + … + (n − 2) v n −1 + (n − 1)v n )] = = a1 ⋅ an i + rZ *

donde: Z * = v 2 + … + (n − 2) v n −1 − (n − 1)v n

multiplicando por (1+i) y restando resulta: (1 + i ) Z * − Z * = v + v 2 + …+ v n −1 − (n − 1)v n de donde: iZ * = an i − n v n

y sustituyendo en la expresión del Valor Actual

A = a1 ⋅ an i +

r ⋅ (an i − n ⋅ v n ) i

(3.11)

Sin necesidad de repetir el proceso podemos aplicar la equivalencia entre capitales actuales y finales, según la cual:

S = A ⋅ (1 + i )

n

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RENTAS

71

Por lo tanto:

 r ⋅ (an i − nv n )  S =  a1 ⋅ an i +  ⋅ (1 + i ) n i  

S = a1 ⋅ sn i +

r ⋅ ( sn i − n)

(3.12)

i

3.6.1.2 Pospagable y Perpetua

Aplicamos límites a la temporal cuando n tiende a infinito:  r ⋅ (an i − nv n )  r A‘∞ = lim  a1 ⋅ an i +  = lim a1 ⋅ an i + lim an i − lim nv n →∞ n →∞ i i n→∞   n→∞ a r 1 = 1+ ⋅ i i i

(

1  r A∞ = ⋅  a1 +  i  i

)=

(3.13)

3.6.1.3 Diferida d períodos

Se trata simplemente de actualizar el valor actual de la renta de las mismas condiciones, pero no diferida. En el caso de la renta pospagable −d temporal, multiplicaremos por (1 + i ) , o lo que es lo mismo, v d :  r ⋅ (an i − nv n )  −d Ad / =  a1 ⋅ an i +  ⋅ (1 + i ) i  

(3.14)

3.6.1.4 Anticipada h períodos

En este caso multiplicaremos el valor final por (1+i)h:

(

 r ⋅ sn i − n S / h =  a1 ⋅ sn i +  i 

)  ⋅ (1 + i)  

h

(3.15)

74 de 224

72

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

3.6.2 Rentas Anuales Variables en Progresión Geométrica En este tipo de renta, la relación entre dos términos sucesivos, cumple la siguiente condición, siendo q la razón de la progresión: a j = a j −1 ⋅ q = a1 ⋅ q j −1 3.6.2.1 Pospagable y Temporal

El Valor Actual de una renta de estas características lo calcularemos operando de la siguiente manera

A=a1v+a2 v 2 +a3v 3 + … +an −1v n −1 +an v n = = a1v+a1 qv 2 + … +a1 q n −1v n = =a1 (v+qv 2 + … + q n −1v n )

Entre paréntesis tenemos, de nuevo, la suma de los términos de una progresión geométrica de razón qv. Si aplicamos la fórmula de la suma de las progresiones llegaremos a: A = a1 ⋅

q n −1v n ⋅ qv − v qnvn − 1 = a1v ⋅ qv − 1 qv − 1 A = a1 ⋅

1 − qnvn 1+i -q

(3.16)

Pero si resulta que qv = 1, es decir, (1+i) = q, la anterior expresión no nos sirve ya que tanto el numerador como el denominador serían cero. Si volvemos a la expresión original: A = a1 (v + qv 2 +…+ q n −1v n ) = a1 ⋅ v (1 + qv +…+ q n −1v n −1 ) = a1 ⋅ v ⋅ (1 + 11 +…+ 1n −1 )

A = a1 ⋅ v ⋅ n =

a1 ⋅ n 1+i

(3.17)

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RENTAS

73

En cuanto a los valores finales: Suponiendo qv ≠ 1 S = a1 ⋅

1 − qnvn ⋅ (1 + i ) n 1+i -q

(3.18)

Si qv = 1, es decir, (1+i) = q S = a1 ⋅ v ⋅ n ⋅ (1 + i ) n

(3.19)

Se verifica en cualquier caso que: S = A (1+i)n 3.6.2.2 Pospagable y Perpetua

(

)

A∞ =a1v+a2 v 2 +…=a1 v+qv 2 +…

Entre paréntesis volvemos a tener la suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada de razón qv. En este caso: Si qv < 1:

A∞ =

a1 ⋅ v a1 = (1 − qv ) (1 + i − q )

Si qv ≥ 1:

A∞ =∞ 3.6.2.3 Diferida d Períodos

Para calcular su valor actual se multiplica por (1+i)-d el valor actual de la renta inmediata de las mismas características. 3.6.2.4 Anticipada h Períodos

Para calcular su valor final se multiplica por (1+i)h el valor final de la renta de la renta inmediata de las mismas características.

76 de 224

74

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

3.7 Valoración de Rentas Fraccionadas Entendemos por renta fraccionada, aquella cuyos vencimientos se producen en fracciones de tiempo inferiores al año. Con lo estudiado hasta este momento sería posible valorar este tipo de rentas simplemente utilizando como tipo de interés de valoración el efectivo correspondiente a la fracción de tiempo (im) y como n el resultado de multiplicar n·m, es decir, el número de años, multiplicado por las veces que el año contiene al periodo considerado. Este procedimiento sin embargo plantea el inconveniente de tener que manejar tipos de interés que a veces resultan demasiado pequeños y con un elevado número de decimales si se quiere mantener cierta precisión en los cálculos. Por esta razón se presenta a continuación otro procedimiento que permite valorar las rentas fraccionadas como si fueran anuales y corregirlas a continuación mediante el correspondiente factor de corrección.

3.7.1 Rentas Fraccionadas Constantes 3.7.1.1 Pospagables

Si suponemos una renta de término constante anual a que se hace efectivo en fracciones de frecuencia m, su valor actual vendrá dado por:

A=

a m

(1+ i )

−1 m

+

a m

(1+ i )

−2 m

+…+

a

(1+ i )

−m m

+ m a + … + (1+ i )−(1+ m m) + m

a a (1 + i )−(1+1 m) + (1+ i )−(1+ 2 m ) m m … a a a −(n −1 +1 m ) + (1 + i) + (1 + i)−(n −1 +2 m ) + … + (1 + i)− (n −1 +m m ) = m m m a a = (v1 m + v 2 m + … + v m m ) + v (v1 m + v 2 m + … + v m m ) + … + m m a + v n −1 (v 1 m + v 2 m + … + v m m ) m +

Si observamos detenidamente la última igualdad comprobaremos que se trata de una renta anual constante y prepagable de término:

(

a 1m 2m v +v + … +v m m m

)

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RENTAS

75

y, por tanto:

A=

a 1m (v + v 2 m + … + v m m ) an i m

Ahora bien,

v1 m + v2 m + … + vm m es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón v 1/m , cuyo resultado podemos calcular utilizando como siempre la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, llegando a la siguiente expresión

(1 − v) (1 + i )1/ m − 1

[

]

Sustituyendo en la expresión anterior del valor actual y teniendo en 1m cuenta que m (1 + i ) − 1 = J m resulta:

[

]

A=

a 1− v i (1 + i ) = a ⋅ an i ⋅ m Jm Jm m

(3.20)

i Al factor J se le denomina factor de corrección de una renta anual. m Permite tratar las rentas fraccionadas como si fueran anuales y corregirlas al final, lo que en ocasiones simplifica los cálculos. Por ejemplo, una renta de 60 € mensuales al 5% resulta más sencilla de valorar si se considera como una anual de 720 € y posteriormente se aplica el factor de corrección

0, 05 . 0, 04888

Una vez conocido el valor actual podemos obtener el valor final n simplemente multiplicando por el factor de capitalización (1+i) , de donde:

S = a ⋅ sn i ⋅

i Jm

(3.21)

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76

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

3.7.1.2 Prepagables

Una renta fraccionada prepagable se diferencia de la pospagables en que todos sus términos están una fracción de año m más cerca del origen, por lo que como ya sabemos será mayor en (1+i)1/m . De tal manera:

i (1 + i )1 m Jm

(3.22)

i S = a ⋅ sn i ⋅ (1 + i )1 m Jm

(3.23)

Ä = a ⋅ an i ⋅ Y en valor final:

Si la renta fuese perpétua:

Ä∞ =

a i 1m ⋅ ⋅ (1 + i) i Jm

(3.24)

3.7.2 Rentas Fraccionadas Variables Es necesario distinguir dos casos: 3.7.2.1 Los términos varían en cada vencimiento

Se valorará como una renta variable normal considerando como unidad de tiempo el período de la renta y utilizando el tanto efectivo del período. 3.7.2.2 Si los términos varían anualmente

Se valorará como si fuese anual multiplicando después por el correspondiente factor de corrección.

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3.8 Ejercicios 1.- Se concierta con una entidad financiera la entrega de 25.000 € a cambio de una renta vitalicia de 1.556,82 € anuales. Si se establece un tipo del 3,5% para los cálculos ¿a partir de cuantos años de vida se estaría cobrando por encima de lo entregado?

25.000 = 1.556,82 ⋅

1 − (1,035 )

−n

0,035

25.000 = 44.480,57 − 44.480,57 ⋅ (1,035 ) −19.480,57 = −44.480,57 ⋅ (1,035 ) 0, 4379 = (1,035 )

−n

−n

−n

ln 0, 4379 = − n ⋅ ln1,035 n = 24 2.- Calcular la anualidad necesaria para constituir en 10 años un capital de 10.000 € si se pacta un tipo de interés del 4% anual?

(1,04 )

10

10.000 = a ⋅

−1

0,04 a = 832,91 €

Comprobaremos la evolución del capital en la siguiente hoja de cálculo: Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anualidad

832,91 832,91 832,91 832,91 832,91 832,91 832,91 832,91 832,91 832,91

Capital Acumulado

832,91 1.699,14 2.600,01 3.536,92 4.511,31 5.524,67 6.578,57 7.674,62 8.814,52 10.000,01

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78

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA A continuación aparecen las fórmulas empleadas en el cálculo Como puede apreciar, los valores del Capital Acumulado que aparecen en la tabla siguiente se pueden obtener de las dos formas que aparecen a continuación, es decir con la fórmula de capitalización aplicada año por año a lo que ya hay acumulado hasta el año anterior y sumándole lo aportado en el año en curso (columna C), o bien utilizando la función financiera del Valor Final de una renta (VF) a la que se da como argumentos el tipo de interés, el número de períodos y la cantidad entregada periódicamente. Este último argumento aparece con signo negativo debido a que la hoja de cálculo lo interpreta como un pago, es decir como algo de por sí negativo. Cambiando el signo de este argumento obtenemos el resultado esperado. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A B Anualidad 832,91 10 n 0,04 i Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anual.

=B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1

C

D

Capital Acumulado

Con función

=C6*(1+B$3)+B7 =C7*(1+B$3)+B8 =C8*(1+B$3)+B9 =C9*(1+B$3)+B10 =C10*(1+B$3)+B11 =C11*(1+B$3)+B12 =C12*(1+B$3)+B13 =C13*(1+B$3)+B14 =C14*(1+B$3)+B15 =C15*(1+B$3)+B16

=VF(B$3;A7;-B$1) =VF(B$3;A8;-B$1) =VF(B$3;A9;-B$1) =VF(B$3;A10;-B$1) =VF(B$3;A11;-B$1) =VF(B$3;A12;-B$1) =VF(B$3;A13;-B$1) =VF(B$3;A14;-B$1) =VF(B$3;A15;-B$1) =VF(B$3;A16;-B$1)

3.- El señor R. y su socio, el señor T. se separan quedándose cada uno de ellos con 60.000 € como resultado de la liquidación. Ambos colocan su dinero en un producto que rinde el 4,5% anual pero retiran 2.100 € a fin de cada año para hacer frente a sus obligaciones de pago. Transcurrido cierto número de años R. liquida su inversión mientras T. mantiene la suya el doble número de años y consigue 8.004 € más. ¿Cuántos años mantuvo R. su inversión y qué cantidad obtuvo?

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RENTAS 60.000 ⋅ (1,045 ) − 2.100 ⋅ n

79

(1,045 )

−1

0,045

60.000 ⋅ (1,045 ) − 2.100 ⋅ 2n

n

(1,045)

2n

+ 8.004 =

−1

0,045

si sustituimos 1,045n = x 60.000 ⋅ x − 2.100 ⋅

x −1 x2 − 1 + 8.004 = 60.000 ⋅ x 2 − 2.100 ⋅ 0,045 0,045

operando: 60.000 ⋅ x − 46.666,6 ⋅ x + 8.004 = 60.000 ⋅ x 2 − 46.666,6 simplificando: 13.333,3 ⋅ x 2 − 13.333,3 x − 8.004 = 0 y resolviendo la ecuación de segundo grado llegamos a la siguiente solución positiva: x = 1,4221, luego: 1,045n = 1, 4221 n ⋅ ln1,045 =1, 4221 n = 8 años y a partir de ahí podemos calcular el capital retirado: 60.000 ⋅ (1,045 ) − 2.100 ⋅ 8

1,0458 − 1 = 65.628 € 0,045

Comprobemos también que hemos llegado a la solución correcta utilizando la hoja de cálculo. Se incluyen a continuación los resultados obtenidos durante los próximos ocho años así como las fórmulas empleadas en el cálculo. A continuación se incluye una tercera alternativa para llegar al mismo resultado. Este ejercicio no es una excepción. Las soluciones aquí propuestas no son únicas y puede que en algún caso ni siquiera sean las mejores.

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80

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Capital Invertido 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000

Renta Capital Retirada Acumulado 0,00 60.000,00 2.100,00 60.600,00 4.294,50 61.227,00 6.587,75 61.882,22 8.984,20 62.566,91 11.488,49 63.282,43 14.105,47 64.030,13 16.840,22 64.811,49 19.698,03 65.628,01

Ahora vamos a ver las fórmulas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

F C i Renta n

G 60000 0,045 2.100 8

Peri. Capital Inicial =G$1 0 =G$1 1 =G$1 2 =G$1 3 =G$1 4 =G$1 5 =G$1 6 =G$1 7 =G$1 8

H

I

Renta Retirada

Capital Acumulado

=VF(G$2;F8;-G$3) =VF(G$2;F9;-G$3) =VF(G$2;F10;-G$3) =VF(G$2;F11;-G$3) =VF(G$2;F12;-G$3) =VF(G$2;F13;-G$3) =VF(G$2;F14;-G$3) =VF(G$2;F15;-G$3) =VF(G$2;F16;-G$3)

=G8*((1+G$2)^F8)-H8 =G9*((1+G$2)^F9)-H9 =G10*((1+G$2)^F10)-H10 =G11*((1+G$2)^F11)-H11 =G12*((1+G$2)^F12)-H12 =G13*((1+G$2)^F13)-H13 =G14*((1+G$2)^F14)-H14 =G15*((1+G$2)^F15)-H15 =G16*((1+G$2)^F16)-H16

Estas fórmulas reflejan el planteamiento hecho en la ecuación con la que hemos resuelto el problema. En realidad dicha ecuación es exactamente la que aparece en la última línea, correspondiente al año 8. Se puede observar cómo cada línea es independiente de las anteriores con lo que para calcular el valor que se alcanza en el año 8 no es necesario conocer los valores alcanzados en los años anteriores. Otra forma de llegar a la misma solución es la que aparece en la siguiente hoja:

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RENTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A C i Renta n

Peri. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

81

B

C

Capital Invertido (inicio de periodo) =B$1 =D8*(1+B$2) =D9*(1+B$2) =D10*(1+B$2) =D11*(1+B$2) =D12*(1+B$2) =D13*(1+B$2) =D14*(1+B$2) =D15*(1+B$2)

Renta Retirada

D

60000 0,045 2100 8

0 =B$3 =B$3 =B$3 =B$3 =B$3 =B$3 =B$3 =B$3

Capital Acumulado =B8-C8 =B9-C9 =B10-C10 =B11-C11 =B12-C12 =B13-C13 =B14-C14 =B15-C15 =B16-C16

En este procedimiento de cálculo los valores se van obteniendo a partir de los alcanzados en el periodo anterior. Observe también cómo en este ejercicio, tanto en la primera como en la segunda forma de solución, la inversión de 60.000 € aparece en el momento cero y finaliza a fin del año ocho. El hecho de que aparezcan nueve líneas en la hoja de cálculo no debe interpretarse como que transcurren nueve años, sino que debe entenderse que la inversión de 60.000 € se realiza en un momento, que llamamos momento cero, y que se corresponde con el inicio del primer año. Desde el principio del año uno hasta fin del año ocho transcurren exactamente ocho años. 4.- Un joven decide comenzar un plan de ahorro con el fin ayudar a su hermano menor, discapacitado, depositando 1.000 € a fin de cada año. Transcurrido un tiempo el hermano consigue un empleo muy bien pagado y el joven deja de poner dinero y comienza a retirar 1.265 € a principio de cada año para irse de viaje. Catorce años después de la primera entrega (no cobro) se acaba el dinero de la cuenta. ¿Cuántos años estuvo ahorrando? Utilizar un 4% de interés en los cálculos.

Hemos de entender que la operación completa dura 14 años, incluyendo tanto las entregas como las retiradas de fondos, y en base a esta suposición se plantea la solución, con la siguiente expresión de equivalencia:

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82

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

1.000 ⋅

(1,04 )

n

0,04

−1

= 1.265

1 − (1,04 )

− (14 − n )

0,04

⋅ 1,04

operando: 1.000 ⋅ 1,04n − 1.000 = 1.315,6 − 759,7261 ⋅ 1,04n de donde se obtiene que 1,04n = 1,316, luego n = 7. Debemos entender que se realizan 7 imposiciones de 1.000 €, correspondiendo la última a fin del séptimo período. A partir de ese período comienzan las retiradas al inicio de los siguientes años, pero tal y como se ha planteado el ejercicio, el inicio de la renta prepagable coincide con el fin de la pospagable con lo que a fin del período 7 se producirá tanto la última entrega como la primera retirada. La evolución del capital se observa en la siguiente hoja de cálculo:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Imposiciones

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 -1.265 -1.265 -1.265 -1.265 -1.265 -1.265 0

Capital acumulado

1.000,00 2.040,00 3.121,60 4.246,46 5.416,32 6.632,98 6.633,29 5.633,63 4.593,97 3.512,73 2.388,24 1.218,77 2.52 2.62

Las retiradas constituyen, por tanto, una renta prepagable de vida 14-7, es decir dura otros siete períodos, siendo la primera a principios del período 8 (o fin del siete) y la última a principios del 14.

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RENTAS

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Aparecen a continuación las fórmulas con las que se han realizado los cálculos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

A Imposición Retirada Imposición

B

C

1.000 1.265 4%

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Imposiciones

Capital Acumulado

=B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =B$1 =-B$2 =-B$2 =-B$2 =-B$2 =-B$2 =-B$2 0

=C7*(1+B$3)+B8 =C8*(1+B$3)+B9 =C9*(1+B$3)+B10 =C10*(1+B$3)+B11 =C11*(1+B$3)+B12 =C12*(1+B$3)+B13 =C13*(1+B$3)+B14-B$2 =C14*(1+B$3)+B15 =C15*(1+B$3)+B16 =C16*(1+B$3)+B17 =C17*(1+B$3)+B18 =C18*(1+B$3)+B19 =C19*(1+B$3)+B20 =C20*(1+B$3)+B21

Si hubiésemos considerado que transcurría un año entre la última entrega y la primera retirada, es evidente que el fin de la renta se produciría un año más tarde y el planteamiento habría sido: 1.000 ⋅

(1,04 )

n

0,04

−1

= 1.265

1 − (1,04 )

− (14 − n )

0,04

⋅ 1,04 ⋅ 1,04−1

operando: 1.000 ⋅ 1,04n − 1.000 = 1.265 − 730,5059 ⋅ 1,04n de donde se obtiene que 1,04n = 1,3088, luego n = 6,86. Observe que el hecho de retrasar el comienzo de los cobros un año no afecta al exponente de la renta prepagable que sigue siendo –(14-n). Esto

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84

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA es así porque el número de cobros sigue siendo el mismo, es decir siete, y eso es lo que se recoge en dicho exponente. La corrección de ese año de diferencia se realiza al multiplicar la renta prepagable por 1,04-1, con lo que la estamos actualizando por un año. Veamos ahora la hoja de cálculo: Periodos

Imposiciones

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Capital acumulado

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 -1.265 -1.265 -1.265 -1.265 -1.265 -1.265 -1.265 0

1.000,00 2.040,00 3.121,60 4.246,46 5.416,32 6.632,98 7.898,29 6.949,23 5.962,20 4.935,68 3.868,11 2.757,83 1.603,15 402,27 418,37

Se observa también como en este caso hemos obtenido un resultado en nuestro cálculo inferior a siete debido a que el importe que sobra tras la séptima retirada es bastante superior al que quedaba en el caso anterior que era de 2,62 €, es decir, prácticamente despreciable. En este caso, en cambio la cifra es de 418,37 €, como se puede apreciar en la hoja de cálculo que aparece más arriba. Es fácil comprobar que teniendo en cuenta este resto llegaríamos exactamente a los mismos siete años. Veamos: 1.000 ⋅

(1,04 )

n

0,04

−1

= 1.265

1 − (1,04 )

− (14 − n )

0,04

+ 418,37 ⋅ 1,04− (15− n )

operando: 25.000 ⋅ 1,04n − 25.000 = 31625 − 18.262,65 ⋅ 1,04n + 232,31 ⋅ 1,04n de donde se obtiene que 1,04n = 1,3159, luego n = 7.

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RENTAS

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Como puede comprobar, el exponente utilizado para actualizar los 418,37 € que quedan al final es –(15-n) y no –(14-n) como es el caso de la renta prepagable. Tenga en cuenta que el exponente de la renta refleja el número de pagos (o cobros en este caso) mientras que es exponente del resto de euros refleja los años que lo separan del momento de valoración, es decir, de fin del año siete. En este caso las fórmulas serían: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

E Imposición Retirada Tipo

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

F

G

1000 1265 0,04

(un año más tarde)

Imposiciones

Capital acumulado

=F$1 =F$1 =F$1 =F$1 =F$1 =F$1 =F$1 =-F$2 =-F$2 =-F$2 =-F$2 =-F$2 =-F$2 =-F$2 0

=G7*(1+F$3)+F8 =G8*(1+F$3)+F9 =G9*(1+F$3)+F10 =G10*(1+F$3)+F11 =G11*(1+F$3)+F12 =G12*(1+F$3)+F13 =G13*(1+F$3)+F14 =G14*(1+F$3)+F15 =G15*(1+F$3)+F16 =G16*(1+F$3)+F17 =G17*(1+F$3)+F18 =G18*(1+F$3)+F19 =G19*(1+F$3)+F20 =G20*(1+F$3)+F21 =G21*(1+F$3)+F22

5.- Podríamos empezar a cobrar hoy una renta temporal anual por importe de a pero si esperamos un tiempo el importe alcanzaría un 20% más. ¿Cuánto deberíamos esperar si utilizamos un tipo de valoración del 4%?

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86

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 1, 2 ⋅ a ⋅ an i ⋅ (1,04 ) 1, 2 ⋅ (1,04 )

(1,04 )

−d

−d

−d

= a ⋅ an i

=1

= 0,8333

− d ⋅ ln1,04 = ln 0,8333 − d = −4,65 d= 4 años, 7 meses y 24 días 6.- El sr. T. compró una casa en 1980 en los siguientes términos: 50.000 € al contado, una renta mensual vitalicia a su anciana propietaria de 370 € pagadera a fin de mes y la condición de permanecer en la vivienda hasta el fallecimiento. A pesar de lo avanzado de su edad la mujer vivió 20 años más. Si entonces el sr. T. decide vender la casa, ¿qué cantidad pedirá por ella si pretende conseguir un rendimiento del 7% efectivo anual en la operación?

Comenzaremos calculando los tipos efectivo mensual y nominal de frecuencia 12. i12 = (1,07 )

1/12

− 1 = 0.00565

J12 = 0,00656 ⋅ 12 = 6,7849% Ahora ya disponemos de todos los datos para hacer los cálculos. Calcularemos el importe que se pide del siguiente modo: 50.000 ⋅ (1,07 ) + s240 0,00565 ⋅ 370 = 193.484, 22 + 187.788, 46 = 381.272,68 € 20

El valor final de la renta de 20 años también podríamos calcularlo por aproximación a la renta anual: s20 0,07 = 12 ⋅ 370 ⋅

(1,07 )

20

0,07

−1

⋅

0,07 = 187.788, 46 € 12 ⋅ 0.00565

obteniendo, como era de esperar, el mismo resultado. 7.- ¿Qué cantidad será preciso depositar mensualmente en una entidad para constituir en 8 años un capital de 9.000 €, si el tipo utilizado en los cálculos es el 5%?

89 de 224

RENTAS

87

Comenzaremos de nuevo por calcular los tipos efectivo mensual y nominal de frecuencia mensual equivalentes al 5% efectivo anual.

i12 = (1,05)

1 / 12

− 1 = 0,004074

J 12 = 12 ⋅ 0,004074 = 4,8889% a partir de aquí: s96 0,004074 = a ⋅

(1,004074 )

96

−1

0,004074 9.000 = 76,80 € a= 117,192

= 9.000

Haremos ahora el cálculo por aproximación a la renta anual:

(1,05) = 12 ⋅ a ⋅

8

s8 0,05

−1

0,05 = 9.000 0,05 0,04889 a = 76,80 €

⋅

No parece oportuno incluir a continuación la hoja de cálculo de 96 filas con la evolución del capital a lo largo de los 8 años. Sin embargo podemos calcular la evolución anual. Es decir, podemos considerar que lo que se aporta anualmente es el valor final de una renta de 12 términos e importe 76,80. Calcularemos el valor final de esa renta:

(1,004074 ) = 76,80 ⋅

12

s12 0,004074

0,004074

−1

= 942,53

que por aproximación a la renta anual sería: s1 0,05 = 12 ⋅ 76,80 ⋅

1,05 − 1 0,05 ⋅ = 942,53 0,05 12 ⋅ 0,004074

Se concluye, a la vista de la anterior expresión que la renta anual se calcula, tras las correspondientes simplificaciones del siguiente modo: s1 0,05 = 12 ⋅ 76,80 ⋅

0,05 = 942,53 0,04889

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88

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA en general: s1 i = m ⋅ a ⋅

i Jm

o lo que es lo mismo, una renta pospagable de 100 € mensuales no es igual que una anual de 12·100, pero es bastante parecida. La diferencia la i . corregimos con el factor de corrección Jm Habrá observado que en la fórmula utilizada una líneas más arriba para calcular el valor final de la renta mensual de vida 96 meses por aproximación a la renta anual de vida 8 años, ciertos valores aparecen en negrita. Puede comprobar como ese cálculo se corresponde con el valor final de la renta de 12 términos mensuales que acabamos de calcular y generalizar. Resumiendo, en el cálculo del valor final (o en su caso el actual) de una renta fraccionada calculado por aproximación a la anual correspondiente lo que hacemos en realidad es utilizar como término anual el valor final (o actual) de la renta fraccionada correspondiente a un año. Lo comprobamos en la siguiente hoja de cálculo:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Término anual

942,53 942,53 942,53 942,53 942,53 942,53 942,53 942,53

V.F.

942,53 1.932,19 2.971,34 4.062,44 5.208,10 6.411,03 7.674,12 9.000,36

Se aprecia una pequeña diferencia al final debida a redondeos. Las fórmulas utilizadas en este cálculo han sido las siguientes, aunque conviene repetir que quizá al lector se le ocurra otra forma de llagar a la misma solución:

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RENTAS A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

89

B

C

Mensualidad Años (n) m i i12 J12 Renta anual

76,8 8 12 0,05 =((1+B4)^(1/B3))-1 =12*B5 =VF(B$5;B$3;-B$1)

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Término anual

V.F.

=B$7 =B$7 =B$7 =B$7 =B$7 =B$7 =B$7 =B$7

=(C11*(1+B$4))+B12 =(C12*(1+B$4))+B13 =(C13*(1+B$4))+B14 =(C14*(1+B$4))+B15 =(C15*(1+B$4))+B16 =(C16*(1+B$4))+B17 =(C17*(1+B$4))+B18 =(C18*(1+B$4))+B19

8.- Una mujer tiene alquilado un piso para oficina por 5.000 € anuales. En la actualidad se plantea la posibilidad de convertirlo en vivienda con el fin de aumentar dichos ingresos, lo que supondría una inversión de 3.200 € al final de cada uno de los próximos dos años, durante los cuales el piso no podría ser alquilado. A partir de fin del tercer año los rendimientos se estiman en 6.500 €. Si el tipo de interés aplicado es del 8% ¿le interesará realizar la obra?

Compararemos las dos situaciones: Situación actual:

5.000 = 62.500 € 0,08

Nueva situación:

1 − (1,08 ) 6.500 −2 ⋅ (1,08 ) − 3.200 ⋅ 0,08 0,08

−2

= 63.952,33 €

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90

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Evidentemente, el esfuerzo inversor se ve compensado por el incremento en los rendimientos anuales.

9.- Mediante la entrega de C euros a fin de cada año y durante 10, se formó un capital con el que se adquirió un local. Dicho local fue vendido 10 años más tarde obteniendo el propietario en la operación una rentabilidad igual a la de la operación de ahorro. ¿Cuál fue esa rentabilidad si sabemos que se podría haber alcanzado la misma cantidad en 10 años aportando una anualidad superior a C en un 70,8%?

En primer lugar expresaremos en forma de ecuaciones las informaciones que nos da el ejercicio. Con la cantidad acumulada durante 10 años en los que se han realizado entregas anuales de C euros se adquiere un local que se vende 10 años mas tarde a un precio, P, proporcionando esta operación al propietario una rentabilidad que llamaremos i.

(1 + i ) C⋅

10

i

−1

=

P

(1 + i )

10

Por otro lado sabemos también que esa misma cifra, P, podría haberse alcanzado mediante aportaciones de 1,708·C en 10 años y con la misma rentabilidad:

(1 + i ) 1,708 ⋅ C ⋅

10

i

−1

=P

A partir de aquí operamos:

(1 + i ) C⋅

10

i

(1 + i )

20

−1

(1 + i ) = 1,708 ⋅ C ⋅

10

−1

i

⋅

1

(1 + i )

− (1 + i ) = 1,708 ⋅ (1 + i ) − 1,708 10

si sustituimos (1+i)10 por x, tendremos:

10

10

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RENTAS

91

x 2 − x = 1,708 ⋅ x − 1,708 x 2 − 2,708 ⋅ x + 1,708 = 0 x=

2,708 ± 7,333264 − 6,832 2 2,708 ± 0,708 x= 2

De la anterior operación se obtienen dos soluciones x = 1 y x = 1,708. Como x, a su vez, es (1+i)10 tendríamos:

(1 + i )

10

=1⇒ i = 0

lo que no se puede considerar una solución válida. Por otro lado:

(1 + i )

10

= 1,708 1

(1 + i ) = 1,708 10 = 1,05499 i ≈ 5,5% 10.- El propietario de un local que produce una renta anual líquida de 1.300 € renegocia las condiciones con el arrendatario de manera que pase a pagar una nueva renta, en este caso diferida dos años y de vida 50 años. ¿Cuál será la nueva anualidad si se valora la operación al 5%?

En principio parece claro que se trata de establecer una equivalencia financiera entre las dos rentas, la actual y la que se plantea con las nuevas condiciones. De esta manera: 1.300 −2 = a ⋅ a50 0,05 ⋅ (1,05 ) 0,05 26.000 = a ⋅ 16,5586 a = 1.570,17 € Pero a continuación cabría hacerse una pregunta: ¿Qué ocurre tras los 50 años? Lo lógico sería pensar que el local pasa a ser propiedad del arrendatario o su familia ya que en otro caso no le convendría el cambio. 11.- ¿Qué cantidad deberíamos depositar en un banco para, dentro de 10 años y durante 15, poder disfrutar de una renta anual variable en

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92

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA progresión aritmética de razón 300 € y primer término 2.500 € si la operación se pacta al 6%?

Se está pidiendo el Valor Actual de una renta variable en progresión geométrica y diferida diez años: A = a1 ⋅ an i +

(

r ⋅ an i − n ⋅ v n

(

)

i

 300 ⋅ a15 0,06 − 15 ⋅ 1,06−15 A =  2.500 ⋅ a15 0,06 +  0,06  A = 23.199,62 €

)  ⋅1,06  

−10

Veamos la evolución en una hoja de cálculo

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Términos

2500 2800 3100 3400 3700 4000 4300 4600 4900 5200 5500 5800 6100 6400 6700

V.A. (de la renta)

2.358,49 4.850,48 7.453,30 10.146,42 12.911,27 15.731,12 18.590,86 21.476,96 24.377,26 27.280,91 30.178,25 33.060,67 35.920,59 38.751,31 41.546,99

Las fórmulas utilizadas han sido las siguientes:

V.A. (de cada término)

2.358,49 2.491,99 2.602,82 2.693,12 2.764,86 2.819,84 2.859,75 2.886,10 2.900,30 2.903,65 2.897,33 2.882,42 2.859,92 2.830,73 2.795,68 41.546,99

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RENTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

A a1 r i n

B

93

C

D

2500 300 0,06 15

Pe Términos 0 1 =B$1 2 =B8+B$2 3 =B9+B$2 4 =B10+B$2 5 =B11+B$2 6 =B12+B$2 7 =B13+B$2 8 =B14+B$2 9 =B15+B$2 10 =B16+B$2 11 =B17+B$2 12 =B18+B$2 13 =B19+B$2 14 =B20+B$2 15 =B21+B$2 16

V.A. (de la renta)

V.A.(de cada término)

=C7+B8*((1+B$3)^(-A8)) =C8+B9*((1+B$3)^(-A9)) =C9+B10*((1+B$3)^(-A10)) =C10+B11*((1+B$3)^(-A11)) =C11+B12*((1+B$3)^(-A12)) =C12+B13*((1+B$3)^(-A13)) =C13+B14*((1+B$3)^(-A14)) =C14+B15*((1+B$3)^(-A15)) =C15+B16*((1+B$3)^(-A16)) =C16+B17*((1+B$3)^(-A17)) =C17+B18*((1+B$3)^(-A18)) =C18+B19*((1+B$3)^(-A19)) =C19+B20*((1+B$3)^(-A20)) =C20+B21*((1+B$3)^(-A21)) =C21+B22*((1+B$3)^(-A22))

=B8/((1+B$3)^A8) =B9/((1+B$3)^A9) =B10/((1+B$3)^A10) =B11/((1+B$3)^A11) =B12/((1+B$3)^A12) =B13/((1+B$3)^A13) =B14/((1+B$3)^A14) =B15/((1+B$3)^A15) =B16/((1+B$3)^A16) =B17/((1+B$3)^A17) =B18/((1+B$3)^A18) =B19/((1+B$3)^A19) =B20/((1+B$3)^A20) =B21/((1+B$3)^A21) =B22/((1+B$3)^A22) =SUMA(D8:D22)

Al tratarse de una renta diferida, el valor actual que se obtiene en la tabla debe actualizarse 10 años, con lo que llegaríamos al resultado esperado:

Ad / = 41.546,99 ⋅ (1, 06 )

−10

= 23.199, 62 €

12.- La Sra. T. resulta agraciada con un premio consistente en una renta vitalicia de 3.500 € al año. Puesta al habla con los patrocinadores llaga a un acuerdo con ellos para canjear dicha renta por una variable en progresión aritmética de razón 175 € y 15 años de vida. Si se valora la operación al 5%, ¿a cuánto ascenderá el primer término de dicha renta?

Se trata de una equivalencia financiera entre el valor actual de la renta vitalicia y el de la renta variable en progresión aritmética:

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94

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

(

 175 ⋅ a15 0,05 − 15 ⋅ 1,05−15 3.500  = a1 ⋅ a15 0,05 + 0,05  0,05  70.000 = 10,3796 ⋅ a1 + 11.075, 4055

)   

a1 = 5.677 € Como en ejercicios anteriores comprobaremos la evolución del capital utilizando la hoja de cálculo:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Términos

5.677 5.852 6.027 6.202 6.377 6.552 6.727 6.902 7.077 7.252 7.427 7.602 7.777 7.952 8.127

V.A (de la renta) 5.406,67 10.714,60 15.920,95 21.023,35 26.019,90 30.909,10 35.689,86 40.361,40 44.923,30 49.375,40 53.717,81 57.950,89 62.075,20 66.091,50 70.000,72

V.A (de los términos) 5.406,67 5.307,94 5.206,35 5.102,40 4.996,55 4.889,20 4.780,75 4.671,55 4.561,90 4.452,10 4.342,41 4.233,08 4.124,31 4.016,30 3.909,23 70.000,72

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RENTAS

95

A continuación tenemos las fórmulas empleadas:

A

B

1 a1

5677

2 r

175

3 i

0,05

4 n

15

C

D

5 6 Per Términos

V.A (de la renta)

V.A (de los términos)

7 0 8 1

=B$1

=C7+B8*((1+B$3)^(-A8))

=B8/((1+B$3)^A8)

9 2

=B8+B$2

=C8+B9*((1+B$3)^(-A9))

=B9/((1+B$3)^A9)

10 3

=B9+B$2

=C9+B10*((1+B$3)^(-A10)) =B10/((1+B$3)^A10)

11 4

=B10+B$2 =C10+B11*((1+B$3)^(-A11)) =B11/((1+B$3)^A11)

12 5

=B11+B$2 =C11+B12*((1+B$3)^(-A12)) =B12/((1+B$3)^A12)

13 6

=B12+B$2 =C12+B13*((1+B$3)^(-A13)) =B13/((1+B$3)^A13)

14 7

=B13+B$2 =C13+B14*((1+B$3)^(-A14)) =B14/((1+B$3)^A14)

15 8

=B14+B$2 =C14+B15*((1+B$3)^(-A15)) =B15/((1+B$3)^A15)

16 9

=B15+B$2 =C15+B16*((1+B$3)^(-A16)) =B16/((1+B$3)^A16)

17 10 =B16+B$2 =C16+B17*((1+B$3)^(-A17)) =B17/((1+B$3)^A17) 18 11 =B17+B$2 =C17+B18*((1+B$3)^(-A18)) =B18/((1+B$3)^A18) 19 12 =B18+B$2 =C18+B19*((1+B$3)^(-A19)) =B19/((1+B$3)^A19) 20 13 =B19+B$2 =C19+B20*((1+B$3)^(-A20)) =B20/((1+B$3)^A20) 21 14 =B20+B$2 =C20+B21*((1+B$3)^(-A21)) =B21/((1+B$3)^A21) 22 15 =B21+B$2 =C21+B22*((1+B$3)^(-A22)) =B22/((1+B$3)^A22) 23 16

=SUMA(D8:D22)

13.- Queremos asegurarnos durante los próximos ocho años el cobro de una renta mensual variable, creciente en progresión aritmética de razón 12 € y primer término 200 € al 5% de interés. ¿cuánto dinero habrá que depositar hoy? ¿Si la renta fuese decreciente, ¿cuál sería su primer término? i = 5% i12 = (1,05)1/12 –1 = 0,004074

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96

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 12 ⋅  a96 0,004074 − 96 ⋅ 1,004074−96    = 58.112 € A = 200 ⋅ a96 0,004074 + 0,004074 Ahora calcularemos la renta decreciente equivalente:

12 ⋅  a96 0,004074 − 96 ⋅ 1,004074−96    58.112 = a1 ⋅ a96 0,004074 − 0,004074 a1 = 1.265, 26 € 14.- Un individuo que pasa al paro tiene derecho a cobrar el subsidio durante los próximos 5 años a razón de 1.530 € al mes durante los dos primeros años y con una reducción acumulativa anual del 10% los tres últimos años. Dado que estas condiciones no le resultan demasiado atractivas, decide cobrarlo todo de golpe al tanto del 5% e invertir la cantidad resultante en un negocio que le producirá durante los próximos 8 años una cantidad mensaul variable en progresión aritmética de razón 10 € y al tanto del 6%. ¿A cuanto ascenderá el primer término de dicha renta?

i = 5% i12 = (1,05)1/12 –1 = 0,004074 J12 = 0,048889 Calcularemos ahora el valor actual de la renta constante de los dos primeros años: V . A. = 1.530 ⋅

1 − (1,004074 ) 0,004074

−24

= 34.914, 23 €

por aproximación a la renta anual: V . A. = 12 ⋅ 1.530 ⋅

1 − (1,05 ) 0,05

−2

⋅

0,05 = 34.914,57 € 0,048889

A partir del tercer año y durante 3, se cobra una renta variable en progresión geométrica decreciente. La renta es de variación anual manteniéndose constante dentro del año, y el importe correspondiente al primer año será 1.530·0,90=1.377. Este importe se verá reducido en los

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RENTAS

97

próximos años a razón de un 10% anual. Calcularemos el valor actual de dicha renta: V . A. = 1.377 ⋅ 12 ⋅

0,05 1 − 0,93 ⋅ 1,05−3 ⋅ = 41.714,60 € 0,048889 1,05 − 0,9

Aunque se trata de una renta fraccionada de frecuencia mensual solo podemos valorarla en términos anuales ya que los términos varían anualmente. Por esta razón, a1, primer término de la renta, será el valor final de la renta fraccionada mensual del primer año (trabajaremos por tanto con la equivalente anual pospagable, pero también podríamos hacerlo a partir de la anual prepagable utilizando el valor actual en vez del final) disminuyendo los términos segundo y tercero en un 10% acumulativo (es evidente que si el importe mensual disminuye en un 10% el valor de la renta anual lo hará en la misma proporción). Pero la cantidad que acabamos de obtener está expresada en unidades monetarias de principio del año 3, por lo que habrá que actualizarla dos años más para poder sumarla a la renta constante de los primeros dos años. Por lo tanto, la cantidad total a cobrar en el momento cero será: V.A.= 34.914,23 + 41.714,60·(1.05)-2 = 72.750,60 € Dice el ejercicio que dicha cantidad se invierte en un negocio que producirá durante los próximos 8 años una renta mensual variable en progresión aritmética de razón 1.000 € y valorada al 6%. Para calcular el primer término de dicha renta comenzaremos calculando los tipos de interés equivalentes: i = 6% i12 = (1,06)1/12-1 = 0,0048675 J12 = 0,05841 a continuación realizaremos el cálculo: 72.750 = a1 ⋅ a96 0,0048675 +

(

10 ⋅ a96 0,0048675 − 96 ⋅ 1,0048675−96

a1 = 512,57 €

0,0048675

)

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98

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Puede utilizar la hoja de cálculo para comprobar la equivalencia entre las rentas.

15.- Un individuo posee una finca rústica que tiene alquilada a un tercero por 9.000 € anuales. En un momento dado llega a un acuerdo con su inquilino para traspasarle la propiedad de la finca a cambio de una renta creciente cada año en un 8% y de 15 años de vida. Si se establece un tipo de valoración del 6% en la operación, ¿cuál sería el primer término de esa renta?

V.A. de la renta perpetua:

9.000 = 150.000 € 0,06

Renta variable equivalente: 1 − 1,0815 ⋅ 1,06−15 1 + 0,06 − 1,08 a1 = 9.269,70 €

150.000 = a1 ⋅

16.- El Sr. P. decide, tras el nacimiento de su primer hijo, abrir una cuenta a su nombre con el fin de que su saldo esté disponible cuando el joven cumpla 23 años. A tal fin decide destinar 3.000 € a fin del primer año en el momento de abrir la cuenta e ir aumentando dicha cantidad cada año en 100 €. Durante los 8 primeros años dicha cuenta le abona un 7% anual, disminuyendo el porcentaje al 5% en los años siguientes (esta información se conoce a fin del año 8). Tras realizar la entrega número 20 el Sr. P. deja de ingresar nuevas cantidades ¿Cual será el saldo de la cuenta a fin del año 23?

Calcularemos los valores finales de las dos rentas, en euros de fin del año 23, y luego los sumaremos:

S

1 23

(

 100 ⋅ a8 0,07 − 8 ⋅ 1,07 −8  = 3.000 ⋅ a8 0,07 +  0,07 

(

)  ⋅1,07 ⋅1,05 8

 

 100 ⋅ a12 0,05 − 12 ⋅ 1,05−12 S 2 23 = 3.800 ⋅ a12 0,05 +  0,05 

15

)  ⋅1,05  

15

= 70.699,56 €

= 79.088,17 €

101 de 224

RENTAS

99

Sumando ambas cantidades tendremos:

S 23 = 70.699,56 + 79.088,17 = 149.787,73 € A continuación aparece la evolución del capital correspondiente a la primera renta. Periodos

Términos

0 1 2 3 4 5 6 7 8

V.F.

3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700

3.000,00 6.310,00 9.951,70 13.948,32 18.324,70 23.107,43 28.324,95 34.007,70

V. Año 23

70.699,56

Y finalmente las fórmulas empleadas A

B

C

1

a1

3000

2

r

100

3

i

0,07

4

n

23

5

m

1

6

Periodo

Términos

V.F.

7

0

8

1

=B$1

=C7*(1+B$3)+B8

9

2

=B8+B$2

=C8*(1+B$3)+B9

10 3

=B9+B$2

=C9*(1+B$3)+B10

11 4

=B10+B$2 =C10*(1+B$3)+B11

12 5

=B11+B$2 =C11*(1+B$3)+B12

13 6

=B12+B$2 =C12*(1+B$3)+B13

14 7

=B13+B$2 =C13*(1+B$3)+B14

15 8

=B14+B$2 =C14*(1+B$3)+B15

D

V. Año 23

=C15*(1,05)^15

102 de 224

100

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

17.- Un empresario adquiere un activo en las siguientes condiciones: durante 5 años pagará una renta mensual variable anualmente en progresión geométrica. El primer año el importe será de 1.500 € prepagables aumentando cada año dicha cantidad en un 2%. Transcurrido ese plazo se continuará con una renta constante también prepagable durante cinco años más, por el importe del último año de la renta variable. Si se ha establecido un tanto efectivo de valoración del 4% anual, ¿cuál fue el precio de adquisición del citado activo?

Comenzaremos calculando el valor actual de la renta variable. Como varía anualmente debemos tratarla como una renta anual, cuyo primer término será el valor final (podría ser el actual) de la renta constante del primer año:

a1 = 1.500 ⋅ 12 ⋅

0,04 ⋅ 1,00327374 = 18.387,66 € 0,0392848

Este será el primer término de la renta variable, que ahora será anual y pospagable (ya que hemos calculado el valor final de la renta del primer año y no su valor actual, en cuyo caso se trataría de una renta anual prepagable). A continuación calcularemos el valor actual de la renta variable, de cinco años de vida:

A = 18.387,66 ⋅

1 − 1,025 ⋅ 1,04−5 = 85.066,88 € 1,04 − 1,02

A partir del sexto año y durante cinco años más la renta es constante mensual y prepagable, manteniéndose el importe del último año de la renta variable, que será:

a = 1.500 ⋅ (1,02) 4 = 1.623,65 € siendo el valor actual de esta renta:

A = 1.623,65 ⋅

1 − (1,00327373) −60 ⋅ 1,00327373 = 88.606, 49 € 0,00327373

103 de 224

RENTAS

101

que también podríamos calcular por aproximación a la anual equivalente:

A = 1.623,65 ⋅ 12 ⋅

1 − 1,04−5 0,04 ⋅ ⋅ 1,00327373 = 88.606, 49 € 0,04 0,0392848

Finalmente, el valor del activo será el resultado de sumar ambas rentas, una vez trasladada la segunda a unidades monetarias del mismo momento que la primera, es decir, una vez actualizada por cinco años al 4% Valor del activo = 85.066,88 + 88.606, 49 ⋅ 1,04−5 = 157.894,95 € A continuación la hoja de calculo y las fórmulas empleadas: Per. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Términos

1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00

V.A.

1.500,00 2.995,11 4.485,33 5.970,70 7.451,21 8.926,90 10.397,77 11.863,84 13.325,13 14.781,65 16.233,42 17.680,45

Otros cálculos

18.387,66

.................................................................................. 1.623,65 82.384,74 57 1.623,65 83.728,01 58 1.623,65 85.066,90 59 1.623,65 86.401,42 60 .................................................................................. 1.623,65 155.690,35 117 1.623,65 156.794,43 118 1.623,65 157.894,90 119 88.606,39 157.894,90 157.894,90 Y a continuación las fórmulas:

104 de 224

102

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA A

B

1 a1

1500

2 n

10

3 m

12

4 i

0,04

C

D

5 i12 =((1+B4)^(1/12))-1 6 q

1,02

7 8 Pe. Términos

V.A.

9 0

=B1

=B9

10 1

=B1

=C9+B10*((1+B$5)^(-A10))

11 2

=B1

=C10+B11*((1+B$5)^(-A11))

12 3

=B1

=C11+B12*((1+B$5)^(-A12))

13 4

=B1

=C12+B13*((1+B$5)^(-A13))

14 5

=B1

=C13+B14*((1+B$5)^(-A14))

15 6

=B1

=C14+B15*((1+B$5)^(-A15))

16 7

=B1

=C15+B16*((1+B$5)^(-A16))

17 8

=B1

=C16+B17*((1+B$5)^(-A17))

18 9

=B1

=C17+B18*((1+B$5)^(-A18))

18 10

=B1

=C18+B19*((1+B$5)^(-A19))

20 11

=B1

=C19+B20*((1+B$5)^(-A20))

66 57

Otros cálculos

=C20*1,04

.............................................................................................................................. =B45:B56*B$6 =C65+B66*((1+B$5)^(-A66))

67 58

=B45:B56*B$6

=C66+B67*((1+B$5)^(-A67))

68 59

=B45:B56*B$6

=C67+B68*((1+B$5)^(-A68))

69 60

=B68

=C68+B69*((1+B$5)^(-A69))

.............................................................................................................................. =C125+B126*((1+B$5)^(-A126)) 126 117 =B68 127 118 =B68

=C126+B127*((1+B$5)^(-A127))

128 119 =B68

=C127+B128*((1+B$5)^(A128))

129

=VNA(B5;B9:B12 8)*(1+B5)

=VA(B5;60;B128)*(1+B5) =C68+D128*(1+B4 )^-5

105 de 224

RENTAS

103

En las celdas correspondientes a los términos de la renta se han empleado fórmulas matriciales aunque no aparecen las llaves en las fórmulas de la hoja de cálculo. 18.- Se realizan aportaciones trimestrales constantes y prepagables de importe a durante 4 años y de 1,25 a durante 2. Si la inversión garantiza un tipo efectivo de frecuencia trimestral del 4%, se pide: a) Capital constituido b) Cuota de constitución del último trimestre del 4º año a)

i = 0,04; i4 = (1,04 )

1/ 4

− 1 = 0.0098534; J 4 = i4 ⋅ 4 = 0,039413626

Calculamos el capital constituido como suma del valor final de las dos rentas: S1 = 4a ⋅

1,044 − 1 0,04 ⋅ ⋅ 1,0098534 ⋅ 1,042 = 18,8289a 0,04 0,039413626

S 2 = 1, 25 ⋅ 4 ⋅ a ⋅

1,042 − 1 0,04 ⋅ ⋅ 1,0098534 = 10, 4537 a 0,04 0,039413626 S = S1 + S2 = 29, 28a €

Se incluye a continuación la hoja de cálculo correspondiente y las fórmulas: Per. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Terminos

Interés

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0,00985 0,01980 0,02985 0,04000 0,05025 0,06060 0,07105 0,08160 0,09226

Cuota

1 1,00985 1,01980 1,02985 1,04000 1,05025 1,06060 1,07105 1,08160 1,09226

Acumulado

1 2,00985 3,02966 4,05951 5,09951 6,14976 7,21035 8,28140 9,36300 10,45526

106 de 224

104

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Per.

Terminos

1 1 1 1 1 1 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 29,28270

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Interés

Cuota

0,10302 0,11389 0,12486 0,13595 0,14714 0,15844 0,16986 0,18385 0,19798 0,21224 0,22665 0,24120 0,25590 0,27073 0,28572

Acumulado

1,10302 1,11389 1,12486 1,13595 1,14714 1,15844 1,41986 1,43385 1,44798 1,46224 1,47665 1,49120 1,50590 1,52073 0,28572

11,55828 12,67217 13,79703 14,93298 16,08012 17,23856 18,65842 20,09227 21,54025 23,00249 24,47914 25,97035 27,47624 28,99698 29,28270

y las fórmulas: A

B

1

a1

1

2

i

0,04

3

i4

=((1+B2)^0,25)-1

4

n

6

5

m

4

C

D

E

6 7

Per. Términos

Interés

Cuota

Acumulado

8

0

=B$1

0

=B8+C8

=D8

9

1

=B$1

=B$3*E8

=B9+C9

=E8+D9

10 2

=B$1

=B$3*E9

=B10+C10 =E9+D10

11 3

=B$1

=B$3*E10 =B11+C11 =E10+D11

12 4

=B$1

=B$3*E11 =B12+C12 =E11+D12

13 5

=B$1

=B$3*E12 =B13+C13 =E12+D13

14 6

=B$1

=B$3*E13 =B14+C14 =E13+D14

15 7

=B$1

=B$3*E14 =B15+C15 =E14+D15

107 de 224

RENTAS A

B

105 C

D

E

16 8

=B$1

=B$3*E15 =B16+C16 =E15+D16

17 9

=B$1

=B$3*E16 =B17+C17 =E16+D17

18 10

=B$1

=B$3*E17 =B18+C18 =E17+D18

19 11

=B$1

=B$3*E18 =B19+C19 =E18+D19

20 12

=B$1

=B$3*E19 =B20+C20 =E19+D20

21 13

=B$1

=B$3*E20 =B21+C21 =E20+D21

22 14

=B$1

=B$3*E21 =B22+C22 =E21+D22

23 15

1

=B$3*E22 =B23+C23 =E22+D23

24 16

1,25

25 17

=1,25*B$1

=B$3*E23 =B24+C24 =E23+D24 =B$3*E24 =B25+C25 =E24+D25

26 18

=1,25*B$1

=B$3*E25 =B26+C26 =E25+D26

27 19

=1,25*B$1

=B$3*E26 =B27+C27 =E26+D27

28 20

=1,25*B$1

=B$3*E27 =B28+C28 =E27+D28

29 21

=1,25*B$1

=B$3*E28 =B29+C29 =E28+D29

30 22

=1,25*B$1

=B$3*E29 =B30+C30 =E29+D30

31 23

=1,25*B$1

=B$3*E30 =B31+C31 =E30+D31

32 24

=VNA(B3;B8:B31)*(1 =B$3*E31 =C32 +B3)*(1+B2)^6

=E31+D32

Como se observa, para la elaboración de la hoja de cálculo se ha dado a a el valor 1. b) Cálculo de la cuota de constitución del último trimestre del año 4

Para responder a esta cuestión, cuyo resultado ya conocemos por la tabla, hemos de tener en cuenta que las cuotas de constitución se calculan a fin de período y por tanto la cuota de constitución del último trimestre del año cuarto (trimestre 16) vendrá dada por los intereses generados durante este trimestre por el capital acumulado hasta fin del penúltimo trimestre, el 15, más el término correspondiente a fin del período 16, que coincide con el inicio del periodo 17. Al mismo tiempo tendremos en cuenta que el cálculo del capital constituido a fin del periodo 15 incluye el término que se entrega a comienzo del 16, que es el último de importe a.

108 de 224

106

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Por lo tanto:

(1,0098534 )

15

S15 = 1 ⋅

−1

0,0098534

⋅ 1,0098534 = 16, 23856117 €

Cuota16 = (16, 23856117 + 1) ⋅ 0,0098534 + 1, 25 = 1, 419858 € La razón de este aparente desajuste entre el momento de valoración y los términos que se incluyen en los cálculos es, de nuevo, el carácter prepagable de las rentas implicadas.

19.- Una persona suscribe un plan de ahorro mediante aportaciones mensuales constantes y prepagables durante 8 años en una entidad financiera al 6% nominal de frecuencia 12, con el fin de alcanzar un montante de 60.000 €. Al final del tecer año la entidad reduce el tipo al 4% nominal. Se pide: a) Cuantía mensual según las condiciones iniciales b) Capital acumulado al final del año 3 c) Cuantía necesaria a partir del año 4 para alcanzar el mismo capital con las nuevas condiciones. a) J12 = 6%

i12 = 0,5%

i = 6,1677811%

Una vez calculados los tipos equivalentes que se van a necesitar pasaremos a calcular la cuantía mensual necesaria para alcanzar un capital de 60.000 €.

(1,061677 )

8

− 1 0,061677 ⋅ ⋅ 1,005 0,061677 0,06 60.000 = 123, 44 ⋅ a a = 486,055535 ≈ 486,06 €

60.000 = 12 ⋅ a ⋅

Es preciso mencionar en este punto la importancia de los redondeos en decimales a la hora de comprobar los resultados en la hoja de cálculo. Dado que en la práctica solo se emplean dos decimales, a la hora de realizar la hoja de cálculo los resultados no serán exactos, aunque por pequeñas diferencias. Lo veremos en la tabla que se incluye más adelante.

109 de 224

RENTAS

107

b) Transcurridos tres años el tipo se reduce al 4% nominal. El capital formado hasta ese momento es de: S3 = 486,06 ⋅ 12 ⋅

(1,061677)3 − 1 0,061677 ⋅ ⋅ 1,005 = 19.215, 47 € 0,061677 0,06

c) A partir de este momento habrá que ingresar una cantidad mayor para alcanzar la cifra de 60.000 €, ya que ha disminuido el tipo de interés: J12 = 4%

i12 = 0,333%

i = 4,07415%

1,04074155 − 1 0,0407415 ⋅ ⋅ 1,0033333 0,0407415 0,04 36.537,97658 = 66,51997466 ⋅ a

60.000 − 19.215, 47 ⋅ 1,04074155 = 12 ⋅ a ⋅

a = 549, 2782 ≈ 549, 28 €

Se añade a continuación la hoja de cálculo y las fórmulas:

Per. 0 1 2 12 13

Términos 486,06 486,06 486,06

Interés 0,00 2,43 4,87

Cuota Acumulado 486,06 486,06 488,49 974,55 490,93 1.465,48

......................................................................................................... 486,06 29,98 516,04 6.511,86 486,06 32,56 518,62 7.030,48

......................................................................................................... 486,06 92,70 578,76 19.119,71 35 549,28 95,60 644,88 36 19.764,59 549,28 65,88 615,16 20.379,75 37 549,28 67,93 617,21 20.996,96 38

94 95 96

......................................................................................................... 549,28 194,37 743,65 59.054,45 549,28 196,85 746,13 59.800,58 199,34 199,34 59.999,91

110 de 224

108

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Observe como el valor de fin del año 3 no coincide con el calculado porque en la tabla ya se ha sumado el término correspondiente al siguiente mes con el nuevo importe. Si restamos 19.764,59-549,28=19.215,13, obtenemos el mismo valor salvo la pequeña diferencia en decimales. Y finalmente las fórmulas:

A

B

D

1

a

486,06

549,28

2

J12

0,06

0,04

3

i12

=B2/B5

=C2/B5

4

n

8

5

m

12

C

E

6 7

Per. Términos

Interés

Cuota

Acumulado

8

0

=B$1

0

=B8+C8

=D8

9 1 10 2

=B$1 =B$1

=B$3*E8 =B$3*E9

=B9+C9 =B10+C10

=E8+D9 =E9+D10

...................................................................................................... =B$3*E19 =B20+C20 =E19+D20 20 12 =B$1 =B$3*E20 =B21+C21 =E20+D21 21 13 =B$1 ...................................................................................................... =B$3*E42 =B43+C43 =E42+D43 43 35 =B$1

44 36

=C$1

=B$3*E43

=B44+C44

=E43+D44

45 37

=C$1

=C$3*E44

=B45+C45

=E44+D45

46 38

=C$1

=C$3*E45

=B46+C46

=E45+D46

....................................................................................................... =C$3*E101 =B102+C102 =E101+D102 102 94 =C$1

103 95 104 96

=C$1

=C$3*E102

=B103+C103

=E102+D103

=C$3*E103

=B104+C104

=E103+D104

Observe como en el periodo 36, último mes del tercer año, aparece ya la nueva cantidad, pues al tratarse de una renta prepagable en este periodo, fin del 36, se entrega el primer término del cuarto año. Compruebe también como, sin embargo, durante el periodo 36 se sigue aplicando el primer tipo de interés que cambiará en el periodo 37.

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RENTAS

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20.- A la hora de comprar un piso, el Sr. B. puede elegir entre las siguientes opciones de pago: 200.000 € al contado 75.000 € al contado, 25.000 € dentro de 6 meses y una renta trimestral de 7 años de vida. El importe de los términos trimestrales de la renta será de 5.000 € y el primero se pagará dentro de un año. ¿Qué le interesará más sabiendo que en el mercado puede obtener una rentabilidad del 10% a sus inversiones? Se trata de calcular el valor actual de la segunda opción y compararlo con los 200.000 € al contado. Calcularemos en primer lugar los tipos equivalentes: i4 = (1,1)1/4 –1 = 0,0241137 J4 = 0,0964547 V . A. = 75.000 +

1 − (1,0241137 ) 25.000 + 5.000 0,5 1,1 0,0241137 = 192.819,66 €

−28

⋅ 1,0241137 ⋅ 1,1−1 =

Haremos el mismo cálculo valorando la renta por aproximación a la renta anual: 1 − (1,1) 25.000 0,1 + 5.000 ⋅ 4 ⋅ ⋅ ⋅1, 0241137 ⋅1,1−1 = 0,5 0,1 0, 0964547 1,1 = 192.819, 66 € −7

V . A. = 75.000 +

obteniendo, como era de esperar, el mismo resultado. Puede observar como en ambos casos se ha considerado la renta como prepagable, por lo que su valor se corrige multiplicándolo por el efectivo trimestral, 1,0241137, tanto en el caso de calcularla como renta fraccionada como en el segundo cálculo en que se ha empleado la aproximación a la anual. En uno y otro caso se corrige con el efectivo trimestral ya que el desfase por el prepago es siempre de un trimestre. A continuación se actualiza por un año, al tipo efectivo anual del 10% para llevarlo al momento cero.

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110

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA A continuación aparece la hoja de cálculo y las fórmulas, sólo para la renta. Se incluye la evolución de la renta completa aunque se puede comprobar también cómo llegar a la solución con una única fórmula:

Periodos

Término 5.000 5.000 5.000 5.000

0 1 2 3

V.A. 5.000,00 9.882,27 14.649,58 19.304,65

............................................................. 5.000 100.753,75 26 5.000 103.381,41 27 103.381,41 28 V.A. renta 93.983,10 93.983,10

A

B

C

1

a

5000

2

i

0,1

3

n

7

4

m

4

5

i4

=(1+B2)^(1/B4)-1

6

J4

=B5*4

8

Periodos

Término

V.A.

9

0

=B1

=B9

10 1

=B1

=C9+B10*(1+B$5)^-A10

11 2

=B1

=C10+B11*(1+B$5)^-A11

12 3

=B1

=C11+B12*(1+B$5)^-A12

7

............................................................................................................ =B1 =C34+B35*(1+B$5)^-A35 35 26

36 27 37 28 38 V.A. renta

=B1

=C35+B36*(1+B$5)^-A36 =C36+B37*(1+B$5)^-A37

=VA(B5;B3*B4;- =C37*(1+B2)^-1 B1)*(1+B5)*(1+B2 )^-1

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4 OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

4.1 Introducción La amortización es la operación mediante la cual se salda una deuda. En el presente capítulo estudiaremos concretamente las operaciones de amortización de préstamos. Un préstamo es una operación financiera por la que una persona o entidad entrega a otra, una determinada cantidad que ésta se compromete a devolver junto con sus intereses según determinadas condiciones. La persona o entidad que entrega se denomina prestamista y la persona o entidad que recibe se denomina prestatario. Existen dos formas principalmente, para devolver o amortizar un préstamo:

a) Reembolso único: La cantidad recibida se devuelve en un solo pago y en el plazo pactado. Los intereses por su parte, pueden incluirse en el pago final junto con el importe del préstamo o bien pueden irse pagando periódicamente. b) Renta: El capital recibido en préstamo se devuelve mediante la entrega periódica de determinadas cantidades que incluyen parte del capital y los correspondientes intereses.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

4.2 Amortización mediante reembolso único Supongamos un préstamo de importe A que se concede por un plazo de n años a un tipo de interés i. Al finalizar los n años deberá devolverse el préstamo junto con sus intereses, por lo que el importe de la deuda será: A(1+i)n Si en el año k quisiéramos saldar completamente la deuda, tendríamos que pagar la cantidad prestada, A, más los intereses acumulados hasta ese momento. Es decir: A(1+i)k y con ello se daría por terminada la operación. En ocasiones, la cancelación anticipada está penalizada con una comisión. En el caso de que en ese mismo año k quisiéramos realizar un pago de importe R a cuenta de la deuda (en lugar de liquidarla completamente), el saldo pendiente tras realizar el pago sería: A(1+i)k -R En la práctica, la posibilidad de cancelación total o parcial de un préstamo se establece en el propio contrato. Una variante del reembolso único es aquella en la que el prestatario estará obligado a satisfacer cada año el pago de la cantidad Ai, en concepto de intereses y reembolsar al final del año n, el capital del préstamo, A. En el supuesto de que en el año k se desease cancelar anticipadamente la deuda, después de pagados los intereses correspondientes a dicho año, deberá pagarse A, cantidad que se adeuda. De este modo, a diferencia del caso anterior y como consecuencia del pago periódico de los intereses, la deuda se mantiene siempre igual a A. La entrega anticipada de una cantidad R, en el momento k dejaría el saldo en un importe igual a: A–R

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

113

4.3 Amortización mediante renta Son varios los sistemas que se ajustan a esta modalidad de amortización en que la cantidad recibida en préstamo se devuelve mediante la entrega de cantidades periódicas que incluyen amortización de capital y pago de intereses. Estas cantidades tendrán vencimientos en los momentos 1, 2, …, n, siendo n el momento en que finaliza la operación. Entendemos que estos momentos coinciden con la finalización de los períodos correspondientes (si son años, fin del año 1, fin del año 2, etc…) y consideraremos el momento 0 como el origen de la operación. Este momento coincidirá con el inicio del período 1 y es en ese momento en el que se entrega el capital. La equivalencia financiera en el origen, es decir, en el momento 0, en este tipo de préstamos se expresa como sigue: n

A=∑ a k (1 + i ) − k

(4.1)

k =1

donde ak recibe el nombre de término amortizativo o anualidad del año k. La anualidad de un período cualquiera k a vez se destina a dos fines diferentes: por un lado al pago de los intereses por el capital que aún queda pendiente de devolver y que se denomina cuota de interés (Ik) y por otro, a ir reduciendo paulatinamente la deuda, lo que se denomina cuota de amortización (mk). De esta forma:

ak =mk + I k También debe cumplirse que: n

A=∑ mk

(4.2)

k =1

Las fórmulas (4.1) y (4.2) son las dos ecuaciones fundamentales de los préstamos amortizables mediante renta y siempre se cumplen sea cual sea el sistema de amortización mediante renta que se utilice. La primera (4.1) establece que la cantidad recibida en préstamo en el momento 0 debe ser financieramente equivalente (en unidades monetarias de ese mismo momento 0) a la renta entregada para amortizar la deuda. Aunque

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

la ecuación está referida al momento 0 esta equivalencia financiera se cumple en cualquier otro momento entre 0 y n dado que se emplea para la valoración el Sistema Financiero Compuesto cuyas leyes de capitalización y descuento son, como sabemos, escindibles y conjugadas. La segunda fórmula (4.2) no expresa ninguna equivalencia financiera, sino que se trata exclusivamente de una condición aritmética: la suma de las cantidades que periódicamente se destinan a reducir el importe de la deuda pendiente tiene que coincidir necesariamente con la cantidad recibida en préstamo. Cada período, por tanto, disminuye la deuda pendiente y solo se pagarán intereses sobre el importe que quedaba pendiente a fin del período anterior. Se trata, como se puede ver, de un interés pospagable. Se paga en k sobre la deuda pendiente en k-1 tras haber disfrutado de esa cantidad durante un período completo:

I k =S k −1 ⋅ i

(4.3)

Sk, es la reserva matemática, capital vivo o deuda pendiente, al finalizar el año k, una vez pagada la anualidad ak. El cálculo de su importe podemos realizarlo en base a cualquiera de las dos grandes ecuaciones de los préstamos. La decisión sobre cual escoger en cada caso dependerá del sistema de amortización concreto que se utilice y que estudiaremos a continuación. En general, y en base a la ecuación de equivalencia financiara en el origen, el saldo en k (Sk) vendrá dado por la siguiente expresión:

S k = ak +1 (1 + i ) −1 + ak + 2 (1 + i ) −2 + … + an (1 + i ) − ( n − k ) = = A(1 + i ) k − a1 (1 + i ) k −1 − a2 (1 + i ) k − 2 −… − ak = k

= A ⋅ (1 + i ) k − ∑ ar (1 + i ) k − r r =1

La primera parte de la anterior expresión establece que el valor del préstamo en un momento cualquiera k es financieramente equivalente a los términos que aún quedan por vencer desde k+1 hasta n. Es decir, será igual al valor actual de dichos términos en unidades monetarias del momento k. Imaginemos la sucesión de términos amortizativos tal y como aparecen en la figura siguiente representados por las flechas: 0

1

a1 A

2

3

a2

a3

k

ak

k+1

ak+1

k+2

n

ak+2 an

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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La primera parte de la expresión de Sk la obtendríamos colocándonos en el momento k y trabajando con los términos que aparecen a la derecha de k. Es decir, el importe de lo que debemos en k es financieramente equivalente a los términos de la renta que quedan por vencer. Dicho de otro modo, lo que debemos en k es el valor actual (en unidades monetarios del momento k) de la renta formada por ak+1, ak+2, … an. La segunda parte viene a decir los mismo pero fijándose en los términos a la izquierda de k. El mensaje, en lenguaje común, sería: lo que se debe en el momento k será lo que se debería caso de no haber pagado nada, es decir A(1+i)k menos el valor en k de lo que ya se ha pagado. El valor en k de lo que ya se ha pagado no es otra cosa que el valor final (en unidades monetarias del momento k) de la renta formada por los términos a1, a2, … ak. La tercera parte de la expresión representa lo mismo que la anterior pero utilizando un sumatorio para el valor final de los términos de la renta. Tal y como ya hemos comentado, el cálculo del saldo puede también realizarse en base a la segunda ecuación fundamental; la que relaciona el importe del préstamo con las cuotas de amortización y no con los términos amortizativos. De este modo:

S k =mk +1 +mk + 2 +…+mn = A −(m1 +m2 + …+mk ) De igual manera que en el caso anterior, la primera parte de la expresión trabaja con las cuotas que quedan por vencer (a la derecha de k) y dice que lo que se debe en el momento k es igual a la suma de dichas cuotas. La segunda parte de la expresión, en cambio, se fija en las cuotas ya vencidas y pagadas, estableciendo que lo que se debe en k es igual a lo que se debería de no haber pagado nada, o sea A, menos lo ya pagado. Evidentemente, para k=0 obtendríamos de nuevo las dos ecuaciones fundamentales de los préstamos mediante renta, ya que S0 es A. A continuación pasaremos a estudiar los métodos principales de amortización mediante renta. Estudiaremos, concretamente, el sistema de amortización francés, el sistema de amortización uniforme y el sistema de amortización alemán. Cada uno de ellos surge al hacer hipótesis sobre los términos amortizativos, las cuotas de amortización o cualquiera de las variables que intervienen en la operación de amortización. En Valls (2003) se estudian también el sistema de amortización americano y las operaciones de constitución de capitales mediante renta, incluyendo prácticas con ordenador.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

4.3.1 Sistema de amortización francés Se trata de una amortización mediante renta, con términos amortizativos constantes. Según hemos visto en la presentación general de los préstamos amortizables mediante renta, existen dos grandes ecuaciones que se cumplen para todos los tipos y que se ajustan mejor o peor a cada uno de ellos en función de sus características particulares. En el caso del sistema de amortización francés, cuya característica diferencial es que los términos amortizativos son constantes, la ecuación que más útil va a resultar para los cálculos es la ecuación de equivalencia financiera en el origen que trabaja con dichos términos amortizativos. Hay que tener presente en todo momento, como ya se ha adelantado, qué es lo que hay detrás de dichos términos amortizativos. El término amortizativo (a) es la cantidad que se paga periódicamente que, a su vez, se divide en dos: la cuota de amortización (m) y la cuota de interés (I). Es decir, para cualquier período se cumple:

ak =mk + I k

(4.4)

Como sabemos también, cada vez que se paga un término amortizativo, nuestra deuda pendiente (S) disminuye y eso hace que en el siguiente período la cuota de interés (I) sea inferior y como consecuencia la cuota de amortización (m) será mayor, ya que la suma de ambos conceptos, en este sistema de amortización, se mantiene constante. Pues bien, si los términos amortizativos son constantes, la ecuación de equivalencia financiera en el origen no es otra cosa que el Valor Actual de una renta constante de término a, como se expresa a continuación: A = a ⋅ an i siendo i el tanto de interés efectivo del préstamo, que supondremos constante a lo largo de toda la operación, y n la vida. De aquí podemos obtener la fórmula del término amortizativo constante: a=

A an i

(4.5)

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

117

Para calcular el saldo pendiente (capital vivo o reserva matemática), volvemos a utilizar la expresión de la equivalencia financiera en k y podemos obtenerlo por dos caminos: como el valor actual de la renta formada por las anualidades que quedan por vencer, sería: S k = a ⋅ an − k i =

A ⋅a an i n − k i

(4.6)

o bien, en función de los términos amortizativos ya vencidos:

S k = A ⋅ (1 + i ) k − a ⋅ sk i

(4.7)

empleándose en cada caso la que más convenga en función de los datos de que se disponga. A continuación vamos a volver al razonamiento que hacíamos al comienzo de la exposición de este sistema de amortización mediante renta. Decíamos entonces, que los términos amortizativos se mantienen constantes, lo que implica que de un período a otro disminuye la cuota de interés (puesto que disminuye la deuda) y aumenta la cuota de amortización. Pero ¿en qué cantidad? Supongamos el caso de un préstamo del que en el período 3 aún nos quedan por pagar 1.000 €. Supongamos también que el tipo de interés nominal anual de la operación es el 5%. Si consideramos pagos anuales éste será también el tipo efectivo. La cuota de interés del período 4 será, por tanto: I4 = 1.000·0,05 = 50 Supongamos ahora que la cuota de amortización del período 4 es 200: m4 = 200 por lo tanto: a = 200+50=250 ¿Qué ocurrirá en el período 5? La cuota de interés disminuirá exactamente en 200·0,05, es decir en 10, ya que nuestra deuda ha disminuido en 200, lo que significa que: I5 = I4-m4·i

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA m5 = m4 + m4·i = m4·(1+i)

de tal manera que: a= m5 + I5 = m4 + I4 Generalizando la ecuación relativa a la relación entre las cuotas de amortización de los períodos 4 y 5, podremos expresar: m k = m k-1 ·(1+i) lo que significa que dichas cuotas varían en progresión geométrica de razón (1+i), luego se cumplirá generalizando que: mk = m1 ⋅ (1 + i )

k −1

(4.8)

Por esta razón los cálculos referidos al saldo pendiente o al capital amortizado en este tipo de préstamos son más sencillos de realizar en base a la ecuación de equivalencia financiera, constituida por términos constantes, que en base a la ecuación relativa a las cuotas de amortización que varían en progresión geométrica. Ahora calcularemos el importe de la primera cuota de amortización. Sabemos también por (4.2) que: n

A=∑ mk k =1

de donde: n

A = m1 ∑ (1 + i )

k −1

k =1

El sumatorio representa la suma de los términos de una progresión geométrica de razón (1+i), que en realidad no es otra cosa que el valor final de una renta unitaria, anual, constante, pospagable y temporal ( sn i ), como se demuestra a continuación aplicando la fórmula de la suma de estas progresiones:

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

(1 + i ) (1 + i ) − 1 = m (1 + i ) 1 i (1 + i ) − 1 n −1

A = m1

n

−1

119

= m1 ⋅ sn i

de donde: m1 =

A sn i

(4.9)

Una consideración muy importante que siempre debe tenerse en cuenta es la relativa al tipo de interés aplicable en las anteriores fórmulas y en todas las que aparezcan, correspondientes a otros sistemas de amortización. La i que aparece en ellas, es siempre el tipo efectivo correspondiente al período de pago que no tiene porqué ser el año. En muchas operaciones de amortización los términos amortizativos se hacen efectivos mensual, trimestral o semestralmente y por lo tanto deberá emplearse el tipo efectivo mensual, trimestral o semestral correspondiente. En ese caso, la n representará meses, trimestres o semestres. Conviene recordar que también podría tratarse como una renta fraccionada utilizando el tipo efectivo anual y corrigiendo con i . Esta solución no suele resultar conveniente debido a que el factor Jm normalmente las entidades financieras ofrecen los tipos expresados en nominal, con lo que habría que pasarlos a afectivo anual obteniendo, probablemente un valor no entero que no simplifica en absoluto los cálculos. Veamos un ejemplo. Supongamos una operación de préstamo amortizable por el sistema francés, en las siguientes condiciones: Importe del préstamo (A) Plazo Tipo nominal (J2)

= 50.000 € = 5 años (pagos semestrales) = 6%

Observe que el tipo de interés se expresa en nominal de frecuencia dos (J2), ya que los pagos son semestrales. Con los anteriores datos realizamos los cálculos necesarios para elaborar el cuadro. A partir de la fórmula (4.5): a=

A 50.000 = = 5.861,52 € an i a10 0,03

a es el término semestral constante.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA A n i2 a

= 50.000 = 10 (pagos semestrales en 5 años) = J2/2 = 0,03 = 3% = 5.861,52533026

Comprobaremos como se llega al mismo resultado considerando la renta como anual y corrigiendo con i/Jm. Para ello calculamos en primer lugar el valor de i:

(1 + 0,03)

2

= (1 + i )

i = 6,09% y ahora el valor de a: 50.000 = 2 ⋅ a ⋅ a5 0,0609 ⋅

0,0609 0,06

a = 5.861,52 A continuación aparece el cuadro de amortización que muestra la evolución del préstamo. Formateando la solución para que no aparezcan decimales, el cuadro quedará: Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Término Cuota de Cuota de Capital Capital Amort.(a) Interés (Ik) Amorti. (mk) Amortizad. Vivo (Sk) 50.000 5.862 1.500 4.362 4.362 45.638 5.862 1.369 4.492 8.854 41.146 5.862 1.234 4.627 13.481 36.519 5.862 1.096 4.766 18.247 31.753 5.862 953 4.909 23.156 26.844 5.862 805 5.056 28.212 21.788 5.862 654 5.208 33.420 16.580 5.862 497 5.364 38.784 11.216 5.862 336 5.525 44.309 5.691 5.862 171 5.691 50.000 0

En el Anexo II hay un programa en Visual Basic for Applications para la elaboración de cuadros de amortización por este sistema.

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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4.3.2 Sistema de amortización uniforme Es un sistema de amortización mediante renta en el cual las cuotas de amortización son constantes. Por lo tanto, para su estudio nos será de mayor utilidad la segunda gran ecuación de los préstamos que utiliza las cuotas y no los términos amortizativos. Recordemos la expresión general de los préstamos (4.2): n

A=∑ mk k =1

Al ser las cuotas de amortización constantes, la expresión anterior se convierte en: A = n·m y despejando:

m=

A n

(4.10)

siendo n la vida de la operación. El cálculo del saldo resulta también sencillo utilizando esta aproximación: Sk = (n − k )m = A − k ⋅ m

(4.11)

Es decir en cada momento se debe la suma de las cuotas pendientes (n-k), todas ellas del mismo importe (m) o bien lo que se debe es todo (A) menos los cuotas pagadas (k) todas ellas del mismo importe (m). En un caso situándonos en k estaríamos mirando hacia delante y en el otro hacia atrás. La otra cara del saldo la constituye el capital amortizado que aparece a continuación:

Mk = k ⋅m = k ⋅

A n

En cuanto al cálculo del primer término amortizativo, conocida m, procederemos del siguiente modo: a1 = m + I1 = m + A ⋅ i

(4.12)

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122

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Análogamente al caso del sistema francés en el que concluíamos que las cuotas de amortización variaban en progresión geométrica de razón (1+i), veamos que ocurre en este caso con los términos amortizativos, para ello restaremos los términos correspondientes a dos períodos sucesivos:

a k =m + I k =m+ S k −1 ⋅i a k +1 =m + I k +1 =m+ S k ⋅i ak +1 − ak = ( S k − Sk −1 ) ⋅ i = − m ⋅ i = −

A ⋅i n

(4.13)

La expresión anterior demuestra que los términos amortizativos siguen una progresión aritmética decreciente de razón − m ⋅ i .Se podría considerar que éste es un caso particular de un sistema de amortización mediante renta variable que, aunque no se va a estudiar expresamente en este capítulo, se trataría simplemente mediante las correspondientes fórmulas de las rentas variables aplicadas a las dos grandes ecuaciones de los préstamos. Veamos un ejemplo del sistema uniforme: Préstamo de 2.000 €, a 4 años, con pagos trimestrales y nominal 9%: Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

T. Amort (a)

170 167 164 162 159 156 153 150 148 145 142 139 136 133 131 128

C. Am. (mk)

C. Int. (Ik)

45 42 39 37 34 31 28 25 23 20 17 14 11 8 6 3

125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125

Cap. Amort.

0 125 250 375 500 625 750 875 1.000 1.125 1.250 1.375 1.500 1.625 1.750 1.875 2.000

Cap.Vivo (Sk) 2.000 1.875 1.750 1.625 1.500 1.375 1.250 1.125 1.000 875 750 625 500 375 250 125 0

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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4.3.3 Sistema de amortización alemán Se trata de un sistema de amortización mediante términos constantes pero a diferencia del sistema de amortización por el método francés que presenta esta misma característica, en éste, los intereses son prepagables, es decir, en el momento k (fin del período k) se pagan intereses (Ik) sobre el saldo en ese mismo período k y no sobre el saldo en k-1. Esto significa que la primera cuota de interés, que se paga sobre el total de la deuda (A = S0) corresponde al propio momento 0 o lo que es lo mismo, al momento de comienzo de la operación (inicio del año uno) y no al fin del año uno, como en los sistemas anteriores. Del mismo modo, la última cuota de interés (que correspondería al momento n) habría que pagarla sobre el saldo en el momento n (fin del último período), pero dado que en ese momento el saldo es cero, la cuota de interés también lo será. En resumen, habrá n cuotas de interés, las mismas que en los anteriores sistemas, pero en este caso dichas cuotas se harán efectivas en los períodos 0 a n-1 en lugar de hacerse en los períodos 1 a n, con lo cual, la primera cuota de interés se paga en el momento de concederse el préstamo y la última cuota de interés vale cero. Por lo tanto: I0 = A ⋅ i

(4.14)

I k = Sk ⋅ i

(4.15)

In = 0

(4.16)

Para poder proceder como en los casos anteriores y comenzar expresando la ecuación de equivalencia financiera en el origen hemos de utilizar un tipo efectivo pospagable y no el prepagable del sistema alemán por lo que calcularemos su equivalente. Para ello razonaremos del siguiente modo: si nos prestan una unidad monetaria durante un año al tipo prepagable i recibiremos 1-i, en el momento 0, y devolveremos 1 a fin de año. Luego el tanto i’ de interés pospagable equivalente a un i prepagable se calculará:

(1 − i ) ⋅ (1 + i') = 1 de donde:

i' =

1 i − 1= (1 − i ) (1 − i )

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

De esta forma, la ecuación fundamental, de equivalencia financiera en el origen, utilizando el equivalente pospagable, suponiendo anualidades constantes y teniendo en cuenta que lo que efectivamente se recibe en el momento cero es A-A·i, vendrá dada por: A − A ⋅ i = a(1 − i ) + a(1 − i ) 2 + ... + a(1 − i ) n Tenga en cuenta que en la anterior expresión la i es el interés prepagable que anuncia el préstamo por el sistema alemán y por esa razón la fórmula adopta ese aspecto que la hace diferente a los métodos anteriormente estudiados. Considerando términos amortizativos constantes, veamos qué ocurre con las cuotas de amortización, para lo que restaremos dos términos sucesivos sabiendo que el resultado debe ser cero:

ak =a=mk + I k =mk +S k ⋅ i ak +1 =a=mk +1 + I k +1 =mk +1 +S k +1 ⋅ i 0 = mk − mk +1 + ( Sk − S k +1 ) ⋅ i 0 = mk − mk +1 + ( mk +1 ) ⋅ i = mk − mk +1 (1 − i ) por tanto mk +1 (1 − i ) = mk

(4.17)

es decir, las cuotas de amortización siguen una progresión geométrica creciente de razón 1/(1-i ). A continuación y en base a la segunda ecuación de los préstamos calcularemos el importe de la primera de ellas:

m1 +m2 + … +mn = A m1 +

m1 m1 +… + =A (1 − i ) (1 − i )n−1

 1 1  m1 1 + +…+ =A (1 − i )n−1   (1 − i )

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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entre los corchetes tenemos la suma de los términos de una progresión geométrica, de donde:

m1 ⋅

(1− i )− (n−1) ⋅ (1 − i )−1 − 1 =A= (1 − i )−1 − 1 (1 − i ) − 1 = m1 ⋅ (1 − i )−1 − 1 −n

y por tanto:

(1 − i )n −1 ⋅ A ⋅ i m1 = n 1− (1 − i )

(4.18)

En cuanto al término amortizativo, procederemos de forma similar a como lo hicimos en el sistema uniforme. En ese caso calculábamos el primero de ellos como suma de la primera cuota de amortización más la primera cuota de interés. Teniendo en cuenta que en este caso los términos son constantes, y dadas las peculiares característica de este tipo de préstamo, nos centraremos en el último término que a su vez es igual a la última cuota de amortización ya que In es cero. Es decir: a = mn + I n = mn = m1 ⋅ (1 − i ) a = A⋅

− ( n −1)

i 1 − (1 − i )n   

(4.19)

Para calcular el saldo en k puede parecer que la ecuación de equivalencia financiera con anualidades constantes es más apropiada que la de cuotas de amortización, que varían en progresión geométrica. Sin embargo observemos detenidamente dicha expresión: A − A ⋅ i = a(1 − i ) + a(1 − i ) 2 + ... + a(1 − i ) n Podemos comprobar que, debido a la peculiaridad introducida por el tipo prepagable, la suma de los términos a la derecha de la igualdad no nos da el saldo en el momento cero, es decir A, como ocurría en los otros dos sistemas, y lo mismo ocurrirá con cualquier otro momento entre el inicial y el final. Por tanto parece que esta expresión no es adecuada para dicho cálculo y deberemos recurrir a la segunda expresión, la (4.2), que relaciona el importe del préstamo, y en general el saldo pendiente, con las cuotas de amortización.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Se deja esta tarea como trabajo para el lector, remitiéndole en caso de duda a Vázquez (1993). Por lo que se refiere al cuadro de amortización, presenta las mismas columnas que los cuadros correspondientes a los otros dos sistemas pero de nuevo con una particularidad. Así como en los otros casos no nos hemos detenido en explicar su elaboración, ya que consistía simplemente en expresar las fórmulas de la primera fila y, teniendo cuidado de poner las referencias absolutas en las celdas necesarias, rellenar hacia abajo para completar el cuadro, en este caso resulta más adecuado hacerlo rellenando hacia arriba. Para ello debe completarse la última fila del cuadro y, de nuevo, cuidando de colocar correctamente las referencias absolutas, extender las fórmulas hasta la primera de ellas. En el ejemplo que aparece a continuación se da la solución con las fórmulas utilizadas en el cálculo que, como comprobará, mantienen una lógica muy diferente a los anteriores sistemas. Supongamos un préstamo de 10.000 € por el sistema alemán al 6% y a 8 años. La anualidad que amortiza el préstamo la calcularemos aplicando la fórmula (4.19): a = A⋅

i 1 − 1 − i )   (  n

= 10.000 ⋅

0,06 1 − (1 − 0,06 )8   

= 1.536,76 €

y el cuadro de amortización, elaborado de abajo a arriba, quedaría del siguiente modo: Anualidad 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1.536,76 1.536,76 1.536,76 1.536,76 1.536,76 1.536,76 1.536,76 1.536,76

Cuota Int.

600,00 540,21 476,60 408,93 336,94 260,35 178,88 92,21 0,00

Cuota Amort.

996,56 1.060,17 1.127,84 1.199,83 1.276,41 1.357,88 1.444,56 1.536,76

Saldo

10.000 9.003,44 7.943,28 6.815,44 5.615,61 4.339,20 2.981,32 1.536,76 0,00

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

127

Las fórmulas empleadas en el cálculo han sido las siguientes: A 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B

C

A= n= iprep= ipos=

10000 8 0,06 =(1/(1-B6))-1

a=

=$B$4*($B$6/(1 -(1$B$6)^($B$5))) Anualidad

0 1 2 3 4 5 6 7 8

=B$9 =B$9 =B$9 =B$9 =B$9 =B$9 =B$9 =B$9

Cuota Int. =B$6*E12 =B$6*E13 =B$6*E14 =B$6*E15 =B$6*E16 =B$6*E17 =B$6*E18 =B$6*E19 =B$6*E20

D

E

Cuota Amort. Saldo =E13+D13 =B13-C13 =E14+D14 =B14-C14 =E15+D15 =B15-C15 =E16+D16 =B16-C16 =E17+D17 =B17-C17 =E18+D18 =B18-C18 =E19+D19 =B19-C19 =E20+D20 =B20-C20 =E21+D21

Pero si pensamos detenidamente en la operación, desde el punto de vista financiero este préstamo sería equivalente a un préstamo por el sistema francés, por importe de 9.400 € (diez mil menos el seis por ciento que se paga por adelantado) y al tipo efectivo pospagable equivalente al 6% prepagable. Dicho efectivo podemos calcularlo utilizando la expresión de equivalencia entre tipos, según la cual:

(1 − 0,06 ) ⋅ (1 + i ') = 1 i ' = 6,3830% Si calculamos la anualidad constante que amortiza un préstamo de 9.400 € al 6,3830% en 8 años por el sistema francés, obtendremos por la fórmula (4.5): a=

9.400 = 1.536,76 € a8 0,06383

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

que, como cabía esperar, es exactamente la misma cantidad que la correspondiente al sistema alemán al 6% prepagable. El cuadro según el sistema francés sería:

1 2 3 4 5 6 7 8

Anualidad Cuota Int. Cuota Amort. Saldo -9.400,00 9.400,00 1.536,76 600,00 936,76 8.463,24 1.536,76 540,21 996,56 7.466,68 1.536,76 476,60 1.060,17 6.406,51 1.536,76 408,93 1.127,84 5.278,68 1.536,76 336,94 1.199,83 4.078,85 1.536,76 260,35 1.276,41 2.802,44 1.536,76 178,88 1.357,88 1.444,56 1.536,76 92,21 1.444,56 0,00

Pues bien, si observamos detenidamente los cuadros de amortización de los dos sistemas y teniendo en cuenta que desde el punto de vista financiero las dos operaciones son en realidad idénticas (es decir, tanto el prestamista como el prestatario cobran y pagan exactamente lo mismo en el mismo momento en uno y otro caso), ¿existe alguna razón para inclinarse por una de las dos opciones? Para responder a esta pregunta nos vamos a fijar en la columna del saldo. Podemos comprobar cómo en el caso del sistema alemán el saldo pendiente es siempre mayor que el correspondiente al sistema francés en el mismo período. Es decir cobrando y pagando lo mismo en ambos sistemas, en el alemán siempre debemos más. Esto significa que si bien ambas operaciones son idénticas a simple vista, esto sólo es realmente cierto si no se cancela la deuda anticipadamente. En el caso de cancelación anticipada el sistema alemán supondrá siempre un importe mayor para el prestatario a iguales porcentajes de penalización. Por tanto, siempre será más conveniente optar por el sistema francés que por el alemán que, de hecho, no tiene ninguna presencia en nuestro sistema bancario.

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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4.4 Usufructo, nuda y plena propiedad El usufructo es el derecho al disfrute de los beneficios producidos por un bien o capital, sin ser propietario del mismo. La nuda propiedad consiste, por el contrario, en ser propietario de un bien o un capital sin gozar de los rendimientos producidos por él. La plena propiedad es la suma de ambos. Estos derechos aparecen en ocasiones en las herencias o cesiones dejando, por ejemplo, la titularidad de un inmueble a nombre de un hijo (nuda propiedad) pero a su vez reconociendo el derecho de usufructo a la madre o padre mientras viva. Representando por U el usufruto, por N la nuda propiedad y por V la plena propiedad, diremos que:

U + N =V

(4.20)

Estos conceptos son también aplicables a los préstamos entiendo en este caso que los rendimientos son los interese y la propiedad del capital se refiere al saldo pendiente. En el caso de préstamos que se amortizan mediante renta, el usufructo será la suma de las cuotas de interés pendientes de pago, que deberán valorarse en unidades monetarias del momento de la cesión al tipo de interés que se fije, en función de la coyuntura económica, y que por tanto no tiene porqué coincidir con el tipo de interés del préstamo. La nuda propiedad en los préstamos amortizables mediante renta será por su parte el resultado de hacer la misma valoración, pero en este caso con las cuotas de amortización, que constituirán los términos de la renta. Finalmente, en el caso de amortización mediante renta, la plena propiedad será el valor actual, de las anualidades que amortizan el préstamo, valoradas al tipo de mercado o al que se fije en ese momento. Dado que la anualidad de cada período es la suma de la cuota de interés y la cuota de amortización, se verifica obviamente la relación (4.20):

V=U+N Analizaremos brevemente a continuación de forma breve, los sistemas de amortización mediante renta estudiados en las páginas anteriores.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

En el caso del sistema de amortización por el método francés, la plena propiedad en el momento k de valoración (tras haber pagado la anualidad correspondiente) y a un tipo pactado r, distinto del tipo aplicado al préstamo, será sencillamente:

Vk = a ⋅ an − k

r

(4.21)

La nuda propiedad está constituida en este caso por una renta variable cuyos n-k términos son las cuotas de amortización que quedan por vencer empezando por mk+1 y que, como sabemos varían en progresión geométrica de razón (1+i), siendo i el tipo de interés del préstamo y valorada al tipo pactado r. El usufructo se calculará por diferencia. En el sistema de amortización uniforme, el valor que permanece constante es el de las cuotas de amortización, por lo que resulta fácil calcular el valor de la nuda propiedad en el momento k, que será el valor actual que será el valor actual de una renta constante de n-k términos de importe igual a la cuota de amortización y al tipo de valoración r. El valor de la plena propiedad vendrá dado por el valor actual de una renta variable en progresión aritmética de n-k términos, siendo el primero ak+1 y la razón de la variación (–m·i). Se empleará un tanto de valoración r que puede, como en los casos anteriores, ser diferente al tipo aplicado al préstamo. El usufructo se calculará de nuevo por diferencia. Por último, el sistema de amortización alemán resulta bastante similar al sistema francés ya estudiado. De nuevo la plena propiedad viene dada por el valor actual de una renta constante y la nuda propiedad será el valor actual de una renta variable en progresión geométrica. En este caso la razón de la variación será 1/(1-i), siendo i el tipo de interés del préstamo y r el tipo pactado de valoración aplicado a la operación.

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4.5 Ejercicios 1.- Un individuo concertó hace tres años con una entidad financiera un préstamo de 12.000 € a devolver de una sola vez a los cinco años y al tipo del 7%. A día de hoy dicho individuo negocia con su acreedor la posibilidad de cancelar anticipadamente su deuda. Suponiendo que en la actualidad los tipos de interés que se aplican en este tipo de operaciones rondan el 6%, responda a las siguientes preguntas: a) ¿Por qué razón el deudor puede estar interesado en adelantar ese pago?

En principio el deudor pensará que, siendo su deuda en el momento actual de: 12.000 ⋅ 1,073 = 14.700,51 pagando esta cantidad cancelaría esta deuda y dejaría de pagar los intereses de los dos últimos años. Dadas las nuevas condiciones en el mercado de los préstamos en la actualidad, que presentan una caída de los tipos de interés, incluso podría convenirle solicitar un nuevo préstamo en otra entidad al 6% y saldar su deuda, con lo que estaría ahorrando un punto (en el inverosímil caso de que no existieran costes asociados a la cancelación anticipada ni a la apertura del nuevo préstamo). Si no necesitase acudir a un nuevo préstamo por disponer del dinero, con esta operación ahorraría el 7% y siempre que no pueda acceder a otras inversiones que le proporcionen una rentabilidad superior, le interesará cancelar el préstamo. Si por el contrario pudiese destinar esos fondos disponibles a otras inversiones que le ofreciesen una rentabilidad superior al 7% le convendría mantener el préstamo hasta su vencimiento b) ¿Qué cantidad aceptará como mínimo el acreedor a día de hoy para no verse perjudicado?

Dependiendo del tipo de contrato firmado con su acreedor, éste puede negarse a aceptar el cambio en las condiciones pactadas ya que le perjudicaría. Veamos porqué: Si aceptase la cancelación anticipada por el importe calculado en el anterior apartado de 14.700,51 €, podría volver a prestar esa cantidad a

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA otro deudor, pero ya no podría hacerlo al 7% sino que sólo podría pedirle un 6%, que es el tipo aplicable en la actualidad en este tipo de operaciones, con lo que transcurridos dos años obtendría: 14.700,51 ⋅ 1,062 = 16.517, 49 cantidad inferior a la que obtendría de mantenerse las condiciones inicialmente pactadas con su deudor que sería de: 12.000 ⋅ 1,075 = 16.830,62 Dadas las circunstancias, el acreedor podría aceptar la cancelación anticipada pero por una cantidad que a él le dejase indiferente, y que calcularíamos del siguiente modo: 16.830,62 = 14.979,19 1,062 y que evidentemente es superior a los 14.700,51 € ofrecidos inicialmente por el deudor. Si éste acepta estaría ahorrando un 6% y le interesará aceptar siempre y cuando sus posibilidades de inversión no le permitan acceder a operaciones más rentables. En resumen, en esta operación el acreedor mantiene su posición y el deudor sólo puede ahorrar un 6%. Ahorros superiores para el deudor supondrían posiciones financieramente inferiores para el acreedor.

Responda a estas mismas preguntas suponiendo que los tipos de interés de mercado sean del 8% a) En este caso es evidente que nunca le va a interesar acudir a otro préstamo ya que éstos están más caros en la actualidad que cuando él contrató el suyo, pero si dispone en la actualidad de dinero puede interesarle cancelar la deuda dependiendo de las alternativas de que disponga para invertir sus fondos.

Si el deudor tiene fuerza suficiente para negociar podría plantear a su acreedor la cancelación anticipada por un importe inferior a los 14.700,51 € que sería su deuda en el momento actual, ya que las nuevas condiciones en el mercado de los préstamos permitirían al acreedor obtener la diferencia en una nueva operación de préstamo. La cantidad propuesta por el deudor sería:

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16.830,62 = 14.429,54 1,082 Con esta operación el deudor estaría obteniendo una rentabilidad en la operación, materializada en un 8%, ya que entrega hoy una cantidad, de 14.429,54 € y deja de pagar (que es asimilable a cobrar) 16.830,62 € dentro de dos años, es decir, un 8%. b) Por su parte, en estas condiciones el acreedor mantendría su posición de manera que es el deudor el único que se beneficia del cambio en las condiciones del mercado. Lo más probable, siempre dependiendo de las condiciones establecidas en el contrato, es que el acreedor exigiera para cancelar la deuda la cantidad que realmente se debe de 14.700,51 €, y de ese modo ser él quien se beneficie de la subida de tipos, al prestar posteriormente esa cantidad al 8%, con lo que obtendría: 14.700,51 ⋅ 1,082 = 17.146,67 superior a los 16.830,62 € que cobraría si se mantuviesen las condiciones inicalmente pactadas. Siempre dependiendo de las posibilidades de negociación y de la fuerza del deudor, podrían llegar a un acuerdo en el que ambos salieran ganando estableciendo el pago de la cantidad intermedia entre 14.429,54 y 14.700,51, es decir 14.565,02 €. 2.- En un préstamo de X € a 10 años, la diferencia entre dos términos sucesivos es de 2.000. Se sabe también que la última cuota de amortización (atención, es cuota de amortización no término amortizativo) asciende a 31.182,59 € y que el tipo de interés es el 6%. ¿Cuál es el valor de X?

Se trata de una renta variable en progresión aritmética de razón 2.000 €, con la que amortizaremos el importe X del préstamo. La ecuación de equivalencia financiera en el origen será, por tanto:

X = a1 ⋅ an i +

(

2.000 ⋅ an i − n ⋅ v n

)

i

Para resolver la ecuación necesitamos conocer el primer término de la renta, valor que obtendremos de la información que nos da el enunciado.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Sabemos que el importe de la última cuota de amortización es de 31.182,59 €, importe que coincide con el saldo en n-1, ya que en n el saldo debe ser 0. Por lo tanto:

a n = mn + I n I n = S n −1 ⋅ i a n = mn + S n −1 ⋅ i Como ya se ha dicho, mn y Sn-1 coinciden, por lo que:

an = mn ⋅ (1 + i ) an = 31.182,59 ⋅ 1,06 =33.053,55 Sabemos, por otro lado que: an = a1 + ( n − 1) ⋅ i 33.053,55 = a1 + 9 ⋅ 2.000 a1 = 15.053,55 y ya se puede resolver la ecuación de equivalencia financiera en el origen para obtener el importe del préstamo: X =15.053,55 ⋅ a10

0,06

+

(

2.000 ⋅ a10

0,06

− 10 ⋅ 1,06−10

)

0,06

X = 170.000 €

3.- Elaborar el cuadro de amortización de un préstamos de 100.000 € al 7% nominal y a 8 años, con anualidades crecientes en 3.000 € al año. Se trata de un préstamo amortizable mediante renta, aunque no sea ninguno de los sistemas conocidos. En este caso es una renta variable en progresión aritmética y por tanto, la fórmula del valor actual de ese tipo de rentas será la que nos permita expresar la ecuación de equivalencia financiera en el origen, a partir de la cual, calcularemos el importe del primer término amortizativo. Dado que los pagos son anuales, el tipo del 7% es también efectivo.

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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Para el caso concreto de nuestro ejercicio, dicha expresión de equivalencia financiera será la siguiente: 10.000 = a1 ⋅ a8 0,07 +

(

3.000 ⋅ a8 0,07 − 8 ⋅ 1,07 −8

)

0,07

a1 = 7.307,15 €

Periodos Término C. Amort. C. Interés C. Vivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8

7.307 10.307 13.307 16.307 19.307 22.307 25.307 28.307

307 3.329 6.562 10.021 13.722 17.683 21.921 26.455

7.000 6.978 6.745 6.286 5.585 4.624 3.386 1.852

100.000 99.693 96.364 89.803 79.782 66.059 48.376 26.455 0

4.- Elaborar el cuadro de amortización de un préstamo de 20.000 € a 10 años, 9% nominal y cuotas de amortización anuales constantes (atención, cuotas, no términos amortizativos). Lo mismo que en el caso anterior, hemos de considerar que el 9% nominal es también el tipo efectivo a aplicar ya que los pagos son anuales. Calcularemos el primer término amortizativo y el resto vendrán dados por la ley de variación de los términos amortizativos en los préstamos por el sistema uniforme que, como sabemos, constituyen una progresión aritmética de razón –m·i. Por tanto: m = 20.000/10 = 2.000 I1 = 20.000·0.09 = 1.800 r = -2.000·0,09 = 180 a1 = 2.000+1.800 = 3.800

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

y el cuadro quedará como sigue:

Periodos Término C. Amort. C. Interés C. Vivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3.800 3.620 3.440 3.260 3.080 2.900 2.720 2.540 2.360 2.180

2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000

1.800 1.620 1.440 1.260 1.080 900 720 540 360 180

20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0

5.- Para la compra de un coche de alta gama, cuyo precio asciende a 35.000 € nos ofrecen la posibilidad de pagar una entrada del 30% a finales del presente año y 48 pagos mensuales de 620 € a fin de cada mes. ¿Cuál será el coste efectivo de la financiación? Para resolver este ejercicio utilizaremos la función financiera TIR (tasa interna de rentabilidad) que nos proporciona la hoja de cálculo.

Períodos 0 1 2 3

Cantidades -35.000 10.500 620 620

......................................... 620 47 620 48 620 49 9,7096% TAE La expresión de la fórmula introducida en la celda, cuyo resultado aparece en negrita en el cuadro anterior, es la siguiente: =((1+TIR(B7:B56;0,05))^12)-1

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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La fórmula TIR toma dos argumentos el primero de los cuales es el rango de las celdas que contienen la prestación y contraprestación y que constituyen la operación completa. En nuestro caso van de la B7 a la B56, en total 49 capitales de los cuales el primero es la prestación y aparece en negativo (-35.000) y el resto corresponden a los 48 pagos de la contraprestación que aparecen en positivo. Puede comprobar como el resultado sería exactamente el mismo cambiando el signo de los capitales. Lo único que debe cumplirse es que se dé un cambio de signo para que exista una solución. El segundo argumento es un tipo que sirve a la hoja de cálculo para arrancar en el cálculo. A partir de ahí y mediante sucesivas iteraciones con diferentes tipos que subirán o bajarán en función de los resultados obtenidos, la función llega a la solución. En este caso la solución que ofrece la TRI corresponde a un tipo mensual ya que los capitales vencen mensualmente. Eso, la aplicación no lo sabe, pero sí lo sabe el que plantea el problema y debe interpretar el resultado. Por ello, para responder a la cuestión que plantea el ejercicio será necesario calcular al tipo efectivo anual equivalente al efectivo mensual que nos devuelve la función TIR, utilizando la expresión de equivalencia ya conocida. Aprovechando la anterior explicación y para evitar malentendidos, diremos que TIR y TRI son en realidad la misma cosa. TRI es el acrónimo de Tasa de Rentabilidad Interna, nombre con el que se ha denominado tradicionalmente al tipo efectivo que hace que se cumpla una equivalencia financiera. Se puede hablar también sencillamente de rentabilidad. TIR es el nombre de la función que realiza el cálculo en la hoja de cálculo por lo que una vez aclarado, podremos utilizarlos indistintamente.

6.- La empresa LOLA S.A. concierta un préstamo de 450.000 € y vida 10 años, siendo los dos primeros de carencia de amortización, durante los cuales sólo se pagan intereses. Durante los 8 años restantes se amortizará mediante anualidades constantes. Los tipos de interés aplicables son del 7% los 5 primeros años y del 9% los cinco siguientes, información que es conocida desde el principio. Transcurridos 5 años, la empresa amortiza la mitad de la deuda pendiente y renegocia las condiciones, acordándose una reducción del plazo a 4 años y amortización por el método de cuotas constantes. También se acuerda reducir el tipo de interés que se establece en el 8%. Se pide: a) Intereses de los dos primeros años y término amortizativo según las condiciones iniciales del préstamo.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

b) Cuotas de amortización y cuantía de la última anualidad según las nuevas condiciones. Durante los dos primeros años se pagan únicamente intereses siendo el tipo aplicable en este período del 7% por lo que a fin de cada año se pagará por este concepto: 0,07·450.000 = 31.500 € Transcurrido ese tiempo, comienza la amortización del préstamo mediante términos constantes, que calcularemos en base a la siguiente expresión de equivalencia financiera: 1 − 1,07 −3 1 − 1,09−5 + a⋅ ⋅ 1,07 −3 0,07 0,09 450.000 = a ⋅ 2,624316 + a ⋅ 3,889651 ⋅ 0,816297 450.000 = a ⋅

450.000 = 5,799429 ⋅ a a = 77.593,83 € Observe que el saldo a fin del año dos, momento al que corresponde la anterior expresión, sigue siendo 450.000 € ya que se han ido pagando los correspondientes intereses, con lo que el importe de la deuda se mantiene. Transcurridos tres años más, se amortiza la mitad de la deuda pendiente, con lo que el saldo quedaría: S5 = 77.593,83 ⋅

1 − 1,09−5 = 301.812,94 0,09

Esta es la deuda a fin del año 5, de la que se amortiza la mitad, quedando el saldo en: S 5 = 150.906,47 € A partir de ese momento cambian las condiciones: se reduce el plazo a cuatro años, se aplica el tipo del 8% y se pagan cuotas de amortización constantes. El importe de la nueva cuota de amortización será: m=

150.906, 47 = 37.726,61 4

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El sistema de amortización mediante cuotas constantes, o sistema uniforme, es en realidad, un caso particular de los sistemas de amortización mediante renta variable en progresión aritmética, en el que la razón es –m·i. En este caso: r = -37.726,61·0.08 = -3.018,13 € el importe del primer término amortizativo será: a1 = 37.726,61+150.906,47·0,08 = 49.799,12 € y el del último, siguiendo la ley de las progresiones aritméticas , que dice: an = a1 + (n-1)·r será: a4 = 49.799,12 - 3·3.018,13 = 40.744,73 € Comprobaremos que el resultado es correcto mediante una hoja de cálculo:

Periodos Término Cuota I. Cuota A. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

77.594 77.594 77.594 49.799 46.781 43.763 40.745 0

31.500 28.273 24.821 12.073 9.054 6.036 3.018 0

46.094 49.320 52.773 37.727 37.727 37.727 37.727 0

Saldo 450.000 403.906 354.586 150.906 113.180 75.453 37.727 0 0

Efectivamente, tras el cambio en las condiciones, el préstamo se acaba de pagar en el año 7.

7.- Se quiere amortizar un préstamo de 30.000 € al 8% nominal anual a 5 años y con términos amortizativos constantes y pospagables. Calcular cual sería dicho término si el pago fuese: a) mensual, b) trimestral, c) semestral, d) anual.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA En función de la periodicidad, el tipo nominal del 8% se interpretará como un Jm, siendo m el subíndice correspondiente a la fracción del año en cada caso. Veamos las diferentes opciones: a) J12 = 8%,

i12=J12/12=0,666%;

i= 8,2999%

Para obtener resultados precisos es conveniente trabajar con suficientes decimales y no redondear los tipos. 1 − 1,082999−5 0,082999 ⋅ 0,082999 0,08 a = 608, 29 €

30.000 = 12 ⋅ a ⋅

b) J4 = 8%,

i4=J4/4=2%;

i= 8,24321%

1 − 1,0824321−5 0,0824321 ⋅ 0,0824321 0,08 a = 1.834,70 €

30.000 = 4 ⋅ a ⋅

c) J2 = 8%,

i2=J2/2=4%;

i= 8,16%

1 − 1,0816−5 0,0816 ⋅ 0,0816 0,08 a = 3.698,73€

30.000 = 2 ⋅ a ⋅

d) J = i = 8% 1 − 1,08−5 0,08 a = 7.513,69 €

30.000 = a ⋅

Como se puede apreciar, a mayor frecuencia de pago y para un mismo nominal, el coste efectivo (i) de la operación para el prestatario es mayor.

8.- Una persona con unos ingresos mensuales de 2.000 € que crecen a razón de un 3% anual, solicita un préstamo a una entidad financiera. El banco estima su capacidad de pago en el 25% de sus ingresos y decide concederle el préstamo, a 8 años y al 8% efectivo. Calcular la cuantía del préstamo y elaborar el cuadro de amortización.

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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Se trata de un préstamo amortizable mediante una renta variable en progresión geométrica, que varía anualmente y no período a período. La ecuación de equivalencia financiera que permite calcular el importe del préstamo será, por tanto la fórmula de valor actual de este tipo de rentas. Del enunciado del ejercicio obtenemos también la siguiente información: a1 = 2.000·0,25 = 500 € i = 8%

i12 = 0,643403%

J12 = 7,72083%

q (anual) = 1,03 Con lo que la ecuación de equivalencia financiera en el origen quedará del siguiente modo: A = 500 ⋅ 12 ⋅

1 − 1,038 ⋅ 1,08−8 0,08 ⋅ = 39.241,82 1,08 − 10,3 0,0772083

y ese será por tanto el importe del préstamo. El cuadro de amortización mes a mes, recortado, aparece a continuación:

Periodos 0 1 2 3 4 5

Término 500 500 500 500 500

Cuota I. 252 251 249 248 246

Cuota A. 248 249 251 252 254

Saldo 39.242 38.994 38.745 38.494 38.242 37.988

............................................................................................................. 615 19 596 2.421 92 615 16 599 1.821 93 615 12 603 1.218 94 615 8 607 611 95 615 4 611 0 96 Observe que, a pesar de tratarse de una operación con pagos mensuales, se ha convertido en una renta anual, ya que los términos varían anualmente. Se comprueba fácilmente que la expresión 500·12·0,08/0,0772083 no es otra cosa que el valor final de la renta mensual constante del primer año y

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA que se interpreta como primer término de la renta de 8 términos anuales, variable en progresión geométrica de razón 1,03. Tenga en cuenta que en los años sucesivos tendremos en realidad rentas anuales cuyo valor (valor final de la renta mensual de cada año) será igual que el anterior por 1,03, ya que el sueldo crece en ese porcentaje.

9.- El Sr. P. solicita un préstamo por un importe de 30.000 € a 8 años en las siguientes condiciones: interés nominal 9%, amortización en 14 términos mensuales (los meses de Junio y Diciembre se paga el doble), comisión de apertura 1,1% (mínimo 30 euros), gastos de estudio 0,4% (mínimo 12 euros), comisión por cancelación anticipada 3% sobre el importe cancelado. Calcular el importe del término mensual y el TAE. Estamos ante un préstamo por el sistema francés pero con el matiz de que en Junio y Diciembre se paga el doble. En realidad el préstamo se va devolver mediante dos rentas constantes, una mensual y la otra semestral, de manera que los mencionados meses ambas coinciden y por tanto se paga el doble. Disponemos de los siguientes datos que nos da el problema: J12 = 9%

i12 = 0,75%

i = 9,38%

Estos serían los tipos a aplicar en la renta mensual pero ¿cómo obtendremos los tipos aplicables a la renta semestral? Si tomamos el 9% nominal de frecuencia mensual (J12) como nominal de frecuencia semestral (J2) el efectivo semestral i2 sería 4,5% y el efectivo anual equivalente i el 9,2025%. No parece lógico que el tipo efectivo anual sea diferente en las dos rentas, por lo que calcularemos los tipos correspondientes a la renta semestral manteniendo el tipo efectivo anual. Así:

(1 + i2 ) 2 = (1,09380689) i2 = 0,04585 luego: J2 = 9,17%; i2 = 4,585%; i = 9,38% La ecuación de equivalencia financiera en el origen será: 30.000 = 12 ⋅ a ⋅

1 − 1,0938−8 0,0938 1 − 1,0938−8 0,0938 ⋅ + 2⋅a⋅ ⋅ 0,0938 0,09 0,0938 0,0917 a = 377,72 €

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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Y el cuadro de amortización quedaría:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Término -29.550 378 378 378 378 378 755 378 378 378 378 378 755

Cuota I. 225 224 223 222 220 219 215 214 213 211 210 209

Cuota A. 153 154 155 156 157 536 163 164 165 166 167 546

Saldo 30.000 29.847 29.693 29.538 29.382 29.225 28.689 28.526 28.362 28.197 28.031 27.864 27.317

............................................................................................................ 755 6 750 0 96 ((1+TIR(B8:B104;0,01))^12)-1 El ejercicio pide también calcular el TAE, para lo que será preciso tener en cuenta la comisión de apertura y los gastos de estudio que se pagan a la entidad en el mismo momento de la concesión del préstamo. Incluimos ese valor en la columna de los términos amortizativos, en primera posición del cuadro (periodo 0) con signo negativo, para que dicha columna contenga los importes correctos de prestación y contraprestación que permiten calcular el TAE. Al pie del cuadro se incluye la fórmula que ha de introducir en la hoja de cálculo para obtener el resultado correcto. Tenga en cuenta que el resultado de la función TIR no es directamente el TAE ya que los pagos son mensuales y el TAE es siempre un efectivo anual. La fórmula de la TIR nos devolverá por tanto, el efectivo mensual (la TIR siempre devuelve un tipo efectivo) que posteriormente se convierte, mediante la expresión que aparece bajo el cuadro, en el efectivo anual equivalente y que da el resultado de 9,8424%. Por otro lado, tenga en cuenta que las celdas a que hace referencia la fórmula no se corresponden con la columna de los periodos, sino que son las celdas de la hoja en la que se encuentran esos valores. Cuando

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA introduzca la fórmula tenga cuidado de seleccionar correctamente las celdas en las que ha introducido sus propios datos.

10.- De un préstamo de 15.000 € por el sistema francés a 120 meses y pactado al 9% nominal se pide la plena propiedad, el usufructo y la nuda propiedad al final del mes 50, para un tipo de mercado del 7% efectivo anual. Al final del mes 50 quedan aun 70 mensualidades por vencer, que constituyen una renta constante. El término de esa renta constante lo calculamos a continuación: J12 = 9%

i12 = 0,075% 1 − 1,0075−120 0,0075 a = 190,01€

15.000 = a ⋅

La plena propiedad de este préstamo será el valor actual de la renta constante de 70 términos e importe 190 €, valorada al tipo de mercado del 7% efectivo anual. Observe que el hecho de que el préstamo se pactara al 9% no es relevante en el momento de valorar la plena propiedad, ni el usufructo ni la nuda propiedad. Calcularemos el efectivo mensual aplicable en los cálculos: (1,07) = (1 + i12 )12 i12 = 0,5654% La plena propiedad será: PP = 190 ⋅

1 − 1,005654−70 = 10.958, 20 0,005654

Sabemos que la nuda propiedad aplicada a los préstamos es el derecho de cobro de los importes correspondientes a las cuotas de amortización. Sabemos también que en los préstamos por el sistema francés las cuotas de amortización varían en progresión geométrica creciente de razón (1+i), siendo la i el efectivo mensual del préstamo, es decir, el 0,75%. Para calcular la nuda propiedad aplicaremos, por tanto, la fórmula de valor actual de las rentas variables en progresión geométrica, siendo el primer término de dicha renta la cuota de amortización del mes 51, que pasamos a calcular a continuación:

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN m1 =

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A 15.000 = = 77,51 sn i s120 0,0075

m51 = m1 ⋅ (1 + i ) = 77,51 ⋅ (1,0075 ) = 112,62 50

50

por otro lado sabiendo que q = 1,0075 y v = 1,005654-1, la fórmula quedará: N .P. = 112,62 ⋅

1 − 1,007570 ⋅ 1,005654−70 = 8.356,82 1,005654 − 1,0075

El usufructo será por tanto la diferencia entre ambos: U = 10.958, 20 − 8.356,82 = 2.601,38

11.- En una operación de préstamo por el sistema francés a 5 años y al 8% nominal anual se pide: a) Cuantía del término amortizativo semestral constante necesario para amortizar un capital de 50.000 € b) Capital vivo a los dos años y tres meses c) Descomposición del 4º término amortizativo Calcularemos en primer lugar los tipos equivalentes que podemos necesitar en los cálculos posteriores: J2 = 8% a) 50.000 = a ⋅

i2 = 4%

i = 8,16%

1 − 1,04−10 = 6.164,54 0,04

b) El capital vivo a los dos años y tres meses será el mismo que a los años, pues los pagos son semestrales, por lo que calcularemos S4 (saldo a fin del 4º semestre) S 4 = 6.164,54 ⋅

1 − 1,04−6 = 32.315,36 0,04

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA c) En este apartado hemos de calcular m4 e I4 m1 = a − I1 = 6.164,54 − 0,04 ⋅ 50.000 = 4.164,54 m4 = m1 ⋅ (1 + i )3 = 4.164,54 ⋅ 1,043 = 4.684,54 I 4 = a − m4 = 1.480

12.- Un individuo solicita un préstamo que le es concedido al 9% nominal con pago trimestral. El sistema de amortización es tal que el capital vivo o saldo pendiente varía en progresión aritmética de razón –125 € siendo el saldo correspondiente a fin del año 2 de 1.000 €. ¿Cuál fue el importe del préstamo y a cuantos años se pactó la operación? Según el dato que nos da el ejercicio el saldo disminuye cada trimestres en 125 €, lo que significa que la cuota de amortización es constante. Estamos por tanto ante un sistema uniforme. Si a fin del año 2 quedan 1.000 € pendientes y cada trimestre se amortizan 125, quedarán todavía 8 trimestres por vencer, es decir otros 2 años y el importe del préstamo fue de 2.000 €.

13.- En un préstamo de X € a 10 años la diferencia entre dos términos sucesivos es de 2.000 €. Se sabe además que la última cuota de amortización asciende a 19.946,60 € y que el tipo de interés es del 10%. ¿Cuánto vale X? Se trata de nuevo de un préstamo amortizable mediante una renta variable en progresión aritmética de razón 2.000. La ecuación de equivalencia financiera en el origen para este tipo de operaciones es: A = a1 ⋅ a10 0,1 +

(

2.000 ⋅ a10 0,1 − 10 ⋅ 1,1−10

)

0,1

Para calcular el importe del préstamo necesitaríamos conocer también al valor de a1 pero este dato no lo da el ejercicio, aunque sí da el valor de m10. Sabemos que:

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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m10 = a10 − I10 = 19.946,60 m10 = S9 = 19.946,60 I10 = S9 ⋅ i = 19.946,60 ⋅ 0,1 = 1.994,66 19.946,60 = a10 − 1994,66 a10 = 21.941, 26 a10 = a1 + 9 ⋅ 2000 a1 = 3.941, 26 y conocido el valor de a1 ya se puede resolver la ecuación de equivalencia financiera que da un valor de A de 70.000 €. Observe el cuadro de amortización de este préstamo que presenta una característica muy particular. Se aprecia que durante los dos primeros años la deuda aumenta en lugar de disminuir, ya que con los primeros importes no se alcanza siquiera a pagar los intereses, llegando a deberse un total de 73.924 €. A partir del tercer año comienza a disminuir la deuda pero no es hasta el quinto año cuando ésta baja de 70.000, que era la cantidad inicialmente prestada. Pero, naturalmente, la deuda se cancela en el plazo pactado.

Periodos Término C. Amort. C. Interés C. Vivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3.941 5.941 7.941 9.941 11.941 13.941 15.941 17.941 19.941 21.941

-3.059 -1.365 499 2.549 4.804 7.284 10.012 13.014 16.315 19.947

7.000 7.306 7.442 7.392 7.138 6.657 5.929 4.928 3.626 1.995

70.000 73.059 74.423 73.924 71.376 66.572 59.288 49.275 36.262 19.947 0

14.- Un promotora vende pisos cuyo precio al contado es de 170.000 €. Ofrece también la posibilidad de aplazar los pagos hasta un máximo de 15 años, aplicando un 10% efectivo anual. Una persona, cuyos ingresos mensuales son de 2.700 €, más dos pagas extras semestrales

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

del mismo importe, desea adquirir una vivienda, para lo que dispone de una cantidad en una cuenta de ahorro que podría entregar al contado y el resto pagarlo de forma aplazada. El importe acumulado en su cuenta es de 45.000 € y calcula que para pagar el resto podría dedicar como máximo la tercera parte de sus ingresos, así como las dos pagas íntegras. Calcular si en las citadas condiciones le será posible acceder al piso y, en caso afirmativo, el porcentaje de su sueldo que debe destinar al pago del mismo si se ajusta al máximo permitido de 15 años. Nuevamente estamos ante el caso de un préstamo que se devuelve mediante dos rentas constantes, propias de un sistema francés, una con frecuencia mensual de importe 900 € y la otra con frecuencia semestral y de 2.700 € (la pagas extras se dedican íntegras al pago de la deuda). El ejercicio nos da un tipo de interés efectivo, el 10% anual, que se debe mantener en las dos rentas, por tanto:

(1 + 0,1) = (1 + i12 )12 ; (1 + 0,1) = (1 + i2 )2 ;

i12 = 0,00797414; J12 = 0,09569 i2 = 0,0488088; J 2 = 0,09762

A continuación calcularemos el valor actual de las dos rentas, con el fin de comprobar si son suficientes para hacer frente a la deuda que quedaría pendiente tras la compra del piso de 170.000 € y la entrega de la cantidad en efectivo de 45.000 €, es decir, 125.000 €. Si como plantea el ejercicio, nos ajustamos al plazo máximo de 15 años, la expresión sería la siguiente: A = 12 ⋅ 900 ⋅

1 − 1,1−15 0,1 1 − 1,1−15 0,1 ⋅ + 2 ⋅ 2.700 ⋅ ⋅ 0,1 0,09569 0,1 0,09762 A = 127.919,79

Con las dos rentas parece suficiente para adquirir la vivienda, y aun sobra algo. A continuación calcularemos el porcentaje del sueldo que se va a destinar exactamente a pagar el piso. Este cálculo solo afecta a la primera renta, es decir a la renta mensual, ya que las pagas extras se destinan íntegramente a este fin.

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN 125.000 = 12 ⋅ a ⋅

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1 − 1,1−15 0,1 1 − 1,1−15 0,1 ⋅ + 2 ⋅ 2.700 ⋅ ⋅ 0,1 0,09569 0,1 0,09762 a = 869,39 869 = 32,19% 2.700

15.- El Sr. M. realiza un préstamo de 30.000 € a un familar que será devuelto mediante 10 anualidades constantes y pospagables y venciendo la primera de ellas 3 años después de concertada la operación. El tipo de interés aplicado es el 6%, dado que se trata de un familiar que lo necesita para su negocio. Después de pagada la tercera anualidad el prestamista vende sus derechos, valorándose la operación al 5%. Con el importe de la nuda propiedad se compra un coche y el usufructo lo cede a su único hijo en forma de renta mensual, valorada en este caso al 4% y de vida 10 años. Se pide el precio del coche y el importe de la renta mensual. Para calcular el importe de las anualidades es preciso tener en cuenta que durante los dos primeros años no se paga nada, pero la deuda se incrementa como consecuencia de los intereses. Consideramos por tanto que hay un diferimiento de 2 años, comenzando los pagos el año tercero, pero al final de este, con lo que como dice el texto del ejercicio, el vencimiento de la primera anualidad se produce efectivamente tres años después de concertada la operación. Tenga en cuenta que al tratarse de anualidades pospagables, en una operación sin ningún diferimiento también hay siempre un año de diferencia entre el momento de concertarse la operación y el vencimiento del primer capital. Por tanto: 1 − 1,06−10 0,06 a = 4.579,84

30.000 ⋅ (1,06) 2 = a ⋅

Después de vencer la tercera anualidad el prestamista vende sus derechos, valorándose la operación al 5%. La plena propiedad será: 1 − 1,05−7 0,05 P.P. = 26.500,66

P.P. = 4.579,84 ⋅

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA La nuda propiedad se destina a la compra de un coche, cuyo valor calcularemos utilizando la fórmula de las rentas variables en progresión geométrica, que es el tipo de renta que forman las cuotas de amortización en el sistema francés, y cuya razón en este caso es 1,06, es decir, el tipo de interés aplicado originalmente al préstamo. El tipo de interés al que se valorará la renta es de nuevo el 5%, igual que se ha hecho con la plena propiedad, y el primer término de la renta lo calculamos a continuación: m4 = m1 ⋅ (1,06)3 m1 =

30.000 ⋅ (1,06) 2 = 2.557,36 s10 0,06

m4 = 2.557,36 ⋅ (1,06)3 = 3.045,85 y la nuda propiedad que coincidirá con el precio del coche, será: N .P. = 3.045,85 ⋅

1 − 1,067 ⋅ 1,05−7 = 20.895,12 1,05 − 1,06

siendo el usufructo la diferencia: U = 26.500,66 − 20.895,12 = 5.605,54 Pero este usufructo se cede al hijo en forma de renta mensual, valorada al 4% que debe entenderse como efectivo, de esta forma: (1,04) = (1 + i12 )12 ; i12 = 0,3273%; J12 = 3,9284% 1 − 1,04−10 0,04 ⋅ 0,04 0,039284 a = 56,56

5.605,54 = 12 ⋅ a ⋅

16.- El banco Vega ofrece dos modalidades de préstamo hipotecario, a tipo variable y a tipo fijo, en las siguientes condiciones: Hasta el 80 % del valor de tasación de la residencia habitual. Hipoteca a tipo Variable: Interés fijo durante el primer año. Resto de años en función de la modalidad escogida:

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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IRPHce + 0,10 puntos. *o EURIBOR Oficial + 1,00 punto. * Plazo máximo: Hasta 30 años. Comisión de apertura 1,00 % * mínimo, 450,76 € * Índice de referencia redondeado al cuarto de punto superior. Interés y comisión de apertura vigentes actualmente (con domiciliación de nómina y recibos domésticos, tarjeta VISA del Banco Vega y seguro de vida contratado con BanVega Vida).

Hipoteca a tipo Fijo: 6,00 % nominal fijo a 10 años. 6,10 % nominal fijo a 12 años. 6,25 % nominal fijo a 15 años. 6,50 % nominal fijo a 20 años. Plazo máximo: Hasta 20 años. Comisión de apertura: 1,5 % mínimo, 450,76 € Seguros obligatorios en ambas modalidades: Incendio

Calcular el término amortizativo para un préstamo de 180.000 € a 15 años tanto para la modalidad del variable como del fijo. En el caso del tipo variable aplicar el 5% el primer año y el 5,1% en los sucesivos. Calcular el TAE para ambas modalidades a) Hipoteca a tipo Variable Aunque no se menciona claramente debe entenderse que el tipo es nominal de frecuencia 12. Por tanto, el primer año se hará el siguiente cáculo:

J 12 = 5%; i12 = 0,416666%; i = 5,1162%

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA y a continuación calcularemos la anualidad: 1 − (1,051162) −15 0,051162 ⋅ 0,051162 0,05 a = 1.423, 43 €

180.000 = 12 ⋅ a ⋅

Observe, que aunque el ejercicio no da los tipos del primer año y sucesivos, el tanto de 5,1% aplicable al segundo y resto de años, no será en realidad conocido hasta fin del primer año, con lo que los primeros cálculos deben hacerse suponiendo un 5% nominal para la operación completa. Transcurrido el primer año se revisa el interés y es en ese momento cuando se conoce el tipo a aplicar a continuación, que en este caso es el 5,1%. Para calcular la nueva anualidad se debe calcular el saldo pendiente y aplicar sobre él el nuevo tipo, como si se tratase de una nueva operación: 1 − 1,051162−14 0,051162 ⋅ = 0,051162 0,05 S1 = 171.731, 24 €

S1 = 12 ⋅ 1.423, 43 ⋅

y calculamos la nueva anualidad en función del nuevo tipo:

J 12 = 5,1%; i12 = 0,425%; i = 5,2209% 1 − (1,052209) −14 0,052209 ⋅ 0,052209 0,051 a = 1.432, 28 €

171.731, 24 = 12 ⋅ a ⋅

El TAE, en estas condiciones que difícilmente se darán en la práctica, y teniendo en cuenta que la comisión de apertura supone un total de 1.800 €, muy superior al mínimo establecido, resulta ser del 5,366%. b) Hipoteca a Tipo Fijo Dado que se trata de un préstamo a 15 años, el tipo fijo aplicable es el 6,25 que, de nuevo entendemos como nominal, por tanto:

J 12 = 6,25%; i12 = 0,520833%; i = 6,4322%

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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ahora calcularemos la anualidad: 1 − (1,064322) −15 0,064322 ⋅ 0,064322 0,0625 a = 1.543,36 €

180.000 = 12 ⋅ a ⋅

En cuanto al TAE, tendremos que tener también en cuenta en este caso la comisión de apertura de 1,5% del nominal que resulta ser 2.700 €, cifra que supera el mínimo, con lo que se convierte en un tipo del 6,685%. Observe que tanto en este caso como en el anterior y en todos los que puedan presentarse, los costes de comisiones no se consideran en el cálculo del término amortizativo que depende únicamente del importe, tipo y plazo. Cualquier otra característica que afecte al coste de la operación, como comisiones de apertura, o gastos de estudio se tendrán en cuenta únicamente en el cálculo del TAE, siempre que se hagan efectivos a la entidad, quedando por tanto excluídos en este caso los costes del seguro de vida y el de incendio. Tampoco se incluirán en el cálculo del TAE los gastos de notaría que suelen alcanzar en la práctica cifras bastante elevadas.

17.- El Banco Sol ofrece un préstamo para estudios en las siguientes condiciones: Importe: Hasta 5.000 €/año Plazo: Hasta 1 año Tipo de interés: Fijo.5,5% Amortización: 12 cuotas. Comisión apertura: Exento. Comisión estudio: Exento. Comisión cancelación anticipada: Exento. Calcular el término amortizativo y TAE para un préstamo de 5.000 €, a 12 meses.

J 12 = 5,5%; i12 = 0,45833%; i = 5,6407%

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA y de nuevo calculamos el término mensual: 5.000 = 12 ⋅ a ⋅

1 − (1,056407) −1 0,056407 ⋅ 0,056407 0,055 a = 429,18 €

En este caso el TAE coincidirá con el efectivo del 5,64% ya que no existe ninguna otra característica que afecte al coste de la operación al estar exenta de comisiones.

18.- Cierta sociedad concierta un préstamo de 360.000 € que será amortizado mediante 10 anualidades por el sistema uniforme, a un tipo del 8% anual. Existen unos gastos iniciales a cargo del prestatario del 1% del nominal. Se pide: Calcular el tanto efectivo para el prestamista, el tanto efectivo para el prestatario y la deuda pendiente después de pagar el cuarto término amortizativo. Se trata de un sistema uniforme, es decir, mediante cuotas de amortización constantes. Al ser cuotas anuales el tipo del 8% es un tipo efectivo, y la cuota de amortización será: m=

360.000 = 36.000 10

El cuadro de amortización quedará:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Término -356400 64.800 61.920 59.040 56.160 53.280 50.400 47.520 44.640 41.760 38.880

C. Interés 28.800 25.920 23.040 20.160 17.280 14.400 11.520 8.640 5.760 2.880

C. Amort. 36.000 36.000 36.000 36.000 36.000 36.000 36.000 36.000 36.000 36.000

Saldo 360.000 324.000 288.000 252.000 216.000 180.000 144.000 108.000 72.000 36.000 0

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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En la operación existe un coste a cargo del prestatario que hemos de suponer no se hace efectivo a la entidad, ya que no se especifica que se trate de comisión de apertura o gastos de estudio que son las comisiones normales que cobran las entidades en la práctica. Suponemos por tanto que se trata de algún coste relativo a la formalización de la operación y que afecta unilateralmente al prestatario, por lo que el TAE coincidirá con el tanto del 8%, que será a su vez el tanto efectivo para el prestamista. El coste efectivo para el prestatario en cambio será ligeramente superior y resulta ser el 8,25%. La fórmula para el cálculo en este caso es directamente la función TIR, sin ninguna corrección adicional, ya que se trata de términos anuales. Su expresión es: =TIR(B7:B17;0,08) En su caso las referencias a las celdas deben ser las correspondientes a las posiciones que ocupen los datos en su propia hoja de cálculo. Observe que el valor negativo que aparece en primera posición de la columna de los términos amortizativos se incluye únicamente a efectos de cálculo del coste efectivo para el prestatario, ya que como sabe, la función TIR necesita un rango de celdas con un cambio de signo. Por lo que se refiere a la última cuestión que plantea el ejercicio, referente a la deuda pendiente después de pagar el cuarto término amortizativo, el propio cuadro nos da la respuesta, que es 216.000 €, y que se puede calcular de 4 diferentes maneras: En función de las cuotas de amortización: a) Cuotas pendientes: S 4 = 36.000·6 = 216.000 € b) Total del préstamo menos pagadas: S 4 = 360.000–36.000·4= 216.000 € Observe que en estos cálculos basados en las cuotas de amortización no interviene el tipo de interés. En función de los términos amortizativos este cálculo resulta más complicado ya que los términos amortizativos en este tipo de préstamos constituyen una renta variable en progresión aritmética de razón –m·i, en este caso -36.000·0,08=-2.880

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA a) Términos Pendientes: El primer término de la progresión será el correspondiente al año 5, que a su vez se obtiene a partir del primero más cuatro veces la razón: a1 = m + I1 = 36.000 + 360.000 ⋅ 0,08 = 64.800 a5 = 64.800 − 4 ⋅ 2.880 = 53.280 € y el saldo vendrá dado por: S 4 = 53.280 ⋅ a6 0,08 +

−2.880 ⋅ (a6 0,08 − 6 ⋅ 1,08−6 ) 0,08

= 216.000 €

b) Por último, se puede calcular en función de los términos ya vencidos, restándolos del valor del préstamo a fin del año 4º: −2.880 ⋅ ( s4 0,08 − 4)   S 4 = A ⋅ (1,08) 4 −  64.800 ⋅ s4 0,08 +  = 216.000 €  0,08  

19.- Una señora solicita un préstamo 100.000 € amortizable al 6% nominal en 10 años con pagos semestrales. Se trata de un préstamo hipotecario que lleva asociados además los siguientes gastos: a) Comisión de apertura: 1% sobre el nominal b) Gastos de estudio y tasación: 250 € c) Seguros: 160 € al año d) Gastos notariales y de constitución de la hipoteca: 4.500 €

Se pide el tanto por ciento de la operación pura, el del prestatario y el TAE

J 2 = 6%; i2 = 3%; i = 6,09% El tanto por ciento de la operación pura será, por tanto, el 6,09% La diferencia entre el coste efectivo para el prestatario y el TAE viene dado por la circular del Banco de España que regula el cálculo del TAE y que establece que únicamente se tendrán en cuenta aquellos conceptos que afecten al coste de la operación y que se hacen efectivos a la entidad, con

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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lo que no se incluirán los seguros ni los gastos notariales y de constitución de la hipoteca y que sí afectan al coste efectivo de la operación para el prestatario. Pero en primer lugar vamos a calcular el término amortizativo: 100.000 = a ⋅ a20 0,03 a=

100.000 = 6.721,57 € 1 − 1,03−20 0,03

Quedando el cuadro de amortización como sigue:

Periodos 0 1 2 3 4

Términos -98.750 6.722 6.722 6.722 6.722

C.I. 3.000 2.888 2.773 2.655

C.A. 3.722 3.833 3.948 4.067

Saldo 100.000 96.278 92.445 88.497 84.430

............................................................................................................ 6.722 570 6.151 12.862 18 6.722 386 6.336 6.526 19 6.722 196 6.526 0 20 Se ha añadido el primer término negativo para el cálculo del TAE, en el que se han considerado la comisión de apertura y los gastos de estudio. El tipo resultante es el 6,37% Para calcular el tanto efectivo del prestatario hemos de considerar también los seguros, que se pagan anualmente, y los gastos notariales y de constitución de la hipoteca que se pagan en el momento 0, además de los ya incluídos (comisión de apertura y gastos de estudio), con lo que el coste efectivo resulta ser del 7,95%.

20.- Se trata de una operación de préstamo por importe de 30.000 €, amortizable mediante términos anuales y constantes a 3 años y al 9%. Existe también una comisión de apertura del 1% y unos gastos de estudio de 120 €. La intervención del notario que se exige para la firma del contrato representa el 0,5% del nominal. El préstamo goza de una subvención del 5% que se destina a disminuir la deuda pendiente a fin del primer año. Se pide el tanto efectivo de coste, el tanto efectivo de rendimiento y el TAE.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Al hablar de tanto por ciento de coste se refiere al coste efectivo para el prestatario y el tanto efectivo de rendimiento es el rendimiento efectivo para el prestamista. Normalmente el TAE coincide con el rendimiento para el prestamista ya que, según la norma, en él se deben incluir los conceptos de coste que se hacen efectivos a la entidad y que, normalmente, paga el prestatario. En este caso, en cambio, hay un nuevo concepto, la subvención, que es rendimiento para el prestamista pero no es coste para el prestatario. Veamos cuales son las cifras: En primer lugar calcularemos las anualidades:

J = 9%; i = 9% 1 − 1,09−3 0,09 a = 11.851,64 €

30.000 = a ⋅

Transcurrido un año, y después de satisfecha la anualidad, se aplica la subvención del 5%, lo que representa una disminución de la deuda pendiente por importe de 1.500 €. Como sabemos, existen cuatro formas de calcular el saldo pendiente pero en este caso solo vamos a hacerlo de un modo: S1 = 30.000 ⋅ 1,09 − 11.851,64 = 20.848,36 € a lo que restaremos los 1.500 € quedando el saldo en 19.348,36 y a partir de ese momento cambia la anualidad, siendo el nuevo importe: 1 − 1,09−2 0,09 a ' = 10.998,94 €

19.348,36 = a '⋅

Para calcular el tanto efectivo de coste tendremos en cuenta todas las característica, con lo que la ecuación quedaría como sigue: 30.000 − 300 − 120 − 150 =

11.851,64 10.998,94 10.998,94 + + (1 + ic ) (1 + ic ) 2 (1 + ic )3

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

Periodos Términos 0 1 2 3

C.I.

C.A.

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Saldo

-29.430 30.000 11.852 2.700 9.152 19.348 10.999 1.741 9.258 10.091 10.999 908 10.091 0

que da como resultado un coste efectivo para el prestatario de 7,44% La ecuación de rendimiento efectivo para el prestamista será: 30.000 − 300 − 120 =

11.851,64 + 1.500 10.998,94 10.998,94 + + (1 + ir ) (1 + ir ) 2 (1 + ir )3

Observe que el prestamista cobra los 1.500 € de la subvención aunque no sea el prestatario quien los pague. El resultado será un 7,08% Finalmente el TAE sí tiene en cuenta el efecto de la subvención, ya que la norma así lo indica, pero no los gastos notariales. Salvo por ese concepto, coincide con el coste del prestatario: 30.000 − 300 − 120 =

11.851,64 10.998,94 10.998,94 + + (1 + iTAE ) (1 + iTAE ) 2 (1 + iTAE )3

siendo el TAE de 7,15%

21.- Una determinada entidad concede un préstamo de 25.000 € con garantía personal para ser amortizado en 5 años con pagos mensuales por el método francés al 7%. La comisión de apertura y los gastos de estudios representan un 1,1% del importe prestado. Transcurridos dos años, el tipo de interés pasa a ser el 8%. Calcular las cantidades anuales a pagar antes y después del cambio en el tipo de interés y el TAE de la operación completa el prestatario. Como siempre hemos de entender que se trata de un 7% nominal, cuyos equivalentes efectivos calculamos a continuación:

J 12 = 7%; i12 = 0,5833%; i = 7,229%

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA El importe del término amortizativo mensual será: 1 − 1,07229−5 0,07229 ⋅ 0,07229 0,07 a = 495,03 €

25.000 = 12 ⋅ a ⋅

Transcurridos dos años cambia el tipo de interés, que pasa a ser el 8%, lo que significa que habrá que calcular el saldo y el nuevo término. De las cuatro formas que permiten calcular el saldo, dos basadas en la ecuación de equivalencia financiera y las otras dos basadas en las cuotas de amortización, optamos por las primeras ya que en este tipo de préstamo los términos son constantes y por tanto la ecuación de equivalencia financiera es la expresión del valor actual de una renta constante. Haremos el cálculo de las dos maneras: En base a los términos pendientes: 1 − 1,07229−3 0,07229 ⋅ 0,07229 0,07 S 2 = 16.032, 27 €

S 2 = 12 ⋅ 495,03 ⋅

En base a los términos vencidos: 1,072292 − 1 0,07229 ⋅ 0,07229 0,07 S2 = 16.032, 27 €

S 2 = 25.000 ⋅ 1,072292 − 12 ⋅ 495,03 ⋅

A continuación calculamos los nuevos tipos a aplicar:

J 12 = 8%; i12 = 0,6666%; i = 8,2999% y a partir de ese momento la nueva mensualidad será: 1 − 1,082999−3 0,082999 ⋅ 0,082999 0,08 a = 502,39 €

16.032, 27 = 12 ⋅ a ⋅

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OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN

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Y finalmente el cuadro de amortización:

Periodos 0 1 2 3 4 5

Término -24.725 495 495 495 495 495

C. Interés 146 144 142 140 138

C. Amort 349 351 353 355 357

Saldo 25.000 24.651 24.300 23.946 23.591 23.234

......................................................................................................... 502 13 489 1.487 57 502 10 492 995 58 502 7 496 499 59 502 3 499 0 60 El cambio se produce en el período 25, en el que empieza a aplicarse la nueva mensualidad y el nuevo tipo, resultando un TAE del 8,10%.

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5 AMORTIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS

5.1 Definición y Conceptos Básicos Un empréstito es una operación de préstamo en la que el prestatario es único y los prestamistas son muchos. Este tipo de operación se lleva a cabo cuando la cantidad necesaria es tan grande que no resulta fácil encontrar un único prestamista y, en su lugar, se acude directamente al público. Los prestatarios suelen ser instituciones públicas (gobiernos autonómicos o central) o grandes empresas privadas que necesitan fuertes sumas para financiar proyectos de gran envergadura. El importe de la deuda se divide en partes pequeñas representadas por títulos de igual cuantía que reciben el nombre de bonos u obligaciones. La posesión de uno de estos títulos confiere a su dueño la condición de acreedor ante la empresa u organismo público que lo haya emitido. Para una emisión de títulos de estas características es preciso seguir un determinado procedimiento e incurrir en una serie de gastos, pero no nos vamos a ocupar de las cuestiones legales en este libro, limitándonos únicamente al análisis desde la perspectiva financiera. Los títulos tienen una serie de valores asociados que reciben los siguientes nombres:

Valor Nominal: Es el valor que se halla impreso en el título. Representa el importe de la deuda a favor de su titular. Valor de emisión: Es el valor por el que el título se pone en circulación. Puede coincidir con el valor nominal o no. Si coincide se dice que la emisión es a la par. En caso de no coincidencia el valor de emisión será inferior, y entonces se dice que los títulos se emiten con prima de emisión o emisión bajo par. Esta característica comercial de algunas emisiones trata de hacer la operación más atractiva para el público, pues supone una fuente de rentabilidad adicional al tipo de interés de la emisión.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Cupón: Es el importe pagado periódicamente en concepto de interés. Se expresa en unidades monetarias y es el resultado de aplicar el tanto por ciento de interés sobre el nominal del título. Algunos títulos no perciben periódicamente intereses obteniendo toda la rentabilidad al final de la operación, cuando se recupera el dinero prestado. Estos títulos se denominan títulos de cupón cero. Valor de Amortización o valor de reembolso: Es el importe que el emisor se compromete a pagar por el título cuando lo amortiza, es decir, cuando lo retira de la circulación. Puede o no coincidir con el nominal. Si coincide se hablará de amortización a la par y significa que el titular del bono u obligación recibirá exactamente el valor que aparece impreso en el título que, como ya se ha dicho, puede o no coincidir con lo que efectivamente pagó para adquirirlo. Si el valor de amortización no coincide con el nominal se dice que el título se amortiza sobre la par, o bien que tiene prima de amortización. Nuevamente esta característica comercial trata de hacer más interesante la emisión para el prestamista. Valor Efectivo: Es el valor de cotización del título en el mercado de valores. Los bonos y obligaciones se denominan títulos de renta fija ya que su rentabilidad, obtenida por la vía del interés más las posibles primas de emisión y amortización, es conocida desde el momento de la emisión. Se trata por tanto de una inversión sin riesgo, siempre y cuando el título se mantenga hasta su amortización y el prestatario cumpla con sus obligaciones. Pero si el titular del bono u obligación decide no esperar a la amortización para recuperar su dinero, puede venderlo en bolsa sometiéndose en este caso a las leyes del mercado que fijarán su valor efectivo. Al invertir en un título de renta fija, el comprador está adquiriendo dos derechos: el derecho a cobrar un interés cuya cuantía y periodicidad son conocidas de antemano y el derecho a cobrar el valor de reembolso en el momento de amortización del título. En algunas emisiones, estas amortizaciones se efectúan mediante sorteo ante notario. Al final de cada periodo se realiza un sorteo obteniéndose el número identificativo de los títulos que serán amortizados, es decir, retirados del mercado. A los propietarios de dichos títulos se les pagará el precio convenido en el momento de la emisión y al final del último período todos los títulos habrán sido amortizados. Esto significa que cuando alguien invierte en un título de estas características no puede saber con certeza cual va a ser la vida de la inversión, por eso se suele hablar de vida probable de un título, entendiendo por tal el tiempo que debe transcurrir a partir de la fecha de emisión para que estén reembolsados la mitad de los títulos emitidos. Se denominan también títulos vivos a los títulos que están aún sin amortizar en un momento determinado y títulos muertos a los ya amortizados. En otros casos, como suele ser el caso

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AMORTIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS

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de las emisiones del Tesoro Público, los títulos se emiten con una vida determinada y el emisor se compromete a pagar intereses hasta ese momento final, en que todos quedarán amortizados. Si el poseedor de un título de renta fija espera a que su título sea amortizado obtendrá exactamente la rentabilidad anunciada y conocida desde el momento de la emisión1 pero si desea recuperar su dinero sin esperar a que le amorticen el título entonces deberá acudir a bolsa y obtendrá por él su valor efectivo, el que el mercado le asigne en ese momento, en función de la coyuntura económica. En el caso de amortización por sorteo, la entidad emisora destina cada año una cantidad que se destinará en parte al pago de cupones (salvo en el caso de títulos de cupón cero) y en parte al reembolso de los títulos que hayan salido en el sorteo. Existen diferentes tipos de emisiones que exigen diferentes formas de amortización, pero vamos a referirnos solo a la más sencilla, correspondiente al empréstito normal o puro.

5.2 Empréstito normal o puro Es aquel en que la prestación y la contraprestación son financieramente equivalentes. Estudiaremos el caso en que las cantidades destinadas a amortizar el empréstito son anuales y constantes, los intereses son constantes y el reembolso de los títulos se realiza por sorteo y por su valor nominal, es decir amortización a la par. En las fórmulas que siguen vamos a utilizar la siguiente notación:

Nk: Obligaciones en circulación al principio del año k Mk: Obligaciones que se amortizan al final del año k C: Valor nominal del título C·i: Interés de un título (cupón) n: Vida

α: Anualidad Los empréstitos con las características a las que nos hemos referido se suelen denominar empréstitos normales de Tipo I. Como se ha dicho, la

1

Salvo en el caso de amortización por sorteo y existencia de primas de amortización o emisión.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

prestación y la contraprestación son financieramente equivalentes o dicho de otro modo, la prestación sólo sirve para pagar el préstamo junto con sus intereses. La prestación en una operación de este tipo será el importe total obtenido en la emisión (C·N1) y la contraprestación será la renta cuyos términos constantes la entidad emisora irá haciendo efectivos al final de cada período. Por lo tanto, deberá cumplirse la siguiente equivalencia financiera:

C ⋅ N1 = α ⋅ an i de donde:

α=

C ⋅ N1 an i

(5.1)

La anualidad así calculada será la cantidad total destinada al pago de cupones y a la amortización de títulos, por lo que deberá cumplirse también:

α = Mk ⋅ C + Nk ⋅Ci

(5.2)

El primer sumando a la derecha de la igualdad representa la cantidad destinada a la amortización de títulos (Mk son los títulos que han salido en el sorteo correspondiente al fin del año k y C es el importe de la amortización, que coincide con el nominal al ser amortización a la par). El segundo sumando representa la cantidad destinada al pago de cupones. Observe que el subíndice correspondiente a la M del primer sumando, es decir el número de títulos amortizados, corresponde a fin del período, en cambio el subíndice de la N del segundo sumando corresponde al inicio del mismo. Esto es lógico ya que los cupones deben pagarse a los títulos que han permanecido vivos durante el período. Se trata del equivalente en los empréstitos a la cuota de interés, que se pagaba en los préstamos sobre el saldo vivo del período anterior. Está claro que es lo mismo hablar de títulos vivos al inicio del período k, como se hace en este capítulo, que de títulos vivos al final del período k-1, como sería siguiendo la notación utilizada en el capítulo anterior, relativo a la amortización de préstamos. Siguiendo el mismo procedimiento que se empleaba en los préstamos amortizables por el método francés, restaremos dos anualidades sucesivas para estudiar la evolución del número de títulos que se amortizan cada año.

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AMORTIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS

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Sabiendo que:

α k = α = Mk ⋅C + Nk ⋅ Ci α k +1 = α = Mk +1 ⋅ C + Nk +1 ⋅ Ci restaremos miembro a miembro y obtendremos:

Mk +1 ⋅ C + Nk +1 ⋅ Ci − Mk ⋅ C − N k ⋅ Ci = 0 Mk +1 = Mk + (Nk − Nk +1 )⋅ i = Mk + Mk ⋅i Mk +1 = Mk (1 + i) llegando a la conclusión de que el número de títulos amortizados cada año sigue una progresión geométrica de razón (1+i), lo mismo que ocurría con la cuota de amortización en los préstamos por el sistema francés. A partir de aquí, aplicando recursivamente esa relación entre los títulos amortizados en dos períodos sucesivos, se cumplirá:

Mk +1 = Mk −1 (1 + i)(1 + i) Mk +1 = Mk −2 (1 + i)(1+ i)(1 + i) y en general: k −1

Mk = M1 (1 + i)

(5.3)

Por otro lado deberá cumplirse también: M1 + M2 + M3 + …+ Mn = N1 sustituyendo cada M por su expresión equivalente en función de M1 según la expresión obtenida anteriormente: M1 + M1(1+i)+ M1(1+i)2+ …+ M1 (1+i)n-1= N1

llegaríamos a la siguiente fórmula:

N1 = M 1 ⋅ sn i

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

y de ahí obtendremos el valor de M1, es decir de los títulos amortizados a fin del primer período que a su vez permite calcular todos los demás, conocida la relación entre ellos:

M1 =

N1 sn i

(5.4)

Si quiesiéramos conocer el número de obligaciones en circulación a principios del año k recurriríamos a la siguiente expresión de equivalencia:

C ⋅ N k = α ⋅ an − k +1 i Lo que nos dice la anterior expresión es que la deuda que queda pendiente al principio del año k (C·Nk) es financieramente equivalente a la renta que queda por pagar, de término α y n-k+1 términos, de donde:

Nk =

α C

⋅ an − k +1 i = N1

an − k +1 i an i

(5.5)

Todas estas fórmulas proporcionan resultados en base a las expresiones de equivalencia financiera pero plantean un problema y es que en la práctica, los títulos amortizados y vivos deben ser enteros y los resultados de las fórmulas pueden tener decimales. Para resolver esta cuestión existen dos procedimientos denominados el método de resíduos y el método práctico. En estas páginas vamos a estudiar el segundo y lo vamos a hacer mediante un ejemplo, en el que elaboraremos el cuadro de amortización de un empréstito de las características analizadas aquí. Supongamos un empréstito de 1.000 títulos, nominal 1.000 € y que paga un 6% de interés anual. Se amortizará en 5 años mediante anualidades constantes. En primer lugar vamos a calcular la anualidad:

α=

1.000 ⋅ 1.000 = 237.396,39 € a5 0,06

Ahora calcularemos el número de títulos a amortizar a fin del primer año:

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AMORTIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS M1 =

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1.000 = 177,396399172 s5 0,06

y a fin del resto de años: M2=M1·(1,06)=188,040183123 M3=M2·(1,06)=199,32259411 M4=M3·(1,06)=211,281949757 M5=M4·(1,06)=223,958866742 La suma de todos ellos es naturalmente 1.000, pero no podemos trabajar con esos números de títulos. El método práctico resuelve el problema del siguiente modo: 1.- Se toma la parte entera de las Mk: M1= 177; M2= 188, M3= 199, M4= 211, M5= 223 Total = 998 2.- Los dos títulos que faltan se completan añadiéndolos en los dos años que tienen la Mk con la parte decimal más alta, en este caso M5 y M1. Por lo tanto: M1= 178; M2= 188, M3= 199, M4= 211, M5= 224 A continuación elaboraremos el cuadro de amortización:

Año 0 1 2 3 4 5

Títulos Importes Vivos Amortizados Cupones Amortización Anualidad 1000 822 178 60.000 178.000 238.000 634 188 49.320 188.000 237.320 435 199 38.040 199.000 237.040 224 211 26.100 211.000 237.100 0 224 13.440 224.000 237.440 1.000

Tanto en este como en otros cuadros de amortización se ha incluído el momento cero. Observe también como en este caso, la anualidad presenta

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

ligeras variaciones como consecuencia del necesario ajuste en el número de títulos. Para terminar con el estudio de los empréstitos y antes de entrar en el tema de las emisiones de deuda pública en España, se mencionan otros sistemas de amortización aunque no se entrará en el análisis de cada uno:

· Empréstito Normal Tipo II: En este tipo de empréstito la prestación también es financieramente equivalente a la contraprestación, es decir esta última solo sirve para pagar el préstamo junto con sus intereses, pero en este caso las anualidades son variables y lo serán en progresión aritmética o geométrica. El resto de empréstitos ya no son normales en el sentido de que además de los intereses tienen características comerciales que pretenden hacerlos más atractivos.

· Empréstito con Prima: Puede ser prima de emisión o prima de amortización. En las emisiones con prima de emisión el título se pone en circulación por un valor distinto del nominal, que puede ser mayor o menor aunque lo lógico es que sea menor si se pretende hacer más atractiva la operación al público. La amortización y el pago de cupones se realiza por el nominal y, como consecuencia, esta característica afecta al rendimiento real de la operación para el obligacionista y al coste para el emisor. La prima de amortización supone que los títulos se retiran de la circulación pagando por ellos un valor distinto de su valor nominal. La diferencia puede ser de nuevo positiva o negativa y también puede variar a lo largo de los años de forma creciente o decreciente.

· Empréstitos con Lote: En este tipo de empréstitos, la empresa emisora destina una cantidad que puede ser fija o variable para ser entregada a algunos de los títulos que se amortizan cada año. La asignación se realiza mediante sorteo. · Empréstitos de cupón cero: Son empréstitos en los que el obligacionista obtiene toda la rentabilidad en el momento de la amortización, ya que no hay pago periódico de cupones. Aunque puede haber otras modalidades las mencionadas son las más comunes. A continuación se estudiarán las características particulares de la emisión de deuda pública en España.

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5.3 La Deuda Pública en España La emisión de deuda pública debe estar autorizada por Ley. La Ley General Presupuestaria concede un elevado grado de libertad al Gobierno para la gestión de la deuda pública. En la Ley de Presupuestos Generales del Estado de cada ejercicio se establecen los criterios a los que se debe atener la emisión de deuda pública en el año correspondiente y se fijará el límite máximo de emisión, que será un límite global sin distinción entre los diferentes tipos de deuda pública. De este modo, el gobierno y, por delegación, el Ministro de Economía y Hacienda que, a su vez, delega la mayor parte de sus poderes en la Dirección General de Tesoro y Política Financiera, podrá decidir con libertad el tipo de valor y el procedimiento para su colocación. En el mercado español de Deuda Pública se emiten los siguientes valores o instrumentos en euros: letras del tesoro, bonos y obligaciones, strips, deuda en divisas, cesiones temporales de deuda y cuentas y depósitos financieros. En estas páginas estudiaremos los dos primeros. Cualquier persona física o jurídica, sea o no residente, puede realizar peticiones de suscripción de Valores del Tesoro. Se denomina suscripción a la adquisición de estos valores en el Mercado Primario, es decir, en el momento en que se emiten y se ponen en circulación. En el caso del estado español estas suscripciones se realizan mediante subasta. En un momento posterior el titular de cualquiera de estos valores puede desprenderse de él vendiéndolo en el mercado secundario, es decir en Bolsa. En este caso el precio, o valor efectivo del título, vendrá dado por el mercado en función de la situación económica concreta del momento y de los niveles de oferta y de demanda. La Dirección General del Tesoro y Política Financiera en las correspondientes resoluciones, publica las cuestiones relativas a las emisiones de los diferentes instrumentos del ejercicio, como el calendario de subastas o las tablas de equivalencia entre precios y rendimientos. A continuación veremos los tipos de valores que se emiten en la actualidad.

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5.3.1 Las Letras del Tesoro Se trata de valores de renta fija a corto plazo, representados mediante anotaciones en cuenta. Esto significa que quien adquiere una letra del tesoro no recibe ningún título, ningún documento físico (título-valor) sino que su nombre se inscribe en un registro contable especial. Las letras del tesoro se crearon en Junio de 1987 cuando se puso en funcionamiento el Mercado de Deuda Pública en Anotaciones, en base al Real Decreto 505/1987 de 3 de Abril, modificado por el Real Decreto 1009/1991 de 21 de Junio y por el Real Decreto 536/1997 de 14 de Abril. Es el Banco de España, actuando como agente financiero del Estado el que se encarga de la gestión de la Central de Anotaciones. Las letras se suscriben por el procedimiento de subasta, participando en ésta tanto las peticiones competitivas como las no competitivas. En la actualidad, se emiten letras del tesoro a 3, 6, 12 y 18 meses.

5.3.1.1 El procedimiento de subasta El procedimiento de subasta utilizado para las letras es del tipo denominado holandés modificado. Según la Ley, cualquier persona física o jurídica podrá presentar ofertas en las subastas, que podrán ser de dos tipos: competitivas y no competitivas.

Peticiones competitivas: El participante tiene que indicar qué importe nominal desea adquirir y a qué precio desea hacerlo, expresado este último en tanto por ciento del nominal. Estas peticiones son más apropiadas para inversores con un cierto conocimiento del mercado, puesto que al fijar el precio al que se desea suscribir los valores se asume el riesgo de que la petición no sea aceptada por el Tesoro. No se pueden presentar peticiones competitivas por importe inferior a 1.000 euros. Las peticiones por importes superiores deben referirse a múltiplos enteros de esa cifra. Cada participante puede presentar tantas peticiones competitivas a precios distintos como desee.

Peticiones no competitivas: En ellas sólo es preciso indicar el importe nominal que se desea adquirir. El precio a pagar por los valores será el precio medio ponderado que resulte de la subasta. Las peticiones no competitivas son las más adecuadas para el pequeño inversor, puesto que a través de ellas éste se asegura que su petición sea aceptada ya que todas las peticiones no competitivas serán

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adjudicadas si se adjudica alguna competitiva. También se asegura de recibir un interés en línea con el promedio resultante de la subasta. No se pueden presentar peticiones por importe inferior a 1.000 €. Las peticiones por importes superiores habrán de ser múltiplos de 1.000. No obstante, el importe nominal máximo conjunto para las peticiones no competitivas presentadas por cada postor no podrá exceder de 200.000 euros. Una vez cerrado el plazo de presentación de peticiones, estas se ordenan de mayor a menor precio ofertado. A continuación, el director general del Tesoro y Política Financiera determinará el volumen, nominal o efectivo que se va a emitir quedando fijado automáticamente el precio mínimo aceptado y quedando por tanto adjudicadas todas aquellas peticiones con precios ofertados superiores o iguales al mínimo admitido. En ocasiones se puede limitar la adjudicación para las peticiones con precio igual al mínimo, estableciéndose en ese caso un prorrateo. Una vez decidido lo anterior se procede a calcular el precio medio ponderado de las peticiones competitivas aceptadas, redondeando por exceso a tres decimales. El precio que finalmente pagarán los inversores será: a) Las peticiones cuyo precio sea inferior al precio medio ponderado pagarán el precio ofertado b) Las peticiones cuyo precio sea igual o superior al precio medio ponderado pagarán el precio medio ponderado c) Las peticiones no competitivas pagarán el precio medio ponderado. Veámoslo con un ejemplo. Supongamos una subasta en la que la suma total de nominales solicitados entre peticiones competitivas y no competitivas alcanza un total de 3.859.000 €. A su vez, las peticiones competitivas se distribuyen del siguiente modo:

Precio ofertado 97,30 97,20 97,10 97,00 96,90 96,80

Nominal solicitado 445.000 520.000 740.000 923.000 533.000 181.000

Suma nominal 445.000 965.000 1.705.000 2.628.000 3.161.000 3.342.000

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sumando las no competitivas un total de 517.000 €. El director general del tesoro determina la cantidad a emitir, que se fija en 3.678.000 €. Dado que las peticiones no competitivas deben ser adjudicadas en su totalidad si se otorga alguna competitiva, el total para las competitivas será 3.161.000 €. El precio mínimo aceptado será, por tanto 96,900%. Todas las ofertas competitivas con un precio inferior serán rechazadas y las ofertas con un precio igual o superior serán aceptadas en su totalidad. El precio medio ponderado de las ofertas competitivas será el siguiente: PMP =

445.000 ⋅ 97,3 + 520.00 ⋅ 97, 2 + 740.000 ⋅ 97,1 + 923.000 ⋅ 97 + 533.000 ⋅ 96,9 3.161.000 = 97, 082%

Por lo tanto, el precio a pagar por las peticiones aceptadas será: 1.- Las peticiones aceptadas cuyo precio es inferior al PMP, pagan el precio ofertado, en nuestro caso 923.000 pagarán 970 € por letra y 533.000 pagarán 969 € por letra 2.- Las peticiones aceptadas cuyo precio fuese mayor o igual que el PMP pagarán el PMP. En nuestro caso, 445.000, 520.000 y 740.000 pagarán 970,82 € por letra. 3.- Finalmente las peticiones no competitivas pagarán el PMP. Las letras del tesoro se emiten al descuento, es decir, se ponen en circulación por un importe inferior al que el inversor recibirá en el momento de la amortización. La rentabilidad de la inversión vendrá dada, por tanto, por la diferencia entre el valor de emisión y el valor de reembolso o valor nominal que en la actualidad es de 1.000 €. Por esta razón también se dice que son valores de rendimiento implícito. Dicho rendimiento está exento de retención a cuenta tanto en el ámbito del IRPF como en el del Impuesto de Sociedades, aunque haya que incluirlos en la declaración anual de dichos impuestos.

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5.3.2 Los Bonos y las Obligaciones Son valores emitidos por el Tesoro a medio y largo plazo. Para los bonos éste puede ser 3 ó 5 años y para las obligaciones 10, 15 ó 30. Estos títulos se pueden adquirir por 1.000 € de valor nominal o múltiplos de esta cantidad. El poseedor de uno de estos títulos cobra sus intereses anualmente y el tipo es conocido desde el mismo momento de la emisión manteniéndose constante durante toda la vida del título. Por lo tanto el inversor conoce exactamente la cantidad que percibirá cada año, también denominada cupón. Este tipo de valores se emiten mediante subasta competitiva. La amortización se produce para todos los títulos al final de la vida de la emisión. Hasta ese momento, el Tesoro se compromete a pagar intereses periódicamente.

5.4 Cálculo de la rentabilidad de los Valores Estudiaremos a continuación los métodos empleados para valorar la rentabilidad de las operaciones con títulos de renta fija. Para una visión más completa sobre valoración de inversiones ver Gómez-Bezares (2002) y Miner (2005).

5.4.1 Letras del tesoro En el caso de las letras con vencimiento a 12 meses la fórmula de cálculo a utilizar según la Dirección General del Tesoro y Política Financiera (DGTPF) es la de capitalización simple. De esta forma, si queremos calcular la rentabilidad de una letra adquirida al 95,85% y que vence dentro de un año procederíamos del siguiente modo:

958,5 =

1.000 (1 + i ⋅ 365 360 )

de donde i = 4,27 Esta fórmula de cálculo se considera aceptable para el caso de letras con vencimiento a un año en Ferruz (1994) aunque la consideración del año de 360 días introduce una pequeña distorsión. Por otro lado el autor advierte acertadamente que el tipo así calculado no debe ser considerado como TAE por ignorar las comisiones que se devengan en la operación y que son diferentes según la letra se adquiera o no directamente en el Banco de España.

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En todo caso, tal y como también apuntan Meneu y otros (1994) el empleo de la fórmula de capitalización simple en este tipo de operaciones no parece tener justificación ya que no permite establecer comparaciones con las rentabilidades ofrecidas por otros tipos de títulos, por lo que sería más lógico para el inversor emplear en todos los casos la fórmula de capitalización compuesta que, suponiendo una comisión g’ sobre el nominal por la suscripción y otra g’’ también sobre el nominal por la transferencia final o amortización, sería: ( P + 1.000 ⋅ g ') ⋅ (1 + im ) = 1.000 ⋅ (1 − g '') TAE = (1 + im ) m − 1

donde: P = Precio de adquisición, en nuestro ejemplo 958,5 g’ y g’’ = Comisiones en tanto por uno im = Tipo efectivo del periodo.

5.4.2 Bonos y Obligaciones La rentabilidad viene dada por el cupón fijo y por el precio efectivo que se paga al adquirirlos. El cupón, como ya se ha dicho, es conocido de antemano pero el precio efectivo, es decir, lo realmente pagado para su adquisición puede ser inferior, igual o mayor que el nominal o precio teórico del bono que coincide con el importe que se cobrará en la amortización. Si el precio efectivo es inferior al nominal entonces la rentabilidad de la inversión será superior a la indicada por el cupón anual. Si por el contrario el precio es superior al nominal la rentabilidad de la inversión será inferior a la expresada por el cupón anual. La diferencia entre el nominal del título y su valor efectivo se debe a las variaciones de los tipos de interés de mercado desde el momento de la emisión hasta el momento de la adquisición. Si un título de estas características se emite, pongamos por ejemplo, al 3% y transcurridos dos años, títulos de similares características están pagando intereses del 3,5% ningún inversor con títulos del primer tipo podrá vender, salvo que esté dispuesto a hacerlo por debajo del nominal. El comprador podrá así alcanzar la rentabilidad que en ese momento está ofreciendo el mercado (en nuestro ejemplo el 3,5%) comprando un título que paga el 3% pero añadiendo la rentabilidad obtenida por la diferencia entre el precio efectivo de compra y el

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que recibirá en el momento de la amortización. También puede producirse una diferencia entre el precio efectivo del bono y su valor nominal por el tiempo transcurrido desde el cobro del último cupón, lo que se denomina cupón corrido. Supongamos un bono a tres años que se adquiere por 992 €, paga un cupón del 4,65% y vence el 31 de octubre de 2004. El flujo de fondos correspondiente a esta inversión lo representaríamos del siguiente modo:

1.046,5

46,5

46,5

992 Como se observa en el gráfico, entre el momento de la adquisición, supongamos que en bolsa, y el cobro del primer cupón, transcurre un año. Para el cálculo de la rentabilidad de la inversión utilizaremos la siguiente fórmula:

Fj

n

P=∑ j =1

(1 + i )

j+

(5.6)

d b

donde P= Precio de compra o suscripción del bono Fj= Cupón en euros cobrado a fin de cada año j. i= Tipo de interés o rentabilidad d= Días entre la fecha de adquisición y la fecha de cobro del cupón b= 365 días En nuestro ejemplo la fórmula de cálculo será: 992 =

46,5

(1 + i )

1

+

46,5

(1 + i )

obteniendo como resultado una i de 4,94%.

2

+

1.046,5

(1 + i )

3

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d que aparece en el denominador de la fórmula (5.6) tiene b sentido cuando entre el momento de la adquisición y el de cobro del primer cupón transcurre más de un año. Esta circunstancia se da a veces en las adquisiciones en el mercado primario.

La fracción

5.5 Características de un título Como ya se ha venido adelantando en apartados anteriores, los valores de renta fija pueden ser vendidos antes de su amortización acudiendo a Bolsa. Esta posibilidad confiere a los títulos que estamos estudiando la característica de liquidez. La liquidez hace referencia a la posibilidad de convertir en dinero líquido el valor de un título sin sufrir pérdidas importantes. Para ello es imprescindible que exista un mercado secundario con niveles elevados de negociación, es decir, de compras y ventas de este tipo de valores. El inversor, ante la posibilidad de optar entre dos títulos de similares características salvo que el volumen de negociación de uno de ellos sea claramente superior al del otro, siempre escogerá el primero, el más líquido. Por esta razón, algunas emisiones ofrecen rentabilidades superiores que tratan de compensar una menor liquidez y que se denominan primas por liquidez. Otra de las características que considera un inversor a la hora de decidirse por uno u otro valor es, por supuesto, la rentabilidad. La rentabilidad, en el caso de los títulos de renta fija, puede proceder de dos fuentes: los intereses o cupones (caso de los bonos y obligaciones) y la diferencia, ganancia o pérdida en su caso, entre el precio de compra y el de venta. Queda por último una tercera característica que influye en el valor de un título en el mercado: el riesgo. El riesgo asociado a una inversión en este tipo de valores puede tener dos orígenes diferentes. En primer lugar se consideran los factores relativos a la solvencia de la entidad emisora y que pueden afectar al cumplimiento por parte de ésta de sus obligaciones de pago, tanto de cupones como de reembolso. Los inversores, en general, exigirán mayores rentabilidades a las emisiones más arriesgadas, recibiendo este diferencial el nombre de prima por riesgo. Para facilitar la toma de decisiones y aportar transparencia a los mercados existen unas sociedades especializadas en clasificar las diferentes emisiones en función de su nivel de riesgo. Estas sociedades se denominan sociedades de rating y las más reconocidas a nivel internacional son Moodys,

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(www.moodys.com), y Standard & Poors (www.standardandpoors.com). Entre las clasificaciones ofrecidas por estas empresas están las relativas a las emisiones de deuda de los diferentes estados y, concretamente, Moodys concedió a las emisiones del Reino de España en diciembre de 2001 la categoría AAA, la más alta calificación crediticia. Otra fuente de riesgo que afecta a la valoración que el mercado hace de los títulos es la evolución de los tipos de interés. Volvemos a repetir que este factor no afectará en ningún caso a aquellos inversores que mantengan el título hasta su amortización, pero no será así si se decide liquidar la inversión antes de ese momento, acudiendo a bolsa. En ese caso el vendedor del título deberá someterse a las leyes del mercado, que establecerán un precio para el título en función de los rendimientos que proporcionará en el futuro de manera que la rentabilidad final sea similar a la que en ese momento está ofreciendo el mercado en operaciones de características y plazos semejantes.

5.6 Valor de un título en el mercado Ya se ha adelantado en estas páginas que el mercado asignará un valor o precio a los títulos en función de los rendimientos que se espera obtener en el futuro de tal manera, que la rentabilidad final sea equiparable a la ofrecida por títulos de características similares. Cualquier cambio en la rentabilidad exigida por el mercado provocará un cambio en el precio o cotización ya que tanto los intereses como la amortización son valores fijos. En general podemos decir que las rentabilidades y los precios evolucionan de forma inversa: a mayor rentabilidad exigida por el mercado el precio del título tenderá a descender y lo mismo ocurrirá en sentido contrario. Veámoslo con algún ejemplo: Supongamos una emisión de bonos a la par, con nominal de 1.000 €, cupón 50 €, 5 años de vida y amortización también a la par. La rentabilidad es, evidentemente, un 5%, que podríamos obtener de forma analítica del siguiente modo: 1.000 =

50 50 50 50 1.050 + + + + 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )5

o lo que es lo mismo: 1.000 = 50 ⋅ a5 i + 1.000 ⋅ (1 + i )

−5

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de donde se obtiene una i = 5%, como cabía esperar. Ahora supongamos que ese bono se vende dos años más tarde en bolsa en un momento en que los tipos de interés de títulos de similares características son del 3%. Lógicamente el mercado no valorará igual un título que paga el 3% que otro similar en riesgo y liquidez que paga un 5%. Es evidente que este último será más valorado y este valor será el resultado de descontar, al nuevo tipo de interés los rendimientos que se obtendrán en el futuro. Concretamente: P=

50 50 1.050 + + = 1.056,57 € 2 (1,03) (1,03) (1,03)3

El título se aprecia en un 5,657%. El comprador pagará 1.056,57 € y cobrará 50 € al final de los próximos 3 años, con lo que su rentabilidad será del 3%, que es la rentabilidad que están obteniendo en ese momento los títulos de similares características. El vendedor, por su parte, al no esperar hasta el momento de la amortización del título obtendrá una rentabilidad diferente y en este caso superior, a la anunciada en la emisión, como consecuencia de la evolución de los tipos de interés en el mercado. Para el vendedor, la rentabilidad de la operación la calcularemos del siguiente modo: 1.000 =

50 1.056,57 + 50 + 2 (1 + i ) (1 + i ) i = 7,72%

Como ya sabíamos, la disminución de los tipos de interés de mercado provoca un aumento del valor de los títulos que se traduce en un incremento de rentabilidad para el inversor, siempre y cuando decida vender el valor en bolsa. Este efecto, sin embargo, tiene también su parte negativa ya que por otro lado disminuye la rentabilidad proveniente de las reinversiones de los importes de cupones y reembolsos de capital. Vamos a suponer ahora que se produce un aumento de los tipos de interés que llega, para el caso de nuestro títulos, hasta el 7% (tomamos un tipo tan alto para analizar la reacción del mercado ante una subida de la misma magnitud que la bajada del caso anterior).

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El precio de los títulos será: P=

50 50 1.050 + + = 947,51€ 2 3 1,07 (1,07 ) (1,07 )

Efectivamente, el aumento de los tipos de interés ha producido una disminución del precio de los bonos, en este caso de 52,49 €, que representa una caída del 5,249%, ligeramente inferior al 5,657% de subida calculado anteriormente. En general afirmaremos que el porcentaje de aumento del precio que resulta de una disminución en el tipo de interés es superior al porcentaje de descenso que se produciría como consecuencia de un aumento de la misma magnitud y sentido contrario. Supongamos ahora dos bonos de nominal 1.000 €, y cupón 40 € que vencen, respectivamente, dentro de 3 y 7 años. Supongamos también que en la actualidad los tipos de interés han descendido de modo que la rentabilidad que exige el mercado en este momento es del 3%. El precio de los títulos en el mercado será ahora:

40 40 1.040 + + = 1.028, 29 € 2 1,03 1,03 1,033 40 40 40 40 40 40 1.040 P7 = + + + + + + = 1.062,30 € 2 3 4 5 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,036 1,037 P3 =

Como se observa el cambio en el precio del bono a 7 años es superior al del bono a tres años. En general el efecto sobre los precios que se produce como consecuencia de una variación en los tipos de interés, tanto al alza como a la baja, es mayor cuanto más lejano esté el vencimiento.

5.7 Riesgo asociado a un título En el campo de las finanzas, el concepto de riesgo se asocia a la variabilidad de los posibles resultados. Intuitivamente tendemos a asociar el término riesgo con el de probabilidad de perder, o en general de que suceda algo malo. Decimos que un negocio es arriesgado cuando existe la posibilidad de perder mucho dinero. Si bien es cierto que el sentido común nos dice, con razón, que entre dos inversiones de características similares será más arriesgada aquella que exija un mayor desembolso, no debemos limitar, desde

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el punto de vista del análisis financiero, el concepto de riesgo a este único factor. Cuando afirmamos que en finanzas el riesgo se asocia con la variabilidad de los resultados esperados queremos decir que una inversión segura es aquella sobre cuyos resultados no existe ninguna duda y por tanto éstos serán conocidos de antemano. La inversión en condiciones de certeza rara vez se presenta, salvo en el caso de los títulos de renta fija que por esta razón se denominan también títulos sin riesgo, con las salvedades ya mencionadas en este capítulo y que hacen referencia a los problemas de insolvencia del emisor o al riesgo de tipos, cuando se acude al mercado. En el resto de casos el inversor, o en su caso, el responsable financiero, tendrá que tomar decisiones de inversión en entornos de riesgo, es decir, tendrá que tratar de estimar los rendimientos que van a producir las inversiones a las que tiene acceso para optar por la mejor o las mejores. Estas estimaciones suponen normalmente, idear escenarios en condiciones optimistas y pesimistas y calcular cual sería el resultado esperado en cada caso. Cuando las diferencias en las estimaciones son muy grandes, hablaremos de inversiones arriesgadas. A mayor diferencia, o lo que es lo mismo, mayor variabilidad en los resultados esperados, el riesgo asociado será mayor. Entre ambos extremos puede estar o no incluida la posibilidad de perderlo todo. Aplicando el razonamiento al caso de los títulos de renta fija, hemos visto como, en caso de no esperar a la amortización y acudir a bolsa, la evolución de los tipos de interés de mercado se convierte en fuente de riesgo ya que afecta al precio de dichos títulos y por tanto a la rentabilidad del inversor. Hemos visto también como el efecto de dicha evolución sobre los precios es mayor a medida que el plazo de vencimiento de los títulos es también mayor. Podemos concluir por tanto que los títulos a más largo plazo son más arriesgados y que una medida que haga referencia al plazo al que se hallan invertidos los fondos será, de algún modo, indicativa de su riesgo asociado. En el caso de los bonos cupón cero dicha medida sería sencillamente el tiempo que falta hasta el vencimiento pero en el resto de casos se producen recuperaciones de fondos vía cupón que han de tenerse en cuenta. La medida así definida se denomina duratio (duración) y se define como la media ponderada del plazo de cada pago, tanto de intereses como de reembolso, siendo la ponderación el porcentaje que representa el valor actual de cada pago respecto del valor actual del bono completo (Lamothe y Prieto,1993).

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C (1 + i ) ⋅ t D=∑ t P

(5.7)

Así: −t

donde: D: Duración del bono. En muchos libros denominada duratio. i: Rendimiento estimado del bono en el momento del cálculo. Ct: Pago correspondiente al momento t (cupón o reembolso) P: Precio de mercado del bono en el momento del cálculo. Veamos un ejemplo que nos servirá para aclarar el concepto. Supongamos un bono de nominal 1.000 al que le quedan 3 años hasta su vencimiento. Supongamos que cobra cupón anual de 4% y que en este momento la rentabilidad de este tipo de bonos se estima en un 3,5%. ¿Cuál sería su duración? Vamos a calcular en primer lugar el valor efectivo del título en el mercado: P=

40 40 1.040 + + = 1.014,01€ 2 (1,035 ) (1,035 ) (1,035)3

Aplicando la fórmula (5.7) obtendremos una medida del riesgo que es en realidad una medida de tiempo, una media ponderada de los plazos de cobro. D = 1⋅

40 ⋅ (1,035 ) 1.014,01

−1

+ 2⋅

40 ⋅ (1,035 ) 1.014,01

−2

+3

1.040 ⋅ (1,035 ) 1.014,01

−3

= 2,89

Se observa que prácticamente la duración coincide con la vida del título. Es lógica esta solución ya que el cobro más importante, la amortización, se produce en el año 3 teniendo los años 1 y 2 muy poco peso en la ponderación ya que los cobros correspondientes son muy reducidos. En general podemos afirmar que la duración nunca será mayor que la vida del título y solo será igual, como ya se ha mencionado, en el caso de

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títulos de cupón cero ya que en ese caso los años anteriores al último no se producen pagos por lo que su peso en el cálculo es cero. En cualquier otro tipo de título la duración será inferior a la vida viéndose afectada principalmente por:

1.- El cupón: A mayor cupón menor duración. 2.- El plazo hasta el vencimiento: A mayor plazo, mayor duración. 3.- La rentabilidad de los títulos en el mercado: En un entorno de tipos de interés creciente la ponderación favorece a los vencimientos más próximos ya que los cobros de los periodos más alejados pierden en valor actual relativamente más que ellos. Así a mayor rentabilidad menor duración, y viceversa. Comprobemos lo anterior con un ejemplo. Supongamos un bono de nominal 1.000 al que le quedan 3 años hasta su vencimiento. Supongamos que cobra cupón anual del 4% y que en este momento la rentabilidad de este tipo de bonos se estima en un 3,5%. Los efectos 1 y 3 sobre la medida de la duración, aparecen en las columnas del escenario correspondiente.

Escenario Nominal Cupón Vida Interés de mercado

0 1000 40 3 3,50%

1 1000 50 3 3,50%

3 1000 40 3 20,50%

Periodos 0 1 2 3

-1.000 40 40 1.040

-1.000 50 50 1.050

-1.000 40 40 1.040

Precio en bolsa Duración

1.014,01 2,89

1.042,02 2,86

655,13 2,86

El escenario cero será la base para la comparación y se corresponde con la situación planteada en el ejemplo anterior. En el escenario 1 el cupón es de 50. Vemos, por un lado, como el título experimenta una apreciación de su cotización en bolsa mayor que en el escenario 0 debido a que la bajada de tipos ha sido mayor en este caso y por otro se aprecia una ligera disminución de la duración. Podríamos concluir que a mayor rentabilidad menor riesgo PERO ESTO IRÍA EN CONTRA DE UN PRINCIPIO BÁSICO QUE DICE

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JUSTAMENTE LO CONTRARIO, un mayor riesgo debe ir siempre acompañado de una mayor rentabilidad, y esto es siempre cierto, tanto en renta fija como en renta variable. ¿Cómo se explica entonces ese enunciado de “a mayor cupón menor duración”? La tabla anterior aclara la cuestión. Es sabido que la duración como medida de riesgo interesa únicamente a quienes acuden a bolsa y se someten a las variaciones de los precios debidas a variaciones en los tipos de interés. Si este no fuera el caso, nadie dudaría entre dos bonos que se pueden adquirir en el mercado primario cuya única diferencia radica en que uno paga un cupón de 40 € y el otro de 50. Pero en el caso de nuestro ejemplo, supuesta la adquisición en bolsa, se observa que en ambos casos (escenario 0 y 1) la rentabilidad de la inversión es exactamente la misma, un 3,5%, independientemente de cual sea el cupón en cada caso. Siendo la rentabilidad la misma, la medida de la duración nos haría inclinarnos por la segunda opción que presenta un riesgo (medido por la duración) ligeramente inferior, aunque hemos de tener también en cuenta que el desembolso es mayor, lo que quizá haría más interesante la primera opción. Si ahora comparamos el escenario 0 con el 3, de nuevo parece venirnos a la cabeza la falsa conclusión de a mayor rentabilidad menor riesgo. En primer lugar debe observarse que la medida de la duración es bastante poco sensible a las variaciones del tipo de interés de mercado (éste debe subir hasta el 20,5% para provocar una bajada de la duración de la misma magnitud que la provocada por un aumento del cupón de 40 a 50). Por otro lado, es evidente que ambas opciones no son comparables ya que no es posible que dos títulos con el mismo cupón y la misma vida ofrezcan rentabilidades tan dispares (3,5 el primero y 20,5 el segundo), salvo que efectivamente esa diferencia se deba a una prima por riesgo que en el caso del escenario 3, pudiera provenir de una baja calificación crediticia de la entidad emisora, es decir, riesgo de insolvencia. Como conclusión diremos: · El valor calculado de la duración resulta útil por comparación con otros valores de duración de otros títulos y es simplemente un dato más a la hora de tomar una decisión de inversión. · La duración es una medida del riesgo asociado a un título proveniente únicamente de las variaciones de su cotización en bolsa ante cambios en los tipos de interés de mercado, sin considerar la otra fuente de riesgo, es decir, la posibilidad de insolvencia de la entidad emisora.

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·En general y tanto en renta fija como en renta variable un riesgo mayor debe ir siempre acompañado de una mayor rentabilidad. Por esta razón los títulos de renta fija se suelen a veces denominar títulos sin riesgo y ofrecen rentabilidades inferiores a las ofrecidas por valores de renta variable, como las acciones En Navarro y Nave 2001) puede encontrar un análisis más profundo sobre el riesgo de interés y los modelos de valoración de activos de renta fija en ambientes de incertidumbre.

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5.8 Ejercicios 1.- Un empréstito presenta las siguientes características: 100.000 obligaciones emitidas de 1.000 € nominales, cupón 30 €, vida 10 años y amortización por sorteo mediante anualidades constantes. Elaborar el cuadro de amortización. En primer lugar calcularemos el número de títulos que se amortizan cada año: M1 =

N1 100.000 = = 8.723,050 sn i s10 0,03

A partir de aquí calculamos el resto de valores aplicando la fórmula que relaciona el número de títulos a amortizar, según la cual: M k = M k −1 ⋅ (1 + i ) = M 1 ⋅ (1 + i )

k −1

obteniendo los siguientes valores para el resto de años: M2=8.984,742; M6=10.112,406; M10=11.381,602

M3=9.254,284; M7=10.415,778;

M4=9.531,913; M8=10.728,252;

M5=9.817,870; M9=11.050,099;

Prescindiendo de los decimales se alcanza un total de 99.995 títulos amortizados, lo que significa que habrá que aumentar en 1 la parte entera de los títulos de los 5 años con mayor parte decimal, en este caso, M2, M4, M5, M7 y M10. El cálculo de la anualidad en estos ejercicios no resulta útil porque la anualidad real se calcula para cada año con los verdaderos valores de los títulos amortizados, sumando los importes reales de cuota de interés y cuota de amortización. En todo caso, su cálculo se realizaría como sigue:

α=

C ⋅ N1 1.000 ⋅100.000 = = 11.723.050, 66 € an i a10 0,03

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188

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA De este modo el cuadro de amortización quedaría como sigue:

Año Tít. Amo. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8.723 8.985 9.254 9.532 9.818 10.112 10.416 10.728 11.050 11.382

Tít. Vivos C. Interés 100.000 91.277 82.292 73.038 63.506 53.688 43.576 33.160 22.432 11.382 0

3.000.000 2.738.310 2.468.760 2.191.140 1.905.180 1.610.640 1.307.280 994.800 672.960 341.460

C. Amort. 8.723.000 8.985.000 9.254.000 9.532.000 9.818.000 10.112.000 10.416.000 10.728.000 11.050.000 11.382.000

Cap. Vivo 100.000.000 91.277.000 82.292.000 73.038.000 63.506.000 53.688.000 43.576.000 33.160.000 22.432.000 11.382.000 0

2.- En un empréstito a 5 años de 250.000 obligaciones de 1.000 € nominales y cupon 25 € se pide calcular el número de obligaciones que se amortizan cada año mediante anualidad constante y el empréstito vivo después de transcurridos tres años. De forma similar al caso anterior comenzamos calculando los títulos amortizados: M1 =

N1 250.000 = = 47.561,715 sn i s5 0,025

y a partir de este resultado calculamos el resto, utilizando la fórmula: M k = M k −1 ⋅ (1 + i ) = M 1 ⋅ (1 + i )

k −1

de donde M2=48.750,7581; M3=49.969,5271; M4=51.218,7652; M5=52.499,2344 De nuevo, prescindiendo de los decimales, el total de títulos amortizados alcanza un total de 249.997, lo que significa que es necesario corregir tres de los valores, con los que el total de títulos para cada año queda como sigue: M1=47.562; M2=48.751; M3=49.969; M4=51.219; M5=52.499

191 de 224

AMORTIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS

189

Año Tít. Amort. Tít. Vivos C. Interés C. Amort. Cap. Vivo 0

250.000

250.000.000

1

47.562

202.438

6.250.000 47.562.000 202.438.000

2

48.751

153.687

5.060.950 48.751.000 153.687.000

3

49.969

103.718

3.842.175 49.969.000 103.718.000

4

51.219

52.499

2.592.950 51.219.000 52.499.000

5

52.499

0

1.312.475 52.499.000

0

Si quisiéramos calcular el importe correspondiente al empréstito vivo sin elaborar el cuadro completo, solo tendríamos que hacer la siguiente operación:

( 250.000 − 47.562 − 48.751 − 49.969 ) ⋅1.000 = 103.718.000 3.- En un empréstito a 5 años de 150.000 títulos, 1.000 € nominales, cupón 30 € y anualidades constantes, se pide calcular el coste efectivo para el emisor sabiendo que las entidades financieras encargadas de colocar los títulos han cobrado una comisión del 5% del importe emitido, que los restantes gastos iniciales han sido de 1.500.000 € y que por efectuar el pago de cupones y reembolso de nominales las entidades financieras cobran el 3% de las cantidades pagadas. El coste efectivo de la operación para el emisor será el tipo que haga cumplir la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación teniendo en cuenta todas las características asociadas a la emisión, en este caso, la comisión de colocación, los gastos fijos y la segunda comisión correspondiente a pagos de cupones y amortizaciones. Calcularemos en primer lugar la anualidad:

α=

C ⋅ N1 1.000 ⋅ 150.000 = = 32.753.185,71 € an i a5 0,03

A continuación, la expresión de equivalencia financiera que quedará como sigue: 1.000 ⋅ 150.000 ⋅ (1 − 0,05 ) − 1.500.000 = 32.753.71 ⋅ (1 + 0,03) ⋅ a5 i

e

Comprobamos a continuación cómo la diferencia entre el resultado de esta expresión y el obtenido del cuadro de amortización con el número de

192 de 224

190

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA títulos corregidos para obtener cantidades enteras puede considerarse despreciable: Anualidad constante = 32.753.185,71 Anualidad corregida = 32.753.185,71·(1,03) = 33.735.781,21 € -141.000.000,00 33.735.781,28 33.735.781,28 33.735.781,28 33.735.781,28 33.735.781,28

Coste efectivo 6,288232% El cuadro completo queda del siguiente modo:

Año 0 1 2 3 4 5

Títulos. Amort. 28.253 29.101 29.974 30.873 31.799

Títulos Vivos 150.000 121.747 92.646 62.672 31.799 0

Cuota Interés 4.500.000 3.652.410 2.779.380 1.880.160 953.970

Cuota Amort.

Importes efectivos -141.000.000,00 28.253.000 33.735.590,00 29.101.000 33.736.012,30 29.974.000 33.735.981,40 30.873.000 33.735.754,80 31.799.000 33.735.559,10 C. efectivo

6,288234%

Es evidente que la diferencia en el resultado es despreciable.

4.- Un individuo decide invertir sus ahorros en renta fija a medio plazo. Consultados los resultados de las últimas subastas de bonos del Tesoro comprueba que los bonos a tres años están cobrando un interés del 2,750%. En su banco le informan de la posibilidad de adquirir obligaciones en bolsa a las que les quedan tres años para su amortización y que se emitieron con cupón de 45 €. ¿A que precio valorará el mercado estos títulos? En un entorno de tipos de interés a la baja, la cotización de los títulos de renta fija aumentará, de forma que la rentabilidad final de los inversores

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AMORTIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS

191

que adquieren hoy títulos similares en riesgo y vencimiento, en el mercado primario o en el secundario, sea también similar. En este caso se trata de un título que va a proporcionar a su dueño un rendimiento de 45 € al año y que debe traducirse en una rentabilidad del 2,75%, que es lo que están rindiendo hoy en el mercado otros títulos de características similares. Ya que ni el tipo de interés (cupón) ni el nominal son susceptibles de modificación por las leyes del mercado, será el precio efectivo del título el que varíe ajustándose a la coyuntura económica del momento. Dicho precio efectivo, lo calcularemos del siguiente modo: P=

45 45 45 + + = 1.049,74 € 2 1,0275 1,0275 1,02753

5.- Existen en el mercado secundario dos tipos de títulos de renta fija cuya única diferencia es el plazo que les que queda para su amortización, siendo este de 3 y 5 años, respectivamente. Ambos cobran un cupón de 55 €. Si en la actualidad los títulos de características similares están cobrando un cupón de 35 €, ¿cuál será su precio efectivo en el mercado? ¿Cómo les afectaría una subida en los tipos, si suponemos que están cobrando un cupón de 25 €? En el cuadro que aparece a continuación tenemos un resumen de los resultados:

A (3 años) Nominal Cupón Años Interés Efectivo %Variación

B (5 años)

A (3 años)

B (5 años)

1.000 55 3 3,50%

1.000 55 5 3,50%

1.000 25 3 3,50%

1.000 25 5 3,50%

1.056,03 5,60%

1.090,30 9,03%

971,98 -2,80%

954,85 -4,52%

Vemos que el efecto de la caída de los tipos de interés es superior al del aumento en ambos tipos de títulos.

194 de 224

192

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA Resulta evidente también cómo los títulos a más largo plazo son más sensibles a las variaciones en los tipos de interés que los de vencimiento menor.

6.- Calcular la duración de cada unos de los bonos del ejercicio anterior para los dos casos propuestos. a) Cupón 55 € y tipo de interés 3,5% DA = 1 ⋅

55 ⋅ (1,035 )

+ 2⋅

1.056,03

DB = 1 ⋅

55 ⋅ (1,035 )

−2

+ 3⋅

1.056,03

−1

+ 2⋅

1.090,30

+4 ⋅

55 ⋅ (1,035 )

−1

55 ⋅ (1,035 )

55 ⋅ (1,035 )

+ 5⋅

1.090,30

−3

= 2,85

1.056,03

−2

+ 3⋅

1.090,30

−4

1.055 ⋅ (1,035 )

1.055 ⋅ (1,035 )

55 ⋅ (1,035 )

−3

+

1.090,30

−5

= 4,53

1.090,30

b) Cupón 25 € y tipo de interés 3,5% DA = 1 ⋅

25 ⋅ (1,035 ) 971,98

DB = 1 ⋅

−1

+ 2⋅

25 ⋅ (1,035 )

+4 ⋅

25 ⋅ (1,035 ) 971,98

−1

954,85

+ 2⋅

25 ⋅ (1,035 ) 954,85

−2

+ 3⋅

25 ⋅ (1,035 )

−4

+ 5⋅

954,85

1.025 ⋅ (1,035 )

−3

971,98

−2

+ 3⋅

1.025 ⋅ (1,035 ) 954,85

25 ⋅ (1,035 ) 954,85

−5

= 4,68

= 2,93 −3

+

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ANEXO I

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Valor Actual de una unidad monetaria 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1,0% 0,9901 0,9803 0,9706 0,9610 0,9515 0,9420 0,9327 0,9235 0,9143 0,9053 0,8963 0,8874 0,8787 0,8700 0,8613 0,8528 0,8444 0,8360 0,8277 0,8195 0,8114 0,8034 0,7954 0,7876 0,7798 0,7720 0,7644 0,7568 0,7493 0,7419 0,7346 0,7273 0,7201 0,7130 0,7059 0,6989 0,6920 0,6852 0,6784 0,6717

1,5% 0,9852 0,9707 0,9563 0,9422 0,9283 0,9145 0,9010 0,8877 0,8746 0,8617 0,8489 0,8364 0,8240 0,8118 0,7999 0,7880 0,7764 0,7649 0,7536 0,7425 0,7315 0,7207 0,7100 0,6995 0,6892 0,6790 0,6690 0,6591 0,6494 0,6398 0,6303 0,6210 0,6118 0,6028 0,5939 0,5851 0,5764 0,5679 0,5595 0,5513

2,0% 0,9804 0,9612 0,9423 0,9238 0,9057 0,8880 0,8706 0,8535 0,8368 0,8203 0,8043 0,7885 0,7730 0,7579 0,7430 0,7284 0,7142 0,7002 0,6864 0,6730 0,6598 0,6468 0,6342 0,6217 0,6095 0,5976 0,5859 0,5744 0,5631 0,5521 0,5412 0,5306 0,5202 0,5100 0,5000 0,4902 0,4806 0,4712 0,4619 0,4529

2,5% 0,9756 0,9518 0,9286 0,9060 0,8839 0,8623 0,8413 0,8207 0,8007 0,7812 0,7621 0,7436 0,7254 0,7077 0,6905 0,6736 0,6572 0,6412 0,6255 0,6103 0,5954 0,5809 0,5667 0,5529 0,5394 0,5262 0,5134 0,5009 0,4887 0,4767 0,4651 0,4538 0,4427 0,4319 0,4214 0,4111 0,4011 0,3913 0,3817 0,3724

3,0% 0,9709 0,9426 0,9151 0,8885 0,8626 0,8375 0,8131 0,7894 0,7664 0,7441 0,7224 0,7014 0,6810 0,6611 0,6419 0,6232 0,6050 0,5874 0,5703 0,5537 0,5375 0,5219 0,5067 0,4919 0,4776 0,4637 0,4502 0,4371 0,4243 0,4120 0,4000 0,3883 0,3770 0,3660 0,3554 0,3450 0,3350 0,3252 0,3158 0,3066

3,5% 0,9662 0,9335 0,9019 0,8714 0,8420 0,8135 0,7860 0,7594 0,7337 0,7089 0,6849 0,6618 0,6394 0,6178 0,5969 0,5767 0,5572 0,5384 0,5202 0,5026 0,4856 0,4692 0,4533 0,4380 0,4231 0,4088 0,3950 0,3817 0,3687 0,3563 0,3442 0,3326 0,3213 0,3105 0,3000 0,2898 0,2800 0,2706 0,2614 0,2526

4,0% 0,9615 0,9246 0,8890 0,8548 0,8219 0,7903 0,7599 0,7307 0,7026 0,6756 0,6496 0,6246 0,6006 0,5775 0,5553 0,5339 0,5134 0,4936 0,4746 0,4564 0,4388 0,4220 0,4057 0,3901 0,3751 0,3607 0,3468 0,3335 0,3207 0,3083 0,2965 0,2851 0,2741 0,2636 0,2534 0,2437 0,2343 0,2253 0,2166 0,2083

197 de 224

TABLAS FINANCIERAS

195

Valor Final de una unidad monetaria 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1,0% 1,0100 1,0201 1,0303 1,0406 1,0510 1,0615 1,0721 1,0829 1,0937 1,1046 1,1157 1,1268 1,1381 1,1495 1,1610 1,1726 1,1843 1,1961 1,2081 1,2202 1,2324 1,2447 1,2572 1,2697 1,2824 1,2953 1,3082 1,3213 1,3345 1,3478 1,3613 1,3749 1,3887 1,4026 1,4166 1,4308 1,4451 1,4595 1,4741 1,4889

1,5% 1,0150 1,0302 1,0457 1,0614 1,0773 1,0934 1,1098 1,1265 1,1434 1,1605 1,1779 1,1956 1,2136 1,2318 1,2502 1,2690 1,2880 1,3073 1,3270 1,3469 1,3671 1,3876 1,4084 1,4295 1,4509 1,4727 1,4948 1,5172 1,5400 1,5631 1,5865 1,6103 1,6345 1,6590 1,6839 1,7091 1,7348 1,7608 1,7872 1,8140

2,0% 1,0200 1,0404 1,0612 1,0824 1,1041 1,1262 1,1487 1,1717 1,1951 1,2190 1,2434 1,2682 1,2936 1,3195 1,3459 1,3728 1,4002 1,4282 1,4568 1,4859 1,5157 1,5460 1,5769 1,6084 1,6406 1,6734 1,7069 1,7410 1,7758 1,8114 1,8476 1,8845 1,9222 1,9607 1,9999 2,0399 2,0807 2,1223 2,1647 2,2080

2,5% 1,0250 1,0506 1,0769 1,1038 1,1314 1,1597 1,1887 1,2184 1,2489 1,2801 1,3121 1,3449 1,3785 1,4130 1,4483 1,4845 1,5216 1,5597 1,5987 1,6386 1,6796 1,7216 1,7646 1,8087 1,8539 1,9003 1,9478 1,9965 2,0464 2,0976 2,1500 2,2038 2,2589 2,3153 2,3732 2,4325 2,4933 2,5557 2,6196 2,6851

3,0% 1,0300 1,0609 1,0927 1,1255 1,1593 1,1941 1,2299 1,2668 1,3048 1,3439 1,3842 1,4258 1,4685 1,5126 1,5580 1,6047 1,6528 1,7024 1,7535 1,8061 1,8603 1,9161 1,9736 2,0328 2,0938 2,1566 2,2213 2,2879 2,3566 2,4273 2,5001 2,5751 2,6523 2,7319 2,8139 2,8983 2,9852 3,0748 3,1670 3,2620

3,5% 1,0350 1,0712 1,1087 1,1475 1,1877 1,2293 1,2723 1,3168 1,3629 1,4106 1,4600 1,5111 1,5640 1,6187 1,6753 1,7340 1,7947 1,8575 1,9225 1,9898 2,0594 2,1315 2,2061 2,2833 2,3632 2,4460 2,5316 2,6202 2,7119 2,8068 2,9050 3,0067 3,1119 3,2209 3,3336 3,4503 3,5710 3,6960 3,8254 3,9593

4,0% 1,0400 1,0816 1,1249 1,1699 1,2167 1,2653 1,3159 1,3686 1,4233 1,4802 1,5395 1,6010 1,6651 1,7317 1,8009 1,8730 1,9479 2,0258 2,1068 2,1911 2,2788 2,3699 2,4647 2,5633 2,6658 2,7725 2,8834 2,9987 3,1187 3,2434 3,3731 3,5081 3,6484 3,7943 3,9461 4,1039 4,2681 4,4388 4,6164 4,8010

198 de 224

196

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Tabla de Valor Actual de la renta an i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1,0% 0,99010 1,97040 2,94099 3,90197 4,85343 5,79548 6,72819 7,65168 8,56602 9,47130 10,36763 11,25508 12,13374 13,00370 13,86505 14,71787 15,56225 16,39827 17,22601 18,04555 18,85698 19,66038 20,45582 21,24339 22,02316 22,79520 23,55961 24,31644 25,06579 25,80771 26,54229 27,26959 27,98969 28,70267 29,40858 30,10751 30,79951 31,48466 32,16303 32,83469

1,5% 0,98522 1,95588 2,91220 3,85438 4,78264 5,69719 6,59821 7,48593 8,36052 9,22218 10,07112 10,90751 11,73153 12,54338 13,34323 14,13126 14,90765 15,67256 16,42617 17,16864 17,90014 18,62082 19,33086 20,03041 20,71961 21,39863 22,06762 22,72672 23,37608 24,01584 24,64615 25,26714 25,87895 26,48173 27,07559 27,66068 28,23713 28,80505 29,36458 29,91585

2,0% 0,98039 1,94156 2,88388 3,80773 4,71346 5,60143 6,47199 7,32548 8,16224 8,98259 9,78685 10,57534 11,34837 12,10625 12,84926 13,57771 14,29187 14,99203 15,67846 16,35143 17,01121 17,65805 18,29220 18,91393 19,52346 20,12104 20,70690 21,28127 21,84438 22,39646 22,93770 23,46833 23,98856 24,49859 24,99862 25,48884 25,96945 26,44064 26,90259 27,35548

2,5% 0,97561 1,92742 2,85602 3,76197 4,64583 5,50813 6,34939 7,17014 7,97087 8,75206 9,51421 10,25776 10,98318 11,69091 12,38138 13,05500 13,71220 14,35336 14,97889 15,58916 16,18455 16,76541 17,33211 17,88499 18,42438 18,95061 19,46401 19,96489 20,45355 20,93029 21,39541 21,84918 22,29188 22,72379 23,14516 23,55625 23,95732 24,34860 24,73034 25,10278

3,0% 0,97087 1,91347 2,82861 3,71710 4,57971 5,41719 6,23028 7,01969 7,78611 8,53020 9,25262 9,95400 10,63496 11,29607 11,93794 12,56110 13,16612 13,75351 14,32380 14,87747 15,41502 15,93692 16,44361 16,93554 17,41315 17,87684 18,32703 18,76411 19,18845 19,60044 20,00043 20,38877 20,76579 21,13184 21,48722 21,83225 22,16724 22,49246 22,80822 23,11477

3,5% 0,96618 1,89969 2,80164 3,67308 4,51505 5,32855 6,11454 6,87396 7,60769 8,31661 9,00155 9,66333 10,30274 10,92052 11,51741 12,09412 12,65132 13,18968 13,70984 14,21240 14,69797 15,16712 15,62041 16,05837 16,48151 16,89035 17,28536 17,66702 18,03577 18,39205 18,73628 19,06887 19,39021 19,70068 20,00066 20,29049 20,57053 20,84109 21,10250 21,35507

4,0% 0,96154 1,88609 2,77509 3,62990 4,45182 5,24214 6,00205 6,73274 7,43533 8,11090 8,76048 9,38507 9,98565 10,56312 11,11839 11,65230 12,16567 12,65930 13,13394 13,59033 14,02916 14,45112 14,85684 15,24696 15,62208 15,98277 16,32959 16,66306 16,98371 17,29203 17,58849 17,87355 18,14765 18,41120 18,66461 18,90828 19,14258 19,36786 19,58448 19,79277

199 de 224

TABLAS FINANCIERAS

197

Tabla de Valor Final de la renta sn i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1,0% 1,0000 2,0100 3,0301 4,0604 5,1010 6,1520 7,2135 8,2857 9,3685 10,4622 11,5668 12,6825 13,8093 14,9474 16,0969 17,2579 18,4304 19,6147 20,8109 22,0190 23,2392 24,4716 25,7163 26,9735 28,2432 29,5256 30,8209 32,1291 33,4504 34,7849 36,1327 37,4941 38,8690 40,2577 41,6603 43,0769 44,5076 45,9527 47,4123 48,8864

1,5% 1,0000 2,0150 3,0452 4,0909 5,1523 6,2296 7,3230 8,4328 9,5593 10,7027 11,8633 13,0412 14,2368 15,4504 16,6821 17,9324 19,2014 20,4894 21,7967 23,1237 24,4705 25,8376 27,2251 28,6335 30,0630 31,5140 32,9867 34,4815 35,9987 37,5387 39,1018 40,6883 42,2986 43,9331 45,5921 47,2760 48,9851 50,7199 52,4807 54,2679

2,0% 1,0000 2,0200 3,0604 4,1216 5,2040 6,3081 7,4343 8,5830 9,7546 10,9497 12,1687 13,4121 14,6803 15,9739 17,2934 18,6393 20,0121 21,4123 22,8406 24,2974 25,7833 27,2990 28,8450 30,4219 32,0303 33,6709 35,3443 37,0512 38,7922 40,5681 42,3794 44,2270 46,1116 48,0338 49,9945 51,9944 54,0343 56,1149 58,2372 60,4020

2,5% 1,0000 2,0250 3,0756 4,1525 5,2563 6,3877 7,5474 8,7361 9,9545 11,2034 12,4835 13,7956 15,1404 16,5190 17,9319 19,3802 20,8647 22,3863 23,9460 25,5447 27,1833 28,8629 30,5844 32,3490 34,1578 36,0117 37,9120 39,8598 41,8563 43,9027 46,0003 48,1503 50,3540 52,6129 54,9282 57,3014 59,7339 62,2273 64,7830 67,4026

3,0% 1,0000 2,0300 3,0909 4,1836 5,3091 6,4684 7,6625 8,8923 10,1591 11,4639 12,8078 14,1920 15,6178 17,0863 18,5989 20,1569 21,7616 23,4144 25,1169 26,8704 28,6765 30,5368 32,4529 34,4265 36,4593 38,5530 40,7096 42,9309 45,2189 47,5754 50,0027 52,5028 55,0778 57,7302 60,4621 63,2759 66,1742 69,1594 72,2342 75,4013

3,5% 1,0000 2,0350 3,1062 4,2149 5,3625 6,5502 7,7794 9,0517 10,3685 11,7314 13,1420 14,6020 16,1130 17,6770 19,2957 20,9710 22,7050 24,4997 26,3572 28,2797 30,2695 32,3289 34,4604 36,6665 38,9499 41,3131 43,7591 46,2906 48,9108 51,6227 54,4295 57,3345 60,3412 63,4532 66,6740 70,0076 73,4579 77,0289 80,7249 84,5503

4,0% 1,0000 2,0400 3,1216 4,2465 5,4163 6,6330 7,8983 9,2142 10,5828 12,0061 13,4864 15,0258 16,6268 18,2919 20,0236 21,8245 23,6975 25,6454 27,6712 29,7781 31,9692 34,2480 36,6179 39,0826 41,6459 44,3117 47,0842 49,9676 52,9663 56,0849 59,3283 62,7015 66,2095 69,8579 73,6522 77,5983 81,7022 85,9703 90,4091 95,0255

200 de 224

201 de 224

ANEXO II

Código Visual Basic for Applications

202 de 224

200

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Public periodos As Integer Sub PréstamoFrancés() Etiquetas Datos Formato End Sub -------------------------------------------------Sub Etiquetas() Range("a1").Value = "Importe" Range("a2").Value = "Tipo Nominal" Range("a3").Value = "Pagos Anuales" Range("a4").Value = "Años amort." Range("a5").Value = "C. Aperura" Range("a6").Value = "G. Estudio" Range("a7").Value = "Nº de Periodos" Range("a8").Value = "Efectivo del Periodo" End Sub -------------------------------------------------Sub Datos() Dim Nominal As Single Dim pagos As Integer Dim plazo As Integer

203 de 224

CÓDIGO MACRO MÉTODO FRANCÉS Range("b1").NumberFormat = "#,##0" Range("b1") = InputBox("Introduzca el importe de préstamo") Range("b2").NumberFormat = "0.00%" Nominal = InputBox("Introduzca el tipo nominal (Ej. 9)") / 100 Range("b2").Formula = Nominal pagos = InputBox("Introduzca el número de pagos anuales") Range("b3").Formula = pagos plazo = InputBox("Introduzca el plazo de amortización en años") Range("b4").Formula = plazo periodos = pagos * plazo Range("b5").NumberFormat = "0.00%" Range("b5") = InputBox("Introduzca Comisión de Apertura en %") / 100 Range("b6").NumberFormat = "0.00%" Range("b6") = InputBox("Introduzca Gastos de Estudio en %") / 100 Range("b7").Formula = periodos Range("B8").NumberFormat = "0.00%" Range("B8").Formula = "=B$2/B$3" Cuadro End Sub -------------------------------------------------Sub Cuadro() Dim miRango As Range Range("a10").Value = "Periodos"

201

204 de 224

202

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Range("b10").Value = "Término Amort." Range("c10").Value = "Cuota de Interés" Range("d10").Value = "Cuota de Amort." Range("e10").Value = "C. Amortiz" Range("f10").Value = "C.Vivo" Range("a11").FormulaR1C1 = "0" Range("a11", Range("a11").Offset(periodos, 0)).Select Selection.DataSeries Rowcol:=xlColumns, Type:=xlLinear, Date:=xlDay, _ Step:=1, Stop:=periodos, Trend:=False Range("b12").Formula = "=($b$1/((1-(1+$b$8)^(-$b$7))/$b$8))" Range("f11").Formula = "=$b$1" Range("c12").Formula = "=$b$8*f11" Range("d12").Formula = "=b12-c12" Range("e12").Formula = "=e11+d12" Range("f12").Formula = "=f11-d12" Range("b12:f12", Range("b11:f11").Offset(periodos, 0)).Select Selection.NumberFormat = "#,##0" Selection.FillDown Range("b11").NumberFormat = "#,##0" Range("b11").Formula = "=-($b$1*(1-$b$5-$b$6))" Set miRango = Range("b11", Range("b11").Offset(periodos, 0)) Range("d4").Value = "TAE" Range("e4").Select

205 de 224

CÓDIGO MACRO MÉTODO FRANCÉS

203

Selection.NumberFormat = "0.00%" Selection.Formula = "=((1+(IRR(" & miRango.Address(False, False) & ")))^B3)-1" End Sub -------------------------------------------------Sub Formato() Range("A1:B8").Select Selection.Borders(xlDiagonalDown).LineStyle = xlNone Selection.Borders(xlDiagonalUp).LineStyle = xlNone With Selection.Borders(xlEdgeLeft) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlEdgeTop) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlEdgeBottom) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlEdgeRight) .LineStyle = xlContinuous

206 de 224

204

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlInsideVertical) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThin End With With Selection.Borders(xlInsideHorizontal) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThin End With With Selection.Interior .ColorIndex = 39 .Pattern = xlSolid End With Range("A10:F10").Select With Selection .HorizontalAlignment = xlRight End With With Selection.Font .Name = "Geneva" .FontStyle = "Negrita" .Size = 9 End With

207 de 224

CÓDIGO MACRO MÉTODO FRANCÉS Range("a10:f10", Range("a11:f11").Offset(periodos, 0)).Select Selection.Borders(xlDiagonalDown).LineStyle = xlNone Selection.Borders(xlDiagonalUp).LineStyle = xlNone With Selection.Borders(xlEdgeLeft) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlEdgeTop) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlEdgeBottom) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlEdgeRight) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlInsideVertical) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThin End With

205

208 de 224

206

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA With Selection.Borders(xlInsideHorizontal) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThin End With With Selection.Interior .ColorIndex = 48 .Pattern = xlSolid End With Range("D4").Select Selection.Font.Bold = True With Selection .HorizontalAlignment = xlRight End With Range("D4:E4").Select Selection.Borders(xlDiagonalDown).LineStyle = xlNone Selection.Borders(xlDiagonalUp).LineStyle = xlNone With Selection.Borders(xlEdgeLeft) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlEdgeTop) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick

209 de 224

CÓDIGO MACRO MÉTODO FRANCÉS End With With Selection.Borders(xlEdgeBottom) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With With Selection.Borders(xlEdgeRight) .LineStyle = xlContinuous .Weight = xlThick End With Cells.Select Cells.EntireColumn.AutoFit Range("a1").Select End Sub

207

210 de 224

211 de 224

ANEXO III

212 de 224

210

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

(1 + im )m = (1 + i ) Leyes Financieras Simples Dto. Simple Comercial: Dto. Simple Racional: Cap. Simple:

Jm m

im =

C 0 = C n ⋅ (1 − n ⋅ d ) Cn (1 + n ⋅ i ) C n = C 0 ⋅ (1 + n ⋅ i ) C0 =

Leyes Financieras Compuestas

Cn

Descuento Compuesto:

C0 =

Capitalización Compuesta:

C n = C 0 ⋅ (1 + i ) n

(1 + i )n

Rentas Inmediatas Anuales Constantes Temporales y Unitarias Pospagables Prepagables

1 − (1 + i ) − n i 1 − (1 + i ) − n an i = ⋅ (1 + i ) i

an i =

sn i =

(1 + i ) n − 1 i

 sn i = sn i ⋅ (1 + i )

Rentas Inmediatas Anuales Const. Perpetuas y Unitarias Pospagables Prepagables

1 i 1 Ä∞ = ⋅ (1 + i ) i

A∞ =

Rentas Diferidas Anuales Constantes Temporales y Unitarias Pospagables Prepagables

ad / äd /

1 − (1 + i ) − n = ⋅ (1 + i ) − d i 1 − (1 + i ) − n = ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) − d i

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CÓDIGO MACRO MÉTODO FRANCES

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Rentas Diferidas Anuales Constantes Perpetuas y Unitarias Pospagables Prepagables

1 A∞ ,d / = ⋅ (1 + i ) − d i 1  , = ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) − d A ∞ d/ i

Rentas Anticipadas Anuales Constantes Temporales y Unitarias Pospagables Prepagables

(1 + i ) n − 1 s/ h = ⋅ (1 + i ) h i (1 + i ) n − 1  s/ h = ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) h i

Rentas Anuales Variables en progresión geométrica Pospagables q·v = 1

Prepagables q·v = 1

1− qn ⋅ vn 1+ i − q A = a1 ⋅ n ⋅ v

S = A ⋅ (1 + i ) n

A = a1

S = A ⋅ (1 + i ) n

1 − qn ⋅ vn  ⋅ (1 + i ) A = a1 1+ i − q A = a1 ⋅ n

 ⋅ (1 + i ) n S = A S = A ⋅ (1 + i ) n

Rentas Anuales Variables en progresión aritmética Pospagables

A = a1 ⋅ an i +

Prepagables

Ä = a1 ⋅ an i +

(

r ⋅ an i − n ⋅ v n i r ⋅ an i − n ⋅ v n

(

i

)

S = A ⋅ (1 + i ) n

) ⋅ (1 + i) S = A ⋅ (1 + i)

n

Rentas Fraccionadas Variables Si la variación se produce en cada período: Igual que las anuales pero con i = im y n = n·m Si la variación se produce anualmente y se mantiene constante durante el año Igual que las anuales pero corrigiendo con el factor:

m⋅

i Jm

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212

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA

Préstamos Ecuaciones Fundamentales: Equivalencia financiera en el origen:

A=

an a1 a2 + + ... + 2 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n

Suma de cuotas de amortización

A = m1 + m2 + ... + mn Sistema Francés: Términos amortizativos constantes Equivalencia financiera en el origen:

A = a1 ⋅ an i

i

Cuotas de amortización variables en prog. geométrica de razón (1+i) Suma de cuotas de amortización

A = m1 ⋅ sn i a = mk + I k

i

mk = m1 ⋅ (1 + i )

k −1

I k = i ⋅ S k −1

S k = a ⋅ an − k i Sistema Uniforme: Cuotas de amortización constantes Suma de cuotas de amortización:

A = m⋅n

Términos amortizativos variables en progr. aritmética razón Equivalencia financiera en el origen

(

A ⋅ i ⋅ an i − n ⋅ v n n A = a1 ⋅ an i − i ak = m + I k

−

)

mk = mk +1 = m S k = m ⋅ (n − k )

I k = i ⋅ S k −1

Sistema Alemán: Términos constantes; interés prepagable i. Tipo de interés pospagable equivalente i’ (1-i )·(1+i’ )=1 Equivalencia financiera en el origen:

A ⋅ (1 − i ) = a ⋅ (1 − i ) + a ⋅ (1 − i ) + ... + a ⋅ (1 − i ) i a = A⋅ n 1 − (1 − i ) 2

[

]

n

A ⋅i n

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CÓDIGO MACRO MÉTODO FRANCES Suma de cuotas de amortización

(1 − i ) ⋅ A ⋅ i m1 = n 1 − (1 − i ) n −1

A = m1 + m2 + ... + mn ;

mk 1− i

a = mk + I k

mk +1 =

I k = i ⋅ Sk

Io = i ⋅ A

In = 0

1 − (1 − i ) n 1 − (1 − i )

n−k

Sk = A ⋅

Empréstitos Normal Tipo I

α=

C ⋅ N1 an i

α = Mk ⋅ C + Nk ⋅Ci k −1

Mk = M1 (1 + i)

M1 =

N1 sn i

C ⋅ N k = α ⋅ an − k +1 i

Duratio

C (1 + i ) ⋅ t D=∑ t P −t

M k +1 = M k (1 + i )

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BIBLIOGRAFÍA

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